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(Publicaciones ETSI Aeronáuticos) C. Martínez Arnaiz - Cálculo Estructural. Método de los Elementos Finitos-ETSIA - Universidad Politécnica de Madrid (UPM) (1998)

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t
,
1
uint
(22.
m
tre)
C. Martínez Arnaiz
Mad
1 1
1 1 111 1111 1 1 1
*
o
1
o
o
5
2
o
1
o
1
*
1 . 1 .- INTRODUCCIÓN
El Método de los Elementos Finitos en el cálculo.estructural es un método numérico aproximado para el
análisis de estructuras de cualquier tipo sometidas a solicitaciones mecánicas y térmicas tanto
estacionarias como transitorias. El desarrollo del método se basa en las relaciones matemáticas
"exactas" deducidas en la Teoría de la Elasticidad. Estas relaciones son básicamente ecuaciones
diferenciales que una vez integradas, considerando las condiciones iniciales y de contorno, proporcionan
las funciones que definen las magnitudes representativas del comportamiento de la estructura.
En el Método de los Elementos Finitos se sustituyen las ecuaciones diferenciales por un conjunto
discreto de ecuaciones que puede ser resuelto en todos los casos mediante procesos matemáticos
rutinarios susceptibles de ser programados fácilmente en un ordenador.
Es evidente que el estudio del Método de los Elementos Finitos en el cálculo estructural requiere un
conocimiento previo de la Teoría de la Elasticidad y en consecuencia en este capítulo se presentan, en
plan recordatorio, los conceptos básicos de la Teoría de la Elasticidad, la mayor parte de los cuales son
utilizados posteriormente en el desarrollo del Método de los Elementos Finitos.
1 . 2.- TENSOR DE ESFUERZOS EN UN PUNTO
La fuerza por unidad de superficie que actúa a través de un determinado elemento plano situado en el
interior de un cuerpo se denomina esfuerzo. Dicho esfuerzo puede descomponerse en principio en dos
componentes, una normal al elemento plano denominada esfuerzo normal, y otra contenida en dicho
plano que se denomina esfuerzo cortante. Ahora bien, como el esfuerzo cortante puede tener cualquier
dirección en el elemento plano que se considera, será necesario definir dos direcciones en dicho plano y
descomponer el esfuerzo cortante en estas dos direcciones. En estas condiciones la fuerza por unidad de
superficie que actúa a través de un determinado elemento plano situado en el interior de un cuerpo
queda definido por tres componentes, un esfuerzo normal y dos esfuerzos cortantes.
Como son infinitas las orientaciones del elemento plano que se pueden considerar en un determinado
punto de un cuerpo, infinitas serán las componentes de esfuerzos en dicho punto, ya que a cada
orientación le corresponderá un vector fuerza por unidad de superficie. Sin embargo es fácil demostrar
1.1
que, utilizando únicamente condiciones de
de tan sólo nueve componentes que son las correspondientes a
las fuerzas por unidad de superficie asociadas a tres elementos planos ortogonales que pasen por el
punto.
En l a figura 1 . 1 se representa un detenninado punto O del cuerpo y un sistema de referencia ortogonal
Oxyz, con origen en dicho punto, que define tres elementos planos que son los planos coordenados Oxy,
Oyz, Ozx . La fuerza por unidad de superficie que la zona del cuerpo situada en x < O ejerce sobre la
zona x > O, a través del plano yz en el punto O queda definida por las componentes de esfuerzo cortante
O"xy, O"xz y por la componente de esfuerzo normal O"xx. Como puede observarse el primero de los dos
subíndices representa el eje normal al elemento plano a través del cual se considera el esfuerzo, mientras
que el segundo subíndice representa el eje al que es paralelo la correspondiente componente del
esfuerzo.
En estas condiciones O"xx. O"xy, O"xz son las componentes según los ejes Ox, Oy, Oz del vector cp x asociado
a la orientación x, mientras que O"yx, O"yy, O"yz por un lado y O"zx, O"zy, O"zz por otro son las componentes
según los ejes Ox, Oy, Oz de los vectores q5Y, cpz asociados respectivamente a las orientaciones y, z.
Se considera ahora (ver figura 1 .2) un tetraedro infinitesimal OABC formado por los tres planos
coordenados y un cuarto plano ABC cuya normal n que sale del tetraedro tiene por cosenos directores
l, m, n . La fuerza por unidad de superficie que actúa sobre ABC es <P
=
<P x
·
I + <P Y ·} + <P z k ,
·
mientras que las fuerzas por unidad de superficie que actúan sobre las otras tres caras del tetraedro
vienen definidas por las correspondientes componentes de esfuerzos que se indican.
1.2
Si dA representa el área de la cara ABC, las áreas de las caras OBC, OCA, OAB serán respectivamente
l·dA, m·dA, n·dA.
Planteando las ecuaciones de equilibrio del tetraedro resultará:
<I> X · dA -cr XX · l · dA -cr )'X · m · dA -cr ZX · n · dA = O
<!>Y
dA (J · l · dA (J YY m dA - (J n · dA = O
<I> Z ·dA-cr XZ · l · dA -cr )'Z · m · dA-cr · n · dA = O
•
-
xy
-
•
zy
·
•
ZZ
Debe observarse que, definiéndose como infinitésimos principales las longitudes dx, dy, dz de las aristas
OA, OB y OC, todos los términos que aparecen en las ecuaciones de equilibrio son infinitésimos de
segundo orden y aún en el caso de que sobre el cuerpo actuasen fuerzas volumétricas de valor w por
unidad de volumen su contribución en las ecuaciones sería nula ya que al ser proporcionales al volumen
del tetraedro darían lugar a términos infinitesimales de tercer orden.
Las ecuaciones de equilibrio anteriores pueden escribirse en la forma:
<I>=n · a
en donde:
es el vector fila formado por las componentes de la fuerza por unidad de superficie que actúa sobre la
cara ABC del tetraedro,
[
n
= (l
m
n)
es el vector fila formado por los cosenos directores de la normal a la cara ABC del tetraedro, y
cr il
;;= ::
(J xy
(J yy
(J Z)'
1.3
cr
"'
(J )'Z
O" zz
l
es
de los esfuerzos
matriz cuadrada formada por las
a los
coordenados .
Las ecuaciones de equilibrio pueden expresarse también en la forma:
<P
= cpx ·l+ cpy · m + "CP-2 n
•
en donde:
cpx =crxx .[ +crxy ·]+crxz ·k
cpY =cryx ·Í +crYY · ]+cryz ·k
cpz =cr · T +crzy ]+cr ·k
zx
•
zz
son las fuerzas por unidad de superficie correspondientes a las orientaciones Ox, Oy, Oz.
Esta última relación suele expresarse en una forma concisa diciendo que la fuerza por unidad de
superficie correspondiente a una orientación n es una función lineal de la orientación.
Esta propiedad es precisamente la que caracteriza a los tensores cartesianos rectangulares en un espacio
de tres dimensiones y en consecuencia las componentes de los esfuerzos no sólo pueden agruparse a
efectos de cálculo en una matriz cuadrada de orden tres, sino que definen una verdadera magnitud
tensorial, siendo directamente aplicables las propiedades y características de este tipo de magnitudes.
Conocido el tensor de esfuerzos existente en un punto O, expresado mediante sus componentes según
los ejes de un sistema de referencia Ox1x2x3, es fácil determinar las componentes del mismo tensor en
un nuevo sistema de referencia Ox;x�x; . La posición relativa de ambos triedros queda definida por la
matriz:
en donde:
Obsérvese que a veces resulta conveniente, para poder utilizar el convenio de subíndices mudos,
considerar sistemas de referencia Ox1x2x3, en lugar de Oxyz, en los que las componentes de vectores y
tensores queden definidos por subíndices numéricos y no alfabéticos.
1 .4
actuando a
[
de los elementos planos normales a
][
..
resultará que la fuerza por unidad de L>UIJ.._,_., ....,,,..,
l
, pero expresados mediante sus
componentes según los ejes del sistema Ox1x2 x3, serán las filas de la matriz:
A11 A12 A" ª11 cr12 crll
A2 1 A22 A23 · cr21 cr22 ª23 [A-l [cr]
A3 1 A32 A33 cr 31 cr32 cr33
.
O'
" l os ejes
x2 , O'
x1 , O'
x3 de un
Por otra parte, considerando que las componentes V1', V2', v3' segun
vector cuyas componentes según los ejes del sistema O
x1x2x3 son v1, v2, v3, vienen dados por:
[�
=
l
][ i
21 A,1
(v ') = (v; V2' vn = (v¡ V2 v3)· A12 A22 A32 = (v)· [A-]'
A13 A23 A33
resultará:
[cr']
[Ali A
=
'.
][
l
[
A11 A12 A13 cr11 cr12 ª11 Al A21 A 1
cr;l cr�2 ª '
,
cr 1 cr;2 cr23 -- A21 A22 A23 · cr21 cr22 cr23 · A12 A22 A32
A31 A32 A33 cr31 cr32 cr33 A13 A23 A33
cr31 cr;2 cr;3
o bien utilizando el convenio de subíndices mudos :
l
=
1
[A-l [crl [A-]
Se considera un pequeño elemento de volumen con forma de paralelepípedo, cuyas aristas sean paralelas
a los ejes de un sistema de referencia Oxyz, con longitudes dx, dy, dz, (figura 1 .3) y se pretende
plantear la ecuación de equilibrio de momentos con respecto al eje Ox.
--- �'�.)(
G;j-f
1.5
al
Los esfuerzos que actúan sobre las caras
a:
Ox
-
(
d<J
)
xy
(
�
1
2
)
dz -d<J dx
dy
dx ( dy·dz) ·-+
·(dy·dz) ·-=
·
--·
=-·
(
)
un momento con
·
2
xy
xz
dx
2
d<J
dCT xz .
---·dz+--·dy ·dx·dy·dz
ax
dx
Análogamente, los esfuerzos que actúan sobre las caras perpendiculares al eje Oy proporcionarán un
(
(
momento con respecto al eje Ox igual a:
J
)
CJ(J yz
dz
dy (dz · dx)· + cr rz + --·dy (dz · dx) dy=
2
dy
d<J
1 CJ(J )
--·dx·dy (dz)2 + --·
dx·( dy)2 · dz
=cr )·z · dx·dy·dz
2 dy
dy
-
CJ(J
dy
yy
-- ·
-
·
- -·
-
)' '
·
·
)'Z
·
Finalmente, los esfuerzos que actúan sobre las caras perpendiculares al eje Oz proporcionarán un
(
)
momento con respecto al eje Ox igual a:
dy
dcr _ ·dz ·
_zz
(dx·dy)·- 2
dz
(
cr
z.
>
zy
dcr
dz
+ -- ·
J
dz (dx·dy) ·dz=
·
d
1 d<Jzz
·dx·(dy)2 ·dz <J dx dy (dz)2
= -a . ·dx dy·dz + -·-2 dz
dz
2>
Z)'
- -- ·
·
·
·
Se observa que todos los términos que aparecen en la ecuación de equilibrio de momentos con respecto
al eje Ox son infinitésimos de cuarto orden, salvo dos de ellos, que son infinitésimos de tercer orden. En
el caso de que sobre el cuerpo estuviesen actuando fuerzas volumétricas w por unidad de volumen, es
fácil comprobar que éstas darían lugar a términos adicionales que serían también Ínfinitésimos de cuarto
orden.
En estas condiciones, la ecuación de equilibrio de momentos con respecto al eje Ox quedaría en la
forma:
(J ' dx ' dy ' dz - (J ' dx ' dy ' dz= Ü
rz
Z
_\'
es decir:
(J =(J
)'Z
Z)'
De manera análoga se plantearían las ecuaciones de equilibrio de momentos con respecto a los ejes Oy,
Oz deduciéndose respectivamente:
(jxz=(Jzx
(J =<J
xy
yx
Así pues, como consecuencia de estas tres ecuaciones de equilibrio de momentos del elemento de
volumen se deduce que el tensor de esfuerzos es simétrico.
1.6
Finalmente resulta conveniente señalar una propiedad interesante de las magnitudes tensoriales como es
la que se refiere a las direcciones principales. Cualesquiera que sean las componentes del tensor de
esfuerzos en un punto, es siempre posible determinar un sistema de referencia triortogonal en el que tan
sólo existen esfuerzos normales siendo nulas todas las componentes de esfuerzos cortantes . Las
direcciones de dicho triedro son las denominadas direcciones principales. En efecto, representando por
n una de las direcciones en las que se cumpla dicha propiedad y siendo an el esfuerzo normal
correspondiente a dicha orientación, se verificará:
n ·O' =O'n ·n
equivalente al sistema de ecuaciones homogéneo:
(axx-an)·l+ayx ·m+azx ·n =O
O' ' l+(O')')'-O'n) ' m+O' ' n = o
O'xz · l+ayz ·m+(azz-an) ·n =0
X)'
Z
)'
Para que a este sistema le correspondan otras soluciones distintas de la trivial 1 = m = n = O deberá ser:
a
azx
O'xx-an
=0
a
ayy-an
Q'
axz
azz-an
Q'
X)'
)'X
)'Z
Z)'
ecuación de tercer grado en an a la que siempre corresponden tres raíces reales . Para cada una de estas
raíces corresponderá una solución 1, m, n que define la dirección principal.
1.3.- CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS Y TENSOR DE DEFORMACIONES EN UN PUNTO
Se considera un cuerpo inmovilizado en el espacio de una determinada manera . Para conseguir dicha
inmovilidad será necesario impedir ciertos desplazamientos (seis ligaduras independientes como
mínimo) . Al aplicar solicitaciones mecánicas o térmicas a dicho cuerpo, y como consecuencia de su
deformabilidad, sus partículas materiales experimentarán ciertos desplazamientos o corrimientos . La
partícula material que inicialmente se encuentra en el punto P0 de coordenadas x, y, z experimentará un
corrimiento u(x,y,z) cuyas componentes según los ejes coordenados se representarán por Ux(x,y,z),
uy(x,y,z), uz(x,y,z) . Normalmente los desplazamientos Ux, Uy, Uz son pequeños comparados con las
dimensiones del cuerpo y será suficiente considerar la influencia de los términos de primer orden (teoría
lineal), pero conviene resaltar que en algunas ocasiones, como por ejemplo en el caso de estructuras con
cables o en el de placas con grandes flechas, será necesario tener en cuenta efectos de orden superior
(teoría no lineal).
1 .7
Salvo que se indique lo contrario se supondrá en adelante que las componentes del vector
desplazamiento son pequeñas y que varían de una forma continua en el volumen del cuerpo .
El desplazamiento de un punto Q0, próximo al P0, tal que :
P0Q0
= ár0 = dx T + dy · J + dz · k
·
vendrá definido por las componentes :
dux · dy + dux · dx + dux · dz
ux (x + dx, y + dy,z + dz) = ux (x,y, z) + dx
dz
ay
du r
du,.
du
· dx + -· dy + -·r dz
uy (x + dx,y + dy, z + dz) = uy (x,y, z) + ·
dx
dy
dz
duz · dx + _
duz dy + _
duz · dz
uz (x + dx, y + dy, z + dz) = uz (x, y, z) + _
dx
dy
dz
·
·
·
que pueden agruparse en la relación única:
dux dux dux
dx dy dz
duy duy du y
Tiºº = Tip0 + dx dy dz
duz du z du z
dx dy dz
El segmento inicial P0 Q0
PQ
.¡:¡
= dr0 , una vez considerados los desplazamientos, pasa a la posición
= ár de manera que (ver figura 1 .4)
du x du x du x
dx dy dz
duy duy du y
ár = ár0 + UQo - Up0 = ár0 +
ax dy dz
du z du z du z
dx ay dz
Obsérvese que mediante la operación :
dux
dx
du r
ds dx
d u2
dx
dux dux
dz
ay
duy d uy
dz
ay
d uz duz
dy dz
·
(: !
dux
dx
duy
=
dx
d uz
dx
dux dux
dy dz
duy duy
dz
ay
d uz d u z
dy dz
.¡:¡
dx
ds
dy
ds
dz
ds
se asocia un vector a cada orientación, definida mediante los cosenos directores dx/ds, dy/ds, dz/ds.
En particular a las orientaciones definidas por los ejes cartesianos x, y, z les corresponderán los
vectores :
1.8
Qo
I
/
I
I
./
./
/
I
,/
mientras que a la orientación arbitraria n definida por:
-
-
-
n = l · i + m ·j + n ·k
se le asignará el vector:
es decir, el vector <Pn es una función lineal de la orientación, por lo que de acuerdo con lo indicado en el
apartado anterior, se deduce que:
du x du y dU 2
dX dx dx
du x du-" dU 2
dy dy dy
d u x du y du 2
dZ dz dz
define una magnitud tensorial y en consecuencia al considerar un nuevo sistema de referencia, las
componentes del tensor se obtendrán a partir de las fórmulas deducidas anteriormente en el caso del
tensor de esfuerzos.
1.9
la que se está utilizando. Esto se debe a que normalmente la matriz que engloba las componentes de una
magnitud tensorial se define de manera que sus filas están formadas por las componentes de los vectores
asociados a los ej es Ox, Oy, Oz, por lo que en estas condiciones el vector asociado a la orientación n
se obtiene mediante la relación (n) ·
de la operación
'
[t'] · (n)1
[t] , mientras que en este apartado se obtiene dicho vector a partir
Volviendo nuevamente a la relación:
¡:
du x
dy
dU Y
()y
duz
ay
dux
dX
dU Y
ár=dfo+
dX
duz
dX
l dx [
¡¡
.¡:¡
d ux
dZ
dU Y
dZ
duz
dZ
] dx
¡¡
y descomponiendo el tensor en sus componentes antisimétrica y simétrica, resultará:
ár=dfo +
-
,
o
(J)
)'
Y Y xy/2 Y xz/2
· dy + y yx/2
-ro
y
y yz /2
O
y zx/2 y zy/2
dz
y
(J)
y
x
xx
YY
zz
·
dy
dz
en donde las componentes de los tensores antisimétrico y simétrico vienen definidas por las relaciones:
Y
XV
-
-
- y
\'X
·
(
>
_!_. - duz + dux
--
dy
(J) . =
2 dX
dU
Yn=-r·
dUx dU "
---;-- + ---;-ay ax
-
y\'Z
·
dZ
J
dU r dU
=yzx = �
+
uz �
ay
Observando que ffix, COy, ffiz coinciden con las componentes del vector _!_ rot u = _!_ V /\ u y que a su
vez el producto:
[
:-,] . ¡:¡
:, �' O
-ro -'
ffi
x
2
·
2
·
dz
coincide con el vector ffi /\ dr0 , la expresión anterior puede escribirse finalmente en la forma:
1
ár = ár0 + -
2
·
rot u /\ ár0 +
en donde y es el tensor simétrico:
1 . 10
=
y ár0
·
1
1
2·Yx1· -· Y zx
yXX
2
2.2 2.
1
y= -· y X\'
1
2
l
yyy
1
·yzx -· y )'Z
- ·y \'Z
yzz
Esta última expresión indica (ver figura 1.4) que el segmento
P0Q0
experimenta, durante la
deformación del cuerpo, una traslación P0 P = u mediante la cual pasa a la posición PQ'
,
un giro
alrededor de un eje que pasa por P definido por _!_ rot u mediante el cual pasa a la posición PQ" y
·
,
2
-
una deformación definida por Q" Q = y áro mediante la cual pasa a la posición final PQ .
·
Teniendo en cuenta que la traslación u , el giro _!_ rot u y el tensor de deformación y dependen del
2
·
punto Po, pero no de la orientación del segmento P0Q0 , se deduce que la parte del cuerpo contenida en
un volumen elemental alrededor de Po experimentará la misma traslación u , la misma rotación
_!_ rot u y una deformación y ár0 dependiendo tan sólo esta última de la orientación del segmento que
2
·
·
se considere. En la traslación y rotación el volumen elemental se moverá como sólido rígido y tan sólo la
componente y ár0 provocará deformación en dicho volumen.
·
La analogía existente entre la operación y ár0 y la n cr que aparece en el apartado anterior permite
·
·
aplicar al tensor de deformación y las mismas propiedades que se obtuvieron en el caso del tensor de
esfuerzos cr .
1.11
de cada una de estas aristas en la operación y · ái0 , resultando:
( - 1 - 1
(1 - j
)
(1 - 1 -
ffi X = y
't'
XX
·
·i +2 ·y .\).. ·1 +.2 ·y
.
-
1
lX
<P . = \T ·
+2 ' Y X\'. i + Y ..
2 · Y .yz
'
'
ffi = - . y · i +
2 y )Z.
2
'I' Z
lX
·
·
)
-)
k
)
k
-
·k ·dx
•
1· + y ZZ ·
-
•
dy
· dz
tal como se representa en la figura 1.5.
Se deduce que Yxx, yyy, Yzz son los alargamientos por unidad de longitud de los segmentos orientados
según los ejes x, y, z; mientras que Yxy, yyz, Yzx son las disminuciones, en radianes, de los ángulos
inicialmente iguales a 90° formados respectivamente por los ejes x, y; y, z; z, x respectivamente.
Análogamente a lo que ocurría en el caso del tensor de esfuerzos cabe preguntar si existe alguna
orientación a la que el corrimiento de deformación y · áro tenga la dirección del segmento original, es
decir, si es posible encontrar una dirección n para la que se verifique:
expresión equivalente al sistema de ecuaciones homogéneas:
12 21
21 1 2 .
(yXX -dn ) ·l+- ·yX).-m+-·ylX ·n= O
]_ ·y . ·l +/y
\ . -dn ) ·
x,·
, ,.
. .
m
+ ]_ ·yrz ·n= O
2 ·Y v: · l+ 2 ·Y yz · m + (y zz -dn) · n= O
Para que existan soluciones diferentes de la trivial 1 = m = n = O deberá ser:
1
y XX - d/1
2 · Yx.r
2· Yx.r
Y yy
2· y lX
.z
2 · Y"
1
1
1
-
dn
1
2 · y lX
1
2 ·y .\'Z =0
Y zz - d n
Desarrollando el determinante se deduce una ecuación de tercer grado en dn a la que siempre
corresponden tres raíces reales que son las tres deformaciones principales. Para cada una de estas
raíces, la solución 1, m, n del sistema de ecuaciones homogéneas definirá la correspondiente orientación
del eje principal.
1.12
En ocasiones
La secuencia de aplicación de cargas y variación de temperatura
ser
arbitraria, de manera que una anteceda a la otra o bien que ambas sean simultáneas. En estos casos los
u(x, y, z) de las partículas del cuerpo se deben no sólo a las cargas sino también a los
desplazamientos
efectos térmicos.
Las relaciones lineales existentes entre corrimientos u y deformaciones y , resultado de suponer que los
desplazamientos son pequeños, permite aplicar el principio de superposición, y en consecuencia es
posible establecer que las deformaciones totales son la suma de las deformaciones mecánicas,
originadas por los esfuerzos que aparecen en el cuerpo, y de las deformaciones térmicas, originadas por
las variaciones de temperatura.
En el caso de un cuerpo isótropo, las deformaciones térmicas serán:
Tl xx = Tl YY = Tlzz = a
·
!1T
Tl X)' = Tl )'Z = Tl zx = o
en donde a es el valor medio del coeficiente de dilatación térmica del material en el intervalo de
temperaturas considerado.
Las deformaciones mecánicas se deducirán entonces a partir de las totales y de las térmicas resultando:
E xx = y xx - r¡xx
E X)' = y xy
E yy = y yy - Tl yy
E )'Z = y )'Z
Ezz = Yzz - Tlzz
E zx = Y zx
1 .4.- ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD DE CORRIMIENTOS
El estado de deformación en un punto de un cuerpo viene definido por las deformaciones normales
Yxx(x,y,z), Yw (x,y,z), Yzz(x,y,z) y por las distorsiones angulares Yxy(x,y,z) , yyz(x,y,z), Yzx(x,y,z) que se
deducen a partir de las derivadas con respecto a x, y, z de las componentes ux(x,y,z) , uy(x,y,z) , uz(x,y,z)
del campo de corrimientos
u(x, y, z) , mediante las fórmulas indicadas en el apartado 1.3
En el supuesto de que la función vectorial
u(x, y, z) sea continua, derivable y con derivadas sucesivas
continuas, es evidente que las derivadas primeras con respecto a x, y, z de las componentes ux(x,y ,z),
1 . 13
derivadas diferentes en
smo que
cumplir ciertas relaciones con objeto de satisfacer el teorema de Schwartz.
Como las seis componentes del tensor de deformación y
,
así como las tres componentes del vector giro
ínfinitesimal ro= (V A u) 1 2 , se expresan a partir de las indicadas derivadas primeras, también estas
componentes deberán cumplir ciertas relaciones que son las que se denominan ecuaciones de
compatibilidad de corrimientos.
Se parte de las relaciones :
y XX= UX,X
y YY= uy,y
y zz = uz,z
y xy= ux,y +uy,x
2. ú)x=-uy,z +uz,y
y yz= uy,z +uz,y
2·Wy=-uz,x +ux,z
y zx= uz,x +ux,z
2·Wz=-ux,y +uy,x
en donde las variables que aparecen en los subíndices detrás de la coma representan derivación parcial
con respecto a dichas variables.
Despej ando l as derivadas primeras con respecto a x, y, z de las funciones U x, uy, U z se obtiene:
UX,X=y XX
uy,x=Yxyl2+wz
uz,x=y zx / 2-ú))'
ux,y=y xy / 2- w z
uy,y=y YY
uz,y=Y yz I 2 +ú)x
ux,z=y zx / 2+ú))'
uy,z=Yyz / 2-ú)x
uz,z=y zz
Estableciendo la igualdad de las derivadas segundas cruzadas de las funciones Ux, Uy, Uz se deducirán las
nueve relaciones siguientes:
y XX,\'=y X \',X / 2-ú)Z,X
Yxy,z / 2-ú)z,z=Yzx,y / 2+ú)y,y
Yzx,x / 2+ú)y,x=Yxx,z
Yxy,y / 2 +ú)z,y=Yyy,x
ux,xy= ux,yx
ux,yz= ux,zy
ux,zx= ux,xz
uy,xy= uy,yx
Yyy,z=Yyz,y / 2-ú)x,y
Y yz,x / 2-ú)x,x=Yxy,z / 2+ú)z,z
Yz,r,y I 2-ú)y,y=y yz,x I 2+ro x,x
Y_rz,z / 2 +ú)x,z=Yzz,y
uy,yz= uy,zy
uy,z,t= uy,xz
Y zz,x=Y zx,z / 2-ú)y,z
Teniendo en cuenta que:
ro x,x +ro-"·-" + ro 2,2= V · (V /\ u)= O
las relaciones anteriores son equivalentes a:
ú)x,x= (Yz,r,y -Yxy,z ) / 2
ú)x,y=Yyz,y / 2-Yyy,z
ú)z.x =y xy,x / 2 -y XX.Y
ú)z,y=Y yy,x -y xy,y / 2
ú)y,x=Yxx,: -y zx,x / 2
ú)y,y= (Yxy,z -y yz,x ) / 2
1.14
ú)x,z=y zz,y -y yz,z f 2
ú)y,z=Yzx,z / 2-y zz,x
ú)z,z= (Yyz,x -y v:,y ) f 2
(O x,xy =(O x,yx
(O x,yz =(O x,zy
(O x,zx =(O x,xz
(O )',X)' =(O )',)'X
(O y,yz =(O y,zy
(O y,zx = (O y,xz
(O z,xy =(O z,yx
(O z,yz =(O z.zy
(O z,zx =(O z.xz
(Y
ffiz, resulta:
-y xy.zy ) / 2 =Y yz.yx / 2 -y yy.zx
Y yz,yz / 2 -y yy,zz =Y zz,yy -y yz,zy / 2
zx,yy
Y zz,yx -y yz,zx / 2 = (Y zx.yz -y xy,zz ) / 2
Y xx,zy -y zx,xy / 2 = (Y xy,zx -y yz,xx ) / 2
-y yz,xz ) / 2 =Y zx,zy / 2 -y zz,xy
y zx.zx / 2 -y zz.xx =y xx,zz -y zx,xz / 2
Y xy,xy / 2 -y xx,yy =Y yy,xx -y xy,yx / 2
Y yy,xz -y xy,yz / 2 = (Y yz,xy -y zx,yy ) / 2
(Y
(Y
xy,zz
yz,xx
-y zx,yx ) / 2 =Y xy,xz / 2 -y xx,yz
Las relaciones segunda, sexta y séptima pueden escribirse en la forma:
Y yy,zz +Y zz.yy =Y yz,yz
y zz,xx +y xx,zz =y zx,zx
Y xx,yy +Y yy,xx =Y xy,xy
que constituyen las tres primeras ecuaciones de compatibilidad de corrimientos .
Las relaciones primera, quinta y novena por su parte son equivalentes a:
Y yy,zx = (Y yz,yx +Y xy,zy -y zx,yy ) f 2
Y zz.xy = (Y zx,zy +Y yz,xz -y xy,zz ) / 2
Y xx,yz = (Y xy,xz +Y zx,yx -y yz,xx ) / 2
que constituyen las tres ecuaciones de compatibilidad de corrimientos restantes, ya que las relaciones
tercera, cuarta y octava son idénticas a estas tres últimas ecuaciones de compatibilidad.
1.5.- RELACIONES ESFUERZOS - DEFORMACIONES
Según se ha visto en los apartados anteriores, las partículas de un cuerpo, sometido a solicitaciones
mecánicas o térmicas, experimentan corrimientos
u(x, y, z) que originan deformaciones totales
definidas por el campo tensorial simétrico y (x, y, z ) , parte de las cuales son producidas por efectos
.
térmicos, siendo las restantes las denominadas deformaciones mecánicas r(x, y, z) Al mismo tiempo en
los diferentes puntos del cuerpo aparecerán esfuerzos definidos por el campo tensorial simétrico
cr(x, y, z) .
1. 15
deformaciones mecánicas E
,
es
dependiendo también de la historia
de los estados en que
el cuerpo se ha encontrado anteriormente .
Las relaciones entre esfuerzos y deformaciones mecánicas son características del material y en el caso
de que el material sea anisótropo dependerán también de la orientación del elemento, cosa que no
sucederá en los materiales isótropos.
Un cuerpo será homogéneo cuando las relaciones entre esfuerzos y deformaciones mecánicas sean las
mismas en todas las partículas del cuerpo.
Se dice que el material es perfectamente elástico si el tensor de esfuerzos es una función única del tensor
de deformaciones mecánicas, cualquiera que sea la forma de dicha función. Adicionalmente, el material
será linealmente elástico si la relación entre esfuerzos y deformaciones mecánicas es una relación lineal.
La mayoría de los materiales estructurales verifican, dentro de ciertos límites, la ley de Hooke, es decir,
en ellos la relación entre esfuerzos y deformaciones mecánicas es única y lineal. En estos casos, y
suponiendo además la isotropía del material, se utilizan dos magnitudes, E (módulo de elasticidad) y v
(módulo de Poisson), características del material, p ara definir l as relaciones entre esfuerzos y
deformaciones mecánicas. Las expresiones correspondientes son en este caso:
Exx= �-(crxx-v·cryy-v·crzz)
·(cr--n -v·crzz -V ·crry)
En-- =_!_
E
·(crzz -V ·crxx -V ·CT n)
Ezz =_!_
..
E
-
crxy
Exy=c
() )'
Eyz=GZ
cr
E =-­
zx
zx
G
en donde G (módulo de elasticidad en cortadura) viene definido por:
G=
·
E
2 ( 1 +V)
Las relaciones anteriores, que permiten calcular las deformaciones mecánicas una vez conocidos los
esfuerzos, pueden agruparse en una expresión matricial única:
1 . 16
-
l
V
V
E
E
l
E
V
E
E
V
E XX
E
E
V
E
E
EX)' = o
E
o
E
yy
zz
)'Z
zx
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
V
1
E
E
o
o
1
G
o
o
o
1
G
o
o
o
o
-
-
(jxx
(j )')'
(j zz
(j xy
(j yz
o
(j zx
1
-
G
Despej ando los esfuerzos de la relación anterior, sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas, resulta:
2 · (1 - v )
1 - 2 ·V
2 ·V
(j
1 - 2 ·V
(j )')'
2 ·V
(j
=G · 1 - 2 · V
XX
zz
(j xy
(j )'Z
(j zx
o
2 ·V
1 - 2 ·V
2 · (1 - v )
1 - 2 ·V
2 ·V
1 - 2 ·V
2 ·V
1 - 2 ·V
2 ·V
1 - 2 ·V
2 · (1 - v )
1 - 2 ·V
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
1
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
E
E
E
E
E
E
o
o
XX
yy
zz
X}'
)'Z
zx
relación matricial que permite calcular los esfuerzos que actúan sobre las caras de un elemento una vez
conocidas las componentes de deformación mecánicas.
