Informe 1
Estudiantes:
Missael María ID: 1116830
Alfredo Rodríguez ID: 1114081
Francisco Rodríguez: 1116029
Materia:
Lab Dinámica
Profesor:
Luis Méndez
Fecha:
12/2/2024
Sección:
ING212L-05
Práctica 1: Cinemática de Partículas en Movimiento Rectilíneo
Objetivo
El presente tiene como finalidad verificar de manera experimental la relación cinemática entre la
posición, la velocidad y la aceleración de una partícula en movimiento rectilíneo.
Introducción
La posición, velocidad y aceleración de una partícula de masa que se mueve en movimiento
rectilíneo en la dirección del eje x están relacionadas por las siguientes expresiones (cinemática):
Posición de la partícula con respecto al eje x
en el tiempo t
𝒙(𝒕)
𝒗(𝒕) =
𝒅𝒙
= 𝒙̇
𝒅𝒚
Velocidad en x de la partícula en el tiempo t
𝒅𝒗 𝒅𝟐 𝒙
𝒂(𝒕) =
=
𝒅𝒕 𝒅𝒕𝟐
Aceleración en x de la partícula en el tiempo
Por ejemplo, si el movimiento es uniforme, es decir, si la aceleración es constante, se obtienen las
siguientes expresiones mediante integración para la velocidad y la aceleración:
𝒂(𝒕) = 𝒂 (𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆)
𝒗(𝒕) = 𝒗𝟎 + 𝒂𝒕
𝒙(𝒕) = 𝒙𝟎 + 𝒗𝟎 𝒕 + 𝒂
𝒕𝟐
𝟐
Donde 𝑣0 es la velocidad inicial (en el tiempo
𝑡 = 0)
Donde 𝑥0 es la posición inicial (en el tiempo
𝑡 = 0)
En esta práctica se verificarán las relaciones cinemáticas para movimiento rectilíneo usando
diferentes experimentos.
Equipos Necesarios
•
•
•
•
Sensor de Movimiento
Carro pastrack (masa de 250 g)
Masas adicionales (250 g cada una)
Polea, hilo y stopper
Parte 1: Aceleración constante
Utilizando la 2da ley de Newton (cinética) se puede demostrar que la aceleración de la masa es
constante y está dada por el siguiente modelo matemático:
𝒂𝒎 =
𝒎𝟏 𝒈
(𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 )
Procedimiento
1. Ensamblar el sistema.
2. Colocar solo el carrito (sin la masa adicional) aproximadamente a 15 cm del sensor de
movimiento.
3. Presionar la opción “zero” en el software para definir la posición x=0 como la posición inicial.
4. Liberar el carrito del reposo y medir su desplazamiento, velocidad y aceleración usando el
sensor de movimiento.
5. Repetir agregando masas adicionales de 250 g y 500 g.
Cálculos
1. Graficar la velocidad medida en función del tiempo desde el instante inicial hasta justo
antes de golpear el stopper.
Carrito sin masa adicional
0.4
0.2
0.3
Velocidad (m/s)
0.25
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
0
1
2
3
4
0.2
0.1
0
0
5
1
-0.1
Tiempo (s)
2
Tiempo (s)
Carrito con masa de 500g
0.2
Velocidad (m/s)
Velocidad (m/s)
Carrito con masa de 250g
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
0
2
4
Tiempo (s)
6
8
3
4
2. Ajustar una recta a los datos de la parte 1 (encontrar aceleración experimental 𝒂𝒆 ).
Carrito con masa de 250g
Carrito sin masa adicional
0.3
Velocidad (m/s)
0.4
0.3
0.2
y = 0.1401x + 0.0125
0.1
0
-0.1 0
1
2
Tiempo (s)
3
4
0.2
0.1
y = 0.0614x - 0.0009
0
0
1
2
-0.1
3
Tiempo (s)
Carrito con masa de 500g
0.2
Velocidad (m/s)
Velocidad (m/s)
0.5
0.15
0.1
y = 0.0237x + 0.0027
0.05
0
0
-0.05
1
2
3
4
5
6
7
8
Tiempo (s)
3. Calcular el error entre la aceleración del modelo matemático y la aceleración
experimental.
Corridas
Carrito sin masa
adicional
Carrito con masa de
250g
Carrito con masa de
500g
Aceleración Experimental
(m/s)
Aceleración Modelo
(m/s)
Error
0.1401
0.1481
5.7%
0.0614
0.0762
24.1%
0.0237
0.0513 116.5%
4
5
4. Graficar en una misma figura la posición medida y la posición del modelo matemático:
𝒕𝟐
𝒙(𝒕) = 𝒙𝟎 + 𝒗𝟎 𝒕 + 𝒂𝒎
𝟐
Carrito sin masa adicional
Posición (m)
8.00E-01
6.00E-01
4.00E-01
2.00E-01
0.00E+00
-2.00E-01
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Tiempo (s)
Posición Medida
Posición Modelo
Carrito con masa de 250g
1.00E+00
Posición (m)
8.00E-01
6.00E-01
4.00E-01
2.00E-01
0.00E+00
-2.00E-01
0
1
2
3
4
5
Tiempo (s)
Posición Medida
Posición Modelo
Carrito con masa de 500g
Posición (m)
1.50E+00
1.00E+00
5.00E-01
0.00E+00
-5.00E-01
0
2
4
6
Tiempo (s)
Posición Medida
Posición Modelo
8
5. Graficar en una misma figura la velocidad medida y la velocidad del modelo matemático:
𝒗(𝒕) = 𝒗𝟎 + 𝒂𝒎 𝒕
Carrito sin masa adicional
0.5
Velocidad (m/s)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Tiempo (s)
Velocidad Medida
Velocidad Modelo
Carrito con masa de 250g
Velocidad (m/s)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
0
1
2
3
4
5
Tiempo (s)
Velocidad Medida
Velocidad Modelo
Carrito con masa de 500g
Velocidad (m/s)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
0
2
4
6
Tiempo (s)
Velocidad Medida
Velocidad Modelo
8
Parte 2: Masa en plataforma con resorte (movimiento oscilatorio)
Utilizando la 2da ley de Newton se puede demostrar que la posición de la masa en función del
tiempo se puede modelar mediante la siguiente ecuación:
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒 −𝑟𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡 + 𝜑)
Procedimiento
1. Conectar el sensor de movimiento a la pista Pastrack.
2. Ensamblar el sistema de plataforma-polea-pista. Colocar un extremo del resorte a la polea,
y usar hilo para conectar el otro extremo del resorte al carro.
3. Colocar una masa de 250g sobre el carro y esperar a que el sistema se encuentre en reposo.
4. Presionar la opción “zero” en el software para definir la posición x=0 como la posición inicial.
5. Aplicar a la masa un desplazamiento inicial de 10 cm y liberar desde el reposo.
6. Medir el desplazamiento, velocidad y aceleración usando el sensor de movimiento.
Cálculos
1. Graficar posición en función del tiempo desde el instante inicial hasta que el carrito se
detiene.
Movimiento Oscilatorio
0.15
Posición (m)
0.1
0.05
0
0
2
4
6
8
10
12
-0.05
-0.1
-0.15
Tiempo (s)
2. Calcular el tiempo entre dos picos consecutivos (período de oscilación T) para 5 ciclos
de oscilación.
Picos
1
2
3
4
5
6
Posición (m) Tiempo (s) Período (s) entre picos
0.11
0.8 0.1
2.65
1.85
0.09
4.45
1.8
0.08
6.25
1.8
0.07
8
1.75
0.07
9.75
1.75
3. Calcular el promedio de los cinco valores calculados para el período en la parte 3
(𝑻𝒑𝒓𝒐𝒎. ).
1.85 + 1.8 + 1.8 + 1.75 + 1.75
= 1.79 𝑠
5
4. Ajustar el siguiente modelo matemático a las mediciones de la posición obtenidas:
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒 −𝑟𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡 + 𝜑)
donde el parámetro r define que tan rápido decae la curva, el parámetro A define la amplitud
de la curva, y el parámetro b=2π/ Tprom define la frecuencia de oscilación del sistema.
𝑏=
2𝜋
≈ 1.1173𝜋
1.79
Estimación de A y r:
1) Tomar dos picos consecutivos en los tiempos t1 y t2. En esos puntos 𝑠𝑒𝑛 (𝑏𝑡 + 𝜑) = 1.
2) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
𝑥(𝑡1 ) = 𝐴𝑒 −𝑟𝑡1
𝑥(𝑡2 ) = 𝐴𝑒 −𝑟𝑡2
Repetir tres veces para dos picos consecutivos, y tomar el promedio de los valores
calculados.
Picos 1 y 2:
0.11 = 𝐴𝑒 −0.8𝑟
0.1 = 𝐴𝑒 −2.65𝑟
𝑟 ≈ 0.05152; 𝐴 ≈ 0.11463
Picos 2 y 3:
0.1 = 𝐴𝑒 −2.65𝑟
0.09 = 𝐴𝑒 −4.45𝑟
𝑟 ≈ 0.05853; 𝐴 ≈ 0.11678
Picos 4 y 5:
0.08 = 𝐴𝑒 −6.25𝑟
0.07 = 𝐴𝑒 −8𝑟
𝑟 ≈ 0.0763; 𝐴 ≈ 0.12888
0.05152 + 0.05853 + 0.0763
≈ 0.06212
3
0.11463 + 0.11678 + 0.12888
𝐴̅ =
= 0.1201
3
𝑟̅ =
Estimación de 𝜑:
Evaluar 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒 −𝑟𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡 + 𝜑) en 𝑡 = 0 y despejar 𝜑.
−0.1 = 0.1201𝑠𝑒𝑛(𝜑)
𝜑 ≈ −56.3708
𝒙(𝒕) = 𝟎. 𝟏𝟐𝟎𝟏𝒆−𝟎.𝟎𝟔𝟐𝟏𝟐𝒕 𝒔𝒆𝒏(𝟏. 𝟏𝟏𝟕𝟑𝝅𝒕 − 𝟓𝟔. 𝟑𝟕𝟎𝟖)
5. Graficar en una misma figura la posición medida y la posición estimada con el modelo
matemático con los parámetros obtenidos en la parte 4.
Tiempo (s)
Gráfica con Posición Medida (Serie 1) y
Posición Estimada (Serie 2)
Posición Modelo (m)
0
-0.1
1
0.0652
0.15
0.1
0.05
2
-0.0259
3
-0.0121
4
0.0441
5
-0.0666
6
0.0779
7
-0.0777
8
0.0675
9
-0.0497
10
0.0275
0
-0.05
0
2
4
6
8
-0.1
-0.15
Series1
Series2
10
12
Conclusiones:
El experimento con la masa de 500g en la Parte 1 reveló un error porcentual de 116.5%,
posiblemente debido a un peso de polea inferior a los 5g especificados, junto con factores
como la resistencia del aire, la fricción, o imprecisiones en la medición. A diferencia de esto,
la Parte 2 proporcionó un análisis detallado del comportamiento oscilatorio sin destacar
errores porcentuales elevados, indicando una mayor precisión experimental. Este contraste
resalta la importancia de considerar todas las variables y la precisión en la calibración del
equipo para alinear los resultados experimentales con los modelos teóricos.
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