Matemáticas
Introducción al Pensamiento Matemático
Primer Semestre
Unidad 3.
Teoría de Conjuntos
Clave
05141103/06141103
Universidad Abierta y a Distancia de México
Unidad 3. Teoría de conjuntos
Índice
Unidad 3. Teoría de conjuntos ................................................................................................ 3
Introducción .......................................................................................................................... 3
Competencia Específica .......................................................................................................... 4
Logros ................................................................................................................................... 4
3.1 Concepto de conjunto ....................................................................................................... 5
3.1.1 Conjunto vacío ............................................................................................................. 8
3.1.2 Cardinalidad................................................................................................................. 9
3.1.3 Subconjuntos ............................................................................................................. 10
3.1.4 Igualdad de conjuntos ................................................................................................ 11
3.1.5 Conjuntos disjuntos.................................................................................................... 13
3.1.6 Conjunto universal ..................................................................................................... 13
3.1.7 Diagramas de Venn Euler ............................................................................................ 14
3.2
Operaciones de conjuntos ........................................................................................... 16
3.2.1 Unión......................................................................................................................... 16
3.2.2 Intersección ............................................................................................................... 21
3.2.3 Complemento ............................................................................................................ 23
3.3.4 Diferencia .................................................................................................................. 26
3.2.5. Producto cartesiano .................................................................................................. 31
Cierre de la unidad ................................................................................................................ 37
Recursos didácticos ............................................................................................................... 37
Fuentes de consulta .............................................................................................................. 37
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
Unidad 3. Teoría de conjuntos
Introducción
La mayoría de las personas utilizan indistintamente la palabra conjunto para referirse a una
colección de objetos, por ejemplo, el conjunto de lápices, bolígrafos, libros, libretas, televisiones,
videojuegos, refrigeradores, por mencionar algunos. Es decir, agrupas por medio de una
característica común, en este caso, sabes que todos se llaman lápices, bolígrafos y demás, pero
hay diferencias entre ellos y pueden llegar a ser muy grandes. Si eres más estricto, los lápices
pueden ser de madera o de otro material, los bolígrafos pueden ser de gel o de diferentes colores.
Por lo tanto, no basta con que tengan una característica común, aunque te estés refiriendo a
números, personas, figuras, ideas y conceptos.
Lo esencial de un conjunto es estar bien definido, es decir, a partir de una característica
particular, debes determinar si un elemento pertenece o no al conjunto. Por ejemplo, el conjunto
de los números naturales pares; -2 es un número entero y aunque es par no pertenece al conjunto
porque no cumple con la característica que se está pidiendo. Por otro lado, si te refieres al
conjunto de las personas altas, para empezar debes preguntarte qué tan alto es alto, qué estatura
estás pidiendo, de qué lugar son las personas, el color de piel, el color de ojos, la nacionalidad,
entre muchos más.
En esta unidad trabajarás el concepto de conjunto y las operaciones que puedes realizar con ellos,
siempre y cuando estén bien definidos.
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
Competencia Específica
Utilizar los diferentes tipos de conjuntos aplicando elementos de lógica para expresarlos y
representarlos en los métodos de demostración.
Logros
•
Identificar lo que es un conjunto y la
dificultad de definirlo.
•
Realizar las construcciones de conjuntos
como resultados de las operaciones de unión,
intersección, diferencia, complemento y
producto cartesiano de distintos conjuntos.
•
Realizar demostraciones usando conjuntos,
lógica proposicional y los diferentes métodos
de demostración.
•
Demostrar un enunciado matemático
empleando conjuntos y aplicando los
elementos de la lógica proposicional y algún
método de demostración.
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
3.1 Concepto de conjunto
Conjuntos
Conjunto es una palabra familiar, que conoces de cursos anteriores. Una constelación es un
conjunto de estrellas; una circunferencia es un conjunto de puntos que verifican equidistar de
otro punto llamado centro; el abecedario es el conjunto de todas las letras. Sin embargo, si
quieres contestar a la pregunta: ¿qué es un conjunto? responderías: ¿una colección de objetos,
una agrupación? Tendrías a su vez que conocer la definición de los conceptos “colección”,
“agrupación”, y otros similares, y entrarías en un círculo vicioso. Si afirmas que “toda reunión
de objetos es un conjunto”, el concepto participa circularmente de su propia definición.
En matemáticas eludes estos problemas, eligiendo algunos conceptos que se llaman
“conceptos primitivos”, aceptándolos sin definición. Los eliges como punto de partida,
suponiendo que todos tienen una noción intuitiva de lo que quieren decir. Entonces, para los
efectos del desarrollo de este tema, vas a partir de los siguientes conceptos primitivos:
Conjunto
Elemento
Pertenece
Aproximadamente a la mitad del siglo XIX, el matemático alemán Georg Cantor creaba la
primera teoría de conjuntos. Hasta fines de ese siglo nadie se había preocupado por una
definición rigurosa de conjunto, hasta que en 1895 Cantor expresa:
“Un conjunto es la agrupación en un todo, de objetos definidos y distintos de nuestra intuición
o de nuestro pensamiento”.
Esta definición no clarifica el concepto de conjunto. Al hablar de “objetos definidos” Cantor
quería expresar la idea que dado un conjunto siempre es posible, ante un objeto cualquiera,
decidir si dicho objeto pertenece o no al conjunto. Al exigir que estos elementos fuesen
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
“distintos”, Cantor quería significar que todos los elementos del mismo conjunto debían ser
diferentes; es decir, un conjunto no debía tener elementos repetidos. Cantor nunca llegó a
utilizar esta definición. Él mismo hizo una fuerte crítica a su teoría en 1897 y 1899.
En 1901, Bertrand Russell descubrió la “Paradoja de Russell”, que agudizó algunos problemas
de la teoría de conjuntos y provocó una de las mayores crisis de la lógica. ¿Qué dice la
Paradoja de Russell? Es claro que un conjunto A de lápices no es un lápiz, y puesto que A
contiene sólo lápices, es inmediato que A no es elemento de A. Análogamente, el conjunto N
de los números naturales no es un número natural.
Bertrand Russell: filósofo británico nacido en el País de Gales, vivió entre 1872 y 1970, y es
considerado el último sabio universal. Ganó el Premio Nobel de Literatura en 1950.
Dado que en N sólo encuentras números naturales, N no se pertenece a sí mismo. Según la
definición de Cantor, parecería acertado afirmar que si agrupas todos los conjuntos que no son
elementos de sí mismos, como A y N, obtendrías un conjunto.
