062 CINEMÁTICA UNIDIMENSIONALPARTE 2 ECS MUA Y CAIDA LIBRE 2

CINEMÁTICA UNIDIMENSIONAL
PARTE 2
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Movimiento, cinemática, partícula, ejes de movimiento
Posición, desplazamiento, trayectoria, distancia recorrida
Velocidad media y rapidez media
Diagrama posición-tiempo, velocidad instantánea y rapidez
Movimiento rectilíneo uniforme MRU o MU
Gráficas x-t, v-t y a-t en el MU, análisis grafico
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado MRUA o MUA
Gráficas x-t, v-t y a-t en el MUA
Ecuaciones en el MUA
Caída libre
Ecuaciones
MRU
1)
𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝑣𝑜 𝑡
2)
∆𝑥
𝑣=
∆𝑡
MRUA
1)
1 2
𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝑣𝑜 𝑡 + 𝑎 𝑡
2
2)
𝑣 = 𝑣𝑜 + 𝑎𝑡
3)
𝑣 2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑥 − 𝑥𝑜 )
4)
𝑣𝑜 + 𝑣 𝑡
𝑥 − 𝑥𝑜 =
2
Ejemplo 1.20
1
Un motociclista que viaja al este cruza una
pequeña ciudad y acelera apenas pasa el letrero
que marca el límite de la ciudad. Su aceleración
constante es de 4.0 m/s2. En t = 0, está a 5.0 m
al este del letrero y se desplaza a 15 m/s.
Determine dónde se encuentra el motociclista
con respecto al letrero cuando su velocidad es
de 23 m/s.
Datos:
𝑥0 = 5,0 𝑚
𝑣0 = 15 𝑚/𝑠
𝑎 = 4.0 𝑚Τ𝑠 2
𝑣 = 23 𝑚/𝑠
𝑥 =?
𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝑣𝑜 𝑡 + 2 𝑎 𝑡 2
𝑣 = 𝑣𝑜 + 𝑎𝑡
𝑣 2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑥 − 𝑥𝑜 )
𝑣𝑜 + 𝑣 𝑡
𝑥 − 𝑥𝑜 =
2
𝑣𝑓2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑥 − 𝑥𝑜 )
23 2 = 15 2 + 2 4 𝑥 − 5
529 = 225 + 8𝑥 − 40
529 = 185 + 8𝑥
529 − 185 = 8𝑥
344 = 8𝑥
344
=𝑥
8
Despejando se llega a:
𝑥 = 43 𝑚
Ejemplo 1.21
23. Un avión jet se aproxima para aterrizar con una rapidez de 100 m/s y una
aceleración con una magnitud máxima de 5.0 m/s2 conforme llega al reposo.
a) Desde el instante cuando el avión toca la pista, ¿cuál es el intervalo de tiempo
mínimo necesario antes de que llegue al reposo?
b) ¿Este avión puede aterrizar en el aeropuerto de una pequeña isla tropical
donde la pista mide 0.80 km de largo? Explique su respuesta.
𝑥0 = 0 𝑚
𝑣0 = 100 𝑚/𝑠
𝑣𝑓 = 0.0 𝑚/𝑠
𝑎 = −5.0 𝑚/𝑠 2
a) 𝑡 =?
b) 𝑥𝑓 =?
1
𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝑣𝑜 𝑡 + 2 𝑎 𝑡 2
𝑎 = −5.0 𝑚/𝑠 2
𝑣0 = 100 𝑚/𝑠
𝑣𝑓 = 0.0 𝑚/𝑠
𝑣 = 𝑣𝑜 + 𝑎𝑡
𝑣 2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑥 − 𝑥𝑜 )
𝑥0 = 0 𝑚
𝑥𝑓 =?
b) Se calcula la distancia en detenerse con la ecuación 1)
1
𝑥 = 0 + 100 20 + −5 20 2 = 2 000 − 1 000
2
𝑥 = 1 000 𝑚 por lo tanto no podría aterrizar en una pista de 800 m
𝑣𝑜 + 𝑣 𝑡
𝑥 − 𝑥𝑜 =
2
a) De la ecuación 2)
0 = 100 − 5𝑡
𝑡 = 20 𝑠
Ejemplo 1.22 Preguntas por competencias
Resuelve problemas de magnitudes físicas y de cinemática en un contexto cotidiano.
Un móvil que se desplaza en la dirección positiva del eje x con velocidad constante aplica los
frenos durante 25 s, y recorre una distancia de 400 m hasta detenerse. Calcula la aceleración
que produjeron los frenos:
A.
B.
C.
D.
