FUNDAMENTOS DE MECANICA CLASICA 1u00AA y 2u00AA PARTES revisado Diciembre 2014 ULTIMA VERSION

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INTRODUCCIÓN
La mecánica en el marco de la física
Visión del mundo físico y mecánica clásica.
Se presenta en esta introducción una breve visión del mundo físico que
observamos a nuestro alrededor, y su relación de la mecánica clásica.
Para comenzar se recuerda que las diferentes teorías elaboradas por los físicos son
el resultado de los numerosos y diversos conocimientos, experiencias y saberes que
han adquirido respecto al universo observable, mediante una labor sistemática y
analítica de observaciones y de investigaciones individuales y colectivas de los
fenómenos físicos y de la estructura y propiedades de los diversos sistemas
materiales. Los resultados de esas indagaciones le permiten al científico
preveer nuevos comportamientos de los sistemas físicos.
Ese permanente trabajo investigativo ha llevado a los científicos a la búsqueda y a
la formulación de principios y de leyes naturales universales que permiten una
mejor comprensión de los fenómenos naturales y una descripción más sistemática
de la estructura y el comportamiento de sistemas físicos que son objeto de sus
estudios y que por ser cada vez más complejos, exigen teorías más amplias y
multidisciplinarias.
Una de esas teorías es la mecánica clásica formulada por Isaac Newton en 1686 en
su obra famosa “Philosophiae naturalis, principia matematica”, la cual impuso
durante más de dos siglos, una concepción de tiempo y de espacio independientes y
absolutos pero contribuyó de manera contundente al progreso de la física y de sus
aplicaciones en particular a la astronomía. En la formulación de su teoría, Newton
se apoyó en trabajos previos de algunos eminentes científicos como N. Copérnico, J.
Keppler, Ticho Brahe y en los principios de inercia de Galileo Galilei. En épocas
posteriores a la publicación de la obra de Newton, algunos destacados físicos la
revisaron y la complementaron, entre ellos están D’Alembert, P.S. Laplace, J.
Lagrange, W. R. Hamilton, G.Jacobi, Ernest March. En 1905 Albert Einstein
publicó un artículo en el cual desarrolló la relatividad especial basada en las
transformaciones de coordenadas de Lorentz, utilizadas en la teoría del
electromagnetismo. Esta nueva teoría modificó varios conceptos de la teoría de
Newton, por ejemplo los conceptos de tiempo y de espacio
absolutos
e
independientes.
Este curso tiene por finalidad presentar la teoría de la mecánica clásica formulada
por Newton y ampliada por Lagrange y Hamilton, destacando su marco conceptual.
Esta presentación se ilustra y complementa por medio de ejemplos, de ejercicios y
problemas resueltos, seleccionados con el fin de coadyuvar a una mejor
comprensión de la temática del curso. Se espera que los estudiantes asimilen
correctamente el contenido de este curso, adquieran mayor habilidad para analizar
y resolver problemas con la ayuda de los principios y las metodologías de la
mecánica clásica.
Pero ¿De qué se ocupa la mecánica clásica?
La mecánica clásica se ocupa de la observación, el análisis y la descripción correcta,
en el espacio y en el tiempo, del movimiento de los “cuerpos” o de los objetos
materiales, con base en los principios de la teoría de Newton y de sus posteriores
complementaciones.
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La teoría newtoniana tiene un carácter fenomenológico. Enfoca primero el estudio
del movimiento de una partícula, pasa luego al análisis del movimiento de sistemas
de partículas recurriendo al concepto de “centro de masa” y aborda después el
análisis del movimiento del cuerpo rígido. Es conveniente recordar que desde el
punto de vista de la física, todos los cuerpos materiales están constituidos
básicamente por átomos, por iones y por moléculas con diferentes grados de
concentraciones, unidos entre sí por fuerzas o enlaces atómicos y moleculares cuyo
origen reside en propiedades intrínsecas de las partículas elementales, como son la
masa (m), la carga eléctrica (q) y el espín (s). Estas propiedades intrínsecas, son las
que generan las fuerzas o interacciones en el universo. Los átomos a su vez, están
compuestos por partículas elementales que son los electrones, los protones y los
neutrones, y éstos dos últimos están conformados por quarkz.
Los conceptos de “cuerpo” o de objeto material se pueden circunscribir en el
concepto más amplio de “sistema material” que definimos así: Un sistema material
es un conjunto de objetos, partículas o corpúsculos con diferentes clases de
interacciones mutuas y de grados concentraciones. Se caracterizan por sus estados
de configuración propios y sus por sus propiedades físicas, químicas o biológicas.
Todos los sistemas materiales conocidos y estudiados por el ser humano se pueden
clasificar en tres grades grupos según sus dimensiones:
a) Los microsistemas constituidos por las moléculas, los átomos y por las
partículas elementales, ya sean los hadrones como el protón, el neutrón, las
partículas landa, pi, omega, todas ellas constituidas a su vez por quarkz, o ya
sean los leptones sin estructura interna como los electrones, los neutrinos, los
muones y otras. Estos sistemas tienen dimensiones del orden de los nanómetros
y masas pequeñísimas del orden de 10 24 kg para los núcleos atómicos y de
10 31 kg para el electrón. Estos sistemas son estudiados por la mecánica
cuántica, por la física atómica y molecular, por la física nuclear y por la física de
partículas elementales.
b) Los cuerpos macroscópicos a escala humana forman los mesositemas, como un
rubí, una barra metálica, una máquina, una bicicleta, el cuerpo humano. Las
observaciones y los estudios metódicos de estos sistemas permitieron deducir
leyes fenomenológicas que sirvieron de base para la estructuración de las
grandes teorías clásicas de la física:
La Mecánica newtoniana,
La Termodinámica,
El Electromagnetismo.
c) Al otro extremo se encuentran los sistemas macroscópicos cósmicos constituidos
principalmente por los planetas, las estrellas, las nebulosas y las galaxias, cuyo
movimiento relativo y cuya composición han sido analizados y estudiados por
astrónomos y astrofísicos con ayuda de grandes telescopios, radiómetros,
radiotelescopios y sondas espaciales. Se estima que nuestra galaxia, la Vía Láctea,
contiene cerca de 1,6  1011 estrellas, y que todo el Cosmos conocido hasta ahora,
cubre una extensión estimada en unos 10 26 m (¡cerca de un millón de millones de
años luz!); su edad sería de unos 1018 segundos. Para formarnos una idea de estas
inmensas magnitudes piense usted que la luz proveniente de la galaxia Andrómeda
debió viajar 2,5 millones de años antes de llegar a la Tierra.
3
En los sistemas materiales a escala terrestre las concentraciones de partículas
tienen valores del orden de 10 18 a 10 23 por cm3, según se trate de una fase gaseosa,
líquida o sólida, mientras que en las estrellas enanas blancas y en las neutrónicas
se estima que las concentraciones pueden alcanzar valores, millones de veces
mayores y en los agujeros negros pueden ser aún más grandes, de ahí la existencia
de las enormes fuerzas gravitacionales que atrapan cualquier partícula, corpúsculo,
fotón que se aproxime al agujero negro.
El anexo I muestra una clasificación de los principales sistemas físicos y de sus
principales características.
Estudio del movimiento de un sistema de N partículas:
¿Cómo realizar el estudio del movimiento de un sistema de N partículas?
Como se verá en cinemática, para describir el movimiento de una partícula es
preciso definir su posición en el espacio y en el tiempo, respecto a un sistema de
ejes de coordenadas o sea respecto a un “referencial”. Las coordenadas más
comúnmente utilizadas son las cartesianas. En ese sistema cada partícula se
posiciona, en el espacio tridimensional R 3 , con la ayuda de las tres coordenadas
 X (t ), Y (t ), Z (t ) .
Ahora bien; para analizar y describir el movimiento de un sistema de N partículas,
serían necesarias 3N coordenadas de posición, tres por cada partícula “j”, que se
designan por ( X j, Yj , Z j ) con j = 1,2,3,...,3N . Si se trata por ejemplo de una gas,
que contiene alrededor de 10 19 átomos o moléculas en 1 cm 3 , el estudio analítico de
su movimiento exigiría el manejo de 3  10 19 coordenadas de posición; pero se sabe
que ni las ecuaciones de la mecánica clásica, ni las de la mecánica cuántica están
en capacidad de suministrar soluciones exactas para tan elevado número de
variables. Ante esta situación se recurre entonces a otros métodos de análisis más
acordes con el estudio de grandes concentraciones de elementos, basados en
conceptos estadísticos y en cálculos de valores promedios: estos son los métodos
propios de la mecánica estadística. También se recurre a métodos de aproximación
basados en el empleo de modelos desarrollados por la física en el estudio del
“problema de muchos cuerpos”. El cálculo numérico y el uso de las modernas
computadoras se han revelado ser instrumentos muy eficientes en estos estudios.
Los estados físicos de los sistemas materiales.
Un concepto fundamental en física es el de “estado de un determinado sistema”.
Desde la secundaria se enseñó que los tres estados de la materia son el gaseoso, el
líquido y el sólido; más adelante se añadió el estado de “plasma”; estos son
macroestados que corresponden a modos particulares de agregación de la materia.
También se llaman “fases de agregación”. Es así como en un gas ideal los átomos,
los iones o las moléculas que lo constituyen, se agrupan dentro de la muestra de
manera desordenada y sin interacciones mutuas, excepto las que se originan por los
choques entre las partículas mismas o de éstas con las paredes del recipiente que
contiene el gas.
En el estado sólido los átomos, los iones o las moléculas se encuentran tan

fuertemente unidos entre sí que sus posiciones relativas rij quedan congeladas en
el espacio-tiempo: se habla de cuerpo rígido ; sin embargo bajo la acción de
esfuerzos o de tensiones aplicadas al sólido, éste se puede deformar un poco; estas
4

deformaciones se miden por las pequeñas variaciones uij de las posiciones relativas
de los constituyentes; esta situación se analiza en la mecánica de medios continuos
deformables. Como resultado de esas fuertes fuerzas de cohesión, las muestras
sólidas exhiben volúmenes y formas bien definidos. Bajo ciertas condiciones de
condensación, temperatura y presión, las micropartículas se organizan en la fase
sólida de manera ordenada y regular, obteniéndose entonces una fase sólida
cristalina.
En el estado líquido las fuerzas de enlace entre átomos, iones o moléculas son más
débiles que en los sólidos y con un radio de acción de corto alcance, de suerte que
un átomo interactúa solamente con los átomos más próximos vecinos, permitiendo
a las micropartículas deslizar las unas sobre las otras sin perder el contacto con las
de su más próximo entorno; forman agregados de átomos o moléculas (clusters). En
esta fase los volúmenes de las muestras se conservan pero no así sus formas.
El estado plásmico está constituido por partículas cargadas, unas positivas y otras
negativas, pero de tal manera que la carga eléctrica neta del sistema sea nula.
Además del estado sólido y del estado líquido ha tomado importancia en los últimos
años, el estudio y la investigación de la “materia blanda” por parte de los físicos, los
químicos y los biólogos. Esta categoría de materiales comprende por ejemplo:
pinturas, pegamentos, cremas de belleza, manteca, gelatinas, suspensiones
coloidales, cristales líquidos, sistemas compuestos de micelas, espumas, y bastantes
materiales biológicos. Son materiales de composición compleja, fácilmente
deformables por esfuerzos o por fluctuaciones térmicas. El nombre de “materia
blanda” se atribuye a Pierre-Gilles de Gennes, físico y premio Nobel (1991).
Conclusión:
Con base en los planteamientos anteriores podemos definir la mecánica clásica
como el estudio de los estados estacionarios, de equilibrio o de movimiento de los
sistemas de partículas libres o sometidas a fuerzas de interacción. El análisis del
estado de movimiento se focaliza en cada partícula “i” del sistema y se define por
las variables macroscópicas de movimiento que son principalmente, como se



ampliará más adelante: la posición ri , la velocidad v i , la aceleración ai , el impulso



o cantidad de movimiento pi  mi vi , la energía E i , el momento angular Li , etc. Por
consiguiente los estados de movimiento
de una partícula los representamos por

  
medio del corchete: ri , ai , pi ,Ei, Li , .. .
Contenido global del curso:
En este curso se han agrupado los temas relativos a la mecánica clásica en tres
partes:
1- Una revisión de la cinemática clásica y la cinemática relativista.
2- Una exposición de la dinámica newtoniana aplicada a la partícula, a los
sistemas de partículas, al cuerpo rígido y a los fluidos.
3- Se desarrollan los fundamentos de las formulaciones de Lagrange y de
Hamilton de la mecánica clásica, ilustrándolas con ejemplos.
Las dos primeras partes tienen por finalidad recordar, aclarar y precisar algunos
conceptos fundamentales de la mecánica newtoniana, haciendo énfasis en las
condiciones de validez del marco conceptual de esta teoría, y mostrando, a través de
ejemplos concretos y variados, cómo aplicar los conceptos expuestos. Se han
5
incorporado elementos de relatividad especial y se examina brevemente el caso de
la dinámica de fluidos.
La tercera parte es importante porque muestra cómo se enriqueció la teoría de
Newton con desarrollos teóricos que se proyectaron a otros campos de la física,
como la mecánica cuántica, la mecánica estadística y la teoría de campos. Las
ecuaciones de Lagrange las utilizan ingenieros en el estudio de sistemas mecánicos
y en simulaciones con circuitos oscilantes.
Se intentó así, elaborar una presentación integrada de la Mecánica clásica.
“La ciencia, dice Einstein, no es sólo una colección de leyes, un catálogo de hechos
sin mutua relación. Es una creación del espíritu humano, con sus ideas y conceptos
libremente inventados. Las teorías físicas tratan de dar una imagen de la realidad
y de establecer su relación con el amplio mundo de las impresiones sensoriales”.
(“La evolución de la física- Alberte Einstein y Leopold Infeld” - Salvat).
Preguntas generales:
1- ¿Cuánto vale un año luz? Averigüe que es una “unidad astronómica (UA)” ¿A
cuántos UA equivale un año luz?
2- ¿Cuánto tiempo gasta un rayo de luz emitido por el Sol para llegar hasta la
superficie de la Tierra?
3. Recuerde ¿Cuáles son las variables de estado de un gas ideal?
Recuerde la ecuación de estado de los gases ideales.
4- Indique algunos ejemplos de “modelos” empleados en física.
5. Según usted ¿Puede existir una física sin matemáticas? Explique su respuesta.
6. Averigüe ¿Cuál fue la contribución a la mecánica de cada uno de los siguientes
personajes: J. Keppler, N. Copérnico, Tiko Brahe, Galileo Galilei, I. Newton,
D’Alembert, P.S Laplace, J. Lagrange, W.R. Hamilton, H.G. Jacobi, Ernest
Mach, Albert Einstein, H. Minkowski y H.A. Lorentz.
7. Examine el anexo I, e indique mediante qué clases de “instrumentos” se puede
estudiar cada uno de los sistemas materiales que figuran en esa tabla.
8- ¿Se puede posesionar un cuerpo sin referirse a un sistema de ejes? Explique.
9- Si se habla de sistemas materiales, ¿en qué condiciones éstos se presentan en
estado sólido, líquido o gaseosos?
6
Anexo I: Visión física de los sistemas materiales.
Clases de
sistemas
Mesosistemas:
(escala humana).
Conocidos desde
que apareció la
conciencia en el
hombre.
Ejemplos
Dimensiones: desde
Cristales, autos,
esmeraldas, radios,
aviones, bacteria,
cuerpo humano,
animales...
Motor, chip, otros.
Macrosistemas:
(escala cósmica)
Fueron
explorados por
las antiguas
civilizaciones, y
muy investigado
en los 3 últimos
siglos, en especial
en siglo XX.
Microsistemas:
Intuidos desde
los Griegos
(Demócrito).
Ratificados por la
atomística
(Dalton),
ampliados y luego
precisados en el
siglo XX.
Características:
Tamaño y masas
las
micras hasta millones
de metros.
Masas: desde unas
fracciones de gramos
hasta toneladas
Teorías de soporte.
(fenomenológicas)
Teorías clásicas
macroscópicas:
mecánica clásica,
termodinámica,
electromagnetismo,
mecánica estadística.
Radios promedios:
Tierra, luna, soles,
planetas, estrellas
diversas.
Galaxias (nuestra
Vías láctea).
El universo entero
en expansión
Moléculas
(compuestas por
átomos).
Atomos, electrones
Núcleos atómicos,
protones, neutrones
constituidos por
quarkz.
Diversas partículas
elementales…...
Mecánica de Newton.
R(T) = 6,37x106m.
Relatividad general.
R(Sol) = 5.95x108m
Astronomía.
R(Vía Láctea) = 1021m Radioastronomía y
Astrofísica.
R(Universo)  1026m
Física nuclear
R(Luna) = 1.74x106m
(reacciones en las
Masa (V.L) 8x1041kg
estrellas).
Masa (T) = 5,98x1024kg
Cosmología física.
Masa (S) = 2x1030Kg.
Teoría de campos.
Masa (Luna) =
7,34x1020Kg
Dimensiones:
Moléculas y átomos: del
orden del nanómetro,
los núcleos atómicos
10-15m
(del orden del Fermio)
Masas:
M(átomos) ~ 10-24kg
M-electrón = 9,1x10-31
kg
Física cuántica
Física molecular
Física atómica
Física nuclear
Física de partículas
elementales.
Física cuántica
relativista.
Teoría de campos
Nota:
Entre las dimensiones del núcleo atómico y el radio del Universo hay un factor de
1041
7
I-
CINEMÁTICA CLÁSICA
1,1- Conceptos fundamentales en la mecánica de Newton:
El movimiento es un fenómeno relativo:
Alguna vez escuchamos decir que en el Universo todo se mueve!
Pero ¿Cómo, por qué y para qué se mueven los objetos en el Universo y sobre
nuestra Tierra?
Juan observa que a su alrededor hay objetos en reposo, otros que se desplazan
lentamente o rápidamente; los hay que giran y rotan o que poseen movimientos
oscilatorios o pendulares. El movimiento de los objetos y de los astros interesó
particularmente al ser humano. El filósofo Aristóteles asoció la vida al movimiento;
pueblos ingeniosos buscaron siempre medios para desplazarse más rápidamente y
sin mayor esfuerzo corporal, por ello utilizaron el caballo, luego los carruajes y más
cerca de nuestro siglo inventaron la locomotora, el automóvil, el avión y los cohetes.
Los astrónomos lograron describir con sorprendente exactitud la trayectoria de los
planetas y deducir sus leyes de movimiento; eso hicieron, en particular, Copérnico y
Kepler. Como se indicó en la introducción, Galileo y Newton establecieron leyes
muy precisas del movimiento de los cuerpos en general. Estos conocimientos han
sido la base de muchos adelantos tecnológicos.
Después de observar los cuerpos moverse, hay que describir cuantitativamente su
trayectoria en el espacio y en el tiempo y deducir las características de su
movimiento. La descripción del movimiento de los cuerpos responde a la pregunta
que se planteó: ¿cómo se mueven los objetos? La descripción del movimiento, sin
tener en cuenta las causas que los originan constituye la parte de la mecánica
llamada “cinemática” que se aborda en esta primera parte del curso. En la segunda
parte se incluirá en el análisis del movimiento de los cuerpos, las causas que los
originan, es decir las fuerzas o interacciones; se llama la “dinámica” palabra que en
griego significa fuerza.
Volvemos al ejemplo de Juan quien observa el movimiento de los cuerpos a su
alrededor, como se señaló. Nos planteamos entonces la siguiente pregunta: será que
Alberto que viaja en un avión verá los objeto moverse de la misma forma que los ve
Juan, o vive-versa? Si Alberto suelta dentro del avión una esfera, él observa que la
esfera cae siguiendo una trayectoria recta vertical, mientras que Juan observará
que esa esfera describe una trayectoria parabólica.
Se tiene una primera conclusión: la manera cómo se mueve un cuerpo en el espacio
está descrita por la forma de su trayectoria, la cual es relativa al observador del
movimiento; se dice de manera más simplificada, que todo movimiento es relativo
al observador.
Esta es una conclusión importante! Los valores de las variables que definen el
movimiento de un cuerpo son relativos al observador de dicho movimiento, ubicado
en un determinado referencial.
¿Cómo describir el movimiento de una partícula? Variables cinemáticas.
Para describir a cabalidad los estados de movimiento de un objeto desde el punto de
vista de la cinemática, es necesaria la utilización de unas variables llamadas
“variables cinemáticas” que se irán señalando. Se considera, para iniciar, el
movimiento de una partícula P.
8
Puesto que el movimiento es el desplazamiento sucesivo de la partícula P en el
espacio y el tiempo, lo primero que se debe precisar es la posición de la partícula.
Ahora bien, para ubicar objetos sobre la superficie de la Tierra se usan los paralelos
y los meridianos y también las coordenadas geodésicas (longitud, latitud y altura)
empleadas actualmente en los GPS “Sistema Global de Posicionamiento”). Una
geodésica se define en general, como la menor distancia entre dos puntos situados
sobre una superficie; es un concepto utilizado en geometrías de espacios curvos. En
geometría euclidiana esa geodesia es una recta.
Una vez seleccionado el punto de referencia
  del movimiento de la partícula, se
precisa su posición mediante el vector OP  r (t ) , llamado “vector de posición de la
partícula”, el cual suministra dos informaciones: la distancia al origen y la
dirección del posicionamiento. El uso del análisis vectorial es muy valioso en el
estudio del movimiento de los cuerpos, pero es sólo una herramienta matemática
que utilizan los físicos para cuantificar las variables y las propiedades físicas de los
objetos y de los sistemas materiales.
Puesto que los movimientos pueden ocurrir ya sea en el espacio tridimensional R3,

ya sea sobre una superficie, o ya sea a lo largo de una línea, el vector r ( t ) se puede
representar por una, dos o tres componentes respecto al sistema de coordenadas
seleccionado.
Existen diversos sistemas de coordenadas: las coordenadas cartesianas, que son las
más sencillas y las más usadas, constan de 3 ejes (X,Y,Z) perpendiculares entre sí,
que se intersectan en un mismo punto O (origen). Para precisar esas direcciones se


introducen 3 vectores unitarios i , j , k a lo largo de cada una de ellas; la posición

 . Los
de la partícula se expresa entonces mediante la ecuación: r (t )  iX  jY  kZ
i, j , k constituyen los vectores de base
del sistema de coordenadas cartesianas.

 
De manera general se escribe: r (t )  iX  jY  kZ
  representa
donde e j
n X n en ,
(1,1a)
a los vectores de base del referencial seleccionado, que en


este caso corresponde a los vectores iˆ, ˆj , kˆ .
Para calificar la rapidez o la lentitud con que se desplaza la partícula se recurre a
otras dos variables cinemáticas: la velocidad y la aceleración. El movimiento de un
auto se caracteriza, diciendo que va a la velocidad de 70 kilómetros por hora (70
Km/h). Esta variable mide entonces la porción de trayectoria  S recorrida por la
partícula durante un determinado intervalo de tiempo  t , o sea que mide la
relación  V 
S
; esta es la rapidez de la partícula (valor promedio del espacio
t
recorrido por unidad de tiempo).
La rapidez instantánea de la partícula en el punto P(t) de la trayectoria se define
 S dS

.
t
dt
De manera similar, el valor del “vector velocidad instantánea” de la partícula en el



 r dr (t )

punto P(t) se define como V (t )  lim  t  0
,
(1,1b)
t
dt
No hay que olvidar que el movimiento es la sucesión, en el tiempo, de las posiciones
así: V = lim  t  0
de la partícula.
9
La otra variable de movimiento es la aceleración que mide los cambios de la
velocidad en el transcurso del tiempo y se define así:


 v dv(t)

a (t )  lim t  0

.
(1,1c)
t
dt
  
Las magnitudes r (t ), v(t ), a(t ) constituyen las “variables cinemáticas” asociadas
al movimiento de la partícula y definen su estado de movimiento cinemático.
Hay que tener en cuenta que los observadores y los referenciales pueden
encontrarse en reposo los unos respecto a los otros o en movimiento relativo entre
ellos. Cuando los referenciales se desplazan unos respecto a los otros con
velocidades relativas constantes, o sea con movimiento de translación uniforme, se
les llama “referenciales inerciales”. Más adelante se verá la importancia de estos
referenciales inerciales.
La cinemática y el marco conceptual (axiomático) de la mecánica clásica de
Newton:
Para la descripción completa del movimiento de un objeto o de cualquier sistema
material macroscópico se dispone de una herramienta teórica poderosa que es la
mecánica clásica formulada por Isaac Newton. Pero para la correcta aplicación de
esta teoría conviene tener presentes las hipótesis básicas sobre las cuales fue
construida. En física es importante el marco conceptual que delimita y precisa la
aplicación correcta de una teoría, sin lo cual cualquier trabajo, en ese campo, puede
ser objetable.
La teoría de la mecánica de Newton supone:
1- que el espacio es un espacio geométrico euclidiano vacío de ingredientes físicos; es más un
espacio matemático que físico. En este espacio la distancia mínima entre dos punto (la
geodésica) es una línea recta. Newton consideró que era un espacio isótropo y homogéneo.
Esto no ha sido obstáculo para el estudio del movimiento de partículas en
medios anisótropos y no continuos (fluidos, elásticos, viscosos).
2- que el tiempo, que representa una medida de la sucesión de eventos no
coexistentes, es una variable escalar continua e independiente de las
coordenadas espaciales.
3- que el tiempo y el espacio son absolutos, sus valores son los mismos en todos los
referenciales, y son independientes el uno del otro. En todos los referenciales los
objetos guardan sus dimensiones y los relojes marcan los mismos tiempos. Esta
concepción de espacio y de tiempo absolutos de la mecánica de Newton, se
desvaneció en la teoría de la relatividad especial de Einstein.
4- que la masa corresponde a “la cantidad de materia” del cuerpo; esta definición de
masa se basó, tal vez, en una idea vaga e intuitiva del lenguaje corriente. Se
trató luego de formular una definición operacional basada, ya sea en la ecuación
 
de la segunda ley de Newton ( ma  f ): fue la “masa inercial”, ya sea en la
expresión de la ley de la gravitación universal:

m1m2
F  G   2 r12 ,
r2  r1 
formulada también por Newton. Fue la “masa gravitacional”.
La constante universal G tiene el valor: G  6,673  10 11 Nm2 / kg 2
(1,1d)
10
Einstein, en su teoría de la relatividad general, enunció el principio de
equivalencia entre los dos tipos de masas la inercial y la gravitacional.

Cuando los principios de conservación de cantidad de movimiento mv y de
energía mecánica, fueron tomando importancia a expensas del fenómeno mismo
del movimiento, el concepto de masa comenzó a evolucionar hasta llegar a la
equivalencia masa-energía” expresada en la famosa ecuación relativista de
Einstein: C 2 m  E ,
(1,1e)
donde C es la velocidad de la luz en el vacío y m la diferencia entre la masa de
la partícula cuando está en movimiento (m) y cuando está en reposo ( mo ) .
Hay que tener en cuenta un hecho adicional en relatividad: cuando una

partícula se mueve con una velocidad v , el valor de su masa depende del valor
de su velocidad, según la ecuación relativista: m(v) =
mo
1- (v / c) 2
,
(1,1f)
Cuando se observó por la primera vez el aumento de la masa en reposo del
electrón acelerado por un campo eléctrico, algunos físicos de la época
atribuyeron ese fenómeno a la “parte electromagnética de la masa”.
5- que las interacciones entre cuerpos u objetos son instantáneas; sin embargo las
interacciones entre partículas que no están en contacto, (interacciones mutuas
electromagnéticas o gravitacionales) emplean cierto tiempo en propagarse de
una partícula a la otra, y durante dicho tiempo las partículas cambian de
posición; por consiguiente no se puede hablar de que las interacciones fueron
iguales en magnitud pero de sentido contrario. En estos casos la tercera ley de
Newton no es aplicable.
6- que los momentos lineales de las partículas posean valores muy grandes con
respecto al valor de la constante de Planck. Si esto no se cumple se debe
recurrir a la mecánica cuántica.
Además del concepto de masa, se introdujo el concepto de “punto material” en la
mecánica de Newton, el cual corresponde a un objeto material de dimensiones tan
pequeñas que no son detectables y por consiguiente se puede asimilar a un “punto
infinitesimal” del espacio euclidiano R3, pero dotado de masa (Newton hablaba de
“cuerpo”). Con el advenimiento de la física de partículas elementales el concepto
mecanicista de “punto material” se materializó en dichas partículas dotadas de
propiedades intrínsecas como la masa, la carga eléctrica y el espín.
Las consideraciones hechas en esta primera parte del texto, muestran el carácter
eminentemente evolutivo de la Ciencia y su continua tendencia a generalizar e
integrar los conocimientos humanos, lo cual conlleva, como ya se mencionó, a una
mayor abstracción en los conceptos y en los simbolismos empleados para expresar
cuantitativamente los principios, postulados y leyes de sus diversas teorías.
Los temas de la cinemática que se desarrollan a continuación son:
a) Posicionamiento de la partícula en el espacio- Sistemas de coordenadas,
b) Estudio geométrico de la trayectoria de la partícula,
c) Valores de las variables cinemáticas de movimiento: velocidad y aceleración
observadas desde diferentes referenciales.
11
1,2- Posicionamiento de la partícula en el espacio,
Además de las coordenadas cartesianas existen, como ya se mencionó, otros
sistemas de coordenadas (o referenciales). Por ejemplo:
- Las coordenadas polares, utilizadas para describir movimientos en un plano,
son: la distancia  al origen del respectivo referencial, y ángulo  comprendido
ente el vector de posición y un eje-X de referencia.
- Las coordenadas cilíndricas que comprenden las dos coordenadas polares y la
coordenada z (,,z),
- Las coordenadas esféricas que corresponden a 2 ángulos de posicionamiento
(latitud y altitud) y la distancia de la partícula al origen → (r , ,  ) .
- Las coordenadas bipolares en las que hay dos polos u orígenes en lugar de uno.
Sobre el manejo de estos sistemas de coordenadas en el estudio de la trayectoria de
la partícula, se volverá más adelante.
El primer paso en el análisis del movimiento de una partícula o de un sistema de
partículas, es la selección apropiada del sistema de coordenadas. En el sistema de
coordenadas cartesianas los vectores de base son fijos, mientras que los otros
sistemas no lo son, lo cual acarrea cálculos un poco más complicados. Cuando se
trata de sistemas de partículas o de cuerpos rígidos o no, que presentan ciertas
simetrías espaciales, hay que seleccionar el sistema de coordenadas que sea más
compatible con dichas simetrías. Esas simetrías pueden estar ligada ya sea a la
configuración espacial del sistema de partículas o de cuerpos, ya sea al campo de
fuerzas aplicado al sistema estudiado. Un campo gravitacional posee, por ejemplo,
simetría esférica; un trompo puede poseer simetría cilíndrica con respecto al eje
principal del trompo. He ahí la importancia de conocer bien los diferentes sistemas
de coordenadas.
1,2.1- Vector de posición y sistemas de coordenadas.
Los sistemas de coordenadas se representan generalmente así
R 3 corresponde a 3 coordenadas  q1 , q2 , q3  .
q (t ),
j
que en
Ya se hizo mención a las coordenadas cartesianas y se indicó, en la ecuación (1,1a),

el valor del vector de posición r ( t ) expresado en función de los vectores de base
iˆ, ˆj, kˆ .
Se estudian ahora las expresiones de los valores de las componentes del vector

r ( t ) en diferentes sistemas de coordenadas.
Principales sistemas de coordenadas:
Se recuerdan a continuación algunos de los sistemas de coordenadas más usados:
a) Coordenadas cilíndricas:
En el plano (X,Y) se toman coordenadas polares definidas por el ángulo de latitud
q1   y la distancia q 2   del punto P´ al origen O’.  , es la proyección del

vector de posición r ( t ) , sobre el plano (X,Y). La tercera coordenada es la cota o
altitud de P respecto al plano de base, es decir z  q 3 (ver figura 1,1a).
Las ecuaciones de transformación de las coordenadas cilíndricas a las cartesianas
12
se escriben (ver figura 1,1): x   cos  ,  y  sen ,  z  z
(1,2.1a)
Se emplean las coordenadas cilíndricas en el estudio de sistemas que poseen
simetría cilíndrica, por lo tanto poseen un eje axial de simetría, oz.
Z = q3
P(e)
P

1
r
2
1
k
Y = q2
j

X= q1

2
+
H
A
a)
H+
B
a
b) Bipolares
Figura 1,1: Sistemas de coordenadas: a) Cilíndricas, esféricas. b) Bipolares.
b) Coordenadas esféricas:

Se toman como coordenadas: la distancia radial q1  r (t ) , el ángulo azimutal
q12   (t ) y el ángulo de latitud q 3   (t ) , (figura 1,1a). Las ecuaciones de
transformación del sistema de coordenadas esféricas al sistema de coordenadas
cartesianas son: x  rsen cos  ,  y  rsensen ,  z  r cos ,
(1,2.1b)
Los sistemas sometidos a fuerzas centrales poseen simetría esférica.
c) Coordenadas bipolares:
El ión molecular hidrógeno H2 (molécula de hidrógeno ionizada) está constituido
por dos protones H+ que se suponen fijos, alrededor de los cuales gravita un
electrón. ¿Cómo describir el movimiento de éste último? Con la ayuda de
coordenadas bipolares.
Se toman las posiciones fijas de los protones como orígenes A y B de tal suerte que



la posición del electrón queda determinada por los vectores 1 , 2 . En lugar de
disponer de un solo polo u origen se tienen ahora dos polos A y B. En la figura 1,1b
aparecen también dos ángulos
 ,  que
1
2
se relacionan con las dos variables
 ,   mediante la ecuación del triángulo:
1
2
  a 2  22  2a2 cos(  2 ),
  a 2  12  2a1 cos(1 )
2
1
2
2


Aparecen 4 variables o coordenadas 1 , 2 ,1 ,2 . Pero, puesto que el movimiento
se realiza en un plano, bastan dos coordenadas para definirlo. ¿Qué coordenadas
seleccionar? Es habitual escoger como coordenadas bipolares las siguientes:
(1,2.1c)
q1    1  2 ,  q2    Ln(1 / 2 ) ,
El ángulo  es el que está formado por APB.
13
Ejercicio resuelto:
Deducir las ecuaciones de transformación del sistema de coordenadas bipolares al
sistema de coordenadas cartesianas.
 x  f (, )
Es decir se trata de encontrar las ecuaciones de transformación:  y  g(, )

Se busca una relación entre ( 1 , 2 , ) examinando el triángulo ABP:
a 2  12  22  21 2 .cos  , pero según (1,2.1c) se tiene:
1
 e de donde se
2
 e  e  

2a 2
2

deduce que 2a   . e 
.
 cos  , o sea 2 . e 
2
coh()  cos()


2

2
2
(1,2.1d)
Ahora bien, el punto P se encuentra en la intersección de dos círculos de radios
  2  y 2  ( x  a) 2
1 , 2 y cuyas ecuaciones son:  12
2
2
 2  y  ( x  a )
Se restan estas dos ecuaciones y se obtiene:
2
22  12  22  e  e   
 2
4ax     , o sea  x =
 1 
e
. seh() , se


4a  22
2 
2a
 2a 
a.senh()
remplaza e  2 por su valor (1,2.1d) y se obtiene: x =
.
(1,2.1e)
2
cosh - cos
¿Cómo encontrar y  g(, ) ?
2
1
2
2
Se considera, por ejemplo, la coordenada  y  como parte de los triángulos AIP,
 y   . sen
BIP y se escriben las ecuaciones:  x  1 . sen1 , pero 2  1  ,
2
2

Entonces se deduce que y  2 . sen(1  ) . Se desarrolla la función seno de una
suma de ángulos (ver trigonometría) y se encuentra):

 y

a x
 y  2 ( sen1 .cos   cos1 . sen)  2  cos  
sen
1
 1


 y1  e   .cos    e    a  x sen

Se remplaza x por su valor y se obtiene la expresión de la coordenada “y” en función
de las coordenadas bipolares (, ) :

y(,  )  e  . sen  .  a 

aseh() 
sen( )
a
.

coh()  cos  
coh()  cos( )
d) Vectores de base de sistemas de coordenadas curvilíneas.
Caso de coordenadas cartesianas:
Para determinar los valores de los vectores de base de cualquier sistema de
coordenadas, se comienza por considerar el caso de coordenadas cartesianas x,y,z
asociadas a los vectores de base (i , j , k ) , los cuales están referidos a 3 ejes
rectilíneos fijos en R3. El vector de posición es función de las coordenadas (x,y,z) y
14



r
r
 r
su diferencial total vale: dr 
dx 
dy 
dz pero de acuerdo con (1,1a) se
x
y
z

 , por consiguiente los vectores de base del sistema de
tiene dr  idx  jdy  kdz



 r  ˆ  r 
 r 
ˆ
ˆ
coordenadas cartesiana tiene los valores : i    , j     k   .
 x 
 z 
 y 
Caso de coordenadas cilíndricas.
El vector de posición es ahora función de las coordenadas ( ,  , z) por consiguiente



r
r
 r

dr 
d 
d 
dz , en esta expresión la variación de r , cuando se dejan


z

r


. d  (dr ) ,z  d o introduciendo el vector
( , z) constantes y sólo varía  , es


r



. d  (dr ) ,z  d  e d , de donde se
unitario e en la dirección  , se tiene:




r 

deduce que e 
, es un vector unitario en la dirección de la variación de
 

la coordenada  .

r

Cuando se mantienen ( , z) constantes y sólo varía  se tiene
. d  (dr )  ,z


que es un vector perpendicular a  .
Se define un vector unitario e en esta dirección, así:

r

. d  (dr )  ,z


Y
P
e

1 r

e . d de donde e 


Obtenidos así los vectores de base del sistema de
coordenadas cilíndricas esféricas, el valor de la

derivada dr es:

dr  e d  . e d  k. dz .
e
d



0
X
Caso general de un sistema de coordenadas curvilíneas.
Cálculos similares a los anteriores llevan a las siguientes expresiones matemáticas para los
vectores de base asociados a coordenadas curvilíneas q1 (t ), q2 (t ), q3 (t ) :


1  r(q j )
r
e j 
, con h i =
, i = 1,2,3
hj  t
qi
(1,2.1f)

El desplazamiento infinitesimal de P (r ) se escribe entonces:

dr (qi , t )  h1eˆ1dq1  h2 eˆ2 dq2  h3eˆ3 dq3 ,
y el elemento infinitesimal de línea o de trayectoria toma el valor:
 
ds 2  dr .dr  hi h j g ij dqi dq j  g ij  eˆi .eˆ j ,

(1,2.1g)
(1,2.1j)
Las cantidades ( gij ) son las componentes del llamado “tensor métrico” del espacio
15
utilizado.
Si la base es ortonormal, las componentes del tensor métrico valen entonces:
gij  ij ,  ij es el símbolo de Kronecker.
He aquí los valores de los parámetros de normalización [hi] para los sistemas de
coordenadas más utilizados:
i) coordenadas cartesianas: h1 = h2 = h3 = 1
ii) coordenadas cilíndricas: h 1  h   1; h 2  h  ; h 3  h Z  1
iii) coordenadas esféricas h1  h r  1; h 2  h  r; h 3  h  r.sen
a
iv) coordenadas bipolares, h  h 
, h  1.
cosh   cos Z
1,2.2. Cambios de base y de sistemas de coordenadas:
Transformación o cambio de sistemas de coordenadas.
A veces es conveniente efectuar un cambio o transformación de coordenadas,




pasando de un sistema de coordenadas q j (t ) a otro sistema Q j (t ) .
¿Cómo efectuar esas transformaciones?
He aquí un resumen de motivos que pueden inducir un cambio de coordenadas:
i)
ii)
por conveniencia en la simplificación de los cálculos,
por razones de simetría, tanto de la configuración de los elementos del cuerpo
como de las interacciones a las cuales se encuentra sometida la partícula,
iii) porque las expresiones de las variables de movimiento de la partícula pueden
ser más sencillas e interesantes si se miden desde un determinado referencial.
¿Cómo se relacionan las variables cinemáticas medidas por dos observadores? En
otras palabras, ¿cuáles son las ecuaciones que permiten pasar de las coordenadas
espacio-temporales q j (t ) asociadas al referencial (L), a las coordenadas Q j (t )




ligadas al referencial (S)?
La transformación de coordenadas se puede realizar matemáticamente por medio
~
de un operador T , de tal forma que la “ecuación de transformación de coordenadas”
se escribe: 
Q (t )  T~ q (t ) 
k
j
Este es uno de los problemas que aparecen con frecuencia en el estudio del
movimiento de los cuerpos.
Estos cambios de coordenadas conllevan operaciones geométricas que implican el
paso de una base a otra y por consiguiente el cambio del valor de las componentes
de los vectores de posición, de velocidad, de aceleración y de otras variables
vectoriales asociadas al movimiento de la partícula. Esas transformaciones se

representan por operadores  i , que suponemos lineales y que dejan invariantes las
distancias y los ángulos en el sistema estudiado. A continuación se consideran
algunos ejemplos de los cambios de base.
16
a)
¿Cómo se pasa de una base cartesiana a una base de coordenadas cilíndricas?
Si se examina la figura 1,2 se observa que las direcciones de los vectores de base
ê j del sistema de coordenadas cilíndricas se deducen de las direcciones de los
 
vectores de la base cartesiana mediante una rotación de ángulo  alrededor del
eje-z. Por consiguiente se tiene:
Y
er
Z
e
A


P e


O
e
Y

X
a)
X
Y’

r
O
i
Y”




r (t )
j
e
P
I 
b)
X”
Figura 1.2: Vectores de base de los sistemas de coordenadas polares y esféricas
eˆ   iˆ cos   ˆjsen
 iˆ 
 cos sen
0   i  ~  

0 .  j  = R   ˆj  , (1,2.2a)
eˆ  iˆsen  ˆj cos  , o sea  ei   -sen cos
 

0
1  k 

 0
 kˆ 
ˆ
eˆ z  k
 
la transformación iˆ, ˆj, kˆ  eˆ , eˆ , kˆ se opera mediante la matriz de rotación
~
R( )/oz .
 