Russell probó que no es cierto. Esto proviene de una definición “ingenua” del concepto de
conjunto. Dentro de esa “ingenuidad” con la que Cantor elaboró y desarrolló su teoría, estaba
planteada la llamada crisis de los fundamentos de la matemática de comienzos del siglo XX.
En 1908, el matemático Ernst Zermelo (1871-1953) desarrolla un enfoque axiomático que
elimina lo del conjunto de los elementos que no se pertenecen a sí mismos, y busca retener la
riqueza operativa de la teoría de Cantor.
Escande A. (2008). Conjuntos. Uruguay. Recuperado de: CONJUNTOS Prof. Alberto Escande
(studylib.es)
Lipschutz (1991) explica que “el concepto de conjunto es fundamental en todas las ramas de la
matemática. Intuitivamente, un conjunto es una lista o clase de objetos bien definidos, objetos
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
que, como se verá en los ejemplos, pueden ser cualesquiera: números, personas, letras, ríos, etc.
Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto” (p. 1).
Un conjunto es una colección de objetos que pueden o no tener alguna característica en común y
se representa por medio de letras mayúsculas: 𝑈, 𝑉, 𝑊, 𝑅, 𝑆, 𝑇, por decir algunos.
Ejemplos de conjuntos:
El conjunto de los números naturales se representa con la letra 𝑵 y sus elementos son:
𝑵 = {1, 2, 3, … }
El conjunto de los números enteros se representa con la letra 𝒁 y sus elementos son:
𝒁 = {… − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … }
𝑝
El conjunto de los números racionales se representa por 𝑸 y sus elementos son de la forma 𝑞
donde 𝑝 y 𝑞 son números enteros.
𝑝
𝑸 = { , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑝 𝑦 𝑞 𝑠𝑜𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑦 𝑞 ≠ 0 }
𝑞
El conjunto de los números irracionales se denota por 𝑰 y sus elementos son:
𝑰 = {√𝑝, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑝 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜}
El conjunto de los números reales que se denota por 𝑹 está formado por los números racionales e
irracionales.
Para definir un conjunto es necesario describir de una manera precisa, cuáles son los elementos
de dicho conjunto.
Los objetos o elementos que forman un conjunto se representan por medio de letras minúsculas
encerrados entre un par de llaves. Cuando un objeto pertenece a un conjunto se utiliza el símbolo
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
de pertenencia ∈, por ejemplo, si 𝑎 es un elemento del conjunto 𝐴, se representa por 𝑎 ∈ 𝐴 y
significa que 𝑎 “pertenece a” 𝐴.
Ejemplo 1. El conjunto de los enteros positivos incluido el 0, cuyo símbolo es 𝑍 + , tiene los
siguientes elementos:
𝒁+ = {0, 1, 2, 3, 4, … }
Los puntos suspensivos indican que la serie o secuencia de números continúa, en este caso no hay
ningún número después de los puntos suspensivos lo cual significa que la serie continua
infinitamente.
Ejemplo 2. El conjunto de los números enteros del 1 al 100.
Sea 𝐴 el conjunto, entonces:
𝐴 = {1, 2, 3, … , 100}
Como puedes observar en este ejemplo, el conjunto está muy bien definido. El 0, −1, −2, 1/2, 1/
4 y otros no pertenecen al conjunto.
3.1.1 Conjunto vacío
Se le llama conjunto vacío a aquel que no posee ningún elemento. Siempre que utilices este
conjunto debes recordar el porqué de su nombre, ya que esto ofrece una herramienta de
demostración muy importante, más adelante se detallará esta situación.
El conjunto vacío se representa por el símbolo ∅ o un par de corchetes vacíos { }.
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
Puedes encontrar el conjunto vacío en muchas partes, por ejemplo:
El conjunto de todos los dragones que habitan en el Distrito Federal.
Si representas al conjunto con la letra 𝐷, entonces tienes que;
𝐷 = ∅
Ya que no existe ningún dragón en el mundo y por ende en el Distrito Federal.
El conjunto de todas las panteras que habitan en el fondo del mar.
Si representas a este conjunto por 𝑃, tienes:
𝑃 = ∅
Puesto que ninguna pantera habita en el fondo del mar.
3.1.2 Cardinalidad
La cardinalidad se refiere a la cantidad de elementos que tiene un conjunto. De esta manera, si
un conjunto 𝐴 tiene una cantidad finita de elementos, entonces 𝐴 es un conjunto finito y su
cardinalidad se representará por el número de elementos que posee.
Si un conjunto 𝐵 tiene una cantidad infinita de elementos, entonces, dices que el conjunto es
infinito y que tiene una cardinalidad infinita.
Representarás la cardinalidad de un conjunto, como el conjunto delimitado por un par de barritas,
por ejemplo: si 𝐴 es un conjunto, su cardinalidad la representarás por |𝐴|.
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
El conjunto vacío tiene cardinalidad 0, por lo cual puedes decir que |∅| = 0.
Ejemplos:
Sea 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ}
La cardinalidad del conjunto 𝐴 es: |𝐴| = 8
Sea 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, … , 500}
La cardinalidad del conjunto 𝐵 es: |𝐵| = 500
3.1.3 Subconjuntos
Para explicar en qué consiste un subconjunto analiza el siguiente ejemplo.
Sea 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y sea 𝐵 = {2, 4, 6}
En este ejemplo puedes notar que los elementos del conjunto 𝐵, los cuales son: 2, 4 𝑦 6, también
son elementos del conjunto 𝐴, por esta razón, puedes decir que 𝐵 es un subconjunto de 𝐴.
Definición de subconjuntos
Un conjunto 𝐵 es subconjunto de un conjunto 𝐴 si todo elemento del conjunto 𝐵 es un elemento
del conjunto 𝐴. Lo representas por 𝐵 ⊆ 𝐴, y lo lees “𝐵 es un subconjunto de 𝐴”, también lo
puedes representar por 𝐴 ⊃ 𝐵, lo cual significa que 𝐴 contiene a 𝐵. Para cualquier conjunto 𝐶
tienes que 𝐶 ⊆ 𝐶, es decir, que cualquier conjunto es un subconjunto de sí mismo.
Ejemplos:
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
Si 𝑍 es el conjunto de los números enteros y el conjunto de los números naturales 𝑁, entonces
𝑁 ⊆ 𝑍.
Si 𝑅 es el conjunto de los números reales y 𝑍 el conjunto de todos los números enteros, entonces
𝑍 ⊆ 𝑅.
El conjunto vacío es un subconjunto propio de todo conjunto.
