ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA

ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN
CORRIENTE ALTERNA
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ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN
CORRIENTE ALTERNA
José Danilo Rairán Antolines
Germán Antonio Guevara Velandia
Helmuth Edgardo Ortíz Suárez
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© Universidad Distrital Francisco José de Caldas
© Facultad Tecnológica
© José Danilo Rairán Antolines, Germán Antonio Guevara Velandia,
+HOPXWK(GJDUGR2UWL]Suárez
Primera edición, abril de 2016
ISBN: 978-958-8972-07-7
Jefe Sección de Publicaciones
Rubén Eliécer Carvajalino
Coordinación editorial
Miguel Fernando Niño Roa
Diagramación
José Danilo Rairán Antoniles
*HUPiQ$QWRQLR*XHYDUD9HODQGLD
+HOPXWK(GJDUGR2UWL]6XiUH]
Diseño de cubierta
Felipe Padilla Brugés
,PDJHQ de cubierta
7KRP4XLQH
Acompañamiento editorial
Editorial UD
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Carrera 24 N. 34-37.
Teléfono: 3239300 ext. 6202
Correo electrónico: [email protected]
Rairán Antolines, José Danilo, 1971Análisis de circuitos en corriente alterna / José Danilo Rairán Antolines,
Germán Antonio Guevara Velandia, Helmuth Ortiz Suárez. -- Bogotá :
Universidad Distrital Francisco José de
Caldas, 2016.
356 páginas ; 24 cm.
ISBN 978-958-8972-07-7
1. Ingeniería eléctrica 2. Corriente alterna 3. Electricidad
4. Circuitos eléctricos - Problemas, ejercicios, etc. I. Guevara Velandia,
Germán, autor II. Ortiz Suárez, Helmuth, autor III. Tít.
621.3192 cd 21 ed.
A1526561
CEP-Banco de la República-Biblioteca Luis Ángel Arango
Todos los derechos reservados.
Esta obra no puede ser reproducida sin el permiso previo escrito de la Universidad Distrital
Francisco José de Caldas.
Hecho en Colombia.
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TABLA DE CONTENIDO
!"#$%&'()*)
+,-&.%",./")0)."#"./%",./"1111111121122)*)
1.1 La bobina………………………………………...……….... 1
1.1.1
El voltaje en la bobina……………………………... 2
1.1.2
Corriente a través de la bobina……………………... 8
1.1.3
Potencia y energía en la bobina…………………….. 11
1.1.4
Combinaciones de inductancia……………………... 17
1.2 El condensador…………………………………………….. 22
1.2.1
La corriente en el condensador……………………. 26
1.2.2
Voltaje en los terminales del condensador…………. 32
1.2.3
Potencia y energía en el condensador……………… 36
1.2.4
Combinaciones de capacidades……………………. 41
1.3 Dualidad………………………………………………......... 47
1.4 Condiciones iniciales en la conmutación de circuitos…......... 50
Problemas…………………….………………………………. 55
!"#$%&'()3)
456#&56%")-5)'(6)./7.&/%(6)8(,(9:6/.(6)5,)
7;</85,)#578",5,%5)6/,&6(/-"'111111122)=>)
2.1 Números complejos……………………………………....... 73
2.1.1
Representación de números complejos…………...... 75
2.1.2
Operaciones fundamentales con números complejos… 81
2.1.3
Ecuaciones simultáneas con números complejos…... 86
2.2 Características de las sinusoides…………………………… 90
2.1.1
Generación de una sinusoide……………………… 91
2.3 Concepto de fasor…………………………………………..97
2.3.1
Concepto analítico y gráfico de fasor………………. 98
2.3.2
Algoritmo para el paso del dominio del tiempo al de la
frecuencia…………………………………………... 99
2.4 Relaciones fasoriales para resistencias, inductancias y
capacidades………………………………………………...101
v
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ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA
2.4.1
2.4.2
Definición de impedancia y admitancia………........... 109
Ubicación de las impedancias y admitancias en el plano
complejo………………………………………......... 113
2.5 Circuitos en serie y en paralelo…………………………....... 115
2.5.1
Consideraciones generales…………………………. 115
2.5.2
Circuitos en serie…………………………………... 115
2.5.3
Circuitos en paralelo……………………………….. 117
2.6 Métodos en análisis en circuitos AC……………………….. 120
2.6.1
Reducción de impedancias…………………………. 120
2.6.2
Ley de Kirchhoff para voltajes……………………... 123
2.6.3
Ley de Kirchhoff para corrientes…………………... 127
2.6.4
Análisis de mallas…………………………………... 132
2.6.5
Análisis de nodos…………………………………... 137
2.6.6
Linealidad………………………………………….. 140
2.6.7
Superposición……………………………………… 143
2.6.8
Equivalentes de Thévenin y Norton………………... 146
2.6.9
Transformación de fuentes………………………… 155
2.7 Aplicaciones……………………………………………….. 160
2.7.1
Transferencia máxima de potencia…………………. 160
2.7.2
Resonancia………………………………………… 165
2.7.3
Amplificadores operacionales…………….……........ 171
Problemas…………………….……………………………….. 189
!"#$%&'()>)
?(%5,./")8(,(9:6/."111111111111211)3@*)
3.1 Potencia instantánea, p……………………………………...201
3.2 Potencia media, activa o real……………………………….. 208
3.2.1
Potencia activa en circuitos con varias fuentes……... 212
3.2.2
Máxima transferencia de potencia activa………......... 219
3.3 Valores eficaces o RMS…………………………………...... 220
3.4 Potencia aparente y factor de potencia…………………….. 226
3.5 Potencia compleja y triángulo de potencias………………… 232
Problemas…………………….………………………………. 241