Las rotaciones se representan por medio del vector    .
 

 

b) Ecuaciones de transformación de coordenadas cartesianas a esféricas.
Se comienza por considerar   0 (ver figura 1,2b) y se opera una rotación  de los
 

vectores iˆ, ˆj de la base cartesiana, alrededor del eje-z (  ). La matriz de rotación
~


correspondiente a este giro es R( )/oz . A los nuevos vectores iˆ' , ˆj ' , kˆ ' se aplica
una nueva rotación de ángulo  alrededor del eje definido por (Oy”) y perpendicular

a APIO; esa rotación es  , que lleva Oz a la dirección OP. La matriz de esta
segunda rotación tiene por valor:
 cos 0
~
R ( )   0 1
 sen 0
- sen 
0  , y las ecuaciones de la transformación de base son:
cos 
 iˆ  iˆ"  eˆ  iˆ cos  cos   ˆjsen cos   kˆsen
 eˆ 
  
 

,
 eˆ   R( )  R( ) ˆj    ˆj"  eˆ  iˆsen  ˆj cos 
  
 
 kˆ  kˆ"  eˆ  iˆ cos  .sen  ˆjsen .sen  kˆ cos 
 eˆr 
  
r
(1,2.2b)
17
~
~
Opera primero la matriz R ( ) y luego la matriz R ( ) .
Los ángulos de rotación  y  corresponden a los ángulos de latitud y de azimutal
respectivamente.
El vector de rotación, asociado a esta transformación es:



      k  e  .
Nota:
Se demuestra en algebra lineal que en el caso de matrices ortogonales, la matriz
~
~
~
~
inversa A 1 es igual a la matriz transpuesta de la matriz A , es decir: A 1  t A , y
que el cambio de base conserva los ángulos y las distancias.
1,3- Trayectoria de la partícula: Descripción geométrica.
La trayectoria de una partícula P vista por un observador desde el referencial (L),
es la curva generada por los desplazamientos sucesivos de la partícula en el espacio
R3 y, como ya se dijo, la forma de la curva depende del referencial desde el cual se
observe y se analice el movimiento.
Se recuerdan algunos fundamentos relativos a la descripción matemática de una
curva, los cuales se aplican a la trayectoria de una partícula:
a) Desde un punto de vista analítico, una curva en R3 resulta de la intersección de
dos superficies  y ’, cada una de ellas definida, en coordenadas cartesianas,
por ecuaciones de la forma  f ( x, y, z , c)  0 , y g ( x, y, z , c)  0 ,
(1,3.a)
donde c es una constante real.
Ejemplos:
La intersección de un cilindro por un plano genera las curvas cónicas que
pueden ser círculos, parábolas, elipses o hipérbolas. Un plano se representa por
una ecuación lineal del primer grado: Ax  By  Cz  D y la ecuación de una
superficie cilíndrica paralela al eje-z, puede ser:
plano z se tiene una elipse.
ax 2  by 2  cz , → en cada
También se define una curva, en un referencial dado, por medio de las
componentes del vector de posición, es decir por un conjunto de ecuaciones
llamadas “paramétricas”:
 x  x(t )

 y  y (t ) ,
 z  z (t )

Por ejemplo X (t )  2.cos t ,
(1,3.b),
Y(t) = 2sen t, Z(t) = 2t 2 son las coordenadas
del vector de posición.
En este caso se tiene X 2  Y 2  4 , que es la ecuación de un círculo de radio R =
2, el cual se repite a lo largo del eje-Z generando un cilindro.
Para cada valor de la variable t, la coordenada Z va tomando valores que
corresponden a planos Z (paralelos a X,Y), los cuales se desplazan con una
velocidad Z  4t y una aceleración Z  4 . La trayectoria de la partícula
corresponde a una espiral paralela al eje Z, y cuyo paso aumenta con una
aceleración Z  4 .La espiral se va estirando.
18
Nota: Puesto que muchos de los casos examinados en este curso se refieren a
trayectorias planas, se recuerdan, en el cuadro del anexo 1,1 las principales
características matemáticas de las curvas más usuales y sencillas.
b) Desde un punto de vista geométrico, toda curva queda definida por el valor de
tres vectores y dos parámetros asociados a cada punto P(t) de la curva o de la
trayectoria. Estos son:
1) el vector unitario Tˆ , tangente a la trayectoria en el punto P(t), asociado a la
dirección de al velocidad de la partícula.
2) el vector unitario N̂ normal a la tangente en el punto P de la trayectoria,
asociado con la dirección de la aceleración normal,
3) el radio de curvatura R de la trayectoria en cada punto P(t),
4) si la trayectoria no se encuentra en un plano hay que introducir otra
variable: el radio de torsión  , el cual mide, en cierto modo, en cuánto se
“tuerce” la trayectoria para salirse del plano en el punto P.
5) el vector unitario b̂ binormal, perpendicular a la vez a Tˆ y a N̂ , y que está
asociado a la “torsión” de la trayectoria en el espacio.
Los 3 vectores N̂ , Tˆ y b̂ , perpendiculares entre sí, forman el llamado “triedro
de Frenel-Serret” y satisfacen la ecuación: bˆ  Tˆ  Nˆ ,
(1, 3.c)
¿Qué valores tiene esos vectores unitarios y cómo se relacionan entre sí?
Sea C la trayectoria de una partícula y considérense dos de sus posiciones P1 y P2
muy cercanas la una de la otra, relativas a los instantes t y (t + t).
El segmento de recta P1 P2 representa la variación del vector de posición entre los
dos instantes señalados, es decir: P1 P2  r  r2 (t  t )  r1 (t ) , (ver figura 1,3).
Y
(C)
P
T  PP'   S  R  
N
d
N '
I
P’
T ’
Figura 1,3: Características geométricas de una curva C
Si el intervalo de tiempo  t tiende a cero, el valor del vector tangencial unitario


 r  dr
T se define así: Tˆ  lim t 0   
,
 S  dS
(1,3.d)
Este vector indica a través del tiempo, la dirección de desplazamiento de la
partícula a lo largo de la trayectoria C.
19
Por otro lado, las rectas normales a la trayectoria C en los puntos P1 y P2 se cortan
en un punto I(t), (ver la figura 1,3), formando un ángulo    P1 P2  , salvo que la
trayectoria sea una línea recta. El elemento de trayectoria vale:
P1P2   S  IP1 .   . Se define el radio de curvatura en P1 mediante la expresión:
R  lim  0
S
dS dS


 d
dt
d
 V / ,
dt
(1,3.e)
El punto I(t) es el “centro instantáneo de curvatura” correspondiente al punto P(t);
 es la velocidad de rotación instantánea alrededor de I(t). Cuando la partícula se
desplaza, el radio de curvatura de la trayectoria cambia de valor, al menos que sea
un círculo; I(t) describe entonces una curva  denominada “Indicatriz”, la cual
suministra información sobre la manera como la curvatura de la trayectoria cambia
en el tiempo.
El inverso de R se denomina curvatura de la trayectoria en el punto P y se designa
por K = l/R.
El vector unitario
 normal a la dirección de la tangente, tiene el valor:
 T dT
dT dT d
(1,3f)
N  lim t  0


.
.
 N  .
  d
dt
d dt
Ahora bien, el producto escalar de una vector unitario U vale 1 U .U  1 , y derivando se
dU   dU
dU
dU
tiene:
, por consiguiente
es perpendicular a U , de tal
.U  U .
 0  2U .
dt
dt
dt
dt
dT dT
suerte que se puede escribir: N 
,
(1.3g)
dt
dt
Relaciones entre las variables geométricas que caracterizan a la trayectoria.
Con las variables escalares ( S ,  , t ) se encuentran las siguientes relaciones entre
las variables cinemáticas geométricas:
 dT dT d


.
 N . 
 dt d dt
1
 dT dT

.
 N / R
,

dS
d

(
dS
/
d

)

V dT
 dT dT dS N

.

V
,
V
es
la
rapidez.
Se
deduce
que
=
.
 dt dS dt
R
R
dt

(1,3h)
La velocidad angular instantánea vale:
d
 d   dS 

     K V  V / R ,
dt
 ds   dt 
(1,3i)
Si la trayectoria C de la partícula no está en un plano, existe, además del radio de curvatura, un
“radio torsión ”, al cual se asocia el vector b̂ , (ver 1,2.3c). Se deducen las siguientes





dNˆ
Tˆ
dT
db
    .b , 
 KN , 
  .N ,
relaciones:
dS
R
dS
dS
(1,3j)

Las variaciones instantáneas de la orientación de la velocidad v se pueden
considerar como rotaciones infinitesimales de ángulo de giro d, alrededor de un
eje instantáneo de rotación (t) que pasa por el centro de curvatura I(t) y es
20
perpendicular a la vez a Tˆ y a N̂ , es decir, es paralelo al vector binormal b̂ . Por

consiguiente, si  es la velocidad angular asociada a la rotación instantánea d, se

 ˆ
d d dS V
puede escribir entonces
 b, con   

 .

dt
dS dt R
(1,3k)
Los tres vectores unitarios que caracterizan geométricamente la trayectoria de la
partícula P(t) y que forman un triedro ortogonal están relacionados entre sí por
medio de las ecuaciones (ver figura 2,4):

 ˆ ˆ
ˆ
b   T  N;


  Tˆ
ˆ
N
;


Nˆ  
ˆ
T
,

(1,3m)
Aplicación: Radio de curvatura de una trayectoria plana definida por la ecuación
y = f(x):
Cuando la trayectoria se encuentra en un plano cartesiano, su ecuación es y = f(x) y
el elemento de línea vale ds =
dx 2  dy 2  dx 1  y x'2 . Se tiene además tg  y x ´ .
Se calcula y" X , se despeja d y se obtiene:
d (tg )
d
d
 (1  tg 2 )
 y" x  (1  y ' 2 )
.
dx
d
dx
En esas condiciones se tiene: R 
1  ( y ) 
R
'
2 3/ 2
X
"
X
y
ds
, y el valor del radio de curvatura toma el valor:
d
,
(1,3.n)
Tarea: Averiguar ¿Cuál es el valor del radio de curvatura de una cicloide?
Ejercicio resuelto-1:
Con alguna frecuencia, el estudio del movimiento de la partícula parte del
conocimiento del vector de posición expresado en forma paramétrica, es decir

r (t )  X (t ). i + Y(t) j + Z(t).k . El análisis del movimiento involucra, entre otros
aspectos, la determinación de la forma de trayectoria y de los valores de la
velocidad y de la aceleración, medidos desde diferentes referenciales. El ejemplo
siguiente ilustra una manera de realizar este análisis:
Enunciado:
Se considera la trayectoria, en forma de hélice, descrita por una partícula P(t) cuyo
vector de posición viene dado por la ecuación:

r (t )  (a cos t). i + (a.sen t) j + (ct)k ,
(E,1a)
Se pregunta:
a) ¿Cuáles son las expresiones de los vectores unitarios [ T̂, N̂, b̂ ] en el
referencial cartesiano [ iˆ , ĵ , k̂ ] ?
b) Calcular el valor de la curvatura y del radio de torsión en función tiempo.
Solución:
21
a) Consideración preliminar: obsérvese que las coordenadas cartesianas del vector
de posición son:
 x  a.cost
 y  a. sent
 z  ct
 x2  y 2  a 2 , .
Se infiere de estas ecuaciones que el movimiento de la partícula resulta de
la
superposición de una rotación circular en el plano (x,y) + una translación
uniforme en la dirección-z, lo cual corresponde a una trayectoria helicoidal a lo
largo de oz.
Esta situación sugiere el uso de coordenadas cilíndricas ( ,  , z) .
La expresión del vector de posición se puede escribir así:

 
r   (t )  kˆ(bt ),  con   a(iˆ. cos t  ˆj.sent ),    a ,
(E.1b)
La velocidad de
 la partícula vale:

d 
dr 

 v(t) =
 kc, y V = v   2  c 2  a 2 2  c 2 ,
dt
dt
V es la “rapidez” de la partícula en el punto P(t) de la trayectoria.


 (t )  kˆc
1
d
r

El vector unitario tangencial vale: Tˆ 
,

V dt
a 2 2  c 2
(E.1c)
(E,1d)
Este vector unitario tiene una componente en el plano (X,Y) ligada al
movimiento circular y una componente constante, normal a este plano.


dT
La derivada del vector tangencial vale:

dt
a 2 2  c 2


2
a 2 2  c 2
, es
normal a la dirección del vector tangente.





T


 =1,
b) El valor del vector normal N es: N 
= -   , con N


a
T
(E,1e)
De acuerdo con la tercera ecuación del conjunto (1,3h), se deduce el valor de la
1 1 dT
a 2
curvatura: K 
.

 2 2
R V dt
a   c 2 
(E,1f)
Si b = 0, el radio de curvatura vale entonces K = 1/a . Obsérvese que esa
curvatura es constante en el tiempo, porque la trayectoria es circular.
c) El vector binormal vale:


 

 (t )  kˆc



1
ˆ
ˆ
ˆ
 ( ) 
    ckˆ   
b  T  N 
2 2
2
2
2
2
a
a  c
a a  c





1
(kˆa 2  ckˆ   ),  kˆ    a(iˆsent  ˆj cos t )   /  a ,

2 2
2
a a   c

1
c 

bˆ  
.   a 2.kˆ 


a 2 2  c 2  


(E,1g)
El vector binormal tiene dos componentes vectoriales: una cuya magnitud es
constante pero la dirección es paralela a eje OZ y la otra es un vector tangente a
la trayectoria circular en el plano (X,Y), o sea que la binormal está inclinada
22
respecto al plano (X,Y) en un ángulo  tal que tag 
a 2 2 a
..

c
c
Algunos comentarios a propósito del ejercicio:
i) Cada vez que se llegue a un resultado es conveniente buscarle una
interpretación física. Comprobar, por ejemplo, si las unidades son correctas.
ii) Antes de emprender cálculos matemáticos conviene analizar bien el
enunciado y examinar cuál es la manera de simplificar los cálculos. En este

caso ayudó el uso del vector de posición  (t ) en el plano (X,Y).
iii) Es también útil hacer figuras que representen las situaciones físicas: eso
ayuda a visualizar los datos del problema.
1,4- La velocidad y la aceleración – Movimientos relativos.
1,4.1 - Velocidad y aceleración: expresiones geométricas:
Puesto que las trayectorias de la partícula son generalmente curvas, las direcciones
de los desplazamientos las da la tangente en cada punto P(t), de tal suerte que la

dr dr  ds 


T
T  VT ,
velocidad se escribe: v(t ) 
dt dt
dt
(1,4.1b)
Si el vector velocidad es constante en dirección, se tiene un movimiento rectilíneo.

La aceleración a (t ) , en cada punto P(t) de la trayectoria, se expresa así en función


 dv d 2 r d (TˆV ) ˆ dV V 2 ˆ 



 2 
T

N  aT  a N ,
de los vectores T y N : a 
(1,4.1c)
dt dt
dt
dt
R
Para llegar a este resultado se utilizó la ecuación (1,3h).

El término aT corresponde a la componente tangencial de la aceleración: la cual
mide las variaciones de la rapidez de la partícula sobre la trayectoria C; el término

a N corresponde a la componente de la aceleración normal a Tˆ , la cual está
asociada a las variaciones de la curvatura de la trayectoria.
Rotaciones instantáneas y movimiento de rotación de una partícula:

La componente normal a N de la
aceleración en el punto P, está
dirigida en la dirección del centro
instantáneo I(t) de curvatura de
la trayectoria en P(t), y no hacia
el origen del sistema de
coordenadas. La magnitud PI(t)
representa el radio de curvatura
de la trayectoria en P.
Sólo en un movimiento circular,
I(t) es fijo en R3 y se puede tomar
como origen de las coordenadas.
P
Z

P’
N
T’
T’
N’
r(t)
b’
N’
d R
O
Y
I(t)
X
b’

Figura 1,4: rotación instantánea
23
1,4.2 Valores de la velocidad y de la aceleración, medidos desde distintos
referenciales:
A continuación se analiza cómo se relacionan los valores de la velocidad y la
aceleración, medidos por dos observadores situados en distintos referenciales (S) y
(L).
En este análisis hay que tener en cuenta que los vectores de base cambian de
dirección a medida que la partícula se desplaza sobre su trayectoria, excepto en el
caso de un referencial cartesiano en el cual los vectores de base son fijos (X,Y,Z).
a) Valores de las derivadas de un vector unitario de base:
¿Cómo se relacionan las derivadas de los vectores unitarios con los vectores de
base?
Puesto que los vectores de base son vectores unitarios perpendiculares entre sí, por
lo menos en los referenciales de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas, el
producto escalar de dos de ellos vale cero o uno, situación que traduce la ecuación:
e j . ek   jk ; por consiguiente, para e j y su derivada, se tiene la ecuación:
e j .
de j
dt

de j
dt
. e j  0  2e j .
de j
dt
, de donde se concluye que
de j
dt
es un vector que está
situado en el plano perpendicular a e j . Si se trata, por ejemplo del vector e1 , su
de1
está en el plano definido por los vectores de base e2 y e3 y se puede
dt
de1
 a1e2  a 2 e3 ,
expresar en función de estos vectores de base, así:
(1,4.2a)
dt
Los coeficientes a j son las componentes de e j en la base (e2 , e3 ) .
de2
de3
 a 3 e3  a 4 e1 , y 
 a5 e1  a 6 e2 ,
Del mismo modo se tiene:
(1,4.2b).
dt
dt
¿Cómo determinar los valores de los coeficientes a j ?
derivada
Se consideran las siguientes ecuaciones conformadas por parejas de términos
e j .
dek
dt
 e j . ek , con k  j .
Aplicando las ecuaciones (1,4.2a), y (1,4.2b), se obtiene, para cada pareja de
vectores de base distintos, el sistema de ecuaciones:
 e2 . e1  e2 . e1  0  a1  a4 , entonces a 1   a4
  
 e2 . e3  e2 . e3  0  a6  a3 , entonces a 6   a3 , ,
 e1 . e3  e1 . e3  0  a5  a2 , entonces a 5   a2
Y las ecuaciones (1,4.2b) y (1,4.2c) se escriben entonces así:
 e1 
 e1  a1e2  a 2 e3
0
a1 a 2 

  ~  e1 
~
a 3 
(1,42c)
 e2  a 3 e3  a1e1 ,   e2 1   A.  e2  , con A =  -a 1 0
  

e

a
a
0




 e3  a 2 e1  a 3 e2
3
2
3
 e3 
~
La matriz A es completamente antisimétrica. Generalmente este tipo de matriz

está asociada, en mecánica, a productos vectoriales y a rotaciones  . Esto sugiere
que se consideren los coeficientes

a  como las componentes de un vector de
ij
~
rotación  así: 1  a 3 ,   2 = a 2 ,  3 = a 1 , y entonces la matriz A se escribe:
24
 0

 2
→ A =  - 3
~
3 - 2
0
1
- 1
0

,


(1,4.2d)

Se sustituyen los valores de a j por las componentes de  , en las ecuaciones

 e1   3e2  2 e3    e1



(1,4.2d) y se encuentra:  e2   1e3  3 e1    e2 ,  e j    e j ,

 e3   2 e1  1e2    e3
(1,4.2e)
Estas ecuaciones relacionan los vectores de base con sus derivadas.
b) Valores de las componentes de la velocidad y de la aceleración respecto a
diversos sistemas de coordenadas.
A continuación se examinan dos temas:
i) Los valores de las componentes de la velocidad y de la aceleración en
distintos sistemas de coordenadas.
ii) Componentes de la velocidad y de la aceleración medidas por dos
observadores O y O’ situados en referenciales L y S.
Se presenta este tema en forma de ejercicios fáciles de resolver.
Ejercicio resuelto-2: Componentes de la velocidad y de la aceleración en
coordenadas polares:
Sea un movimiento en el plano (X,Y). Se consideran las coordenadas polares (,)
con sus vectores de base eˆr , eˆ  , de tal suerte que el vector de posición se escribe:

r (t )  eˆ   , y la velocidad respectiva es 

,
deˆ
d
d

 dr
v
 (eˆ   )   r  eˆ 
  (  eˆ  )  eˆ    eˆ     kˆ  eˆ  eˆ    .eˆ


dt dt
dt
dt

Se aplicó el resultado (1,4.2e) y además se tomó el valor   k . Obsérvese que se

tiene   e   e  .
La expresión de la velocidad en coordenadas polares es, entonces:



v(t )  eˆ    eˆ    eˆ    eˆ    v ρ  v θ ,
(E,2a)
La expresión matemática de la aceleración se encuentra derivando la velocidad
respecto al tiempo; su valor es:

deˆ 
deˆ

dv(  ,  ) d (eˆ   ) d (eˆ  )
a (t ) 


 eˆ  
 eˆ        
dt
dt
dt
dt
dt
Para determinar los valores de las derivadas de los vectores unitarios de base, se

aplican los resultados (1,4.2e), teniendo en cuenta que   k y se llega a las
expresiones siguientes de los valores de la aceleración:
a      2 




, (E,2b)
a  eˆ    2   eˆ 2     a  a ,  
1 d
(  2 )
a  2      
 dt



25
Nota: otro procedimiento.
Pueden efectuarse los cálculos anteriores partiendo de la expresión del vector de

posición en coordenadas cartesianas, es decir de r (t )  iˆ cos  ˆjsen , y aplicar
el cambio de vectores de base: eˆ  iˆ cos  ˆjsen y eˆ  iˆsen  ˆj cos .
Caso general: Componentes de la velocidad y de la aceleración medidas desde
dos sistemas de referencia L y S.
Componentes de la velocidad.
Sean dos referenciales, uno fijo a la Tierra que llamamos “referencial del
laboratorio (L)” y el otro (S) que se mueve respecto al primero y en el cual está
ubicado un observador.

Se designan por êi  y por eˆ*j las dos bases asociadas a los referenciales (L) y (S).
X1
P(t)
ê3

r
 
R e1*

D
ê3*
0*
ê3*
ê3
O
X3
ê 2
X2
Figura 1,7: Velocidad y aceleración medidas desde dos referenciales.


Si R (t ) es la posición de la partícula medida por el observador O en (L), si r (t ) es
su posición medida por el observador O* ubicado en (S) y si la distancia entre los

orígenes de los dos referenciales es D , entonces el valor del vector de posición de la
partícula respecto al referencial (L) se expresa así:
  
R  D  r ,   X i eˆi   Di eˆi   X 'j eˆ*j ,
i
(1,4.2f)
j
En la segunda parte de esta ecuación aparecen las componentes de los vectores
 
D, r respecto a los vectores de base del referencial de laboratorio (L) y del
referencial S respectivamente.
Las componentes de las velocidades para los observadores O y O* se obtienen
derivando los términos de la ecuación (1,4.2f):  Xeˆi   D i eˆi   X * eˆ*   X * eˆ* ,
i
i
j j j i j j
y aplicando el resultado (1,4.2e) se obtiene:

 dR 
 eˆ   X *eˆ*     X *eˆ*  , o en forma vectorial:
    X i eˆi  D
 j j j
i i i j j j
 dt  L i





 
VP / L  VS / L  VP / S    rS ,
(1,4.2g)
26
Este resultado importante se denomina “ley de composición de las velocidades” o
simplemente “ley de velocidades relativas”. El significado de cada término es el
siguiente:

VP / L = velocidad de la partícula P respecto al referencial fijo en el Laboratorio (L),
o velocidad medida por O desde (L).

VL / S = velocidad de translación del referencial (S) respecto al referencial (L).

VP / S = velocidad de la partícula medida por el observador O* situado en el

referencial (S). →  es la velocidad angular de giro de las direcciones de
los vectores de la base eˆ *i  respecto a los vectores de la base fija en el
laboratorio, o sea de êi , Si la partícula está en reposo respecto a (S), la

velocidad VP / S = 0 y el movimiento de la partícula observado desde el
referencial L, es el movimiento del referencial S.

Si el referencial (S) solamente se traslada respecto a (L) sin rotar,  = 0, los dos
referenciales son inerciales.
Una aplicación clásica de este último resultado se refiere al barquito que atraviesa


un río cuyo caudal fluye con una velocidad V
respecto a la Tierra; si V
es la
b/a
a /T
velocidad del barquito respecto a un referencial fijo al agua, entonces, para un



V
V
observador en la Tierra la velocidad del barquito será: V
.
b /T
a /T
b/a
Generalmente se pide encontrar el sitio de la orilla del río al cual llega el barquito,
conociendo el ancho del río y la velocidad del caudal del agua.
Una generalización:

Sea una magnitud física vectorial A(t ) medida desde dos referenciales (L) y (S) que
se mueven el uno respecto al otro con velocidad relativa


v S/L . Entonces, la derivada
total de A(t ) respecto al tiempo se escribe, generalizando el resultado (1.4.3g), así:

 dA 
 
 d t

L
v
S/L

 dA 
 
   A ,

S
 d t S
(1,4.3h)


Si los referenciales son inerciales entonces   A

 dA 
 
 d t
L
 0 y si tienen el mismo origen,
S


 dA 
 , es decir que el valor de la derivada del vector A(t ) es el mismo en

 d t S
los dos referenciales inerciales, se conserva o es invariante.
Componentes de la aceleración:
La “ley de las aceleraciones relativas” se obtiene derivando la ecuación (1,4.3g). Se
obtiene:
27



 dV 
 eˆ   X * eˆ*   X * eˆ*     X * eˆ*       X *eˆ*  X *eˆ* 
    Xi eˆi  D


i i
j j j j j
j j 
 j j
 dt  L i
 j j j
i
j
j
 

  



o sea : a P / L  aS / L  a P / S  2  v P / S    rP / S    (  rP / S ) ,
(1,4.3j)
Los términos de esta ecuación corresponden a las siguientes componentes de la
aceleración:
a) el primer término de la derecha es la aceleración del referencial (S) respecto a
(L);
b) el segundo termino corresponder a la aceleración del punto P respecto al
referencial (S);
c) el tercer término corresponde a la aceleración de Coriolis :
 


aCor  2  rS  2  v S
d) el cuarto término es la aceleración de una rotación acelerada de P en S, medida
desde L.
  

e) el término ac    (  rS ) corresponde a la “aceleración centrípeta”.
  
     
Utilizando la relación vectorial Ax(BxC)  (A.C)B - (A.B)C , se obtiene esta otra
expresión de la aceleración centrípeta:
 


ac  (.rS )   2 rS .
(1,4.3e)
Si la rotación de la partícula se realiza en un plano perpendicular al eje de giro,
 


  rs y  ac   2 rs .

Obsérvese que la aceleración de Coriolis es perpendicular a la vez a  y a la

velocidad v S de la partícula medida desde (S). Si la partícula está en reposos en (S)
entonces la aceleración de Coriolis es nula, pero la aceleración centrípeta no lo es.
Aplicación de los resultados anteriores::
a) La Tierra gira al rededor de su eje polar dando una vuelta cada 24 horas (o sea
cada 8,6  104 segundos). Puesto que el radio promedio de la Tierra es de
6,4  108 cm, entonces la aceleración centrípeta sobre la superficie de la Tierra
vale: ac (T )  3,4cm / s 2 .
La Tierra da una vuelta al rededor del Sol en 365 días. Si la distancia promedio
Tierra-Sol es de 149,6  106 Km, suponiendo que su trayectoria fuese circular,
¿cuál sería el valor de la aceleración centrípeta de la Tierra en su orbita solar?
b) En una centrífuga de laboratorio ac puede alcanzar valores de 60.000 g, siendo
g el valor de la aceleración de la gravedad. ¿Cuál sería el valor de la fuerza
centrífuga respectiva?
c) Si el radio de una órbita circular (s) del electrón en el átomo de hidrógeno vale
ro = 0,53 Å y si la frecuencia de giro del electrón al rededor del protón es de 1015
ciclos/segundo, ¿cuánto vale ac ?
Para evidenciar las contribuciones de la rotación de la Tierra sobre sí misma, se
utiliza el péndulo de Foucault (1851): se suspende una masa M de una cuerda
muy larga y se hace oscilar en una determinado plano vertical, por ejemplo de
Sur a Norte. Se observa que el plano de oscilación comienza a girar en sentido
horario y en cada oscilación el avanza unos 11 grados; completa la
28
circunferencia en 32 horas ¿Por qué la rotación del plano de oscilación del
péndulo?
Nota: Condiciones iniciales en un movimiento:
Las condiciones iniciales del movimiento de una partícula corresponden a los



valores de la posición r (t 0 ) , de la velocidad v (t 0 ) y de la aceleración a (t 0 ) de la
partícula a un instante t0 que se escoge habitualmente como origen de los tiempos
para ese problema. El conjunto de esos valores se denomina “condiciones iniciales”
del movimiento de la partícula. Con estos valores se determinan las constantes de
integración que intervengan en los cálculos del análisis del problema.
Ejemplo:
Supóngase que una partícula P se mueve con una aceleración a    x a lo largo
del eje-x.
Determinar los valores de la velocidad y de la posición de la partícula a cada
instante.
Por definición se tiene:
a
dv dv dx
dv d  1 2 
1 

 v

 v     x,  d  v 2     x.dx , e integrando se
2 
dt dx dt
dx dx  2 
1 2
x2
obtiene: v   
 A , donde A es una constante de integración.
2
2
Aplicar las condiciones iniciales siguientes: Cuando t = 0,  v(0) = v 0 , y x(0) = 0 .
1
Con estas condiciones iniciales se obtiene que A  v 20 y se llega a la ecuación:
2
dx
v 2   x 2  v 20 , de donde  v = v 20   x 2 
, ahora se integra esta ecuación:
dt
dx
por
 v 2 /   x 2    .dt , de donde:  arc.sen(x  / v 0 ) =  t +  ,
0
v0
. sen  . t   ; el ángulo  es
consiguiente la coordenada x vale: → x(t) =



constante de integración. Ahora bien, si x(0) = 0,   = 0 ; además si se toma
   2 se llega a la expresión de la posición de la partícula: x(t) =
v0

. sen( t ) ,
Conclusión: La partícula P posee un movimiento oscilatorio de frecuencia  .
1,4.3 Referenciales inerciales y transformaciones de Galileo.
¿Dónde radica el interés por los referenciales inerciales?
Si dos sistemas de referencia (L) y (S) se mueven el uno respecto al otro con una
velocidad de translación constante VO , son referenciales inerciales y se deduce de
las ecuaciones expresadas en (1,4.2g) y (1,4.2d) que:



VP / L  VO  VP / S y


aP / L  aP / S ,
(1,4.3a)
29
En este caso el valor de la aceleración de la partícula es invariante en todos los
referenciales inerciales. En particular, si se multiplica la ecuación (1,4.3a) por la


masa de la partícula, se tiene ma P / L  ma P / S : es la expresión de la conservación de
la segunda ley de Newton en referenciales inerciales.
¿Cómo se relacionan los valores de las coordenadas de la partícula P(t) medidas
desde el referencial (S) con las coordenadas observadas desde el referencial (L)?
Sean (X,Y,Z,t) las coordenadas cartesianas medidas desde (L) y (X’,Y’,Z’,t’) las
coordenadas cartesianas de P(t) medidas desde (S):
Z
Z’
Se supone que los dos referenciales (L) y (S) son
inerciales y se mueven con una velocidad relativa


V0
constante Vo . Se toma como dirección OX la de Vo .
X
En estas condiciones se deducen las siguientes
(L)
X’
P
ecuaciones que relacionan las coordenadas (X,Y,Z,t)
(S)
X
con las coordenadas (X’,Y’,Z’,t’):
Y
Y’
 X '  X  Vo t
Y '  Y

,

Z
'

Z

t '  t
(1,4.3b)
Se incluyó el tiempo como coordenada temporal.
Estas ecuaciones se llaman “transformaciones de Galileo”.
Conclusión:
Postulado:: Las leyes de la mecánica clásica de Newton son invariantes bajo Las
transformaciones de Galileo.
1,5- Sistemas de muchas partículas - Cuerpo rígido
1,5.1- Grados de libertad, ligaduras y espacio de configuración:
En el caso de una partícula que se mueve libremente en el espacio R3, su posición, a
cada instante, queda determinada por 3 variables o coordenadas independientes
 X (t ), Y (t ), Z (t ) o q1 (t ), q2 (t ), q3 (t ) : se dice que el estado de movimiento de una
partícula libre tiene tres (3) grados de libertad.
¿Qué sucede en el caso de un sistema constituido por N Partículas?
Generalmente se presentan dos casos extremos:
a) las partículas del sistema son independientes, libres de moverse, no
interactúan entre sí.; tal es el caso de las moléculas del gas ideal, en el cual
puede haber N  1022 moleculas / cm3 .
b) las partículas no son independientes las unas respecto de las otras porque sus
posiciones relativas son fijas dentro de la muestra, es decir son invariantes.
Es el caso del cuerpo rígido. Esta situación se traduce por medio de las


ecuaciones: ri  r j
2
 
 Cij2 , o  ri  r j
2
 Cij2  0
30
-En el primer caso se determina el estado de movimiento de cada partícula
mediante 3 coordenadas independientes respecto a un sistema de referencia
previamente seleccionado; pero si son N partículas se requerirán 3N coordenadas
para definir el estado de movimiento de todo el sistema. Este conjunto de 3N
coordenadas o variables de posición independientes se denomina “grado de libertad
del sistema”; lo designamos por GL = 3N:
Ese conjunto de coordenadas es:
x1 , x2 , x3. ,....., x N , y1 , y2 , y3. ,....., y N , z1 , z 2 , z3. ,....., z N , que de manera condensada se
 
escribe: q j ,  j  1,2,3,4,.....3 N .
- En el segundo caso las ecuaciones que traducen la restricción al movimiento de
las partículas del sólido se denominan, por tal motivo, “ecuaciones de constricción
al movimiento de las partículas” o simplemente “constricciones” o “ligaduras” en el
sistema de partículas.
En el mundo real son muchos los casos en los cuales el movimiento de los sistemas
de partículas está sometido a condiciones restrictivas o a ligaduras. He aquí
algunos ejemplos:
- Los movimientos de las partículas de un gas contenido en un recipiente son
limitados por las paredes del recipiente; esta ligadura se traduce por ecuaciones
como éstas 0  xi  L1 ;0  yi  L1 ;0  z i  L1 ;
- La perla, ensartada en un alambre de peso despreciable y de forma parabólica,
estará sometida a moverse en un plano a lo largo de la parábola: su trayectoria
está impuesta de antemano y obedece a la ecuación matemática  y  ax 2 que se
escribe y  ax 2  0 .
- Un disco que rueda sobre un plano sin deslizar, en la dirección-x posee dos
restricciones: el disco se mueve sobre un plano o sea que se necesitarán sólo dos
variables independientes para definir el movimiento del punto de contacto con el
plano, y la condición “rueda sin deslizar” que se traduce por la ecuación
dx  Rd , siendo R el radio del disco y  el ángulo de giro.
- Otro ejemplo de ligadura es el de una partícula condicionada a moverse sobre una
esfera de radio R; la ecuación de la esfera es: x 2  y 2  z 2  R 2  C. Debido a esta
ecuación de ligadura, de las 3 coordenadas de posición quedan sólo dos
independientes, por consiguiente GL = 2; esas variables pueden ser los
ángulos  ,  en coordenadas esféricas.
Conclusión respecto a las ligaduras:


Las ligaduras se expresan a menudo por medio de ecuaciones de la forma:
f q j (t ), t  0 ,
K
Si las ligaduras se expresan mediante la ecuación f
K
q j (t ) 0
(1,5.1a)
 se llaman
“ligaduras holonómicas, se dice también, que son ligaduras integrables, finitas o
geométricas; si además no dependen del tiempo son ligaduras holonómicas
estáticas; en el caso contrario son ligaduras no-holonómicas como en el ejemplo de
las moléculas de gas contenidas en un recipiente de paredes rígidas.
Las ligaduras reonómicas son ligaduras holonómicas o no holonómicas pero que
dependen del tiempo. En este texto se consideran ligaduras holonómicas.
31
Si en un sistema de N partículas hay k ecuaciones de ligaduras holomómicas, el
número de variables independientes requeridas para definir el estado de
movimiento del sistema es: f = 3N – k,
(1,5.1b)
Este número representa el “grado de libertad del sistema” (GL).
 La presencia de ligaduras tiene su origen realmente en la existencia de fuerzas
que no aparecen explícitamente en el sistema examinado, pero que se traducen
a través de las correspondientes ecuaciones de ligadura. Para que la partícula
se desplace sobre la superficie esférica requiere de una cierta fuerza que la
mantenga en contacto con esa esfera.
En el análisis del movimiento de una partícula o de un sistema de partículas, uno
de los primeros pasos es la determinación de las ligaduras para saber con cuántas
variables independientes se cuenta para el análisis del movimiento de las
partículas. A menudo este paso inducirá el referencial más apropiado para ese
análisis del movimiento.
Pregunta:
¿Cuántos grados de libertad hay en los tres casos mencionados: las partículas del
gas confinadas en un recipiente, la perla que desliza por un alambre de forma
parabólica y el disco que rueda sin deslizar sobre un plano horizontal?
Espacio de configuración:
Un sistema constituido por dos partículas libres tendrá 6 grados de libertad y
requerirán 6 coordenadas independientes, por consiguiente sus estados de
movimiento se pueden describir en un espacio de seis dimensiones D 6. Para un
sistema de N partículas independientes se deberá recurrir a un espacio 3Ndimensional para describir el movimiento de ese sistema. Estos espacios definidos
por las coordenadas independientes, o los grados de libertad, se denominan
“Espacios de configuración”
c .
Si en el sistema de partículas hay f constricciones, se empleará un espacio (3N-f)dimensional para definir sus estados de movimiento.
1.5.2 Caso del cuerpo rígido:
En el estudio de la mecánica analítica se volverá sobre las ligaduras. Por ahora se
procede a la determinación del número de grados de libertad del cuerpo rígido.
Para ello se comienza por considerar el caso de un sistema de dos partículas, al cual
se agrega luego una tercera, después una cuarta y así sucesivamente.
Considerar primero dos partículas P1 y P2 del cuerpo rígido; sus vectores de posición


son r1 q11 , q12 , q31 y r2 q12 , q 22 , q32 , o sea que, en principio, se requieren 6 coordenadas




de posición para definir el estado de movimiento del sistema. Las llamamos
simplemente qi  qi (t ),  i  1,2,3,4,5,6 .
Para definir la posición de las dos partículas en R3 se puede proceder así:
• La partícula P1 se localiza mediante tres coordenadas (x,y,z) respecto a un
referencial cartesiano.
32
P1
r1


r12  a P2
P3

r13

r23

r2
P1
P2

O
O
a)
b)
Figura 1,8: Sistemas de dos partículas (a) y de tres partículas (b).
- La partícula P2 se ubica respecto a P1 con la ayuda de tres coordenadas que
pueden ser las coordenadas esféricas (r ,  ,  ) .
El espacio de configuración queda definido por este conjunto de variables
independientes [(x,y,z), ( rij ,  , ) ], cada una de ellas es función del tiempo.
Pero existe la restricción siguiente: la distancia relativa entre las partículas
permanece constante: r12  a ; el número de variables de posición independientes se
reduce entonces de seis a cinco: tres sirven para definir el movimiento de la
partícula P1 y las dos variables de rotación definen el movimiento de P2 respecto a
P1.
Se considera ahora el sistema de tres partículas en el cuerpo rígido agregando a los
dos anteriores una tercera P3 (figura 1,8) y suponiendo que las distancias relativas
entre las tres partículas son fijas; se observa que P3 sólo puede girar al rededor del
eje fijo P1P2. En consecuencia, una vez ubicadas las dos partículas P1 y P2 en el
espacio, la posición de la tercera partícula respecto a las dos primeras se obtiene
con la ayuda de una sexta coordenada que es el ángulo de giro  respecto a P1P2.
Si se agrega una cuarta partícula, su posición relativa queda de hecho definida.
Z
Z’
P
Y’
P

r (t )
Y
O
X’
X
Figura 1,9: Cuerpo rígido (1023 partículas/cm3) 2
En conclusión, el cuerpo rígido, formado por muchas partículas, tiene tan sólo seis
(6) grados de libertad (x,y,z,,,): las tres coordenadas de posición (x,y,z) que
definen el movimiento de traslación de una de las partículas del cuerpo (puede ser
su centro de gravedad) y los tres ángulos  , ,  que definen las rotaciones de
cualquier partícula alrededor de esa partícula especial tomada como origen.
33
Ejercicios 1,1.
1- Con base a las explicaciones anteriores:
~ ~
a) Determinar las expresiones de las matrices R1 , R2 en el cambio de
coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas.
b) Demostrar que se pasa de la base cartesiana iˆ, ˆj , kˆ a la base del sistema de


coordenadas esféricas eˆr , eˆ , eˆ

 mediante el sistema de ecuaciones:
eˆr  iˆsen cos   ˆjsensen  kˆ cos  ,

eˆ  iˆ cos  . cos   ˆj cos  .sen  kˆsen ,

ˆ
ˆ
eˆ  i sen  j cos 

c) Verifique que eˆr , eˆ , eˆ
(Ej.1,1a)
 es una base ortonormal.


d) Determinar las expresiones matemáticas de los vectores iˆ, ˆj , kˆ en función


de los vectores eˆr , eˆ , eˆ .
e) Demuestre que la derivada de un vector de base, en un movimiento de

rotación, se escribe: e j    e j
2-
a) Deduzca las ecuaciones siguientes que permiten el paso de una base en
coordenadas cilíndricas a una base en coordenadas cartesianas:
iˆ  eˆr cos   eˆ sen ,

 ˆj  eˆr sen  eˆ cos  ,
ˆ
k  eˆ z
Verifique que una base en coordenadas cilíndricas es ortonormal.
b) Respecto a las matrices de transformación de base:
i) Demuestre que la matriz de transformación (1.2.2b) cumple la propiedad
~ ~
A t A  1.
ii) Calcule la traza de esas matrices.
3- Considere una partícula P cuyo vector de posición respecto a un referencial
 


cartesiano vale, r = 2 i  5 j  6k .
a) Suponga que se opera sobre la partícula una rotación de ángulo  al rededor
del eje z. Encontrar el valor de las componentes del nuevo vector de posición.
b) Si la rotación es uniforme en el tiempo, es decir si    0 t , examine cómo
varía la posición del punto material en el transcurso del tiempo.¿Cómo es la
forma de la trayectoria?
c) Suponga que un observador O* se sitúa en un referencial S* cuyo origen
coincide con la posición de la partícula. Describa lo que ve el observador O*.
4- La trayectoria de una partícula P(t) es definida por el vector posición:

r ( t ) = (et.cos2t). iˆ + (et.sen2t). ĵ + 4 k̂
a) Determine las expresiones de la velocidad y de la aceleración de la partícula.

b) Deduzca las componentes del vector tangencial T . Determinar el radio de
torsión.
c) ¿Cómo es la forma de la trayectoria de la partícula?
34
5- Calcular el radio de curvatura de una trayectoria parabólica de ecuación y  ax 2
¿Cual es el valor de ese radio de curvatura para x  0 y para x1 ?
Si las coordenadas (x,y) se expresan en metros en qué unidades se expresa el
radio de curvatura?
6- Exprese el valor del radio de curvatura de una cicloide en función del radio del
disco que la genera.
7- Demuestre que las componentes de la velocidad, de la aceleración y de la
velocidad angular de una partícula, tienen los siguientes valores en
coordenadas esféricas:

i) La velocidad: v  eˆr r  eˆ r  eˆ r.sen ,
(Ej,1,1b)
a  r  r.θ 2  r. 2 sen2 θ
 r

ii) La aceleración: a  r.θ  2rθ  r. 2 .senθ cos θ
θ




a  r.senθ  2r. .senθ  2rθ. cos θ
(Ej,1,1c)
iii) En coordenadas esféricas hay dos coordenadas angulares a las cuales les
corresponden las velocidades angulares  , .
 
