CURSO DE REFORZAMIENTO UNI 2009-I - TOMO1

In s titu to d e C ie n c ia s y H u m a n id a d e s
Cursos de
Reforzamiento UNI 2009-1
Cursos de reforzamiento UNI N.° 1 - 2009-1
A utor
: Instituto de Ciencias y Humanidades
Editor
: Asociación Fondo de Investigadores y Editores
Diseño gráfico : Área de cómputo y publicaciones de la Asociación Fondo
de Investigadores y Editores
© A s o c ia c ió n F o n d o d e In v e s tig a d o r e s y E d ito re s
Jr. República de Portugal N.° 187 - Breña. Lima-Perú
Para su sello editorial L um breras E ditores
Primera edición: abril de 2009
Tiraje: 1050 ejemplares
ISBN: 978-612-4036-19-4
Registro del proyecto editorial N.° 31501130900003
“Hecho el d ep ó sito legal en la B iblioteca N acional del P erú ”
N.° 2009-04962
Esta obra se terminó de imprimir en los talleres gráficos de la
Asociación Fondo de Investigadores y Editores en el mes de
abril de 2009 - Calle de las Herramientas N.° 1873 - Lima-Perú
Telefax: 332-3786
3 )> c e ó e t i t a c L á t i
El Instituto de Ciencias y Humanidades, institución con más de cuatro
décadas de experiencia en la labor educativa y cultural, saluda a los estudiantes
que se incorporan a los Cursos de Reforzamiento UNI y a los padres de
familia.
El presente material didáctico está dirigido principalm ente a los estudiantes
que aspiran a una vacante en la Universidad Nacional de Ingeniería (UNI) y
otras afines.
En cada uno de los cursos se abordan los tem as más im portantes y
recurrentes de la Universidad Nacional de Ingeniería, por lo cual el estudiante
tiene la oportunidad de consolidar y profundizar sus conocim ientos para
afrontar adecuadam ente un examen de admisión.
La profundidad con la que serán desarrollados los cursos en cada una
de las clases garantiza un aprendizaje adecuado de los distintos temas, tanto
en estudiantes que tienen experiencia y buen desarrollo académico como
en aquellos que desean com plem entar sus conocim ientos y alcanzar solidez
académica.
Los objetivos propuestos en estos cursos son los siguientes:
•
Superar las limitaciones académicas de cursos cuyo dom inio es im portante
para el ingreso a la Universidad.
•
Desarrollar un conjunto de temas de acuerdo al prospecto de la UNI.
•
Desarrollar la capacidad de análisis, interpretación y solución de preguntas
tipo examen de admisión.
Valorar el conocim iento científico.
Este texto com plementa las clases teórico-prácticas desarrolladas con
criterio pedagógico a lo largo de doce semanas; asimismo, contiene preguntas
dirigidas y domiciliarias que apuntan al logro de ios objetivos específicos de
los estudiantes.
Con el presente trabajo reafirmamos nuestro compromiso de servicio
a la sociedad en general, mediante una educación integral que aborde los
conocim ientos científicos de m anera didáctica y perm ita el desarrollo de la
capacidad de análisis y crítica de la realidad, así como el planteam iento de
alternativas de solución.
I n s t it u t o d e C ie n c ia s y H u m a n id a d e s
Conjuntos
Calcule la can tid ad d e subco n ju n to s
propios ele C -B .
I>.i<l<>s los conjuntos A \ B y C
A) 16
4 i*7 T 7 ^ 6Z’0<* - 6}
II
B) 15
D) 32
C) 63
E) 31
j X- ~ - e z j - 7 < x < n ( A ) ^
4.
('
e Z ^ r e Z
D ados d o s conju n to s A y B se cu m p le
lo siguiente:
a 6 <jt < n (ñ )J
n (A )= n (B ) + 1
n [P (A )n P (B )] = 4
i ulculc la su m a d e los e lem en to s C.
Calcule nP(B) si co n los elem en to s d e A
A) ¡12
B) 16
D ) 12
/
C )21
se p u e d e n o b ten er en total 247 su b co n ­
E) 18
juntos co n m ás de u n elem ento.
r.u.i u , b e Q , F y G son conjuntos tales
A) 128
<|iir G/ty\ adem ás, F u C es un conjunto
D ) 1024
B) 64
C )512
E) 296
unitario.
/ -{«'■'+ 2¿), £>2+ l}
5.
I u ( ! = { a + 4 b ,b + l - 3 a }
c o n ten id o s en el co n ju n to universal
I Inllc F r\G . '
A){1}
Se tien en tres con ju n to s A; B y C,
U = { 2 x € Z +/jc < 5 } .
B) {-1}
D) {0}
C) {10}
E) {4}
A dem ás:
<4nC ={7; 8}
B -A = { 1 ;3 ;6 }
I
C c = { l; 2; 5; 6; 9; 10}
Se sab e q ue
A {jf2 e Z +/|jc - 2 |< I jc - 6 |}
B cn A c n C c = { 9; 10}
A dem ás:
C cn A n B = { 2 }
• A cB
Calcule la su m a d e aq u ello s e lem en to s
q u e p e rte n e c e n solo a u n o d e estos
• «-C=<¡>
tres conjuntos.
.
4 PM>]
1
4 P(C)]
64
• n {C -B )= 2 n { B -A )
A) 18
D ) 12
B) 10
C) 16
E) 15
11
• Ai iiilttfitla Cdftar V n l l a | o _____________—
(i
......................................... M aterial Didáctica N *
Dados los conjuntos A, B, C y D se
estos Un tercio de los varones que i
cumple lo siguiente:
bailan; además, de los varones qví
n W ) = 208
man la mitad no bailan y de las m ujfl
Ü-B=<s>
29 no fuman, 4 bailan y fuman. ¿Q
n [P (4 n C )] = l
será la mayor cantidad de mujeres <
n(A - B )= 2x n [A c n B c n C c ]
no bailan, si el número de mujeres]
n [ñ - (j4 u C )] = 15
cede al de varones en
n(D) = 25
30 personas bailando?
6
y hay másj
n [ U u C ) r i f l c ]= 131
n(B )<47
A ) 12
¿Cuántos elementos, com o mínimo,
B) 17
D) 16
C) 15
E) 18
pertenecen solo aun conjunto, si los que
pertenecen solo a dos conjuntos tienen
la misma cantidad de elementos?
9.
De 129 alumnos que postulan a la L
o San Marcos, se sabe que los varoil
A ) 135
B) 138
D) 136
C) 142
que postulan a ambas universidade
E) 145
las mujeres que también postulan a
dos son entre sí com o 3 es a 4; adem
7.
Para ingresar a una universidad se de­
hay tantos alumnos que postulan sol
ben aprobar por lo menos dos de los
San Marcos com o varones que lo hac
tres exámenes diferentes que se les
solo a la UNI, también hay 14 muje¡
toma. Si se presentaron 800 alumnos
que solo postularon a la UNI. ¿Cuán
de los cuales 500 desaprobaron el pri­
mujeres postularon a ambas univel
mer examen, 250 aprobaron el segun­
dades, si los varones que postulan a
do y 350 aprobaron el tercer examen,
UNI son 55?
además, el 25% no logró aprobar nin­
gún examen, ¿cuántos alumnos no
A ) 20
lograron ingresar a dicha universidad?
B) 24
D) 28
C )16
E) 32
Considere que los que aprobaron los
tres exámenes son 1/15 de los que
aprobaron el primer examen?
10.
Dados tres conjuntos/!, ByC, contenidl
en un conjunto universal (U), ademá
A) 520
D) 620
B) 580
C) 560
E) 480
se cumple que 4nB=((> y 4aC =C -|
reduzca la siguiente expresión.
M = {[(C -/ t)n B ]cn 4 }u {(C - B )n (B t'- A
8.
12
En una reunión, las mujeres que fuman
pero no bailan son tantas com o los va­
A) B -C
rones que ni bailan ni fuman, siendo
D )/4u C
B )C - e
C )S n C j
E )A n (C -l
H h Iiii
. _ A ritm é tica
/Mimonto UNI
6.
N u m e r a c ió n
Si 4ab&-cd ca b, calcule la cantidad de
cifras del menor numeral del sistema
M nliubr,=mnmnmn3, halle la suma de
octanario, cuya suma de cifras sea
vnliiirs tle ( a + b + m + n ).
Cad+bc).
A) 12
B) 13
II) ir»
C) 14
A) 11
E) 16
Al i vpresar el numeral abe a base 7, por
Halle el máximo valor de a + b + c si
7.
abe__ = ( a - l ) ( l l ) c , 5
Kmn_
mn
mm ilblr el numeral se invirtió el orden
i|<> m i s cifras, por lo que se obtuvo por
t'itoi ( niOrn7. Halle el máximo valor de
5 num erales\
mn„
A) 12
B) 18
II i b+c.
B) 14
II) ir»
C ) 12
E) 15
D) 16
ilusiones sucesivas, al momento de
A) 17
B) 83
C) 12
E) 10
C) 20
E) 16
D) 15
•i i ib, b< =cbbir ¿en cuántos sistemas
¿Cuántos numerales capicúas de
<i< numeración el numeral abe se
6
ci­
fras diferentes entre sí existen en el sis­
«<<i tibe con 4 cifras?
tema nonario de modo que la suma de
A) 5
B)
6
II):»
C) 2
sus cifras esté expresada por el nume­
E) 7
ral mm?
M n i base ii existen 294 numerales de 3
A ) 36
. Ifr.r. y en basem existen 448 numerales
D) 30
. i. :i cifras diferentes, ¿cuántos numera-
B) 46
C) 32
E) 34
¿Cuántos numerales de la forma abe-,
existen de manera que al pasarlos a
li , tle la forma (a + 8)^—J (b -2 )(3 - o )c
base 3 se representan con 5 cifras y en
i slslen en base (n +m )?
A) 704
B) 600
base 5 con 3 cifras?
C) 640
«Ir base (rí + 1), donde n01+nl=n32,
/cuál es el número n 0 1 (n+|) escrito en
rl sistema decimal?
I » 50
B) 72
B) 42
C ) 49
E) 52
10.
C) 60
E) 44
D) 43
M fi() I , /i32 están escritos en el sistema
A ) 40
A) 80
E) 720
I» H25
Si abcddac^aet 45)M, calcule la suma
de cifras al expresar dadada...(c+i) en
base 8 .
A ) 210
D ) 420
í5cifras
B) 150
C ) 180
E) 105
13
• A u m Iw h Ih Cttaur Wnlln)n
1.
„
M aterial Didáctico IM.° 1
O peraciones fun dam en tales
ílCI
La su m a d e p ro d u cto s p arciales de
Si abe(3c) + (c. +1 )a d (3 c )+ 6 fa 2 = ea f5 a,
calcule la su m a d e cifras d e E.
B) 16
D) 18
:
m + n , si la su m a d e los com plem enl
d e m n; 2m n , 3m n y 4m n e s iguaj
26xm n+400.
E = a b c+ b ce+ ceb
A) 15
n ú m e ro d e 4 cifras m u ltiplicado por]
•»rJ
n ú m e ro d e 3 cifras c re c ie n te s d e rí
2 e s 42 126. C alcule el m ayor valí
C) 17
E) 19
B) 10
A) 7
D) 12
C) 11
E) 8
Se sa b e lo siguiente:
• N es la su m a d e to d o s los n ú m ero s
p ares d e la form a u(¿>+ 2 ) ( a + 2 )í>.
M es la su m a d e lodos los n ú m e ro s
Se cu m p le q u e
a b c d 7x d = \d c a 4 7\ a x b + c x d - . . j c 9
c o n sid e re q u e d e s im par.
C alcule x.
do la form a a [u + b )b
C alcule la su m a d e cifras N + M si M se
A) 6
D) 8
B) 4
C) 1
E) 5
ex p resa e n el siste m a decim al.
A) 22
B) 23
D) 17
3.
C) 29
E) 31
Si a b c d - b c b 3 = ( b - \) \( b + d ) a \ b - c = 2 ,
adem ás
Si se cu m p le q u e a b c d = b c x c b + i
a d e m á s, to d as las letras son diferen
e n tre sí, calcu le el m áxim o v a l o r j
a+ b+ c+ d.
A) 18
D) 15
B) 16
C) 20
E) 17
m n p q g x (d - 1 ) (f> - 1 ) (b - 1 ) = ...a b c d s,
Si hay n n ú m e ro s q u e se p u e d e n forr
solo con la cifra 3, calcule la su m a de
calcule m + n + p + q .
dos los co m p lem en to s aritm éticos c
A) 15
B) 20
D) 18
C) 17
se p u e d e form ar co n dichos núm eros
E) 19
A)
4.
Se cu m p le qu e
B)
a bcdn-3 d c b n= m (d + \)& 4 n
Calcule el m ayor valor d e
C)
a+ b+ c+ d+ m + n.
D)
A) 38
D) 36
14
B) 39
C) 37
E) 35
E)
10"+1- 1 0
9
2 x lO n+l - n
9
2 x lO f,+l + 9/7 - 2 1
27
2 x lO n+1 + 9 n - 2 0
27
10n+1 + 9 /? - 9
ta l» /,,minuto U N I ................................................................. ........................................................- Aritmética
Al dividir un n ú m ero en tre otro se obtie!*«' ro m o residuo 20; p e ro si la división
«i ir.illza por exceso, en to n c e s, el resto
• i n,i l,i sexta parte del divisor. ¿Cuánto
■h d rlic au m e n ta r al dividendo, co m o
Hitísimo, p ara q u e el co cie n te a u m e n te
rn :i unidades?
B) 65
Al 00
II) 7»
A )
I f ^
l ° "
' _
9 /7 “
1
B) — [ l 0 " - 9 ( n + l) - 1 0 ]
81
C) I r í lO " + 9 n - l ]
81 ^
D) y [ l 0 n+l+ 9 n - 1 0 ]
C) 70
E) 80
E) | y [ l 0 n+1 + 9 n - 1 0 ]
■i il dividir u b c d -361 entre CA(ab) se
idillrur com o cociente ab y residuo -n
cd,
inli'iiiás, c - d = 6, calcule cuántas cifras,
■i'ii io máximo y mínimo, tiene el proiIik i' ule ^
f?... Considere q ue A, B y C
C
llr n r n c ,b y d O cifras, respectivam ente.
A) 30 y 35
I)):r,*y40
B) 25 y 30
4.
El gráfico m u e stra a un o brero y blo­
q u es d e 3 ladrillos. Si el o brero quiere
apilar los ladrillos e n el lugar d o n d e se
en cu en tra, ¿cuántos ladrillos ten d rá
ap ilad o s h asta el m o m e n to e n qu e
haya recorrido 4140 m?
En c a d a viaje el o brero sólo p u e d e
llevar 3 ladrillos.
C) 25 y 36
E) 32 y 45
3—f—3—f—3—| ........ I~3—|
Sucesiones y series
I l.illr l,i sum a de los 96 térm inos que pre­
m ia la siguiente progresión aritmética.
.r 1„ ;a 6„;¿?0n; ...;a a cn
I >r co m o re sp u e sta la su m a d e cifras
d r| resultado.
A) 10
B) 11
I)) 18
C) 13
E) 12
i 'atrille el resultado d e efectu ar la sigu lrn te su m ato ria si se sa b e q u e tiene
120 sum andos.
s 4 + 5 + 7 + 7 + 1 0 + 9 + 1 3 + 1 1 + 16+13+...
A ) 9390
I» 5490
B) 9120
C) 9210
E) 9150
Calcule la siguiente sum a.
/. 26 + 286 + 2886 + 28886 + ...
A) 111
D) 108
B) 105
C) 110
E) 109
En u n a tie n d a d fliv e ry , el rep artid o r
re c o rre 6 m p a ra llevar el p rim e r p e d i­
do; e n el seg u n d o , 11 m; e n el tercer,
18 m ; e n el c u a rto 27 m y así su c esiv a ­
m e n te . C alcule c u á n to s m e tro s re c o ­
rre e n su trigésim o n o v e n o p ed id o .
A) 1527
D ) 1602
B ) 1604
C) 904
E) 1525
D adas las siguientes su cesio n es:
8 ; 14; 20; 26; 32; 3 8...
8; 13; 18; 23; 28; 3 3;...
calcule la su m a d e los 20 prim eros térm i­
nos co m u n es entre dichas sucesiones.
A ) 4850
D) 5820
B) 5860
C) 4890
E) 4930
15
Material Didáctico N.° 1
/- t Academia César Vallejo
D ivisibilidad I
Si la su m a d e los n p rim ero s térm inos
d e u na su cesió n se define
¿C uántos n ú m e ro s d e la form a ab3 n i
_ 4 n3 +15n 2 + 41n. n g 7
"
6
calcule la su m a del 13.er y 32.° térm in o
d e dich a sucesión.
so n m últiplos d e 7 ni d e 11?
B) 90
A) 21
A) 2253
B) 2149
C) 2531
¿C uántos n ú m e ro s d e 4 cifras del sisti
E) 2630
D) 2431
C) 70
E) 69
D) 89
m a d u o d e c im al son m últiplos d e 33 |
24 p e ro n o m últiplos d e 33 y 24?
D eterm ine cu án ta s cifras se h an e m ­
p lead o p ara e n u m e ra r un libro si e n sus
B) 1224
A) 1368
36 últim as hojas se h an e m p le a d o 264
C) 1296
E) 576
D) 792
tipos d e im prenta.
Lolín p ercib e c o m o salario S/.40 di¡
A) 4073
B) 3081
C) 4085
rios. Al salir co n Eva g asta S/.23, cc
E) 4303
D) 4081
Bety S/.34 y c o n Ana S/.31. ¿Cuánti
días d e b e transcurrir, c o m o mínirni
El prim er térm ino, el cu arto térm ino,
p a ra q u e ah o rre S/.382? C onsidere q u l
<■1 d écim o sexto térm in o y el vigésim o
Lolín sale al día sólo co n u n a d e ellas
térm ino d e u n a progresión aritm ética
io n
A) 472
B) 460
4.
C alcule el resid u o al dividir el n ú m ero
ichuch en tre 7 si se sa b e lo siguiente:
C) 452
O
E) 522
D) 592
C) 28
E) 24
D) 25
( a i 1)00. C alcule la su m a del sexto,
n oveno y el d é c im o te rc e r térm ino.
B) 27
A) 26
r/(í/ + 1 )/>; a ( b - 1 )(/> + 2 ); a&b y
• ic h 25u= 7+2
O
• /d ? 5c= 7 + l
10.
En la siguiente su ce sió n aritm ética:
• ich h =7 -2
a 3„; (o+l)£>(n+1); 4 (b + l)(n+2);(a+3)6(„+3)
;...; ( r¡+ l)l(a + l)9
A) 2
calcule la su m a d e cifras d el vigésim o
D) 3
sexto térm ino si todos los térm in o s d e
O
la su cesió n son 3.
A) 9
D) 6
16
B) 3
5.
B) 6
C) 5
E) 4
C alcule el resid u o al dividir 200920
e n tre 45.
C) 12
A) 14
E) 15
D) 9
B) 19
C) 34
E) 12
.A ritm ética i
, ( M.I, iiynminnto UNI
I
I
II
D ivisibilidad II
1 iih ule el residuo al dividir N en tre 8 si
\ - <i( ,7y ^ j ( 4 - o )
+ o ^ ^ ÍÍj(4 -a )
+
1.
Calcule el resid u o al dividir en tre 7 a
■ r TT--------- 06
—7----- 7T---------a2008
n( ,,.1' ) ( 4 - a ) +... + a ^ ^ —j ( 4 - a )
A) 1
D) 4
A) 0
B)-
l)):i
C) 1
E) 5
2.
B) 2
C )0
E) 5
C alcule la últim a cifra al e x p resar N en
el sistem a undécim a!.
N = 2009' + 20092+ 20093+ ...+ 20092004
I 1 i nora Yoko c u e n ta la can tid ad d e
iiiHiiiijíis q u e tiene d e 5 e n 5 y le sobran
1 1luí alijas; pero si c u e n ta d e 13 e n 13,
A) 2
Ir Militan 7 naranjas; si h a c e el c o n te o
D) 0
1Ir 11I1 vi) ab, no le so b ra n aran ja alguna.
1 1I1 u lr a + b si la cantidad d e n aran jas
1 1.111 u n p ren d id a en tre 500 y 600.
A) 1(1
B) 7
I)) 12
3.
C) 10
E) 1
C alcule la su m a d e todos los n ú m ero s
d e la form a 26a4b m últiplos d e 36.
C) 13
A) 81 332
E) 20
D) 80 233
1 11 l.i siguiente su cesió n aritm ética:
B) 7
4.
B) 82 332
C) 80 332
E) 79 632
C alcule el resid u o q u e se o b tien e al
dividirm 3 3 m 4 a b 5 \b a u en tre 6.
II, 17;...........; a bcd
• \IsU'ii 30 térm inos m últiplos d e 7. Cal-
A) 0
■u lr 1 1 1 l>+c+d si a b c d es m áxim o.
B) 1
D) 3
A) 14
B) 17
I») 20
C) 2
E) 5
C) 7
E) 16
5.
El n u m eral o536726c e s m últiplo d e 8
y al dividirlo e n tre 11 d e ja u n residuo
p o r ex ceso igual a 1 , a d e m á s, al dividir
1 iilciile la su m a d e valoresod e abe
.1 iiIk f 3abc + Sabe +... = 63.
e n tre 9 el residuo es 2. C alcule a+ b+ c.
50 sum andos
A) 1071
B) 2142
l>) (¡426
A) 11
C) 7497
E) 5310
6.
Se cum ple qu e
B) 17
D) 16
C) 15
E) 18
Se sa b e q u e o2í> c3=9-7.
iiu. n2S3 6= bc...m np 3
C alcule el valor d e m si el n u m eral
<'nlcule m + n + p .
bmac&=72 .
A) 4
I» 2
B) 1
C )0
E) 3
A) 1
D) 11
B) 4
C) 7
E) 33
17
_ Material Didáctico N.° 1
Academia César Vallejo
7.
9.
Se cu m p le q ue
a b a b ...a b i =
Sii UUUIS...UV4
- 15+6.
2a3foa5=33+17
Calcule la su m a d e valores d e (a+£>).
82 cifras
A) 1
D) 3
C) 15
E) 12
B) 32
A) 22
D) 16
Un n ú m ero d e 80 cifras, e n el cual sus
C alcule a + b
10 .
B) 5
C) 2
E) 4
D ado el co n ju n to A = {2; 4; 7; 9;
40 prim eras cifras e s 4 y el resto sólo
c o n su s e le m e n to s se p u e d e forn
está form ado p or las cifras 5 y 2 e n for­
un n ú m e ro d e cu atro cifras diferen
m a altern ad a, calcu le el residuo al diviO
dir en tre 7 d ich o n ú m e ro si e s 11+5.
B) 2
A) 1
D) 4
C) 3
E) 6
m últiplo d e 132 p e ro n o d e 8. Calcule
cifra d e m ayor orden.
A) 2
B) 4
C) 7
E) 5
D) 9
PRACTICA DOMICILIARIA
A) 23
C onjuntos
B) 18
D ado el siguiente conjunto
>4={2; {3}; {5; 3}; {3; 5}; {3; 3}; {{2}};
¿cuántas d e las siguientes p ro p o sicio ­
n es so n verdaderas?
Si los conjuntos:
I. //C4)=4
B = {3y[m -2 \[ ñ ; 1o}
II. {2; 3 ) e A
III. SI / ’(/<) c / \ , e n to n c e s, n(fl)*=3.
IV. (2) c / t
V. {2; 3; {2}><Z/t
VI. {0; m < z P ( A )
so n co n ju n to s unitarios, a d e m á s,
A = {2s[m + Vñ; 23}
cardinal d el co n ju n to C e s 4 n -3 m , c¡
cule n [P(C) ].
A) 128
A) 3
D) 6
2.
B) 4
C) 5
E) 2
D ados los siguientes conjuntos:
Ul 6 n / - 3 <
< 7]
'-{¥*2sz/-15s
ñ = í y + 2sZ y
x <4
C = { x e Z / x 2 < 400}
calcule el cardinal d el conjunto
C -0 4 u f l )
18
C) 13
E) 19
D) 17
B) 16
D) 8
C) 4
E) 32
En u n a reu n ió n d o n d e asistieron II
p erso n as, d e las cu ale s 75 son mujeri
los q u e fu m an so n el triple d e los qi
no fum an. Si 70 v aro n es fum an, ¿ cuí
tas m u jere s no fum an?
A) 25
D) 24
B) 10
C) 15
E) 32
_ Aritmética h .
'.•■.ni /t, tí y C conjuntos, a d em á s:
Íi(/I C )= /i(C -S )
n{A n tí) = /i0 4 ) = 4
8.
En u n a reu n ió n social d o n d e asisten
100 p erso n as, se o b serv a lo siguiente:
• La can tid ad d e m u jeres e s m ed ia
>»|/’M n C ) ] = l
« | / ’( C n f i) ] = 4
vez m ás d e la can tid ad d e varones.
• La can tid ad d e v aro n es q u e bailan
n (O -10
ll(H' u C )=13
■i n,m íos su b conjuntos propios p o se e
y m u jeres q u e n o bailan e stá n en
relació n d e 7 a 8, resp ectiv am en te.
• Por c a d a 3 v aro n es q u e n o bailan hay
|( / » u C ) - / l ] c ?
4 m u jeres q u e bailan y tien en reloj.
• La can tid ad d e v aro n es q u e bailan
A) 127
II) IS
B) 63
C )31
E) 255
l ii I r. tres prim eras prácticas de CálcuIh <lf un aula d e la UNI con 100 alum ...... 10 d e ellos apro b aro n la prim era,
ri 1.1 segunda y 48 la tercera práctica.
\iIt’m ás, 10 apro b aro n las tres práctii
21 d esap ro b aro n las tres y 19 no
.nim baron las d o s prim eras pero sí la
es igual a la can tid ad d e m u jeres
q u e n o bailan y tien en reloj.
C alcule la can tid ad d e m u jeres q u e no
tien en reloj
A) 19
B) 35
D) 28
9.
C) 16
E) 30
Si A; tí y C son con ju n to s incluidos en
li’icrra.
U, re d u z ca la siguiente expresión.
i .ili iili' cuánto s alum nos aprobaro n por
E = [(B’n /4 ) u tí ] u U n L U '- C ’) n ¿ ] }
h i m enos dos prácticas.