Estas relaciones se escriben normalmente en la forma:
{cr } = [D] · { E }
denominándose a la matriz
[ D] matriz de rigidez del material .
1 . 6 . - ENUNCIADO DEL PROBLEMA ELÁSTICO
El problema fundamental de la Elasticidad consiste en:
Definido un cuerpo homogéneo, isótropo y linealmente elástico en equilibrio, sobre el que actúan unas
determinadas fuerzas volumétricas, cuyo valor por unidad de volumen es
superficiales sobre su contorno, cuyo valor por unidad de superficie es <I>
,
W
,
otras fuerzas
y al que se aplican
variaciones de temperatura L1T, determinar en todos los puntos del mismo el tensor de esfuerzos
vector de corrimientos
u.
1 . 17
cr y el
cuerpo. Puede ocurrir que en lugar de conocer las fuerzas superficiales que actúan sobre el contorno se
definan los corrimientos, o bien que sobre una parte S<t> de dicho contorno se definan las fuerzas
superficiales y en el resto Su se impongan ciertos corrimientos .
W y las de superficie el> serán unas determinadas
funciones conocidas de la posición W (x, y, z), <I> (x, y, z) , y evidentemente las incógnitas cr , u serán
En el caso más general las fuerzas volumétricas
asimismo funciones de la posición cr
(x, y, z), u(x, y, z) .
Como puede observarse, en el problema existen nueve funciones escalares incógnitas, seis componentes
del tensor de esfuerzos y tres componentes del vector corrimiento, que deben ser determinados una vez
conocidas las propiedades del material, módulo de elasticidad E y módulo de Poisson v, la variación de
W (x, y, z) definida en el cuerpo, la función vectorial
<I> (x, y, z) definida en la parte Set> del contorno y la función vectorial u(x, y, z) definida en el resto Su
temperatura LlT(x,y,z), l a función vectorial
del contorno.
1 .7 . ECUACIONES DE EQUILIBRIO
-
Se considera un elemento de volumen, en forma de paralelepípedo cuyas aristas tengan longitudes dx,
dy, dz, sometido a las fuerzas que el resto del cuerpo ejerce sobre él, tal como se muestra en la figura
1 .6, así como a las acciones directamente aplicadas consistentes en fuerzas volumétricas, cuyo valor por
unidad de volumen es
W(x, y, z) .
Al plantear las ecuaciones de equilibrio de fuerzas según los ejes Ox, Oy, Oz se obtiene:
dCJ · dz · dx dy + W · dx · dy · dz O
dCJ XX dx · dy · dz + dCJ )'X · dy · dz · dx + -=
x
dz
dx
dy
-- ·
--
CJ(J
CJ(J
\'\
CJ
\'Z
ZX
CJ
Z\
·
(J ·
dz · dx dy + �" · dx · dy · dz = O
· dx · dy · dz + -·- · dy dz · dx + -dz
dy
dx
X\
--
CJ(J
__:s_ · dx
dx
· dy · dz + (J
·
-- ·
dy
·
·
·
CJ(J _
dy · dz · dx + _zz
· dz · dx dy + W2 dx · dy · dz = O
dz
·
1. 18
•
que una vez simplificadas se reducen a:
ªª
acr +
acr + -- + --x=
ax
acr - -- -+ Wy = O
-+
+
ax
acr )'_z acr zz
acr x_z + __
__
+ Wz = O
+
ax
XX
XV
)'X
ZX
dy
dz
dO' )')'
dy
dO' Z)'
w
o
dz
___
az
dy
o bien:
'V· cr + W = O
en donde V es el operador matricial diferenc ial:
(
a
V = i_
ax dy
cr es el tensor de esfuerzos:
ª[ n �
i
cr xy a
� = O'yx cr -"-" cr yz
cr zy cr
cr
zz
zx
y W es la matriz formada por las componentes de las fuerzas volumétricas aplicadas al cuerpo:
Con frecuencia las componentes del tensor simétrico de esfuerzos se definen mediante un vector
columna y las ecuaciones de equilibrio se expresan mediante la relación matricial :
1 . 19
a
dX
o
o
-
a o
ay
a o a a
dx dZ
dy
a
a
o
o
ay
az
o
XX
a
dZ
o
yy
(J lZ
o
(J
a
ax
xy
+
(J yz
(J
zx
IS,) m
1 .8.- RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA ELÁSTICO
Para la resolución del problema elástico, enunciado en el apartado 1.6, se disponen de las ecuaciones
siguientes:
-
Ecuaciones cinemáticas (seis ecuaciones)
a
ax
E XX
E xy
a
o
E yy
E zz
o
dy
o
=
E )'Z
E zx
o
o
o
a
az ·
a o
dy ax
a a
o
az ay
a o a
az
ax
a
[:}
11
11
11
o
o
o
en donde:
11 = 11 XX = 11 )')' = 11 zz =a . 11T
Ecuaciones constitutivas (seis ecuaciones)
A. + 2 ·G
()XX
(J )')'
(J
(J
zz
xy
(J )'Z
(J
en donde:
zx
=
A,
A,
o
o
o
A,
o
o
o
o
o
o
o
o
A,
A. + 2 ·G
A,
A,
A. + 2 · G
o
o
o
G
o
o
o
o
G
o
o
o
o
o
A,=
v_·_E
(l +v) · (l - 2 · v )
__
es el denominado coeficiente de Lamé.
1.20
__
o
G
E XX
E yy
E zz
E X)
'
E yz·
E zx
a o
dx
o a
o
a
a
dz
o
a
dx
-
o
dy
o a a
dx dz
dy
a
o a
o o
dy
dz
()XX
()))
()u
+
()X)'
() ) Z
' '
'
() lX
¡�+m
En total se cuenta con quince ecuaciones que deben satisfacer las quince incógnitas existentes, tres del
campo de corrimientos ( ux , uy , Uz ), seis del tensor de deformaciones mecánicas ( Em Eyy , Ezz . Exy , Eyz , Ezx ,)
Adicionalmente la solución debe satisfacer las condiciones de contorno que consisten en que en la parte
Su del contorno el corrimiento debe tomar el valor
u impuesto y que en la parte S<l> del contorno debe
ser:
en donde <I> representa la fuerza superficial aplicada en dicha zona.
Utilizando las ecuaciones cinemáticas, es posible eliminar las componentes del tensor de deformaciones
mecánicas en las ecuaciones constitutivas y en las de equilibrio interno, obteniéndose las nueve
ecuaciones siguientes:
A.
A.
A. + 2 · G
A.
A.
A. + 2 ·G
() ))
A.
A. + 2 · G
A.
()u
= o
o
o
(j
o
o
o
() ) Z
o
o
o
()
()XX
' '
X)'
'
lX
o
o
o
G
o
o
a o o a o
dy
dx
o a o a a
dy
dx dz
o o a o a
dy
dz
o
o
o
o
G
o
a
dz
o
a
dx
en las que tan sólo aparecen nueve incógnitas.
o
o
o
o
o
G
() XX
()
(ju
()X)' +
yy
() yz
() zx
ux,x
uy,y
uz,z
ux,y + uy,x
uy,z + uz,y
uz,x + ux,z
E ·a
1 - 2 ·V
!iT
!iT
!iT
fü) [�)
=
El problema puede simplificarse aun más según que en este último sistema de nueve ecuaciones con
nueve incógnitas, se eliminen las componentes del tensor de esfuerzos, dando lugar a un sistema de tres
1 .21
o
o
o
compatibilidad en esfuerzos.
1 .9.-
ECUACIONES
EQUILIBRIO
DE
EN
CORRIMIENTOS
Y
ECUACIONES
DE
COMPATIBILIDAD EN ESFUERZOS
Partiendo del sistema de nueve ecuaciones con nueve incógnitas, indicado en el apartado anterior, al
sustituir en las ecuaciones de equilibrio las componentes del tensor de esfuerzos deducidas de las seis
ecuaciones constitutivas, resulta:
a
ax
o
o
o
o
a
ay
o
o
a
az
a
ax
-
a
ay
a
ax
o
o
a
az
a
ay
o
o
E ·a
· o
1 -2·V
a
dy
o
o
o
--
a
az
A,
A,
A,+2 ·G
A,
A,
A,+2 ·G
A,
A,+2 ·G
A,
a
az
o
o
o
a
ax
o
o
o
a
ay
a
ax
o
a
az
a
ay
o
a
az
o
a
dx
!J.T
!J.T
!J.T
o
o
o
+
o
o
o
o
o
G
o
o
o
G
o
o
o
o
o
{S } fü
o
o
o
o
o
o
G
=
Desarrollando estos productos matriciales queda finalmente:
en donde:
es la deformación volumétrica.
La expresión anterior, que puede escribirse también en la forma vectorial:
G· V2u +(A,+G) · Ve+ W _ J!..5!:_ . V(!iT) = O
1-2 ·v
constituye el sistema de ecuaciones de equilibrio expresado en función de los corrimientos.
1.22
ux,x
uy,y
uz,z
ux,y +uy,x
uy,z +uz,y
uz,x +ux,z
ya que en la
Las condiciones de contorno no
del contorno las
incógnitas Ux, Uy, Uz deberán tomar los valores que corresponden de acuerdo con el corrimiento
impuesto, mientras que en la parte S<t> del contorno, la condición n·cr =
[f
-{<!>X}
o
m
o
o
m
n
o
o
n
o
n
m
E. a ·1:1T
- <!>y + 1-2·V
et> z
.
A
A+2·G
A
A A.+2·G
A
A A+2·G
A
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
G
o
o
o
o
o
o
o
o
se traduce en:
G
o
o
o
o
o
G
ux,x
uy,y
uz.z
ux,y +uy,x
uy,z +uz,y
uz,x +ux,z
m
n
Ü
o
o
o lo que es equivalente:
A. · (V u)·n
·
E
·ª ·1:1T . n
+ e ·[(Vu). n + v (n. u)] = et> + 1-2
·V
Puede comprobarse (teorema de Duhamel) que los efectos térmicos equivalen a suponer que sobre el
volumen del cuerpo actúan unas fuerzas volumétricas
- E·a · \7(1:1T)
l-2·V
--
y que sobre el contorno del cuerpo actúan unas fuerzas superficiales
E·a·l:1T
---
1-2·v
_
·n
Una vez resuelto el problema elástico con estas fuerzas volumétricas y superficiales adicionales, al
campo de esfuerzos obtenido en el supuesto de que las deformaciones mecánicas coincidan con con las
deformaciones totales, habrá que añadir en todos los puntos del cuerpo un campo de esfuerzos normales
igual a:
E ·a ·1:1T
1-2·V
Por su parte si se consideran como incógnitas básicas las componentes del tensor de esfuerzos, estas
incógnitas deberán verificar en primer lugar las ecuaciones de equilibrio
a
a
a
o
o
o
dy
O-
dx
zx
o
o
dz
o
dy
dx
a
a
-
dy
a
o
a
a
dz
o
a
dx
1.23
(j XX
(j
yy
(j zz
(j -'0'
(j
yz
(j zx
+
{:+m
del tensor de deformaciones son funciones de
Ahora
las componentes del tensor de esfuerzos y dichas deformaciones no pueden ser arbitrarias sino que
deben cumplir detenninadas relaciones de compatibilidad (ver apartado 1 .4), se deduce que las
componentes del tensor de esfuerzos deberán cumplir además de las ecuaciones de equilibrio, las
. condiciones de compatibilidad de corrimientos.
Aunque las ecuaciones de compatibilidad pueden expresarse de forma inmediata en función de las
componentes del tensor de esfuerzos, al utilizar ciertas relaciones deducidas de las ecuaciones
constitutivas y de equilibrio, será posible simplificar al máximo dichas ecuaciones de compatibilidad. A
continuación se deducen dichas relaciones previas.
Las tres primeras ecuaciones constitutivas son:
Sumando estas relaciones, representando por 8 la suma de los esfuerzos normales y recordando que el
módulo de elasticidad en cortadura G, el coeficiente de Lamé A, y la deformación volumétrica e, vienen
dados por:
E
2 ·(1 +v)
V·E
A=
(l+v) ·(l-2·v)
e=ux,x +uy,y +uz.z
G=
resultará finalmente:
8
3 ·E·a
3 ·E·a
E
= (2·G+3·'A) ·e--·f}.T= --·e--- ·f}.T
1-2 ·v
1-2 ·v
1-2·v
La segunda relación previa, necesaria para simplificar al máximo las ecuaciones de compatibilidad en
esfuerzos, se deduce calculando la divergencia de la ecuación vectorial de equilibrio en corrimientos,
deducida anteriormente en este apartado.
E ·a
- -V · V(f}.T))=O
G · V · (V 2 u)+('A+G)-V·(Ve)+ V·Wl-2 ·v (
equivalente a:
A
E·a 2
- -G· V 2 e+('A+G)· V 2 e+ V·WV (f}.T)=O
1-2 ·V
Sustituyendo los valores de G y
, y teniendo en cuenta el valor de la deformación volumétrica e
deducido en la primera relación previa, resulta finalmente:
1.24
= 1+v \J.
1-v
.
·
a
1-v
Para transformar la ecuación de compatibilidad
se parte de las ecuaciones constitutivas:
Y yy,zz +y zz,yy =Y yz,yz
y ..n= a · �T+ _!_ · [(l+V) ·cr F. -V ·0]
E
1
y zz=a · �T+ [( 1+V) ·cr zz -V ·0]
E
2 ·(1+v)
Yr. z= E ·(Jr. z
·
resultando:
E ·a · [(�T).yy +(�T).zz]+(l+v) · (cr yy,zz +a zz.yy ) -v · (0.zz +0.n. )=2 ·(l+v)·<J yz.yz
Obsérvese que ésta ya es una ecuación válida, ya que las únicas incógnitas que aparecen son las
componentes del tensor de esfuerzos. No obstante es posible simplificar la expresión utilizando las
ecuaciones de equilibrio. Las ecuaciones de equilibrio segunda y tercera pueden escribirse en la forma:
(J yz,z - �\' - (J xy,x - (J yy,y
(J yz.y - w� - (J zx.x - (J zz.z
=
=
de donde derivando la primera con respecto a y' la segunda con respecto a z y sumando resulta:
2 (J yz,yz -( � + Wz.z ) - (J yy,yy - (J zz.zz - (J xy,xy - (J zx.zx
+ YV_t,X + (J
- ( w)',)' + wz,z ) - (J )')',)')' - (J
=
·
=
r.y
=
XX,XX
ZZ,ZZ
en donde se ha tenido en cuenta que, de acuerdo con la primera ecuación de equilibrio, se verifica:
- (J xy,xy - (J zx.zx
=
YV_'(,X + (J XX,XX
La ecuación de compatibilidad, al sustituir el valor de CTyz,yz , queda en la forma:
(1 + V ) . ( (J
+ (J + (J
-E · a· [CLiT)·-"-" + (LiT).zz]
yy.zz
zz.yy
yy,yy
+ (J zz.zz - (J
xx,xx
) - v . (e .zz + 0 ,yy ) ( Wx,x - Wy.y - Wz,z ) =
o bien:
2
sustituyendo el valor de \7 0 obtenido anteriormente y operando resulta finalmente:
1
V
E· a 2
E·a
2
V cr .u + - · 8 ,XX =-- V · W - 2 · Wx,x - - V (LiT)--·(LiT),XX
1 +V
1-
V
1
-V
1 +V
Las condiciones de compatibilidad segunda y tercera se deducen mediante permutación cíclica de los
subíndices x, y, z resultando:
1.25
rr
· ·
1
+
V
·8.n =--V·
--
· ·
l +v
1 -v
-2·
V
-2·
u + 1 +v ·8 .u = 1 -v V·
--
Análogamente se transformarían las condiciones de compatibilidad cuarta, quinta y sexta resultando:
2
V (j
(
1
.
) E·a
·
=- Wz x + VV:xz (�T ),zx
zx + --·8
1 + V zx
'
'
1 +V
--
'
a T
va . + 1 +1 V · 8 X.)' =-( VV:r' >· + w).' X ) - E·
(� )
1 +V
va + 1 · 8 )' =-( w ·z + wz · ) - E · a (�T) .
2
X)'
2
--
'
rz
1 +V
'>
>'
'Z
--
.
--
,X)
--
,)Z
1 +V
.
1 . 1 0.- PROPOSICIONES FUNDAMENTALES
Se supone un volumen V, limitado por una superficie S, y se considera un campo vectorial W (x, y, z)
definido en V, un segundo campo vectorial <l>(x. y, z) definido en S y un campo tensorial cr (x, y, z)
definido en V +S. Se dice que W , <l>, cr constituyen un sistema estáticamente consistente si el campo
tensorial cr es simétrico y verifica las relaciones:
a
ax
a
-
o
o
a
ay
o
o
a a o
ax az
a o a a
az
ay ax
[�
o
m
o
dy
(j
a
az
o
o
(j )')'
(j zz
o
o
o
n
m
o
o
n
m
n
l
(j X)'
l r::
o .
r
XX
(j X.\'
(j )'Z
(j zx
=
(j )'Z
(j zx
+
füH�l
l:: l
en V
en S
en donde (l,m,n) son los cosenos directores de la normal na la superficie S que delimita el volumen V
Aunque la notación definida anteriormente induce a pensar que
W se asocia con las fuerzas
volumétricas por unidad de volumen, <I> con las fuerzas superficiales por unidad de superficie y cr con
el campo de esfuerzos que existen realmente en una estructura sometida a una determinada solicitación,
es importante tener presente que pueden ser campos vectoriales y tensorial arbitrarios, y que incluso, de
1. 2 6
y
ni cr con campo tensorial de esfuerzos.
con campos vectoriales de
Se considera ahora un campo vectorial u(x, y , z) y un campo tensorial y (x, y , z ) definidos ambos en
V+S . Se dice que u y y constituyen un sistema cinemáticamente consistente en V +S si el campo
tensorial y es simétrico y verifica las relaciones:
a
ax
y XX
y))' '
y zz
y X)'
y )'Z
y zx
o
o
o
a
dy
o
o
o
a
az
a o
dy dx
a a
o
dz dy
a o a
ax
az
a
-
-\::)
en V + S
Es aplicable asimismo una observación análoga a la establecida en el caso de sistemas estáticamente
consistentes en el sentido en que no deben asociarse necesariamente u y y con los campos de
corrimientos y deformaciones de una estructura sometida a una cierta solicitación.
Proposición directa
Si sobre un mismo dominio V+S se define un sistema arbitrario W, <I>, a pero estáticamente consistente
y otro sistema también arbitrario u, y pero cinemáticamente consistente, se verifica:
'
fv (W · u) · dV + f ( <I> u) dS = fv {cr } · {y } · dV
s
·
·
en donde {cr} y {y} son los vectores columna definidos a partir de las componentes distintas de los
tensores simétricos a y y
(}XX
(} )')'
{cr } = (}
zz
{y } =
(} .\)"
(} yz
cr
zx
1 . 27
y XX
y)')'
y zz
Y xy
Y yz
y zx
f u)-dS se verificará:
fs · u) · dS fs <P . · u . · dS fs (n. · ) u . · dS fs (n. · .) · u . · dS
fs (uj ·cr ji ) - ni · dS fs (u · cr) · n · dS
=
1
5
En
l=
=
=
·
=
J
J
=
cr ..
lj
l
·
=
J
cr .
)l
l
J
=
En este conjunto de igualdades se han tenido en cuenta las relaciones que deben satisfacer las
W, <!>, cr un sistema estáticamente consistente y
componentes <!>j como consecuencia de ser
posteriormente que cr u = cr ji ya que cr es un tensor simétrico.
El último miembro de las relaciones anteriores representa el flujo a través de S del campo vectorial
u·cr = u j
·a ji ·"i¡ , por lo que aplicando el teorema de Ostrogadski-Gauss, así como relaciones
matemáticas de derivación se verificará: (debe observarse que las relaciones siguientes no requieren la
condición de que
W, <I>,cr sea un sistema estáticamente consistente ni que u,y sea un sistema
cinemáticamente consistente)
I=
=
u. ·cr .. )· dV
f (u·=;) · n · dS f div(u· =;)· dV f div(u . ·cr .. · e.) · dV f �(
dX¡
d(J
dUj
. . ·dV+ f u.·
·dV
f -·a
dX
dX
=
S
V
·
1
11
=
V
V
J
V
J
1
11
=
V
J
Jl
=
l
·
cr es simétrico, que u,cr es un sistema cinemáticamente
consistente, y que acr / dx¡ -Wj ya que W , <P,cr es un sistema estáticamente consistente se
Finalmente, teniendo en cuenta que el tensor
=
u
verificará:
J=
+
[
]
x + (J r . -) + (J . _z + (J .. (-x + -· ) + (J z . (-· + -z) + (J . (-Z +-x) . dV +
v (J . _
). dy
x) dy
> dZ dy
dx
dx
dz
dx dZ
r
1
J
xx
du
·
du '
du
zz
du\'
du
du,.
·
du
zx
fv u/�" · dV = fv {cr r {y}· dV - fv uj Wr dV = fv {cr r {y}·dV - fvW · U ·dV
·
1
En definitiva resulta:
f/P · u dS -fv W · u · dV + fv {a } · {y}· dV
·
'
=
o lo que es lo mismo:
fv W · u · dV + J <P u· dS fv {cr} · {y}· dV
5
=
·
con lo que queda demostrada la proposición directa.
1. 2 8
'
du
du
Se pueden enunciar dos proposiciones inversas .
La proposición inversa primera establece que si sobre un dominio V+S se define un sistema W , <I>, cr ,
siendo cr simétrico, que verifica la relación :
I
fv W · u · dV + Js <I> · u · dS = fv {cr } · {y } · dV
para cualquier sistema u, y cinemáticamente consistente, se deduce que W , <I>, cr es un sistema
estáticamente consistente.
Por su parte, la proposición inversa segunda establece que si sobre un dominio V +S se define un
sistema u, y , siendo y simétrico, que verifica la relación :
I
fv W · u · dV + fs <I> · u · dS = fv {cr } · {y } · dV
para cualquier sistema W , <I> , cr
estáticamente consistente, se deduce que u , y es un sistema
cinemáticamente consistente.
Se demostrará en primer lugar la proposición inversa primera.
Tal y como se ha visto en el caso de la proposición directa, teniendo en cuenta la simetría del tensor cr ,
se verifica, cualesquiera que sean los campos W , <I> , cr, u, y :
fs (n j · cr ji ) · u; · dV = fs (nj · cr ij ) · u; · dV = fs (u; · cr ij ) · nj · dS =
=
=
au . .
acr ..I
= f (u . cr ) n dS = r div (u cr ) dV = rv
J cr .. dV + J, u .
J dV =
vJ
V J ax.
J ax. JI
acr .
au .
.
= J cr . · J
·
dV
· dV
+
f
u
V J ax.
V J I ax.
S
.
-
1
_
-
.
1
, _
u
.
. __ .
1
1
Si se admite ahora que u , y constituyen un sistema cinemáticamente consistente, teniendo presente que
cr es un campo tensorial simétrico, y utilizando la igualdad anterior, se verificará:
1 . 29
fv }
'
XX y + y + y + y X\' + y + y ] dV
d
f [() XX · y XX + O" \'\' · y \'\' + CT · y + O" X\' . ( ddUyX + dUX + O" .\'Z . /JdUZY + dy + CT ( ddXU Z + ddU ) · dV
Z
acr . .
au .
= fv a . · aX¡ · dV = f ( . · a . ) · u . · dV - fv u . · _
lJ · dV
aX¡
} dV = fv
.
.
= V
JI
..
J
_
n
J
cr z.x .
yz
zx
.
=
zx .
.
1
JI
yz .
cr xy .
zz
zz .
yy
ZZ
ZZ
· ·
s
yy .
XX
•
X
]
J
En la proposición inversa primera se supone que se verifica:
/
fv W · u · dV + f/P · u · dS = fv {a } · {y } · dV
[w. + daX¡ ]
y al sustituir el segundo miembro por el valor hallado anteriormente resultará:
a
. a . ] · u. · dS =
y como esta igualdad debe verificarse cualquiera que sea el campo vectorial u que se considere, deberá
fV
J
u
·
u . dV f [<I> . - n ·
1
+
·
S
1
J
1
11
o
cumplirse:
ªª ij
W . +-- = O
J
que demuestra que
en V
(}x.1
en S
W, <I>, a constituyen un sistema estáticamente consistente.
La proposición inversa segunda se demuestra de forma semejante. Se parte de la igualdad demostrada
anteriormente
dU
dO' .
1
. ·
u . _lJ ·
f ( . · a .. ) · u . · dS = Jfv aX¡ · a dV + fV · aX¡ dV
s
Si se admite ahora que
n
J
JI
1
·
JI
1
W, <I> , a constituyen un sistema estáticamente consistente, se verificará:
n · O' = <I>
da . = -W .
ax
i
ji
j
11
__
1
.
1
y en consecuencia la relación anterior quedará en la forma:
a
du j
f u . · d u · dV = f <I> · u · dS + í W · .
.
=
.
.
u
·
·
dS
dV
·
a
·a
·
f
JV, 1 dx.1
JV, - u · dV
J , dx.
(1 )
s- í V
1
JI
s
n
JI
--
1
En la proposición inversa segunda se supone que se verifica:
fv W · u· dV + J <I> · u · dS = fv {a } · {y } · dV
'
5
[
]
y al sustituir el primer miembro por el valor hallado anteriormente resultará:
'
fv {a } · {y } -
du .
·a · dV = O
dx�
1. 30
ji
y como esta
que sea el campo tensorial
deberán anularse los coeficientes de cada una de las componentes de cr , y estas relaciones demuestran
que
u, y constituyen un sistema cinemáticamente consistente.
1 . 1 1 .- PRINCIPIO DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES
El principio de los desplazamientos virtuales establece que la condición necesaria y suficiente para que
una estructura sometida a una determinada solicitación mecánica y térmica se encuentre en equilibrio, es
bu se verifique:
fv w · bu · dV + fs <P · 8u · dS fv {a} · { by}· dV
que para todo desplazamiento virtual
=
'
en donde W son las fuerzas volumétricas por unidad de volumen aplicadas a la estructura, <P son las
fuerzas superficiales por unidad de superficie que actúan sobre el contorno de la estructura,
{cr} es el
{ 8y } es el campo de deformaciones virtuales cinemáticamente
consistente con el campo de desplazamientos virtuales bu .
campo de esfuerzos en la estructura y
La demostración de este principio se basa en las proposiciones directa e inversas formuladas en el
apartado anterior.
En efecto, si la estructura se encuentra en equilibrio, los campos vectoriales W , <P y el campo tensorial
a definirán un sistema estáticamente consistente. Como por otra parte 8u,by son un sistema
cinemáticamente consistente, de acuerdo con la proposición directa, se cumplirá:
'
fv W · bu · dV + f <P · 8u · dS fv {a} · { by}· dV
=
5
Recíprocamente, si se verifica
'
fv W · 8u · dV + fs <P · 8u · dS fv {a} ·{ by}· dV
=
cualquiera que sea el campo de desplazamientos virtuales
deformaciones
bu , del que se deduce el campo de
{ by} cinemáticamente consistente , de acuerdo con la proposición inversa primera, se
a constituyen un sistema estáticamente consistente, es decir, se satisfacen las
deduce que W , <P,
ecuaciones de equilibrio, o lo que es lo mismo, la estructura se encuentra en equilibrio .
1 .3 1
En
de los
del
el
virtuales es totalmente
1 . 1 2 .- PRINCIPIO DE LAS FUERZAS VIRTUALES
El principio de las fuerzas virtuales establece que la condición necesaria y suficiente de compatibilidad
de corrimientos en una estructura sometida a una solicitación mecánica y térmica es que para cualquier
conjunto de fuerzas virtuales volumétricas oW y superficiales 8<I> se verifique:
'
fv oW · u · dV + f 8<I> u dS = fv {8cr } {y } dV
s
·
·
·
·
en donde u es el campo de corrimientos de la estructura, {y } es el campo de deformaciones totales
{ocr } es el campo de esfuerzos virtuales
(mecánicas más térmicas) reales de la estructura y
estáticamente consistentes con las fuerzas virtuales oW , 8<I> .
También en este caso la demostración del principio se basa en las proposiciones directa e inversas
formuladas anteriormente.
En efecto, si el campo de deformaciones
{y } es cinemáticamente consistente con el campo de
corrimientos u , como se supone que oW , 8<I>,8cr constituyen un sistema estáticamente consistente, se
cumplirá, de acuerdo con la proposición directa:
'
fv oW u · dV + f 8<I> u dS = fv {8cr } · {y } · dV
·
s
·
·
Recíprocamente, si se verifica:
'
fv o W u · dV + f o<I> · u · dS fv {ocr } · {y } · dV
·
cualesquiera que sean los campos
=
s
oW , o<I>, 8 cr
estáticamente consistentes, de acuerdo con la
proposición inversa segunda, se verificará que u , y son cinemáticamente consistentes y en consecuencia
las deformaciones y serán compatibles con el campo de corrimientos u .
Una aplicación inmediata del principio de las fuerzas virtuales es el método de la carga unitaria que
permite calcular el corrimiento en una determinada dirección y sentido de un punto de una estructura
sometida a una cierta solicitación mecánica y térmica, a partir del campo de deformaciones totales
(mecánicas más térmicas) originado por dicha solicitación . Este método consiste en considerar un
1.32
sistema de cargas virtuales consistente en una carga única
en
dirección y sentido en que se
deberá equilibrarse con un conjunto de reacciones
pretende calcular el corrimiento. Esta carga
virtuales en los apoyos de la estructura y será necesario determinar además un campo de esfuerzos
virtuales
Scr
que únicamente deben satisfacer las condiciones de equilibrio. Si los apoyos de la
estructura se mantienen fijos, el primer miembro de la expresión :
I
fv sw . u dv + fs o<I> . u . ds = fv {ºª } . {y } dV
.
.
que define el trabaj o que las fuerzas virtuales realizan en correspondencia con los corrimientos reales se
reduce a (jp · u , en donde u es el corrimiento del punto en cuestión, en la dirección y sentido de 8P .
En estas condiciones, el principio de las fuerzas virtuales establece:
I
8P · u = fv {8cr } · {y } · dV
de donde se deduce:
u=
1
fv SP
I
· {Scr } · {y } · dV
Obsérvese que, de acuerdo con la proporcionalidad existente entre cargas y esfuerzos, {8cr } / oP define
el campo de esfuerzos virtuales en equilibrio con una carga oP = 1 , de aquí el nombre de método de la
carga unitaria.
En el caso en que los apoyos no se mantengan fijos y experimenten determinados asientos conocidos, en
el primer miembro de la relación anterior será necesario añadir el trabajo de las reacciones virtuales en
correspondencia con los corrimientos reales.
Finalmente, si la estructura está libre en el espacio, o el número y disposición de sus apoyos es tal que
la estructura puede moverse como un mecanismo con uno o varios grados de libertad, puede ocurrir que
no sea siempre posible hallar unas reacciones virtuales que equilibren la carga virtual oP . Dado que el
corrimiento que se pretende calcular es el correspondiente a la deformación de la estructura y no el
debido a su movimiento, será preciso añadir uno o varios apoyos adicionales que permitan fijar
isostáticamente la estructura a una referencia respecto a la cual se determina el corrimiento. Estos
apoyos adicionales, junto a los apoyos reales de la estructura, permitirán ya determinar en todos los
casos un conjunto de reacciones virtuales que equilibren la carga virtual oP .
1 .3 3
Se considera una estructura en equilibrio bajo la acción de un sistema de -¡-¡,,,,.... ..,.,," volumétricas WA y de
, que provocan un campo tensorial de esfuerzos
fuerzas superficiales
{cr A } y un campo de
deformaciones {y A } que coincide con el campo de deformaciones mecánicas {E A } , ya que se supone
que no existen deformaciones térmicas {11 A } Como consecuencia de las deformaciones mecánicas
•
{E A } los puntos de la estructura sufren corrimientos definidos por el campo vectorial uA Resulta
•
evidente que WA , <I> A , {cr A } constituyen un sistema estáticamente consistente y por su parte uA , {E A }
definen un sistema cinemáticamente consistente.
Se considera ahora la misma estructura en equilibrio bajo la acción de otro sistema de fuerzas
volumétricas
W8 y de fuerzas superficiales <I> 8 , siendo {cr 8 }, {E 8 } los correspondientes campos
tensoriales de esfuerzos y deformaciones mecánicas y u8 el campo vectorial de corrimientos. En este
caso se define un segundo sistema W8 , <I> 8 , {cr 8 } estáticamente consistente y otro segundo sistema
u8 , {E 8 } cinemáticamente consistente.
