En las clases anteriores estuvimos viendo generalidades de la Geometría, algo también sobre Euclides y su obra….. En la última parte nos detuvimos un poco más en los postulados y las construcciones, también hicimos comparaciones entre el trabajo en el plano y en el espacio…. Ya mencionamos que es importante que: - Primero se hagan las construcciones en hoja blanca con compás y regla no graduada y luego se hagan utilizando GeoGebra, se puede comparar. - Se deben indicar los pasos con la mayo claridad posible. - Se va relacionando con los postulados que fuimos utilizando…. Hasta aquí estuvimos preparando las bases para llegar a la Axiomática de Hilbert, que es la base de nuestro trabajo en geometría…. Este archivo está totalmente dedicado a este tema. Es un apunte teórico – práctico, las actividades propuestas están junto a la teoría necesaria. De cualquier manera en la próxima clase leeremos en conjunto todo el material…. David Hilbert (1862-1943), es un matemático alemán nacido en Könisgberg y fallecido en Gotinga. Durante el siglo XIX se puso de manifiesto, cada vez de manera más evidente, que Euclides no había partido de conceptos manifiestos y que había supuesto muchas cosas sin especificarlas. Se hicieron esfuerzos para fijar un número mínimo de términos y definiciones básicas sin identificar y de éstas deducir rigurosamente la estructura matemática completa. Esta es la ciencia axiomática, y fueron Hilbert y Peano quienes la fundaron. Hilbert publicó en 1899 "Foundations of Geometry", en la que por primera vez se exponían satisfactoriamente una serie de axiomas de geometría. También probó que su sistema de axiomas era completo, algo que los griegos habían admitido de los axiomas de Euclides, pero sin demostrarlo. Así completó el trabajo de Euclides sin efectuar cambios en la esencia, pero su fundamento pasó de intuitivo a lógico. Los axiomas de la geometría euclidiana (o euclídea), se presentan organizados de acuerdo a la propuesta de Hilbert, quién acertó a distinguir en la infinita complejidad de tales relaciones las cinco categorías primarias independientes, que son: Categoría I: Axiomas de enlace o incidencia. Categoría II: Axiomas de ordenación. Categoría III: Axiomas de congruencia o movimiento. Categoría IV: Axioma de paralelismo. Categoría V : Axioma de continuidad. A continuación se presentan los axiomas de cada grupo (o categoría) las actividades relacionadas con ellos…. AXIOMAS DE ENLACE O INCIDENCIA Actividad Nº 1: a) ¿A qué crees que se refiere al calificar a rectas y planos como conjuntos parciales? b) De los axiomas anteriores se deducen los dos siguientes teoremas: - “Una recta y un punto exterior determinan un plano que contiene a ambos”. - “Dos rectas distintas que tienen un punto común determinan un plano que las contiene”. Demostrarlos. c) ¿Puede afirmarse que dos rectas secantes son coplanares? Justificar. ¿Vale la recíproca? d) Con los axiomas vistos hasta acá: ¿puede afirmarse que existen rectas no coplanares? Justificar. AXIOMAS DE ORDENACION AXIOMA II. 1: La recta es un conjunto linealmente ordenado de puntos que no tiene ni primero ni último punto y en el que no hay puntos consecutivos. AXIOMA II. 2: Toda recta de un plano establece una clasificación de los puntos no contenidos en ella en dos únicas clases o regiones tales que: Todo punto exterior a r pertenece a una u otra región; de tal manera que: El segmento que une dos puntos de la misma región no corta a la recta y el que une a dos puntos de distintas regiones sí la corta. AXIOMA II. 3: Todo plano del espacio establece una clasificación de los puntos no contenidos en él en dos únicas clases o regiones tales que: Todo punto exterior al plano pertenece a una u otra región; de tal manera que: El segmento que une dos puntos de la misma región no corta al plano y el que une a dos puntos de distintas regiones sí lo corta. Actividad N° 2: a) ¿El primer axioma de este grupo es equivalente a: “la recta es un conjunto de puntos linealmente ordenado, abierto y denso? b) En un plano se tienen 4 puntos A, B, C y D y una recta r que no contiene a ninguno de ellos. Los segmentos AB y CD cortan a la recta r y el segmento BC no la corta. ¿Corta el segmento AD a la recta r? Justifique su respuesta. c) Analizar el inciso anterior cambian “recta r” por “plano π” y donde dice un plano cambiar por el espacio. AXIOMAS DE MOVIMIENTO Y CONGRUENCIA AXIOMA III . 1 : Los movimientos del espacio son transformaciones puntuales biunívocas del mismo (a cada punto le corresponde un sólo punto llamado transformado u homólogo) . AXIOMA III. 2: Todo movimiento conserva las relaciones de incidencia y ordenación de puntos. AXIOMA III . 3: Ningún movimiento puede transformar un segmento, ángulo o diedro en una parte del mismo. AXIOMA III. 4: El producto o transformación resultante de dos movimientos es otro movimiento. La transformación recíproca de todo movimiento es otro movimiento. De donde, la identidad es un caso particular de movimiento que puede obtenerse como producto de cualquier movimiento por su recíproco. AXIOMA III. 5: Existe un movimiento y sólo uno que transforma una semirrecta en otra y un determinado semiplano limitado por la recta primera en un determinado semiplano limitado por la segunda. Actividad N° 3: a) Analiza de las 6 transformaciones que puedes realizar en Geogebra cuáles son movimientos y cuales no. Sugerencia: mirar diapositiva 9. b) Transforma un punto, un segmento y una recta, utilizando compás y regla no graduada, considerando cada uno de los movimientos. En este inciso hay que analizar, a partir de Geogebra, los procedimientos….Aún no hemos dado las definiciones por lo que será a partir del trabajo con el software…. AXIOMA DE PARALELISMO Actividad N° 4: Citar y comentar al menos 3 enunciados equivalentes al que se presenta en el axioma anterior, mencionando las distintas fuentes (bibliografía comentada). Esta actividad ya fue dada y es la que tienen que presentar, de cualquier manera queda acá para que quede de manifiesto la relación de este axioma y el quinto postulado. AXIOMA DE CONTINUIDAD Ayuda para realizar la actividad 3 En la primera parte de esta actividad se pide analizar de estas 6 transformaciones (simetría central, simetría axial, inversión, rotación, traslación y homotecia) cuál o cuáles son movimientos… Para eso es fundamental que tomemos, por ejemplo, puntos y los transformemos, un segmento, un triángulo, etc. para analizar si cumplen los axiomas de este grupo (no tener en cuenta el último axioma del grupo)
