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Solucionario libro Curso de Matematicas Basicas M
Matematicas basicas (Universidad Nacional de Colombia)
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Descargado por Lucas Felipe Amado Arevalo ([email protected])
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Curso Matemáticas Básicas para ciencias, ciencias económicas e ingenierı́as.
Autora: Margarita Ospina Pulido
Colección notas de clase
Facultad de Ciencias Sede Bogotá
Editorial Universidad Nacional de Colombia, 2016
Solucionario
Elaborado por Brayan David Escobar López
(Estudiante de Matemáticas y Monitor del curso en el segundo semestre de 2016)
Ejercicios 1.1
1. Contenencia
2. Pertenencia.
B
P
B⊆P
B(P
B+P
I
N
I⊆N
I(N
I+N
P
C
P*C
C
B
I
N
P
I
A
B
C
D
E
4
∈
∈ ∈
/
∈
/
∈
/ ∈
∈
/
∈
/ ∈
/
P+C
12
∈
∈ ∈
/
∈
∈ ∈
/
∈
/
∈
/ ∈
/
C*B
C+B
5
∈
∈
/ ∈
∈
/
∈
/ ∈
/
∈
∈ ∈
/
D
I*D
I⊇D
I)D
0
∈
∈ ∈
/
∈
/
∈
/ ∈
/
∈
/
∈
/ ∈
A
B
A*B
A⊇B
A)B
3
∈
∈
/ ∈
∈
/
∈
/ ∈
/
∈
∈ ∈
/
D
E
A⊆E
A⊇B
1
∈
∈
/ ∈
∈
/
∈
/ ∈
∈
/
∈
/ ∈
/
F
P
F⊆P
F(P
18
∈
∈ ∈
/
∈
∈
/ ∈
/
∈
/
∈
/ ∈
/
A
E
A*E
A+E
6
∈
∈ ∈
/
∈
∈ ∈
∈
/
∈
/ ∈
/
F
F
F⊆F
F⊇F
15
∈
∈
/ ∈
∈
/
∈
/ ∈
/
∈
/
∈
/ ∈
/
F+P
Ejercicios 1.2
1. C = { a, b, c}
(a) ℘ ( D ) = ℘ (C ) ∪ {{d}, { a, d}, {b, d}, {c, d}, { a, b, d}, { a, c, d}, {b, c, d}, D }
(b) ℘ ( E) = ℘ ( D ) ∪ {{e}, { a, e}, {b, e}, {c, e}, {d, e}, { a, b, e}, { a, c, e}, { a, d, e},
{b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e}, { a, b, c, e}, { a, b, d, e}, { a, c, d, e}, {b, c, d, e}, E}
2. verdadera
1
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F
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Ejercicios 1.3
1. complementos
P′ = I
A′ = I ∪ {0, 2, 4}
B′ = { x |x es mayor que 12} ∪ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11}
C ′ = {0, 3, 5, 7} ∪ { x |x es mayor que 8}
D ′ = { x |x es par y menor que 16} ∪ { x |x es mayor o igual a 16}
E′ = {0, 1, 2, 4} ∪ { x |x es mayor o igual a 6}
F ′ = { x |x es mayor o igual a 1}
U′ = ∅
2. Algunos ejemplos:
P∪I = U
P∪A = P
I∪E= I
P∩I = ∅
P∩A = A
I∩E= E
A∩B = B
B ∩ C = {6, 8}
U∪P=U
U∩E= E
B∪U = U
A∩U = A
3. H denota cualquier conjunto
∅∪H = H
∅∩H = ∅
Ejercicios 1.5
15. ( A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
A∪B
A
( A ∪ B)′
U
B
A
U
B
2
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A′
B′
U
A
U
B
A
16. ( A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
A∩B
A
B
( A ∩ B)′
U
B
A
A′
A
U
A
B
U
B′
B
U
B
U
A
A′ ∩ B′
B
Ejercicios 1.7
2. B = {1, 8}
3. B = {1, 2, 4, 5, 7, 9}
3
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A′ ∩ B′
A
B
U
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Ejercicios 1.8
U: pacientes de cardiologı́a
A: pacientes con presión alta
F: pacientes que fuman
C: pacientes con colesterol alto
U
A
U
A
A′ ∩ F ′ ∩ C ′
A ∩ C′ ∩ F′
A ∩ C ∩ F′
8
A ∩ F ∩ C′
C ∩ F ∩ A′
C
6
7
A∩C∩F
C ∩ A′ ∩ F ′
4
2
F ∩ C ′ ∩ A′
9
4
12
C
F
F
A ∩ C ∩ F:pacientes que tienen la preción alta, que tienen el colesterol alto y que fuman
A ∩ F ∩ C ′ :pacientes que tienen la preción alta, que fuman y que no tienen el colesterol alto
A ∩ C ∩ F ′ :pacientes que tienen la preción alta, que tienen el colesterol alto y que no fuman
C ∩ F ∩ A′ :pacientes que tienen el colesterol alto, que fuman y que no tienen la preción alta
A′ ∩ F ′ ∩ C ′ :pacientes que no tienen la preción alta, que no fuman y que no tienen el colesterol alto
A ∩ C ′ ∩ F ′ :pacientes que tienen la preción alta, que no tienen el colesterol alto y no fuman
C ∩ A′ ∩ F ′ :pacientes con colesterol alto, que no tienen la preción alta y que no fuman
F ∩ C ′ ∩ A′ :pacientes que fuman, que no tienen el colesterol alto y que no tienen la preción alta
d) 1 es falsa y 2 es verdadera
4
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Ejercicios 2.2
1. Divisores
natural divisores cantidad natural
