Analisis-Matematico-Tomo-4-Antidemidovich

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4
/ . / . Liashkó,
lá. 6 .
Gai,
A.
6 . P.
K.
Boiarthuk
Golovach
Análisis matemático
Integrales múltiples
y curvilíneas
TEMATI/IKA
URSS
H . H . J I u i m k o , A. K . Ihiii|)'IVK, M. I , i a í l , I . U
lojiona'I
('iiimiio'iiioc IUICOIÍHC ni
m i c i i miitcmiithkc. TOM 3 .
MaTCMinn'iecKiiH iiiiii.iihí: KpnriiMC 11 upuiiojimicHiifaic hiitcipaju,i
/. I. Uaahkó, A. K. ¡íoiiiriliuk, tií. C. Gtii, C. P. Colovach
Matemática superior. Problemas resueltos. Tomo 4.
Análisis matemático: integrales múltiples y curvilíneas
Traducción de la cuarta edición rusa (1997)
lista serie consta de ocho volúmenes. Los cuatro primeros tomos con los que se abre esta obra,
están'dedicados al estudio práctico de las funciones, las sucesiones, las series, el cálculo diferencial e
integral de las funciones de una y varias variables; en ellos se presentan soluciones completamente
detalladas de los problemas expuestos en el famoso libro de B. P. Demidóvich.
lin los tomos 5 y 6, aparte de una detallada exposición de la teoría de las funciones de variable
compleja, se resuelven escrupulosamente cerca de 400 problemas, muchos de los cuales aparecen en
la inmortal colección del matemático soviético L. I. Volkoviski. Además de los temas característicos
de los cursos de este tipo, en esta parte de la obra se hallan cuestiones menos comunes como son la
integral de Newton—Leibniz y la derivada de Fermat—Lagrange. Se presta una especial atención a
las aplicaciones conformes.
lín aproximadamente 800 problemas resueltos paso a paso, los tomos 7 y 8 abarcan todos los tópicos
del curso habitual de la teoría de las ecuaciones diferenciales. En cada sección se expone el mínimo
teórico estrictamente necesario para la resolución de los problemas correspondientes; muchos de
estos aparecen en la genial colección de A. F. Filíppov. Asimismo, en estos volúmenes se analizan
luda una serie de temas bastante atípicos para libros de esta clase (teoría de la prolongación de la
solución del problema de Cauchy, ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de primer orden
no lineales, algunos métodos numéricos para la resolución de ecuaciones diferenciales, aplicación de
los criterios de existencia de los ciclos límites en el plano fásico, etc.).
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En la edición de este libro participaron:
Director
9LFHGLUHFWRU
Director de producción
Director de sistemas
Traducción
Diseño
Enmaquetación
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Realización técnica
Domingo Marín Ricoy
Natalia Finoguiénova
¡riña Makiéeva
Víktor Románov
Viktoria Malishenko y Marín Andriánova
Víktor Románov y Vasili Podobied
Natalia Bekétova
Svietlana Bondarenko y Anua Tiúrina
Leonid losffiévich, Elena Kttdriashova, ígor Korovitt,
Larisa Kirdiáshkina y Pável Zelenin
Natalia Aríncheua, Marina Kmtskó y Elena Lógvittova
Reservados todos los derechos en todos los idiomas y en todos tos países del mundo. Quedan rigurosamente
prohibidas, sin la autorización escrita det titular del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes,
la reproducción tota! o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía
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HafljrrcjibcriiO «yPCC». 113208,U MocKBa,\ML_ loBOKaCKHCKasi,$ 27/74, komQSD%
JlniicioHíi J1P Na063377 ot 25.05.94r. QRMXL+FDQR k nciam G2.04.99r, <t!RS0DU 70x100/16. Ilci,jt. 16.
O m c i a r a n o h AOOT «noüMTex-4». 129110, U MocKiia, E. flepesicjiaBcuasi, 46, 3sk.N> 527
Editorial URSS
KWWSXUVVLVDDFUX
ISBN 5-88417-183-8 (Obra completa)
5-88417-190-0 (Tomo 4)
© Editorial URSS, 1999
Capítulo 1
Integrales dependientes del parámetro
§1. Integrales propias dependientes del parámetro
1.1. Continuidad de la función
F:y>->
I f(x, y)dx.
(1)
a
Teorema 1. Si la función / : IT
K, donde II = {(as, y)\a ^x < Ayb ^y <
, es
continua, la función F es continua en el segmento [ft, 13).
Teorema 2. Si la función f es continua en II y las curvas x — <p(y) y x = ip(y),
y E [£>, B], son continuas y no salen fuera de los límites de II, la función
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I'.y*-*
j
f(x,y)dx
pKsr)
es continua en el segmento [b, B\.
1.2. Paso al límite bajo el signo integral
Teorema 1. En las condiciones del teorema del p>
A
i™ / f(x¡y)dx=
y^yoj
D
son válidas las fórmulas
A
i lim
J y^yo
f(x1y)dx,
D
i>(v)
$(yo)
/ f(x>y)dx=
y^vo J
PÍP)
/
J
P(ífo)
f{x)yQ)dx.
funciones
parámetro de la familia, y £ Y, tiende uniformemente a la función límite g para y ^ yo,
s i V £ > 0 3 ¿ > 0 t a l que para 0 < \y — jfo| < 5 se tiene \f(x>y) < £ para
y0£Rt
todo x del dominio de definición de las funciones / y g.
Si yo — oo, entonces las desigualdades O < \y - yQ\ < 8 se deben sustituir por la
HpfiitmalHaH \ll\ A* ei tin. =
—cV^ nnr Ta Hocín-n-ali-J^j-l nt X/fli ^ ... J»"\
'I
('.i|>l1tilti I. Integrales d e p e n d i e n t e s del |itiránu-tn>
Ic-oreniii 2. Si puní un y C Y Jijo la función f es coniinuu respecto n x C [a, A] y
> yo Hendí• n tu función limite g uniformemente respecto a x, entonces
l'iirn y
Ji
11
lim I f(x,y)dx—
W—'l/o J
I
g{x)dx.
J
1.3. Derivación bajo el signo integra!
Teorema 1. Si ¡as funciones / y f¡¡ son continuas en II, entonces la junción F es
derivable en el segmento > B] y su derivada se determina a partir de la fórmula de Leibniz
A
A
Jy J f(x,y)dx
= j
f'y{x,y)dx.
Teorema 2. Si se verifican las condiciones del teorema 2 del y. 1.1 y las funciones <p
y •ip son derívables para b < y < B, entonces
i>(y)
V'(sí)
j- J
}(x,y)dx
i>'(v) - f(m,y)
= f(m,y)
<p'(y) + J
<f(y)
f'vix,y)dx,
y
e y>,B\.
- <p(y)
1.4. Integración bajo el signo integral
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Teorema. Si la función f es continua en II, entonces
ͳ͑
J
1»
Ͳ͑
dy
J
Ͳ͑
f(x,y)dx
= jdx
ͳ͑
J
f(x,y)dy.
Investigar la continuidad de la función
i
F: y
/
y f(x)
V2
dx,
J x +yo
donde f 6 C [ 0 , 1 ] y f(x)
'
> 0.
Solución. Las funciones y : x i->
y f son integrables respecto a x en [0,1] y son de
signo constante para 0 < x < 1. Además, la función / es continua; por consiguiente, se
cumplen todas las condiciones del primer teorema del valor medio en el cálculo integral
(Ver T. 2, cap. 2, sec. 2), luego
F(y) = f(c{y))
arctg I
0 < c(y) < 1.
Sea f. > 0. Kntonces,
|/''(<-")
-= | ( / ( ' # ) ) I' 1 (<•(-£))) arctg ~ |
1
2 mín f(x) arctg £
7r mín f(x) > 0 ,
xe[o,u
£ -* 0.
§ 1. Intégralo* |>ni|tltm <lit|temlli*iilrN «leí |Mi\iuietro
5
Debido a que la función ifr: Oír, y) \ * JJ/^j e:i mtitiiuja en cada uno de Jos rectángulos
< x ^ 1; # ^ < j4], [0 x : I; A ? - y 9 fidonde ¿i > 0, A > 0, entonces, según
el teorema 1 del p. 1.1, la función ¡** es continua en cada uno de los segmentos
y
A, — ó\. Como 6 y A son arbitrarios, vemos que la función F es continua Vt/ ^ 0.
2.
Hallar:
a) Iim
i
H-ar
f
-i
tía:
b) Iim
im / T
;—•O J + 1a;2 4- a 2 '
a
1
[ - LO
c) lim
n-+ oo J
0
1
In(:c 4 |a|)
da?.
d) lim f
<*->ooJ ¡n(ac2 4* a 2 )
i
I Solución* Dado que las funciones (x, á) i-* Vx2 4 ot2, a
1 4 otf (a?, a)
üx^
continuas, entonces según el teorema 1 del p. 1.2 se puede efectuar el paso al límite respecto
a a en el integrando para a —» a [)f siendo ct0 finito.
i
i
2
2
a) lim / Vx 4 a dx — f \x dx — 1;
a
-i
1+a
¿x
, oto = 0.
b) » » /
t r o
o
i
Dado que para n ya
fijos (n € N, |a| > 1) las funciones íc
vr
i+(i+S)
s o n continuas respecto a a ? ( 0 ^ a ? < l y l < ® ^ 2 ,
respectivamente)
y
S
O
n
/
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y AW
/(*>a) =
TT^ P a r a
i+(i+sr
a continuación), entonces, según el teorema 2 del p. 1.2 obtenemos:
i
i
i
tfo _ f idx
_ p dx _ le
c)
m
=~ íi+o+f
r ~ ¿ ^ ~ e+1'
I Para a
00
(vor
ii 4iíéf
d)
x
/
- / i™.
«í» - i .
a •••> oo
ir-+oo
La convergencia uniforme de la sucesión ( / n ( x ) ) y de la familia de las funciones
f(x7 á) se deduce de las estimaciones siguientes:
1
1
14(14
X
1 + e"
(1 4 e*) (l 4 (l 4 f ) " )
< sup
0<xs£l
para n
14
< e
14
x
n
x
n
<
€
—
K)
+0
ooVx E [0,1], Sea e > 0, entonces
1n(s + \a\) _ i
!n(#2 4 a 2 )
2
ln(l4
lx\a\
) <
2 ln(£2 4- a 2 )
x\a\
(x2
4
a2) ln(x2 4
<
1/2
Va? G [1,2] siempre que |a| > (e* - l )
•
a2)
<
Z\a
1
<e
(1 4 a 2 )ln(l 4 a 2 ) ^ ln(l 4 ot2)
O
t'jiplldlo L 111 líbrale» dependiente» del |Mi<1incho
i
I lallnr A
3.
lim
ii >i
f « "Hm" dO.
ti
•4 Solución. Como sen t) > ~0 para 0 < 0 íC
ffl
£
2
J
se tiene e ~ R s e n $ íj
2
e-'1™*
de < j e-íRe dd =
»
^ ( 1
-
e~R)
o
y 0 < A ^ lim ^ ( 1 - e~R) = 0, es decir, A= 0.
Jl—+00
Por tanto,
¿ "
•
Sea f una función continua en el segmento [A,D\. Demostrar que
4.
X
lim ^ í (f(t + h) - f(t)) dt = f(x) - f(a),
A < a < x < B.
Kü>0 ti -
a
4 Solución. Introduciendo la primitiva F de la función /, con la ayuda de la fórmula de
Newton—Leibniz obtenemos
I (F'(t + h)~ F'(t)) dt = (F(t + h)~ F(t)) \l = F(x + h) - F(x) - (F(a + h) -
F(a)),
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u
entonces
F(x-i-h) - F(x)
lim 7- [ (f(t + h) - f(t)) dt = lim :
'
h->0
_
F(a + k)-F(a)
h-»(l ti J
_
^
^ 0, n € N, en el segmento [—1,1]; 2) <p„(x)
0 para
k—*o
Supongamos que: 1) f„(x)
5.
=
^
_ ^
= m
n>
i
oo si 0 < e < |ar| < 1; 3) j
n
tpn{x)dx
—• 1 para n
oo. Demostrar que para una
-i
función / € C [ - l , 1] se verifica
ii
lim /'.nx)<pn(x)dx
n—>cc J
=
m
i
< Solución. Sea ó > 0. Veamos la desigualdad
i
j f(x)<pn(x)dx - f{Q)
<*
-L
í \ j !(j)>P»(*)dx | | /(a!V„(a:)rf3! I
/ / ( ^ « ( a ) dar - /(O)
§ I. [nle#ttilei4 ¡mtptag de fWftdlpuft'i1* <lrl |?«iívlmetro
7
Para el primor sumando del Neptunio miembro de (I) Iruemos la estimación siguiente:
V
f{x)<pn(x)dx
2M sup
-i
donde M = máx\f(x)\ ¿ 0 (observemos que si f(x)
E 0 en [ - 1 , 1 ] , la afirmación del
leo rema es trivial).
Empleando el primer teorema del valor medio, así como la desigualdad 1), estimemos
el segundo sumando del segundo miembro de (1)
t
j f(x)ipn(x)dz
<pn(x)dx ~ /(0)| <
- /(O)
•
í; |/tf»)-/(0)[
J <Pnfr)dX +
ipn(íc) dx <
1 1
i
—€
< [/(C") - /(0)| f <pn(x) dx + M 1 - j <p„(x)dx\+2M sup ipn(x),
J
1
j
I
0<c<|Í|<1
-I
(3)
donde |£n| < e.
En virtud de la continuidad de la función / siempre se puede elegir un e tal que
se cumpla la desigualdad
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Después de fijar s, a partir de las condiciones 2) y 3) hallamos
1
0<
tpn(x) dx — 1 <
sup tpn{x) < " I " ,
i
•
(5)
1
0< /
< 1 +
6
4M'
6
4 M'
si n es lo suficientemente grande.
Utilizando ahora las estimaciones (2)-(5), de (1) se obtiene
i
<6
para todo n lo suficientemente grande.
•
Comprobar la posibilidad de efectuar el paso al límite bajo el signo integral en la
6.
expresión siguiente
lim / —re ? dx.
v^u j y
o
H
l u|i(liilo I. Integrales dependientes del imi.uih'Iio
Solución, líl pusit ni límite no puede ser realizado. Efectivamente, pasando al límite bajo el
signo integral obtenemos cero. No obstante, si calcularemos la integral y después pasaremos
al límite obtendremos
i
lim /
r-o./
I)
i
d ( ™ ] = ilimfl — e - ? ) — i.
dx — ^ l i m /
y2
2 y—a J
\ y2 J
o
2yV
1
2
Nótese que en el punto (0,0) la función / : {x,y) i-» ^¡e «* experimenta una
discontinuidad. •
a
7.
Sean a) F ( a ) = J
a~
f(x
+ a, x - a)dx;
b) F(a)
= J
0
x+a
s e n ( : r z + y2 -
dx J
0
a2)dy.
x—a
Hallar F'(a).
Solución, a) Asumiendo la existencia de las derivadas parciales continuas de las funciones
(u, v) i ^ f(u, v), donde u= x + a, v — x— a, conforme a la fórmula de Leibniz tenemos
o
F\a) = /(2a, 0) + J (fUu,v)
- f'v(u, v)) dx.
o
Observando que
= f u + f v escribimos
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a
a
J (ti - ti) dx =2 J ti dx - /(2a, 0) +
o
f(a,-a).
o
a
Por consiguiente, F'(a) = f(a, -a) + 2 f f'¡ dx.
o
x+a
b) Denotemos f(x, a) = / sen (x2 + y2 - a2) dy, entonces
x—a
a2
F'(a)
= 2/(a2, a ) a + J
f'a{ x, a ) dx,
x+a
o
/¿(x, a)
— sen(&2 + {x + a)2
-
a 2 ) 4 sen(z 2 + {x -
a}2
-
a2)
-- 2a J
cos(.x2 4 y2 - a2)dy.
x—a
De este modo, obtenemos
a2+a
F' (a) = 2a j
a2
sen (y2 + a 4 - a 2 ) dy + 2 J sen 2x2 eos 2aar dx cr
-2a j
2+íi
dx J
cos(x2 + y2 - a2) dy.
•
$ I. Intégralo* projild* dp|wiHlitMitt<N ilrl ¡Mijnu'ho
H
Hallar F"(x) si F(x)
8.
h
j d( j f(x
y
continua.
9
n
| ( | •//) dy, h > 0, donde / es una función
0
Solución. Evidentemente, para una función / continua es válida la igualdad
0
f(t)dt.
f(t + ta) dt
a
Utilizando esta igualdad y la posibilidad de derivar respecto al parámetro obtenemos
d_f±
dx\h2
J
o
mdrjJ
*H
h
¿
x+h
f (f(h+ X + O
͑
͞
1
f ( x + í))
/ ( í ) dí ,
ft2
0
X
f(x)). •
F V ) - ¿ (/(2ft H-ar) — 2/(ft + x) +
9.
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Demostrar la fórmula
í. =
= *»<*),
o)
nGN,
donde
sen ir
si
a? ^ 0,
si
x - 0,
x hfy cos(y+f)dyt
x¿0,
n
o
eos TÍTT
x = o,
12+1 »
A partir de la fórmula (1) obtener la estimación
w e n.
dnf(x)
dx
^ ñ+1 P a r a 35 ^ ]~00.+00[.
Solución. La demostración de la fórmula (1) para x ^ 0 se lleva a cabo mediante el método
de inducción matemática. En efecto, para ti = 1 la igualdad (1) es lícita. Suponiendo que
la fórmula (1) es válida para un cierto n = kf derivemos los dos miembros respecto a x e
integrémoslos después por partes. Entonces resulta
hfc+1
— cosíí
X
\
1
X
dk+1 /sena;
dXM V x
fCTT
1
/
— cosí X -f
X
\
2
k+ 1
XJfc+2
i
(fri
kir
c o s y + ~2
(
jfc+i
rt
hir
f k
í
y
cosijr
+
1
fJ - - " v 2
o
X
X
o
1
+h+
X
X
X
k±l
k+2
xxk+i
(
. for
W
k-K
y Jfe+l
s e nf{ y +. —
0
(fe + 1)7T
¿ 2 /
o
C0S
+
2
X^í).
10
('i!|)Uuli> I. lnIcgr.ilcN dfpcndii'iiti'H d e l |mi.íiih-Iio
Aliora demostremos Ki validez do la fórmula (I) para x
do sena: en serie de Maclnurin obtenemos
0. IJ lili/,indo el desarrollo
£ rctCiC P a r a x ^ G- Obviamente,
* ^ / ÍI^ÍF^
para x = 0 la suma de esta serie es igual a la unidad. Por lo tanto f(x) = ¿ J rat+i)! P a r a
0
todo x, de donde hallamos /'"'(O)
Como para x 0 se tiene
I
n+1 *
n+r
IcDS — f
y para x — 0 |/(n'(0)| —
entonces \fx € ]—oo, +oo[ se tiene
dnm
dxn
n +1
10.
Aproximar la función f:x>>
x2 en el segmento [1,3] por una función lineal
i h » b x tal que sea mínima la función
3
I(a,b) = J (a + bx —
x2ydx.
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i
< Solución. Debido a que el integrando tiene derivadas parciales continuas para cualesquiera a y b, se puede aplicar la fórmula de Leibniz. Derivando bajo el signo integral
respecto a a y b y teniendo en cuenta las condiciones necesarias de extremo de la función I
obtenemos
3
j'a(a, b)=2 J(a
3
+ bx-
l'b(a, b) ~ 2 J(a
x2) dx = 0,
i
+ bx-
x2)x dx = 0,
i
de donde resulta a = — y, b = 4. Es fácil ver que T"a(a, 6) = 4. Así pues,
dzI(a, b) =4da2
+ 16 dadb+~
db2 = 4(da + 2 dbf + ~db2 > 0,
3
3
o sea, para a — — y , 6 = 4 la función I alcanza su valor mínimo. Por consiguiente, la
función lineal y — 4x — y satisface el problema planteado.
11.
Hallar las derivadas de las integrales elípticas
E(k) = f vT
Jn
• k2sen2ipd<p,
rt
•
completas
dtp
d<P
F(k) = í
J \/l
—&2senfy
y
4
y expresarlas mediante las funciones E y F .
Comprobar que E(k) satisface la ecuación diferencial
0<k<l,
tj I. Integral OH pmpUn <l<'|H'mlleule»i del p.ir.íiuelro
II
g • • te • ^m • • ««wv • «
4 Solución. Sea k E (Aro,
C |0, l|. línloneeH, las luneiones (fc, y?)
y
«. • .
...
l -A: 2 sen 2 ^,
{A:, v?) H-f ^ " ? —- son continuas en el rectángulo tt {(tpf k) 10 ^ tp < fc0 ^ A; íí ki \.
Voi consiguiente, a la integral se le puedo aplicar la fórmula de Leibniz, Tenemos
7T
.y,,.
/
j
fcsenV
7 V
i -rsen¿w
o v
Multiplicando los dos miembros de esta igualdad por k y utilizando las expresiones
explícitas para E{k) y F(k) hallamos
dE(k) _ E(k) - F(k)
dk
k
(2)
Integrando en (1) por partes obtenemos
ÍT
_
eos2 (p dtp
f j e n M c o ^ _ ^ f —fea
J
0
2<o
2 <p
ser\
V 1 -r- kk2 2sen
- 2k senV) 3 / 2
J J (1(1~k
ÍT
0
/
J
o
*
, , f
sen y d(p
yj) '
7 (1 — A;2sen
se 22,„\32
o
<*<P
2
(l-k $en2<pf/2
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Como
TT
F'(fe)
ÍT
~ */ (T-i se^F5'
o
(fcí,(fc))'
" / (1 - fc2 sen^)3/2
o
(la derivación es posible por la razón análoga a la expuesta anteriormente), resulta que
K\k) = Ff(k) = -k(kF(k))\
lia llamos
Utilizando la fórmula (2), a partir de la última expresión
y w
^
k{ 1 - k)
™ .
k
(3)
La fórmula (2) proporciona F(k) = E{k) - kEf{k), F* ~ -kE". Sustituyendo F(k) y F'(k)
en (3) llegamos a la ecuación diferencial considerada.
Por último, ya que los números &o y
pueden ser arbitrariamente próximos a cero
y a la unidad, respectivamente, todas las conclusiones anteriormente obtenidas son válidas
para 0 < k < 1,
12.
Demostrar que la función de Bessel
Tt
ín : x »-> — / cos(íi^? — x sen (p) dtp,
n E Z,
o
satisface la ecuación de Bessel
x2ln(x) + 0!ÍÍ(a;) -f (a?2 " »2)I„(aO - 0,
Capitulo I. Integrales dependiente» del |Mr¿ntclm
\2
•4 Solución. Calculando la derivada de la integral dada e integrando después por partes,
hallamos
»
f!,(•>•)
-•- ¡ sen (ntp -- x senw) (ticos tp) —
t J
« »
~ ~J
Tt
eos tp cos{wp - x sen <p)d<p - ^ J (1 - sen2<p) cos{n<p ~ x sen <p) d<p —
0
0
cos<pcos(ntp - xsentp)d<p
• xl„(x) —
x).
(1)
o
Como ~ f cus(ntp — x sen <p)(n — x eos tp) dtp = 0, se tiene
(i
ir
~ J eos(ntp — x sen ip) eos <p dtp -- nl„ (x).
(2)
o
Multiplicando los dos miembros de la igualdad (1) por x y teniendo en cuenta la
identidad (2) obtenemos la ecuación de Bessel. •
1| Calcular Tas integrales siguientes derivando respecto al parámetro:
J
2a + a )dx.
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jr
13.
/(a) =
ln(l —
o
2
eosx
- í\ ^ e > 0.
(a,x)
2aeo
4 Solución. Sea ||a|
Entonces, la función /:
i-> Jn(l derivada f'H : (a,x) i-+ ^ a c ^ i V s o n c o n t i n u a s e n I a región II = {(e,a-)| ||a[ — l j
e > ü;
t) : - :»: x } , luego, de acuerdo con el teorema 1 del p.1.3, podemos derivar respecto al
parámetro a bajo el signo integral. Tenemos
eos x
,
: dX.
2a eos x -|-• a2
Mediante la sustitución í = tg | reducimos la integral a la forma siguiente
+00
i't \ -±
f
a - l - f (q + l K 2
,,
J (1 + í 2 )({l — a)2 + (1 + a)2t2)
o
Utilizando el método de los coeficientes indeterminados (ver T. 2, cap. 1, sec.2) y la fórmula
de Newton—Leibniz obtenemos
2fr
1
O
si
luego
J(a)
f 2?r In |a| +
\
C2
donde Ci, C% son constantes arbitrarias.
|o| < 1 - e,
Ci si ¡a| > 1 + e,
si |a| ^ 1 — e,
§ ]. Integrales pmpl*iN dt<pFiidU*nU**i del juiiAnu-lro
Debido a que el resultado obtenido vn válido pnni cualquier e > 0 arbitrariamente
pequeño, entonces
2/r In |u| | C\ ni |a| > I,
i(a) = i
, r.
O
62
si \a\ < 1.
Para calcular I(=fcl) hacemos uso de la integral inicial
IT
IT
I ( ± l ) = J ln(2(1 ib eos a:)) dx = 2?rln2 + 4 J ln seo t dt ^ 0.
0
(2)
o
Como 1(0) = 0, se tiene C2 = 0. Además, como vemos a partir de (1), lim I(a) — 0.
|o[——0
Por consiguiente, tomando en consideración la identidad (2) hallamos que la función I es
continua en los puntos a = \f a = — 1 por la izquierda y por la derecha, respectivamente.
Observando que
ir
f\n^(a2
~ 2a eos x + l ) ) dx = -27rln|a| + I(a),
a ± 0,
(3)
0
1
I legamos a la conclusión de que la función I es continua en dichos puntos también por la
derecha y por la izquierda, respectivamente. En efecto, a partir de la fórmula (3) resulta
lim I(a) = 2tt lim ln|a|+ lim I
= lim I(a) = 0.
H->l+0
faHl+0
|n[-+l+G Va/
|a|—0
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•
De este modo, la función I es continua para todo a. Por tanto, tomando C\ = 0
leñemos
he ln |a| si |a| > 1,
0
si
[ a ¡ < 1.
•
3T
<1
14.
I(a}=
/arCtg(atga:)^
J
tgar
o
Sea a ^ £ > 0. Entonces, las funciones
arrtg (fl tg x)
/ n
y£
t
f:(x,a)~i
g
í
'
^
^
^
r
a,
x = 0,
0,
2>
_
j
_
.
_
„
0,
* y
x = \2 '
son continuas en el rectángulo R — {(£,£) |0 ^ x <
a ^ € > 0 } , por lo tanto conforme
al teorema 1 del p. 1.3 para a ^ e > 0 es válida la igualdad
7T
7
J
o
+00
dx
1 + a 2 tg2;®
f
dt
2
y (1 + í )(l + a 2 í 2 )
o
TT
2(1 + a ) '
Al efectuar la integración obtenemos
I(a) = | ln(l + o) + C,
donde C es una constante arbitraria.
(1)
M
t ,i|Htnli) I. Integrales dependit'iilcM tlol |>.iiAmclro
V¡i q u e podemos lomar e > 0 arbitrariamente pequeño, el resultado obtenido es
v;í lid o para todo a > 0. Ijntonces, a partir d e (1) se deduce que
)
C = lim I(a).
(2)
De este modo, si la integral inicial es una función continua respecto al parámetro a,
entonces, tomando en consideración (2) obtenemos C = 1(0). En el caso considerado
la integral realmente es continua respecto a a (conforme al teorema 1 del p. 1.1). Por
consiguiente, C = 0 e I(a) = | ln(l + a) para a J? 0.
Teniendo en cuenta la evidente igualdad I(a) — J(ja|)sgna, en definitiva hallamos
I(a) = | sgna • ln(l + |a|) Va. •
15.
I(a)=
/ln; + OCOSiC^L
[al<l.
1 - acosa; cosx
J
o
Solución. Las funciones
f:{x,a)^i
i—«cosí *
5'
2a,
f'a:(x,a).
'
l-a2cos2x
son continuas en el rectángulo R — {(e,x) |¡aj ^ 1 - £ < 1; 0 ^ i < | } . Por lo tanto,
según el p. 1.3
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+00
dt
I'(a) = 2 f
~—-¿— — 2 í J 1 - a1 cos¿ x
J 1 — a + t2
o
%
vT^s'
de donde I(a) — tt aresen a + C.
Haciendo tender e a cero vemos que la respuesta obtenida es correcta para ¡a| < 1.
Como 1(0) — 0, se tiene C — 0. Así pues, I(a) = ir aresen a.
•
16.
Emplear la fórmula
D U & W ;
=
f
J
y 2 2
l+x y '
d
% y calcular la integral
i
J
f arctg x
dx_
x
vT^l
o
Solución. La integral (2), por ser impropia, debe entenderse como
§ I. In legra leu pio|vlfim ile|Miullmi™ deJ jMi¿inelro
Lr>
Suslituyendo en esta expresión la inle^ivil (I) obleneiunr
it
i:IIIII
fI " .<ix ^ fJ <**- -—r,
m
e MU,/ v/| _a¡a / 1 I xh/2
»
0
1f
lín virtud de que la función f : {x,y)
II .....
hallamos
1
(1+a.Zy2 )v/I_3.;
(3)
es continua en el rectángulo
|0 ^ x ^ 1 - e; 0 ^ y ^ l } , entonces a partir de (3) y del teorema del p. 1.4
1
I
í-£
dx
lim ¡ dy I
£->+0 J
* J
,
lar I < 1,
Cambiando de variable ¿ = aresen a: en la integral A — f —
'
°
J vi—ar(I+:c*jr) 1 1
obtenemos
=
arctg (z \/l+y2),
>
js - tg (aresen x).
Por consiguiente,
y) = A\l e = --A-,•. : arctg ( ^ / l - f y 2 tg (aresen(1
v
vi + r
, ^
.. tj •j
lín virtud de la continuidad de la función B para 0 ^ € ^ 1, 0 ^ y < 1, (si e = 0 tomemos
0) = lim B(s, y))t conforme al teorema 1 del p. 12 tenemos
É-++Q
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1
1
/ = J¡un
B{e,y)dy
= f /
o
17*
^
= f M I + v5).
o
Calcular las integrales:
i
i
I1 = f m ( t o l ¡ ) * T - f d l r ,
I2 = j
0
eos (in i ) ^
f
dx,
a > 0,
& > 0.
0
4 Solución. Empleando la fórmula (1) del ejemplo anterior en vez de las integrales dadas
consideraremos las reiteradas:
b
i
i
dy;
¿i - J dx J xy sen ^ln
J 2 = J dx J xy eos ^ln
a
0
0
Las funciones
^senf^i)»
'
.
1
,
. a?3' eos íln
0,
,
0
< ®< h
x = 0,
« < y O,
a ^ y ^
0 < x ^ 1,
a^y
x — 0,
a ^ y ^ £>,
^b,
dy.
•«
v
«i
W>
Capitulo I. Integrales dependienti-N del pnránu'lro
son continuas, por lo tanto se puede cambiar el orden de integración:
í.
b
i
dy J « - « . ( h ^ e t o ,
I\ — J
a
i
72 — J
0
dy J xy eos
a
^ J dx.
0
Sustituyendo x — e~l obtenemos
6
+oo
h = J dy j
a
h
e-t(s+1)sentdt,
+oo
I2 = J
dy J
o
O
O
e~t(y+1)
costdt.
Realizando la integración respecto a t hallamos
f
dy
I l ~ J
f
+ 1>
(y+W
J l
=
b
(y + l)dy
j r (3/- + l) 2 + l '
de donde
1 . fr + 26 + 2
T
Jo = - ln a^+^a + l '
,
.
b—a
J i - a r c t g 1 + ( a + 1)(6 + 1)1
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Ejercicios
i
1. Demostrar que la fundón F: y
es continua en [c,<f] si se cumplen las
j ¡p(x)f(x,y)dx
condiciones siguientes:
1) la función / es continua en el rectángulo [o, 6] x [c, d\;
2) la función ip es absolutamente integrable en el intervalo ]a, 6[.
Investigar la continuidad de las funciones siguientes:
O,
^ .
. ,
/
x3 dz
y = 0.
í n
arcIj>(l2+!/2)seni'
o,
y = 0.
Hallar los límites:
f
2
jm/
•
l^J^e-*
«dx.
y2+l
7. lim /
sgn¡(
8. lim /
^
Para los ejemplos que citamos a continuación demostrar que es posible efectuar el paso
al límite bajo el signo integral:
1
/
11. / I sen ¿
o
3
y -* +00-
10-1arcts
i
1
o
2
(m)
dx>
.
-
y
1
.
§2. Integrales Impioplti* dependienteN dH parámetro
17
i:*. Supongamos que: I) la función
: (^jy) •
conlhttin en el rectángulo [atb] x
2) la función y? es absolutamente Inle^nihle en el inlervalu la,'t>[. Demostrar que la función
b
/'': y H-v J tp(x)f {$,y)dx es dcrivnhte con continuidad en |e,d[.
a
Estudiar la continuidad de la derivada de la función F y la posibilidad de derivar respecto
al parámetro bajo el signo Integral:
2
1
14.
f ^—senldx. 15,F:y>-* /
o
-i
Demostrar que se puede cambiar el orden de integración en las siguientes integrales
reiteradas:
ir
( 1
T I
17. jf
'¡yjM^dx.
I)
Ü
-i
o
§ 2. Integrales impropias dependientes
del parámetro. Convergencia uniforme
de integrales
2.1. Definición de convergencia uniforme
Supongamos que la integral impropia
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+OÜ
f{x7y)dxt
(1)
donde la función / está definida en la región II = {(a?,i/)¡a ^ x < +oo, y\ < y <
converge en el intervalo ]yi7yz[- Se dice que la integral (1) converge uniformemente en
\V\, Vi[, si Ve > 0 3 B > a tal que V6 > B A Vy G ]y\,yi[ se verifica la desigualdad
+00
f{x,y)dx
< e.
2,2, Criterio de Cauchy
Para que la integral (1) del p. 2.1 converja uniformemente en ]yi,y2[ es condición
necesaria y suficiente que Ve > O 3 A > a tal que Vor > A A V/? > A A Vy G ]yiyyi[ se
cumpla la desigualdad
P
f(x,y) dx
a
2.3. Criterio de Weierstrass
La integral (1) del p. 2.1 converge absoluta y uniformemente en el intervalo
yi[,
si 3 F\ ]a,+oo[-> M tal que |/(aj,y)| ^ F{x) Va: £ ]a,-foo[ A Vy G ]yi,y2[ y la integral
+-00
impropia J F(x)dx converge. La función F se llama mayorante de la función / ,
18
(!ii¡)íttilo I. Integrales d e p e n d i e n t e » del panlim'lro
2.4. 1'nno al límite bajo el signo integral
Teorema 1. Sea 1) /: II -+ R una función continua respecto a la variable x que para
y —' 2Ai <5 ]y\,vA Hcnde uniformemente respecto a x a una función límite<jen todo segment
[a, A]; 2) ta integral (1) del p. 2.1 converge uniformemente en ]y-i,yi[, entonces
+00
+oo
lim / f(x,y)dx—
J
J
a
+00
/ lim f(x, y) dx = I
y^y<¡
J
a
g{x)dx.
a
Teorema 2. Si la función f es continua para a < x < +oo, y\ í j y < yít y la
integral (1) del p. converge uniformemente en ]yuyÁ, entonces
+oo
+oo
lim
/ f{x,y)dx=
Sf-»y0e[3/i,!fc] J
/
J
f{x,y0)dx.
2.5. Continuidad de una integral impropia
Teorema 1. Si la función f es continua en la región a í j x < +oo, y\ < y -í , y la
integral (1) del p. 2.1 converge uniformemente en el segmatto [yi, y2], entonces dicha integral
es una función continua en el segmento indicado.
Teorema 2, Si: 1) ¡a función f es continua y acotada en el dominio indicado; 2) la
+00
función tp es integrable en todo segmento a
x <1 A; 3) la integral f [<fi(x)\ dx converge
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entonces la integral
+00
/
f(x, y) tp(x) dx
converge uniformemente y es una función uniformemente continua del parámetro y en el
segmento
, y2].
Una definición análoga y teoremas semejantes se tienen también para las integrales
de funciones no acotadas.
Ü] Determinar los dominios de las integrales siguientes:
+00
18.
Jf xP + l^Ldx.
xi
T
M Solución. Tomemos, para concretar, p ^ q. La función
X
J eos tdt = sen x
está acotada y la función x •->• -J^-r tiende monótonamente a cero para p > 1. Por
consiguiente, en virtud del criterio de Dirichlet la integral
+00
/
cosa;
dx
xP"1
§2. Integrales htipr<i|d»i« dependiente* del parámetro
mnverge para p > h Debido n que Li fundón ir i » ,
í! * tv, entonces conforme a! criterio de Abel Ja inlegi.d
IV
,, e?¿ monótona y acotada para
\ IX)
J
cosa:
xv \
"N», • 1
0 ,
dx
*
t»
| + XH v
TT
i nuverge para p > 1, o sea, para máx(p,^) > 1.
Dicha condición es también necesaria. En efecto, representando la integral en forma
de nna serie y empleando el teorema del valor medio obtenemos
+00
cosx
_ f(2n+3)
oo
* „
^ _ tt-*
f
oo
_ 2 v^
eos x dx
(-D
n-1
/
I i condición necesaria de convergencia de la serie implica la desigualdad max(p, q) > 1,
*. t |.d. •
+oo
19.
f ^ d x .
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J
XP
O
i Solución. Cambiemos de variable según la fórmula a; — tv, t > O, <? > O, y representemos
Li integral resultante como una suma de dos integrales:
-f-oo
a
sena:9
dx-
O
+oo
1 f sent „ . 1 f sení ,,
- f ——dt+~
/
qJ
0
ta
qJ
0
t(K
a -
q
,„
1-1,
a > 0.
S^IÍ ^
/ 1\
< nmo ^ r — O* (pr=r) para í ^ +0, entonces según el criterio de comparación la primera
inlegral converge para a < 2 y diverge para a ^ 2. Conforme al criterio de Dirichlet la
My,unda integral converge para o: < 2. Además, si or
0, entonces la integral diverge,
pues diverge la serie numérica correspondiente. Efectivamente,
+oo
^
¡ f í « = 2 > i r
n=l
ir
x(n+1)
f
Z
jrn
^
^
d
1
t
^
t f
n=l
,
i » < fi, < ,<« + 1),
y dicha afirmación se hace evidente.
Por consiguiente, si q > 0 la integral inicial converge para 0 < £±ít¿ < 2 / o bien,
(jiie es lo mismo, para \p — 1| < q.
q\ > 0, y razonando de una manera análoga, llegamos
Si g < 0, tomando £ =
.i la conclusión de que la integral inicial converge para \p - 1| < q\, o bien \p - 1[ < -q.
Uniendo los dos casos y tomando en consideración que para q — 0 la integral diverge,
deducimos que la integral dada converge sólo para
<1.
•
20
Capítulo I. Integrales dependientes del parámetro
20.
J
dx
f \inx\p-
< Solución. Tomemos x — e *, entonces
2
f
J
+oo
1
dx _ f
llnarjf ~ J
0
+oo
e~*dt _ f
|f|P " J
— ln2
-ln2
e^dt
\t\P
f
J
+
1
dt
V
'
Como ^r = O* ( j ^ ; ) para t —* O, la primera integral del segundo miembro converge e
virtud del criterio de comparación sólo para p < 1. La segunda integral converge para
todo p, pues é > t2~p para un t bastante grande. La última desigualdad resulta de la
= 0, Así pues, la integral dada converge sólo para p < 1. •
igualdad ^ lim
J
2 1
eos
i
/
Solución. Tomemos t = (1 — x) 1, x
entonces
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1
+00
cos(l - ac)
¿x _
X
/0
f
~{
costdt
^-«-'(2-1)"'
+00
Debido a que la función /: 11-> —
t
> 1, es monótona y acotada y la integral f
p^r
converge conforme al criterio de Dirichlet para ti < O o para n >
entonces según el
criterio de Abel la integral en cuestión converge a la misma condición. Razonando como
en el ej. 18 vemos que dicha condición es necesaria. •
+00
22.
f - ^ ^ d x , P >
J
o
xP + sena;
o.
•4 Solución. Representemos la integral dada como una suma de dos integrales:
+0O
í-rF-*^
J
íf'-^-ta.
I
X? + senx
0
J
+oo
j
a^+sena;
0
(1)
xP + sena;
1
Como f(x) =
~
para x —• +0, la primera integral del segundo miembro
converge para cualquier p (en el punto x = O la función / tiene una discontinuidad
evitable). Dado que
sena;
_ sena:
sen2a:
/ 1 \
sen®
1
cos2a;
/ 1
{J2. Integrales Impropia* d^umdltmle* del parámetro
| <X>
Ihm i 11 legra les J
21
I (XJ
dx y J -^¡jf d',vf p > 0, convergen en virlud del criterio de Dirichlel,
\
\
fOQ
y l.i integral / ^ converge solamente para p >
en lotices la segunda integral de (1)
i
mnverge sólo para p >
Por consiguiente, bajo la misma condición la integral inicial
i onverge. •
i
Investigar la convergencia de las integrales siguientes utilizando para ello las series
i (invenientes:
+00
23.
f 1 \ d x 2 , n > 0.
J \ + xn sen¿a:
o
Solución. Como
+0O
x dx
_
_(X) {£+I)?r
^ ' '
f
xdx
JT
00
_
f
(kn + t) di
/
n
2
ft:=0 2 x
0 l + x sen x
jfJeír 1 + a;"sen
i'Mimliemos la convergencia de la última serie.
Es fácil ver que
oJ
1 + <&tt + t)nsen2£7
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f
1
J l + (k+
0
hizdt
f
{h*K + t)dt
n
l)"7rn sen2f
J 1 + (kw + t)
0
}
sen2*
J
0
(k + l)irdt
1 +
senH ~
2
Ll<>,,dc
* ~ T T l f e ? ' Í2 =
• » « * > * que J x = O*
, I 2 = O*
) para
A; > oo, entonces conforme al criterio de comparación dicha serie y, por tanto, la integral
t onverge para n > 4.
•
+00
24.
f
^
J xJ} Vsen2x
o
Solución- Representemos la integral dada en la forma
+00
^ (w+l)jT
dx
TT
a^ Vsen2x
s/
n=1
f
dx
J
nir
xpVsen2x
y consideraremos la última serie. Haciendo x — nir -f t tenemos
X
(rt+I)ír
dx
xp Vsen2x
TtTT
f
dt
J (jitt + tyWsenH
0
Nótese que dicha integral es impropia y converge según el criterio de comparación
= O* (-Vi si t -
+0, ,
= o* I — h - I si ¿ - % - 0.
('ii|iíliil(i I. Integrales dependiente* del p.irAinelro
Mu vlcliid di' las estimaciones
1
.... f} - dt
wHn + iyJ'"./
()
< /f
dt
dt
J
(7Í7T
(mr + +ÍV^señ5*
iS&
W2/ /
o
<
v
_l_1
7r''n''
ff
dt
vWí
J
o
la serie (integral) en cuestión converge o diverge según lo hace la serie X ) ~nv que converge
n -1 "
sólo para p > 1. Así pues, la integral inicial converge bajo la misma condición.
•
+00
25.
Demostrar que si: 1) la integral J
f(x,y)dx
converge uniformemente en \y\,yz[;
a
2) la función <p está acotada y monótona respecto a x, entonces la integral
+00
f(x,y)v>(x,y)dx
j
(1)
a
converge uniformemente en \yi, y2[M Solución. Sea s > O arbitrario. En virtud de la condición 1) y según el criterio de Cauchy,
3ü(e) tal que Vi)',
h" > B(e) se cumplen, independientemente de y G Jí/iií/2las
desigualdades:
í
. i."
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J f(x,y)dx
<
y
v
<2>
f(x,y)dx <
í
donde M = sup |tp(x, j/)| / O (si M = O, el teorema, evidentemente, vale).
Como la función ip es monótona respecto a a; y la función / es integrable, de
acu«rdo con el segundo teorema del valor medio tenemos
b"
í
J f(x,y)<p(x,y)dx
b"
= tp{b' + 0,y) j f(x, y) dx + <p{b" O, y) J
b<
v
f(x,y)dx,
í
donde £>' £ C b". Tomando luego en consideración las desigualdades (2) obtenemos la
estimación
b"
í
f(x,y)<p(x,y)dx^
^ \<p(b'+0,y)\y
v
b"
f(x,y)dx
+ \<p(b" -
"
0,y)\^j f(x,y)dx
<e
í
Vy G ]y\,yi[- Conforme al criterio de Cauchy esto significa que la integral (1) converge
uniformemente en dicho dominio. •
26.
Sean: 1) la función f{x,y)
=í O para x -> +oo, y G \y\,yi[, y es monótona respecto
X
a x, x G
+oo[; 2) el valor absoluto de la primitiva / f(t, y) dt, y\ < y < y2l está acotado
£2. Inlegralen impropia* dependiente» del parámetro
por una constante Ai. Demostrar que In Integra
i
(1)
a
«onverge uniformemente en el intervalo
Solución. Apliquemos el segundo teorema del valor medio a la integral
V'
V(x> y)f(x, y) dx,
b\ btf £ ]a, +oo[,
v
He Monde resulta que
t?
b"
í
<p(x,y)f{x,y)dx
<p(b
' + 0 ,y) J f(x,y)dx
b"
+ <p(b
f(x>y) dx
í
•
Af (
+ o , 3í)| +
-0ty)|).
Debido a que fp(a?, y) tiende para x
+oo a cero uniformemente respecto al
4-0,^)1 < ¿ y
parámetro y E ]y\, yiI, entonces Ve > 03B(s) tal que
0,9)1 < 53?
> Ü, Por consiguiente, Ve > 0 3 B(e) tal que
para y\ < y < yi si bf > B A
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b"
tp(x,y)f(xJy)dx
<s
Vy e }yuyi[
si tí > Byb" > B. En virtud del criterio de Cauchy la integral (1) converge uniformemente
en el intervalo Il/i, 1/sL- •
27.
Demostrar que la integral uniformemente convergente
+00
M*
ir
/
dx,
*
0 < » <1,
i
u> se puede mayorar por una integral convergente no dependiente del parámetro.
+00
Solución. La integral L — j e - í dt converge, por eso, Vs > 0 3B{e) tal que
o
+00
e
—í
dt < s.
(1)
A > — + Bis).
B{£)
Elijamos un número A tal que
7T
24
Capítulo 1- Integrales dependiente» drl panfim-tro
i™
ii
i_ Y
Efectuando en la integral f a '?"'""' dx el cambio t
-¡-(x - ' ) y haciendo uso de las
desigualdades (1) y (2) obtenemos la estimación
+00
J e 7(x »?dx = y J
A
e~*2 dt <
¿Íjt-A}
DV
>/ )
+oo
y J e~* dt = 2Ly<e,
—OO
<
/
+00
,
J
e"' dt<
e~t2dt<
0<y<^,
+00
f e - 1 dt<e,
± ^ y < 1,
B
de la que inmediatamente se deduce la convergencia uniforme de la integral en ]0,1[.
Por lo que se refiere a la operación de mayorar, se puede razonar del modo siguiente.
Supongamos que exista una función mayorante F . Entonces debe verificarse
f(x,y) = e-Mx-*?
^F(x).
Es fácil ver que debido a la estructura del dominio de la fruición /: ]1, +oo[ x ]0, lf —* R,
Va; 3 y = ~ tal que f(x, y) — 1. De este modo, F{x) > 1 Vx y, obviamente, la correspondiente
integral impropia de la función F(x) diverge. •
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28.
Demostrar que la integral
+CC
1= j
ae~ax dx
1) converge uniformemente en cualquier intervalo O < a < a < fc; 2) converge uniformemente en el segmento O ^ a < 6.
< Solución. En el primer caso es fácil construir una función mayorante, por ejemplo,
F: x
be" 0 *, Por consiguiente, según el criterio de Weierstrass la integral converge
uniformemente.
En el segundo caso, cambiando de variable t = ax, x > O A a > O, obtenemos
+00
J
+00
ae~ttx
e~l dt — e aB
dx = j
D
aB
Por consiguiente, VB > O 3 a, a G ]0, b[, tal que e aB > e, O < £ < 1. Por ejemplo,
podemos tomar cualquier a qup satisface la desigualdad O < a < ^ ln Así pues, en el
caso considerado la integral converge no uniformemente. •
29.
Demostrar que la integral de Dirichlei
I = j
S
^ d x
o
1) converge uniformemente en todo segmento [o, &] que no contiene a = 0; 2) converge no
uniformemente en todo segmento [a, f>] que contiene a = 0.
t?2. InlegraltVH impropia* dependleufe* del p.námelm
25
Solución. En el primer cano, conviene ulíll/in el ej
Umunido (p : x
Para
si- f loo la función <p tiende monólormmeníe a eero (y, ademas, uniformemente respecto
>il parámetro a). La primitiva
X
sen at dt = — (eos aa — eos «a;)
a
a
eNlií acotada por el número ¡ ^ ¡ ^ ¡ j - Entonces, de acuerdo con e! ej.25 la integral inicial
t onverge uniformemente.
En el segundo caso, pongamos x = at, a > 0 A t > 0, resulta
+00
+00
sen ax ,
f sen t ,,
ax — i —-— aty
x
J
t
B
Ba
de donde se deduce que Vi? > 0 3a E [a,b] tal que
+00
+00
sen ax
dx >e,
x
0 < e < / ^
B
dt,
0,1
01
(electivamente, para ello es suficiente tomar a ^
Si a < 0, ponemos x = —at y razonando análogamente llegamos a la misma
conclusión. Así pues, la integral converge no uniformemente.
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FW
+00
30.
J
uniforme ce la integral
b) 1 < a <
n) 1 < «o ^ a <
Solución, a) Es fácil ver que
i
< ¿
para 1 ^ x < +oo, ao ^ a < +oo, y la integral
IX»
i frr converge. Por tanto, conforme al criterio de Weierstrass la integral inicial converge
\ ,r
uniformemente.
+0O
b) Debido a que / ^
g
t_a
= frf Y
]a
lim ~-¡- = +oo, entonces 3e > 0 tal que
a—*1+Q
+oo
3 B > B0 A 3a G ]l,+oo[ tales que f ^
> e. Por consiguiente, dicha integral
B
i onveree no uniformemente,
•
+00
31.
Demostrar que la integral J
o
I < a < +oo.
converge no uniformemente en el intervalo
Solución. Tomemos un número B > 1. A partir de la estimación
+00
f
+00
dx
1 fdx
B l~a
-1
,
,
B
r"esulta que la integral dada converge no uniformemente (v. ej. 30).
1 n
2(>
Capitulo I. Integrales dependiente» del p.ii'.fmelro
Investigar la convergencia uniforme de las integrales siguientes en los intervalo»
indicados:
+00
f COSaX
r, r,
ÓZ.
J
I
1
T dx,
+x¿
^ ,
-oo < a < +00.
+00
<4 Solución. Como l ^ p -í
- o o < a < +oo, y la integral f
converge según el
—00
criterio de Weierstrass, la integral inicial converge uniformemente. •
+00
3 3 '
0
a
00
J/ 7(x — a)- +1 < < + -
+00
dx
M Solución. Cambiemos de variable x = a
1 en la integral I(B, a) = J j(x-a)
~ 2+l'
B
+oo
dt
Obtenemos I(B,a) = J g j . Si tomamos a — B > O, entonces para cualquier B se;
B-a
tendrá I(B,a) > e, donde O < £ <
Por consiguiente, la integral dada converge no
uniformemente. Nótese que la convergencia de la integral considerada para un a fijo,
O < a < -foo, resulta del criterio de comparación ( (x _^ )2+1 ~
x —* +oo).
•
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-t-oo
34.
J
^
q ^a <
+oo
O
Solución. Hagamos uso del ej.25 y tomemos f(x,a)
=
tp(x, a) = e
Según el
+00
criterio de Dirichlet la integral / ^ ^ dx converge; la función x
e~ax es monótona
o
respecto a x ((e _<M % — - ae~ax sí 0) y está acotada por la unidad, por consiguiente, de
acuerdo con el ejemplo mencionado la integral inicial converge uniformemente.
•
+
+O
<xQ
35.
dx, 2 A p ^ I
i
*
=
- j . < ( f ) " ^ para s ^ e, entonces según el
Solución. Como j g f <
criterio de Weierstrass la integral converge uniformemente.
•
+oo
36
j
e~"x Cl)Sp£ dx, ÜsJ (»< +oo, p > O es un número fijo.
< Solución. En virtud de que la integral f
dx converge (según el criterio de Dirichlet)
para p > O, y la función x i-> e a x es monótona respecto a a; y está acotada por la unidad,
entonces según el ej. 25 la integral inicial converge uniformemente. •
§2. integrales Impropia dependientes del p.irámeho
27
f
^ yftic ""*1 dx, 0<1(X < j (Xí.
37.
4 Solución. Cambiando de variable y/(rx
I fX>
t en la integral / y/ae~tvx dx tenemos
B
+oo
+00
J
j
V¿e^a*2dx=
B
Tomando a =
1
e~{ dt
Bja
3
B > a, obtenemos la desigualdad /
dx > e, válida
B
|ur i cualquier B siempre que
+00
O< s<
/
e~i2dL
i
Nótese que la convergencia de la integral para a ^ O se deduce del criterio de
rompa ración. •
+00
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18.
I(x) = J
e *2{1+y2)sen xdy, -oo < x < -foo.
o
* Solución. Evidentemente, 1(0) = 0. Tomando en la integral dada t = \x\y, x ¿ (),
ni llenemos I(x) = C^e
_ 2
, donde C =
+00
J
dt ¿ O, Como lim I(x) = -C y
o
£->-0
\un I(x) - C, la función I es discontinua en el punto x - O, Por lo tanto, según el
x
uniformemente
l.i continuidad del integrando implicaría la continuidad de la integral).
H-oo
39.
I
O
•
.2
+ xP
p > o .
Solución. Efectuando el cambio x = Vi obtenemos
+oo
o
+0O
sen
1 + xP
f
sen¿ dt
J 2(1 +
o
'
+00
Aplicando el criterio de Dirichlet vemos que la integral /
!
convf ge; la función
0
^
"
aspecto a t y acotada por el número 0,5, entonces,
conforme al ej.25 la integral dada converge uniformemente.
•
1
2{i+f¥)' P
CS m o n o t o n a
2H
Capítulo t. Integrales dependiente» del paiVinieliu
i
40.
J
xp
1 IiV ~dx
si: a )p^po>0;
b) p > 0, q >
I.
u
•4 Solución. Cambiando de variable según la fórmula x = e~', t > 0, obtenemos
1
j
+00
Xp'l]nq±dx=
J
o
a) Como tqe~p
< tqe
tqe-pldt.
o
p':t
y en virtud del criterio de comparación la integral
+00
f t<le~p1' dt converge, entonces según el criterio de Weierstrass la integral converge
o
uniformemente.
+00
b) Pongamos z = pt en la integral I(B,p)
= f tqe~pt dt, B > 0. Tenemos
B
+00
Bp
Fijemos los números B > O y e > 0. Como
+oo
Iim —^—r I z9e~z dz = +oo,
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Bp
ígir un número
núj
entonces siempre podemos elegir
p > O tal que I(B, p) > e. Así pues, la integral
dada converge no uniformemente.
•
41
xn
/
.
dx, O sí. ti i; +oo.
v i - x2
o
•4 Solución. Debido a que
X
^X
1
y la integral / y = Xf converge según el criterio de
Weierstrass, la integral inicial converge uniformemente.
•
i
42.
f sen-—,
J
x x"
2.
0<n<
o
•4 Solución. Tomemos x = J , t > O, entonces
1
+00
I
dx
f sen í ,,
/ s e n - - — ~ í t t - t dt.
n
2 tt
x
x
J
1
t~
eos B
.
„
O
Integrando por partes hallamos
+00
senf ,,
f eost ,,
+CO
B
/
dt =
+ (n~2)
j
dt.
(1)
2{)
f$2. Integrales ímpmplrf* depemllenleM del p.iiámelro
l!n virtud del ej, 26 la ultima integral converge unilormemenle (en el caso considera
Iunción tp que figura en el oj.26 vn : i \ » ^ u v J • 0 para £ —• oo y e
X
respecto a t; la primitiva fcmtdt
sen;*:
sena está acotada por el número 2). Por lo
+00
rt
Imito, para un B lo suficientemente grande es válida la estimación | J
B
f-* dt\ <
donde
r [ > O es un número fijado de antemano.
Consideraremos el sumando gMr en (1). Para todo b ^ B lo suficientemente
grande, dicho sumando no podemos hacerlo arbitrariamente pequeño de manera uniforme
i especio al parámetro n. En efecto, tomemos un B > O fijo y supongamos, además, que
E n t o n c e s / P a r a & = 2&tt > B, k € N, y para un n tal que satisfaga la
O < e2 ^
desigualdad O < 2 - n <
obtendremos
jpj -
(2 J )2 _»
> e 2 . Por consiguiente, la
Integral estudiada converge no uniformemente.
Nótese que la convergencia de la integral dada para O < n < 2 se deduce del criterio
de Dirichlet.
r
43_
¿>d*
M < i ,
Jo V{x - \)(x - 2Y
2
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* Solución. Como
o<
< í ^Vl'-IK-V' 0 < * < lf
" \/\x — l|(ar — 2)2 ^ | ^ - J ,
1 < x < 2,
se liene
i
x& dx
Q
(/[X - 11(35 - 2)
y/xdx
<
l)(a - 2):
En virtud de las estimaciones
•
^—-—^
—
¡g —^ 4-Q
U(x - 1)(® - 2f
1
\í¿ y (x - \)(x - 2 y
y/x
- l)(ar - 2)2
o
o
1
v^x^r
V ^ : r 2 j
y del criterio de comparación las dos últimas integrales convergen. Por consiguiente, según
el criterio de Weierstrass la integral estudiada converge uniformemente.
•
+00
44.
Elegir un número b > O tal que sea O < /
J ' I'
- 6
< e para '1,1 •: n < 10, doruh
30
Capítulo I. Integrales dependientes del parámetro
£:í --qr, se tiene
Solución. Como
+00
J +
1
b
J
ÍC"
b
x1-1
60-1"
—(
—
Resolviendo la desigualdad b^ < 1 0
hallamos que la desigualdad indicada en h
condiciones del ejemplo será asegurada para b > 107D. •
45.
Sea
fm
O
y)dx,
c<y<d,
(1
una integral impropia convergente, y sea x — (p(y), ip(y) £ }a, b[, la curva de discontinuida
infinita de la función /. Se dice que la integral (1) es uniformemente convergente en e
intervalo ]a,b[, si Ve > 0 3 A > 0 tal que para cualesquiera
y S2 que satisfagan las
desigualdades 0 < ój < A A 0 < ó2 < A se verifica la desigualdad
v(y)+S2
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I J
f(x,y)dx
< e
Vy €
]c,
Demostrar que la integral
i
I
sen(x,y)^
dx,
0 < y ^ 1,
converge uniformemente.
M Solución. Para un e > 0 fijo demostraremos que
J+Í2
/V\ - fl
sen(x,y)
y-i>¡
x
dx <e
\/y € [0,1]
(2)
en el sentido de la definición dada anteriormente.
Tenemos
y+th
1
sen
(x,y)
dx\
y-h
y+h
í
<
9-01
dx
y
/
dx
y+h
| I'
dx
tx-y
IT-Í1
= 2 ( 7 ^ + - ^ ) <4^A
para cualesquiera
y
tales que 0 < í j < A y () < i 2 < á .
2
Si para Ve > 0 tomaremos A — ~ , entonces a nat+ír ^
"Ll--J
(3)
m
§2. Integrales impropia* dependíanle* del parámetro
l.a integral impropia
| OU
M(x, y)ii.r,
(1)
y < Y,
«
|»»nd<> M es una función matricial, se denomina uniformemente convergente en el conjunto Y f
IV/ • 0 :1 A() ^ « tal que VA > AQ A Vy £ Y se cumple la desigualdad
+00
M(a?, y) d®
tunde
—
y))t l^i^m,
\
Demostrar que la convergencia
iiiihii me de la integral (1) equivale a la convergencia uniforme de todas las integrales
+00
a,jj(x,y)dx
en
F.
(2)
a
hntiu íón. 1) Supongamos que las integrales (2) convergen uniformemente. En este caso
Vi
i) I A o > a tal que VA > Aq A Vy £ Y se verifican las desigualdades
+oo
<M®> y)
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dx <
1
2 ^ ro, 1 ^ j ^ n.
I nina ni ln en consideración estas desigualdades obtenemos la estimación
+CC
,m n
\2\1/2
< £\/run¡
ü{j (x, y) dx
M(x,y) dx
+ ir implica la convergencia uniforme de la integral impropia (1).
2) Supongamos que la integral impropia (1) converge uniformemente en Y , entonces
a IMilu de la definición dada en las condiciones de partida se deduce que es válida ta
i k-íi^ualdad
m
\
n
,•
I I dij(x, y)dx j < e7
1 i-l ¿
jne implica
+00
ay (:jf, y) ¿ta< e Vy 6 ^
1^
m,
1 ^ j ^ n,
n sea, las integrales impropias de todos los elementos de la matriz M(x,y)
mullirmemente.
•
i17.
Investigar la convergencia uniforme de la integral impropia
n i
r
convergen
r
tr
* ( j " ] ) senx
" A
I
^
A
cas x(y +0,1)
\
i
z+y
M ( r > *
'
-
n
\
|
•
'M
•4 Solución. Según lo demostrado en el problema anterior, la convergencia uniforme de
integral dada equivale a la convergencia uniforme de las integrales de los elementos de i
matriz M(x, y)\
+0O
+00
¡e^senxdx,
1
.
x
+CO
+00
J x ^ d x ,
j
1
1
+
Las integrales primera, tercera y cuarta convergen uniformemente conforme al criterio di
Weierstrass, pues las integrales mayorantes convergentes son, correspondientemente,
I
+00
+00
f -X ,
I e dx,
f
- .
i xe x dx,
J
J
1
1
+<»
f dx
—— / -5— •
3 J
v^
1
La segunda integral también converge uniformemente, puesto que: 1) la familia de funcionei
x
~ =t X
O para x
+00; 2) para cada y fijo la función x >—> ^ decrece monótonament
'
a cero; 3) [/eost(y + 0,1) dy\ sj 20, es decir, se cumplen todas las condiciones del ej.26
1
Así pues, la integral impropia de la matriz M(x, y) converge uniformemente.
48.
Para una función
/ integrable en el intervalo ]0,+oo[ demostrar Ja fórmula]
+00
+00
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lim^ I" e~axf(x)dx
= J
o
f(x)dx.
o
< Solución. Estimemos la diferencia
+00
J e"axf(x)dx
0
+00
+00
- J f(x)dx
- J (e~ax - 1 )f(x)dx
0
B
0
=
+co
J(e~ax
- l)/(a¡) dx + J(e~ax
~ l)f(x) dx.
(1)
+00
Sea e > 0. Observando que según el ej.25 la integral f (e ax — 1 )f{x)dx
converge
o
uniformemente para a > 0 (la función \x\ 1-+ e~ax - 1 está acotada por la unidad y es
+00
monótona respecto a x
i
0; la integral f f(x)dx
converge según las condiciones de"
o
partida), para un B fijo lo suficientemente grande se verifica
+00
(e
-1)/(«)
dx < |
Va > 0.
(2)
'B
Para los e y B indicados, hallemos un a tal que se verifique la desigualdad
b
1/
(e
0
—ax
-1
)f(x)dx < %
0)
:\2
( apíhilo 1. Integrales dependientes del pantriielro
< Solución. Según lo demostrado en el problema anterior, la convergencia uniforme de
integral dada equivale a la convergencia uniforme de las integrales de los elementos de 1
matriz M(x,y):
+00
+00
J
eos x(y -1-0,1)
J
dx
x + y
e-^sen
xdx,
+00
+00
~ve-* dx
• I
Inf 1 +
y
xz
-y
dx
Las integrales primera, tercera y cuarta convergen uniformemente conforme al criterio di
Weierstrass, pues las integrales mayorantes convergentes son, correspondientemente,
+O0
dx
1
x
\
x+y
+00
+00
• 1i
dx
xe^x da
J
3
i
uniformemente
O para x —• +oo; 2) para cada y fijo la función x
z+y
decrece monótonament
I/
uniformemente
48.
•
Para una función / integrable en el intervalo ]Oy -|-oc[ demostrar la fórmul
+O0
+00
—ax
f(x) dx
f (a?) dx.
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o
o
Solución. Estimemos la diferencia
+00
+00
ax
f(x) dx -
o
+00
-ax
J f(x) dx
o
o
1 )f(x)dx
B
+oo
(e
—era;
.
1 )f(x) dx +
O
i f —ax
(e
1 ) / ( x ) dx
(1)
B
+00
/ -OtZ 1 )f{x)dx
converge
O
- 1 está acotada por la unidad
Sea e > 0. Observando que según el ej.25 la integral
:e para a ^ O (la función \x\
e
+00
pecto a x
0; la integral / f(x) dx converge según las condicione
o
un B fiio lo suficientemente prandp
vprífira
+00
-ax
1 )f{x)dx < |
Va > 0.
(2)
B
Para los e y B indicados, hallemos un a tal que se verifique la desigualdad
B
(e~ax - 1 )f(x) dx <
o
2
(3)
Intégrale» impropié**» dependiente* dfl panimetro
liuiemos
33
i?
( e " ' w - 1 )f(x)tlx - , (I
tt "U)MIS < |
o
de donde
1
2MB
0<e<2MB,
(4)
uleiuio Af = O^x^B
sup |/(x)| ^ 0 (para M — 0 la afirmación del teorema es trivial).
l'or lo tanto, a partir de (1), (2) y (3) resulta que
+00
+00
—ax
f(x) dx — / f(x) dx < €
0
0
ni /í es lo suficientemente grande y a satisface la condición (4).
+00
Demostrar que lim I f(x)sennxdx
= O, si / es absolutamente integrable en el
o
Intervalo ]0, -foo[.
I Solución* Conforme al criterio de Weierstrass la integral dada converge uniformemente
ivft|ieeto al parámetro n, entonces, Ve > O 3 AG(e) > O tal que VA >
A Vra
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< §.
o)
+00
f{x) sen nx dx
í tiv ¡damos el segmento [O, A] en k -f 1 partes mediante los puntos O = x 0 < X\ < , . . <
A
,rjt i r - A y representemos la integral / }{x) sen nx dx en la forma
o
li
f(x) sen nx dx ~ ^^
n.
O
k
Xi+l
/ (f(x) -
sen nx dx H—
V
~x¡
m¿ - inf {/(a?)}.
^
x¿41
I sen nx dx7
ra¿
V
í
O
I Mudo a que f(x) - mi < cj¡, donde
es la oscilación de la función / en el segmento
l^ij^í+i]/ entonces de (2) se obtiene la estimación
fe
f(x) sen nx dx
¿=o
k
+ - ^{rriil
n
í—o
(3)
i
l !n virtud de que la función / es integrable, para un e > O fijado de antemano existe una
partición del segmento [0,vá] tal que
ib
^AZiü>i <
¿ — A
(4)
34
Capítulo I. Integrales dcpcndicnlt'N tJi'l jtiuéíiiu'tro
n
Una vez dada la partición, los números m, quedan determinados. I'or tanto, al toma
k
I oo
> | ¿ 1ra,|,de las desigualdades (3), (4) y (1) obtendremos |
/(ar)sen JIX
e j=o
o
50.
f
Demostrar que si: 1) f(x, y) =t f(x, y0) en todo intervalo ]«, 6[; 2)
dx\<
-< F(x
+00
donde / F(x) dx < +oo, entonces
a
+00
+00
lim I f(x,y)dx
= / lim f(x, y) dx.
u
a
A Solución. Estimemos el valor absoluto de la diferencia
+00
+00
b
J /(a?, y)dx - J f(x, yQ) dx = J (f(x, y) - /(x, y0)) da; +
+ J f(x, y)dx- I f(x, y0) dx,
b
'b
Sea un e > O fijado de antemano. En virtud de la condición 2), para un b
suficientemente grande son válidas las estimaciones
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+00
+00
+00
1//(ar,jí)¿a;J ^ J F(x)dx<~,
b
b
y a partir de la condición 1), la estimación
y
|/<«, y) - f(x, yo)\ < 3^—-
f{x,y0)dx
v* e ]a, b[,
si la diferencia \y - y¡)\ es lo suficientemente pequeña.
De este modo, de (1), (2) y (3) se obtiene
+00
+00
a
a
1/ f(x,y)dx- J f(x,y0)dx <e
para todo y bastante próximo a y0.
51.
•
Sea / una función continua y acotada en 10, +oo[. Demostrar que
+00
/ = lim -
f
y->±0 Tt J
dx =
X¿ +
y¿
O
A Solución. Tomemos x = ty, t > O, y > O, entonces
+00
I = lim *
f ^ - d t .
y~>+0K J t2 + 1
n
±m-
Integrales impropian ilt'|>i'nilii-nIcn «!<•! parámetro
¿t^j, donde \f(tp)\
IMildon que
1•
comí, j
M
^ ~ (converge) y en virtud
do fu continuidad de Ja función / , la fracción
l m para V ~1* +0 en cada intervalo
Ahito
entonces conforme al ej. 50 obtenemos
+00
I-O0
2
IM dt
lim —
lim fS
/(O)0)
7r
t2 +1
Í/-++0 7T t2 +1
o
o
|*n v ii I mi del carácter impar de la integral respecto a la variable y y a partir de la
íflHftldad (1) tenemos
+00
yffr)
dx
lim * /
jr-*-Q 7T J x2 + y2
o
•
m
+Q0
f
dx
I i aliar vlim / — — n-oo /
O
nt lición. Representando la integral dada en la forma
+CO
+00
dx
xn dx
1
f
dx
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/
/
o
xn + l
o
J xn +1
1
>1 servando que
i
—
1
n + 1'
•leñemos
f
/
dx
<
a;Hl
i
Demostrar que F : a
<2,
ar*
/
1
n - 1i
«
>2,
+00
lim f
n^ooj Xn + 1
o
< a
+oo
da?
