Calculo, 8va Edición - Purcell, Vargerg & Rigdon

Descartes es mejor
conocido como un gran filósofo
moderno. También fue un
René
fundador de Ia biologIa moderna,
René Descartes
1596-1650
fIsico y matemático.
Descartes nació en Touraine,
Francia; hijo de un modesto abogado
que lo enviO a una escuela jesuita a Ia
edad de ocho años. Debido a su
delicada salud, a Descartes se le
.yhoyendIa
La idea de utilizar coordenadas para obtener una figura (grafica) de
una ecuación es el principio fundamental explotado por las nuevas
calculadoras que grafican.
permitiO pasar las mañanas estudiando
en cama, una práctica que encontró
tan ütil que Ia adoptó para el resto de
su vida. A los 20 años obtuvo el tItulo
de abogado y de aIII en adelante vivió
Ia vida de un caballero de su época,
sirviO en el ejército durante algunos
años y vivió unas veces en Paris y otras
en los PaIses Bajos. Invitado como instructor de Ia reina Cristina, fue a
Suecia, donde muriO de pulmonIa en 1650.
Descartes buscO un método general de pensamiento que diera
coherencia al conocimiento y condujese las ciencias a Ia verdad. La
investigación lo condujo a las matemáticas, de las que concluyO que eran
el medio para establecer Ia verdad en todos los campos. Su trabajo
matemático de mayor trascendencia fue La Géométrie, publicado en
1637. En éI, intentó Ia unificaciôn de Ia antigua y venerable geometrIa
con el algebra, aün en pañales. Junto con otro frances, Pierre Fermat
(1 601-1665), tiene crédito por Ia union que Ilamamos hoy geometrIa
analItica, o geometrIa coordenada. Sin ella, no hubiese podido surgir el
pleno desarrollo del cálculo.
I
I
I
Preliminares
1.1
1 .2
1.3
1 .4
1.5
1.6
1 .7
1.8
1.1
El sistema de los
nümeros reales
El sistema de Los nmeros reales
Decimales, calculadoras y estimación
Desigualdades
Valores absolutos, ralces cuadradas y cuadrados
El sistema de coordenadas rectangulares
La Ilnea recta
Gráficas de ecuaciones
Revision del capItulo
Proyecto de tecnologIa 1.1 GraficaciOn
Proyecto de tecnologIa 1.2 ResoluciOn de ecuaciones por medlo
de acercamiento
El cálculo está basado en el sistema de los nümeros reales y sus propiedades. Pero,
,cuáles son los nOmeros reales y cuáles son sus propiedades? Para responder, iniciamos con algunos sistemas numéricos más sencillos.
Los enteros y los nUmeros racionales
son los nümeros naturales,
I
Los nUmeros más sencillos de todos
1,2,3,4,5,6,...
Con ellos podemos contar nuestros libros, nuestros amigos y nuestro dinero. Si incluimos a sus negativos y al cero, obtenemos los enteros
4
Figura 1
3,-2,-1,O,1,2,3,...
4
Cuando medirnos longitud, peso o voltaje, los enteros son inadecuados. Están
espaciados demasiado uno de otro para dar suficiente precision. Esto nos ileva a
considerar cocientes (razones) de enteros (véase La figura 1), nOmeros tales como
3 7 21
4'
Observe que incluimos
y
8 '
19
16
5 '-2' 2
17
1
aunque normalmente los escribirlamos como 8 y
17 ya que son iguales a aquellos por el significado ordinario de Ia divisiOn. No
incluimos o
ya que es imposible dar significado a estos sImbolos (véase el problema 36). De hecho, convenimos de una vez por todas desterrar La division entre cero de
Figura 2
este libro (véase Ia figura 2). Los niImeros que pueden escribirse en la forma rn/n,
donde rn y n son enteros con n
son llamados nümeros racionales.
6
CAPíTULO
1
Preliminares
mismo y 1. Los primeros primos son 2,3,5,7,11,13 Y17. De acuerdo con el Teorema fundamental de Id aritmética, todo número
natural (distinto de 1) puede escribirse como el producto de un
único conjunto de primos. Por ejemplo, 45 = 3 . 3 . 5. Escriba cada uno de los siguientes números como un producto de primos.
Nota: El productor es trivial si el número es primo -esto es, tiene un solo factor.
(a) 243
(c) 5100
49. ¿Cuál de los siguientes números son racionales y cuáles
son irracionales?
(a) - V9
(c) 1 - 0
(e) (30)(50)
V3)2
50. La suma de dos números irracionales, ¿necesariamente
es irracional? Explique.
(b) 127
(d) 346
51. Demuestre que si el número natural
do perfecto, entonces m es irracional.
44. Utilice el teorema fundamental de la aritmética (véase el
problema 43) para demostrar que el cuadrado de cualquier número natural (distinto de 1) puede escribirse como el producto de un
conjunto único de primos, cada uno de los cuales aparece un número par de veces. Por ejemplo (45)2 = 3 . 3 . 3 . 3 . 5 . 5.
Viii no es un cuadra-
v'6 + V3 es irracional.
53. Demuestre que 0 - V3 + v'6 es irracional.
52. Demuestre que
54. Demuestre que log105 es irracional.
45. Demuestre que v2 es irracional. Sugerencia: Intente una
demostración por contradicción. Suponga que v2 = p / q, donde
p y q son números naturales (necesariamente distintos de 1). Entonces 2 = p2/q2, de modo que 2q2 = p2. Ahora utilice el problema 44 para obtener una contradicción.
55. Escriba el recíproco y el contrarrecíproco de los enuncia:
dos siguientes.
(a) Si yo hago toda la tarea asignada, entonces yo obtengo A en
este curso.
(b) Si x es un número real, entonces x es un entero.
(c) Si MBC es un triángulo equilátero, entonces MBC es un
triángulo isósceles.
46. Demuestre que v3 es irracional (véase el problema 45).
47. Demuestre que la suma de dos números racionales es racional.
48. Demuestre que el producto de un número racional (distinto de O) y un número irracional es irracional. Sugerencia: Intente una demostración por contradicción.
,. .2
Decimales, calculadoras
y estimación
(b) 0.375
(d) (1 +
(f) 50
Respuestas a la revisión de conceptos:
2. v2; 1T 3. reales
4. teoremas
1. racionales
Cualquier número racional puede escribirse como decimal, ya que por definición
siempre puede expresarse como el cociente de dos enteros; si dividimos el denominador entre el numerador, obtenemos un decimal (véase la figura 1). Por ejemplo,
1
2
13
11 =
3
8
0.5
1.181818 ...
0.375
3
0.428571428571428571 ...
7
También los números irracionales pueden expresarse en forma decimal. Por ejemplo,
V2 = 1.4142135623 ... ,
7T
Figura 1
V3 = 1.7320508075 ...
= 3.1415926535 ...
Decimales periódicos y no periódicos La representación decimal de un número racional o bien termina (como en ~ = 0.375) o bien se repite hasta el infinito en
ciclos regulares (como en = 1.181818 ...). Un poco de experimentación con el algoritmo de la división le mostrará el porqué. (Observe que sólo puede haber un número finito de residuos diferentes.) Un decimal que termina puede considerarse como
un decimal periódico con ceros que se repiten. Por ejemplo,
H
8"3 =
0.375
= 0.3750000 ...
Así, todo número racional puede escribirse como un decimal periódico. En otras palabras, si x es un número racional, entonces x puede escribirse como un decimal periódico. Es notable el hecho de que el recíproco también es verdadero, si x puede escribirse como un decimal periódico, entonces x es un número racional. Esto es obvio en
el caso de decimales que terminan (por ejemplo, 3.137 = 3137/1000), y es fácil demostrar para el caso de decimales periódicos.
SECCIÓN
1.2
Decimales, calculadoras y estimación
7
EJEMPLO 1 (Decimales periódicos son racionales.) Demuestre que
x
= 0.136136136... y y = 0.27171717 ...
representan números racionales.
Solución
Restamos x de 1000x y luego resolvemos para x.
1000x = 136.136136
x =
0.136136
999x = 136
136
x = 999
.
.
100y = 27.17171717
y = 0.27171717
99y = 26.9
26.9
269
Y = 99 = 990
.
.
De manera análoga,
Los números reales
•
Las representaciones decimales de los números irracionales no se repiten en ciclos. Recíprocamente, un decimal no periódico debe representar a un número irracional. Así, por ejemplo,
0.101001000100001 ...
Figura 2
debe representar un número irracional (observe que el patrón de más y más ceros entre los unos). El diagrama en la figura 2 resume lo que hemos dicho.
Figura 3
~
lA
1.41
lA14
Figura 4
Densidad Entre cualesquiera dos números reales diferentes a y b, no importa qué
tan cercanos se encuentren, existe otro número real. En particular, el número Xl = (a +
b )/2 es un número real que está a la mitad entre a y b (véase la figura 3). Ya que existe otro número real, x 2' entre a y Xl' Y otro número real, x 3' entre Xl y x 2' y puesto que
este argumento puede repetirse ad infinitum, concluimos que existe un número infinito de números reales entre a y b. Por tanto, no existe tal cosa como "el menor número real mayor que 3".
En realidad, podemos decir más. Entre cualesquiera dos números reales distintos,
existe tanto un número racional como un número irracional. (En el ejercicio 29 le pedimos demostrar que existe un número racional entre cualesquiera dos números reales.) De aquí que, por medio del argumento precedente, existe una infinidad de cada
uno de ellos (racionales e irracionales).
Una forma en que los matemáticos describen la situación que hemos expuesto, es
decir, que los números racionales y los números irracionales son densos en la recta
real. Todo número tiene vecinos racionales e irracionales arbitrariamente cercanos a
él. Los dos tipos de números están inseparablemente entrelazados e inexorablemente
aglomerados entre sí.
Una consecuencia de la propiedad de densidad es que cualquier número irracional
puede aproximarse tanto como se quiera por medio de un número racional-de hecho,
por medio de un número racional con una representación decimal finita. Como un
ejemplo tome \12. La sucesión de números racionales 1,1.4,1.41,1.414,1.4142,1.41421,
1.414213, ... avanza constante e inexorablemente hacia \12 (véase la figura 4). Avanzando lo suficiente en esta sucesión, podemos estar tan cerca como queramos de \12.
Calculadoras y computadoras Hubo una época cuando todos los científicos e
ingenieros caminaban por el campus con dispositivos mecánicos llamados reglas de
cálculo sujetas a sus cinturones. Por los 70, los estudiantes llevaban calculadoras que
podían realizar las operaciones básicas y obtener raíces cuadradas, y en los principios
de los 80 una calculadora barata podría evaluar funciones exponenciales, logarítmicas
y trigonométricas. Las calculadoras graficadoras estuvieron disponibles a principios de
los 90, estas calculadoras pueden expandir (x - 3y)12, pueden resolver x 3 - 2x2 + X = O
Y pueden aproximar una solución a x 2 - cos \IX = O.
8
CAPíTULO
1
Preliminares
Muchos problemas en este texto están
marcados con un símbolo especial.
[g significa UTILICE UNA
CALCULADORA.
IGCI significa UTILICE UNA
CALCULADORA GRÁFICA.
I CAS I significa UTILICE UN
SISTEMA DE ÁLGEBRA
COMPUTACIONAL.
[;] significa HAGA UNA
ESTIMACIÓN DE LA
RESPUESTA ANTES DE
TRABAJAR EN EL
PROBLEMA; LUEGO
VERIFIQUE SU RESPUESTA
CONTRA ESTA ESTIMACIÓN.
I EXPL I significa EL
PROBLEMA LE PIDE
EXPLORAR E IR MÁS ALLÁ
DE LAS EXPLICACIONES
DADAS EN EL TEXTO.
Existe una gran cantidad de usos para una calculadora en este texto, en especial
en los problemas marcados con un [Q .
Ahora existe una gran cantidad de poderosos paquetes de cómputo que puede
realizar cálculos tales como ( 1T - v2)100, manipulaciones simbólicas como el desarrollo de (2x - 3y)22 Ygráficas como la de y = x sen x. Estos programas pueden ayudarle
en el proceso de aprendizaje y comprensión del cálculo, pero no debe depender
de ellos para hacer cálculo por usted. Los paquetes de cómputo tienen la ventaja sobre las calculadoras gráficas de ser más poderosos y capaces de mostrar los resultados
en una pantalla de alta resolución. Las calculadoras gráficas tiene la ventaja de que
cuestan menos y caben en su bolsillo.
Por lo común, las calculadoras y las computadoras trabajan con números racionales
en la forma decimal con alguna longitud preestablecida, por ejemplo, diez dígitos. Algunos paquetes de cómputo son capaces de almacenar algunos números irracionales
en formato simbólico que, en efecto, retiene el valor exacto. Por ejemplo, tanto Maple
como Mathematica pueden almacenar v2 de tal manera que las manipulaciones subsecuentes utilicen este valor exacto. Por ejemplo, Mathematica simplificará la entrada
4/Sqrt [2] y regresará 2 Sqrt [2].
Con respecto a las calculadoras y computadoras, nuestra advertencia es ésta: Haga los cálculos que puedan realizarse con facilidad a mano sin una calculadora, especialmente si esto permite una respuesta exacta. Por ejemplo, por lo general preferimos
la respuesta exacta V3/2 para el seno de 60° al valor de la calculadora 0.8660254. Sin
embargo, en cualquier cálculo complicado recomendamos el uso de una calculadora.
Estimación Dado un problema aritmético complicado, un estudiante descuidado
podría presionar unas cuantas teclas en una calculadora y reportar la respuesta sin
darse cuenta de la falta de paréntesis o un "error de dedo" ha dado un resultado erróneo. Un estudiante cuidadoso con un sentido de los números presionará las mismas teclas, inmediatamente se dará cuenta que la respuesta es equivocada si es demasiado
grande o demasiado pequeña, y la recalculará de manera correcta. Es importante conocer cómo hacer una estimación mental.
EJEMPLO 2
Calcular
(V430 + 72 + V73)/2.75.
Una estudiante juiciosa aproximó lo anterior como (20 + 72 + 2)/3 y dijo
que la respuesta debería ser cercana a 30. Así, cuando su calculadora dio 93.448 como respuesta, ella desconfió (lo que en realidad había calculado fue V430 + 72 +
"V73/2.75). Al recalcular, ella obtuvo la respuesta correcta: 34.434.
_
Solución
Si un hombre le dice que el volumen de su cuerpo es de 20,000 pulgadas cúbicas,
dúdelo. Usted podría estimar su volumen de esta manera. Él tiene una estatura aproximada de 70 pulgadas y el largo de su cinturón es 30 pulgadas, dando un radio de la
cintura de casi 5 pulgadas. Si aproximamos su volumen por medio de la de un cilindro,
encontramos que el volumen será 1Tr2h = 3(5 2)70 = 5000 pulgadas cúbicas. Él no es
tan grande como dice.
Aquí hemos utilizado = para querer decir "aproximadamente igual". Utilice este
símbolo en su trabajo de borrador cuando esté haciendo una aproximación a una respuesta. En un trabajo más formal nunca debe utilizar este símbolo sin saber qué tan
grande podría ser el error. A continuación está un ejemplo más relacionado con cálculo.
Figura 5
EJEMPLO 3 Suponga que la región sombreada R mostrada en la figura 5, gira alrededor del eje x. Estime el volumen del anillo sólido resultantes.
La región R es de alrededor de 3 unidades de longitud y 0.9 unidades de alto. Estimamos su área como 3(0.9) = 3 unidades cuadradas. Imagine que el anillo sólido S se abre y se aplana, formando una caja de alrededor de 21Tr = 2(3)(6) = 36 unidades de longitud. El volumen de una caja es el área de su sección transversal por su
longitud. Así, estimamos que el volumen de la caja sería 3(36) = 108 unidades cúbicas.
Si la calculó y obtuvo 1000 unidades cúbicas, necesita verificar su trabajo.
_
Solución
16
CAPíTULO
1
Preliminares
Por tanto, elegimos
o=
8/6. Siguiendo las implicaciones de regreso, vemos que
Ix - 31 <
o =>
Ix - 31 <
8
6 => 16x - 181 < e
•
A continuación está un problema práctico que utiliza el mismo tipo de razonamiento.
Figura 5
EJEMPLO 5 Un vaso de precipitados de! litro (500 centímetros cúbicos) tiene un radio interno de 4 centímetros. ¿Qué tan exacto debemos medir la altura h del agua en el
vaso para asegurar que tenemos! litro de agua con un error de menos del 1 %, esto es,
un error de menos de 5 centímetros cúbicos? Véase la figura 5.
Solución El volumen V de agua en el vaso está dado por la fórmula V = 161Th. Queremos que IV - 5001 < 5 o, de manera equivalente, 1161Th - 5001 < 5. Ahora
1167Th - 5001 < 5
~ [167T( h - i2~) I < 5
161T1 h - 500
#
161T
~
[h -
#
Ih -
I<
i~[
<
5
1¿7T
9.9471 < 0.0947 ::::; 0.1
Así, debemos medir la altura con una precisión de alrededor de 1 milímetro.
•
Raíces cuadradas Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas. Por ejemplo,
las dos raíces cuadradas de 9 son 3 y - 3. Algunas veces representamos estos dos
números como ±3. Para a 2:: O, el símbolo ~, denominado raíz cuadrada principal de
a, denota la raíz cuadrada no negativa de a. Así, V9 = 3 Y v'i2I = 11. Es incorrecto
escribir \116 = ±4 ya que \116 representa la raíz cuadrada no negativa de 16, es decir, 4. El número 7 tiene dos raíces cuadradas, que pueden escribirse como ±Y7, pero
Y7 representa a un solo número.
Aquí está un hecho muy valioso qué recordar.
La mayoría de los estudiantes recordarán la fórmula cuadrática. Las soluciones a
la ecuación cuadrática ax2 + bx + e = Oestán dadas por
Ix=
-b±
~:2
-
4ac
I
El número d = b2 - 4ac se llama discriminante de la ecuación cuadrática. Esta ecuación tiene dos soluciones reales si d > O, una solución real si d = OYsoluciones no reales si d < O.
Con la fórmula cuadrática, fácilmente podemos resolver desigualdades cuadráticas incluso si no se pueden factorizar por inspección.
EJEMPLO 6
Solución
Resuelva x2
-
2x - 4 ::;
Las dos soluciones de x2
-
o.
2x - 4 = Oson
-( -2) -2 V4+16 = 1 -
V5 ::::; -1.24
20
CAPíTULO 1
Preliminares
I
d(P,
Q)
vh -
=
XI)' + (y, - YI)' I
Ésta se denomina fórmula de la distancia.
EJ EM PLO 1 Encuentre la distancia entre
(a)
p( -2,3) Y Q(4, -1)
p( V2,
(b)
v'3) y
Q( 1T, 1T)
Solución
x
Figura 5
(a) d(P,
Q)
V(4 -
(-2))2
(b) d(P,
Q)
V(1T -
V2)2
+
(-1 - 3)2
= \136 + 16 = V52 ~ 7.21
v'3)2 ~ \14.971 ~ 2.23
+ (1T -
•
La fórmula es válida incluso si los dos puntos pertenecen a la misma recta horizontal o a la misma recta vertical. Así, la distancia entre P( - 2,2) Y Q(6, 2) es
V( -2
x
Figura 6
- 6)2
~
Ecuacíón
es la ecuación del círculo de radio 3
con centro en (-1,2) significa dos
cosas:
1. Si un punto está en el círculo,
entonces sus coordenadas (x, y)
satisfacen la ecuación.
2. Si x y y son números que satisfacen
la ecuación, entonces son las
coordenadas de un punto que está
en el círculo.
= 8
1)2
+ (y -
2)2 = 3
Cuando elevamos al cuadrado ambos lados, obtenemos
(x +
Decir que
(x + 1)2 + (y-2)2 = 9
V64
- 2)2 =
La ecuación de un círculo Es un paso pequeño pasar de la fórmula de la distancia a la ecuación de un círculo. Un círculo es el conjunto de puntos que están a una
distancia fija (el radio) de un punto fijo (el centro). Por ejemplo, considere el círculo
de radio 3 con centro en (-1,2) (véase la figura 6). Sea (x, y) un punto cualquiera de
este círculo. Por medio de la fórmula de la distancia,
V(x +
Círculo
+ (2
1)2
+ (y -
=
2)2
9
que llamamos la ecuación de este círculo.
En forma más general, el círculo de radio r y centro (h, k) tiene la ecuación
(1)
I (x -
h)' + (y - k)2
=
r'l
Llamamos a esta la ecuación estándar de un CÍrculo.
EJEMPLO 2 Determine la ecuación estándar de un círculo de radio 5 y centro en (1, -5).
También, encuentre las ordenadas de los dos puntos en este círculo con abscisa 2.
Solución
La ecuación buscada es
(x -
1) 2 +
(y + 5)2
= 25
Para realizar la segunda tarea, sustituimos x = 2 en la ecuación y despejamos ay.
(2 - 1)2
+ (y +
(y +
y
5)2 = 25
5)2
+5
= 24
=
y =
±V24
-5 ± V24
=
-5
± 2V6
•
Si desarrollamos los dos cuadrados en el recuadro (1) Yreducimos las constantes, entonces la ecuación adquiere la forma
x2
+
ax
+l +
by = c
Esto sugiere la pregunta de si toda ecuación de la última forma es la ecuación de un
círculo. La respuesta es sí, con algunas excepciones obvias.
SECCIÓN
1.6
La línea recta
23
40. Considere un círculo e y un punto P exterior al círculo. Sea
PT el segmento de recta tangente a e en T, y suponga que la recta
que pasa por P y por el centro de e, intersecta a e en M y en N. Demuestre que (PM)(PN) = (PTf
G 41. Una banda se ajusta alrededor de los tres círculos x 2 + i = 4,
(x - 8)2 + y2 = 4 Y(x -6)2 + (y - 8)2 = 4, como se muestra en la figura 12. Determine la longitud de esta banda.
42. Estudie los problemas 28 y 41. Considere un conjunto de
círculos de radio r y que no se intersectan, con centros en los vértices
de un polígono convexo de n lados, que tiene lados de longitudes di'
d 2 , •.• ,dn. ¿Cuál es la longitud de la banda que se ajusta alrededor de
estos círculos (de la misma forma que se muestra en la figura l2)?
Figura 9
G [TI 37. Encuentre la longitud de la banda cruzada de la figura 10,
la cual se ajusta estrechamente alrededor de los círculos (x - 2)2 +
(y - 2)2 = 9 Y(x - 10)2 +
(y - 8)2 = 9. Nota: Para
resolver este problema se
necesita un poco de trigonometría.
Figura 10
38. Muestre que el
conjunto de puntos que están al doble de distancia de (3,4) que de
(1,1) forma un círculo. Determine su centro y radio.
39. El teorema de Pitágoras dice que las áreas A, B Y e de los
cuadrados en la figura 11, satisfacen A + B = C. Demuestre que
los semicírculos y triángulos equiláteros satisfacen la misma relación
y luego sugiera un teorema general de estos hechos.
Figura 12
Respuestas a la revisión de conceptos: 1. II; IV
2. V(x + 2)l + (y - 3)l
3. (x + 4)l + (y - 2)l = 25
4 (1.5,5)
Figura 11
1.6
La línea recta
y
De todas las curvas, la línea recta, por muchas razones, es la más simple. Suponemos
que usted tiene una buena noción intuitiva de este concepto, al mirar una cuerda tensa u observando a lo largo del borde de una regla. En cualquier caso, aceptamos que
dos puntos, por ejemplo, A(3, 2) YB(8, 4) mostrados en la figura 1, determinan una única línea recta que pasa por ellos. Y de ahora en adelante utilizaremos la palabra línea
o recta como sinónimo de línea recta.
Una línea es un objeto geométrico. Cuando se coloca en un plano coordenado, debería tener una ecuación, como el círculo la tiene. ¿Cómo encontraremos la ecuación
de una recta? Para responder, necesitaremos la noción de pendiente.
La pendiente de una recta Considere la recta de la figura 1. Del punto A al
punto B, existe una elevación (cambio vertical) de 2 unidades y un avance (cambio horizontal) de 5 unidades. Decimos que la recta tiene una pendiente de ~. En general
(véase la figura 2), para una recta que pasa por A(X1' Y1) y B(x 2, Y2), en donde Xl *- Xz,
definimos la pendiente m de esa recta como
m = elevación = Y2 - Y1
avance
X 2 -Xl
Figura 1
24
CAPíTULO 1
Preliminares
Inmediatamente surge una pregunta. Una recta tiene muchos puntos. ¿El valor
que obtuvimos para la pendiente depende de la pareja de puntos que utilicemos para
A y B? Los triángulos semejantes en la figura 3 nos muestran que
Y2 - Yí
X2 - xí
Y2 - YI
X2 - Xl
Así, los puntos A' y B ' darían lo mismo que A y B. Incluso no importa si A está a la izquierda o a la derecha de B, ya que
x
YI - Y2
Xl - X2
Figura 2
Y2 - YI
X2 - Xl
Todo lo que importa es que restemos las coordenadas en el mismo orden en el numerador y el denominador.
La pendiente m es una medida de la inclinación de una recta, como se ilustra en
la figura 4. Observe que una recta horizontal tiene pendiente cero, una recta que se
eleva hacia la derecha tiene pendiente positiva, y una recta que desciende a la derecha
tiene pendiente negativa. Entre mayor sea el valor absoluto de la pendiente, más inclinada es la recta. El concepto de pendiente de una recta vertical no tiene sentido, ya
que implicaría la división entre cero. Por tanto, la pendiente para una recta vertical se
deja indefinida.
x
y
111
= 2~
=3
4-2
Figura 3
Grado e inclinación
El símbolo internacional para la
pendiente de un camino (llamado
grado) se muestra abajo. El grado está
dado como porcentaje. Un grado de
10% corresponde a una pendiente de
± 0.10.
----------+-----3l~-----_t.._---111 = ~=;
=O
x
Los carpinteros utilizan el término
inclinación. Una inclinación de 9:12
corresponde a una pendiente de -12.
Rectas con varias pendientes
Figura 4
Forma punto-pendiente Nuevamente, considere la recta de nuestro estudio
inicial, se reproduce en la figura 5. Sabemos que esta recta
1. pasa por (3,2) Y
2. tiene pendiente ~.
Tome cualquier otro punto de esta recta, como el que tiene coordenadas (x, y). Si utilizamos este punto y el punto (3,2) para medir la pendiente, debemos obtener~, esto
es,
y-2
2
X - 3
5
x
o, después de multiplicar por x - 3,
Y- 2
Figura 5
=
Hx -
3)
Observe que esta última ecuación es satisfecha por todos los puntos de la recta, incluso (3, 2). Además, ningún punto que no pertenezca a la recta puede satisfacer esta
ecuación.
Lo que acabamos de hacer en un ejemplo lo podemos hacer en general. La recta
que pasa por el punto (fijo) (Xl' YI) con pendiente m tiene ecuación
SECCION 1.8
RevisiOn del capitulo
35
En los problemas del 35 al 38, bosqueje lii grafica de cada ecuación.
34. Cuá1 ecuación puede representar a la curva de la figura 10?
35. 3y - 4x
I
36. x2 - 2x + y2
6
3
-
2x
Gd 38. x
3
x2 + 2
39. Determine los puntos de intersección de las gráficas de
Gd
Gd
x2 - 2x + 4yy - x
y
4.
40. Entre todas las rectas perpendiculares a 4x - y = 2, encuentre la
ecuaciOn de aquella que,junto con la parte positiva del eje x y del eje
y, forma un triangulo de area 8.
Figura 10
y = ax2 + bx + c, con a > 0, b > 0 y c > 0
y = ax2 + bx + c,cona < 0,b > Oyc >0
ax2 + bx + c, con a < 0, b > 0 y c < 0
y = ax2 + bx + c, con a > 0, b > 0 y c < 0
y
r,
I.J
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I. PR. PARACIOI
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para dibujar .ios u ni gr iiicas en la
misn ia ventaia.
l OGi
I. ILJSO DE LA TECNiC.'
Ei'. cicio 1 'uando utiliza i'ria ah.
1-u
dora gráfica
I
ul (CAS) para grafi....... ua
'
ecuaciór ne ;ita seleccionar una yentana (J c gra!cicación que proporcione
odos los 1etaIk importantes. T "S "
ciones siguientes .L darán algu'ia expenci para seleccinJnar una vei ritann
exsdecuada. En ca 'a o, usted d
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)erimentar -con "enia"nas de d ifererwr
imaflos para asegut rs q 'iiSec 1,puerc'fc
d ver todos i s ui.al1es de la gaic.a.
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ig.
'
C
p ra 'i = 0.1,
cJLión, ii' Lu;e esta. iectas
lien
0.5, 1.,1 2.0 y .0.
.en I estis rectas en comi (inc'Expi i .e por qu
.
i
L
-
Ejercicio 3 Coi sii i re lac recta.. y =
-+ l . En ia mism2 t- v..eli'11Lana de gr,aficacii.ii., cIiii bue
s rectas ar a b = 1.0,
j
.
2'
1.0, 2.,1 2.0, 3.0, 3.0, 4.0 y 4.0.
j,Qué t.ie.e
n ..n estas rectas eun comUn?
brcia para
P.rcpor..'inn e una naz.i algL
lo que muestran las gráficas.
.
(a., y
(b)
III. REFLT
'.L)
(
.
-
Ejercicio 4 Explique cmo el valor
de b en
y-
yL +bx2+x+ 1
DflSid" as :ecta
=
jerciciG .
nx + 4 En IaLrnllm a "entana de graf: i1
afecta Ia forma de la curv v Hum
'1 - ero
de veces que Ia curva cruza e I e"je x.
PROViECTO DE TECNOLOG(A 1.2
I
I
I
ResoluciOn de ecuaciones por medio de acercamiento
r'a.a ritantener Ia genc ralidad, deno Ic-
I. I REPARACION
mu, Cu]. (j q) ci pun 10 dado, en 1 ugar
del")C,.
(2. )
En el bachillerato usted aprendió la fOrmula cuadrática para resolver las ecua-
.i
" .. - La-,penc'ic ntedela recta
gi'aLinio
que onecta (a, a2) y ;1. punto dadc
rt,rIproco aegati"c'delapendi entedel a r' eta (angerLte a la parabola en
(a, c 2) wtuestre que igualar estas ex pre-r
"aciOn cábica
"&CflfS
conduce a Ia ecu;
1
cione cuadráticas ax2 + bx + c = 0.
r embargo, podrIa no conocer
métodos para resolver ecuaciones más
-
complicadas. Con frecuencia puede
aproximar las soluciones de tal ecua-
\
ción por medio de "acercamientos" a La
1'
1
raIz bucada.
EjeirriçJo 1
Escriba una ecuación de
la recta L que pasa por (-2,4) y es perihr a la recta con ecuación x +
p.eidicL.
,-'y 1/.
1
1
-3
-2
/
-1
2a3 2q i)a p=0
a2)
\''rfique
'i
ara ver que esto coinci
1
',3
2
1
ejerciclo 3.
Figura 1
Bosquejo para el ejercicio 3.
.Ejerricio 6
"-''- la o'ni'ntn de a ecta
Ahora igate
i- conecta (a, 2) y ' pu'r_t C, rlado (2,
qL..
0) con "! recIproco ii gaiLivo de Ia pendiente ae. 1a re' ta tangente. a la p arábola
en (a, a2 ). jLUr 'lt Uc" uaia,ido estas
(Ins'expresioltesi onu:e
ecuaciOn
rj tar:iqente
pendie'..teie a:-r
-Il aipiuoIay =; er : puru
I'
ed'_a'i.ón cUbica P; aprL..
1,
ximi darnente
S
I.,
L:
c1
.
cubi :a.-,
2a-'
1
La
I
1
'
(a, a2 ,es2a.
qui
pendiei.
...
o"e,la
rtedelcrectat--gentc a Iari.
i ábola enex'u'
1ç nto(il es
L1r. I
I
-
2, er (3 32) es '5, y as..i
La2=0
peroe ta noes L sclucóxit.l, 'x'ica (pruebelc' Kecue de, cuar ido us1Led deterni i un valor de i T1'
. iie a aI1
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= 0, usteo habrá .ncontrado ur
valo' de a ta rue !a r 't- iue conect.
1
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üia_ r'ler
L :ecuri.
.
0) S PC 1JCfl(1' cul if a- Ia rectan gente a ia paráhob
a2).
,
.1
LJtiiice i'ar sug!e ien cia
:
guielntes p ara deterrnina r Ia ecuaciO:
r.
de la recta n,ur pasa p01 el p -unto rT) .2 0)
'
a la recta tany qu ' es p.., rpeudicuIar
geIk
la r'arábc!a
,I
y = x2, 'I1 S.
ie d
punt
II. U.
DF I
.1)LOG1A
i
-
2es2a, m )(.
Jo que la pendiente de la rerth I rn endicular es el redproco negativo de 2a, o -.
en x ..:
:
Ej'
icio 7 Muestre que existen tres
purtr'
is (a1, a), (a2, a) y (a3, a) en
Ia' i tar ábola,
con la propiedad de que la
re :1
c
a tangente en (a1, a) es perpendi cular aila recta que conecta (a1, a) y
la que abre hacia arriba, "dentro de la
p aroi"t" o "el interior de Ia parabola"
" 'iere decir aquelLos puntos que están
"r arriba de la parabola.) Determine
t y a por medio de acercamientos.
L'iego, enCuentre las parejas ordenadas
', afl, (a2, a) y (a3, a). Encuentre
(1]
las ecuaciones de las tres rectas y grafIquelas junto con la parabola en la misma ventana de graficación.
II'.
" REFLEXION
-
Si'O y error para dk rminar
..
ia solucii in de 2a3 + a - 2 = 0, grafjcarenios
estas ecuación cerca de a = 1 yluego
realizar " we
. rcamientos" a a raIz. Pon
drIa empezar graliicauc1.(
: 1 ,rfica en el
s
.ugerencia: Dihuj uafigura(vc. la
L'gi ira 1) que inc.'
1aya Ia perpendicular
iiinto d do. Utilice a para deteren
mirtar I, a hscis i del punto en donde la
ii
pert eiidicdar
orta a la parabola. AsI,
nuno
a,
el . i ' a2' está tanto en la parábola ciDfl o ria recta perpendicular a Ia
p iráboia, L pendiente de la parabola
y = XL.
'1, 17/4). Observe que el punto dado está
Laiglu
icira 1 indica qu:e la sni.uctOn a esta
y
Determ":ie la ecuación de
Ia recta ii e pasa por (p, q) = (4,0) que
es perpf n Ji.cular a la recta tangente a
d ntro de Ia parabola. (Para una parábo-
.uu,siva: t ii
Por -aFa,ac
ior
epto este- hccho;lo'ieduciremos,junto Con mi ch 15 otras co s pareci das,enel capItuk) 3.
r
n ci caso especIf o realizado en
ci
f(e uelva Ia version geneializr da j'r,u:ente cd ejercicio IL [!scri
ba Ia cLlciOn ue la recta L que pn a
pore! punto (p, q,) y es perpendicular a
La recka coi ecuaci6i1 ax + by = c. Veri:ic1ueque su respueia
h "funciona"2US
S. tit1J\i:
s niimeios especI4 'cos d J
I C..
ejercicic 1.
En el capituo 3 aprenderá el siguient 1iecho:
Ljercici' 2
-
q)a1.
Ce star en
intervalo (0, 2); la :rIz )r .eI
algUn lugar cercano a a = U.o.
trace 2a3 + a - 2 = 0 en el inten'a!o (C.8,
0.9). Haga acercamientos t!a
' i que
pueda obtener una aproximai iOn a Ia
raIz que sea correcta a dos lu ares
cimales.
Ejercicio 5 Una maxima en a1resolución de problemas que hemos igiorado
en la solución anterior es la de 1:ratar de
evitar el uso de némeros L skJecificos.
Ala luz de los resultados obtenidos en
-
lo ejercicios precedentes, una conjetu-
ra a tural es que existen tres rectas perpeli diculares para puntos en el interiord e la parabola y solo una para puntos
-
ex.
'-teriores a la parabola.
Ejerci icio 8 Investigue un caso especia! de est'l conjetura para el caso en el
qt el 'unki 'sta en el ejey (i.e.,p 0
y q > 0).
-
-
-
-
Ejercicio 9 irv 2stigue la conjeti ura
1
general por n dl'
ho Je
1
puntos
de prueba
(p. q) que ci :én dci
'.. ritro de Ia parabola,
jP.Jla. ,Es cierto 01jJ,
:j inos c
peromuyce-r
existe trs reclas rpendiculares paira
cada pun to intei ior cle la parabola?
-
L
CAP TULO
I'V
Funciones y Iimites
2.1
2.2
2.3
Funciones y sus gráficas
Operaciones con funciones
Las funciones trigonométricas
Introducción al tema de Ilmites
Estudio formal de lImites
Teoremas de Ilmites
LImites que incluyen funciones trigonométricas
LImites en infinito, IImites infinitos
Continuidad de funciones
2.10 RevisiOn del capItulo
2.11 Problemas adicionales
Proyecto de tecnologIa 2.1 Desplazamiento y escalamiento de Ia gráfica
de una funciOn
Proyecto de tecnologIa 2.2 LImites
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
Li
2.1
Funciones
y sus gráficas
El concepto de funciOn es uno de Los más básicos en todas las matemáticas, y desempena un papel indispensable en cálculo.
Definición
Una función
Una función f es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto x en un co
junto, denominado dominlo, un solo valor f(x) de un segundo conjunto. El conjunto
f
de todos los valores asI obtenidos se denomina rango de La función. (Véase la figura 1.)
Dominio
Rango
Figura 1
f(x)
Figura 2
Piense en una funciOn como una máquina que toma como entrada un valor x y
produce una salida f(x). (Véase la figura 2.) Cada valor de entrada se hace corresponder con un solo valor de salida, pero puede suceder que diferentes valores de entrada den
el mismo valor de salida.
La definición no pone restricción sobre los conjuntos del dominio y del rango. El
dominio podrIa consistir en eL conj unto de personas en su curso de cálculo, el rango
el conjunto de calificaciones {A, B, C, D, F} que obtendrán, y La regla de correspondencia la asignaciOn de calificaciones. Casi todas las funciones que encontrará en este
texto serán funciones de uno o más nümeros reaLes. Por ejempLo, la función g podrIa
tomar un nümero real x y elevarlo al cuadrado, produciendo el nümero real x2. En este
caso tenemos una formula que da la regla de correspondencia, esto es, g(x) = x2. Un
diagrama esquemático de esta función se muestra en la figura 3.
SECCIÓN
37. Una pista de una milla tiene lados paralelos y extremos semicirculares iguales. Determine una fórmula para el área encerrada
por la pista, A(d), en términos del diámetro d de los semicírculos.
¿Cuál es el dominio natural para esta función?
38. Sea A( c) el área de la región acotada por arriba por la recta
y = x + 1, del lado izquierdo por el eje y, por abajo por el eje x y por
el lado derecho por la recta x = c. Tal función se conoce como función
de acumulación. (Véase la figura 13.) Determine
(a) A ( 1)
(b) A (2 )
(c) A(O)
(d) A(c)
(e) Esboce la gráfica de A(c).
(f) ¿Cuáles son el dominio y el
rango de A?
2.2
Operaciones con funciones
43
42. Un diamante de béisbol es un cuadrado con lados de 90 pies.
Un jugador, después de conectar un cuadrangular, corrió alrededor
del diamante con una velocidad de 10 pies por segundo. Sea s la distancia del jugador al home después de t segundos.
(a) Exprese s como una función de t por medio de una fórmula con
cuatro partes.
(b) Exprese s como una función de t por medio de una fórmula con
tres partes.
[§g Para utilizar la tecnología de manera eficiente, usted necesita des-
cubrir sus capacidades, fortalezas y debilidades. Le pedimos que practique la graficación de funciones de varios tipos por medio de su propio paquete de cómputo o su calculadora. Los problemas del 43 al 48
están diseñados para este fin.
43. Sea f(x)
=
(x 3 + 3x - 5)/(x 2 + 4).
(a) Evalúe f(1.38) y f(4.12).
(b) Para esta función, construya una tabla de valores correspondiente a x = -4, -3, ... ,3,4.
Figura 13
44. Siga las instrucciones del problema 43 para f(x)
=
(sen 2x - 3
tan x)/cos x.
39. Sea B(c) el área de la región acotada por arriba por la gráfica de la curva y = x(l - x), por abajo por el eje x, y por la derecha por
la recta x = c. El dominio de B es el intervalo [0,1]. (Véase la figura
14.) Dado que B(l) =
(a) Determine B(O)
(b) Determine BG)
(c) Haga una gráfica de B(c), como mejor pueda.
L
y
45. Dibuje la gráfica de f(x) = x 3 - 5x 2 + x + 8 en el dominio
[-2,5].
(a) Determine el rango de f.
(b) En este dominio, ¿en dónde f (x)
O?
46. Superponga la gráfica de g( x) = 2x 2 - 8x - 1 con dominio
[-2, 5J sobre la gráfica de f(x) del problema 45.
(a) Estime los valores en donde f(x)
.1.
2:
=
g(x) .
4
(b) En [-2, 5J, ¿en dónde f(x)
2:
g(x)?
(c) En [-2, 5J, estime el valor más grande de If(x) - g(x)l.
47. Grafique f(x) = (3x - 4)/(x2 + x - 6) en el dominio [-6,6].
x
(a) Determine las intersecciones con el eje x y con el eje y.
Figura 14
(b) Determine el rango de f para el dominio dado.
40. ¿Cuál de las siguientes funciones satisface f(x + y)
f(x) + f(y) para toda x y y en ~?
(a) f(t) = 2t
(b) f(t) = t 2
(c) f(t) = 2t + 1
(d) f(t) = - 3t
=
f(x) + f(y), para toda x y y en~. Demuestre que existe un número m tal que f(t) = mt para todos los números racionales t. Sugerencia: Primero decida cuánto tiene que valer m.
Luego proceda por pasos, iniciando con f(O) = O,f(p) = mp para p
en N,f(l/p) = mip, etcétera.
41. Sea f(x
+ y)
(c) Determine las asíntotas verticales de la gráfica.
=
2.2
Operaciones
con funciones
(d) Determine la asíntota horizontal para la gráfica, cuando el dominio se amplía a toda la recta real.
48. Siga las instrucciones del problema 47 para g(x)
(3x 2 -4)/(x 2 + x-6).
=
Respuestas a la revisión de conceptos:
1. dominio, rango 2.
12u 2 ; 3(x + h? = 3x2 + 6xh + 3h 2 3. asíntota 4 par; impar; eje y;
origen
Las funciones no son números. Pero al igual que dos números a y b puede sumarse para producir un nuevo número a + b, también dos funciones f y g pueden sumarse para
producir una nueva función f + g. Ésta es sólo una de las diferentes operaciones sobre funciones que describiremos en estas secciones.
Sumas, diferencias, productos, cocientes y potencias Considere las funciones f y g con fórmulas
f(x)
x - 3
2
g(x) = \IX
44
CAPíTULO
2
Funciones y límites
Podemos construir una nueva función f
(x - 3)/2 + VX; esto es,
(f
Dominio
de!
Figura 1
Dominio
de g
+ g)(x) =
f(x)
+g
asignando a x el valor f(x)
+ g(x)
x - 3
+ g(x) = - 2 - + VX
Por supuesto, debemos tener un poco de cuidado con respecto a los dominios. Claramente, x debe ser un número en el que tanto f como g funcionen. En otras palabras, el
dominio de f + g es la intersección (parte común) de los dominios de f y g (véase la
figura 1).
Las funciones f - g, f . g y f / g se introducen de una manera completamente análoga. Suponiendo que f y g tienen sus dominios naturales, tenemos lo siguiente:
Fórmula
(f
+ g)(x)
= f(x)
Dominio
+ g(x)
=
x - 3
-2-
+ vX
x -3
(f - g)(x) = f(x) - g(x) = - 2 - x - 3
(f. g)(x) = f(x) . g(x) = - 2 -
[0,00)
vX
[0,00)
vX
[0,00)
L)(x) = f(x) = x - 3
(g
g(x)
2 vX
(0,00)
Hemos excluido al Odel dominio de f / g para evitar la división entre cero.
También podemos elevar una función a una potencia. Con fn representamos a la
función que a cada x asigna el valor [f ( x) Jn. Así,
F(x) = [¡(x)]' = [x ~ 3
r
= x' - ~x + 9
y
Existe una excepción en la convención anterior sobre exponentes, a saber, cuando
n = -1. Reservamos el símbolo f - 1 para la función inversa, que se estudiará en la sección 7.2. Por tanto,f- 1 no significa 1/f.
EJEMPLO 1 Sean F(x) = V x + 1 y G(x) = ~, con dominios naturales
resp'ectivos [-1,00) y [-3,3]. Determine fórmulas para F + G, F - G, F . G, F /G Y F 5
Yproporcione sus dominios naturales.
Solución
Fórmula
(F +G)(x) = F(x) +G(x) = ~
Dominio
+~
[-1,3J
(F -G)(x) = F(x) -G(x) = ~ - ~
[-1,3J
(F· G)(x) = F(x) . G(x) = ~ ~
= F(x) =
( ~)(x)
G
G(x)
~
[-1,3)
~
F 5 (x) = [F(x)Y = (~)5 = (x
[-1,3J
+ 1)5/4
[-1,00)
•
SECCIÓN
33. Sea f( x)
= _x_. Determine y simplifique cada valor.
(b) f(¡(x))
(a) f(l/x)
34. Sea f(x) =
(a)
x -1
vXx
x -1
f(~)
(c) f(l/f(x))
. Encuentre y simplifique.
(b) f(¡(x))
35. Sean fl(x) = x, f2(X) = l/x, f3(X) = 1 - x, f4(X) =
1/(1 - x), fs(x) = (x - l)/x y f6(X) = x/ex - 1). Observe que
f3(f4(X)) = f3(1/(1-x)) = l-l/(l-x) = x/(x-1) = f6(X);
esto es, f 3 o f 4 = f 6' De hecho, la composición de cualquier par de
estas funciones es otra función de la lista. Llene la tabla de composiciones de la figura 11.
o
ti
f,hf~j~f;,
fl
f~
j~,
f~
t,
Figura 11
2.3
Las funciones
trigonométricas
e = ~ .op
hlp
c. ady
cos e = hliJ tan
Figura 1
c.op
e = c. ady
El círculo unitario
49
36. Demuestre que la operación de composición de funciones
es asociativa, esto es, fl o (f2 o f3) = (fl o f2) o f3'
[§g Utilice una computadora ó una calculadora gráfica en los problemas 37-40.
37. Sea f(x) = x 2 - 3x. Utilizando los mismos ejes, dibuje las
gráficasdey = f(x),y = f(x-O.5)-0.6yy = f(1.5x),todassobre
el dominio [-2, 5J.
38. Sea f( x) = Ix3 1. Utilizando los mismos ejes, dibuje las gráficas de y = f(x), y = f(3x) y y = f(3(x - 0.8)), todas sobre el dominio [-3, 3J.
39. Sea f(x) = 2 vX - 2x + 0.25x 2. Utilizando los mismos
ejes, dibuje las gráficas de y = f( x), y = f(1.5x) y y = f( x -1) + 0.5,
todas en el dominio [O, 5J.
40. Sea f(x) = 1/(x 2 + 1). Utilizando los mismos ejes, dibuje
las gráficas de y = f(x),y = f(2x)yy = f(x-2) + 0.6,todasenel
dominio [-4, 4J.
~ 41. Su sistema de álgebra computacional (CAS) puede permitir
el uso de parámetros en la definición de funciones. En cada caso, dibuje la gráfica de y = f (x) para los valores especificados del parámetro k, utilice los mismos ejes y -5:::; x :::; 5.
(a) f(x) = Ikxlo. 7 parak = 1,2,0.5y0.2.
(b) f(x) = Ix - klo. 7 para k = 0,2, -0.5 Y-3.
(c) f(x) = [xl k para k = 004,0.7,1 Y 1.7.
42. Utilizando los mismos ejes, dibuje la gráfica de f( x)
- e) In para la siguiente elección de parámetros.
(a) c=-1,k=1.4,n=0.7.
=
Ik( x
(b) e = 2, k = lA, n = 1.
(c) c=O,k = 0.9,n = 0.6.
Respuesta a la revisión de conceptos:
1. (x 2 + 1)3 2. f(g(x))
3. 2, la izquierda 4. un cociente de dos funciones polinomiales
Probablemente ha visto la definición de las funciones trigonométricas, con base en
triángulos rectángulos. La figura 1, resume las definiciones de las funciones seno, coseno y tangente. Debe revisar con cuidado la figura 1, ya que estos conceptos son necesarios para muchas aplicaciones posteriores en este texto.
Con mayor generalidad, definimos las funciones trigonométricas con base en el círculo unitario. El círculo unitario, que denotamos con e, es el círculo con radio 1 y centro en
el origen; tiene ecuación x 2 + y2 = 1. Sea A el punto (1, O) Y sea t un número positivo.
Existe un solo punto P en el círculo e tal que la distancia, medida en contra del sentido
de las manecillas del reloj alrededor del arco AP, es igual a t. (Véase la figura 2.) Recuerde que la circunferencia de un círculo con radio res 277r, de modo que la circunferencia de
e es 277. Por lo que, si t = 77, entonces el punto P está exactamente a la mitad del camino alrededor del círculo iniciando en el punto A; en este caso, P es el punto (-1, O). Si
t = 377/2, entonces P es el punto (O, -1) Ysi t = 277, entonces P es el punto A. Si t > 277,
entonces le tomará más de un circuito completo del círculo para trazar el arco AP.
Cuando t < 0, trazamos el círculo en dirección del sentido de las manecillas del reloj.
Habrá un solo punto P en el círculo e tal que la longitud del arco medida en dirección
de las manecillas del reloj iniciando en A sea t. Así, para cada número real t, podemos
asociar un único punto P( x, y) en el círculo unitario. Esto nos permite construir las definiciones clave de las funciones seno y coseno. Las funciones seno y coseno se escriben
como sen y cos, en lugar de una sola letra como f o g. Los paréntesis alrededor de la
variable independiente por lo regular se omite, a menos que exista alguna ambigüedad.
Definición
Figura 2
Las funciones trigonométricas
~
Después utilice esta tabla para determinar cada una de las siguientes
funciones. Con base en el problema 36, sabe que es válida la ley asociativa.
(b) f 1 o f 2 o f 3 o f 4 o f s o f 6
(a) f3 o f3 o f3 o f3 o f3
(d) G si G o f 3 o f 6 = f 1
(c) F si F o f 6 = f 1
(e) H si f 2 o f s o H = f s
sen
2.3
Funciones seno y coseno
Sea t un número real que determina el punto P(x, y), como se explicó anteriormente.
Entonces
sen t = Y Y cos t = x.
SO
CAPíTULO
2
Funciones y límites
y
(1,
o)
x
Propiedades básicas del seno y del coseno Varios hechos son casi inmediatos a partir de las definiciones dadas anteriormente. Primero, como t puede ser cualquier número real, el dominio de las funciones seno y coseno es IR. Segundo, x y y
siempre están entre -1 y 1. Así, el rango para las funciones seno y coseno es el intervalo [-1,1].
Puesto que el círculo unitario tiene 21T de circunferencia, los valores de t y t + 21T
determinan el mismo punto P(x, y). Por tanto,
sen(t + 21T) = sen t y cos(t + 21T) = cos t
(Obsérvese que los paréntesis son necesarios para dejar claro que queremos sen(t +
21T) en lugar de (sen t) + 21T. La expresión sen t + 21T sería ambigua.)
Los puntos PI y P 2 que corresponden a t y - t, respectivamente, son simétricos
con respecto al eje x (véase la figura 3). Por tanto, las abscisas para PI y P 2 son las mismas y las ordenadas sólo difieren en el signo. En consecuencia,
Figura 3
sen( -t) = -sen t y cos(-t) = cos t
y
En otras palabras, seno es una función impar y coseno es una función par.
Los puntos correspondientes a t y 1T /2 - t son simétricos con respecto a la recta
y = x y por tanto tenemos sus coordenadas intercambiadas (véase la figura 4). Esto
significa que
x
sen ( ; -
Figura 4
y
x
y
cos ( ; -
t)
= sen
t
Gráficas de seno y coseno Para graficar y = sen t y Y = cos t, seguimos nuestro procedimiento usual de construir una tabla de valores, trazar los puntos correspondientes y unir estos puntos con una curva suave. Sin embargo, hasta ahora, conocemos
los valores de seno y coseno sólo para pocos valores de t. Otros valores pueden determinarse a partir de argumentos geométricos. Por ejemplo, si t = 1T/ 4, entonces t determina el punto medio del camino, si se recorre el círculo unitario en sentido contrario
a las manecillas del reloj, entre los puntos (1, O) Y(0,1). Por simetría, x y y estarán en
la recta y = x, de modo que y = sen t y x = cos t serán iguales. Así, los dos catetos del
triángulo rectángulo OBP son iguales, y la hipotenusa es 1 (véase la figura 5). Puede
aplicarse el teorema de Pitágoras para obtener:
1
Figura 5
sen t
cos t
O
O
7r/6
7r/4
1/2
\/2/2
\/3/2
1
\/3/2
\/2/2
1/2
1
\/3/2
\/2/2
7r/2
27r/3
37r/4
57r/6
7r
t
para todo número real t. Esta identidad se deriva del hecho de que el punto (x, y) está en el círculo unitario, de aquí que x y y deben satisfacer x 2 + y2 = 1.
(0,1)
7r/3
= cos
Por último, mencionamos una identidad importante que relaciona las funciones
seno y coseno:
y=x
t
t)
O
1T
= x 2 + x 2 = cos 2 - +
4
1T
cos2 -
4
De esto concluimos que cos(1T/4) = 1/V2 = V2/2. De manera análoga, sen
(1T /4) = V2 /2. Podemos determinar sen t y cos t para otros valores de t. Algunos de
éstos se muestran en la tabla siguiente. Utilizando estos resultados, junto con varios resultados de una calculadora (en modo de radianes), obtenemos las gráficas que se
muestran en la figura 6.
y
1/2
O
-1/2
-\/2/2
-\/3/2
-1
---jL-----.::llIr--~,__-_i(L_-----,otL---~--+_-~<---_T__-.-
Figura 6
SECCIÓN
EJEMPLO 5
y
2.3
Las funciones trigonométricas
55
Demuestre que la tangente es una función impar.
Solución
tan (-t)
EJEMPLO 6
sen ( -t )
cos ( -t )
-sen t
cos t
•
- - - = - - = -tant
Verifique las siguientes identidades.
11 + tan t = sec t
2
2
1+ cot t = csc
2
2
t
Solución
tan
sen2 t
cos 2 t + sen2 t
1
2
1 + tan 2 t = 1 + - =
= --= sec t
cos 2 t
cos 2 t
cos 2 t
¡
cos 2 t
sen2 t + cos 2 t
1
=
= -= csc 2 t
1 + cot 2 t = 1 + - 2
sen t
sen2 t
sen2 t
Figura 11
x
Cuando estudiamos la función tangente (figura 11), nos encontramos con dos pequeñas sorpresas. Primera, notamos que hay asíntotas verticales en ± 7T'/2, ::±::37T'/2, etc.
Debimos haber anticipado esto, ya que cos t = Oen estos valores de t, lo cual significa
.que (sen t) / (cos t) implicaría una división entre cero. Segunda, parece que la tangente es periódica (lo cual esperábamos), pero con periodo 7T' (que podríamos no haber
esperado). Verá la razón analítica para esto en el problema 33.
Relación con la trigonometría del ángulo Los ángulos se miden por lo común en grados o en radianes. Por definición, un radián es el ángulo que corresponde
a un arco de longitud uno en un círculo unitario. Véase la figura 12. El ángulo que corresponde a una vuelta completa mide 360°, pero sólo 27T' radianes. De manera equivalente, un ángulo de lados colineales mide 180° o 7T' radianes, un hecho importante
para recordar.
Figura 12
Grados Radianes
O
30
45
60
90
120
135
150
180
360
•
O
n/6
n/4
n/3
n/2
2n/3
3n/4
5n/6
n
2n
Figura 13
11800 = 7T' radianes:::::; 3.1415927 radianes
Esto conduce a los resultados
1 radián :::::; 57.29578°
1° :::::; 0.0174533 radián
La figura 13 muestra algunas otras conversiones comunes entre grados y radianes.
La división de una vuelta en 360 partes es muy arbitraria (debida a los antiguos
babilonios, a quienes les agradaban los múltiplos de 60). La división en 27T' partes es
más fundamental y yace en el uso casi universal de la medida en radianes en cálculo.
En particular, obsérvese que la longitud s del arco que corta un círculo de radio r por
medio de un ángulo central de t radianes satisface (véase la figura 14).
s
2'TTr
t
2'TT
Esto es, la fracción de la circunferencia total 27T'r correspondiente a un ángulo t es la
misma fracción del círculo unitario que corresponde al mismo ángulo t. Esto implica
que s = rt.
Cuando r = 1, esto da s = t. Esto significa que la longitud de arco en el círculo
unitario cortado por un ángulo central de t radianes es t. Esto es correcto incluso si t es
negativo, con tal que interpretemos la longitud como negativa cuando se mide en dirección de las manecillas del reloj.
s
Figura 14
= rt
EJ EM PLO 7 Determine la distancia recorrida por una bicicleta con ruedas de radio
de 30 centímetros cuando las ruedas han girado 100 revoluciones.
Solución Utilizamos el hecho de que s = rt, reconociendo que 100 revoluciones corresponden a 100 . (27T') radianes
s = (30)(100)(2'TT) = 6000'TT
:::::; 18849.6 centímetros
:::::; 188.5 metros
•
58
CAPíTULO
2
Funciones y límites
(a) y
= sen ( x + ~ )
(b) y
= cos ( x + ~ )
(c) y
=
-sen(x + 17)
(d) Y
=
(e) y = -sen (17 - x)
(f) Y
= cos ( x
-
~)
-cos (17 - x)
(h) Y
= sen ( x
-
~)
(g) y
=
cos (x - 17)
40. Sean .el y .e2 dos rectas no verticales, con pendientes mI Y
m b respectivamente. Si e, el ángulo de.e l a.e b no es un ángulo recto, entonces
tan e = _m_2_-_m_l_
1 + mlm2
Demuestre esto utilizando el hecho de que e =
25. ¿Cuáles de las siguiente son funciones impares?, ¿cuáles
funciones pares? y ¿cuáles ninguna de éstas?
(a) t sen t
(b) sen2 t
( c) csc t
(d) Isentl
(e) sen(cost)
(f) x + senx
1]
26. ¿Cuáles de las siguiente son funciones impares?, ¿cuáles
funciones pares? y ¿cuáles ninguna de éstas?
(a) cott + sen t
(b) sen 3 t
(c) sec t
(d) Vsen 4 t
(e) cos(sent)
(f) x 2 + senx
Utilice las identidades del medio ángulo para determinar los valores
exactos en los problemas del 27 al 31.
27. cos 2 '!3!.-
17
29. sen 3 (;
=
=
e2 - el en la figura 16.
x
Figura 16
W
41. Determine el ángulo (en radianes) de la primera a la segunda recta (véase el problema 40).
(a) y = 2x, y = 3x
(b) y
x
= 2' y
=-x
28• sen 2 '!6!.-
(c) 2x - 6y
2 17
30. cos 12
42. Deduzca la fórmula A = r 2 t para el área de un sector
circular. Aquí r es el radio y t es la medida en radianes del ángulo
= 12,2x + y = O
1
central (véase la figura 17).
31. sen2 '!8!.32. Determine identidades análogas a las identidades de suma de ángulos para cada expresión.
(b) cos (x - y)
( c) tan (x - y)
(a) sen (x - y)
33. Utilice la identidad de suma de ángulo para la tangente
a fin de demostrar que tan(t +'17) = tan t, para toda t en el dominio de tan t.
34. Demuestre que cos (x - 17) = -cos x, para toda x.
G W 35. Suponga que la llanta de un camión tiene un radio exterior de 2.5 pies. ¿Cuántas revoluciones por minuto da la llanta
cuando el camión está viajando a 60 millas por hora?
G 36. ¿Cuánto avanza una rueda, de radio 2 pies, que rueda al
nivel del piso dando 150 revoluciones? (Véase el ejemplo 3.)
G W 37. Una banda pasa por dos poleas, como se muestra en
la figura 15. ¿Cuántas revoluciones por segundo gira la polea
pequeña cuando la polea grande gira a 21 revoluciones por segundo?
Figura 17
43. Determine el área del sector de un círculo de radio 5 centímetros y ángulo central de 2 radianes (véase el problema 42).
44. Un polígono regular de n lados está inscrito en un círculo de radio r. Determine fórmulas para el perímetro, P, y el área,
A, del polígono en términos de n y r.
45. Un triángulo isósceles está coronado por un semicírculo,
como se muestra en la figura 18. Encuentre una fórmula para el
área A de la figura completa, en términos de la longitud del lado
r y el ángulo t (radianes). (Decimos que A es una función de las
dos variables independientes r y t.)
Figura 15
38. El ángulo de inclinación a de una recta, es el ángulo positivo más pequeño, a partir del eje x a la recta (a' = O, para una recta horizontal). Demuestre que la pendiente m de la recta es igual
a tan a'.
39. Determine el ángulo de inclinación de las rectas siguientes (véase el problema 38).
(a) y =
v'3 x
-
7
(b)
v'3 x + 3y = 6
Figura 18
SECCiÓN
x
sen
1
~
2/n
2/(2n)
2/(3n)
2/(4n)
2/(5n)
2/(6n)
2/(7n)
2/(8n)
2/(9n)
2/(10n)
2/(1 In)
2/(12n)
t
O
-n
-n
-n
2.4
Introducción al tema de límites
63
Utilice su calculadora para evaluar sen(1/x) en estas x.A menos que corra con mucha
suerte, sus valores oscilarán de manera desordenada.
Segunda, intente construir la gráfica de y = sen(1/ x). Nadie hará esto muy bien,
pero la tabla de valores en la figura 6 da una buena pista acerca de lo que está sucediendo. En cualquier vecindad alrededor del origen, la gráfica oscila hacia arriba y hacia
abajo entre -1 y 1 un número infinito de veces (véase la figura 7). Claramente,
sen( 1/ x) no está cerca de un solo número L, cuando x está cerca de cero. Concluimos
que lím sen(1/x) no existe.
•
x---+O
2
7f
t
x
?
Figura 6
Figura 7
Límites unilaterales Cuando una función da un salto (como lo hace [x] en cada
entero en el ejemplo 6), entonces el límite no existe en los puntos de salto. Para tales
funciones, es natural introducir límites unilaterales. El símbolo x ~ c+ significa que x se
aproxima a c por la derecha, y x ~ c- significa que x se aproxima a c por la izquierda.
Límites por la derecha y por la izquierda
Definición
Decir que lím f(x)
x---+c+
= L significa que cuando x está cerca, pero a la derecha de
c, entonces f(x) está cerca de L. De manera análoga, decir que lím_f(x) = L sigx---+c
nifica que cuando x está cerca, pero a la izquierda de c, entonces f(x) está cerca de L.
Por tanto, mientras que lím [ x] no existe, es correcto escribir (vea la gráfica en la fix---+2
gura 5)
límJx]
x---+2
=1
y
lím [x]
x---+2+
=2
Creemos que usted encontrará el teorema siguiente muy razonable.
La figura 8 le debe dar una comprensión adicional. Dos de los límites no existen, aunque todos, con excepción de uno de los límites unilaterales existen.
lím f(x) =4
y
\"----,)-]+
lím f(x) no existe.
1;----,)-1
•
~4
Figura 8
-3
-2
-1
x
66
CAPíTULO
2
Funciones y límites
L - e < f(x) < L
¡(x)
+e
Esto significa que f (x) pertenece al intervalo abierto (L - e, L + e) que se muestra
en la gráfica de la figura 1.
Ahora, decir que x está suficientemente cerca, pero diferente de e, es decir que,
para alguna delta D, x pertenece al intervalo (e - D, e + D), con e eliminado de éste. Tal
vez la mejor forma de decir esto es escribir
L+E
L
L-E
O < Ix - el < D
I¡(x)-LI<
Obsérvese que Ix - el < D describiría al intervalo e - D < x < e + D, mientras que
Ix - el requiere que se excluya x = e. El intervalo con la e eliminada que estamos
describiendo se muestra en la figura 2.
Ahora estamos preparados para lo que algunas personas han denominado la definición más importante del cálculo.
x
€
O<
Figura 1
¡(x)
Significado preciso de límite
Definición
Decir que lím f (x) = L significa que para cada e > Odada (no importa qué tan pex~c
queña) existe una correspondiente D > O, tal que If(x) - el < D; esto es,
c-8
c
c+o
O < Ix - el < D~ If(x) -
x
LI <
LI <
e, siempre que O < Ix
e
Las gráficas de la figura 3 pueden ayudarle a comprender esta definición.
o<lx-el<o
Figura 2
¡(x)
¡(x)
•
Lj
¡(x)
•
~
L~
e
e
x
¡(x)
•
~
x
L-€
x
e e+o
e-O
O <5
L+~j
e
x
Figura 3
Debemos recalcar que el número real e se debe dar primero; el número D debe
producirse y por lo regular depende de e. Supóngase que David desea demostrar a
Emilia que lím f (x) = L. Emilia puede retar a David con cualquier e particular que
x~c
ella elija (e.g., e = 0.01) Ypedir a David que obtenga una Dcorrespondiente. Apliquemos
el razonamiento de David al límite lím3 (2x
X~
+ 1).
Por inspección, David conjunturaría
que e1límite es 7. Ahora, ¿podrá David determinar una Dtal que I(2x
siempre que O < Ix - 31 < D? Un poco de álgebra muestra que
1(2x
+ 1)
-
71 < 0.01
+ 1) - 71 < 0.01
31 < 0.01
#
21x -
#
Ix -31 <2-
0.01
Por tanto, la respuesta a la pregunta es ¡sí! David puede elegir D = 0.01/2 ( o cualquier
valor más pequeño) y esto garantizará que I(2x + 1) -71 < 0.01 siempre que O < Ix31 < 0.01/2. En otras palabras, David puede hacer que 2x + 1 esté a menos de 0.01 del
7, siempre que x esté a menos de 0.01/2 del 3.
68
CAPíTULO
Funciones y límites
2
Ahora, David, conoce una regla para elegir el valor de 8 dada en el reto de Emilia. Si Emilia hubiera retado a David con e = 0.01, entonces David respondería con
8 = 0.01/3. Si Emilia dijese e = 0.000003, entonces David diría 8 = 0.000001. Si él diese un valor más pequeño para 8, también estaría bien.
Por supuesto, si considera la gráfica de y = 3x - 7 (una recta con pendiente 3, como en la figura 4), sabe que para forzar a que 3x - 7 esté cercano a 5 tendría que hacer a x aún más cercano (más cercano en un factor de un tercio) del 4.
•
x
-1
-2
-3
lím
(3x - 7)
, -;4
Mire la figura 5. Luego convénzase de que 8 = 2e sería una elección apropiada para 8 en la demostración de que lím x + 3) = 5.
x~4
=5
EJEMPLO 2
Demuestre que lím
G
2x 2
x~2
ANÁLISIS PRELIMINAR
- 3x - 2
2
x-
= 5.
Estamos buscando una 8 tal que
Figura 4
O < Ix - 21
< (;
2X2
=?
:
1
~x2 -
si <
2 -
€
Ahora, para x =/=- 2,
2X2
1
(2x + 1) (x - 2)
------- - 5
x -2
51
- 3x - 2 _
x - 2
I
I(2x
2
3
4
5
+ 1)
I< e
51 <
12(x - 2)1 <
211 x - 21 <
-
1
J~n¡ Cf- x + 3) = 5
Ix -
Figura 5
Esto indica que 8
=
e
e
e
e
2
21 <-
e/2 funcionará (véase la figura 6).
Sea e > Odada. Elegimos 8 = e/2. Entonces O < Ix -
DEMOSTRACIÓN FORMAL
implica que
2X2_3X-2
I
1(2X+l)(X-2)
I
x - 2
- 5 =
x _ 2
- 5 = 12x
+1
21 <
8
- 51
1
12(x - 2)1
x
Figura 6
= 21x - 21 < 28 =
e
La cancelación del factor x - 2 es válida ya que O < Ix - 21 implica que x=/=-2 Y
x -2
- - = 1 siempre que x =/=- 2.
•
x - 2
EJEMPLO 3
Demuestre que lím(mx
x~c
ANÁLISIS PRELIMINAR
+
b)
= me +
b.
Queremos encontrar una 8 tal que
O < Ix -
el <
8 ~ I(mx
+ b) - (me + b) I <
e
Ahora
I(mx + b) - (me +
b)1
= Imx - mel =
1m (x
-
e)1
=
Imllx - el
Parece que 8 < e/lml funciona, con tal que m =/=-0. (Observe que m podría ser positiva
o negativa, así que necesitamos conservar las barras de valor absoluto. Recuerde del
capítulo 1 que labl = lallbl.)
DEMOSTRACIÓN FORMAL
8 implica que
Sea
e > O dada. Elegimos
a8
=
e/lml. Entonces O < Ix -
el <
I(mx + b) - (me +
b)1
= Imx - mel =
Imllx - el < Iml8
=
e
SECCiÓN
2.5
Estudio formal de límites
69
y en caso de que m = 0, cualquier 8 funcionará bien ya que
¡(x)
I(Ox + b) - (Oe + b)1 = 101 =
°
•
Esto último es menor que e para toda x.
EJEMPLO 4
ANÁLISIS PRELIMINAR
[)
[)
Ahora
entonces lím
x~c
ve.
\IX =
Con respecto a la figura 7. Debemos determinar una 8 tal que
°< Ix - el <
I\IX - vel
Figura 7
°
Demuestre que si e >
8
==?
I\IX - vel
<e
ve)( \IX + ve) I = I x - e I
ve
\IX+ve
= I(\IX -
\IX +
Ix - el
Ix - el
----<---
.ve
\IX+ve-
Para hacer lo último menor que e se requiere que tengamos
Sea e >
DEMOSTRACIÓN FORMAL
el < 8 implica que
1\IX - vel
°
dada. Elegimos a 8 = e
Ix - el <
e
ve.
ve. Entonces °<
Ix-
ve)( \IX + ve) I = I x - e I
\IX+ve
\IX+ve
Ix - el
Ix - el
8
----<
<-=e
\IX+ve- ve
ve
= I(\IX -
Aquí hay un punto técnico. Empezamos con e > 0, pero podría suceder que e esté
muy cercano a sobre el eje x. Deberíamos insistir que 8 :::::: e, para que entonces Ix el < 8 implique que x > 0, de modo que \IX esté definida. Así, para un rigor absoluto, elegimos 8 como el más pequeño entre e y e
°
ve.
•
Nuestra demostración en el ejemplo 4 depende de la racionalización del numerador,
un truco que con frecuencia es útil en cálculo.
EJEMPLO 5
Demuestre que lím(x 2
x~3
ANÁLISIS PRELIMINAR
O<
+x
-
5) =
7.
Nuestra tarea es encontrar una 8 tal que
Ix - 31 <
8
==?
l(x 2 + x -
5) -
71
< e
Ahora
I
(x 2 + x - 5) - 71 = Ix 2 + x - 121 = Ix + 411x - 31
El factor Ix - 31 puede hacerse tan pequeño como queramos y sabemos que Ix + 41 será alrededor de 7. Por tanto buscamos una cota superior para Ix + 41. Para hacer esto,
primero convenimos en hacer 8 :::::: 1. Entonces Ix - 31 < 8 implica que
Figura 8
Ix + 41 = Ix -
3
+ 71
: : : Ix - 31 + 171
(Desigualdad del triángulo)
<1+7=8
(La figura 8 ofrece una demostración alternativa de este hecho.) Si también requerimos que 8 :::::: e/8, el producto Ix + 411x - 31 será menor que e.
°
DEMOSTRACIÓN FORMAL Sea e > dada. Elegimos a 8 = mín {1, e/8}; esto es, elegimos a 8 como el más pequeño entre 1 y e/8. Entonces O < Ix - 31 < 8 implica que
l(x 2 + x - 5) - 71 = Ix 2 + x - 121 = Ix + 411x - 31 < 8 . E = e
8
•
70
CAPíTULO
2
Funciones y límites
Demuestre que lím x 2
EJEMPLO 6
x~c
=
e 2•
DEMOSTRACIÓN Reproducimos la demostración en el ejemplo 5. Sea e > O dada.
Elegimos como o = mín{l, e/(l + 2Iel)}. Entonces O < Ix - el < o implica que
Ix 2
e2
= Ix + ellx - el = Ix - e + 2ellx - el
:::; (Ix - el + 2I e!)lx - el
(Desigualdad del triángulo)
(1 + 21el) . e
< 1 + 21el = e
Aunque parezca increíblemente perspicaz, no sacamos a o "de la manga", en el ejem-
1
•
plo 6. Simplemente, esta vez no le mostramos el análisis preliminar.
, 1
1
EJEMPLO 7 Demuestre que hm - = -, e O.
x~c X
e
"*
¡(x)
ANÁLISIS PRELIMINAR
Estudie la figura 9. Debemos determinar una
O<
Ahora
o tal que
-
Ix - el < 8 => I~ ~I < e
x
El factor l/lxl es problemático, en especial si x está cerca de cero. Podemos acotar este factor si podemos mantener a x alejado de O. Con ese fin, observe que
lel = le -
x + xl :::;
le -
xl + Ixl
de modo que
Figura 9
lel - Ix - el
Así, si elegimos a o :::; lel/2, resultando en hacer Ixl 2::lel/2. Por último, si también peIxl 2::
dimos que
o :::; ee 2 /2, entonces
1
1
~ . ~ . Ix - el <
1
1 ee 2
lel/2 . ~ . 2 = e
DEMOSTRACIÓN fORMAL Sea e > O dada. Elegimos a
ces O < Ix - el < o implica que
-
I~ ~I
=
le
:o xl
=
o = mín{lel/2, ee 2 /2}. Enton-
I~I . 1:1 • Ix - el < le~2 . 1:1 • e~2 = e
•
Límites unilaterales No se necesita mucha imaginación para dar las definiciones
e-O del límite por la derecha y del límite por la izquierda.
Definición
Límite por la derecha
Decir que l~+f(x) = L significa que para cada e > O existe una correspondiente
o > O tal que
o< x -
e <
o ==> If(x) - LI
< e
Al lector le dejamos la definición e-o para el límite por la izquierda. (Véase el
problema 5.)
El concepto e-O presentado en esta sección es probablemente el tema más intrincado y elusivo en un curso de cálculo. Le podría tomar algún tiempo entender este
concepto, pero vale el esfuerzo. El cálculo es el estudio de límites, de modo que una
clara comprensión del concepto de límite es una meta valiosa.
72
CAPíTULO
2
Funciones y límites
27. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son equivalentes a la
definición de límite?
(a) Para algún e > Oytodao > 0,0 <
lx-el <
~
29. Suponga que deseamos dar una demostración con e-O de
que
lím
o=}lf(x)-LI < e.
x->3
(b) Para toda o > O, existe una correspondiente e > Otal que
x4
-
4x 3
.
Empezamos escnbiendo
O < Ix -
el <
e
=}
(x-3)(g(x)).
If(x) - LI < O
(c) Para todo entero positivo N, existe un entero correspondiente
positivo M tal que O < Ix - el < l/M::::} If(x) - LI < l/N.
(d) Para toda e > O, existe una correspondiente o > Otal que O < Ix
- el < o y If(x) - LI < e para alguna x.
28. En lenguaje e-O qué significa decir lím f (x)
x----+c
2.6
Teoremas de límites
4
+6
+ x2 + x + 6
x +6
3
2
x
=-1.
x -4x +x +x+6
+ 1 en la forma
(a) Determine g(x).
(b) ¿Podríamos elegir o = mín (1, e/n) para alguna n? Explique.
(c) Si elegimos o = mín (1/4, e/n), ¿cuál es el entero más pequeño m
que podríamos utilizar?
Respuestas a la revisión de conceptos:
1. L 2. O < Ix - al < o;lf(x) - LI < e 3.e/3 4.ma + b
* L.
e; L
+
e
La mayoría de los lectores coincidirán en que demostrar la existencia y valores de los
límites utilizando la definición e-O de la sección anterior consume tiempo y es difícil.
Esto es por lo que son bienvenidos los teoremas de esta sección. Nuestro primer teorema es el principal. Con él, podemos manejar la mayoría de los problemas de límites
con los que nos enfrentaremos durante bastante tiempo.
Estos importantes resultados se recuerdan mejor si se aprenden en palabras. Por
ejemplo, la afirmación 4 se traduce como: El límite de una suma es la suma de los límites.
Por supuesto el Teorema A necesita demostrarse. Posponemos esa tarea hasta el
final de la sección, preferimos mostrar primero cómo este teorema con varias partes se
utiliza.
Aplicaciones del Teorema principal sobre límites
En los siguientes ejemplos, los números que están en el interior de un círculo se refieren al número de la afirmación de la lista anterior. Cada igualdad está justificada por la afirmación indicada.
EJEMPLO 1
Determine x.-.3
lím 2x
4
•
Solución
lím 2x 4
x-3
T T
=2
lím x 4
x-3
=2
lím
[x-3
,~
x] = 2[3t = 162
•
74
CAPíTULO
2
Funciones y límites
La demostración del Teorema B se obtiene con base en aplicaciones repetidas del
Teorema A. Observe que el Teorema B nos permite encontrar límites de funciones polinomiales y racionales con la simple sustitución de c por x en toda la expresión, siempre y cuando el denominador de la función racional no sea cero en c.
EJEMPLO 5
Encuentre lím
7x 5
10x 4 - 13x + 6
-----3x 2 - 6x - 8
-
-------c-
x-c>2
Solución
7x 5 - 10x 4 - 13x + 6
lím - - - - - - - - x-c>2
3x 2 - 6x - 8
7(2)5 - 10(2t - 13(2)
+
6
11
2
3(2)2 - 6(2) - 8
•
x + 3x + 7
x + 3x + 7
Encuentre lím -2- - - - = lím - - - - 1 X
2x + 1
x-c> 1
(x - 1)2
3
EJEMPLO 6
3
X-C>
Solución No se aplica ni el Teorema B ni la afirmación 7 del Teorema A, ya que ellímite del denominador es cero. Sin embargo, como el límite del numerador es 11, vemos que cuando x se aproxima a 1 estamos dividiendo un número cercano a 11 entre
un número positivo cercano a cero. El resultado es un número positivo grande. De hecho, el número resultante puede hacerlo tan grande como quiera tomando a x suficientemente cercana a 1. Decimos que el límite no existe. (Más adelante, en este capítulo,
(véase la sección 2.8) nos permitiremos decir que el límite es +00.)
•
(2
EJEMPLO 7
Encuentre lím
t-c>2
(
+ 3( - 10
+(- 6 .
2
Solución Nuevamente, no se aplica el Teorema B. Pero esta vez, el cociente toma una forma carente de significado O/O en t = 2. Siempre que esto suceda uno debe buscar una
simplificación algebraica (factorización) del cociente antes de intentar tomar el límite.
,
hm
¿Opcional?
En un primer curso de cálculo,
¿cuántos teoremas deben demostrarse?
Los profesores de matemáticas han
discutido largo y tendido acerca de
esto y acerca del balance correcto
entre:
• lógica e intuición
• demostración y explicación
• teoría y aplicación
Un gran científico de hace mucho
tiempo dio un sabio consejo.
"Quien ama la práctica sin teoría es
como el marinero que se embarca
sin timón ni brújula y nunca sabe
dónde ir."
Leonardo da Vinci
t-c>2
{2
+ 3( - 10. , (( - 2) (( + 5)
=hm
+(- 6
t-c>2 (( 2) (( + 3)
(2
,(
+5
+3
7
5
=hm--=t-c>2 (
•
Demostración del Teorema A (opcional) No debe sorprenderse cuando le
decimos que las demostraciones de algunas partes del Teorema A son muy complicadas. En consecuencia de esto, aquí sólo demostramos las primeras cinco partes, dejando las otras al apéndice (sección A.2, Teorema A). Para que se dé cuenta, podría intentar con los problemas 31 y 32.
Demostraciones de las afirmaciones 1 y 2 Estas afirmaciones resultan de
lím (mx + b) = mc + b (véase el ejemplo 3 de la sección 2.5) utilizando primero
x-c>c
m = OYluego m = 1, b = O. •
Demostración de la afirmación 3 Si k = O, el resultado es trivial, así que suponemos
que k =1= O. Sea e > Odada. Por hipótesis, x-c>c
lím f (x) existe; llamemos L a su valor. Por
definición de límite, existe un número D tal que
O<
Ix - cl < D ==} If(x) - LI < 1:1
Es seguro que algunos reclamarían el cambio de e/lkl en lugar de e al final de
la desigualdad anterior. Bueno, ¿acaso no es e/lkl un número positivo? Sí. ¿Acaso no, la
SECCIÓN
2.6
Teoremas de límites
75
definición de límite requiere que para cualquier número positivo exista una correspondiente 07 Sí.
Ahora, para una oasí determinada (nuevamente vez por medio de un análisis preliminar que no hemos mostrado aquí), aseguramos que O < Ix - el < o implica que
€
L+M -
< Ik l
Ikf(x) - kLI = Ikllf(x) - L/
: =
l 1
e
Esto muestra que
lím kf(x)
x~c
= kL = k lím f(x) •
x~c
Con respecto a la figura 1. Sea lím f (x) = L Y
Demostración de la afirmación 4
,
x~c
lím g( x) = M. Si e es cualquier número positivo, entonces el 2 es positivo. Como
x~c
lím f (x) = L, existe un número positivo 01 tal que
x~c
O<
Ix -el <
01=}
If(x) -
LI <E2
Como lím g(x) = M, existe un número positivo O2 tal que
x~c
x
O<
Ix - el <
O2
=}
Ig( x) - MI
Elegimos o = mín {0 1' 02}; esto es, elegimos como
O < Ix - el < o implica que
Figu,ra 1
If(x)
+ g(x) - (L + M)/
<~
o a la menor de 01 y O2, Entonces
+ [g(x) - MJI
::; If(x) - LI + Ig(x) - MI
= I[f(x) - LJ
e
2
e
2
<-+-=e
En esta cadena, la primera desigualdad es la desigualdad del triángulo (véase la sección 1.4); la segunda resulta de la elección de o. Acabamos de demostrar que
O < Ix -
el < o =}
If(x) + g(x) - (L + M)I < e
Por tanto,
lím[f(x)
x~c
+ g(x)] = L + M = límf(x) + límg(x) •
x~c
x~c
Demostración de la afirmación 5
lím[f(x) - g(x)] = lím[(f(x)
x~c
x~c
+ (-l)g(x)]
= lím f (x) + lím ( -1 )g ( x )
x~c
= lím f (x)
x~c
x~c
+ (-1) lím g ( x )
x~c
= lím f(x) - lím g(x) •
x~c
y
x~c
El teorema del emparedado Probablemente ha oído decir a alguien: "Me encuentro entre la espada y la pared." Esto es lo que le sucede a g en el teorema siguiente (véase la figura 2).
e
x
Demostración
Figura 2
(Opcional) Sea e > Odada. Elegimos 01 tal que
O < Ix -
el <
01 =}
L - e < f(x) < L + e
SECCIÓN
23. lím
x~a
V g ( x) [¡(x)
24. lím [¡(x) - 3
+ 3J
x~a
t~a
JI (x -
37. lím
2)
= Ig(x)[¡(x) -
LJ
:s Ig(x)llf(x) -
LI +
ILllg(x) - MI
Ahora demuestre que lím g(x) = M, entonces existe un número 01
x~c
Ix -
V 1T3 +
V1h
41. lím - - - -
42. límJx - [x])
,
x
43. x~o
hm_ ~I
xI
44. lím [x 2
x~2·
x3
X
(3x - 1)2
x~3
x~3+
+ 2x]
45. Suponga que f(x )g(x) = 1 para toda x y que lím g(x) = O.
Demuestre que límf(x) no existe.
x~a
X----?-ll
tal que
o<
,
(x 2 + l)[x]
MJI
+ L[g(x) -
lím
X~-1T"
40. 11m - - x~l- 4 + 4x
x~3+~
If(x)g(x) - Lg(x) + Lg(x) - LMI
=
38.
X
x-3
39. lím - - -
1
3
29. f(x) = 30. f(x) = 2
x
x
31. Demuestre la afirmación 6 del Teorema A. Sugerencia:
If(x)g(x) - LMI
~
x~-3'
28. f(x) = 3x2 + 2x + 1
3x2
77
En los problemas del37 al 44, encuentre cada uno de los límites unilaterales o establezca que no existen.
u~a
En los problemas del27 al 30, encuentre lím [¡( x) - f(2)
para cada función f dada.
x~2
=
Límites que incluyen funciones trigonométricas
26. lím [¡(u) + 3g(u) J3
25. lím[[f(t)1 + 13g(t)IJ
27. f(x)
t
2.7
el <
01 =9- Ig(x)1
<
¡MI +
46. Sea R el rectángulo que une los puntos medios de los lados
del cuadrilátero Q, el cual tiene vértices (± x, O) y (O, ± 1). Calcule
1
32. Demuestre la afirmación 7 del Teorema A, primero dando
una demostración e-O de que lím [11 g( x) J = 1/[lím g( x) J y luego
aplicar la afirmación 6.
x~c
x~c
33. Demuestre que lím f(x)= L ~ lím [f(x) x~c
x~c
34. Demuestre que límf(x)
x~c
= O ~ lím If(x)[ =
X----1-C
35. Demuestre que lím Ixl =
x~c
LJ =
O.
o.
leI-
47. Sea y = \/X y considere los puntos M, N, O Y P con coordenadas (1,0),(0,1),(0,0) y(x,y) en la gráfica de y = \/X,respectivamente. Calcule:
(a) lím
36. Encuentre ejemplo para demostrar que si
(a) lím [J( x) + g( x) J existe, esto no implica que exista lím f( x) o
x~c
perímetro de R
lím----perímetro de Q
x~o-
x~o+
perímetro de /j.NOP
perímetro de /j.MOP
(b) l'
área de /j.NOP
1m - - - - x~o- área de /j.MOP
x~c
lím g(x);
x~c
(b) lím [J( x) . g( x) J existe, esto no implica que exista lím f( x) o
x~c
x~c
Respuestas a la revisión de conceptos:
1. 48 2. 4 3. -8;
-4 + 5c 4. O; L;2L
lím g(x).
x~c
2.7
Límites
que incluyen
funciones
trigonométricas
El Teorema B de la sección anterior dice que los límites de funciones polinomiales
siempre pueden encontrarse por sustitución, y los límites de funciones racionales pueden encontrarse por sustitución siempre y cuando el denominador no sea cero en el
punto límite. Esta regla de sustitución se aplica también a las funciones trigonométricas. Este resultado se establece a continuación.
y
(0.1)
P( cos
o
r. sen t)
Demostración de la afirmación 1 Primero establecemos el caso especial donde
t > Oy que los puntos A, B YP están definidos como en la figu-
e = O. Supóngase que
ra 1. Entonces
O < ¡BPI < IAPI < arc (AP)
Pero,IBPI = sen t y arco AP
= t, de modo que
O < sen t < t
Figura 1
Si t < O, entonces t < sen t < O. Por lo que podemos aplicar el Teorema del emparedado (Teorema 2.6C) y concluir que lím sen t = O. Para completar la demostración,
t~O
78
CAPíTULO
Funciones y límites
2
también necesitaremos el resultado de que lím cos t
=
1. Ésta se deduce aplicando
1-+0
una identidad trigonométrica y el Teorema 2.6A:
~----lím cos t = lím VI - sen2 t = " /1 - (lím sen t)2 =
1-+0
1-+0
V
1-+0
V1=()2 = 1
Ahora, para demostrar que lím sen t = sen e, primero hacemos h = t - e de moI-+c
do que h ----7 cuando t ----7 e. Entonces
lím sen t = lím sen (e + h)
°
I-+c
h-+O
= lím (sen ecos h + cos e sen h) (Identidad de la suma de los ángulos)
h-+O
(sen e )(lím cos h) + (cos e)(lím sen h)
h-+O
h-+O
(sen e) (1) + (cos e) ( O) = sen e •
Demostración de la afirmación 2 Otra vez utilizamos la identidad junto con el Teorema 2.6A. Si cos e > 0, entonces para t cercano a e tenemos cos t = Yl- sen 2t. Por
tanto,
límcost = lím VI - sen2t = " /1 -(límsent)2 = VI - sen2 e = cose
I-+c
I-+c
V
I-+C
Por otra parte, si cos e < O, entonces para t cercano a e tenemos cos t = - VI - sen2 t .
En este caso
límcost = lím(-Vl - sen2t) = -" /1 - (límsent)2 = -VI - sen2 e
I-+C
I-+c
V
I-+c
= -Vcos 2 e = -Icosel = cose
El caso e = Ose trabajó en la demostración de la afirmación 1. •
Las demostraciones de las demás afirmaciones se dejan como ejercicios. (Véase
los problemas 15 y 16.) El Teorema A puede utilizarse junto con el Teorema 2.6A para evaluar otros límites.
t 2 cos t
EJEMPLO 1 Encuentre lím --1-·
1-+0 t +
Solución
2
2
t cos
lím - -t = ( lím -t - ) (lím cos t) = O • 1 = O
1-+0 t + 1
1-+0 t + 1
1-+0
•
Dos límites importantes que no pueden evaluarse por sustitución son
sent
lím-1-+0
t
y
1 - cost
lím---1-+0
t
En la sección 2.4 nos encontramos el primero de estos límites, en donde conjeturamos
que el límite era 1. Ahora demostramos que en verdad 1 es el límite.
y
(O. 1)
Demostración de la afirmación 1 En la demostración del Teorema A de esta sección,
demostramos que
lím cos t = 1 y lím sent = O
1-+0
1-+0
Para -77"/2::; t::; 77"/2, t *0 (recuerde, no importa qué suceda en t = O), dibuje el segmento de recta vertical BP y el arco circular BC, como se muestra en la figura 2. (Si
t < 0, entonces considere la región sombreada reflejada con respecto al eje x.) Es evidente de la figura 2 que
Figura 2
área (sector OBC) ::; área (dOBP) ::; área (sector OAP)
80
CAPíTULO
2
Funciones y límites
4 sen4x
4x
, sen 4x
l'
11m - - - = 1m - - x~o tanx
x~o
senx
xeosx
(e)
' sen4x
411 m - - x~o
4x
1)
'
' sen x ) (hm-hm-( x~o
x
x~o eos x
4
=-=4
•
1.1
Revisión de conceptos
1. lím sen t
=
_
=
_
t~O
que
2. lím tan t
t~7r/4
' . l'Im-sen t no pued
Ipor
"
, pore eva uarse
sustltuclOn
3. EllImIte
t~O
t
_
4. lím sen t
t~O
t
=
----
Conjunto de problemas 2.7
En los problemas del] al 13, evalúe cada límite.
cosx
1. lím-x~o
2.
x + 1
cos 2 t
3.lím----
lím
tJ~7r/2
y
P( cos 1,
e cos e
senx
5. lím-x~o 2x
sen3e
7. lím-tJ~O tane
cot 7Te sen e
9. l í m - - - - tJ~O
2 sece
tan 2 3t
11. lím-t~O
2t
sen(3t) + 4t
13. lím------.:.--t~O
tsect
8
¡)
Q
, 3x tan x
4. 1I m - - x~o
senx
, sen 3e
6. 1I m - tJ~o
2e
t~ol+sent
sen
;\(1.
r
tan5e
• tJ~ sen2e
, sen 2 3t
10. 1I m - t~O
2t
r
tan 2t
12. t~ sen2t - 1
o)
x
Figura 3
y
14. Demuestre que lím cos t
=
cos c utilizando un argumento si-
t~c
milar al utilizado en la demostración de que lím sen t
=
sen c.
PI COS
{,
sen t)
t~c
15. Demuestre las afirmaciones 3 y 4 del Teorema A utilizando
el Teorema 2.6A.
16. Demuestre las afirmaciones 5 y 6 del Teorema 2.6A.
17. Con base en área( OBP) :::::; área(sector OAP) :::::; área( OBP) +
área(ABPQ) en la figura 3, demuestre que
t
cos t ::; - - ::; 2 - cos t
sent
y así obtenga otra demostración de que lím (sen t) /t = O.
t~O
18. En la figura 4, sea D el área del triángulo ABP y E el área
de la región sombreada.
(a) Haga una conjetura acerca del valor de lím+ DE observando
•
t~O
la figura.
;\(1 O)
x
Figura 4
~
19. Vuelva a hacer los problemas del 1 al 13 en su computadora
y así verifique las respuestas.
(b) Encuentre una fórmula para D/ E en términos de t.
(c) Utilice una calculadora para obtener una estimación precisa
de lím+ DE'
t~O
Respuestas a la revisión de conceptos:
nador es cero cuando t = O4. 1
1. O2. 1 3. el denomi-
SECCiÓN
2.8
Límites en infinito,
límites infinitos
y
g(x)
=:
2.8
Límites en infinito, límites infinitos
81
El concepto del infinito ha inspirado y complicado a los matemáticos desde tiempo inmemorial. Los problemas y paradojas más profundos de las matemáticas con frecuencia están entrelazados con el uso de esta palabra. No obstante el progreso matemático, en parte, puede medirse en términos de la comprensión del concepto de infinito. Ya
hemos utilizado los símbolos 00 y -00 en nuestra notación para ciertos intervalos. Así,
(3,00) es nuestra forma para denotar al conjunto de todos los números reales mayores que 3. Observe que nunca nos hemos referido a 00 como un número. Por ejemplo,
nunca lo hemos sumado a un número ni dividido entre algún número. Utilizaremos los
símbolos 00 y -00 de una manera nueva en esta sección, pero ellos aún no representan
números.
Un ejemplo Considere la función g(x) = x/(1 + x2 ) cuya gráfica se muestra en
la figura 1. Hacemos esta pregunta: ¿ Qué le sucede a g( x) cuando x se hace cada vez
más grande? En símbolos, preguntamos por el valor de lím g(x).
+
x-?oo
Cuando escribimos x ----7 00, no queremos dar a entender que en un lugar muy, muy
alejado a la derecha del eje x exista un número, más grande que todos los demás números, al cual x se aproxima. En lugar de eso utilizamos x ----7 00 como una forma breve de decir que x se hace cada vez más grande sin cota.
En la tabla de la figura 2, hemos listado valores de g(x) = x/(l + x2 ) para varios
valores de x. Parece que g( x) se hace cada vez más pequeño conforme x se hace cada
vez más grande. Escribimos
,
x
hm - - -2 = O
X-?-CXJ 1 + x
Figura 1
x
x
1 +x'
10
0.099
100
0.010
1000
0.001
10000
0.0001
J,
J,
00
?
Al experimentar con números negativos grandes nos conduciría a escribir
,
x
hm - - =
0
2
X-?-CXJ 1 + x
Figura 2
Definiciones rigurosas de límites cuando x ~ ±oo En analogía con nuestra definición c, o para límites ordinarios, hacemos la definición siguiente.
Definición
y
x
~
00
Sea f definida en [c, (0) para algún número c. Decimos que lím f (x) = L, si para
x-?-oo
cada c > O existe un correspondiente número M tal que
1
E
T
x > M => If(x) - LI < c
M
Figura 3
Límite cuando
x
Note que M puede depender de c. En general, entre más pequeña es c, más grande tendrá que ser M. La gráfica en la figura 3 puede ayudarle a comprender lo que estamos diciendo.
Definición
Límite cuando x ~
-00
Sea f definida en (-00, cJ para algún número c. Decimos que lím f (x) = L si para
cada c > O existe un correspondiente número M tal que
x-?-oo
x < M => If(x) - LI < c
EJEMPLO 1 Demuestre que si k es un entero positivo entonces
,
1
O y
1lm
kX =
x-?oo
l'Imk=O
1
X-?-CXJ
X
Sea c > O dada. Después de un análisis preliminar (como en la sección
2.5), elegimos M = ~. Entonces x > M implica que
Solución
I ~ - 01 = ~ <
_1k = c
xk
xk
M
La demostración de la segunda proposición es similar.
•
86
CAPíTULO
Funciones y límites
2
2.9
Continuidad
de funciones
Un buen ejemplo de una máquina
de discontinuidades es la máquina de
servicio postal, que (en 1999)
cobraba 0.33 dólares por una carta
de 1 onza pero 0.55 dólares por una
carta de un poco más de una onza.
En matemáticas y ciencias, utilizamos la palabra continuo para describir un proceso
que sigue sin cambios abruptos. De hecho, nuestra experiencia nos lleva a suponer esto como una característica esencial de muchos procesos naturales. Es esta noción, con
respecto a funciones, la que ahora queremos precisar. En las tres gráficas que Se muestran en la figura 1, sólo la tercera exhibe continuidad en c. En las primeras dos gráficas, lím f (x) no existe, o bien existe pero no es igual a f (c). Sólo en la tercer gráfica
x--+ e
lím
x--+ e
= f (x) = f (c ).
y
y
y
e
lím f(x) no existe
x
X-1C
x
e
lím f(x) existe, pero
lím f(x)
X""c
X""c
*
e
x
=f(c)
~r:;/(x) f(c)
Figura 1
He aquí la definición formal.
Definición
Continuidad en un punto
Sea f definida en un intervalo abierto que contiene a c. Decimos que f eS continua
en c si
f (x)
lím
x--+
=
f (c )
C
Queremos decir con esta definición que necesitamos tres cosas: (1) que lím f (x)
x--+c
exista, (2) que f(c) exista (p. ej., c esté en el dominio de f) y (3) lím f(x) = f(c). Si
x--+c
cualquiera de estas tres no se cumple, entonces f es discontinua en c. Así, las funciones
representadas por la primera y segunda gráficas de la figura 1 son discontinuas en c.
Sin embargo, no parecen ser discontinuas en otros puntos de sus dominios.
x2 - 4
EJEMPLO 1 Sea f(x) = x _ 2 ,x
=1=
2. ¿Cómo debe definirse f en x = 2 para hacer
que sea continua allí?
Solución
1/ (x - 2) (x + 2)
1/ (
)
/ X2 - 4
= 1m x+2 =4
11 m - - = 1m
x - 2
x--+2
X - 2
x--+2
x--+2
f(x)
Por tanto, definimos f(2) = 4. La gráfica de la función resultante se muestra en la figu•
ra 2. De hecho. vemos que f (x) = x + 2 para toda x.
= \.
Figura 2
Continuidad de funciones conocidas La mayoría de las funciones con las
que nos enfrentaremos en este texto son (1) continuas en todas partes o (2) continuas
en todas partes, excepto en algunos puntos. En particular, el Teorema 2.6B implica el
resultado siguiente.
y
-4
-3
-2
-1
f(x) =!x
Figura 3
2
3
4
x
Recuerde la función valor absoluto f(x) = Ixl; su gráfica se muestra en la figura 3.
Para x < 0, f(x) = -x, una función polinomial; para x > 0, f(x) = x, otra función
polinomial. Así, por el Teorema A, Ixl es continua en todos los números diferentes de
cero. Pero
SECCIÓN
y
2.9
Continuidad de funciones
87
límlxl = O = 101
x~o
(véase el problema 23 de la sección 2.5). Por tanto, Ixl también es continua en cero; es
continua en todas partes.
Por medio del Teorema principal sobre límites (Teorema 2.6A)
f(x)
Figura 4
lím
x~c
=:
vx = "n~
= ve
V
~~~.A
con tal que c > O, cuando n es par. Esto significa que f (x) = VX es continua en cada
punto en donde tiene sentido hablar acerca de continuidad. En particular, f (x) =
es continua en cada número real c > O (véase la figura 4). Se puede resumir lo siguiente:
vx
Continuidad en operaciones con funciones ¿Las operaciones ordinarias
entre funciones preservan la continuidad? Sí, de acuerdo con el teorema siguiente. En
él, f y g son funciones, k es una constante y n es un entero positivo.
Demostración Todos estos resultados son consecuencias fáciles de los correspondientes hechos para límites del Teorema 2.6A. Por ejemplo, ese teorema combinado
con el hecho de que f y g son continuas en c, produce
lím f (x) g ( x) = lím f (x) . lím g ( x) =
x~c
x~c
x~c
Esto es precisamente lo que significa decir que f
EJEMPLO 2
f (c )g (c )
. g es continua en c. •
¿En qué números F(x) = (31xl - x 2 )/(
vx + \o/X) es continua?
No necesitamos considerar números no positivos, ya que F no está definida en tales números. Para cualquier número positivo, todas las funciones VX, \o/X, Ixl
Yx 2 son continuas (Teoremas A y B). Se deduce, con base en el Teorema C que 31xl31xl
- x 2 , VX + \o/X, y por último,
(31 x
x 2)
Solución
l
-
(VX + \YX)
son continuas en cada número positivo.
•
La continuidad de funciones trigonométricas se deduce del Teorema C y del Teorema 2.7A.
Demostración El Teorema 2.7A dice que para todo número real c
lím sen x
x~c
= sen c y
lím cos x
x~c
= cos c
Éstas son exactamente las condiciones requeridas para que sen x y cos x sean continuas en c.
Como sen x y cos x son continuas en cada número real c, el Teorema C implica
sen x
que el cociente - - = tan x es continua siempre que el denominador, cos x, no sea
cosx
88
CAPíTULO
2
Funciones y límites
/
.
d
/
1
cero. A SI, tan x, es contmua en to o numero rea , excepto en e = ± 2 ' ± 2' ... , que
7T
37T
son precisamente los puntos que no pertenecen al domino de tan x. Un argumento similar se aplica a cot x, sec x y csc x.•
Existe otra operación con funciones, composición, que será muy importante en el
trabajo posterior. También preserva la continuidad.
Demostración del Teorema E (opcional)
Demostración Sea e > Odada. Como f es continua en L, existe una 01 > Ocorrespondiente tal que
¡(L)
It - LI < 01 => If(t) - f(L)1 < e
f(g(x))
y así (véase la figura 5)
Ig(x) - LI < 01 => If(g(x)) - f(L)1 < e
Figura 5
Pero ya que lírn g( x) = L ,para una 01 > Odada, existe una correspondiente O2 > O
x~c
tal que
Cuando reunimos estos dos hechos, tenemos
o<
el <
Ix -
O2 =>
1I (g(x ))
-
1(L ) I < e
Esto demuestra que
lírnf(g(x)) = f(L)
x~c
La segunda proposición en el Teorema E se deduce de la observación de que si g
es continua en e entonces L = g( e ). •
EJEMPLO 3
Demuestre que h(x)
= Ix 2 - 3x + 61 es continua en todo número real.
Sea f (x) = Ixl y g( x) = x2 - 3x
ro real, y por tanto su composición
Solución
+ 6. Ambas son continuas en cada núme-
h(x) = f(g(x)) = Ix 2
-
3x +
61
•
también lo es.
EJEMPLO 4
Demuestre que
x 4 - 3x + 1
h(x) = sen - 2 - - - x - X - 6
es continua excepto en 3 y -2.
Solución
x2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2). Así, la función racional
g (x)
=
X4 -
x2 -
3x + 1
X -
6
SECCIÓN
2.9
Continuidad de funciones
89
es continua excepto en 3 y -2 (Teorema A). Sabemos del Teorema D que la función seno es continua en todo número real. Así, con base en el Teorema E, concluimos que, como h(x) = sen(g(x)),h también es continua excepto en 3 y -2.
•
Continuidad en un intervalo Hasta ahora, hemos estudiado continuidad en un
punto. Deseamos analizar la continuidad en un intervalo. La continuidad en un intervalo tiene que significar continuidad en cada punto de ese intervalo. Esto es exactamente lo que significa para un intervalo abierto.
Cuando consideramos un intervalo cerrado [a, b], nos enfrentamos a un problema. Podría ser que f incluso no esté definida a la izquierda de a (e.g., esto ocurre para
f (x) = \IX en a = O), así que hablando estrictamente, lím f (x) no existe. Elegimos
darle la vuelta a este problema diciendo que f es continua en [a, b] si es continua en
b) y si lím_f(x) = f(a) y x~b
lím_f(x) = f(b). Resumimos esto en
cada punto de (a 'x~a
una definición formal.
x~a
Definición
Continuidad en un intervalo
La función f es continua por la derecha en a si lím+ f (x) = f (a) y continua por la
izquierda en b si límb_f( x) = f( b) .
x~a
Decimos que f es continua en un intervalo abierto si es continua en cada punto
de ese intervalo. Es continua en el intervalo cerrado [a, b] si es continua en (a, b) continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b.
x~
y
Por ejemplo, es correcto decir que f(x) = l/x es continua en (O, 1) Y que
g( x) = \IX es continua en [O, 1].
x
EJEMPLO 5 Utilizando la definición anterior, describa las propiedades de la continuidad de la función cuya gráfica está dibujada en la figura 6.
La función parece que es continua en los intervalos (-00, O), (0,3) Y(5,00)
y también en el intervalo cerrado [3, 5].
•
Solución
Figura 6
EJEMPLO 6 ¿Cuál es el intervalo más grande sobre el cual la función definida por
g(x) = ~ es continua?
El dominio de g es el intervalo [-2,2]. Si e pertenece al intervalo (-2,2),
entonces, por el Teorema E, g es continua en e; de aquí que, g es continua en (-2,2).
