c masa int simples Larson

486
7.6
Capítulo 7
Aplicaciones de la integral
Momentos, centros de masa y centroides
Comprender la definición de masa.
Encontrar el centro de masa en un sistema unidimensional.
Encontrar el centro de masa en un sistema de dos dimensiones.
Encontrar el centro de masa de una lámina plana.
Usar el teorema de Pappus para encontrar el volumen de un sólido de
revolución.
Masa
En esta sección estudiará varias aplicaciones importantes de la integral que se relacionan
con la masa. La masa es una medida de la resistencia de un cuerpo a los cambios en el
movimiento, y es independiente del sistema gravitacional particular en el que se encuentra el cuerpo. Sin embargo, debido a que muchas aplicaciones relacionadas con la masa
se producen sobre la superficie de la Tierra, a veces la masa de un objeto se equipara
con su peso. Esto no es técnicamente correcto. El peso es un tipo de fuerza, y como tal
depende de la gravedad. La fuerza y la masa están relacionadas por la ecuación
Fuerza = (masa)(aceleración).
La siguiente tabla muestra algunas de las medidas de uso común de la masa y la fuerza,
así como sus factores de conversión.
Sistema de
medición
Estadounidense
Internacional
Medida de
masa
Medida de fuerza
Slug
Libra = (slug)(pie/s2)
Kilogramo Newton = (kilogramo)(m/s2)
C-G-S
Gramo
Conversiones:
1 libra = 4.448 newtons
1 newton = 0.2248 libras
1 dina = 0.000002248 libras
1 dina = 0.00001 newton
EJEMPLO 1
Dina = (gramo)(cm/s2)
1 lingote = 14.59 kilogramos
1 kilogramo = 0.06852 slugs
1 gramo = 0.00006852 slugs
1 pie = 0.3048 metros
Masa sobre la superficie de la Tierra
Encuentre la masa (en slugs) de un objeto cuyo peso al nivel del mar es de 1 libra.
Solución
vedad.
Use 32 pies por segundo cuadrado como la aceleración debida a la gra-
Masa =
=
fuerza
;
aceleración
Fuerza ! (masa)(aceleración)
1 libra
32 pies por segundo cuadrado
= 0.03125
libras
pies por segundo cuadrado
= 0.03125 slug
Debido a que muchas aplicaciones relacionadas con la masa se producen en la superficie
de la Tierra, esta cantidad de masa recibe el nombre de libra masa.
7.6
Momentos, centros de masa y centroides
487
Centro de masa en un sistema unidimensional
Ahora estudiará dos tipos de momentos de masa, el momento respecto a un punto y el
momento respecto a una recta. Para definir estos dos momentos, considere una situación idealizada en la que una masa m se concentra en un punto. Si x es la distancia entre
esta masa puntual y otro punto P, entonces el momento de m respecto al punto P es
Momento = mx
20 kg
30 kg
P
2m
2m
El sube y baja equilibrará cuando los
momentos izquierdo y derecho sean
iguales.
Figura 7.53
y x es la longitud del brazo de momento.
El concepto de momento se puede demostrar simplemente por un sube y baja, como
se muestra en la figura 7.53. Un niño de 20 kg de masa se encuentra 2 metros a la izquierda del punto de apoyo P y un niño más grande de 30 kilogramos de masa se sienta
2 metros a la derecha de P. Por experiencia, se sabe que el sube y baja comenzará a girar
hacia la derecha, moviendo al niño más grande hacia abajo. Esta rotación se debe a que
el momento producido por el niño de la izquierda es menor que el momento producido
por el niño a la derecha.
Momento lado izquierdo
Momento lado derecho
20 2
30 2
40 kilogramos-metros
60 kilogramos-metros
Para equilibrar el sube y baja, los dos momentos deben ser iguales. Por ejemplo, si el
niño mayor se trasladó a una posición a 43 metros del punto de apoyo, entonces el sube y
baja se equilibraría, porque cada niño produciría un momento de 40 kilogramos-metros.