A) B - A
A) 19
m m
B) 38
0 28
E) 12
B)j4 u t í 1
D)j4 n ñ
Q tín C
E) A - B
N um eración
i ii un zoológico se o b serv a q u e hay
i ......
leop ardos y tigres, d e los cu ales
■ir sabe lo siguiente:
• II.iy tantos felinos cach o rro s en fer­
m os co m o felinos adultos sanos.
• I l.iy tantos felinos adultos en ferm o s
c o m o p u m as cach o rro s sanos.
• II.ly 7 cach o rro s san o s y 13 felinos
sanos.
SI en total hay 23 felinos, halle cu án to s
. i< horros san o s q u e no so n p u m a s hay
i ii d icho zoológico.
A) 2
I») 7
B) 4
10. Si el n u m eral 223245232n se ex p resa
e n b a se n 2, la su m a d e sus cifras e s 85.
C alcule la can tid ad d e n u m era le s p ares
d e la form a aba^n+íy
A) 21
B) 28
D) 24
11.
C) 30
E) 15
Si a 5 3 „ = ( a - l) 5 2 8 y n n n n &= bcde
halle n + b + c + d .
Q 8
A) 20
E) 3
D) 16
B) 22
C) 31
E) 18
19
r
__ M aterial Didáctico N.° 1
Academia C ésar Vallejo
12. Se cum ple q ue 4¿>c68= 4 (o - 5) (a - 5)c/3a.
Halle cuántos num erales d e la form a
18- sií-)í^l^l
l m A m + 2 j v m + 4Ji5
¿en cu án to s sistem as d e n u m eració
el n u m eral abcn se re p re se n ta rá con
cifras?
^ j(fí + 2 )(m - 4)(5 - n )(2 p ) existen en
base a+ b+ c+ d.
A) 320
D) 918
13.
B) 1296
C) 648
E) 1224
A) 2
D) 5
S ia a 6 8=4c4 6 y ( a - l ) 0 0o _ = m n p
B) 6
C )4
E) 10
O p eracio n es fu n d am en tales
19.
D ada la siguiente adición
halle m + n + p .
(a + b )
A) 3
D) 6
14.
C) 5
E) 9
B) 127
(ia - b ) 0
d
0
calc u le a + b + c + d + n .
A) 22
D) 25
C) 128
E) 84
Si o ( o + l)C o + 2 )( a + 3 )7 = (2m ) 00m x
halle a + m + x .
(a + b )n
(i>+c)
Si el m en o r num eral d e la b a se 8, cuya
su m a d e cifras e s 200, se ex p resa en
base 4, ¿cuál será la su m a d e sus cifras?
A) 126
D) 130
15.
B) 4
B) 27
O 24
E) 30
n
20. D ada la siguiente adición:
34 + 343 + 3434 + ...+ 3 4 3 ...
= Zb2a
(a+I)6 cifras
A) 15
B) G
I)) 12
16.
C) 8
E) 10
calcu le ab+ ba.
Al ex p resar el nu m eral 3214,, e n b a se
( n + 1 ), la su m a d e su s cifras e s 1 1 .
Halle la cantidad d e n u m e rale s d e la
form a a(.a+b)b„; (n > 5).
A) 165
D) 88
B) 21
C) 30
E) 28
C) 132
E) 66
n
21.
A) 42
D) 15
B) 77
Si la su m a d e los tres térm in o s d e un
su stracció n e s 3a0(2a), a d e m á s, el sui
trae n d o e s la o n c e a v a p arte d e la dife
rencia, calcu le cu á n ta s cifras impare
17.
¿C uántos n u m e ra le s d el siste m a d e c i­
m al q u e term in an e n la cifra 5 se p u e ­
d e n ex p resar c o m o n u m era le s d e 3
cifras e n las b a se s 5 y 7?
A) 7
D) 10
20
B) 8
C) 9
E) 5
se h an utilizado e n la n u m e ra c ió n di
u n d iccionario cuya c an tid ad d e pág
ñ as e s igual a ( 2a ) 0a.
A) 1812
D) 1202
B) 906
C) 1242
E) 1200
/II
..A r itm é tic a k
Intuí /wnlonto UNI
I ñu p ersona avanza y re tro c e d e co n sei tillv.miente a lo largo d e u n a av en id a
ili ii .ii ile cierto tiem p o . Si la su m a d e los
hviiik es parciales e s a b b a m etro s y la
■1" Ins retro ceso s es a b a m etros, calc u ­
la l.t distancia total recorrida p o r la perH mi . i C onsidere q u e la sep aració n de
ii punto de partida y su posició n final
tt» /)( 2o - 1 )cd m etros.
AI ,VM5 m
|i»:.!i!)0in
B) 5545 m
C) 4000 m
E) 5900 m
liiitn Iba a su m a r abc9 co n m n p 9, p ero
Im>■ error invirtió el o rd en d e las cifras
ili l m ím ero mnp$, por lo q u e la ?um a
liii- 10 m en o s d e lo q u e d eb e ría salir.
I lililí* el m áxim o valor d e m + r t+ p .
A) IH
n i 14
B) 20
C)21
E) 17
'.i *inln* lo siguiente:
. A5x B 6
enteras, entonces, indique la cantidad de
cifras q u e tendrá com o m áxim o Á ¿xB .
A) 19
D) 18
B) 9
C) 16
E) 12
Sucesiones
27. S ea la siguiente la form a g en eral d e
u n a sucesión.
n +7
on =
3n + 5
Si se elim inan los térm inos d e posición
par. en to n ces, ¿cuál sería la form a g e n e ­
ral d e la nueva sucesión?
A)
3n + l
n +3
D)
n
3n + 2
B)
n +5
3n + l
C)
n +3
3n + l
E)
n+3
3ñ+2
11; 12; 18; 20; 25; 30; 32; 42; ...
i iilu
n m pqrs y G4(5a5p6)=0/9&70,
i nli:ul»! (x+ P + 0.
II) 12
B) 17
28. Halle la su m a d e los térm in o s d e la
siguiente sucesión.
tibe x {7= 2865
ni> cxb= 4011
((/)tx c = l7 1 9
A) 10
tiene co m o m ínim o 46 cifras
C) 11
E) 8
30 términos
A) 2830
D) 2800
B) 2838
C) 2538
E) 2860
29. ¿Cuántos térm inos tiene la siguiente R A.?
' iilcule la su m a d e todos los n ú m e ro s
i Ir :i d irá s q u e cu m p lan la cond ició n
*Ir (|iu* al se r dividido en tre cierto n ú ­
m ero nos d a 29 d e co cie n te y un resto
nuixlm o. Dé c o m o re sp u e sta la su m a
ili* cifras.
A) II
ID 1(¡
B) 12
C) 13
E) 15
a b n; b a n+i\ 88„+2; ............... ; 64(n + l )9
A) 12
D) 21
B) 15
C) 18
E) 25
30. En la siguiente P. A.:
3 (b - 5)(c - 2); 351; .....;pqr-,xyz\ 5be
37 términos
halle p + q + r+ x + y + z.
I lili los tres núm eros enteros positivos
II
y C, d onde A tiene 4 cifras m ás
«|i k* C y B tiene dos cifras m en o s q u e A,
A) 27
D) 29
B) 37
C) 35
E) 28
21
/-i
31.
Academia C ésar Vallejo
Por campaña escolar un comercian­
te compró abcde cuadernos y notó lo
siguiente en sus ventas: el primer día
vendió 14 cuadernos; el segundo día,
21 cuadernos; el tercer día, 30 cuader­
nos; el cuarto día, 41 cuadernos, y así
sucesivamente. Si la campaña fue el
mes de marzo y vendió todos los cua­
dernos, halle a + b + c+ d + e.
A ) 21
D) 25
32.
M aterial Didáctico N.° 1 I
B) 23
Dé com o respuesta la suma de cifr|
del resultado.
A ) 28
D) 26
36.
C) 31
E) 27
33.
A) 12
D) 18
C) 24
E) 13
B) 2
C) 3
E) 5
B) 15
C) 10
E) 14
S ia (3 a )c l(c - 3 )(c - 3 )= 9 9
calcule la última cifra al expresar
numeral
Dada la P. A. creciente:
ooo; o65; o c 4 ;...
calcule el término de lugar be.
Dé com o respuesta la cifra de mayor
orden.
A) 1
D) 4
Al dividir 7abe entre mnp se obtier
com o cociente un número primo'
com o residuo el complemento arl
mético del divisor. Si el cociente
la sesentava parte del divisor, calcu
a + b+ m + n .
37.
B) 15
C) 22
E) 27
D iv is ib ilid a d
Calcule el valor de
S=21 3 +324+435 +54 6 +...+ a6 ¡.
si; a 2 - b x c = b - 9.
Dé com o respuesta la suma de cifras
del resultado.
A ) 18
D) 12
B) 14
gacaacaac............ ,rr¡4_^ el
acc cifras
el sistema octanario.
A) 6
D) 3
38.
B) 5
C) 4
E) 2
Se cumple que
(a + l)c (c + 2)bb(a + l)(c + 3) = 455
34.
En la siguiente sucesión cuadrática:
l l m; 22,,,; 37,,,; ... 202,,,; 244m; 301m
calcule la suma de los m primeros tér­
minos de la sucesión indicada.
A) 768
D) 876
35.
B) 678
C) 786
E) 8 6 8
Calcule a+£>+c.
A ) 15
D) 12
39.
¿Cuántos
A ) 11
D) 8
16, 21, 26, 31 ......
21, 26, 31 ...........
31, 36, .................
181,
22
.346
numerales
C) 13
E) 16
de
la
formí
(a-2)(£>+3) son múltiplos de
no de 5?
Calcule la suma de todos los términos
del siguiente cuadro:
26, 31, 36 ...........
B) 14
B) 13
8,
pen
C) 9
E) 7
____ 2 ____ 2
40.
El resultado de abbc -cbba
es divisible por
A) 6
D) 197
B) 407
siempra
C ) 18
E) 222
_ A ritm é tica i-\
I tM .ii íamlonto UNI
II
cantidad de patos es impar y hay por lo
menos diez animales de cada tipo.
t iili ule la suma de las dos últimas cilin . ni expresar
(« 5 5 a .r
A ) 200
D) 204
•>ii el sistema ternario.
A)
B) 0
2
II) >1
C) 1
E) 3
46.
B) 214
C) 146
E) 196
El conjunto A tiene com o elementos a
los números 7, el conjunto Btiene como
A un número de 3 cifras se le multiplica
11*ii :t, luego se le sustrae 5 unidades;
>•1 iiMiltado se le multiplica por 7,
li ir ij u se le adiciona 13 unidades. Si el
M iiII.hIo es múltiplo de 37, calcule la
......i <le cifras del máximo numeral
i|in i himple con dichas condiciones.
B) 24
A) 26
I») as
elementos a los números 13. ¿Cuántos
elementos menores de 1000 tiene A ó B
que sean números capicúas?
A) 18
D) 19
47.
C) 20
E) 21
C) 13
E) 14
B) 20
Calcule la última cifra al expresar
131313.... 5 en la base 24.
2001 cifras
‘.i
llene la siguiente sucesión cua-
illAllca:
P| 12; 19; 28;...
B) (18)
D ) (11)
2
de estos términos son 7, de
(|ue al expresarlos en el sistema
...... 'milis
.... .
A) (17)
48.
Calcule el máximo valor d e o + b e n
__________
O
ab3ab3ab3..
tu unirlo resulta de 4 cifras.
C) 9
E) (15)
.= 7
mmml cifras
Al M
B) 16
II) III
M
C) 15
E) 20
I ii iiii.i división se sabe que el dividen"
—
ilu i-, 17+2, el divisor 17-1, el residuo
A) 18
D) 15
49.
17 l II) y el cociente es un numeral de
II
litas. Calcule la suma del máximo y
mínimo valor que puede asumir el coi lente.
A) !)!>«
..... .
4H
C) 1204
E) 1032
I n iin.i granja se tiene un total de 431
animales, entre patos y pollos. Se sabe,
i.li'in.is, que si la cantidad de patos se
II ii-i ila de 5 en 5 sobran 2, y si los pollos
,!■ cuentan de 21 en 21 sobran 4. Halle
ln i .mlldad de pollos si se sabe que la
50.
C) 17
E) 13
Al expresar el numeral aabbcc en los
sistemas ternario y quinario, las dos
últimas cifras resultan 1,1; 1,3; respec­
tivamente, además, en base 7 termina
en cero. Calcule el valor d e o x íjx c .
A ) 38
D) 42
B) 1104
B) 16
B) 18
C) 45
E) 21
Calcule el residuo al dividir N entre 8 .
’J'J’J 2009>+ 77772009 +
N .72009 + 772009>
7 2009
A) 2
D) 0
B) 1
C) 7
E) 6
23
D esigualdades e in ecuaciones
cuadráticas
A) x es en tero
® |< x < 2
1.
D ados los siguientes conjuntos:
A = { x e R / - x < j r - l < 2}
, 5
1
C) — < x < J 12
2
B = { j c e R / ( 2 - 3 x ) e [ - 2 ; 5]}
D) x e s negativo
halle A n B.
™ 5
2
E) — < x < 12 3
4 ?!
B)
¿En q u é intervalo se e n c u e n tra a/b si
n
sa b e q u e a e ( l ; 4) y b e (3; 5>?
C)<)>
C)
D)
WH)
E) ¿ < J f< 3
’
'
D ados los intervalos n o vacíos
D eterm ine el m ayor valor d e & si
sa b e q u e
v-3 3
— +-> £ , V xeR *
16 x
A)
B)
•
3
3
3
A)
2
1
E) —3 < n < —
3
S ea x un n ú m ero real d e m o d o que
i < -----2 x + 1 <2o
1
3 * -l
Indique lo correcto.
V2
B ,f
D)i
/W /”
1
2
D) - < n < ’ 2
3
24
\ 4
A = [ n \\- 2 n ) y B = ( - 2 ;n + 3 ]
si A c: B, halle la variación d e n.
3.
E )
&
C) 1
E) 2
Si S es el conjunto solución de la inecu
ción lineal (a + \) x 2+ a x+ b < 0; a <
indique lo correcto.
A ) S c ( - l ; +oo>
B ) 5 c (-1; 7>
C ) S c { - 7 ; -1)
E f 5 5 c ( — ;- l>
E) 5 c (0; 1>
_ Álgebra h.
Ijf e f w im iiltin to UNI
|
A) *0 e s prim o
Himuolva la in ecuación e n x:
♦ (« + l)x+ 1 < 0
*1 iii' m bc q ue a e ( - 1 ; 0).
B) x 0 e s m últiplo d e tres
tfj*
O x 0 to m a dos valores
(
^
D) x 0 > 51
A) (
+~ )
E) 7 < % <51
•"(l:4)
3.
R especto a la solución x 0 de la ecuación
indique lo correcto.
i " ( *•:
+“ )
A) 2Cjc0-1 )= 1
B) 3(jf0 - l ) = —
llnllf el co m p lem en to del conjunto A.
t
11
C )2 (2 jr0 -1 ) = -
|> . r / \l x 2 - 4 x + 3 e r }
D )3 (2 x 0 + l ) = l l
Al •*•; 11u |3; + “>)
m u . i'">
# )2 (3 x 0- l) = ¡
■frsKV}
I») (— ; 3)
ti) <
I) u (3; +<*>)
4.
i iih ule el m en o r n ú m e ro en te ro n d e
..... . q ue se cum p la lo siguiente:
I * v S fi;V x e
A) i:»/4
i » ';
B) 4
S ea a > 0 a y = \¡ax'¿ + ( l - 2 o ) x + o.
C alcule los valores d e a p ara q u e y se a
u n n ú m e ro real V x e R.
A) <0; + ~ )
B)
+
O
C )3
$ 5
l \prosiones irracionales
5.
S = { x e r / \ J 4 x 2 - 9 < *}
i liillr el conjunto d e valo res a d m isibles
1
J1
---------------2
+
Halle la longitud del co n ju n to S.
-
.3
X
y¡X
+1
A) &
A ( — ; - l) u [ l; + °°)
B) 3/2
D) 2-73 - 1
O
E)
1
2 V 3 -3
III (■■••; - 1 ) u ( l ; + °°)
«') (- 1 ;i)
6.
Si la in ecu a ció n irracional
i» H - i )
^ 3 - ^ x - J 2 - X >0
K) |l; + «•)
tiene CS=(m ; n], calcule el valor d e m n.
M \ (l es solución d e la ecu ació n
A )-3
D)1
<i J \
2 +■!) = x, indique lo correcto.
B) -1
-O O
E) 3
25
_ M aterial Didáctico N j
r \ Academia C ésar Vallejo ^
7.
R esuelva el siste m a d e in ecu a c io n e s
3.
\¡4 x2 - 5 x + \ < 2 x + 3
R esuelva la e c u a c ió n
x 2 -U I + 3
x 2 + \2 x -3 \
e indique la m ayor solución.
e indique la can tid ad d e solu cio n es
enteras.
B) 8
A) 10
D) 6
8.
É) 5
4.
R esuelva la in ecu a ció n irracional
B =\x e R
= 4}
x
x -\
d e te rm in e el cardinal d e A n B.
A) 0
D) 3
A) 0
D) 3
B) l
C) 2
E) 4
¿C uántas so lu cio n es tien e la siguiente
ecuación?
x
si3 x + \ - j 2 x + \ =
V 2 x T 5 + Vx + 5
B) l
5.
C) 2
D adas las fu n cio n es reales
/rw = | 2x - 6|-lx -- 2 | y
E) m ás d e 3
A) 1/2'
B) 3/2
C )5 /2
D) -3 /2
E) -5 /2
Si S e s el conjun to solución d e la e c u a ­
ción \x2-x\+ x'¿=x, indique lo correcto.
A )S = R *
6.
B )S .c < -l;0 |
Q$Sn < -l; 0) = {0}
D )S * |0 ; 11 *.
C onsidere a = x 2 + 1; x e R .
1
Si
x 2
p osición v erd ad era.
E ) 5 n ( - 1 ; 0]=<t>
A) 0 < a < 12
D ado el conjunto
S = {x e Q /|lx —2| —3| = 2x}
B) a > 11
calcule la su m a d e su solu ció n co n su
inverso m ultiplicativo.
25 < a < ,7
0) —
17
D) 0 < o < 14
A) 3/5
D) 8/3
B) 5/3
C) 2
E) 8/5
C )2
E) 4
a w » |2 r - 4 |- |x - 3 |
se cu m p le q u e
<->xeS.
Calcule el m e n o r e le m e n to d e S.
Valor absoluto
26
jc2
e indique la c an tid ad d e so lu cio n es
racionales.
A) 0
D) 3
1.
C )4
E) 2
D ados los siguientes conjuntos:
/l = { x e R /I at-2 1 +
^ l- - ..( x * - 3 * - 4 > * 0
9.
B) 3
A) 1
D) 3/2
E) — < a < 13
9
•a
■ w frtM lim ito UNI
2.
HhiIi • i’l conjunto
11 fe 1 u /
x -2
1
x 2 - 3 x +2
\ x - 2\
halle su regla d e c o rresp o n d en cia.
l<11111111<■su m en o r elem en to .
B) 2
K) l n
ln i
D ada la función real d e variable real
f = { ( \ - 2t 2\ / 2 + l) /í e R}
A) f.
C )2 /3
- 2 - x
B) fM = x + 2
E) 3/2
3 -x
2
MnIIi ' i'l conjunto solución d e lasiguien-
3 -2 x
!*• lim itació n .
f{x) ~
!* ' -I* +8
.
■m
— <4
x -2
i
2
E) fM = 3 - x
*
En R se d efine la función
Al (II. l •••)
B) R —{1}
ID II
x 2 - 1; x < - 1
C )0
fM ~ 2 x; - l < x < 1
x + 1; x > l
E) R +
M
" ti
1
1
e R y /,,) = lx -2 l-5 x
A )-3
D) 3
a
«(»)
# i,) » l * - 2 l + 5 x
4.
B) -2
II)»
C) 2
© 6
B) O
D ada la función fM = - x 2 + m x + n ,
calc u le el valor d e m - 3 ( n + r ) si se sa b e
i tli iili* ln f(/M )+ S u p (A Í).
A) I
<2X.+- /
C alcule f(-2) + % y
I Mili i r | conjunto
q u e {(-2; 0), (5; 0), (0; r ) } a f .
C) -1/2
E ) 1/2
B) -3 8
A ) -4 2
Af \
D) 38
C) 42
E) -4 0 /3
I unciones reales
5.
I i,nluí. los conjuntos
D ada la función
I '=f. 0
4 1 1 ¡ 2 ;3} y S={a;¿>}
F=
■ni* itli* un valor d e a ^ i í . A - ^ B e s u n a
halle su dom inio si se sa b e q u e su ra n ­
Iihii ii ni l.tl (|iie se cu m p le lo siguiente:
go e s el intervalo <1 ; 2 ).
• I - {(l;a), (2; o), (l¡y), (2;z ) , (* ;a)}
rq
• (* i y + z ) 2= 7 (2 a + 3 )
A) :i/a
t» ¡i
B) 1/2
A)
C) 1
E )-l
D)
i
//.
»(H °(?2
&')
E4 t>
27
M aterial Didáctico Ni
Academia C ésar Vallejo
6.
S ea e u n a función d e m o d o q u e
B)
A) Y
e: A c z Z - > Z
2
x —> si4 - x + \l\ + x
C alcule la su m a d e los e le m e n to s del
A) 3
D) 7
2 --•?—
1
E) ¿
Si la función fM =x2 + m x - m + 1 tiene
r
/
rango /? = [ 2 ; +<*>), calcu le el valor
1
x
D) y
de m .
3
Y
\ l
-y ,
3
1
/
E) 2
m
E)
2
C )0
B) -1
2
1
/
8.
1
*
C) Y
C) 6
B) 5
1
1
}
S -\
rango y el dom in io d e la función.
X
1
D ada la función real
f(xi - X - \
+ x - l ; x >)
3.
D ada la gráfica d e la función f
halle su rango.
m s
f{ x )= x 2- ( a - \ ) x + 2 i
Y\
A) R +
B) (2; +~>
C) (J 2 +1; + ~ )
D H 2 V 2 + 2; + ~ )
E) [2\Í2; +«>)
Gráficas de funciones
calcu le los valores d e o.
D adas las funciones reales
a e ( - 00; 3 ]u [ 7 ;
/U)= -Jr+ 3 A S u )= 2 ^ -3
cuyas gráficas se cortan en el punto (a; b),
B)
calcule el valor d e (oí»)2- 1 .
?/
A) 4
rs
B );
D) 5
2.
C) o
e ; 3 ) u ( 7 ; + ==)
D) °
\2 ’
E) 9
E sboce la gráfica d e la función
x + sg n (x 2 + l) ;x < 1
2
28
3 ^ u (7 ; + <*>)
;_x>}
E) 0 6(1; 3 )u ( 7 ; +°°)
_Álgebra
■ M p ^ ln liin lii UNI
liml.i l.i función/'m = - x 2+ 4 | x | +11, graI,i Nlguiente función.
'I *mfM
V)
#4
C alcule el valor d e f ((o)-
t) - 7
r>
B) 1
A) - 2
C) -1
D) 0
7.
0 )2
Indique la gráfica de la siguiente función.
1 1 -* 2!
l+ U I
.
M
4^
B)
\
Y
/
/
Y
/
X
X
y
y
\
■
VV
,
/
j|_ _ v
llitilii i’l conjunto
y)c R 2/ y > 2 x
D)
y < 6x - x 2}
a
m áxim a distancia vertical
...... ilos elem en to s del co n ju n to /!.
E)
Y
tlt i. M u llir l.i
\
/
X
'I
l«) "t
S ¿
X
Y
V V ,
X
C )4
E) 9
B) 1
D ada la función
i u lit llqm.i adjunta se m u estra la gráfi• i ile la función
= a -\b -x \.
| at—2 1+ |x + l |,
d e te rm in e su rango.
A) R an/' = [0; +°°)
B) R an/' = [1; +°°)
C) R an/' = [2; +°°)
D) R an f = [3; +°°)
E) R an/' = [0; 3]
*1
Í
V
y-
4- d
»
1
-
\
29
/H Academia César Vaiiejo
__ M aterial Didáctico NJ
Funciones ex p o n en cia les y
logarítm icas
1.
B) D o m /•=<(); 4>
C) D om /'=(0; 8)
Halle el dom in io d e la función exponencial
(35 D o m /■=<<); 16)
fM =: e ^4 lx+l1.
A) 1-6; 2]
- 5 ; 31
2.
A) D o m /= R +
B) r-4 ; 4]
E) D om /'=(4; 16)
C) [-4 ; 2)
E) [-5 ; 2)
b'
Esboce la gráfica de la siguiente fun|
g w = log2lx + ll
E sboce la gráfica d e la siguiente función.
A)
B)
,Y
Y
C)
E)
-2
3.
Indique c u á n ta s so lu cio n es tiene la si­
guiente ecu ació n .
3*+ l+ 9x = 1 0 8
YA
(
0
D eterm in e el valor d e n q u e cum p
siguiente igualdad.
.
n 2+ 1 = lo g (n+1)2 - 2n
B) 1/2
A) 0
D) 3
i
E» 1
4. Halle el cardinal d el co n ju n to A.
A = { ix ; y) e Z + x Z +/y < 2* a y > 2 a x + y < 3}
A) 1
D) 4
B) 2
Halle el co n ju n to solución d e la sigu
te in e cu a c ió n logarítm ica.
log 3 |l o g j , U - 4 ) j < 0
pá
E) 5
A) (3; 0)
5.
D ada la función
halle su dom inio.
30
C) V 2 - Í
= log ( (4 - log 2 Jf),
D)
«!>
*B ) <4; 14]
C) [5; 14]
E )(f;5 )
__ Álgebra »-»
■tffttH turnio UNI
PRACTICA DOMICILIARIA
Mtn Igualdades e inecuaciones
cu adráticas
Si el co n ju n to solución d e la in ecu a ció n
ax2 + b x+ c < O e s el intervalo
3 -7 3
t >i!i ule el m en o r valor d e x si se sab e
—
« M .
B) - 3
Al I
ID 'i
d e te rm in e el valor de
C )-4
E) O
B) 1/2
ac
C o nsidere { a ,b ,c } c Z y a + b + c = - 2 .
A )-2
D) 1
lliiil.r. Ii i s desigualdades:
I K» S -1
I
2
Indique el m ayor valor á e x /y .