Teniendo en cuenta que las relaciones lineales entre esfuerzos y deformaciones mecánicas planteadas en
el apartado 1 .5 pueden escribirse en la forma:
{cr } = [D] · {E}
en donde [D] e s l a matriz simétrica de rigidez del material, y aplicando l a proposición directa en
correspondencia con el primer sistema estáticamente consistente y el segundo sistema cinemáticamente
consistente, resultará:
'
'
'
fv WA · u8 dV + fs <I> A · u8 · dS = fv {cr A } · {E 8 } · dV = fv {E A } · [D] · {E 8 } · dV
·
Aplicando nuevamente la proposición directa pero en correspondencia ahora con el segundo sistema
estáticamente consistente y el primer sistema cinemáticamente consistente, resultará:
'
'
'
fv wB · UA · dV + fs <I> B · UA · dS = fv {cr a } · {E A } · dV = fv {c a } · [D] · {E A } · dV
Se observa que las matrices que aparecen en los últimos miembros de ambas expresiones son iguales ya
que tanto en un caso como en otro representan una magnitud escalar y una de ellas es la transpuesta de
la otra, ya que la matriz [ D] es simétrica.
Igualando en consecuencia los primeros miembros resultará:
1 . 34
·
d V + fs
·
dS
í
Jv
. dV
+ fs
B
·
dS
Esta relación define el teorema de reciprocidad de los trabajos que expresa que cuando se considera una
misma estructura sometida a dos solicitaciones mecánicas distintas A y
el trabaj o realizado por las
cargas de la solicitación A en correspondencia con los corrimientos de la solicitación B es igual al
trabajo realizado por las cargas de la solicitación B en correspondencia con los corrimientos de la
solicitación A.
1 . 1 4.- OTRAS MAGNITUDES Y TEOREMAS FUNDAMENTALES
A partir de las proposiciones directa e inversas es posible definir diversas magnitudes fundamentales en
la Teoría de la Elasticidad, tal como energía de deformación, energía de deformación complementaria,
trabajo y trabajo complementario. Asimismo se deducen diversos teoremas como el de energía total
mínima y el de energía complementaria total mínima que frecuentemente se utilizan en la Teoría de la
Elasticidad.
Estas magnitudes y teoremas no son imprescindibles en el desarrollo del Método de los Elementos
Finitos tal y como se plantea en estos apuntes, y en consecuencia tan sólo se cita su existencia, sin
entrar en el detalle de su definición y demostración.
1 . 35
2 . 1 .- GENERALIDADES
En el método de los elementos finitos se manejan diversas magnitudes y conceptos (matrices de rigidez,
coordenadas básicas, locales y globales, ligaduras punto único y multipunto, eliminación de grados de
libertad, etc. ) que pueden ser introducidos y comprendidos fácilmente en un tipo de estructuras sencillo
como es el de las estmcturas a.il:iculadas planas.
Como es bien sabido, las estructuras articuladas están formadas por un conjunto de barras unidas entre
sí por sus extremos formando una malla o red. El cálculo de estas estructuras se basa en dos hipótesis
que aunque en principio parecen bastante restrictivas, permiten un análisis extremadamente sencillo,
proporcionando unos resultados suficientemente aproximados para el diseño y análisis de este tipo de
estructuras.
La primera de dichas hipótesis consiste en suponer que las uniones entre las barras se realiza mediante
rótulas esféricas perfectas, es decir, las únicas acciones que pueden ser transmitidas entre las barras se
reducen a fuerzas cuyas rectas de acción pasan por el centro de la rótula esférica.
La segunda hipótesis se refiere al tipo de solicitaciones que actúan sobre la estructura. Se supondrá que
las únicas acciones directamente aplicadas se reducen a cargas concentradas aplicadas en los puntos de
unión entre las barras, que denominaremos nudos de la estructura.
Como consecuencia de las dos hipótesis formuladas, se puede asegurar que cada una de las barras de la
estructura articulada trabaja únicamente bajo una carga axial, que puede ser de tracción o de
compresión, siendo nulas las acciones internas de cortadura, flexión o torsión en secciones intermedias
de dichas barras. En efecto al aislar una barra arbitraria AB de la estructura, como se muestra en la
figura 2. 1 , se observa que, al no existir cargas directamente aplicadas sobre ella como consecuencia de
la segunda hipótesis, las únicas acciones son las que sobre la barra ejercen las rótulas esféricas A y B
situadas en sus extremos, que se reducen a fuerzas que pasan por dichos nudos, y que se definen a partir
de sus componentes Ax, Ay, Az y B x, B y, Bz.
Teniendo en cuenta que la barra se encuentra en equilibrio deberá satisfacer seis ecuaciones de
equilibrio (tres de equilibrio de fuerzas y tres de equilibrio de momentos) de las cuales una de ellas, la
de equilibrio de momentos con respecto al eje Ax, ya se satisface de forma automática. Como quedan
cinco ecuaciones que deben cumplir las seis incógnitas Ax, Ay. Az, B x, By, Bz, es posible adelantar que
2. 1
sólo existirá una
de
ella.
respectivamente
O,
de momentos respecto a los ejes
Az se deduce
O . Posteriormente de las ecuaciones de equilibrio de fuerzas según los ejes
Ay, Az se obtendrá Ay = O, Az = O . Finalmente de la ecuación de equilibrio de fuerzas según el eje Ax
resultará Ax + Bx = O.
A
Ftg
2, L
Se observa que la barra está sometida únicamente a una solicitación axial de valor Bx y que en cualquier
sección intermedia de la barra tan sólo existirá dicha acción axial, siendo nulas las acciones de
cortadura, flexión y torsión. Como consecuencia de todo lo anterior, resolver una estructura articulada
se reduce a calcular la carga axial en todas y cada una de las barras, ya que una vez determinadas estas
incógnitas (tantas como barras existan en la estructura) será posible conocer las componentes del tensor
de esfuerzos en todos los puntos internos de la estructura teniendo en cuenta que en una sección
intermedia de una barra la acción axial N dará lugar a una única componente del tensor de esfuerzos crx
= NIA en donde A es el área de la sección transversal de la barra. Adicionalmente, si la resolución de la
estructura requiere el cálculo del corrimiento en alguno de sus puntos será posible calcularlo a partir de
método de la carga unitaria.
Tradicionalmente la resolución de las estructuras articuladas se ha venido realizando considerando
como incógnitas las cargas axiales en las barras . Como es frecuente que en las estructuras articuladas,
al igual que sucede en otros tipos de estructuras, se impongan condiciones de ligadura, tales como
articulaciones fijas o deslizantes introducidas en algunos puntos, aparecerán nuevas incógnitas que
serán las fuerzas originadas por dichas ligaduras y que normalmente suelen corresponder con las
reacciones que el terreno ejerce sobre la estructura. Para no tener que manejar de forma distinta los dos
tipos de incógnitas existentes, cargas axiales en las barras por un lado y fuerzas de ligadura por otro,
resulta conveniente sustituir las ligaduras por barras equivalentes con lo que las reacciones del terreno
pasan a ser cargas axiales en estas barras adicionales y en consecuencia cualquiera que sea la
2.2
¡;;;. ...... ...,. .., .• ...,
.. de la estructura, su resolución consistirá en determinar cargas axiales en
bien sean
éstas barras reales o barras equivalentes.
De acuerdo con este método de abordar el problema, una articulación fija en la que el terreno puede
reaccionar con una fuerza de dirección y magnitud desconocidas podrá sustituirse por tres barras
equivalentes orientadas según los ejes de un triedro rectangular, siendo las cargas en estas barras las
componentes de la reacción del terreno según los ejes de dicho triedro. De forma semejante una
articuiación desiizante podrá ser sustituida por una barra equivalente con orientación perpendicular al
plano sobre el que el apoyo puede deslizar.
Una vez que las fuerzas de ligadura han sido sustituidas por cargas en barras, la totalidad de incógnitas
de la estructura estará constituida por cargas axiales en barras, y para determinar dichas incógnitas
habrá que contar en principio con las ecuaciones de equilibrio de los nudos.
Cada uno de los nudos de la estructura estará sometido a un conjunto de fuerzas concurrentes que serán
por un lado las cargas directamente aplicadas al nudo y por otro las acciones que cada una de las barras
que concurren en el nudo ejercen sobre él. En una estructura tridimensional, p ara cada nudo se
plantearán tres ecuaciones de equilibrio de manera que para la estructura completa será posible plantear
tantas ecuaciones como el número de nudos existentes en la estructura (excluyendo los situados en el
terreno) multiplicado por tres, en las que aparecerán tantas incógnitas como barras tenga la estructura
(incluyendo las barras equivalentes que sustituyen a los apoyos).
Con la ayuda del análisis algebraico podrá averiguarse el carácter del sistema de ecuaciones, que como
puede demostrarse fácilmente es lineal, y ver en que condiciones es incompatible, compatible
determinado o compatible indeterminado. Normalmente si el número de ecuaciones es superior al
número de incógnitas es sistema será incompatible, indicando que el conjunto de barras articuladas en
sus extremos dará lugar a un mecanismo que sólo en circunstancias especiales podrá encontrarse en una
posición de equilibrio. Si el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y el determinante de
la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema de ecuaciones será compatible determinado. En
este caso se dice que la estructura es estáticamente determinada, ya que puede ser resuelta utilizando
únicamente ecuaciones de equilibrio y a cada solicitación le corresponderá una solución y nada más que
una. Si el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, pero el determinante de la matriz de
coeficientes es igual a cero, el sistema de ecuaciones será incompatible o compatible indeterminado
según sean diferentes o iguales las características de la matriz de coeficientes y la de dicha matriz
ampliada con los segundos miembros. En ambos casos se sigue diciendo que la estructura estáticamente
2.3
determinada pero su
da
a una
crítica ya que para determinadas
solicitaciones no es ..., ,, ,� , l"\ 1 "" hallar cargas en barras capaces de satisfacer las ecuaciones de equilibrio de
los nudos . Finalmente s1 el número de ecuaciones es inferior al número de incógnitas, salvo casos
excepcionales, el sistema será compatible indeterminado y para hallar la solución del problema
estructural será necesario añadir a las ecuaciones de equilibrio las de compatibilidad de corrimientos
con objeto de obtener un sistema lineal con tantas ecuaciones como incógnitas. En esta situación se dice
que la estructura es estáticamente indeterminada o hiperestática.
2.2.- ESTRUCTURAS ARTICULADAS PLANAS
Aunque la teoría de estructuras articuladas tridimensionales es por si misma relativamente sencilla, tal y
como se h a expuesto en el apartado anterior, el problema estructural se simplifica aun mucho más en el
caso de estructuras articuladas planas. En este caso l a estructura está contenida en un plano y las
solicitaciones, que como se ha indicado anteriormente se reducen a cargas directamente aplicadas en los
nudos, están también contenidas en el mismo plano. Es evidente que la geometría es mucho más fácil de
visualizar y manipular en un plano que en el espacio. En el caso de las estructuras articuladas planas el
equilibrio del nudo proporciona dos ecuaciones en lugar de las tres que aparecían en el caso de
estructuras tridimensionales.
El carácter de la estructura, mecanismo, estáticamente determinada o hiperestática, vendrá definido por
la relación existente entre el doble del número de nudos (sin contar los situados en el terreno) y el
número de barras (incluyendo las barras equivalentes de los apoyos)
Tradicionalmente, en la teoría de estructuras articuladas planas se han ido proponiendo un conjunto de
métodos para simplificar al máximo el proceso de cálculo. En esencia dichos métodos permiten sustituir
la resolución de un sistema de un elevado número de ecuaciones por un conjunto equivalente de sistemas
de dos ecuaciones con dos incógnitas. De acuerdo con dichos métodos las estructuras estáticamente
determinadas, según se genere su geometría, se clasifican en estructuras simples, compuestas y
complejas, recomendándose para cada uno de dichos tipos uno o varios métodos que según se van
planteando condiciones de equilibrio de nudos, permiten ir determinando valores de incógnitas sin
necesidad de plantear y resolver el sistema total de ecuaciones .
En el caso de estructuras hiperestáticas el método tradicional de resolución consiste en cortar tantas
barras como incógnitas hiperestáticas existan en la estructura, siendo este número igual a la diferencia
entre el número de barras y el doble del número de nudos . Suponiendo que en dichas barras cortadas las
2.4
cargas finales sean
será
en función de estas
y de las
cargas directamente aplicadas, las cargas en las barras restantes, ya que este problema será semejante al
de la resolución de una estructura estáticamente determinada. Posteriormente se plantean tantas
ecuaciones de compatibilidad de corrimientos como incógnitas hiperestáticas existan en la estructura.
Cada una de estas ecuaciones de compatibilidad consiste en imponer la condición de que sea nulo el
movimiento relativo entre los dos bordes del corte de una determinada barra. Una vez resuelto este
sistema de ecuaciones en el que las únicas incógnitas son los valores X 1 , X2 , X3 , . . . ,Xp , será ya posible
recuperar las cargas axiales en las barras restantes con lo que se completará la resolución de la
estructura.
Puede observarse que, de acuerdo con lo expuesto anteriormente, la resolución de las estructuras
articuladas planas estáticamente determinadas se reduce en esencia a un proceso numérico sencillo
(solución de un conjunto de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas) pero a cambio es necesario
clasificar adecuadamente la estructura (simple, compuesta o compleja) y elegir el método apropiado
para que del equilibrio de cada nudo sea posible determinar los valores de dos incógnitas. En el caso de
estructuras hiperestáticas será preciso añadir el planteamiento y resolución de las ecuaciones de
compatibilidad de corrimientos.
2.3.- MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS
En esencia, el método de los desplazamientos para el cálculo de estructuras articuladas planas consiste
en resolver el sistema de ecuaciones de equilibrio de los nudos cuando se consideran como incógnitas los
corrimientos de dichos nudos, en lugar de las cargas axiales en las barras como ocurre en el método
tradicional.
Aunque al proceso de resolución de estructuras articuladas que se deduce de la consideración de los
corrimientos como incógnitas se le ha reconocido en el pasado como cálculo matricial de estructuras, no
existe una diferencia básica importante entre este método y el de los elementos finitos. Tan sólo es
conveniente señalar que el método de los elementos finitos aplicado a una estructura continua
bidimensional o tridimensional proporciona unos resultados más o menos aproximados de acuerdo con
el tamaño de la malla, mientras que los resultados de dicho método aplicado a las estructuras
articuladas son exactos siempre y cuando se mantengan las hipótesis indicadas en el apartado 2. 1 .
Es evidente que al considerar como incógnitas básicas los corrimientos de los nudos, para poder
plantear las ecuaciones de equilibrio de los nudos, será preciso expresar las cargas axiales en las barras
2.5
función de los
"' "' '· ' . . . . . �. . . H/V
de los nudos dando
a las denominadas matrices de
de las
barras .
2.4.- MATRICES DE RIGIDEZ Y CARGAS PROPIAS DE UNA B ARRA
Se considera una barra genérica e, cuya sección transversal tenga un área
elasticidad sea
A e , cuyo módulo de
Ee , longitud Le , variación de longitud inicial M� , coeficiente de dilatación lineal a e y
que experimente una elevación de temperatura tiT
e.
La barra en cuestión une dos determinados nudos i y j de la estructura (figura 2.2) .
Se considerará un sistema de referencia ixel ligado a la barra e, que se designa como sistema de
referencia local, cuyo origen i coincide con el nudo origen de la barra, cuyo eje ix.e coincide en dirección
y sentido con el segmento que une el nudo origen i de la barra con el nudo extremo j , y cuyo eje il se
obtiene girando 90º el eje ixe en el sentido contrario a las agujas del reloj .
Se representará por u f y u ; las componentes en el sistema local del corrimiento del nudo origen i y por
u ; y u; las componentes en el mismo sistema de referencia del corrimiento del nudo extremo j .
El alargamiento total de l a barra, teniendo en cuenta que los corrimientos son pequeños, será:
2.6
)total =
Este alargamiento será la suma de los alargamientos mecánico, inicial y térmico, por lo que el
alargamiento mecánico será:
(6,J} ) mecanico = (ue ) total - (Me )inicial - (Me ) termico = u 3e - u e - Me - a e · 11T e · Le
1
O
de donde se deduce una deformación mecánica:
(Me ) mecanica U 3e U¡e Meo e T e
e
a 11
E =
=g
Le - .
Le - -Le - y en consecuencia un esfuerzo:
cr
E e · ue E e · u e E e A Te E e · a e · L.lA T e
e = Ee · Ee = Le 3 g
Le O 1
- - ·
UL
s: y s; las componentes, en el sistema de referencia local de la fuerza que se ejerce
sobre la b arra a través del nudo origen i y por s; y s: las componentes, en el mismo sistema de
Representando por
referencia, de la fuerza que se ejerce sobre la barra a través del nudo extremo j se verificará:
e e
Ae e
Ae e
s: = - s� = L· eE . U ¡e - L· eE . u ; + A · E . (M� + a e . f1r . Le )
U
s� = O
s: = o
Las componentes s: y s� que son las únicas acciones que actúan sobre la barra pueden agruparse en la
relación matricial única:
Normalmente esta relación matricial se escribe en la forma general :
en donde:
{n
s =
{ '} :
es el vector columna de fuerzas, en componentes locales, que actúan sobre la barra e,
es la matriz de rigidez, en componentes locales, de la barra e,
2.7
}
{ :D
es el vector columna de corrimientos, en componentes locales, de la barra e, y
{s�} = A '/ ' · (M� + a ' · fiT' · L' ) · {�i}
es el vector columna de fuerzas iniciales y térmicas, en componentes locales, que actúan sobre la barra
e.
La matriz de rigidez [ke] , en componentes locales, de la barra e es, como puede comprobarse, una
matriz simétrica.
Un análisis de la expresión :
permitirá deducir fácilmente el significado físico de cada uno de los vectores columna y de la matriz
cuadrada que aparecen en ella.
Así por ejemplo, observando que el vector de fuerzas iniciales y térmicas
resulta en el caso en que
{u e } = {O}
{s�}
es el vector
{se }
que
, se deduce que dichas fuerzas iniciales y térmicas son las acciones
que deben actuar sobre la barra cuando, imponiendo dichas deformaciones iniciales y térmicas, se
impiden los corrimientos de los nudos extremos de la barra.
S iguiendo un razonamiento análogo se deduce que el elemento situado en la fila m y columna n de la
matriz de rigidez local [ke] será la componente m de las acciones que actúan sobre la b arra cuando
siendo nulas las acciones iniciales y térmicas, se suponen nulas todas las componentes de corrimiento de
los nudos extremos de la b arra, salvo la componente n que se supone que tiene un valor unidad. (Debe
entenderse que, en relación con las acciones que actúan sobre la barra, la componente 1 es la fuerza
s:
y la componente 2 es la fuerza s; , mientras que, en relación con los corrimientos de los nudos extremos,
la componente 1 es el desplazamiento u : y la componente 2 es el desplazamiento u; )
2.8
En el apartado anterior se han introducido los sistemas de referencia locales, uno diferente para cada
barra de la estructura, sobre cuyos ejes se proyectan los corrimientos de los extremos de la barra y las
acciones que actúan sobre ella.
Por su parte cuando se inicia la definición de una estructura se presupone la existencia de un sistema de
referencia OXY, común para toda la estructura, que se denomina sistema de referencia básico.
Generalmente la posición de los nudos de la estructura queda definida a partir de sus coordenadas en
dicho sistema de referencia básico. S in embargo en algunas ocasiones resulta conveniente introducir uno
o varios sistemas de referencia auxiliares, que pueden ser cartesianos rectangulares, cilíndricos o
esféricos, respecto a los cuales las posiciones de los nudos se definen de una forma más sencilla.
Supóngase por ejemplo que un conjunto de nudos sean puntos equidistantes situados sobre una
circunferencia en cuyo caso es más fácil utilizar sus coordenadas cilíndricas que sus coordenadas
cartesianas rectangulares .
Una vez definidos y numerados l o s nudos d e l a estructura (figura 2.3) s e consideran como incógnitas del
problema los corrimientos de dichos nudos. Lo más frecuente es que se definan los corrimientos
mediante sus componentes en el sistema de referencia básico, pero también en este caso y en
circustancias especiales puede resultar más conveniente utilizar para determinados nudos las
componentes de sus corrimientos según los ejes de sistemas de referencia auxiliares que pueden ser
rectangulares, cilíndricos o esféricos.
u 12.
2.9
De acuerdo con esto a cada
suponer
se
un sistema de referencia auxiliar que es el que
se utiliza para definir las componentes del corrimiento de dicho nudo . El conjunto de estos sistemas de
referencia asociados a los nudos se denomina sistema de referencia global .
Sí se representa por �� el ángulo que el eje local xe de una barra e forma con el eje global X¡, ligado al
nudo inicial i de la barra, la relación entre las componentes locales del corrimiento del nudo i y sus
componentes globales será (figura 2.4)
u 1e = U e co s Rp e + U e · sen pR ;e
1
·
¡
2
que puede escribirse en la forma:
en donde
es la matriz de transformación de componentes en el nudo i .
Análogamente e n e l otro extremo j d e la barra e s e verificará:
con:
Agrupando las dos expresiones anteriores en una relación matricial única resulta:
\
l..
2 . 10
\
1
�
�
, ..,,�
en donde:
u =
{ '}
{:n
es el vector columna de corrimientos, en coordenadas locales, de la barra e,
sen � f
o
O
cos � �
es la matriz de transformación de coordenadas de la barra e, y
v 1e
{v e} = vv ee
ve
2
3
4
es el vector de corrimientos, en coordenadas globales, de la barra e.
Análogamente, la relación entre componentes locales y globales de las cargas que actúan sobre la barra
e será:
En relación con el desarrollo anterior resulta interesante señalar que en diferentes ramas de la Física con
frecuencia es necesario manejar las componentes de una magnitud vectorial en varios sistemas de
referencia, para lo cual se introducen las correspondientes matrices de transformación de componentes.
Normalmente dichas matrices de transformación son matrices cuadradas ya que interesa obtener todas
las componentes del vector en el sistema de referencia final a partir de todas las componentes del vector
en el sistema de referencia inicial. Adicionalmente, si los sistemas de referencia inicial y final son
ortogonales las matrices de transformación poseen un conjunto de propiedades interesantes entre las que
cabe destacar la de que la matriz de transformación es ortonormal y en consecuencia su inversa coincide
con su matriz transpuesta.
En el caso que aquí se considera la situación es diferente, ya que de entrada la matriz de transformación
[A.e] no es cuadrada sino rectangular. La razón de esto se debe a que en el sistema de referencia local tan
sólo intervienen dos componentes
u � , u ; de los corrimientos, mientras que en el sistema global son
necesarias las cuatro componentes U t , U� , U; , U; . El resultado final es el que dos relaciones permiten
calcular las dos componentes locales a partir de las cuatro componentes globales.
Utilizando únicamente la relación :
2. 1 1
}= l
no sería posible generar la relación inversa ya que habría que resolver un sistema de dos ecuaciones con
cuatro incógnitas. En otras palabras no es posible determinar U ; , U� , U; , U; a partir únicamente de las
componentes u : , u ; ya que las otras dos componentes u� , u: intervienen también en los valores finales
de las componentes globales.
Un caso distinto es el de las componentes de las füerzas ya que se sabe que en todos los casos las
componentes locales s ; , s: deben ser nulas como consecuencia de las condiciones de equilibrio. Las
componentes globales de las acciones que actúan sobre la barra serán en consecuencia:
S e = s 1e COS AJJ ¡e
S2e = s 1e · sen !-'A e;
S e = s 2e · COS JJA je
S4e = s2e · sen 1-'A je
l
•
3
que se agrupan en la relación matricial única:
s 1e
s 2e
se
s4e
3
o
cos p �
o
sen p �
cos P j
o
o
sen P j
-tn
o lo que es lo mismo:
Más adelante veremos que las relaciones deducidas en este apartado y que corresponden a este caso
particular se cumplen también en casos más generales.
Al mismo resultado se puede llegar mediante consideraciones deducidas de la Estática. En efecto,
teniendo en cuenta que { se } y { Se } son componentes en diferentes sistemas de referencia de unas
acciones únicas que actúan sobre la barra, resultará que en un determinado desplazamiento virtual de
los extremos de la barra, el trabaj o virtual realizado por dichas acciones deberá ser independiente del
sistema de referencia en que se expresen las componentes de las acciones y de los corrimientos.
Considerando un desplazamiento virtual definido por:
deberá verificarse :
2. 12
donde al sustituir el valor de {
} y reagrupar se deduce :
que como debe ser satisfecha para cualquier desplazamiento virtual { 8lf } que se considere, será
equivalente a:
que coincide con la relación obtenida anteriormente.
En concreto, si se realiza un cambio de sistema de referencia en el que las componentes de corrimiento
se transforman de acuerdo a la relación :
las correspondientes componentes de fuerzas se transforman de acuerdo a la relación
Finalmente, y en relación con el vector de corrimientos, en coordenadas básicas, de la barra e, conviene
señalar la diferencia existente entre U t , U ; , U : , U ; y U 1 , U 2 , U 3 , U 4 • En efecto, mientras las cuatro
primeras variables representan las componentes según los ejes globales de los corrimientos de los nudos
extremos de la barra e, las cuatro últimas variables representan las componentes globales de los
corrimientos de los nudos 1 y 2 de la estructura. (ver figura 2.3)
2.6.- MATRICES DE RIGIDEZ Y DE CARGAS INICIALES Y TÉRMICAS DE UNA BARRA EN
COORDENADAS GLOBALES
Según se vio en el apartado 2.4, para una barra arbitraria e se verifica:
Teniendo en cuenta que:
{u e }= [!ve l {u e}
{se} = [tve] · {se}
'
resultará:
'
'
'
'
'
{se}= [!ve] · {se}= [!ve] - [e] - {u e} + [!ve] · {sn = [!ve] - [e]- [1ve]- {ue} + [Ae] · {s�}
Esta expresión puede escribirse en la forma:
2. 13
e}=
en donde:
e}+ e}
l
s12
{se} = sese2
se
3
4
es el vector columna de acciones, en coordenadas globales, que actúan sobre la barra e,
es la matriz de rigidez, en coordenadas globales, de la barra e,
es el vector columna de corrimientos, en coordenadas globales, de la barra e, y
I
{sn = [Ae] . {sn
es el vector columna de cargas iniciales y térmicas, en coordenadas globales, de la barra e.
También la matriz d e rigidez [Ke] , de la barra e, en coordenadas globales, es simétrica ya que:
= Aemi . k�n . Aenj
= Aenj . k:m . Aemi
y como k;n = k :m por ser [ke] simétrica será Kij = Kj; y en consecuencia [Ke] será una matriz
Kij
Kj;
simétrica.
2 . 7 . - RELACIÓN ENTRE CORRIMIENTOS DE UNA BARRA Y CORRIMIENTOS DE LA
ESTRUCTURA
La relación entre corrimientos básicos de una barra y corrimientos de la estructura es de la forma:
en donde [Ae] es una matriz de cuatro filas y tantas columnas como incógnitas posea la estructura, y
que está compuesta por ceros y unos (un solo uno en cada fila) ya que se trata de una matriz de
localización, es decir, dicha matriz selecciona los elementos del vector columna { U } que componen el
vector columna { ue } .
2 . 14
en la estructura mostrada en la
Así por
nudos 2 y 4 (que se representará como barra e)
ve
e
v
e
}
{v = v e
v 4e
2 . 3 se verificará para la barra definida por los
V3 o o o o o o o o o o o o o
V4 = o o o o o o o o o o o o o ·
V7 o o o o o o 1 o o o o o o o {V }
vs o o o o o o o o o o o o o
1
2
3
en donde { U } es un vector columna de catorce elementos formado por los corrimientos U 1 a U 1 4 .
En este caso la matriz de cuatro filas y catorce columnas formada por ceros y unos será la matriz de
localización [N] .
2.8.- ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE LOS NUDOS
Volviendo nuevamente al problema general del análisis de la estructura completa se observa que se
consideran como incógnitas el conjunto de corrimientos de los nudos que se agrupan en un vector
columna { U } . En correspondencia con estos grados de libertad estarán actuando sobre la estructura
unas determinadas cargas que se agruparán asimismo en un vector columna { P } .
Evidentemente, si e l vector columna de corrimientos incluye los corrimientos de todos los nudos, incluso
los de aquellos nudos en los que se imponen determinadas ligaduras, el vector columna { P } contendrá
no sólo las cargas directamente aplicadas sino también las de ligadura, por lo que algunos elementos de
{ P } serán desconocidos.
Para plantear las ecuaciones de equilibrio de los nudos de la estructura se utilizará el principio de los
desplazamientos virtuales, para lo cual se considerará un desplazamiento virtual arbitrario, definido por
el vector columna { 8U } y se establecerá que el trabajo realizado por las fuerzas exteriores en
,
correspondencia con dicho desplazamiento virtual es igual al trabaj o que realizan los esfuerzos internos
en correspondencia con las deformaciones cinemáticamente consistentes con dicho desplazamiento
virtual.
En estas condiciones resulta:
'
b
'
{8U} · {P} = II fVe {cr } · {8y } · dV
e=
2 . 15
Ahora
la acción de
las cargas exteriores { se } y cuyos nudos extremos i y j
considera unos corrimientos dados por la relación:
resultará, aplicando el principio de los desplazamientos virtuales a dicha barra e:
por lo que sustituyendo el valor de la integral obtenido en esta última reiación en ia que se dedujo del
principio de los desplazamientos virtuales de toda la estructura, se obtendrá:
{8 U }' · {P}= =l
e
Teniendo en cuenta ahora que:
{8ue }= [A e ] - {8 U }
{s e } = [K e ]- {u e } + {sn
{ue} = [A e ] - {u }
resultará:
b
'
'
b
'
'
8 U} · [A e ]' · [[K e } {v e } + {s� }] =
0 = {8U} · {P}- L=l {8ue } · {S e } = {8 U} · {P}- L{
=I
e
e
= {ou }' . {P}- t [A' ]' · [K ' l [A' ] · {u }- t [A' ]' ·
[
M]
por lo que representando por [K] y { S0 } las matrices:
'
[K] = I [Ae] · [Ke } [Ae ]
b
e=l
{so } = I [Ae ] · {sn
e=I
b
'
quedará en definitiva:
{8 U}1 · [{P}- [K] · {U}- {So }] = ü
En la expresión anterior { 8U } ' es el vector fila que define el desplazamiento virtual arbitrario que se
considera en la aplicación del principio de los desplazamientos virtuales, { P } es el vector columna de
cargas exteriores que actúan sobre la estructura, [K] es la matriz de rigidez de la estructura, { U } es el
vector columna de corrimientos de la estructura y { S0 } es el vector columna de cargas iniciales y
térmicas.
2.16
al realizado en el
2.6 se demostraría que cada uno de los
sumandos en la determinación de la matriz de rigidez [K], y en consecuencia la
matriz [K] son
matrices simétricas.
2 . 9 . - ENSAMBLAJE DE LAS MATRICES DE RIGIDEZ [KJ Y DE CARGAS INICIALES Y
TÉRMICAS { S0} DE LA ESTRUCTURA
Como se ha visto en el apartado 2 . 8 las matrices de rigidez [K] y de cargas iniciales y térmicas { S0 }
vienen dadas por las relaciones:
'
[K] = I [Ae ] · [Ke l[Ae ]
e=I
{so } = I [Ae ] - {sn
e=I
b
b
'
Se observa en pnmer lugar que las matrices indicadas se obtienen por adición de las matrices
correspondientes a las barras individuales. Por su parte puede deducirse fácilmente que la
transformación de semejanza [Nl '· [KeHN] consiste en pasar de la matriz [Ke], de orden cuatro, a otra
cuyo orden es igual al número de grados de libertad de la estructura. En esta transformación los
elementos de la matriz [Ke] se sitúan en las posiciones correspondientes de acuerdo con la matriz de
localización [N] .
Algo similar ocurre con la matriz [AT· { S0e } en la que los elementos del vector { S0e } se sitúan en las
posiciones que corresponden teniendo en cuenta los grados de libertad de la estructura completa.
2. 1 0.- RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA ESTRUCTURAL
Dependiendo de cuales sean los corrimientos que se incluyan en el vector columna { U } (corrimientos de
todos los nudos o de los que estén realmente libres) y de como sean los corrimientos virtuales que se
consideren al aplicar el principio de los desplazamientos virtuales (compatibles o no con las ligaduras
impuestas) se pueden presentar varias situaciones.