+00
dx
f
<
J xn + 1
o
o
o
sen~dx
x
Jución. Cambiando de variable x =
L
•
es una función continua en el intervalo
t > O, obtenemos
+00
sen at
F(a)
/
i
dt
t2 - a
-oo < a ^ 5.. Entonces, en virtud de la estimación
< ^ y del criterio
Weierstrass la integral examinada converge uniformemente. Si tomamos también en
sideración que para - o o < a ^
t ^ 1, la función t k»
es continua, entonces
m el teorema 1 del p. 25 podemos afirmar que la función F es continua en dicho
rvaln
Capítulo I. Integrales dcpcndk'iili'w ilt'l |Mr<1nu'lro
36
Sen ™ í:- « í; 2 - e, e > 0. Entonces, | f sen at dt | < -2r 4, l'ara un t
oo fijo !
función t i-f
tiende monótonamente a cero uniformemente respecto a a (esto resulta djj
la estimación
< ). Consiguientemente, según la afirmación del ej. 26 la integral inicia
converge uniformemente. Teniendo también en cuenta la continuidad del integrando pari
\ sC a ^ 2 — e, llegamos a la conclusión de que la función F es continua en el segmenta
considerado.
Así pues, la función F es continua para - o o < a
e. Como e > 0 es arbitrario
la afirmación del problema queda demostrada. •
54.
Determinar los puntos de discontinuidad de la función
+00
r sen((l - az)x2)
dx.
x
•4 Solución. Al sustituir t = (1 - a')x, a ^ ±1, obtenemos
+oo
F(a}
= J —j— dt sgn (1 — a ).
2
o
Obviamente, dicha igualdad es válida también para |a| = 1. Los puntos a = 1 y a —
son los puntos de discontinuidad de primera especie de la función F .
•
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i
Investigar la continuidad de las funciones siguientes en los segmentos indicados:
+00
55.
xdx
, a > 2.
2 + xa
< Solución. Se puede demostrar (v. ej. 31) que la integral en cuestión converge no uniforme
mente en el dominio indicado (su convergencia se deduce del criterio de comparación). Poi
lo tanto, por ahora no podemos decir nada sobre la continuidad de la función F .
Sea a > 2 + e, donde e > 0. Entonces, para x > 1 se tiene
<
^ . Come
= O* (jirr) para x —> +oo, entonces conforme al criterio de Weierstrass la integral
+00
i
converge imiformemente. Tomando en consideración la continuidad del integrando, a partir
del teorema 1 del p. 2.5 llegamos a la conclusión de que la función $ es continua para
a ^ 2 4- £, es decir, para a > 2.
Teniendo en cuenta que en virtud del p. 1.1 la función
i
$ :«h j2x+dxx
a
es continua para a > 2, deducimos que la función F: a i
para a > 2. •
+ $(«) también es continua
s2. Intégrale» ímpropi.i* iU'|H*iu1ltMilrN itrl |w«ímelro
X/
ir
fWh
« K-f f (tJCTXX
dx, 0 < <v < 2,
J x (7r — xy*
o
| NohuJóm Sea 0 < e ^ a ^ 2 - £ < 2 . Representando la integral dada como una suma de
ll-Mia integrales y estimando los integrandos obtenemos
4
H
1
Hel'l X
dx<
- x)a
í
7T— 1
te
+
J xa-\it - x)a
0
+
J
í
te
Xa (it - x)<*
K
/
+
1
xa(tt
-
,
7T
1
x)a~l
** j
a 1 "* +7r
2
+
dx
(tt - a;)1-*"
I hu loque las últimas integrales, conforme al criterio de comparación, convergen, entonces la
|)tlef;t .il inicial, según el criterio de Weierstrass, converge uniformemente para e ^ a ^ 2—e,
Ihiirndo también en cuenta la continuidad de la función
. /
,
senai
a
X (ir - x)a
ni el dominio 0 < £ < 7 r , £ < ar ^ 2 - £, a partir del teorema 1 del p,2.5 vemos que la
iw'ión F es continua en todo segmento f ^ a ^ 2 — e. Así pues, la función es continua
«MI el intervalo 0 < a < 2, >
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+00
0
4 Nal lición. Cambiando de variable x según la fórmula x — k%
1 en la integral bajo el
m^iio suma torio
sen x •"
í
i ed urimos la integral dada a la siguiente:
ÍT
Fía) =
1
f
t
^
o
¿v^ ^ ( § ) * ^ ( f ) 1 * F^"' 0 < ¿ ^ 1, donde 0 < e <
entonces en virtud del
i _t
rriterio de Weierstrass la integral f
converge uniformemente en el segmento [e, 1 - e].
o
-t
Análogamente se puede demostrar que la integral /
también converge
sen
*-i
_t
uniformemente en este segmento. Además, ya que la función t h-» S6H í es continua en la
región 0 < ¿ < ?r,
entonces según el teorema 1 del p. 2.5 la función F
es continua para a £ [e, 1 - ¿]. Como e > 0 es arbitrario, dicha función es continua para
( omo
x
3K
Capítulo I. Integrales dcpcndicnlrit tlrl iiAiiíniflrii
Ejercicios
Investigar la convergencia uniforme de tas integrales impropias que citamos a continuad*
en los intervalos indicados:
+ 0C
-I-ÍX3
18. /
dx, 0 <y< +oo, donde R es la función de Riemann. 19. f ==¡g0
dx,0<y^A
0
(1
+oc
20 -K»
arct dx,0<y< +00. 21.
f x ^ ^ dx, y> 0.
1
i
+ 30
1
22. /
dx, 1 < y < +oo. 23. J x"'1 ln(l - x)dx, y > 0l
o
•f
s
25. /«/COS 4 da:, -00 < y < +oo.
o
24. f
-oo<y<2.
o
Hallar los límites:
+«
(
n -
~ „
26. lim / /B(:e)dx, donde /„(*) = i F e " '
B-»CÜ
t.
'
27. üm J e - ' 2 ^ d t .
®>
—
28. lim f ^ r ' - d í .
x->+<x p
I—+00 u
Comprobar la continuidad de las funciones siguientes:
+=c
1
¿
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o
o
§3. Derivación e integración de integrales impropias
bajo el signo integral
3.1. Derivación respecto al parámetro
Teorema 1. Supongamos que se verifican las condiciones siguientes: 1) la función f¡
+00
es continua en la región a < x < +oo, yi ^ y ^ y2; la integral f f{x,y)dx
converge,
a
+oo
3) la integral f fy(x,y)dx
converge uniformemente en el segmento [y\,yi]. Entonces,
a
+oo
Jy J
f(x,y)dx
a
+00
= J
f'j(x,y)dx
a
en el segmento [3/1,2/2]Teorema 2. Si las funciones f y f'y son continuas y acotadas en el dominio indicado
+00
+CO
y la integral f \'p{x)\ dx converge, entonces la integral f f(x,y)<p(x)dx representa el valor
a
a
de una función derivable en el segmento [yi,yz\ y
^ J f(x,y)<p(x)dx
= j
f'y(x,y)<p(x)dx.
fi l Derivación e integración de Inlegnili** Impnipia* bajo el signo integral
3.2. Integración respecto at parámetro
teorema 1. Si ¡a función f <\s continua futra n? - a, y
34)
f;t/t, jfal, y la integra!
i * .
i» / (-'" r //) dx converge uniformemente en [y\}y¿\, enlomen es válida la fórmula
2/3
+oo
loo
Vi
dl9 J f(x 1 y)dx = J dx J f(xy y) dy.
V\
a
<*
Señalemos que. dicha fórmula es válida también en el caso de que y\ = -oo,
+00
l/f
| 00, si f(x,y)
+00
^ 0, las integrales f f(x,y)dx,
f f(x,y)dy
—00
+00
+00
+00
Hiiivt'r^r una de las integrales reiteradas J dy f f(x^y)dx
-00
son continuas y
-00
—00
+00
o f dx f
—00
f(xyy)dy.
—00
teorema 2. Si la función f es continua para a ^ x < +00, c < y < +00, y te
4-00
+00
y
/
y) tía;
a
Hiííiv/^r/i uniformemente: la primera en cada segmento [a, ^4] y la segunda en cada segmento
1/ SÍ al menos una de las integrales reiteradas
r, Í
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+00
+00
+00
+00
dx J \f(x,y)\dy, J dy J \f(x,y)\dx
o
c
c
a
\ 01 nurge, entonces convergen y son iguales entre sí las integrales reiteradas
+00
dx
+00
+00
J f(x y)dy
7
+00
J dy j f(x,y)dx.
t
a
Teorema 3. Si f es continua y acotada para a ^ x < +00, y E [yi¡ y2], y la integral
|
\ip(x)\dx converge, entonces
+ 0 0
+ 0 0
dy / /(a?,») p(a?) da a
/ p(a¡) dx / /(ar, y) ¿y.
a
1
58.
Haciendo uso de la fórmula ¡ x
o
1=
dx —
n > O, calcular la integral
1
I
x"-1}nmxdx,
i - - '
o
40
Capítulo I. I n t e g r a l e s dcpendlenti'N di'l puritim-lro
A Solución. Derivando formalmente m veces respecto al p¡m1molro n los dos miembros
la igualdad en cuestión obtenemos
1 = j
x " _ 1 ln"' xdx = Q ) < m ) = (-1)™ „ro+1 '
0
Demostremos que podemos derivar m veces bajo el signo integral. Tomemos pa
eso x = \,t>
0, y transformemos las integrales dadas en las siguientes:
1
+00
+00
fx»-idx
= J ¿ L ,
/ = ( - ! r f ^ d t .
0
1
Debido a que las funciones t
1
h> t 'n 1
t~"~l lnm t
y t ^
son continuas en la regi
i
0 < e < n < +oo, 1 ^ t < +oo y la integral fxn~1dx
converge, entonces, de acuer
o
+00 . ,
„ ln
t
con el p. 3.1, queda por demostrar que la integral J ^jzr dt converge uniformemente en
i
semintervalo O < £ ^ n < +oo. En efecto, ya que
ln™í _ hTt J _
\]nmt\
- tUt
ff
tn+i
(2m\m
J _
¿i+l'
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a partir del criterio de Weierstrass vemos que la integral I converge uniformemente
dicho semintervalo. Consiguientemente, según el teorema 1 del p.3.1, para cada e > O fij
la integral puede ser derivada respecto al parámetro n, n ^ e, es decir, para n > 0. •
__
59.
+oo
Empleando la fórmula J
f
dx
2
=
7T
, « > O, calcular la integral
o
+00
o
A Solución. Derivando formalmente n veces respecto al parámetro a ambos miembros
la fórmula dada obtenemos
+00
(
'
J
f
dx
(x2 + ar+i-
1 („-VA[n) - (~1)""!(2»-1)!!t
a Va
)
~
(2í}-)!!a"2v/a
'
o
de donde resulta el valor de la integral I n + j .
La posibilidad de derivar n veces se deduce del p.3.1. En efecto, las funcione
(;x, a) > j j ^ y (x, a) >-•> ¡¿q^ízt son continuas en la región ü < £ sí a < +00, O < x < +0
+00
La integral J
converge para a > 0. La integral In+\ converge uniformemente según
o
el criterio de Weierstrass (
^ foM^yirr P a r a x ^ 0) en el semintervalo £ a < +00.
Por lo tanto, podemos derivar en dicho semintervalo así como en el intervalo O < a < +00
(pues £ > O es arbitrario). •
H i Derivación e integración de IntrgmlrN lni|iM>|<l.i'< h.ijo el signo integral
& •
|
00.
41
I ü>
I íemostrar que la integral de Diricfilcf I(fv)
Neuwr .
liene derivada para a / 0.
li
/
o
embargo, esta no puede ser hallada mediante la regla de Leibniz
«
lomando ax = t tenemos / ( a ) = const. Entonces, para a ^ 0 resulta que
0. Sin embargo, si derivamos formalmente respecto a a bajo el signo integral
ll^itinos a la integral divergente
+oo
HHIMI I Ó I K
eos a x dx.
o
Al.
I Amostrar la fórmula de Frullani
+00
- /(te) d x =
f{ax)
^ b
x
o
a>
b>
a
+00
donde / es una función continua y la integral /
A
— dx converge V A > 0
*
4 Niihu tón. Conforme a las condiciones de partida tenemos
+oo
+oo
+00
/(te)
f fifi*) dx
m dt
dx
t
x
•
/
+oo
m
dt,
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Aa
t
Ab
de donde
Ab
+ O Ú
f(ax) - f(bx)
dx
x
A
m
dt.
i
Aa
Aplicando a la última integral el primer teorema del valor medio obtenemos
Ab
+oo
x
t
(1)
a
Aa
Debido a que la función / es continua se tiene Iim / ( £ ) — /(O), y a partir de (1)
ii>;uilta que existe el límite
+00
+00
lim
/
J
f{ax)7 - f(bx)
—*
dx
J v
fiax)~f{bx)dx
o
x
= min*.
•
a
+ 0 C
•
Nota. Puede ocurrir que la integral f ^ dx, A > O, diverge, pero existe lim f(x) = /(-hoo) y
A
Litubién converge la integral J
ilidio anteríonnente/
dx, donde f*(x) = f(x) - f{+oo). Entonces, de acuerdo con lo
+ 00
o
& - > + 0 C
f(ax) - f(bx)
b
dx - (/(O) - /{+oo}) l n - .
x
42
Capítulo I. Integrales dcpcndicnk'N del par.inii'tm
Calcular las integrales:
+0 °
62.
I(a) =
i
„i
/
dx, a > 0, ¡3 > 0.
o
A Solución. Para a ^ e > 0, (3 ^ £ > 0, las funciones
'
0,
'
f'a
x = 0,
:(x,a)
xe -era*
son continuas para a > £ > 0. Según el criterio de comparación la integral
+o
+
i
„ 1
e
—e '
,
dx
I
0 0
+00
_
2
converge, y la integral J xe 01 dx converge uniformemente según el criterio de Weie
o
strass en el semintervalo a > e (como función mayorante podemos tomar x
xe
Consiguientemente, conforme al teorema 1 del p. 3.1 se puede derivar respecto a a bajo 6
signo integral. Tenemos
+00
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l'{oc) = - J
xe^
dx =
a > e > 0,
o
de donde hallamos /(a) =
]na+(p(f3). Obviamente, I{¡3) — 0, por lo tanto <p(/3) = j ¡n/3
¡3^£>0.
Así pues, I(a) = |ln^, a > e > 0 . Como e > 0 es arbitrario, la respuesta e
correcta Va > 0, ¡3 > 0. •
—° J ( j " ~p ^ dx, a>0,
+0
63.
I(a)
2
X e
/3>Q.
a
A Solución. Al igual que en el ejemplo anterior, es fácil demostrar que es posible deriva]
respecto a a . Entonces, para «
e > 0, /3 ^ £ > 0 tenemos
+00
/'(a) — 2
J -{a+p)z _ ~2ax ix.
e
e
(
Aplicando la fórmula de Frullani (v. ej. 61} hallamos l ' { a ) = 21n
a a obtenemos
y al integrar respect
I(a) = -2(a + P)(\n(a + ¡3) - 1) + 2a(ln 2a - 1) + <p(f3).
De la condición I(/3) = 0 resulta que <p(ft) = 2/í(ln2p - 1). Por tanto,
Como e > 0 es arbitrario, el resultado obtenido es válido para a > 0, fJ > 0.
•
43
[i i Derivación e integración de ItilegMlen Iiii}iki|iI.ih l>ajo el signo integral
| fX>
x __
e ax
Mil
H4.
i(w)
sen mx <h:f a > 0, // > 0.
X
(i
$ Niiluclón. Derivando respecto al parámetro 7it obtenemos
foo
fm(m)
(e
—ax
(o
e P*)cos rnxdx.
o
I imlorme al teorema 1 del p. 3.1 es posible derivar bajo el signo integral, pues las funciones
/ : (m,a?)
X
>
sen mx p x¿0,
x = 0,
0,
fm : (m,x)
(e ax - e &x)cos mx
nmii continuas en la región - o o < ra < 4-oc, 0 ^ x < -i-oo; la integral (1) converge
it hit oí memente en virtud del criterio de Weierstrass, y la integral inicial converge.
a
P
Al efectuar la integración en (1) hallamos ITm(m)
ft2+m2 , de donde
t^+m2
arctg^ - arctg^ + C\ Como 7(0) — 0, se tiene C = 0. Por consiguiente,
a2x2)
ln(l -
x2Vl — x2
dx, [a| ^ 1.
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o
Solución. Sea |a|
1 — e, 0 < e < 1. Entonces, para un e fijo las funciones
/: {x7 a)
ln(l-aV)
x2vT~ t >
x ^ 0,
a2,
a? = 0,
2a
j
Ja
:
, a)
(1 -
a2x2)VT^
non continuas en la región |aj < 1 — s, |a?| < 1. La integral J(a) converge según el criterio
t Ir comparación, y la integral
i
i »
adx
= -2
o
o)
(1 — a2x2)V 1 — x
i on verge uniformemente en virtud del criterio de Weierstrass
fra(x1 a)j íJ {\-(i-£)W)y/íZ'¿2)
ni <•! segmento \a\ ^ 1 — Por consiguiente, se puede derivar respecto al parámetro a
lujo el signo integral para \a\ ^ 1 - e (ver el teorema 1 del p.3.1).
Sustituyendo en (1) x — sení obtenemos
n
2
j*{a) = - 2 a
ú
no donde se deduce que
consiguiente,
dt
1 — a 2 sen2í
7ror
— a2 -f C, Como 1(0) = 0, se tiene C
I(a) = 7 r ( v / l - < * 2 - l ) .
1 Jebído a aue £ es arbitrario, el resultado obtenido es válido para \a\ < 1,
tt. Por
(2)
<14
('pululo 1. Integrales dependientes del parámetro
N o e s difieil ver q u e lo función / es c o n t i n u a en l.i región |<r| í ; 1, |ar| < 1
Infectivamente, s e g ú n el criterio d e Weierstrass la integral / ( « ) c o n v e r g e u n i f o r m e m e n t e eí
el segmento |«| < I (\f(x, a}¡ ^
luego la función I es continua para |a| ^ 1. Po
eso, i ( ± l ) = lim I{a), o sea, la fórmula (2) es correcta para a = ± 1 .
•
M-i-o
i
66.
W
-
J
„2_2\
^
*
.
0
Solución. Análogamente al ej. 65 se tiene
l'(a) — —2a f
^
Jo (1 - a2x2)Vl^
1v
0,
a = 0,
de donde resulta que I(a) — —7rln ( l + Vi + C, |o| < 1. Como /(O) = 0, entonce
C = 7rln2, luego
„ .
. 1 + Vi - a2
I(a) = - i r ln
.
a2)
Debido a que la integral inicial es continua para |a|
válida también para |a| 1. •
1, la respuesta obtenida es
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+00
1
Solución. Las funciones
arctg a x
, ,
v
/: (a;,a) >—•
,
x2vx2-l
, ,
fa: (x,a)
1
x(l
—•—
+ a2x2)Vx2
—1
son continuas en la región 1 < x < +oo, — oo < a < +oo; las integrales
í a r c ^ a x dx¡
J^ x2Vx2 - 1
'
f
J
dx
x(l
x{l + aá2x2)Vx2
- 1
convergen uniformemente según el criterio de Weierstrass, pues
| arctg aaü|
ir
—1 "
2x2Vx2
X2Vx2
1
— 1'
x(l
1
4- a2x2)Vx2
— 1 " xVx2 — 1
y las integrales de las funciones mayorantes convergen. Por consiguiente, las funciones / Λ
y f',r son continuas para todo a, luego podemos derivar bajo el signo integral. Tenemos ]
+00
dx
x(í + a2x2)Vx2
Tomando x = chí obtenemos l'(a) = | ( l —
Como 1(0) = 0, se tiene C =
- 1
de donde I(a) —
De este modo, I(a) = ? fl + a -
- Vi +
vT+a2),
a2)+C,
a
0.
w
fi l Derivación e integración de ¡nlrgiale* Impropiar* bajo el wigno integral
Análogamente, para a £ 0 oblencinou /(o)
" (l
+ |or| - y/\ f (x1) sgim, \ty\ * ívj.
Míenlo?; I(a) —
a
Vi H
45
lin definitiva,
+00
tlH.
ln(q2 + ar2)
dx.
/?2 -I- a:2
#(«)
o
| Niiliii ión. Sea
/ 0. Entonces las funciones
. ,
,
ln(a 2 + x2)
f : (x, a) »-> 2
,
2
2a
(a2 + x2}(/32 + x2)
,
fa: (xt a)
mom mntinuas para 0 < x < +oo, —oo < a < -feo y la integral I ( a ) en virtud del criterio
de Weierstrass converge uniformemente en todo segmento [—/i, A\:
|ln(a2 + * 2 ) |
P2 +
x2
<
tp{x)
¡32 + x2>
La integral
tp(x) = máx||ln(^l2 -f
|ln#2|}.
+ao
f(a)
(a2
2a dx
+ x2)(J32 + x1)
0)
0
Mmbirn converge uniformemente, pero tan sólo en el segmento 0 < s ^ |a] ^ A. En efecto,
2A
2a
<
Í){x)
2
2
2
2
2
2
(o + x ){/3 + x ) ^ (e + x )(f32 -f x2)
+ 00
v ln integral / ip(x)dx converge*
o
De este modo, la función I es continua V a G ]—oo, +oü[, y la función
es continua
para \a\ > 0.
Efectuando la integración en (1) obtenemos I'(a) = j ^ J ^ ^ r
0/ de donde
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/(rr) - ^ ln(|or| + \/3\) + C. Dado que
H-oo
/(ll) = 2
+oo
2 fhxtdt
f ln|/3|
dt +
+ t2
+ t2
\P\
\P\
o
o
+ C O
ln#
dx
p2 + x
Љ
2
+CX)
21nj/3| f dt
+ t2
\ P \
o
enlonces C = 0. En definitiva tenemos / ( a ) = p ln(|a| + 1/51), f3 ¿ 0,
Señalemos que para fl = 0 la integral dada converge tan sóío para a
+00
7
easo integrando por partes obtenemos fácilmente que J ^t® * dx - TT.
0
+00
69.
I(a, /J)
o
arctg ax * arctg px
dx.
x
+00
4 Solución. Obviamente, I(a,fi) — /
o
f(x,aj3)
¡3)dx, donde
p- arctg aa; * arctg
£ O,
x-ü.
•
lnl/?|
7T
m '
1. En este
46
Capítulo I. Integrales d e p e n d i e n t e » del p.ir.tmetro
La función / es continua en la región 0 ^ x < -j-oo, - o o <
[1 < j oo, y la integral dada
en virtud del criterio de Weierstrass converge uniformemente (la función mnyorante tp sej
construye del modo siguiente: para 0 ^ x < I tomamos \f{x, a ,
fí)\
y para x > 1,:
\}{x, a,
es decir, ^(x) = \ap\ para 0 < x < 1 y <p(x) =
para a; > 1), Entonces,
según el p.2.5 la función 7 es continua Ver,/? € ]—oo,-¡-oo[.
Sea Q < e
a
A < +oo, 0 < 6 ^ p ^ B < +00. Entonces es fácil comprobar que
se verifican las fórmulas
,
+CO
f
arctg px
y X d + ^ l ^
_
=
„
JoM,P)~
f
j
0
dx
(1 + a2x2){1
p2x2y
+
o
de donde hallamos l'ápia, P) = 2(a+p) • Integrando sucesivamente esta igualdad respecto a p
y a obtenemos
I(a, p) = ¿(a + p)(ln(ar + p) - l) + v?(a) + MP),
(1)
donde <p, ij> son funciones a determinar. En virtud de que e > 0, £ > 0, A> 0, B > 0 son
arbitrarios, la última expresión es válida para cualesquiera a > 0 y P > 0. Nótese que (1)
es la restricción de la función 7 a la región de los valores positivos de los parámetros a
y p. Para determinar la función 7 para todos los a, p G ]-oo,+oo[ hay que definir las
funciones <p y tp de un modo tal que la función 7 sea continua Va, p. La condición de
continuidad
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üm 7(a, P) = lim I{a, p) = lim I(a, p) = 7(0, P) = I(a, 0) = 7(0,0)
conduce a la igualdad
<p(a) + i>{P) = | {P( 1 - ln p) + a(l - ln a)).
= 7(|«¡, |/3|) sgn(«, p) y la
Por lo tanto, teniendo en cuenta la identidad I(a,p)
igualdad (2), en definitiva obtenemos
I(a,P)
= {
fsgn(a/?)ln('»Wgr
»
si
«P ¿ 0.
a p = 0.
2
/
ejemplos siguientes:
o
(2)
yíT
e~x dx = — ,
resolver los
+00
70.
7 = J(alx2
+ Zb1x +
cl)e-{axl+2!'x+c)dx,a>Q.
Solución. Transformando el trinomio ax2 + 2bx + c en la forma ( v a í +
tomando \fax +
= t obtenemos
+00
7= J(At2
+ 2Bt + C)e~l1 dt,
+
^-y
Derivación e integración D E I n l e ^ R A L E * I I I I ¡ M O P L » M b a j o el signo integral
Í
47
)lHld<
4 Jí
A
—
'
-
-
=
c
.
«
»
a y/a
.
<r
!
—
«
e
aÁy/a
i M tillo ii que
I
i
-roo
+00
'' dt = v^F,
2 y íe"' 1 dt = 0,
J
—OO
—OO
>«•
-too
¿ 2 e"' ! dt = i J
+00
íe _ i d(í 2 ) = ~ j
—OO
e"'
—OO
leñemos
1
^ ^
(f + C) = ¿
+ 26 2)ai - 4 o » ! + 2 a 2 c i ) e ~ ^ .
100
71.
ch 6a dar, a > 0.
y e
00
Nolución. Tenemos
+00
/ e ax\hbxdx
1=
= l
+00
+00
f e~'lx? 1 "J dx+l
í
e-ax*-"xdx.
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-00
-OÚ
—00
(>1 servando que las dos integrales en el segundo miembro son casos particulares de la
Inlegral considerada en el ejemplo anterior, obtenemos I =
+00
72.
I{\a\) =
J
o
Solución. Representando la integral dada en la forma
1
+00
O
V realizando el cambio V — \ en la primera integral obtenemos
+00
+00
1
1
I )ebido a que los integrandos f\ y fz son continuos para todo a y 1 ^ y < +00,
Lis integrales correspondientes convergen uniformemente según el criterio de Weierstrass
+00
+co 2
2
(I/](«I0)I < ¿ J 1/2(^7
< e ~ v ) y las integrales / 4 , / e~y
convergen; por lo tanto,
1 1
la función / es continua Vlaf € IR.
48
Capítulo I, Integrales dependientes del parámetro
son continuas en la región |a[ > e,
Sea |«| e > 0. Ya que las funciones
1 ^ V<
y Jas integrales correspondientes, según el criterio mavorante, convergen
uniformemente en cada segmento £ ^ |a| sj A, entonces la función I es continuas para
\a\ > 0. Por consiguiente,
+CO
dl(\a\)
d\a\
- 2 | « ! / e - ( ^ ) § .
(1)
o
Además, tomando en la integral inicial x =
y > 0, obtenemos
v
+oo
7(|«|)=|a||e-^|.
(2)
o
Comparando (1) y (2) llegamos a la ecuación diferencial l'(\a\) + 21{\a\) = 0, de donde,
determinamos 7(|a|) = Ce - 2 '"', |a| > 0. Debido a que la función 7(|a|) es continua,
debe verificarse 1(0) — lim (Ce" 2 ' 11 '). Tomando en consideración que 7(0) = ^ hallamos
Así pUes, en definitiva obtenemos /(|a|) — ^ - e 2'fl'.
•
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+oo
73.
I(b) = J
e'ax2 eos bx dx, a > 0, b € R .
o
< Solución. Las funciones f: {b, x) i—e~ax eos bx y
(b, x) >-+ —xe~ax sen bx son continuas
en la región ü ^ x < +oo, - o o < b < +oo; las integrales
+00
j' e
+00
"x
eos bx dx,
o
f xe
sen bx dx
ax
0
según el criterio de Weierstrass convergen uniformemente respecto al parámetro b. Por
consiguiente, las funciones 7 e 7' son continuas V6 G IR y
+oo
/{&) = -
J
[ xe
+00
ax
sen bxdx - ^-e
2a
ax
sen bx
o
f e ax eos bx dx =
2a J
-
o
-~-I(b)
2a
o
Tenemos, pues, la ecuación diferencial l'(b) + jaI(b) — 0, de donde hallamos I(b) — Ce
+ 00
,
r—
¡—
Como 7(0) = f e~ax <te = | ^/f, se tiene 7(6) = \yj*
J-OO
74
f x2" e~xl eos 2bxdx, n € N.
, a > 0, b € R.
•
.
<f l Derivación e integración de Integrales Impropian Im|<> vi signo inlegraf
49
I HnftH ión. Derivando 2n veces ¡a integral tlel ejemplo anlei ior y tomando a — 1 obtenemos
h*
l-oo
' / 2 ~ f í€ X COS Ibxdx
ÍJ7> }
U
lie tlmult
- ("1)m2z" y
0
"'colara®
y—e
2u
+00
x2ne
x
co$2bxdx — (—1) 22»+1
O
+00
75.
Calcular la integral de Dirichlet D(¡3)
o
+00
/K/0
sen px
a?
o
cía?, a^Of
senfix
dx a partir de la integral
x
p £ R.
4 £Ji»li tetón. Ya que la función
/ : (a, a?)
A
x =
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o
+00
fui mntinua para todo a finito ( a ^ 0) y O ^ x < +oo, y la integral f f(a} x) dx conforme
til ej.25 converge uniformemente respecto a a > O, entonces la función I es continua
lenpecto a la variable a ^ O, Por ello, I(+0,/3) = D(P).
Sea a > 0. Entonces la función tp: (p,x)
e~axcosPx, x > O, ™oo < p < +oo, es
ii mi iuua y la integral
+ C Q
e " r eos /3a: rfi'
O
uegiin el criterio mayorante converge uniformemente respecto al parámetro p, pues
f ,r;r eos px| < e~ a x . Por lo tanto, se puede derivar respecto a p. Efectuando la integración
en (1) se obtiene J¿{a,jS) = ñ^*
ar > O, de donde I(a,p) = arctg £ + C(a). Como
/(„,()) = O, se tiene C(a) = O e / ( a , / ? ) - arctg
Así pues, en definitiva tenemos
Dtf) = J(+0, /3) = lim arctg 2 = J sgn/3.
Of-++0
Oí L
•
Empleando la integral de Dirichlet y la fórmula de Frullani calcular las integrales
niguientes:
+00
76. /(«,/?)
O
K
P cos px
X
Κ΍
dx, a͑ Ώ͑ ΀͝ p e͑ ͺ΃͟
50
Capítulo 1. Integrales dcpcndicntCH del p.nJmietio
A Solución. Para a ^ e > 0, |¿¡3| ^ £ > 0 y 0 < je < +oo las funciones
/:
±(e~a**-cospx),
\p2 - a,
(a,p,x)
®
x =0,
(
sen/3ar
, p
^
Pi
x — u,
+00
(
son continuas. La integral dada, así como las integrales /¿(a',/3) = J
f'a(a,p,x)di|
+oo
o
•:
I'p(a,¡3) —' f fp{a,p,x)dx
convergen uniformemente (la primera según el criterio d
o
Weierstrass y la segunda, de acuerdo con el ej. 26). Por consiguiente, las funciones I , I„, l
son continuas y existe la diferencial
+ 00
=
dl{a,p)
J
e~ax"
+00
dx^j da + (^J
o
dx*j dp =
+ | sgn pdp
o
(ver las integrales de Dirichlet y de Euler—Poisson). Efectuando la integración hallamos
I{ct,P) = \\P\-^+C.
(1
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Como e > O es arbitrario, el resultado obtenido es válido para a > O, \ft\ > C
Demostremos que también se verifica para a ^ O, —oo < P < +oo.
Representemos la integral inicial como una suma de dos integrales
1
I(a,p)
+0O
= j f{a,p,x)dx
+ J
o
f(a,P,
x)dx.
i
|
Vemos, pues, que la primera integral es una función continua de a y p para cualesquiera d
y P- 1.a segunda integral converge uniformemente para a
O y cualquier p, pues
|/(a,/3,a;)| ^
Además, la función / es continua, por lo tanto la segunda integra]
también es una función continua para a ^ O y P arbitrario.
'
Utilizando la continuidad de la función I hallamos el valor de la constante C
a partir de la igualdad /(0,0) = lim (§|/3| - y/ña + C) = 0.
Así pues, de (1) obtenemos definitivamente I(a, P) — ^iPi-^/wa, a ^ 0, P € H.
+oo
rtrj
/7.
f sen ax eos px ,
,, _
/
— dx, a,P 6
J
®
o
-4 Solución. Representando la integral dada en la forma
+oo
+oo
sen ax eos px ^ _ 1 f sen (a -f P)x ^
/
x
X~2J
x
+
+00
1 f sen (or - p)x
^
2j
®
x
•
Ip Derivación e intcttracj^ d<? JjjtouittltuvJlMuuuAJlfH¿yiix'it.^ivm»J^w.ikv^.fiJ
y |i»M Iciuii) uso de la integral de Dirichlet (v. <•)- 7h) oMeneinos
loo
sen ax eos Px
xf
,
dx ^ j (»8n
~
. m ,
t
I sBn (« ~ P)) -
1
•
o
nHn
|
/' sen ax sen px dx, a,/?
7H.
i ~
X
ii
f finlinlon. Empleando la fórmula de Frullani {v, ej.61) hallamos
+00
i
o
" señase sen Px
dx
x
¡IK
o
eos |a -
— eos ¡a + /?!#) dx
a # ±p.
•
1
2
ln
a + P
a-p
I i»0
sen a x
fse
dx, a G R.
x
11
71).
n
rt
1
4 NotueióiK Utilizando la identidad sen ax — ^senaa? — ^ sen3aa?r así como la integral d
I Mili-lilel (v. ej.75), tenemos
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+00
senaa;
dx
x
o
1
j FK'iv ÍVJ;
I
x
dx
+00
sen 3 ax _
3n
dx — - s g n a - ™ sgn3<* = ^ sgna
x
o
+00
HO.
l(a,p)
o
sen 4 a# — sen4 Px
dx
x
Nnhu íón. Transformando la diferencia sen4ora; ~ serfipx en la forma
sen4oía: - sen 4 px
i ((1 - e o s 2 a x f - (1 - coslpxf)
= í (fdpjx)
- f(\a\x)),
1
f(x) = 2cos2x — - e o s 4a;,
leñemos
*(<*, p)
+00
f(\m
o
- f(\a\x)
- dx.
x
Apliquemos ahora la fórmula de Frullani (v. ej.61). Debido a que la función /
+00
efi continua y según el criterio de Dirichlet la integral f ^ dx ton/erge para V.4 > 0,
ntonces con la ayuda de la fórmula mencionada obtenemos I(a,P) --- | ln íi , ap
ot_
¿0,
t 'iijiítulo I. Integrales dependienli'H del puivlim'lro
52
la integral inicial diverge. I'or último, si a = (3 =
Si a — 0, /i -/ 0 o p -•- 0, a
la integral existe y es igual a cero. Así pues, en definitiva tenemos
s In|2|
si
si
ap¿0,
a = p = 0.
•
+00
81.
íl
sen(ar)
dx.
< Solución. Realizando el cambio de variable x = Vt, t > 0, obtenemos la integral
Dirichlet (v. ej. 75):
+CO
J
+00
sen(a;2)
x
2 J
t
4
+oo
82.
Determinar el factor de discontinuidad de Dirichlet D(x) = ~ J
Va: £ R.
sen A eos Xx'
o
Solución. Tomando x =
a = 1, fi — x en el ej, 77 obtenemos
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I>{®)=|(sgn(l + a!) + s g n ( l - ® ) ) l
es decir.
' i
si
M < i,
\
si
x = ±1,
0
si tel > 1 .
D(x) =
•
-KXP
83.
Calcular la integral / — v. rp. /
°
j
— dx.
x+b
A Solución. Tomemos t = x + b, entonces
+00
I=
+00
f sen at
, ,. ,,
f eos at
, ,,
v.p. j —-—cos(ab)dt— v.p. I — - — s e n a o a í =
-00
-00
+co
= 2cos(a6) J
dt = ir cos(ai>) sgn
puesto que
+oo
ff eos at
f eos at ,, ,
n
dt + lim / — - — dt — O
/
lim
I, —
lime—«
— OO—•—
t dt = A
*™h>
—l-x J—A
I ; —t dt + .4-.+-X
"/£ i
eos at ,,
H I Derivación c integración de Inlegidle* impNipliiN b a j o el s i g n o integral
53
llnhlf lt» al carácter impar del integrando, y
+oo
sen at ,,
—oo —:—
/
+00
H
$
/"sena/ .. ,
f sen ai ..
„ f senaí J±
dt = lim —A
/ — t - dt I lim £I —r — dt = 2 (J/ — : — dt
y l - l
X
d
t^bldn ni carácter par del integrando,
-
i * .
^
^
•
+00
— / e 1 / ( 1 * dj/ calcular la integral de Laplace
I lacicndo uso de la fórmula ^
O
I OO
!
Un)
j
„
i eos ax ,
^
dx.
O
| Nulin ion. Según las condiciones del problema se tiene
+00
L(ar) = J
+00
dx J
e y{l+xl) eos ax dy.
o
o
—Ai , k > 0,y analicemos la integral
Mn indiquemos el integrando por e
+00
L
+OÚ
dx
e~y~{k+y)x2 eos axdx.
(1)
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o
11\ lnnción / : ( x , y )
II y < +oo; las integrales
o
cosaas es continua en la región O ^ x < -foo,
+00
j
+00
e-y-(k+vW cos axdy
y
J
2
e-v-Vt+y)* cos ax
dx
o
o
i mivergen uniformemente conforme al criterio mayorante de Weierstrass (efectivamente,
+00
e »
cosazf ^
coswcj ^
< nnvergen). A partir de la estimación
+00
+00
J
dx J
0
0
e~kx
y las integrales f
o
+00
f e'kx
o
dx
+00 .
cos a z rfJ < y e~y dy
0
+00
e~ydy,
j e~kxl dx
0
p»e deduce que la integral (1) converge. Por consiguiente, apoyándose en el teorema 2 del
I». 3.2 se puede cambiar en (1) el orden de integración:
+00
+00
«A —
_ // e'vdya.. /I e ' w
L <71.
(k a)
o
l Jlilizando la solución del ej. 73 hallamos
o
+00
//(fc, a) = ^
2
J
f —.=e~
\/y + k
cos axdx.
+00
dy =
f
J
dt,
7(í) -
¿ +1\
4í¿
(2)
54
Capitulo I. I n t e g r a l e s d e p e n d i e n t e » del p<ititniftio
Debido, n que la integral
f c~kx"f^ydx
converge uniformemente para k ^ 0 y
integrando es una función continua, la función L* es continua respecto a la variable k (v
el teorema 1 del p.2.5). Por tanto,
+OÚ
L(a) = lim L*(k,a)
k^+a
+00
= [
dx = yft f
J
J 1 + x¿
o
dt.
o
La última integral se calculó en el ej. 72. Así pues, en definitiva tenemos L(a)
o G l
=
•
| Calcular las integrales siguientes:
+00
ce
Oj.
f sen2ar ,
I
~ dx.
Jo l + x2
4 Solución. Empleando la identidad sen2a; — |(1 — cos2ar) y la integral de Laplace obtenem
o
+CO
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qc.
OO.
f eos ax
,
I —
s^r dx.
2
2
J
(1+s )
O
< Solución. Introduciendo la fimdón / mediante la fórmula
+00
C0S CXX
/
2dx>
o
1
iy-11^2'
y efectuando el cambio de variable x = yt encontramos f(y) — ^L{\a\y) y para la derivad
fy(1) = - 2 f
o
dx, donde L es la integral de Laplace. Entonces tenemos (v. ej.84)
+00
/ (?tI) * = -¡>'m = 4 (íi(l<,|í,)),,= í(I+
O
+oo
87.
I(a)
Z2bx
^ + c, a > O, ac - b2 > 0.
v ' = Jí axT
2 +
-oo
•4 Solución. Transformando el denominador de modo que aparezca un cuadrado perfecto
— i tenemos
cambiando de variable %/ax +
i
+00
ai
ab
at
ab
t eos -p eos —
i
r sen -¡= sen —
= /
f 2 2 , " dt + 4 = /
/ 2 ?2 " di,
I(a)
K ' = 4
V¿J
t +y
Va J
t +y
51 i
H 1 Derivación c integración d e Inlegnile* impmpl.iN Inijo el signo integral
Un virtud del carácter impar del Integrando, la segunda integral es, evidentemente,
lelilí n eero. i,a primera integral se calcula con la ayuda de la integral de Laplace. Así pues,
lañemos
,
r/
2
ab
_ f\a\t
A
w eos ^
t on la ayuda de las integrales de Fresnel
£8.
+00
+00
sen (x2) dx — j cos(x 2 )dx — i
o
i7r
o
Hih ular la integral siguiente:
+00
sen (ax2 -j- 2&x + c) dx,
a
—00
4 No Ilición. Transformando el trinomio cuadrado de segundo orden de modo que se tenga
= tt a > O, obtenemos
itn i i¡adrado perfecto y realizando el cambio de variable ^/ax
'XI
í
+ 0 0
+ 0 0
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f sent2dt+^^-
^ sen (ax 2 + 26a? + c) efe =
f cos t2 dt = W | sen ( y +
00
fX.'
—00
4/ '
ilonde j/ = c —
Si a < O hay que tomar a — —ai, ai > 0 ; por lo demás, los cálculos son
análogos. En el caso general se obtiene
(^
. ac-b2
«d S e n l 4 S g n a + — ~
r
y
' >
.„
*
Demostrar las fórmulas:
+00
^
+00
/ cosax ,
I a 2 — ~
o
ir
yi i v
s
e
n
2a
'lala''
/" a: sen orar ,
ir
I
—^T
~ ~2
o
,
.
a)s§n
donde a ^ O y la integral se sobreentiende en el sentido de valor principal de Cauchy.
4 Solución. 1) Es fácil ver que
+oo
eos ax
/
O
.
¿ - x¿^ íllC
a^
1
+00
f cos ora:
4a —oo
J/ a+x
J_
+00
f cos ax ,
UÍC "T4a
" J / a - x W (LiÜm
—oo
( ¡ilculando dichas integrales por el método propuesto en el ej. 83 obtenemos la fórmula 1).
- \ ^
y haciendo
2) Representando el integrando en la forma ^ ^ = - \
uso del ej. 83 obtenemos la fórmula 2). •
56
90.
Capitulo 1. Integrales dcpcndienlm ili'l |><u.í metro
Hallar la transformación de ¡..aplace
-l-oo
F(p) = J e~pif(t)dt,
í? > 0,
o
de la función / si: a) f(t) = tn,n G N; b) /(f) = v í ; c) /(i) =
d) /(i) = sen(aVÍ)*
A Solución, a) La función ip: (p,t) nes continua para p > 0, 0 < t < +oo, >
Vn > 0, La integral dada converge uniformemente para p ) f > 0 y para cualquie
función integrable que satisfaga la estimación \f(t)\e f í < const. En el caso considerad)
tne~~st sí (")' e~n, luego podemos derivar bajo el signo integral respecto al parámetro p.
Sea f(t) = 1. Entonces, F(p) = j¡ y
e _í,í £"
+00
= (-1)" J
dp
e~pitn dt,
+0O
de donde resulta / e~pítn dt = 4 r o
p
b) Realizando el cambio de variable Vt — x hallamos
+CO
+00
F{p) = J e~piVtdt=
2J
o
o
e~px?x2 dx,
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de donde, integrando por partes, obtenemos
+00
+00
+ 1 íe-pxldx
PJ
o
c) Apliquemos la fórmula de Frullani. Tenemos
--e~px'
F(p)=
P
+00
J
=
0
l ^ .
2p]¡ p
S-i>í _ „-(p+l)t
o
T dt = H1+ ¡)-
d) Realizando el cambio de variable Vt = z llegamos primeramente a la integral
+00
-pz'
ze~p~ sen
F(p) — 2 J
azdz,
o
e integrando por partes, a la integral
+00
Ot t
_
e
pz
/
eos az dz,
F(p) =
o
que se calculó en el ej. 73. Finalmente, tenemos
,
ai/ír
_¡¿
A
|i l Derivación o integración «le Integróle* Ini|>iu|il.iri l>,ijo el signo integral
57
I íemostrar la fórmula siguiente [iutvftrul th* l.íjnn hitz)
«1,
| 00
e
-at
l{)(bl)tU
.•
Vw | 'r
O
«><)i
^nntle iy) es la función de Bessel de índice nulo (v. ej. 12).
§ Mtiliii lón. La función f : (ty(p) >-»• cos(&£ senv?) es continua para O ^ t < -foo, O ^ tp ^ n.
I oo
| ri Inlegral f e atdt converge, por ello la integral dada converge uniformemente respecto
o
|nirrímelro. Por consiguiente, conforme al teorema 1 del p,3.2 se tiene la igualdad
ir
+00
e
-at
dt / cos{bt semp) dtp
o
til1 ilomle
TT
+00
dtp
o
o
+00
cos(6¿ sen tp) dt¡
o
JT
e atUU) dt = —• J
O
-
2 +
o
d<p
1
^senV
Va2+ &
•
11aliar la transformación de Weierstrass:
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L f -^-yy
+00
T
F(x) -
V
¿ J Pe
f(y) dy
-00
«í fhi)
eos ay.
4 Nolmión. Tomando x — y = t obtenemos
F(x)
+00
cos ax
I'
+00
,
, sen ax / ~e
.
cos at dt H
-=- í e sen ai dt
V7T
—00
-00
Mn virlud del carácter impar del integrando la segunda integral se anula. La primera
Inlegral se calculó en el ej, 73. Así pues, tenemos
a
F(x) = e
4
cos ax,
•
Kjercicios
IH-rivando y luego integrando respecto al parámetro bajo el signo integral calcular las
integrales siguientes:
+oc
+30
+ 30
+0Csen «aj sen x
dx. 34. f sen x-x ros x dx
41.
<* 5*0. 32. f ^ d x .
33, /
0
I VI
m. í
1 MJ
0
+oo
chx
dx.
36. f
O
o
o
+oc
37. /
o
x
ln (ln
dx.
dx.
+ 90
W | sen™x - ln(senx)dx. 39. / (ln
40. / e"|aíx* sen2&a^
58
Capítulo I. Integrales dependiente» drl pantmflm
Calcular:
I
«•
v.p../'
4-00
ln
0 < a < b. 42. v.p. /
44. limí v. p. f
43. v.p.f
« > 1.
), a < 6, donde la función ^ satisface la condición de Holder. 3 a, L tales q
Yac,, x z 6 ]a,*>[ se verifica la desigualdad \¡p(xi) - <p(x2)\ < L\x-¡ - a?2|", 0 < a ^ 1.
Hallar la transformación de Laplace para las funciones:
45. / : x ^
x
> o.
4 6
.
^ ^ s f c ^ a; > ().
§ 4. Integrales de Euler
4.1. Función gamma
Definición. La función
+00
Jxp~le~xdx,
0 < p < +oo,
se denomina función gamma (o función T) y su valor se llama integral de Euler.
La función F es continua y tiene derivadas continuas de cualquier orden para p >
que se calculan según la fórmula
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+00
r (A) {p) = J
xp~\\nx)ke'xdx,
k €
a
4.2. Fórmulas fundamentales
Para p > 0 se tiene
r<p + i ) = p r ( p )
(
(fórmula de reducción). Si n G N, entonces
r ( » ) = ( » - 1)!,
(
Para 0 < p < 1, se verifica
r(p)r(i - p ) =
(4
sen7rp
(fórmula del complemento).
4.3. Función beta
Definición. La función
B: (P,g) >->• J x?
~x)q
1dx,
p>0Aq>0,
§4. ln legible» de linler
4
La función beta es continua en m dominio de definición y tiene derivadas parciales
I iwli|tiier orden que se pueden hallar al derivar rrspivln a las variables p <] bajo el signo
iMlef'ial. lis útil Ja representación siguiente:
7
no
*p,g)
= ¡
0)
o
I a relación existente entre las funciones gamma y beta es la siguiente:
B(P,?)-pm-
(2)
| (¿laiLir las integrales siguientes con la ayuda de las integrales de Euler:
a
j x2\Ja2 - x2 dx, a> 0,
n
| Üuim ión. Tomando x — ay/i, t > Q, y empleando las fórmulas (2), (3) del p.4.2 y la
fnmuila (2) del p.4.3 obtenemos
X' y '/
4
r •
•
J ^ d z ^ Jthl-tydt^- - —
' 3 3N
|-b(|, I )
a4r2(|)
2T(3)
7ra4
16
•
o
o
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\-oo
[
Jo (1 + ®)2
4 Holiu-ión. Haciendo uso de la representación (1) y la fórmula (2) del p.4.3 tenemos
o
yxé*
(1 -f x)2
b / 3
\4 ?
5^
4)
r(|)r(f)
T(2).
Aplicando ahora las fórmulas de reducción (1) y del complemento (4) del p.4.2 hallamos
4-oo
/
o
fyxdx T1
(1 + X? *
1
-f-GO
95.
J x2ne~xl dx, n € N
o
4 Solución. Tomando x = vi, t > 0, obtenemos
+00
-foo
a > e *2 cte = | A r V ' di = | r ( » + ¿ ) =
0
o
•
60
1
f a c i l i l l o 1. I n t e g r a l e s d e p e n d i e n t e s del parámetro
Expresar mediante las integrales de bulen
+00
/
m—1
-—-——
dx, n > 0.
1 + x"
o
< Solución. El cambio de variables x = t», t > O, conduce a la integral
+ 00 Irt
.. -i
/
l + í
n \n
ra/
n \
tí
El resultado obtenido es válido para 0 < m < ra. •
n)
«sen-
\nJ
+00
97.
fJJ^,a>0,b>0,n>0.
o
Solución. Tomando x = ( ^ í j " , t > O, obtenemos
+00
mJ
, . m+1 +00
/• i — - 1
. m+<
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/
dx _\Jl
f t"
(a + bxny na? J {1 + tf
(™+l
rra + l \
na>> \ n ,P
n )
—R
\b)
o
o
Por consiguiente,
la integral inicial
converge para O <
98. I =
a
=
•
f(^;t:Sdx,0<a<b,c>0.
M Solución. Realizando el cambio de variable ~
J
< p.
'm+"+1
f fmn
(b + c) m+1 (a + c)" +1 i M
= ~ t obtenemos
t\» dt ]
(¿> + cr+Ha
+!,»
+ c)^
D
de donde resulta que la integral dada converge para m > -1, n > -1.
99.
Tmn = J senmxcasn xdx.
o
•4 Solución. Tomemos sen x — Vi, t > O, entonces
o
Obviamente, la integral converge para m> - 1, ra > — 1.
•
•
+ !)
'
8 4- Intc^MltMi <1 p lUHfr
IIHI.
scn"' 1 ^
dx, 0 <
(1 + fe cos a;)"
/
o
W
I
f 1
I »
g ffiiliu ión. Cambiemos de variable según la fórmula i — tg í . Tenemos
JT
-loo
tn~1 di
T
f
( i +4-¿ o * jy (( i + < * 2 ñ n '
o
senM
dx
(1 + k COS x)n
I
o
a
1 — fe
1 + fc'
Al lomar ai = ^Jz resulta
2
(1 - fe2)rB
/
( I ' i)>
TO > 0-
1
101.
f
o
4 Nolucíón. Efectuando el cambio de variable ln ^ = £ tenemos
+00
1\*
ln^j
dx -
i
/ tV* <B = T(p + 1),
j?> 1
o
0
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+00
102.
x?e
m
ax\nxdx
f
a > 0.
o
4 Solución. Cambiando de variable x — £ obtenemos
+00
+00
m
—
Í t P€
ln tdt
-
f tpe~* dt.
1
a?* J
o
o
lis fácil ver que la primera integral constituye el valor de la derivada de la función F de
, «y, u mentó £ + l ( p + l > 0 ) , yla segunda es igual a Y{jp + 1 ) , luego
m
+ 1)
aP+l
ln a
a^1
+00
103. J(p)
o
aíP"1 ln x
dx.
1+ 2
4 Solución. Evidentemente, la función I es la derivada de la función beta (v. p. 4.3), entonces
+00
l(p)
-1
d
X?
da;
dp J 1 + ai
o
d
B(p,l - p )
dp
A (ra»)
ra - p))
dp V sen pvr /
tt eos
sen2p7r
G<p<l.
•
ODSOOXOR , ,QWHJUDOHV GHSHQGLHQWH GHO SDU$QLFWUR
_RX
1 0 4 . / = / £ÍíüL dx.
J 1 + a;3
ü
Solución. Tomando x = i1'2 y utilizando el resultado del ejemplo anterior obtenemos
+00
,
™„ y
2
1 f t2/3~l
1 T eos
3_ _ 2tt
j = =r / ^—7 lní di = —i • —
9 y 1+1
9 s<
sen2 —
27'
+00
1 0 5 . r = f p - ^ id x .
J l + x
o
Mediante la sustitución 2: = í 1 ' 4 , t > 0, llegamos a la integral
+00
JL [ r ^ t f t
•dí,
64 y
1
que es la derivada segunda de la función beta
+OO
P'
64 y ?
i*" 1 di
64 7 (1 + Í)P+"-P)
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•r
calculada en el punto p = j . Así pues, tenemos
J =
- S
64 '
rf^'1
= á '
^ ( ¡ ¿ ü )
P=4
64
+00
x - a9"1
dx.
J x»"
(1 + x) ln x
Solución. Obviamente, para p — q la integral es igual a cero. Utilizando el criterio
comparación no es difícil ver que la integral dada converge para 0 < p < l , 0 < # < l .
Observando que
I(p, q) = J B(p, 1 - p)dp - J B(q, 1 - q)dq + C,
nte, tenemos
siendo C una constante,
J(p, ? ) = 7 r / — ^
J senírp
gf
x f —— h C = Trln ^
t g f + C.
j sen irp
Tomando p = q hallamos C — 0.
Así pues, tenemos
I(p, g) = tt ln
tgf
,
tg?
0 < p < 1,
0 < g < 1.
•
$4, Integróle*
J07.
í
7
o
/
' x"Pdx,Q<p<
1 - a?
líult*r
ro
K
llildf lón. Examinemos la integral
i
F(e) = J ( i x p - x~p)(l - xyl
H
dx,
e^ O.
(1)
o
que la función / : (x7e)
|H^liln
es continua para O < x < 1, e > 0 y la
jltliwal (I) converge uniformemente para e ^ O según el criterio de Weierstrass
í i^-1 - x
\xP Í - x~p\
vi
P\ J
o
ftiluuces la función F es continua y se puede efectuar el paso al límite bajo el signo
híh'fjiil (1) para €
+0, Tenemos
í
y
rV*P ^
P
l - x—
o
dx.
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Tomando en consideración que F(e) =
' = ft, (*»>'> ~ ^ I liíliz,indo la fórmula T(e) =
e) - B(1 — p, e), a partir de (2) resulta
= ^MvSh
~ ixT-TTi)
y haciendo uso de la regla de L'Hóspital obtenemos
c
i
ii naiiii i
+00
108.
f^BZ,
J sh px
o
0<a<fi.
Solución. Tomando
— t obtenemos
1
+00
shax ,
1
„
- dx = — I —-—7— dt,
shpx
2PJ
1 -t
o
. 0
ilnnde p =
I ruemos
Dado que 0 < p <
podemos utilizar el resultado del ejemplo anterior.
+00
sh ax * _
/
o
ih^
xa
~ 2/3 t g 2¡8 •
*
&DSoWXOR ,QWHJUDOHV GHSHQGLHQWHV GHO SDUjPHWUR
i
1 0 9 . / = J lnP(x) sen irx dx.
o
•4 Solución. Realizando el cambio de variable x = 1 — t obtenemos la integral
i
i
I = J lnT(l — x)sen?rxdx = ^ J ln (r(x)r(l - a;)) sen ira; da;,
o
o
de donde con la ayuda de la fórmula del complemento (v. p.4.2) hallamos
1
i
1
f
1
1
f
I — — i (ln 7t — ln sen 7rx) sen irx dx — — ln7r — - I ln sen jrxsen irx dx o
o
= ^-lnw — ^ ( e o s x x + (1 - cosirx)lnsen7rx - ln(l + eos xa;)) j
= ^
+ ln ^
.
1 1 0 . Demostrar la igualdad
+oo
, n+1/2
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< Solución. Tomando x = t«, t > 0, obtenemos
+00
J
de donde resulta
f xm^e~xn dx =
(™) ,
n\nJ
+00
m=l p
ín=l
Si n = 1, la igualdad (1) es, evidentemente, lícita. Por tanto, asumiremos que n ^ 2
Elevemos la expresión (1) al cuadrado escribiendo el producto de las funciones P la primera
vez en orden directo y la segunda en orden inverso
]
- (O^X^iM^)) - (^Ms)} »*
ñr(?)M
Empleando luego la fórmula del complemento hallamos
m=1
"ñ'senf
-W O
§4, InU'gidlt'N il«> l ulci
65
rniii calcular el producto de los amenos doNiom|H>ngamos el binomio z11 — I en
I
— zq)(z — z\)... (z zn |), siendo Zk las raíces del binomio, o sea,
m Cl
exp (ifc~), i2 = - ü , 1.
ÍMO"1
•-l
]~I (z - zj.), de donde
W consiguiente,
n-l
zn-l
lim
z-*l Z - 1
Ai
rüí
•^
iblP( IUIIU 1 - € »
.
•
71
n~l
umn<*-**>=ni1
jfc=i
2 sen —, a partir de (3) obtenemos la fórmula
A
J t
n-l
sen
Jt=i
7T fc
Tí
71
Tí G H \ { 1 } .
(4)
W último, sustituyendo (4) en (2) y luego (2) en {1), llegamos a la identidad
1
I, IMili/ando la igualdad
xm
1
T(m)
ii n ax
ni dx, O < m < 1, a ^ O
+00
y > .
" e~x dt, x > O, hallar la integral
r|
i
o
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IdImiIóiu
Tenemos
+00
+00
I
r(m)
/
O
cos ax dx J
+00
A
e^e-** dt
O
1
im / cos ax dx
lim
T(m) A<5—+0
j.m-1-xt
f
e a£
o)
o
—L1e—ai cosaaí es continua para O < t < -foo, 6 ^ x ^
Tl1
I ii M i i k ion / : (x, t)
tm
del criterio mayorante (!/(#, ¿)| ^
la integral impropia
En virtud
+0Ü
aff rTIt— 1
e t
11
eos axdt
o
nDiverge uniformemente respecto a x 6 [£, ^4]. Entonces, según el teorema 1 del p. 3.2,
mi (I) se puede cambiar el orden de integración:
+00
/
1
lim
\\m)
ó—4-0
dt /
eos ax dx
o
+00
1
lim
V
t
fYl
--'1
(a sen aA — t cos a A) ~tA **
e
dt +
a2 + t2
o
+oo
+00
rrig—6t
f t™m-lg-fit
2 +1 2
;
-f eos aó
a sen aó
dt
J
+
í
2
&DSLWXOR , ,QWHJUDOHV GHSHQGLHQWHV GHO SDLOLQHWUR
A partir de la estimación
-l oo '
-1/.-.+Í,
f2
resulta que la primera integral en (2) tiende a cero para A
H-oo. En virtud de li
convergencia uniforme (según el criterio de Weierstrass) de la segunda integral respecto a S
0 ^ 6 ^ do, y de la continuidad del integrando en la región 0 < t < +oo, 0 ó < S(),
segunda integral tiende para 6 —» +0 (según el teorema 1 del p. 4.2) a la integral
+00
f tmdt
J
o
a2 + t 2
l a LrP ^O p / m + l
2
V 2 '
m + l\
2 )
£
m2|a]1_m eos
Por la misma razón, la tercera integral (multiplicada por sen aS) tiende a cero para ti —+ +0
Así pues, en definitiva obtenemos I = 2r{m)o» ^ " a ^
112. Demostrar las fórmulas de Euler:
a) f tx 1eMms" cos(At sen a) dt = ^
o
eos ax;
+00
b) J tx^e~Mcosa sen (Xt sen a) dt = ^ senax, X > 0, x > ü,
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o
l Solución. Es fácil ver que en a) y b) los integrandos y sus derivadas respecto a o
son funciones continuas para 0 < í < +oo y |a| < |. Además, las integrales dadas
(denotémoslas mediante F(a) y $(«), respectivamente) convergen para |a| < | según e
criterio de comparación. Conformf al criterio de Weierstrass las integrales
+00
F'(a) = -A I txe~Mcosa sen (Xt sen a - a) dt,
o
+0O
$'(a) = A j txe~Mcosa eos (Ai sen a - a) dt
o
convergen uniformemente en todo segmento |a] ^ | - e, 0 < s < |. En efecto, la funciór
+00
t' ^ f e " 3 ' 5 ™ ' es mayorante para los integrandos en (1) y (2) y la integral f tze Aíscní
o
converge según el criterio de comparación. Por consiguiente, podemos derivar en (1) y (2)1
para |ar| < f .
Integrando (1) y (2) por partes (tomando f = u, c M cos" sen (Ai sen a - a)dt - dv,
x
t — u, e Aícos"cos(Aísentt - a)dt = dv, respectivamente) obtenemos el sistema de
ecuaciones diferenciales:
F'(a) = ~x$(a), $'(«) = xF(a).
Al resolver este sistema hallamos
l'Virniiild Inlfgiiil • I•- t imilor
Observando i i
^mdi* A, l\ son constantes y |r*| <
ͪͪ͑
67
͑͟
I>V
\ ÍXJ
wm
>
a x
t
m
i:
M
r(®)
A*
di
i j
o
C:
•V
l
<I>(Ü) = 0,
rfr)
Á (Hollr i le {3) determinamos las constantes: A — 0, B A c
Sustituyendo los valores de las constantes en (3) obtenemos
F\a) — A* cosa®,
*
A* sen ax,
<p(a) =
*
PH'icios
( *tl< ular las integrales siguientes con la ayuda de las integrales de Euler:
©
Y
I Al ti
dx.
+oc
48. / tgIxdx. 49. / (i +x5F dx.
0
0
• • i'ÉjMn
shax
5 2 . / chjSa: dx.
J^GTW-
n
o
o
,9 1 kmdo la fórmula de reducción, prolongar la función T a valores negativos del argumento
14 { onstruir un esbozo de la gráfica de la función beta.
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§ 5. Fórmula integral de Fourier
5.1. Representación de una función mediante su integral de Fourier
Teorema. Si una fundón f: ]-oo; oo[ • •> R es suave a trozos en cada segmento finito
¡tvt efe real y es absolutamente integrable en ]—oo, +oo[, entonces se verifica la fórmula
t
; lim
i
+00
f dX f m
0
cos A(f - a) d? = \ ( / ( x + 0) + /(x - 0)),
-oo
ít hini
+00
J
f(x (a(A) cos Xx -j- 6{A) sen Xx) dX,
o
\taitdi
+00
+00
D $
/ ( i ) cos Aí dí,
™oo
b( A)
/ { O sen Aí dí,
x G H.
00
Si / es una función continua, entonces | (f(x + 0) + /(a? - 0)) = /(a?); la fórmula
egral (1) adopta, pues, la forma
+oo
m
= ^ f d\
+00
[meosa(Í-«)¿e,
&DSLWXOR , ,QWHJUDOHV GHSHQGLHQWHV GHO SDLOLQHWUR
A efectos de simplificar la notación, si / es una función discontinua también suele escribir!
la fórmula (2). La integral (2) se denomina integral de Fourier de la función /.
Frecuentemente la fórmula (2) se escribe en variable compleja:
+co
+oo
J dX j f(OeX(x-()
-00 -oo
/(*) - ¿
\
di,
i2 = - 1 .
(3
La integral (3) se denomina integral compleja de Fourier de la fundón /.
5.2. Transformaciones de Fourier
Teorema. Para una función f: ]0, +oo[ —• R suave a trozos en cada segmento de ¡
semirrecta x > O y absolutamente integrable en JO, +oo[ se verifica
.— +00
— +00
I f(x)senXxdx,
o
f(x) = J^
_ +oo
í fs{X) senXxdX,
o
(;
+00
j /C(A) eos Ax dA.
o
fcW = v/f / /(x)cosAxdx,
o
(¡
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Las igualdades (1) se denominan transformación seno de Fourier de la función •
y las igualdades (2), transformación coseno. Las primeras fórmulas en (1) y (2) se denomina
transformación directa, y las segundas, transformación inversa,
•
'!
A partir de la fórmula (3) del p. 5.1 se deduce la transformación compleja de Fouriü
directa:
+00
/ ( A ) =hí f[s)e~iX'ds
-00
y la transformación compleja de Fourier inversa:
+oo
f(X)eiXxdX.
f(x) = -±=J
(4
-00
Ü Representar las funciones siguientes mediante una integral de Fourier:
1lió.
1 3 J.x>-+
f x ^ I| 10
si
si
|a;| < x >
|a;j > a
< Solución, La función dada satisface las condiciones del teorema del p.5.t y, por consiguiente, puede ser representada mediante una integral de Fourier. Es fácil ver que b(X) —
(pues, la función / es par) y
+CO
2 f
2 f
2
2 sen A
a(X) = — I f(x) eos Xx dx = — I eos Ax dx = —
7T J
7T A
TJ
T
§5. JYmnuIrt liHrgiéil de l'uiníri
Así pues,
I mi
2 I/' sen
. , A cmXxdX,
|ar) /-1.
m
KJ
A
a
I lay que señalar que en los puntos x ~ ± 1 de discontinuidad de la función / , su
de Fourier es igual, según la teoría, a
En efecto, debido a que
+00
+00
+ÜQ
sen A(1 - a:)
sen A(1 -f x)
sen A eos Xx
d X 4dX ?
dX
A
A^
A
o
o
o
rij'lli ando Ja fórmula de Dirichlet (v. ej.75) tenemos
l
í
i
-
*
*
»
i
.
*
t
i
/
T ^
1
_ r
.
•
.
_
^
_
K/:
+00
S e n ^ eos Xx dX =
A
r (sgn(l -f x)
2
x
sgn(l
o
donde se obtiene el resultado mencionado.
I 14* fi x i
sgn(x -a)
— sgn(x — / ? ) , / ? > ce.
4 Ntilirción. Dado que
m
0
1
2
1
O
si
si
si
si
si
x < a,
x ^ a,
a < x < /?,
x ~
x>f3,
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MllMIU'es,
+00
f{x) eos Xx dx
a( X)
—00
+oo
—00
2
(sen X/3 — sen Aa),
7T A
sen Xxdx
2
(eos Aa - eos A/?).
XA
a
/(#) sen Ax dx
J»(A)
eos Xx dX
a
IW ron si guíente, la representación mediante la integral de Fourier es de la forma
+0C
2 f 1
/ (j-) - — I — ((sen Xf3 - sen Aa) eos Aa? -f (eos Aa - eos A/3) sen Xx) dX
o
+00
sen A(/3 - se) + sen X(x - ot)
dX,
A
H-^T
a
En este ejemplo el valor de la función / coincide con su integral de Fourier en todos
Inri puntos del eje real. •
115.
/: X
1
a1 +
x 1'
4 Solución. Si a ^ O, la función / es diferenciable y absolutamente integrable en el intervalo
'l 'X'/rouL/Vor-carisigúic^ce, pue'ae ser representada mediante una integral de Fourier.
Evidentemente, &(A) = O {en virtud del carácter par de la función f) v
L_!LOXOR , ,QWHJUDOHV GFSFLX,OFQ8
GHO SQLLPOLR
. ...
2 f cos(A«/,) dt
I
aw
,
...
2
cos Ax dx.
a(A) - - /
í = d i = -pr / — • /
. , í: m , a jé 0,
r
2
2
1
r
7r|a| J
1 •[• /
|«|
'
'
'
7r ./ a + an
u
(v. ej.84). Así pues, la fórmula integral de Fourier de la función dada es:
+00
-A|«|cos Xx dX,
116.
f:x>
a
0.
•
0.
a2 + x2
•4 Solución. La función / es diferenciable y no es absolutamente integrable en el inter
]-oo t +oo[; sin embargó, en dicho intervalo la función es integrable en el sentido de v
principal de Cauchy y puede ser representada mediante una integral de Fourier.
Es fácil ver que
+00
a(A) = 0,
b{ A)
2 f x sen Xx
dx.
7T J a2 + x2
Dicha integral converge uniformemente respecto al parámetro A Js A0 > 0 según
demostrado en el ej. 26: en el caso considerado,
tiende monótonamente a cero
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X
x —» +oo y 1/ sen Ai dt\ <
Por lo tanto, podemos calcularla (salvo el signo) deriva
o
la función considerada en el ejemplo anterior, es decir,
í 2 f COsXxdx\'
6(A)
u
+
A-
-Alai
-
Vemos, pues, que la integral de Fourier de la función x >—> ¿r-^? tiene la forma
--00
senAxdA,
117. /:
sen®
0
si
si
a / O.
•
|ar| ^ tc,
Ixí > tt.
Solución. Esta función es continua, suave a trozos y absolutamente integrable en todo
eje real. Además, la función es impar, entonces
a(A)=0,
+CC
JT
ser"r''
2 f
2 f
í
£J(A) — — / f(x) sen Xxdx — — / sen x sen Ax dx = < *
* J
XJ
l
1,
o
+00
Por consiguiente,/(x) = | /
o
sen Xx dX.
•
'
X 1
'
A = 1.
FórmuLt InlegrrtJ de l oin ln
. /: x »-+
71
a > U.
