(RESUELTO)2 ETS MECÁNICA CLÁSICA LABORATORIO

EXAMEN ETS - MECÁNICA CLÁSICA EXPERIMENTAL
1.- Describe detalladamente los pasos del método científico (Ver su manual xd)
2.- En el experimento de péndulo simple se obtuvo la siguiente Ley Física
Experimental o Ecuación Empírica.
𝑠2
𝑇 = (3.95 ) 𝐿 + 0.23 𝑠 2
𝑚
2
a) Calcular el error experimental de la aceleración debida a la fuerza de gravedad
considerada para el laboratorio y valor de 9.76 m/s2.
Para este inciso, debemos de obtener la ecuación que rige el movimiento del péndulo
simple (Ecuación Teórica).
𝐿
𝑔
𝑇 = 2𝜋√
Ahora, deducimos la forma general de nuestra ley física:
De la ecuación de la recta:
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
A partir de nuestro sistema de referencia
(Fig.1) y nuestras variables que generan el
fenómeno, tenemos:
𝑇 2 = 𝑚𝐿 + 𝑏
Fig. 1
Teniendo nuestra Ley física experimental en su forma general, procedemos a realizar
la comparación de la misma con la ecuación teórica:
𝐿
Ecuación Teórica
𝑇 = 2𝜋√𝑔
Ley Física Experimental
𝑇 2 = 𝑚𝐿 + 𝑏
Aplicamos álgebra para poder igualar las ecuaciones:
𝐿
𝑇 = 2𝜋√
𝑔
2
𝐿
𝑇 2 = (2𝜋√ )
𝑔
4𝜋 2 𝐿
𝑇 =
𝑔
2
Finalmente comparamos:
4𝜋2 𝐿
• Ecuación Teórica
𝑇2 =
• Ley Física Experimental
𝑇 2 = 𝑚𝐿 + 𝑏
𝑔
Por tanto, encontramos el significado físico para la pendiente:
4𝜋 2 𝐿
= 𝑚𝐿
𝑔
4𝜋 2
𝑚=
𝑔
Gravedad experimental
Del significado físico calculado, despejamos a g, quien toma el valor de la magnitud
de la aceleración de la gravedad experimental:
𝑔 = 𝑔𝑒𝑥𝑝.
4𝜋 2
=
𝑚
Ahora sustituimos los valores conocidos para la pendiente m:
4𝜋 2
𝑔𝑒𝑥𝑝. =
𝑠2
3.95 𝑚
𝒎
𝒈𝒆𝒙𝒑. = 𝟗. 𝟗𝟗𝟒𝟓 𝟐
𝒔
Error experimental
𝑃𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛 → 𝐸𝐸% =
𝑉𝑇𝑒𝑜. − 𝑉𝐸𝑥𝑝.
𝑥100%
𝑉𝑇𝑒𝑜.
𝒎
Gravedad Teórica
𝟗. 𝟕𝟔𝟎 𝒔𝟐
Gravedad Experimental
𝟗. 𝟗𝟗𝟒𝟓 𝒔𝟐
𝒎
Sustituyendo valores:
9.760
𝐸𝐸% =
𝑚
𝑚
− 9.9945 2
2
𝑠
𝑠 𝑥100%
𝑚
9.760 2
𝑠
𝐸𝐸% = 2.40 %
b) Calcular el periodo si la longitud de la cuerda es de 0.75
Para este inciso, tomaremos nuestra Ley Física experimental
𝑇 2 = (3.95
𝑠2
) 𝐿 + 0.23 𝑠 2
𝑚
𝑠2
𝑇 = √(3.95 ) 𝐿 + 0.23 𝑠 2
𝑚
Sustituimos el valor de L:
𝑠2
𝑇 = √(3.95 ) (0.75𝑚) + 0.23 𝑠 2
𝑚
𝑇 = 1.78 𝑠
b) Describe el equipo utilizado en el experimento
Ver su manual xd
d) Describe tres objetivos del experimento
Ver su manual xd
4.- En el experimento de un movimiento horizontal por medio de una fuerza constante,
se registraron los siguientes datos.
