Química Cuántica Química Cuántica Antecedentes: Teoría electromagnética de Maxwell c=fλ (c = νλ) Química Cuántica ¿Qué esperamos que suceda si disparamos con una escopeta hacia una pantalla con dos rendijas? …¿Y si en vez de balas son electrones? Química Cuántica Difracción de electrones ■ los electrones también exhiben un comportamiento ondulatorio. Química Cuántica Experimento del efecto fotoeléctrico Contradicciones con la teoría electromagnética de la luz : *la distribución de la energía en los electrones emitidos es independiente de la intensidad de la luz *la energía de los fotoelectrones depende de la frecuencia de la luz empleada *a frecuencias por debajo de cierta frecuencia crítica característica de cada metal, no se emite ningún fotoelectrón *Por encima de este umbral de frecuencia, los fotoelectrones tienen una energía máxima. Este valor máximo aumenta linealmente con la frecuencia. donde es el umbral de frecuencia por debajo del cual no hay fotoemisión. Química Cuántica Teoría del efecto fotoeléctrico Einstein utilizó la hipótesis de Planck: la radiación electromagnética esta formada de paquetes de energía o cuantos (posteriormente llamados fotones), dicha energía depende de la frecuencia de la luz : Cuanto de energía = Energía Máxima del electrón + función de trabajo de la superficie No todos los fotoelectrones tienen la misma energía, ya que algunos se emiten desde sitios más profundos - en este caso el trabajo que hay que realizar para arrancarlos del metal (función de trabajo) es mayor. Las teorías cuántica y ondulatoria de la luz se complementan: la luz se manifiesta en ocasiones como una corriente de fotones discretos, en otras como un tren de ondas. Química Cuántica Constante de Planck ■ ℏ=ℎ/(2ℼ) Química Cuántica Hipótesis de De Broglie ■ 1924: “la materia también debe poseer propiedades tanto ondulatorias como corpusculares” cada partícula con momento p lleva asociada una onda cuya longitud de onda es Química Cuántica RESUMEN (contradicciones con la Física Clásica): ■ 1) El experimento de la doble rendija DEMUESTRA LA NATURALEZA ONDULATORIA DE LA MATERIA 2) El efecto Fotoeléctrico DEMUESTRA LA NATURALEZA CORPUSCULAR DE LA LUZ 3) Pregunta filosófica: ¿La luz es materia? ¿Y el campo? Química Cuántica Química Cuántica Momento lineal clásico Química Cuántica Momento angular Química Cuántica TAREA ■ Trabajo individual a realizar durante el 24 de agosto: ■ Ver la película y sacar una escena donde se vea conservación del momento lineal (p), y otra donde se vea conservación del momento angular (L). Enviar ambos videos cortos a la maestra por correo a [email protected] antes del lunes 28 de agosto. ■ La película la pueden ver en el siguiente link: ■ https://1drv.ms/f/s!Ar1y1OV0TZ1YkJk_h1Uq8v9GWHE08g?e=B8beEA Química Cuántica Química Cuántica Autovalores = valores propios = eigenvalores; Autovectores = vectores propios = eigenvectores Calcule los autovalores y autovectores de la siguiente matriz: A= [ ] 5 4 1 2 Química Cuántica Ax = λx Si se conoce el operador A se pueden conocer los autovalores λi. ■ Para todos los λi se pueden calcular sus autovectores Xi ■ Los vectores Xi son infinitos y por tanto, se puede escoger aquel que tenga la norma (tamaño) que se necesite Recordar: ■ Un espacio vectorial también puede estar compuesto por un conjunto de funciones (las funciones también son vectores). ■ Un operador lineal no tiene que ser una matriz, puede ser también una integral, una derivada, un tensor, etc. ■ “La función de onda que describe el estado de una partícula es la solución del problema de autovalores del operador Hamiltoniano” HΨ=EΨ Química Cuántica Química Cuántica Función de Onda ■ ■ ■ ■ En general una onda puede representarse por medio de una cantidad compleja, por ejemplo, el campo