2º Examen de Matemáticas G2. INGAL. Diciembre (08) de 2021.
Dur: Máx 2 hrs.
Alumnos_______________________________________________
JIMENA LÓPEZ SIBAJA - VALENTINA BENÍTEZ AYAZO
1. Si 𝒇(𝒓) = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒄(𝟔𝒓𝟐 − 𝟓𝒓 − 𝟓). Hallar 𝑫𝒐𝒎(𝒇)
SOLUCIÓN
Sabemos que 𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑡) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐(𝑡) es (−∞, −1] ∪ [1, ∞). Debemos hallar 𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑟),
Usamos 𝑡 = 6𝑟 2 − 5𝑟 − 5, donde verificaremos que 𝑡 ≤ −1 y 𝑡 ≥ 1.
𝒕 ≤ −𝟏
6𝑟 2 − 5𝑟 − 5 ≤ −1
6𝑟 2 − 5𝑟 − 5 + 1 ≤ 0
6𝑟 2 − 5𝑟 − 4 ≤ 0
6𝑟 2 + 3𝑟 − 8𝑟 − 4 ≤ 0
3𝑟(2𝑟 + 1) − 4(2𝑟 + 1) ≤ 0
(2𝑟 + 1)(3𝑟 − 4) ≤ 0
1 4
⟹𝑟 ∈ [− , ]
2 3
𝑡≥1
6𝑟 2 − 5𝑟 − 5 ≥ 1
6𝑟 2 − 5𝑟 − 5 + 1 ≥ 0
6𝑟 2 − 5𝑟 − 6 ≥ 0
6𝑟 2 + 4𝑟 − 9𝑟 − 6 ≥ 0
2𝑟(3𝑟 + 2) − 3(3𝑟 + 2) ≥ 0
(3𝑟 + 2) − (2𝑟 + 3) ≥ 0
2
3
⟹𝑟 ∈ (−∞, − 3 , ] ∪ [2 , +∞]
2
3
⟹𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−∞, − , ] ∪ [ −
1 4
, ] ∪ [32 , +∞]
2 3
2. Hallar el valor exacto 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄[𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(𝟓/𝟕)]
SOLUCIÓN
1
c𝑜𝑠𝑒𝑐(𝐴) = 𝑠𝑒𝑛(𝐴), y A= 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝐴))
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐[𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(5/7)] =
1
𝑠𝑒𝑛[𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(5/7)]
1
= 5
7
=
7
5
𝟐
𝒍𝒐𝒈𝟕 (𝒕 )
−𝟏 (𝒕),
3. Si 𝒈(𝒕) = 𝟓−𝒍𝒐𝒈
𝑹𝒂𝒏(𝒈) y 𝑹𝒂𝒏(𝒈−𝟏 )
𝟑 , hallar 𝒈
𝟕 (𝒕 )
SOLUCIÓN
y= 𝑔(𝑡),cambiamos las variables 𝑡 = 𝑔(𝑦)
𝒍𝒐𝒈 (𝒚𝟐 )
𝟕
⟹ 𝒕 = 𝟓−𝒍𝒐𝒈
, despejamos y, para obtener su inversa
(𝒚𝟑 )
𝟕
𝑡=
𝑙𝑜𝑔7 (𝑦 2 )
5 − 𝑙𝑜𝑔7 (𝑦 3 )
𝑡=
2𝑙𝑜𝑔7 (𝑦)
5 − 3𝑙𝑜𝑔7 (𝑦)
𝑡(5 − 3𝑙𝑜𝑔7 (𝑦)) = 2𝑙𝑜𝑔7 (𝑦)
5𝑡 − 3𝑡 ∙ 𝑙𝑜𝑔7 (𝑦) = 2𝑙𝑜𝑔7 (𝑦)