t(s)
s(cm)
0.20
0.1
0.40
0.7
0.80
2.8
1.40
8.8
2.00
18.0
2.60
30.5
3.20
46.3
3.80
65.2
4.20
79.6
Tabla 1
1
a) Obtenga la gráfica de dispersión y escriba una hipótesis
Se obtiene el gráfico de tiempo vs desplazamiento
Tiempo vs Desplazamiento
s(cm)
90
Desplazamiento
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
Tiempo
3.00
3.50
4.00
4.50
t(s)
Gráfico 1
1
Observamos que el gráfico (por inspección visual) tiende a ser no lineal, y para
comprobar dicha afirmación, calculamos el coeficiente de determinación lineal, el cual
nos arroja un valor de r2 = 0.9427. Recordemos que las restricciones para que se
considere lineal deben estar comprendidas entre 0.985 < r2 ≤ 1.
Para evitar esta discrepancia, procedemos a realizar una transformación, la cual nos
ayudará a que la gráfica tenga un comportamiento lineal
La transformación para utilizar será (z = x/y).
A partir del gráfico y sus variables, obtenemos como transformación ⟹ z = s/t
NOTA: La transformación a usar dependerá de la que te puedan pedir en ese
momento, si no es así, puedes usar cualquiera.
Nuevamente tabulamos los datos, pero con la respectiva transformación:
t(s)
z(cm/s)
0.20
0.5000
0.40
1.7500
0.80
3.5000
1.40
6.2857
2.00
9.0000
2.60
11.7308
3.20
14.4688
3.80
17.1579
Tabla 2
1
Generamos el segundo gráfico de Z vs t a partir de la Tabla 2.
Z vs t
Z (cm/s)
TRANSFORMADA Z
4.20
18.9524
20.00
18.00
16.00
14.00
12.00
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
0.00
t(s)
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
TIEMPO
3.00
3.50
4.00
4.50
Gráfico 2
1
Como se puede observar, la gráfica ya tiene un comportamiento lineal, y para
comprobar dicha afirmación, calculamos nuevamente el coeficiente de determinación
lineal, el cual arroja un valor de r2 = 0.99
Conclusión: El fenómeno es lineal
NOTA: Recuerde que para determinar si el gráfico es lineal debe contemplar 2
puntos de suma importancia:
1.- Visualmente debe ser lineal
2.- Matemáticamente 0.985 < r2 ≤ 1.
HIPÓTESIS
• z = mt + b
b) Determine el modelo matemático (Ley empírica) del fenómeno físico. Verifique la
validez de su hipótesis.
En este inciso lo que nos piden es determinar la ecuación o Ley física, y debemos
recordar que para obtenerla debemos realizar el método de Mínimos cuadrados.
