NÚMERO 11 1 FEBRERO 2011 TIPOS DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS Por Cristina Muñoz Caro No existe un criterio único ni una sola clasificación de problemas matemáticos. Existen diferentes clasificaciones que pueden servir de ayuda para recordar la variedad de problemas que deben ser tratados en las aulas de Matemáticas de los distintos niveles educativos. A continuación se presenta una clasificación de problemas según Echenique (2006): A) PROBLEMAS ARITMÉTICOS. Son aquellos que presentan datos en forma de cantidades y establecen entre ellos relaciones de tipo cuantitativo. Necesitan la realización de operaciones aritméticas para su resolución. Se clasifican en primer, segundo o tercer nivel teniendo en cuenta el número de operaciones que es necesario realizar para su resolución. Podemos distinguir: De primer nivel. Es necesaria una sola operación para su resolución. Podemos distinguir según el tipo de operación: § Adición – sustracción: ü De cambio: parten de una cantidad inicial que se ve modificada en un cambio en el tiempo. PEDAGOGÍA MAGNA www.pedagogiamagna.com Página 265 NÚMERO 11 1 FEBRERO 2011 Lucía tiene en su hucha 24 €. Después de su cumpleaños vuelve a contar las monedas y tiene 43 €. ¿Cuanto dinero le han dado para su cumpleaños? ü De combinación: se relacionan dos conjuntos que forman un todo. Se pregunta por una parte o por un todo. En un autobús viajan 27 personas. Si el autobús tiene 56 plazas. ¿Cuantos asientos hay vacíos? ü De comparación: se establece una relación de comparación (más o menos que) entre dos cantidades. El abuelo de Pedro tiene 61 años, tiene 54 años más que Pedro. ¿Cuantos años tiene Pedro? ü De igualación: se da una situación de comparación y cambio a la vez. Enrique y Tomás coleccionan sellos. Tomás tiene 41 y Enrique 52. ¿Cuántos sellos debe conseguir Tomás para tener los mismos que Enrique? § Multiplicación – división: PEDAGOGÍA MAGNA www.pedagogiamagna.com Página 266 NÚMERO 11 1 FEBRERO 2011 ü De reparto equitativo: son aquellas situaciones en las que una cantidad se reparte entre un número x de partes iguales. En el enunciado se hará referencia a tres informaciones: la cantidad a repartir, el número de grupos a formar o el número de elementos por cada grupo. En clase hay 18 alumnos. Después de repartir una bolsa grande de caramelos entre todos los alumnos, a cada uno le han correspondido 8 caramelos. ¿Cuántos caramelos tenía la bolsa? ü De factor N: son parecidos a los aditivos de comparación pero empleando cuantificadores (veces más, menos que…). Julián tiene 50 años y su hijo 5 veces menos. ¿Cuantos años tiene el hijo de Julián? ü De razón o tasa: hacen referencia a tres medidas de magnitud, una de ellas resulta de la combinación de dos anteriores (km/h, €/k…). He pagado por una cesta de fresas 6 €. Si el precio de las fresas es de 3 €/Kg. ¿Cuantos kilogramos de fresas hay en la cesta? ü De productos cartesianos: se trata de combinar de todas las formas posibles los objetos del problema. PEDAGOGÍA MAGNA www.pedagogiamagna.com Página 267 NÚMERO 11 1 FEBRERO 2011 Combinando mis pantalones y camisas me puedo vestir de 24 formas diferentes. Tengo 4 pantalones. ¿Cuántas camisas tengo? De segundo nivel. También llamados problemas combinados. Para su resolución es necesario realizar varias operaciones (dos o más) en un cierto orden. Son más complejos que los de primer nivel puesto que supone establecer unas relaciones más complejas entre los datos aportados por el enunciado. Dentro de esta tipología podría hablarse de diferentes clasificaciones según el criterio seguido. Podemos distinguir: § Atendiendo a la estructura de su enunciado: - Problemas combinados fraccionados: aparecen preguntas encadenadas las cuales son necesarias para la resolución final. Un corredor de maratón hizo el primer día un entrenamiento de 12km., el segundo día recorrió 28km. más que el día anterior, el tercer día recorrió la mitad de kilómetros que el segundo día y el cuarto día 8km. menos que entre los dos días anteriores juntos ¿Cuántos kilómetros recorrió el segundo día? ¿Cuántos kilómetros recorrió el tercer día? ¿Cuántos kilómetros hizo el cuarto día? ¿Cuántos kilómetros hizo en total entre los cuatro días? PEDAGOGÍA MAGNA www.pedagogiamagna.com Página 268 NÚMERO 11 1 FEBRERO 2011 - Problemas combinados compactos: solo aparece una pregunta final pero es necesario diferentes pasos para llegar a ella. Un cristalero dispone de una placa de cristal que tiene 4 metros cuadrados de superficie. De