Al I t
|t) 1/3
3 + V 3\
B) -1
C) O
E) 2
D ado el polinom io P (x)=jr2 +4x'+3n,
calc u le el m e n o r valor d e n si se sab e
q u e P w > 8; V x e R.
0 -2
E) 2/3
A) 8
D) 2
B) 5
C )4
E) 12
Mml.is las expresiones:
f) ( l
x ' + \ \
Indique c u á n to s valores e n te ro s to m a
n si la ec u a c ió n cu ad rá tic a e n x\
2ax-(cuf+nc)+(fj2-2 )c 2=0; { a ,c} c R-{0}
tien e raíces reales.
- 2 < x < s ¡ 2
• i M ; - 2 < x < ^ ¡2
i nli ule el valor d e m áx (/)+ m ín (g ).
Al M
B) 4
0 -2
A) 1
D) 4
E) 10
II) 4
•ti >■r ia b c q ue
M | |
C )3
E) 5
E xpresiones irracio n ales
j(j«r + y)/v{jc; y }c R *
Si las siguientes e c u a c io n e s so n eq u i­
valentes.
Indique lo correcto.
J lc T ^ + y lx 4 - 1 6 = 0
A) M > 2
III M i 4
I IM i 4
|» ) M í8
1,1 W « (2; 4)
1 6 - a - x 4 = % /a- 3 jc - 4
halle el valor (o valores) d e a.
i nli ule el valor d e a si se sa b e q u e
; 5) es el conjunto solución d e la
ilM' líente inecuación lineal.
» 2 x , x
B - +- < + I
a
2
A) 2
11)2
B) 2
B) -1
C )1
E) 6
A) 2
D) O
10.
B) -1
C) 2 v -1
E) 2 v 1
R esuelva la e c u a ció n irracional
V 2 * -3 -V 4 x -7 = s l3 x - S - J x ^ \
A) {2}
D) {1; 2}
B) {-2}
C) { }
E) R —{2}
Academia C ésar Vallejo
11.
M aterial Didáctico N "
Resuelva la siguiente ecuación irracional.
16.
¿Cuántas soluciones tiene la ecini
^/3jt +1 + >/jf + 4 = 9?
A) 0
B)
i!
C )2
E) 4
c )5
D)
Valor absoluto
E)
17.
12.
B) 1
D) 3
Indique la suma de soluciones
Resuelva la inecuación irracional
de la siguiente inecuación.
V 5 x -\ < x - 5
U -2 I-3
enti
•<0
-x + \
e indique el número de soluciones en­
teras que no exceden a 30.
A) 2
A ) 16
B) 12
D) 19
D)
C) 17
6
E) 10
Si w = -2 x -y -3 z , indique lo correc
\¡9 + 2\l\4 + 5x - x * =\lx + 2 + s/7-x
e indique la suma de soluciones enteras.
B) 15
D) 25
Sean x, y, z e R tales que
|*-1| <1, |y+2| < 2 , \z| < 4
Resuelva la ecuación irracional
A) 10
C)
E) 20
18.
13.
B) 4
8
A ) -16 < w < 16
B) -16 < w <20
C) 20
C) -14 <tü < 17
E) 27
D )-1 0 < u ; < 31
14.
E) -10 < w < 19
Resuelva la inecuación irracional
J x ¿ - 2 + x <0
e indique cuántos enteros no positivos
19.
Resuelva la inecuación
\x2 -4\+2x < 4
no son soluciones.
e indique un intervalo solución.
A) 3
B) 2
D) 0
15.
C) 1
A ) (-1; 2|
E) más de 3
Resuelva la siguiente inecuación irracional.
20.
x J + 2x - 5 < x -1
D) ir- 1
32
B)
-1 ) C) (l; | )
E)
{-*¡)
C)<1; 3)
E) <0; 1 )
Resuelva
|2*-1|-U-5|
|x + 4|+ U - 3 l
A) \S: +°°
B) < - 1 ; 0)
D) (-5 ; 2 )
<0
e indique la longitud del conjunto solucú
A) 3
D )1
B) 5
C) 6
E) 4
_ A lg e b r a n
||> ..iiiiiiiiil.il UNI
(tltllillvil
A )- -
|. I ,'| •. 12x—11+ |3x+l |
C )0
B )"4
■
i iii>II<|im* <‘
l c o m p le m e n t o d e l c o n ju n to
41 I
10
E) I
0 )1
Im IiII Ii'mi
C)
. 2] B) R
2
27.
E) R +
»
Sean
f yg dos
fu n c io n e s d e m o d o q u e
fM =-x2+ax+b
y
g u ) = x 3- c
D e te rm in e e l v a lo r d e
(■«Mi'lvii la inecuación
lt
J
‘\ i 'lx
lit
I li
a+b +c si s e
— <0
C) 2
B) 1
A) 0
X
E) 4
D) 3
A) (
2)
B) (-«>; -
sabe
q u e /■(,)=«(,)■
2)
II) ( a. 0)
CH
E) (-2; 1)
28.
D a d a la fu n c ió n
f:A-*
= y 2 - ^ x 2 + -^ j,
R tal q u e
in d iq u e
c u á n to s
Miiiui'lv.i l.i ecuación
e le m e n t o s e n te ro s tien e e l c o n ju n to
|» «| + |x-5|=x
m hiill<|ii<*
A.
la menor solución.
A) 0
A) H
C) 2
B) 4
E)
t i l H / :i
B) 1
4/3
• ni. iili' l.i lon gitu d d e l c o n ju n to
C) 2
M.
M ■ j » . R/l2x - ll + |2x + ll = 2 }
A) i n
ni i
C)3/2
B) 1
29.
('1
3
E)
m á s d e tres
H a lle el r a n g o d e la s ig u ie n te fu n ció n .
x
E) 4
Mu idclva
D)
S w : x-\
sistema
B)
|U
r.l t |y- 8 |= 38
A) R
I
\x
D ) <-1; l )
ci| + y =
14
<1; +<*>)
C )(-o o ;l>
E) R - { 1 }
lui'Ho, Indique el mayor valor de x.
30.
B)
A) lll
II)
22
D a d a la fu n c ió n
C) 10
( x 2- l ) ( 2 * - 0
E) 27
7
Funciones reales
2x + x - l
c a lc u le la s u m a d e lo s e le m e n t o s d e
D o m ij-R a n g .
SI
/.'
•
((2 jt -1 ;
x ) e A x A / x e A = ( - 2 \ 2 )}
ti) e R
A )f
B )f
O - f
miii ic la c ió n tal q u e ex iste (a ;
> «|ih* v e rifica 2 b + o = l , c a lc u le el v a lo r
■li v q u e c u m p le e sta c o n d ic ió n .
« 4
E)
Academia César Vallejo
31.
. _ M aterial Dii
Didáctico N *
A) f(r)-0
S e a n la s fu n c io n e s
f(x-)= x 2- 6 x + ] 1 a
g M = - 3 x 2+ 6 x + 2
V
f(r) - 4
B) Si r = 0, entonces, P está en ^
Calcule la suma de elementos enteros
que pertenecen a Ran/'n Rang.
cuadrante.
O Si r = 0, entonces, P está en ^
A) 12
D) 10
32.
B)
cuadrante.
C) 16
E) 14
8
D) Si r = 4, entonces, P está en ^
cuadrante.
Sea f: A —• { 1 } una función de modo
que f ( x ) =
E) Si r - 4, entonces, P está en J
U -61-2
cuadrante.
2+ U-2I'
Indique el conjunto A.
37.
A) <-oo; 2>
B) (2; +oo)
Si f(x)= x 2 -7 x + 10 es una función (
gráfica es
E) <-«»; -21
D )< - oo;2|
33.
C ) [2; + ~ >
Dada la función real
8 ( x ) = t l x 2 - 4 * + 12
halle Domg n Rang.
A) R
B) R +
C ) R - (2 ; +oo)
D) R -<-<=»; 2 )
E) R -< -2 ; 2)
34.
calcule el valor d e m + n .
Si x € R, ¿cuántos valores enteros toma
la función \x) ~ '
A) 17
4x
1 + JC2
A) 5
D) 2
B) 4
B) 17/2
D) 7
C )3
E) 1
38.
C) 27/2
E) 27
i
Del siguiente gráfico, calcule la sii
de los valores enteros de a.
Gráficas de funciones
35.
Si ( a ;b ) y ( l; 2 a ) son los puntos de
intersección de las parábolas
fM = - x 2 -7x+ 2 y g M =3Jf2 + x - I 0
calcule el valor de a+b.
A ) 17
D) 8
3B.
34
B) 11
= x 2 + 2 bx + 2
C )9
E) 13
Si el punto P = ( r - 1; 2 r + l) pertenece a
la gráfica de la función f M = x 2, indique
lo correcto.
A ) 28
D) 40
B) 20
O 30
E) 15
ii i lii
I-
mi Aflea
41.
de la función
Halle el área que encierra la gráfica de
la función f, cuya regla de correspon­
'I
dencia es f(x) = V 4 -4 x + x 2 - 4, y el eje
de las abcisas.
A)
8
u2
B) 12 u2
42.
C) 32 u
E) 64 u
D) 16 u2
Indique la gráfica de la función
Ul3+|xl
A)
Y
B)
I ....... I.i gráfica de la función
,
n.i
Al
x * + 1; x S 2
4 Ul; x < 2
Y
B)
)
Función exponencial y logarítmica
' i
43.
Halle el rango de la siguiente función.
/-*
M aterial Didáctico N.'
Academia Césa r V a lle jo ^ __________________—
44.
Calcule la suma de las soluciones ente­
B ) ( 0 ;+oo)
A)
ras de la siguiente inecuación.
C) <1; +
.2 „
■J2
> '¡2 >
D) 2 ; 1
B) 2
A) 0
C) 3
A ) {3; - 2 }
D ){- 2 }
Resuelva la inecuación exponencial
(4* - 2 X)
<8
Halle el conjunto solución de la ecuí
lo§V3 ür - 3) + log J3 (x + 5) = logjj {x2-
E) 7
D) 5
45.
48.
49.
1
C) {3 }
E) R
Dado el conjunto
S = jx
B) (0; 2)
6
z / l o g , ( 6 x - 5) > log 2 x -
C) (0; 4)
D) (-1; 2)
46.
B)
e indique un intervalo
solución.
A ) <0; 1)
E ) \2 ;
indique su cardinal.
E) <- 2 ; 1 ]
A) 4
D)‘ 1
Resuelva la siguiente inecuación expo­
B) 3
C) 2
E) 0
nencial.
x + 2 r+l > 5
'
A) R +
B) R
D) 11; + 00 )
47.
Dada
la
función
Si S es el conjunto solución de la j
cuación logarítmica x + lo g x < 1 ,
que lo correcto.
C) (0; 11
A ) S=(0; +°°)
B) S = (-o o ;l]
EH
halle Dorn/'.
36
5D’
(2jc -1),
C) 5 c [-1; 1>
D )5 = [l; +=<»)
E ) S c [ 0 ; 1]
Geometría
Circunferencia
|tül Mi.ílico, calcule x.
4.
Del gráfico se sabe que E y M son puntos
de tangencia y ;VÍB=3(AW). Ccilcule m ER.
E) 105°
|)< i|uii el gráfico, BC//AD. Si BC= 4,
M>- My mi DE = mABC, calcule mAB.
5.
Si N y R son puntos de tangencia y
mAE = 40°, calcule m IRC.
C) 23°
E) 30°
I ii el gráfico, OABC: paralelogramo.
A) 200°
Calcule a.
D)260°
B) 220°
C) 240°
E) 280°
37
¡■\ Academia César Vallejo ^__________________ __
6.
M aterial Didáctico N*
En el gráfico, 3) e s m ediatriz d e AC.
C alcule x.
En u n triángulo ABC se traza la i
BH, (H e n AC) y la cev ian a inte
CN, d e m o d o q u e 2 04/V)=3(/JA
C/Vr¡B H = {L }, (A H )= ^(H C ) y LC\
calcu le NL.
En u n triángulo ABC, e n AB y BC sa
C) 90°
E) 60°
7.
c a n los p u n to s M y N , re sp e c tiv a m d
a d e m á s, MN//AC, MN co n tie n e al
Según el gráfico, calcu le x.
c en tro del triángulo ABC, 4 (iW/)=^
y BI r\A C = {L } tal q u e (JL)=~[Bt:
AC= 14, calcu le B C -A B .
A) 7
D) 3
4.
Proporcionalidad de segm entos
1.
38
Calcule FC si BD =4, 3(B £)= 2(£4) y
m B D = 2(m < BAC). C onsidere B p u n to
de tangencia.
B) 5
C) 2
E) 4
S egún el gráfico, A B = 8, B I= 4, A H i
EF=FG. C alcule FH.
- ................... .............. .................
Í
”
------------------------------------
h i ni unifico, M, N y P so n p u n to s d e
(ttiHnm l.i, a d em á s, A ñ= S C . Calcule
4W ' .
Sem ejanza de triángulos
1.
Según el gráfico, AE=3 y BD=2.
Calcule EC.
A) 5,2
D) 4,4
A) ‘i
Geometría
B) 2/3
l*> l/:t
C) 1
E) -Ji
2.
B) 3,6
C) 4,8
E) 4,2
Si MNPQ e s u n c u a d ra d o y AM=MC,
calcu le x.
I MI unifico m ostrado se sab e que
AM-M II,AN=3(.NL)yAQ=6. C alculeAP.
A) 12774
D) 53°
B) 127°/2
C) 60°
E) 30°
S ea ' BDEF u n paralelogram o. Si
ME=3{BM) y £ ^ = 1 8 , calcule AB. (4:
p u n to d e tangencia).
'ii'm'm el gráfico, AM=MB.
II l'Q QM= 3, calcu le BL.
A) 2
D )9
B) 3
C) 6
E) 12
39
¡ i Academia César Vallejo
4.
En
el
gráfico, ABCD: c u a d ra d o
y
BM=MC. C alcule * si E, H, K, Q, R y S
so n p u n to s d e tangencia.
A) 53°
B) 60°
D) 75°
5.
C)
127°
2
E) 76°
Del gráfico se sa b e q u e ABCD e s u n
cu ad rad o . Si CP= 1, calc u le QH.
A) 25/7
D) 10/7
6.
B) 16/7
C) 12/7
E) 18/7
Del gráfico m o stra d o se sa b e q u e A S =6
y AP=4. C alcule PQ.
A) 3
D) 6
__ Geometría Hv
>m **l yi.'ifico, C es baricen tro d e la re||imi Irlnngular ABC. Si B C = a y AC=b,
i rtli ni'-
5.
Del
gráfico
se
que
A O = 6,
triángulo AOC e s equilátero.
HM
MH '
Al
sa b e
A M -S{M C ) y QR=5. C alcule 0 ¿ si el
O
a ) I)
c)
b -a
A) 3 ^3
E)
b -a
B) x/35
D) n/31
C) 3V5
E) 2-Jl
En el gráfico, C ,D ,P ,T ,Q y L son pun to s
’n ,i il .ínguloAOB d e 60°. Se ubica e n su
o nlnii interior el p u n to P y e n OA y OB
d e tangencia, ad e m á s, R=2r. Si 7 1 = 2 7 2 ,
calcu le la longitud del se g m e n to q u e
Iiin puntos R y 5, respectivam en te,
tiene p o r ex trem o s los p u n to s m ed io s
m lrm ás, la distancia de P h acia OA e s 2
d e BM y CO.
V liii< id OB
es 1. C alcule el m e n o r valor
ili'l perím etro de la región triangular
mv
A) 3V2
w
B) 2V6
II) 2\f i
C) 7V2
E) 6 n/2
1 11 una sem icircu n feren cia d e diám etro
MI y centro O, se traza la c u e rd a BC,
luego se traza O M 1B C (Ai e n BC). Si
(O /0 2+3(OA/)2=12, calcule AM.
A) 3
ll) 272
B) 2 n/3
C) 4
A) 2
E) 3V2
D) 7 3
B) 7 2
C )3
E) 1
41
/H Academia César Vallejo ^.....................................__........... ....................................._ M aterial Didáctico
7.
En el gráfico, BMNQ es un cuadrado. Si
MT +TB=ayA H +H M =b, calcule
.
A) 9
D) 8
3.
B)
6
C) 7
E) 12 I
Según el gráfico, T ,P y Q son punlm
tangencia, además, {AL){TB)= 16.B
cule el área de la región triangular /ti
a+b
<
«A o
a+b
b -a
E) ~ ~ Z
b
a+b
Áreas de regiones p lan as I
i.
Del gráfico se sabe que
AB=2(BQ)=2yJ\0
Calcule el área de la región triangular
PLQ, si P y Q son puntos de tangencia.
4.
En el gráfico, G, y C2 son bariceri
de las regiones triangulares ABD y IM
respectivamente. Si el área de la reá
ABCD es 48 m2, calcule el área de C ,!
A) 23/2
B) 17/2
D) 27/2
C) 16/3
E) 15/4
En el gráfico, ABCD es un rombo, DE=5
y D F= 3. Calcule el área de la región
triangular BEC.
42
Geometría
UNI^,------------------------------------------ .
Áreas de regiones p lan as II
mi triángulo ABC se trazan las ceInteriores BFy AE, las cuales se
luí. i
,111
Del gráfico se sabe que S C =2 (A 5 )
en P; además, BE=3(EC) y
4r»M/t/ '). Si el área de la región trian-
y MNPQ
|Ml n UFE es 48, calcule el área de la
MN= 5, calcule el área de la región
>ii li¡angular
es
un
paralelogramo.
Si
paralelográrhica MNPQ.
P£ñ.
Ilt'l Hiáfico se sabe que O y C son pun|li> ili* tangencia. Si mO¿=37°, calcule
|min/ón entre las áreas de las regiones
■hlliMulares ANK y KOxC.
A ) 84
A) :«i/45
B) 32/45
11)32/55
C) 28/45
D)
B) 92
C) 96
E) 81
86
E) 28/55
2.
El área de la región paralelográmica
I ii i'l gráfico, AE=2 y MK=3. Calcule el
ABCD es 100. Calcule el área de la
rtira de la región EOH.
región sombreada.
A) 13
D) 13/8
B) 13/2
C ) 13/4
A ) 32
E) VÍ3
D) 72
B) 64
C ) 16
E) 54
43
/H Academia C ésar Vallejo
Material Didáctico N
Del gráfico se sa b e q u e T y P so n
p u n to s de tangencia. Si R = 6, calcu le el
á re a d e la región c u a d ran g u lar ABTP.
C onsidere q u e LB= 2(TB).
so n 1 u 2 y 4 u 2, resp ectiv am en te, <h
le la razón d e las á re a s d e las remití
A B C D y BPDA.
A) 3
D) 3/2
6.
A) 6%/6
B) 2yf&
D) &\¡2
B) 1
C) 3/4
E) 15/41
En el gráfico, M y K so n p u n to s de j
gencia, EH= 2 y HR= 1, C alcule e lf
d e la región so m b rea d a.
C) 3\Í6
E) 6s/3
En el gráfico, el á re a d e la región c u a ­
drangular ABCD e s 20. Si Ai, /V, P y Q
A) 7t/2
D) 4n
so n puntos m ed io s d e BQ, MC, ND y AP,
calcule el área: d e la región c u a d ra n g u ­
lar MNPQ.
S ean C, y C2 circu n feren cias ortogd
les, y C3 u n a circu n feren cia co n cén t£
c o n C2 y tan g e n te ex terio r a C,. Cal(
el á re a d e la c o ro n a circular si la cu
d a c o m ú n tien e c o m o longitud 2 4 1
radio d e C2 e s 15.
A) 125ti
D) 250 ti
B) IOOti
C) 225;:
E) 200 t:
Del gráfico m o strad o , calcule la s u l
d e á re a s d e las regiones so m b re a d a »
r= 2V2.
A) 3
D) 5
B) 6
C) 4
E) 8
S ea ABCD un p aralelogram o. Se p ro ­
longa CA h asta el p u n to P, luego se tra­
za DN q u e in tersec a a PC y BC enM yA í,
respectivam en te. Si AP=M C y las á rea s
d e las regiones triangulares M NCyAM D
44
A) 2ti/5
D) 2ti/3
B) 5 t^4
C) 3n/2
E) n jl
._
H atnlni il,o UNI
Geometría h .
PRACTICA DOMICILIARIA
C irc u n fe re n c ia
3.
Del gráfico m o strad o se sa b e q u e
ABCD es u n cu ad ra d o , a d e m á s, T, Q y
|b« el unifico m ostrado, m A 8C =130°.
R so n p u n to s d e tangencia. Si T M = \,
• •*ll lile X.
calcu le AB.
A) -J2
A) 110
B) 61c
4.
C) 2
E) V6
D) V5
C) 65°
E) 70°
B) n/3
En el gráfico m ostrad o , T, Q y R son
p u n to s d e tangencia. C alcule x.
Ht'min el gráfico, m A B = 2 m B C .
i ni* ule mPQ .
A) 30°
I» 45°
B) 35°
C) 40°
A) 24
E) 60°
D) 36
B) 20°
C) 33°
E) 34
45
r1
/-i
5.
Academia César Vallejo
.. ._.
Del gráfico mostrado, calcule x si se
sabe que BC=4(AM).
Material Didáctico N • I
En un cuadrilátero inscriptible Mil '0
circunferencia inscrita en dicho C|fl
látero es tangente a AB, BC, CD y/M
los puntos M, N, T y P, respectivuifl
te, además, NP n M T = {L ) y se ■
PHLAB, H en AB. Si la m «M tí/V«B
calcule m <PHL.
A) 20°
B) 40°
D) 60°
C) 50°
E) 45°
Proporcionalidad de segmento* j
A) 8 °
D) 15°
6.
B) 10°
En un paralelogramo ABCD, se uhIÉ
en AB y m <APD=90°. Si 3(fíP)=5M |
C) 12°
E) 20°
m<BCP=m<PDA, calcule m <BCF
En el gráfico mostrado, A y B son puntos
de tangencia. Si las circunferencias son
ortogonales, calcule x.
A) 37°
B) 45°
D) 3172
10.
C) 53-/2
E) 53°
En el gráfico, AB = 4 y BC = 3. Si 1
punto de tangencia, calcule R.
A ) 4V7
B) 2VÍ7
C) 2 J 7
D) n/37
E) V7
A) 90°
D) 120°
B) 105°
C) 116°
E) 135°
11.
Según el gráfico, m <ABC = m <íA'A1
2m <FCO. Si 2(AB)=5(BE) y EF=2(l't
7.
Si la m/lB =40°, calcule x.
A ) 60°
D) 90°
46
B) 70°
calcule
C ) 80°
A ) 2/5
E) 95°'
D) 3/5
AD
DC'
B) 2/3
C ) 1/2
E) 1/3
MniltmU) UNI
W tiI unifico, el triángulo ABC es equi-
AL
IéMmh Si l)M=2{MN), calcule — .
.................................................. _
Geometría
A ) 10
C)12
B) 11
D) 13
E) 14
En un triángulo acutángulo ABC se
B
trazan las alturas AM, BP y CL, las
cuales se intersecan en H, además,
L P n A M = {Q }.
Si
la
distancia
del
circuncentro de dicho triángulo a BC
es 2 y QH= 1, calcule MH.
A ) 1,5
B) 1
D) 3
0 2
E) 2,5
En un triángulo ABC, la circunferencia
inscrita es tangente a los lados AB y BC
en los puntos M y N, respectivamente,
de m odo que la recta MN interseca a
B) 2/3
la prolongación de CA en Q. Si AM=3 y
N C = 4, calcule AQ.
I irl urálico se sabe que C es baricentro de
I.....K¡ón triangular ABC. Si AM=4(BiVI),
A) 7
B) 12
D) 21
Q 14
E) 24
i iilt ule
Semejanza
QC
Según el gráfico, C y O son puntos de
tangencia, además, EF=MG yAB=2'J\Ó.
Calcule LC.
A
A) 1/2
D) 4/8
B) 2/3
C) 3/4
E)
8/6
l.n un triángulo ABC, I es incentro y G es
baricentro de la región triangular ABC.
A) 3
Si AC//GÍ, AB= 10 y BC= 14, calcule AC.
D) 6
B) 4
C ) VÍO
E) 8
47
r
__ M aterial Didáctico N.° 1
/H Academia César Vallejo ^---------------------------------—
18.
En un triángulo ABC, e n AB, BC y AC
se u b ican los p u n to s D, E y F, re s p e c ­
tivam ente, d e m o d o q u e ADEF e s un
p aralelogram o y CD n FE={I}, d o n d e /
es incentro del triángulo ABC. Si IF=a y
BE=b, calcule BD.
A) 5/6
D) 1/3
C )2 /3
E) 2/5
B) 1/2
21. En la circu n feren cia circu n scrita a Uli
triángulo eq u ilátero ABC, se u b ica I
p u n to P, a d e m á s, AC n P B = { M } . ^
P A = 2 y PC =3, calcule PAZ.
A)
a + 2b
B)
a +b
E)
D) - ( a + b)
b
b (a + b)
C) 1,2
E) 1,6
B) 1,5
22. En el gráfico, BC//AD , m BEC =
19. Según el gráfico, el triángulo ABC es
equilátero y m BM = m MN = m NC.
Calcule
A) 1
D) 0,8
RD
CD=6 y CF=5. C alcule — .
AF
BC + PQ
B C -P Q
N
E) 5/2
D) 5/3
23. Según el gráfico, P , T , Q y R son p u n í
D) 5/4
E) 6/5
20 . En el gráfico, Q, P y T so n p u n to s de
tangencia.
QT
TA '
d e tangencia. Si MN//AC, A C = 1 y I
p erím etro d e la región triangular Att
es 20, calcu le MN.
Si 6(AQ )= 5(PB), calcule
A) 2
D) 2,5
48
B) 2,1
C) 3,5
E) 3
t Hoforzamiento UNI
ti
Del gráfico se sa b e q ue T J y Q
son
Ipuntos d e tangencia. Calcu ^ •
A) 3/4
B) 2/3
D) 1/2
C) 1
0 3 /5
R elaciones métrica®
27.
En el gráfico, >1C=6 y BT= 4. Si T es
p u n to d e tangencia, calcule la distancia
d e B a AC.
A) 6/5
B) 8/3
D) 7/3
C )8 /5
E) 15/4
28. La circu n feren cia inscrita e n un trián­
gulo ABC e s tan g en te a AC en D. Si _
% l'.n el gráfico, ABCD e s un P‘™ ^ '° § ra
m ,, y AH=4{HD)=4. C a lc u le
A B =5, B C = 7 y /tC = 6 , calcule BD.
