Informe 1 Estudiantes: Missael María ID: 1116830 Alfredo Rodríguez ID: 1114081 Francisco Rodríguez: 1116029 Materia: Lab Dinámica Profesor: Luis Méndez Fecha: 12/2/2024 Sección: ING212L-05 Práctica 1: Cinemática de Partículas en Movimiento Rectilíneo Objetivo El presente tiene como finalidad verificar de manera experimental la relación cinemática entre la posición, la velocidad y la aceleración de una partícula en movimiento rectilíneo. Introducción La posición, velocidad y aceleración de una partícula de masa que se mueve en movimiento rectilíneo en la dirección del eje x están relacionadas por las siguientes expresiones (cinemática): Posición de la partícula con respecto al eje x en el tiempo t 𝒙(𝒕) 𝒗(𝒕) = 𝒅𝒙 = 𝒙̇ 𝒅𝒚 Velocidad en x de la partícula en el tiempo t 𝒅𝒗 𝒅𝟐 𝒙 𝒂(𝒕) = = 𝒅𝒕 𝒅𝒕𝟐 Aceleración en x de la partícula en el tiempo Por ejemplo, si el movimiento es uniforme, es decir, si la aceleración es constante, se obtienen las siguientes expresiones mediante integración para la velocidad y la aceleración: 𝒂(𝒕) = 𝒂 (𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆) 𝒗(𝒕) = 𝒗𝟎 + 𝒂𝒕 𝒙(𝒕) = 𝒙𝟎 + 𝒗𝟎 𝒕 + 𝒂 𝒕𝟐 𝟐 Donde 𝑣0 es la velocidad inicial (en el tiempo 𝑡 = 0) Donde 𝑥0 es la posición inicial (en el tiempo 𝑡 = 0) En esta práctica se verificarán las relaciones cinemáticas para movimiento rectilíneo usando diferentes experimentos. Equipos Necesarios • • • • Sensor de Movimiento Carro pastrack (masa de 250 g) Masas adicionales (250 g cada una) Polea, hilo y stopper Parte 1: Aceleración constante Utilizando la 2da ley de Newton (cinética) se puede demostrar que la aceleración de la masa es constante y está dada por el siguiente modelo matemático: 𝒂𝒎 = 𝒎𝟏 𝒈 (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 ) Procedimiento 1. Ensamblar el sistema. 2. Colocar solo el carrito (sin la masa adicional) aproximadamente a 15 cm del sensor de movimiento. 3. Presionar la opción “zero” en el software para definir la posición x=0 como la posición inicial. 4. Liberar el carrito del reposo y medir su desplazamiento, velocidad y aceleración usando el sensor de movimiento. 5. Repetir agregando masas adicionales de 250 g y 500 g. Cálculos 1. Graficar la velocidad medida en función del tiempo desde el instante inicial hasta justo antes de golpear el stopper. Carrito sin masa adicional 0.4 0.2 0.3 Velocidad (m/s) 0.25 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 0 1 2 3 4 0.2 0.1 0 0 5 1 -0.1 Tiempo (s) 2 Tiempo (s) Carrito con masa de 500g 0.2 Velocidad (m/s) Velocidad (m/s) Carrito con masa de 250g 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 0 2 4 Tiempo (s) 6 8 3 4 2. Ajustar una recta a los datos de la parte 1 (encontrar aceleración experimental 𝒂𝒆 ). Carrito con masa de 250g Carrito sin masa adicional 0.3 Velocidad (m/s) 0.4 0.3 0.2 y = 0.1401x + 0.0125 0.1 0 -0.1 0 1 2 Tiempo (s) 3 4 0.2 0.1 y = 0.0614x - 0.0009 0 0 1 2 -0.1 3 Tiempo (s) Carrito con masa de 500g 0.2 Velocidad (m/s) Velocidad (m/s) 0.5 0.15 0.1 y = 0.0237x + 0.0027 0.05 0 0 -0.05 1 2 3 4 5 6 7 8 Tiempo (s) 3. Calcular el error entre la aceleración del modelo matemático y la aceleración experimental. Corridas Carrito sin masa adicional Carrito con masa de 250g Carrito con masa de 500g Aceleración Experimental (m/s) Aceleración Modelo (m/s) Error 0.1401 0.1481 5.7% 0.0614 0.0762 24.1% 0.0237 0.0513 116.5% 4 5 4. Graficar en una misma figura la posición medida y la posición del modelo matemático: 𝒕𝟐 𝒙(𝒕) = 𝒙𝟎 + 𝒗𝟎 𝒕 + 𝒂𝒎 𝟐 Carrito sin masa adicional Posición (m) 8.00E-01 6.00E-01 4.00E-01 2.00E-01 0.00E+00 -2.00E-01 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Tiempo (s) Posición Medida Posición Modelo Carrito con masa de 250g 1.00E+00 Posición (m) 8.00E-01 6.00E-01 4.00E-01 2.00E-01 0.00E+00 -2.00E-01 0 1 2 3 4 5 Tiempo (s) Posición Medida Posición Modelo Carrito con masa de 500g Posición (m) 1.50E+00 1.00E+00 5.00E-01 0.00E+00 -5.00E-01 0 2 4 6 Tiempo (s) Posición Medida Posición Modelo 8 5. Graficar en una misma figura la velocidad medida y la velocidad del modelo matemático: 𝒗(𝒕) = 𝒗𝟎 + 𝒂𝒎 𝒕 Carrito sin masa adicional 0.5 Velocidad (m/s) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Tiempo (s) Velocidad