1,28 𝑚Τ𝑠2
−1,28 𝑚Τ𝑠2
0,04 𝑚Τ𝑠2
−0,04 𝑚Τ𝑠2
1)
1 2
𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝑣𝑜 𝑡 + 𝑎 𝑡
2
2)
𝑣 = 𝑣𝑜 + 𝑎𝑡
3)
𝑣 2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑥 − 𝑥𝑜 )
4)
𝑣𝑜 + 𝑣 𝑡
𝑥 − 𝑥𝑜 =
2
Se calcula 𝑣0 con la ecuación 𝑥 − 𝑥𝑜 =
Datos:
𝑡 = 25 𝑠
𝑥0 = 0 𝑚
𝑥 = 400 𝑚
𝑣𝑓 = 0
𝑎 =?
400 − 0 =
400 =
25𝑣0
,
2
𝑣𝑜 +𝑣 𝑡
2
(𝑣0 + 0)(25)
2
por lo tanto, 𝑣0 = 32
𝑚
𝑠
Ahora usamos 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡, la cual queda
0 = 32 + 𝑎 25
(B)
Respuesta: __________
𝑎 = −1,28 𝑚/𝑠 2
Caída libre
Decimos que un cuerpo se encuentra en caída libre si se
mueve únicamente bajo la influencia de la gravedad.
De esta manera, al lanzar un objeto hacia arriba, este quedará
en caída libre desde el momento que sale de la mano, aunque
se esté moviendo hacia arriba, ya se encuentra en caída libre.
Despreciando la resistencia del aire es posible afirmar que
“Desde la misma altura, todos los cuerpos tardan el mismo
tiempo en caer, independientemente del peso y la forma que
posean”
Es un caso particular del movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado MRUA, donde la aceleración
constante es la de la gravedad.
𝑎 = −𝑔 = −9.8 𝑚/𝑠 2
𝑦
La aceleración de la gravedad disminuye con la altura, pero en
la práctica la consideramos constante, pues las alturas
involucradas no son lo suficientemente grandes como para
que se vea afectado el valor de −9.8 𝑚/𝑠 2
Los cuerpos dejados en
caída libre aumentan su
velocidad (hacia abajo) en
9.8 m/s cada segundo.
ECUACIONES DE CAIDA LIBRE
Estas ecuaciones serán válidas tanto en el
movimiento de caída como en el de lanzamiento
vertical hacia arriba
1)
1 2
𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝑣𝑜 𝑡 + 𝑎 𝑡
2
𝑎 = −𝑔
gravedad de la Tierra a nivel del mar es:
𝑔 = 9.80 𝑚/𝑠 2 en el sistema SI
𝑔 = 980 𝑐𝑚/𝑠 2 en el sistema cgs
𝑔 = 32 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠 2 en el sistema inglés
1 2
1) 𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑣𝑜 𝑡 − 𝑔 𝑡
2
2)
𝑣 = 𝑣𝑜 + 𝑎𝑡
2)
3)
𝑣 2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑥 − 𝑥𝑜 )
3) 𝑣 2 = 𝑣02 − 2𝑔(𝑦 − 𝑦𝑜 )
4)
𝑣𝑜 + 𝑣 𝑡
𝑥 − 𝑥𝑜 =
2
𝑣 = 𝑣𝑜 + 𝑎𝑡
𝑣 = 𝑣𝑜 − 𝑔𝑡
𝑣 = 𝑣𝑜 − 𝑔𝑡
𝑣𝑜 + 𝑣
4) 𝑦 − 𝑦𝑜 =
𝑡
2
CAIDA LIBRE
𝑣2 = 0 𝑚/𝑠
𝑣1 = 9.8 𝑚/𝑠
𝑣3 = −9.8 𝑚/𝑠
𝑎𝑦 = −𝑔
= −9.8 𝑚Τ𝑠 2
𝑣0 = 19.6 𝑚/𝑠
𝑣4 = −19.6 𝑚/𝑠
𝑣
GRAFICAS y-t, v-t y a-t
en caída libre
1 2
𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑣𝑜 𝑡 − 𝑔 𝑡
2
𝑣 = 𝑣𝑜 − 𝑔𝑡
𝑣0
𝑦
𝑚 = 𝑎 = −𝑔
𝑣3 = 0
𝑣2 +
disminuyendo
3
2
4
𝑡
0
𝑡𝑠
𝑣4 −
aumentando
𝑡𝑣 = 2𝑡𝑠
−𝑣0
𝑣1 +
disminuyendo
1
5
𝑣5 (−)
aumentando
𝑎
𝑎 = −𝑔
𝑡
𝑡
0
𝑡𝑠
−9.8 𝑚/𝑠 2
𝑡𝑣 = 2𝑡𝑠
Ejemplo 1.22
Una persona lanza en el aire una pelota
hacia arriba con una velocidad inicial de
15.0 m/s. Calcule:
a) La altura a la que llega la pelota
b) El tiempo que permanece en el aire
antes de regresar a la mano.