A) 3
B) 4
D) 6
C )5
E) 7
29. Se tiene u n triángulo ABC, d o n d e AB=c,
B C = a y AC=b. Si a 2- c 2=bc, calcule
m < BAC
m < £CA'
A) 6
B) 10
II) 12
C) 15
E)8
• Según el gráfico, T es p u n to <ie tangen
i In y AT=4. C alcule AM-
A) 2/3
B) 3/2
D) 2
C) 1/2
E) 3
30. Se tiene u n triángulo d o n d e las longi­
tu d es d e los lados so n 5, 7 y 3. C alcule
la m e d id a del m ayor ángulo d e aq u el
triángulo d o n d e la longitud d e los lados
so n las inversas d e las longitudes d e las
alturas del p rim er triángulo.
A) 90°
D ) 120°
B) 143°
Q 127°
E) 150°
f-\
__ M aterial Didáctico N.° 1
Academia César Vallejo
31.
Un cuadrado ABCD se encuentra ins­
A ) 20
crito en una circunferencia. Si T e AB\
D) 15
B) 10
C) 25
E) 30
AT=a y TB -b, calcule TD.
A) a\l2 + b
34.
B) a-J3 + 2b C) a + 2\¡2b
D) a+b
Según el gráfico, OK=KC= 4. Calculej
área de la región triangularlo/, si K, i
E ) a + s/3b
S son puntos de tangencia.
Del gráfico mostrado se sabe que ABCD
32.
es un rectángulo, además, T y Q son
puntos de tangencia. Si BQ = 2 y Q C = 3,
calcule TD.
O
M 284
382
A) 25
25
^ 385
d ) -27
35.
C)
E)
384
27
En el gráfico, C es punto de tangend
BC=J\0. Si BQ=CP, calcule el área
E) V23
la región triangular ABC.
Á re a d e r e g io n e s p la n a s I
33.
En el gráfico, T y P son_puntos de
tangencia,
además,
mAPB=106°
y
{BM){AT)= 25. Calcule el área de la re­
gión triangular TAB.
B) 6
50
yio
/H Reforzamiento UNI ________________________
36. En el gráfico, el triángulo PQT es equi­
látero y PM=MT=SQ. Si el perímetro de
Geometría
A) 1
B) 2
D) 5/2
C) 2/3
E) 5/3
la región sombreada es 30, calcule el
área de dicha región.
39. Del gráfico, halle la relación entre JA, B
y <E, las cuales son áreas de las regiones
triangulares sombreadas.
A ) B=22A+C
D) 36
E) 24
B) B=2A+CC
1/ En un triángulo ABC se traza la altura
IIH y la ceviana interior AM, las cua­
C )A = ® ^
les se intersecan en S, de m odo que
BM=2(MC) y HC=3(AH). Calcule la ra­
zón entre las áreas de las regiones ABS
• y HMC.
A) 2/3
D) 8/9
i
B) 5/7
C) 9/10
E) 7/9
D )(C = A - —
3
E) (EiA=B
40. En el gráfico mostrado, m NSC = 120° y
LS=2(O K)=2(LC). Calcule la razón de
áreas de las regiones sombreadas.
I ><■! gráfico, calcule la razón de áreas de
l.is regiones sombreadas si BH=2{AH).
A ) 5/2
D) 4
B) 3
C ) 10/3
E) 4/3
M aterial Didáctico N.° 1
r \ Academia César Vallejo
41. Se tiene un triángulo ABC inscrito a una
44. En u n p aralelo g ram o ABCD se tra z a r»
circunferencia y se traza la altura BH. Si
m<ABW=30° y m < flC 4 = 5 3 °, ad e m á s,
BL=4LC(L e BC), calcule la razón de
áreas de las regiones triangulares AOB
y BOL. (O: centro d e la circunferencia).
las b isectrices d e los ángulos BAD y
ABC , las cu a le s se in te rse c a n e n P. Si
el á re a d e la región triangular PCB es 9,,
calcu le el á re a d e la región p a ra le lo g rá í
m ic a ABCD.
A)
2lV3
15
B)
IO n/3
■»¥
c) 4V3
15
E)
2v/3
Á rea de reg io n es p la n as II
A) 9
D) 24
B) 20
C) 18
E) 36
45. En el gráfico, ABCD e s u n cuadrado, I
a d e m á s, AF=FE. Si las á re a s d e la)
reg io n es EFM y MFN so n 4 y 1, calcu la
el á re a d e la región ABCD.
42. Del gráfico m o strad o , calc u le a si se
sa b e q u e el á re a d e la región so m b re a d a
es l / 8 y / ? = l .
A) 24
D) 30
D) 75°
B) 18
C) 25
E) 36
E) 53°
46. S egún el gráfico, L e s p u n to d e tangen
43. En el gráfico, AB= 4. C alcule el á re a d e
la región so m b read a.
D) 12
52
E) 16
cia. Si Q C = 5(P Q ) y AB=4, calcule |
á re a d e la región so m b re ad a .
A) 6n
D) 12ti
/- *
47.
Reforzamiento UNI
Geometría i-^
_________________________
Del gráfico m ostrado, calcu le el á re a de
la región so m b re a d a si se sa b e q u e P y
Q so n pu n to s de tan g en cia y R = 2s¡3.
A) 30°
D) 53°
B) 37°
C) 45°
E) 60°
49. En el gráfico, halle la relación d e á rea s
d e las regiones so m b re a d a s.
A) 3 (3 ^3 - n )
B) 2(2V 3-7t)
C) 3(273 - ti)
D) 2 ( 3 ^ - t i )
E) 8 - 6 ti
(I
Según el gráfico, / es in cen tro del trián­
gulo ABC. Si las regiones so m b re a d a s
son equivalentes, calcule m <BC 4.
A) iA+B+(E-l-ID=IM + IN
B) A +B -(E -ID =1M +IN
C) A -B + C -ID = IM -IN
D )A + B + (n -ID = IM -lN
E) A -<C +B -ID =IM -IN
53
r
T r i g o n o m
Identidades fu n dam entales y
reducción al primer cuadrante
1.
D) ^ y -(se c x + t a n x - l )
E) 72(1 - s e c x - t a n x )
Si se cum ple que
K = \/s e c x + l + N/ s e c x - l ; 0 < x < —
5.
en to n ce s, calcule s e c x - ta n x .
A)
K2+ 1
B) ~K
s e n (/í + 2 5 ) tan (2/1 + 3ñ)
cos(2A + ñ ) tan(4 A + 3 5 )
«f
2
Kl
D) -1
Si la expresión
ta n 2 x s e n 2x
s e n 4x
A) 1
6.
ta n 4 x
B) 2
D) 4
C alcule el valor d e la expresión
se n
p a ra 0 = - .
C) 3
Sim plifique la siguiente expresión.
4 a l + 2 s e c 2 0 ta n 2 0 - t a n 4 0
se c 9 ~ i----------5------- 5---------- 41+ 2 ese 0 c o t 0 - co t 0
+ 0 j+ cos(tc - 0) - tan ^0 + —
co t (2ji - 0) - se c (-0 ) + ese f-5 + 0
E )5
A) 1 + 2 co t20 B) 2 - c ó t20
D) 2cot20
7.
C) 1 + 2 ta n 20
E) 2 + ta n 20
De la condición
27t
3;t
4rc
5 jtI
e o s— + c o s— + co s— = sen0cos—
7
D eterm ine el equivalente de la expresión
11
1+ c o s x f( l + s e r w - c o s x
V1+ sen x V
v l-s e n x + c o s x
. Tt
SI — < X < 7t.
2
•J2
A) — ( 1 - s e c x - t a n x )
B) n/ 2(1 - s e c x + ta n x )
C) - ( s e c x - t a n x + 1)
54
A) -1
D) 4
8.
C )0
E) - 2
B) -1
A) 1
D) 2
calcu le eos
4.
C) 1
E) -\Í2
B) -V 3
A) V2
es idéntica a /rj(tan 2x + c o s 2x + n )
calcule m + n .
3.
Si A y B son c o m p lem en tario s, simplifi-j
q u e la siguiente expresión.
n
2.
e t r í a
7
7
7 1
0 |+ 3 c s c ( jt- 0 ) .
B) 1
C) 2
E) - 2
Simplifique la expresión
<13k
^
f 15ji
1
(lln v
c s c l —— X CSC —— x eos —
X
2
)
V2
/
W
sec (17jt + x) sen (9n - x) tan (1 ljt + x)
A) tanx
D )-c s c x
B) - ta n x
C) esex
E) cotx
^
Reforzamiento UNI ^............................................. .. ........... ......... .............................................._ Trigonom etría i-^
Identidades trigonom étricas de arcos compuestos
sen ( x + y ) = s en x e o s y + e o s x s en y
s e n (jr - y ) = s e n x c o s y -c o s x s e n y
e o s ( x + y ) = e o s jr e o s y - s e n x s en y
e o s ( x - y ) = eos x eos y + sen x sen y
tan x + tan y
ta n (* + y ) = y
•tan x tan y
,
,
ta n x -ta n y
t a n ( x - y ) = ---------------- —
1+ tan x tan y
y
Otras id e n tid a d e s (a u x ilia r e s )
•
s e n ( x + y ) s e n ( x - y ) = s e n 2x - s e n 2y
c o s ( x + - y ) c o s ( x - y ) = c o s 2x - s e n 2y
s e n (x + y )
ta n x + ta n y =
cosacos y
s e n (x - y )
ta n x - ta n y =
eosxeosy
Identidades c o n d ic io n a le s q u e re la c io n a n a tres a rc o s
tan A + tan B + tan C = t a n / lx t a n f ix tan C
eot A cot B + eot B eot C + eot C eot A = 1
s iA + B + C = k it;k e Z
'
eot x + eot y + cot z = eot x eot y cot z
tan x tan y + tan y tan z + tan 2 tan x = 1
s ix + y + z = (2 fc + l);t / 2 ; k e Z
l'ii)|)iedad
V x (v a ria b le e n R )
-V a 2 + b 2 < a s e n x + bcosx < V a 2 + b 2
V a ,b (c o n s ta n te e n R )
,
f-t
1.
M aterial Didáctico N.° 1
Academia César Vallejo
S im p lifiq u e la e x p re s ió n
\¡2 c o s ^ x + ^ j i c o s x + s e n x ] + s e n 2*
V 2 sen ^ jf - ^ j [s e n x + e o s x ] - s e n 2x
A ) -1
B) 1
C ) -1/2
D ) 1/2
E) -3
5.
Si tanx, y tanx2 son raíces d e la e c u a c ió l
3 x 2- 5 x + 2 = 0
D el g rá fic o m o s tra d o , c a lc u le tan0 si
c a lc u le ta n (x , + x 2).
ABCD e s un c u a d ra d o y 3(M /V)=2(/VP).
a.
6.
D e la figura m o stra d a , c a lc u le tan x si I'
y T son p u n tos d e ta n gen cia .
I).
S e s a b e q u e a + 0 = 1 8 O ° . C a lcu le e l v a ­
lor d e
(l- ta n a )(c o t 0 - l)
c o s (a - 0 )
secacscG
7.
Calcule el valor d e la siguiente e x p r e s ió í
eos 2 3 ° eos 8 3 ° - e o s 25 3 °
s en 2 2 ° s e n l 2 8 ° - s e n 275°
A) 1
B ) -1
D) 2
C )- 3
E) O
A) —
AJ 25
B )4
C)f
D e la figura, c a lc u le ta n a si BC=2(AF),
D F=A F,A B = 21 y ñ D = 9 .
56
25
D)
32
E)
64
Reforzamiento UNI
■—Trigonom etría i-^
Identidades trigonom étricas de arco doble y triple
Id e n tid a d e s d e a rc o d o b le
2 ta n 0
s e n 20 =
l + ta n 2 0
s e n 2 0 = 2 s e n 0 cosB
e o s 20 =
J -t a n 0
1+ tan 0
II.
Id e n tid a d e s d e a r c o trip le
s en 3 0 = 3 s e n 0 - 4 s e n 3 0
c o s 3 0 = 4 co s 0 - 3 c o s 0
F ó m u la s d e d e g r a d a c ió n
tan 30 =
r
3 ta n 0 -ta n
0
l- 3 t a n 20
2 s e n 2 0 = l - c o s 20
2 c o s 20 = l + cos2 0
a.
F ó rm u la s d e d e g r a d a c ió n
O tras id e n tid a d e s
•
ta n 0 + c o t0 = 2 c s c 2 0
•
c o t 0 - t a n 0 = 2 c o t2 0
•
t a n - = c s c 0 -c o t0
4 sen 30 = 3 s e n 0 -s e n 3 0
4 e o s 3 0 = 3 e o s 0 + e o s 30
2
b.
O tras id en tid a d e s
•
c o t - = csc0 + co t0
•
4 sen 0sen (6O ° - 0 )s e n (6 O °+ 0 ) = sen30
•
4 c o s 0 c o s (6 O °- 0 )c o s (6 O °+ 0 ) = cos30
•
3
1
s e n '10 + c o s 4 0 = - + - c o s 4 O
•
ta n 0 ta n (6 O °-0 )ta n (6 O °+ 0 ) = tan30
•
s e n 3 0 = s e n 0 (2 c o s 2 0 + l)
•
c o s 3 O = c o s 0 (2 c o s 2 0 - l)
.
2
4
sen
K
0 + cos
K
4
5 3
0 = - + -c os4 0
8
8
T rián gu lo d e á n gu lo d o b le
c.
P ro p ie d a d
V n s Z + y Are R
s e v e rific a
*
< s e n 2" x + c o s 2n x < 1
57
!~\
M aterial Didáctico N.° 1
Academia César Vallejo
1.
C alcule el valor d e la siguiente expresión.
4
71
n
sec — + 3 sec
8
4
,
4 77
1
371
f.
4
— + 5 sec — + 7 sec —
S im p lifiq u e la s ig u ie n te e x p re sió n ,
e s e 8 0 ° + e s e 4 0 ° - e s e 20°
8
B ) 384
A ) 364
5.
t a n l0 ° + c o t 8 0 °
C ) 442
B ) -1
A) 1
C ) 1/2
E ) 446
D ) 444
E) 2
D ) -1/2
2.
A partir d e la c o n d ic ió n
6.
s e c 2 x - t a n 2 x = - l/ 3
tan2* = 1 + 2 ta n 2y
c a lc u le c o s 2x
c a lc u le 2 c o s 2 x -c o s 2 y .
B ) 1/4
A ) 2/3
D e la s ig u ie n te c o n d ic ió n
C ) 1/5
A) 0
C )- l
B) 1
E ) 3/5
D ) 2/5
E) - 2
D) 2
D e las sigu ien tes c o n d ic io n e s
7.
C a lcu le e l v a lo r d e
c o s 4 x -c o s4 y = a
co s
2 jc -
cos
2 y =b
- c o t 18o ( tan 18o +1) (c o t 18o -1 )
2
c a lc u le 4cos2x.
2b 2 + a
A)
b
2b ¿ + a
B)
2b
2 a 2+ b
C );
K)2s¡2
a
Si tan21 0 ° + c o t21 0 ° = «
3
i 3k
13
3
9 jl
371
13
971
eos— + eos— + eos—
13
13
13
1- e o s 40°
D ) 2/n
Tí
13
71
3 + e o s 40°
A) n
C a lc u le e l v a lo r d e la e x p re s ió n
eos — + e o s — + e o s —
c a lc u le e l v a lo r d e
58
E) 2
2a
8.
4.
C ) 2 + 75
D ) V5
2o 2 + b
D)
B )V 5 - 2
B ) n/2
C ) 2/7
A ) 1/3
E ) 1/2n
D ) 2/3
B ) 4/3
C) 3
E) 1
Reforzamiento UNI
_ T r ig o n o m e tría ^
T r a n s f o r m a c io n e s t r ig o n o m é t r ic a s
De su m a o d ife re n c ia a p ro d u c to
sen ,4 + s e n B = 2 se n
V
2
2
s e n A - s e n ñ = 2cos| A + B Is en 1
cosA + cosB = 2 c o s
A -B
í A+B } _ J A- B
eos
2
A- B
c o s 4 - c o s ñ = -2 sen | — + ^ Isen
De p ro d u c to a s u m a o d ife re n c ia
2 s e n x e o s y = s en ( x + y ) + s en ( x - y )
2 e o s x e o s y = e o s ( x + y) + e o s ( x - y )
2 sen x sen y = eos ( x - y ) - eos ( x + y )
Iden tidades
sen ^
c o s a + e o s P + c o s 0 + e o s ( a + 3 + 0 ) = 4eos|
a + p sro s
2 1 \, 2
senj^
0+a
ros
,1
l
De lo anterior, p a ra un A ABC s e v e rific a lo sigu ien te:
A
B
C
.
senv4 + s e n f i + s e n C = 4 c o s — e o s — e o s —
•
s e n 2 4 + s e n 2 B + s e n 2 C = 4 se n 4 s en B s e n C
•
c o sA + eo sS + eo sC = 4 sen — sen — sen — + 1
•
cos2/4+ c o s 2 ñ + c o s 2 C = - 4 e o s A c o s S e o s C - l
2
A
2
2
B
2
C
2
2
59
__M aterial Didáctico N.° 1 ►
i Academia César Vallejo
r
1.
R e d u z c a la sig u ie n te e x p re sió n .
5.
H a lle e l e q u iv a le n te d e
4 (c o s 6 O + c o s 2 0 )(c o s 6 0 + c o s 8 0 )
eos 5x + 3 eos 3 x + 4 eos x
s e n 5 x - 3 s en 3 x + 4 s e n x
A ) l + s e n l5 0 s e n 0
A ) - c o t 3x
B ) tan3*
D ) c o t3*
C ) - tan3*
B ) 1 + s e n l5 0 c o s 0
E) 1
O
1 + s e n l5 0 c s c 0
D ) 1 + s e n l5 0 s e c 0
2.
R e d u z c a la sig u ie n te e x p re sió n .
s e n ( a + £>+ c ) + s e n ( a + í > - c ) l c o s c
sen a eos b + sen b eos a
E ) 1+ s e n l5 0 s e e 2 0
-1
6.
D e la s igu ie n te id en tid a d
2 s e n 2 0 se n 0 -2 s en (5 0 / 2 )s en (0 / 2 )=
A ) c o s 2a
B ) - s e n 2c
D ) - c o s 2c
C ) s e n 2i>
= A Í - 2 (c o s 0 - A O 2
E ) tan2a
c a lc u le 2M + N .
3.
D e la s igu ie n te id en tid a d
A ) 9/4
2 se n x+ s e n 5 x -se n 3 x= v 4 co s M(2xr)sen(/Vx:)
B ) 1/4
A+N
7.
M
5/2
E ) 3/2
D ) 1/8
c a lc u le
0
C a lcu le e l v a lo r d e
>/3 c o t 2 0 ° - 4 e o s 20°
A)f
B)!
D) 3
4.
C )4
A ) -1
D ) -1/2
E) l
D el grá fic o , c a lc u le e l á r e a d e la re g ió n
B) 1
8.
C ) 1/2
E) 2
S im p lifiq u e la e x p re s ió n
s o m b re a d a si se s a b e q u e A B =M N =3.
s e n 235° - s e n 215o - s e n 22 5 ° + - e o s 70°
A)
B)
C)
A ) 9cos(t>cos2(t>sen3<p
B ) 3cos2<|> cos4<(> cos6(¡>
2 + V3 + s e n 4 0 °
2 -x / 3 + 2 s e n 4 0 °
2 - \¡3 + s e n 4 0 °
V 3 - 2 + 2sen40°
D)
O e0s<l)C0s2(|)C0s3(t)
D ) 9sen3(J)C0s4<))C0s5(¡)
E)
E ) 18cos<t>cos2<J>sen3<t>
60
V 3 - 2 + sen40°
^T rig o n o m e tría k
Resolución de triángulos oblicu án gu los
1.
TEOREMA DE SENOS
3.
TEOREMA DE TANGENTES
En to d o triá n gu lo ABC s e v e rific a q u e
.
a -b
a+b
tan
,
tan
mi
IVJ
S u c e d e e n form a an áloga para los otros
elem en tos.
ta m b ién :
a
sen 4
_
b
sen S
_
c
sen C
a-2RsenA
b=2RsenB
4.
TEOREMA DE PROYECCIONES
c=2/?sen C
B
2.
TEOREMA DE COSENOS
A
a= b cosC + ccosB
£ >=acosC +ccos4
c= acosB +bcosA
61
!
i
1.
M aterial Didáctico N.° 1
Ai i» luí i ili i Criiinr Viilln|i>
Del g rá fic o m ostra d o, c a lc u le sen O csca.
4.
En e l g rá fic o , ABE y ABCD s o n p olíg
n os regu la res. Si AM =M D y B N=NC
c a lc u le x.
/I
A ) V2/2
B ) 1/2
D ) V2/3
C) 1
E ) V3/4
A ) arctan
2.
V3
A partir d e l grá fic o , c a lc u le e l v a lo r d e
2 s e n x - s e n 2 0 ° si 2 (A B )= 2 (B C )= C D .
D
5.
En un tr a p e c io d e b a s e s cu ya s longitu­
d e s s o n 5 u y 2 u, sus d ia g o n a le s m iden
A ) V3/4
B ) 1/4
E) 1/2
D ) V2/2
3.
C ) V3/2
En un trián gu lo ABC, ¿cuál e s e l e q u iv a ­
5 u y 3 u. D e te rm in e e l á n g u lo q u e for­
m a n las d ia g o n a le s.
A ) arctan |
le n te d e la s igu ie n te e x p re sió n ?
B ) 135°
(e o s B + e o s C ) (1 + 2 e o s A)
l + c o s / l- 2 c o s 2 A
C ) 60°
A)
D)
62
b -a
c
a -b
B)
b+a
C)
E)
c+o
D ) arctan
~ v
b+c
E) a r c ta n |
Reforzamiento UNI
En
el
g rá fic o
__Trigonom etría h .
m o s tra d o
se
c u m p le
A ) cot
q u e B C 2=2 04 C )C 4 B ). C a lcu le AC/AB si
A C >A B .
B ) tan
B+C
4
C -B
4
B
C ) tan
D ) tan
B -C
4
B+C
4
E) c o t
8.
A ) 2 (l + V 5 )
B ) 3 + n/5
D) 6 -V 5
C)
E)
3 + V5
2
B -C
D el g rá fic o m o s tra d o , c a lc u le la lo n ­
gitud d e l s e g m e n to AB si A P = 6 u y
y4C=5 u.
3 + V5
B
R e s p e c to d e un trián gu lo ABC, sim p lifi­
q u e la s igu ie n te e x p re sió n .
A
A
o s e e — + (b + c )ta n —
b -c
A ) 20 u
D ) 70 u
B ) 30 u
C ) 40 u
E) 25 u
63
En la c irc u n fe re n c ia trig o n o m é trica , lo s a rc o s o rie n ta d o s e n s e n tid o
an tih o ra rio son n u m é ric a m e n te igu a le s a la m e d id a d e l á n g u lo cen tral
c o r re s p o n d ie n te e x p r e s a d o e n radian es.
64
t i
Reforzamiento UNI
- —Trigonom etría i-.
Representación de las razones trigonométricas en la C. T.
R e p r e s e n ta c ió n s e n o
1,1 s e n o d e un a r c o e n la C. T. e s re p r e s e n ta d o g e o m é tr ic a m e n te m e d ia n te un s e g m e n to
dirigido v ertica l c u y o v a lo r e s igual a la o r d e n a d a d e ! p u n to e x tr e m o d e l arco .
El pu n to P re p res en ta e l e x tr e m o d e l a rco
0 c u y a o rd e n a d a ( y , ) es igu al a sen 0; es
d ec ir:
y ,= s e n 0
y 2= s e n (i
y 3= s e n o )
O b s e rv e q u e e l s e n o d e l a r c o e s re p r e ­
s e n ta d o p o r un s e g m e n to d irigid o vertica l
d e v a lo r p o s itiv o o n e g a tiv o d e l grá fico .
sen 0 > 0
sen u < 0
a
V a lo r e s d e s e n a
IC
a u m e n ta d e 0 a 1
1IC
d ism in u ye d e 1 a 0
NIC
d ism in u ye d e 0 a - 1
IVC
a u m e n ta d e - 1 a 0
V a 6 R ; se e s ta b le c e
-1 5 sen a S 1
65
/ -t
M aterial Didáctico N ° 1 te
Academia César Vallejo
1.
H a lle lo s v a lo re s q u e to m a la e x p re s ió n
D e te rm in e lo s v a lo re s q u e a d o p ta I»
s e n 20 + 2 ( s e n 0 - l ) .
sigu ie n te e x p re sió n .
A ) [- 3 ; 11
B ) [0; 4]
D ) [ - 1 ; 11
2.
(2 s e n x + l ) ) ( 2 c o s 2x - c o v j r )
C ) [0; 2]
c s c jr (l + sen 3 A ')
E ) í - 2 ; 11
A ) [-1 ; 11
S e c u m p le q u e
s e n x i= - s e n x '2 ,
B ) [-1 ; l ) - { 0 ; -1 / 2 }
0 e x , < x 2 < 3n/2
¿A q u é in te rv a lo p e r t e n e c e la e x p re s ió n
C ) [-1 ; 1>—{0 ; ± 7 3 / 2 }
s e n (x 2-X | )s e n (x , + x 2)?
D )< -1 ; l> - {± V 3 / 2 }
E ) <-1; 1>—{1/2}
A ) (0; 1)
6.
B )< -1 ;0 >
C ) <-1; 1)
3.
Si
se
c u m p le
que
sen2x>~co& X *
D ) <1/2; 1)
H < x < ^ 5 , d e te r m in e lo s v a lo re s <|im
2
2
E ) (-1/2; 0)
a d m ite la e x p re s ió n s e n 2 x
D e te rm in e e l n ú m e ro d e s o lu c io n e s
de
la e c u a c ió n
s e n (3 x - 7 i/ 4 )= - l/ 3
A)
B)
- t f ) o
si
- |;5
0 <Jf<7 l .
A) 1
B) 2
D) 4
C) 3
E) 5
7.
4.
