Ecuaciones exponenciales y logaritmicas

ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
1.- Resuelve en las ecuaciones exponenciales y comprueba los resultados:
1) 52 x 1  25
3
x 2  14
8) 3x +31-x =4
9) 4e -3x -5e -x+ex =0
4x+1+2x+3 -320=0
32(x+1) -28·3x +3 =0
5x -97·5x/2 +64 =0
10 3-x = 1
22x+22x-1 +22(x-1) +22x-3 +22(x--2) =1984
2)
3)
4)
5)
6)
2x-1+2x-2 +2x-3 +2x-4 =960
7)
10) 21x 
2
1
8
11) 2x-1+ 2x +2x+1 = 7
2.- Resuelve en los sistemas:
 lg x  lg y  2
x  y  20

x
y 1

1)  3  5 x12  6 y  807

 15  5
6
5) 
 339
 lg x  lg y  1
x  y  22

 lg x  lg y  3
2 lg x  2 lg y  1
6) 
lg x  lg y  lg 56  lg 20
lg x  lg y  1  lg 20
7)  x
lg ( x  3)  1 / 2
lg y (9  x)  1 / 2
lg x ( y  9)  2
y

8)  lgx2 (3  1y)  x
2) 
 lg ( y  18)  2
3) 
 y
4) 

3  2  2  3  6
3.- Resuelve en las ecuaciones logarítmicas:
1) (x2-5x+9)lg2+lg125=3
2) lg(22-x)2+x+lg1250=4
3)
6) 3lgx -lg32 =lg(x/2)
7) lg 2 x · lg x 2x · lg 2x y = lg x x2
lg 2  lg (11  x 2 )
2
lg(5  x)
x
2
10) lg 3x  1  lg 2 x  3  1  lg 5
5) lg x  x 2  1   lg x  x 2  1   0 ; x  1

32
9
9) 2lg x =3 + lg (x/10)
4) (x2-4x+7)lg5+lg16=4

x
3
8) 5 lg  2 lg  3 lg x  lg


ECUACIONES EXPONENCIALES
1.-.Resuelve las ecuaciones exponenciales y comprueba los resultados:
Soluciones
1) 52 x 1  25
3
x 2  14
Soluciones
7)
x1 =1/2 y x2 =5/2
2) 4x+1+2x+3 -320=0
x=3
3) 32(x+1) -28·3x +3 =0**
x1 =1, x2 =-2
4) 5x -97·5x/2 +64 =0**
5) 10 = 1*
6) 22x+22x-1 +22(x-1) +22x-3 +22(x--2) =1984
x
1-x
8)
3 +3
9)
-3x
4e
2
x=3
=4**
-x
x1 =0 , x2 =1
x
1
*
8
x1=2, x2=-2
11) 2x-1+ 2x +2x+1 = 7***
x=5
x =10
-5e +e =0
10) 21x 
x1 =8lg52, x2 =8lg53
3-x
2x-1+2x-2 +2x-3 +2x-4 =960***
x =1
Resolución:
2 x 1
1) 5
3
 25
x 2  14
5
2 x 1
x2  1
 25
4
3
5
2 x 1
 
 5
2
x2  1
4
3
5
2 x 1
x2  1
2 3 4
5
x 2  14
 2x 1  2 

3
1


3  2 x  1  2  x 2  14  6 x  3  2  x 2  12  12x  6  4 x 2  1  4 x 2  12 x¡5  0  x  12 ó x  52
Existen dos soluciones, x1 =1/2 y x2 =5/2
*De forma análoga se resuelven los ejercicios 5) y 11).
4x+1+2x+3 -320=0  (22)x+1 +2x ·23 –320 =0 22x+2 +2x ·23 –320 =0  22x ·22 +2x ·23 –320 =0
2)

 t  8  2x
4t2 +8t-320=0  t2 +2t –80 = 0  1
x

 t 2  10  2
22x ·22 +2x ·23 –320 =0  4·22x +8·2x –320 =0
Realizamos el cambio 2x =t, con lo que 22x =(2x)2 =t2
Existe una única solución real: x =3
**De forma análoga se resuelven los ejercicios 3) , 4) y 8).
6) 22x+22x-1 +22(x-1) +22x-3 +22(x--2) =1984  22x+22x ·2 -1 +22x ·2 -2 +22x ·2 -3 +22x ·2 -4=1984 
22x 22x 22x 22x
22x 22x 22x 22x
 2  3  4  1984  2 2 x 