Los límites unilaterales son
Solución
lím ~ = "V /4
lím
. - (x~-2+
x~-2+
x)2 ~ = O = g(-2)
y
Esto implica que g es continua por la derecha en -2 Ycontinua por la izquierda en 2.
Así, g es continua en su dominio, el intervalo cerrado [-2, 2].
•
y
De manera intuitiva, que f sea continua en [a, b] significa que, cuando Xl y x2 están cerca uno del otro y ambos en [a, b], entonces f(xd y f(x 2 ) están cerca uno del
otro. La gráfica de f en [a, b] no debe tener saltos, de modo que debemos de ser capaces de "dibujar" la gráfica de f desde el punto (a, f( a)) al punto (b, f( b)) sin levantar
nuestro lápiz del papel. Así, la función f debe tomar todos los valores entre f( a) y
f (b ). Esta propiedad se establece de manera más precisa en el Teorema F.
f(b)
lt; - + - - - - - - - - - 1
w; -+-----.=-..::--..
f(a)
x
Figura 7
La figura 7 muestra la gráfica de una función f(x) que es continua en [a, bJ. El
Teorema del valor intermedio dice que para toda W en (f( a), f( b)) debe existir una
92
CAPíTULO
Funciones y límites
2
17. A partir de la gráfica de h dada en la figura 13, indique los intervalos en los que h es continua.
39. Utilice el Teorema del valor intermedio para demostrar que
(cos t )1 3 + 6 sen5 t - 3 = Otiene una solución real entre Oy 27r.
40. Demuestre que la ecuación x 5 + 4x3 - 7x + 14 = Otiene al
menos una solución real. Sugerencia: Teorema del valor intermedio.
41. Pruebe que f es continua en c si, y sólo si lím f(t + c)
f(c).
=
HO
42. Demuestre que si f es continua en c y f (c) > O, existe un
intervalo (c - D, c + D) tal que f (x) > O en este intervalo.
43. Demuestre que si f es continua en [0,1] Yahí satisface O::::::::
f(x) : : : : 1, entonces f tiene un punto fijo; esto es, existe un número c
en [0,1] tal que f( c) = c. Sugerencia: Aplique el Teorema del valor
intermedio a g(x) = x - f(x).
Figura 13
En los problemas del 18 al 23, la función dada no está definida en cierto punto. ¿Cómo debe definirse para hacerla continua en ese punto?
(Véase el ejemplo 1.)
18.
f (x)
x 2 - 49
x - 7
=
19.
sen (e)
20. g(e) = - e -
f (x) =
21. H(t) =
Vt t -
1
1
+7
28. f(u) = " r-:-;
vu + 5
29. g(u)
30. F(x)
=
v4 + x
X
f (x) =
{
x2
2 - x
34. f(t)
=
{
2
u2 +
=
lu - 11
,,3~
\/ u + 1
1
=
" r;--;)
v4 - x 2
si x < o
si o =:; x =:; 1
si x > 1
si x < o
:x si o =:; x =:; 1
si x > 1
X
33. g(x) =
31. G(x)
" r:-:-?
1
-3 yf (2)
=
1. ¿El
Teorema del valor intermedio implica la existencia de un número c entre -2 Y2 tal que f (c) = O? Explique.
27. r( e) = tan e
1
si' x < 1
46. Seaf(x) = x _ 1·Entoncesf(-2) =
26. h( e) = Isen e + cos el
2u
{
+1
ax + b si' 1 : : : : x < 2
3x
si' x::::: 2
45. Una liga estirada cubre el intervalo [O, 1]. Los extremos se
sueltan y la liga se contrae de modo que cubre el intervalo [a, bJ con
a :2: OY b : : : : 1. Demuestre que esto resulta en un punto de la liga (en
realidad exactamente un punto) que estará en donde estaba originalmente. Véase el problema 43.
3x + 7
(x) = (x - 30) (x - 7T)
33 - x 2
25. f (x) = -x-7T-+-3-x---3-7T---X-2
32.
f (x) =
1
x2 - 1
x 4 + 2x 2 - 3
23. F(x) = sen ~
1
x+
_En los problemas del 24 al 35, ¿en qué puntos, si los hay, las funciones
son discontinuas?
f
X
2x 2 - 18
3 - x
22. 4>(x) =
24.
44. Encuentre los valores de a y b de modo que la función siguiente sea continua en todas partes.
47. Iniciando a las 4 a.m., un excursionista escala lentamente hacia la cima de una montaña, llegando al mediodía. Al día siguiente, él
regresa a lo largo de la misma ruta, iniciando a las 5 a.m., y llegando
al pie de la montaña a las 11 a.m. Demuestre que en algún punto a lo
largo de la ruta su reloj mostraba la misma hora en ambos días.
48. Sea D una región acotada, pero arbitraria en el primer cuadrante. Dado un ángulo e, O:::::::: e:: : : : 7r/2, D puede ser encerrada por medio de un rectángulo cuya base forme un ángulo e con el eje x como
se muestra en la figura 14. Demuestre que para algún ángulo este rectángulo es un cuadrado. (Esto significa que cualquier región acotada
puede ser encerrada dentro de un cuadrado.)
2
y
35. g ( t) = [t +
[t]
36. Dibuje la gráfica de una función
condiciones siguientes.
f
H
que satisface todas las
(a) Su dominio es [-2,2].
(b) f(-2) = f(-l) = f(l) = f(2) = 1.
(c) Es discontinua en -1 y 1.
(d) Es continua por la derecha en -1 y continua por la izquierda en 1.
37. Sea
f (x) =
X
{ - X
si x es racional
...
SI X es IrracIOnal
Dibuje la gráfica de esta función lo mejor que pueda y decida en dónde es continua.
38. Utilice el Teorema del valor intermedio para demostrar que
x 3 + 3x - 2 = Otiene una solución real entre Oy 1.
()
x
Figura 14
49. Seaf(x + y) = f(x) + f(y) para todo x y y en
ga que f es continua en x = O.
~
y supon-
(a) Demuestre que f es continua en todas partes.
(b) Demuestre que existe una constante m tal que f(t)
toda t en ~ (véase el problema 41 de la sección 2.1).
= mt para
SECCIÓN
En los problemas del 50 al 53, estudiaremos funciones lineales. Tales
funciones tiene la forma y( x) = mx + b, donde m y b son constantes.
50. Demuestre que la suma de dos funciones lineales también
es una función lineal.
51. Demuestre que la composición de dos funciones lineales también es una función lineal.
52. Demuestre que el producto de dos funciones lineales por lo
general no es una función lineal.
53. Demuestre que el cociente de dos funciones lineales por lo
general no es una función lineal.
2.10
Revisión del capítulo
93
58. Un bloque delgado en forma de triángulo equilátero con lado
de longitud 1 unidad, tiene su cara en la vertical del plano xy con un
vértice en el origen. Bajo la influencia de la gravedad, girará alrededor de V hasta que un lado golpee el piso, en el eje x (véase la figura
15). Denótese con x la abscisa inicial x del punto medio M, del lado
opuesto a V, Y sea f (x) la abscisa x final de este punto. Suponga que
el bloque queda en equilibrio cuando M está directamente arriba de V.
(a) Determine el dominio y rango de f.
(b) En el dominio de f, ¿en dónde es discontinua?
(c) Identifique cualesquiera puntos fijos de f (véase el problema 43).
y
54. Pruebe que si f (x) es una función continua en un intervalo
entonces también lo es la función If(x)1 = V(¡(x))2.
y
55. Demuestre que si g(x) = If(x)1 es continua, no necesariamente es cierto que f(x) sea continua.
56. Algunas veces se dice que la continuidad de una función f está definida para ser capaz de pasar ellím "a través" de la función. Por
X-K
ejemplo, si f es continua en c, entonces lím f(x) = f(lím x). Demuestre o refute esta afirmación.
x---+c
x---+c
57. (Problema famoso) Sea f( x) = 0, si x es irracional y sea
f(x) = 1/q si x es un número racional p/q en su mínima expresión
o
-1
Posición inicial
Posición final
Figura 15
1. lím f (x )
2. todos
3. lím f(x) = f(a); lím f(x) = f(b)
4. a; b;
(q > O).
Respuestas a la revisión de conceptos:
(a) Dibuje, lo mejor que pueda, la gráfica de f en (O, 1).
los enteros
(b) Demuestre que f es continua en cada número irracional en (O, 1),
pero es discontinua en cada número racional en (0,1).
f(c) = W
x---+a
x---+c
x---+b
2.10 Revisión del capítulo
A cada una de las siguientes aseveraciones responda con verdadero o
11. El rango de la función f (x) = csc x - sec x es el intervalo (-00,
-1J u [1,00).
falso. Justifique sus respuestas.
12. La suma de dos funciones pares es una función par.
1. La ecuación xy + x = 3y determina una función con fórmula
de la forma y = f(x).
13. La suma de dos funciones impares es una función impar.
2. La ecuación xi + x2 = 3x determina una función con fórmula
de la forma y = f(x).
15. El producto de una función par con una función impar es una fun-
3. La ecuación Osen O + t - cos O =
ción de O.
16. La composición de una función par con una función impar es una
función impar.
Examen de conceptos
2
4. La ecuación <1>
de 'IJI.
+ 'IJI =
1<1>
°
determina a t como una fun-
+ 'IJII determina a <1> como una función
14. El producto de dos funciones impares es una función impar.
ción impar.
17. La composición de dos funciones impares es una función par.
18. Lafunciónf(x) = (2x 3 + x)/(x 2 + 1) es impar.
5. La ecuación T = sen(O) determina a Ocomo una función de T.
19. La función
6. El dominio natural de
f(t)
f(x) =
~4 ~ x
es el intervalo [0,4).
(sen t}2 + cos t
tan t csc t
es par.
20. Si el rango de una función consiste en sólo un número, entonces
su dominio también consiste de sólo un número.
7. El dominio natural de
f(x)
=
= V-(x 2 + 4x + 3)
es el intervalo -3 ::; x ::; -1.
21. Si el dominio de una función contiene al menos dos números, entonces el rango también contiene al menos dos números.
22. Sig(x) = [x/2],entoncesg(-1.8) =-1.
8. El dominio natural de T( O) = sec( O) + cos( O) es todo valor de O.
23. Si f(x) = x 2 y g(x) = x 3 , entonces f
9. El rango de f (x) = x
24. Si f(x) = x 2 y g(x) = x 3 , entonces (f o g)(x) = f(x).g(x).
2
-
6 es el intervalo [-6,00).
10. El rango de la función f(x) = tan x - sec x es el intervalo
(-00, -1 J u [1, 00).
o
g = g
o
f.
25. Si f y g tiene los mismos dominios, entonces f / g también tiene ese
dominio.
'PRYECTGSi
I
r.
sp(azamie
i:o
I
I
FiECNOL(A 2.1
I-
esr:dlaI:rnk nto de I g.áti
r
cadeuri ffiflciOfl
Preparación
Ly
segurese dc qe ustec conoza Cól ml
10
utilizar ci software aroçu para lefiy graficar funciones. También invesLigue Ia capacidad de su software para
anirnar graficas.
\
orjIa
'1 Uso de Ia tecnor
IT propOsito de este proyecto .s recoocer los efectos de ccnsark a y b soIa grafa dc
X) + a,
± ). f(''
;'bx) y bf(x).
I
) Seaf(x)
N
-I
jercicio 1
H-
sen(x).DiL.Ia 'rafti-
ca de f(x a) = sen( -- a) para
varios valores dc a, de 4 a 4. Si u
software tide Ia capacivad de an
mar graficas. grafique y anir1lc
f (x + a) para a = 4 a 'i= 4 en inLI
crementos dc 0.1.
) Repita Ia pane (a) para (x) +
I
4
6
-2
-3
:Hrf
-4
J
a = sen x + a. Asegürese de c1ue
entiende la diferencia entre sen(x +
a) y sen x + a.
Repita Ia parte (a) para f(bx) =
sen(bx).
(d) Repita La parte (a) para bf(x) = b
J.
2
4
Il/
8
I-
Sen x.
4-
-
Ejercicio 2 Repita las cuatro partes del
ejercicio
para Ia función g(x) =
sen v.
1
L
I:jercicio 3 Las graficas de las funcicnes
f (x) = sen(2x)
I
-3
-4FigL-a
it 2
= sen(x --
f3(x) = 3sen(2x)
[4(x) = 3 sen(x + 1)
f(x) = 3 sen x
sc muestran en desorden en la figura 1.
'eIacione cada iunción con su gráfica.
1jercicio 4 Identque 1a funciones
c!.yas gráficas se uuestran en a figui 2.
Figura 1
I
le*IL ic
's crUaunreporte bieve que explioue
I
efecu I.e las constantes a y b sobre
'is
i. jticas de las funciones (x + a
J
.
1O
b-v-
,
f(x,
+
,j'(,x),bf(x).
Li
9/
PRYEC1O DE TECNOLOGfA 2.2
'Si
I-
[
1
I
I
I
i
I
A
LImit
Prepara(:IC,n
'. deiCiniic-ion de ilmite de Ia seeRi. vie ia
I
L.teoremas sobre ilmites de
c' 'In 2.5 y- DS
la seixio n2. 6.
de Ia t 'cnologIa
1 Utilice la factorización paEj.rCjcjo
ra ayudar .. ncr ntrar los ilmites guien.150
L'
-
RE.
tá definida en ci punto lImite.
i-a nota rj qu eiriuchos IiJ11A
hes -pruedeii obtenerse con solo valuar
(b) Construya una tabla airededor de
x = 0.
Evalüe cada uno de los iimites siguientes cuando x - 0, por medio de tabias y gráficas.
- x2 - 4x + 4
(a)
Ejerciclo 3
tes:
.x3 - 9x2 - 45x - 91
hut-- -x - 13
(b)
Ii fl
- 9x2 - 39x - 86
x - 13
lIni
13
(")
c' ilni
x-,13
- 26.'x3 + 178x2 - 234x + 1521
x - 13
sen x
X
(Este es Un lImite importan-
te).
(c)
(d)
1cosx (Este también 10 es.)
x
Ej.ercicio 2':
urn
x -*0
-- /
V'25 + ix v25-2r
X
rnedio de Ja uno de los métodos
sigiientes
'a) 1-lagaunagráfica de la fracción cer'a del pun x = 0. Con frecuenc ia, eslo "fi.nciona" aun cuando,
98
Laf.unciOi. lada en eL punto dano. Estabi zc -tc1.e manera precisa uiia cLjdiCjOfl
j" là cua sto .s válido. ,Cua1cs de los
b'3'
tii te iguintcs pueden eva1arse de
lIrnLss
e
.a.ie
,Jam
r'ra encil1a? Justifique sus res-
uL ;tas.
-x+5
(a) lInI
(b' im
-
- 25
c-*5 X -
(c) x-*5
lIm \/i6
5
sen5 x
(e) (1 + X)h/X (Otro ilmite importante.)
e
Eii"utre
-. I
fI X.ilr
L. eirckk', 5
como en este caso, la función no es-
Ejerciclo 4 Como hemos visto, en ocasiones gunas herramientas comunes,
'-orización puede utilizartales 'nm
se de fona provechosa. Utihce ci truco
de multiplicar arriba y abajo por una suma de las raIcc cuadradas ("racionaiización u I iv"erador") para verificar de
manera aig jraica ci resultado del ejercicio 2y /Lrificar que sus resultados fueron correctos.
Eercicio 6 P roporcionc ejemptos
"uient.ti)TJno ifuncjon racional (que u sea
'') cuyo lImite en c pueda
p'olinc mK,,
lo
va1uarse por sustitución.
(1,Lii-t función :acional (juL no sea
.
'our )mn) cuyo lImite ciS1 e no pue-- sustitwiOn
daevaL.arse
".! por
(e) Uiu. fun.ciói i aciona1 cuyo 1Iinte en
T
C
SCd C'O.
(d) Una lunci )L'i no racionai cuyo unite
en 0
'sta.
i:
CAPITULO
3
La derivada
Dos problemas con el mismo tema
La derivada
Reglas para encontrar derivadas
Derivadas de funciones trigonométrica1
La regla de Ia cadena
3.5
Notación de Leibniz
3.6
3.7
Derivadas de orden superior
Derivación impilcita
3.8
3.9
Tasas de cambio relacionadas
3.10 Diferenciales y aproximaciones
3.11 Revision del capItulo
3.12 Problemas adicionales
Proyecto de tecnologIa 3.1 Rectas secantes y tangentes
Proyecto de tecnologIa 3.2 AproximaciOn lineal de una funciOn
3.1
3.2
3.3
3.4
3.1
Nuestro primer problema es muy antiguo; se remonta a la época del gran cientIfico
Dos problemas
con el mismo tema
griego ArquImedes (287-212 a.C.). Nos referimos al problema de la pendiente de Ia recta tangente.
fl
/
Recta tangente en P
Figura 1
Nuestro segundo problema es más reciente. CreciO con los intentos de Kepler
(1571-1630), Galileo (1564-1642), NeWton (1642-1727) y otros para describir Ia velocidad de un cuerpo en movimiento. Es ci problema de La velocidad instantánea.
Los dos problemas, uno geométrico y el otro mecánico, parecen no estar muy reLacionados. En este caso las apariencias engafian. Los dos problemas son gemelos
idénticos.
La recta tangente La noción de Euclides de una tangente, como una recta que
toca a una curva en un solo punto es totaimente correcta para cIrculos (véase la figura 1) pero completamente insatisfactoria para otras curvas (véase la figura 2). La idea
de una tangente, en P, a una curva como la recta que mejor aproxima a la curva cerca de
P es mejor, pero aün es muy vaga para la precision rnatemática. El concepto de lImite
proporciona una manera de obtener una mejor descripción.
Sea P un punto en una curva y sea Q un punto móvil cercano a P en esa curva.
Considere la recta que pasa por P y Q, liamada recta secante. La recta tangente en P
es la posición lImite (si ésta existe) de Ia recta secante cuando Q se mueve hacia P a
lo largo de Ia curva (véase La figura 3).
Suponga que la curva es la gráfica de la ecuación y = f(x). Entonces P tiene coordenadas (c,f(c)), un punto cercano Q tiene coordenadas (c + h,f(c + h)) y la recta secante de P a Q tiene pendiente msec dada por (véase La figura 4):
f(c + h) - f(c)
Recta tangente en P
Figura 2
msec
=
h
102
CAPíTULO
3
La derivada
250
.g
·6
200
o
u
~
150
ro
·u
~
es
lOO
50
0""'--""""'----+----+----+------+-
Figura 9
Durante el segundo segundo (p. ej., en el intervalo de tiempo de t = 1 a t = 2),
P cae (64 - 16) pies. Su velocidad promedio fue
64 - 16
.
2 _ 1 = 48 pIeS por segundo
vprom =
Durante el intervalo de t = 1 a t = 1.5, cae 16(1.5)Z - 16 = 20 pies. Su velocidad
promedio fue
vprom =
16(1.5)2 - 16
20
.
1.5 _ 1
= 0.5 = 40 pIes por segundo
De manera similar, en los intervalos de tiempo t = 1 a t = 1.1 Y t = 1 a t = 1.01,
calculamos las velocidades promedio respectivas
vprom =
16(1.1)2 - 16
3.36
.
1.1 _ 1
= 0.1 = 33.6 pIeS por segundo
vprom =
16(1.01)2 - 16
0.3216
.
1.01 _ 1
= ~ = 32.16 pIes por segundo
Cambio en el tiempo
c+h
!(c)
Cambio en
la posición
/(c+h)
Lo que hemos hecho es calcular la velocidad promedio en intervalos de tiempo
cada vez más pequeños, cada uno iniciando en t = 1. Entre más breve es el intervalo
de tiempo, mejor aproximamos la velocidad instantánea en el instante t = 1. Mirando
los números 48,40,33.6 Y32.16, podríamos suponer que 32 pies por segundo es la velocidad instantánea.
Pero seamos más precisos. Suponga que un objeto P se mueve a lo largo de un eje
coordenado de modo que su posición en el instante testá dada por s = f(t). En el instante e el objeto está en f( e); en un instante cercano, e + h, está en f( e + h) (véase
la figura 10). Así la velocidad promedio en este intervalo es
f(c + h) - f(c)
v prom =
Figura 10
h
Ahora podemos definir la velocidad instantánea.
Definición
Velocidad instantánea
Si un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado con función de posición f(t),
entonces su velocidad instantánea en el instante e es
/
/
v = h~O
hm vprom = h~O
hm
f(c +
siempre que el límite exista y no sea 00 o -oo.
h) - f(c)
h
11 O
CAPíTULO
3
La derivada
EJ EM PLO 6
qué punto?
Cada una de las siguientes es una derivada, pero ¿de qué función? y ¿en
2
(a) h--.+O
lím
2
x
3
( b) l í m - -
(4+h)2_16
h
3
x--.+3X -
Solución
(a) Ésta es la derivada de f(x) = x 2 en x = 4.
(b) Ésta es la derivada de f(x) = 2/x en x = 3.
•
Diferenciabilidad implica continuidad Si una curva tiene una recta tangente en un punto, entonces esa curva no puede dar un salto u oscilar demasiado en ese
punto. La formulación precisa de este hecho es un teorema importante.
Demostración Necesitamos demostrar que lím f(x) = f(e).Empezamos escribiendo f (x) de una manera especial.
x--.+c
f(x) = f(e) + f(x) - f(e) . (x - e),
x - e
x"*
e
Por tanto,
lím f (x)
x--.+c
=
lím [ f (e)
X--.+C
+
f(x) - f(e)
= lím f (e) + lím
x--.+c
e
X -
. (x - e)
f(x) - f(e)
X--.+C
e
X -
]
. lím (x - e)
x--.+c
= f(e) + I'(e) . O
= f(e) •
El recíproco del teorema es falso. Si una función f es continua en e, no se sigue que
Ixl en el origen
(véase la figura 3). Esta función en verdad es continua en cero. Sin embargo, no tiene
una derivada allí, como se muestra a continuación. Observe que
f tenga una derivada en e. Esto es fácil de ver considerando f(x) =
f(O + h) - f(O)
10 + hl - 101
Ihl
h
h
h
y
Así,
f(O + h) - f(O)
~
hm------h
h--.+O+
-1
Figura 3
x
fcn =
Ihl
lím -
h--.+O+
h
h
h
= lím - = 1
h--.+O+
mientras que
lím
h--.+O-
f (O +
h) -
f (O) =
h
lím
h--.+O-
~ = lím -h = -1
h
h--.+O-
h
Ya que los límites por la derecha y por la izquierda son diferentes,
~
hm
h--.+O
f(O + h) - f(O)
h
no existe. Por tanto, f' (O) no existe.
Un argumento similar muestra que cualquier punto en donde la gráfica de una función continua tenga un esquina o vértice la función no es diferenciable. La gráfica en la
figura 4 indica algunas formas para que una función no sea diferenciable en un punto.
SECCIÓN
(a) En este intervalo, ¿en dónde f' (x) < O?
(b) En este intervalo, ¿en dónde f( x) disminuye cuando x aumenta?
(c) Haga una conjetura. Experimente con otros intervalos y otras
funciones para sustentar esta conjetura.
l'
J •
Salida
Un operador
Figura 1
y
r(\)-+-----41....---*"----
x
x+h
x
113
Respuestas a la revisión de conceptos:
1. [f(e + h) - f(e)]/h,
[¡(t) - f(e)]/(t - e) 2. [¡(x + h) - f(x)]/h 3. continuos; Ixl
4. 2x2 ; e
52. Dibuje las gráficas de f(x) = cosx - sen(x/2) y su derivada f'(x) en el intervalo [0,9] utilizando los mismos ejes.
(a) En este intervalo, ¿en dónde f'(x) > O?
Reglas para encontrar
derivadas
Reglas para encontrar derivadas
(b) En este intervalo, ¿en dónde ¡(x) aumenta cuando x aumenta?
(c) Haga una conjetura. Experimente con otros intervalos y otras
funciones para sustentar esta conjetura.
~
3.3
3.3
El proceso de encontrar la derivada de una función de manera directa a partir de la definición de la derivada, esto es, estableciendo el cociente de diferencias
f(x + h) - f(x)
h
y evaluando su límite, puede consumir tiempo y ser tedioso. Vamos a desarrollar herramientas que nos permitan acortar este largo proceso de hecho, nos permitirá encontrar
derivadas de funciones que en apariencia son más complicadas.
Recuerde que la derivada de una función f es otra función 1'. En la sección anterior
vimos que, si f(x) = x 3 + 7x es la fórmula para f, entonces f'(x) = 3x 2 + 7 es la
fórmula para 1'. Cuando tomamos la derivada de f, decimos que estamos diferenciando
a f. La derivada opera sobre f para producir 1'. Con frecuencia utilizamos el símbolo D x
para indicar la operación de diferenciación (véase la figura 1). El símbolo D x indica que
estamos tomando la derivada (con respecto a la variable x) de lo que sigue. Así, escribimos Dxf(x) = f'(x) o (en el caso antes mencionado) D x(x 3 + 7x) = 3x2 + 7. Este
D x es un ejemplo de un operador. Como sugiere la figura 1, un operador es una función
cuya entrada es una función y cuya salida es otra función.
Las reglas para la constante y para la potencia La gráfica de la función constante f (x) = k es una recta horizontal (véase la figura 2), que, por tanto, tiene pendiente cero en todas partes. Esto es una manera de entender nuestro primer teorema.
Figura 2
Demostración
f' (x) =
lím f (x + h) - f (x) = lím k - k = lím O = O •
h
h---->O
h
h---->O
h---->O
Figura 3
La gráfica de f (x) = x es una recta que pasa por el origen y tiene pendiente 1
(véase la figura 3); de modo que debemos esperar que la derivada de esta función sea
1 para toda x.
Demostración
f' (x) =
lim f (x + h) - f (x) = lím x + h - x = lím ~ = 1 •
h
h---->O
h
h---->O h
h---->O
Antes de iniciar con nuestro siguiente teorema, recordemos algo de álgebra; cómo
elevar un binomio a una potencia.
114
CAPíTULO
3
La derivada
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a 2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a 3b + 6a 2b2 + 4ab 3 + b4
Demostración
, f(x + h) - f(x)
, ( x + h)n - x n
f'(x) = hm
= hm - - - - h-.O
h
h-.O
h
x n + nx n- 1 h +
= lím
n(n - 1) n 2 2
x - h + ... + nxhn- 1 + hn - x n
2
h
h-.O
, k[
nx n- 1 + n(n; 1) x n- 2 h + ... + nxhn- 2 + hn-1 ]
=h-.O
hm------------------)(
Dentro de los corchetes, todos los términos excepto el primero tiene a h como factor,
y así que para todo valor de x cada uno de estos términos tiene límite cero cuando h se
aproxima a cero. Por tanto,
f' (x) = nxn-1 •
Como ejemplos del Teorema C, note que
D x (x 9 ) = 9x 8
D x (x 3 ) = 3x2
D x (x lOO) = 100X99
Dx es un operador lineal El operador D x se comporta muy bien cuando se aplica a múltiplos constantes de funciones o a sumas de funciones.
Demostración Sea F (x) = k . f (x). Entonces
, F(x + h) - F(x)
, k · f(x + h) - k· f(x)
F'(x) = hm
= hm--------h-.O
h
h-.O
h
,
f(x + h) - f(x)
,f(x + h) - f(x)
= hmk·
= k· h m - - - - - - h-.O
h
h-.O
h
= k . f'(x)
El penúltimo paso fue el paso crítico. Pudimos pasar k a través del signo de límite a
consecuencia del Teorema principal de límites parte 3. •
Ejemplos que ilustran este resultado son
D x ( -7x 3 ) = -7D x (x 3 ) = -7 . 3x 2 = -21x 2
y
SECCiÓN
3.3
Reglas para encontrar derivadas
115
Demostración Sea F(x) = f(x) + g(x). Entonces,
F'(x)
=
,
[f(x + h) + g(x + h)] - [f(x) + g(x)]
hm - - - - - - - - - - - - - h
h~O
= lím [f(X + h) - f(x) + _g(_X_+_h)_-_g_(X_)]
h
h~O
,
= hm
h~O
=
h
f(x + h) - f(x)
,g(x + h) - g(x)
+ hm - - - - - - h
h~O
h
f'(x) + g'(x)
Nuevamente, el penúltimo paso fue el paso crítico. Está justificado por el Teorema
principal de límites parte 4. •
Operador lineal
El significado fundamental de la palabra lineal, como se utiliza en matemáticas es el dado en esta sección.
Un operador L es lineal si satisface
las dos condiciones clave:
• L(ku) = kL(u)
• L(u + v) = L(u) + L(v)
Los operadores lineales desempeñan un papel central en el curso de
álgebra lineal, que muchos lectores
de esta obra cursarán.
Cualquier operador L con la propiedad establecida en los Teoremas D y E se denomina lineal; esto es, L es un operador lineal si para todas las funciones f y g:
1. L(kf) = kL(f), para toda constante k;
2. L(f + g) = L(f) + L(g) .
Los operadores lineales aparecen una y otra vez en este texto; Dx es un ejemplo particularm~nte importante. Un operador lineal siempre satisface la regla de diferencia
L(f - g) = L(f) - L(g), establecida en seguida para Dx-
Funciones de la forma
f (x) = mx + b se denominan funciones lineales a consecuencia de su
relación con líneas rectas. Esta terminología puede ser confusa, ya que
no todas las funciones lineales son
lineales, en el sentido de operadores.
Para ver esto, observe que
f(kx) = m(kx) + b
EJEMPLO 1 Encuentrelasderivadasde5x2 + 7x - 6y4x6
mientras que
kf(x) = k(mx + b)
Por lo que f(kx)
que b sea cero.
La demostración del Teorema F se deja como ejercicio (véase el problema 54).
-=1=
-
3x5
-
10x2
+ 5x +
16.
Solución
kf(x), a menos
D x (5x 2 + 7x -
6)
=
D x (5x 2 + 7x) - DA6)
(Teorema F)
=
D x (5x 2 ) + DA7x) - DA6)
(Teorema E)
= 5D x (x 2 ) + 7DAx) - DA6)
(Teorema D)
= 5 . 2x + 7 . 1 + O
(Teoremas C, B, A)
= 10x + 7
Para encontrar la siguiente derivada, notamos que los teoremas de sumas y diferencias se extienden a cualquier número finito de términos. Así,
116
CAPíTULO
3
La derivada
D x(4x 6
-
3x 5
-
1üx2 + 5x + 16)
= D x(4x 6 )
-
D x(3x 5 )
-
D x(1üx 2 ) + DA5x) + DA16)
= 4D x(x 6 )
-
3D x(x 5 )
-
1ÜD x(x 2 ) + 5DAx) + DA16)
= 4(6x 5 )
= 24x5
-
-
3(5x4 )
15x4
-
-
1ü(2x) + 5(1) +
Ü
2üx + 5
•
El método del ejemplo 1 nos permite encontrar la derivada de cualquier polinomio. Si conocemos la regla de las potencias y hacemos que se vuelva natural, casi
seguramente usted obtendrá resultados correctos. También, con la práctica, encontraremos que se puede escribir la derivada de manera inmediata, sin tener que escribir
todos los pasos intermedios.
Reglas para el producto y el cociente Ahora tendremos una sorpresa. Hasta aquí, hemos visto que el límite de una suma o diferencia es igual a la suma o diferencia de los límites. (Teoremas 2.6A, partes 4 y 5), el límite de un producto o de un
cociente es el producto o el cociente de los límites (Teoremas 2.6A, partes 6 y 7) Yque
la derivada de una suma o diferencia es la suma o diferencia de las derivadas (Teoremas E y F). Así, ¿qué podría ser más natural que tener que la derivada de un producto es el producto de las derivadas?
Esto podría parecer natural, pero es erróneo. Para ver por qué, mírese el ejemplo
siguiente.
EJEMPLO 2 g(x) = x, h(x) = 1 + 2x y f(x) = g(x) . h(x) = x(1 + 2x). Encuentre Dxf(x), Dxg(x) Y Dxh(x), y muestre que Dxf(x) =1= [Dxg(x)][Dxh(x)J.
Solución
Dxf(x) = DAx(1 + 2x)]
= Dx(x + 2x 2 )
= 1 + 4x
Dxg(x) = Dxx = 1
Dxh (x) = Dx (1 + 2x) = 2
Obsérvese que
mientras que
Dxf(x) = Dx[g(x)h(x)] = 1 + 4x
Por tanto, Dxf (x)
=1=
[Dxg ( x )][Dxh(x )].
•
Que la derivada de un producto debe ser el producto de las derivadas parecía tan
natural que incluso engañó a Gottfried Wilhelm von Leibniz, uno de los descubridores del cálculo. En un manuscrito del 11 de noviembre de 1675, él calculó el producto
de la derivada de dos funciones y dijo (sin verificarlo) que era igual a la derivada del
producto. Diez días después, se dio cuenta del error e indicó la regla correcta para
el producto, que presentamos como Teorema G.
SECCIÓN
Memorización
Algunas personas dicen que la
memorización está pasada de moda,
y que sólo el razonamiento lógico es
importante en matemáticas. Están
equivocadas. Algunas cosas,
(incluyendo las reglas de esta
sección) deben convertirse en una
parte de nuestro aparato mental que
puedan utilizarse sin detenerse a
reflexionar. "La civilización avanza
extendiendo el número de
operaciones importantes que
podemos realizar sin pensar acerca
de ellas."
Alfred N Whitehead
3.3
Reglas para encontrar derivadas
117
Esta regla debe ser memorizada en palabras como sigue: La derivada de un producto de dos funciones es la primera por la derivada de la segunda más la segunda por
la derivada de la primera.
Demostración Sea F(x) = f(x)g(x). Entonces
F'(x) = h-.O
lím
F(x + h) - F(x)
h
/ f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x)
= hm - - - - - - - - - - - h
h-.O
/ f(x + h)g(x + h) - f(x + h)g(x) + f(x + h)g(x) - f(x)g(x)
=hm-------------------------h-.O
h
/ [
g(x + h) - g(x)
f(x + h) - f(X)]
= l~ f(x + h) .
h
+ g(x) .
h
/ f( + h) 1/ g(x + h) - g(x) + ( ) 1/ f(x + h) - f(x)
= 11m x
. 1m
g x • 1m
h-.O
h-.O
h
h-.O
h
= f(x)g'(x) + g(x)f'(x)
La deducción que se acaba de dar depende, primero del truco de sumar y resta la
misma cosa, es decir, f(x + h)g(x). Segundo, casi al final, utilizamos el hecho de que
lím f (x + h) =
h-.O
f (x )
Esto es sólo una aplicación del Teorema 3.2A (que dice que la diferenciabilidad en
un punto implica continuidad allí) y la definición de continuidad en un punto. •
EJEMPLO 3 Encuentre la derivada de (3x 2 - 5)(2x4 - x) mediante el uso de la regla
del producto. Verifique su respuesta resolviendo el problema de una forma diferente.
Solución
5)DA2x 4 - x) + (2x 4 - x)D x (3x 2
3
4
- 5)(8x - 1) + (2x - x)(6x)
2
3
5
2
- 3x - 40x + 5 + 12x - 6x
3
2
- 40x - 9 x + 5
Para verificar, primero multipliquemos y luego tomemos la derivada
(3x 2 - 5)(2x4 - x) = 6x 6 - lüx4 - 3x 3 + 5x
DA(3x 2
-
5)(2x4
-
-
5)(2x4
-
x)] =
=
=
=
(3x 2
(3x 2
24x 5
36x 5
-
-
5)
Así,
DA(3x 2
x)] = D x (6x 6 ) - D x (10x 4 ) - D x (3x 3 ) + DA5x)
= 36x 5 - 40x 3 - 9x 2 + 5
•
Le recomendamos ampliamente que lo memorice en palabras, como sigue: La derivada de un cociente es igual al denominador por la derivada del numerador menos el
numerador por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador.
120
CAPíTULO
La derivada
3
GJ 57. Existen dos rectas tangentes a la curva y
2
= 4x - x que pasan por el punto (2,5). Encuentre las ecuaciones de ambas. Sugerencia: Sea (x o , Yo) un punto de tangencia. Determine dos condiciones
que debe satisfacer (x o , Yo) . Véase la figura 4.
Figura 5
x
y= 4x - x 2
Figura 4
GJ 58. Una viajera espacial se mueve de izquierda a derecha a lo
largo de la curva Y = x 2• Cuando ella apague los motores, continuará
viajando a lo largo de la recta tangente en el punto en que ella esté en
ese momento. ¿En qué momento debe apagar los motores para que
alcance el punto (4, 15)?
GJ 59. Una mosca se arrastra de izquierda a derecha a lo largo de
en A. Demuestre que el triángulo AOP es isósceles y determine su
área.
61. El radio de una sandía esférica está creciendo a una velocidad constante de 2 centímetros por semana. El grosor de la cáscara
siempre es la décima parte del radio. ¿Qué tan rápido está creciendo
el volumen de la cáscara al final de la quinta semana? Suponga que el
radio inicialmente es cero.
rn 62. Vuelva a resolver los problemas del 29 al 44 en una computadora y compare su respuesta con las obtenidas de forma manual.
2
la parte superior de la curva Y = 7 - x (véase la figura 5). Una araña espera en el punto (4, O). Determine la distancia entre los dos insectos cuando se ven por primera vez.
60. Sea P( a, b) un punto, en la parte del primer cuadrante, de la
curva Y = l/x y suponga que la recta tangente en P intersecta al eje x
3.4
Derivadas
de funciones
trigonométricas
y
(1,0)
x
Respuestas a la revisión de conceptos: 1. la derivada de la segunda;
segunda; f(x)Dxg(x) + g(x)Dxf(x) 2. denominado, denominador;
cuadrado del denominador; [g(x)Dxf(x) - f(x)Dxg(x) Jj g2(X)
3. nx n -1 h; nx n -1 4. kL(f); L(f) + L(g); Dx
Nuestro mundo moderno corre sobre ruedas. Las preguntas acerca de ruedas que giran y velocidades de puntos sobre ellas conducen de manera inevitable al estudio de
senos y cosenos y sus derivadas. Otros fenómenos periódicos que están relacionados
con senos y cosenos son el clima y las mareas. Para preparar este estudio, sería adecuado revisar las secciones 2.3 y 2.7. La figura 1 nos recuerda la definición de las funciones seno y coseno. En lo que sigue, t debe considerarse como un número que mide la
longitud de un arco en el círculo unitario o, de forma equivalente, como el número de
radianes en el ángulo correspondiente. Por tanto,f(t) = sen t y g(t) = cos t son funciones cuyo dominio y rango pertenece al conjunto de números reales. Podemos considerar el problema de determinar sus derivadas.
Fórmulas de las derivadas Elegimos utilizar x en lugar de t como nuestra variable básica. Para determinar DxCsen x), apelamos a la definición de la derivada y utilizamos la identidad de suma de ángulos para sen (x + h).
DAsenx) = h~O
lím
,
Figura 1
= 11m
sen(x + h) - senx
h
senxcosh + cosxsenh - senx
h .
h~O
= lím ( -senx
h~O
senh)
1 - cosh
+ cosx-h
h
= (-sen x)!~
[
1 - cos
h
h]
+ (cos x)
[,!1!!6 -hsen h]
Obsérvese que los dos límites en esta última expresión son exactamente los límites estudiados en la sección 2.7. En el Teorema 2.7B demostramos que
SECCIÓN
3.4
Derivadas de funciones trigonométricas
lím sen h = 1 Y
h----+O
lím
h
h----+O
121
1 - cos h
O
=
h
Por consiguiente,
DAsen x)
= (-sen x) . O + (cos x) . 1 = cos x
De manera análoga,
DAcosx) = lím
cos(x
+
h) - cosx
h
h----+O
¿Podría haber adivinado?
cos x cos h - sen x sen h - cos x
h
=lím-------------
La curva con línea continua es la
gráfica de y = sen x. Observe que la
pendiente es 1 en O, Oen 1T/2, -1 en 1T
y así sucesivamente. Cuando graficamos la función de las pendientes (la
derivada), obtenemos la curva con
línea discontinua. ¿Podría adivinar
que D xsen x = cos x?
h----+O
=
lí.!R ( -cos x 1 -
sen h )
cos h
h
- sen x -h-
= (-cos x) . O - (sen x) . 1
= -sen x
Resumimos estos resultados en un teorema importante.
Trate de graficar estas dos
funciones en la misma ventana
en su CAS o en su calculadora
gráfica.
EJEMPLO 1 Encuentre D x (3 sen x - 2 cos x).
Solución
DA 3 sen x - 2 cos x) = 3 DA sen x) - 2 DA cos x)
= 3 cos x + 2 sen x
•
EJ EM PLO 2 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = 3 sen 2x
en el punto (7T /2, O) (véase la figura 2).
y
Solución Necesitamos la derivada de sen 2x; desafortunadamente, en este momento
sólo sabemos cómo determinar la derivada de sen x. Sin embargo, sen 2x = 2 sen x cos x.
Por tanto,
DA3 sen 2x) = D x (6 sen x cos x)
= 6 DA sen x cos x)
= 6[senx DAcosx) + cosx DAsenx)]
y
Figura 2
-' sen 2x
= 6[ (sen x)( -sen x) + cos x cos x]
= 6[cos 2 X
-
sen 2 x ]
= 6 cos2x
En x = 7T /2, esta derivada tiene el valor de -6, que por tanto es la pendiente de la recta tangente deseada. La ecuación de esta recta es
•
EJEMPLO 3 Considere una rueda de la fortuna de radio de 30 pies, que está girando
en contra del sentido de las manecillas del reloj, con una velocidad angular de 2 radianes por segundo. ¿Con qué rapidez se eleva (en dirección vertical) un asiento que está
en el borde de la rueda, cuando éste se encuentra a 15 pies del eje horizontal que pasa
por el centro de la rueda?
Solución Podemos suponer que la rueda tiene centro en el origen y que el asiento P
estaba en (30, O) en el instante t = O(ver figura 3). Así, en el instante t, P se ha movido
122
CAPíTULO
La derivada
3
y
un ángulo de 2t radianes, de modo que tiene coordenadas (30 cos 2t, 30 sen 2t). La tasa a la cual P está elevándose es justo la derivada de la coordenada vertical 30 sen 2t medida en un valor apropiado de t. Por el ejemplo 2,
DA30 sen 2t) = 60 cos 2t
no. O)
x
La t apropiada para evaluar esta derivada es t = 1T/12, ya que 30 sen (2 . 1T/12) = 15.
Concluimos que en t = 1T /12 el asiento P está elevándose a
60 cos ( 2 .
~)
= 60 \13/2 '" 51.96 pies por segundo
•
Una vez que conocemos las derivadas de las funciones seno y coseno, las derivadas de las otras funciones trigonométricas pueden encontrarse aplicando la regla del
cociente. Los resultados se resumen en el Teorema B. Para demostrarlo pueden consultarse los problemas 5 al 8.
Figura 3
Revisión de conceptos
1. Por definición, D xC sen x) = lím
y
Los dos límites mostrados tienen los valores
respectivamente.
_
h-+O
.
2. Para evaluar el límite en la proposición anterior, primero utilizamos la identidad de la suma de ángulos para la función seno y luego aplicamos un poco de álgebra para obtener
3. El resultado del cálculo en la proposición anterior es la impor. La correspondiente
tante fórmula de la derivada D xC sen x) =
se obtiene de manera
fórmula para la derivada D xC cos x) =
análoga.
' sen h )
' 1 - cos h )
DAsenx) = (-senx) ( l1!!1
h
+ (cosx) (l1!!1-h-
4. En x = 7T /3, DA sen x) tiene el valor
. Por tanto, la
ecuación de la recta tangente a y = sen x en x = 7T /3 es
_
Conjunto de problemas 3.4
En los problemas del] al]4, encuentre DxY.
1. y
=
2 sen x + 3 cos x
2. y
=
2
sen x
3. y = sen x + cos x
4. y = 1 - cos 2 X
5. Y
6. y
2
2
=
secx
=
l/cosx
=
cscx
=
l/senx
senx
7. Y = tan x = - cosx
cosx
8. Y = cot x = - senx
9. Y = senx + cosx
cosx
senx + cosx
10. y = - - - - tan x
2
11. Y = x cos X
12. y =
xcosx + senx
2
X
2
13. Y = tan x
14. Y
= sec
3
+1
x
W
15. Encuentre la ecuación de la recta tangente a y = cos x en
x=1.
16. Encuentre la ecuación de la recta tangente a y = cot x en
7T
x
=4'
17. Considere la rueda de la fortuna del ejemplo 3. ¿Con qué
velocidad se mueve horizontalmente el asiento en el borde de la rueda cuando t = 7T/ 4 segundos (p. ej., cuando el asiento aicanza la parte más alta de la rueda)?
18. Una rueda de la fortuna de 20 pies está girando en contra
del sentido de las manecillas del reloj a una velocidad angular de 1 ra-
dián por segundo. Un asiento en el borde de la rueda está en (20, O)
en t = O.
(a) ¿Cuáles son sus coordenadas en t = 7T/6?
(b) ¿Qué tan rápido se está ascendiendo (verticalmente) en t = 7T/6?
(c) ¿Qué tan rápido está ascendiendo (verticalmente) cuando se eleva a la velocidad máxima?
19. Encuentre la ecuación de la recta a y = tan x en x = O.
20. Encuentre todos los puntos en la gráfica de y = tan 2 x, en
donde la recta tangente sea horizontal.
21. Encuentre todos los puntos en la gráfica de y
en donde la recta tangente sea horizontal.
=
9 sen x cos x,
22. Sea f( x) = x - sen x. Encuentre todos los puntos en la
gráfica dey = f(x), en donde la recta tangente sea horizontal. Encuentre todos los puntos en la gráfica de y = f(x) en donde la recta
tangente tenga pendiente 2.
23. Demuestre que las curvas y = v2 sen x y y = v2 cos x
se intersectan en ángulo recto en cierto punto con < x < 7T /2.
°
24. En t segundos, el centro de un corcho que se balancea está 2
sen t centímetros arriba (o abajo) del nivel del agua. ¿Cuál es la velocidad del corcho en t = 0, 7T /2, 7T?
25. Utilice la definición de la derivada para demostrar que
D x( sen x 2 ) = 2x cos x 2 •
26. Utilice la definición de la derivada para demostrar que
DAsen 5x) = 5 cos 5x.
SECCIÓN
27. Sea X o el menor valor positivo de x en el que las curvas y =
sen x y y =sen 2x se intersectan. Encuentre X o y también el ángulo
agudo que forman las dos curvas al intersectarse en Xo (véase el problema 40 de la sección 2.3).
28. Un triángulo isósceles está coronado por un semicírculo, como se muestra en la figura 4. Sea D el área del triángulo AOB y E el
área de la región sombreada. Determine una fórmula para DIE en
términos de t y después calcule
, D
, D
hm-yhmE t~7r- E
t~O+
3.5
La regla de la cadena
123
[§g Los problemas 29 y 30 son ejercicios para computadora o calculadora gráfica.
29. Sea f(x) = x sen x.
(a) Dibuje las gráficas de f(x) y de f'(x) en [7T, 67T J.
(b) ¿Cuántas soluciones tiene f(x) = O en [7T, 67T J? ¿Cuántas soluciones tiene f'(x) = O en este intervalo?
(c) En la siguiente conjetura, ¿qué es incorrecto? Si f y f' son funciones continuas y diferenciables en [ a, bJ, si f (a) = f (b) = O,
Y si f (x) = Otiene exactamente n soluciones en [a, bJ, entonces
f' (x) = Otiene exactamente n - 1 soluciones en [a, bJ.
(d) Determine el valor máximo de If(x) - f'(x)1 en [7T, 67T J.
30. Seaf(x) = cos3 x - 1.25 cos2 x + 0.225. Encuentref'(xo)
en el punto X o en [7T/2, 7TJ donde f( x o) = o.
A
Respuestas a la revisión de conceptos: 1. [sen (x + h) sen x ]/h 2. O; 1 3. cos x; -sen x 4. y - V3ji = +(x - 7T/3)
+;
o
Figura 4
3.5
Imagínese tratando de encontrar la derivada de
La regla de la cadena
F(x) = (2x 2
-
4x
+ 1)60
Podríamos encontrar la derivada, pero primero tendríamos que multiplicar los 60 factores cuadráticos de 2x 2 - 4x + 1 y después derivar el polinomio resultante. O qué
hay de tratar de encontrar la derivada de
G(x) = sen 3x
Podríamos ser capaces de utilizar algunas identidades trigonométricas para reducirla a
algo que dependa de sen x y cos x, y usar después las reglas de la sección anterior.
Por fortuna, existe un método mejor. Después de aprender la Regla de la Cadena,
seremos capaces de escribir las respuestas
F'(x) = (2x 2
-
4x
+ 1)59(4x - 4)
y
G'(x) = 3 cos 3x
La regla de la cadena es tan importante que rara vez usted derivará alguna función sin
utilizarla. Para establecer la regla de manera apropiada, necesitamos enfatizar el significado de x en nuestra notación D X"
La notación Dx El símbolo DxY significa la derivada de y con respecto a x; indica
qué tan rápido está cambiando y con respecto a x. El subíndice x indica que x está
siendo considerada como la variable básica. Así, si y = S2 x 3 , podemos escribir
DxY = 3s 2 x 2
y DsY = 2sx 3
En el primer caso, s es tratada como una constante y x es la variable básica; en el segundo caso, x es constante y s es la variable básica.
El ejemplo siguiente es más importante. Suponga que y = u 60 y U = 2x2 4x + 1. Entonces DuY = 60U 59 y Dxu = 4x - 4. Pero obsérvese que cuando sustituimos u = 2x 2 - 4x + 1 en y = u 60 , obtenemos
y = (2x 2
-
4x
+ 1)60
de modo que tiene sentido preguntar por DxY. ¿Cuál es DxY y cómo está relacionada
con DuY y Dxu? Con mayor generalidad, ¿cómo derivamos una función compuesta?
124
CAPíTULO
3
La derivada
Derivada de una función compuesta Si David puede mecanografiar dos veces más rápido que María y María puede mecanografiar tres veces más rápido que
Jack, entonces David puede mecanografiar 2 . 3 = 6 veces más rápido que Jack. Las
dos velocidades se multiplican.
Considere la función composición y = f(g( x)). Puesto que una derivada indica
una tasa de cambio, podemos decir que
y cambia D u y veces tan rápido como u
u cambia D x u veces tan rápido como x
Parece razonable concluir que
y cambia D u y . D x u veces tan rápido como x
Este hecho, en realidad, es cierto y sugerirá una demostración formal en la sección siguiente. El resultado se denomina la Regla de la Cadena.
Puede recordar la regla de la cadena de esta manera: La derivada de una función
compuesta es la derivada de la función exterior evaluada en la función interna por la derivada de la función interna.
Aplicaciones de la regla de la cadena
4x + 1 )60 introducido al inicio de esta sección.
EJEMPLO 1 Siy = (2x 2
Solución
Empezamos con el ejemplo (2x 2
-
4x + 1)60, encuentre DxY.
-
Consideramos a y como la sexagésima potencia de una función de x; esto es,
y
La función exterior es u
60
= u 60
y
U
= 2x 2
y la función interna es 2x
2
+1
4x + 1. Por tanto,
4x
-
DxY = DuY . Dxu
= (60U 59 )( 4 x - 4)
=60(2x 2 -4x+1)59(4x-4)
EJEMPLO 2
Solución
•
Si Y = 1j(2x5 - 7)3, encuentre DxY.
Considérelo de esta manera.
u = 2x 5
-
7
Así,
DxY = DuY . Dxu
= (- 3u-4 )( lOx 4 )
= -34 . lOx 4
u
•
126
CAPíTULO
3
La derivada
D x sen 3 (4x) = 3[sen(4x)Y-l D x sen(4x)
= 3[sen(4x)]2cos(4x)DA4x)
= 3[sen ( 4x) ]2 cos ( 4x)4
= 12 cos ( 4x) sen2 ( 4x)
•
EJ EM PLO 6 Encuentre D x sen [cos (x 2 ) ].
Solución
D x sen [cos ( x 2)]
=
cos [cos ( x 2)] . [-sen ( x 2)] . 2x
= -2x sen (x 2) cos [cos (x 2)]
•
EJEMPLO 7 Conforme el Sol se oculta atrás de un edificio de 120 pies de altura, la
sombra del edificio crece. ¿Qué tan rápido está creciendo la sombra (en pies por segundo) cuando los rayos del Sol forman un ángulo de 7T/4? (Véase la figura 1.)
..-----x----
Figura 1
Sea x la longitud de la sombra, en pies, y sea 8 el ángulo de los rayos del Sol.
Denótese con t el tiempo medido en segundos. Entonces x es una función de 8, 8 es una
función de t. Estamos pidiendo encontrar Dtx. Con base en la figura 1, vemos que
x = 120 cot 8, y como la Tierra da una vuelta cada 24 horas, es decir, cada 86,400 segundos, tenemos D t 8 = - 27T/86,400. ( El signo negativo se utiliza ya que 8 disminuye conforme el Sol se oculta.) Utilizando la regla de la cadena y la regla para la derivada de la
cotangente (Teorema 3.4B), tenemos
Solución
27T)
= 120(-csc2 8) ( - 86,400
_ 7T
2
- 360 csc 8
Cuando 8 = 7T/ 4, tenemos
7T
7T
pie
~ 0.01754
s
Dtx = -6 csc 2 3 O
Obsérvese que cuando el Sol se oculta, 8 está disminuyendo (de aquí que, D t 8 sea ne•
gativa), mientras que la sombra x está creciendo (por lo que, Dtx es positiva).
SECCIÓN
3.5
127
La regla de la cadena
Revisión de conceptos
1. Si Y = f(u), donde u = g(t), entonces Dty = DuY .
En notación de funciones, (f o g)' (t) =
_ _ _o
3. Dxcos[(¡(X))2] = -sen(
) . D x(
= (2x + 1)3 sen(x 2), entonces DxY
4. Si Y
o
2. Siw = G(v),dondev = H(s),entoncesD5 w =
Dsv.Ennotacióndefunciones (G o H)'(s) =
_
_
).
= (2x + 1)3 .
_ _ _ + sen(x2) . - - -
Conjunto de problemas 3.5
En los problemas del] al 22, encuentre DxY.
1.y=(1+x)15
3. y
= (3 -
2X)5
2x 2
(x 5 -
5x 3
5. y = (x 3
6. Y
=
7. Y = (x 3
8. Y = (x
r
+ 3x + 1)11
+ 1TX + 1)101
2
2x + 3x + 1) 111
x + 1)-7
-
2 -
= (x + 3)5
11. Y = sen (x 2
+ x)
13. Y = cos3 X
X
+ 1)3
=
17. Y
= cos ( x + 2
=
1
(3x 2 + x - 3)
cos(3x 2 - 2x)
9
=
(x - 2 )-3
X-1T
3X2 )
(x
12. Y
16. y
x - 1
19. Y = (3x - 2)2(3 21. Y =
=
14. y = sen4 (3x 2)
15. Y
(
10. Y
=
18. Y
X 2 )2
+ 1)2
20. y =
COS3(~)
1-x
(2 -
3x2 t(X7
+ 3)3
2x - 3
22 Y = - - -
3x - 4
(x 2 + 4)2
.
=( x 2 + 1)3
(x + 1)2 en (1,32).
2.y=(7+x)5
4. Y = (4 + 2x2
1
9. Y
41. Encuentre la ecuación de la recta tangente a y
4
42. Un punto P está moviéndose en el plano de modo que
sus coordenadas después de t segundos son (4 COS 2t, 7 sen 2t), medidas en pies.
(a) Demuestre que P está siguiendo una trayectoria elíptica. Sugerencia: Demuestre que (X/4)2 + (y/7)2 = 1, que es una
ecuación de una elipse.
(b) Obtenga una expresión para L, la distancia de P al origen en
el instante t.
(c) ¿Con qué rapidez está cambiando la distancia entre P y el origen cuando t = 1T/8? Necesitará el hecho de que Du(-V;¡) =
1/(2-V;¡) (véase el ejemplo 4 de la sección 3.2).
43. Una rueda con centro en el origen y de radio 10 centímetros gira en sentido contrario a las manecillas del reloj a una velocidad de 4 revoluciones por segundo. Un punto P en el borde está en (10, O) cuando t = O.
(a) ¿Cuáles son las coordenadas de P después de t segundos?
(b) ¿A qué velocidad se está elevando (o descendiendo) P en el
instante t = 1?
44. Considere el dispositivo rueda-pistón de la figura 2. La
rueda tiene radio de 1 pie y gira en sentido contrario a las manecillas del reloj a 2 radianes por segundo. La varilla conectada tiene 5 pies de longitud. El punto P está en (1, O) cuando t = O.
En los problemas del 23 al 28, encuentre la derivada que se indica.
23. D t (
25. Dt (
27. D x (
3t - 2)3
---r+s
(3t-2)3)
t
+5
senx
2
)3
28. D t[senttan(t 2 + 1)]
cos x
En los problemas del 29 al 32, evalúe la derivada que se indica.
2
29. f'(3) sif(x) = (x + 1)3
x+2
30. G'(l) siG(t)
=
(t 2
+ 9)3(t 2
-
2t
2
W 31. F' (1) si F (t) = sen (t + 3t + 1)
32. g'(!)sig(s) = cos1Tssen2 1Ts
(l.0)
En los problemas del 33 al 40, aplique la regla de la cadena más de
una vez (véase los ejemplos 5 y 6) para encontrar la derivada que
se indica.
34. D [ cos5 (4t - 19)]
33. DA sen4 ( x 2 + 3x)]
t
(~ =~) ]
35. D t [ sen3(cos t)]
36. Du [ cos
37. D e[ cos4 (sen (P) ]
38. DA x sen 2(2x)]
39.
DA sen [cos (sen 2x) ]}
4
40. D t { cos2[COS (cos t)]}
x
Figura 2
(a) Encuentre las coordenadas de P en el instante t.
(b) Encuentre la ordenada (coordenada y) de Q en el instante t (la
abscisa siempre es cero).
(c) Determine la velocidad de Q en el instante t. Necesitará el hecho de que DuCVu) = 1/(2 Vil).
132
CAPíTULO
3
La derivada
27. Suponga que f(3)
Calcule cada valor.
= 2,f'(3) = -1, g(3) = 3 Y g'(3) = -4.
(a) (f + g)'(3)
(b) (f' g)'(3)
(c) (fjg)'(3)
(d) (f o g)'(3)
35. Suponga que fes diferenciable y que existen puntos Xl y X 2
talesquef(x l ) = x 2 yf(x2 ) = xl·Seag(x) =f(f(f(f(x)))).
Demuestre que g' (Xl) = g' (x 2).
36. Sea f (X) =
28. Sif(2) = 4,f'(4) = 6y['(2) = -2, calcule cada valor.
(a) :x [t(x)]3 enx
=2
(b) :x
[¡!X)] enx = 2
X2
{
l.
sen- SI X =F O
X
O
si X
=O
(a) Encuentre [' (x) para x ::¡t Outilizando las reglas de las derivadas.
(c) (f o f)'(2)
(b) Encuentre [' (O) a partir de la definición de la derivada.
Los problemas 29 y 30 hacen referencia a las gráficas de las figuras 3
y 4.
(c) Demuestre que ['(x) es discontinua en
X
=
o.
W
37. El horario y el minutero de un reloj son de 6 y 8 pulgadas de
longitud, respectivamente. ¿Qué tan rápido se están separando las manecillas a las 12:20 (véase la figura 5)? Sugerencia: Ley de los cosenos.
y
x
Figura 3
.v
Figura 5
¡
2
3
4
5
6
G [§g 38. Encuentre el tiempo aproximado entre las 12:00 y la 1:00
x
cuando la distancia s entre las puntas de las manecillas del reloj de la
figura 5 está aumentando más rápidamente, esto es, cuando la derivada ds j dt es mayor.
Figura 4
29. Encuentre de manera aproximada cada valor.
(a) (f + g)'(4)
(b) (f o g)' (6)
39. Proporcione una segunda demostración de la regla para el cociente. Escriba
30. Encuentre de manera aproximada cada valor.
(a) (f j g )'(2)
(b) (g o f)'(3)
31. Cada arista de un cubo está aumentando a una velocidad
constante de 16 centímetros por minuto.
(a) Encuentre la velocidad a la que el volumen del cubo aumenta en
el instante cuando la arista mide 20 centímetros.
(b) Encuentre la velocidad a la que el área de la superficie total del
cubo está aumentando en el instante cuando la arista es de 15
centímetros.
[;] 32. Los barcos A y B parten del origen al mismo tiempo. El barco A viaja con rumbo este a una velocidad de 20 millas por hora y el
barco B viaja con rumbo norte a la velocidad de 12 millas por hora.
¿Qué tan rápido se están separando después de 3 horas? ¿Después de
6 horas?
33. ¿En dónde intersecta al eje x la recta tangente a la curva
y=x2sen2(x2)enx=
E?
'12'
34. La carátula de un reloj común tiene un radio de 10 centímetros. Un extremo de una cuerda elástica se sujeta al borde en el12 y
el otro extremo a la punta del minutero, que es de 10 centímetros de
longitud. ¿A qué velocidad se está estirando la cuerda a las 12:15 (suponiendo que el reloj no se retrasa debido a este estiramiento)?
f(X))
D r ( g(x)
(
1)
= Dx f(x) g(x)
y utilice la regla para el producto y la regla de la cadena.
~
40. Suponga que f es una función diferenciable.
d
(a) Encuentre dx f(¡(x)).
d
(b) Encuentre dx f(¡(¡(x))).
d
(e) Encuentre dx f(¡(¡(¡(x)))).
(d) Denótese con f[n J a la función definida como sigue f[1J = f y
f[n J = f o f[n~ 1J para n ::::: 2.Porlo que,f[2 J = f o f,f[3] = f o f o f,
y así sucesivamente. Con base en sus resultados de las partes (a) a
la (c), haga una conjetura considerando: f[nJ(x). Demuestre su
X
conjetura.
Respuestas a la revisión de conceptos:
1. incremento; !J.yj!J.x;
dy du 4. dw dt ds
dyjdx 2. ['(x); DxY; dyjdx 3. du dx
dt ds dr
136
CAPíTULO
3
La derivada
Problemas sobre la caída de cuerpos Si un objeto se lanza directamente hacia arriba (o hacia abajo) desde una altura inicial de So pies, con una velocidad inicial
V o pies por segundo y si S es su altura por arriba del piso en pies, después de t segundos, entonces
v = Vo en t = O
s
= -16t2 + vot +
So
Esto supone que el experimento se lleva a cabo cerca del nivel del mar y que se desprecia la resistencia del aire. El diagrama en la figura 4 describe la situación que tenemos en mente. Obsérvese que velocidad positiva significa que el objeto está moviéndose hacia arriba.
EJEMPLO 4 Desde lo alto de un edificio, de 160 pies de altura, se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies por segundo.
(a) ¿Cuándo alcanza la altura máxima?
(b) ¿Cuál es su altura máxima?
(c) ¿Cuándo llega al piso?
Figura 4
(d) ¿Con qué velocidad llega al piso?
(e) ¿Cuál es su aceleración en t = 2?
Suponga que t = O corresponde al instante cuando la pelota fue lanzada.
Entonces So = 160 YV o = 64 (vo es positiva ya que la pelota se lanzó hacia arriba). Así,
Solución
S
= -16t 2 + 64t + 160
v
= - = - 32t + 64
ds
dt
dv
dt
a = - = -32
(a) La pelota alcanzó su altura máxima en el instante en que su velocidad fue cero, esto es, cuando - 32t + 64 = O o cuando t = 2 segundos.
(b) En t = 2, S = -16(2)Z + 64(2) + 160 = 224 pies.
(c) La pelota llega al piso cuando s = 0, esto es, cuando
-16t 2 + 64t + 160 =
Dividiendo entre -16 se obtiene
t2
El libro de la naturaleza
"El gran libro de la naturaleza
siempre permanece abierto ante
nuestros ojos y la verdadera
filosofía está escrita en éL ... Pero no
podemos leerlo a menos que
primero hayamos aprendido el
lenguaje de los caracteres en los
cuales está escrito .... Está escrito en
lenguaje matemático y los
caracteres son triángulos, círculos y
otras figuras geométricas."
Galileo Galilei
-
°
4t - 10 = O
Entonces, la fórmula cuadrática da
t = 4
±
V16 + 40 = 4
2
± 2 Vi4
= 2
± Vi4
2
Sólo tiene sentido la respuesta positiva. Así, la pelota llega al piso en t = 2 +
Vi4 = 5.74 segundos.
(d) Ent =2 + Vi4,v =-32(2 + Vi4) +64 ~-119.73.Así,lapelotallegaal
piso con una rapidez de 119.73 pies por segundo.
(e) La aceleración siempre es - 32 pies por segundo por segundo. Ésta es la aceleración debida a la gravedad cerca del mar.
_
Modelación matemática Galileo pudo haber tenido razón al afirmar que ellibro de la naturaleza está escrito en lenguaje matemático. Ciertamente, la empresa
científica parece, en gran medida, un esfuerzo por demostrar que él estaba en lo cierto. La tarea de tomar un fenómeno físico y representarlo en símbolos matemáticos se
denomina modelación matemática. Uno de sus elementos básicos es traducir la descripción en palabras al lenguaje matemático. Hacer esto, en especial en conexión con
SECCIÓN
3.7
Derivadas de orden superior
137
tasas de cambio, se volverá cada vez más importante conforme avancemos. A continuación están algunos ejemplos sencillos.
Descripción en palabras
Modelo matemático
Si V denota el volumen
del agua en el instante t,
De un depósito cilíndrico está saliéndose
agua a una razón proporcional a la profundidad del agua.
dV
entonces = -kh.
dt
Una rueda está girando a una velocidad
constante de 6 revoluciones por minuto,
esto es, 6(27T) radianes por minuto.
dO
-
dt
= 6(27T)
Si m denota la masa de
los x centímetros de la
izquierda del alambre,
dm
entonces = 2x.
dx
La densidad (en gramos por centímetro)
de un alambre en un punto es igual al doble de su distancia al extremo izquierdo.
La altura de un árbol continúa aumentando pero a una razón cada vez más lenta.
dh
h
d2 h
->0-<
0
dt
' dt 2
ti
ti
=/(1)
Figura 5
p
Figura 6
El uso del lenguaje matemático no está limitado a las ciencias físicas, también es
apropiado en las ciencias sociales, en especial en economía.
EJEMPLO 5 Una agencia de noticias reportó en mayo de 1998 que el desempleo en
Asia oriental continuaba en aumento a una tasa creciente. Por otra parte, el precio de
los alimentos estaba aumentando, pero a una tasa más lenta que antes. Interprete estos
enunciados en lenguaje matemático.
Solución Sea u = J(t) el número de personas desempleadas en el instante t. Aunque, en realidad, u salta por valores enteros, seguiremos la práctica común de representar a u por medio de una curva suave como en la figura 5. Decir que el desempleo está
aumentando equivale a decir duldt > O. Decir que está aumentando a una tasa creciente equivale a decir que la función duldt está aumentando; pero esto significa que la derivada de duldt debe ser positiva. Así, d 2 uldt 2 > O. En la figura 5, obsérvese que la pendiente de la recta tangente aumenta cuando t aumenta.
De manera análoga, si p = g( t) representa el precio de los alimentos (e.g., el costo común de los abarrotes de un día para una persona) en el instante t, entonces dp Idt
es positiva pero disminuye. Así, la derivada de dp Idt es negativa, de modo que
d 2 pi dt 2 < O. En la figura 6, obsérvese que la pendiente de la recta tangente disminuye conforme t aumenta.
•
Revisión de conceptos
1. Si Y = f(x), entonces la tercera derivada de y con respecto a x puede denotarse por cualquiera de los siguientes tres
símbolos
.
2. Si s = f(t) denota la posición de una partícula en un eje
coordenado en el instante t, entonces su velocidad está dada por
_ _ _, su rapidez está dada por
y su aceleración está dada por
'
3. Suponga que un objeto se lanza directamente hacia arriba de modo que su altura s en el instante t está dado por s = f(t).
El objeto alcanza su altura máxima cuando ds/dt =
_
después del cual ds / dt
.
4. Si la cantidad W de agua en un tanque en el instante t está aumentando pero a una velocidad cada vez más lenta, entonces
dW /dt es
y d 2 W /dt 2 es
.
142
CAPíTULO
3
La derivada
También satisface x 2 + y2 = 25, ya que x 2 + [h( x) J2 = 25. Pero, ni siquiera es
continua en x = 3, de modo que en realidad no tiene derivada allí (véase la figura 3).
Aunque el tema de funciones implícitas conduce a preguntas técnicas difíciles (tratadas en cálculo avanzado), los problemas que estudiamos tienen soluciones directas.
y
.--T-__
x
Más ejemplos En los siguientes ejemplos, suponemos que la ecuación dada determina una o más funciones derivables cuyas derivadas puede obtenerse por medio de
la derivación implícita. Obsérvese que en cada caso empezamos tomando la derivada,
con respecto de la variable apropiada, de cada lado de la ecuación. Después utilizamos
la regla de la cadena, cuando sea necesario.
EJEMPLO 2 Encuentre dyldx, si x 2 + 5i = x + 9.
Solución
.1'=
h(x)
d
d
- (x 2 + 5y 3) = - (x
dx
dx
Figura 3
2x
dy
= 1
dx
+ 15 y 2 dy
dx
EJ EM PLO 3
+ 9)
1 - 2x
•
15 y 2
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva
y3 -
X
y2 + cos x y = 2
en el punto (O, 1).
Solución Por simplicidad, usamos la notación y' para dy I dx. Cuando derivamos ambos lados e igualamos los resultados, obtenemos
3y2y' - x(2yy') - y2 - (senxy)(xy' + y) =
°
y'(3 y 2 - 2xy - x senxy) = y2 + y senxy
y2 + y senxy
y' = - - - - - - - - 3y 2 - 2xy - x senxy
En (O, 1), y'
= ~ . Por tanto, la ecuación de la recta tangente en (O, 1) es
y-l=~(x-O)
o
•
Otra vez la regla para la potencia Hemos aprendido que Dx(x n) = nxn~l,
donde n es cualquier entero. Ahora extendemos esto para el caso en donde n es cualquier número racional.
Demostración Como r es racional, r puede escribirse como piq, donde p y q son enteros con q > O. Sea
Entonces
144
CAPíTULO
3
La derivada
33. Si s2t + t3 = 1, encuentre ds/dt y dt/ds.
+ 2x 3 ,encuentredx/dy.
35. Dibuje la gráfica del círculo x 2 + 4x + y2 + 3
34. Siy = sen(x 2 )
= O, Y luego encuentre ecuaciones de las dos rectas tangentes que pasan
por el origen.
36. Determine la ecuación de la recta normal (recta perpendicular a la recta tangente) a la curva 8( x 2 + y2)2 = 100( x 2 y2) en (3, 1).
37. Suponga que xy + y3 = 2. Entonces, derivando implícitamente dos veces con respecto a x, se obtiene, por pasos:
(a) x y' + y + 3 y2 y' = O;
(b) xy" + y' + y' + 3y2 y" + 6y(y')Z = O.
Despeje y' de (a) y sustituya en (b) y después despeje a y".
38. Encuentre y", si x 3 - 4y 2 + 3 = O(véase el problema 37).
39. Encuentre y" en (2, 1), si 2x 2 y - 4y3 = 4 (véase el problema 37).
40. Utilice derivación implícita dos veces para encontrar y"
en (3,4), si x 2 + y2 = 25.
41. Demuestre que la recta normal a x 3 + y3 = 3xy en (~ , ~)
pasa por el origen.
42. Demuestre que las hipérbolas xy = 1 Y x 2 - y2 = 1 ,se
intersectan en ángulos rectos.
43. Demuestre que las gráficas de 2x 2 + y2 = 6 y2 = 4x se
intersectan en ángulos rectos.
44. Suponga que las curvas C I y C 2 se intersectan en (x o, Yo)
con pendientes m I y n120 respectivamente, como se muestra en la
figura 4. Entonces (véase el problema 40 de la sección 2.3) el ángulo positivo ede C l (p. ej., desde la recta tangente a C I en (x o, Yo))
a Cz satisface
tanO
m2 - m i
Encuentre los ángulos del círculo x 2 + y2 = 1 al círculo (x 1)2 + y2 = 1 en los dos puntos de intersección.
45. Encuentre el ángulo de la recta y = 2x a la curva x 2 -
xy + 2y2 = 28 en su punto de intersección en el primer cuadrante
(véase el problema 44).
46. U na partícula de masa m se mueve a lo largo del eje x de
modo que su posición x y velocidad v = dx/dt satisfacen
m(v2
-
vó) = k(X6 - x2 )
donde vo, X o y k son constantes. Demuestre por medio de derivación implícita que
dv
m~ =-kx
dt
siempre que v *- O.
47. La curva x 2 - xy + y2 = 16 es una elipse con centro en
el origen y con la recta y = x como su eje mayor. Encuentre las
ecuaciones de las rectas tangentes en los dos puntos en donde la
elipse intersecta al eje x.
48. Encuentre los puntos sobre la curva x 2y - xy2 = 2 en donde la recta tangente es vertical, esto es, en donde dx/dy
=
O.
GJ
49. ¿A qué altura, h, debe estar el foco de la figura 5, si el punto (1.25, O) está en el borde de la región iluminada?
Foco
h
y
=~~~~
1
+ m l m2
(1.25, O)
-2
x
Figura 5
Respuestas a la revisión de conceptos: 1. 9/ (x 3 - 3) 2. 3/ ~~
dy
2 dy
dy
p
3. x . 2y dx + / + 3y - - = 3x 2 4. - x p / q - I ; Hx 2 dx
dx
q.r
Figura 4
3.9
Tasas de cambio
relacionadas
Si una variable y depende del tiempo t, entonces su derivada dy/dt se denomina razón
de cambio con respecto al tiempo, o sólo razón de cambio. Por supuesto, si y mide la
distancia, entonces esta razón de cambio también se llama velocidad. Estamos interesados en una amplia variedad de tasas de cambio: la tasa a la cual el agua fluye a un
depósito, la tasa a la cual el área de un derrame de petróleo está creciendo, la tasa a la
cual el valor de una propiedad está aumentando, etcétera. Si y se da de manera explícita en términos de t, el problema es sencillo; sólo derivamos y luego evaluamos la derivada en el instante requerido.
Puede ser que, en lugar de conocer a y de manera explícita en términos de t, conozcamos una relación que une a y y a otra variable x, y que también conozcamos algo acerca de dx/dt. Aún podemos ser capaces de encontrar dy/dt, ya que dy/dt y dx/dt
SECCiÓN
3.9
Tasas de cambio relacionadas
145
son tasas de cambio relacionadas (O razones afines). Por lo regular, esto requiere derivación impiícita.
t
Dos ejemplos sencillos En la preparación de un procedimiento sistemático para la
resolución de problemas con tasas de cambio relacionadas, estudiamos dos ejemplos.
= 16
1=8
¿/]~
t=4
Figura 1
150
Figura 2
EJEMPLO 1 Se suelta un pequeño globo en un punto a 150 pies de un observador,
quien se encuentra al nivel del piso. Si el globo se eleva en línea recta hacia arriba a una
velocidad de 8 pies por segundo, ¿qué tan rápido está aumentando la distancia del observador al globo cuando el globo esta a 50 pies de altura? (Suponga que el globo se suelta desde el nivel del piso.)
Solución Sea t el número de segundos contados a partir de que se suelta el globo.
Sea h la altura del globo y s su distancia al observador (véase la figura 1). Tanto h como
s son variables que dependen de t; sin embargo, la base del triángulo (la distancia desde el observador al punto de lanzamiento) permanece sin cambio conforme t aumenta. La figura 2 muestra las cantidades clave en un diagrama simple.
El Antes de avanzar, recordemos un tema estudiado antes en el libro, estimación de
la respuesta. Obsérvese que, al inicio, s casi no cambia (ds / dt ~ O), pero eventualmente s cambia casi tan rápido como cambia h (ds/dt ~ dh/dt = 8). Una estimación de
ds/dt cuando h = 50 podría se alrededor de un tercio o un medio de dh/dt, o 3. Si obtenemos una respuesta alejada de este valor, sabremos que hemos cometido un error.
Por ejemplo, respuesta tales como 17 o aun 7, obviamente son incorrectas.
Continuemos con la solución exacta. Para enfatizar, preguntamos y respondemos
tres preguntas fundamentales.
(a) ¿Qué está dado? Respuesta: dh/dt = 8.
(b) ¿Qué queremos conocer? Respuesta: Queremos conocer ds/dt en el instante en que
h = 50.
(c) ¿Cómo están relacionadas s y h?
Las variables s y h cambian con el tiempo (son funciones implícitas de t), pero
siempre están relacionadas por medio de la ecuación pitagórica
S2 = h 2 + (150)2
Si derivamos de manera implícita con respecto a t y utilizamos la regla de la cadena,
obtenemos
ds
dh
2s- =2hdt
dt
o
ds
dh
s-=hdt
dt
Esta relación se cumple para toda t > O.
Ahora, y no antes de este momento, pasamos al instante específico cuando h = 50.
Con base en el Teorema de Pitágoras, vemos que, cuando h = 50,
s = V(50?
+ (150)2
= 50
víO
Sustituyendo en s(ds/dt) = h(dh/dt) se obtiene
50
víO ~;
=
50(8)
o
ds = _8_ = 2.53
dt
VW
En el instante que h = 50, la distancia entre el globo y el observador está aumentando a una velocidad de 2.53 pies por segundo.
•
EJEMPLO 2 Fluye agua hacia un tanque cónico a una razón de 8 pies cúbicos por minuto. Si la altura del tanque es de 12 pies y el radio de su abertura circular es de 6 pies,
¿qué tan rápido se está elevando el nivel del agua cuando el agua tiene una profundidad de 4 pies?
146
CAPíTULO
3
La derivada
Denótese la profundidad del agua con h y sea r el radio correspondiente de
la superficie del agua (véase la figura 3).
Nos dan que el volumen, V, de agua en el tanque está aumentando a una razón de
8 pies cúbicos por minuto; esto es, dV / dt = 8. Queremos saber qué tan rápido está
elevándose el agua (esto es, dh/dt) en el instante cuando h = 4.
Necesitamos encontrar una ecuación que relacione a Vy a h; después la derivaremos para obtener una relación entre dV / dt Y dh/ dt. La fórmula para el volumen de
agua en el tanque V = ~ 7T'r 2h, tiene una variable no deseada r; no es deseada puesto
que no conocemos su razón dr / dt. Sin embargo, por medio de triángulos semejantes
(véase el recuadro al margen), tenemos r/h = 6/12, o r = h/2. Sustituyendo esto en
V = ~7T'r2 h da
Solución
Ahora derivamos de manera implícita, teniendo en mente que tanto V como h dependen de t. Obtenemos
dV
37T'h2 dh
Figura 3
---
dt
Dos triángulos son semejantes si sus
ángulos correspondientes son
congruentes.
12 dt
7T'h 2 dh
----
4 dt
Ahora que tenemos una relación entre dV / dt y dh/ dt, y no antes, consideramos la situación cuando h = 4. Sustituyendo h = 4 Y dV / dt = 8, obtenemos
7T'( 4)2 dh
8=--4 dt
a partir de la cual
a
A
De geometría aprendemos que
razones de lados correspondientes
de triángulos semejantes son
iguales. Por ejemplo,
b
B
a
A
Este hecho, utilizado en el ejemplo
2, con frecuencia se necesitará en el
conjunto de problemas.
dh
2
= - ~0.637
dt
7T'
Cuando la profundidad del agua es de 4 pies, el nivel del agua está elevándose a 0.637
pies por minuto.
•
-
Si reflexiona por un momento en el ejemplo 2, usted se da cuenta que el nivel del
agua se elevará cada vez más despacio conforme el tiempo avance. Por ejemplo, cuando
h = 10
7T'(10)2 dh
8=--4
dt
de modo que dh/ dt = 32/1007T' ~ 0.102 pies por minuto.
Lo que estamos diciendo en realidad es que la aceleración d 2h/dt 2 es negativa.
Podemos calcular una expresión para ella. En cualquier instante t,
7T'h 2 dh
8=-4 dt
de modo que
32 = h2 dh
7T'
dt
Si derivamos implícitamente otra vez, obtenemos
2
O = h 2 d h + dh (2h dh)
dt 2
dt
dt
de la cual
-2(~)'
h
Ésta es claramente negativa.
148
CAPíTULO
3
La derivada
excede a 640. Por otra parte, seguramente s está aumentando más lentamente que la suma de x y y; es decir, ds/dt < 600 + 640. Nuestra respuesta, ds/dt = 872, es razonable. _
EJEMPLO 4 Una mujer que permanece de pie en un acantilado, observa con un telescopio cómo se aproxima un bote de motor a la playa que está directamente debajo
de ella. Si el telescopio está 250 pies por arriba del nivel del agua y si el bote se aproxima a 20 pies por segundo, ¿a qué velocidad está cambiando el ángulo del telescopio,
cuando el bote está a 250 pies de la playa?
Telescopio
Solución
Paso 1: Dibuje una figura (véase la figura 5) e introduzca variables x y O, como se
muestra.
Bote
Figura 5
Paso 2: Nos dan que dx/ dt = -20; el signo es negativo ya que x disminuye con el
tiempo. Queremos saber dO / dt en el instante cuando x = 250.
Paso 3:
Por trigonometría,
x
tanO = 250
Paso 4: Derivamos implícitamente usando el hecho de que D () tan O = sec2 O (Teorema 3.4B). Obtenemos
2 dO _
1 dx
sec O dt - 250 dt
Paso 5: En el instante cuando x = 250, Ois 'TT/ 4 radianes y sec2 O = sec2 ( 'TT /4) = 2.
Por tanto,
dO
1
2-·=-(-20)
dt
250
o
2400 pies 3fh
dO
-1
- = - =-0.04
dt
25
El ángulo está cambiando -0.04 radianes por segundp. El signo negativo muestra' que
eestá disminuyendo con el tiempo.
_
Un problema gráfico de tasas relacionadas Con frecuencia en una situación de la vida real, no conocemos una fórmula para cierta función, sino que tenemos
una gráfica determinada de manera empírica para ella. Aún así podemos ser capaces
de responder preguntas sobre razones de cambio.
EJEMPLO 5 La ciudad de Webster monitorea la altura del agua en su tanque cilíndrico con un dispositivo de registro automático. El agua se bombea de manera constante
al tanque a una velocidad de 2400 pies cúbicos por hora, como se muestra en la figura 6.
Durante cierto periodo de 12 horas (empezando a la medianoche), el nivel del agua se
elevó y descendió de acuerdo con la gráfica en la figura 7. Si el radio del tanque es de
20 pies, ¿a qué velocidad está utilizándose el agua a las 7:00 a.m.?
2400 _!!Y.
dI
)
Solución Sean t el número de horas transcurridas después de la medianoche, h la altura del agua en el tanque en el instante t y V el volumen del agua en el tanque en el
instante t (véase la figura 6). Entonces dV/ dt es la razón de entrada menos la razón de
salida, de modo que 2400 - dV/ dt es la velocidad a la que el agua está utilizándose en
cualquier instante t. Como la pendiente de la recta tangente en t = 7 es aproximadamente - 3 (véase la figura 7), concluimos que dh/ dt ~ -3 en ese instante.
Para un cilindro, V = 'TTr 2h, y de este modo
Figura 6
18
15
12
V = 'TT(20)2 h
entonces
1
2
3
Figura 7
4
5
6
7
8
9
10 11 12
dV
dh
= 400'TTdt
dt
-
t(horas)
En t = 7,
1SO
CAPíTULO
3
La derivada
dez se mueve el rayo de luz a lo largo de la playa, cuando pasa por
el punto que se encuentra a! kilómetro del punto que está enfrente del faro?
W 16. Una aficionada a la aviación observa un aeroplano volar
a una altura constante de 4000 pies hacia un punto que se encuentra directamente sobre de ella. Ella observa que cuando el ángulo de elevación es! radián, éste aumenta a una velocidad de fa radián por segundo. ¿Cuál es la velocidad del aeroplano?
17. Cristóbal que mide 6 pies de estatura, camina alejándose
de un poste de luz, de 30 pies de altura, a una velocidad de 2 pies
por segundo.
(a) ¿A qué rapidez aumenta la longitud de su sombra, cuando
Cristóbal está a 24 pies del poste? ¿A 30 pies?
(b) ¿A qué velocidad se mueve el extremo de la sombra?
(c) Para seguir el extremo de su sombra, ¿a qué velocidad angular debe levantar sus ojos Cristóbal cuando su sombra es de 6
pies de largo?
18. El ángulo, 8, opuesto a la base de un triángulo isósceles, con
lados iguales de longitud 100 centímetros, aumenta a razón de fa de
radián por minuto. ¿Con qué rapidez aumenta el área del triángulo
cuando el ángulo 8 mide 7T /6 radianes? Sugerencia: A = ! ab sen 8.
L] 19. Un largo paso a desnivel de una autopista pasa por encima de una vía de ferrocarril que está 100 pies por debajo y forma
un ángulo recto con él. Si un automóvil viaja a 45 millas por hora
(66 pies por segundo) está directamente por arriba de la parte delantera de un tren que va a 60 millas por hora (88 pies por segundo), ¿qué tan rápido se están separando 10 segundos después?
20. Se bombea agua a razón constante de 2 litros por minuto
(1 litro = 1000 centímetros cúbicos) a un tanque con forma de cono
circular recto truncado. El tanque tiene una altura de 80 centímetros
y los radios inferior y superior miden 20 y 40 centímetros, respectivamente (véase la figura 10). ¿A qué velocidad se eleva el nivel del
agua cuando la profundidad del agua es de 30 centímetros? Nota: El
volumen, V, de un cono circular recto truncado de altura h y radios
inferior y superior a y b es V = ~ 7Th . (a 2 + ab + b 2 ).
22. Las manecillas de un reloj son de 5 pulgadas (el minutero) y de 4 pulgadas (el horario). ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre los extremos de las manecillas a las 3:00?
23. Un cilindro circular recto con un pistón en un extremo se
llena con gas. Su volumen cambia de manera continua a causa del
pistón. Si la temperatura del gas se mantiene constante, entonces,
por la Ley de Boyle, PV = k, donde P es la presión (libras por pulgada cuadrada), Ves el volumen (pulgadas cúbicas) y k es una
constante. La presión es controlada por medio de un dispositivo de
registro en un periodo de 10 minutos. El resultado se muestra en
la figura 12. De manera aproximada, ¿qué tan rápido estaba cambiando el volumen en t = 6.5, si el volumen en ese instante fue de
300 pulgadas cúbicas? (Véase el ejemplo 5.)
P(lb/pulg2)
80
60
40 I
20
+~~~~J!'~~ ~
~~'~""m+~
!~~~~~~~~~+~~~~ ~~~ ~~~ ~~¡~
+"
~~ ~~",,+
,~~~~~~~
2345678
t(min)
Figura 12
24. Resuelva el ejemplo 5 suponiendo que el tanque de agua
es una esfera de radio de 20 pies. (Véase el problema 21 para el volumen de un casquete esférico.)
25. Resuelva el ejemplo 5 suponiendo que el tanque de agua
tiene forma de un hemisferio superior, con radio de 20 pies. (Véase el problema 21 para el volumen de un casquete esférico.)
26. Con respecto al ejemplo 5. Desde la medianoche y hasta
mediodía, ¿cuánta agua utilizó, en este periodo de 12 horas, la ciudad de Webster? Nota: Éste no es un problema de diferenciación.
L] 27. Una escalera de 18 pies, descansa contra un muro vertical de 12 pies, su extremo superior sobresale del muro. El extremo
inferior de la escalera se empuja a lo largo del piso alejándose del
muro a 2 pies por segundo.
(a) Encuentre la velocidad vertical del extremo superior de la escalera cuando ésta forma un ángulo de 60° con el piso.
(b) Encuentre la aceleración vertical en ese mismo instante.
28. U na bola esférica de acero permanece en el fondo del depósito del problema 21. Responda la pregunta planteada allí, si la
bola tiene radio
Figura 10
21. Del fondo de un depósito semiesférico, de radio 8 pies, está saliéndose agua a razón de 2 pies cúbicos por hora. El depósito
estaba lleno en cierto momento. ¿A qué velocidad cambia el nivel
del agua cuando su altura es de 3 pies? Nota: El volumen de un casquete de altura h en un hemisferio de radio r es 7Th 2 [r - (h/3)].
(Véase la figura 11.)
. (a) 6 pulgadas y
(b) 2 pies.
(Suponga que la bola no afecta el flujo que sale del tanque.)
29. Una bola de nieve se derrite a una razón proporcional al
área de su superficie.
(a) Demuestre que su radio se contrae a una razón constante.
(b) Si en una hora se derrite a 8/27 de su volumen original, ¿cuánto tardará en derretirse por completo?
30. Una bola de acero caerá 16t2 pies en t segundos. Tal bola
se deja caer desde una altura de 64 pies a una distancia horizontal de 10 pies de un poste de luz, que tiene una altura de 48 pies.
Cuando la bola llega al suelo, ¿con qué rapidez se está moviendo
la sombra de la bola?
Figura 11
31. Una niña de 5 pies de estatura camina hacia un poste de
luz, de 20 pies de altura, a una velocidad de 4 pies por segundo. Su
L'
E TICNLGGIA
3.1
:
PNY'ECT
.
I1
I
1
4.
1
1
I
ectas secantes y tangentes
Por tanto, La ecuación de La recta secante es
ción Se presenia ci
- mitodo. Defina g(x)
realice 1.a si flfLiiij( ac1 kn comUn
xde dierencias c cociente ditet
ci
Preparación
uco-
-
Ejercicio I Utilice Ia regla parr ii poteni 1a para
cia, la regla para el productoy'1i -eg.
I cociente para derivar ILas func iones si-
g'',
tesarrollando (g(2 + h)
cia!), d--"
De's
uientes:
1-
,,
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'- el ccionando varios valo. es de h
ercar as a ccro y evati
ando ci coci nte.
cocier 1te dife-'
ConLsLrul a una lahiLa de h y ad
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I
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V
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.
u ic) l fri este eje rcrio.
Ejercc
la reCt
a tar1nte a una CUL- utiliz tndo Ia
.e La recta tangente es e! lImite de
kuea-LIC ç Li'
Las rectas se can.es. ( omo un ey nr"
rt no tn1
=
Uso de Ia tecnolc gIa
El propósito de este pro yecv' es vet iii [car
'e den(pero no demostrar) que I iireg
puntos CS
_.
De'iiente
Proporcione una definiciOn de
la derivada de una función f. Sea f(x) =
x(1 - x). Explique qué significa f'() y cómo puede determinarse. Seleccione valores
de h cercanos a cero para evaluar el cocien-
b2
puds utilice Las reglas de denivación de este
capItu!o para venificar su conjetura.
.
E TECN'eLeI(A
3.2
H
Aproximación lineal CIe ut
!uflCjófl
I. Preparación
Ejercicio I Revis.e ci mafrrial Je la secn lineal
c'e
.
ción 3.10 sobre la aproximacio:
iioxin-aci
una función. Encuentre la apr - en los
ne 1 para las funciorie s sIigiientes
i
.
-
-
'ntos dados.
L, dibue It. función lineat junto con La
rantizar que f(x) - L(x) < 0.1?) Puede
apruximación lineal en 1 misma ventana
de nsualLzacion. Haga Un acercannento
el punto a hasa que la gráfica de La .reciLay
la funciór scan casi indistinguibles R.epita
que tenga que hacer varios acercamientos.
Repita esta pregunta pana errores de 0.01,
ii a = 2
en a =8
h(x) = cos en i =
-
de Ia tecnologia
El pi opósito de este provecto es investigar
Ia pre,cisión de Ia- aproximaciOii lineal dc
una fiincion.
:-
EjerdciJo2 P ira La funciOn f. una vez que
usted haya oh- tenido Ia aproxirnación lineal
0.001 y 0.0001. Llene Ia tabla siguiente.
esto para las funciones g y h.
Valor de error absoluto
Defina la función C por e(x) f(A L(x). (La función es ci rot iue
iisurgc il usar Ia aproximaciOn lineal) .L)1JU
je e(x) en intervalos cada ve' mtts pequerios
airededor de a. LCuanto valen
Ejercicio 3
(bj g(x) =
Ejercicio 6
tuna acerca del valor de este !nite, y des-
1.
PRVEC1rø
(a)
Reflexión
te (f( + h) - f())/h. Haga una conjeA(2)
A(b)
'. .A coitir"
..
potencias para n = 3 y x
Ejercicio 5 Utilice el método del ejercicio
4 para aproximar La recta tangente a la grá-
1
rosen
n este fir,'cu nidere dos puit
c , (2,i1(2)) v ( A(b)), donde bes
La gr Lfia
IL
de 2. La Dendie nte
- pCro d:ferente
cercanu,
sevtnte que conecta a e itos dos
de Ia re
tcL_Cci
Ejercicio 3 Utilice su computarlora araverificar de manera .rôI.Ji ca I-i ltir', rnl)a La
160
i-2
Dibuje Ia función Ay Ia recta secante cerca
del punto de interds en La misma ventana de
graficación. (Usted tendrá que seleccionar
un valor para b.) Ahora, elija valores para b
que estén más cercanos a 2.0 hasta que usted obtenga algo que parezca una tangente
a Ia curva en (2,A(2)), esto es, encuentre un
valor de b (cercano, pero diferente, de 2.0)
taL que en efecto tenga una tangente. Escniba los valores de b y A(b), y presente una
gráfica 0 irn bosquejo de La curva y su recta
secante que sea muy cercana a Ia tangente.
fica de Ia función F(x) = sen x en x = 0 y
en x = I2.
O
avance, haga la mejor esLllh1
-"ición que pueda de Ia pendiente y también i )roI )orcione
r es
eL error de su aproXimaci(Sn, (El- er.or
igual a f'(2) - (su estimac1 de f'(2).)
l. 'J so
- 5)(x2 - i)
I encontranios Ii reca:nt I tL
.:
aia PSI afiLLricOv
Vu(2.
.t12))=(2,1.8,.
,
,
gerLte en e! puntc
aOl:iLto, a
donde f(x) = x2. Haga un acerc:
La gráfica de esta furiciOn, cerca del nu ro
i dio
x 2. ,La grafica parece liiierl Por rn
Ló.n entre el
de la estimaciOn de La elevaci
(c)
inos Ila c
A(x)
Dibuje la g;rál lica de y =
i
LI
funcio-
vación presentadas en este cap1t
nan para producir la derivada.
:IC
Ircicio
2
1l'aih.
y = A(2) + pendiente(x - 2)
LIme(x
y
Función
0.1
0.01
0.001
0.0001
fg
h
hme'(x)?
'I II.
Repita este ejercicio para las funcionc g yh.
Ejercicio 4 ;Gé tan cercana deb esLr x
de a para que ci valor a')s() luto del[-rO
ci.
us
sea rnenor que 0.1? ( I:fl otras palal
-
1
qué tan pequeflo debe si r
- a r1iara ga-
Reflexión
Ejercicio 5 Escriba un reporte corto que
explique cómo encontran La aproximación
Lineal para una función. Proponcione a! me-
nos dos ejempLos que sean diferentes de
aqueLlos que se estudiaron en esta sección.
Aplicaciones
Aplicaciones
de Ia
la derivada
derivada
4.1 Máximos
Máximosyy mInimos
mínimos
4.1
4.2
4.2
4.3
4.3
4.4
4.4
4.5
4.5
4.6
4.6
4.7
4.7
4.8
4.8
4.9
4.9
Monotoníayyconcavidad
concavidad
MonotonIa
Máximosyy mInimos
mínimoslocales
locales
Máximos
Más
problemas
sobre
máximosyymInimos
mínimos
Más problemas sobre máximos
Aplicaciones
a
economía
Aplicaciones a economIa
Elaboraciónde
degráficas
gráficasmás
mássofisticadas
sofisticadas
Elaboración
El Teorema del valor medio
medio
El
Revisión del
del capItulo
capítulo
Revision
Problemasadicionales
adicionales
Problemas
Reflexiónyyref
refracción
de alaluz
luz
Proyectode
detecnologia
tecnología4.1
4.1 ReflexiOn
Proyecto
racciOn de
Proyectode
detecnologIa
tecnología4.2
4.2 Un
Unproblema
problemade
deoptimizaciOn
optimización
Proyecto
Confrecuencia
frecuenciaen
enlalavida,
vida,nos
nos enfrentamos
enfrentamoscon
concielproblema
problemade
deencontrar
encontrarlalamejor
mejorforfor4.1 Con
4.1
Máximos
~ á ~yy mInimos
miin
i
y
v =f(x)
Figura
Figura1 1
x
made
dehacer
haceralgo.
algo.Por
Porejemplo,
ejemplo,un
ungranjero
granjeronecesita
necesitaelegir
elegirIalamezcla
mezclade
decultivos
cultivosque
quesea
sea
ma
másapropiada
apropiadapara
paraproducir
producirlalamayor
mayorganancia.
ganancia.Un
Unmedico
médicodesea
deseaseleccionar
seleccionarlalamemelalamás
unfabricante
fabricantelelegustarIa
gustaríamiminordosis
dosisde
deuna
unadroga
drogaque
quecurar
curarácierta
ciertaenfermedad.
enfermedad.AAun
nor
nimizarelelcosto
costode
dedistribución
distribuciónde
desus
susproductos.
productos.Algunas
Algunasveces
vecesun
unproblema
problemadedeeste
este
nimizar
tipopuede
puedeformularse
formularsede
demodo
modoque
queimplique
impliquemaximizar
maximizaroominimizar
minimizaruna
unafunción
funciónenen
tipo
unconjunto
conjuntoespecIfico.
específico.Si
Si es
es asI,
así, los métodos de cálculo
cálculo proporcionan
proporcionan una
una herramienherramienun
poderosapara
pararesolver
resolverelelproblema.
problema.
tatapoderosa
Entoncessuponga
supongaque
quesesenos
nosdadauna
unafunción
funciónf fy yunundominio
dominioS Scomo
comoenenlalafigura
figura1.1.
Entonces
Nuestraprimer
primertarea
tareaesesdecidir
decidirsisif ftiene
tieneunun
valor
máximo
o un
valor
mínimoenenS.S.
SuNuestra
valor
máximo
o un
valor
mInimo
Suponiendoque
queexisten
existentales
talesvalores,
valores,queremos
queremossaber
saberenen
dónde
alcanzan
Por
úlponiendo
dónde
se se
alcanzan
enen
S. S.
Por
ililmínimo.Analizar
Analizarestas
estastres
trestareas
tareaseses
timo,deseamos
deseamosdeterminar
determinarlos
losvalores
valoresmáximo
máximoyymInimo.
timo,
objetivoprincipal
principaldedeesta
estasecciOn.
sección.
elelobjetivo
Empezamospor
porintroducir
introducirununvocabulario
vocabulariopreciso.
preciso.
Empezamos
Definición
Definición
Supóngaseque
queS,el
S,-eldominio
dominiode
def,f,
contieneelelpunto
puntoc.c.Decimos
Decimosque:
que:
Supongase
contiene
f (c)eseselelvalor
valormáximo
máximode
deffenenS,S,sisif(c)
f (c) zf(x)
f (x)para
paratoda
todax xenenS;S ;
(i) f(c)
f
(c)
es
el
valor
mínimo
de
f
en
S,
si
f
(c)
5
f
(x)
para
toda
f(c)
es
ci
valor
mInimo
de
f
en
S,
si
f(c)
f(x)
para
toda
x xenenS;S;
(ii)
(iii) f(c)
f (c)esesununvalor
valorextremo
extremodedef en
f en
valormáximo
máximoo oununvalor
valormInimo;
mínimo;
5, S,
si si
eses
ununvalor
(iv) lalafunciOn
funciónque
quequeremos
queremosmaximizar
maximizaro ominimizar
minimizareseslalafunción
funciónobjetivo.
objetivo.
161
162
CAPíTULO
4
Aplicaciones de la derivada
La cuestión de la existencia ¿f tiene un valor máximo (o mínimo)? La respuesta
depende ante todo del conjunto S. Considere f(x) = l/x en S = (O, (0); no tiene valor
máximo ni mínimo (véase la figura 2). Por otra parte, la misma función en S = [1,3] tiene el valor máximo de f(1) = 1 Yel valor mínimo f(3) = ~. En S = (1, 3],f no tiene
valor máximo y el valor mínimo de f (3) = ~ .
La respuesta también depende del tipo de función. Considere la función discontinua g (véase la figura 3) definida por
y
y =f(r) = .~
g(x) =
x
En (O, 00), no hay máximo ni mínimo
En [1, 3], máximo = 1, mínimo =}
En (1, 3], no hay máximo, mínimo =
i
{
X
si 1 ::; x < 2
x - 2 si 2 ::; x ::; 3
En S = [1,3], g no tiene valor máximo (se acerca arbitrariamente a 2, pero nunca lo
alcanza). Sin embargo, g tiene el valor mínimo g(2) = O.
Existe un teorema preciso que responde la pregunta de existencia para algunos
problemas que se presentan en la práctica. Aunque intuitivamente es obvio, una demostración rigurosa es muy difícil, la dejamos para textos más avanzados de cálculo.
Figura 2
y
Obsérvese las palabras clave; se requiere que f sea continua y que el conjunto S sea
un intervalo cerrado.
1
2
x
3
No hay máximo, mínimo =O
Figura 3
¿En dónde se presentan los valores extremos? Por lo común, la función
objetivo tendrá como su dominio a un intervalo l. Pero este intervalo puede ser de
cualquiera de los nueve tipos estudiados en la sección 1.3. Algunos de ellos contienen
a sus puntos finales (puntos frontera); algunos no. Por ejemplo, 1 = [a, b] contiene ambos puntos frontera; [a, b) sólo contiene a su punto frontera izquierdo; (a, b) no contiene ninguno de sus puntos frontera (véase la figura 4).
y
y
y
Máx
!\X~
/
Mín
h
{/
x
x
x
Puntos estacionarios
Puntos frontera
Figura 4
\Min
Figura 5
Puntos singulares
Figura 6
Si c es un punto en el que f' (c) = 0, lo llamamos punto estacionario. El nombre
proviene del hecho de que un punto estacionario de la gráfica se coloca en una trayectoria horizontal, puesto que la recta tangente es horizontal. A menudo, los valores extremos aparecen en los puntos estacionarios (véase la figura 5).
Por último, si c es un punto interior de 1, en donde f' no exista, decimos que c es
un punto singular. Éste es un punto en donde la gráfica de f tiene una esquina, una tangente vertical o quizá un salto, o cerca del cual la gráfica oscila de manera abrupta. Los
valores extremos pueden aparecer en puntos singulares (véase la figura 6), aunque en
problemas prácticos esto es muy raro.
Estas tres clases de puntos (puntos frontera, puntos estacionarios y puntos singulares) son los puntos clave en la teoría de máximos y mínimos. Cualquier punto de estos tres tipos, en el dominio de una función f se denomina punto crítico de f.
EJEMPLO 1 Encuentre los puntos críticos de f(x) = -2x 3 + 3x 2 en
[-!, 2].
Solución Los puntos frontera son -! y 2. Para determinar los puntos estacionarios,
resolvemos f'(x) = -6x2 + 6x = 0, para x, obteniendo y 1. No existen puntos singulares. Por tanto, los puntos críticos son -!, 0, 1,2.
•
°
SECCIÓN
4.1
Máximos y mínimos
163
Teorema B Teorema de los puntos ctfticos
Sea! definida en un intervalo 1 que contiene al punto e. SI f( e) es un valor extremo, entonces e debe serun punto crítico; es decir, e es alguno de los siguientes:
(i) • un punto frontera de 1;
(ii) ··UI1 punto estacionario de f; es. decir, un punto en donde f'(e) = O; o
(iiifun punto singular de f; esto es, un punto en donde f'(e) no existe.
Demostración
Primero considérese el caso en donde f(e) es el valor máximo de f
en 1 y suponga que e no es un punto frontera ni un punto singular. Debemos demostrar que e es un punto estacionario.
Ahora, como f(e) es el valor máximo, f(x) ::; f(e) para toda x en 1; esto es,
f(x) - f(e) ::; O
Por consiguiente, si x < e, de modo que x - e < O, entonces
f(x) - f(e)
x - e
(1)
y
-----2::
O
mientras que si x > e, entonces
y
(2)
-2x' + 3x
x
f(x) - f(e) ::; O
x - e
Pero, f'(e) existe ya que e no es un punto singular. En consecuencia, cuando hacemos
x --7 e- en (1) Yx --7 e+ en (2), obtenemos, respectivamente, f' (e) 2:: Oy f' (e) ::; O. Concluimos que f'(e) = O, como se quería.
El caso en que f(e) es el valor mínimo se maneja de forma análoga. •
En la demostración que se acaba de dar, utilizamos el hecho de que la desigualdad::; se preserva bajo la operación de tomar límites.
¿ Cuáles son los valores extremos? En vista de los Teoremas A y B, ahora podemos establecer un procedimiento muy sencillo para determinar los valores máximo
y mínimo de una función continua f en un intervalo cerrado l.
Paso 1 Encuéntrense los puntos críticos de f en l.
Paso 2 Evalúese f en cada uno de estos puntos críticos. El mayor de estos valores es
le valor máximo; el valor más pequeño es el valor mínimo.