66
C a lcu le to d o s lo s v a lo re s d e x e (0; rt/M
Si 0 e [ —7t/8; 7t/l2), h a lle la e x te n s ió n d e
q u e v e rifiq u e n la d e s ig u a ld a d
72 s e n (2 1 0 1+7t/4).
s e n 2(3x+7t/3) >3/4
A ) [- 7 2 ; 7 2 ]
A ) (0; ti/91
B ) [1; 721
B ) [0; n/9)
C) [-7 2 ; 11
C ) (0; ti/91 u { tt/3 }
D ) [-1 ;1 1
D ) (0; ti/6)
E ) [-7 2 / 2 ; yÍ2/2)
E ) <71/4; ti/31
ncforzamiento UNI
_______________ y
Trigonom etría i-^
PR A C T IC A D O M IC ILIA R IA
Id e n tid a d e s fu n d a m e n t a le s
6.
S im p lifiq u e la e x p r e s ió n
e o s — c o t í 21— t a n 341—
Si s e c x + c o s x - = - 2 , d e t e r m in e e l e q u i­
6
v a le n te d e la s igu ie n te e x p re s ió n .
6
6
s e c 2 x + 2 s e n 2jc s e c x
A ) -\Í2
s e c 2* - 2 sen 2*
B ) -sÍ3
Q
2
A ) -1
B) 1
D) 0
C) 2
D ) 73
E) 4
2
*
2
E) Ví>
R e d u cc ió n al p r i m e r c u a d ra n te
Si c s c 60 - c o t 60 = m
¿cuál e s el e q u iv a le n te d e c s c 40 + c o t 40?
7.
A ) 1- 2 m
D)
B)
m- 1
2m + l
C) m - 1
S e s a b e q u e f(n ) = t a n ( r n i + ( - l ) ' ,0).
C a lcu le
/•(2) + A ( 4 )
f(3 ) + f (5 Y
E ) 2m +1
A ) -2
B ) 1/2
C )- l
D ) -1/3
D ad a la c o n d ic ió n
s e c x + o ta n x
s e n *-a ta n x
secx + o
s en x -o
8.
E) 1
D el grá fico , c a lc u le ta n 0 + ta n a .
Y
c a lc u le
3 x + 2 y -t-6 = 0
B) -5
C )- 3
A) 2
B ) 2V2
C) 4
E ) 16
D) 8
D) -7
„
1
X
0 ^ \
E) - 4
Si s e c a + s e n a + t a n a = m , calcu le
a
\ls e c a + V s e ñ a V t a ñ a + T e o s a
A ) 2m
En el g rá fic o m o s tr a d o , c a lc u le tanc¡>
B ) 2 (m + l )
si MNPC e s un re c tá n g u lo y a d e m á s
C ) J 2 (m + 1)
AN=NB.
D ) slm + \
B
E) 2y¡m + \
A ) 6/17
B ) 16/37
R e d u z c a la s igu ie n te e x p re s ió n
s en 3 7 8 0 ° + c o s 7 4 7 0 °+ e s c 1350°
C )2 / 3
D ) 4/7
tan 2025° s e c 900°
E ) 3/4
A ) -1
D) 2
B) 0
C)
1
E) 3
!~\
_ Material Didáctico N.° 1 ^
Academia César Vallejo
10.
Si se cumple que 3cos0=4cos(9-2<t>)
¿cuál es el equivalente de cot(9—4>)cos<J)?
A ) -sen<t>
D) 7cos<|)
11.
B) sen<|)
15.
Determine el tipo de triángulo ABC t’li
el cual se cumple que
sen B
.
.
.D
------- = sen A + eos A cot B
eos C
C) 7senc|>
E) -7senc|)
A)
B)
C)
D)
E)
Si AM=MD, calcule tan9.
16.
isósceles
equilátero
rectángulo
acutángulo
obztusángulo
S ix + y + z = (2A:+l)Tt; K e Z
determine el equivalente de la siguienll
expresión.
s e n (z - x )s e n y + s e n (y - z )s e n x
E) 1/4
D) 3/4
12.
Si cos(x+ y)= a ;cos(x-y)= b
y x+ y+ z= n /2
calcule el valor de tanz(tanx+tany).
A)
D)
2a
a+b
2b
B)
a -b
2a
a+b
C)
E)
14.
E) 2
D) 1
17.
Se define la siguiente expresión:
2a
1+
tan (x + y) tan (at - y)
a -b
1-
tan (x + y) tan (x - y)
2b
Determine su equivalente.
a+b
A)
B)
C)
D)
E)
Del gráfico se sabe que AB = \Í3 y
MN= 3. Calcule cos2a + %/2sen2a.
A)
B)
C)
D)
E)
C )0
B) -1
A ) -2
Arcos compuestos
13.
2/3
4/3
3/4
3/2
5/3
18.
(1 -2sen 2y)/(sen 2x - c o s 2x )
(l- 2 s e n 2y)/cos2x
(1 +2sen 2y)/sen2x
(1 -2sen 2y)/(cos 2x -s e n 2x )
(sen 2x - c o s 2x)/l -2sen2y
Calcule el máximo de tan0 si BD =U
CD= 3.
Si x e (O; —
\ 14
calcule el valor de x de la siguiente
ecuación.
sÍ3 tos 4x eos 3x - sen7x = tan7xsen3xsen4x
A) 3
Vio
10
A)
k/ 2 \
D) 71/22
68
B) Tt/10
C)
i
sen z sen ( x - y)
tc/20
E) Jt/5
D )| V Í 0
B) 3
n/Tó
20
c )? V ió
E
, ^
i Hcforzamiento UNI
_ Trigonom etn'a
Arco doble y triple
III
Reduzca la siguiente expresión.
sen4 1 0 o - eos 41 0 o+ eos 2 1 0 o
A) sen20°
B) cos20°
C) 2sen20°
D)2cos20°
/II
M - - W Í + sen 0 W l - s e n
Si 7t <
0
E) tan^
24.
E) sen2 10°
< 3 jt / 2
y
tan 0 =
ti
B) 2
Reduzca la siguiente expresión.
2tan40°+ 4cot 10o - 7tan20° - 1 6cot40°
15
A ) cotí0o
D) c o tí60°
calcule 2+V34 [2 sen(0/2) + 3 eos (0/2)].
A) 1
D) -19
0)
C) 3
E) 5
25.
Calcule cotx si el trapecio ABCD es
isósceles y 3(AD)=5(BC).
26.
C) cot40°
E) cotí 70°
Calcule el valor de
3sec10°sec50osec70°
A ) 44
D) 64
B
B) cot20°
la
B) 4^3
expresión
C) 12V3
E) 8^3
Calcule el valor de x a partir de la
siguiente condición.
o
3 4n
2 cos
■ ,*Y» *„'- - - 2n
3V3
B )^
A )T
E) 3V2
3V3
£
D
Simplifique la siguiente expresión.
1+
C)
4
D) 2^2
Í2
4n
sen 8 o -e o s 8 o
'
f
3
0
Transform aciones trigonom étricas I
(1 + eos 4o) Vi + sen 8 o
A) 2tan2°
D)tan2°
B) cot2°
27.
C) 2cot2°
E) 2sen2°
sen 4x + sen 2x + eos x
.. „. 5n
7n
II. Si — < 0 < —
2
A ) -2
2
¿cuál de las alternativas es el equivaQ
lente de sen—?
2
Simplifique la expresión
-2 s e n 3 x
B) -1
C )0
E) 2
D) 1
28.
Si sen r+ sen y= o
cíilcule cos(x+y).
y
cosx+cosy=¿>,
+ sen 0 + V l- s e n o )
B J jW l + sen 0 - V l - s e n 0 )
- s e n 0 - V l + sen0)
a+b
D)
' B)
bl - a ¿
a2 + b 2
C)
2 ab
a+b
- 2 ab
a 2+ b 2
E )b
2 ab
- a
69
_ M aterial Didáctico N.° 1j
/H Academia César Vallejo
29.
34.
S im p lifiq u e la sig u ie n te e x p r e s ió n ,
sen
4x +e o s 4x + s e n 2 *
cosx
+ eos
2x
Determine el equivalente de la siguien
te expresión.
sen 3x eos 4x + sen 3x eos 2x
cosí y ) cos( f ) +sen( Y |sen
A ) 2\/2sen^3Ar + -^
A ) cos5x
D) tanx
B) %/2sen^2x + ^
B) 2sen3x
D
C) 2 c o s 7jí
E) sen3v I
C) 2 cos^x~ —
Teorem a de senos y cosenos
D) cos^3x + -^
35.
30.
3
En el gráfico se cumple que eos 0 = - I
E) \/2tan^x + ^
m<BAC = 20 y AB=4.
Simplifique la expresión
Calcule el perímetro del triángulo.
senl8°cos6°
B
A ) 14
cos36°senl2°
■
B) 15
A) cos24°
D) 2cos48°
B) cos48°
C) 16
C) 2cos24°
E) 2sen24°
D) 17
E) 18
Reduzca la siguiente expresión.
(csc40°+ csc20°) (1 - 2sen 10o)
31.
A ) csc20°
D) csc40°
B)sec20°
36.
C )s e c l0 °
E) sec40°
A ) 10°
B
B) 14°
sen( x - y )
q
Dada la condición------------? = —, halle
co s(x + y) b
32.
De acuerdo al gráfico, calcule el valot
de a. Considere BD=AC.
C) 16°
D) 18°
el equivalente de t a n ^ + x j e o t ^ + y
E) 15°
en función de ay b.
A)
D)
a+b
a -b
B)
a+b
b -a
C)
2a
a +b
di a b
E) - + -
-2o
b
a+b
a
Transform aciones trigonom étricas II
33.
De la igualdad
3sen3rcosx+7cos3jcsenx-=semrcosx
calcule el valor de cos4x.
A ) -1/8
D) -7/8
B) -3/8
C ) -5/8
E) 1/8
37.
Se sabe que M, N y P son puntos m#
dios de AB} BC, y AC, respectivamenlfi
Calcule 0 si AB= 6, BC = 8 y AC = 2VÍ3,
Reforzamiento UNI
Trigonom etría
II, Del gráfico, calcule AC si se conoce que
42.
AB=2 y BC=3.
En un triángulo ABC, de semiperímetro (p ) y circunradio (/?), encuentre el
. . , , 4/?(l-tan2C/4)
equivalente d e ---- y------ —— - A
A) 4/3
Htan2f+,J
B) 1/4
C)3/2
D) 5/2
A)
B)
C)
D)
E) 2/5
E) tan4/2tan¿¡/2
l!l Si ABCM es un paralelogramo tal que
AN=AP=3 y NB = 2, calcule PB.
A) 1
C irc u n fe re n c ia trig on om é tric a
43.
B) 2
cosA/2cosB/2
sen4/2senB/2
cscA/2cscñ/2
sec4/2secfi/2
Halle la variación de
f(x) = senx-\/3cosx,
x e (0 ;7 i )
0 4
D) 3
A ) [-2; 2]
E) 5
B) <0; 11
C)<0;1>
D) <0; 21
E ) (- V 3 ; 2 ]
M. Si a, b y c son los lados de un triángulo
ABC, determine el equivalente de
a2cos2ñ - fc2eos 2A
a eos B -fo c o s A
Calcule el
perímetro de
la región
sombreada
en
de
términos
0,
si
PM=MN=NL y Tes punto de tangencia.
. B) b
A) o
44.
O c
E) í>+c
D )b - c
Del gráfico se conoce que
AB _ B C _ BN
4
3
5
BM
6
Calcule el máximo valor entero que
puede tomar la siguiente expresión.
4
senx, + sen x2 - - s e n 0 + 5sena
A) 6
B) 5
C )7
D) 4
E) 10
A ) 2 + ( 3 + \Í3)sen 0
B) 2+3sen0
C) 2 + V3sen0
D) 2+sen0
E) 1+2sen9+V3
11
/ -i
_ Material Didáctico N.° 1 h
Academia César Vallejo ,
45. Si —
3
< ta n 0 < \¡3, n < 0 < 3 ^
2
in d iq u e los v a lo re s q u e a d m ite
2 e o s Í0 + | J + 3
48.
A ) [0; 2 ]
B ) (- 3 ; - ] )
D ) (3; 4 }
46.
C ) (2; 3}
D e las sigu ien tes p ro p o s ic io n e s , indi
q u e e l v a lo r d e v e r d a d p a ra c a d a c a s fl
E ) (-1/2; 0>
I.
Si V2
sen%/2 < s e n * , < I,
3
D el g rá fic o m o s tra d o , c a lc u le e l á re a
II. Si y¡2 < x ¡ < ^ —> 1 < sen x¡ < sen >/ ,
d e la r e g ió n s o m b re a d a si 3T N -N M .
III. Si V3 < at2 <
—> 0 < s e n x 2 < sen 7 Í
IV. J3 < x 2 < 7t —> sen \Í3 < sen x 2 < 1. ■
A ) s o lo III
B ) s o lo I
D ) I y III
43.
Calcule el m áxim o valor qu e tom a I
fix )
=
4(\ + senA-)(l + c o s x ) ; x e ( 0 ; n)
A ) V2 + 1
D)
A ) (3/4) s e n a
C ) I y IV I
E ) II y IV I
B) 7 2 -1
V2-
C ) ' f t +M
E ) V2 + 2
B ) (- 3 / 4 )s e n a
C ) -2 se n a
D ) 2 sen a
E) - 3 s e n a
47.
50.
En la c irc u n fe re n c ia trig o n o m é trica H
tie n e q u e PB=BQ , EM =M F y ABCM W
un p a ra le lo g ra m o .
C a lcu le
sen a( + s e n a 3
sen a, + sen a4
S i 0 < s e n 2| | x | + ^ < 1 ,
c a lc u le los v a lo re s q u e to m a x.
B
>{-f !)+?;}
C)
D) 2
72
E) - 2
Físico
jL
Cinem ática
la
¿A q u é altura re s p e c to d e la p osición
m ostrada para (A ) las esferas estarán al
Si
lu e g o d e c ie rto tie m p o la p e rs o n a
m is m o nivel? (g = 1 0 m / s 2).
d e ja d e v e r p o r un in stan te al c u e rp o
(B ), d e m o d o q u e en e s te instante la lí­
| 20 m/s
n e a visual fo r m a 37° c o n la h orizon tal,
d e te rm in e lo q u e h a d e s c e n d id o ( 4 )
flf
hasta q u e e s to ocu rra.
*|*
' 20 m
(g = 10 m/s2)
j
a
-
i4 T
t— 40 m — t
lín ca
visual
A) 2s
B) 3s
D) 5 s
4.
A ) 85 m
B ) 75 m
C ) 65 m
E) 80 m
D ) 70 m
C) 4 s
E) 6 s
L o s cu e rp o s A y B son lan zad os en ins­
tantes d iferen tes y logran im p acta r cu an ­
d o A ha a lc a n za d o su m á x im a altura.
Si las v e lo c id a d e s d e lan zam ien to son
El c u e rp o e s s o lta d o d e s d e la p o s ic ió n
m o s tra d a y lle g a al p is o lu e g o d e 4 s. D e ­
te rm in e cu án to tie m p o tran scurre d e s ­
d e q u e la p e rs o n a s u elta e l c u e rp o h as­
ta q u e e s c u c h a e l s o n id o d e l im p a cto .
o rto go n a le s y d e igual m ó d u lo , en to n ces,
d e te rm in e cu án to e s e l tie m p o d e v u e ­
lo p ara (B ) hasta e l im p a cto . C o n sid ere
q u e para 04) transcurrieron 3 s.
(g = 1 0 m / s 2)
(^on¡do=320 m/s; g = 10 m/s2)
V
A) 4 ,1 5 s
D) 4 ,2 5 s
B ) 3 ,8 5 s
C ) 4 ,0 5 s
A) 0 ,5 s
E) 5 s
D) 3 s
B) 1 s
C) 2 s
E) 4 s
75
i
f-\
5.
_ Material Didáctico N.° 1 i .
Academia César Vallejo ^
D eterm ine la distancia entre la posi­
ción d e lanzam iento y la canasta.
(g = 10 m/s2)
A ) 5,83 m
B ) 7,5 m
D) 8 m
C ) 6,5 m
1
E) 7 m 1
Estática
A ) 25 m
Se m u es tra e l p u e n te h o m o g é n e o y *1
B ) 25%/To m
C ) 20VÍO m
m é tric o , d e 15 to n e la d a s . Si s o b re lot
D ) 15 m
a p o y o s la a c c ió n d e l p u e n te e n la vtM
E) 20 m
tical y e n la h o rizo n ta l e s d e 3 a 4, ri<»
p e c tiv a m e n te , d e te rm in e e l m ó d u lo <t|
6.
El p ro y e c til la n z a d o e n A e m p le a 2 s e n
la fu e rza q u e e je r c e e l a p o y o d e la ll
im p a c ta r e n fo r m a p e rp e n d ic u la r e n la
q u ie r d a s o b re e l p u e n te. (g = 1 0 m/s2) !
p a red . Si d e s p r e c ia m o s lo s e fe c t o s gravitatorios, ¿cuál será la d ista n cia en tre
e l n u e v o p u n to d e im p a c to y e l p u n to
d e l c a s o an terior? f e = 10 m/s2).
A ) 110 kN
D ) 125 kN
B ) 120 kN
C )1 5 0 k N
E) 130 kN
Si e l sistem a s e m u e v e c o n velocidad
constante, d e tal m a n e ra q u e e l bloqut
A ) 18 m
B) 5 m
D ) 20 m
7.
C ) 15 m
A, m e d ia n te la fu erza F, está a punto dt
E) 10 m
deslizar, ¿cuál e s e l c o e fic ie n te d e ro/ti
La gráfica adjunta nos muestra el c o m ­
m ie n to estático entre A y B? (m A= 2,5 k«
m B= 3,5 kg; g - 10 m/s2)
portam iento de la velocid ad de una
partícula en el tiem po. Si en el instante
76
A ) 7/8
f= 0 la posición es x = 0 , d eterm ine la
B ) 5/7
posición de la partícula en el instante
C ) 3/13
que adquiere por segunda v e z una ra­
D ) 2/15
pidez d e 2 m/s.
E) 12/43
_ Física
ñüforzamiento UNI ^
1-1
Si e n c a d a p latillo d e la b a la n za q u e se
Si la barra h o m o g é n e a d e 1,1 kg p e r­
e n c u e n tra en r e p o s o a g r e g a m o s una
m a n e c e e n e q u ilib rio m e c á n ic o , d e ­
m a sa d e a ren a d e 1 kg, d e te rm in e el
te rm in e e l m ó d u lo d e la ten sió n e n la
m o m e n to resu ltante q u e e x p e rim e n ta n
c u erd a . C o n s id e re q u e e l b lo q u e e s d e
los b ra z o s d e la b alan za. (g = 10 m/s2).
1 kg. {AB=BC\g=\Q m/s2).
A ) 10 N x m
A) 1N
B) -1 0 N x m
D) 4 N
B) 2 N
C) 3 N
E) 5 N
C ) 15 N x m
D ) -1 5 N x m
La
E) -2 0 N x m
a p o y a d a e n barras id én tica s d e m asas
e s fe ra
h om ogén ea
de
2 kg
está
d e s p re c ia b le s articuladas e n A y unidas
Si la b arra h o m o g é n e a lisa d e 48 kg está
m e d ia n te una c u e rd a tal c o m o se m u e s ­
d o b la d a y p e r m a n e c e e n r e p o s o , d e te r­
tra. D e te rm in e la ten sión d e la cuerda.
m in e el m ó d u lo d e la fu erza q u e e je r c e
C o n s id e re s u p erfic ies lisas. (r=L/ 2).
el piso. (A 8 = 2 8 C , g = 1 0 m/s2).
A ) 350 N
D ) 550 N
B ) 450 N
C ) 500 N
A ) IO N
E ) 480 N
D ) 40 N
B ) 20 N
C ) 30 N
E ) 50 N
77
r
_ M aterial Didáctico N.° 1 H
/H Academia César Vallejo ^
D in ám ica
Un collarín d e 5 kg, u n id o a un resort»,
d e s c rib e un m o v im ie n to circunferencial
Si la c u erd a q u e u n e al b lo q u e A (lis o )
e n e l p la n o horizon tal, c o n un radio df>
y al b lo q u e B p u e d e exp e rim e n ta r una
25 cm .
ten sión m á x im a d e 25 N, ¿cuál es e l valor
con sta n te d e l collarín p a ra la posición
D e te rm in e
la ra p id ez angulw
m á x im o d e F d e tal m a n era q u e la c u er­
q u e s e m u estra, e n d o n d e e l resorl'
d a n o se rom p a? (m A= 2 kg; m B= 3,5 k g).
está estirad o 20 cm . D e s p re c ie el rozn
m ien to . (K = 250 N / m ;g = 1 0 m/s2).
A ) 20 N
B ) 30 N
C ) 40 N
E ) 60 N
D ) 50 N
La p o le a ideal es e le v a d a m e d ia n te la
fu e rza c o n s ta n te F = 24 N. ¿A q u é altura
se e n c u e n tra e l b lo q u e d e 1 kg tran scu­
rrid o un s e g u n d o d e h a b e r in ic ia d o su
m o v im ie n to ? ( g = 1 0 m/s2).
A ) 4 rad/s
B ) 5 rad/s
F=24 N
A) 1 m
B) 2 m
D ) 4V5 rad/s
VS5
C) 3 m
C ) 2 75 rad/s
E ) 6 rad/s
D) 4 m
E )5 m
U n a e s fe r a d e 0,5 kg, u n id a al extrem o
d e u n a cu erd a , d e s c r ib e un m o vim io ii
to c ircu n fe re n c ia l, e n e l p la n o vertical,
d e 0,5 m d e ra d io . Si e n e l pu n to A *1
En e l instante q u e s e m u estra, s e a b a n ­
m ó d u lo d e su a c e le r a c ió n tangencial
d o n a e l sistem a . D e s p re c ia n d o to d o
es d e 8 m/s2, d e te r m in e e l m ó d u lo il<
ro za m ie n to , d e te rm in e e l m ó d u lo d e la
la te n sió n e n la c u e rd a e n A.
ten sió n e n la cu erd a . ( g = 1 0 m/s2).
( g = 1 0 m/s2)
2 kg
A ) 10 N
B) 35 N
C ) 30 N
C ) 29 N
D ) 40 N
D ) 32 N
E) 50 N
E ) 13 N
J&.
78
A) 3 N
B ) 20 N
_ Física k
Reforzamiento UNI
T rabajo - Energía
ff(N )
Un c o lla rín d e 5 kg e s lle v a d o s o b re
una gu ía ru go sa b a jo la a c c ió n d e una
fu e rza h orizon ta l c o n s ta n te d e 60 N, e n
fo r m a lenta, d e s d e A hasta B. D e te rm i­
n e la c a n tid ad d e trab ajo d e s a rro lla d o
p o r la fu e rza d e r o z a m ie n to e n d ic h o
tram o. ( g = 1 0 m/s2).
A ) +6 m
B) +7 m
C) +8 m
E) + 1 0 m
D) +9 m
A l b lo q u e d e 1 kg q u e s e e n c o n tra b a en
r e p o s o s e le a p lic a u n a fu e rza c o n s ta n ­
te F, tal c o m o s e m u estra a c on tin u a ­
c ió n . D e te rm in e la c a n tid a d d e trab ajo
re a liz a d o m e d ia n te F hasta q u e n u e v a ­
m e n te su ra p id e z s e a nula.
A ) -2 2 0 J
B) -2 4 0 J
C ) -2 8 0 J
K = 40 N/m
E) -3 2 0 J
D ) -3 0 0 J
Un b lo q u e p e q u e ñ o a ta d o a un h ilo es
|
I— 3 m —I
la n za d o s o b re u n a s u p erfic ie horizon tal
ru gosa c o n 16 m/s. Si s e d e tie n e lu e g o
A ) 40 J
d e d ar 1,5 vueltas, d e te rm in e e l c o e fi­
D ) 44 J
B ) 42 J
C ) 43 J
E) 45 J
c ie n te d e ro za m ie n to en tre e l b lo q u e y
la s u p erficie. ( g = 10 m/s2; R = 6/n m ).
L a e s fe r a d e 2 k g s e d e ja c a e r a través
d e la ra m p a m o stra d a . D e te rm in e la
♦
altura m á x im a q u e a lc a n z a la e s fe r a
lu e g o d e a b a n d o n a r la ra m p a re s p e c to
d e l n ive l d e re fe re n c ia . D e s p re c ie to d o
ro za m ie n to . (g = 10 m/s2).
D ) 0,3
E ) 0,2
Un c u e rp o d e 10 kg in icia su m o v im ie n to
e n x = 0 d e b id o a la a c c ió n d e la fu erza F
c u y o m ó d u lo c a m b ia c o n la p o s ic ió n x
d e a c u e rd o al g rá fico. D e te rm in e e n qu é
p o s ic ió n se d e tie n e e l c u e rp o si F d e ja
A ) 3 ,6 m
d e actu ar e n x = 4 m . (g = 10 m/s2).
D) 5 m
B ) 3,2 m
C ) 4 ,2 m
E ) 5 ,6 m
79
f- \
G.
Academia César Vallejo ____________________.
Material Didáctico N.° 1 H
MAS
S e a b a n d o n a una e s fe ra lisa d e 5 kg e n
A c o m o s e m u estra e n el gráfico. Si la
longitu d natural d e l reso rte e s d e 1,2 m,
1.
El b lo q u e e s d e s p la z a d o 50 c m hacln
¿qué m ó d u lo tie n e la r e a c c ió n d e la
la d e r e c h a y s e suelta. Si lu e g o d e I *
s u p erficie s o b re la e s fe ra c u a n d o esta
p a s a p o r su p o s ic ió n inicial, en ton cP l,
p asa p or B? (K = 100/m; g = 10 m/s2).
in d iq u e la e c u a c ió n d e su m o v im ien to
1
u=0
J is o
( n . n 'l
B ) je= 0 ,5 senI —t H--12
2)
C ) x = 0 , 5 sen| —t \m
A ) 140 N
B ) 143 N
D ) 150 N
C ) 146 N
D ) x = 0 , 5 s e n j^ / + 3 ^ J m
E ) 156 N
E ) x = 0 , 4 sen| — t + rc | m
El s istem a m o s tra d o e s d e ja d o e n lib e r­
tad e n la p o s ic ió n m o stra d a , a d e m á s , la
c u e rd a q u e u n e los b lo q u e s y la p o le a
2.