eléctrico de una onda electromagnética. la función de onda asociada con una partícula en movimiento está relacionada con la probabilidad de encontrar a la partícula en el punto (x,y,z) en el instante de tiempo t. Una probabilidad negativa, o compleja, es algo sin sentido. Esto significa que la función de onda no es algo observable. Sin embargo, el módulo (o cuadrado) de la función de onda siempre es real y positivo. Por esto, a se le conoce como la densidad de probabilidad ρ(x,y,z,t) El problema más importante en MC es calcular la función de onda que describe el estado de una partícula. Química Cuántica La rutina “sencilla” que vamos a seguir en los ejercicios: ■ ■ ■ Para un problema dado se tiene que proporcionar la forma del potencial V(x). Esto determina la forma particular de la ecuación diferencial que satisface la función de onda Una vez resuelta la ecuación de Schrödinger, la función de onda resultante contiene toda la información sobre la partícula. Como la probabilidad de un evento siempre está comprendida entre cero (no ocurrencia), hasta uno (certeza absoluta de ocurrencia), debemos normalizar la función de onda. La condición de normalización de la función de onda se escribe como ■ y significa que la probabilidad de encontrar a la partícula en algún punto del espacio debe ser igual a la unidad. Se pueden calcular los valores propios de p y L utilizando sus operadores diferenciales y resolviendo la ecuación de autovalores correspondiente. Química Cuántica La densidad de probabilidad ρ(x,y,z,t) (o probabilidad relativa) es una función. Sus valores son menores a uno (<1), siempre que la función de onda esté normalizada. Estos valores de ρ están relacionados con la probabilidad de encontrar una partícula en el punto x,y,z en el instante t. Siempre es proporcional al cuadrado de su función de onda. Nubes de probabilidad electrónica: Química Cuántica Ejercicios para repartir en equipos: 𝜙 = ⅇⅈ𝑚𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 𝜙 = ⅇ−ⅈ𝑚𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 𝜙 = sin 𝑛𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 𝜋𝑥 𝜙 = sin 0≤𝑥≤𝑎 𝑎 1) Normalizar 2) Graficar la función de onda 3) Graficar la densidad de probabilidad 4) Calcular la probabilidad de encontrar la partícula en el primer cuarto del intervalo de definición Respuestas parciales en pág. 28 y 29, libro de Esteban Elum Química Cuántica Valores esperados (de expectación) ■ Al igual que la posición y el momento, las cantidades físicas no tienen un valor preciso y lo más que podemos decir es que tenemos cierta probabilidad de encontrar el valor X, y cierta probalibidad para encontrar el valor Y para determinada cantidad física. El valor promedio, o valor de esperado de una cantidad física puede determinarse de manera similar como se determinan los promedios comunes y corrientes 𝐴 = ∞ ∗ 𝐴𝜓 ⅆ𝜏 𝜓 −∞ ∞ 𝜓 ∗ 𝜓 ⅆ𝜏 −∞ f(x,p) son los operadores x, E, p, L, etc. Los valores de expectación <f(x,p)> pueden coincidir con las cantidades físicas macroscópicas de un sistema suficientemente grande. Química Cuántica Comparemos operadores y cantidades físicas: Energía (H o E), momento lineal (p), momento angular (L) Mecánica clásica: Mecánica cuántica: ■ Los momentos lineal y angular, y la Hamiltoniano y Energía: - 𝑝 = −iℏ∇ H= Química Cuántica Ejercicio del pozo infinito 2 𝑛𝜋𝑥 sin 𝑎 𝑎 𝜓 𝑥 = V=0; para 0<x<a V=∞, 𝑥 ≤ 0, 𝑥 ≥ 𝑎 Trabajo en clase: Dividir por parejas, cada miembro debe trabajar con n=1 o n=2, y hacer lo siguiente: Dibujar ψ(x), ρ(x) Calcular 𝐸 , 𝑝 , La probabilidad de que la partícula se encuentre en el intervalo 𝑎 𝑎 𝑎 0≤𝑥≤ , ≤𝑥≤ 4 4 2 Siguiente clase, un miembro de la pareja le explica al otro para que pase al pizarrón Respuestas parciales en: pág. 45, pág. 48, pág 65, pág 62 del libro de 