Figura 7
EJEMPLO 2
Terminología
Encuentre los valores máximo y mínimo de
f(x)
Obsérvese la manera en que los términos se utilizan. El máximo es 1, que es
igual a f( -!) y f(l). Decimos que el
en
=
-2x 3 + 3x 2
[-L 2].
Solución
En el ejemplo 1, identificamos -112, 0,1,2 como los puntos críticos. Ahora
f(-1I2) = 1,f(0) = O,f(l) = 1 Y f(2) = -4. Así, el valor máximo es 1 (se alcanza en
-112 y en 1) y el valor mínimo es -4 (se alcanza en 2). La gráfica de f se muestra en la
figura 7.
•
máximo se alcanza en -! y en 1. De
manera análoga, el mínimo es -4, que
se alcanza en 2.
La función F(x) = X 2/3 es continua para todos los reales. Encuentre sus
valores máximo y mínimo en [-1,2].
EJEMPLO 3
y
Solución F' (x) = ~ X- l / 3 , nunca es cero. Sin embargo, F'(O) no existe, de modo que O
es un punto crítico, así como los puntos frontera -1 y 2. Ahora, F( -1) = 1, F(O) = OY
F(2) = V4 ~ 1.59. Por consiguiente, el valor máximo es
ro. La gráfica se muestra en la figura 8.
x
Figura 8
\Y4; el valor mínimo es ce•
Problemas prácticos Un problema práctico es aquel que surge de un problema
de la vida cotidiana. Tales problemas rara vez tienen puntos singulares; de hecho, para ellos, por lo regular los valores máximo y mínimo aparecen en puntos estacionarios,
aunque deben verificarse los puntos frontera. A continuación están dos ejemplos característicos.
166
CAPíTULO
4
Aplicaciones de la derivada
Revisión de conceptos
1. Una función
en un intervalo
siempre tendrá un valor máximo y un valor mínimo en ese intervalo.
2. El término valor
valor mínimo.
denota a un valor máximo o a un
3. Una función puede alcanzar un valor extremo sólo en un punto crítico. Los puntos críticos son de tres tipos:
y
4. Un punto estacionario para f es un número c tal que
_
un punto singular para f es un número c tal que
_
Conjunto de problemas 4.1
En los problemas del 1 al 16, identifique los puntos críticos y encuentre los valores máximo y mínimo (véase los ejemplos 1, 2 Y 3).
1. f(x) = x + 4x + 4;/ = [-4,OJ
2
2. h(x) = x 2 + x; / = [-2, 2J
3. 'I'(x) = x 2 + 3x; / = [-2,lJ
4. G(x) = H2x 3 + 3x2 - 12x);1 = [-3, 3J
5. f(x) = x 3 - 3x + 1;1 = (-L 3) Sugerencia: Elabore la
GJ 23. Un granjero tiene 80 pies de valla con la cual planea encerrar
un corral rectangular a lo largo de un lado de su establo de 100 pies
de largo, como se muestra en la figura 13 (el lado a lo largo del establo no necesita valla). ¿Cuáles son las dimensiones del corral que tiene área máxima?
gráfica.
6. f(x)
= x3
-
3x
+ 1;1 = [-L3]
1
7. h(r) =-;/ = [-1,3J
r
1
8. g( x) = - - 2 ; / = [-3, 1 J
l+x
9. g( x)
1
= ---2; / =
(-00, (0) Sugerencia: Elabore la grál+x'
.
Figura 13
GJ 24. El granjero del problema 23 decide hacer tres corrales idénticos con sus 80 pies de valla, como se muestra en la figura 14. ¿Qué
dimensiones del área total encerrada hacen que el área de los corrales sea tan grande como sea posible?
fica.
x
10. f(x) = - - 2 ; / = [-1,4J
l+x
11. r( O)
= sen O;I = [-
¡,
*]
12. s(t) = sent - cost;/ = [O,7TJ
13. a(x) = Ix - 11; / = [0,3J
14. f(s) = 13s - 21;/ = [-1,4J
15. g(x)
=
..qx;/
=
[-1,27J
Figura 14
25. Suponga que el granjero del problema 23 tiene 180 pies de
valla y quiere que el corral quede contiguo a todo el lado del establo
de 100 pies, como se muestra en la figura 15. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para tener área máxima? Obsérvese que en este caso, O :5
X :5 40.
2 5
/ ; /
16. s(t) = t
= [-1, 32J
17. Encuentre dos números no negativos cuya suma sea 10 y cuyo producto sea máximo. Sugerencia: Si x es un número, 10 - x es el
otro.
18. ¿Qué número excede a su cuadrado en la máxima cantidad?
Empiece por convencerse que este número se encuentra en el intervalo [0,1].
19. Erika tiene 200 pies de valla, con la cual planea encerrar un
patio rectangular para su perro. Si desea encerrar el área máxima, ¿de
qué dimensiones debe ser?
20. Demuestre que para un rectángulo con perímetro dado, K,
el de área máxima es un cuadrado.
21. Encuentre el volumen de la caja abierta más grande que'puede fabricarse con un pedazo cuadrado de cartón de 24 pulgadas por
lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas y luego doblando los
lados hacia arriba (véase el ejemplo 4).
22. Un pedazo de alambre de 16 pulgadas de largo, se corta en dos
pedazos; una pieza se dobla para formar un cuadrado y la otra se dobla para formar un círculo. ¿En dónde debe hacerse el corte para que
la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea mínima?, ¿máxima? (Cabe la posibilidad de no cortar.)
x
Figura 15
26. Suponga que el granjero del problema 23 decide utilizar sus
80 pies de valla para construir un corral rectangular que se ajuste a una
esquina de 20 por 40 pies, como se muestra en la figura 16 (toda la esquina debe utilizarse y no requiere de valla). ¿Cuáles dimensiones
dan el corral con área máxima? Sugerencia: Empiece por decidir sobre los valores admisibles para x.
x
y
Figura 16
SECCIÓN
27. Un rectángulo tiene dos vértices sobre el eje x y los otros dos
en la parábola y = 12 - x 2 , con y 2: O(véase la figura 17). ¿Cuáles son
las dimensiones del rectángulo de este tipo con área máxima?
4.1
Máximos y mínimos
167
ductor obtiene 12 dólares por hora. ¿Cuál es la velocidad más económica a la cual operar el camión en un viaje de 400 millas, si se requiere que la velocidad en la autopista esté entre 40 y 55 millas por hora?
32. Vuelva a resolver el problema 31, suponiendo que el costo de
operación es 40 + 0.05x3/2 centavos por milla.
33. Encuentre los puntos P y Q en la curva y = x 2 /4, O:::; x :::;
2 \13, que sean el más cercano y el más alejado del punto (0,4). Sugerencia: El álgebra se simplifica si considera el cuadrado de la distancia pedida en lugar de la distancia misma.
Figura 17
34. Un humidificador utiliza un disco giratorio de radio r, que en
parte está sumergido en el agua. La mayor evaporación es cuando la
región húmeda expuesta (mostrada como la región superior sombreada en la figura 21) se maximiza. Muestre que esto sucede cuando h (la
distancia del centro al agua) es igual a r /~.
28. Un rectángulo será inscrito en un semicírculo de radio r, como se muestra en la figura 18. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo, si su área debe maximizarse?
Figura 18
29. Un canalón metálico para el agua de lluvia tiene lados de 3
pulgadas y un fondo horizontal de 3 pulgadas, los lados forman ángulos iguales () con el fondo (véase la figura 19). ¿Cuál debe ser epara
maximizar la capacidad de desalojo de agua del canalón? Nota: O:::;
() :::; 1T/2.
Figura 21
35. Una caja con tapa se fabricará con una hoja rectangular de
cartón, que mide 5 por 8 pies. Esto se realiza cortando las regiones
sombreadas de la figura 22 y luego doblando por las líneas discontinuas. ¿Cuáles son las dimensiones x, y y Z que maximizan el volumen?
f--x I
Figura 19
y-------J
T
z
30. Un gran depósito cónico se fabricará con una pieza metálica circular con radio de 10 metros, cortando un sector con ángulo ey
luego soldando los lados rectos de la pieza restante (véase la figura 20).
Encuentre e, de mudo que el cono resultante tenga el mayor volumen posible.
1
Figura 22
[§g 36. Para cada función, identifique los puntos críticos yencuentre los valores extremos en [-1, 5].
(a) f (x) = x 3
-
6x 2
+ x + 2 (b) g ( x) = If(x ) I
[§g 37. Siga las instrucciones del problema 36 para f(x)
sen + 2.
Figura 20
31. El costo de operación de cierto camión es de 25 + x/4 centavos por milla, si el camión recorre x millas por hora. Además, el con-
=
cos x
+x
Respuestas a la revisión de conceptos: 1. continua; cerrado 2. extremo
3. puntos frontera; puntos estacionarios; puntos singulares 4. f' (e) = O;
f' (e) no existe
168
CAPíTULO
4
Aplicaciones de la derivada
4.2
Monotonía
y concavidad
Considere la gráfica en la figura 1. Nadie se sorprendería cuando decimos que f es decreciente a la izquierda de e y creciente a la derecha de c. Pero, para asegurar que coin~
cidimos en la terminología, damos definiciones precisas.
Definición
y
Sea f definida en un intervalo l (abierto, cerrado o ninguno de éstos). Decimos que:
(i) f es creciente en l si, para toda pareja de números Xl y X2 en l,
Xl < X2 =* f(XI) < f(X2)
(ii) f es decreciente en l si, para toda pareja de números Xl y X2 en l,
Xl
I
I
Decreciente:
(iii)
Creciente
I
I
e
f
<
X2 =* f(XI)
>
f(X2)
es estrictamente monótona en l si es creciente en loes decreciente en l.
¿Cómo decidiremos en dónde una función es creciente? Alguien podría sugerir
que dibujemos su gráfica y la veamos. Pero por lo regular, una gráfica se dibuja trazando unos cuantos puntos y conectándolos por medio de una curva suave. ¿Quién puede asegurar que la gráfica no oscila entre los puntos trazados? Incluso los sistemas de
álgebra computacional y las calculadoras gráficas lo hacen conectando puntos. Necesitamos un procedimiento mejor.
x
Figura 1
La primera derivada y monotonía Recuerde que la primera derivada f'(x)
nos da la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto x. Entonces, si
f'(x) > 0, la recta tangente asciende hacia la derecha (véase la figura 2). De manera
análoga, si f' (x) < 0, la recta tangente desciende hacia la derecha. Estos hechos hacen
intuitivamente claro el siguiente teorema. Posponemos una demostración rigurosa
hasta la sección 4.7.
y
x
Por lo regular, este teorema nos permite determinar con precisión en dónde una
función derivable es creciente y en dónde es decreciente. Es cuestión de resolver dos
desigualdades.
Figura 2
EJEMPLO 1 Si f(x) = 2x3 - 3x 2 - 12x
dónde es decreciente.
Valores de l'
+
O
O
I
I
-1
+
Solución
2
Figura 3
+ 7, encuentre en dónde f es creciente y en
Empezamos por encontrar la derivada de f,
f'(x) = 6x 2 - 6x - 12 = 6(x + 1)(x - 2)
Necesitamos determinar en dónde
(X + 1)(x - 2) > O
y
y también en dónde
15
(X + 1)(x - 2) < O
x
Este problema fue estudiado a detalle en la sección 1.3, una sección que vale la pena revisar ahora. Los puntos de separación son -1 y 2; ellos dividen al eje X en tres intervalos (-00, -1), (-1,2) Y(2,00). Utilizando los puntos de prueba -2, Y3, concluimos que
f'(x) > en el primero y en el último de estos intervalos y que f'(x) < en el intervalo de en medio (véase la figura 3). Así, por el teorema A, f es creciente en (-00, -1] Y
en [2,(0); es decreciente en [-1,2]. Obsérvese que el teorema nos permite incluir los puntos frontera de estos intervalos, aunque f' (x) = en esos puntos. La gráfica de f se
muestra en la figura 4.
•
° °
°
°
Figura 4
EJEMPLO 2
creciente.
Determine en dónde g(x)
= x/(1 + x 2 ) es creciente y en dónde es de-
SECCiÓN
4.2
Monotonía y concavidad
169
Solución
(1
g/ex)
+
O
I
I
-1
1
1 - x2
= (1 + x 2
f
+ x)
(1 - x)(l
(1
+x
2
f
Como el denominador siempre es positivo, g/ex) tiene el mismo signo que el numerador (1- x)(l + x). Los puntos de separación, -1 y 1, determinan tres intervalos (-00,
-1), (-1, 1) Y(1,00). Cuando los probamos, encontramos que g/ex) < Oen el primero y
en el último de estos intervalos y que g/ex) > Oen el intervalo de en medio (véase lafigura 5). Con base en el Teorema A, concluimos que g es decreciente en (-00, -1] Yen
[1,00) y que es creciente en [-1,1]. Posponemos la graficación de g para más adelante,
pero si quiere ver la gráfica vaya a la figura 11 y al ejemplo 4.
•
Valores de g'
o
=
+ x 2 ) - x(2x)
(1 + X 2 )2
Figura 5
La segunda derivada y concavidad Una función puede crecer y aún así tener
una gráfica que oscila mucho (véase la figura 6). Para analizar oscilaciones, necesitamos estudiar cómo gira la recta tangente cuando nos movemos de izquierda a derecha
a lo largo de la gráfica. Si la recta tangente gira constantemente en sentido contrario a
las manecillas de reloj, decimos que la gráfica es cóncava hacia arriba (o simplemente
cóncava); si la tangente gira en el mismo sentido que las manecillas del reloj, la gráfica es cóncava hacia abajo (o convexa). Ambas definiciones se formulan mejor en términos de funciones y sus derivadas.
Definición
Creciente, pero de manera oscilante
Sea J derivable en un intervalo abierto l. Decimos que J (al igual que su gráfica)
es cóncava hacia arriba en 1, si f' es creciente en 1, y decimos que J es cóncava hacia abajo en 1, si f' es decreciente en l.
Figura 6
Los diagramas en la figura 7 ayudarán a ac~arar estas nociones. Obsérvese que una
curva que es cóncava hacia arriba tiene forma parecida a una copa.
I
I
f'
creciente: Cóncava hacia arriba
f'
I
decreciente: Cóncava hacia abajo
Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo
Figura 7
En vista del Teorema A, tenemos un criterio sencillo para decidir en dónde una
curva es cóncava hacia arriba yen dónde es cóncava hacia abajo (convexa). Basta con
tener en mente que la segunda derivada de J es la primer derivada de f'. Por lo que, f'
es creciente si J" es positiva; es decreciente si J" es negativa.
Para la mayor parte de las funciones, este teorema reduce el problema de determinar concavidad al problema de resolver desigualdades. En esto somos expertos.
EJEMPLO 3 ¿EndóndeJ(x) = ~X3 - x 2
va hacia arriba y cóncava hacia abajo?
-
3x + 4escreciente,decreciente,cónca-
Solución
f' (x) =
x2
-
2x - 3 = (x + 1) (x - 3)
J"(x) = 2x - 2 = 2(x - 1)
SECCIÓN
Figura 13
4.2
Monotonía y concavidad
171
Solución Antes de que resolvamos este problema, pensemos cómo se verá la gráfica. Al principio, la altura aumentará con rapidez, ya que se necesita poca cantidad de
agua para llenar la parte inferior del cono. Conforme se va llenando el depósito, la altura aumentará menos rápido. ¿Qué sugieren estos enunciados con respecto a la función
h(t), su derivada h'(t) y su segunda derivada h"(t)? Como el agua se vierte de manera
constante, la altura siempre aumentará, de modo que h'(t) será positiva. La altura aumentará más lentamente conforme se eleva el nivel. Por consiguiente, la función h'(t)
está disminuyendo, de modo que h"(t) es negativa. Por tanto, la gráfica de h(t) es creciente (ya que h'(t) es positiva) y cóncava hacia abajo (pues h"(t) es negativa).
Ahora, una vez que tenemos una idea intuitiva acerca de cómo debe verse la gráfica (creciente y cóncava hacia abajo), resuélvase este problema de manera analítica.
El volumen de un cono circular recto es V = ~ 'TTr z h, donde V, r y h son funciones del
tiempo. Como el agua fluye hacia el depósito a razón de pulgada cúbica por segundo, la función V es V = t, donde t se mide en segundos. Las funciones h y r están
relacionadas; obsérvense los triángulos semejantes en la figura 13. Utilizando las propiedades de triángulos semejantes, tenemos
r
1
h
4
ASÍ, r = h/4. Por lo que, el volumen del agua dentro del cono es
!
!
~ 1Tr' h =
V =
; (
¡)\ :s
=
h
3
! t. Igualando estas dos expresiones para V se obtiene
Por otro lado, el volumen V =
1
'TT
-t = - h3
2
48
v
Cuando h = 4, tenemos t = ~ 43 = ~ 'TT ~ 8.4; asÍ, tarda alrededor de 8.4 segundos llenarse el depósito. Ahora resolviendo para h en la ecuación anterior que relaciona h y t
para obtener
200
h
ISO
=1~1
La primera y segunda derivada de h son
100
SO
h'(I)
=D
24
Terminología
Mientras que el mínimo o el máximo
de una función es un número,
un punto de inflexión siempre es una
I
= ~(24 t)-Z/3
2
'TT'TT
que es positiva, y
h"(t)
Figura 14
1
t'TT
2
= D--
4
t~
3~
que es negativa. La gráfica de h(t) se muestra en la figura 14. Como se esperaba, la gráfica de h es creciente y cóncava hacia abajo.
•
Puntos de inflexión Sea f continua en e. Llamamos a (e, f(e)) un punto de in·
flexión de la gráfica de f, si f es cóncava hacia arriba a un lado de e y cóncava hacia
abajo del otro lado de e. La gráfica en la figura 15 indica varias posibilidades.
pareja ordenada (c,f(c)).
Cóncava
hacia arriba
Figura 15
SECCIÓN
31. feO) = 3; f(3) = O; f(6) = 4;
f'(x) < Oen(0,3);f'(x) > Oen(3,6);
f"(x) > Oen(0,5);f"(x) < Oen(5,6)
32. feO) = 3; f(2) = 2; f(6) = O;
f'(x) < Oen(0,2) U (2,6);1'(2) = O;
f"(x) < Oen (0,1) U (2,6);f"(x) > Oen (1,2)
33. feO) = f(4) = 1;f(2) = 2;f(6) = O;
f'(x) > Oen(0,2);f'(x) < Oen(2,4) U (4,6);
1'(2) = 1'(4) = O;f"(x) > Oen(O,l) U (3,4);
f"(x) < Oen(1,3) U (4,6)
34. feO) = f(3) = 3;f(2) = 4;f(4) = 2;f(6) = O;
f'(x) > Oen (O, 2);f'(x) < Oen (2,4) U (4,5);
1'(2) = 1'(4) = O;f'(x) = -1 en (5,6);
f"(x) < Oen(0,3) U (4,5);f"(x) > Oen(3,4)
35. Demuestre que una función cuadrática no tiene puntos de
inflexión.
36. Demuestre que una función cúbica tiene exactamente un
punto de inflexión.
37. Demuestre que, si f'(x) existe y es continua en un intervalo 1 y si f'(x) "* en todos los puntos interiores de 1, entonces fes
creciente en todo el intervalo loes decreciente en todo el intervalo
l. Sugerencia: Utilice el Teorema del valor intermedio para demostrar
que no pueden existir dos puntos x] y X 2 de 1 en donde f' tenga signos opuestos.
38. Suponga que f es una función cuya derivada es f'(x) = (x 2
- x + 1)/(x2 + 1). Utilice el problema 37 para demostrar que f es
creciente en todas partes.
39. Utilice el Teorema de monotonía para demostrar cada pro1
1
posición, si 0< x < y.
2
(a) x < y2
(b) VX <
c) - > x
y
40. ¿Qué condiciones sobre a, by c harán que f(x) = ax 3 +
bx 2 + cx + d siempre sea creciente?
41. Determine a y'b de modo que f(x) = a VX + bjvx tenga a (4, 13) como un punto de inflexión.
42. Suponga que la función cúbica f(x) tiene tres ceros reales,
r], r2 Y r3 . Demuestre que su punto de inflexión tiene abscisa
(,] + '2 + r3)/3. Sugerencia: f(x) = a(x-r¡)(x-r2)(X - r3)·
43. Suponga que f'(x) > y g/ex) > para toda x. ¿Qué otras
condiciones sencillas (si existen) se necesitan para garantizar que:
(a) f(x) + g(x) sea creciente para toda x;
(b) f(x) . g(x) sea creciente para toda x;
(c) f(g(x)) sea creciente para toda x?
44. Suponga que f"(x) > Oy g"(x) > para toda x. ¿Qué otras
condiciones sencillas (si las hay) se necesitan para garantizar que:
(a) f(x) + g(x) sea cóncava hacia arriba para toda x;
(b) f(x) . g(x) sea cóncava hacia arriba para toda x;
(c) f(g(x)) sea cóncava hacia arriba para toda x?
4.2
Monotonía y concavidad
47. Sea f'(x) = x 3 - 5x 2 + 2 en 1
¿en dónde es creciente f?
=
173
[-2,4]. En el intervalo 1,
48. Sea f"(x) = x 4 - 5x 3 + 4x 2 + 4 en 1
valo 1, ¿en dónde es cóncava hacia abajo f?
=
[-2,3]. En el inter-
49. Se vierte café en el vaso mostrado en la figura 18 a razón de
2 pulgadas cúbicas por segundo. El diámetro superior es de 3.5 pulgadas, el diámetro inferior es de 3 pulgadas y la altura de 5 pulgadas.
Este vaso se llena con casi 23 onzas. Determine la altura h como función del tiempo t y dibuje la gráfica desde el instante t = hasta el momento en que el vaso esté lleno.
°
t
3 .5Pu
\gj
----r
°
vY
°
(
°
°
Figura 18
50. Se bombea agua a una razón constante de 5 galones por minuto, en un tanque cilíndrico como se muestra en la figura 19. El tanque
tiene 3 pies de diámetro y largo de 9.5 pies. El volumen del tanque es
2
2
7Tr 1 = 7T X 1.5 x 9.5 = 67.152 pies cúbicos = 500 galones. Sin hacer
cálculos bosqueje una gráfica de la altura del agua como función del
tiempo t (véase el ejemplo 5). ¿En dónde es cóncava hacia arriba y en
dónde es cóncava hacia abajo h?
-t t
3 pies
1------
D
1
9.5 pies - - - - -....
Figura 19
51. Se vierte un líquido, al contenedor que se muestra en la figura 20, a razón de 3 pulgadas cúbicas por segundo. El contenedor es de
24 pulgadas cúbicas. Bosqueje una gráfica de la altura h del líquido como una función del tiempo t. En su gráfica ponga atención especial a
la concavidad de h.
52. Un tonel de 20 galones, como el mostrado en la figura 21, se
sale a razón constante de 0.1 de galón por día. Dibuje una gráfica de
la altura h del agua como función del tiempo t, suponiendo que en el
instante t = O. El tonel está lleno, ponga atención especial a la concavidad de h.
[§Q Utilice una calculadora gráfica o una computadora para resolver
los problemas del 45 al 48.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
45. Sea f(x) = sen x + cos(x/2) en el intervalo 1 = (-2,7).
Dibuje la gráfica de f en l.
Utilice esta gráfica para estimar en dónde f'(x) < en l.
Utilice esta gráfica para estimar en dónde f" (x) < en l.
Dibuje la gráfica de f' para confirmar su respuesta a la parte (b).
Dibuje la gráfica de f" para confirmar su respuesta a la parte (c).
°
°
46. Repita el problema 45 para f(x)
=
2
x cos (x/3) en (O, 10).
Figura 20
Figura 21
Respuestas a la revisión de conceptos: 1. creciente; cóncava hacia arriba 2. l' (x) > O; f" (x) < O 3. un punto de inflexión 4. f" (c) = O;
f" (c) no existe.
SECCIÓN
4.3
Máximos y mínimos locales
175
izquierda en la figura 3 aclara esto. Sin embargo, si la derivada es positiva en un lado
del punto crítico y negativa en el otro, entonces tenemos un extremo local, como se
muestra en las gráficas de en medio y de la derecha de la figura 3.
y
Demostración de (i) Como f'(x) > Opara toda x en (a, e), por el Teorema de monotonía, f es creciente en (a, e]. Además, como f'(x) < O para toda x en (e, b), f es decreciente en [e, b). Por tanto, f(x) < f(e) para toda x en (a, b), excepto por supuesto
en x = e. Concluimos que f(e) es un máximo local.
Las demostraciones de (ii) y (iii) son semejantes. •
x
-1
-2
-3
EJEMPLO 1 Encuentre los valores extremos locales de la funciónf(x) = x 2 - 6x
en (-00,00).
-4
Solución
Figura 4
La función polinomial
f
+5
es continua en todas partes, y su derivada,
f'(x) = 2x - 6, existe para toda x. Así, el único punto crítico para f es la solución única de f'(x) = O; esto es, x = 3.
Como f'(x) = 2(x - 3) < Opara x < 3, f es decreciente en (-00,3], Y como 2(x3) > O para x > 3, f es creciente en [3, (0). Por tanto, por la prueba de la primera derivada, f(3) = -4 es un valor mínimo local de f. Como 3 es el único punto crítico, no
existen otros valores extremos. La gráfica de f se muestra en la figura 4. Obsérvese
que, en este caso, f(3) en realidad es el valor mínimo (global).
_
y
EJEMPLO 2
en (-00,00).
Encuentre los valores extremos locales de f(x) = ~ x 3
-
x2
-
3x + 4
x
Solución Como f'(x) = x 2 - 2x - 3 = (x + l)(x - 3), los únicos puntos críticos de f
son -1 y 3. Cuando usamos los puntos de prueba -2, OY4, sabemos que (x + l)(x - 3)
> O en (-00, -1) Y (3,00) Y (x + l)(x - 3) < O en (-1,3). Por la prueba de la primera
derivada, concluimos que f( -1) = Jt es un valor máximo local y que f(3) = -5 es un
valor mínimo local (véase la figura 5).
_
EJEMPLO 3
Figura 5
X)2/3
en (-7T'/6, 27T'/3).
Solución
y
,
f(x)
11"
(;
Figura 6
Encuentre los valores extremos de f(x) = (sen
f (x)
(senx)'
11"
"3
11"
"2
211"
3
x
2 cosx
= 3 r.
,sen x ) 1/3
'
x
*0
Los puntos Oy 7T'/2 son puntos críticos, ya que 1'(0) no existe y 1'(7T'/2) = O.Ahora,f'(x)
< Oen (-7T'/6, O) yen (7T'/2, 27T'/3), mientras que f'(x) > Oen (O, 7T'/2). Por la prueba de
la primera derivada, concluimos que feO) = Oes un valor mínimo local y que f( 7T'/2) = 1
_
es un valor máximo local. La gráfica de f se muestra en la figura 6.
176
CAPíTULO
4
Aplicaciones de la derivada
Criterio de la segunda derivada Existe otra prueba para máximos y mínimos
locales que, a veces, es más fácil de aplicar que la prueba de la primera derivada. Incluye la evaluación de la segunda derivada en los puntos estacionarios. No se aplica a
los puntos singulares.
Demostración de (i) Es una tentación decir que, como f"(e) < O,f es cóncava hacia
abajo cerca de e y por tanto, concluir que esto demuestra (i). Sin embargo, para asegurar que f es cóncava hacia abajo en una vecindad de e, necesitamos que f"(x) < Oen
esa vecindad (no sólo en e) y nada en nuestra hipótesis garantiza esto. Debemos ser
un poco más cuidadosos.
Por definición e hipótesis,
J"(e) = lím f'(x) - f'(e) = lím f'(x) - O < O
x - e
x - e
x~c
x~c
de modo que podemos concluir que existe un intervalo (posiblemente pequeño) (a, f3)
alrededor de e en donde
f'(x)
--<O
x -e
'
x i= e
Pero esta desigualdad implica que f'(x) > Opara a < x < e y f'(x) < Opara e < x <
f3. Por tanto, por la prueba de la primera derivada, f(e) es un valor máximo local.
La demostración de (ii) es semejante. •
Para f(x) = x 2 - 6x
identificar extremos locales.
EJEMPLO 4
Solución
+ 5, utilice la prueba de la segunda derivada para
Ésta es la función del ejemplo 1. Obsérvese que
l' (x) = 2x -
6 = 2( x - 3)
J"(x) = 2
y
fCr)
=x
Así,f'(3) = OY f"(3) > O. Por tanto, por la prueba de la segunda derivada, f(3) es un
valor mínimo local.
_
1
EJEMPLO 5 ParaJ(x) = ~X3
x2
-
-
3x
+ 4, utilice la prueba de la segunda deri-
vada para identificar los extremos locales.
x
Solución
Ésta es la función del ejemplo 2.
l' (x) = x 2
-
2x - 3 = (x + 1) (x - 3)
J"(x) = 2x - 2
Los puntos críticos son -1 y 3 (1'(-1) = 1'(3) = O). Como f"(-l) = -4 y f"(3) = 4.
Por la prueba de la segunda derivada concluimos que f (-1) es un máximo local y que
f(3) es un valor mínimo local.
-
y
x
Figura 7
Por desgracia, la prueba de la segunda derivada falla, ya que f"(x) puede ser cero
en un punto estacionario. Para f(x) = x3 y para f(x) = x4 ,f'(0) = OYf"(O) = O(véase la figura 7). La primera no tiene un valor máximo o mínimo local en cero; la segunda tiene un mínimo local ahí. Esto muestra que si f"(x) = Oen un punto estacionario
no podemos sacar una conclusión acerca de máximos o mínimos sin más información.
180
CAPíTULO
4
Aplicaciones de la derivada
Solución
2p -1
G'( ) - - - p - p2(1 _ p)2
El único punto crítico es p = 1/2. Para cada valor de p en el intervalo (0,1) el denominador es positivo; por tanto, el numerador determina el signo. Si p está en el intervalo (0,1/2), entonces el numerador es negativo; de aquí que, G'(p) < O. De manera análoga, si p está en el intervalo (1/2,1), G'(p) > O. Así, por el criterio de la primera
derivada, G(1/2) = 4 es un mínimo local. Como no tiene puntos frontera o puntos singulares qué verificar, G(1/2) es un mínimo global. La gráfica de y = G(p) se muestra
en la figura 2.
y
20
15
10
0.2
0.4
0.6
0.8
•
Figura 2
x
Problemas prácticos Cada uno de los ejemplos siguientes es diferente, aunque
existen elementos comunes en los procedimientos que utilizamos para resolverlos. Casi al final de la sección, sugerimos un conjunto de pasos para utilizar en la resolución
de cualquier problema de máximos y mínimos.
EJEMPLO 3 Un volante debe contener 50 pulgadas cuadradas de zona de impresión,
con márgenes de 4 pulgadas arriba y abajo y márgenes de 2 pulgadas a cada lado. ¿Cuáles son las dimensiones para el volante que utilizaría menos papel?
Solución
Figura 3
Sea x el ancho y y la altura del volante (véase la figura 3). Su área es
A = xy
Deseamos minimizar A.
Como se estableció, A está expresada en términos de dos variables, una situación
que no sabemos cómo manejar. Sin embargo, encontraremos una ecuación que relacione a x con y, de modo que una de las variables pueda eliminarse en la expresión para
A. Las dimensiones de la zona de impresión son x - 4 Y Y - 8, Ysu área es de 50 pulgadas cuadradas; de modo que (x - 4)(y - 8) = 50. Cuando despejamos a y de esta
ecuación, obtenemos
50
y=--+8
x -4
Sustituyendo esta expresión para y en A
Sentido común
Sería difícil hacer cualquier estimación preliminar en el ejemplo 3. Sin
embargo, el sentido común nos dice
que la altura del volante debe ser
mayor que el ancho. ¿Por qué? Porque debemos sacar provecho de los
márgenes más angostos a los lados.
= xy se obtiene A
en términos de x:
50x
A = - - +8x
x -4
Los valores admisibles para x son 4 < x < 00; queremos minimizar A en el intervalo
abierto (4,00).
Ahora,
dA
(x - 4)50 - 50x
8x 2 - 64x - 72
8(x + l)(x - 9)
-+8------dx (x - 4)2
(x - 4?
(x - 4)2
/·
/.
.
/
d a x = 9 y x = - 1.
puntos cntIcos
se o b tIenen
resol'
L os umcos
Vlend o dA
dx = O; esta
Rechazamos x
= -1 ya que no está en el intervalo (4,00). Como dA/dx < Opara x en
SECCiÓN
4.4
Más problemas sobre máximos y mínimos
181
°
(4,9) Y dA/dx > para x en (9, (0), concluimos que A alcanza su valor mínimo en
= 9. Este valor de x hace y = 18 (encontrado por la sustitución en la ecuación que
relaciona x y y). De modo que las dimensiones del volante que utilizará la menor can•
tidad de papel son 9 pulgadas por 18 pulgadas.
x
EJEMPLO 4 Andrés, quién está en un bote de remos a 2 millas del punto más cercano B de una costa rectilínea, observa humo saliendo de su casa, que se encuentra a 6 millas de B, sobre la costa. Él calcula que puede remar a 3 millas por hora y correr a 5 millas por hora. ¿Cómo debe proceder para llegar a su casa·en el menor tiempo?
Solución Interpretamos que el problema significa que debemos determinar la x en
la figura 4, tal que haga mínimo el tiempo de recorrido de Andrés. Es claro que debemos restringir x al intervalo cerrado [0,6].
La distancia AD es W+4 millas y el tiempo para remar es W+4/3 horas.
La distancia De es 6 - x millas y el tiempo para recorrerla es (6 - x )/5 horas. Así, el
tiempo total T en horas es
W+4
6-x
T=
3
+-5-
Figura 4
Queremos minimizar T en [0,6].
Este tiempo tiene tres puntos críticos, los puntos frontera
cionario obtenido haciendo dT /dx igual a cero.
-dT = -1 . -1 (2
x
dx
3
2
°y 6 Yun punto esta-
+ 4)-1/2 (2x) - -1
5
x
1
3W+4
5
5x -3W+4
15W+4
Cuando igualamos dT /dx a cero y resolvemos, obtenemos en pasos sucesivos,
x
T
o
1.87
1.5
6
1.73
2.11
Figura 5
5x -3W+4
-------=0
15W+4
5x -3W+4 =0
5x =3W+4
25x 2 = 9(x 2 + 4)
16x 2 = 36
x =~
x = ~
2
Como el dominio para T es un intervalo cerrado, T tiene un mínimo (Teorema
4.lA) y este mínimo se presenta en un punto crítico (Teorema 4.1B).Así, los puntos críticos son x = 0, x = 1.5 Yx = 6. La figura 5 muestra los valores de T en cada punto crítico. Como el mínimo se presenta en x = 1.5, concluimos que Andrés debe remar hacia
el punto 1.5 millas playa arriba y después correr el resto del camino. Él tardará alrededor de 1.73 horas, o 104 minutos. Para un problema similar en el que uno de los puntos
•
frontera produce el tiempo mínimo, véase el problema 15.
EJEMPLO 5 Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en un cono circular recto dado.
Figura 6
Solución Sea a la altura y b el radio de la base del cono dado (ambas constantes). Denótese por h, r y V la altura, el radio y el volumen, respectivamente, de un cilindro inscrito (véase la figura 6). Antes de proceder, apliquemos un poco de intuición. Si el radio
del cilindro fuese cercano al radio de la base del cono, entonces el volumen del cilindro sería cercano a cero. Ahora, imagínese cilindros inscritos que aumentan de altura,
1-=
183
rección contraria al alargamiento. Por ahora, ignoraremos el signo de la fuerza.) Los
costos de fabricación son proporcionales al número de unidades producidas. El número de accidentes automovilísticos es proporcional al volumen del tráfico. Éstos son
modelos, yen un experimento en rara ocasión encontramos que los datos observados
se ajustan al modelo de manera exacta.
Supóngase que observamos la fuerza ejercida por un resorte cuando se alarga x
centímetros (véase la figura 7). Por ejemplo, cuando alargamos 0.5 centímetros el
resorte, observamos una fuerza de 8 newtons, cuando lo alargamos 1.0 centímetro, observamos una fuerza de 17 newtons, y así sucesivamente. La figura 8 muestra observaciones adicionales y la figura 9 muestra una gráfica de los pares ordenados (Xi' Yi)
donde Xi es la distancia que se estira y Yi es la fuerza que se ejerce sobre el resorte. Una
gráfica de los pares ordenados como ésta se denomina gráfica de dispersión.
Generalizamos el problema a uno en el que se nos dan n puntos (Xl> YI)' (X2' Y2),"·'
(X m Yn)' Nuestro objetivo es encontrar la recta que pase por el origen y que se ajuste
mejor a estos puntos. Antes de continuar, debemos introducir la notación sigma ( L).
I
I
Resorte sin estirar
Más problemas sobre máximos y mínimos
4.4
SECCIÓN
r
I
I
I
I
I
I
:---x-
1
~QQQQQQQQQ6000Q~
Resorte estirado una cantidad x
Figura 7
n
El símbolo
2: ai representa la suma de los números al' a2,· .. , ano Por ejemplo,
i=l
3
2: i
2
= 12 + 22 + 32 = 14
i=l
y
n
2: XiYi =
Figura 8
+
XIYI
+ ... + XnYn
X2Y2
i=l
En este caso, primero multiplicamos Xi y Yi Y después sumamos. Habrá más sobre la
notación sigma en la sección 5.3.
Para encontrar la recta que se ajuste mejor a estos puntos, debemos especificar cómo mediremos el ajuste. Nuestra recta que mejor ajusta, y que pasa por el origen, se
define como aquella que minimiza la suma del cuadrado de las distancias verticales entre (Xi' Yi) Yla recta y = bx. Si (Xi' y¡) es un punto, entonces (Xi' bxi) es el punto sobre
la recta y = bx que se encuentra arriba o abajo de (Xi' y¡). Por lo tanto, la distancia vertical entre (Xi' y¡) Y (Xi' bx¡) es Yi - bXi (véase la figura 10). Así, la distancia al cuadrado es (Yi - bX¡)2. El problema es encontrar el valor de b que minimiza la suma de los
cuadrados de estas diferencias. Si definimos
y
40
•
•
•
10
•
•
n
0.005
0.Ql0
0.015
0.020
0.025
S =
x
2: (Yi -
bXi)2
i=l
Distancia alargada (metros)
Figura 9
y
entonces debemos encontrar el valor de b que minimiza S. Éste es un problema de minimización como los que se encontraron antes. Sin embargo, tenga en mente, que las parejas ordenadas (Xi' Yi)' i = 1,2, ... , n están fijas; en este problema la variable es b.
Procedemos como antes a encontrar dS jdb, igualando el resultado a 0, y resolviendo para b. Como la derivada es un operador lineal, tenemos
dS
db
d
n
n
d
2
= db ~ (Yi - bxi)
&t db (Yi =
~ 2(y; -
2
bxJ
bx;) (:b (y; - bx;) )
n
Figura 10
= -2 2: X¡(Yi - bxJ
i=l
Igualando este resultado a cero y resolviendo se obtiene
184
CAPíTULO
4
Aplicaciones de la derivada
n
O = -2:¿ X/Yi - bx¡)
i=l
n
n
0= LXiYi-bLX;
i=l
n
i=l
n
b LX;
=
i=l
LXiY¡
i=l
n
b
LXiYi
=_i=_l_ _
n
LX;
i=l
Para ver que esto da un valor mínimo para S, observamos que
d2S
n
-
=2Lx 2
db 2
i=l 1
que siempre es positiva. No hay puntos frontera que verificar. Así, por el criterio de la
y
n
y = 1512.7x segunda derivada, concluimos que la recta y = bx, con b
40
=
n
LXi yj Lxi, es la reci=l
i=l
ta que mejor ajusta, en el sentido de minimizar S. La recta y = bx se denomina recta de
mínimos cuadrados que pasa por el origen.
EJEMPLO 6 Encuentre la recta de mínimos cuadrados que pasa por el origen para los
datos del resorte en la figura 8.
Solución
10
b = 0.005 . 8
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
x
Distancia alargada (metros)
EJEMPLO 7 La compañía XYZ fabrica estantes. El tamaño de los pedidos de los
clientes (llamado tamaño del lote) varía de un pedido al siguiente. Un cliente podría ordenar 10 estantes, el siguiente 14 y el otro 6. El número de horas de mano de obra para producir estantes debe ser proporcional al tamaño del pedido, pero siempre hay un
poco de variabilidad. XYZ ha obtenido los datos que se muestran en la figura 12, sobre
el tamaño del lote y las horas de mano de obra y que se requirieron. Encuentre la recta de mínimos cuadrados que pasa por el origen y utilícela para predecir el número de
horas de mano de obra requeridas para un tamaño de lote de 11 estantes.
Figura 12
Solución La figura 13 sugiere que los puntos caen cerca de una recta que pasa por el
origen. (La recta debe pasar por el origen, ya que un pedido de tamaño cero requeriría
cero horas de trabajo.) La recta de mínimos cuadrados tiene pendiente
y
30
•
27
024
b
.~
'§ 21
~ 18
~ 15
= 650
12
~ 1.989
Por tanto, la ecuación de la recta de mínimos cuadrados que pasa por el origen es
y = 1.989x (véase la figura 13). La predicción para las horas de mano de obra necesarias para un pedido de 11 estantes es
9
4
10
Tamaño del lote
Figura 13
= 10 . 21 + 14 . 25 + 6 . 13 + 7 . 14 + 10 . 18 + 13 . 29
102 + 142 + 62 + 72 + 102 + 13 2
1293
"O
:r::
1512.7
Por tanto, la recta de mínimos cuadrados que pasa por el origen es y = 1512.7 x y se
muestra en la figura 11. Por consiguiente, la estimación de la constante del resorte es
k = 1512.7.
•
Figura 11
ti
~
+ 0.010 . 17 + 0.015 . 22 + 0.020 . 32 + 0.025 . 36
0.005 2 + 0.0102 + 0.015 2 + 0.0202 + 0.025 2
12
14
x
y
= 1.989
X 11
<::>
21.9
•
La suposición de que la recta pase por el origen es razonable, cuando una variable es proporcional a otra, pero no es razonable en muchos otros caso. Por ejemplo, el
186
CAPíTULO
4
Aplicaciones de la derivada
10. Resuelva el problema 8, suponiendo que el área de cada corral es de 900 pies cuadrados. Estudie la solución de este problema y
del problema 8 y haga una conjetura acerca de la razón x/yen todos
los problemas de este tipo. Demuestre su conjetura.
22. Un cono circular recto puede inscribirse en otro cono circular recto de volumen dado, con los mismos ejes y con el vértice del cono interior tocando la base del cono exterior. ¿Cuál debe ser la razón
entre su altura para que el cono inscrito tenga volumen máximo?
W 11.
23. Un alambre de 100 centímetros de largo se corta en dos pedazos; uno se dobla para formar un cuadrado y el otro se dobla para
formar un triángulo equilátero. ¿En dónde debe hacerse el corte si
(a) la suma de las dos áreas debe ser mínima; (b) máxima? (Cabe la
posibilidad de no cortar.)
Un objeto lanzado desde el borde de un acantilado de 42 pies,
2x 2
sigue la trayectoria dada por y = - 25 + x + 42 (véase la figura 16).
Un observador está de pie, a 2.6656 pies del fondo del acantilado.
(a) Encuentre la posición del objeto cuando está más cerca del observador.
(b) Encuentre la posición del objeto cuando está más alejado del observador.
24. Una caja cerrada en forma de paralelepípedo rectangular con
base cuadrada tiene un volumen dado. Si el material utilizado para el
fondo cuesta 20% más por pulgada cuadrada que el material para los lados y el material de la tapa cuesta 50% más por pulgada cuadrada que
cada lado, encuentre las proporciones más económicas para la caja.
25. Un observatorio debe tener la forma de un cilindro circular
recto, coronado por un domo semiesférico. Si el domo semiesférico
cuesta el doble por pie cuadrado que las paredes cilíndricas, ¿cuáles
son las proporciones más económicas para un volumen dado?
26. Una masa conectada a un resorte se mueve a lo largo del eje
x de modo que su abscisa en el instante t es
x
Figura 16
12. La iluminación en un punto es inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia del punto a la fuente luminosa y directamente proporcional a la intensidad de la fuente. Si dos fuentes luminosas están separadas s pies y sus intensidades son I 1 el 2' respectivamente, ¿en
qué punto entre ellas la suma de sus iluminaciones será mínima?
GJ 13. Una pequeña isla está a 2 millas del punto más cercano, P,
de una playa rectilínea de un gran lago. Si una mujer en la isla puede
remar en una lancha a 3 millas por hora y caminar 4 millas por hora,
¿en dónde debe desembarcar el bote para llegar, en el menor tiempo, a
un pueblo que se encuentra a 10 millas del punto P medidas sobre la
playa? Véase el ejemplo 4.
GJ 14. En el problema 13, suponga que, cuando llegue a la playa, la
mujer será recogida por una automóvil que promedia 50 millas por hora. Entonces, ¿en dónde debe desembarcar?
GJ 15. En el problema 13, suponga que la mujer utiliza una lancha
de motor, que viaja a 20 millas por hora. Entonces, ¿en dónde debe desembarcar?
16. Una central eléctrica situada en una ribera de un río rectilíneo que tiene w pies de ancho. Una fábrica está situada en la ribera
opuesta del río, L pies río abajo del punto A, que está enfrente a la central eléctrica. ¿Cuál es la ruta más económica para conectar un cable
de la central a la fábrica, si cuesta a dólares por pie tender el cable bajo el agua y b dólares por pie en tierra (a > b)?
17. A las 7:00 a.m. un barco estaba a 60 millas al este de un segundo barco. Si el primer barco navega hacia el oeste a 20 millas por
hora y el segundo navega con rumbo sureste a 30 millas por hora,
¿cuándo estarán más cerca uno del otro?
18. Encuentre la ecuación de la recta que es tangente a la elipse b2 x 2 + a2i = a2b2 en el primer cuadrante y que forma con los ejes
de coordenadas el triángulo con menor área posible (a y b son constantes positivas).
19. Encuentre el volumen máximo que puede tener un cilindro
circular recto, si está inscrito en una esfera de radio r.
20. Demuestre que el rectángulo con perímetro máximo que
puede inscribirse en un círculo es un cuadrado.
21. ¿Cuáles son las dimensiones de un cilindro circular recto,
con mayor área de superficie, que puede inscribirse en una esfera de
radio r?
= sen 2t +
V3 cos 2t
¿Cuál es la mayor distancia del origen que alcanza la masa?
27. Una jardinera tendrá la forma de un sector circular (una región en forma de rebanada de pastel) de radio r y ángulo en el vértice de e. Encuentre r y e, si su área, A, es constante y el perímetro es
mínimo.
28. Una barda de h pies de altura corre paralela a un alto edificio y a w pies de él (véase la figura 17). Encuentre la longitud de la
escalera más corta que llegue del suelo hasta la pared del edificio, pasando por encima de la barda.
Figura 17
29. (Ley de Snell). El Principio de Fermat en óptica dice que la
luz viaja del punto A al punto B a lo largo de la trayectoria que requiere del menor tiempo. Suponga que la luz viaja en un medio a la velocidad C1 yen un segundo medio a la velocidad C2' Si A está en el medio 1 y B en el medio 2, y el eje x separa los dos medios, como se
muestra en la figura 18, demuestre que
sen 81
sen8 2
Cl
Figura 18
c2
4.4
SECCIÓN
30. La luz que proviene de A es reflejada a B por un espejo plano. Utilice el Principio de Fermat (véase el problema 29) para demostrar que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.
Más problemas sobre máximos y mínimos
187
(d) Trate de demostrar sus conjeturas.
GJ
31. Un extremo de una escalera de 27 pies descansa en el piso y
el otro extremo está apoyado en la parte superior de una pared de 8
pies. Cuando el extremo inferior se empuja por el piso hacia la pared,
la parte superior sobresale dé la pared. Encuentre la máxima distancia horizontal que sobresale del extremo superior de la escalera.
32. Tengo suficiente plata pura para cubrir un área de 1 metro
cuadrado de superficie. Planeo cubrir una esfera y un cubo. ¿Qué dimensiones deben tener, si el volumen total de los sólidos plateados
debe ser máximo? ¿Mínimo? (Se permite la posibilidad de que toda
la plata se utilice en un sólido.)
33. Una esquina de una tira angosta de papel se dobla de manera que toca exactamente el lado opuesto, como se muestra en la figura 19. Con las partes marcadas como se indica, determine x para:
(a) maximizar el área del triángulo A;
z.
Z
_
Figura 19
34. Determine () de modo que el área de la cruz simétrica, que
se muestra en la figura 20, se maximice. Después encuentre el área
máxima.
;0
+ x + 100. Un
observador se encuentra parado a 2 pies del fondo del acantilado.
(a) Encuentre la posición del objeto cuando está más cerca del observador.
[TI 38. Se produce latón en forma de rollos largos a partir de una hoja delgada. Para controlar la calidad, el inspector selecciona al azar
una pieza de la hoja, mide su área y cuenta el número de imperfecciones en la superficie de esa pieza. El área varía de pieza a pieza. La
tabla siguiente proporciona los datos del área (en pies cuadrados) de
la pieza seleccionada y el número de imperfecciones encontrados en la
superficie de esa pieza.
Pieza
1
2
3
4
5
Figura 20
!mi 35.
Un reloj tiene horario y minutero de longitudes h y m, respectivamente, con h :::; m. Queremos estudiar este reloj entre las 12:00
y 12:30. Sean (), cP y L, como se muestran en la figura 21, y observe
que () aumenta a una razón constante. Por la ley de los cosenos,
L = L (()) = (h 2 + m 2 - 2hm cos () ) 1/2, Y
L'(()) = hm(h 2 + m 2
=-
37. La posición de la Tierra en el sistema solar, en el instante t, medido en años, puede describirse de forma aproximada por medio de P(93 COS(21Tt), 93 sen(21Tt)), en donde el Sol está en el origen
y las distancias se miden en millones de millas. Suponga que un asteroide tiene posición Q(60 cos[21T(1.51t - 1)], 120 sen[21T(1.51t - 1)]).
En el periodo [0,20] (p. ej., en los siguientes 20 años), ¿cuándo el asteroide estará más cerca de la Tierra? ¿Qué tan cerca estará?
l
I¡
t ~ __.
2
de 100 pies, sigue la trayectoria dada por y
GJ!mI
f--y-j
pat:
ti
36. Un objeto que se arroja desde el borde de un acantilado
(b) Encuentre la posición del objeto cuando está más lejos del observador.
(b) minimizar el área del triángulo B;
(c) minimizar la longitud
Figura 21
GJ [TI
-
2
2hmcos()t1/ sen()
(a) Para h = 3 Ym = 5, determine L', L YcP en el instante en que L'
es máxima.
(b) Vuelva a resolver la parte (a) cuando h
=
5 Ym
=
13.
(c) Con base en las partes (a) y (b), haga conjeturas con respecto a
los valores de L', L YcP en el instante en que las puntas de las manecillas se separan más rápido.
Área en
pies cuadrados
Número de imperfecciones en la superficie
1.0
4.0
3.6
1.5
3.0
12
9
5
3
8
(a) Haga un diagrama de dispersión con el área en el eje horizontal
y el número de imperfecciones en el eje vertical.
(b) ¿Le parece que una recta que pasa por el origen sería un buen
modelo para estos datos? Explique.
(c) Encuentre la ecuación de la recta de mínimos cuadrados que pasa por el origen.
(d) Utilice el resultado de la parte (c) para predecir cuántas imperfecciones en la superficie tendría una hoja con área de 2.00 pies
cuadrados.
[TI 39. Suponga que cada orden tomada por la compañía XYZ (véase el ejemplo 8) requiere de exactamente 5 horas de trabajo para el
papeleo; este intervalo de tiempo es fijo y no varía de lote a lote. Entonces, el número de horas requeridas y para fabricar y vender un lote de tamaño x sería:
y
=
(número de horas para producir un lote de tamaño x)
+5
198
CAPíTULO
4
Aplicaciones de la derivada
4.7
El Teorema del
valor medio
El Teorema del valor medio es la comadrona del cálculo -con frecuencia ayuda a
formular otros teoremas que son de mayor importancia. A partir de ahora, con bastante regularidad usted verá la frase "por el Teorema del valor medio", y más adelante en
esta sección, lo utilizaremos para demostrar el Teorema de monotonía, que se dejó sin
demostración en la sección 4.2.
En lenguaje algebraico, el Teorema del valor medio es fácil de formular y entender. Dice que, si la gráfica de una función continua tiene una recta tangente, que no
sea vertical, en cada punto entre A y B, entonces existe al menos un punto C en la gráfica entre A y B en el cual la recta tangente es paralela a la recta secante AB. En la figura 1, existe exactamente un punto C; en la figura 2, existen varios.
Demostración del teorema Primero formulamos el teorema en el lenguaje de
funciones y después lo demostramos.
A
Figura 1
Demostración Nuestra demostración se apoya en un análisis cuidadoso de la función
s(x) = f(x) - g(x), introducida en la figura 3. Aquí y = g(x) es la ecuación de la recta
que pasa por (a,f(a» y (b,f(b». Como la recta tiene pendiente [f(b) - f(a)]/(b - a) y
pasa por (a,f(a»,la ecuación en la forma punto pendiente es
Figura 2
y
g(x) - f(a) =
f(b) - f(a)
b _ a
(x - a)
Esto, a su vez, da una fórmula para s(x):
s(x) = f(x) - g(x) = f(x) - f(a) (a,f(a))
Obsérvese de inmediato que s(b) = s(a) =
f(b) - f(a)
b _ a
(x - a)
°
s' ( x) = f' (x) _
y que, para x en (a, b),
f (b) - f (a )
b-a
x
Figura 3
La clave de una demostración
La clave de esta demostración es
que e es el valor en el cual
f'(c)
= f(b) - f(a)
b -a
y s'(c) = O. Muchas demostraciones
tienen una o dos ideas claves; si
usted entiende la clave,
comprenderá la demostración.
Ahora hacemos una observación crucial. Si supiésemos que hay un número e en (a,
b) que satisface s'(c) = 0, estaría todo hecho. Pues entonces la última ecuación diría
que
o = f'(c) _ f(b) - f(a)
b - a
que es equivalente a la conclusión del teorema.
Para ver que s'(c) = para algún e en (a, b), razónese como sigue. Es claro que s
es continua en [a, b], ya que es la diferencia de dos funciones continuas. Así, por el Teorema de existencia de máximo y mínimo (Teorema 4.1A), s debe alcanzar sus valores
máximo y mínimo en [a, b]. Si ambos valores se presentan en 0, entonces s(x) es idénticamente en [a, b], yen consecuencia s'(x) = para toda x en (a, b), mucho más de
lo que necesitábamos.
Si el valor máximo o el valor mínimo es diferente de 0, entonces ese valor se alcanza en un punto interior e, ya que s(a) = s(b) = O. Ahora s tiene derivada en cada
punto de (a, b), de modo que, por el Teorema del punto crítico (Teorema 4.1B),
s'(c) = O. Esto es todo lo que necesitábamos saber. •
°
°
°
200
CAPíTULO
4
Apl i(acianes de la derivada
Uso del Teorema En la sección 4.2, prometimos una demostración rigurosa del
Teorema de monotonía (Teorema 4.2A). Éste es el teorema que relaciona el signo de
la derivada de una función con el hecho de que la función sea creciente o decreciente.
Demostración del Teorema de monotonía Supongamos que f es continua en 1 y que
f'(x) > en cada punto interior de l. Considere cualesquiera dos puntos Xl y x 2 de 1,
con Xl < x 2. Por el Teorema del valor medio aplicado al intervalo [Xl' X2], existe un
número c en (Xl' X2) que satisface
°
Como f'(c) > 0, vemos que f(x 2) - f(Xl) > O; es decir, f(x 2) > f(x l ). Esto es lo que
queremos decir cuando aseguramos que f es creciente en l.
El caso en el que f'(x) <
F
°en 1, se maneja de manera análoga. •
Nuestro siguiente teorema se usará de manera repetida en el capítulo siguiente.
En palabras, dice que dos funciones con la misma derivada difieren en una constante,
posiblemente la constante cero (véase la figura 7).
G
Figura 7
Geometría y álgebra
Como en la mayoría de los temas
de este texto, usted debe intentar
ver las cosas desde un punto de vista
algebraico y uno geométrico. De
manera geométrica, el Teorema B
dice que si F y G tienen la misma
derivada entonces la gráfica de G es
una traslación vertical de la gráfica
deF.
Demostración
Sea H(x) = F(x)-G(x). Entonces
H'(x) = F'(x) - G'(x) =
°
para toda X en (a, b). Selecciónese Xl' un punto fijo en (a, b) Ysea X cualquier otro punto allí. La función H satisface las hipótesis del Teorema del valor medio en el intervalo cerrado con puntos frontera Xl y x. Así que existe un número c entre Xl y X tal que
Pero, por hipótesis H'(c) = O. Por tanto, H(x)-H(XI) = 0, o de manera equivalente,
H(x) = H(Xl) para toda X en (a, b). Como H(x) = F(x) - G(x), concluimos que F(x)
- G(x) = H(xl).Ahora sea e = H(Xl)' y tenemos la conclusión F(x) = G(x) + C. •
Revisión de conceptos
1. El Teorema del valor medio dice que si f es
en [a,
b] Yderivable en
entonces existe un punto e en (a, b) tal que
2. La función,f(x) = Isen xl satisface las hipótesis del Teorema
del valor medio en el intervalo [0,1] pero no en el intervalo [-1,1] ya
que
_
3. Si dos funciones F y G tienen las misma derivada en el inter_
valo (a, b), entonces existe una constante e tal que
4. Como DxCx4 ) = 4x3 , se sigue que toda función F que satisfa_
ce F'(x) = 4x 3 tiene la forma F(x) =
204
CAPíTULO
Aplicaciones de la derivada
4
41. Una barda, de 8 pies de altura, es paralela a un muro de un edificio y a un pie del edificio, ¿Cuál es el tablón más corto que puede pasar por encima de la barda, desde el nivel del piso, para apuntalar el
muro?
x3
(a) f(x)
= 3; I = [-3, 3J
(b) F(x)
= X 3/ 5
42. Una página de un libro contiene 27 pulgadas cuadradas de im-
(c) g (x)
= x _ 1 ; I = [2, 3 J
presión. Si los márgenes superior, inferior y de uno de los lados son de
2 pulgadas y el margen del otro lado es de 1 pulgada, ¿qué tamaño
de página utilizaría la menor cantidad de papel?
46. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos de
inflexión de la gráfica de
43. Un abrevadero metálico con extremos semicirculares iguales, sin
cubierta superior debe tener una capacidad de 1287T pies cúbicos (véase la figura 1). Determine su radio r y longitud h, si el abrevadero debe requerir la menor cantidad de material para su construcción.
x
+ 1; I
=
[-l,lJ
+1
y = x4
-
6x 3
+
12x 2
-
3x
+1
47. Sea f una función continua con f(l) = -1/4, f(2) = OY f(3) =
-1/4. Si la gráfica de y = f'(x) es como la que se muestra en la figura 2, haga un bosquejo de una posible gráfica de y = f(x). ¿Puede
dar una representación analítica de f(x)?
y
10
x
Figura 1
44. Encuentre el máximo y mínimo de la función definida en el intervalo cerrado [-2,2] por
f (x )
=
{Hx
2
+ 6x + 8),
+ 4x - 12,)
- 61( x 2
si -2 ::; x ::; O
si O ::; x ::; 2
Determine en dónde la gráfica es cóncava hacia arriba y en dónde es
cóncava hacia abajo. Haga un bosquejo de la gráfica.
45. Para cada una de las funciones siguientes, decida si se puede aplicar el Teorema del valor medio en el intervalo, I, que se indica. Si es
así, encuentre todos los valores posibles de e, si no, diga por qué. Haga un bosquejo.
Figura 2
48. Haga un bosquejo de la gráfica de una función G con todas las
propiedades siguientes:
(a) G(x) es continua y G"(x) > Opara toda x en (-00,0) U (0,00);
(b) G( .L2) = G(2) = 3;
(c)
lím G(x)
X~-oo
lím G(x)
( d) r~O+
= 2,
=
lím [G(x) - x]
x~oo
lím_ G(x)
x~o
=
= O;
oo.
4.9 Problemas adicionales
Las desigualdades son un tema muy importante en matemáticas. En
algunos casos uno puede utilizar álgebra para demostrar tales desigualdades; en otros casos, el cálculo desempeña un papel muy importante. Exploraremos la demostración de un conjunto de desigualdades
relacionadas con la media aritmética y la media geométrica.
~
1. La media aritmética de dos cantidades está dada por
(c) Para tres números positivos a, b y e, la media geométrica se define como (abe) 113 Yla desigualdad requerida está dada por
(abe) 1/3
::;
a
+b +e
3
Ahora construimos una demostración de ésta utilizando cálculo.
Considérese la función
a+b
2
y la media geométrica de dos cantidades positivas está dada por
Suponga que a >
°
v;;b
y b > O.
(a) Demuestre que la desigualdad siguiente es verdadera, elevando
al cuadrado ambos lados de la expresión
~¡;
a+b
vab::; - 2
(b) Establezca v;;b ::; (a + b) /2 para a y b positivas, utilizando el
método de cálculo. Sugerencia: Elevando al cuadrado ambos la(a + b)2
dos y dividiendo entre b > Oda F(b) =
4b
. Si podemos
demostrar que F tiene su valor mínimo en a, ya acabamos.
por medio de cálculo, demuéstrese que el mínimo se presenta en
b
=
a ; e y está dado por ( a ; b ) 2. Ahora, utilizando el resul-
tado de la parte (b), conclúyase que
(abe) 1/3
::;
a
+b +e
3
2. Demuestre que de todas las cajas de tres dimensiones, con un área
de su superficie dada, el cubo es la de mayor volumen. Sugerencia: El
área de la superficie es S = 2(lw + lh + hw), y el volumen es
V = lwh. Utilice el problema 1 para demostrar que (V 2 )1!3 :::; S/6.
¿Cuándo se cumple la igualdad?
'ii
PRY!C1FØ
DE TECNL1A 4.1
H
R
I
i
a
I
I
a
I
..
1
2
fIexiOn y r.LtrJ.ciL.
ue U Iuz
F
Ley
dereflex'.on La le' de reflexión
est ablece que .i rigulo de incidencia
9 a un haz de ii es igual al Iingulo
di. reflexión 02; esto es, 0 = 02, 0 de
man era equivai1ente, a = /3 (vdase La
1áS, Si Ia velocidad de
fig ura 1). Adei11
Ia IL'zeneliC edio es constante, ent( rnces la tral ectoria de Ia reilexiOn
di'.,sde un pun5to P a in nunto Q con-
x1 = x0
a
,'
'I punto de refi xiOn R.
coil ciden en 11
con o en la h1 ura 1.
Q
RI
I/)\
y = f(x) y de la aproximaciOn lineal a f(x) en x0.
= C?
E
I
jercicio 4
i) Utilice su aproximación a la raIz
del polinomio de cuarto grado oh-
\
tenido en el ejercicio 2, como el valor x0 anterior y calcule la x1 mejo-
Q
Figura 2
GeometrIa de refracci II
iizaciOn del punto de reflexión ...r incluI;
ye un poLinomio
de cuarto grado:
-
U=
Figura 1
rada del ejercicio 3. Evalüe f(x0) y
f(x1).
(b') T epita el proceso anterior para
obiier ur x2 que sea una mejor . de
- value f(x0), f(x1) y
- cflx3
.
Ejercicio 2 Demue ,tre aue, para los
valores
a = b = 1, i = 4, = 1 y c2 =
1/2, la ecuación anterur para Ia Inca-I
Ejeirciciol
ii os P v
Dados riLospurt
quc remos d eterniina 1 ubicacidn del
puritc ' refle:dón ei Ii ii terfaz (diga-
desde
mos- medi'ua hor1zondhijente
untos). Con ii. en 1a figura 1
uno d. .
- :gase o1ue los dos 0r unios etáu sesupOrr
op
para los w.n( ) del otrc p01' uria Jistancia
1, y que sus- c!isancias vertihot izontai
=
relJiectora son a
cale s desdi -Ia intertaL.,
EU': a Ley de
e tiramente.
-'. -Utiiix
y b, r.STC
ret1ex n Euca deduci±runa exi ,resiór
.. Verifipara x e,i tdrminos k
que: Par ii = 50,b -=25 y L = I 50,lc
respw 4a correcta P ara x es 100
1
-
1
.
L
ii.
2L(
± [L2(c - + 'b2 - ca2]x2
(2)
'-2Lca2x L2c2
x
GeometrI de reflexioi
ir )gIa
"de Ia te c:IL.)k
Us,
1
ii
de r fr ac
nado co'i el ángulc
- IOn
)O medio de Ia ri'lari
sen 0 2
1
&Jfl
6
2CC
it para ayudar a unos buzos a reuliza
-
ariarupturadeuntubo(véasela
-
IiLacIOn del nunto de efracción se reLI
duc a
I
F,s
+ SIx2
-
- 32--+6L = 0
h 1Ltima ecuaciul , e
realidad, tie-
r
L)ibuje
Ia gráfica ciue nuestre las
ubicaciones aroximauas de las dos
r1aires.
ii
por qué c'
solo Ufl a ne las
(h ExpLiçue
ralces es relevaiiie ) ara e.I probleL
LI
d hi' te puede acercarse a 20 pies del
1
L.
o, ,a qué ángulo debe apuntar el
fare para iluminar la ruptura en el tuLUD
r k dos raIces reales.
a)
1i ;ura 3). La ruptura en el tubo seencuer 'tra 6 pies por debajo del nivel de
Ia F rficie del agua, y el faro 5 pies
'adelasuperficiedelagua.Si
r or
IL
na de efrac ión.
C
- ri tr
(c) EncueuLCe
la .rafzi erievant, con
4nificativ ;, y explique
dos cifras sig..
-1j' su i 'al :r oara x tiecómo sabe q.
r)re'T:ir[.
ne esa-----.-is.
Ejercicio 3 Sup onga que qeri'mos
encontrarli'n ct al que;J = C, v uue
rrtna a
te nernos un' x0 qi
Consid re a x0 corno una aproximación in ru a Ia raIz -. Er Lon es podemos m eior'r 1uestr t iprc xiunaciOn
inicia1x0p a cbtene un- a eior 'pro-
1
C
bu? F ara el aire, c1 = 1, y para el agua,
C2 = 0. '7
Deduzca la ecuación (2).
rencta Inicie con Ia ecuacion (1)
y susti tuya las expresiones para sen 6 y
sen Utilice un CAS para simplificar
Ia expresiOn resultante. En Matemática pued e utilizar el comando Collect
introdu 'iendo Collect[expresión. x]
para
Car potencias iguales de x. El
coman'Jo Co lect de Maple funciona di' m 1nerasemejante.
EjiE 'rci cio 6
-
I
- -
(1)
2
(véase Ia I igu
- ra 2). AquI c1 y c-, son las
veic rjuades respectivas de Ia luz, &C
ba y d lebajo Cle I i interfaz.
En c ontiaste al caso de la reflexión, en
dond e i nunto de reflexión p u,..- ii' encont rarse d. .nanera
explIcita, la locar
1
,'RfIexión
jT j-1 5 'i boteconunfaro,se
EIC.LJ
flI
-
..
-: Snc'
eli-La h de r etracc 1011 1)
Ley dira -IIia
iey de Si. ll) establece
inter.z cue sepal.ac do; ni.dios ci
ángulo de incidenii 9 est a ri i c
f'(x)
en la misma ventana las gráficas de
L-x
-
h
f(x)
(c) Presente una gráfica que muestre
de dos sc'tnentos de recta que
SistI
) Demuestre que esta recta intersecta al eje x en el punto
(I
I. Pr paració n
5 pie-
ximaciOn.
(a) Encuentre La c:;i ia L,_
6n ic Ia :ecta
fllI a Ia g:afica
rde
que es tanC eute
.
J
i
y = f(x) "t
)Ufl( ( x0, f(x0)).
[En Ia secc iOn
- 3',10, 1..e liamamos a
. .
ciidn iinea a f(x)
ésta la rrnxjma
11.
LI
I
en x0.]
Figura 3
2Opies
PROYECTO DE TECNOLOGIA 4.2
__.J._.___. -- - -.-- ..
Un problema de optimización
optimización
Un
I
11. Uso
USO de Ia
la tecnologIa
tecnología
II.
l.
Preparación
I. Preparación
Ejercicio 2 La varilla descrita en ci
el
Con
difícil
Con frecuencia,
frecuencia,la laparte
partemás
rnás
difIcil Ejerciclo
con respecto
aplicados
con
respectoa aproblemas
problemas
aplicadosejercicio 1 tiene longitud
máximos yy mInimos
mínimos es
es plantearplantearde máximos
66
66
los. Una
usted encuentra
encuentra Ia
la
los.
Una vez que usted
L=a+b=--++
cost
COSI
sen
I
sent
función objetivo,
funciOn
objetivo, por
por lo regular no
no es
es
demasiado
difícil determinar ci
el ópópdemasiado difIcil
6sect +
+6csct
= 6sect
6cscl
La+b
timo.
tlTIo.
Ejercicio
Un pasillo
pasillo de
de 6 pies de anEjercicio 11 Un
vuelta en
en ángulo
ángulo recto.
recto.
cho tiene una vuelta
¿Cuál
,Cuá1 es
es la
Ia longitud
longitud de la varilla más
larga que puede transportarse
transportarsealredealrededor de la
la esquina,
esquina, suponiendo
suponiendoque
queLa
la
varilla no puede inclinarse?
La varilla más
más larga
larga tocará
tocará apeapela esquina
la vueita
vuelta y
nas Ia
esquina interna
interna de Ia
las paredes exteriores
exteriores del
del pasilo.
pasillo.EtiEtiquétese
A, B,
B, C, D y E coquetese los puntos A,
en la
la figura
figura 1.
1. Sea tI Ia
la medida del
mo en
LABD.
ángulo
ángulo LABD.
(a) Demuestre
que tI también
también es
es Ia
la meDemuestre que
dida
dida de
de LACE.
(b) Utilice trigonometría
trigonometrIa para determinar las longitudes
longitudes aa yy b.
6 pies
Figura 11
Encuentre Ia
la derivada
iguálela
derivada dLJdl,
dL/dt, iguáiela
resuélvala para
para t.t.
a cero y resuélvaia
Ejercicio 3 Para ver si hemos encontrado un
unmInimo
mínimo0oUfl
un máximo,
máximo, grafIgrafítrado
como iunción
función de
de 1.l. También
quese L como
evaluar Ia
la segunda derivada
derivada de
de
debe evaluar
LL en el
de t.l. El valor de tI
ci valor óptimo
optimo de
que encontrO,
encontró, Lproporciona
¿proporciona ia
la varilia
varilla
más corta
corla o la varilla
varilla rnás
más larga que
,nás
puede transportarse airededor
alrededor de
de Ia
la
esquina?
esquina? Explique.
Expli~ue.Sugerencia:
Sugerencia: Si tI es
pero positiva,
positiva, ,1a
¿la
muy cercana a cero, pero
varilla será más larga o más
más corta?
corta?
varilla
¿Cabrá
,Cabrá alrededor
airededor de la
la esquina?
esquina? ¿Qué
,Qué
sucede si es cercana, pero un poco
poco menor, a ir/4
11"/4(p.
(p. ej.,
ej.,900)?
90°)?
Ejercicio 4 Ahora, cámbiense las medcl pasillo.
pasiilo. Supóngase
Supongase que
que un cocodidas del
rredor
rredor es de 6.2 pies de
de ancho yy el
ci otro
otro
de 8.6 pies
la Ionlonpies de
de ancho. Encuentre
Encuentre Ia
gitud de Ia
la varilla
varilla más
más larga
iarga que
que puede dar ia
la vueita
vuelta en Ia
la esquina.
105°
Figura 22
111. Ref
Reflexión
III.
Iexión
Ejercicio 6 Por üitimo.
último, suponga que
el
una altura
altura de
de 9.7
9.7 pies,
pies,
ci techo tiene una
los corredores forman un
un ánguio
ángulo rectoy
to y que
que ci
el ancho
ancho de
de los
los corredores
corredores son
6.2
6.2 y 8.6
8.6 pies.
pies. Suponiendo
Suponiendo que
que usted
inclinar la
la varilla,
varilla, ¿cuál
es La
la
puede inclinar
cuá1 es
longitud de la varilla
varilla más larga que
que
longitud
puede transportarse airededor
alrededor de
de Ia
la
esquina? Sugerencia:
Sugerencia: Este
esquina?
Este no
no es un
probiema
problema de cálcuio,
cálculo, utilice su resrespuesta del
del ejercicio
ejercicio 4.
4.
Ejercicio
problema, suEjercicio 5 Para este prohiema,
los corredores
corredores no forman
póngase que los
forman un
un
un
un ángulo
anguio recto,
recto,sino
sinoque
qu forman
ngulo de 105°, como
como se
se muestra
muestra en Ia
ángulo
la
figura 2.
2. Ambos
Ambos corredores
corredores con 6 pies
figura
de ancho.
ancho. Nuevamente,
Nuevamente, encuentre
encuentre la
la varilia
varilla más larga que
longitud
longitud de Ia
puede dar la vuelta en Ia
la esquina.
207
Riemarin recibiO de su
padre, un ministro protestante
Georg Friedrich
Bernhard
Riemann
1826-1866
alemán, su primera educaciOn.
Bernhard
Cuando fue al colegio, en 1846, iba a
estudiar filologIa y teologla. Por
fortuna para las matemáticas, escogió
Ia universidad de Gottinga, que
entonces era el centro del mundo de
los matemáticos y que lo seguirIa
siendo por más de 100 años. Bajo Ia
influencia de W. E. Weber, un fisico de
primer orden, y de Karl F. Gauss, el
más grande matemático de esa epoca.
No pudo haber deseado mejores
maestros. En 1851, recibiO su
...yhoyendIa
doctorado en filosofla de manos de
Utilizando las ideas descritas al fi-
Gauss, después de lo cual se dedicó a
nal de Ia secciOn 5.2, los matemáticos calculan Ia velocidad exacta
que debe alcanzarse para colocar
un satélite en una Orbita alrededor de Ia Tierra.
Ia enseñanza en Gottinga. MuriO de
tuberculosis 1 5 años más tarde.
La vida de Riemann fue corta, sOlo
de 39 años.No tuvo tiempo de producir el volumen de matemáticas de
un Cauchy o de un Euler, pero su trabajo es impresionante
por su calidad y profundidad. Sus manuscritos de
matemáticas abren nuevas direcciones en Ia teorla de las
funciones complejas, inician el estudio profundo de lo que
hoy se llama topologla y emprende en geometrIa un
desarrollo que iba a culminar 50 años más tarde con Ia
teorla de Ia relatividad de Einstein.
Asociamos a Riemann con este capItulo debido a que,
aunque tanto Newton como Leibniz dieron una versiOn de
Ia integral y conocieron el teorema fundamental del cálculo
integral, fue éI quien nos proporcionO Ia definiciOn
moderna de integral definida. En su honor se llama integral
de Riemann.
208
La integral
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
Antiderivadas (integrales indefinidas)
IntroducciOn a ecuaciones diferenciales
Sumas y notaciones sigma
IntroducciOn al area
La integral definida
El primer teorema fundamental del cálculo
El segundo teorema fundamental del cálculo y el Teorema del valor medio
para integrales
EvaluaciOn de integrales definidas
5.8
Revision del capItulo
5.9
5.10 Problemas adicionales
Proyecto de tecnologIa 5.1 Sumas de Riemann
Proyecto de tecnologIa 5.2 Funciones de acumulación
5.1
Antiderivadas
(integrales indefinidas)
La mayorIa de las operaciones matemáticas con que trabajamos vienen en pares de inversas: suma y resta, multiplicación y division, elevaciOn a potencias y extracción de raIces. En cada caso, la segunda operación deshace la primera y viceversa. Una razón para
nuestro interés en las operaciones inversas es su utilidad en La resolución de eduaciones.
Por ejemplo, la resolución de x3
8 implica el uso de extraer raIces. En los ültimos dos
capItuLos, hemos estudiado derivación. Si queremos resolver ecuaciones que incluyan
derivadas necesitaremos su inversa, denominada antiderivación o integración.
Definición
Llamamos a F una antiderivada de f en el intervaLo I si DF(x) f(x) en I, esto es,
Si F'(x) = f(x) para toda x en I. (Si x es un punto frontera de I, F'(x) sOlo necesita tener derivada unilateral.)
En nuestra definición, utilizamos una antiderivada, en lugar de la antiderivada.
Pronto vera por qué.
EJEMPLO 1
Encuentre una antiderivada de la funciOn f(x) = 4x3 en (oc, oc).
Solución Buscamos una funciOn F que satisfaga F'(x) = 4x3 para toda x real. De
nuestra experiencia con derivación, sabemos que F(x) = x4 es una de tales funciones.
U
En cada caso
Figura 1
Un momento de reflexión sugerirá otras soluciones para el ejemplo 1. La función
F(x) = x4 + 6 también satisface F'(x) = 4x3; tamhién es una antiderivada de f(x) = 4x3.
Dc hecho, F(x) = x4 + C, donde C es cualquier conStante, es una antiderivada de 4x3
en (oc, oc) (véase la figura 1).
209
21 O
CAPíTULO
5
La integral
Ahora planteamos una pregunta importante. ¿Toda derivada de ¡(x) = 4x 3 es de
la forma F(x) = x 4 + C? La respuesta es sí. Esto se deduce del Teorema 4.7B, que dice que si dos funciones tienen la misma derivada, deben diferir en una constante.
Ésta es nuestra conclusión. Si una función ¡ tiene una antiderivada, tendrá una familia de ellas, y cada miembro de esta familia puede obtenerse de uno de ellos sumando una constante adecuada. A esta familia de funciones le llamamos la antiderivada
general de f. Después de acostumbrarnos a esta noción, con frecuencia omitiremos el
adjetivo general.
EJEMPLO 2 Encuentre la antiderivada general de ¡(x)
= x 2 en (-00,00).
Solución La función F(x) = x3 no funcionará ya que su derivada es 3x 2 • Pero esto
sugiere F(x) = ~X3, la cual satisface F'(x) = ~ . 3x 2 = x 2• Sin embargo, la antideri•
vada general es ~ x 3 + c.
Notación para las antiderivadas Como utilizamos el símbolo Dx para la operación de tomar la derivada, sería natural utilizar A x para la operación de encontrar la
antiderivada. Así,
Ésta es la notación empleada por varios autores y, de hecho, fue usada en ediciones anteriores de este texto. Sin embargo, la notación original de Leibniz continúa gozando de
una popularidad aplastante, y por tanto decidimos seguirla. En lugar de A x ' Leibniz utilizó el símbolo
dx. Él escribió
J...
j x' dx = ~ x 3
+C
x4
+C
y
j 4x 3 dx
=
Pospondremos, hasta más adelante, la explicación del por qué Leibniz eligió utilizar la
s alargada, s, y la dx. Por el momento, basta con considerar a
dx como indicación de la antiderivada con respecto a x, al igual que D x indica la derivada con respecto a x. Obsérvese que
J
J...
Dxjf(X)dX=f(X)
Demostración
jDx!(X)dX=f(X)+C
y
Para establecer cualquier resultado de la forma
j f(x) dx
= F(x) + C
todo lo que tenemos que hacer es demostrar que
DA F(x)
En este caso,
xr+l
D [ - - +C
x r-+ 1
]
+ c]
=
f(x)
1
=--(r + l)x r =x r
r +1
•
Hacemos dos comentarios con relación al Teorema A. Primero, el teorema incluye
al caso r = O; es decir,
SECCIÓN
5.1
Antiderivadas (integrales indefinidas)
211
Segundo, puesto que no se especificó ningún intervalo, la conclusión se entiende que
será válida sólo en intervalos en los que x r esté definida. En particular, debemos excluir cualquier intervalo que contenga al origen si r < O.
Siguiendo a Leibniz, a veces usaremos el término integral indefinida en lugar de
antiderivada. Cabe indicar que antiderivar equivale a integrar. En el símbolo J f(x) dx,
se denomina signo de integral y f(x) se llama integrando. Así, integramos el integrando y de este modo evaluamos la integral indefinida. Tal vez Leibniz utilizó el adjetivo indefinida para sugerir que la integral indefinida siempre incluye una constante
arbitraria.
J
EJEMPLO 3
Encuentre la antiderivada general de f(x) =
43
X / •
Solución
X7/3
J
4 3
X /
•
7 3
+ e = ª-X
/ + e
7
dx = - 7
3
Obsérvese que para integrar una potencia de x aumentamos el exponente en 1 y dividimos entre el nuevo exponente.
Demostración Simplemente obsérvese que DA-cos x) = sen x y DAsen x) = cos x.
La integral indefinida es lineal
•
Recuérdese del capítulo 3 que D x es un ope-
rador lineal. Esto significa dos cosas.
1. DA kf(x)] = kDxf(x)
2. DAf(x) + g(x)] = Dxf(x) + Dxg(x)
De estas dos propiedades, de manera automática se deduce una tercera.
3. DAf(x) - g(x)] = Dxf(x) - Dxg(x)
Resulta que
J... dx también tiene estas propiedades de un operador lineal.
Demostración Para demostrar (i) y (ii), basta con derivar el lado derecho y observar
que obtenemos el integrando del lado izquierdo.
Dx [ k J f(x) dx ]
Dl[ f(x)dx
+
J g(X)dX]
= kDxJ
f(x) dx
= kf(x)
= DxJ f(x)dx + Dx J
= f(x)
g(x)dx
+ g(x)
.La propiedad (iii) se deduce de (i) y (ii). •
EJEMPLO 4
Utilizando la linealidad de
(a) J(3x 2 + 4x)dx
(b)
J, evalúe
f(U 3/2 - 3u + 14)du
(c) J(1/t 2 + Vi)dt
212
CAPíTULO
5
La integral
Solución
j(3x2 + 4x)dx = j 3x 2 dx + j 4x dx
(a)
=3 jx 2 dX +4jXdX
= x 3 + 2x
2
= x 3 + 2x 2
+ (3Cl + 4C2 )
+C
Aparecieron dos constantes arbitrarias C l y C 2, pero se combinaron en una constante, C, una práctica que seguiremos de manera consistente.
(b) Obsérvese el uso de la variable u en lugar de x. Esto está bien, mientras que el correspondiente símbolo de la diferencial sea du, entonces como tenemos un cambio
completo en la notación
j
3 2
(U / -
3 2
U /
3u + 14)du = j
= ~ U 5/ 2
(c)
j
(~ + \Ít) dt =
du ~ u2
-
3j
+
u du + 14 j
14u
1 du
+C
j (r 2 + t' /2 )dt = jr2 dt + jt'/2 dt
el
1
(3/2
+-
=-
-1
2
+C = - - +-
~
(3
(3/2
•
+C
Regla generalizada de la potencia
Recuérdese la regla de la cadena como
se aplicó a una potencia de una función. Si u
número racional (r ::j; -1), entonces
= g(x) es una función derivable y r es un
U,+l ]
Dx [ r
+1
= u' . D x u
o, en notación de funciones,
De esto, obtenemos una regla importante para integrales indefinidas.
Para aplicar el Teorema D, debemos ser capaces de reconocer las funciones g y g'
en el integrando.
EJEMPLO 5 Evalúe (a) J(x 4 + 3x)30(4x 3 + 3)dx y (b) J senlO x cos x dx.
Solución (a) Sea g(x) = x4 + 3x; entonces g'(x) = 4x3 + 3. Así, por el Teorema D,
j(
x 4 + 3x )30( 4x 3 + 3 ) dx
=
j[ g(x) J30 g'(x) dx
(x 4 + 3X)3l
31
+C
l
[g(x)Y
=
31
+C
SECCIÓN
(b) Sea g(x)
5.1
Antiderivadas (integrales indefinidas)
213
= sen x, entonces g/ex) = cos x. Por tanto,
j
10
sen x cos x dx =
j[
g(x)
JlO
g/(x) dx =
[g(X)J11
11
+C
•
El ejemplo 5 muestra por qué Leibniz usó la diferencial dx en su notación J ... dx.
Si hacemos u = g(x), entonces du = g/(x)dx. Por tanto, la conclusión del Teorema D
es
j
u,+!
u'du = - - +C
r
+1
r *"-1
'
que es la regla común para la potencia con u como variable. Así, la regla generalizada
para la potencia es sólo la regla común para la potencia aplicada a funciones. Pero, al
aplicarla, siempre debemos estar seguros de que tenemos du para ir con u'. Los ejemplos siguientes ilustran lo que queremos decir.
EJEMPLO 6
(c)
Evalúe
+ 6x)\6x 2 +
2
J(x 2/2 + 3?x dx.
(a) J(x
3
12)dx
Solución
(a) Seau = x 3 + 6x;entoncesdu = (3x 2 + 6)dx.Así, (6x 2 + 12)dx = 2(3x2 + 6)dx
= 2 du, y entonces
j (x 3 + 6x)'(6x 2 + 12)dx = j u5 2du
= 2 j u' du
=
2[ ~6 + e]
u6
=-+2C
3
(x 3 + 6X)6
3
+K
Deben notarse dos cosas con respecto a nuestra solución. Primero, el hecho de que
(6x 2 + 12) dx es 2du en lugar de du, no causa problema; por la linealidad de la integral, el factor :2 pudo colocarse al frente del signo de la integral. Segundo, terminamos con una constante arbitraria 2C. También ésta es una constante arbitraria;
llamémosle K.
(b) Sea u = x 2 + 4; entonces du = 2x dx. Así,
j(x2 + 4) lO x dx = j(x2 + 4)10. ~. 2x dx
= ~j ulO du
11
=
~ (u +
2
11
c)
(x 2 + 4)11
22
+K
(c) Sea u = x 2/2 + 3; entonces du = x dx. El método ilustrado en las partes (a) y (b)
falla, ya que x 2 dx = x(x dx) = x du, y la x no puede pasarse al frente del signo de
214
La integral
5
CAPíTULO
la integral. (Sólo puede hacerse con un factor constante.) Sin embargo, podemos desarrollar el integrando por medio del álgebra común y después utilizar la regla para la potencia.
1(~2 +
1(:4 +
= 1(:6 +
2
3)' x dx =
x7
=-
28
3x2
+ 9 )x2 dx
3x·
+ 9x2 )
3x 5
+5
+3x3
dx
•
+C
Revisión de conceptos
1. La regla de la potencia para derivadas dice que d(xr)ldx =
La regla de la potencia para integrales dice que x r dx =
J
_ _ _o
ra integrales dice que J
r :f:--l.
3. J(x 4
2. La regla generalizada de la potencia para derivadas dice que
d[¡ (x) y / dx =
. La regla generalizada de la potencia pa-
dx
=
[¡(x)y+l/(r + 1) + e,
+ 3x 2 + 1t(4x 3 + 6x)dx =
4. Porlinealidad, J[ clf(x)
_
+ C2g(X)] dx =
_
Conjunto de problemas 5.1
Encuentre la antiderivada general F (x) + C para cada una de las funciones siguientes.
1. f(x) = 5
3. f(x) = x 2 +
7T
X5 / 4
5. f(x)
=
7. f(x)
= l/V?
9. f(x) =
11. f(x)
=
2. f(x) = x - 4
4. f(x) = 3x 2 +
6. f(x)
x3
-
3X2/3
=
8. f(x) = 7X- 3 / 4
x2 - x
4x5
v!3
10. f(x)
=
12. f(x)
=
3x2 - 7TX
x lOO + X99
= 27x + 3x - 45x + V2x
14. f(x) = X2(X 3 + 5x 2 - 3x + v!3)
7
13. f(x)
5
3
Vh
2
15. f(x) = x 2 - x 3
17. f(x) =
16. f(x) = -x-
+ 3x 4
4x 6
3
3
X
18. f(x) =
3
+ x5
6
--3-
x
x
30. J (5x 2 + 1)Y5x 3
20. J (x
+ 1)2 dx
22. J (z
21. J (x
(Z2
23.
J
+ II
vz
dz
24.
25. J (senfJ - cos fJ) dfJ
3
32. J
33. J"(x) = 3x + 1
34. f"(x) = -2x + 3
3y
dy
Y2 y 2 + 5
En los problemas del 33 al 38 se da f"(x). Encuentre f(x) antiderivando dos veces. Obsérvese que en este caso su respuesta debe incluir
dos constantes arbitrarias, una proveniente de cada antiderivación. Por
ejemplo,sif"(x) = x,entoncesf'(x) = x2/2 + Clyf(x) = x3 /6
+ C 1x + C2. Las constantes C l y C 2 no pueden combinarse ya que
Cl no es una constante.
35. f"(x)
= \IX
36. f"(x) =
37. f"(x)
+ -1
= -x - 3
38. f"(x) =2Vx+1
X
39. Demuestre la fórmula
J
[¡(x)g'(x)
+ V2Z)2 dz
Jses +
~
1)2
ds
26. J (t 2 - 2 cos t) dt
En los problemas del 27 al 32, utilice los métodos de los ejemplos 5 y
6 para evaluar las integrales indefinidas.
27. J (V2x
+ 1)3 V2 dx
29. J (5x 2 + 1 )(5x 3
+ 3x
28. J (7TX
- 8)6 dx
3
+ 1t37Tx2 dx
4 3
X /
4
X
+ \IX)dx
- 2 dx
31. J3t V2t 2 - 11 dt
En los problemas del 19 al 25, evalúe las integrales que se indican.
19. J (x 2 + x)dx
+ 3x
+ g(x)f'(x)] dx = f(x)g(x) + e
Sugerencia: Véase el primer enunciado en la demostración del TeoremaA.
40. Demuestre la fórmula
g(x)f'(x) - f(x)g'(x)
- - - - - - - - dx
g2(X)
J
f(x)
= -- + e
g(x)
41. Utilice la fórmula del problema 39 para encontrar
42. Utilice la fórmula del problema 39 para encontrar
J[
-X3
(2x
+ 5)3/2 +
]
3x 2
Y2x + 5 dx
43. Encuentre Jf"(x)dx si f(x)
= x~.
SECCiÓN
2g(x)f'(x) - f(x)g'(x) _
,
2[g(x)]
Introducción a ecuaciones diferenciales
215
rn 49.
44. Demuestre la fórmula
!
5.2
3/2
-
Algunos paquetes de software pueden evaluar integrales indefinidas. Utilice su software en cada una de las integrales siguientes.
~
~ ~ +C
vg(x)
(a) !6sen(3(X -2))dx
(b) !sen3 (x/6)dX
45. Demuestre la fórmula
!
fm-l(x)gn-l(x)[ nf(x)g'(x)
~
fm(x)gn(x)
+c
+ 1t] cos [(x 2 + 1t](x 2 + 1)3 x dx
Sugerencia: Sea u = sen (X Z + 1
47. Encuentre! Ixl dx.
[illQ~ SO. SeaFo(x) =
xsenxy Fn+1(x) =
Respuestas a la revisión de conceptos:
48. Encuentre ! sen2 x dx.
5.2
Fn(x) dx.
F 16 (X).
t
Introducción
a ecuaciones
diferencia les
!
(a) Determine F 1(x), Fz(x), F3(x) y F4(x).
(b) Con base en la parte (a), haga una conjetura sobre la forma de
46. Encuentre la integral indefinida
! sen3 [(x 2
+ xsen 2x) dx
(c) ! (x 2 cos 2x
+ mg(x)f'(x)] dx
1. r x r - 1; x r + 1/ (r
+ 1) + C,
r =1= -1 2. r[J(x)]'-l f'(x); [f(x)]'f'(x)
3. (x 4 + 3x z + 1t/9 + C
4. c1Jf(x)dx + czJg(x)dx
En la sección anterior, nuestra tarea fue integrar (antiderivar) una función f para obtener una nueva función F. Escribimos
J
= F(x) + e
f(x)dx
y,por definición,esto fue correcto siempre y cuando F'(x) = f(x).Ahora F'(x) = f(x) en
el lenguaje de derivadas es equivalente a dF(x) = f(x)dx en el lenguaje de diferenciales
(véase la sección 3.10). Por tanto, podemos interpretar la fórmula del recuadro como
J
dF(x)
= F(x) + e
Desde esta perspectiva, integramos la diferencial de una función para obtener la función
(más una constante). Éste fue el punto de vista de Leibniz; adoptándolo nos ayudará a
resolver ecuaciones diferenciales.
¿Qué es una ecuación diferencial?
Para motivar nuestra respuesta, empeza-
mos con un ejemplo sencillo.
EJEMPLO 1 Encuentre una ecuación, en x y y, de la curva que pasa por el punto (-1,2)
Ycuya pendiente en cualquier punto de la curva es igual a dos veces la abscisa (coordenada x) de ese punto.
Solución
La condición que debe cumplirse en cada punto (x, y) de la curva es
dy
-=2x
dx
Estamos buscando una función y = f(x) que satisfaga esta ecuación y con la condición
adicional de que y = 2 cuando x = -1. Sugerimos dos formas de ver este problema.
Método 1 Cuando una ecuación tiene la forma dy jdx = g(x), observamos que y debe ser una antiderivada de g(x); esto es,
y
En nuestro caso,
=
J
g(x)dx
216
CAPíTULO
5
La integral
y=x 2 +C
y
C=2, 1, O, -1, -2
\ I I //
Método 2 Considérese a dy jdx como un cociente de dos diferenciales. Cuando multiplicamos ambos lados de dy jdx = 2x por dx, obtenemos
dy
= 2x dx
Ahora, integramos las diferenciales de ambos lados, igualamos los resultados y simplificamos
j dy j2XdX
=
y
+ Cl
= x2
y = x
2
y = x2
x
+ C2
+ C2
-
Cl
+C
El segundo método funciona en una gran variedad de problemas que no están en la
sencilla forma dy jdx = g(x), como veremos.
La solución y = x 2 + C representa la familia de curvas ilustrada en la figura 1. De
esta familia, debemos seleccionar aquella para la que y = 2 cuando x = -1; por tanto, queremos que
Figura 1
2
= (-1)2 +
C
•
Concluimos que C = 1 Ypor tanto que y = x 2 + 1.
Las ecuaciones dy jdx = 2x y dy = 2x dx se denominan ecuaciones diferenciales.
Otros ejemplos son
dy
dx = 2xy + sen x
ydy=(x 3 +1)dx
d2 y
dx 2
dy
+ 3 dx
- 2xy = O
Cualquier ecuación en la que la incógnita sea una función y que incluya derivadas (o diferenciales) de esta función desconocida se denomina ecuación diferencial. Cuando una
función se sustituye en una ecuación diferencial y transforma esa ecuación en una identidad, se dice que es una solución de la ecuación diferencial. Por tanto, resolver una ecuación
diferencial es encontrar una función desconocida. En general, ésta es una tarea difícil y
sobre la que se han escrito muchos y extensos libros. Aquí sólo consideraremos el tipo más
sencillo, las ecuaciones diferenciales de primer orden con variables separables. Éstas son
ecuaciones que incluyen sólo a la primera derivada de la función desconocida y son tales
que las variables pueden separarse, una en cada lado de la ecuación.
Separación de variables
Considere la ecuación diferencial
dy
x + 3x 2
dx
y2
Si multiplicamos ambos lados por idx, obtenemos
y2 dy = (x + 3x 2) dx
En esta forma, la ecuación diferencial tiene separadas sus variables; es decir, los términos que incluyen a y están en un lado de la ecuación y los de x en el otro. En forma separada, podemos resolver la ecuación diferencial utilizando el método 2 (integrar ambos
lados, igualar los resultados y simplificar), como lo ilustramos ahora.
EJEMPLO 2
Resuelva la ecuación diferencial
dy
x + 3x 2
dx
y2
Después encuentre aquella solución para la cual y = 6 y x
= O.
SECCIÓN
Solución
5.2
Introducción a ecuaciones diferenciales
217
Como se observó anteriormente, la ecuación dada es equivalente a
dY = (x
y2
+
3x 2 ) dx
ASÍ,
j y2 dy = j(x + 3x 2)dx
x2
y3
3 + Cl
y3
2 + x 3 + C2
=
3x 2
+ 3x 3
2
3x 2
= - +3x 3
2
= -
+ (3C 2
-
3C1 )
+C
Para encontrar la constante C, utilizamos la condición y = 6 cuando x = O. Esto da
6=*
216 =C
Por tanto,
Para verificar nuestro trabajo podemos sustituir este resultado en ambos lados de
la ecuación diferencial original para ver que dé una igualdad. También debemos verificar que y = 6 cuando x = O.
Al sustituir en el lado izquierdo, obtenemos
dy
1
dx = 3
(3X 2
)-2/3
2 + 3x + 216 (3x + 9x
3
x
(~X2
2
)
+ 3x 2
+ 3x 3 + 216)2/3
En el lado derecho, obtenemos
x
+ 3x 2
y2
x
(~X2
+ 3x 2
+ 3x 3 + 216)2/3
Como se esperaba, las dos expresiones son iguales. Cuando x = O, tenemos
1/3 . 2+ 3 • 03 + 216 = V2i6 = 6
0
Y = ~-2-
ASÍ, Y = 6 cuando x = O, como esperábamos.
•
Problemas sobre movimiento Recuérdese que si s(t), v(t) y a(t) representan
la posición, velocidad y aceleración, respectivamente, en el instante t de un objeto que
se mueve a lo largo de un eje coordenado, entonces
ds
v(t) = s'(t) = dt
dv
d 2s
a(t) = v'(t) = - = -2
dt
dt
En algún trabajo previo (véase la sección 3.7), supusimos que s(t) era conocida, ya partir de esto calculamos v(t) y a(t). Ahora queremos considerar el proceso inverso; dada
la aceleración a(t), encuéntrese la velocidad v(t) y la posición s(t).
218
CAPíTULO
5
La integral
EJEMPLO 3
Problema de un cuerpo que cae Cerca de la superficie de la Tierra, la aceleración a la
que cae un objeto, debido a la gravedad es 32 pies por segundo por segundo, siempre y
cuando la resistencia se pueda despreciar. Si un objeto se lanza directamente hacia arriba desde una altura inicial de 1000 pies (véase la figura 2) con una velocidad de 50 pies
por segundo, encuentre su velocidad y altura 4 segundos después.
Figura 2
Solución Supongamos que la altura s se considera positiva hacia arriba. Entonces
v = ds Idt inicialmente es positiva (s está aumentando), pero a = dv Idt es negativa.
(La fuerza debida a la gravedad es hacia abajo, por lo que v disminuye.) De aquí que,
iniciamos nuestro análisis con la ecuación diferencial dv Idt = -32, con las condiciones
adicionales de que v = 50 Y s = 1000 cuando t = O. Cualquiera de los métodos, el1
(antiderivación directa) o el2 (separación de variables), funcionan bien.
dv
-=-32
dt
J
-32 dI
v =
Como v = 50 en t = O, encontramos que
e
=
-321
+e
= 50, Y así
I v = -32t + 50 I
Ahora, v = dsldt, por lo que tenemos otra ecuación diferencial
ds
= -32t
dt
-
+ 50
Cuando integramos, obtenemos
s
=
J
(-321
= -16t 2
+ 50) dI
+ 50t +
K
Ya que s = 1000 en t = O, K = 1000 Y
I s = -16t2 + 50t + 1000 I
Por último, en t = 4,
v = - 32( 4) + 50 = -78 pies por segundo
s
= -16(4)2 + 50(4) + 1000 = 944 pies
•
Hacemos notar que si v = va y s = So en t = O, el procedimiento del ejemplo 3 lleva a las conocidas fórmulas de caída de un cuerpo:
a = -32
v
s
= -32t +
2
va
= -16t + vot +
So
EJEMPLO 4 La aceleración de un objeto que se mueve a lo largo de un eje coordenado está dada por a(t) = (2t + 3)-3 en metros por segundo por segundo. Si la velocidad en t = Oes 4 metros por segundo, encuentre la velocidad 2 segundos más tarde.
Solución Empezamos con la ecuación diferencial de la primer línea, de las ecuaciones que se muestran a continuación. Para realizar la integración en la segunda línea, multiplicamos y dividimos entre 2, así preparamos la integral para la regla generalizada
para la potencia.
IntroducciOn a ecuaciones diferenciales 219
SECCION 5.2
= (2t +
3)_3
=f(2t +3)32dt
= f(2t +3)3dt
i(2t+3Y2
2
2
Desde v =
4
en t =
4(2t + 3)2
0,
4=
que da C =
4(3)2
+C
AsI,
V
En t =
+c
1
=
4(2t +
3)2
+145
36
2,
v=
1
+
4(49)
145
4.023 metros por segundo
36
U
S
EJEMPLO 5 (opcional)
Velocidad de escape La atracción gravitacional F ejercida por la Tierra sobre un objeto de masa m a una distancia s del centro de la Tierra está dado por F = mgR2/s2,
donde g (g 32 pies por segundo por segundo) es La aceleraciOn debida a La gravedad
en La superficie de la Tierra y R (R 3960 miLLas) es el radio de la Tierra (véase La figura 3). Demuestre que un objeto Lanzado hacia arriba desde La Tierra, con una veLocidad
\/2gR 6.93 millas por segundo no regresará a la Tierra. En estos cáLcuinicial v0
los no tome en cuenta la resistencia del aire.
Solución
De acuerdo con La Segunda Ley de Newton, F = ma; es decir,
=m
Fm m dvds
dsdt
dv
cit
dv
v
ds
AsI,
my
dv
=
ds
mg R2
S
2
Separando variables se obtiene
v dv =
fv dv
v2
gR2s2 ds
= _gR2f s2 ds
=
2
R2
S
Ahora v = v0 cuando s= R, y de este modo C = v - gR. En consecuencia,
2gR2
+v-2gR
Por tiltimo, ya que 2gR2/s se hace pequeflo conforme s aumenta, vemos que v permanece positiva Si, y solo si v0 \/2gR.
220
CAPíTULO
5
La integral
Revisión de conceptos
y3, el pri-
4. Para resolver un problema de un cuerpo que cae cerca de la
superficie de la Tierra, iniciamos con el hecho experimental de que
la aceleración debida a la gravedad es -32 pies por segundo por segundo; es decir, a = dv /dt = -32. Al resolver esta ecuación diferencial se
obtiene v = ds /dt =
,y al resolver la ecuación diferencial re_
sultante se obtiene s =
En los problemas del 1 al 4, demuestre que la función indicada es una
solución de la ecuación diferencial que se da; es decir, sustituya la función que se indica por y para ver que produzca una igualdad.
y
1. dd -~ =O;y = ~
En los problemas del17 al 20, un objeto se mueve a lo largo de una recta, sujeto a la aceleración, a (en centímetros por segundo por segundo),
que se indica, con la velocidad inicial Vo (en centímetros por segundo) y
la distancia dirigida So (en centímetros). Encuentre la velocidad v y la
distancia dirigida s, después de 2 segundos, (véase el ejemplo 4).
1. dy /dx = 3x 2 + 1 y dy /dx
_
llama una
la
= xli son ejemplos de lo que se
2. Resolver la ecuación diferencial dy/dx = g(x, y) es encontrar
que, cuando se sustituya por y, proporcione una igualdad.
3. Para resolver la ecuación diferencial dy /dx =
mer paso sería
_
X
2
Conjunto de problemas 5.2
Y
x
dy
2. -x dx
d2 y
3. dx 2 + y
4.
(~~
17. a = t; V o = 3, So = O
18. a = (1 + t)-4; Vo = O, So = 10
+ y = O; Y = ex
r
O; Y
=
=
C 1 sen x
+ C 2 cos x
+ i = 1; y = sen (x + C) y y = ±1
En los problemas del 5 al 14, primero encuentre la solución general
(que incluya una constante C) para la ecuación diferencial dada. Después encuentre la solución particular que satisfaga la condición que se
indica. (Véase el ejemplo 2.)
5 dy
• dx
= x 2 + 1· y = 1 en x = 1
6 dy
• dx
= x-3 + 2· y = 3 en x = 1
dy
7. dx
= y; Y = 1 en x = 1
8.
~~
'
x
-fy;
dz
2
9. dt = t Z2;
10.
dy
dt = y4; Y
= 1/3 en t = 1
ds
11 • dt
= 16t 2 + 4t - l' s = 100 en t = O
12 du
• dt
= U 3(t 3
dy
13. dx
= (2x + 1)4; Y = 6 en x = O
y
14. d
dx
'
=
21. U na pelota se lanza hacia arriba desde la superficie de la
Tierra con una velocidad inicial de 96 pies por segundo. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza? (Véase el ejemplo 3.)
22. Se lanza una pelota hacia arriba desde la superficie de un
planeta en donde la aceleración debida a la gravedad es k (una constante negativa) pies por segundo por segundo. Si la velocidad inicial
es v o, demuestre que la altura máxima es -V6/2k.
+ 2 )4 ; y =
25. La tasa de cambio del volumen V de una bola de nieve que se
derrite es proporcional al área de su superficie S; es decir, dV /dt = -kS,
donde k es una constante positiva. Si el radio de la bola en t = O es
r = 2 Yen t = 10 es r = 0.5, demuestre que r = -tat + 2.
26. ¿Desde qué altura sobre la superficie de la Tierra debe dejarse caer una pelota para que llegue al suelo con una velocidad de
-136 pies por segundo?