 
La velocidad angular total tiene el valor:       k  . e ,

iv) La aceleración angular vale entonces:

de
d 



  ). e

 k   . e   .
 k  (. 

dt
dt

8- ¿Para qué valor de su velocidad la masa m(v) de un electrón tendrá un
incremento de 5% respecto a su masa en reposo?

9- Sea r (u )  4iˆ  6uˆj  2u 2 kˆ el vector de posición de una partícula P(u) respecto a
un sistema de coordenadas cartesianas; u es un parámetro continuo y positivo.
Describa la trayectoria de P(u) en R3.
10- Una partícula P posee una aceleración a   C(r  r0 ) proporcional a su posición
relativa respecto a la posición de equilibrio.
a) ¿En qué unidades se expresa la constante elástica C?
b) ¿Cuál es la expresión de la velocidad de la partícula? Suponga que al
instante inicial el valor de la velocidad es v o . Represente en un gráfico las
variaciones de v(r) en función de r.

13- Demuestre que   (r , ,  ) 

1 
1 
er 
e 
e
r
r 
r. sen   
14- Una lancha parte de un punto A situado en la orilla del río y se dirige, con una
velocidad de 30 Km/h hacia un punto B ubicado enfrente de A, en la orilla
opuesta. Si la velocidad del flujo de agua es de 8 km/h, cuánto vale la velocidad
del barco medida desde tierra firme? Si el ancho del río es de 120m a qué
distancia de B el barco alcanza la otra orilla?
35
Anexo 1.1- Cuadro resumen de propiedades matemáticas de curvas
sencillas usadas para describir trayectorias:
Nombre
Recta
Círculo
Parábola
Cicloide
Hélice
Propiedades
Distancia mínima
entre dos puntos
Fijos.
Lugar geométrico

de
r  Cte
Todo rayo emitido
desde el foco se
refleja paralelo al
eje de simetría
Curva generada por
un punto P de un
disco que
rueda
sobre un plano sin
deslizar.
Movimiento de un
punto que describe
una circunferencia
y se traslada en
dirección normal
Curvas que son la
Cónicas: intersección de dos
superficies: una de
ellas cilíndrica y la
otra un plano.
(e = excentricidad).
Espiral
Polares:
Hay espirales planas,
cónicas, esféricas, de
paso constante o
exponencial.
Curvas en polares
más destacadas.
Ecuaciones
ax  by  d 2
 = Cte (si pasa por el
Origen)
x2  y2  r 2 ,
Ejemplos de usos
Trayectoria de
partícula libre
(aislada)
una
 x(t )  r cos(t )

 y (t )  rsen (t )
Trayectoria sobre la
cual se ejerce una
fuerza central.
y  ax  bx  c
Trayectoria de un
proyectil – Perfil de
una antena parabólica.
 X (u )  R(u  senu ),

 y (u )  R(1  cos u )
Trayectoria de un
electrón sometido a un
campo magnético B y
un campo eléctrico E
normal a B.
2
x 2  y 2  r 2 ,

 z  at
Trayectoria en forma
de escalera en caracol
 Ay 2  Bxy  Cx 2 

Dy  Ex  G  0,
   o /(1  e. cos )
Trayectoria de P(t) en
un campo de fuerza
central:
En cartesianas:
e  1  parábola ,
e1,  hipérbola ,


e1; pero  e  0
 elipse
si    B 2  4 BC ,
  0,  parábola ,
 0,  hipérbola ,
0,  elipse .
  a ;    ae n
r  r0 .ch(t ).
Rotación plana de un
cuerpo en un campo de
fuerza radial.
Nombre más genérico:
Caracoles:   a  b.cos
Aparecen en orbitales
atómicos de hidrógeno,
Curva de Punto de una
circunferencia de radio
c que rueda sobre otra
de mismo radio, etc.
a  b  Cardiode
a  b  caracol con rizo
Rosas    a.cos(n )
Lemniscatas  2  a cos(2 )
36
1,6- Fundamentos de cinemática relativista.
1.6.1- Las trasformaciones de Lorentz para las coordenadas:
El experimento de Michelson-Morley, la luz y las ecuaciones de Maxwell?
¿Qué es la luz? Esta pregunta se la plantearon pensadores y científicos desde
épocas muy antiguas: Platón consideraba a la luz como un medio que posibilitaba
la percepción del mundo. Para Plotino la luz era un fenómeno físico que se propaga
en línea recta y de manera instantánea. Para los místicos religiosos la luz era
sinónimo de bien, mientras que la oscuridad era sinónimo de mal. Entrando en la
era moderna se encontró que la luz era energía que se propagaba ya sea como
corpúsculos (Descartes y Newton) ya sea como ondas (Young y Fresnel). La física
cuántica concilió esas dos teorías, admitiendo que la luz posee una naturaleza dual
(Louis de Broglie): se comporta a la vez como onda o como corpúsculos (fotones).
A comienzos del siglo XIX se impuso la teoría ondulatoria de la luz. Thomas Young
(1773-1829), físico y médico, realizó trabajos de óptica; estudió los fenómenos de
difracción e interferencia de la luz, perfeccionó la teoría ondulatoria de la luz
propuesta por Fresnel. Influenciado por los fenómenos del sonido, Young propuso
que la luz necesitaba para propagarse, de un medio elástico hipotético que llenaba
todo el universo. Ese medio lo llamó “eter.”. Era un medio imponderable.
En el transcurso del siglo XIX se especuló bastante sobre la existencia del “éter”.
Para algunos físicos los cuerpos se movían en el éter sin afectarlos; para otros los
cuerpos al moverse arrastraban al éter.
Pasaron los años y la teoría ondulatoria de la luz parecía haberse consolidado.
James Clerck Maxwell (1831-1879) relacionó los fenómenos electromagnéticos con
la luz (1861) y elaboró una teoría electromagnética de la luz (1864); en este mismo
año publicó sus ecuaciones del Electromagnetismo; de ellas se deduce una ecuación
de propagación de ondas electromagnéticas. H Hertz comprobó experimentalmente
la propagación de ondas electromagnéticas en 1887.
De la teoría de Maxwell se derivaron varias conclusiones importantes: la presencia
de una carga eléctrica modifica el espacio de su entorno, creando a su alrededor el
“campo electromagnético; las ondas electromagnéticas son trasversales y se
propagan con un velocidad finita, que es constante en el vacío; en la elaboración de
su teoría Maxwell no se preocupó por la existencia del “eter” que seguía sin
embargo inquietando a otros físicos.
En 1887 Albert Abraham Michelson y E. W. Morley publicaron los resultados de
una serie de mediaciones llevadas a cabo con la ayuda de un interferómetro (Am. J.
Sci. 34,333-1887). Intentaron determinar la velocidad relativa del eter respecto a la
Tierra. Para ello orientaron su interferómetro en diversas direcciones respecto al
movimiento de la Tierra, pero no detectaron ningún corrimiento de las franjas de
interferencia. Dedujeron que el eter no existía. Comprobaron, además que la
velocidad de la luz era constante.
La situación a finales del siglo XIX se puede resumir así: la luz son ondas
electromagnéticas transversales que no requieren de la existencia del éter y que se
propagan en el vacío con velocidad constante C.
Pero en 1900 Max Planck volvió sobre la naturaleza corpuscular de la luz y la
consideró constituida por “paquetes de energía h ”; así logró explicar la radiación
del cuerpo negro. Esta naturaleza corpuscular de la luz la utilizó Einstein en la
explicación del efecto fotoeléctrico (1905).
En el artículo titulado “Electromagnetic phenomena in a system moving with any
velocity less than that of Light” (Proceeding of the Academy of Sciences in
37
Amsterdam, 6, 1904), el físico holandés Hendrik Antoon Lorentz, comprobó la
covariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo unas transformaciones
denominadas, por tal motivo, “Transformaciones de Lorentz”. Estas ecuaciones no
eran invariantes bajo las transformaciones de Galileo.
Postulados de la relatividad especial de Einstein:
Einstein desarrolló la teoría de la relatividad restringida en el artículo que publicó
en junio de 1905 titulado “Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimientos”
(“Zur electrodynmik bewegnter körper” – Annalen der Physik). Después de
referirse al movimiento relativo de un imán y un conductor y a los efectos
electromagnéticos que se producen, dice lo siguiente: “Ejemplos semejantes, como
los intentos fallidos de constatar un movimiento de la Tierra relativo al medio
luminoso, conducen a la sospecha de que el reposo absoluto no corresponde a
ninguna propiedad de los fenómenos, no solo en la mecánica, sino también en la
electrodinámica”. Y entonces plantea tres hipótesis que “bastan para obtener una
electrodinámica de cuerpos en movimiento sencilla y libre de contradicciones”.
El biógrafo de Einstein, Ronald W. Clark (“Einstein: the life and time”- Avon booksHarper Collins Publishers, 1971), dice que, mientras Fritzgerald, Lorentz y
Poincarré trataban de rescatar la física de la “sin salida” en la cual había caído con
los resultados de las dos últimas décadas, como los obtenidos en el experimento de
Michelson-Morley y la no aplicabilidad de las transformaciones de Galileo a las
ecuaciones del electromagnetismo de Maxwell, Einstein estaba más enfocado en
sus pensamientos sobre temas del universo y sobre la teoría electromagnética de
Maxewll que había estudiado detenidamente. No se preocupó mucho por la
existencia del “éter” que consideraba una hipótesis innecesaria. Estos estudios, sus
reflexiones y su intuición, lo condujeron a la adopción de tres principios, sobre los
cuales elaboró su teoría de la relatividad especial; éstos son:
a) El tiempo y el espacio son homogéneos.
b) La velocidad de la luz en el espacio vacío es una constante universal; tiene el
mismo valor para todos los observadores que estén ubicados en referenciales
inerciales. Es un hecho experimental fundamental.
c) Las leyes de la física conservan la misma forma en todos los referenciales
inerciales. Es el principio de relatividad, como lo llamó Einstein.
El primer postulado significa que un sistema aislado en el universo funcionará de
manera similar si se traslada a cualquier lugar del universo, o se traslada en el
tiempo. No hay lugares ni tiempos privilegiados en el universo espacio-tiempo.
El segundo postulado conlleva la necesidad de utilizar las transformaciones
Lorentz. ¿Por qué?
El tercer postulado también se aplica a la mecánica clásica. En relatividad se
relaciona con las transformaciones de Lorentz. Einstein extendió la invariancia a
todas las leyes de la física incluidas las del electromagnetismo y las de la mecánica
clásica.
En relatividad especial el espacio y el tiempo van juntos, no son absolutos y definen
un evento, un suceso que ocurre a la vez en un lugar y a un instante dado. El
tiempo se puede considerar, incluso, como la sucesión de eventos. Todos los
acontecimientos de nuestras vidas suceden en un determinado lugar y en un
instante o tiempo dado.
Para representar los eventos, Hernán Minkowski, matemático lituano, propuso
(1908) la utilización de un espacio cuadridimencional R4 definido por las


coordenadas q1 , q2 , q3 , ct . Un punto de este espacio corresponde a un evento: es un
38
punto de universo de la partícula. La evolución de los puntos de universo genera
una trayectoria llamada “línea de universo”.
Transformaciones de Lorentz y fundamentos básicos de la relatividad.
Según lo anterior, considérense dos referenciales inerciales L y S, supóngase que
hay dos observadores, uno en cada referencial que observan cómo se propaga el
frente de una onda luminosa emanada del punto origen. Esos frentes de onda son
esféricos.
Para el observador situado en L el frente de onda se expresa mediante la ecuación:
 x 2 (t )  y 2 (t )  z 2 (t )  c 2 t 2 ,
(1,6.1a)
Para el observador fijo a S, la ecuación del frente de onda es:
(1,6.1b)
x' 2  y ' 2  z ' 2  c 2 t ' 2 .
Si se aplican las transformaciones de Galileo a la ecuación (1,4.3b), se obtiene:
(1,6.1c)
x 2  (2 xVt  V 2t 2 )  y 2  z 2  c 2t 2
la cual no coincide con (1,6.1a).
Einstein buscó entonces una transformación de coordenadas que permitiera
eliminar el término (-2xVt + V2t2). Encontró que las transformaciones de Lorentz,
(utilizadas por primera vez por Larmor en 1900) y que dejan invariantes las
ecuaciones del electromagnetismo de Maxwell respecto a referenciales inerciales,
cumplían también la condición de invariancia para los frentes de onda de la luz.
(Artículo de Einstein: “On the electrodynamics of many bodies”-1905).
Y
Y’
Sean dos referenciales inerciales S(X,Y,Z) y
V
S’(X’,Y’,Z’). El paso de las coordenadas (X,Y,Z,t)
a las coordenadas (X’,Y’,Z’,t’) se efectúa con la ayuda
L
S
X,X’
de las transformaciones de Lorentz que son:
Z
Z’
 X '   ( X  Vt )
1

Y '  Y
1
 

, con 
,

1 2
   V / c
Z '  Z
t '   (t  VX / c 2 )
(1,6.1d)
Figura 6,1: Dos referenciales
inerciales
c es la velocidad de la luz en el vacío y V la velocidad relativa entre los referenciales
S y S’.
Tarea: Encuentre las transformaciones inversas es decir X k  X k ( X ' , Y ' , Z ' , t ' ) .
Obsérvese que las ecuaciones de las transformaciones de Lorentz de las
coordenadas (X,Y,Z) en coordenadas (X´,Y´,Z´), son lineales y se pueden escribir en
forma matricial de la siguiente manera:
 Y'   1 0 0
 Z'   0 1 0
 X '   0 0 
  
 t '   0 0 - 
0 Y 
0 Z 
-    X 
 t 
(1,61e)
Esta matriz contiene dos sub-matrices: una unitaria de 22 y otra de rotación
también de 22.
39
Si se efectúa el cambio de variables:   cosh  ;    tanh  , la matriz de
transformación queda así:
 y   1
 z  0
 x   0
 ct    0
0
0
0  y 
1
0
0 z 
0 cosh - senh   x  , que se escribe
0 - senh cosh   ct 
 y   1
 z  0
 x   0
 ct    0
0
1
0
0
0 0  y 
0 0 z 
a 33 a 34   x 
a 43 a 44   ct 
Se destacan las siguientes propiedades de la matriz de Lorentz:
- El determinante de esta matriz vale 1. ¿Qué significa esto?
- Además es fácil comprobar que para la segunda sub-matriz se cumplen las
2
2
2
2
 a34
 1;  a 43
 a 44
 0;  a33 a 43  a34  a 44  0 ;  se
relaciones siguientes: a33
dice que la matriz de transformación de Lorentz es ortogonal y por lo tanto tiene
todas las propiedades de una matriz ortogonal.
Nota:
Verifique que si V << c, se obtienen las ecuaciones de transformaciones de Galileo
Forma más general de las (T.L):
Comúnmente se toma la dirección del eje Ox paralela a la velocidad de translación

relativa V de los dos referenciales (L) y (S). En el caso general en que Ox tenga
cualquier dirección espacial, las ecuaciones de transformación de Lorentz se
escriben bajo la forma siguiente que es más general:
    1  
     1  






r

r

V
.
r


t
V
r

r

V
.
r


t



V


2
2

 V


 V

Para S: 
, y para L: 
, (1,6.1f)




1
1




t `   t  V .r 
t    t   V .r  
2


c2
 c



Para el observador en S los intervalos de tiempo y de espacio entre dos eventos A y
B valen:
V

t    (t  2 x)
, o en el caso general:
c

x    x  Vt 
1  



t


(

t

V .r )

c2

,
r   r     1  t V
2

 V

(1,6.1g)
Una primera conclusión es que los tiempos y los espacios ya no son independientes;
además los intervalos temporales  t y los intervalos espaciales  x , entre dos
eventos, presentan valores diferentes para los observadores O y O’, ubicados
respectivamente en (L) y (S’); una distancia entre A y B puede valer 1m en (L) y
más de un metro en (S).
1.6.2- Consecuencias importantes:
a) Simultaneidad:
Supóngase que el observador O’ en (S) observa dos eventos A y B cuyas
coordenadas son, según las transformaciones de Lorentz:

Vx A 
'
Para el evento A → x ' A   ( x A  V t A ) y t A    t A  2 
c 

40

Vx B 
Para el evento B → x ' B   ( x B  V t B ) y t B'    t B  2 
c 

V 

x .
c 

  x '   .  x
V
Pero si los dos eventos son simultáneos, entonces,  t = 0 y 
,
  t'= - c 2 .  x  0
Por consiguiente se deduce: que:  x '     x  V .  t , y   t'=    t -
Se concluye que para el observador situado en el referencial (S) los dos eventos no
son simultáneos. Es una situación ajena a la mecánica clásica.
b) Contracción del espacio:
Suponga una barra AB en reposo en el referencial S y paralela a la dirección x’. Si
la abscisa del extremo A es X’1 y la del extremo B es X’2, la posición de esos
extremos para el observador 0’ situado en S valen, según (1,6.1d): X’1 =  (X1 - Vt)
y X’2 =  (X2 -Vt).
Si se supone que X1 y X2 se miden al mismo instante, la longitud de la barra
medida desde S’ es:
L'  ( X ' 2  X '1 )   ( X 2  X 1 )  L0 , de donde se deduce que Lo= L’/,
(1,6.2a).
Por consiguiente, para el observador O que mide la longitud de la barra que se
desplaza paralelamente a la dirección de su longitud, el valor de ésta es menor que
la longitud medida por el observador ubicado en (S): Se dice que para el observador
en (L) la longitud de la barra, en la dirección del desplazamiento relativo de los dos
referenciales, se ve contraída. Es la contracción del espacio de la relatividad.
c) Dilatación del tiempo:
Supóngase ahora, que en cada origen O’ y O de los referenciales inerciales (L) y (S)
hay un reloj fijo, por consiguiente sus coordenadas de posición son nulas. Cuando le
reloj en O’ marca el intervalo de tiempo , llamado “tiempo propio” de S, el reloj
ubicado en el origen O de (L) marca el correspondiente intervalo de tiempo t.
Aplicando la ecuación (1,6.1f) se obtiene el valor del tiempo medido por el reloj
ubicado en el origen O de (L), →  t    ,
(1,6.2b)
En consecuencia el reloj fijo en el origen O de (L) mide el intervalo de tiempo t
correspondiente al tiempo propio  de (S) y se encuentra que t > . Se dice que hay
dilatación del tiempo para el observador ubicado en O de (L). Si en (S) un evento
dura   10  6 s (tiempo propio) el observador en O en (L) medirá un tiempo de
t  11
,  10 6 s , que es mayor que  .
Ejemplo clásico.
En el proceso de aniquilación protón-protón aparece un mesón + el cual se
desintegra en un muón + y un neutrino ; el valor del tiempo de vida propio del
mesón   es de 25 ns, medido desde el referencial (S). Ahora
P1 bien, si el

Si elmesón viaja con una velocidad v = 0,9 c, el tiempo

de vida media, medido desde (L), vale 57ns, valor
 (neutrino)
P2
menor que el medido por el observador en S.
41
Tiempo propio de una partícula acelerada:
En la práctica, especialmente en las investigaciones sobre el comportamiento de las
partículas elementales, éstas están aceleradas. La pregunta es ¿se les puede
asociar un tiempo propio?
Supóngase un observador O’ ligado a la partícula acelerada, por consiguiente no es
inercial respecto a L. El concepto de tiempo propio está fuera del contexto de la
relatividad especial que se ha expuesto. Se puede sin embargo proceder así: se

descompone la trayectoria en N tramos infinitesimales r , (ct ) en cada uno de
los cuales se supone la velocidad constante, de tal suerte que en cada tramo “n” el
tiempo propio vale d n  1 
de la partícula será  
t2

1
t1
v n2
.t n Así entre dos instantes (t1 , t 2 ) el tiempo propio
c2
v(t ) 2
dt ,
c2
La diferencia con el caso de movimiento uniforme es que ahora se requiere que el
reloj viaje con la partícula; se dice que el reloj asociado a la partícula no es inercial.
d) Espacio tetradimensional de Minkowski R4.- Conos de luz.
En relatividad especial cada referencial inercial tiene su tiempo propio. Esto
conlleva una consecuencia importante que ya se mencionó: los sucesos físicos o
eventos de nuestro universo conocido, ocurren en el tiempo y en el espacio a la vez,
en un espacio cuadridimensional R4 de Minkowski; es un “espacio-tiempo” o
universo físico cuyos puntos representan “eventos”. La constancia de la velocidad
de la luz permite tomar como cuarta dimensión de ese universo la cantidad ct que
es una longitud; los desplazamientos a lo largo de esa dimensión son muy rápidos.
Conos de luz: Una representación de los eventos.
Si es difícil percibir el espacio tridimensional, mucho más difícil es pensar en un
espacio-tiempo tetradimensional R4 y visualizar en él el transcurrir de los eventos.
Se recurrió entonces a representar ese espacio por diagramas sencillos de tres
dimensiones llamados “conos de luz”, que fueron popularizados por el físico
Stephen W. Hawhing en su libro “Historia del tiempo – Del Big Bang a los agujeros
negros” editado en 1987.
¿Cómo se construyen esos conos de luz?
Si en el conjunto de las 4 coordenadas t , x, y, z se ignora una, por ejemplo z,




quedan sólo 3 coordenadas t , x, y que se representan así: dos (x,y) en un plano y
la tercera t, en un eje perpendicular a dicho plano.
Considérese por ejemplo el siguiente evento: el Sol emite un rayo de luz que se
dirige a la Tierra y debe recorrer una distancia promedio de 49,6 millones de km en
8 minutos para alcanzarla. Supóngase que el rayo de luz no es perturbado y viaja
en línea recta en un espacio homogéneo. Este evento se representa en el diagrama
de la figura 6,2 por una recta que tiene una inclinación  respecto a la dirección
vertical de los tiempos, de tal manera que tag ( ) 
x
 c,
t
(1,6.2c)
Ahora bien, el Sol, que en el momento de la emisión del haz de luz está ubicado en
el punto O del plano (X;Y), irradia en todas las direcciones del espacio; el conjunto
de todos los rayos luminosos emitidos desde O definen un cono en el espacio (X,Y,t),
42
llamado “cono de luz” (ver figura 6,2).Considerando que el Sol es una fuente
puntual, los frentes de onda de luz se expanden a la velocidad c en la dirección del
eje-tiempo, en círculos concéntricos contenidos en planos paralelos al plano (XY),
siguiendo el cono de luz.
Como todo evento distinto al de la propagación de la luz viaja con velocidades
menores que c, su punto representativo en el espacio (X;Y,t) se encuentra, según
(1,6.2c) dentro del cómo de luz, llamado por tal motivo “cono de luz de eventos
futuros”. Se puede dibujar, del mismo modo, un cono invertido respecto al primero,
denominado “cono de eventos pasados”; un evento del pasado puede generar un
evento en el futuro estableciéndose así una relación de causa y efecto o de
causalidad.
Eje del tiempo
8 minutos

x
Sol
Figuras 4,2:
Tierra


a) Diagrama t , x, y
b) Diagrama del cono de luz.
Si otro objeto celeste emite otro haz de luz en otro lugar del espacio, en un instante
posterior o anterior, se le asocia otro cono de luz perpendicular a otro plano (x,y),
con su respectivo eje de tiempos.
En resumen en este diagrama de conos de luz se distinguen 4 zonas:
- el interior del cono superior que contiene eventos futuros,
- el interior del cono inferior que encierra los eventos pasados,
- los eventos fuera de los conos se propagarían a velocidades mayores que la
velocidad de la luz y por consiguiente no nos afectan. Son eventos virtuales para
nosotros!
- Sobre el plano (x,y) suceden los eventos del presente, relativos a este instante
que vivimos.
Causalidad:
Einstein hizo las siguientes reflexiones causales de los posibles eventos
representados en el cono de luz: lo que ocurre en la zona-futuro puede tener una
relación causal con lo que ocurre ahora (punto O) y lo que ocurre en este punto,
puede a su vez, ser efecto de una causa de lo que ocurrió en la zona de eventos
pasados. El pasado se compone de todos los sucesos que pueden ser causas de los
efectos que observamos ahora, en este lugar y tiempo del espacio R4. Tenemos una
43

línea de universo en el espacio tetradimensional (t , r ) situada dentro del cono de
luz con un pasado, un presente y un futuro.
Línea y velocidad de universo:
En la mecánica de Newton las coordenadas de posición de la partícula
X ( ), Y ( ), Z ( ) dependen de un parámetro que generalmente es el tiempo, pero
no necesariamente; en relatividad especial ese parámetro es generalmente el
tiempo propio.
Entonces en relatividad especial se define la velocidad de la partícula a lo largo de
una línea de universo como U ( ) 
dX 
,    X , Y , Z , ct
d
¿Qué relación existe entre la velocidad espacial y la velocidad ligada a la línea de
universo?
U  ( ) 
dX  dt
1

 v 
,  U 4   .c,  U j   .v j ,
dt
d
1  v2 / c2
Este resultado será utilizado cuando se pase al estudio dinámico del movimiento de
la partícula.
Invariante de Lorentz.
Sea dos eventos en (L) que son :  1 x, y, z, ct ,   2 x  x, y  y, z  z, c(t  t ).
Se define el intervalo espacio-temporal entre los dos eventos en (L) así:

(1,6.2d)
S 2  c 2 t 2  (x) 2  (y) 2  (z ) 2  c 2 (t ) 2  (r ) 2 ,

y en (S) así  S  2  c 2 t  2  (x) 2  (y ) 2  (z ) 2  c 2 (t ) 2  (r ) 2
En palabras, es la diferencia entre el cuadrado de la separación temporal de dos
eventos A y B y el cuadrado de su separación espacial.
Si en la segunda ecuación se remplazan las cantidades primadas por las no
primadas, empleando las T.L, se encuentra el resultado importante siguiente:
 S 2  S  2 ,
(1,6.2e)
Los intervalos espacio-temporales entre dos eventos A y B medidos por los
observadores O y O’ ubicados respectivamente en los referenciales inerciales L y S,
poseen valores iguales, es decir que S 2 es una invariante bajo las
Transformaciones de Lorentz: se llama “invariante de Lorentz”.
Este es un concepto de “invariancia” importante; el invariante está ligado a una
característica propia del fenómeno o sistema físico. A algo que se conserva.
Hay que resaltar un hecho:
S 2 puede tener un valor positivo (>0), negativo (<0) o nulo. En la geometría
euclidiana el cuadrado de la distancia entre dos puntos siempre es positivo. Por
consiguiente la geometría del espacio cuadridimensional de la relatividad no es
euclidiana. Se examinan muy brevemente esos casos:

i) Cuando S 2  0 es porque (ct ) r : se habla de intervalo temporal o
temporaloide. De esta situación se desprenden la siguiente consecuencia:
44
Supóngase que un observador recorre el intervalo de camino r en un intervalo
r
 c . Si se remplaza este valor en la
t
ecuación 1,6.1g se obtiene el resultado importante r   0 : o sea que para el
de tiempo t ; su velocidad vale V 
observador O’ los dos eventos ocurren en el mismo punto espacial. Es un evento
que se representa por un punto en el plano del diagrama t , X , Y  del cono de
luz y sólo hay variaciones en eje de los tiempos.

ii) Cuando S 2 0 es porque (ct ) r : se habla de intervalos espacialoides. En
estos intervalos los eventos respectivos tendrían que desplazarse más rápido
que la luz para alcanzarse: están separados en el espacio más no en el tiempo
(misma altura en el eje de los tiempos). Un ejemplo: supóngase que una
estrella, situada de la Tierra a una distancia de tres millones de años luz, hizo
explosión hace 200.000 años. Como ninguna señal o información puede viajar
más rápido que la luz nuestros astrónomos no podrán enterarse de ese evento.
Será tan sólo un hecho posible o hipotético.

iii) Cuando S 2  0 es porque (ct )  r : se habla de intervalos luminoides o de
luz. Los eventos se desplazan con la velocidad de la luz, es decir son fotones. En
este caso esos eventos se ubican sobre la superficie del cono de luz en el
diagrama t , x, y .


Nota:
Referente a lo que se acaba de exponer se pueden plantear las siguientes
preguntas:
- ¿Existe un referencial S’ en el cual dos eventos ocurran en el mismo punto, es

decir que (r ) 2  0 ? Según (1,6.2d) en este caso se tiene  S 2  0  son eventos
“temporaloides”.
El intervalo de tiempo entre los dos eventos observados en S’ vale  t 
-
S
c
También se puede formular la pregunta: ¿Existe un referencial S’ en el cual los
dos eventos ocurran al mismo tiempo, es decir, en el cual  t  0 ? En este caso

queda  S 2    r 2 : el intervalo entre los dos eventos en S’ tiene un valor
imaginario. Se habla de “intervalos espacialoides”.
1,6.3 – Transformación de velocidades y aceleraciones:
Las transformaciones de Lorentz para las componentes de la velocidad se obtienen
a partir de (1,6.1d) y de la definición de la velocidad v 'j  (dX ' / dt ' ) . Se calculan las
diferenciales dX’ y dt’ por aparte y luego se hace el cociente. Es fácil comprobar que:
45
 ' dX ' v X  V

v x 
dt '


 ' dY ' vY
, con 

v y 
dt ' 

 ' dZ ' v Z

v z 
dt ' 

 

'
V
.v 

v

(
v

V
)

//
 ' //
,    1  2 , 1,6.3a)
 (1  Vv x / c 2 ) ,   
c
 v  v  / 
Las ecuaciones de la derecha son vectoriales; el
 signo // corresponde a las
velocidades paralelas a la velocidad relativa V de traslación entre los dos
referenciales ineciales,
mientras que  corresponde a las velocidades en dirección

perpendicular a V .
Transformaciones de Lorentz para aceleraciones:

dp
La expresión más general de la segunda ley de Newton se escribe F 
; en ella
dt

interviene la derivada del momento p y no la aceleración, es por esto que en
relatividad especial se recurre más al “momento lineal” que a la variable
aceleración.
En seguida se hace referencia a las expresiones de las trasformaciones de Lorentz
para las componentes de la aceleración.
Se consideran dos referenciales inerciales (L) fijo y (S) móvil y se calculan
respectivamente las diferenciales
dv x dv y dv z
,
,
dt dt dt
de las componentes de la
velocidad utilizando las expresiones de las transformaciones de Lorentz de dichas
componentes (1,6.3a). Se calcula además la derivada dt. Se encuentra para la

dv 'x
1
 dv x  2
 (1 + Vv x / c 2 ) 2 ,por consiguiente se tiene:
componente-x: 
Vv
 dt    1  2 x  dt'


c 
dv x
a 'x
1
ax 
 3
. De igual manera se calculan las componentes a y y a z
dt
 
Vv 'x 
1+ 2 
c 



a 'y
a 'x v 'y V / c 2 
a  1 


 y  2  1 + Vv ' / c 2  2 1 + Vv ' / c 2  3 
x
x

,
Se encuentra: 
'
'
2
'


a xvyV / c
az
1



2
 a z   2 
'
2
'
2 3
1
+
Vv
/
c
1
+
Vv
/
c





x
x


(1,6.3b)
Se encuentra que las ecuaciones de transformaciones
 de las componentes paralela y
normal de la aceleración respecto a la dirección de V son:
 a //    /  3/ 2  a/' /


 ' V

Vv 'x  ,
  


a



/

a


(
a
'

v
')
,
con

=
1
+
   c

2 

c





(1,6.3c)
46
Comentarios:
La trasformación inversa para la componente-x de la velocidad vale:
Vx 
Vx 'v
.
1  vVx ' / c 2
- Si en esta ecuación se hace Vx '  c , resulta que Vx  c . Este resultado se
interpreta así: si un corpúsculo alcanza en (S’) la velocidad c de la luz, también la
alcanza en (S): es consecuencia de la invariancia de la velocidad de la luz en el
vacío.
- Si se toma ahora Vx '  c , entonces Vx  Vx 'V que corresponde a la
transformación de Galileo.
- El valor de V x se puede expandir en serie de Taylor así:
Vx  (Vx 'V )(1 
V x 'V
Vx2V VxV 2
c
1
 n;  V x  V x '(1  2 )V
)

...
V
'

V

 2  ... i
x
2
2
Vx
n
c
c
c
Este resultado lo derivó Fresnel al calcular el valor de la velocidad de la luz en un
medio óptico que se desplazaba con una velocidad V y arrastraba el éter.
Preguntas de repaso de relatividad especial:
1- Comprobar que el determinante de la matriz de Lorentz vale 1.
2- Calcular las expresiones de las coordenadas  X , Y , Z , t  en función de las
coordenadas  X  , Y  , Z  , t   .
3- Calcular las valores de las expresiones de las coordenadas de las velocidades
( v , v , v ) en función de las componentes ( v  , v  , v  ) .
x
y
z
x
y
z
4- Deducir la invariancia de Lorentz para intervalos espacio-temporales entre
eventos: dS12  dS 22 .
5- ¿En qué condiciones dos eventos que no son simultáneos para el observador en
el referencial (L), lo son para el observador situado en O’ del referencial S?
6- Deduzca la ecuación de Fresnel  V x  V x ' (1 
1
)V n2
7- ¿Existe algún referencial en el cual dos eventos ocurran al mismo tiempo? ¿En
que condiciones se puede dar esa situación?
47
Ejercicios 1,2 (Referentes a los temas de la primera):
1- Respecto a la figura 1,11 los puntos O y A son fijos mientras que el punto M es
móvil sobre el plano (X,Y).
Y
a) ¿Cuántos grados de libertad tiene M ?
b) Posicione la partícula M con la ayuda de las
M(x,y)
y1


coordenadas (1 ,2 , r1 , r2 ) .
r2
r1
c) Determine las expresiones de transformación
del sistema de coordenadas bipolares en el
1
2
X
sistema de coordenadas cartesianas.
O
A
x1
d) Si el contorno del triángulo OMA permanece
Figura 1,11
constante, ¿cómo se mueve el móvil M?
2. Un sistema de coordenadas ( x i ) rota respecto a otro sistema de coordenadas

fijo ( xi ) con una velocidad angular   2iˆ  3 ˆj  5kˆ. La posición de una

partícula, medida desde ( x i ) viene dada por  r  eˆ1 sent  2eˆ2 cos t  eˆ3 e t .
Determinar las expresiones en función del tiempo t, de la velocidad y de la
aceleración vista desde el referencial ( x i ) y desde ( xi ) .
3. Un
sistema
de
coordenadas

gira
( x *j )
alrededor
del
eje
z
con
  eˆ1 cos t  eˆ2 .sent , relativa al sistema fijo (xj). El origen del sistema ( x *j ) se

ubica respecto al origen de (xj) mediante el vector posición R (t )  iˆt  ˆj  kˆt 2 .

La posición de una partícula respecto a ( x *j ) es r  (3t  1)eˆ1  2teˆ2  5eˆ3 .
Determinar los valores de la velocidad y de la aceleración aparentes y

verdaderas. Misma pregunta para la aceleración a .
4. La longitud de una nave espacial en movimiento es la mitad del valor de su
longitud propia. ¿Cuál es la velocidad relativa de la nave respecto a un
observador situado en la tierra?

5. Un electrón que está sometido a la acción de un campo eléctrico E y de un

campo magnético B , uniformes y constantes, posee una aceleración dada por:

  

a  (q / m) v xB  E . Se supone que B tiene la dirección del eje –z:
a) determine las componentes
de la aceleración en coordenadas cartesianas y

cilíndricas suponiendo E / / oy .




b) suponga ahora que E es paralelo a B ; determine las componentes de la
aceleración como en a).