Si e l reso rte está sin d e fo rm a r y se sutil
son id e a le s . D e te rm in e la ra p id e z d e
ta e l b lo q u e q u e e sta b a e n rep o s o , on
u n o d e lo s b lo q u e s c u a n d o n u e v a m e n ­
to n ces, in d iq u e la ra p id ez m á x im a y ln
te e s té n s e p a ra d o s 0,6 m . (g = 10 m/s2).
e c u a c ió n d e la v e lo c id a d . ( g = 10 m/s2),
T
2m
T
1°0N^
|
jg
ú
A ) 1,5 m/s; o =0,1 s e n (U + iV 2 ) m/s
0,6 m
i ¿J
B ) 2 m/s; L>=sen(10/+7t) m/s
C ) 1 m/s; ü=sen (1 0 /+7t/2) m/s
A) 1 m /s
D ) 4 m /s
80
B ) 2 m/s
C ) 3 m /s
D ) 1 m/s; D = cos(1 0/+7 i/2) m/s
E) 5 m /s
E ) 2 m/s; u = s e n (0 , lí+ jt / 3 ) m/s
/ 1
Reforzamiento UNI
_ Física
Ondas mecánicas
El b lo q u e e s d e s p la z a d o 40 c m h a c ia la
izq u ie rd a y s e suelta. Si e l b lo q u e e x p e ­
rim e n ta c h o q u e s e lá s tic o s e n P d e for­
m a in stan tán ea, e n to n c e s , d e te rm in e
R e s p e c to a las o n d a s m e c á n ic a s , in ­
d iq u e v e r d a d e r o (V ) o fa lso ( F ) segú n
c o rre s p o n d a .
el p e r io d o d e o s c ila c ió n d e l b lo q u e .
I.
L a s o n d a s lo n gitu d in ales s e p ro p a ­
g a n m u c h o m á s ap risa q u e las o n ­
AT= 125 N/m
5 kg
d as tran sversales e n un s ólid o .
--——------—--—
—_—BByífrf.......
liso
L
II. C u a n d o una o n d a m e c á n ic a p a s a d e
F
un m e d io d e m e n o r a m a y o r d en s i­
20 c m — ^
d ad, su lon gitu d d e o n d a au m en ta.
III. L as o n d a s e sta cion a ria s s o n una in ­
. -v 271
te rfe r e n c ia d e d o s o n d a s q u e se p ro ­
« 4 tü
15
p a ga n e n d ir e c c io n e s o p u es ta s c o n
C» T S
B )T 5 S
igu al am plitu d , fre c u e n c ia y lon gitu d
d e on da.
E) f
O
s
A ) VFV
La
g rá fic a
a d ju n ta
nos
m u es tra
el
B ) VFF
D) W F
C ) FVF
E) V W
c o m p o r t a m ie n to d e la e n e r g ía m e c á ­
n ic a d e l o s c ila d o r e n fu n c ió n d e su
p o s ic ió n
( x ) . ¿Q u é ra p id e z p res e n ta
e l o s c ila d o r c u a n d o s e e n c u e n tra e n la
p o s ic ió n x = + \ m ? ( m bloque= 2 k g ).
El son ar d e un subm arin o p ro d u ce o n ­
das ultrasónicas p erió d ica s c o n una fre­
c u e n c ia d e 2,5 MHz, q u e se propagan
c o n ra p id ez constante y c o n una longitud
d e o n d a d e 4 ,8 x 10"4 m e n agu a d e mar.
C u an do e l sonar p ro d u ce on da s h acia
ab ajo, un e c o re fle ja d o p o r e l fo n d o m a ­
rino se re cib e 10 s d espu és. ¿Qué profun­
didad tiene el o c é a n o e n e s e lugar?
A ) 1 km
B ) 2 km
D ) 4 km
C )3 km
E ) 6 km
L a d e n s id a d lin ea l d e u n a c u e rd a v i­
b ran te e s d e 1 ,5 x 1 0-4 kg/m. U n a o n d a
tran sversal s e p ro p a g a p o r d ic h a c u e r­
d a y su fu n ció n d e o n d a e s
y = 0 ,0 2 s e n 2 7 t(2 0 í+ jf) m
d o n d e x e y s e m id e n e n m e tro s y / e n
segu n d o s . D e te rm in e e l m ó d u lo d e la
te n sió n e n la cu erd a .
A )5 m /s
D) 20 m / s
B )1 0 m /s
C )1 5 m /s
A ) 20 m N
E) 25 m /s
D ) 120 m N
B) 30 m N
C ) 60 m N
E ) 150 m N
81
rh
_ M aterial Didáctico N.° 1 i ^
Academia César Vallejo
L a ra p id e z d e p ro p a g a c ió n d e una o n d a
q u ie r d o d e la c u e rd a e stá in stala d o un
transversal p o r un a la m b re A d e lg a d o
g e n e r a d o r d e o n d a s q u e lo h a c e oscb
c ilin d ric o e s d e 100 m/s. Si e s te a la m b re
lar c o n u n a fre c u e n c ia d e 80 Hz. Detefk
es re e m p la z a d o p o r o tro B, se o b s e rv a
m in e la m a sa d e l b lo q u e q u e se deb#
q u e e l m is m o tip o d e o n d a s e p ro p a ga
c o lo c a r e n e l o tro e x tr e m o p a ra qiw
p o r é l c o n una r a p id e z d o b le q u e p o r A.
la o n d a e sta c io n a ria p re s e n te n u e ví
D e te rm in e la re la c ió n d e sus d iám etro s.
n o d o s . D e s p re c ie / !. (g = 1 0 m / s 2).
(DA/Da). C o n s id e re q u e e n a m b o s ca s o s
g e n e ra d o r
la c u e rd a e s d e l m is m o m a teria l e igual
longitu d y s op o rta la m is m a tensión.
A ) 1/2
B ) 1/3
C ) 1/4
E) 4
D) 2
L a c u e rd a q u e s e m u es tra en e l grá fi­
c o tie n e u n a lon gitu d d e 40 c m en tre
lo s puntos A y B; su d en s id a d lin ea l d e
A ) 0,8 kg
m a sa e s d e 0,5 kg/m. En e l e x tr e m o iz­
D ) 2,4 kg
B ) 1,6 kg
C ) 2,0 kg
E ) 3,2 kg
PRACTICA D O M IC ILIA R IA
MVCL
En e l in stan te m o s tra d o , d e s d e e l globo
Se suelta una esfera d e s d e cierta altura y
a e ro s tá tic o s e la n za u n a p ie d ra vertic»!
lu ego d e I recorre h. ¿Cuánto recorrerá en
h a c ia a b a jo y c o n 5 m/s r e s p e c to d tl
los siguientes 21 segundos? ( g = 10 m/s2).
g lo b o . Si la p ie d ra ta rd a 5 s e n llt'Htti
al piso, d e te r m in e d e s d e q u é altura I I
A) h
B ) 2/i
C ) 3h
la n z ó la p ied ra . (g = 10 m/s2).
E ) 8/i
D ) 9/?
Un p ro yectil es la n z a d o v e rtic a lm e n te
h a c ia arriba, c o n u n a ra p id e z d e 50 m/s.
D e te rm in e su r e c o rr id o e n lo s o c h o p ri­
m e ro s segu n d o s . C g=10 m/s2).
A ) 130 m
B ) 145 m
C ) 160 m
E ) 205 m
D ) 170 m
UO m/s
D e s d e e l s u e lo y e n la m is m a v ertica l
se lan za d o s p ro y e c tile s v e rtic a lm e n te
h a c ia arriba, c o n un in te rv a lo d e 4 s. El
p rim e r p ro y ec til se lan za c o n 50 m/s, y
e l s e g u n d o c o n 40 m/s. ¿A q u é altura
c h o c a n lo s p ro yec tile s ? ( g = 10 m/s2).
A) 2 0 m
D) 80 m
82
B ) 25 m
C ) 40 m
A) 20 m
E) 9 0 m
D ) 100 m
B) 40 m
C ) 50 m
E ) 120 m
IJ
_ Física k
neforzamiento UNI ^
D e un c a ñ o m a lo g ra d o c a e n gotas. Si
S e lan za las ca n ica s A y B c o m o se
lu e g o d e q u e la p rim e ra g o ta ha r e c o ­
m uestra. Si lu e g o d e 0,5 s las can icas
rrid o 2 m sale la s e g u n d a go ta , d e te r ­
im p actan , c u a n d o aún están a s c e n d ie n ­
m in e c u á n to d e s c ie n d e la p rim e ra go ta
d o am b a s, d e te rm in e la ra p id ez c o n la
hasta e l m o m e n to e n q u e la d istan cia
q u e s e la n zó la c a n ica A (g = 10 m/s2).
e n tre la p rim e ra y s e g u n d a g o ta e s 8 m .
►30 m/s
( g = 1 0 m/s2)
A) 5 m
L(fi)
B ) 4,5 m
D ) 6,5 m
C ) 12,5 m
-20 m -
E) 10,5 m
MPCL
A ) 10 m/s
B ) 20 m/s
D ) 40 m/s
C ) 30 m/s
E ) 50 m/s
D e sd e un a v ió n q u e v u e la h orizon ta l­
Estática
m e n te se suelta u n a b o m b a , q u e lu e g o
d e 2 s p res e n ta una ra p id e z d e 25 m/s.
D eterm in e la ra p id ez d e l avión e n el ins­
10 .
L a barra d e 5 kg está e n re p o s o . Si las
r e a c c io n e s e n los a p o y o s s on o rto g o n a ­
tante e n q u e s e soltó la b om b a . D esp re­
les y e stán e n re la c ió n d e 1 a 2, d e te r m i­
c ie la resisten cia d e l aire. ( g = 10 m/s2).
n e la r e a c c ió n d e m e n o r m ó d u lo .
Cg= 10 m/s2)
A ) 10 m/s
B ) 15 m/s
D ) 8 m/s
C ) 20 m/s
E ) 18 m/s
S e lan za un c u e rp o c o n u n a ra p id e z d e
80\/2 m/s y u n a in c lin a c ió n d e 4 5 ° c o n
la h orizon tal. ¿Q u é tie m p o , c o m o m ín i­
m o , d e b e transcurrir p ara q u e su v e lo ­
c id a d fo r m e 37° c o n la h orizon tal?
(£>=10 m/s2)
A) 1s
D) 4 s
B) 2s
C) 3 s
E) 5 s
D el p u n to A m o s tra d o s e la n za una
e s fe r a c o n u n a ra p id e z d e 10 m/s. D e ­
te rm in e a q u é d istan cia d e l p u n to A se
A ) 20%/5 N
B ) 10V5 N
D )V Í0 N
C ) 5V5 N
E ) 15 N
Si e l sistem a d e p oleas, c a d a un o d e 1 kg,
se m a n tien e e n equilibrio, d eterm in e la
lectura d el d in a m ó m etro . (g = 10 m/s2).
e n c u e n tra la e s fe r a lu e g o d e 2 s.
(g = 10 m/s2)
A ) 2 V Í0 m
B ) 12 m
C ) 4 V Í0 m
D) 4 m
E ) &\Í5 m
A) 200 N
D) 280 N
B ) 230 N
C ) 250 N
E) 3 0 0 N
83
M aterial Didáctico N.° 1 K
Academia César Vallejo
12.
L a barra d e 0,8%/5 kg s e e n c u e n tra en
S e m u es tra u n a e s fe r a h o m o g é n e a d »
48 N a p u n to d e deslizar. D e te rm in e #1
e n la c u e rd a e s d e 10 N, d e te r m in e la
m ó d u lo d e la fu e rza d e r e a c c ió n d e In
m e d id a d e l á n g u lo 0. (g = 10 m/s2).
p a re d s o b re d ic h a e sfera . (|xs=0 ,7 5 ),
A ) 37°
A ) 30 N
J T
\
B ) 60°
C ) 53°
/
D ) 74°
E) 5 8 °
13.
15.
eq u ilib rio . Si el m ó d u lo d e la ten sió n
/
/
B ) 50 N
\
C ) 40 N
\
D ) 20 N
\
E ) 35 N
Si la e s fe r a h o m o g é n e a , lisa y d e 6 kg
se e n c u e n tra e n e q u ilib rio , d e te rm in e
e l m ó d u lo d e la re a c c ió n e n tre la e s fe ra
16.
D eterm in e la m á x im a longitud q u e dcU
y la s u p erfic ie h orizon tal.
re co rrer la p erson a d e 50 kg sob re la Ixt
(g = 10 m/s2)
rra h o m o g é n e a d e 56 kg y d e 8 m d e Ion
gitud, d e tal m a n era q u e la barra se Ruin
ten ga e n form a horizontal. ( g = 10 m/s2),
A ) 120 N
B ) 160 N
14.
C ) 180 N
E ) 250 N
D ) 200 N
A) 4 m
Si el b lo q u e está a pun to d e resbalar, e n ­
D) 7 m
tonces, d eterm in e el m ó d u lo d e la fuerza
B) 5 m
C) 6 m
E ) 5,5 m
q u e le e je rc e la cu erd a a la p o le a lisa.
17.
C g = 10 m/s2)
L a e sfera h o m o g é n e a d e 6,4 kg se oi>
cuentra e n equilibrio. D e term in e el iih >
d u lo d e la fu erza d e ro za m ie n to entrr i
H5=0,5
p la n o in clin ado y la esfera. ( g = 10 m /s)
SjB
A) 7 N
B) 24 N
C ) 14 N
D ) 48 N
E ) 28 N
A ) IO N
D) 12 N
84
B ) 15 N
C) 9 N
E) 5 V 3 N
Física
, i Reforzamiento UNI
L a b a rra h o m o g é n e a lisa d e 8 kg se
21.
L a p o s ic ió n d e un b lo q u e d e 2 kg, q u e
s e m u e v e a lo la rgo d e l e je X, está d a d a
e n c u e n tra en e q u ilib rio , a p o y a d a s o b re
un c la v o . D e te rm in e el m ó d u lo d e la
p o r jc=2/2+ 3 / + 4 , d o n d e t se m id e en
r e a c c ió n d e l c la v o s o b re la barra.
s e g u n d o s y x e n m e tro s . D e te rm in e
(5 = 1 0 m/s2)
e l m ó d u lo d e la fu e rza resu ltante q u e
actu ará s o b re e l b lo q u e e n t = 2 s.
A ) 50 N
B ) 80 N
A) 2 N
C ) 100 N
D) 8 N
D ) 120 N
22 .
E ) 60 N
B) 4 N
C) 6 N
E) 9 N
Un b lo q u e d e
10 kg in ic ia lm e n te en
re p o s o se d e s p la za p o r una s u p erfic ie
h o rizo n ta l lisa p o r a c c ió n d e una fu erza
h o rizo n ta l c o n s ta n te d e 100 N. Si lu e g o
d e 3 s d e in ic ia d o su m o v im ie n to la
fu e rza d e ja d e actu ar s o b re el b lo q u e ,
L a barra h o m o g é n e a d e 4 kg se e n c u e n ­
d e te rm in e su r e c o rr id o e n lo s p rim e ro s
tra e n equilibrio. D e term in e el m ó d u lo
10 s d e su m o v im ie n to . (g = 1 0 m / s 2).
d e la re a c ció n en la articulación.
(5 = 1 0 m/s2)
A ) 255 m
B ) 260 m
D ) 235 m
C ) 270 m
E) 210 m
A ) 20 N
B ) 60 N
23.
U n a p ied ra e s lan zad a vertica lm e n te ha­
C ) 40 N
c ia arriba y d e s a c e le ra c o n 12 m/s2. Si el
D ) 2 0 V Í3 N
m ó d u lo d e la fu erza d e resisten cia d el
E) 80 N
aire es con stante, d e te rm in e su ra p id ez
lu e g o d e 5 s d e in icia d o su d es ce n so .
( g = 1 0 m/s2)
A ) 20 m/s
Dinámica rectilínea
El b lo q u e d e 3 kg e s s o lta d o e n la p o ­
s ició n m o stra d a . D e te rm in e e l m ó d u lo
d e su a c e le r a c ió n e n e l in stan te q u e el
B ) 60 m/s
D ) 40 m/s
24.
C ) 50 m/s
E ) 35 m/s
Si e l s istem a es s o lta d o e n e l instante
m o s tra d o , d e te rm in e la ten sió n e n la
cu erd a .
kg; m B= 5 kg; g = 1 0 m/s2)
re so rte e s té c o m p r im id o 30 cm .
(X = 1 0 0 N / m ;g = 1 0 m/s2)
0,5
0,6
A) 2 m / s 2
D) 5 m /s 2
B) 3 m /s 2
C) 4 m /s 2
A) 25 N
E) 6 m / s 2
D) 40 N
B ) 30 N
C ) 3 2 ,5 N
E) 2 2 ,5 N
85
f-\
_ M aterial Didáctico N.° 1 »%
Academia César Vallejo ^
25.
Determine el m ódulo de la fuerza F
aplicada al bloque d e masa M d e la figura
adjunta, de tal manera que los bloques
d e masas m , y m 2, apoyados en el blo­
que d e masa M , no se m uevan respecto
d e dicho bloque. Desprecie el rozam ien­
to. ( g = 10m/s2; m , = m 2=AÍ/10=l kg).
A) 1 N
D) 3 N
28.
B ) 1,5 N
C) 2 N
E ) 2,5 N
D os p én d u lo s c ó n ic o s s e m u e v e n (Ir
m o d o q u e sus m a sa s s e en cu en tra n 1
la m is m a altura s o b re e l piso, tal c o m e
s e m u estra. D e te rm in e la re la c ió n enti'
A ) 12 N
B ) 60 N
D ) 160 N
las ra p id e c e s an gu la re s cú, y co2.
C ) 140 N
E ) 120 N
Dinámica circunferencial
26.
El b lo q u e d e m a s a m gira c o n ra p id e z
an gu lar c on sta n te y s e
e n c u e n tra
a
pu n to d e resbalar. D e te rm in e e l p e r io ­
d o d e su m o v im ie n to . (g = 10 m/s2).
A ) C0|=2(u2
B ) ü)2= 2 ü),
C ) Ü)|=Ü)2
D ) ü) , = n/2ü)2
E ) w 2= n/2ü),
29.
L a p e q u e ñ a e s fe r a lisa d e 1 k g p asa |><m
la p o s ic ió n P c o n u n a v e lo c id a d igual
a v = (-3 / + 4y ). D e te rm in e e l ra d io di
cu rvatu ra e n d ic h o in stan te si la reac
c ió n e n P e s d e 4 N. ( g = 1 0 m/s2).
A) ^ s
B ) ti s
C ) 2n s
A) 1m
E) ~ s
D ) 1,5it s
B) 2 m
C ) 2,5 m
27.
U n a e s fe r a d e 0,2 kg e s s o lta d a e n A
d esde
c ierta altura h, d e
tal m a n e ­
ra q u e e n B a d q u ie r e u n a ra p id e z d e
n/T5 m/s. D e te rm in e e l m ó d u lo d e la
fu e rza resu ltante s o b re la e s fe r a e n B.
D e s p re c ie
g = 1 0 m/s2).
86
el
ro za m ie n to .
(7?=2 m ;
D) 3 m
E ) 3,5 m
r \
_ Física i-v
Reforzamiento UNI ^
T rabajo y energía mecánica
33.
Un h o m b r e ja la a u n a niña e n un trin eo
p o r una c a lle c u b ierta d e n iev e , c o n
30.
El b lo q u e d e 3 kg e s traslad ad o tal c o m o
v e lo c id a d con sta n te. L a m a s a d e la
se m u estra p o r u na fu erza con sta n te d e
niña e s d e 40 kg y la d e l trin eo e s 3 kg,
60 N. D e te rm in e el trabajo n eto sob re el
a d e m á s , e l c o e fic ie n te d e ro z a m ie n to
b lo q u e d e s d e A hasta B. (g = 10 m/s2).
c in é tic o en tre e l trin e o y la n ie v e e s 0,1
y e l án gu lo' e n tre la c u e rd a tirante y la
A ) 240 J
h o rizo n ta l e s 37°. ¿C u ánto trab ajo re a ­
B ) 360 J
liza e l h o m b r e al jalar al trin eo p o r un
C ) 120 J
tra m o d e 100 m ? C ?=10 m/s2).
D ) 160 J
E) 1 8 0 J
A ) 1 kJ
31.
El s istem a in ic ia lm e n te e n r e p o s o se
d e s p la z a
con
a c e le r a c ió n
34.
c on sta n te
la g rá fic a tal c o m o s e m u estra, d e te r­
p rim e ro s s e g u n d o s d e su m o v im ie n to .
m in e el trab ajo n e to s o b re e l b lo q u e
(m B= 2m A).
d e s d e x = 0 hasta x = 8 m . (g = 1 0 m/s2).
—
B ) 12 J
D ) 32 J
32.
El b lo q u e d e 4 kg s e e n c u e n tra e n r e p o ­
u n a fu e rza h orizon tal, la cu al varía c o n
c u e rd a s o b re el b lo q u e ( A ) e n los d o s
A) 8 J
C ) 3 kJ
E ) 6 kJ
so. Si s o b re e l b lo q u e e m p ie z a a actu ar
d e 4 m/s2. D e te rm in e e l trab ajo d e la
h .m
B ) 2,5 kJ
D ) 4 kJ
A
m
^
2N
C ) 16 J
E ) 36 J
El jo v e n jala la c u e rd a d e tal fo rm a
q u e el b lo q u e se d es p la za le n ta m e n te
! n=í0’6
s o b re e l p la n o in clin a d o liso. D e te rm in e
t v
e l trabajo re a liza d o p o r el jo v e n para
q u e el b lo q u e d e 10 kg suba 6 m sob re
i o ’5
------- --- ------ ~ ~ '
el p ia n o in clin ado. C o n sid e re p o le a s
id ea les. (g = 1 0 m/s2).
A ) 104 J
B ) 160 J
D ) 300 J
35.
C ) 264 J
E ) 325 J
S e su elta u n a e s fe r a d e 2 kg d e s d e una
altura d e 100 m re s p e c to d e l p iso. D e ­
te rm in e su ra p id e z e n e l m o m e n to en
q u e su e n e rg ía p o te n c ia l gravitatoria
s e h aya re d u c id o a la m itad. C o n s id e re
q u e e l aire e je r c e s o b re la e s fe r a una
fu e rza d e o p o s ic ió n d e m ó d u lo c o n s ­
tante d e 7,5 N. (g = 10 m/s2).
A) 200 J
D) 6 0 0 J
B) 300 J
C ) 400 J
A ) 10 m / s
E) 5 0 0 J
D ) 20 m / s
B ) 15 m /s
C ) 25 m /s
E) 18 m /s
87
_ M aterial Didáctico N.° 1 ^
Academia C ésar Vallejo
36.
La energía mecánica del sistema mos­
trado es 8 J. ¿Qué módulo presenta la
fuerza elástica en el momento en que
la energía cinética del bloque es el tri­
ple de la energía potencial elástica del
resorte. (K=400 N/m).
B) 2 J
A ) 1J
D) 4 J
A ) 20 N
B) 30 N
D) 50 N
37.
MAS
C) 40 N
E) 80 N
C) 3 J
E) 5J
04) y (B) de 1 kg y 2 kg, respectivamente,
Determine luego de cuántos segundo»
de pasar por la posición mostrada el
bloque pasará por su posición de equl
librio, si la amplitud de sus oscilaciones
es soltado en la posición mostrada.
es 1 m.
39.
El sistema compuesto por los bloques
Determine la rapidez del bloque 04) en
P. E.
el momento en que la energía potencial
.5 m/s
gravitatoria del bloque (B) sea la mitad
de la energía potencial gravitatoria del
bloque (-4). (g=10 m/s2).
I---- 0,5 m— I
A) —
6
7is
B) Vi 5 Tts
D) — Tts
’ 12
40.
C) V5
Tts
E)
”
12
Los bloques mostrados experimentan
MAS. Si el periodo de oscilación de A r*
de 2 s, determine el periodo de B. Consi
dere que los resortes solo se diferencian
por su longitud natural. (rnA= /\mB).
A ) 2 m/s
P.E.
B) 4 m/s
C) 2^5 m/s
D) 5 m/s
E) 3V2 m/s
38.
p. E.
El bloqu“ de 2 kg se encuentra en
reposo unido al resorte de constante de
rigidez 200 N/m. Determine el trabajo
necesario para comprimir 10 cm más
A) 1s
al resorte. Qj=10 m/s2).
D) 1/2 s
B) 2 s
C) 4 s
E) 1/4 s
1 1
<1.
_ Física i-.
ñeforzamiento UNI ^
El bloque que se muestra experimenta
A ) 0,12 m/s
un MAS, de tal manera que la energía
B) 0,24 m/s
potencial elástica máxima del resorte
C) 0,56 m/s
es de 2 J. Determine el tiempo que em ­
D) 0,48 m/s
pleará el bloque para recorrer 1 m, a
E) 0,56 m/s
partir del instante mostrado, (m = 1 kg;
K = 25 N/m).
44.
-
ü=0
k
«
t
ó
Si al bloque de
1 kg,
unido al resorte
(K = 25 N/m) que se encuentra en re­
PE.
:
:
poso, se le eleva verticalmente 40 cm y
se le abandona, este empieza a realizar
un MAS. ¿Cuál es la ecuación de su m o­
A) 0,8 s
B) 0,6 s
D) 1 s
vimiento? (g = 10 m/s2).
C) 0,5 s
E) 0,837 s
42. El gráfico muestra un bloque que expe­
rimenta un MAS, con una amplitud de
50 cm y un periodo de 4 s. ¿Qué tiempo
em plea el bloque para recorrer 70 cm
a partir del instante mostrado?
RE.
A) y = 0,4 eos (5/) m
X-— 40 c m — -X
A) 1 s
B) 0,8 s
D) 1,4 s
B) y = 0 ,4 s e n ^ 5 ? -^ m
C) 1,2 s
E) 1,6 s
C) y = 0,4sen^5í -
jm
43. Si la ecuación de la velocidad del os­
cilador depende del tiempo según la
D) y = 0,2sen(5f)m
siguiente expresión:
E) y = 0,6sen^5/ + -^jm
v = 0,8cos^2f + ^ j m/s
donde t se expresa en segundos, ¿cuál
es la rapidez del oscilador en la posi­
ción x=0,32 m?
45.
El periodo de un péndulo simple es
VÍ0 s. Si su longitud disminuye en 10%,
calcule su nuevo periodo.
A) 1 s
R E.
D) 4 s
B) 2 s
C) 3 s
E) 5 s
89
M aterial Didáctico N.' 1 t-y
Academia C ésar Vallejo -----------------------------------
O nd as mecánicas
48.
L a e c u a c ió n d e u n a o n d a transversal
q u e s e p ro p a g a e n una c u e rd a es
46.
