28-3-2023 TEMA1:CONJuntos, RELACIONES APLICACIONES Y 1- CONJUNTOS Definición 1.1. Un IN es conjunto - a- a de naturales;2 I- irracionales; elemento. - conjunto GA. elementos. números Se enteros; IR (conjunto vacío asi: denota - números 1a,b, c7 = reales; contiene no que A ( Pertenencia, cuantificadores Expresamos a colección una numeros ningún e.2. conjunto de que Decimos el que matemática. "â"pertenta elemento un lenguaje y "a"no elemento a conjunto "A"asi: un pertenece un a conjunto ""asi: A Los mantificadores matemático. Delitos Representamos Representamos simbolos que "0" "y" -> con simbolo pel discute si conjunto son Fa, beI,a de y que 1 (AUB) (ANB) -> A - o A y números e "I"conjunto - verdadero abtaeP- verdadero a(b 1) + ta, beI cn a <b, A B pares bGPna.bel faGPnbel, existe B verdaderas + no - o Ejemplo. sea ] lógico I - V ratonamiento el para el todo" -> "que como basics existe "para como Representamos"tal Representamos son 7cEP/a<<b - verdadero de no impares, ta, beI con <bnceP/a<<lb-Falso. a dice Porque todos los pares 2:RELACIONES ENTRE CONSUNTOS Relacives 2.1. Dados LA no. entre conjuntos A conjuntos dos B y Sien... mismorunto decimos A estaincluido que Por aumentos los austraus de Apertnecen a ejemplo: A A G 1,2,3,47 = 41,2,3) = B relaciones las A los de La inclusion conjuntos El 2: Reflexiva conjunto vacío 4: 3. Transitiva (ANB) la a y A B -> 28tà formada los de A 3 A * - uniss por (x,b,c7 = 4b,,d3 = B An = de conjuntos 0 =A B c y => = < c A A B y los por elementos A entre los se interseccion su y elementos que I ARB ARB que pertenecen 4b,c 9 a, b, c, d7 = = -> formado por los elementos que no pertenecen denotaracome = = denota se =Say/B- A BRA 9dY Al los B H => conjuntos dos Al (Complementario todos de propiedades: CONJUNTOS CON La 1 B = y = formada esta vez. siguientes las cumple AB conjuntos dos Estudiar BCC, CEB subconjunto es -> OPERACIONES bados = = ↳A A CA -> 3:- Antisimétrica - CEA, ACC, entre =- (3,57,c 41,3,4,5,67. B = G1,2,37 = Ac B inclusion B, BIA, - (1,3,47, conjuntos A 3 31,2,37 = B Dados en pertenecen a A al a como AyB (AVB) y menos a uno B 29-3-2023 Dados los - B, y del dentro conjunto X Al 41,3,47;B (3,57;x (1,3,4,5,64 = = = 41,3,4,54 AVB= a A AUB, ARB, A-B, calcule A conjuntos Si que pertenecen Sun A 20, menores A B los A pero a no a B números naturales de B multiples o nB, iguales AVB, A dos 207 que - y Son menures los múltiplos números de 3 o iguales naturales haller: B (2,4,6,8,10,12,14,16,18,207 = 43,6,9,12,15,184 = AdB 1 45,6) = = elementos A A 337 = 41,47 B e a AnB - 46,12,184; AVB = B Elementos 42,3,4,6,8,9,10,12,15,14,16,18,207 = 42,4,8,10,14,16,207 = que pertenecen a A y no a B ⑪ A 41,4,7,107,B 41,2,3,4,54, 42,4,6,87 4 AVB = = = = Bnc 1,2,3,4,5,7, 107 42,47;A = 3n(c - - B (7,00) = B1(2,6,87 A) 427 = = ② a)(xt4/x2 b)(xR/x2 Por x) tanto, B (454A ( 2x + = - 6,5, 04x = 2x + - 4,-3,-2, 0 + = - 1,0,1,2,3,4,5,6) -x x(x 2) 0 0 = = + 30,-27 x = - 2 = (x 2/x2+4 = = 64xe 4 = por tanto, x su a a)(xzz/x 14b b 1,17 = = - los no hay pertenec reales c 404 = ③ A B a D 4XE/N/X = 4 GIN(x x = 3 x G x = = ARB EIN) todos aquellos (N/X - 4n = que Y, nEN) 1,nEIN) + XEIN/X: 6n, nEINY atudes multiples CUP:todos numeros 3n,nGIN7 = G n = GN/x n 9 = 2n, = los impares menos el 1 aquellos de seis que sean son pares 3.1 Diagramas Venn de /Y AUB A nB A B - Y, -Y B C Al 3.2. (AnB) Propiedades Sean A, B, C, de las - operaciones c con conjuntos conjuntos:ACU, BIV, U CEU (U es el conjunto