£i»|ih ¡ón. La función considerada e.n continua, dilereiu iahle en todos los puntos salvo el
plinto x ~ 0, y absolutamente integrable en todo el eje real. Por consiguiente, la función
•rjNirdr ser representada mediante la integral de l'ourier.
Debido a que la función / es par se tiene
ioo
I'
«•»
2 a
b(X) = 0T a(A) = - / e~ ax cosA#da; =
ir(a 2 + \2)'
o
t - .
• •*
•
« ; ••
Así pues, la representación buscada de la función dada mediante la integral de
ftmí itT es de la forma
+0O
r coste
^
=
'
7r y a 2 + A2
o
| 14). /: x ^ e~alx{ senpx, a > 0.
| tyoliu ión. No es difícil comprobar que dicha función es diferenciable en todos los puntos de!
+QO
ir.il y absolutamente integrable en ]-oo, +oo[ (pues,
senfix¡ <
y J
-oo
iiinverge). Por tanto, puede ser representada mediante una integral de Fourier.
Tomando en consideración el carácter impar de la función tenemos
-feo
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a(Á) = 0,
£>(A) — — ¡ e ax sen fíx sen Xx dx.
o
(=4*• |intentando luego el producto de los senos como una diferencia de los cosenos
i oírespondientes obtenemos
+00
+00
-ax
.
1 / —ax
ti(A) - / e~a* cas(fi - \)x dx - - / e
cos(/? + A }xdx
0
a
2
tt (a + Q3 - A)2)
a
tt{q:2 + 03 + A)2)
0
4apA
2
tt (a + (/? - A)2) (a 2 + (p + A)2)*
,
, , ,
Am pues, tenemos
+00
e a|11 senQx =
8614
AsenAa!dX
í —
TT j («2 + ( j 9 „ Xf) («2 + (J¡5 + A ) 2 ) .
o
a > 0
">U-
•
•
•• • I*'
120. / : ar s-+ e
.
4 Solución. La función considerada cumple todas las condiciones del teorema sobre la
representación de funciones mediante una integral de Fourier, entonces,
+00
f ^x2
1
a(A) — — f e
eos A xdx = —^e
n J
s/ñ
o
6(A) = 0
4
(v. ej.73),
(en virtud del carácter par de la función x
e
-x2
).
&DSoWXOR , QOqJUDOHϩ GHSHQGLHQWHV GHO SLLLtP OLR
Así pites, la representación mediante la integra! de I Vuu icr tiene la forma
H-oo
1 f
= —7= I e
V* J
o
e
4 cosAxdA.
•
1 2 1 . Representar la función / : i n e x, Q < x < +00, mediante una integral de Foui
prolongándola: a) de modo par; b) de modo impar.
< Solución. En el caso a) sustituyamos x por |x| en la expresión de la función /; en
caso b) consideraremos la función F: x
/(|x|)sgn x. Obviamente, si x > 0 las funcior
x h-+ e - ' 1 ' y f i i H e - ' 1 ' sgnx coinciden con la función dada; si x < 0 la primera es
prolongación par de la función /, y la segunda, la prolongación impar, o sea, $(— x) =
F(~x) = -F(x).
Dado que las funciones <1* y F satisfacen todas las condiciones para su represen tac id
mediante una integral de Fourier, aplicando las fórmulas correspondientes obtenemos
~
2
e 1 cos Xx dx = x(a2 + 1),
o
«,(*)=<>,
M a ) = °>
+00
bF{X)=2-f
2A
e~x senXxdx- = ——r——.
7T(A2 + 1)
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0
De este modo, en el primer caso
+00
2 f cosXx
.
y en el segundo,
F(x)
+CO
X sen Ax dX
A2 + 1 '
-l!1
H Para las funciones f que citamos a continuación hallar la transformación compleja
de Fourier directa:
1 2 2 . / : x ~ e " a N , a > 0.
Solución. Sustituyendo la función dada en la fórmula de transformación correspondiente!
•
(ver (3) del p. 5.2) obtenemos
+00
m
V2ñ J
—«|í|-»íA dt
V2x
J e altlcostXdt"00
Je'"1 sen t X dt =
-i-O0
-OO
= \ ~ Í e~atcostXdt
\ TT J
=
a
J - - + A2'
V TT a
a > 0.
•
§5. I'órntulii Inleurtil «la* I niulci
|3,1.
73
are - "'*', a > 0.
»
¡| Í m I m i J o u . At igual que en el ejemplo ¿interior hnJLimos
}
r
/(A)
%
n
+00
OO
/
f te~aW~itXdt=-^=
f Ur^
\Z2tt J
>/2?r J
-oo
C
1
cosíA di - -4= f
V2.1C J
00
¿e
te-"wsent\dt
sentXdt^-ñltt (A2 + a 2 ) 2 '
a > 0.
Si Mía lemas que la última integral puede ser obtenida mediante la derivación de la
)i!li<p,ml de Fourier del ejemplo anterior respecto al parámetro A (la derivación bajo el signo
+00
UtileraI es lícita en virtud de la convergencia uniforme de la integral f te~ai sen tX dt
o
Hnijin loa A). •
1 2 4 . f I aliar la transformación seno de Fourier directa de la función
/ : x i-+ {
3,
O,
O Ce
2 < x ^ 4,
4 < x < +oo.
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I Polución. La función / satisface las condiciones del teorema del p.5.2 y, por lo tanto,
iiilmilc la transformación seno de Fourier:
+oo
iA M
\l z I f(x)sen
o _
— \¡ ^ ( / sen X x dx + 3 / sen A# tfx
"o
| i (l - eos 2A + 3(cos 2A - eos 4A)) - j
+ 2 eos 2A - 3 eos 4A)
1 2 5 . Hallar la transformación coseno de Fourier directa de la función
/
l1
X'
^
e1-,
1<®<+oo.
4 Solución. La función / es suave a trozos en cualquier segmento del intervalo x > O y
absolutamente integrable en ]0, +oo[; por lo tanto, se le puede aplicar la transformación
•oseno de Fourien A partir de la primera fórmula de (1) (del p. 5.2) tenemos
L
o
0
2 / sen A
í V^T
1
eos A - 1
eos A - A sen A
2
+
A
A2 + l
&DSoWXOR , ,QWlJUDORV GHSHQGo HQ 8 N GHO SLLUWPHOUR
Ul Haciendo uso de transformaciones de Fourier resolver ION problemas difereneli
siguientes:
126
/
l
y
" + =
y(0) = 0,
0
< x < +o°'
y(+oo) = íf'(+oo) = 0,
!
w = const.
M Solución. Apliquemos a la ecuación la transformación seno de Fourier. Multiplique!
para ello los dos miembros de la ecuación por
sen Ax, e integrémosla respecto I
entre los límites 0 y +oo:
SG
RWv
J £ I y"(x) sen Ax dx + w1 ys (A) = <p„ (A).
^
o
Integrando luego por partes y teniendo en cuenta las condiciones de contd
obtenemos
+00
J y"(x) sen Xx dx = 7/(x)senAx¡p°° - A j y'(x) cosAxdx
o
+00
l+OO
= -A^?/(x)cosAx| +A
y(x) sen Ax dx^J = —A2^/
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Sustituyendo este valor en (1) y resolviendo la ecuación obtenida respecto a ys (A) hallan
y m MI
~ ^
A*.
Para reconstruir la función y apliquemos la transformación seno de Fourier inversa:
+00
y/l IJ -
y(x) = \/z
I . . 2 ^ 2 sen A x tí A.
•
o
127
/ y"+v2y = <p(x)> o < x < +oo,
" \
y'(0) = 0,
y{+oó) = y'(+oo) = 0,
w = const.
•4 Solución. Hagamos uso de la transformación coseno de Fourier. Para ello multipliquen
los dos miembros de la ecuación por y ^ c o s X x e integremos respecto a x entre
límites O y +oo:
+00
(x)cos Ax dx + w2yc(X) = <pc(A).
o
Teniendo en cuenta las condiciones de contorno obtenemos
+oo
4-00
f y"(x) cos Ax dx = ,<(x)cos Ax|0+» + A / „'(x) sen Ax *
=
-*f-yáX).
l ónmihi i n i c i a l de IniMler
A partir do (I) aná lógame ule ni ejemplo iinlerinr u-sutl,
«tía»
L
. r , ( AA)
nplii .u ion a la función yc de la transformación de Fourier inversa nos proporcion
IhIim ion del problema en cuestión:
+00
tx)
o
A2
eos A x dX
tyenici ios
ll.tllai la transformación seno de Fourier directa de las funciones siguientes:
í i, 0 ( 1 ^ 1 ,
/ cosx, O^ar^Tr,
C£ *
f j i > \ 0 l
l < x < +00. 5 6
O,
* < » < +R•x W U
x,
O ^ x ^ 1,
f sena;, O < x < 2tt7
O,
1 < * < 2,
58.
/
:
x
h
>
Xt f r
2tt < x < +00.
.y
l
o,
2 < x < +oo.
M,illar la transformación coseno de Fourier directa de las funciones siguientes:
f 1, O ^ X ^ ÍT,
f arT O ^ x ^ 1,
£fl
HV. /. :ií"-> \ ü> TT < a; < +oo.
= ,1P/
arcsen(senar)j O ^ x ^ ir,
M /: x ^
7T < X < +00*
O,
ft7 I l.illar la transformación compleja de Fourier directa de las derivadas / ' , / " si
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lim f(x) — lim f(x) — 0.
£^±00
£—•±00
M I llilizando la transformación compleja de Fourier resolver el problema diferencial siguiente:
y" + 3y + y - <p(x), -oo < x < +oo,
y(±oo) = j/(±oo) = 0.
Capítulo 2
Integrales múltiples y curvilíneas
§1. Integral de Riemann extendida a un compacto.
Transformación de integrales múltiples en
integrales reiteradas y su cálculo
1.1. Medida de un paralelepípedo m-dimensional
Sea R m un espacio euclídeo donde está definido un conjunto de vectores y j
j — 1 ,m. Sea J un paralelepípedo ro-dimensional construido a partir de estos vectore
por su medida (volumen) f i j = \J\ se sobrentiende la expresión
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di
I J\ = v' r (yi I y2,--- > y m ) J
donde
r{yi,yz,---,ym) =
(yi,yi) (yi.yz)
<yuy.n)
(y2,yi)
(yz, y2>
{yz.ym)
(ym,yi) (ym,yi)
<ym,ym)
(21
es el determinante de Gram de dichos vectores. Sea yj — (bj — aj) eJt j = 1, ni, donde ei
son los versores de la base estándar del espacio R'", cuya j-ésima coordenada es igual
a la unidad y todas las demás coordenadas son ceros. Se llama barra
m-dimensionaí
al paralelepípedo J = [«i,í»i] x [a2,b->\ x . . . x [am,bm]. Sus aristas son, evidentemente/]
mutuamente perpendiculares. Para el producto escalar {yj,y¡t) se tiene
<y¿>yk)
{
o
si
2
si
(b¿ - aj)
j,
k = j,
entonces la igualdad (1) adopta la forma
1 3 \ = j i
(3)1
Aparte de las barras J , se consideran también las barras abiertas J = laj, bj [ x
]a2, h2[ x . . . x ]am,bm[ y las barras semiabiertas J = [ai, &i[ x [a2, b2[ x .. • x [am, bm [,
J — ]ai, &i] x ]a 2 ,6 2 ] x • • • x ]«m, bm]. En cada caso se supone que ¡ij — \ J\ = \J\.
Si dividimos toda arista
j = 1 ,m, de la barra |J"| en nj partes meJ)
diante puntos Xq' = üj < x\ < ... < xilj = bj y trazamos a través de éstos los
tj l. Integral de Klematm e x a u d i d a n un comparto
ft||u*i planos xj — x*¿\ k =
77
entónete obtenemos l.i llamada partición reticular
.m , , , — J
H ^ I*/1>1'/2j - • - n7 U } ( n —
• • • w?m) de líi ha mi J en barras (celdas) elementales J i ,
IComo celdas se puede tomar no sólo las barras cerradas J\t sino también las
¡4Hí i.ifi abiertas J i .
__
Si II es una partición reticular de la barra J , entonces
|G
{G
í=I
¿-i
Sea f : J —> IR una función acotada en la barra m-dimensional J y sea H —
*
I, u} una partición reticular de la barra J en celdas cuyas medidas son sus
viikmienes euclídeos \Jj\- Denotemos
Mi - sup { / ( x ) } ,
xeji
m ¿ = inf { / ( x ) }
(5)
y un i.4 id eraremos las sumas
n
n
Sn(f) = Y , M
i=l
^
&(/)
=
W
i=1
i ji i<1 se denominan, respectivamente, suma integral superior e inferior de la función /
turrespondientes a la partición reticular II de la barra J .
Sea {11} el conjunto de todas las particiones reticulares posibles de la barra J en
irld.is Ji. Los números
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m
J
í f dx = inf {Su(f)}t
m
f f d x = sup { & ( / ) }
{nj
(7)
uvihen el nombre, respectivamente, de integral superior e inferior de Riemann de la
función / en la barra J\
Definición* Una función / se denomina integrable según Riemann en la barra J ,
ni se cumple la igualdad
f dx = J
fdx,
I I valor común para las integrales superior e inferior recibe el nombre
Riemann m-múltiple de dicha función en la barra J y se denota mediante
/(x)dx = J
-
J
-
J
(9)
El conjunto de todas las funciones / integrables según Riemann en la barra 3 se
designará con R(J).
Teorema (criterio de integrabilidad). Para que una función acotada f : J
—sea
integrable en la barra J es condición necesaria y suficiente que Ve > 0 exista una partición
tviicular II de dicha barra tal que 0 ^ Sii(f) - Sn{f) < e*
Abreviadamente, el criterio de integrabilidad de la función / se escribe como sigue:
{ I J Rm)
& Ne > o a n : o ^V u ( f ) - V P )
<e).
&DSoWXOR ,QWHJUDOHV PtOWLSOHV \ FXUYLOoQHDV
1.2. Integral de Kieinann como límite de sumas integrales
Sea II = {J¡; i = 1,7t) una partición reticular arbitraria de la barra J. Por diámetro
d(Ji) de la celda J , se sobreentiende el supremo del conjunto de todas las distancias entre
sus puntos. Designemos d(ll) = máx d(Ji).
Consideraremos una función acotada f : J —• K y formaremos para ella la suma:
integral siguiente:
n
Sn(/) = ^ / ( í ¿ ) l ^ | ,
(1)
i=i
lim S n {/) =* I, si,
d( n)—*o
Ve > 0 3 6 > 0 tal que para cualquier partición reticular II de la barra J que satisfaga
rf(II) < 6, se verifica la desigualdad
donde
G J¡,
i = 1 ,n, son puntos arbitrarios. Se dice que
|W)-/|<*-
(2)
Teorema. Si: 1) 3 lim Su(f) = I para tí(ü) —* 0, entonces f G R(J) y, además,
I f(x)dx = I.
J
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2) / G R(J), entonces 3 lim Su(f) = f f(x)dx.
</{¡l)-0
~
Este teorema proporciona dos definiciones equivalentes de la integral de Riemann
en una barra.
1.3. Medida de Lebesgue cero y medida de Jordán cero
Definición 1. Un conjunto E de puntos del espacio euclídeo IR1" tiene medida
cero de Lebesgue, si Ve > 0 existe un recubrimiento numerable W — {Jy, j G N} de este
conjunto mediante las barras J j (un recubrimiento numerable W = { J j : j G N} mediante
las barras abiertas Jj) de medidas fcjj = ftjj = \Jj\ tal que
YL foi <
00
i=i
w
Definición 2. Un conjunto E de puntos del espacio euclídeo R m tiene medida cero
dejordan, si Ve > 0 existe un recubrimiento finito W = { J j ; j = 1 , ra} [W — {Jj; j — 1, n})
de este conjunto mediante las barras J j (mediante las barras abiertas Jj) de medidas ¡Jj |
tal que
¿ | Jj\<e.
(2)
i=i
De la definición 2 se deduce que todo conjunto de medida cero de Jordán tiene
medida cero de Lebesgue.
Teorema (de Lebesgue). Sea f : J + R una función acotada en la barra J y A C J
<l" ««<= m/nfíx; de discontinuidad. La función f es integrable en la barra J si y
§ i. Integral de Kienuiitn rtlemlidri <i un comparto
7(J
I .4. Integrales de funcionen extendida* *t ton junto* de puntos arbitrarios del
espacio cuclídeo R MI
Definición 1. Sea E C R m y A ) /'A La función
M
í 1 si
~ \ tí si
A
• R, donde
x € /'A
x£A\E,
km denomina/wicíott característica del conjunto E.
Definición 2. Sea B C ~J C K m , donde J es una barra arbitraria y f:~J
IHiii I unción acotada. Por definición
/(x) dx d¿f J f(x)xE(x)dxí
B
es
(1)
J
il / V,, f- R { J ) < y s e escribe / G5 ( Definición 3. Sea E C !Rm, / :
una función acotada y J D( una barra
ridiihiuia. Prolonguemos la función / al conjunto-?(
de modo que la función resultante
V J > IR. sea
*
*{X)
0
x€j\E.
si
hl /-' ( R(J), entonces por definición
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j
/ ( x ) dx =
F(x) dx.
(2)
E
Definición 4. Un conjunto acotado( de puntos del espacio euclídeo R con una
fiunleni de medida cero de Lebesgue se denomina conjunto medible según Jordán, y la
Medial
IL(
— I dx
(3)
E
rerihe el nombre de volumen m-dimensional del conjunto (
La intersección(?U?( y la unión(M U( de dos conjuntos de Jordán(? y( es
l.imhien un conjunto de Jordán. Si la intersección de(ϕ y( es el conjunto vacío, se tiene
fi(Ex UEz)^
¡iEx + fiE2.
(4)
El complemento E \* de un conjunto de Jordán* hasta el conjunto de Jordán
K ) G es un conjunto de Jordán y
ϕO^( ?*
= fiE - IL*
(5)
1.5. Propiedades fundamentales de la integral de Riemann extendida
a un compacto
Sea K un compacto en el espacio euclídeo Rm y sea f:K-*R
una función
egrabie en este compacto. Entonces:
f a nn mmnacto Ki C K es integrable en K\;
.*•%
4
,
«
4
/
J
|
/
*
+2
&QSLOXOR ,QWHJUDOHV PtOWLSORV \ FXUYLOoQHDV
2) si K — K\ u Ki, donde K\ y K2 son compílelos sin puntos inferiores común
entonces
j f(x)dx = J }(x)dx + j
K
K,
f(x)dx
A',
(propiedad de aditividad);
3) si fi G R(K), f2 G R(K), a,/? G M, entonces (a/j + {íj2) G R(K) y
/<(«/i + 0/tX*) dx~aj
fi(x)dx + P J f2(x) dx
K
A'
K
(propiedad lineal);
4) si fi G R(K) y f2 G R(K), entonces hh € «(A');
5) si /i G R{K) A /2 G jR(íT) y /i(x) -.í /2(x) Vx G K, entonces
I fi (x) dx í;; j
K
k
6) si / G
f2(x)dx;
(3
entonces |/| G R(iT) y, además,
(4
jr
ir
7) si / e J2(JT), Í G ÍZ(ÍT) A </(x) ^ 0 (g(x)
0) Vx € fiT, m = inf{/(x)},
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x€K
M = sup{/(x)}, entonces existe un / i £ l tal que m -< ^ < M y vale la fórmula
[噉L&
J f(x)g(x)dx = ii J
(5)
g(x)dx.
Si, además, / G Cfií"), entonces existe un punto £ G -K" tal que
/
/(x)í(x)dx = /(4) / <?(x)dx
if
if
(teorema del valor medio).
1.6. Reducción de integrales múltiples a integrales reiteradas
El siguiente teorema proporciona un método de cálculo de integrales múltiples por
integración unidimensional reiterada.
Teorema (de Fubini). Sean J ] C R", J i C Mm barras en espacios eiiclídeos y sea
f: 3 -> M, J = J\ x J2, una función integrable en J . Designemos
¥><*) = J f(x, y) dy,
4<(x) = J f(x, y) dy,
x £ j v
Las funciones <p y ip son integrables en la baña J\ y, además, son válidas las igualdades
J /(*, y) dx dy = j ip(x) dx - J i>(x)dx,
3
J,
7,
donde f f(x,y) dx dy es la integral de Riemann de la función f en la barra J .
(1)
$ 1. Integral de Klenuimi enUMidldj a un compacto
81
<p(x)dx,
t
Las integrales j
j tff[x)dh Mr dnuuniiuin integrales reiterada* de la f
J\
3,
f . Asimismo se verifican las Igualdades
J
f(x,y)dxdy^
( J Η (x,y) dx)dy = j
j
[ J f{x, y) dx) dy,
(2)
i'ti Lis cuales las integrales se denominan integrales reiteradas tomadas en orden inverso al
las integrales reiteradas (1),
Corolario 1* Si una función y
/{x, y) es integrable en la barra J2, y se cumplen
hiu condiciones del teorema de Fubini, entonces
j /(x,y)dxdy = J
( J
-Y
Si, además, la función x —> /(x,y)
]
es integrable en la barra J\t entonces
J /(x, y) dx dy — J
(f
/(x, y) dy) dx = J
(j
L
-
1
?
/(x, y) dy) dx,
/(x,y)dx)dy,
t) tu'ii, las integrales reiteradas tomadas en orden inverso respecto uno a otro son iguales entre
ni, 1/ cada una de ellas es igual a la integral múltiple de la función f en la barra J = J\ x J2.
Y.u particular, la fórmula (4) es válida para f G C(J).
Corolario 2, Sea una función f-.J—^R
integrable en la barra J — [a^&Jx
x
" ,s ^J • - ^l^nn bm], así como en cada una de las barras J\ = [ai, 61] x [a2, b2] x • • - *
x 1^2, b ] y en los
m-3?
3]/ " - / 3m-3 =
2
arómenlos [flj, fy], j — 2 , m . Aplicando m — 1 veces el teorema de Fubini obtenemos la
Igualdad
&2
&7/I
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»>>,••
\
/ (x) dx j
/ dxi / dx2 —
«1
«2
/ /(x a , x 2 , , . . , x m ) dxm
o
(5)
ra
ifuc permite calcular una integral múltiple extendida a la barra J mediante integración
irilerada* Todas las variables salvo la variable respecto a la cual se efectúa la integración se
titnsideran fijas.
m
1.7. Algunos casos particulares de la integral de Riemann extendida
a un compacto
Examinemos dos casos importantes.
1* Sea R
j T C E un compacto con frontera OK > El conjunto OK de puntos de la
Irontera del compacto K es una curva suave o suave a trozos de clase C1, por lo tanto
liene medida cero de Lebesgue y, consiguientemente, es medible según Jordán.
Si /• K
IR es una función integrable según Riemann en el conjunto K, la integral
f (x) dx
r r
&DSoWXOR 2. OQ OlJUDORV PtOWLSOHV \ ULLUY,+QUL1
se denomina integral doble y se designa mediante
J J f(x, y) dx dy.
K
Supongamos que K es un conjunto convexo a lo largo del eje Oy, es decir, pue
ser representado en la forma
K = {(x,y) € K2: a^x^b,
y^x) ^y^
y2(x)},
(
donde yi, y-¿ son funciones suaves a trozos. Según la definición 3 del p. 1.4 y el corolario
del teorema de Fubini obtenemos la igualdad siguiente (supuesta existente la integ
interior)
y2(x)
b
J J f(x, y) dx dy = J
rG
dx J
ˆ
(
f(x, y) dy
sh(x)
que permite calcular la integral doble mediante integración reiterada.
Si el conjunto K es convexo en la dirección del eje Ox, o sea, puede ser representa
en la forma
K = {(x, y) E IR2: c < y < d, x^y)
x ^ x2(?/)},
donde X,, x2 son funciones suaves a trozos y, además, existe la integral
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z-Ay)
J
f{x,y)dx,
entonces la integral doble se calcula mediante integración reiterada del modo siguiente: •'•
d
x¡{y)
J J f(x,y)dxdy=
j dy j
K
c
f(x,y)dx.
*,(»)
Si el conjunto K es convexo y se cumplen las condiciones del corolario 2 del teore
de Fubini, entonces las igualdades (3) y (5) se verifican simultáneamente:
b
J J f(x,y)dxdy-
J
K
a
y2(x)
dx J
f(x,y)dy
y¡(x)
d
= J
c
x2(y)
dy J
f{x,y)dx.
x,(y)
2. Sea K C K 3 un compacto cuya frontera dK es una superficie suave o suave
trozos de clase C 1 . Para una función /: K
M integrable en el compacto K la integral
Riemann
/
f(x) dx
K
se denomina integral triple de la función / y se denota mediante
I I I f(x,y,z)dxdy
dz.
^ I. Integral de Ktauuimi mlcnil lila a un compacto
H[\
ik A,
y > yj2(x), Z\(x,y) ^ z ^
z2(x}y)},
Sea K - {{x,y7z) £ JK:í: a
lliHíilr y\, y2, zi, zz son funciones simví'H o mmvon n Irozos» Supongamos que exista la
Ítil<Wi.il doble
f(x) y> z) dy dz Vx £ [a, 6].
$rrt<nnvs, aplicando el teorema de Fubini obtenemos
///
f(x, y,z)dxdydz
-
K
dx
O
MI, ih Irmas, V(x,y) £ {(#,?/) E M2: a^x
i
f(xty7z)dydz.
Z/lW^jf^ía:)
y\{x) Ky ^ 2/2(#)} existe
z) dz,
Z\(x,y)
Hhlonres según el corolario 2 del teorema de Fubini tenemos la igualdad
yz{x) zi{x}y)
///
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f(x7y¡z)dxdydz=
¡dx
l dy
¡ f(x1 y, z)dz.
(8)
Si el compacto K no es convexo, pero puede ser representado como una unión de
un (junios convexos sin puntos interiores comunes, entonces utilizamos la propiedad de
mlMjvidad de las integrales múltiples y representamos la integral inicial como una suma de
Inórales extendidas a dichos conjuntos que se calculan mediante integración reiterada.
1.8. Cambio de variables en la integral de Riemann
Teorema. Sean O y O1 regiones convexas de un espacio euclídeo Rm con una base
¡íjif, K C O un compacto con frontera OK (una hipersuperficie de dimensión m - 1 de
t hru- (.•1), y sea £ un difeomorfismo de clase C 1 de O* en O. Para una función f:K—> M
j imtinua en el compacto K se tiene la fórmula del cambio de variables en la integral
w múltiple de Riemann:
f(x)dx =
K
J /(£(t)) |det£'(t)| dt,
(1)
Kr
donde K1 =
y £'(t) es la matriz de Ostrogradski—Jacobi de la aplicación £ (la matriz
de la derivada total de la aplicación £)•
El determinante de la matriz de Ostrogradski—Jacobi
se denomina jacobiano
v
denota mediante
ti'j
(j{t), entonces
• Dado que al cambiar de variable x - £(t) se obtiene
= ^(ft'^ii
/(x) dx
K
Y l a fórmula (1) adopta la forma
X>(a?i^
— > %m)
tm)
V(ti, t2)...,
dt,
&DSoWXOR ,QWHJUDOHV PtOWLSOHV \ FXUYLOoQHDV
Si: l) í : (/|, ¿2)
y) es un difeomorfismo de clase C'1 del espacio M2 en
2) D es una región en el plano xOy medible segün Jordán en cuya adherencia D 4
definida una función continua /; 3) D es la imagen bajo la aplicación £ de una región
del plano t\Oft2 medible según Jordán, entonces conforme a la fórmula (2) se tiene
J j f(x,y)dxdy
= j j f(U*M
feífi.fe»
D(x,y)
V(h,t2)
dt\ dti-
En particular, si p: (p, tp) —> (x,y) es una aplicación de R 2 —> M2 definida media
las igualdades
x = pcos<p,
y — psen(p
que se denominan fórmulas del paso a coordenadas polares, entonces
J j f(x, y) dx dy = I j f(p eos <p, p sen <p)p dp dtp,
n
puesto que
D'
— p- Señalemos que en las fórmulas (3), (5) en vez de las regiones
y D' se puede tomar sus adherencias D y d', pues las fronteras de dichas regiones tíei
volúmenes bidimensionales cero.
Al cambiar de variables en las integrales dobles se pasa frecuentemente de cooí
nadas cartesianas a coordenadas polares generalizadas mediante las fórmulas
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x = apeos" tp,
y = bpsenatp
(p > 0,
0 < tp < 2?r)
con el parámetro a elegido apropiadamente. En este caso,
V(p,ip) = abapsen"y
1
a l
rtpcos ~ <p.
y
Sea p: (p. 0, tp) -+ (a;, y, z) una aplicación de E 3 —* K 3 definida mediante el sistei
x — p sen 9 eos tp, y — p senOsen tp, z = pco$6,
(p^O, O ^ e ^ v , 0 < p < 2w),
que se denomina fórmulas del paso a coordenadas esféricas.
Supongamos que en el espacio de variables x, y, z está dada una región O medil
según Jos dan que es la imagen bajo la aplicación p de una región O' medible según Jord
definida en el espacio de variables p, 0, tp. Sea / una función continua definida en
adherencia O. Cambiando de variables en la integral
///<
(x,y,z)dxdy
dz
según las fórmulas (7) y tomando en consideración que ¡'^'¡¡—j = p2 sen 9 obtenemos
•JJJ
o
ñ%, V, 2) dx dy dz ~
-
f (p sen 0 eos tp, p sen 0 sen tp, p eos 0) p2 sen 0 dp dd dtp.
(
§ ]. Integral de Kleitutnn i»«lt»mllda <1 un compacto
A veces, en lugar del sistema (7) nv connklent el t i e r n a
x = ap sen" 0 coj/' <p} y
( P 2 07
bp nen" 0 w i /
0
z - - cp eos'* 0,
27T),
|ÜM ne denomina fórmulas del paso a coordenadas esféricas generalizadas. En este caso se
mw
"
a
b
c
a
p
p
2
c
o
s
1
" ~
*
s
e
n
2
*
_
1
6
s
e
n
' i _ 1
^
^
1
(
1
0
)
Asimismo, para el cálculo de las integrales triples conviene pasar de las coordenadas
¿áHeiiíanas x, y, z a las coordenadas cilindricas p, <p, z mediante las fórmulas
x — pcos<p}
y = pszntp,
z = z (p > 0, 0 < (p < 2n)
i líirn a coordenadas cilindricas generalizadas
x = apeos a <p> y = bpsen* tp,
z — z {p > G? 0 <
< 2n)
(12)
j
Hiii el parámetro a elegido apropiadamente. En el último caso se tiene
ábapserx «-i (p eos«-i
V{p, <p, z)
(13)
A veces, calculando integrales ra-múltiples de Riemann resulta ser útil pasar de
MU mimadas cartesianas a las esféricas en el espacio M!n mediante las fórmulas
xi—p sen (pi sen y?2... sen <pm-1,
771—1
Xj - pcos<pj-i n sen^í, j - 2, m - 1,
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xm=p
(p> 0,
(14)
CÚS (pm-U
0 < <pi < 2tt,
0<
< TT para j = 2, m - l ) .
(ti jmobiano de dicha transformación de coordenadas definida por el sistema (14) tiene la
fhimu
rn-l
V(xUX2l...,Xm)
I*
=
m-l
TT
Hallar la integral J J xy dx dy calculándola como límite de las sumas integrales
ni efectuar la partición reticular del cuadrado D = [0,1] x [0,1] en celdas cuadradas de
tildo —. Tomar por los puntos & los vértices derechos de las celdas.
*
9
Nnl ución* La región de integración se parte en celdas mediante las rectas x = -t y — ¿
(<,;/ - l , n - 1); el valor de la función f(x,y) = xy, {x,y) € Dt en el vértice derecho
de toda celda es igual a
— 1, n). Evidentemente, d(II) —> 0 para n —y oo. Por
mnsiguiente,
n
n
2y
Ь
o^.
m
A
A
A
A
A
A
¿=1
J=1
]
.i|muih) /. integrales múltiples y ciirvlWntMH
2.
I'ara la (unción f(x,y) -- «- -I-y2, (x,y) G O, D
|l,2| x |l,3], formar las suí
integrales inferior Sn(f) y superior Sn(f) partiendo c( rectángulo I) en celdas por ¡
rectas x — 1 +
y — 1 + ^ (i,j~ 1, n). ¿A qué son iguales los límites de estas sur
para n —+ oo?
•4 Solución. Las celdas de la partición ü son rectángulos de lados ~ y - ; por consiguie
el área de cada celda es -K. Consideraremos la celda
+ L+l)\
Jij - {(a;, v) G R 2 : 1 + Í < x < l + Í ± i ,
n
n
n
n
J"
Como f(x, y) es el cuadrado de la distancia entre el punto (x, y) € Jij y el origen 1
coordenadas, entonces
luego
Q O ! O
!=0 j=0
n-l n-l
= C
/
8=0
j=0
n
n
)
40
3
11
n
5
3 n 2'
Pasando al límite hallamos
1
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lim Sn(f) = lim Sn(f) = 13
3.
¿Qué signo tiene la integral
aresenfa; 4- y) dx dy?
Solución. Representemos dicha integral I en la forma
I = J J
aresen (a; + y) dx dy + J J
arcsen(x + y) dx dy = h + h-
Es tíbvio que h > 0. Analicemos, pues, la integral I\. En los pimtos del cuadrado
D — [0,1] x [—1,0] simétricos respecto a la diagonal y — -x, ios valores de la funcióri
f{ x >y) — arcsen(x + y) se diferencian sólo en signo. Por ello, para cualquier partición
del conjunto D en celdas (cuadrados J¡), en cada par de celdas simétrica.3 respecto a lál
diagonal, existen puntos (£¿,??¿), (|¿,í/J) tales que /(&, J7¿) + /(£,%') = 0. Consideraremos!
una partición reticular II — {J¡; i = í,n} tal que la suma de las áreas de las celdas cuya i
unión U Ji; contiene la diagonal del cuadrado D, sea menor de cualquier e > 0. Entonces,
k
para los puntos (i¡ ; r¡;),
rj¡) fijados de modo descrito arriba y para una elección arbitraria
de los puntos (&, fjk) £ ~Jk, la suma integral Sn(f) será
S'n(/)ífeMJtl-
tj !. Integral de Kleimiim eHlcmt¡d*i XQ compacto
Hrm
:
- iW, entonces Negamos ti ln efíllnnitióu
t+.ti)* i>
-S'ii(/)| * Mr,
ití' U i h le resulta que I\ =
lim S¡\(f) — 0. Así pues, / > 0.
</(MM)
Nótese que para resolver este problema se utilizó el hecho de que la integra! de
fth<ni<inn de una función integrable / no depende del modo de elegir los puntos (&, //») n
film liipir una partición reticular del cuadrado £>. •
4»
Empleando el teorema del valor medio estimar la integral
j_
,
dxdy
100 + eos2 x -f- eos2 y'
H+I^Kio
Nnhición. El área de la región de integración es igual a 200. Según la fórmula (6) del p. 1.5
Iriiemos
1
= i nn -O JSl ¿ x
„'
100 + COS { + COSz 7]
ti^Z^
z:
D = {{x,y)£R
K
|®| + |j,| < !
}
Iniu,indo en consideración las desigualdades 100 < 100 + eos £ + eos r¡ < 102 obtenemos
hi 4-siimación 1,96 < / < 2.
•
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Reducir la integral doble I = j j f(x, y) dx dy a una integral reiterada si: a) D es un
5.
k
11 iángulo cerrado con vértices 0(0,0), Á{2,1), B(-2,1); b) D = {(x,y) G IR2: x2 + y2 ^ y } ;
r) D es un compacto de frontera OD definido por la ecuación (x — y)2 + x2 = a2, a > 0.
polución, a) Supongamos que en la integral reiterada la integración exterior se efectúa
n'specto a la variable x, entonces hay que representar la región de integración en
l.i forma D - Di U Dlt donde Di e IR2: -2 ^ x ^ 0,
^ y ^ l } , D2 -((a;, y) G R 2 : 0 ^ x < 2 ) f ^ y ^ l } . Utilicemos luego la propiedad de aditividad de la
integral doble y la fórmula (3) del p. 1.7. Tenemos
I
IJ
kG
f(x,y)dxdy
= J J f(x,y)dxdy
+ J f
kUG
X
Y
G
f(x,y)dxdy
WG
XG
YG
XG
da / /(a?,»)dj/+ / da? / /(a?, y) di/.
:r
o
n
a:
Si la integración exterior se realiza respecto a la variable y, entonces con la ayuda de la
fórmula (5) del p. 1-7 se consigue
1
2y
1= J
dy j
0
-2y
f(x,y)dx.
&DSoWXOR ,QWHJUDOHV PtOWLSOHϩ \ L L L L Y o I o L X P Q
b) Representemos el compacto D del modo siguiente:
D
y <
x2
= {(»,») € K2: o < y s: 1, ~^y-y2
y/y - y*
Vemos, pues, que para la reducción de la integral doble a integrales reiteradas podem
emplear las fórmulas (3) y (5) del p. 1.7. Tenemos
f y - T
1= J
dx
J f(x,y)dy
= J
dy
J
f(x,y)dx.
-jv^tf
0
c} Después de un análisis sencillo nos cercioramos de que el compacto D es
conjunto convexo en ambas direcciones, es decir, en las de los ejes de abscisa y de ordenad
Su representación es la siguiente:
D — |(x, y) e R 2 : -a ^ x < a, x - y/ a2 - x2 < y < x + V a2 = { < * , , ) 6 K2:
«V5,
—
<x *
j.
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Según las fórmulas (3) y (5) del p. 1.7 tenemos
. r5—i
3Í+vil—x
a
I = J dx
Et
— 2—
fc bV2
j f{x,y)dy
= j
j
f(x,y)dx.
- J dy j f(x,y)dx,
a > 0.
dy
I-Va'-i'
6.
Demostrar la fórmula de Dirichlet
a
x
a
J dx J f(x,y)dy
0
0
a
y
0
Solución. Supongamos que las integrales reiteradas cuya igualdad debe ser demostrada
existan, es decir, supongamos, por ejemplo, que la función f es continua en el conjunto
D ---- {(x,jí) 6 R 2 : 0 ^ x < a, 0 < y ^ x} - {{x,y) G i r : 0 < y
a, y < x ^ a}
o bien está acotada en D y tiene discontinuidades sólo en un número finito de curvas
suaves.
Consideraremos la función F: Z?j —> R, D, = |0, «| x |0, a], siendo
„\ _ / f(xp>V)
si
si
(x,y) £ D,
l'.ini la función F existen las integrales reiteradas
"
n
I dx I l>'(x,y) dy,
a
h=
a
j dy j F{x,y) dx.
§ I. Integral de Uieitirtim eiftomllrift
mi compacto
fifi» 1 uemos una partición U del ciimlnulo t)\ ni roldas (rectiíngulos J i j (¿
I,?*;
r), tomemos un punto arbitrarlo
( J ¡ ¿ y formemos luego Jas sumas
Hiérales
n m
m n
S¡¡\F)
m,vj)\Jij\>
j-1
¿=1
í=1 1
ijohilr \Jij\ = Aa?¿ A^j. De la existencia de las integrales I\, I2 se deduce que Ve > 0
O
< £ A \I2 - S%\f)\ < e. Como S™ (F) = Sf," (*%
i* • 0: VnAd(II)<
\ h -5{í }
mHonres I\ = J 2 , Sea # € ]05 a[- Se tiene
X
a
y)dy +
Ffa V) dy
I
F
{
x
>
f(xty)dy.
I
o
F
Si p < |0, al, entonces se obtiene
a
y
J F{x,y)dx
o
o
x
'
D
D
f F(x9y)dy
=
(
+
F{x,y)dx
= J
f(x,y)dx.
y
y
I Imto ijue /1 = I2, eníonces
dx /
f{x,y)dy
dy
/ f(x,y)dx.
•
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| ( 'mnhiar el orden de integración en las integrales reiteradas:
\[?
fj
dx
2-x
4 Polución. Cuando y varía entre 0 y 1, la variable x
nvorre en la región de integración los valores entre 2-y
y I l i / l - y 2 , por lo tanto tenemos la integral reiterada
i+VÍ-sr1
8.
dx
dy
f(xt y) dx.
f{x>y)dy,
a > 0.
Fig.
Solución. Dividamos la región cerrada
D
\f2ax - x2 ^ y
Viax}
m tres regiones por un segmento de la recta y — a (fig. 1), Cambiando el orden de
integración obtenemos la suma de las integrales reiteradas
Y QSPLLQ LQWlJUDOHϩ LPLWOLS,I1 \ FXUYLOoQHDV
a
" Va''9
I I
(
0
2«
'Jo
I f(x,y)dx"jdy Jdy j
f(x,y)dx-¡
+
0
£
t
VHQ x
0
o
j,t
f(x,y)dx.
•
Í
9.
•* Solución. Haciendo uso de la propiedad de aditividad de la integral de Riemann
teniendo en cuenta que al cambiar el sentido de integración el signo de la integral tamb
cambia obtenemos
2ír
seni
J dx J
0
0
}{x,y)dy
jr
sena;
= J dx J
0
srau
2it
f(x,y)dy
+ J dx J
0
i!
f{x,y)dy
o
Jr
-
senz
2jt
0
= i ^ / f(X'y)dy~
0
0
tt
sen x
Cambiemos el orden de integración en cada una de las integrales que intervienen en
segundo miembro de la igualdad obtenida.
Cuando y varía entre 0 y 1, la variable x varía entre aresen y y ir - aresen
cuando y varía entre - 1 y 0, la variable x varía entre tt — aresen y y 2n + aresen y, entone
para la diferencia de las integrales obtenemos
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1
ir-aresen y
J dy
0
0
J f(x,y)dx
2(r+arcsenjf
- J dy
aresenj
—1
J f{x,y)dx.
•
ir arcseny
li En las integrales dobles I = j j f(x, y) dx dy pasar a las coordenadas polares
k
y ¡p y determinar los límites de integración:
10.
D = {(£, y) e M2: x2 + y2^ ax (a < 0)}.
4 Solución. Pasemos a coordenadas polares en la integral I mediante la fórmula (5) del p. 1.
'
. £
*
Vemos, pues, que "la variable tp varía entre los
límites
2 yy 2' y la variable p, entre 0
a eos <p. Tenemos
v
f
I ~ f
íicosp
d<P j f(pcostp,psen<p)pdp.
o
2
11.
D = {(x,y) € K 2 : -a < x ^ a, — < y ^ a } .
•
$ L Integral de KJemann e*leiulidfi <» nn rom paito
VI
r
Hfitiuióiu dividamos la región do íhlegrm ion drida mediante los segmentos y
x c
:
y > 0, (fig,2) en tres confiinlo.n: dou uegmenlus parabólicos D\
{{;«,'//) C JH1":
a7 ™ < y ^ x},
;r
>
D2
{(#,?/) ( llí'' :
J'i
é M2: — a ^ x ^ a ,
jti» integrales dobles se tiene
•
•V».
a
x - . t), Jr|
y ^ -x}
y un triángulo
y < a } , lío virtud de la propiedad de aditividad de
I
tu
Í
=
1
Ux,y)dxdy.
,
Dj
f>?-:
si:
r
fe.
H'
•A?V.
f.
V»
y
i u
•i
» v •
m
LЬ • v»
Fig, 2.
; r
www.fullengineeringbook.net
vv
ln />i la variable tp varía de 0 a
p varía de 0 a p — COS" jf.
P En D2 se tiene ^ ^ ^ ^ tt,
^ os^jp
Df obviamente,7 j4 <
eos2 fp
Pasando a coordenadas polares
nhlenemos
'
v
Ir
\
«
ir
/
s o n + J
3 ff
acosec y»
/ { p eos (pj p sen 9?)/)
eos
+
TT
p sen
írtS^
p dp +
¡(3
+
•
r
o
*
*
Bl Pasar a coordenadas polares en las integrales reiteradas que siguen considerando que
el integrando es una función continua en la región de integración:
12*
1
dx
f(xyy)dy.
l-x
4 Solución. La función / es continua en el segmento circular
n = {(»i30 € M2: 0 <
< 1, 1 - ar < y ^ v i
Capitulo 2.
,QWHJUDOHV oQtOOLSOFV y FLLoY I I I L X P P
entonces la integral reiterada / os igual a la integral doblo
J j
y) dx dy.
k
Al pasar a las coordenadas polares x = p eos tp, y = psexvp, para el conjunto D obtenemO
la representación
D = {(pM
€ E2: 0 ^ <p <
1
sen tp + eosIp^^1}'
o bien la representación
tp) € R*:
D =
1
35
ir
} < p ^ 1, aresen — - 4^ ^ V ^ 4
aresen
Para cada una de estas representaciones después de cambiar de variables en la integral I
obtendremos, respectivamente,
=J j
?
I
1
dtp
1
f(p eos tp, p sen tp)p dp —
^cosecl
0
j J
pdp
f(p eos tp, p sen tp) dtp
Ti
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2
13 .
/ = Jdx
xV5
J
f(Vx2
+
f)dy.
I Solución. A! igual que en el ejemplo anterior, la integral reiterada í puede ser representada
como una integra! doble de la función (x,y) —• f(y/x2 +y2), (x,y) £ D, D — {(a;,y) E
IH2:0 ^ x ^ 2, a; ^ y < xa/5}, extendida al compacto D.
Pasemos de coordenadas cartesianas a coordenadas polares y reduciremos la integral
doble a integrales reiteradas. Supongamos que la integración exterior se efectúa respecto a
la variable tp. Representando el conjunto D en la forma
D -- Up,tp)
V.
4
arctg Vi, O^p^
— )
eos tp i
obtenemos
arclj; -JÍ
pf(p)dp.
Supongamos ahora que al cambiar de variables en la
integral doble y al pasar, después, a la integral reiterada correspondiente, la integración exterior se efectúe respecto a la
variable p- Para ello, representemos el conjunto D en la forma
D = Dx U D z (%• 3), donde
Fig. 3.
Di-= {(P,<P) 6 R 2 : 0 ^ p < 2V2, ~ < tp ^ arctgV5},
§ I. Integral cíe KleiiMimG »*IeII<I« it un compacto
D2 -
2y/2
G
p
7 .
»
mven*^ - y? v arctg v ^ j .
Haciendo uso de la propiedad de nditividad de las integrales dobles leñemos
2/2
/
11 pf(p) dp dip -f j j pf(p)dpd<p = j
D2
arctg/2
pf(p) dp j
dip -f j
7
2V5
o
2V/5
o
14,
/ -- j j f(xyy)dxdy,
ardg/2
pf(p) dp J dtp
arceos
2\/3
pf(p)dp + j
(arctgV2-|) j
21/3
p ^arctgV2 — arceos—^ f{p) dp.
ly/l
donde la frontera OD del compacto D se describe implícita-
D
mente mediante la ecuación {x1 -f y1)2 — a2(x2 - y2),
x^O,
4 Solución. Tomando x = p eos(p, y = pscwp obtenemos la ecuación de la frontera OD
en la forma p — ay/cós2<p, —| < (p < J . Veamos el caso cuando después de cambiar de
variables y pasar a la integral reiterada correspondiente la integración exterior se efectúa
respecto a tp, Tenemos, obviamente,
j
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/
dip
f
f(p eos (p, p sen
d/3.
0
Sí representamos el compacto D en la forma
í
D — < (p,<p) E R2:0
1
^ p < a, --arccos^j
1
^ *P ^ ^arceos
2
podemos escribir la integral I del modo siguiente
«
I—
\ arceos^
/ pdp
0
I f(pcostp,psen(p)d<p.
•
—, ^ arceos¿
a -
15.
Invertir el orden de integración en la integral siguiente (p y <p son coordenadas
polares):
j a^/'ie.nlíp
d{P
o
I f(<P> P) dpi
o
a
>
Solución. La fig, 4 muestra la región de integración definida por las desigualdades
0 ^ p ^ a,
2 ^
2
1~ aresen P
^ —
* ~ -1 aresen P—.
^ ^
(p ^
7
a'2
2
az
W LLSoOXOR " ,QWHJUDOHV PtOWLSOHϩ \ L L L L Y I I o L L L P Q
= y1 aresen P
2
O
Fig. 4.
Al cambiar el orden de integración obtenemos la integral
»
o
1 -arcsrai
J dp
J
o2
f{<p, p)d(p.
•
I aresen 4
0
16.
El cuadrado D - {{a;, y) e R2: a < x < a + h, b<y<b
+ h},a>0,
b > 0, se
convierte en una región D' con la ayuda de las transformaciones u — y2x~1, v = s/xy.
Determinar la razón entre ambas áreas. ¿A qué equivale el límite de esta razón para h
0?
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Solución. Sean PD>, PD las áreas de las regiones D' y D, respectivamente. Como áreas de
las regiones abiertas D' y D se sobreentienden las medidas de Jordán de los conjuntos D'
y D o de sus adherencias. Según la fórmula del cambio de variable y conforme a la
definición de medida de Jordán tenemos
D(u, v) dxdy,
O'
D
D(x,y)
donde
Transformaremos la integral doble en la integral reiterada
a+/i
b+h
2
PD' — _ f / ÍC
-3/2, d'íC/"i 3/2,
ti üy _e(b
—
2 J
J •
5
2
+~(b*+...h)2 + b(b +~h)•+ (2b +• h)y/b(b
.— + h) )h —
(vftTí
+ /a)(vTfTi
+ \/6)^«(o + h)
Como PD — /¿2, se tiene
P^, = 6 b2 + (b + fe)2 + b{b + h) + (2b + h)y/b(b + h)
Pd
5 (Va + h + y a ) (VFTft + Vb) ^/«(a + /¿) '
Pasando al límite para h —* 0 hallamos
lim :Pd_
h~o PD
3/b\3¡2
2(0)
§ I. Integra! de Kii*manii i»*Umdlda a
pititín la mediante las ecuaciones s/x \ sjv
\/<i, x
tle variables según las fórmulas x •••• u eos4 v, y
lIlHi íulegral reiterada. La función / es continua.
í ó i i .
i
i
comparto
<)r>
mu le la 1 roí llera t)í) del compítelo D ost/i
II
D
ImIih
u
>
V 0 i<1 > 0), efectuar el eambu
'/¿sen'1?; y pasar de la integral doblo a
Para la aplicación dada se tiene
eos4 V
sen4 v
pfa y)
V(uyv)
—4u eos3 v sen v
4 u sen3 v cos v
4usen3 vcos 3 i?,
i!*«- donde resulta
I
».
> :
».
4 / / / (ra eos4 v, tí sen4 v)
sen v cos
du dv,
D'
niri t< lo D1 el compacto cuyos puntos interiores se aplican en el conjunto de todos los punios
interiores del compacto D.
Para reducir dicha integral doble a una integral reiterada, buscaremos los límites de
von.u ion de las variables u y v. Para la aplicación dada, la frontera del compacto definida
inri liante la ecuación \fx -f
— y/a se transforma en un segmento de recta u — «. Para
Im puntos (0, y) del segmento 0 < y ^ a del eje Oy tenemos v =
para los puntos (£>()),
II ;/' < a, pertenecientes al eje Ox, tenemos v = 0. De este modo obtenemos
a
7T
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f (í/ eos4 v, íí sen4 v) sen3 v eos31; dv
/ = 4 / udu
o
o
Comprobar que el cambio de variables siguiente
y=
y —
transforma el
2
In.iiigulo D = {(re,3/) G : 0 < x < 1, 0 < y ^ 1 - x) en el cuadrado D* = {($,77) G M2:
4 •Sol ución. Al origen de coordenadas del plano xOy le corresponde el conjunto de puntos
H
{(£,»/)
í = 0, 0 ^ 77 ^ l } . Para y - 1 - a; se tiene f = 1, 7/ - 1 - x, de
donde vemos que el conjunto 72 = {(#>2/) E l 2 : 0 ^ x < 1, y — 1 — x} se transforma
rn el conjunto 7J = {(£,??) E R 2 : í = 1, 0 ^ V ^ l } / y mientras que a; crece desde í)
1.1 sin 1 la variable r¡ decrece desde 1 hasta 0. De manera completamente análoga, vemos
|nc el conjunto 73 —
€ K 2 : # — 0, 0 < y ^ l } se transforma en el conjunto
h ^ {(ítV) € K 2 : 0 < f ^ 1, 71 = 1 } , y el conjunto 74 = {(xyy) G E 2 ; 0 ^ x < 1, y = 0 } ,
en el conjunto 74 = {(t,T>) a 2 : 0
í ^ 1, 77 = 0}. De este modo, la frontera del
rompacto D se transforma en la frontera del compacto D'. Queda, pues, por demostrar
ijue al aplicar la transformación dada a cada punto interior del compacto D le corresponde
1111 punto interior del compacto D!. Vemos que si 0 < se < 1, 0 < y < 1 - x, entonces
0 < f < 1, 0 < £(1 - r¡) < 1, de donde resulta que 0 < 7] < 1, o sea, el punto (£, r¡) G D* es
interior.
•
19.
Sea una función
y) —• /(a?, y) continua en un compacto D cuya frontera OD se
ila por las ecuaciones xy ^ 1, xy ~ 2, y = x, y = 4x (x > 0, y > 0), Cambiando de
v ,1 dables transformar la integral doble I -
//
n
&DSoWXOR ,QWHJUDOHV QXoOOLSOF1 \ FXUYLOoQHDV
Solución. Realicemos en la integral I el cambio de variables según las fórmulas xy
y ~ vx. Tenemos 1 ^ u < 2, 1 < v < 4, es decir, la transformación definida media
, y =
es un difeomorfismo de clase Cl del cuadr^
el sistema x = u¡2v
D' = {(w,t>) E « : 1 s$ u ^ 2 , 1 < v < 4 } en el "cuadrilátero curvilíneo" D. Conforn
la fórmula del cambio de variables tenemos
v)
dudv=^J
~ = In2 J
f{u)du J
f(u)du.
Nótese que el jacobiano de la transformación considerada se calcula fácilmente segur
fórmula
p(»,g) = f g f t v ^ y 1 ^ (\ y
V(u,v)
\T>(x,y)J
\\
IV1 = « - = ! .
\ i)
2y
2»'
x
*
Calcular las integrales dobles:
20 .
7 = JJ(x2+y2)dxdy,
donde D = {(x,t/) € R 2 : x 4 +
l}.
D
< Solución. Pasando a las coordenadas polares p, tp, para la frontera dD del compacto
obtendremos la ecuación en la forma />4(sen4 tp + eos4 tp) = 1, de donde
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1
=,
yjsen4 tp + eos4 tp'
0 < tp < 2tt.
Cambiemos de variables y pasemos de la integral doble a la reiterada:
2íf
f
I ^ ü p
r
V vi'1 ^-'CU-:4 y
f 3
7 >
2Tí
Y
f
dtp
f 1 + tgV
1
l/1
4 y s e h V i - c o s V V sen 4 „ + e o s 4 = / í ^ i V ^ ^ l
0
0
o
Tomando en el integrando tgV = i hallamos
Ir r 1 ^ =
2
21.
U'4^
2sen|
=
JL
^2'
I — J J ( X + y)d%dy, donde fl es un compacto cuya frontera 9D viene definida]
D
mediante las ecuaciones y2 — 2x, x + y = 4, x + y — 12.
Solución. Resolviendo los sistemas de ecuaciones
•r t
fcj L Integral de Klcniann ioítt«ii(lldrt * un compacto
lililenemos x\ = 2 , #2 — H y
H, x?
^presentación D — D\ U Ü2, donde
D\ - {(x,y)
D
•
impertí vamente. Millonees es vrilida la
G !lt¿: 2 c x •: 8, 4 • - x - j/ <
V2x},
{(x,2/) G R2: 8 ^ x < 18, - V í a sg 2/ < 12 - s } .
Unificando la propiedad de aditividad de las integrales dobles y reduciendo las integrales
tlnbles a integrales reiteradas encontramos
V2x
8
D
s
8
[
-vS
+ f) 2
d®
s
18
6
( y +
+ a -
+
J(72~ Y + ^ ^ ~ ®
s
y'
22.
(x + y) dy
18
¿to + « /
y
12—x
dx I (x + y) dy 4- / dx
(x + y) dx dy
(x + y) dx dy +
I
12
11
= 5 4 3 15
I - JJ|cos(tf + y)\ dx dy, donde D = {(a?,») G R 2 : 0 < a; ^ ir, 0 < y ^ tt}
D
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« Polución. Dado que el integrando toma valores iguales en los puntos del cuadrado D
alntf trieos respecto a la diagonal x -f y — tt, entonces
1 = 2 JJ|cos(a: +
dxdy,
jy
G E 2 : O ^ a r ^ T r ^ O ^ i / ^ T r - a ; } . Dividamos el conjunto D1
k»nde Z?r —
mediante el segmento 7 =
G R 2 : 0 < x ^ ir, y = | - x} en dos, en uno de los
cuales el integrando será positivo y en el otro, negativo. En coordenadas polares las regiones
Indicadas se describen, respectivamente, mediante las desigualdades
r
TT
2'
^
2(sen tp + cos tp)
TT
7T
sen tp -f cos
2(sen y? + cos tp)
2'
Al pasar a coordenadas polares y reducir las integrales dobles a integrales reiteradas
obtenemos
7T
7T
2
t
2 ( s c n i^r-i-cüs
(scn^-Kosv)
ip)
p cos p(sen tp + cos y?) dp dtp
p cos p(sen tp + cos tp) dp
2
o
o
t p + ow
v?)
X
ir
dtp
2?r
o
(sen tp -+• cos tp)
dip
o
sen
2-jt.
•
98
Integrales múltiple* y imvIIÍiu'íik
( ¡(pitillo 2 .
23. s
~ JJ|®Z
- 3/2 dxd», donde i? ~ {(a,y) e llt*: a:2 -f
i)
x+y
(x, y) £ D, es positiva en el conjlj
4 Solución. La función /: (x,?/) -+ ^
— x2 — y,
Di = {(ar, y) € R 2 : x2 + y2 < ^
I
} y negativa en D2 = D\Dír
— J J f(x,y)dxdy^-JJ
J J f(x,y)dxdy
D,
por lo tanto
f(x, y) dx dy + 2 J J
Di
I)
= J J ( x 2 + y2 -
+
o
f(x,y)dxdyt
Di
- x 2 - y2)dxdy
l J J
= I, + j
'A
|
Mediante el cambio de variables en las integrales T\ e I2 según las fórmulas x = p col
= p eos <p, y — ^ = psenp, respectivamente, se consigue
y = p sen tp y x J I
f(pcos<p,ps(m<p)pdpd<p
27T
=
+2J J
f (p eos <p+~=,p
1
sen tp+^^jpdp
dtp\
2JT
I d < P I ~
0
0
V))/°dp-i-2
+
Jdtp
0
J Q-p2)/>dp
=
0
TT , . / 1
1\
9
= 2 + 4 * ( K - 6 i ) = 16*'
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= JJ
24.
i
donde D =
\Z\y-x2\dxdy,
{(X,Í/) E
R 2 : |x[ < 1 , 0 ^ y < 2 } .
D
I Solución. La expresión y — x2 es no negativa en la región D } = {(x,y) G ]R2: |x| ^
x2 ^ y ^ 2} y no positiva en la región D2 = { ( x , y ) £ IR2: |x| < 1, 0 ^ y < x 2 } . Dad
que D = D\ U D2 y la integral doble goza de la propiedad de aditividad, entonces
D,
Dz
1
+ Jdx
-1
i2
1
x1
J2y/x2-y
dxdy = | J ( i v ~ x 2 ) ' V 2 | ^ + (x2 - i/)3/2|"_° ) d x =
- 1 0
-i
1
= |J
i
(x2\x\ + x 2 f 2 ) dx=l
+ ¡ J ( 2 - x 2 f 2 dx |
Tomando en la última integral t — aresen ^ obtenemos
4
j
1 , 2 f (3 , .
3
3J (j
os
, cos4í^ ..
2 /
7r , 5
2
3"
t
*
f
g !. Integral tic* Ktamann tufiencmiu n u
I I
i i n i i i / i P L i , \JF
t a l u d a r las integrales de la» fuiu ionrr* dUcontinumi que siguen:
25.
í = J J sgn (a 2 - y2 + 2) dx dy, donde
- {(z,y)GR2:
+
| ^iliuióm A partir de la simetría de la región de integración resulta que
/
4
JJ sgn (aí - y + 2) dx dy
donde Dx = { ( x , y ) £ R 2 : x 2 + y2
2
2
4; x
7
0, y ^ 0 } .
Denotemos mediante / el integrando en el compacto D]. Esta función es discontinua
m lodo punto de la curva 7 = {(xyy) G R 2 : 0 ^ a; < 1, y = Vx2 + 2 } que divide el
minpacto Di en los conjuntos £>2 y
{%* 5)/ donde
I), -- {(x,y)
<vV
+ 2} U
U {(s>Jf) ^ ®2; 1 < ® ^ 2,0 ^ y < \ / 4 - x 2 } ,
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l>) - { f o í ) € K 2 : 0 sí x ^ 1, Va: 2 + 2 < y < a / 4 - a ; 2 } .
= 0 si (a;, y) G 7; f{x, y) = - 1 si (ar, y) G X?3,
I Jado que /(a?,y) - 1 si (ar,¡f) G #2;
hitonces
Vx¿+2
t
4 ^JJ
dxdy-
D2
J J dxdyj
2
y/4-x2 '
1 y/Í^x>
—áyjlx
J
dy + J dx J
dy- J dx
0
0
1
0
D3
0
J dy
• •
l
2
= 4 ( J ( 2 \ / « 2 + 2 - \ / 4 - a: 2 )áa:-f
\
21n(ar+
+
J yfe^-dx
ÍT
3T
h
Z
J cos2tdt + 4 J
o
(en la integral J
cos2tdt
?
x2 dx ha sido realizado el cambio ar — 2 sen
L
•
Y DSQXLR ] LQWHJUDOHV PtOWLSOR1 \ DLUY,OLQFL+
x
O
Fig. 6.
26.
1 = JJ[x
Fig. 7.
+ y]dxdy, donde D^ {(x,y) 6 R2: 0 ^ a; < 2, 0 < y ^ 2 } .
D
«< Solución. Dividamos el compacto D en conjuntos Dk (k — 1,2,3,4) mediante segment
de las rectas x + y = j (j = 1,2,3) (fig. 6). Si (x, y) es un punto interior del conjunto
entonces [a: + y] = k - 1, k — 1,4, luego
+ y)dxdy = ]T(fc - l)Pfc = P 2 + 2P-, + 3P¡,
7 = ^ JJ[x
Jt=i
donde Pfc es la medida de Jordán del conjunto Dk. Como P 2 = P3 =
entonces
P 4 = Pj =
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27.
7 = J J y/[y-
x2] dx dy, donde D — {(x,y) £ IR2: - 2 < as < 2, a;2 < jf ^ 4 } .
1
D
M Solución. A partir de la simetría de la región de integración resulta que
Vly~x2]dxdy,
1 = 2J J
D,
donde Dx =
€ K 2 : 0 < x < 2, x2 < y < 4 } .
Aquellas partes de las curvas •jj — {(x,y) E I 2 , í ^ 0, y = x2 +j}, j = 1,2,3
que se contienen dentro del compacto Dlr lo dividen en los conjuntos Dk (k = 1~4) (fig. 7).
Sea (x,y) un punto interior del conjunto Dk, entonces y/[y - x2] = Vk - 1, A; = 1~4.
la propiedad de aditividad de la integral doble resulta la igualdad
4
r r
i:
4
7 = 2 ^ T V f c - l / / dxdy =
2j2Vk-lPk,
4=1
donde P¿ es la medida de Jordán del conjunto Dk. Representando el conjunto D* en la
forma
Dk =
€ IR2: 0 s; x < V í ^ f c ,
x2 + k - 1 < y < x2 +k} U
U {(», t ( ) e K 2 : V 4 - f e < x < y/4 - (fe - 1), x 2 + ¿ - 1 ^ 3/ < 4 ) ,
101
% I. Integral de Uleimuin extendida a un compacto
lunernos
p
/l -k
1
dy +
dx
ti
¿t+k-i
dx
dy
y/4-k x1-)rk-\
+ (5 -
k-
- |{(5 - k f 2 - (4 - A) 3 ' 2 ).
('ni nmsiguiente,
r = 2 ¿ Vfc - l P t = 2(P2 +
k=1
sí:.
¡H
W
.I.
*
»»
28.
2
(l+H
2
4
|(4 + 4 V 3 - 3 V 2 ) .
O
•
y*
Calcular F'{t) si F(t)
.
+ V5jP4)
tJ^ir^A
0
> V JT
f •>.
A Ni tinción. Al efectuar el cambio de variables según las fórmulas x
Detenemos F(t) = d% donde
r.V:
tu, y —tv, t > 0,
11.
e ^ du dv.
.«
> * .
'i-
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I Privando respecto a ¿ obtenemos
|. -c L .
f
I¿ 1•
: •
?
€
t
Hallar Ff(t) si F(t) = J j \fx2 + y1 dx dy, donde D(t) = {(x,y)
U\
i.>V
(// - í f ^ l j E M } .
€ R2: (x - t)
D(t)
4 Solución. Al cambiar de variables mediante las fórmulas x — í — pe os tp, y — t — p sen tp,
0 - ^ ip ^ 2?r, vemos que
2jt
ͷ͙Ͻ͚
yf(t + />cos^)2 + (í
p sen tpfp dp dip = ^
f)
0
0 — / y/(t + pcos <p)2 + (t + psen tp)2 dp.
o
Conforme a la fórmula de Leibniz (de la derivación de integrales respecto al
parámetro) se tiene
2ir
23r
(t 4- p eos (p) + (t -f psen tp)
t)
pdp
d(p
dtp
dt
\/{t + p eos tp)1 -Y {t + p sen <p)2
o
o
o
x+ y
dx dy.
V^TY2
D{t)
donde
Ctipílulo 2. Integrales PtOWLSOHV y FXUYLOoQHDV
102
30.
Consideraremos una función / cuyas líneas de nivel son curvas cerradas simple"
Sea S(vi,v2) una región limitada por las curvas
f(x,y)=v1},
7i =
yz = {(x,y)eRz:
f(x,y) = v2},
v,<v2.
Demostrar que
J J }(x,y)dxdy
- J
vF\v)dv,
S{I>I,VÍ)
donde F(v) es el área variable de Ja figura limitada por la curva ji y la curva 7 = v,
< v ^ v2}.
K2-"
{(x,y)
Solución. Supongamos que la función F es derivable en el segmento [«1, v2], lueg
F'(v) ¡f 0 V» 6
v2[, ya que F crece. Sea II = {vi = v0, « i , . . . , vn = v2} una partició"
arbitraria del segmento [«i, v2], donde ü¿ < Vi+j, i = 0, n - 1. Tomando en consideració"
la desigualdad v, < f(x,y) <
(x,y) € .S*(vt,v¿+1) y la propiedad de aditividad de la¡
integral doble tenemos
"-1
n-l
. „
5 3 ^ ¡ AS(ví,ví+1) sg 5 3 J j f(x,y)dxdy
»=o
!=0
n-l
= I^J2vi+1AS(vi,vi+l)1
¡=0
(1)
donde AS(v¿, vi+i) = F{v^) - F(v¡) es el área del compacto S(v,, ü¿+]). Según la fórmula
de incrementos finitos determinamos
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AS(ví, tri+1) - F'(v¡) Aví,
donde
v¿ < v¡ < v i+1 .
A partir de las igualdades evidentes v¡ = ii¡ + «[^(Av,-), vi+t = v¡ + af'iAv,), donde aj 1 '
y
son funciones infinitesimales para A®,- —+ 0, vemos que las desigualdades (1) pueden
ser escritas en la forma
n-l
n-l
5 3 aíV(í> ( ) A»¡ + 5 3 víF'(V¡) Av^I^Yl
VÍF\VÍ) Avt + 5 3 afV(ü;) Av,:.
i=0
»=0
¿=0
Í—o
Pasando al límite en estas igualdades "hallamos
v2
I —j
vF'(v)dv.
Sea, por ejemplo, f(x, y) - x2 + y2, (x,y) € IR2, Vi = 1, v2 — 3. Entonces,
F(v) = tt(v - 1 ) , F'(v) = ir,
3
J J f(x,y)dxdy
S(vuv2)
— ir Jvdv=
~v2 = 4tt.
•
Calcular las integrales triples siguientes:
31 .
2
1 ?
r c r , „2
„,2
N
I = J J J
+ fz + %)dxdydz,
2
„
- A
K
donde dK = {(x,y,z)
G
.
+
§ !. integral de Ulrimtnn exlendidn t\ 1111 compacto
I
W i /
jltiluiión. Es conveniente pasar n roordenmiiiH rNltVituH generalizadas conforme a las
^Minias x — «psentfeos(p, y ••- bpnmOmwp, z
r/m>s0, 0
0 < tt, 0 sí p ¿ 2tt.
((^iluríremos, luego, la integral triple a una integral reiterada, 'lomando en consideración
y
~ abep2 sen <9 obtenemos
tjtii'
S.:
0
% :
I
abe J
sen0d0 J
o
•í
32.
dtp J p4dp — j a b é e o s 0
"
0
'
0
' = J J J "Sx2 + y2 dx dy dz< d o n d e l a f r o n t e r a dK
del
Tt
4
•= nabo.
5
compacto K está definida
r
nimbante las ecuaciones x14- y2 = z2, z — 1.
| Mol lición. La frontera dK está constituida por una parte de la superficie cónica y por una
pmie del plano z = 1; el compacto ü¡T se proyecta en el círculo
D — {{x,y)
€ E 2:
Pasemos a coordenadas cilindricas y reduciremos la integral triple a integrales
federadas. Tomando en consideración que 0 ^ tp < 2tt, 0 < p <
p ^ z < 1,
=
obtendremos
2r
1
1'
1
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1 = Jd(fJ
J
J
P2dP
0
I z ^ J J J
dz^lir
o
0
p2(l-
p)dp^~,
0
GRQGH
+ v2 + zldxdvdz'
k ^
• x1 + y2 + z2 < z)-
r
4 Solución. Pasemos en la integral a coordenadas esféricas tomando en consideración que
= p2 sen0. Obtenemos
» 'í 0 < 7, 0 < tp < 2?r, 0 ^ p ^ costf,
7Y
T
I
P-.
n
2?r
tf
cosí
y
J sen 9 d$ í d<p J*p dp =| j eos 6 sen 6 d9 = y - eos B
3
o
o
o
4
5
0
_
JL
o
L = J J J xl dx dV dz' donde la frontera dK del compacto K está definida por las
r
ecuaciones z = ai/ 2 , z = fa/2, y > 0(0 < a < 6), z = aar, 2 = /3a?(Q < a < jfl), z — h(h > 0).