 1984
2
2
4
8
16
2
2
2
t t t t
t      1984  16t  8t  4t  2t  t  1984 16  31t  1984 16  t  64 16  2 6  2 4  210
2 4 8 16
Realizamos el cambio 22x =, t
22x 
t=22x =210 2x=10  x = 5
***De forma análoga se resuelven los ejercicios 7) y 11).
-3x
-x
x
4
5

 ex  0
e3x e x
Realizamos el cambio ex =t, con lo que t e3x =t3, y resolvemos la ecuación:
4 5
  t  0  4  5t 2  t 3  0  t 3  5t 2  4  0  (t  1) (t 2  4t  4)  0
t3 t
9) 4e
-5e +e =0

Las soluciones de esta ecuación son: t1  1, t 2  2  2 2 , t 3  2  2 2
De donde obtenemos dos soluciones reales de la ecuación dada:
t1  1  e x  x 1  0;


t 2  2  2 2  e x  x 2  ln 2  2 2 ; t 3  2  2 2  2 x no tiene solución real .
SISTEMAS EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICOS
2.- Resuelve en los sistemas:
Soluciones
Soluciones
x
y 1

1)  3  5 x12  6 y  807

 15  5
6
 339
 lg x  lg y  3
2 lg x  2 lg y  1
2) 
lg x  lg y  lg 56  lg 20
lg x  lg y  1  lg 20
3) 
lg y (9  x)  1 / 2
lg x ( y  9)  2
4) 
 lg x  lg y  2
x  y  20

x=3, y=2
5) 
x=105/4, y=107/4
6) 
 lg x  lg y  1
x  y  22

 lg ( y  18)  2
x=4·351/2, y=(10/7)·351/2
x=5, y=16
x=10+101/2, y=-10+101/2
x=20, y=2
7)  x
lg ( x  3)  1 / 2
x=3/2, y=81/4
y

8)  lgx2 (3  1y)  x
x=3, y=2
 y

3  2  2  3  6
Resolución:
2

1) 

3  5 x  2  6 y 1  807
15  5 x 1  6 y  339
 lg x  lg y  3
2 lg x  2 lg y  1
2) 
lg x  lg y  lg 56  lg 20
lg x  lg y  1  lg 20
lg y (9  x)  1 / 2
lg x ( y  9)  2
 lg x  lg y  2

x  y  20
5) 
 lg x  lg y  1
x  y  22

6) 
3t  12s  807 s  36 


3t  s  339 t  125 t  5 x  125  5 3  x  3

y
2
5x  t
 s  6  36  6  y  2

6y  s

 lg x  lg y  3  t  s  3  t  5 / 4 
5
4




5
5
4
2 lg x  2 lg y  1  2t  2 s  1  s  7 / 4 t  lg x  4  x  10  10


7
lg x  t  lg x  t
 s  lg y  7  y  10 4  4 10 7
4

lg y  s  lg y  s

3) 
4) 
 3  5 x  2  6  6 y  807 

 15 x
y
 339
 5  5  6

5x  t 

6 y  s 

lg( x / y )  lg( 56 / 20 ) x / y  56 / 20  x1  4 35
; x 2  4 35




 xy  200
 lg( xy )  lg 200
 y1  10 35 / 7 ; y 2  10 35 / 7



 x0

 y0



9  x  y1 / 2

2

y  9  x

9  x  y 
 y  ( 9  x )2

2 
2

y  x  9
y  9  x 

 y  x 2  18x+81 y  16


2
2

( 9  x )  x  9x  5
 lg( x . y )  lg 100  x . y  100 
 y1  10  10 2



x
y
20



x  y  20


 x1  10  10 2
x  0 ; y  0

y1  10  10 2 
 x  10  10 2
x 2  10  10 2 
 y  10  10 2

Se resuelve de forma similar al 5).
 lg x ( y  18)  2
Se resuelve de forma similar al 4).
7) 
lg y ( x  3)  1 / 2
 lg 2 ( 3 y  1 )  x