vi
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TABLA DE CONTENIDO
!"#$%&'()A)
!/7.&/%(6)%7/9:6/.(61111111111112112222)3B*)
4.1 Generación de señales eléctricas senoidales polifásicas……. 252
4.2 Fuentes polifásicas
4.2.1
Fuentes trifásicas………………...………………… 254
4.2.2
Fuentes trifásicas conectadas en Y…………………… 258
4.2.3
Fuentes trifásicas conectadas en ∆…………………… 259
4.2.4 Fuentes trifásicas balanceadas…………………………. 260
4.2.5 Transformación de fuentes……………………………. 261
4.3 Cargas trifásicas……………………………………………. 269
4.3.1
Cargas en Y…………...………………………...……...269
4.3.2
Cargas en ∆…………...………………………...…….. 270
4.3.3
Transformación de cargas………………………….. 271
4.3.4
Cargas trifásicas balanceadas……………………….. 276
4.4 Solución de circuitos trifásicos…………………………….. 276
4.4.1
Circuitos Y – Y con carga desbalanceada…………… 277
4.4.2
Circuitos ∆ – ∆ con carga desbalanceada…………… 286
4.4.3 Circuitos Y – ∆………………………………………… 291
4.4.4 Circuitos ∆ – Y…………………………...……………. 291
4.5 Solución de circuitos trifásicos con pérdidas en las líneas de
transmisión………………….……………………………... 295
4.5.1
Carga en Y…………………………………………. 295
4.5.2
Carga en ∆…………………………………………. 299
4.6 Potencia trifásica…………………………………………... 304
Problemas…………………….………………………………. 314
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PREFACIO
Buena parte de la energía eléctrica, de la cual se hace uso en sectores
como el residencial, comercial o industrial, se presenta en la forma
sinusoidal, conocida popularmente como alterna; esto se constituye en el
propósito base de la elaboración de este texto, el cual es mostrar con el
detalle necesario, pero suficiente para un curso introductorio, el
comportamiento de los circuitos eléctricos en corriente alterna, cuando
estos además están en estado estacionario, es decir, cuando el efecto de los
transitorios ya ha desaparecido.
El libro está pensado para ser desarrollado en un curso de un semestre
y requiere del lector conocimientos básicos de cálculo diferencial e integral.
Aunque los autores han hecho su mejor esfuerzo para presentar la mayor
parte de los temas junto con sus principios físicos inherentes, es
aconsejable que el lector cuente también con conocimientos de física
eléctrica elemental y de circuitos resistivos, como curso previo de teoría de
circuitos.
A diferencia de muchos de los libros de teoría general de circuitos
eléctricos, al presente texto los autores, dada su experiencia profesional en
la ingeniería eléctrica y en la docencia, han querido darle un enfoque que
apunta con mayor pertinencia a fortalecer el análisis propio del quehacer
del tecnólogo o ingeniero electricista.
El desarrollo de esta obra se presenta en cuatro capítulos, en el primero
de ellos se presentan dos elementos de carga: la bobina y el condensador, se
describe su comportamiento físico, se modelan matemáticamente como
elementos ideales de circuito mediante sus pertinentes relaciones de
tensión-corriente, se establecen las diferencias y dualidades entre los dos y
su relación con la resistencia.
En el capítulo 2 se expone la metodología de análisis para el estudio de
circuitos AC en estado estable; esta metodología, en la cual se describe el
concepto de fasor, permite usar las técnicas y los teoremas de análisis
desarrollados para los circuitos DC para cuantificar las intensidades de los
voltajes y corrientes alternas en los diferentes puntos del circuito que son
de interés.
El capítulo 3 trata ampliamente los conceptos relacionados con la
potencia en los circuitos eléctricos de corriente alterna. Se hace un estudio
de la transferencia de energía que se da en el circuito como consecuencia de
la corriente eléctrica que se hace fluir a través de sus elementos, se
cuantifica la tasa a la cual se transfiere la energía entre los elementos del
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ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA
circuito; esto para dar a conocer la forma en que la energía se entrega a
diferentes puntos del circuito; se hace diferencia entre los diferentes tipos
de potencia que se presentan en el circuito y se le da relevancia al concepto
de factor de potencia.
Finalmente, en el capítulo 4 se desarrolla con buena rigurosidad el tema
de los circuitos trifásicos, los cuales son muy comunes en la industria y en
la generación de energía eléctrica, de ahí su importancia.
Con esta obra los autores esperan contribuir en la formación
académica de aquellos estudiantes de educación superior, en el área de la
tecnología e ingeniería eléctrica, que a la vez están convencidos de que,
como herramienta, este es un texto de consulta rápida, debido a la forma y
claridad con que se presentan los temas. Esta obra cuenta con un texto
complementario, titulado “Solución de problemas de circuitos en corriente
alterna”, el cual corresponde a la solución de los ejercicios propuestos en
este texto.
Los autores.