4 Solución. Representando la región K como sigue
K
F QSLLXLR O ,QWHJUDOHV PtOWLSOHV \ FXUYLOoQHDV
y reduciendo I« integral triple a integrales reiteradas obtenemos
/>
1=J
VT
ff
dz j
dy j
yfí
f>
0
h
x2dx~\(a-3-r3)K1/2-ft"1/2)
Jz7>2dz
0
2
27
35.
=
(a" 3 - /T 3 )(a" 1/2 - d~1/2)fo9/2.
I — J J J XVZ dy dz, donde el compacto K se halla en el octante x > 0, y >
K
K
2>2 r, „ . 2
2
z
z > 0 y está comprendido
omprendido entre las superficies z =- —
m
xy = &2, y - ¡3x (0 < a < b, 0 < a < /?, 0 < m < n).
~
j.2
„ 2
,i y2
..2
n
' XV ~
a
j
< Solución. Realicemos en la integral el cambio de variables xy = u, y = vx, z — z, con '
que resulta
J =
/ / /
K
x M y { u
^ Z
dudvdz,
V[X,V,Z)
V(u,v,z)
donde K' es el compacto que se transforma en el compacto K:
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n
Al efectuar dicho cambio tenemos x = ul!1v
luego
hWt
a2
o:
«om^1)
= ¿ (mT2 -
1/2,
yJ — uíl2vl¡2,
a2
m
z — z, entonces,
—
' T>(u,v,z)
(&8 - a 8 ) (1(/?2 - a 2 ) + 21n | + 1<«~2 - , T 2 ) ) =
.
Empleando el teorema del valor medio estimar la integral
/=
f f f
2v'
a
= ¿ (m- 2 - *T 2 ) (fts - a 8 ) ( V - « 2 ) (1 + a" 2 /?- 2 ) + 41n
36.
) '
dxdgdz^^
^
fl2
+ b2 +
c2>r2
Solución. Conforme al teorema del valor medio para las integrales múltiples se tiene
•
$ 1, Integral J e Kieimuin e*lendídit n un compacto
10 t
i.
f(M) es el valor del ¡ntegmiulo en un \lerlo pimío de la bola K ~ {(:*;,?/,£) (. R'1
. # I // I z ^ r 4 } . En virtud de la condición a' | h I e" > r la función y?:
»
iIiumIi-
A •
^/(¡r «)2 + (j/ ~ í>)2 + (z — c)2,
< K, toma sus valores extremales no dentro d<
r2}
Iti bola K, sino los alcanza en la frontera OK - {{xfy,z) G l 3 : x2 + y2 -f z2
Hmlibamos la función de Lagrange
F{x, y,
= y?(a?, y, z) + \(x2 + y2+ z2-
r2)
y I m isq uemos sus extremos. Tenemos
F< =
tp
+2Xx
= 0,
2?íy = ^ ^ +2Xy = 0,
tp
- ^ ^ + 2A¿ = 0.
tp
s
Neriolviendo el sistema obtenido junto con la ecuación de ligaduras £ 2 + y1 + z2 — r2,
luilliiiTios A y los extremos condicionados Mi, M2 de la función tp:
. 1
A = ± — ,1
2r
,_
M
,,
Mi
í
ra
VvV + ^-fc2'
.
rb
v^a2 + 62 -j- c 2 '
ra
re
v ^ T ^ T '
re
Va 2 -hfe2+ c 21
Va^TFT?'
%/a2 + fc2 + c 2
I oino
y?(Mi) = y / a 1 + tí1 +' c 2 - r,
^(M 2 ) = v^a2 4 b2 + c 2 4 r,
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< <p(M) < ^>(M2) que podemos escribir en forma de una
tenemos las desigualdades
Mola desigualdad
<p(M) - y/az + tP + <? <rt
Designando 0 =
tenemos <p{M) - Va2 + W- 4 c2 + rfl, donde |0| < 1
'lomando en consideración que / ( M ) =
3
37,
M G K \ dK.
obtenemos la estimación
Va 2 + i)2 + c 2 -f
Sea / : K —»ffi.una función continua en el compacto ÜT C M3 y supongamos que se
.muía la integral J J J f(x 1
fi
que f(x, y, z) = 0, (ar,
z ) dx dydz=
0 para una región arbitraria ü C K. Demostrar
2) € ÜT.
4 Solución. Sea P cualquier punto interior del conjunto K y sea S(P, e) una bola abierta.
Según el teorema del valor medio a partir de las condiciones del problema se tiene
m ^ - ^
J J J f(x,y,z)dxdydz
= 0,
P € S(P, e\
S( p, í)
Al hacer que la bola S(P, £) se contraiga hasta convertirse en el punto P se obtiene
/(p) — 0, luego la función / es igual a cero en cada punto interior del conjunto K . En
virtud de la continuidad del compacto K , la función también será igual a cero en los puntos
•
pertenecientes a la frontera dK. Por consiguiente, f(x¡ y¡z) = 0 para (x, ytz) E K.
38.
&DSoWXOR ,QWHJUDOHV PtOWLSOHV \ FXUYLOoQHDV
Hallar F'(t) si:
a) F(t) — J J f(x2 + y2 + z2) dx dy dz, donde / es una función continua;
b) F(i) = J J f(x, y, z) dx dy dz, donde / es una función diferenciable.
i
( Solución, a) Pasando en la integral a coordenadas esféricas y reduciendo luego la integra
triple a integrales reiteradas obtenemos
r
2t
í
F(t) = J sen 6 de J
0
0
t
2
2
d<p J p f(p ) dp = 4ir J p2J(p2)dp.
0
o
Derivando la función F hallamos F"(t) =
b) Reduciremos la integral triple a la reiterada:
í
t
í
F(t) = J dx J dy J f{xyz)dz
WG
WG
WG
y calcularemos la derivada de la función F respecto al parámetro t:
t
t
i
t
t
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F'(t) = Jdy I f(tyz)dz + J dx(^j f(xtz)dz + J f(xyt)dy^ =
0
0
t
0
i
0
t
o
t
t
t
(1)
= J dy J J{tyz) dzGR J dx J f(xtz)dzG R J dx J f(xyt)dy.
W
0
0G
W
0
0
Debido a que la función f es diferenciable, podemos calcular la integral reiterada F(t)
aplicando la fórmula de integración por partes tomando dv = dz, u = f{xyz):
t
t
t
t
F(t) — J dx J dy^zf(xyz)^
o
o
- J zf'(xyz)xy dzj
z 0
«
= tjdx
WG
o
t
=
ti
J f{xyz)dy
t
J dx J dy J xyzf{xyz)dz.
WG
WG
Pasando de la integral triple F(t) a las reiteradas
t
t
t
t
WG
t
WG
i
F(t) = J dx J dz J f{xyz) dy — J dy J dz J f(xyz) dx
0
0
0
o
o
o
y utilizando la fórmula de integración por partes obtenemos
t
t
i
t
t
F(t) = t J dx J f(xtz)dz — J dx J dz J xyzf'(xyz) dy,
WG
WG
WG
WG
IG
(3)
§1. Integral de Kimtdiin a t e n d i d a
t
F(t) = t / dy / Η{lyz) dz
i
t
t
i
107
un compacto
dy / d j
xyzf (xyz)dx.
0
i)
o
o
(}
Hutihindo las igualdades (2), (3), (4) y tomando en consideración la igualdad (1) tenemos
t
t
t
J dx J dy J xyzf(xyz)dz^ -JP'(¿),
o
o
o
\m\i>
F'(t) - j (F(t) + f j f xyzf(xyz) dx dy dz^,
m
iltmde K(t)
{(x7y,z) <E R 3 : 0 ^ x < í, 0 < y < í, 0 < z < f } .
•
iW
39.
Sea / : JT —• R una función continua en el conjunto K — {x£Rm:
j
I, m } . Demostrar la igualdad
X
dx i / cía?2
I{x)
0
cía:m
/ ( x ) da; m
0
o
o
da?m
-
0 < Xj < a,
/
W1
ff Nolución. De la continuidad de la función / y del teorema de Fubini resulta la igualdad
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/ ( x ) dx.
J(x)
K
l<«-presentando el conjunto isT en la forma
K = { x GR w : 0 <
< x, xM ^ a¡¿ ^ x, i
m
1, 7 7 1 - 2 ) . . . , ! }
y aplicando el teorema de Fubini obtenemos
ar
i
0
10*
/ ( x ) íÍXi .
dx m
J(*)
•
m
Demostrar que para irna función / continua se verifica
Ém-1
u
dt\ I dÍ2
m
o
o
t
1
rn!
- /o
[ Solución. Escribiremos I(t) en la forma
ti
t
f(tm)dtm
0
y designemos
íjri-l
t
rn—2
f(tm)dtm.
f{tm-l)dtm
Vttm-l)
0
o
m - 1
0
0
/ ( r ) dr
t
f(ti)dh / m ) dt2
m
0
wi
&DSoWXOR ,QWHJUDOHV PtOWLSOHV \ FXUYLOoQHDV
Representemos luego <p(tm 2) en la forma
2
<p(tm-=
| J d( J
0
0
f(tm)dtm^
con lo que obtenemos
<P(tm-2)=\(
f
f(y)dy^j .
Asumiendo que es válida la igualdad
<p(t,) = J f(t2) dt2...
0
J
tn—l
( / /(r) dr^j
f(tm) dtm =
conseguimos
t
0
0
t( .
¡,.
_
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0
0
o
Así pues, medíante el método de inducción matemática la fórmula queda demostrada.
41.
Calcular la integral
dx2 ... J
I = J dxiJ
0
0
xlx2...xmdxm.
o
A Solución. Con la ayuda de la fórmula demostrada en el ej. 40 obtenemos
i
1
xdx
=
2
=W ) m\
m
42.
Reducir a una integral simple la integral m -múltiple siguiente
/
donde ||*H = s/xj
l¡x¡| 2 <r 2 }.
=Jf(M)dx,
x\ 4 • • • + x(n, f es una función continua y K — { x G
§ 1. Integral de Klt*mann i^UmuIUIu «i iiii compacto
hjv
Nolución. Realicemos en la integral el cambio de variables utilizando las fórmulas (14) del
ji LK. lomando en consideración la fórmulii (l.'i) del p. l.H obtenemos
ir
'
*
I dipx Isen<pzdip2
I)
o
¡»
J ser|2 ^
o
r
• •• y
o
V»i^m-1
m -1
n j
j
f(p)pm
{dp
o
2L
sen-'-1 ^ rf?; y / ( p ) / » - 1
o
o
|(n cada integral que interviene en el producto efectuaremos el cambio de variable
«rn ipj — t f ; entonces d<pj — ~tj 2 (1 - tj)~^2dtjf con lo que
ir
/ W -
w
*
- i /«}->„ -
0
n
J
. iB(|. i ) = &
j g L ,
o
=
J
o
r(f)r(2)...r(f)
rA
m
=
( t J
F(f)'
r
m
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"
-
m
¡
m
"
p
0
~
,
d
p
m
O i
=
i
p
2
-
«s
Turnando en la última integral p —t tenemos
m
TT
^¿y f
r,
2¿ - 0
I
43.
f(Vt)t^ldt.
Demostrar la igualdad
1= J dxi J dx2 ...
0
J
0
f{xm)dxm
0
=
J
o
donde / es una función continua.
Solución. Según la fórmula demostrada en el ej.39 tenemos
X
í f(xm)dxm
1=
0
iT
J dxm-.i J
a r
íT
dxm-i < - J dx2 J dx
$ 2
2 t n - i
m
Partiendo de la igualdad
í¿re2 / áxi —
JN
2!?
SC
X
2
&DSoWXOR ,QWHJUDOHV PtOWLSOHV \ FXUYLOoQHDV
podemos sugerir que
X
X
X X
Im-i)"'"
J dXm-2 J dXm-3 ...(xj-(mdx
2 J dxx =
- 2)1
2
Con tal suposición se consigue
X
X
J dxmA
X
X
... J dx2 j dxx =
J (x - xm-i)m~2 dxm_.2 =
~ (m-iy{z
Xm-l)m
(ra -1)!;
l
Así pues, por el método de inducción matemática llegamos a la respuesta siguiente
I ' = J f(xm)lX,
Xm)
(ra - 1Z*
)!
——du.
dx„ = / f(u)—.
(m-1)!
•
Ejercicios
1. Calcular aproximadamente la integral
ͺͺ
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dxdy
U
J l \ + x' + y1
dividiendo el dominio de integración en cuadrados cuyos vértices tienen coordenadas enter
Suponer que en cada cuadrado los valores del integrando se toman en los vértices que est
más alejados del origen de coordenadas. Comparar el resultado obtenido con el valor exacto d
la integral.
2. Un compacto K = {(x,y) € IR 2 : xz + y2 < l } está dividido en un número finito de pa
cuadriculabas K¡, i — 1, n, que no tienen puntos interiores comunes y cada una de las cuales
es de diámetro menor de S. Determinar el valor de 6 para el cual se verifique la desigualdad
I J J sen(x + y ) d x d y - ^ 2 sen (®< + V¡) t*K>
< 0,001,
donde (x¡, y¡) € A' y [iK¡ es la medida de Jordán del conjunto K¡.
3. Demostrar la igualdad
hG
J j P(x)Q(y)dxdy^
K
iG
J P(x)dx J Q(y)dy,
a
i
donde K — [a, A] x [6, B] y las funciones P y Q son continuas en los segmentos [a, A], [6, B¡,
respectivamente.
4. Sea /: [«, t>] -v R una función continua. Demostrar la desigualdad
t
b
( J /(*) dx) " < (b - a) I f(x) dx.
a
a
Nótese que la igualdad tiene lugar sólo en el caso f(x) = const.
§ I. Integral d<> Klfitirttiii c»leiulitlti ti un oimpacto
111
1. /Qué signo tienu la inlogral
' ~ / /
•x11 ir'
*'
V'<l*
Cambiar el orden de integración en las integrales siguientes:
2
0
1
1-V
i>- fdx
J
f(x,y)dy.
7. f dy J
f(xyy)dx.
l)
0
-VH^í?
-y/l^?
y/az~x2
2a Víoz
J dx J f(x, y) dy. 9. J ¿c J
/(*, y) dy,
0
2
<1
J^x-x
la
En las integrales que siguen cambiar de variables según las fórmulas
que el integrando es una función continua:
I ^ JJ f(x>y)dxdy, donde: a) K =
€ R2 : ar ^ 0, y
K
Tomar x — ticos x>
n
'
II. j =
JJ
JJ
Tomar u — x + y, uv = y
fixi y)
Tomar
I - [Jf(x,y)dx dy, donde &RT = {(x,y) £ H2: xlp + y2/3 = a 2 / 3 } . Tomar ai = peos* ip,
r
y — psen3(p.
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La frontera OK de un compacto K al que está extendida la integral J f f(x, y) dx dy se describo
r
por las ecuaciones y = ax, y = px, x — a (a < P). Hacer un cambio de variables tal que la
integración resultante se extienda a un rectángulo.
En la integral / / f(x, y) dx dy, donde K = {(x, y) € R 2 : x2 y1 < r 2 , x ¿z 0, y > O}, efectuar
r
un cambio de variables tal que la integración resultante se extienda: a) a un rectángulo; b) a un
triángulo rectangular isósceles,
Calcular las integrales dobles:
r JJ x2dxdy.
JJ xy2 dx dy, donde la frontera dK del compacto K está dada mediante las ecuaciones
r
y2 = l p x t x ^ \ (p>0).
JJ ^ P r r a > 0, donde la región de integración K está comprendida entre el arco más corto
K
de la circunferencia de radio a con centro en el punto (a, a) y los segmentos de longitud a de
los ejes de coordenadas.
JJ(x2 Vy1) dx dy, donde K es un paralelogramo con los lados definidos mediante las ecuaciones
r
y — x, y ~ x + a, y = a c y — 3a (a > 0).
J J y2 dar dy, donde el compacto K está comprendido entre un arco de cicloide
r
7=
x ^ a ( t ~ s e n t ) } y = o(l - cos t), 0 ^ t ^ 2tt }
v el segmento correspondiente del eje de abscisas.
8 O W Q,,, U I U P I E N\ O I I I V I U I H M S
21. /'/" sen y/x* | y' <tx dy, donde K
{(*,&) € R 2 : jt2 < x' I y1 ^ 4 r }.
22. J'f (x -I- y)dx dy, donde K - { ( s , y) € JR 2 : x2 + y2 ^ x + j/}.
$
Calcular las integrales triples:
23. f f f xy'z3 dx dy dz, donde la frontera dK del compacto K está definida mediante las ecuación
K
z = xy, y = x, x — 1, z = 0.
24. f f f (itx+y+z)3' donde la frontera dK
K
x + y+z = l, x = 0, y — 0, z — 0.
23. f f f \/x^+'if-
del compacto K está definida mediante las ecuación'
donde la frontera 8K
dxdydz,
del compacto K está definida mediante 1
K
ecuaciones x2 + y2 — zr, z = 1.
26. f f f \J'x- -i- y2 -f z ' dx dy dz, donde la frontera dK del compacto K es una superficie en R 3
K
definida mediante la ecuación x1 + y2 4- z2 = z.
27.
f f f
xmynzT
donde m, n, p son números enteros no negativos.
dxdydz,
Calcular las integrales m-múltiples siguientes:
28. / ||x]|2 dx, donde ||x||2 = ¿
K
m
29. f ( J 2 x 0
k i^i
,<
áx
K = [0,1] x [0,1] x . . . x [0,1].
i—l
donde K
= f0,
x
I°> Itx
- x [0,1].
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30. / d x , donde JT = j x 6 R m : x¡ ^ 0 (í = I^m), ¿
a?¿ < a ) .
jr
f 7n
31. S x
s
H*¡d*, K =
•
J
-i
i=i
J
x e R " : ¡a > 0 (¡ = 1 , m ) ,
1
k y >=i
m
32. Demostrar la igualdad
*
21
J xxdx i Jdx2...
I»
£
J f(xm+x)dxm+1 = —'l— J(x2
0
0
0
~u2)mf(u)du.
o
33. Calcular la energía potencial propia de una bola homogénea de radio
decir, calcular la integral
y de densidad Pa, es
17 _ ti JJJ JJJdX{dy>dZ
donde pí¡2 = i / f o - x2)2 + (jfi - t/2)2 + (z~i - z2)2.
§ 2. Integrales múltiples impropias
2.1. Integral de Riemann m-múltiple impropia
Definición 1. Se dice que un punto x0 6 R m es un punto singular respecto a la
integración de la función /: R m \ {x 0 } -»• K (o bien /: K m -> K), si / no está acotada en
entorno de dicho punto £(x0, 6).
§2. lnU*ftittttttf imUllfilfA Impropia*
I 13
R forman
Supongamos que todo» Ion punió* Nin^uhirvw do la función / : R"1
iín conjunto cerrado % de medida cero (que, en particular, puede ser vacío), 'lomemos
Lina sucesión de conjuntos {Eu)t n (•• N, que poseen las propiedades siguientes: 1) cada
conjunto En es abierto y medible según Jordán; 2) En C Eu].\ y [J Eu — R m \ Z,
n€N
donde En es la adherencia del conjunto En. Tal sucesión de conjuntos se denominará
mvMÓn de conjuntos admisible para la integración de la función f con el conjunto de puntos
wln^ulares Z, o bien, para abreviar, sucesión admisible.
Supongamos que la función / sea casi siempre continua en su dominio de definición,
vu decir, sea discontinua tan sólo en un conjunto de medida cero de Lebesgue. Puesto que
}t!lt c En+i y En+1 O Z = 0 , entonces, para cada punto x G En existe un entorno S(x, tf (x))
donde la función / está acotada. Conforme al teorema de Heine—Sorel, de la familia de
inilornos indicada se puede elegir un número finito de entornos Sfa^Si), i — 1, k, que
cubren el conjunto En. Supongamos que en cada entorno ¿¿(x,-, ó¡), i — 1, k, los valores de
ln Junción / estén acotados por un número
Entonces, los valores de la función / en el
Debido a que
conjunto En estarán acotados por el número Af = máx{Mi, Jtái,...,
ln función / es casi siempre continua en el dominio de definición y está acotada en cada
conjunto En, su restricción a este conjunto es integrable según Riemann.
Supongamos que se tenga una sucesión de integrales m-múltiples de Riemann
/„=
/ f{x)dx.
(i)
B„
Definición 2. Si para cualquier sucesión de conjuntos admisible (l? n ) la sucesión
de integrales de Riemann (J„) tiene, para n
oo, un límite finito I que no depende
< Ir la elección de la sucesión admisible, entonces existe (converge) la integral m-múltiple
Impropia de Riemann
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[ dx
(2)
M"1
que es igual a I . Si lim
- oo o no existe, la integral impropia (2) no existe (diverge).
Conforme a la definición se tiene
/
/ ( x ) d x — lim / /(x)dx.
ra^oo I u
Rm
B»
Definición 3. La integral impropia (2) se denomina absolutamente convergente, si
•onverge la integral
f(x)
dx.
M'm
Teorema 1. Sea una función f: R m —> R casi siempre continua en el dominio de
definición y no negativa. Si existe una sucesión de conjuntos admisible (En) tal que la
sucesión esté acotada, entonces la integral converge.
Este teorema simplifica considerablemente el análisis de la convergencia absoluta
de integrales impropias, pues para investigar la convergencia absoluta de la integral (2) es
suficiente comprobar el carácter acotado de la sucesión
(f\m\dx
En
(5)
QYW L0XLLLSLFV \ FXUYLOoQHDV
solamente para una sucesión de conjuntos admisible (Ji„) que sea más cómoda. Si
sucesión (5) está acotada, la integral impropia (2) converge absolutamente; si la sucesión
no está acotada, la integral (4) diverge, y, consiguientemente, la integral (2) no conve
absolutamente.
Teorema 2. Sea f : Mm —* K una función casi siempre continua en el dominio
definición. Si la integral impropia (2) converge absolutamente, la integral converge.
El teorema que sigue reduce el problema de convergencia de una integral m-múlti
impropia de Riemann al problema de su convergencia absoluta.
Teorema 3. Sea f : Mm
E una función casi siempre continua en el dominio
definición. Si la integral impropia (2) converge, la integral converge absolutamente.
2.2. Integral de Riemann m-múltiple impropia de una función definida e
un subconjunto del espacio R m
Sea /: E —* K, E C IR"', una función casi siempre continua en el conjunto E y
integrable según Riemann en sentido propio. Examinemos la función F: Mm —• IR, dond
F(x) -
|
[
0
si
si
x£E,
x€
<\E.
Definición. La integral m-múltiple impropia
/R'"• F(x) dx
se denomina integral m-múltiple impropia de la función / y se denota mediante el símbol
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f(x)dx.
2.3. Algunos criterios de convergencia para integrales m -múltiples
impropias
Criterio 1. Si /: R' a —* R es una función localmente acotada y casi siempre continu
en el dominio de definición, y existe el límite
lim /(x)Hxir = c,
||x¡H+oo
cG
entonces la integral impropia
/
/(x) dx
R">
converge para a > m.
Criterio 2. Si f: R m - » 8 e s una función casi siempre continua en el dominio de
definición, acotada fuera del entorno del origen de coordenadas y existe el límite
lim /(x)|¡xir
IMHo
entonces la integral impropia
I
f(x)dx
K"'
converge para a < m .
c€
lnU»Ki'dlt»i mríltl|dt*N Impropia*
115
Criterio 3 (de comparación). Sean / : E • R, r/ :
R, E c RWI, funciones
Mtr negativas casi siempre continuas ni H dnnlinio ile definición y / ( x ) ^ <ry(x) Vx C" /i/Hlilmuvs, de la convergencia de la inlegrnl
<7(x) dx
r
á-
E
*<> deduce ía convergencia de la integral f f(x) dx, y de la divergencia de la integral
E
f(x) dx
E
ir deduce la divergencia de la integral / g ( x ) d x .
E
2 A Cambio de variables en integrales ro-múltiples impropias
Teorema. Sea £ un difeomorfismo de clase C1 de un conjunto abierto Ef del espacio
mi ideo R m en un conjunto abierto E del mismo espacio. Si una función / : E —• íR es
ivnlitma en todo E, a excepción de un conjunto cerrado de puntos Z de medida cero, y la
integral impropia
f{x) dx
0)
E
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pila te, entonces la integral
//(í(t))|detí'(t)[<ft
(2)
E*
vtiverge y se verifica la igualdad
f(x) dx = f
E
f(m)\
det í'(t)| dt
(3)
E'
liutudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias:
44,
J J j^^dxdyfE={(x,y)eM2:x2^y1^l}/0<m^\<p(xiy)\
^M.
E
4 Solución* Designemos el integrando mediante f(x,y)r
Debido a que
^ \f(%,y)\ <
{r~2y
y la convergencia de la integral doble impropia equivale a su convergencia absoluta,
entonces, conforme ai criterio de comparación, la integral en cuestión converge o diverge
Hrgún lo haga la integral
dx dy
I
2
(x + y2¥
E
I)ebido a que
=
2^-ijyQ P a r a ^ + ^
+ 0 0 / ent°nces'
según el criterio 1
la integral I converge para 2p > 2, o sea, para p > 1. For tanto, la integral en cuestión
también converge para p > 1,
•
&DSoWXOR ,QWHJUDOHV PtOWLSOHV \ FXUYLOoQHDV
rif>
45. ¡ = JJ
dx dy
(í + w a + iffi*)"
Solución. Sea (En) una sucesión de regiones admisible tal que [J E„ — R 2 . Tomem
recR
cuadrado Kín C E„ de lado 2a\n, y un cuadrado JÍT2„ D En de lado 2a2n que satis
la condición apt —> +00 para n —* 00, j = 1,2. En este caso es válida la estimación
ͺͺ
dxdy
€
(l + l ^ X l + Mí)
•fflB
ͺͺ
dxdy
(i +
+1¡,|«)
ͺͺ
dxdy
(l + laCKl + l»!»)'
que implica las desigualdades
dxdy
lim f í
n-,00jj
'-*00 J J (i + i®|p)(i+ij/¡í) ^
Km
dxdy
lim f í
'-•oo J J ( í + f a n a + i s i * ) *
Km
Puesto que el integrando es continuo, entonces
ͺͺ
K ín
f í
a+Wj
a+a¡,-,
dxdy
(1 + |»h(l + |jf|«)
d x
dy
J
1 + WP J 1
a-ai,,
h~a.¡„
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donde (a, 6) es el centro de todos los cuadrados Kj n r luego
+00
dxdy
lim f í
J J (1 + |xjp)(l + li/l?)
Jf 1 +d x\X\P Jf 1 +dy|®J«"
De este modo, la convergencia de la integral 1 equivale a la convergencia simultánea de
dos integrales improt ias unidimensionales que convergen sólo ¿wt. p > ? y q > 1. Nót
que debido al carácter positivo del integrando es suficiente investigar Ja convergencia de
integral I para una sucesión admisible (E„) fija. •
46. 1
11
E
= M *
[ o ' 1 1 °
< m <
< •m -
Solución. Obviamente, la integral I converge y diverge según lo haga la integral
, y) dx dy.
E
E
Por la definición del p.2.2 se tiene
Ji - j j F(x,
y)dxdy,
p.2
donde
F(x,y)
-{
f(x,y)
f)
si
ci
/f
(x,y)€E,
c. IB2 \
n
i 1/
fi2. InUwnlwt múltiple* Impropia»
jjjtadu que la función F oh 110 negallvn, IuimUi ínveuti^ar la convergencia de la sucesión de
í^fJVA^ suiyiente
/ r r
F{x^ y)dxdy ) , n ( N,
K
^mi tina cierta sucesión de conjuntos admisible (£»).
lomemos En — [ - n , n] x [—n, ra], n £ N. En este caso obtenemos
dy
(l + xz + y2f
dx
F(x, 3/) da: dy
Ai
—n
&n
1 r»'
»»
í-
o
dy
-71
o
rUÉH
dx
y2f
Ni jj •: 0, entonces lim / / F(x, y) dx dy — +00 y la integral Ti, así como la integral V,
n^oo B.u
íllveiy,en. Para p > 0 son válidas las estimaciones
n
1
y
i
íia:
•i»
J',
n
1
»
dx
dy
(7. f x 2 f
M
fl
0
n
1
x 2f
<
dx
dy
-n
o
<
(1 + x 2 + y2f
n
-fy
* . » ^
dy
'X-
0
%
—n
dx
(1 + x 22\u
)1 *
dx
(1 4 x2f
ü7ϻ
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l'nr consiguiente,
+00
00
+00
dx
< L <
(2+x2y
dx
—00
(1 + X2)P >
p>Ot
¡le donde resulta que Ti converge si 2p > 1, o sea, si p > \,y diverge si p <
l<i integral I converge si p > \f y diverge si p <
l
•r
j
»
Así pues,
'
47.
dx dy
|a¡|i» +
1
n¥f-
, p > 0, g > 0, donde # == {(ai,y) € R 2 : \x\ + \y\ > l } .
E
4 Solución. Obviamente, la convergencia de la integral I es equivalente a la convergencia
le la integral
dxdy
I1
xP + yQ1
E'
londe
= {(ar, y) <E R2: xp + yq > 1, x > 0, y > 0 } . Según la definición del p. 2.2 se tiene
F(xt y) dx dy,
/1
IR2
1I onde
• F(x, y)
si
0
si
(x¡y) E E\
(x,y)EMz\Et.
SLXOHV PtOWLSOHV \ FXUYLOoQHDV
3XHVWR TWWU F(x, y) ! 2 VH WLHQH
lim / / F(x, y) dx dy,
h = n—'oo
donde (Etí) es una sucesión de conjuntos admisible tal que U E» - K 2 . Tomemos
neK
En = {(p,<p) € M2: i < P < n, 0 < tp < 2tt} .
Realizando en la integral
Hv,y)dxdy
'» = / /
En
L
el cambio de variables x — pP eos? <p, y = pq sen? p obtenemos
jr
1
2
Jsen?"1
pq,
0
eos? lipdtp JpP+\~2
dp =
^
i
y-p—
"
p '9
Así pues, la sucesión (J„) tiene un límite finito para n - oo si y sólo si
De este modo, la integral I converge si ~ + ^ < 1. •
+\ 1
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48.
I = ff s J?¥^dxdy,E={(x,y)eK 2 :x + y>l}.
JJ
E
(x + yY
Solución. Cambiando en la integral las variables conforme a las fórmulas n v~
obtenemos
J j c o s v ^ c o _ s V 2 u dudv,
l =
E, =
„^
€
„ € R}.
E'
Según la definición del p. 2.2 tenemos
2
2
I =
JI F ^ d u d v '
donde
FRVAFRV9Ϝ
o
V L
8 W 9
si
ϗ
(
(u,v)em2\E'.
Los conjuntos En — {(u,v) 6 R2: -n < u < n, -n < v < n} son admisibles pai
integración de la función F y la sucesión de integrales dobles
In = J J F(u, v) du dv
E„
§2. liitogrftlMK iniHllplc** Impropian
I f(J
*u puede sustituir por ln sucesión de luhwaleri reilenulau correspondiente, pues /'T es una
función continua, luego
n
n
ln =
"
j
{eos v^tr - cos \/2w) ríu
\/2sen
u
J
-2» J
1
1
cíu.
k
1
-tí
t umo la sucesión (J„) no tiene límite para n ^
oo, las integrales JfF(utv)
e ./
ra2
vergen.
•
Demostrar que
lim / / sen(x2 + 2/2)da;ííy = tt,
En
dnnde E n = {{a:,») 6 3R2: |ar| < n,
< n } , sin embargo
lim ¡ I sen(a;2 4- y 2 ) dx dy — 0,
n-^oo J J
E'
donde
Én = {(«, y) G R2: x 2 4 y 2 < 2n?r}.
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i Solución. De la continuidad de la función (as, 2/) ^ sen(®2 4- y1), (as, y) G R 2 , se deduce la
igualdad
« t í
sen(ar 4 V )dxdy
E}i
n
n
= j
dx j
-n
-n
sen(a; + y)dy
= 2j
sena: dx J cos y dy,
-n
-n
le la cual, después de pasar al límite, se obtiene el producto de las integrales de Fresnel:
lim J J sen(ar2 + y2) dx dy = 2 J
J?n
sena:2 dx J
—oo
cos y2 dy = tt.
-oo
Para comprobar la segunda igualdad límite es suficiente pasar a coordenadas polares y
calcular la integral
i/2írn
psenp 2 dpdcp
=2n
J
p senp 2 dp — ir cos p2
0<p<23r
liste ejemplo muestra que la integral impropia doble
sen(x 4- y ) da; dy
IR2
diverge.
•
o
%/2ÍT71
= 0.
Wo
&DSoWXOR ,QWHJUDOHV PtOWLSOHV \ FXUYLOoQHDV
50.
Demostrar que l¿i integral
^
ft
2
JJ
E
(x' + f f
dxdy'
> 1> y ^ x}>
e r 2 : x
diverge, aunque las integrales reiteradas
+00
1
+00
+00
+oo
x2-y2
(x2+y2)2
1
dx
convergen.
<4 Solución. Para demostrar la primera parte de la afirmación es suficiente comprobar que
la integral I diverge absolutamente, es decir, que diverge la integral
\*2~y2\
(x2 -i- y2)2
E
donde
F(x, y) ^ <
[
dxdy
'JI*'
y) dxdy,
K*
I*2-;/2! si
C*2+'/>2
O
si
(x,y)€E,
(x, y) £R2\
E.
Consideraremos la siguiente sucesión de conjuntos admisible E„ = {(x,y) E. R 2 :
-n < x < n, -n < y < n}. Entonces, teniendo en cuenta que
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si
si
x > y,
x < y
n
n
1
n
V=x
y
r
+
}dx = I [
• X2 -I- y2sí=o arz + y h=n/
J \x
x
2(
í , 2 -y
x2
hallamos
I'n = J J F(x,y)dxdy
%
n
x¿2 - y2¿
— J dx J 2
(x + y2)2
i1 0 o
dy+IdxIwrhdy=
n
,
tt
1
5";—Ida; = Inn - T + arctg
x ¿ + n¿ J
4
° n
Como lim I'„ = +oo, la integral I diverge.
TI"-* 00
Calcularemos las integrales J\ e 1%. Tenemos
+CU
1
íia;
* = 1/ ( ? T 7r
+CO
+oo
W=
X
Kx2 + y2 x~+ao/
+00
J
1
</í/ _ 7r
í r
Este ejemplo muestra que la sola convergencia de integrales reiteradas no proporciona la
convergencia de la integral doble impropia correspondiente. •
ͣ͢͢
§2. Inie#riili** i«t«ll1l|»i*"» int|Hi»|>Í4iH
| almiar las integrales siguionk'»:
li.
/
J
Jl^
x2 - y
V
1
lolm ión. Puesto que
el integrando toma valores positivos, es suficiente calcular la integral
ͷϽΩy) dx dy,
ͺͺ ͭ
í
I
vp.
M?
ii u Ir
N'C.
si
yT x2-y2
L 0
{x9y)eE,
si
|»iii„ cualquier sucesión de conjuntos admisible (En) fija. Tomemos En = {(a>9)
I " - 2 , 3 , . . . } , entonces
1 . x'2 +, jf
<n--,n
i1 - ni
TT
// Jr(a5' ^ ^dV
E
> »
I7,
P
d<p
dp = 2tt V Í - >
In
0
€ R :
1 -
2tt
i• :
1- 7ϻt
1
n
>
I
lim I n
n—•co
27T.
•
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ÉHF
v
r..
VV
52.
da; dy
+
J
' r! -
í'-
Ͷ
fe
Solución. Según la definición del p. 2.2 se tiene
F(x,y) dx dy,
I
wlonde
-rn
F(x>y)
S
0
1
si
(xyy) € E,
(a?, y) e M2 \ E
lim
F{x,y)dxdy7
= J J
para cualquier sucesión de conjuntos admisible {En) fija. Tomemos En
entonces
^n<x<n>-n<y<n},
v^í
ln
Vn^l
Tí
dy
x* + y2
dx
1+íT
2
M
J &
+0
y
arctg ^
{(s,»)€R2:
v npituio 2. Integrales múltiples y curvilíneas
w(o! J!
- 2 /
+0
¿ H g ^ - a r c t g =
•jñ-i
- \ ( - c t g J r - arctg
+4 |
(2gt + ^a + 1 -
*
Los dos primeros sumandos tienden a cero para x
+0 y para n —* 00. Tomando
yíl^l
\/ñ—Í
consideración la estimación J
dx < i f dx —
obtenemos
o
"
o
'*
Vñ^l
VÍT^l
da;
1 = lim , „ 4,
,
2_ + 1 = ^rííoo
+
2x
/
/
2x
or + u +r
»-too ,/ 2® + 2ar +
o
Representando el integrando en forma de suma de fracciones simples e integrándola
hallamos
I — lim (
\2y/V2~l
ln
x2 +
-- Le + -4
x2 - \J<j2-\x
+ ^
+
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+ -
V^i
?rV2
+ arctg
= 7T1
Vvf+i
53.
j f
ax2+2bx^+2dx+2e^dxdy,
e
donde a < 0, ac - b2 > 0.
Solución. Haciendo uso de la transformación de coordenadas x — x$ + x' eos a - y' sen a,
y = y0 + x' sen a + y eos a, donde los números x0, yo, a satisfacen las ecuaciones
{
ax0 + by0 + d = 0,
,. 2
,
*.
,
reducimos la forma cuadrática <p — ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + / a la forma canónica:
<p = A x 2 + C y ' 2 + f ' 1
donde
2
2
. 4 = - ( a c o s a - 26 sen a cosa + c sen a) < 0,
/
¿A
/ — —,
o
C ~ ~(a sen2 a -2b sen a eos cr + c eos2 a) < 0,
a •b d
a 0t
A = b c e , 6 =
!
6 c
d e f
ltitatttrttpii niOlUpI***» I m p r o p i a *
123
c y A, <7 wrttiMmvn Ltrt rvlat ioncM siguientes
y los coeficientes aT
AC
a<"
//
A,
/i | C
« i c.
1(1 cambio de variables indicado transforma la integral / en la forma
2 . .
+<V
JjeA*>
.
r r >
,2
JJ€Ax<
w dx> dy<
er
=
R2
R2
t nmo sucesión de conjuntos admisible (E n ) elegimos
En = { ( x , y) G R 2 : -n < Ax'2 + c /
r2
z3
< '.imbiando en las integrales In — f f eM
E„
+Cy
t
r
[*p
J
o
n € N.
P
cos <p, y - — ^ sen <p,
y lomando en consideración que
2 ic
J„ =
,
dx* dyr las variables según las fórmulas
P
x =
<
= ^fjp obtenemos
x
[ pe-? dp =
J
VO
J_
'V™
= - ^ ( e " * ~e~"),
Vt>
lim J„ =
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n definitiva, tenemos
TT
r
I — eJ
Vó
=
TT 4
7T7 G á .
Vé
fe Investigar la convergencia de las siguientes integrales triples impropias:
54,
dxdydzf
J J J
donde E - {(x,ytz)
G R3 : x2 + y2 + z2 ^ 1 } ,
E
O< m ^
^ M,
4 Solución. En virtud de la estimación dada para la función <p y conforme al teorema de la
convergencia absoluta de integrales múltiples impropias, vemos que el problema se reduce,
de hecho, a la convergencia de la integral
ͺͺ
t t t
E
dxdydz
(x 2 + y 2 + z 2 ) P r
Debido a que el integrando es positivo, como sucesión de conjuntos admisible (.En) se puede
tomar cualquier sucesión fija, por ejemplo, En = {(a:, yyz) G M 3 :1 + ~ < x2-\- y2 + z2 < ra},
En las integrales
En
pasamos a coordenadas esféricas por las fórmulas
x = o sen # cos
y = psenQ senw,
z = pcosO,
(O < O < tt, O < (p < 2ic).
Y >0XLLLL í LQLFJUDOL . PtOWLSOHV \ K L L Y I I o L K P Q
'leñemos yjI | ~ < p < y/u y reduciendo luego las integrales triplos a integrales reiterada
hallamos
2»
•/"
jñ
I n = j senO <18 J d<p f
ful
A4
Si p > 5, entonces 3 lim I„ =
integral analizada. Si p ^
55'
r > 0.
E
III
luego la integral I converge. Asimismo converge la
la integral diverge.
•
yl^+W E = {iX'y'Z} € ^1 !XÍ + ,2/l
Solución. La convergencia de la integral I equivale a la convergencia de la integral
W/Z3(ISWHS
S!
"!
U!
donde E' = {(x,y,z) £ M3: \x\p + |j,|« + \z\r > l } .
Según la definición del p. 2.2 tenemos
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z)
dy dz,
si
(r, y, z) € i?',
donde
1
0
si
Debido a que F(x, y, z) > 0 en todo el espacio R 3 , como sucesión de conjuntos admisible
(En) se puede tomar cualquier sucesión fija, por ejemplo, En = {(x,y,z) £ E 3 : 1 -)• i <
\xf + \y\q + \z\T < ra}. Entonces, I\ = lim In, siendo
y,z)dxdy
'III
dz = 8 / / /
F(x,y,z)dxdydz,
donde E'n es la parte del conjunto En perteneciente al primer octante. Cambiando de
variables en las integrales /„
1 2 2
x — pP sen? 0eos?
1 2 2
y — p'¡ sen? tfsen? (p,
1 2
z = pr cos r 9,
y teniendo en cuenta que
®0>,
V)
pqr
Y
*
fc¡2. InU'fti'ftilpN initMí|ili<» Impropia
i^'t
obtenemos
TT
ñ
WT TT
rtft 2
/„
/ ^ Z Pa
2
r
i p
/ sen i >cos>> V ' ^
/
0
1,1
2 2
2
2 li
senP+'T* Ocos* 0d0
0
OT
?/
"
1 1 1
~
1 1 1 1
V? P /
J + í + 7-1
w
1 t-A
\\n evidente que la sucesión ( / n ) tiene un límite finito sólo si se cumple la condición
' f/ i- f < 1' q u e es también la condición necesaria para la convergencia de la integral
cmí udiada.
56.
Demostrar la fórmula de Diríchkt
I — f f
..• Í
31?
3J?
* - íCnT
CÍíCj (ÍX2 • - - rf^rn — n/
,
.
,
p
E
londe
m
E
|x E R m :
^ ^
^ °> ¿ = l > m } >
Vi > 0,
i -
Solución. Probemos dicha fórmula para m = 2. Tenemos
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l
U
xf'1x^~ldx1dx2
= J x*~1dx1
, >0,x2^0
r ,
0
!
J
xl1
1
dx2
0
1
- f « T d - ^
?2 y
J>2
0
-tei - ¿-B<Pi, 1 + » ) =
rf
r
w
(P!)^)
lV
+ í>2 + 1 )
Vemos, pues, que para m — 2 la fórmula de Dirichlet es correcta. Supongamos que st\i
correcta para (m — 1), entonces
1
I = J
dxm J J
0
donde
.- * J
11
- - - dxtn~ 1,
...
Er
m-1
^ 1 - xmi x{ ^ 0, i = l,m - 1
í?' = í x E R m _ 1 :
1=1
Veamos la aplicación definida por el sistema
Xi -
(1 - ÍCm)£i,
X2 -
{1 - ®m)Í2,
. . . , ^m-l
= (1
-
que es un difeomorfismo de clase Cl del conjunto
m—1
E" = { í 6 K*"" 1 :
^ 1, í¡ > 0, í = l , m - l }
v iijumm ¿.. intégralos múllipIoH y curvilíneas
011 oí conjunto i'í. I'tioslo que
V(XUX2,...,
Sm--l) _
n
im-1
conforme al método de inducción matemática obtenemos
JJ ... Jz?'-1^1...a^rj"1 d®2 -• • dxm.x =
=(i -
//-••/ ÍT'ÍT1 •••e r 1 ^
... ¿ e - 1 =
B"
Consiguientemente, la integral I adopta la forma
j =
r(p t )r(p 2 )...r(p f f l n-~r^J¿¡r
••• +Pm-
i
i
\i -
r(Pl +P2+
~
dxm =
i * + ft + • • • + ^
+
j
+1) ~
j
r (pi) • • • r(pm-i)r(p)r(pi + • • - +
+1) =
r(pi)r(p z )...r(p m )
r(pi+p2+
+p m + i)'i
r(pi+
+ p m - 1 + i)r{p 1 + ••• + p m + i)
Así pues, mediante el método de inducción matemática la fórmula de Dirichlet quedas
demostrada. •
•!
=
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i
Ejercicios
Investigar la convergencia de las integrales impropias:
+
34-
I = SS
B
35-
' - - f f ifS3>>
E
E
\ip(x, y)J ^ M, (x, y) € E.
= Ux> V) e R 2 : O < * 2 + y1 < 1}, O < m ^ \<p{x, y) j í M, (x, y) € B.
36- I = SIS (wXZZW'
E
=
O < m sC \j(x,y,z)\ < M, (x, y, z) £ E, tp, i¡> son funciones continuas en el segmento [O,o].
37- 1
- SIS ítr/4>
B
E
=
u x 1°'«x 1°> ]J-
Calcular las integrales impropias:
E
//
B = {(»,„) e K 2 . - + r > i } .
E
40. I-- JJ e~'x~: ,J)dxdy,E=-{(x,y) 6 ¡R2: 0
E
42. ffexp{-(g
* ¡J r/}. 41. I = // e " ^ 1 cos(z2 + y2)dxdy.
R2
+ £ ) }d®dy, 23 = {(*,») € K 7 : £ + ¿ > l } , a > 0, b > 0.
E
I I [ \ H [ S ^ J H I_ ϗ `G[Gϕ _HI §3. Aplk'íu ldn íIp IrtM luíiígriil^» múltiple»
Ux.p) t
WL 'f f ln vJ" Iir dxdy, E
n
E ~ {<*•**)
i* JJJ (1.X'&r>
H
ff
r/7'c
; !> <
*
' «' » ^ ' • »"6i
^'^'^dkjdii&dsa, donde /'(«i,^»
L " V
,
=
aji es una forma
1T(-EL\
U]/
V
f^s-l
a¿ >
ft >
::
E U W i '
i I j --l
„V\
...«m
t tuidrática definida positiva.
f/x Í/J/
J f f e
H.*
Demostrar la fórmula de Dirichíet generalizada
.Pm
£
ra
donde E - { x 6 R " :
> 0, * =
X) (fí)"' < 1 } / a¿ >
t^i
4W. Demostrar la fórmula de LiouviUe
1
r(pt)...r(p w )
r(pi + - - +p m )
J?
^
o
m
t-i
suponiendo que la integral en el segundo miembro de la igualdad converge absolutamente.
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§ 3. Aplicación de las integrales múltiples
a la solución de problemas geométricos y físicos
3.1. Cálculo de la medida de un conjunto medible según Jordán
Sea E un conjunto de Jordán (ver la definición 4 del p> 1.4). Llamaremos su medida
tic ¡ardan ¡lE (o volumen m-dimensional) a la integral
pE^
i dx.
(1)
E
Si m — 2, la medida de Jordán del conjunto E recibe el nombre de área y se designa
mediante P, En este caso se tiene
/ / dx dy
P=
E
Para m = 3 la fórmula (1) proporciona el volumen V del conjunto y adopta la forma
///
/ / / dx dy dz.
(3)
E
O
Los volúmenes de los cuerpos definidos en el espacio IR se pueden calcular también
mediante integrales dobles. Si
E =
€ R 3 : (x, y) G i ) C M 2 , 0 í z <
f(x,y)},
L ϭUW
&DSoWXOR ,QWHJUqOHV PtOWLSOH
\ FXUYLOoQHDV
donde ü es un compacto y f £ C{D), entonces
V =j j
}(x,y)dxdy.
D
3.2. Cálculo del área de una superficie suave en el espacio R 3
Veamos un conjunto de puntos S = ϻ'(j') del espacio R 3 definido median!
ecuación vectorial biparamétrica
v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, i/)),
$ =
(u, v) G D,
donde D es una región del espacio R 2 . Se dice que 5 es una variedad de dimens
p — 2 de clase C1 o bien una superficie suave si las componentes de la aplicación $ tie
derivadas continuas. En cada punto M = (x,y,z) de la superficie suave S existe un pl
tangente definido por los vectores
ii\ = (^-(il.
^-(n.
(«,„)=
dv
— (ti.
-*(«,„),
—¿(u,v)).
Definición 1. El área del paralelogramo construido a partir de los vectores ||
dv se denomina elemento del área de la superficie S y se denota mediante dS.
Según la definición, el elemento del área dS de la superficie se determina por
determinante de Gram F (v. p. 1.1):
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= f('
dS
,
,
rdñdn>
h
VoGY
(EG - F2)dtí' dv2,
—- du, — dv
au
av
( f . f ) ^ 2
donde £ = ( f , f >, G = ( f , f ) y J? = < f , f ) son los coeficientes de Gauss.
Así pues, conforme a la definición se tiene
dS = \/~EG -
F2dudv.
Si la superficie S está definida mediante la ecuación 2 = z(x, y), (x,y) £ D, o
$ = [,'(j;. y) = (x, y, z(x, y)), la fórmula (1) se convierte en
dS = J l + z'2 + z>2 dx dy.
Definición 2. Se denomina área P de una superficie suave S C R 3 a la integral
P
=
j j dS = j j \fEG - F2 du dv.
D
D
Si dS ~ yT + z£ + z'2 dx dy, la fórmula (3) adopta la forma
P = j j
z'2 + z'2 dx dy.
I ¿7
Aplicación tli* 1 rita lnU<Mi7ilt'« miíiupjes
3.3. Aplicaciones de las Inlrgfídc* dohlr* y Iripies en la mecánica
ij
Consideremos una placa con la forma de una región plana D C R . Supongamos
Iíp la placa esté construida con un material de la densidad superficial fi = fi(xfy), Ll
niht {le gravedad se define como el punto de coordenadas Xq e yo determinadas a partir
||t) |nu fórmulas
1
1
yfi(x,y)dxdy,
J J xfi(x, V) dx dy,
(0
m
ra
í?
tlonde m — / / ¿¿(a;, y)dxdy es la masa de la placa.
Sí la placa es homogénea, entonces fi(x, y) es una constante que suele ser tomada
Ijjiml a la unidad.
Los momentos de inercia Ix, Iy de la placa D respecto a los ejes de coordenadas Ox
y M// se definen mediante las fórmulas
y p{x,y)dxdy,
IX
x ¡i(x) y) dxdy.
L
(2)
D
D
El momento de inercia centrífugo Ixy se define por la fórmula
xyti(x,y)d&ty.
I xy
(3)
D
fórmulas
Tomando ¡i
j^ome trieos de una placa homogénea (es decir de una región cerrada D\
Consideremos un cuerpo T C M3, Sea = ¡i(xyy,z) su densidad volumétrica. Las
i nnrdenadas del centro de gravedad xn, vn. zfí del cuerpo se definen por las fórmulas
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x0
í su
xp(x, y¡ z) dx dy dz?
¿o
1
m
jfo
1
m
líí yp{x y,z)dxdydz,
dz
III
%
>
(4)
donde m = J f f p{x, yy z) dx dy dz es la masa del cuerpo.
T
Si el cuerpo T es homogéneo, en las fórmulas (4) se toma p — 1.
Se llaman momentos de inercia del cuerpo T respecto a los planos coordenados
a las integrales, respectivamente,
l xy
III
z p(xJy,z)dxdydzy
I zx
III
i¡yz
y
II!
x p(x,yjz)dxdy
dz,
p(xiy,z)dxdydz
(5)
Se llama momento de inercia del cuerpo T respecto a una reda l a la integral
I,
III
r p,(xíy,z)dxdy
dz,
130
Capítulo 2. I n t e g r a l e s múllipIcH y c u r v i l í n e a »
donde r es la distancia desde un punto M -- (x, y,z) del cuerpo a la recta l. Para los i
de coordenadas se tiene
ir — Ixy + Jxzi
ly ~ lyx + lyzi
¡z — Itx "I" Izy
Se llama momento de inercia del cuerpo T respecto al origen de coordenadas a la intefl
io - f f f t e 2 + y 2 + z2)ti(x> y>z)dx
¿y dz.
T
De las fórmulas (5) se obtiene
lo = írjr + lyi + Izx •
Como potencial newtoniano, o bien potencial del campo gravitatorio creado pot
cuerpo T en un punto P = (x,y,z) se sobreentiende la integral
u(x,y,z)^Jff
(j
T
r¡, Q es la densidad volumétrica del cuerpo y r—
— x)2 + (<q ~ y)2 + (£ - ;
El cuerpo T atrae un punto material de masa m con la fuerza F cuyas proyeccic
Fx, Fy, Fz en los ejes de coordenadas Ox, Oy y Oz se definen mediante las fórmulas
donde
Fx =xm~=xm
j J j /¿(£,
<)
dr¡ d{,
T
=>imJJJ V'0 V ^d7>
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Su
dy
»
Fyy =
T
Fz = *mTz = Km JJJ
v'C) ^^ d* dT>d':,
donde n es la constante gravitatoria.
Hallar las áreas de figuras planas D cuyas fronteras están definidas mediante 1|
ecuaciones:
57.
(x2 + y2)2 = 2a\x? - y2), xl + y2 = az, (x2 + y2^
a2).
Solución. Pasando a las coordenadas polares p y <p se obtienen las ecuaciones de
frontera del compacto D en la forma p2 = 2a 2 cos 2tp y p2 — a2, es decir, se pide calcula!
el área de la figura plana limitada por la lemniscata de Bernoulli y por la circunferencia dfl
radio a (fig. 8). Es fácil comprobar que el punto (a, f ) es uno de los cuatro puntos d(
intersección de la lemniscata con la circunferencia. Tomando en consideración la simetría!
de la figura vemos que el área buscada es igual al área de la figura
I?! = j(¿>,<p) € K2: a
p ^ a^2cos2<p,
0 < <p < ||
multiplicada por 4. Según la fórmula (2) del p. 3.1 tenemos
a^/2 cos 2t¡>
P = 4
J" d<p J p d p = 2a J (2cos2¡p - 1)d<p = 2a (sen2<¿? V)2
2
— TT 2
X a•
131
§3. /plicaclrtn tlt> Un I tiltil «tlr* itiúlllpIcH
l,
|H.
(x - y)2 + x2 = a2, a > 0.
Para el cálculo del área / ' do ln lisura coiiHidernda consultemos el ejemplo 5, c)
||l i'l caso considerado f(x,y) — l, entonces
mIim íóii.
(l
a
P
dy — 2 ÍVa
dx
a
x 2dx = 4 j y f i
-a
—a
x2dx,
0
x
('rttnhiiindo de variable t = aresen | tenemos
ü3
TT
F = 4o
/ eos* í
=: 2 a
2a2(t+*en2t^
/ (1 + cos2¿) dt
o
o
2
/lo
7ra
•
rfP
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Fig. 9.
Fig. 8,
!W.
(OÍ2 + i/ 2 ) 2 ~ 8a 2 £3/, (x - a)2 + (y - af = a2 (a > O, (as - a)2 + (y - a) 2 < a 2 ) .
Nnlucicm. Se pide calcular el área de la parte común del círculo D — {{x,y) E R 2 :
y del conjunto K = {(x,y) G 3R2: (a;2 + y2)2 ^ 8a2xy}r Su
(ir. - a)2 + (y~af^a2}
Intersección I? D K se encuentra en el primer cuadrante del plano xOy (fig. 9). En
roí ordenadas polares la representación del conjunto D n K es de la forma
/) n K = j t ^ v 3 ) £
a((sen^-bcos^) - x / s e n 2 ^ ) ^
j
1
1
7f
1
1
^ p < 2a\/sen2^ 1 - aresen - < <p ^ — - aresen
2
o
4
2
Irniendo en cuenta la simetría del conjunto D n K respecto al rayo <p — ~ hallamos
2ax/&en2ip
dxdy — 2
/>
DCiK
dip
pdp
\ aresen | a((sen p+cos <p^/senl<p)
TT
a2 J (2 sen 2tp 4- 2(seri tp + eos <p) 1/sen 2<p - 1) d<p
i
1
* aresen ?
X
eos aresen
TT , 1
— + - aresen
4
2
+ 2a
1
(sen <p + eos (p)\/scn 2(p dtp.
L
ϭUW
&DSoWXOR ,QWHJUqOHVPtOWLSOH
\ FXUYLOoQHDV
Puesto que
cos (aresen ± ) =
TV , 1
1
=
V63 = 3V7
8
8
1 /JT
'
1
- - + - aresen - = - - ( - - aresen - j = - - arccos
1
después de cambiar de variable <p + | = t obtenemos
„
2Í3V7
P —
? 1
1
~ arccos - + 2V2 J V— cos 2t sen t dtj.
f+j airsen j
Calculamos
f
1 = 2V2 j
j arccos ( - i )
= 2J
V^^isentdt
^ +arcsen j
y¡\~ (V2cosí ) 2 d(%/2^7).
§
Después de cambiar de variable V2cosí = sen z obtenemos
aresen
^
J
— aresen V7 ^ + V7
= „2 /• cos2 zdz
2V2
8 '
o
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Así pues,
„
2 fV7 ^
V7
1
1\
P = a
+ aresen ^
- - arccos - ) .
Denotemos aresen
~ \ arccos ¿ — a, entonces
3 V7
sen a = —-p
V7
VU
= ——.
8\/2
&y/2
8
VÍ4
a = aresen ——.
8
En definitiva tenemos
+ aresen — J .
P = a
•
2
2
% + fr = J +a > °>b > h > * >
< Solución. Escribiendo la ecuación de la frontera de la región D C R 2 en la forma
( * - J L \ 2 + ffí_ L V ^ j I 2
Va 2/iZ
y realizando en la integral doble
V&
2k)
P = J J
4hz
. iL
4fc?
dxdy
D
el cambio de variables
as o
y
b
— — — =pcosp, ~ — — = ^senw.
Ϙ
c Apllmrinn fifi mu m ^ w w
r
|
H
t
romo teniendo en cuenta tji.it»
"
A:2'
Miamos
3
61.
3
2
n**
i
2ít
P = ab I d<p
/
o
o
o .
*
2
+ 75, ar - 0, y = 0 (a > 0, 6 > 0, ft > 0, k > 0).
kr
~J +
a
cr
4 Solución, La figura plana estudiada se encuentra en el primer cuadrante. Pasemos
ú coordenadas polares generalizadas según las fórmulas
,2/3 _
a; = apeos 1
^ _ . ÍT
0 ^ tp < —,
_
2/3 _
y — bpsen' ip,
n
on el jacobiano
U
A
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Las ecuaciones de la frontera de la figura adoptarán la forma
4/3 P + , £2
&2 sen 4/3V7
2
p = ^acos
f n <. 9 <. ^ J »
n
V = 0)
9 = ff"
~
2
Cambiando de variables en la integral / / d a j d y y reduciendo la integral doble a
D
integrales reiteradas obtenemos
£ eos4'3
f
sen^ p
— ^ab I cos"1^3 ip sen"1 ^ ip dip
o
I pdp —
o
7T
ab I
-1/3
-1/3 / a
4/3
' e o s ' y?sen ' p ^ ^ c o s '
2
£
o 6 1f 1 (a 4
3 \ft2fc2
at (a2b2
2ft4
1
,
2
4/3 V j
sen' <pj dip
. ,
v
2
o
_i/3
7/3
r / I
,
fo4
7/3 c o s _i/3
sen ' (pe o s ' y + r j s e n '
3 J \fc4
o
fi ! ^
.
v3'5/
V
, 2a26
\ ,
y + k2¿,2 sen y cos y j «y
¿Luí*' i V U ^ / ^ + I / ^ ^ W
2ft4
V3'3/,/
, l f a * b * \ r ( l \ r f .
3 \h2k2
1\\
+
2U" +
ab f a2b2
2tt ( é
1
\3' 3
64 ,,
5
C a p i t u l o ,QWlJUDOHϩ PtOWLSOR
62.
4
+
2
\ Ϝ XL YoOLQRLV
A
,, J - g , ® > o, sr > o, O > o, 6 > o.
M Solución. En la integral
=11
dxdy
v
efectuemos el cambio de variables según las fórmulas
x = a p eos2 tp,
y —bp sen2 tp.
Entonces la ecuación de la curva que limita la región D tomará la forma
/a2 eos4 tp
p — y —-pj—
h2
b2 sen4<p
fc2
,
donde
a2 eos4 tp
— 2
/i
b1 sen4 <p _ „
— — > 0.
A partir de las condiciones x > 0, y > 0, | tgy>¡ < y ^ resulta 0 ^ <p < arctg Cambiemos de variables y reduciremos la integral doble a una integral reiterada. Teniend
en cuenta que cos(arctga:) =
-¡, sen(arctga) =
obtenemos
arctg V i "
I
P = 2ab
sen tp cos <p dtp
I
"i1"
pdp :
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2
5 , tp cos
)dtp
tp =
cos tp sen tp —f- —.>. . sen
0
,
_ abf a cos6
~ 6 U2
ab
6
63.
,
bZ
\
+ ¿ j sen6 tpJ
q4fefc(afc + 2Wi)
6/ría¿ + 6/Í)2 "
¿ ( l - eos6 ( a r c t g y ^ ) ) - ^ sen6 (arctg
x 2 = ai/, ar2 = by, x3 = q/2, x3 = d?;2 (0 < a < 6, 0 < c < d).
Solución. Las ecuaciones de partida nos dicen que la región está en el primer cuadrante.
Cambiando de variables x2 — uy, x3 — vy2 en la integral
-II
dxdy
D
obtenemos
a < w < 6,
c^v
< d,
x = u'v 1,
b
d
y = u3v 2,
J J u*v~*ditdv = J ifdu ! v~4dv =
v)
= 1t4V-4 ,
- a 5 ) (c~3 - <T3).
i
Aplicación ili« ian litfl«ijtr<iltfrt tmilliples
y — ax1', y — bxv, y — ex'*, y
tlx't (O * p v t¡, O - a < b, O < c < d).
Nulmíón. Escribiremos l¿is ecuneíonew de Jn frontera del compacto D en la forma y
i i
« i
bxv, x — c <ty:í, x — d <ty** y efectuemos en la inlegrnl
ax*,
dx dy
P
D
t»l i .imbio de variables y — uxv y x -- vy , el cual pone en correspondencia los puntos del
i«H l.íngulo Df — {(u, v) 6 R 2 : a ^ u ^ b, d~í < t? ^
} con los de la región D. Puesto
Í>±1 pfatn
i
q-í» se tiene
í j< H' X " 1A 'i-p V<i-v , y — U 1-P V tt-P,
^
c </
<1
9-P
/>
©
í±i
ü + J .
(p + 1)( ? + 1)
O
2/3
2/3
+
—a
2/3
1
•(I)
+
2/3
4,
#
a
\
í
) (c *^ — d
_
£ + 1 ,
•
v o* _
rb', 8 * = 5 , s > 0 , j r > 0 .
Solución. En la integral P — f f dx dy cambiemos de variables según las fórmulas
D
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apeos3 tp, y — frpsen3^ Tenemos
I•X
8,
arctg2
I'
— 3abp sen2 tp eos2 <p¡ arctgl < tp < arctg2,
arctg 2
8
2
2
f
189
sen y?cos tpdtp I pd<p= -^-ab J sen2 tp eos2 tp dtp
2
arctgl
1
arctg 1
arctg2
arctg2
189
,
(1 - cos 4<p) dtp
ab If sen2 0 . = 189
-r—ab
8
arctgl
arctgl
arctg2
189
ab (arctg 2 - arctg 1 — sen tp eos tp (eos2 tp - sen2 tp
arctgl
16
6
189
ab (arctg | +
25
16
3ab
16
•
rj.
limitada por la elipse
uu* nauta a aitct uc ia «
+ c2) — 1/ donde ai¿>2 — ÍI21
fax
- byy + c\) + (a?ab-
solución. En la integral P — J j dxdy efectuemos el cambio de variables según las
D
fórmulas a\z + bxy + c\ — u, a2x -f b2y -f ¿2 = v que transforman el círculo D* = {(u, v) G
l:Ü2; u2 -1 v2 < \} en la región D, Haciendo uso de la conocida propiedad del jacobiano
Ti
PJ&É. Vjiuv\obtenemos
•
iL luego P - ¿r f f du dv
V{u,v)
V(u,v)
D'
, !
&DSoWXOR ,QWHJUDOHV PtLOLSOL Ϝ \ FXUYLOoQHDV
Con la ayuda de la fórmula (4) del p . 3 . 1 calcular los v o l ú m e n e s de los cuerfl
limitados por las superficies siguientes:
67.
z = x2 + y2, y = x2, y = 1, z - 0.
< Solución. El cuerpo T cuyo volumen V se pide calcular es un conjunto cerrado desci
por las desigualdades
T = {(x,y, z) e K3: - 1 < z < 1, x 2 < y ^ 1, 0 ^ z < a:2 + y2}.
Según la fórmula (4) del p. 3.1 se tiene
V - JJ(x2+y2)dxdy,
D = {(x,y) e K 2 : |x| ^ 1, x2 < y < l } ,
luego
1 1
V = Jdx
68.
i
I(x2+y2)dy
= j
+
z = xy, x + y + z = 1, z = 0.
< Solución. Examinemos la superficie S = {(x,y,z) € R'3: z = xy}. Ésta corta al plaffl
a — {( x ,y> z ) 6 R 3 : x + y + z = l } formando una curva cuya proyección en el plano xC
se describe por la ecuación y =
x € R\ { - 1 } . Por tanto, el conjunto D que figura en]
fórmula (4) del p. 3.1 es un triángulo cerrado
de la forma D = D\ U D2, donde
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Di = {(®,y) É l 2 : 0 ^ < l , 0 < 3/ <
!»2 = {(®,y)€Rz:0^a<ll
~~
~
,
^ y ^ 1 - xj .
!
Representemos la integral
V = J J
f(x,y)dxdy
D
en forma de una suma de integrales extendidas a los conjuntos Di y Di. Observemoi
que en el conjunto Dt la función f es de la forma f(x,y) — xy, y en D2 se tiene
f(x,y) = 1 - (x + y).
Reduciendo las integrales dobles a integrales reiteradas obtenemos
,]o
Tí?
1
V —
1
1
—*
u
t£
J xdx I y dy + J dx J (1 - x - y) dy —
o
o
I37
$3, Aplitmlrti» di* l<m l t i l K j i r < i h * N nuilliples
z2 — xy, x2 | y
y,js) ( E
Polución. El cuerpo considerado ohUÍ limitado por la .superficie S =
/
xy} (por arriba y por debajo del plano xOy) y por la superficie cónica S i
{ { x / í / j Z ) E R 3 : x2 4- y2 = a 2 ,
C; K } . Un virtud de la simetría del cuerpo respecto a los
planos £ — Qy z — x+y,es suficiente calcular el volumen de una cuarta parte del volumen
luí.ti V y multiplicar el resultado obtenido por 4. Así pues, tenemos
V=4
J J
yíxydxdy,
D
i londe la integración se extiende a la región D = {(a?, y) G M2: x2 + y2 ^ a2, x > 0, y
0},
Pasando en la integral a coordenadas polares y reduciendo la integral doble a
integrales reiteradas hallamos
ir
ir
V • 4 sen1¿/2 y?cosly/2 (pd(p
4
3
p2dp
o
Ü
sen1/2 (p eos1/2 (p d(p
o
2 w 3 ^
2 ^ r2(l)
3 a B U ' 4/ ~ 3° r(I)
4ft3 r 2
3\/ir
70
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z = x1 + y2, x2 + y2 =
X2 + y 2 =
2=0.
Solución. El cuerpo considerado está limitado por arriba por el paraboloide de revolución
S -•-= {(a?, y, z) E M3: z = x2 4- y2} y por debajo, por el plano xOy. La superficie exterior
es la superficie cilindrica ¿>1 = {(x,y,z) G M 3 : (a - l) 2 4- y2 - 1, z G R } , y la interior es
+
= |> z € M}. Dichas superficies
la superficie cilindrica S2 - { f o y , z) GR 3 :
1 ilíndricas definen en el plano
una región cerrada D que en el sistema de coordenadas
polar se describe mediante las desigualdades
< ^ ^ \* cos<P ^ P ^ 2 cos tp. Según la
fórmula (4) del p.3A tenemos
-ir
d<p
(x2 + y )dxdy
V
D
ir
2 COS ip
15
4
p3dp
eos y?
fl-
cos ipdip
JT
IT
15 If cos4(pdíp
.
15 r ( i ) r C|)
4" ( 2 ' 2 )
4
d
o
71.
15 /1 5
r<3)
45
32
z = a?2 + y2, z = a? 4-
Solución. El paraboloide de revolución y el plano se cortan formando una curva cuya
proyección en el plano xOy es (a? - 5) +
T
£ r
a:
\-
-i) + y
— 5 • Por tanto, el cuerpo T es
<
af2 + y1 < 2 ^ o; + y
OXLWLSLF+ \ FXUYLOoQHDV
entonces la fórmula (4) del p.3.1 adopta la forma
V = JJ(x
n
+
y-x2-y2)dxdy,
D = |(« > 9 ) G R 2 : (x - \)\
(y -
^ |J .
Cambiando de variables en la integral según las fórmulas x - | = p cos tp, y - | = psen
obtenemos
2TT
Jí
72.