Así por ejemplo, y considerando la estructura que se muestra en la figura 2.3, si del vector columna { U }
se eliminan las componentes U1 , U2, U1 4 que son nulas como consecuencia de las condiciones de
contorno y al mismo tiempo se consideran desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras, es
2 . 17
decir
desplazamientos
O
la
del
deducida del
deberá verificarse cualquiera que sea el vector fila { 8U } ' que se
de los
,., v ,. . ._.,.._..._,,
por lo que deberá ser:
{ P } - [K] - {U} - {So } = {o}
es decir:
[K] · {U} = { P } - {so }
En este caso { P } representará el vector columna de cargas directamente aplicadas, que contiene 1 1
elementos totalmente conocidos, y { U } representará el vector columna de corrimientos, que contiene 1 1
incógnitas, que son los corrimientos desconocidos. Por su parte, en la matriz de rigidez [K] se habrán
eliminado las filas y columnas asociadas a los grados de libertad U i , U2, U14, al igual que en el vector de
fuerzas iniciales y térmicas { S0 } del que se habrán eliminado los elementos 1 , 2 y 14.
El sistema de ecuaciones:
[K] · {U} = {P} - {so }
una vez resuelto proporcionará los corrimientos { U } y a partir de ellos será posible deducir las cargas
en las barras, pero como se puede observar este método no permitirá recuperar las reacciones en los
apoyos.
Si por el contrario en { U } se agrupan los catorce corrimientos , será posible obtener las reacciones,
para lo cual se separarán los corrimientos { Ud de los nudos que son realmente libres, de los
corrimientos { Us } de los nudos que están ligados. A su vez, las cargas se separarán en las que se
corresponden con los grados de libertad desconocidos { Pd y en las que se corresponden con los grados
de libertad ligados { Ps } + { Rs } . Obsérvese que en este último caso será preciso considerar
separadamente las fuerzas directamente aplicadas { Ps } , que son conocidas, y las reacciones { Rs } que
son desconocidas.
Como el desplazamiento virtual { 8U } puede ser arbitrario, incluso no compatible con las ligaduras, ya
que se considera el trabajo de todas las fuerzas exteriores, se verificará:
{P} - [Kl {U} - {So } = {o}
es decir:
sistema de ecuaciones que puede descomponerse en los dos sistemas independientes :
2. 1 8
].
}
] · {Us } El pnmer sistema de ecuaciones permite calcular el vector { Uf } , ya que las cargas directamente
aplicadas { Pd y los corrimientos { Us } son conocidos. Una vez determinados los corrimientos {Uf } , el
segundo sistema suministrará, por simple sustitución, los valores de las fuerzas de ligadura { Rs } .
Más adelante se tratará de forma más sistemática y completa el método !?eneral para la resolución de la
estructura y para la recuperación de las fuerzas de ligadura, aun en el caso en que las ligaduras
impuestas no sean tan sencillas de visualizar como ocurre con las articulaciones fijas y deslizantes.
2. 1 1 .- LIGADURAS DE LA ESTRUCTURA
En la estructura mostrada en la figura 2.3, las condiciones de contorno quedaban expresadas por
relaciones muy sencillas como eran:
U1 = 0
U2 = 0
U1 4 = 0
y como se vio en el apartado 2. 1 O su tratamiento era relativamente fácil, obteniéndose incluso las
reacciones originadas por dichas ligaduras.
No siempre la situación es tan sencilla y a continuación se presentarán diferentes tipos de ligaduras que
pueden existir, analizándose en los apartados siguientes su tratamiento.
\
\
f.>
Fq¡
!2..S
2. 19
que la
2 . 3 en
de
, . , .,_,..,..,,AA
el Cles:piazarruemo
el eje
según una dirección arbitraria como se muestra en la figura 2.5
La ligadura en este caso queda expresada por la relación :
-U 1 3 sen p + U 1 4 · cos p = O
·
Supóngase ahora que la barra 3-5 de la misma estructura sea infinitamente rígida y que en lugar de
incluir dicha barra como un elemento estructural más (no sería posible porque los elementos de [Ke]
serían infinitos) se impone la ligadura que establece la constancia de la distancia 3-5 (fig 2 .6)
(U 9 · co s P + U 10 · sen P ) - (U 5 · cos P + U 6 · sen P ) = ü
Tanto en este caso como en el anterior se dice que se impone una ligadura multipunto ya que queda
expresada mediante una relación lineal entre varios grados de libertad.
Por su parte, las condiciones de contorno existentes en la estructura de la figura 2 . 3 se denominan
ligaduras de punto único ya que quedan expresadas por las relaciones :
u
=O
U2 = 0
U14 = O
1
y en cada una de ellas no interviene más que un grado de libertad.
Obsérvese que el concepto punto en las expresiones punto único y rnultipunto se refiere a variable o
grado de libertad y no a punto geométrico o nudo.
2 . 20
y sometida a una solicitación
ocurrir que la estructura se encuentre libre en el
Finalmente
arbitraria. En este caso , y de acuerdo con lo indicado en el apartado 2 . 1 O, el sistema de ecuaciones a
resolver será:
[Kl {U} = {P } - {so }
que como se deduce a continuación es un sistema de ecuaciones indeterminado o incompatible.
En efecto, suponiendo por un momento que las fuerzas directamente aplicadas { P } y las cargas
iniciales y térmicas { S0 } que actúan sobre dicha estructura libre sean nulas, quedará el sistema de
ecuaciones en la forma:
[Kl {U} = {ü}
Evidentemente una posible solución es { U } = { O } , pero como la estructura está libre y en equilibrio, se
deduce que cualquier vector de corrimientos { U } que corresponda a un movimiento como sólido rígido
de la estructura será también solución ya que satisface las ecuaciones de equilibrio y las de
compatibilidad de corrimientos. El sistema de ecuaciones [K] · { U } = { O } , al admitir varias soluciones,
es en consecuencia indeterminado, lo que nos indica que la matriz de rigidez [K] es singular.
Al ser nulo el determinante de la matriz de rigidez [K] , el sistema de ecuaciones
[Kl {U} = {P} - {so }
será indeterminado o incompatible según sean iguales o diferentes las características de la matriz [K] y
de esta matriz ampliada con los segundos miembros.
Tan sólo será posible resolver el sistema eliminando los movimientos de la estructura como sólido
rígido, lo que en el caso de una estructura articulada plana se conseguirá asignando valores a tres
determinados grados de libertad de la estructura, o lo que es lo mismo fijando isostáticamente la
estructura a un sistema de referencia. Estas ligaduras impuestas a la estructura pueden ser del tipo
multipunto o punto único, pero al ser ficticias tienen un tratamiento diferente de las ligaduras reales y
además su comportamiento es diferente dependiendo de que la solicitación que actúa sobre la estructura
sea o no un sistema de fuerzas en equilibrio.
Si el sistema de cargas directamente aplicadas es un sistema de fuerzas en equilibrio (resultante nula y
momento nulo respecto a un punto determinado del plano) las reacciones en las ligaduras isostáticas
ficticias serán también nulas y en consecuencia las cargas axiales en las barras serán las correctas,
mientras que los corrimientos { U } que se obtienen son los que los nudos de la estructura tienen con
2.2 1
�u ...· � � ·-�
a la referencia que se
utilizado.
será
.., � .J · � ·· �
añadir a dichos corrimientos los que
se deducen del movimiento de la estructura como sólido
Si el conjunto de cargas directamente aplicadas no está en equilibrio, en la situación real, la estructura
iniciaría un movimiento acelerado y una vez conocida la distribución de masas de la estructura, se
plantearía el equilibrio dinámico entre las fuerzas reales y las fuerzas de inercia. En la situación que se
produce al imponer las ligaduras ficticias, aparecerán unas fuerzas de ligadura ficticias que son las que
equilibra.11 el sistema de cargas directamente aplicadas { P } . Para restituir la situación real sería preciso
plantear las ecuaciones del movimiento de la estructura libre considerada como sólido rígido y deducir
de ellas el campo de aceleraciones de la estructura y posteriormente calcular el correspondiente campo
de fuerzas de inercia. Al añadir al sistema de ecuaciones de equilibrio de los nudos estas fuerzas de
inercia, eliminando los movimientos de la estructura como sólido rígido, resultará un sistema ya
determinado del que se deducirían las cargas axiales correctas en las barras, mientras que a los
corrimientos deducidos será también posible añadir los correspondientes a un movimiento de la
estructura como sólido rígido.
En ambos casos a las ligaduras ficticias que se imponen con la única finalidad de fijar un sistema de
referencia se las denomina ligaduras de apoyo ficticio o simplemente ligaduras de apoyo.
Por su parte, cuando se incluyen las fuerzas de inercia para plantear el equilibrio dinámico se dice que
se incluye el alivio de inercia.
2. 1 2.- DIFERENTES TIPOS DE GRADOS DE LIBERTAD
Se representará por { Ug } el conjunto de grados de libertad de un determinado problema estructural. De
la totalidad { Ug } de grados de libertad, un subconjunto { Um} puede ser eliminado a partir de las
relaciones correspondientes a las ligaduras multipunto, ya que éstas permiten expresar { Um } en función
de los restantes grados de libertad { Un }
A su vez, de este subconjunto { Un } una parte, que se representará por { U5 } , vienen determinados
mediante las ligaduras de punto único, quedando el subconjunto restante { Uf} que serán en principio los
grados de libertad realmente libres.
Si la estructura está libre en el espacio en equilibrio estático o en equilibrio dinámico (en este caso
habrá que proporcionar información sobre la distribución de masas) será necesario ligar
2.2
de libertad { Ur } con
de la matriz de
partir de las cuales se determinarán posteriormente las fuerzas de inercia. Los grados
libertad que
quedan después de eliminar los corrimientos { U r } se representan por { U1 } .
A continuación se representan de forma esquemática los distintos subconjuntos y sus diferentes
agrupaciones :
l
{ Ui }
l
�
J
1
1
�
1
1
J
{ Ud
{ Ug }
En el caso de plantear el equilibrio dinámico de la estructura (inclusión del alivio de inercia) se supone
que la estructura es rígida y satisface las ligaduras multipunto y de punto único, dando lugar a un
campo de aceleraciones definido por { ar } en correspondencia con los grados de libertad { U r} que son los
que definen totalmente el movimiento de la estructura libre como sólido rígido.
2. 1 3.- FUERZAS DE INERCIA Y MATRICES DE MASA
En el caso en que sea necesario plantear el equilibrio dinámico de una estructura libre, habrá que incluir
las correspondientes fuerzas de inercia que se deducirán de los términos:
-
que aparecen e n las ecuaciones d e Lagrange.
: (:;)
,
Se considera una barra genérica e de la estructura, tal como la mostrada en la figura 2.2, y se supone
que el campo de desplazamientos en los puntos internos de la barra es una función lineal de la posición.
En estas condiciones las componentes según los ejes xe, i del desplazamiento de un punto definido por
la abscisa xe serán:
2 .23
(
J
e
Xe
Xe · e
u = u 2e + U 4 -e U 2 · x = 1 - · u2 + L
Le u4
e
e
y
e
(
de donde se deduce un campo de velocidades :
e
J
( ve \
X e U· e
X · ·e U· e = 1 - U
+
1
Le
Le · 3
x
e
-"',,_e . U. e
U. ey = ll - -"'Le j . U. 2e + U
4
!¡ - �
que puede definirse a partir de la relación matricial:
n
u
x
.e -
uy
o
Le
Xe
e
X
1-Le
O
o
Le
xe
Le
o
La energía cinética Te de la barra será:
T' =
±
U. ¡e
U. 2e = [N e (x e
) J {u e }
.U e
3
U4. e
l
± . . S:' [(ú; )2 + (u; n fil' = ± . S:' (ú; u; ) · {:J fil' =
p
'
p .
'
'
= · p' · J: {u' f [N ' Cx ' ) J · [ N ' ( x' l ] · {u'} · fil ' =
+
'
p · !!
l
[
- {u' f f� [N' CSl f · [N' CSl)dS {u' }
en donde p e es la masa de la barra por unidad de longitud y � es la variable adimensional � = x e/Le
Teniendo en cuenta que:
1-�
I
[N e ( � ) ] . [N e ( �) ] =
( 1 - �) 2
=
y que:
o
1-�
o
�
�
o
o
� . (1 - �)
o
�2
o
( 1 - �) 2
o
� . ( 1 - �)
� . ( 1 - �)
o
r � � 1 - � � �] =
o
o
o
� . ( 1 - �)
o
�2
o
l l ( 1 �) 2 . d� = 1 - . -1 + -1 = -1
3 3
1 1 1
i l� . ( 1 �) . d� = - - -3 = -6
i l � 2 . d� = _!_3
o
o
2
-
-
2
o
2.24
2
o
resulta finalmente:
_ 1
- - ·
2
{ . e }'
u
en donde [me] es la matriz de masas de la barra, en coordenadas locales, definida por:
2
o
o
[m ' ]= p ' / · � � � �
o
o
2
La matriz de masas de la barra, en coordenadas globales, se obtendrá de forma semejante a como se
obtenía la matriz de rigidez
I
[M e ] = [Ae ] . [me l [Ae ]
con la única diferencia de que ahora la matriz de transformación de coordenadas
cos � �
sen � �
o
o
(Ae]= - sen � � cos � � cos � } sen � }
o
o
o
o
o
o
- sen � j
cos � }
es una matriz cuadrada de orden cuatro ya que en el sistema de referencia local intervienen las cuatro
componentes ü� ' u� ' ü; ' u� de la velocidad, mientras que en la matriz de rigidez tan sólo intervenían las
dos componentes de desplazamiento u � , u � .
El ensamblaje de la matriz de masas es análogo al de la matriz de rigidez, mediante la ampliación del
orden de las matrices mediante las matrices de localización y la adición de la contribución de los
distintos elementos.
De esta manera se obtendrá para la estructura completa una energía cinética
en donde [M] es la matriz de masas de la estructura.
Las fuerzas de inercia asociadas a los grados de libertad { U } serán:
- [M] · { Ü }
La matriz de masas [me] , en coordenadas locales, de l a barra individual e que se ha obtenido en este
apartado, así como la matriz de masas [M] de la estructura completa, deducida a partir de los procesos
de transformación de coordenadas y ensamblaje, se denominan matrices de masas consistentes ya que,
2 . 25
una
cinética exacta
que sea el movimiento de la barra o de la estructura, sea dicho
movimiento una traslación simple o por el contrario contenga componentes de rotación .
Existe otro método más simple que proporciona las denominadas masas concentradas que consiste en
asignar a cada uno de los dos extremos de la barra la mitad de la masa total de la barra. Para una barra
arbitraria e resultaría en este caso una matriz de masas en coordenadas locales:
En la aproximación de masas concentradas, la energía cinética se reproduce exactamente en los
movimientos de traslación de la barra. En efecto, suponiendo que:
u1 = u3 = u
u 2 = u4 = v
resultará una energía cinética:
T
e
[1 1 º] ¡ ¡ 1
0 0 1 01 4
· (u. v. u. v). · O
= - · --Pe U
21 2
O
o
o
O O
O O
u
· Vu = - · m e · (u. 2 + v· 2 + u· 2 + v· 2 ) = - · m e · (u 2 + v· 2 )
21
·
v
que como se puede comprobar coincide con la energía cinética exacta de la barra cuando está dotada de
un movimiento de traslación cuyas componentes según los ejes locales de la barra son u' , v' .
No ocurre lo mismo cuando la barra posee un movimiento de rotación. Suponiendo por ejemplo que la
barra gira alrededor de su centro de gravedad con una velocidad angular 8', resultará una energía
cinética:
m
T e = _!_ .
2
( )2
e . Le
12
.é2
mientras que con la aproximación de masas concentradas sería:
2 . 26
U4 =-U2 = -·
o oo oo o
2
L
= � �, (o � 0 o � } �o o o o Leo . = �- [tl . 0 2 ( ') . 0 2 j =
. e
. e
o
2
·
e
1
T'
-
.
e
u ·8
2
0
4
4
+
4
-·8
2
que como se puede comprobar no coincide con la energía cinética exacta de la barra.
2. 14 . - ELIMINACIÓN DE LOS DIFERENTES SUBCONJUNTOS DE GRADOS DE LIBERTAD
LIGADOS . GENERALIDADES
En el conjunto de grados de libertad { Ug } se representarán por [Kgg] y [Mgg] las matrices de rigidez y
masas procedentes del ensamblaje de los elementos estructurales, mientras que en { Pg } se engloban las
fuerzas directamente aplicadas a los nudos y el vector resultante del ensamblaje de las fuerzas iniciales
y térmicas en los elementos estructurales. En caso de que se considere de interés podrían procesarse
separadamente las cargas directamente aplicadas y las - { S0g } procedentes de las deformaciones
iniciales y térmicas.
Las ecuaciones de equilibrio en el conjunto total de grados de libertad { Ug } se deducen del principio de
los desplazamientos virtuales, que establece:
relación que deberá cumplirse cualesquiera que sean los desplazamientos virtuales que se consideren,
con la única condición de que sean compatibles con las condiciones de ligadura.
En la relación anterior:
representa el vector fila de desplazamientos virtuales arbitrarios pero compatibles con
las condiciones de ligadura.
representa el vector columna de fuerzas directamente aplicadas en correspondencia con
los grados de libertad {Ug } . Eventualmente dicho vector engloba las fuerzas
procedentes de las deformaciones iniciales y térmicas de los elementos estructurales.
2 . 27
que se desee la matriz
ser la de masas consistentes o la de masas concentradas.
representa el vector columna de aceleraciones de la estructura, considerada rigida, a
partir de la cual se deduce el vector de fuerzas de inercia.
representa la matriz simétrica de rigidez de la estructura procedente de los elementos
estructurales.
representa el vector columna de desplazamientos.
representa el vector columna de fuerzas de inercia en los grados de libertad { U g } .
representa el vector columna de cargas en los grados de libertad { Ug } que los elementos
estructurales ejercen sobre los nudos.
2 . 1 5.- ELIMINACIÓN DE LAS LIGADURAS MULTIPUNTO
Las ligaduras multipunto son relaciones entre dos o más grados de libertad generales { Ug } . Estas
ligaduras multipunto son necesarias para imponer apoyos en direcciones arbitrarias (no paralelas a ejes
globales), p ara simular elementos estructurales muy rigidos (evitando el mal acondicionamiento de la
matriz de rigidez) y para imponer determinados desplazamientos en direcciones arbitrarias (no paralelas
a ejes globales) .
Se supone que existen m ligaduras multipunto independientes expresadas por la relación matricial :
Estas relaciones de ligadura permitirán expresar m grados de libertad { U m } en función de los n = g - m
restantes { Un } . Evidentemente la caracteristica de la matriz rectangular [Rmg] (m filas y g columnas)
deberá ser m, ya que en caso contrario las ligaduras multipunto no serían independientes. Eligiendo los
m grados de libertad dependientes de manera que la matriz cuadrada de orden m correspondiente a estos
grados de libertad sea no singular y reordenando los grados de libertad de manera que aparezcan en
primer lugar los grados de libertad { Um } resultará:
es decir:
de donde se deduce, teniendo en cuenta que [Rmm] es no singular:
2 .28
impuestas por las ligaduras multipunto son equivalentes a:
que permiten calcular directamente los grados de libertad dependientes { Um } en función de los grados de
libertad independientes { un }
Recordando que cuando se planteaba el equilibrio dinámico de una estructura libre en el espacio era
preciso incluir las fuerzas de inercia deducidas de un campo de aceleraciones de sólido rígido, pero que
cumpliera las relaciones de ligaduras multipunto y punto único, se deduce que dicho campo de
aceleraciones deberá satisfacer la relación:
Debe observarse que la relación { Um } = [Gmn] · { Un } puede escribirse en la forma:
-[/mm ] {Um } + [Gmn ] · {Un } = {Ü}
·
o lo que es lo mismo:
por lo que sin perder generalidad, puede considerarse que [Imm] y [Gmn] son las particiones de la matriz
-
[Rmg] que define las relaciones impuestas por las ligaduras multipunto.
La imposición de las ligaduras multipunto trae como consecuencia la aparición de fuerzas de ligadura
que de alguna forma deberán intervenir en las ecuaciones de equilibrio de los nudos. Interesa aplicar el
método de los multiplicadores de Lagrange ya que de este modo es posible obtener simultáneamente las
fuerzas que aparecen como consecuencia de las ligaduras multipunto.
El método de los multiplicadores de Lagrange consiste en sumar a la ecuación que se deduce del
principio de los desplazamientos virtuales cada una de las relaciones de ligadura, expresada en
variaciones de grados de libertad, multiplicadas por factores desconocidos A, eligiendo estos
multiplicadores de forma que se anulen los coeficientes de las variaciones de los corrimientos
dependientes. Si no existiesen más ligaduras que las multipunto, los restantes grados de libertad serían
independientes y de acuerdo con el principio de los desplazamientos virtuales se deberían anular también
los coeficientes de las variaciones de los corrimientos restantes. Si por el contrario, además de las
ligaduras multipunto, existen otros tipos de ligadura, la expresión deducida del principio de los
2 . 29
una vez anulados los coeficientes de los corrimientos virtuales {
, deberá
restantes .
Teniendo en cuenta que las relaciones de ligaduras multipunto pueden ponerse en la forma:
se deduce que la expresión a sumar a la ecuación obtenida al aplicar el principio de los desplazamientos
virtuales será:
'
{&U g } · [Rmg]' · {A m}
por lo que de acuerdo con el método de los multiplicadores de Lagrange deberá verificarse:
para todo conjunto de desplazamientos virtuales { &Ug} compatibles con las ligaduras, excepto las
ligaduras multipunto, para las cuales la inclusión del término [Rmg] { Am} permite considerar como
/.
independientes los corrimientos virtuales { &Um }
Separando en los vectores y matrices los términos asociados a los subconjuntos { Um } y { Un } , es decir,
definiendo:
resultará:
{liU, }' · [ { ?; }+ [M,m]· {-am}+ [ M,,]-{-a, }- [K,m] {Um}- [K,,] {U, }+ [Gmj · P-m }] = o
{Pm }+ [ M mm]· {-am }+ [ Mmn ]· {-an }- [Kmm]· {Um }- [ Kmn ]· {U11 }- {A m } = {ü}
{Um } = [Gmn] · {Un }
La primera relación es la que resulta de la deducida del principio de los desplazamientos virtuales
después de haber anulado los coeficientes de cada uno de los desplazamientos virtuales { &Um } y que
deberá verificarse para todo conjunto de desplazamientos virtuales { &Un } compatibles con las ligaduras
restantes.
2. 3 0
de los desplazamientos virtuales { 8Um } .
Finalmente, la tercera relación, consistente también en m ecuaciones, son las relaciones impuestas por
las ligaduras multipunto .
con anterioridad, y que establece que:
Esta cuarta expresión, junto con las tercera y segunda anteriores, permitirán eliminar { am} , {U m } , { Am }
resultando:
{am } = [Gmn ] · {a n }
{Um } = [Gmn ] · {Un }
{A.m }= {Pm }+ [[M mm]· [Gmn] + [ M mn ]] · {-an }- [[Kmm ]· [Gmn]+ [Kmn]] · {Un }
Sustituyendo estos valores en la primera expresión resultará:
{SUn }1 [{Pn }+ [ M nn] · {-a n }- [Knn] · {Un}] = O
•
en donde:
'
{Pn }= {� }+ [Gmn] · {Pm }
[ M nn] = [ M nn] + [ Mnm] · [Gmn] + [Gmn ] 1 [ M mn] + [Gmn ]1 [ Mmm] · [Gmn]
[ Knn] = [ Knn] + [Knm] · [Gmn ] + [Gmn ] · [Kmn ] + [Gmn f · [Kmm] · [Gmn ]
•
•
/
Se observa que una vez eliminados los grados de libertad { Um } , consecuencia de las ligaduras
multipunto, es posible escribir las ecuaciones de equilibrio en los grados de libertad restantes { Un } en la
forma normal, pero utilizando unas matrices reducidas de carga { Pn } , de masas [Mnn] y de rigidez [Knn]
definidas por las expresiones anteriores.
Las fuerzas originadas por las ligaduras multipunto asociadas a los grados de libertad { Ug} vienen
dadas por
por lo que una vez resuelto el problema estructural y conocidos los valores de los corrimientos { Un } y
aceleraciones { an } será posible mediante las relaciones deducidas en este apartado calcular los
2.3 1
2 . 1 6.- ELIMINACIÓN DE LAS LIGADURAS PUNTO ÚNICO
Una vez eliminados los grados de libertad { Um } que resultan dependientes como consecuencia de las
ligaduras multipunto, el problema estructural queda plaI1teado matemáticamente por la relación:
que debe verificarse para todos los desplazamientos virtuales { 8Un } que sean compatibles con las
ligaduras.
Las ligaduras de punto único se expresan mediante la relación:
{Us }= {Ys }
en donde { Ys } es el vector columna de desplazamientos forzados, alguno de cuyos elementos o todos
ellos pueden ser nulos.
El conjunto de grados de libertad { Un } se divide en los dos subconjuntos { Us } , { Ur} siendo este último
el subconjunto de grados de libertad independientes si no existiese otro tipo de ligaduras .
El proceso de eliminación de las ligaduras punto único se realiza también mediante la técnica de los
multiplicadores de Lagrange resultando:
relación que deberá cumplirse para todo conjunto de desplazamientos virtuales { 8Un } compatibles con
las ligaduras, excepto las de punto único, para las que la inclusión de los multiplicadores { As } permite
considerar como independientes los corrimientos virtuales { 8Us } .
Separando en los vectores y matrices los términos asociados a los subconjuntos de corrimientos { Us } y
{ Ur} , es decir, definiendo:
2.32
l 11
W, }
{8 Un }= r{Bu
f }}
{a, }= {i:; 1}
,, ]
] - (M
[M¡� ]
]
]
{i 1}
{P, } = {i� 1
}
{v, }= �;
Jl
resultará:
{8 U ¡ f · [{P-1 } +[M1s]· {-aJ+ [ M ff ] · {-a 1 } - [K1s]· {UJ- [Kff ]· {U1 }] = o
{PJ + [ M ss ]- {-a J + [ M sf ] · {-a f } - [ Kss ] · {U s }- [ Ksf l {U ¡ } + {A. J = {O}
{Us }= {YJ
La primera relación es la que resulta de la deducida del principio de los desplazamientos virtuales
después de haber anulado los coeficientes de cada uno de los desplazamientos virtuales { 8Us } y que
deberá verificarse para todo conjunto de desplazamientos virtuales { 8Uf} compatibles con las ligaduras
restantes.
La segunda relación, consistente en s ecuaciones, es el resultado de anular cada uno de los coeficientes
de los desplazamientos virtuales { 8Us } .
Finalmente, la tercera relación, consistente también en s ecuaciones, son las relaciones impuestas por las
ligaduras punto único.
Eliminando { Us } y { As } a partir de las expresiones tercera y segunda y teniendo en cuenta que de
acuerdo con las ligaduras punto único deberá ser:
{as }= {o}
resultará:
{as }= {o}
{UJ = {YJ
{A-J = -{Ps}- [Msf l {-af }+ [Kss]· {YJ+ [ K�f ]· {U¡ }
y al sustituir estos valores en la primera expresión quedará:
en donde:
2.3
]
}=
]=
[ Kff ] =
.
}
Se observa que una vez eliminados los grados de libertad { U5 } , consecuencia de las ligaduras punto
único, es posible escribir las ecuaciones de equilibrio en los grados de libertad restantes { Ur} en la
forma normal, pero utilizando unas matrices reducidas de carga { Pr} , de masas [Mff] y de rigidez [Kff]
definidas por las expresiones anteriores.
Las fuerzas originadas por las ligaduras punto único asociadas a los grados de libertad { Us } vienen
dadas por
por lo que una vez resuelto el problema estructural y conocidos los valores de los corrimientos { Ur} y
aceleraciones { af} será posible mediante las relaciones deducidas en este apartado calcular los
corrimientos dependientes { Us } , las aceleraciones dependientes { as } , los multiplicadores de Lagrange
{ As } y las fuerzas de ligadura que en este caso coinciden con { As } .
2 . 1 7 .- ELIMINACIÓN DE LAS LIGADURAS DE APOYO EN ESTRUCTURAS LIBRES
Una vez eliminados los grados de libertad { Uro } correspondientes a las ligaduras multipunto y los { Us }
correspondientes a las ligaduras punto único, el problema estructural queda definido por l a relación:
que deberá cumplirse para todo conjunto de desplazamientos virtuales { ÓUr} compatibles con las
ligaduras restantes.
Normalmente, no suele haber más ligaduras, por lo que todas las variables del vector { óUr} son
independientes y en consecuencia de la relación anterior se deduce el sistema de ecuaciones :
Si las ligaduras multipunto y punto único impuestas a la estructura impiden todos sus movimientos
como sólido rígido, las aceleraciones { ar} serán nulas y el problema estructural se reducirá a la solución
del sistema de ecuaciones
[Kff ] {U! } = {p! }
.
2.34
S i por el
será preciso incluir las fuerzas de inercia [MtrH -ar} en donde { ar} será
la estructura como sólido
el campo de aceleraciones que corresponde a la estructura comportándose como sólido rígido y que se
deduce del equilibrio dinámico.
Interesa definir un subconjunto de grados de libertad {U r} de manera que anulando estos grados de
libertad se eliminen todos los movimientos de la estructura como sólido rígido sin introducir incógnitas
hipcicstáticas.
El hecho de que de la ecuación [KtrH Ur} = { Pr} se obtengan soluciones diferentes de la { Ud = { O }
cuando { Pr} = { O } (movimientos como sólido rígido) pone de manifiesto que l a matriz de rigidez [Kff] es
singular. Representando por 1 la característica de la matriz [Kff] se deduce que es posible asignar
valores arbitrarios a r = f
-
1 grados de libertad {Ur}
determinándose a partir de las 1 ecuaciones
independientes del sistema [KtrH Ud = { O } los 1 grados de libertad restantes { U¡ } en función de los
La selección del subconjunto { Ur } puede realizarse físicamente imponiendo a la estructura un conjunto
de apoyos isostáticos o bien matemáticamente de forma que la matriz de rigidez correspondiente a los
restantes grados de libertad { U¡ } sea no singular.
El conjunto de grados de libertad { Ud se supondrá separado en los subconjuntos { Ur } y { U i } .
Desde un punto de vista cinemático, cuando las cargas { Pr} y las aceleraciones { ar} son nulas, la
estructura puede experimentar determinados desplazamientos independientes correspondientes a los
movimientos como sólido rígido, definidos por valores arbitrarios { Ur } en función de los cuales podrán
determinarse los restantes corrimientos { U1 } . En este caso será:
de donde se deduce:
[ Klr ] · {U r } + [ Ku ] {U ¡ } = {O}
·
y teniendo en cuenta que [
K11 ] es no singular será:
o bien:
{U¡ } = [ S
/r ] {Ur }
2.35
·
en donde la matriz cinemática
se define mediante la relación:
Desde un punto de vista estático, si se fijan los grados de libertad { Ur } se anularía el campo de
aceleraciones, pero a cambio aparecerían unas reacciones { 'Ar } en correspondencia con los grados de
libertad { Ur } porlo que las ecuaciones de equilibrio quedarían en la forma:
[Krr ] · {U r } + [Krl ] {U 1 } = {P, } + {A. r }
[K1r ]· {Ur }+ [Ku ]· {U 1 } = { P¡ }
con la condición adicional { Ur} = { O } .
·
De las ecuaciones anteriores se deduce:
{U1 } = [K11 r1 · {P1 }
{A.r } = -{ P, } + [Kr1 ]· [Ku r · {P1 } = -{ P, } - [S1r ]1 {P1}
En el caso en que {A. r} = - { P, }- [ S Ir ] · { P¡ } sea un vector nulo la estructura estará en equilibrio
•
/
estático y el problema quedará totalmente resuelto.
En el caso en que las reacciones { 'Ar } no sean nulas, al eliminar estos apoyos ficticios la estructura
estará sometida a un campo de aceleraciones como sólido rígido y habrá que plantear el equilibrio entre
las fuerzas reales y las fuerzas de inercia.