Para realizar el método de mínimos cuadrados necesitamos las sumatorias de ∑ 𝑥,
∑ 𝑦, ∑ 𝑥𝑦, ∑ 𝑥 2 y ∑ 𝑦2 . Por lo tanto, sustituimos en “x” y “y” la simbología de
nuestras variables:
∑ 𝑡, ∑ 𝑧, ∑ 𝑡𝑧, ∑ 𝑡2 y ∑ 𝑧2
Ahora obtenemos las ecuaciones para m y b:
𝑚=
𝑏=
𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑦 − ∑𝑛𝑖=1 𝑥 ∑𝑛𝑖=1 𝑦
𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥 2 − (∑𝑛𝑖=1 𝑥)
2
⇒
∑𝑛𝑖=1 𝑥 2 ∑𝑛𝑖=1 𝑦 − ∑𝑛𝑖=1 𝑥 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑦
𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑥 2 − (∑𝑛𝑖=1 𝑥)
2
𝒎=
⇒
𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑡𝑧 − ∑𝑛𝑖=1 𝑡 ∑𝑛𝑖=1 𝑧
𝒃=
𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑡 2 − (∑𝑛𝑖=1 𝑡)
2
∑𝑛𝑖=1 𝑡 2 ∑𝑛𝑖=1 𝑧 − ∑𝑛𝑖=1 𝑡 ∑𝑛𝑖=1 𝑡𝑧
𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑡 2 − (∑𝑛𝑖=1 𝑡)
2
TABLA DE MÍNIMOS CUADRADOS
𝟐 (𝒔𝟐 )
(𝒄𝒎)
(𝒄𝒎 𝒔)
(𝒔)
𝟐 (𝒄𝒎𝟐
𝒔𝟐)
0.2000
0.5000
0.1000
0.0400
0.2500
0.4000
1.7500
0.7000
0.1600
3.0625
0.8000
3.5000
2.8000
0.6400
12.2500
1.4000
6.2857
8.8000
1.9600
39.5100
2.0000
9.0000
18.0000
4.0000
81.0000
2.6000
11.7308
30.5001
6.7600
137.6117
3.2000
14.4688
46.3002
10.2400
209.3462
3.8000
17.1579
65.2000
14.4400
294.3935
4.2000
18.9524
79.6001
17.6400
359.1935
18.6
83.3456
252.00
55.88
1136.62
Tabla 3
1
CALCULAMOS PENDIENTE Y ORDENADA (Sustituir valores respecto de la
Tabla3).
PENDIENTE:
𝒎=
𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑡𝑧 − ∑𝑛𝑖=1 𝑡 ∑𝑛𝑖=1 𝑧
𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑡 2 − (∑𝑛𝑖=1 𝑡)
2
=
(9)(252) − (18.6)(83.3456)
= 4.5940
(9)(55.88) − (18.6)2
Análisis dimensional:
𝒎=
𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑡𝑧 − ∑𝑛𝑖=1 𝑡 ∑𝑛𝑖=1 𝑧
𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑡 2 − (∑𝑛𝑖=1 𝑡)
∴ ⟶ 𝒎 = 𝟒. 𝟓𝟗𝟒𝟎
𝒄𝒎
𝒔𝟐
2
[=]
𝑐𝑚
𝑠 ) = (𝑐𝑚) − (𝑐𝑚) = 𝒄𝒎
𝑠 2 − (𝑠)2
𝑠2 − 𝑠2
𝒔𝟐
(𝑐𝑚) − (𝑠) (
ORDENADA:
𝒃=
∑𝑛𝑖=1 𝑡 2 ∑𝑛𝑖=1 𝑧 − ∑𝑛𝑖=1 𝑡 ∑𝑛𝑖=1 𝑡𝑧
𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑡 2 − (∑𝑛𝑖=1 𝑡)
2
=
(55.88)(83.3456) − (18.6)(252)
= −0.1910
(9)(55.88) − (18.6)2
Análisis dimensional:
𝒃=
∑𝑛𝑖=1 𝑡 2 ∑𝑛𝑖=1 𝑧 − ∑𝑛𝑖=1 𝑡 ∑𝑛𝑖=1 𝑡𝑧
𝑛 ∑𝑛𝑖=1 𝑡 2 − (∑𝑛𝑖=1 𝑡)
∴ ⟶ 𝒃 = −𝟎. 𝟏𝟗𝟏𝟎
2
[=]
(𝑠 2 ) (
𝑐𝑚
(𝑠)(𝑐𝑚) (𝑠𝑐𝑚) − (𝑠𝑐𝑚) 𝑠𝑐𝑚 𝒄𝒎
𝑠 )−
=
= 2 =
𝑠 2 − (𝑠)2
𝑠2 − 𝑠2
𝑠
𝒔
𝒄𝒎
𝒔
LEY FÍSICA
De la ecuación de la recta:
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
A partir de nuestro sistema de referencia
(Fig.1) y nuestras variables que generan el
fenómeno, tenemos:
𝑧 = 𝑚𝑡 + 𝑏
Observamos que nuestra hipótesis es válida.