Medida Velocidad Modelo Carrito con masa de 250g Velocidad (m/s) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 0 1 2 3 4 5 Tiempo (s) Velocidad Medida Velocidad Modelo Carrito con masa de 500g Velocidad (m/s) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 0 2 4 6 Tiempo (s) Velocidad Medida Velocidad Modelo 8 Parte 2: Masa en plataforma con resorte (movimiento oscilatorio) Utilizando la 2da ley de Newton se puede demostrar que la posición de la masa en función del tiempo se puede modelar mediante la siguiente ecuación: 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒 −𝑟𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡 + 𝜑) Procedimiento 1. Conectar el sensor de movimiento a la pista Pastrack. 2. Ensamblar el sistema de plataforma-polea-pista. Colocar un extremo del resorte a la polea, y usar hilo para conectar el otro extremo del resorte al carro. 3. Colocar una masa de 250g sobre el carro y esperar a que el sistema se encuentre en reposo. 4. Presionar la opción “zero” en el software para definir la posición x=0 como la posición inicial. 5. Aplicar a la masa un desplazamiento inicial de 10 cm y liberar desde el reposo. 6. Medir el desplazamiento, velocidad y aceleración usando el sensor de movimiento. Cálculos 1. Graficar posición en función del tiempo desde el instante inicial hasta que el carrito se detiene. Movimiento Oscilatorio 0.15 Posición (m) 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 -0.05 -0.1 -0.15 Tiempo (s) 2. Calcular el tiempo entre dos picos consecutivos (período de oscilación T) para 5 ciclos de oscilación. Picos 1 2 3 4 5 6 Posición (m) Tiempo (s) Período (s) entre picos 0.11 0.8 0.1 2.65 1.85 0.09 4.45 1.8 0.08 6.25 1.8 0.07 8 1.75 0.07 9.75 1.75 3. Calcular el promedio de los cinco valores calculados para el período en la parte 3 (𝑻𝒑𝒓𝒐𝒎. ). 1.85 + 1.8 + 1.8 + 1.75 + 1.75 = 1.79 𝑠 5 4. Ajustar el siguiente modelo matemático a las mediciones de la posición obtenidas: 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒 −𝑟𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡 + 𝜑) donde el parámetro r define que tan rápido decae la curva, el parámetro A define la amplitud de la curva, y el parámetro b=2π/ Tprom define la frecuencia de oscilación del sistema. 𝑏= 2𝜋 ≈ 1.1173𝜋 1.79 Estimación de A y r: 1) Tomar dos picos consecutivos en los tiempos t1 y t2. En esos puntos 𝑠𝑒𝑛 (𝑏𝑡 + 𝜑) = 1. 2) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 𝑥(𝑡1 ) = 𝐴𝑒 −𝑟𝑡1 𝑥(𝑡2 ) = 𝐴𝑒 −𝑟𝑡2 Repetir tres veces para dos picos consecutivos, y tomar el promedio de los valores calculados. Picos 1 y 2: 0.11 = 𝐴𝑒 −0.8𝑟 0.1 = 𝐴𝑒 −2.65𝑟 𝑟 ≈ 0.05152; 𝐴 ≈ 0.11463 Picos 2 y 3: 0.1 = 𝐴𝑒 −2.65𝑟 0.09 = 𝐴𝑒 −4.45𝑟 𝑟 ≈ 0.05853; 𝐴 ≈ 0.11678 Picos 4 y 5: 0.08 = 𝐴𝑒 −6.25𝑟 0.07 = 𝐴𝑒 −8𝑟 𝑟 ≈ 0.0763; 𝐴 ≈ 0.12888 0.05152 + 0.05853 + 0.0763 ≈ 0.06212 3 0.11463 + 0.11678 + 0.12888 𝐴̅ = = 0.1201 3 𝑟̅ = Estimación de 𝜑: Evaluar 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒 −𝑟𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡 + 𝜑) en 𝑡 = 0 y despejar 𝜑. −0.1 = 0.1201𝑠𝑒𝑛(𝜑) 𝜑 ≈ −56.3708 𝒙(𝒕) = 𝟎. 𝟏𝟐𝟎𝟏𝒆−𝟎.𝟎𝟔𝟐𝟏𝟐𝒕 𝒔𝒆𝒏(𝟏. 𝟏𝟏𝟕𝟑𝝅𝒕 − 𝟓𝟔. 𝟑𝟕𝟎𝟖) 5. Graficar en una misma figura la posición medida y la posición estimada con el modelo matemático con los parámetros obtenidos en la parte 4. Tiempo (s) Gráfica con Posición Medida (Serie 1) y Posición Estimada (Serie 2) Posición Modelo (m) 0 -0.1 1 0.0652 0.15 0.1 0.05 2 -0.0259 3 -0.0121 4 0.0441 5 -0.0666 6 0.0779 7 -0.0777 8 0.0675 9 -0.0497 10 0.0275 0 -0.05 0 2 4 6 8 -0.1 -0.15 Series1 Series2 10 12 Conclusiones: El experimento con la masa de 500g en la Parte 1 reveló un error porcentual de 116.5%, posiblemente debido a un peso de polea inferior a los 5g especificados, junto con factores como la resistencia del aire, la fricción, o imprecisiones en la medición. A diferencia de esto, la Parte 2 proporcionó un análisis detallado del comportamiento oscilatorio sin destacar errores porcentuales elevados, indicando una mayor precisión experimental. Este contraste resalta la importancia de considerar todas las variables y la precisión en la calibración del equipo para alinear los resultados experimentales con los modelos teóricos.