divisores
cantidad
1
1
1
9
139
3
2
12
2
10
1 2 5 10
4
3
13
2
11
12
2
4
124
3
39
1 3 13 39
4
5
15
2
60
1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60
12
6
1236
4
77
1 7 11 77
4
7
17
2
153
1 3 9 17 51 153
6
8
1248
4
0
N
∞
Ejercicios 2.3
1. m.c.d(34, 148) = 2
2. m.c.d(17, 384) = 1
3. m.c.d(8, 148, 384) = 4
5. m.c.d(120, 20) = 20
4. m.c.d(17, 148, 384) = 1
6. m.c.d(120, 20∗n) = 20
donde 2,3 y 5 no son divisores de n
7. m.c.d(4,n) = 4 donde n es tal que, 2 no es divisor de n
Ejercicios 2.5
1. M.C.M.(34, 10) = 170
6. M.C.M.(20, 24) = 120
2. M.C.M.(17, 38) = 646
7. M.C.M.(8, 5) = 40
M.C.M.(4, 10) = 20
3. M.C.M.(8, 9, 6) = 72
8. M.C.M.(11, 3) = 33
M.C.M.(33, 1) = 33
4. M.C.M.(17, 14, 38) = 4522
9. M.C.M.(25, 4) = 100
M.C.M.(20, 50) = 100
5. M.C.M.(20, 120) = 120
5
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10. no es posible
Ejercicios 2.6
1. −9
3. −9
5. 480
7. −24
9. −16
2. −9
4. 480
6. 5
8. −16
10. −26
11. −11
12. 39
Ejercicios 2.7
grupo
expresión simplificada
−9
3
−12 = 4
4
−1
8
−7
21 = −12 = 3 = −24
2
−4
34
5 = −10 = 85
−2
1
−4 = 2
1
−11
−33 = 3
−15
45
2 = −6
3
4
−1
3
2
5
1
2
1
3
−15
2
12
16
=
Ejercicios 2.8
1.
77
60
7.
−7
15
12.
2
15
18.
2
10
2.
77
60
8.
7
15
13.
2
15
19.
3.
7
15
14.
−2
15
1
18
15.
−2
15
20.
4.
7
15
1
18
9.
7
15
5.
−7
15
10.
1
5
6.
−7
15
11.
−8
3
16.
−2
15
21.
−1
18
17.
−2
15
22.
−1
18
Ejercicios 2.9
1.
−7
8
≤
−5
6
≤
−3
7
≤
2
3
≤
3
2
≤
12
5
≤
12
5
≤
23
5
6
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23.
−1
20
24.
−1
20
25.
−7
90
26.
−259
900
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2.
−23
5
≤
−3
2
≤
−3
10
≤
−1
5
≤
7
100
≤
5
16
≤
3
7
≤
17
8
Ejercicios 2.11
Forma decimal periódica
Expresión como cociente de dos enteros
2, 35
=
1, 358
=
5, 624
=
8, 631
=
3, 0524
=
2, 9
=
3, 29
=
1, 569
=
233
99
1357
999
928
5568
990 = 165
7768
1942
900 = 225
30219
10073
9900 = 3300
3
1 =3
33
10
157
100
Ejercicios 2.12
1. 1, 897 ≤ 1, 89 ≤ 2, 345643 ≤ 2, 349
2. −2, 349 ≤ −2, 345643 ≤ −2, 345622 ≤ −1, 89 ≤ −1, 897
Ejercicios 2.14
1. 12, 545545554...
2. 3, 3
3. 1, 1
9. NO
5. 2
√
6. 6
√
7. 2
10. NO
5
3
12. NO
4. 1, 113311133311113333... 8.
11. NO
7
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Ejercicios 3.1
0
π
−1
4
−4.12
2
3
3.25
7
5
1+
−0.3
− 23
√
27
10
8
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3
2.75
3.20
4
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Ejercicios 3.3
R
7
x | x < 7 = (−∞, 7)
R
−1
x | x ≤ −1 = (−∞, −1]
R
0
x | x < 0 = (−∞, 0)
R
−3
x | x ≥ −3 = [−3, ∞)
R
1.
R
−4
x |−4 ≤ x ≤ 2 = [−4, 2]
2
R
x |−2 < x ≤ 3 = (−2, 3]
x |−5 ≤ x < 8 = [−5, 8)
5
x | x > 5 = (5, ∞)
−2
3
R
−5
8
R
x |−12 < x < 3 = (−1, 3)
−12
3
2. a) 8, 20, 200, 4, 5 no pertenecen a (−∞, 7)
−π, 5, −10, −8, −100 pertenecen a (−∞, 7)
π
b) −.05, − , 7, 90, 789 no pertenecen a (−∞, −1)
4
9
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5
−e, −5.98, −7, −98, − pertenecen a (−∞, −1)
6
c) 8, 20, 200, 4, 5 no pertenecen a (−∞, 0)
−π, 5, −10, −8, −100 pertenecen a (−∞, 0)
π
, −7, −90, −π no pertenecen a [−3, ∞)
0.3
e
−e, 5.98, 7, 98, pertenecen a [−3, ∞)
π
d) −4.05, −
3π
, 5, −90, π no pertenecen a (5, ∞)
2
7e
pertenecen a (5, ∞)
2e, 5.98, 7, 98,
π
e) 4.98, −
−9
f) −3.9999, −π 2 ,
, −2e, e no pertenecen a [−4, 2]
2
√ 5
−3.9, π, , 0, −4 pertenecen a [−4, 2]
2
−9
g) −1.9, −π 2 ,
, −2e, π no pertenecen a (−2, 3]
2
√ 5
−1.98, π, , 0, −0.0001 pertenecen a (−2, 3]
2
−19
h) −8.8888, −π 2 ,
, −2e, 2πe no pertenecen a [−5, 8)
−2
√
5
−3.66459, 4 625, , 0, 7.004 pertenecen a [−5, 8)
2
2
2π 5
i) −0.9999,
, , 1.98, e pertenecen a (−1, 3)
√ 7 52
−3.9, − π, −2 , 050.00, −4.0 no pertenecen a (−1, 3)
3. otros
ejemplos
x
|−
4
≤
x
≤
2
∩
x |−12 < x < −3 = [−4, 2]
x | x ≤ −1 ∩ x | x > 5 = ∅
Ejercicios 3.4
1. a = 5, b = 10; a = −8, b = −100; a = −5469.2, b = −0.125; a = 139.12, b = 93.111...