En este caso será:
{a1 } = [SIr ] · {ar }
y fijando los grados de libertad { Ur } , es decir, haciendo { Ur } = { O } resultará:
-{ar} } - [[Krr] [Kr1 ]] · { {ü} } = { {O}}
]
{
{{{P,Pi }}} + [[Mrr[M1r ]] [Mr1]
·
[M11 ] -[Sir ]· {ar } [Kir ] [Ku] {U1} {ü}
es decir:
{ P, }+ [[ Mrr] + [ M1r l [Sir
J]- {-ar}- [Kr1] · {U1 } = {ü}
{P1 } + [[ MIr ] + [ M 1 ] · [SIr ]] · {-ar }- [Ku] · {U 1 } = {O}
El campo de aceleraciones { ar } se deducirá eliminando { U1 } para lo cual se multiplica el segundo
1
sistema por [S1r]
[Kr1] · [Knr y se suma al primer sistema resultando:
�
=
-
[¡
{ P, }+ [s,, ¡' {P, }+ M"] + [ M,, ) [s, ]+ [s,, ¡ ' . [ M,, ]+ [s ,j . [ M11 ]· [s,,
Definiendo matrices reducidas de masas y cargas mediante las relaciones :
2.36
J} {-a,} = {o}
] = [M ] +
rr
]·
} + [s1j · {P¡ }
{Pr }
resulta:
¡
]+
]+
] ·
I
]·
] .
de donde se deduce:
Al sustituir esta valor en el segundo de los sistemas de ecuaciones anteriores resulta:
[ K ] {U } = { P¡ } ([ M Ir ] + [ M ] [S tr ]] · [ M r · { Pr }
11
•
1
11
-
de donde se puede deducir el vector de corrimientos { U1 } .
2.37
•
rr
1
Las estructuras reticulares continuas están formadas por un conjunto de vigas unidas entre sí por sus
extremos formando una malla o red. Las vigas se conectan en sus extremos mediante uniones rígidas de
manera que los desplazamientos y giros experimentados por un nudo coinciden con los desplazamientos
y giros de los extremos de todas las vigas que concurren en dicho nudo.
En el caso más general de una estructura tridimensional sometida a cargas arbitrarias, c ada una de las
vigas o elementos de la estructura estarán trabajando asimismo bajo la solicitación más general,
consistente en carga axial, fuerzas cortantes, momentos flectores y momento torsor. Para el análisis de
las estructuras reticulares continuas se supondrá que los elementos estructurales se comportan de
acuerdo con la teoría simple de flexión.
Tradicionalmente la resolución de las estructuras reticulares continuas se ha realizado considerando
como incógnitas las acciones internas en las vigas y las reacciones ejercidas por los apoyos,
determinándose dichas incógnitas a partir de las ecuaciones de equilibrio.
Si estas ecuaciones son suficientes para determinar de forma única todas las incógnitas, se dice que la
estructura es estáticamente determinada o isostática (viga empotrada en un extremo y libre en el otro,
viga simplemente apoyada, arco triarticulado, etc . ) .
S i por e l contrario, e l número d e incógnitas supera a l número d e ecuaciones d e equilibrio y e s posible
obtener múltiples soluciones, verificando todas ellas las condiciones de equilibrio, se dice que la
estructura es estáticamente indeterminada o hiperestática (viga empotrada en un extremo y simplemente
apoyada en el otro, marco, pórtico o arco biarticulado, etc .) . En este caso será necesario añadir a las
ecuaciones de equilibrio un cierto número de ecuaciones de compatibilidad de corrimientos hasta
conseguir un sistema de ecuaciones determinado, es decir, que proporcione una solución única.
De los múltiples métodos de resolución de las estructuras reticulares continuas hiperestáticas,
posiblemente el más popular consiste en suponer la estructura cortada en un número adecuado de
secciones para convertir la estructura hiperestática en isostática. En estas condiciones será posible
determinar las acciones internas (carga axial, fuerzas cortantes, momentos flectores y momento torsor)
3. 1
en todas las secciones transversales de todas las
de las acciones existentes en las secciones
,-. ,, ,CT .U'O CH'
en función de las cargas directamente '-'-!-'' "'·"-''-"""" y
siendo estas últimas las denominadas 1 11 ,-. " n-1n 1 t '' "
incógnitas hiperestáticas existan en la estructura, consistente cada una de ellas en imponer la
continuidad de desplazamiento o giro en los bordes de cada uno de los cortes realizados. Este sistema,
de tantas ecuaciones como incógnitas, permitirá determinar las incógnitas hiperestáticas con lo que el
problema estructural queda resuelto.
Como ya se ha indicado en el capítulo anterior, el método de los desplazamientos aplicado a las
estructuras reticulares continuas consiste en plantear y resolver las ecuaciones de equilibrio de los
nudos, cuando se consideran como incógnitas los corrimientos (traslación y rotación) de dichos nudos.
En el caso de las estructuras reticulares continuas planas, sometidas a solicitaciones contenidas en su
plano, ha sido muy popular en el pasado un método de resolución conocido como método de Cross, que
en esencia coincide con el método de los desplazamientos, pero en el que ligeras modificaciones que
apenas afectan a la precisión de los resultados, proporcionan una simplificación importante en el
proceso de cálculo, hasta el punto que es posible la resolución de estructuras relativamente complejas
con máquinas manuales de cálculo.
La proliferación de ordenadores personales potentes e incluso de pequeñas máquinas de cálculo
programables en las que es posible ejecutar múltiples programas disponibles en la actualidad, ha hecho
que tantos los métodos tradicionales como el método de Cross hayan perdido popularidad y hayan sido
sustituidos por el método de los desplazamientos formulado en su más amplia generalidad.
3 .2.- TEORÍA SIMPLE DE FLEXIÓN CON EFECTOS TÉRMICOS
Se supone una viga (figura 3 . 1 ) de sección uniforme y longitud L, a la que se liga un sistema de
referencia Gxyz de tal forma que Gx coincide con el eje longitudinal de la viga que contiene los centros
de gravedad de las secciones transversales, mientras que Gy, Gz coinciden con los ejes principales de la
sección transversal.
Además de las solicitaciones mecánicas, carga axial Sx, fuerzas cortantes S y, Sz, momentos flectores
My, Mz y momento torsor Mx, la viga está sometida a una variación de temperatura �T(y ,z), variable en
la sección transversal pero uniforme a lo largo del eje longitudinal de la viga.
3.2
Se suponen las hipótesis normales de la teoría simple de flexión que establecen que los corrimientos son
pequeños y que una sección transversal, inicialmente plana y perpendicular al eje Gx, se mantiene plana
después de aplicar las solicitaciones y además normal a la curva elástica formada por los puntos que
inicialmente se encuentran en el eje Gx.
La posición final de una sección transversal arbitraria quedará definida por los desplazamientos u0(x),
v0(x), w0(x) experimentados por el centro de gravedad de dicha sección transversal y por los giros
8x(x), 8y(x), 8z(x) alrededor de los ejes Gx, Gy, Gz.
En particular, como la sección transversal debe mantenerse normal a la línea elástica deberá ser:
� (x) =
y (x) =
dw c (X) - - W0 ( X )
_
dx
dv c ( x ) = v0, (x)
/
dx
El corrimiento u(x,y ,z) según el eJe Gx experimentado por un punto arbitrario de una sección
transversal de la viga vendrá dado por:
u(X , y, Z) = U G ( X) - Y (X) · y + � (X) · Z = U G (X) - V � (X) · y - W � (X) · Z
La deformación total Yx en dicho punto arbitrario será en consecuencia:
_
Yx -
du(x, y, z) U , ( X ) - V ( X) y - W ( X ) Z
·
G
G
dx - G
"
_
La deformación mecánica Ex será la total menos la térmica:
3.3
"
·
Ex =Yx -a ·
z)
. y-
·
z-a
·
z)
de donde se deduce un esfuerzo:
Las condiciones de equilibrio en la sección transversal proporcionan las tres relaciones siguientes :
L cr x · dA = u; ( x) A · E - v � ( x) · E · L y · dA w � ( x) · E fp dA - E · a · L �T(y, z). dA
- Mz = L cr · y · dA = u ; ( x) · E · L y · dA - v � ( x) · E · L y 2 · dA - w � ( x) · E · L y · z · dA - E · a · L �T(y, z) . y · dA
MY = L cr · z dA = u� (x) · E · fp dA - v �(x) · E · L Y · z · dA - w�(x) · E · Lz 2 · dA - E · a · L �T(y, z) · z · dA
Sx
·
x
x
·
·
Teniendo en cuenta que los ejes Gy, Gz pasan por el centro de gravedad de la sección transversal y que
coinciden con los ejes principales de la sección, se verificará:
Ly·
dA
= Lz · dA = L y · z · dA = O
Por otra parte, definiendo las acciones térmicas STx? MTy, MTz mediante las relaciones :
Srx = L E · a · �T(y, z) · dA
- Mrz = L E · a · y · �T(y, z) · dA
MTy = L E · a · z · �T(y, z) · dA
resultará:
Sx = E · A · u ; (X) - STx
M z = E · / · V� ( X) - M Tz
M y = - E . I . w � (X) - MTy
z
y
o bien:
E · A · u ; (x) = Sx + STx
E · /Y · w� (x) = -( M y + Mry )
E · /z · V� ( X ) = Mz + M Tz
Estas relaciones permiten calcular la deformación axial de la viga y las curvaturas de la línea elástica a
partir de las solicitaciones mecánicas y térmicas .
Puede observarse que las deformaciones de la viga cuando existen efectos térmicos son análogas a las
que la viga experimenta cuando tan sólo existen solicitaciones mecánicas con la única diferencia de que
ahora las acciones (carga axial y momentos flectores) son los correspondientes a las cargas mecánicas
más las correspondientes acciones térmicas equivalentes ( Srx , M Ty , M Tz ) .
Por su parte, estas acciones térmicas equivalentes son la carga axial y los momentos flectores que
corresponden a un campo de esfuerzos ficticio cr x = E · a
·
�T(y, z) , que provoca unas deformaciones
mecánicas iguales a las deformaciones térmicas que existen realmente en la sección transversal.
3.4
. . . �.u .
..
-�
�� ,
al sustituir la deformación axial y las curvaturas de la
campo de esfuerzos normales resultará:
Como puede comprobarse, el campo de esfuerzos se obtiene a partir de la fórmula normal pero
considerando como acciones (carga axial y momentos flectores) las acciones mecánicas más las
térmicas equivalentes y restando posteriormente el esfuerzo normal ficticio que genera una deformación
mecánica igual a la deformación térmica existente en cada punto de la sección transversal.
3.3.- CORRIMIENTOS PRODUCIDOS POR LA DEFORMACIÓN DE CORTADURA
La hipótesis indicada en el apartado anterior de que las secciones planas se mantienen planas después de
la deformación, es básicamente correcta en el caso de flexión pura de vigas, salvo en las proximidades
de las secciones empotradas o en las que se apliquen cargas concentradas. Si por el contrario la viga
está sometida a flexión simple, caracterizada por la existencia de fuerzas cortantes, las distorsiones
angulares originadas por los esfuerzos cortantes 'txy ,
'txz
alabearán la sección transversal y en
consecuencia dejará de ser plana. El alabeamiento de la sección transversal provocará corrimientos
adicionales de la línea elástica en los planos xy, xz que representaremos respectivamente por v05, was .
En este apartado se determinará el corrimiento adicional vas de la línea elástica en una viga con una
sección transversal sencilla, generalizándose posteriormente los resultados obtenidos a otra secciones y
solicitaciones .
Se considera un elemento de viga (ver figura 3 .2), de longitud dx, cuya sección transversal tiene la
forma rectangular de base b y altura h .
Sobre la viga está actuando una fuerza cortante S y y s e pretende calcular los corrimientos originados
por las deformaciones de cortadura.
De acuerdo con la teoría simple de flexión la componentes 't xz es nula en todos los puntos de la sección
transversal y la componente 't xy se distribuye uniformemente a través de la anchura de la viga, por lo
que aplicando el teorema del flujo cortante se deduce que los esfuerzos cortantes en la sección
transversal se distribuye de acuerdo con la relación:
1: xy
(
· y2
1
4
= �2 · �
·
b·
h
3 .5
h2
J
1
Para determinar el corrimiento relativo de una sección transversal con respecto a la otra se utiliza el
método de la carga unitaria para lo cual se considera una carga virtual S/
1
dv s = fv {y } {cr'} · dV
•
= resultando:
en donde {y} es el vector columna formado por las deformaciones totales reales y { cr"} es el vector
columna formado por los esfuerzos virtuales en equilibrio con la carga virtual unitaria.
Las únicas componentes de {y} y { cr"} son:
{1- J
1 (1 - J
s
y 2 · b · dy ·
4 . y2 · ·
dv s = f-h1h/2 2 . b" h . ( l - 7
. (l - 7
2
h
2 G· ·
J b·
J dx =
s
.hy2 2 + -l/ 2 ( - r¡ 2
. y 4 · dy = dx
·
i
· 4 ) · dr¡
= dx · -4 G · bs2 · h 2 b f-h/ht22 ( - -h J
G· b · h
= dx + /� h G H � - 312 ) = dx - � - /� - h = dx · (i'
c - b · h)
Y�- = �; = % /� - h \(
= �2 · b · h · 4 h· /2
1: '
--
xy
y en consecuencia:
3
3
9
·
\'
·
·
·
-s-
1
8
1
16
4.
9
2
· - ·
4
+ 16
de donde se deduce:
S ·\. -=
dx G · AY
dv
_
s
3 .6
\'
·
0
1
8
·
+
16
n
•1
=
se denomina área reducida en cortadura en dirección del
en donde
en el caso de una sección
que como
del área total de
sección transversal (b·h en el caso de una sección rectangular) .
El corrimiento
v s calculado anteriormente es el correspondiente al valor medio en la sección
transversal. Suponiendo que todos los puntos de la sección transversal experimentan el mismo
corrimiento vs resultará una distorsión angular en el plano xy:
d u dv 5
dy dx
Y Á) = - + y teniendo en cuenta que:
sy
dvs =
dx G · (5 ! 6) · b · h
------
resultará:
(2-. ¿J
de donde integrando, teniendo en cuenta que en y = O es u = O, se deduce:
u = G s· by · h . 1 0 y 2 . h 2
-
o bien:
mientras que
d(v5 / h)
d(x / h) G · (5 / 6) · b · h
Estas relaciones definen el alabeamiento de la sección transversal.
Para calcular la curva elástica de una viga v G = v Gb + v Gs , incluyendo la deformación en cortadura, se
puede seguir suponiento que las secciones transversales se mantienen planas de manera que una
rebanada de la viga, de longitud dx, tal como la mostrada en la figura 3 .3, experimenta un giro igual a
dv Gb / dx y una distorsión angular constante e igual a dv Gs / dx . Al incluir la deformación en
cortadura es importante tener presente que la curvatura de la viga que se relaciona con el momento
flector es d 2 v Gb / dx 2 y no d?- v G / dx 2 .
3.7
.� . . . . .., . .. ,v,
pero considerando ahora una fuerza cortante
resultaría:
en donde Az = (5/6) ·b·h sería el área reducida en cortadura en dirección del eje Gz.
3 .4.- MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA. GENERALIDADES
En el método de los desplazamientos, aplicado a las estructuras reticulares continuas, se plantean las
ecuaciones de equilibrio de los nudos considerando como incógnitas básicas los corrimientos
(traslaciones y giros) de dichos nudos. Es evidente que para poder plantear dichas ecuaciones de
equilibrio será necesario determinar previamente las acciones que las vigas ejercen sobre los nudos, o lo
que es equivalente, las que los nudos ejercen sobre las vigas, en función de los corrimientos de los
extremos de las vigas, dando lugar, análogamente a lo que ocurría en las estructuras articuladas, a las
matrices de rigidez.
Se suponen vigas rectas, en las que coinciden los centros de gravedad y cortadura. En la figura 3 .4 se
muestra una de tales vigas, definida por sus nudos extremos i y j . Se considera ligado a dicha viga un
sistema de referencia local ixyz en el que el eje ix coincide en dirección y sentido con el segmento que
une el origen i de la viga con su otro extremo j . Por su parte los ejes iy, iz coinciden con los ejes
principales de la sección transversal de la viga.
3.8
Todos los desarrollos
se refieren a la
que se
que
ser
como elemento e, y aunque de acuerdo con la notación utilizada en el capítulo 2 todas las magnitudes
asociadas deberían llevar el superíndice e, por simplicidad se prescindirá de dicho superíndice que
implícitamente se supondrá presente en todas las propiedades que afecten a la viga o elemento
estructural e.
En principio se supondrá que sobre la viga no actúan cargas directamente aplicadas, por lo que las
únicas acciones que actúan sobre la viga son las que sobre ella ejercen los nudos extremos y que se
definen mediante los valores s1 a s12 mostrados en la figura 3 .4.
Ft¡ 3J1
Al considerar los ejes principales de la sección transversal resultarán desacoplados los problemas de
tracción, torsión y flexión en cada uno de los planos principales .
Finalmente se supondrá una variación de temperatura �T(y,z) arbitraria en la sección transversal pero
uniforme a lo largo de la viga.
3 .9
En el caso en que la viga esté sometida únicamente a fuerzas axiales, la expresión que relaciona
solicitaciones con corrimientos es (ver apartado 3 .2)
du G S + S
A · E · -x Tx
dx
•
l
1-1:¡ 3, S
en donde:
STx = L E · a · fiT(y, z) - dA
Teniendo en cuenta que la carga axial Sx coincide con s 7 resultará:
du G = s + S
A·E·7 Tx
dx
de donde integrando se obtiene:
con las condiciones de contorno:
x=O
para x = L
para
Imponiendo estas condiciones de contorno resulta:
A . E . U¡ = C¡
A · E · u7 = (s7 + S Tx ) L + C1
·
de donde se deduce:
A E · u7 = ( s7 + STx ) L + A E · U ¡
·
·
·
o lo que es lo mismo:
A·E ·u -S
A · E · u + -s7 = --7 Tx
1
L
L
La condición de equilibrio de la viga según el eje x establece:
de donde se deduce
3. 1 0
A-E · +
A · E · u - -s1 = - s7 = -1
L
L u7
A - E - -A·E ·u +S
·
s 1 = -L u 1 L 7 Tx
A - E · U + -A - E · U - STr
S7 = - -7
1
L
L
con la relación general
{s} = [k ) - {u} + {s0 }
se deduce
A·E
k 1 . 1 = -L
A ·E
k 1.7 = k 1,1 = - L
A·E
k ? .1 = Lso.1 = S Tx
So, 7 = -STx
siendo nulos los elementos restantes de las filas 1 y 7 de la matriz de rigidez [k] .
3.6.- MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA. EFECTO DE LOS MOMENTOS TORSORES
En el caso en que la viga esté sometida únicamente a momentos torsores, la expresión que relaciona
solicitaciones con corrimientos es:
de x = M
X
dx
Teniendo en cuenta que el momento torsor Mx coincide con s 1 0 resultará:
de X = siº
e J.
dx
G. J .
.
de donde integrando se obtiene:
con las condiciones de contorno:
x=O
para x = L
para
3. 1
Imponiendo estas condiciones de contorno resulta:
G . J . U4 = C¡
G . J . U 10 = S10 . L + C¡
de donde se deduce:
G · J · u1 0 = s10 · L + G · J · u4
o lo que es lo mismo:
G· J ·u + G· l u
s 10 = - -4 -- · 1 0
L
L
La condición de equilibrio de momentos que actúan sobre la viga según el eje longitudinal x establece:
de donde se deduce:
Comparando el resultado final
G· l
G·l
S4 = L · U4 - L ' U 10
G · l · u + -G·l ·u
s 10 = - -4
10
L
L
con la relación general:
{s } = [k ] · {u} + {s0 }
se deduce:
G·l
k4 , 4 = -L
G·J
k 4 ' = k 1 0. 4 = - -L
G·l
k 10' 1 0 = -L
Ü
o
=
S ,4
So , 1 0 = Q
IO
siendo nulos los elementos restantes de las filas 4 y 1 O de la matriz de rigidez [k] .
3. 1 2
Los corrimientos v0 de la línea elástica en el plano principal xy pueden descomponerse en los vab
originados por las deformaciones de flexión y los vas originados por las deformaciones de cortadura.
Vv,,
��
G
Pa
!Y
V
.
J
l.
• ::$ 2.
''
,U 9
1 &u.
.X
�Un.
4.l 2
"Ft¡ 3,/-
Los corrimientos de flexión vGb vienen definidos por la ecuación diferencial (ver apartado 3 .2)
d 2 V Gb
E · l z · -= M + M rz
dx 2- z
en donde:
M Tz = -L E · a · f1T(y, z) · y · dA
mientras que los corrimientos de cortadura vas responden a la ecuación diferencial (ver apartado 3 . 3)
G.
A y . dv as = S y
dx
en donde Ay es el área reducida en cortadura en dirección del eje y, que puede determinarse a partir del
método de la carga virtual unitaria una vez conocida la distribución de esfuerzos cortantes 'txy , 'txz
correspondiente a una fuerza cortante S y (por ejemplo en el caso de una sección transversal rectangular
es Ay = (5/6)-b·h) .
Teniendo en cuenta que l a fuerza cortante S y y el momento flector M z vienen dados por:
S y = s8
M z = s1 2 + s8 · (L - x)
resultará:
3 . 13
Ve = Veb + Ves
= S 1 2 + Sg . L +
G·
dx
- Sg · X
= Sg
1
Integrando la segunda de las tres ecuaciones anteriores se obtiene:
E · I z · dvdxGb = (s1 2 + s · L + M Tz ) · x - -2 · s · X 2 + e1
8
--
8
con las condiciones de contorno:
dv Gb = u
dx
6
para
x=O
dv Gb = U
dx
12
para
x=L
--
--
de las que se deduce:
E . ¡ z . u6 = e1
E · / 2 · u 1 2 = (s1 2 + s8 · L + M y.J · L - _!_2 · s8 · L2 + e1
Resolviendo estas ecuaciones se obtiene:
e1 = E . ¡ z . u 6
s 1 2 = - _!_2 · s · l - M Tz _ E L· l z · u 6 + E · l z · u 1 2
L
8
y en consecuencia la expresión integrada de la ecuación diferencial de los corrimientos de flexión queda
[1
en la forma:
] 1
E · I z · u + -E 1z · u · x - - · s · x2
E · I z · dvdxGb = E · I z · u6 + -2 · ss · L - -6
2 s
L
L 12
vGb + VGs de la línea elástica queda definido por la
En estas condiciones, el corrimiento total VG
--
ecuación diferencial:
·
=
(
dv0b + dv 0s =
E · / 2 • dvdx0 = E · /2 • ----;¡;----;¡;= E · I z · u 6 + [ -1 · ss
2
cuya integral es :
l
J
· L-
] 1
E · I z · u + -E · !z · · - ·
E · !z · s
2 + -u
·
x
s
x
1
2
6
s
G . A- s
2
L
L
--
] 1 [1
)'
]
1
E · ! 2 · · x · - · s · L -E · !2 · · x 2 - · · x 3
s + -2 2 8 - E · ! 2 · u 6 + -E · /z · v G = e2 + E · ! z · u 6 + --6 s
G . A-'
L
L u1 2
)
8
con las condiciones de contorno :
para
para
3.14
x=0
x= L
8
E . J z . U2 =
E l , u8 C2
+
·
1,
u6
E·
+ � [� s 8 · - E � . u
l
A
+ �.· , · s8
L
L
6 +
L
1 s
- ·
6
de donde se deduce:
(
expresión equivaiente a:
J
-1 · ss L3 · 1 + 12 · E · I z = -E · 1 z u2 - -1 · E I z · L · u 6 + E · I z · us - -1 · E · 1 z · L · u1 2
2
2
12
L2 G . A )
·
.
'
Representando por <l>y la relación:
·
·
12 · E · Iz
Y L2 · G · A )
<!> =
la expresión anterior queda en la forma:
Sg =
'
l2 · E · f z · U - 6 · E · fz · U + l2 · E · fz · U - 6 · E · fz ' U
g 2 (
3
L · l + <I> .r ) 1 2
L · (l + <I> y ) 2 L2 · (l + <I> .r ) 6 L3 · (l + <I> y )
Por otra parte y teniendo en cuenta que:
s 1 2 = - -1 · s · l - M Tz _ E · f z · U6 + E · f 2 · U 1 2
2
L
L
8
__
se deduce:
Finalmente, las condiciones de equilibrio de la viga establecen:
s 2 + s8 = Ü
s 6 + s1 2 + s8 · L = O
de donde se deduce:
Comparando el resultado final:
3 . 15
--
8
.
s6 =
-----
.
U2
+
E· f •
2
L·
+ <P y
. u6 -
-----
. U3 +
E· f •
2
------
L·
.
U1 2 + M
Tz
con la relación general
{s} = [k ] · {u} + {s0 }
se deduce:
12 · E · J
k 2,2 - 3 ( z
L . 1 + <1> )
Y
6 · E · Jz
k6,2 - 1
L . ( 1 + <1> )
12 · E · /
k8,2 = 3 ( 2
L · 1 + el»· )
6· E· J
k 1 2,2 - 2 . ( z
L 1 + <I> )
So ,2 = Q
Y
Y
12 · E · /2
3
L (1 + <I> )
6·E· J
k2,6 - 1 . (
L 1 + <I> )
E · /2 · ( 4 + <I> y )
k6,6 = . (
L 1 + <I> )
6·E·l
k8,6 - - L2 ( z
. 1 + <I> )
E · I · (2 - <I> )
k 1 2,6 -L - ( l + <I> )' )
S o ,6 = MTz
z
•
Y
6 · E · /2
2
L · (1 + cD )
12 · E · Jz
k8,8 = 3 .
L (1 + cp )
------
Y
Y
z
Y
Y
Y
Y
------
So,8 = Q
6 · E · /2
2
L · (l + cDy )
6·E·
k 2, 1 2 - 2 . l
L ( 1 + cp )
E · I (2 - <I> y )
k6, 1 2 - z
L . ( l + cp )
6 · E· l
k8, 1 2 -- - L1 . (
1 + cp )
E · f2 · (4 + ©y ) -k 1 2, 1 2 -- ---L . ( l + cp )
s o . 1 2 = - MTz
z
·
Y
Y
z
en donde:
cp Y
12 · E · I z
= 2
L ·G·A
y
siendo nulos los elementos restantes de las filas 2, 6, 8 y 12 de la matriz de rigidez [k] .
3 .8 .- MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA . EFECTO DE LOS MOMENTOS FLECTORES Y
FUERZAS CORTANTES EN EL PLANO PRINCIPAL xz
El efecto de los momentos flectores y fuerzas cortantes en el plano principal xz puede deducirse de los
resultados obtenidos en el apartado anterior teniendo en cuenta que, salvo el cambio de signo en algunas
magnitudes, las ecuaciones que relacionan acciones y corrimientos son idénticas. No obstante se decide
realizar el desarrollo completo en el que fácilmente se advertirá la repetición de razonamientos y
fórmulas .
3 . 16
Y
Y
Los corrimientos
w0
de la línea elástica en el
deformaciones de cortadura.
J
js l
.
l.,
.Ll�
'l
:1g
Ft3 3. 8
�
"
Los corrimientos de flexión wGb vienen definidos por la ecuación diferencial (ver apartado 3 .2)
1
E . ¡ z . d w2Gb = -M )' - M Ty
dx
en donde:
mientras que los corrimientos de cortadura W0o responden a la ecuación diferencial (ver apartado 3 . 3)
G . A z . dwas = S
dx
z
en donde Az es el área reducida en cortadura en dirección del eje z, que puede determinarse a partir del
método de la carga virtual unitaria una vez conocida la distribución de esfuerzos cortantes 'txy, 't xz
correspondiente a una fuerza cortante Sz (por ejemplo en el caso de una sección transversal rectangular
es Az = (5/6) ·b·h).
Teniendo en cuenta que la fuerza cortante Sz y el momento flector My vienen dados por:
S z = S9
M y = s 1 1 - s9 · ( L - x )
resultará:
W = WGb + WGs
d 2w
E . / y dx 2Gb = -S¡ 1 + S9 . L - S9 . X - M Ty
dw as
G · Az · -= S9
dx
Integrando la segunda de las tres ecuaciones anteriores se obtiene:
w Gb = (- s
E · 1 Y . -d
dx
11
2
1
)
.
s
.
s
.
L
+ 9 - M . x - 9 . x +e
Ty
con las condiciones de contorno:
3.17
2
!
dx = -U 5
dwcb
--;¡;- = - U¡
1
para
x
O
para
x
=L
de las que se deduce:
-E · l y · u5 = C1
-E · I y · u 1 l = (-s 1 1 + s9 L - M Ty ) · L - -1 · s9 · L2 + C 1
y
·
2
Resolviendo estas ecuaciones se obtiene:
el
= - E . /)' . U 5
E · I -" u -E · ly
s 1 1 = -1 · s9 · L - M Ty - -·
· u1 1
5+
L
L
2
y en consecuencia la expresión integrada de la ecuación diferencial de los corrimientos de flexión queda
en la forma:
(
J
E . ly u E . ly u
dw Gb = - E · l · u + -1 · s9 · L + -· - -· 1 1 · x - -1 · s9 · x 2
E · l · -L
L
2
»
2
» dx
s
s
En estas condiciones, el corrimiento total w0
= wGb + was de la línea elástica queda definido por la
ecuación diferencial:
cuya integral es :
con las condiciones de contorno :
x=O
para x = L
para
Imponiendo estas condiciones de contorno se obtiene:
E . / )' . U3 = C2
) 1 (1
(
) 1
E · ly
E · ly
E · lv
2
3
E · I . ' U 9 = e? + - E · I ). . u 5 + -- · S9 . L + - · - · S9 . L + -- · u5 - --· · u 1 1 . L - - · S9 . L
)
L
L
G · Az
-
de donde se deduce:
22
(
6
J
E · l L2 1
E . I ). . u9 = E . I ). . U3 + S9 . L . G · A + 1 2 - -2 . E . I >. L . u5 - -21 . E . l . . L . u
r
·
--
-
z
expresión equivalente a:
3. 1 8
.
)
1 1
- · S9 .
. · u3
= -E ·
12
_\
+ 1 · E · o L o U 5 + E . \' o U 9 + -1 o E . ¡ \' L o U 1 1
-
o
2
2
o
o
la expresión anterior queda en la forma:
6 · E · ly
· E · ly
6 · E · ly
12 · E · ly
· U 5 + 12
·U
· U9 + 2
· U3 + 2
S9 = - 3
L · (1 + <I> z ) 1 1
L3 · (l + <I> z )
L · (l + <I>z )
L · (l + <I>z )
Por otra parte y teniendo en cuenta que:
E · ly
E · ly
s 1 1 = -1 · s9 · L - M Ty - -- · u5 + L · u 1 1
L
2
--
se deduce:
Finalmente, las condiciones de equilibrio de la viga establecen:
s 3 + s9 = Ü
S5 + S 1 1 - S9 . L = o
de donde se deduce:
Comparando el resultado final :
6 · E · ly
12 · E · I
6 · E · IY
l2 · E · I
S 3 = L3 + Y . U 3 - L2 + . U5 - L3 . + Y . U 9 - 2 .
. U1 1
z
(1
(1
+
(1
<I>
z
)
<I>
)
(1
L
<I>
z
)
<I>J
.
.
·
6 · E · lr
E · r · ( + <I>z )
6 · E · lr
. · U 9 + E · ly. (2 - <1> 2 ) · U 1 1 + M Tr
· U3 + f . 4
·U + 2
s = 2
L . (1 + <l> )
L (1 + <l> z )
L . (1 + <l> z )
L . (1 + <l> z )
6 · E · lr
12 · E · lr
12 · E · lr
6 · E · l,
S 9 = - L3 · + . · U 3 + L2 · (1 + . · U 5 + L3 · (1 + . · U 9 + L2 + . · U 1 1
· (1 <I> z )
(1 <I>z )
<I>z )
<I>z )
E I ,. · (2 - <I> z )
E · r · (4 + <I> z )
6 · E · Ir
6 · E · Ir
S 1 1 = L2 (1 + cD . U3 + L : (1 + <l> J . U5 + L2 . + cD . U 9 + LJ: (1 + <l> z ) . U ¡ 1 M Tr
(1 z )
z)
.
s
.
z
s
·
-
con la relación general
{s } = [k ] · {u} + {s0 }
se deduce:
3 . 19
=
2. .¡
. (1 +
6· E · /
12 · E ·
. (1 +
6· E·
-----
)'
¡ -
)'
k 5. 3 - - L2 (l
. + )
12 · E · 1
k 9 , 3 = L3
· (1 + <I> z )
6· E· I
k 1 1 , 3 - - L2 · (
l + <t>z )
=
so,5 = M Ty
So, 3 Ü
k 5,9 - L2 (l
+
. + )
12 · E ·
6·E . ¡
-k 9 , 9 - L3
k
9.1
1
L2 · (l + <t> z )
. (l + )
6·E·l
E · l ·" · (4 + <I> )
---k 1 1,9 - L2 (
k 1 1 , 1 1 = -L · (l + <t> z )
. l + <t> z )
So,9 = Ü
So,1 1 = - M Ty
)'
-----
)'
)'
)'
2
en donde:
<I> =
2
12 · E · 1
y
L2 · G · A z
siendo nulos los elementos restantes de las filas 3, 5, 9 y 1 1 de la matriz de rigidez [k] .