W 27.
t)· U = 4 en t = O
'
-i X (x 2
23. En la superficie de la luna, la aceleración debida a la gravedad
es -5.28 pies por segundo por segundo. Si un objeto se lanza hacia arriba desde una altura inicial de 1000 pies con una velocidad de 56 pies por
segundo, encuentre su velocidad y su altura 4.5 segundos más tarde.
24. ¿Cuál es la máxima altura que alcanza el objeto del problema23?
= 1 en t = O
-
= V2t + 1; Vo = O, So = 10
W
y = 4 en x = 1
Z
a
a = (3t + 1)-3; V o = 4, So = O
W
'
=
W 19.
W 20.
1 en x = O
15. Encuentre la ecuación, en x y y, de la curva que pasa por
(1,2) cuya pendiente en cualquier punto es tres veces su abscisa (véase el ejemplo 1).
16. Encuentre la ecuación, en x y y, de la curva que pasa por
(1,2) cuya pendiente en cualquier punto es el triple del cuadrado de
su ordenada (coordenada y).
Determine la velocidad de escape para un objeto lanzado
desde cada uno de los siguientes cuerpos celestes (véase el ejemplo 5).
Aquí g "'" 32 pies por segundo por segundo.
Luna
Venus
Júpiter
Sol
Aceleración debida
a la gravedad
Radio (millas)
-0.165g
-0.85g
-2.6g
-28g
1,080
3,800
43,000
432,000
28. Si los frenos de un automóvil, cuando se aplican por completo, producen una desaceleración constante de 11 pies por segundo por
segundo, ¿cuál es la distancia más corta en la que pueden aplicarse los
frenos hasta detenerse, desde una velocidad de 60 millas por hora?
SECCIÓN 5.3
29. ¿Qué aceleración constante causará que un automóvil aumente su velocidad desde 45 a 60 millas por hora en 10 segundos?
30. Un bloque se desliza hacia abajo en un plano inclinado con
una aceleración de 8 pies por segundo por segundo. Si el plano inclinado tiene una longitud de 75 pies y el bloque llega a la parte inferior
en 3.75 segundos, ¿cuál fue la velocidad inicial del bloque?
Sumas y notaciones sigma
221
(b) Resuelva la ecuación diferencial.
(c) Encuentre el volumen del agua después de 10 segundos.
ITJ
36. La población de lobos P en cierto estado ha crecido a una
tasa proporcional a la raíz cúbica del tamaño de la población. En 1980
la población se estimó en 1000 Y en 1990 en 1700.
31. Cierto cohete disparado directamente hacia arriba tiene una
aceleración de 6t metros por segundo por segundo durante los primeros
(a) Escriba la ecuación diferencial para P en el instante t con las dos
condiciones correspondientes.
10 segundos después del despegue, a partir de los cuales el motor se detiene y el cohete sólo está sujeto a la aceleración debida a la gravedad de
-10 metros por segundo por segundo. ¿A qué altura llegará el cohete?
(b) Resuelva la ecuación diferencial.
(c) ¿Cuándo la población de lobos llegará a 4000?
32. Iniciando en la estación A, un tren acelera a 3 metros por se-
37. En t = O, una pelota se deja caer desde una altura de 16 pies.
Si pega con el piso y rebota a una altura de 9 pies (véase la figura 4).
gundo por segundo durante 8 segundos, después viaja a velocidad
constante V m durante 100 segundos, y finalmente frena (desacelera) a
4 metros por segundo por segundo, para hacer una parada en la estación B. Encuentre (a) v m y (b) la distancia entre A y B.
(a) Encuentre una fórmula de dos partes para la velocidad v(t) que
sea válida hasta que la pelota choque con el piso por segunda
ocasión.
33. Partiendo del reposo, un autobús aumenta su velocidad con una
aceleración constante al' después viaja a velocidad constante v m' Yfinalmente frena para detenerse a una aceleración constante a2 (a 2 < O). Le
toma 4 minutos recorrer las 2 millas entre la parada C y la parada D, y
luego 3 minutos para recorrer 1.4 millas entre la parada D y la parada E.
(b) ¿Cuáles son los dos instantes en que la pelota estuvo a una altura de 9 pies?
•
1
1
1
1
1
1
1
1
11 _
(a) Bosqueje la gráfica de la velocidad v como una función del tiempo t, O::; t::; 7.
(b) Encuentre la velocidad máxima V m .
16
(c) Si al = -a2 = a, evalúe a.
34. Un globo de aire caliente abandona el piso elevándose a 4 pies
por segundo. Dieciséis segundos después, Victoria arroja una pelota directamente hacia arriba a su amigo Calleen, que está en el globo. ¿A qué
velocidad ella lanzó el balón para que llegará justo a Calleen?
35. De acuerdo con la ley de Torricelli, la razón de cambio del
volumen, V, de agua con respecto al tiempo en un tanque que se está vaciando es proporcional a la raíz cuadrada de la profundidad del
agua. Un tanque cilíndrico de radio 1O/V7T centímetros y 16 centímetros de altura, inicialmente lleno, tarda 40 segundos en vaciarse.
(a) Escriba una ecuación diferencial para V en el instante t y las condiciones correspondientes.
5.3
Sumas y notaci.ones
sigma
16
12
x
Figura 1
l' \
1
1
11'
1
11
1
11
1
11
1
11
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
9
I j
Figura 4
Respuesta a la revisión de conceptos:
1. ecuación diferencial 2.
función 3. separar las variables 4. -32t + va; -16t2 + vot + So
Hasta ahora hemos considerado funciones cuyo dominio está formado por intervalos de
números reales. Un ejemplo típico es f(x) = x 2 , con dominio en el intervalo [0,00). Su
gráfica se muestra en la figura 1. Usamos x como la variable del dominio, pero también
podríamos utilizar s, t, u o v. Por costumbre, los matemáticos utilizan las últimas letras del
alfabeto para nombrar a las variables que tomen valores en un intervalo de la recta real.
Cuando queremos nombrar a una variable que sólo toma valores enteros por lo común utilizamos letras de la mitad del alfabeto, tal como i, j, k, m y (en especial) n. Así,
en esta sección queremos considerar la función determinada por a(n) = n2 , donde n
toma valores positivos; su gráfica se muestra en la figura 2. Una función cuyo dominio
consiste de sólo enteros positivos (o algún otro subconjunto de enteros) se denomina sucesión. En lugar de la notación funcional estándar a(n), por convención se utiliza ano Por
tanto, podemos decir: Considere la sucesión {anJ determinada por an = n2 y la sucesión
{bnJ determinada por bn = l/n. En ocasiones indicamos una sucesión escribiendo los primeros valores seguidos por puntos suspensivos como, por ejemplo,
o incluso
1,4,9,16,...
Las sucesiones se estudiarán a detalle en el capítulo 11. Aquí nuestro interés principal es aprender a trabajar con la notación para ciertas sumas.
222
CAPíTULO
5
La integral
Notación sigma En la sección 4.4, brevemente vimos la notación sigma. En este
capítulo la usaremos de manera amplia. Considere las sumas
a(n)
•
16
12 + 22 + 32 + 4 + ... + 1002
y
12
•
a(n)
=n
Para indicar estas sumas de una manera compacta, escribimos la primera como
4
100
•
Li
n
2
¡=1
y la segunda como
n
Figura 2
La¡
¡=1
Aquí L (sigma mayúscula griega), que corresponde a la S de nuestro alfabeto, indica
que se están sumando todos los números de la forma indicada cuando el índice i corre
por todos los enteros positivos, iniciando con el entero que aparece debajo de L y finalizando con el entero arriba de L. Así,
4
L a¡b¡ =
a2 b2 + a3 b3 + a4 b4
¡=2
L -:1 = -11 +-21 +-31 + ... +-n1
n
j=l
y para n
2::
123
k
4
~
]
k2
+1
2
= 1
4
+1 +2 +1 +3 +1 +4 +1
2
2
2
m,
n
LF(i) = F(m)
+ F(m + 1) + F(m + 2) + ... + F(n)
¡=m
n
Si todas las c¡ en
L c¡ tienen el mismo valor, digamos c, entonces
¡=1
n
L
c¡ = c + c + c + . . . + c
¡=1
\..
n té~inos
}
Como resultado,
En particular,
100
5
L2
= 5(2) = 10,
= 100(-4) = -400
¡=1
¡=1
Propiedades de
L (-4)
L
Considerado como un operador, L opera sobre sucesiones, y
lo hace de una manera lineal.
SECCiÓN 5.3
Demostración
Sumas y notaciones sigma
Las demostraciones son sencillas, sólo consideramos (i).
n
L
223
n
ca¡
= cal + caz + ... + can = c(al + az + ... + a n) = c L
i=l
a¡ •
¡=l
100
100
L a¡ = 60 Y L b¡ = 11. Calcule
EJEMPLO 1 Suponga que
¡=l
¡=l
100
L (2a¡ -
+ 4)
3b¡
¡=l
Solución
100
100
L(2a¡ -3b¡
+4)
100
= L2a¡ -
¡=l
¡=l
100
= 2
L
100
L3b¡
+ L4
¡=l
100
¡=l
100
a¡ - 3 L b¡
¡=l
= 2(60)
+L 4
¡=l
- 3(11)
i=l
•
+ 100(4) = 487
EJEMPLO 2
Sumas telescópicas Demuestre que:
n
(a)
L (aHl
- a i) = an+l - al
i=l
n
(b)
L [(i + 1? -
iZJ = (n
+ l)Z
- 1
¡=l
Solución
(a) Aquí debemos resistir nuestra inclinación de aplicar la linealidad y en lugar de eso
escribimos la suma, esperando algunas convenientes cancelaciones.
n
L
(ai+l -
aJ = (az -
al)
+ (a3
- az)
+ (a4
- a3)
+ ... + (an+l
- a n)
i=l
= -al
= -al
+ a2 + an+l
a2
+ a3
- a3
+ a4
- ... - a n
+ a n+1
= an+l - al
(b) Esto se sigue de manera inmediata de la parte (a).
El símbolo utilizado para el índice no importa. Así,
n
n
n
La i = La j = Lak
i=l
j=l
•
k=l
a todos éstas son iguales a al + a z + ... + ano Por esta razón, con frecuencia al índice
se le llama índice mudo.
Fórmulas para algunas sumas especiales En la sección siguiente, necesitaremos considerar la suma de los primeros n enteros positivos, así como las sumas de
sus cuadrados, cubos, etc. Hay fórmulas útiles para éstas; las demostraciones se estudian al final de la sección.
n .
n(n + 1)
1. Lz=1+2+3+···+n=--i=l
2
~.z
2. L.J z
i=l
z
z
z
z
n(n+1)(2n+1)
= 1 + 2 + 3 + ... + n = - - - - - - 6
224
CAPiTULO 5
La integral
+ 1)12
i3=13+23+33+"+n3=
3.
Ln(n 2
i =1
]
4.i4=14+24+34+"+n4- n(n+l)(6n3+9n2+nl)
30
i=1
10
10
10
i; (b)
Calcule: (a)
EJEMPLO 3
i2; y (c)
i4.
i=2
i=1
i =1
Solución
10(10 + 1)
10
=
(a)
2
=55
10
10(10 + 1)(20 + 1)
i=1
6
(b)
/
10
i4 =
(c)
i=2
'
10
i)
'i=1 I
(
- i4 =
385
10(11)(6000 + 900 + 10 - 1)
1
30
= 25,332
EJEMPLO4
Solución
Calcule
2i(i 5).
Haga uso de la linealidad y del ejemplo 3.
10
(22 - lOi) = 2
i=1
1=1
10
10
10
2i(i - 5) =
i2 -
i
10
i=1
i=1
= 2(385) - 10(55) = 220
EJEMPLO S
Solución
U
(j + 2)(j - 5).
Encuentre una formula para
Hacemos uso de La Linealidad y de las formulas 1 y 2 anteriores.
3j -
(2 3j 10)
+2)(j 5) =
n(n + 1)(2n + 1)
n(n + 1)
6
2
=
10
iOn
[2n2 +3n +1 9n 9-60]
n(n2 - 3n - 34)
U
3
EJEMPLO 6 ,Cuántas naranjas contiene una pirámide de 7 niveLes semejante a la
que se muestra en la figura 3?
Solución
12 + 22 +
4(5)(9)
+ 42 =
i=1
6
= 30
.
EJ EM PLO 7 A una fiesta asistieron 20 personas, cada persona estrecha la mano de Cada una de las otras personas exactamente una vez. ,Cuántos apretones de mano habrá?
Figura 3
So!ución Debemos contar los apretones de mano de una manera inteligente. La primera persona le da La mano a cada una de las otras 19. La segunda persona también da
la mano a cada una de las otras personas, pero ya contamos eL apretón de manos con la
Sumas y notaciones sigma
SECCiÓN 5.3
225
primera persona; por tanto, hay 18 saludos que se deben contar. Para la tercera persona, hay 17 apretones de mano por contar. Se continúa el conteo de esta manera.
Cuando llegamos a la persona 19, ya se habrán contado todos los apretones de mano
con las personas 1 a la 18; el único saludo que contamos es con la persona 20. Ahora,
todos los apretones de mano se han contabilizado, incluyendo los de la persona 20. Por
tanto, el número total de apretones de manos es:
19.
= 1 + ... + 18 + 19 = :¿ 1 =
19 + 18 + ... + 1
19(19 + 1)
2
i=l
= 190
•
Demostraciones de las fórmulas para las sumas especiales Para demostrar la fórmula de la suma especial 1, iniciamos con la identidad (i + 1f - i2 = 2i + 1,
tomamos la suma desde 1 hasta n en ambos lados; en el lado izquierdo aplicamos el
ejemplo 2 y en el lado derecho la linealidad.
(i + 1)2 - i2 = 2i + 1
n
n
i=l
i=l
:¿[(i +1)2 - i 2J = :¿(2i +1)
n
n
i=l
i=l
(n + 1)2 - 12 = 2:¿ i + :¿ 1
n
n2
+ 2n
=
2 :¿ i + n
i=l
n
:¿i
i=l
Utilizamos la fórmula 1 y una técnica similar para obtener la fórmula 2.
(i + 1? - i 3 = 3P + 3i + 1
n
n
i=l
i=l
:¿ [(i + 1? - i 3J = :¿ (3i 2 + 3i + 1)
n
n
n
i=l
i=l
i=l
(n +1)3 -1 3 =3:¿i 2 +3:¿i +:¿1
n
n3 + 3n2 + 3n = 3 :¿ ¡2 + 3
i=l
n(n
+ 1)
2
+ n
n
2n 3 + 6n 2 + 6n = 6 :¿ i2 + 3n 2 + 3n + 2n
i=l
n(n
+ 1)(2n + 1)
6
n
:¿P
i=l
Casi la misma técnica funciona para establecer las fórmulas 3 (problema 47) y 4 (problema 48).
226
La integral
5
CAPíTULO
Revisión de conceptos
s
y el valor de ~ 2 es
S
1. El valor de ~ 2i es
i=l
10
_
3. El valor de la suma telescópica
i=l
±(~ -.
+1 1) es
1=1
l
l
10
2. Si ~ a i
i=l
= 9 Y ~ bi = 7, entonces el valor de
n
i=l
10
10
~(3ai -2bi)
i=l
yelvalorde ~(ai +4)
=
i=l
=
n
4. Como ~i =n(n +1)/2y ~i2=n(n +1)(2n +1)/6,
i=l
i=l
_
6
se deduce que ~ (2i - i 2)
=
i=l
_
Conjunto de problemas 5.3
En los problemas del] al 8, encuentre los valores de la suma indicada.
6
6
2. ~i2
i=l
1. ~ (k - 1)
k=l
7
1
3. ~ k + 1
8
4. ~ (l
+ 1)2
1=3
8
7
5. ~ (_1)m2 m- 2
(-l)k 2k
10
+ 4)
k=l
k=l
n
n
29. ~ (2i 2 - 3i + 1)
30. ~ (2i - 3)2
i=l
i=l
A veces es deseable hacer un cambio de variable en el índice para una
suma. Por ejemplo, el cambio de variable k = i - 3 da
k=3 (k
13
+ 1)
8. ~ ksen(k7T/2)
k=-l
n=l
En los problemas del 9 aliÓ, escriba la suma que se indica en la notación sigma
7. ~ n cos(mr)
o
k=O k
40
tf1
+ 2bn )
23.
1)
- - --
k
k+1
~ Ck : 1)' - ~2)
10
tf1
24.
100
25. ~ (3i - 2)
-
:~(a, -
2k -
k=O
= i/5,
Y
=a
+ ar + ar 2 + ... + ar n =
a - ar n+1
1- r
(r
*- 1)
Sugerencia: Sea S = a + ar + ... + ar n. Simplifique S - rS y des-
10
(b) ~2k
k=l
38. Sume ambos lados de las dos igualdades que siguen, despeje S y de aquí proporcione otra demostración de la fórmula 1.
S = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 2) + (n - 1) + n
S
a,-I)
10
10
(a) ~Gt
k=l
l)
26. ~ [(i - 1) (4i
i=l
Wi
37. Utilice el problema 36 para calcular cada suma
20. ~ (a q - bq - q)
22. ~ (2 k
j(x) = 3x,
i=l
peje S.
En los problemas del 25 al 30, utilice las jórmulas para las sumas especiales ] a 4 para encontrar cada una de las sumas (véanse los ejemplos 3 aI5).
i=l
n
~ ar k
10
(1
~j(w¡)llx si
36. Demuestre la fórmula siguiente para una suma geométrica:
10
p=o
q=l
En los problemas del 2] al 24, encuentre el valor de cada una de las
sumas (telescópicas) (véase el ejemplo 2).
21. ~
(k - 3)Sen(_7T_); i = k - 3
k - 3
=!.
llx
n=l
9
+1
10
18. ~ (3a n
19. ~ (ap+l - b p+l )
k=4
+ 1'
35. Evalúe
10
+ b¡)
f
34.
lÓO
En los problemas del]7 al 20, suponga que ~ ai = 40 Y ~ bi = 50.
i=l
i=l
Calcule cada una de las sumas siguientes (véase el ejemplo]).
i=l
k
10
10
17. ~ (ai
14
32. ~k2k-4;i = k - 4
k=S
=i- 2
33. ~ _ _ i = k
13. al + a3 + as + a7 +
10
~ k3
19
31. ~i(i -2); k
i=3
+ 2 + 3 + '" + 41
10. 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 50
+ a99
14. b_ 1 + b 1 + b 3 + b s +
+ b lOOl
15. j(c l ) + j(c 2 ) + ... + j(c n)
16. j(w l )llx + j(w 2 )llx + ... + j(w n )llx
=
i=4
k=l
Para los problemas del 3] al 34, haga el cambio de variable en el índice.
9. 1
4 + ~ + ... + lÓO
4 + ~ - ! + ... -
10
~ (i - 3)3
6
6
12. 1 -
28. ~ 5k2(k
6.~-­
m=l
11. 1 +
10
27. ~ (k 3 - k2)
+ 3) ]
=
n + (n - 1) + (n - 2) + ... + 3 + 2 + 1
39. Utilice una deducción como la del problema 38 para obtener
una fórmula para la suma aritmética:
n
~ (a + kd)
k=O
=a
+ (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + nd)
n
40. Demuestre que ~ ~
k=l
1
¡-; :::::
V
k
vn.
SECCIÓN
En estadística definimos la media :x y la varianza
sucesión de números Xl> x 2 , ..• , Xn por
W 41.
1
1
n
:x = - ¿ Xi,
n
i=]
Encuentre:X y S2 para la sucesión de números 2,5,7,8,9,10,14.
42. Utilizando las definiciones del problema 41, encuentre :x y S2
para cada sucesión de números.
(a) 1,1,1,1,1
(b) 1001,1001,1001,1001,1001
(c) 1,2,3
(d) 1,000,001; 1,000,002; 1,000,003
43. Utilice las definiciones del problema 41 para demostrar que
cada igualdad es verdadera.
(a)
~ (Xi -:x) = O
(b)
=
S2
(
227
r(
~ ai b¡ ~ ~ af) ( ~ bT )
Sugerencia: En la notación del problema 49, debemos demostrar que
B 2 - AC ::; O. Obsérvese que es un cuarto del discriminante de la
ecuación cuadrática At2 + 2Bt + C = O.
51. Establezca la identidad siguiente, que se conoce como suma
por partes:
n
¿ (ai -
n
ai-l)bi- 1
= anbn - aobo -
i=1
¿ ai(bi -
bi- 1)
i=1
52. Encuentre una fórmula compacta para la suma
111
--+--+--+
... +n(n
-11.2
2.3 3.4
+ 1)
(~ ~ XT) -:x2
44. Con base en su respuesta a las partes (a) y (b) del problema
42, haga una conjetura acerca de la varianza de n números idénticos.
Demuestre su conjetura.
Introducción al área
50. Demuestre la desigualdad de Cauchy:
n
n
i=]
de una
¿ (Xi - :x)2
=-
S2
S2
5.4
Sugerencla:
1
i(i+1)
1
1
- - -i+1
53. Utilice los diagramas de la figura 4 para establecer las fórmulas 1 y 3.
45. Sean Xl> X2 , .. ·, Xn cualesquiera números reales. Encuentre
el valor de c que minimiza
±
(Xi - c
f
i=]
46. Sean X], X2 ,.··, Xm y], Yz, ... , Yn cualesquiera números reales, y sean:X y y, respectivamente, las medias de X], X2 , ... , Xn y de Y¡,
Y2, ... , y no Demuestre que
n
n
¿(Xi -:X)(Yi -y) = ¿XiYi -n:Xy
i=1
i=1
47. Utilice la identidad (i + 1)4 _i 4 = 4i 3 + 6i 2 + 4i + 1 para
demostrar la fórmula de la suma especial 3:
3
1
+ 2 + ... + n =
3
3
n(n
[
+ 1)]2
n(n + 1)(6n3 + 9n 2 + n - 1)
+ 24 + ... + n4 = - - - - - - - - - - -
30
49. Sean
A
=
n
n
~a2
~
l'
B
i=1
e=
+e
:2:
¿bf
i=1
i=]
Demuestre que ArZ + 2Bt
rencia: Demuestre que
At 2
n
= ¿aibi,
Opara todo número real t. Suge-
+ 2Bt + e =
±
(ai t
i=]
5.4
Introducción al área
+ bY
13 + 2 3+ . . . + n 3
=
Figura 4
2
48. Utilice la identidad (i + 1)5 _i 5 = 5i4 + 10i3 + lOP +
5i + 1 para demostrar la fórmula de la suma especial 4:
14
1+2+ ... +n=
54. En la canción Los doce días de Navidad, mi verdadero amor
me dio 1 regalo el primer día, 1 + 2 regalos el segundo día, 1 + 2 + 3
regalos el tercer día, y así sucesivamente durante los 12 días.
(a) Encuentre el número total de regalos dados en 12 días.
(b) Encuentre una fórmula para T m el número de regalos dados durante una Navidad de n días.
55. Un tendero colocó naranjas en una pila piramidal. Si la capa inferior es rectangular con 10 hileras de 16 naranjas y en la capa superior tiene una sola hilera de naranjas, ¿cuántas naranjas hay en la
pila? Responda la misma pregunta, si la capa inferior tiene 50 hileras
de 60 naranjas. Generalice al caso de m hileras de n naranjas, m ~ n.
Respuestas a la revisión de conceptos:
1.30; 10 2. 13; 49 3. 0.9
4.-49
Dos problemas, ambos de geometría, motivan las dos ideas más importantes en cálculo. El problema de encontrar la recta tangente nos llevó a la derivada. El problema de
encontrar el área nos conducirá a la integral definida.
Para polígonos (regiones planas cerradas acotadas por segmentos de recta), el problema de encontrar el área apenas si es un problema. Iniciamos definiendo el área de
un rectángulo como la conocida largo por ancho, y a partir de esto de manera sucesiva
deducimos las fórmulas para el área de un paralelogramo, un triángulo y cualquier polígono. La sucesión de figuras en la figura 1, sugiere cómo se hace esto.
Aun en esta sencilla configuración, es claro que el área debe satisfacer cinco propiedades.
228
La integral
CAP1TuL0 5
PolIgono
7TT
Rectangulo
Paralelogramo
w
A = 1w
Triangulo
h
A5
Ii
b
b
A=bh
A=bh
A=A +A2+A+A4+A
Figura 1
Uso y abuso del lenguaje
Siguiendo con el uso comün, nos
permitimos un cierto abuso del
Ienguaje. Las palabras triángulo, rectángulo, polIgono y cIrculo serán utilizadas para denotar tanto a las
regiones de dos dimensiones de Ia
forma indicada como a sus fronteras
unidimensionales. Nótese que las regiones tienen areas, mientras que las
curvas tienen longitudes. Cuando
decimos que un cIrculo tiene area
rr2 y circunferencia 2rr, el contexto
debe ser claro si "cIrculo" significa
la regiOn o La frontera.
El area de una region plana es un nOmero (real) no negativo.
El area de un rectánguLo es ci producto de su largo por ancho (ambos medidos en
las mismas unidades). El resultado está en unidades cuadradas, por ejemplo, pies
cuadrados o centImetros cuadrados.
Regiones congruentes tienen areas iguales.
El area de la union de dos regiones que se traslapan solo en un segmento de recta,
es la suma de las areas de Las dos regiones.
Si una region está contenida en una segunda regiOn, entonces el area de La primer
regiOn es menor o iguaL al de la segunda.
Cuando consideramos una region con frontera curva, el problema de asignar un
area es significativamente más difIcil. Sin embargo, hace más de 2000 aflos, ArquImedes proporcionó la dave de Ia solución. El dijo, considérese una sucesión de polIgonos
inscritos que aproximen a la region curva con precision cada vez mayor. Por ejemplo,
para eL cIrcuLo de radio 1, considérese los poLIgonos regulares inscritos P1, P2, P3,...
con 4 lados, 8 lados, 16 lados.....como se muestra en La figura 2. El area del cIrculo es
eL lImite cuando n - 00 de las areas de P,. AsI, si A(F) denota el area de una regiOn
F, entonces
A(cIrculo) = lIm A(P)
n*oo
Figura 2
ArquImedes fue más allá, considerando también polIgonos circunscritos T1, T2,
T3,... (véase la figura 3). El demostrO que se obtiene el mismo valor para el area del
4-
cIrculo de radio 1 (i.e., ic
3.14159) si se inscriben o circunscriben poiIgonos. SoLo es un
pequeno paso entre Lo que él hizo y nuestro moderno tratamiento del area.
3-
2
v =j(x)=x
R
Figura 3
Area de poilgonos inscritos Considere la region R acotada por la parabola
0
Figura 4
y = f(x) = x2, el eje x y Ia recta vertical x = 2 (véase la figura 4). Nos referiremos a
R como la regiOn acotada bajo la curva y = x2, entre x = 0 y x = 2. Nuestra meta es
calcuLar su area A(R).
SECCIÓN
o
2
I
I
5.4
Introducción al área
229
Figura 5
La partición del intervalo [0,2] en n subintervalos, como en la figura 5, cada uno
de longitud óx = 2/n, por medio de los n + 1 puntos,
o=
Xo < Xl < Xz < ... < Xn
- l
< Xn = 2
Así,
Xo =
°
2
Xl = Óx = -
n
4
Xz = 2· Llx = -
n
6
X3 = 3 • Llx = -
n
x·1 =
.
2i
Llx = n-
l·
(n - 1)2
n
Xn-l = (n -1)· Llx = - - -
Xn
= n . Jlx = n( ~) = 2
Considérese el rectángulo representativo con base [X¡-l' Xi] y altura t(X¡-I) = X7-1.
SU área es t(X¡-I)ÓX (véase la parte superior izquierda de la figura 6). La unión Rn de
todos esos rectángulos forma el polígono inscrito en la parte inferior derecha de la figura 6.
X¡_i
Área
Xi
= !(X¡_I) ~X
X II
_
1
X'I
Polígono circunscrito
Figura 6
El área A(R n ) puede calcularse sumando las áreas de estos rectángulos
A(R n )
= t(x o) Llx
+ t(XI) Llx + t(x z) Llx + ... + t(x n - l ) Llx
Ahora,
t(xJóx
2 = ( n8 ) i Z
2i)Z . ;;
= x7 Llx = ( -;;
3
230
CAPíTULO
5
La integral
Por tanto,
=~[(n -1)n(2n -1)]
n3
6
=i(2
3
(Fórmula para la suma especial 2,
con n - 1 en lugar de n)
-~n +~)
n2
844
+-2
3 n
3n
=- - -
Concluimos que
A(R)
=
lím A(R n )
n~oo
=
lím
n~oo
(~3 - in +~)
=~
3n2
3
Los diagramas de la figura 7 deben ayudarnos a visualizar lo que está sucediendo
cuando n se hace cada vez más grande.
Figura 7
Área por medio de polígonos circunscritos Quizá usted aún no esté convencido que A (R) = ~. Podemos dar más evidencia. Considérese el rectángulo con
base [X i- 1 , Xi] Yaltura ¡(Xi) = X7 (se muestra en la esquina superior izquierda en la
figura 8). Su área es !(x i )f1x. La unión Sn de tales rectángulos forman un polígono circunscrito para la región R, como se muestra en la parte inferior derecha de la figura 8.
El área A(Sn) se calcula en analogía con el cálculo de A(Rn).
SECCIÓN
y =./tx)
T
5.4
Introducción al área
231
=x"
f (x)
~
Xi_1
Xi
Área =f(x)l1x
Polígono circunscrito
Figura 8
Como antes, f(xJ dx
A(Sn) =
= xl dx = (8/n 3)i 2, y así
[~(12)
+ ~(22)
+ ... + ~(n2)]
3
3
3
n
n
= ~[n(n
n
+ 1)(2n +
3
n
1)]
(Fórmula para la suma especial 2)
6
Otra vez, concluimos que
A( R)
-t
v=k
-~
Distancia = k 11 t
Figura 9
/
/ 4[ + -n3+ 2n1]
= n~oo
hm A(Sn) = hm n~oo 3
2
8
3
Otro problema, con el mismo tema Suponga que un objeto está viajando a
lo largo del eje t de tal manera que su velocidad en el instante t está dada por
v = f (t) = ~ t 3 + 1 pies por segundo. ¿Cuánto avanzará entre t = OYt = 3? Este problema puede resolverse por el método de ecuaciones diferenciales (sección 5.2), pero
tenemos algo diferente en mente.
Nuestro punto de partida es el hecho familiar que, si un objeto viaja a velocidad
constante k durante un intervalo de tiempo de longitud D.t, entonces la distancia recorrida es k D.t. Pero esto no es más que el área de un rectángulo, el que se muestra en
la figura 9.
Ahora considérese el problema dado, en donde v = f (t) = ~ t 3 + 1. La gráfica
se muestra en la parte izquierda de la figura 10. Divídase el intervalo [0,3] en n subintervalos de longitud D.t = 3/n por medio de los puntos O = to < tI < t 2 < ... < t n = 3.
Después considérense los correspondientes polígonos circunscritos Sn' que se muestran
en la parte de la derecha de la figura 10 (también podríamos haber considerado los polígonos inscritos). Su área, A(Sn)' debe ser una buena aproximación de la distancia recorrida, en especial si D.t es pequeña, ya que en cada subintervalo la velocidad real es
casi igual a una constante (el valor de v al final del subintervalo). Además, esta aproximación debe ser cada vez mejor conforme n se hace más grande. Llegamos a la con-
232
CAPíTULO
5
La integral
clusión de que la distancia exacta recorrida es lím A(Sn); es decir, es el área de la ren~oo
gión debajo de la curva de la velocidad entre t = OY t = 3.
Para calcular A(Sn), obsérvese que ti =
y por tanto el área del i-ésimo rectángulo es
3i/n,
81.
3
3
f(t-) ~t = [ -1 (3i)
- 3 + 1 ] -3 = l +4 n
n
4n 4
n
1
v
tl/_ I
tl/=
3
Figura 10
Por lo que,
=~[n(n +1)]2 +~.
4n 4
2
_ 81 [
- 16 n
2
(n
2
+ 2n + 1)]
n4
2
1)
=81
- ( 1+-+2
16
n
n
(Fórmula para la suma especial 3)
n
n
+3
+3
Concluimos que
81
1
lím A(Sn) = -6
n~oo
+3 =
129
16 ~ 8.06
El objeto recorrió alrededor de 8.06 pies, entre t = OY t = 3.
Lo que fue cierto en este ejemplo, es verdadero para cualquier objeto en movimiento con velocidad positiva. La distancia recorrida es el área de la región bajo la curva de
la velocidad.
SECCiÓN
5.4
Introducción al área
233
Revisión de conceptos
1. Si el área(R) = 7 Yel área(S) = 9 Ysi R y S no se sobreponen (excepto posiblemente en una curva), entonces el área( R U S)
2. El área de un polígono
subestima (estima por aba_
jo) el área de la región, mientras que el área de un polígono
sobrestima (estima por arriba) esta área.
es
3. El área exacta de la región bajo la curva y = Ixl entre Oy 4
. En forma similar, el área bajo esta curva entre -2 Y4 es
4. El valor exacto de la región bajo la curva y
4es
= [x]
entre Oy
_
Conjunto de problemas 5.4
En los problemas deli al 6, encuentre el área del polígono indicado,
que puede ser inscrito o circunscrito.
1.
5.
+ 1
y=x+l
x
x
2.
v=·~·x'+1
6.
v=x+\
x
x
En los problemas del 7 aliO, haga un bosquejo de la gráfica de la función que se da en el intervalo [a, b J; después divida [a, bJ en n subintervalos. Por último, calcule el área del correspondiente polígono circunscrito.
7. f(x)
3.
+ 1; a
x
=
-1, b = 2, n = 3
=
8. f(x) = 3x - 1; a = 1, b = 3, n = 4
W 9.
W 10.
x
4.
y=x+l
x
f(x) = x 2
1; a
-
f(x) = 3x
2
2, b
=
+ x + 1; a
3, n
=
=
=
6
-1, b = 1, n = 10
En los problemas del 11 ali6, encuentre el área de la región bajo la
curva y = f(x) en el intervalo [a, b]. Para hacer esto, divida el intervalo [a, bJ en n subintervalos iguales, calcule el área del correspondiente
polígono circunscrito, y después haga n ~ oo. (Véase el ejemplo para y = x 2 en el texto.)
x + 2; a
11. Y
=
O, b = 1
12. Y
= ! x + 1; a = O, b = 1
13. Y
=
2x
14. Y
=
x2; a
=
-2, b
G 15. Y
=
x 3; a
=
O, b
G 16. Y
= x3
=
2
+ 2; a
+
-1, b
=
=
=
=
2
1
x; a = O, b = 1
1. Sugerencia:
2i
Xi
= -1 +n
234
CAPíTULO
5
La integral
17. Suponga que un objeto está viajando a lo largo del eje t de
tal manera que su velocidad a los t segundos es v = t + 2 pies por segundo. ¿Qué distancia recorrió entre t = y t = 1? Sugerencia: Véase el análisis del problema de la velocidad al final de esta sección y utilice el resultado del problema 11.
donde enes un polinomio en n de grado m. Supóngase que esto es
cierto (que lo es) y, para a 2: 0, sea A~(xm) el área bajo la curva
y = xm en el intervalo [a, b].
°
18. Siga las instrucciones del problema 17 dado que v
Puede utilizar el resultado del problema 12.
bm +1
(a) Demuestre que
= t t 2 + 2.
Ag(x m ) = (m + 1)
(b) Demuestre que A~(xm)
19. Denótese con A~ el área bajo la curva y = x 2 en el intervalo [a, b].
(a) Demuestre que Ag = b3/3. Sugerencia: Llx = b/ n, de modo que
x¡ = ib/n; utilice polígonos circunscritos.
(b) Demuestre que A~ = b3 /3 - a 3 /3. Supóngase que a 2: O.
23. Utilice los resultados del problema 22 para calcular cada una
de las siguientes áreas.
(a)
A6(x 3 )
(b)
Ai(x 3 )
(e)
Ai(x5 )
(d)
A6(x 9 )
24. Deduzca las fórmulas A n = tnr 2 sen(27T/n) y B n = nr 2
tan ( 7T / n) para las áreas de los
polígonos regulares de n lados inscritos y circunscritos en un círculo
dímadio r. Jlím;pués demuestre que lim A n y lim B n ambos son 7Tr 2 •
20. Suponga que un objeto, moviéndose a lo largo del eje t, tiene velocidad v = t 2 metros por segundo a los t segundos. ¿Qué distancia viajó entre t = 3 Yt = 5? Véase el problema 19.
n--'>oo
n--'>oo
Respuestas a la revisión de conceptos:
cunscrito
3.8; 10 4.6
1. 16
21. Utilice los resultados del problema 19 para calcular el área
bajo la curva y = x 2 en cada uno de los intervalos siguientes.
(c) [2,5]
(b) [1,4]
(a) [0,5]
a m +1
bm +1
= m +1 - m +1
22. Con base en las fórmulas 1 a la 4 de la sección 5.3, podría
suponer que
5.5
La integral definida
Figura 1
Considere una función
f
definida en un intervalo cerrado
[a, b]. Puede haber valores positivos y negativos en el intervalo, e incluso no necesita
y=fCr)
a
Están hechos todos los preparativos; estamos listos para definir la integral definida.
Newton y Leibniz introdujeron las primeras versiones de este concepto. Sin embargo, fue
Riemann quien nos dio la definición moderna. En la formulación de esta definición, estamos guiados por las ideas analizadas en la sección anterior. La primera noción es la de
una suma de Riemann.
Sumas de Riemann
y
2. inscrito; cir-
x
ser continua. Su gráfica podría ser parecida a la de la figura lo
Considere una partición P del intervalo [a, b] en n subintervalos (no necesariamente de la misma longitud) por medio de los puntos a = X o < Xl < X 2 < ... <
X n - l < X n = b, Y sea dx¡ = Xi - Xi-l. En cada subintervalo [Xi-l' xJ, selecciónese
un punto Xi (que puede ser un punto frontera); le llamamos punto muestra para el
i-ésimo subintervalo. Un ejemplo de estas construcciones se muestra en la figura 2 para n = 6.
~XI
Puntos de
la partición
a =Xo
Puntos muestra
~X2
~X3
~X5
~X4
~X6
Xl
re.;
Al
\"
Una partición de [a, b] con puntos muestrax¡
Figura 2
A la suma
n
Rp =
:¿ f(xJ dX
i=l
i
5.5
SECCIÓN
La integral definida
235
le llamamos una suma de Riemann para f correspondiente a la partición P. Su interpretación geométrica se muestra en la figura 3. Obsérvese que la contribución de un
rectángulo que está debajo del eje x es el negativo de su área, ya que en este caso
f(x¡) < O.
Una suma de Riemann interpretada
como una suma algebraica de áreas
6
i~1
Y
¡(X;) ~Xi =A , + (-A 2 ) + (-A,) +
(-A~) + A, +A 6
Figura 3
EJEMPLO 1 Evalúe la suma de Riemann R p para
f (x) = (x + 1) (x - 2) (x - 4) = x 3
-
5x 2 + 2x + 8
en el intervalo [O, 5], utilizando la partición P con puntos de la partición O < 1.1 < 2
3.2 < 4 < 5 y los correspondientes puntos muestra Xl = 0.5, X2 = 1.5, X3 = 2.5,
X4 = 3.6 Y X5 = 5.
<
Solución
5
Rp =
y
¡=l
18
=
15
Irx)
12
:¿ f(x¡) Llx¡
X'
5x'+ 2x + 8
f(XI) LlXI
+ f(X2) LlX2 + f(X3) LlX3 + f(X4) LlX4 + f(X5) LlX5
= f(0.5)(1.1 - O) + f(1.5)(2 - 1.1) + f(2.5)(3.2 - 2)
+ f(3.6)(4
- 3.2)
= (7.875)(1.1)
+ f(5)(5
- 4)
+ (3.125)(0.9) + (-2.625)(1.2) + (-2.944)(0.8) + 18(1)
= 23.9698
Figura 4
La correspondiente representación gráfica aparece en la figura 4.
•
EJEMPLO 2 Evalúe la suma de Riemann para f(x) = x 2 + 1 en el intervalo [-1,2]
usando los puntos de la partición, con separación equidistante, -1 < -0.5 < O < 0.5
< 1 < 1.5 < 2, con el punto muestra x¡ como el punto medio del i-ésimo intervalo.
y
Irx) =x' + 1
Solución
Obsérvese el dibujo en la figura 5.
6
Rp =
:¿ f(x¡) Llx¡
¡=)
= [fe -0.75) + f( -0.25) + f(0.25) + f(0.75) + f(1.25) + f(1.75) ](0.5)
- J
I -0.5 I o I
-0.75
Figura 5
-0.25
0.25
0.5
I
0.75
1
I
1.25
1.5
I
1.75
2
x
= [1.5625
= 5.9375
+ 1.0625 + 1.0625 + 1.5625 + 2.5625 + 4.0625] (0.5)
•
236
CAPíTULO
5
La integral
Definición de la integral definida Ahora supóngase que P, ~Xi' Y Xi tienen
los significados dados anteriormente. Además, sea !PI, llamada la norma de P, la longitud del subintervalo más largo de la partición P. Así, en el ejemplo 1,!P1 = 3.22 =
1.2; en el ejemplo 2, IP I = 0.5.
Definición
Integral definida
Sea f una función que está definida en el intervalo cerrado [a, bJ . Si
n
lím
L f(x i) ~Xi
PI~O i=l
existe, decimos que f es integrable en [a, b]. Además,
l'
f (x) dx, denominada integral
definida (o integral de Riemann) de f de a a b, entonces está dada por
l
n
b
L f(Xi) ~Xi
IPI~O
f(x) dx = lím
i=l
a
El corazón de la definición es la línea final. El concepto que incluye esa ecuación
surge de nuestro análisis del área en la sección anterior. Sin embargo, hemos modificado de forma considerable la noción que se presenta aquí. Por ejemplo, ahora permitimos que f sea negativa en parte o en todo [a, bJ , utilizamos particiones con subintervalos que pueden tener longitudes diferentes y permitimos que Xi sea cualquier punto
del i-ésimo subintervalo. Como hemos realizado estos cambios, es importante establecer de manera precisa cómo se relaciona la integral definida con el área. En general,
l'
f(x) dx da el área con signo de la región encerrada entre la curva y = f(x) y el
eje x en el intervalo [a, bJ , queriendo decir que se asocia un signo positivo a las áreas
de partes que están por arriba del eje x y se asocia un signo menos a las áreas de partes que están abajo del eje x. En símbolos,
Figura 6
donde Arriba YAbajo son como se muestra en la figura 6.
El significado de la palabra límite en la definición de integral definida es más general que en el uso que se ha dado antes y debe explicarse. La igualdad
n
L f(x¡) ~Xi =
IPI~O
lím
L
i=l
significa que, en correspondencia a cada 8> O, existe un 8 > Otal que
It,f(Xi)~Xi - LI <
E
n
para todas las sumas de Riemann
L f(x¡) ~Xi para f en [a, bJ
para las cuales la nor-
i=l
ma !PI de la partición asociada es menor que 8. En este caso, decimos que el límite dado existe y tiene el valor L.
Esto fue un bocado y no lo digeriremos en un momento ahora. Simplemente afirmamos que los teoremas usuales sobre límites también se cumplen para esta clase de
límite.
Regresando al símbolo
l'f(X) dx, podríamos llamar a a extremo inferior ya b
extremo superior de la integral. Sin embargo, la mayoría de los autores utilizan la terminología límite inferior de integración y límite superior de integración, que está bien
a condición de que nos demos cuenta que este uso de la palabra límite no tiene nada
que ver con su significado más técnico.
SECCIÓN
En nuestra definición de
5.5
La integral definida
237
lb¡(X) dx, de manera implícita supusimos que a <
b.
Con las definiciones siguientes, eliminamos esa restricción.
[¡(X) dx = O
a
¡bf(X) dx
= - [¡(X) dx,
a
a>b
b
Por tanto,
1,\3
y
dx = O,
Por último, señalamos que Xes una variable muda en el símbolo
lb¡ (x) dx. Con
esto queremos decir que x puede reemplazarse por cualquier otra letra (con tal que, por
supuesto, ésta se sustituya en cada lugar que se presente). Por tanto
[¡(X) dx
-2
v
={(X) = 1', l/x',
-,
Figura 7
x
-1
x:f:.
L x=O
= [¡(I) dI = [¡(u) du
¿ Cuáles funciones son integrables? No toda función es integrable en un intervalo cerrado [a, b] . Por ejemplo, la función no acotada
l.
o
f (x)
x2
=
{
s~
X
*- O
1 SI X = O
que se gráfica en la figura 7, no es integrable en [-2,2] . Puede demostrarse que para
esta función no acotada la suma de Riemann puede hacerse arbitrariamente grande.
Por tanto, el límite de la suma de Riemann en [-2, 2] no existe.
Incluso algunas funciones acotadas pueden no ser integrables, pero tienen que ser
muy complicadas (para un ejemplo, véase el problema 22). El Teorema A (a continuación) es el teorema más importante con respecto a integrabilidad. Desafortunadamente, es demasiado difícil demostrarlo aquí, lo dejamos para libros de cálculo avanzado.
Como una consecuencia de este teorema, las funciones siguientes son integrables
en todo intervalo cerrado [a, b] .
1. Funciones polinomiales.
2. Funciones seno y coseno.
3. Funciones racionales, con tal que el intervalo [a, b] no contenga puntos en donde
el denominador sea cero.
Cálculo de integrales definidas El saber que una función es integrable, nos
permite calcular su integral mediante una partición regular (subintervalos con igual
longitud) y la elección de los puntos muestra Xi de cualquier forma conveniente para
nosotros. Los ejemplos 3 y 4 incluyen polinomios, que acabamos de aprender que son
integrables.
EJEMPLO 3
Evalúe ¡:(X
+ 3) dx.
Solución Divídase el intervalo [-2,3] en n subintervalos iguales, cada uno de longitud Llx = S/n. En cada subintervalo [X i - 1 ' xJ, utilícese Xi = Xi como el punto muestra.
Entonces
238
CAPITULO 5
La integral
x0 = 2
x1 = 2 + Ax = 2 + n
x2 =-2 +2Ax =-2 +2(t)
(5\
x1 =-2 +iAx =-2 +i("nI
=3
"n/I
Por tanto,f(x1) = x1 + 3
f() Ax
1 + i(S/n), de modo que
f(x)
=
=[i+i -)1=
j=j
\fl
ni=1
n
fl
.
525[fl(n+l)
n
2
n2L
(Formula para la suma especial 1)
i\
=5+ 25/
2\ 1+-n/I
Como P es una partición regular, P
0 es equivaLente a n - 00. Concluimos que
L(x + 3)dx = lIrn
A
= lIm [5 +
-L
°°L
-2
f(x+3)dx=A =1
+
fl
Con facilidad podemos verificar nuestra respuesta, ya que la integral pedida da el
y
8642-
2\
35
2
Figura 8
10-
25
area del trapecio de La figura 8. La conocida formula para el area de un trapecio
A
v = 2x2- 8
(a +b)hda(1 +6)5 =35/2.
EJEMPLO 4
Eva1e
L(2x2 - 8)dx.
Solución
A/
2
3
AquI no hay fOrmula de geometrIa elemental que nos ayude. La figura 9 sugiere que La integral es A1 + A2, en donde A1 y A2 son las areas de Las regiones por
abajo y por encima del eje x, respectivamente.
Sea P una partición regular de [-1, 3] en n subintervalos, cada uno de longitud
4/n. En cada subintervalo [x1, x] , elIjase i, como el punto frontera del lado
derecho, de modo que iE, = x1. Entonces
Ax
.L](2x2±8)dx=_Ai +A, =::Q
Figura 9
x, = 1 + i Ax = 1 + j1'4
\fl
SECCIÓN
5.5
La integral definida
239
16i
32i z
=-6--+n
nZ
GJ
En consecuencia,
Sentido común
Dada la gráfica de una función,
siempre podemos hacer una estimación para el valor de la integral definida utilizando el hecho de que es el
área con signo
n
n
i=1
i=1
:¿ f(x¡) dXi = :¿ f(x¡) dx
=
±
i=1
[-6 - 16 i + 3;
n
n
24
Aarriba -
= - -
Aabajo
n
Por lo que, en el ejemplo 4, podríamos estimar el valor de la integral
haciendo de cuenta que la parte por
arriba del eje x es un triángulo y la
parte por abajo del eje x es un rectángulo. Nuestra estimación es
~(1)(1O) - (3)(6) =-13
n
:¿ 1 i=1
64
2
n
p] i
:¿ i + 128 :¿ i
n
n
-3
n
i=1
_ -24 \
64 n(n + 1)
- -n- (n) - n Z
2
= -24 - 32 (1 +
n
Z
i=1
128 n(n + 1)(2n + 1)
+ -n3 ----6---
l)n + _12_8 (2 + ~n + ~)
n
Z
6
Concluimos que
3
1
(2x Z
n
-
-1
8) dx
:¿ f(x¡) dXi
IP'~O
= lím
i=1
= lím [-24 - 32 (1 +
n~O
l)n + 128 (2 + ~n + ~)
]
n
6
Z
128
-40
=-24 -32 + - = 3
3
No es de sorprender que la respuesta sea negativa, ya que la región por debajo del eje
x parece ser mayor que aquella por encima del eje x (véase la figura 9). Nuestra respues-
ta es cercana a la estimación dada en la nota al margen Sentido común; esto nos reafirma que nuestra respuesta probablemente sea correcta.
•
Propiedad aditiva de intervalos Nuestra definición de la integral definida fue
motivada por el problema de áreas para regiones curvas. Considérense las dos regiones curvas R 1 y R z de la figura 10 y sea R = R 1 U R z. Es claro que
A(R) = A(R 1 U R z ) = A(R 1 )
+ A(R z )
lo cual sugiere que
a
Figura 10
b
e
x
[f(X)dX = [f(X)dX
+ [f(X)dX
Rápidamente señalamos que esto no constituye una demostración de este hecho acerca de integrales, ya que, antes que nada, nuestro análisis de área en la sección 5.4 un poco
informal y, segundo, nuestro diagrama supone que f es positiva, lo cual no necesariamente es cierto. Sin embargo, las integrales definidas satisfacen esta propiedad aditiva de intervalos, y no importa cómo estén acomodados los tres puntos a, b y c. Dejamos la demostración rigurosa para trabajos más avanzados.
240
CAPíTULO
5
La integral
Por ejemplo,
lo cual la mayoría de las personas en seguida cree. Pero también es cierto que
¡'x ¡3
2
dx
=
x 2 dx
+
¡'x
2
dx
lo cual parece sorprendente. Si usted desconfía del teorema, podría evaluar realmente
cada una de las integrales anteriores para ver que se cumple la igualdad.
Revisión de conceptos
n
1. Una suma de la forma
L. f(x¡) Ax¡ se denomina
3. Geométricamente, la integral definida corresponde a un área
_
¡=l
con signo. En términos de
2. El límite de la suma anterior para f definida en [a, b J se llama una
y se simboliza por medio de
_
Arriba
Y Abajo,
1
bf
4. Por tanto, el valor de 1:x dx es
(x) dx
=
.
_
Conjunto de problemas 5.5
En los problemas] y 2, calcule la suma de Riemann que se sugiere para cada figura (véase el ejemplo 1).
1.
4. f(x) = -x/2
Xl
+ 3; P:-3 < -1.3 <
= -2, X2 = -0.5, x3 = 0, x4 = 2
°< 0.9 < 2;
5. f (x) = x 2/2 + x; [ -2, 2 J se dividió en ocho subintervalos
iguales, x¡ es el punto medio (véase el ejemplo 2).
W
y
y
= fv) = -x'+ 4x
4
W
6. f(x) = 4x 3 + 1; [0, 3J se dividió en seis subintervalos iguales, x¡ es el punto del extremo derecho.
/
3
2
I
En los problemas del 7 al]O, utilice los valores que se dan de a y by
exprese el límite dado como una integral definida.
-1
-2
7. lím
-3
IPI-+O
-4
8. lím
IPI-+O
2.
i
(x¡? Ax¡; a
i
(x¡
¡=l
+ 1? Ax¡; a = 0, b = 2
¡=l
x2
n
L. --'_Ax¡; a = -1, b = 1
IPI-+O
1+
y
9. lím
¡=l
v
= f(r)
XC -
4x + 3
10. lím
IPI-+O
i
X¡
(sen X¡)2 Ax¡;'a
+ 1) dx
n
L. f(x¡)Ax¡
Sugerencia: Utilice x¡
¡=I
para los datos que se dan.
3. f(x) = x - 1; P: 3 < 3.75 < 4.25 < 5.5 < 6 < 7;
= 3, X2 = 4, X3 = 4.75, x4 = 6, Xs = 6.5
1T"
En los problemas del]] al]6, evalúe las integrales definidas utilizando la definición, como en los ejemplos 3 y 4.
11. l \ x
En los problemas del 3 al 6, calcule la suma de Riemann
= 0, b =
¡=l
GJ
o
XI
= 1, b = 3
13.
1:
(2x
= 2i/ n.
+ 1T") dx
Sugerencia: Utilice x¡
= -2 + 3i/n.
5.5
SECCIÓN
1
10
16.
-10 (X
2
+ x)dx
En los problemas del17 al 21, por medio de la propiedad aditiva de intervalos y las fórmulas adecuadas para áreas de la geometría plana, calcule
lb
(c) 1¡l lf (x)ldX
1
(d) 11 [-g(X)]dX
(e) l11Xg(X) dx
(f) l1
los cuales f está definida. Comience haciendo una gráfica de la función
que se da.
2x
17.
f (x) = 2
{
18. f (x)
=
x
1f3
lb
25. Demuestre que
f( x) dx, donde a y b son los extremos izquierdo y derecho para
x dx
(X)g(X) dx
= ! (b 2 -
gumento siguiente para la partición
a 2) completando el ar-
a = Xo < X¡ < ... < Xn
n
= b,
elíjase x¡
= !(X¡-1 + x¡). Entonces, R p =
+2
si O::; x ::; 1
si 1 < x ::; 2
26. Demuestre que
lb
x 2 dx
= ~ (b 3
-
=
!L
¡=1
a 3 ) por medio de un ar-
gumento parecido al del problema 25, pero utilizando x¡
19. f(x)
n
=
(x¡ + X¡-I)(X¡ - X¡-I)' Ahora simplifíquese R p (suma telescópica)
y tómese el límite.
< x ::; 2
< x ::; 5
2x
{ 2 (x - 1)
L x¡ ~x¡
¡=1
si O::; x ::; 1
si 1
si 2
241
La integral definida
=
[~(X7-1
~ si O::; x ::; 1
si 1 < x ::; 2
{x - 1
~ Muchos sistemas de álgebra computacional permite la evaluación de
20. f (x)
- ~
- 2
= { _2x
sumas de Riemann para evaluación del punto frontera izquierdo, punto
frontera derecho o punto medio. Utilizando tal sistema, en los problemas
27 al 30, evalúe las sumas de Riemann con 10 subintervalos utilizando
evaluaciones del punto izquierdo, punto derecho y punto medio.
si -2 ::; x ::; O
si O < x ::; 2
27. 1,2(x 3 + l)dx
22. Demuestre que la función f definida por
f ()
x =
no es integrable en [0,1] . Sugerencia: Demuestre que no importa qué
tan pequeña sea la norma de la partición IPI, la suma de Riemann
puede hacerse que tenga el valor Oo 1.
23. Recuerde que [x] denota el mayor entero menor o igual a
x. Calcule cada una de las integrales siguientes. Puede utilizar razo-
namiento geométrico y el hecho de que
¡b
x 2 dx
1,1
29. 1,1
28.
1 si x es racional
. .
{ O SI. X es IrraCIOnal
= b 3/3.
(Esto úl-
30.
31.
(b) l:[x
Fdx
32.
(c) 1:(x - [x])dx
cosx dx
1
3
(1/X)dX
~ Muchos sistemas de álgebra computacional y calculadoras gráficas pueden utilizarse para la aproximación numérica de integrales
definidas. Utilícelas para aproximar las integrales definidas de los problemas del 31 al 36. (o indique que la función no es integrable es dicho
intervalo).
timo se demuestra en el problema 26.)
(a) l:[X]dX
tan x dx
1:(-1 +
¡6
Ixl)dx
sen x dx
(d) 1:(x - [x]? dx
33. 11\x
4
-
3x
2
+ l)dx
(f) l:xlxldx
(e) l:lxldx
34. l)(X -1)/(x
(g) 1¡2¡X I [x] dx
(h) 11\2[x] dx
1,1
36. 1,2
35.
24. Sea f una función impar y g una función par, y suponga que
1,l lf (x)ldX
=
1,l g (X)dX
= 3. Utilice un razonamiento geométri-
ca para calcular cada una de las integrales siguientes:
2
+ l)]dx
(l/x) dx
tan x dx
Respuestas a la revisió.~ de conceptos:
2. integral definida,
¡
l
3. Aarriba
1. suma de Riemann
-
Aabajo
4.
242
CAPíTULO
5
La integral
5.6
El primer teorema
fundamental
del cálculo
El cálculo es el estudio de límites, y los dos límites más importantes que hemos estudiado hasta ahora son la derivada y la integral definida. La derivada de una función f es
f'(x) = lím f(x
+ h)
- f(x)
h
h~O
y la integral definida es
l
bf
(X)dX = lím ±f(x¡)í1x¡
IPI~O ¡=1
a
Estas dos clases de límites, parece que no tienen relación entre sí. Sin embargo, hay una
conexión muy estrecha, como lo veremos en esta sección.
Por lo común, a Newton y Leibniz se les acredita el descubrimiento del cálculo, de
manera simultánea aunque independiente. Sin embargo, los conceptos de pendiente
de una recta tangente (que originaron la derivada) se conocían desde hace algún tiempo, y ya habían sido motivo de estudio de Blaise Pascal e Isaac Barrow años antes que
Newton y Leibniz. Y Arquímedes había estudiado áreas de regiones curvas 1800 años
antes, en el tercer siglo a. de C. Entonces, ¿por qué se les atribuye el crédito a Newton
y Leibniz? Ellos entendieron y explotaron la íntima relación que existe entre antiderivadas e integrales definidas. Esta relación importante se denomina primer teorema
fundamental del cálculo.
El primer teorema fundamental En su carrera de matemático ha encontrado
varios "teoremas fundamentales". El Teorema fundamental de la aritmética dice que un
número entero se factoriza de manera única como un producto de primos. El Teorema
fundamental del álgebra dice que un polinomio de grado n tiene n raíces, contando las
raíces complejas y las multiplicidades. Cualquier "teorema fundamental" debe estudiarse con cuidado y luego consignarlo de manera permanente en la memoria.
Casi al final de la sección 5.4, estudiamos un problema en el que la velocidad de
un objeto en el instante t está dada por v = f (t) = t 3 + 1. Encontramos que la distancia recorrida desde el instante t = O Yel instante t = 3 es igual a
i
129
n
lím ~ f(tJ í1t = -6
n~oo ¡=1
1
Usando la terminología de la sección 5.5, ahora vemos que la distancia recorrida desde el instante t = OY el instante t = 3 es igual a la integral definida
(3
n
nl~~ ~ f(t¡) ~t
=
Jo
f(t) dt
(Como la velocidad es positiva para toda t 2: O, la distancia recorrida a lo largo del tiempo t es igual a la posición del objeto en el instante t. Si la velocidad fuese negativa para algún valor de t, entonces, en el instante t, el objeto viajaría hacia atrás; en tal caso, la distancia recorrida no sería igual a la posición.) Podemos utilizar el mismo razonamiento para
encontrar que la distancia s recorrida desde el instante t = Ohasta el instante t = x es
s(x)
= ¡x¡(t)dt
La pregunta que ahora planteamos es ésta ¿Cuál es la derivada de s?
Como la derivada de la distancia recorrida (siempre y cuando la velocidad siempre sea positiva) es la velocidad, tenemos
y
.
.I(X)
I
2
= -:;;'
+-:;;
s'(x) = v = f(x)
En otras palabras,
d
d
dx s(x) = dx
Figura 1
(X
Jo
f(t) dt = f(x)
Ahora, definimos A( x) como el área bajo la curva de la gráfica de y = ~ t + ~ , por
arriba del eje t y entre las rectas verticales t = 1 Yt = x, donde x 2: 1 (véase la figura
1). Una función como ésta se denomina función de acumulación ya que acumula el área
bajo un curva desde un valor fijo (t = 1 en este caso) a un valor variable (t = x en este caso). ¿Cuál es la derivada de A?
SECCIÓN
• La integral indefinida ff(x) dx
es una familia de funciones de x.
bf
• La integral definida
(X) dx
l
es un número, siempre que a y b
estén fijos.
• Si el límite superior en una integral definida es una variable x,
entonces la integral
es una función de x.
• Una función de la forma
4
243
tG+~t)dt
En este caso podemos evaluar esta integral definida utilizando un argumento geométrico; A(x) es el área de un trapecio, de modo que
A(x)=(x-1)
+ (~ + ~ x)
1
2
1 2
2
5
=-x +-x-6
3
6
Hecho esto, vemos que la derivada de A es
,
d
A (x) = dx
(16" x + 32x - 6"5) 31x + 32
2
=
En otras palabras,
¡Xf(t) dt se denomina
función de acumulación.
y
=
A(x)
definida [e.g., ¡Xf(t) dt]
=
El primer teorema fundamental del cálculo
El área A(x) es igual a la integral definida
Terminología
F(x)
5.6
Defínase otra función de acumulación B como el área debajo de la curva y = t 2 , por
arriba del eje t, a la derecha del origen y a la izquierda de la recta t = x, en donde x 2:: O
(véase la figura 2). Esta área está dada por la integral definida
fax t' dt. Para encon-
trar esta área, primero construimos una suma de Riemann. Utilizamos una partición
regular de [O, x] y evaluamos la función en el extremo de la derecha de cada subintervalo. Entonces!1t = x/n y el extremo derecho del i-ésimo subintervalo es ti = O + i!1.t =
ix/ n. Por tanto, la suma de Riemann es
Figura 2
x 3 n (n
n
+ 1) (2n + 1)
3
6
La integral definida es el límite de estas sumas de Riemann.
[t 2 dt
=
}í,~ ~ ¡(ti) J1t
x 3 n (n + 1) (2n + 1)
------n~oo n 3
6
/
= hm -
x3
2n 3 + 3n 2 + n
lím - - - - - 6 n~oo
n3
= -
x3
=6
Así, B(x)
02
x3
=3
= x 3/3, de modo que la derivada de B es
B'(x)
d x3
=--
dx 3
En otras palabras,
-d
dx
fax t
o
2
=x 2
dt = x 2
244
CAPíTULO
5
La integral
Los resultados de las ecuaciones dentro de recuadros sugieren que la derivada de
una función de acumulación es igual a la función que se está acumulando. Pero, ¿siempre es éste el caso? Y, ¿por qué esto es así?
Suponga que estamos utilizando una brocha "retráctil" para pintar la región debajo de la curva. (Por retráctil, queremos decir que la brocha se hace más ancha o más
angosta conforme se mueve hacia la derecha, de modo que siempre cubra justamente
la altura que se pinta.) La brocha es ancha cuando los valores del integrando son grandes y es angosta cuando los valores del integrando son pequeños. (Véase la figura 3.)
Con esta analogía, el área acumulada es el área pintada, y la tasa de acumulación es la
tasa (velocidad) a la cual la pintura se está aplicando. Pero la velocidad a la que se está aplicando es igual al ancho de la brocha, en realidad, la altura de la función. Podemos establecer este resultado como sigue.
y
a
b
Figura 3
La tasa de acumulación en t = x es igual al valor de la función que se está acumulando en t = x.
Esto, en pocas palabras, es el primer teorema fundamental del cálculo. Es fundamental
ya que relaciona la derivada y la integral definida, las dos clases más importantes de límites que hemos estudiado hasta ahora.
Bosquejo de la demostración Por ahora, presentamos un bosquejo de la demostración.
Este bosquejo muestra las características importantes de la demostración, pero una demostración completa debe espera hasta después que hayamos establecido otros cuantos resultados. Para x en [a, b J, definimos G( x)
d
dx
¡X
a
=
¡
xf
(t) dt. Entonces para x en (a, b)
f(t) dt = G'(x)
/ G(x +h) -G(h)
=hm------h~O
h
y
=
líPoH[+hf(t)dt - [f(t)dt]
l1
= lím -h
h~O
a
X
x
h
+ f(t) dt
x
La última línea se deduce de la propiedad aditiva para intervalos (Teorema 5.5B).
Ahora, cuando h es pequeña, f no cambia mucho en el intervalo [x, x + h] . En este
intervalo, f es aproximadamente igual a f(x), el valor de f se evalúa en el extremo izquierdo del intervalo (véase la figura 4). El área bajo la curva y = f(t) de x a x + h
es aproximadamente igual al área del rectángulo con ancho h y altura f(x); esto es,
x+ h
Figura 4
1
X+\(t) dt "" hf(x). Por tanto,
d
-d
X
a
Figura 5
b
x
¡X
a
1
f(t) dt ~ lím -h [hf(x) ] = f(x)
h~O
•
Por supuesto, el error en este argumento es que h nunca es 0, así que no podemos
asegurar que f no cambia en el intervalo [x, x + h] . Daremos una demostración formal al final de esta sección.
Propiedades de comparación La consideración de las áreas de las regiones R1
y Rb en la figura 5, sugiere otra propiedad de las integrales definidas.
SECCIÓN
5.6
El primer teorema fundamental del cálculo
245
Demostración Sea P: a = Xo < Xl < X2 < ... < Xn = b una partición arbitraria de
[a, b] Ypara cada i sea x¡ cualquier punto muestra en el i-ésimo subintervalo [X¡-l' xJ
De manera sucesiva podemos concluir que
¡(Xi)
:S
g(x¡)
¡(Xi) dx¡
:S
g(xJ dx¡
n
n
¡=l
¡=l
L ¡(Xi) dx¡:s L g(X¡) dx¡
lb¡(X)dX:5 lbg(X)dX •
y
M
Demostración La gráfica en la figura 6 nos ayuda a entender el teorema. Obsérvese
que m(b - a) es el área del pequeño rectángulo inferior, M (b - a) es él área del rectángulo mayor y lb¡(X) dx es el área debajo de la curva.
a
Figura 6
b
x
Para demostrar la desigualdad delládo derecho, sea g(x) = M para toda X en [a, b] .
Entonces, por el Teorema B,
lb¡(X)dX:5 lbg(X)dX
1
b
Sin embargo,
•
g ( x) dx es igual al área del rectángulo con ancho b - a y altura M. Así,
lbg(x) dx
= M(b -
al
La desigualdad del lado izquierdo se maneja de manera análoga. •
La integral definida es un operador lineal
D"
Al principio aprendimos que
J... dx, y L son operadores lineales. Puede agregar lb... dx a la lista.
246
CAPíTULO
5
La integral
Demostración Las demostraciones de (i) y (ii) dependen de la linealidad de
propiedades de límites. Demostramos (ii).
b
l
L y las
n
:¿ [f(xJ + g(xJJ dx¡
IPI~O
[f(x) + g(x)Jdx = lím
¡=1
a
±
= lím [
IPI~O
=
¡=1
f(x¡) dx¡
lb
¡(X) dx
+
lb
+
±
¡=1
g(x¡) dX¡]
g(x) dx
La parte (iii) se deduce de (i) y (ii) si se escribe f(x) - g(x) como f(x) + (-l)g(x) .•
Demostración del primer teorema fundamental del cálculo Con estos
resultados a la mano, ahora estamos preparados para demostrar el primer teorema
fundamental del cálculo.
Demostración En el bosquejo de la demostración que se presentó antes, definimos
G( x) =
l
x
¡ (1) dI, Yestablecimos el hecho de que
+ h)
G(x
- G(x) =
f(t) dt
Supóngase por el momento que h > Oy sean m y M los valores mínimo y máximo,
respectivamente, de f en el intervalo [x, x + h] (véase la figura 7). Por el Teorema C,
y
y =f(r)
mh::::;
l
x +h
f(t)dt::::; Mh
x
o
f(x)
mh ::::; G( x
x
Figura 7
l
x +h
x
x+h
+
h) - G( x) ::::; M h
Al dividir entre h, obtenemos
m::::;
G(x
+ h)
- G(x)
h
::::;M
Ahora m y M en realidad dependen de h. Además, ya que f es continua, tanto m como
M deben aproximarse a f(x) cuando h ~ O. Así, por el Teorema del emparedado,
lím
h~O
G(x + h) - G(x)
h
= f(x)
El caso en donde h < Ose maneja de manera análoga.•
Una consecuencia teórica de este teorema es que toda función continua f tiene
una antiderivada F dada por la función de acumulación
F(x)
=
l
x
¡(I) dI
Sin embargo, este hecho no es útil para obtener una fórmula sencilla para cualquier antiderivada particular. El proyecto de tecnología 5.2 proporciona varios ejemplos de fun-
SECCIÓN
5.6
El primer teorema fundamental del cálculo
247
ciones importantes que están definidas como funciones de acumulación. En el capítulo 7 definiremos la función logaritmo natural como una función de acumulación.
[l
EJEMPLO 1 Encuentre :x
Solución
Xt3
dt
1
Por el primer teorema fundamental del cálculo,
:x
EJEMPLO 2
Encuentre dd [
x
[1'
(X V
12
3
3
t dt] = x
3
t /'
dt].
+ 17
t2
•
Retamos a cualquiera a que resuelva este ejemplo, evaluando primero la integral. Sin embargo, por medio del primer teorema fundamental del cálculo, es un problema trivial.
Solución
~ [{X
12
dx
EJEMPLO 3
t
3 2
3 2
/
dt] _
X /
Vt 2 +17
-Vx 2 +17
2
Encuentre :x [¡'tan u cosu du
l~
<
x
•
<
3;.
Utilizar la variable muda u en lugar de t no debe preocupar a nadie. Sin
embargo, el hecho de que x sea el límite inferior, en lugar del límite superior, es molesto. He aquí cómo manejar esta dificultad.
Solución
:x [¡'tan' u cos u du ] = :x [
= -
_¡Xtan' u cos u du ]
:x
[¡X
tan' u cosu du ] = -tan' x cosx
El intercambio de los límites superior e inferior está permitido si anteponemos un signo menos. (Recuérdese que por definición
1. f
a
(x) dx
1
=
-1
f (x) dx.)
•
b
2
EJ EM PLO 4
Encuentre Dx [
x (3t - 1) dt ] de dos formas.
Una manera de encontrar esta derivada es aplicando el primer teorema
fundamental del cálculo, aunque ahora tenemos una nueva complicación; el límite superior es x 2 en lugar de x. Este problema puede manejarse por medio de la regla de la
cadena. Podemos considerar la expresión entre paréntesis como
Solución
y
y= 3t-l
1
a (3t
- 1) dt
donde u
= x'
Por medio de la regla de la cadena, la derivada con respecto a x de esta función composición es
a[la (3t -
D
1) dt] . Dxu = (3u - 1)(2x) = (3x' - 1)(2x) = 6x 3 - 2x
Otra manera de encontrar esta derivada es evaluar primero la integral definida y
después utilizar nuestras reglas para derivadas. La integral definida
IX' (3t -
1) dt es
el área debajo de la recta y = 3t - 1 entre t = 1 Yt = x 2 (véase la figura 8). Como el
.
x2 - 1
3
1
[2 + (3x 2 - l)J = 2 x 4 - x 2 - 2'
área de este trapecIo es-2
Figura 8
l
1
x2
1
(3t - 1) dt = -3 x 4 - x 2 - 22
248
CAPíTULO
La integral
5
Por tanto,
•
EJEMPLO 5
=
Sea A(x)
lxl3
dI.
(a) Si y = A(x), encuentre dy /dx.
(b) Encuentre la solución de la ecuación diferencial resultante que satisface y = O
cuando x = 1.
(c) Encuentre
14/3 dI.
Solución
(a) Por el primer teorema fundamental del cálculo,
dy
-
dx
= A'(x) = x 3
=
(b) Como la ecuación diferencial dy /dx
x 3 es separable, podemos escribir
dy = x 3 dx
Integrando ambos lados se obtiene
y
=
J
3
X4
x dx
Cuandox = 1, debemos tener y
=4 + e
= A(l) =
1'/3 dI = O. AsÍ, elegimos e de mo-
do que, .
14
O = A(l) = 4
+e
Portanto,C = -1I4.Asíque,lasolucióndelaecuacióndiferencialesy
(e) Como y = A(x) = x 4 /4 - 1/4, tenemos
1
4
1
1
44
3
1
= x4/4 - 1/4.
255
t dt=A(4)=4-¡=64-¡=4
•
El método descrito en el ejemplo 5 nos da una manera de evaluar integrales definidas. El segundo teorema fundamental del cálculo, que se desarrolla en la sección siguiente, nos da un método más eficiente.
Revisión de conceptos
1. Como 4 :::; x 2 :::; 16 para toda e en [2,4] , la propiedad de
acotamiento de la integral definida nos permite decir
:s:
/,\2
dx :s:
_
3. Por
/,S(x
la
+ VX)dx =
4. Si
1
4f
linealidad,
/'SXdX
+
14Cf(X) dx = e .
y
_
(X)dX =5ysig(x):S:f(x)paratodaxen[1,4],en-
tonces la propiedad de comparación nos permite decir que
4g
(X)dx:s: _ _
1
o
SECCIÓN
5.6
El primer teorema fundamental del cálculo
249
Conjunto de problemas 5.6
En los problemas dell al 4, haga la gráfica de la función de acumulación A (x) que es igual al área indicada.
1.
y
7.
l
Z
[2 f (X)
+ g(x)]dx
8.
9. j,1[2f (S) +5g(s)]ds
1
1
[2 f (S)
+ g(s)]ds
+ 2g(x)] dx
10. ¡1[3f (X)
11. ¡Z[3f (t) +2g(t)]dt
+ V2 g (t) + 7T]dt
12. ¡Z[V3f(t)
En los problemas dell3 al 22, encuentre G'(x).
13. G(x)
= ¡X2t dt
14. G(x)
= 112t dt
15. G(x)
= ¡x(2tZ + Vt)dt
16. G(x)
= ¡XCOS3 (2t)tan(t)dt;-7T/2 < x < 7T/2
17. G(x)
=
-1
2.
y
A(x)
1/\s 7r
18. G( x) = ¡Xxt dt
-1
3.
2)cot(2s)ds;O < x <
(Tenga cuidado.)
¡"'sen I dI
19. G(x) =
20. G(x)
= ¡"'+< v'2z + sen
21. G(x)
= {X ~ dt Sugerencia: {X = {X + (O?
z dz
J-x 1 + t
J-x
2
4.
7T
Jo
J-x-
senx
l
22. G(x) =
y
2
t 5 dt
cosx
23. Demuestre que la gráfica de y = f(x) es cóncava hacia arriba en todas partes si
f(x) =
A(x)
(X ~ds,
Z
Jo
a+
a =1= O
SZ
Sugerencia: Demuestre que f"(x) > Opara toda real x.
24. Encuentre el intervalo en el que la gráfica de y = f(x) es
cóncava hacia arriba, si
f(x) =
Supóngase que ¡l!(X)dX
y
= 2, ¡Z!(X)dX = 3, ¡lg(X)dX = -1,
¡Z
g( x) dx = 4. Utilice las propiedades de las integrales indefini-
1
+t
En los problemas del 25 al 28, utilice la propiedad aditiva para intervalos y la linealidad para evaluar ¡4f (x) dx. Empiece dibujando una
gráfica def
das (linealidad, aditividad para intervalos, etc.) para calcular cada una
de las integrales en los problemas del 5 all2.
(X ~dt
Z
Jo
25.
f(x)
26. f(x)
={
=
X
Z
x
{~
si O:::; x < 2
si 2 :::; x :::; 4
4-x
si O:::; x < 1
si 1:::; x < 2
si 2:::; x :::; 4
250
CAPíTULO
La integral
5
21
27. f(x) = Ix 28.
f (x) =
3
29. Sea F(x)
,
1
40. Encuentre hm - - 1
x-;.1
+ Ix - 31
= ¡x(t4 + l)dt.
x -
41. Encuentre f(x) si
IX -1 ++2t dt.
1
1
xf
t
(t) dt = 2x - 2.
(a) Encuentre F(O).
42. Encuentre f(x) si ¡Xf(t) dt
(b) Sea y = F(x). Aplique el primer teorema fundamental del cálculo para obtener dy /dx = F'(x) = x 4 + 1. Resuelva la ecuación
diferencial dy /dx = x 4 + 1.
43. Encuentref(x) si
(c) Encuentre la solución de esta ecuación diferencial que satisface
y = F(O) cuando x = O.
(d) Demuestre que t(x 4
Jo
30. Sea G(x)
+ l)dx =~.
= ~X3.
=x+
1? Ex-
= ¡Xsen tdt.
En los problemas del 45 al 50, decida si la afirmación dada es verdadera o falsa. Después justifique su respuesta.
(c) Encuentre la solución a esta ecuación diferencial que satisface
y = G(O) cuando x = o.
45. Si f es continua y f(x) ~ Opara toda x en [a, b] ,entonces
l
¡7rsen x dx = 2.
¡° \/l+7
6
31. Demuestre que 1 :::;
Explique por qué 1 :::;
dx :::; -. Sugerencia:
(X)dX
47. Si l
(f) Haga la gráfica de y = G(x) en el intervalo [O, 41T] .
1
bf
1°
49. Si l
¡4(5 + x 3)dx
35.
1(3 + ~ )
5
tonces
1
4
(X
+ 6)5 dx
Z0
5
dx
36.
~ OYlbf(x) dx = o, entonces f(x)
=
Opara to-
1o
(
1
+ ~r dx
bf
(X) dx
> lbg(x) dx, entonces
b
[¡(X) - g(x) ] dx
>
O
50. Si f y g son continuas y f(x) > g(x) para toda x en [a, b], en-
21
34.
~ Opara toda x en [a, b].
(X)dX =O,entoncesf(x) = Opara toda x en [a,b].
l
\/4+7 :::; -. (Véase la suge-
[§9 En los problemas del 33 al 38, utilice una calculadora gráfica para graficar cada integrando. Después utilice la propiedad de acotamiento (Teorema C) para encontrar una cota inferior y una cota superior para cada integral definida.
33.
O, entonces f(x)
5
B) Yel resultado del problema 29d.
rencia para el problema 31.)
2
da x en [a, b] .
rrado [O, 1] ; después utilice la propiedad de comparación (Teorema
1
bf
48. Si f(x)
\/l+7 :::; 1 + x 4 para x en el intervalo ce-
32. Demuestre que 2 :::;
O.
2
46. Si lbf(x) dx
(e) Encuentre todos los puntos extremos relativos y de inflexión de
G en el intervalo [O, 41T] .
38.
f(t)dt
plique.
(b) Sea y = G( x). Aplique el primer teorema fundamental del cálculo para obtener dy /dx = G'(x) = sen x. Resuelva la ecuación diferencial dy /dx = sen x.
37.
Jo
44. ¿Existe alguna función f tal que ¡Xf(t) dt
5
(a) Encuentre G(O) y G(21T).
(d) Demuestre que
(X 2
= x Z•
I[f(x)dXI > l[g(X)dXI
51. Sea f continua en [a, bJ Ypor tanto integrable allí. Demuestre que
I[f(X)dxl [lf(X)ldX
os;
Sugerencia: -lf(x)1 :::; f(x) :::; If(x)l; utilice el Teorema B.
52. Suponga que f' es integrable y If'(x) I
muestre que If(x)1 :::; If(a)1 + Mlx - al.
:::;
M para toda x. De-
(87r(5 + ~20 senzx) dx
J47r
(O.4( 0.002 + 0.0001 cosz x) dx
Jo.z
,
1 ¡X 1
39. Encuentre hm -
x-;.o X
+t
° - +2t dt.
Respuestas a la revisión de conceptos:
3.
4.5
1. 8; 32 2. sen 3 x;
SEcCIÓN
S.7
El segundo teorema fundamental del cálculo y el Teorema del valor medio para integrales
5.7
El segundo teorema
fundamental del
cálculo y el Teorema
del valor medio para
integrales
251
El primer teorema fundamental del cálculo, dado en la sección anterior, proporciona la
relación inversa entre las integrales definidas y las derivadas. Aunque aún no es aparente, esta relación nos proporciona una herramienta poderosa para evaluar integrales
definidas. Esta herramienta se denomina el segundo teorema fundamental del cálculo,
y lo aplicaremos con mucha mayor frecuencia que el primer teorema fundamental del
cálculo.
¿Es fundamental?
El segundo teorema fundamental del
cálculo es importante al proporcionar
una herramienta poderosa para la
evaluación de integrales definidas.
Pero su significado más profundo subyace en la relación que establece entre
la derivación y la integración; entre
derivadas e integrales. Esta relación es
sorprendentemente clara cuando volvemos a escribir la conclusión del teorema con f(x) reemplazada por g'(x).
l
bg
Demostración Para x en el intervalo [a, b] , definase G(x)
=
¡Xf(t) dt. Entonces,
por el primer teorema fundamental del cálculo, G'(x) = ¡(x) para toda x en (a, b). De
esta manera, G es una antiderivada de ¡; pero F también es una antiderivada de f. Del
Teorema 4.8B, concluimos que como F' (x) = G' (x) las funciones F y G difieren por
una constante. Así, para toda x en (a, b)
F(x) = G(x) +
'(X)dX = g(b) - g(a)
e
Como las funciones F y G son continuas en el intervalo cerrado [a, b] (véase el problema57),tenemosF(a) = G(a) + Cy F(b) = G(b) + C.Así que, F(x) = G(x) + Cen
el intervalo cerrado [a, b] .
Como G(a)
=
¡"f(t) dI = O, tenemos
F(a) = G(a) + e = o + C = e
Por tanto,
F(b) - F(a)
=
[G(b)
+ e] - e = G(b)
=
[f(/) dI •
En la sección 5.1, definimos la integral indefinida como una antiderivada. En la sección 5.5, definimos la integral definida como el límite de una suma de Riemann. Usamos
la misma palabra (integral) en ambos casos, aunque en este momento parece haber poco
en común entre las dos. El Teorema A es fundamental ya que muestra cómo se relacionan la integración indefinida (antiderivación) y la integración definida (área con signo). Antes de ir a los ejemplos, pregúntese por qué puede utilizar la palabra cualquier,
en el enunciado del teorema.
EJEMPLO 1
Demuestre que ¡bk dx
= k( b
- a), k una constante.
Solución F(x) = kx es una antiderivada de ¡(x)
do teorema fundamental del cálculo,
= k. De esta manera, por el segun-
¡bkdx =F(b) -F(a) =kb -ka =k(b -a)
EJEMPLO 2
Demuestre que
¡
a
Solución
b
b2
x dx = -
2
•
a2
- -.
2
F(x) = x 2 /2 es una antiderivada de ¡(x) = x. Por tanto,
¡
a
b
b2
a2
x dx = F(b) - F(a) = - - 2
2
•
252
CAPíTULO
5
La integral
EJEMPLO 3
Demuestre que si r es un número racional diferente de -1, entonces
b
br+1
ar+1
xrdx = - - - - -
l
a
r+1
r+1
r
1
Solución F(x) = x + /(r + 1) es una antiderivada de f(x) = x r. Así que, por el segundo teorema fundamental del cálculo,
b
br+1
ar+1
x r dx = F(b) - F(a) = - - - - a
r+1
r+1
Si r < O, requerimos que Ono esté en [a, b] . ¿Por qué?
•
Es conveniente introducir un símbolo especial para F(b) - F(a). Escribimos
l
F(b) - F(a) = [F(x)]:
Con esta notación,
3
{Sx 2 dx = [x ]S = 125
12
3 2
3
EJEMPLO 4
_~
3
= 117 =39
3
Evalúe ¡:(4X - 6x 2 )dx
(a) utilizando el segundo teorema fundamental del cálculo de manera directa y
(b) el primero, aplicando la linealidad (Teorema 5.6D).
Solución
¡:(4X - 6x 2 )dx = [2x 2
(a)
2X3]~,
-
= (8 - 16) - (2
+ 2)
= -12
(b) Primero aplicando la linealidad, tenemos
E(4X - 6x 2 )dx
= 4 Ex
dx - 6 Ex 2 dx
_ [ -x2 ] 2 - 6
[ x3 ] 2
-4
2 -1
3_1
=4(i-i) -6(~+l)
•
= -12
EJEMPLO 5
Evalúe ¡"(x I/3
+ X4/3 )dx.
Solución
¡"(X I/3
+ X4/3 )dx = [ix 4/3 + Jx7/3 ]:
=
(i . 16 + ~ . 128)
= ~
EJ EM PLO 6
Solución
Encuentre D,
+ 3~1
-
(i . 1 + ~ . 1)
~ 65.68
•
J.x3 sen t dt de dos maneras.
La manera fácil es aplicar el primer teorema fundamental del cálculo.
xJ.x 3 scnt dt = 3 senx
D
Una segunda forma de resolver este problema es aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo para evaluat la integral de Oa x; después aplique las reglas de las
derivadas.
J.' 3 sent dt =[-3 costM =-3 cosx -
(-3 cosO)
=
-3 cosx
+3
SECCIÓN
5.7
El segundo teorema fundamental del cálculo y el Teorema del valor medio para integrales
253
Entonces
Dx¡X3sentdt =DA-3cosx +3) =3senx
•
En términos del símbolo para la integral indefinida, podemos escribir la conclusión del segundo teorema fundamental del cálculo como
[f(X)dX
=
[J
f(x)dx
I
La parte no trivial de la aplicación del teorema siempre es encontrar la integral indefinida f (x ) dx. La regla generalizada para la potencia de la sección 5.1 puede aplicarse
en muchos casos para evaluar una integral definida. Sin embargo, existen muchas funciones que no tienen antiderivadas que puedan expresarse en términos de funciones elementales.
f
EJEMPLO 7
Evalúe
+ l)dx.
= x 2 + x; entonces du = (2x +
Sea u
Solución
¡4~ (2x
J~
(2x
+ l)dx =
=
J
U' /
1) dx. Así que,
2
du
= ju3 / 2 + e
Hx 2 + X)3/2 + C
Por tanto, por el segundo teorema fundamental del cálculo,
¡4~ (2x
+ l)dx = [¡(x' + x)'!' + C]ri
= [~(20)3/2
+ C] - [O + CJ
= ~ (20f/2 ~ 59.63
•
Obsérvese que la e de la integración indefinida se cancela, siempre será así, en la
integración definida. Esto es por lo que en el enunciado del segundo teorema fundamental del cálculo podemos utilizar la frase cualquier antiderivada. En particular,
siempre podríamos elegir e = o al aplicar el segundo teorema fundamental.
También obsérvese que la derivada de u es precisamente 2x + 1. Esto es lo que
hace el trabajo de sustitución. Si la expresión entre paréntesis fuese 3x + 1 en lugar
de 2x + 1, la regla generalizada para la potencia no se aplicaría y tendríamos un problema mucho más difícil.
EJEMPLO 8
Solución
Evalúe
=
Sea u
J
¡'/4
sen3 2x cos 2x dx.
sen 2x; entonces du
3
sen 2xcos2x dx
=~
J
=
2 cos 2x dx. De esta manera,
3
(sen 2x)(2cos2x) dx
1 u4
=~
J
u3 du
sen42x
=--+C=--+C
2 4
8
Por tanto, por el segundo teorema fundamental del cálculo,
¡
7T/4
o
EJEMPLO 9
Solución
sen3 2x cos 2i: dx =
Evalúe
¡i[
[sen42x]7T/4
1
1
= - - O= 8
o
8
8
x' + (x' + l)'x] dx.
•
254
CAPíTULO
5
La integral
La primer integral es fácil de resolver en forma directa. Para manejar la segunda, hacemos u = x 2 + 1, de modo que du = 2x dx, y escribimos
J
(x'
+
l)'x dx
=~
J
(x
2
+ 1)' 2x dx = ~
J
4
u du
1 u5
(x 2 + 1)5
=--+c=
+c
2 5
10
Por tanto,
EJ EM PLO 10 La figura 1 muestra la gráfica de una función f que tiene tercera derivada continua. Las líneas discontinuas son tangentes a la gráfica de y = f(x) en (1, 1)
yen (5,1). Con base en los que se muestra, diga, si es posible, si las integrales siguientes son positivas, negativas o cero.
y
(a) 1'[(X) dx
(b) [['(X)dX
1'["
(d) [f"'(X)dX
(c)
(x ) dx
Solución
x
Figura 1
(a) La función f es positiva para toda x en el intervalo [1,5] ,y la gráfica indica que
hay cierta área por arriba del eje x. Parlo que,
1'[(x) dx > O.
(b) Por el segundo teorema fundamental del cálculo,
[nX)dX
= [(5) - [(1) = 1 -1 = O
(c) Otra vez utilizando el segundo teorema fundamental del cálculo (esta vez con l' como una antiderivada de f"), vemos que
[["(X) dx
= ['(5) - ['(1) = O - ( - 1) = 1
(d) La función f es cóncava hacia arriba en x = 5, de modo que f" (5) > 0, y es cóncava hacia abajo en x = 1, de modo que f"(l) < O. Así que,
[f"'(X)dX
=
["(5) - ["(1) > O
•
Este ejemplo ilustra la notable propiedad que indica lo siguiente: para evaluar una
integral definida todo lo que necesitamos conocer son los valores de una antiderivada
en los puntos frontera a y b. Por ejemplo, para evaluar
l'["(
x) dx, todo lo que nece-
sitamos conocer era 1'(5) y 1'(1); no necesitábamos conocer l' y f" en los puntos del intervalo abierto (a, b).
El Teorema del valor medio para integrales En este momento usted se debe haber dado cuenta que el Teorema del valor medio para derivadas desempeña un
papel importante en cálculo. Existe un teorema del mismo nombre para integrales, que
también es importante. Geométricamente, dice que existe algún e en el intervalo [a, b]
SECCIÓN
5.7
El segundo teorema fundamental del cálculo y el Teorema del valor medio para integrales
255
tal que el área del rectángulo con altura f(e) y ancho b - a es igual al área debajo de
la curva. (Véase la figura 2.) En la figura 2, el área de bajo de la curva es igual al área
del rectángulo sombreado.
a
e
b
Figura 2
[;J Estimación de integrales
El Teorema B con la figura 2 que le
acompaña, sugiere una buena manera
de estimar el valor de una integral
definida. El área de la región bajo la
curva es igual al área de un rectángulo. Uno puede hacer una buena estimación de este rectángulo simplemente "echando un vistazo" a la
región. En la figura 2, el área de
la parte sombreada por arriba de la
curva debe coincidir con el área de la
parte en blanco por debajo de la
curva.
Demostración Sea
G(x) =
l
xf
(l) dI,
a s; x
b
S;
Por el Teorema del valor medio para derivadas aplicado a G, existe un punto e en (a, b)
tal que
G(b) - G(a) = G'(c)(b - a)
Esto es,
[f(t) dI
- O = G'(c)(b -
al
Pero, por el primer teorema fundamental del cálculo, G'(e)
gue. •
= f(e). La conclusión se si-
Obsérvese que si despejamos f(e) en la conclusión del Teorema B obtenemos
f(e)
El número
[a,
l
bf
(l)dI
b - a
1
f( X ) dx/ (b - a) se denomina valor medio, o valor promedio, de f en
b
bJ . Para
ver por qué tiene este nombre, considere una partición regular P:
X2 < ... < Xn = b con ~X = (b - a)/n. El promedio de los n valores,
f(x l ), f(x 2 ),···, f(x n ) es
a
=
Xo
<
Xl
<
= _1_ if(x¡) b - a
b - a
1
i=l
n
n
=-
b - a
Lf(Xi)dX
i=l
La suma en la última expresión es una suma de Riemann para f en [a,
se aproxima
lb
f( x) dx cuando n ---+ oo. Así, (
lb
bJ Ypor tanto
f( X ) dx ) / (b - a) aparece como
la extensión natural de la noción familiar de valor promedio.
256
La integral
5
CAPíTULO
Revisión de conceptos
1. Si f es continua en [a, b J y si allí F es cualquier
l
de f, entonces
bf
(X)dX
=
1
3
_
3.
_
Ji =
_
= [_ _ J=! = _ _
J-2
_
[x 3/3
=
{-l X - 2 dx
4.
. 2. El símbolo [F (x) ]:, se establece para la expresión
x 2 dx
o
Conjunto de problemas 5.7
En los problemas del 1 al 14, utilice el segundo teorema fundamental
del cálculo para evaluar cada integral definida.
x
35. f(x)
1. 12x3 dx
3. 11\3x - 2x
5.
+ 3)dx
{4 ~ dw
4.
6.
JI w 2
Vi dt
1
4
7.
9.
11.
1
f(l + :}Y
10.
eos x dx
12.
1'/2
1
13. 1 (2x 4 - 3x 2 + 5)dx
1'S4 s~ 8
39.
ds
1~:22 sen I dI
17.1-1
18.
3
19.
21.
23.
{s 8
Js
1
(t
+ 2)
2
dt
Vh+l d;
ro -v:Y=l
J2
1
13
-v7+2t2 (8t) dt
1'/2 2
eos x sen x dx
22.
1
24.
+ senx)dx
l
dy
47.
49.
{04[ vX + Vh+l]dx
Jo
29. 1\x2 + 2X)2 dx
31. Evalúe
{X t3 dt.
JI
28.
{-11 -
J-4
1
8a
30.
2s
±
i=l
2:
n
n-'>oo i=l
[sen ( 7Ti ) ]
[
1
n
48. lím
n
~n
+ -2in + ( -2in ) 2] -n2
n
1
2: i
2
debe ser una buena aproxi-
i=l
1
x 2 dx para n grande. Ahora calcule la expresión de la su-
f
52. Evalúe
J-1
¿ (2i)3
-n -n2
n-'>oo i=l
51. Explique por qué (1/n 3 )
1
13
(a /3 - X / dx
32. Evalúe (x(t
!)S
dx
x
ma para n = 10 Yevalúe la integral por medio del segundo teorema
del cálculo. Compare sus resultados.
+ Itl)dt.
En los problemas del 33 al 38, encuentre el valor promedio de la función dada en el intervalo que se da.
33. f(x) = 4x3;[1,3]
lím
50. lím
+ eosx]dx
2S4 ds
(20( 1 +
JlO
44. f(x) = x 2; [-1, 1]
46. f(x) = Ixl; [-2, 2J
}~~~ (~r ~
sen2 3x eos 3x dx
26. l'/2[4x
+ sen(x 2)]dx
(X) dx/(b - a).
n-HXJ
mación a
27.
bf
2
W
25. l'/2(2X
[3
En los problemas del 47 al 50, primero reconozca el límite dado como
una integral definida y después evalúe la integral por medio del segundo teorema fundamental del cálculo.
+ 1 dx
3
Vx + 3x
l'/2
42.
43. f(x) = ~; [0, 3J
45. f(x) = Ixl; [O, 2J
1
dx
V2x + 2
x
40.
J-1 1 + x 2
7
20.
1
1
3
-3
~ (3x 2)dx
+ senx)4 dx
En los problemas del 43 al 46, encuentre un valor c en el intervalo dado que satisfaga
En los problemas del 15 al 30, utilice el segundo teorema fundamental
del cálculo combinado con la regla generalizada para la potencia para evaluar cada integral definida.
1:
1
2
(5
r _2_ dx
41.
f(c) =
16.
1
27r
dw
1
14. 1 (x 4/ 3 - 2X 1/ 3)dx
15. ¡1(X 2 + 1)1O(2x) dx
2 + Ixl; [-2, 1]
=
grando en los problemas del 39 al 42. Después estime la integral como
se sugiere en la nota al margen que acompaña al Teorema B.
t
1~
; [0, 3J
[§Q GJ Utilice una calculadora gráfica para hacer la gráfica del inte-
(3 ~3dt
8
8.
+ 16
37. f(x) = coSX;[O,7TJ
38. f( x) = sen2 x cos x; [0, 7T /2]
2
3
(4X + 7)dx
JI
2
36. f(x) = x + Ixl; [-3,2]
2. 1:X4 dx
2
x
= V
34. f(x)
1:(2[
x] - 31xl) dx.
53. Demuestre que! xlxl es una antiderivada de Ixl y utilice este
hecho para obtener una fórmula sencilla para
l
b
¡X dx.
I
54. Encuentre una fórmula sencilla para lb [x] dx, b
> O.
SECCIÓN
5.7
El segundo teorema fundamental del cálculo y el Teorema del valor medio para integrales
55. Aseguramos que
la
b
XII dx
+ ~lbl1 vy dy = bn +1 -
la'
a n +1
(a) Utilice la figura 3 para justificar esto por medio de un argumento geométrico.
(b) Demuestre el resultado utilizando el segundo teorema fundamental del cálculo.
(c) Demuestre que A n = nB n'
(a)
(c)
1
1
3f
3f
1
1
257
3
(X)dX
(b)
l/(X)dX
(d)
f'(X) dx
3f
"'(X)dX
60. La figura 5 muestra la gráfica de una funciónf que tiene tercera derivada continua. Las líneas discontinuas son tangentes a la gráfica de y = f(x) en los puntos (0,2) Y(4,1). Con base en los que se
muestra, diga, si es posible, si las integrales siguientes son positivas, negativas o cero.
y
1
1
4
(a) ¡4f (X) dx
(b)
1
4
(e)
f'(X) dx
4
(d)
!"(x) dx
f'I/(X)dX
y
x
b
a
Figura 3
56. Proporcione una demostración del Teorema del valor medio
para integrales (Teorema B) que no utilice el primer teorema fundamental del cálculo. Sugerencia: Aplique el Teorema de existencia de
máximos y mínimos y el Teorema del valor intermedio.
\
(a) Sea G~x) = lXf(t) dt. Demuestre que G es continua en [a, b].
(b) Sea F( x) cualquier antiderivada de f en [a, b]. Demuestre que F
es continua en [a, b].
58. Proporcione un ejemplo para demostrar que la función de
acumulación G(x)
=
x
1\
57. Suponga que f es continua en [a, b].
¡Xf(X) dx puede ser continua aun si f no es
continua.
59. La figura 4 muestra la gráfica de una función f que tiene tercera derivada continua. Las líneas discontinuas son tangentes a la gráfica de y = f(x) en los puntos (0,2) Y (3, O). Con base en lo que se
muestra, diga, si es posible, si las integrales siguientes son positivas, negativas o cero.
\
\
Figura 5
61. Demuestre el segundo teorema fundamental del cálculo siguiendo el método sugerido en el ejemplo 5 de la sección 5.6.
62. La figura 6 muestra la temperatura T como una función del
tiempo t (medido en horas después de la medianoche) para un día en
San Luis Missouri.
(a) Aproxime la temperatura promedio para el día.
(b) ¿Debe existir algún instante cuando la temperatura es igual a la
temperatura promedio para el día? Explique.
T
y
60
,
,,
¡¡..
,
50
o
", (1,2)
~
~~~~~~~'~:,~,:~"~,::,~,: ~
::l
E
<l)
o..
40
30
E
<l)
f-;
20
10
-1
o
x
O
12
16
20
Tiempo (horas desde la medianoche)
Figura 4
Figura 6
24
258
CApíTULO
5
La integral
63. La figura 7 muestra la humedad relativa H como una función
del tiempo t (mediodía en días, a partir del domingo) para una edificio de oficinas. Aproxime la humedad relativa promedio para la semana.
30
~
25
.~
"§
20
~
"2
a
::c
15
;:3
10
o
Respuestas a la revisión de conceptos:
F (a) 2. F (b) - F (a) 3.
1. antiderivada; F (b ) -
4.
5.8
Evaluación de
integrales definidas
Tiempo (días)
Figura 7
Por lo general la evaluación de integrales definidas es un proceso de dos etapas. Primero, encontramos una integral indefinida; después aplicamos el segundo teorema fundamental del cálculo. Si la integración indefinida es sencilla, podemos combinar los dos
pasos, como en
2
[x dX =
[~'J: =~ -t = ~
Sin embargo, si la integración indefinida tiene la suficiente complejidad para requerir sustitución, por lo común la separamos en dos etapas. De esta manera, para calcular
primero escribimos (usando u
[xv?+9dX
= x 2 + 9 y du = 2x dx)
Jxv?+9dX
=~ J
=
~
v?+9(2xdx)
J
U' /
2
du
1 2 32
-U /
2 3
= -.
+e
= ~ (x 2 + 9)3/2 + e
3
Entonces, aplicamos el segundo teorema fundamental del cálculo.
dx = [~(X2 + 9)3/2]4 = 125 _ 27 = 98
o
3
o
3
3
3
El método de sustitución que se acaba de ilustrar se generaliza de dos maneras. Primera, aunque se introdujo en la sección 5.1, sólo para funciones potencia, su aplicación
se extiende más allá de ese uso. Segunda, existe una manera de utilizar la sustitución de
forma directa en una integral definida. Ahora seguiremos estas dos ideas.
J. 4Xv?+9
El método de sustitución
Considere el problema de encontrar
J (2x + 3)cos(x2 + 3x)dx
Si hacemos u = x 2 + 3x de modo que du = (2x + 3)dx, la integral anterior se transforma en cos u du, la cual usted notará que no es la integral de una función potencia. Sin
embargo,
J
J (2x + 3)cos(x 2 + 3x)dx
=
=
=
J cosu du
senu + e
sen(x 2 + 3x) + e
SECCIÓN
5.8
Evaluación de integrales definidas
259
En este ejemplo, con facilidad podemos verificar nuestra respuesta, derivando el resultado. Pero, ¿siempre funcionará el método de sustitución? Sí, con tal que podamos demostrar la regla de sustitución para integrales indefinidas. Esta regla desempeña el
mismo papel para integrales que aquel que desempeña la regla de la cadena para derivadas. En realidad, la regla de sustitución es la regla de la cadena en sentido inverso.
Cómo crece un Teorema
La regla para la potencia
xr+l
xrdx = - - +C
r +1
J
conduce, vía la sustitución u = g(x) a
la regla generalizada para la potencia
J
y
[g(x) g'(x) dx
=
J
r
u du
u r +1
=--+C
r
+1
[g(X)y+1
r
+C
+1
Pero ésta, a su vez, no es más que un
caso muy especial de la regla de la
sustitución en la que f(u) = uro
Demostración Es suficiente con demostrar que la derivada del lado derecho es el integrando del lado izquierdo. Pero esto es una aplicación sencilla de la regla de la cadena combinada con el hecho de que F' = f.
DAF(g(x)) +
Sea u
= F'(g(x))g'(x) = ¡(g(x))g'(x) •
sen \IX
J
EJEMPLO 1 Encuentre
Solución
C]
vx
dx.
= \IX = X 1/ 2, de modo que du = ~ X- 1/ 2 dx. Entonces
J
sen\IX
\IX dx = 2
J
sen \IX
GX-
1 2
/
dx)
= 2 Jsenu du
-2cosu + C
=
= -2cos\IX
(v7i/2
EJEMPLO 2
Solución
Evalúe
Jo
•
+C
xsen 3 (x 2 )cos(x2 )dx.
Sea u = sen(x2 ), de modo que du = 2x cos(x 2 )dx. Entonces,
J
x sen3 (x')cos(x 2 ) dx
=
J
~ sen3 (x') . 2x cos(x2 ) dx
1 u4
=--+C
2 4
1
+C
8
Entonces, por el segundo teorema fundamental del cálculo,
= - sen4 (x 2 )
¡V;;/x
2
[k scn4(x') ]:1
ksen' ( : ) - ~ .
2
=
sen3 (x 2 )cos(x') dx
=
1
O = 32
•
260
CAPíTULO
5
La integral
Obsérvese que en el procedimiento de dos etapas ilustrado en el ejemplo 2 debemos asegurar expresar la integral indefinida en términos de x antes de que apliquemos
el segundo teorema fundamental del cálculo. Esto es ya que los límites O y V7i/2 se
aplican a x, no a u. Pero, ¿qué pasa si, al hacer la sustitución u = sen(x 2 ), también hacemos los cambios correspondientes en los límites de integración a u = sen(02) = OY
u = sen[(V7i/2)2] = V2/2?
Entonces, ¿podríamos terminar la integración con la integral definida en términos
de u? La respuesta es sí.
1
32
He aquí el resultado general, que nos permite sustituir los límites de integración así como el integrando, con lo cual obtenemos un proceso con menor cantidad de pasos.
Sustitución para integrales
definidas
Para hacer la sustitución en una integral definida, se requieren tres
cambios:
1. Hacer la sustitución en el inte-
grando.
2. Hacer el cambio adecuado en la
diferencial.
3. Cambiar los límites de a y b a
Demostración Sea F una antiderivada de f (la existencia de F está garantizada por
el Teorema 5.6A). Entonces, por el segundo teorema fundamental del cálculo,
9 (b)
1
g(a) y g(b).
f(u)du = [F(u)U¡~j = F(g(b)) - F(g(a))
g(a)
Por otra parte, por medio de la regla de sustitución para las integrales indefinidas
(Teorema A),
J
= F(g(x)) + e
¡(g(x) )g'(x) dx
y aSÍ, otra vez por el segundo teorema fundamental del cálculo,
[¡(g(X) )g'(x) dx = [F(g(x)
Evalúe
(
10o
F(g(b)) - F(g( a)) •
+1
)2 dx.