2. a = 5, b = −10; a = −8, b = 100; a = 5469.2, b = −0.125; a = −139.12, b = 93.111...
10
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Ejercicios 3.7
1. (a) 2
−8
3
×3
(b) 224 × 3
2.
−3
4
−31
4
×5
−1
2
3. d
4. b
× 54
5. a
117
2 20
6. b
Ejercicios 3.8
1. 3.21 × 10−2
5. 6.1 × 1012
2. 5.76 × 107
6. −3.47 × 10−11
3. −2.1 × 10−5
7. 4.56 × 10−14
4. −3.64 × 106
8. −8.9 × 10−12
Ejercicios 3.9
1. 3.75 × 10−16
2. 4.1667 × 10−5
Ejercicios 4.1
1. x =
−1
25
4. ∅
2. x = 33
3. x = 0
5. R
Ejercicios 4.2
1. t = 8
2. x = 1
3. p =
−31
5
Ejercicios 4.4
a) verdadero
c) f also
e) verdadero
b) f also
d) verdadero
f) f also
11
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Ejercicios 4.5
√ )
1− 3 1+ 3
3.
,
2
2
4
4. 1,
3
(
1. {−3, 7}
2.
−1 1
,
3 2
√
5. x = −5
6. ∅
Ejercicios 4.9
PROBLEMA 17. n: cantidad de un ingrediente para la receta de 12 muffins.
Ingrediente
n
Avena
1
Huevos
2
325
n : cantidad ingrediente para preparar 325 muffins
12
325
= 28
12
325
= 55
6
325
=7
48
325
= 14
24
325
= 55
6
325
= 14
24
1
4
1
2
Azúcar
Aceite
Manzanas
2
Leche condensada
1
2
PROBLEMA 18. Carro al oeste 60km y carro al norte 80km
PROBLEMA 19. Telón grande: 40m ; Telón mediano: 20m ; Telón pequeño: 10m.
PROBLEMA 20. Los números son 15 y 17.
PROBLEMA 21. Se necesitan 50 niños
PROBLEMA 22. Equivalen a 46250 pesos
PROBLEMA 23. Invirtieron 2.600.000
PROBLEMA 24. Bajará 1200 gramos
PROBLEMA 25. Largo 15 y ancho 10
PROBLEMA 26. Las longitudes son 7 y 24
12
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PROBLEMA 27. Subirá 2100 pesos
PROBLEMA 28. 100 asistentes
PROBLEMA 29. 3.6L
PROBLEMA 30. V = 60km/h
PROBLEMA 31. 8.83kg luna
PROBLEMA 32. Alcanza 18m
PROBLEMA 33. su diferencia es de 2.3
√
√
PROBLEMA 34. Ancho 15 + 145 y largo 30 + 2 145
PROBLEMA 35. Costará 97.500 pesos
PROBLEMA 36. La presión es de 100 libras por pulgada cuadrada
PROBLEMA 37. La distancia entre C y D es 292.5km
PROBLEMA 38. una medida d a escala es realmente
d ∗ 1U A
23.6m
Ejercicios 5.2
1.
2.
3.
4.
2
,∞
5
1
−∞,
3
1
,∞
3
−5
−∞,
2
5.
6.
7.
8.
−5
,∞
2
7
−2,
3
−8 5
,
3 3
−17 −4
,
3
3
9.
5 8
,
3 3
10. (1, 5)
11. ∅
Ejercicios 5.3
1. R
2. ∅
3.
−1
2
Ejercicios 5.4
13
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1. ∅
2. R
3. R
Ejercicios 5.5
1. R
4. R
2. ∅
5. R
3. ∅
6. ∅
Ejercicios 5.6
1.
1
−∞,
5
∪ (−4, ∞)
1
2. (−∞, −3] ∪ , ∞
2
−2
−1
3. −∞,
∪
,∞
5
3
−2
−2
∪
,∞
4. −∞,
3
3
−2
3
5. ∅
=
R −
6. ∅
p √
p √
7. − 2 5 + 6, 2 5 + 6
8. (−∞, 1) ∪ (5, ∞)
Ejercicios 5.7
−2
∪ (0, 5]
1. −3,
3
5
2. (−∞, −2) ∪ 1,
2
7.
1
∪ [1, 5)
−2,
2
8. (−1, 0) ∪ (1, ∞)
! "√
!
" √
− 10 + 1
10 + 1
9.
,1 ∪
,3
3
3
3. [−3, 3) ∪ (4, ∞)
−1
4.
,0
3
1
5. 0,
∪ [1, ∞)
2
10. [−3, 3]
11. c)
12. b)
6. (−∞, −2] ∪ (1, 3]
13. c)
Ejercicios 5.8
14
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1.
−4
,2
3
−5
5
, 0 ∪ 0,
10.
8
16
−7 −1
11.
∪ [1, 3)
,
3 3
2. [1, 4]
3. (−∞, −1) ∪
5
,∞
7
12. (−5, 5)
13. R − {0, 1}
−5 −1
−1 −2
14.
∪
,
,
7 2
2 7
2
∪ (2, ∞)
15. −∞,
3
4. (−∞, 1] ∪ [11, ∞)
5. ∅
−2
6.
5
7. ∅
16. [−30, −10] ∪ [10, 30]
1
17.