El conjunto de los números naturales 𝑁 es un subconjunto propio de los números reales 𝑅, esto
es, 𝑁 ⊂ 𝑅.
3.1.4 Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 son iguales si tienen los mismos elementos, es decir, los conjuntos 𝐴 y 𝐵
son iguales si cada elemento de 𝐴 es un elemento de 𝐵 y viceversa, cada elemento de 𝐵 es un
elemento de 𝐴.
Simbólicamente, la igualdad de dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 ocurre cuando 𝐴 ⊆ 𝐵 y 𝐵 ⊆ 𝐴, entonces
dices que 𝐴 = 𝐵.
Si 𝐴 y 𝐵 son dos conjuntos distintos, y 𝐴 ⊆ 𝐵, dices que 𝐴 es un subconjunto propio de 𝐵. Este
subconjunto lo denotas de igual manera que cuando se denota un subconjunto normal, es decir,
como 𝐴 ⊆ 𝐵.
Por otra parte, si tienes que 𝐴 ⊆ 𝐵 y 𝐵 ⊆ 𝐴, dices que 𝐴 es un subconjunto impropio de 𝐵 o
bien, que 𝐵 es un subconjunto impropio de 𝐴. Esta clase de subconjunto lo denotas con el
símbolo ⊂, de esta manera estableces que 𝐴 ⊂ 𝐵.
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
Con lo anterior puedes decir que si 𝐶 es un conjunto, entonces 𝐶 es un subconjunto impropio de
sí mismo, es decir, 𝐶 ⊂ 𝐶.
Para que dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 sean distintos basta con que exista un elemento en 𝐴 que no esté en
𝐵 o viceversa.
Hasta este momento, conoces los conjuntos y subconjuntos, una manera de representar a los
conjuntos es la siguiente:
𝐴 = {𝑥 | 𝑥 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑}
Lo anterior significa: el conjunto 𝐴 que consta de todos los 𝑥, tales que 𝑥 tiene cierta propiedad,
como puedes observar, el símbolo “|” significa tal que.
Esta es una forma abreviada de representar un conjunto, por ejemplo:
Si 𝐴 es el conjunto de todos los números cuyo cuadrado es un entero positivo.
Este conjunto lo puedes representar de la siguiente manera:
𝐴 = {𝑥 | 𝑥 2 ∈ 𝑍 + }
Si 𝐵 es el conjunto de todos los números naturales comprendidos entre el 0 y el 100, incluyendo
el 0 y el 100.
Este conjunto lo puedes representar como:
𝐵 = { 𝑥 | 1 ≤ 𝑥 ≤ 100}
Si 𝐶 es el conjunto de todas las pelotas contenidas en un enorme costal.
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
Este conjunto lo representas de la siguiente manera:
𝐶 = {𝑥 | 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑜𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑙}
3.1.5 Conjuntos disjuntos
Dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 son disjuntos si no tienen ningún elemento en común, es decir, para
cualquier elemento 𝑥 de 𝐴 se tiene que 𝑥 no está en 𝐵 y para cualquier elemento 𝑦 de 𝐵 se tiene
que 𝑦 no está en 𝐴. Puedes representarloasí: 𝐴 y 𝐵 son disjuntos si 𝑥 ∈ 𝐴, entonces 𝑥 ∉ 𝐵 y si
𝑦 ∈ 𝐵, entonces 𝑦 ∉ 𝐴.
Para comprender cuando los conjuntos son disjuntos, analiza lo siguiente.
Ejemplo:
Sean los conjuntos 𝐴 = {1, 2, 3, 4} y 𝐵 = {−1, 0, 10, 15}
Los conjuntos 𝐴 y 𝐵 son disjuntos, ya que ninguno de ellos tiene elementos en común, es decir, si
tomas algún elemento de 𝐴, éste no se encuentra en 𝐵 y si tomas un elemento de 𝐵, éste no se
encuentra en 𝐴.
3.1.6 Conjunto universal
Se le llama conjunto universal al conjunto que contiene a todos los conjuntos, es decir, un
conjunto es universal si contiene a todos los conjuntos con los que estás trabajando. Por ejemplo,
si tienes los conjuntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶, los cuales son:
𝐴 = {1, 2, 3, 4}; 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} 𝑦 𝐶 = {𝑥 | 𝑥 > 4}
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
Si construyes el conjunto 𝐷 de la siguiente manera:
𝐷 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑥 | 𝑥 > 0}
Entonces tienes que de entre los conjuntos 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷, el conjunto 𝐷 es el conjunto universal de
los cuatro ya mencionados, esto se debe a que todos son subconjuntos de 𝐷.
Todo conjunto puede considerarse como un subconjunto de sí mismo, por esta razón, puedes
decir que un conjunto puede considerarse como el conjunto universal de sí mismo.
Generalmente representas al conjunto universal por 𝑈.
Ejemplo:
Si 𝐴 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝑁}, entonces el conjunto 𝐵 = {𝑦 | 𝑦 ∈ 𝑅} es un conjunto universal de 𝐴.
Si 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑒, 𝑚, 𝑧}, entonces el conjunto 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑏𝑒𝑐𝑒𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜} es un
conjunto universal de 𝐴.
3.1.7 Diagramas de Venn Euler
En muchas ocasiones se tiende a confundir los diagramas de Venn con los diagramas de Euler.
Los diagramas que utilizas en la teoría de conjuntos son representaciones graficas de los
conjuntos por medio de círculos, en el sentido que un círculo representa a cierto conjunto.
El diagrama de Euler es un diagrama que se utiliza para representar la inclusión de conjuntos,
es decir, cuando un conjunto se encuentra incluido dentro de otro. También se utiliza para
representar a conjuntos disjuntos, esto los verás más adelante en la sección de complemento.
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
Se ha dicho anteriormente que en el diagrama de Euler utilizas círculos para representar
conjuntos, para completar el diagrama, éstos van encerrados dentro de un rectángulo al cual le
colocas la letra 𝑈, debido a que se le considera como un conjunto universal que contiene aquéllos
que se están representando dentro de él.
Para comprender mejor el diagrama de Euler se darán algunos ejemplos.
Sean 𝐴 y 𝐵 dos conjuntos.
Si 𝑵 es el conjunto de los números naturales y 𝑹 el de los números reales, el diagrama de Euler
que representa estos conjuntos es el siguiente:
Figura 1. Los números naturales son un subconjunto de los números reales.
𝑆𝑖 𝐴 = {1, 5, 10, 15}, 𝐵 = {1, 15} y 𝐶 = {2, 4, 6, 8}, el diagrama de Euler que representa estos
conjuntos es:
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
Figura 2. El conjunto 𝑩 es un subconjunto de 𝑨 y 𝑪 es un conjunto ajeno a 𝑨 y 𝑩.