Obtenemos la Ley Física:
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑗𝑜𝑟 𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑒 → 𝑧 = 𝑚𝑡 + 𝑏
Ya que nuestra ecuación está en términos de la transformación z, debemos recordar
que z = d/t, entonces:
𝑧 = 𝑚𝑡 + 𝑏
𝑠
= 𝑚𝑡 + 𝑏
𝑡
𝒔=𝒎
𝟐
+𝒃
Finalmente sustituimos los valores de m y b:
𝒔 = (𝟒. 𝟓𝟗𝟒𝟎
𝒄𝒎
)
𝟐
𝒔
𝟐
− (𝟎. 𝟏𝟗𝟏𝟎
𝒄𝒎
𝒔
)
c) Determine el error en la aceleración del deslizador. Si la masa del deslizador es de
196 g y la masa total de las pesas es del 2 g.
Cómo nos piden el error de la aceleración del deslizador, debemos calcular la
aceleración experimental y la aceleración teórica del sistema
Primero obtenemos la magnitud de la aceleración experimental
Sabemos que la derivada de la posición respecto del tiempo nos da como resultado la
velocidad del sistema, y que la derivada de la velocidad respecto del tiempo nos da
como resultado la aceleración.
Entonces:
∆𝑠⃗ 𝑑𝑠⃗
=
∆𝑡→0 ∆𝑡
𝑑𝑡
𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛 → 𝑣⃗ = lim
Como el movimiento del móvil se genera en el eje de las x positivas, tenemos:
∆𝑠 𝑑𝑠
=
∆𝑡→0 ∆𝑡
𝑑𝑡
Entonces, la función que se va a derivar es nuestra ecuación o ley física, ya que se
desea conocer la magnitud de la velocidad experimental
𝑣 = lim
Teniendo: 𝑠 = 𝑚𝑡 2 + 𝑏𝑡 (ley física)
𝑑𝑠 𝑑𝑚𝑡2 𝑑𝑏𝑡
=
+
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑠
𝑑 𝑡2
𝑑𝑡
=𝑚
+𝑏
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Como la magnitud de la velocidad es ds/dt:
𝑣 = 2𝑚𝑡 + 𝑏
Conociendo la velocidad del sistema, podemos conocer la aceleración:
∆𝑣⃗ 𝑑𝑣⃗
=
∆𝑡→0 ∆𝑡
𝑑𝑡
𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛 → 𝑎⃗ = lim
Como el movimiento del móvil se genera en el eje de las x positivas, tenemos:
∆𝑣 𝑑𝑣
=
∆𝑡→0 ∆𝑡
𝑑𝑡
𝑎 = lim
Entonces, la función que se va a derivar es la ecuación de velocidad (Primera derivada)
Teniendo: 𝑣 = 2𝑚𝑡 + 𝑏
𝑑𝑣 𝑑2𝑚𝑡 𝑑𝑏
=
+
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑠
𝑑𝑡 𝑑𝑏
= 2𝑚 +
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑡
Como la magnitud de la aceleración es dv/dt:
𝑎 = 2𝑚
Conclusión:
𝑎 = 𝑎𝑒𝑥𝑝 = 2𝑚
CALCULAMOS LA MAGNITUD DE LA ACELRACIÓN EXPERIMENTAL DEL
SISTEMA
𝑎𝑒𝑥𝑝 = 2𝑚; 𝑑ó𝑛𝑑𝑒 𝒎 = 𝟒. 𝟓𝟗𝟒𝟎
𝑐𝑚
)
𝑠2
𝒄𝒎
= 𝟗. 𝟏𝟖𝟖𝟎 𝟐
𝒔
𝑎𝑒𝑥𝑝 = 2 (4.5940
𝑎𝑒𝑥𝑝
𝒄𝒎
𝒔𝟐
Para conocer la aceleración teórica y por segunda Ley de Newton:
⃗⃗1 + 𝑁
⃗⃗1 +𝑊
⃗⃗⃗⃗1 = 𝑚1 𝑎⃗1
𝐹⃗1 = 𝑇
⃗⃗2 +𝑊
⃗⃗⃗⃗2 = 𝑚2 𝑎⃗2
𝐹⃗2 = 𝑇
∑ 𝐹𝑥 = 𝑚1 𝑎1
∑ 𝐹𝑥 = 0
𝑇1 = 𝑚1 𝑎1 … 𝒆𝒄 𝟏
∑ 𝐹𝑦 = 0
∑ 𝐹𝑦 = 0
𝑇2 − 𝑚2 𝑔 = −𝑚2 𝑎2
𝑁1 − 𝑚1 𝑔 = 0
𝑇2 = −𝑚2 𝑎2 +𝑚2 𝑔 … 𝒆𝒄. 𝟑
𝑁1 = 𝑚1 𝑔 … 𝒆𝒄. 𝟐
Como se observa, hemos obtenido un sistema de 3 ecuaciones, pero podemos reducirlo
a 2, sustituyendo ec.1 en ec.3, y así dejar la variable que deseamos obtener, la
aceleración del móvil.