Para generalizar esto, se puede introducir una recta coordenada en la que el origen
corresponde al punto de apoyo, como se muestra en la figura 7.54. En el eje x se encuentran varias masas puntuales. La medida de la tendencia de este sistema para girar
alrededor del origen es el momento respecto al origen, y se define como la suma de
los n productos mixi. El momento respecto al origen se denota por M0 y se puede escribir
como
M0
m1x1
. . .
m2x2
mnxn.
Si M0 es 0, entonces se dice que el sistema está en equilibrio.
m1
m2
x1
x2
. . .
m2 x2
Si m1x1
Figura 7.54
0
mn xn
m3
mn − 1
mn
x3
xn − 1
xn
x
0, entonces el sistema está en equilibrio.
Para un sistema que no está en equilibrio, el centro de masa se define como el punto x
en el que el punto de apoyo podría ser reubicado para alcanzar el equilibrio. Si el sistema
se traduce a unidades x, entonces, cada coordenada se convertiría
xi
x
y como el momento del sistema traducido es 0, se tiene
n
i
1
mi xi
n
x
i
1
mi xi
n
i
1
mi x
0.
Despejando x se produce
n
x
mi xi
1
n
i
i
mi
momento del sistema alrededor del origen
masa total del sistema
1
Cuando m 1 x1
m2 x2
. . .
mn xn
0, el sistema está en equilibrio.
488
Capítulo 7
Aplicaciones de la integral
Momentos y centro de masa: sistema unidimensional
Sean los puntos de masa m1, m2, . . . , mn que se encuentran en x1, x2, . . . , xn.
1. El momento alrededor del origen es
M0
m1x1
. . .
m2x2
mn xn .
2. El centro de masa es
M0
m
x
. . .
m2
m1
donde m
mnes la masa total del sistema.
Centro de masa de un sistema lineal
EJEMPLO 2
Encuentre el centro de masa del sistema lineal mostrado en la figura 7.55.
m1
m2
m3
m4
10
15
5
10
−5
−3
−4
−2
0
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
8
9
Figura 7.55
Solución
M0
En el momento alrededor el origen es
m1x1 m2x2 m3x3 m4x4
10 5
15 0
54
10 7
50 0 20 70
40.
Debido a que la masa total del sistema es
m
10
15
5
10
40
el centro de masa es
x
M0
m
40
40
1.
Observe que las masas puntuales estarán en equilibrio cuando el punto de apoyo se
encuentre en x = 1.
En lugar de definir el momento de una masa, se podría definir el momento de una
fuerza. En este contexto, el centro de masa se denomina el centro de gravedad. Considere un sistema de masas puntuales m1, m2, . . . , mn que se encuentra en x1, x2, . . . , xn.
Entonces, ya que
fuerza = (masa)(aceleración)
la fuerza total del sistema es
F m1a m2a . . . mna ma.
El torque (momento) respecto al origen es
T0
m1a x1
m2a x2
. . .
mna xn
M0a
y el centro de gravedad es
T0
F
M0a
ma
M0
m
x.
Por lo que el centro de gravedad y el centro de masa tienen la misma ubicación.
Momentos, centros de masa y centroides
7.6
489
Centro de masa en un sistema de dos dimensiones
(x2, y2)
y
Se puede extender el concepto de momento para dos dimensiones, considerando un sistema de masas localizadas en el plano xy en los puntos x1, y1 , x2, y2 , . . . , xn, yn ,
como se muestra en la figura 7.56. En lugar de definir un solo momento (respecto al
origen), dos momentos se definen uno respecto al eje x y uno respecto al eje y.
m2
x
Momento y centro de masa: sistema en dos dimensiones
mn
m1
Sean los puntos de masa m1, m2, . . . , mn que se encuentran en x1, y1 ,
x2, y2 , . . . , xn, yn).
(xn, yn)
(x1, y1)
1. El momento alrededor del eje y es
En un sistema de dos dimensiones,
hay un momento respecto al eje y My
y un momento respecto al eje x Mx.