Puedes decir que el diagrama de Venn es el perfeccionamiento del diagrama de Euler y se
desarrolló para poder representar de manera esquemática muchas situaciones más que se
presentan con los conjuntos. Por ejemplo, cuando dos conjuntos tienen elementos en común sin
que ocurra necesariamente que uno este contenido dentro de otro. Este tipo de diagrama es el que
vas a utilizar para desarrollar algunos de los conceptos más importantes que se presentarán a lo
largo de esta sección, con el objeto de identificarlos y para comprenderlos a fondo.
3.2 Operaciones de conjuntos
Si tienes dos conjuntos 𝐴 y 𝐵, puedes realizar diferentes operaciones entre ellos a partir de sus
elementos, ya sea que los conjuntos sean finitos o infinitos. Esto generalmente se realiza para
construir nuevos conjuntos más complejos, descomponerlos en otros más simples, encontrar sus
características en común y deshacerse de ellas o reutilizarlas, por mencionar algunos.
En esta sección se definirán las operaciones entre conjuntos, así como su representación gráfica.
3.2.1 Unión
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
Sean 𝐴 y 𝐵 dos conjuntos, se define a la unión de 𝐴 y B como un nuevo conjunto, denotado por
𝐴 ∪ 𝐵. Dicho conjunto está formado por todos los elementos contenidos en 𝐴 y todos los
elementos contenidos en 𝐵.
La unión de conjuntos la representas de la siguiente manera:
𝑨 ∪ 𝑩 = {𝒙 | 𝒙 ∈ 𝑨 ˅ 𝒙 ∈ 𝑩}
Por medio de los diagramas de Venn puedes representar la unión de conjuntos de la siguiente
manera:
Figura 3. La región sombreada representa la unión de los conjuntos A y 𝑩.
Como puedes observar en el diagrama anterior, la unión representa la fusión de los elementos de
los conjuntos 𝐴 y 𝐵.
Cuando se efectúa la unión de dos conjuntos, dígase 𝐴 y 𝐵, el resultado es un conjunto que
contiene tanto a 𝐴 como a 𝐵. Esta afirmación es demasiado obvia, pero para no omitir casos, vas
a demostrarlo.
Ejemplo.:
Si 𝐴 y 𝐵 son dos conjuntos, entonces 𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵 y 𝐵 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
Primero identifica las hipótesis:
𝐴 es un conjunto
𝐵 es un conjunto
Debes llegar a la conclusión de que 𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵 y que 𝐵 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵.
Demostración:
Sea 𝑥 ∈ 𝐴, esto implica que 𝑥 ∈ 𝐴 ˅ 𝑥 ∈ 𝐵, esto es posible por la ley de la adición para
operadores lógicos.
Como tienes que 𝑥 ∈ 𝐴 ˅ 𝑥 ∈ 𝐵, significa que 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵.
Como esto ocurre con un elemento 𝑥 cualquiera de 𝐴, lo mismo ocurrirá para cualquier otro
elemento de 𝐴, por lo tanto, puedes concluir que todo elemento de 𝐴 es un elemento de 𝐴 ∪ 𝐵,
es decir, que 𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵.
Ahora, sea 𝑦 ∈ 𝐵, esto implica que 𝑦 ∈ 𝐵 ˅ 𝑦 ∈ 𝐴, esto es posible por la ley de la adición para
operadores lógicos.
Como 𝑦 ∈ 𝐵 ˅ 𝑦 ∈ 𝐴, entonces 𝑦 ∈ 𝐴 ˅ 𝑦 ∈ 𝐵. Esto se puede realizar debido a la regla de
inferencia “ley conmutativa” del operador lógico o (˅).
Tienes que 𝑦 ∈ 𝐴 ˅ 𝑦 ∈ 𝐵, lo cual significa que 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵.
Como esto ocurre con un elemento 𝑦 cualquiera de 𝐵, lo mismo ocurrirá para cualquier otro
elemento de 𝐵, por lo tanto, puedes concluir que todo elemento de 𝐵 es un elemento de 𝐴 ∪ 𝐵,
es decir, que 𝐵 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵.
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
Por lo tanto, para cualquier par de conjuntos 𝐴 y 𝐵, se verifica que
𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵 y 𝐵 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵.
Ejemplo:
Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 tres conjuntos, donde:
𝑨 = {𝒙 | 𝒙 > 0}, 𝑩 = {𝒚 | 𝒚 < 0} y 𝑪 = {𝟎}
Tienes que:
𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝑍}, donde 𝑍 es el conjunto de los números enteros.
Es obvio que 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son subconjuntos de 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶, o bien del conjunto de los números
enteros 𝑍.
El siguiente diagrama de Venn representa la unión de los conjuntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶.
Figura 4. La unión de los conjuntos 𝑨, 𝑩 y 𝑪 es la región representada por cada uno de ellos.
Demuestra el siguiente enunciado: Sea 𝐴 un conjunto, entonces 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴.
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
La hipótesis es que 𝐴 es un conjunto.
Si 𝐴 = { }, es obvio que la unión de conjuntos vacíos es el vacío, por lo que, supón que 𝐴 es no
vacío.
Sea 𝑥 ∈ 𝐴, esto significa que 𝑥 ∈ 𝐴 ˅ 𝑥 ∈ 𝐴, es decir que 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐴.
Lo anterior expone que 𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐴.
Ahora bien, sea 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐴, esto significa que 𝑥 ∈ 𝐴 ˅ 𝑥 ∈ 𝐴, es decir que 𝑥 ∈ 𝐴, lo cual es
𝐴 ∪ 𝐴 ⊆ 𝐴.
Has obtenido entonces que para cualquier conjunto 𝐴 se verifica que:
𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐴
y
𝐴 ∪ 𝐴 ⊆ 𝐴
Significa que 𝐴 = 𝐴 ∪ 𝐴.
Esto demuestra que el enunciado establecido es verdadero.
Para finalizar esta sección vas a demostrar otra de las propiedades que tiene la unión de
conjuntos.
Sea 𝐴 un conjunto cualquiera, entonces 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴.
Demostración:
La hipótesis es que 𝐴 es un conjunto vacío.
Si 𝐴 es un conjunto vacío, entonces la unión sería un conjunto vacío y la igualdad se cumple.
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
Supón que 𝐴 es no vacío.
Sea 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ ∅, esto significa que 𝑥 ∈ 𝐴 ˅ 𝑥 ∈ ∅ , por supuesto que x ∉ ∅ ya que el vacío no
tiene elementos, esto quiere decir que 𝑥 ∈ 𝐴, lo cual muestra que 𝐴 ∪ ∅ ⊆ 𝐴.