3
8. R = (−∞, ∞)
9. R
Ejercicios 5.9
1. condición para una temperatura T no sana: | T − 98.6| ≥ 1.5
solución de la inecuación: (−∞, 97.1] ∪ [100.1, ∞]
2. V : voltaje real representado por la inecuación |V − 115| ≤ 5
solución de la inecuación: [110, 120]
3. se encuentra en el intervalo:[23.520.000, 24.780.000]
4. puede agregar a cada lado una distancia menor o igual a 5 metros
5. valores en el intervalo [58.6, 79.21]
6. [59, 95]
7. [168, 192]
8. [8192.8, 9313.9]
1
∪ [1, 3)
9. −1,
2
Ejercicios 6.1
15
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lOMoARcPSD|39643736
2. (3x + 5)2
3. (2x − 6) 4x2 + 6x + 9
4. (4x + 1) (16x2 − 4x + 1)
5. ( x − 2)3
6. (5x − 3)2
7. (2x + 3)3
8. (10x − 7)(10x + 7)
√ √
√
√
9. ( 3x − 5)( 3x + 5)
Ejercicios 6.2
5. p( x ) ÷ t( x ) = (−2x2 − 8x − 31)( x − 4) − 125
p( x ) ÷ w( x ) = (−2x2 + 6x − 17)( x + 3) + 50
3
7
25
p( x ) ÷ z( x ) = (− x2 − x − )(2x − 3) −
2
4
4
t( x ) ÷ w( x ) = (1)( x + 3) − 7
6. r ( x ) ÷ t( x ) = (5x3 + 20x2 + 78x + 312)( x − 4) + 1245
r ( x ) ÷ w( x ) = (5x3 − 15x2 + 43x − 129)( x + 3) + 384
15
37
111
285
5
)(2x − 3) +
r ( x ) ÷ z( x ) = ( x3 + x2 + x +
2
4
8
16
16
x 9
19
q( x ) ÷ z( x ) = ( − )(2x − 3) −
2 4
4
Ejercicios 6.3
1.
( x + 1)( x − 5)( x − 3) 25( x + 1)( x − 5)( x − 3)
2.
( x − 2)( x + 1)2
( x − 2)2 ( x + 1)2
( x − 2)3 ( x + 1)2
3. x2 ( x + 1)2
4. No es posible
5.
( x + 1)( x − 2)( x + π ) ( x + 1)2 ( x − 2)
Ejercicios 6.5
1. ( x − 2)( x + 1)3 tiene dos ceros, x = 2 es un cero racional de multiplicidad 1 y x = −1
es un cero racional de multiplicidad 3.
16
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2. 3( x − 2)( x − 1)( x + 2)2 tiene 3 ceros, x = 2 es un cero racional de multiplicidad
1, x = 1 es un cero racional de multiplicidad 1, x = −2 es un cero racional de
multiplicidad 2.
3.
1
−1
(3x + 1)(3x − 2)( x + 2)( x − 3) tiene 4 ceros, x =
es un cero racional de multi9
3
2
plicidad 1, x = es un cero racional de multiplicidad 1, x = −2 es un cero racional
3
de multiplicidad 1, x = 3 es un cero racional de multiplicidad 1.
4. ( x + 3)3 tiene un cero, x = −3 es un cero racional de multiplicidad 3.
5. (2x − 1)(4x + 1)( x2 + 2) tiene dos ceros reales, tiene un factor cuadrático x2 + 2 que
1
no se puede factorizar en los reales, x = es un cero racional de multiplicidad 1,
2
−1
x=
es un cero racional de multiplicidad 1.
4
6. ( x + 2)2 (2x − 1)(4x2 + 2x + 1) tiene dos ceros reales, tiene un factor cuadrático
1
es un cero racional
4x2 + 2x + 1 que no se puede factorizar en los reales, x =
2
de multiplicidad 1, x = −2 es un cero racional de multiplicidad 2.
!
!
√
√
21 − 5
− 21 − 5
7. ( x − 2)( x + 1) x +
x+
tiene 4 ceros, x = 2 es un cero
2
2
racional de multiplicidad
1, x = −1 es un cero racional de multiplicidad!1, x =
!
√
√
21 − 5
− 21 − 5
es un cero irracional de multiplicidad 1, x = −
es un
−
2
2
cero irracional de multiplicidad 1.
Ejercicios 7.1
Hay 15 conjuntos de dos elementos:
15 = (62)
{ a, b}
{ a, c}
{ a, d}
{ a, e}
{ a, f }
{b, c}
{b, d}
{b, e}
{b, f }
{c, d}
{c, e}
{c, f }
{d, e}
{d, f }
{e, f }
Hay 20 conjuntos de dos elementos:
20 = (63)
{ a, b, c}
{ a, b, d}
{ a, b, e}
{ a, b, f }
{ a, c, d}
{ a, c, e}
{ a, c, f }
17
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{ a, d, e}
{ a, d, f }
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{ a, e, f }
{b, c, d}
{b, c, e}
{b, e, f }
{c, d, e}
{c, d, f }
{b, c, f }
{b, d, e}
{b, d, f }
{c, e, f }
{d, e, f }
Ejercicios-observaciones 7.3
1. (n0 ) = (nn) = 1
n
2. (n1 ) = (n−
1) = n
3. (41) = (43)
(54) = (51)
23
(23
5 ) = (18)
(50) = (55)
(62) = (64)
15
(15
9) = (6)
(40) = (44)
(52) = (53)
18
(18
4 ) = (14)
12 3
4. a) (15
3 )x y
9
c) (10
9 ) xy
e) (84) x4 y4
2 22
g) (24
22) x y
4 1
b) (17
13) x y 3
22
d) (22
0 )x
19 23
f) (42
23) x y
13
h) (13
13) y
Ejercicios 7.5
5 9
1. a) −(14
9 )x y
5 7
2. a) −25 37 (12
7 )x y
5 9
b) −(14
9 )x y
3 9
b) −23 39 (12
9 )x y
b) −25 (85) x3 y−5
c) 7
c) 6
c) 4
7 7
d) −(14
7 )x y
3. a) −23 (83) x10 y−3
6 6
d) 26 36 (12
6 )x y
d) −2(81) x14 y−1 ; −23 (83) x10 y−3 ;
−25 (85) x6 y−5 ; −27 (87) x2 y−7 ;
Ejercicios 8.1
1. 25.5
4. α = 80 y su complemento 10
2. 30
5. entre 60 y 70
3. 25
6. δ está entre 28.33 y 33.33
18
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Ejercicios 8.2
Con los siguientes datos es posible determinar la medida de los demás ángulos de los
literales a. y b.