Figura 7.56
My
m1x1
. . . mn xn.
m2x2
2. El momento alrededor del eje x es
Mx
m1y1
. . . mnyn.
m2y2
3. El centro de masa x, y (o centro de gravedad) es
x
My
m
y
Mx
m
y
donde
m
m1
m2
. . .
mn
es la masa total del sistema.
El momento de un sistema de masas en el plano se puede tomar alrededor de cualquier recta horizontal o vertical. En general, el momento alrededor de una recta es la
suma del producto de las masas y las distancias dirigidas desde los puntos a la recta.
Momento
Momento
m1 y1
m1 x1
EJEMPLO 3
m4 = 9
3
(−5, 3)
2
(0, 0)
1
−5 − 4 −3 −2 − 1
−1
−2
−3
(4, 2)
m2 = 3
1
2
3
m1 = 6
4
m2 y2
m2 x2
b . . . mn yn b
. . . mn xn a
a
Recta horizontal y
Recta vertical x
b
a
Centro de masa de un sistema en dos
dimensiones
Encuentre el centro de masa de un sistema de masas puntuales m1 = 6, m2 = 3, m3 = 2
y m4 = 9 situado en
y
m3 = 2
b
a
(3, −2), (0, 0), (−5, 3) y (4, 2)
como se muestra en la figura 7.57.
x
Solución
m
My
Mx
(3, − 2)
Figura 7.57
6
63
6 2
3
30
30
2
2 5
2(3
Por tanto
x
My
m
44
20
11
5
y
Mx
m
12
20
3
.
5
y
El centro de masa está en
11 3
5,5
.
9
94
92
20
44
12
Masa
Momento alrededor del eje y
Momento alrededor del eje x
490
Capítulo 7
(x, y)
Aplicaciones de la integral
(x, y)
Centro de masa de una lámina plana
Hasta ahora, en esta sección se ha supuesto que la masa total de un sistema se distribuye
en puntos discretos en un plano o en una recta. Ahora consideremos una placa delgada
y plana de material de densidad constante llamada lámina plana (vea la figura 7.58). La
densidad es una medida de la masa por unidad de volumen, como gramos por centímetro
cúbico. Sin embargo, para láminas planas, la densidad se considera como una medida de
la masa por unidad de área. La densidad se denota con r, la letra griega rho minúscula.
Considere una lámina plana de forma irreguy
lar de densidad uniforme r, acotada por las gráficas de y = f(x), y = g(x) y a " b " x, como
se muestra en la figura 7.59. La masa de esta
∆x
f
región es
(x , f(x ))
Se puede pensar en el centro de masa
m
densidad área
x, y de una lámina como su punto
b
de equilibrio. Para una lámina circular,
f x
g x dx
el centro de masa es el centro del círculo.
a
Para una lámina rectangular, el centro
A
de masa es el centro del rectángulo.
Figura 7.58
donde A es el área de la región. Para encontrar el
i
i
yi
(xi , yi )
g
(xi , g (xi ))
x
centro de masa de esta lámina, divida el intervalo
a
xi
b
[a, b] en n subintervalos de igual ancho ∆x. Sea xi
Lámina plana de densidad uniforme
el centro del i-ésimo subintervalo. Puede aproxiFigura 7.59
marse a la parte de la lámina situada en el i-ésimo
subintervalo por un rectángulo cuya altura es h = f(xi) − g(xi). Debido a que la densidad
del rectángulo es r, su masa es
mi
densidad área
f xi
Densidad
x.
g xi
Alto
Ancho
Ahora, teniendo en cuenta que esta masa se encuentra en el centro (xi, yi) del rectángulo,
la distancia dirigida desde el eje x a (xi, yi) es yi
f xi
g xi 2. Por lo que el
momento de mi alrededor del eje x es
Momento
masa distancia
mi yi
f xi
g xi
x
f xi
2
g xi
.
Sumando los momentos y tomando el límite cuando n
a continuación.
se sugieren las definiciones
Momentos y centro de masa de una lámina plana
Sean f y g funciones continuas de tal manera que f(x) ≥ g(x) en [a, b] y considere
la lámina plana de densidad uniforme r acotada por las gráficas de y = f (x), y =
g(x) y a " b " x.