Sabes que todo conjunto es un subconjunto de sí mismo, en particular, 𝐴 ⊆ 𝐴, por lo tanto, 𝐴 ⊆
𝐴 ∪ 𝐵, para cualquier conjunto 𝐵.
Si tomas el caso particular de 𝐵 = ∅, tienes que:
𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵, es decir, que 𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ ∅.
Entonces tienes que:
1. 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴
y
2. 𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ ∅.
Por lo tanto, puedes concluir de 1 y 2 que:
𝐴 = 𝐴 ∪ ∅.
3.2.2 Intersección
Sean 𝐴 y 𝐵 dos conjuntos, se le llama intersección de 𝐴 y 𝐵, al conjunto de todos los elementos
de 𝐴 que pertenecen a 𝐵, es decir, que la intersección de dos conjuntos es un nuevo conjunto
formado por todos los elementos que pertenecen simultáneamente a 𝐴 y 𝐵.
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
La intersección de dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 la representas como:
𝑨 ∩ 𝑩 = {𝒙 | 𝒙 ∈ 𝑨 ˄ 𝒙 ∈ 𝑩}
El diagrama de Venn que representa la intersección es el siguiente:
Figura 5. La región sombreada representa la intersección de los conjuntos cuando tienen
elementos en común.
Para comprender mejor el concepto de intersección de conjuntos, realiza la demostración de
algunas propiedades particulares que posee ésta.
Ejemplo:
1. Sean 𝐴 y 𝐵 dos conjuntos, entonces 𝐴 ∩ 𝐵 ⊆ 𝐴 y 𝐴 ∩ 𝐵 ⊆ 𝐵.
Sea 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵, esto indica por definición que 𝑥 ∈ 𝐴 ˄ 𝑥 ∈ 𝐵, es decir, que 𝑥 ∈ 𝐴, por lo
que 𝐴 ∩ 𝐵 ⊆ 𝐴.
Sea 𝑦 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵, por definición de intersección 𝑦 ∈ 𝐴 ˄ 𝑦 ∈ 𝐵, es decir que 𝑦 ∈ 𝐵, por lo que
𝐴 ∩ 𝐵 ⊆ 𝐵.
Entonces, el enunciado es verdadero.
Vas a finalizar esta sección demostrando el siguiente ejemplo.
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
2. Sea 𝐴 un conjunto, entonces 𝐴 ∩ ∅ = ∅.
Supón que 𝐴 ∩ ∅ ≠ ∅. Entonces, sea 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ ∅, esto significa que 𝑥 ∈ 𝐴 ˄ 𝑥 ∈ ∅. Aquí
tienes una contradicción, ya que no existe ningún elemento en el ∅, entonces 𝑥 no existe, es decir,
que no existe ninguna 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 𝑥 ∈ ∅, por lo tanto, 𝐴 ∩ ∅ no tiene ningún elemento, lo
cual significa que 𝐴 ∩ ∅ = ∅.
3.2.3 Complemento
Para comprender el complemento de un conjunto 𝐴, se debe tomar en cuenta el conjunto
universal 𝑈, que en este caso sería aquel conjunto que contiene a 𝐴.
Definición de complemento
Se le llama complemento de 𝐴 con respecto a 𝑈, denotado por 𝐴𝑐 , al conjunto formado por todos
aquellos elementos de 𝑈 que no pertenecen al conjunto 𝐴.
La representación simbólica del complemento de 𝐴 con respecto de 𝑈 es:
𝐴𝑐 = {𝑥 ∈ 𝑈| ¬(𝑥 ∈ 𝐴)}
Dado que ¬(𝑥 ∈ 𝐴), tiene el mismo significado que 𝑥 ∉ 𝐴, utiliza esta última representación
para indicar que 𝑥 no está en 𝐴. Así, la representación anterior de 𝐴𝑐 es la que se presenta a
continuación:
𝑨𝒄 = {𝒙 ∈ 𝑼| 𝒙 ∉ 𝑨)}
El siguiente diagrama de Venn representa el complemento del conjunto 𝐴 con respecto al
conjunto universal 𝑈.
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
𝐴𝑐
Figura 6. La región de color rosa es el complemento del conjunto A.
A continuación, demuestra una de las propiedades del complemento:
Si 𝐴 es un conjunto, entonces (𝐴𝑐 )𝑐 = 𝐴.
La hipótesis es que A es un conjunto.
Sea 𝑥 ∈ 𝐴, esto significa que 𝑥 ∉ 𝐴𝑐 , de lo contrario, 𝑥 no estaría en 𝐴.
Como 𝑥 ∉ 𝐴𝑐 , entonces 𝑥 ∈ (𝐴𝑐 )𝑐 .
Lo anterior quiere decir que 𝐴 ⊆ (𝐴𝑐 )𝑐 .
Sea 𝑦 ∈ (𝐴𝑐 )𝑐 .
Entonces, 𝑦 ∉ 𝐴𝑐 , porque 𝑦 está en el complemento de 𝐴𝑐 .
Como 𝑦 ∉ 𝐴𝑐 , significa que 𝑦 ∈ 𝐴, porque que 𝑦 no está en el complemento de 𝐴.
Lo anterior expone que (𝐴𝑐 )𝑐 ⊆ A.
Por lo tanto, (𝐴𝑐 )𝑐 = 𝐴.
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
Antes de desarrollar otro ejemplo, recuerda los cuantificadores que viste en la Unidad 1. Los
cuantificadores permiten representar de manera particular o general alguna proposición que se
utiliza para demostrar un enunciado, en este caso, verás cómo se utilizan cuando se trabaja con
conjuntos.
Cuantificador universal
Este cuantificador se utiliza para generalizar alguna proposición, se representa por el símbolo ∀
que significa para todo.
Ejemplo:
Sean 𝐴 y 𝐵 dos conjuntos. Si 𝑥 ∈ 𝐴, entonces 𝑥 ∈ 𝐵.
Se trata de una proposición compuesta cuyo conectivo principal es una implicación lógica,
utilizando cuantificadores, puedes escribirla de la siguiente manera:
∀ 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 ∈ 𝐵
Significa: “Para todo” 𝑥 que pertenece a 𝐴, 𝑥 pertenece a 𝐵.
Cuantificador existencial
Este cuantificador se utiliza para particularizar alguna proposición, se representa por el símbolo
∃ que significa “existe un”.