6. El vector de posición de una partícula es r = (a.cost) iˆ + (b.sent) ĵ
a) Calcule la velocidad y la aceleración correspondientes.
b) ¿Cuál es la forma de la trayectoria descrita por la partícula?
7. Un reloj que se desplaza con una velocidad v = 0,5c indica t* = 0 mientras que
el reloj del observador O en reposo, marca t = 0. ¿Cuál es el tiempo que marca
el reloj en reposo cuando el reloj en movimiento indica 60s?
8. Sea un referencial (S) que rota respecto al referencial inercial (L) con una velocidad angular

 de componentes 1 = 2, 2 =-3, 3 = 4. Los orígenes de los dos referenciales coinciden.
El vector de posición de una partícula respecto a (S) es:

r (t )  eˆ1' sen 2t  eˆ2' cos 2t  eˆ3' .e 2t .
a) ¿Qué forma tiene la trayectoria respecto a (S)?
48
b) Determine la expresión de la velocidad de la partícula observada desde el
referencial (L) y luego desde el referencial (S).
c) Igual pregunta que en o) para la expresión de la aceleración.
9.. Calcule las transformaciones de Lorentz para la aceleración. Suponga que al
instante de la medición, la partícula está en reposo respecto al referencial

inercial S’. ¿Qué concluye usted de esas ecuaciones? Hay invarianza de a ?
10. Una varilla de longitud Lo se encuentra en reposo en el plano (x’,y’) de su
referencial propio S’. Hace un ángulo  con el eje x’.
Determinar los valores de la longitud de la varilla y del ángulo con respecto al
eje x, medidos desde el referencial del laboratorio. Los dos referenciales
inerciales se desplazan a una velocidad relativa v = 0,6.c .
11. Dos eventos son simultáneos para un observador del referencial del laboratorio.
¿Un observador O’ ubicado en otro referencial inercial S’ observará
simultaneidad para esos eventos? Explicar.
12- Un avión supersónico vuela a una velocidad de 3.500 Km/h. Determinar en
cuanto se ve contraída su longitud desde un referencial inercial ligado a la
Tierra. ¿Es que se puede hablar de sistemas de referencial inercial sobre la
Tierra? Explicar.
49
II- Principios fundamentales de la dinámica newtoniana.
2.1. Fuerzas en mecánica clásica.
2.1.1- Interacciones, fuerzas y espacio físico.
Después de observar y analizar el movimiento de una determinada partícula, en el
espacio y en el tiempo, de caracterizarlo por una trayectoria (C) geométricamente
bien definida, a la cual se asocian la velocidad y la aceleración de la partícula,
surge la pregunta: ¿cuál es la causa que origina dicho movimiento en la forma en
que se da?
En esta segunda parte se adiciona al estudio del movimiento de la partícula un
nuevo ingrediente: la causa del movimiento. Es un hecho que para poner en
movimiento un objeto, para detenerlo o para cambiar su estado de movimiento se
requiere que algún agente externo actúe sobre él: que lo empuje, que lo arrastre o
que lo detenga. Si se suelta una esfera, ésta es atraída por la fuerza de gravedad
que ejerce la Tierra; si la esfera se acerca a un imán éste la atrae. Todas estas
acciones son “interacciones de un agente externo interactuando sobre la partícula o
el objeto”
Ahora bien, las interacciones que se observan entre partículas, tienen su origen en
alguna de las propiedades intrínsecas de éstas. La atracción gravitacional entre dos
cuerpos A y B se origina en las masas m A y m B que poseen dichos cuerpos o las
partículas que los componen. La repulsión ente dos electrones se debe a la carga

eléctrica negativa e  que posee cada uno. La presencia de un espín neto S en
átomos como el hierro,
el niquel, el cobalto y el cromo los dota de dipolos


magnéticos S   S , siendo  un coeficiente denominado “factor giromagnético”;
éstos dipolos interactúan con los campos electromagnéticos del entorno.
Newton no usó la palabra “interacción” en la mecánica clásica, sino la palabra
“fuerza” que define así: “An impressed force is an action exerted upon a body, in
order to change its state, either of rest or of uniform motion in a right line”.
De acuerdo con este enunciado, la idea de “fuerza” se asocia a la de “causa capaz de
modificar el estado de movimiento de la partícula”. Es un principio de causalidad.
Ahora bien; si el movimiento de la partícula es causado por una fuerza o una
interacción, en el análisis y en la descripción de dicho movimiento deben intervenir,
  
además de las variables cinemática r (t ), v(t),a(t) ,otras variables que de alguna
manera incluyan a las fuerzas o interacciones que causan el movimiento; esas son
las variables dinámicas entre las cuales se mencionan,
otras:
 entre



-el momento lineal p  mv y el momento angular L = r  p ,
2

 
-el trabajo de las fuerzas que actúan sobre la partícula W = f.dr ,
1
1
-la energía cinética E C  mv 2 y la energía potencial que viene siendo un trabajo,
2


-la densidad de corriente eléctrica J  nqv , donde q es la carga eléctrica.
50
Este estudio del movimiento teniendo en cuenta las fuerzas o interacciones se
denomina dinámica.
Conviene añadir que una fuerza puede también producir una deformación del
cuerpo al cual se aplique sin que aparentemente lo ponga en movimiento.
Internamente sí hay desplazamiento relativo de los átomos o de las moléculas que
lo componen: hay un cambio en la configuración de las micropartículas del cuerpo.
De lo anterior se infiere que la presencia, a un instante dado, de una partícula
material dotada siempre de masa y a menudo de carga eléctrica y de espín, altera
físicamente el espacio que la rodea, de tal suerte que cualquier otra partícula que
llegue a su vecindario experimentará esa alteración. En consecuencia el espacio
geométrico no corresponde a una realidad física; podrá, tan sólo, utilizarse como
una abstracción metodológica. El espacio físico es, el espacio-tiempo + la alteración
introducida por las interacciones de los cuerpos físicos que se encuentren en él.
“Interacción - espacio geométrico - tiempo”, se asocian y se correlacionan en el
concepto de “campo de fuerza”; el concepto de campo esta ligado a una región del
espacio en la cual se extiende la acción de una magnitud física. Se hará referencia
al concepto de campo de fuerza o campo de interacción, varias veces.
En esta segunda parte del curso se hace un repaso conceptual y analítico de los
principios fundamentales de la dinámica newtoniana.
2.1.3- Fuerzas e interacciones fundamentales en el Universo conocido:
Para concluir este tema referente a “interacciones y fuerzas”, se examinan,
enseguida, las principales fuerzas que se observan en el universo conocido. Estas
son las llamadas “fuerzas o interacciones fundamentales” que se ejercen sobre las
partículas y sobre los cuerpos materiales para configurar el universo conocido. Esas
interacciones fundamentales son:
1- La interacción gravitacional.
La interacción gravitacional afecta a todos los cuerpos materiales que constituyen
nuestro Universo conocido; su origen se debe a la existencia de masa en las
partículas y en todos los cuerpos materiales constituidos por partículas; no es
posible abstraerse a su acción, la cual es siempre atractiva. La intensidad de estas
interacciones es débil pero de largo alcance. Se expresan por medio de fuerzas y de
energías potenciales como se indica a continuación.
La fuerza gravitacional de Newton que se ejerce entre dos masas m y M en

posiciones r1 y r2 , es bien conocida y se escribe así:
 
F (rij )  K G
mi m j
(r j  ri )
2
2
rˆij ,
(2,1.3a)
Donde r̂ij es el vector unitario en la dirección de la línea de acción que une los
centros de gravedad de las dos masas mi y m j , K G es una constante universal
cuyo valor depende del sistema de unidades utilizado.
En el sistema MKS, K G toma el valor: KG  6,670  10 11 ( N . m2 / kg 2 ) .

La fuerza F (rˆij ) es función solamente de las posiciones relativas de las partículas y deriva de

una función escalar o potencial gravitacional U (rij ) cuyo valor es:
51
  
mi m j

U (rij )   F (rij ).drij  K G
,
rij
 

Por consiguiente se tiene: F (rij )  U (rij ) .
(2,1.3b)
Campo gravitacional:
La presencia de una masa m en un punto del espacio modifica su entorno de tal manera que
cualquier otra masa M que se aproxime experimentará una fuerza de gravedad cuyo valor es
justamente el dado por la ecuación (2,1.3a). Se dice que m crea en su entorno un campo
gravitacional cuyo valor es:


FG
m
G (r )  K G 2 rˆ 
,
M
r
(2,1.3c)

 
La fuerza sobre la masa M vale F  G(r ) M que corresponde al valor de (2,1.3a).
Aplicación: Aceleración de la gravedad terrestre.


¿Por qué a veces se escribe a la fuerza de gravedad como F  mg , siendo g la
aceleración asociada a la fuerza de la gravedad terrestre?
La fuerza gravitatoria que la Tierra, de masa M, ejerce sobre una masa m colocada
a una altura h, muy cerca de la superficie terrestre, vale:

mM
mM
Mm
1
GM
F  G 2 rˆ  G
rˆ  G 2
rˆ  2 m1  2(h / R)  ... rˆ 
2
2
r
( R  h)
R (1  h / R)
R



 GM
 GM 
 2  rˆ1  2(h / R) m  mg ,  F  mg ,  con  g  2 rˆ.1  2(h / R)
R
 R 
R representa el valor promedio del radio de la Tierra considerada como una esfera.,
aunque en realidad es achatada hacia los polos; además hay montañas y hay
profundidades marinas. Ese valor promedio es  R = 6.370.Km.

La cantidad g representa la aceleración de las fuerzas gravedad cerca de la
superficie de la Tierra. Puesto que generalmente se tiene (h / R) 1 , entonces
g
GM
 Constante , si R se considera constante; en caso contrario el valor de g
R2
depende también del valor de R. El valor promedio de g para la Tierra es de
9,8m / s 2 y sobre la Luna el valor de g es 1,67m / s2 Siguiendo un procedimiento similar al anterior se demuestra que el trabajo de la
fuerza gravitatoria sobre una masa m ubicada a una distancia h de la superficie de
la Tierra se escribe U  mgh .
2- Las interacciones electromagnéticas.
La interacción electrostática originada por la presencia de cargas eléctricas q y Q
en reposo tienen una expresión matemática similar a la de la ley de gravitación de
Newton: Se llama, en este caso, fuerza de Coulomb y vale:
 
F (rij )  K C
qQ
rˆij ,
2
(r j  ri )
2
(2,1.3d)
La constante de Coulomb toma el valor, en el sistema de unidades SI (sistema
52
internacional), KC  8,98755  109 ( N . m / C 2 )  9  109 ( N . m2 / C 2 ) .
La letra C representa la unidad de carga eléctrica; se expresa en Coulombios.
La constante de Coulomb se escribe también así: K C 
constante  o tiene el valor: 0  8,85418  10
12
1
4 0
( N . m / C 2 ) , donde la
(C / Nm ) .
2
2
De igual forma que para el caso de interacciones gravitacionales, se tiene:

• Campo eléctrico E creado por la carga q en su entorno y cuyo valor a una distancia r, es:



FC
q
E (r )  K C 2 rˆ 
 V (r ) ,
Q
r
•
(2,1.3e)
El Potencial electrostático creado por la carga q en su entorno vale, a una
distancia r:


q
V (r )   F (r ).dr   K C ,
r

r
(2,1.3f)
La fuerza de Lorentz y las interacciones de espines.
Se demuestra en electromagnetismo que si una partícula de masa m, de carga eléctrica q y que


se desplaza con una velocidad v , es sometida a la acción de un campo eléctrico E y de un

campo magnético B , experimenta una fuerza, llamada “fuerza de Lorentz” cuya expresión es:

  
 
  
F  q( E  v  B)  q( E  E )  E   v  B ,
(2,1.3g)
Esta fuerza es importante en el estudio de la deflexión y aceleración, por campos
eléctricos y magnéticos, de haces de electrones o de otras partículas eléctricamente
cargadas, como ocurre en el microscopio electrónico, en los tubos de rayos catódicos,
en la espectroscopia de masas y en los grandes aceleradores de partículas usados
en los grandes colisionadores de partículas elementales, como el CERN o el
Fermilab.
Obsérvese que en el segundo término de (2,1.3g), la fuerza magnética de Lorentz es

perpendicular, a la vez, a la velocidad de la partícula y al campo magnético B .
Caso particular:

La fuerza magnética es perpendicular a la vez a al campo magnético B y a la

velocidad v de la partícula, por consiguiente la aceleración causada por esa fuerza
es una aceleración normal, o sea a 
v2
, siendo R el radio de curvatura de la
R
trayectoria de la partícula.
Se tendrá, aplicando la segunda ley de Newton:

v2
mv v
qB
. Si B es uniforme y
, R 
 ,  v  R , con  =
R
qB 
m
constante,  también es constante; se denomina “frecuencia giromagnética”.
F  qvB  ma  m
Aplicación numérica:
Supóngase que se trata de un protón sometido a un campo magnético uniforme de
0,5 tesla. La frecuencia giromagnética de giro valdrá:
53
1,6 x10 19 C  0,5T
 4,785  10 7  2 . f ;
1,672  10 27 kg
o sea una frecuencia f = 7,615  10 6  7,615 Mhz (rango de micro - ondas).

La partícula gira en el plano Q, alrededor de un eje paralelo a la dirección del
campo magnético, describiendo un círculo de radio R.

La otra propiedad de las partículas que genera interacciones es el espín S . ¿Cómo
sucede eso?

Como se señaló en el numeral 2.11, al espín S de una partícula,
visto desde un

punto de vista clásico, se asocia un dipolo magnético   S : la partícula estaría
girando al rededor de su propio eje.
Este dipolo interactúa con otro dipolo magnético vecino, a la manera de pequeños
imanes, y la energía de interacción es: U (1,2) 
0  
   
1 . 2  3(  . r )( 2 . r ) .
4


Se recuerda que en los orbitales atómicos los electrones tratan de asociarse por
parejas con espines orientados en sentidos contrarios, de tal suerte que el espín
neto del átomo tiende a es nulo. Sin embargo, de acuerdo con las reglas de
distribución de los electrones en átomos, en algunos de éstos el espín neto no es
nulo. Esto sucede en átomos de hierro, cobalto, niquel, cromo, y en algunas
moléculas como el óxido de manganeso
M n O. Son materiales naturalmente
magnéticos.
Comentario:
De la acción de las interacciones electromagnéticas es posible sustraerse, por lo
menos en ciertos rangos de frecuencias, por medio de blindajes metálicos especiales
(mallas o láminas metálicas). De la acción de interacciones gravitacionales, como se
señaló, no es posible sustraerse. Surge la pregunta: ¿cuál será la razón de esta
situación? Indáguese.
Fuerzas de amarre entre átomos y moléculas.
Las fuerzas que unen a los átomos en las moléculas, o a éstas en los materiales
sólidos, se denominan enlaces atómicos y moleculares, según el caso. Tal vez
recuerde algunos de esos enlaces: los covalentes, los iónicos, los metálicos, los
dipolares o fuerzas de Van der Waals y los enlaces por puente hidrógeno. Esas
fuerzas de amarre están ligadas a los estados de espín de los electrones en los
átomos que componen las moléculas. Su origen tiene un carácter electromagnético.
En un cristal como el cloruro de sodio (sal de cocina), los enlaces provienen de las
fuerzas de Coulomb entre los cationes de sodio Na+ y los aniones de cloro Cl-.
La intensidad de las fuerzas asociadas a los enlaces atómicos y moleculares se mide
en electrón-voltios (eV) que es una unidad de energía equivalente a la energía
cinética que adquiere un electrón acelerado por una diferencia de potencial de 1
voltio. Los enlaces covalentes, iónicos y metálicos tienen energías del orden de 3 a
12 eV mientras que la energía asociada a los otros enlaces es del orden de 0,1 eV o
menos.
Ordenes de magnitudes: Relación entre la intensidad de las interacciones
gravitacionales y las interacciones electrostáticas.
54
Si se comparan las intensidades de las fuerzas gravitacionales y las electrostáticas
para el caso de dos protones de carga eléctrica + e y de masa mp, situados a una
distancia r el uno del otro, se encuentra de acuerdo con (2.1.2a) y (2,1.3d) que:
FG K G m p


 10 36 , ¿Qué se puede concluir?
FC K C
e
3- Interacciones nucleares:
No podemos dejar de hablar de las interacciones nucleares sin referirnos a las
partículas elementales.
Recordemos muy brevemente que se clasifican, según el valor del espín en:
a) Los bosones que son partículas con espín cuyo valor es 0 o par, como los
fotones. Estas partículas son mediadoras en ciertos tipos de enlaces.
Obedecen a la estadística física llamada de Bose-Einstein.
b) Los fermiones que son partículas con valores de espín semi-enteros, como los
electrones y otras muchas partículas elementales. Obedecen a la estadística
física de Fermi-Dirac.
Existe esta otra clasificación general de las partículas elementales asociada con la
estructura interna de éstas:
a) Los hadrones que son partículas con estructura interna constituida por
quakz, por ejemplo el protón consta de tres quarkz: dos “up-u” y uno “downd”. En este grupo están el neutrón, las partículas  0 ,   ,   ,   ,   , etc.
b) Los leptones son partículas que no poseen estructura interna como el
electrón, el muón, el tauón, y los neutrinos..
Las propiedades intrínsecas de estas partículas son las que generan todas las
interacciones del universo.
A nivel atómico, los núcleos atómicos son sistemas constituidos por protones y
neutrones, ambos llamados “nucleones”. Algunos núcleos atómicos pueden poseer
más de 200 nucleones. Las energías de amarre entre los nucleones son muy
grandes.
Los protones poseen una masa mp  1,6725  1027 kg , una carga positiva e+ y espín
I = ½ , mientras que los neutrones no poseen carga eléctrica (son neutros), su espín
vale también In = ½,; su masa tiene un valor parecido a la del protón. Los
nucleones, como se mencionó, están compuestos por “quarkz”.
¿Cuáles son las fuerzas que unen tan fuertemente a los protones y neutrones en el
núcleo atómico? Hay que descartar las interacciones gravitacionales por ser muy
débiles y también las electromagnéticas porque los protones se repelerían
fuertemente a tan cortas distancias, y los núcleos resultarían inestables. Fue
entonces necesario pensar en otras fuerzas de naturaleza diferente a las anteriores:
las fuerzas nucleares que pueden caracterizarse así:
a) Los experimentos de colisiones entre partículas nucleares y la desintegración de
algunos átomos, demostraron que las energías asociadas a las fuerzas de
amarre nucleares poseen valores del orden de los Mev o los Gev (mega y giga
electrón-voltio:).
b) Estas fuerzas nucleares tienen una acción de corto alcance, o sea que actúan a
muy cortas distancias y no pueden expresarse por ecuaciones en 1/r 2; conviene
recordar que los radios nucleares son del orden de 10-15m (esta unidad de
55
longitud se llama “Fermio”).
c) Las fuerzas nucleares dependen, además, de la orientación relativa de los
espines de los nucleones.
d) A muy cortas distancias aparece una repulsión entre los nucleones; se habla de
“repulsive core”. La curva de la energía potencial que corresponde a las fuerzas
de amarre entre los nucleones, tiene el perfil que se muestra en la figura 2,1.
En 1935 el físico Japonés Hideki Yukawa propuso una teoría para tratar de
explicar los perfiles de las fuerzas de los enlaces nucleares basada en el
intercambio, entre nucleones, de “unas partículas elementales” parecidas al fotón
(que tiene espín nulo), descubiertas en 1937 y denominadas “mesones ”, 207 veces
más pesados que los electrones; se encontró, sin embargo, que su interacción en los
núcleos era demasiado pequeña; otros mesones fueron identificados en 1947, los
cuales respondieron mejor a la teoría de Yukawa; fueron llamados “mesones ”,
cuya masa se encontró que valía unas 273 veces más que la masa en reposo del
electrón. Estas partículas se denominan “partículas mediadoras de interacción o de
amarre”.
Yukawa propuso la siguiente expresión matemática para el potencial asociado a las fuerzas de
amarre de los nucleones: U (r )  Fo ro
e r / ro
r
,
(2,1.3h)
La constante ro está en el rango de valores de las dimensiones nucleares. Fo es la
intensidad de la fuerza nuclear. Estas son constantes empíricas (ver gráfico 2,1).
Las interacciones fuertes actúan sobre los quarkz y se ejercen a través de los
gluones para formar protones, neutrones y otras partículas. Los gluones son
corpúsculos similares a los fotones, no tienen masa en reposo pero sí tienen espín
entero: pertenecen al grupo de los “bosones” y representan el aspecto corpuscular
de las interacciones fuertes, así como los fotones lo son para las interacciones
electromagnéticas.
Las interacciones débiles actúan sobre los quarkz y los leptones. Pueden
transmutar un quarkz de u a d y viceversa por ejemplo en la reacción de
decaimiento-: n  p  e     0,783Mev
Los corpúsculos mediadores de las interacciones débiles son los bosones W  ,W  , Z .
El alcance de acción de estos corpúsculos es del orden de 10 18 m .
U(r)
Interacción de Coulomb
Enlace p-p
O
ro
r
Enlace n-n
: Perfiles de los potenciales de
enlaces nucleares .
Figura 2, 1
Actualmente se considera otra interacción a nivel de las partículas elementales: la
interacción de Higgs asociada al campo másico de Higgs que se supone llena el
56
espacio, limitando el alcance de las interacciones débiles e interactuando sobre los
quarkz y los leptones para dotarlos de masa. Se evidenció su existencia en Julio del
2012 en el Gran Colisionador (LHC) del CERN (Consejo europeo de investigaciones
nucleares situado cerca de Ginebra- entre la frontera de Suiza y de Francia). Esta
evidencia ocurrió a 126 GeV (Giga-electrón voltios).
En el anexo 2,1 se presenta un resumen de la clasificación actual de las partículas
elementales y de sus correspondientes propiedades.
Conclusiones:
Se ha introducido, en este numeral el concepto muy general de “interacción”,
haciéndose énfasis en ello con el propósito de ir proyectando así, una visión
panorámica amplia de los conceptos más fundamentales de la física actual.
En mecánica, las interacciones son, como ya se dijo, las causas que modifican los
estados de reposo o de movimiento de las partículas y de los cuerpos que los
componen. Pueden corresponder:
a) al concepto clásico de fuerza que se encuentra en los textos de mecánica general,
b) al concepto de campo de fuerza, ya sean éstos gravitacionales, electromagnéticos
u otros; es un concepto más general pero a la vez más abstracto.
c) a “fuerzas de contacto”, que intervienen, por ejemplo en los procesos de choques
entre cuerpos macroscópicos o cuando se empuja un objeto.
d) al concepto de interacción por intercambio muto de corpúsculos bosónicos como
el fotón y los gluones (partículas compartidas).
El universo conocido, que está constituido por partículas y cuerpos compuestos por
éstas, se halla sumergido en el espacio físico que es “espacio-tiempo +
interacciones”. De esta manera lo concibió Einstein en la Relatividad General; las
interacciones gravitacionales no se tratan como “fuerzas” sino como curvaturas o
deformaciones del espacio-tiempo debido a la presencia de las masas, las cargas
eléctricas, el espín, etc. El espacio deja de ser euclidiano y se transforma, por
ejemplo en un espacio de Gauss. Debido a esas distorsiones del espacio-tiempo las
partículas se mueven sobre líneas de universo. Es un modelo que da una visión más
compleja y tal vez extraña para nuestra concepción tradicional del universo.
INTERACCIONES FUNDAMENTALES Y PARTÍCULAS MEDIADORAS.
Intensidad
relativa,
respecto a N.F
Radio de
acción
Nuclear fuerte
Electromagnética
1
10-3
Nuclear débil
Gravitatoria
Interacción a la cual
se refiere
Partícula
Partículas que
Interaccionan
10-15
infinita
gluón
fotón
10-8
10-17
10-40
infinita
bosones
vectoriales
W  ,W  , Z 0
gravitón
hadrones
con carga
eléctrica
todas
mediadora o
de intercambio
todas
57
Conclusión:
No podemos hablar de interacciones en nuestro universo sin referirnos a las
partículas elementales, constituyentes primarios y fundamentales de todos los
objetos y cuerpos de éste.
A nivel de la Tierra la materia ordinaria contiene, al estado estable, dos leptones: el
electrón y el neutrino electrónico y los quarkz u y d. La radiación cósmica contiene
otras partículas.
Con los descubrimientos de la materia oscura y de la energía oscura podemos
pensar que existan otras clases de fuerzas fundamentales generadas por
propiedades intrínsecas de partículas aún no descubiertas.
Lectura: Tema para despertar interés de indagación: una breve
visión del Universo físico:
En el estudio del movimiento macroscópico de los objetos de nuestro entorno
conviene hacer alguna referencia al universo del cual forma parte el planeta Tierra,
donde estamos ubicados.
Las preguntas sobre el origen del universo, su composición, su dinámica o sea cómo
y por qué evoluciona como aparece, su destino futuro, han llevado a la construcción
de una nueva teoría: “la cosmología física del Universo” cuyo desarrollo moderno se
ubica en los comienzos del siglo XX gracias, en especial, a la teoría de la relatividad
general de Einstein publicada en “The proceedings of the Prussian Academy of
Sciences - 1915”, la cual sirvió de marco de referencia a los modelos físicomatemáticos del universo que se elaborarían luego.
¿Cómo es el universo que conocemos?
- Para Einstein el universo era uniforme e isótropo a muy grandes escalas; esto
constituyó el llamado “principio cosmológico” pero era además esférico y estable.
- Pero las fuerzas gravitacionales siendo atractivas, llevarían el universo a una
contracción y al colapso. Einstein admitió entonces la existencia de una fuerza
gravitacional de repulsión que contrarresta la fuerza de atracción, de donde
resultaría un equilibrio estático del universo. A esta fuerza la llamó “constante
cosmológica lamda”.
- En 1922 y 1924 el físico ruso Alexander Friedmann publicó soluciones de las
ecuaciones de la relatividad general de Einstein las cuales correspondían a un
universo en expansión, resultado opuesto al modelo estático de Einstein.
Las numerosas observaciones y mediciones del astrófísico Edwuin Powell Hubble
lo llevaron a concluir que los astros extragalácticos y las galaxias se alejaban de
la Vía Láctea con velocidades proporcionales a distancia observada entre ellas.
Este resultado se llama “ley cosmológica de Huble” (1929), la cual se concreta en
esta ecuación: v  H. D , donde:
- v es la velocidad de alejamiento de la galaxia observada (Km/s),
- D es la distancia a la cual se observa la galaxia (en unidades Megapc),
- H es la constante cosmológica de Hubble.
Usando recientes observaciones obtenidas por los grandes telescopios del Planeta
y por las sondas espaciales, se han encontrado, para la constante de Hubble, los
siguientes valores: 71  4 Km/s/Mpc .
Y ¿Cuál fue el origen del universo?
El astrónomo belga George Edgard Lemaítre propuso una teoría según la cual el
universo se inició en un “átomo primigenio” o un “cuanto de energía”. Estas ideas
condujeron a la teoría del “Big Bang” u origen del universo como resultado de una
58
gran explosión a partir de un núcleo de energía muy intensa, que desde un punto
de vista matemático corresponde a “una singularidad cósmica”.
El universo se comenzó a constituir a partir de fotones y de partículas elementales.
Esta teoría fue reforzada por el descubrimiento del llamado “ruido de fondo de
microondas proveniente de galaxias muy lejanas RFM (Arno Penzias y Bob Wilson
- laboratorios de la Bell Telephone). Se concluyó que esas RFM eran radiaciones
que escaparon del Big Bang cuando los productos de esa gran explosión se
volvieron permeables a los fotones. Análisis de estos datos y cálculos teóricos han
llegado a estimar que la edad del Universo, desde la explosión del Big-Bang, es
aproximadamente 13.700 millones de años.
¿Hacia donde evoluciona el universo? Lo que se sabe es que sigue expandiéndose en
forma acelerada. ¿Habrá una contracción, un Big-Crunch para retornar al BigBang? ¿Seguirá indefinidamente expandiéndose? Es tema de reflexiones, de
cálculos y de observaciones astronómicas, astrofísicas, satelitales de galaxias,
quazares, supernovas, agujeros negros, etc, y también de especulaciones teóricas y
hasta filosóficas y religiosas.
Materia y energía oscuras:
En 1998 se publicó el descubrimiento de la energía oscura que es una forma de
energía desconocida que nos rodea, se extiende por doquier en el universo y lo
arrastra, así como su contenido, en un proceso de expansión. Se ha estimado que su
densidad es del orden de 10  26 kg / m3 (¿cuántos átomos de hidrógeno por m3?). Esa
densidad tan pequeña no afecta los sistemas locales, pero sí arrastra al universo
hacia la expansión continua porque contrarresta la acción atractiva de la gravedad
que se ejerce dentro y fuera de las galaxias.
Uno de los hechos a favor de la existencia de la energía oscura ha sido la
observación y el análisis de los cambios en el ritmo de expansión de las galaxias en
particular de las supernovas, aproximadamente después de 6.000 millones de años
del inicio del Big Bang. Han contribuido en particular, observaciones de explosiones
de supernovas – Irregularidades en las imágenes de la radiación del fondo cósmico
de microondas – Distribución de las galaxias según determinados patrones. Imágenes múltiples dadas por lentes gravitatorias – La evolución de las masas de
cúmulos galácticos observadas por rayos-X.
Las teorías actuales consideran además la existencia de dos formas de materia: la
materia bariónica constituida principalmente por partículas que interaccionan con
las radiaciones electromagnéticas como los protones y neutrones y la materia
oscura constituida por partículas que no interaccionan con las radiaciones
electromagnéticas, tienen masa y por lo tanto están sometidas a la acción de la
gravedad, pero no son detectadas, por los instrumentos disponibles. Su presencia se
detecta cuando se observan y analizan fenómenos como la anisotropía de las
radiaciones de fondo, la desviación de radiaciones por las enormes masas de las
galaxias. Las primeras pruebas de su existencia las halló el suizo Fritz Zwicky
(1933- en Caltech USA) al comparar los valores de los cálculos de la masa del
cúmulo de galaxias Coma, que realizó por dos métodos diferentes. Los valores
encontrados diferían en un factor de 400. La materia oscura puede contener
neutrinos y axiones; puede además, existir en planetas no conocidos y nubes
gaseosas que no son luminosas.
La composición del universo conocido sería, en porcentajes de materia y energía, la
siguiente: 23% de materia oscura, 72% de energía oscura y 5% de materia
bariónica.
¿Qué llegarán a hacer los seres humanos cuando dominen la materia oscura?
59
2.2 Variables dinámicas para una partícula.
Fuerzas y trabajo – Fuerzas conservativas.
2.2.1
La «fuerza» puede ser considerada como una forma operacional de medir una
interacción.
Una manera simple de relacionar la fuerza con la energía es a través del concepto
de trabajo:

Si bajo la acción de una fuerza F una partícula P de masa m se desplaza desde la
posición (1) hasta la posición (2), dicha fuerza produce un trabajo o efecto mecánico
que por definición se expresa matemáticamente así:
2 
2

W   F .dr    Fi dX i
(2,2.1a)
i
1
1
donde F j y dX j son las componentes, en un referencial cartesiano, de la fuerza


F y del desplazamiento infinitesimal dr . Hay que tener presente que en el caso

más general, la fuerza puede depender explícitamente
de la posición r , de la


 
velocidad v de la partícula y del tiempo t, es decir F (r , v, t) . El lector conoce, sin
duda, ejemplos de estas situaciones.
Ejemplos de cálculo del trabajo.
Se muestran, a continuación, algunos ejemplos del cálculo del trabajo de fuerzas
familiares al lector:
a) Fuerza restauradora o elástica de un resorte: de acuerdo con la ley Hooke la
expresión de la fuerza elástica de un resorte, en el caso unidimensional, es
F   kX , donde k es la “constante elástica del resorte”. Si el resorte se alarga
desde una longitud X1 hasta una longitud X2 , el trabajo realizado por esta
2
fuerza vale:  W(1,2) =
1
La función escalar V ( x) 
resorte”.
1
 kX.dX  2kX
2
1

1 2
kX 2  V (X 1 )  V (X 2 ) ,
2
(2,2.1b)
1
k x 2 se denomina “energía potencial elástica del
2
b) Fuerzas de fricción. Estas fuerzas son muy comunes en la vida diaria. Cuando
la partícula se mueve en un fluido, el valor de la fuerza de fricción es
generalmente proporcional a la velocidad de la partícula pero está dirigida en


dirección opuesta y se puede expresar así: F  av . El trabajo realizado por esta
fuerza sobre la partícula es:
2
2
2
2
  
2a  1 2 
2a
2
W (1,2)   F ( v).vdt = a  v dt 
E dt
 mv  dt 

m 1  2
m 1 c
1
1
1
donde la cantidad E C  mv 2 representa la variable dinámica denominada
2
“energía cinética de la partícula”. Se concluye que el valor del trabajo de la
60
fuerza de fricción es proporcional a la variación de energía cinética entre las
posiciones (1) y (2):  W12 
2a 2
.  EC .
m
c) El trabajo de fuerzas conservativas – Energía potencial.
Existe un caso particular importante de fuerzas. Cuando éstas dependen
únicamente de la posición de la partícula, el valor del trabajo es una función
escalar que solamente depende de la posición de la partícula, como puede
observarse en caso del oscilador armónico (2,2.1b). En este caso el trabajo de la
 
fuerza F (r ) a lo largo de una trayectoria cerrada es nulo puesto que su valor
sólo depende de las posiciones inicial y final de la partícula, las cuales
coinciden. Esta situación se expresa matemáticamente así:


→ W  F (r ).dr  0 ,
(2,2.1c)

La partícula no pierde ni recibe energía del trabajo de la fuerza cuando se
desplaza sobre la trayectoria cerrada. Se dice, que la fuerza es entonces
conservativa. El valor del trabajo de fuerzas conservativas no depende sino de
las posiciones inicial y final de la partícula, no del camino recorrido.
Otras consecuencias matemáticas ligadas a (2,2.1c) son las siguientes:
a)
Si se aplica el teorema de Stokes a la integral de línea cerrada (2,2.1c) se
 
obtiene el resultado   F  0 : la fuerza conservativa no es rotacional. No
produce torbellinos ni vórtices. Este es otro criterio para saber si una
determinada fuerza es conservativa.
b) Puesto que el rotacional de un gradiente es nulo, se infiere que una fuerza
conservativa es el gradiente de una función escalar V(r), de tal suerte que:
 
 
  

F (r )  V (r )  dV (r )   F (r ).dr ,
(2,2.1d)

La función V (r ) se llama la energía potencial de la partícula. Obsérvese que

según esta definición se puede agregar una constante a V (r ) y el resultado
(2,2.1d) no se altera: el valor de la energía potencial se puede referir a un
determinado nivel de energía.
Ahora bien, según (2,2.1d) se tiene:
2
  
W12   F (r ). dr 
1
2
  dV (r ) V (r )  V (r )  V
1
2
1
 V2 .
1
El valor del trabajo de una fuerza conservativa es igual a la variación de
energía potencial entre las dos posiciones.
En los otros casos se tiene:

- Si F es función del tiempo y de la velocidad de la partícula el valor de W12 en una
trayectoria cerrada, no se anula: se dice que corresponde a un proceso
irreversible; hay disipación de energía desde la partícula hacia el medio
ambiente, o viceversa. La fuerza no es conservativa.

- Si la fuerza F es perpendicular a la velocidad de la partícula, no se produce
trabajo, por consiguiente no se altera la energía total de la partícula.
Pregunta: ¿Se puede afirmar, en ese caso especial, que la fuerza es conservativa?
61
2,2.2- Consideraciones generales sobre las variables dinámicas.
  
Cuando se asocian las variables cinemáticas r , v , a  , que permiten definir el
movimiento de una partícula, a las interacciones  que lo causan, se puede
establecer una ecuación de evolución espacio-temporal del estado dinámico de la


partícula bajo la forma: f r (t ), v (t ), a(t ), t ,   0 ,
(2 .2.2a)
Recordando que las interacciones tienen su origen en algunas propiedades
intrínsecas de la partícula como su masa m, su carga eléctrica q y/o su espín S, la
ecuación (2.2.2a) se expresa de manera más precisa así:


  dr d 2 r

 
f r (t ), , 2 , t , (m, q, s, r , v , t ,..)  0 ,
dt dt


(2,2.2b)
Esta es una ecuación diferencial del segundo orden respecto a la variable de

posición r ( t ) .
Si se conoce la expresión de la interacción, se deduce, por integración de (2,2.2b), el

valor de r ( t ) y por consiguiente la trayectoria, la velocidad y la aceleración de la
partícula, o de manera más general, su “estado de movimiento”. Se dice que (2,2.2b)
es una ecuación de los estados dinámicos de movimiento de la partícula.
  
Si se considera ahora la conjugación de las variables cinemáticas r , v , a  y de las

propiedades intrínsecas de la partícula, que son principalmente ( m, q, s ) , se
obtienen unas nuevas cantidades que hemos denominado “variables dinámicas” de
la partícula y que se presentan a continuación:
2.2.3 - Momento lineal o cantidad de movimiento lineal.

Si se asocian la masa m de la partícula y su velocidad v se obtiene la variable


dinámica “momento lineal o cantidad de movimiento” que se expresa: p  mv .
Esta variable se asocia a su vez, con otra: el impulso lineal, de la siguiente manera:
para poner en movimiento un cuerpo de masa m con una cierta velocidad v (por
ejemplo un carro) hay que “impulsarlo”, es decir, aplicarle una fuerza F durante un
cierto tiempo t; el producto Ft se denomina “impulso”. El impulso incrementa la
velocidad del objeto en una cantidad v = v2 – v1, o sea que produce una variación
en la cantidad de movimiento p = m.v. Igualando causa y efecto se obtiene F.t =
p; es una forma de expresar la segunda ley de Newton que se examinará en
detalle más adelante.
En relatividad especial el momento lineal de la partícula se obtiene multiplicando
la masa de la partícula en reposo por la velocidad de universo, o sea:
m0 vi

  . m0 v1 ,  i  x, y , z
 pi 

1 2
,
(2,2.3a)
p  m0U   
m0 c
 p4 
 mc

1 2


La parte espacial se acostumbra a escribir: p  m(v ). v , resultando un valor para la
m0
 m0 ;    v / C . La masa depende de la velocidad
masa que es: m(v ) 
1 2
de la partícula, situación que difiere de la mecánica newtoniana.
62
2,2.4 - Momento angular – Movimientos de rotación
El
angular orbital asociado a una partícula de masa m se define como
 momento
  

L  r  p = r  mv .
Es un vector axial porque es el producto vectorial de dos vectores polares. Su valor
depende del origen O seleccionado, respecto al cual se define el vector de posición

r (t ) , luego no es estrictamente intrínseco a la partícula.
Se comienza por considerar su derivada temporal.
Se encuentra recurriendo a la segunda ley de Newton, una relación importante:



dL  dp  
(2,2.4a)
r
 r  F  MO ,
dt
dt


M o es el momento de la fuerza F respecto al punto O, origen del vector de posición

r (t ) . Su valor es nulo si el momento lineal es constante en el tiempo, es decir es
una constante de movimiento, o si la fuerza es nula o paralela al vector de posición.

En estos casos el momento angular L se conserva en el tiempo, es decir es una
constante de movimiento. El concepto de “conservación de una variable” es
importante en física, y siempre que se proceda a resolver algún problema dinámico
conviene indagar primero si existen constantes de movimiento; esta información
ayuda a la resolución del problema como se verá más adelante.

De lo anterior y de la definición misma de L , se deduce el siguiente teorema:

Teorema: Si en el estado de movimiento de una partícula L se conserva la

trayectoria de la partícula se encuentra en un plano Q perpendicular a L .
Consecuencias respecto al momento angular:
a) Segunda ley de Keppler:
Supóngase que una partícula de masa m describe una órbita cerrada en el
plano Q bajo la acción de una fuerza de gravedad
que es una fuerza

conservativa; en este caso el momento angular L de la partícula también se
conserva y es perpendicular a Q.


Sea entonces una variación dr del vector de posición r ( t ) ; estos dos vectores
forman entre sí un triángulo de área dA 
1 

r  dr . Si se multiplica y se divide el
2
término de la derecha por la masa m, se encuentra:

1 
1 
dr
1  
1 

dA 
r  mdr 
r  m dt 
r  p dt 
L dt ,
2m
2m
dt
2m
2m

L
1 
Se integra y se tiene: A2  A1 
L t 2  t1 ,   A  ( ).  t  Cte.  t ,
2m
2m
(2,2.4b)
Este resultado se puede enunciar así:
“Las áreas barridas por el vector de posición de la partícula sobre su órbita, en
intervalos de tiempos iguales, son iguales”. Es el enunciado de la segunda ley
de Keppler.

b) Componentes del momento angular L en diversos sistemas de coordenadas:
Se encuentra, de acuerdo con la definición, que las componentes del momento
63

angular L de una partícula, tiene los siguientes valores en los distintos
sistemas de coordenadas:
Lx  Yp z  Zp y ,

i) En coordenadas cartesianas:   L y  Zp x  Xp z ,  Li    ijk X j p k , (2.2.4c)
j ,k

L

Xp

Yp
z
y
x

el símbolo de antisimetría ijk toma los siguientes valores:
= 0 si dos por lo menos de los índices son iguales.
= + 1, si el orden de los índices se deduce por permutación par (123 = 312 = +1)
= - 1, si el orden de los 3 índices se deduce por permutación impar (l32= -1).
Nota:
Las componentes de un producto vectorial se pueden expresar mediante una
relación como la que aparece en (2,2.4c) y corresponde a un vector axial (o a un
tensor del segundo orden en R3, completamente antisimétrico).


 

re r  r.e   r.sen . e , o sea:
ii) En coordenadas esféricas L  r  mv = mr.e r  
 Lr  0,

2
 L  (mr ) sen   rp ,

2
 L  (mr )
(2.2.3d)
Pregunta¿Cómo se puede interpretar físicamente este resultado?
a) Partícula que rota al rededor de un punto fijo.

 
 

 
  
entonces L  r  mv  r  (m  r )  (mr 2 )  mr (r . ) , aplicando una relación del
  
  
  
triple producto vectorial A  ( B  C )  B( A.C )  C ( A.B).