+ 2x + 6
x
1
EJEMPLO 3
)J: =
x2
Solución Sea u = x 2 + 2x + 6, de modo que du = (2x + 2)dx = 2(x
sérvese que u = 6 cuando x = OYque u = 9 cuando x = 1. Así que,
1
10o
+1
+ 2x + 6)
X
------2
2
(x
dx
= -1
2
10
+ 2 2 dx
+ 2x + 6)
2x
1
o (x
+ l)dx, yob-
2
•
Nótese en el ejemplo 3 cómo hicimos la sustitución en el integrando, para la diferencial, y en los límites de integración.
SECCiÓN
EJEMPLO 4
Solución
Evalúe
Sea u
¡
2
7T /4 cos 0
"r::
7T 2/9
vX
5.8
Evaluación de integrales definidas
dx.
= 0, de modo que du =
2
¡
7T
dx/(2
0). Así,
2
7T /4 cos 0
2 /9
261
ox
dx = 2
=2
¡7T /4
1
cos 0· "r:: dx
2
7T /9
2 vx
(7T/2 cos
u du
J7T/3
=
[2senu]:j~
= 2 -
V3
El cambio en los límites de integración ocurrió en la segunda igualdad. Cuando
2
2
x = 7T 2/9, u =
7T /9 = 7T /3; cuando x = 7T /4, u = 7T /2.
•
V
Uso de la simetría Recuérdese que una función par es una que satisface
f(-x) = f(x), mientras que una función impar satisface f(-x) = -f(x). La gráfica de
la primera es simétrica con respecto al eje x; la gráfica de la última es simétrica con
respecto al origen. He aquí un útil Teorema de integración para tales funciones.
Función par
Área de la izquierda = área de la derecha
Figura 1
Demostración para funciones pares La interpretación geométrica de este teorema
se muestra en las figuras 1 y 2. Para justificar analíticamente los resultados, primero escribimos
~:f(X)dX
Función impar
El área de la izquierda neutraliza
Figura 2
=
~:f(X)dX + ~nf(X)dX
En la primera de las integrales de la derecha, hacemos la sustitución u = -x, du = -dx.
Sifespar,f(-x) = f(x) y
,{f(X)dX = - ,{f(-X)(-dx) = - [f(U)dU
Condiciones erróneas
Asegúrese de darse cuenta de las
hipótesis del Teorema de simetría.
El integrando debe ser par o impar
y el intervalo de integración debe
ser simétrico con respecto al origen.
Estas condiciones son restrictivas,
pero es sorprendente cómo con
frecuencia se cumplen en las aplicaciones. Cuando se cumplen, pueden
simplificar mucho la integración.
= ~"f(U)dU =
.~nf(X)dX
Por tanto,
~:f(X)dX = .~"f(X)dX + ~"f(X)dX
= 2[f(X)dX
La demostración para funciones impares se deja como un ejercicio (problema 71). •
EJEMPLO 5
Evalúe
~:CosU)dX.
Solución Puesto que cos(-x/4) = cos(x/4),f(x) = cos(x/4) es una función par. Así que,
feos(¡)dx = [cos(¡)dx = [cas(¡) .¡dx
2
8
{7T/4
= 8 Jo
cosu du
=
[8 sen U];/4
= 4 v!2
•
262
CAPíTULO
La integral
5
1 ~+
5
EJEMPLO 6
Evalúe
x
-5
4
dx.
Solución f(x) = X5/(X 2 + 4) es una función impar. Por lo que, la integral anterior tiene el valor cero.
•
EJEMPLO 7
Evalúe 1:(x sen4 x
+ x3
-
X')dx.
Solución Los primeros dos términos en el integrando son impares, los últimos son pares. Por eso, podemos escribir la integral como
\xsen4x
1 -2
+ x 3 )dx -12X4 dx
= O - 2 [2 X4 dx
Jo
-2
•
Uso de la periodicidad Recuérdese que una función f es periódica, si existe un
número p tal que f(x + p) = f(x) para toda x en el dominio de f. El número positivo
más pequeño p que cumple con lo anterior se denomina periodo de f. Las funciones trigonométricas son ejemplos de funciones periódicas.
y
a
b
Área (A)
a +p
b+p
= Área (B)
Figura 3
---PA,
y =f(x)
x
Demostración La interpretación geométrica puede verse en la figura 3. Para demostrar el resultado, sea u = x - p de modo que x = u + P y du = dx. Entonces
b
bf
bf
bf
Pf
+ (X)dX =
(U + p)du =
(U)dU =
(X)dX
l
l
a+p
a
Podemos reemplazar f(u
•x
EJEMPLO 8 Evalúe
l
a
l
a
+ p) por f(u) en el segundo paso, ya que f
es periódica. •
¡Z"¡SenXldX.
=Isen xl
Solución
Figura 4
Minutos
Segundos
O
O
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
55
57
60
70
70
70
70
19
O
59
63
65
62
O
O
O
22
38
35
25
O
Obsérvese que f(x) = ¡sen xl es periódica con periodo 7T (véase la figura 4).
¡Z'lsenxl dx
=
¡"Isen xl dx + ¡Z"¡senXI dx
=
.L"lsenX1dX + ¡"lsenXldX
= 2 ¡"sen Xdx = [-2cosx]~ = 2 - (-2) = 4
•
Funciones definidas por medio de una tabla En todos los ejemplos anteriores, la función que hemos integrado siempre se ha definido en el intervalo completo
de integración. Existen muchas situaciones en donde éste no es el caso. Por ejemplo, la
velocidad se mide cada minuto, el flujo de agua de un tanque se mide cada 10 segundos,
y el área de la sección transversal se mide cada 0.1 milímetro. En todos estos casos, la
integral tiene un significado claramente definido. Aunque no podemos obtener la integral de manera exacta, podemos utilizar las sumas de Riemann para aproximar la integral.
EJEMPLO 9 Mientras su padre conducía desde San Luis hasta la ciudad de Jefferson,
Chris observó la velocidad del automóvil cada 10 minutos, esto es, cada sexto de hora.
La tabla del margen muestra estas lecturas del velocímetro. ¿Cuánto viajaron ellos?
SECCiÓN
5.8
Evaluación de integrales definidas
263
Solución
Sea v(t) la velocidad del automóvil en el instante t, en dónde t se mide en
horas, contadas a partir del inicio del viaje. Si conocernos v(t) para toda t en el intervalo
(3.5
[0,3.5] ,podernos encontrar la distancia recorrida tornando Jo
v(t) dt. El problema
es, conocernos v(t) sólo para 22 valores de t: t¡ = k/6, donde
k = 0,1,2, ... ,21. La figura 5 muestra una gráfica de la información que nos dan. Podernos utilizar una suma de Riemann para aproximar la distancia recorrida. Dividirnos
el intervalo [0,3.5] en intervalos de ancho 1/6 (ya que 10 minutos es un sexto de una
hora) y tornarnos corno puntos muestra los extremos izquierdos de cada intervalo. Entonces la suma de Riemann se transforma en
21
L v(t¡) dt
21
= dt L v(t¡)
¡=1
¡=1
=
i
(O
°
+ 55 + 57 + 60 + 70 + 70 + 70 + 70 + 19 + + 59
+ 63 + 65 + 62 + O + O + O + 22 + 38 + 35 + 25 + O)
840
6
= - = 140
Ellos condujeron aproximadamente 140 millas.
80
70
60
~
1-<
o
'§
~
g
"O
<I:l
"O
50
40
30
'C)
o
~
;>
20
10
o
0.5
1.5
2.5
3.5
Tiempo (horas)
•
Figura 5
Revisión de conceptos
1. Con la sustitución de u = x 3 +1, la integral definida
x2( x3
+ 1t dx se transforma en la nueva integral definida
2. Si f es una función impar,
una función par
1:
f (x) dx =
(2 f (X) dx =
J-2
_
10
_
; si fes
1
3. Utilizando la pregunta 2, podemos escribir
1:(2 +
x
+ x 2 + 3x 5 )dx =
1:(2 +
2
x )dx
+1:(x + 3x S )dx
=2(_ _) + __ .
4. La función f es periódica si existe un número p tal que
_ _ _ para toda x en el dominio de f. El número positivo más pequeño de tales números se denomina
de la función.
264
La integral
5
CAPíTULO
Conjunto de problemas 5.8
Utilice el método de sustitución para encontrar cada una de las siguientes integrales indefinidas.
1. J Y3x +2dx
3.
5.
¡
¡
(6x - 7)1/8 dx
cos(3x
+ 2) dx
7. ¡sen (6x - 7) dx
sen e cos e de
34.
¡Tr/6 sene
- -3d e
o
cos e
2. J V2x -4dx
35. ¡lCOS(3X - 3) dx
36.
10o
4. ¡ (5u - 17)21/8 du
37. ¡lxsen(7Tx2)dX
38. ¡Trx 4 cos(2x 5)dx
6. ¡sen (2x - 4)dx
39. ¡Tr/4 (cos 2x
+ sen 2x) dx
{Tr/2 (cos 3x
J-Tr/2
+ sen 5x) dx
8.
JX~dX
10.
11. J x(x 2 + 3f12/7 dx
12.
9.
13. ¡x sen (x
2 + 4)dx
(Tr/6
14.
¡
¡
¡
¡
COS(7TV - v7)dv
x 2(X 3 + 5)9 dx
33. Jo
40.
3
41.
/
2
sen(27Tx)dx
{o Tr/2 sen x sen (cos x) dx
Jo
42. {Tr/2cosecos(7Tsene)de
43. {01xcos3(x2)sen(x2)dx
J-Tr/2
v(V3 v 2 + 7Tf/8 dv
1
lo
44. . (Tr/2x 2sen 2( x 3)cos(x 3)dx
J-Tr/2
x 2COS(x 3 + 5)dx
1
1
4
45.
dt
vt(vt+1?
En los problemas del 47 al 56, utilice la simetría para ayudarse a eva1
15. j' x 2sen (6x 3 -
17.
¡
7) dx
xsen~
~
dx
16. ¡ v 4 cos( 7TV 5 -
18.
v7) dv
2
Z cos(Vz + 3)
(Vz 2 + 3)2
¡
dz
19. J X2(X 3 + 5)8 cos[(x 3 + 5)9] dx
20. J x 6(7x 7
luar la integral que se da.
49.
Tr /2 senx
dx
-Tr/2 1 + cos x
1
51.1:
11\1 +
+ 17)8 sen [(7 x 7 + 17)9] dx
+ cosx)dx
47. ¡:(senx
(sen x
21. j'x cos(x2 + 4) Ysen (x 2 + 4) dx
53.
22. J x 6 sen (3x 7
54.
1
x
+ cos X)2 dx
+ x 2 + x 3)dx
1OO
+ 9) Vcos(3x + 9) dx
7
(
v
+ sen v + v cos v + seIT' V)5 dv
-100
11 (lx31 +
56.1:::(,x,
1
23. j'x 2sen (x 3 + 5)COS 9(X 3 + 5) dx
24. J x-4 sec 2(x- 3 +
25. ¡(X
26.
¡
55.
1
t
o
dt
x +2
2 dx
2
o (x + 4x + 1)
1
31.
(t + 9)2
2
10
(bf(X) d~ en caso
Ja
de que f sea una función par? ¿Una función impar?
58. Demuestre (por medio de una sustitución) que
1
2
(-a f(x) dx con
J-b
l
Utilice el método de sustitución en integrales definidas para evaluar cada una de las siguientes (véanse los ejemplos 3 y 4).
29.
+ Ixl2tanx)dx
57. ¿Cómo se comparan
(0 + 4)2
0
dx
10 (3x + 1)3 dx
5
sen x
1) V'tan(x- 3 + 1) dx
+ 1)sec1/ 2(x 2 + 2x)tan(x 2 + 2x)dx
27.
3
x )dx
10
30.
LV" ~ x dx
{4Tr
Jo leos xl dx.
V2t+1 dt
{2
Jo
(-X)dX
= ¡:af(X)dX
59. Utilice la periodicidad (véase el ejemplo 8) para calcular
4
28.
32.
hf
x
(9 -
2
X3
dx
?/2
{4Tr
60. Calcule Jo
Isen 2xl dx.
5.8
SECCIÓN
61. Si f es periódica con periodo p, entonces
p
¡a+ f(x) dx =
¡P
Evaluación de integrales definidas
265
65. Encuentre el área de la región sombreada que se muestra
en la figura 7.
f(x) dx
y
Convénzase de que esto es cierto dibujando una gráfica y después utilice el resultado para calcular
j,1+1T lsen xl dx.
62. Utilice el resultado del problema 61 para calcular
(2+TT/2
J2
Isen 2xl dx.
63. La temperatura T en cierto día satisfizo
T(t) = 70
+ 8 sen [~ (t
x
Figura 7
- 9) ]
66. Integrales que con frecuencia aparecen en las aplicaciones son
en donde t era el número de horas después de la medianoche. Encuentre la temperatura promedio de las 6 a.m. a las 6 p.m.
!ahcos
2
x dx y
!a
21T
sen2 x dx.
(a) Utilizando una identidad trigonométrica, demuestre que
64. Complete la generalización del Teorema de Pitágoras iniciada en el problema 39 de la sección 1.5, demostrando que A + B = e
en la figura 6, siendo éstas las áreas de regiones semejantes construidas sobre los dos catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo.
!ah (sen
{21T
Jo
y
(c) Concluya que
Jo
+
(hh(x)dx
Jo
= tf(x)dx.
Jo
x
+ cos 2 x) dx = 27T
(b) Con base en consideraciones gráficas, demuestre que
(a) Convénzase de que la semejanza significa
(b) Demuestre que {ag(x)dx
2
(21T
2
cos X dx
!ahcos
2
= Jo
x dx
=
2
sen x dx.
!ahsen
2
x dx
=
7T.
[§g 67. Para ilustrar algunos resultados de esta sección, sea f(x) =
¡sen xl sen(cos x).
(a) ¿f es par, impar o ninguna de las dos?
(b) Nótese que f es periódica. ¿Cuál es su periodo?
(c) Evalúe la integral definida de f para cada uno de los intervalos
siguientes: [O, 7T/2J ' [-7T/2, 7T/2J , [O, 37T/2J , [-3 7T/2, 3 7T/2J ,
[O, 27T J ' [7T/6, 137T/6J , [7T/6, 47T/3 J , [137T /6, 107T /3 J .
68. Repita el problema 67 paraf(x)
= sen Ixl sen (sen
x)l.
69. En su camino al trabajo, Terri anotó su velocidad cada 3 minutos. Los resultados se muestran en la tabla siguiente. ¿ Cuál fue la
distancia que ella condujo?
o
Tiempo (minutos)
Velocidad (mi/h)
y =g(x)
o
y
= h(x}
a
~
o
Figura 6
3
31
6
54
9
53
12
52
15
35
18
31
21
28
24
O
70. Cada 12 minutos entre las 4:00 p.m. y las 6:00 p.m., se midió
la tasa (en galones por minuto) a la cual sale agua del depósito de
agua de la ciudad. Los resultados se muestran en la tabla siguiente.
¿Cuánta agua se utilizó en este espacio de 2 horas?
Tiempo
Flujo
(gallmin)
=f(x)
O
4:00 4:12 4:24 4:36 4:48 5:00 5:12 5:24 5:36 5:48 6:00
65
71
68
78 105 111 108 144 160 152 148
71. Demuestre el Teorema de simetría para el caso de funciones impares.
Respuestas a la revisión de conceptos:
2!a2 f (X)dX 3. !a\2 + x 2)dx;0
1.
~ 12u4 du
2. O;
4.f(x + p) = f(x);periodo.
266
CAPíTULO
5
La integral
5.9 Revisión del capítulo
[27T
Examen de conceptos
Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta.
1. La integral indefinida es un operador lineal.
f'(x) dx = f(x) para toda función derivable f.
9.
n-l
10.
11. Si
= 10,000.
- 1)
10
10
10
i=l
i=l
i=l
l
L af = 100 Y L ai = 20, entonces L (ai + 1)2 = 150.
14. Si
15. Si
af
(X) dx
l
l
bf
!
= O,entoncesf(x) = O para toda x en [a,b].
!
z= !
35. Si
::s;
X+27T
(sen t + cos t) dt es independiente de x.
x
1
5
sen2x dx
= O.
=
¡bf(X) dx
37.
1
1
z(t) dt, entonces z(t) -
-1
F'(x) = f(x)
O
X2
1
--2
1
7
sen2x dx
l+t
[27T
23.
Jo
Isen xl dx
dt
=
]
+
1
= --4'
l+x
[27T
Jo
f (X) dx = O.
zes una función impar pa-
= F(b).
= 2
-99
/,5 sen2x dx.
id
$
[99bx 2 dx.
Jo
g(x) en [a,b ],entonces
Icos xl dx.
11'
40.1 ~ ail ~ lail·
f (x) dxl
$Il
b
g(x) dxl·
$
f( x) dx
4L Sif es continua en [a,b ],entonces
es positiva.
[¡
1:
para toda x en [O, bJ, entonces
/99 (ax3 + bx2 + cx) dx
39. Sif(x)
21. Si f es continua y positiva en todas partes, entonces
22. Dx
= !F 2(x) + e
38. Sif(x) ::s; g(x) en [a,bJ,entonces l b1f (X)ldx::s; l blg (X)ldx.
18. El operador lím es lineal.
13
~~ dx
f(x)
t ::s; 1.
= O,entoncesf(x) = Oparatodaxen[a,b].
¡
sen x dx
= 1F 3(x) + e
f2(X) dx
32. Si f(x) = 4 en [O, 3J ,entonces toda suma de Riemann para f
en el intervalo dado tiene el valor 12.
36. Si
1:
e
31. Si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces
ra-l
b
[f(X)]2 dx
17. El valor de
f( v( x) ) dx = F( v( x)) +
34. Sif(x) = f(-x) para toda x en [-a, aJ, entonces
16. Sia > xyG(x) = lxf(z)dz,entoncesG'(x) = -f(x).
20.
29. Si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces
33. Si F'(x) = G'(x) para toda x en [a, b J, entonces F(b) F(a) = G(b) - G(a).
= O.
(X)dX
+ 1 es una
antiderivada de f(x) + 1.
!
12. Si f está acotada en [a, b J ,entonces f es integrable allí.
19.
28. Si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces F(x)
i=l
i=l
13.
27. Si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces F(2x + 1) es
una antiderivada de f(2x + 1).
n
L (2i
sen x dx.
25. La antiderivada de funciones impares son funciones pares.
L (ai + ai-l) = ao + a + 2 L ai'
i=l
100
= 4 Jo
30. Si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces
8. Si s = -16t 2 + vot da la altura en el instante t de una pelota
lanzada directamente hacia arriba desde la superficie de la Tierra,
entonces la pelota llegará al suelo con velocidad -va.
n
[7T/2
Isen xl dx
antiderivada de f(5x).
3. y = cos x es una solución de la ecuación diferencial (dyjdx)2 =
1 - i.
4. Todas las funciones continuas tienen antiderivadas.
5. Todas las funciones que tienen antiderivadas deben tener derivadas.
6. Si la segunda derivada de dos funciones es igual, entonces las
funciones difieren a lo más por una constante.
!
Jo
26. Si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces F(5x) es una
2. ![¡(X)g'(X) + g(x)f'(x)]dx = f(x)g(x) + C.
7.
24.
42. lím
n--HX)
L sen (2i)
n
n
i=l
. -2
n
=
¡2
o
11'
f (x) dxl
$
l'¡f(X)1 dx.
senx dx.
43. Si !PI ---+ O, entonces el número de subintervalos en la parti-
ción tiende a oo.
SECCIÓN
Problemas de examen
En los problemas del] al]], evalúe las integrales que se indican.
1. ¡\X 3
3.
5.
J
J
3x 2 + 3 vX)dx
-
l -
+ 26y-1
9ysen y
Y
dy
z(2z 2 - 3)1 /3 dz
2X4 - 3x 2 + 1
24. Si f(x)
2.
J
JY~dY
26. Si f (x)
4.
{1r12
6. Jo cos4 xsen x dx
27. Evalúe
x
2
dx
7. ¡1r(X + 1)tan (3x + 6x)sec 2(3x 2 + 6x)dx
1
X
+ 3 dt, -2 ::; x, encuentre f'(7).
t
-2
~)2 dx.
25. Evalúe ¡3(2 -
= 3x 2 ~,
1,
45X2 -1
2
2
28. Evalúe
2
{'~
dt
4
Jo
9. 12t4(t5 + 5)2 /3 dt
+9
t
J
+ +
J\o/2l + 3l +
y
-
1
2
(l - 3y)
(l y
2: (3
dy
12. dx = sen x; y
dy
dx
dy
14. dx
15.
16.
~
dy
=
i
3i -
-
2: (6i 2 -
~
30. Evalúe cada suma.
=
7T
6y
= O
18 en x = 3
en x = O
v2t=1; y = -1 en t = t
= 1 en t = 1
= x sec y; y =
(c) ~cos
4
i)
(k7T)
4
31. Escriba en notación sigma.
dy
dy
6x - x 3
17. dx =
2y ; Y = 3 en x = O
dy
2: (2 i=l
;y =
= csc y; y =
8i).
i=l
6
2 en x
=
1
).
(b)
1)
1
dt = t 2 l; Y
18. dx
dx.
i=l
10
dY
En los problemas del 12 al]8, resuelva la ecuación diferencial sujeta a
la condición que se indica.
13. -
f en
X
2
11.
encuentre el valor promedio de
[2,5].
29. Evalúe
10.
267
n
2
8.
¡
=
Revisión del capítulo
5.9
7T
en x = O
19. Encuentre la ecuación de la curva que pasa por (-2, -1), si su
pendiente en cada x es el recíproco negativo de la pendiente de la
curva con ecuación xy = 2.
111
(a)
1
2 + 3 + 4 + ... + 78
(b) x 2 + 2x4 + 3x6 + 4x8 + ... + 50x 100
32. Haga un bosquejo de la región bajo la curva y = 16 - x 2 entre
x = OY x = 3, muestre el polígono inscrito correspondiente a una
partición regular de [0,3 J en n subintervalos. Encuentre una fórmula para el área de este polígono y después encuentre el área debajo
de la curva tomando un límite.
33. Si ¡l f (X) dx
= 4, ¡2f (X) dx = 2,
evalúe cada integral.
(a)
1
2f
(X) dx
(b)
(c) ¡23f (U)dU
l°
Y ¡2g(X) dx
= -3,
f (X)dX
(d) ¡2[2g(X) -3f(x)]dx
(e) ¡-2f (-x) dx
34. Evalúe cada integral
(b) ¡4[X]dX
(a) ¡4 1x -lldx
(c) ¡4(X - [x])dx
20. Si una partícula que se mueve sobre el eje x tiene aceleración
a = 15 Vi + 8 en el instante t, y si va = -6, Xo = -44, encuentre su
posición x en t = 4. Suponga que x se mide en pies y t en segundos.
35. Supongaquef(x) = f(-x),f(x)::; O,g(-x) = -g(x),
21. Una pelota se lanza directamente hacia arriba desde una to-
¡2f (X) dx
rre de 448 pies de altura, con una velocidad inicial de 48 pies por
segundo. ¿En cuántos segundos llegará al suelo y con qué velocidad? Suponga que g = 32 pies por segundo por segundo y desprecio de la resistencia del aire.
(a) l : f (X) dx
(b) 122If (X)1 dx
(c) l : g (X)dX
(d) l)f(X)
22. ¿Qué aceleración constante provocará que un automóvil au-
Sugerencia: En las partes (a) y (b), primero bosqueje una gráfica.
= -4,
mente su velocidad de 45 a 60 millas por hora en 10 segundos?
(e) ¡2[2 g (X)
23. Sea P una partición regular del intervalo [0,2J en cuatro subintervalos iguales, y sea f(x) = x 2 - 1. Escriba la suma de Rie-
36. Evalúe
mann para f sobre P, en la que Xi es el extremo de la derecha de
cada subintervalo de P, i = 1,2,3,4. Determine el valor de esta suma de Riemann y haga un bosquejo de la gráfica.
Y ¡2g(X) dx
+ 3f(x)]dx
= 5. Evalúe cada integral
+ f(-x)]dx
(f) l : g (X)dx
{lOO (x 3 + sen 5 x) dx
J-100
37. Encuentre c del Teorema del valor medio para integrales para
f(x) = 3x2 en [-4, -1].
268
CAPíTULO
La integral
5
38. Encuentre G'(x) para cada función G.
(a) G(x)
=
¡
¡
-2-dt
=
X
+1
t
1
(c) G(x)
1
X
(b) G(x)
=
rg(X)
¡
1
2
t
t
+1
(a) lím
n-'>rx)
(c) G(x)
= ¡Xsen2ZdZ
= ~ ¡Xf(z) dz
= ¡-xf(-t)dt
40. Evalúe cada uno de los límites siguientes, reconociéndolo como una integral definida.
39. Encuentre G'(x) para cada función G.
(a) G(x)
(f) G(x)
+1
dt
-2-
dg(u)
------;¡;;- du
-2-dt
1
X}
= Jo
(e) G( x)
1
X
(b) G(x)
4
Ln~'
~.n n
n
(b)
i=l
= ¡X+l f (Z)dZ
5X
41. Demuestre que si f (x)
(d) G(x)
= ¡X (¡Uf(t) dt) du
constante en (O, (0).
=
1
2i)2 -;;2
(
}~~ ~ 1 + ~
1
- dt entonces f es una función
2x t
S.10 Problemas adicionales
1. ¿Cuál de las figuras 1,2 o 3 muestra la solución del problema
• . . 1 dy
x y (O) =.
1 D'e 1as razones para su
· o, ImCIa
con con dIClon
-d = - -;
x
y
respuesta.
seg
O
pies/seg 88
30
80
60
66
90
51
120
37
150
26
180
14
210
5
240
O
Utilizando las sumas de Riemann:
(a) estime la distancia máxima en pies que necesita el tren para
detenerse;
(b) estime la distancia mínima en pies que necesita el tren para detenerse;
(c) estime la distancia que el tren necesita para detenerse, con base en la velocidad promedio entre cada lectura del velocímetro;
-1
Figura 1
-2
-1
Figura 2
Figura 3
(d) explique por qué en la parte (c) es el promedio de los valores
de las partes (a) y (b).
4. Apruebe o refute que la integral del valor promedio es igual
2. En la figura 4, se da la velocidad v(t) para O ~ t ~ 10. Utilice la
gráfica para bosquejar una gráfica, a grandes rasgos, de la posición
s(t) y de la aceleración a(t) que tiene la velocidad que se indica
para O ~ t ~ 10 en el caso cuando:
(a) s(O) = O;
(b) s(10)
=
O;
(c) s(5) = O.
a la integral de la función en el intervalo:
lb1 lb
dx
=
f(x) dx,
donde 1 es el promedio de una función f en el intervalo [a,
bJ .
5. Suponga que u y v pueden integrarse en el intervalo [a, bJ
Yque el valor promedio en el intervalo se denota por u y V, apruebe o refute que:
~
(a) u + v = u + v;
(b) ku = ku, donde k es cualquier constante:
(c) si u
o ~---+-----t----'r---+----1
-1
-2
Figura 4
3. Un ferrocarril muy largo está intentando detenerse para hacer
una parada lo más rápido posible. A tales ferrocarriles tan largos
les puede tomar varias millas detenerse. En el instante que el maquinista aplica los frenos, el tren va a 60 millas -por hora (88 pies
por segundo). A continuación está una tabla de lecturas del velocímetro tomadas en los 4 minutos que tarda el tren en detenerse.
~
v entonces u ~
v no importa si a <
b o b < a.
6. La corriente eléftrica domiciliaria puede modelarse por medio del voltaje V = V sen (1207Tt + 4», donde t se mide en segundos, V es el valor máximo que V puede alcanzar y 4> es el ángulo
de fase. Tal voltaje por lo común es de 60 ciclos, ya que en 1 segundo el voltaje da 60 oscilaciones. El voltaje cuadrado medio, por
lo común denotado por V rms se define como la raíz cuadrada del
V2. De aquí que
Una buena medida de cuánto calor puede producir un voltaje dado está dado por V rms'
(a) Calcule el voltaje promedio durante un segundo.
(b) Calcule el voltaje promedio en 1/120 de un segundo.
SECCiÓN
VV2
Problemas adicionales
269
y
= - 2 - calculando la integral para V rms'
(c) Demuestre que ~ms
Sugerencia:
5.10
J
sen 2 t dt
1
1
= -"2 cos t sen t + "2 t + c.
15
la
(d) Si el V rms para la corri~nte domiciliaria por lo regular es 120
volts, ¿cuál es el valor V en este caso?
7. Considere la función G( x)
= /, x f( t) dt, donde f(t) oscila al-
rededor de la recta y = 2 sobre la región x [O, 10J Yestá dada por
la figura 5.
-5
Figura 6
9. La figura 7 muestra la gráfica de una función f que tiene tercer
derivada continua. Las líneas discontinuas son tangentes a la gráfica en los puntos que se indican. Con base en lo que se muestra,
¿qué puede decir acerca de las siguientes integrales definidas? Los
resultados, ¿son positivos, negativos o cero, o bien es imposible decirlo?
y
la
y
-5
-10
Figura 5
(a) ¿En qué valores, de esta región, aparecen los máximos y mínimos locales de G(x)?
(b) ¿En dónde alcanza G(x) su máximo y su mínimo absolutos?
(c) ¿En qué intervalos G(x) es cóncava hacia abajo?
(d) Haga un bosquejo de la gráfica de G(x).
8. Realice el mismo análisis que hizo en el problema 7,para la fun-
ción G(x)
Figura 7
(a)
= ¡Xf(t) dt dada parla figura 6, en donde f(t) oscila
alrededor de la recta y
=
2 para el intervalo [0,10].
(c)
113f (X)
l:
dx
f "(X)dX
(b) l:!'(X)dX
(d)
113fll/(X)
dx
Sumas de Riemann
1. Preparación
aproximaciones con el valor exacto.) Copie y complete una
tabla parecida a la siguiente:
Todas las funciones continuas tienen antiderivadas, pero no todas tienen antiderivadas que puedan expresarse en términos
de funciones elementales, esto es, polinomios, funciones racionales, funciones con raíces, funciones trigonométricas y trigonométricas inversas, funciones logarítmicas y exponenciales.
Cuando f es continua y cuando usted puede encontrar una antiderivada para f en términos de funciones elementales, usted
puede evaluar la integral definida
al aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo; es decir, si F es una función que satisface F'(x) = f(x), entonces
¡bf(X) dx
Suma izquierda de Riemann Error para la suma izquierda de Riemann
5
10
20
40
Estudie la columna error. ¿Qué le sucede al error conforme n
se duplica?, ¿el error disminuye a la mitad?, ¿disminuye a la
tercera parte?, ¿disminuye a la cuarta parte?
Ejercicio 4 Ahora utilice el punto de la derecha de cada subintervalo. Ejecute el programa como en el ejercicio 3, y complete una tabla similar. Ahora, ¿qué le sucede al error cuando n se
duplica?, ¿el error disminuye a la mitad?, ¿disminuye a la tercera parte?, ¿disminuye a la cuarta parte?
= F(b) - F(a)
En este proyecto, usted investigará la aproximación de las integrales definidas utilizando sumas de Riemann, de modo que
debe revisar el concepto de la suma de Riemann en la sección
5.5. Dividiremos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual
longitud y evaluaremos el integrando en (1) el punto de la izquierda, (2) el punto de la derecha, y (3) el punto medio del intervalo [X¡_l,x;];a la suma resultante le llamamos suma del punto izquierdo de Riemann, suma del punto derecho de Riemann
y suma del punto medio de Riemann, respectivamente.
Ejercicio 1 Considere la integral definida ¡5(X 4 + l)dx.Eva-
lúe esta integral utilizando el segundo teorema fundamental del
cálculo.
11. Uso de la tecnología
Ejercicio 2 Para la integral del ejercicio 1 utilice un SAC para evaluar la suma izquierda de Riemann, esto es, la suma de
Riemann que se obtiene utilizando el punto de la izquierda de
cada subintervalo.
Ejercicio 3 Ahora, varíe el valor de n (el número de subintervalos), ejecute el programa y observe el efecto sobre la suma de Riemann. Seleccione n = 5,10,20,40,80,160,320,640,
1280. Para cada valor de n, anote la suma de Riemann y el
error.
error = ¡suma de Riemann - valor exacto de la integrall
(Obsérvese que para este integrando conocemos el valor exacto de la integral definida, de modo que puede comparar las
270
n
Ejercicio 5 Ahora utilice el punto medio de cada subintervalo, Ejecute el programa como en el ejercicio 3, y complete una
tabla similar. Ahora, ¿qué le sucede al error cuando n se duplica? ¿el error disminuye a la mitad? ¿disminuye a la tercera
parte? ¿disminuye a la cuarta parte?
Ejercicio 6
Ahora considere la integral definida
{lO
Jo
2
Vl00 - x dx
En este momento del curso, usted no conoce cÓmo encontrar
una antiderivada para V100 - x 2 , pero aún puede encontrar un valor exacto para esta integral definida por medio de
geometría. ¿Cuál es el valor exacto? Repita los ejercicios del3
al 5 para esta integral definida.
Ejercicio 7
Considere la siguiente integral definida
¡'Ir
Vsenxdx
Para esta integral no conoce el valor exacto. Con base en lo
que aprendió en los ejercicios del 3 a15, ¿cómo encontraría un
valor aproximado para esta integral definida?
111. Reflexión
Ejercicio 8 Cuando utiliza un método para aproximar una
integral definida, los errores tienden a ser proporcionales a
l/n, o 1/n2 , o l/n3, etc., donde n es el número de subintervalos. Con base en las tablas que construyó en los ejercicios del
3 a15, intente detectar este patrón para (1) la suma izquierda
de Riemann, (2) la suma derecha de Riemann y (3) la suma
del punto medio de Riemann. Explique su razonamiento.
Ii .: f TCNOLSA
I'
PROYECT
52
I
C1
I
I
unciones de acumulac -
c'
Preparaciór
Aigunas funcionec
e 3Lh
fi dc fifl
-
ds oi
D
el area bajo una "..urva a partir cle un
pt.nto fijo hasta ILlfl pi.ir1to var1 ab[e.
-Ii
'i iThmos Ilamado a )t'
'nciones
l...CiOfli
T..
"e acumtuacion. IuIi.
mrjort.. nte- fuijl__1
1rc S Ia
ciOn de acun'--.aci
jul- n de es t1J
función integalIi sen0, que se define
.
I
Si'ix)=J
-_dt
nt
o al inLegrawic. I-'ri
no está definid.r parr
t,
.
En 1'te:iii alica, la función es Sinlntegral
y e'-n Ma le la funciOn es Si.
, e) integ ;ii10
h(
= 0,1oconio
oer
existe?
Ejercicio 5
d
Si(x)?
tr ido
Segundo. obsérvese que
Si J ji.e;arr
--,o( mo
toma lanlo valores positi
cc
ilegativos; asI 'iue Ia integral det = Oat=x
er[eaiidacI es arrth a - Aabajo.
2
Ekrcki'D 6 Demuestre que y =
Si(x)
y"+
ra estas funciones y haga un dibujo de
x
2x2y = senx.
de acumulaciOn F(x) = ff(t)dt.
2
P' utrt solución de Ia ecuación difereniaI
Esta ;e Haman integrales de Fresnel. Encuentre el nombre que su SAC utiliza pa-
Ejercicio 8 Defina su propia funciOn
continua f de modo que, hasta donde Sepa, Jf(x) dx no pueda expresarse en términos de funciones e1emen k Después
elija un valor para a y defina Ia función
j,Qué es
1
-.0
=J
"t2 )dt
sen(
III. Reflexión
X -*00
sei.
li
cx
S(x)
C(x) y de S(x) en [0,4] ,en La misma yentana de elaboración de gráficas.
lIm 5i(x)
-
recorcjará
I
a.0 3 Ahora utilice una utilerIa
p ara r .ia t; gráficas para graficar Si(x).
y
Ej
Ejer Jcio 4
oI.)sérveseIi uns uairtas cc1sa con
.
Ejeruci
Sin utilizar una L itie
ii n' i para realiza.ir gr.áficas intente diLa.
1' ir una
grafica de i(x) para x en LU, 3rj.
Utilice un CAS para graficar su función
F, y describa algunas de sus propiedades.
Ei
'.jercicio
7 Defina
II. Usa.1 c..
1e I la Lecnuogi
i
L
C(r)
Ejercic.iol
pai
j
f(t) =
(
real i:zar
Sefl,t
La ayuda de una ut1 erla
gi:áJfic
=J
/,Tt2
2
cosI(
gr'que
IJ
,
eu ci intervaic
cx
-
J, 3].
271
de Siracusa fue, sin
duda, el más grande
matemático de Ia antiguedad.
ArquImedes
De ancestros griegos, recibiO su
ArquImedes
287-212 aC.
educaciOn en AlejandrIa, el centro de
J'
(
Ia sabidurla y a cultura griegas. En su
tiempo, fue famoso como inventor y
cientIfico práctico. lnventO un tornillo
para elevar el agua, estableciO las
propiedades de las poleas y palancas
("dadme un punto de apoyo y moveré
al mundo"), construyó un modelo
...yhoyendIa
Dos instrumentos del automOvil, el
odOmetro y el velocImetro aplican
el teorema fundamental del
cálculo. El odOmetro integra
Ia rapidez (velocidad) y da Ia
distancia recorrida, esto es,
mecánico que reproducla el
movimiento de Ia luna y los planetas;
para complacer al rey de Siracusa,
encontrO un modo para determinar Si
a corona del rey era de oro puro sin
necesidad de fundirla (el principio de
ArquImedes sobre flotación).
v(t) dt = s(b) - s(a).
Las invenciones y recursos
prácticos eran para ArquImedes meros pasatiempos; sus
mejores escritos y sus intuiciones más penetrantes fueron
dedicados a esa parte de las matemáticas que ahora se
conoce como cálculo integral. Usando un método (el método
de exhaustion) en el que sumaba un enorme nümero de
cantidades rnuy pequeñas, se anticipó a algunos de los
resultados de este capItulo. Entre sus aportaciones se cuentan
las fOrmulas del area del cIrculo, del segmento de Ia parabola
y de a elipse; el volumen y el area de Ia esfera, del cono y de
otros sOlidos de revoluciOn. Se dice que solicitO a sus amigos
que grabaran sobre su tumba una esfera que contuviese un
cilindro inscrito, marcados con a razón del volumen de Ia
esfera a Ia del cilindro.
r
CAPiTUS
I.:
I
r
i
Aplicaciones
de Ia integral
El area de una region plana
6.1
6.2 Volümenesde sOlidos: rebanadas, discos, arandelas
6.3 Volümenes de sOlidos de revoluciOn: cascarones
6.4 Longitud de una curva plana
6.5 Trabajo
6.6 Momentos, centro de masa
6.7 Revision del capItulo
Problemas adicionales
Proyecto de tecnologia 6.1
Proyecto de tecnologIa 6.2
6.8
6.1
El area de
una regiOn plana
Volumen de un cilindro elIptico
Longitud de arco
El breve estudio de areas en Ia sección 5.4 sirvió para motivar la definición de Ia integral
definida. Ahora, con Ia ültima noción firmemente establecida, utilizamos Ta integral definida para calcular areas de formas cada vez más complejas. Comenzaremos con los
casos más sencillos.
Una regiOn por arriba del eje x Supóngase que y f(x) determina una cur.va en ci plano xy y supOngase que f es continua y no negativa en el intervalo a x b
(como en la figura 1). Considérese Ia region R acotada por las gráficas de y = f(x),
x
a, x = b y y 0. Nos referiremos a R como Ia regiOn bajo y f(x) entre x a
y x = b. Su area A(R) está dada por
V
R
A(R)
a
Figura 1
I,
x
EJEMPLO 1
x=2.
f
b
f(x) dx
Encuentre el area de la regiOn R bajo y = x4 - 2x3 + 2 entre x = 1 y
Solución La gráfica de R se muestra en la figura 2. Una estimaciOn razonable para el area de R es su base por una altura promedio, digamos (3)(2) = 6. El valor exac-
toes
A(R) =
f2-1
(x4
32
2x3
rx5
+2)dx
- 162 +4j
/
'
12
x4
+2x
2
1
1
'\
5
2
/
=
51
10
=5.1
273
Aplicaciones de Ia integral
274 CAPETULO 6
El valor calculado de 5.1 es suficientemente cercano a nuestra estimación, 6, para darnos confianza de su validez.
Una regiOn debajo del eje x
El area es un nümero no negativo. Si la gráfica
b
de y = f(x) está por debajo del eje x, entonces f f(x) dx es un nürnero negativo y
por tanto no puede ser un area. Sin embargo, solo es el negativo del area de La region
acotada por y f(x), x a, x b y y 0.
EJEMPLO 2
x
-2yx
Encuentre eL area de la region R acotada por y = x313 - 4, el eje x,
3.
So!ución La region R se muestra en Ia figura 3. Nuestra estimación preliminar pa15. El valor exacto es
ra su area es (5)(3)
A(R)
Figura 2
13(x2
- x2 +4dx
/
4dx
- f37
2
/
r
=I---+4x1
= - 27 +12 /
/
J-2
L
9
9
9
9
\\
--8 / = 145
"8
1
16.11
Estamos tranquilos por Ia cercanIa de 16.11 a nuestra estimaciOn.
R
-3
EJEMPLO 3
U
EncuentreelareadelaregiOnRacotadapory = x3 - 3x2 - x + 3,el
segmento del eje x entre x = -1 y x = 2 y la recta x = 2.
Solución La region R está sombreada en La figura 4. Obsérvese que parte de ella está
arriba del eje x y parte está debajo. Las areas de estas dos partes, R y R2, deben calcularse por separado. Puede verificar que la curva cruza el eje x en -1, 1 y 3. AsI que,
A(R) = A(R1) + A(R2)
p2
11
Figura 3
= J-i
/
x + 3)dx
(x3 - 3x2
-J
(x3 - 3x2 - x + 3)dx
I-x -+3x iij- - [4 -x
3
2
L4
=4-
/
7\
X
2
+3x
23
-4
Nótese que podrIamos haber escrito esta area como una integral utilizando el sImbob de valor absoluto.
A(R)
=
- 3x2 - x + 3 dx
Pero ésta, no es una simplificación real, ya que para evaluar esta integral, tendrIamos
que separarla en dos partes,justo como bo hicimos antes.
Una manera ütil de pensar Para regiones sencilbas del tipo considerado anteFigura 4
riormente, es muy fácil escribir la integral correcta. Cuando consideremos regiones
más complicadas (e.g., regiones entre dos curva), La tarea de seleccionar La integral correcta es más difIcil. Sin embargo, hay una manera de pensar que puede ser muy ütil.
Regrese a la definición de area y de integral definida. AquI está en cinco pasos.
Paso 1:
Bosqueje La gráfica.
Córtela en pedazos delgados (tiras); marque una pieza representativa.
Paso 3: Aproxime el area de esta pieza representativa como si fuese un rectángulo.
Paso 2:
SEccION 6.1
El area de una region plana 275
Paso 4:
Sume las aproximaciones a las areas de las piezas.
Paso 5:
Tome el lImite cuando el ancho de las piezas se aproxima a cero, obteniendo
asI una integral definida.
Para ilustrar, consideramos otros ejemplos, aün sencillos.
EJEMPLO 4 Formule la integral
0 y x = 4 (véase la figura 5).
x
para el area de la region bajo y = 1 + \/i entre
Solución
Aproxime el area de una pieza tIpica:
AA
(
Sume: A
+ \t,) Ax1
, (1 + \/x,) Ax1
Tome el IImite: A = j
(I + i) dx
Figura 5
Una vez comprendido este procedimiento de cinco pasos, podemos reducirlo a tres; rebane, aproxime, integre. Considere la palabra integre como sumar las areas de las pie-
zas y tomar el ilmite cuando el ancho de las piezas tiende acero. En este proceso
zXx se transforma en f... dx cuando tomamos el lImite. La figura 6 proporciona Ia forma abreviada para el mismo problema.
Aproxime
AA =(1+)Ax
Integre
p
A=
dx
I
Figura 6
Una regiOn entre dos curvas Considérense las curvas y = f(x) y y = g(x) con
g(x) < f(x) en a x b. Ellas determinan la regiOn que se muestra en la figura 7. Utilizamos el método rebane, aproxime, integre para encontrar su area. Asegérese de notar que f(x) - g(x) da la altura correcta para la delgada tira, aun cuando la gráfica de
g esté por debajo del eje x. En este caso, g(x) es negativa; de modo que restar g(x) es
lo mismo que sumar un nilimero positivo. Puede verificar que f(x) - g(x) también da
la altura correcta, aun cuando tanto f(x) como g(x) sean negativas.
AA=Jf(x) ±g(x)]Ax
A =f[f(x) g(x)] dx
Figura 7
276 CAPETULO 6
Aplicaciones de a integral
EJEMPLO 5
Encuentre el area de la region entre las curvas y =
x4
y y = 2x - x2.
Solución Empezamos por encontrar en dónde se intersectan las dos curvas. Para hacer esto, necesitamos resolver 2x - x2 = x4, una ecuación de cuarto grado, las cuales por
lo regular son difIciles de resolver. Sin embargo, en este caso x = 0 y x = 1 son soluciones obvias. Nuestro bosquejo de la región,junto con la aproximación apropiada y la
integral correspond iente, se muestran en la figura 8.
AA(2xx2x)z\x
A =fo'(2x_x2_x4)dx
Figura 8
Resta una tarea: evaluar la integral.
3511
7
(2x_x2_x4)dx=[x2___-il
=1_i_i=
3
3
5
15
L
5]o
U
EJEMPLO 6
Rebanadas horizontales
recta 4x = 4.
y
Solución
4.4
Encuentre el area de la region entre la parabola y2 = 4x y la
Necesitaremos los puntos de intersecciOn de estas dos curvas. Las ordena-
das de estos puntos pueden determinarse escribiendo la segunda ecuación como
4x = 3y + 4 y luego igualando las dos expresiones para 4x.
4x
=4
y2 = 3y + 4
y2 -
-4=0
(y - 4)(y + 1) = 0
y = 4, 1
(I4'
Figura 9
Con base en esto, concluimos que los puntos de intersección son (4, 4) y (, 1). La región entre las curvas se muestra en la figura 9.
Ahora imagine que se rebana esta region de forma vertical. Nos enfrentamos a un
problema, ya que la frontera inferior consiste de dos curvas diferentes. Las rebanadas
en el extremo izquierdo van de Ia rama inferior de la parabola a su rama superior. Para el resto de la regiOn, las rebanadas se extienden de la recta a la parabola. Para resolver el problema con rebanadas verticales se requiere que primero dividamos nuestra
region en dos partes, formulando una integral para cada parte y después evaluar ambas integrales.
Un enfoque mucho mejor es rebanar la regiOn de manera horizontal como se
muestra en la figura 10, y por eso usamos como variable de integración a y en lugar de
x. Obsérvese que las rebanadas horizontales siempre van de Ia parabola (a la izquierda) a la recta (a la derecha). La longitud de tal rebanada es el valor más grande de x,
(x
(3y + 4)) menos el valor más pequefio de x, (x =
El area de una region plana 277
SECCION 6.1
Ay
A= fl[
-
4
3y+4
y2
]dy
(T)
Figura 10
A
f4[3 + 4 - jdy=
4
14
1
4 - y2)dy
(3y
1r3y2
4[2 +4y--I 24+16 64
3
4L\
y
3
125
-1
(3
)\2--4+-3/]
1
5.21
24
Hay dos puntos a observar: (1) El integrando que resulta de Las rebanadas horizontales incluye a y, no a x; y (2) para obtener el integrando, se despeja x de ambas ecuacioU
nes y se resta el valor más pequeflo de x del mayor.
Distancia y desplazamiento Considere un objeto que se mueve a lo Largo de
una recta con velocidad v(t) en el instante
t.
Si v(t)
0, entonces
f
b
v(t) dt propor-
b (véanse las secciociona la distancia recorrida durante el intervalo de tiempo a
nes 5.4 y 5.6). Sin embargo, si algunas veces v(t) es negativa (que corresponde a que
el objeto se mueva en reversa), entonceS
dt =
fb
s(b) - s(a)
mide el desplazamiento del objeto, eSto es, la distancia dirigida desde su posición inicial
s(a) hasta su posiciOn final s(b). Para obtener La distancia total que el objeto recorriO
durante a
t
b, debemos calcular
f
b
v(t) dt, eL area entre La curva de La velocidad
y el eje t. Los problemas del 31 aL 33 iLustran estas ideas.
Revision de conceptos
Sea R La region entre la curva y = f(x) y el eje x en el interpara toda x en [a, b], entonces A(R) =
valo [a, b]. Si f(x)
pero si f(x) 0 para toda x en [a, b], entonces A(R) =
Para determinar el area de la region entre dos curvas, es bueno recordar la siguiente frase de tres palabras:
Suponga que las curvas y = f(x) y y = g(x) acotan a una
region R en la que f(x)< g(x). Entonces eL area de R está dada
por A(R)
=I
dx, donde a y b se determinan resol-
viendo La ecuación
Si p(y) <q(y) para toda y en [c, d], entonces el area A(R) de
la region R acotada por Las curvas x = p(y) y x = q(y) entre y = c y
y = d está dada por A(R) =
278
CAPITULO 6
Aplicaciones de Ia integral
Conjunto de problem as 6.1
En losproblemas deli allO, utilice el procedimiento detrespasos (rebanar, aproximar, integrar) para formular una integral (o integrales)
para el area de Ia region que se indica.
1.
Sugerencia: Para encontrar los puntos de intersección, resuélvase
x = 2 - x2.
2.
ÀY
v=x-x+2
7.
x
3.
4.
9.
El area de una region plana 279
SECCION 6.1
35. Calcute las areas A, B,C y Den ta figura 11.Verifique calculando A + B + C + D en una sota integraciOn.
10.
V=
(3,9)
(-3,9)
En losproblemas deli] at 28, dibuje Ia region acotada por las gráficas de las ecuaciones que se dan, muestre una rebanada representativa, aproxime su area, formule una integral y calcule el area de Ia región. Haga una estimaciOn del area para confirmar su respuesta.
11. y
12. y
13. y
14. y
15. y
16. y
17. y
18. y
= 3 - x2, y = 0, entre x 0 y x = 3
= 5x - x2,y = 0,entrex = lyx = 3
= 0,entrex = Oyx = 3
= (x - 4)(x +
= landx = 4
=
0,entrex
= x2 - 4x - 5,y
= (x - 7), y = 0, entre x = 0 y x = 2
= x3, y
0, entre x =
3yx
Figura 11
36. Demuestre et principio de Cavalieri. (Bonaventura Cavatieri (1598-1647) desarrottO este principio en 1635). Si dos regiones tienen ta misma altura en cada x en [a, b], entonces tiene la misma area
(véase ta figura 12).
9
20. y = \/,y = x - 4,x = 0
21. y = x2 - 2x, y = x2
22. y = x2 - 9,y = (2x - 1)(x + 3)
23. x =
- y2, x = 0
24. x = (3 y)(y + 1),x = 0
25. x = 6y2 + 4y,x + 3y 2 = 0
26. x = y2 - 2y,x - y 4 = 0
27. 4y2 - 2x = 0,4y2 + 4x 12 0
28. x = 4y4,x = 8 4y4
29. Haga un bosquejo de la region R acotada por y
y
(2,4)
3
= \1/:,y = 0,entrex 2yx = 2
=
lO,y = 0,entrex = Oyx =
19. y = (x - 3)(x - l),y = x
-
(-2,4)'
a
b
Figura 12
= x + 6,
x3 y 2y + x = 0. Después encuentre su area. Sugerencia: DivI-
37. Utilice el principio de Cavatieri (no integre; véase el problema 36) para demostrar que las regiones sombreadas en Ia figura 13 tienen la misma area.
dase R en dos partes.
30. Por medio de integración, encuentre el area del triángulo
con vertices en (-1,4), (2, 2) y (5, 1).
31. Un objeto se mueve a to largo de una recta de modo que su
312 - 24t + 36 pies por segundo
velocidad en el instante t es v(t)
(véase el ejemplo 3 de la sección 3.7). Encuentre el desplazamiento y
<9.
Ia distancia total que recorre el objeto para 1
32. Siga las instrucciones del problema 31, si v(t) =
y el intervalo es 0 t 3r/2.
33. Iniciando en s
+ sen 21
0 cuando 1 = 0, un objeto se mueve a to
targo de una recta de modo que su velocidad en et instante I es
v(t) = 2t - 4 centImetros por segundo. Cuánto tiempo le toma lle-
Figura 13
38. Encuentre el area de la regiOn encerrada entre y = sen x y
y
,0x17/6.
gar a s = 12? i,Cuánto tiempo te toma recorrer una distancia totat de
12 centImetros?
34. Considere ta curva y
1/x2 para 1
x <6.
Respuesta a Ia revision de conceptos:
Calcute et area debajo de esta curva.
Determine c de modo que Ia recta x = c bisecte el area de la par-
2. rebane, aproxime, integre.
te(a).
4.f[q(y) -
Determine d de modo que la recta y = d bisecte el area de la par-
te(a).
p(y)]dy
1.
/f(x)dx; fr(x)dx
3. g(x) - f(x); f(x) = g(x)
280 CAPITULO 6
Aplicaciones de Ia integral
6.2
VolUmenes de sOlidos:
rebanadas, discos,
arandelas
El volumen de una moneda
Considere una moneda ordinaria, digamos una moneda de 25 centavos.
No es sorprendente que la integral definida pueda utilizarse para calcular areas; se inventó para ese propOsito. Pero los usos de la integral van mucho más allá de esa aplicación. Muchas cantidades pueden considerarse como el resultado de rebanar algo en
pequeños pedazos, aproximar cada pedazo, sumarlos y tomar el lImite cuando los pedazos disminuyen su grosor. Este método de rebanar, aproximar e integrar puede utilizarse para encontrar los volámenes de sólidos siempre y cuando el volumen de cada
pedazo sea fácil de aproximar.
,Qué es el volumen? Comenzamos con sólidos sencillos denominados cilindros
rectos, cuatro de los cuales se muestran en Ia figura 1. En cada caso el sOlido se genera moviendo una region plana (La base) a to largo de una distancia h en dirección perpendicular a esa region. Y en cada caso el volumen del sólido se define como el area
A de la base por la altura h; esto es,
V
A . h.
Figura 1
Esta tiene un radio de airededor de 1
centImetro y un grosor de casi 0.2 de
centImetro. Su volumen es el area
de la base, A
r(12), por el grosor
h = 0.2; esto es
V = (lir)(0.2)
Ahora considérese un sólido con La propiedad de que su sección transversal perpendicular a una recta dada tiene area conocida. En particular, supOngase que La recta
es el eje x y que el area de la secciOn transversal en x es A(x), a
(véase la fi-
gura 2). Dividimos el intervalo [a, b] insertando puntos a = x0 < x1 < x2 <
= b. Después a través de estos puntos pasamos planos perpendiculares al eje x, con
lo que rebanamos el sólido en capas delgadas o rebanadas (véase la figura 3). El volumen
AV1 de una rebanada debe ser aproximadamente el volumen de un cilindro; esto Cs,
0.63
de centImetro cübico.
(Recuérdese que
A(i) Lix,
, que se denomina punto muestra, Cs cualquier némero en ci inter.-
valo [x_1, x1].)
'I>
/
a
a
x
b
Figura 2
\ xl
_-
xi_I
b
xi
Figura 3
EL "volumen" V del sólido debe estar dado de manera aproximada por medio de la
suma de Riemann
V
Cuando hacemos que La norma de La partición tienda a cero, obtenemos una integral
definida, esta integral se define como eL volumen del sOlido.
fb
En tugar de apLicar de manera mecánica Ia fOrmula en ci recuadro para obtener
volOmenes, le sugerimos que en cada problema vaya a través del proceso que conduce
a ella. Al igual que para areas llamamos a este proceso rebane, aproxime, integre. Se ilustra en los ejemplos siguientes.
SECCION 6.2
VolOmenes de sOlidos: rebanadas, discos, arandelas 281
SOlidos de revoluciOn: Método de los discos Cuando una regiOn piana se
encuentra por completo en un lado de una recta fija en su piano, y se hace girar airededor de esa recta, genera un sólido de revolución. La recta fija se denomina eje del
sólido de revolución.
Como iiustración, si Ia region acotada por un semicIrcuio y su diámetro se hace girar airededor de ese diámetro, barre un sóiido esférico (véase ia figura 4). Si la region
dentro de un trianguio rectángulo se hace girar airededor de 11110 de sus catetos, genera
un sóiido cónico (véase ia figura 5). Cuando una region circular se hace girar airededor
de una recta en su piano y que no intersecta ai cIrculo (véase Ia figura 6), barre un toro (dona). En cada caso, es posible representar el volumen como una integral definida.
Eje
Figura 6
Figura 5
Figura 4
EJEMPLO 1
Encuentre el volumen del sólido de revoiución obtenido ai hacer girar la
region plana R, acotada por y = \/i, ci eje x y la recta x = 4, airededor del eje x.
Solución La region R, con una rebanada representativa, se muestra como la parte de
la izquierda de la figura 7. Cuando se hace girar en tomb al eje x, esta region genera un
sOlido de revolución y la rebanada genera un disco, un objeto delgado en forma de moneda.
Ax
Ax
AViT(\/)2Ax
y =Vx
V=j0 irxdx
x
4
x
Figura 7
Al recordar que el volumen de un cilindro circular recto es 7rr2h, aproximamos el
1T(V)2 zXx y entonces integramos
volumen AV de este disco con LW
f4
r214
16
V=ir/ xdx=iII
[2]o
ir
2
=825.13
Encuentre el volumen del sólido generado haciendo girar la region acotada por la curva y = x3, ei eje y y la recta y = 3 en tomb al eje y (véase la figura 8).
EJEMPLO 2
Aqul rebanamos de manera horizontal, lo cual hace que y sea la eiección
corno la variable de integración. Obsérvese que y = x3 es equivalente a x =
y
Solución
([)2
Por tanto, el volumen es
91/
13
3
v = f y213 dy =
=
y513
L5
jo
11.76
282
CAPiTuLo 6
Aplicaciones de Ia integral
Ly
x
AVz
/J)2Ay
V=j0iry-7/3 dy
.
Figura 8
Método de las arandelas Algunas veces, a! rebanar un sólido de revolución se
obtienen discos con agujeros en medio. Estos discos se conocen con el nombre de arandelas. Véase el diagrama que acompafia a la formula que se muestra en La figura 9.
EJEMPLO 3
Encuentre el volumen del sólido generado a! hacer girar la regiOn acotada por Las parábo!as y = x2 y y2 8x en torno a! eje x.
V=A .h
= 7T(r2 - r12)h
Solución
Las paLabras dave siguen siendo rebane, aproxime, integre (véase la figu-
ra 10).
Figura 9
V=
/ (8x - x4)dx =
Jo
r8X2
[2
485o
30.16
AV=ir[(\/)2 (x2)2]x
V
Figura 10
fir(8xx)dx
U
SECCION 6.2
Volümenes de sólidos: rebanadas, discos, arandelas 283
-
EJEMPLO 4 La regiOn semicircular acotada por la curva x =
y el eje y se
hace girar airededor de la recta x = 1. Formule la integral que representa su volumen.
-
Solución Aqul el radio exterior de la arandela Cs 1 +
y el radio interior
es 1. La figura 11 muestra la solución. Se puede simplificar la integral.
AV=[(1 +4_y2)2_i2]Ay
V=ji [(1 +4_y2)2_12]dy
x = -]
x
x=-1
x=-1
Figura 11
La parte que está por arriba del eje x tiene el mismo volumen que La parte por debajo de él (que se manifiesta por sI mismo en un integrando par). Por eso, podemos integrar desde 0 hasta 2 y multiplicar el resultado por dos. También, el integrando se simplifica.
p2)2
+ V4
- 12]dy
=2f[2V4 y2 +4 y2]dy
Ahora véase el problema 35 para ver una forma de evaluar esta integral.
Otros sólidos con secciones transversales conocidas Hasta ahora, nuestros sOiidos han tenido secciones transversales circulares. Sin embargo, el método de
encontrar el volumen funciona también para sólidos cuyas secciones transversales son
cuadrados o triángulos. En realidad, todo to que se necesita es que las areas de las secciones transversates puedan determinarse, ya que, en este caso, también podemos aproximar ci votumen de La rebanada (una capa) con esta sección transversal. Entonces, el
volumen se encuentra por medio de integración.
EJEMPLO 5
Sea La base de un sóiido La region plana en el primer cuadrante acotada
por y = 1 - x2/4, el eje x y et eje y. Supóngase que Las secciones transversales perpendiculares al eje x son cuadrados. Encuentre ci volumen del sólido.
Solución Cuando rebanamos este sóiido de manera perpendicular al eje x, obtenemos
cajas cuadradas y delgadas (véase La figura 12), como rebanadas de queso.
V
[
x3
x512
= I2(1 _-2 + 16) dx=Ix---+
6
O'\
80]
L
=2-
8
+
32
16
80 = 15
1.07
284 CApiluLo 6
Aplicaciones de Ia integral
LX
(if
AV
\
4
V=
Figura 12
EJEMPLO 6 La base de un sólido es la region entre un arco de y = sen x y el eje x.
Cada secciOn transversal perpendicular al eje x es un triángulo equilatero apoyado en
esta base. Encuentre el volumen del sólido.
Solución
Necesitamos el resultado de que el area de un triángulo equilatero de lado
u es \/ u2/4 (véase la figura 13). Procedemos como se muestra en la figura 14.
Lx
x
AV
(\?sen2x)Ax
A=f(
vA=u -2-u=
sen2x)dx
Figura 14
Figura 13
Para realizar la integración indicada, usamos la fOrmula para el medio ángulo
sen2 x = (1 - cos 2x)/2.
-- 4 L
=
1cos2x dx
2
8L0
rI'd
1
= 8 L- -
- cos2x)dx
=
i I cos2x.2dx]
2j0
sen 2x
j
=
0.68
8
.
Revision de conceptos
El volumen de un disco de radio r y grosor h es
El volumen de una arandela con radio interno r, radio externo R, y grosor h es
Si la region R, acotada por y = x2, y = 0 y x = 3 se hace girar en tomb al eje x,el disco en x tendrá un volumen AV
Si la region R de Ia pregunta 3, se hace girar en tomb a la rec-
ta y = 2, la arandela en x tendrá volumen zXV
SECCION 6.2
Volümenes de sOlidos: rebanadas, discos, arandelas 285
Conjunto de problemas 6.2
En los pro blemas deli al 4, encuentre el volumen del sólido generado
cuando Ia region que se indica se hace girar alrededor del eje especificado; rebane, aproxime, integre.
En los problemas deli] al i6, haga un dibujo de Ia region R acotada por las graficas de las ecuaciones dadas y muestre una rebanada
horizontal representativa. Determine el volumen del sólido generado al
hacer girar R alrededor del eje y.
1. Ejex
x = y2, x = 0, y = 3
x =,y = 2,y
6,x
0
x =2\/,y = 4,x = 0
15. x
14. x = y2/3,y = 27,x = 0
y312,y = 9,x = 0
16. x
\/4 y2,x
0
Encuentre el volumen del sólido que se genera al hacer girar en tomb a! eje x Ia regiOn acotada por Ia mitad superior de la elipse
2. Ejex
x2
a2
2
+
b2
=1
y el eje x, y de esta manera encuentra el volumen de un esferoide alargado o elipsoide. Aqul a y b son constantes positivas, con a > b.
Encuentre el volumen del só!ido que se genera a! hacer girar, en tomb a! eje x, la region acotada por Ia recta y = 6x y la parábola y = 6x2.
(a) Ejex
(b) Ejey
Encuentre el volumen del sólido que se genera a! hacer girar, en torno a! eje x, la region acotada por !a recta x = 0 y !a parábola y2 = 4x.
Encuentre e! volumen de! só!ido que se genera a! hacer girar, en tomb al eje x, la region en el primer cuadrante acotada por el
cIrculo x2 + y2 = r2, el eje x y la recta x = r - h, 0 < h < r y asI encontrar el volumen de un casquete esferico de altura h, de una esfera
de radio r.
Encuentre el volumen del sólido que se genera a! hacer girar, en tomb a! eje y, la region acotada por la recta y 4x y Ia parábola y 4x2.
(a) Eje x
(b) Ejey
Encuentre el volumen del sólido que se generar a! hacer girar,
en torno a la recta y = 2, Ia region en el primer cuadrante acotada por
lasparábolas3x2-16y + 48 = 0yx2-16y + 80 = Oyelejey.
En los problemas del5 al iO, dibuje Ia region R acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas, y muestre una rebanada vertical representativa. Después encuentre el volumen del sólido generado al hacer girar R en torno al eje x.
y=
x = 4, y = 0
La base de un sOlido está acotada por un arco de y = \/cos x,
x
ir/2 y el eje x. Cada sección transversal
perpendicular at eje x es un cuadrado apoyado en esta base. Encuentre el volumen del só!ido.
ir/2
7.y,x=
2,x=4,y=0
x
y
0, entre x
Resuelva el problema 23 suponiendo que cada sección transversal a un plano perpendicular al eje x es un triánguio isósceles con
base en el piano xyy aitura 4. Sugerencia: Para compietar la evalua-
ciOn, interprete f V4 - x2 dx como el rea de un semicIrculo.
y = x3, x = 3, y = 0
y = x312, y
La base de un sOlido es la region interior del cIrculo x2 +
= 4. Encuentre el volumen del sOlido si cada sección transversal a
un piano perpendicular al eje x es un cuadrado. Sugerencia: Véanse los
ejemplos 5 y 6.
2yx
3
V9 x2,y 0,entrex = 2yx = 3
y = x2/3, y = 0, entre x = 1 y x = 27
La base de un sOlido es Ia regiOn acotada por y = 1 - x2 y
y = 1 - x4. Las secciones transversales del sOlido que son perpendiculares al eje x son cuadrados. Encuentre el volumen del sOlido.
286 CAPITULO 6
Aplicaciones de Ia integral
Encuentre el volumen de un octante (un octavo) de la región sólida comün a dos cilindros circulares rectos de radio 1 cuyos
ejes se intersectan en ánguios rectos. Sugerencia: Las secciones transversales horizontales son cuadrados. Véase la figura 15.
Figura 17
31. Repita ci problema 30 para r, L1 y L2 arbitrarias.
32. La base de un sólido es Ia region R acotada por y
y
x2. Cada sección transversal perpendicular a! eje x es un semicIrculo cuyo diámetro se extiende a lo largo de R. Encuentre ci voluy
men del sOlido.
33. Encuentre el volumen del sóiido generado a! hacer girar Ia
region en ci primer cuadrante acotada por la curva = x3, la recta
x = 4 y ci eje x:
(b) en toro a la recta y = 8.
(a) en torno a ia recta x = 4;
Figura 15
Encuentre ei volumen dentro de la "cruz" que se muestra en
Ia figura 16. Suponga que ambos cilindros tienen radio de 2 pulgadas
y 12 pulgadas de largo. Sugerencia: El volumen es igual a! volumen
del primer cilindro más el volumen del segundo cilindro menos el volumen de Ia region comOn a ambos. Utilice ci resultado del problema
34. Encuentre el volumen del sólido generado a! hacer girar la
region en el primer cuadrante acotada por Ia curva y2 = x3, Ia recta
y = 8y ci eje y:
(b) en torno a La recta y = 8.
(a) en torno a la recta x = 4;
35. CompLete Ia evaluación de la integral del ejemplo 4, observando que
27.
L
2[24 y2 +4 y2]dy
=
2f
4 - y2 dy +
f2
- y2)dy
Ahora interprete la primera integral como ci area de un cuarto de
cIrculo.
36. Un barril abierto de radio r y altura h, a! inicio está ileno de
agua. Se inclina y el agua se derrama hasta que el nivei dci agua coincide con ci diámctro de la base y toca exactamente ci borde superior.
Encuentre el volumen del agua que queda en ci barril. Véase la figura 18.
Figura 16
Encuentre el volumen interior a la "cruz" de la figura 16, suponiendo que ambos cilindros tienen radio r y largo L.
Encuentre ci volumen interior de la "T" en la figura 17, suponiendo que cada citindro tiene radio r = 2 pulgadas y que las lon= 12 pulgadas y L2 = 8 puigadas.
gitudes son
SECCION 6.3
37. Se corta una cufla de un cilindro circular recto de radio r
(véase Ia figura 19). La superficie superior de la cufla está en un plano que pasa por el dimetro de Ia base circular y forma un ángulo 0
con Ia base. Encuentre el volumen de la cuña.
VolCimenes de sOlidos de revolución: cascarones 287
Formule la versiOn del principio de Cavalieri para el volumen (véase el problema 36 de Ia sección 6.1).
Aplique el principio de Cavalieri para volOmenes de los dos
sólidos que se muestran en la figura 21. (Uno es una semiesfera de
radio r; el otro es un cilindro de radio r y altura r, del que se eliminó
un cono circular recto de radio r y altura r.) Suponiendo que el volumen de un cono circular recto es ), rr2 h, encuentre el volumen de una
semiesfera de radio r.
Figura 19
38. (El reloj de agua, clepsidra.) Un tanque de agua se obtiene
haciendo girar, en torno al eje y, Ia curva y = kx4, k > 0.
Encuentre V(y), el volumen de agua en el tanque como una funciOn de su profundidad y.
El agua sale a través de un pequeno orificio de acuerdo con la
ley de Torricelli (dV/dt = m \/). Demuestre que el five! del
agua desciende a una velocidad constante.
39. Demuestre que el volumen de un cono general (véase la figura 20) es Ah, donde A es el area de la base y h es la altura. Utilice este resultado para dar la fOrmula para el volumen de:
un cono circular recto de radio r y aitura h.
un tetraedro regular con arista de longitud r.
Figura 21
Respuestas a la revision de conceptos:
3. irx zXx 4. [(x2 + 2)2 - 4]x
Figura 20
6.3
Volümenes de sOlidos
de revoluciOn:
cascarones
Existe otro método para encontrar el volumen de un sOlido de revolución: el método
de los cascarones ci!Indricos. Para muchos problemas, es más ficil aplicar que el método de los discos o el de las arandelas.
Un cascarón cilIndrico es un sOlido acotado por dos cilindros circulares rectos concéntricos (véase la figura 1). Si el radio interno es r1, el radio externo es r2 y la altura
es h, entonces su volumen está dado por
V = (area de la base) (altura)
= (i-r - irr)h
= (r2 + r1)(r2 - r1)h
= 2ir
Figura 1
1. rrh 2. -(R2 - r2)h
/r2 +r1,
h(r2
/
\2
r1)
288 CAPITULO 6
Aplicaciones de Ia integral
La expresión (r1 + r2)/2, que denotaremos con r, es el promedio de r1 y r2. Con lo que,
V = 2ir (radio promedio) (altura) (grosor)
= 2rrh Ar
He aquI una buena forma de recordar esta formula: Si el cascarón fuera muy delgado y flexible (como papel), podrIamos cortarlo por un lado, abrirlo para formar una
hoja rectangular y después calcular su volumen, suponiendo que esta hoja forma
una delgada caja rectangular de largo 2irr, altura h y grosor Ar (véase la figura 2).
Ar
r
V = 2,rrh L r
/
Ar
Figura 2
El método de los cascarones Ahora considérese una region del tipo que se
muestra en la figura 3. Rebánela de manera vertical y hágala girar en torno al eje y.
Generará un sólido de revolución, y cada rebanada generará una pieza que es aproximadamente un cascarón cilmndrico. Para obtener el volumen de este sólido, calculamos
el volumen AV de un cascarón representativo, sumamos y tomamos el lImite cuando el
grosor de los cascarones tiende a cero. Por supuesto, lo Ultimo es una integral.
y
= f(x)
2irxf(x) Ax
AV
V=2J xf(x)dx
AX
-------->
x
1
Figura 3
EJEMPLO 1
La regiOn acotada por y = 1/\/i, el eje x,x = 1 y x = 4 se hace girar
en torno al eje y. Encuentre el volumen del sólido resultante.
Solución Con base en la figura 3, vemos que el volumen del cascarón que se genera
por la rebanada es,
2rxf(x)Ax
que,paraf(x) = 1/\/i, tenemos
AV27rx
Ax
Entonces el volumen se encuentra por medio de integración.
'
V=2
=2
Jif
x
1
- x312
L3
ii
dx = 2ir
=2
(2
I
-. 8
\3
x112 dx
2
1)
i
28ii3
29.32
SECCION 6.3
Volümenes de sólidos de revolución: cascarones 289
EJEMPLO 2
La region acotada por la recta y = (r/h)x, el eje x y x = h se hace girar
alrededor del eje x, y por ello se genera un cono (supongase que r > 0, h > 0). Encuentre su volumen por el método de los discos y por el método de los cascarones.
Solución
Método de los discos Siga los pasos sugeridos por Ia figura 4; esto es, rebane, aproxime, integre.
Ph
V=
J
h2
r2
x2 dx =
h2
o
3
o
-
irr2h3
3h2
=3
7rr2h
tXV= T(-x)2Ax
V= fr-x2dx
x
Figura 4
Método de los cascarones Siga los pasos sugeridos por la figura 5. Entonces el volumen es
f r/
h \
1
V=
)dy
--Y
dy=2hJ o\
Y__Y2
r
r
J
,/
y3lr
irr2h
= 2h[y
AV2y(h-y)Ay
y
V=f27ry(h_Ly)dy
r
I
I
Ay
x
h
Figura 5
Como era de esperarse, ambos métodos, dan Ia bien conocida fOrmula para el volumen
de un cono circular recto.
EJEMPLO 3
Encuentre el volumen del sOlido generado al hacer girar en tomb al eje
y, la region en el primer cuadrante que está por encima de la parabola y = x2 y por debajo de La parabola y = 2 - x2.
Solución Un vistazo a la region (parte izquierda de la figura 6) debe convencerle que
rebanadas horizontales conducen a! método de los discos, que no es la mejor elección
(ya que la frontera de la derecha consta de dos partes de dos curvas, haciendo necesario usar dos integrales). Sin embargo, rebanadas verticales, resultan en cascarones esféricos, funcionara bien.
vf
1
1
2x(2 - 2x2) dx = 4 f (x - x3) dx
290 CAPITULO 6
Aplicaciones de Ia integral
AV 2x(2x2---x2)Ax
2-x2-x2
V=fl27rx(2_2x2)dx
x
.
Figura 6
Reuniendo todo Aunque la mayorIa de nosotros puede dibujar razonablemente
bien una figura plana, algunos de nosotros lo hará menos bien a! dibujar sOlidos en tres
dimensiones. Pero no existe ley que diga que tenemos que dibujar un sólido para
calcular su volumen. Por lo comUn, bastará con una figura plana, siempre que podamos visualizar en nuestras mentes el sólido correspondiente. En el ejemplo siguiente,
vamos a imaginar que hacemos girar, con respecto a varios ejes, la region R de la figura 7. Nuestra tarea es formular y evaluar una integral para el volumen del sOlido
resultante, y vamos a hacerlo viendo La figura plana. Asegürese de estudiar cuidadosamente el ejemplo.
Figura 7
EJEMPLO 4 FormuLe y evaLtie una integral para el volumen del sólido que resulta
cuando la region R que se muestra en La figura 7 se hace girar en tomb a
(b) el eje y,
(d) La recta x = 4.
(a) el eje x,
(c) la recta y = 1,
Solución
(a)
y
-
Ax
3 + 2x -
Método de los discos
AV-mr(3+2xx2)2Ax
V=rJ(3+2x_x2)2dx
Volümenes de sOlidos de revolución: cascarones 291
SECCION 6.3
(b)
Eje
Método de los cascarones
AV2x (3 + 2x - x2) Ax
V=2irfx(3 + 2xx2)dx
V = 2fx(3 + 2x - x2)dx =
70.69
0
(c)
'YAx
TecnologIa
En las cuatro partes de este ejemplo,
el integrando resultO ser un
polinomio, pero encontrar el
polinomio implica algunos largos
desarrollos. Una vez que las integrales
están configuradas, evaluarlas es una
tarea ideal para un CAS.
1 + 3 + 2x -
Método de las arandelas
Eje;y=-
ir[(4+2xx2)2-12]Ax
AV
V= iTf[(4 + 2xx2)2 - 1]dx
V =ii-
(d)
[(4 + 2x - x2)2 - 1]dx
243
=
152.68
Eje
YAzx
Método de las arandelas
/
F:;
7
AV
2ir(4x)(3 + 2xx2)Ax
V= 2 J(4x)(3 + 2xx2)dx
t
+ 2x - x2
x
4x
V=
x
2/(4 - x)(3 + 2x - x2)dx =
155.51
Obsérvese que en los cuatro casos los lImites de integración son los mismos; es Ia región plana la que determina estos lImites.
292
Aplicaciones de Ia integral
CAP1TuL0 6
Revision de conceptos
El volumen AV de un delgado cascarón cilIndrico de radio x,
altura f(x) y grosor Ax está dado por AV
La region triangular R acotada por y = x, y = 0 y x 2, se
hace girar en tomb al eje y, generando un sOlido. El método de los
cascarones produce la integral
como su volumen; el método de las arandelas da la integral
como su volumen.
La region R de la pregunta 2, se hace girar en torno a la recta x = 1, generando un sOlido. El método de los cascarones da la integral
como su volumen.
La region R de la pregunta 2, se hace girar en tomb a la recta y = 1, generando un sólido. El método de los cascarones da la integral
como su volumen.
Conjunto de problemas 6.3
En los problemas deli al 12, encuentre el volumen del sólido que se genera cuando Ia region R acotada par las curvas dadas se hace girar en
tomb al eje que se indica. Haga esto realizando los pasos siguientes.
Dibuje Ia region R.
Muestre una rebanada rectangular representativa marcada de manera adecuada.
Escriba una formula para aproximar ci volumen del cascarOn generado par esta rebanada.
Formule Ia integral correspondiente.
Evaláe Ia integral.
(a) El eje y (arandelas)
(b) El eje x (cascarones)
(c) La recta y 3 (cascarones)
-v
d
x =/(v)
C
.y =
x = 1, x = 4, y = 0; alrededor del eje y
x
y = x2, x = 1, y = 0; alrededor del eje y
y = V, x
3, y = 0; alrededor del eje y
y = 9 - x2 (x
\/, x
y
= 5, y = 0; alrededor de la recta x = 5
y = 9 - x2 (x
x=3
0), x = 0, y = 0; airededor del eje y
0), x = 0, y = 0; airededor de la recta
x3 + i,y = 1 - x,x
y
=
1;alrededordelejey
y = x2, y = 3x; alrededor del eje y
x = y2, y = 1, x = 0; alrededor del eje x
\/ + 1, y
x
= 4, x = 0, y = 0; alrededor del eje x
x = y2, y = 2, x = 0; alrededor de la recta y = 2
x
y3
=
+ 1, y = 2, x = 0, y = 0; alrededor de la recta
Considere Ia region R (véase la figura 8). Formule una integral para el volumen del sOlido que se obtiene cuando se hace girar R
alrededor de Ia recta dada, utilice el método que se indica.
(a) El eje x (arandelas)
(b) El eje y (cascarones)
(c) La recta x = a (cascarones) (d) La recta x b (cascarones)
V
Figura 9
15. Dibuje la regiOn R acotada por y
1/x3, x 1, x = 3 y
y = 0. Formule (pero no evalOe) integrales para cada uno de los siguientes incisos:
El area de R.
El volumen del sOlido que se obtiene cuando se hace girar R en
tomb al eje y.
El volumen del sOlido que se obtiene cuando se hace girar R alrededor de Ia recta y =
El volumen del sólido que se obtiene cuando se hace girar R alrededor de Ia recta x = 4.
1.
16. Siga las instrucciones del problema 15 para la region acota-
dapory
= x3 +
lyy
=
Oyentrex
= Oyx = 2.
17. Encuentre el volumen del sOlido que se genera al hacer girar Ia region R acotada por las curvas x =
y x = y3/32 alrededor del eje x.
18. Siga las instrucciones del problema 17, pero haga girar R alrededor de la recta y = 4.
19. Se perfora un agujero redondo de radio a, que pasa por el
centro de una esfera sOlida de radio b (suponga que b > a). Encuentre el volumen del sOlido que queda.
20. Establezca la integral (utilizando cascarones) para el volumen del toro que se obtiene al hacer girar, alrededor de la recta x = b,
la regiOn interior del cIrculo x2 + y2 = a2, en donde b> a. Después
evalOe esta integral. Sugerencia: Cuando simplifique, le puede ayudar
considerar parte de esta integral como un area.
b
x
Figura 8
Una region R se muestra en la figura 9, Formule una integral para el volumen del sOlido que se obtiene cuando se hace girar R
alrededor de cada recta. Utilice el método que se indica.
21. La region en el primer cuadrante acotada por x
= 0,
y = sen(x2) y y = cos(x2) se hace girar alrededor del eje y. Encuentre el volumen del sOlido resultante.
22. La regiOn acotada por y = 2 + sen x, y = 0, x = Oy x = 2ir,
se hace girar en torno al eje y. Encuentre el volumen que resulta.
Sugerencia:
fx sen x dx = sen x - x cos x + C.
SECCION 6.4
Sea R la region acotada por y = x2 y y = x. Encuentre el
volumen del sOlido que resulta cuando R se hace girar alrededor de:
(c) Ia recta y = x.
(a) el eje x;
(b) el eje y;
Suponga que conocemos la formula S = 4irr2 para el area
de la superficie de una esfera, pero no conocemos la formula correspondiente para su volumen V. Obtenga esta formula rebanando la
esfera sólida en delgados cascarones esfericos concOntricos (véase
la figura 10). Sugerencia: El volumen AV de un delgado cascarón esférico de radio exterior x es AV 4ii-x2Ax.
Longitud de una curva plana 293
Considere una region de area s en La superficie de una esfera de radio r. Encuentre el volumen del sólido que resulta cuando Cada punto de esta regiOn se conecta con el centro de La esfera por medio de un segmento de recta (véase La figura 11). Sugerencia: Utilice
el método de cascarones esféricos mencionado en el problema 24.
Respuestas a Ia revision de conceptos:
2.
2iT/
4.
2iT/ (1 + y)(2 - y)dy
x2dx:
(4 - y2)dy
3.
1. 2ii-x f(x) ZXx
2/
(1 + x)x dx
Figura 10
6.4
Longitud de una
curva plana
((J
,CuO1 es Ia longitud de la curva espiral que se muestra en la figura 1? Si fuese un pedazo de cuerda, la mayorIa de nosotros la estirarIamos y la medirIamos con una regla.
Pero si es la grafica de una ecuación, esto es un poco más difIcil de hacer.
Un poco de reflexiOn sugiere una pregunta previa. ,Qué es una curva plana? Hasta ahora, hemos utilizado el término curva de manera informal, con frecuencia en referencia a Ia grOfica de una función. Ahora es momento de ser mOs precisos, aun para
curvas que no son gráficas de funciones. Comenzaremos con varios ejemplos.
La gráfica de y = sen x, 0 x iT, es una curva plana (véase La figura 2).También
lo es la gráfica de x y2, 2 y 2 (véase la figura 3). En ambos casos, La curva es la
grafica de una función, la primera de la forma y = f(x), la segunda de la forma
g(y). Sin embargo, Ia curva espiraL no se ajusta a ninguno de estos patrones. Tampoco el cIrcuLo x2 + y2 = a2, aunque en este caso podrIamos considerarla como la gráfica
x
Figura
1
combinada de las dos funciones y =
f(x)
- Va2 - x2.
= Va2 - x2 y y = g(x)
ÀY
2Y
2
3
4
-1 -
Figura
Figura 3
2
El cIrculo sugiere otra manera de pensar COfl respecto a las curvas. Recuérdese de
trigonometrIa que
x=acost,
y=asent,
0te22iT
describe el cIrculo x2 + y2 = a2 (véase la figura 4). Considere a t como el tiempo y que
x y y dan la posición de una partIcula en el instante t. La variable t se denomina pará-
294 CAPITULO 6
Aplicaciones de Ia integral
metro. Tanto x como y se expresan en tdrminos de este parámetro. Decimos que x = a
cos t, y = a sen t, 0 < t 2i, son eduaciones paramétricas que describen al cIrcuio.
Si tuviésemos que graficar las ecuaciones paramétricas x = t cos t, y t sen t,
0 < t < 5, obtendrIamos una curva parecida a ia espirai con La que iniciamos. E incluso podemos pensar en la curva seno (véase la figura 2) y La parabola (véase ia figura 3) en forma paramétrica. Escribimos
sent,
y
y=
2ir
Figura 4
EJEMPLO
y=
0t3t2I
x = 2/ + 1, y =
8-
x
y
3
0
2
5
3
3
7
8
(7
0
6-
)
(3, 0)
6
Figura 5
t
2
1
1,0
Dibuje La curva determinada por las ecuaciones paramétricas x
t
2t + 1,
3.
En realidad, La definición que hemos dado es demasiado ampiia para Los propOsitos que tenemos en mente, asI que de inmediato nos restringiremos a lo que se denomina curva suave. El adjetivo suave se eligió para indicar que un objeto que se mueva
a Lo largo de La curva, de modo que su posición en el instante t es (x, y) no sufrirá cambios repentinos de direcciOn (Ia continuidad de f' y de g', aseguran esto) y no se detiene ni regresa por La misma curva (esto se asegura si f'(t) y g'(t) no son cero de manera simuitánea).
(5 3)
(1,
-2
Solución Construimos unatabla de vaiores, con tres columnas, después trazamos Las
parejas ordenadas (x, y), y por üitimo conectamos estos puntos en el orden creciente de
t, como se muestra en ia figura 5. Para producir tal gráfica, puede utilizarse una caiculadora gráfica o un CAS. Por lo comén, tal software produce una gráfica creando una
tabla, al iguai que nosotros, y conecta los puntos.
4-
2
x =
0tii-
AsI, para nosotros, una curva plana está determinada por un par de ecuaciones paramétricas x = f(t), y =
a t b, en donde suponemos que f y g son continuas
en el intervalo dado. Conforme t aumenta de a a b, ci punto (x, y) traza una curva en el
piano. He aquI otro ejemplo.
x = a cos t, y = a sen 1
0
x =
8
Definición
Una curva plana es suave si está determinada por un par de ecuaciones paramétricas
x
f(t), y = g(t), a t b, en donde f' y g' existen y son continuas en [a, b], y f'(t)
y g'(t) no son cero de manera simultánea en (a, b).
La forma en que una curva se parametriza, esto es La forma en que se eligen Las funciones x(t) y y(t) y eL dominio para t, determinan una dirección positiva. Por ejemplo,
cuando t = 0, en el ejemplo 1 (figura 5), La curva está en el punto (1,i), y cuando t = 1,
la curva está en (3,0). Cuando t aumenta desde t = 0 hasta t 3, La curva sigue una trayectoria de (1, 1) a (7, 8). Esta dirección, que a menudo se indica por medio de una flecha en la durva, como se muestra en La figura 5, se denomina Ia orientación de La curva.
La orientación de una curva es irrelevante para La determinación de su longitud,pero en
problemas que encontraremos más adelante en el texto, La orientación es importante.
Longitud de arco Por Ultimo, estamos preparados para La pregunta principal.
,Qué significa Ia longitud de Ia curva suave dada de forma paramétrica por x = f(t),
y = g(t),a t b?
DivIdase el intervalo [a, b] en n subintervalos por medio de los puntos t:
at0<t1<t2<<tb
Esto corta a La curva en n pedazos con correspondientes puntos extremos Q0, Q1,
Q2.....Q,,1, Q,, como se muestra en La figura 6.
Nuestra idea es aproximar La curva por medio del segmento de LInea poligonal indicada, calcular su Longitud total, y después tomar ci LImite cuando la norma de La partición tiende a cero. En particular, aproximamos la longitud As1 del i-ésimo segmento
(véase la figura 6) por
= V(Ax1)2 + (Ay)2
[f(t1) - f(t11)]2 + [g(t) - g(t11)]2
Longitud de una curva plana 295
SECCION 6.4
y
Q]
x
Figura 6
Del Teorema del valor medio para derivadas (véase la sección 4.7), sabemos que
existen puntos 7, y en (t1_1, t) tales que
f(t) - f(t)
= f'(7)
g(t1) - g(t_1) = g'() ztj
en donde zXt1 =
t, - t, -
Por lo que,
= V[f'(7) t]2 + [g'(I) t]2
=
+ [g'()]2
y la longitud total del segmento de lInea poligonal es
n
=
17
+ [g'(I)]2 zt
La ültima expresión es casi una suma de Riemann, la Unica dificultad es que 7, y
no parecen ser el mismo punto. Sin embargo, se demuestra en textos de cálculo avan-
zado que en el lImite (cuando la norma de la partición tiende a cero), esto no importa. AsI que, podemos definir la longitud de arco L de la curva como el lImite de la cxpresión anterior cuando la norma de la partición tiende a cero; esto es,
L
=
V[fF(t)]2 + [g'(t)]2dt
J
a
=
f
'(dx)2
b
dt
(dy2
+1
dtj
dt
Dos casos especiales son de gran interés. Si la curva está dada por y = f(x), a
tratamos a x corno ci parámetro y el recuadro toma la forma
b,
dx
L=f\jl+ /dy2
, dx /
I
De manera análoga, si la curva está dada por x = g(y), c
mo el parámetro, obteniendo
dx
L=fJl+ /\dy/
y
d, consideramos a y co-
\2
dy
Estas formulas dan los resultados conocidos para cIrculos y segmentos de recta,
como lo ilustran los dos ejemplos siguientes.
Encuentre la circunferencia del cIrculo x2 + y2 = a2.
Solución Escribimos La ecuación del cIrculo en forma paramétrica: x = a cos t, y = a
a cos t, y por la primera de fluessen t, 0 < t <2. Entonces dx/dt = a sen t, dy/dt
tras formulas,
EJEMPLO 2
L=
2r
L
\/
sen2 t
+ a2cos2t dt =
fa
di = [at]
=
2a
.
296 CAPITULO 6
Aplicaciones de Ia integral
EJEMPLO 3
y
Solución El segmento de recta se muestra en la figura 7. Obsérvese que la ecuaciOn
de la recta correspondiente es y = x + 1, de modo que dy/dx =
y asI, por la Segunda de las tres formulas para la longitud,
(5, 13)
12-
Encuentre la longitud del segmento de recta de A(0, 1) a B(5, 13).
9-
L =
6-
fi
f/5
1dx
+
=
[13
212
dx =
1
fi
dx
x]5 = 13
Esto coincide con el resultado que se obtiene por medio de Ia formula de distancia.
6
3
x
9
EJEMPLO 4 Dibuje la gráfica de la curva dada de forma paramétrica por x = 2 cos
y = 4 sen t, 0
y aproxime su longitud.
Figura 7
1,
x = 2 cos t, y = 4 sen I
0
0
ir/6
t
x
y
2
0
\/
2
'IT!3
I
7T/2
0
2ir13
5rI6
iT
IT
\/
2
So!ución La grafica (véase
la figura 8) se dibuja, como en el ejemplo 1, construyendo primero una tabla de valores con tres columnas.
La figura 9 muestra la curva junto con las poligonales para n = 2,4 y 8. La longitud total de las poligonales puede calcularse de
2\/
fl
TI
=
4
2\/i
i=1
i=1
V(x + (y)2
2
0
Figura 9
Figura 8
Por ejemplo, cuando n = 4, tenemos
=
V(2 cos(/4) - 2 cos 0)2 + (4 sen(/4) - 4 sen 0)2
+(2cos(/2) - 2cos(/4))2 + (4sen(/2) - 4sen(/4))2
+(2cos(3/4) - 2cos(i/2))2 + (4sen(3/4) - 4sen(/2))2
+
(2 cos
- 2 cos (3ir/4))2 + (4 sen - 4 sen (3/4))2
9.44982
La tabla siguiente muestra La suma de las longitudes Aw1 para varios valores de n.
n
1
2
4
n
wi
4.00000
8.94427
64
128
9.68748
9.68821
9.44982
256
9.68839
8
9.62635
512
9.68843
16
9.67289
1024
9.68844
32
9.68456
2048
9.68845
SECCION 6.4
Longitud de una curva plana 297
La longitud de la curva es el ilmite del proceso anterior. El !Imite de estas sumas
es la integral definida
L
2f Vsen2t
V(-2 sen t)2 + (4 cost)2 dt
=
f
=
2f Vi + 3cos2tdt
+ 4 cos2t dt
No podemos llevar más adelante Ia evaluación ya que no podemos encontrar una antiderivada para \/1 + 3 cos2 t. De hecho, se ha demostrado que esta función no tiene una antiderivada que pueda escribirse en términos de funciones elementales de
cálculo. (Las funciones elementales incluyen polinomios, funciones racionales, funciones con radicales, funciones trigonométricas y trigonométricas inversas y funciones
exponenciales y logarItmicas.) Si queremos un valor para La integral, tendremos que
encontrarlo por medio de un método de aproximación. La tabla sugiere que la longitud de arco es aproximadamente 9.69. (En el capItulo 10, estudiaremos más formas de
aproximar integrales definidas.) La situación en el ejemplo 4 es bastante comün. Muchas integrales que surgen de problemas de longitud de arco no puede evaluarse de
manera analItica. Por fortuna, un CAS o una calculadora gráfica puede dar una aproximación precisa para una integral definida.
Encuentre La longitud del arco de La curva y = x312 desde el punto (1, 1)
hasta el punto (4, 8) (véase la figura 10).
EJEM PLO 5
876543-
(4, 8
Solución Empezamos por estimar esta longitud encontrando la Longitud del seg-
mento que va de (1,1) a (4,8): \/(4 - 1)2 + (8 - 1)2 = \58
7.6.
Para el cáLculo exacto, observamos que dy/dx = x2, de modo que
_y =Xi:
L_J
1
+
2
X1/2dX =
f\/i +xdx
)
Sea u = 1 + x; entonces du = dx. De aquI que,
2
I
2
4
3
1+xdx=
x
=
Figura 10
I
\/du=93 u3/2+C
\3/2
9
1+x
27 (
4 /
8
+C
Por tanto,
f47
1 +xdx
=
4
rL278 ( +)
3/214
/
8
j =27
iO3/2
-
133'2\
8
)
7.63
Diferencial de Ia longitud de arco Sea f continuamente diferenciable en
[a, b]. Para cada x en (a, b), defInase s(x) como
y
s(x)
s(x)
+ [f'(u)]2du
(x. f(x))
Entonces s(x) da La longitud de arco de la curva y = f(u) desde el punto (a, f(a)) a
(x, f(x)) (véase La figura ii). Por medio del primer teorema fundamental del cálculo
(a, j(a))
(Teorema 5.6A),
a
Figura 11
x
b
U
s'(x)
ds
= dx
= Vi + [f'(x)]2
/
+
(dy\2
dx)
Por lo que, ds, La diferencial de la longitud de arco, puede escribirse como
298 CAPITULO 6
Aplicaciones de Ia integral
En efecto, dependiendo de cómo se haga la parametrizaciOn de la gráfica, liegamos a
tres formulas para ds:
dy
dx
1+
ds =
Figura 12
V
tdy\2
\dXJ
dx= 1+
(dx\
1
\dy/
dyI'/dx\2 + /dy2 dt
dtj
dtj
Aigunas personas prefieren recordar estas formulas escribiendo (véase La figura 12)
/
(ds)2 =
(dx)2
+ (dy)2
Las tres formas surgen de dividir y muLtiplicar el lado derecho por
respectivamente. Por ejemplo,
b
(ds)2
r(dx)2
=[
(dy)21
](dx)2
+
(dx)2
(dx)2
(dx)2,
(dy)2
y (dt)2,
7dy21
= Li + \dxj ](dx)2
E
que da la primera de las tres formulas.
Figura 13
Area de una superficie de revolución
Si se hace girar una curva plana sua-
ve airededor de un eje en su piano, genera una superficie de revolución, como se ilustra en la figura 13. Nuestra meta es determinar el area de tal superficie.
Para empezar, introducimos la formula para el area de un tronco o cono truncado. Un tronco o cono truncado es ia parte de la superficie de un cono comprendida entre dos pianos perpendiculares al eje del cono (sombreado en la figura 14). Si un cono
truncado tiene radios de sus bases r1 y r2, y altura oblicua , entonces su area A está
dada por
A =
(r1 +r2
2ii-1
V
y =f(x)
V
x
Figura 15
= 2ii-(radio promedio) (aLtura oblicua).
/
2
Figura 14
La deducción de este resultado sOlo depende de La fOrmula para ci area de un cIrculo
(véase el problema 31).
SupOngase que y = f(x), a x < b, determina una curva suave en la mitad superior del piano xy, como se muestra en la figura 15. DivIdase ei intervalo [a, b] en n pedazos por medio de Los puntos a x0 < x1 <
< x, b, y por ello también se divide a Ia curva en n partes. Denótese con As1 a la longitud del i-ésimo pedazo y sea y
La ordenada de un punto de ese pedazo. Cuando La curva se hace girar alrededor del
eje x, genera una superficie, y el pedazo representativo genera una banda angosta. El
"area" de esta banda podrIa aproximarse por La de un cono truncado, esto es, aproxi-
madamente 2iry As,. Cuando sumamos Las contribuciones de todos los pedazos y
tomamos ci ilmite cuando La norma de Ia partición tiende a cero, obtenemos Lo que definimos como el area de la superficie de revoiuciOn.Todo esto está indicado en La figura 16. AsI, ei area de La superficie es
n
A=
2rryAs
iIm
PHO
.
fb
21TJyds
(I
=2ff(x)V1 + [f'(x)]2dx
Figura 16
EJEMPLO 6
la curva y =
2
Solución
Encuentre el area de La superficie de revolución generada ai hacer girar
x
4, en torno al eje x (véase La figura 17).
\/, 0
AquI, f(x) =
A=2fv
x
I4
=
10
Figura 17
=
y f'(x) =
11(2 \/i). AsI,
'1+ 4x dx=2/
\/4x+idx= -
(173/2
36.18
4x
1
2
._._(4x+1)3/2
_43
13/2)
14x+i
\
dx
14
JO
U
SECCION 6.4
Longitud de una curva plana 299
Si la curva está dada en forma paramétrica por x = f(t), y = g(t), a
tonces la formula para el area de Ia superficie se transforma en
2fb
2fbg(t)
ds
A
b, en-
V[fF(t)]2 + [g'(t)]2 dt
Revision de conceptos
sen t, 0
La grafica de las ecuaciones paramétricas x = 4 cos t, y = 4
t <2r, es una curva denominada
La curva determinada por y = x2 + 1, 0 < x <4, puede ponerse en forma paramétrica utilizando a x como el parámetro escri-
,x =
biendoy =
a
t
La fOrmula para la Iongitud L de la curva x = f(t), y = g(t),
b, es L =
La demostración de la fOrmula para la longitud de una curva
depende fuertemente del teorema anterior liamado
Conjunto de problemas 6.4
En Los problemas deli al 4 encuentre Ia longitud total de los
CI
segmentos poligonales que unen los puntos (x1, f(x,)), i = 0, 1.....n,
en donde a = x0, x1.....x,, = b es una partición regular de [a, b]. Utilice Los valores que se indican para n.
f(x)
= x2,a =
(a)n=2
1,b
3;
(b)n=4
f(x) =
(a)n=2
V,a = 0,b = 4;
(b)n=4
f(x)
=
senx,a
(a)n=2
=
0,b = 2ir;
(b)n=4
f(x)
Un punto F, en el borde de una rueda de radio a, inicialmente se encuentra en el origen. Conforme la rueda avanza a la derecha
a lo largo del eje x, P describe una curva denominada cicloide (yease la figura 18). Deduzca las ecuaciones paramétricas para la cicloide,
como sigue. El parámetro es 0.
Demuestre que OT = aO.
Convénzase de que PQ = a sen 0, QC = a cos 0, 0 0 < 3r/2.
Demuestre que x = a(0 - sen 0), y = a(1 - cos 0).
(c) n=8
= sen2x, a = 0, b = 2ir;
(a)n=2
(b)n=4
(c) n=8
Utilice una integraciOn en x para determinar Ia longitud del
segmento de la recta y = 2x + 3, entre x = 1 y x 3. Verifique por
medio de la formula de distancia.
Utilice una integraciOn en y, para encontrar la longitud del
segmento de la recta 2y - 2x + 3 = 0, entre y = 1 y y = 3. Verifique
por medio de la fOrmula de distancia.
En los problemas del 7 al i2, encuentre La Ion gitud de La curva que
fl
se indica.
y = 4x2entrex = 1/3yx =
S
19. Encuentre la longitud de un arco de la cicloide del problema
18. Sugerencia: Primero demuestre que
8.y(x+1) entrex=lyx=8
2
3/2
2
y = (4 - x213)312 entre x 1 y x = 8
y = (x4 + 3)/(6x) entre x = 1 y x =
3
x = y4/l6 + 1/(2y2) entre y = 3 y y = 2. Sugerenciw Obsérvense los signos; V = u cuando u < 0
30xy3
-
= 15 entre y = 1 y y =
3
En Los problemas del 13 al 16, dibuje La grafica de La ecuación paramétrica dada y encuentre su Longitud.
x = t3/3,y
t2/2;0
x = 3t2 + 2,y =
x =
x =
t
1
2t3 - 1/2;1
Figura 18
t <4
4sent,y = 4cost - 5;0 t
sen2t - 2,y =
cos2t -
;0
t
Dibuje la gráfica de la hipocicloide de cuatro vertices x = a
sen3 t, y
a cos3 t, 0< t <2ii-, y encuentre su longitud. Sugerencia:
Por simetria, puede multiplicar por cuatro la longitud de la parte en
el primer cuadrante.
(dx2
(2
\dO/
d0)
=
4a2sen2()
20. Suponga que Ia rueda del problema 18 gira a una velocidad
constante de w = dO/dt, donde t es el tiempo. Entonces 0 = wt.
Demuestre que Ia rapidez, ds/dt de P a lo largo de la cicloide es
ds
wt
= 2aw sen
,Cuándo Ia rapidez es maxima y cuándo es minima?
Explique por qué un insecto en Ia rueda de un automóvil que va
a 60 millas por hora, en algunos momentos viaja a 120 millas por
hora.
21. Encuentre la longitud de cada curva.
y
x =
f
- ldu,1
t - sent,y
=
x
1 - cost,0
2
t
4ir
Aplicaciones de Ia integral
300 CAPITULO 6
22. Encuentre La longitud de cada curva.
33. La figura 20 muestra un arco de una cicloide. Sus ecuaciones paramétricas (véase el problema 18) están dadas por
(a)
x =
(b) x = a cost + at sent, y = a sen t - at cost, 1
t
1
En los problemas del 23 al 30, encuentre el area de Ia superficie generada al hacer girar Ia curva dada airededor del eje x.
23. y = 6x, 0
<
a(t - sent),
y =
a(1 - cost),
0
<
2r
t
(a) Demuestre que el area de la superficie generada cuando esta curva se hace girar alrededor del eje x es
A =
2a2f
(1 - cost)32dt
1
(b) Con la ayuda de Ia formula para la mitad de un ángulo, 1 - cos
y
=
\/25 - x2, 2
y = x3/3, 1
= 2 sen2(t/2), evalUe A.
3
x
y =
(x6 + 2)/(8x2),1
x =
t,y
x =
1 t2,y
2
x
3
'.5
= t3,0
=
t
1
2t,0
0.5
t
29.y=\/r2_x2,_rxr
2
1
ir
4
5
62
x
Figura 20
30. x = rcost,y = rsent,0
31. Si la superficie de un cono de altura oblicua y radio de la
base r, se corta a lo largo de un lado y se extiende en el plano, se convierte en el sector de un cIrculo de radio y ángulo central 0 (véase
la figura 19).
Demuestre que 0 2irr/ radianes.
Utilice La formula 2 para el area de un sector de radio y angulo central 0 para demostrar que el area de Ia superficie lateral
de un cono es rrC.
Utilice el resultado de la parte (b) para obtener Ia formula
A = 2ii[(r1 + r2)/2]/ para el area lateral de un cono truncado
con radios de las bases r1 y r2 y altura oblicua 4.
34. El cIrculo x = a cos t, y = a sen t, 0 t <2r, se hace girar
en tomb a la recta x = b, 0 < a < b, con lo que genera un toro (dona). Encuentre el area de su superficie.
GC 35. Dibuje las gráficas de cada una de las siguientes ecuaciones
paramétricas.
x = 3cost,y = 3sent,0
t
2r
x = 3 cost, y = sen t, 0 < t < 2r
x = t cost, y = t sent, 0
x = cost, y
sen 2t, 0
t
2ir
x = cos 3t, y
sen 2t, 0
t
x=cost,y=senirt,0t40
CASI 36. Encuentre las longitudes de cada una de las curvas del problema 35. Primero tiene que formular la integral apropiada y después
utilizar una computadora para evaluarla.
37. Utilizando los mismos ejes, dibuje las gráficas de y = x" en
[0, 1] para n = 1, 2,4, 10 y 100. Encuentre la longitud de cada una de
estas curvas. Haga una conjetura de la longitud cuando n = 10,000.
ICAS
Figura 19
32. Demuestre que el area de La parte de la superficie de una es-
fera de radio a, entre dos planos paralelos h unidades separados
(h < 2a) es 2irah. AsI, demuestre que si un cilindro circular recto está circunscrito alrededor de una esfera, entonces dos planos paralelos
a la base del cilindro acotan regiones de la misma area en la esfera y
en el cilindro.