2
2
2
2
o
o
2
2
~
+ ^ + 3c~ = 1, a¿ + fj
= cr (ir > 0, a > 0, b > 0, c > 0).
a¿
(r
< Solución. El cuerpo está limitado por la superficie cónica y por la superficie del elipsoi"
La proyección en el plano xOy de la parte de la superficie del elipsoide que corta a
superficie cónica, está limitada por la curva 7 = {(a;, y) G R 2 : jr + fr =
A partir
consideraciones geométricas se deduce que el volumen del cuerpo se puede calcular con
ayuda de la integral
V = JJ(zi{x,y)
- zz{x,y))
dxdy,
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D
D = { ( x , y ) t R +
donde
Pasando en la integral a coordenadas polares generalizadas según las fórmulas x — apcostp
y = bp sen (p obtenemos
2n
V - abcjdtp
o
73.
J2
j(p^W2
o
(- + -)
Va
- P2) dp = |ff«6c((l - p2)3/2 + p 3 ) | , = |a&c(2 - y/2).
71
2
o/
2
+ ^ = 1, « = 0, y = 0, 2 -
cr
0 (a > 0, 6 > 0).
A Solución. Pongamos z — 0, entonces ~ + | ^ 1, es decir, 0
Se pide calcular el volumen del cuerpo
T = |(a:,y,z) G R 3 : 0 < x « a, 0 < y < 6 ( l -
,0^ z <
En la integral
V=CJjf-(-a
x < a, 0 <; j/;;; & (1 —
+
ífdXdy>
}•
.
§3. Apllrmlón iU* lua iuh^oilr» múltiple»
D
{(;/>, y) ( Ik': 0 v H! *
(taremos el cambio de variables x
imirin que
= 2a¿yjsen
y - b (I -
0
}
típwn¿<p, y
bp$m2(p. Tomando en considcasí como los límites de variación para tp y p
({I v <p ^ |T 0 ^ p ^ l ) obtenemos
ÍT
abe •
abcn
2x3/2 o
V = labe I sentpcos tp dtp / p>/1 - p2dp = ^—(l - p*)
o
T
o
Solución. El cuerpo está limitado por la superficie del elipsoide y por la superficie cilindrica
2
j
•
^
2
i
i1114** define en el plano xOy la región cerrada D — {(x,
+
< ^ — }.
Teniendo en cuenta la simetría del cuerpo respecto a los planos coordenados, así
romo la simetría de la región D respecto a los ejes Ox y Oyf para el volumen V del cuerpo
ni >tenemos la fórmula
y
\¡\-^-^dxdy,
2
V = 8c ¡I
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2\ 2
A = Ux,y)
e R2:
+ I-)
„2
„,2
x > 0, y > 0
^ |r -
( ¿imbiando de variables x = ap cos tp, y = bpsemp hallamos
v/cos 2y>
TT
V = 8abe I dtp
0
I p\/l - p¿ dp
o
X
7T
4
4
^abe [ (l - p2)3/2 °
dtp = -abe [ (l - 2v^sen 3 tp) dtp
3
7
'
i/coglp
J J
o
o
IT
4
/
= |a&cf ^ ~ 2^2 J(eos2tp
- l)d(costp)
o
3
j = |«&c(37r + 2 0 ~ 1 6 ^ 2 ) .
. " I»'
75.
•
•!
z ~ icy, a:2 — y, x2 — 2y, i/ 2 — x, y2 — 2a?, 2 — 0.
Solución. El cuerpo T cuyo volumen se pide calcular puede representarse en la forma
T = {(a;,*/,^) E R 3 : (x, y)
xy}, donde D es un rectángulo curvilíneo cuya
frontera viene definida mediante las ecuaciones x2 — yf x1 — 2y, y2 — x, y2 — 2x*
En la integral
V — j I
xydxdy
ЩU/Lϩ!
XLLFJUDLHV PtOWLSOHV \ FXUYLOoQHDV
cambiemos ile variables según las fórmulas x2 -- uy, y2 — vx que transforman ei cuadr
D' --- {(«/») e M 2 :1 < a < 2,1 ^ v < 2} en el conjunto D. Tenemos, pues, í>(u,u)
^ ^ __
- 13i
2
2
V = ^ J J uvdudv ~ i j udu J vdv =
+
+ J
= 1, I = o, y - 0, ^ = 0 (n > 0, a > 0, 6 > 0, c > 0).
Solución. Se pide calcular el volumen del cuerpo
z) £ R : (x,y)en,
T-
O^z^c
vRiT+S)}.
donde D = {(x,y) € M2: 0 < x < a, 0 < y < b^Jl - f ^ j . Según la fórmula (4) del p.
se tiene
11 x"
ya
'I
- - - n m dy.
V—c
a"
b
Tomando en la integral x = apcos" <p, y = bpsen" tp hallamos
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V{x,y)
2 ,
—
r — ubp eosn
V(p,<p) n
f
V = ^abej
i-i
rasen" tp,
i
eos»*1
ipsen^tpdtp
0
i
j p
0
-
pn dp =
~B
Q,
i ) J p^/T^f*
Ü
dp
1
En la integral I — f p tyl^ pn dp cambiemos de variable según la fórmula p — í
o
Obtenemos
i
/=
- [t»-\l
nJ
o
- í)" di = ~B ( - , 1 + i ) ,
n \n
n)
luego
V = ^B
n2
(i,
\n 7iJ
\n
+
n)
= ~2 ~jfl3n
F(|)
»
Con la ayuda de la fórmula (4) del p.3.2 determinar:
77.
El área de la superficie del cuerpo limitado por las cortezas cilindricas
5, = {(x, y,z) £R3:x2
S2 = {(x,y,z)
+ z2 = a2,y&
lR M},
V [E R}.
§3, Aplicación tlt* ta» Inli'piuih'» tnutliplos
141
Fig. 10.
t
f Huíución. La fíg. 10 muestra que la ~ parte de la superficie del cuerpo formado al cortarse
lhí¿ dos cilindros, se proyecta en el plano xOy en el conjunto
luego
P
16 JJ
ijl+zg +
zffady,
D
2
londe z — Va 1 - x1. Como 1 +
-f z'} =
D
x
a
dx
í
P — 16a
dy = 16a
Jo
Va1 — x1 J
o
o
¿, se tiene
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*
u
Wlr"
A
x
78.
El arca de la parte de la esfera S - {{x7ytz)
i lentro de la superficie cilindrica
2
2
S1 =
{(xíV,Z)6R3:^+%i
16a Va2 ™ x2
6 M3: x2+y2
1
+ z2
o
a
a\
•
a 2 } comprendida
yz6R
4 Solución. La superficie cilindrica corta la esfera dando lugar a partes simétricas respecto
al plano xOy, cada una de las cuales se divide por los planos coordenados xOz e yOz en
cuatro partes iguales. Para 2 > 0 se tiene
y 2,
1 + z* + z*
y
a
a2 - x2
y2'
Según la fórmula (4) del p, 3.2 determinamos
a
r ^ 8íi
fÍ
JJ
. líl
dxdy
—
—
\fa2 — x1 — y2
dy
8 a I dx
o
o
y/a2 - x2 - y2
J
a
aresen
8a
o
y
Va2
— x2
dx
b
W•
C 2 aresen—.
8a
a
L
ϭUW
Capítulo 2. I n t e g r q l e s m ú l t i p l e
y curvilíneas
79.
Kl área de aquella parle de la superficie S ~ {(a;, y, z) ( IHí'1: z'' — 2xy} que
obtiene al cortar a dicha superficie con los planos de ecuaciones x f y
l, x = 0, y = 0,
A Solución. Diferenciando Ja igualdad z1 = 2xy obtenemos zdz = y dx -V xdy, de don
+ "V
X' zy
x' 1 +
¿ - 2X1J •
Tomando en consideración que la superficie S es simétrica respecto al plano xí
y la parte de la superficie situada por encima de dicho plano se proyecta en el conjurT
D = {(ar,y) G R 2 : 0 ^ x ^ 1, 0 ^ y < 1 - x}, hallamos
1
l-z
P = 2jJ^Ldxdy
D
= V2 jdx
0
1
= 2 Vif
j
(x^y-112
+
Vh1/2)
dy =
0
~ x f 2 + ¿ a T ^ l - x f 2 ) dx - 2\¡2 (l3 (|, | ) + ¡B ( i , | ) ) =
^ ¿ ^ ( f )
r(3)
ir(i)r(l)x
3
r(3)
r2(f) _ ,
/
V2
V2'
j
1
80.
El área de la parte de la superficie S = {(x,j/,z) G R 3 : z = v ^ + l / j comprendid
dentro de la corteza cilindrica Si = {(x.y, z) G R 3 : x2 + y2 — 2x, z G R } .
A Solución. La superficie cuya área se busca se obtiene al cortarse el cilindro Si y 1
superficie cónica S . La intersección del cilindro Si con el plano xOy define la circunferencl
7 = {(a;,j/) G R 2 : (x - l) 2 + y2 = 1} de radio 1 con centro en el punto (1, 0), que es la
frontera de la región ü. En Ja superficie S se tiene z = sjx1 + y2, luego z'x — j, z^ =
I -I- z'2 + z'2 = 1
= 2. Por consiguiente, P =D/ / V2 dx dy = irV2.
•
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81.
El área de la parte Si de la superficie S = {{x,y, z) G R 3 : z = y/xl - y 2 }
comprendida dentro de la corteza cilindrica
S> = {(®, y,z) G R 3 : (x2 +
- a2(x2 - y2), z G R}-
A Solución. El cilindro S2 corta a la superficie S dando lugar a partes simétricas respecto
al plano yOz e iguales entre sí; la proyección de la | parte de la superficie Si en el plano
xOy es Ja región cerrada D = {(x,y) G R 2 : (x2 + y2)2 sí a2(x2 - y2), x > 0, y > ()}. Puesto
que en el caso considerado y/7 + z¡¡? + z'y¿ — — s e tiene
P = AVI
a
D
dxdy
\fx
"2
wj .~A - y*-
Pasando en la integral a coordenadas polares obtenemos
f
P = 4V2 j
o
úv^"s2 V
J^'^
dlP
J
o
pdp
f
= 2V2a2
J cos tp\Jcos 2if dtp =
¡,4
o
= 2a2 J
yfl-(v^sen*?)2d{y/2$entp).
143
£3, Aplicación <l»' lii» hili'NiuIr* miíllípIcH
lomando en la ultima integral >/?Mtfnyj
t fiiitnilruiiKiw
\
V
f v/l
ira2
2
t* dt
O
•
82,
El área de la parte Si de la superficie S = {(x,y,z) E R 3 : z =
uhliene al cortar a dicha superficie con dos planos de ecuaciones x — y =
- y 2 )} que se
x y ~ ±1.
Solución. La cuarta parte de la superficie S\ se proyecta en el plano xOy en la región
E R 2 : 0 ^ x ^ 1, 0 < y ^ 1 - se}. Puesto que yjl f z'£ + zg =
cerrada D = {(x,y)
y 1 -f x2 + y2, se tiene
P =4
¡i? i *
+ x 2 + y 2 ciar dy.
t'asando en la integral a coordenadas polares obtenemos
v/2 s«i(v5+ % )
V - 4 / dip
i+p2)
+ P2 dp = |
D
o
l
YƒZVY l/2
^)
0
0
dtp
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TT
4
3
7T
o
1
1+2
2sen (v? + uf ))
2
3*
- 1
^
+
7T
3/2
4
J h + c t f ^ + l
o
o
'lomando en la integral ctg (y? + f ) = t hallamos
i
P
~ + —p=Is
3
3V2
donde
(3 4- t 2 f 2
di.
1 + £2
I
Para calcular la integral J representémosla en la forma
i
i
f=
1 +
L
2
l+f2
+ t2dt + 2 I
) V3 + ¿2 dt
-i
^f^-dt
i
dt
-i
l
2 + | l n 3 + 21n(í+>/3 + íz)|_1+4 J
L
dt
+ 4
-i
(1 +t2)Vz
+ i2
r — 7 = = = 2 + ^ ln3 + 4J|,
2
(1 + Í V 5 T Í 5
W .ipíUilo 2. I n t e g r a l e s múltipIi+ y FXLYIIoLKPP
l
donde 1\ = f
• Queda por calcular la integral /¡. 'lomando en ln última t
y/3 tgi
obtenemos
7 ^fitr, = 7=2 /
= 7¿arct
Así pues, en definitiva tenemos
„
2tt
~T
2V2A . 7 , , \ . 8
~3~~ (
4
)
3
,
S
1
vf'
*
83.
El área de aquella parte de la superficie S definida mediante la ecuación sen z
sh x sh y que resulta al cortar a dicha superficie con los planos x — 1 y x = 2
M Solución. A partir de las condiciones del problema resulta que 0 í^ sharshjf < 1, d«
donde 0 ^ y < arsh
Diferenciando los dos miembros de la igualdad sen z = sh x sh J/
obtenemos coszdz = chxshydx
consiguiente,
de donde z'x =
+ shxchydy,
, z'y =
• Por
.. a , a
, , ch22Tsh2jH sh¿xd\2y
. , ch2x sh2?/ f sh2?; ch2y
l + Zx -Y Zy
= iH
5
— i-i
—T—rs
—
y
2
COS z
1 — sh arsh y
— 1 ~ sh2x sh2y -j- ch2ar slry + sh2as ch2^
1 + sh2ar(ch2t/ - sh2y) -f ch2ar sh2y
2
2
1 - sh ar sh ?/
1 - sh2arsh2í/
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_ 1 + sh2ar + sh2xsh2ar _ ch2ar(l + sh z y) _
1 - sh2a; ch2y
1 - sh2x sh2y
ch2a; ch2^
1 - sh2a; sh2y'
De acuerdo con la fórmula (4) del p. 3.2 tenemos
2
arsh(¿)
P — [chxdx
{
f
{
2
,
J\-stíxsh2y
Chydy
/
2
arsh(¿)
= f chxdx
{
f
{
|Sf =ansf, (¿)\
/1 cth
^ x f arcsen(sh £ sh y) í = °
7r f d(sh a;)
. d{5hy)
=
\ / l - ( s h x s h y?
2
7r. , ,
.1
r
jdx — I aresen 1 • cXhxdx =
ir. sh2
WW . e 2 - e 2
7r, / , 1\
i
84.
El área de una parte de la esfera S = {(a?,y, 2) € IR3: x2-ry2 \-z2 — a 2 } comprendida
entre dos paralelos y dos meridianos.
•4 Solución. Sean tpi, ip2 las longitudes de los meridianos (<p2 > <p\), y
i>2 las latitudes
de los paralelos (ip2 > i>i)- Las coordenadas de un punto M — (x,y,z) perteneciente a
dicha parte de la esfera se pueden escribir en forma paramétrica
x = a cos ip cos i¡>, y — a sen tp cos ip,
z = asentí
(tpi < tp ^ <p2> tpi < i¡,' ^ ^2)-
$3. Apllnutón dt» Irta Inleftiíilr* niúlliplea
Hollemos los cooficii'iUt-H ilo ( miiihn W, (> y /'':
E = (x'v)2 -I (y'vf I (4)''
M
I
este modo, VEG - F1
«' .ON- V',
1
'
'
i
'
2
t
íií<Í,f + ( 4 ) = a j
tá)21
'
.
'
'
a1 cos -ip y según la fórmula (3) del p- 3.2 tenemos
V2
Í>2
d(p J cos i¡) dtp = a2(<p2 - (p\)(sen^2 ~ sen
P
•
Pl
85.
El área de üna parte de la superficie del toro definido por la ecuación vectorial
$ =
<0) — ((& + a c o s a c o s tp1 (b + a cos
sen <p, a s e n ^ ) ,
0< a ^
i
comprendida entre dos meridianos (p — \p\f <p = <pz y dos paralelos ip = i¡>\, ij> — ip2* H
l.nnbién el área de toda la superficie del toro.
4 Solución. Calculemos los coeficientes de Gauss para el toro
= (6 + acos^) 2 ,
£ =
cotonees VJ5G - i^2 = a(b + a cos
G=
-a2,
A partir de la fórmula (3) del p, 3.2 resulta
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ti
<pi
dtpj{b
P
+ a cost¡))di¡> — á(ip2 - <pi) (b(ip2 -
+ a(sen^2 -
sen^))
t
Para calcular el área de toda la superficie del toro sustituyamos en la expresión
obtenida pi = 0, <pz = 27r, ^ — 0, ^ =
Hallamos, pues, que el área de toda la
superficie del toro es igual a
ab.
•
ry
I Con la ayuda de la fórmula (3) del p
limitados por las superficies siguientes:
86
x2 + y2, z = Ix1 + 2y2, y — x, y — x2.
a
4 Solución* El cuerpo T cuyo volumen se busca constituye el siguiente conjunto de puntos;
T = {(a?,y,
G M3: 0 < a; ^ 1, x2 ^ y ^ x7 x2 4- y2 < z ^ 2(x2 + y2)}.
Aplicando la fórmula (3) del p. 3.1 obtenemos
I
i
V
III
n i
o
x2
X
0
x2+y2
x 2 + y2) dy
dx
dx I dy I dz
dx dy dz
x
x-
1
-;
o
3
fj = X2
dx
o
4 3
X
3* "
— _
3
dx
35
•
L Wϩ
87.
LLSGLLOR ,QWHJUDOHV PtOWLSOHϩ \ O8LYOOLQFLϩ
z • x •] y, z
xy, x I y - I, x
0, y — 0.
M Solución. Puesto que T — {(x,y,z) E 1K3: 0 ^ x < 1, 0 < y < 1 -- x, xy < z < x + y]
entonces
O[
ϕFJ
V = J J J dx dydz = J dx j dy J
I"
0
i
0
dz =
151
i-,
i
= J dx J (x + y - xy)dy - J (x - x1 + -1 ^
0
88.
0
j dx
7
24
o
az — ar + yz, z — \/x2 + y1, a > 0.
< Solución. El cuerpo T está limitado por la superficie del paraboloide de revolución y p~
la superficie cónica que se cortan formando una curva cuya proyección en el plano xOy
la circunferencia 7 = {(x, y) £ K 2 : x2 + y2 = a1}. Tenemos
2
T-^(x,y,z)
€ E3: -a < x «S
^y < y/a^x2,
En la integral V — f f f dxdydz
X
2
* V~ < z <
yf&Ttf},,
pasemos a las coordenadas cilindricas x — p cos tp
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T
y — psm<p, z — z. Tomando en consideración la simetría del cuerpo respecto a los planos
xOz e yOz, así como la igualdad
= p, obtenemos
P
V —4
J dip I"pdp J dz =2ir J (p - ~)dp ira7 7 '
o
89.
3
2
o
*
az — a2 — x2 — y2, z = a — x - y, x = 0, y = 0, z = 0.
< Solución. El cuerpo T se encuentra en el primer ociante y está limitado por una parte del
paraboloide de revolución definido por la ecuación az = a2 — x1 ~ y2 (con el vértice en el
punto (0,0, a)), y por una parte del plano z ~ a — x —y. Por lo tanto, podemos representar
el cuerpo T en la forma T = T¡ U Tlr donde
^
2
2
T\ = \{x,y,z) € R 3 : 0 í £ x < a , a - ® s S i / < a / o 2 " ^ , 0 ^ z < a - X
2
T2 - {(a-,y,z) ER3:Q ^x ^ a,Q ^y ^ a - x, a - x - y ^ z < a~
La fónnula (3) del p.3.1 adopta, pues, la forma
V — J J J dxdydz + J J J
T,
T2 '
dxdydz.
j,
2
(qM, Aplínii lOn di* lan hitru'iilcM múltiples
M7
Al pasar a coordenada» cílíndr|i éin ulitonrino»
j.
d<p
y
íl
i\
pdp
«V
yv
o
d
jy
« r .
«-//(son^H cos^?)
a
a
E.Í.T" ( f ' \
J ^ Jp
o
I H
p (ÍP
l)
o
^
ir
ti rn
ri
M U v1
dtp
d
U
í k l l l C^-t-L i H
ri
1
a r
a
n
-
' f
J /) ^ p( sen y? + cos y?) -
dp +
¡ dp | d<p
0
«
ir
TT
1
4
a
o
1
6(seny? + cosv?}2
1
4
i
d(p = a
o
^(ó^
1
12 sen2
TT
+ 2ctg (ip+
a
(3tt - 4)
24
J
o
i1 i ii
.i i n j • i' ^ ' "
i •. • v
I"
• •W
'i ••• f i" I 1
dip
+ §)
i SI
* i I1 I Si y W m
I I' i—"l I M i ^ i i
mi
¿L— x —1y f z ^/x2 + y2.
6
Mil.
2
Solución» El cuerpo T está limitado por la superficie cónica S = {{x,y,z)
£ R3 :
t \ / x 2 j r y 2 } y la superficie del paraboloide de revolución definido por la ecuación
í 6 -- x —y (con vértice en el punto (0,0,6)),
n
t
rj
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Resolviendo la ecuación 6 - x1 - y1 = ^x2 + y2 respecto a v ^ 2 + V1 obtenemos
-f y2 = 2, de donde vemos que el cono y el paraboloide se cortan formando una curva
ni ya proyección en el plano xOy es la circunferencia y — {(x¡y) £ M2: x2 + y2 — 4 } . Por
h msiguiente, el conjunto de puntos del cuerpo T es
M
T=
{(x,y,z)€R3:x2
ti la integral V ~ fffdxdydz
y
+ y2 íj 4, \/x2 + y2
z <:; 6 -x
2
i}-
pasemos a coordenadas cilindricas y sustituyamos h1
it
.^ral triple por integraciones reiteradas. Tomando en consideración la simetría del
nirrpo T respecto a los planos xOz e yOz obtenemos
ir
6-fS
F = 4 f dtp i pdp
o
dz
27T j
o
32
p{6 - P2 - p)
Tx-
o
•
- + —
Solución. El cuerpo T es simétrico respecto a todos los planos coordenados, por lo tanto
ni el primer octante se encuentra su - parte. Pasando en la integral V = JJJ dxdy dz a
-i
i nordenadas esféricas mediante las fórmulas (7) del p.1.8 obtenemos
ÍT
V^S
7f
cas 20
J sei\0dO J d<p J p2 dp -
7T
-*0'
3
cos2e) de.
148
l 'iipílulo 2. I n t e g r a l e s m ú l t i p l i ' N y CIII VÍIÍIHMN
Tomando en la integral ¿ - 0 - t hallamos
ir
n
V =
JL
1
I c m t eos3'2 2¿ dt = ^ f j (1—2 sen2 t) 3/2 ¿(sen í) - ^
J(l-2u2f\
0
o
0
donde w = sen/. El cambio de variable \¡2u = senz conduce a la integral
ir
T/
" =
92
(
2
2
/1
Aira3 f'' i• ,
2na33 n (\
5\
ir-2"a33
7= / eos zdz — prB
- l=
y=.
3V2 J
3V2 V2' 2/
4V2
>
2\ ^
= f ' a > ° ' 6 > o ' c > o ' f t > ° 5 + f 2 + 5 )
Solución. Para calcular el volumen del cuerpo limitado por la superficie en cuesdi
es conveniente pasar a coordenadas esféricas generalizadas, tomando en las fórmulas j
del p . l . 8 a = j 8 = 1. Entonces Ü < # < ir, - | < ^ .<: | (pues x ,> 0). Teniendo en cual
que 0 < p < 3 / B s e "^ o s y,
=
sen» hallamos
f
V=
V5
JJJ dx dy dz = abe J sen 9 d6 J dtp J p dp =
2
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T
0
0
a 6c f
iQJfí[
,
ita2bc
= —— / sen Odv cos <pd<p = ———.
3» J
J
oh
93- (Í44H
i
2+
2
c2'
Solución. La ecuación de la frontera del cuerpo T nos dice que éste es simétrico respe?
a los planos coordenados, por lo tanto
W//'
dxdydz,
v
donde T' es la octava parte del cuerpo situada en el primer octante. Cambiemos de variabi
en esta integral por las fórmulas (9) del p. 1.8 tomando a — (3 = 1. En coordenadas esfério
la ecuación de la frontera del cuerpo toma la forma p2 = sen2 6 — eos2 0, de donde resu
Al cambiar de variables y pasar a integraciones reiterad
¡ O ^
0 <-; <p
obtenemos
T
f VsectB-cos?»
V = Sabe J sen Od0 J dip
f
o
J
p2 dp-
o
Itt
4
= ~irabc I senf{l — Icos2
d.0 — ~7rabc J ( l - 2cos20)3/2<í(cos#
149
§3. Aplicación dn IrtM iiilr^i.ilcrt múltiples
Utilicemos en la integral ln rmnllliit ion \ZVu\r\0
m*n/. Uhlenemos
)
«4.
2
V
_Ji TTtihc / aos
» / r¿¿
3%/2
o
2
2
4
ttuík
*
3^2
l
»w
7
rA - r
( • )
2\/2
a&c.
•
V2
1, - T + y 2
b
a
* x
íl J_ 1L _L
a 2 fr2 + c 2
2
Nol lición. En la intersección de las superficies consideradas se obtiene una curva. Hallemos
ecuación de su proyección en el plano xOy. Sustituyamos para ello - = fr + fr en fo
I
Mr nación de la superficie del elipsoide. Resolviendo la ecuación obtenida respecto a
(roemos ^ + ^ —
siguiente
¿
+
Así pues, el cuerpo T se describe por el conjunto de puntos
T
a;2
a
£
\d1
62
1
?/2
tí2
•s/S—l
d o n d c P = {(a?fy) GR 2 : J + f ^
En la integral
III
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V
dx dy dz
T
Cun viene pasar a coordenadas cilindricas generalizadas según las fórmulas
x = a
\
VS-i
2
• í l?
p cos y,
y—b
V5-1
2
psen<py
z= z
mi lo que
V(x, y, 2)
£>(/?, ^ z)
a&
p
2
tomando en consideración la simetría del cuerpo respecto a los planos xOz y yOz,
ríoctuando el cambio de variables y representando la integral triple como una integral
i vi terada hallamos
•K
2
1
Cy/l^í^l
y = 2ab(y/B - 1) j dtp
o
p 2 (v / 5 — 1)
7ra6c(\/5 - l )
irabc(V5 - 1)
itabc
2
2
2
3(V5— l )
VS— 1 3 i j
p ¡ dp
o
i -
^2 V
tH^n
3-yg
4
V5-1
8
12 x a 6 c ( 3 - y/s)
•
LPUJUDLHϩ LPLOWLS,F+ \ C I I I V I I Í I U M H
ЬЬ, 95.
(í-í)
.i
i.
Solución. Tomando en consideración la simetría del cuerpo T respecto a los piar
coordenados tenemos
-///
donde T' = {(z,y,z)
dxdydz,
G K 3 : (s,jr) G D, 0 ^ z < ctfl
-
D = {(«,*)••
+
,5 fr I" A 1, x A 0, y ! RM Vemos que en la integral triple es conveniente pasar
coordenadas cilindricas mediante las fórmulas (12) del p. 1.8, tomando a = 1. Al efectu
el cambio de variables obtenemos
f
i
ctfTy
i
V — 8ab y dtp J pdp j dz = ^abc J p(l - p4y^4 dp.
o
Tomando p
o
o
o
, expresaremos el volumen V mediante la función 1" de Euler:
i
V ~ Trabe•.Jt1<2-1{l-t)V4dt=irabcB(l,l)
=
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G)(rD 3r(l)
o
= irabc.
96.
U (l) U ( I )
(í + f + íV
\a
6
cJ
itVíabcT (|)
~ -
17 ( i ) sen f
abc
® > 0, y ^ 0, z
fi
abc
n
0, h > 0, k > 0.
Solución. El conjunto de todos los puntos del cuerpo T pertenece al primer ociante. En
la integral
• - / / / dar dy dz
pasamos a coordenadas esféricas generalizadas por las fórmulas (9) del p. 1.8, tomando
a --¡3 = 2. A partir de la condición § - £ > 0 obtenemos la desigualdad
bsonasen y ^ ^
donde o < ip ^ arctg
_
. Efectuemos el cambio de variables en la
integral triple y pasemos a integrales reiteradas. Tenemos
^'gv7!
f
P — 4<ií?c j senJ 9 cos 6 dO J
sen <p cos <p dtp
J
p2 dp —
o
£
2
3(¿ + S)/
2abc
f
sen 0d(sen0)
eos
b s e i r ^ V Jacos2tp
_
frsen2_
J5
tj.'!, A|dít*iiíón tU* l»in lut^ial*'^ müllipltw
2abe
.
)/mmJ*p
m< •11Í,J ^ | '
V
-J
abe
íihoiV </>
10 ¡(( i \ ff.
3(í';:)
>
v u;
k
(l)
'i
•
\n 1
f*
f + V & + V c = i, ® £ o, y > o, « > o.
Solución. En la integral
IIh
dx dy dz
F
T
I us,irnos a coordenadas esféricas generalizadas según las fórmulas (9) del p. 1.8, tomando
o p - 4. Obtenemos
ÍK/^I,
ir
l
^ = 16a6c I eos'B sen 9d8 / p dp / sen y?cos
o
|ateB(4,2)B(2,2)
o
o
(!)!/s+(f)W+ (;)!/3
abe
~90
1.
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Solución, Dado que los puntos del cuerpo T son simétricos respecto a los planos
i •<>ordenados, entonces
V
=8
///
da? dy
T'
I
\!onde Tf es la octava parte del cuerpo situada en el primer octante.
Cambiando en la integral triple de variables según las fórmulas (9) del p. 1.8
(lomando a —ft~ 3) obtenemos
7r
V
72 abe í eos2 0 sen5 B dO J
o
99.
1
TT
sen2 <p eos2 tp dtp / p2 dp
o
o
r(3)r2(|)
r(3)r(|)
A ir abe.
35
•
ar2 + ¿ 2 = a1, x2 + z2 = b2, x2 - y2 - z1 ^ 0 (a: > 0, a > 0).
Solución, El cuerpo está limitado por las superficies cónica y cilindrica. Puesto que los
puntos del cuerpo T cuyo volumen se calcula son simétricos respecto a los planos xOz
y xOy (que lo dividen en cuatro partes iguales), entonces
V —4
III
dx dy dz ,
'M
rnninntn de ountos T' oertenece al orirner octante.
L
ϭUW
Cap o tulo I n t e g r q l e s m ú l t i p l e
y curvilíneas
Al efectuar el cambio de variables en la integral triple z
y — y obtenemos
T
77
T
/
PV~
('
y = 4 J d<P J pdp
f
«
w—
TT
»,
2
J
dy = 4 J
0
f
[> cos tp, x - p sen (
17
7
y/- cosltpdtp J p1 dp = |(&3 - a?) j
y/- cos 2tp dt^
«
Efectuemos un cambio de variable más, tomando t = ^ - tp. Tenemos
J4L
F = |(63-a3)
j
s/cosltdt.
o
En la integral obtenida es conveniente cambiar de variable sen 2t — z1'''2, con lo TX
íií =
y se obtiene
1— dz
y . í ^ f
^
_
( i . D _ |(t> _
_
(|) .
o
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£+ y
100. x± a v^b„|_
z = - aresen
~
ir
+ f +b - ) ,c/ £ +a | =b
* = 0, s = a (a > 0
\a
a b e
b > 0, c > 0).
Solución. Tomando z = 0 en la ecuación de la superficie obtenemos la ecuación de la<
recta | + | = 1 que se obtiene en la intersección de dicha superficie y del plano xOy.
Cambiemos de variables en la integral triple
V = J j^J dx dy dz
T
tomando ~
u = u ,tt^ + v
§ü + ?O+ Cf = w. Obtenemos
2w
0 ^ u ^ 1, — aresen w ^ fl < 1, - 1 < w < 1,
7T
=
2>(w, v, w)
3
=
fl6c
'
1
V = abe J du J dw J dv = aí»c J
0
-1
^ arcsenw
-
aresenw^ rfw =
-1
= 2afec| 1 — — I w aresenvidw ] — 2abc( 1 — — ( aresen w
TT V 2
l
Wj
)
\
$3. Aplicación
iru
líili^mlfH imíllíple»
ri
itw
w7:
Vi
i
1
1
2
abe I I |
/i
dw
w2 dw -I
«6c I 1
«r
i
ur
1
= abe f 2 -
2
2
-i
-i
"101, (axx + b\y + cxzf -f (a2x + b2y + czzf + {a3x + b3y + c3zf = h2,
Ü!
«2
«3
A
Ci
°2
Mol lición* En la integral
III
V
dx dy dz
T
fluctuemos el cambio de variables según las fórmulas a¿íc + biy -f c+z = u¡ (i = 2,3) que
en
liansforman la bola T' - { ( ^ í ^ t t a ) € K 3 :
+
+ uí <
cuerpo T. Teniendo
tuenta
q u e ^ E S ) " ¿ obtenemos
•
|A| "
I¿í rIIIdUl duidu3 =3 ^^
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2n
102.
2
h
C2"
£
a2
2v
r
&2
ra > 1, a > 0, & > 0 , c > 0 / A > 0
4 Solución. Dado que el cuerpo T se encuentra en el semiespacio l x l x R + y s u s puntos
son simétricos respecto a los planos xOz e yOz, entonces
V
=4
III
dx dy dz,
ilonde Tl es la cuarta parte del cuerpo situada en el primer octante.
Pasemos en la integral a coordenadas esféricas generalizadas según las fórmulas (9)
del p. 1.8 tomando a — /? = 1. Tenemos
ri
k
2
/ 1 .
"ÍT
, 7T
n
7
3/
T
ccos0sen 2n ~ 4 0
2
/ . - « / * / - r ^ T l ^ *0
0
0
o
, .
f tg "
2
~~ 3h
J
0
tf)
1 + tg2»0 ~
C'.ipidilo 2. Integrales múltiples y curvilíneas
'lomando
ohlenemos
<W)
H-Oo
-
dt,
,
3nh J 1 + t
o
V
3nh
n'n/
3?i/i
,
j ,
"
Til)
, j .
~3«/ísen^'
11
103. Hallar el volumen de una pirámide m-dimensional
< 1 , »i>0(i=í^í)},
<•
a¡ > 0,
¿=i a ¿
i = l7™-
J
Solución. El volumen del cuerpo T se calcula por la fórmula
= J dx i J
V —
Ü
T
dx2 . . .
0
J
dxm.
0
Efectuemos el cambio de variables x¡ = a,ti, i — \,m. Teniendo en cuenta que p^"'"'*'"^
a\02...a m hallamos
1
l-í,
l-i,-»¡„-i
am J dt\ J' dt2...
j dtm —
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V - a¡a2...
0
0
o
I —Él
1
= a-ía2...am
1
J dti jdt2...
0
l-i,
o
= ~ia1a2...am
t
ílr^ +
J dti J
o o
i
i-í,
I-i,
dt2...
J
o
i-í,
^ + ^ J
dlrn-7 —
1„
(l - (h + • • • + tm-2j)2 í-TO-Z
dt,
1,„-,
j
dti jdt2...
j
0
0
o
=
=0
f,„-,=l-(f|+-+í„,-!)
o
1 -<!
1
(l - (h + • • • + fm-t)) <ffm_i
o
J
= |aio2---«m
j
0
1-í,
= a1a2...amfdt1Jdt2...
o
í,„. 2
(l - (í t + • • • + f m _ 3 dtjti-3
))
= -- •
1
( í ^ l ) ! ' a i a z • • •rtm/ ( 1 ~ Í í ) m 1
1 0 4 . Hallar el volumen de una bola ro-dimensional
ra
=
1Blfl2 •«m••
•
SíApllou Irto d**
Solución. Haciendo ni la Integral
rr
,V1
iuU^^rali»» múltiples
V
/ dx
r
cambio de variables según las fórmulas (14) del p. 1-8 y tomando en consideración
lormula (15) del mismo punto hallamos
2%
JT
X
X
&
J dipx J sen <p2 d(p2 J sen2 <p3 d<p3 . . . J senm~2 <pm~i dtpm-\ J pm~l dp =
V
o
o
o
o
o
2
i^a
m
r
TT /
i-1
— I! /
/
^
o
i a da integral que interviene en el producto es la función beta de Euler:
Tt
senJ
i
.
1
= 2H2'
0
1\
V5F r ( ¿ )
=
2)
T r ( ¿ ± i )•
Por consiguiente,
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TT
n
^
J ^
0
=
r(|)r(2)...r(f)
=
Vir)
F(f)'
_ 27r T a
"mr(f)
'.ira m — 2 obtenemos V = ?ra y para m — 3, F = ^tt a , que no son más que los
ronocidos resultados de geometría elemental. >
íCi X
1 0 5 , Hallar el volumen del cono m-dimensional limitado por la superficie —2- -\- + a
^ y el hiperplano xm — a.
*
í í r
n
t t i
-l
^ r / t
1
™ m
•
Solución, En la integral V = J dx realicemos el cambio de variables siguiente
T
a^senpi sen<¿?2 • * - sen^m_2,
m-2
xj = ajpcostpj-i JJ seny>¿ (i = 2,ra - 2)
í=J
1 = a^-ip COS ipm-2i
Xm ~
Puesto que
V(xux2,..-txm)
—
£>(/?,
ÍBm)
i-1 _
m -2 TT
• — am-\P
J^ J_ sen
tpj,
-
, Ь!!
&DSIOXOR 2. ,QWHJUDOHV HUÍ , WL SoRV \ FXUYLOoQHDV
entonces con la ayuda de hi solución del ejemplo anterior obtenemos
2*
ir
V = a\a2 • • • (irn-i J dfxsen<P2<I<P2--.
J sen<p2 d<p2I ...sen"*j 3<pm-2<bpm-i J p'" 2dp J
0
o
Ü
dxm =
P<¡„ i
m-2
«•—i- 5,
p
_2K
3
«!«2 • • • «71!' 2"'~ J J / sen7 "1 dipj =
(m - 1 )m
n
2tt
„,„_ 3 / v ^ mw~ 3
1
_
Ctlft2. . '^
(m — 1 )ro
v 2 /
r í ? ^ ~
r(V)
PAO
' a\a2
2?r
• • • am
_
(m - l)mr ( 2 ^ ) ~~
U
Pü
ir
'
aia2
.,.8m
mr(ífl)
H a c i e n d o u s o d e las fórmulas (1) del p . 3 . 3 hallar las coordenadas del
de g r a v e d a d :
'
cent
1 0 6 . De una placa homogénea D cuya frontera se define mediante las ecuaciones
ay = x2,
x + y — 2a
(a > 0).
A Solución. Los puntos de intersección de la recta 7i ~ {(x, y) £ IR2: x + y = 2a} y 1
curva 72 = { ( x , y) € ffi2: ay — x 2 } tienen abscisas X\ — ~2a, x2 = a. Vemos, pues, qu®
la placa homogénea D es una región cerrada plana D = { ( x , y) £ K 2 : —2a ^ x ^ o,
~
y < 2o. — x\, cuya masa se determina del modo siguiente:
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a
2a—x
m• — J
dx J
2a
.t'
a
^
dy = J ^2a — x — — ^ dx = |a2,
A partir de las fórmulas (1) del p. 3.3 resultan las coordenadas de su centro de gravedad
a
2a—x
a
xn — — f xdx / dy—
— I Í2ax - x2 -—}dx
J
m J \
a )
m J
J
-2a
¿
a
a 2a—x
yo
—
2'
= i ¡dx J ^y^iji^r1 - é)dx=b
-2a
-2a
1 0 7 . De una placa homogénea D limitada por la curva 7 = {(s, y) 6 M2 : .x2,/3+
y2'3 - a2'3} y por los segmentos O^x^a,
Q^y^a.
A Solución. Calculemos la masa de la placa D
a
u(x)
y(x)
m •• j^J dxdy — J dx J
D
0
0
a
dt — J
0
y(x)dx,
Apilect« lón 111* lan iníi'Hi.ih'H múltiple»
157
iummido ¿r i u W f, y asen'/, (0 < / < -*-) y teniendo en
ilontle y(x) ~ (a 2//3 ¡r'^ 1 )
inenia que al crecimienlo del (wáruHro / desde 0 lusla * le corresponde el decrecimiento
de la variable x desde a hasta 0, obtenemos
1
í
3
2
a s e n ' í { - 3 a cos t sen t) dt ~ 3a
/
2
/
4
2
f sen icos tdt —
r(2 + i)r(i + i)
2
\2 2 /
U
2
...
—
,
3
32
7j-
a
k
Aplicando las fórmulas (1) del p.3«3 hallamos las coordenadas del centro de gravedad
y(x)
a
1
x{) =
xdx
a
[ dt~ — / xy(x)dx
=
/ cos 5 í sen 4 ¿di = tt--B ( - , 3 ^ =
}
/
m l
m í
2m \2 /
315ir'
ra
0
0
0
o
a
1
m
l/o
2
,7
a
/ * 7 **=¿ 7
0
0
o
256a
4
( ' 2-3157T
)**
o
108* De una placa homogénea I? limitada por la curva p = a(l + cos ip) y el rayo tp ^ 0.
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Solución. Pasemos en la integral doble a coordenadas polares. Aplicando las fórmulas del
fi.3.3 obtenemos
IT
c ( l fCOSÍp)
•ni — f j dxdy = ¡ dip
D
/ pdp
0
0
^ir
2
r
ÍT
2
f
2
(1 + c o s ^ j ) dtp = •— I (l + 2cosy? + cos
a2
o
ir
xQ
—
—
2
—
o
•JT
.3
^
o
ÍT
-3
f
J cos (p(l + cos <pf dip =
o
J
(3 eos2 ip + eos4 p)
o
7r
2a 3
3m
(Scos^ W
^
=
(3B ( f ,
+ B ( i , f ) ) ^ -¡V
o
TT
yo
o
a(l+cos^)
JJ x dx dy ~ J cos P ^ J p dp —
d
i
m
3 ?_
— ~7ra ?
«(1+COS^)
JJ y dx dy — ~ J sen ip dip J p dp ^
2
D
0
3
7r
0
_3
0
3 sentpdip— - - r™ / (1 + cos<p)
/ (1 4- cos^)3<¿(cosy?) — ^ ^
r
T
3m
3m 7
3mJ
9?r
0
ir
•
LQWHJUDOHV QXLO WLSLHQ \ P L V Í I Í I U M N
109. 1 tallar l.is coordenadas del eenlro de gravedad de tina placa circular D — {(x,¡/)
K" : x2 1 • y? •> a' } construida con un material cuya densidad en un punto (a;, y)
proporcional a la distancia entre dicho punto y el punto (a, 0).
Solución. A partir de las condiciones del problema se deduce que la densidad de materia
de la placa D se describe por la fórmula p(x, y) = cy/(x - a)2 + y2, donde c > 0 es
constante. Según las fórmulas (1) del p.3.3 tenemos
= 1
U ^ y ^ v ,
D
D
donde m — f f /:i(x, y) dx dy. Haciendo el cambio de variables x - a~ p cos tp, y = p sen,
D
determinamos
2»
m = c
—¿.ti
2a cos f
hI
p'dp — ~ca3 J eos3 >p dtp -
o
z
8 3 /*/,
2 , „
.
8 3 /
~ 3 c a f ' ~ s e n V?) ¿(sen tp) = -ca
sen3w\
32 3 í
—ca
. 1
•
9
J
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5"
—2a cos f
x(! — -- j dtp J(a
21
0
+ pcos<p)p2 dp = ~~ J
eos3 tp • \- 4a4 eos"' pj dtp —
£
2
k'
=
(-
4
I»
l m " / (3 C ° s5 V ~ 2 C ° s3 ^ d<fi ~~ l'm / í 1 ~ 4 S( ' n? ^ + 3 sen<1
ϻ7
?7r
2
d(sen
7
o*-
-2acoSf
4C«4
=
~ §'
2
C /I sen¡pdtp
,
fI p^ dp — —— Í I cos4 tpsentpdtp
^ =n 0.
í/o ~ —
•
1 . 1 0 . Hallar los momentos de inercia respecto a los ejes de coordenadas Ox y Oy de la
ilaca homogénea
D = {(x,y)
x2}.
V2ax -
olución. Para calcular J x , reduciremos la integral doble en la fórmula (2) del p.3.3
integrales reiteradas y tomando p(x, y) ~ 1 obtenemos
tt a-V2ax—x2
4 = J dx J y V~\, J (« - \/2ax - x )dx.
2d
2
c
I :vy
tp. Aplicrtilrih du la* Inlo^i.ilrN múltiples
•J
2«sen"/, enlontVH
11
fi
sen2/(1 ' - sen 21 f d{7t.)
t
"
i
/f srntx (I
:»(i J
sen ví) dn
- B
3B ( 2 , í ) + 3B ( 2 , i )
(y))
a
™(16 - 5tt).
Reduciremos la integral Iy — f f x2 dx dy a una integral reiterada con la integración
D
MMrrior respecto a la variable y. Tenemos
a-i/lay-y 2
a
dy
i,-
3r
M
Íp
a
16
(16 - 5ít)>
•
o
son los momentos de inercia
I I L Demostrar la fórmula J¡ — h.x + md , donde T¡ y
ilr una placa plana D respecto a los ejes paralelos l y
lo pasa a través del centro de
|ímvedad de la placa, d es la distancia entre los ejes y m es la masa de la placa.
HolLición. Elijamos un sistema de coordenadas xOy tal que su origen O coincida con
H centro de gravedad Mo = (XQ^Q) de la placa Df y el eje Oxr con la recta lo (fíg.1'1);
millonees yo — 0. Sea fi{x1 y) la densidad de la placa. Puesto que la distancia entre el punto
U'ty) £ D y la recta l es d — y obtenemos
lt
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yfti{x, y) dxdy = d2 J J
y) dx dy
D
ypfay) dx dy +
y ÍI(X, y) dx dy.
Mdo que
?
/J,(XÍ y)dx
it
dy
—m
y¡x{x, y) dx dy = my0
)
a
y ti(x,y)dxdy
i?
llegamos a la fórmula a demostrar.
•
k
T
I
í
Fig. 11.
Fig. 12.
^ /
PX
&DSLWXOR ,QWHJUDOHV P WLO WLSLHQ \ FXUYLOoQHDV
1 1 2 . Demostrar que el momento de inercia J de una placa plana i) respecto a la rtf
tjue pasa por su centro de gravedad de coordenadas ((),()) y forma un ángulo a cúl
eje Ox, se determina mediante la fórmula
/ = Ix eos2 a — 21xy sen a cos a f Iy sen2 a,
donde I x e Iv son los momentos de inercia de la placa respecto a los ejes Ox y Oy,
el momento centrífugo de inercia (ver las fórmulas (2) y (3) del p.3.3).
A Solución. Según las condiciones de partida, el centro de gravedad de la placa D
encuentra en el origen de coordenadas del sistema xOy. Fijemos un cierto punió (x,y),
distancia entre el mismo y la recta dada es igual a (x — y ctg a) sen a — a: sen a — y co
(fig. 13), con lo que tenemos
I = JJ(x
sen a — y cos a)2fi{x, y) dx dy = sen2 a j^J ¡i{x, y)x2 dx dy -
D
'D
— 2 sen a cos a J j xy¡i{x, y) dx dy + eos2 a j j y2¡x{x, y) dx dy —
D
_
2
r sen2 a — 2IX,¡ sen a cos a + Ix cos
J„
a.
*-xy
1 1 3 . Hallar la fuerza de presión del agua sobre la pared laleral del recipiente cilindril
T = {(x,y,z) 6 ®3: x2 + y2 ^ a2,0 sj z ^ /i}, x 0, si el nivel del agua es z — h.
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A Solución. Según la ley fundamental de la hidrostática, sobre un elemento de área
de la superficie cilindrica actúa la fuerza de presión áP(M) igual al producto de dS(S
por la densidad /¿(M) del líquido y por la distancia entre el elemento dA'(M) y la superfifl
libre del líquido. Dicha fuerza está dirigida a lo largo de la normal exterior a la superflc
lateral del cilindro. En virtud de lo dicho tenemos
ríP(M) -= dS(M)/i(M)(h - z)n(M),
M G dS.
Puesto que las generatrices del cilindro son paralelas al eje Oz, entonces
dP(M) = dX( M)i + dV(M)j,
dS(M)(h - z)¡i(M) cos(iTi), í=) 0) - d5 0)(A])/i 0)cos(jtTj). Sumaft
donderfX 0
do todos los elementos cLS'(M) y tomando en consideración que
dS = y l + x'~ + xf dy dz,
(cosft, i) —
x/t
cos(n, j) =
/L+xf
n(M) = 1,
+ xf
obtenemos los siguientes valores de las componentes X e Y del vector P, la presión total!
sobre la pared del recipiente cilindrico, para x ¿í 0:
a
X ----
n
+ xf + x'}(h - z) cos(ñTi) dy dz — J dy j(h
— z) dz = a(h - z)2| = ah1,
Aplicación di» LIM
l (VI
IIMiliIplcw
WL
Y
I \ x<> í ;/:'/(/' ¿)coH(nf \)dydz
IN
IVVj (
k
d
z)dz
0.
•
l)
a
Hallar las coordenadas de los centros de gravedad de cuerpos homogéneos limitados
jum las superficies definidas mediante las ecuaciones;
X +
a
b1
¿
, Z — c.
Kolución. El cuerpo T es homogéneo, simétrico respecto al eje Oz y está limitado por k
Miperficie cónica S - j ( z r 7 y , z ) G l 3 : ^
+ |r} y P o r e l pI a n o Si =
t:
: (x,y) € R2,z = cj. Por consiguiente, su centro de gravedad M 0 — (#0,2/0,21)) -se
encuentra en el eje Oz, x0 — 0, yo = 0. Según las fórmulas (4) del p.3.3 tenemos (tomando
Mxty,z) = 1)
z
¿o
dxdydz,
donde V es el volumen del cuerpo T.
En la integral V — f f f dxdydz pasemos a coordenadas cilindricas generalizadas
T
J: - a/ícosy?, 3/
tyosen^, z — 2 (0 ^
^ 2tt). Al efectuar el cambio de variables
obtenemos
i
25T
27ra6c J
p(l-p)dp 1L
V — ab I dtp ¡ pdp /
3
cp
o
0
o
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Así pues, tenemos
¿0
i
1
2:ir
a&
I pdp ¡ zdz
115. x2 = 2pz, í/2
cp
o
o
2pxf x —
z
wabí•?
"I7"
0
-
dP
irabc __ 3
c.
4V
4
•
0 {p > 0).
4 Solución. Dado que los puntos del cuerpo T son simétricos respecto al plano xOz,
entonces
7 = 2
dx dy dz,
l
T
G M3:0 ^ x < f ,0 ^ y <
donde T* =
< z < ^ j . Reduzcamos ahora la
integral triple a integrales reiteradas
**
\flpx 2T>
dy I dz
V =^2 í dx
n
o
0
y/lpx
P
x2dx
o
2
x' -sj2px dx
dy
o
o
P
28'
DSoOXOR 2. ,QWHJUDOHV PtOWLSOHϩ \ YOOOQFLV
LLMo
Apliciiiu.lt> las f ó r m u l a s (4) d e l p . 3 . 3 h a l l a m o s
yí™
xa = ~ I xdx j
( t o
fí
dy j dz — ~ J x^i/lpxdx
o
o
f
yo = \Jdx
0
57
J
f
ydyJdz
= L j ( x V \ ^ y x = 0,
0
y/Zpí
.T2
•
2?
ZQ^—jdx
j
o
o
n
=
dy J zdz = ~ J xA\f2-px dx —
o
n
116. — + ^ + — = 1, x = 0, y = 0, ir = 0, (ra > 0, x ^ 0, y ^ 0, 2 > 0).
< Solución. Los puntos del cuerpo T pertenecen al primer octante. En la integral
V =
JJJ
dx dy dz
T
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pasemos a coordenadas esféricas generalizadas según las fórmulas (9) del p. 1.8 en don
tomaremos a — /? = |. Tenemos
0</><l,
V(x,y,z)
4 , 2
.—- = -rrábcp
eos"
V(p,0,<p)
n2
1
4
f
V -- —2 abe / eos" tí sen"
9d6
/
'—\a
0sen"
¿-i
¿-1
0sen" (peos" <p,
M
¿-i
sen" (peos"
/ 2
1pdip j p dp =
Hr (I l\ R (1
=^
3ra2
U'iJ
Vn'n/
3n2 r ( f )
Aplicando las fórmulas (4) del p. 3.3 tenemos
xa
= ~ JJ j
4arbe
n2V
x dx dy dz =
1
sen"
i
0 eos"
8 dO
2
/*
sen"
i_i
>p eos"
i
f 3
<pd¡p l p dp —
l « \ /E3 ϭ 1)
l \ nB(1
/ l l 2) \ =_ 3 a r ( | ) r ( | )
4 r(i)rfAV
\n'nJ
V 4n2 \n'n)
tj.T ApUuulmi
'íh
¿i)
Inh'^i.Um múltiples
I
V
II!
I
V
JJJ z a, dy
a . dz
I (rt
// f/,r tlff <L'. m> ' ' O •'(,:)
r
4 r ( ¿ ) r (±y
'i
/i*
>
1 1 7 . Determinar las coordenadas del centro de gravedad del cuerpo T = {(pe,y, z) £ MJ:
forma de cubo cuya densidad en un punto (x};//, z)
2 r « - l
/í{:r, yyz) — x
Z f l - 1
2 7 - 1
y 3 ! '-t ,
donde
0 < a < 1, 0 < £ < 1, 0 < 7 < 1.
Sí •Ilición. Busquemos la masa ra del cuerpo T
i
III ^
m
2 y - \
x 1 - r t dx
z) dx dy dz
i
i
2
y^
dy
o
o
•s
dx
o
(1 - a)( 1 - ¡3)(\ ctp 7
7)
liy^ún las fórmulas (4) del p.3.3 tenemos
il'o -
1
m
///
y, A dx dy dz
i
T
1
m I x
o
i (i - «)(i - m
2(1-1
» 7)
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~a dx ¡y
z d z
dy
ra
o
o
J V un modo análogo, obtenemos y o ~ ¡3, z0 = 7 .
/?7
í\
•
1 1 8 . Determinar los momentos de inercia respecto a los planos coordenados de un cuerpo
homogéneo T limitado por la superficie
2
a2
2 2
y_ , 5 _
fr2
c2
, y2
b1
c 2'
a > 0,
5 > 0,
c>0.
Solución. Apliquemos las fórmulas (5) del p.3.3 y pasemos en la integral
I xy
///
z
dxdydz
T
.i coordenadas esféricas generalizadas por las fórmulas (9) del p. 1.8 en donde tomaremos
n — /? = 1. La ecuación de la frontera del cuerpo T en coordenadas esféricas adquiere
la forma p — sen 0 -- cos¿ 0, de donde resulta que ~ ^ 0 ^ ^ . Vemos, pues, que en
toordenadas esféricas el conjunto T se convierte en T1 = {(p,e,<p) € R3: f ^ 0 < f ,
0 • p ^ V- cos 20, 0 í >p < 2ir). Tomando en consideración que ffi'jjf'*} = abe p2 sen 0,
tlcspiiés de efectuar el cambio de variables y reducir la integral triple a integrales reiteradas,
obtenemos
3 t t
ixy
abe
2ít
senteos OdB / dtp
IT
iS
Mr
eos2 B
p4dp
2
5
tiabó
sen 0 eos2 0(sen2 0 - eos2 0)5/1 dO.
L YL
&DSoWXOR ,QWHJUDOHV QXLOWLSOR+ \ UWLUY,+QHLV
lomando en la integral v/2ct>sf
Ir
¿lyl" leñemos
i
Trabe
r / > " ( i 5\/2
V2'2;
128i/2
De un modo análogo se calculan
r
- 15ir2a3bc
256V2 -'
VZ~
15ír2a63c
256\/2
T
**
1 1 9 . Para una bola no homogénea T = {(#, y, z) £ M3: x2 + y2 -[- z2 sí r2} de masa
cuya densidad en un punto M = (x, y, z) es proporcional a la distancia entre dicho puní
y el centro de la bola, hallar el momento de inercia de la bola respecto a su diámetro.
Solución. Según las condiciones de partida se tiene
p{x, y,z) =yi/x2
7 = const,
+ t2 + z2,
7 > 0.
La constante 7 se determina a partir de la condición
tu — 7 J J J V ^ 2 + V2 + z2 dx dy dz.
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Pasando en la integral a coordenadas esféricas obtenemos
ra — 7 J sen 0 dO J dtp J p3dp = iryri,
o
o
o
de donde 7 =
Supongamos que el diámetro de la bola esté en el eje Oz. Utilizando luego una d4
las fórmulas (7) del p.3.3 hallamos
m
L =
urr4
2n
III*
x2 + y2
lirmr6
3?rr4
1- z2(x2
+ y2) dx dydz
= ~
irr
J s e n 3 9 d9 = ¡mr2B (¡,2)
sen3 399de
dOJ
J /sen
o
=
dtp J p5 dp =
o
=
¡mr2.
1 2 0 . Demostrar que el momento de inercia de un cu arpo T C l 3 respecto a un eje l quti
pasa por su centro de gravedad de coordenadas (0,0,0) y forma los ángulos a, ¡3, 7 coíif
los ejes de coordenadas, se calcula a partir de la fórmula
I¡ — Ix eos2 a + Iy eos2 fi
cos2 7 - 2 K t y cos a cos ¡i - 2K x z cos a cos 7 - 2K,)Z cos ¡3 cos 7, i
ApllmciOii tlf \í\* inlc^iah'H uiúHiples
16
ilnnde I x , fy, í z son los numienlori de Inercia del cuerpo
M'íiprcto a los ejes de coordenada» (ver Kis fórmulas (7)
ilcl [>,3,3) y
K xy
XytfrZ)
tih xyp(x, y, z) dx dy dz,
T
K XZ
III
III
xzft(x, y¡ z) dx dy dz,
T
K y*
yzfi(x,
z) dx dy dz
non los momentos centrífugos.
A
J c l i
U
i
Si elución. Busquemos el cuadrado de la distancia desde un punto M = (a;7 y, z) del cuerpo
hasta la recta l (o sea, hasta el punto N que es la proyección del punto M en la recta /,
i,;. 13).
Sea r — (a?, y, z) el vector de posición del punto M y sea e el versor a lo largo de la
nrla L Obviamente, e ~ (cosa, cos/?,cos7) y d = |r) - (r,e), donde {r, e) es el producto
escalar de los vectores r y e . Puesto que \r\2 = x2+y2^rz¿2, {r, e)= x cos a+y eos f3+z cos7,
cosz a + cos¿ j3 + cos¿ 7 = 1, tenemos
1/' — (x2 + y2 4- 32)(cos2 a + eos2 ¡5 -f eos2 7) - (a? cos a + y cos {3 -j- z cos 7) 2 —
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= {y + z2) eos2 a + (x2 + z2) eos2 f3 + (x2 + y2) eos2 7 -
- 2xy cos a cos ¡5 - 2xz cos a cos 7 - 2yz cos ¡5 cos 7.
Sea p{x,y,z) la densidad del cuerpo T, Conforme a la definición del momento de
inercia de un cuerpo respecto a un eje (ver la fórmula (6) del p. 3.3) tenemos
Ii = J J J d2ft(x)y,z)dxdy
dz.
Al sustituir en la integral la expresión para d y emplear la propiedad de aditividad de las
integrales triples, obtenemos la fórmula a demostrar.
•
•
'
| '
i'
•••••••
I
B
T
^
1
•
" 'll
|
121.
Hallar el momento de inercia respecto al origen de coordenadas de un cuerpo
homogéneo T de densidad po limitado por la superficie (x -f y2 + z2)
4 Solución. Aplicando la fórmula (8) del p. 3.3 obtenemos
7o = /*o
JJJ
= a2(x2 + y2).
+ y2 + £ 2 ) dx dy dz.
Irisemos en la integral a coordenadas esféricas según las fórmulas (7) del p. 1,8. Obviamente,
a sen Reduciendo la integral triple a integrales reiteradas
hallamos
T
asenfl
4
5
, = ~
7 1
5
p4 dp
sen6 0 dO = |^r/i 0 a 5 B
/o = 8/íq / sen 0 dO / dip
jrTT/Aoa
TV
o
o
o
o
2
8
,ILI
LSoOXOR 2. ,QWHJUDOHV PtOWLSOH+ \ CTNVIIIMC.IM
122.
I lallar el polencial newtoniano creado por la capa esférica 7"
£2 + - t / 2
CZ
' ? ' } cii el plinto P = (x,y,z).
{(£, //, ( ) G
: rf
La densidad de ta capa es // = / ( r ) , dondí
es una función dada y v — \ / í 2 + i ¡ 2 + ( 2 -
•4 Solución. Efectuemos un giro del sistema de coordenadas de modo que el eje
sistema de coordenadas 0£i?/iCi pase por el punto P. En las nuevas coordenadas la ca
esférica será un conjunto de puntos descrito por las desigualdades r\ ^ £2 4- jjf + (,2 <
Utilizando la fórmula (10) del p.3.3 obtendremos
u{x, y, z) == «i(0,0,T) = f f f - 4 ^ 5 = = =
i j i Kríf;
m t zf
n'ti+m
dVlrfCi-
Pasemos a coordenadas esféricas según las fórmulas (7) del p,1.8. Es fácil convencerse
que 0 < 0
n, 0
sí 2?r, j*i ^ p ^ r¿. Teniendo este hecho en cuenta y pasando
integraciones reiteradas obtenemos
r¡G
u(x,y,z)=
/
J
r,
p2f(p)
›ˆG
dp
•G
dtp
J
0
1
J Jp
0 V
== =
-- 2pr cos0 -\ - r2
= 2 / ¡ p 2 f ( p ) ^ - 2 p p r r C O S 0 + rt
e=j\
¡dp =
0=0/
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rl
~ J pf(p){p + r-\p-
I 4?r f pf(p) dp
r|) dp = <j ^ ^ ^
fjp2f(p)dp
>•1
si
p> r,
si
p < r,
donde r — y V + y2 +
Nótese que la respuesta puede escribirse en una forma más compacta. En efecto,
1
. p < r, entoncesozj < p. Así pues.
p> r, entonces o
— > p; si
u(x,y,z) = 4'ir I? m í n { ~ , p } f ( p ) d p .
2
Ejercicios
Hallar las áreas de las figuras planas limitadas por las curvas siguientes:
50. (x2 + y2 - ax}1 = a:(ar + y2), ¡t2 + y2 = a-Jyíj (intersección del interior de ambas curvas).
51. (x2 + y-)1 = a V + & y .
52. z 4 + y" = 2o 2 »y.
54-
55.
=
sé-
+
+
53. £ + £ = p +
(|+£)3^íi/y>0,«>0,í>>0.
57.
= F +
58. x 2 = oj/, x2 = by, y = m, y = n (0 < a < b, 0 < m < n).
59. y2 ~a2 ~ 2ax, y2 = 62 - 26a!, y2 = m2 + 2ma¡, i/ 2 = « 2 + 2nx (0 < m < ti, 0 < a < b).
- 3xt/ 2 ), a > 0. 61. (x 3 + y3)2 = x 2 + y2, x ^ 0, y ^ 0.
60. (ar + jr) 2 =
62.
+
x + y — a, x+y — b, y — ax, y — px
(0 < a < b, 0 < a < 3).
ApllijiHúii tU- Im Inli^ri^lr^ múltiplos
167
V/'^ivt
'•
i N/Ü
:
i k
)!(«••»-'•••'').
Medíante íntcgralcn doblt'N ImIUh Ion voIiíjiH'ih'h de Jos cuerpos limitado» por his
superficies siguíenteu;
WJ. X + y + £ = a, x2 | ;//
¿ 0 (a > ?> \/¿). 66, x2z2 •{- a2y2 ^ c2x2, 0 < x < a.
íi7. y 2 4 ¿ 2 =
a? = y (z > 0).
68. ¿ ^ S en(.T 2 4- y 2 ), z = 0, «tt < x2 4- y2 < (n 4- l)*r.
h9. x2 -f y1 - í*22,
-f- y2 = ax (z > 0).
70. z(x -f y) = ax + bytz = 0, 1 < x2 + y2 < 4 (x > 0, y > 0, a > 0, 6 > 0).
+
72. z2 ~ 2xy,
+ f= 1'*>0'
+
—
(# > 0, y > 0, 2 > 0).
T\. z = x\fx 4- y\fy, x + y — 1 (x > 0, y > 0, z > 0).
(i + f)2 + ? = i ' ( i + f)2 = ! & > < W > o ) .
7f>, ¿ = z 2 t/, y2 = a2 - 2ax, y ' — m' + 2mx, y = 0,
Hallar las áreas:
— xy} comprendida dentro del cilindro
76. De la parte de la superficie S ~
2) € R 3 :
Si - {(xiyiz)€W?:a?
+ tfí = a2,z €R}.
77. De la parte de la superficie S = {(a;, y, 2:) E M3:
= a 2 } situada fuera de los cilindros
Si == {(x,y,¿) € R3 : a;2 + y1 =
€ R } , 52 =
€ M3: $2 4- y2 = -otar,2 e R } ,
a > 0.
7K. De la parte de la superficie S = {(#, y, 2) G R 3 : x2 + y2 = 2az} comprendida dentro del
cilindro Sx = {(x,y,z) £R3: (x2 + y2)2 = 2a2xy, ¿ e l } .
79. De aquella parte del cilindro S{(x,y,z) € R3: x2 y2 = a2¡ z e M} que se obtiene al cortar a
dicha superficie con los planos de ecuaciones x 4- z = 0, as - z - 0 (a? > 0, y > 0).
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H0. De aquella parte de la superficie S = {(a?,y,z) 6 IR3 : (;r2 + y2)3/2-{-2 - l } que resulta al cortar
a dicha superficie con el plano xOy.
«I. De aquella parte de la superficie S = {(#,y,z) £ R 3 :
+
+ ^ = l } que resulta al cortar
a dicha superficie con los planos de ecuaciones x — 0, y — 0f z = 0.
82. De aquella parte de la superficie S — {(x,y¡z) € M3: ~ — y - 2¿} que resulta ai cortar a
2
dicha superficie con la superficie 5] =
2
£ R 3 : jr 4- jfr =
K3. De la parte de la superficie S = {(a?, y, z) € IR3:
o}.
4- jC = 2^ } comprendida dentro del cilind ro
Mediante integrales triples hallar los volúmenes de los cuerpos limitados por las
superficies siguientes:
«4. {x2 + y2 + ¿2)3 = a V
89.
+ y3 + .s3), a > 0, y > 0, 2 > 0.
(«ia? + b\y -3- Ciz)2 4- (a2x 4-
85. (ai2 + y2)2 + / = a 3 (* - y).
tt]
cr
2
4-Ac—
2z) —
«2 1, hü3aíc42 h3y + c3z = ±h,
donde
c3
90. (a2 + y2 + ¿2)3 = 3xyz. 91. x2+y2+z2
>
- a 2 , a; 2 +y 2 +^ 2 ™ fc2, +
-
(z ^ 0, 0 < a < 6).
LRQ
LSo8LOR ,QWlJUDOHϩ PtOWLSORV \ FXUYLOoQHDϩ
("í f 1) ' <
98.
(!•)'
'< * ¿ 0, V
0.
97.
( y f
I (/,;
_
I, * > 0, y > 0, í
l
J
I
Hallar las coordenadas de los centros de gravedad de las placas homogéneas D C I
limitadas por la9 curvas siguientes:
9
99. ar4 +tf*= asV 100. (f + £)* = g .
102 -
(f + ? ) 3 = f -
I0L V* + vtf =
* = 0, y = 0.
103. (a:2 + j/2)2 = 2a2xy, x > 0, y > 0.
i
Hallar los momentos de inercia Ix e I,, respecto a los ejes de coordenadas Ox y Oy
las placas homogéneas D C K 2 limitadas por las curvas siguientes;
™ 4 - t + f = V> f + f =
y= 0
>
^ > o, ft > 0).
1
105. p = Íi(l + eos?).
•
•
I
x4 + y* = a2(x2 + y2).
106.
107. xy = a2, xy = 2a2, x = 2y, 2x ^ y (x > 0, y > 0).
1
108. Hallar el momento de inercia de un triángulo regular de lado a respecto a la recta que pfld
por el centro de gravedad del triángulo y forma un ángulo a con su altura.
1
Hallar las coordenadas de los centros de gravedad de los cuerpos homogéneos limitadM
por las superficies siguientes:
M
1U9. h2(x2 + y2) - a2z2, 0 < z < h. 110. x2 + y1 4- z2 = a2, x2 + y1 = ox.
1
i"-
£ + £ =
1
112.
x2 + z 2 = a2, ii2 + z2 = a2 (z Jí 0). 113. x2 + y2 = 2z, x + y = z.
! + í = ± i , * - i
= ± i , * = o.
|
Determinar los momentos de inercia respecto a los planos coordenados de los cuerpofl
homogéneos limitados por las superficies siguientes (los parámetros son positivos):
1
114. £ + £ =
= c. 115. £ + £ + £ = 1, £ + g =
u 6 . £ + £ = 2 f , f + ? = §. 1
117. Hallar el potencial newtoniano creado por el cilindro T =
() ÉlPif
+ if ^ o'J
0 £ ( sí fe} de densidad constante po en el punto P = (0,0,2).
1
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118. Hallar la fuerza con que un sector esférico homogéneo de densidad pa atrae a un puntó?
material de masa unidad colocado en el vértice del mismo (el radio de la esfera es r; el ángulo,
de la sección axial del sector es 2a).
§4. Integración en variedades
4.1. Variedades en el espacio euclídeo R m y su orientación
Definición 1. Un conjunto M C 3£m se denomina variedad de dimensión p c¡ m
perteneciente a la clase Cl si para cada punto a = (a\,... ,am), a € M, y un cierto
entorno S{a,6), existe un entorno S(ap,Si) del punto ap — (fli > • - • > ap) y una aplicació
tp: S(ap,fi\) —M n S(a, 6) de clase C1 tal que <pj(ap) = aj, j = p +1 ,m; las coordenadas
de los puntos x G M f l 5(a, 6) deben verificar, además, las ecuaciones
Xj = tpj(Xp) = tpj(xU
Xp),
Xp £ S(ap, Si),
j = p + l,7Tl.
(1)
Definición 2. Se llama representación paramétrica de clase C1 de un conjtuito
M C Km de dimensión p í; m a una aplicación u —• $(u), u O, de un conjunto abierto
0 C
en el espacio ¡R'" que posee las propiedades siguientes:
1) $ es un homeomorfismo de O en M;
2) $ es una aplicación O —> Mm tie clase C1;
3) Vu = ( « i , . . . , u p ) , u (• O, el rango de la aplicación <M>(u) G jC(W;Rm) es p.