En coordenadas cartesianas r  iˆX  ˆjY  kˆZ ,    iˆ X  ˆjY  kˆ Z de tal suerte
Si la partícula sólo gira con velocidad angular  alrededor de un punto fijo O,
que los valores de las componentes del momento angular de la partícula se pueden
expresar, con respecto al punto fijo O, bajo las formas matricial o tensorial
siguientes:
 Lx   (r 2  X 2 )m
 XYm
 ZXm   x 
 
  
  
2
2
(2.2.4e)
m( r  Y )
 YZm   y   L  I . ,
 L y     YXm


L 
 ZYm
m(r 2  Z 2 )   z 
 z    ZXm

I
donde se denomina tensor de inercia. Sus elementos diagonales se denominan
“momentos de inercia respecto a los ejes X, Y o Z” respectivamente. Los elementos
no-diagonales se llaman “productos de inercia”.
Nota:
Si se aplica la ecuación general (1,4.3h) al

dL  
partícula que gira con velocidad angular  se obtiene:
xL,
dt


vector momento angular L de la
(2.2.4f)
Este resultado se interpreta así: la derivada temporal del momento angular de la

partícula es perpendicular al vector velocidad angular  y al momento angular.
64

L . Ahora bien, esa deriva representa también el momento
de la Fuerza aplicada, según (2,2.4a).
Z
b) Partícula que rota al rededor de un eje fijo.
O’
Se supone que ese eje fijo de rotación es paralelo al

eje z de suerte que la velocidad angular   k̂ ; el
momento angular respecto al origen O, y paralelo al
eje z, toma el valor:






L0  r  mv  (   kˆz )  m(kˆ  r )



 m (   kˆz )  kˆ  (   zkˆ)  (m 2 )kˆ  mz


 L z  L



LZ

L

P

r
O
X
Figura 2.2: Rotación
O
Respecto a un eje fijo
Si el punto O’ (ver figura 2,2) coincide con el origen O, entonces Z = O y la partícula gira en el
plano (X,Y); sólo queda la componente Lz  (m 2 )  I z , donde Iz es el momento de inercia
de la partícula respecto al eje de rotación OZ.
2,2.5 - Energía mecánica.
En el caso de fuerzas conservativas el valor del trabajo está ligado a la energía



1
1 V (r).dr  V1  V2 .En el aso general la fuerza total se
 
pueden descomponer en fuerzas conservativas FC (r ) que derivan del potencial
  

V (r ) , y en fuerzas disipativas Fd (r , v , t ) , por ejemplo las fuerzas de fricción, o sea
  
  
que F  FC (r )  Fd (r , v , t ) , de donde se infiere que el valor del trabajo de la fuerza
2
potencial W 
 
F. dr 
1
total que actúa sobre la partícula entre dos posiciones (1) y (2) es:




 
 
W12  V1 (r1 )  V2 (r2 )  Wd 2 (r2 , v2 , t 2 )  Wd 1 (r1 , v1 , t1 );  Wd 
2


 F . dr
d
1
Este resultado se puede escribir: W2  W1  V1  V2   Q .
Por otra parte
W

2
1
 
F . dr 

2
1

2
dv 
1
 1
m . dr  m v.dv = mv 22  mv12  E C 2  E C1 ,
1
dt
2
2
(2,2.5a)
(2,2.5b)
De las ecuaciones (2,4.5a) y (2,4.5b) se despeja la siguiente ecuación:
E C1  V1  E C 2  V2   Q  H2   Q
(2,4.5c)
La cantidad H  E C  V representa la energía mecánica asociada a las fuerzas
conservativas mientras que  Q es el trabajo de las fuerzas no conservativas que
generalmente corresponde al calor que se desprende o es absorbido por la partícula
o el sistema de partículas debido a las fuerzas de fricción. Cuando existen fuerzas
no conservativas el proceso al cual se somete la partícula no es reversible.
Si no se ejercen fuerzas disipativas sobre la partícula la energía H se conserva:
H  E C  V  H0  Cte . Como se verá más adelante, esta ecuación puede servir de
ecuación de movimiento para la partícula sometida a fuerzas conservativas.
Resumiendo los resultados anteriores, se pueden presentar tres situaciones:
65
a) Si  Q  0  V2  E C 2  V1  E C1  H0  cte , la energía mecánica se conserva.
b) Si  Q  0  V2  E C 2  H0 : la partícula pasa del estado de movimiento (1) al
estado de movimiento (2) cediendo energía mecánica que se puede transforma
en calor.
c) Si  Q  0  V2  E C 2  H0 cuando la partícula pasa del estado de movimiento (1)
al estado de movimiento (2) absorbe energía del trabajo de la fuerza de fricción.
Energía mecánica en relatividad:
¿Cuál es la expresión de la energía de la partícula en relatividad especial?
En relatividad especial la energía y el momento lineal de la partícula se asocian,
como se verá en seguida.
En el espacio R3, el momento lineal relativista de una partícula vale:

 
p  m(v )v 

m0 v
1 2
, o también  p  mo  . v (v / c)  mo  . c ,
(2,2.5d)
Para determinar la energía total de la partícula en relatividad especial se recurre a
la identidad (fácil de verificar)  2   2 2  1 .
Se multiplican los dos miembros de esta identidad por m02 c 4 y se obtiene el
resultado importante: m02 c 4  2 p 2 c 2  m02 c 4 ,  m02 c 4  2 m02 c 4  p 2 c 2 ,
Se utilizó el resultado (2,2.5d).
(2,2.5e)
¿Qué representan cada uno de los términos que aparecen en (2,2.5e)?
i) El término m0 c 2 es constante y se llama “invariante de Lorentz”.
ii) Para saber qué puede representar el término m0 c 2   m0 c 2
desarrolla en serie de Taylor → m0 c 2 1  v 2 / c 2 
 1/ 2
 m0 c 2 
1
1  v2 / c2
se
1
m v 2  ..
2 0
Se concluye que el término m0 c 2  representa la suma de la energía de la
partícula en reposo más la energía cinética, o sea que representan la energía
mecánica total E T , de donde se infiere que pc es la energía cinética de la
partícula.
Se concluye que → E T2  m02 c 4  p 2 c 2 ,
(2,2.5f)
Puesto que m02 c 4 es un invariante relativista para la partícula, la cantidad
E T2  p 2 c 2  m02 c 4 también lo es en un cambio de un referencial inercial (S) a otro
referencial inercial ( S ' ) ; se tendrá entonces la ecuación: E ' 2T  p' 2 c 2  m02 c 4 .
Los resultados anteriores muestran la equivalencia entre “masa y energía” : una
variación m de masa corresponde a una emisión o absorción de una cantidad de
energía  E  c 2  m : es la relación de Einstein, bien conocida.
Aplicación numérica:
¿Determinar a cuántos eV o Julios corresponde la desaparición de 100 g de masa?
Caso del fotón, que no tiene masa en reposo entonces su energía vale según (2,2.4f):
66
E f  pc,  p 
E
. Pero en la teoría cuántica de Planck la energía del fotón vale
c
h
.2   , por consiguiente el momento asociado al fotón vale
2

Ef
2
2
p


 k , donde k es el vector de onda asociado a la partícula,
c
c
 

Se tiene entonces: p  k ,
(2,2.5g)
E f  h 
Aplicación numérica:
Determinar el valor de la energía, el momento y el vector de onda de un fotón de
longitud de onda vale =600 nm (expresar la energía en eV).
¿Cómo es el trabajo en relatividad especial?
El trabajo en relatividad vale: W 
 dp. dt   d (mv).v =  dm.v
 dr
 
2
 
 mv.dv.
Si se eleva al cuadrado el valor de la masa relativista, se obtiene:

v2 
m  1 2   m0 2 , y el valor de la diferencial de esta cantidad es:
c 

2


v2 
2v
v 2  mv.dv
2m. dm 1  2   m2 2 dv = 0  dm 1  2  
 0 , de donde se deduce que
c 
c
c 
c2


c 2 dm  v 2 dm  mv.dv , que es la misma cantidad que aparece en el integrando de la
expresión matemática del trabajo; por consiguiente:
 
 
W   d (mv).v =  dm.v 2  mv.dv  c 2  dm.  mc 2  m0 c 2 ,
(2,2.5h)
Conclusión:
En relatividad el valor del trabajo equivale a la variación de la masa de la
partícula, multiplicada por c2. Se encuentra de nuevo la relación de Einstein.
Por otro lado el trabajo de una fuerza equivale a la variación de energía cinética de
la partícula, por lo tanto se puede escribir:
(2,2.5i)
 Ec  mc 2  m0 c 2  E  m0 c 2 , por consiguiente: E = m0 c 2   Ec ,
¿Cómo se transforman los valores de las componentes del momento y la
energía en una transformación de Lorentz?
t
En relatividad la energía de la partícula vale E  m0 C 2   m0 C 2
, teniendo en

t
cuenta la dilatación del tiempo  
.

dx
Puesto que p x  m0
, se calcula la diferencial dx’ en una transformación de
d
Lorentz, y se tiene:
p x'  m0
dx'
dt 
dt 
 
 dx
 dx

 m0 
V
   m0
 m0V
   pX  E ,


d
d 
d 
C 
 d
 d

(2,,2.5j)
67
Usando de nuevo la ecuación
dt
E
.

d m0 C 2
Las otras componentes del momento quedan así: pY'  pY , pZ'  pZ .
¿Cómo se transforma el valor de la energía en una transformación de Lorentz?
dt
La energía total se escribe: E '  m0 c 2
, pero de las transformaciones de Lorentz
d
 E
dt'
V dx 
 dt V dx 
para el tiempo se tiene:
   2




 , por consiguiente el
2
d
c 2 d 
 d c d 
 m0 c
valor de la energía en el referencial S) es:


dt
  E  Vp x  E ' ,
d
Ejercicio:
E '  m0 c 2
(2,2.5k)
Cálculo de la energía liberada en las reacciones nucleares del Sol.
En lenguaje simple se dice que en el Sol se quema hidrógeno y se produce helio-4.
Se cree que las reacciones pueden ser las siguientes:
H 1  p  H 2  e   ;  H 2 + p  He3 +  ;
 H e3 + He3  He4  2 H 1
La ganancia en masa desde la primera reacción hasta la última es:
4mp  2me
4
27
27
24
22
 m( H )  4. (1,67  10
)  2. (0,91  10
)  6,67  10
 4,5  10
g
e
 m
Esa ganancia de masa  m es equivalente a 49,5 veces la masa en reposo del
electrón la cual corresponde, en energía, a 0,51 Mev. Entonces la energía liberada
por esta reacción en el Sol vale  Q  25,24 Mev
Ejercicios 2,1:
1- Determinar la expresión de la fuerza correspondiente al potencial de Yukawa..
2- Escribir las componentes cartesianas de las componentes del momento angular

de una partícula de masa m que gira con una velocidad angular   2iˆ  3kˆ .
Escribir la expresión del torque que se ejerce sobre la partícula en este caso.
3- Deduzca las expresiones del momento angular de una partícula de masa m en
coordenadas esféricas.
4- Determinar la energía mecánica total de un oscilador armónico. Suponga que
ese oscilador
se mueve en medio viscoso y sobre él se ejerce una fuerza de


fricción Fd  . v donde  es una constante y  el coeficiente de viscosidad.
5- Trace la curva de momento lineal relativista en función de la velocidad de la
partícula. ¿Qué conclusiones deduce?
6- Deduzca la ecuación (2.2.5d).
7- Un electrón se desplaza con una velocidad de 30.000 km/s respecto a un
observador 0 inercial. Calcula los valores de la masa, el momento, la energía
cinética y la energía total del electrón. Exprese el valor de la energía en eV
(electrón-voltios).
8- Un fotón- que tiene una energía 2 Mev, se desintegra en un electrón y un
positrón (electrón positivo). Determinar la energía cinética de cada partícula
resultante de esa desintegración.
9- Calcule el valor del momento de un fotón IR si su longitud de onda vale 660 nm.
¿cuánto vale su energía (expresarla en eV).
68
10- Deduzca las siguientes ecuaciones de transformaciones relativistas para la
energía y el momento lineal de una partícula:
ETotal '   ( ETotal  Vp X );
p' X   ( p x 
V
E );  pY'  pY ;  p Z'  p Z
C2
2.3 - Leyes y principios de la mecánica de Newton para una
partícula.
2.3.1 La ecuación de estado de movimiento de una patícula:
  
Cuando se asocian las variables cinemáticas r , v , a  , que permiten definir el
movimiento de una partícula, a las interacciones  que lo causan, se puede
establecer una ecuación de evolución espacio-temporal del estado dinámico de la


partícula así: f r (t ), v (t ), a(t ), t ,   0 ,
(2.3.1a)
Recordamos que las interacciones tienen su origen en algunas propiedades
intrínsecas de la partícula como su masa m, su carga eléctrica q y/o su espín S, y
dependen de las posiciones relativas de las partículas y variables cinemáticas. La
ecuación (2.3.1a) se expresa en una forma más general así:


  dr d 2 r

 
f r (t ), , 2 , t , (m, q, s, r , v , t ,..)  0 ,
dt dt


(2,3.1b)
Esta es una ecuación diferencial del segundo orden respecto a la variable de
posición.
Dada la expresión de la interacción se deduce, por integración de (2,3.1b), el valor

de r ( t ) y por consiguiente la trayectoria, la velocidad y la aceleración de la
partícula, o de manera más general, su “estado de movimiento”. Se dice que (2,3.1b)
es una ecuación de los estados dinámicos de movimiento de la partícula.
2.3.2- Enunciado de las leyes de Newton – Marco conceptual.
Cuando preguntamos por las leyes y por los principios de la mecánica clásica, la
respuesta se limita generalmente al enunciado escueto de las tres leyes de Newton,
tal como fueron aprendidas en el bachillerato o en los primeros cursos
universitarios de física general. Son formulaciones relativamente sencillas,
traducidas mediante ecuaciones matemáticas de una sorprendente sencillez. No
hay que olvidar que fueron el resultado de numerosos trabajos previos, de
observaciones, de mediciones, de reflexiones y del esclarecimiento paulatino de
conceptos “intuidos” por la experiencia cotidiana de ese entonces, como los de masa,
de espacio, de tiempo, de fuerza, de trabajo. Desafortunadamente la simple
exposición de esos enunciados no permite mostrar y hacer entender todo el marco
conceptual que encierra la teoría de la mecánica newtoniana.
Empecemos por recordar las leyes de Newton en una forma aproximada a la que él
dio en su libro “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (1686).
Ampliaremos luego ese marco conceptual, precisando los límites de validez de esas
leyes.
Primera ley: Todo cuerpo aislado continúa en su estado de reposo o de movimiento
uniforme, a menos que sea forzado a cambiar ese estado por
fuerzas aplicadas a él.
69
Segunda ley: El cambio en el movimiento de un cuerpo es proporcional a la fuerza
motora aplicada, y se realiza en la dirección de ésta.
Hay que recordar que para Newton la palabra movimiento era
sinónimo de cantidad de movimiento, por tal razón esta ley se
expresó por la ecuación

F .T  p , con p  mv ,
(2.3.2a)
Tercera ley: A toda acción corresponde siempre una reacción en sentido contrario;
o, las acciones mutuas entre cuerpos uno sobre el otro, son iguales
pero de sentido opuesto.
Comentarios sobre el marco conceptual de las leyes de Newton:
1. Obsérvese que en estos enunciados se hablaba de “cuerpo”. Los términos
primitivos se han venido precisando y se ha sustituido la palabra “cuerpo” por la de
“partícula”. Más adelante se extenderá la teoría newtoniana a “sistemas de
partículas”, y en especial al cuerpo rígido.
En el enunciado de la primera ley, Newton retomó el principio de inercia de
Galileo: “Todo cuerpo que no está sometido a la acción de fuerzas externas
permanece en reposo o en movimiento con velocidad constante” Esta formulación es
tal vez más esclarecedora. Ese principio se puede enunciar así:
“Toda partícula aislada de toda interacción, permanece en su estado de reposo o de
movimiento rectilíneo uniforme”
Algunos historiadores modernos han demostrado que Galileo no tenía un
entendimiento completo de la ley de inercia, y que la fuente de esta primera ley de
Newton se encontraban probablemente en los trabajos de René Descartes (15961650).
Con alguna frecuencia hemos planteado esta pregunta a profesores de secundaria:
¿Es la primera ley de Newton un caso particular de la segunda ley cuando F = 0 ?;
encontramos un buen porcentaje de respuestas afirmativas. Les planteamos que en
ese caso, la primera ley sobraría porque en una teoría no puede haber redundancia
de principios o de leyes.
¿Qué precisa entonces la primera ley que no lo haga la segunda?
Obsérvese, en primer lugar, que el enunciado más preciso de la primera ley se
refiere a “la partícula aislada o libre” de toda interacción o fuerza; se descarta así el
caso en que se ejerzan fuerzas cuya resultante sea nula.
Luego se habla de “estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme”, lo cual
supone dos cosas: que el observador se encuentre en un referencial inercial S
respecto al referencial S’ de la partícula que se muevan con velocidad relativa
constante y que el tiempo y el espacio son homogéneos; se sabe además que en la
geometría euclidiana la menor distancia entre dos puntos es la línea recta. Estas
reflexiones inducen a pensar que la primera ley presupone un espacio euclidiano,
homogéneo e isótropo.
Se puede concluir pues, que la primera ley de Newton define, tácitamente, el marco
geométrico de la mecánica clásica: es un espacio euclidiano homogéneo, isótropo e
infinito, pero además que el tiempo es uniforme y homogéneo.
70
La primera ley se constituye en una metodología para definir una “unidad de
tiempo”, por ejemplo, el que corresponde a segmentos iguales de una trayectoria
rectilínea uniforme.
La verificación experimental de esta ley supone que seamos capaces de aislar
completamente a la partícula material de toda interacción, condición que en la
realidad es imposible realizar, ya que toda partícula o cuerpo posee por lo menos
una masa y en consecuencia no se puede sustraer a la acción gravitacional en la
cual está sumergido todo el cosmos. Es que, como ya se mencionó, el espacio en que
vivimos no es un espacio “matemático abstracto”, sino un espacio geométrico con
campos de interacciones que lo llenan sin dejar vacíos, los cuales provienen de las
propiedades intrínsecas de la materia.
El físico y filósofo austriaco Ernest Mach revisó cuidadosamente en su libro “La
ciencia de la mecánica” (1883) los conceptos y principios de la mecánica newtoniana
y contribuyó a darles una comprensión más precisa y clara; sus ideas también
ayudaron, desde un punto de vista filosófico, a despejar el camino que iba
conduciendo a la teoría de la relatividad.
2. La segunda ley deNewton se enuncia generalmente de la siguiente manera:
“La fuerza neta F ejercida sobre una partícula de masa m, le imprime un
incremento de cantidad de movimiento o momento lineal, tal que:
 dp 
F
 p ,
dt
(2.3.2b)
Esta forma de expresión matemática de la segunda ley de Newton, se conserva en
relatividad especial, tomando la masa ya no como una constante sino como una
función de la velocidad.
La segunda ley presupone, además del marco geométrico señalado, que el fenómeno
de movimiento sea macroscópico, es decir que el valor del impulso de la partícula
sea mucho mayor que el valor de la constante h de Planck; en caso contrario se
recurre a la mecánica cuántica.
Conceptualmente la ecuación (2.3.2b) corresponde a un principio de “causa y
efecto”, o sea que la segunda ley de Newton es causal.
3- La validez de la tercera ley de Newton ha sido controvertida con base en el
siguiente raciocinio: supóngase que al instante to un electrón en la posición A del
eje-X, se aproxima a un núcleo atómico N que se encuentra a una distancia D del
eje-X, y le envía a éste una señal que consiste en una onda electromagnética la cual
se propaga con una velocidad finita V menor que la velocidad de la luz en el vacío;
el núcleo recibirá dicha señal a un instante posterior t1 = to + r/V, siendo r = AD la
distancia recorrida por la onda electromagnética; pero durante el intervalo de
tiempo (t 0  t1 ) el electrón se desplazó a una posición B y allí recibe la respuesta del
núcleo de tal suerte que la acción y la reacción no están sobre la misma línea de
acción, ni poseen direcciones opuestas.
Para que se cumpla la tercera ley de Newton, las interacciones deben actuar en
forma ‘instantánea”; esto se cumple generalmente a nivel de observaciones
macroscópicas, más no así a nivel microscópico donde los tiempos de respuesta dura
unos cuantos nanosegundos.
4- El principio clásico de relatividad:
71
Al hacer mención a las trasformaciones de coordenadas de Galileo y de Lorentz se
formuló el principio general de relatividad:
“La forma de las leyes básicas de la física son invariantes respecto a todos los
referenciales inerciales”
Cuando se pasa de un referencial del laboratorio (L) a otro (S) que no son
inerciales, la forma de la segunda ley de Newton no se conserva y aparecen fuerzas
ficticias. Si (S), rota aparecen en la expresión de la aceleración fuerzas centrípetas
y fuerzas de Coriolis. El principio de relatividad clásico incluye no sólo las tres
leyes de Newton sino todas las leyes fundamentales de la física.
Resumen de los comentarios anteriores:
Los comentarios anteriores sobre las condiciones de validez de las leyes de Newton
se pueden resumir en los siguientes postulados:
Postulado-1: El marco geométrico de la teoría de Newton de la mecánica clásica
está constituido por un espacio euclidiano abstracto, homogéneo,
isótropo e infinito. La primera ley de Newton define de manera tácita
ese marco geométrico de la cual se deriva también el carácter inercial
Postulado-2: Los intervalos de tiempo y de distancia conservan sus valores en
cualquier referencial del espacio euclidiano.
Este enunciado corresponde a la concepción newtoniana de “espacio y
de tiempo absolutos”.
Postulado-3:
Las leyes de Newton se aplican a sistemas macroscópicos en los
cuales el impulso de la partícula tiene valores mucho mayores que el
valor de la constante de Planck. En caso contrario se aplica la
mecánica cuántica.
Postulado-4: Las interacciones entre partículas materiales son instantáneas
(tercera ley de Newton).
Los principios físicos de la mecánica clásica comprenden, no sólo el enunciado de
las tres leyes de Newton, sino también los postulados formulados y los principios de
conservación que se derivan de esas leyes: conservación de energía y de momento,
principio de mínima acción de Hamilton, a los cuales nos referiremos en transcurso
del texto.
Para concluir este numeral nos preguntamos ¿Qué conocimientos suministra la
mecánica newtoniana respecto a los sistemas materiales?
La mecánica de Newton permitido, entre otras realizaciones:
1. La determinación de las trayectorias de una partícula o de un cuerpo rígido,
conocidas las condiciones iniciales. Es así como se determinan las trayectorias
balísticas de los cohetes y de los satélites artificiales.
2. La definición de los estados de movimiento de una partícula o de un conjunto de
partículas libres o sometidas a interacciones conocidas. El estado dinámico de
cualquier partícula se caracteriza por tres variables principales: su energía E,
su momento p y su momento angular.
3. El cálculo, en el proceso de colisiones entre partículas de un gas, de la presión
ejercida por moléculas libres sobre las paredes del recipiente que las contiene;
del corrimiento de la longitud de onda en el efecto Compton.
4. La determinación de las constantes de movimiento de un determinado sistema
físico.
72
5. El desarrollo de la mecánica de medios continuos que incluye a su vez, la
mecánica de fluidos y de la elasticidad.
Relatividad especial y segunda ley de Newton.

 dp


,  con  p  mv . Para que
La expresión de la segunda ley de Newton es F 
dt
esta forma se conserve en relatividad bajo las (TL) hay que redefinir el momento
lineal de la partícula, porque dx j y dt no son invariantes en estas transformaciones.
Se toma entonces como velocidad de la partícula su velocidad de universo U y
como tiempo su tiempo propio es decir: x  
dx 
d
.
Se define entonces el momento lineal así:  p  m0U  y la segunda ley de
d
(m U )  K  ,    x , y , z, ict ,
(2,5.5.2)
d o 
K se denomina “fuerza de Minkowski y tiene 4 componentes. La 4ª componente
d
d  m0 C 


vale: K4 
(m U )  i
d 0 4
d  1   2 
Newton queda:
Las componentes del momento lineal de la partícula valen entonces:
m0 vi

p

,
i


1 2
(2,5.5.3)
p  m0U   
m0 C ,
 p4 

1 2


La parte espacial se acostumbra a escribir: p  m(v ). v , resultando un valor para la
m0
;    v / C . La masa depende de la velocidad de la
masa que es: m(v ) 
1 2
partícula, situación diferente de la mecánica newtoniana.
2.4- Principios de conservación y aplicaciones.
El primer paso a dar en el análisis de los posibles estados dinámicos de movimiento
de una partícula o de un sistema de partículas, es examinar si existen simetrías en
el sistema objeto de estudio (partícula más campos de interacción) ya que a las
simetrías están ligadas variables que se conservan en el tiempo: por ejemplo, una
 
partícula sometida a un campo de fuerza central F (r )  rˆf ( r ) es un sistema que
posee simetría esférica y entonces, el momento angular de la partícula y su energía
se conservan; si la simetría es axial la componente del momento angular en esa
dirección se conserva. Este análisis previo permite simplificaciones en el
tratamiento matemático del problema.
2.4.1. Conservación de energía y ecuación integral del movimiento.
a) Conservación de energía y movimientos unidimensionales:
Cuando las fuerzas son conservativas la energía mecánica de la partícula se
conserva en el tiempo. Esta situación se expresa así: H 0 
1
mv 2  V(r)  Cte . De
2
73
esta ecuación se deduce, en el caso de un movimiento unidimensional, la siguiente
ecuación integral de movimiento de la partícula:
(2 / m) t  t o   
dX
,
Ho V (X )
(2.4.1a)
es una ecuación cuya solución se encuentra por simple cuadratura; sólo hay que
conocer la expresión del potencial V(X) y el valor de Ho, el cual se determina con la
ayuda de las condiciones iniciales. No se recurre directamente a las fuerzas que
actúan sobre la partícula.
Se analizan someramente, a continuación, cinco ejemplos clásicos de movimiento de
una partícula en potenciales unidimensionales:
a)
b)
c)
d)
e)
el movimiento frente a una barrera de potencial,
el movimiento con fuerza constante,
el movimiento del oscilador armónico y del oscilador anarmónico,
el movimiento en un potencial de perfil molecular,
el movimiento del péndulo simple con grandes amplitudes.
V ( x)
a) Barrera de potencial
V0
Sea el potencial de la figura 2,4:
Si X < 0, la fuerza que actúa sobre la
partícula es nula y se tiene una partícula
libre frente a una barrera de potencial.
O
Figura 2.4 : Barrera de potencial
X
La ecuación (2,4.1a) da como solución:
x(t )  xo 
2
( H o  Vo )  t ,
m
(2,4.1b)
Esta ecuación corresponde a un movimiento rectilíneo uniforme si Ho >Vo. En caso
contrario la partícula es detenida por la barrera y puede rebotar sobre ésta.
b) Oscilador armónico.
El oscilador armónico es un sistema constituido por una partícula de masa m
sometida a la acción de una fuerza recuperadora o elástica cuyo valor viene dado


por la ley de Hooke F (t )   kr (t ) donde k representa, por ejemplo, la constante

elástica del resorte al cual se suspende la masa m; r (t ) es la posición de la
partícula respecto al origen de coordenadas que se seleccione.
Si el oscilador es unidimensional, F = - kX y su energía potencial vale
2
V ( X )  (1 / 2) kX ; se lleva este valor de V(X) en (2,4.1a), y se encuentra la solución:
(2.4.1b)
t  arcSen( X / X o )  X (t )  X o Sen(t ) ,
donde ω2 = k/m.
Se adoptan las condiciones iniciales siguientes: t 0  0,  X (0)  0  X 0 y v(0)  v0 .
Nota:
En el caso del oscilador anarmónico la intensidad de la fuerza aplicada al resorte es grande y la
constante elástica k ya no es una cantidad constante sino una función de X y se puede expresar
así: k  k 0  aX  bX 2 , donde a y b son coeficientes de valores pequeños como para
74
considerar que los respectivos términos son del segundo orden respecto al primero. En ese caso
la fuerza y la energía potencial de la partícula valen:
(2,4.1c)
F ( X )  kX  aX 2  bX 3  V ( X )  (1/ 2) X 2  (a / 3) X 3  (b / 4) X 4 ,
el primer término de esas expresiones se llama “armónico” mientras que los
restantes se denominan “términos anarmónicos” que por lo general tienen valores
relativos pequeños, pero juegan un papel importante en el estudio de fenómenos
no-lineales; las respuestas  de los sistemas a interacciones  mecánicas o
electromagnéticas ya no son lineales.
Se tiene por ejemplo   a0  b  c 2  d3  A(  ). ,
(2,4.1d)
donde A() es función de la amplitud de la excitación y representa alguna
propiedad del sistema como elasticidad, conductividad, movilidad etc. En el oscilar
anarmónico la relación fuerza- potencial ya no es lineal.
Si se lleva la expresión de V(X) en la ecuación de movimiento (2,4.1a) el valor de la
integral ya no es tan inmediato; es preciso recurrir frecuentemente al empleo del
cálculo numérico. 
c) Una aplicación: potenciales moleculares:
Se indicó ya que las moléculas están unidas en los
sólidos y en los líquidos por enlaces de naturaleza
electromagnética, a los cuales se asocian
potenciales cuyos perfiles V(X), para moléculas
diatómicas, tienen la forma que se indican en la
figura 2.5.
Obsérvese que hay un valor mínimo, que
corresponde al estado estable de mínima energía;
este mínimo vale - Vo y representa la “energía de
disociación de la molécula” en los átomos que la
componen.
Figura 2,5: perfil de un
potencial molecular
Habitualmente no se conoce la expresión analítica de V(X), pero usualmente lo que
importa conocer son los modos de oscilación de los átomos y de las moléculas
alrededor de sus posiciones de equilibrio ro. Para tal efecto se recurre al desarrollo
de V(X) en serie de Taylor al rededor de esa posición de equilibrio, o sea a la
expresión:
1   2V  2 1   3V  3
1
1
 X   3  X  ...  kX 2  bX 3 ,
V ( X )  V0  
2 
2   x 0
6   x 0
2
6
(2.4.1e)
Los coeficientes k y b son las derivadas segunda y tercera de V(X) para r  r0 .
Si no se considera sino el primer término se tiene un oscilador armónico simple.
Con modelos como éste se han podido evaluar las frecuencias propias de vibración
de los átomos en moléculas diatómicas como O2, N2, CO.
d) Péndulo simple plano y espacio de fase.
Es un sistema constituido por una masa m colgada a un extremo de una cuerda
inextensible, sin peso y de longitud ℓ constante; el otro extremo está fijo a un
punto O. Se analiza, a continuación, el movimiento de la masa m.
75
Análisis previo:
• El movimiento se realiza en un plano en el cual se selecciona un sistema de
coordenadas polares r (t ), (t ) por consiguiente habría dos grados de libertad; sin
embargo como la masa m esta restringida a moverse sobre una circunferencia de
radio r= ℓ, esta ligadura o constricción reduce a uno los grados de libertad de la
masa: queda sólo la variable independiente (t) que es el ángulo que hace la cuerda
con la vertical que pasa por el punto O.

• Las fuerzas que se ejercen sobre la masa m son: la fuerza de gravedad mg y la

tensión de la cuerda T dirigida desde m hacia O. Estas son fuerzas conservativas,
por consiguiente la energía mecánica de la partícula se conserva:
1
mv 2  V ( ) ; Pero la velocidad sólo contiene la componente angular que
2
es → v   ; la energía potencial gravitacional de la partícula vale mgh, por
1
consiguiente: H 0  m 2 2  mgh .
2
→ H0 


La altura h de la masa m se mide desde la posición de equilibrio 0  0 hasta una
posición  . Su valor es entonces h  (1  cos  )  2.sen ( / 2) y la energía se
2
1 2 2
m   2mg.sen 2 ( / 2) ,
(2,4.1f)
2
Condiciones iniciales: se supone que a t = 0 la cuerda del péndulo hace un ángulo
escribe H 0 
 0 con respecto a la vertical (OZ). Desde esa posición se suelta la masa m sin
impulsarla. La energía en ese instante vale H 0  mgh0  2mg.sen 2 ( 0 / 1) y la
ecuación (2,4.1f) se escribe → H 0 
1 2 2
m   2mg.sen 2 ( / 2)  2mg.sen 2 ( 0 / 2) .
2
Esta es una ecuación de movimiento de la cual se despeja la derivada de la
coordenada angular:
 2
 (t ) 


 2
 (t ) 

2
4g
sen 2 ( / 2) 
2
2
2


2
mg

sen

/
2

sen

/
2

.
sen
(

/
2
)
1



0
0
2

m 2
 sen ( 0 / 2) 


4 02
1
1  K 2 sen 2 ( / 2) , con
 sen( 0 / 2)
2
K
K


Esta última ecuación conduce a la integral:

.t  K 
d / 2
 K .E ( K ,  ) ,
(2.4.1g)
2
2
1

K
.
sen
(

/
2
)
0
g
donde  2  , que es la frecuencia propia del péndulo simple.

La integral E(K,) que aparece en (2.4.1g) se denomina “integral elíptica” del
primer orden. Si los bornes de esta integral se extienden al intervalo [0,/2] se
llama “integral elíptica completa”. Sus valores están tabulados. Sin embargo, se
puede efectuar una integración haciendo uso de una serie de la forma:
1  K 2 sen 2  1 
/2 
1 2 2
3
K sen   K 4 sen 4 
2
8
(2n  1)! !
 (2n)! ! . K 2n sen 2n ,
→
con
76
Nota:
Si el valor del ángulo es pequeño ( < 20º)  Ksen  K y se encuentra la solución
bien conocida del péndulo   (t )   0 sen(t ) .
El espacio de fase:
Se complementa este estudio del péndulo simple haciendo referencia al “espacio de
fase”.
El espacio de fase es el espacio que se construye con las coordenadas de posición
[ qi ] y las de momento lineal [ p j ]. Para el péndulo simple esas coordenadas son ( y
p). La ecuación que liga esas dos variables es la que corresponde a la expresión de
la energía mecánica que se escribe, teniendo en cuenta el valor de la componente
angular del momento que es p  m 2 , así:
1 2
p  2mg.sen 2 ( / 2)  2mg.sen 2 ( 0 / 2)  2mg(1 / K 2 ) ,
2m
→ H0 
(2,4.1h).
Para ángulos pequeños ( < 20º) el valor de la energía, en función de las variables
( p ,  ) es → H 0 
1 2
p  mg.( 2 / 2)  2mg(1 / K 02 ) .
2m 
Esta ecuación se puede escribir:
a 2  2m

p sen ( / 2)
,

 C 2 ( 0 ),  con b 2  1 / 2mg
2
2
a
b
C 2  2mgsen 2 ( / 2)
0

2
2
(2,4.1j)
Esta función se representa en el espacio de fase (ver figura 2,6). Las diferentes
curvas corresponden a valores distinto de  0 o de H0.
Para pequeñas oscilaciones   20º , la ecuación de curvas en el espacio de fase es:
p2  2
 2  C 2 y representa elipses de ejes (a,b) en el plano ( p ,  ) llamado plano
2
a
b
de fase.
La figura 2,6 representa ese espacio correspondiente a la ecuación (2,4.1j); cada
punto de este espacio representa a un estado dinámico del péndulo.
Figura 2.6: Plano de fase -Péndulo
Las curvas de la figura corresponden a determinados valores de la energía
mecánica total H0 o del ángulo inicial del péndulo  o : son curvas isoenergéticas: las
curvas cerradas corresponden a oscilaciones periódicas (0  e <<), mientras que
las abiertas se refieren a un movimiento circular de la masa m del péndulo en un
77
plano vertical, al rededor del punto de suspensión; esta segunda situación se
presenta cuando la energía cinética inicial aplicada al péndulo, es muy grande.
Ecuación de movimiento del péndulo simple a partir de la segunda ley de
Newton:
También se puede deducir la ecuación de movimiento del péndulo simple a partir
de la segunda ley de Newton así. Puesto
que las fuerzas que actúan sobre la


partícula son: la tensión de la cuerda T y la fuerza de gravedad mg , la segunda ley
de Newton se escribe:

 
Fi  mg  T .

i
Esta ecuación vectorial se proyecta en las dos direcciones de los vectores de base
er , e  de coordenadas polares, así:
eˆr  mg cos  T  mar  0,  T  mg cos ,

2




eˆ  mgsen  ma  m r  2r  mr ,     sen  0
con  2  g / 


(2,4.1h)
Es una ecuación diferencial no lineal. Para encontrar una solución se puede
desarrollar en serie la función sinusoidal
sen   
3
3!

5
5!

 ...   (1) n
n 0
 2n1
(2n  1)!
, de tal forma que (2,4.1h) se transforma
en la ecuación de un oscilador anarmónico cuya solución se representa por una
serie de Fourier.
Para pequeños valores del ángulo de oscilaciones la ecuación es    2  0 cuya
solución es  (t )   0 .sen.(t   ) .
 es un ángulo de fase que se calcula a partir de las condiciones iniciales.
Ecuaciones de movimiento del péndulo determinadas a partir del momento
angular y el torque:
Como en realidad el movimiento es una rotación parcial, se aplica la ecuación del
torque respecto al punto fijo O:

  dL d (r  p
 
  
 O   Fi  r 

 (mg  T )  r ,  T  r  0
dt
dt
i
d (rp )
,  r  , y p  mv  mr  m ,
Y se obtiene: mgsen  
dt
Se deduce la ecuación de movimiento    2 sen  0 que es la misma ecuación que

se encontró en (2,4.1h).
2.4.2.- Conservación del momento angular - Caso de fuerzas centrales.
Se presenta a continuación un análisis relativamente sencillo pero general del
movimiento de una partícula sometida a la acción de una fuerza central; es un caso
importante no sólo en mecánica clásica en el estudio de las órbitas de los planetas,
sino también en física atómica.
78
Las fuerzas centrales son paralelas al vector de posición de la partícula y se pueden
 
 
expresar matemáticamente así: F (r )  rˆf (r , v , t ) ,
(2,4.2a)
Se infieren entonces las siguientes consecuencias:
a) el momento angular de la partícula, tomado respecto al origen de coordenadas,

se conserva de acuerdo con (2,2.4a); lo llamaremos Lo ,
b) la trayectoria de la partícula, conforme se dijo, se encuentra en un plano Q

perpendicular a Lo , y por eso sólo se requieren dos coordenadas para definirla;
las más apropiadas son las coordenadas polares (r,). La segunda ley de Newton
 
mar  f (r , v , t ),
conduce a las ecuaciones de movimiento: 
,
ma  0
(2.4.4b)
Teniendo en cuenta las expresiones de las componentes de la aceleración en
coordenadas polares se llega las ecuaciones de movimiento:
a )  mr 2  I 0  L0  Cte
,

 
b)  mr  mr 2  f (r , v , t )
(2,4.4c)
Se comprueba que la magnitud del momento angular es constante.
La resolución de la segunda ecuación (2.4.2c), requiere el conocimiento de la
 
expresión matemática de f (r , v , t ) .
Si la fuerza central depende sólo de la posición de la partícula, deriva de un
potencial V(r) y hay conservación, no sólo, del momento angular, sino también de
su energía mecánica, cuya expresión en coordenadas polares, es:

m 2
m 2

2 2
 H  2 [r  r  ]  V (r )  2 r  U (r ),
,
(2,4.4d)

L

0
donde U (r )  [
 V (r )].