6.5
Trabajo
Respuesta a Ia revision de conceptos:
3.
f {[f'(t)]
+ [g'(t)]2}12 dt
1. cIrculo
2. x2 + 1; x
4. Teorema del valor medio
para derivadas.
En fIsica, aprendinios que Si Ufl objeto se mueve una distancia d, a lo largo de una 11flea, mientras se encuentra sujeto a una fuerza constante F en la dirección del movimiento, entonces el trabajo realizado por la fuerza es
Trabajo = (Fuerza) . (Distancia).
Esto es,
W=FD
SECCION 6.5
Si Ia fuerza se mide en newtons (la fuerza que se requiere para dane a una masa de 1
kilogramo una aceleraciOn de 1 metro por segundo por segundo), entonces el trahajo
está en newton-metros, también ilamados joules. Si la fuerza se mide en libras fuerza y
la distancia en pies, entonces el trabajo está en libras-pie. Por ejemplo, una persona que
levanta un peso (fuerza) de 3 newtons una distancia de 2 metros realiza 3 2 = 6 joules de trabajo (véase la figura 1) y un trabajador que empuja un carro con una fuerza
constante de 150 libras una distancia de 20 pies hace 150 20 = 3000 libras-pie de tra-
2 metros
Figura 1
bajo (véase La figura 2).
Fuerza = 150 lb
4
Trabajo 301
En muchas situaciones prácticas, la fuerza no es constante, sino que varla conforme el objeto se mueve a lo largo de la lInea. Suponga que eL objeto se está moviendo
a lo Largo del eje x desde a hasta b sujeto a una fuerza variable de magnitud F(x) en
el punto x, en donde F es una función continua. Entonces, i,cuánto trabajo se hizo?
Una vez más, la estrategia de rebane, aproxime e integre nos ileva a la respuesta. AquI
rebanar significa dividir el intervaLo [a, bJ en pedazos pequefios. Aproximar significa
suponer que, en una parte representativa de x a x + Lix, La fuerza es constante con valor F(x). Si la fuerza es constante (con valor F(x1)) en eL intervalo [x11, xJ, entonces eL
trabajo requerido para mover el objeto desde x_1 a x es F(x,)(x1 x1) (véase La figura 3). Integrar significa sumar todos los pequeflos trabajos y después tomar el lImite
cuando la longitud de los pedazos tiende a cero. De esta manera, el trabajo realizado
al mover el objeto desde a hasta b es
20 pies
Trabajo = (150)(20) = 3000 pies-lb
Figura 2
AW
W
F(x)A
F(x) x
=
fb
dx
W = f1'F(x)dx
OmO
a
x1
x2 .. x_1
x
x_1
b
Ar
Figura 3
AplicaciOn a resortes De acuerdo con la ley de Hooke en fIsica, la fuerza F(x)
necesaria para mantener un resorte estirado (o comprimido) x unidades alargado (o
acortado) de su longitud natural (véase la figura 4) está dada por
longitud natural
F(x) = kx
AquI, la constante k, la constante del resorte, es positiva y depende del resorte particular bajo consideración. Entre más rIgido sea el resorte mayor será el valor de k.
Estirado x unidades
EJEMPLO 1
Si la longitud natural de un resorte es 0.2 metro y si es necesaria una fuer-
za de 12 newtons para mantenerlo estirado 0.04 metro, encuentre el trabajo hecho al
estirar el resorte de su longitud natural a una longitud de 0.3 metro.
Figura 4
So!ución Por la ley de Hooke, la fuerza requerida para mantener el resorte estirado
x pulgadas está dada por F(x) = kx. Para evaluar Ia constante del resorte, k, para este
resorte en particular, observamos que F(0.04) = 12. Por lo que, k . 0.04 = 12o k = 300,
de modo que
F(x) = 300x
Cuando el resorte tiene su longitud natural de 0.2 metro, x = 0; cuando tiene una iongitud de 0.3 metro, x = 0.1. Por tanto, el trabajo hecho al estirar el resorte es
w=f
0.1
300x dx = [150x 210.1
io = 1.5 joules
.
AplicaciOn a bombeo de un lIquido Para bombear agua de un tanque se reFigura 5
quiere tnabajo, como lo sabrá cuaiquiera que ha utilizado una bomba de mano (véase
La figura 5). Pero, cuánto trabajo? La respuesta a esta pregunta tiene como base Los
mismos pnincipios básicos que se presentaron en el amilisis anterior.
302
CAPiTULO 6
Aplicaciones de Ia integral
EJEM PLO 2 Un depósito, con forma de un cono circular recto (véase la figura 6), está
ileno de agua. Si la altura del tanque es de 10 pies y el radio en la parte superior es de 4
pies, encuentre el trabajo hecho (a) al bombear el agua hasta el borde superior del depósito, y (b) al bombear el agua hasta una altura de 10 pies por encima del borde superior del depOsito.
AW
8.(4Y)2(10 y) Ay
rtO,4v
W= 5irJ
) (10y)dy
2
x
Figura 6
So!ución
Coloque ci depósito en un sistema de coordenadas, como se muestra en La figura 6.
Se muestra La vista en tres dimensiones y una sección transversal en dos dimensiones. Imagine que se rebana ci agua en deigados discos horizontales, cada uno de los
cuales debe elevarse al borde del depósito. Un disco de grosor Ay a La aitura y tiene radio 4y/lO (por triángulos semejantes). AsI, su volumen es aproximadamente
62.4 es La densi-(4y/lO)2Ay pies cilIbicos, y su peso 8ii-(4y/lO)2Ay, en donde
dad (peso) del agua en libras por pie cübico. La fuerza necesaria para elevar este disco de agua es igual a su peso, y el disco debe elevarse una distancia de 10 - y pies.
AsI que, ci trabajo AW hecho sobre este disco aproximadamente es
/4y'\2
zXW = (fuerza)
(distancia)
101
Ay (10
- y)
Por tanto,
/4y2
f10
W =
I
'\'O )
Jo
-
(10 - y)dy =
(4r)(62.4) rioy3
25
y411°
4
25
110
J
(by2 - y3)dy
26,138 libras-pie
L
Esta parte es igual a la parte (a), excepto que cada disco de agua ahora debe dcvarse una distancia de 20 - y, en lugar de 10 - y. Por tanto,
1O/4y\\2
W = 6ir
(20 - y)dy
L
4(62.4)(i-) [20y3
=
25
L
3
y41'°
I
25
f(2oY - y3)dy
130,690 libras-pie
Nótese que los lImites aün son 0 y 10 (no 0 y 20). ,Por qué?
U
Encuentre el trabajo realizado al bombear agua hasta ci borde superior
de un depósito, que es de 50 pies de largo y tiene extremos semicircuiares de radio 10
pies, si ci depOsito está lleno hasta una profundidad de 7 pies (véase La figura 7).
EJEMPLO 3
Solución Colocamos el extremo del tanque en un sistema de coordenadas, como se
muestra en La figura 8. Una rebanada horizontal representativa se muestra en este dibujo de dos dimensiones y en la de tres dimensiones de La figura 7. Esta rebanada es
aproximadamente una caja delgada, de modo que calcuiamos su volumen multiplicando su largo, ancho y grosor. Su peso es su densidad, 6 = 62.4, por su volumen. Por üLti-
SECCION 6.5
Trabajo
303
8 50(2V100_y2)(Ay)(_y)
W= 8J7100\/l00_y2(_y)dy
Figura 8
mo, notamos que esta rebanada debe elevarse una distancia de y (el signo menos resulta del hecho que, en nuestro diagrama, y es negativa).
w=
=
6/100 Vioo - y2(y) dy
50I3
10
(100 - y2)I/2(_2y) dy
= [(506)()(100 - y2\3/21-3
j'°
= 1o(91)3/26
1,805,616 libras-pie
Revision de conceptos
El trabajo realizado por una fuerza F, al mover un objeto a
lo largo de una !Inea recta desde a hasta b es
, si F es constante pero es
si F = F(x) es variable.
La ley de Hooke dice que la fuerza F que se requiere para
mantener un resorte estirado x unidades de su longitud natural es
El trabajo hecho a! levantar un disco horizontal de agua de
radio de 5 pies y grosor Ay pies una distancia de 12 - y pies es
libras-pie, suponiendo que el agua pesa 62.4 libras por pie
cUbico. AsI, si un depOsito cilindrico de 5 pies de radio y 12 pies de al-
tura, está lleno de agua, el trabajo realizado al bombear toda el agua
hasta el borde superior está dado por la integral
El trabajo realizado al levantar un objeto, que pesa 30 libras,
desde el nivel del suelo hasta una altura de 10 pies es
libras-pie.
Conjunto de problem as 6.5
Una fuerza de 6 libras se requiere para mantener estirado
un resorte 1/2 pie de su longitud normal. Encuentre el valor de la constante del resorte y el trabajo realizado al estirar el resorte pie de su
longitud normal.
Para el resorte del problema 1, cuánto trabajo se realiza a!
estirarlo 2 pies?
Se requiere una fuerza de 0.6 newton para mantener un resorte, de longitud natural de 0.08 metro, comprimido a una longitud
de 0.07 metro. Encuentre el trabajo realizado para comprimir el resorte de su longitud natural a Ia longitud de 0.06 metro. (La ley de Hooke se aplica a compresión al igual que a estiramiento.)
Se requiere 0.05 joule (newtons-metro) de trabajo para estirar un resorte desde una longitud de 8 centImetros a 9 centImetros, y
otros 0.10 joule para estirarlo de 9 centImetros a 10 centImetros. Evalüe la constante del resorte y encuentre la longitud natural del resorte.
Para cualquier resorte que cumple la ley de Hooke, demuestre que el trabajo realizado para estirar el resorte una distancia d estádadoporW
kd2.
Para cierto tipo de resorte no lineal, la fuerza requerida pa-
ra mantenerlo estirado una distancia s está dada por la fOrmula
F ks413. Si la fuerza requerida para mantenerlo estirado 8 pulgadas
es de 2 libras, cuánto trabajo se realiza para estirar este resorte 27 pulgadas?
Un resorte es tal que la fuerza requerida para mantenerlo
estirado s pies esti dada por F = 9s libras. ,Cuánto trabajo se hace
para estirarlo 2 pies?
Dos resortes similares S1 y S2, cada uno de 3 pies de longitud,
son tales que Ia fuerza requerida para mantener a cualquiera de ellos
estirado una distancia de s pies es F = 6s libras. Un extremo de uno
de los resortes se sujeta a un extremo del otro, y la combinaciOn se estira entre las paredes de un cuarto de 10 pies de ancho (véase la figura 9). j,Cuánto trabajo se hace a! mover el punto medio, P, un pie hacia la derecha?
sills
1511$
s
10 pies
Figura 9
En cada uno de los problemas del 9 al 12, se muestra una sección transversal vertical de un depósito. Supongase que el depOsito tiene 10 pies
304 CAPiTULO 6
Aplicaciones de Ia integral
de largo, eslá lieno de agua y que se bombea ci agua hasta una aitura
de 5 pies por encima del borde superior del depósito. Encuentre ci Irabajo hecho para vaciar ci tan que.
9.
gas se relacionan de manera adiabática (p.ej., sin pérdida de calor)
por Ia ley pv'4 = c (una constante), jcuánto trabajo hace el piston al
comprimir el gas a 2 pulgadas cübicas?
17. Encuentre el trabajo realizado por el pistOn del problema
IC
16, si él area de la cara del piston es de 2 pulgadas cuadradas.
Un pie cObico de aire bajo una presión de 80 libras por pulgada cuadrada se expande adiabáticamente a 4 pies cObicos, de acuerdo con La ley pv'4 = c. Encuentre el trabajo realizado por el gas.
Un cable que pesa 2 libras por pie se utiliza para levantar
una carga de 200 libras hasta la parte superior de un pozo que tiene
500 pies de profundidad. Cuánto trabajo se realiza?
Un mono de 10 libras cuelga del extremo inferior de una calibra por pie. i,Cuánto trabajo realiza al trepar por La cadena hasta su extremo superior? Suponga que el extremo inferior de la cadena está sujeto al mono.
dena de 20 pies, que pesa
3 pies
Una cápsula espacial que pesa 5000 libras es impulsada a una
altura de 200 millas por arriba de La superficie de la Tierra. Cuánto
trabajo se realiza en contra de la fuerza debida a la gravedad? Suponga que la Tierra es una esfera de radio de 4000 millas y que la fuerza
debida a la gravedad es f(x) = k/x2, en donde x es La distancia desde el centro de la Tierra a la cápsula (ley inversal del cuadrado). Por
tanto la fuerza de elevaciOn que se requiere es k/x2, y esta es igual a
5000 cuando x 4000.
De acuerdo a la ley de Coulomb, dos cargas eléctricas iguales se repelen entre sí con una fuerza que es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. Si Ia fuerza de repulsion es
de 10 dinas (1 dma = 10 newton) cuando están separadas 2 centImetros, encuentre el trabajo realizado para ilevar las cargas de una
separación de 5 centImetros a una separaciOn de 1 centImetro.
6 pies
Encuentre el trabajo realizado a! bombear todo el aceite
(densidad 6 = 50 libras por pie cübico) sobre el borde de un depOsito cilIndrico, que está apoyado sobre una de sus bases. Supongase que
el radio de La base es 4 pies, la altura es de 10 pies, y que el tanque está ileno de aceite.
Resuelva el problema 13, suponiendo que el depOsito tiene
secciones transversales circulares de radio 4 + x pies a la altura de x
pies por arriba de Ia base.
Un depósito, con peso de 100 libras, se liena con arena, que
pesa 500 libras. Una grOa levanta el depósito desde el piso hasta un
punto a 80 pies a una velocidad de 2 pies por segundo, pero a! mismo
tiempo la arena sale, por una agujero, a razón de 3 libras por segundo. No tomando en cuenta la fricción ni el peso del cable, determine
cuánto trabajo se realiza. Sugerencia: Comience estimando AW, el
trabajo requerido para elevar el depósito desde y hasta y + Ay.
CI 24. Ciudad Central acaba de construir una nueva torre de agua
(véase la figura 10). Sus elementos principales consisten en un tanque esférico que tiene un radio interno de 10 pies y un largo tubo para
llenar de 30 pies de largo. El tubo para llenar es cilIndrico con diametro interno de 1 pie. Suponga que se bombea agua desde el nivel del
piso hasta el tanque, por medio del tubo. i,Cuánto trabajo se realiza
para llenar el tubo y el tanque con agua?
Un volumen v de gas está confinado en un cilindro, un extremo del cual está cerrado por medio de un pistOn móvil. Si A es el area
en pulgadas cuadradas de la cara del pistOn y x es la distancia en pulgadas desde la cabeza del cilindro al pistOn, entonces v = Ax. La pre-
sión del gas confinado es una función continua p del volumen
p(v) = p(Ax) se denotará por f(x). Demuestre que el trabajo hecho
por el pistOn al comprimir el gas desde Un volumen V] = Ax1 a un volumen v2 = Ax2 es
W
=Aff(x)dx
Sugerencia: La fuerza total en La cara del piston es p(v) A = p(Ax)
A
Af(x).
16. Un cilindro y pistOn, cuya area de secciOn transversal es 1
pulgada cuadrada, contiene 16 pulgadas cUbicas de gas bajo una presiOn de 40 libras por pulgada cuadrada. Si La presion y el volumen del
C
Tubo para Ilenar
Figura 10
SECCION 6.6
Una boya cOnica pesa m libras y flota con su vértice V hacia
305
conocer que 6(1Ta2)(8)
300. EL principio de ArquImedes implica
que La fuerza necesaria para mantener La boya z pies (0 z <2) por
debajo de su posición de flotaciOn es iguaL al peso del agua adicional
desplazada.
abajo y h pies por debajo de la superficie del agua (véase la figura
ii). Un bote grOa eleva la boya hasta la cubierta, de modo que V esti 15 pies por arriba de la superficie del agua. ,Cuánto trabajo se realiza? Sugerencia: Utilice el principio de ArquImedes, el cual dice que
La fuerza requerida para mantener la boya y pies por arriba de su posición original (0 < y h) es igual a su peso menos el peso del agua
Al principio, el tanque de abajo, en La figura 12, estaba lLeno
de agua, y eL tanque de arriba estaba vacIo. Encuentre el trabajo realizado aL bombear toda el agua al tanque de arriba. Las dimensiones
están en pies.
despiazada por La boya.
(6
\
/
Momentos, centro de masa
4;
V
Ho
Figura 11
Figura 12
En lugar de elevar Ia boya, del problema 25 y figura 11, fuera del agua, suponga que intentamos empuj aria hasta que su extremo
superior esté ai ras del nivei del agua. Suponga que h = 8, que el ex-
tremos superior, originalmente, está 2 pies por arriba del nivel del
12
2.kx 3.300 4. 62.4(12 - Y)T(25)zY;62.47r(25)J (12 y)dy
agua, y que la boya pesa 300 libras. LCuánto trabajo se requiere? Sugerencia: No necesita conocer a (el radio al nivei dei agua), pero es Util
6.6
Momentos,
centro de masa
m1
m,
d,
A
1. F (b - a); f F(x) dx
Respuestas a La revision de conceptos:
SupOngase que dos masas de tarnaños m1 y m2 se colocan en un sube y baja a distancias respectivas d1 y d2 del punto de apoyo (fuicro) y en lados opuestos a él (véase la
figura 1). El sube y baja se equilibrará si, y sOlo Si d1m1
d2m2.
Un buen modelo rnatemático para eSta situación se obtiene a! reemplazar el sube
y baja por un eje coordenado horizontal que tenga su origen en el fuicro (véase la figura 2). Entonces La coordenada x1 (abscisa) de m1 es x1 = d1, la de m2 es x2 = d2, y
La condiciOn de equilibrio es
Fuicro
x1m1 + x2m2 = 0
Figura 1
/lI
72
o
2
Figura 2
m
A
El producto de Ia masa de una partIcuia por su distancia dirigida desde un punto (su
brazo de palanca) se denomina momento de Ia partIcula con respecto a ese punto (yease La figura 3). Mide la tendencia de La masa a producir una rotación aLrededor de ese
punto. La condiciOn para que dos masas a io largo de eSta recta estén en equilibrio es
que La suma de sus momentos con respecto al punto sea cero.
La situaciOn que seacaba de describir puede generaiizarse. EL momento total M
(con respecto al origen) de un sistema de n masas m1, m2.....m ubicados en los puntos x1, x2.....x a Lo largo del eje x es la suma de los momentos individuales; esto es,
x
Momento = (brazo de palanca)
(masa)
M=xm
Figura 3
M = x1 m1 + x2 m2 +
+xm=
n
xm
La condición para equilibrio en eL origen es que M 0. Por supuesto, no debemos esperar equiiibrio en el origen, excepto en circunstancias especiaies. Pero seguramente un
sistema de masas se equilibrará en aiguna parte. La pregunta es dónde. ,Cul es La abscisa del punto en donde eL fulcro debe colocarse para que el sistema en La figura 4 esté
en equilibrio?
in1
xI
Figura 4
m4
0
x,
A
in
x,,_I
x,,
Aplicaciones de Ia integral
306 CAPITULO 6
Llámese E a la coordenada deseada. El momento total con respecto a él debe ser
cero; esto es,
(x1 - )m1 + (x2 - )m2 +
+ (x -
=0
0
+ x, m = xm1 + xm2 +
x1 m1 + x2 m2 +
Cuando despejamos a
,
+ xm,1
obtenemos
x=
xm
M
m
El punto se denomina centro de masa, es el punto de equilibrio. Obsérvese que sólo es el momento total con respecto al origen dividido entre la masa total.
7
6
4
EJEMPLO 1 En los puntos 0,1,2 y 4, a lo largo del eje x, están colocadas masas de 4,
2, 6 y 7 kilogramos, respectivamente (véase la figura 5). Encuentre el centro de masa.
Solución
2
4
Figura 5
x=
(0)(4) + (1)(2) + (2)(6) + (4)(7)
4+2+6+7
=
42
19
2.21
Su intuición debe confirmarle que x = 2.21 es casi el punto de equiLibrio correcto.
DistribuciOn continua de masa a lo largo de una recta
Ax
0
a
b
Am5(x)Ax
AM=x5(x)Ax
,n=JS(x)dx
M=f'x6(x)dx
Ahora conside-
re un segmento recto de un alambre delgado de densidad variable (masa por unidad
de longitud) para el que queremos encontrar el punto de equilibrio. Colocamos un eje
coordenado a lo largo del alambre y seguimos nuestro procedimiento usual de rebanar, aproximar e integrar. Suponiendo que la densidad en x es (x), primero obtenemos la masa total m y después el momento total M con respecto al origen (véase La figura 6). Esto lleva a la fOrmula
Pb
x= M
m
Figura 6.
I x6(x)dx
= Ia Pb
/ 6(x)dx
Ja
Son pertinentes dos comentarios. Primero, recuérdese esta formula por analogIa
con la formula para masas puntuales.
xm,
m1
xAm
,Am
Segundo, obsérvese que hemos supuesto que los momentos de todos los pedazos pequeflos de alambre se suman para obtener el momento total, tal como en el caso de las masas puntuales. Esto debe parecerle razonable si imagina que La masa del pedazo representativo de Longitud Ax está concentrada en eL punto x.
EJEMPLO 2 La densidad 6(x) de un alambre en eL punto a x centImetros de uno de
3x2 gramos por centImetro. Encuentre el centro de malos extremos está dada por 6(x)
sa del pedazo entre x = 0 y x = 10.
SECCION 6.6
0
O
Momentos, centro de masa
307
Solución Esperamos que , sea más cercana a 10 que a 0, ya que el alambre es mucho más pesado (denso) hacia el extremo derecho (véase Ia figura 7).
fIO
Figura 7
/
Jo
ÀY
x3x2dx
[3x/4]°
3110
f3x2 dx
[x Jo
7500
- 1000 -
7.5 cm
Distribuciones de masa en un piano Considérese n masas puntuales de magnitudes m1, m2.....m situadas en los puntos (x1, y1), (x2, y2).....(x, y,) en el piano
v.)
x
coordenado (véase La figura 8). Entonces los momentos totales M y M con respecto
a! eje y y a! eje x, respectivamente, están dados por
n
n
M=
y m,
M
x1 m,
t=1
i=1
I!!
Las coordenadas (1k, ) del centro de masa (punto de equilibrio) son
Figura 8
x=
7
xm
M
ym
M
m
m
Cinco partIculas de masas 1,4,2,3 y 2 unidades, están colocadas en los
puntos (6, 1), (2, 3), (-4, 2), (-7, 4) y (2, 2), respectivamente. Encuentre el centro de
EJEMPLO 3
mas a.
Solución
x=
(a)
(6)(1) + (2)(4) + (-4)(2) + (-7)(3) + (2)(2)
1+4+2+3+2
- 12
(-1)(1) + (3)(4) + (2)(2) + (4)(3) + (-2)(2)
23
1+4+2+3+2
12
U
Ahora consideramos el problema de encontrar el centro de masa de una lámina
(hoja plana delgada). Por simplicidad, suponemos que es homogénea; esto es, tiene densidad constante 6. Para una hoja rectangular homogénea, el centro de masa (en ocasiones denominado centro de gravedad) está en el centro geométrico, como lo sugieren los
diagramas (a) y (b) en Ia figura 9.
(b)
Figura 9
Considere la lámina homogénea acotada por x = a, x b, y = f(x) y y =
con g(x) f(x). Rebane esta lámina en delgadas tiras paralelas al eje y, las cuales, por
tanto, tienen forma casi rectangular, e imagine la masa de cada tira concentrada en su
centro geométrico. Después aproxime e integre (véase la figura 10). Con base en esto
podemos calcular las coordenadas (, 5) del centro de masa utilizando Las formulas
M
m
m
Cuando lo hacemos, se cancela el factor
nemos
fbx[f(x) - g(x)]dx
fb[f(x) - g(x)]dx
,
del numerador y del denominador, y obte1
Pb
2aJ
[(f(x))2
Ib
a
- (g(x))2]dx
[f(x) - g(x)]dx
Algunas veces, rebanar en dirección paralela al eje x funciona mejor que rebanar
en dirección paralela al eje y. Esto conduce a formulas para y 5 en la que y es la variable de integración. No intente memorizar todas estas fOrmulas. Es mucho mejor recordar cómo se dedujeron.
El centro de masa de una lámina homogénea no depende de su masa o densidad,
sino solo de la forma de la regiOn correspondiente en el piano. AsI que, nuestro pro-
308 CAPITULO 6
Aplicaciones de Ia integral
ÀY
0I
. a. a
a
a
a
Am
b
AMxö [f(x)g(x)] Ax
[f(x)g(x)] Ax
m=öf[f(x)g(x)] dx
[(f(x))2 - (g(x))2] Ax
AM
M=$[f2(x) g2(x)] dx
= ö $x[ f(x) - g(x)] dx
Figura 10
blema se convierte en un problema geométrico en lugar de uno fIsico. En consecuencia, con frecuencia hablamos del centroide de una region plana, en lugar del centro de
masa de una lámina homogenea.
EJEMPLO 4
y=
Solución
Encuentre el centroide de la region acotada por las curvas y = x3 y
Observe el diagrama en la figura 11.
x3]dx
x=
[X5/2
x5l1
1
-
12
I'x31dx [x3/2_j
- 25
x411 -
Figura 11
- x)dx
+ x)(
Li
f(_x3)dx
1[x2
i11
- 7 Jo
5
12
12
Ji2 -
(x3)2]dx
f(\/_x3)dx
5
57
12
El centroide se muestra en la figura 12.
Figura 12
EJEMPLO 5
Encuentre el centroide de la region bajo la curva y = sen x, 0 s x <ir
(véase la figura 13).
Figura 13
Solución Esta regiOn es simétrica con respecto a la recta x = ¶/2, de lo cual concluimos (sin integrar) que = n-/2. En efecto, es tanto intuitivamente obvio como cierto que si una region tiene una recta vertical u horizontal de simetrIa entonces el centroide estará en esa recta.
Su intuición también debe decirle que j será menor a , ya que una mayor cantidad de la region está por debajo de que por encima de . Pero para encontrar de manera exacta este nOmero, debemos calcular
SECCION 6.6
I
309
Momentos, centro de masa
1 Isenxdx
2 Jo
senx
fsen x dx
fsen x dx
El denominador es fácii de caicular, tiene valor 2. Para calcular ci numerador, utilizamos la formula del ánguio medio sen2 x = (1 - cos 2x)/2.
i/fIT
IT
I;
sen2 x dx - -
2\
1 dx - I cos 2x dx
Jo
o
ir x - sen2x
1
=
2[
2
'IT
2
j0
Por lo que,
.
(7
N
El teorema de Pappus Alrededor de 300 a. de C., ci geOmetra Pappus estableciO
un novedoso resultado, el cual relaciona centroides con volOmenes de sólidos de revoiución (véase la figura 14).
Te rre ma
A Teorema de Papr s
gi'P
un Ll&.J
'dc de una recta en su piano, se hace girar airedeSi un'a ri
n , que está d'¼,.
"j' &: sólido res"ltante es igual ai area de R muldoi &esa.ret mtonces c'. vol:umeh
tiplicaa ior
la
distancia
recorrida
po.
su centroide.
U
Figura 14
En lugar de demostrar este teorema, que en reaiidad es muy sencillo (véase ci problema 28), io ilustraremos.
Verifique eiTeorema de Pappus para la region bajo y
cuando se hacen girar airededor del eje x (véase la figura 15).
EJEMPLO 6
Solución
gión es
Esta es la regiOn del ejemplo 5, para La cual
A=f
sen x,0
= ii-/8. El area A de esta re-
senxdx = [cosx]g
2
Figura 15
El volumen V del sólido de revolución correspondiente es
r
cos2x] dx=Ix--sen2x
v=Isen2xdx=
2
2 f[1
2L
Jo
PIT
1
Para verificar el teorema de Pappus, debemos demostrar que
A (2) = V
Pero esto equivale a demostrar que
/
'IT
\.
8)
2
2 2'n--- =
que claramente es cierto.
I
2
lIT
=
J
2
310
CAPtruLo 6
Aplicaciones de Ia integral
Revision de conceptos
Un objeto de masa 4 está en x = 1 y un segundo objeto de
masa 6 está en x = 3. La simple intuición geométrica nos dice que el
centro de masa estará a la
de x = 2. De hecho, =
Un alambre homogéneo se encuentra a lo largo del eje x, entre x = 0 y x = 5, equilibrado en é =
. Sin embargo, si el
alambre tiene densidad 6(x) = 1 + x, se equiiibrará a ia
de
2.5. De hecho, se equilibrará en 1, donde
dx/f
La lámina homogenea rectangular con vertices en los puntos
=
(0,0), (2,0), (2,6) y (0,6) se equilibrará en iE =
,
Una lámina rectangular con vertices en (2, 0), (4, 0), (4, 2) y
(2,2) está suj eta a la lámina de la pregunta 3. Suponiendo que ambas
láminas tienen la misma densidad constante, la lemma resultante en
forma de L se equilibrará en =
,
=
dx.
Conj unto de problemas 6.6
1. Unas particulas con masas m1
5, m2 = 7 y m3 = 9, están
ubicadas en x1 = 2, x2 = 2 y x3 = 1 a lo largo de una recta. ,En
18. Para la lCmina homogénea que se muestra en la figura 17,
encuentre m, M, M, y 5.
dónde está el centro de masa?
2. Juan y Maria, pesan 180 y 110 libras respectivamente, sentados en extremos opuestos de un sube y baja de 12 pies de largo, con
el fuicro a la mitad. En dónde debe sentarse su hijo Tom, de 80 iibras,
para que se equilibre el sube y baja?
3. Un alambre recto de 7 unidades de largo tiene densidad
6(x) =
en un punto a x unidades de un extremo. Encuentre la
distancia, desde este extremo a! centro de masa.
4. Resuelva el problema 3 si (x)
1 + x3.
5. Las masas y coordenadas de un sistema de partIcuias en el
piano coordenado están dadas por: 2, (1, 1); 3, (7, 1); 4, (-2, 5);
6, (-1, 0); 2, (4, 6). Encuentre ios momentos de este sistema con respecto a los ejes coordenados, y encuentre ias coordenadas dei centro
de masa.
6. Las masas y coordenadas de un sistema de particulas están
dadas por io siguiente: 5, (-3,2); 6, (-2,2); 2, (3,5); 7, (4, 3); 1, (7,i).
/
R
1
2
Figura 17
19. Considere las láminas homogeneas R1 y R2, que se muestran
en la figura 18, y la lámina homogénea R3, que es la union de R1 y R2.
Para i = 1,2,3, sean m(R1), M(R,) y M(R1) la masa, el momento con
respecto al eje y y el momento con respecto a! eje x, respectivamen-
te, de R Demuestre que
in(R3) = m(R1) + m(R2)
M(R3) = M(R1) + M(R2)
M(R3) = M(R1) + M(R2)
Encuentre los momentos de este sistema con respecto a ios ejes coordenados y encuentre las coordenadas del centro de masa.
7. Verifique ias expresiones para AM, AMY, M y M en el recuadro que está en la parte inferior de la figura 10.
En los problemas del 8 at 16, encuentre el centroide de La region acotada por las curvas dadas. Haga on dibujo y cuando sea posible utili-
V=
ce simetrIa.
8.y=2x,y=0,x=0
9.y=2x2,y=0
10. y = x2,y = 0,x = 4
11. y = x3,y = 0,x = i
y = (x2 - 10), y = 0, y entre x = 2 y x = 2
a
y = 2x - 4,y = 2V,x = 1
14.y=x2,y=x+3
x
-
15.x=y2,x=2
- 4,x =
Para cada lámina homogenea R1 y R2 que se muestra en la fi-
gura 16, encuentre m, M, M, y
x
b
Figura 18
20. Repita el problema 19 para las láminas R1 y R2 que se muestran en Ia figura 19.
I:
V
R1
Figura 19
I;
SECCION 6.6
En los pro blemas del 21 at 24, divida Ia region que se muestra en piezas rectangulares y suponga que los momentos M y M de toda Ia región, puede determinarse sumando los momentos correspondientes de
las piezas. (Véanse los problemas 19 at 20.) Utilice esto para determinar el centroide de cada region.
21.
Momentos, centro de masa
311
Utilice el Teorema de Pappus junto con el volumen conocido de una esfera para determinar el centroide de una region semicircular de radio a.
Demuestre el Teorema de Pappus suponiendo que la region
de area A, en la figura 20, se hace girar alrededor del eje y. Sugeren-
fb
[b
dx)/A.
dx
cia: v
Ja
a
ÀY
K
22.
dY
Y
(-3, 4)
(1, 4)
S
S
C
a
x
x
b
Figura 20
S
29. La region de la figura 20 se hace girar airededor de Ia recta
y = K, generando un sOlido.
(1-2)
(-3, 3)5-5
(-2.
Utilice cascarones cilIndricos para escribir una formula para el
volumen en términos de w(y).
23.
Demuestre que la formula de Pappus, cuando se simplifica, proporciona el mismo resultado.
30. Considere el triángulo T de Ia figura 21.
Demuestre que
= h/3 (y por tanto que el centroide de un
triángulo está en la intersección de las medianas).
Encuentre el volumen del sólido que se obtiene cuando T se hace girar alrededor de y = k (Teorema de Pappus).
24.
2-2
-I
2
4
x
Figura 21
-3
31. Un polIgono regular P con 2n lados esté inscrito en un cIrculo de radio r.
Utilice el Teorema de PappUs para encontrar el volumen del
sólido obtenido cuando la region acotada por y = x3, y = 0 y x = 1
se hace girar alrededor del eje y (vOase el problema 11 para el centroide). Resuelva el mismo problema por medio del método de los cascarones cilmndricos para verificar su respuesta.
Utilice el Teorema de Pappus para encontrar el volumen del
toro que se obtiene cuando la region dentro del cIrculo x2 + y2 = a2
se hace girar alrededor de la recta x = 2a.
Encuentre el volumen del sólido que se obtiene cuando P se hace girar alrededor de uno de sus lados.
Verifique su respuesta haciendo n
oo.
32. Sea f una funciOn continua y no negativa en [0, 1].
(a) Demuestre que f xf(sen x) dx =
(/2)f
f(sen x) dx.
(b) Utilice Ia parte (a) para evaluar L x sen x cos4 x dx.
312
CAP1TULO 6
Aplicaciones de Ia integral
33. Sea 0 < f(x) g(x) para toda x en [0,1], y sean R y S las regiones bajo las graficas de f y g, respectivamente. Demuestre o refute que YR
Ys
id 34. Aproxime el centroide de la lámina que se muestra en la figura 22.Todas las medidas están en centImetros y las medidas horizontales están separadas 5 centimetros una de la otra.
ci 35. Se taladra un agujero con radio de 2.5 centImetros en la lámina que se describe en el problema 34. La ubicación del agujero se mues-
están aproximadas y están en millas. Las distancias dadas, este-oeste, están separadas 20 millas. También necesitará las distancias entre
la frontera este del estado y Ia linea que va de forte a sur que forma la
frontera este en el centro del estado. Comenzando con las dimensiones de más al norte, las distancias son 13 y 10 millas, e iniciando con
las dimensiones de más al sur, las distancias son 85 (en Ia punta sur),
50, 30,25, 15 y 10 millas. Supongase que las demás dimensiones esteoeste se miden a partir de la frontera de más al este.
tra en la figura 23. Encuentre el centroide de la himina resultante.
140
132
139
151
184
179
192
209
212
206
380
191
170
167
155
137
124
95
79
58
Figura 24
Figura 22
Figura 23
ci 36. El centro geografico de una region (condado, estado, pals) se
define como el centroide de esa regiOn. Utilice el mapa de Ia figura 24
para aproximar el centro geográfico de Illinois. Todas las distancias
Respuestas a Ia revision de conceptos:
(41 + 63)/(4 + 6) = 2.2
424.40
3 1.I
6'16
1. derecha;
2. 2.5; derecha; x(1 + x); 1 + x
6.7 Revision del capItulo
Examen de conceptos
Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta.
Eláreadelaregionacotadapory cosx,y = 0,x Oyx = IT
cos x dx.
es
0
a2
Los sOlidos que se obtienen a! hacer girar la regiOn del problema
- x2 dx.
0
El area de Ia region acotada por y = f(x), y = g(x), x
x
Para calcular el volumen del sólido obtenido al hacer girar la re-
gión acotada por y = x2 + x y y = 0 airededor del eje y, uno debe
utilizar el método de las arandelas de preferencia sobre del método
de los cascarones.
4fa
El area de un circulo de radio a es
Si el radio de Ia base de un cono se duplica, mientras que la altura se divide entre dos, entonces el volumen permanecerá constante.
ay
b,oes f [f(x) - g(x)]dxobiensunegativo.
Todos los cilindros rectos cuyas bases tienen la misma area y cuyas alturas son las mismas, tienen volOmenes idénticos.
Si dos sOlidos con bases en el mismo piano tienen secciones transversales de la misma area en todos los pianos paralelos a sus bases, entonces tienen el mismo volumen.
7 alrededor de x = 0 y x = 1 tienen el mismo volumen.
Cualquier curva suave en el piano, que se encuentre por completo dentro del circulo unitario tendr longitud finita.
El trabajo que se requiere para estirar un resorte 2 pulgadas más
de su longitud normal, es el doble del que se necesita para estirarlo una
pulgada (supongase que se cumple la ley de Hooke).
Se requerirá la misma cantidad de trabajo para vaciar un depósito de forma cónica y depósito cilindrico de agua bombeándola hasta
su borde superior si ambos depósitos tienen la misma altura y volumen.
SECCION 6.7
Dos pesos de 100 libras a distancias de 10 y 15 pies del fuicro,
equilibran un peso de 200 libras del otro lado del fuicro y a 12.5 pies
dee!.
Revision del capItulo
313
(b) Comprimirlo desde su longitud natural hasta una longitud de 12
pulgadas.
9. Un tanque cilIndrico vertical tiene 10 pies de diOmetro y 10 pies
Si iE es el centro de masa de un sistema de masas rn1, rn2.....rn,1
de altura. Si el agua en el tanque tiene una profundidad de 6 pies,
distribuidas a lo largo de una recta en los puntos con coordenadas
x,,,respectivamente,entonces
(x1 = 0.
i,cuánto trabajo se realizará al bombear toda el agua hasta el borde superior del tanque?
El centroide de la region acotada por y = cos x, y = 0, x = 0 y
x = 2ii está en (VT, 0).
De acuerdo con el Teorema de Pappus, el volumen del sólido ob-
tenido a! hacer girar La regiOn (de Orea 2) acotada por y = sen
x, y = 0, x = Oy x
alrededor del eje y es 2(2w)
= 22.
10. Un objeto que pesa 200 libras estO suspendido desde La parte superior de un edificio por medio de un cable uniforme. Si el cable es de
100 pies de Largo y pesa 120 libras, i,cuOnto trabajo se hace a! tirar del
objeto y del cable hasta lo alto?
11. Una region R estO acotada por La recta y = 4x y La parbola
y = x2. Encuentre ci area de R:
considerando a x como la variable de integración, y
El Orea de la region acotada por y =
esf(9
y=0yx=9
- y2)dy.
Si la densidad de un alambre es proporcional al cuadrado de La dis-
tancia a su punto medio, entonces su centro de masa estO en el punto
medio.
El centroide de un triángulo con base en el eje x tiene ordenada
(coordenada y) iguaL a un tercio de La altura del triángulo.
Problemas de examen
Los problernas deli at 7 se refieren a Ia region plana R acotada por Ia
curva y = x - x2y el eje x (veaselafigura 1).
tomando a y como la variable de integración.
12. Encuentre el centroide de R en el problema 11.
13. Determine el voLumen del sólido de revolución generado a! hacer
girar la regiOn R del probLema 11 alrededor del eje x. Verifique utiLizando el Teorema de Pappus.
14. Encuentre el volumen del sólido generado al hacer girar La regiOn R del probLema 11 aLrededor del eje y. Verifique utilizando el
Teorema de Pappus.
15. Encuentre la longitud del arco de Ia curva y = x3/3 + 1/(4x) des-
de x = 1 hasta x = 3.
16. Haga un bosquejo de La gráfica de Las ecuaciones paramétricas
x=t2,
y=(t3-3t)
Después encuentre Ia Longitud del rizo de Ia curva resultante.
17. Un sólido con base semicircular acotada por y =
Figura 1
- x2 y
y = 0 tiene secciones transversales perpendiculares a! eje x que son
cuadrados. Encuentre el volumen de este sólido.
En los problernas del i8 al 23, escriba una expresiOn que incluya integrales para representar el concepto requerido. Haga referencia a Ia figura2.
y
Encuentre el area de R.
Encuentre el volumen del sóLido S1, generado a! hacer girar Ia región R alrededor del eje x.
Utilice el método de los cascarones cilIndricos para determinar
2' generado al hacer girar R airededor del eje y.
Encuentre el volumen del sOlido S3 generado al hacer girar R alrededor de la recta y = -2.
el voLumen del sOLido
Figura 2
Encuentre el volumen del sólido S4 generado a! hacer girar R al-
rededor de la recta x = 3.
Encuentre Las coordenadas del centroide de R.
Utilice el Teorema de Pappus y los problemas del 1 a! 6 para determinar los volOmenes de los só!idos 1'
S3 y S4, anteriores.
La longitud natural de cierto resorte es de 16 pulgadas, y se requiere de una fuerza de 8 libras para mantenerlo estirado 8 pulgadas. Encuentre el trabajo realizado en cada caso.
(a) Estirarlo desde una longitud de 18 pulgadas a una longitud de 24
pulgadas.
El area de R.
EL volumen del sólido obtenido cuando R se hace girar aLrededor
delejex.
El volumen del sólido obtenido cuando R se hace girar alrededor
de x = a.
Los momentos M y M de una Lamina homogOnea con forma R,
suponiendo que su densidad es
La Longitud total de la frontera de R.
El area de La superficie total del sOlido del problema 19.
Aplicaciones de Ia integral
314 CAPITULO 6
6.8 Problemas adicionales
1. Cuando se derivan con respecto al tiempo funciones, cuyas unidades son distancias, las derivadas resultantes tienen unidades de distancia/tiempo o velocidad. De manera analoga, al integrar, con respecto a! tiempo, una función que especifica velocidad, dará un resultado
que es distancia. En cada caso siguiente, proporcione las unidades de
la funciOn F y una descripción fIsica de la cantidad F.
tadora lap top. Entonces, la función de densidad puede utiJizarse para encontrar probabilidades concernientes al tiempo de vida del artIculo. Sea
fa(t) dt, donde a se mide en pies/(segundo)2 yT se
LQué valor debe dársele a A para hacer que f(t) sea una función
de densidad?
F(T) =
f (t)
J15At2(4t)2 siOt4
- lo
en caso contrario
donde t se mide en afloS.
mide en segundos.
Cuál es la probabilidad de que una baterIa falle después de tres
aflos?
F(s)
=
F(r) =
f
f(z) dz, donde f se mide en libras y s en pies.
Encuentre una expresión para la función de distribución acumu-
lada F(t). Sugerencia: F(t) satisface la ecuación diferencial
F'(t) = f(t) y F(0) = 0.
f
, donde f se mide en slugs y x se mide en
r
f
I Gd (d) Haga una grafica de la función de densidad y de la función de
distribución acumulada en ventanas gráficas diferentes.
5. El valor esperado de una variable aleatoria se define como
pulgadas.
B
La integración desempeha un papel central en Ia teorIa de probabilidad. En los problemas del2 a! 6 exploramos esepapel. Unafunción
de distribución acumulativa F(t) satisface las propiedades siguientes:
I
IEXPL
1.
Explique cómo esto puede considerarse como un momento igual
a! que se definiO en la secciOn 6.6.
2. limF(t) = 1
lIm F(t) = 0
Si la variable aleatoria es el tiempo de vida de un artIculo, entonces at valor esperado se le denomina tiempo de vida esperado.
Encuentre el tiempo de vida esperado para la función de densidad descrita en el problema 4.
4. F es continua por Ia derecha.
3. F es no decreciente.
En lo que sigue supondremos algunas condiciones más fuertes, como
que F es derivable, F(0) = Oy que existe algán B talque F(B) = 1. La
derivada F'(t) = f(t) se denominafunción de densidad deprobabilidad o simplemente función de densidad. Una variable aleatoria es
una cantidad que varIa dependiendo de un resultado de un experimento aleatorio. Si T es una variable aleatoria con funcion de densidad de
probabilidadf(t), entonces laprobabilidad de que T caiga en elintervalo [a, b] es
6. Supóngase que la función
f(t)
B
f(t)dt = 1
f(t)
{A si0t3
0
IA(t2 - 7t)
si 0
[0
en caso contrario.
At2
t
7
si 0 < t < 3
si 3
t
5
EXPL
Ha notado que Ia presiOn en una alberca no depende de la po-
siciOn hacia Ia que están dirigidos sus oIdos, sino sOlo a Ia profundidad
ala quese encuentre?Aqu el principiofisico es quelapresiónp a una
en caso contrario.
f(t) = cA(9 - t)
0
en caso contrarlo
Una interpretaciOn de probabilidad, tal como !a que se calculó
en !a parte (c), es como sigue: En muchas reproducciones del experimento aleatorio, Ia proporción de veces que un evento ocurre es igua! a Ia probabilidad de ese evento. Si ponemos 100,000
baterIas a prueba, a! mismo tiempo, ,cuántas de ellas se esperarIa que siguiesen funcionando después de treS aflos?
y utilice este resultado para demostrar que
f(t) =
Si
aflos.
f(t)dt = F(b) - F(a)
donde B es un valor tal que F(B) = 1.
3. Dadas las funciones siguientes, seleccione los valores correctos
para cada constante A a fin de que f(t) sea una función de densidad.
10
t)\2
Encuentre la función de distribución acumulada F(t).
Encuentre la probabilidad de que una baterIa durará al menos 3
2. Explique por qué
I
1 6 2i
625t
donde t se mide en años, proporciona la función de densidad para el
tiempo de vida de una baterIa de automóvil.
Haga una gráfica de Ia funciOn de densidad.
dt
I
tf(t)dt
t <9
en caso contrario.
4. En teorIa de fiabilidad, Ia variable aleatoria con frecuencia es el
tiempo de vida de algén artIculo, tal como la baterla de una compu-
profundidad h, as el peso delfluido por unidad de volumen w (62.4 Iibras por pie cObico para el agua) por h; esto es, p = wh. Obviamente,
Ia presión tiene unidades de peso/(longitud)2. Si esta presión se aplica
sobre un area, entonces el resultado será una fuerza (o peso) aplicado
a esa area. Podemos utilizar cálculo para calcular tales fuerzas.
7. Si el area de su tImpano es 0.0004 pies2, encuentre la fuerza tota!,
en libras, sobre su tImpano y la presión en su timpano a una profundidad de 10 pies debajo de La superficie en una alberca.
8. La fuerza en cada punto a lo largo de Ia pared de una piscina so!o depende de la profundidad D a la que se encuentre. Suponga que
Problemas adicionales
SECCION 6.8
315
Ia profundidad de la piscina es de 10 pies y que el ancho de la pared
es de 75 pies. Creamos una particiOn regular del intervalo [0, 10]:
0=h0<h1<<h=10.
Aproxime la fuerza que Ia capa de agua, que se muestra en la figura 1, ejerce sobre el lado de 75 pies de la piscina.
Explique por qué la fuerza total en este lado de la pared es
F = 62.4 f
- h)dh
Figura 3
13. El tanque de un acuario tiene una ventana en la parte inferior,
con forma de triangulo isósce!es (véase Ia figura 4), que esta diseñada para resistir una fuerza total de 400 libras sin romperse. i,Cuál es
la altura maxima del agua que la ventada soportará sin romperse?
Figura 4
Figura 1
9. Ahora suponga que el lado de Ia piscina es un triángulo equilatero (un lado en la parte superior) con una profundidad maxima de 10
pies (véase la figura 2).
Demuestre que la fuerza total en el lado triangular es
F = 62.4f (10 - h)W(h)dh
en donde W(h) es el ancho de la piscina a una altura h por arriba del
fondo.
EXPL La potencia, P(t), se define corno Ia velocidad a Ia que se realiza
el trabajo, o corno Iaflwrza F(t) por Ia velocidad v(t). Si integrarnos una
fuerza con respecto a una distancia, obtenemos el trabajo realizado por
esa fuerza. Si integrarnos la potencia sobre un intervalo de tiempo, tarnbién obtenernos el trabajo realizado. Ta! vez las unidades rnás conocidas para las potencias estén dadas por los cabal/os de fuerza. Un caba-
I/o de fuerza es igual a 550 libras-pie/segundo. Tornado de manera
litera4 lo que sugiere es que un caballo puede levantar 550 Iibras una
distancia del pie en 1 segundo. Si F F(s) es Ia fuerza comofunciOn
de Ia posición s, con s pararnetrizada por rnedio del tiempo t,
Demuestre que W(h) = 2h/\/.
Utiizando el resultado de la parte (b), evalüe la integral de la parte
(a) para encontrar la fuerza total en la cara triangular de Ia piscina.
F(s) = F(s(t)) = F(t),
Trabajo = W(s)
P(t) = F(t) . v(t)
dx
10
= W(s(t)) = W(t)
dW(t)
dt
-4 -2
=
f P()dr = JF(r)v(T)dr
P(t)
En los problernas Ply 15 investigarnos Ia relación entre estas cantidades.
0
14. Un automóvil de 3200 libras, iniciando desde el reposo, acelera
de manera uniforme hasta una velocidad final de 45 millas por hora
10. Suponga que insertamos, de manera vertical, una delgada placa(66
enpies por segundo) en 6 segundos.
Ia piscina. La fuerza total en una cara de la placa puede ser grande. Por
,Cuántos caballos de fuerza se necesitan para hacer esto?
supuesto, existe una fuerza total igual en la otra cara de Ia placa, y por
i,Puede resolver este problema si supone que el automóvil no
tanto la placa no se deformará debido a la presiOn del agua. Encuenacelera de manera uniforme? Si es asI, cuál es Ia respuesta?
Figura 2
tre la fuerza total ejercida sobre una cara de una delgada placa con forma de triángulo equilátero, cuyos lados son de 6 pies de largo, cuan-
do un lado se mantiene paralelo al fondo de la piscina y la parte
superior de la placa estã al ras del agua.
11. Si Ia placa del problema 10 se bajase otros 3 pies en la piscina,
cuál es Ia fuerza total ejercida en una cara?
12. Un depOsito cUbico tiene una pieza en la parte inferior, formada
por las curvas y = x2 y y = 2 (véase la figura 3), Ia cual está diseflada para resistir una fuerza total de 200 libras sin desprenderse. ,Cuál
es el tamaflo del cubo más grande que puede llenarse hasta arriba con
agua sin que la pieza se desprenda?
15. Suponga que este automóvil de 3200 libras está viajando a 45 mihas por hora a lo largo de un camino piano. El automOvil llega a una
cuesta (colina) que tiene una pendiente de 0.05.
Cuánta potencia adicional (en caballos de fuerza) se necesita
para que el automOvil mantenga su velocidad mientras sube la
colina?
i,Cuántos caballos de fuerza adicionales se necesitan para aumentar Ia velocidad del automóvil a 60 millas por hora en 4 segundos, cuando inicia al escalar Ia colina?
,Cuanto trabajo realiza el motor, si le toma 3 minutos a! automóvil, que va a 45 millas por hora, llegar a la cima de la cohina?
I
PISYECTS SE TCNILS1(A
6.1
S
S
I
'C
A
I
Volumen de un cilindro elIptico
I. Preparación
Sabemos que la ecuación x2 + y2
Ejercicio 1
r2 represen-
ta un cIrculo de radio r. Utilice este hecho para explicar por
qué
A
r
4r f
1
j1 -
dx
(1)
Figura 2
,2
x2
= 1 representa una
De mane' a similar, la ecuaciOn - +
a
b
elipse. Justifique las dos formulas
'
en,
-' 3iUrn
Ejerciclo 3 Deduzca la formula siguiente par.a ci
2b:
Ii
.
e s h, e'' ciuSilide 0
V(h), de la gasolilia uando Ia alt.iii
i
I-h--h
Aeiipse =
4bf \J1
-
dx
(2)
Aeiipse
4afJl -
dy
(3)
V(h)
21
/1
Lb
(4)
Ej xici 2 Haga la sustitución u = x/a en la integral en (2)
Ejercicio 4 Utilice el curso de cómpul:0 cn que cuentc Jd
ra evaluar las integrales de las ecuaciones '1) 2 y (3). (A'rni_
nos paquetes no rca izarán la inte gir tc'iér on parámetros r, a
s especIficos para
o b. En este caso, susi;ith wd al'uii'.o 'a
tas variables y pida a nu sofi .tre ev'ivar aintegra1.)
a alcu1ar de manera .p1Icita Aeijpse Verifique
y utilicc
su results do 1c cada una de las Iformas siguientes:
Ejercicio 5
para e' area de una elipse.
.1
.
1
Deduzca el r'su.iltacio nueamte utilizando (3).
P,emJl str.. qu ii resultado es cierto para el caso de que
la e'Au se sea un circulo de radio r.
:
SupOnga'
que
taniue desclLo anterioiinente tiene largo L = 20 pic, nch 22. = iO,oies ' altura 2b =.5
:
: cc'ium'ias. que conten
pies. Construya una tabla con dos
respectivamente, h y V(h), para h = 5 ein increm ntos de O.L.'5
pies.
IL Uso de Ia tecnologIa
La figura 1 muestra un depósito subterráneo de gasolina, tat
como el q" podrIa encontrarse en una estación de servicio.
Cada s xicio- ri ransversal del tanque es una elipse cuyos ejes
tier n loi it les de 2a pies y 2b pies. El largo del tanque es
a manera burda de medir el
I- I ducfio sOlo tiene un"
de L
contt-nic IC: i Siimc rge una vara hasta la parte inferior del depOsitu yirIi
nd. a qeiza
.ltura está el nivel de gasolina en la vara.
UsLed ru e que ayudarle a convertir esta medida, llámela h
(en pies) 'l galones de gasolina en el depósito. (Véase la figu-
ir1g ic
''
ra2.)
1.
r ne'-"un L mar"a enla
r' ,c
Ejercicio 6 Al propietario le gustai1a
r6Ao q ueden I1500
tia i1dc
i' .i i cLIU
vara como advertenia parn"'
aiiis). Uti1izan do las
galones (1 pie cObico es igu - 7 1 g"Ic'L
'uo -rn el c, eicicio 5, dc t er1:-In
mismas dimensiones del taiq
i ec.n
i a1turaha1aquecin
mine, a! centésimo de pie máscercano, '.a
I
tener Ia c
oao de Ne wton,
cidad de encontrar ralces, podrIa utlizar el
o bien podria utilizar Ia técnica dC acercamiernio de roy ctos
anteriores.
marcarse La vara. Sugerencias: Su software i)U..
III. Ref Iexión
ic- ip1ica
' rj"p.
4 ' .que &I voEjercicio 7 Explique por q ci
i L v ii.,4jlwp ecte re.. r1r -i- es T
lumen total del tan4.ie cilIn±ic
tado para verificar sus resultados del ejerci ' 5 p
h
Ejercicio 8
Para tanques de dimensiones arLkj'
,.ral L
encuentre V'(h) y V"(h). En qué inter ilos I
-
Figura 1
316
i.'valorers cle
0,h = 2.5yh = 5.
s11
I y L,
cien-
1iba '1 ,Có nca(Ad't ar'
te? LEn qué intervalos V(h) es cOncava ha
va hacia abajo?
PRSYECTO ei TECNLS1A
I
.2
I
Long;tu d de arco
L Preparación
Este proyecto implica La aproximación de la longitud de la
curva y = f(x), a
S b.
Ejercicio 1 Considere la curva que representa la gráfica de
y = f(.) = V2x + l,0x4.Sean
1
x=i-,
=
y1
i=0,1.....n
f(x) = V2x + 1
Los punths (x1, y,), i = 0,1 . . ., n, están en la gráfica de y
= f(x).
Explique por qué Ia longitud total de la Ilnea poligonal que conecta a (x0, y0), (x1, y1) ..., (x, y,) es
n
i= 1
Ejercicio 2
la suma
A
)
+(V2x+1_V2x11+1)2
U( i,En qué sentido esta integral definida es
ta integral defini'i.
diferente de las que ha viis.t antes? i,Puede su recurso de cómputo evaluar esta integral?
Ejercicio
Considere Ia curva definida por medio de la fun1. Evalüe una integral definida que
proporcione Ia longitud de arco. Calcule la longitud de Ia lInea
poligonal para cada n = 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024.
Construya una tabla de n, la longitud de arco estimada (p. ej.,
la longitud total de la lInea poligonal), y del error.
Ut'i'e una Ca. iladnra (no un SAC) para evaluar
.i = 1,2 y 4.
Ejercici-Ic,,
' 3
Deduzca una expresión similar para (1) para cualesquiera f, a, b y n. Sugerencia: Primero, defina de manera adecuada x,.
II. Uso de Ia tecnologIa
Ejercicio 4 Utilice Ia tecnologIa que tenga y su respuesta al
ejercicio 3 para calcular la longitud de Ia ilnea poligonal para
f(x) = Vi - x2, a = 1, b = 1 y para cada una de las
x312, 0
III. Reflexión
Ejercicio 8
finida
(1)
r LeTl(It, pa
7
cion f(x) =
Suponga que queremos aproximar la integral de-
fb
+ [f'(x)]2dx
con una suma de Riemann, usando los extremos izquierdos de
cada intervalo. Srnoniendo una partición regular de [a, bj con
n subintervalos, determine esta suma de Riemann. ApPque su
formula de la suma de Riemann para Ia integral definiva en el
ejercicio 7.
Ejercicio 9 En los ejercicios 1 al 7 aproximamos Ia longitud
de una curva por medio de la longitud total de Ia ilnea poligonal. Ahora, tomamos un enfoque diferente para aproximar la
longitud de arco. Sea a = x0 < x1 <...<x, = b una particiOn igualmente espaciada del intervalo [a, b].
Haciendo referencia a Ia figura 1, determine las coordena-
n = 2,4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,512, 1024. Construya una tabla das del punto Q, suponiendo que PQ es tangente a la curva y = f(x) en P.
de n y de las longitudes de arco estimadas (p. ej., las longitu-
des totales de las lIneas poligonales).
Después, determine Ia longitud del segmento de recta PQ.
Ejercicio 5
Por Ultimo, sume las longitudes de estos segmentos cuando
i va desde l hasta n.
(La figura 2 muestra
iit paestos segmeos
ra la curva y =
Por medio de un argumento geométrico, determi-
ne la longitud de arco d c la curva en el ejercicio 4. Agregue
una columna a su tabla que dé el error:
I(longitud de arco exacta) - (longitud de arco estimada)
,Que sucede cuando se duplica n? ,El error se reduce a la mitad del anterior? i,Un cuarto de lo que era antes?
Ejercicio 6
Determine una integral definida que proporcione la longitud de la curva definida por medio de la función
f(x) = \/1 - x2, 1
1. Estudie cuidadosamente es-
Figura 2
para n = 2,4,8.)
i,Cuál es Ia relaciOn
entre sus respuest
paralosej' rcic'ios8
y 9?
317
Puede usted imaginar a alguien
que escriba el equivalente de 75
libros de matemáticas? Esta es Ia
aportaciOn de Leonhard Euler, Ia
Leonhard Euler
1707-1783
figura dominante de esta ciencia del
siglo XVIII y el más prolIfico autor de
matemáticas de todos los tiempos.
Nacido cerca de Basel, Suiza, estudiO
bajo Ia direcciOn de su paisano Johann
Bernoulli y empezO a publicar sus
trabajos a Ia edad de 18 años. Tuvo
cargos en Ia Universidad de Basel, en
Ia academia de ciencias de San
...yhoyendia
Petersburgo y en a Academia de
Con el propOsito de producir un
arco más fuerte y más hermoso
para Ia Gateway to the West en
San Luis, el arquitecto Eero
Saarinen eligiO una catenaria
invertida. El nümero de Euler e
interviene en Ia defiriiciOn de esta
Ciencias de Berlin. Cuando murió, se
curva
r
decIa que todos los matemáticos de
Europa eran sus alumnos.
Los intereses de Euler se
desplegaron sobre todas las
matemáticas y Ia fisica. Lo hemos
escogido como representativo de este capitulo debido a sus
contribuciones al cálculo de las funciones trascendentales (o
sea, las no algebraicas). En particular, introdujo a e como
base de los logaritmos naturales, demostró que e y e2 son
irracionales y descubriO Ia notable relaciOn ex = 1.
Aunque quedO ciego durante los ültimos 17 años de su
vida, esto no parece haber dificultado su trabajo. En parte,
esto se debiO a su prodigiosa memoria; conocIa de memoria
las formulas de trigonometrIa y análisis, asI como numerosos
poemas y Ia Eneida completa. Se dice que hacla cálculos con
50 cifras decimales mentalmente.
Euler fue un devoto padre de familia que a menudo
gastaba sus tardes construyendo juegos cientificos y leyendo
Ia Biblia a sus 13 hijos. Fue un ser humano verdaderamente
notable.
e A P í TULO
TUL o
CAP
.
."':'~
Funciones
trascendentales
función logaritmo
logaritmo natural
7.1 La
La función
7.2 Funciones inversas y sus
sus derivadas
derivadas
7.3 La
La función
función exponencial
exponencial natural
7.4 Funciones
Funciones exponencial
generales
exponencial yy logarítmica
logarItmica generales
7.5 Crecimiento y decaimiento exponenciales
exponenciales
diferenciales lineales
lineales de
de primer
primer orden
7.6 Ecuaciones
Ecuaciones diferenciales
funciones
trigonométricas yysus
7.7 Las
Las fu
nciones trigonométricas
sus derivadas
funciones hiperbólicas
7.8 Las
Las funciones
hiperbólicasyysus
sus inversas
inversas
del capítulo
capItulo
7.9 RevisiOn
Revisión del
7.10 Problemas adicionales
7.10
7.1 Funciones especiales
especiales
Proyecto de tecnología
tecnologia 7.1
7.2 Crecimiento poblacional
poblacional yy minimos
mínimos cuadrados
cuadrados
Proyecto de
de tecnología
tecoologia 7.2
7.1
La función
La
función logaritmo
natural
La potencia del
del cálculo.
cálculo, tanto
tanto de
de derivadas
derivadascomo
comode
deintegrales,
integrales,ya
yaha
hasido
sidoampliamenampliamente demostrada. No obstante
obstante que
que no
no hemos
hemos profundizado
profundizadoen
enlas
lasaplicaciones
aplicacionespotenciapotenciales.
necesitamos ampliar
ampliar Ia
la clase
clase de
de funciones
funciones con
con las
las que
quepodemos
podemostratrales. Para
Para ahondar, necesitarnos
bajar.
Ése
es
el
objetivo
de
este
capítulo.
hajar. Ese ci
de estc capItulo.
Comenzamos pidiéndole
pidiéndole que observe un peculiar vaclo
Comenzamos
vacío en nuestro conocimiento
de derivadas.
Dx (x 3 /3) == x2
x2
D(x3/3)
DAx2 /2) == Xl
D(x2/2)
DAx)
xO
D(x) == 11 == x0
DA????) == [x1
1
Dx(_[l) == [ 2
D(x1)
D)_[2/2) == x3
[3
D(x2/2)
¿Existe
unaantideantidej,Existe una función
funciOncuya
cuyaderivada
derivadasea
seal/x?
1/x?De
Dcmanera
manera alternativa,
aiternativa, ¿existe
existe una
rivada J1/ x dx? El primer
primer teorema
teoremafundamental
fundamentaldel
delcá!culo
cálculoestabiece
estableceque
queIala función
función
de acumulación
F(x) == xf (f) dI
fi/x
lff(t)dI
es
es una
una función
función cuya
cuyaderivada
derivadaesesf(x),
f(x), con
con tal
talque
que ff sea
sea continua
continua en
en un
un intervalo
intervalo 1I que
que
contenga a a y a x.
x. En
En este
este sentido,
sentido, podemos
podemos encontrar
encontrar una antiderivada de cualquier
función
funciOncontinua.
continua.La
Laexistencia
existenciade
de una
una antiderivada
antiderivada no
no significa
significa que
que la
Ia antiderivada
antiderivada
pueda
expresarse en términos
términos de funciones
funciones que
el moniento.
momento.
pueda expresarse
quc hemos estudiado hasta ci
En este capItulo
capítulo introduciremos yy estudiaremos
estudiaremos varias
varias funciones
funciones nuevas.
nuevas.
319
320
CAPITULO
CAPíTULO 77
Funciones
Furiciones trascendentales
trascendentales
llenar el hueco observado anteriorNuestra primera función nueva se elige para Ilenar
mente.
mcnte. Le
Le llamamos
ilamamos la
Ia función
función logaritmo
logaritmo natural,
natural, y'i tiene que ver con el logaritmo estudiado en algebra.
álgebra, pero esta
esta relaciOn
relación sólo
sOlo aparecerá
aparecerá más
más adelante.
adelante. Por
Por el
el momento,
momento,
sólo
sOloacepte
acepte elci hecho
hecho de
de que
que vamos a definir una nueva función
funciOn yy estudiaremos
estudiaremos sus propiedades.
y
\. = II
.
Definición
Función
FunciOnlogaritmo
logaritmo natural
La función logaritmo natural, denotada por in,
In, se define por
I
X 2
Si x > L!nxãreadeR
1, In x = área de R
Six>
y
R
xx
)
2
= áreadeR
SiO<x<
I,lnx=
-área de R
Si 0 <x < l.Inx
I
Figura 11
Inx
lnx==
¡jI dt,
X
'1
-dt,
x>O
x>O
t
El dominio de la función logaritmo natural es
es ci
el conjunto
conjunto de
de los
los nOmeros
números reales positivos.
1
I
Los diagramas en Ia
la figura
figura I1 indica
indica ci
el significado
significado geométrico
geométrico de
de in
In x.
x. La
La funciOn
función
ci nelogaritmo
el area
área debajo
debajo de
de Ia
la curva y == 1/t
l/t entre 11 y x, sisi xx > 11 y el
Iogaritnio natural mide ci
gativo
Ellogaritmo
logaritmo natural
natural es
es una
una función
función de
de acumuiación
acumulación ya
gativo del
dci área
area sisi O
0 < xx <<1.1.El
ya
que acurnula
acumula el
área bajo
bajo Ia
la curva
curva yy = l/t.
Claramente, in
In x está bien
bien definida
definida para
para
1/i. Ciaramente,
ci area
0 ya
ya que
que esta integral definida no existe en un
x >> 0;
O; in
In xx no
no está
está definida
definida para x s O
un
incluya 0.
O.
intervalo que incluya
¿ yY cuál
nueva función?
cuál es
es la
Ia derivada
derivada de
de esta
esta nueva
función? Eso
Eso es
es exactamente
exactamente lo
in que queremos.
Derivadade
delaa función
función logaritmo natural
Derivada
Con base
en el
ci primer
primer teorenia
base en
teorema
fundamental dci
del cáiculo,
cálculo, tenemos
cx1
1
X
'1
1
1
Dx
- dt = D r In x = -,
dt=Dlnx=--D.I
1 t
.
x
11
x>O
x>O
1
I
Esto puede combinarse
Ia regla
regia de Ia
combinarse con la
la cadena. Si u = f(x)
derivable,
f(x) >>0 Oy ysisiffesesderivable,
en
to nce S
entonces
1
D
Inu =
= - Dru
Dx mu
u Du
.
EJEMPLO 11
Solución
Soiución
Encuentre
In
Encuentre D
Dx in
Sea u =
=
vX =
D
In
Dx in
EJEMPLO 22
vX.
Vi.
l 2
/ .
xx112.
Entonces
.•
1
1
1
1
1 12
1
vX = -XI/2
.D
(x 1/-) = -X1/2
. -1_1/2
X- / = D(x1"2)
x
2
2x
- 2x
= x'2
= x2 2
J
2
Encuentre
2).
EncuentreDDln(x2
x -- 2).
x ln(x - - x
2
- - xx -- 2
Solución Este
Este probiema
problema tiene
tiene sentido,
sentido, siempre
siempreque
quexx2
2>
> 0.
O. Ahora
Ahora
2
xx2 - x
x - 22 = (x -- 2)(x
2)(x++1),
1),que
quees
espositiva
positiva con tal
Así, ci
el dodotal que
que xx < -1 o x >>2.2.AsI.
2
minio
2) es (cc,
(-00,1)-1)
U (2,
(0).En
Eneste
estedominio,
dominio,
- - xx -- 2)
miniode
dcIn(x
ln(x2
U (2,
cc).
-
D In(x 2 - -x x- 2)
2) =
Drlfl(x2
x
=
EJEMPLO 33
11
x2 _
X -
2
x
2)
-X x- 2)
Demuestre que
que
=
I Dlnjxi
D,lnlxl ~~.
Solución
Solución
D
(x 2 D(x2
x0
Se
x x>>O,0,Ixl
x, y
Se deben
deben considerar
considerar dos
doscasos.
casos.SiSi
lxi == x,
in ix = D in x
=-
=
2x -- 11
2x
- xX -- 22
x2 -
•
La función logaritmo natural
SECCION 7.1
Six <
=
321
x,yasI
1
x D(x) =
Dlnx = D1n(x) =
(J-'
N
=
Sabemos que para formula de derivación existe una formula correspondiente de integración. AsI, el ejemplo 3 implica que
fidx = lnx
o, con
+ C,
x0
+ C,
u0
u reemplazando a x,
fidu = lnu
Esto ilena el viejo hueco en La regla de la potencia: fur du
hablamos excluido el exponente r =
1.
EJEMPLO4
Solución
Encuentre
Sea u
f
+7
2x
= 2x + 7, por
f
2x+7
dx
lo
Solución
Sea u
I
I
dx.
11
- du
=J272dx=j 'U
1
IJ- 10 x- x2
EvalOe
1
inu + C
=
5
in2x + 7 + C
dx.
2x dx. Entonces
[1
dx=-- j du
dx=--lf-2x
I
x
1
2J
10x2
2
j
u
inu + C = 1n 10 - x2
1
invenciOn de los logaritmos. John
Napier (1550-1617) querIa simplificar
los complicados ci1culos que surgIan
en astronomla y navegaciOn. Su
objetivo era reemplazar
multiplicaciOn por suma y divisiOn por
sustracciOn, exactamente lo que
realizan (ii) y (iii). Durante 350 aflos,
los logaritmos comunes fueron una
ayuda esencial en los cálculos, pero
ahora para este propósito utilizamos
calculadoras y computadoras. Sin
embargo, los logaritmos naturales
conservan su importancia por otras
razones, como verO.
N
= 10 - x2, por lo que du =
I 10x2
Logaritmos comunes
Las propiedades (ii) y (iii) de los
logaritmos comunes (logaritmos de
base 10) fueron las que motivaron la
+ 1), de la cual
que du = 2 dx. Entonces
5
EJEMPLO 5
= u''/(r
+C
AsI, por el segundo teorema fundamental del cálculo,
x
- 10x2
f3
dx
1
[1 lnlO
-=
in1
+
- x2
ln9 =
ln9
Para que los cálculos anteriores sean válidos, 10 - x2 nunca debe ser 0 en el intervalo
[-1, 3J. Es fácil verificar que esto es cierto.
Prop iedades del logaritmo natural Debe acordarse de los logaritmos naturales por los resultados de nuestro teorema siguiente.
Teorema A
Si a y
b son nümeros positivos y
(i)
lnl=0;
(iii)
1n
= ma - mb;
-Txr
;..
r es cuaiquier nümero racional,
ILL b;
(ii)in ab = in a + in
(iv) lnar=rina.
entonces
322
CAPíTULO
7
Funciones trascendentales
Demostración
(i) In 1 =
11
- dt = O.
1 t
1
(ii) Ya que para x > O,
1
1
D In ax = - . a = x
ax
x
y
1
Dxlnx = -
x
se deduce, con base en el teorema acerca de dos funciones con la misma derivada
(Teorema 4.7B), que
In ax = In x + C
Para evaluar C, sea x
= 1, obteniéndose In a = C. Por lo que,
In ax = In x
+ In a
Por último, sea x = b.
(iii) Reemplace a por l/b en (ii) para obtener
In
i+
In b
In
=
G.
b ) = In 1 = O
Así,
1
In - = -lnb
b
Aplicando (ii), nuevamente, obtenemos
In ~
=
In ( a •
i)
=
i
In a + In
=
In a - In b
(iv) Como, x > 0,
1
D (lnx r ) = - r . rx r x
x
1
r
= -
X
y
1
r
D (r In x) = r . - = X
x
X
se sigue, por el Teorema 4.8B, el cual se utilizó en (ii), que
In x r = r In x
Sea x = 1, lo cual da C =
+C
o. Por lo que,
In x r = r In x
un resultado equivalente a (iv).•
EJEMPLO 6
Encuentre dy/dx, si y = In ~(x - 1)/x 2 , x > lo
Solución Nuestra tarea es más sencilla, si primero utilizamos las propiedades del 10garitmo natural para simplificar y.
y
=
In(~)1/3
2
x
=
lln(~)
2
3
x
= l [In (x - 1) - In x 2 J = l [In (x - 1) - 2 In x ]
3
3
7.1
SECCiÓN
Así,
dy
dx =
1[1
x -
La función logaritmo natural
2] = 3x(2-x - x
3"
1 - ~
1)
323
•
Derivación logarítmica El trabajo de derivar expresiones que incluyan cocientes, productos o potencias con frecuencia se puede reducir de manera sustancial aplicando primero la función logaritmo y usando sus propiedades. Este método, denominado
derivación logarítmica, se ilustra en el ejemplo 7.
EJEMPLO 7
Derive y =
vT--=--72/3'
(x +
1)
Solución Primero tomamos logaritmo natural; después derivamos implícitamente
con respecto a x (recuérdese la sección 3.8).
In y =
1 dY
Y dx
1
2 In (1
- x2 )
2
3" In (x
-
- 2x
2(1 - x
+ 1)
-( x
2
2
)
+
3(x
1)
+ 2)
3(1 ~ x 2 )
Así,
dy
dx
-y(x + 2)
3(1 - x
2
)
-(x +
vT--=--7 (x
-
3(x
+
+ 2)
1)2/3(1 - x 2 )
2)
•
El ejemplo 7 podría haberse hecho de manera directa sin haber tomado logaritmos, y le sugerimos que lo intente. Usted debe ser capaz de hacer que coincidan las dos
respuestas.
La gráfica del logaritmo natural El dominio de In x consiste en el conjunto
de todos los números reales positivos, de modo que la gráfica de y = In x está en el semiplano de la derecha. Además, para x > 0,
y
1
D 2x lnx = - x-2 < O
y
La primera fórmula nos dice que la función logaritmo natural es continua (¿por qué?)
y crece cuando x aumenta; la segunda nos dice que la gráfica es cóncava hacia abajo en
todas partes. En los problemas 39 y 40, se le pide demostrar que
lím lnx =
00
lím lnx =
-00
x~CXJ
y
x~O+
-1
-2
Figura 2
Por último, In 1 = o. Estos hechos implican que la gráfica de y = In x se similar, en forma, a la que se muestra en la figura 2.
Si su calculadora tiene un botón U!!:], los valores para el logaritmo natural los tiene al alcance de sus manos. Por ejemplo,
In 2
~
0.6931
In 3
~
1.0986.
324
CAPíTULO
7
Funciones trascendentales
Revisión de conceptos
1. La función In se define por In x =
esta función es
y su rango es
o
El dominio de
_
2. De la definición precedente, se sigue que D x In x
para x > O.
=
_
3. Con mayor generalidad, para x
J(l/x)dx = _ _
"* O, D x lnlxl
y así
=
4. Algunas propiedades comunes de In son ln(xy) =
ln(x/y) =
y ln(x r ) =
_
_
Conjunto de problemas 7.1
1. Utilice las aproximaciones In 2 = 0.693 y In 3 = 1.099 junto
con las propiedades establecidas en el Teorema A para calcular aproximaciones a cada uno de los logaritmos siguientes. Por ejemplo, In
6 = In(2 . 3) = In 2 + In 3 = 0.693 + 1.099 = 1.792.
(a) In6
(d) In
v2
(b) Inlo5
(c) In81
(e) ln(~)
(f) In48
2. Utilice su calculadora para hacer los cálculos de problema 1
de manera directa.
En los problemas del 3 al 14, encuentre la derivada que se indica (véanse los ejemplos 1 y 2). En cada caso, suponga que x está restringida de
modo que In está definido.
4. D In (3x 3 + 2x)
3. D x In (x 2 + 3x + 7T)
x
dy
7. -
dx
si y
10. -dr.
SIr
dx
6. Dxln~
In x
x 2 lnx 2
= ---
12. h'(x) si h(x)
=
(1)3
J_1_
J
J
2x
17.
19.
21.
+1
6v + 9
dv
3v 2 + 9v
21;X dx
X_4_
{3 _ _
Jo
2x 5 +
En los problemas del 31 al 34, haga uso de la gráfica conocida de
y = In x para esbozar las gráficas de las ecuaciones.
31. Y
=
lnlxl
32. Y = In
33. y
=
ln(~)
34. Y
x---+o
= In (x - 2)
x
=
2x2
2
In x - x en su dominio.
38. La velocidad de transmisión en un cable telegráfico se observa que es proporcional a x 2 In(1/x), donde x es la razón del radio del
núcleo al grosor del aislador (O < x < 1). ¿Qué valor de x da la máxima velocidad de transmisión?
vx
39. Utilice el hecho de que In 4 > 1 para demostrar que In
16.
J_1_
J
J
1
1 - 2x
18.
Z
- 2 --
+8
2z
-1
22.
7T
mo se quiera seleccionando a x suficientemente grande. ¿Eso qué implica con respecto a lím + In x?
40. Utilice el hecho de que In x = -ln(l/x) y el problema 39
para demostrar que lím In x = -oo.
x---+o+
dz
41. Resuelva para x:
dx
¡
-1 dt
1/3 t
X
=2
l
1
x
-1 dt.
t
42. Demuestre.
x(ln X)2
t + 1
-----dt
o 2t 2 + 4t + 3
En los problemas del 23 al 26, utilice el teorema A para escribir las expresiones como el logaritmo de una sola cantidad.
24.
4m > m para m > O. Concluya que In x puede hacerse tan grande cox---+o
dx
1
23. 2 In (x + 1) - In x
Vi
37. Encuentre todos los valores extremos locales de f(x)
+ ~)
20.
dx
+ 2)2
~~
vx + 1
30.y=
·
senx = O.
por que'1'1m 36• E xp llque
In (cosx)
dx
+1
3
(x 2 + 3)2/ (3x
x
ln(x
=
~
(x - 4)\12x
35. Haga un dibujo de la gráfica de y = In cos x + In sec x en
pero piense antes de comenzar.
En los problemas del 15 al 22, encuentre las integrales (véanse los ejemplos 4 y 5).
15.
•
( -7T /2, 7T /2),
+ ln-
13. 1'(81) sif(x) = In
~) sif(x)
= (x 2 + 3x) (x - 2) (x 2 + 1)
29y=
= 3 In x
11. g'(x) sig(x) = ln(x + ~)
14. 1'(
x + 11
27. y= ~3 ~
vx - 4
28. Y
W
5. D r In (x - 4?
En los problemas del 27 al 30, encuentre dy /dx por medio de la diferenciación logarítmica (véase el ejemplo 7).
! In (x
- 9)
25. In (x - 2) - In (x + 2) + 2 In x
26. In (x 2 - 9) - 2 In (x - 3) - In (x + 3)
+ ! In x
(a) Como l/t
< 1/0 para t > 1, In x < 2( Vi - 1) para x > 1.
(b) lím (In x) / x = O.
x---+oo
43. Calcule
lím [_1_ + _1_ + ... + ~]
n + 1
n + 2
2n
n---+oo
SECCIÓN
]1
1
o
••
+ 1 + n/n ;;
y reconociendo lo último como una suma de Riemann.
44. Un teorema famoso (el Teorema de los números primos) dice que el número de primos menores que n para n grande es aproximadamente n /(ln n). ¿Alrededor de cuántos primos hay menores que
51. Sea f(x) = In (1.5 + sen x).
(a) Encuentre los puntos extremos absolutos en [O,J1T].
(b) Encuentre los puntos de inflexión que haya en [O, J1T].
~
W
(c) Evalúe
45. Encuentre y simplifique f'(1).
ax - b) e
a2 - b2
(a) f(x) = In ( - - b ,donde e = --b-'
ax +
2a
fU cos tdt,dondeJL =
2
1
7T 3
(a)
/
(b)
tan x dx
52. Sea f(x) = cos(ln x).
(a) Encuentre los puntos extremos absolutos en [0.1,20].
(b) Encuentre los puntos extremos absolutos en [0.01,20].
ln(x 2 + x -1).
¡
ln(1.5 + senx)dx.
~
(c) Evalúe
46. Evalúe
1
37T
1,000,000?
(b) f(x) =
325
Funciones inversas y sus derivadas
50. Demuestre la desigualdad de Napier, la cual dice que, para
O < x < y,
1
lny - In x
1
-<
<y
y - x
x
escribiendo la expresión entre corchetes como
1
1
[ 1 + l/n + 1 + 2/n +
7.2
[20 cos(ln x) dx.
10.1
~
53. Dibuje las gráficas de f(x)
en (0,1].
7T/3
secx cscx dx
7T/4
=
x ln(l/x) y g(x)
=
x 2 1n (l/x)
(a) Encuentre el área de la región entre estas curvas en (0,1].
2
47. La región acotada por y = (x + 4t1, Y = O, x = 1 Yx = 4,
se hace girar alrededor del eje y, generando un sólido. Encuentre su
volumen.
48. Encuentre la longitud de la curva y = x 2 /4 - In VX,
1 ::; x ::; 2.
49. Teniendo como base la gráfica de y = l/x, demuestre que
(b) Encuentre el valor máximo absoluto de If(x) - g(x)1 en (O, 1].
~
g(x)
54. Siga las instrucciones del problema 53 para f(x) = x In x y
=
VX In x.
Respuestas a la revisión de conceptos:
1.
IX (l/t)dt;
(O, (0);
1
1
2
1
3
- +- +
o
••
1
n
1
2
1
3
+ - < In n < 1 + - + - +
7.2
Funciones inversas y sus
derivadas
O"
1
n-1
(-00,00) 2. l/x 3. l/x;ln Ixl +
+ --
e
4.1nx + lny;lnx -lny;rlnx
El objetivo para este capítulo es ampliar el número de funciones en nuestro repertorio. Una forma para construir nuevas funciones es tomar las antiguas e "invertirlas".
Cuando hacemos esto para la función logaritmo natural, nos conducirá a la función exponencial (natural), el tema de la sección 7.3. En esta sección, estudiamos el problema
general de invertir una función. He aquí la idea.
Una función f toma un número x de su dominio D y le asigna un solo valor y de
su rango R. Si tenemos suerte, como en el caso de las dos funciones graficadas en las
figuras 1 y 2, podemos invertir a f; esto es, para cualquier y en R, podemos regresar sin
ambigüedades y encontrar la x de la cual provino. Esta nueva función que toma a y y
le asigna x se denota por f-1. Obsérvese que su dominio es R y su rango es D. Se denomina la inversa de f, o simplemente f inversa. Aquí hemos utilizado el superíndice
-1 de una manera nueva. El símbolo f-1 no denota a l/f, como podría haber esperado. Nosotros, y todos los matemáticos, la usan para nombrar a la función inversa.
D
---#-_----L-----.L_~
x
y
f(x);;;;;;
x;;;;;;
f
D-----+----+----'---'------
l(V)
+
R
R
Figura 1
Figura 2
326 CAPITULO 7
Funciones trascendentales
En ocasiones, podemos dar una formula para f'. Si y = f(x) = 2x, entonces x f1(y)
y (véase la figura 1). De manera análoga, si y = f(x) = x3 - 1,
entonces x f'(y) =
+ 1 (véase la figura 2). En cada caso, solo resolvemos Ia
ecuaciOn que determina f para x en términos de y. El resultado es x = f(y).
Pero, la vida es más complicada que estos dos ejempios. No toda función puede invertirse de una manera carente de ambiguedades. Por ejemplo, considere
y = f(x) x2. Para una y dada, existen dos x que le corresponden (véase La figura 3).
1(x)
V
No tiene función inversa
Figura 3
La función y = g(x) sen x es aün peor. Para cada y, existe una infinidad de x que le
corresponde (véase La figura 4). Tales funciones no tienen inversas; a menos que restrinjamos de algOn modo el conjunto de valores de x, un tema que abordaremos más
adelante.
Existencia de funciones inversas SerIa bueno tener un criterio sencillo para
decidir si una funciOn f tiene inversa. Tal criterio es que la función sea uno a uno; esto es, x1
x2 implica f(x1) f(x2). Esto es equivalente a la condición geométrica de
que toda recta horizontal corte a la gráfica de y = f(x) en a lo más un punto. Pero, en
una situación dada este criterio puede ser muy difIcil de aplicar, ya que exige que tengamos un conocimiento completo de La gráfica. Un criterio ms prctico que cubre Ia
mayorIa de los ejemplos que surgen en este texto es que una función sea estrictamente monótona. Por esto queremos decir que sea creciente o decreciente en su dominio.
V
=
(x) =
rn x
No tiene función inversa
Figura 4
Teorema A
Si f es estrictamente monOtona en su dominio, entonces f tiene una inversa.
Aunque La conclusion del teorema parece intuitiva, La demostraciOn es un poco difIcil, asI que Ia omitimos.
Este es un resultado práctico, ya que tenemos una manera de decidir si una función diferenciable f es estrictamente monótona, para esto solo examinamos el signo
def'.
EJEMPLO
Demuestre que f(x)
1
x5 + 2x + 1 tiene una inversa.
Solución f'(x) 5x4 + 2 > 0 para toda x. AsI, f es creciente en toda La recta real,
de modo que tiene una inversa allI.
U
No afirmamos que siempre podamos dar una formula para f'. En ci ejemplo que
se acaba de considerar, esto requerirIa que fuésemos capaces de despejar a x de
x5 + 2x + 1. Aunque podrIamos utilizar un SAC o una caiculadora gráfica para
y
resolver despejar a x en esta ecuaciOn, para un valor particular de y, no existe una
fOrmula simple que nos de a x en términos de y para una y arbitraria.
Existe una manera de salvar La nociOn de inversa para funciones que no tiene inversas en sus dominios naturales. Simplemente restringimos el dominio a un conjunto en el
que la gráfica sea creciente o decreciente. AsI, para y f(x) = x2, podemos restringir
el dominio a x
(x 0 también funcionarla). Para y = g(x)
sen x, restringimos ci
dominio al intervalo [R-/2, -/2]. Entonces, ambas funciones tienen inversas (véase La figura 5), e incluso podemos dar una fOrmula para la primera:f'(y)
V
x
Dominio restringido ax
Figura 5
Dominio restrincido a [_s, ir]
22
Funciones inversas y sus derivadas 327
SECCION 7.2
Si f tiene una inversa f1, entonces f' también tiene una inversa, a saber, f. AsI,
podemos liamar a f y f un par de funciones inversas. Una función deshace (invierte) lo que la otra hizo; es decir,
f1(f(x)) = x
f(f'(y)) = y
y
Demuestre quef(x) = 2x + 6 tiene una inversa,encuentre una fórmula para f(y), y verifique los resultados del recuadro anterior.
EJEMPLO 2
Máquinas para deshacer
Podemos visualizar una función como
una máquina que acepta una entrada
y produce una saiida. Si la máquina
se colocan en
f y la máquina
secuencia una junta a Ia otra, ellas
deshacen lo que hizo la otra.
f
Solución Corno f es una función creciente, tiene una inversa. Para encontrar f1(y), resolvemos y = 2x + 6 para x, lo cual da x = (y - 6)/2 = f1(y). Por ñltimo, obsérvese
que
f(2x +
f'(f(x))
y
(y-6
2
La gráfica de y =
f1(x)
Pf(x)
)
=2
(2x + 6) - 6
2
x
(y-6
2
Supóngase que f tiene una inversa. Entonces
f1(y)
x
f(y)
6) =
y
f(x)
En conseduencia, y = f(x) y x = f1(y) determinan ci mismo par (x, y) y por tanto tienen gráficas idénticas. Sin embargo, es convencional utilizar a x como la variable del do-
f
1
minio para funciones, de modo que ahora preguntaremos por la grafica de y = f'(x)
(obsérvese que hemos intercambiado los papeles de x y y). Un poco de reflexión nos
convence que intercambiar los papeles de x y y en una gráfica es reflejar la gráfica con
respecto a la recta y = x. Por lo que la grafica de y = f'(x) es solo Ia reflexión de Ia
grafica de y f(x) con respecto a Ia recta y = x (véase la figura 6).
ÀY
(1,5)
S
=x
x
x
(a.
Figura 6
Un tema relacionado es ci de encontrar una formula para f_i(x). Para hacerlo,
primero encontramos f1(y) y luego reemplazamos y por x en la formula resultante.
AsI, proponemos el siguiente proceso de tres pasos para determinar f1(x).
Paso 1: Resuélvase la ecuaciOn y = f(x) para x en términos de y.
Paso 2: Utilice f(y) para denominar a Ia expresión resultante en y.
Paso 3: Reemplácese y por x para obtener la formula para f(x).
Antes de intentar ci proceso de tres pasos en una funciOn particular f, usted podrIa
pensar en que debemos verificar primero que f tenga una inversa. Sin embargo, si en
realidad ilevamos a cabo ci primer paso y obtenemos una soia x para cada y, entonces
f existe. (Obsérvese que cuando intentamos esto para y f(x) = x2 obtuvimos
328 CAPITULO 7
Funciones trascendentales
x = + \/, que de manera inmediata muestra que f1 no existe, a no ser que, por supuesto, hayamos restringido el dominio para eliminar uno de los dos signos + o -.)
EJEMPLO 3
Solución
Encuentre una fOrmula para f1(x), si y = f(x) = x/(1 - x).
AquI estánlos tres pasos para este ejemplo.
x
Paso 1:
1x
(1 - x)y
y - xy
= x
= x
x + xy = y
x(1 + y) = y
x=
Paso 2:
f1(y)
Paso 3: fH(x)
y
1+y
1 +y
X
U
1 +x
Derivadas de funciones inversas
Concluimos esta sección investigando La relación entre La derivada de una función y La derivada de su inversa. Primero considere
lo que Le sucede a una recta 1 cuando se refleja con respecto a La recta y = x. Como
es claro en La mitad izquierda de La figura 7, 1 se refleja para dar La recta 12; además,
sus pendientes respectivas m1 y m2, están relacionadas por m2 = 1/rn1, siempre que m1
0. Si sucede que 11 tiene una recta tangente a la gráfica de f en el punto (c, d), entonces 12 es La recta tangente a La gráfica de f en el punto (d, c) (véase La mitad de La
derecha de La figura 7). Liegamos a La conclusion de que
(f)'(d)
= m2
m2==m
1
nii
f(c)
= f'(c)
Figura 7
ALgunas veces los dibujos son engaflosos, de modo que solo podemos afirmar haber hecho plausible el siguiente resultado. Para una demostraciOn formal, véase cualquier texto de cálculo avanzado.
Teorema B
Teorema de a funciOn inversa
Sea f derivable y estrictamente monótona en un intervalo I. Si f'(x) 0 en C'ierto x en
I, entonces f es derivable en el punto correspondiente y = (x) en ci ian de j y
Funciones inversas y sus derivadas 329
SECCION 7.2
(f-1)'y) = f'(x)
Con frecuencia, Ia conclusiOn del Teorema B se escribe de manera simbOlica como
EJEMPLO 4
Sea y
dx
1
dy
dy/dx
f(x) = x5 + 2x + 1, como en el ejemplo 1. Encuentre (f1)'(4).
Solución Aunque en este caso no podemos encontrar una formula para f1, notamos que y = 4 corresponde a x = 1, y como f'(x) = 5x4 + 2,
(f-')'(4)
1
f'(l)
1
5+2
7
.
Revision de conceptos
Una funciOn es uno a uno si x1
x2 implica
Una función f, uno a uno, tiene una inversa
yf(
) = y.
cef1(f(x)) =
3. Un criterio Util para que f sea uno a uno (y asI tenga una inversa) en un dominio, es que f sea estrictamente
alII. Esto
significa que f es
o bien
f' que satisfa-
4. Sea y = f(x), en donde f tiene La inversa f1. La relaciOn
que relaciona las derivadas de f y fH es
Conj unto deproblemas 7.2
En los problernas deli al 6, se muestra la gráfica de y = f(x). En
da caso, decida si f tiene una inversa y si es asi, estime f1(2).
Ca-
3.
1.
2.
4.
Funciones trascendentales
330 CAPITULO 7
5.
4
32-
it
II
t
-I
-2
pies_
1
2
3
6 pies
4
Figura 8
6.
30. Una pelota se lanza verticaimente hacia arriba con velocidad v0. Encuentre la aitura maxima H de la pelota como una funciOn
de v0. Luego encuentre la veiocidad v0 que se requiere para aicanzar
una altura H.
En los problemas 31 y 32, restrinja el dominio de fde modo que f tenga una inversa, pero mantenga su ran go tan grande como sea posible.
Después encuentre f (x). Sugerencia: Primero haga una grOfica de f.
x
32.f(x)=x2-3x+1
31.f(x)=2x2+x-4
En cada uno de los problemas del 33 al 36, se muestra Ia grdfica de
y = f(x). Haga un bosquejo de Ia grafica de y = f'(x) y estime
(f-I )'(3).
En los pro blemas del 7 at 14, demuestre que f tiene una in versa mostrando que es estrictamente monótona (véase el ejemplo 1).
7.f(x)=-x5-x3
f(0)
0c
= cosO,0
f(x)
8.f(x)=x7+x5
cot x =
COSX
senx
=
(z -
1)2, z
f(x) =
x2 +
x - 6,x
f(x)
=
f
=
/cos4tdt
f(z)
f(r)
0
<
32-
x< 2-
+ t2 + lOdt
y
En los problemas del 15 at 28, encuentre una formula para f_I (x) y despues verifique que f'(f(x)) = x y f(f1(x)) = x (véanse los ejem-
plos2y3).
15.
f(x)
= x +
1
16.
f(x)
18.
f(x)
20.
f(x) =
I
I
17 f(x) =
+
1
19. f(x)
21. f(x)
23. f(x)
4x2, x
25. f(x)
:
27. f(x) =
(x -
x3
0
1)
+ 2
x +1
I
f(x) =
24. f(x)
22.
26. f(x)
28.
2
3
=
=
4
V
2-
f(x)
29. Encuentre ci volumen V de agua en ci depOsito cónico, de Ia
figura 8, como una funciOn de la altura h. Después encuentre Ia aitura h como una función del volumen V.
,
-2 -
4
x
SECCIÓN
36.
7.3
La función exponencial natural
ax + b
44. Sea f(x) = - - - y suponga que be - ad
ex + d
(a) Encuentre la fórmula para f-I(X).
y
331
* O.
(b) ¿Por qué es necesaria la condición be - ad * O?
(c)
¿Qué condición sobre a, b, e y d harán que f
=
f- I ?
45. Suponga que f es continua y estrictamente creciente en [O, 1]
conf(O) = Oyf(l) = 1. Si falf(x)dX =
~,calcule
falf-I(Y)dY.
Sugerencia: Haga un dibujo.
46. Sea f continua y estrictamente creciente en [O, 00) con
= OY f(x) ~ 00 cuando x ~ oo. Utilice un razonamiento geométrico para establecer la desigualdad de Young. Para a > O, b > O,
~
f(O)
En los problemas del37 al 40, encuentre (1-1 )'(2) utilizando el Teorema B (véase el ejemplo 4). Observe que por inspección usted puede determinar la x correspondiente a y = 2.
38. f (x) = x 5 + 5x - 4
37. f(x) = 3x 5 + x - 2
7r
ab::; fauf(X) dx + fahf-I(y) dy
¿Cuál es la condición para que se cumpla como igualdad?
47. Sean p > 1, q > 1 y l/p + l/q = 1. Demuestre que la inversa de f(x) = x p - I es f-I(y) = ye¡-I y utilice esto junto con el problema 46 para demostrar la desigualdad de Minkowski:
~
7r
39. f(x) = 2tanx'-2 < x < 2
40. f(x) = ~
aP
ab::; -
41. Suponga que f y g tienen inversas y que h(x) = (f o g) (x) =
f(g(x)). Demuestre que h tiene una inversa dada por h~l = g-I o f-I.
g(x)
42. Verifique el resultado del problema 41 para f(x)
= 3x + 2.
43.Sif(x) = fax
VI
=
P
be¡
+ -,
q
a > O, b > O
l/x,
+ cos 2 tdt,entoncesftieneunainver-
sao (¿Por qué?) Sea A = f( 7r /2) Y B = f(57r /6). Encuentre
(a) (f-I)'(A)
(c)
(b) (f-I)'(B) Y
(f-I)'(O)
7.3
La función exponencial
natural
1. f (x 1) -=1=- f (x 2 ) 2. x;
f-I(y) 3. monótona; creciente; decreciente 4. (1-1 )'(y) = l/f'(x)
Respuestas a la revisión de conceptos:
La gráfica de y = f(x) = In x se obtuvo al final de la sección 7.1 y se reproduce en la
figura 1. La función logaritmo natural es derivable (y por tanto continua) y creciente
en su dominio D = (O, (0); su rango es R = (-00, (0). De hecho, es precisamente la
clase de función estudiada en la sección 7.2 y por tanto tiene una inversa In- 1 con dominio (-00,00) y rango (0,00). Esta función es tan importante que se le da un nombre
especial y un símbolo especial.
y
Definición
La inversa de In se denomina función exponencial (natural) y se denota por exp. Así,
x
x = exp y
~
y = In x
--1
De inmediato se deduce, de esta definición, que:
Figura 1
(i) exp(1n x) = x,
(ii) ln(exp y) = y,
x>O
para toda y
332
Funciones trascendentales
CAPiTULO 7
Como exp y in son funciones inversas, la grafica de y = exp x es solo la gráfica de
y = in x reflejada con respecto a La recta y = x (véase La figura 2).
Pero, ,por qué el nombre de función exponencial? Ya io vera.
y=x
Empezamos por introducir un fluevo nOmero, el cual, ai igual que ir, es tan importante en matemáticas que tiene un sImbob especial, e. La Letra e es adecuada ya que Leonardo Euler fue el primero en reconocer La importancia de este nümero.
Propiedades de Ia funciOn exponencial
y=expx
v = In x
Definicion
La letra e denota a! tinico nOmero real positivo tal que ln e = 1.
La figura 3 ilustra esta definición; el area bajo La grafica de y = 1/x entre x = 1 y
e es 1.También es cierto que exp 1 = e ya que in e = 1. El nOmero e, al igual que
ir, es irracional. Se conocen miles de cifras decimaLes en su desarrollo decimal; los primeros dIgitos son
2.718281828459045
e
Figure 2
x
Ahora hacemos una observación crucial, una que depende solo de hechos ya demostrados: La parte (i) anterior y el Teorema 7.1A. Si r es cualquier nümero racional,
e' = exp (ln e') = exp(r ln e) = exp r
Figura 3
Definiciones de e
Los autores eligen diferentes formas para definir e.
e = 1n1 1 (nuestra definición)
e = lIm(1 + h)h/h
/
Enfatizamos el resultado. Para r racional, exp r es idéntico a er. Lo que se introdujo de
una manera más abstracta como La inversa del iogaritmo natural, que a su vez se definió como una integral, resuLtó ser una simple potencia.
i,Pero que sucede si r es irracional? AquI le recordamos un hueco en todos los textos de algebra elemental. Nunca se definen potencias irracionaLes mediante algOn
enfoque riguroso. i,Qué significa e'? Usted tendrá momentos difIciles para precisar
ese nümero con base en algebra elemental. Pero se debe precisar si vamos a hablar de
cosas como Dxev. Guiados por lo que aprendimos anteriormente, simplemente definimos ex para toda x (racional e irracional) como
= expx
Obsérvese que (i) y (ii) a! inicio de esta secciOn ahora toma La forma siguiente:
e=nco\
lImI1++++
1
1
1!
2!
e1
En nuestro texto, las definiciones 2 y 3 se
vuelven teoremas. (Véase la sección 7.5,
Teorema A y ia sección 10.7, ejemplo 3.)
X
= x,
!n(eY) = y
x>0
para toda y
También nótese que (i)' dice que Ln x es el exponente que necesita ponerie a e para obtener x. Esta es solo la definición usual del logaritmo en la base e, como se da en La mayorla de los libros de precáLculo.
Ahora con facilidad podemos demostrar dos leyes familiares de Los exponentes.
Teorema A
Sean a y b cualesquiera nümeros reales. Entonces eeb = e"
y e'Ve" =
Demostración Para demostrar la primera, escribimos
eaeb = exp(Ln ee")
= exp(ln ea + Ln eb)
exp(a + b)
=
(por (i))
(teorema 7.1A)
(por (ii)')
(ya que exp x = ex).
EL segundo hecho se demuestra de manera anaLoga.
SECCiÓN
Un ave fénix
El número e aparece a lo largo de las
matemáticas, pero su importancia radica seguramente más en su uso como
la base para la función exponencial
natural. Pero, ¿qué hace a esta función
tan importante?
"¿Quién no se ha sorprendido al
aprender que la función y = ex, como
un ave fénix que renace de sus cenizas, es su propia derivada?"
Fram;ois Le Lionnais
7.3
La función exponencial natural
333
La derivada de eX Como exp y In son inversas, del Teorema 7.2B sabemos que
exp x = eX es derivable. A fin de encontrar una fórmula para Dxe x, podríamos utilizar
ese teorema. De manera alternativa, sea y = eX de modo que
x = lny
Ahora derivamos ambos lados con respecto a x. Utilizando la regla de la cadena, obtenemos
1
l=-Dy
Y
X
Con lo que
DxY = y = eX
Hemos demostrado el hecho notable que eX es su propia derivada; esto es,
Así, y = eX es una solución de la ecuación diferencial y' = y.
Si u = f(x) es derivable, entonces la regla de la cadena da
EJEMPLO 1 Encuentre Dxe vx .
Solución
Utilizando u
= \IX, obtenemos
D evx
X
=
evx D
\IX
X
=
e vx
1 12
/
. _X-
2
e vx
•
=--
2 \IX
EJEMPLO 2
Solución
= ex2lnx( x 2. ~ + 2x lnx )
•
= xex2lnx( 1 + In x 2 )
o
I
l'
EJEMPLO 3 Sea f(x) = xe Xf. Determine en donde f es creciente y decreciente y en
donde es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. Además, identifique todos los valores extremos y puntos de inflexión. Después, haga un bosquejo de la gráfica de f.
+
Solución
-2
f"
o
I
-4
:::.!tl):::.
I
I
I
I
I
I
-4
+
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
2)
x2
xe / + eX / 2 = eX / 2 (x
+f'(x) = -2-2
y
y
f"(x) =
.\/12
I
I
I
I
I
I
-2
x
-1
e;2 + (x ~ 2) e;2 = e 2( x; 4)
X
/
Teniendo en mente que ex/2 > Opara toda x, vemos que f'(x) < Opara x < -2,
f' (- 2) = OYf' (x) > Opara toda x > -2. Por lo que, f es decreciente en ( -00, - 2] Y
creciente en [-2, (0), Ytiene su valor mínimo en x = -2, de f( -2) = -2/e ~ -0.7.
También,f"(x) < Opara x < -4,f"(-4) = O,y f(x) > O para x > -4; de modo
que la gráfica de f es cóncava hacia abajo en (-00, -4) Ycóncava hacia arriba en (-4,00),
Y tiene un punto de inflexión en (-4, -4e-2 ) ~ (-4, -0.54). Como lím xe Xf = O,
X ---? --00
la recta y = Oes una asíntota horizontal. Esta información apoya la gráfica de la figura 4.
Figura 4
•
334
CAPíTULO
7
Funciones trascendentales
La fórmula de la derivada Dxe x = eX de forma automática produce la fórmula de
la integral eX dx = eX + C, o, con u en lugar de x.
J
J
I
EJEMPLO 4
Solución
Evalúe
=
eH
+
eI
J
e-4x dx.
Sea u = -4x, de modo que du = -4 dx. Entonces
EJEMPLO 5 Evalúe
Solución
eH du
-
J
x 2 e- x' dx.
Sea u = - x 3 , de modo que du = - 3x2 dx. Entonces
=-
~
J
eH d u
= -j eH + e
-
= -1e-x3 + C
EJEMPLO 6
Solución
Evalúe,l,3 xe-
3x2
dx.
Sea u = -3x 2 , por lo que du = - 6x dx. Entonces
Así, por el segundo teorema fundamental del cálculo,
e- 3 - e- 27
--6
~
0.0082978
El último resultado puede obtenerse de manera directa con una calculadora.