La última propiedad significa que la imagen del espacio vectorial Mp obtenida
lediante dicha aplicación es uiv subespacio vectorial en Mm de dimensión v. o sea loe
I n f t ^ i i u l r i n i*H v i u l r d m l c s
Vih-lores ¿^(u), j
169
\,p, muí línealinrnle independientes en IMi"', por lo lanío al menos uno
i\v los determinantes de p ésimo orden de la ma1rí/> <l»'(u), compuesta de los elementos
(i = 1 ¡rn, j — lj>), es distinto de cero.
Teorema, Para tjtte un conjunto M C R™ sea una variedad de clase C 1 de dimensión
y
m es condición necesaria y suficiente que para todo punto a E M exista un enlomo
A) tal que el conjunto M n S(a, •$) admita la representación paramétrica de dimensión p
ffnl meciente a la clase Cl,
Si p = 1, se dice que M es una curva de clase Cl (o una curva suave).
Si p = 2, la variedad M se denomina superficie de clase Cl (o superficie suave).
Si p — m - 1, la variedad M C Rm se llama hipersuperficie.
Veamos el caso ra = 3, p = 2. Para que en un entorno del punto a E M el conjunto
M C R 3 sea una superficie suave es condición necesaria y suficiente que se cumpla
malquiera de los dos requisitos equivalentes siguientes:
1) salvo permutaciones de las coordenadas
x2 y
en el entorno del punto
,t
(a l7 «2í ^3) el conjunto M puede ser descrito mediante la ecuación
— (p(x 1,^2),
a
a
11onde ip es una función de clase C en el entorno del punto (a1? a2) y <p( ij i) = a3r
2) en el entorno del punto a el conjunto M admite una parametrización de clase C{
Xj = (pj(uuV2)y
(uuu2)£S(ay/3),
®¿(a) = a,-,
tal que al menos uno de los determinantes
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V(uuu2y
v{ultu2)y
V(uuu2)
es distinto de cero para todos los puntos {u\,u2) € S(oc) 6).
Definición 3. Sea la aplicación u —> <T>(u}, u E O, O C R p , una representación
v paramétrica de clase C 1 del conjunto M C Mm de dimensión p ^ m en un entorno del
punto a £ M que verifica,, además, fl>(ci) = a, ot £ O, La imagen de la aplicación lineal
i7<I>(a) : Rp
Mm es un subespacio vectorial de dimensión p que se denomina espacio
tangente a la variedad M en el punto a y se representa por T a (M).
Definición 4. Se llama sistema de orientaciones J de la variedad diferenciable M
a la elección para cada punto a E M de una cierta orientación del espacio tangente vectorial
Definición 5. Una variedad M C M"1 de dimensión p ^ m de clase C 1 se
denomina orientable si la misma tiene al menos un sistema de orientaciones continuo.
Cuando se elige uno de estos sistema de orientaciones, se dice que se ha efectuado la
orientación de la variedad M.
Si una variedad M es conexa y orientable/ ^entonces tiene dos orientaciones posibles,
las cuales están determinadas por la elección de la orientación del espacio TñM .
Si Af C
es una hipersuperficie de clase C l , la misma se orienta transversalmente
mediante la elección de un campo continuo de versores normales n(x), x £ M\ La elección
en un punto arbitrario x E M de una de las dos posibles orientaciones del vector n
determina la orientación transversal de toda la hipersuperficie.
Las hipersuperficies orientables transversalmente se denominan bilaterales.
Consideremos, por ejemplo, la superficie suave de dimensión p — 2 en el espacio M3
f(x, y,z)~
z ~ ip{x, 2,) - 0,
(*, y) E D,
DC M2.
LSoWXOR 2, ,QWHJUDOHV PtOWLSOHV \ FXUYLOoQHDϩ
Para fila tenemos
grad f(x, y,z) =
x, y), -
(x, y), I ) ,
por lo tanto los vectores
n (x,y,z) = ^
±\/l+lt
-1
+ q2' iV^r+Z
+ í2'
0-
±y/l+p1+q2,
donde p — ^(x, y), q =
y), definen dos campos continuos de versores normales i
superficie en cada punto. Mediante la elección de un signo determinado antes de la
y/i + p2 + q2 (en un punto arbitrario de la superficie) fijamos uno de dichos campos y, |
lo tanto, un lado de la superficie, es decir, la orientamos transversalmente.
Si una superficie suave M c S 3 está dada en forma paramétrica
x = x{u, v),
y ~ y(ii, v),
z - z{u, v),
{u, v) £ O,
OC]
entonces se tiene
B
±Va2 + b2 + c2' ±Va2 + b2 + c2' ±Va2 + b2 + c
donde
A =
V(u,v)'
V(z,x)
V(u,v)'
C =
V(x,y)
V(u,v)'
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Sea una curva suave M C K m ; su orientación tangente se denomina sentido
recorrido de la curva. Como sentido positivo se sobrentiende el sentido para el cual el vectl
de velocidad <?''(£), t £ ]a, f>[ en cada punto t es positivo (respecto a la orientación
dicho punto). La orientación transversal de esta curva se determina mediante la eleccii
del sentido de giro alrededor de )a misma.
Sea M c K m una variedad orientada de dimensión p — 2 de clase C'1 y sea
un compacto perteneciente a dicha variedad. Designemos mediante dK la frontera de ]
región K .
Definición 6. U n compacto K C M se denomina compacto con frontera de clase Cl\
si se verifican las condiciones siguientes:
1) dK es una curva suave a trozos de clase C1 en el espacio K m (dicha curva ya<J(|
en la variedad M y contiene, en el caso general, un conjunto finito de puntos "angulares"
2) Va G dK que no sea "angular" existe un entorno abierto 5(a, S) en la variedad .
tai que el conjunto S(a. 6) n CdK se divide en dos componentes conexas, una de las cuale
está formada por los puntos S(a, S) n CK y la otra, por los puntos del entorno S(a,
pertenecientes al compacto K .
La orientación de la variedad M y la orientación de los arcos suaves de la frontera, ]
OK se ponen en correspondencia según la regla siguiente: en cada punto regular a G dK en '
el plano tangente a la variedad consideremos un vector r(a) tangente a dK en el punto a
cuyo sentido está determinado por la orientación de la frontera dK. Asimismo tomemos
un vector i/(a) ortogonal al vector r(a) y dirigido hacia donde están situados los puntos
interiores del compacto K. Si M C fí3, los vectores r(a), v{a) y N = [r(a), v(a)\ forman '|
una base del espacio R 3 que lo orienta de igual modo que la base canónica {i, j, k} (fig. 14),
Sea una variedad M C
de dimensión p < m de clase C 1 . Cualquier representación paramétrica $ de clase C1 de un conjunto abierto M n S(a, 6) de dicha variedad
171
!¡>1 Inle^iai U'mi en variedades
o uimpleniritlr ttirlu. MI conjunto <!>((?) M fl
A)
fie denomina carta local di4 claue
ihr el nombre de imagen de dicha i •¡irla. Se llama alian de la variedad AI a un conjunto
lie cartas de conjuntos abiertos de M cuyas imágenes cubren Atf.
4.2* Elemento de volumen j>~dimensional de una variedad M C K
(dimp ^ m) de clase C 1
Sea u
3>(u), u G ^ u n homeomorfismn C l de una región C C E p e n una región
del espacio euclídeo Rm y sea d${u) € £(Rp',Rm)
una aplicación de rango p en cada punto u 6 O.
Millonees, el conjunto M = <&(£)) es una variedad
j le dimensión p de clase Cl. En todo punto u £ O
la aplicación r¿<l>(u) transforma un sistema de p
vectores de la base del espacio W en un sistema
i Ir vectores linealmente independientes
J
m
I Í7pr de R ,
Veamos en el conjunto O una barra B con
vértice en el punto u E O construida a partir
Ir los vectores ofu, = e?dui,7 ' j =
dUj > 0,
donde ej son versores de la base estándar del
espacio
El volumen de dicha barra V(B) es
igual al producto de las longitudes de sus aristas:
jii
Fig. 14.
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dV(B) = du\duz... dup.
t a aplicación d<3>(u) asocia al vector du¡ el vector $'(u) ej duj — ~(u)duj.
o)
Por consi-
guiente, la diferencial d$>(u) transforma la barra Bj en el paralelepípedo H con vértice en
el punto #(u) construido a partir de los vectores ^r(u), j = 1
n r
Definición. El volumen dV{H) del paralelepípedo tí se denomina elemento de
volumen p-dimensional de la variedad M.
Por definición tenemos
dV(ff)
W , TT-CU),
du
(u),...
donde r ( ( u ) ,
,/>~'(u))
du
(u)^ du\ duz •.. dupy
es el determinante de Gram de los vectores
(u),
1 ,p.
Sea m - 3, p — 2 y sea S una superficie bilateral suave en el espacio K . Designemos
mediante xf yf z las coordenadas de puntos de IR con base estándar { i ? j , k } . En un
entorno de cada punto de la superficie M consideremos una representación paramétrica
definida mediante tres funciones de clase Cl :
(u,v)
3
X
v)i
y = y(u>
z
— z(u> v)>
v) ^ o
c ®2.
Ya que la superficie S es una variedad de dimensión 2, el rango de la matriz
du
4'«
(3)
O L_!ouWOX ,QWHJUDOHV PtOWLSOR \ FXUYLOoQHDV
es igual a 2, luego al menos uno de los tres jacobianos
v(y>z) B = v(z'x) r v(x'y)
A -'D{u,v)'
V(u,v)'
V(u,v)
es distinto de cero en todos Jos puntos del conjunto abierto O C i 2 .
Se utiliza la notación dS para el elemento de volumen bidimensional de la variedad
y se denomina elemento de área de la superficie S]>. De acuerdo con la fórmula (2) tencm
dS =
donde
/d±
/0±
\du> du J \0uy dv /
du dv -- VEG — F2dudv,
/B± M>\ /0±
\ Un ' üv j \ dt,' 9v /
N
' du/"
_ / d ±
\dv'dv/~
¿M>
du''
\du)
\du)
\du) '
_ /dx\2
(dy\2
\dv)
\dv)
(dz\2
\dv) '
-
dxdx+dydy+dzdz^
dv/~~ du dv
du dv
du dv
son los coeficientes de Gauss.
Haciendo uso de la identidad de Lagrange
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(be - cb'f + (ca' - acf + (al/ - baf
= (a2 + bz + c2)(a'2 + b'2 + c'2) - (aa' + btí + cc') J '
obtenemos EG - F2 = A2 +B2 + C2, entonces
dS - VA2 + B- +
C2dudv.
(3:
Veamos ahora una superficie S definida en forma explícita
S = {(¡e,y, z) G R 3 : 2 = z(x,y), (x,y) G D, D C K 2 } .
En este caso se tiene
$(x,y) =
(x,y,z(x,y)),
E = 1+
d§
= Í1 0
—
dx
V ' 'dx)'
dy
dz\ 2
dx) 1
\dy) '
CRL 'dy)'
K'
Consigu ientemente,
Consideremos el caso m — 3, p = 1, es decir, se tiene una curva orientada 7.
El elemento de volumen unidimensional se llama elemento de longitud de la curva 7.
' ' E n el p . 3 . 2 ya hablamos sobre esto. Aquí la medida se construye en una variedad arbitraria (en el
p.3.2 se tiene un caso particular de esta medida).
173
fí'l l i l i l í ««i Mu en variedades
Impongamos que las coordenmlmi
y, ¿ de punios de la curva y son funciones x(t)r
x
0), z(t) de clase C cuyas derivadas ; / ( / ) , //'(/), ;::'(/) no se anulan simultáneamente en el
dominio de definición del parámetro / ...Millonees el (Neníenlo de longitud de la curva dí{t)
puede escribirse como sigue
dl(t) = y<<!>'(¿), <1>'(¿)) dt - yjx'\t) + y*(t) + zfl(t) dt,
(7)
donde
= (x(t), y(t), z(t)) y se supone que el parámetro t recorre la curva 7 en sentido
positivo (sentido de crecimiento del mismo).
4.3. Integración en variedades con frontera. Integrales curvilíneas, integrales
de superficie y sus aplicaciones
Sea K C M una variedad con frontera dK. Supongamos que K = (D), donde
/> C O, O C US?, es una región cerrada con frontera suave dD y x — f ( x ) , x G K, Lina
(unción numérica acotada.
D —^Res integrable según Riemann en el
Definición 1. Si la función ip — f
conjunto D, entonces la integral
<p(u) dV(H)y
0)
D
donde dV(H) es el elemento de volumen p-dimensional en la variedad M, se denomina
integral de ¡a función f en el compacto K C M y se representa por
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f(x) dK.
K
De este modo.
f(x)dK
def
dui
D
K
(u),
du
(u)^ du\... du p-
(3)
*
Para p = 1 la integral (3) se denomina integral curvilínea de primera especie de la
función / a lo largo de la curva suave 7 = $(£>), donde D - [a, b\ C IR, y se representa por
/ ( x ) di.
Puesto que dl(t)
nt),
(4)
¿ ( ^ ( f ))2dt,a^t^b,se
m ) dt = I¡$'(í)¡I dt
tiene
»'=i
V
f (x) di
j(m)
D
gi y = {(x,y,z)
n
dt
(5)
i=i
€ IR3: x = (p(t),y = i>{t\z - x(*)i a < * < b}/ entonces
b
J f(x,y,z)dl
- J f (<p(t), i>(t)7 X(t)) V<P,2(t) + f2{t) + Xl2(t) dt
a
l'/4
Capítulo 2. Integrales •míltipU'H y 1111 vilínoas
Si 7
{(x,y) t K ! : í
<p(t), = ^(í),a •; í
}, enlomes
U
J f(x,y)dl — J f(v(tim) Vf + Í>' (t)dt.
G
Y
La integral curvilínea de primera especie no depende de la orientación de la curvf
Si p = 2, la integral (3) se denomina integral de superficie de primera especit
la función / extendida al compacto K. La integral no depende de la orientación d t
variedad M .
En el caso de que p — 2, m = 3, la integral de superficie de primera especie
designa por
JJ
f(x,y,z)dS.
Si S —
y $(«, v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)),
D C IR2, entonces según
fórmula (4) del p. 4.2 y la fórmula (3) del punto en cuestión se obtiene
J J f{x,y,z)dS
= J J f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))
S
\/EG - F2 du dv.
D
Si S = {(x, y, z) G R 3 : z = z(x, y), (x, y) G £>}, resulta
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J J f(x,y,z)dS
S
— J J f(x,y,z(x,y))Jl+(^(x,y))\(^(x,y)ydxdy.
D
(1
V
Teorema. La integral (3) no depetide de la parametrización de la variedad M.
Debido a que las integrales extendidas a variedades pueden ser reducidas a la
integrales de Riemann, las primeras gozan de todas las propiedades de las integrales d
Riemann.
Veamos el caso de una curva 7 = $([«, f>j) suave a trozos; entonces existe
n
— b} del segmento [a,b] tal que 7 — |J7,, donde
partición II — {í 0 = a,ti,...,t„
¡=1
7,- — $([í¿,í¡ + i[) son curvas suaves. Tomemos, por definición, que
J fwdi^'jr J f(x)di.
7
7
3)2 , no es suave, sin embargo admite una
Si una superficie M = <t> (O), O C R
,=n
n
representación O — ( J 0 ¡ (donde 0 ¡ son regiones en R 2 sin puntos interiores comunes)
•=i
tal que cada conjunto Mi = $(O t ) es una superficie de clase Cl, entonces el conjimto M
se denomina superficie suave a trozos. Sea K C M y sea /: K —* R una función acotada,
entonces por definición
(12)
K
,==1
K,
liih'Hrdrlrin t»it VrtHedailes
I
f
%r
"
•1
fue supone que la región interior de cmla Miuipa» tn Ht sea una superficie de clase <" ,
i|tie existan todas las integrales que Intervienen en la suma del segundo miembro de la
imilla.
'I
*9
Consideraremos una curva 7 < K (7 (
) suave o suave a tro/os a lo largo
jp la * nal se tiene una distribución de masa con una densidad lineal (masa por unidad
fjt* longitud) /(x>y,z) ((f(x,y)).
H! valor de la masa m de dicha curva viene, entonces,
^Híimia mediante la integral curvilínea de primera especie (supuesta su existencia)
m
f(x, y, z) di
m
f(x,y)dl
Supongamos ahora que se tiene una distribución de masa sobre una superficie suave
H hii.ive a trozos S C R 3 y la densidad superficial f(xy y,z) es una función integrable en S.
túilonces la integral (8) proporciona el valor numérico de la masa de dicha superficie.
Sea p(x, y) la densidad lineal de una distribución de masa a lo largo de una curva
| í R2 suave o suave a trozos. Supongamos que p(xTy) es integrable en 7 . Se llaman
imítenlos estáticos MXf My y momentos de inercia Ix, Iv de la curva 7 respecto a los ejes
lie coordenadas Ox y Oy a las integrales
Af,
yp{x, y) di,
Mty
xp{x7y)dl,
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h = J Ifp&i y) di,
Iy ~ J x1p(x) y) di
Las coordenadas del centro de gravedad de dicha curva se calculan a partir de las
Inleg rales
xc
= hm J/ xp(x>v)dl>
ve = ra /
yp(x>v)dl j
ilonde m — Jp(xyy)dt es la masa de la curva 7 .
7
Si la curva 7 es homogénea, se supone que
y) — 1. En este caso los momentos
estadísticos y momentos de inercia de dicha curva respecto a los ejes de coordenadas
reciben el nombre de momentos geométricos.
Veamos asimismo el caso de una superficie suave o suave a trozos S C R 3 con
una distribución de masa con la densidad superficial p(x,y^z) integrable en S. Se llaman
momentos estáticos MXOTJ, MVQZ/ MzQX de la superficie S respecto a los planos coordenados
a las integrales
M xOy
zp{x, y, z) dS,
MyOz
xp{x,
2) dS,
&DSoWXOR ,QWHJUD OHX PtOWLSOHV \ FXUYLOIQUDV
1/6
Las coordenadas del cenlro de gravedad C(Xc, Ve, ¿c) de dicha superficie se determifl
a partir de las fórmulas
-iJI
yp(x, y, z)dS,
Ve
zc
xp{x,y,z)dS,
-Ú
zp(x,y,z)dS,
donde m = f f p(x, y, z)dS es la masa de Ja superficie S.
m
Supongamos que se tenga un punto material 0 q de masa .m0 cuyas coordenad
son (xíh y0, zq) y que no esté situado en la superficie S. La fuerza F con la que la superfic
material S atrae dicho punto material viene definida entonces por la fórmula
IIp(x'y,z^dS>
s
donde r = (a; - xth y ~
2 zQ), t = |r| = yf{x - x0)2 + (y- y0f + (z- zü)2 y N es 1
constante gravitatoria.
Se denomina momento de inercia Iz de la superficie material S C l 3 respecto a
eje Oz a la integral
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{x2 +
y)p(x,y,z)dS.
(19'
Introduciremos ahora la definición de integral curvilínea y de integral de superficie
de segunda especie.
Sea M C ¡Rm una variedad orientada de dimensión p < m de clase C 1 que viena
definida en la forma M — &(0), O C E p , donde $ es una aplicación de clase C1 de la
región O en el espacio euclídeoffi"\Sea M una variedad de dimensión p = 1 y sea 7 € M,
donde 7 --<!>([«, 6]), una curva suave. La orientación tangente de esta curva se denomina ;
sentido de recorrido de dicha curva; se conviene en decir que la curva se recorre en sentido
positivo si en cada punto t € ]o,í>[ el vector <¡>'(í) es positivo respecto a la orientación
elegida en dicho punto. Puesto que la curva 7 pertenece a la clase C 1 , entonces
||*'(i)||?4 0Vf €]<»,&[,
donde
||*'(É)|| =
\ »=1
Supongamos que se tiene una función vectorial x - > F(x), x £ 7, con componentes
= (eos «i, cos
• • •,cosa m ) el versor tangente
acotadas F¡ (i = l,m) y sea r(x) =
a la curva 7 en el punto x = $(í), t C ]a, b[, positivo en el sentido de la orientación de
dicha curva. Consideremos la función numérica x —• (F(x), r(x)}, x £ 7, donde (F, r ) es
el producto escalar de los vectores F y r . Supongamos que existe la integral curvilínea de
primera especie
y (F(x), W [
di = I (Fx(x) FRV ϜL )2(x) cos a2 +
K)m(x) cos am) di.
integrannn pn YnnFiinur*
Definición 2* La inCo^m! (Ttí) ne tlrnomhwi iult'$ml cttivilíimi de segunda espiric
M Jbtvia general de la función veilorlal I' n ln Lir^n de la curva orientada 7 y se representa
jmr
i(x)ríu:i I l')(x)dx2 4
l
(21)
Fm(x)dxtti,
Partiendo de la definición de integral curvilínea de primera especie obtenemos
7
ú
a
1—1
ilnnde se supone que la curva 7 se recorre en sentido positivo (que corresponde al
n i vi miento del parámetro
De este modo, según la definición se tiene
í
Fj (x)
í
(ibmm(í) dt.
(23)
Junto a las integrales curvilíneas generales de segunda especie se examinan también
cgrales curvilíneas de la forma particular siguiente
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F,(x)dxj.
(24)
En el caso de que la curva 7 sea cerrada, la integral curvilínea de segunda especie
/
/
<F(x), r (x)> tü
(25)
7
V
se denomina circulación del vector F a lo largo de la curva 7.
Sea M C K m una variedad de dimensión p — ra - 1, es decir, una hipersuperficie
de clase C 1 orientaba transversalmente mediante la elección de uno de los dos campos
ontinuos de versores normales n(x), x G M , donde n(x)
el v c r s o r
" íPWÍÍ' s i e n d o
normal a la hipersuperficie M en el punto x =
u G O, O C
!|N(x)||
»•
dui
donde
du m 7(u))
d±
determinante
Consideremos un compacto iT C M con una frontera
donde K —
/) C
O C ® m y supongamos que en éste este definida una función vectorial x —• F(x)
ron las componentes acotadas F¡{x), 2 — 1, m, y que exista, además, la integral de superficie
de primera especie
í (F(x), n(x)) dK.
K
(26)
ϩ DSoOXOR ,QWHJUDOHV PWLOOOSOW + \ FXUYLOoQHDV
Definición .1. I ,¡i integral (26) se denomina integral de superficie de segunda etfI
en forma general exlondida a la hipersuperficie orientada K y se representa por
/
)?(x) dx2 dx;¡.,. dxm +)2 ;) dx, dx3 ... dxm$
1-)m(x) dz\ dx2...
dxm_l.
K
Sea K C t 3 , K = S = $(D), D C R 2 , $(«, v) = (x(w, i>),
y sea F = (P, Q,
entonces, según la definición, se tiene
v),
í;)) , («, v) i
J J P(x,y, z) dy dz + Q(x, y, z) dz dx + R(x, y, z) dx dy -= JJ{f(x,y,z),n(x,y,z)}
AS =
s
= ± JJ ^P(<Í>{u,v))A + Q(${u,v))B + R(<!>{u,v))c"jdudv,
o
pues
= VEG^W
= V M F N B ^ K ? , ¿ - g g , B = g g , C = g g , n<«, y, *)J
B, C) (ver la fórmula (3) del p. 4.1 y la fórmula (5) del p. 4.2).
Si S = $(£>), donde ${x,y) = (x, y, z(x, y)), (x,y) £ D C R 2 , n = (cosa,co»|
cos 7), entonces la fórmula (28) toma la forma
II
P dy dz + Q dz dx + Rdx dy
-I!
( P c o s a + Qcos/3 + i t c o s 7 ) d S ~
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+ J R(ar,tí,z(a! ) r/)) jdardí/,
(21¡
puesto que en este caso se tiene
¿i <?£
1
£Í£
1 o
cía c)y
fí92 = 1.
B o
1
~~dx'
1
0
fte 03/
El sentido físico de la integral curvilínea de segunda especie es el trabajo de
campo vectorial de fuerzas F. Por lo que se refiere a la integral de superficie de segund
especie, ésta se interpreta como el flujo de un campo vectorial F a través de la superficie
Señalemos que las integrales curvilíneas y las integrales de superficie de segund
especie dependen de la orientación de la curva 7 y de la superficie S, respectivamente:
cambiar el sentido de recorrido de la curva 7 y la orientación transversal de la superficie S,J
los productos escalares (F, r ) y {F, n) cambian de signo.
A =
0
4.4. Condiciones necesarias para que las integrales curvilíneas de segunda
especie no dependan del camino de integración
Si una forma diferencial w — P(x, y) dx + Q(x, y) dy es la diferencial exacta de un§|
cierta función u, es decir, en una región que contiene a la curva 7 = AB se verifica la I
igualdad Pdx + Qdy = du, entonces la integral
/
Pdx+Q
dy = N(B) - u(A)
m
AB
no depende de la elección del camino entre el punto A y el punto B a lo largo del cual se
efectúa la integración.
f}4. Iiiti^nu i^n vi\ vmledmlou
174>
Supongamos que l.is Íuih '¡omití l* y Q i'Htrtn delinídas y son continuas junto con sus
ilrrivadas parciales ^ y
en wm región (vrrmlii simplemente conexa D C M2, donde,
m lemas, se verifica la igualdad
OQ
OP
(2)
Ox
dy'
forma diferencial w = Pdx + Qdy es la diferencial exacta de cierta función u
y la integral curvilínea
Pdx + Qdy
(3)
AB
no depende de la elección del camino de integración en D entre el punto A y ej punto U,
l .i igualdad (2) es la condición necesaria y suficiente para que la integral curvilínea (3) no
dependa del camino de integración en Dt siendo D una región simplemente conexa.
Para que la forma diferencial
w — P dx + Q dy + R dz
la diferencial exacta de cierta función u en una región cerrada simplemente conexa
K c M3 es condición necesaria y suficiente que en K se satisfagan las condiciones
dQ
dx
8P
Oy'
dP _ OQ
dy
dz'
8R
dz
OR
dx
^
lín este caso la integral
Pdx + Qdy + Rdz9
(5)
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AB
donde AB C K , no dependerá de la elección del camino de integración.
Si en regiones cerradas simplemente conexas D C R2 y K C M? se cumplen las
condiciones (2) y (4), entonces
P(x, y) dx + Q(x, y) dy = du,
y, z) dz = dw,
P(x, yt z) dx + Q(x} y, z) dy +
y las funciones u y w se pueden hallar a partir de las fórmulas
x
«te y) = J
x
y
yo)dt + J
yo
w{x7y,z/
t) dt + c ,
y
+ /
'0
(6)
í,zo)di + / Jü(a?,y,í)di + C,
ífo
(7)
zíi
donde (afoiíto) y (^oj^oj^o) son puntos fijos de las regiones D y K, y C es una constante
arbitraria.
K Calcular las siguientes integrales curvilíneas de primera especie:
123. I = J(ff4/3 + yA/3) di, donde 7 es el arco de astroide x2'3 -f t / 2 / 3 = a2/3, a > Ü,
4 Solución* Escribamos las ecuaciones paramétricas de la astroide:
3
x = «eos t)
3
y — asen t
(0 ^ t ^ 2ir).
WL_+OXOR 2. ,QWHJUDOHV PtOWLSOHV\ FLLLY o I o L K P K
Aplicando luego la fórmula (7) del p . 4 . 3 tenemos
2ir
l = 3a?/3 J (eos41 + sen41) | sen £cosí| dt,
o
puesto que x4/3+y4/3 = a4/3(cos4 M-sen4í) y di -\/(-3a eos21 sen i)1 + (3a sen2í cos tf dt I
3a| sen t cos t\ dt. Debido a que el período del integrando es
entonces
2
I =
(eos41 + sen41) sen t cos t dt = 2a /3 (eos6 í - sen6 i)
Un7'3 J
o
124. i = j
y / x ^ d l , donde 7 = {{x,y) £ R 2 : x 2 + ¡/2 = ax}, a > 0.
M Solución. Pasando a coordenadas polares obtendremos la ecuación de la circunferencia '
en la forma p = acostp, —f < tp í j
Tomando como parámetro el ángulo polar ifi
encontramos las ecuaciones paramétricas de la circunferencia 7:
2
x —acostp,
TT .
y = a cos tp sen tp (^""2
. Tí"2 \
/'
En ta circunferencia 7 se tiene ^x2 + y2 = a cos tp. Debido a que di = a dtp, según ll
fórmula (7) del p. 4.3 obtenemos
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jr
2
I = a2 J eos<pd<p = 2a2.
•
rr
2
1 2 5 . I ~ J x2 di, donde 7 es la circunferencia formada en la intersección de la esfert
7
S = {(1, y,
x2 +y2 + z2 = a2} y del plano x + y + z = 0.
Solución. El plano pasa por el origen de coordenadas y al cortarse con la esfera S forma
la circunferencia de radio a y de longitud 2ira. Realizando permutaciones cíclicas es fácil
convencerse de que se verifican las igualdades
jx
di = J y2 di = Jz2dl,
7
7
7
que permiten representar la integral I en la forma
I==l¡
+y2+z?)dL
7
_ a,.2 ,
Puesto que los puntos de la circunferencia 7 satisfacen la igualdad x2 ,+ y,.2,+ z 2 —
entonces la integral es
7
I
WWa3 2
jj'J hiU<Kiihlrin en v^iU^l.uh'N
1HI
MM'S
dt
2?ra,
•
v
L j
zdl, donde 7 es la curva formada por la intersección de las superficies
jy
definidas por las ecuaciones x \y
coordenadas (0,0,0) y (a, a, a\/2).
ry
= z oy —
y que se recorre entre los puntos de
4 Solución. Tomemos la variable x como parámetro. Entonces llegamos a las ecuaciones
I m ra métricas de la curva 7 en la forma
x - x,
x2 + ax
t/oX,
y
(0 ^x
^ a).
En virtud de que
dz
- dx.
— a
2Vx2 4- ax
dy ~ 7: \ I — dx?
2\x
di — y/dx2 4- dy2 + dz2 dx,
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aplicando la fórmula (7) del p.4,3 obtenemos
a
i
• ••ib-
9a \
17
\ Ni* + 9ax 4- 2a dx lJ\li2^2*+¿7=2)
~ 32
=
o
o
2
a 2 d x
[ (2y/2x +
yjSx2 4- 9ax 4- 2a 2 —
4V2
4V5 \ V
a
9a
17 1
2
2
a ln (2V2x +
4- VSx + 9ax 4- 2a
32
4V5
£0
1
\
— ~ ( m V 3 S - 7 2 - 171n
256V2 \
25 + 4>/38
17
•
Si Hallar las longitudes de las curvas espaciales (los parámetros se consideran positivos),
definidas por las ecuaciones:
1 2 7 . (x - y)2 - a(x + y), x1 - y1 = \z2 desde el punto O = (0,0,0) hasta el punto
o
Solución. Parametricemos la curva tomando x 4- y = t(x - y). Entonces, a partir de las
2¿3
ecuaciones de la curva obtenemos x — y at, x + y- at1, \z2 - aH^ (t > 0), de donde
+
y ^ ^ - t ) ,
i*
DSoODOR ,QOFJULOHV PtOWLSOHV \ FXUYLOoQHDV
, ts¿
Al punto O le corresponde el valor i -- 0 y al punto A, el valor la
Designemos por I, la longitud buscada de (a curva. Tenemos
í»
L =J
• \ (~)
z9
'n
{d'x(t))Z+ (dy(t)f + (dz{t)f
= Vi j ( t +
dt =
3/34 „
ü
a
o
1 2 8 . x1 + y2 = cz, ^ = tg | desde el punto O = (0,0,0) hasta el punto A = (XQ, yo, «o
M Solución. Parametricemos la curva tomando como parámetro el ángulo polar ip. Haciend
x = pcosip, y — psetnp, obtenemos p2 = cz, tg<p — tg~, de donde z = c<p, p2 — (?ip, c
lo que las ecuaciones paramétricas de la curva adquieren la forma
x — cy/ípcostp,
y = c,/<psen<p,
Calculando la diferencial di — c(^/ip +
límites 0 y j hallamos
z — ctp
^ tp ^
.
e integrando la expresión obtenida entre lo
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1 2 9 . Determinar la masa m del arco de parábola 7 = {(1, y) G IR2 : y2 — 2paf/'
0 < x ^ — } , si su densidad lineal p(x,y) en el punto (x, y) es igual a |í/|.
Solución. Calculemos la diferencial di a partir de la fórmula di =
+
(y'(x))2dx
+ ¿ dx. Tomando en consideración la simetría de los puntos de la parábola respecto
al eje Ox y que la densidad lineal es p(x,y) = \y\ — y/2px obtenemos
2
2
m - J P(x,y)dl = l j ^/ipx^Jl
+ ~
+P2dx
dx
=
2)
_(2px+p2\3/2
=
= |r(2v^2-l).
p.
1 3 0 . Determinar la masa m de la curva 7 C M definida mediante las ecuaciones
x = at, y =
p(x,y,z)
=
fty
, z =
(0 < t < 1). La densidad de la curva varía según la fórmula
V a
< Solución. A partir de la fórmula (13) del p. 4.3 resulta
i
= J p(x, y, z) di -— J p{x(t),y(t),z(t))
yj{x\i)f
+ (y'(t)j¿ 7 (z'(t)f dt.
¡H
hiesto que ;j(£(í),2/(0>¿(0)
i
m
lli1f»Hl*t< Mil en Vitiirdiideu
til
1 H[\
ííVf I O I /'l di, entonces
i
a
0
_ £ (
" 4
l)
1 \ /7—7TT71 . 3
+
+
+
.
i
+
V l + ^ + í4
o
ii i i i
1 3 1 . Hallar las coordenadas del centro de gravedad de una curva homogénea 7 C K"
37
definida por la ecuación y — ach—, y comprendida entre el punto A — (0, a) y el punto
II :: (6, h) {a>Q,b>Q,h>
0).
Solución. Empleemos las fórmulas (15) del p.4.3. Puesto que la curva 7 es homogénea,
entonces en dichas fórmulas se toma p{x7y) ~ 1. Tenemos
\¡ : sh^,
di — yj\ -f {y'{%))2 dx =
m ~ f ch ~ dx = ash- =
J a
a
a
V a¿
+ sh 2 ^ dx — ch ^ dx,
- 1=
—
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1 /
1
a;
1 /
Í C 2
¡•n = — I x dí — — / a; ch — dx = — ( a x sh
a ch — )
m J
m J
a
m \
a
a/ o
o
— (bsh- - ach - + a) = — (b\ldv2- - 1 - k 4- a )
m\
a
a
/
m \ V
a
/
m \a
}
" /í + a
b
b
1 /
1 /
¡c
a f 2¡k
— I y dt — — / ?/(x) ch — dx = — / ch — da
mj
mJ
a
my
a
o
o
2mj\
o
a J
2m\
2
a J o
a
a
,
i. & u
/V . ^v^2 — I & 4- a s h - ch - ) = - — [ b H
2m\
a
aJ
2m\
a
h ,
ab
—- +
2
2
2 vh - a2
•
1 3 2 . Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la curva que limita el triángulo
esférico homogéneo
S = {(x7 y} z) E R 3 : x2 4-tf2 + z 2 = a, x ^ 0, y ^ 0, z ^ O}.
Solución. Dado que el triángulo esférico es homogéneo, entonces
Xc = — / xdl,
mi
-Y
ye
mi
y di,
zc = — / zdl,
mi
L ϭUW
&DSoWXOR ,QWHJUqOHVPtOWLSOe
\ FXUYLOoQHDV
donde 7 es la curva en cuestión y m = j7ra es su longitud.
Los puntos del plano yOz satisfacen la ecuación x 0, por tanto
xc=^^Jxdt + J xdlj,
7i
7i
donde 71 es la parte de la curva 7 situada en el plano xOy y 72, la parte situada
plano xOz. Las curvas 71 y 72 se pueden describir mediante las ecuaciones paramétrlj
respectivamente:
x = acos^,
y — asen<p
x — acostp,
y—asenip
(o ^ ^ ^
,
< ip < ^
.
En 71 se verifica di — a dtp y en 72 se tiene di = a dip. Así pues.
eos (pd(p +
xc
o
Análogamente, yc = zc =
J cos ip dip)\ _ 2am __ 3tt4a '
2
o
•
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1 3 3 . Hallar los momentos estáticos del arco de astroide homogénea x2'3 + y2'3 = a1'
x Sí 0, y 5? 0, respecto a los ejes de coordenadas.
•4 Solución. Utilicemos las fórmulas (14) del p. 4.3 tomando p(x, y) ~ 1. Escribiendo lf¡
ecuaciones paramétricas de la astroide en la forma x — a eos3 t,y — b sen31 (0 ^ t ¡g
teniendo en cuenta la solución del ej. 123, hallamos
i
Alrx = 3a2 y sen41 costdt=~^a 2 ,
1
My = 3a2 J eos4 i sen tdt = | a 2 .
•
1 3 4 . Hallar el momento de inercia de la circunferencia homogénea 7 = {(x,y) E R |
x2 + y1 — a 2 } respecto a su diámetro.
< Solución. Elijamos el sistema de coordenadas xOy de un modo tal que el diámetro de M|
circunferencia 7 pertenezca al eje Ox y el origen de coordenadas coincida con el centro '
de la misma. Entonces el momento de inercia de la circunferencia homogénea 7 coincidirá
con J x o I y (ver las fórmulas (14) del p.4.3). Tomando en consideración la homogeneidad!
de la circunferencia 7 tenemos
2x
I — Ix — y
y2dl
= a3 y
sen2 <pd<p — na3,
donde han sido utilizadas las ecuaciones paramétricas de la circunferencia x = a cos tp,
y — asenyj, 0 ^ tp < |, y el hecho de que di — adtp.
•
fí'l Inli'fihu jfm 1*11 Vfi<liMl*ules
135» ííalJnr el momento ile hieirlu polín, tlHinldn por la fórmula
/n
/ {^1
>/)dÍ
del contorno homogéneo del cuadrado
6 K 2 : máx{|x|7l2/|} = a}
7 =
rer.pecto al punto O — (0,0).
Solución» El contorno del cuadrado 7 está constituido por los segmentos de rectas y — 1 a,
¡r - ± a . En los segmentos x = ±a se tiene x2 + y 2 = a2 + y1, -a ^.y ^ af dt — dy; en
los segmentos y — ±a se tiene x2 + y2 = x2 -f a 2 , - a ^ a: < a, dt ~ dx.
Reduciendo la integral curvilínea 1$ a la integral de Riemann correspondían te
ni llenemos
a
a
32 3
T a '
(a" + y ) dy + J (a' + 2:) dx
lo = 2
a
^
*
a
1 3 6 . Hallar los momentos de inercia respecto a los ejes de coordenadas de la espira de
hélice homogénea
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7 =
f
hfc
— «cosí, y = asení, z — —, 0 ^ t ^ 2?r j .
£ ®3:
4 Solución, Designemos mediante r^, vyr rz las distancias desde un punto M = {x,y,z)
de la hélice homogénea 7 hasta los ejes de coordenadas correspondientes. Entonces las
fórmulas para el cálculo de los momentos de inercia tendrán la forma
<dl,
L
y = JTl
l
J r dL
I,
2
7
Evidentemente, r2 = y1 + z2, Vy — X
& +
por consiguiente, r%
a2 sen21 + ^ , r¡ - a 2 cos 2 í + 0 , r2 = a2. Como di = yj(dx(t)f
+ {dy(t))2 + (dz(t))
fflEÜ!
+ Z f Tz
dt, se tiene
IX
Iy
L
Vft2 + 4tt 2 a 2 [(
z
2,xftT\,
(a2
+
>1}
27T
0
2*
2
2
2
,
y/h + 4tf a f (^
eos ¿ +
2tt
47T2
o
2r
+
arVh2 + 4r 2 a 2 f
2Tr
7
o
2
J, 2 v
3
+
v ^ + w ,
IK6
Capítulo 2. Integrales múltiples y curvilíneas
1 3 7 . Determinar el potencial logarítmico de una capa simple:
u{x,y)
donde h — const, r =
í-2+TI2 = R2.
= j ) j¿ln ^
di,
- x)1 + (f]~ y)2 y ei camino 7 es una circunferencia de ecuacl.
Solución. Pasemos a un nuevo sistema de coordenadas
cuyo origen coincida con
origen del sistema £Otj y el punto (x,y) se encuentre en el eje
. Con esto obtendrem
u(x, y)
=<j>K ln p- di',
donde 7' = {(£',*/) € K 2 :
+ t = H 2 }, r' - ^ - />)2 + í/2 y p = v ^ + l í 2 .
ecuaciones paramétricas de la circunferencia adoptarán entonces la forma
= Jicos^,
t¡ = R sen ip, 0 < <p < 2TT, dZ =
En nuevas coordenadas el potencial logarítmico d
la capa simple será
2ir
=
y
ln(ü2
- 2Rpcos<p
+ pz)
dtp
=
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o
= -27rfijílnñ-^ J
cos
<p+^y<p,
o
Introduzcamos la notación ^ = a y calcularemos la integral
J(ct) = J ln (l - 2a cos tp + a 2 ) dip.
La derivación respecto al parámetro a proporciona
2*
j
o
donde 2 = ae"p,
=
z — ae~tip.
- i
J ( z
0
2w
l — 2a
cos tp + a2
a J
o
(z + z)
dtp,
(1 - Z)(l - Z)
En el caso a < 1 tenemos
+ z2 + • • • + Zn + • • • + z + z2 +• • •• + z11 + • • •) dtp
=
2n
= ~ ^ J (a cos tp + a2 cos2 tp H
(-a" cos ntp H
) dtp = 0.
187
fH IntaftM* írín en VIIIIIMIÍIÍII'N
Puesto que la serie converge unilnmiemenle, podemos integrarla término a término, con
<7, (>
/(O) 0; entonces u(xyy)
~2itR}c\a!l ----- 2WW5N ,n A
¡ti í|ue obtenemos O D
I* R. Veamos el caso p >
es ilivir tt > 1. De un modo análogo hallamos
2*
1
a
1
o
1_ i
+
1
• i_i
^^M
a j
o
i
i
t
^ ^
£
(2+
1
+ — +
2jt
a
0
/ { ! ) = 0,
Щ = 4 ^ 1 n a C, &
«{x, y)
1
1
n + * —1- — +
27rite ln5 N5N
1H
cos y? cos2y?
1
^ r
Of
a
COS 71Ü?
» » »
an
4tt
a
/ ( a ) = 4?r ln a,
lna üWW5N ln - .
5
p
•
Calcular las integrales curvilíneas de segunda especie que citamos a continuación
i\ lo largo de las curvas indicadas, las cuales se recorren en el sentido de crecimiento
del parámetro:
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138. I =
2xy)dx + {y2 - 2xy)dy, donde 7 = {(#,y) G R2: y = x2, \x\ ^ 1 } .
Solución. Utilizaremos la fórmula (7) del p.4.3 donde el papel del parámetro t lo
va a desempeñar la variable x. Sustituyendo y — x 2 y dy = 2x dx en el integrando,
obtendremos la integral de Riemann siguiente:
ƒ
I
¡ v -
2x + 2x5
4x4) = -
-1
139. 1
14
15
(2a — y) dx + x dxf donde 7 es un arco de cicloide x = a{t — sen t),
y — a(l — cos t), 0 ^ t ^ 2ir.
4 Solución- En la curva 7 se verifica la igualdad
(2a - y) dx + x dy = (2a - a(l - cos¿)) d(a(t - sení)) +
+ a(t - sen£)d(a(l - cos¿)) =
Haciendo uso de la fórmula (23) del p. 4.3 obtenemos
2*r
tsentdt
I
o
tcost
o
Yx
—2xa .
aHsentdt,
DSoOLLOR " ,QWHJUDOHV QXLO WLSOHV \ FXUYLOoQHDV
I8K
140.
/
dx \ dy
, , . . , donde A1ÍCDA es el contorno del cuadrado con vértices A = (1,
\x\ -I |v/|
ABCUA
B = ( 0 , 1 ) , C ^ ( - 1 , 0 ) , D = (0,-1).
Solución. Conforme a la propiedad de aditividad de la integral curvilínea tenemos
dx + dy
/
f dx + dy
fdx + dy
RT¥\+J R+¥\+J R + ¥ l
f dx -j-dy
J M + líl'
Los segmentos AB y CD satisfacen, respectivamente, las igualdades x+y = 1 y x+y — -»
entonces dx + dy = 0 y, por lo tanto, las integrales curvilíneas extendidas a estos segmeií'
se anulan idénticamente. En los segmentos BC y DA tenemos, respectivamente, y - x m
e y ~ x = —1, luego dy = dx, |a;| +
= 1. Si el punto (x,y) 6 BC, entonces x decr
desde 0 hasta —1; si (x, y) £ DA, entonces x crece desde 0 hasta 1. Consiguientemente,
- J
J
1 = 2 J dx + 2 J dx =—2 + 2 = 0.
1 4 1 . Demostrar que las integrales curvilíneas se pueden estimar del modo siguiente:
I !•
P(x,y)dx+Q(x,y)dy
j ^ LM,
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donde L es la longitud de la curva 7 y M ~ máx y / P 2 {x, y) -f Q2(x, y).
Solución. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que la curva 7 es suave (si 7 es sua"
a trozos, entonces la integral se puede representar en forma de una suma de integrales a '
largo de las curvas suaves). Según la definición de integral curvilínea de segunda espe
se tiene
J Pdx+
Qdy — I (F, r ) di,
7
donde F — (P, Q) y r es el versor tangente a la curva 7. A partir de la desigualda
|(F, r)| < ¡F] = \/P2 + Q2 resulta la estimación buscada
|/Pdx
\ Qdy\[ s$ J
VP2{x,y)
+ Q2{x,y)dl ^ máx /P2{x,y)
142 . Estimar la integral IR = é -JL^Ü—xdy
+ Q2(x,y) Jdi
, donde 7 = Ux,y) £ R2:x2+y1
+ xy + y^Y
J
Demostrar que ií-»+oo
limG pr — 0. 7
= LM,
— ü2},
'
< Solución. Para estimar la integral utilizaremos la desigualdad demostrada en el ejemplo
anterior. Tenemos
P{x,y)
y
(a;2 + xy + y2)2'
Q(x,y)
(x2 + xy + y2)2'
L U
/
yjx? | y2
>\-> >
έ xy έ y )'tanto IR < 2WWR
máx
yA'l V
I
,
*
Tomando en consideración Jas ecuaciones paramétricas de la circunferencia
Rcostp, y = Rscmp, 0 ^ ip ^ 2w, llegamos a la estimación
\ / x 2 + y2
max
¿lirier (z2 + xy + y2)2
1
4
??1
+ sen tp eos <pj
oi^ir
ti
|ue se deduce de la desigualdad
1
(1 + sen tp cos <p)2
4
<4,
(2 4 sen 2ip)2
0 < ip ^ 2*\
SíT
definitiva obtenemos la estimación
lim J j z - O .
/f ->-K»
(Calcular las integrales curvilíneas de segunda especie;
L
h -
x) dx-\-(z — x) dy + {x — y) dz, donde 7 es la circunferencia formada poj
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la intersección de 1a esfera 5 = { ( # , y 7 z ) (: R 3 : x2 f y2 z2 — a2} y del plano Si definid<
por la ecuación y — x tg a . La circunferencia es recorrida de tal modo que mirando desdi
el eje x positivo el sentido es el contrario al de las agujas del reloj.
Solución. La circunferencia 7 se encuentra en el plano S\, su centro coincide con el origci
de coordenadas y su radio es a. Sea ip el ángulo entre el radio de la circunferencia y h
recta definida por las ecuaciones y = x tg a, z — 0 (fig. 15). Entonces la circunferencia '
puede ser parametrizada del modo siguiente:
x
a cos a cos <pt y — a sen a cos (p,
z — a sen <p (0 ^ (p ^ 2tt).
Transformando la integral curvilínea en la integral de Riemann obtenemos
2ir
I
a2 J (cos a - sen a) dip — 2V2na 2 s e n ^ j -
. •
o
1 4 4 . I — J y2 dx+z1 dy-$-x2 dz, donde 7 es una parte de la cu rúa de Viviani, 7 = Sj n S
ax]
siendo Sí = {(x,y,z) e M 3 : x2 + y1 + z2 = a 2 } , S2 = {(x,y, z) £ R 3 : a?2 + y
z ^ Q , que se recorre en el sentido contrario al de las agujas del reloj si miramos desde 1
eje Ox (a: > a) positivo.
4 Solución» Pasando a coordenadas polares obtenemos la ecuación de la curva de Viviai
en la forma
TT
p — a cos <p, 2
p
2
DSLOLLOR 2. ,QWHJUDOHV PWoOOLS,o+ \ FXUYLOoQHDV
™ x
I
Fig. 15.
Fig. 16.
Teniendo en cuenta dicha ecuación y tomando como parámetro el ángulo polar
vemos que
y = a senteos tp,
x = acos2<p,
z = a[sen^|
<
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Para calcular la integral curvilínea I, representémosla en forma de integral de Riemar
calculando el valor del integrando en los puntos de la curva 7. Resulta
dx = -2a sen <p cos tp dtp,
2
o
2
dy = a (eos2 tp — sen2 <p)dtp, dz = sgn <p(a cos 'p)d¡p, tp ^
3/
3
3
2
4
5
v
y~dx + z dy + x dz — a (-2sen tp cos tp + sen' tp - 2 sen tp + sgn tp cos tpjdtp,
tp ^é
Tomando en consideración que
z
/ (-2sen 3 ^cos 3 ^ + sgn tp eos5 tp) dtp = 0,
encontramos
a3/(sen2<p — 2sen4 tp)dtp = U3(b ( | , | ) - 2 B (¡, | ) ) = a 3 ( § - f )
jy
#
2
2
2
2
2
2
=
iva
4
\
1 4 5 . I = I (y —z )dx + (z — x~) dy + (x" — y ) dz, donde 7 es el contomo q ue limi ta la
1
parte de la esfera S = {(ar, y, z) G K 3 : x2 + y1 + z2 = 1, x ^ 0, y ^ 0, 2 ^ 0 } . El contorno
se recorre de tal modo que la cara exterior de dicha superficie queda a la izquierda.
< Solución. Representemos la integral a lo largo de la curva orientada 7 en forma de
una suma de integrales a lo largo de las curvas orientadas 7 j = 1,2,3, en los planos
coordenados (fig. 16). Cada curva j j constituye una cuarta parte de la circunferencia de
IV I
N4 Irttertim lón mu variedades
radio 1 con centro ni el origen de coordentidas. ln el plano xOy so verifican las igualdades
rt
ty
¿ 0, dz = 0, por lanío en la curva J
inlegraiulo 10 es to -- 1/ cia: — x dy. Escribiendo
las ecuaciones paramtHricas de la curva 71 en la forma
x - cos y?,
(o ^(p £
sen (p
y
obtenemos
TT
Tt
3/ dx -x
dy — — i (sen <p 4- cos <p) dtp = - 2 / sen (p dip
7)
0
Invidentemente, J w — / w — /
72
7i
73
=
71
4
—
3
Љ
por consiguiente / — 3 / í j
Ti
4,
•
En los ej. 146-151 va a utilizarse la propiedad de la independencia de Jas integrales
<urvilíneas de segunda especie respecto al camino de integración que une los puntos (x()l y0) y
(x u yi) si el integrando es una diferencial exacta en una región simplemente conexa D que contiene a
dicho camino. Más precisamente, conocida una función u tal que du — Pdx + Qdy, inmediata me n lo
se tiene
(^1 ,£Tl)
tel.Jf]}
Pdx + Qdy= «foy)^'^
=
-
> Indicación.
í in el caso cuando no se conoce la función ti pero en la región D se cumple ía igualdad ^ • ^ ,
entonces, conforme a laf propiedad mencionada de la independencia de la integral respecto al camino,
conviene tomar como camino de integración una quebrada de segmentos de paralelas a los ejes
de coordenadas (que no salga fuera de la región £>). Entonces, puesto que dy — 0 para y ~ yo, y
dx = 0 para x = X\, obtendremos la fórmula
yi
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Pdx + Qdy
3&i yo) dx 4- / 4 ti •\ dy.
(A)
yo
(zo.ífu)
Calcular las integrales curvilíneas siguientes:
(3-4)
ϩ M
xdx + y dy,
4 Solución. Puesto que x dx + y dy — \ d{x2 4- y2), entonces
OZST[P
I
\(x2
+
y 2)
(1,1)
147. /
(x - y)(dx - dy).
(i-i)
4 Solución. A partir de la igualdad (x - y)(dx - dy) = (x-y)
I
(g - y)
2
d(x - y) = \ d(x - y)2 resulta
a,i)
•2.
(í-i)
•
, Yϭ
(aplfulo͑ ͣ͑͟ ͺ Ο Ν Ζ Θ Σ Β Ν Δ Φ͑ Κ Ξ Ͻ Ν Ν Ν Ρ Ν Ζ Ϳ y curvilíneas
(t,2)
148.
y
x ¿
X ' < , r f i °
de͑ΦΟ camino͑΢ΦΖ no corla al eje Oy.
(2,1)
-« Solución. Dado que P(x,y) =
Q(x,y) =
x £ 0, entonces
= ^ = irconsiguiente, en cualquier región simplemente conexa que no contiene puntos del eje
el integrando es la diferencial exacta de cierta función. Aplicando la fórmula (A) obtenetl
dy = - 2-
•
(6,8)
xdx + ydy
149
x/x
2+y2
a lo largo de cualquier camino que no pasa por el origen '
coordenadas.
Solución. Como
— d(^/x2 + j/2), se tiene
I — y/x2 + y2
= 9.
(1,0)
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OXSWP
150.
i
-r
(o,
xdy — y dx
(x y)2 a
' n r 8° c ' e s i q u i e r camino que no corta a la bisectriz͑ ΕΥΗΝ͝
i)
primer cuadrante.
« Solución. Dado que P(x,y) =
Q(x,y) = - i ^ , g = g =
entonce!;
en toda región simplemente conexa que contiene a los puntos (0, —1), (1,0) y no contiena
puntos de la recta 7 = \{x, y) t R 2 : y —• x) el integrando es la diferencial exacta de cierta
función. Aplicando la fórmula (A) hallamos
u
l
o
(x 4 l) 2
J
-1
dy
(1 - y)2
0
1 o
1 + x 1 + 11 —-y
1.
•
1 5 1 . I = / ( l - J cos | j dx + (sen | + | cos ^ dy a lo largo de cualquier camino
tt,*)
que no corta al eje Oy.
•* Solución. Dado que
f (i _ Í c o s n
xí
ay\
x¿
Oy
, f ( s e n £ + 1 cos n =
ax \
x
x
xJ
2yc o s »y + , r y s„e n iy
x¿
x
¡r*
x
193
IttU^IlH ÍÓll (MI Variedades
se puede aplicar la fórmula (A). I(n el rimo considerado la integral respecto a la variable y
se anula (pues el camino do Integración es puní lelo al eje Ox), luego
/o ;
I
eos
1
TT \
x 4- ?r sen — I — i H- tt,
xJ ll
x/
Mf
Indicación* En cada uno de los ej. 152-156 se pide hallar una
primitiva de la función « a partir de su diferencial dada, du, con
iiyuda de las fórmulas (6) y (7) del p*4.4, o sus modificaciones.
Por ejemplo, en lugar de la fórmula (6) suele utilizarse también
la fórmula
i
y
•
i>
•
y
X
y)dt+
u(x
%
/ Qía^Odí + C,
i
yo
si el camino que une el punto (x0í y0) y (x,y) es una quebrada
de dos segmentos, uno paralelo al eje Oy y otro paralelo al
eje Ox (fig. 17).
T
<9
M/l
Fig. 17.
Hallar la función primitiva tt si:
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»
*
«
152. du — (x2 + 2xy - y2) dx + (x2 - 2xy - y2) dy.
Solución. Apliquemos la fórmula (6) del p. 4.4 tomando xq ~ 0, yo = 0, resulta
y
X
\
u{x,y) = Jt2dt
\
+ / ( * - 2xt -t2)
x
dt-^C ^•~+x^y-xy¿-
-
y
+ C.
•
X
o
o
(x2 4- 2xy
153* du
5y2) dx 4- (x2 - 2xy 4- y2) dy
•
•
-
•
(x + y)3
Solución. Apliquemos la fórmula (B) tomando xQ — 0 y yo ^ 0 arbitrario fijo. Dado que
•p&y)
i
V
+
,
x+ y
(x + y)3
,
te-2/)2
Q(xiv) = {x + y f
encontramos
S
v
u(x, y)
t+ y
(t + y)
4~
0
+ Ci,
+ 2 4- ln-lfl/1 - ln lífol + C = ln I® 4- y| (x 4- y)
Ci=const-
IM4
( ' . i p í t u l o 2. I n t e g r a l e s m ú l t i p l e s y i i i i v l l í n c . i s
154. du «tí'(«»(» y I 2) | ;/) <fce + e* (cT'(x - y) -| I) ,/y.
4 Solución. Aplicando la fórmula (6) del p.4.4 y tomando Xq
x
ii (x ,y) = j
0, y» •-- 0 obtenemos
y
e(t + 2)dt + e* J(e'(x
- f) + l ) dt + C =
o
= (t + l)é\l + ex(e\x
- t +1) +1) |J + C =
= e I + ! ' ( j - j + l ) + e , !( + C 1 ,
Q=C-1.
»¡
z3
I
•|
í[ Determinar la primitiva w si:
155. dw = (x2 ~ 2yz) dx + [y2 - 2xz) dy + (z2 - 2xy) dz.
I Solución. Escribiendo dw en la forma
2
2
2
/ x3 -{-y3
^
dw = x dx + y" dy + z dz — 2(yz dx + xzdy 4- xz dz) = d (
vemos que
\
2xyzj,
-i
w(x, y,z) = - (x3 + y3 + z3) - 2xyz + C,
C = const.
•
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156.
V
+
zJ
yy
z'
\z + v-J
y
z¿
I Solución. La expresión dada es una diferencial exacta en cualquier región que no contiena
el origen de coordenadas y puntos de los planos xOy, xOz. Aplicando la fórmula (7) del5
p.4.4 obtenemos
x
W(x,y,z)
y
z
- J ( l - I + » ) * + J ( f Q + £ ) « - I
f d t + C,
3/u
donde (T0,í/n,20) es un pimto fijo y C = const. Al efectuar la integración determinamos
=
+ a - H - 3 ! » + i
1 + » ) - ^ f a - l + ^
V
ífo
20 /
V
t
2/0
Zo
y
Zo
yo
C¡ = const.
•
+
z
2o
Tomando, por ejemplo, a¡o = j/o = ^n = 1 obtenemos
w(x, y,z) = x
35?/
í/
¡ — - + Cj,
2
1 5 7 . Determinar el trabajo realizado por la fuerza de gravedad al mover un punto
material de masa m desde la posición (xi,y\,Zi) hasta la posición (x2,y2,Z2). El eje Oz
está dirigido verticalmente hacia arriba.
Solución. La fuerza de gravedad se describe por la función vectorial
F = (P,Q,JI) = <0,0,-nig) >
H'J InteHifiiiriii m vjirloitmli*»
IW
llimde g es la aceleración de cald > lílur. Pílenlo que la expresión Pdx f Qdy j- R dz
mfidz es la diferencial exarla de Ja función n
mtjz, entonces el trabajo de la fuerza l7
pnra mover el punto material del punto (x\,yi} z\) al punto (^2??/25 ^2) no depende del
lamino y es igual a
A-
J
Pdx + Qdy+ Rdz — u(xz,y2,Z2) ~ u(xi,yx ,zx) = -mg(z2
-
•
>V\ ¿t)
J 5 8 . Calcular el trabajo realizado por la fuerza elástica al mover un punto material
I lo largo del arco de la elipse 71 = ^(x 7 y) € M 2 : ^ 4- ~ — 1 J situado en el cuadrante
positivo en el sentido contrario de las agujas del reloj. La fuerza elástica está dirigida hacia
centro de coordenadas y su valor es proporcional a la distancia entre cl punto y el origen
lie coordenadas.
polución. Sea M = (a:, y) un punto arbitrario de la curva 71 y sea r — <s/x2 4- y2 la
distancia entre dicho punto y el origen de coordenadas. Puesto que la fuerza elástica F
e/Uá dirigida desde el punto M hacia el origen de coordenadas, la misma es de la forma
|í(:r,y) = ¡ire(M, O), donde /í es una constante y efMjO), el versor dirigido desde el
punto M hacia el origen de coordenadas. Dado que e ( M , 0 ) =
donde r = (x>y) es el
vector de posición del punto M, entonces F(a?, y) — —fit — (-¡ix, -/ty),
El valor del trabajo A se determina a partir de la integral
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A—
J
xdx + ydy —
7i
~ J
d(x2+y2).
7t
Al igual que en el ejemplo anterior, el trabajo A no depende de la trayectoria que
recorre el punto yes igual a la diferencia entre los valores del potencial u(x, y) — — (a; 2 :-?/)
m los\puntos (0,6) y (a, 0):
1 5 9 , Calcular el trabajo de la fuerza gravitatoria |F) = ^ (donde r = y x 2 y 2 + z2)
fl] desplazar un punto de masa unidad desde el punto Mi =
1,3/1,^1) hasta el punto
M2 = {®2>3fe,32).
Solución. La fuerza gravitatoria F, por ser una fuerza central, puede representarse en la
fi>rma
ilonde M = (x7y,z) es un punto arbitrario y r ( 0 , M) — (x^y^z) es su vector de posición.
K1 trabajo A se obtiene al calcular la integral a lo largo de cualquier camino suave entre los
puntos Mi y M2:
M»
A — —k f ^dx
J r*
M-
+ ^dy+^dz^k
' r*'
M,
ti onde T( = yjx] + y2 + z2f i ~ 1,2.
f d(-)
j
Vr/
M,
r lM]
=
\r¿
1
n
W LSoOXOR
LQWHJUDOHV PtOWLSOHV \ FXUYLOoQHDV
US Calcular las siguientes integrales de superficie de primera especie:
160.
I = J J ( x + y + z)dS,
d o n d e S = {(x,y,z)
G R3: x2 + y2 + z2 = a2, z > O } .
s
•4 Solución. La integral se extiende a la semiesfera superior S de ecuación x2 + y2 + z1 *
Puesto que en el conjunto S se satisfacen las igualdades
^ = Va2-x2
- y2,
z'x = - z '
=
v
,
z > 0,
entonces
dS = Jl
+ z* + z*dxdy
v
=
*dxd2y
yj a/- — x — y¿
Haciendo uso de la fórmula (10) del p.4.3 obtenemos
I = aJ
J (
+ l ) dx dy,
Va
{(x, y) G R 2 : z 2 + y2 <
D -
a2}.
d
y
Al pasar en la integral a coordenadas polares hallamos
2ir
a-0
x
-hJ
puesto que
+1 \pdp - ira3,
o
www.fullengineeringbook.net
a-0
2x
I (sen tp + cos tp) dtp J
o
o
*
"2 dp
—^
= 0.
2 _ /i2
•
a
161. I = J J ( x 2 + y2)dS, donde la superficie S limita el cuerpo T = {(x,y,z)
G Hl
s
1}.
Vx2 + y2^z^
•4 Solución. Puesto que la integración se extiende a la superficie lateral y la base del cono |
entonces podemos escribir
-
1= II ^2+ ^ dS V II ^2+ ^dS'
donde Si es la superficie lateral del cono y S2, su base. Dado que en el conjunto
tiene dS = dx dy, entonces
2w
1
J J ( x 2 + y2)dS=
J J
(x2 + y2)dxdy
= J
dtp
O
0
zJ+¡l!<l
S¡
Jp3dp=^.
En la superficie lateral del cono dS — Vi dx dy, por consiguiente,
J J ( x 2 + y2)dS
= V2 J J
(x 2 + y2)dxdy
•fi
Así pues, en definitiva obtenemos I = | (l + V2 ). fr-
=
í
197
f|4 Inli'Mlili irtn en variedades
f f í¿S
1 6 2 . I = 11
, donde S en l*i raiperlicie dt1! elipsoide con semiejes a, b, c y mediante h
8
designa la distancia desde el centro del elipsoide hasta el plano tangente al elemento de
DHperficie d<r del elipsoide.
Polución* La expresión para la distancia h es
k — x cos a 4- y cos fi H- z cos 7,
tlondé cosa, cos fi y cos7 son los cosenos directores de la normal n exterior a la superficie
1I1I elipsoide en (x 7 yjZ), Las ecuaciones paramétricas de la superficie del elipsoide tienen
ln forma
x
y = &sen0seny?7
asen0cosy>,
z — ccosO
(0 ^ 9 ^ tt, 0 ^ tp ^ 2tt).
Utilizaremos la fórmula (9) del p.4.3, tomando u ~ 9 y v — (p. Debido a la simetría
ilel elipsoide tenemos
dS
1 —8
h '
st
donde £1 es la octava parte de la superficie del elipsoide que se encuentra en el primer
ociante. Si (xyy^z) E S\, entonces
Determinemos los cosenos
ilírectores del versor de la normal exterior n en un punto (x,y3 z) G S\\ 0S\f donde 0S\
es ía frontera de la superficie S\. Para ello calcularemos
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A
z)
m
B
9)1
V{z, x)
c
V{9} <p)>
y)
V(8, cp)
V obtendremos
A ~ fresen2 0 cos <p¡ B — aesen 2 9 sen (py
C — ab sen 9 cos 9.
)cbido a que C > O s i O < 0 < f y e n cada punto del conjunto S\ \ dS\ los verso res
normales forman ángulos agudos con el sentido positivo del eje Oz, entonces cos7 > 0, y,
por consiguiente,
cosa
A
<¿A2 + B2
+
C2*
eos/?
B
VA2
+ B2
+ C
C
cos 7
VÁ¿ + B2 + C2'
Reduciendo la integral de superficie a la integral doble y tomando en consideración
que dS = VA2 | B2 + C2 d9 d(p obtenemos:
1 — 8
íi
A +B2 + C
dt'i a<p
Ax(0, <p) + By(9, tp) + Cz(6, <p)
donde fi - {(0,tp) e R 2 : 0 < 9 < f , 0 < <p < §}.
Realizando transformaciones elementales hallamos
Ax(9, (p) + By{9, ip) + Cz{9, (p) = afresentf,
A2 + B1 + Cz = b2c1 sen4 $ eos2 <p + P>2c2 sen4 9 sen2 tp + a2 b2 sen2 eos2 9
2,2 2
2
a b e sen'
sen2 9 eos2 ip
sen2 9 sen2 ip
+
eos2 9 N
3
W LMLL8LOR ,QWHJUDOHV PtOWLSOHV \ FXUYOOLQHDV
Así pues, tenemos
T
^
t o i í
n
f /sen20cos2y> , sen2 0 sen2 ip 1, eos2 0
I - Sabe I senfl dO / (
5 -- +
— 2
-+•
b
u
o
=
¡(m+b)sen2e+écos2e)sen0d0=
— Sabe
o
=
o
B ( | , 2 ) + I Jeos 2 0d(cosé>)j = |xa6c ( 1 + i + i ) .
+
1 6 3 . I = J J z dS, donde 5 es la porción de superficie de helicoide definida media)
s
las ecuaciones paramétricas
X =
MCOSV,
y — usenv,
z= v
(0
< u < a, 0 < v < 2tc).
•4 Solución. Aplicaremos la fórmula (9) del p.4.3. Para ello calcularemos los coeficientes i
Gauss de la aplicación
v) = (tí cos v, u sen v, v):
_ /fH?
— \) = cos2 v +, sen2 v = ,1,
\du'
=
/§*
u2 sen2 v + u2 eos2 íj + 1 = 1 + u2,
\ dv ' dv /
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=
_
= /d$
-usenveosv
~ \du' dv /
+ u sen v cos v — 0.
Así pues, EG — F2 — 1 4- u2 y conforme a la fórmula (9) del p.4.3 la integral de superflc
I puede representarse como la reiterada:
a
1= J
2jt
\/í
+ u2 du J
0
0
a
vdv
= 2n2 J
Vi + u2 du =
0
= TT2 (uy/l + u2 + ln(íí + Vi + fí2)) [ = ir2 ( W l + a2 + ln(a + \/l + a1)).
1 6 4 . I = JJ{xy
+ yz + zx)dS,
j
donde S es aquella parte de la superficie cónic
s
51 = {(x,y,z) 6 M3 : z ~ Vx¿ + V2} q u e s e obtiene al cortar a Si con el cilindf
52 = {(x,y,z) € M3: x2 + y2 = 2ax, z 6 IK}.
A Solución. La superficie S se proyecta en el círculo D = {(ar, y) G R 2 : (x - a)2
y dS — Vi dxdy. Utilizando luego la fórmula (9) del p.4.3 obtenemos
I =V2 J j (xy + (x +y)Vx2
+ J/2) dxdy.
y2
a2}"
¡H
liih^iiH lóti <*ii variedades
"IW
Pasemos en la integral <t Imi inordenadas polares p, <p. Tenemos D = {{p,<p) £ IRí2 :
^ ^ r 2f¿cos^}, Al cambiar de variables en la integral conseguimos
^ V3 ^ Y
2« cos y?
JT
/ — Vi J (sen (p cos (p + sen <p -f cos <p) dtp J p3 dp
0
•77
7T
£
((eos 5 ip + eos4 (p) sen <p + eos5
4 V2a 4 J
d<p
TT
1T
/1\
2
8V2a 4 / c o s 5 ^ ^ = 4 V 2 a 4 B ( 3 , i )
=
^ a4.
•
0
1 6 5 . Demostrar la fórmula de Poisson
i
I
f(ax + by + cz)dS = 2?r J
f(u^a2
+ & + c 2 ) du,
donde S es la superficie de la esfera definida mediante la ecuación x2 + y2 + z2 — 1.