1. Los momentos respecto a los ejes x y y son
b
Mx
a
b
My
a
f x
x f x
2
g x
f x
g x dx
g x dx.
My
y y
m
g x dx es la masa de la lámina.
2. El centro de masa x, y viene dado por x
m
b
a
f x
Mx
, donde
m
491
Momentos, centros de masa y centroides
7.6
Centro de masa de una lámina plana
EJEMPLO 4
Consulte LarsonCalculus.com para una versión interactiva de este tipo de ejemplo.
Encuentre el centro de masa de la lámina de densidad uniforme r acotada por la gráfica
4 x 2 y el eje x.
de f x
Solución Debido a que el centro de masa se encuentra sobre el eje de simetría, sabe
que x 0. Por otra parte, la masa de la lámina es
2
m
4
2
x 2 dx
2
x3
3
4x
32 .
3
2
y
Para encontrar el momento alrededor del eje,
coloque un rectángulo representativo en la región, como se muestra en la figura de la derecha. La distancia desde el eje x hasta el centro
de este rectángulo es
4
f x
2
yi
2
x2 .
f(x)
Debido a que la masa del rectángulo representativo es
f x
4
x
x2
∆x
x
f(x) = 4 − x 2
3
2
f(x)
2
−2
1
−1
1
2
x
se tiene
2
Mx
Centro de masa:
0, 85
−1
1
2
x
1
2
3
4
2
256
15
El centro de masa es el punto de
equilibrio.
Figura 7.60
y y es
y
Mx
m
2
16
2
16x
y
y = 4 − x2
2
2
2
) )
−2
4
256
32
x2
4
x 2 dx
8x 2
x 4 dx
8x 3
3
x5
5
15
3
8.
5
2
2
8
Por lo que el centro de masa (el punto de equilibrio) de la lámina está en 0, 5 , como se
muestra en la figura 7.60.
La densidad r en el ejemplo 4 es un factor común de ambos momentos y la masa, y
como tal se saca de los cocientes que representan las coordenadas del centro de masa.
Así, el centro de masa de una lámina de densidad uniforme sólo depende de la forma de
la lámina y no de su densidad. Por esta razón, el punto
x, y
Centro de masa o centroide
en ocasiones se denomina centro de masa de una región en el plano, o centroide de la
región. En otras palabras, para encontrar el centroide de una región en el plano, simplemente suponga que la región tiene una densidad constante de r = 1 y calcule el centro
de masa correspondiente.
492
Aplicaciones de la integral
Capítulo 7
Centroide de una región plana
EJEMPLO 5
y
f(x) = 4 − x 2
Encuentre el centroide de la región acotada por las gráficas de f x
x 2.
g x
g (x) = x + 2
1
A
1
(−2, 0)
f(x) − g (x)
f x
2
g x dx
1
2
2
x
9
.
2
x 2 dx
El centroide x, y de la región tiene las siguientes coordenadas.
x
−1
x2 y
Solución Las dos gráficas se intersecan en los puntos (−2, 0) y (1, 3), como se muestra en la figura 7.61. Así, el área de la región es
(1, 3)
f(x) + g (x)
2
4
x
1
x
Figura 7.61
1
A
2
9
2
9
y
1
2
1
2
1
2
x 4
x2
x3
x2
x4
4
x3
3
x
2 dx
2x dx
x2
1
2
1
1
4 x2
x 2
4
A 2
2
1
2 1
x2 x 6
x2
9 2
2
1
1
x 4 9x 2 4x 12 dx
9 2
1
1 x5
3x3 2x 2 12x
9 5
2
12
5
x2
x
Por lo tanto, el centroide de la región es x, y
x
2 dx
2 dx
1 12
2, 5
.
Para regiones planas simples, se pueden encontrar los centroides sin recurrir a la
integración.