a. El valor de x es 25 y los ángulos señalados miden 43 grados.
b. El valor de x es 56 y los ángulos señalados miden 74 y 106 grados.
Ejercicios 8.3
1. es un triángulo rectángulo cuyos ángulos son: 30 , 60 y 90
2. es un triángulo acutángulo cuyos ángulos son: 40 , 55 y 85
3. es un triángulo obtusángulo cuyos ángulos son: 34 , 38 y 108
Ejercicios 8.4
1. Sı́
2.
3.
10 21
y
4
4
14 24
y
5
5
5. AA
Ejercicios 8.7
2. a. F
b. V
c. V
d. V
e. F
f. V
g. V
h. V
i. V
j. F
k. F
l. F
m. F
Ejercicios 8.8
5.
8. 1230m
3. 15
6. Perı́metro = 68
Área = 252
9. 8424cm2
4. = 58
7. 8
1. 18
√
2. 12 + 6 2
10. 6
11. la proporción de precio por centı́metro cuadrado es de 2 a 1, es decir, la pizza de
diámetro 20 cm es dos veces más costosa por centı́metro cuadrado que la pizza de
diámetro 40 cm.
19
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12. (a) 9
(b) 12
9π
(c)
−9
2
(d) Cuadrado circunscrito en circunferencia.
Área del cuadrado = 18
√
Perı́metro del cuadrado = 12 2
9π
Área sombreada = 18 −
2
13. 32 + 48π
L2 2
cm
4
√
15. Area = 32 3√
Volumen = 8 3cm3
14. Area =
16. Silo con techo cónico: C ; Silo con techo esférico: S
VC =
2
32
πm3
3
VS =
2
2
2
2
2
17. Se necesitan 5 galones de pintura por cada silo.
20
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40
πm3
3
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Ejercicios 9.1
1. Plano cartesiano
Y
(5,3)
(-3,2)
(1,1)
(3,1)
(0,0)
(-1,-1)
X
(4,0)
(2,-1)
(7,-2)
(-2,-4)
(0,5)
2. Q) (-3,1)
R) (2,2)
S) (0,-2.5)
U) (-1,4)
T) (-3,-3)
W) (2,-4)
Z) (4,0)
3. a) a > 0 y b > 0
c) a < 0 y b < 0
e) b = 0
b) a < 0 y b > 0
d) a > 0 y b < 0
f) a = 0
Ejercicios 9.2
√
1. Por ejemplo la distancia entre los puntos (2,-1) y (-3,-6) es 5 2
√
2. Para 3 unidades una pareja es: (1,1) y (2, 1 − 2√ 2)
Para 4 unidades una pareja es: (1,1) y (2, 1 − √15)
Para 5 unidades una pareja es: (1,1) y (2, 1 − 2 6)
3. Por ejemplo: (7, 7); (3, 7); (−2, 2); (−2, 12)
21
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Ejercicios 9.3
−1
,2
1. a.
2
3 1
b.
,
2 2
c. (3, 3)
2. a. (4, −4)
−3 3
,
d.
2 2
1 7
e.
,
2 2
1 5
,
f.
2 2
b. (0, −6)
g.
−5
4,
2
h.
−5 9
,
2 2
i. (0, −3)
c. (−6, 6)
Ejercicios 9.4
1.
i) pendiente-corte: y = 3x − 1 ; ecuación lineal general: 3x-y-1=0
1
, 0 ; pendiente-corte : y = 3x − 1
ii) pasa por los puntos (0, −1) y
3
iii) pendiente-corte: y = 3x ; lineal general: 3x − y = 0 ; pasa por: (0, 0) y (1, 3)
2.
i) pendiente-corte: y = −2x − 1 ; ecuación lineal general: 2x+y+1=0
3
, 0 ; pendiente-corte : y = −2x + 3
ii) pasa por los puntos (0, 3) y
2
iii) pendiente-corte: y = −2x − 2 ; lineal general: 2x + y + 2 = 0 ; pasa por: (0, −2)
y (−1, 0)
3.
i) pendiente-corte: y = 5 ; ecuación lineal general: y-5=0
1
ii) pasa por los puntos (56, −3) y
, −3 ; pendiente-corte : y = −3
3
iii) pendiente-corte: y = 0 ; lineal general: y = 0 ; pasa por: (0, 0) y (1, 0)
4.
i) pendiente-corte: x = 5 ; ecuación lineal general: x-5=0
1
; pendiente-corte : x = 2
ii) pasa por los puntos (2, −1) y 2,
3
iii) pendiente-corte: x = −1 ; lineal general: x + 1 = 0 ; pasa por: (−1, 0) y (−1, 3)
5.
i) pasa por los puntos (2, −2) y (0, 2) ; pendiente-corte: y = −4x + 2
x
ii) pasa por los puntos (4, 0) y (0, 4) ; pendiente-corte: y = − 1
4
6.
2
1
−1
) ; pendiente-corte: y = x −
3
3
3
7
−3x 7
ii) pasa por los puntos (1, 2) y (0, ) ; pendiente-corte: y =
+
2
2
2
i) pasa por los puntos (−1, −1) y (0,
22
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7.