3 .9.- MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA. RESUMEN
Agrupando la información obtenida en los apartados anteriores se obtiene finalmente la relación entre
acciones y corrimientos mostrada en la figura 3 . 9, en donde aparecen detallados todos los elementos de
la matriz de rigidez [k] y del vector columna de fuerzas térmicas { s0 } . Es evidente que tanto las
acciones como los corrimientos están expresados a partir de sus componentes locales y que antes de
proceder al ensamblaje de las matrices de rigidez y fuerzas térmicas habrá que transformarlas para que
queden expresadas mediante sus componentes globales utilizando las correspondientes matrices de
transformación de coordenadas tal como se verá más adelante.
3 . 20
E·A
L
o
o
o
r¡
.
.1·
s
2
o
3
·'" 4
s5
w
i-v
.1'6
1
/
"'
7
.�s
.1·9
.l' J O
.I'] ]
s¡
2
=
o
E·A
-L
o
o
o
o
1 2 · E · f;;.
¿:. · l
( + <l> y )
o
o
o
6 · E · lz
L2 · 1 +
(
<l>y )
o
1 2 · E · f;;.
¿3 · l
( + <I> y )
o
o
o
o
o
¿2 · 1
( + <I> y )
6 · E · f;;.
o
o
o
1 2 · E · fy
¿3 · (l
+
o
<l> z )
6 · E · fy
¿2 · (1
+ <1> z )
o
1 2 · E · fy
<I> z )
6 · E · fy
L2 · (1 +
o
G·l
L
o
o
o
o
o
o
o
L3 · (l +
o
<I> z )
o
o
G·l
-L
o
o
o
6·E·f
y
L2 · (1 +
<1> z )
E · fy · (4 + <1> 2 )
L · (l +
<l> z )
o
L2 · (1 +
<I> z )
E · ly · (2 - <I> z )
o
o
o
o
o
E · lz · (4 + <I>y
6 · E · f;;.
6 · E · fv
L · (1 +
o
o
o
<I> z )
o
¿2 · l
( + <l>y )
L· l +
<I> y )
(
o
o
L
6 · E · f;;.
o
o
E· A
o
)
¿2 · l
( + <t> y )
o
o
o
y)
L· l +
(
<I> y )
Fi"O 3, 5
o
o
¿2 · l
( + <I> y )
E · lz - (2 - <I>
o
o
o
o
¿3 · 1
( + <1> y )
o
E· A
L
o
o
1 2 · E · l;;.
6 · E · lz
o
l 2 · E · I;;.
¿3 · l
( + <I> y )
o
o
o
o
o
¿2 · l
( + <l> y )
6 · E · l;;.
o
o
o
1 2 · E· l
y
L3 · ( 1 +
o
c1>z )
6 · E · fy
L2 · (1 +
<1> z )
o
1 2 · E · fy
<t> z )
6 · E · fy
L2 · (1 +
o
o
G·l
-L
o
<I> z )
o
o
G·l
L
o
o
o
�
o
6· E·f
¿2 · l
( + <l> y )
y
L2 · (1 + c1>
o
z)
E · ly · (2 - <1> 2 )
L · (1 +
<1> 2 )
u
)
o
· (4 + <I> z
<I> z )
o
)
E · l z · ( 4 + <I>
o
u5
U6
u
u9
UJ O
u¡ 1
y)
L· l +
<I> y )
(
o
o
u4
u¡
o
o
STx
3
7
ug
¿2 · l
( + <l> y )
+ <t> z )
o
o
6 · E · f;,
6 · E · fy
L · (l +
u¡
uz
o
o
E · ly
o
L· l +
<I> y )
(
o
¿2 · (1
o
E · lz - (2 - <l> y
o
o
o
o
o
o
o
¿3 · (!
+
o
2
+
MTz
- ST
x
o
o
o
- MTy
- MTz
de
conimiento asociadas a cada una de las acciones independientes que se han considerado . A continuación
se presentan dichas leyes de desplazamientos en las que
� representa la variable adimensional �
=
x/L .
TRACCI ÓN
TORSI ÓN
8 x = (1 -
�) . U4 + � · U1 0
FLEXI ÓN EN EL PLANO PRINCIPAL xy
+ � · { [2 · E, 3 - 3 · E, + 1 + (1 - E, ) · <!> ) · u2 + [ E, 3 -2 · E, + E, + ± · (E, - E, ) <!> J L . u6 +
+[-2 . E, 3 + 3 . E, + E, . <!> l Ug + [ E, -E, 2 -± . (E, - E, 2 ) <!> l L U¡ 2 }
d¿• 1 + ¡<!> . ¡ [6-E, ' - 6 . e, } ul + [3 . E,' - 4 E, + 1 + (1 - E,) . <!> ) . u6 + [-6 . E, + 6 E,)- u¿ +
+[3 · � 2 - 2 · � + � · <l»l U 1 2 }
v
G =
1
2
r
2
=
2
,.
J
y
•
·
,
J
.
)'
2
r
2
FLEXI ÓN EN EL PLANO PRINCIPAL xz
l { [2 . E, 3 - 3 . E, 2 + 1 + (1 -E,) . <!>J u, + [-E, + 2 . E, 2 - E, -± . (E, - E, 2 ) . <!> l L . u5 +
+ <l>
+[-2 E, 3 + J.C,' + E, <!>J u9 + [-E, 3 + E, 2 + ± · (E, - E, 2 ) · <!>, l L · U 1 1 }
�b J +J<!> · { [6 · E, 2 - 6 e,} ¡ + [-3 · E, 2 + 4 · E, - J - (J - E,) · J u5 + [-6 · E, 2 + 6 · e, } U{ +
+[-3. � 2 + 2 . � - � . <!> l U¡ 1 }
U
u9 + 1 . <!> . u }
dw
3 1 . <!> . u5 + <!> . . {- <!>z . -+
11
L 2
L 2
dx l + <I>
wG =
1
=
Gs
J
z
z
}
-- = -z
z
cJ:>
z
-
z
-
z
z
3 . 1 1 .- FUERZAS CONCENTRADAS EQUIVALENTES
En todos los desarrol los realizados hasta el momento se ha supuesto que eran nulas las cargas
directamente aplicadas a las vigas, obteniéndose para una viga individual la expresión :
3 .2
+
=
que relaciona los corrimientos locales
}
} de los extremos de las
con las acciones locales { s } que
se ejercen sobre la viga a través de la matriz simétrica [k] de rigidez de la viga y del vector { s0 } de
fuerzas térmicas .
Sin embargo, con frecuencia sobre las vigas actúan cargas distribuidas o concentradas que deberán ser incluidas en el proceso de análisis.
Inicialmente se considerará una carga directamente aplicada sencilla y mediante un desarrollo análogo
al realizado en apartados anteriores se determinará su efecto. Posteriormente se generalizarán los
resultados, proponiéndose un método equivalente pero mucho más simple, para incluir el efecto de
cualquier tipo de carga directamente aplicada a la v iga.
Se supondrá que sobre la viga actúa una carga uniformemente distribuida de valor q en dirección y
sentido del eje principal de inercia y .
S e supone además que n o existen efectos térmicos y a que la influencia de las deformaciones térmicas y a
h a sido tenida en cuenta anteriormente.
Fi� 3. 1 0
Al igual que se hizo anteriormente se supone que los corrimientos v0 de la línea elástica en el plano
principal xy puede descomponerse en los vab originados por las deformaciones de flexión y los vas
originados por la deformación de cortadura.
Los corrimientos de flexión vienen definidos por la ecuación diferencial (ver apartado 3 . 2)
d 2 v Gb
E · l · -dx 2 = M
2
2
mientras que los corrimientos de cortadura vas responden a la ecuación diferencial (ver apartado 3 .3)
dv as
G · A Y · -;¡;= Sy
3 .23
Teniendo en cuenta que la fuerza cortante
sy = sg + q ·
y el momento flector
dados por:
x ) + _!_2 · q · ( L x ) 2
resultará:
2
E · l · d 2Gb = s 1 2 + s8 · ( L - x ) + -21 · q · ( L - x )2
dx
dv G
r; . A
s =
+
( T . - Y\
dx
z
-
- -y
V
--
s_
- 15
.
.
n .
-1
,-
-
·
!
Integrando la segunda de las tres ecuaciones anteriores resulta:
)
(
dv Gb
E · l · -= s 1 2 + s8 · L + -21 · q · L2 · X - -21 · (s8 + q · L) · X + -61 · q · x + e1
dx
z
2
3
con las condiciones de contorno:
dv Gb
-dx = u 6
dv Gb
=U
-dx 1 2
para
x=O
para
x=L
de las que se deduce:
E · 12 u6 = C1
E · l · u 1 2 = s 1 2 + s8 · L + -21 · q · L2 · L - -21 · (s8 + q · L) · L2 + -1 · q · L3 + C1
6
•
z
)
(
Resolviendo estas ecuaciones se obtiene:
C1 = E · f 2 · u 6
E·l · +E·l ·
s 1 2 = - 21 · s8 · L - 61 · q · L2 - �
u6 � u 1 2
y en consecuencia la expresión integrada de la ecuación diferencial de los corrimientos de flexión queda
en la forma:
(
)
l
E · l2 ·
dv Gb
E · l · -= E · l · u6 + -21 · s · L + -1 · q · L2 - E · · u 6 + -L u1 2 · x L
dx
3
- 21 . (s8 + q · L ) · x 2 + 61 · q · x En estas condiciones, el corrimiento total VG = vGb + vGs de la línea elástica queda definido por la
z
z
z
--
s
1
ecuación diferencial:
3 . 24
E·
dx
e�,, + d�')=
= E · ! · u 6 + (_!_ · ss · L + _!_ · q ·
2
E
z
1
+- · q · x3 +
6
cuya integral es :
L
L
3
E·
· (s + q · L - q · x )
G · A -" 8
)
· u 1 2 · x - _!_ · (s 8 + q ·
2
. x2 +
______::_
[
}
: �'.
·
E · I · va = C2 + E · I, · u 6 + . · (s, + q · L) x +
.
E · /2 U - -E · / 2 q · X 2 --==-1 · (S + q · L) · X 3 + -1 · q · x 4
E · /2 · u + -+ -21 · -2l · Ss · L+ -31 · q · L2 --s
24
L 6 L · 1 2 G · Ay ·
z
[
]
u
con las condiciones de contorno:
x=O
x=L
para
para
Imponiendo estas condiciones de contorno se obtiene:
E · / 2 u 2 = C2
•
[
]
E · / us = C2 + E · I · u6 + � (ss + q L) · L +
G·A
z
·
[. .
z
·
.
·
y
_!_ s8 L + _!_ . q L2 - E . I
L
3
2 2
1
- 6 . ( + q . L) L3 + 14 q L4
2
+ _!_ .
Sg
.
..
z
. ].
. 6 + E . I . u1 2 - �
G· A
u
L
[
de donde se deduce:
z
y
q
L2 -
] [. ]
q · L4 1 2 · E · J
1
1
s8 · L3 · 1 2 · E · J + l + -+l
· 2
E · f2 · u8 = E · f2 · u2 + -2 · E · f2 · L · u6 + -2 · E · f2 · L · u 1 2 + -24
12
L G . Ay
L2 . G . A y
(
z
z
expresión equivalente a:
J
-
1 s L3 1 + 1 2 · E · I = - E I u - -1 · E · I · L · u + E · I · u -1 · E · I · L u · ·
12
2 2
6
s 2
12 s
L2 G . A y
•
.
z
·
z
· L_4
q_
__
4
2
z
·
. (l
+
1_
· E_·_I.;;.
2_
2 ._
2
L · G · Ay
_
Representando por <I>y la relación:
12 · E · I
<I> -" = 2
L · G · Ay
z
la expresión anterior queda en la forma:
3 . 25
J
z
z
·
y teniendo en cuenta
Por otra
E·
L
se deduce:
Finalmente, las condiciones de equilibrio de la viga establecen :
+ Sg + q . L = o
S5 + S1 2 + Sg . L + -21 . q . L2 = o
S2
de donde se deduce:
s 8 = -s1 2
-
s8
·
L
- 21 q L2
- ·
·
Comparando el resultado final de las acciones s 2 , S5, ss, s 1 2 con la relación general:
{s } = [k ] · {u } - {p }
se deduce que los elementos de la matriz de rigidez [k] coinciden, como es evidente, con los hallados
anteriormente, mientras que:
La expresión { s }
P2
= -21 · q · L
P6
= 121 · q . L2
Ps
= -21 · q · L
= [k] · { u } - { p } demuestra que { -p } coincide con las acciones que se ejercen sobre la
viga en el caso en que los corrimientos { u } sean nulos, es decir, si se considera a la viga doblemente
empotrada. Recíprocamente, { p } representará las acciones que la viga ejerce sobre sus nudos extremos
en el caso en que se supusiera biempotrada . Estas acciones { p } se denominan equivalentes ya que a
todos los efectos resulta equivalente considerar la carga uniformemente distribuida sobre la viga o las
acciones { p } ejercidas sobre los nudos extremos de la viga.
Una vez que se ha visto el significado físico de las acciones { -p } , es posible formular un método para
determinar los elementos de dicho vector de una forma mucho más sencilla. En efecto, se supone la viga
sometida a los dos estados de carga indicados en la figura 3 . 1 1 .
3 . 26
X
� 1?..
"" ft>
jE>
'
ll1 = 0
E Sí A D O A
u8 -:: o
�9
lt-2
Fi3 3. 11
E ST A J) o
B
Us
El primer estado (estado A) corresponde a la viga biempotrada, sometida a la carga uniformemente
distribuida q, en el que los corrimientos u2, ufo u8, u 1 2 son nulos y las acciones que los nudos e:ictremos
ejercen sobre la viga son en consecuencia los valores -p2, -p6, -ps, -p1 2 .
El segundo estado (estado B) corresponde a corrimientos arbitrarios u2, u6, u8, u 1 2 a los que
corresponden unas acciones ejercidas sobre la viga s 2, s6, s8, s 1 2 deducidas a partir de la relación:
{s } = [k ] - {u }
En este estado las secciones intermedias de la viga experimentarán los corrimientos indicados en el
apartado
3 .1 O .
Teniendo en cuenta que, de acuerdo con el principio de reciprocidad de los trabajos, el trabaj o que la
solicitación existente en el estado A realiza en correspondencia con los corrimientos del estado B es
igual al trabajo que la solicitación existente en el estado B realiza en correspondencia con los
corrimientos del estado A resultará:
1
1
{U } ' {- p } + fo� (X) · q · dx = {Ü} {s } = Ü
G
•
o lo que es lo mismo :
3 .10) .
2 · � 3 - 3 · �2 + 1 + (1 - � ) · cI> y
[e,' - 2-C,' + C, + � · (C, - C,')· <1> -1
v a ( x ) = {u } + y
-2 · � 3 + 3 · �2 + � · <l> .r
l cI>
[e,' e, 2 � (H 2 ) <!>,J
en donde el corrimiento vG(x) viene dado por (ver apartado
I
_
_
.
3 . 27
L
L -
'
- {u } · (av ( �))
resultará:
1
q.L-
•
Í1
o
3. 1 1 se ha definido de manera que los corrimientos u2, ufo u8, u 12,
Como el estado B de la
elementos del vector columna { u } son arbitrarios, deberá verificarse:
1
1
{p} q · L · (a ( �)) · d�
=
Ü
V
'
q.L ·1
=
l + <I> )
'
1 [s' -2
Ü
-
2 . � 3 3 . � 2 + 1 + (1 - �) . <!>)'
S 2 + S + � · (H 2 ) · <1>, - L
]
3
-2 . � + 3 . � 2 + � . <!>)'
(H 2 ) · <1>, L
l [s' -S' -�
J j
_
. d� -
1 · l <P
2 ( + )' )
1 (1 + <!> · L
))
12
-1 · q · L
2
1- · q · L2
12
=
-1 · q · L
_!_ . (1 + <!>)' )
2
2
1
· (1 + <I> ) ) · L --1 · q · L2
-12
12
q·L
- ·
= ---
.
.
que como puede observarse coincide con el resultado obtenido anteriormente.
En el caso más general en que existan las seis componentes de cargas distribuidas uniformemente o no
(qx, qy, qz, mx, my, mz) que se agruparán en un vector columna { q } , más cualquier tipo de cargas o
momentos concentrados { q¡ } resultará, mediante un razonamiento análogo,
,
,
{p } = r [a( x) J · {q ( x)} · dx + I Ja< x¡ ) J · {q ( x ¡ )}
i
en donde [a(x)] es la matriz que multiplicada por los corrimientos { u } proporciona los corrimientos
uG(x), vG(x), WG(x), 8x(x), 8y(x), 8z(x) de las secciones intermedias de las vigas, es decir:
{u (x) }= [a( x) ] · {u}
3 . 12 . - LIBERACIÓN DE GRADOS DE LIBERTAD
En una estructura reticular continua puede ocurrir que una determinada viga esté unida en uno de sus
extremos al resto de la estructura mediante una articulación en lugar de la unión rígida supuesta
anteriormente. En este caso, en dicho extremo el giro de la viga es distinto del giro del nudo y el
correspondiente momento flector es nulo. Esta circustancia debe ser considerada adecuadamente antes
de proceder al ensamblaje de las matrices de rigidez, de cargas térmicas y de cargas equivalentes, ya
3 .28
que en el proceso normal se considera que los corrimientos de los nudos coinciden con los corrimientos
de los extremos de las
que concurren en dichos nudos.
La situación anterior es un caso particular de liberación de grados de libertad, uno de los giros en uno
de los extremos de la viga. En el caso más general, uno cualquiera o varios de los corrimientos locales
u1 a u12 de una viga pueden ser liberados, siempre y cuando la viga no pueda moverse como sólido libre.
Los grados de libertad liberados serán independientes de los grados de libertad correspondientes de los
nudos extremos y en consecuencia deberán ser eliminados, teniendo en cuenta que las acciones
asociadas (una o varias de las s 1 a s 12) deben ser nulas.
Reordenando las variables en la relación:
{s } = [k l {u } + {s0 } - {p }
de manera que en primer lugar aparezcan las variables "o" que deben ser omitidas, seguidas de las
variables "a" que intervienen en el análisis, resultará:
en donde:
La expresión anterior es equivalente a:
{O} = [k ] {U } + [k ºª ] · {Ua } + {s } - {p }
{sa } = [kao ] {uo } + [faa l {ua } + {soa } - {Pa }
00
•
·
00
0
0
Si la matriz de rigidez [koo ] es no singular, cosa que ocurrirá si los grados de libertad liberados no son
suficientes para permitir alguno de los movimientos de la viga como sólido libre, la primera expresión
permitirá determinar los grados de libertad liberados { u0 } .
y sustituyendo este valor en la segunda expresión resultará:
en donde:
[k aa ] = [faa ] - [k ao ] · [k r1 · [k oa ]
{s oa } = {soa } - [kao ] . [koo r . {soo }
{pª } = {J5ª } - [k ªº ] · [k ºº r1 · {p º }
00
3 . 29
Se observa que en los
de libertad que se mantienen es
utilizando unas matrices reducidas de
{ Pa } definidas por las relaciones anteriores .
Debe notarse el hecho de que la matriz reducida de rigidez [kaa] sigue siendo simétrica.
3 . 1 3 . - MATRICES DE RIGIDEZ, DE FUERZAS TÉRMICAS Y DE FUERZAS EQUIVALENTES
DE UNA VIGA EN COMPONENTES GLOBALES
Sea ixyz el sistema de referencia local ligado a una viga ij y sean iX¡ Y¡Z ¡ , jXjYj Zj los sistemas de
referencia globales correspondientes a los nudos extremos i, j de dicha viga (figura 3. 1 2)
[
[
Fts 3, 1 2
Representando por [A¡] y [Aj] las matrices :
c os(iX¡ , ix) cos(if¡ , ix)
[AJ = cos(iX¡ , iy)
cos(iX; , iz)
)]
cos(iZ¡ , ix
cos(i Y¡ , iy ) cos(iZ¡ , iy)
cos(iY¡ , iz) cos(iZ¡ , iz)
)]
c os( jXj , jx) cos( jlj , jx) cos( jZj , jx
A j = cos( jXj , jy ) cos( jlj , jy ) cos( jZj , jy )
cos( jXj , jz) cos( jlj , jz) cos( jZj , jz)
[ ]
resultará:
3. 30
U¡
U¡
U3
U3
U2
U4
["- ; ] [o] [o]
[o] ["- ; ] [o]
u6
=
U5
U7
Ug
U9
[o ]
[o ]
[o] [o] ["- 1 ] [o ]
[o ] [o] [o] ["-j ]
U4
Us
u6
U1
Us
U9
ul(\
u ;;
U12
lu;; J
l J
Ur n
U1 2
en donde U 1 , U2, U3 , U4 , U5, U6 son las componentes de la traslación y giro del nudo i según los ejes del
sistema global correspondiente al nudo i y análogamente U7, U8, U9 , U 10, Un , U12 son las componentes
de la traslación y giro del nudo j según los ejes del sistema de referencia global correspondiente al nudo
j.
Representando por [A] l a matriz de transformación anterior resultará:
y análogamente:
{s} = ["-l {s }
De acuerdo con lo indicado en el capítulo anterior, las matrices de rigidez [K] , de fuerzas térmicas { S0 }
y de fuerzas equivalentes { P } en componentes globales vendrán definidas por:
I
[K] = ["-] · [k ] - (A. ]
{s0 } = [A.] · {So }
{P } = ["-] · { P }
I
I
3 . 1 4. - MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS PARA EL CÁLCULO DE LAS ESTRUCTURAS
RETICULARES CONTINUAS
Teniendo en cuenta las relaciones específicas presentadas en este capítulo y las genéricas del capítulo
anterior es posible resolver estáticamente cualquier estructura reticular continua plana o tridimensional
mediante el método de los desplazamientos.
3.31
Como resumen y recordatorio de todo lo anterior a continuación se nr'"'.:�J'e,'n•�._._,. los pasos
dicha resolución:
1.
-
Se descompone l a estructura en vigas rectas uniformes unidas en nudos cuyos corrimientos
constituyen las incógnitas básicas del problema.
2.-
Para cada una de las vigas se generan las matrices de rigidez, fuerzas térmicas y cargas
equivalentes, todas ellas en componentes locales.
3 .-
Para cada una de las vigas se eliminan, caso de existir, los grados de libertad liberados,
obteniéndose las correspondientes matrices reducidas de rigidez, fuerzas térmicas y cargas
equivalentes.
4. -
Para cada una de las vigas se transforman las matrices de rigidez, fuerzas térmicas y cargas
equivalentes para expresarlas mediante sus componentes globales.
5.-
S e ensamblan las matrices d e rigidez, fuerzas térmicas y cargas equivalentes, mediante su
ampliación y adición.
6.-
Se eliminan los grados de libertad dependientes como consecuencia de las ligaduras multipunto
o punto único que se imponen a la estructura.
7.
-
Si la estructura está libre en el espacio y se pretende incluir el alivio de inercia se eliminan los
grados de libertad correspondientes a las ligaduras de apoyo, determinándose el campo de
aceleraciones como sólido rígido y las correspondientes fuerzas de inercia.
8 .-
Se resuelve el sistema lineal de ecuaciones que resulta en los grados de libertad independientes.
9.-
Se recuperan los grados de libertad dependientes y las correspondientes fuerzas de ligadura.
1 O.-
Se recuperan las acciones que actúan sobre cada una de las vigas.
3. 32
l .-
Se divide el medio continuo en elementos (triángulos, cuadriláteros, tetraedros, hexaedros, etc.)
2. -
Se supone que los elementos están unidos entre sí a través de los nudos, cuyos corrimientos
constituyen las incógnitas del problema.
3 .-
Se definen funciones que detenninan el campo de couimientos de cada elemento a partir de los
corrimientos nodales.
4.-
A partir del campo de corrimientos, de las deformaciones térmicas y de las propiedades
elásticas del material se determina el campo de esfuerzos en cada elemento.
5 .-
Considerando el campo de esfuerzos y las cargas directamente aplicadas al elemento se calculan
las fuerzas nodales que equilibran el elemento.
6.-
El resto del proceso es análogo al descrito en capítulos anteriores.
Aunque se supone que los elementos están unidos únicamente a través de los nudos resulta intuitiva la
conveniencia de que las funciones que determinan los campos de corrimientos de los elementos deben
ser tales que los corrimientos sean continuos a través de los bordes de los elementos, ya que en caso
contrario en la solución obtenida se generarían huecos en los bordes o bien un borde penetraría en el
adyacente.
El Método de los Elementos Finitos, tal como se ha formulado, es un método aproximado ya que:
1 .-
No siempre será posible asegurar la continuidad de los corrimientos en los bordes del elemento.
2.-
El equilibrio del elemento se verifica a nivel global, pero no se satisface localmente en el interior
ni en los bordes del elemento.
4.2.- DESARROLLO MATEMÁTICO DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
A continuación se formula con carácter general el desarrollo matemático del Método de los Elementos
Finitos en medios continuos. En algunos momentos, y con objeto de describir el método con un mayor
detalle, se planteará la aplicación.al caso de.. una membrana en estado de esfuerzos plano .
4.1
global constituyen las incógnita fundamentales del problema. Los corrimientos de cada nudo se
engloban en un vector columna
{a¡ } de manera que los corrimientos de un elemento quedan definidos
por:
{a¡ } se incluyen las componentes según los ejes de un sistema de referencia local
ligado al elemento del corrimiento del nudo i. El tipo y número de componentes en {a; } dependerá del
Normalmente en
tipo de estructura. En el caso de una membrana en estado de esfuerzos plano será: (ver figura 4. 1 )
{a; }= {:; }
En general, el campo de corrimientos en el elemento e
quedará definido por la relación:
{u(x, y, z)} = [N(x, y, z) ] · {ae }=
J
en donde
= [[N¡ (x, y, z) ], [N j (x, y, z)], ]
. . .
·
[N; (x, y, z)} [Nj (x, y, z) J son las denominadas matrices de forma que presentan las
. . .
propiedades siguientes:
1 .-
{u(x, y, z) } es igual al número
componentes en {a;}, {aj}, . , las matrices [ N¡ (x, y, z) ], [ Nj (x, y, z) J . serán cuadradas
Como cada una de las componentes del vector columna {u(x,y;Z) } . dependerá .únicamente de
.
2 .-
de
Como el número de componentes en el vector columna
.
.
.
los valores que dicha componente tiene en los nudos i, j , . . . se deduce que las matrices
3 .-
[N; (x, y, z)], (Nj (x, y, z) J . . . serán diagonales .
Como las funciones de interpolación deben ser tales que en los vértices el campo de
corrimientos debe tomar los valores
{a¡ }, {aj }. . . se deduce que:
4.2
, Y¡ , Z¡
]=
4.-
se
deduce que:
[ N; (x, y, z )] = N; (x, y, z) · [I ]
en donde N¡ (x, y, z ) es la función escalar de forma.
En la figura 4.2 se representa una de estas funciones escaiares de forma en ei caso de un eiemento
triangular cuyos nudos coinciden con los vértices, suponiendo que se utilice una función de
interpolación lineal.
.
d
fi!J i/, :2
4 . 4 . - CAMPO DE DEFORMACIONES
Las deformaciones se obtienen mediante determinadas derivadas parciales de las componentes del
corrimiento y en general estas relaciones se escriben en la forma:
{y } = [S] · {u} = [S] · [N] · {ae }= [B] · {ae }
con
[B] = [S]- [N]
en donde [s] es una matriz operacional que incluye las derivaciones parciales adecuadas .
].
Teniendo en cuenta que [ N] = [[ N; ], [N J . . ] es normal definir [ B] mediante sus particiones, ya que:
[ B] = [S ] - (N] = [(S] · [ N; ], ( S] · [ N J ]. ] = [[B; ], (BJ ]. . .]
• •
en donde:
[B; ] = [S] · [N; ]
En el caso de una membrana en estado de esfuerzos plano será:
4.3
a
ax a
{y } = Y .r.r =
Y xy
a- dya {:}
dx
f" )
por lo que:
[S] =
ldy; �dxj
o
o
dy
j
¡aN; l
dx
[B; ] = (s] - [N; ] = CldyN;
dN; dN¡
dy dx
r: l
o
º
o
Si existen deformaciones térmicas
{r¡} las deformaciones mecánicas {c. } vendrán dadas por:
{c. } = {y } - {r¡ }
4.5 .- CAMPO DE ESFUERZOS
El campo de esfuerzos
{cr } , que contendrá el Illlsmo número de elementos que el campo de
}
deformaciones {y , vendrá dado por:
{cr } = (D] · {c. } = (D] - {y } - (D ) - {r¡ }
en donde
[ D] es la matriz de rigidez del material (ver apartado 1 .5)
En el caso de una membrana en estado de esfuerzos plano será:
(j - (j . - V . = __.:!:!_
E
E
(j ·""·
(j f. -" = -V - � +
-"
E E
O' xy 2 · ( 1 + v )
f.
- =G = E (j f. XX
X\'
O' = _E_2 · (f. + V · f. - - )
)'\'
•
xx
xx
1 -v
rr
cr -,.-,. = _E_ . (v . c. + c. - - )
1 -v
E 1 -v
(j xy = 1 - V . -2- . f. xy
2
2
X\'
y en consecuencia:
V
E
· V
[D] = 1 -v 2
o
4.4
o
o
o
1 -v
-2
xx
rr
{W } . Sobre los
Se supone que sobre el elemento actúan fuerzas volumétricas por unidad de volumen
bordes del elemento que sean bordes libres de la estructura . pueden actuar .fuerzas superficiales por
unidad de superficie
{<!>} . Estas fuerzas superficiales no son las fuerzas ejercidas por los elementos
adyacentes.
Se trata de calcular el conjunto de fuerzas
nodales, agrupadas en el vector columna
{s } que
permite el equilibrio del elemento.
Se aplica el pnnc1p10 de los desplazamientos
virtuales
.
en
correspondencia
desplazamiento virtual arbitrario
d
El
campo
de corrimientos
con
un
{&z e } .
virtuales
en el
elemento será:
mientras que el campo de deformaciones virtuales cinemáticamente consistente con
{&z e } será:
De acuerdo con el principio de los desplazamientos virtuales resultará:
1
1
{&ze } · {s } + fv {8u } {W } · dV + fs {8u } {<!>} · dS = fv {8y }1 {cr } · dV
Sustituyendo los valores de
'
•
•
•
{8u }, {8y }, {cr } quedará:
'
'
'
{& e } · [ {s } + fv [N] · {W} · dV + f5 [N] · {<I>} · dS - fv [B] · [D] · [B] · dV · {ae } +
1
+fv [B] · [D] · {rt} · dV] = O
Como la expresión anterior debe verificarse cualquiera que sea el valor del desplazamiento virtual
{&z e } que se considere, deberá ser:
Al comparar este resultado con la relación general formulada anteriormente
4.5
se deduce :
I
· dV
Matriz de rigidez del elemento:
[k ] = fv [B ] · [D ] ·
Fuerzas térmicas :
{s0 } = -fv (B ] · [D] · {11 } · dV
Fuerzas equivalentes a
I
{W}, {<I> } :
I
I
{p } = fv [ N ] · {W} · dV + fs [ N ] · {<l>} · dS
4 . 7 . - RESTO DEL PROCESO
Una vez calculadas la matriz de rigidez del elemento y los vectores de fuerzas térmicas y fuerzas
equivalentes en el elemento, el resto del proceso es análogo al descrito en capítulos anteriores. Este
proceso incluye la generación de matrices de transformación de componentes locales a globales, la
expresión de las matrices del elemento en componentes globales, el ensamblaje de las matrices de
rigidez, fuerzas térmicas y equivalentes, la eliminación de los grados de libertad dependientes como
consecuencia de las diferentes ligaduras y la resolución final del sistema de ecuaciones algebraicas.
4 . 8 .- RECUPERACI ÓN DE ESFUERZOS
Una vez resuelto el sistema lineal de ecuaciones algebraicas y obtenidos los corrimientos de los nudos de
la estructura, se puede recuperar el campo de esfuerzos en cada elemento mediante la relación :
4 . 9 . - CORRIMIENTOS, DEFORMACIONES Y ESFUERZOS GENERALIZADOS
Hasta aquí se ha supuesto que los corrimientos, deformaciones y esfuerzos son los que normalmente se
defmen y utilizan en la Teoría de la Elasticidad. Sin embargo es posible pensar que estas magnitudes se
defmen con una mayor generalidad. Así por ejemplo en el análisis de placas es normal definir un giro
como componente de corrimiento, asociándose la deformación con una curvatura y el esfuerzo con un
momento flector. En casos como éste, se dice que los corrimientos, deformaciones y esfuerzos son
generalizados . En todo caso, cuando el corrimiento no sea una componente traslacional, a dicho
4.6
4. 1 0.- ECUACIONES DE EQUILIB RIO DE LA ESTRUCTURA COMPLETA
En el apartado 2 . 8 se describió el proceso para plantear las ecuaciones de equilibrio de los nudos de la
estructura, y en un determinado momento, se estableció, sin analizarlo en detalle ya que parecía una
cuestión obvia, que ia integral
extendida a todo el volumen de la estructura era igual a la suma de las integrales extendidas a los
volúmenes de los elementos en que se supone dividido el volumen total.