100 problemas Tarea: ■ Química Cuántica LA ECUACIÓN DE SHRODINGER Si el Hamiltoniano clásico es H = Y la Ecuación de Shrodinger es una ecuación de autovalores HΨ=EΨ → - Entonces la Ecuación de Shrodinger dependiente del tiempo es: Química Cuántica Ejemplo: Ecuación de Schrödinger para una Partícula Libre Si V(x) = 0 la ecuación de Schrodinger es: Se propone como solución una función del tipo de una onda plana Si Se comprueba que para una partícula libre Química Cuántica Ahora sí, hablemos de operadores con significado en la Física Clásica ■ Acerca de estos operadores: ■ ■ ■ ■ ¿Cuándo se dice que dos operadores conmutan? Si [A,B] = 0 ¿Cuánto es [x, I]? ¿Conmutan, por ejemplo, la derivada y la posición? Química Cuántica El operador conmutador ¿Qué significa que dos operadores no conmutan desde el punto de vista de un experimento? Hacer en clase: ■ ¿Conmutan x y p? Química Cuántica Principio de incertidumbre de Heisenberg ■ 1927: El hecho de que cada partícula lleva asociada consigo una onda, impone restricciones en la capacidad para determinar al mismo tiempo su posición y su velocidad: hay un límite en la precisión con la cual podemos determinar al mismo tiempo la posición y el momento de una partícula. ∆x ∆p ≥ ћ/2 ∆E ∆t ≥ ћ/2 El estudio de fenómenos a escala microscópica mediante las hipótesis de la cuantización de la energía y la dualidad onda-partícula fue desarrollado bajo el nombre de Mecánica Cuántica por Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Paul Dirac, y otros alrededor de 1925-1926. Química Cuántica Retomando: Ecuación estacionaria de Schrödinger En algunos sistemas, como en los átomos, algunas cantidades físicas poseen valores bien definidos y discretos. Ejemplo: los niveles de energía y el momento angular en los átomos. Cuando la energía permanece constante en el tiempo, la dependencia temporal de la función de onda se puede separar de la dependencia espacial (“separación de variables”). HΨ=EΨ» El primer paso para resolver esta ecuación es definir V(x)…y es donde se necesita más ingenio...lo demás (encontrar ψ) es talacha ☺ ¿Cuál es la interpretación de los autovalores Ei y las autofunciones Ψi ? ¿Qué onda con ∆E ∆t ≥ ћ/2 ? Química Cuántica Tarea (extra/recordatorio de álgebra) Explorar qué es un operador lineal y hermítico ■ Familiarizarse con sitios web y libros en biblioteca. Traer lista de los que traen ejercicios sobre operadores lineales y hermíticos ■ ■ http://karin.fq.uh.cu/fqt/ ■ http://www.qfa.uam.es/fqc/a puntes.html Química Cuántica ¿Qué averiguaron? ¿Qué es un operador? Ejemplos de operadores. ■ Los libros y páginas que tienen un apartado sobre operadores lineales y hermíticos tienen suficiente nivel ■ ■ ¿Qué es un operador lineal? Veamos ejemplos que sí son y ejemplos que no son. Recordemos un poco de Álgebra matricial ■ Qué es la traspuesta? ¿Qué es la traspuesta conjugada? ¿Matríz hermítica? ■ ¿Qué tienen de especial los autovalores de las matríces Química Cuántica hermíticas? ■ Para reforzar el tema de valores propios degenerados: Resolver los problemas de valores y vectores propios de las siguientes matríces. ■ ¿Cuál de las dos es hermítica? ■ ■ ■ Química Cuántica Operadores lineales: T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v y para todo escalar k, se satisface que: T(u+v)=T(u)+T(v) T(ku)=kT(u) Extra: ¿Qué es el espacio de Hilbert? (Favor de no memorizar nada de esto) ■ Formalmente, se define como un espacio de producto interior que es completo y con norma vectorial definida por el producto interior. Dada la función En análisis funcional, el producto interno de dos funciones y en un intervalo es el número unciones ortogonales y conjuntos ortogonales, por WikiMatematica.org su norma se define El número se llama norma cuadrada de a: Química Cuántica
