UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICA Ciclo: 2024-I Grupo: B y ZF MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA AMBIENTAL I Seminario N 1 1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta a) Existe dos vectores ⃗a y ⃗b tales que ⃗a ⊥ ⃗b y ⃗a + ⃗b = ⃗0. b) Si ⃗a.⃗b = ⃗a.⃗c y ⃗a ̸= ⃗0, entonces ⃗b = ⃗c. c) Si ⃗v y w ⃗ fuesen vectores ortogonales no nulos, entonces v + w ̸= 0. d ) Si ⃗u es un vector unitario paralelo a un vector no nulo ⃗v , entonces ⃗u.⃗v = ±∥v∥. e) Si ⃗v y ⃗b son vectores distintos de cero, entonces la proyección ortogonal de ⃗v sobre ⃗b será un vector paralelo a ⃗b. f ) ¿Es posible tener Proy⃗a ⃗u = Proy⃗u⃗a? g) Si la relación Proy⃗a ⃗u = Proy⃗a⃗v fuese válida para un vector no nulo ⃗a, entonces ⃗u = ⃗v . h) Si ⃗a y ⃗b son vectores ortogonales, entonces dado cualquier vector no nulo ⃗u, tenemos Proy⃗a (Proy⃗b ⃗u) = 0 i ) Si ⃗a y ⃗u son vectores no nulos, tenemos Proy⃗a (Proy⃗a ⃗u) = Proy⃗a ⃗u −→ 2. Sea ABCDEF GH un paralelepı́pedo como en la Figura 1 y sea X = A+λAG para algún λ ∈ R. −−→ −−→ −−→ −→ a) Escriba BX como una combinación lineal de AB, AD, AE en función de λ. −−→ −−→ 1 b) Muestre que los vectores BX y BH son paralelos, si y solamente si, λ = . 2 1 c) Muestre que si λ = , entonces X está en la diagonal DF . 2 Figura 1: 1 1 3. Demuestre que ⃗u · ⃗v = ∥⃗u + ⃗v ∥2 − ∥⃗u + ⃗v ∥2 , para todos los vectores ⃗u y ⃗v en Rn . 4 4 4. Siendo que e⃗i para todo i = 1, 2 . . . n denotan los vectores canónicos de Rn , responda: a) ¿Cuál es la longitud del vector v⃗n = e⃗1 + . . . + e⃗n ? b) ¿Cuál es el ángulo θn entre v⃗n y e⃗1 ? ¿Cuál es valor del lı́m θn ? n→∞ 5. Muestre que si ⃗u, ⃗v son vectores en el espacio tridimensional, entonces ∥⃗u × ⃗v ∥2 = ∥u∥2 ∥v∥2 − (⃗u · ⃗v )2 (Este resultado algunas veces se le llama identidad de Lagrange.) 1 6. Demuestre que ⃗v × w ⃗ = ⃗v × ⃗u si y solo si ⃗u = w ⃗ + λ⃗v para algún escalar λ. Suponga que ⃗v ̸= 0. 7. Sean ⃗i, ⃗j y ⃗k los vectores unitarios a lo largo de los ejes x, y y z positivos de un sistema de coordenadas rectangulares en el espacio tridimensional. Si v(a, b, c) es un vector no nulo, luego los ángulos, α, β e γ entre ⃗v y los vectores ⃗i, ⃗j y ⃗k, se llaman los ángulos de dirección de ⃗v , respectivamente. (Figura 3), y los números α, γ, e β, y son los cosenos directores de ⃗v . a . ∥⃗v ∥ b) Encuentre cos β y cos γ. ⃗v = (cos α, cos β, cos γ). c) Muestre que ∥⃗v ∥ a) Muestre que cos α = d ) Muestre que cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1. Figura 2: 8. Determine si el vector ⃗a = (3, −3, −1) es combinación lineal de los vectores ⃗u = (6, −3, 9), w ⃗ = (1, 1, 1) y ⃗v = (−2, 4, 8). 9. Determine si los vectores w ⃗ = (3, −3, −1) , ⃗u = (6, −3, 9) y ⃗v = (−2, 4, 8) son linealmente independientes o linealmente dependientes. 10. Determine si existe valor o valores de a de manera que los vectores w ⃗ = (1, −2, 3) , ⃗u = (−2, 0, a) y ⃗v = (a, 4, a) sean linealmente independientes. 11. Determine si existe valor o valores de a de manera que los vectores w ⃗ = (1, 2, −3) , ⃗u = (0, 3, 1) y ⃗v = (2a, 4a + 3, −6a + 1) sean linealmente independientes. −→ 12. Si G es el baricentro del triángulo ABC, exprese el vector AG como combinación lineal de los −−→ −→ vectores AB y AC. 13. Sea el triángulo ABC cuyos vértices son A(x1 , y1 , z1 ), B(x2 , y2 , z2 ) y C(x3 , y3 , z3 ). Aplique la teorı́a de su baricentro es: de vectores para demostrar que las coordenadas x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 z1 + z2 + z3 G , , . 3 3 3 14. Sean A(−1, −3), B(4, −2) y C(2, 5) vértices de un triángulo: a) Use la teorı́a de vectores para hallar las coordenadas del baricentro. ⃗ sobre el vector BC. ⃗ b) Determine la proyección del vector AB c) Halle el ángulo interno relacionado al vértice A. d ) Halle la altura del triángulo relativa al lado BC. 15. Sean los vectores ⃗a = (0, 2, −3), ⃗b = (−2, −1, −3) y ⃗c = (z, −5, 2z) en R3 . Determine para que valores de z dichos vectores son linealmente independientes 16. Los vectores ⃗a y ⃗b forman un ángulo de θ = 120◦ , sabiendo que ∥⃗a∥ = 3 y ⃗b = 5. Determinar ⃗a + ⃗b , ⃗a − ⃗b . 2 3 17. Los vectores ⃗a y ⃗b forman un ángulo agudo θ, donde el sen(θ) = . Hallar ⃗b, sı́ (⃗a −⃗b) es ortogonal 4 a ⃗a y ∥a∥ = 27. 18. ∥⃗a∥ = 3, ∥⃗b∥ = 26 y ∥⃗a × ⃗b∥ = 72, calcular ⃗a • ⃗b. 3 ⃗ 19. Sean ⃗a,⃗b vectores en R tales que el ángulo entre ello es π/3, además ∥⃗a∥ = 4 y ∥b∥ = 2. Halle 2⃗a + 6⃗b × 3⃗a + 6⃗b 20. Calcule el volumen del paralelepı́pedo (figura 4) generado por: u = (2, 2, 1), v = (1, 0, 3), w = (0, −4, 0) 21. Un avión que vuela hacia el este a velocidad de 200 km/h se encuentra con un viento en la dirección noreste de 40 km/h . La velocidad resultante del avión es la suma de vectores ⃗v = v⃗1 + v⃗2 , donde v⃗1 es la velocidad vectorial del avión y v⃗2 es la velocidad vectorial del viento (figura 29). π El ángulo entre v⃗1 y v⃗2 es . Determine la celeridad del avión (la norma del vector v). 4 Figura 3: 22. Halle el área del triángulo (figura 4) de vértices P = (1, 1, 5), Q = (3, 4, 3) y R = (1, 5, 7) Figura 4: 23. Demuestre que el volumen de un tetraedro generado por los vectores ⃗a, ⃗b y ⃗c es [⃗a, ⃗b, ⃗c] 6 La Molina, marzo del 2024. 3