2mr 2
La función U(r) es una energía potencial “efectiva” o un pseudo-potencial; cuyo
uso facilita el análisis del movimiento en el campo de fuerzas centrales.
Para concretar más el problema: se supone que los potenciales son de la forma
V ( r )  k / r , como en los campos gravitacionales y en los electrostáticos.
- Si la constante k es >0, la fuerza central es repulsiva
- Si la constante k es <0, la fuerza es atractiva.
El valor del pseudopotencial es: U (r ) 
L0
k
 .
2
r
2mr
En la figura 2.7 se muestran gráficamente las
variaciones de U(r), para los dos casos de k>0
y de k<0. Obsérvese que para valores de k <0
(fuerzas atractivas) U(r) presenta un mínimo
para r0, el cual corresponde a un estado de
equilibrio estable.
k >0
O

r0
r
k0
Figura 2,7:Potencial efectivo
La región alrededor del mínimo forma un pozo
de potencial. Si la partícula está en su estado de equilibrio y recibe un incremento
de energía E, se aparta de ese estado, pero es atraída de nuevo hacia él y
adquiere un movimiento oscilatorio alrededor de su posición de equilibrio.
79
Los valores que caracterizan el mínimo de U(r) son: r0 
L2 0
mk 2
,  U (r0 )   2
mk
2L 0
Para determinar las trayectorias de la partícula en el campo de fuerzas centrales
que derivan de potenciales V(r) = k/r, se resuelven las ecuaciones de movimiento
siguientes deducidas de las ecuaciones (2.4.2c) y (2.4.2d):
L2
 d 
(2)     2 0 4 .
m r
 dt 
2
2
L20
2 H 2k
 dr 
(1)    


;
m
mr mr 2
 dt 
Esas dos ecuaciones se condensan en una sola así:
 2
 2
2
2
2
L20 
 dr   dr   d   dr   L0   2 H 2k


     
     2 4   

mr mr 2 
 dt   d   dt   d   m r   m
,
 2
 dr 
r2
    2 2mr 2 H  2mkr  L20
Lo
 d 

(2,4.4f)

Se efectúa ahora el cambio de variable u = 1/r, y se llega a la ecuación:
2

 du   2mH mk    mk
    2 
   2  u ,
4
L0   L0
 d   L0

2
2
(2,4.4g)
El primer corchete corresponde a un constante A2 mientras que el segundo, que
contiene la variable u, se designa por Z2; con la nueva variable Z la ecuación
2
 dZ 
  A 2  Z 2 .
diferencial (2,4.2g) toma la forma: 
d



Esta ecuación se integra y se obtiene la solución: Z = A.cos(-0). Se regresa a las variables u y
r, para llegar a la expresión matemática de la ecuación de las trayectorias de la partícula:
1
1

 e.B cos  0   ,
r
e

(2,4.4h)
Es la ecuación de las curvas cónicas con origen en el foco y con una excentricidad e
cuyo valor es: es: e  1 
2 HL20
mke
, B  2 ,
2
mk
L0
(2,4.4i)
Conclusión:
Las posibles trayectorias de la partícula sometida a la acción de la fuerza central
son curvas cónicas con origen en el foco, dependiendo de si la fuerza es atractiva o
repulsiva, de los valores de la excentricidad, de la energía total y de L0.
El cuadro siguiente resume los diferentes caso de trayectorias:
Fuerza
Valor H
Excentricidad
Trayectoria
Repulsiva
>0
Hipérbola con asíntotas
e>1
k>0
definidas por los ángulos
a>=0
+



si e = 1
Cos=1/e
Parábola
Atractiva
>0
e>1
Hipérbola, con asíntotas
k<0
definidas por los ángulos
a<=0 +   .
Atractiva
U0<H<0
e<1
Elipse
comprendida
k<0
entre r1 y r2
Atractiva
H = U0
e=1
Círculo de radio
k<0
R = L02/mk
80
2.4.3- Conservación de momento lineal – Colisiones- efecto Compton.
Los fenómenos de colisiones o de choques entre cuerpos materiales, interesaron
desde tiempos remotos a los pensadores como Descartes, Galileo, Wallis, Huygens y
Newton. Examinaron los choques entre pequeñas esferas u objetos sólidos. En los
laboratorios se realizan prácticas del péndulo balístico y de choques entre discos
que deslizan sobre mesas de aire, variando las direcciones de sus velocidades
iniciales. El juego del billar se basa en la física de colisiones entre esferas de marfil
u otro material rígido.
El proceso de colisiones se ha convertido, actualmente, en un poderoso método de
investigación a nivel de la física atómica y molecular, y de la física de partículas
elementales. El lector habrá visto, sin duda, fotografías que muestran las
trayectorias de las partículas elementales que colisionan a grandes velocidades en
los aceleradores o colisionadores especialmente construidos para tales efectos.
He aquí algunos de los fenómenos físicos en los cuales intervienen las colisiones:
1- el efecto fotoeléctrico que explicó Einstein en 1905,
2- la dispersión de partículas  por núcleos atómicos que llevó al modelo del
átomo de Rutherford,
3- el efecto Compton en la dispersión de rayos-X por electrones.
Se examinan en seguida los procesos de choques entre dos partículas A y B de masa
 
m1 y m2 con cantidades de movimiento p1 , p2 .
Si el sistema de las dos partículas está aislado de toda interacción antes y después
del choque, su cantidad de movimiento total se conserva de tal suerte que entre dos
instantes t1 ,t 2 se tiene, de acuerdo con la segunda ley de Newton:
p1 (t1 )  p2 (t1 )  p1 (t 2 )  p2 (t 2 )  Cte ,
(2,4.3a)


¿Qué sucede si existen fuerzas de interacción mutua F12 , F21 entre las dos
partículas, por ejemplo una fuerza de Coulomb, una fuerza gravitacional o fuerzas
de enlaces atómicos o moleculares? En tal caso las variaciones entre los impulsos
de esas fuerzas entre los instantes t1 y t2 son:


I A  F12 dt 



 
I B   F21dt 


p A (t 2 )  p A (t1 ),
,


p B (t 2 )  p B (t1 )
(2,4.3b)
Pero si son las únicas fuerzas que actúan sobre las partículas, se tiene, de acuerdo


con la tercera ley de Newton, F12   F21 y se deduce que:
p1 (t1 )  p2 (t1 )  p1 (t 2 )  p2 (t 2 )  Cte
que es el mismo resultado que aparece en la ecuación (2,4.3a):
Conclusión:
El momento lineal o la cantidad de movimiento total de un sistema aislado de
fuerzas externas, se conserva.
A este principio de conservación de momento lineal se recurre en el estudio de los
fenómenos de desintegración o decaimiento de núcleos atómicos y las reacciones
81
entre partículas elementales, basados en procesos de colisiones; he aquí algunos
ejemplos:
- la desintegración del carbono –14  146C  147N + e- + v
- la captura de un neutrón  11H + n  21H + 2.226 Mev
- la fusión de protones  11H + 11H  21H + e+ +  + 1,36 MeV.
En estas reacciones nucleares intervienen el electrón e-, el positón e+, el neutrino 
y el antineutrino v .
Se destaca finalmente el caso más especial de dos partículas que colisionan y
quedan unidas formando un nuevo ente, por ejemplo una molécula de hidrógeno H2
que resulta de la colisión de dos átomos de hidrógeno: se dice que el sistema cae en
un estado ligado. A nivel macroscópico puede tratarse de dos cuerpos que chocan y
quedan “pegados”, como en el caso de dos vehículos que colisionan.
¿Qué pasa con el valor de la energía cuando dos partículas chocan o colisionan?
La variación de energía entre dos instantes, t1 antes del choque y t2 después del
choque de las dos partículas (1) y (2) vale:
EC (t 2 )  EC (t1 )  Q  es la energía cinética que el sistema gana o pierde
Según el valor de Q se presentan varias categorías de choques:
i. Si Q = 0, se conservan tanto la energía cinética Ec como la energía potencial Vp
del sistema; se dice que la colisión es elástica.
ii. Si Q ≠ 0, se habla de “colisión inelástica”. Sólo se conserva el momento lineal.
Una parte de la energía Q se transforma en calor, ¿Cómo? Q se transfiere a los átomos y a
las moléculas del cuerpo y excita modos propios de vibración; se incrementa entonces la
temperatura del cuerpo ya que ésta representa el valor promedio de la energía de oscilación
de las partículas que lo componen. La energía Q trasferida puede incluso romper enlaces
atómicos y modificar así la configuración de los átomos o de las moléculas en la muestra.
Colisiones relativista entre dos partículas conservación de la energía:
Supóngase que la partícula proyectil A(m1) es lanzada contra la partícula B(m2). El
ángulo de dispersión entre las dos partículas es .
La ecuación de conservación de energía se escribe, de acuerdo con (2,2.5.i) es:
m
c 2  T1   m02 c 2  m *01 c 2  T *1   m *02 c 2  T *2  , de donde se deduce la
*
*
ecuación: m01  m01
c 2  m02  m02
c 2  T1*  T2*  T  c 2 m  c 2 m  Q .
1
1
2
01




Q representa la “energía de reacción”.
Casos particulares::
a) Si  Q  0 , entonces la energía cinética se conserva y la colisión es elástica.
b) Si la velocidad de la partícula incidente no es muy grande, v  c , entonces se
tiene → T 
1 2
p y de la ecuación de conservación de momentos se deducen
2m
los resultados:
82



p1  p *1  p *2 ,






 
p *2  p1  p *1 , y ( p *2 ) 2  ( p1 ) 2  ( p *1 ) 2 - 2p1 .p *1 ,
Este último resultado se escribe, en función de la energía cinética T, así:
2m2*T2*  2m1T1  2m1*T1*  2 m m*T T *.. cos  , se despeja T2* y se lleva ese valor
1 1 1 1
en la expresión de  Q . Se llega al valor de la energía de reacción:
 m* 

m  2
Q  T1* 1  1*   T1 1  1*   *
 m2 
 m2  m2
m1 m1*T T * . cos  ,
p1*
(2,4.2c)
1 1

p1

p 2*
Para que  Q  0 , las dos partículas deben ser idénticas, por ejemplo dos núcleos de
Helio.
Puede suceder que la partícula B capture a la partícula A para formar una sola
partícula: En este caso ¿Cuánto vale  Q ?
Aplicación al efecto Compton:
El efecto Compton se refiere a la dispersión de rayos-X por electrones con cambio de
longitud de onda del rayo dispersado.
Arthur Holly Compton (1892-1962) explicó este fenómeno (1923) considerándolo
como un proceso de colisiones entre el haz incidente de fotones-X y un electrón de la
muestra. Aplicó los principios de conservación de momento y de energías
relativistas así:
Las ecuaciones de conservación de momento y de energía son:
Y



 p f  p f  pe

 E f  m0 c 2  E f  m02 c 4  pe2 c 2
,

2
2
2 4
2 2
p
c

m
c

p

m
c

p
c
0
f
0
e
 f
 E foton  p f c  h  hc / 
(2,4.2d)

p' f

pf

O

X

pe
Fig.2.8: Dispersión de rayos-X
Las componentes de los momentos lineales son:
por un electrón
 p f  p 'f cos  pe cos ,  ( p f  p 'f cos ) 2  pe2 cos2 
,
 0  p ' sen  p sen ,  p ' 2 sen 2  p 2 sen 2 
f
e
f
e

(2,4.2e)
Se suman los términos cuadrados de las ecuaciones (2,4.3e) y se obtiene:
p 2f  p 'f  2 p f p 'f cos  pe2 ,
2
(2,4.2f)
De la expresión de la ecuación de conservación de energía se despeja el radical a la
izquierda y se eleva al cuadrado el resultado, obteniéndose la siguiente ecuación:
p 2f  p 'f  2 p f p 'f  2m0 c( p f  p 'f )  pe2 ,
2
(2,3.2g))
83
De las ecuaciones (2,4.2f) y (2,4.2g) se deduce esta otra ecuación:
p f p 'f (1  cos )  m0 c( p f  p 'f ) y remplazando p foton por su valor en longitud de
onda, se llega al siguiente resultado:
 '   h / m0 c1  cos   0 (1  cos )    ,  0 
h
,
m0 c
(2,4.2h)
0 es una constante que vale 0,00243 nm y se denomina “longitud de onda de
Compton”.
Esta es la ecuación de Compton que permite calcular el corrimiento en longitud de
onda del haz de fotones-X, o sea la diferencia entre la longitud de onda del haz
incidente y la del haz dispersado.
El dispositivo que utilizó Compton constaba principalmente de una fuente de rayosX, un colimador, un bloque de parafina dentro del cual los rayos-X interactuaban
con los electrones y de un detector.
Ejercicio:
Si son dispersados fotones de longitud de onda de 2Å en ángulo de 30º, 45º, 60º, 90º
y 135º,
a) ¿Cuánto vale la energía de esos fotones?
b) ¿Cuánto vale su momento incidente?
c) ¿Cuánto vale el corrimiento para cada ángulo de dispersión?
Pregunta adicional:
¿Cómo se producen y se detectan los rayos-X?
2.4.4- Movimiento de una partícula cargada en campos eléctricos y
magnéticos constantes y uniformes.
Se efectúa a continuación un breve análisis del movimiento de una partícula
cargada (q) sometida a la acción de un campo eléctrico y de un campo magnético,
los dos campos son uniformes y constantes.
Interés del tema: El estudio del movimiento de partículas dotadas de carga
eléctrica, sometidas a la acción de campos electromagnéticos, tiene numerosas
aplicaciones, entre ellas en los Ciclotrones y los grandes aceleradores de partículas,
los osciloscopios, los espectrómetros de masas, la óptica electrónica.
Hipótesis previas para el caso estudiado a continuación:


- Se supone que el campo eléctrico E y el campo magnético B son constantes,
uniformes, homogéneos. Se toma como eje-z la dirección del campo magnético y en

tal caso se escribe B  Bk .
- Se usan coordenadas cartesianas (x,y,z)
- Se adoptan las siguientes condiciones iniciales: x(0) = 0, y(0) = 0, z(0) = 0 ; La
velocidad inicial con que la partícula entra en el campo electromagnético es

v0  jv0 dirigida en la dirección (Oy).
Ecuaciones de movimiento:
Las ecuaciones de movimiento de la partícula se deducen de la segunda ley de
Newton, suponiendo que sobre la partícula actúa la fuerza de Lorentz. Se tiene
entonces:
84


  

 qE  qB  



qE
q E  v  B  ma  qE  qB v  k̂  a 
  (v  k̂) 
 0 (v  k̂) ,. (2,4.4a)
m m
m


y la ecuación de movimiento en coordenadas cartesianas es:


q 
 ,
E   0 iv x  jv y  ia x  ja y  kv
z
m
qB
El parámetro  0 
se denomina “frecuencia giromagnética”.
m
(2,4-4b)
Se consideran dos casos respecto a los campos eléctrico y magnético:


a) El campo eléctrico es paralelo a B , es decir E  Ekˆ


b) El campo eléctrico perpendicular a B , es decir E  iE



a) Campo eléctrico paralelo a B , es decir E  kE
De la ecuación (2,4.5b) se despejan las componentes de la aceleración y se deducen
las ecuaciones de movimiento para las velocidades:

dv x

2
2
 a x  dt   0 v y  vx   0 v y    o v x  vx   0 v x  0,  v x  A. sen( 0 t   )

dv y
   0 v x  v y    0 A. sen( 0 t   ),  v y  A.cos( 0 t   )
ay 
dt

dv
qE
 az  z 
   ,
z

dt
m
Para hallar los valores de las coordenadas, se integran las expresiones de las
velocidades y se obtiene:
A
A

x
(
t
)

x

.cos(

t


)

x

R
.cos(

t


),
con
R
=
0
0
0
0

0
0

A
sen( 0 t   )  y0  R. sen( 0 t   )
 y (t )  y 0 
0

 z (t )  z  v t  1  . t 2
o
oz

2
Se aplican las condiciones iniciales:
(2,4.4c)
En las ecuaciones de movimiento, a las cuales se ha llegado, figuran constantes de
integración cuyos valores se determina a partir de las condiciones iniciales así:
- Para las velocidades, las condiciones iniciales son:
 v x (0)  0  A. sen , luego   = 0

 v y (0)  v 0  A cos(0)  A, por consiguiente A = v 0
 z(o)  0  z0 , ademas v oz  0
Para las coordenadas las condiciones iniciales son:

 x(0)  0  x0  R, de donde se deduce  x 0  R

 y (0)  0  y 0

1
 z (0)  0  z 0 , y entonces v 0z  0, por consiguien te z   .t 2
2

Con los resultado anteriores las coordenadas del movimiento se escriben:
85

 x (t ) 

 y (t ) 

 z(t ) 
R(1 .cos 0 t ),  ( x - R) = -R.cos 0 t
,
R. sen 0 t
1
.t 2
2
(2,4.4d)
De esas ecuaciones se deduce la trayectoria de la partícula: ( x  R) 2  y 2  R 2 , →
es una circunferencia.
Conclusión:
La trayectoria de la partículas corresponde a un movimiento circular en un plano
(x,y), al cual se superpone una
translación uniformemente acelerada
en la dirección oz: O seas es una hélice
cuyo paso crece aceleradamente.
(ver figura adjunta)
Puesto que la fuerza magnética es
normal a la velocidad de la partícula,
la aceleración tangencial es nula y la
aceleración normal vale:

V 2 qB 
aN 

v  k̂   0 v  k̂   0V ,
R
m
- De donde se deduce el valor del radio
de curvatura: R 
v0
0

mv 0
.
qB
Figura 29: Trayectoria helicoidal.
- R es proporcional a la masa de la partícula incidente.
Si en lugar de una partícula, se lanza, en el campo magnético (sin campo
eléctrico), un haz de partículas de diferentes valores de masas, éstas describen
radios de distintos valores y se separan: es el principio del espectrómetro de
masas.
Sucede algo parecido con un haz de partículas idénticas pero con una velocidad
inicial diferente.



 B  Bk
b) Trayectoria cuando los campos B y E son perpendiculares es decir 
 E  iE
En ese caso las ecuaciones de movimiento se escriben:
qE
qE

 a x  v x  m  0 v y  v x    0 v y , con  on  = m
 a y  v y   0 v x , y se tiene: v y   0 v x   0 (   0 v y )
 a z  v z  0, luego  v z (t )  v oz  Cte

Las soluciones para las velocidades son:
 v x    0 v y    02 v x ,  v x   02 v x = 0,  v x (t) = Asen( 0 t +  )

 De la primera ecuacion de (7)   o v y  v x    A 0 cos( 0 t +  ) - 
 a z  v z  0, luego  v z (t )  v oz  Cte
86
O sea que las expresiones de las velocidades son:
 v x (t) = Asen(0 t +  )

A


0 cos(0 t +  )  A cos(0 t +  )  v y (t )
 vy 
0
0
0

 v z (t )  v oz  Cte
Y las coordenadas toman los valores (integrando las velocidades):
 x(t) = Asen( t +  )dt = - (A /  ).cos( t +  ) + x
0
0
0
0







t  y0 ,
 y (t )    A cos( 0 t +  ) - dt  ( A /  0 ) sen( 0 t +  ) 0 
0


 z(t )  v oz t  z0

(2,4.4e)
Se aplican las condiciones iniciales para determinar los valores de las constantes
de integración:
Para las velocidades se tiene:
 v x (0) = 0 = A.sen(  ), por lo tanto  = 0



,  A=
 v0
 v y (0)  v 0  A.cos(0) 0
o

 v z (t )  v oz  Cte  0
Para las coordenadas se tiene:
A
A
x (0)  0  
 x0 ,  x0 
; ademas: y(0) = 0 = y 0
0
0
Las ecuaciones de movimiento quedan así:
 x(t) = - (A /  0 ).cos( 0 t) + x 0 = -R.cos( 0 t) + x 0
A
 v0

 con R* =  =  2 + 
0
0
0

A


 y (t ) 
sen( 0 t) t  R. sen( 0 t) t
0
0
0

 z(t )  0
,
(2,4.4f)
→ El movimiento se realiza en el plano (x,y). Si se toma  o t  u se tiene:
 x(u) = R * 1-.cos(u),


 y (u)  R.*sen(u)  2 u , → Son ecuaciones de una “cicloide”.
0

 z(t )  0
Valores de las constantes utilizadas:

qE
qB 
E
E
m E mv 0
,
; 0 
;
 ; A =  v 0 ; R* = . 2 
 
m
m 0 B
B
q B
qB

(2,4.4g)
(2,4.4h)
Aplicación numérica:
Supóngase un campo magnético de intensidad B = 0,1 Tesla y un campo eléctrico E
= 10.000 N/C ( o voltios/m) y supóngase que un protón llega con una velocidad
inicial v 0  104 km / s perpendicular a B.
Con esos datos verifique que se tienen los siguientes valores:
87
0  0,958  107 Re v / s,  f  1,523 MHz
 = 1,916  1012 m / s2
A
 v0
1916
.
 1012
104 km / s
R
 2 


 2.08  10 2  1,04  106
. m

0 0 (0,958) 2  1014 0,958  107
Observación:
Si se remplaza la cantidad
v0

A v0
en la segunda ecuación de

 R*
2 =
0
o 0 0
(2,4.4g) se obtienen las ecuaciones:
 x (u)  R(1  cos u)

 y (t )   R(u  senu)  v 0 u

0
 Caso particular:
Obsérvese que si v 0  0 , entonces se obtienen las ecuaciones la cicloide
desarrollándose en la dirección (-0y).
¿Cómo sería el radio de las cicloides?
Figura 2.10: trayectoria cicloide de un electrón en campos magnéticos y eléctricos.
Ejercicios 2.2:
1- ¿Se podría decir que la primera ley de Newton es un caso particular de la
segunda cuando la fuerza neta es nula? Explicar su respuesta.
2Resuma las condiciones de validez de la teoría de Newton de la mecánica
clásica. Trate de ilustrar con ejemplos esas condiciones de validez.
3- Una esfera de masa = 100g se suelta desde una altura de 2 m. La bola choca
contra el piso y rebota a una altura de 1,8 m. Una muestra fotográfica muestra
que la bola estuvo en contacto con el piso 8 milisegundos.
Determine los valores de los momentos lineales y de las energías cinéticas antes
y después del choque. ¿Hubo conservación de momentos lineales y de energías
cinéticas? Explique. ¿Es necesaria la información de la “duración del choque”?
4- Demuestre que la derivada del momento angular de una partícula que gira con una velocidad

dL  
   L . Interprete este resultado.
angular  se escribe:
dt

5- Cómo podría usted realizar en el laboratorio un pozo de potencial?
6- ¿Por qué en el desarrollo en serie de Taylor del potencial V(X) de la ecuación
(2,4.1e) no aparece el término CX? Si las condiciones iniciales del oscilar son las
siguientes:
88
A
t 0  0  X (0)  X 0 y V (0)  V0 ; demuestre que la ecuación integral del
dX
movimiento de la partícula se escribe: t  
.
X 02  X 2  ( B / 3m) X 03  X 3


7- Un péndulo consta de una esferita de 100 g, colgada a una cuerda inextensible
de 30 cm.
a) Deduzca la ecuación integral de movimiento del péndulo,
b) ¿Qué valor de la energía cinética inicial requiere la masa para describir una
circunferencia en torno al punto de suspensión de la cuerda?
c) Si los ángulos de oscilaciones son pequeños, dibuje, en el espacio de fase, las
curvas que representan el movimiento del péndulo.
8- Si en un haz de partículas las cargas eléctricas son iguales pero las masas
diferentes (m1 , m2 , m3 , m4 ) . ¿Cómo varía el radio de deflexión de las trayectorias
de esas partículas sometidas a la acción de un campos magnético uniforme y

constante B ?
9- Deduzca la expresión de la ecuación de las cónicas que aparece en (2,4.2h).
10- En las reacciones nucleares dos partículas A y B, de masas m1 y m2 colisionan.

Considere que B está en reposo y que A incide sobre B con un momento p1 .
Como resultado de la colisión resultan las partículas A* con masa m1* y


momento p1 * en dirección θ respecto a la dirección p1 , y B* con masa m2* y

un momento p2 * .
a) Haga un esquema de los momentos lineales y exprese su conservación.
b) ¿Es elástica esa colisión? Calcule el valor de la pérdida de energía cinética
en función de las masas, de los momentos lineales y del ángulo θ.
11- Deduzca las ecuaciones de la trayectoria de un electrón sometido a la acción de


un campo magnético B y de un campo eléctrico E constantes y uniformes,
perpendiculares entre sí.
12- Un protón tiene una masa en reposo m0 = 1,6725 x 10-24g,
a) ¿Cuánto vale su energía en reposo? (exprésela en eV).
b) Si el protón es acelerado a 10.000 voltios ¿Cuánto vale su energía cinética?
c) El protón penetra, con una velocidad v 0  10.000m / s , en la región de un
condensador de placas paralelas cuadradas, de 2 cm de lado y separadas
1cm la una de la otra. Se aplican 100 voltios a las placas del condensador.
La dirección de incidencia del protón es paralela a las placas. Describa el
movimiento del protón.
2.5- Leyes de Newton y sistemas de partículas.
Hasta ahora el estudio de la mecánica se ha centrado en una partícula. Se
consideran, ahora, sistemas de varias partículas, entre ellos el cuerpo rígido. Para
efecto del análisis del movimiento de sistemas de muchas partículas se supondrá:
b) Que el sistema contiene N partículas puntuales designadas por índice “i”
cualquiera de ellas.
c) Que cada partícula se caracteriza por una masa mi mi y en algunos casos por
una carga eléctrica qi .
c) Que se seleccionó previamente un sistema de coordenadas qi , según los grados
de libertad del sistema y la simetría de éste. Usualmente se toma como
89
referencial fijo el del laboratorio (L) respecto al cual se definen los vectores de

posición ri de cada partícula.
d) Que la suma de las fuerzas internas de interacción mutua entre las partículas ,
es nula en virtud de la tercera ley de Newton:
Fij  0 .


i j
e) Se designa por Fei la fuerza externa aplicada a la partícula “i”. La fuerza

externa neta sobre el sistema de las N partículas es Fe 
N
 Fei .
i 1
2.5.1. Teoremas relacionados con el centro de masa:
Un sistema de N partículas tiene en principio 3N grados de libertad en R 3 o sea
requiere, para la descripción de su movimiento 3N variables independientes qi ;
pero como se indicó al comienzo, si existen f ecuaciones de ligadura entonces el
número de grados de libertad se reduce a K = 3N -f . De todos modos el tratamiento
dinámico de sistemas de muchas partículas o de “muchos cuerpos” es complicado;
por tal motivo se recurre a conceptos y a metodologías que simplifican ese
tratamiento.
Se aborda brevemente este tratamiento recurriendo al concepto y al uso del centro
de masa de un sistema de N partículas.
a) Definición y propiedades del centro de masa.
El centro de masa es un punto G del sistema, cuyo vector de posición respecto al

referencial (L) tiene, por definición, el siguiente valor: r G / L 
m r
i i/L
i
M   mi ,
. con
M
i

Es como el promedio ponderadote todos los vectores de posición r j de todas las N
partículas del sistema. Esa ponderación se hace respecto a las masas de las
partículas.
De esta definición se derivan las siguientes relaciones:



MrG / L   mi ri / L ,...



Mv G/L   mi v i/L
(2,5.1a)
Respecto a los dos referenciales (L) del laboratorio y (S) del centro de masa, se
deducen las relaciones siguientes:



r j / L  rG / L  r j / G

 ,

v j/L  v G/L  v j/G

ri / G es el vector de posición de la partícula respecto al centro de la masa.
(2,5.1b)
A continuación se deducen unas consecuencias respecto a los valores de las
variables de movimiento de las partículas y del centro de masa.
La segunda ecuación de (2,5.1b) se puede enunciar así:
90
Teorema 1: La velocidad de la partícula “i” medida desde el referencial (L) es igual
a la velocidad del centro de masa del sistema medida desde (L), más la
velocidad de la partícula “i” respecto al centro de la masa .

Si ahora se multiplica la expresión de ri por mi y se suma respecto a todas las
partículas se obtiene:
N
N
N





m
r

m
r

m
r

r
M

 i i / G  i G / L  i i / G G / L  mi ri / G .
N
i 1
i 1
i 1
i 1
Teniendo en cuenta (2,.5.1a) se deducen las ecuaciones siguientes:
N
N



m
r

0
;

derivando

m
v

 i i/G
 i i / G  pi / G 0,
N
i 1
i 1
(2,5.1c)
i 1
Teorema 2: La suma neta de todos los momentos lineales de las partículas del
sistema, medidos desde el centro de masa (G), es nula.

La segunda ley de Newton aplicada a la partícula “i”, se escribe: F ei   F ij mi vi ,
j
y para las N partículas se tiene:



 Fei    Fij  m v
i i
i
i
j



  Fei Fe(neta ) M v G ,
i
i
En virtud de la tercera ley de Newton el término
(2,5.1d)

 F
ij
0
Para llegar a este resultado (2,5.1d) se utilizaron las relaciones (2,5.1a).
Teorema 3: El centro de masa G de un sistema de N partículas se mueve como si en
él estuviese concentrada toda la masa M del sistema y sobre él actuara
la fuerza externa neta aplicada al sistema.
b) Expresión del momento angular.

El valor del momento angular neto L0 del sistema, respecto al punto 0 del
referencial (L) es, habida cuenta de su definición:




 


 L0   Li / o  ri  m vi   mi rG  ri / G  vG  vi / G  

i
i
i
i
,







r

M
v

r

m
v

L

L

L
G
i i / G i i / G G / O i i / G 0
G

(2,5.1e)
Teorema 4: El momento angular de un sistema de N partículas, respecto a un
punto dado O, es igual a la suma del momento angular del centro de la
masa como si allí estuviese concentrada toda la masa del sistema, más la
suma de todos los momentos angulares de las partículas respecto al
centro de la masa (G); este resultado se llama teorema de Koenig.
El valor del momento de todas las fuerzas que se ejercen sobre el sistema de N
partículas, respecto a un punto O, es:


 
 
 
M 0 .   ri Fei   ri  Fij   ri Fei   M iO
i
i, j
i
i


  1    
 
1
donde M io   ri  Fij   ri  Fij  r j  F ji   (ri  r j )  Fij  0
2 j
2 j
j
91


porque F ij y (ri  r j ) son vectores colineales; (se aplicó la tercera Ley de Newton).

N

dL0 
 
Por consiguiente queda  M 0   ri Fei 
(2.5.1f)
 L0 ,
dt
i 1
Teorema 5: El momento resultante de todas las fuerzas externas aplicadas al

sistema de N partículas, es igual a la variación instantánea L0 del
momento angular resultante del sistema, tomado respecto al punto 0,

al cual se refiere el torque M O .
c) Caso de sistemas de dos partículas.
Un buen número de problemas de física pueden tratarse como sistemas de dos
partículas: el movimiento Sol-Tierra, el átomo de hidrógeno, las moléculas
diatómicas, el rotor, choques entre dos partículas, etc. En tales casos la presencia
de otras partículas se manifiesta sólo a través de las interacciones que ejercen
sobre el sistema y que son, para este uso, fuerzas externas.
Sean entonces dos partículas caracterizadas por sus masas ml y m2 y separadas por

 
 
una distancia r12  r2  r ,  r1 , r2 son vectores de posición de las partículas respecto
al referencial (L). La masa total del sistema es M = m1 + m2 y su masa reducida es
tal que
1


1
1

.
m1 m2
Es fácil comprobar que las posiciones de las partículas respecto al centro de la
masa (G) toman los valores:

 

r1 / G  r1  rG  (  / m1 )r12 ,
 

r2 / G  r2  rG  (  / m2 )r21




La ecuación de movimiento del centro de masa es entonces: MrG  Fe  Fe1  Fe2

Si Fe  0 la velocidad del centro de masa es constante y el centro de la masa se
traslada con un movimiento rectilíneo uniforme. Un referencial ligado a (G) es, en
este caso, un referencial inercial.
Conviene a veces, disponer de las ecuaciones de movimiento de cada partícula:

 
m1r1  Fe1  F12 ,

  
m2 r2  Fe 2  F21
(2,5.1g)
Se divide cada ecuación respectivamente por m1 y m 2 , luego se multiplican por  y
se restan, teniendo en cuenta la 3ª ley; se obtiene entonces la ecuación de
movimiento de la masa reducida:

 r12  F 12 


1
m2 F e1  m1 F e 2 ,
m
(2,5.1h)
donde m = m1 + m2.
Si no hay fuerzas externas la ecuación de movimiento es:  r  F 12 : es un problema
de una sola partícula de masa  sometida a F 12 , o si se quiere es el movimiento
relativo de la partícula 2 al rededor de la partícula 1. La energía mecánica total
92
vale, en este caso: H 0  1 / 2v 2  V r , donde V r  puede ser un potencial
gravitacional o de Coulomb.
2.5.2 Energía de un sistema de N partículas.
La energía total del sistema de N partículas es la suma de las energías individuales
de cada partícula. Así la energía cinética del sistema de N partículas es, teniendo
en cuenta 2,5.1b):

 2 1
1
1
1
(2,5.2a)
mi vi2   mi vG  vi / G   MvG2   mi vi2/ G ,

2 i
2 i
2
2 I
Teorema 6: La energía cinética de un sistema de N partículas es igual a la suma de
la energía cinética del centro de la masa como si allí estuviese
concentrada toda la masa, más la suma de las energías cinéticas de las
N partículas calculadas desde un referencial situado en el centro de
masa.
Ec 
a) Trabajo y energía de un sistema de partículas:
Cuando la partícula “i” de un sistema de N partículas se desplaza en una cantidad


dr i, el trabajo de las fuerzas externas Fei e internas FIi es:
3


dW

F
.
dr

Feik dX ik

i
ei
 ei

k 1

3
dW  F Ii .dr  F k dX ,

i
Ii
ik
 Ii
k i
Si estas fuerzas externas e internas son conservativas derivan respectivamente de
los potenciales Vei y VIi , de tal suerte que la energía total de la partícula “i” es,
entonces: H i ri   Ti  Vei  VIi  H 0i  Cte .
Si las fuerzas externas aplicadas a la partícula no son conservativas la variación de
la energía de la partícula entre dos instantes, t1 y t2 es entonces:
t
2

H i (ri )  Ti (2)  Ti (1)  Vei (2)  Vei (1)   dWid (vi , t )
t1
En este caso la integral que aparece en esta expresión, no se anula cuando la
partícula describe una trayectoria cerrada, porque la fuerza correspondiente a ese
trabajo no es conservativa.
De todos modos la energía total del sistema de muchas partículas es la suma de las
energías individuales de todas las N partículas que lo constituyen:
ET  H i (ri ) , 
i  1,2,3,....., N .

i
b) Aspecto macroscópico de los sistemas de partículas:
Puesto que las mediciones del laboratorio suministran generalmente resultados
macroscópicos, la energía total de un sistema constituido por N partículas consta
de:
i) Una energía interna U que es la suma promediada de todas las energías
cinéticas y potenciales de las partículas que componen el sistema, es decir:
93
1
U    mi vi2     Vij (rij )  T   V ,  i, j  1,2,3,......, N
2
(2,5.2b)
ii) Una energía externa asociada con las fuerzas externas aplicadas al sistemna
de partículas, las cuales generan un trabajo externo Wex y comunican al
sistema como un todo una energía cinética T.
La energía total del sistema vale entonces:: ET  TC  U  Wex ,
(2,5.2c)
Si existen además, entre las fuerzas externas, fuerzas de fricción que generan
calor Q, la ecuación de conservación de energía se escribe:
(2,5.2d)
ET  T  Wex   U  Q ,
Este resultado se puede asociar con la primera ley de la Termodinámica.
→
2,5.3- Momento angular de un sistema de partículas.
Cuando existe movimiento de rotación, interviene de alguna manera la variable
“momento angular”, la cual está referida, según su definición, a un origen que
puede ser el origen de coordenadas. En un sistema de N partículas el momento

angular de una de ellas que rota con velocidad angular i (t ) se trató en el numeral
2,2.3; el momento angular de todo el sistema de partículas es la suma de los
momentos angulares individuales o sea


N


  
L0   (mi ri 2 ) i  mi ri (ri . i ) ,
i 1
(2,5.3a)

Los elementos del tensor de inercia I también serán las respectivas sumatorias de
los momentos de inercia individuales, es decir:
(2,5.3b)
I xx  mi (ri 2  X i2 )  mi (Yi 2  Z i2 ) ; I xy   X iYi mi ,



i
i
i
Con i = 1,2,3,….,N

El tensor de inercia I es simétrico o sea que sus componentes son tales que
 

I ij  I ji . El momento angular respecto al punto O, se estribe entonces L0  I . .
Si se escogen como ejes de coordenadas los vectores propios de la matriz de inercia
I ij , ésta sólo tendrá elementos diagonales no nulos y los “productos de inercia” no
 
aparecen.
Las expresiones de la energía cinética y del momento angular de un sistema de N partículas que

rotan alrededor de un punto fijo 0 con velocidad angular  se escriben:
Ec 
 
 
  

1
1
1
1
mi vi2   mi vi (i  ri )  i (ri  mi vi )   i .L0i ,

2 i
2 i
2 i
2 i
(2,5.3c)
(Se aplicó la relación vectorial A.(BxC) = C.(AxB) = B.(CxA)):
Si el sistema de partículas es un cuerpo rígido, entonces todas las partículas rotan

alrededor del punto fijo O con la misma velocidad angular  , de tal suerte que la
energía cinética es: E c 
1  
.L0 ,
2
(2,5.3d)
o de acuerdo con (2,2.2d), la expresión de la energía cinética queda así:
1   
E c  .I . ,
2
(2,5.3e)
94
Ejemplo de cálculo:
Calcular el momento angular y la energía de un sistema de 3 partículas de masas
m1  2, m2  1, m3  4, ubicadas en un referencial cartesiano en los siguientes
puntos (1,-1,1),
(2,0,2)
y (-1,1,0), que giran con una velocidad angular

ˆ
ˆ
ˆ
  3i  2 j  4k . De la expresión (2,5.3a) del momento angular, se tiene:
LX  I XX  X  I XY Y  I XZZ . Los momentos de inercia toman los valores:
 I XX  m1 (Y12  Z12 )  m2 (Y22  Z 22 )  m3 (Y32  Z 32 )  2(2)  1(4)  4(1)  12,

 I XY  m1 X 1Y1  m2 X 2Y2  m3 X 3Y3    2  4  6,
 I  m X Z  m X Z  m X Z   2(1)  1(4)  0  6
1 1 1
2
2 2
3 3 3
 XZ
Por consiguiente LX  12  3  2  6  4  6  0 .

Del mismo modo se calculan LY  6 y LZ  42 . Entonces L  iˆ0  ˆj 6  kˆ 42 .
La energía cinética de ese sistema vale EC  (1/ 2)LX  X  LY Y  LZ Z = 90
~
Pregunta; ¿Cuáles son las direcciones propias de la matriz de inercia I ?
2.5.4- Aplicaciones sencillas relacionadas con la cantidad de movimiento:
a) Retroceso de un átomo radioactivo que emite un fotón-:
Sea un átomo radioactivo de hierro 57 Fe, de masa M que emite un fotón-γ de
energía Eγ = 14,4 KeV. A este proceso se aplican los principios de conservación de
momento y de energía mecánica.
Para definir la cantidad de movimiento del fotón se parte de la ecuación relativista
de la energía: E 2  p 2 C 2  mO2 C 4 . Puesto que el fotón es un corpúsculo que no tiene
masa en reposo (m0 = 0), de esa ecuación se deduce que el momento de el fotón es
E
P 
.
c
Sean E0 y P0 la energía y el momento del núcleo antes de la emisión del fotón. Para
que se produzca la emisión, el núcleo debe estar en un estado excitado de energía
E0 respecto al estado base. Se supone que el átomo estaba en reposo por

consiguiente su momento Po  0 .
En el momento de la emisión del fotón γ, el átomo retrocede con una energía ΔE y

adquiere un momento Pa , por consiguiente las ecuaciones que traducen la
conservación de momento y de energía del sistema átomo-fotón son:



E  E , de las cuales se deduce que Pa  Mva   P , y el valor
0

 2

( Pa ) 2 ( P )
de la energía de retroceso es:
= 0,002 eV para el 57Fe.
E 

2M
2M
 
0  Pa  P ,  E

El fotón-γ no se lleva toda la energía E0 que se libera en la transición nuclear desde
el estado excitado hasta el estado fundamental; la energía con que emerge es: Eγ =
95
E0 – ΔE; en consecuencia si el fotón-γ emitido llega a otro átomo de 57 Fe que se
encuentre en el estado base, no alcanza a excitarlo al estado de energía Eo.
b) Propulsión de un cohete:
La propulsión de un cohete se basa en la variación temporal de la cantidad de
movimiento del sistema constituido por el cuerpo del cohete y por el producto de la
combustión de una cierta sustancia, expulsado en una dirección determinada por la
tobera del motor.