_
Aunque el símbolo eY sustituirá en gran parte del resto del libro a exp y, ésta aparece con frecuencia en la escritura científica. Por ejemplo, en estadística, muchas veces
uno encuentra la función de densidad normal (véase el problema 48), que es
f(x) =
1
[(X -
~ ¡;:- exp -
cr V 27T
¡..t
2
2cr
)2]
SECCIÓN
7.3
La función exponencial natural
335
Revisión de conceptos
1. La función In es
notada por In-lo por
en (0,00) y así tiene una inversa de-
3. Como eX
ln(e
_
2. El número e se define en términos de In por
lor con dos decimales es
_
; su va-
X
)
= __
= exp x = ln- l x, se sigue que eln x =
y
o
4. Dos hechos notables acerca de eX son que Dx(e X)
y Jexdx = - - -
=
_
Conjunto de problemas 7.3
W
1. Utilice su calculadora para calcular cada una de las expresiones siguientes. Nota: En algunas calculadoras existe un botón~. En
otras debe presionar los botones [IIDl] y Iln xl.
(a) e3
(b) e2.1
(c) e V2
(d) eCOS (ln 4)
37. Encuentre el volumen del sólido que se genera al hacer girar, alrededor del eje x, la región acotada por y = eX, y = O, x = OYx = In 3.
38. La región acotada por y = e -x", y = O, x = OY x = 1 se hace
girar con respecto al eje y. Encuentre el volumen del sólido resultante.
W
2. Calcule lo siguiente y explique por qué sus respuestas no son
sorprendentes.
(b) e(1n64)/2
(a) e3ln2
39. Encuentre el área de la región acotada por la curva y = e-X
y la recta que pasa por los puntos (O, 1) Y(1, l/e).
x
En los problemas del 3 al] 0, simplifique la expresión dada.
3. e31nx
4. e-21nx
5. In e cosx
6. In e- 2x -
40.Demuestrequef(x) = - - - ln(l - e-x)esdecrecieneX - 1
te para x > O.
W
41. La fórmula de Stirling dice que para n grande, podemos aproximar n! = 1· 2 . 3 ... n por
3
8. ex - Inx
9. e1n 3 +
2 In x
En los problemas del 11 a122, encuentre DxY (véanse los ejemplos] y 2).
(a) Calcule lO! de manera exacta luego de forma aproximada por
medio de la fórmula anterior.
12. Y = e2x"-x
(b) Aproxime 601.
13. y = e~+2
14. y
W
15. y = e2lnx
16. Y = ex/ lnx
11. Y
=
eX + 2
e-l/x"
=
17. y
=
x 3 ex
18. y = ex'lnx
19. y
=
~ + eW
20. y = el/X" + l/ex"
21. eXY + xy
=
2 Sugerencia: Utilice derivación implícita.
22. eX + y = x + y
23. Utilice su conocimiento de la gráfica de y = eX para hacer un
dibujo de las gráficas de (a) y = -eX y (b) Y = e-X.
24. Explique por qué a < b => e-a> e-b.
En los problemas del 25 al 28, analice y bosqueje la gráfica de la función que se da, como en el ejemplo 3.
25. f(x)
=
xe- X
27. f(x) = e-(x-2)"
26. f (x)
En los problemas del29 al 36, encuentre cada integral.
J
30.
31.
¡(X + 3 )e x"+6x dx
32.
3x 1
e + dx
¡e-l/X
--dx
33.
x2
34.
35. lle2x+3 dx
36.
°
J
J
J
x2
xe - 3 dx
eXd x
-eX - 1
43. Encuentre la longitud de la curva dada paramétricamente
por medio de x = el sen t, Y = el cos t, O :s; t :s; 1T.
W
44. Si clientes llegan a un contador de registro a una tasa promedio de k por minuto, entonces (véase libros sobre probabilidad) la
probabilidad de que exactamente n clientes lleguen en un periodo
de x minutos está dado por la fórmula
~1(X) =
1X
2 3x
e2
/ dx
-
(kx Y' e- kx
,
n.
,n
=
0,1,2, ...
Encuentre la probabilidad de que lleguen exactamente 8 clientes durante un periodo de 30 minutos, si la tasa promedio para este contador de registro es de 1 cliente cada 4 minutos.
45. Sea f(x) =
(a) lím~ f (x) y lím
x-+o
x-+oo
lnx
2 para x en (0,00). Encuentre:
1 + (In x)
f (x );
(b) los valores máximo y mínimo de f(x);
x
ex+e dx
1
U tilice este resultado para aproximar eO. 3 y compare su resultado con
lo que obtiene calculándolo directamente. (Las computadoras y calculadoras utilizan sumas como ésta para aproximar eX.)
eX + x
=
28. f(x) = eX - e-X
29.
42. Más adelante demostraremos que (sección 11.1) que para x
pequeña
(e) F'( ve) si F(x)
y
=
~
l"'f(f) di.
46. Sea R la región acotada por x = O, Y
eX que pasa por el origen. Encuentre:
=
eX recta tangente a
336
CAPíTULO
7
Funciones trascendentales
(a) el área de R;
(b) el volumen del sólido que se obtiene cuando R se hace girar alrededor del eje x.
e 1/ n + e2/ n + ... + en / n
47. Evalúe lím - - - - - - - n-HXJ
n
51. Encuentre el área de la región entre las gráficas de y
f(x) = exp( - x 2 ) y yl/(x) en [- 3,3].
~
f (x) =
1
[ ( x - J.L
~ ¡;:;- exp -
2
a- V 271'
52. Dibuje las gráficas de y = xPe- X para diferentes valores de
p utilizando los mismos ejes. Haga conjeturas acerca de:
(a) lím x P e~x,
48. La función de densidad (de probabilidades) normal con media J.L y desviación estándar a- se define como
Y=
X-HXJ
(b) la abscisa x del punto máximo paraf(x)
)2]
Demuestre que:
54. Dibuje las gráficas defy f',dondef(x)
= J.L
x~o
~a)
1:
2
exp (-1/ x ) dx
[81T
Jo e
(b)
50. Evalúe.
lím(l + x )1/x
-O.lx
(b) lím(l +
x~o
x~o
7.4
Funciones exponencial
y logarítmica generales
xPe- X •
e~X)
=
para x grandes
1/(1 + e1/ X ).Des-
pués determine cada uno de los siguientes:
(a) lím_f(x)
(b) lím_f(x)
± a-.
[§g Utilice una calculadora gráfica o un SAC para resolver los problemas del 49 al 54.
49. Evalúe.
(a)
=
53. Describa el comportamiento de In(x 2 +
negativas. Para x grandes positivas.
2a-
(a) su gráfica es simétrica con respecto a la recta x = J.L;
(b) tiene un máximo en x = J.L Y puntos de inflexión en x
=
(e)
x~o
lím f(x)
(d) límf'(x)
x~±oo
x~o
(e) Los valores máximo y mínimo de f (si existen).
senx dx
xt
Respuestas a la revisión de conceptos:
1 x
/
2. In e
=
1; 2.72
3. x; x
4. eX; eX +
1. creciente; exp
e
En la sección anterior, definimos e \12, e71" y otras potencias irracionales de e. Pero, ¿qué
hay acerca de 2\12, 1T7T", 1T e , ~, y potencias irracionales de otros números? De hecho, queremos darle significado a aX para a > O y x cualquier número real. Ahora, si
r = p/q es un número racional, entonces a r =
Pero, también sabemos que
(vay.
ar = exp(lna r) = exp(r lna) = erina
Esto sugiere la definición de la función exponencial para la base a.
¿Qué significa 271"?
En álgebra, 2n se define primero para
enteros positivos n. Así, 21 = 2 Y
24 = 2 . 2 . 2 • 2. Después, definimos
2" para cero,
Definición
Para a
> O y cualquier número real x,
2° = 1
Y para enteros negativos:
2- n = 1/2"
si
n > O
Esto significa que 2- 3 = 1/23 = 1/8.
Por último, usamos las funciones raíces para definir 2r para números racionales r. Así,
27/ 3 = Y.fi!
El cálculo se requiere para ampliar la
definición de 2x al conjunto de los números reales. Una manera de definir
271" sería decir que es el límite de la sucesión
Por supuesto, esta definición será apropiada sólo si las propiedades usuales de los
exponentes son válidas para ella, un tema que en breve abordaremos. Para apuntalar
nuestra confianza en la definición, la utilizamos para calcular 32 (con un poco de ayuda de nuestra calculadora):
32 = e 21n3
~
e2 (1.ü986123)
~
9.000000
Tu calculadora puede dar un resultado que difiera un poco de 9. Las calculadoras utilizan aproximaciones para eX y In x, y redondean a un número fijo de decimales (por lo
común alrededor de 8).
Ahora podemos llenar un pequeño hueco en las propiedades del logaritmo natural que se dejó desde la sección 7.1.
Ir-¡-n-(a-X)-=-ln-(-ex-In-a-)-=-x-I-n-a
i
23,23.1,23.14,23.141, ...
La definición que usamos es
271" = e71"ln2
AsÍ, la propiedad (iv) del Teorema 7.1A se cumple para todo real x, no sólo para x racional, como se afirmó allí. Necesitaremos este hecho en la demostración del teorema
A siguiente.
Esta definición implica al cálculo, ya
que nuestra definición de logaritmo
natural incluye la integral definida.
Propiedades de
aX
El Teorema A resume las propiedades conocidas de los exponentes, todas las cuales pueden demostrarse ahora de una manera completamente rigurosa. El Teorema B nos muestra cómo derivar e integrar aX •
SECCION 7.4
'èorema A
I(JJl
I-' rop?
-
a > 0, b > 0 y x y y
C
es
Funciones exponencial y logarItmica generales 337
d ' los 2xponentes
n'es
n nUDeros reales, enti.
(ii) a'- =
a'a = a';
jjp (x)Y = a'
ax
(iv) tab) X -
-x
(r
Demostración
Contentémonos con demostrar (ii) y (iii), dejándole las demás a usted.
= eln(Y) = emnax_h
= e_11a =
=
(ax)Y = evla =
Teorerria E
1
= a-
axv
.Jn xpo.
xi,.
DX
- LU
ii
xaa
= 1- ax+C
Taxicx :(
-P;4S -'-a
ü
'U.nc
J
a1
IL
[flU ).
J
Demostración
Dxax = Dx(e) - exln1aD(x in a)
= a-'1na
La formula para ia integral se deduce de inmediato a partir de la fOrmula para ia den-
vada.
Encuentre D(3).
EJEMPLO 1
So!ución
Utilizamos la regla de la cadena con=u
D(3) = 31n3
EJEM PLO 2
Encuentre dy/dx, si y
31n3
DX\/
U
2\/
(x4 + 2) +
5x4+2
Solución
dy
= 5(x + 2) 4x3 + 5x4+2 in 5 4x3
dx
= 4x3[5(x4 + 2) + 5X4+2 1115]
Por qué otras bases?
En realidad, L,son necesarias otras bases distintas de e? No. Las formulas
ax =
y
EJEMPLO 3
logax =
in a
nos permite convertir cualquier
problema que impiica funciones
exponenciales o funciones
logarItmicas con base a a funciones
correspondientes con base e. Esto
sustenta nuestra terminoiogIa:
funciones exponencial natural y
logaritmo natural. También explica el
uso universal de estas funciones en
trabajo avanzado.
.
= 20x3[(x4 + 2) + x+i inS]
Solución
Encuentre
f 23x
dx.
Sea u = x3, por lo que du = 3x2 dx. Entonces
f23x dx
= f23(3x dx) fu
=
12U
31n2
+c=
2x3
31n2
+c
du
.
La función I09a Por Oltimo, estarnos preparados para hacer una conexión con los logaritmos que usted estudiO en algebra. Observemos que si 0 < a < 1, entonces f(x) =
es una función decreciente; si a > 1, es una función creciente, como puede verificarlo con-
338
CAPíTULO
7
Funciones trascendentales
siderando la derivada. En cualquier caso, f tiene una inversa. A esta inversa le llamamos
la función logaritmo de base Q. Esto es equivalente a la definición siguiente.
Definición
Sea a un número positivo distinto de 1. Entonces
y
= loga x
-#
x = aY
Históricamente, la base más comúnmente utilizada fue la base 10, y los logaritmos resultantes fueron denominados logaritmos comunes. Pero en cálculo y todas
las matemáticas avanzadas, la base importante es e. Nótese que loge, al ser la inversa de f(x) = eX, sólo es otro símbolo para In; esto es,
logex = lnx
Hemos cerrado el círculo (véase la figura 1). La función In, que introdujimos en la sección 7.1, resultó ser un logaritmo ordinario de una base especial, e.
Ahora obsérvese que si y = loga x de modo que x = aY, entonces
Figura 1
lnx
=
ylna
de lo cual concluimos que
lnx
loga x = - lna
De esto, se sigue que loga satisface las propiedades usuales asociadas con los logaritmos
(véase el Teorema 7.1A). También,
1
D x loga x = - I x na
EJEMPLO 4
Solución
Si Y = IOglO(X 4
dx
Y=X'
~
dy
dx.
Sea u = x 4 + 13 y aplique la regla de la cadena.
dy
y
+ 13), encuentre
1
4x 3
- - - - - - . 4x 3 = - - - - - 4
4
(x + 13)ln 10
(x + 13)ln 10
Las funciones aX , xa y XX
Iniciamos comparando las tres gráficas de la figura 2.
Con mayor generalidad, sea a una constante. No confunda f(x) = a X, una función exponencial, con g( x) = x a, una función potencia. Y no confunda sus derivadas. Acabamos
de aprender que
36
30
I Dia x ) =
24
aXlna
I
¿Qué hay acerca de DAx a )? Para a racional, demostramos, en el capítulo 3, la regla de
la potencia, la cual dice que
18
12
Ahora afirmamos que esto es cierto aun si a es irracional. Para ver esto, escríbase
4
Figura 2
•
x
a
= x a . - = ax a- 1
x
Funciones exponencial y logarítmica generales
7.4
SECCIÓN
339
La regla correspondiente para integrales también se cumple, aun si a es irracional.
xa+l
xadx = - - + C
a +1
'
J
a
-1
=1=
Por último, consideramos f(x) = xx, una variable a una potencia variable. Existe una fórmula para DAx X ), pero no le recomendamos que la memorice. En lugar de
eso, le sugerimos que aprenda dos métodos para encontrarla, como se ilustra a continuación.
EJEMPLO 5 Si Y = xx, x > 0, encuentre DxY por medio de dos métodos diferentes.
Solución
Método 1 Podemos escribir
Así, por la regla de la cadena,
~ + Inx)
DxY = exlnx DAxlnx) = xx( X·
Método 2
= xX(1 + Inx)
Recuerde la técnica de la diferenciación logarítmica de la sección 7.1.
lny = xlnx
1
1
- D Y = x· - + lnx
y
x
x
•
DxY = y(l + lnx) = xX(l + lnx)
EJEMPLO 6
Si Y
= (x 2 + 1)1T +
7T
senx
,
encuentre dy/dx.
Solución
-dy =
dx
EJEMPLO 7
Solución
Si Y
(2 +
7T X
= (x 2 +
1
)1T-l (2x) +
7T
sen
•
x In 7T • cos x
dy
l)senx,
encuentre dx'
Utilizamos la diferenciación logarítmica.
In y = (sen x) In (x 2
+ 1)
1 dy
2x
--d = (senx) - 2 - - + (cosx)ln(x 2 + 1)
y x
x + 1
dY
(2
-d = x
x
De aX a [f(X)]9(X)
Obsérvese la creciente complejidad de
las funciones que hemos considerado.
La progresión aX a x a a XX es una
cadena. Una cadena más complicada
es af(x) a [¡(x)]a a [¡(x) ]g(x). Ahora
sabemos cómo encontrar las
derivadas de todas estas funciones.
Determinar la derivada de la última
de éstas se realiza mejor por medio de
diferenciación logarítmica, una técnica
introducida en la sección 7.1 e
ilustrada en los ejemplos 5 y 7.
+ 1)sen x[ 2x2 sen x +
x + 1
(COS
(2)-
X) In x + 1
1 51/x
EJEMPLO 8
Solución
Evalúe
Sea u
1
-2
1/2 X
dx.
= l/x, por lo que du = (-1/x 2 ) dx. Entonces
J5~~X
dx
=-
J
51/ X (
5U
In 5
-
~2 dx )
=-
51/ x
In 5
J
=--+c=--+c
Su du
_
•
340
7
CAPíTULO
Funciones trascendentales
Por tanto, pora el segundo teorema fundamental del cálculo,
1 s1/x
1
1/2
-dx=
2
[SI/X]1
x
-In S
1/2
1
=_(S2_S)
In S
20
•
= InS ~ 12.43
Revisión de conceptos
1. En términos de e y In, 7T V3 =
_
lidad, aX =
o
Con mayor genera-
x=
3. loga x puede expresarse en términos de In por medio de loga
_
4. La derivada de la función potencia f(x) = x a es f'(x) =
_ _ _; la derivada de la función exponencial g(x) = aX es
2. Ln x
=
loga x, donde a =
g'(X)
_
=
_
Conjunto de problemas 7.4
En los problemas del 1 al 8, despeje a x. Sugerencia: logab
=
2. logs x = 2
3. 10g4x = ~
4. 10gx64 = 4
~)
=1
6.
10g4(2~)
=
b.
m 34. Sea f(x) =
=
3
M
(ln x)/(ln a) para calcular cada uno de los logaritmos en los problemas del 9 al 12.
10. 10g7(0.11)
12. 10gIO (8.57)?
m En los problemas del 13 alIó, utilice logaritmos naturales para resolver cada una de las ecuaciones exponenciales. Sugerencia: Para resolver y = 11, tome In de ambos lados, obteniendo x In 3 = In 11; entonces x = (In 11) /(ln 3) = 2.1827.
14. 5x
=
Encuentre la derivada o integral que se indica (véanse los ejemplos del
18. Di3zx2_3X)
19. D x 10g3 eX
20. D x 10gIO(X3 +
21. D z [3Zln(z + 5)]
22. De Vlog lO (3
x2
x2 dx
24.
9)
eLe
)
J
10sx - 1 dx
1
\IX dx
En los problemas del 27 al 32, encuentre dy/dx. Observación: Debe
distinguir entre los problemas del tipo aX, x ay XX como en los ejemplos
deiS al 7.
2
27. y = 10(x ) + (XZ)lO
28. y = sen z x + 2senx
Y
29. y = x + 1 + (7T + 1Y
30. Y = 2V ) + (2 e
31. y = (X Z + 1 )lnx
32. y = (in X2)ZX+3
33. If f(x) = x senx , encuentre 1'(1)
7T
¿Cuál es mayor,f(e) o g(e)?
=
0.67 10glO(0.37 E) + 1.46
donde E es la energía del terremoto en kilowat-hora. Encuentre la
energía de un terremoto de magnitud 7. De magnitud 8.
m 38. La intensidad del sonido se mide en decibeles, en honor de
Alejandro Graham Bell (1847-1922), inventor del teléfono. Si la variación en la presión es de P libras por pulgada cuadrada, entonces la
intensidad L en decibeles es
L
=
20 10glO(121.3P)
Encuentre la variación en la presión causada por una banda de rack
a 115 decibeles.
En la escala igualmente templada a la cual se han afinado
los instrumentos de teclas desde la época de 1. S. Bach (1685-1750),
las1!"ecuencias de notas sucesivas C, C#, D, D#, E, F, F#, G, G#,A,A#,
B, (Do, Do sostenido, Re, Re sostenido, Mi, Fa, Fa sostenido, Sol, Sol
sostenido, La, La sostenido, Si,l?o, respectivamente) forman una progresión geométrica, en la que tiene el doble de la frecuencia de C.
¿Cuál es la razón r entre las frecuencia~sucesivas? Si la frecuencia
de A es 440, encuentre la frecuencia de C.
e
40. Demuestre que 10gz3 es irracional. Sugerencia: Utilice la demostración por contradicción.
[§g 41. Usted sospecha que los datos xy están en una curva exponencial y = AbX o bien en una curva potencia y = Cx d . Para verificar, grafique In y contra x en una gráfica y In y contra In x en otra. (Las calcu-
45vX
25.
•
e
17. D x(6zx )
J
1
7T
W 39.
13
1 al 4).
23.
x
m 37. La magnitud M de un terremoto en la escala Richter es
m Utilice logax =
13. 2X = 17
15. 5zs - 3 = 4
=
36. Haga un dibujo de las gráficas de 10gtl3x y logzx, utilizando
los mismos ejes de coordenadas.
8. logs (x + 3) - logs x = 1
11. logu (8.12)1/S
Xy g(x)
35. ¿Cómo están relacionados 10gl/ZX Y 10g2x?
7. logz(x + 3) - logzx = 2
9. 10gs 12
7T
¿f'(e) o g'(e)?
1. logz 8 = x
5. 2 10g9 (
c ~ aC
ladoras gráficas y los SAC tienen opciones para hacer que el eje vertical
o ambos ejes, vertical y horizontal tengan escala logarítmica.) Explique
cómo le pueden ayudar estas gráficas a llegar a una conclusión.
42. (Un pasatiempo) Dado el problema de encontrar y', si
y
=
x Y , el estudiante A hizo lo siguiente:
ERROR 1
y = XX
y' = x . xx-l. 1
= XX
aplicación errónea de )
( la Regla de la Potencia
SECCIÓN
Crecimiento y decaimiento exponenciales
(aPlicaCión errónea )
de la Regla de la
Función Exponencial
y = XX
y' = XX . In X • 1
= XX In x
(u : 1
r
<
e< (u : 1
(c)
ERROR 1 + ERROR 2 = CORRECTO
Demuestre que el mismo procedimiento da una respuesta correcta
para y = f(xF(x).
De la parte (c) concluya que lím
Y
43. Convénzase usted mismo que f (x) = (xx y g ( x) = x(XX)
no son la misma función. Después encuentre f'(x) y g'(x). Observación: Cuando los matemáticos escriben xxx, ellos quieren decir x(XX).
X
.
f()
a .. a > 0, a "* 1. Demues44. ConsIdere
x =-1 para a fIJa,
X
a + 1
tre que f tiene una inversa y encuentre una fórmula para f-l(X).
45. Para a > 1 fija, sea f(x) = x a jaX en [0, (0). Demuestre:
° (estudie
(b) f(x) se maximiza en Xo
=
lnf(x));
ajln a;
u
u
u->oo
(1 + !)U =
U
e.
[§Q 47. Encuentre x->
límo+ xx. También encuentre las coordenadas del
punto mínimo para f(x)
=
XX en [0,4].
[§Q 48. Dibuje las gráficas de y = x 3 Y y = 3x utilizando los mismos
ejes y encuentre todos sus puntos de intersección.
[47T
~ 49. Evalúe Jo
x
sen
X
dx.
50. Con referencia al problema 43. Dibuje las gráficas de f y g
utilizando los mismos ejes. Después dibuje las gráficas de f' y g' utilizando los mismo ejes.
Respuestas a la revisión de conceptos:
=
I
~
(c) x a = a X tiene dos posibles soluciones si a *" e y sólo una solución
si a = e;
(d)1T e < e 7T .
46. Seafu(x) = xUe- Xpara x ::::: O. Demuestre que para cualquier
u > 0, fija:
(a) f uC x) alcanza su máximo en Xo
r+
_u_
e< (u + l)U < e.
+1
La suma XX + XX In x es correcta (véase el ejemplo 5), de modo que
(a) x->oo
lím f(x) =
341
(b) fu(u) > fu(u + 1) y fu+l(U + 1) > fu+I(U) implican
El estudiante B esto:
ERRüR2
7.5
u;
7.5
Crecimiento y
decaimiento
exponencia les
1•
, exlna 2 • e
eV3ln7T.
3. (In x) j (In a) 4. ax a - 1; aX In a
Al principio de 1998, la población mundial era de alrededor de 5900 millones. Se dice
que para el año 2020, alcanzará 7900 millones. ¿Cómo se hacen tales predicciones?
Para tratar el problema de forma matemática, denótese con y = Jet) al tamaño de
la población en el instante t, en donde t es el número de años a partir de 1998. Realmente Jet) es un entero, y su gráfica "da saltos" cuando alguien nace o alguien muere.
Sin embargo, para una población grande, estos saltos son tan relativamente pequeños
con respecto a la población total que no nos equivocaremos mucho si suponemos que
j es una función derivable común.
Parece razonable suponer que el incremento ~y de la población (nacimientos menos decesos) durante un breve periodo ~t es proporcional al tamaño de la población
al inicio del periodo y al tamaño de ese periodo. Así, ~y = ky~t, o
~y
-=ky
dt
En su forma de límite, esto da la ecuación diferencial
I dt = ky I
Si k > O, la población está creciendo; si k < 0, está disminuyendo. Para la población
mundial, la historia indica que k es alrededor de 0.0132 (suponiendo que t se mide en
años), aunque algunas agencias reportan una cifra diferente.
Resolución de la ecuación diferencial Iniciamos nuestro estudio de las
ecuaciones diferenciales en la sección 5.2, y ahora podría remitirse a esa sección. Queremos resolver dy /dt = ky sujeta a la condición y = Yo cuando t = o. Separando variables e integrando, obtenemos
dy = k dt
Y
Jd; = Jkd/
lny = kt
+e
342
CAPíTULO
7
Funciones trascendentales
La condición y = Yo para t = Oda
e=
In Yo' Así,
lny - lnyo = kt
o
In L = kt
Yo
Al cambiar a la forma exponencial se obtiene
_Y = e kt
Yo
o, finalmente.
[ y
~
yoek¡
I
Cuando k > 0, este tipo de crecimiento se denomina crecimiento exponencial, y cuando k < 0, se llama decaimiento exponencial.
Regresando al problema de la población mundial, elegimos para medir el tiempo
t en años después del 1 de enero de 1998, y Y en miles de millones de personas. Así,
Yo = 5.9 Ycomo k = 0.0132,
Y = 5. geO.0132t
Para el año 2020, cuando t = 22, podemos pronosticar que Y será alrededor de
Y
=
5.geo.0 132 (22)
;::::j
7.9 mil millones
EJEMPLO 1 Bajo las suposiciones anteriores, ¿cuánto tiempo tardará la población
mundial en duplicarse?
Solución
La pregunta es equivalente a preguntar" ¿Dentro de cuántos años, a partir
de 1998, la población alcanzará 11.8 mil millones?" Necesitamos resolver
11.8 =
2 =
5.geo.0132t
eO.0132t
Para t. Tomando logaritmos de ambos lados se obtiene
In 2 = O.0132t
t
In2
= --0.0132
;::::j
53 años
•
Si la población mundial se duplicará en los primeros 53 años a partir de 1998, se duplicará en cualquier periodo de 53 años; así, por ejemplo, se cuadriplicará en 106 años. Con
mayor generalidad, si una cantidad con crecimiento exponencial se duplica de Yo a 2yo en
un intervalo de longitud T, se duplicará en cualquier intervalo de longitud T, ya que
y(t + T)
y(t)
T
yoé(t+T) = yoé = 2yo = 2
yoé t
Yo
Yo
denominamos al número T el tiempo de duplicación.
EJEMPLO 2 El número de bacterias en un cultivo que crece con rapidez se estimó que
era de 10,000 al mediodía y 40,000 después de 2 horas. Haga una predicción de cuántas
bacterias habrá a las 5 p.m.
Solución Suponemos que la ecuación diferencial dy Idt = ky es aplicable, de modo
que Y = yoé t • Ahora tenemos dos condiciones (Yo = 10,000 YY = 40,000 en t = 2), de
las cuales podemos concluir que
40,000 = 10,000é(2)
SECCIÓN
Crecimiento y decaimiento exponenciales
7.5
343
o
y
4
= e2k
Tomando logaritmos se obtiene
In 4 = 2k
o
k = !ln4 = lnV4 = ln2
y,,{l--
_
Así,
y = 10,000e(ln 2)t
y, en
t
= 5, esto da
y = 10,000eo. 693 (5)
Figura 1
LI-----------
y
Yo
dy
_
-
= ky(L - y)
Obsérvese que para y pequeña, dy /dt ~ kLy, que sugiere un crecimiento del tipo exponencial. Pero cuando y se acerca a L, el crecimiento se reduce y dy /dt se hace cada
vez más pequeña, produciendo una curva de crecimiento parecida al de la figura 2. Este modelo se explora en los problemas 24,25 Y35 de esta sección y de nueva cuenta en
el proyecto de tecnología 8.2.
Decaimiento radiactivo No todo crece; algunas cosas disminuyen con el tiempo. Por ejemplo, los elementos radiactivos decaen, y lo hacen a una tasa proporcional
a la cantidad presente. Así, su cambio también satisface la ecuación diferencial
dy
-=
dt
Figura 3
•
El modelo exponencial y = yoé , k > O, para el crecimiento poblacional es erróneo ya que, para el futuro, proyecta crecimiento cada vez más rápido de manera indefinida (véase la figura 1). En la mayoría de los casos (incluyendo el de la población
mundial), la cantidad limitada de espacio y recursos eventualmente forzará un descenso en la tasa de crecimiento. Esto sugiere otro modelo para crecimiento poblacional, denominado modelo logístico, en el cual suponemos que la tasa de crecimiento
es proporcional al tamaño de la población y y a la diferencia L - y, donde L es la población máxima que puede sostenerse con los recursos. Esto conduce a la ecuación diferencial
dt
Figura 2
320,000.
t
y
Yo{ '---
~
ky
pero ahora con k negativa. Aún es cierto que y = yoé t es la solución de esta ecuación.
Una gráfica representativa aparece en la figura 3.
EJEMPLO 3 El carbono 14, un isótopo del carbono, es radiactivo y decae a una tasa proporcional a la cantidad presente. Su vida media es 5730 años; esto es, tarda 5730
años para que una cantidad dada de carbono 14 decaiga a un medio de su cantidad original. Si originalmente estaban presentes 10 gramos, ¿cuánto quedará después de 2000
años?
Solución
La vida media de 5730 nos permite determinar k, ya que implica que
!
= 1e k (5730)
2
o, después de tomar logaritmos,
-ln2 = 5730k
-ln2
k = -5730
~
-0.000121
Así,
y = 10e-O.000121t.
344 Copiiuto 7
Funciones trascendentales
En t = 2000, esto da
y = 10e°°°°'212000
7.85 gramos.
En el problema 13, demostramos cómo el ejemplo 3 puede utilizarse para determinar a edad de fOsiles y otros seres, aiguna vez, vivientes.
Interés corn puesto Si colocamos 100 dóiares en el banco at 12% de interés cornpuesto mensualmente, al final del primer mes, su valor será 100 dolares(1.01); a! final
de 2 meses, 100 dólares(1.01)2 y al final de 12 meses, o un año, de 100 dóiares(1.01)12.
Con mayor generalidad, si ponemos A0 dóiares en ci banco al lOOr por ciento cornpuesto n veces por año, su valor será de A(t) dóiares al final de t aflos, donde
r''
/
\
A(t) = A0 1 +
nJ
EJEMPLO 4 Supóngase que Catherine pone 500 dólares en el banco al 4% de interéS, compuesto diariamente. ,Cuánto tendrá al final de 3 aflos?
Solución AquI, r = 0.04 y n = 365, de modo que
/
004\365(3)
A = 5001
$563.74
+ 365)
U
Ahora consideremos lo que sucede cuando ci interés se compone continuamente,
esto es, cuando n, el nUmero de periodos de composición en un aflo, tiende a infinito.
Entonces afirmamos que
/
/
r finn
A(t) = iIm
A01
a -*_h*0
= Ao[lIrn
=A0iIm[
+
\
1+-n/I
]
(1 + h)L]Tt = A0e't
AquI se reemplazO r/n por h y se observó que n oc, corresponde a h *0. Pero ci gran
salto es reconocer que la expresión entre corchetes es ci némero e. Este resuitado es su-
ficientemente importante para liamarle teorema.
Teorema A
lIm(1
+ h)V" = e
h*0
Otra mirada a Ia continuidad
Recuérdese que decir que una función
es continua en x0 significa que
Demostración Primero recuérdese que si f(x) = ln x entonces f'(x) = 1/x y, en particular, f'(l) 1. Entonces, con base en la definición de la derivada y las propiedades
de in, obtenemos
1
= f'(l) =
tim f(x) = f(x0)
urn
h-0
f(1+h)f(1)
h
= lIrn
ln(1+h)inl
h*0
h
X-X()
= 1Irnln(1
+ h) = iIrnln(1
+
h*0
h*0
Esto es
lImf(x) =fçtcmx)
AsI, la continuidad para una
función significa que podemos meter
un ilmite dentro de la función.
Esto es to que hicimos para la función
f(x) = exp(x) casi at final de la
AsI, iIm ln (1 + h ) "
1, un resuitado que utilizaremos en un momento. Ahora, g(x) =
e-' = exp x es una función continua, y por tanto se sigue que podemos pasar ci tImite adentro de la funciOn exponencial en el argumento siguiente:
iIm(1 +
h*0
= lImexp[ln(1
+
h*0
= expi =
demostración del Teorma A.
h)h/h]
= exp[lIrnln(1
+
[h*0
e
Para otra demostraciOn dci Teorema A, véase el probiema 46 de la secciOn 7.4.
Supongase que ci banco del ejempio 4 compone intereses de manera
continua. ,Entonces, cuánto tendrá Catherine al final de 3 aflos?
EJEMPLO 5
SECCIÓN
7.5
Crecimiento y decaimiento exponenciales
345
Solución
A(t) = Aoe rt = 500e(O,04)(3)
~
563.75 dólares.
Obsérvese que, aunque algunos bancos tratasen de sacar mucho provecho al ofrecer
interés compuesto continuamente, la diferencia que se obtiene entre interés continuo
e interés compuesto diariamente (el cual ofrecen muchos bancos) es minúsculo.
•
He aquí otro enfoque al problema de interés compuesto continuamente. Sea A el
valor en el instante t de A o dólares invertidos a la tasa de interés r. Decir que el interés se compone de manera continua es decir que la tasa instantánea de cambio de A
con respecto al tiempo es rA; es decir,
dA
-=rA
dt
Esta ecuación diferencial se resolvió al inicio de la sección; su solución es A
= Aoert •
Revisión de conceptos
1. La tasa de cambio dy Idt de una cantidad y que crece exponencialmente satisface la ecuación diferencial dy Idt =
. En
contraste, si y crece de manera logística hacia una cota superior L,
dyldt =
3. El tiempo para que una cantidad y que decae exponencialmente pase de un tamaño Yo a un tamaño Yo/2 se denomina
_
_
2. Si una cantidad que crece exponencialmente se duplica al
veces mayor después de 3T años.
cabo de T años, será
lím
4. El número e puede expresarse como un límite por e
_
=
h~O
Conjunto de problemas 7.5
En los problemas del] al 4, resuelva la ecuación diferencial dada sujeta
a la condición que se da. Observe que y( a) denota el valor de yen t = a.
dy
1.
dt
3.
dt
4.
dt = -0.003y, y( -2) = 3
= -6y, y(O) = 4
dy
=
0.005y, y(lO)
2.
=
dy
dt
=
6y, y(O)
=
1
2
dy
5. Una población de bacterias crece a una tasa proporcional a
su tamaño. Al principio, es de 10,000 y después de 10 días es 20,000.
¿Cuál será la población después de 25 días? Véase el ejemplo 2.
6. ¿Cuánto tardará la población del ejercicio 5 en duplicarse?
Véase el ejemplo 1.
7. ¿Cuánto tardará la población del ejercicio 5 en triplicarse?
Véase el ejemplo 1.
8. La población de Estados Unidos fue de 3.9 millones en 1790
y 178 millones en 1960. Si la tasa de crecimiento se supone que es proporcional al número presente, ¿qué estimación daría para la población en el año 2000? (Compare su respuesta con la población real de
2000, que es 275 millones.)
9. La población de cierto país crece 3.2 % por año; esto es, si es
A al inicio de un año, es 1.032A al final de ese año. Suponiendo que
ahora es 4.5 millones, ¿cuál será al final de 1 año?, ¿de 2 años?, ¿de 10
años?, ¿de 100 años?
10. Determine la constante de proporcionalidad k en dYIdt = kY
para el problema 9. Después utilice Y = 5é t para encontrar la población al cabo de 100 años.
11. Una sustancia radiactiva tiene una vida media de 700 años.
Si al inicio había 10 gramos, ¿cuánto quedará después de 300 años?
12. Si una sustancia radiactiva pierde 15% de su radiactividad
en 2 días, ¿cuál es su vida media?
13. (Fechado con carbono) Todos los seres vivientes contienen
carbono 12, que es estable y carbono 14 que es radiactivo. Mientras una
planta o un animal están vivos, la razón de estos dos isótopos de carbono permanece sin cambio, ya que el carbono 14 se renueva de manera
constante; al morir, ya no se absorbe más carbono 14. La vida media
del carbono 14 es 5730 años. Si los troncos carbonizados de una vieja fortaleza sólo muestran 70% del carbono 14 esperado en la materia viva,
¿cuándo fue incendiada la fortaleza? Suponga que la fortaleza se quemó tan pronto como fue construida con troncos recién cortados.
14. Cabello humano de una tumba en África se probó que sólo
tenía 51 % del carbono 14 del tejido viviente. ¿Cuándo fue sepultado
el cuerpo? Véase el problema 13.
15. La ley de enfriamiento de Newton establece que la tasa a la
cual un objeto se enfría es proporcional a la diferencia en la temperatura entre el objeto y el medio que lo rodea. Así, si un objeto se saca de un horno a 300°F, y se deja enfriar en una habitación a 75°F, su
temperatura T después de t horas satisfará la ecuación diferencial
dT
= k(T - 75)
dt
-
Si la temperatura descendió a 200°F en ~ hora, ¿cuál será después de
3 horas?
16. Un termómetro registró -20°C en el exterior y después se
introdujo a la casa en donde la temperatura era de 24oc. Después de
5 minutos, el termómetro registró o°c. ¿Cuándo marcará 20°C? Véase el problema 15.
346
CAPíTULO
7
Funciones trascendentales
17. Si hoy se ponen 375 dólares en el banco, ¿cuál será su valor
al final de 2 años, si el interés es de 9.5% y se compone como se especifica?
(a) Anualmente
(b) Mensualmente
(c) Diariamente
(d) Continuamente.
18. Resuelva el problema 17 suponiendo que la tasa de interés es
14.4%.
19. ¿Cuánto tarda el dinero en duplicar su valor para las tasas de
interés que se especifican?
(a) 12% compuesto mensualmente.
(b) 12% compuesto de manera continua.
20. La inflación entre 1977 y 1981 fue de alrededor de 11.5%
anual. Con esta base, ¿cuánto esperaría usted que costase en 1981 un
automóvil que en 1977 costó 4,000 dólares?
21. Se dice que la isla de Manhatan en 1626 la compró Peter Minuit por 24 dólares. Supóngase que Minuit hubiese puesto los 24 dólares en el banco a16% de interés compuesto de manera continua. ¿Cuál
sería el valor de esos 24 dólares en eI2,000? Sería interesante comparar este resultado con el valor real de la isla de Manhatan en el 2000.
22. Si los padres de Matusalén hubiesen puesto para él 100 dólares en el banco cuando nació y los dejaron allí, ¿cuál hubiese tenido Matusalén al morir (969 años después), si el interés era del 8%
compuesto cada año?
23. Más adelante se demostrará para x pequeñas que ln(l + x) =
x. Utilice este hecho para demostrar que el tiempo de duplicación para el dinero invertido al p por ciento compuesto cada año es alrededor de 70/paños.
24. La ecuación para el crecimiento logístico es
dy
dt
Suponga que a =1=- O.
29. Considere un país con una población de 10 millones en 1985, una
tasa de crecimiento de 1.2% anual y una inmigración de otros países de
60,000 por año. Utilice la ecuación diferencial del problema 28 para modelar esta situación y predecir la población en 2010. Tome a = 0.012.
30. Se dice que una noticia importante se difunde en una población adulta de tamaño fijo L a una tasa de tiempo proporcional al número de personas que no han escuchado la noticia. Cinco días después de un escándalo en la ciudad, una encuesta mostró que la mitad
de las personas lo habían escuchado. ¿Cuánto tardará para que
99% de las personas lo oigan?
31. Supóngase que (1) la población mundial continúa creciendo de
forma exponencial con constante de crecimiento k = 0.0132, (2) se necesita acre de tierra para proporcionar alimento para una persona
y (3) en el mundo existen 13,500,000 millas cuadradas de tierra cultivable. ¿Cuánto tiempo pasará antes de que el mundo alcance la población máxima? Nota: Existían 5.9 mil millones de personas en 1988 y 1
milla cuadrada es igual a 640 acres.
!
[§g 32. La oficina de censos estima que la tasa de crecimiento k de
la población mundial disminuirá aproximadamente 0.0002 por año,
durante las siguientes décadas. En 1998, k era 0.0132.
(a) Exprese k como una función del tiempo t, en donde t se mide en
años, a partir de 1998.
(b) Encuentre una ecuación diferencial que modele la población y
para este problema.
(c) Resuelva la ecuación diferencial con la condición adicional de
que la población mundial en 1998 (t = O) era 5.9 mil millones.
= ky(L - y)
Demuestre que esta ecuación diferencial tiene la solución
y=
tiene solución
Lyo
(d) Haga una gráfica de la población y para los siguientes 150 años.
(e) Con este modelo, ¿cuándo alcanzará un máximo la población?
¿Cuándo la población descenderá por debajo del nivel de 1998?
Yo + (L - yo)e- Lkt
1
1
1
Sugerencia: y(L - y) = Ly + L(L - y) .
[§g 33. Repita el ejercicio 32 bajo la hipótesis de que k disminuirá
25. Haga un bosquejo de la gráfica de la solución del problema
24, cuando Yo = 5, L = 16 Yk = 0.00186 (un modelo logístico para la
población mundial; véase el estudio al inicio de esta sección). Obsérvese que t-'>eX)
lím y = 16.
~
[§g 35. Utilizando los mismos ejes, dibuje las gráficas para O ~ t ~
26. Encuentre cada uno de los límites siguientes
(b) lím(l)l/x
(a) lím(l + X)1000
100 de los siguientes dos modelos para el crecimiento de la población
mundial (ambos descritos en esta sección).
x~O
(c) lím (1 +
X~OT
0.0001 por año.
x~O
S)l/x, s
> O
(d) límj1 +
x~o
S)l/x, s
> O
(e) lím (1 + x) l/x
x~o
27. Utilice el hecho de que e = lím (1 + h )l/h para encontrar
cada límite.
h~O
(a) lím(l - X)l/x Sugerencia: (1 - X)l/x = [(1 - x)I/(-X)r 1
x~o
(b) lím(l +
2)n
n +
(c) lím ( -~
n
3X)I/x
x~o
n~oo
n - 1 )2n
(d) lím ( -~
n
34. Sea E una función derivable que satisface E(u + v) =
E(u)E(v) para toda u y v. Encuentre una fórmula para E(x). Sugerencia: Primero determine E'(x).
(a) Crecimiento exponencial: y = 5.geo.0132t.
(b) Crecimiento logístico: y
=
94.4/(6 + 10e-o.030t ).
Compare lo que predicen los dos modelos para la población mundial
en 2010, 2040 y 2090. Nota: Ambos modelos suponen que la población mundial era 5.9 mil millones en 1998 (t = O).
[§g 36. Evalúe:
(a) lím (1
x~O
+ x) l/x
(b) lím (1 - x) l/x
x~O
El límite en la parte (a) determina e. ¿Qué número especial determina el límite de la parte (b)?
n~oo
28. Demuestre que la ecuación diferencial
dy
-
dt
= ay + b
Respuestas a la revisión de conceptos:
3. vida media
4. (1 + h)l/h
1. k y; k y( L - y)
2. 8
SECCIÓN
7.6
Ecuaciones
diferenciales lineales de
primer orden
7.6
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
347
En la sección 5.2 por primera vez resolvimos ecuaciones diferenciales. Allí desarrollamos el método de separación de variables para determinar una solución. En la sección
anterior utilizamos el método de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales que incluyen crecimiento y decaimiento.
No todas las ecuaciones son separables. Por ejemplo, en la ecuación diferencial
dy
dx = 2 - 3y
no existe forma de separar las variables de tal manera para tener d y y todas las expresiones que incluyan a y en un lado y a dx todas las expresiones que incluyan a x en el
otro lado. Sin embargo, esta ecuación puede ponerse en la forma
dy
dx
+ P(x)y
=
Q(x)
donde P(x) y Q(x) son funciones sólo de x. Una ecuación diferencial de esta forma se dice que es una ecuación diferencial lineal de primer orden. Primer orden se refiere al hecho
de que la única derivada es la primera derivada. Lineal se refiere al hecho de que la ecuación puede escribirse en la forma Dxy + P( x)1y = Q( x), en donde Dx es el operador derivada, e 1 es el operador identidad (esto es, 1y = y). Ambos, Dx e 1 son operadores
lineales.
La familia de todas las soluciones de una ecuación diferencial se denomina solución general. Muchos problemas requieren que la solución satisfaga la condición y = b
cuando x = a, en donde a y b son dados. Tal condición se llama condición inicial y una
función que satisface la ecuación diferencial y la condición inicial se denomina solución
particular.
Resolución de ecuaciones lineales de primer orden Para resolver la
ecuación diferencial lineal de primer orden, primero multiplicamos ambos lados por
factor de integración (o integrante)
e1p(x)dx
(La razón para este paso en breve se volverá claro.) Entonces, la ecuación diferencial es
e1p(x)dx dy + e!P(x)dx P(x)y = e!P(x)dXQ(x)
dx
El lado izquierdo es la derivada del producto y . e!P(x)dx, de modo que la ecuación toma la forma
~ (y . e!P(X)dX) = e!P(X)dxQ(x)
dx
La integración de ambos lados da
ye!P!X)dx
=
!
(Q(x)e!P(X1dX) dx
Así, la solución general es
y
~
e-!P(X)dX! (Q(x)eJp(x1dx) dx
No es bueno memorizar este resultado final; el proceso de obtención es fácil recordarlo y es lo que ilustramos.
EJEMPLO 1 Resuelva
dy
2
sen3x
- + - y = -2dx
x
x
Solución
Nuestro factor integrante es
e!P(x)dx = e!(2/x)dx
=
e21nlxl
= e1nx2 = x2
(La constante arbitraria de integración de la integración Jp(x)dx la hemos tomado
igual a cero.) La elección de la constante no afecta la respuesta. Véanse los problemas
27 y 28. Multiplicando ambos lados de la ecuación original por x 2 , obtenemos
dy
x 2 - + 2xy = sen3x
dx
348
CAPíTULO
7
Funciones trascendentales
El lado izquierdo de esta ecuación es la derivada del producto x 2 y. Así,
d
dx (x
2
y)
= sen
3x
La integración de ambos miembros da
J
sen 3x dx =
o
y = (-~cos3x
EJ EM PLO 2
-~cos3x + e
Encuentre la solución particular de
dy
- 3y
= xe 3x
dx
que satisface y
Solución
•
+ C)x- 2
= 4 cuando x = O.
El factor integrante apropiado es
e!(-3)dx
=
e-3x
Al multiplicar por este factor, nuestra ecuación adquiere la forma
-d (e- 3x y) = x
dx
o
3x
=
e- y
J
x dx
=
~ x2 + e
Así, el solución general es
La sustitución de y = 4 cuando x = Ohace
e = 4. La solución particular deseada es
1
= - x 2 e 3x +
y
2
4e
3x
•
Aplicaciones Comenzamos con un problema de mezcla, típico de muchos problemas que surgen en química.
EJEMPLO 3 Un depósito contiene 120 galones de salmuera, con 75 libras de sal disuelta en solución. Agua con sal que contiene 1.2 libras de sal por galón se introduce al
depósito a razón de 2 galones por minuto y la salmuera sale a la misma velocidad (véase la figura 1). Si la mezcla se mantiene uniforme mediante una agitación constante, encuentre la cantidad de sal en el tanque al cabo de una hora.
Figura 1
Un principio general
En problemas de flujo tal como el
ejemplo 3, aplicamos un principio
general. Supóngase que y mide la
cantidad de interés que está en el
depósito en el instante t. Entonces la
tasa de cambio de y con respecto al
tiempo es la tasa de entrada menos la
tasa de salida; esto es,
dy
dt = tasa de entrada - tasa de salida
Solución Sea y el número de libras de sal en el tanque al final de t minutos. De la salmuera que entra, el tanque gana 2.4 libras de sal por minuto; de la que sale, pierde l~O Y
libras por minuto. Así,
1
dy
---¡¡
= 2.4 - 60 y
sujeta a la condición y = 75 cuando t = O. La ecuación equivalente
dy
-
dt
1
+-
60
y = 2.4
tiene el factor integrante é/60 y así
d
- [ye t / 60 ] = 2.4e t / 60
dt
SECCIÓN
7.6 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
349
Concluimos que
ye'/6O
~
J
2.4e'/6O dI = (60) (2.4 )e'/6O
+e
Al sustituir y = 75 cuando t = Ose obtiene C = -69, Yasí
y = e- t / 60 [144e'/60 - 69] = 144 - 6ge- t / 60
Al final de una hora (t = 60),
Y = 144 - 6ge- 1 ~ 118.62 libras
Observe que el valor límite para y cuando t ~ 00 es 144. Esto corresponde al hecho de que el tanque tomará finalmente la configuración de la salmuera que entra al
depósito. Ciento veinte galones de salmuera con una concentración de 1.2 libras de sal
por galón contendrán 144 libras de sal.
•
Ahora volvemos a un ejemplo de electricidad. De acuerdo con la ley de Kirchhoff,
un circuito eléctrico simple (véase la figura 2) que contiene un resistor con una resistencia de R ohms y un inductor con una inductancia de L henrys, en serie con una
fuerza electromotriz (una batería o un generador) que proporciona un voltaje de E(t)
voltios en el instante t, satisface
dI
dt
L - + RI = E(t)
en donde I es la corriente medida en amperes. Ésta es una ecuación lineal, que se resuelve con facilidad por medio del método de esta sección.
EJEMPLO 4 Considere un circuito (véase la figura 2) con L = 2 henrys, R = 60hms
y una batería que proporciona un voltaje constante de 12 voltios. Si I = O en t = O
(cuando se cierra el interruptor S, encuentre I en el instante t.
Solución
La ecuación diferencial es
dI
2 - + 6I = 12
dt
Figura 2
o
dI
+ 3I = 6
dt
-
Siguiendo nuestro procedimiento estándar (multiplicar por el factor integranté e3t, integrar y multiplicar por e-3t ), obtenemos
I = e- 3t (2e 3t
+ C) = 2 + Ce- 3t
La condición inicial, I = Oen t = O, da C = -2; de aquí que
I = 2 - 2e-3t
Cuando aumenta t, la corriente tiende hacia una corriente de 2 amps.
•
Revisión de conceptos
1. La ecuación diferencial lineal general de primer orden tiene
la forma dy /dx + P(x)y = Q(x). Un factor integrante para esta ecuaciónes
_
2. Al multiplicar ambos lados de la ecuación diferencial lineal
de primer orden de la pregunta 1 por su factor integrante hace el lado
.
. do dx
d (
lzqUler
)
.
3. El factor integrante para dy /dx - (1/x)y = x, en donde
x > 0, es
Cuando multiplicamos ambos lados por este factor, la ecuación toma la forma
. La solución general para esta ecuación es y =
_
o
4. La solución para la ecuación diferencial en la pregunta 1,
que satisface y(a) = b se denomina solución
_
350
CAPíTULO
7
Funciones trascendentales
Conjunto de problemas 7.6
En los problemas dell all4, resuelva la ecuación diferencial.
dy
1. dx + y = e-X
dy
2. (x + 1) - + y = x 2 - 1
dx
dy
3. (1 - x 2 ) dx + xy = ax, Ixl < 1
6. y' - ay
8. y' +
x
+1
dy
10. dx + 2y
dy
Y
11. -d - x
= f(x)
~
x
=
=
= (x + 1)3
E = 120
sen 377t
"V
Figura 4
21. Encuentre 1 como función del tiempo para el circuito de la
figura 5, supóngase que el interruptor se cierra e 1 = Oen t = O.
x
R
3x 3 ; Y
= 3
Figura 5
=
1.
dy
w
14. senx- + 2y cos x = sen2x;y = 2 cuando x = - .
6
dx
15. Un depósito contiene 20 galones de una solución, con 10 libras de químico A en la solución. En un cierto instante, empezamos
a agregar una solución que contiene el mismo químico en una concentración de 2 libras por galón. Vertimos a una velocidad de 3 galones
por minuto mientras se drena la solución resultante (perfectamente
mezclada) a la misma velocidad. Encuentra la cantidad de químico A
en el depósito después de 3 horas.
16. Al principio, un tanque contiene 200 galones de salmuera,
con 50 libras de sal en solución. Al tanque entra salmuera que contiene 2 libras de sal por galón, a una tasa de 4 galones por minuto y sala a la misma tasa. Si la mezcla en el tanque se mantiene uniforme por
agitación constante, encuentre la cantidad de sal en el tanque al final
de 40 minutos.
17. Al inicio, un tanque contiene 120 galones de agua pura. Cuatro galones por minuto de salmuera con una libra de sal por galón entran al tanque, y la solución bien mezclada sale a una tasa de 6 galones por minuto. ¿Cuánta sal hay en el tanque después de t minutos,
O::; t ::; 60?
18. Un tanque al principio contiene 50 galones de salmuera, con
30 libras de sal en solución. Entra agua al tanque a 3 galones por minuto y la solución bien mezclada sale a 2 galones por minuto. ¿Cuánto tiempo pasará para que haya 25 libras de sal en el tanque?
19. Encuentre la corriente 1 como función del tiempo para el
circuito de la figura 3, si el interruptor S se cierra cuando 1 = Oen t = O.
= 106 12
= 100012
E= 120
sen 377t
cuando x = 1.
=
R
= 3.5 H
9. y' + yf(x) = f(x)
e2 x - 3y; Y = 1 cuando x = O.
13. xy' + (1 + x)y = e-x; y = Ocuando x
12. y'
L
dy
Y
5. - - - = xe x
dx
x
dy
y
1
7. - + - = dx
x
x
4. y' + y tan x = sec x
20. Encuentre 1 como función del tiempo, para el circuito de la
figura 4, supóngase que el interruptor se cierra e 1 = Oen t = O.
22. Supóngase que el tanque 1 al principio contiene 100 galones
de solución con 50 libras de sal disueltas, y el tanque 2 contiene 200
galones, con 150 libras de sal disueltas. Al tanque 1 entra agua pura a
razón de 2 galones por minuto, la solución bien mezclada sale y entra
al tanque 2 a la misma tasa, y finalmente la solución en el tanque 2, se
drena también a la misma tasa. Denótese con x(t) y y(t) a las cantidades de sal en los tanques 1 y 2, respectivamente, en el instante t. Encuentre y(t). Sugerencia: Primero encuentre x(t) y utilícela para plantear la ecuación diferencial para el tanque 2.
23. Un depósito con capacidad de 100 galones, al principio está
lleno de alcohol puro. La tasa de flujo por el tubo de salida es de 5 galones por minuto; la tasa de flujo del tubo que llena puede ajustarse
a c galones por minuto. Una cantidad ilimitada de solución de alcohol
al 25% puede introducirse a través del tubo que llena. Nuestra meta
es reducir la cantidad de alcohol en el tanque de modo que contenga
100 galones de solución al 50%. Sea T el número de minutos requeridos para realizar el cambio deseado.
(a) Evalúe T, si c = 5 y ambos tubos están abiertos.
(b) Evalúe T, si c = 5 Y primero dejamos salir una cantidad suficiente de alcohol puro y luego cerramos el tubo que llena.
(c)
¿Para qué valores de c (si existen) la estrategia (b) daría un tiempo más rápido que (a)?
(d) Supóngase que c = 4. Determine la ecuación para T, si al principio abrimos ambos tubos y luego cerramos el que drena.
~
24. La ecuación diferencial para un cuerpo que cae cerca de la
superficie de la Tierra con resistencia al aire proporcional a la velocidad v es dv Idt = -g - av, donde g = 32 pies por segundo por segundo es la aceleración debida a la gravedad ya> Oes el coeficiente de resistencia. Demuestre cada uno de los siguientes:
(a) v(t) = (va - v=)e- al + v=, donde Va = veO), Y
L=lH
V oo
= -g/ a = 1-+00
lím v(t)
la llamada velocidad terminal.
(b) Si y(t) denota la altura, entonces
Figura 3
y(t) = Yo + tv oo + (l/a)( Va - v oo )(l - e~al)
SECCiÓN
25. Una pelota se lanza directamente hacia arriba desde el nivel
del suelo con una velocidad inicial Va = 120 pies por segundo. Suponiendo un coeficiente de resistencia de a = 0.05, determine cada uno
de lo siguiente:
(a) la altura máxima
26. Marcela saltó en paracaídas desde su aeroplano a una altura de 8000 pies, durante 15 segundos descendió en caída libre y después abrió su paracaídas. Suponga que los coeficientes de resistencia
son a = 0.10 para caída libre ya = 1.6 con el paracaídas. ¿Cuánto
tardó en llegar al suelo?
y
x
-
~x =
integrante es e!(-1/x)dx. La antiderivada general
a -In x + C.
7.7
Las funciones
trigonométricas y sus
derivadas
y::: sen ,\
Fiqura 1
351
Las funciones trigonométricas y sus derivadas
(a) Multiplique ambos lados de la ecuación diferencial por
exp
x
(J(-~)
dx ) = exp (-In x + C), y demuestre que exp(-ln
+ C) es un factor integrante para todo valor de C.
(b) Resuelva la ecuación resultante para y, y demuestre que la solución coincide con la solución obtenida cuando suponemos que C = O.
(b) una ecuación para T, el tiempo cuando la pelota llega al suelo.
27. Para la ecuación diferencial dd
7.7
28. Multiplique ambos lados de la ecuación diferencial dy
= Q(x) por el factor e1P(x)dx+c.
dx
+ P(x)y
(a) Demuestre que e 1P (x)dx+c es un factor integrante para todo valor de C.
(b) Resuelva la ecuación resultante para y, y demuestre que coincide con la solución general dada antes del ejemplo 1.
x 2 , x > O, el factor
¡(-~)
1. exp (JP (x ) dx)
Respuestas a la revisión de conceptos:
dx es igual
d
2.yexp(JP(x)dx) 3.1/x; dx
(y)
~
.
= l;x 2 + Cx 4. partIcular
Las seis funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) se definieron en la sección 2.3, y en ocasiones las hemos utilizado en ejemplos
y problemas. Con respecto a la noción de inversa, ellas son funciones con problemas,
ya que para cada y en su rango existe un número infinito de x que le corresponden
(véase la figura 1). No obstante, vamos a introducir una noción de inversa para ellas.
Que esto sea posible tiene como base un procedimiento denominado restricción del
dominio, que se analizó brevemente en la sección 7.2.
Seno inverso y coseno inverso En el caso de seno y coseno, restringimos el
dominio, manteniendo el rango tan grande como sea posible, mientras insistimos que
la función resultante tenga una inversa. Esto puede hacerse de muchas formas, pero el
procedimiento acordado se sugiere por medio de las figuras 2 y 3. También mostramos
la gráfica de la función inversa correspondiente, obtenida, como es usual, reflejando
con respecto a la recta y = x.
y
y
x
f
]
Dominio
-1r
"2
1r
restringido
'2
Figura 2
y
y
x
[
a
Figura 3
Dominio
restringido
]
-1
x
352
CAPíTULO
7
Funciones trascendentales
En una definición, formalizamos lo que hemos mostrado.
Definición
Para obtener inversas para seno y coseno, restringimos sus dominios a [ -'TT /2,
[O, 'TT ], respectivamente. Así,
x = sen-1 y
x = cos-1 y
{:::>
{:::>
Y = sen x
y
y = cosx y
'TT
'TT
2
2
'TT /2]
Y
--~x~-
O~X~'TT
y
A veces se utiliza el símbolo arcsen para sen- 1 y similarmente arccos se utiliza para cos- 1. Considere arcsen como "el arco cuyo seno es" o "el ángulo cuyo seno es" (véase la figura 4). En lo que resta del libro utilizaremos ambas formas.
EJEMPLO 1 Calcule
x
(a) sen- 1 (v/2/2),
(c) cos (cos- 1 0.6), y
(b) cos- 1 ( - !),
(d) sen-1(sen 3'TT /2)
Solución
(a) sen-1
(~)
'TT
2'TT
4
3
Figura 4
(d) sen-1(sen
(c) cos(cos- 1 0.6) = 0.6
3;) = _ ;
La única de éstas que es complicada es (d). Observe que sería incorrecto dar 3'TT /2 como respuesta, ya que sen-1 y siempre está en el intervalo [-'TT /2, 'TT /2]. Resuelva el problema por pasos, como sigue.
sen-1(sen
EJEMPLO 2
(a)
cos- 1
3;) =
sen-1(-1) = -Tr/2
•
Calcule
(c) sen- 1 (sen4.13)
(b)sen- 1 (1.21),
(-0.61),
Solución Utilice una calculadora en modo de radianes. Ha sido programada para dar
respuestas consistentes con las definiciones que hemos dado.
(a) cos-1(-0.61) = 2.2268569
(b) Su calculadora debe indicar un error, ya que sen-l(1.21) no existe.
(c) sen- 1 (sen4.13) = -0.9884073
•
Tangente inversa y secante inversa
Otra manera de decirlo
En la figura 5, mostramos la gráfica de
la función tangente, su dominio restringido y la gráfica de y = tan- 1 x.
sen- 1 y
y
y
es el número en el intervalo
[-7T /2, 7T /2] cuyo seno es y.
7T
-----------"2
cos- 1 y
es el número en el intervalo [0, 7T ]
cuyo coseno es y.
tan- 1 y
es el número en el intervalo
(-7T /2, 7T /2) cuya tangente es y.
-7T
----------- 2"""
1I
: I
11
1I
11
:=77: Dominio 77:
2 restringido 2
Figura 5
x
x
-37T /
2 I
'I
7.7
SECCIÓN
Las funciones trigonométricas y sus derivadas
353
Existe un método estándar para restringir el dominio de la función cotangente, esto es, a (O, 1T), de modo que tenga una inversa. Sin embargo, esta función no desempeña un papel importante en el cálculo.
Para obtener una inversa de la secante, graficamos y = sec x, restringimos su dominio de manera adecuada y después graficamos y = sec-1x (véase la figura 6).
y
Y
1
I
\
1
\
\
\
,
1
-317
I
I
I
f(' ,
-17
T ..--, T
I
¡
1
1 II
I
1,/
:,
\
\
17
~I
I
I
I
\ I
\ I
17
I
,1
\
\
\
\
I
,:
x
-1
\
I
I
I
I
\
x
I
:
E--=-<~
o DornmlO
17
restringido
Figura 6
Definición
Para obtener inversas de la tangente y la secante, restringimos sus dominios a (-1T /2,
1T /2) y [0, 1T /2) U (1T /2, 1T], respectivamente. Así,
x
= tan- 1y
{:::}
x
= sec-1y
{:::}
1T
Y = tanx
y
-- <
Y = secx
y
O:::::: x::::::
2
x
1T
<2
1T
1T,
x*--
2
Algunos autores restringen el dominio de la secante de una manera diferente. Así,
si usted consulta otro texto, debe verificar la definición del autor. No tendremos necesidad de definir csc-l, aunque también puede hacerse.
EJEMPLO 3
Calcule
(b) tan- 1(- v3),
(d) sec-1(-1),
(f) sec- 1(-1.32)
(a) tan-1 (1),
(c) tan- 1(tan 5.236),
(e) sec-1(2), y
Solución
(b) tan- 1 ( -
(a) tan -1 (1) = :
v3) = _ 1T
3
(c) tan- 1 (tan5.236) = -1.0471853
La mayoría de nosotros tenemos problemas para recordar la secante; además, muchas calculadoras no tienen un botón para ella. Por tanto, le sugerimos que recuerde
que sec x = 1/cos x. Con base en esto, se sigue que
sec- 1 y = cos- 1 (~ )
y esto nos permite utilizar hechos conocidos acerca del coseno.
(d) sec- 1 (-1) = cos- 1 (-1) =
(e) sec- 1 (2) = cos- 1
G) = ;
1T
354
CAP1TULO 7
Funciones trascendentales
(132)
= cos1 (
cos1(0.7575758)
1.32)
= 2.4303875
Cuatro identidades ütiles El Teorema A da algunas identidades Utiles. Puede
recordarlas en relación a Los triángulo en la figura 7.
TeoremaA
Vi - x2
cos(sen1 x) = Vi sec(tan x) = Vi + x2
sen (cos' x) =
six1
six 1
IVx2_1,
tan(sec'x) =
l_\/x2 - 1,
Demostración Para demostrar (i), recuérdese que sen2 0 + cos2 0 = 1. Si 0
entonces
senO =
VV2
1
Ahora aplicamos que 0
\/1
0
ir,
- cos2O
cos'x y utilizamos el hecho de que cos(cos1 x) = x para ob-
tener
Figura
- cos2(cos' x) =
sen (cos1 x)
7
- x2
La identidad (ii) se demuestra de una manera completamente similar. Para demos1 + tan2 0 en lugar de sen2 0 + cos2 0 = 1.
trar (iii) y (iv), utilice la identidad sec2 0 =
EJEMPLO 4
Solución
Calcule sen [2 cos_1(4)].
Recuérdese La identidad del ángulo doble sen 20 = 2 sen 0 cos 0. AsI,
r
sen 2cos
(21
-
r
2sen cos
=21
1
(2\1
- cos[cos (2
-
224
\31
3
9
Derivadas de funciones trigonométricas Aprendimos en la secciOn 3.4 las
formulas de las derivadas para las seis funciones trigonométricas. Deben memorizarse.
D cos x = sen x
D cot x csc2 x
D csc x = csc x cot x
D sen x = cos x
D tan x sec2 x
D sec x = sec x tan x
Podemos combinar las reglas anteriores con La regla de La cadena. Por ejemplo, si u =
f (x) es derivable, entonces
Dsenu
=
cosuDu
Funciones trigonométricas inversas A partir del teorema de la función inversa (Teorema 7.2B), concluimos que sen1, cos', tan' y sec1 son derivables. Nuestro objetivo es encontrar fOrmulas paras sus derivadas. Establecemos los resultados y luego
mostramos cómo pueden deducirse.
SECCION 7.7
Derivadas de cuatro funciones trigonométricas inversas
Teorema B
(i)
Las funciones trigonométricas y sus derivadas 355
D sen1
=
Vi - x2'
1
D cos1 x
D tan' x
1<x<1
1<x<1
= 1 + x2
1
1x
Demostración Nuestras demostraciones siguen el mismo patron en cada caso. Para demostrar (i), sea y = sen' x, de modo que
x = seny
Ahora derivamos ambos lados con respecto a x, utilizando Ia regla de La cadena en el
lado derecho. Entonces
i = cos y D y = cos(sen' x) D(sen1 x)
Vi - x2 D(sen1 x)
En el Ultimo paso, usamos el Teorema A(ii). Concluimos que D(sen' x) = 1 / Vi - x2.
Los resultados (ii), (iii) y (iv) se demuestran de manera anáLoga, pero (iv) tiene
una pequefia peculiaridad. Sea y = sec1 x, de modo que
x = secy
Derivando ambos lados con respecto a x y utilizando el Teorema A(iv), obtenemos
secytanyDy
1
D sec1 x
sec(sec1 x)tan(sec1 x)D(sec1 x)
He aqul otra forma de deducir la
formula para La derivada de sec1 x.
x\/x2 - 1 D(sec' x),
x(_\/x2 - 1)D(sec' x),
D sec1 x = D cos1 ()
1
1
=
si X
si x
1
xVx2 - 1D(sec'x)
El resultado deseado se sigue de manera inmediata.
EJEMPLO 5
Encuentre D sen1(3x - 1).
Solución Utilizamos el Teorema B(i) y la regla de la cadena.
Dsen'(3x 1) = Vi - (3x -
1)2
D(3x - 1)
3
V_9x2 + 6x
Por supuesto, cada formula de derivación lieva a una formula de integraciOn, un tema acerca del cual diremos mucho ms en el capItulo siguiente. En particular,
(j)
IV
dx
sen1 x + C
2
dx = tan' x + C
,j
1 + x2
f
xVx2 - 1
2
dx = sec'x + C
356
CAPíTULO
Funciones trascendentales
7
1
dx
1/2
EJEMPLO 6
Evalúe
Solución
1
1/2
o
o
..
~.
vI - x 2
1
- - - - dx
~
1
= [sen -1 x ]6/2 = sen-1 -
- sen -10
2
7T
7T
6
6
•
=--0=-
EJEMPLO 7 Un hombre de pie en la cima de un acantilado está a 200 pies por arriba de un lago. Observa un bote que se aleja directamente del pie del acantilado a una
velocidad de 25 pies por segundo. ¿Qué tan rápido cambia el ángulo de depresión de
su visual cuando el bote está a 150 pies del pie del acantilado?
Solución Los detalles esenciales se muestran en la figura 8. Obsérvese que O, el ángulo de depresión, es
Hombre
200)
O = tan- 1 ( ~
Así,
dO
dt
Bote
Figura 8
1
1 + (200/X)2
-200
dx
·7· ---¡¡
-200
2
= x + 40,000
dx
dt
Cuando sustituimos x = 150 Ydx/dt = 25, obtenemos dO /dt = -0.08 radianes por segundo.
•
Revisión de conceptos
1. Para obtener una inversa de la función seno, restringimos
su dominio a
. La función inversa resultante se denota por
_
sen- 1 0por
2. Para obtener una inversa de la función tangente, restringimos su dominio a
. La función inversa resultante se denota
por tan~ 1 o por
3. D t sen(arcsen x)
=
4. Como D x arctan x
_
=
1/(1
+ x 2 ), se sigue que
41\/(1 + x )dx = - - 2
o
Conjunto de problemas 7.7
En los problemas del] al] 0, encuentre el valor exacto sin utilizar una
calculadora.
1. arceos (
~)
2. aresen ( -
¿)
17. cos(sen(tan-12.00l))
En los problemas del]9 al 24, exprese een términos de x utilizando las
funciones trigonométricas inversas sen~I, cos- I, tan- I y sec I.
19.
5. arctan ( V3)
6. arcsec(2)
7. arcsen (-D
9. sen (sen ~ 10.4567)
W
10. cos(sen- 10.56)
En los problemas del]] al]8, aproxime cada valor.
11. sen -1 (0.1113)
12. arccos(0.6341)
13. cos(arccot 3.212)
15. sec~1(-2.222)
14. sec(arccos 0.5111)
16. tan- 1(-60.11)
18. sen2 (In (cos 0.5555) )
20.
SECCIÓN
7.7
43. Y = (tan -1 x f
42. Y = eX arcsen x 2
21.
357
Las funciones trigonométricas y sus derivadas
44. y
tan (cos-
=
46. y =
(sec- 1 x
1
x)
45. Y = sec- 1 (x 3 )
)3
47. y = (1 + sen-1xf
En los problemas del 48 al 58, evalúe cada integral.
49. ¡'sen 2x cos 2x dx
48. ¡x sen (xZ)dx
22.
J
tan x dx =
50.
52.
J
sen
x x 51.
-d
cosx
¡~/Z
o
53.
senzxcosxdx
¡l
¡Vi/2
ezx cos(eZx)dx
o
54.
23.
56.
2
]Z
dx
55.
V2X~
¡~/Z
o
J
sen O
1 + cos z O
57.
dO
1-11
1
~
dx
XZ
- -1- d x
1 +
J
1
d
1 + 4xz x
eX
--z-dx
1 + ex
58.
x
59. Una pintura de 5 pies de altura está colgada en una pared
de modo que su parte inferior está a 8 pies del piso, como se muestra
en la figura 9. Una observadora con el nivel de sus ojos a 5.4 pies de pie
a b pies de la pared. Exprese O, el ángulo vertical subtendido por la pintura a su ojo, en términos de b, y después encuentre O, si b = 12.9 pies.
24.
3
2
En los problemas del 25 al 28, encuentre cada valor sin utilizar una
calculadora (véase el ejemplo 4).
25. cos[2sen-l(-~)]
26. tan[2tan- 1 G)]
27. sen [cos- 1 (~)
+ cos-1 (iJ)]
28. coS[COS-l(~)
+ sen- 1 (H)]
t
5.4 pies
En los problemas del 29 al 32, muestre que cada ecuación es una identidad.
29. tan(sen-
1
30. sen (tan-
1
x
x) = ~Z
60. Encuentre fórmulas para f-I(X) para cada una de las siguientes funciones f, primero indique cómo restringiría el dominio de modo que f tenga una inversa. Por ejemplo, si f(x) = 3 sen 2x, y restringimos el dominio a -7T I 4 :::; x :::; 7T I 4, entonces f-l (x) = 1
sen- 1 (xI3).
(b) f(x) = 2sen3x
(a) f (x) = 3 cos 2x
1
(d) f(x) = sen (c) f (x) = tan x
x
=
~
1 + xZ
31. cos(2sen- 1 x) = 1 - 2x z
2x
32. tan(2 tan- 1 x) = - - z
1- x
33. Encuentre cada límite.
(a) lím tan- l x
X--+oo
b
Figura 9
1 - x
x)
_ _ _L
1
(b)
1
lím tan- x
61. Por medio del uso repetido de la fórmula para la suma,
x--+-oo
tan (x
34. Encuentre cada límite.
(a) lím sec- 1 x
x--+oo
(b)
40. y = arccos(e x )
cotx)
=
(tan x
+ tan y) / (1 - tan x tan y)
lím sec-1 x
x--+-oo
En los problemas del 36 al 47, encuentre dy/dx.
36. y = et anx
37. y = ln(secx
= -ln(cscx +
+ y)
demuestre que
35. Haga un bosquejo de la gráfica de y = coC1 x, suponiendo
que se ha obtenido restringiendo el dominio de la cotangente a (O, 7T).
38. y
x
39. y
+ tanx)
= sen-1 (2xZ)
41. y = x 3 tan- 1 (e x )
62. Verifique que
47T =
4 tan
_1(1)
1)
"5 - tan -1( 239
un resultado descubierto por John Machin en 1706 y utilizado por él
para calcular los primeros 100 lugares decimales de 7T.
358
CAPíTULO
7
Funciones trascendentales
63. Sin utilizar calculadora, encuentre una fórmula para el área
de la región sombreada en la figura 10 en términos de a y b. Observe
que el centro del círculo mayor está en el borde del más pequeño.
cuentre b que maximiza el ángulo subtendido por el ojo del observador. (Véase el problema 59.)
74. Exprese dO /dt en términos de x, dx /dt, y las constantes a y b.
(a) ~
x
(b) ~
Figura 10
[§Q 64. Dibuje las gráficas de
y = arcsenx
y =
y
arctan(x/~)
-
utilizando los mismos ejes. Formule una conjetura. Demuéstrela.
[§Q 65. Dibuje la gráfica de y
tura. Demuéstrela.
=
7T /2 - arcsen x. Haga una conje-
[§Q 66. Dibuje la gráfica de y = sen(arcsen x) en [-1, 1]. Después
dibuje la gráfica de y = arcsen(sen x) en [-27T, 27T]. Explique las diferencias que observe.
67. Demuestre que
J__
d_x__ = sen~1 ~ + e,
a> O
~
a
escribiendo a2 - x 2 = a2[1 - (x/a)2] y haciendo la sustitución u
x/a.
=
68. Demuestre el resultado del problema 67 derivando el lado
derecho para obtener el integrando.
J
dx
- 1
-1 X
-tan - + e,
a + x
a
a
ai=O
70. Demuestre que
J
dx
x~
= !sec-ll1 + e,
a
a
a>O
71. Demuestre, derivando el lado derecho, que
¡
X
~va~dx
= -~
- r
2
a2
x
+ -sen~l2
a + e'
a>O
72. Utilice el resultado del problema 71 para demostrar que
l
a
~a
75. Se ha terminado el trabajo estructural de acero de un nuevo
edificio de oficinas. Cruzando la calle, a 60 pies de la planta baja del
elevador de carga en el edificio, un espectador está de pie y observa
el elevador de carga que sube a una velocidad constante de 15 pies por
segundo. ¿Qué tan rápido aumenta el ángulo de elevación de la visual del espectador al elevador después de 6 segundos que su visual
pase la horizontal?
76. Un aeroplano vuela a una altura constante de 2 millas y a
una velocidad constante de 600 millas por hora, en línea recta que pasará directamente por encima de una observadora, que está en el piso. ¿Qué tan rápido está aumentando el ángulo de elevación de la visual de la observadora cuando la distancia de ella al aeroplano está a
3 millas? Proporcione su resultado en radianes por minuto.
77. La luz giratoria de un faro está ubicada en una isla y se encuentra a 2 millas del punto más cercano P de una playa recta en tierra firme. El faro lanza un rayo de luz que se mueve a lo largo de la
playa conforme gira. Si la velocidad del rayo de luz sobre la playa es
de 57T millas por minuto cuando el punto iluminado está a 1 milla de
P, ¿a qué velocidad está girando el faro?
69. Demuestre que
-2--2 -
a
7Ta2
~dx=2
78. Un hombre en un muelle jala una cuerda atada a un bote de
remos, a una velocidad de 5 pies por segundo. Si las manos del hombre están 8 pies por arriba del punto en donde la cuerda está sujeta al
bote, ¿qué tan rápido está cambiando el ángulo de depresión de la
cuerda cuando aún quedan 17 pies de cuerda por recoger?
W
79. Una visitante del espacio exterior se aproxima a la Tierra
(radio = 6376 kilómetros) a 2 kilómetros por segundo. ¿A qué velocidad aumenta el ángulo O subtendido por la Tierra a su ojo cuando
ella está a 3000 kilómetros de la superficie?
¿Por qué es éste el resultado esperado?
73. El borde inferior de un mural, de 10 pies de alto, está 2 pies
por encima del nivel del ojo del observador. Encuentre la distancia
ideal b a la que debe alejarse de la pared para ver el mural; esto es, en-
Respuestas a la revisión de conceptos:
2. (-7T/2, 7T /2); arctan
3. 1
4.
7T
1. [-7T /2, 7T /2]; arcsen
SECCION 7.8
7.8
Las funciones
hiperbólicas y sus
inversas
Las funciones hiperbOlicas y sus inversas 359
En matemáticas y ciencias, aparecen tan frecuentemente ciertas combinaciones de e-'
y e_x que se les da nombres especiales.
Definición
Funciones hiperbOlicas
El seno hiperbOlico, coseno hiperbólico y cuatro funciones relacionadas se definen por
eX_e_X
ex+e
senhx
=
tanhx =
sechx =
coshx =
2
senhx
cothx =
cosh x
cschx
coshx
coshx
senh x
senhx
La terminologIa sugiere que debe haber alguna relación con las funciones trigonométricas; la hay. Primera, La identidad fundamental para Las funciones hiperbólicas (en
reminiscencia de cos2 x + sen2 x = 1 en trigonometrIa) es
cosh2 x - senh2 x = 1
Figura 1
Para verificarla, escribimos
e 2x
cosh2 x - senh2 x
+ 2 + e_2x
4
e2x
-2+
4
e_2x
=1
Segunda, recuerde que las funciones trigonométricas están Intimamente relacionadas con el cIrculo trigonométrico (véase La figura 1), de modo que, en ocasiones, se
les llama funciones circulares. En efecto, las ecuaciones paramétricas x = cost, y senh
describen el cIrculo unitario. En forma similar, las ecuaciones paramétricas x = cosh t,
senh t describen la rama derecha de la hipérbola unitaria x2 = 1 (véase la fiy
gura 2). Además, en ambos casos el parámetro t está relacionado con el area sombreada A por t 2A, aunque esto no es obvio en el segundo caso (véase el problema 56).
Ya que senh(x)
x2-y2= I
Figura 2
senh(x), senh es una función impar; cosh(x) = cosh x,
de modo que cosh es una función impar. De manera correspondiente, La gráfica de
y senh = x es simétrica con respecto a! origen y la gráfica de y = cosh x es simétrica
con respecto al eje y. De manera análoga, tanh es una funciOn impar y sech es una función par. Las graficas se muestran en la figura 3.
y
2-
-3
-2
2
-2--
Figura 3
V = SCflh x
3
360
CAPiTULO 7
Funciones trascendentales
Derivadas de funciones hiperbOlicas Podemos encontrar D senh x y D
cosh x de manera directa a partir de las definiciones
Dsenhx=D
- e_x\
2
,i
ex + e_x
=
2
=coshx
y
Dcoshx = D
ex - e_x
-
2
2
= senh x
Obsérvese que estos hechos confirman el carácter de las gráficas que dibujamos. Por
ejemplo, ya que D(senh x) = cosh x > 0, la gráfica de seno hiperbólico siempre está
ascendiendo. De manera análoga, D(cosh x) = cosh x > 0, lo que significa que la
gráfica del coseno hiperbólico es cóncava hacia arriba.
Las derivadas de las otras duatro funciones hiperbólicas se deducen de las otras
dos, combinadas con la regla del cociente. Los resultados se resumen en el Teorema A.
Teorema A Derivadas de las funclo ns
r
hiiOIica;
)
"sh =ser1h
D, senh x = cosh x
L- cothx = -cscki2.
-,]-
D tanh x
D sechx=
i
;echx tnh.
ehx = csch x coth x
f)
Otra forma en la que Las funciones trigonométricas y Las hiperbólicas están relacionadas concierne a ecuaciones diferenciales. Las funciones sen x y cos x son soluciones de
La ecuación diferencial de segundo orden y" = y, y senh x y cosh x son soluciones
de la ecuación diferencial y" = y.
Encuentre D tanh(sen x).
EJEMPLO 1
Solución
D tanh (sen x) = sech2 (sen x)D(sen x)
= cosxsech2(senx)
EJEM PLO 2
Solución
Encuentre D cosh2(3x - 1).
Aplicamos dos veces La regla de La cadena.
Dcosh2(3x - 1) = 2cosh(3x - 1)Dcosh(3x - 1)
= 2cosh(3x - 1)senh(3x - 1)D(3x - 1)
= 6cosh(3x - 1)senh(3x - 1)
EJEMPLO 3
Solución
Encuentre
tanhx dx.
Sea u = cosh x, por lo que du = senh x dx.
I
/senhx
1
dx= Judu
tanhxdx= /
j coshx
= lnu + C = 1ncoshx + C
ln(coshx) + C
PodrIamos quitar los signos de valor ahsoLuto ya que cosh x > 0.
.
SECCIÓN
7.8
Las funciones hiperbólicas y sus inversas
361
Funciones hiperbólicas inversas Como seno hiperbólico y tangente hiperbólica tienen derivadas positivas, son funciones crecientes y de manera automática tienen inversas. Para obtener inversas para coseno hiperbólico y secante hiperbólica, restringimos sus dominios a x 2: O. Así,
x
= senh-1 y ~ y = senh x
x = cos- 1 y ~ y = cosh x
x
y
x
2:
O
= tanh -1 y ~ y = tanh x
x = sech-1 y ~ y = sech x
y x
2:
O
Como las funciones hiperbólicas están definidas en términos de eX y e-X, no es sorprendente que las funciones hiperbólicas inversas puedan expresarse en términos de logaritmos naturales. Por ejemplo, considere y = cosh x para x 2: O; esto es, considere
y=
x?:O
2
Nuestra meta es resolver esta ecuación para x, la cual dará cosh- 1 y. Multiplicando ambos miembros por 2ex , obtenemos 2ye X = eZx + 1, o
x?:O
Si resolvemos esta ecuación cuadrática en ex, obtenemos
eX
=
2y + V(2y? - 4
2
= y +
" ¡-z--;
V Y~ - 1
La fórmula cuadrática da dos soluciones, la dada antes y (2Y - V (2 y)Z - 4)/2. Esta
última solución es extraña ya que es menor a uno, mientras que eX es mayor que 1 para toda x > O. Así, x = ln(y + ~), de modo que
x = cosh-1 y = ln(y
+ ~)
Argumentos similares se aplican a cada una de las funciones hiperbólicas inversas.
Obtenemos los resultados siguientes (observe que los papeles de x y y se han intercambiado). La figura 3 sugiere las restricciones necesarias del dominio. Las gráficas de las
funciones hiperbólicas inversas se muestran en la figura 4.
senh-1 x = ln(x +
Vx 2
+ 1)
cosh-1 x = ln(x + ~),
x?:l
1 1+ x
tanh- 1 x = - l n - 2 1 - x'
-1 < x < 1
sech-1 x = In
x
'
( 1+~)
O<x::;l
Cada una de estas funciones es derivable. De hecho,
1
Dx senh- 1 x = -------
v?+l
1
D x cosh-1 X = - - - - - ~'
Dxtanh
-1
_
1
x - -----z'
1- x
-1
D x sech-1 x = ------x~'
x
> 1
-1 < x < 1
O<x<l
362
CAPITULO 7
Funciones trascendentales
2-
y = scith
Lv
2-
v=cosh Lv
1.5-2
-I
I-
X
2
-1-
0.5-
-2
0.5
32-
= ianh
(
I
I
1.5
I
2.5
3
v = sech
'.
2
x
Lv
2.5
2-I
-
0.5
1.5-
x
1
-2-3-
0.50.2
0.4
0.6
0.8
x
1
Figura 4
EJEMPLO 4
Demuestre que D senh' x = 1/\/x2 + 1 por medio de dos métodos
diferentes.
Solución
Método 1 Sea y = senh1 x, de modo que
senh y
x
Ahora derive ambos lados con respecto a x
1 = (coshy)Dy
AsI,
Dy
D(senh1x) =
1
cosh
= Vi
+ senh2y
Método 2 Utilice la expresión logarItmica para senh1 x.
1 + x2
D(senh1x) = Dln(x + Vx2 +
Una catenaria invertida
1
x +
=
Vx2 + 1
1
D(x+Vx2+1)
/
x+Vx2+1\ 1+ Vx2+1J
1
-
U
x2 + 1
V
Aplicaciones: La catenaria Si un cable o cadena flexible homogenea se suspende entre dos puntos fijos a la misma altura, forma una curva denominada catenaria (figura 5). Además (véase el problema 53), una catenaria puede colocarse en un sistema
de coordenadas de modo que su ecuación toma la forma
y = a cosh
La catenaria
Figura 5
EJEMPLO 5
x = a.
Encuentre Ia longitud de la catenaria y = a cosh(x/a) entre x = a y
SECCIÓN
Solución
7.8
Las funciones hiperbólicas y sus inversas
363
La longitud deseada (véase la sección 6.4) está dada por
1)1 + (~~r
dx
=
E~l + Senh2(~) dx
=
1)COSh2(~) dx
=
[2a scnh : J:
= 2a senh 1
>::::;
•
2.35a
Revisión de conceptos
1. Senh y cosh están definidos por senh x
y cosh
3. A consecuencia de la identidad de la pregunta 2, la gráfica de
_
las ecuaciones paramétricas x = cosh t, Y = senh t es
2. En trigonometría hiperbólica, la identidad correspondiente
_
a sen2 x + cos 2 x = 1 es
4. La gráfica de y = a cosh(x/a) es una curva denominada
_ _ _; esta curva es importante como un modelo para
_
x=
=
_
Conjunto de problemas 7.8
27. Y = senh- 1 (x 2 )
En los problemas del] al 12, verifique que las ecuaciones que se dan
son identidades.
= coshx + senhx
3. e-X = cosh x - senh x
1. eX
2. e 2x = cosh 2x + senh 2x
29. y
= tanh- 1 (2x
31. Y
=
7. cosh (x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y
8. cosh(x - y)
=
9. tanh(x + y)
= ------
coshxcoshy - senhxsenhy
x)
35. Y = tanh (cot x)
5. senh (x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y
6. senh(x - y) = senhxcoshy - coshxsenhy
- 3)
x cosh- 1 (3x)
33. y = In (cosh- I
4. e- 2x = cosh 2x - senh 2x
28. Y = cosh- 1 (x 3 )
y
=
30. y = coth- I (x 5 )
32. y
=
x2 senh- 1 (x 5 )
34. y = cosh- 1 (cos x)
36. Y = coth- I (tanh x)
37. Encuentre el área de la región acotada por y = cosh 2x,
= OY x = In 3.
O, x
En los problemas del 38 al 45, evalúe cada integral.
tanh x + tanh y
38. J'senh (3x + 2) dx
1 + tanh x tanh y
tanh x - tanh y
10. tanh(x - y) = - - - - - 1 - tanh x tanh y
40.
Jco~vz
dz
39.
41.
11. senh 2x = 2 senh x cosh x
42. / eX senh eX dx
12. cosh 2x = cosh 2 x + senh 2 x
43. / cosxsenh(senx) dx
En los problemas del 13 al 36, encuentre D~y.
13. Y = senh 2 x
15. y
= 5 senh 2 x
17. y = cosh (3x
+ 1)
14. y
= cosh 2 x
16. y
=
cosh 3 x
19. Y
=
ln(senhx)
20. y = ln(cothx)
=
x 2 cosh x
22. y
25. y
= tanh x senh 2x
45. / x coth x 2 In (senh x 2 ) dx
18. Y = senh (x 2 + x)
21. y
23. y = cosh 3x senh x
44. / tanh x In (cosh x) dx
=
x- 2 senh x
y
=
24. y = senh x cosh 4x
26. y
= coth 4x senh x
Yx
46. Encuentre el área de la región acotada por y = cosh 2x,
O, x = -In 5 y x = In 5.
47. Encuentre el área de la región acotada por y
In 2.
=
= senh x, y = O
364
CAPíTULO
7
Funciones trascendentales
48. Encuentre el área de la región acotada por y = tanh x, y = 0,
x
= -8 Yx = 8.
49. La región acotada por y = cosh x, y = O, x = OY x = 1 se
hace girar alrededor del eje x. Encuentre el volumen del sólido resultante. Sugerencia: cosh2 x = (1 + cosh 2x) I 2.
50. La región acotada por y = senh x, y = O, x = OYx = In 10
se hace girar alrededor del eje x. Encuentre el volumen del sólido resultante.
51. La curva y = cosh x, O:::;: x :::;: 1, se hace girar alrededor del
eje x. Encuentre el área de la superficie resultante.
W 54. Llame a la gráfica de y
= b - a cosh (x la) una catenaria invertida e imagínela descansando sobre el eje x. Demuestre que si el
ancho de este arco a lo largo del eje x es 2a entonces cada una de las
afirmaciones siguientes 'es verdadera.
(a) b = a cosh 1
~
1.54308a.
(b) La altura del arco es aproximadamente 0.54308a.
(c) La altura de una arco de ancho 48 es aproximadamente 13.
m 55. Un granjero construyó un gran pajar de 100 pies de largo y
48 pies de ancho. Una sección transversal tiene la forma de una catenaria invertida (véase el problema 54) con ecuación y = 37 - 24
52. La curva y = senh x, O:::;: x :::;: 1, se hace girar alrededor del
eje x. Encuentre el área de la superficie resultante.
cosh(xI24).
53. Para deducir la ecuación del cable colgante (catenaria), consideremos la sección AP desde el punto más bajo A a un punto general P(x, y) (véase la figura 6) e imagine que el resto del cable se ha retirado.
Las fuerzas que actúan sobre el cable son:
(b) Encuentre el volumen del pajar.
1. H
=
2. T
= tensión tangencial que tira en P;
3. W =
tensión horizontal que tira en A;
(a) Haga un dibujo de este pajar.
(c) Encuentre el área de la superficie de la bóveda del pajar.
56. Demuestre que A = t 12, en donde A denota el área en la figura 2 de esta sección. Sugerencia: En algún momento necesitará utilizar la fórmula 44 de las guardas del libro.
57. Demuestre que para cualquier número real r:
os = peso de s pies de cable de densidad b libras por pie.
Para estar en equilibrio, las componentes horizontal y vertical de T,
deben equilibrar H y W, respectivamente. Así, T cos e/> = H YT sen
e/> = W = os y así
(a) (senh x + cosh xY = senh rx + cosh rx
(b) (cosh x - senh xY = cosh rx - senh rx
(c) (cosx + isenxY
58. El gudermanniano de t se define como
gd(t) = tan -1 (senh t)
Demuestre que:
Pero como tan e/> = dy Idx, obtenemos
(a) gd es impar y creciente con un punto de inflexión en el origen;
os
H
(b) gd(t) = sen- 1 (tanht) = llsechudu
y por tanto
d2 y
dx 2
= ~ ds
H dx
cosrx + i sen rx
(d) (cosx - isenxY = cosrx + isenrx
Tsene/>
os
- - - = tane/> = T cose/>
H
dy
dx
=
~ ~~1 +
H
Ahora demuéstrese que y = a cosh(xla) +
diferencial con a = H lb.
(d y )2
dx
e satisface esta ecuación
59. Demuestre que el área debajo de la curva y = cosh t,
O :5 t :5 x, es numéricamente igual a su longitud de arco.
60. Encuentre la ecuación del Gateway Arch en San Louis Missouri, dado que es una catenaria invertida. Supóngase que descansa sobre el eje x, que es simétrico con respecto al eje y y que tiene 630 pies
de ancho en la base y 630 pies de alto en el centro.
61. Dibuje las gráficas de y = senh x, y = ln(x + ~),
y y = x, utilizando los mismo ejes y escalados de modo que -3 :::;:
x :::;: 3 Y-3:::;: Y :::;: 3. ¿Esto qué demuestra?
rng
y
T
~
62. Con referencia al problema 58. Deduzca una fórmula para
gd- 1(x). Dibuje su gráfica y también la de gd(x) utilizando los mismos ejes y con esto confirme su fórmula.
Tsenif>
p
Teos if>
_H---.-A.., • ••
•
s:
.
u lb/pIes
x
Respuestas a la revisión de conceptos: 1. (ex - e-x) /2;
(ex + e-x) /2 2. cosh2 x - senh2 x = 1 3. la gráfica de
x 2 - y2 = 1 (una hipérbola)
4. catenaria; un cable (cadena)
colgante
Figura 6
SECCIÓN
7.9
Revisión del capítulo
365
7.9 Revisión del capítulo
Examen de conceptos
37. In(3 IOO ) > 100.
Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta.
38. In(2x2
18) - In(x - 3) - In (x + 3)
-
In 2, para toda x en ~.
=
39. Si y crece de manera exponencial y si y se triplica entre t = OY
1. Inlxl está definido para todo real x.
t = t b entonces y también se triplicará entre t = 2t l Y t = 3t l .
2. La gráfica de y = In x no tiene puntos de inflexión.
40. El tiempo necesario para que x(t) = Ce- kl caiga a la mitad de
In2
su valor es - k .
In
41. Si y'(t) = ky(t) Y z'(t) = kz(t), entonces (y(t) + z(t))'
3.l !
e1
t
1
dt = 3
4. La gráfica de una función invertible y = f(x) es intersectada exactamente una vez por toda recta horizontal.
k(y(t) + z(t)).
5. El dominio de ln- I es el conjunto de todos los números reales.
42. Si Yl(t) y yit) satisfacen y'(t) = ky(t) + C, entonces también lo
hace (YI(t) + h(t))·
6. In x I In y = In x - In y.
43. lím (1 - h
7. (lnx)4
44. Es ventaja para un ahorrador tener dinero invertido a15% compuesto continuamente en lugar de aI6% compuesto cada mes.
=
h--40
41nx.
8. In(2 e x+l) - ln(2e-t") = 1 para todo x en IR.
9. Las funciones f(x) = 4 + eX y g(x) = ln(x - 4) son inversas entre sí.
10. exp x + exp y
=
exp(x + y).
13. Si a < b, entonces ae X < be x.
U
15. lím (In sen x - In x)
X--40-
eiJ.
O.
=
17. -
d
dx
18.
J~dx
= In31xl +
20. Si f(x) . exp[g(x)]
=
e-l.
45. Si Dia X) = aXcon a > O, entonces a = e.
Problemas de examen
2
12. Si a In x < b In x, entonces a < b.
< b, entonces e <
h
En los problemas del] al 24, derive cada función.
x4
1.In
2. sen 2 (x 3)
11. Si x > y, entonces In x > In y.
14. Si a
t l/
3. e x2 - 4x
4. IOglO(X 5 - 1)
5. tan (In eX)
6.
7.2 tanhVX
8. tanh- I (sen x)
9. senh- 1 (tan x)
1
eln cotx
10. 2 sen -1 V 3x
=-
(In 7T)
7T
11. sec- I eX
e
13. 3 In (e 5x
= opara x = Xo, entonces f(x o) = O.
~
12. In sen 2 (
+ 1)
14. In(2x 3
-
)
4x + 5)
15. cos e Vr
16. In (tanh x)
17. 2 cos-1VX
18. 43x + (3X)4
19. 2 csc e 1nvr
20. (loglO 2x )2/3
21. 4 tan 5x sec 5x
22. xtan- 1
25. arcsen(sen x) = x para todos los números reales x.
23. x l + x
24.
26. Si a < b, entonces senh a < senh b.
En los problemas del 25 al 34, encuentre una antiderivada de cada función y verifique su resultado por medio de derivación.
21. DixX)
=
XX In x.
tan x + sec x es una solución de 2y' - y2 = 1.
.
4.
4
23. Un factor mtegrante para y' + - y = eX es x.
x
24. sen(arcsen x) = x para todos los números reales x.
22. y
=
27. Si a < b, entonces cosh a < cosh b.
28. cosh x
30. tan- l x
s;
=
e1xl •
sen- l xl cos- 1 x.
32. lím In (sen
r--40
29. Isenh
X
x) = 1.
25. e3x - l
xl :::; e1x1 /2.
=
31. cosh (In 3)
I
r--4-OO
cosh x satisfacen la ecuación diferen-
+
x - 5
ex + 2
2 9X. -e +3 + 1
30. 4x cos x 2
4
31.------;===
32
VI -
35. f(x) = tanh x es una función impar.
=
6x + 3
x2
34. sen-l(cosh x) está definida para toda x real.
36. tanto y = senh x como y
cial y" + y = O.
t
(1 + x 2
28.
33.. lím tan- x = --2
2
26. 6 cot3x
t.
7T
x2
4x 2
-1
33.
X + x(Inx)
2
cos x
• 1 + sen 2 x
34. sech 2 (x - 3)
366
CAPíTULO
7
Funciones trascendentales
En los problemas 35 y 36, encuentre los intervalos en los que f es creciente y los intervalos en los que f es decreciente. Encuentre en dónde
la gráfica de f es cóncava hacia arriba y en dónde es cóncava hacia
abajo. Encuentre los valores extremos y los puntos de inflexión. Después haga un bosquejo de la gráfica de f
-7r
35. f(x) = sen x + cos x, 2
36. f(x)
37.
(a)
(b)
(c)
x2
= ----;,-00
e
< x <
::; x
7r
::;
2
cia el aeroplano. ¿A qué tasa está cambiando el ángulo entre el haz de
luz y el piso cuando este ángulo es de 30°?
41. Encuentre la ecuación de la recta tangente para y
=
(cos X )sen x
en (0,1).
42. Un pueblo creció de manera exponencial de 10,000 en 1990 a
14,000 en 2000. Suponiendo que continúa el mismo tipo de crecimiento, ¿cuál será la población en 2010?
En los problemas del 43 al 47, resuelva cada ecuación diferencial.
00
Seaf(x) = x 5 + 2x 3 + 4x, -00 < x < oo.
Demuestre que f tiene una inversa g = f-l.
Evalúe g(7) = f~1(7).
Evalúe g'(7).
43. dy +
dx
~
dy
= O
44.--
x
x2
dx
dy
45. dx + 2x(y - 1) = O; Y = 3 cuando x =
dy
-
2y
x
=0
o.
dy
ax
38. Cierta sustancia radiactiva tiene una vida media de 10 años.
¿Cuánto tiempo pasará para que 100 gramos decaigan a 1 gramo?
46. dx - ay = e
39. Si hoy se depositan 100 dólares en un banco al 12% de interés,
¿cuál será su valor al final de 1 año si el interés se compone como se
indica?
(b) mensualmente
(a) anualmente
(d) continuamente
(c) diariamente
48. Supóngase que se infunde glucosa en el torrente sanguíneo de un
paciente a una tasa de 3 gramos por minuto, pero que el cuerpo del paciente convierte y elimina la glucosa de su sangre a una tasa proporcional a la cantidad que esté presente (con constante de proporcionalidad 0.02). Sea Q(t) la cantidad presente en el instante t, con
Q(O) = 120.
40. Un aeroplano vuela de manera horizontal a una altura de 500
pies, con una velocidad de 300 pies por segundo, alejándose directamente de un faro buscador en tierra. El faro se mantiene dirigido ha-
(a) Escriba la ecuación diferencial para Q.
47. dx - 2y
= eX
(b) Resuelva esta ecuación diferencial.
(c) Determine qué le sucede a Q a la larga.
7.10 Problemas adicionales
~ Aquí exploramos el interés compuesto. En la sección
7.5 vimos
que una cantidad de dinero A o en el banco a un interés de 100%r anual
compuesto de manera continua crece a A(t) = Aoe rl , cuando t se mide en años. En los problemas del 1 al 5, investigamos otros escenarios
financieros.
1. Encuentre el valor de 1,000 dólares al final de 1 año cuando el interés se compone de manera continua al 5%. Esto se denomina valor
futuro.
2. Supóngase que después de un año usted tiene 1000 dólares en el
banco. Si el interés se compuso de manera continua a15%, ¿cuánto dinero depositó en el banco un año antes? Esto se denomina valor pre·
sente.
3. En muchos casos, usted gana dinero depositándolo en una cuenta bancaria a intervalos regulares. El dinero en el banco por lo general genera interés que se compone de manera continua. Supóngase
que deposita 100 dólares cada 30 días y éste genera interés de 5%
compuesto continuamente. Después de 60 días tendrá 100eo.05 · (60/365) +
100eo.05 . (30/365).
(a) ¿Cuánto dinero tendrá después de 360 días?
(b) ¿Puede crear una fórmula compacta que proporcione esta cantidad?
4. Una anualidad es dinero que puede retirar del banco a intervalos
regulares. Con frecuencia quiere calcular la cantidad de dinero que
debe depositar al inicio para poder retirar una cantidad dada durante cierto número de meses. Supóngase que quiere retirar 144 dólares
cada 30 días durante 3,600 días (~ 10 años) de su cuenta, la cual ge-
nera interés del 5%. Supóngase que al final no tendrá dinero en el
banco.
(a) Demuestre que si el interés se compone cada 30 días, entonces el
depósito necesario A o sería
1 - [1
Ao
= 144
+ 0.05 . (30/365)
r
lO
.(365/30)
0.05 . (30/365)
(b) Encuentre una fórmula para A o si los pagos se hacen cada 30 días,
pero el interés de15% se compone continuamente.
5. La regla del 70 da una estimación rápida del tiempo que tarda su
dinero en duplicarse cuando genera interés de manera continua. La regla establece que si le toma T años duplicarse al dinero en el banco,
entonces T ;:::: 70/(tasa de interés dada en por ciento).
(a) Demuestre que T satisface la ecuación Aüe rT = 2A ü, donde r es
la tasa continua de interés.
(b) Demuestre que T ;:::: 70/(100r).
(c) Estime cuántos años le tomaría duplicarse el dinero que genera
interés al 7%.
~ Además de proporcionar una manera fácil de derivar productos,
la derivación logarítmica también provee de una medida de la tasa de
cambio relativa o fraccional, definida como y'/y. En los problemas
del 6 al1 Oexploramos este concepto.
6. Demuestre que la tasa de cambio relativa de él como una función
de t es k.
SECCIÓN
7. Demuestre que la tasa de cambio relativa de cualquier polinomio
se aproxima a cero cuando la variable independiente tiene a infinito.
8. Demuestre que si la tasa de cambio relativa es una constante positiva entonces la función debe representar crecimiento exponencial.
9. Demuestre que si la tasa de cambio relativa es una constante negativa entonces la función debe representar decaimiento radiactivo.
10. El número de condición para una función proporciona una medida de cómo el error en la entrada se refleja como errores en la salida.
Supóngase que la entrada af(x) en x = 1.00 sólo se conoce a ±0.01.
¿Cómo se refleja este margen de error en el cálculo de f(x)?
7.10
Problemas adicionales
367
(b) Obsérvese que, si y = Cb x entonces In y = In C + x In b, explique por qué todas las curvas en la figura 1 son rectas que pasan
por el punto (O, 1).
(c) Con base en la gráfica semilogarítmica de la figura 2, determine
C y b en la ecuación y = Cb X •
y
10
8
(a) Demuestre que el error relativo en f(x) debido a un error relativo en la entrada de tamaño L1x es
f(x +
~x)
f(x +
- f(x)
~x)
~x
f(x)
- f(x)
. f(x)
(x +
~x)
x
- x
(b) Tomando límites de la expresión anterior, justifique por qué uno
podría decir que si Pi = error relativo en f(x) y Px = error relativo en x entonces
Pi ;:::; x .
.d d
L a cantl a
X·
d ln(¡(x))
dx
. Px
Hasta ahora, nuestra experiencia al graficar se restringe al uso de coordenadas espaciadas de manera estándar (linealmente). Cuando se trabaja con funciones exponenciales y logarítmicas puede ser más instructivo utilizar escalas logarítmicas o log-log. En los problemas 11 y 12
exploramos estas técnicas.
[§Q 11. En un solo conjunto de ejes, utilice su calculadora para dibujar las gráficas de y = 2X, Y = Y YY = 4x en el intervalo O < x < 4.
Haga lo mismo con las funciones inversas y = 10g2 x, y = 10g3 X Y
Y = 10g4 x. Si utilizamos un programa de cómputo para graficar que
permita el uso de ejes semilogarítmicos (una escala logarítmica en el
eje y y una escala normal en el eje x) para graficar las funciones
y = 2X, Y = 3X y y = 4X en la región -5 < x < 5 (véase la figura 1) obtenemos tres rectas.