x
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&$3Ì78/2
,QGXFWDQFLD
\
FDSDFLWDQFLD
(Q HVWH FDStWXOR VH SUHVHQWDQ GRV HOHPHQWRV GH FDUJD FRPR VRQ OD
ERELQD\HOFRQGHQVDGRUVHGHVFULEHVXFRPSRUWDPLHQWRItVLFRDWUDYpVGH
ODV SURSLHGDGHV HOpFWULFDV FRQRFLGDV FRPR LQGXFWDQFLD \ FDSDFLGDG
UHVSHFWLYDPHQWHVHPRGHODQPDWHPiWLFDPHQWHFRPRHOHPHQWRVLGHDOHVGH
XQ FLUFXLWR PHGLDQWH VXV SHUWLQHQWHV HFXDFLRQHV GH WHQVLyQFRUULHQWH \ VH
HVWDEOHFHQODVGLIHUHQFLDVHQWUHORVGRV\FRQUHVSHFWRDODUHVLVWHQFLD
/DERELQD
3DUD FRPSUHQGHU PHMRU HO FRPSRUWDPLHQWR GH HVWH HOHPHQWR GHO
FLUFXLWR \ SRGHU PRGHODUOR PDWHPiWLFDPHQWH HV QHFHVDULR KDFHU DOJXQRV
FRPHQWDULRV VREUH ORV IHQyPHQRV PDJQpWLFRV TXH VH SUHVHQWDQ HQ OD
QDWXUDOH]D(QHOItVLFRGDQpV+DQV&KULVWLDQ2HUVWHG ² GHPRVWUy TXH H[LVWH XQD UHODFLyQ HQWUH ORV IHQyPHQRV HOpFWULFRV \
PDJQpWLFRV DO REVHUYDU TXH XQ LPiQ TXH SXHGH JLUDU DOUHGHGRU GH XQ HMH
XQDDJXMDPDJQpWLFD VHGHVYtDDOHQFRQWUDUVHHQODSUR[LPLGDGGHXQKLOR
FRQGXFWRU TXH WUDQVSRUWD XQD FRUULHQWH HQ RWUDV SDODEUDV XQD FDUJD
HOpFWULFD HQ PRYLPLHQWR FUHD HQ HO HVSDFLR TXH OD URGHD XQ FDPSR
PDJQpWLFR B 0HGLFLRQHV UHODWLYDV GH B SDUD GLIHUHQWHV GLVWDQFLDV r \ SDUD
GLIHUHQWHVFRUULHQWHV iUHDOL]DGDVSRUHOItVLFRIUDQFpV$QGUp0DULH$PSqUH
² SXHGHQUHVXPLUVHPHGLDQWHODSURSRUFLRQDOLGDG
1
Se asume que el lector ya se encuentra en condiciones de describir el comportamiento de la
resistencia como elemento de carga en un circuito eléctrico.
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CAPÍTULO 1 • INDUCTANCIA Y CAPACITANCIA
B∝
i
r
[T]
OD FXDO H[SUHVD TXH HO FDPSR PDJQpWLFR HV PiV LQWHQVR HQ ODV
YHFLQGDGHVGHOFRQGXFWRU\HQODPHGLGDGHTXHODFRUULHQWHTXHORSURGXFH
VHDPD\RU
8QDERELQDHVXQDODPEUHODUJRHQUROODGRHQIRUPDGHKpOLFHFRPSDFWD
\ HQ HO FDVR OtPLWH GH DODPEUHV FXDGUDGRV DG\DFHQWHV \ PX\ FHUFDQRV OD
ERELQD VH FRQYLHUWH HVHQFLDOPHQWH HQ XQD KRMD FLOtQGULFD GH ORQJLWXG l \
VHFFLyQWUDQVYHUVDOGHiUHD A$FDGDXQDGHODVYXHOWDVGHODODPEUH HOFXDO
VHFRQVLGHUDUiLGHDOHVGHFLUFX\DUHVLVWHQFLDLQWHUQDHVFHUR HQUROODGRVH
OHGHQRPLQDHVSLUD\DODFDQWLGDGWRWDOGHHVSLUDVGHODERELQDVHOHGHQRWD
SRUODOHWUDN
(OYROWDMHHQODERELQD
6LODERELQDWUDQVSRUWDXQDFRUULHQWHHQORVSXQWRVPX\FHUFDQRVDXQD
HVSLUD FXDOTXLHUD HO REVHUYDGRU QR SXHGH GHWHUPLQDU VL HO DODPEUH HVWi
GREODGRHQXQDUFRRQRPDJQpWLFDPHQWHODHVSLUDVHFRPSRUWDFRPR VL
IXHUD XQ DODPEUH UHFWR \ ODV OtQHDV GH B GHELGDV D XQD HVSLUD VRQ FDVL
FtUFXORV FRQFpQWULFRV (O FDPSR GH OD ERELQD HV OD VXPD YHFWRULDO GH ORV
FDPSRVHVWDEOHFLGRVSRUFDGDXQDGHODVHVSLUDVTXHODFRPSRQHQ GHDTXt
HOSRUTXpGHKDFHUHOHQUROODPLHQWRGHODODPEUHVLQRHVSDUDLQWHQVLILFDUHO
FDPSR PDJQpWLFR /D VXPD YHFWRULDO VXJLHUH TXH HO FDPSR WLHQGH D
DQXODUVH HQWUH ODV HVSLUDV \ TXH VH FRQFHQWUD HQ HOFHQWUR GH OD ERELQD HQ
GLUHFFLyQSDUDOHODDVXHMHWDOFRPRVHPXHVWUDHQODILJXUD
)LJXUD5HSUHVHQWDFLyQGHBHQXQDERELQDFRQHVSLUDVPX\VHSDUDGDV
