[Practica] [2P] [MAT207E] [1-2023]

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES
GRUPO:
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSO BASICO
DOCENTE: Ing. Javier Tarqui Valeriano
PERIODO: I/2023
AUXILIAR: Univ. Aron Quisbert Parra
PRACTICA SEGUNDO PARCIAL
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
1. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝐸. 𝐷. ∶
2𝑦 𝑣𝑖𝑖 − 𝑦 𝑣𝑖 + 2𝑦 𝑣 − 𝑦 𝑖𝑣 + 8𝑦 ′′′ − 4𝑦 ′′ + 8𝑦 ′ − 4𝑦 = 𝑥 3 − sen2 𝑥
1
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦 = C1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 cos 𝑥 + 𝐶3 sin 𝑥 + 𝑒 −𝑥 (𝐶4 cos 𝑥 + C5 sin 𝑥 ) +
𝑒 𝑥 (𝐶6 cos 𝑥 + 𝐶7 sin 𝑥) +
2. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝐸. 𝐷. ∶
1
1
1
cos 2𝑥 −
sin 2𝑥 +
2040
510
8
𝑦 ′′′ + 4𝑦 ′ = 8 sec 2 (2𝑥)
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 cos 2𝑥 + 𝐶3 sin 2𝑥 − ln(sec(2𝑥) + 𝑡𝑔 (2𝑥)) cos 2𝑥
3. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝐸. 𝐷. ∶
𝑦 ′′ + 𝑦 = 6 sec 3 𝑥
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦 = 𝐶1 cos 𝑥 + 𝐶2 sin 𝑥 + 3 sec 𝑥
4. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠:
𝑎) 𝑦 (𝐼𝑣) + 2𝑦 ′ + 𝑦 = 0
𝑏) 𝑦 (𝐼𝑣) + 2𝑦 ′′′ + 𝑦 ′′ = 0
𝑐)(𝐷3 + 𝐷 + 11){𝑦} = 0
𝑑)(𝐷3 + 18𝐷 + 130)2 {𝑦} = 0
5. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝐸. 𝐷. ∶
𝑦 ′′ − 5𝑦 ′ + 6𝑦 = 𝑒 2𝑥 cos(3𝑥 + 1)
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 3𝑥 + 𝑒 2𝑥 [−
2
1
1
cos(3𝑥 + 1) − sin(3𝑥 + 1)]
10
30
2
6. 𝑆𝑖 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑦1 = 𝑒 𝑥 , 𝑦2 = 𝑒 −𝑥 , 𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝐸. 𝐷. 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛
ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙.
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑥𝑦 ′′ − 𝑦 ′ − 4𝑥 3 𝑦 = 0
7. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝐸. 𝐷. ∶
𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 =
𝑒𝑥
√4 − 𝑥 2
;
𝑦(0) = 1
𝑦 ′ (0) = 0
𝑥
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦 = 𝑒 𝑥 (𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 + √4 − 𝑥 2 − 𝑥 − 1)
2
8. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝐸. 𝐷. ∶
𝑎
𝑥 𝑎+1 𝑦 ′′ + (1 − 2𝑎)𝑥 𝑎 𝑦 ′ + 𝑎2 𝑥 𝑎−1 𝑦 = ln2 (𝑥 𝑥 )
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦 = 𝐶1 𝑥 𝑎 + 𝐶2 𝑥 𝑎 ln 𝑥 + 𝑥 𝑎 (ln2 𝑥 − 4 ln 𝑥 + 6)
9. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝐸. 𝐷. ∶
2 ′′′
𝑥 𝑦
8
4 ln 𝑥 + cos(ln 𝑥 4 )
− 4𝑥𝑦 + 8𝑦 − 𝑦 =
𝑥
𝑥
′′
′
1
7
1
13