1
1
1
i) pasa por los puntos (2, ) y (0, ) ; pendiente-corte: y =
3
3
3
7
7
7
ii) pasa por los puntos ( , 0) y ( , 4) ; pendiente-corte: x =
2
2
2
i) pasa por los puntos (2, 5) y (0, 1) ; pendiente-corte: y = 2x + 1
8.
ii) pasa por los puntos (4, −11) y (0, 1) ; pendiente-corte: y = −3x + 1
Ejercicios 9.5
1. x =
−9
−1
;y=
13
13
3. {( x, y) ∈ R2 : y = 3x − 2}
2. ∅
Ejercicios 9.6
−2
3
3
k=
2
−3
x
y=
4
4
y= x
3
y = 3x
1. a) k =
b)
3. a)
b)
c)
2. k =
14
21
yl=
5
5
e) y =
3
−3
x− +3
4
4
f) y =
4 23
+
3
3
d) Por ejemplo: y = 2x + 1 ; y = 3x ¿ Existe una forma general de expresar todas las
rectas que satisfacen la condición pedida ?
Ejercicios 9.7
1. Si lo son, ya
√que hay dos parejas de puntos tal que la distancia entre puntos de cada
pareja es 2 17
2. Una vez que demuestre que el triángulo es retángulo el área es de 5 unidades
cuadradas.
3. -40ºC = -40ºF
4. Presión a 20 metros es 2.988 y a 50 metros es 5.97
23
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5. Los números son: 128 y 37.
2
1
6. Se deben mezclar L de la solución al 15% y L de la solución al 12%
3
3
7. Se invirtió 1.400.000 en la cuenta de ahorros.
8. No es posible. Sin embargo si reemplazamos 68.000 pesos por 69.000 pesos habrı́an
45 monedas de 200 y 120 monedas de 500.
Ejercicios 10.1
1. Plano cartesiano
Y
(1,3)
(6,3)
X
(1,-1)
(6,-1)
2. p( x, y) = 1 ≤ x ≤ 6 ∧ −1 ≤ y ≤ 3
3. p( x, y) = 4 ≤ x ≤ 9 ∧ −1 ≤ y ≤ 3
4. p( x, y) = −1 ≤ x ≤ 4 ∧ −1 ≤ y ≤ 3
5. p( x, y) = 1 ≤ x ≤ 6 ∧ 4 ≤ y ≤ 8
6. p( x, y) = 1 ≤ x ≤ 6 ∧ −2 ≤ y ≤ 2
7. p( x, y) = 1 ≤ x ≤ 6 ∧
8. p( x, y) =
(-6,2)
(-1,4)
1
≤ x ≤ 2 ∧ −1 ≤ y ≤ 3
3
9. p( x, y) = 1 ≤ x ≤ 6 ∧ −3 ≤ y ≤ 9
10. p( x, y) = 4 ≤ x ≤ 24 ∧ −1 ≤ y ≤ 3
11. p( x, y) = −6 ≤ x ≤ −1 ∧ 2 ≤ y ≤ 4
(-6,4)
−1
3
≤y≤
2
2
Y
Simetrı́as con respecto a:
Eje x:
p( x, y) = 1 ≤ x ≤ 6 ∧ −4 ≤ y ≤ −2
Eje y:
p( x, y) = 1 ≤ x ≤ 6 ∧ 2 ≤ y ≤ 4
Recta y=x:
p( x, y) = −6 ≤ y ≤ −1 ∧ 2 ≤ x ≤ 4
(-1,2)
X
24
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12. p( x, y) = −1 ≤ x ≤ 7 ∧ −3 ≤ y ≤ 2
Simetrı́as con respecto a:
Y
Eje x:
(-1,2)
(7,2)
p( x, y) = −1 ≤ x ≤ 7 ∧ −2 ≤ y ≤ 3
Eje y:
X
p( x, y)=−7 ≤ x ≤ 1 ∧ −2 ≤ y ≤ 3
Recta y=x:
p( x, y) = −1 ≤ y ≤ 7 ∧ −3 ≤ x ≤ 2
(-1,-3)
(7,-3)
13. Simetrı́as Triángulo
Triángulo base:
Y
(3,4)
X
(5,-1)
(1,2)
(1,-2)
(5,1) X
(3,-4)
Y
Simetrı́a con respecto a la recta y = x:
Simetrı́a con respecto al eje Y:
Y
X
(-5,-1)
(-1,-2)
(-1,5)
(-4,3)
(-2,1)
(-3,-4)
Simetrı́a con respecto al eje X:
14. Simetrı́as Triángulo
25
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Y
X
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Triángulo base:
(-4,1)
Y
(1,3)
(1,1)
X
X
(1,-3)
(-4,-1)
(1,-1)
Y
Simetrı́a con respecto a la recta y = x:
Simetrı́a con respecto al eje Y:
Y
(-1,3)
(-1,1)
X
(3,1)
Y
X
(-1,-1)
(-1,-4)
(4,-1)
Simetrı́a con respecto al eje X:
Ejercicios 11.1
1. Centro = (3, −1) ; Radio = 2
Y
Y
X
2. Centro = (3, 0) ; Radio = 2
X
3. Centro = (0, −1) ; Radio = 2
26
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Y
Y
X
4. Centro = (3, −1) ; Radio =
Y
X
√
3
3
√
7. Centro = (3, −1) ; Radio = 2 5
Y
X
X
5. Centro = (3, −1) ; Radio = 5
Y
X
8. Centro = (0, 2) ; Radio = 1
Y
X
6. Centro = (3, −1) ; Radio = 2
9. Centro = (1, 0) ; Radio = 2
27
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11. x2 + y2 + 6x − 4y − 12 = 0
Y
12. x2 + y2 + 6x − 4y + 8 = 0
X
13. x2 + y2 − 6x + 4y − 3 = 0
14. x2 + y2 + 6x − 4y − 108 = 0
10. Centro = (1, −1) ; Radio =
Y
√
3
X
15. x2 + y2 − 2y − 8 = 0
16. x2 + y2 + 14x + 48 = 0
17. x2 + y2 − 2πx − y + π 2 −
15
=0
4
18. x2 + y2 + 2y = 0
19. Las ecuaciones son: x2 + y2 − 6x − 16 = 0 ; x2 + y2 − 4y + 3 = 0 ; x2 + y2 − 8x +