La afirmación anterior puede ser falsa en el caso en que en los contornos de los elementos, que definen
un volumen total nulo, la función integrando sea infinita, de manera que el producto de la función
integrando por el volumen de lugar a un valor finito.
Supóngase, por ejemplo, que se trata de calcular la integral
extendida a un rectángulo de base 2·a y altura b , que se supone dividido en dos rectángulos iguales de
base a y altura b , en los que se define un
campo de corrimientos:
I�
en x < 0
en x > O
En el caso en que la integral se calculara en cada
uno de los rectángulos y luego se sumaran las
contribuciones
f 11!&:
l
..,.1..
>
!
1
de
éstos,
se
obtendría
resultado nulo, ya que en cada uno de los
rectángulos es
yx =O.
En el caso en que la integral se extendiera a todo el rectángulo se definiría un campo de corrimientos:
U x = U¡
en x < -E
� -(1 <)
u,
= u, +
Ux
= U¡ + d
un
en - E < X < E
en x > E
4.7
Se
la
deducida de este
4 .5 ) y
campo de
luego se c�et:errr:1r13u......... . el límite de la integral
cuando E tiende a cero .
Procediendo de esta manera se obtendría
como resultado:
[im __!:__ · 2 · E · b = d b t= Ü
x�O
2·E
·
Se observa que el proceso descrito en el apartado 2. 8 es válido si el campo de corrimientos definido es
continuo a través de los bordes de los elementos.
4. 1 1 .- CRITERIOS DE CONVERGENCIA
Como se ha indicado anteriormente el Método de los Elementos Finitos es un método aproximado que
en determinadas condiciones converge hacia la solución exacta cuando el tamaño de los elementos tiende
a cero.
Se formulan, sin entrar en su demostración que puede encontrarse en textos que contemplan el Método
de los Elementos Finitos desde un punto de vista puramente matemático, tres criterios de convergencia.
1 .-
Las funciones de corrimiento deben ser tales que a corrimientos nodales asociados a
movimientos
arbitrarios
como
sólido
rígido
del
elemento
correspondan
campos
de
deformaciones nulos.
2.-
Las funciones de corrimiento deben ser tales que a corrimientos nodales compatibles con un
estado de deformación contante del elemento correspondan campos de deformaciones constantes
3 .-
Las funciones de corrimiento deben ser tales que las deformaciones en los contornos de los
elementos deben ser finitas .
4.8
5 . 1 .- INTRODUCCI ÓN
El análisis de cuerpos en estado de esfuerzos plano y en estado de deformación plana presentan un
desarroilo práciicamente común con ligeras diferencias que aÍectan a la matriz
[ D] de rigidez dei
material y a las deformaciones térmicas {T\ } .
5 .2. - CAMPO DE CORRIMIENTOS
Se considera un elemento triangular definido
por sus vértices (nudos del elemento) i, j, m,
orientados de tal manera que el producto
vectorial ij /\ im tenga el sentido positivo del
1
1
1 �"
1 17 "
1
eje Oz.
En los estados de esfuerzos plano o de
deformación
plana
son
representativas las componentes
corrimiento.
Los corrimientos de un nudo arbitrario i del elemento vienen dados por:
mientras que los corrimientos del elemento quedan definidos por:
Se define un campo de corrimientos lineal, es decir:
u = a1 + a2 · x +a3 · y
v =a4 +a5 · x +a6 · y
5.1
únicamente
u,
v del
Si se
de tres
constantes
a1 ,a2 ,a3
= a 1 + a 2 · x; + a 3 · Y;
u j = a 1 + a 2 · xj + a 3 · yj
um = a 1 + a 2 · xm + a 3 · ym
u;
Si el orden de los nudos i, j , m es el definido anteriormente, es fácil comprobar que :
X¡ Y;
X¡
Y;
x j Yj = 0 Xj - X ¡ Yj - y¡ = 2 . Li
x m Y m o X m - X¡ Y m - y¡
en donde Li representa el área del triángulo i, j , m.
Definiendo los coeficientes :
b¡ = y j - y m
bj = Y m - Y;
b m = Y ; - yj
e s fácil comprobar que:
[:
Puede observarse que a partir de los coeficientes
permutación cíclica i, j, m.
Los coeficientes
ai ' h¡ , e¡ es posible obtener los restantes mediante la
a 1 , a 2 , a 3 que definen la función lineal u(x,y) serán entonces :
La componente v del corrimiento se determinará de forma semejante, resultando finalmente:
u(x, y) = / ,!; · [(a ; + b; · x + c ; · y ) · u ; + (aj + bj · x + cj · y) · uj + (a m + bm · x + c m · y ) · u m ]
v(x, y) = / ,!; · [(a ; + b; · x + c; · y) · v ; + (a j + bj · x + cj · y) · v j + (a m + bm · x + cm · y) · v m ]
Cuando se compara este resultado con la expresión general:
5.2
se deduce:
1 · (a. +b. · + c . y)
N. ( x y) = x
2 . .6.
1
.
.
N . ( x y) = -2 · .6. · (a + b . · x + c · y)
Nm ( x, y) = -i- · (a m + bm · x + c m · y)
2 . .6.
1
1
'
J
'
1
1
J
· ·
1
J
J
5 .3 .- CAMPO DE DEFORMACIONES
{y } queda definido por:
{y } = [ S] · {u} = [ S] . [ N] . {a e } = [ B] . {a e }
El campo de deformaciones totales
En los casos de estado de esfuerzos plano o estado de deformación plana las componentes de
deformación representativas son
y y y
xx ,
YY ,
{y } =
xy
y en consecuencia:
[� i
a
dx
o
= o a ·
ay
Y
: -a a :
dy dx
{}
xy
por lo que:
a
dx
[S] = o
a
dy
Las particiones
[BJ [Bj } [Bm ] de [ B] serán:
a
dx
[B¡ ] = [ S] (N¡ ] =
·
o
a
dy
a
dx
dN¡
dx
o
o
[
b
�i
1- · ¿
=i}
2 . .6.
[:;
C¡ b¡
aN¡ aN¡
a a
dy
o
dN¡
ay ax
dy
dx
o
a
y análogamente:
5.3
dy
2 . /1
.
[bm
cm
o
Puede comprobarse que el campo de deformaciones es constante en el elemento como podía adelantarse
como consecuencia de ser lineal el campo de corrimientos.
En el caso de un estado de esfuerzos plano, y suponiendo un material isótropo, las deformaciones
térmicas serán:
ll xx
= ll YY = a . 11T
ll X)'
=o
En el caso de un estado de deformación plana, y suponiendo un material isótropo, las deformaciones
térmicas serán diferentes debido a la aparición de esfuerzos a zz para anular la deformación total y zz
En ausencia de esfuerzos a xx , a YY , a X)' se tendrá:
Y XX
y
YY
Y zz
•
a zz
= V · E + a · 11T
-
(J + a · T
= -v · E
Ll.
ZZ
A
(J + a · 11T = O
= _E_
E
de donde se deduce:
= - E · a · 11T
y = (1 + v ) · a · 11T
y = (1 +V ) · a · 11T
a zz
xx
yy
por lo que las deformaciones originadas por efectos térmicos serán en este caso:
ll xx
= ll = (1 + v ) · a 11T
YY
Y\ X)'
·
=o
"
En el caso de materiales ortotrópicos existen unos ejes de ortrotopía x " , y en los que una variación de
temperatura
11T provoca deformaciones térmicas diferentes:
, , = a , 11T
n
'1 XX
X
·
siendo nula en dichos ejes la distorsión angular r¡ x'y'
r¡ /.r'
= a · 11T
.r'
Estas componentes deberán ser transformadas para determinar las componentes r¡ xx , r¡ YY , r¡ xy en los ejes
en que se realiza el análisis.
La transformación de las componentes de deformación puede realizarse a partir de la transformación de
componentes de un tensor, o mediante el proceso que se describe a continuación, más laborioso, pero
que no requiere el conocimiento del cálculo tensorial.
5.4
Y y'_r' , Y x\'
de la deformación en unos
ejes x ', y ' y
se pretende calcular las
Y
' '
xx ,
componentes en otros ejes x, y que forman
con los primeros un ángulo a tal como se
muestra en la figura 5 .2
x'
Con obj eto de simplificar las expresiones se
definen:
C = co s a
S = sen a
resultando:
s. v '
u = e . u' +
x' = C · x - S · y
y' = S · X + C · y
v = -S · u ' + C · v '
Las derivadas con respecto a x e y de una función arbitraria f(x '",y '") serán:
a¡ = a¡ . ax' + a¡ . ay' = e a¡ + s a¡
dx dx' dx dy' dx
dx'
dy'
a¡
a¡ · ax' + a¡ · a¡ = ay ' = - S · a¡ + C · dy'
dy
dx'
dx'
dy
dy
dy'
.
.
-
y e n consecuencia las componentes d e l a deformación e n ejes x, y resultarán:
y
XX
=
2
2
d (C · u ' + S · v')
d (C · u ' + S · v')
du
+S·
= C·
= e · y x'x' + S · y y'y ' + S · C · y x 'y'
dx '
dy '
dx
dv
2
2
d (-S · u ' + C · v')
d (-S · u ' + C · v')
+ C·
= S · Y X X + C ·y ) ) - S · C · y X )
'
dX
dy
d (-S · u ' + C · v')
d (C · u ' + S · v ')
d (C . u ' + S · v')
d (-S · u ' + C . v')
du dv
=
+C·
+S·
Y = - + - = -S ·
+ C.
X)' dy dx
dx '
dy '
dx '
dy '
y ) ) = - = -S ·
' ' dy
=
t
t
o lo que es lo mismo :
I
I
( 2
¡ ) [ 522
e.y XX + .
-2 . s . 2 s .
e . y ) ') + e -
y XX
y \')'
y
'
'
I
s2
).y
xy
-2 .
s.
'
�:
C
=
I
X _\'
e
2.
s.
I
I
I
'
I
I
I
l
¡
y
)
s
c� � �2 � :: :
S· C
e
'
' '
xx
•
:
5 .4 . - RELACIONES ESFUERZOS - DEFORMACIONES MEC ÁNICAS EN EL CASO DE
ESTADO DE ESFUERZOS PLANO
En un estado de esfuerzos plano es:
5.5
zz = cr zx
zy
=
(j \'\'
(j - V · E xx = �
E
E· -·
(j
)'\'
(j + -·E yy = -V · �
E E2 · (1 + v )
E xy = E . (j xy
Despejando las componentes de esfuerzos cr xx , cr cr xy se obtendrá:
E
(j xx = l - V 2 · (E xx + V · E yy )
· v · e "' + e n· )
a ,.,. = -�
l 2 (
E 1 -v
(j xy = 1 -V 2 . -2- . E xy
La matriz de rigidez del material [ D ] será en consecuencia:
YY ,
V
[D] = E 2 · V
1 -v
o
-
o
:l v jl
;
5 . 5 .- RELACIONES ESFUERZOS - DEFORMACIONES EN EL CASO DE ESTADO DE
DEFORMACIÓ N PLANA
En un estado de deformación plana es:
E zz = cr = O' zy = 0
zx
siendo en este caso las deformaciones mecánicas :
(j \ \
'· ' - V �
(j -V · -·. (jE
f, xx = �
E
E
\'\'
(j (j + -·(j
-V .�
E yy = -V · �
E E
E
2 · (1 + v )
f, xy = E · (j xy
(j ·\'·\' + -R.
(j - V · (j = 0
E zz = -V · �
E E
E
Despejando de la última relación la componente cr zz y sustituyendo este valor en las relaciones
restantes resulta:
5.6
= v (cr xx + cr -"-" )
2
v · (l +v )
1
v
-E xx = E · () xx - E · () .n.
1 -V 2 ·
V · (1 + V )
+
E yy =
E · cr xx -E- CT YY
2 · (1 + v )
E n' = l!,' ()
cr zz
··.1
Despejando ahora cr
xx , cr
YY
·
-
·
Y\'
··.1
de las relaciones:
E · f.
(1 - v ) · cr XX - v cr ' = -l + v XX
E f.
-v · cr xx + (1 - v ) · cr - = -1 +v ·
·
) )'
. .
,)
r)·
·
resulta:
[(1 - v ) 2 - V ' la = 1 :V . [(1 - V ) . E + V . E yy ]
[(1 - v ) 2 - v 2 ] · = 1 :v · [v · E xx + (1 - v ) · ]
ll
ll
cr YY
f. YY
es decir:
y como por otra parte:
E
CT = 2 . (1 +V ) · E
X)'
X)'
resultará una matriz de rigidez del material [ D] :
[D] =
E · (1 - v )
(1 - 2 · V) - (1 + V )
V
1 -v
o
5.7
V
1 -v
o
o
o
1 - 2 ·V
2 (1 - v)
·
[ k] , así como los vectores columna de fuerzas térmicas {s0 } y de
La matriz de rigidez
equivalentes {p} vienen definidas por:
'
'
[k] = fv [B] · [D] · [B] · dV
,
{s 0 } - fv [ B] · [ D] · {T\ } · dV
'
{p} f [ N] ' . {W} . dV + f [ N] . {el> } . dS
=
=
s
V
Teniendo en cuenta las particiones de las matrices
[ N], [ B] se puede conseguir una cierta simplificación
[ k ] ¡¡ de [k] asociadas a los nudos arbitrarios i, j y los subvectores
evaluando las submatrices
{s 0 } ¡ , {p}; de los vectores {s0 }, {p} asociados al nudo arbitrario i .
Resulta d e esta manera:
{s0 } ¡
La función integrando
= -
I
fA B; ] {D] · {ri } · dV
'
'
{p } ; = fv [N; ] · {W} · dV + JAN; ] · {cI> } · dS
'
[B¡ ] · [ D] · [Bj ] de la integral que define [k ]¡¡ es constante y en consecuencia:
I
[k ]¡¡ � . t . [B ] [D] . [B j ]
=
La función integrando
i
•
'
[B; ] [D] · {T\ } de la integral que define {s0 } puede ser función de la posición si
·
{ri} es variable y en este caso en lugar de calcular la integral exacta es normal considerar un valor
constante de
{ri} que es el correspondiente al centro de gravedad del triángulo, siendo entonces :
{so };
= -
Las funciones integrando que aparecen en
� · t · [ B; ]
'
·
[D] {ri }
-
a
{p¡ } son siempre funciones de la posición ya que aunque
{W }, {ct>} sean constantes, los elementos de [ N; ] son funciones lineales de x e y .
Teniendo en cuenta que
y aproximando la integral, considerando un valor constante para la función integrando que es el
correspondiente al centro de gravedad del triángulo, resultará:
5.8
} = Li · t · N¡ (Xc , Ya ) -
+ · · N¡
, yA ) ·
= "3l · Li · t · {Wc } + L t · N¡ (x A , y A ) · {<!> A }
}
·
en donde el punto A y la longitud L representan el punto medio del borde sobre el que actúa la carga
{el>} y la longitud de ese borde. Se ha tenido en cuenta además que:
5 . 7 . - RECUPERACI ÓN DE ESFUERZOS
Una vez resuelto el problema estructural y obtenidos los corrimientos de todos los nudos de la
estructura, se pueden recuperar los esfuerzos en los elementos mediante la relación :
Si
{11 } es constante, el campo de esfuerzos obtenido es también constante en todo el triángulo. A la
hora de interpretar este campo de esfuerzos, que evidentemente presenta discontinuidades en los bordes
de los elementos, se suele considerar una variación continua que pasa por los puntos que resultan al
asignar al centro de gravedad del triángulo el valor constante que corresponde al elemento. Otra
aproximación posible consiste en asignar a cada nudo de la estructura el valor medio de los esfuerzos
constantes que corresponden a los elementos que comparten dicho nudo.
5 . 8 . - PROCESO DE OTROS TIPOS DE ELEMENTOS
No es posible definir campos de corrimientos
lineales en elementos cuadriláteros ya que
dichos campos quedarían definidos por tres
constantes
y
deberían
cumplir
cuatro
condiciones para asegurar que el campo toma
en los cuatro vértices del cuadrilátero los
.
l.
valores que le corresponden.
d
Es posible utilizar elementos cuadriláteros, que
se procesan mediante la unión de las matrices que resultan en los triángulos en que se divide el
cuadrilátero mediante una de sus diagonales.
5.9
Como existen dos
cuadrilátero se obtienen a
que
dos
de
de los valores medios de las
opc10nes.
5. 10
las matrices finales del
a dichas
6. 1 .- INTRODUCCI ÓN
El análisis de los cuerpos de revolución baj o solicitaciones axilsimétricas es en muchos aspectos similar
al análisis de los cuerpos en estado de esfuerzos plano o de deformación plana, ya que debido a la
axilsimetría basta considenrr el comportamiento de una sección diarnetral y en consecuencia tan sólo se
requiere un análisis bidimensional. También en este caso las únicas componentes representativas del
campo de corrimientos son u (corrimiento radial) y v (corrimiento paralelo al eje del cuerpo).
Una sección diametral del cuerpo se divide en elementos, siendo nuevamente el triángulo el elemento
más sencillo que puede considerarse.
En el caso de cuerpos de revolución el volumen asociado a cada elemento es el de un anillo de
revolución cuya sección transversal es el triángulo en cuestión.
La diferencia más importante en el análisis de los cuerpos de revolución con respecto al análisis de
cuerpos en estado de esfuerzos plano o en estado de deformación plana estriba en los términos que
'
deben ser considerados en la función integrando {cr } · {&y } que resulta al aplicar las condiciones de
equilibrio del elemento. En efecto, en el capítulo anterior el término cr zz · &y zz era nulo ya que se
anulaba siempre uno de ambos factores ( cr zz en el estado de esfuerzos plano o &y zz en el estado de
deformación plana). En el caso de cuerpos de revolución bajo solicitación axilsimétrica el corrimiento
radial u provocará una deformación circunferencial y 00 que a su vez dará lugar a la aparición de
'
esfuerzos circunferenciales cr 00 por lo que en la función integrando {cr } · {8y } intervendrán no sólo
los términos asociados a las componentes situadas en el plano meridional sino también el término
<J
ee
· &y
ee
·
6.2.- CAMPO DE CORRIMIENTOS
En el plano meridional se definen unos ejes r, z (r en dirección radial y z coincidiendo con el eje de
revolución). Considerando en dicho plano un elemento triangular cuyos vértices i, j , m se ordenan en
6. 1
sentido contrario a las
del
los
corrimientos de dicho elemento se agrupan en el
vector columna:
en donde el vector columna de corrimientos de
i
un nudo arbitrario i viene definido por sus
componentes radial u ; y axial v; .
{}
{a ; } = :;
Si se eligen funciones de interpolación lineales para los campos de corrimiento u y v se obtendrán los
mismos resultados que se obtuvieron en el capítulo precedente y en consecuencia en la relación:
las funciones escalares de forma
N; , Nj , Nm serán:
N. = -.1- · (a. + b. · r + c . · z)
2 Ll
N . = -1- · (a . + b . · r + · z)
2 · Ll
Nm = 1 ¿l · (a m + bm · r + c m · z)
2.
1
1
}
}
1
1
}
e .
}
-
en donde
Ll representa el área del triángulo ijm y los coeficientes a, b, c vienen definidos por:
b¡ = Z j - Z m
bj = z m - Z;
bm = z ; - z j
6 . 3 .- CAMPO DE DEFORMACIONES
En un cuerpo de revolución bajo solicitación axilsimétrica dos de las seis componentes del tensor
simétrico de deformaciones en coordenadas cilíndricas son nulas y las cuatroxestantes vie11en dadas por:
6.2
Y rr
dr
u
r
au
av
y =-+­
az ar
Yee = ­
por lo que la matriz operacional
rz
[ S] vendrá definida por:
a o
ar
a
o
az
[S] =
o
r
a a
az ar
Como siempre, el campo de deformaciones {y } , que en este caso se compone de cuatro elementos,
viene definido por:
en donde la submatriz
[B; ] de [ B] asociada a los corrimientos de un nudo arbitrario i del elemento,
viene dada por:
a
ar
(B; ] = [ S] · (N; ] =
o
o
a
az
o
r
a a
az ar
aN;
ar
o
·[: �, ] = N;r
o
aN;
1 ·
az = -o
aN; aN;
az ar
2·A
b¡
o
o
C¡
C¡ · Z
G¡
-r + b¡ + -r
C¡
o
b¡
Puede observarse que en este caso, debido a la inclusión de la componente de deformación
matriz
y 0 0 , la
[ B] ya no es constante en todos los casos y que en general es una función de r y z.
Por su parte, en un cuerpo de revolución, y suponiendo un material isótropo, las deformaciones térmicas
serán:
a · l1T
a · l1T
{ri } =
a · l1T
o
6.3
La matriz [
D] de
del material que relaciona
deformaciones mecánicas {E } con los esfuerzos
{cr } es en este caso una simplificación de la matriz en estado de esfuerzos tridimensional ya que tan
sólo una comp0nente de esfuerzo cortante es distinta de cero (ver apartado
1 . 5)
En el caso de un material isótropo será:
[ D] =
E · (I - v )
(1 + V ) · (1 - 2 · V )
V
1 -v
V
1 -v
V
1 -v
o
V
1 -v
o
V
1 -v
V
1 -v
o
o
o
o
1 -2 ·v
2 · (1 - v )
6 . 5 . - MATRIZ DE RIGIDEZ
La matriz de rigidez del elemento triangular viene dado por la relación general :
'
[ k] = fv [B] · [D] · [B] · dV
Teniendo en cuenta que el volumen asociado al elemento es el del anillo de revolución cuya sección
diametral es el triángulo que se considera, resultará para la submatriz
[ k ] ¡¡ asociada a los nudos
arbitrarios i, j el valor:
'
[k] ¡¡ = 2 · n · fAB¡ ] · [D] · [Bj ] - r · dr · dz
en donde la integral viene extendida ahora al área del triángulo.
La función integrando es en este caso función de la posición debido no sólo a que algunos elementos de
las matrices
[ B¡ ] y [Bj ] dependen de r y de z, sino también a la existencia explícita de la variable r en
la función integrando. La integración analítica, aunque posible, es complicada y frecuentemente es
sustituida por una integración numérica .. La aproximación más sencilla consiste en considerar para la
función integrando un valor constante jgual : al qae dicha función tiene en el centro de gravedad del
triángulo, resultando en este caso:
en donde:
6.4
1
Zc = 3 .
3
son las coordenadas del centro de gravedad del triángulo .
Puede verificarse que esta aproximación tan simple coincide con la obtenida mediante una integración
de Gauss de primer orden, y se demuestra que este esquema de integración es suficiente para asegurar la
convergencia del proceso cuando el tamaño de los elementos tiende a cero.
Es importante señalar que en el caso de cuerpos de revolución bajo solicitaciones axilsimétricas, las
{s}, {s0 }, {p} en la relación :
componentes de los vectores columna
{s} = [ K] · {ae } + {s0 } - {p}
son las fuerzas totales (en dirección radial y axial) que actúan sobre las circunferencias completas que
pasan por los nudos i, j , m del triángulo.
6.6.- FUERZAS TÉRMICAS Y EQUIVALENTES
Las submatrices de fuerzas térmicas
{s 0 } y equivalentes {p} asociadas al nudo arbitrario
del
elemento vienen expresadas por las relaciones:
'
'
{s0 } ; = -fv [B; ] · [ D] · {11 } · dV = -2 · 7t · fs [B; ] · [ D] · {11} · r · dr · dz
'
'
'
'
{p}; = fv [N; ] · {W } · dV + fs [N; ] · {cI> } · dS = 2 · n · fAN; ] · {W} · r · dr · dz + 2 · rc · fJN; ] · {<l> } · r · dl
Teniendo en cuenta que
[N; ] = N; [ l] y que N; Cra , Za ) = 1 / 3 y utilizando para integrar una
·
simplificación análoga a la descrita en el apartado anterior resultará:
'
{s0 } ¡ = -2 · 7t · re · � · [B; ( rc , Za ) ] · [D] · {rt a }
{p} ; = 32 · 7t · r · � · { W } + 2 · 7t · r L · N; ( r , z ) · { cI> }
G
A
G
·
A
A
A
en donde el punto A y la longitud L que aparecen en la segunda expresión representan el punto medio
del borde sobre el que actúa la carga
{<I>} y la longitud de dicho borde.
6.5
estructural y obtenidos los corrimientos de todos los nudos de la
Una vez resuelto el
estructura, se pueden recuperar los esfuerzos en los elementos mediante la relación :
{cr } = [ D] · [ BJ {ae } - [ D] {n}
·
·
E n general este campo de esfuerzos depende de l a posición y normalmente los resultados finales se
interpretan a partir únicamente de los valores del campo en algunos puntos representativos como son el
centro de gravedad del triángulo o sus vértices :
{<J } = [ D] [B( r Z ) l {a e } - [ D] · {rl }
{cr ¡ } = [ D] [ B( r¡ , Z ¡ )] {ae } - [ D] · {11 ¡ }
G
·
·
G,
G
G
·
utilizando técnicas de suavizado como las descritas en el capítulo anterior.
6 . 8.- PROCESO DE OTROS TIPOS DE ELEMENTOS
Nuevamente en este caso no es posible definir
f
,,,
,...
campos de corrimientos lineales en elementos
/
/
/
.....
/
/
"',...
,... '
cuadriláteros
,,,
'
ya
que
dichos
campos
quedarían definidos por tres constantes y
'
'
deberían cumplir cuatro condiciones para
'
asegurar que el campo toma en los cuatro
vértices del cuadrilátero los valores que le
corresponden.
Es posible utilizar elementos cuadriláteros, que se procesan mediante la unión de las matrices que
resultan en los triángulos en que se divide el cuadrilátero mediante una de sus diagonales .
Como existen dos diagonales que proporcionan dos opciones de división, las matrices finales del
cuadrilátero se obtienen a partir de los valores medios de las matrices correspondientes a dichas
opciones.
6.6
7 . l .- INTRODUCCI ÓN
Es evidente que en el análisis de cuerpos en estado de deformación plana y en el de cuerpos de
revolución bajo solicitaciones axilsimétricas se manejan cuerpos tridimensionales y desde este punto de
vista podrían quedar englobados dichos problemas en este capítulo. Ahora bien, en estos casos la forma
del cuerpo y la solicitación son tales que el comportamiento estructural queda definido a partir de un
análisis bidimensional en el que la sección plana representativa se divide en triángulos o cuadriláteros.
Existen otras muchas situaciones en las que el cuerpo no es un prisma de gran longitud, ni un cuerpo de
revolución o incluso teniendo estas formas están sometidos a solicitaciones arbitrarias que exigen un
análisis tridimensional.
Así como en los análisis bidimensionales de los capítulos anteriores se elegía el triángulo como elemento
más simple, en el análisis tridimensional se elige el tetraedro, siendo el hexaedro el elemento equivalente
al cuadrilátero en el análisis bidimensional.
En el análisis de cuerpos tridimensionales, la descomposición del volumen en elementos y su
visualización, especialmente si son tetraedros, es posiblemente la faceta más complej a, por lo que en
este tipo de análisis es mucho más importante disponer de herramientas que realicen automáticamente
las operaciones de mallado y numeración de nudos y elementos .
Otro aspecto destacado del análisis de cuerpos tridimensionales e s el crecimiento importante del número
de grados de libertad que conlleva un incremento muy significativo en los recursos del ordenador y en
los tiempos de cálculo.
7.2.- CAMPO DE CORRIMIENTOS
Se considera un tetraedro i, j , m, p en el que la ordenación de sus vértices se realiza de forma que el
producto mixto:
7. 1
sea
Teniendo en cuenta que el
volumen del tetraedro es
a un tercio del
producto del área de la base por la
es
fácil comprobar que el producto mixto anterior
.. '""-""'..,.........,,....
es igual a seis veces el volumen del tetraedro.
J
1
..... ,..... _ . ,.... r.
'l"'\ " t"" C! l 11 CI t- aco
•
pvJ.
.::i u .::i u 1,,; .::i 1,;v111p vuc;utc;;-, ,
!: J
..._�
__
�������������������
{a , } =
El corrimiento de cada nudo quedará definido
y los corrimientos del elemento englobarán los corrimientos de sus cuatro nudos.
Para cada una de las componentes u, v, w del campo de corrimientos en el dominio definido por el
volumen del tetraedro se elegirá una función de interpolación lineal en x, y, z, de manera que por
ejemplo la componente u quedará definida por:
Al imponer a esta función las condiciones de que en los nudós i, j, m, p tome los valores
u¡ , uj , um , up
resultará:
U¡
uj
um
uP
1
1
X¡
xj
xm
xP
Y;
Yj
Ym
Yp
Z¡
zj
zm
Zp
ª1
ª2
ª3
CX 4
, 4 que definen la función lineal vendrán dados por:
a j a m a p U¡
CX ¡
ª;
b¡ bj bm bp u j
ª2
=
C¡ cj c m c P u m
CX 3
6·V
d ¡ dj dm d p u P
CX 4
en donde V representa el volumen del tetraedro y los coeficientes a¡ , h; , e¡ , d¡ vienen definidos por:
por lo que los coeficientes a 1 , a 2 , a 3 a
7.2
zj
a . = xm
Ym Z m
x P Yp Z p
xj
zj
c. = - x
Zm
m
xP
Zp
zj
Ym Z m
Yp Z p
b¡
1
d¡
1
=-
xj Yj
x m Ym
xP Yp
1
1
obteniéndose el resto de las constantes a, b, c, d mediante permutación cíclica de los subíndices i, j , m,
p.
El campo de corrimientos vendrá definido por la relación general:
en donde una función de forma escalar arbitraria
N; (x, y, z)
=
N; (x, y, z) viene expresada por:
1 · (a; + b · x + e · y + · z)
d;
;
;
6·V
--
Es inmediato comprobar que el campo de corrimientos definido satisface las condiciones de continuidad
en las superficies que delimitan el tetraedro.
7.3.- CAMPO DE DEFORMACIONES
En el análisis de cuerpos tridimensionales el campo de deformaciones debe contener las seis
componentes distintas del tensor simétrico de deformaciones y en consecuencia la matriz operacional
[ S] que aplicada al campo de corrimientos proporciona el campo de deformaciones será en este caso:
[S]
En estas condiciones la submatriz
=
a o
dx
o a
dy
o o
a a
dy dx
o a
dz
a o
dz
-
o
o
a
dz
o
a
dy
a
dx
[ B; ] asociada al nudo arbitrario i del tetraedro será:
7.3
[ B¡ ] [ S] · (N¡ ]
=
=
o o
o dN; o
dy
o o dN;
az
dN¡ dN¡ o
()y ax
o dN¡ aN¡
az ay
dN;
o
ax
;
ª�
l
b¡
o
1 · o
6 · V C¡
o
d¡
= --
o
C¡
o
b¡
d¡
o
o
o
d¡
o
C¡
b¡
J
También en esta ocasión, como consecuencia de un campo de corrimientos lineal, se deduce un campo
de deformaciones constante.
Si el material es isótropo el campo de deformaciones térmicas será:
{ri }
=
a · fiT
a · fiT
a · fiT
o
o
o
7 .4.- CAMPO DE ESFUERZOS
[ D] de rigidez del material es la que corresponde a un
estado de esfuerzos tridimensional (ver apartado 1 .5 )
V
V
o
o
o
1 -v
1 -v
V
V
o
o
o
1 -v
1 -v
V
V
o
o
o
E · (l -v )
1
-v
1
v
[D] =
1 - 2 ·V
(1 + V ) · (1 - 2 · V )
o
o
o
o
o
2 · (1 - v )
1 -2 · V
o
o
o
o
o
2 · (1 - v )
1 -2 ·V
o
o
o
o
o
2 · (1 - v )
Suponiendo un material isótropo, la matriz
7 .4
La matriz de rigidez [ k] del tetraedro no presenta ninguna dificultad ya que en la integración la función
integrando es constante. La submatriz [ k Ju· de la matriz [ k] asociada a los nudos arbitrarios i, j del
tetraedro será en consecuencia:
[ k] u = V · [B¡ ] · [ D] · (Bj ]
/
,.. 1; ,<.