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦 = 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 𝑥 2 + 𝐶3 𝑥 4 − ln 𝑥 − −
sin(4 ln 𝑥 ) +
cos(4 ln 𝑥)
2
8 1360
1360
10. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝐸. 𝐷. ∶
(𝑥 − 2)3 𝑦 ′′ + 5(𝑥 − 2)2 𝑦 ′ + 8(𝑥 − 2)𝑦 =
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦 =
𝑡𝑔[ln(𝑥 − 2)]
(𝑥 − 2)
1
{𝐶 cos ln(𝑥 − 2)2 + 𝐶2 sin ln(𝑥 − 2)2
(𝑥 − 2)2 1
1
+ [sin ln(𝑥 − 2)2 ln(cos ln(𝑥 − 2)) − cos ln(𝑥 − 2)2 ]}
2
11. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝐸. 𝐷. ∶
ln(2𝑥 + 3)
(2𝑥 + 3)2 𝑦 𝑉𝐼 + 2(2𝑥 + 3)𝑦 𝑉 + 𝑦 𝐼𝑉 = 𝑒 ln(2𝑥+3) sin(
)
2
ln(2𝑥 + 3)
[
] + 𝐶2 sin
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑢 = 𝐶1 cos [
2
12. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝐸. 𝐷. ∶
(2𝑥 + 3)
ln(2𝑥 + 3)
ln(2𝑥 + 3)
ln(2𝑥 + 3)
]+
{sin [
] + cos [
]}
2
8
2
2
𝑢 = 𝑦 𝐼𝑉 … ∗ ∫ ∫ ∫ ∫
𝑥 2 𝑦 ′′ − 4𝑥𝑦 ′ + 6𝑦 =
𝑥 2 (ln 𝑥 + 1)2
(ln2 𝑥 + 1)2
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦 = 𝐶1 𝑥 2 + 𝐶2 𝑥 3 − 𝑥 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(ln 𝑥)
13. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝐸. 𝐷. ∶
(𝑥 + 1)𝑦 ′′ − (2𝑥 + 3)𝑦 ′ + (𝑥 + 2)𝑦 = (𝑥𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 )2
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 (𝑥 + 1)2 + 𝑥𝑒 2𝑥
14. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝐸. 𝐷. ∶
2
1 2
𝑦 ′′ − ( + 𝑐𝑡𝑔 𝑥) 𝑦 ′ + ( + 𝑐𝑡𝑔 𝑥) 𝑦 = 𝑥 𝑐𝑡𝑔 𝑥
𝑥
𝑥 𝑥
𝑆𝑖 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎: 𝑦1 = 𝑥 𝜔
;
𝜔 ∈R
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦 = 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 𝑥 cos 𝑥 − 𝑥 2
15. 𝐷𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙: 𝑥 2 𝑦 ′′ − 2𝑥 (2𝑥 + 1)𝑦 ′ + 𝑓(𝑥)𝑦 = 𝑥 5 𝑒 𝑥 , 𝑠𝑖 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒
𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎 𝑒𝑠:
𝑦2
𝑦1
= 𝑥 , 𝑆𝑒 𝑝𝑖𝑑𝑒:
𝑎) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑦1 , 𝑦2
𝑏) 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸. 𝐷
𝑐) 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑓(𝑥)
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑎) 𝑦1 = 𝑥𝑒 2𝑥 , 𝑦2 = 𝑥 2 𝑒 2𝑥 𝑏) 𝑦 = (𝐶1 𝑥 + 𝐶2 𝑥 2 )𝑒 2𝑥 + (𝑥 2 + 8𝑥 + 6)𝑥𝑒 𝑥 𝑐) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 𝑒 −𝑥 + 4𝑥 − 2𝑥 −1 + 4
16. 𝑆𝑒 𝑠𝑎𝑏𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑦𝑘 (𝑥) = 𝛽 cos(𝑒 𝑥 ) , 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐸. 𝐷. ∶ 𝑦 ′′ − 𝑦 ′ + 𝑒 2𝑥 𝑦 = 2𝑒 2𝑥 𝑦𝑘+1(𝑥)
ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎.