Si suponemos que la cuerda no se deforma, se desprecia su masa y la polea no gira,
entonces, por la tercera Ley de Newton:
⃗⃗1 | = |𝑇
⃗⃗2 | = 𝑇 ⟹ 𝑇1 = 𝑇2 = 𝑻
|𝑇
Si la cuerda no se deforma:
|𝑎⃗1 | = |𝑎⃗2 | = 𝑎 ⟹ 𝑎1 = 𝑎2 = 𝒂
Entonces tenemos lo siguiente:
𝑇 = 𝑚1 𝑎 … 𝑒𝑐 1
𝑇 = −𝑚2 𝑎 + 𝑚2 𝑔 … 𝑒𝑐. 3
Sustituyendo ec.1 en ec.3
𝑚1 𝑎 = −𝑚2 𝑎 + 𝑚2 𝑔
𝑚1 𝑎 + 𝑚2 𝑎 = 𝑚2 𝑔
𝑎(𝑚1 + 𝑚2 ) = 𝑚2 𝑔
𝑎=
𝑚2
𝑔
(𝑚1 + 𝑚2 )
Conclusión:
𝑎 = 𝑎𝑡𝑒𝑜. =
𝑚2
𝑔
(𝑚1 + 𝑚2 )
CALCULAMOS LA ACELRACIÓN TEÓRICA DEL SISTEMA
𝑎𝑡𝑒𝑜. =
𝑚2
𝑔; 𝑑ó𝑛𝑑𝑒 𝑚1 = 196𝑔 𝑦 𝑚2 = 2𝑔
(𝑚1 + 𝑚2 )
Consideramos para la magnitud de la aceleración de la gravedad la de los laboratorios
de UPIICSA:
𝒈 = 𝟗𝟕𝟔
𝒄𝒎
𝒔𝟐
Sustituyendo valores:
𝑎𝑡𝑒𝑜. =
2𝑔
𝑐𝑚
(976 2 )
(196𝑔 + 2𝑔)
𝑠
𝑎𝑡𝑒𝑜. = 9.858
𝑐𝑚
𝑠2
ERROR EXPERIMENTAL
𝑃𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛 → 𝐸𝐸% =
𝑉𝑇𝑒𝑜. − 𝑉𝐸𝑥𝑝.
𝑥100%
𝑉𝑇𝑒𝑜.
Magnitud de la aceleración Teórica
𝟗. 𝟖𝟓𝟖
Magnitud de la aceleración Experimental
𝟗. 𝟏𝟖𝟖
𝒄𝒎
𝒔𝟐
𝒄𝒎
𝒔𝟐
Sustituyendo valores:
9.858
𝐸𝐸% =
𝑐𝑚
𝑐𝑚
− 9.188 2
𝑠2
𝑠 𝑥100%
𝑐𝑚
9.858 2
𝑠
𝐸𝐸% = 6.79 %