3-3 Celdas unitarias La celda unitaria es la subdivisión de la red cristalina que sigue conservando las características de toda la red. Al apilar las celdas unitarias idénticas, se puede construir toda la red. Se identifican 14 tipos de celdas unitarias o redes de Bravais agrupadas en siete sistemas cristalinos (Fig.1). Los puntos de la red están localizados en las esquinas de las celdas unitarias y, en algunos casos, en cualquiera de las caras o en el centro de la celda unitaria. A continuación, algunas características de una celda unitaria. Parámetro de red Describen el tamaño y la forma de la celda unitaria, incluyen las dimensiones de los costados de la celda unitaria y los ángulos entre sus costados. En un sistema cristalino cúbico, solamente es necesaria la longitud de uno e los costados para describir por completo la celda, ya que se suponen ángulos de 90º. Dicha longitud, medida a la temperatura ambiente, es el parámetro de red 𝑎0 . A menudo la longitud se da en nanómetros (𝑛𝑚), o en Angstroms (Å) En sistemas más complejos como en una celda unitaria ortorrómbica, se deben especificar las dimensiones de los tres lados de la celda 𝑎0 , 𝑏0 , 𝑐0 , y las celdas unitarias hexagonales requieren de dos dimensiones 𝑎0 y 𝑐0 y el ángulo de 120º entre los ejes 𝑎0 . Finalmente, la celda triclínica se describe mediante tres longitudes y tres ángulos Número de átomos por celda unitaria Cada una de las celdas unitarias (Fig.1) está definida por un número específico de puntos de red. Las esquinas se identifican fácilmente, igual que las posiciones de centrado en el cuerpo (centro de la celda) y el centrado en las caras (centrado en las seis caras de la celda). Figura 1: redes de Bravais Al contar el número de puntos de red, se deben identificar los que van a ser compartidos por más de una celda unitaria. Es decir, un punto de red en la esquina de una celda unitaria estará compartido por siete celdas unitarias adyacentes; por lo que solo una octava parte de cada esquina corresponde a una celda en particular. Lo que nos lleva a concluir que el número de puntos de red proveniente de todas las posiciones de esquina en una celda unitaria es: 1 1 Las esquinas contribuyen con 8 de un punto, las caras con 2 y las posiciones en el centro del cuerpo contribuyen con todo un punto. El 𝑛. 𝑑𝑒 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 × 𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 celda unitaria es el producto del 𝑛. 𝑑𝑒 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 por un punto de red multiplicado por el número de puntos de redes existentes por celda unitaria. En la mayoría de los metales tenemos 1 átomo por punto de red, por lo que 𝑵. 𝒅𝒆 𝒂𝒕𝒐𝒎𝒐 = 𝑵. 𝒅𝒆 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒅 Recuerda: 1 1 Las esquinas contribuyen con 8 de un punto, las caras con 2 y las posiciones en el centro del cuerpo contribuyen con todo un punto. Radio atómico (𝑟) comparado con el parámetro de red (𝑎0 ) Las direcciones en la celda unitaria a lo largo de las cuales los átomos están en contacto continuo son las direcciones compactas. En estructuras simples, particularmente en aquellas con un solo átomo por punto de red (metales en su mayoría) se utilizan estas direcciones para calcular la relación entre el tamaño aparente del átomo y el tamaño de la celda unitaria. Al determinar geométricamente la longitud de la dirección relativa a los parámetros de red y, a continuación, sumando los radios atómicos en esa dirección, es posible determinar la dirección deseada. Determine la relación entre el radio atómico y el parámetro de red en estructuras CS, CC y CCC cuando existe un átomo en cada punto de la red: Cúbica Simple (CS) Cúbica Centrada en el Cuerpo (CC o BCC) Cúbica Centrada en las Caras (CCC o FCC) Número de coordinación Corresponde al N. de átomos que tocan a un átomo en particular. Indica que tan estrecha y eficazmente están empaquetados los átomos. Si la celda unitaria es cúbica y contiene solamente un átomo por punto de red, tendremos un número de coordinación predeterminado. En el cúbico simple tenemos un átomo en contacto con 6 vecinos, por lo que su NC = 6, para el CC vemos que el átomo central está en contacto con 8 átomos, su NC=8. Más adelante (sección 3-5 del libro) se demostrará que cada átomo en la estructura CCC tiene un número de coordinación. Factor de empaquetamiento Fracción de espacio ocupada por átomos, suponiendo que los átomos son esferas sólidas. Expresión general: Figura 2: Volumen de un átomo es igual al volumen de una esfera Factor de empaquetamiento Cúbico Centrado en las Caras (CCC o FCC) Existen 4 puntos de red por celda; si hay 1 átomo x 1 punto de red, también habrá 4 átomos por celda. El volumen de un átomo es 4. Factor de empaquetamiento Cúbico Centrado en el cuerpo (CC o BCC) Factor de empaquetamiento Cúbico Simple (CS) Factor de empaquetamiento Hexagonal Compacto (HC) punto de red en la esquina de una celda unitaria hexagonal estará compartido por cinco celdas unitarias adyacentes; por lo que solo una sexta parte de cada esquina corresponde a una celda en particular, las demás equivalencias de puntos permanecen iguales. Densidad La densidad teórica de un metal se puede calcular utilizando las propiedades de la estructura cristalina. La fórmula general es: Ejemplo: Notas: En el análisis cristalográfico se usa la unidad nanómetros Dependiendo del enlace del material determinamos el radio del material. Metálico con no metálico es enlace iónico, por ende, radio iónico. Materiales con estructura BCC es acero a temperatura ambiente. Calcule la densidad del cloruro de sodio y del cloruro de potasio (sus enlaces son iónicos) Enlace iónico: catión con anión Enlace atómico: elemento en estado puro Enlace covalente: catión con catión Catión: elemento cargado mayoritariamente de forma positiva Anión: elemento cargado mayoritariamente de forma negativa Estructura Hexagonal Compacta (HC) Es una forma especial de red hexagonal donde la celda unitaria es el prisma sesgado. Figura 3: La forma sesgada es la de un cubo inclinado El prisma sesgado de la estructura HC tiene 1 punto de red x celda 1 proveniente de las 8 esquinas del prisma 1 proveniente del centro Calcular el factor de equipamiento de esta estructura requiere mucha más geometría. https://www.youtube.com/watch?v=tTVD8R8ZCJ4 Recopilación de características de cristales metálicos comunes Todos los cálculos vistos anteriormente se encuentran resumidos en esta tabla. De igual forma nos indica cuales son esos metales que cumplen con esta característica de que En la mayoría de los metales tenemos 1 átomo por punto de red, por lo que 𝑵. 𝒅𝒆 𝒂𝒕𝒐𝒎𝒐 = 𝑵. 𝒅𝒆 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒅 3-4 Transformaciones alotrópicas o polimórficas Quizás haya notado que en la tabla 3-2 el hierro y el titanio poseen más de una estructura cristalina… Los materiales que pueden tener más de una estructura cristalina se llaman alotrópicos o polimórficos. Hay materiales que pueden cambiar su estructura cristalina por factores de presión o combinación de estos dos. El acero a temp. Ambiente es BCC pero puede cambiar a a FCC, pero en condiciones normales lo trabajaremos como un BCC ya que lo es en condiciones normales El término alotropía hace referencia a este comportamiento en elementos puros y polimorfismo es más generalizado. A bajas temperaturas el hierro tiene una estructura CC, pero en altas una CCC. Estas transformaciones dan los fundamentos para el tratamiento térmico del acero y el titanio La transformación puede venir acompañada de un cambio en volumen durante el calentamiento o el enfriamiento. De no estar controlado correctamente, este cambio en el volumen hará que el material se agriete y falle. Los BCC transmiten energía, pero no son tan eficientes Los FCC están mas llenos en sus celdas unitarias, son buenos conductores de energía (Oro, Plata, Cobre), no tienen tanta elasticidad (no confundir con el módulo de elasticidad) como los BCC La pregunta es ¿en que orden debe restarse el volumen de las celdas? Por ahora solo recuerda que los metales se contraen al calentarse por lo que el porcentaje debe dar negativo. Aunque esto tampoco tiene mucho sentido ya que en realidad los metales se expanden al calentarse. 3-5 Puntos, direcciones y planos en la celda unitaria Coordenadas de los puntos Es posible localizar ciertos puntos, como las posiciones de los átomos en la red construyendo el sistema de coordenadas dextrógiro. Las coordenadas se expresan como tres distancias, y separando cada número con comas, los números indican la distancia en parámetros de red x, y, z necesarios para moverse del origen hasta el punto señalado en cuestión. Direcciones en la celda unitaria e índices de Miller Ciertas direcciones en la celda unitaria son de particular importancia. Los metales se deforman, por ejemplo, en aquellas direcciones (índices de Miller) a lo largo de las cuales los átomos están en contacto más estrecho. Indices de Miller-Bravais Hexagonal En las hexagonales tenemos 4 índices h, k, i, l correspondientes a x, y, z, c. Tres de esos índices se encuentran en la base Conociendo dos direcciones de la base podemos hallar una tercera siguiendo la siguiente relación Del prisma rómbico vamos a determinar 3 direcciones dentro de la célda cúbica sin considerar la z Lo que ves en rojo es la celda cúbica. Analizaremos la celda cúbica y luego transformamos a la notación hexagonal con las siguientes expresiones Resolviendo para el valor obtenemos Ahora viene la resolución de la n, lo cual nos permitirá que la notación se convierta en números enteros. Lo que debemos hacer es darle un valor conveniente que nos permita obtener eso, números enteros. Y así obtenemos los índices de Miller para hexagonal de dicha dirección Planos cristalográficos en estructuras hexagonales Los índices de Miller se escriben con recíprocos. Nota: la razón por la cual siempre ponemos el plano en la base es porque no habrá variación desplazamiento vertical, lo cual facilitará mucho las cosas Cuando es plano, independientemente de que lo necesite o no, inviertes para obtener los recíprocos y luego miras si hay fracciones a simplificar. El índice de Miller en paréntesis Cuando es dirección no inviertes, solo verificas si hay fracciones que simplificar. El índice de Miller en corchetes. Osea esto sirve para verificar. No es que deba cumplirse para usar las fórmulas Planos hexagonales Solamente se cambia el origen según la regla de la mano derecha. Reglas para analizar la red en la base directamente Ahora, si c es = 0, puedo analizar la estructura como vista de planta