𝑘 ∈ 𝑁
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦 = 𝐶1 cos(𝑒 𝑥 ) + 𝐶2 sin(𝑒 𝑥 ) − 𝑒 𝑥 cos(𝑒 𝑥 )
17. 𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑊𝑟𝑜𝑛𝑠𝑘𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑥 𝛼 , 𝑥 𝛽 , 𝑥 𝛾 𝑒𝑠:
𝑥
𝛼+𝛽+𝛾−3 [
1
1
1
𝛼
𝛽
𝛾
]
𝛼(𝛼 − 1) 𝛽(𝛽 − 1) 𝛾(𝛾 − 1)
𝑅𝑝𝑡𝑎. ∴ 𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
18. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒: ℒ{|𝑡 − |𝑡 − 2||}
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝐹(𝑠) =
19. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒: ℒ{
cos √𝑡
√𝑡
2 2 4𝑒 −𝑠 2𝑒 −2𝑠
− + 2 − 2
𝑠 𝑠2
𝑠
𝑠
}
𝜋 1
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝐹 (𝑠) = √ 𝑒 −4𝑠
𝑠
20. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒: ℒ{t − ⟦𝑡⟧}
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝐹 (𝑠) =
21. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑖 − 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒: ℒ −1 {
(𝑠 2
1 − (𝑠 + 1)𝑒 −𝑠
𝑠 2 (1 − 𝑒 −𝑠 )
𝑠
}
− 𝑛2 )3
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑓 (𝑡) =
1
(𝑡 sin(𝑛𝑡) − 𝑛𝑡 2 cos(𝑛𝑡))
8𝑛3
22. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑖 − 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛:
𝐹 (𝑠) =
1
𝑠+1 3
−
5
ln
(
) + 5 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑠)
𝑠4 + 1
𝑠−1
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑓(𝑡) =
1
cosh (
√2
𝑡
√2
) sin (
23. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑖 − 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒: ℒ −1 {(
𝑠3
𝑡
√2
) − sinh (
𝑡
𝑡
30
5
) cos ( ) − sinh(𝑡) − sin(𝑡)
𝑡
𝑡
√2
√2
𝑠+2
) 𝑒 −2𝑠 }
− 2𝑠 2 + 𝑠
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑓 (𝑡) = [2 − 2𝑒 𝑡−2 + 7(𝑡 − 2)𝑒 2(𝑡−2) ]𝜇(𝑡 − 1)
24. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝐸. 𝐷. :
𝑡𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 𝑡𝑦 = sin(𝑡 − 𝜋)
;
𝑦(0) = 0
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦(𝑡) = −
25. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝐸. 𝐷.:
𝑦 ′′ − 𝑦 = 8𝑒 −2(𝑡−𝜋) sin(𝑡 − 𝜋)
;
𝑦(𝜋) = 0
;
1 sin 𝑡 1
+ cos 𝑡
2 𝑡
2
𝑦 ′ (𝜋) = −1
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦(𝑡) = 𝑒 −2(𝑡−𝜋) [cos(𝑡 − 𝜋) + sin(𝑡 − 𝜋)] − cos(𝑡 − 𝜋)
𝑡
26. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝐸. 𝐷.:
𝑡
𝑦 ′ (𝑡) + 4𝑦(𝑡) + ∫ 𝜆 𝑦 ′ (𝑡 − 𝜆)𝑑𝜆 + ∫ 𝑦(𝜆)𝑑𝜆 = 𝑡
0
;
𝑦(0) = −1
0
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦(𝑡) = 𝑒 −2𝑡 [√2 sinh(√2𝑡) − cosh(√2𝑡)]
27. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝐸. 𝐷.:
𝑡
𝑡
𝑦 ′′ (𝑡) − 2𝑦 ′ (𝑡) + 𝑦(𝑡) + 2 ∫ cos(𝑡 − 𝜏)𝑦 ′′ (𝜏)𝑑𝜏 + 2 ∫ sin(𝑡 − 𝜏)𝑦 ′ (𝜏)𝑑𝜏 = cos(𝑡)
0
;
𝑦(0) = 𝑦 ′ (0) = 0
0
1
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦(𝑡) = 𝑡 sin 𝑡
2
28. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝐸. 𝐷.:
𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 𝑦 = 2 + (𝑡 − 3)𝜇(𝑡 − 3) ;