S e m u es tra e l p erfil d e u n a o n d a fo r m a ­
y = 0 ,05sen(12n/ + 6 ju f)m , d o n d e I se
d a e n la s u p e rfic ie d e l a g u a p ro p a g á n ­
e x p r e s a e n s eg u n d o s . ¿C on q u é v e lo d
d o s e h a c ia la d e re c h a . ¿En q u é d ir e c ­
d a d s e p ro p a g a la on da?
«
c ió n s e m u e v e n las partícu las A y B?
A ) -0,5/ m/s B ) 0,75/ m/s C ) -2/ m/s
v
I
í
]\B i.
{ )
D ) -1,5/ m/s
i
49.
E) 2/ m/s
1.
Un p u lso s e p ro p a g a a través d e uñ hilo
d e a c e r o d e 1 m d e lo n gitu d y d e J_0 h
¿Co n q u é r a p id e z s e p ro p a g a e l p u lso «I
e l h ilo s o p o rta una te n sió n d e 0,09 N?
A ) A h a c ia a b a jo y B h a c ia a b a jo
B ) A h a c ia a b a jo y B n o s e m u e v e
A ) 0,5 m/s
C ) A h a c ia a b a jo y B h a c ia arriba
B ) 1 m/s
D ) 2,5 m/s
SE) 2 m/s
E ) 3 m/s
D ) A h a c ia arrib a y B h a c ia a b a jo
E ) A n o se m u e v e y B h a c ia arriba
50.
U na cu erda d e d en sidad lineal 10“ 2 kg/i 1\
se en cu en tra fija e n sus extrem o s, su­
47.
U na o n d a transversal viaja p o r una cu er­
p o rta n d o una ten sión d e 100 N. ¿Cu.il
da. El o scila d o r q u e g e n e ra la o n d a c o m ­
d e b e s er la longitu d d e la c u e rd a pañi
p leta 40 vibra cio n es e n 30 segu ndos,
q u e se e s ta b le z c a una o n d a estacionan,i
a d em ás, una cresta reco rre 9 m e n 15 s e ­
d e qu in to a rm ó n ic o , c o n una frecuen
gundos. D eterm in e su longitud d e onda.
c ia d e 50 Hz?
A ) 40 c m
C ) 45 c m
A) 1 m
E ) 51 c m
D) 7 m
'
D ) 48 c m
B ) 42 c m
B) 3 m
-
2.
C) 5 m
E) 9 m
I
f
3.
90
-i i
<V ^ > r e ÍTlí- ^ fvl.-Wo i
( Ó * > pe-
o s}
Químico
Í í »
Núm eros cuánticos y
distribución electrónica
"r 't \
*
D e te rm in e el n ú m e ro d e p ro to n e s c o n ­
te n id o s en un á to m o ' q u e p o s e e 4 e le c ­
tron es e n su cu arto n ivel.
L o s n ú m e ro s c u á n tico s n y 6 in dican ,
re s p e c tiv a m e n te
A ) 33
i 32
C ) 35
D ) 34
A ) el
m o v im ie n to
d el
e le c tró n
R e s p e c to al N b (Z = 4 1 ), c o m o ca tió n di-
e n e rg ía e n un in stan te d a d o . ^
B ) la fo r m a d e la c a p a e le c tr ó n ic a y la
>
el
p rin cip a l
e n e r g é tic o
v a le n te , s e ñ a le las p ro p o s ic io n e s v e r ­
d ad era s.
e n e rg ía d e l e le c tró n .
n ivel
E ) 46
y su
d el
I.
E s is o e le c t r o m c o c o n e l^ M o
.
II. T ie n e d o s e le c tro n e s e n su n ivel
e le c tró n y la fo r m a d e l orbital.
m á s a le ja d o .
D ) el n ive l d e e n e rg ía d e l e le c tr ó n en
un e s ta d o d a d o y e l m o v im ie n to d e l
e lec tró n .
III. Es d ia m a g n é tic o . *
A ) s o lo I
E ) e l v o lu m e n d e la r e g ió n e n la cu al se
B ) s o lo II
C ) II y III
E ) I y III
0 ) I y II
m u e v e n lo s e le c tro n e s y la o rie n ta ­
c ió n d e l orbital.
*
En la estructu ra e le c tr ó n ic a d e un á to ­
m o h ay 18 e le c tro n e s c o n e n e rg ía re la ­
In d iq u e las p ro p o s ic io n e s in co rrecta s.
tiva igual a 5 y 6 e le c tr o n e s c o n e n e rg ía
I.
re la tiva igual a 6 . S eñ a le e l n ú m e ro d e
Si s e tie n e 9 orb itales, e l m ín im o ni­
v e l q u e los c o n tie n e e s 3.
\/
.II. Para e l su b n ivel fu n d a m e n ta l e x is ­
o rb ita le s a p a re a d o s y d e s a p a re a d o s ,
re s p e c tiv a m e n te .
ten 7 v a lo re s d e m f.
III. Un orbital p rin cip al p u e d e con ten er,
c o m o m á x im o , 6 e le c tro n e s .
A ) s o lo I
B ) s o lo II
D ) I y III
■
C ) s o lo III
E) II y III
A ) 18 y 4
B ) 20 y 4
D ) 16 y 6
5
C )1 7 y 5
E) 19 y 5
Para un á to m o c o n un n ú m e ro m á s ic o
d e 55 y 30 n eu tron es, ¿q u é p ro p o s ic io ­
n es son correcta s?
S eñ a le e l ju e g o d e n ú m e ro s cu á n tico s
v á lid o p ara un e le c tró n d e la re g ió n 4f.
I.
Sus e le c tro n e s e stán distribu idos en
s iete su b n iveles. \,/
II. El ju e g o d e n ú m e ro s c u án tico s d e
su ú ltim o e le c tró n e n distribuirse es
A ) 4; 1 ; - 3 ; + 1/2
3; 2; + 2 ; +1/2. jp
B ) 4; 2 ; - 2 ; - 1/2
C ) 4; 3; + 4 - 1/2
D ) 4; 1 ; + 1 - 1/2
E ) 4; 3; + 2
+ 1/2
/
III. P o s e e 5 o rb ita les s em ille n o s .
B ) s o lo II
C ) s o lo III
E) 1, II y III
91
f\
M aterial Didáctico N.° 1
Academia César V allejo ^
T a b la periódica actual
B ) IIA
A ) IB
C ) IIIA
E ) VB
D ) I1IB
In d iq u e v e r d a d e r o ( V ) o fa lso ( F ) e n re ­
la c ió n c o n la ta b la p e r ió d ic a actu al.
¿C u áles s o n los ta m a ñ o s re la tivo s entre
I.
L o s e le m e n to s q u ím ic o s se e n c u e n ­
los p a res d e
tran o rd e n a d o s
qu ím icas?
s eg ú n e l n ú m e ro
a t ó m ic o c r e c ie n te .
/
las sigu ien tes e s p e c ie s
S ;S * - y K ; K +
II. El cu a rto p e r io d o c o n tie n e 18 e l e ­
m e n to s q u ím ic o s c o n igual n ú m e ro
A ) S2~ = S y K + > K
d e n iv e le s o ca p a s , s /
B ) S2_> S y K + = K
III. L o s e le m e n to s c o n p r o p ie d a d e s q u í­
C )f-< S yK + > K
m ic a s s e m e ja n te s s e e n cu en tra n o r­
> S y K+ < K
d e n a d o s e n un m is m o g r u p o A /
A ) V FV
B ) FVF
E ) S2* > S y K + > K
C) W F
R e s p e c to
^ V W
D) F W
a
lo s
e le m e n to s
X (Z = 11),
Y ( Z = 1 9 ) y W ( Z = 3 4 ) , ¿cu á les d e las si­
gu ie n te s p ro p o s ic io n e s s on correcta s?
R e s p e c to al e le m e n t o n ú m e ro 35 d e la
I.
X tie n e m e n o r ra d io a t ó m ic q ^ iie Y.
tabla p e rió d ic a , ¿q u é p r o p o s ic ió n n o le
II. W tiene m a yor tam año a tó m ico que Y.
c o r re s p o n d e ?
J
III. L a e n e rg ía d e io n iza c ió n d e Y <•*
m e n o r q u e la d e W.
A ) S e e n c u e n tra e n e l cu a rto p e rio d o .
B ) Es un e le m e n t o re p res en ta tiv o .
'
C ) P e r te n e c e a la fa m ilia d e los h a ló - v
A ) s o lo I
B ) 1 y III
ge n o s .
C ) II y III
,11 y III
D ) s o lo II
7
D ) P e r te n e c e al g ru p o V I I A (1 7 ).
Es b u e n c o n d u c to r e lé c tric o , j
In d iq u e las p ro p o s ic io n e s correcta s.
I.
D e te rm in e la u b ic a c ió n d e un e le m e n to
Para lo s e le m e n to s d e un p e rio d o , la
p rim e ra e n e rg ía d e io n iza c ió n c re c e
c u yo n ú m e ro d e m a s a e x c e d e e n 4 uni­
al a u m e n ta r e l n ú m e ro a tó m ico ^
d a d e s al d o b le d e su n ú m e ro a tó m ic o ,
II. C u an to m a y o r s e a la e le e tro n e ga li-
si a d e m á s p o s e e 30 p artícu las n eutras.
v id a d d e u n a e s p e c ie a tó m ica , m a ­
y o r s e rá su te n d e n c ia a ga n a r elec­
B ) 4; V IIIA
C ) 5; VIB
E ) 3; VB
tron es c u a n d o fo r m e e n l a c e . .
llk D e m o d o g e n e ra l, la e n e rg ía d e ioni­
z a c ió n y la e le c tro n e g a tiv id a d varían
El ca tió n d iv a le n te d e urí e le m e n to X e s
e n e l m is m o s e n tid o e n la tabla p e ­
is o e le c tr ó n ic o c o n o tro Y 4+ q u e s e e n ­
riód ica .
cu en tra e n e l qu in to p e r io d o y e l g ru p o
VB. ¿En q u é g ru p o d e la ta b la p e rió d ic a
A ) s o lo I
s e e n c u e n tra e l e le m e n to X?
D ) II y III
B ) I y II
C ) s o lo III
<#) I, II y III.
92
_
[/H Reforzamiento UNI
_ Química j-a
Enlace quím ico
R e s p e c to a la estructu ra d e l te tra ó x id o
d e d in itró g e n o ( N 20 4), in d iq u e la p ro ­
R especto al en la ce iónico, indique la ver­
p o s ic ió n in co rrecta .
dad (V ) o falsedad (F ) según corresponda.
I.
S e fo r m a g e n e ra lm e n te en tre e le ­
vid a d .
'
l/
A ) P resen ta 2 e n la c e s dativos.
m e n to s d e alta y b a ja e le c tro n e g a ti-
J
B ) P o s e e 2 e n la c e s m ú ltip les.
v
C ) C o n tie n e 3 e n la c e s sim ples.
II. L a tra n sfe ren c ia d e e le c tro n e s e s d e l
y
D ) R résenta 34 elec tro n e s d e v a len cia
á to m o d e m a y o r a m e n o r e le c tro -
EJ C on tien e 5 pares d e e lec tro n e s libres.
n eg a tiv id a d .
III. Es u n a fu e rza e le c tro s tá tic a q u e se
In d iq u e la c a n tid ad d e e n la c e s s ig m a
m a n ifie sta e n to d as d i r e c c i o n e s ^ ^
y pi, re s p e c tiv a m e n te , e n e l sigu ien te
A) W F
& ]V W
c o m p u e s to .
C ) V FV
D )F W
E) FFF
A ) 16 y 6
2.
B ) 15 y 5
¿En q u é c o m p u e s to n o s e m a n ifie sta
c) íjye
e n la c e ió n ico ?
u
A ) CaO
B ) KBr
« T bf3
3,
5 6
^
^
E) A120 3
R e s p e c to a las p ro p ie d a d e s g e n e ra le s
7.
J
II. L a m ayoría presenta alta du reza p ero
son q u e b ra d iz o s .
o
D e te rm in e e l n ú m e ro total d e e n la c e s
c o v a le n te s c o o rd in a d o s c o n te n id o s en
e l á c id o p e r c ló r ic o (H C 1 0 4) y e l io n ni­
in c o rre c to .
P o s e e n altos p u n tos d e fusión.
// \
o
d e lo s c o m p u e s to s ió n ico s, in d iq u e lo
I.
y
E) , V
C ) n h 4c i
trato ( N 0 3).
^
^
A) 1
>/
O -C fl-5 .
B) 2
D) 4
III. En e l e s ta d o s ó lid o s on b u e n o s c o n ­
C) 3
5
d u c to re s e lé c tric o s ,
A ) II y III
B ) I y III
D ) s o lo I
Form ulación y nom enclatura
in orgán ica
C ) s o lo II
E ) s o lo III
1.
In d iq u e lo s n ú m e ro s d e o x id a c ió n d e l
fó s fo r o y c ro m o , re s p e c tiv a m e n te , e n
Si un e le m e n to A (Z = 2 0 ) se co m b in a
las e s p e c ie s
c o n otro e le m e n to B (Z = 7 ), in diqu e la
q u ím ic a s C a (H 2P 0 4) 2 y
Cr20 2f .
cantidad d e elec tro n e s transferidos y la
estructura d e L e w is d el c o m p u e s to for­
í5 '
A ) + 5 ;+ 3
m ado.
B) +1; +3
D) +5; +6
C ) + 5 ;+ 7
E) +3 ; + 6
A ) 4 ; 3 [ A 1 3- 2 [:B : ]2+
B ) 8; 3 [ B ] 2+2 [:X :]3-
2.
D e te rm in e e l p a r d e m e ta le s c u y o nú-
~
m e r o d e o x id a c ió n m á s c o m ú n e s + 3 .
<¡^6; 3 [ A ] 2+2 [ ^ J 3_
D ) 6; 2[ A ] 2+3 [:B :]3-
A ) Li> Bi
E ) 8; 3 [:B :]2- 2 [ A ] 2+
D ) Al, Bi
\Al, Ba
C ) Mg, Ba
E ) Bi, Ba
/
&
& K ' o /
AJ~
93
Material Didáctico N.° 1 * v
/H Academia Césa r Vallejo
D ) C aS 2; (N H 4) 2S20 3
S e ñ a le la re la c ió n c o r re c ta e n tre la fó r­
m
m u la d e l ó x id o y la n o m e n c la tu ra c o ­
CaS; (N H 4) 2S 0 3
rre s p o n d ie n te .
Cálculos en Q uím ica
A ) Cr20 3: ó x id o d e c r o m o (V I)
B ) C l20 5: p e n tó x id o d ó r i c o
/
1.
,y
n id o s e n 2,54 g ra m o s d e c o b r e puro?
C ) N Í20 : ó x id o d e n íq u e l ( I I ) ^
PA ( C u ) = 6 3 ,5 urna
D / B a O : ó x id o b a rio s o
A „ = 6 x l 0 23
p fe o 2: <§xído p lú m b ic o
A ) Vfix 1023 B ) 2 ,4 x 1 O*
P ) 2,4 x 10"
In d iq u e la c o r r e s p o n d e n c ia c o r re c ta
en tre e l n o m b r e y la fó rm u la d e lo s si­
g u ien te s c o m p u e s to s .
I.
¿Cuántos á to m o s d e c o b r e e stán c on té
C ) 1 ,9 x 1 023
E) 2 ,8 x 1 022
o ,”’
2.
v/
H id ró x id o c o b á ltic o : C o (O H )3
S e tie n e 5,75 L d e v in o e n un b otelló n
d e d a m a ju a n a , e l cu al c o n tie n e a lco h ol
II. H id ró x id o m e rc ú ric o : H g (O H )2 . Y
e tílic o (C 2H5O H ) al 10% e n v o lu m e n . SI
III. H id ró x id o g á lic o : G a (O H )5 y
un m ililitro d e d ic h o a lc o h o l p e s a 0,8 g,
M s o lo I
B ) s o lo II
/ U ) I y II
5.
C ) s o lo III
d e te r m in e la c a n tid a d d e m o lé c u la s de
E) I, II y III
a lc o h o l e tílic o e n e l vin o .
PA (u rn a ): C = 1 2 ; 0 = 1 6 ; H = 1
Na= n ú m e ro d e A v o g ra d o
¿Cuál d e lo s sigu ien tes á c id o s c o n tie n e
la m a y o r c a n tid a d d e á to m o s d e o x íg e ­
A ) 10 N a
n o p o r u n id ad fórm u la?
B ) 5 Na
C ) 12 Na
E ) 15
D ) 7,5 JV*
A ) á c id o su lfu roso
B ) á c id o s ilícic o
c o m p o s ic ió n p orce n tu a l e n p e s o 60%
C ) á c id o s u lfh íd rico
'- i h
D ) p e íd o fo s fo r o s o
g¡) á c id o
U na a le a c ió n d e c o b r e y c in c tien e l.i
Í5 % 0 3
d e Cu y 40% d e Zn. ¿Cuántas m o le s de
c o b r e s e ten d rá p o r c a d a m o l d e cinc?
p e r b r ó m ic o
V °
rt <y 0<:i
¿Cuál d e las s igu ie n te s e s p e c ie s q u ím i- ^ ___)
PA (u rn a ): C u = 6 3 ,5 ; Z n = 6 5
A ) 0,65
cas está m a l d en o m in a d a ?
B ) 1,30
C ) 1,54
E ) 6,16
D ) 3,08
A ) N 0 2: io n nitrito
B ) H C 0 3: io n b i c a r b o n a t o V y ^
C)
S 0 3 : ion sulfito
\ ^>y *'
J0) C 1 0 2: ion hipocloritopt/i '
!"
r
’"
4.
El sulfato d e alu m in io , A12( S 0 4) 3, e s una
sal m u y utilizada e n e l p r o c e s o d e po-
O .
ta b iliza ció n d e l agua. Para u n a m uestra
E ) N H 4 : io n a m o n io
d e 0,912 k g q u e c o n tie n e A12( S 0 4) 3 al
¿Cuál d e las alternativas p resen ta las
v erd a d e ra s .
fórm u las q u ím ic a s q u e c o rre s p o n d e n
I.
al sulfuro d e c a lc io y sulfito d e a m o n io ,
II. P o s e e 6Na io n e s sulfato ( S 0 4) 2-.
resp ectiva m en te?
III. C o n tie n e 108 g d e alu m in io.
75% e n p e s o , in d iq u e las p ro p o s icio n es
7.
Se tien en 4 m o le s d e A I2( S 0 4) 3.
PA (u rn a ): A l= 2 7 ; S = 3 2 ; 0 = 1 6
A)
C aS 2; (N H 4) 2S 0 3
' B )' CaS; (N H 4) 2S 0 4
C ) CaS; N H 4H S 0 3
94
A) s o lo I
D) I y II
B ) s o lo II
C ) s o lo III
E ) II y III
L h Reforzamiento UNI ^
_
A l c a le n ta r 9,55 g d e u n a sal h idrata­
2.
d a d e b o r o N a 2B40 7-A H 20 , s e e lim in a
Química h .
A 127 °C , 200 m g d e c ie rto ga s o c u p a
un v o lu m e n d e 0,2 L y e je r c e una p re ­
4,5 g d e agua. ¿Cuál e s e l v a lo r d e X I
sión d e 312 torr. D e te rm in e la id en tid a d
P A (u m a ): N a = 2 3 ; B = 11; 0 = 16
d e l ga s d e s c o n o c id o .
PA (u rn a ): C = 1 2 ; 0 = 1 6 ; S = 3 2 .
A) 6
B) 7
D) 9
C) 8
E ) 10
A) C02
B ) N 20
D ) C 3H8
Un k ilo g ra m o d e a g u a d e m a r c o n tie n e
C) S03
E) S 0 2
3 x 1023 io n e s m a g n e s io . ¿Cuál e s la c a n ­
tid ad d e a g u a d e m a r q u e d e b e p r o c e ­
3.
Si 2 1 g ra m o s d e ga s n itró g e n o a 0 °C
sarse p ara o b te n e r 580 g d e M g (O H )2?
y I a tm ó s fe ra o c u p a n e l m is m o v o lu ­
PA (M g )= 2 4 urna
m e n q u e un d e te rm in a d o n ú m e ro d e
m o lé c u la s d e ga s p ro p a n o C 3H8 e n las
A ) 20 kg
B ) 25 kg
D ) 35 kg
C ) 30 kg
c o n d ic io n e s d e A v o g a d ro , ¿cuál s e rá el
E ) 40 kg
n ú m e ro d e m o lé c u la s d e p ro p a n o ?
PA (u rn a ): N = 1 4 ; C = 1 2 ; H = 1
U na m e z c la d e C a O y M gO p e s a 2,4 g
y s e tran sfo rm a to ta lm e n te e n C a S 0 4 y
A ) 4 ,5 x 1 023
M g S 0 4, re s p e c tiv a m e n te . Si la m a sa to ­
tal d e las s ales o b te n id a s e s 6,4 g, h alle
B ) 2 ,2 5 x 1 023
e l p o r c e n ta je e n m a sa d e m a g n e s io en
C ) 4 ,5 x 1 022
la m e z c la inicial.
D ) 9 x l 0 23
PA (u rn a ): M g = 2 4 ; S = 3 2 ; C a = 4 0 ; 0 = 1 6
E) 3 x l 0 22
A ) 25%
B ) 27,6%
D ) 75%
C ) 38%
4.
E ) 41,7%
En un b a ló n d e a c e r o se c o lo c a 100 L
d e ga s a m o n ia c o a 37 °C , y lu e g o d e
c a le n ta r e l r e c ip ie n te e l gas in c re m e n ta
Estado gaseoso y m ezcla de
gases
su te m p era tu ra e n 200 °C . D e te rm in e la
p res ió n final e n a tm ó s fe ra s si al in icio
s e te n ía u n a p re s ió n d e 2280 m m H g .
R e s p e c to al e s ta d o g a s e o s o , in d iq u e la
p ro p o s ic ió n falsa.
A ) 2,5
A ) O c u p a n to d o e l v o lu m e n d e l re c i­
B ) 3,8
D ) 5,6
C ) 4,9
E ) 8,4
p ie n te q u e lo c o n tien e .
B ) P resen ta n m a y o r e n tro p ía q u e los
líqu idos.
C ) L o s g a s e s n o s o n fá c ilm e n te c o m ­
p resib les.
D ) Sus m o lé c u la s p u e d e n s e r m o n o a ­
5.
Un ta n q u e c o n tie n e ga s h e lio a 80 °C .
Si la p re s ió n s e triplica is o c ó ric a m e n te ,
¿cuál s e rá e l p o r c e n ta je d e l in c r e m e n to
d e te m p era tu ra e n la e s c a la K elvin?
tó m ic a s o p o lia tó m ic a s .
E) P o s e e n flu id e z al igu al q u e lo s lí­
q u idos.
A) 200%
D ) 100%
B ) 3 00%
C )1 5 0 %
E ) 110%
95
Q ñ1
X
/-*
6.
-pt a & M t j , n 2
Academia C ésar Vallejo x .................................... ............. ..................................... — M aterial Didáctico N.° 1 i N
8.
En un ta n q u e ríg id o d e 30 L se tien e
Calcule el p orcen taje en m asa d el gas 1ii-
una m e z c la g a s e o s a d e n itró g e n o y o x í­
d ró g e n o c o n ten id o e n un recip ien te de
g e n o c o n una p res ió n d e 936 m m H g a
8 L d e cap acid a d , q u e ta m b ién con tien e
27 °C . Si la fra c c ió n m o la r d e l o x íg e n o
gas o x íg e n o a 27 °C y 1,2 atm d e presión,
es 0,2, ¿cuál es la m a sa e n g ra m o s d e
si se sab e q u e el o x íg e n o constituye el
n itró g e n o e n la m e zc la ?
20% e n m o le s d e la m e zc la gaseosa.
P A (u m a ): N = 14; 0 = 1 6
PA (u rn a ): 0 = 1 6 ; H = 1
A ) 12,4
B ) 16,8
D ) 33,6
C ) 18,5
A ) 10%
E ) 24,2
D ) 30%
B ) 20%
C )1 5 %
E ) 35%
PRACTICA D O M IC ILIA R IA
Núm eros cuánticos y distribución
p D ) Un o rb ital q u e d a d e fin id o p o r los
n ú m e ro s c u á n tico s n, C y m (.
electrónica
\i E )
d eterm in a para el electró n su sentido
In d iqu e v e r d a d e r o ( V ) o fa lso ( F ) segú n
d e giro a lred ed o r d el n ú c leo atóm ico.
co rres p o n d a .
I.
El n ú m e ro c u á n tico azim u tal p r e ­
4.
sen ta n valores.
En d o s á to m o s d e h id ró g e n o , e i d e r trón d e l p r im e r o está e n la ó rb ita n = 2 ,
II. El m á x im o n ú m e ro d e orb ita le s e n
un n ivel n es n 2.
y e n e l o tro á t o m o un e le c tr ó n está en
V
rt= 5 . ¿C u áles d e las sigu ien tes p ro p o s i­
c io n e s son v erd a d e ra s ?
III. El e s ta d o e n e r g é tic o d e un e le c tró n
lo d e te rm in a n n y í.
I.
V/
.
A ) V VF
El n ú m e ro cuántico spin m a gn ético
B ) VFV
/
V
II. En e l s e g u n d o , e l e le c tró n s e m u ev o
J ÍV V V
D ) VFF
En e l p rim e ro , e l e le c tró n tie n e m e ­
n o r e n e rg ía .
m á s rá p id o .
E) F W
I
III. En e l s e g u n d o , e l e le c tr ó n p o s e e
m e n o r d ista n cia al n ú c leo .
S eñ a le e l ju e g o d e n ú m e ro s c u á n tico s
q u e son p e rm itid o s p ara un elec tró n .
3.
n
«
m(!
ms
A) 3
3
-1
+3/2
0
A ) II y III
B ) s o lo I
D ) s o lo II
5.
><
B) 2
3
C) 2
1 +2
+ 1/2 >
+ 1/2
$ 5
3
-3
-1/2
E) 4
4 +3
-1/2
E ) I y II
D e te rm in e e in d iq u e e l n ú m e ro total
de
e le c tr o n e s
d e s a p a re a d o s
én
lo »
s igu ie n te s ion es.
?}
,3 + .
17*
> 26
A) 2
D) 8
i 8'B) 6
C )4
g>5
In d iqu e la p ro p o s ic ió n in co rrecta .