EJEMPLO 6
1
3
2
Encuentre el centroide de la región mostrada en la figura 7.62(a).
2
Solución Mediante la superposición de un sistema de coordenadas en la región,
como se muestra en la figura 7.62(b), se pueden localizar los centroides de los tres
rectángulos en
2
1
(a) Región original
y
3
) 12 , 32 )
2
1
(5, 1)
) )
5 1
,
2 2
1
2
3
4
5
6
(b) Centroides de los tres rectángulos
Figura 7.62
Centroide de una región plana simple
x
1 3
5 1
y 5, 1 .
, ,
,
2 2
2 2
Usando estos tres puntos, puede encontrar el centroide de la región
A área de la región 3 3 4 10
1 2 3
5 2 3
5 4
29
x
2.9
10
10
3 2 3
1 2 3
1 4
10
1
y
10
10
Por lo tanto, el centroide de la región es (2.9, 1). Observe que (2.9, 1) no es el “prome1 3
5 1
dio” de 2, 2 , 2, 2 y (5, 1).
7.6
493
Momentos, centros de masa y centroides
Teorema de Pappus
El último tema de esta sección es un teorema útil acreditado a Pappus de Alejandría
(aproximadamente 300 d.C.), un matemático griego cuya Mathematical Collection en
ocho volúmenes es un registro de gran parte de las matemáticas griegas clásicas. En la
sección 14.4 se le pedirá que demuestre este teorema.
L
TEOREMA 7.1 El teorema de Pappus
Sea R una región en un plano y sea L una recta en el mismo plano tal que no interseca el interior de R como se muestra en la figura 7.63. Si r es la distancia entre el
centroide de R y la recta, entonces el volumen V del sólido de revolución formado
por la rotación de R respecto a la recta es
Centroide de R
r
2 rA
V
donde A es el área de R. (Observe que 2πr es la distancia recorrida por el centroide
a medida que la región se hace girar alrededor de la recta.)
R
El volumen V es 2 rA, donde A es el
área de la región R.
Figura 7.63
El teorema de Pappus se puede utilizar para encontrar el volumen de un toro, como
se muestra en el siguiente ejemplo. Recordemos que un toro es un sólido con forma de
rosquilla formado por una región circular que gira alrededor de una recta que se encuentra en el mismo plano que el círculo (pero no corta al círculo).
Encontrar un volumen por medio del teorema
de Pappus
EJEMPLO 7
Encuentre el volumen del toro mostrado en la figura 7.64(a), que se formó por el giro de
la región circular acotada por
x
2
2
y2
1
alrededor del eje y, como se muestra en la figura 7.64(b).
y
2
1
−3
−2
(a)
Figura 7.64
Exploración
Utilice el método de las capas
para demostrar que el volumen
del toro en el ejemplo 7 es
V
3
1
4 x 1
x
2 2 dx.
Evalúe esta integral usando una
herramienta de graficación. ¿Su
respuesta concuerda con la del
ejemplo 7?
r=2
(2, 0)
2
−1
−1
Toro
(x − 2)2 + y 2 = 1
x
Centroide
(b)
Solución En la figura 7.67(b), se puede ver que el centroide de la región circular es
(2, 0). Así, la distancia entre el centroide y el eje de revolución es
r = 2.
Debido a que el área de la región circular es A = π, el volumen del toro es
V
2 rA
2 2
4 2
39.5.
494
Capítulo 7
7.6
Aplicaciones de la integral
Consulte CalcChat.com para un tutorial de ayuda y soluciones trabajadas de los ejercicios
con numeración impar.
Ejercicios
Centro de masa de un sistema lineal En los ejercicios 1
a 4, encuentre el centro de masa de las masas puntuales situadas en el eje x.
1. m1 7, m2 3, m3 5
5, x2
x1
0, x3
3
7, m2
4, m3
3, m4
8
3. m1
1, m2
3, m3
2, m4
9, m5
3, x2
6, x2
x1
4. m1
8, m2
2, x3
10, x3
5, m3
2, x2
x1
6, x3
5, x4
3, x4
5, m4
0, x4
3
mi
xi, yi
4
2, x5
12, m5
4
3, x5
5
13 . y
1
2 x,
17. y
x 2,
15 . y
2
5
(b) Mueva cada masa puntual en el ejercicio 4 dos unidades a
la izquierda y determine el centro de la masa resultante.