Ejemplo:
Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos. Si 𝑥 ∈ 𝐴, entonces 𝑥 ∉ 𝐵
Esta proposición es una implicación lógica, por medio del cuantificador existencial, puedes
escribirla de la siguiente manera:
∃ 𝑥 ∈ 𝐴, tal que 𝑥 ∉ 𝐵
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
Lo que significa: “Existe un” 𝑥 en 𝐴, tal que 𝑥 ∉ 𝐵.
Los cuantificadores universal y existencial pueden obtenerse negándose uno o el otro.
Ejemplo:
∃𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 ∉ 𝐵, Significa: Existe un 𝑥 en 𝐴, tal que 𝑥 ∉ 𝐵.
Negar esta afirmación quiere decir: No existe un 𝑥 en 𝐴, tal que 𝑥 ∉ 𝐵.
Para finalizar la sección vas a demostrar el siguiente enunciado, el cual relaciona al conjunto
universal con el conjunto vacío.
Sea ∅ el conjunto vacío, entonces ∅𝑐 = 𝑈.
Es obvio que ∅𝑐 ⊆ 𝑈, porque 𝑈 contiene a todos los conjuntos.
Sea 𝑥 ∈ 𝑈, entonces 𝑥 ∉ ∅, puesto que el vacío no contiene elementos, entonces debe
pertenecer a su complemento, es decir, 𝑥 ∈ ∅𝑐 .
Como tomaste un elemento cualquiera 𝑥 𝑑𝑒 𝑈, tienes que 𝑈 ⊆ ∅𝑐 .
Por lo tanto, el enunciado es verdadero.
3.3.4 Diferencia
Sean 𝐴 y 𝐵 dos conjuntos. Se define la diferencia de los conjuntos 𝐴 y 𝐵, y se denota por 𝐴 – 𝐵,
como el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto 𝐴 y no pertenecen a 𝐵.
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
La diferencia de los conjuntos 𝐴 y 𝐵 la representas simbólicamente como:
𝑨 – 𝑩 = {𝒙| 𝒙 ∈ 𝑨 ˄ 𝒙 ∉ 𝑩}
El diagrama de Venn que representa la diferencia entre los conjuntos 𝐴 y 𝐵 es:
A–B
Figura 7. La parte naranja del diagrama es la que representa la diferencia de conjuntos 𝐴 – 𝐵.
Al conjunto 𝐴 – 𝐵 también se le conoce como complemento relativo de 𝐵 con respecto de 𝐴.
La diferencia de conjuntos tiene algunas propiedades muy interesantes, las cuales se presentan a
continuación.
Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 conjuntos, sus propiedades son:
1.
Propiedad conmutativa
•
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴
•
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴
2.
Propiedad asociativa
•
𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶
•
𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶
3.
Propiedad distributiva
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
•
𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
•
𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
4.
Leyes de Morgan
•
(𝐴 ∪ 𝐵)𝑐 = 𝐴𝑐 ∩ 𝐵 𝑐
•
(𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 = 𝐴𝑐 ∪ 𝐵 𝑐
Las cuatro propiedades anteriores, las utilizarás muy a menudo al realizar algunas demostraciones
sobre la teoría de conjuntos, por esta razón, se presentan. En el siguiente ejemplo verás el uso de
algunas de las propiedades anteriores.
Ejemplo:
Sean 𝐴, 𝐵, 𝐶, y 𝐷 conjuntos. Si 𝐶 = 𝐷, entonces (𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 ∪ (𝐴 ∪ 𝐶) = 𝐷 ∪ 𝐶 𝑐 .
Por hipótesis tienes que 𝐶 = 𝐷.
La conclusión es: (𝑨 ∩ 𝑩)𝒄 ∪ (𝑨 ∪ 𝑪) = 𝑫 ∪ 𝑪𝒄 .
Para realizar esta demostración existen dos métodos: el primero consiste en demostrar que el
primer miembro es un subconjunto del segundo y viceversa, de esta manera tendrías que son
iguales, aplicando la definición de igualdad de conjuntos. El segundo consiste en trabajar el
primer miembro y llegar al segundo o viceversa. En este caso, vas a realizar la demostración por
el segundo método.
Trabajando progresivamente sobre el primer miembro, tienes que:
(𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 ∪ (𝐴 ∪ 𝐶) = (𝐴𝑐 ∪ 𝐵 𝑐 ) ∪ (𝐴 ∪ 𝐶)
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por las leyes de Morgan
28
Unidad 3. Teoría de conjuntos
= (𝐵 𝑐 ∪ 𝐴𝑐 ) ∪ (𝐴 ∪ 𝐶)
por la propiedad conmutativa
= 𝐵 𝑐 ∪ (𝐴𝑐 ∪ 𝐴) ∪ 𝐶
por la propiedad asociativa
= 𝐵 𝑐 ∪ (𝑈) ∪ 𝐶
es el resultado de la unión de un
conjunto y su complemento
= 𝑈
por la unión del conjunto universal
con cualquier otro conjunto
Entonces: (𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 ∪ (𝐴 ∪ 𝐶) = 𝑈.
Ahora, trabaja con el segundo miembro.
𝐷 ∪ 𝐶 𝑐 = 𝐶 ∪ 𝐶 𝑐 , por hipótesis, porque 𝐶 = 𝐷
= 𝑈, porque la unión de un conjunto y su complemento es el conjunto universal.
En ambos miembros, has llegado a que 𝑈 = 𝑈, por esta razón, el enunciado:
Si 𝐶 = 𝐷, entonces (𝑨 ∩ 𝑩)𝒄 ∪ (𝑨 ∪ 𝑪) = 𝑫 ∪ 𝑪𝒄 , es verdadero.
Ejemplo:
Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 conjuntos. Si 𝐵 = 𝐶, entonces ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶 𝑐 )) – 𝐴 = ∅.
De igual manera, trabaja con los miembros de la igualdad para encontrar un resultado que te
aproxime o lleve a la conclusión.
