DEFORMACIÓN NORMAL Y ANGULAR El concepto de deformación es de fundamental importancia para el ingeniero en lo que respecta al estudio de las deflexiones. Es bien sabido que una pieza de máquina puede fallar en servicio si sufre deformaciones excesivas, aun cuando los esfuerzos asociados permanezcan por debajo de los valores de fluencia o fractura. Lo que, es más, el concepto de deformación juega un papel preponderante en las técnicas experimentales en los problemas demedibles resistencia de materiales puesto que que los esfuerzos noutilizadas son, e n general, cantidades directamente, mientras las deformaciones si lo son. Usualmente, esto implica el obtener datos experimentales de deformaciones que luego serán transformados en términos de esfuerzos. El conocimiento de la deformación puede aplicarse a diversos campos de trabajo, como lo es en la minería, en donde es fundamental tener conocimiento sobre la deformación angular y lineal que se ejerce sobre los marcos de sostenimiento en el socavón ya que esto contribuirá a disminuir la cantidad de accidentes producidos por la deformación y posterior ruptura de las vigas encargadas del sostenimiento del macizo rocoso. 1. DEFINICIÓN DE DEFORMACIÓN. Cualquier cuerpo solido sujeto a fuerzas o esfuerzos, sufrirá una deformación, tanto longitudinal como angular, bajo la acción de estos, dicho de otra forma, un sólido antes de deformarse tendrá una forma definida, la cual se verá alterada al aplicar cierta carga, estas deformaciones que sufre el sólido son mínimas y en muchos casos son imperceptibles para el ojo humano, ejemplo de ello es la deformación que sufre los pilares de un puente al pasar varios vehículos sobre el o la deformación que sufren los pilares de una edificación al acumularse nieve sobre su tejado. Para conocer la deformación de un cuerpo es preciso conocer primero la deformación de uno de cualquiera de los paralelepípedos elementales que lo forman. I. 1° Una TRASLACION que lleva el origen del paralelepípedo del punto O al punto O´. II. 2° Una ROTACION del paralelepípedo alrededor de un eje que pasa por O´ Tanto 1 y 2 originan el movimiento del paralelepípedo, paralelepípedo, pero sin deformarlo. III. 3° Unas DEFORMACIONES LINEALES de las aristas del paralelepípedo IV. 4° Unas DEFORMACIONES ANGULARES “SIMETRICAS” de los ángulos que forman las aristas del paralelepípedo, inicialmente 90°. Tanto 3 y 4 originan la deformación del paralelepípedo. 1.1 Deformación lineal o normal La deformación normal es la deformación de as aristas de un paralelepípedo, se consideran positivas cuando hay aumento de volumen y negativo cuando su volumen se reduce Esta deformación está definida por la siguiente formula: ε = ∆ Hay cambio de volumen más el cuerpo mantiene la forma que poseía. 1.2 Deformación angular La deformación angular es la deformación de los ángulos de un paralelepípedo, se consideran positivas cuando impliquen un giro en en un giro en sentido horario, y negativas en un sentido anti horario. Esta deformación está definida por la siguiente formula: f ormula: ∆ ∆ deθvolumen, = pero sí de forma. Si θoriginalmente =ℎ No hay cambio la sección transversal del cuerpo tiene forma rectangular, bajo un esfuerzo cortante se convierte en un paralelogramo. 2. Definición matemática de la deformación Como las deformaciones generalmente varían de punto a punto, las definiciones de deformación deberán de referirse a elementos infinitesimales. ∆u ε = ∆∆→ lim→ ∆x = Para caso bidimensional, una definición básica de la deformación puede ser expresada por la siguiente expresión: D´C´ DC ε = ∆→ lim ∆→ DC Al considerar también las deformaciones angulares, obtenemos las siguientes ecuaciones O´C´ OC = lim [∆x∆x / ∆x] ∆x = lim ε = ∆→ ∆→ OC ∆→ ∆→ ∆x O´E´ OE = lim [∆y / ∆y] ∆y = ε = ∆→ lim ∆→ OE ∆→ ∆→ ∆y < ´´´ ɣ = ∆→ lim ∆→ 2 ∆→ ∆ → = ∆→ lim { / / ∆x / / ∆y } = = ∆∆→ ∆→ ∆x ∆y 2 2 → Consideremos ahora el sistema de ejes x’ e y’, y calculemos para ellos las deformaciones unitarias axiales y angulares: = ´cos ´cos θθ y´sin sin θ = ´sin ´sin θ y´cos θ cos = ´cos ´ sin θ ´sin ´ = cos θ v sin θ ´ = θ v cos θ Para el sistema de ejes x´y´, se tiene las siguientes deformaciones ε´ = ´ = ´ ´ ´ ´ ´ ´ ε´ = ´ ´ = ´ ´ ´ ´ = (´ ´ ) ( ´ ´ ) ɣ´´ = ´ ( ´ ´ ´ ´ ´ ´ Operando la primera ecuación. ε´ = ( cos cosθθ dvdx sinθ sinθ)cos )cosθθ (dudy cocoss θ dvdy sinθ)sinθ ε´ = θ dvdy θ ( ( )sinθcosθ )sinθcosθ ɣ sin θ cos θ ε´ = ε θ εθ ɣ Reordenando las ecuaciones con ayuda de ecuaciones trigonométricas ε ε ε ε ɣ + − ´ ε = ε+2ε ε−2εcos2θ ɣ2 sin2θ ε´ = 2 2 cos2θ 2 sin2θ ɣ´´ = ε−2εsin2θ ɣ2 cos2θ EJERCICIOS.La barra rígida está soportada por una articulación en A y por los cables BC y DE. Si la ε deformación máxima admisible admisible encada cable es adm = 0.003. Determinar el desplazamiento vertical vertical máximo en el punto donde se a aplica plica la carga P. ɛ= =∗ (δDE)máx= ɛmáx*LDE = 0.003(3)=0.009 m. (δBC)máx= ɛmáx*LBC = 0.003(1)=0.003 m. .9 = ⤇ δBE= 0.0036 m. .9 = ⤇ ∴ 3.5 = 0.0203 δDE= 0.0075 m. Yp = 0.00525 m.= 5.25 mm.