6. Conjetura Utilice el resultado del ejercicio 5 para hacer
una conjetura acerca del cambio en el centro de la masa que
se produce cuando cada masa puntual se mueve k unidades
horizontalmente.
Problemas de estática En los ejercicios 7 y 8, considere una
viga de longitud L con un punto de apoyo situado a x pies de
un extremo (vea la figura). Hay objetos con pesos W1 y W2 colocados en extremos opuestos de la viga. Encuentre x tal que el
sistema esté en equilibrio.
2
1
5, 5
7, 1
0, 0
0, x
y
x
21. y
x
2 3
23 . x
4
25 . x
y ,x
0, x
1
3x
0
2
2y
y, x
18. y
2, y
1, y
6
1 2
2x ,
16 . y
4
4x
,y
14 . y
2
x3
x2
20. y
6
3, 0
8
1
22. y
3y
26 . x
y
0, x
0, x
1
2x
x2 3, y
24 . x
y2
y
x, y
2
x
x, y
4
y ,x
2
2, x
2
0
0
y2
Aproximar un centroide En los ejercicios 27 a 30, utilice
una herramienta de graficación para trazar la región acotada
por las gráficas de las ecuaciones. Utilice las capacidades de integración de la herramienta de graficación para aproximar el
centroide de la región.
27. y
10x 125
28. y
x 2,
xe
y
x3, y
0
0, x
0, x
4
29. Sección final prefabricada de un edificio
5 3 400
y
W2
W1
x 2, y
0
30. Bruja de Agnesi
y
x
L−x
7. Dos niños que pesan 48 y 72 libras respectivamente, se van a
jugar en un sube y baja que mide 10 pies de largo.
8. Con el propósito de mover una roca 600 libras, una persona que pesa 200 libras quiere equilibrarla sobre una viga que
mide 5 pies de largo.
xi, yi
mi
xi, yi
mi
xi, yi
2, 2
3, 1
10
1,
2
1
5, 5
1,
5
6
4.5
2, 3
1, 5
6, 8
2
0, x
,y
2, x
2
2
2
1
1
2
2
1
7
2
2
4
4
1
1
3
15
2,
4
3 2.
4, 0
12
8
3 1.
33.
4
x2
Encontrar el centro de masa En los ejercicios 31 a 34, introduzca el sistema de coordenadas apropiado y encuentre las
coordenadas del centro de masa de la lámina plana. (La respuesta depende de la posición del sistema de coordenadas.)
Centro de masa de un sistema de dos dimensiones En
los ejercicios 9 a 12, encuentre el centro de masa del sistema de
masas puntuales dado.
9.
5
1
3
mi
11.
3
0, x
y
x, y
19. y
5. Razonamiento gráfico
(a) Mueva cada masa puntual en el ejercicio 3 a la derecha cuatro unidades y determine el centro de la masa resultante.
10.
2,
4
Centro de masa de una lámina plana En los ejercicios 13
a 26, encuentre Mx, My y x, y para las láminas de densidad
uniforme R acotada por las gráficas de las ecuaciones.
2. m1
x1
12.
2
1
34.
7
8
6
3
5
1
7
8
1
2
35. Encontrar el centro de masa Encuentre el centro de
masa de la lámina en el ejercicio 31 cuando la parte circular
de ésta tiene dos veces la densidad de la parte cuadrada de la
lámina.
36. Encontrar el centro de masa Encuentre el centro de
masa de la lámina en el ejercicio 31 cuando la parte cuadrada
de ésta tiene dos veces la densidad de la porción circular de la
lámina.
495
Momentos, centros de masa y centroides
7.6
Centroide de una región común En los ejercicios 45 a 50,
encuentre y/o verifique el centroide de la región común utilizado en ingeniería.