" 1; 1,...
térrn.icas nucde
SUCPde..1 aue
En el caso del vector colmm1a de fuerz�s
v1....1
.....
pve1
{,,.... ,. 1 �f'a h1u'...11f''1°v..<.....11 fip. 1 n..... ""'""
-1
r
�
u�
-
��
an
\,...I J
cuyo caso se realiza una integración simplificada consistente en suponer constante la función integrando
igual al valor que toma en el centro de gravedad G del tetraedro. Procediendo de esta manera se obtiene
para el subvector
{s0 } ¡ asociado al nudo arbitrario i el valor:
'
{s0 } ¡ = - V · [B¡ ] · [ D] · {r1 a }
Finalmente, en el caso del vector columna de cargas equivalentes las funciones integrando son funciones
<I> } sean constantes, debido a que las matrices
de la posición aún en el caso en que los vectores {W}, {
[N¡ ] no son constantes.
Procediendo de la manera descrita en el párrafo anterior se obtendrá para el sub vector
{p} ¡ asociado al
nudo arbitrario i el valor:
1
1
{P}; = V · [N; ( xa , Ya , Za )] · {W(xa , Ya , z a )} + S · [N; ( xA , y A , z A ) ] · {<I>(xA , y A , z A )} =
= ± . V . { w(xa , yG , Za )} + s . N¡ (x A , y A ' Z A ) . {<I> (x A , Y,,p Z A ) }
en donde S y A representan respectivamente el área de la cara en la que actúa la carga superficial {<I>}
y el centro de gravedad de dicha cara. También se ha tenido en cuenta que el valor de cualquier función
de forma escalar
N¡ (x , y, z) en el centro de gravedad del tetraedro es 1 /4.
7 .6.- RECUPERACIÓN DE ESFUERZOS
Una vez resuelto el problema estructural y obtenidos los corrimientos de todos los nudos de la
estructura, se pueden recuperar los esfuerzos en los elementos mediante la relación :
{cr } = [ D] [ B] · {a e } - [ D] · {11}
·
Si {11 } es constante, el campo de esfuerzos obtenido es también constante en todo el tetraedro.
7.5
el proceso de visualizar y analizar
Como
estado de esfuerzos l"rr"ll r h rw-•0"' " ' "'"" " 1 en un
volumen r1"''"'"'.-n �"" ""' " t" en irAr1'""""r11r•"'" es altamente co1mi::1 1e10 aún en el caso de 01soo1ner de herramientas
nn;tt:»n tA C
para el tratamiento de gráficos en color.
A esta dificultad se une el problema de interpretación adecuada de los resultados obtenidos ya que en
caso del campo de esfuerzos consistirá en un conjunto de valores constantes diferentes en cada uno de
los tetraedros , que claramente producen discontinuidades de dicho campo en las caras de los tetraedros .
Como normalmente en las soluciones exactas e l campo de esfuerzos varía en e l dominio de una forma
continua resulta conveniente suavizar de alguna manera la solución obtenida para convertirla en un
campo continuo.
El método más apropiado para conseguir este suavizado consiste en :
1 .-
Evaluar para cada elemento el campo de esfuerzos en los nudos del elemento.
2.-
Asignar a cada nudo de la estructura un estado de esfuerzos que sea el valor medio de los que le
corresponden como perteneciente a los elementos que comparten dicho nudo.
3 .-
Utilizando las funciones de forma definir en cada elemento un campo de esfuerzos a partir de
los valores de dicho campo en los nudos del elemento.
De esta manera se define un campo de esfuerzos continuo, obteniéndose adicionalmente una estimación
del error cometido en el método a partir de la diferencia entre el valor del estado de esfuerzos asignado a
un nudo y los diferentes valores utilizados para deducir la media.
7.7.- PROCESO DE ELEMENTOS HEXAÉDRICOS
Es más fácil visualizar la descomposición de un cuerpo tridimensional en elementos hexaédricos que en
elementos tetraédricos . Sin embargo no es posible generalizar el proceso descrito para un tetraedro a un
elemento de seis caras y ocho nudos ya que las funciones lineales definidas en dichos dominios requieren
cuatro constante y deben satisfacer ocho condiciones que son las que establecen que las funciones tomen
en los vértices los valores que corresponden.
Una posible forma de resolver el problema consiste en descomponer el hexaedro en cinco tetraedros, tal
como se muestra en la figura 7 . 2(a), determinar, siguiendo el método descrito en este capítulo, las
matrices correspondientes a los cinco tetraedros y proceder finalmente al ensamblaje de dichas matrices .
7.6
Una
tal
como se muestra en la
7.2(a),
las
matrices correspondientes a los cinco tetraedros y proceder finalmente al ensamblaje de dichas matrices.
Como existen dos maneras posibles de descompcmer el hexaedr? en cinco tetraedros (figura 7 .2(a) y
(b)),para evitar que las matrices obtenidas dependan de la división elegida, se determinan unas matrices
finales que son el valor medio de las que se deducen en cada una de las dos opciones.
\
\
\
\ 1
/
/
/
/
I
�-
/
'
'
( "-)
(b)
7.7
8 . 1 .- INTRODUCCI ÓN
En los tres capítulos anteriores se han formulado las soluciones de algunos problemas bidimensionales y
tridimensionales utilizando elementos sencillos (triángulos o tetraedros) en los que se definían campos
de corrirrüento lineales que evidentemente satisfacen la continuidad de los corrimientos en las fronteras
de los elementos. Parece evidente que la definición de campos cuadráticos, cúbicos o de orden superior
proporcionarán mejores aproximaciones a la solución exacta, siempre y cuando se sigan cumpliendo los
criterios de convergencia indicados en el capítulo 4.
En general, si el campo de corrimientos en el dominio (unidimensional, bidimensional o tridimensional)
queda definido por un polinomio arbitrario y completo de orden p, el error cometido en la determinación
de dichos corrimientos será del orden
o (h ) en donde h representa la dimensión característica del
p+ t
elemento. Si las deformaciones se deducen a partir de derivadas de orden m de las componentes del
corrimiento, el error en la determinación de las deformaciones y en consecuencia también en la de los
esfuerzos será del orden ü
(h
p
-m
+I
)
.
En los problemas abordados en los tres capítulos anteriores es p = 1 y m = 1 por lo que los errores en
los corrimientos y esfuerzos obtenidos eran respectivamente del orden
o (h ) y O(h ) .
2
A la vista de estas conclusiones se advierte claramente la gran importancia que puede tener la
consideración de funciones de forma de orden superior. No obstante, desde un punto de vista de coste
(tiempo de cálculo y recursos requeridos) la situación puede no ser tan favorable ya que aunque para
conseguir una determinada precisión se requiere un número de elementos tanto menor cuanto mayor sea
el grado del polinomio completo utilizado, la generación de las matrices de los elementos es tanto más
costosa cuanto mayor sea su orden.
En el caso de que se utilicen las mismas funciones de interpolación para todas las componentes del
campo de corrimientos será:
por lo que en este capítulo se considerarán únicamente las funciones de forma escalares N; .
8. 1
En el caso de definir funciones de forma de orden superior al primero es evidente que el corrimiento en
un determinado borde del elemento será también en general del mismo orden, de manera que, para
asegurar la continuidad a través del borde, dicho corrimiento deberá coincidir con el que se obtiene en
esa misma frontera pero perteneciente al elemento adyacente. Para conseguir esto la función deberá
coincidir no sólo en los vértices sino también en un cierto número de puntos adicionales situados en el
borde .
Es esta una particularidad característica de los elementos superior al primero en los que se deben definir
como nudos, además de los vértices de los elementos, otros puntos adicionales situados en su contorno.
Supongamos
por
ejemplo
el
rectangular mostrado en la figura
elemento
8 . 1 definido
por los seis nudos indicados en el que se
pretende definir el campo de corrimientos u.
Para garantizar la continuidad de u a lo largo
de los bordes paralelos al eje x, deberá
utilizarse una función lineal en x. Por su parte,
como en los lados paralelos al eje y existen tres
nudos, podrá utilizarse una función de segundo grado en y, que quedará determinada de forma única a
partir de tres condiciones.
De esta manera el campo de corrimiento u quedará definido por la función:
que como puede observarse es lineal en x y cuadrática en y .
u; , uj , . , u deberá verificarse:
X ¡ . Y; Y;2 X ¡ . Y ;2 O:. ¡
x j . Yj Yj2 x j . Yj2 ª 2
Como esta función debe tomar en los seis nudos los valores
U¡
uj
X¡
xj
Y;
Yj
.
=
y�
8.2
.
P
o bien
por lo que las constantes
{a} que determinan la función vendrán dadas por:
y en consecuencia la función u será:
en donde:
y
X
Las funciones de forma
x·y
X· l)
[N; ] quedarán definidas a partir de la matriz
Este método, aunque sencillo desde un punto de vista de formulación, presenta dificultades prácticas ya
que no siempre se puede garantizar la existencia de la inversa de la matriz [ C] , y caso de existir no
pueden expresarse explícitamente los elementos de la matriz inversa y en consecuencia tampoco las
funciones de forma.
En el resto de este capítulo se presentarán p ara diferentes tipos de elementos varias formulaciones
explícitas de las funciones de forma de orden superior al primero.
8.3.- ELEMENTOS RECTANGULARES . FAMILIA DE LAGRANGE
'
a..
•
-
- -
-
- ...... - - -
' vi
-
a:.
'
'
- '
!
Se supone un elemento rectangular, como el
- -
'
1
1
1
'
1
�
b
1
b
-
mostrado en la figura 8.2, con lados paralelos a
-
los ejes x, y del sistema de referencia. Resulta
s
-
.r
.... _
conveniente definir las funciones de forma a
partir de unas coordenadas normalizadas �' Y\
definidas mediante las relaciones :
fiJ 8. 2
de manera que al centro del rectángulo le corresponden las coordenadas � = Y\ =
O , mientras que en los
lados del rectángulo será � = ± 1 (en los paralelos al eje y) ó Y\ = ± 1 (en los paralelos al eje x).
8.3
expresar dichas funciones en las coordenadas originales x, y. Adicionalmente cuando
que calcular
integrales extendidas al dominio definido por el rectángulo habrá que tener en cuenta que:
dx = a · dé;
dy = b . dll
S i en un eje � se definen n+ l puntos con abscisas � 0 , � 1 , � 2 , . . . , � k -l ' � k ' � k+ l ' · . . , � n puede definirse
un polinomio de orden n , que en � k tome un valor unidad y sea nulo en los n puntos restantes
mediante la expresión:
Lk n -
_
,
(� - � o ) (� - � 1 ) · (� - � i ) . . : (� - � k - 1 ) · (� - � k+I ) . . .- (� - � n )
(� k - � o ) · (� k - � 1 ) · (� k - � 2 ) . . : (� k - � k-1 ) · (� k - � k+1 ) . . .-(� k - � n )
·
Este conjunto de polinomios se conoce como polinomios de Lagrange .
'"
"
i
Q.
...
Lagrange se definen nudos en el contorno y en
el interior del rectángulo formando una retícula
1
(
p
..,
\
,.
\.
11.o �
.
En los elementos rectangulares de la familia de
-
lt, � �
Ft �
8. 3
-
regular aunque dicha retícula no tiene que estar
-
necesariamente equiespaciada (ver figura 8.3).
La función de forma
-
N
P
asociada al nudo p
= � ; , 11 11 j será:
N (�, 11) = L; ,m (�) · Lj.n ( 11)
de coordenadas �
�
Em-1 eni­
=
P
que evidentemente vale 1 en el nudo p y cero
en los nudos restantes.
Esta familia no presenta una gran utilidad por el excesivo número de nudos interiores, cuyos grados de
libertad deben ser posteriormente eliminados a nivel de elemento, ya que no interaccionan con los de los
elementos adyacentes. Adicionalmente, las funciones de forma contienen muchos términos de orden
elevado que no contribuyen apreciablemente a una mayor precisión del elemento (Triángulo de Pascal).
8.4.- ELEMENTOS RECTANGULARES . FAMILIA SERENDÍPITA
Resulta conveniente definir nudos situados únicamente en el contorno del elemento . En la figura 8.4 se
muestran los tres primeros elementos (lineal, cuadrático y cúbico) de esta familia, conocida como
familia serendípita.
8.4
5
l�
0>-------40
s
o
G
o
Las funciones de forma del elemento lineal de esta familia coinciden con las del elemento de la familia
Lagrange en el que m
= n = 1 , y en consecuencia es fácil deducir que:
N1 (�,r¡ ) = ¡1 · (t - 0 · (1 - r¡)
obteniéndose relaciones análogas para las otras tres funciones escalares de forma. Es posible expresar
las cuatro funciones de forma mediante la relación única:
N ¡ (�, r¡) = -1 · (1 + �; · �) · (1 + TJ ; r¡)
·
4
Las dificultades advertidas en los capítulos anteriores para utilizar funciones lineales en elementos
� y lineal en 11 ) en la que el
cuadriláteros han sido resueltas mediante una función bilineal (lineal en
término adicional del tipo
� · r¡ permite ya cumplir las cuatro condiciones.
Este término cuadrático de la forma
afecta
a
la
continuidad
del
� · 11 no
campo
de
corrimientos en los bordes, y a que en éstos al
ser
� = Cte ó 11 = Cte el corrimiento sigue
siendo lineal en el borde y queda definido de
forma única a partir de los corrimientos en los
vértices del borde.
2.
En la figura 8.5 se muestra el campo de corrimientos u determinado a partir de los valores arbitrarios
u 1 , u 2 , u3 , u4 en los vértices del elemento lineal.
8 .5
las funciones de forma
La determinación
el elemento cuadrático es
más
A continuación se presenta un procedimiento sistemático para determinar la función de forma asociada
al vértice
1 del elemento (ver figura 8 . 6), que puede ser generalizado para definir funciones de forma en
elementos de orden superior de esta familia serendípita .
i
s
rl;(�t¿) -; .f_(l-f2)(1 -�)
2
2
/
"' rt.
---�3
��--,����___,
5
En el elemento cuadrático las funciones de forma asociadas a los puntos medios de los bordes son
relativamente sencillas y se generan mediante producto de polinomios de Lagrange apropiados . En
particular, las funciones de forma
N5 (�,11 ), N8 (�,11 ) , representadas en la figura 8 . 6, quedan definidas
por:
Ns {S.ll) = ± · ( H 2 ) - { l -ll )
N8 (1;, ll ) = � ( 1 - 1; ) · ( 1 - T] 2 )
·
Para definir la función de forma
N1 (� ,11 ) del elemento cuadrilátero se parte de la función de forma del
elemento lineal:
8.6
± (! -
que toma un valor unidad en el nudo
(! -
1 , es nula en los nudos 2 , 3 , 4, 6 y 7, pero que vale 1/2 en los
nudos 5 y 8. Para conseguir que se anule en estos últimos nudos, sin modificar su valor en los seis
nudos restantes bastará con restar a la función
N 1 (�, r¡ ) las funciones N5 (�, r¡ ), N8 (�, r¡ ) multiplicadas
1/2 . De esta manera resulta:
N1 (�,r¡) = N 1 (�,r¡) - 21 · N5 (�,r¡) - 21 · Ns (�,r¡) =
= ± (! - /; ) (1 - rt) - ± · (I - 1; 2 ) · (1 - rt ) - ± · ( ! - /; ) ( 1 - rt 2 ) =
previamente por
�
·
1
= 4 . ( 1 - �) . ( 1 - r¡) . [ 1 - ( 1 + �) - ( 1 + r¡)] = 41 . ( 1 - �) . ( 1 - r¡) . ( -� - r¡ - 1)
En la figura 8.6 se representa la función de forma
el nudo
N1 (�, r¡ ) que se anula en todos los nudos, excepto en
1 en el que toma un valor unidad.
Es posible generalizar el resultado obtenido p ara la función escalar de forma
N1 (�, r¡ ) de manera que
una expresión única defina las funciones de forma asociadas a todos los vértices, y análogamente las
funciones de forma
N5 (�, r¡ ), N8 (�, r¡) pueden expresarse de manera que sean aplicables a todos los
nudos situados en los puntos medios de los lados .
Resulta d e esta manera para e l elemento rectangular cuadrático d e l a familia serendípita:
Nudos situados en los vértices :
� ¡ = ±1
T\ ¡ = ± 1
Nudos situados en los borde:
N; (i; , rt) = ± (! - /; 2 H1 + rt ; TI )
N; (i; . ri ) = ± · (I + /; ; · SHI - ri ' )
Siguiendo un procedimiento análogo al descrito en el caso del elemento cuadrático se pueden deducir las
funciones de forma en el elemento rectangular cúbico de la familia serendípita resultando:
Nudos situados en los vértices:
�¡ = ± 1
T\ = ± 1
i
8.7
Nudos situados en los borde:
�¡ = ±3
11
N; (�,11 ) =
i
� ¡ = ±1
N, (�, TJ ) =
9
· (1 + 11 ; ·
32
· (l � 2 ) · (1 + 9 · � ; ·
:2 · (! + � , - �) ( l - TJ 2 ) · (1 + 9 TJ ; · TJ )
8.5 .- COORDENADAS DE ÁREA EN EL TRIÁ NGULO
Resulta evidente que, aunque los ejes �. 11 utilizados en los apartados anteriores para el análisis de
elementos rectángulares constituyen un sistema de referencia natural en el que los resultados se
presentan en la forma más sencilla posible, no ocurre lo mismo en el desarrollo de elementos
triangulares .
Las coordenadas de área permiten definir de una
forma muy simple la posición de un punto
arbitrario situado en el interior de un triángulo, y
lo que es más importante, dichas coordenadas no
dependen de la posición del triángulo en el plano,
i
ni de su orientación.
2
La posición de un punto arbitrario P (ver figura
8. 7) queda determinada por tres coordenadas
Li , L2 , � definidas mediante las relaciones :
a rea
a rea
a rea
L2 =
a rea
a rea
L3 =
a rea
L1 =
triangulo P23
triangulo 1 23
triangulo P3 1
triangulo 1 23
triangulo P l 2
triangulo 1 23
Como la suma de las áreas de los triángulos P23, P3 1 , P 1 2 es igual al área del triángulo 1 23 se
verificará:
de manera que tan sólo dos de las tres coordenadas de área son independientes.
De la propia definición se deduce que si P es un punto en el interior del triángulo, sus coordenadas de
área Li , L2 , � son nulas o positivas y en todo caso menores o iguales a 1 .
8.8
Todos los
situados en una recta
base y altura, y en consecuencia en todos ellos la
coordenada de área Li tomará el mismo valor.
Análogamente, los lugares _geométricos de los
L2 = Cte o L3 = Cte serán
respectivamente líneas paralelas a los lados 3 1 y
12 (ver figura 8.8)
puntos para los que
Las coordenadas de área de los vértices del triángulo serán :
Li = 1
Vértice 1
2
Vértice 3
L1 = 0
L1 = 0
Vértice
Para determinar las coordenadas cartesianas x,y de un punto arbitrario P definido por sus coordenadas
de área se tiene en cuenta que (ver figura 8 .8)
Igualando las componentes de la relación vectorial anterior y considerando la condición que deben
cumplir las tres coordenadas de área resulta:
X = X 1 + L2 . (X 2 - X 1 ) + L3 . (X 3 - X 1 ) = ( 1 - L2 - L3 ) . X 1 + L2 . X 2 + L3 . X 3 = Li . X 1 + L2 . X 2 + L3 . X 3
Y = Y1 + L2 · ( Y2 - Y1 ) + L3 · (Y 3 - Y1 ) = (1 - L2 - L3 ) · Y1 + L2 Y 2 + L3 Y 3 = L1 · Y1 + L2 · Y2 + L3 Y3
1 = L1 + L2 + L3
Recíprocamente, si despejamos las coordenadas de área L¡ , L2 , � de este sistema de ecuaciones se
·
·
·
obtiene:
L1 = -1- (a 1 + b1 x + e 1 · y)
2·�
L,- = 1 (a7- + b2 x + e - y)
2·�
L3 = 1 (a 3 + b3 x + e 3 · y)
2·�
·
·
-- ·
·
-- ·
en donde
� representa el área del triángulo y :
a, = X2 Y 3 - X 3 · Y 2
ª2 = X 3 y , x , Y3
a3 = X r . Y 2 - X2 y ,
·
.
-
.
.
7
•
·
C 1 = X 3 - X2
C 2 = X1 - X 3
h1 = Y 2 - Y 3
h2 = Y 3 - Y1
h3 = Y1 - Yi
Puede observarse que las coordenadas de área coinciden con las funciones escalares de forma del
elemento triangular lineal, tal como se formuló en el apartado
8.9
5 .2 .
En la
8. 9 se muestran los elementos
cuadrático y
con sus
correspondientes nudos . Puede observarse que el elemento cúbico incluye un décimo nudo situado en el
interior del triángulo, ya que de esta manera es posible definir p ara este elemento funciones de forma
mediante las cuales se incluyen todos los términos de un polinomio completo de tercer grado. En general
el número de nudos en cada elemento de la familia coincide con el número de términos existente en los
polinornios completos de orden creciente, garantizái1 dose además la continuidad del campo de
corrimientos en los bordes de los elementos. De hecho, existe una analogía perfecta entre configuración
de nudos en cada elemento de la familia y los puntos de un triángulo de Pascal.
2.
FiJ 8 . s
En el elemento lineal las funciones de forma coinciden con las coordenadas de área, es decir:
ya que L¡ se anula en los vértices del triángulo, excepto en el vértice i en el que vale 1 .
Para los elementos de orden superior es posible definir una expresión única válida para todas las
funciones de forma de todos los elementos de la familia. En efecto, p ara el elemento triangular de orden
m, el campo de variación, entre
O y 1 , de cada una de las coordenadas de área se divide en m intervalos
iguales, de longitud 1 /m, definiendo los valores:
Xo = -o = 0, X¡ = - , X z = -2 ,
m
m
m
X¡ = - ,
m
m
xm = - = 1
m
Si L;,¡ (x) representa el polinomio de Lagrange de grado i en x, que se anula en x0 , x¡ . x 2 ,
que vale 1 en
X;
8. 1 0
• • •
, xi- I y
= -l1:¡. · m · x · (m · x l ) · (m · x - 2 ) . . .{m · x
la función de forma NP (
L1 , L2 , L3 ) asociada al nudo
definido por las coordenadas de área
L2 = x 1. = -j
m
L¡ = X ¡ = ­l
m
(i -
k
L3 = x k = ­
m
viene definida por:
ya que evidentemente dicha función vale 1 en el punto P y se anula en todos los demás nudos del
elemento. Cuando una de las coordenadas de área del nudo P sea cero debe entenderse que
Lo.o (x ) = 1
El término de mayor grado de la función de forma N ( L1 , L2 , L3 ) es:
k
¡ i . ¡}
L-'¡
2 · L3
Como por otra parte i + j + k = , ya que las coordenadas de área del nudo P deben sumar 1 , se
P
m
deduce que las funciones de forma de todos los nudos del elemento son polinomios de grado m.
Por su interés se presentan a continuación de forma explícita las funciones de forma de los elementos
triangulares cuadrático y cúbico.
Para el elemento triangular cuadrático resulta:
Nudos situados en los vértices del triángulo
Lf = 1
Nudos situados en los lados del triángulo
L.p = Lp. = -1
2
'
J
Para el elemento triangular cúbico resulta:
Nudos situados en los vértices del triángulo
Nudos situados en los lados del triángulo
Np = -9 · L. · L . · (3 · L. - 1 )
2
1
8. 1 1
J
1
interior del
Nudos situados
=
l
3
8 .7 .- ELEMENTOS PRISMÁTICOS RECTANGULARES . FAMILIA SEREND ÍPITA
En el caso de cuerpos tridimensionales con forma de prisma recto recta.r1gular es siempre posible definir
un cambio de sistema de referencia como el indicado en el apartado 8 .3 , de manera que en el nuevo
sistema
�' Tl, s
el
prisma
se
convierte
en
un
cubo
cuyas
caras
quedan
definidas
por
� = ± 1, Tl = ±1, s = ±1 , coincidiendo el origen de dicho sistema con el centro del cubo.
O
En la figura 8 . 1 se muestran los elementos lineal, cuadrático y cúbico de la familia serendípita.
Es relativamente sencillo generalizar las funciones de forma obtenidas en el apartado 8 . 4 en el caso de
elementos rectangulares de la familia serendípita, con objeto de deducir las funciones de forma de los
elementos prismáticos rectangulares de dicha familia. Resulta de esta manera:
Elemento lineal (8 nudos)
Nudos situados en los vértices del cubo
8. 1 2
Elemento cuadrático
Nudos situados en los vértices del cubo
� ¡ = Y¡ ¡ = l; ; = ± 1
Nudos situados en las aristas del cubo
rt ; = s ; = ± 1
Elemento cúbico ( 32 nudos)
Nudos situados en los vértices del cubo
� ¡ = rt ; = � ¡ = ± 1
Nudos situados en las aristas del cubo
rt ; = C = ± l
Puede comprobarse que en todos los casos se asegura la continuidad del campo de corrimientos en las
caras del prisma recto rectangular.
8.8.- COORDENADAS DE VOLUMEN EN EL TETRAEDRO
Las coordenadas de volumen en el tetraedro constituyen una generalización natural de las coordenadas
de área en el triángulo.
En este caso la posición de un punto arbitrario P (ver figura 8. 1 1) queda determinada por cuatro
coordenadas L1 , L2 , L3 , L4 definidas mediante las relaciones:
volumen tetraedro P234
volumen tetraedro 1 234
volumen tetraedro P34 l
L1 =
volumen tetraedro 1 234
volumen tetraedro P4 1 2
L3 =
volumen tetraedro 1 234
volumen tetraedro Pl 23
L4 =
volumen tetraedro 1 234
L¡ =
4
Siguiendo un razonamiento análogo al que se
h.'# 8. U
hizo en el caso de coordenadas de área en el
triángulo se deduce que las coordenadas de volumen en el tetraedro deben verificar la relación:
L1 + L2 + L3 + L4 = 1
8. 1 3
De la
volumen
sus
definición se deduce que si P es un
L1 ,
son nulas o
Todos los puntos situados en un plano paralelo a la cara 234 generarán tetraedros P234 de l a misma
base y altura y en consecuencia en todos ellos . la coordenada de volumen L¡ tomará el mismo valor.
Análogamente los lugares geométricos de los puntos para los que
L2 = Cte, L3 = Cte, L4 = Cte serán
respectivamente planos paralelos a las caras 34 1 , 4 1 2 y 1 23 .
Las coordenadas de volumen de los vértices del tetraedro serán :
Vértice 1
Vértice 2
Vértice 3
Vértice 4
L1 = 1
L1 = 0
L. = 0
L. = 0
L2 = 0
L2 = 1
L2 = 0
L2 = 0
L3 = 0
L3 = 0
L3 = 1
L3 = 0
L4 = 0
L4 = 0
L4 = 0
L4 = 1
Para determinar las coordenadas cartesianas x, y, z de un punto arbitrario P definido por sus
coordenadas de volumen se puede seguir un método similar al descrito en el apartado 8.5 resultando:
X = L¡ . X¡ + L2 . X 2 + L3 . X 3 + L4 . X 4
Y = L1 · Y 1 + L2 · Y 2 + L3 Y3 + L4 · Y 4
z = L ¡ . Z¡ + L 2 . Z 2 + L3 . Z 3 + L 4 . Z4
1 = L1 + L2 + L3 + L4
Al despejar las coordenadas de volumen L¡ , L 2 , L3 , L4 de este sistema de ecuaciones se obtiene:
·
en donde V representa el volumen del tetraedro y los coeficientes a, b, c, d vienen definidos por
expresiones que dependen de las coordenadas de los vértices del tetraedro que coinciden con las
indicadas en el apartado 7 .2.
Nuevamente estas coordenadas de volumen coinciden con las funciones de forma del tetraedro lineal
analizado en dicho apartado 7 .2.
8.14
Como es lógico esperar los elementos tetraédricos presentan un tratamiento y propiedades similares a
las de los elementos triangulares.
En la figura 8 . 1 2 se muestran los elementos tetraédricos lineal, cuadrático y cúbico, en los que el
número y disposición de nudos permite definir funciones de forma mediante polinomios completos de
grado creciente.
En estos tres primeros elementos de la familia no se requiere definir nudos situados en el interior del
tetraedro, cosa que sí ocurrirá a partir del elemento de orden cuatro.
Las funciones de forma de los elementos tetraédricos de la familia pueden expresarse mediante una
relación única a partir de polinomios de Lagrange, semej ante a la que se dedujo en elementos
triangulares .
en donde:
i +j +k+l=m
siendo m el orden del elemento (lineal, cuadrático, cúbico, etc.)
A continuación se presentan los resultados específicos en los tres primeros elementos tetraédricos de la
familia, obtenidos mediante particularización de la expresión general anterior.
8. 1 5
Para el elemento tetraédrico lineal resulta:
Nudos situados en los vértices del tetraedro
NP = L;
Para el elemento tetraédrico cuadrático resulta:
Nudos situados en los vértices del tetraedro
Nudos situados en las aristas del tetraedro
p
p
1
L. = L . = -2
'
}
Para el elemento tetraédrico cúbico resulta:
Nudos situados en los vértices del tetraedro
Lf = 1
Nudos situados en las aristas del tetraedro
9
Np = 2
·
L. · L . (3 L. - 1)
1
}
·
·
1
Nudos situados en las caras del tetraedro
Lf = 0
8. 10.- OTROS ELEMENTOS TRIDIMENSIONALES
Además de los prismas rectangulares y de los
tetraedros existen otras
formas
de cuerpos
tridimensionales que presentan un cierto interés,
especialmente desde el punto de vista de formas
necesarias para dividir el volumen en elementos
finitos. Como elementos de relleno, el prisma
triangular
es
posiblemente
la
forma
tridimensional más utilizada, sin contar por
supuesto los elementos prismáticos rectangulares
y los tetraedros, analizados anteriormente.
8. 1 6
8.
L a posición de u n nudo arbitrario situado en e l interior del prisma triangular quedará definida por la
coordenada l;, de la sección transversal que contiene al punto P _y las tres coordenadas de área que
posicionan el punto P en el triángulo correspondiente a dicha sección transversal.
En la figura 8 . 1 4 se muestran los tres primeros elementos (lineal, cuadrático y cúbico) de esta familia.
11.
H
-�
L
8
v9
•1
- - - o-
º z. 5
2..
-- - 3
16
Para el elemento prismático triangular lineal resulta
Nudos situados en los vértices del prisma
S P = ±1
Para el elemento prismático triangular cuadrático resulta:
Nudos situados en los vértices del prisma
S P = ±1
Np
Nudos situados en las aristas de las bases
s p = ±1
Nudos situados en las aristas laterales
L; = 1
8.17
=
�-
L¡ ·
(
2
·
L¡ - l
) (l + s p s )
·
·
-
� · (1 -s 2 )
·
L¡
s p = ±1
Nudos situados en las aristas de las bases
- ')
L1: = :::_
1
3
Nudos situados en las aristas laterales
1
s p = ±3
Nudos situados en el interior de las bases
27
N p = - · L.
2
S P = ±1
1
·
L . · L (1 + '-;,r p . r"":> )
J
k
·
8. 1 1 .- ELIMINACIÓN DE LOS GRADOS DE LIBERTAD INTERNOS
En los elementos rectangulares de la familia Lagrange y en detenninados elementos de las familias
serendípitas se definen nudos situados en el interior del elemento. Los corrimientos de estos nudos
internos intervienen únicamente en las relaciones que definen el comportamiento del elemento y no
aparecen en ningún otro elemento de la estructura. De acuerdo con esto, parece conveniente eliminar
dichos grados de libertad internos a nivel del elemento, es decir, antes de proceder al ensamblaje de las
matrices de rigidez, de fuerzas térmicas y de cargas equivalentes.
Si representamos por "a" y "o" los grados de libertad correspondientes a los nudos situados
respectivamente en el contorno y en el interior del elemento, se verificará:
Esta relación puede escribirse en la forma:
{S 0 } = [koo ] · {ª º } + [koa ] · {ªª } + {S oo } - {p 0 }
{s a } = [kao ] · {a o } + [kaa l {a a } + {s oa } - {pa }
De las condiciones de equilibrio de los nudos internos del elemento se deduce
{s0 } = {O} y en
consecuencia es posible despejar los corrimientos de los nudos internos a partir de la primera de las dos
relaciones anteriores :
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}
]·
}
Eliminando estos
en donde:
[k00 ] = [kaa ] - [kao ] · [koo r 1 · [koa ]
{S Oa } = {S Oa } - [kao ] . [k r l . {S Oo }
00
son las matrices reducidas del elemento que incluyen únicamente los grados de libertad de los nudos
situados en el contorno.
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