universal). · la se cumple An se · cumple le cumple A · propieded si: asociativa AULBUC), UC = propieded le A, Leyes An de AVA A = absorción (AVB) A, = = si: conmutativa Propiedad idempotente HA= AV(BUC) (AVB((AUC) (AnBnc=An AVB:BUA ARB: BRA, · distributiva (BUCI=(AnBLUCANC), (AVB) ·Se propiedad AVANB) A = si: (Bnd Leyes · identidad de A, AU A n A = = universal conjunto dominacion de Leyes · AVE: E Any 0, = Leyes · NA D, A Ley · complementarias AVA:I = involución de =A (AY "Leyes Murgan" de AUB=(AnB)", AnB=(AVBS Y. PRODUCTO CARTESIANO 2.1- Producto Dados dos denota como: XEA, y con el AXB Un Ejemplo: AxB f = B, el que conjunto asi, A salir producto su (IBRXR). conjuntos puedan de cortesiano El (X,y) pares cartesiano producto de 2 pares conjuntos los bado producto ejemplo dos de Ay es y obtenemos que todos los conjuntos EB. más tener cortesiano RELACIONES Y el es se con IRXIR de cortesiano producto puede IR* RXRXR= 91,3,47; = B 43,57 halle = su cartasiano (1,3), (1,5), (8,3), (3,5), (4,3), 14,57) 4. 2. Relaciones Pados dos subconjunto un Ejemplo:See a R Hay * R b que E) poner A a Y b las courdenadas B:A es + ya suma y una producto del 3 (1,3), (e,5), = A conjuntos cartesiano 41,2,44; = par. sea relación [lid es el B R de AxB A en (REA xB) (2,3,5,87, = conjunto par (2,2). (2,5).(4,2), B ? (4,5)} y es Sean 42,4,74 A aRb E) R y 42,3,5,84 son cartasiano tudes parejas les (t,81) 3 (2,3), (2,5), (2,8), 14,51, (4,81, = 2. 3. Releciones de , relación une donde = asb producto El B = se equivalencia dice equivalencia de verifice si las siguientes propiedades: -Reflexiva 2- a -> simétrice Ra faGA => aRb -> bIRa 3-Transitiva -aRb y Sea [cudes A 1 1,2,3,47 = bRc=> de aRC les siguientes relaciones son equivalencia? de No = es b) R2= ( relacion una reflexive, propieded Si (1,21, (2,1), (3,3), ( (e,e), R1 a) la cumple a) R y ((e,e), -R2, 2RY No es propieded No es relacion simétrica, equivalencia de falta 13,4),14,477 porque de relación equivalencia 22, porque no cumple la 1), 22,3), 13,3), 18,2), (4,4)) 1R3 => relacion de equivalencia pq te (4,31 transitiva 12, 2R3 una le 1RY = es 22, 11, 23,3), una d) Ry 4 (e,e), (0,2), (2,2), No cumple (1,2), 12,2), (2,11, (b,3), 12,41,14,4), => una no falta (2,2) propieded = porque equivalencia de (1,1), 1,21, (2,2), reflexiva. es (4,417 no hay (1,3). (4,2)) 4. 4. Relaciones una Les en conjunto un a Antisimétrice 3-Transitiva Una -aRD de aRD que dice de si orden cumple Dado es orden, de y (1,1), = en 11,22, Reflexiva y +R3 tienen 2RY y si fuese no = afirmativo (1,31, (1,4), P(n) un consideraremos que ser denominarc se total dear relacio siguiente le si comprobar parcial tipo su 12,2), 12, 4), 13,3), (3,4), iguales V +RY 1RY - entonces 5-PRINCIPIO es parcial INDUCCION DE enunciado que ese que depende enunciado es de nEIN cierto p(1) ⑧ n=1, ta, bEA b esta cess & 3RY falta 12,3) See total es estos ↑nümerus 1R2 que Antisimétrica , -> aRC relacionado 11,2,3,47 A conjunto el = bRa orden de sia b e esta relacionado relación dice se con b sil a solo bRc=> y o e bla y orden a ⑧ se Ra faGA -aRb relación cumple se R A siguientes propiedades: Reflexiva-> -- 2. relación orden de siP(n) es cierto también lo es P(n+1) si: (u,4)) Comprobar si le siguiente proposición ·inte Si P(8) 1 2 3 - + + cumple se a un si se l) = cierta es en cumple e ex2etnien - = n por tanto, nit - es proposición la cierta 11 comprobar sies cierta proposición siguiente la en es - 4-2023 papio de inducción 1 3 