c) La velocidad de la pelota cuando
retorna a la mano del lanzador (punto)
Datos
𝑣0 = 15 𝑚Τ𝑠
𝑣𝑚á𝑠 𝑎𝑙𝑡𝑜 = 0
𝑦0 = 0
a) ℎ = 𝑦𝑚á𝑥 =?
b) 𝑡𝑣 =? 𝑡𝑣 = 2𝑡𝑠
c) 𝑣 =?
1
𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑣𝑜 𝑡 − 𝑔 𝑡 2
2
𝑣 = 𝑣𝑜 − 𝑔𝑡
𝑣 2 = 𝑣02 − 2𝑔(𝑦 − 𝑦𝑜 )
𝑦 − 𝑦𝑜 =
𝑣𝑜 + 𝑣
𝑡
2
Sol.
b) Calculamos el tiempo en subir sabiendo
que en el punto más alto 𝑣 = 0
De la ecuación 𝑣 = 𝑣0 − 𝑔𝑡, se tiene
0 = 15 − 9,8𝑡
9,8𝑡 = 15
15
𝑡=
= 1,53 𝑠
9,8
Esto da 𝑡𝑠 = 1,53 𝑠, por tanto 𝑡𝑣 = 3,06 𝑠
a) La altura con la ecuación
1
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0 𝑡 − 𝑔𝑡 2
2
queda:
ℎ = 0 + 15 1,53 − 4,9 1,53 2
ℎ = 11,4, 𝑚
c) El tiempo total 𝑡 = 2 1,53 = 3,06 𝑠
Entonces en todo el trayecto se tiene:
𝑣 = 𝑣0 − 𝑔𝑡
𝑣 = 15 − 9,8 3,06
𝑣 = −15 𝑚/𝑠
Ejemplo 1.23
Una piedra se lanza desde lo alto de un edificio
con una velocidad inicial de 20.0 m/s directo
hacia arriba. El edificio tiene 50.0 m de alto y la
piedra apenas libra el borde del techo en su
camino hacia abajo, como se muestra.
a) Use t=0 como el tiempo cuando la piedra
deja la mano del lanzador en la posición A y
determine el tiempo en el que la piedra llega
a su altura máxima.
b) Encuentre la altura máxima de la piedra
respecto al piso
c) Determine la velocidad de la piedra cuando
regresa a la altura desde la que se lanzó
d) Encuentre la velocidad y posición de la piedra
en t=5.00 s.
Este ejercicio está resuelto como
ejemplo en el texto guía Serway R.,
Física. Vol 1. 7ma edición.
Revise la solución.
Pag 18 ejemplo 2.10
Ejemplo 1.24
Preguntas por competencias
Identifica los conceptos fundamentales relacionados con las magnitudes físicas y la
cinemática
Dos pequeñas esferas pesadas tienen el mismo diámetro, pero una pesa el doble
que la otra. Las esferas se sueltan desde el balcón de un segundo piso
exactamente al mismo tiempo. Despreciando la resistencia del aire, el tiempo para
caer al suelo será:
A.
B.
C.
D.
El doble para la esfera más ligera en comparación con la más pesada.
Mayor para la esfera más ligera, pero no del doble.
El doble para la esfera más pesada en comparación con la más ligera.
El mismo para ambas esferas.
Respuesta:____(d)____
Respuesta: _________
Ejemplo 1.25
Preguntas por competencias
Explica los conceptos de las magnitudes físicas y ecuaciones cinemáticas.
Emily desafía a su amigo David a atrapar un billete de dólar, el cual mide 16 cm de largo,
del modo siguiente. Ella sostiene el billete verticalmente, como se muestra en la figura
con el centro del billete entre los dedos índice y pulgar de David, quien debe atrapar el
billete después de que Emily lo libere sin mover su mano hacia abajo.
Si su tiempo de reacción es 0.2 s, ¿tendrá éxito?
A. David no tendrá éxito, porque en 0,2 s el billete caerá a una distancia de 19.6 cm, la
cual es una distancia mayor que la distancia entre el centro del billete y su borde
superior
B. David no tendrá éxito, porque 0,2 s es un tiempo de reacción muy pequeño para 𝑦 = −0.5 9.8 0.2
𝑦 = −0.196 𝑚
lograr agarrar el billete.