6L OD FRUULHQWH TXH DWUDYLHVD OD ERELQD HV FRQVWDQWH SURGXFLUi XQ
FDPSRPDJQpWLFRFRQVWDQWH\FRQILQDGRHQVXPD\RUtDHQHOLQWHULRUGHOD
ERELQDVHSXHGHFRPSUREDUODH[LVWHQFLDGH BDOREVHUYDUFRPRpVWHSRU
OD DFFLyQ GH VXV IXHU]DV GHVSOD]D OLPDGXUDV GH KLHUUR HQ HO HVSDFLR
2
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1.1 LA BOBINA
FLUFXQGDQWH ODERELQDDVtHQHUJL]DGDVHFRQRFHFRPRXQHOHFWURLPiQ 'H
DTXtTXHVHFRQVLGHUHDODERELQDFRPRXQHOHPHQWRTXHDOPDFHQDHQHUJtD
HQIRUPDGHFDPSRPDJQpWLFR6LQHPEDUJRVLVHKDFHXQDPHGLFLyQGHOD
GLIHUHQFLD GH WHQVLyQ HQWUH VXV WHUPLQDOHV HO YROWDMH HV FHUR FRPR HUD GH
HVSHUDUVH WpQJDVH HQ FXHQWD TXH VH KD VXSXHVWR XQD UHVLVWHQFLD GH
FRQGXFWRULJXDODFHURRFRQGXFWRULGHDO 3RUHVWDUD]yQVHDILUPDTXHOD
ERELQD VH FRPSRUWD FRPR XQ FRUWRFLUFXLWR FXDQGR HV HQHUJL]DGD FRQ
IXHQWHVFRQWLQXDV9DOHODSHQDKDFHUQRWDUSRUORHVFULWRHQHVWDSDUWHTXH
XQD FDQWLGDG ILQLWD GH HQHUJtD SXHGH HVWDU DOPDFHQDGD HQXQD ERELQD DXQ
FXDQGRODWHQVLyQHQWUHVXVH[WUHPRVVHDFHUR
(Q0LFKDHO)DUDGD\ ² HQ,QJODWHUUD\-RVHSK+HQU\
² HQ(VWDGRV 8QLGRV DSUR[LPDGDPHQWH HQ OD PLVPD pSRFD
GHPRVWUDURQODH[LVWHQFLDGHXQYROWDMHLQGXFLGRHQXQFLUFXLWRSUy[LPRD
XQ FDPSR PDJQpWLFR YDULDEOH ([SHULPHQWDOPHQWH VH SXHGH GHPRVWUDU OD
H[LVWHQFLD GHOYROWDMH LQGXFLGR IHP DXWRLQGXFLGD HQORV H[WUHPRVGHXQD
ERELQD VLHPSUH TXH OD FRUULHQWH TXH OD DWUDYLHVD \ TXH SURGXFH HO IOXMR
PDJQpWLFRHVWpFDPELDQGR(QFRQVHFXHQFLDODWHQVLyQTXHDSDUHFHHQORV
H[WUHPRV GH OD ERELQD HV SURSRUFLRQDO DO ULWPR FRQ HO FXDO FDPELD OD
FRUULHQWH\QRDODPDJQLWXGGHpVWDHVGHFLU
v∝
di
[V]
dt
3DUD HVWDEOHFHU FRPR LJXDOGDG OD SURSRUFLRQDOLGDG DQWHULRU VH
LQWURGXFH XQD FRQVWDQWH GH SURSRUFLRQDOLGDG GHQRWDGD SRU L \ OODPDGD
LQGXFWDQFLD GH OD ERELQD DVt VH OOHJD D OD HFXDFLyQ TXH SHUPLWH PRGHODU
PDWHPiWLFDPHQWHHOFRPSRUWDPLHQWRGHXQDERELQDLGHDO
v =L
di
[V]
dt
(QGRQGHVHGHEHWHQHUSUHVHQWHTXHWDQWR vFRPR iVRQIXQFLRQHVGHO
WLHPSR /D XQLGDG GH OD LQGXFWDQFLD HV HQ HO 6LVWHPD ,QWHUQDFLRQDO GH
XQLGDGHV 6, HOYROWLRSRUVHJXQGRVREUHDPSHULR$HVWDFRPELQDFLyQGH
XQLGDGHVVHOHKDGDGRHOQRPEUHGH+HQULR VtPEROR H HQKRQRUD-RVHSK
+HQU\HVWRHV
1 H = 1 V×s/ A
3
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CAPÍTULO 1 • INDUCTANCIA Y CAPACITANCIA
(Q XQD ERELQD ´DSUHWDGDµ FRQ N Q~PHUR GH YXHOWDV GH ORQJLWXG l \
iUHDAGHVXVHFFLyQWUDQVYHUVDOODLQGXFWDQFLDSXHGHFDOFXODUVHPHGLDQWH
ªAº
L = µN2 « »
¬l¼
GRQGHµHVODFRQVWDWHGHSHUPHDELOLGDGPDJQpWLFDGHOPDWHULDOTXHVHFRORTXH
HQHOLQWHULRUGHODERELQDFRPRQ~FOHR3DUDHODLUHµ µR π[+P
/D UHSUHVHQWDFLyQ VLPEyOLFD GH OD ERELQD FRPR HOHPHQWR GH FLUFXLWR VH
PXHVWUDHQODILJXUD
)LJXUD5HSUHVHQWDFLyQGHODERELQDFRPRHOHPHQWRGHFLUFXLWR
$KRUDVHDSOLFDUiODHFXDFLyQDGLIHUHQWHVFXUYDVGHSHQGLHQWHVGHO
WLHPSR HQ TXH VH SXHGH SUHVHQWDU OD FRUULHQWH D WUDYpV GH OD ERELQD SDUD
GHWHUPLQDUDOJXQDVGHODVFDUDFWHUtVWLFDVGHHVWHPRGHORPDWHPiWLFR(QOD
ILJXUD D VH KD GLEXMDGR XQD FXUYD TXH UHSUHVHQWD XQD FRUULHQWH
FRQVWDQWH GH DPSHULRV TXH FLUFXOD D WUDYpV GH XQD ERELQD FRQ