5... + + Para n 1 - Para n 2 - Paran 3 = como = = la + + + - 1) 12; 1 n = 22; si 14 b= e 3 + 5 + 32; = anterior (2n + - si pur tanto, = expresion 1 3 5 ... + (2n + 1) se se s cumple cumple se cumple cumte, para (2n 1) + + ↳2(n 1) + Ise cumple? se (n = - 1 deberia ni 1) + 2n 2 = + - 1 2n = 1 + de cumplirse (2n 1) (2n 1) -... + - + (n = + 1) + ne n + 2n 1 2.3 1.2 1); (n+ = + + 3.4 se n(n 1)(n 2) n(n 1) ... + cumple + + + + = + 3 Paran Para 1 n 2 - - = 1.2 2.3 + = Ahora 4 1.2 - = 2 2) 21+ = - 2; = 8 5; = cumple sise has donde n para sise ample en cre intente si en + (n n(n 1)(n 2) + + - + (n 1)(n 2) + + 3 Sacamos factor (n()() = común +2. 13-e Por tanto, 12 3 + + Para n 1 = sise ... + e n + cumple n(n 1)(2n 1) + + = 1 = sir 1;si = se cumple Paran Para 2 = e 2 - + 22 = - 5: 2 si se miple n 1 + el :en e ) (2 en enlas infontos enen 3) -()(2n + 6 ese Aplicamos Ruffini te - 2n 3 + Aplicamos * Ruffini q I sabemos Entonces 3)-(2n 3) y Si les roces se cumple + - 6 EJERCIGOS a) 2" 42+... k2n) + + ( = paraversise en ese en estanta ian. genen (2n 1) ( + Mant sacamos factor (2n+2 1 2 amn + = 3 común Mantimental entre 3 (en+25=[2 (n + + Y(n 11]2: nes) [2n++1]= -inientel - 6)[2nment tent -encantant] - - Por Ruffini Aplicamos tanto 2 con Ma ↓ b) ↓El 1 2 + primer Para Para + - 2 + es n 2 1. - = 2 ... 2 n debe a 1 =2 + 2 + 1 - - en +1n n 1 + 2.2 - n 2 + 2 - 1 1 1 2 2 + = =e**- 22- = n + 2 1+ 1 1 que coger los números enteros no negativos correcto n + 2 + nE 1 correcto Es para + themos Es = 2 + cierto + of cero 241, 1 1 - supuesto 1 de valor = = = + n 0 n 2- 22+... 2 + - 1 serlo para también nt1 6. APLICACIONES Sean A B y correspondencia un solo y f(a) por b un en le que elemento af A con = aplicacion conjuntos:u n a cade a B. de Se f(A) de de elemento asi: denota es en le A f: A una corresponde - B bEB. y ejemplo * solo . (fal) b Une aplicacion elementos dos elemento un f: A - B se dice A an, as con si inyective es que an Fan => dedos f(an)ff(ac) - e n50 - A 3 - * B A code mediado le corresponde un círculo E Decimos del que aplicación of une conjunto B le corresponde es A 00 Si es De A la vez inyectiva s o D su No s o - D sobreyectiva menos atodos elemento un circulo si le de corresponde al cuadrado e a al * A un B ne en es B y sobreyectiva es biyectiva los elementos conjunto menos a un 6. 1. Función bade se de para bastará a'cómo y con lavar 2x = 2x = - Desperamos intous/ y de elemento un ola comprobar aplicación une si Mememos asigne a inverse de alle (b): le que saber 8. que ift a funcion of es es sobreyectiva, inyectiva inversa? la 3 nombre a y -> y x - 2y-3 = Y = * * = - * = sabemos f: ASB 3 - cambiamos f(x) A, denota A Note: f(x) de funcios une elemento 7 inversa Desperamos 1 x 7,3 = - x,y y = - 3 - x.y - y(x y y - 3 = 1) 3 = 8 12 E UNEIN 117 Paran = Para n 2 = 35k 75, correcto correcto cierto implice n también I-2 que sedo debe 1.2.3 - 7(5k 2) = 2(7 Utiliza se = para -c=5k+2" 5K = n + 1: 5k + Por tanto, Si para cinco 5, 2 = see a 22.2 - = P(1) - - por 4-2023 + 2 7.71 = 7 2 2 1 n - 2 verto es + divisible es - para n 1 7 2" - = Que si = - - 2) pupio el 2.3.4 + 6 35k = divisible es - + + cumple n(n 1)(n 2) + + 2) demostrar 2) + + + + ... + (n+2)(n (nt Ment (1 8) + -> + + que - v 6 a(n 1)(n 2) (n 1)(n 2)(n 3) en 1.2.3 2.3.4 + = = sise umple para Pinte) también. Pli) para 2.2 - + para 1( = 2.7 + 5(7k 24) = inducción + ... 24.5 + 35k = cinco por de 24.2 + + (n)(n 2)(a 3)(n 4) + + + = Y +in(+ e ):ntins. 2)(n +