ella quiere obtener 12 cuadrados de 20cm. de lado. Con el resto de la placa quiere hacer rectángulos de 20cmx40cm. ¿Cuántos rectángulos podrá obtener? § Atendiendo al tipo de operaciones necesarias: - Problemas combinados puros: aparecen solo operaciones de un mismo campo operativo. La profesora ha traído a clase cuatro cajas de bombones para repartir equitativamente entre sus alumnos. En cada caja hay seis filas de bombones y en cada fila hay 9 bombones. ¿Cuántos bombones recibirá cada alumno si en clase son 24? - Problemas combinados mixtos: intervienen operaciones de campos operacionales distintos. Un comerciante vendió las 350 botellas de aceite que había comprado a 1,10.euros cada una. En la venta ganó 120 euros. ¿A cómo vendió cada botella? § Atendiendo a la secuencia temporal descrita: PEDAGOGÍA MAGNA www.pedagogiamagna.com Página 269 NÚMERO 11 1 FEBRERO 2011 - Problemas combinados directos: los datos están expresados en el mismo orden que se han de utilizar. En la hucha tenía 15 euros. Esta mañana he metido 5 monedas de 50 céntimos y por la tarde he sacado 3,20 euros. ¿Cuánto dinero me queda en la hucha? - Problemas combinados indirectos: los datos no están expresados en el orden que se deben de utilizar. Un tendero compra 27 docenas de huevos a 1,20 euros la docena, y se le rompen tres docenas. ¿A cómo tiene que vender los que le quedan si quiere ganar 10 euros en total? De tercer nivel. Son aquellos en los que los datos del enunciado no son números naturales sino números decimales, fraccionarios o porcentuales. Las situaciones son similares a las de primer y segundo nivel. Un comerciante vendió las 350 botellas de aceite que había comprado. Pagó por cada botella 1,10 euros. En la venta ganó 140 euros. ¿A cómo vendió cada botella? B) PROBLEMAS GEOMÉTRICOS. PEDAGOGÍA MAGNA www.pedagogiamagna.com Página 270 NÚMERO 11 1 FEBRERO 2011 Con ellos se trabajan diversos contenidos y conceptos del ámbito geométrico (formas, figuras, orientación, visión espacial…). Juntando las piezas 1 y 2 se han hecho varias construcciones. Encuentra las dos piezas en cada construccion y luego píntalas. C) PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO LÓGICO. Son problemas que permiten desarrollar destrezas para afrontar situaciones de componente lógico. Se pueden clasificar en: - Numéricos (sudokus, criptogramas…). - Balanzas de dos brazos (para averiguar equivalencias). - Enigmas: estimulan la inteligencia, no tienen que ser puramente matemáticos. - Análisis de proposiciones: para realizar argumentaciones. Ordena según su peso los tres sacos. PEDAGOGÍA MAGNA www.pedagogiamagna.com Página 271 NÚMERO 11 1 FEBRERO 2011 D) PROBLEMAS DE RECUENTO SISTEMÁTICO. Son problemas que tienen varias soluciones y es preciso encontrarlas todas. Ayudan a ser sistemático en la búsqueda. Pueden ser de ámbito numérico o geométrico. ¿Cuántos triángulos ves en la imagen? E) PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO INDUCTIVO. Consisten en enunciar propiedades numéricas o geométricas a partir del descubrimiento de regularidades (seriaciones…) En las siguientes series, calcula el valor del término que ocupa el lugar 25: ü 1 , 3 , 5 , 7, 9 , …………..... ü 6 , 9 , 12 , 15 , …………..... ü 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , ………… F) PROBLEMAS DE AZAR Y PROBABILIDAD. Son situaciones planteadas en muchos casos a través de juegos o de situaciones en las que siguiendo una metodología de tipo manipulativa y participativa por parte de los alumnos, estos pueden descubrir la viabilidad o no de algunas opciones presentadas, así como la mayor o menor posibilidad de ganar en el juego. Permiten hacer predicciones con cierta base científica. PEDAGOGÍA MAGNA www.pedagogiamagna.com Página 272 NÚMERO 11 1 FEBRERO 2011 Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Se extrae una al azar. Probabilidad de que: § No sea roja. § No § Sea roja. § Sea verde. § Sea amarilla. sea amarilla PEDAGOGÍA MAGNA www.pedagogiamagna.com Página 273 NÚMERO 11 1 FEBRERO 2011 BIBLIOGRAFÍA § ECHENIQUE, I. (2006). Matemáticas. Resolución de problemas. Navarra: Gobierno de Navarra. § PEREDA, L. (2008). Seminario sobre resolución de problemas. Pamplona: CAP. § http://www.cprceuta.es/CPPSXXI/Modulo%204/Archivos/Matematicas/DOC_GON Z_MARI/MODELIZACION%20Y%20RESOLUCION%20DE%20PROBLEMAS/Resoluci%C 3%B3n%20de%20problemas.pdf § http://www.olesur.com/educacion/niveles-­‐problemas-­‐matematicas.asp CRISTINA MUÑOZ CARO PEDAGOGÍA MAGNA www.pedagogiamagna.com Página 274