Solución. Representemos el integrando / en la forma
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/(«*
+ by +
cz) = f ( v
^
T
^
ajJ'll\CZ
é
)
y pasemos a nuevas variables u, v y w del modo siguiente: pongamos w —
y
definamos el plano ax 4- by + cz — 0 como el plano de las coordenadas u y v. Con tal
cambio de sistemas de coordenadas rectangulares una esfera unidad 5 se transforma dt?
nuevo en una esfera unidad Sf y dSf = dS. Por tanto, podemos escribir
f(ax + by + cz)dS = JJ/(Va2
+ ft2 + c2™) dS\
sf
A partir de la ecuación u2 4- v2 + w1 = 1 resulta, evidentemente, u2 +v2 — 1 - w2. Haciendo
= eos tp,
— sen ip, obtenemos las ecuaciones paramétricas de la esfera S' en la
forma
u
\ / l — w2cosipi
Así pues, S' —
v=
— tí;2sen<p¡
w—w
(|wj ^ 1, 0 < <p < 2tt).
donde
= ( V i - w2cos(p, \/\-w2
sen<p, w),
D = ] - l , l í x ]0,2tt[
Calcularemos los coeficientes de Gauss
{
dwJdw/~
i-w2'
\d<p' d<p/ "
"w '
y con su ayuda para el área del elemento de superficie
¿S' = VEG-F^dw
dtp.
\dw'd<p
obtenemos:
}
W LSoOXOR
2. LQWHJUDOHV PtOWLSOHV \ FXUYLOoQHDV
Pasando d e ln integral d e superficie a la integral doble encontramos
L
I -J I
' 2^
f{V<i
'\-t>2 + <2w) dS' =
S'
2*
I dw J f (y/a2 + b2 + ¿w) dtp =
-1
0
1i
+ &2 + C2ÍÜ) dw.
j f(y/a2
+
-i
1 6 6 . Determinar la masa de la capa parabólica S — {(x, y, z) G IR3: z — ^(x2 + y\
ü < z lj si su densidad varía según la ley p(x,y,z) = z.
Solución. La masa m de la superficie dada se calcula por la fórmula
m
= JJ z dS.
s
En la superficie S se tiene z =
y1). La proyección de dicha superficie en el
\{x2 +
plano xy es el conjunto D — {(x,y) £ F¿2: x2 + y2 ^ 2 } . Tomando en consideración que
dS — y I + z2 + z'2 dx dy — \/l +x2 + y2 dx dy, pasemos de la integral de superficie a la
integral doble. En coordenadas polares tenemos
2j
V2
y/2
•=\J d<pj p Vl + p dp = X j p í + p dp.
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m ••
3
0
2
3 /
v
i
0
o
„2
_
*2
Efectuando el cambio de variable 1 + p — t , en definitiva obtenemos
•s
s
m = i r j t2(t2 - 1)dt = tt
.
3
-
3 =
~ir (6V3 +1).
•
i
Hallar los momentos estáticos de la placa triangular homogénea S — {(£, y, z) € K 3 :
x - y |- z = a (x > t). y
O.z^O)}
respecto a los planos coordenados.
Solución. Apliquemos las fórmulas (16) del p. 4.3. Tomando p(x, y, z) — 1 tenemos
Ml0x
= J J
zds,
= J J
Mvoz
xdS,
M;Ox = J J
ydS.
's
s
s
Teniendo en cuenta que z\$ = a • • x — y, (x, y) € D, dS — V3 dx dy, donde la región D es
D — {(a:,y) £
- x}, encontramos
a
- j, =
íiOy
a—x
J J {a - x - y) dxdy — V§ J dx J(a
D
0
- x -y)dy
0
=
/ ( . -
o
Evidentemente, My0z = Mz0x = Mx0y =
=
' •
a:) 2 dx =
2V3VUl
~ xf
a3
« ~ 2V5"
0
f
M
ZUI
InleftMclón vti vatled.»de,4
1 6 8 . Determinar i1! mnutrnlo tlt* ineit m reenvío al eje Oz do la capa esférica homogénea
•i
(z , ())} con la densidad superficial
S ; {(Xty,z)i:
líi\V | y z
U
Solución. Según la fórmula (19) del p.4.3 tenemos
L
ion de dS =
SR ff(x2+y2)
dS>
(x7y) e Dt D = {(a?, y) € M 2 : o;2 + y1 < a 2 } .
La integral de superficie puede representarse como la integral doble
Iz = p0a
J J \/a
sja2 — x2 - y2
dxdy.
D
*
l'.isando luego a las coordenadas polares p y <p y reduciendo la integral obtenida a integrales
reiteradas obtenemos
a
a
27T
PídP
2np0a^p2\/a2 - p2 +2 J p\/a2 — p2 dp
I, =3qü / dtp f
p
o
ü
o y
4
/ 2
2\3/2 o 4
-7Tj?0a(a - p )
a
4
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1 6 9 . Calcular los momentos de inercia de la capa cónica homogénea S = < (x,y,z) E M3.
2
2
z
— 0, O s í z ^ & f con la densidad superficial
respecto a la recta 7 definida
? +' 3L
?
x
en el espacio M3 mediante las ecuaciones _1 __ y
o
b
0
Soluciórív^La recta 7 se encuentra en el plano xOzf es paralela
al eje Ox y define en el eje Oz un segmento de longitud b. Sea
M = (x, yy z) un punto perteneciente al elemento de área dS de
la superficie S (fig.18). Dado que el cuadrado de la distanda
entre el punto M y la recta 7 es rz — x2 + y2 + {b - z)2,
entonces para el momento de inercia obtenemos la siguiente
integral de superficie
¿r ~ Po
X2 + y2+ (b- z f ) dS.
Tomando en consideración que
V%2 + y2>
y) € D>
tt
dS —
a
+
&
dx dy,
mŽUGX_S
£ M2: x2 + y2 < a 2 } , obtenemos
donde D =
L
po^/a2 + b2
a
D
+ y2\2
2 . 2 -2
dxdy.
x +y r+b ( i - y ^
\
a
O LSLOXOR ,QWHJUD OHD PtOWLSOHV \ FXUYLOoQHDV
Pasando a coordenadas polares hallamos definitivamente
o o
= 2írpo
-
J (p ( l + ^ r j + f c p — ¡ f - J ^ »
o
170.
Determinar las coordenadas del centro de gravedad de aquella parte de la supe
homogénea S — {(x,y,z) £ R 3 : z = y/x2 4- y2} que se obtiene al cortar a dicha super
con el cilindro Si = {(ar, y, z) G R 3 : x2 + y2 = ax, z f R } .
•4 Solución. Para calcular las coordenadas del centro de gravedad de dicha supe
utilizaremos las fórmulas (17) del p. 4.3 tomando en éstas p(x, y, z) = 1, ya que la super
es homogénea. Tenemos
¿x -
7 = ~ »
\fx2 + y2
z'y =
7===p
i / r + y2
{x,y)£D,
dS = vJ l + z'£ + z2 dx dy = Vldx dy,
D={(x,y)eR2:x2
+ y2
^ax},
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m = J J dS = V2 J J dxdy = ^ a 2 ,
S
£>
f
a^c = ^ J J xdS —
S
J j xdxdy =
D
acosp
J cos ¡p dtp J
- f
p2dp =
0
V2 3 /
4 ,
V 5 3 r / 5 1\
3r(|)r(2+|)
v^Tra 3
o I cos Ttp d<p— -—a
B - , - - } = -—a —
—=
=
^ 3m
\2 2/
3m
T(3)
8 ro
3 ro J
acosp
t/c = ^ U
S
ydS = ~
J J y dxdy = ~ J sentpdtp J
D
-i
0
p2dp =
E
= V^ft3 / eos3 y sen
3m J
2
y
acosy
zc=^JJ zdS = ^ JJ Vx2 + y2 dx dy — ~
S
D
0
£
! 3 f
3 .
V53r/01\
v^3IW(|)
16a
- a / cos rwdw
= - — a B 2. - ) = - — a — ;
^
=
.
r
3mt ( J
3m
V ' 2/
3m
r (2 -f
703
fH Inle^imlón i»n varied.idrn
1 7 1 . Determinar Ijim coordenadan del ivnlro dr gravedad de la superficie homogénea
S - {(x, y, z) £
: 2 \Jh* x* y\x \ y a {rr 0, y ^ 0 ) } ,
4 Solución- La porción de esfera considerada se proyecta en el conjunto D — {(x, y) (1 IR!7 r
0 ^ x < a70 < y < a - x}, con lo que
dS
m
J f ^l + z'£ +
z2dxdy
D
a-x
o
dxdy
aI¡T7a y/a2 — x2 - y2
J
o
o
D
y/a
X
y2
D
y—a-x
y
aresen
a -_x
G[
a+ x
aresen
Va2 — x2
o
Tomando en la integral
dy
dx i —
o
t hallamos
§
n
7LO
2a2
}
o
t
~f-sen2 i
t2sentc™idt^2a2
(1 + sen 2 t) 2
o
>
dt
1 -f sen21
o
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+
2a
djctgt) \
2 + ctg2t)
2a
+
1
ctgí
TT 2
Tiarcts
7!"
2
a (V2 - 1).
Con la ayuda de las fórmulas (17) del p.4.3 calcularemos primeramente la coordenada xcTenemos
a-y
a
\
m
dy
o
a
a
x dx
I
o
x
y/i
-y2dy-V2 J
2
1
^
\[y\fñ~ ydy
o
o
Tomando en la primera integral y — a sen ip y en la segunda y = a sen 9 obtenemos
xc
o ío
cos^ (p dip
1
V5
j sen2 29 dfi^
o
=7í^(v/2-l)
4 V5m
De un modo análogo hallamos
a
ye
m
a—sc
dx
o
i
o
dxdy
Zc
D
ydy
y/á
x2
D
2m
—
y2
;F
a{ 1 + y / 2 )
x
a
2V2'
>
a
2\/2
¿."'t
Capítulo 2, ! 11 legra Ies m últiples y C U I V Í I I I U M N
172.
Determinar el momento de inercia polar, definido por la fórmula
= JJ
{x2 + y2 + z2) ds,
s
de las superficies S siguientes: a) de la superficie del cubo 5 = {(x,y,z)
máx{|a:|,|y|,|z|} — a } ; b) de toda la superficie del cilindro S = {(x,y,z)
xz + yz^R,
Q^z^H}.
G K3
G R3
< Solución, a) Representemos Iq en la forma
=¿
JJ(x2+y2+*2)M,
i=i
SI
donde 5,, i — 1,6, son las caras del cubo. Consideraremos la cara Si = {(x,y,z)
-a < x < a, — a ^ y < a, z = a } . Dado que para ésta dS — dxdy, entonces
fj
a
(x2 + y2 + z2) dS =
S¡
-a
J j
G R3:
a
dx
-a
(;x2 + y2 + a2) dy =
a
a
= 4 J dx j
a
(x2
+ y2 + a2)dy
= 4 J (ax2 + |a 3 ) dx = y a \
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0
0
o
Es obvio que las seis integrales que intervienen en la suma de 70 son iguales entre sí, luego
, 20 4 Af\ 4
J 0 = 6 • Y a - 40a .
b) Representemos 70 en la forma
7o = Jj (x2
Si
+ y2 + z2)dS+
Sa
jJ(x2
+ y2 + z2)dS +
Si
JJ
donde 5¿ es la base inferior del cilindro, Ss es la base superior y S¡, la superficie lateral.
En las Si y Ss se tiene dS — dx dy, y, por lo tanto, las primeras dos integrales del
segundo miembro son integrales dobles extendidas a la región cerrada D — {(a;, y) G R 2 :
. Tomando en consideración que z\s, ~ 0 y z\sa = H obtenemos
JJ
= Jj
JJ(x2 + y + z )dS +
2
s,
2
(x2 + y2 + z2) dS —
st
(2(x2 + y2) + E2) dx dy ='irR2H2 +2
D
D
Pasando a coordenadas polares hallamos
2w
2J J
(x2
+ y2)
R
dx dy = 2 j d<p j
p3dp^'KRi.
jJ(x2 + y ) dx dy
2
vn variedades
fH.
el rectángulo D¡
I y*
nr Hiuw-
Kn la superficie latera!
H*, dS
quo
^ proyecta en
|x| v, tt, 0 v z < 11}, entonces
{(a:,*) C.
Si
zm
a
¡i
R
0
=•(* •* t )7 m-im
- T) •— IL"
o
•
-
+
t
Así pues, sumando las igualdades obtenidas, en definitiva obtenemos
+ Hf + |#3)
Jo =
.
1 7 3 . Hallar la fuerza con que la superficie cónica homogénea truncada
S = {(PJPJZ)
£ R3: x = pcosip7 y — psenp,
z — p; 0 < (p ^
0 < b < a}
de la densidad superficial po atrae un punto material de masa m colocado en el vértice de
la misma.
Solución. Empleando la fórmula (18) del p. 4.3 obtenemos
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F — xmpQ J J ^ dS,
s
dorkle r = (x - x0yy - yQ,z - zQ), r = ||r|] = v ^ ~ ^o)2 I" (y ~ yo)2 + (z~ zQ)2 y k es
la cipnstante gravitatoria. En el caso considerado x0 — y0 = z0 = 0, puesto que el punto
material se encuentra en el vértice del cono. Designando V = (FXíFyiFz)
tenemos
Fx - xmpo J J ^ dS,
l*^ - xmpo J J ^ dS,
jF* = Km^o J J ~ ¿S,
Parametricemos la superficie 5 del modo siguiente. Sea S — $(£>), donde ^(r, ip) cos<p, ^ senV?»
, I? = { ( r , & V 5 ^ r <
0 ^ <p < 2tt}, entonces
Y
jy =1,
G—
F =
dS =
\/EG-F2drd<p=^Fdrd<p.
2
v2
Representando las integrales de superficie como las integrales dobles encontramos
Fx — ^xmpQJ
cos tpdtp J
0
Wí
d
^
0y
Fy =
J sentpdtp J
0
2ff
ay/2
Fz = ixmpo J d(p
0
6v/2
=
irxmp0ín^.
by/2
— 0,
)
Y DSXQWR ,QWHJUDOHV PtOWLSOHV \ FXUY,8LX0V
0 podríamos haberla obtenido inmediatamente •
Señalemos que la igualdad
Fv
parlir de razonamientos físicos, pues la superficie homogénea .S" tiene un eje de simetría, O»,
donde se encuentra el centro de gravedad de la superficie. Así pues.
F = iTKmpo ln - k ,
o
donde k es el versor del eje Oz.
1 7 4 . Hallar el potencial creado por la superficie esférica homogénea S - {(x, y, z) É I 3 :
x2 + y2+z2 — a 2 } déla densidad p0 en el punto Mo = (x0,ya,z<)), osea, calcularla integral
donde r - \f(x - x0f + (y - y0)z + (z - zq)2.
Solución. Pasemos del sistema de coordenadas Oxyz al sistema 0£TJ( girando los ejes de
tal modo que el punto Mo se encuentre en el semieje positivo ü ( . En el nuevo sistema,
+ Zq.
las coordenadas del punto Mo serán
= 0, % = 0,
= r<¡, donde r0 = y.Xq +
Al efectuar dicha transformación de coordenadas, la esfera S se convertirá en la esfera
S' = {(£,7],() 6 IR3: í 2 +172 + C2 = a2}' c o n 'o que la integral inicial se transformará en
u =
f
dS'
Vaf JJ
Ve + rf +
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iC-rof
Representemos el conjimto S' en la forma S' = i(D), donde
= (a sen 0 cos tp,
a sen Osen y?, a cos
D = {(9,<p)
^ ir,0 < ip ^ 2?r}. Calcularemos luego
los coeficientes de Gauss y obtendremos también la expresión para dS'. Tenemos E = a2,
G ~ <t2sen20, F = 0 y dS' = VEG - F2dQ dtp — a2 scnQ d6 dtp. Tomando en consideración
que £2 + Í/2 + (í - r 0 ) 2 — a2 - 2ar0 cos 0 + r„, hallamos
U
II
D
2x
sen OdOdtp
Va2
sen BdB
= a2p0 J dtp J
{ y a1 — 2ar 0 cos 6 | ^
2ARO eos 0 + r,2
2ira2p0
y a 2 - 2ar 0 cos6 + rj¡
ar0
r0
Si a < ?"0/ entonces U —
Si a > r 0 , entonces IJ — 4vrap(J. Señalemos que los dos
casos se pueden reunir en una sola fórmula. En efecto, la desigualdad a < roes equivalente
2G
^UG
a la desigualdad ^ < a y la desigualdad a > ro, a la desigualdad ~ > ),. Por consiguiente,
U = 4-jrpo mín {a, ~ } .
•
1 7 5 . Calcular la integral
m
- J j
S(t)
f(x,y,z)dS,
ám\*f
fi'1 litlPftimJrtn ni v<irit*(iii<ic*fi
londc
• •
XJ
. ..
• • — -
Iy
si
-
y/x2
{)
si
K
\/x2 -h y2,
S(t) = {(x7y,z)
| y2,
G K 3 : x 2 + y2 + z 2 = í 2 } .
Las condiciones de partida nos dicen que la función / es distinta de cero en la parle
ile la superficie S(t) que se encuentra dentro del cono 5 ! — {(x, y,z) G K 3 : z = y/x2 -f y2},
por lo tanto
x2 + y2
(x2 + y2) dS = \t\
F{t)
J^+S^t
V*
x2 — y2
dx dy .
AI pasar en la integral doble a coordenadas polares obtenemos
id
JSL
V2
Tx
3
P2 d(p2)
p dp
F(t) = 4\t\ / dtp
.NI /
JW^f
0
0
o
l*\t\(2f2 + p2) Vfi
3
|(8-5V2)í4.
P+*
Calcular las siguientes integrales de superficie de segunda especie:
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1 7 6 . I=fjxdydZ
+
y 2 + z2
+
ydZdx
+ Zdxdy,
donde 5 es la superficie exterior de la esfera
5
= a1
Solución. Examinemos la integral
Ji
z dx dy.
El plano z = 0 corta a la esfera S formando la circunferencia 7 = {(x,y) G M2: x2+y2 — a2}
que limita los compactos siguientes S+ — {(x, y, z) G R 3 : z+ = y / a 2 - x
x 2 "" V2i(xiV) 6
d o n d e D ^ {(xyV) ^ m 2 :
y 5 = ( f o t f , * ) G M3:
= - ~
x2 -r-y2 ^ a2 } > La orientación de la curva suave 7 debe ser concordada con las orientaciones
de las variedades S+ \ 7 y S~~ \ 7 según la regla indicada en el p.4.1. Dichas variedades
tienen orientaciones opuestas, por tanto
zdxdy
h
+
zdxdy
5+
z dxdy — 2
z+ dx dy
D
D
2 -
D
Al pasar en la integral a coordenadas polares obtenemos
a
2V
4 / 2
2\3/2 0
4 3
2 ,
— -7ra
h = 2 I d<p J pV¿
P2dp
= -ir(a
- p )
o 3
o
o
x 2-
y2 dx dy.
2 ( ( ' . i p í t u l o
2. Integrales múltiples y curvilíneas
'lomando en consideración las igualdades evidentes
J J xdxdz
= J j y dz dx — Ii
s
s
hallamos en definitiva I = Aire?,
•
177. I = J J (y - z) dy dz + (z- x) dz dx+(x~
y) dx dy, donde 5 es la superficie exterl
s
del cono x2 + y2 — zz, 0 ^ z < h.
f Solución. La superficie cónica S se proyecta en el círculo D — {(x, y) 6 R 2 : x2+y2 < fta
El conjunto 5 se denomina seudouariedad, debido a que en el origen de coordenadas
tiene un punto singular. Puesto que en el origen de coordenadas la normal n a S no el
definida, entonces
1=
J J ((y - z)cosa+(z
- x)cosp+
(x - y)cosj)
dS,
S\{{0,0,0)}
donde cos a, cos /i, cos7 son los cosenos directores de la normal n al conjunto S \ {(0,0,0)}
Nótese que el conjunto {(0,0,0)} puede ser despreciado al efectuar la integración, pu
tiene medida cero.
Luego, fijando uno de los dos posibles sentidos de la normal n orientam
transversalmente el conjunto S \ {(0,0,0)}. Puesto que en el caso considerado se supon
que S describe la superficie exterior, el vector n forma un ángulo obtuso con el versor k
del eje Oz, consiguientemente, se tiene
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cos7 =
,
=,
y/l + z'2 + z2'
x
cosa = —
,
^/l + Z2 + Z2'
cos J3 —
+ Z2 + 7 2
siendo z(x,y) = \Jx1 |- y2.
Transformando la integral de superficie en una integral doble y tomando en
consideración que dS =
1= J j ((yD
z(x,y))z'x + (z(x,y) - x)z'y + y~xjdxdy
2ir
h
dGY JJ(y-x)dxdy
178. I = J
+ z'2 + z'y dxdy obtenemos
J
=2 J(sen tp-cos tp) dtp
+
+
j
p2 dpGd
/ donde S
s
definido por la ecuación
x 2 , 2y
2 z
=
2JT
^h*
J (sen <p-cos tp) dtp =GWUG pG
es la superficie exterior del elipsoide
fH Inlrfcirtclrtn 011 variedades
21JV
Solución. Representemos el eonjunlo S en la lornm
S
^(/.J),
(«non 0 eos y?,fesellasen y?, ccostf),
V?)
11 onde D = {(07<p) G IR2: 0 £ 0 <
p
2*r}.
De acuerdo con la definición de integral de-superficie extendida a una superficie S
orientada tenemos
5
donde cos a , cos ¡5 y cos 7 se calculan a partir de las fórmulas
cosa—
1
A
^
.
±VA2 + B2 + C2'
A _
„
cosp =
V(y, z)
v(e,vy
B
.".y?
+ B 2 + C 2'
±VA2
B_
r
v(&,vy
=
COS7
C
iM I i'^-
A2 + B2 + (?•'
y)
v{e,?y
siendo x, y, z las componentes del vector
Las expresiones para A, B y C fueron
calculadas en el ej. 162; ellas son A — be sen' 9 cos <pfB = ac sen 9 sen <py C — ab sen 6 cos 0.
Debido a que C > 0 para 0<9<^yC<0
para f < 9 < tt, entonces, en las fórmulas
que determinan cosa, eos(3 y cos7 la raíz se debe tomar con el signo
pues cos7 > 0
en la parte superior de la superficie del elipsoide y COS7 < 0 en la parte inferior. Tomando
en consideración que dS — VA2 + B1 + C2 d9 dip, transformemos la integral de superficie
en una integral doble y luego obtenemos
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' - / / ( < &
+
-
Tí
2 TT
0
0
+
Ejercicios
/ / ( * + " + ? )
D
-
Calcular las siguientes integrales curvilíneas:
S
§ - 2 que une los puntos A = (0, —2) y B = (4,0),
f
y — 2px obtenido al cortar a la parábola con la
1
7
curva x2 --- 2py*
J xyz di, donde
7
en la intersección de la esfera S — {{x¡y,z)
G M3 : x2 4- y2 + zz = i ? 2 } con la superficie
cilindrica S t = { ( # , y , +
éR).
2 +
= ^
) dJ, donde 7 es la primera espira de la hélice x = t cos t, y = t sen í, z - í.
1
123, Hallar la masa del arco de curva y ~ lna: que une los puntos de abscisas xx y x2, si la
densidad de la curva en cada punto es igual al cuadrado de la abscisa del mismo.
124. Hallar la masa de la curva 7 de ecuaciones x = e*cost, y — e*sen¿, z — é desde el punió
correspondiente a t = 0 hasta un punto arbitrario, si la densidad de la curva es inversamente
proporcional al cuadrado del modulo del vector de posición (en coordenadas polares) y en el
punto (IjO, 1) es igual a la unidad.
,
v r t i.inti uuiiripicN y curvilíneas
125. Calcular el momento estático de la primera espira de la hílice cónica x
/ c o s í , y - / sett
z
i respecto al pimío xOy, si la densidad de la curva es proporcional al cuadrado du
disUmcia entre la misma y el plano xOy, a saber, ¡i — kz2, h
const.
126. Calcular el área de ln superficie cilindrica comprendida entre el plano xOy y las superflei
definidas mediante las ecuaciones y = y/lpx,
z = y, x =
p > 0,
Calcular las integrales curvilíneas:
127. f xdy, donde 7 es el contomo recorrido en sentido positivo del triángulo formado por
7
recta § + | = 1 y los segmentos que la misma define en los ejes de coordenadas.
128. f ' J f f ^ j * , donde 7 es la cuarta parte del astroide x = «cos 3 f, y — osen 3 / desde el pun'
7
(a, 0) hasta el punto (0, a).
129. f xdx + ydy + (x + y - l)dz,
donde 7 es el segmento de recta comprendido entre el punlfl
7
(1,1,1) y el punto (2,3,4).
130. Demostrar que la integral
J(2xij-y)dx
+ x1dy,
7
donde 7 es un contorno cerrado, representa el área de la región limitada por dicho contorno,
131. Demostrar que la integral
J <p{y) dx + (xip'(y) + a:3) dy
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7
es igual al triple del momento de inercia respecto al eje Oy de la figura plana homogéne*
limitada por el contorno 7 .
Determinar las funciones a partir de sus diferenciales exactas dadas:
132.
d u = ( ^ + X ) d x + ( ^ - y 2 ) d y .
133 du = %zxlty+i!i<iz~y:"ix)
Calcular las integrales de superficie:
134. f f ^r, donde S es la corteza cilindrica x2 -f y1 — R2 comprendida entre los planos z — 0 y
s
z = H, y r es la distancia desde un punto de la superficie hasta el origen de coordenadas.
135. f f ~,
donde S es la esfera definida por la ecuación x2 + y2 + z2 = a2 y p es la distancia
s
entre el elemento de superficie dS y un punto (0,0, c) situado fuera de la esfera.
136. f f y z dxdy + xz dy dz + xy dx dz, donde S es la cara exterior de la superficie situada en el
s
primer ociante constituida por una parte del cilindro x2 + y2 = R2 y por los planos s = 0,
y = 0 , z = 0 y 2 = H.
137. f f y2 z dxdy + xz dydz + x2ydxdz,
donde S es la cara exterior de la superficie situada én
s
el primer octante compuesta de una porción del paraboloide de revolución 2 - x2 I y2, del
cilindro x2 + y2 = 1, y de los planos coordenados.
138. f f ({zn - y") cos a + (x" - z") cos (3 + (;>/ - x") cos 7 ) dS, donde S es la mitad superior de la
s
esfera x2+y2+z2
= a1, y cosa, cos,8, cos7 son los cosenos directores de la normal exterior n
a la superficie S.
I'órniuhw i\v OalmHúidnlií, de (¿teen y di» Stokes
21
§5. F ó n n u l í i N de Owlrogradski, de Green y de Stokes
Sea K un conjunto compacto de frontera i)K en el espacio euclídeo M con lina
base fija.
Definición 1. Se dice que el compacto K es elemental, si cada recta del espacio R<m
paralela al eje Ox{, i — 1, mr o bien no corta K o bien tiene con K solamente un segmento
común que puede reducirse en un punto.
El segmento indicado en la definición puede describirse en la forma
<pi(Xij..
. , X{—ij Xí±i7,.
. ,
^ Xf ^ tpifali
- - • J ^i—lf
j* -->
)
9
donde tfii,
son funciones diferenciabas con continuidad.
Definición 2. Un compacto K C IR771 de frontera 8K se denomina simple, si éste
puede representarse en la forma
n
i
donde K¿ son compactos elementales de fronteras dKj, j = 1,771, sin puntos interiores
comunes.
Teorema de Ostrogradski, Sea K C M3 un compacto simple limitado por una
superficie orientable dK — S. Sea F = (P, Q, R) tina función vectorial definida y continua
en K junto con sus derivadas parciales
|¡j. Entonces es válida la fórmula de
Ostrogradski
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(fj¡r + f ^ + ^dxdydz
= J j (Pcasa + Qcos/3 +
RcostfdS,
K
donde cos a, pos /3, cos 7 son los cosenos directores de la normal n ala superficie S.
Si en la igualdad (3) tomamos P — x,Q — yyR
— z, obtendremos la fórmula
que permite calcular el volumen V del compacto K mediante integrales de superficie de
segunda especie:
V = ^ JJ(xco$a
+ ycos/3 + zcos-y)dS.
(4)
s
Sea D un compacto simple limitado por una curva orientable OD — 7 en el espacio
2
*
j
euclídeo K y sea F = {P , Q ) una función vectorial continua en D junto con sus derivadas
parciales ~
y ^ . En este caso la fórmula de Ostrogradski adopta la forma
D
-y
Sea r — (cos a\ cos /?') un versor tangente a la curva suave 7 cuyo sentido
corresponde al sentido positivo del recorrido de la curva. Tomando en consideración que
n = [T,k], donde k es el versor del eje Oz en el espacio R 3 , y empleando la permutación
cíclica en el producto mixto obtenemos
<F,n)dl = ( { P ' i j r , k]) + <Q'j,[T,k]>) di
(p'(r,
[k,i]>Q W
[k, ] ] ) ) di = (p'(r,
j) - " Wo))
di = {-Q'i + P ' j , r ) di.
W LSoOXOR LQWHJUDOHV PtOWLSOHV \ FXUYLOoQHDV
Consiguientemente, de acuerdo con la definición de integrales curvilíneas de segUfl
especie la igualdad (5) adoptará la forma
!¡ Os *%)**-f-1""*1
Tomando P ' = x y Q' = y obtendremos la fórmula para el cálculo del área de una figU
plana limitada por una curva suave 7 mediante integrales curvilíneas de segunda espuct
\j>
7
=
%dy-ydx.
Consecuencias del teorema de Ostrogradski y de la fórmula (6) son el teorema y
fórmula de Green:
Teorema de Green. Sea D C P.2 un compacto simple limitado por una curtí
orientable 7 y sea F = (P, Q) una función vectorial definida y continua en D junto con t|
derivadas parciales
y
Entonces se verifica ¡a fórmula de Green
7
D
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Para demostrar la fórmula (8) hay que tomar en la fórmula (6) P' — Q, Q' — - P , í
Definición 3. Se denomina superficie elemental a una superficie suave S C M3
frontera 7' si la misma puede definirse mediante la ecuación z — z(x,y), (x,y) € D, oí
como mediante la ecuación x = x(y,z), (y,z) € D', donde D y D' son compactos en <
espacio K 2 de fronteras A y A', respectivamente, y las funciones z y x son diferenciabll
con continuidad en D y D'.
Definición 4. Se denomina superficie simple a una superficie suave S C M3
frontera 7' si ésta admite una representación de la forma S = (J Sj, donde Sj so
j=1
superficies elementales de fronteras 7y sin puntos interiores comunes.
Si una superficie simple S es transversalmente orientable y las orientaciones
las fronteras 7' y jj, j = l,rc, se hace concordar con la orientación de la superficie,
entonces las partes comunes de las fronteras de dos superficies adyacentes Sj y S ) + i tienefl
orientaciones opuestas.
> Teorema de Stokes. Sea S C IR3 una superficie simple suave con la frontera
orientable 7' y sea F = (P, Q, R) una función vectorial continua en S cuyas componente
tienen derivadas parciales
,
continuas en 5. Entonces, es válida la
fórmula de Stokes
a
cosa cosj3 COS7
JL
JL
JL
dx
üy dz
P
Q
dS = <j) Pdx + Qdy + B.dz,
(9)
R
donde por la acción de los símbolos -j^, j^, Jj a una función se sobreentiende la operación de
derivación correspondiente; cos ce, cos/3, cos 7 son los cosenos directores del versor normal n,
¿ t •.•»
£j!">. IVhimilrt* ilf< OnlmuimlnUI, do f Jroeii y do Stokes
» 'í
1 7 9 . Con la ayuda do la iónmiKi 1 Ir ( iroeri (N) calcular l.i integral curvilínea
\J
<I)
y
((I
eos'/;) í/í/; - (v/ - sen y) dv/),
ü
donde 7 limita la región I? = {(#,2/) € K 2 : 0 < x < tt, 0 < y < sena?}. El contorno se
recorre en sentido positivo.
.tí
o»
Solución. A partir de la fórmula de Green (8) se obtiene
jf i^x
I
~ yd ~ J ^ 6 * * 1 ~
sr
k
- H
TT
cosy)))dxdv
senx
x
e dx
ye* dx dy
ydy
sen xdx
0
0
k
7T
o
- i J e*(l - cos2x)dx = -|'e* ( l - |(cos2z + 2sen2x))
-i).
•
o
1 8 0 . Hallar la diferencia entre las integrales curvilíneas
(x + y) dx-(x-y)
/1
dy,
J2
J {x +
AnB
y)2dx~{x-y)2dy,
AmB
s un
(1,1) y B = (2,6);
AnB es un arco de parábola con eje vertical que pasa por los mismos puntos A, B y el
origen de coordenadas.
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Solución. La ecuación de la parábola que pasa por el origen de coordenadas y los puntos
A y B tiene la forma y ~ 2x — x. La diferencia /? —1\ es una integral curvilínea a lo largo
1ry
del camino cerrado AnBraA que limita la región D C R' y se recorre en sentido positivo.
Aplicando la fórmula (8) obtenemos
I2
Ji
(x + y f dx-{x-
yf dy = J j
AnBmA
- y?)
k
xdxdy
)
Sx—4
4 / xdx ¡ dy
1
k
6x2 -Ax-
4
9
dy
2x2-x
2x3) dx = (2x 4 + 8x 2 - Sx3)
-2
i
Por consiguiente, I\ - h — 2,
1 8 1 . Calcular la integral curvilínea
I
-
(ex sen y - rny) dx + (e* cos t/ - m) dy,
AroO
donde AmO es la semicircunferencia superior definida mediante la ecuación x
v recorrida desde el punto A — (a, 0) hasta el punto O = (0,0),
y
ax
ϕoSOOQOR ,QWHJUDOHV LPoOOLSOHV \ FXUYLOoQHDV
214
Solución. Puesto que en el segmento [0, aj el integrando es igual a cero, enton
la integral a lo largo de la curva AmO es igual a la integral a lo largo del cami
cerrado AmOA compuesto de la curva AmO y del segmento [0, <i] que limita la regí
D = {(cc, í/) € IR2 : 0 ^ x ^ <i, 0 ^ y ^ y/ax — a?}. Podemos, entonces, aplicar
fórmula (8):
I
—J
(ex sen y — my) dx + (e* cos y —ro)dy —
AmOA
= J -J Xdx^ * cosy ~ ^ ~ dy^ ®
„„
sen
6
—
my>)dxdy — m J
i
dxdy = —
1 8 2 . Calcular la integral curvilínea
I = j (<p{y)ex - my) dx + (<p'(y)ex - m) dy,
AmB
donde <p y <p' son funciones continuas; AmB es un camino
arbitrario que une los puntos A = (#1,2/1) y B = (xz,y2)
tal que junto con el segmento AB limita una figura D
cuya área tiene un valor P fijado de antemano.
Solución. Representemos la integral a lo largo de la curva
AmB como una suma de integrales a lo largo del camino
cerrado AroBA y del segmento AB (fig. 19):
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J (<p(y)eX ~ my) dx + (<p'(y)ex ~m)dy +
An¡BA
v
+ / (y(2/)eI - ™y) dx + (iP(y)ex — m) dy — Ii+I2.
O
Fig. 19.
Calcularemos la integral T\ utilizando la fórmula (8):
h = J J
UR ~(<p{y)ex - my)) dxdy
D
UR J J dxdy - mP.
D
Para hallar la integral I 2 transformaremos el integrando del modo siguiente
(<p(y)ex - my) dx + ((p'{y)ex ~ m) dy - (>p{y)cT - my) dx +
+ (tp'(y)ex - roa;) dy + m{x - 1) dy — du + m(x - 1) dy,
J J
donde du es la diferencial exacta de cierta función. Obtenemos
du ++ m
(x — 1) dy,
h — J du
AB
AB
donde la primera integral no depende del camino de integración entre los puntos A y B.
De este modo,
«2
Vi
J du = J (<p(yi)ex - myi) dx + J (tp'(y)ex* - mxz) dy =
"Fi
"
:Í1
= <p(y2)eXl - <p{y\)eXx - m(x2Vi -
xivA
')II >r
ft 'i l ónmilrth ili* < >«11o^fia<liskir do <;iem y de Stokes
lín. el segmento AII m* cumple ln igualdad y
y\ I ^
"
y2 -y{
í - 1 )dx - mx ~ xi
(x~~ 1)
m
(2/2 - y\){*\
2
m
1 )dy — m-Vi
<*
$2 - a?i J
m
hi
2
2
+x2-2)
~2
en
i .
virtud de que tenemos
x2
a;,
(jfe ' 2/i)(®i + '¿i) ~ MV2 - Vi)
Sumando los valores obtenidos de las integrales llegamos al resultado final
TTt
I = mP + (p(y2)e 2 - <p{yx)t 1 - y fe - x{]{y2 + 2/1) - m(y2 + yil
¿r
T »
R dos veces diferenciables con
t 8 3 . Determinar funciones F : M2
R y Q: R 2
continuidad, tales que la integral curvilínea
1= j>P{x
•
+ aJx + f3)dx + Q(x + a1y+p)
dy
a lo largo de cualquier camino cerrado 7 no dependa de a y p (a y p son constantes).
4 Solución. A partir de las condiciones del problema resulta que para cualquier camino
cerrado 7 se debe cumplir la igualdad
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Jp(x
+ ctty + p)dx + Q(x + a1y + P)dy == J> P(x,y) dx + Q(x,y) dy,
7
\
7
en virtud de lo cúal tenemos
I1
Pdx + Qdy^
0,
donde P = P(x + a,y + P) - P(x,y), Q = Q{x + a,y + p) - Q(x, y).
Para que la integral curvilínea Ii se anule a lo largo de cualquier curva cerrada 7 , es
condición necesaria y suficiente que en la propia curva y en la región simplemente conexa
limitada por dicha curva se verifique la igualdad
—
(que resulta de la fórmula de
Green). Designando x a — y + p — i) escribiremos dicha condición en la forma
as
dx
dr¡
dy
de donde se deduce la igualdad
"v
0)?
El primer miembro de esta igualdad no depende de £ y r¡, pues el segimdo miembro
depende solamente de a; e y, consiguientemente
dQ
a/*
_dP
SQ
OP
íXw
C,
C = const.
W LSoOXOR LQWHJUDOHV PtOWLSOHV \ FXUYLOoQHDV
De la condición
C se obtiene la igualdad J j (<?(®, y) - Cx)
'¡¡¿(x, y) válida si y
sólo si Q(x, y) - Cx --- ~(x, y) + t¡/(y) y P(x, y) =
y) -f <p(x), donde las funciones u, ifi
y i¡> son dos veces diferenciables con continuidad. En definitiva, hallamos
w=P-
ax
C = const.
+ <P(X), Q = Cx + f^ + My),
oy
•
jg ¿¿y — y
184.
/
—
—
'
donde 7 es una curva cerrada simple que
no pasa por el origen de coordenadas y se recorre en sentido positivo.
4 Solución. Si la curva 7 no rodea al origen de coordenadas, entonces la fórmula de Green
proporciona
= II (£ tf?) + íy (¿i?))dxdy = II
y2
x1 + x2 y
dx dy — 0.
(x2 + y2)2
Si la curva 7 rodea al origen de coordenadas, no se puede aplicar la fórmula de
Green, pues en este caso la región D no es simplemente conexa. Por tanto, calcularemos la
integral I directamente.
Designemos el integrando mediante w. Demostremos que la integral
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y,
(j
xí
(
/
/
D
r
\
0
V
Fig. 20.
)
no depende de la elección de la curva 7 que rodea al
origen de coordenadas.
Sean 7! y 72 dos curvas arbitrarias cerradas
que no se cortan entre sí, suaves o suaves a trozos,
1 X que rodean al origen de coordenadas y que limitan
una región simpleG k C M2 \ {(0,0)}, En el caso de la
orientación positiva de la frontera 7 = 71 U 72 de la
regiónG k los sentidos del recorrido de las curvas 71
y 72 son contrarios (fig. 20). Puesto que la región D
es simple, doblemente conexa y no contiene el punto
singular del integrando w, a partir de la fórmula de
Green obtenemos
D
7i
12
de donde resulta la igualdad
7t
que demuestra que la integral I no depende de la curva cerrada 7 que rodea al origen
de coordenadas. Tomando la circunferencia 7 = {(£, y) £ ¡82 : x = e cos <p, y — e sen tp,
0 < tp < 27T}, obtenemos
217
fj'* l iUtmilrift «le < Minoradnld, tli* <«n»i'ii y de Slokes
,
j
r
V^
jd(p..2ir,
V ¿y
U
•
O
1 8 5 . Hallar el área de la figura limitada por la curva 7 definida mediante la ecuación
^^
-f (J^j
=
(^j
, a > 0, b > 0, n > 0, y los segmentos correspondientes
de los ejes de coordenadas,
4 Solución. Para la resolución del ejemplo utilizaremos la fórmula (7).
Tomando x — apeos™ <p, y = bp$en»tp
(O
obtendremos la ecuación de
dicha curva en coordenadas polares y hallaremos sus ecuaciones paramétricas
b feos2 tp sen n (p + sen2 (p cos,i tp
eos2 tp sen«<p + sen2 tp cos » <p^
x
i
i
v
cos» tp
sen* tp
,
0 < tp < j, resulta
A partir de la igualdad | —
x/
1
~(xdy -ydx)^
1
na
cos£+V
/
-x2d(^
1 _ 1 3 _ 1
l—l \
7T
sen" tp eos ™ tp + 2 sen tp cos tp + sen w tp cos" tpj dtp, 0 < <p < —.
Debido a que en los segmentos de los ejes de coordenadas que limitan la figura se
tiene xdy — y
0, la fórmula (7) adquiere la forma
ab
(
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?
P = - I xdy — y dx.
Tomando en consideración la igualdad
ir
TZ
2
senn
,
1
3
^>cos
_
i
_
ritpdtp=
f
I cosK
l
_
i
3
_
y? sen
I
ntpdtp
o
o
transformaremos la integral curvilínea en la integral definida correspondiente. Tenemos
•JT
/
P =
2*2 b f
f
f
i
3_Jl
f / sen(pco$tpd<p+ I sen" ^>cos " (pdtp.
o
o
IT
n
lo
\n
nJ f
ti \
V
•
nJ sen n-
1 8 6 . Calcular el área de la figura limitada por la curva 7 definida mediante la ecuación
c r - a r - o " » ) ' .
a> °-
&>°>
c>o>
»>a
2
4 Solución. Pasando a coordenadas polares conforme a las fórmulas x — apcos*i+l <p,
2
^
2n
1
2n
2
1
oSIOXOR ,QWHJUDOHV PtOWLSORV \ FLWUYLOIQHD+
de la que deducimos que al variar ip de ü a | la curva parte del origen de coordenado! J|
vuelve al mismo, es decir, forma un lazo. Haciendo uso de la ecuación de Ja curva 7 en
coordenadas polares obtenemos Jas ecuaciones paramétricas de la curva, donde el ángulo <0
desempeña el papel del parámetro:
x — arcos2"11 <p sen3n+l <p, y — bccos3'"1 <p sen?"!l <p, 0
< —.
Siguiendo el mismo esquema que en la resolución del ejemplo anterior tenemos:
V
b -J„ ^
ir
— — - h tsr3uí' <p, 0 < « ) < - ,
x
a
^
2'
l(xdy - ydx) = |x2d
_2
1
./y\
26
sen3^' <p ,
di - I = —
=
dtp,
\x/
«(2n + l) cossér-i^ Y '
=
^~cosipscn<pd<p,
,
= ab(?
P — Í d xdy — y dx = abtr2 f f cos<psen<pd(p
2(2n +1)'
2J
2n + 1 J
1 8 7 . Demostrar que
I — j ) cos(c~ñ) di = 0,
7
donde 7 es una curva cerrada, e es un versor arbitrario y n es el versor de la normal
exterior a la curva 7.
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Como ||c|| = 1 y ||n|| — 1, entonces cos(é7ñ) = (e,n),
Solución. Sea e — (eos a (h cos
Supongamos que la curva 7 limita la región D C K 2 , entonces tomando F — e en la
fórmula de Ostrogradski (5) obtenemos
I = f(e,n)dl
cos n>0 +
= j j
cos
dx dy - 0, •
1 8 8 . Hallar el valor de la integral
1 — j) (x cos(ñTi) + y cos(n, j)) di,
a
donde 7 es una curva cerrada simple que limita una región finita D y n es el versor de la |
normal exterior a 7 (i, j son los versores de los ejes de coordenadas).
Solución. Debido a que cos(tv¡) — {í^l), cos(n, j) = (n, j), la integral / se transforma en
la forma
I = J {x{n, i) + y(n, j)) di = J (F, n )dl,
7
7
donde F = ari + y) — (x, y). Aplicando la fórmula (5) tenemos
=2JJdxdv =
1 = / / ( £ * +
D
Jonde P es el área de la región D.
D
•
H rv Iritimiítiu ilr < Irtlm^mduki, di1 < ¿mmmi y de Slokrs
1 8 9 . Hallar lim
11) di, donde H os el jirea de la región D limitada pí>r la curva 7
'
que rodea al punió
yo); d(í)) es el diámetro de D; n es el versor de Ja normal exterior
a la curva 7 y V (/* Q) es una función vectorial derivable con continuidad en D U 7 .
i Solución. Según la fórmula (5) tenemos
1
B
7
D
Al hacer que la frontera 7 se contraiga hasta convertirse en el punto (íc0>2fo)/ Y aplicando
el teorema del valor medio y utilizando la continuidad de las derivadas de las funciones P
y Q obtenemos:
D
Por consiguiente,
A h /(F'n)dl =
7
»>+yo)-
1 9 0 . Demostrar
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1 = 1
cos(ñTe)^ = 0,
donde 5 es uruKsuperficie simple cerrada/ e es un versor constante arbitrario, y n es el
versor de la normal exterior a la superficie S„
i
1
I Solución. Sea e — (cos rr0, cos
cos 70) un versor fijo. Entonces se tiene la igualdad
cos(ñTe) — (n, e) — cos a cos ao f cos ¡3 cos
+ cos 7 cos 70,
directores del versor de la normal
fórmula
I - J J { n>e) d S - ¡ ¡ I
cosao + J ^ c o s A ) + -^cos^^dxdydz
= 0
1 9 1 . Demostrar que el volumen F de un cono limitado
definida mediante la ecuación fiar, vs z) - 0 y por el plano Ax 4- By + Cz-\-D = G, puede
calcularse con la ayuda de la fórmula V — —, donde P es el área de la base del cono
encontrada en el plano dado y H es su altura.
Solución* Sin pérdida de generalidad podemos asumir que el vértice del cono coincide
con el origen de coordenadas y el plano que contiene a la base del cono corta al semieje
positivo Oz (lo que siempre se puede conseguir mediante una transformación lineal de
coordenadas). Para determinar el volumen del cono utilizaremos la fórmula (4) en la forma
siguiente
JJ{T,n)dS = ±JJ{r,n)dS+l
C*
f f (r, n) dS,
r t
L_LoOWLOR 2. ,QWHJUDOHV PtOWLSOHV \ FXUYLOoQHDV
donde St OS la base del cono, S2 es su superficie lateral, r (a:, y, z) es el vector de posición
de un punto ¡VI (x,y,z) perteneciente a la superficie del cono, n (cos a, cos ¡3, cos -y);
es el versor normal a la superficie del cono (fig. 21). En la superficie lateral del cono loi
vectores r y n son ortogonales, por tanto
II
<r,n) dS = 0.
Así pues, V -- | f f (r, n) dS.
SI
En el conjunto S\ se verifica la igualdad
_A
z~ cx
_B
D
cy c
de donde resulta
cosa =
B
a
cos ji =
, cos 7 —
'
VA2 + B2 + C 2 '
'
VA2 + B2 + C2'
D
[ l'n
DP
V = —
3VA2 \-B2 + C2'
3VA2 + B2 + C2 I I d S
A
. .
,
VAZ + B2 + C2'
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donde P es la base del cono S. A partir de la fig. 21 se ve que H — - § cos 7 = donde H es la altura del cono. De este modo obtenemos V = ^f-.
,ci,
•
192.
Hallar el volumen de un cuerpo T limitado por las superficies definidas mediante
las ecuaciones paramétricas
x = a cos a cos v + b sen u sen v, y = a cos u sen v — b sen u cos v,
z = esen-ít, z = ±c (a > 0, b > 0).
Solución. Sea c > 0. En el plano xOy se tiene
x 2 + y 2 ^ a 2,
u = 0,
0 ^ v ^ 2n.
Si z = ±e, entonces u = ± | , x2 + y
b2, 0 ^ v ^ 2ir. Consiguientemente, las bases
superior e inferior del cuerpo T son círculos de radio b. De este modo,
T — 4>(D),
donde
D = {(«,») €
v) = (a;{u, u), y(u, v). z(u, v)),
ffi2:
< t» < | , 0 < tr ^ 2tt}.
Si a2 > b2, entonces para z > 0 en cada punto de la parte superior de la superficie
lateral el versor normal n forma un ángulo agudo con el versor k del eje Oz. Si az < b2,
el ángulo es obtuso (fig. 22, 23).
S.r>. IttrmuU* ili> < >Hlrti^r»i«lHklr de
iven y de Stokvh
¿s. i
i
y
Fig. 23.
Fig. 22.
Fig. 21.
Para calcular el volumen V del cuerpo T utilizaremos la fórmula (4) en la forma
V
s
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donde.r = (x, y, z) es el vector de posición del punto M =
y, z) y S es la superficie total
del cuerpo T. Representemos dicha integral como una suma de las integrales siguientes
\ (//«• •
) dS -f
V
6Y
)dS +
JJ
s
)dS
1
donde Si y S2 son las bases superior e inferior, respectivamente, y S3 es la superficie lateral
del cuerpo. En la superficie S1 se tiene n = (G> 0,1), r = (a, y, c), (r, n) = c; en la superficie
¿>2 se tiene n = (0,0, - 1 ) , r = (x, y,
(r, n) = c, Tomando en consideración que en Si y
en S2 se verifica dS = dx dy, obtenemos
Si
dx dy = irb c.
)dS
)dS
s2
xt+y2^
Para calcular la integral extendida a la superficie S3 es preciso saber los cosenos
= & " « 2 )senucos W / Q ^ u ^
directores del vector n. Calcularemos C =
Si a2 > b2, entonces C < 0 y como cos 7 > 0 se tiene
cos 7
C
VA2 + B1 + C2
Si a2 <b2, entonces C > 0 y como 7 < 0 se tiene
cos 7
C
+ B2 + C2
&DSLWXOR 2. ,QWHJUDOHV PtOWLSOHV \ FXUYLOoQHDV
222
Por consiguienle, tomando en consideración la igualdad dS
y/Á* + U2 + Cs du di
tenemos
! j(r, n) dS = (x(u, v)A + y(u, v)B + z(u, v)C) du dv,
JJ
donde
De este modo,
J J {z,a) dS = J J (c(x2(u,v) + y2(u,v)) cos u + (a2 - &2)z(w,i>) sena cos tt) du dv —
S,
D
2»
f
= a 2 e J j cos » du dv — a 2 c J cos udu J
_f
O
dv=4xa2c.
o
Sumando los valores obtenidos tenemos para c > 0
„
4
, 2 ,
4
V = -7ra2 c + -ttíi2 c =
/
b 2\
+ y J•
2 ,
Si c < 0, entonces, evidentemente, resulta
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Así pues, en definitiva tenemos
• 2 \
•
Veremos ahora algunos ejemplos donde se aplica la fórmula de Ostrogradski (3).
Calcular las integrales:
1 9 3 . I = j j x3 dy dz+y3 dz dx + z dx dy, donde 5 es la superficie exterior de la esfera
s
definida por la ecuación x2 + y2 + z2 — a 2 .
Solución. Utilizando la fórmula de Ostrogradski (3) hallamos
I
3 JJJ(x2 + y2
z2)
dxdydz,
K
donde K — {(x,y,z) G M3: x2 + y2 + z2 ^ a 2 } es una bola de radio a. Al pasar en la
integral a coordenadas esféricas obtenemos
jr
2JT
a
1 = 3 J sen 9 dd j d<p j pidp = —na5.
o
0
0
•
fifv Irtimnlnndi» Onho^rmUM, de tiroen y do Slokes
f
194. /
r
y \ %)dydz I (y
z \ x)dzdx
I (z
x \ y) dxdy, donde S os la cara
exterior de la superficie definida por la ecuación \x - y f z\
|y- z |-x\ -f |z - x Y y| - 1.
*
J Solución. Denotemos mediante T el cuerpo limitado por la superficie 5 . Aplicando la
fórmula (3) obtenemos
i
///(
9
/
,
dx
(x-y
d
\
z-bx) + —(z - x -f y)) dx dy dz = 3
az
/
+ z) + —{y
dy
.
>
,
9
f
{
JJJ dx dy dz.
/ í p
Efectuemos en la integral el cambio de variables tomando u = x — y + z, v = y - z | x,
w z — x +y. Teniendo en cuenta la igualdad
V(xy y, z)
V(u, v, w)
1
TVH
1
-i
i
i
i
i
-i
1
4
i
-i
i
hallamos
1—tt
1—t—ü
ífu dvdw — 6
du
dv
dw
iM+M+M^i
JJJ du dv dw ~ 6 WJJJ
M
- l tW^l
0
o
o
I
1
1
1-1»
6 I du fil-U
v)dv
=6
2
= (1 -
l
1.
•
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0
o
o
195. Ia- - ( x 2 cos a + y 2 cos f$-bz2 cos 7) ds, donde S es la porción de superficie cónica
s
.2
x +
— z , 0 < z ^ h; cosa,
exterior n a dicha superficie.
j/2
eos/?, cos7 son los cosenos directores de la normal
Solución. En el caso considerado no podemos utilizar la fórmula de Ostrogradski (3),
pues la superficie S no está cerrada. Por tanto, "taparemos" la superficie S con el círculo
j — {(#, y, z) E M3 : x2 + y2 ^ h7\z — h}, formando de este modo una superficie
cerrada S\. El conjunto S\ es una seud ovariedad, pues en el vértice del cono y en la
circunferencia 7 — {(x¡y,z) G R 3 : x2 + y2 — h2, z ~ h} el vector ji no está definido. Sin
embargo, podemos despreciar dichos puntos puesto que tienen medida cero y calcular la
integral extendida al conjunto S3 — (7 U { 0 , 0 , 0 } ) * Tenemos
I
x cosa + y2 cos fi 4- z2eos7) dS — JJ(x2cos a -h y2 cos¡3 + 2 2 cos7) dS.
7
Para calcular la integral extendida al conjunto S3 aplicaremos la fórmula de
1, z2 = h2,
Ostrogradski (3). Para el conjunto S2\ 7 se tiene cos a — cos fi 0, cos 7
dS — dx dy. En virtud de todo lo dicho tenemos
j
1 = 2
JJJ
(x + y | - z) dx dy dz — k
donde T ^ { { a , y , z ) G R 3 : x2
dxdy <h2
JJJ(x + y + z)dx dydz — 7r/t ,
< ti2, */x2 + y2 < z <
4
Capitulo 2. ,QWHJUDOHV PtOWLSOHV \ FXUYLOoQHDV
222
lin la integral triple pasemos a coordenadas cilindricas y reduciremos la integrtj
obtenida a integrales reiteradas. Tenemos
JJJ(x
j J
2*
h
+ y + z)dxdy dz =
d<p
0
T
h
0
2
pdp J(p(set\<p + cosy>) + z) dz =
p
H
"
2
Io dlf>oI~
Así pues, I = jh4 - %h4 = - f t i 1 .
2
+scnf)+ \ ~
=
\
•
1 9 6 . Calcular la integral de Gauss
I(X,y,z)
= f J ? ^ d S ,
s
13., n es lí
donde S es una superficie simple suave cerrada que limita un compacto T C M
normal exterior a la superficie S en mi punto (£, r¡, Q; r es el vector de posición del punto
x f + (*/ ~ 1¡)2 + (C - z ) 2 (£, T¡, () con origen en el punto (x, y, z); r -
A Solución. Examinemos dos casos: a) la superficie S no rodea al punto (a;, y, z); b) la sil»
perficie S rodea al punto (a:, y, z).
En el caso a) se puede emplear la fórmula de Ostrogradski (3), Tomando 6ti
consideración que (rjn) = '^y1 obtenemos
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I(x,y,z)
= / / ( ^ c o s « +
_ f
f
f
g
A
-
^
-
eosp +
r
t +K
-
c o s T ) dS
t
f
^
=
_ J f J ( 3 _ 3y^
T
_ a
T
En el caso b) no se puede aplicar la fórmula de Ostrogradski, pues la integral
I(x,y,z) se hace impropia. Por tanto, calculémosla directamente. Consideremos para ello
un compacto simple arbitrario 2j de frontera Si situado estrictamente dentro del cuerpo T,
Supongamos que (x,y,z) G Tr{, donde T? es la parte interior del compacto T\. El conjunto
T \ T¡ no contiene el punto (x,y,z) y es un compacto con frontera orientable S U
donde S1 es la frontera orientable del compacto Ti en todo punto de la cual el versor
normal n está dirigido hacia donde están situados los puntos interiores de Ti. Aplicando
la fórmula de Ostrogradski (3) en el compacto T \
obtenemos
/ / { ^ n ) d S + / / ( £ , n > < W = 0,
5
de donde resulta
5,
5,
S
I(x,y,z)
= J J
dS,
f}ív IVnmnltm ilo < ítttni^nulNki, di" Creen y de Stokes
225
siendo
como ya dijimos, cualquier superficie suave cuyos puntos sean puntos interiores
del compacto 7\ De outo modo, l.i integral I(x, y7 z) no depende de la forma de Ja superficie
que rodea al punto {x^ijjZ). Por eso, como superficie S\ se puede tomar una esfera de
radio suficientemente pequeño e > 0. Así pues, obtenemos
s,
s,
I debido a que en la esfera S\ se tiene v = e y los vectores r y n son colineales.
3
•
1 9 7 . Un cuerpo T está totalmente sumergido en un líquido. Utilizando la ley de Pascal
4 demostrar que el valor de la fuerza con que el líquido empuja al cuerpo es igual al peso de
un volumen del líquido igual ai volumen del cuerpo; la fuerza está dirigida ver ti calmen te
hacia arriba (principio de Arquímedes).
I
Solución. Según la ley de Pascal, un elemento de superficie sumergido en un líquido
experimenta una presión dirigida a lo largo de la normal a la misma es igual al peso de la
columna de líquido cuya base es dicho elemento y cuya altura es igual a la profundidad
a la que el mismo está sumergido.
Supongamos que el cuerpo T está limitado por una superficie 5 suave o suave a
trozos; sea p, el peso específico del líquido. Elijamos un sistema de coordenadas Oxyz tal
que la superficie libre de líquido coincida con el plano xOy y el eje Oz sea dirigida hacia
arriba. Consideremos un elemento da de la superficie de área dS; sea M — (x, y, z) E der un
punto arbitrario. Según la ley de Pascal se tiene la igualdad aproximada d¥(M) ~ pzndS,
i
donde n(M) es el versor normal a la superficie S en el punto M, z es la cota de dicho punto.
Sumando todos los elementos da y realizando el paso al límite haciendo que los
diámetros de estos elementos tiendan a cero, obtendremos la fórmula para el cálculo de la
fuerza F:
•J
r>
2 r
•f

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F = /x
zn(M) dS — i/i J J z cos a dS + j p J J z cos fi dS -3- k/¿ J J z cos 7 dS.
Aplicando a cada integral de superficie la fórmula de Ostrogradski (3) hallamos
z cos ot dS = J J z cos fidS = 0,
J J z cos 7 dS = J J J ^x ^
=
V es el volumen del cuerpo T.
En definitiva obtenemos F = k¡tV — k P , donde P es el peso del cuerpo T.
^
•
| Consideraremos algunos ejemplos donde se emplea la fórmula de Stokes (9).
1 9 8 . Sea 7 una curva cerrada que limita una región S en el plañe x cos a + y cos fi
z cos 7 — p — 0 y sean cos a, cos p, cos7 los cosenos directores del versor normal n al
plano. Calcular
dx
dy
dz
I
cos ot eos (3 cos 7
x
y
z
7
donde 7 se recorre en sentido positivo.
,QWlJUDOHϩ PtOWLSOHV \ FXUYLOoQHDV
' a p í l a l o 2.
•4 Solución. Utilizaremos las notaciones de la fórmula de Stokes. leñemos
P = zca&fi - ycos7 (
Q = x cos 7 - z cos a,
R • • y cos a - seos /?.
Al aplicar la fórmula de Stokes (9) obtenemos
1 = 2 J J cos adydz
+ cos pdzdx + cos 7 dx dy =
— 2 J j (eos2 a + eos2 /? 4- eos2 7 ) <£S = 2 J J dS = 28
s
donde B es el área de la región S.
$
•
H Aplicando la fórmula de Stokes (9) calcular las integrales:
1 9 9 . 1 = J y dx + zdy + xdz, donde 7 es una circunferencia que se obtiene en 1
7
intersección de la esfera S = {(x,y,z) € R 3 : x2 -f y2 z2 = a2} y el plano S\ definid
por la ecuación x + y + z = 0; 7 se recorre de tal modo que mirando desde el semlf'
positivo Ox el sentido es el contrario al de las agujas del reloj.
•4 Solución. Apliquemos la fórmula de Stokes tomando en ésta como superficie un círculo 3
de radio a que se halla en el plano Si. Obtenemos
-II
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dy dz + dzdx + dx dy = - / / ( c o s a + eos/? + COS7) dS,
s2
donde cosa, eos/?, cos7 son los cosenos directores de la normal n al plano 5j. Debld0¡
a que el vector n y el versor k del eje Oz forman un ángulo agudo, en cada una de la§
fórmulas para el cálculo de cosa, eos/? y cos7 ante la raíz en el denominador se debt
hallamos
tomar el signo " + " . Teniendo en cuenta que cosa = eos/? — cos7 =
I = -V3 J J dS = -v^Tra2,
s2
puesto que el área del círculo
200.1
es igual a 1ra2.
•
z)dx + (z — x)dy + (x — y)dz, donde la curva 7 se obtiene en 1|
intersección de la superficie S del cilindro T = {(x,y,z) € R 3 : x2 + y2 sí a2,z £ K} y el
plano S% definido mediante la ecuación | + | — 1, a > 0, ft > 0; 7 se recorre en el sentido
contrario de las agujas del reloj si miramos desde el semieje positivo Ox.
-4 Solución. A partir de la fórmula de Stokes (9) se tiene
•II
dy dz + dzdx + dx dy
-II
(cos a + cos /? + cos 7 ) dS.
St
donde S2 = T ( 1 Si es el conjunto de todos los puntos de la elipse S2 = {(x,y,z) £ IR3:
t2 4- ir < rí2 ® -l- - — 11 • me/y rnc ñ m s i snn lr« nKpnní directores de la normal n al
fj.N. I nttmihiM «|«> < Mrouirntoki, de Creen y de Stokes
.
227
plano S\. Elconjtiulo de punios
m» proyoc la en el círculo D = {(.x,2/) E R2: x2-\ y2
Debido a que ln norninl til plano
forma un ángulo agudo con el versor k del eje Oz, en
cada una de las fórmulas
COSOf =
,
= t COS(3 —
± y / l + Z¿ + Z'/
...y,/,-4 . ' — t eos7
± y j l + z¿ + z f
i
*2
± f i + Z § } + ZV
ante la raíz en el denominador se debe tomar el signo " f R e p r e s e n t a n d o la integral de
superficie como integral doble y tomando en consideración que dS = J l + z} + z¡- dx dy
obtenemos
͑͢ ͮ͑ ͣ͑JI
(z'x(x, y) + Zyfay) - l ) dx dy.
D
Como en el conjunto S\ se tiene z = h-\x,
I -
- 2 J J ( l + ^dxdy==-2
entonces zfx —
(l -b
z*v = 0, luego
= -2wa(a + h).
•
D
f j
2
2
2
2
2
2 U 1 . I = d) (y + z )dx + {x + z )dy + {x -f y ) dz, donde 7 es una curva obtenida en
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7
la intersección de la semiesfera S = {(x¡y¡z) € M 3 : x2 + y2 + z2 ~ 2Rx,z > 0 } con la
superficie^ = {(x,y,z) £ R 3 : x2 + y2 = 2rx, z € M}, 0 < r < R; 7 se recorre de tal
modo que la región más pequeña de la superficie exterior de la semiesfera S limitada por
la curva queda a la izquierda.
Solución, Al aplicar la fórmula de Stokes llegamos a la integral de superficie
1 = 2 I i (y - z)dydz + (z - x) dz dx + (x — y) dx dy
2 J J ((y - £)cosa + (z - x)co$/3 4- (ar - y)cos7) dS
donde S2 es la parte de la semiesfera S que resulta al cortar a 5 con la superficie S{;
cosa, cos/3, cos7 son los cosenos directores de la normal n a
En el conjunto S2 se
tiene z — y/2Rx - x2 - y2, zfx —
zL =
. Debido a que el vector n y el versor k
del eje Oz forman un ángulo agudo, en las fórmulas para el cálculo de cosa, cosfi,
cos 7 ante la raíz en el denominador se debe tomar el signo
Teniendo en cuenta que
rtm
^^
rw
dS = y 1 + z2 -f z7j dx dy hallamos
JJ{(y ~ ( >y}(- x(2,y))
͑͢ ͮ͑ ͣ͑
z x
D
z
+ (z(x,y) - x) {-Zy{x,y))
+ (x-
y)} dxdy
L ϕLSoWXOR ,QWHJUDOHV PtOWLSORV \ FXUYLOoQHDV
donde D — {(«,?/) fc R 2 : x'' + y2 ^ 2rx }. Como
\¡2
r
f f .7M^dxdy
JJ z(x,y)
=
•D
J
rx—x2
f
dx
y*y
J ^2Rx ~x2 - y2
0
/
T2
-</2rx-x
=
r
i* /
= / ( V 2-R® - X 2 - y 1
\
da; =1 Oí
0
í
resulta
I = 2R J j dxdy =2icRr2.
•
1
I)
i
dy + x2y2 dz, donde la curva cerrada 7 está definida mediantt
2 0 2 . / = j> y2z2 dx+x2z2
7
las ecuaciones x — a cosí, y — acos2í, 2 — «cos 3f y se recorre en el sentido qut
corresponde al crecimiento del parámetro t.
A Solución. Al variar t desde 0 hasta TT, un punto M = (x, y, z) recorre la curva 7 desdi
el punto Mo = (a, a, a) hasta el punto M t — (-a, a,-a)-, al variar t desde jt hasta 2jt, ol
punto M recorre la misma parte de la curva 7 pero en el sentido opuesto, desde el punto
Mi hasta el punto M 0 . Así pues, dado que los puntos de la curva cerrada 7 se superponen,
dicha curva no limita superficie alguna. Por consiguiente, J = 0. •
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^ Ejercicios
Aplicando la fórmula de Green calcular las integrales curvilíneas:
139. I = §xy2dy
- x2y dx, donde 7 = { ( x , y ) £ R 2 : x2 + y2 =
a2}.
7
140. I = $(x + y)dx-(x-
y) dy, donde 7 = { ( a , y ) € K 2 : < + £ = l } .
1
141. / = §e"{xl
l'j2)(cob2xy
dx + sen2xy dy), donde 7 = { ( x , y ) £ R 2 : x2 + y2 - R 2 } .
7
142. Hallar la condición que debe satisfacer una función diferenciable (a;, y) —> F(x, y) para que ,5
integral curvilínea
-
F{x, y)(y dx + x dy)
AmB
no dependa del camino de integración.
143. Calcular I = ¿ §
si X ^ ax+ by,Y
= cx + dy y la curva simple cerrada 7 rodea
7
al origen de coordenadas [ad - be ^ 0).
144. Calcular la integral I (ver el problema anterior) si X - <p(x, y), Y = ip(x, y), la curva simple 7
rodea al origen de coordenadas y, además, las curvas ¡p(x, y) = 0 y *p(x, y) = 0 tienen varios
puntos de intersección simples en la /egión limitada por la curva 7.
145. Calcular el área de la figura limitada por la curva 7 definida mediante la ecuación
fx 4-
- axnvm.
a > 0.
n > 0.
m > 0.
¡iíi lYumulan ilr ( íttlmguidHkl, de (¿iven y de Stokes
22^
146. Demostrar ipn» H volumen dt» un nierpu engendrado al girar alrededor del eje Ox una curva
simple comida 7 t<lluadu en <•! M'miplonn superior y ^ es igual a
V — -7r <p y dx.
y
Aplicando la fórmula de Ostrogradski transformar las integrales de superficie que citamos
a continuación, donde S es una superficie suave que limita un volumen finito V y cos a ,
cos ¡3, cos 7 son los cosenos directores de la normal exterior n ala superficie S:
zzs
ss
/ / ( Í cosa + WC0SP+ T> cos^)dS$
150. Calcular la integral I — f f x2dydz + y2 dzdx + z2dxdy, donde S es la superficie exterior
s
del cubo K - {(x,y,z) e M3: 0 ^ x < a,0 í£ y < a,0 < 2 ^ «}.
151. Determinar el volumen de un cuerpo T limitado por la superficie S definida mediante Lis
ecuaciones x — ucosv, y — usenu, z = —u -f acosv, ti ^ 0, a > 0, y por los planos x 0,
z- 0.
152. Demostrar la fórmula
d£dnd(
_
,
r
L
ͼ͑
͕͑
donde S es la frontera del compacto Kr n es el versor normal a la superficie S en un punió
" y>C " z ) e s
rector de posición trazado del punto (xyy,z) al punid
CX r = (£ ~~
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(í. via
r - ^{i-xf
+
iy-nf+it-zf*
S
R2,z = 0 } : a) directamente; b) utilizando la fórmula
La integración a lo largo de la circunferencia 7 debe
tomar la semiesfera z = \JR2
efectuarse en sentido positivo.