LQGXFWDQFLDGHP+HOUHVXOWDGRGHOYROWDMHTXHDSDUHFHHQVXVH[WUHPRV
HVFRPR\DVHGLMRLJXDODFHUR\DSDUHFHGLEXMDGRHQODILJXUDE
)LJXUDD)RUPDGHODFXUYDGHFRUULHQWH
FRUULHQWHFRQVWDQWH HQXQDERELQDGHP+
24
20
i [A]
16
12
8
4
0
20
40
t [s]
60
80
4
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1.1 LA BOBINA
)LJXUDE9ROWDMHUHVXOWDQWHHQODERELQDGHP+DODSOLFDUOH
ODFRUULHQWHUHSUHVHQWDGDHQODILJXUDD
1
v [V]
0.5
0
-0.5
-1
0
20
40
t [s]
60
80
(Q OD ILJXUD D VH KD GLEXMDGR XQD FXUYD GH FRUULHQWH TXH YDUtD
OLQHDOPHQWH HQ HO WLHPSR WDVDV GH YDULDFLyQ GLVWLQWDV HQ GLIHUHQWHV
LQWHUYDORVGHWLHPSR 6LHVWDFRUULHQWHVHOHVXPLQLVWUDDODPLVPDERELQD
GH >P+@ HO YROWDMH UHVXOWDQWH TXH DSDUHFH HQ VXV H[WUHPRV HV FRPR
DSDUHFH HQ OD ILJXUD E $O FRPSDUDU ODV ILJXUDV D \ E GHEHQ
QRWDUVHGRVUHVXOWDGRVLQWHUHVDQWHVSULPHURODERELQDSUHVHQWD DFHSWD FDPELRV
EUXVFRVGHYROWDMHUHSUHVHQWDGRVSRUODVGLVFRQWLQXLGDGHVRVDOWRVGHODFXUYD
FRUUHVSRQGLHQWHGHYROWDMH\VHJXQGRODLQWHQVLGDGGHOYROWDMHHVPD\RUHQ
ORV LQWHUYDORV GH WLHPSR HQ TXH OD WDVD GH YDULDFLyQ GH OD FRUULHQWH HV
PD\RU(QHVSHFLDOHQWUH\—VGRQGHSDVDGHP$DP$
)LJXUDD)RUPDGHODFXUYDGHFRUULHQWH
YDULDFLyQOLQHDO HQXQDERELQDGHP+
30
20
i [mA]
10
0
-10
-20
-30
0
2
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6
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10
t [µs]
5
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CAPÍTULO 1 • INDUCTANCIA Y CAPACITANCIA
)LJXUDE)RUPDGHODFXUYDGHYROWDMHUHVXOWDQWHHQODERELQDGHP+
DODSOLFDUODFRUULHQWHUHSUHVHQWDGDHQODILJXUDD
v [V]
3000
50
0
-300
0
2
4
6
8
10
t [µs]
3HUR HVWH VHJXQGR UHVXOWDGR WLHQH XQ OtPLWH 6L VH TXLHUH SURGXFLU XQ
FDPELR EUXVFR HQ OD FRUULHQWH HV GHFLU XQD YDULDFLyQ LQILQLWD GH pVWD
UHSUHVHQWDGDSRUHOFDPELRGHXQYDORUILQLWRDRWURYDORUILQLWRHQXQGHOWD
GHWLHPSRPX\SHTXHxRDSUR[LPDGDPHQWHLJXDODFHUR UHSUHVHQWDGRSRU
XQDGLVFRQWLQXLGDGHQODFXUYDGHODFRUULHQWH DSDUHFHUiHQVXVH[WUHPRV
XQDWHQVLyQLQILQLWDHVWHYROWDMHLQILQLWRWHyULFDPHQWHDFHSWDEOHQRIRUPD
SDUWHGHOFRPSRUWDPLHQWRItVLFRGHXQHOHPHQWRUHDOGHVHUDVtORJUDUXQ
FDPELR EUXVFR HQ OD FRUULHQWH GH XQD ERELQD H[LJLUtD DSOLFDU XQD WHQVLyQ
LQILQLWD HQWUH VXV H[WUHPRV \ HVWDV IXHQWHV QR IRUPDQ SDUWH GHO PXQGR
ItVLFR UHDO 'H RWUD SDUWH XQ FDPELR EUXVFR HQ OD FRUULHQWH GH OD ERELQD
LPSOLFDXQFDPELREUXVFRHQODHQHUJtDDOPDFHQDGDHQHOODGHELGRDTXHOD
SRWHQFLD VHUtD LQILQLWD HQ HVH LQVWDQWH \ GH QXHYR HVWR QR DFRQWHFH HQ OD
UHDOLGDG/RDQWHULRUOOHYDDDILUPDUTXHODERELQDVHRSRQHDFDPELRVEUXVFRVGH
FRUULHQWHHQFRQVHFXHQFLDODIRUPDGHODFXUYDGHODFRUULHQWHHQXQDERELQD
QRGHEHSUHVHQWDUGLVFRQWLQXLGDGHVRVDOWRV
2WUD IRUPD HQ TXH VH SXHGH DSOLFDU FRUULHQWH D XQD ERELQD HV
KDFLpQGROD YDULDU VLQXVRLGDOPHQWH HQ HO WLHPSR FRPR VH PXHVWUD HQ OD
ILJXUDD$ODSOLFDUODHFXDFLyQDHVWDIRUPDGHFRPSRUWDPLHQWRGHOD
FRUULHQWHHQODLQGXFWDQFLDGHP+VHREWLHQHHOFRPSRUWDPLHQWRGHOD
WHQVLyQPRVWUDGRHQODILJXUDE
6