Supóngase que a un instante t1 el cohete lleva una velocidad v respecto a un cierto
referencial fijo (L), y que su masa es M  m , siendo m la masa de una cierta
cantidad de combustible, lista para ser quemada y expulsada en un intervalo de
tiempo posterior t . La cantidad de movimiento al instante t1 es:


P1 (t1 )  M  mv .
Figura 2,10: Cohete impulsado
Si durante el siguiente intervalo de tiempo t la velocidad del cohete aumenta en


una cantidad v y la masa de gas m es expulsada con una velocidad u respecto
 

al cohete, o con una velocidad u  v  v respecto al referencial (L), el momento del
sistema
al
instante
t2  t1  t , respecto a (L) tiene el valor:




 
P2 (t 2 )  M (v  v )  m(v  v  u ) .
El cambio de momento del sistema entre t1 y t2 vale:
 



P  P(t  t )  P(t )  Mv  mu , o pasando a valores infinitesimales se tiene:


dm
dM
dP
dv  dm

; pero
y la variación total de momento o impulso
M
u
dt
dt
dt
dt
dt
es:


dP
dv  dM
,
M
u
dt
dt
dt
(2,5.4a)
Este cambio de momento representa, de acuerdo con la segunda ley de Newton, la

fuerza externa que actúa sobre el sistema. Si Fe , es esta fuerza, se obtiene la

 
 ,
llamada ecuación de movimiento del cohete: Fe  Mv  uM
(2,5.4b)

En un espacio libre de campos de fuerza ( Fe  0) , la ecuación (2,5.4b) se reduce a
 
Mv  uM y si se supone que u es constante, se integra la ecuación y se encuentra el
valor del incremento de velocidad del cohete en un intervalo de tiempo t
 M (t1 ) 
v2  v1  uLn 
,
 M (t 2 ) 
(2,5.4c)
96


En un campo gravitacional de fuerza FE  Mg , suponiendo u y g constantes, se
llega a la solución de la ecuación de movimiento:
 M (t2 ) 
v2 (t2 )  v1 (t1 )  uLn
  g (t2  t1 ) ,
 M (t1 ) 
(2,5.4d)
 M (t 2 ) 
M
, y

 M (t1 )  M (t1 )
Se puede tomar M (t2 )  M (t1 )  M de tal suerte que Ln 
entonces: v2 (t 2 )  u.M / M (t ) , ¿Qué se puede concluir?
c) Presión de un chorro de partículas sobre una superficie plana.
Supóngase que un chorro de partículas idénticas y equidistantes entre sí, es
disparado contra una superficie . Sea d la distancia entre las partículas sucesivas

y v la velocidad promedio de cada una de éstas. La presión de las moléculas de un
gas sobre las paredes del recipiente que lo contiene, se calcula así: Supóngase un
elemento de volumen tubular de sección transversal S, pegado contra una de las
paredes planas del recipiente que contiene el gas. Q (ver figura 2,11).
Las moléculas que llegan a la sección S gastan un tiempo t en alcanzar la
superficie Q. Si se supone que los choques de las moléculas contra el plano son
elásticos, el cambio de momento por molécula es P  2mv x (se considera que las
moléculas inciden perpendicularmente a Q). Si n representa la concentración de
moléculas por unidad de volumen, el número de moléculas que en un intervalo de
tiempo t llega a Q: es  N  (1/ 2) S.v x nt ; el factor ½ provienen de considerar que
en promedio la mitad de las moléculas se dirigen de izquierda hacia derecha y la
otra mitad en el sentido contrario. En consecuencia el cambio promedio total de
momento por segundo es:
PT
P
N
 (1 / 2)S.v x n2mv x  mvx2 nS , y la
t
t
F PT

 nmv x2 .
presión promedio es: p 
S St
Puesto que en valores promedios el cuadrado de
la velocidad vale  v 2  v x2    v 2y    v z2  ,
y que los valores promedios de los cuadrados de
las 3 componentes son estadísticamente iguales,
 v x2  v 2  / 3 , por
se tienen entonces
consiguiente se llega al resultado:
p  (1 / 3)nm  v 2  ,
Fig. 2,11: Presión de un gas
(2,5.4e)
Ahora bien: la densidad molecular es n = N/V, siendo N el número total de
moléculas y V el volumen del recipiente, por lo tanto se tiene pV  (1 / 3)m  v 2  .
En termodinámica se demuestra que la energía cinética promedio de las moléculas
de un gas ideal, por cada grado de libertad, es proporcional a la temperatura del
sistema, es decir (1/ 2mv 2   (1/ 2)k BT . La relación (2,5.4e) conduce a la ecuación
de estado de un mole de gas ideales pV  RT , con R=KB.N que es la constante de
gases ideales.
97
Ejercicios 2.3.
1- Suponga que un chorro de moléculas de oxigeno separadas por una distancia
promedio d = 20 Å, incide perpendicularmente sobre un plano Q con una
velocidad promedio de 25 m/s. ¿Cuál es el valor de la fuerza promedio ejercida
por ese chorro sobre un cm. del plano? (suponga que el radio promedio de una
molécula es ro = 4Å).
2- Analizar el caso de un chorro de moléculas equidistantes de masa m que incide
sobre un plano Q con un ángulo de incidencia  respecto al plano, y es reflejado
en una dirección  también respecto al plano Q. Suponga que la reflexión es
elástica (espectacular).
¿Qué sucede si hay una pérdida de energía en un porcentaje e = 5%, como
resultado del choque?
1- Considérese el esquema de un regulador de velocidades angulares (Fig. 2,12)
Los brazos OA, OB, AI, BI son iguales (longitud L), rígidos y de peso
despreciable; pueden pivotear en 0 y en I. Las esferas A y B tienen una masa m
cada una. El punto I está conectado a un resorte de constante de fuerza k.
Cuando el sistema gira alrededor del eje vertical z, les esferas describen una
circunferencia de radio R.
a) Demuestre que el valor de la velocidad angular viene dado por la siguiente
expresión, suponiendo que la fuerza de gravedad sobre las esferas es
despreciable:
2 

T  2 K L  L2  R 2
m L2  R 2
 , T es la tensión del resorte.
b) ¿Qué sucede con esa expresión si se tiene en cuenta el
peso de las esferas?
c)
Si m = 0,2 Kg., L=30 cm.,  =26 rad./s, R=10 cm. y k
=1 N/cm. ¿Cuánto vale la tensión del resorte?
2.5.5- Elementos de dinámica relativista:
Momento lineal de una partícula.
Figura 2,12: Regulador de 
En el capítulo de cinemática relativista se mencionó
dX 
que las componentes de la velocidad de universo de la partícula valen U  
d
donde  es el tiempo propio de la partícula.
Esas componentes de la velocidad de universo se expresan así:
Ui 
U4 
vi
1 2
iC
,  i  x, y, z
(2,5.5.1)
1 2
Obsérvese que
 U  U    C 2  Cte
,
98
2.6- Movimiento del cuerpo rígido.
2,6.1 ¿Cómo abordar el movimiento del cuerpo rígido?
El cuerpo rígido, como ya se indicó, es un sistema de N partículas cuyas distancias
 
relativas son invariantes es decir r j  ri  C ij  Cte , debido a los fuertes enlaces
que unen a los átomos, los iones y las moléculas. Esta rigidez no es absoluta: la
mayoría de cuerpos sólidos se deforman un poco cuando son sometidos a esfuerzos
externos. Se dice que poseen cierta elasticidad.
En el estudio del movimiento del cuerpo rígido se tienen en cuenta las siguientes
circunstancias:
a) De acuerdo con los teoremas del centro de masa, el movimiento del cuerpo rígido
se compone de un movimiento de translación del centro de masas CM (o de
cualquier otro punto P) del cuerpo + un movimiento de rotación alrededor de
dicho punto. Se requieren por lo tanto 6 grados de libertad: tres coordenadas
X C , YC , Z C  para definir la posición del CM o del punto P, y tres
, ,  para definir la rotación del cuerpo alrededor de ese punto.
ángulos
El movimiento de translación se puede describir partiendo de la ecuación de

Newton: Fext 


d
( M TVCM ) , donde MT es la masa total del cuerpo y VCM la
dt
velocidad del centro de masa.
Si se lanza, por ejemplo, un objeto hacia arriba, con una cierta inclinación
respecto a la vertical, el centro de masa describe una parábola mientras que el

resto del cuerpo gira alrededor de CM con una velocidad angular (t ) .
b) Cuando se llega al análisis del movimiento del cuerpo rígido, los textos de
mecánica clásica generalmente se enfocan en el estudio del movimiento de
rotación, considerando que el tratamiento del movimiento de translación es
sencillo puesto que es el de una partícula de masa MT.
c) Al movimiento de rotación del cuerpo rígido están asociadas variables dinámicas
como el torque, el momento angular, el momento de inercia y la energía cinética
que se expresan así:


  

  

 0  L 0 , con L0  r  p  r  mv, con v =   r , de donde
 

1  
L0  I . , y E C  L.
2
d) En el estudio del movimiento del cuerpo rígido intervienen dos referenciales:
uno ligado al cuerpo (S) y el otro que es el del laboratorio. Con el objeto de
simplificar los cálculos, se toman como vectores de base de los ejes de
coordenadas, las direcciones de los vectores propios de la matriz del momento
 
de inercia I jk . En esa base sólo las componentes diagonales de la matriz de
inercia tienen valores diferentes de cero. Los productos de inercia son todos
nulos.
En los ejemplos que siguen se consideran movimientos del cuerpo rígido ya sea
alrededor de un punto fijo, ya sea alrededor de un eje fijo. Puesto que en la rotación
de los cuerpos rígidos intervienen los momentos de inercia, se hace referencia al
teorema de Steiner-Huyghens o de ejes paralelos.
99
Momento de inercia y Teorema de Steiner-Huyghens o ejes paralelos:
Generalmente la literatura científica suministra los valores de los momentos de
inercia de los cuerpos rígidos respecto a un eje DG que pasa por el centro de masa
G; esto en especial cuando éstos poseen formas simétricas. Sin embargo, a veces se
requiere conocer el momento de inercia respecto a otro eje D paralelo a DG . ¿Cómo
se relacionan los dos valores del momento de inercia?
El teorema de Steiner- Huyghens responde:
I D  IG  R2 M ,
O sea: el momento de inercia del cuerpo respecto a un eje paralelo al que pasa por
el centro de masa G, es igual al momento de inercia respecto al eje que pasa por el
centro de masa, más el producto de la masa total del cuerpo por el cuadrado de la
distancia R que separa los dos ejes.

En efecto: sean ri / O la posición de una partícula P del cuerpo respecto a un origen O

situado sobre D y ri / G la posición de P respecto al centro de masa G situado sobre
DG . Las distancias del punto P a los dos ejes son respectivamente d i / D  PH D y

 
d i / DG  PH DG . Se tiene entonces, según el triángulo H D PH DG  d i / D  R  d i / DG , o

elevando al cuadrado, se tiene: d 2 i / D  R 2  d 2 i / DG  2R.d i / DG . Se multiplica cada
término por mi y se suma respecto a i y se obtiene la expresión:


2
2
2
m
d

R
m

m
d

2
R
.
m
d
i
/
D
i
/
DG
 i
 i  i
 i i / DG ,
i
i
i
El término de la izquierda es
i
I D , los dos primeros de la derecha son
respectivamente R M , I G ; el tercer término es nulo según (2,5.1a). Queda así
2
demostrado el teorema de ejes paralelos.
2,6.2- Ejemplos de movimientos de cuerpos rígidos:
a) Cuerpo rígido girando alrededor de un eje fijo.
Sea un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo OZ, con una velocidad

angular constante   k̂ . Se supone que en el centro de masa se encuentra
situado sobre el eje Z.
Se considera en primer lugar, el movimiento de cualquier partícula i del cuerpo. Su
 
posición y su velocidad son determinadas por los vectores (ri , vi ) medidos desde un
referencial (S) fijo al centro de masa G. La partícula gira alrededor del eje OZ con

una velocidad angular  , describiendo un círculo de radio .
  
Se tiene r    kz
velocidad es:
y entonces el valor de la
 

    
vi    ri  kˆ    i  k z      i , y el momento


angular toma el valor:
100
 
 

 
Li  ri  (mi    i )  mi (  i  kˆz i )  (   i )

 mi  i2.
Le energía cinética del sólido constituido vale:
EC 

1 N   1 N
.Li   mi  i2  1 / 2I z  2 ,

2 i 1
2 1
donde I Z 
m 
i
2
i
.,
(2,6.2a)
(2,6.2b)
I Z es el momento de inercia del sólido respecto al eje
de rotación z. El momento angular vale LZ  I Z 
Figura 2.13:Rotación
alrededor de eje fijo
Ejemplo de cálculo del momento de inercia de un cilindro:
Sea un cilindro de radio R y de altura h. Para calcular el momento de inercia de ese
cilindro respecto al eje de simetría se supone que es un medio homogéneo y
continuo, y se considera una capa cilíndrica situada a una distancia r del eje de
simetría y de espesor dr; sea  la densidad del cilindro.
El elemento de volumen de la capa cilíndrica vale dV  (2rdr )h y el elemento
correspondiente de masa es dm  (2rhdr ) . Por otro lado el momento de inercia
de ese elemento de masa es dI  r 2 dm , o sea que el momento de inercia del cilindro
respecto al eje de simetría vale:
1
1
I Z   r 2 (2rh )dr  hR 2  MR 2 , M = masa del cilindro:
2
2
Aplicación numérica:
Sea un volante de hierro (densidad 7,84 g/cm3) de radio R = 50 cm. y de espesor e =
10 cm, que gira alrededor de su eje de simetría con una velocidad angular de 1.000
revoluciones por segundo (r.s) ¿Cuánto vale su energía cinética?
El momento de inercia del volante respecto al eje de rotación es I = MR2/2 = 76,97
m2kg, por consiguiente su energía cinética vale:
EC  (1/ 2) I 2  (1/ 2)(1,745rd / s  76,97m2 kg  117,187 Joules
2
b) El rotor:
El rotor esta constituido por dos masas m1 y m2, puntuales y unidas entre sí
mediante una varilla rígida de peso despreciable y de longitud AB = 2d.
Supondremos que el rotor gira alrededor de un eje fijo OZ y que el origen del
referencial cartesiano (x,y,z) se encuentra sobre la varilla, en el centro de ésta.
El eje de rotación hace, con la dirección de la varilla, un ángulo  que supondremos
constante. Se designa por  el ángulo

de giro y por  (0,0,  ) la velocidad
angular del rotor (figura 2,14).
El análisis del movimiento del rotor se
basa en la ecuación dinámica:
101


dL0
Torque / O  M 0 
.
dt

Con L0 = momento angular del rotor respecto al punto 0.
Ahora bien el valor del momento angular se escribe en forma matricial así:
Lij  I ij . ij o en forma tensorial
    
  
L  I ..

En este caso las componentes de L0 son:
 Lx 
 I 11
 

 L y   0,0,  . I 21
L 
 I 31
 z
Figura 2,14,: El rotor
I 13 
 I 31 

I 22 I 23     I 32 
(2,6.2c)
 I 33 
I 32 I 33 

Para determinar el valor de L0 es preciso conocer la expresión de las componentes
( I ij ) de la matriz de inercia.
I 12
Los momentos de inercia, en coordenadas cartesianas valen, como se señaló en
mi X i2  Yi 2 ;
I 31   mi Z i X i .
(2,5.3)  I 33 
 
i 1, 2


i 1, 2
Por otro lado se tienen las coordenadas cartesianas para la masa m1 :
 X 1  d .sen . cos 

Y1  d .sen .sen
Z  d . cos 
 1
y se encuentran relaciones similares para las coordenadas de la masa m2 pero con
valores negativos. Los valores de las componentes de la matriz de inercia I31, I32 y
I33, son entonces, haciendo uso de la relación trigonométrica 2sen.cos = sen2 y
suponiendo las masas iguales m1  m2 :
I 33  2md 2 sen 2 ,
I 32  md 2 cos  .sen 2 ,
I 31  md 2 sen .sen 2 ,
(2,4.2d)
Puesto que  es constante, se toma sen(2 )  k , de tal suerte que las componentes
del momento angular del rotor, respecto al punto 0, tienen los siguientes valores, de
acuerdo con (2,6.2c) y (2,4.2d):
 k . cos  
 .k cos    2 k.sen 




2
Lo  .md   ksen  , y el torque es M o  Lo  md 2  .k.sen   2 k. cos   , (2,6.2b)


2.k.sen 2

 2sen 2 



Supóngase ahora que existe una fuerza F aplicada al rotor y que es paralela al eje

de rotación OZ; el torque M es perpendicular a dicho eje, y por lo tanto Mz = 0; se
deducen entonces las ecuaciones de movimiento: 2. sen 2  0 o sea  (t )   0 t   0
el rotor gira uniformemente al rededor del eje z.
Las componentes trasversales del torque tienen los valores:
2
2

M X  (md ) o k .sen 0 t  o 

2
2
4
2

  M x  M y  o k  M ,
2
2

M y  (md ) o k . cos o t    

Estas componentes giran circularmente en el plano (x,y).


Si la fuerza pasa por el punto 0, entonces M = 0 y Lo se conserva.
(2,6.2c)
102
Ejercicio:
1    1 2
..I .   I Z , siendo
2
2
Iz la matriz de inercia del cuerpo respecto al eje de rotación ( n̂ ). ¿Cuánto vale I Z
Puesto que la Energía cinética del cuerpo rígido es EC 
en este caso? ¿Cuál es el valor de la energía cinética?
c) Movimiento plano de dos cuerpos conectados entre sí:
Sea un bloque de masa M que puede deslizar sin rozamiento sobre una mesa
horizontal provista de una ranura a lo largo del eje-X; por entre la ranura se
suspende al bloque un péndulo de masa m, tal como aparece en a figura 2,15. Se

aplica al bloque una fuerza F en la dirección X. ¿Cómo es el movimiento de las dos
masas m Y M?
a) Calcular el valor de la energía total del sistema
b) Hallar las ecuaciones de movimiento del sistema y hacer una descripción física.
Se analiza el movimiento de translación de sus centros de masa.
Este es un sistema constituido por dos cuerpos que se mueven en un plano (X,Y),
por consiguiente tendrían, en principio 2  2  4 grados de libertad, sin embargo la
masa M está condicionada a moverse sobre un eje-X sin rozamiento; además la
cuerda del péndulo se supone de peso despreciable, inextensible y de longitud fija,
por lo tanto la esfera de masa m que cuelga de ella está obligada a describir una
circunferencia de radio r = ℓ en el plano (X,Y). En conclusión quedan sólo dos
grados de libertad para esta sistema: uno que corresponde a la coordenada X para
ubicar la masa M y el otro el ángulo  para posesionar la pequeña esfera de masa
m. Las ecuaciones de ligadura son: YM  0,  x m2  y m2   2 .
Se usarán las coordenadas (X) para la masa M y () para la masa m.
a) La energía mecánica del sistema es:
1
1
1
1
La energía cinética total es: EC  mv 2  MV 2  m( x 2  y 2 )  MX 2
2
2
2
2
Pero se tiene las relaciones siguientes:
 x  X  Lsen ,  x  X  L cos  ,

 y  L cos  ,  y   Lsen ,
m 2
1
X  L2 2  2 LX cos   MX 2
Se tiene entonces: EC 
2
2
La energía potencial del péndulo es: EP  mgL(1  cos )
m 2
1
X  L2 2  2 LX cos  MX 2  mgL(1  cos ) ,
La energía total es: H 
2
2




(a)
(b)
(c)
(d)
103
Figura 2,15: Dos cuerpos conectados entre sí.
b) Ecuaciones de movimiento relativas a las dos variables independientes (X,) que
definen las posiciones de los centros de masa:
a m  X  Lcos  L 2 sen
Las aceleraciones del sistema son, de acuerdo con (a): 
a M  X
En la dirección ê la aceleración del péndulo es a m  L , es la aceleración
tangencial.
Las componentes de la fuerza que se ejerce sobre el sistema tienen los valores:
 FX  ( M  m) X  m( Lcos  L 2 sen )
,

 F  mL  MX cos
(e)
En la expresión de la fuerza se observa cómo los dos cuerpos están acoplados: la
 ; hay una contribución del
fuerza que se ejerce sobre la masa M no es sólo MX
movimiento del péndulo atado a dicha masa.
Las fuerzas que se ejercen sobre el sistema son:

- Una fuerza de gravedad sobre la esfera FG  mgˆj ,

- Una fuerza de tensión en la cuerda T  eˆr T . Una fuerza externa aplicada a la

masa M que escribimos FM  iˆFX  ˆjFY
Con el fin de obtener una solución de las ecuaciones de movimiento se adoptan las

siguientes suposiciones: la fuerza F  0 (sólo se da un impulso inicial a M) y los
ángulos de oscilación del péndulo son pequeños de tal suerte que en una
aproximación del primer orden se tienen las ecuaciones:
mL 






0  ( M  m) X  mL ,  X  mL /( M  m) ,  X   (m  M ) 

,
 mg  mL  MX ,  mg  mL  M  mL /( M  m)

m  g
g M m
 
   0,     2  0,   2  .


L
m

M  m L
 (t )   O sen(t   ),

Las soluciones son: 
 mL

 X (t )   M  m  0  sen(t   )  vo t  X O



Conclusión:
(f)
(g)
La masa m oscila con una frecuencia  cuyo valor depende de las masas M y m,
mientras que la masa M se traslada uniformemente a lo largo de OX, oscilando con
la misma frecuencia.
104
2,6.3 - Movimiento del trompo simétrico:
a) Ángulos de Euler:
El estudio de la rotación de un cuerpo rígido alrededor de un punto fijo del mismo
cuerpo, que puede ser su centro de gravedad, requiere el manejo de 3 ángulos de
rotaciones alrededor de ejes que se seleccionan de manera apropiada.
Esas rotaciones se representan por matrices ortogonales.
¿Cómo escoger los ejes de rotación y los correspondientes ángulos de giro?
Existen diversas posibilidades de escogencia; se pueden tomar, por ejemplo, los ejes
que corresponden a los vectores propios de la matriz de inercia asociada al sólido.
Euler propuso los siguientes ángulos de rotación.
En la figura 2,16 se ilustra gráficamente cómo se generan y definen esos 3 ángulos
que son:
1- un ángulo de rotación  alrededor del eje oz 0 del sistema de coordenadas
fijo (L); se denomina “ángulo de precesión”. El eje oxo gira a la posición 0x’
y el eje oy0 gira a la posición
oy'0 . Estos 3 últimos ejes
están en el mismo plano (x,y).
2- un ángulo de rotación 
alrededor del eje 0x’. Se llama
“ángulo de nutación”. El eje
oy'0 gira a la posición 0y’ la
cual se desprende del plano
0xy y gira un ángulo  (plano
OIC).
3- un ángulo de rotación 
alrededor del eje 0z’ que se
generó por la rotación  . Se
llama “rotación propia”. Ese
ángulo  se ubica en el
plano OIC. El punto I pasa a
Figura 2,16: Angulos de Euler.
I’.
Las matrices de rotación alrededor de los ejes Oz, Ox’, Oz’ se expresan así:
 cos 

A    sen
 0

sen
0
0
1


cos  0 ; A   0 cos 
 0  sen
0
1 

0 
 cos


sen ; A    sen
 0
cos  

sen
cos
0
0

0 ,
1 
( 2,6.3a)
La matriz de rotación del conjunto es el producto de las tres matrices:
~ ~
~
~
A  A  A  A . Se sugiere efectuar el cálculo de esta matriz.
Los ejes (0x’, 0y’,0z’) perpendiculares entre sí, constituyen los ejes principales del
trompo simétrico cuyo movimiento se estudia más adelante. Son también los
 
vectores propios de la matriz I ij .En esta base
e , e , e  de vectores propios, la
1
2
3
105
matriz es diagonal. La importancia de los ángulos de Euler radica en el estudio de
la rotación de cuerpos rígidos.
Se dispone de dos sistemas de coordenadas (y dos referenciales L y S) a saber:
 j, k),

  x, y, z con (i,
 (L)
,




  x', y' z' , con (e1 , e2 , e3 ),  (S)
La velocidad de rotación total
vale:
  
       .


 del
(2,6,3b)
cuerpo rígido ligado a los ejes (0z’, 0x’, 0y’),

Las componentes de  en el referencial (L) valen, de acuerdo con la figura 2,16:
1  .cos   .sen .sen

 2 = .sen   .sen .cos
 =   cos
 3
(2.6.3c)
y respecto a un observador situado en el referencial S ( x'. y'. z') del cuerpo rígido,
esas componentes tienen los siguientes valores:
 '1  .cos  .sen .sen

 ' 2 = - .sen  .sen .cos


 '3 =    .cos
(2,6.3d)
b) Caso del trompo simétrico.
¿Qué es el trompo simétrico?
Es un cuerpo rígido, con simetría cilíndrica o esférica, que gira rápidamente al

rededor de su eje propio de simetría (Oz’) con una velocidad angular propia 
(hay spining) y que tiene un punto 0 fijo ubicado sobre el eje de simetría. La fuerza
del peso está aplicada en centro de masa ubicado también sobre un eje de simetría.
Se indica una clasificación de los trompos según su grado de simetría traducida en
los valores en los valores de la matriz de inercia. Se supone que son medios
materiales continuos y homogéneos.
Se tienen así:
i) Los trompos simétricos en los cuales I1 = I2 ≠ I3 (simetría cilíndrica).
ii) Los trompos antisimétricos son aquellos en los cuales se tiene I1 ≠ I2 ≠ I3
iii) Los trompos esféricos son aquellos en los cuales se tiene I1 = I2 = I3
Estudio analítico del movimiento del trompo simétrico:
Puesto que se trata de estudiar el movimiento de rotación de un
 cuerpo rígido, las
variables dinámicas que intervienen son: el momento angular L0 con respecto a un

punto fijo O, la velocidad de rotación  y la energía cinética E C de rotación; a
estas variables va asociada la matriz de inercia
I .
ij
Las ecuaciones de
movimiento se deducen de la segunda ley de Newton expresada ya sea mediante las
fuerzas aplicadas al sólido o ya sea mediante al torque asociado a esas fuerzas y a
la derivada del momento angular. Esta ley se expresa cuantitativamente así,
respecto a los referenciales (L) y (S):
106

dp L 

 

FL  dt  p L  p s    p s ,

  M  L  L    L .
0L
L
s
s
 OL
(2,6.3e)




Obsérvese que aparecen los términos adicionales   LS , y   pS : la derivada de
cualquier vector no es unívoca en el cambio de referencial cuando existe rotación
del cuerpo.


Las componentes de la fuerza F y del torque M 0 tienen los siguientes valores
respecto a los referenciales (L) y (S):
F1  p 1   2 p3  3 p 2
M 01  I 1 1  ( I 3  I 2 ) 23


(2,6.3f)
(a)F2  p 2  3 p1  1 p3 ;  (b)M 02  I 2 2  ( I 1  I 3 )31
F  p   p   p
M  I   ( I  I ) 
3
1 2
2 1
3 3
2
1
2 1
 3
 03
El segundo conjunto de ecuaciones constituyen las llamadas “Ecuaciones de Euler”.
Si se conocen los valores de las componentes de las fuerzas y de los torques, la
resolución de las ecuaciones (2,6,3f) informa sobre el movimiento del trompo.
Velocidad angular y momento angular:

La velocidad angular respecto a (S) vale: S  e11  e22  e33 ,
El momento angular respecto al referencial (S) vale:
LS  I 11e1  I 22 e2  I 11e1  I 3 (3   )e3 ,
(2,6.3g)
(2,6.3h)

se añade la rotación propia    .eˆ3 .

Obsérvese que LS tiene una expresión simple, razón por la cual se prefiere
determinar los valores de las variables dinámicas en el referencial (S) y luego pasar
a expresar esos valores en el referencial (L), aplicando las respectivas ecuaciones
(2,6.3e).
 

Sustituyendo los valores de  , LS y LS tomados de las ecuaciones (2,6.3g) y

 dL 
 
(2,6.3h), se obtienen el siguiente valor de 
 dt  L

 dL 
   I 1 1  ( I 3  I 2 )12  I 32 e1  I 2 2  ( I 1  I 3 )13  I 31 e2 
, 2,6.3i)
 dt  L
I 3 ( 3   )  ( I 2  I 1 )12 ,


 


El valor del torque para el trompo sometido a la fuerza de gravedad es:

 dL 
      mg(d . e3  k)  mgd . sen . e1 ,
 dt  L

(2,6.3j)
d es la distancia O-CM (origen de coordenadas-centro de masa).
Ecuaciones de movimiento del trompo simétrico:
Se igualan las componentes vectoriales de las ecuaciones (2,6.3i) y (2,6.3j) y se
encuentran las ecuaciones de movimiento del trompo simétrico referidas las
velocidades angulares:
107
 I 1 1  ( I 3  I 1 ) 2 3  I 3 2  mgdsen
,
 I 1 2  ( I 1  I 3 )1 3  I 31  0
 I 3 ( 3   )  0,   3    Cte
(2,6.3k)
Caso del trompo libre (no actúan fuerzas externas sobe el trompo)

En este caso el torque es nulo  M  0 , y la primera ecuación de (2,6.3k) se iguala
a cero y se escribe:


I
I 1 1  I 123  I 32 (3   )  0  I 1 1  I 12  3  3 (3   )  0 , el paréntesis
I1



es constante y se designa por     3 


I3
I  I3 I3
(3   )  3 1
 .
I1
I1
I1

La primera ecuación de movimiento queda entonces así: I 1 1  I 1 2   0 ,
De igual forma se llega a una expresión similar para la 2ª ecuación de (2,6.3k).
      0
Para resolver ahora las dos ecuaciones de movimiento:   1   2  0 , se derivan y se
1
 2
1   21  0, y 
2   22  0 ,
encuentra que: 
  (t )  A.cos( t )
cuyas soluciones son funciones sinusoidales:  1 (t )  A. sen( t )
 2

La componente transversal de  toma el valor:
t  e1 1  e22  Ae1 cos  t  e2 sen t  ,

(2,6.3ℓ)
 se concluye que el trompo gira uniformemente al rededor del eje de simetría 0z’,
en el plano (0x’,0y’ ).
Por otro lado el momento angular observado desde (S) es:




Lo  eˆ1 ( I11 )  eˆ2 ( I 22 )  eˆ3 ( I 33 )  AI (eˆ1 cos t  eˆ2 sent )  L3  L  L3 , (2,6.3m)
t
La componente L3 tiene un valor constante, mientras que la componente

transversal Lt gira uniformemente al rededor del eje de simetría del trompo (0z’)
en el plano (0x’,0y’).

Una vez determinados los valores del momento angular L y de la velocidad angular

 se puede proceder al cálculo del valor de la energía cinética:
T

1   1 
1   1  


L.  ( Lt  L ).( t    )  Lt . t  L . 
2
2
2
2
Ahora bien, los ejes 0x’ y 0y’ se pueden seleccionar de diferentes maneras alrededor
de 0z’ pero asegurando que sean perpendiculares a éste; se pueden escoger de tal
manera que 0x’ coincida con la dirección OI (ver figura), en cuyo caso   0 , esto no
quiere decir que   0 , puesto que se puede tener    . En estas condiciones y

según la ecuación (2,6.3d), los valores de las componentes de  son:
 '1  1  ,
 ' 2 = 2   . sen ,
 ' '3  3     .cos
Con estos valores la expresión de la energía cinética queda así:
108
T
1
1
I 1 ( 2 . sen 2   2 )  ( .cos   ) 2 ,
2
2
(2,6.3n)
En esta expresión de la energía cinética para el trompo simétrico libre, intervienen
los 3 ángulos de Euler ( , , ) . ¿Cómo varían los valores éstos ángulos respecto al
tiempo? Para ello hay que sustituir, en las ecuaciones (2,6.3k), los valores de  k
por los de las ecuaciones (2,6.3d). Pero antes de efectuar esos cálculos, considérese
la siguiente aplicación.
Aplicación al caso de la Tierra:
El planeta Tierra está achatado en la dirección de los polos y se puede considerar
como un trompo simétrico, cuyos momentos de inercia son I1 = I2 e I3. Se ha
encontrado que (I1 –I3) = -0,033 = 1/300 = -  /  3 : el eje de rotación propia de la
Tierra debería describir un pequeño círculo en 300 días; en realidad emplea 427
días: Esta desviación se debe, al parecer, a la no-rigidez del Planeta Tierra, rodeado
por una capa atmosférica fluida.
Trompo simétrico sometido a la acción de la gravedad
Se vuelve a las ecuaciones de movimiento (2,6.3k) y se sustituyen los valores de las

componentes de  por los que aparecen en las ecuaciones respectivas (2,6.3d).
Para comodidad en los cálculos se selecciona el eje 0x’ paralelo a OI de tal forma
que   0 , esto no quiere decir que   0 , ya que se puede tener    .
En las condiciones anteriores los valores de las componentes de la velocidad
angular son: 1  , 2   . sen , 3   .cos ,
Con estos valores las ecuaciones de movimiento (2,6.3k) del trompo simétrico,
 I 1  ( I 3  I 1 ) 2 . sen .cos  I 3 2 . sen  mgd . sen

 .cos )  ( I 1  I 3 )
 .cos  I 3.  0
quedan así:  I 1 (. sen  
(2,6.3p)
 I 3 (.cos   .. sen   )  0
d
( .cos )  .cos   .. sen ) y
Respecto a la tercera ecuación se observa que:
dt
d
( .cos   )  0 y teniendo en cuenta el valor de  3 se llega a
por consiguiente:
dt
 3    Cte   . Las dos ecuaciones de movimiento (2,6.3p) se escriben entonces
 I   I  2 . sen .cos  I 3   . sen  mgd . sen
así :  1  1
 .cos )  I 3    0
 I 1 ( . sen  2
Energía total del trompo
Para hallar el valor de la energía total del trompo se regresa a las ecuaciones de
movimiento (2,6.3k) y se multiplicar cada una de ellas por 1 ,  2 o  3 , luego se
suman las 3 ecuaciones miembros a miembro y se llega al siguiente resultado:
I 1 11  I 2 22  I 3 ( 33   3  3   2 )  mgd1 . sen , que se escribe:
I3 d
1d
d
( I 112  I 1 22 ) 
( 3   ) 2  (mgd .cos )  0 , por consiguiente:
2 dt
2 dt
dt
109
I1 2
I3
I1 2
I3
(1   22 ) 
( 3   ) 2  (mgd .cos ) 
(1   22 )   2  mgd .cos  E .
2
2
2
2
(2,6.3q)
Los dos primeros términos corresponden a la energía cinética T y el tercero a la
energía potencial V, de tal suerte que E = T + V, es la energía total del trompo, la
cual aparece como un invariante, o sea se conserva a través del tiempo.
Si se consideran las condiciones correspondientes a   0 , se llega a la misma
expresión de la energía cinética que aparece en (2,6.3n).
Este es un ejemplo de análisis del movimiento de un cuerpo rígido simétrico basado
en la teoría de Newton de la Mecánica clásica..
En el caso del trompo con rotación de nutación constante, es decir, tal que:
  Cte,   = 0 =  , la expresión de la primera ecuación de movimiento queda
así:

 A =
2
2




I 1 .cos  I 3   mgd  0, que es de la forma    A  B  0, con
B 

I 3
I 1 cos
mgd
I 1 cos
La solución da los posibles valores de precesión del trompo que son:


1
A  A 2  4 B , pero con la condición de que A2  4 B .
2
Si A2  4 B existirá tan solo un valor de frecuencia de precesión , esto es:
I 3
  A/2 
.
I 1 cos
 
El cálculo de las ondulaciones del movimiento de nutación se obtiene considerando
  Cte .
Volante simétrico.
Sea un volante al cual se le imprime una rotación de alta velocidad angular ,
alrededor de su eje de simetría horizontal, como se muestra en la figura 2,17.
El volante se apoya sobre un cojinete, en uno de los extremos de su eje (punto 0),
mientras que el otro extremo se sostiene inicialmente en la dirección horizontal,
mientras el volante alcanza la alta velocidad .
Cuando se suelta el extremo A, actúa el torque de la fuerza de gravedad. El valor
del torque, respecto al centro de masa, es Mo = mga y tiene una dirección
horizontal, paralela al eje-y. La variación del momento angular causada por el

torque vale: L / t  mga (paralela a M o ).
110
Figura 2,17: Volante simétrico

Si  es el ángulo de giro del vector L0 respecto a su posición inicial, se tiene
entonces (en primera aproximación) L  L0   mga.t de donde se despeja el
valor de la velocidad de presesión del momento angular (o del volante) alrededor
del eje vertical que pasa por el punto de apoyo 0, debido a la acción del torque

M o de la fuerza de gravedad; ese valor es   mga / L0   .
Ejercicios 2,6:
1- El péndulo físico es un cuerpo rígido suspendido por uno de sus puntos A
situado a una distancia D del centro de masa (G) del cuerpo, y que oscila
respecto a ese punto de suspensión bajo la acción de la fuerza de gravedad.
a) Escribir la ecuación de movimiento del péndulo.
b) Demostrar que la frecuencia de oscilación tiene el valor   MDg / I A .
c) Si Io es el momento de inercia del cuerpo respecto al CM, se define el “radio
de giro” k =
I o / M . Demostrar que ω = gL /( k 2  D 2 ) .
d) ¿Cuánto vale k para un disco de radio R?
¿Para una esfera de radio a?
2- Considerar un trompo simétrico (I1 = I2), sometido a la acción de la fuerza de

gravedad Mg y demostrar:
a) que la energía cinética de rotación del trompo, respecto al referencial S del trompo,




I
2
I1  2 2
 sen    2  3  cos   
2
2

b) que las componentes del momento angular Lo son:
L1  I1; L2  I1sen ;
L3  I 3  cos   
vale:
T=


Si se escoge como dirección del eje X1, la del segmento OI, verificar que
se tiene: L1 = 0; L2 = Losenθ; L3 = Locosθ y   0 ,  de donde θ = Cte y el
ángulo de inclinación del eje de simetría del trompo simétrico, respecto a la

dirección del momento angular Lo , se mantiene constante.
3- Un volante de hierro de radio R = 50 cm. y de espesor e = 10 cm gira al rededor
de su eje de simetría con una velocidad angular de 1000 r.p.m.
a) Cuánto vale el momento de inercia del volante respecto al eje de giro?
b) ¿Cuánto vale el momento angular del volante?
111
2.7- Conceptos básicos sobre la dinámica de fluidos.
2.7.1 – Los medios continuos
Cuerpos no rígidos – Esfuerzos y deformaciones:
Dentro de los sistemas de muchas partículas se examinó el movimiento del cuerpo
rígido que por definición es indeformable. Al otro extremo está “el gas ideal” en el
cual las partículas que lo conforman se encuentran totalmente independientes y
una muestra de ese gas se puede deformar a voluntad (aunque hay un límite
inferior).
Entre esos dos extremos se encuentra una amplia gama de sistemas de partículas
más o menos cohesionadas por enlaces atómicos o moleculares (no se consideran
sistemas de núcleos atómicos formados por partículas elementales). Dichos enlaces
no son realmente “rígidos” y poseen “cierta elasticidad”. Se han incluido entre esos
sistemas, además de los tradicionales sólidos deformables, líquidos y gases, una
amplia gama de otros materiales muy empleados actualmente como los geles, los
aceites, las suspensiones, los coloides, los cristales líquidos, los polímeros, polvos
granulados de nanopartículas, así como también materiales biológicos; para
designar todos estos materiales se introdujo entonces el término “materiales
blandos”; al parecer quien introdujo esta nueva denominación fue el premio Nobel
de física (1991) Pierre-Gilles de Gennes.
El estudio de esta clase de materiales incluye las propiedades mecánicas, químicas,
biofísicas y biológicas. Se examina brevemente algunas de las propiedades
emecánicas de esos sistemas materiales que se suponen son “medios continuos”, de
donde resultó la “mecánica de medios continuos”.
Una de las características físicas común, que se observa en las muestras de estos
sistemas, es la posibilidad de deformarse progresivamente por acción de un
esfuerzo o por fluctuaciones térmicas. Estas deformaciones se cuantifican con la
ayuda de dos variables que son: el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones.
Ver anexo-4 para recordar algunos conceptos básicos sobre tensores.
Tensor de deformaciones y tensor de tensiones:

Sea la P la partícula de una muestra, posicionada en un punto M (r ) . Se supone
que bajo la acción de una fuerza o interacción externa, la partícula se desplaza a la




posición M (r  dr ) . Se designa el desplazamiento por dU  MM ' , de tal suerte que


 

el elemento de línea cuadrado es: (dr ') 2  (dr ) 2  2dU . dr  (dU ) 2 .
Y
M

M’
 u
r

r
O
X
Figura 2,18: a) Por la deformación el punto M e mueve al punto M’
112
b) Las componentes del tensor de tensiones sobre el elemento
de volumen cúbico.
La deformación se mide por el valor de la siguiente cantidad, usando coordenadas
cartesianas:
 
ui


(dr ') 2  (dr ) 2  2dU . dr  2
. dX i dX j  2 ij dX i dX j , se despreció el
ij X j
ij
 2
término del segundo orden en variaciones  (dU ) .
U i
La cantidad ij 
mide la deformación relativa y por eso se denomina “tensor
X j
de deformaciones”. Es conveniente descomponer este tensor en dos términos:
1  U i U j 
- en el tensor de deformaciones por translación: ij  
(2,7.1a)

,
2  X j X i 
- en el tensor de deformaciones por torsión :
ij 
1  U i U j 


,
2  X j
X i 
(2,7.2b)
v j 
vi
d
1  v
 , o → ij 
La velocidad de deformación es: ij 
.
ij   i 
dt
 
2  X j
X i 
X j
El tensor de esfuerzos o de tensiones se halla de la siguiente manera:
Considérese un elemento de volumen dV de la muestra
y supóngase que su forma

es cúbica como aparece en la figura 2,18b. Sea F la fuerza aplicada a la muestra,
cuya acción se transmite, a través del medio material, a todos los elementos de
volumen. Sean
  
F , F , F  las
1
2
3
fuerzas transmitidas a cada una de las caras
principales del elemento dV; se expresan en coordenadas cartesianas así:

 F1  iF1x 

 F2  iF2 x 
 F  iF 
3x
 3

jF1 y  kF
1z
F
 , o recurriendo a las tensiones   j ,    F1x
jF2 y  kF
ji
1x
2z
S ji
S yx

jF3 y  kF
3z
estas ecuaciones se escriben:
 1  i 1x 

  2  i 2 x 
   i 
3x
 3
j 1 y  k 1z = i xx 
j 2 y  k 2 z  i yx 
j 3 y  k 3z = i zx 
j xy  k x1z
j yy  k yz ,
j zy  k zz
El conjunto de estas tensiones que se ejercen sobre el elemento de volumen dV, se
agrupan en el tensor de tensiones:
 
ij
  xx  xy  xz 


   yx  yy  yz  ,
  zx  zy  zz 
(2,7.2c)
Los elementos diagonales corresponden a las “tensiones normales” mientras que los
diagonales, es decir  ij , con j  i , son “tensiones tangenciales o cortantes”.
113
El tensor  ij , es simétrico decir  ij   ji y por consiguiente tiene sólo 6
componentes independientes. En un líquido se tiene  ij   p ji , donde p es la
presión.
Volvemos a la pregunta inicial: ¿Cómo relacionar las deformaciones con las
tensiones aplicadas? Se puede recurrir a la ley de Hooke que establece una
proporcionalidad lineal entre causa y efecto, o sea entre deformaciones y tensiones,
y escribir esa relación así:  ij 
(2,7.2d)
Cijmn .mn ,

mn
donde los Cijmn son constantes elásticas y conforman un tensor de orden 4 que es
nm
completamente simétrico es decir: Cijmn = Cijnm  C mn
ji  C ji , lo que rebaja el
número de componentes independientes desde 81 hasta a 21. Si el medio es
isótropo sólo queda un sola componente.
Nota:
Los tensores ( ij y  ) son simétricos y por lo tanto sólo tienen 6 componentes

ij

que se designan por  k ,  k = 1,2,3,4,5,6 .
De igual forma ij por ser simétrico tiene sólo 6 componentes independientes.
independientes 11 ,  22 ,  33 , 12 , 13 ,  23
La ley de Hooke se puede escribir de la siguientes manera recurriendo únicamente
Cnk n , n = 1,2,3,4,5,6 , o
a las componentes independientes de los tensores:  k 

    
n
en forma matricial  k  Ckn . k ,
 
(2,7.2e)
donde Ckn es una matriz de 6  6 cuyos elementos con los coeficientes elásticos.
En el caso de un sólido con estructura cristalina cúbica los elementos
independientes son 3 C11 , C12 , C44 ) . Estos coeficientes se determinan
experimentalmente induciendo ondas en la muestra. Si son ondas transversales su
velocidad de propagación vale:
VT = C11 /  , siendo  la densidad del medio . En el caso de ondas longitudinales se
tiene: VL = C44 /  , siendo  la densidad del medio.
Ley de Hooke en un medio elástico, isótropo y homogéneo:
En un sólido elástico, isótropo y homogeneo no hay direcciones privilegiadas; no
existen esfuerzos cortantes y las direcciones principales de los tensores de
deformación y de tensión son coincidentes. La linealidad entre esfuerzo y
deformación, en una dirección determinada, se expresa así:  i  Ei , donde E es el
módulo de Young.
Se considera una varilla delgada paralela a la dirección del eje X1 sobre la cual se
aplica, en sus dos extremos, una tensión paralela a dicho eje. En las direcciones
perpendiculares a X1, las deformaciones transversales son iguales, 2 = 3 .
Junto con el módulo de Young se introduce otro parámetro que es “el coeficiente de
Poisson”
114