4y + 16 = 0
Ejercicios 11.2
Puntos Extremos:
Caso 2: (−2, 0); (2, 0); (0, 1); (0, −1)
1
1
Caso 3: (−1, 0); (1, 0); 0,
; 0, −
3
3
Caso 4: (−1, 0); (1, 0); (0, 3); (0, −3)
1
1
Caso 5: − , 0 ;
, 0 ; (0, 3); (0, −3)
2
2
Ejercicios 11.3
1. centro: (2, 0) ; vértices: (−1, 0), (5, 0), (2, 5), (2, −5) ; focos: (2, 4), (2, −4)
√
√
2. centro: (0, 1) ; vértices: (−6, 1), (6, 1), (0, −3), (0, 5) ; focos: (2 5, 1), (−2 5, 1)
3. centro: (4, −7) ; vértices:
(0, −7)√
, (8, −7), (4, −15), (4, 1) ;
√
focos: (4, −7 − 4 3), (4, −7 + 4 3)
28
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4. centro: (−3, 1)√
; vértices: (−10,
√1), (4, 1), (−3, −4), (−3, 6) ;
focos: (−3 − 2 6, 1), (−3 + 2 6, 1)
5. Caracterı́sticas de dos de las elipses:
Centro: (2, −3)
vértices: (−1,√−3); (5, −3); (2,
√−2); (2, −4)
Focos: (2 − 2 2, −3); (2 + 2 2, −3)
Eje focal: Horizontal de longitud 6.
Eje transverso: Vertical de longitud 2.
( x − 2)2 ( y + 3)2
Ecuación:
+
=1
9
1
Centro: (−4, 2)
vértices: (−4, 6)√
; (−4, −2); (−5,√
2); (−3, 2)
Focos: (−4, 2 + 15); (−4, 2 − 15)
Eje focal: Vertical de longitud 8.
Eje transverso: Horizontal de longitud 2.
( x + 4)2 ( y − 2)2
Ecuación:
+
=1
1
16
Ejercicios 11.7
1. Algunos datos caracterı́sticos.
a) Elipse con centro en (0, 0) y eje focal vertical.
b) Elipse con centro en (2, −3) y eje focal horizontal.
c) Hipérbola con centro en (−5, 0) que abre hacia arriba y abajo.
d) Parábola que abre hacia arriba con vértice en (−4, −3).
e) Representa al conjunto {(2,-1)}.
f) Elipse con centro en (1, −1) y eje focal vertical.
g) Parábola que abre hacia la derecha con vértice en (−3, −1).
h) Hipérbola con centro en (−1, 1) que abre hacia arriba y abajo.
i) Representa al conjunto {(−3, 1)}.
j) Elipse con centro en (0, 2) y eje focal vertical.
k) Elipse con centro en (3, 0) y eje focal vertical.
l) Parábola que abre hacia arriba con vértice en (−1, −1).
m) Parábola que abre hacia la derecha con vértice en (−2, −3).
n) Hipérbola con centro en (−3, 2) que abre hacia la derecha y la izquierda.
o) Representa a las rectas y = x ; y = − x.
29
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2. a) Interior y gráfica de la elipse 9x2 + 4y2 − 18x + 8y + 4 = 0
Y
X
b) Interior (zona sombreada) de la hipérbola 4x2 − 9y2 + 8x + 18y + 4 = 0
4
2
−4
−3
−2
−1
2
1
−2
c) Interior (zona sombreada) y gráfica de la hipérbola 3x2 − y2 + 30x + 78 = 0
4
2
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−4
3.
i) a) α 6= 19
30
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b) α = 19
ii) a) β < 100
b) β = 100
c) β > 100
iii) a) γ < 9
b) γ = 9
c) γ > 9
4. b)
6. b)
8. b)
10. a)
5. b)
7. a)
9. a)
11. b)
Ejercicios 12.1
Enumerando de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo.
1. Sı́
3. Sı́
5. No
2. No
4. No
6. Sı́
Ejercicios 12.2
[−3.5] = −4
[−π ] = −4
43
[− ] = −7
7
[−1.87] = −2
[−6] = −6
12
[− ] = −3
5
[−0.4567895] = −1
[−5.99] = −6
4
[−
] = −1
108
Ejercicios 12.3
1. Gráfica f 1
Dominio: R
4
Imagen: (−3, −1) ∪ [0, ∞)
2
−6
−4
−2
2
−2
31
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2. Gráfica f 2
2
Dominio: R
1
Imagen: [−3, ∞)
−2
−4
2
4
−1
−2
−3
3. Gráfica f 1
2
Dominio: R − {1}
Imagen: R − {0}
1
−1.5 −1 −0.5
0.5
1
1.5
2
−1
4. Gráfica f 1
4
Dominio: R
2
Imagen: {−4} ∪ [1, ∞)
−2 −1
1
2
−2
−4
32
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Ejercicios 12.4
1. Enumerando de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo.
i) Únicamente inyectiva
ii) Inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.
iii) Únicamente sobreyectiva.
iv) Ninguna.