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1.1 LA BOBINA
)LJXUDD&RUULHQWHVLQXVRLGDODSOLFDGDDXQDERELQDGHP+
5
i [A]
2.5
0
-2.5
-5
0
2
4
t [ms]
6
8
10
)LJXUDE9ROWDMHUHVXOWDQWHHQODLQGXFWDQFLDGHP+FXDQGR
VHOHDSOLFDODFRUULHQWHUHSUHVHQWDGDHQODILJXUDD
0,8
0,6
0,4
v [V]
0,2
0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
0
2
4
6
8
10
t [ms]
6H REVHUYD DO FRPSDUDU ODV ILJXUDV D \ E TXH HO YROWDMH TXH
DSDUHFHHQODERELQDLGHDOWDPELpQSUHVHQWDODPLVPDIRUPDVLQXVRLGDOGHOD
FRUULHQWHHVWHKHFKRDXQDGRDODVUHVSXHVWDVOLQHDOHVGHOYROWDMHFXDQGRVH
OHV VXPLQLVWUD YDULDFLRQHV OLQHDOHV GH FRUULHQWH SHUPLWHQ DILUPDU TXH OD
ERELQD LGHDO FRPR OD UHVLVWHQFLD LGHDO HV XQ HOHPHQWR GH FDUJD OLQHDO
7DPELpQVHSXHGHYHUTXHHOYROWDMHDSDUHFHRHQHOWLHPSRSULPHURTXH
OD RQGD FRUUHVSRQGLHQWH GH FRUULHQWH HVWR VH SXHGH H[SOLFDU VL
LQWHUFDPELDPRVODVFRQGLFLRQHV´H[FLWDFLyQ²UHVSXHVWDµHVWRHVVHDSOLFD
XQD IXHQWH GH WHQVLyQ VLQXVRLGDO D OD ERELQD LGHDO \ VH REWLHQH FRPR
7
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CAPÍTULO 1 • INDUCTANCIA Y CAPACITANCIA
UHVSXHVWDXQDFRUULHQWHVLQXVRLGDODWUDVDGDƒHQHOWLHPSRGHELGRDTXH
FRPR \D VH GLMR OD ERELQD VH RSRQH D FDPELRV EUXVFRV GH FRUULHQWH \
FXDQGR SRU HMHPSOR HO YROWDMH DOFDQ]D VX YDORU Pi[LPR HOOD TXH HQ HVH
LQVWDQWH WLHQH XQD FRUULHQWH GH FHUR VH ´WDUGDµ ƒ HQ HO WLHPSR SDUD
DOFDQ]DUVXYDORUPi[LPRGHFRUULHQWH'HHVWHUHVXOWDGRVHSXHGHFRQFOXLU
TXHHQFLUFXLWRVHQHUJL]DGRVFRQIXHQWHVVLQXVRLGDOHVODFRUULHQWHVHDWUDVDGHOYROWDMHHQ
XQDERELQDLGHDOHQƒ
&RUULHQWHDWUDYpVGHODERELQD
/DLQGXFWDQFLDGHXQDERELQDKDFHSDUWHGHOPRGHORPDWHPiWLFRGDGR
SRUODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO
v =L
di
[V ]
dt
OD FXDO UHODFLRQD VX FRPSRUWDPLHQWR WHQVLyQFRUULHQWH ODV FXDOHV VRQ
IXQFLRQHV GHO WLHPSR 'H KHFKR VH KDQ GHGXFLGR GH HVWD HFXDFLyQ GRV
FDUDFWHUtVWLFDVLPSRUWDQWHVFRPRVRQTXHODERELQDVHFRPSRUWDFRPRXQ
FRUWRFLUFXLWR SDUD ODV IXHQWHV FRQWLQXDV \ TXH HOOD VH RSRQH D FDPELRV
EUXVFRV GH FRUULHQWH 3HUR PiV VREUH OD FRUULHQWH VH SXHGH KDOODU GH HVWD
HFXDFLyQVLVHPRGLILFDFRPRVLJXH
6HSDUDQGRWpUPLQRVGLIHUHQFLDOHV
1
di = v ⋅ dt L
$OLQWHJUDUDDPERVODGRVGHHVWDHFXDFLyQVHGHEHWHQHUHQFXHQWDTXH
ORV OtPLWHV GH OD LQWHJUDO GHO PLHPEUR GHUHFKR VRQ OtPLWHV GH WLHPSR
PLHQWUDVTXHORVGHODLQWHJUDOGHOODGRL]TXLHUGRVRQGHFRUULHQWH'DGDOD
UHODFLyQTXHGHEHH[LVWLUHQWUHODVGRVLQWHJUDOHV\TXHVHGHVHDFRQRFHUOD
FRUULHQWH i HQ FXDOTXLHU WLHPSR t VH GLFH TXH ORV GRV OtPLWHV VXSHULRUHV
FRUUHVSRQGLHQWHV SDUD ODV GRV LQWHJUDOHV VRQ i \ t; ORV OtPLWHV LQIHULRUHV VH
SXHGHQHVWDEOHFHUWHQLHQGRSUHVHQWHODV´FRQGLFLRQHVLQLFLDOHVµGHOSHUtRGR
GHDQiOLVLVSDUDODERELQDHVGHFLUDVXPLHQGRTXHHQHOWLHPSRLQLFLDO tRGH
DQiOLVLVDWUDYpVGHODERELQDFLUFXODODFRUULHQWH i(tR)&RQHVWRVOtPLWHVOD
H[SUHVLyQSDUDODFRUULHQWHVHHVFULEHFRPRHQODHFXDFLyQVLJXLHQWH
8
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1.1 LA BOBINA
1
i( t )
t
³ i( t ) di = L ³ t vdt o
o