8) 3  2 x  2  3 y  6

3 y  1  2 x


x
y
3  2  2  3  6 A partir de aquí se resuelve de forma similar al 1).


t  2x ;s  3y
ECUACIONES LOGARÍTMICAS
3.- Resuelve las ecuaciones logarítmicas:
1) (x2-5x+9)lg2+lg125=3
2) lg(22-x)2+x+lg1250=4
3)
lg 2  lg (11  x 2 )
2
lg(5  x)
6) 3lgx -lg32 =lg(x/2)
7) lg 2 x · lg x 2x · lg 2x y = lg x x2
x
2
x
3
8) 5 lg  2 lg  3 lg x  lg
4) (x2-4x+7)lg5+lg16=4
9) 2lg x =3 + lg (x/10)
5) lg x  x 2  1   lg x  x 2  1   0 ; x  1
10) lg



32
9
3x  1  lg 2 x  3  1  lg 5

Resolución:
1) (x -5x+9)lg2+lg125=3 lg 2 x
2
2
5 x 9
2
2
 lg 125  lg 1000  lg 2 x 5 x 9 125   lg 1000  2 x 5 x 9 125  1000 


2
2
2 x 5 x9  8  2 x 5 x9  2 3  x 2  5x  9  3  x 2  5x  6  0  x 1  2, x 2  3
3
2-x 2+x
2) lg(2 )
+lg1250=4 lg[(22-x)2+x·1250]=lg104  (22-x)2+x·1250=104  (22-x)2+x=8  2 4x  2 3 
2
4-x2=3 x1=1, x2=-1
3)
lg 2  lg (11  x 2 )
2
2
2
2
2
 2 lg2+lg(11-x )=2·lg(5-x) lg[2·(11-x )]=lg(5-x) 2·(11-x )=(5-x) ……….
lg(5  x)
Al resolver la ecuación de segundo grado resultante da dos soluciones, x1=3, x2=1/3, que son también soluciones de la
ecuación logarítmica dada.
4) (x -4x+7)lg5+lg16=4  lg 5 x
2
2
 4 x 7
 lg 16  lg 10 4  ……… ………………
x1=1, x2=3
Se resuelve de forma similar al 1).
5) lg x  x 2  1   lg x  x 2  1   0 ; x  1  lg




x  x 2 1
x  x 1
2
 lg 1 ; x  1 
x  x 2 1
x  x 2 1
 1; x  1 
 x  x 2  1  x  x 2  1 ; x  1  2 x 2  1  0; x  1  x 2  1  0; x  1  x=1
 x3 x

x3
x

  x 3  16 x  x1  0, x 2  4, x3  4
6) 3lgx -lg32 =lg(x/2)  lg
 lg   32 2
x  4
32
2
x  0



2
7) lg 2 x · lg x 2x · lg 2x y = lg x x  lg 2 x 
x
2
lg 2 2 x lg 2 y lg 2 x 2
2 lg 2 x
 lg 2 y  2  y=4, x>0


 lg 2 y 
lg 2 x
lg 2 x lg 2 2 x
lg 2 x

x
3
8) 5 lg  2 lg  3 lg x  lg
7
3
x
9x
5
2
3
 x3 
 5 2
39

 x7  81x3
 x
 x
  lg x  x   lg 9 x  
5 2
 lg   lg   lg
32

2

3
5
2
 32 / 9 
2 3 
32
9
2
3





x  0
7
3
La ecuación x =81x tiene tres soluciones reales, x=0, x=-3, x=3. De ellas, sólo x=3, es solución de la ecuación
logarítmica dada.
9) 2lg x =3 + lg (x/10) lg x2 =lg1000+lg(x/10) lg x2 =lg(1000x/10) lg x2 =lg100x x2 =100x, x>0  x=10
10) lg 3x  1  lg 2 x  3  1  lg 5  lg
3x  1
2x  3
 lg
10

5
3x  1
2x  3
2
3x  1
 4  .............
2x  3
x=11/5
4