Ejercicio 7.3. Usar la serie de Taylor de f hacia delante en 𝑥 para evaluar la función en 𝑥 método de reducción sobre estas tres ecuaciones a fin de despejar 𝑓 𝑥 y 𝑓 𝑥 . , 𝑥 y 𝑥 y emplear el APROXIMACIÓN SEGUNDA DERIVADA HACIA DELANTE Usando la serie de Taylor para 𝑥 y 𝑥 : 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥 +𝑓 𝑥 𝑥 −𝑥 + 1 𝑓 2! 𝑥 𝑥 −𝑥 + 1 𝑓 3! 𝑥 𝑥 −𝑥 +⋯ 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥 +𝑓 𝑥 𝑥 −𝑥 + 1 𝑓 2! 𝑥 𝑥 −𝑥 + 1 𝑓 3! 𝑥 𝑥 −𝑥 +⋯ Teniendo en cuenta: 𝑥 = ℎ, 𝑥 = 2ℎ Reemplazando: 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 + ℎ𝑓 𝑥 + ℎ 𝑓 2! + 2ℎ𝑓 𝑥 + 4ℎ 𝑓 2! =𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥 𝑥 +ℎ 𝑀 𝑥 +ℎ 𝑀 Ajustando las ecuaciones: 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥 + ℎ𝑓 𝑥 1 + ℎ 𝑓 2 𝑥 +ℎ 𝑀 → 𝐸𝐶1 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥 + 2ℎ𝑓 𝑥 + 2ℎ 𝑓 𝑥 +ℎ 𝑀 → 𝐸𝐶2 Realizando −2 ∙ 𝐸𝐶1 + 𝐸𝐶2: −2𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 Tomando ℎ 𝑀 = −2𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥 − 2𝑓 𝑥 − 2ℎ𝑓 𝑥 + 2ℎ𝑓 𝑥 −ℎ 𝑓 + 2ℎ 𝑓 +ℎ 𝑓 = −𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 − 2ℎ 𝑀 +ℎ 𝑀 +ℎ 𝑀 como error (no tenerlo en cuenta) y despejando la 𝑓 : 𝒇 𝒙𝒌 𝟐 − 𝟐𝒇 𝒙𝒌 𝒉𝟐 𝟏 + 𝒇 𝒙𝒌 = 𝒇 𝒙𝒌 → 𝐸𝐶3 APROXIMACIÓN TERCERA DERIVADA HACIA DELANTE Usando la serie de Taylor para 𝑥 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥 +𝑓 𝑥 , 𝑥 y 𝑥 𝑥 −𝑥 + 1 𝑓 2! 𝑥 𝑥 −𝑥 + 1 𝑓 3! 𝑥 𝑥 −𝑥 + 1 𝑓 4! 𝑥 𝑥 −𝑥 𝑥 −𝑥 + 1 𝑓 2! 𝑥 𝑥 −𝑥 + 1 𝑓 3! 𝑥 𝑥 −𝑥 + 1 𝑓 4! 𝑥 𝑥 −𝑥 𝑥 −𝑥 + 1 𝑓 2! 𝑥 𝑥 −𝑥 + 1 𝑓 3! 𝑥 𝑥 −𝑥 + 1 𝑓 4! 𝑥 𝑥 −𝑥 +⋯ 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥 +𝑓 𝑥 +⋯ 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥 +𝑓 𝑥 : +⋯ Teniendo en cuenta: 𝑥 = ℎ, 𝑥 = 2ℎ, 𝑥 = 3ℎ Reemplazando: 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥 ℎ 𝑓 2! 𝑥 + 4ℎ 𝑓 2! 𝑥 + 9ℎ 𝑓 2! 𝑥 + + ℎ𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥 + 2ℎ𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥 + 3ℎ𝑓 𝑥 + ℎ 𝑓 3! 𝑥 +ℎ 𝑀 8ℎ 𝑓 3! 𝑥 +ℎ 𝑀 27ℎ 𝑓 3! 𝑥 +ℎ 𝑀 Ajustando las ecuaciones: 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥 + ℎ𝑓 𝑥 1 + ℎ 𝑓 2 𝑥 1 + ℎ 𝑓 6 𝑥 +ℎ 𝑀 → 𝐸𝐶1 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥 + 2ℎ𝑓 𝑥 + 2ℎ 𝑓 𝑥 4 + ℎ 𝑓 3 𝑥 +ℎ 𝑀 → 𝐸𝐶2 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥 + 3ℎ𝑓 𝑥 9 + ℎ 𝑓 2 𝑥 9 + ℎ 𝑓 2 𝑥 +ℎ 𝑀 → 𝐸𝐶3 Realizando −2 ∙ 𝐸𝐶1 + 𝐸𝐶2: −2𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 = −2𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥 − 2ℎ𝑓 𝑥 + 2ℎ 𝑓 + 2ℎ𝑓 𝑥 − 2𝑓 𝑥 −ℎ 𝑓 +ℎ 𝑓 = −𝑓 𝑥 𝑥 4 + ℎ 𝑓 3 𝑥 𝑥 1 − ℎ 𝑓 3 +ℎ 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 − 2ℎ 𝑀 +ℎ 𝑀 +ℎ 𝑀 → 𝐸𝐶4 Realizando −3 ∙ 𝐸𝐶2 + 2 ∙ 𝐸𝐶3: −3𝑓 𝑥 2𝑓 𝑥 2𝑓 𝑥 = −3𝑓 𝑥 = 2𝑓 𝑥 − 3𝑓 𝑥 − 6ℎ𝑓 𝑥 + 6ℎ𝑓 𝑥 = −𝑓 𝑥 − 6ℎ 𝑓 + 9ℎ 𝑓 + 3ℎ 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 − 4ℎ 𝑓 + 9ℎ 𝑓 + 5ℎ 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 − 3ℎ 𝑀 + 2ℎ 𝑀 +ℎ 𝑀 → 𝐸𝐶5 Realizando −3 ∙ 𝐸𝐶4 + 𝐸𝐶5: Tomando ℎ 𝑀 −3𝑓 𝑥 + 6𝑓 𝑥 = 3𝑓 𝑥 − 3ℎ 𝑓 𝑥 − 3ℎ 𝑓 𝑥 − 3ℎ 𝑀 2𝑓 𝑥 − 3𝑓 𝑥 = −𝑓 𝑥 + 3ℎ 𝑓 𝑥 + 5ℎ 𝑓 𝑥 +ℎ 𝑀 2𝑓 𝑥 − 6𝑓 𝑥 + 6𝑓 𝑥 = 2𝑓 𝑥 + 2ℎ 𝑓 𝑓 𝑥 − 3𝑓 𝑥 + 3𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥 +ℎ 𝑓 𝑥 +ℎ 𝑀 𝑥 +ℎ 𝑀 =𝒇 𝒙𝒌 como error (no tenerlo en cuenta) y despejando la 𝑓 : 𝒇 𝒙𝒌 𝟑 − 𝟑𝒇 𝒙𝒌 𝟐 + 𝟑𝒇 𝒙𝒌 𝒉𝟑 𝟏 − 𝒇 𝒙𝒌