5HVROYLHQGRODLQWHJUDOGHODL]TXLHUGD
i − i( t o ) =
1
L
t
³ t vdt
o
'HVSHMDQGRiVHREWLHQHILQDOPHQWH
i=
1
L
t
³t
o
vdt + i( t 0 ) [A ]
/D HFXDFLyQ HQ OD TXH WDQWR v FRPR i VRQ IXQFLRQHV GHO WLHPSR
H[SUHVD HO FRPSRUWDPLHQWR GH OD FRUULHQWH HQ XQD LQGXFWDQFLDD SDUWLU GHO
FRQRFLPLHQWRGHOYROWDMHHQWUHVXVWHUPLQDOHV\ODLQWHQVLGDGGHODFRUULHQWH
DO LQLFLR GHO SHUtRGR GH DQiOLVLV i(to) 3UHFLVDPHQWH HV i(to) HO WpUPLQR TXH
DVHJXUDODFRQWLQXLGDGGHODFXUYDGHFRUULHQWHHQODERELQD\DTXHFRPRVH
GLMRHVWDQRSXHGHSUHVHQWDUFDPELRVEUXVFRV VDOWRVRGLVFRQWLQXLGDGHV ♦ (MHPSOR
(O FRPSRUWDPLHQWR GHO YROWDMH HQ XQD ERELQD GH P+ VH
UHSUHVHQWD HQ OD ILJXUD +DOODU OD FXUYD UHVXOWDQWH SDUD HO
FRPSRUWDPLHQWR GH OD FRUULHQWH D WUDYpV GHHOOD DVXPLHQGR TXH i(to)
HVFHURDPSHULRV
)LJXUD9ROWDMHHQWUHORVWHUPLQDOHVGHODERELQDGHP+
300
200
v [mV]
100
0
-100
-200
-300
0
2
4
t [ms]
6
8
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CAPÍTULO 1 • INDUCTANCIA Y CAPACITANCIA
/D FXUYD GH YROWDMH GH OD ILJXUD TXHGD GHILQLGD SRU ODV
VLJXLHQWHVIXQFLRQHV
3DUDHOLQWHUYDORtPV
v 1 = 0,3 V
3DUDHOLQWHUYDORtPV
v 2 = 250t − 0,7 V
3DUDHOLQWHUYDORtPV
v 3 = 0,2 cos( 500 πt ) V
$SOLFDQGRODHFXDFLyQDFDGDXQDGHODVIXQFLRQHVGHYROWDMHVH
REWLHQHQODVVLJXLHQWHVIXQFLRQHVSDUDODFRUULHQWH
3DUDHOLQWHUYDORtPV
i1 = 15t A
3DUDHOLQWHUYDORtPV
i2 = 6250 t 2 − 35 t + 75 × 10 −3 A
3DUDHOLQWHUYDORt PV
i3 =
20 × 10−3
sen(500πt ) + 35 × 10− 3 A
π
&RQODVIXQFLRQHViiHiODFXUYDGHFRUULHQWHVHGLEXMDFRPRVH
PXHVWUDHQODILJXUD
'HOFRPSRUWDPLHQWRGHODFRUULHQWHHQODERELQDGHP+HVGH
UHVDOWDU OD ´FRQWLQXLGDGµ GH OD FXUYD HQ ORV WLHPSRV HQ TXH VH
SUHVHQWDQORVFDPELRVGHLQWHUYDORSDUDFDGDIXQFLyQ\HODWUDVRGHOD
FRUULHQWH UHVSHFWR GHOYROWDMH ƒHQ HO WLHPSR GXUDQWH HOLQWHUYDOR
GH WLHPSR HQ HO TXH ODV FXUYDV GH FRUULHQWH \ YROWDMH VH FRPSRUWDQ
10
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1.1 LA BOBINA
VLQXVRLGDOPHQWH UHVXOWDGR TXH HVWi GH DFXHUGR FRQ OR PHQFLRQDGR
DUULED
)LJXUD&RUULHQWHUHVXOWDQWHHQODERELQDGHP+FXDQGR
VHOHDSOLFDHOYROWDMHUHSUHVHQWDGRHQODILJXUD
50
i [mA]
40
30
20
10
0
0
2
4
t [ms]
6
8
3RWHQFLD\HQHUJtDHQODERELQD
/DSRWHQFLDHQWRGRHOHPHQWRGHFLUFXLWRYLHQHGDGDSRUODHFXDFLyQ
p = vi [ W ]
GRQGH ODV H[SUHVLRQHV SDUD HO YROWDMH \ OD FRUULHQWH VRQ GHSHQGLHQWHV
GHO WLHPSR HQ RWUDV SDODEUDV OD HFXDFLyQ H[SUHVD OD SRWHQFLD
LQVWDQWiQHDHQHOHOHPHQWR(OSURGXFWRWHQVLyQ²FRUULHQWHSDUDODERELQD
HVFRQIRUPHDODHFXDFLyQ
p = Li
di
[W] dt
/D HFXDFLyQ PXHVWUD TXH HO FRPSRUWDPLHQWR GH OD SRWHQFLD HQ OD
ERELQD HVWi GHILQLGR EiVLFDPHQWH SRU OD FRUULHQWH TXH SRU HOOD FLUFXOD /D
SRWHQFLD GHILQLGD FRPR HO ULWPR DO FXDO VH WUDQVILHUH OD HQHUJtD HQ XQ
VLVWHPDVHH[SUHVDSRU
p=
dE
[W ] dt
11
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CAPÍTULO 1 • INDUCTANCIA Y CAPACITANCIA
6HSDUDQGRWpUPLQRVGLIHUHQFLDOHVHQODHFXDFLyQ
dE = pdt /D HQHUJtD E UHFLELGD SRU OD LQGXFWDQFLD HV DOPDFHQDGD SRU pVWD HQ