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29
Unidad 3. Teoría de conjuntos
((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶 𝑐 )) – 𝐴
por la propiedad asociativa
= [((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐴) ∩ ((𝐴 ∩ 𝐵)
∪ 𝐶 𝑐 )] – 𝐴
= [(𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ (𝐶 𝑐 ∪ (𝐴 ∩ por la propiedad conmutativa
𝐵))] – 𝐴
= [((𝐴 ∪ 𝐴) ∩ (𝐴 ∪ 𝐵)) ∩ ((𝐶 𝑐 ∪ 𝐴)
por la propiedad distributiva
∩ (𝐶 𝑐 ∪ 𝐵))] – 𝐴
por la unión de conjuntos
= [((𝐴) ∩ (𝐴 ∪ 𝐵)) ∩ ((𝐶 𝑐 ∪ 𝐴) ∩ (𝐶 𝑐
∪ 𝐵))] − 𝐴
= [(𝐴 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵)) ∩ ((𝐵 𝑐 ∪ 𝐴) ∩ (𝐵 𝑐 ∪
por hipótesis de 𝐵 = 𝐶
𝐵))] – 𝐴
= [ 𝐴 ∩ ((𝐵𝑐 ∪ 𝐴) ∩ (𝐵 𝑐 ∪ 𝐵))] – 𝐴
= [ 𝐴 ∩ ((𝐵𝑐 ∪ 𝐴) ∩ (𝑈))] – 𝐴
por intersección de conjuntos
porque la unión de un
conjunto y su complemento es
el conjunto universal
= [𝐴 ∩ (𝐵 𝑐 ∪ 𝐴)] – 𝐴
porque la intersección de
cualquier conjunto 𝑃 con el
conjunto universal da como
resultado 𝑃
= [𝐴] – 𝐴
= ∅
por intersección de conjuntos
por diferencia de conjuntos
Por lo tanto, el enunciado es verdadero.
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30
Unidad 3. Teoría de conjuntos
La mayoría de las ocasiones, trabajar con conjuntos puede llevar a desarrollar un proceso
complicado, el cual puede simplificarse al utilizar las propiedades de los conjuntos y algunos
resultados previos, ya que algunas operaciones aparecen repetidamente en diferentes procesos.
3.2.5. Producto cartesiano
El producto cartesiano surge básicamente de la necesidad de establecer relaciones entre diferentes
tipos de conjuntos. Por ejemplo, relacionar un conjunto de personas por su apellido con otro que
represente las diferentes edades que una persona pueda tener y a su vez, se relacione con otro que
represente los diferentes sexos, es algo que con las operaciones de unión, intersección, diferencia
o complemento no se puede realizar. Sin embargo, el producto cartesiano permite construir un
conjunto tal, que si permite la relación, los resultados de sus elementos para los conjuntos
mencionados serían de la siguiente manera.
𝐴 = (𝑎𝑝𝑒𝑙𝑙𝑖𝑑𝑜, 𝑒𝑑𝑎𝑑, 𝑠𝑒𝑥𝑜)
Tal y como se observa, el producto cartesiano permite establecer una relación entre los elementos
de los conjuntos mencionados.
Definición de producto cartesiano
Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos no vacíos. Se define al producto cartesiano de 𝐴 y 𝐵, representado por
𝐴 𝑥 𝐵, al conjunto formado por todos los pares ordenados (𝑎, 𝑏), tales que 𝑎 ∈ 𝐴 y 𝑏 ∈ 𝐵.
La representación del producto cartesiano de 𝐴 y 𝐵 es:
𝑨 𝒙 𝑩 = {(𝒂, 𝒃)| 𝒂 ∈ 𝑨 𝒚 𝒃 ∈ 𝑩}
Ejemplo:
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31
Unidad 3. Teoría de conjuntos
1.-Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos. Si 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} y 𝐵 = {1, 2, 3, 4}, entonces, ¿cuál es el producto
cartesiano de 𝐴 𝑦 𝐵?
Para contestar la pregunta, únicamente utiliza la definición de producto cartesiano.
𝐴 𝑥 𝐵 = {(𝑎, 𝑏)| 𝑎 ∈ 𝐴 𝑦 𝑏 ∈ 𝐵}
Para este caso tienes que:
𝐴𝑥𝐵
= {(𝑎, 1), (𝑎, 2), (𝑎, 3), (𝑎, 4), (𝑏, 1), (𝑏, 2), (𝑏, 3), (𝑏, 4), (𝑐, 1), (𝑐, 2), (𝑐, 3), (𝑐, 4), (𝑑, 1), (𝑑, 2), (𝑑, 3), (𝑑, 4)}.
Una de las características del producto cartesiano que puedes encontrar a simple vista, es, si
tienes el producto cartesiano de dos conjuntos 𝐴 𝑥 𝐵, donde 𝐴 y 𝐵 tienen una cantidad finita de
elementos, entonces, puedes encontrar la cantidad de elementos del producto cartesiano. Esto
puedes hacerlo multiplicando la cardinalidad de 𝐴 por la cardinalidad de 𝐵 y el resultado será la
cardinalidad de 𝐴 𝑥 𝐵.
Otra de las características que puede obtenerse del producto cartesiano es la siguiente:
2. Sean 𝐴 y 𝐵 dos conjuntos tales que 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} y 𝐵 = {𝑐𝑎𝑚𝑎𝑟ó𝑛, 𝑝𝑜𝑙𝑙𝑜, 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑢𝑟𝑎}.
Encontrar 𝐴 𝑥 𝐵 y 𝐵 𝑥 𝐴.
Comienza con 𝐴 𝑥 𝐵
𝐴 𝑥 𝐵 = {(𝑎, 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑟ó𝑛), (𝑎, 𝑝𝑜𝑙𝑙𝑜), (𝑎, 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑢𝑟𝑎), (𝑏, 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑟ó𝑛), (𝑏, 𝑝𝑜𝑙𝑙𝑜),
(𝑏, 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑢𝑟𝑎), (𝑐, 𝑐𝑎𝑚𝑎𝑟ó𝑛), (𝑐, 𝑝𝑜𝑙𝑙𝑜), (𝑐, 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑢𝑟𝑎)}
Ahora encuentra a 𝐵 𝑥 𝐴
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
𝐵 𝑥 𝐴 = {(𝑐𝑎𝑚𝑎𝑟ó𝑛, 𝑎), (𝑐𝑎𝑚𝑎𝑟ó𝑛, 𝑏), (𝑐𝑎𝑚𝑎𝑟ó𝑛, 𝑐), (𝑝𝑜𝑙𝑙𝑜, 𝑎), (𝑝𝑜𝑙𝑙𝑜, 𝑏),
(𝑝𝑜𝑙𝑙𝑜, 𝑐), (𝑣𝑒𝑟𝑑𝑢𝑟𝑎, 𝑎), (𝑣𝑒𝑟𝑑𝑢𝑟𝑎, 𝑏), (𝑣𝑒𝑟𝑑𝑢𝑟𝑎, 𝑐)}
El ejemplo anterior se desarrolló para que observes que el producto cartesiano no es conmutativo,
es decir, que 𝐴 𝑥 𝐵 ≠ 𝐵 𝑥 𝐴, aunque los pares ordenados tienen la misma cantidad en ambos
productos, los obtenidos difieren uno del otro.