45. Triángulo Demuestre que el centro de gravedad del triángulo con vértices (−a, 0), (a, 0) y (b, c) es el punto de intersección de las medianas (vea la figura).
y
y
(b , c)
Encontrar un volumen por el teorema de Pappus En los
ejercicios 37 a 40, utilice el teorema de Pappus para encontrar
el volumen del sólido de revolución.
(b , c)
(a + b , c)
37. El toro formado por el giro del círculo
x
5
2
16
y2
(− a, 0)
respecto al eje y.
38. El toro formado por el giro del círculo
x
2
y
3
x
alrededor del eje x.
39. El sólido formado al girar la región acotada por las gráficas de
y = x, y = 4 y x = 0 respecto al eje x.
40. El sólido formado al girar la región acotada por las gráficas de
y 2 x 2, y 0 y x = 6 respecto al eje y.
DESARROLLO DE CONCEPTOS
Figura para 46
47. Trapezoide Encuentre el centroide del trapezoide con vértices (0, 0), (0, a), (c, b) y (c, 0). Demuestre que es la intersección de la recta que conecta los puntos medios de los lados
paralelos y la recta que conecta los lados paralelos extendidos,
como se muestra en la figura.
y
y
(0, a)
42. Lámina plana ¿Qué es una lámina plana? Describa lo
que se entiende por el centro de masa x, y . de una lámina
plana.
(0, 0)
a
r
(c, b )
x
(c, 0)
b
43. Teorema de Pappus Escriba el teorema de Pappus.
Figura para 47
¿CÓMO LO VE? El centroide de la región plana
acotada por las gráficas de y = f(x), y = 0, x = 0 y
x = 3 es (1.2, 1.4). ¿Es posible encontrar el centro de
gravedad de cada una de las regiones delimitadas por
las gráficas de los siguientes conjuntos de ecuaciones? Si es así, identifique el centroide y explique su
respuesta.
Encuentre el centroide de la región acotada
b
por las gráficas de y
a2 x 2 y y = 0 (vea la figura).
a
y
(1, 1)
b
Centroide: (1.2, 1.4)
1
(b) y
(c) y
(d) y
f x
2, y
2, y
f x, y
f x, y
Tímpano parabólico
y = f(x)
1
2
2, x
0, x
0, x
0, x
3
4
5
0 y x
2 y x
0 y x
2 y x
x
4
3
3
5
x
49. Semielipse
2
f x
r
Figura para 48
y
3
(a) y
−r
48. Semicírculo Encuentre el centroide de la región acotada
por las gráficas de y
r 2 x2 y y = 0 (vea la figura).
y
4
x
46. Paralelogramo Demuestre que el centroide del paralelogramo con vértices (0, 0), (a, 0), (b, c) y (a + b, c) es el punto
de intersección de las diagonales (vea la figura).
41. Centro de masa Sean las masas puntuales m1, m2,
. . . , mn que se encuentran en x1, y1 , x2, y2 , . . . , xn , yn .
Defina el centro de masa x, y .
5
(a, 0)
Figura para 45
4
2
(a, 0)
−a
a
Figura para 49
x
y = 2x − x 2
(0, 0)
x
Figura para 50
50. Tímpano parabólico Encuentre el centroide del tímpano
parabólico que se muestra en la figura.
496
Aplicaciones de la integral
Capítulo 7
51. Razonamiento gráfico Considere la región acotada por
las gráficas de y = x2 y y = b, donde b > 0.
(a) Dibuje una gráfica de la región.
(b) Utilice la gráfica en el inciso (a) para determinar x. Explique.
54. Modelar datos El fabricante de un barco necesita aproximar el centro de masa de una sección del casco. Se superpone
un sistema de coordenadas a un prototipo (vea la figura). Las
mediciones (en pies) para la mitad derecha del prototipo simétrico se enumeran en la tabla.
y
(c) Establezca la integral para encontrar My. Debido a la forma del integrando, el valor de la integral se puede conseguir sin integrar. ¿Cuál es la forma del integrando? ¿Cuál
es el valor de la integral? Compare con el resultado del
inciso (b).
b
(d) Utilice la gráfica del inciso (a) para determinar y > o
2
b
y < . Explique.