2. Ninguna
3. Ninguna
4. Ninguna
5. Ninguna
Ejercicios 12.5
1. Ninguna
4. Ninguna
2. Ninguna
5. Ninguna
3. Ninguna
6. par
7. Sı́, solo una
1 Ejercicios 12.9
1. Calcule:
log2 128 = 7
log4 256 = 4
log 1 256 = −8
2
log 1 100000 = −5
10
log3 81 = 4
log 1 16 = −4
2
1
log 1
=4
4 256
1
log10
= −4
10000
log10 10000 = 4
2. a) (−∞, −1) ∪ (1, ∞)
log 1
5
1
=3
125
log 1 125 = −3
5
1
= −2
log8
64
c) R − 0
b) (−3, −1) ∪ (3, ∞)
d) (−3, ∞)
3. Gráficas:
33
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a) u( x ) 2
1
−2
−4
2
4
−1
−2
−3
3
b) v( x )
2
1
−1
−1
1
2
3
4
5
6
−2
0.5
−1.5 −1 −0.5
c) w( x )
0.5
1
1.5
−0.5
−1
−1.5
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5
4
d) g( x )
3
2
1
5
10
20
15
Ejercicios 12.10
1. Dominio
Dom( f ) = (−∞, 0]
Dom(k ) = (−∞, −1] ∪ (1, ∞)
Dom(m) = (0, ∞)
Dom( g) = (−∞, 0)∪ [1, ∞)
1
Dom(l ) = −∞,
2
Dom(n) = R
Dom(h) = [0, 25]
Dom( j) = R
2. Gráficas de l y j respectivamente, ambas no son inyectivas ni pares ni impares.
1
Dominio: R
Imagen: (−∞, 1]
−4 −3 −2 −1
1
2
3
−1
−2
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8
Dominio: R
6
Imagen: [0, ∞)
4
2
−2
−4
2
4
3. Numeral 2)
2
2
y = g( x ) − 1
−1
1
2
1
3
4
−1
−2
1
−1
2
3
4
3
4
y = g( x ) + 1
−2
−4
−3
2
2
1
−1
1
−2
2
3
4
y = g ( x + 1)
−1
1
−1
−2
y = g(2x )
−3
−4
2
36
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2
2
y=g
y = g ( x − 1)
−1
2
1
3
4
−1
1
x
2
2
1
3
4
−2
−2
−4
−4
5. Sean f y g funciones no cero, en las siguientes tablas se expresa si la operación entre
dos funciones pares o impares da como resultado una función par (P) , impar (I) ,
nunca par nunca impar (N)
¿ Hay cambios en las siguientes tablas si f es cero o g es cero?
Tabla f + g
+
f par
g par
Tabla f × g
g impar
×
N
f par
f impar
g par
Tabla f ◦ g
g impar
◦
g par
g impar
f par
f impar
P
6. a) Dom( f ) = R ; Im( f ) = [1, ∞)
f impar
Dom(l ) = (0, ∞) ; Im(l ) = R
49
Dom(h) = R ; Im(h) = −∞,
8
Dom(m) = R ; Im(m) = {1, −1}
Dom(n) = [0, ∞) ; Im(n) = [0, ∞)
Dom( j) = R ; Im( j) = (0, ∞)
Dom( g) = R ; Im( g) = [0, ∞)
Dom(k ) = R − {0} ; Im( g) = R − {0}
b) dominios composiciones
37
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P
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1) (0, ∞)
3) R − {0}
2) (0, ∞)
4)
√
−1
,3
2
5) R − {0}
7) [0, ∞)
6) R
8) [e−2 , ∞)
9)
−1
,3
2
10) R
3 2
7. a) Area =
L ; Perimetro = 3L
4
√
d2
2
d ; Area =
b) l =
s
2
2
c) Area = 6L ; Volumen = L3
8. Es una función escalonada que vale 2500 hasta 2, luego cada 500 (eje y) hay escalones
1
de de ancho (15 min , eje x)
4
1
En total hay 18 escalones de de ancho, finalmente a partir de 6.5 (6h 30 min) hay
4
un escalón a la altura 12000, es decir la función vale 12000 en (6.5, ∞).
9. x = 50
10. Logra llegar con una ventaja de aproximadamente medio minuto.
11. a) 3200
12. a)
b) 100 × 2t/3
1
gr
8
1 t/15
b) 2 ×
2
c) Entre 0.0.gr y 0.1gr
c) Sı́
d) Entre 24 y 27 horas
d) Entre 105 y 120 horas
Ejercicio 13.4
Alcanza un altura de 7.52 metros y su base está a una distancia del edificio de 2.74 metros.
Ejercicios 13.7
1. T. Coseno.
2. T. Coseno.
3. T. seno.
4. T. seno.
Ejercicios 13.9
38
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1. verdadero
2. Falso
3. verdadero
4. Falso
Ejercicios 13.10 (pag 468)
π
k ( x ) = 2 sin x −
4
2
Dominio: R
1
Imagen: [−2, 2]
Amplitud: 2
−6
−4
−2
2
6
4
Desplazamiento de fase:
−1
−2
π
4
Periodo: 2π
4
l ( x ) = |1 − 3 sin (2x − π )|
3
Dominio: R
2
Imagen: [0, 4]
1
−6
−4
−2
2
4
6
−1
Ejercicios 13.12 (pag 476)
1. b)
3. c)
5. b)
7. a)
2. b)
4. b)
6. c)
8. a)
9. b)
√
15
8
15
10. Por ejemplo sen(θ ) = ; cos(θ ) =
12.
Por
ejemplo
sen
(
α
)
=
−
17
17
4
√
2 5
√
13. Por ejemplo sen(α) = −
11. AB = 6 y BC = 2 3
5
39
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14. α = β = 0 ∨ α = 2π − β
18. d)
19. c)
17. α =
20. a)
21. 33.7
5
π
∨α = π
4
4
22. 2.83Km
40
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23. 39542