𝑦(0) = 2
;
𝑦 ′ (0) = 1
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦 = [2 + 𝑡𝑒 −𝑡 ]𝜇(𝑡) + [2𝑒 −(𝑡−3) + (𝑡 − 3)𝑒 −(𝑡−3) + 𝑡 − 5]𝜇(𝑡 − 3)
29. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝐸. 𝐷.:
𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 2𝑦 = 4𝑡 + (2𝑡 + 3)𝜇(𝑡 − 1) + 6𝛿 (𝑡 − 2) ;
𝑦(0) = 4
;
𝑦 ′ (0) = 1
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦(𝑡) = {2 + 2𝑡 + (2 cos 𝑡 − 3 sin 𝑡)} + 6 sin(𝑡 − 2)𝑒 𝑡−2 𝜇(𝑡 − 2) + ⋯
7
7
5
… + { + (𝑡 − 1) − ( cos(𝑡 − 1) − sin(𝑡 − 1)) 𝑒 𝑡−1 } 𝜇(𝑡 − 1)
2
2
2
30. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝐸. 𝐷.:
𝑦 ′′ + 𝑦 = 𝑓(𝑡)
;
𝑦(0) = 𝑦 ′ (0) = 0
3
0≤𝑡≤4
𝑓(𝑡) = {
2𝑡 − 5
𝑡>4
;
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦 = 3[1 − cos 𝑡]𝜇(𝑡) + 2[𝑡 − 4 − sin(𝑡 − 4)]𝜇(𝑡 − 4)
31. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝐸. 𝐷.:
′′
′
𝑦 + 𝑦 − 2𝑦 = 𝑓 (𝑡) ;
𝑦(0) = 1
;
′(
𝑦 0) = 2
1
0≤𝑡≤1
2
−
𝑡
1≤𝑡≤2
𝑓 (𝑡) = {
𝑡−2
2≤𝑡≤3
0
𝑡≤0 ∧ 𝑡≥3
1 7
1
1
1 1
1
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦(𝑡) = − + 𝑒 2𝑡 + 𝑒 −𝑡 − {− (𝑡 − 1) + + 𝑒 2(𝑡−1) − 𝑒 −(𝑡−1) } 𝜇(𝑡 − 1) + ⋯
2 6
3
2
4 12
3
1 1
2
1
1 1
… + {−(𝑡 − 2) + + 𝑒 2(𝑡−2) − 𝑒 −(𝑡−2) } 𝜇 (𝑡 − 2) − {− (𝑡 − 3) − + 𝑒 2(𝑡−3) } 𝜇(𝑡 − 3)
2 6
3
2
4 4
32. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝐸. 𝐷.:
𝜋
𝑦 ′′ + 𝑦 = 𝛿 (𝑡 − ) + 𝑓 (𝑡)
2
3𝜋
𝜋
2 sin (2𝑡 − ) 0 ≤ 𝑡 ≤
2
2
; 𝑦(0) ; 𝑦 ′ (0) = 1 ; 𝑓 (𝑡) = {
𝜋
0 𝑡<0 ∨ 𝑡>
2
2
𝜋
2
𝜋
𝜋
𝜋
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦(𝑡) = sin 𝑡 + (cos 𝑡 − cos 2𝑡 ) + [sin (𝑡 − ) + (cos (𝑡 − ) − cos 2 (𝑡 − ))] 𝜇(𝑡 − )
3
2
3
2
2
2
33. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝐸. 𝐷.:
𝑦 ′′ + 𝑦 = 𝑓(𝑡)
;
𝑦(0) = 1
;
𝑦 ′ (0) = 0
𝑓(𝑡)
2
senoidal
1
-1
𝜋
4
𝜋
2
3𝜋
4
𝜋
𝑡
-2
2
4
𝜋
𝜋
𝜋
2
3𝜋
3𝜋
3𝜋
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦(𝑡) = cos 𝑡 + [2 sin 𝑡 − sin 2𝑡]𝜇(𝑡) + [cos (𝑡 − ) − cos 2 (𝑡 − )] 𝜇 (𝑡 − ) + [cos (𝑡 − ) − cos 2 (𝑡 − )] 𝜇 (𝑡 − )
3
3
4
4
4
3
4
4
4
34. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝐸. 𝐷.:
𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 4𝑦 = 𝑓(𝑡) ;
𝑦(0) = 𝑦 ′ (0) = 0
𝑓 (𝑡)
1
parábola
𝑡
1
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦(𝑡) =
2
3
4
2𝑡 − 3 2𝑡
3
𝑡 𝑡2
5
5 𝑡 − 1 (𝑡 − 1)2
] 𝜇(𝑡 − 1) + ⋯
𝑒 +
+ + + [− 𝑒 2(𝑡−1) + (𝑡 − 1)𝑒 2(𝑡−1) + +
+
16
16 4 8
8
8
4
4
(𝑡 − 3)2
7 2(𝑡−3) 3(𝑡 − 3) 2(𝑡−3) 7
(
)
[
] 𝜇(𝑡 − 3)
…+ 𝑒
−
𝑒
− − 𝑡−3 −
8
4
8
4
𝑡
35. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝐸. 𝐷.:
𝑦 ′ − 2𝑦 + ∫ 𝑦(𝜆)𝑑𝜆 = 𝑓 (𝑡)
;
𝑦(0) = 0
0
𝑓 (𝑡 )
1
𝑡
1
2
3
𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦(𝑡) = 1 + (𝑡 − 1)𝑒 𝑡 − 2[1 + (𝑡 − 2)𝑒 𝑡−1 ]𝜇(𝑡 − 1) + [1 + (𝑡 − 3)𝑒 𝑡−2 ]𝜇(𝑡 − 2) + (𝑡 − 2)𝑒 𝑡−3 𝜇(𝑡 − 3)
NOTA:



Las todas las respuestas deben estar resaltadas o encuadradas
Copias detectadas, se hará la anulación de ambas practicas
No se aceptarán practicas entregadas con retraso