2
3

, el cual corresponde al cociente entre la deformación transversal y la

1
deformación longitudinal. (2 y 3 ) ; su valor es negativo por consiguiente se tiene
2  3   1 . Usando la ecuación de linealidad entre deformación y tensión se
 2  E 2  E ( 1)
escriben las relaciones: 
 3  E 3  E (1 )
Ahora bien, cuando actúan simultáneamente las tres tensiones: una longitudinal y
dos transversales, se aplicar el principio de superposición y se obtiene el valor neto
de la deformación:  L  T 1  T 2 o sea:
1
2
3 1

 1  E   E   E  E  1   ( 2   3 ), o

 

1  

 i 


Traza
(

)
,
Traza(

) = 1   2   3

E  i 1  

(2,7.2f)
Esta es una expresión más general de la ley de Hooke para las direcciones
principales de los tensores de tensión y de deformación.
Se despejan, de (2,7.2f) las tensiones:  i 

E

i 
Traza ( ) , i = 1,2,3. o
1 
1 
detallando:

E






Traza
(

)
 1 1  1 1 


E


2 
Traza ( ) ,
 2 
1 
1 


E


 3  1    3  1   Traza ( )

(2,7.2g)


E
3
Traza 
Traza ( ) , de esta ecuación
Sumando ( 1   2   3  Traza 
1 
1 


E
Traza ( ) y se lleva ese valor a las ecuaciones (2,7.2g)
se despeja Traza ( ) 
1  2


E
E
Se obtiene  i 
(2,7.2h)
i 
Traza ( )  2 i  Traza ( ) ,
1 
(1   )(1  2 )
Los parámetros  y  se llaman “Coeficientes de Lamé” que valen:
E

  2(1   )


E
 
(1   )(1  2 )


Si la deformación posee simetría esférica (presión hidrostática) se demuestra que el
módulo de compresibilidad vale K   
2
.
3
2,7.2- ¿Qué es un fluido?
Existen dos puntos de vista respecto a la definición de un fluido:
115
a) Uno macroscópico según el cual el fluido es una sustancia que fluye- Es una
sustancia que se deforma cuando se le aplica cualquier esfuerzo cortante tan
pequeño como sea. En reposo no existen fuerzas cortantes pero existe una
presión (hidrostática) dentro del fluido que tiene el mismo valor en todas las
direcciones.
b) El otro punto de vista es el microscópico según el cual el fluido es un sistema de
muchas micropartículas (átomos, moléculas, iones, clusters de éstos) unidas por
enlaces muy débiles como los de Van der Waals o dipolares y los enlaces por
puente hidrógeno. El radio de interacción de los enlaces bipolares varía como
r 6  , es decir son interacciones de muy corto alcance.; su acción sólo alcanza a
las moléculas o a los átomos más próximos, y éstos, a su vez, interactúan con
otros vecinos. Esto permite a las moléculas de los líquidos deslizar las unas
sobre las otras sin separarse, dotando al líquido de volumen propio, de fluidez,
pero no de forma propia. Se tienen estructuras atómicas flexibles que se pueden
agrupar en conglomerados (clusters) con diversas geometrías. En los gases
ideales se supone que no existen fuerzas de enlace entre las micropartículas que
los constituyen, de suerte que se pueden mover libremente al azar por todo el
volumen de que dispongan; las únicas interacciones que existen son los choques
que ocurren entre ellas mismas o con las paredes del recipiente que las
contenga dando origen a la presión interna del gas. En los gases reales existen
pequeñas fuerzas de interacción entre las micropartículas que los componen.
Las energías de estos enlaces son menores que 0,1 eV.
Entre las características físicas de los fluidos se mencionan las siguientes:
a) Según la naturaleza y la energía de los enlaces internos entre micropartículas,
los fluidos pueden ser compresibles como en el caso de gases, o presentar
incompresibilidad como en la fase líquida.
b) Generalmente los fluidos se consideran, a nivel macro, como medios continuos
deformables que pueden fluir bajo la acción de esfuerzos externos aplicados.
c) En un sistema fluido determinado y aislado, la masa es constante y el número
de micropartículas o concentración de éstas se conserva, mas no así la densidad
la cual varía: en los gases es más pequeña que en los líquidos. La densidad del
agua es 1 g/cm3 y es un punto de referencia.
2.7.3- Fuerzas de fricción – Potencial de Rayleigh.
Fuerzas de fricción entre sólidos:
En los textos de física general se mencionan las fuerzas de rozamiento entre las
superficies de dos cuerpos rígidos en contacto que tratan de moverse el uno con
respecto al otro. Se distinguen entonces tres tipos de rozamiento a saber:
i) Un rozamiento de adherencia entre cuerpos en reposo que se encuentran en
contacto.
ii) Un rozamiento por deslizamiento, o rozamiento dinámico el cual aparece cuando
los dos cuerpos se mueven el uno respecto al otro.
iii) Un rozamiento de rodadura asociado al rodamiento sobre una superficie sólida,
de un cuerpo cilíndrico o esférico. La condición de rodamiento, sin
deslizamiento, se expresa mediante la ecuación
116
 rd  dx,  r  v x ,  r  a , siendo a la aceleración del centro de masa del
cilindro.
Las fuerzas de rozamiento son importantes en la vida diaria. Tienen sus ventajas y
sus inconvenientes: ¿Cuales?
Sin ellas:
- no podríamos caminar,
- los vehículos no podrían rodar sobre las carreteras,
- no se hubiese producido la primera llama de fuego,
- no existirían las poleas.
¿Y cuales son los inconvenientes? Como las fuerzas de fricción no son conservativas
puede producirse, en algunos casos, pérdida de energía bajo la forma de calor.
Fuerzas de fricción sobre un cuerpo que se desplaza en un fluido – Potencial
de Rayleigh:
Las fuerzas de fricción o de rozamiento, ejercidas sobre el cuerpo que se desplaza
en el fluido, se oponen al desplazamiento de éste. Observando sus efectos se
encuentra que esas fuerzas dependen, entre otros factores de:
i) la forma del objeto que se desplaza K(G),
ii) la velocidad promedio v de la partícula,
iii) las variables del estado macroscópico del medio T , P,V , Cn ,.. : temperatura,
presión, volumen, concentraciones de los compuestos del fluido.
Esta situación permite expresar la funcionalidad de las fuerzas de fricción, para
una partícula s que se desplaza en el fluido, así:
 n  1,2,3.... entero,  0
F fs   K s (G). (V s ) n . v , con  s  1,2,3,......, N ( particulas) ,
s

(2,7.3.a)
K(G) es un factor geométrico ligado a la forma del objeto en movimiento, η es la
viscosidad del fluido, ̂ rel un vector unitario en la dirección de la velocidad relativa
y n un exponente que generalmente vale “1” o en algunos casos “2”.
Conviene recordar la ecuación de Stokes referente a la fuerza de fricción que
experimenta una esfera de radio r en su movimiento a través de un líquido viscoso
de coeficiente de viscosidad η.


F f   (6r ). (T , n ...).v ,
(2.7.3b)
El trabajo de estas fuerzas de rozamiento sobre un sistema de N partícula vale:
N


 
Wf     F fs . drs    K s (G ). (v s ) n .( v.dr )
s
N
s 1
s1
Pero como las fuerzas de fricción no son conservativas, no derivan de un potencial

escalar V (r ) . Con el propósito de que esas fuerzas se presenten como gradientes de

una cierta función que se pueda calcular, se escribir que F fs deriva de un potencial

de velocidades P(v s ) , es decir:
 

vale P(v s )   F fs . dv ,

F fs

  
v
 P  , de donde la función potencial

(v )
s
s
Obsérvese que P(vs) tiene las unidades de potencia.
(2,7.3c)
117

Ejemplos de valores de P(v s ) para algunas fuerzas de fricción:
Exponente Fuerza de fricción
n
1
0
Potencial
Rayleigh

F fs

F fs
n
s
P( v s ) 
a v
s s
P( v s ) 

F fs

  N
s
P( v s ) 
  av
de
av
n 1
s s
s
1
a s v s2

2 s
v
s s
s

P(v s ) se denomina el potencial de Rayleigh.
La viscosidad:
Se definió el fluido como una sustancia que se deforma continuamente bajo la
acción de un esfuerzo cortante. Dicha deformación es en realidad el desplazamiento
de una cierta cantidad de materia del fluido por ejemplo el elemento de masa
dm  dV donde  es la densidad del fluido, o podría ser una capa o lámina de
fluido en el caso de los llamados “fluidos laminares”, es decir de un fluido que se
desplaza en forma de láminas paralelas, superpuestas unas sobre otras en la
dirección perpendicular a la deformación. Pero la velocidad de deformación no
puede ser infinita porque el desplazamiento del elemento de masa o de las láminas
es contrarestado por la acción de los enlaces entre moléculas o átomos y por la
agitación térmica de éstos ya que el fluido posee una cierta temperatura. Esos
procesos de fricción interna constituyen lo que se denomina “viscosidad del fluido”.
Ocasionan una disipación de energía y generan procesos irreversibles desde el
punto de vista termodinámico.
La viscosidad es el recíproco de la fluencia y debido a ella la velocidad de flujo, o de
un cuerpo que se mueve en el fluido, tiende a ser constante.
¿Cómo relacionar el valor de la viscosidad con la velocidad de deformación del
fluido?
En régimen laminar las capas de moléculas se deslizan unas sobre otras en la
dirección (X) del flujo pero la deformación se propaga en dirección (Y) perpendicular
al flujo y desde las paredes del recipiente que contenga al fluido. En una
aproximación lineal se escribe que el esfuerzo cortante es proporcional a la
variación de la velocidad del flujo respecto a la dirección de su deformación la cual
es normal a su desplazamiento, es decir:  xy  
dv x
Fx

,
dy
S xz
(2,7.3d)
 es el coeficiente de viscosidad.
Se habla, en este caso de “fluido Newtoniano”. Esta situación se presenta en el
agua, en el alcohol y algunos aceites. Existen muchos fluidos que no son
newtonianos, es decir la relación (2,7.3d) no es lineal. Pueden responder a una
ecuación de la forma  xy
 dv 
  x 
 dz 
n
donde n es un exponente cuyo valor puede ser
n < 1 y en este caso corresponde materiales llamados pseudoplásticos; con un
incremento de esfuerzo cortante el líquido se adelgaza como en suspensiones
coloidales; cuando n > 1 se habla de fluidos dilatantes porque el fluido se engruesa
118
cuando el esfuerzo aumenta. En general las pastas, los lodos, las grasas no son
fluidos newtonianos.
La viscosidad es una magnitud macroscópica asociada a los estados
termodinámicos de los fluidos y como tal debe ser función de al temperatura y de la
presión (T , P) . La viscosidad aumenta con la temperatura más en los gases que
en los líquidos porque en los primeros los átomos o moléculas que se distribuyen de
manera más desordenada vibran con mayores amplitudes, incrementan sus
choques mutuos y dificultan el flujo o el tránsito de un pequeño cuerpo a través de
ese gas. En los líquidos la dependencia con la presión es generalmente
despreciable.
¿Cuáles son las unidades de la viscosidad?
De la relación anterior se deduce que
  
Ns
. Las unidades respetivas en cgs se denominan “poises” en honor al
m2
científico Poiseuil. En la práctica se usan las centipoises.
Conclusión:
Por lo anterior se entrevé la importancia que tiene el concepto de viscosidad en las
propiedades y el uso de fluidos en la vida diaria. Seguramente usted ha encontrado
la palabra viscosidad escrita en los empaques de aceites que utiliza en su vehículo.
Caso curioso: el espesor de los vidrios de una ventana presentan, después de varios
años, un valor mayor en la parte baja que en la parte de arriba. ¿A qué se debe?
2.7.4- Ecuaciones de movimiento de un fluido:
a) Densidad de flujo o de corriente.

Supóngase que bajo la acción de un campo de fuerzas Fe , las partículas de un
fluido se desplazan y dan origen a un flujo o a una densidad de corriente de
partículas, cuyo valor es:


J  ni i (ri , t ),
(2.7 .4a)

i

ni es la densidad de partículas y  i la velocidad de la partícula “i”.
Puesto que las partículas del fluido al desplazarse pueden chocar entre ellas, sus
trayectorias tendrán una forma de zig-zag y en dicho caso la velocidad que
interviene en la expresión (2,7.4a) corresponde a un valor promedio en la dirección
del campo o de la fuerza que las arrastre para formar el flujo. Se llama “Velocidad

de arrastre” v (drift velocity).
b) Conservación de masa:
En lugar de considerar el movimiento individual de las partículas en el medio
fluido, se examina la evolución de un elemento de volumen dV del fluido
considerado como un medio continuo. Sea ρ la masa específica de la muestra y V0
su volumen, limitado por una superficie S, como se indica en la figura 2.22.
119
Supóngase ahora que una cierta cantidad de masa fluye hacia fuera de V0 por
 
 
segundo. Su valor se escribe: m  v .ds   .( v )dV ,  se aplicó el teorema


s
V0
de Gauss.
Pero, por otro lado, la cantidad de masa que pierde por segundo el volumen V0 vale:
m' 

dV .
t V0
Figura 2,18: Un medio continuo
En régimen estacionario, y admitiendo que hay conservación de masa, se
    
  t  .( v ) dV  0 , de donde se deduce la
V0 
  

 .( v )  0 ,
llamada “ecuación de continuidad”:
(2.7.4b)
t
tiene  m  m' , de suerte que:
Este es un resultado importante en física; tener presente las condiciones bajo las
cuales se dedujo esa ecuación.
c) Ecuaciones de movimiento del fluido.
Ahora bien, supóngase que el elemento
de volumen dV está sometido
a una presión


interna p, a una fuerza externa Fe y a la fuerza interna Fi correspondiente a la

presión que se ejerce sobre la superficie S es cuyo valor es Fi 


 pds   p.dV .
s
V0

 dv
Sea a 
la aceleración que adquiere el elemento de volumen bajo las fuerzas aplicadas; la
dt
segunda ley de Newton suministra la ecuación de movimiento del elemento de volumen dV del
fluido; esta ecuación se escribe:



 adV    p.dV   F dV
e
V0
V0



 a   p  Fe ,
(2.7.4c)
V0
Ahora bien, la derivada total de la velocidad se escribe:


   v
dv
 (v .)v 
(comprobarlo), por consiguiente queda:
dt
t


Fe
v   
1 
 ( v.)v  - p 
t


(2.7.4d)
Es la ecuación de movimiento del elemento dV de fluido; se llama, “ecuación de
Euler”.
120
 
 1
  
2




v
1
1 F
 ( v 2 )  v  (  v )    e , o
tal forma que la ecuación queda así:
t
2
 
Se utiliza esta otra relación del análisis vectorial: (v .)v  ( v 2 )  v  (  v ) de
agrupando términos:
 2
1
F
v   
1
p  (r )  v   

 v  (  v )  (v 2 )  p  e    v 2  
 v  (  v ).
t



  t
2
(2,7.4e)
Se ha supuesto que la densidad es constante. Además que la fuerza aplicada deriva


de un potencial: Fe    r 
Se examina a continuación algunos casos particulares:

v
0.
a) En estado estacionario se tiene
t


b) En un fluido irrotacional se supone que   v  0 ; la ecuación (2.7.4e) se
simplifica y se convierte en la ecuación de Bernoulli de flujo estacionario:
1 2
v  p   (r )  Cte ,
(2.7.4f)
2
En caso de un potencial gravitacional φ(z) = zg, la ecuación de Bernoulli toma la
1
forma conocida desde la secundaria: v 2  p  zg  Cte ,
(2.7.4g)
2
Resistencia a la densidad de corriente de partículas en un medio fluido.
Supóngase que existen fuerzas de fricción al interior del fluido, las cuales se oponen
al flujo de partículas; esta resistencia Rf se refiere a la unidad de volumen y debe
añadirse a la ecuación (2,7.4d).
¿Cuál es el valor de Rf?
En el caso del gas ideal se puede considerar que Rf tiene su origen en las colisiones
de las partículas cuando éstas se desplazan bajo la acción del campo de fuerzas


Fe    (r ) .
Consideraciones de tipo cinético permiten suponer que Rf es proporcional a la masa

de las partículas, a su velocidad promedio v en la dirección del campo aplicado y a

la frecuencia promedio de choques f. Se supone además que v , denominada
velocidad de arrastre, es, en una aproximación del primer orden, proporcional al


campo, es decir v  Fe , donde μ se llama “movilidad de las partículas en el
medio”. Bajo las anteriores hipótesis se tiene:




R f   mfv   (mf ) Fe  (mf ) (r ) ,
(2.7.4h)
En lugar de utilizar la frecuencia υ se puede usar el tiempo promedio entre dos
choques sucesivos   1 / f .
Este modelo de resistencia se aplica al caso de la corriente de electrones en un
conductor.
Ejercicio:
121
Supóngase que la fuerza de fricción se puede expresar como:



F fs   Gs (r ,V ).ˆs y calcúlese  v  F fs , donde el rotacional se refiere a las variables
de velocidad. ¿Qué se concluye?
2,7.5- Ecuación de Navier Stokes:
Volviendo a la ecuación de Euler para un medio continuo y deformable, se desea
introducir en éste, además de las presiones internas las tensiones o fuerzas
 

internas. Si  ij   representa al tensor de tensiones internas, la tensión total
ejercida sobre la superficie S de la muestra vale
 
 
  . dS    . . dV . Se agrega a la
S
V
ecuación de Euler la divergencia del tensor de tensiones, de tal suerte que se tiene
la ecuación más general


 

 v
  
   (v .  )v     p  Fext   .
 t

(2,7.5a)
¿Cómo es la expresión matemática de la divergencia del tensor de tensiones? Es
así:
 
  11  XY  XZ    YX  22  YZ    ZX  ZY  33 
 .  i






  j
  k

 X
 X
 X
Y
Z 
Y
Z 
Y
Z 
Las cantidades  jk corresponden a las tensiones normales (de compremsión)
mientras que las componentes  jk con j  k representan las tensiones tangenciales.
Si el medio es un fluido (no sólo medio deformable) las tensiones de fricción interna
se asocian a la viscosidad. Se escribe entonces que el tensor asociado a las tensiones
de fricción interna es proporcional a las velocidades de deformación:
f
 ij



. , o sea:
 ijf

( 4)

. ,
(2,7.5b)
ij
Las cantidades
ij
son las componentes del “tensor viscosidad” del medio; es del 4
orden por consiguiente tiene, en R3, 81= 34 componentes; pero es simétrico.
Si el valor del tensor viscosidad no depende de las velocidades de deformación, la
relación (2,7.5b) es lineal y se habla de “fluido newtoniano”.
Propiedades de simetría del medio y de isotropía reducen ese número de
componentes.
El tensor de velocidades siendo simétrico, el tensor de viscosidad también los es y
m
se tiene: ikm  ki
 ikm  ikm . ¿Cuántas componentes independientes tiene el
tensor de viscosidad?
En el caso de fluidos homogéneos e isótropos, se tiene, desde el punto de vista de
tensiones internas, que la viscosidad se representan por un simple número escalar
que depende de la temperatura y la presión del medio pero no de las coordenadas
del elemento de volumen que se considere.
122
 

La velocidad de deformación se puede escribir de una manera sencilla así:    v ,
de tal suerte que para fluidos homogéneos e isótropos el tensor de fricción vale

 
     .v y la divergencia de este tensor de fricción toma el valor:
 
 
 

 . f   .  v   .  v =  2 v . Por consiguiente la ecuación general del fluido

f


queda finalmente así:


  



 v
  

   (v .  )v     p  Fext   .  (v )    p  Fext   2 v ,
 t

(2,7.5c)
Es la ecuación de Navier-Stokes del movimiento del fluido viscoso, muy empleada
en el diseño aerodinámico de aviones y automóviles, en el estudio del flujo
sanguíneo, en el análisis de la dinámica de la atmósfera, en el análisis de corrientes
oceánicas, en el estudio del tráfico en las avenidas de una ciudad (se observan
desde el aire).
Comentarios
a) la diferencia entre las ecuaciones de Euler y las Navier-Stokes radica
en el término asociado a la viscosidad.
b) El ultimo término de la ecuación de Navier-Stokes es nulo si la
velocidad del fluido es constante (hidrostática); esto acarrea las
siguientes consecuencias:
 
  .v = 0,  no hay manantiales.


   v = 0,  no hay remolinos,
  2 v = 0,  no interviene la viscosidad
¿cómo queda la ecuación de Navier-Stokes en ese caso?
1   
 ( .v) .
3
d) La resolución matemática de las ecuaciones de Navier-Stokes es
bastante complicada porque es una ecuación diferencial no lineal. En
la búsqueda de soluciones se recurre a modelos computacionales; por
tal motivo se habla de que se ha desarrollado toda una mecánica
computacional.
e) Cuando el fluido no es newtoniano la ecuación (2,7.5b) no es lineal y
la ecuación de Navier-Stokes presenta más dificultades para su
expresión y su solución
c) En el caso de fluidos comprensibles se añade el término
Ejercicios y preguntas 2.7.

1- Supóngase que la fuerza de fricción se puede expresar como: F fs   Gs (r ,V ).ˆs y


calcúlese  v  F fs , donde el rotacional se refiere a las variables de velocidad.
¿Qué se concluye?
2- A veces se toma para la fricción del aire en la caída libre de un objeto, el valor Ff
= -kV2, ¿Cuánto vale el potencial de Rayleigh? ¿Cuál es la ecuación de
movimiento de un paracaidista si el aire ejerce una fuerza de fricción como la
señalada?
123
3- Se sumerge una pequeña esfera de masa m y de radio d, colgada a un resorte de
constante elástica k peso despreciable, en un líquido de coeficiente de viscosidad
. Se estira el resorte y luego se suelta.
iv)
Hallar la ecuación de movimiento de la esfera.
v)
¿Cuánto vale el coeficiente de amortiguamiento
vi)
Presente en un gráfico de los desplazamientos de la esfera versus el
tiempo.
vii) ¿Cuánto vale la energía total del oscilador
4- Averiguar que se llama “fluido newtoniano” y fluido no-newtoniano?.
Buscar ejemplos.
5- Recordar como varía la deformación versus el esfuerzo en una muestra de
metal.
6- Deduzca la ecuación de Bernoulli indicando las condiciones de validez.


7- Explicite las componentes del tensor    v .
8- Qué pasa con la ecuación de Navier-Stokes para un fluido en régimen laminar?
9- ¿Cuál es la velocidad máxima que alcanza una gota de agua de lluvia de
diámetro 0,3mm, siendo la viscosidad del aire a esa temperatura
1,3  10  4 g / cm.s ?
124
Anexo-4: Recordando muy brevemente qué es un tensor.
Recordémoslo rápidamente: existen variables físicas cuyo valor, en un sistema de
coordenadas, se expresa con la ayuda de una o de varias cantidades numéricas
llamadas componentes. El valor de la temperatura no requiere sino una sola
cantidad o número X: se dice que la temperatura es una variable escalar; la
velocidad de una partícula requiere, en un espacio tridimensional, tres números o
 
componentes v k para precisar su valor: se dice que es una variable vectorial. Las
tensiones inducidas en un sólido cristalino cuando se somete a la acción de fuerzas
externas de compresión, se expresan, en un espacio de 3 dimensiones, mediante un
 
conjunto de 9 componentes  ij ; se habla de “tensor de tensiones” o de esfuerzos.
Estas componentes se puede disponer en forma de una matriz de 3  3 , como en el
caso del tensor de inercia al se hizo referencia en el estudio de la rotación del
cuerpo rígido.
Resumiendo:
- si el valor de una magnitud física requiere una sola componente para expresarse:
es un tensor de orden 0,
- Si la magnitud física requiere 3 componentes para expresar su valor en un
espacio tridimensional, es tensor de orden 1. Corresponde aun vector,
- Si la magnitud física, se puede representar por una matriz de 3 3 en un espacio
R3 , es decir que requiere 9 componentes: es un tensor de orden 2 (segundo orden),
- hay magnitudes físicas que se representan por tensores de orden-3 (tensor de
constantes piezoeléctricas), de orden-4 (tensor de constantes elásticas), etc.
- el número de componentes de un tensor de orden-n en el espacio de 3 dimensiones
es de 3n : el tensor de orden-1 (vector) necesita 3 componentes, el de orden-4
requerirá 81 componentes!

- podemos representar un tensor del segundo orden así  o  jk con j, k  1,2,3
- el producto escalar entre un vector y un tensor se puede escribir:
B11 B12 B13  d1  C1 
  

   
- B.d  C ,  B 21 B 22 B 23 d 2  C 2 y el resultado es un vector.

   
B 31 B 32 B33  d 3  C3 
Se dice que el producto escalar contrae el orden de los tensores.
- existe el producto “tensorial” o formal o dial, por ejemplo si es entre dos vectores
da un tensor de orden-2, y si es entre un vector y un tensor de orden-2 da un
tensor de orden-3.
- un buen número de tensores son simétricos debido ya sea al ordenamiento de las
partículas que conforman el sistema o por motivos energéticos o de equilibrio.
Esta simetría se traduce, para un tensor de orden-2, mediante la ecuación entre
sus componentes  ij   ji . Quedan entonces 6 componentes independientes y el
tensor se pude representar por una matriz de 6  3 . Si el tensor es
completamente antisimétrico se tiene, por ejemplo, ij    ji y   0 , las
jj
componentes diagonales son nulas; en este caso el tensor sólo tiene 3
componentes independientes

12

 1 , 13   2 ,  23   3 ; en este caso se
puede representar por un vector axial. Los productos vectoriales son vectores
125
axiales y por eso se les considera “pseudo-tensores”. En los sólidos deformables
isótropos el tensor de tensiones sólo tiene un valor  .
Los tensores aparecen generalmente cuando la muestra pertenece a un medio
anisótropo respecto a una determinada propiedad física del material; puede ser una
propiedad mecánica (tensores de tensiones, de deformaciones, de constantes
elásticas, de viscosidad), una propiedad electromagnética (tensores de constantes
piezoeléctricas, de conductividad eléctrica, de permeabilidad), una propiedad óptica
(tensor de índices de refracción).
126
Anexo- 5: Los principios de conservación en física (lectura).
El reposo era, según Aristóteles, el estado natural de los cuerpos, por consiguiente para que
éstos entraran en estado de movimiento era necesario que actuara sobre ellos un agente externo
que los impulsara. Sólo hasta el siglo XIV el fraile franciscano William Ockham propuso la
existencia de una “carga” en los cuerpos en movimiento uniforme, la cual garantizaría el
desplazamiento continuado de éstos. Su discípulo Jean Baridan precisó que dicha carga era
proporcional al producto de la masa m por la rapidez de desplazamiento del cuerpo, es decir, por


lo que se llamaría muchos años después “cantidad de movimiento lineal” p  mv . Al parecer
fue Rene Descartes quien formuló en el siglo XVII y por primera vez, una ley de conservación
de la cantidad de movimiento: “La cantidad de movimiento de todas las partes del mundo o de
un sistema aislado, debe ser constante aunque se retransmita de un cuerpo a otro”.
El carácter vectorial de la cantidad de movimiento apareció explícitamente en los trabajos
realizados independientemente por Huyghens, Wren y Wallis, cuyos trabajos fueron publicados
en 1669 por la Royal Society of London (Phylosophical Transaction). El enunciado del
principio de conservación de cantidad de movimiento se concretó así “la cantidad de
movimiento de un sistema aislado se conserva”.
Huyghens descubrió que en los choques elásticos entre cuerpos, se conserva, además de la
cantidad de movimiento mῡ, la suma de los productos de las masas de los cuerpos por los
cuadrados de sus respectivas velocidades. Más tarde los trabajos del Conde Rumford, de Sadi
Carnot, de J.R. Mayerr y de Joule coadyuvaron a la consolidación de un principio más general
de conservación de energía: la cantidad total de energía de un sistema aislado ni aumenta ni
disminuye en el tiempo. El concepto de fuerzas conservativas vino luego a complementar y a
ampliar este principio. Hoy en día sabemos que las formas de energía de los sistemas materiales
son muy variadas y que existe equivalencia entre “masa y energía”. Según Eugene Wigner, los
teoremas de conservación del momento lineal, del momento angular y de la energía no fueron
muy utilizados, en su completa generalidad, sino al finalizar el siglo XIX. Según Mach, “desde
el descubrimiento de las cantidades invariantes en física, se han realizado esfuerzos para
explicar y deducir las respectivas leyes desde un nivel superior de simetría” (citado en
“Principios de conservación y simetría, su incidencia en la enseñanza de la física”, Holton, G.,
Ed. Reverté, 1976).
Cuando hablamos de “conservación” de alguna variable dinámica como la cantidad de
movimiento o la energía de un sistema físico, estamos aceptando implícitamente la existencia de
alguna “transformación” aplicada al sistema, como una translación en el tiempo o el espacio,
una rotación, una inversión. Estas transformaciones dejan invariante el valor de la variable,
debido a la existencia de simetrías. Así los conceptos de conservación y simetría se han
correlacionado. En 1918 Emmy Norther formuló un importante principio: “por cada ley de
simetría, existe una ley de conservación”. Estos conceptos se ilustran a través de los ejemplos:
La conservación de energía esta relacionada con la simetría de translación en el
tiempo.
Aquí se conjugan las variables energía-tiempo.
La conservación de cantidad de movimiento o momento lineal se correlaciona con la
simetría de translación espacial, ligada a la homogeneidad del espacio euclidiano.
Aquí se conjugan las variables tiempo-coordenadas espaciales.
La conservación del momento angular, o de sus componentes, se relaciona con la
existencia de simetría espacial esférica o cilíndrica en la configuración de los
elementos del sistema analizado.
Existe otro ejemplo de conservación en física; basta señalar el de conservación de
carga eléctrica en un sistema aislado eléctricamente.
Se recomienda la lectura del trabajo dirigido “Principios de conservación y simetría, incidencias
sobre la enseñanza de la física”, Luis Hernado Barbosa, Dpto de Física, U.N., Bogotá, 2001.
127
Anexo 1.2 Breve glosario:
Cinemática: Es el estudio geométrico del movimiento de una partícula o de un sistema de partículas sin
tener en cuenta las interacciones. Es un estudio en un espacio euclidiano isótropo y homogéneo.
Movimiento: Es el desplazamiento relativo en el espacio-temporal de una partícula. El verdadero espacio
físico es un espacio- tiempo cuadridimensional.
Punto material: En mecánica clásica, es un objeto material de masa “m”, cuyas dimensiones son
relativamente pequeñas de tal suerte que se pueden despreciar frente a las distancias de desplazamiento
de la partícula y su posición se confunde con un punto matemático del espacio euclidiano.
La masa gravitacional y la masa inercial son equivalentes (Teoría de Einstein). Hay también
equivalencia entre masa y energía: C 2  m  E T = Energía total de la partícula de masa m (C =
velocidad de la luz en el vacío). La masa depende, además de la velocidad de la partícula. Actualmente
se admite que las partículas elementales obtienen su masa del campo del bosón de Higgs.
Tiempo: En mecánica clásica se puede definir el tiempo como lo hizo el filósofo-matemático Leibnitz
“como la sucesión de eventos no coexistentes”. Es una variable positiva, continua e independiente
respecto al espacio, que tiene el mismo valor en todo referencial. No sucede así en la teoría de la relatividad, en la cual el tiempo y el espacio no son independientes el uno del otro.
Referencial es un sistema de ejes de coordenadas referidos a un origen, cuya dirección se define por

medio de una base o conjunto de vectores ( ei ) que son independientes.
Referenciales inerciales son todos aquellos referenciales que se mueven los unos respecto a los otros,
con un movimiento de simple translación uniforme (con velocidad constante).
Principio de relatividad clásica
Las leyes fundamentales de la física se conservan en todos los referenciales inerciales (conservan su
forma funcional).
Transformaciones de Galileo: Las transformaciones de Galileo corresponden a un sistema de
ecuaciones que relacionan las coordenadas de posición (Xj) y el tiempo t, medidos por observadores
ubicados en sistemas de referencia inerciales distintos.
Se expresan así: X’ = X – Vt; Y’ = Y; Z’ = Z; t’ = t.
Espacio de configuración es el espacio definido por el conjunto de coordenadas (qj) independientes
seleccionadas para describir el estado de movimiento de un sistema material de partículas.
Sistema material (en física), es un conjunto constituido por cuerpos, partículas o corpúsculos que se
encuentran en determinada concentración y que están sometidos a cierto grado de interacciones mutuas.
Este conjunto se caracteriza por una estructura o configuración que posee estados propios estables y
propiedades físicas especificas.
Grados de libertad (o varianza) de un sistema es el número k de variables independientes que definen el
estado de movimiento del sistema. Para el sólido rígido k = 6; para un sistema de N partículas
independientes en R 3 k = 3.N.
Ligaduras o constricciones holonómicas estáticas son condiciones restrictivas impuestas al
movimiento de una o varias partículas y que se traduce por ecuaciones de ligadura que son relaciones
entre las coordenadas de posición (qj). Cuando estas ecuaciones no contienen implícitamente al tiempo
se habla de ligaduras holonómicas estáticas (o esclerónomas).
Transformaciones de Lorentz es un sistema de ecuaciones que relacionan las coordenadas espaciotiempo de un evento observado desde dos referenciales inerciales (L) y (S).
Tensor métrico: El valor del intervalo entre dos eventos en un espacio n dimensional se escribe:
dS 2 
 g dX dX  ,
donde g es el tensor métrico relativo al espacio considerado. Las
distancias, volúmenes, etc dependen del valor de ese tensor.
Tiempo propio es el tiempo medido por un observador desde el referencial S’ en el cual está
posicionado.
128
Anexo 5: Preguntas guía que ayudan a la asimilación de los temas
desarrollados en este texto.
1. ¿Qué se entiende en mecánica clásica por punto material? ¿Había razón para considerar
primero el punto material, en el enunciado de las leyes de Newton?
2. ¿Qué entiende por cinemática? ¿Cuáles son las principales variables cinemáticas?
3. ¿Qué consecuencias se desprenden de las propiedades de homogeneidad y continuidad del
espacio y del tiempo en la teoría de Newton de la mecánica?
4. La trayectoria de una partícula está definida por



r (t )  iˆ e 3t . cos( 2t )  ˆjsen(4t )  kˆ 2
a. ¿Cuáles son las expresiones de la velocidad y de la aceleración de la partícula?
b. ¿Cuál es la expresión de la energía cinética T?
c. ¿Cómo es la forma de la trayectoria de la partícula en el plano (X,Y)?
5. ¿Qué es un espacio de configuración?¿Un espacio de fase? Dé ejemplos.
6. Formule las condiciones de validez de las leyes de Newton.
¿Qué variables dinámicas conoce usted? Defínalas e indique las condiciones bajo las
cuales se conservan.
7. Un electrón de masa m y de carga e es sometido a la acción de un campo eléctrico uniforme
E ubicado entre las placas paralelas de un condensador (dirección-x).El electrón llega
paralelamente a las placas en la dirección-y.
a. ¿Cómo son las ecuaciones del movimiento del electrón?
b. ¿Cuál es la expresión de su energía total?
c. Si se aplica un campo magnético uniforme B en la dirección-z, ¿Qué sucede con el
movimiento del electrón?
8. Escriba las expresiones de la energía total de un sistema de dos osciladores armónicos
acoplados.
9. La energía potencial de una partícula es V(X) = A.exp(-ax2). Determine la expresión de la
fuerza que deriva de ese potencial y represéntela gráficamente. ¿Es o no una fuerza
conservativa?¿Por qué?.
10. En un movimiento oscilatorio forzado: la masa de la partícula vale m =100g, la amplitud de
la fuerza es de 1500 dinas, la frecuencia de la fuerza aplicada es de 100 hercios, la constante
elástica es k = 200 dinas/cm.
a. ¿Son conservativas las fuerzas aplicadas a la partícula? Explique.
b. Determine el trabajo de esas fuerzas en el intervalo de un período de oscilación.
c. Calcule la potencia disipada por este sistema.
11. La energía potencial de una partícula de masa m = 100g es
2
2

V ( x)  4  x 2  ,  x  0
x

Trace la curva V(x).
a. Determine la expresión de la fuerza que deriva de ese potencial. Interprétela.
b. Trate de resolver la ecuación de movimiento de la partícula, aplicando el principio de
conservación de energía – Puede hacer uso de un programa de computador.
c. ¿Para qué valor de x la partícula posee un estado de equilibrio estable? Desarrolle V(x)
en serie de Taylor alrededor de ese valor de equilibrio.
12. Determine el valor del momento angular de una partícula que gira alrededor de un punto
fijo. ¿Cómo son las componentes de ese movimiento angular en coordenadas esféricas?.
13. Una bola de masa m cae sobre una mesa horizontal de masa M la cual descansa sobre un
resorte de constante elástica k.
a. Encuentre la expresión de la velocidad con que rebota la bola.
b. ¿Qué efecto tiene la bola sobre la mesa?
c. ¿Qué valor debe tener la constante k para que la bola no alcance a rebotar?
14. ¿De dónde provienen las interacciones que se ejercen sobre los cuerpos en el Universo?
¿Cuáles son las fuerzas fundamentales?
129
15. ¿Cuál es la expresión del momento angular de una partícula, en coordenadas cartesianas?
¿En que casos se conversa? ¿Qué consecuencias se pueden deducir de ese hecho?
16. ¿Cuánto vale la energía total relativista de una partícula? ¿Cuándo vale la energía cinética
relativista de una partícula?
17. ¿Cuál es el marco conceptual de validez de la teoría de Newton de la Mecánica?
18. Resuelva el problema del tiro parabólico a partir de la conservación de energía mecánica.
19. ¿Qué es un espacio de fase? ¿Cómo es el espacio de fase en el caso del oscilador armónico?
20. ¿Cómo se puede abordar el estudio del movimiento de un sistema de N partículas?
21. ¿Qué es un cuerpo rígido? ¿Cómo se puede realizar el estudio de su movimiento?
22. ¿Qué son los ángulos de Euler y las ecuaciones de movimiento de Euler para el cuerpo
rígido? ¿Existe realmente un cuerpo rígido? Explique.
23. Describa el movimiento del giroscopio.
24. Una persona desciende con paracaídas. La fuerza de fricción del aire es proporcional al área
S que presenta el paracaídas al aire y al cuadro de la velocidad de caída.
a. Escriba la ecuación de movimiento de esa persona. Integre si puede.
b. Halle la expresión del potencial de Rayleigh.
25. Un fotón incide con una energía de 10 KeV y colisiona contra un electrón que está en
reposo. Como resultado del choque el fotón es dispersado en una dirección de 60º respecto a
la incidente. Calcular:
a. El cambio de energía, de momento y de longitud de onda del fotón incidente.
b. El valor de la energía, el momento y el ángulo de dispersión del electrón.
26. Demuestre que en el efecto Compton el valor de la relación entre los ángulos de dispersión
del fotón y del electrón viene dado por cot g ( )  (1   ). tg ( / 2) , con   h / me c 2 .
27. La fusión entre un núcleo de un hidrógeno y uno de deuterio responde a la ecuación:
1
2
3

1 H  1 H  1 H  e    4,6. MeV .
a. Identifique los productos de esta fusión.
b. ¿Hubo alguna pérdida o ganancia de energía durante esta reacción? Explicar.
28. Examine el movimiento del cohete que se aleja de la tierra. Tenga en cuenta la variación de
la gravedad.
29. ¿Cómo se puede deducir de manera sencilla la expresión del tensor de deformaciones en un
cuerpo deformable?
30. ¿Cómo se relacionan el tensor de deformaciones y el tensor de tensiones? ¿Qué es un
módulo de Young, un coeficiente de Poisson? Averigüe la magnitud aproximada de esos
coeficientes.
31. Según usted ¿cuál es el origen de las fuerzas de fricción en medios materiales? En qué
unidades se expresa la viscosidad?
32. Qué se denomina “Potencial de Rayleigh? ¿Cuál es su valor para la fuerza de viscosidad de
Stokes?
33. ¿Qué es un fluido laminar, un fluido estacionario, un fluido rotacional, un fluido
homogéneo?
34. Escriba la ecuación de Euler para fluidos. En qué condiciones se aplica?
Deduzca la ecuación de Bernoulli. Mencione dos aplicaciones.
35. Sea un masa colgada a un resorte de constante elástica k y longitud en reposo L. Se sumerge
el resorte con la masa m en un líquido de viscosidad , se estira el resorte una longitud L +
L y se suelta. Describa el movimiento del resorte.
¿Qué sucede si se le aplica una fuerza F = F0 sen(t) estando dentro del líquido?
36. ¿Qué pasa con la ecuación de Navier-Stokes si el flujo es irrotacional y estacionario?
Indique algunas aplicaciones de esta ecuación.