D e te rm in e
m á x im o 9 orb itales.
e le c tro n e s
tiv a m en te , d e l io n E3+, si s e s a b e que
>
p o s e e la m is m a c a n tid a d d e e lec tro n e s
B ) Si m ¡ = - 2 , e n to n c e s , e l m e n o r v a lo r
q u e p u e d e to m a r ñ es 3.
el núm eyó d e
e n el ú ltim o y p e n ú ltim o n ivel, re s p e r
A ) El te rc e r n ivel p u e d e c o n te n e r c o m o
q u e e l Cr2+ (Z = 2 4 ).
Y
C ) El ju e g o d e n ú m eros cuánticos: 4; 2;
0; +1/2 es p ro b a b le para un electrón .
96
C ) I y III
/
A) 2 y 10
D ) 2 y 12
B ) 10 y 8
C ) 4-y 8
$T12y8
f~\
7.
Reforzamiento UNI ^
_ Química ^
S e ñ a le la d istrib u ció n e le c tró n ic a in c o ­
s e m ille n o s d ifu sos, c o n s id e ra n d o q u e
rrecta.
su ca rg a n u c lea r es la m a y o r p o s ib le.
G ru po
A ) 80 = [H e j2 s 22p4
P e rio d o
5
JRÍ 9
B ) 2(¡Fe3+ = [A r ]3 d 5 */
"
C ) 35B rr:==|Ar]4s23 d 104p6 y
82? b 4+ = [X e ]6 s 24 f,45d8 ^
,E ) 13A l = [ N e ] 3 s 23 p T—^ 7 "
V3
B)
4
9
C)
4
D)
5
E)
5
D e te rm in e e l n ú m e ro a tó m ic o d e l e le ­
m e n to q u ím ic o c u yo s á to m o s p o s e e n 6
12.
S e s a b e q u e un e le m e n to E tie n e io n es
o rb ita le s s e m ille n o s y c o n tie n e 5 n iv e ­
d e la fo r m a E2-, q u e e s is o e le c tró n ic o
les d e e n ergía .
c o n e l á to m o d e N e (Z = 1 0 ). ¿A q u é
fa m ilia p e r te n e c e el e le m e n to E e n la
A) 54
, B042
B ) 48
tabla p e rió d ic a actual?
C ) 44
E ) 46
A ) c a rb o n o id e
B ) h a ló g e n o
Tabla periódica actual
C ) n itro g e n o id e
D ) gas n o b le
R e s p e c to a la tabla p e rió d ic a , in d iq u e
E) a n fíg e n o
la a firm a c ió n in co rrecta .
A ) L o s h a ló g e n o s p o s e e n u n a c o n fig u ­
13.
i7C l' ; ,7C13+; HSi; t8A r
ra ció n e le c tró n ic a f i n a l ... ns2n p 5. -
s e ñ a le
B ) El g ru p o IVA c o n tie n e m e ta le s , n o
m e ta le s y m e ta lo id e s .
-¿CA.
V
D adas las siguien tes e s p e c ie s qu ím icas:
J¡f) T o d o s los m e ta le s d e tran sición son
it C I1-
s ó lid o s a te m p era tu ra a m b ien tal.
:
II. MSi >
D ) El c a lc io , e s tro n c io y el m a g n e s io
son e le m e n to s a lc a lin o s térreo s.
las
p ro p o s ic io n e s
v e rd a d e ra s
re s p e c to al ra d io iórjico.
ionic
ísAr
,C13+
III. i8A r > 14Si
V
E) El b r o m o e s un n o m e ta l líq u id o a
I y II
te m p era tu ra am b ien tal.
B ) I, II y III
D ) II y III
10 .
C ) s o lo II
E ) I y III
A un e le m e n to d e n ú m e ro a tó m ic o
29 se le u b ic a e n e l g r u p o ............... y
14.
R e s p e c to a la e n e r g ía d e io n iz a c ió n ,
.!.............p e r io d o d e la tabla p e rió d ic a
s eñ a le las p ro p o s ic io n e s v erd a d e ra s .
actual.
I.
Es la e n e rg ía n e c e s a ria p ara arran car
e l e le c tró n m á s a le ja d o d e l á to m o
A ) IIA (2 ); te rc e r
e n e s ta d o s ólid o , p '
B ) IB (1 2 ); cu arto
II. En un g ru p o e s m a y o r e n á to m o s
C ) VI1B (4 ); cu arto
c o n m a y o r v a lo r d e c a rg a n uclear.
■
D LfIB (2 ); cu arto
III. En un m is m o p erio d o d e la tabla p erió ­
j® IB (1 1 ); cu arto
dica, su valor se v e in crem en tado con,
el m ayor valor d el n ú m ero atóm ico. V
11.
En la tabla p erió d ic a , u b iq u e al e le ­
m e n to
c u yo á t o m o
n eu tro c o n tie n e
2 s u b n iv e les d e tipo d y 3 orb itales
$ ) s o lo III
D ) II y III
B) I y II
C ) I, II y III
E) s o lo I
97
~Z
f- \
s
1
Academia César Vallejo
15.
Material Didáctico N.° 1
Enlace químico
R e s p e c to a lo s s igu ie n te s e le m e n to s
i |X¡ 19Y; :i4Z
18.
¿Q u é c o m p u e s to p o s e e e n la c e ió n ico ?
¿cu áles d e las p ro p o s ic io n e s s o n v e r d a ­
d eras?
I.
A) C02
/
C ) P 20 5
,$ N H 3
D ) K 20
Y tie n e m a y o r ra d io q u e X. V
E) C 3H 8
/
H. Z p o s e e m a y o r e le c tro n e g a tiv id a d
q u e Y.
19.
V
Para un e le m e n to A , c u y o Z = 20, y B d el
g ru p o VIIA , s e ñ a le las p ro p o s ic io n e s ,
III. L a e n e rg ía d e io n iza c ió n d e X e s
v erd a d e ra s .
m a y o r q u e la d e Z.
I.
B ) s o lo II
A ) I y II
D ) II y III
El c o m p u e s to q u e s e fo r m a rá entre
A y B e s d e n atu ra leza c o v a le n te .
C ) I, II y III
II. L a fó rm u la d e l c o m p u e s to e n tre A y
E ) s o lo III
B e s A B 2.
16.
III. El e n la c e e n tre A y B e s ió n ic o .
S o b re los e le m e n to s e n la tabla p e r ió ­
d ica, s e ñ a le las p ro p o s ic io n e s v e r d a ­
A ) s o lo II
d eras.
I.
B ) II y III
C ) I y II
D ) I y III
L a e le c tro n e g a tiv id a d a u m e n ta c o n
E ) s o lo 1
~T
la c a rg a n u c le a r e n un p e rio d o .
II. Entre las fa m ilia s o gru pos, lo s ni-
20.
S eñ a le la a firm a c ió n q u e n o c o r re s ­
tr o g e n o id e s s o n lo s d e m a y o r p o d e r
p o n d e a u n a p ro p ie d a d g e n é r ic a d e los
o x id a n te.
c o m p u e s to s ió n ico s.
I~
III. L a e le c tro n e g a tiv id a d s e m a n ifie sta
A ) S on s ólid o s, d e / alta d u re za p ero
du rante la fo r m a c ió n d e l e n la c e q u í­
q u e b ra d iz o s .
1
m ic o .
B ) I y II
A ) II y III
*/
B f"P 0 s e e n b a ja c on d u c tiv id a d eléctrica.
$
C ) Al d is o lv e rlo s e n a g u a s e d iso c ia n en
I y III
a n io n e s y c a t io n e s . /
E) s o lo III
D ) s o lo II
D ) P o s e e n altas tem p era tu ra s d e fusión
y e b u llició n . \/
S o b re la v a ria c ió n d e las p ro p ie d a d e s
E) Son volátiles a tem peratura am biental
p e rió d ic a s d e lo s á to m o s , s e ñ a le la al­
tern ativa c o rrec ta .
21.
S e ñ a le la altern a tiva q u e c o n te n g a al
c o m p u e s to c u y o á t o m o cen tra l cu m p la
A ) En un gru po, los ra d io s d e lo s a n io ­
la r e g la d e l o c te to .
n es a u m e n ta n d e m o d o in ve rs o c o n
e l n ú m e ro a tó m ic o .
B) Los
m e ta le s
de
tran sición
A ) P C i5 X
tie n en
C ) B C Ij
B ) SFg
E) B e H 2
J » )C H 2CI2
lo s v a lo re s m á s altos d e e n e r g ía d e
io n iza c ió n .
22.
C ) En c u a lq u ie r gru p o , to d o s lo s e l e ­
D e te rm in e
m e n to s s e e jic u e n tr a n e n u n m is m o
I.
e stad os-físico ,
II. C 0 2 v/
a
te m p era tu ra
am -
c u á le s
de
las
sigu ien tes
sustan cias son c o v a le n te s .
LiCl
J
bjerífal. 1
III. HF
^os e le m e n to s d e l g ru p o IIB tie n en
E lec tro n e g a tivid a d : L i= 1 0 ; H = 2 , l;
d o s e le c tr o n e s e n su m á x im o n ivel. ,
C = 2 ,5 ; C l= 3 ,0 ; F =4 ,0 .
E ) T o d o s los g a s e s n o b le s tie n e n o c h o
e le c tr o n e s e n su m á x im o n ive l e n e r ­
g é tic o .
98
A ) s o lo III
D) I y III
B ) I y II
i II y III
E) s o lo II
r\
Reforzamiento UNI ^_________±_z___ ______J '
(V »!
23.
—_____
1 D« , J
En referen cia a las sustancias 0 3 y K20 ,
indique la proposición verdadera.
27.
D e te rm in e las p ro p o s ic io n e s v e r d a d e ­
1
ras ( V ) o falsas (F ) segú n c o rre s p o n d a .
A ) En 0 3 h ay un e n la c e m ú ltip le y K 20
tie n e d o s e n la c e s sim ples.
Química h .
I.
Cal a p a g a d a ; C a (O H )2
/
\/
II. P otasa cáu stica: N a O H
i
III. A lú m in a: A l(O H )3 <
P Í T o d o s lo s á to m o s d e a m b a s sustan­
cias c u m p le n la regla d e l o c te to .
VW
C ) En total h a y d o s e n la c e s d ativos, f
D ) A m b a s su stan cias s o n c o v a le n te s .
28
c e s sigm a.
In d iq u e las re la c io n e s d e c o r r e s p o n ­
tes sales neutras.
I.
paracetam ol tiene la siguiente estructura.
^ (i;
V
H O -e f
,
C
U
H
Na.,SO,
II. KCIO
: sulfito d e s o d io ^
: h ip o c lo rito d e p o ta s io
III. N H 4Cr20 7 : d ic ro m a to d e a m o n io V
^C H 3
V N -C
"
II
\ ___ /
A ) II y III
O
B ) I, II y III
C ) I y III
D ) s o lo II
E) s o lo I
9Q
“ • D e te rm in e la altern ativa q u e m u estre
al ion p o lia tó m ic o c o n su n o m b r e c o ­
In d iq u e c u á le s son las p ro p o s ic io n e s
verd a d e ra s .
I.
E ) FVF
d e n c ia c o r re c ta re s p e c to a las sig u ie n ­
El m e d ic a m en to d e n o m b re com ercial
.
C) W F
f-
E ) En total están p res e n tes cu atro en la -
24.
B ) FFV
D ) V FV
rrecto.
T ie n e cu a tro e n la c e s tip o pi. '
II. Su fó rm u la glo b a l e s C 8N 0 2Hay
I
i
A ) N 0 3 : nitrito
III. T ie n e 56 e le c tro n e s d e v a le n c ia . V
V
B ) C I0 3“ : p e rc lo ra to 1
A ) í y II
B ) II y III
D ) s o lo II
-I
C ) H S'~: b is u lfu ro 1-
C ) I, II y III
E ) s o lo III
Q \
D ) H P O f : fo s fa to
|J
E ) N H 4 : a m o n io >/
u
Formulación y nom enclatura inorgánica
30.
25.
D e te rm in e e l p ar d e m e ta le s c u y o
nú­ 1
In d iq u e la altern a tiva d o n d e e l c o m ­
p u e s to tie n e la fó rm u la co rrec ta .
m e r o d e o x id a c ió n m á s c o m ú n e s + 2 .
/ V
i Cu; Fe
/
B ) S; C a
B ) Ó x id o fé rrico :
C a (C 1 0 )2
Fe30 2
C ) C loru ro d e m e rc u rio (I ):
E) O: C d
D)
26.
A ) H ip o c lo rito d e c a lc io :
v,
C ) Ba; Zn
v
D ) A c id o sulfúrico:
Id e n tifiq u e el n o m b r e stock c o r r e c ta ­
H gC l2
H2S
E ) Yo d u ro n iq u e lo s o :
N il3
m e n te escrito.
31.
D e te rm in e la a to m ic id a d d e los c o m ­
A ) F e20 3
: ó x id o d e h ierro (II) 7
p u e stos b ic a rb o n a to p lu m b o s o y trioxo-
© Sn02
: ó x id o d e e s ta ñ o (II)
c a rb o n a to (IV ) d e bario.
C ) C a (O H )2 : h id ró x id o d e m o n o c a lc io
D) H.¿S04
: á c id o tetraoxosulfúrico (VI)
E) A l(O H )3 : trihidróxido d e aluminio (III)
A) 11 y 6
D) 9 y 6
B ) 11 y 5
C ) 10 y 6
E) 12 y 8
99
_ Material Didáctico N.° 1
Academia César Vallejo ^
32.
R e la c io n e e l n o m b r e d e l c o m p u e s to
A ) 62 kg
C a ( 0 H ) N 0 3c o n e l tip o d e n o m e n c la tu ra
D ) 248 kg
B ) 124 kg
C ) 234 kg
7 *2 .1 %
E) 466 kg
q u e le c o r re s p o n d e .
I.
nitrato b á s ic o d e c a lc io
37.
b
3
II. h idroxin itrato d e c a lc io
D e las s igu ie n te s p ro p o s ic io n e s , in d i­
q u e la v e rd a d ( V ) o fa ls ed a d (F ) segú n
III. h id rox in itrato d e c a lc io (11) J í C
c o rre s p o n d a .
a. stock
I.
b. trad icion al
En 5 m o le s d e 0 2 e stá p re s e n te la
m is m a c a n tid a d d e á to m o s q u e en
c. 1UPAC
2
m o le s d e C H 4. F
¡p II. A partir d e 10 m o le s d e H2S 0 4 se
A ) Ic; Ilb; Illa
p u e d e n o b te n e r 5 m o le s d e 0 2.
B ) Ilb; Illa; le
III. Si d is p o n e m o s d e 520 g d e A I(O H ) ,,
05 Ib; Illa; Ilc
se o b te n d ría 10 m o le s d e C a (O H )2.
D ) Illb ; lie; la
PA (u m a ): A l= 2 7 ; C a = 4 0 ; 0 = 1 6
E ) Ib; Ha; IIIc
A) V W
Cálculos en Química
B ) VFF
C ) V FV
E) FFF
D) F W
33.
Si
el
p eso
fó rm u la
d el
c o m p u e s to
CaCI jfH jO e s 201 urna, d e te rm in e el
38.
p e s o m o le c u la r d e l c o m p u e s to
m is m a c a n tid a d d e m o lé c u la s q u e 49 g
PA (u rna): C a = 4 0 ; P = 3 1 ; C l=35,5; 0 = 1 6
A ) lj¡2_um a
B ) 114 urna
D ) 152 urna
In d iq u e la m a s a d e C 0 2 q u e c o n tie n e la
d e H2S 0 4.
E ) 146 urna
A ) 20 g
34.
m- ^ 9
PA (u m a ): S = 3 2 ; C = 1 2 ; 0 = 1 6
C ) 138 urna
Si e n una g o ta d e a g u a e x is te n 5 x 1 021
m o lé c u la s , d e te rm in e el. p e s o d e
10
go ta s d e agua.
B ) 11 g
'2 2 g
D ) 30 g
39.
In d iq u e a q u e lla c an tid ad d e sustancia
q u e p o s e a la m a y o r m asa.
PA (u rn a ): H = l ; 0 = 1 6
PA (u m a ): F e = 5 6 ; N = 1 4 ; 0 = 1 6 ; A l= 2 7
# 1 ,5 g
4,2 g
B ) 2,3 g
C ) 3,2 g
A ) 3 m o le s d e Fe
E) 5,5 g
W
° " 'z
Í í
w a
B ) 1 m o l d e N 20 5
35.
u
D e te rm in e la m a sa , e n kg, d e 1,8 x 1030
C ) 100 g ^ e H2
m o lé c u la s d e a n h íd rid o c a rb ó n ic o .
D ) > # x 1024 m o lé c u la s d e H20
P A (u m a ): C = 1 2 ; 0 = 1 6
’ 5 m o le s d e A l
t'Vs
N a = 6 x 1 0 23
40.
A ) 2 ,6 4 x 1 03 B ) l , 3 2 x l 0 5 C ) 2 , 6 4 x l 0 4
D ) 6 ,6 x 1 04
36.
«1 0 ^
E) 1 ,3 2 x 1 04
U n o d e lo s fertilizan tes m á s u sad o s e n
los c a m p o s d e cu ltivo e s e l C a (H 2P 0 4) 2.
L o s h u e so s d e u n a p e rs o n a adulta, en
p ro m e d io , p es a n a lr e d e d o r d e 13 kg y
c o n tie n e n 60% e n m a sa d e fo s fa to d e
c a lc io . ¿Q u é p e s o d e fó s fo r o s e o b t e n ­
drá d e los h u e so s d e una p e r s o n a a d u l­
Si s e d is p o n e d e 520 kg d e fertilizan te
ta, te ó ric a m e n te ?
c o n 90% d e p u reza , ¿q u é m a sa d e fó s ­
PA (u m a ): C a = 4 0 ; P ¿ 3 1 ; 0 = 1 6
foro, c o m o m á x im o , será a s im ila d a p o r
100
las plantas?
A ) 1,24 kg
PA (u m a ): C a = 4 0 ; P = 3 1 ; 0 = 1 6
D ) 2,42 kg
f í 1,56 kg
C )2 ,lk g
E) 3,42 kg
/H Reforzamiento UNI
41.
_
U n a m e z c la e q u im o la r e stá con stitu id a
46.
Qufmica i-y
En las m is m a s c o n d ic io n e s d e p res ió n
p o r C uSQ^ '5 H -,0 y M gCl? •6 H ,Q
y
¿Q u é p o r c e n ta je d e a g u a c o n tie n e la
d e n s o e s e l ga s a c e tile n o (C 2H 2) q u e el
m e zc la ?
ga s h elio?
PA (u rn a ): H = 1; 0 = 1 6 ; C u = 6 3 ,5 ; S = 3 2 ;
PA (u m a ): C = 12; H e = 4 ; H = l
tem p eratu ra,
¿cuántas
veces
m ás
M g = 2 4 ; C l= 35,5
A ) 5,50
A ) 28%
B ) 34,7%
f f í 43,8%
C ) 38%
C ) 7,45
E) 6,50
E) 48%
47.
42.
B ) 3,25
D ) 6,00
S e tie n e e n un b a ló n d e 6 L g as c lo ro , el
D e te rm in e la c a n tid a d d e h ierro q u e se
cu al se traslada a o tro b a ló n d e 4 L, p e ro
p u e d e e x tra e r a partir d e 800 kg d e he-
e n e l traslad o se p ie rd e n 12 g. D e te rm i­
m atita al 90% e n m a sa d e ó x id o fé rr ic o
n e la m a sa in icial d e l gas si la p res ió n y
(F e 20 3) c o n un re n d im ie n to d e l 75%.
tem p eratu ra p e r m a n e c e n con stantes.
PA (u rn a ): 0 = 1 6 ; F e = 5 6
A ) 254 kg
B ) 504 kg
D ) 300 kg
C ) 378 kg
A ) 36 g
E ) 432 kg
D ) 25 g
Estado gaseo so y mezcla de gases
48.
B ) 18 g
C ) 30 g
E) 42 g
Un ga s id ea l o c u p a un v o lu m e n d e
0,3 d m 3 a u n a p re s ió n d e l , 8 x 105 Pa y
43.
R e s p e c to al e s ta d o g a s e o s o , in d iq u e
57 °C. H alle e l v o lu m e n , e n d m 3, d e l gas
las p ro p o s ic io n e s v erd a d e ra s .
si la p re s ió n se re d u c e a l , 1 5 x l 0 s Pa y
I.
la te m p era tu ra a u m e n ta a 550 K.
Su fo r m a y v o lu m e n d e p e n d e fi d e l
re c ip ie n te q u e lo c o n tie n e . ^
A ) 0.22
II. S e d ifu n d e n a través d e o tro flu id o
B ) 0,35
D ) 0,53
c o n altas v e lo c id a d e s .
C ) 0,48
E ) 0,78
III. Las fu erza s d e a tra c c ió n m o le c u la r
se c o m p e n s a n c o n las fu erza s d e
49.
U n a m e z c la g a s e o s a c o n tie n e 14,4 g d e
o x íg e n o , 1 ,5 x 1 023 m o lé c u la s d e n itró­
repu lsión .
g e n o y 0,65 m o le s d e v a p o r d e agua.
A ) s o lo I
B ) I y II
D ) I y III
C ) s o lo II
C a lcu le la m a s a m o la r (g / m o l) d e la
E) I, II y III
m e z c la .
PA (u m a ): H = l ; N = 1 4 ; 0 = 1 6
44.
D e te rm in e
e l n ú m e ro d e
m o lé c u la s
p re s e n te s e n un b a ló n d e 3 L d e c a p a ­
A ) 24,5
c id a d d o n d e la p res ió n d e l ga s e s d e
D ) 28,2
B ) 25,5
C ) 26,6
E ) 33,1
2 a tm y la te m p era tu ra d e 27 °C.
50.
Una
m e z c la
gaseosa
c o n tie n e
32 g
A ) l , 4 6 x l 0 23 B ) 2 ,2 6 x l0 18 C ) 14,6x1023
D ) 2 ,3 2 x 1 023
E ) 1,52x1024
d e C H 4, 90 g d e C2H6 y 220 g d e C 3H 8.
Un gas se h alla c o n fin a d o en un re c i­
c ia le s d e c a d a gas, re s p e c tiv a m e n te ,
p ie n te d e 20 L a la p res ió n d e 5 atm y
e n a tm ó sferas?
u n a te m p era tu ra d e 127 °C . Id en tifiq u e
PA (u m a ): C = 1 2 ; H = 1
Si la p re s ió n total d e la m e z c la e s d e
1520 m m H g , c a lc u le las p re s io n e s p a r­
45.
d e q u é g a s s e trata si e n estas c o n d ic io ­
n es su d en s id a d e s 9,76 g/L.
PA (u rn a ): C = 1 2 ; N = 1 4 ; 0 = 1 6 ; S = 3 2
A ) 0,4; 0,6; 1,0
B ) 0,2; 0,3; 1,5
C ) 0,8; 0,2; 1,0
A ) CH„
D) S 0 2
B) C3H8
C) S 0 3
E) N20
D ) 1,0; 0,6; 0,4
E) 1,3; 0,3; 0,4
101
Claves
V
A ritmética
01 - A
06 - B
11 - A
16 - B
21 - D
26-A
31-D
36 - C
41 - A
46 -D
02 - D
07 - E
12 - E
17 - A
22-D
27-C
32- E
37 - B
42 - E
47 - A
03 - B
08 - C
13 - A
18 - A
23-C
28-A
33- A
38 - E
43 - C
48-C
04 - B
09 - B
14- B
19- B
24-C
29-C
3 4-C
39 - C
44 - B
49-E
05-A
1 0-D
15-E
20-B
25- E
30-B
3 5-C
40 - B
45 - B
50-A
16 - B
21 - D
26-D
31 - E
36 - D
41 - D
27-C
32-D
37 - C
42 - A
47 -E
A lgebra
01 - D
06 - A
11 - D
46-D
02 - D
07 - C
12 - C
17 - E
22-B
03 - E
08 - E
13 - D
18 - A
23 -D
28-C
33 - D
38 - E
43 - B
48-B
04 - C
09 - B
14 - B
19 - B
2 4 -B
29-E
34-A
39 - B
44 - D
4 9 -D
05-D
10- A
15- E
20-C
25-E
30-C
35-B
40 - D
45 - A
50 - E
01 - C
06-A
11 - C
16-D
21 - C
26-D
31 - A
36-C
41 - D
02-C
07-C
12 - A
17- D
22-B
27-B
32 - E
37-E
42-A
47-A
03 -E
08-B
13 - A
18- E
23 - B
28-C
33-B
38 - C
43 - B
48 - B
0 4 -C
T09 - C
14 - C
19-A
24 -C
29-D
34 - C
39 - B
44 - E
49 - C
05-A
10-C
15 - C
20-C
25-C
30 - D
35 - A
4 0 -C
4 5 -E
01 - B
06-B
11 - B
16 - B
21 - A
26-B
31 - A
36-D
41-A
46-A
02 - D
07-C
12 - A
17 - D
22-A
27-D
32-B
37-B
42 - D
47 - B
03 - C
08-C
13-E
18 - B
23 - D
28-B
33-D
38-D
43 - E
48 - D
04 - C
09-A
14 - A
19 - E
2 4 -B
29-A
34 - B
39 - C
44 - A
49 - C
05-C
10-E
15 - C
20-D
25-E
30-C
35-B
40-C
45 - C
50 - B
01 - E
06-B
11 - B
16 - C
21 - D
26-B
31 - D
36-C
41 - E
46 - C
02 - D
07-B
12 - D
17-C
22 - A
27-E
32-B
37-C
42 - A
47 - C
03 - D
08-C
13 - D
18 - C
23-D
28-C
33-D
38-A
43 - D
48 - E
04-D
09-E
14-E
19 - D
2 4 -C
29-C
34 - A
39-D
44 - A
49 - E
05-C
%
10 - B
15 - C
20-D
25-E
30-C
35 - C
40-A
45 - C
50 - C
v.
G eometría
46 - C
T rigonometría
Fí s i c a
Q uímica
01 - c
06 - E
11 - A
16-C
21 - D
26 - D
31 - B
36-B
41 - D
02 - D
07-D
12- E
17 - D
2 2 -C
27-D
32-C
3 7-C
42 - C
46 - E
47 - A
03 - E
08 - D
13-A
18 - D
23-B
28 - D
33-A
38-E
43 - B
48 - E
04-B
0 9 -C
14-A
19 - B
24-A
29-C
34 - A
39-A
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10-E
15-A
20 - E
25 -C
30-A
35 - B
40-B
45 - D
50 - A