Con esto, has finalizado la sección que comprende al producto cartesiano y realizarás algunos
ejemplos que muestren los usos que tienen los elementos de la teoría de conjuntos en relación con
otras áreas.
Ejemplo:
Sea 𝐴 un conjunto, donde 𝐴 = {𝑥| 𝑥 ∈ 𝑁}.
Demuestra que: Si 𝑥 es par, entonces 𝑥 no es impar.
Hipótesis:
•
𝑥 es un número natural
•
𝑥 es par
Conclusión: 𝑥 no es impar
Como 𝑥 es par, entonces ∃𝑘 ∈ 𝑍 tal que 𝑥 = 2𝑘.
Supón que 𝑥 es impar, entonces ∃𝑐 ∈ 𝑍 tal que 𝑥 = 2𝑐 + 1.
Igualando ambos resultados tienes que:
𝑥 = 𝑥, sustituyendo los dos valores de 𝑥
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
2𝑘 = 2𝑐 + 1
2𝑘 – 2𝑐 = 1
2(𝑘 – 𝑐) = 1
𝑘– 𝑐 =
1
2
Has llegado a una contradicción, ya que 𝑘 – 𝑐 representa la diferencia de dos números enteros,
pero la diferencia de dos enteros es un número entero, esto significa que lo que supusiste
verdadero, ∃𝑐 ∈ 𝑍, 𝑥 = 2𝑐 + 1, es falso.
Entonces, tienes que ∀𝑐 ∈ 𝑍, 𝑥 ≠ 2𝑐 + 1. Por lo tanto, si 𝑥 es par, no puede ser impar, tal y
como lo querías demostrar.
En este ejemplo, utilizas el conjunto 𝐴, 𝑁 y 𝑍, los cuantificadores existencial y universal y el
método de demostración por reducción al absurdo, es decir, utilizas elementos que has estudiado
en las diferentes unidades de este curso.
Antes de trabajar con el siguiente ejemplo, necesitas las siguientes definiciones para realizar una
demostración.
Definición de punto límite
Un punto 𝑝 es un punto límite del conjunto 𝐸 si toda vecindad de 𝑝 contiene un punto 𝑞, con 𝑞 ≠
𝑝, tal que 𝑞 ∈ 𝐸.
Definición de vecindad
Una vecindad de un punto 𝑝 es un conjunto 𝑉𝑟 (𝑝) formado por todos los puntos 𝑞, tales que
𝑑(𝑝, 𝑞) < 𝑟, donde 𝑟 es el radio de 𝑉𝑟 (𝑝).
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
Con las definiciones anteriores demuestra el siguiente enunciado:
Si 𝑝 es un punto límite de un conjunto 𝐴, entonces toda vecindad de 𝑝 contiene infinitos puntos
de 𝐴.
Hipótesis:
•
𝑝 es un punto límite de 𝐴
Conclusión:
•
Toda vecindad de 𝑝 contiene infinitos puntos de 𝐴
Demuestra este enunciado por reducción al absurdo.
En la conclusión tienes que toda vecindad de 𝑝 contiene infinitos puntos de 𝐴, al negarla queda:
No toda vecindad de 𝑝 contiene una cantidad infinita de puntos de 𝐴.
Es decir, existe una vecindad de 𝑝 que contiene una cantidad finita de puntos de 𝐴.
Supón que dicha vecindad es 𝑉𝑟 (𝑝)
Ahora, toma aquel punto que se encuentra más cerca de 𝑝, distinto de 𝑝 y llámalo 𝑞, esto es
posible gracias a que dentro de la vecindad 𝑉𝑟 (𝑝) hay una cantidad finita de puntos.
Ahora como 𝑝 ≠ 𝑞, puedes formar la vecindad 𝑊𝑟 (𝑝), con radio 𝑟 = 𝑑(𝑝, 𝑞).
Es obvio que dentro de 𝑊𝑟 (𝑝) no existe ningún 𝑐 ≠ 𝑝, de lo contrario, 𝑞 no hubiera sido el
punto más cercano a 𝑝, entonces:
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
Existe 𝑊𝑟 (𝑝), tal que 𝑝 ∈ 𝑊𝑟 (𝑝) , pero 𝑊 no tiene ningún otro elemento distinto de 𝑝.
Por definición, tienes que 𝑝 es un punto límite de 𝐴 si toda vecindad de 𝑝 contiene un punto 𝑞 ≠
𝑝, tal que 𝑞 ∈ 𝐴. Pero 𝑝 tiene una vecindad 𝑊𝑟 (𝑝) que no contiene un punto 𝑞 ≠ 𝑝, lo cual es
una contradicción.
Esto significa que la suposición: Existe una vecindad de 𝑝 que contiene una cantidad finita de
puntos de 𝐴, es falsa.
Como la suposición anterior proviene de negar la conclusión, significa que ésta es verdadera, es
decir, que el enunciado es verdadero.
El ejemplo anterior generalmente es utilizado en topología y análisis, sin embargo, utiliza
elementos de la teoría de conjuntos, métodos de demostración y por supuesto la equivalencia
lógica. Tal y como puedes apreciar, este curso puede ser de gran ayuda para poder comprender
las diferentes ramas de la matemática. De igual manera, se puede utilizar de ayuda en ramas
como el álgebra lineal, el cálculo y en el álgebra moderna, entre otras.
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Unidad 3. Teoría de conjuntos
Cierre de la unidad
Has estudiado la asignatura de Pensamiento matemático, en donde aplicaste la lógica, las
demostraciones y los conjuntos. Durante todo tu estudio te encontrarás con materias en donde
aplicarás lo aprendido, ya que la lógica matemática es la base necesaria para comprender la teoría
y aplicaciones de asignaturas como Álgebra lineal, Cálculo diferencial, integral y Topología. Ya
que en dichas asignaturas se trabaja con conjuntos y demostraciones, y para dar una demostración
como verdadera lo haces con la lupa de la lógica.
Recursos didácticos
Para comprender mejor la teoría de conjuntos, puedes ver los siguientes video tutoriales.
http://www.youtube.com/watch?v=NzcyLx0U0jM
Fuentes de consulta
•
Lipschutz, S. (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. México: Editorial McGraw-Hill.
•
Kisbye P. (2008). Elementos de lógica y teoría de conjuntos. Colombia. Recuperado de:
http://ocw.unc.edu.ar/facultad-de-matematica-astronomia-y-fisica/cursillo-deingreso/actividades-y-materiales/elementos-de-logica-y-teoria-de-conjuntos
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