𝑦 = −19.6 𝑐𝑚
C. David si tendrá éxito, porque en 0,2 s el billete caerá a una distancia menor de 8 cm,
distancia aproximada del centro del billete y su borde superior
D. David si tendrá éxito, porque 0,2 s es un tiempo de reacción muy grande para lograr
agarrar el billete.
Respuesta: __________
2
Solución:
Se comparan las ecuaciones
𝑥 = 2 + 3𝑡 − 1𝑡 2
1
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 + 2 𝑎𝑡 2
Y por comparación se
concluye que:
𝑥0 = 2 𝑚
𝑣0 = 3 𝑚/𝑠
1
𝑎 = −1
2
𝑎 = −2 𝑚/𝑠 2
¿Cuál es su posición inicial? R/ 2 m
¿Cuál es velocidad inicial?
R/ 3 m/s
¿Cuál es su aceleración?
R/ −1 = 𝑎, entonces 𝑎 = −2 𝑚/𝑠 2
1
2
¿En el momento inicial, la partícula va aumentado o disminuyendo su
rapidez? Explica
R/
Se va frenando (disminuyendo su rapidez) porque su velocidad inicial
es positiva (hacia la derecha), pero su aceleración es negativa (hacia la
izquierda) contraria a la dirección de la velocidad inicial.
a) 𝑥 = 2 + 3 3 − 1(3)2
𝑥 = 2𝑚
b) 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
𝑣 = 3 − 2𝑡
𝑣 = 3 − 2(3)
𝑣 = −3 𝑚/𝑠
𝑥=
3𝑡 2
+ 2𝑡 + 3
1
2
3= 𝑎
𝑎=6
𝑥0 = 3 m
𝑣0 = 2 𝑚/𝑠
1 2
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 + 𝑎𝑡
2
𝑎 = 6 𝑚/𝑠 2
Cada una de las fotografías estroboscópicas a), b) y c) de la figura P2.7 se tomó de un
solo disco que se mueve hacia la derecha, que se toma como la dirección positiva.
Dentro de cada fotografía, el intervalo de tiempo entre imágenes es constante.
i) ¿Cuál(es) fotografía(s), si alguna, muestra(n) velocidad cero constante?
ii) ¿Cuál(es) fotografía(s), si alguna, muestra aceleración cero constante?
iii) ¿Cuál(es) fotografía(s), si alguna, muestran velocidad constante positiva?
iv) ¿Cuál(es) fotografía(s), si alguna, muestra aceleración constante positiva?
v) ¿Cuál(es) fotografía(s), si alguna, muestra(n) algún movimiento con aceleración
negativa?
Dibuje los diagramas x-t, v-t
y a-t en cada caso
Una gota de aceite cae recta hacia abajo en el camino desde el motor de un automóvil en movimiento
cada 5 s. La figura muestra el patrón de las gotas que quedan en el pavimento.
¿Cual es la rapidez promedio del automóvil en esta sección de su movimiento?
a) 20 m/s,
b) 24 m/s
c) 120 m/s
d) 100 m/s
R/ Incorrecto, esto es si se equivoca tomando el intervalo de tiempo de 30 s
R/ Correcto, en esta sección del movimiento se tienen 25 s, por lo que la rapidez
promedio es 600 m / 25 s
R/ Incorrecto, esto es si se equivoca tomando el intervalo de tempo de 5 s
R/ Incorrecto, esto es si se equivoca tomando el tiempo como el número de manchas
Ejemplo 1.26
Preguntas por competencias
Establece relaciones entre ecuaciones y graficas con magnitudes físicas y la cinemática.
La gráfica muestra la aceleración contra velocidad para el movimiento
rectilíneo de un carro que parte del reposo.
t1 es el tiempo que tarda el carro desde que arranca hasta llegar a una
velocidad vo y t2 es el tiempo que tarda en pasar de vo a 2vo. La relación entre
los tiempos t1 y t2 es:
A. 𝑡1 = 𝑡2
B. 𝑡1 = 2𝑡2
2
C. 𝑡1 = 3 𝑡2
3
D. 𝑡1 = 2 𝑡2
Sol. En 𝑡1 se tiene que la ecuación 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 queda
𝑣0 = 0 + 2𝑎𝑡1
Entonces 𝑣0 = 2𝑎𝑡1 (1)
Para 𝑡2 se tiene que 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 queda
2𝑣0 = 𝑣0 + 3𝑎𝑡2
Entonces 𝑣0 = 3𝑎𝑡2 (2)
Igualando (1) y (2) se tiene
3
2𝑎𝑡1 = 3𝑎𝑡2 , es decir, 𝑡1 = 𝑡2
2
(D)
Respuesta: __________