Aplicando Ja fórmula de Stokes calcular la integral curvilínea f y dx+z dy+xdz, donde 7 es la
7
circunferencia que se obtiene en la intersección de la esfera S —
y, z) (11R:1: x1 \ y2\z2 — a2}
con el plano x -f y 4- z — 0; 7 se recorre en el sentido contrario de las agujas del reloj si
miramos desde el semieie positivo Ox,
155. Calcular la integral
(ar2 - yz) dx + (y2 - xz) dy -b {z2 - xy) dz
AmB
a lo largo del segmento de hélice a; = a cos ipt y = a sen<p, z — ^(p desde el punto A — (a, 0>0)
hasta el punto B - (a,0, fe).
Aplicando la fórmula de Stokes calcular las integrales:
156. I — ¡f{y + z)dx -f (z 4- x)dy + (x 4- y)dz, donde 7 es una elipse definida mediante las
7
ecuaciones x — asenH, y — 2a sen i cosí, z = acos 2 í r 0 ^ i ^ tt, que se recorre en el sentido
correspondiente al crecimiento del parámetro t,
157. I — §{y2 — z1) dx + (z1 - x2) dy -f (x2 ~ y2)dz, donde 7 es una sección de la superficie del cubo
1
K = {(ar,y,z) e R 3 : 0 < x ^ a, 0 ^ y ^ a, 0 ^ z ^ a } por el plano x + y + z =
7 se
recorre en el sentido contrario de las agujas del reloj si miramos desde el semieje positivo Ox.
231)
(aplliilo 2. Integrales múltiples y curvilíneas
•nm
W'
§ 6. Elementos de análisis vectorial
6.1. Campos escalares y vectoriales
Supongamos que a cada punto M del espacio IR"', m ¿t 1, (o bien a una región d|
este espacio) se le pone en correspondencia un número /(M). En este caso se dice que eitfÉL
definido un campo escalar / (por ejemplo, el campo de la presión atmosférica; el campo di E
la densidad de una distribución continua de masa en un volumen V, etc.).
.'H
En el caso de que a cada punto M del espacio Rm> m ¿t 1, (o bien a una región di
este espacio) se le ponga en correspondencia un vector u(M), se dice que se ha definltlf
un campo vectorial u (por ejemplo, el campo gravitatorio de un sistema de masas o
una distribución continua de masa en un volumen limitado; el campo de la densidad
impulso; el campo de la densidad de corriente; el campo de las fuerzas magnéticas, etc.).
6.2. Densidad de una función de conjunto con aditividad finita.
Reconstrucción de una función de conjunto con aditividad finita a paitlfff
de su densidad
#
Sea $(K) una función de conjunto con aditividad finita, es decir, una función cuya
dominio es un cierto conjunto compacto K , cuyos valores son números reales, y qu( t |
además, satisface la condición
<
4>(A', u Ki) = <l»(/v!) i- <1»(Á'2)
§
para cualesquiera dos compactos sin puntos interiores comunes. El número
|
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<p{M) = lim
K' ->M flK
(1)1
%
donde pK es la medida del compacto K, se denomina densidad de la función 3> en
punto M € K.
Si la densidad ^(M) de una función de conjunto con aditividad finita $ es continua
o continua a trozos en el compacto K , entonces
= J<p(x)dx,
K
6.3. Operador diferencial de Uamilton
Sea {(p(M), u ( M ) , . . . } un conjunto de campos vectoriales y escalares con derivada!
continuas respecto a todas las coordenadas. Sea T(p) = T (p; ^(M). u ( M ) , . . . ) una exprt»
sión lineal (escalar o vector) respecto a un vector arbitrario p:
r(alPi
+ a2p2) = a , T ( P l ) + a 2 T(p 2 ),
donde oc\, a2 son números reales arbitrarios.
Sea p = ai + b) + ck. En virtud del carácter lineal de T se tiene
T(p) = oTCi) + bT( j) + cT(k).
(1)
Sustituyendo en (1) las componentes del vector p por los símbolos de derivación
respecto a x, y y 2, respectivamente, definamos
T(V)W¿T(i)+AT(j)+|T(k).
El símbolo V (nabla) se denomina operador diferencial de Hamilton.
(2)
231
fio Momentos de «in^lisÍN vectorial
En el análisis vectorial las expresiones m«ís hn|>orl.mles dt? T son:
a) T(S tp) p(p (siendo <p un campo escalar);
b) T(p; u) — {p7 u) (producto escalar);
c) T(p; u) = [p, u] (producto vectorial),
A partir de (2) obtenemos:
a) T(V) = Vp = f f i + g j + g k ;
b) T(V) = <V,u> = f
c) T(V) = [V, u]
+ g + §
i
j
k
d a d
P
dy
Q
dz
R
si « = (P, <?, fl);
\dy
dz J1^
\dz
GxP^\0x
¡)y)
El vector en el segundo miembro de a) se denomina gradiente del campo escalar tp.
La expresión en el segundo miembro de b) se llama divergencia del campo vectorial u.
El vector en el segundo miembro de c) se denomina rotacional del campo vectorial u.
6.4. Derivada direccional de un campo escalar.
Gradiente de un campo escalar
Sea tp un campo escalar definido en una región Q, G M3 y sea 7 una curva suave
en fi que pasa por un punto fijo Mo £ ft- Sea A i la longitud de arco de la curva entre los
puntos Mq y M. Si para M —• Mq existe un límite finito para el cociente incremental
Ay(Mp) = ip{M) - ff(M0)
Al
Al
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éste se denomina derivade
se representa por ^(Mq):
^ ( M . ) = lim y ( M ) al
aí^o
Ai
o)
Si la función <p es derivable en el punto Mq, su derivada a lo largo de la curva 7
existe también para todas las curvas que tienen en el punto Mo la misma tangente
r — (cosai,cos/3i,cos7i); para dichas curvas la derivada tiene igual valor, se denomina
derivada direccional a lo largo de r, y se calcula según la fórmula
|£(Mo) - {grad^(Mo), r ) - ^ ( M o J c o s a ! + |^(M 0 )cosA + g ( M 0 ) c o s 7 i .
(2)
El vector grad ip(Mü) = (|^{Mo), |^(M0), |^(Mo)) en el punto Mo indica la dirección
del crecimiento más rápido del campo escalar <p, y su norma euclídea es igual al valor
absoluto de la derivada del campo <p en dicha dirección.
Para una superficie de nivel v?(M) — Cf C ~ const, suave el plano tangente a la
superficie en un punto Mo es ortogonal al vector grad
6S* Campos vectoriales potenciales. Circulación de un campo vectorial
Todo campo vectorial u que coincide con el campo de gradiente de un campo
escalar *p, se denomina campo vectorial potencial y la función (p recibe en este caso el
nombre de potencial del campo u.
Si un campo vectorial u tiene sentido físico de fuerza, entonces el potencial
de
dicho campo tiene el sentido físico de trabajo. El trabajo A de la fuerza u a lo largo de una
curva suave o suave a trozos 7 entre un punto Mo y un punto Mi, se calcula según la
fórmula
232
&DSoWXOR ,QWHJUDOHV PtOWLSOHV \ FLQYOOoQHLV
t) di,
A ~ J(u,
(1)
r
donde r es el versor tangente a la curva 7.
Dado que u = grad <p, a partir de (1) obtenemos
A = J(grad <p,T)dl= / f f <« = V(M,) - ?(Mo),
M„M,
(2)
M„M,
es decir, el trabajo de la fuerza a lo largo del camino M 0 Mi es igual a la diferencia d|
potenciales en los puntos Mi y M 0 .
Si u es un campo vectorial continuo arbitrario, la integral a lo largo de un camino
cerrado
f(u,
r) di
(3)
i
se denomina circulación del campo u a Jo largo del camino 7.
La circulación de un campo vectorial potencial continuo a lo largo de cualquier
camino cerrado 7 que se encuentra en una región simplemente conexa, es igual a cero<
También es lícita la afirmación recíproca: si la circulación de un campo vectorial continuo U
a lo largo de cualquier camino cerrado 7 que se halla en una región simplemente conexa
es igual a cero, el campo u es potencial.
6.6. Flujo y divergencia de un campo vectorial
Sea S una superficie suave o suave a trozos y sea u un campo vectorial definido en
una región fí a que pertenecen todos los puntos de la superficie S. Se denomina flujo del
campo u a través de la superficie S a la expresión
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= f f {u,n)dS,
(1)
s
donde el versor normal n caracteriza la cara de la superficie. El cálculo del flujo es una
operación lineal.
Si la superficie S que limita la región fí está cerrada, y al reducirse íí a un punto M
existe el límite finito
lim
píl
donde p fí es la medida de Jordán del conjunto fí, dicho límite se denomina divergencia
del campo vectorial u en el punto M 6 fí y se representa por div u(M):
FI-M
divu(M)=lim¿//(ufn}d5.
(2)
s
De este modo, divu(M) es, por definición, la densidad de una función de conjunto con
aditividad finita, a saber, del flujo del campo vectorial u a través de la superficie S. Sí las
componentes del campo u = (P, Q, R) tienen en la región 0 las derivadas continuas
f^í f f / entonces resulta válida la fórmula
div u(M) = ~(M)
+ ^(M) +
(3)
que se obtiene a partir de (2), así como las fórmulas de Ostrogradski y los teoremas del
valor medio.
fifi I h'mtmtuH de análisis vectorial
233
Nótese i|nck nnleriornu'nle, en el p.6.3, ya hemos demostrado que divu
donde V es el operador diferencial de I lamilton.
(V,u),
6.7. Rotacional de un campo vectorial
Sea u un campo vectorial continuo definido en una región finita tt limitada por
una superficie suave o suave a trozos S, y sea n(M) el versor de la normal exterior a la
superficie S en el punto M. La función vectorial
Q(fi) = J J [n, u] dS
(1)
se denomina circulación del campo u por la frontera de la región Q. Si existe el limite finito
q(p)
= fc T í f '
«
el vector q se denomina rotacional del campo u en el punto P € íí y se representa por
rot u(P):
S
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dondeji íí es la medida de Jordán del conjunto Í2.
este modo, rotu(P) es, por definición, la densidad de una función de conjunto
con aditividad finita, a saber, de la circulación del campo vectorial u por la frontera de la
región ÍL •
Si las componentes del campo u — (P, Q, R) tienen derivadas parciales respecto a
las variables x, y y zt entonces el rotacional del campo u en el punto P' (• Q se puede
hallar mediante la fórmula
A
j
JL
JL
dx
P
dy
Q
dz
R
1
rot u(P')
9y
dz/
\0z
dxr
\dx
dy
Nótese que en el p. 6.3 ya se demostró que rotu = [VT uj.
En las notaciones del análisis vectorial„ las fórmulas clásicas de Ostrogradski y de
Stokes adoptan, respectivamente, la forma
J J J div u dx dy dz = J J <u,n)dS,
(5)
nu5
J j (rot u, n) dS = ®(u,T)dZ.
(ó)
7
Definición. Si en todo punto M de una cierta región íl se cumple la igualdad
rot u(M) — 0, entonces se dice que el campo u es irrotacional
Teorema. Todo camvo irroiacional en una revión simvlemente conexa es valencia!
ϭ9,
&DSoWXOR ,QWHJUDOHV QXLO WLSOHϩ \ FXUYLOoQHDV
6.8. Operaciones diferenciales de primer orden
Considerando en las expresiones para T(V; <p, u , . . . ) del p.6.3 el símbolo V como
vector, podemos realizar con las mismas cualquier transformación idéntica admitida puf |
las reglas del álgebra lineal, por ejemplo:
f
-I
Vfai + tp2) = V<p! + V<p2,
I
(7)1
{ V , u 1 + u 2 ) = (V ) u 1 } + {V,u 2 ),
|
[V,u 1 + u2] = [V,ui] + [V,u 2 ].
Teorema. Supongamos que el operador V se aplica a un producto (numérico, escalan ||
vectorial) de dos magititudes. Entonces el resultado es análogo a la regla de derivación |
ordinaria de un producto de dos funciones numéricas, esto es, el resultado es una suma de doi ¡
sumandos de un mismo tipo: en cada uno de tos cuales V se aplica a uno de los factores y nú
se aplica al otro.
2 0 3 . Sea M = xy — z , (x, y, z) £ K 3 . Determinar el valor y la dirección de grad u en al F
du
•
punto M — (-9,12,10). Hallar la derivada direccional — a lo largo de la bisectriz del í
al
|
primer cuadrante.
-i
1|
•< Solución. Empleando la definición de gradiente de un campo escalar obtenemos
grad tí(M) = (|^(M), gj(M), |^(M)) = (12, - 9 , -20),
§
*
[|grad-ít(M)|| = V l 2 2 + 92 + 202 = 25.
%
La dirección del grad w(M) se define por el vector
....
grad«(M)
/12
9
4\
.
,,
,
C ( M ) ^ j j g r a d ^ M f = \ 2 5 , _ 2 5 ' _ 5 / = ( c o s a i> c o s ^i> c o s Ti)El versor r que sale del origen de coordenadas en la dirección de la bisectriz del primer
cuadrante es r =
,
0). De acuerdo con la fórmula (2) del p. 6.4 hallamos
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du
/
^
x
12
9
3
2 0 4 . Hallar aquellos pimtos del espacio Oxyz donde el gradiente del campo u =>
x3 + y3 + z3 - 3xyz, (x, y,z) € K 3 , es: a) perpendicular al eje Oz, b) paralelo al eje Oz;
c) igual a cero.
< Solución. Según la definición de gradiente de un campo escalar tenemos grad ?Í(X, y, z) =
(3(x2 - yz), 3(y2 - xz), 3(z 2 - xyj). En el caso a) encontramos (grad u, k) — 3(z1 - xy) = 0,
de donde z2 = xy.
En el caso b) el vector grad v.(x, y, z) es colineal al versor k del eje Oz, por tanto en
cada punto del conjunto buscado se deben cumplir las igualdades x2 —yz — 0, y2 — xz = 0.
Eliminando z hallamos x 3 - y3 — 0, de donde x ~y o bien x 2 4- xy + y2 — 0. La segunda
igualdad se verifica si y sólo si x = y — 0. Sustituyendo x = y en las igualdades de partida
obtenemos x — y = z. Por consiguiente, el gradiente del campo escalar u es paralelo al
eje Oz en los puntos x = y -- 0 y en los puntos x ~y = z.
En el caso c) llegamos a las igualdades x2 yz — 0, y1 - xz = 0, y¿ xy — 0,
que se deben satisfacer simultáneamente. Utilizando el resultado obtenido en el caso b)
determinamos x = y — z.
•
!¡fi Mt«iii«*iitoft (!<• «injlisiu vccloridl
2 0 5 * Pnm el t nmpi» i-m*JiLir u
ln \ siendo r
los puntos del espacio Oxyz donde ¡grad-ul
^/(x — «j^ +•(?/ - b)¿ i- (z
cf , h
1.
< Solución. Teniendo en cuenta las igualdades f^ -
~
=
i
obtenemos Jgradií| = - ; consiguientemente |gradt¿[ = 1 en la esfera de radio unidad <
centro en M = (a, c), o sea, en el conjunto de puntos r = 1,
2 0 6 . Hallar cosa del ángulo entre los gradientes del campo u —
^ on
+
| z
puntos A = (1,2,2) y B = ( - 3 , 1 , 0 ) .
< Solución. El coseno del ángulo a se calcula a partir de la fórmula
(grad w(A), grad «(B))
COS Oí =
—-—
—
|! grad m(A) | ¡ J | grad u(B) 11
0
O
9
y
Designaremos r = x I y I- z , Obtenemos sucesivamente
X
du
dx
1
du
2x2
dy
5
-
2 xy
r4 >
du
dz
2 xz
r4 >
r(A) = 3,
r(B)
V\l)
>> ->-•
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7
81 7
1
2
25>
(grad«(A),gradíí(B)) =
4
817
3
50*
4
81'
>-
||gradi¡(A)|| fjgrad«(B)|[ = JL
4
1
8
C O S a = - 4 0 5 : 90 = ~ 9
2
2 0 7 . Calcular: a) gradr; b) gradr 2 ; c) g r a d - , siendo r = y/oP- + yz + z2.
Solución. Examinemos un campo escalar ^(M) = f(r), r G R , donde / es una fuñe i
diferencia ble. Sus superficies de nivel son esferas con centro en el origen de c o ordenar
O = (0,0, 0). El gradiente del campo ip está dirigido a lo largo de la normal a la esfera, o s
a lo largo del radio OM, La función / crece si / ' ( r ) > 0, y decrece si f'(r) < 0. Por lar
el sentido del vector g r a d / ( r ) coincide con el sentido de crecimiento de r para / ' ( r ) >
y tiene el sentido opuesto para / ' ( r ) < 0. Evidentemente, jjgrad/(r)|| = |/7(r)|. Así pue
grad f(r)
=
donde r ' = (#, y, z) es el vector de posición del punto M — (x7 yy z)r
En el caso a) f(r) — 1, por tanto gradr = £ = e(Q,M)_ En el caso b) / ' ( r )
entonces grad r2 — 2r. En el caso c) f'(r) ~
entonces grad £ = - j
23í>
('.ijiítulo 2. Integrales múlliph'N y « IH VIIIIHMM
2 0 8 . Demostrar la fórmula S7?(uv) :•••• uV2v
dx2
Üy2
vV2u \ 2(V »t, Vv), donde V 2 ^ (V • V) «
<)zl'
Solución. Denotando V 2 ( o t ) = ( V , V ( w v ) ) y utilizando las reglas de aplicación del
operador de Hamilton obtenemos
V(uv) -- vVu + uVv,
{ V, V(v¿7;)) - {V, vVu) + (V, tiVu) =
= vV2u + (Vu, Vv) + uV2v 4- <Vt>, Vu) = uV2v + vV2u + 2(Vu, Vv).
»
2 0 9 . Sea u una función diferenciable en una región convexa V C B.:i y sea ¡grad «| < M,
donde M — const. Demostrar que para cualquier par de puntos A y B de V se verifica
|w(A) - w(B)| SC Mp(A, B), donde p(A, B) es la distancia entre los puntos A y B.
<4 Solución. Sean A - ( x ^ ^ z q ) , B - (xuy\,zx) y P = (a:0 — ai!, y0 - 3/1,^0
condiciones de partida la función u es diferenciable, por tanto
|tt(A)-«(B)| = |d«(€)|,
Zi). Según lns
íev.
Puesto que
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W í ) l = | f;<í)(»o - ®i) + ~(í)(ito " Jfi) +
- *i)[ = |{grad«(í), P)| ^
< ||gradtt(í)|| ||P|| - ||grad w{£)|| y/(xn - xx)2 + (y0 - yt)2 + (z0 - Zlf
=
= ||gradtí(í)||p(AlB)^Mp(AIB))
entonces resulta |«{A) •• w(B)| ÍC Mp(A, B).
•
2 2 2
+
(x,y z) £ H3, en un
2 1 0 . Hallar la derivada direccional del campo u — ¿ +
a
ir
cr
punto dado M = (x,y,z) a lo largo del vector de posición r de dicho punto. ¿En qué caso
dicha derivada será igual al valor del gradiente en el mismo punto?
Solución. Según la fórmula (2) del p. 6.4 tenemos
du
<M) = (gradtt(M),
de
) = ^ g m d ^ M ) , r) = i
+
&
+
= ^(M),
donde r = y/rf + tf+z2. Dado que | ( M ) = ||grad«(M)|| resulta j g g ^
última igualdad se cumple, como es fácil comprobar, si a = b = c.
•
2 1 1 . Hallar la divergencia del campo u = — — j —
en el punto M — (3,4,5).
Hallar (aproximadamente) el flujo del vector u a través de la esfera infinitesimal
Se = {{x.,y,z)
= f . La
€ K 3 : (x - 3)2 + (y - 4)2 + (z - 5)2 =
s2}.
f
fio. Ni'itientof* de .imUtei» vectorial
< Solución. Con la ¡lyiuhi de
0x\
)
237
lórniula (3) del p. 6.6 obtenemos
°v Wx2
+ y2)
d
z
\
y2 /
+ y1?'1
div u(M) — ^
125
Ya vimos que la divergencia del campo u es la densidad de una función de conjunto
con aditividad finita, a saber, del flujo w(u;S), Por tanto para reconstruir el flujo hay que
recurrir a la fórmula (2) del p. 6.2:
///-
w(u; 5 ) = / / / div u(x, y5 z) dx dy dz
T
donde T = {(x7y,z) E R3: (x-3)2 + (y- 4) 2 + (z - 5? ^ e2}.
Debido a que la bola es infinitesimal, e —* +0, podemos tomar div u(a:? y1 z) &
luego
divu(M) —
w(u; S) ~ J J J div u(M) dx dy dz = ^r - ^xs 3 —
125 3
125
•
2 1 2 * Hallar div (grad f(r)), donde r = y/x2 -{-y2 + z1, ¿En qué caso div (grad/(r))
0?
Solución. En el ej. 207 para una función / difexenciable se obtuvo la fórmula grad/(r) -
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= <p{r)
— S u p o n g a m o s ahora que la función es dos veces diferenciable. Denotaremos
y escribiremos dicha fórmula como sigue: grad f(r) = (p(r)r, donde r = {xy y, z).
Haciendo uso del operador V obtenemos
div (grad/(r)) = <V,p(r)r) = <r, Vp(r)) + v(r)(V, r) =
- {r7 gradar)) + <p(r) div r = (r, gradar)) + 3y?(r),
ya que grad r = 3. Tomando en consideración las igualdades grad <p(r) = 5 ™ r , (r, grad <p)
(r, ^—r) — —Tp-r2 — r^'(r) determinamos
div (grad/(r)) = r<p'(r) + 3<p(r) = f"(r) - ^
+ ^
~ f(r)
+
^
,
pues v'(r) = ^
+
Igualando div (grad f(r)) a cero llegamos a la ecuación diferencial (r/'(r))' |
f
f (r) = 0, cuya solución nos da vf(r) |- f(r) = C\. Aplicando el método de variación
de la constante obtenemos en definitiva f ( r ) = C\ + y, donde q y c2 son constantes
arbitrarias.
•
2 1 3 . Hallar: a) div (u grad u); b) div (u grad v).
< Solución. Con la ayuda del operador V encontramos
a) div (u grad u) = (V, ugradu) = {gradu, Vu)+u{V,gradu) = {grad u, grad u) f
u{ V, V u ) = Igrad u|2 + uV 2 u = |grad u|2 + u Au, donde A = J ^ + J ~ + J ^ e s e l operador
de LapJace.
b) div (u grad v) — (V,ugradv) — (gradv, Vu) + u{V,gradv) = (gradu, grad v) +
uAv,
•
L_ϩOXOL! ,QWHJUDOHV PtOWLSOHV \ ϜLLLYOOoQULIL
2 1 4 . Un líquido que llena un espacto gira alrededor del eje Oz en el sentido contrario
de las agujas del reloj con una velocidad angular constante ui. I lallar la divergencia del
vector de velocidad v y del vector de aceleración w en un punto genérico M = (x, y, z)
del espacio en un instante dado.
Solución. La velocidad lineal v de una partícula del líquido en el punto M se determina
por la fórmula v = [w, r], donde w = wk, r = ix -j- \y kz, luego
v = ]Ü)X — iwy,
Q
$
div v(M) = — (-wj/) + —(w a;) — 0.
ox
oy
La aceleración w(a;, y, z) es
w — [w,v] = [w,[u7,rl] = u?(w,r) -
= kw2z — w2r =
+ yy).
Según la fórmula (3) del p. 6.6 tenemos
div w(x, y, z) = — (-w2ar) +
= -2w 2 .
•
2 1 5 . Hallar la divergencia del campo de fuerzas gravitatorias creado por un sistema de
centros de atracción.
Solución. Examinemos el campo gravitatorio vectorial F(P) creado por un sistema de
puntos materiales m,j, j = l , n , colocados en los puntos M;-, j — 1 ,n. Dicho campo se
define mediante la fórmula
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m - t ^ r ^ M j ) ,
PMj,
donde r(P, Mj) es el vector de posición trazado desde el punto P al punto Mj y r(P,Mj)
es su longitud. Debido al carácter lineal de la divergencia tenemos
divF(P)-¿div(;3^r(P>MJ)).
De este modo, el problema se ha reducido al cálculo de la divergencia del campo
) considerado en el ej.212, donde se demostró c je
F,(P) = <p(r)i (siendo <Pj{r) =
divFj(P) — rtpj(r) I 3ip¡(r). Sustituyendo en esa fórmula r<pj(r) = —3™f hallamos
3 m¿ 3 mj
div Fj(P) — — - í + — ^ = 0,
div F(P) = 0.
•
2 1 6 . Demostrar la fórmula rot {tp u) = <p rot u + [grad tp, u].
Solución. Con la ayuda del operador de Hamilton hallamos
rot(<pu) = [V, <pu\ = [V, <pu¡] + [V,v?(u],
donde el subíndice " l " indica que el operador V no se aplica al objeto dado. Así pues,
tenemos
rot (9?u) — -[u, V^] + v[V, u] = -[u, grad tp] + ^>rotu = 9?rotu + [grad tp, u],
•
tjO. Elementos de unálirtÍH vcclori.il
217.
M111I¿ir rol(/(r)r) f donde r -
23M
(xty,z).
4 Solución. Basándose en la fórmula demostrada en el ej.216 tenemos rot(/(r)r)
[V, f(r)r] = f(r)rot r -f [grad /(r), r]. A partir de la fórmula (4) del p. 6.7 resulta
rot
i
j
k
JL
JL
A
x
y
z
dx
dy
di
0.
Además, en el ej, 207 se obtuvo que grad f ( r ) — - ~ r. Así pues, finalmente tenemos
rot(/(r)r)-
[^r,r]
rf-M
2 1 8 . Hallar: a) r o t e f ( r ) ; b)rot[c, f(r)r],
(c es un vector constante).
4 Solución, a) Haciendo uso de las mismas notaciones y reglas que en el ej, 216, obtenemos
la cadena de igualdades siguiente:
rot c f ( r ) = [V, cf(r)\ = [V, c/,(r)] + [V, q/(r)] = /(r)[V, c] - [c, V / ( r ) ] =
/(r) rote + [grad /(r), c] =
= ^[r,c].
'V
b) Utilizaremos la conocida fórmula de álgebra vectorial [a, [6, el] — b{a7 c) - c(a, b).
Aplicando el operador V al vector [c, R], donde R = f(r)r, hallamos
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r o t [ c , R ] = [VTíc^R]] -
[V,[c,K|]] + [ V J q . R ] ]
= c ( V ? R / ) — R { V , c ) + c{V, R ) ^ R ( V , a ) =
-
( R , V)c -
R ( V t c) 4- c(V, R ) - <c, V ) R
-
- (R, V)c - Rdivc + cdivR - (c, V)R.
Dado que c es un vector constante, resultan válidas las igualdades
{R, V) = m
+
+ • « £ ) • c = K r ) ( « § § • + : y f y + z g ) = 0,
4
div c = 0,
con lo que
rot[c,R] = cdivR - <c,V)R,
(1)
En el ej.212 se obtuvo que divR — vf*(r) + 3 / ( r ) . Así pues, queda por calcular
{ c , V ) R , Supongamos que el vector c sea de la forma c =
7), entonces
<c, V)R = ( « ¿ +
+7 ¿ ) m
r = a ( ^ X r + if(r))
+
+ P (f^T-W +} m ) + / ? ( ® * r + k/(r)) = /(r)c+ ^ r { c , r > .
Sustituyendo las expresiones obtenidas en la fórmula (1) hallamos
rot [c, f(r)r] = c (rf(r)
+ 3f(r))
- f(r)c - ^
2/(r)c + ^ c < r , r) -
r <c, r)
r) = 2c/{r)c + ™
(c{r, r) - r<c, r)).
•
ZA{)
&DSoWXOR ,QWHJUDOHV QXoOWLS,F+ \ FXUYLOoQHDV
2 1 9 . Demostrar la fórmula div|Rh Rz| - (R 2 ,rot R,)
(R,,ml K,).
M Solución. Siguiendo el mismo esquema que utilizamos en la resolución de los ej. 216-218
obtenemos
d ¡ v [ R „ R 2 ] = ( V , [ R I , R 2 J ) = { V , [Ri, R 2 ] ) + ( V , [RÍ, R 2 ] )
=
= < R 2 ) [ V , R , ] > -- { R I , [ V , R 2 ] ) -
(R2,rotRi) - (R^rotR,),
donde se utilizó la regla de permutaciones cíclicas en el producto mixto {a, [í>, c]) =
<fc,[c,a]) = (c,Ia,6]). •
2 2 0 . Un líquido llena un espacio H y se encuentra en movimiento giratorio alrededor del
eje e = (cos a, cos/3, cos 7) con una velocidad angular constante w. Hallar el rotacional del
vector de velocidad v en un punto genérico M — (x, y, z) del espacio íí en un instante de
tiempo determinado.
« Solución. La dirección del vector de velocidad angular w coincide con la dirección del
vector e, con lo que w = we. El vector de velocidad lineal v de una partícula del líquido
en el punto M viene definido mediante la fórmula v = [w, r], r = {x, y,z).
Para el cálculo del rotacional del campo de velocidades utilizaremos la fórmula
obtenida en el ej.218 tomando c = w y f(r) — 1. Obtenemos rotv — 2w. •
2 2 1 . Hallar el flujo del vector r = [x, y, z) a través: a) de la superficie lateral del cono
K — {(ar, y, z) G R'1: xz + y2 < z2,0 < z X h}; b) de la base del mismo cono.
Para el cálculo del flujo utilizaremos la fórmula (1) del p.6.6 que en el ejemplo
considerado adopta la forma
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w(r; S) = Jj(n(M),r(M)}
dS.
a) El versor de la normal a la superficie lateral S es en cada punto ortogonal al
vector r, luego w(r; S) — 0.
b) El versor de la normal es colineal al versor coordenado k en cada punto de la
base So del cono, por tanto
w(r;5 0 ) = JJzdS = h
S„
JJ dxdy = nh .
3
zHír^fc3
2 2 2 . Hallar el flujo del vector de posición r a través de la superficie de ecuación
z = 1 - y/x2 + y2, 0 < z < 1.
Solución. Como la superficie S del cono es cerrada, lo más fácil es hacer uso de la
fórmula que permite reconstruir una fimeión de conjunto con aditividad finita (en el caso
considerado, el flujo) a partir de la fórmula (2) del p. 6.2:
w(r;5) = J J J divr dx dy dz.
Evidentemente, div r = 3, entonces
w(r; S) = 3 J J j divr dxdydz = 3 Q,
fcjft. Elementos de aiiíIMnín vectorial
241
donde Q es el volumen del cuerpo. Para el cono en cuestión de radio I y de base 1 el
volumen es
— luego w(r;S) = tt. •
• F ^ 1 " " ••• i f i
2 2 3 . Hallar el flujo del vector R = ar3i + y3j + z3k a través de la esfera de ecuación
x2 + y2 + z2 = x.
4 Solución. Análogamente al caso anterior utilizaremos la fórmula
///-
w(r;5)=
/ / / divR dar
dz,
donde V es la bola cerrada {(x,y¡z) £ R 3 : £2 H-y2 + z2 t^x}.
el valor de divR — 3 (x2 + y2 + ¿ 2 ) obtenemos
III
w(r;S) = 3 / / / (® + 2T +
Sustituyendo en la integral
z^dxdydz.
Pasemos en la integral a coordenadas esféricas. Después del cambio de variables llegamos
al resultado siguiente:
TT
T
Sin 0 COS &
ÍT
7
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w(r;S) = 3jsm0d0
J dip Jp4dp=^J
£
sin6 Sd9 J cosV<fy>
o
0
-
i
*
2
f f
5 ,
12 5!! T4Ü
5 7j sin BdO yf cos r r • 5 6Ü 2 5!!
o
o
12
tt
5
•
•V.W I
2 2 4 . Hallar el flujo del vector u — -3 r (jtc es una constante) a través de una superficie
cerrada S que rodea al origen de coordenadas.
\ Solución. Conforme a la definición de flujo se tiene (la superficie se considera suave
o suave a trozos)
w(u;S) = JJ(u,n)dS
= m JJcosa4-^eos/?
+ ^ cos7) dS,
Vemos, pues, que el problema se ha reducido al cálculo de una integral de tipo Gauss
(v, ej. 186) cuando una superficie cerrada rodea a un punto fijo (en el caso considerado el
origen de coordenadas). Así pues, tenemos w?(u; S) =
•
n
2 2 5 . Hallar el flujo del vector F(r) =
g r a d /
¡=\
donde
son constantes y r.¿
1
es la distancia comprendida entre un fuente dado M¿ y un punto generico N(r), a través
de una superficie cerrada S que rodea a todos los puntos
i — L n.
ϭLSoOXOR ,QWHJUDOHV PtOWLSOHV \ FXUYLOoQHDV
Solución, lil campo vectorial u(r) considerado en el ejemplo anterior puede ser representado en la forma u(r) -- g r a d ( - y ) de donde concluimos que el campo en cuestión F(r)
es una suma de los campos del tipo u(?') para los cuales m —
Entonces, basándose en
la resolución del ejemplo anterior podemos escribir inmediatamente
W (F;5) = ¿ 4 7 r g : = ¿ e ¿ .
¿=i
•
¿=i
2 2 6 . Hallar el trabajo de la fuerza F = r a lo largo de un segmento de línea helicoidal
r = iacosí + jasiní + kbt, 0 ^ t < 2x.
Solución. El trabajo F se calcula con la ayuda de la fórmula (1) del p. 6.5. Hallemos
primeramente el campo de los versores r tangentes a la curva en cada punto
*'(í) _
l|r'<t)||
Entonces obtenemos
1
V^TP
{ - a s i n í , —a cosí, b).
2jt
tdt = 2ir2b2,
o
2t
y di = \/{x'{t)f + (y'(t))2 + (z'(t))2 dt =»
donde se ha tenido en cuenta que (F, r) = - 7bJp=
y/a2 + b2 dt.
•
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2 2 7 . Hallar el trabajo del campo R = y z
une los puntos M - (1,1,1) y N = (2,4,8).
x
a lo largo de un segmento de recta que
Solución. Evidentemente, la dirección del versor r — — ~ ( 1 . 3 , 7 ) = (-7=,
-Js)
V
1/59 V59
,
|MN|
coincide con la del vector MN, luego
(R,r) = —== f — + — + — V
v^gv?/
xt
V59
Vtf ^
2
xj
La recta que pasa por los puntos M y N es de ecuación a: - 1 — ™ = ^ .
Conviene parametrizarla eligiendo por parámetro la variable x; entonces obtenemos x = x,
y — 3x — 2, z — Tx - 6; luego di = yjdx2 -f dy2 + dz2 = V59 dx, y finalmente hallamos
MN
1
= ( i ln(3x - 2) + | ln(7® - 6) + 7 l n x )
188. .
i " 1 " 2 -
2
*
2 2 8 . Hallar el trabajo del campo R — (y + z)í + (z + x)j -)• (x I ?/)k a lo largo del arco
menor del círculo grande de la esfera S = {(x, y,z) £ IR3: x 2 + y2 + z2 = 25} entre los
puntos M = (3,4,0) y N = (0,0,5).
Solución. El arco considerado se encuentra en el plano de ecuación y = |x y es la cuarta
parte de una circunferencia de radio 5. Parametricemos dicho arco tomando por parámetro
tjó. Elementos de unál¡MÍN vectorial
243
el ángulo tp comprendido entre el vector de posición de un punto de la curva (que se halla
en el plano indicado) y su proyección en el plano xOy. Las ecuaciones paramétricns del
arco serán x — 3cos tp, y — 4cos tp, z — 5shi<p (0 ^ tp ^ j) y el campo de los versores
tangentes r a la curva en cada punto va a tener la forma
1
(x'iv^y
V&'W)2+ww?+Íz'(<P))2
(¥>),*'(¥Í) = ( - | s i n ^ ~ | s i n ^ c o s ^
En el arco considerado el vector R será
R — (4 cos tp + 5 sin <p)i + (5siny? 4- 5cosy?)j -f (7cos¥?)k,
1 'J
por tanto (R, r ) = 7cos2<p - y sín2y?. Utilizando la fórmula (1) del p, 6
cuenta que di — 5 dtp hallamos
ir
Tt
4 = J(R,r)dZ
J ( 7 c 0 s 2 ^ ~ y sin2p) dp = 5 ^ s i n 2 p + | c o s 2 p )
MN
= -12.
•
o
0
•J AM ' I"
I
¿
2 2 9 . Hallar la circulación V del vector R — - y i +xi -fck (c es una constante) a lo largo
de: a) una circunferencia de ecuación 7 — {{x,y¡z) E R 3 : x1 + y2 — 1 9 z = 0 } ; b) una
circunferencia de ecuación 7 = {(x, y, z) E M3: (x - 2)2 + y2 = z — 0 } .
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Solución» Por definición, la circulación de un campo R a lo largo de un camino cerrado 7 es
s..
ƒ
r = <p (Rj r ) dL
í<K'
a) Escribiremos la circunferencia en forma paramétrica x — cos tp, y — sin tp, z — {),
0 ^ tp ^ 27r; entonces r — (— sin<p, c o s 0 ) , R — - i sinp + j cos<p H- kc, ( R , r ) =
di — dtp; por consiguiente
2?r
Y ~<J)(Ryt) di — j d<p = 2tt.
o
b) Las ecuaciones paramétricas de la circunferencia son # = 2 + eos
^ = sin tp,
z = 0, 0 < <p ^ 2tt, con lo que r = (— sin<p7cosp70), R — — i sin y? 4- jcos^? + kc y
(R, r) — 1 + 2eos p, di — dtp; entonces
2ir
f r r J ( 1 + 2 COS
2ít.
•
o
2 3 0 . Hallar la circulación T del vector R — grad ^arctg
a lo largo de un camino
cerrado 7 si: a) 7 no rodea al eje Oz; b) 7 rodea al eje Oz.
Solución, a) El campo R es potencial, por tanto su circulación F a lo largo de cualquier
camino que no rodee a ningún punto de discontinuidad de la función (x, y) 1-+ arctg | es
ieual a cero.
&DSoWXOR ,QWHJUD OHV PtOWLSOHϩ \ (iiUYOlhumV
50
b) Tenemos
r - j í ( R , T ) d l = j ( g r a d (arctg | ) , r ) di = j f | (arctg
di = arctg |
Recordemos que la expresión {grad tp, r ) , donde r es el versor tangente a una cierta
curva, representa la derivada del campo escalar tp a lo largo de dicha curva. Denotaremoi
£ = tg 0, Vemos, pues, que la circulación del campo R a lo largo de la curva cerrada 7 cl
igual al incremento del ángulo 0 al recorrer dicha curva. Al dar una vuelta completa a lo
largo de la curva el ángulo 9 variará en 2ir {pues la proyección de la curva 7 en el plano
xOy rodea al origen de coordenadas), entonces en el caso general F = 2irn, donde n es el
número de vueltas completas a lo largo de la curva 7 alrededor del eje Oz. fr2 3 1 . Sea un campo vectorial R =
~=j + ,/xyk.
yz
%/ Z
Calcular rotR en el punto
M = (1,1,1) y hallar el valor aproximado de la circulación F del campo a lo largo de uno
e l 3 : ( í - l) 2 + {y - l) 2 +
circunferencia infinitesimal L — S fi T, donde S ~{(x,y,z)
(z — l) 2 = e2} y T es un plano de ecuación (x — 1) cos a + (y — 1) cos ¡3 + (z — 1) cos 7 = 0
eos2 a + eos2 ¡3 4- eos2 7 = 1.
< Solución. Haciendo uso de la fórmula (4) del p. 6.7 tenemos
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2
2
\
z
V
¿
Vü)1
rotR(M) = - j - 2k.
La circulación F del campo R a lo largo de la circunferencia indicada se calcula con
la ayuda de la fórmula de Stokes
,rotR) der,
donde a es la parte del plano T limitada por la circunferencia L. Para los pimtos del
plano T se tiene z = 1 - ¿ ^ ( { a - l)cosa + (y - l ) c o s 0 ) , z'x = - | E 2 , z'y =
n — (cos «, cosp, cos7) y (n,rotR(M)) = — cos.fl - 2cos7. Sustituyendo el valor del
producto escalar en la integral obtenemos
II
(eos ¡3 + 2 cos 7) da — - (cos ¡3 I- 2 cos 7) 7re-2,
puesto que a es el círculo de radio £ definido en el plano T.
•
2 3 2 . Demostrar que el campo R = yz(2x + y + z)i + xz(x + 2y + z)j + xy(x + y + 2z)k
es potencial. Hallar su potencial.
-4 Solución. El campo en cuestión es potencial, pues rotR — 0 (proponemos al lector
/./i^ni^ircú
apfrt^ TJtlfnnr'QC 1? — errar! tft
¡ 4" —^ 1 -I- tí
fjft. Elementos de iiiiiiíífdw vectorial
245
A partir de las ecuaciones ^ - yz(2x \ y I z), ¿jj- xz{x -Y2y V z) y ^ - srj/(ar |
y + 2z) hallamos: *p(x, y, z) —
2y + 2) +
de donde resulta
+
+ z) -i- ^(y/, 2) y ^ -
+ 2y -f z) ---
|
= 0, luego if> ~ <1>(js).
La igualdad || —
= £?/(a; + y+2z)-í-tI>,(2) nos proporciona $'(2) - 0,
$(z) = C, donde C = const. Así pues, finalmente obtenemos (p(x, y, z) —
xyz(x+y+z)+C,
siendo C una constante arbitraria,
•
2 3 3 . Hallar el potencial del campo gravitatorio R =
creado por una masa m
situada en el origen de coordenadas.
Solución. Teniendo en cuenta la igualdad R = grad — encontramos el potencial (f del
campo R: tp = y ,
•
Ejercicios
158. Hallar el ángulo <p entre los gradientes de la función u — arctg | en los puntos M t (l,l) y
M 2 (-l, 1).
159. Hallar la derivada del campo escalar u = \t donde r — y/x2 + y2 + z2, en la dirección de
e = (cosa, c o s c o s 7). ¿En qué caso dicha derivada será igual a cero?
160. Hallar la derivada direccional de un campo u a lo largo del gradiente de un campo v. ¿lin
qué caso dicha derivada será igual a cero?
161. Hallar
j k
i
div JL A A
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dx
d¡t
dz
u)z
162. Calcuiki^div(/(r)c), donde c es un vector constante.
163. Hallar div(/(r)r), ¿En qué caso la divergencia de este vector será igual a cero?
t UJX
UJy
164. Hallar el flujo del vector u = ¡cyi + yz] + xzk a través de la esfera S — {(x¡y¡z) € IR"':
x2 + y2 -f z2 = 1} situada en el primer octante.
165. Hallar elflujodel vector u — y zix zjxyk a través de la superficie lateral de la pirámide con
vértice en el punto P ^ (0,0,2) cuya base es el triángulo de vértices O — (0,0,0), A = (2t0>0),
«-(0,1,0).
166. Demostrar que: a) rot (u + v) = rotu + rotv; b) rot{vu) = vrotu + Igrad v, tt].
167. Hallar la dirección y el valor absoluto de rotu en el punto M — (1,2, - 2 ) si u = fi -{
^k.
168. Hallar rot (grad <p).
169. Un líquido incompresible que se encuentra en movimiento ocupa un volumen íí. Suponiendo
que en la región 12 no hay ni fuentes ni sumideros, deducir la ecuación de continuidad
dp
— + div{¿>v) = 0,
donde p — p{x7y^z) es la densidad del líquido, v es el vector de velocidad y t es el tiempo.
170. Calcular el trabajo del campo de fuerzas
F = j/i + x\ + (x -h y -f z)k
*i
a lo largo de un segmento AB de recta que pasa por los puntos Mi (2,3,4) y M2(3Í4Í5).
171. Demostrar que el campo u = /(r)r, siendo / una función continua, es potencial. Hallar el
potencial de este campo.
L_LoOWLOR
247
,QWHJUDOHV PtOWLSOHV \ FXUYLOoQHDV
§7. Forma de las operaciones más fundamentales del
análisis vectorial en coordenadas curvilíneas
ortogonales
7.1. Coordenadas curvilíneas ortogonales en el espacio euclídeo R 3 .
Parámetros de Lame
Supongamos que en el espacio euclídeo R 3 viene introducido un sistema de
coordenadas q\, q-¿, mediante las fórmulas
x = ®(q),
y = y(q),
z = z(q),
q = {qu q2, q3),
(1)
que ponen en correspondencia las coordenadas cartesianas x, y, z de un punto M € R 3 con
sus coordenadas q\, q2, q¡- Tal sistema de coordenadas se denomina sistema de coordenadas
curvilíneo y las coordenadas q, {i = 1,2,3) reciben el nombre de coordenadas curvilíneas.
Supongamos que la aplicación <J> = (ar(q), j/(q), z(q)), q £ R\ generada por el
sistema (1) sea un difeomorfismo de clase C1 del espacio R 3 en R \ esto es,
y ü»"1 son
diferenciables con continuidad.
Definición 1. Un sistema de coordenadas curvilíneo qi, q-¿, q3 se denomina ortogonal si los vectores f^-(q) (i = 1,2,3) son mutuamente ortogonales:
¡d®.
, o®,
A
/£>$, .
n
A
_
/ a * . . d<f>, A
_
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Los sistemas esférico y cilindrico en el espacio euclídeo R 3 son ejemplos de sistemas
curvilíneos ortogonales.
En efecto, en los casos de que 3* (p, 6, tp) = (p sin 6 cos tp, p sin 0 sin tp, p cos ff), p ^ 0,
O < 0 < 7 r / O < v < 2 x y <íf(p,tp,z) = (pcostp,psmtp,z),
p > 0, 0 < tp < 2TT, Z £ R,
se tiene
d<&
—— — (sin 0 cos p, sin B sin <p, cos 0), -—- — (p cos 0 cos <p, p cos 0 sin <p, />sin 0),
op
uu
—— — (-psinflsinw, asintfcosw,— />sin0,O),
ótp
\ dP' de / ~ u'
<?\I>
— - (cos^sin<p,0),
\dp'
dtp/
'
\ dP' de / ~ u' \ dp' de / ~ u'
d^>
dty
—=(~psintp,peos^,0),
— = (0,0,1),
\dp'
dz /
\ dtp' dz /
~ u'
Si un sistema de coordenadas curvilíneo q\, q2, q-¡ es ortogonal, los vectores
(í = 1,2,3) forman una base del espacio R 3 /, además, la base formada por los vectores
( f ) 2 , es ortonormal. Las
=
i = U , 3 } , donde II t = ^ / ( g ) 2 +
funciones H¡ se denominan parámetros de Lamé. La base {e¿, i = 1,2,3} y los parámetros
de Lamé cambian al pasar de un punto a otro.
Si en un sistema de coordenadas curvilíneo ortogonal q%, q2, q3 fijamos una de las
coordenadas, entonces la aplicación $ determinará una variedad de clase C1 de dimensión
JiV. Análisis vectorial en coordenaduN curvilíneas ortogonales
247
p = 2, es decir, una superficie suave que denominaremos superficie de coordenadas. Un el
espacio R 3 se tienen tres familias de superficies de coordenadas. Por cada punto fijo del
espacio M3 pasa una sola superficie de cada una de las tres familias.
Veamos un elemento de volumen formado por tres pares de superficies coordenadas
adyacentes. Sean dl\, di2 y dl3 las longitudes de las aristas de dicho elemento. Se puede
demostrar que
dl\ - íí[ dqh
diz = Hi d<l27 ¿h ~
dq3,
donde Hi (i — 1,2,3) son los parámetros de Lamé, Para cerciorarse de esto basta escribir
el elemento de longitud dl¿ en el caso de que sólo una coordenada es libre y los otras dos
son fijas. Vemos, pues, que
di
=
V \0q¡
fijos
/
\ 0q¡ /
\dq
Hi dqi,
fijos
Calcularemos los parámetros de Lamé que corresponden al paso del sistema de
coordenadas cartesiano al sistema esférico. Tenemos
Hl=V
(w)'(i?):{%)^^cos29cos2
v+p2cos2
0 s i n 2 ^ + p 2 sin2 0 = *
(5)
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(f|) (%)
-4H
p=p s i n & -
^ - \l ( £ ) 2 + ( f ¿ ) 2 + ( £ ) 2 = ^ ^ w ^ = p
+
+
=
°
sin2 0 sin2 ( p + p l sin2 ec s2<
imismo, al pasar al sistema cilindrico obtendremos
ƒ
n I
H
?
Definición 2. Sean q\, q2, <73 coordenadas curvilíneas y sean dqt (i — 1,2.3) los
incrementos de coordenadas respectivos en un punto q — (qi.qi, <¡3)- Se llama elemento
de volumen dV correspondiente a dichos incrementos dqi al volumen del paralelepípedo
construido a partir de los vectores ^ - ( q ) dqi.
De acuerdo con la definición dada tenemos
<^(q) = \¡r| ~ ( q ) d q { , ||(q)dg2, ||(q)dq 3 ),
donde r^|^-{q)díjfi, §~(q)dg 2l f ^ í q ) ^ )
fl/r-
(q) dqi (i = 1,2,3).
es
(10)
determinante de Gram de los vectores
L_LoOWLOR
249
l'ucsto que los vectores
,QWHJUDOHV PtOWLSOHV \ FXUYLOoQHDV
(i = 1,2,3) son ortogonales, entonces queda
= HiH2íh dqi dq2 dq3.
(11)
Haciendo uso de la definición (2) y de las fórmulas (4)-(ll) obtendremos las
expresiones bien conocidas para los elementos de volumen en los sistemas de coordenadas
esférico y cilindrico:
dV(p, $, tp) = p2 sin2 9 dp d9 dtp,
dV(p, tp,z)~ p dp dtp dz.
(12)
Los parámetros de Lamé se llaman también factores de escala. Las líneas de
coordenadas a lo largo de las cuales cambia solamente un parámetro pueden imaginarse
como curvas en el espacio S 3 a las que han sido asignadas las escalas de dichos parámetros.
En dichas curvas ios parámetros de Lamé H¡ multiplicados por las diferenciales dq¡
proporcionan los elementos de longitud de las curvas correspondientes.
7.2. Gradiente de un campo escalar
Supongamos que en una región D' C M3 viene definido un campo escalar diferenciable q i—i- u(q). Las componentes del vector de gradiente gradu(q) en la base
{e¡ =
||-(q), i = 1,2,3} son sus proyecciones f^(q) — (gradu(q), e¡) en las direcciones de los versores e¡. Dado que
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±
±
(grad U(q), ei > =
(grad u(q), f|(q)) =
f|(q),
entonces es lícita la representación
, , ,
1 du , .
, 1 du . .
, 1 dv . .
gradu(q)= - — ( q ) e I + - — ( q ) e 2 + - — ( q ) e 3 .
(1)
En particular, en un sistema de coordenadas esférico y cilindrico el vector de gradiente de un campo escalar u tiene,respectivamente,la representación siguiente:
gradué, 0, >p) = ~(p, 0, tp)ep + i ~(p,
gradu(p,<p,z) = ^(p,tp,z)ep
p, 6, tp) e p ,
0, tp) ee +
+ ~ ~(p,<fi,z)eip
+ ^{p,<p,z)ei,
(2)
(3)
donde {c p ,e#,ey} y {e^, e p , e^} son las bases ortonormales generadas por las aplicaciones
<S>'(p,0,(p) y
(p, <p, z), respectivamente (v. p. 7.1).
7.3. Divergencia y rotacional de un campo vectorial
Para obtener las expresiones de las operaciones de divergencia y rotacional de
un campo vectorial q
u(q), q £ D', en coordenadas curvilíneas conviene realizar
previamente ciertos pasos intermedios. Tomando u = qi en la fórmula (1) del p.7.2
obtenemos
1
gradffi = ~ e i .
(1)
fj7. An»íliw¡s vectorial en cooriU'iiiidiiN curvilínea» ortogonales
2W
Calculando luego la rotacional de los dos miembros de esta igualdad y teniendo en cuenta
que rot grad (}[
0 tenemos
rot¿e1=
- [ e i , V ¿ - j = ¿ - r o t e , + í ¿ - , c , J - 0.
V,-| =
(2)
Aplicando una vez más la fórmula (1) del p. 7.2 hallamos
,1
d f l \
1
1
0 ( l \
,
1 / 1 dHt
, 1 0 / 1 .
1 dHi
,
1 dHi
\
1
De este modo, la igualdad (2) adopta la forma
*1
rotei H,
1
[gradJTi,eiJ = 0,
ff¡
(4)
luego rotei = ^ [ g r a d i l ^ e i ] . Puesto que [gradíf^ej] =
queda
1 dfíx
1 9HX
HlH2 dqz
Razonando de un modo análogo obtenemos
1 dH2
m i ^ * 3
-
entonces
1. dH2
~ H2H3
u
1 9H3
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2 =
((v
. - -Calcularemos ahora la divergencia de los vectores ei, e 2 , e 3 con la ayuda de la
fórmula div[üi,u 2 ] = (V,Iui ? u 2 ]) — (u 2 í rotui) — (ui,rotu 2 ) obtenida en el proceso de
la resolución del ej.219. Teniendo en cuenta que ei = [62,63], e 2 = [e 3 ,ei], e 3 — [e^e^l
obtenemos
divei=<e3'rote2> - <e2'rotC3) -flkü+Hk^rdive 2 = <eltrote3> - (e 3 ,rot e i ) =
+
dive 3 = <e 2 ) rot e i ) - ( e r r ó t e , ) =
+ ¿
(8
P>
f
f
•
(10)
Dado que la divergencia es una operación lineal, para un campo vectorial u —
{ui,u 2 i u 3 ) se tiene
divu = div(wiei) + div{u 2e2) + div(«3e3) = {V, «tei) + (V, u2e 2) + {V, u3e3) =
«idiv ei + u2div e2 + í¿2div e2 -f (ei, grad í¿i) + (e2, grad u2) + {e 3 , grad «3) ux 0H2 , u\ dH3
u2 dH3
u2 OHi
i- — — " — •
•
„—
h
H2Hi
dqi
H3Hi
dqi
H3H2
dq2
HtH2
dq2
% 9Hi
H\H3 dqi
1
HiH2H3
(
u3 8H2
H2H3 dq3
9
\ dq]
{uxH2Hz)
+
1 dui
IIx dqx
dq2
{U2H3H{)
1 dvg
1 du3
+
H2 dq2
H3 dq3
+ ^(usH^J.
dq3
(11)
Capítulo 2. I n t e g r a les m ú l t i p l e » y ( i i r v l l h u m s
250
Si en la fórmula (11) tomamos u ~ gradv, obtendremos la expresión para el
operador de Laplace en coordenadas curvilíneas ortogonales:
A
_ ( 0 (H2H3 dv\ ¡ O (II3Hx
\d<h V ff, dqj^dq2\
H2
1
H,H2H3
dv\
D (Ihih
dq2J'tdq3\
H3
0V\\
dq3))'
( m
K '
Para calcular el rotacional del campo vectorial u hagamos uso de la propiedad
lineal de dicha operación, de las fórmulas (5)-(7), del ej.216 y de la fórmula (1) del p.7.2:
rotu = rot(wjei) -[- rot(w2e2) + rot(?¿3e3) —
= tti rotej + u2 rot e 2 + u 3 rote 3 + [gradwi,eil + [gradtt2, ej] + [grad w 3 ,e 3 ] =
ui dH\
, u2 dH2
u2 c)H2
,
ui 0Hl
-«a - tt ^ " h t 1 ^J + iHr
~ i n r
i +
H2Hx dqi J H2H3 dq3
Bilfs %s
HlH2 dqz
_U3_ 8H3 _ u3__ OJEk
J_ du1 _ J_ dux
0q2 1 H3Hx dqi 2 H3 dq3 2 H2 dq2
^
lhll2
+
Hi 0qx es
H
H3 dq3 61
k
Hz dq2 61
Hi
dqi
~ w3{H2U2)h+nk
^(é^-é^O63-
(13)
~
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La fórmula (11) puede considerarse como resultado de la aplicación de la fórmula de
Ostrogradski a un paralelepípedo K cuyas aristas son los desplazamientos dqi (í = 1,2,3)
a lo largo de las curvas coordenadas. Análogamente, la fórmula (13) es el resultado de la
aplicación del teorema de Stokes a las tres caras del mismo paralelepípedo, esto es:
div u(q) = Jjm ¿
JJ{n, u) dS, (rot u, n) = lim ¿ £(r, di,u)
siendo ptK = HiH2H3 dqi dq2 dq3 el volumen del paralelepípedo; S su frontera; n el vector
unidad de la normal exterior a la superficie S; pS el área de S; L la unión de todos los
contornos que limitan las caras del paralelepípedo y r el vector unidad tangente a L.
Conviene subrayar que los versores r tangentes al contorno L y los versores de la normal
exterior n en las caras del paralelepípedo K son o bien de igual sentido o bien de sentido
opuesto al de los vectores de la base {e¿, i — 1,2, 3}.
Para obtener las fórmulas de divergencia y rotacional de un campo vectorial
u — {u\,u2,u3) en coordenadas esféricas y cilindricas recurrimos a las fórmulas (11), (13)
y las fórmulas (4)~(9) del p. 7.1. Tenemos, respectivamente,
divu(A^) =
+ -¿-|(W2sin^)+
A,
j.
,
^ 1 9 ,
x , 1 9u2
du3
d,vu [p,9,z) = - - { / M l ) + - — +
psm0\d6x
f
1
din
*
,1C,
(15)
d<p
d .
A
(14)
, (\
d ,
,
1 0«i\
¡i7
Aii.íIíníh
2Í>I
vectorial en coordenada* m i i ' v í I Í i k m n ortogonales
Si los campos {p, 9, ¡p) >--> u(p, 0, <p) y (p, tp, z)
u(p, <p, z) son dos veces diferenciu
bles con continuidad, entonces aplicando la fórmula (12) del presente punto y las fórmulas
(4)-{9) del p. 7.1 obtendremos la expresión del operador de Laplace en coordenadas esféricas
y cilindricas:
*
_
.
i d (
2du\
,
i
o (.
adu\
,
i
b2u
,,u,
p dP \pdp ) + p2 dy* + dz2'
u
J)
2 3 4 . Calcular grad u, donde u(p, 0, tp) — 3p 2 sin 0 + ep cos tp - p.
A Solución. Aplicando la fórmula (2) del p, 7.2 tenemos
a
a / a \ f Bu Idu
1 Bu\
(¿
. . . p
1 0
grad«{p, 9,ip) — — , - - ^ - r , — — - — - J = 6psin0 4-e^cosp - 1 , 3pcos0,
Bp* pBO' psinOdtp
2 3 5 . Calcular grad uf donde u(p,
cp sin tp
p si n 0
z) = p2 4- 2p cos p — e* sin
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Solución, De acuerdo con la fórmula (3) del p, 7.2 tenemos
gradu(p,<p,z)=
( f ^ f ^ ' f f )
V
= f 2(p 4-cos p), ~ ^2 sin p 4- €
u2,
236^-Calcular div u, donde u —
), e* sin tp
— (p2, - 2 eos2 tp, ^
,)
pL 4 - 1
Solución. Haciendo uso de la fórmula (14) obtenemos
divu < M , v ) =
=
* _
p2 Bp
i d
psmO BQ
2
i d
f
psin0 dtp \p2 +1
p
T
p{p2 + l)s\XYQ
2 3 7 . Hallar divu, donde u = {u^u^u^) = (^ ar ctgp> 2, -z 2 e*).
M Solución. Con la ayuda de la fórmula (15) tenemos
l í ,
.
, , 1 3 , . ,
5 , 2 2n
^ ( arctg p + -^Tf
)+2ze"
+ zZe' •
•
252
Capítulo 2. Integrales múltiple» y curvilíneas
2 3 8 . Hallar rotu, donde u
(«i,U2,« 3 ) — (pz, 2cos0, —tp).
< Solución. Utilizaremos la fórmula (16). Obtenemos
rot u(p, 0, <p) =
l
(
•
( 9 ,
9uz\
9ul
1
1
9
,
\ 1 9 ,
2 3 9 . Calcular rotu, donde u = (mi,«2,«3) = ^cos<p, - ^
V
P
;
p2^j .
v
l&íA
P
J
P
< Solución. A partir de la fórmula (17) resulta
,
rotu (p,<p,z)
(1du3
f i o ,2,
0u 2 dui
d /sinyA
1 .
--(pU2)
du3
d.
.
,
1 duA
=
d , 2, 1 d ,
,
A
i d ,
-
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2 4 0 . Demostrar que el campo u = («j, u 2 ,u 3 ) =
'p—,
es potencial.
Solución. Puesto que la clase de campos potencíales coincide idénticamente con la clase de
campos «rotacionales, entonces basta demostrar la verificación de la condición rot u = 0.
Aplicando la fórmula (16) obtenemos
.
a
,
/
1
( 3 ín
.
d fsin0\\
1
1 9
d
(icosB\
fsm0\\
9 f sinfl'
pdp'" ''» pdp /"sinfl^
\ (? ) 1pdp\
? JJ
lJL(0,p)
1 9
+
=(0,0,0).
2 4 1 . Hallar el flujo del campo vectorial u = (w l7 u 2 ,u 3 ) = (p20, pe29,0) a través de la
superficie exterior de la semiesfera S de radio R con centro en el origen.
Solución. Sea a la porción de la superficie coordenada qi = C (C — const) limitada por
las líneas coordenadas en dicha superficie
qi - ai,
Í2 = cx2 (ai < a2);
q3 = ftu <h = 02
(A < Pi)-
El flujo del vector v(qi,q2,q3) = (ttifo,q 2 ,q 3 ), u2(quq2,q3),
de la superficie tr a lo largo del vector e, se calcula mediante la fórmula
q3)) a través
«2 A
w(<t;u) = J J Ui(C,q2,q3)Hz(C,q2,q3)H3(C,q2>q3)dq2dq3.
ϜL
||7 Análisis vectorial en coordenadas rtnvílóuMs ortogonales
253
[,¿i semiesfera 5 es una porción de la superficie de coordenadas p - c o n s t , es decir,
p — i¿. Ln ia misma se tiene
qi=p
= R,
q2 - 0,
0 ^ $ <
= V,
0 ^
< 2?r.
Teniendo en cuenta que en coordenadas esféricas
H\ = Hp — 1,
H2 = H§ — p,
#3 -
- psmtp,
a partir de la fórmula (20) obtenemos
TT
T
_
*
2x
T
d0 1 R^Bsin9d<p - 2kR4 ¡ 9sm9d9
w(5;u)=
0
0
= 2ttR 4 .
•
o
2 4 2 . Calcular en coordenadas cilindricas el flujo del campo vectorial u = («i, u2, i¿j)
(p, 0) a través de una superficie cerrada S formada por los planos de ecuaciones z - 0 y
z — 1 y la corteza cilindrica p = 1.
Solución. Utilizaremos la fórmula de Ostrogradski
IIIdiv11
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w(S; u)
Con la ayuda de la fórmula (15) tenemos
j1 9 ,
divu pdp r
De este^modo,
w(S; u) = 2
, 1 fe o
=2
p dtp
///
f I dV = 2\V\ = 2tt,
v
pues el volumen de dicho cilindro es tt.
i1 i
• • i i i 1 » i ' J S Mi 1
Ejercicios
172. Hallar el gradiente de los campos escalares siguientes: a) u — pcostp 4 2 sin2 y? - 3;J; b) w
p2cos9; c)
C^?-, C = const.
173. Calcular la divergencia de los campos vectoriales siguientes: a) u = (p^ z sin <p7 eos z);
ri\
b) ,,
u = f 2cosff, ygirig
r ,U).
174. Calcular el rotacional de los campos vectoriales siguientes: a) u = (2p-f« cos tp, —a sin 0, p cos 9),
a — const; b) u ~ (sin ipy ^^ t —pz).
175. En coordenadas cilindricas calcular el flujo de un campo vectorial u a través de una superficie
S dada si u — {/>, — cos y?, z) y S es una superficie cerrada formada por el cilindro de ecuación
p = 2 y los planos de ecuaciones 2 = 0 y z = 2.
Respuestas
Capítulo 1
2. Continua.
3. Continua.
4. Continua para y + 0.
5. 1.
6. 0.
7. \ ( f ~ l ) 8. 0.
14. Diferenciable con continuidad.
15. Diferendable con continuidad para y / 0.
18. Uniformemente. 19. Uniformemente. 20. Uniformemente. 21. Uniformemente. 22. No
uniformemente. 23. No uniformemente. 24. No uniformemente. 25. No uniformemente. 26. 1.
+00
27. §.
28. 0.
34. f .
35.
2
31. / T^dx.
32. §|a|3. 33. f- - ^f- para 0 ^ a < 2; f para a ^ 2.
o
( J ^ ) • 39. £(T(a + 1)).
36. ^ ( c - W - l ) . 37. ¡ ln(l + a2). 38.
40. I / J ^ / e ^ .
0
0
48.^.
4 9 . ^ .
5
r-rr sen2xA
5 7
-
" S C T -
|-c sen A
5 S
41.
42.^.
oc
,
50.lE(t+1>aX"+6'!cos A , st»n2A-l-Acos2A
-
r
+
e2(l+A2)
62. iXf(X); —A2/(A). 63. ¿ /
—30
.«A*
Cn
•
43.0.
44.0.
5 5 . ^ - ^ .
senAir
47.^(1).
56. ¿ , ( 1 + cos A*).
sen A . cosA-1 T cosA-A sen A
~ ü Ь
- j ¡ -
+
— p
f
J ü ^ p f " -
rt
6 1 .
4:05
— j S — .
dA.
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Capítulo 2
o
l+V^
1.9,88. El valor exacto es 27t(7-i/24). 2.0 < 0,00022. 5. Negativo. 6. / dy J
f(x,y)dx.
O
VL-I2
I
7. / da: / /(z, y) dy + / dx / /(®, y) (íj/.
- 1 0
0
0
a
2o
„ a-^a3-!!2
-
a
f(x,y)dx
VO 2 -JI 2
„
-\A¡2-SR
fdyff(x,y)dx.
¿
2o
ir
.
6
1+/J i-„
10.a)/dt; J*/(ucost), íísen«)udíj;b) J d o J / ( u c o s s e n » ) « d u . 11. f dv f f(u-uv,
0
0
0
a
—
0
1-f-íí
I)
a.
h
9
I
2
8. / dy / /(x, y) dx + f dy f
0
!
°
2<i 2o
¿2íi
+ Jdy
J
f{x,y)dx
2
v
0 o+^-sr
f(x, y) dx.
+
°
uv)udtt.
12. i / dv J uf ((1 - v)l, vv) du + 1 J dvjnf
((1 - «)* «„•) dw.
0
0
o
li+fr
2x
13. 3 J pdp ' Ji /(pcos3'/), sen3^)sen7y cos?' dp. 14. y = uv, x = v. 15. a) Pasar a coordenadas
0
o
16. 3.
17. f j .
18. (2\/2a3/2.
19. 14 íl„
polares; b) tomar x2 = u, y2 = v.
4
2
20. ffffa .
21. —6TT . 22. §.
23.
24. f l n 2 - ¿ .
25. f .
26.
27. 0,
**
^ ' S T S , ; ' " , si m, n, p son pares.
si uno de los números m, n, p es impar;
29."'^.
30.
31. (m
33. V 35. Converge para jo < ].
36. Convergí' p¿im jj < L
28. a .
j? < 1.
38- iFÍSFT)' P>1>1-
39'
45. 2wB (§, 1 -p) , p < 1.
A' P>
46. r " 2 .
40'
2-
34. Conv.ny,,- ,,>,
37, Converge pora j> < I
•«• I-
H*.
43.
47. y ^ , donde A = det(o¡j).
44. ••
50. ~(4jr
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www.fullengineeringbook.net
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125. | feV2 (3ít 2 - 1)(2tt2 + 1}3/2 + 1).
132. u - ln \x - y\ +
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144.
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126. ^p 2 .
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142. ^{xFíx, jf)) - ¿ ( y í 7 ^ , y)).
•
137.
i (
738. 0.
143. sgn (arf - ftíí).
yj / donde se suma por todos los puntos de intersección de las curvas de ecuaciones
2
y) = 0 y
y) = 0 que se encuentran dentro del contorno 7. 145. y£(2m -f 1, 2» | I).
147.3 J S f t f + t ñ + ñtedMd*.' 148.2 / / / ^ J g y -
/ / / ( & + & + &)
150. 3o4. 151.
153,
154. - j t ü 2 ^ . 155. y . 156. 0. 157.
158. <p 71.
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161 0.
162. ^ < c , r } .
163. 3f(r) + r/'(r); /(r) =
C = const.
164. f .
168. 0.
170. f .
171.
167. rotu(M) - —|i — j + |kj |rotu{M)| - J v l í í .
165, ^
u{x,y,z)
{
Jtf(t)dty
donde r = s/x2 + y2 +
(2pcos0,-/0sen0,0); c)
172. o) (cosv? - 3^1n3, |sen2v? - sen^si'ivV); I')
173. n) 2 + J cos(p - ep sen¿; b) 0.
b) ( 0 , , , - - ^ ) .
¡i
175. 24x.
174. ..)
índice
Capítulo 1. Integrales dependientes del parámetro
§1.
Integrales propias dependientes del parámetro . . . .
3
§ 2. Integrales impropias dependientes del parámetro.
Convergencia uniforme de integrales
17
§3.
Derivación e integración de integrales impropias bajo el signo integral . .
38
§4.
Integrales de Euler
58
§ 5. Fórmula integral de Fourier
67
Capítulo 2. Integrales múltiples y curvilíneas
§ 1.
Integral de Riemann extendida a un compacto.
Transformación de integrales múltiples en integrales reiteradas y su cálculo
76
§2.
Integrales múltiples Impropias
112
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§ 3. Aplicación de las integrales múltiples a la solución de problemas geométricos
y
físicos
127
§ 4. Integración en variedades
168
§ 5. Fórmulas de Ostrogradski, de Green y de Stokes
211
§6.
Elementos de análisis vectorial
230
§7.
Forma de las operaciones más fundamentales del análisis vectorial
en coordenadas curvilíneas ortogonales
246
Respuestas
254