2
l
1.0
d
−1.0
− 2.0
x
1.0
2.0
(e) Use integración para comprobar su respuesta al inciso (d).
x
0
0.5
1.0
1.5
2
52. Razonamiento gráfico y numérico Considere la región
acotada por las gráficas de y = x2n y y = b, donde b > 0 y n es
un entero positivo.
l
1.50
1.45
1.30
0.99
0
d
0.50
0.48
0.43
0.33
0
(a) Dibuje una gráfica de la región.
(b) Establezca la integral para encontrar My. Debido a la forma del integrando, el valor de la integral se puede obtener
sin la integración. ¿Cuál es la forma del integrando? ¿Cuál
es el valor de la integral y cuál es el valor de x?
b
(c) Utilice la gráfica del inciso (a) para determinar si y > o
2
b
y < . Explique.
2
(d) Utilice la integración para encontrar y como una función
de n.
(e) Utilice el resultado del inciso (d) para completar la tabla.
n
1
2
3
4
y
(f) Encuentre lím y.
n→
(g) Proporcione una explicación geométrica del resultado en
el inciso (f).
53. Modelar datos El fabricante de vidrio para una ventana
en la conversión de una furgoneta tiene que aproximarse a
su centro de masa. Se superpone un sistema de coordenadas
a un prototipo del vidrio (vea la figura). Las mediciones (en
centímetros) para la mitad derecha de la pieza simétrica de
vidrio se enumeran en la tabla.
x
0
10
20
30
40
y
30
29
26
20
0
y
40
20
10
− 40 −20
x
20
40
(a) Use la regla de Simpson para aproximar el centro de masa
del vidrio.
(b) Utilice la capacidad de regresión de una herramienta de
graficación para encontrar un modelo polinomial de cuarto
grado para los datos.
(c) Utilice las capacidades de integración de una herramienta
de graficación y el modelo para aproximar el centro de
masa del vidrio. Compare con el resultado del inciso (a).
(a) Use la regla de Simpson para aproximar el centro de masa
de la sección de casco.
(b) Utilice la capacidad de regresión de una herramienta de
graficación para encontrar modelos polinómicos de cuarto
grado de las dos curvas que se muestran en la figura. Represente gráficamente los datos y grafique los modelos.
(c) Utilice las capacidades de integración de una herramienta
de graficación y los modelos para aproximar el centro de
masa de la sección del casco. Compare con el resultado del
inciso (a).
Segundo teorema de Pappus En los ejercicios 55 y 56, utilice el segundo teorema de Pappus, que se enuncia de la siguiente
manera: Si un segmento de una curva plana C se hace girar
alrededor de un eje que no interseca la curva (excepto, posiblemente, en sus puntos extremos), el área S de la superficie de
revolución resultante es igual al producto de la longitud de C
por la distancia d recorrida por el centroide de C.
55. Se forma una esfera mediante el giro de la gráfica de
y
r 2 x 2 respecto al eje x. Use la fórmula para el área
de una superficie, S
4 r 2, para encontrar el centroide del
semicírculo y
r 2 x 2.
56. Se forma un toro al hacer girar la gráfica de x 1 2 y 2 1
respecto al eje y. Encuentre el área de la superficie del toro.
57. Encuentre un centroide Sea n ≥ 1 constante, y considere la
región acotada por f (x) = x n, el eje x y x = 1. Encuentre el
centroide de esta región. Cuando n
, ¿a qué se parece la
región y donde se encuentra su centroide?
DESAFÍOS DEL EXAMEN PUTNAM
58. Sea V la región en el plano cartesiano consistente en todos
los puntos (x, y) que satisfacen las condiciones simultáneas x
y
x
3 y y " 4. Encuentre el centroide
x, y de V.
Este problema fue preparado por el Committee on the Putnam Prize Competition.
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