5𝑡 = 2𝑙𝑜𝑔7 (𝑦) + 3𝑡 ∙ 𝑙𝑜𝑔7 (𝑦)
5𝑡 = (2 + 3𝑡)𝑙𝑜𝑔7 (𝑦)
5𝑡
= 𝑙𝑜𝑔7 (𝑦)
2 + 3𝑡
7
5𝑡
= 7 𝑙𝑜𝑔7 (𝑦)
2 + 3𝑡
7
⟹𝑔−1 (𝑡) = 7
5𝑡
=𝑦
2 + 3𝑡
5𝑡
2+3𝑡
R𝑎𝑛(𝑔) = 𝐷𝑜𝑚(𝑔−1 ) y 𝑅𝑎𝑛(𝑔−1 ) = 𝐷𝑜𝑚(𝑔)
⟹ 5 − 𝑙𝑜𝑔7 (𝑡 3 ) = 0
5 = 𝑙𝑜𝑔7 (𝑡 3 )
75 = 7𝑙𝑜𝑔7 (𝑡 3 )
75 = 𝑡 3
3
𝑡 = √75
3
𝑡 = 7 √ 72
3
𝑡 = 7√49
3
⟹𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (0,7√49) ∪ (7 3√49,+ ∞)
⟹ 2 + 3𝑡 = 0
3𝑡 = −2
𝑡=−
2
3
2
3
⟹𝐷𝑜𝑚(𝑔−1 ) = ℝ\{− }
2
3
⟹𝑅𝑎𝑛(𝑔)= = ℝ\{− 3} y 𝑅𝑎𝑛(𝑔−1 ) = (0,7√49) ∪ (7 3√49,+ ∞)
4. Resuelva la ecuación 𝟏𝟓 ∙ (𝟏𝟔)𝒙 = 𝟏𝟏 ∙ (𝟒𝒙 ) − 𝟐
SOLUCIÓN
15 ∙ (16)𝑥 = 11 ∙ (4𝑥 ) − 2 ⟺ 15 ∙ (42 )𝑥 = 11 ∙ (4𝑥 ) − 2
⟺ 15 ∙ (42 )𝑥 = 11 ∙ (4𝑥 ) − 2
𝑟 = 42
⟹ 15 ∙ (42 )𝑥 = 11 ∙ (4𝑥 ) − 2 ⟺ 15𝑟 2 = 11𝑟 − 2
⟺ 15𝑟 2 = 11𝑟 + 2 = 0
Usamos la ecuación cuadrática, tenemos que: 𝑎 = 15, 𝑏 = −11 𝑦 𝑐 = 2
∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
∆= (−11)2 − 4(15)(2) = 121 − 120 = 1 > 0
𝑟=
=
−(−11) ± √1
2(15)
=
𝑟=
−𝑏 ± √∆
2𝑎
11 ± 1
30
11 + 1
30
𝑜
𝑟=
11 − 1
30
12
30
𝑜
𝑟=
10
30
𝑟=
𝑟=
2
5
𝑜 𝑟=
1
3
Como 𝑟 = 4𝑥
⟹ 4𝑥 =
2
5
2
𝐼𝑛(4𝑥 ) = 𝐼𝑛( )
5
2
𝑥𝐼𝑛(4) = 𝐼𝑛( )
5
2
𝐼𝑛 ( )
5
𝑥=
𝐼𝑛(4)
4𝑥 =
1
3
1
𝐼𝑛(4𝑥 ) = 𝐼𝑛 ( )
3
1
𝑥𝐼𝑛(4) = 𝐼𝑛 ( )
3
𝑥=
𝐼𝑛(1) − 𝐼𝑛(3)
𝐼𝑛(4)
𝑥=
0 − 𝐼𝑛(3)
𝐼𝑛(4)
𝑥=
Las soluciones de la ecuación son: 𝑥 =
𝐼𝑛(3)
𝐼𝑛(4)
2
5
𝐼𝑛( )
𝐼𝑛(4)
y𝑥 =
𝐼𝑛(3)
𝐼𝑛(4)
5. Si 𝒑(𝒛) = 𝟓(𝟑𝟑𝒛−𝟔) − 𝟑 𝒚 𝒒(𝒛) = 𝒍𝒐𝒈𝟐𝟑(𝒛) + 𝟏 halla la expresión más simple para
(𝒑 𝒐 𝒒)(𝒛) 𝒚 𝑫𝒐𝒎(𝒑 𝒐 𝒒)
SOLUCIÓN
(𝒑 𝒐 𝒒)(𝒛) = 𝒑(𝒒(𝒛))
= 𝒑(
𝒍𝒐𝒈𝟑 (𝒛)
+ 𝟏)
𝟐
= 𝟓 (𝟑𝟐 (
𝒍𝒐𝒈𝟑 (𝒛)
+ 𝟏) − 𝟔) − 𝟑
𝟐
= 𝟓 (𝟑 (𝟐
𝒍𝒐𝒈𝟑 (𝒛)
+ 𝟐) − 𝟔) − 𝟑
𝟐
= 𝟓(𝟑(𝒍𝒐𝒈𝟑 (𝒛)+𝟐)−𝟔 ) − 𝟑
= 𝟓(𝟑(𝒍𝒐𝒈𝟑 (𝒛)+𝟐−𝟔 ) − 𝟑
= 𝟓(𝟑(𝒍𝒐𝒈𝟑 (𝒛)−𝟒 ) − 𝟑
𝟑𝒍𝒐𝒈𝟑 (𝒛)
= 𝟓(
)−𝟑
𝟑𝟒
𝒛
= 𝟓( ) − 𝟑
𝟖𝟏
=
𝟓𝒛
−𝟑
𝟖𝟏
𝟓𝒛
(𝑝 𝑜 𝑞)(𝑧) = 𝟖𝟏 − 𝟑
D𝑜𝑚(𝑔 𝑜 𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) y 𝑓(𝑥) ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔)}
⟹𝑫𝒐𝒎(𝒑 𝒐 𝒒) = (𝟎, +∞)