IRUPDGHFDPSRPDJQpWLFR\VHSXHGHKDOODULQWHJUDQGRODSRWHQFLDHQHO
LQWHUYDORGHWLHPSRGHLQWHUpV6LVHTXLHUHGHWHUPLQDUHOFRPSRUWDPLHQWR
GH OD HQHUJtD HQ OD ERELQD HQ FXDOTXLHU WLHPSR E(t) D SDUWLU GHO WLHPSR
LQLFLDO toSDUDHOFXDOVHFRQRFHVXYDORU E(to)VHUHFXUUHDODHFXDFLyQ
OXHJR
E( t )
³ E( t
o)
dE =
t
³t
pdt
o
5HVROYLHQGR OD LQWHJUDO GHO ODGR L]TXLHUGR GH OD HFXDFLyQ DQWHULRU \
UHHPSOD]DQGRODH[SUHVLyQGHODSRWHQFLDSRUODHFXDFLyQVHWLHQH
E − E( t o ) =
t
³t
L ⋅i
o
di
dt
dt
&DQFHODQGRORVGLIHUHQFLDOHVGHWLHPSR\REVHUYDQGRTXHHOGLIHUHQFLDO
TXHVHPDQWLHQHHQODLQWHJUDOHVGHFRUULHQWHKDFHTXHORVQXHYRVOtPLWHV
SDUDODLQWHJUDOVHDQORVGHODVFRUULHQWHVFRUUHVSRQGLHQWHVDVtVHREWLHQH
E − E( t o ) = L
i( t )
³ i( t )idi
o
5HVROYLHQGRODLQWHJUDO
E − E( t o ) =
1 2 1 2
Li − Li ( t o ) 2
2
6LVHDVXPHTXHODFRUULHQWHHQODERELQDHVFHURSDUDHOWLHPSR toHV
GHFLUi(to) $ODHFXDFLyQVHUHGXFHD
E=
1 2
Li [J]
2
6LHPSUH TXH OD FRUULHQWH QR VHD FHUR H LQGHSHQGLHQWHPHQWH GH VX
GLUHFFLyQKD\HQHUJtDDOPDFHQDGDHQODLQGXFWDQFLD
12
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1.1 LA BOBINA
♦ (MHPSOR
(QVXIRUPDPiVVLPSOHSXHGHGHFLUVHTXHXQPRWRUPRQRIiVLFR
HVWi FRQVWUXLGR HVHQFLDOPHQWH GH ERELQDV GH DODPEUH /D ERELQD
ItVLFD UHDO WLHQH XQD UHVLVWHQFLD DVRFLDGD SRU FDGD PHWUR OLQHDO GHO
DODPEUHGHOTXHHVWiKHFKDGHRWUDSDUWHODHQHUJtDHQODLQGXFWDQFLD
GH OD ERELQD HV OD TXH YHUGDGHUDPHQWH VH DSURYHFKD SDUD SURGXFLU
SDU HQ HO HMH GHO PRWRU 8Q PRGHOR HOpFWULFR GH OD ERELQD ItVLFD VH
PXHVWUDHQODILJXUDDSDUWLUGHpVWHGHVFULELUHOFRPSRUWDPLHQWR
GHODVYDULDEOHVHOpFWULFDVv5v/p5p/E5\E/
)LJXUD0RGHORHOpFWULFRGHXQDERELQDItVLFDUHDO
/DFDtGDGHYROWDMHHQODUHVLVWHQFLDYLHQHGDGRSRU
v R = i ⋅ R = 0,12sen(120 πt ) V
\ODWHQVLyQHQODLQGXFWDQFLDGHODERELQDHV
vL = L
di
= 1,885 cos(120 πt ) V
dt
(OFRPSRUWDPLHQWRGHODSRWHQFLDLQVWDQWiQHDHQODUHVLVWHQFLDVH
KDOODGH
pR = i2 ⋅ R = 1,2sen 2 (120 πt ) W
\HQODLQGXFWDQFLDODSRWHQFLDYLHQHGDGDSRUODHFXDFLyQ
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CAPÍTULO 1 • INDUCTANCIA Y CAPACITANCIA
pL = Li
di
= 9.425sen(240 πt ) W
dt
/DHQHUJtDHQODUHVLVWHQFLDVHKDOODLQWHJUDQGRODSRWHQFLDGHVGHHO
WLHPSRt SDUDHOFXDOVHFRQVLGHUDTXHODHQHUJtDHVFHUR ER J KDVWDHOWLHPSRt\DVtVHREWLHQH
ER =
t
³ o pRdt = 600t − 0,8sen(240πt ) mJ )LQDOPHQWHODHQHUJtDHQODLQGXFWDQFLDVHKDOODGLUHFWDPHQWHGHOD
HFXDFLyQ
EL =
1 2
L ⋅ i = 25sen 2 (120 πt ) mJ 2
/DV FXUYDV SDUD OD FRUULHQWH GHO FLUFXLWR YROWDMH SRWHQFLD \
HQHUJtDHQODUHVLVWHQFLDHLQGXFWDQFLDVHKDQGLEXMDGRHQODVILJXUDV
)LJXUDD)RUPDGHODFRUULHQWHGHOFLUFXLWR
GHODILJXUD
10
i [A]
5
0
-5
-10
0
5
10
t [ms]
15
20
'HODFXUYDGHODSRWHQFLDHQODERELQD ILJXUDF VHSXHGHYHU
TXH pVWD UHFLEH HQHUJtD GHVGH t KDVWD t PV LQWHUYDOR GH
WLHPSRSDUDHOFXDOUHFLEHHQHUJtDGHVGHFHURKDVWDXQPi[LPRGH
P-GHDFXHUGRFRQODFXUYDGHHQHUJtDHQODERELQDEL ILJXUDG 'XUDQWH ORV PV VLJXLHQWHV OD HQHUJtD DEDQGRQD OD ERELQD
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