(a) Identifique cada una de las curvas de la figura 1.
y
100
10
0.1
0.01
Figura 1
-2
0.4
0.6
x
0.8
Figura 2
12. Si utilizamos una escala logarítmica para el eje x así como para el
eje y (llamada gráfica log-log) y se hace la gráfica de varias funciones
potencia, también obtendremos rectas. Utilizando el resultado de que,
después de tomar logaritmos, y = cx r se transforma en log y = log
C + r log x, identifique las ecuaciones que se graficaron en la figura 3.
d In (¡(x )) d
.
,
d
d' .,
dx
se enomma numero e con lcwn
del cálculo.
(c) Encuentre el número de condición para calcular eX.
-4
0.2
·X
O
4
x
y
80
70
60
50
40
30
20
10
8
7
6
5
4
3
x
10
Figura 3
13. En 1895 una ecuación fue deducida por Korteweg y de Vries para una onda marina de amplitud finita que se mueve sin cambiar en
forma de canal. Tales ondas, denominadas solitones, desempeñan un
papel muy importante en propagación de señales en fibras ópticas. Si
usted se mueve con la onda, la forma satisface la ecuación diferencial
ordinaria no lineal T//(x) = T/(x) T//(x) + T/"'(x). Esta ecuación puede
integrarse una vez y después multiplicarse por T//(x) e integrarse nuevamente para obtener 3T/2 = T/3 + 3( T//f
(b) Verifique que la forma de la onda está dada por la función sech 2,
demostrando por sustitución que T/ = 3 sech2(x /2) satisface la ecuación.
[§Q (b) Haga una gráfica de la función T/ = 3 sech 2(x/2) para el dominio (-5,5) Yverifique que parece una onda marina.
PROYECTO DE
7.1
PROYECTO
DE TECNOLOGíA
TECNOLOGIA 7.1
Funciones especiales
1.I. Preparación
Preparación
Hernos
Hemos visto
visto varias
varias funciones
funciones que
que se
se
definen
definen por
por medio
medio de
de integrales.
integrales. El
El proprotecnología 5.2 nos mostró
mostró Ia
la
yecto de tecnologIa
función integral
integral seno
seno yy las integrales
de
integrales
Fresnel. En este
este capItulo
capítulo definimos
definimos el
una integral.
integral.
logaritmo natural como una
En muchas
muchas aplicaciones
aplicaciones tenemos
tenemos
una función
función continua
continua ff que no posee una
antiderivada
sea función
función elemenelemenantiderivada que sea
tal,
se necesita
necesita su
su antiderivada.
antiderivada.
tal, pero se
¿Cómo podemos
este cacai,Cómo
podemos proceder
proceder en este
so? El primer teorema fundamental del
cálculo
función F deficálculo nos
nos dice que la funciOn
nida por
fX
F(x) = ¡Xf(t) dt
(1)
es una antiderivada
antiderivada bien definida. Esto es
cierto exista o no una antiderivada elepara f.
f. El
El lImite
límite inferior
inferior aa se
se elimental para
compatible con
con Ia
la
ge como un valor fijo compatible
tradición histOrica
histórica particular
particularpara
paraLa
la aplitradición
cación específica.
caciOn
especIfica.
Ejercicio 11 Definimos
DefinimosLa
la función
función logaritmo natural como
Ix'1
I
x
lnx =
-dt
dt
Inx=J
t
(2)
1
Para Ia
la función logaritmo natural, identifique f,f, F yYaa como
como se
se utilizó
utilizó en la
tifique
ecuación (1).
Ejercicio
Ejercicio 2 Con base
base en
enLa
la ecuaciOn
ecuación
!!...- In xx yy lnIn 1.1.
(2), evalúe
evalue -a--In
Para función
función error,
error,identiidentiEjercicio 33 Para
como se
se utilizó
utilizó en
en Ia
la ecuaecuafique f,
f, FF yYaacomo
ción (1).
ciOn
Ejercicio
Utilice la
la ecuaciOn
ecuaClOn (3)
Ejercicio 4 Utilice
d
para evaluar dx- yy erf(0).
erf(O).
11.
Uso de Ia
la tecnología
II. Uso
tecnologIa
Ejercicio
Unafunción
funciónespecial
especial que
que
Ejercicio 55 Una
probabilidad es
es
aparece en probabilidad
P(x)
.¡X
fXé_12/2:dt
e- 2/2 dt
V21T Joo
y'2;
i
11
= --
Utilice su
la integral
su SAC para evaluar Ia
anterior. i,Cuál
¿Cuál es el resultado?
Si su
su sistema
sistema le
le da una resEjercicio 6 Si
puesta en
puesta
en términos
términos de
de Ia
la función error,
error, haga un cambio apropiado de variables paes correcta.
ra verificar que la respuesta es
función especial que
Ejercicio 71 Otra función
aparece en probabilidad es
LXt212
Q(x)
e- 2 2 dt
Q(x) = -1 + -1- ¡X
2
y'2;
V2 o
1
Esta función
dominio (-00,00),
función tiene dorninio
(oo, oo), y
x. Haga
Haga una gráfica
gráfica de
de Q(x)
Q(x) y de
de Q'(x).
Q'(x).
x.
Ejercicio 8 Estime los
los lImites
límites siguientes:
lIm erf(x)
lím
-*=
xx.....
oo
ción
abrevia erf,
erf,yyse
sedefideficiOn error,
error, que se abrevia
ne
como
necomo
x ..... oo
erf(x)
erf(x)
368
Px
(X
= V1i Jo/ e-?
e
dt
Jo
lim Q(x)
lím
lIm Q(x)
lím
" ..... -00
(3)
/
proporciona
area bajo
proporciona elel área
bajo la
la curva
curva
12 2
(1/V2)et2/2
yy = (1/v'21T)e/
ya
la izquierda de
y a Ia
dx
Otra función
función especial
especial Util
útil es
es la
la funfun-
2
1
mediante
mediante la
la evaluación
evaluación de
de erf(2),
erf(2), erf(3),
erf(5), erf(6),
erf(6), etc. Sugerencia: Las
erf(4), erf(5),
respuestas exactas son simples enteros.
111. Reflexión
por qué Q(x)
Ejercicio 99 Explique
Explique por
Q(x)
ejercicio 7 tiene una
una inindefinida en el ejercicio
da el
el valor de x que hace
versa. (Q-l(y)
(Q1(y) da
región bajo de
de la
que la region
Ia curva
(1/\i21T)e- N2,'2 a la izquierda de xx
y = (1/V2ir)e
área de
de y.)
y.)
tenga un area
Ejercicio 10
4Cuáles son el dominio
dorninio y el
el rango
rango de
(a) ¿Cuáles
Q-l(X)?
(b) Haga un bosquejo de Ia
la gráfica
gráfica de
Q-l(x).
Q°(x).
(c) Encuentre (Q-l)'(O).
(Q1)'(0).
Ejercicio 11
11 Defina
[
Lx
cost
G(x)
G(x) = {X cost 2dt
dt
t
J_ 1 ++ t2
Deduzca tantas
tantas propiedades
propiedadesconio
comopuepueda de esta
función.
(Por
ejemplo,
esta función. (Por ejemplo,su
sudederivada, G(0),
G(O), simetrIa,
simetría, el lIrnite
límite cuando
xx ~
- 00, existencia
existencia de una inversa, etcétera.)
La biblia
biblia para
para funciones
funciones especiales
especiales
es Handbook
Handbook ofofMathematical
MathematicalFuncFunctions with
with Formulas, Graphs,
Graphs, and
andMathMathematical
editado por Milton
ematical Tables,
Tables, editado
Milton
Abramowitz ee Irene
Irene A. Stegun.
Abramowitz
Stegun. Este
gran libro tiene más de 20 capítulos
capftulos que
analizan las funciones especiales comunes en aplicaciones
aplicaciones cientIficas,
científicas, muchas
cuales están
están definidas por medio de
de las cuales
integrales. Aparece
Aparece citada un vasto
integrales.
vasto nünúmero de veces en la literatura cientIfica
científica
y usted podrIa
podría considerar
considerar comprar su
copia de la ediciOn
edición en rüstica.
rústica.
7.2
PROYECTO DE
DE TECNOLOGíA
TECNOLOGIA 7.2
PROYECTO
Creamiento poblacional
Crecimiento
poblacional yy minimos
mínimos cuadrados
cuadrados
e intersección
I. Preparación
1.
Preparación
Una poblaciOn
que crece
crece de manera
manera exponencial
exponencial satisface
satisface
población que
P == Poekt,
P~', donde P0
Po es el tamaño de
de Ia
la población
población en
en el
el insinstante t =
= 0OY
y k es
logaes Ia
la tasa de
de crecimiento.
crecimiento. Si tomamos el
ellogaritmo de ambos lados, obtenemos
lnP
In P == lnP0
In Po + kt
kt
significa que
In P contra t es una recta
Esto significa
que la
Iagráfica
graficade
deyy == In
con pendiente k ee intersección
intersección con el eje vertical
vertical In P0.
Po. Este
hecho puede utilizarse para aproximar
aproximar ci
el crecimiento
crecimiento constanIc
te k yy el
el tamafio
tamañoinicial
inicialde
deLa
la poblaciOn
población P0.
Po.
Ejercicio 11 La tabla siguiente muestra un
un tamaflo
tamaño de
de poblapoblación
1,2,3,4.
para calcular
calcular el
ciOnpara
paratt = 1,2,
3,4. Utilice una calculadora para
logantmo natural
logaritmo
natural (con
(con dos
dos decirnales)
decimales) de cada tamaño de popopuntos (t.
(t, In P).
blación y llene
Ilene la
Ia tabla.
tabla. Después
Después grafique los puntos
tt
P
1
2
3
4
75
141
141
264
523
y=InP
y=
InP
Ejercicio 22 Considere
Considere los
los datos
datos del
del ejercicio
ejercicio 1.
1.
(a) Haga un bosquejo de la
Ia recta
recta que parece ajustarse mejor
a estos cuatro puntos.
(b) Aproxime Ia
la pendiente yy Ia
la intersección con ci
el eje
eje vertivertical.
(c) Utilice su
su aproximación
aproximación de
de la
Iaparte
parte (b)
(b) para
para determinar
determinar P
términos de
en términos
del.t.
(d) Utilice su respuesta de (c) para predecir
predecir el tamaflo
tamaño de la
Ia poblaci6n para
= 5.
5.
blación
para tt =
II. Uso de la
11.
Ia tecnología
tecnologIa
Ejerciclo 3 En Ia
Ejercicio
la secci6n
la recta de ml0lÍsección 4.4
4.4 establecimos
establecimos que Ia
nimos cuadrados de los puntos (x¡,
(x,, y¡)
y.) tiene
tiene pendiente
b=
b=
n
~X¡y¡
I
()(
(n )2
1 ("
- -;;
~X¡ )("
~y¡ )
n - -1 ~x¡
fl
n \7j
~X¡
i=l
¡=1
1
a
n
b
H
n
= - ~ Yi
i=l
-
-
n
nH
~ Xi
i=l
Utilice estos resultados para determinar Ia
la recta de
de mInimínimos cuadrados para
para los
los datos
datos del
del ejercicio
ejercicio 1,
1, y grafique Ia
la recmínimos cuadrados
cuadrados en
en elel diagrama
diagramade
dedispersiOn.
dispersión.
ta de mInimos
Utilice
su recta de mInimos
cuadrados para
para expresar
expresar a P
Utilice su
mínimos cuadrados
como una funciOn
función de t y prediga
de Ia
la pobIación
población
prediga el tamaño de
= 5.5.
para el
ci instante
instante tt =
Ejercicio
Ejercicio44 La
Latabla
tablasiguiente
siguiente muestra
muestra ci
el tamaflo
tamaño de Ia
la popo(en millones).
millones), de
de Estados
EstadosUnidos
Unidosde
de1790
1790aa1990.
1990.
blación, P (en
Año
tt
P
P
1790
1800
1810
1820
1830
1830
1840
1850
1860
1870
1880
1890
11
2
33
4
55
6
7
88
99
10
10
3.9
5.3
7.2
9.6
12.8
17.1
23.2
31.4
39.8
50.2
62.9
11
11
yY ==InInP
P
Aho
Año
tt
P
P
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
12
13
13
14
14
15
16
17
17
18
19
19
20
20
21
76.0
92.0
106
123
132
151
179
203
226
249
yy=
= InInP
P
Calcule yy == inIn PPyy grafique
grafique las
las parejas ordenadas
ordenadas (t, y). Encuentre
la recta de
de mInimos
mínimos cuadrados
cuadrados yy grafIquela
grafíquela en
en el
el diadiaduentre Ia
grama de dispersion.
dispersión. Utilice su recta
recta de
de regresiOn
regresión lineal para
como una
unafunciOn
función de t y utilice
expresar aa PP como
utilice esta relación pael tamaño de la población de Estados Unidos para
ra predecir ci
ci año
el
año 2010.
2010.
III.
11I. Reflexión
Reflexión
Ejercicio 5 Para los datos de
Ejercicio
de Ia
la poblaciOn
población de
de Estados Unidos, haga
haga una
una gráfica
gráfica de
de dispersión
dispersion de (t, P)
P) y,
y, en La
la misma
misma venyentana de graficación,
graficaci6n, grafique La
la curva
curva que
que predice
predice el
ci tamaño
poblaciOnPP como
como una funciOn
de La
la población
funci6n de t. Analice qué tan hien
bien
el modelo se ajusta a los datos, en especial para años recientes.
recientes.
dispersion de (t, y) sugiere
Ejercicio 6 El diagrama de dispersión
sugiere que
queLa
la
pendiente cambiO
cambió al
al inicio
inicio del
del siglo
sigloxx.
xx.Utilice
Utiice este diagrama
de dispersion
dispersión para estimar
estimar cuándo
cuándo ocurriO
ocurrió este camhio.
cambio. Despues utilice
utilice los
los datos
datos aa partir
partir de ese punto para predecir el tapués
maflo de la
Ia población
poblaciOnde
de Estados
Estados Unidos para el
maño
el año
año 2010.
2010.
Compare su respuesta con Ia
la respuesta dci
del ejercicio 4.
4.
369
El cálculo: aa er...
El
.-."
ohann Bernoulli es,
es, quizá, el
el más
más
J
entera de
de
famoso de una familia entera
Por lo
lo
matemáticos. Por
productivos matemáticos.
Johann
menos ocho
menos
ocho matemáticos prominentes
Johann
XVIII tenían
apellido suizo
suizo
del siglo XVIII
terilan el apellido
Bernoulli
1667·1748
1667-1 748
se dice que todavIa
todavía hay
hay
de Bernoulli yy se
matemáticos
matemáticos activos
activos de
de ese
ese linaje.
linaje. Sin
Sin
embargo, tanto talento
talento matemático
matemático
embargo,
familia puede
puede no
no ser
ser una
una
en una farnilia
bendición completa,
completa, como
como veremos.
veremos.
Johann yy su
su hermano
hermanoJacques
Jacques
después de
fueron, después
de Newton yy de
más importantes
padres
Leibniz,
Leibniz, los más
importantes padres
Los dos
dos
fundadores del
del cálculo.
cálculo. Los
fundadores
hermanos compitieron con
a
hermanos
con vigor,
vigor, yya
menudo amargamente, por
por el
el
reconocimiento, aunque continuaron
reconocimiento,
con su
su correspondencia entre
con
entreSi
sí yy con
con
....yhoyendia
y hoy en día
Leibniz en
en relaciOn
relación con
con las
las
Los
Los programas
programas de
de software
software como
Mathematica, Derive,
Derive, Maple y
Theorist pueden crear hermosas
hermosas
figuras de objetos
objetos matemáticos.
matemáticos.
También
realizar muchos
muchos
También pueden realizar
tipos de cálculos
cálculos incluyendo
integración
integraciOn simbólica.
matemáticas. Johann reclamaria
reclamaría
resultados que hablan
habían sido
sido descubiertos
descubiertos por
por Jacques
Jacques (o por otros)
otros) yy
Jacqueslele pagaría
pagarla con
con la
Ia misma
misma moneda.
moneda. Los
Los intentos
intentos de Leibniz para
Jacques
sirvieron para enredarlo en
en los
los argumentos.
argumentos.
mediar entre
entre ellos
ellos sOlo
sólo sirvieron
Hasta
Daniel, el
el hijo de Johann,
Johann, quedó
quedO envuelto
envuelto en
en el
el conflicto
conflicto y fue
Hasta Daniel,
obligado aa dejar
un premio por el que
el hogar
hogar cuando
cuando ganO
ganó un
que su
su padre
dejar el
competia.
un récord
record infeliz para una familia tan
Fue un
tan
competía. Fue
Q Decl&re.t~on3
o { .... (~ ...~.J~
verdaderamente notable.
of·,,(~.;Jld,l •
o
o
f·.. (il.~jd
...
f·.. <!·12~
o
•
o
o f'(l".-'IJ'
, .
Los Bernoulli
Bernoulli abordaron toda
Los
toda clase
clase de problemas
••3"J."4)4...
e f·.-.-(~ ..JrdZ
f"<lo i2.P • ..a.,J.64..-)d...
básicosdel
del cálculo,
cálculo, incluyendo
incluyendo puntos de inflexiOn,
básicos
inflexión,
o
_/",'",'''',32'''
.o(!l53.'Je119140ZJI9J4
longitud de
infinitas yy técnicas
longitud
de curvas,
curvas, series
series infinitas
técnicas de
*V
*'
[- .fl*)*
integraciOn. Johann
Johannescribió
escribióelelprimer
primer libro
libro de
de texto
texto de
integración.
cálculo entre 1691
1692,pero
pero laa parte relativa
1691 yy 1692,
relativa aa cálculo
cálculo
cálculo
integral no
Ia de
de cálculo
cálculo
integral
no se
se publicO
publicó sino hasta 1742
1742 y la
diferencial hasta
el contrario, Guillaume
diferencial
hasta 1924.
1924. Por el
GuillaumeF.
F. A. de
de
l'Hopital, discipulo
publicOelel primer
primer texto
texto de
de
I'Hópital,
discípulo de Johann,
Johann, publicó
cálculo en
en 1696.
1696. Fue
Fueuna
unaforma
forma un
un poco
poco alterada del
cálculo
trabajo de
de su
su maestro. Quizála
Quizá la influencia
influenciade
deJohann
Johann se
se
manifiesta mejor
mejor en
en otro
otroyymás
másfamoso
famosode
desus
sus discIpulos,
discípulos,
Leonhard Euler.
Euler.
LJ
I
I
I
Técn icas
de integraciOn
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
Integración por sustituciOn
Algunas integrales trigonométricas
Sustituciones para racionalizar
Integración por partes
IntegraciOn de funciones racionales
RevisiOn del capItulo
Proyecto de tecnologIa 8.1
Integración por medlo
medio de un sistema de
algebra computacional
IogIstica
Proyecto de tecnologIa 8.2 La ecuación diferencial logIstica
8.1
Ahora, nuestro repertorio de funciones incluye a todas las funciones elementales. Estas
Integración por
IntegraciOn
son las funciones constantes, las funciones potencias, las funciones logarItmica y
exponencial, las funciones trigonométricas y trigonométricas inversas y todas las
S U St itu
itu ciO
ci on
n
funciones obtenidas a partir
partir de
de ellas
ellas por
por medio
medio de
de suma,
suma,resta,
resta,rnultiplicaciOn,
rnultiplicaciOn,divisiOn
division
y composiciOn. AsI,
f(x)=
g(x)
ex + e_x
2
= coshx
1/2
(1 ++ cos4x)
cosx)12
3x2-2x
h(x) =
in(x2
ln(x2 + 1)
sen[cos (cosh x)]
sen[cos(coshx)]
son funciones elementales.
La derivación
derivaciOnde
deuna
unafunción
funciOnelemental
elementalesesdirecta,
directa,solo
sOlo
requiere
requiere
dede
Unun1150
uso
sistemático de las reglas que hemos aprendido. Y el resultado siempre es una funciOn
elemental. La integraciOn
integración (antiderivación)
(antiderivaciOn)es
esun
unasunto
asuntomuy
muy diferente.
diferente. Implica
Implica unas
unas
cuantas técnicas y una gran cantidad de trucos; y lo que es peor, no siempre se obtiene
una funciOn
función elemental.
elemental. Por
Por ejemplo,
ejemplo, se sabe que las antiderivadas de e_X
e_x yy (sen
(sen x)Ix
x)Ix
no son funciones elementales.
Las dos técnicas principales
principales para
para integraciOn
integración son sustitución (secciones 8.1 a 8.3)
8.3) yy
la integración por partes (sección
(secciOn8.4).
8.4).El
Elmétodo
métodode
desustituciOn
sustituciOnse
seintrodujo
introdujoen
enlas
las
revisamos
secciones 5.1 y 5.8; lo hemos utilizado en ocasiones en los anteriores. AquI, revisarnos
el método y lo aplicamos en una amplia variedad de situaciones.
371
372CAP1TULO
372
CAP1TULO 8
8
Técnicas de
de integraciOn
integraciOn
Por ültimo,
ültimo, en
en la
la secciOn
sección 8.5,
8.5, analizamos el problema
problema de
de la
la integraciOn
integración de una
función racional,
Aprenderemos
funciOn
racional, esto
esto es,
es, un
un cociente
cociente de dos funciones polinomiales. Aprenderemos
que, en teorIa, siempre podemos realizar tal integración
integraciOnyyque
queelelresultado
resultadoserá
seráuna
una
función elemental.
funciOn
elemental.
Formas estándar
El uso
eficaz del método
uso eficaz
método de sustitución
sustituciOndepende
dependede
deLa
la pronta
pronta
disponibilidad de una lista de integrales conocidas. Una de tales listas (pero demasiado
grande para memorizarla) aparece
aparece dentro
dentro de
de Las
las guardas
guardas de
de este
este libro. La lista más
breve que se muestra a continuaciOn
continuación es tan ütil
Utilque
quepensamos
pensamos que
que todo
todo estudiante
estudiante de
de
cálculo debe memorizarla.
memorizarla.
Formas integrales estándar
Constantes, Potencias
1.
I k du =
fk
ku + C
J
I
2.
J
r
r-1
+
+C
r=-1
r=1
lnu+C
aU
au
au du =
II au
ma
J
fsen u du = cos u + C
6.
fcos
/cos u du =
sen u + C
fsec2udu
fsec2u
du
8.
fcsc2udu
/csc2u du
cotu + C
3.
II eu
e' du
du = eu
e'
J
Funciones trigonométricas
S.
5.
7.
j
+C
tanu + C
sec u tan u du = sec u +
+C
c
9.
ftanudu
du
11. ftanu
ii.
=
1ncosu + C
=
+ C, a
10.
/csc
csc u cot u du
12.
/cotudu
fcotu
du
f
1
13
13.
rr++ 1
du =
4.
Exponenciales
Funciones algebraicas
r+1
I r du
fur
=
=
1, a > 0
csc u + C
1nsenu + C
du
du
1
+C
=sen
sen
14.
+C
--tan1I
- +C
a
/
V2
J
- u2 =
a2+u2a tan' I\\aJ
(u\ + C ==1cos1l
I du
(a\I + C
/I
= 1asec1t
sec'I\aJ
cos'I
\a)
a
I
I
u\/ua
senh u du = cosh u + C
cosh u du = senh u + C
17.
SustituciOn en integrales indefinidas Supóngase
SupOngase que
que se enfrenta a una
integración
integraciOnindefinida.
indefinida.Si
Sies
esuna
unaforma
formaestándar,
estándar,basta
bastacon
conescribir
escribirIa
la respuesta.
respuesta. Si
Si no,
no,
büsquese una
bUsquese
una sustituciOn
sustitución que
queLa
la cambie a una forma estándar.
estándar. Si
Si La
la primera
primera sustituciOn
sustitución
que intente no
no funciona,
funciona, intente
intentecon
conotra.
otra.Tener
Tenerhabilidad
habilidadenenesto,
esto,aL
al igual
igualque
queen
enLa
la
mayorIa de Las
las actividades
actividades que
que valen la
Ia pena, dependen de La
la práctica.
práctica.
El método
EL
métodode
desustituciOn
sustitución se
se dio
dio en
en el
el Teorema
Teorema5.8A
S.8AyysesevueLve
vuelve aa establecer
estableceraqul
aquf
para una fácil referencia.
Teorema A SustituciOn en integralrcS in
1n
Jea g una fur ic:ion
iOn &
"U
U
2(r),
ab1e y supOm
able
supomgase que F S UI .a antiderivada de f. Entonce
El
I
Ix
lx
j cos(x)
ff( (x))g'1r;
ff(
(x))g'(;
EJEMPLO 11
Encuentre
fin CS
=
I
2
2
u)du =
I,
(u) +
= F(g(x)) + C
dx.
Solución Analice esta
esta integral por
por unos
unos momentos.
momentos. Como
Como 1/cos2 x = sec2 x, puede
recordarse de La
la forma
formaestándar
estándar fsec2
fsec2 uu du.
du. Sea
Sea uu = x2,
x2, du = 2xdx. Entonces
SECCION 8.1
I
x
dx
=2
Jcos2(x2)
Solución
I \/59x
dx.
J
Sea u = 3x, por lo que du = 3 dx. Entonces,
Considere / v'
1
.
tan2(x2) + C
2
Encuentre
3
IVs9x dx=I
U2
du=sen
U
5
/ 3x \
.
= sen1,,7_) + c
1
EJEMPLO 3
Encuentre /
6e1
Solución
dx.
x2
J
Considere feu du. Sea u = 1/x, por lo que du = (_1/x2) dx. Entonces,
f6'x2
1
dx = _6f e1/x(2 dx) = _6feudu
= _6eu + C =
EJEMPLO 4
Solución
373
2x dx = f sec2u du
1 cos2(x2)
_1- tan u + C =
EJEMPLO 2
IntegraciOn por sustituciOn
Encuentre
Considere
f
J 4 + 9e2
e
1
I a +u2
2
+C
dx.
du. Sea u = 3ex, por lo que du = 3ex dx. Entonces,
ex
dx = f
f
J 4+9e2x
1
1
(3ex dx)
=314
-__)+C
=tan-1/u) +C=tan 1/3ex\
+ u2
3
1
1
1
.
Ninguna ley dice que usted tiene que escribir de manera explIcita la sustitución de
u. Si usted puede hacerlo mentalmente, está bien. He aquI dos ilustraciones.
EJEMPLO 5
Solución
fx3Vx4 + 11 dx.
Encuentre
Mentalmente, sustituya u = x4 +
fx3Vx4 + 11 dx =
11.
f(x4 + 11)'2(4x dx)
14+ii)32+c
=(x
1
EJEMPLO 6
Solución
Encuentre I
a"
J cos2 t
.
dt.
Mentalmente, sustituya u = tan t.
I
atant
cos2t
dt=
/atant(sec2 t dt)
atant
-
.
374
Técnicas de integración
CAPiTULO 8
ManipulaciOn del integrando Antes de que haga una sustitución, debe encontrar Util volver a escribir el integrando de una forma más conveniente. Las integrales
con expresiones cuadráticas en el denominador, con frecuencia pueden reducirse a
formas estándar completando el cuadrado. Recuérdese que x2 + bx se convierte en un
cuadrado perfecto por medio de Ia suma de (b/2)2.
EJEMPLO 7
Encuentre /
2
x + 25
dx
Soluciôn
dx=
Ix2 - x + 25
7
/ x2 - 6x + 9 + 16
=7!1
1
j (x-3)+4
=
3)
tan_i(x
dx
dx
+c
Mentalmente hicimos Ia sustitución u = x - 3 en el Ultimo paso.
Cuando el integrando es el cociente de dos polinomios (es decir, una función
racional) y el numerador es de grado igual o mayor que el denominador, siempre
primero divida el denominador entre el numerador.
EJEMPLO 8
fx2
Encuentre I
I
x-2
dx.
Solución Por medio de Ia division larga (véase Ia figura 1),
-x
x+1
x
x+1
x2x
x2 + x
2
x+1
- 2x
- 2x - 2
x+1
De aquI que,
x+1 dx= I(x-2)dx+21Jx+1
I x2x
2
1
Figura 1
1
1
J
dx
=-2x+2Ij x+idx
1
x2
2
2x+21nx+fl+C
Sustitución en integrales definidas Este tema se cubrió en Ia sección 5.8. Es
igual a! de Ia sustitución en integrales indefinidas, pero debemos recordar hacer el cambio apropiado en los lImites de integración.
EJEMPLO 9
EvalUe
/t\/t2 - 4 dt.
Solución Sea u = t2 - 4, con lo que du = 2t dt; obsérvese que cuando t = 2, u = 0,
y cuando t = 5, u = 21. AsI,
/5tVt2 - 4 dt =
L:t2 - 4)'2(2t dt)
u'2du
r1
= [3- u
1211
- -3 (21)3/2
32.08
.
Integración por sustitución 375
SECCION 8.1
Uso de tablas de integrales Nuestra primera lista de formas estándar es muy
corta (17 formulas); Ia lista en cubierta final de este libro es más larga (113 formulas)
y potencialmente más Util. Obsérvese que las integrales listadas allI están agrupadas
de acuerdo a tipos. Ilustramos el uso de esta lista.
EJEMPLO 10
Encuentre
f
r/2
V6x - x2 dx y f (cos x)V6 sen x - sen2 x dx.
Soluciôn Utilizamos Ia formula 102 con a = 3.
fV6x - x2dx
V6x - x2 +
2
3)
sen_1(x
+
En Ia segunda integral, sea u = sen x, de modo que du = cos x dx. Entonces aplicamos
de nueva cuenta Ia formula 102.
r/2
cos x\/6 sen x - sen2 x dx
L
=L V6u - u2du
u2+sen1
2
_[u_32 V6u
u
(
= - v'+9sen _"2
9
)
\3j 2sen'(l)
(
2
.
1.55
Tablas de integrales mucho más extensas se pueden encontrar en Ia mayorIa de las
bibliotecas. Una de las mejor conocidas es Standard Mathematical Tables, publicada por
Ia Chemical Rubber Company.
Revision de conceptos
1. La sustitución u = 1 + x3 transforma f3x2(1 + x3)5 dx
[r/2
3. La
sustitución
u
1 + sen x
transforma
Jo
(1 + senx)3cosxdxen
en
2. La sustituciOn u =
enfl/(4
transforma
fex/(4
+ e2x) dx
4.
+ u2)du.
Para evaluar la integral
fl/(x2 + 2x + 2)dx, nosotros
en el denominador.
Conjunto de problemas 8.1
En los problemas deli al 54, realice las integraciones indicadas.
(x-2)5dx
1.1
2.
2
3. f x(x + i) dx
5.
[
I
fV3xdx
j xVi ex
x2+4
fdx
x
x2 +
4.
6. 12+
dx
8.
9.
f
2t2
2t2 + 1
fZv
+ z2 dz
I tanz
dz
J CO5Z
2
x2 dx
sen
dx
dt
13. f
15.
Jo
dt
cosx
dx
1 + sen2x
10. f
V2t + 1
dt
12. fecosz sen z dz
14.
2x dx
f Vi - x4
[3/4 senVi
16
Jo
-
\/1 - x
dx
376
CAPITULO
17.
3x2 +
Jr
1
19.
2xf
Técnicas de integraciOn
8
x+1
dx
sen(1n4x2)
I
J
18.
dx
x
21.
J16ex
Viex dx
23
Jf Viex dx
20.
f
x3 + 7x
x-1
f
dx
sec2(lnx)
2x
dt
M.
-9
t V'2t
I
tan
J \/sec2 x - 4
dx
En los problemas de155 al 66, utilice la tabla de integrales de laspáginas finales del libro, quizá combinadas con una sustitución, para realzar las integraciones que se indican.
dx
x
22
fx4+4 dx
ss. f xV3x + 2 dx
24
fx+4 dx
J 9-16x2
3e2x
f
dx
56.
f2tV3 - 4t dt
58.
I
dx
5x2-11
/6
f1t 312
25.
27
29.
f
dt
26
senx - cosx
sen x
dx
28.
fex sec ex dx
f
-t-1
t2 cos(t3 - 2)
dt
sen (t - 2)
3
cos2(t3 - 2)
/t2sen (t - 2)
3
2
1
61.
63.
dt
dt
34.
dx
I
dt
J Vt2 + 2t
-
V16 -
dt
62.
ft2v3 + 5t2 dt
64.
f
Vx +2x-3 dx
x+1
sentcost
\/3 sent + 5 dt
senx
/
dx
66. f cosxV5
- 4cosx
fl + cos 2x
sen2 2x
dx
Encuentre La longitud de La curva y = in (cos x) entre x = 0
yx =
csc2 2t
36.
38.
1+4t2
60. f
J \/5 + 3x2
65. 1
(6t - 1)sen\/3t2 - t -1
2
sen(4t - 1)
dt
1 - sen2(4t - 1)
fx2V9 - 2x2dx
dx
secx
V3t2
f
59.
30. fex sec2(ex) dx
1 sec3x + eSe
J
sen x dx
L
dt
Vi + cot 2t
EstabLezca La identidad
secx=
f(t + 1)e_12_21_5 dt
senx
cosx
+
cosx
1 + senx
y después utiLIceLa para deducir La fOrmula
39Ifdt
\/16
- 9y4
41.
dy
fx2 senh x3 dx
40.
fcosh3xdx
42.
J V9-4x
fe3' dt
J V - e6'
45. I
Jo
sen x
16 + cos2x
f1
J x2 + 2x + 5
1
fsecxdx = Lnjsecx + tanx + C
2r xsenx
dx
EvaLüe L
dt
I 2tV4t - 1
dx
dx
fdx
J 9x2 + 18x + 10
rl e2x - e_2x
46.
I
Jo e2x + e2x
x2
simetrIa.
Sea R La region acotada por y = sen x y y = cos x entre
x = -i-I4 y x = 3i-I4. Encuentre eL voLumen del sOLido obtenido
cuando se hace girar R aLrededor de x = -in 4. Sugerencia: UtiLice
dx
1
48. 1
dx. Sugerencia: Haga La sustitución
1 + cos2 x
u = x - ir en La integral definida y después utiLice propiedades de La
4x + 9
cascarones ciLIndricos para escribir una soLa integral, haga La sustitución u = x - iI4 y apLique propiedades de La simetrIa.
dx
dx
50 f \/16 + 6x - x2
Respuestas a la revision de conceptos:
1.
[2
x+1
51
dx
J 9x2 + 18x + 10
f
52.
3-x
f V16 + 6x - x2
dx
3
J
U3 du
4 compLetarIamos eL cuadrado
fu5 du
2. ex
SECOON 8.2
8.2
Algunas integrales
trigonométricas
Algunas integrales trigonométricas 377
Cuando hemos combinado el método de sustitución con un uso adecuado de identidades trigonométricas, podemos integrar una gran variedad de formas trigonométricas.
Consideremos tres tipos encontrados comUnmente.
fsennx dx y f cosnx dx
fsenmxcosnx dx
[sen mx cos nx dx, fsen mx sen nx dx, fcos mx cos nx dx
Identidades Utiles
Tipo 1 (fsen x dx, fcos' x dx) Primero considere el caso en donde n es un en-
Algunas identidades trigonométricas
que se necesitan en esta secciOn son
tero positivo. Después factorice el factor sen x o cos x, utilice la identidad sen2 x + cos2
las siguientes.
x = 1.
EJEMPLO 1
Identidades pitagóricas
sen2x + cos2x = 1
1 + tan2x = sec2x
n Impar Encuentre /sen5 x dx.
Soluciôn
1 + cot2x = csc2x
fsen5xdx = fsen4xsenxdx
Identidades del ángulo medio
sen x =
cos x =
1 - cos2x
2
1 + cos2x
2
- cos2x)2senxdx
=
[(1
=
f(i - 2cos2x + cos4x)senxdx
= - [(1 - 2cos2x + cos4x)(senxdx)
= cos x + cos3 x - cos5 x + C
.
EJEMPLO 2
n Par Encuentre /sen2x dx y /cos4x dx.
Solución AquI hemos utilizado las identidades del ángulo medio.
f sen x dx
=
f
2
dx
fdx - f(cos2x)(2dx)
=
=
1 - cos 2x
1
x-
1
sen 2x + C
[(1 + cos2x'\2
1
dx
/cosxdx=
2
I
)
=
f(i + 2 cos 2x + cos2 2x) dx
=
/x +
=
fx+ fcos2x(2dx)
/(cos2x)(2)dx +
=x+sen2x+
+ 32
sen4x+C
[(1 + cos4x)dx
fcos4x(4dx)
.
378 CAPiTULO 8
Técnicas de integración
Tipo 2
Son diferentes?
Las integraciones indefinidas pueden
lievar a respuestas que parecen
diferentes. Por un método
fsen x cos x dx
(f senmxcosnx dx)
Simon es un entero impar positivo ye! otro exponente es cualquier nümero, factorizamos sen x o cos x y utilizamos Ia identidad sen2
x + cos2x = 1.
EJEMPLO 3
m o n Impar Encuentre f sen3 x cos4 x dx.
=
_fcosx(senx)dx
=
cos2x + C
Soluciôn
[sen3xcos_4xdx = [(1 - cos2x)(cos4x)(senx)dx
Por un segundo método
=
fsenxcosxdx = fsenx(cosx)dx
= sen2 x + C
- / (cosx - cos4x)(senx dx)
(cosx)3
1
3
Pero las dos respuestas deben diferir
por a lo más una constante. Sin
embargo, obsérvese que
1
+C
1
= sec3x - secx + C
U
- cos2x) + C
sen2x + C =
=
(cosx)'
cos2x + (
+ C)
Ahora reconcilie estas respuestas con
una tercer respuesta.
fsen x cos x dx =
fsen 2x dx
= cos2x + C
Si ambos m y n son enteros pares positivos utilizamos las identidades para e! ángu!o
medio, a fin de reducir el grado de! integrando. El ejemplo 4 proporciona una ilustraciOn.
EJEMPLO 4
m y n pares Encuentre
/sen2 x cos4 x dx.
Soluciôn
fsen2 x cos4 x dx
f(l
cos2x\(1 + cos2x'2
)
=
=
2
)dx
f(i + cos2x - cos22x - cos32x)dx
/
[
+ cos 2x -
(1 + cos 4x) - (1 - sen2 2x) cos 2x] dx
cos 4x + sen2 2x cos 2x] dx
=f[ -
=[fdx_fcos4x(4dx)+fsen22x(2cos2xdx)]
'x 1[1
8[2
1
sen4x+
1
sen 32x +C
Tipo 3 (f sen mx cos nx dx, f sen mx sen nx dx, f cos mx cos nx dx)
U
Las
integrales de este tipo aparecen en teorIa de corriente alterna, problemas de transferencia de calor y en muchas otras aplicaciones. Para manejar estas integra!es, utilizamos las
identidades del producto.
senmxcosnx =
[sen(m + n)x + sen(m - n)x]
senmxsennx = [cos(m + n)x - cos(m - n)x]
cosmxcosnx
[cos(m + n)x + cos(m - n)x]
Algunas integrales trigonométricas 379
SECCION 8.2
EJEMPLO 5
Soluciôn
Encuentre
fsen 2x cos 3x dx.
Aplique la identidad 1 del producto.
/[sen 5x + sen (x)] dx
fsen 2x cos 3x dx =
/sen 5x(5 dx)
= 10
=
EJEMPLO 6
Si m y
--/
sen x dx
.
1
1
- 10 COS 5x + - cos x + C
n son enteros positivos, demuestre que
[iT
sen mx sen nx dx =
sinm
Jo
sin=m
1T
Solución Aplique la identidad 2 del producto. Sim
n, entonces
/sen mx sen nx dx = - f[cos (m + n)x - cos (m - n)x] dx
=--
1
m+n
2
sen (m + n)x
1
mn
lIT
sen (m
n)x
I
=0
Sim =
f IT
/ sen mx sen nx dx
J 1T
lIT
= - f [cos 2mx - 1] dx
lIT
1[ 1
sen2mx- xI
=--I
2 [2m
JIT
1
=[-21T]='Jr
EJEMPLO 7
Si
m y n son enteros positivos, encuentre
1L
mi-rx
JL
L
sen
n'rrx
L
dx
Soluciôn Sean u = irx/L, du = iT dx/L. Si x = L, entonces u
entonces u = iT. Por lo que
1L
j sen
J-L
mirx
L
sen
nirx
L
ir, y si x =
L,
ciT
dx
L
= IrJIT
- I sen mu sen flu du
0
sinm
1T
sin=m
L
'Jr
Jo
tL
sinm
sin=m
AquI hemos utilizado el resultado del ejemplo 6.
Varias veces en este texto hemos sugerido que debe ver las cosas desde el punto
de vista algebraico y desde el punto de vista geométrico. Hasta el momento, esta
sección ha sido completamente algebraica, pero con integrales definidas como las de
los ejemplos 6 y 7, tenemos oportunidad de ver cosas geométricamente.
La figura 1 muestra las gráficas de y = sen (3x) sen (2x) y y = sen (3lTx/10) sen
(2iTx/10). Las gráficas sugieren que las areas por arriba y debajo del eje x son iguales,
Ilevando a Arriba - Abajo = 0. El ejemplo 7 confirma esto.
380 CAPITULO 8
Técnicas de integración
AY
-I -1
Figura 1
-r
r, y
figura 2 muestra las gráficas de y = sen 2x sen 2x = sen2 2x, -iiLa figura
10. Estas
Estas dos gráficas se
(2rx/l0), -10
(2rx/l0) sen (2'n-x/lO)
(2rx/10) = sen2 (2irx/10),
y = sen (2i-x/10)
yen iguales, salvo que la de
de la
la derecha
derecha se
se ha
ha estirado
estirado en
en el
elsentido
sentidohorizontal
horizontalpor
porun
un
factor 10/n-,
10/u-, ,entonces
entonces tiene sentido que el area aumentará por este mismo factor?
factor
10/ui- veces
veces
Esto harla
harIa que
que el
el area
area sombreada
sombreada en
en la
la figura
figurade
delaladerecha
derechafuese
fueseigual
igualaa10/nel area sombreada en la figura de la izquierda; esto es, el area de la derecha deberIa
ser (10/ui-)
(10/n-) .
= 10, que corresponde al resultado del ejemplo 7 con L = 10.
ser
y
= sem2.v
sen2.v
I
-10
I
I
-7.5
-5
-2.5
I'
2.5
I
I
5
7.5
= Sen
10
X
''I'
-10
I
-7.5
-5
-2.5
0
Figura 2
Revision de conceptos
Para calcular f cos2 x dx,
dx, primero
primero la
la escribimos
escribimos como
como
Para resolver
f
sen2x xcos3
cos3x xdx,
dx,primero
primerolalaescribimos
escribimos como
3. Para obtener
obtener f sen2
fcos3 x dx, primero la escribimos como
4. Para resolver
cos mx cos nx dx, donde m
n, utilizamos
Ia identidad trigonométrica
Conjunto de problemas 8.2
En los problemas del
deli1alat16,
16,realice
realicelas
lasintegraciones
integracionesque
que se
se indican.
indican.
1.
3.
5.
fsen2x dx
f
f
2.
2.
13.
fsen46x dx
dx
I
15.
15.fsen4
j sen4
fsen3xdx
sen3 x dx
cos5 0 dO
4.
x dx
fcos3xx
fcos3
6.
f
sen6 0 dO
(w
(w
dw
cos2 () dw
--)) cos --)
14.
16.
y cos 4y dy
fcosycos4y
fcos
I sen 3t sen t dt
fsen
J
Las integrales
dxpueden
puedenevaluarse
evaluarsefactorizando
factorizando
integrales de
de la
la forma
formaftannz
ftan' xxdx
la forma fcot x dx pueden evatan2 x = sec2 x - 1, e integrales de Ia
luarse factorizando cot2 x = csc2 x - 1. Utilice este método para
evaluar las integrales en
en los
los pro
problemas
blemas del 17 al 22.
7.
fsens4xcos24x dx
8.
f(sen32t)Vcos2t dt
9.
fcos33osen_23o
dO
fcos3 30 sen2 30 dO
10.
fsenul2
fsenu/22zcos32z
2z cos3 2z dz
19.
fsen43tcos43t
3t cos4 3t dt
fsen4
12.
fcos6osen2o
fcos6
0 sen2 0 dO
dO
21.
11.
fsen4ycos5y
fsen
4y cos Sy dy
f
f
ftan5()do
f
17. f tan4 x dx
18.
fcot4 x dx
tan3
tan3 xxdx
dx
20.
fcot3 2t dt
tan5 () dO
22.
f
17.
cot5 2t dt
Sustituciones para racionalizar 381
SECCION 8.3
Cuando n es par, las integrales de la forma
cos - cos
ftanni x sec" x dx puede
evaluarse factorizando sec2 x = 1 + tan2 x y aplicar el hecho de que
D tan x = sec2 x. Cuando m es impar, las integrales de esta forma
pueden evaluarsefactorizando tan x sec x y aplicar el hecho de que D
sec x = sec x tan x. Utilice este método para evaluar las integrales en
los problemas del 23 al 26.
cos
=
[1
[cosx + cosx +
3
2"1
+cos
2"
1
x
]
(Véase el problema 46 de la sección 2.3.)
Reconozca una suma de Riemann que lleve a una integral
definida.
24. ftan_3/2 x sec4 x dx
23. f tan3 x sec4 x dx
25.
ftan3xsec2xdx
26.
(c) Evalüe esta integral definida.
33. Utilice el resultado del problema 32 para obténer la famosa
formula de François Viète (1540-1603):
ftan3 x sec112 x dx
fiT
Encuentre
n; m, n enteros
cos mx cos nx dx, m
J
Determine j cos
JL
mrx
L
cos
nrx
L
dx, m
La region acotada por y = sen2(x2); y = 0 y x = Vir/2 se
hace girar con respecto al eje y. Encuentre el volumen del sólido resultante.
Y2+V2+
2
2
n, m, n enteros
La region acotada por y = x + sen x, y = 0, x = ir, se hace
girar airededor del eje x. Encuentre el volumen del sólido resultante.
31. Sea f(x) =
2+
2
34. La region sombreada (véase la figura 3) entre una arco de
y = sen x, 0 x i, y la recta y = k, 0 k 1, se hace girar alrededor de la recta y = k, generando un sólido. Determine k de modo que
S tenga
(b) volumen máximo
(a) volumen mInimo y
a,, sen (nx). Utilice el ejemplo 6 para den=
mostrar cada una de las siguientes proposiciones.
--fiTf(x)sen(mx)dx
{am
sim
N
sim > N
1
ff2(x)dx =
Nota: Las integrales de este tipo aparecen en un tema llamado series
de Fourier, que tiene aplicación en calor, cuerdas vibrantes, otros
Figura 3
fenómenos fIsicos.
32. Demuestre que
1. f[(i +
Respuestas a la revision de conceptos:
urn coscos-cos-j"cos-2
senx
2. f(i - sen2 x)cos x dx 3. fsen2 x(1
4. cosrnxcosnx = [cos(m + n)x +
n+oo
-
cos 2x)/2]
dx
sen2 x)cos x dx
cos(m -
n)x]
completando los pasos siguientes.
8.3
Sustituciones para
racionalizar
Radicales en un integrando siempre son probiemáticos y por lo comün tratamos de
librarnos de elios. qon frecuencia una sustituciOn apropiada racionaiizará el integrando.
Integrandos que incluyen C"ax + b Si v/ax + b aparece
sustitución u =
EJEMPLO 1
Soluciôn
en
una integral, la
/ax + b eiiminará el radical.
Encuentre
Sea u
1
=
dx
f
JxVi
\/,demodoqueu2
dx
2u
Jx \/Ju2_
=2
u
=
xy2udu = dx.Entonces
1
du=2 fu-1
du
in u-1+C=2in\/i--1+C
382 CAPiTULO 8
Técnicas de integración
Encuentre
EJEMPLO 2
- 4, por lo que u3 = x - 4 y 3u2du = dx. Entonces
Soluciôn Sea u =
- 4dx
=
=
Encuentre
EJEMPLO 3
Soluciôn
Sea u = (x +
/x(x
fx/x - 4 dx.
/(u3 + 4)u (3u2du)
3[+ u4]
+C
=
3/(u6 + 4u3)du
=(x
4)7/3
4)4/3
+ 3(x
+C
U
fx/(x + 1)2 dx.
1)1/5, de modo
+ 1)2/5 dx =
que u5 = x + 1 y 5u4 du = dx. Entonces,
/(u5 - 1)u2
5u4 du
5f(uhl - u6)du -
=
5
12
-u
5
7
+ C
=(x+1)l2/S_(x+1)7/5+C
V2 - x2,
Integrandos que incluyen
Va2 + x2 y \/x2 - a2
Para
racionalizar estas tres expresiones, podemos suponer que a es positiva y hacer las siguientes sustituciones trigonométricas.
Radical
SustituciOn
\/a - x2
x =
Va2 +
x
x2
\/xa
RestricciOn sobre t
asent
= atant
17-/2
t
iT/2
/2 < t < /2
Ot17-,tIT/2
x=asect
Ahora obsérvese las simplificaciones que realizan estas sustituciones.
\/a - x2 = \/a2
Va2 +
x2
a2 sen2
t = \/a2 cos2 t = a cos t = a cos t
= Va2 + a2tan2t = Va2sec2t = a sec t
\/x - a2 = \/a2sec2t - a2 = \/a2tan2t =
= a sect
a tan t = +atant
Las restricciones sobre t nos permitieron eliminar los signos de valor absoluto en los
primeros dos casos, pero también realizan algo más. Estas restricciones son exactamente las mismas que introdujimos en Ia sección 7.7 para hacer que fuesen invertibles
seno, tangente y secante. Esto significa que, en cada caso, podemos resolver las ecuaciones de las sustituciones para t y esto nos permitirá escribir nuestras respuestas
finales en los ejemplos siguientes en términos de x.
EJEMPLO 4
Encuentre
fVa2 - x2 dx.
Solución Hacemos Ia sustitución
x=asent,
Entonces, dx = a cos t dt y
\/a2 - x2 =
--tIT
a cos t. AsI,
IT
Sustituciones para racionalizar 383
SECCION 8.3
fVa
fVa
- x2
x2 dx
dx =
fa
/a cos t
a2/cos2 t dt
a2fcos2
a cos
costt dt
f11 + cos2t)dt
= a2
2
a2(
=It+--sen2t
+C
2\ 2
j
1
(t ++ sentcost) ++ C
=
sen tt es
es equivalente
equivaLente aa x/a
x/a ==sen
Ahora, x = aasen
sent ty,y,como
como tt estaba
estaba restringida
restringida a hacer invertibLe
Lafunción
función seno,
seno,
vertible aa la
rJxx
H
7
tt=sen
= sen'I,Ixxaj
-
\/a2 - x2
x = a sen t
Utilizando el
el triángulo
triángulo rectángulo
rectángulode
deLa
Ia figura 1 (corno
(corno Lo
lo hicimos
hicimos en La
Ia sección
sección 7.7),
vemos que
Figura 1
[sen_i (x) = \J1
cost == cos
cos[sen_i()1
y
x2
a2
=
ia Va 1
a
x2
Por Lo
lo que,
que,
J
7
I
A
±a
1
Va2
a2
_17x
1(x
x
- x2d x=sen
+
+ Va2_x2+C
Iaj
a;
2
U
x
El resultado
EL
resuLtadoen
en el
eLejemplo
ejempLo44nos
nospermite
permite calcular
caLcuLarIaLasiguiente
siguienteintegral
integral definida
definida que
representaeL
representa
el area
area de
de un
unsemicIrcuLo
semicIrculo(véase
(véaseLa
Ia figura
figura2).
2).AsI,
AsI,eLelcáLcuLo
cálculo confirma
confirma un reresuLtado que
que ya
ya conocIamos.
conocIarnos.
sultado
fa
r2
/ \
]a
la
2
ra2
a
(x\
11x
x
a 2E[
a2
11-1
a
a2
2
21
2
IIi Va2_x2dx=Isen_1
+_Va2_x21
V
\aj
\a) 2
L2
I-a
22 L2
2
L2
]_
2]
A=JaVa2_x2 dx=2
A=jaVa2_x2
Figura 2
+ a x I], =I+I=
=I--+--i
a xdx=i--sen
EJEMPLO 55
EJEMPLO
Solución
= 33 sec
sec t.
Encuentre
i
x
/I V9+x
33 tan
tant,t, ii-/2
/2 << tt <<r/2./2.Entonces
Entonces dx
Sea x
f dx
I V9+x
+
I
V9 + x2
x
3 sec2
sec2 tt dt
dt y
+ x2
3 sec2
dt = fsec
t dt
fsectdt
/jJ13sec2t
3 sec
3sect
t
=
P
i
lnsect
Lnsect++tant
tant ++ C
paso, Ia integración de sec t,t, fue resuelto
El Ultimo
ültimo paso,
resuelto en
en el
el probLema
problema 68 de Ia
la secciOn
sección 8.1.
8.1.
3
Ahora, tan
tan t = x/3,
triánguloen
enLa
Ia figura
figura 3,
3, con
x/3, qu,_jgIere
qu,jgere eleltriánguLo
con base
base en
en el
eL cual
cuaLconconcluimos
cluimosque
quesec
sect t==V9
V9 ++ x2/3.
x2/3. AsI,
x = 3 tan tt
Figura 3
I dx
I V9+x
V9+x
=Ln
=in
II
xx
V9+x2+x
3
+C
Y+
= in
Ln Y+ x2
x2 ++ x - 1n3 + C
= inV9
=
lnV9 + x2 + xx +K
EJEMPLO
EJEMPLO 6
CaLcuLe
Calcule
[4 Vx2
Vx
12
-2
-.2
-
2
Figura 4
-1
-0.5
0
0.5
1
2
x
-
U
dx.
Solución Sea
Sea xx== 22sec
sect, donde
t, donde
0 0t <</2.
ir/2.Observe
Observe que
que es
es aceptable
aceptable la
IarestricciOn
restricción
de t a este intervaLo,
intervalo, ya que
que xx está
estáen
eneL
el intervaLo
intervalo 22 -z
< x << 44(véase
(véase la
Lafigura
figura 4).
4). Eso es
importante ya
importante
yaque
quenos
nospermite
permiteeLiminar
eliminareL
ei signo de
de valor
valorabsoLuto
absoluto que normaLmente
normalmente
aparece
aparece cuando
cuandosimpLificamos
simplificamosV'x2
V'x2 - a2.
a2. En
En nuestro
nuestro caso,
384 CAPiTULO 8
Técnicas de integraciOn
4 = V4sec2t
Vx2
4 = V4tan2t = 2 tant = 2tant
Ahora utilizamos el teorema sobre Ia sustitución en una integral definida (que requiere cambiar los lImites de integracion) para escribir
Vx
x
- 4 dx =
=
/3
L
2tant
2 sect
2 sect tant dt
r/3
I
2tan2tdt = 2
(sec2t - 1)dt
= 2[tant - t]3 = 2V -
1.37
Completando cuadrados Cuando aparece una expresión cuadrática del tipo
x2 + Bx + C bajo un radial, completar el cuadrado Ia preparará para una sustitución
trigonométrica.
dx
2x
EJEMPLO 7 Encuentre
dx.
JfVx2+2x+26 J fVx2+2x+26
Soluciôn x2+2x+26=x2+2x+l+25=(x+l)2+25.Seanu=x+l
y du = dx. Entonces
f
I
f
dx
du
I V+s
Vx2+2x+26
Ahora, sea u = 5 tan t, 17-/2 < t <i-/2. Entonces du = 5 sec2 t dt y \/u2 + 25 =
V25(tan2 t + 1) = 5 sec t, asI
1
I
1 5sectdt
du
j
Vu + 25
5 sect
=
fsectdt
= lnsect + tant + C
= in
Vu2+25
5
U
+
+C
(por Fig. 5)
= inu2 + 25 + u - InS + C
=lnVx2+2x+26+x+1+K
5
u = 5 tan t
Para resolver Ia segunda integral, escribimos
Figura 5
2x
/ Vx2 +2x+26
dx
=
/
2x+2
dx Vx2 +2x+26
2f Vx2
2x+26
dx
La primera de las integrales de Ia derecha se resuelve por medio de Ia sustitución
u = x2 + 2x + 26; Ia segunda es Ia que se acaba de hacer. Obtenemos
2x
/ Vx2+2x+26
dx
= 2Vx2 + 2x + 26 2lnVx2 + 2x + 26 + x + 1 + K
SECCION 8.3
Sustituciones para racionalizar 385
Revision de conceptos
1. Para resolver
resolverfx\/x
fx\/x- -33dx,
dx,sesehace
hace
LalasustituciOn
sustitución
3. Para resolver
resolver una
una integral
integral que
que incluya
incluya \/4
\/4++x2,
x2,se
sehace
haceLa
la
sustitución x =
2. Para
que incluya
incluya \/4
\/4 --x2, sesehace
Para resolver una integral que
Ia
hace La
sustitución x =
una integral
integral que
que incluya
incluya \/x2
\/x2 --4,
4,se
sehace
haceLa
la
4. Para resolver una
sustitución x =
u=
Conjunto de problemas 8.3
En los problemas deli al 16, realice las integraciones que se indican.
1.
fx\/x
fxv'x + 1 dx
2.
fxYx +
fx/x
3.
I
4.
fx2+3x
fx2+3x dx
I
I
I
I V3t+4
V3t+4
[2
5.
tdt
I
di
ft(3t + 2)3/2
2)3/2dt
IV'4_x2
\/4 - xd
9 Jf
9.
I
dx
x
X
hI
8.
10.
1 (x2 +
f3
12.
4)3/2
1_3Vt2_1
Vt2 - 1
13. I
13. 1-2
-2
f
31. Encuentre
Encuentre f
I
t3
2z-3
I 2z-3
14.
x
dx por medio de
fx(1 - x)213dx
x)2/3dx
una sustitución trigonométrica. Después compare sus resultados.
I' x2dx
IJ Vi6-x
Vi6x
Sugerencia:
fcscx
Sugerencia:
f cscxdxdx==lncscx
lncscx--cotx
cotx ++ C.
I
dt
di
t2Vt2
12
2 t2Vt2
f3
r
di
dt
x2
la sustitución
La
sustitución uu == V'4
V'4 - x2 y
[3
dx
[
haciendo las sustituciones
u=V9+x2, u2=9+x2, 2udu=2xdx
v'i
6.fJo t+1
di
dt
./ii V+e
5.I2
7.
7.
Jo V9+x2
+ x2
J \/x+4
Vx+4
6.
x3
dx
x3dx
Jo
dx
[1
di
dt
[3
p3
30. Encuentre I
I
32. Dos
Dos cIrculos
cIrculos de
de radio
radio bb se
se intersectan
intersectan como
como se
se muestra
muestra en
en Ia
la
figura 6 con sus centros 2a unidades separados (0 < a b). EncuenEncuentre el area de la region en que se traslapan.
-1
t
dt
JI
f7T
-x-1
f ii-x-1
/
dx
Vx2 ++ 2
En los problemas del 17 al 26, utilice el método de completar el
15.
15.IIf Vi
Vi -
2
dz
16.
Jo
sustituciOntrigonométrica,
trigonométrica,sisies
esnecesaria,
necesaria,para
para
cuadrado, junto con una sustitución
evaluar cada integral.
dx
17I
3x
19I Vx2+2x+5 dx
21. fvs - 4x
4x - x2dx
x2+2x+5
dx
23I V4x_x2
25.
2x+1
dx
[
fjI x2
+ 2x + 2
x2+2x+2
18.
1
20.
1
dx
18.I
I x+4x+5
x2 + 4x + 5
2x-1
20.1
I
x2 + 4x + 5
x+4x+5
22.
dx
dx
I1V16+6x_x2
f
24. f V4x- x2 dx
2x-1 dx
26. 1
x2 - 6x + 18
JI x2-6x+18
24.
27. La region acotada por y = 1/(x2 ++ 2x
2x ++ 5),
5), yy == 0,
0, xx == 00 yy
x = 1, se hace girar airededor
alrededor del eje x. Encuentre el volumen del
Figura 6
33. Hipócrates de Quios (aproximadamente 430 a. de C.)
demostró que
dos regiones
regiones sombreadas en la figura
que Las
las dos
figura 77 tienen
tienen La
la
misma area (la cuadratura
cuadratura de
de La
la luna).
luna). Obsérvese
Obsérvese que
que C
C es el centro
del arco inferior
luna. Demuestre el resuLtado
de Hipócrates.
Hipócrates.
inferior de
de La
la luna.
resultado de
(a) por medio de calculo
cálculo y
sólido resultante.
28. La
La region
region del
del problema
problema 27
27 se
se hace
hace girar
girar alrededor
airededor del
del eje
eje y.
y.
Encuentre el volumen del sólido resultante.
29. Encuentre
x
[[ xxdx
I x2
x2++ 99
por medio de
una sustitución algebraica y
una sustitución trigonométrica. Después compare sus respuestas.
Figura 7
(b) sin cálculo.
386 CAPiTULO 8
Técnicas de integración
Generalice Ia idea del problema
problema 33
33 encontrando
encontrando una
unafOrmula
formula
para el area de la luna sombreada que se muestra en la figura 8.
denominada tractriz y tiene la propiedad de que la
Ia cuerda siempre es
tangente
tangente aa la
la curva
curva (véase
(véase la
Ia figura
figura 9).
9). Establezca
Establezca una
una ecuación
ecuación difediferencial para la curva y resuélvala.
y
X
x
(1
Figura 9
Figura 8
Comenzando en (a, 0), se jala un objeto por medio de una
cuerda de longitud a con el extremo que se jala moviéndose a lo largo
de Ia
la parte positiva del eje y. La trayectoria del objeto es una curva
8.4
IntegraciOn por partes
Respuestas a Ia revision de conceptos:
3.2tant
1. \/x - 3
2. 2 sen t
4.2sect
Si la integración por sustitución falla, puede ser posible utilizar una doble sustitución,
mejor conocida como integración por partes. Este método tiene como base Ia
la integración de la formula para la derivada de un producto de dos funciones.
Sean u = u(x) y v = v(x). Entonces
D[u(x)v(x)] = u(x)v'(x) + v(x)u'(x)
0
u(x)v'(x) = D[u(x)v(x)] - v(x)u'(x)
Una interptretación
intemtretacióngeorn&rica
geomtrica
Integrando ambos miembros de esta ecuación, obtenemos
de
integración por partes
fu(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - fv(x)u'(x)dx
U
u = Ii(v)
Ii(v)
Ya que dv = v'(x)dx y du == u'(x)dx,
u'(x)dx, la
la ecuación
ecuación anterior
anterior por
porlo
locomUn
comün se escribe de
manera simbólica como sigue:
J' v du
Integración por partes: Integrales indefinidas
udv=uv
u(a)
f'udv
vdu
La formula correspondiente para integrales definidas es
b
b
v(a)
v(b)
fudv=u(b)v(b)u(a)v(a)fvdu
dv = u(b)v(b) - u(a)v(a) - v du
j7'u
Figura 1
V
L
[u(x)v(x)]
u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]
v(x)u'(x)
- ffv(x)u'(x)dx
dx
La figura 1 ilustra una interpretación geométrica de la integración por partes. Abreviamos esto como sigue:
Integración por partes: Integrales definidas
I
I
b
dv = [uv]
fb
fbv
du
Estas formulas nos permiten transformar el problema de integrar u dv a!
al de integrar v
du. El éxito depende de la elección apropiada de u y dv, la cual viene con la práctica.
Integración por partes 387
SECCION 8.4
Encuentre
EJEMPLO 1
fx cos x dx.
Deseamos escribir x cos x dx como u dv. Una posibilidad es hacer u = x y
este paso podemos
= f cos x dx = sen x (ensustitución
en un foromitir la constante arbitraria). He aquI un resumen de esta doble
mato conveniente.
Soluciôn
dv = cos x dx. Entonces du = dx y v
u=x
dv=cosxdx
du=dx
vsenx
La formula para integración por partes da
Jxcosxd = xsenx/
u
v
u
dv
du
v
= xsenx + cosx + C
Tuvimos éxito en nuestro primer intento. Otra sustitución serIa
dv=xdx
u=cosx
du = senx dx
x2
v
Esta vez la formula para la integración por partes da
fx2(j)
fcosxxcix = (cosx)t2
que es correcto pero no es Util. La nueva integral del lado derecho es más complicada que la original. AsI, vemos la importancia de una buena elección para u y dv.
f2
Encuentre
EJEMPLO 2
Soluciôn
J
lnx dx.
Hacemos las sustituciones siguientes:
dv = dx
u = lnx
du
= (s-) dx
v=x
Entonces
I lnxdx = [xlnx] -
fxidx
= 21n2 - f dx
=2ln2-1O.386
EJEMPLO 3
Soluciôn
Encuentre f arcsen x dx.
Hacemos las sustituciones
dv=dx
u=arcsenx
du=
1
Vi -
dx
x2
v=x
388 CAPITULO 8
Técnicas de integracion
Entonces
[
j arcsenx dx = x arcsen x -
I
Ix
I \/1x
I
[(1
= x arcsen x +
dx
- x2)2(_2x dx)
1
21/2
xarcsenx+.2(1x)
+C
- x2 + C
x arcsen x +
Integracion repetida por partes Algunas veces es necesario aplicar Ia integración por partes varias veces.
EJEMPLO 4
Encuentre
/x2 sen x dx.
Solución Sea
U- x
du
2xdx
dv
senxdx
v = cosx
Entonces
fx2 sen x dx
x2 cos x + 2 / x cos x dx
Hemos mejorado nuestra situación (el exponente en x ha bajado de 2 a 1), lo cual sugiere
volver a aplicar Ia integración por partes a la integral de Ia derecha. En realidad, hicimos
esta integración en el ejemplo 1, de modo que haremos uso del resultado obtenido allI.
/ x2 sen x dx = x2 Cos x + 2(x sen x + cos x + C)
x2 cos x + 2x sen x + 2 cos x + K
EJEMPLO 5
Encuentre
Solución Tómese u
fex senx dx.
ex y dv = sen x dx. Entonces du
fex sen x dx
_ex cos x +
ex dx y v = cos x. AsI,
/ex cos x dx
que no parece haber mejorado las cosas, pero no nos deja nada peor. AsI que, no lo
desechemos e intentemos otra vez Ia integración por partes. En Ia integral de Ia derecha,
sea u = ex y dv cos x dx, de modo que du ex dx y v sen x. Entonces,
/ex cos x dx = ex sen x - /ex sen x dx
Cuando sustituimos esto en nuestro primer resultado, obtenemos
/ ex sen x dx = _ex cos x + ex sen x
- /ex sen x dx
Pasando el Ultimo término al lado izquierdo y reduciendo términos, obtenemos
2
/exsenxdx = ex(senx - cosx) + C
de Ia cual
Jexsenxdx = ex(senx - Cosx) + K
.
SECCION
IntegraciOn por partes 389
8.4
El hecho de que Ia integral que querIamos encontrar vuelva a aparecer en el lado
derecho es lo que hace que funcione el ejemplo 5.
FOrmulas de red ucciOn
Una fOrmula de Ia forma
ffn(x)dx
ffk(x)dx,
= g(x) +
f
donde k < n, se denomina formula de reducción (el exponente en se reduce). Con Irecuencia, tales formulas pueden obtenerse por medio de Ia integración por partes.
EJEMPLO 6
Soluciôn
Deduzca una formula de reducción para f senn x dx.
Sea u =
sen'x y dv = sen x dx. Entonces
du = (n - 1) sen2 x cos x dx
cos x
v =
y
de lo cual
Jsend x dx
sen'' x cos x + (n
- 1)1
sen2 x cos2 x dx
Si reemplazamos cos2x por 1 - sen2x en Ia Ultima integral, obtenemos
fsenxdx
=
sen'xcosx + (n - 1) /senn_2xdx - (n - i)/
Después de combinar Ia primera y Ia ültima integrales anteriores y despejando a
fsen x dx obtenemos Ia formula de reducción (válida para n 2),
I
I
J
EJEMPLO 7
Solución
Ij
senxdx =
sen''xcosx
n
+
n-1
nJ
c
I
senxdx
p/2
Utilice Ia formula de reducción anterior para evaluar I
sen8x dx.
Jo
Primero obsérvese que
sen'1xdx
[_senh1_lxcosxl2
1+ n - 1 L sen2x dx
n
L
=0+
Jo
ni
r-/2
n
AsI,
sen2xdx
p/2
A
sen8x dx =
-8 J
sen6x dx
_7 St2 sen'1xdx
6
_7 5
3
5
3
5
3
r/2
864
_7
8 642
7
1
senxdx
idx
ir
35
= 256
IT
U
p/2
sen x dx puede encontrarse de una manera análoga
La formula general para /
Jo
(formula 113 en Ia parte posterior del libro).
390 CAPiTULO 8
Técnicas de integración
Revision de conceptos
La formula de integración por partes dice que fu dv =
3. Al aplicar la fOrmula de integración por partes se obtiene el
flr/2
valor
para
x senx dx.
J0
Para aplicar esta fOrmula a fx sen x dx, se hace u =
y dv =
4. Una formula que expresa
ff"(x) dx en términos de
ffk(x) dx, donde k <n, se denomina formula de
Conj unto deproblemas 8.4
En los problemas deli al 40, utilice Ia integración por partes para evaluar cada integral.
1.
fxex dx
2.
fxe3x dx
3.
fte5tt
4.
ft + 7)e2t3dt
s.
fx cos x dx
6.
ft - 3)cos(t - 3) dt
8.
7.
9.
11.
13.
is.
17.
ft\/t
f
ffln
+ 1 dt
10.
f(x - p) sen x dx
45.
fet cost dt
46.
ft/2t + 7 dt
47.
fx2 cos x dx
48.
fr2 sen r dr
ln(7x5)dx
49.
f
50.
f
arctan 5x dx
51.
f
f
18.
f
31n2x5
2
52 .
dx
1n2 z dz
sen (ln x) dx
fn
fn
f
23.
fxcos2xsenxdx
arctan(1/t) dt
24.
f/2
x csc2 x dx
x sec2 x dx
I/4
ftarctantdt
Sugerencia: Utilice los problemas 43y 51.
a158, utilice integraciónporpartespara dedu-
cir Ia formula que se da.
53.
fsen(x)sen(3x)dx
-
ft5 ln(t7)dt
fxsen3xcosxdx
26.
28.
J
f
csc2 x dx
54.
sec1
dx
fx13Vx7 + 1 dx
32dt
32.
fx3V4 - x2dx
dz
34.
fxcosxx
36.
f
38.
fx(3x + 1O)
Z
(4- z)42
fx senh x dx
cos x sen 3x + C
-cos5xcos7x - sen5xsen7x + C
56.
30.
_3 sen x cos 3x +
fcos(Sx)sen(7x)dx
e(asenf3z - f3cosf3z)
55.J /esenizz
+ 4 dx
(7 - 3t4)
f ln x dx
cos (ln x) dx
x)4 dx
r/2
f x\/x
f
eat sent dt
Sugerencia: Utilice el problema 43.
"" '"
\/2x ln x3 dx
J
1n2 x20 dx
x)3 dx
''" "j"
&.) pi UUC(flU.) Utt
i
f
5
22.
35.
44.
/
21.
31.
f
16.
20.
29.
43.
dx
fz3lnzdz
27.
En losproblemas del4i al52, aplique dos veces Ia integraciónporpartes para evaluar cada integral (véanse los ejemplos 4y 5).
fsen 2x dx
14.
J
fz aZ dz
42. fx5ex2dx
arctan x dx
19.
25.
40.
fx2exdx
12.
ln t dt
fx 2X dx
41.
ln 3x dx
/ V
J1
39.
feaz cos
z dz
-
e(a cos z + sen z)
a2+2
+
x1
a+1 lnx (a+1)2 + C a
fxa(lnx)2 dx= x1 (lnx)
a+1
/ x lnxdx
58.
rp
c
x
2
-2
x
(a+1)2
lnx +
2
x
(a+1)
+
En losproblemas de159 al 65 deduzca Ia formula de reducción que se
da utilizando integración porpartes.
sec3 x dx
dx
f
x
e
dx
x°e
=
a
/
e' dx
IntegraciOn por partes 391
lntegraciOn
SECCION
8.4
SECCION 8.4
Establezca la
Ia identidad
dx + d(sec
d(sec x tan x)
2 sec3x dx = sec xx dx
I1
XCOS/3X
xacosI3x
fxasenpxdx
fxsenPxdx
+_a /x1cos/3xdx
+/xcos/3xdx
pj
p
xasenpx a 1I a-i
fxacospxdx
fxacospx
/3J
dx
/3] x sen/3xdx
- p
y utilIcela para deducir una fOrmula para
/3
f(lnx)adx
=
x(lnx)a -
af (inx)1
(lnx)1 dx
EvalOe
Evalüe
f
f
64
X sen X
cosxsenx
COS
a
+
a-1
a
f
j/
sen xxdx.
sen"
dx.Sugerencia:
Sugerencia:Primero
Primero reescriba
reescriba esta
fir/2
I
expresiOn en
expresión
en términos
términos de /
- x2)
f(a2 - x2)adx = x(a2
x(a2 -- x2)a+ +2af
2afx2(a2
x2(a2
- x2)dx
dx
cosaxdx
cosa x dx =
f
sen xxdx
sen"
dxyyluego
luegoutilice
utiliceIalafOrmula
formula
Jo
113 de Ia
la parte final del libro.
cos2 x dx
cos2xdx
La gré.fica
grafica de y = x sen x para x
se bosqueja en la
Ia figu-
ra 2.
cOsapx
/3x dx
65. f COSa
Encuentre una
una fOrmula
fOrmula para
paraelelOrea
area de arco
arco n-ésimo.
n-ësimo.
cos1f3xsen/3x
cos/3xsen/3x
a/3
af3
+
a-1
a
El segundo arco se hace girar airededor
alrededor del eje y. Encuentre el volumen del sOlido
sóiido resultante.
fcos2px
dx
/ cos'2/3xdx
Utilice el problema 59 para deducir
Segundo
arco
3)
V
f xe dx
fxe3x
f sec3 x dx.
x2e3x x4e3v - x3e3x
x3e3x ++ x2e3x
= x4e3x
dx =
xe3x +
xe3x
Utilice los probiemas
problemas 6Oy6l para deducir
8
e 3x
+C
C
fx4 cos 3x dx
/
Primer
arco
=
3x + C.
sen 3x - x cos
cos 3x
C.
x2 sen
sen
3x++x cos
cos 3x
3x -_x2
sen3x3x+ +sen
sen 3x
Utilice el problema 65 para deducir
sen 3xcos5 3x
3x +
3x ++
sen 3xcos3 3x
f
cos6 3x dx =
sen 3xcos
3xcos 3x
3x +
x + C.
Encuentre el
el area
area de
de Ia
la regiOn
region acotada por Ia
la curva
curva yy = in x,
el eje x y la
ei
ia recta x = e.
Encuentre el
ei volumen del
dei sOlido
sOiido generado al
ai hacer girar la
ia
region
regiOn del
del problema
problema 69
69 airededor
alrededor del eje x.
Figura 2
81. El
El coeficiente
coeficiente de
de Fourier
Fourier aa =
ri
I
I
fIT
J
f (x) sen
f(x)
sen nx
nx dx
dx de-
sempefia un papel importante en matemáticas aplicadas.
sempena
aplicadas. Demuestre
Demuestre
entonces lIm a,1
a,1 = 0. Sugerenque si f'(x)
f'(x) es
es continua
continuaen
en [-ii-,
[-ir, ii-],
r], entonces
cia: IntegraciOn
Integración por partes.
Ia regiOn acotado por ias
las curvas
Encuentre el area de la
yy = 3e_x/3,
3e3, yy = 0, x 0 y x = 9. Haga un dibujo.
volumen del
del sOlido
sólido generado al hacer girar Ia
la
Ri 72. Encuentre el volumen
region
regiOndescrita
descritaen
enelelproblema
problema 71,
71, airededor
alrededor del
del eje
eje x.
x.
73. Encuentre
Encuentre el
el area
area de la
Ia region
regiOnacotada
acotadapor
porlas
lasgráficas
graficas de
de
y = x sen x y y == x cos x, desde x = 0 hasta x = /4.
y
1
2)(n
/(n ++ 1)(n
n). Demuestre
Demuestre que
1)(n + 2)(n + n).
4/e. Sugerencia: Considere ln(G/n), identifIquela
Sea G =
lIm (Ga/n) =
corno
corno una
una suma
suma de
de Riemann,
Riemann, yy utilice
utilice el
el ejemplo
ejemplo 2.
2.
0 =
Encuentre el error en Ia
la siguiente "demostraciOn"
"demostración" de que
-2 dt
= t2
dt. Entonces du =
1. En f(1/i')
di, haga
haga ua = 1/i
di y
f(1/t) dt,
1/t y dv = di.
uv = 1. La integraciOn por partes da
Encuentre el volumen del
del sOlido
sólido que se obtiene at
al hacer gi-
rar Ia regiOn
region bajo
bajo Ia gráfica
grMica de
de y = sen (x/2) desde x = 0 hasta
x = 23r
2- alrededor
alrededor del eje y.
Encuentre el
el centroide
centroide(véase
(véaseIalasecciOn
sección6.6)
6.6)de
deIalaregiOn
region
Encuentre
acotada por y = in x2 y el eje x desde x = 1 hasta x =
EvalOe
EvalUe la
Ia integral
f
e.
cot x csc2 x dx por partes de dos ma-
f(1/t)dt = 1 - j(_1/t)dt
f(1/t)dt
00
o0
= 1.
SupOngase que quiere calcular la
Ia integral
fesx(4 cos 7x ++ 66 sen
sen 7x)dx
neras diferentes:
(b) Derivando csc x
(a) Derivando cot x
(c) Demuestre que los dos resultados son equivalentes salvo por una
constante.
y de su experiencia sabe
sabe que
que el
el resultado
resultado será
será de
de Ia
Iaforma
formaeSx(C1
e5x(Ci cos
7x ++ C2
C3.Calcule
CalculeC1
C1 yy C2 derivando el resultado
resultado yy hOgahagaC2sen
sen7x)
7x) ++C3.
Ia igual at
al integrando.
son antideSi p(x) es un polinomio de grado n y G1, G2.....
rivadas sucesivas de g, entonces
entonces por
por medio
medio de
de repetidas
repetidasintegraciointegraciones por partes,
Muchos resultados teOricos
sorprendentes pueden deducirse a traés
teóricos sorprendentes
del uso de integración por
por partes.
panes. En todos los casos,
casos, uno
uno inicia
inicia con
con
una integral. AquI exploramos dos de estos resultados.
Jp(x)g(x)dx = p(x)G1(x) - p'(x)G2(x) + p"(x)G3(x) -
Jp(x)g(x)dx
+
+ (-1)p)(x)G+1(x)
(-1)p(x)G+1(x) ++ CC
Demuestre que
que
=
ff(x)dx=xf(x)
ff(x)dx
fbxfl(x) dx
Utilice este resultado para encontrar cada una de las siguientes integrates:
integrales:
(a)
2x)ex dx
f(x3 -- 2x)ex
dx
(b)
f(x2 - 3x
1)sen xx dx
3x ++ 1)sen
=
(x - a)f(x)
fh(x_a)f(x)dx
fh(x
- a)f'(x) dx
392
Técnicas de integraciOn
CAPiTULO 8
Utilice el problema 85 y reemplace f
que
por f',
para demostrar
fb
f(b) - f(a)
= f'(b)(b - a)
fb(x - a)f"(x)dx
= f'(a)(b - a)
f
-
Supóngase que f(t) tiene La propiedad de que f'(a) =
f'(b) = Oy que f(t) tiene dos derivadas continuas. Utilice integración
por partes para demostrar que
b
(x - b)f"(x)dx
Demuestre que
i=1
f'(a) (t - a)'
(t
a) + f'
f1(x)dx,
i!
n!
fx(ft) Lt
f
utilizando La integración por partes.
GeneraLice La formula dada en el probLema 90 a una para
una integral iterada n-veces
xa(1 - x)dx,
con La condición de que a > 0 y /3 > 0.
f
fXfti
Por medio de un cambio de variables, demuestre que
J x(l - x)adx = B(/3,a)
a
1
f
1
(n - 1)!
- t1)1 dt1
B(a - 1, /3 + 1)
a+1 B(a + 1, /3 -
1)
positivos. Utilizando, de manera repetida, el resultado de la parte (b), demuestre que
IntegraciOn
de funciones racionales
dx1
UtiLice el resultado del probLema 92 para evaluar
Ahora supóngase que a = n y /3 = m y que n y m son enteros
8.5
.d'P(x)
"
Integrando por partes demuestre que
=
... dt1 =
fexPn(x)dx = ex(_1)J
0
B(a, /3)
f(t)dt
Si P(x) es un poLinomio de grado n, demuestre que
I1
B(a,/3)
- t)dt
=
La funcion Beta, que es importante en muchas ramas de Las
matemáticas, está definida como
0. Sugerencia:
Deduzca La formula
siempre que f pueda derivarse n + 1 veces.
=
fbf(t)f(t) dt
Utilice integración por partes derivando f(t) e integrando f"(t). Este resultado tiene muchas aplicaciones en el campo de Las matemáticas aplicadas y en ecuaciones diferenciales parciales.
a
B(a,/3)
(n + m + 1)!
Este resultado aun es válido para el caso en donde n y m no son enteros, con tal que podamos dar significado a n!, m! y (n + m + 1)!.
dx
f(t) = f(a) +
n!m!
B(n, m) =
f(3x + 2x2)ex dx
Respuestas a Ia revision de conceptos:
2. x; sen x dx
3. 1
1. uv = Iv du
4. reducciOn
Una función racional por definición es el cociente de dos funciones polinomiales. Por
ejemplo
2
g(x) =
f(x) =
(x +
2x+2
h(x)=X+2XX+1
- 4x + 8'
x3 + 5x
De éstas,
f y g son funciones racionales propias, queriendo decir que el grado del numerado es menor que el del numerador. Una función racional impropia (no propia)
siempre puede escribirse como una suma de una función polinomial y una función ra-
cional propia. AsI, por ejemplo,
h(x) =
x5 + 2x3 - x + 1
x3 + 5x
x2- 3
=x 3+
2
14x+1
x3 + 5x
x3+5x x+2x-x+ 1
x5 + 5x3
-3x3
-x
-3x3
-15x
14x + 1
Figura 1
un resultado obtenido por medio de division larga (véase Ia figura 1). Ya que los polinomios son ladles de integrar, el problema de integrar funciones racionales realmente
es Ia de integrar funciones racionales propias. Pero, ,siempre podemos integrar funciones racionales propias? En teorIa Ia respuesta es si, aunque los detalles prácticos pueden Ilegar a abrumarnos. Primero considere las integrales de las f y g anteriores.
SECCIôN 8.5
Encuentre 1
EJEMPLO 1
j (x+1)
Integración de funciones racionales 393
dx.
Considérese la sustitución u = x + 1.
Solución
I (x+1)
2
2/ (x+1)3dx= 2(x+1)2
2 +C
- 1 +c
3dx =
U
(x + 1)2
1
EJEMPLO 2
Encuentre /
2x+2
x2-4x+8 dx.
Solución Primero considérese la sustitución u = x2 - 4x + 8 para la cual du =
(2x - 4)dx. Entonces escriba la integral dada como una suma de dos integrales.
2x-4 dx+f
6
dx
dx=
/
x2-4x+8
x2-4x+8
x2-4x+8
2x+2
1
=lnx2-4x+8+6I x2 - 4x + 8
dx
En la segunda integral, complete el cuadrado.
Il
1
/x2 4x+4+4 dx =
1
- +4
I_1(x-2\
(x-2)2+4 dx=tan
Concluimos que
1
2)2
(x
2
dx
)+C
I 2x+2 dx=lnx 4x+8+3tan 1(x-2\i+K
J x2-4x+8
\ 2 J
2
I
I
U
Un hecho notable es que cualquier función racional propia puede escribirse como
una suma de funciones racionales propias simples como las que se ilustran en los ejempbs 1 y 2. Debemos ser más precisos.
Descomposición en fracciones parciales (factores lineales) Sumar fracciones es un ejercicio algebraico comün: encuentre un comün denominador y sume.
Por ejemplo,
2
2(x+l)+3(xl)
(xl)(x+l)
3
x1 x+l
5x1
5x1
(xl)(x+l)x21
El proceso inverso de descomponer una fracción en una suma de fracciones más simples es el que ahora nos interesa. Centramos nuestra atención en el denominador y consideramos casos.
EJEMPLO 3
Factores lineales simples
Descompóngase (3x - l)/(x2 - x - 6) y luego encuentre
su integral indefinida.
Solución Ya que el denominador se factoriza como (x + 2)(x - 3), parece razonable esperar una descomposición de la forma siguiente:
(1)
3x1
A
B
(x+2)(x-3) x+2x-3
Por supuesto, nuestro trabajo es determinar A y B de modo que (1) sea una identidad,
una tarea que encontramos más fácil después de que hemos multiplicado ambos lados
por (x + 2)(x - 3). Obtenemos
(2)
o de manera equivalente,
3xl=A(x-3)+B(x+2)
Técnicas de integración
394 CAPITULO 8
3x-1=(A+B)x+(-3A+2B)
(3)
Sin embargo, (3) es una identidad si, y solo Si los coeficientes de potencias iguales de x
en ambos lados Son iguales; esto es
A+B=3
3A + 2B = 1
Al resolver este par de ecuaciones para A y B, obtenemos A =
,
B=
.
En conse-
cuencia,
3x - 1
3x - 1
x2x-6
7
x+2+ x-3
(x+2)(x-3)
y
f
Resuelva esta ecuación diferencia!
"Con frecuencia, hay poco parecido
entre una ecuación diferencial y su
solución. Quién supondrIa que una
ecuación tan sencilla como
dy_
1
dx -
a2
x2
3x-1 dx=
x-6
1
(a+x +c
\ax
Esto parece La transformación de una
crisáLida en una mariposa."
Silvanus P Thompson
EL método de fracciones parciaLes
hace esto una transformación senciLLa.
Ve cOmo hacer esto?
5
=lnx+2 +lnx-3 +C
Si hubo alguna dificultad en este proceso, fue Ia determinación de A y B. Encontramos sus valores usando "fuerza bruta", pero existe una manera más sencilla. En (2),
que queremos sea una identidad (esto es, verdadera para todos los valores de x), sustituya los valores convenientes de x = 3 y x = 2, para obtener
8 = AO + B5
podrIa transformarse en
y = 2alogel
x+2 dx+f13dx
1
7 = A(-5) + BO
DeinmediatoestodaB = yA =
Acabamos de ser testigos de una extrafla, pero correcta maniobra matemática. La
ecuación (1) resulta ser una identidad (cierta para toda x excepto 2 y 3) si, y solo si
Ia ecuación equivalente (2) es cierta en 2 y 3. Pregüntese por qué esto es asI. En ültima instancia depende del hecho de que ambos lados de Ia ecuación (2), ambos polinomios lineales, son idénticos si tienen los mismos valores en cualesquiera dos puntos.
EJEMPLO 4
Factores lineales distintos
Encuentre
I 5x+3 dx.
JI x3 - 2x - 3x
Solución Ya que el denominador se factoriza como x(x + 1)(x - 3), escribimos
5x+3
B
x(x+1)(x-3)
x
x+1
C
x-3
y buscamos determinar A, B y C. La eliminación de las fracciones produce
5x+3=A(x+1)(x-3)+Bx(x-3)+Cx(x+1)
Al sustituir los valores x = 0, x = 1 y x = 3 se obtiene
3 = A(-3)
2 = B(4)
18 = C(12)
o A = 1, B = -, C =
. AsI,
[1
111
dx
=
I
dx
I
dx + 311
- I x-3 dx
2J
x+1
2J
Jx
I x3-2x2-3x
I
I
5x+3
= lnx -
lnx + 1 +
lnx - 3 + C
.
Integración de funciones racionales 395
SECCION 8.5
EJEMPLO 5
jf (x - 3)
Factores lineales repetidos Encuentre
Solución
2
dx.
Ahora la descomposiciOn toma la forma
x
A
=
(x-3)2
+
x-3
B
(x-3)2
con A y B por determinar. Después de quitar fracciones, obtenemos
x = A(x - 3) + B
Si ahora sustituimos el valor conveniente x = 3 y cualquier otro valor, tal como x = 0,
obtenemos B = 3 y A = 1. AsI,
I (x-3)2
x
dx=
jf x-3 dx+31j (x-3)2 dx
1
1
xi3+c
=lnx-3
.
EJEMPLO 6
Factores lineales, algunos distintos y algunos repetidos Encuentre
I
3x2 - 8x + 13
J (x + 3)(x - 1)2
dx
Solución Descomponemos el integrando de la manera siguiente:
3x2-8x+13
(x+3)(x-1)2
A
=
x+3
+
B
C
+
x-1 (x-1)2
Quitando las fracciones esto cambia a
3x2-8x+13=A(x-1)2+B(x+3)(x-1)+C(x+3)
Al sustituir x = 1, x = 3 y x = 0 se obtiene C = 2, A = 4 y B = 1. Por lo que,
I dx
1 dx
I dx
I 3x2 - 8x + 13
I
(x+3)(x_l)2dx
4] x+3
I
xi +2] (x-1)2
=4lnx+3 lnx-1
x1
+C
Asegürese de incluir en la descomposiciOn anterior las dos fracciones B/(x - 1) y
C/(x - 1)2. La regla general para descomponer fracciones con factores lineales repetidos en el denominador es ésta: Por cada factor (ax + b)k en el denominador, existen
k términos en la descomposiciOn en fracciones parciales:
A1
ax
+b
+
A2
(ax + b)2
+
A3
(ax + b)3
+
+
Ak
(ax + b)k
Descomposiciôn en fracciones parciales (factores cuadráticos) Al factorizar el denominador de una fracción, bien podrIamos obtener algunos factores cuadráticos (tal como x2 + 1), que no pueden factorizarse en factores lineales sin introducir nümeros complejos.
EJEMPLO 7
Un solo factor cuadrãtico
Descomponga
6x2 - 3x + 1
y después encuentre su in(4x + 1)(x2 + 1)
tegral indefinida.
Solución
La mejor que podemos desear es una descomposición de la forma
6x2-3x+1
A
(4x+1)(x2+1)4x+i
Bx+C
x2+1
396 CAPITULO 8
Técnicas de integraciOn
Para determinar las constantes A, B y C, multiplicamos ambos miembros por
(4x + 1)(x2 + 1) y obtenemos
6x2 3x+ 1 =A(x2+ i)+ (Bx+C)(4x+ 1)
Al sustituir x = -, x = 0 y x = 1 se obtiene
=A=2
+ 1 = A()
+
1=2+C
=C=1
4 = 4 + (B - 1)5 = B = 1
AsI,
I 6x2-3x+1 dx= I1 2 dx+ IIx-1 dx
j 4x+1
j (4x+1)(x2+1)
j x2+1
I
1
1 4dx
I dx
1 2xdx
1
2J4x+12Jx2+1 Jx2+1
=
2
ln4x + 1 + 1n(x + 1) - tan'x + C
2
EJEMPLO 8
6x2 - 15x + 22
Un factor cuadrático repetido Encuentre /
dx.
(x + 3)(x2 + 2)2
Solución En este caso, Ia descomposición apropiada es
6x2lSx+22
A
(x+3)(x2+2)2x+3
+
Bx+C Dx+E
x2+2 +(x2+2)2
Después de considerable trabajo, descubrimos que A = 1, B = 1, C = 3, D =
E = 0.AsI,
I
6x2
- lSx + 22
(x + 3)(x2 + 2)2
dx
y
dx
tx-3
-I
- I x+3
x+3
x
x2+25f(x2+2)2
f 2x
dx
dx + 3 fx2+2
x2+2
2]
J
dx
1
= mix + 31 -
2
1n(x2 + 2) +
S
C
2xdx
2j(x2+2)2
tan_i( x
\\/J + 2(x2+2) +
\/
.
Resu men Para descomponer una funciOn racional f(x) = p(x)/q(x) en fracciones
parciales, procedemos como sigue:
Paso 1: Si f(x) es impropia, esto es, si p(x) es de un grado al menos igual del de q(x),
divida p(x) entre q(x), para obtener
f(x) = un polinomio
N(x)
+ D(x)
Paso 2: Factorice D(x) en un producto de factores lineales y cuadráticos irreducibles
con coeficientes reales. Por un teorema de algebra, esto siempre es posible (teóricamente).
Paso 3: Por cada factor de Ia forma (ax + b)k, se espera que Ia descomposición tenga los términos
A1
(ax + b)
+
A2
(ax + b)2
+...+
Ak
(ax + b)k
Paso 4:
Por cada factor de Ia forma (ax2 + bx + C)m, se espera que Ia descomposición
tenga los términos
B1x+C1
ax2 + bx + c
+
B2x+C2
(ax2 + bx + c)2
Bmx+Cm
(ax2 + bx +
SECCION 8.5
IntegraciOn de funciones racionales 397
Iguale N(x)/D(x) a Ia suma de todos los términos determinados en los pasos
3 y 4. El nümero de constantes por determinarse debe ser igual al grado del denominador, D(x).
Paso 6: Multiplique ambos miembros de Ia ecuaciOn encontrada en el paso 5 por
D(x) y despeje las constantes desconocidas. Esto puede hacer por dos métodos: (1)
Iguale coeficientes de términos del mismo grado, o (2) asigne valores convenientes a Ia
variable x.
Paso 5:
Revision de conceptos
L Si el grado del polinomio p(x) es menor que el grado de q(x),
entonces f(x) = p(x)/q(x) se denomina función racional
a =
2. Para integrar La función racionaL impropia f(x) = (x2 + 4)/
(x + 1), primero La reescribimos como f(x) =
ma
3. Si (x - 1)(x + 1) + 3x + x2 = ax2 + bx + c, entonces
,b=
yc=
4.
(3x + 1)/[(x - 1)2(x2 + 1)] puede descomponerse en La for-
Conjunto de problemas 8.5
I'
En losproblemas deli a140, utilice el método de la descomposición en
fracciones parciales para realizar la integración que se pide.
1.
3.
fx(x±
1)
j1 x2 - 1
5.
dx
2.
dx
4.
dx
+ 3x - 4
7.
+ 3x - 10
x2
9.
+ 9x -
2x2
3x2
ffffx2
5
dx
10.
x3 - x2 - 2x
f2x2
I
(2x - 1)(x2 + x - 6)
f
x - 6x2 + lix - 6
[I x2 +xx - 2 dx
21.
23.
I x + 8x2 + 8
x-4x
I x+1
I
(x
I
I x2+x-6
I
(2x - i)(x2 +
dx
3)2 dx
3x + 2
dx
x3 + 3x2 + 3x + 1
9)
(x - i)2(x
Il + 4)2
dx
1
30. I x4 - 16 dx
dx
x3-8x2-i
(x + 3)(x2 - 4x + 5)
(sent - 8sen2t - i)cost
(sent + 3)(sen2t - 4sent +
f
sen4
cost
t16 dt
35.
38.
cosO
L
1
x3 + x2
I x2+5x+6
20. I
x6 + 4x3 + 4
dx
x3 - 4x2
fx2 + 4x + 3
I
dt
x3 - 4x
(x2+l)2
dx
,
x-17
14
x2 + x - 12
dx
dO
dx
41. La Ley de acción de masas en quImica resulta en La ecuación
diferencial
5x + 7
22. I x2 + 4x + 4 dx
(1 - sen2O)(sen2O + 1)2
3x+13
dx
5)
(sent)(4cos2t - 1)
dt
(cost)(l + 2cos2t + cos4t)
I
12x3+5x2+16x
I x5+8x+i6x dx
dx
x2 + 19x + 10
dx
2x4 + 5x3
dx
I
'
dx
26. I
dx
dx
dx
18.
dx
I 2x2-3x-36
dx
[
3)
dx
Ix(x + 2)2 + 16x
dx
6x2+22x-23
I
I x2 - 3i,x + 2i,2
I 2x2 - x - 20
1 2x2 + x - 8
Ix+4x
dx
(2x - 1)(3x + 2)(x -
I
I x2 - x - 12
x+Tr
I
I
3x2 - 21x + 32
J x - 8x2 +
f
J 4x - 28x2 + 56x - 32
19.
dx
I
7x2+2x-3
1
2
+x-2 dx
+x-
I
8.
dx
fx2_x(+4)+4
I
6.
1
I x2 + 3x
5x
I
dx
I
I 2x + 6x2
I x-7 dx
I
x6
(x - 2)2(1 - x)
k>0, a>0, b>0
en donde x es La cantidad de una sustancia en el instante t como resultado de La reacción de otras dos. Supongase que x = 0 cuando
t = 0.
398 CAPITULO 8
Técnicas de integración
Resuelva La ecuación diferencial en eL caso b > a.
La ecuación diferencial
dy
Demuestre que x -* a cuando t -* 00 (si b > a).
Supóngase que a = 2 y b = 4 y que 1 gramo de sustancia se formó en 20 minutos. ,Cuánta estará presente en 1 hora?
ResueLva La ecuación diferenciaL si a = b.
42. En muchoS problemaS de crecimiento pobLacionaL, exiSte un
LImite Superior del cuaL La pobLación no puede rebaSar. SupóngaSe que
La Tierra puede SoStener una población de má de 16 mil milloneS y
que en 1925 habIa 2 mil milloneS y en 1975 4 mil milloneS. EntonceS,
Si ye La pobLación t años a partir de 1925, un modelo apropiado e La
ecuación diferencial
dy
= k(y - m)(M - y)
dt
con k > Oy 0
m < Yo < M se utiliza para modelar algunos problemas de crecimiento. Resuelva La ecuación y encuentre urn y.
Los bioquImicos han propuesto como un modelo para La producción de tripsina a partir del tripsinógeno en La digestion a
dy
= k(A - y)(B + y)
dt
donde k > 0, A es La cantidad LImite de tripsinógeno y B es La cantidad original de tripsina. Resuelva esta ecuación diferencial.
EvaLüe
= ky(16 - y)
fIT/2
cosx
L16 senx(sen2x + 1) 2
ReSuelva eSta ecuación diferencial.
Encuentre La pobLación en 2015.
,Cuándo Será La pobLación de 9 miL milloneS?
Respuestas a la revision de conceptos:
dx
1. propia
ESte modelo, LLamado modelo LogIStico, se eStudió en La Sección 7.5.
43. ReueLva el probLema 42 Suponiendo que el LImite Superior
3. 2;3;-1 4.
2.
para La pobLación eS de 10 miL milloneS.
8.6 Revision del capItulo
Examen de conceptos
Para evaluar
Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmanométrica.
ciones. Justifique su respuesta.
f
x+2
V_x2 - 4x
dx, se utiliza una sustitución trigo-
fx Sen(x2 )dx, se hace La SuStitución u = x2.
Para evaluar
fx23 - 2x dx, se hace u =
dx, se hace La sustitución u = x2.
I
J 9 + x4
Para evaluar I
dx se hace La sustitución u = x2.
J 9 + x4
Para evaluar
f
Para evaluar
X
Para evaluar
f 2x-3
Ix2 - 3x +
Para evaluar
dx, se inicia completando el cua-
Para evaluar
3
J x - 3x +
5
dx, se inicia completando el cua-
drado del denominador.
Para evaLuar
Para evaluar
1
f t+2
I
J t3 - 9t
x
x.
puedeexpresarse en La forma
x2 -1
x2+2
dt se hace una descomposicion en frac-
x(x2 x(x2 + 1)
Idt, se utiliza integración por
x+2
x2(x2 - 1)
Para evaluar fsen6 x coS2 x dx, se utilizan formulaS del anguLo meA
dio.
e
ex
dx, se utiliza integración por partes.
B
A
x -1
+
B
x+1
B
C
A
x
x-1 + x+1
A
x
Bx+C
x2+1
puede expresarse en La forma - +
x2+2
11
fx2 Ln x dx, se utiliza integración por partes.
Para evaLuarfsen 2x cos 4x dx, se utilizan formulas del anguLo
ciones parciales.
Para evaluar
dx se hace una sustitución trigo-
medio.
Jf V45x dx, se hace La sustitución u =
Para evaluar
I
I x\/9 - x2
nométrica.
5
drado del denominador.
Para evaluar
sen2 x cos5 x dx, se reescribe el integrando como
sen2x(1 - sen2x)2 cos x.
X
Para evaluar
3 - 2x.
puede expresarse en La forma - +
puede expresarse en La forma
C
x-1 + x+1
Para completar el cuadrado de ax2 + bx, se suma (b/2)2.
Revision del capItulo 399
SECCION 8.6
Cualquier polinomio con coeficientes reales puede factorizarse
en un producto de polinomios lineales con coeficientes reales.
Dos polinomios en x tienen Los mismos vaLores para toda x si, y
soLo si Los coeficientes de términos del mismo grado son idénticos.
Problemas de examen
1
sen x dx
4.
f4o V9+t2
X
fec0s
S.
2.
I y+1
I -4y+
y3 + y
f
2
dy
dx
f \/16+4x_2x2
3x+1
dy
x sen 2x dx
6.
fsen3(2t)dx
8.
I'
Jo
(a)
(c)
dy
(e)
V2y+1
15
tan x
3 - 4x2
(2x + i)
3x + 1
(x2 + x + 10)2
x5
(x + 3)4(x2 + 2x + 10)2
10
12.
fx2exdx
gión bajo La gráfica de
y=
1
I 1-wa
I (lny)5
fsenh x dx
19.
fxcot2xdx
20.][senV
dt
22.
23. feul3 sen 3t dt
25.
24.
3x
fsen --cos
29. f tan312 x sec4 x dx
dy
I
37.
J
30.
dx
1+e8x dx
dw
dx
1
= x2 + 5x + 6
desde x = 0 hasta x = 3 se hace girar aLrededor del eje x. Calcule el
volumen del sóLido que se genera.
1 t+9
dt
j t3 + 9t
fcos4()dx
[
38.
49. Encuentre el volumen cuando el area creada por el eje x, el eje y,
La curva y = 2(ex - 1) y la curva x = Ln 3 se hace girar aLrededor de La
y = 18/(x2\/x2 + 9),yLasrectasx
I t(t1'6 + 1)
\/x2+
dy
a
f sentdt
= \/yx = 3\/.
51. Encuentre el area de La region acotada por La curva s = t/(t - 1)2,
fcos5 xVsen x dx
f
48. Encuentre el volumen del sólido que se crea a! hacer girar la
region acotada por el eje x y La curva y = 4xV2 - x aLrededor del
ejey.
50. Encuentre el area de La regiOn acotada por el eje x, La curva
dt
V 34.]
36.
47. Si La curva dada en el probLema 46 se hace girar aLrededor del eje
y, encuentre el volumen del sóLido.
rectax = 1n3.
I
e4X
1w
/
(b) ejey.
46. La region bajo La curva
dy
1+
32.
fe2
V9 - e2
33. fe1n(3cs
1 hasta x = 2 aLrededor del
(a) ejex;
fln(y2 + 9)dy
27. f tan3 2x sec 2x dx
31.
\/3x - x2
x = 4.
17.
Lnt2
dw
16. f
18.]
21. f
desde x
w3
1
45. Encuentre La Longitud de La curva y = x2/16 desde x = 0 hasta
dx
f1ncosx
B
(x-1)2
44. Encuentre el volumen del sóLido generado al hacer girar La re-
dx
Isenx+cosx
tan x
14.
I \/2+3y
dx
I (i6+x 2\3/2
A
J
13. 1
1
42.
x2(x2 + 3)
(x-1)2(x-1) +
21
2dt
f4x2+3x+6 dx
fcot2(20)do
I3/2
-2
y
e
dy
41
43. Exprese La descomposición en fracciones parciales de cada función
racional sin calcular Los coeficientes exactos. Por ejemplo
En los problemas deli al 42, evaláe cada integral.
dt
39.
dx
I1 \/1-6x-x
40.
9 + cosy
fsencos,
I v'i + cost
s = 0, t = -6 y t = 0.
fl
52. Encuentre el volumen del sóLido generado al hacer girar La región
{ (x, y): -3
dx
x
1,
6
xVx + 4
o}
aLrededor del eje x. Haga un dibujo.
El 53. Encuentre La Longitud del segmento de La curva y = Ln(sen x)
desde x = i,/6 hasta x =
;I i.
;
øE
T!CNLiA
$1
ri '
I"
PSYECT
p
I;
kI
l
I
1na
ntegración por medio cle un sis.ei.j
I
de áIgbra:t,.rv'jtacional
c'ni
.x3 -- 5x + 7x * 16
Prepat ación
I.
+ 8x3 + 48x2 + 119x + 210
t
mmV.
aciu... I
-rnv.i'.t.aciu
I de álgeora-- cc.
tatherna ica y Maple son s .mas
.Ld tiene
Li' i.Ld
tiene
i'T LI'
(SAC ampliamente ui1izad' 0s. SiLiiponeiiflri J s cuI1I
algun d stos, o una calculadora TI-89 o Tt-92, cilsç) oniLbie
flu
grates definidas e integras
ara ayudar a evali ar
,- :'; i -'eiuiiizarse,
nidas. Invesdgaremus eó m o est Jis sistemas p eclen -u.iiizarse,
t] i( ncias.
asi como algunas 'le sus d.'ii
I
.;
Ejercfr
Lla
valüe a m
mano La integral indefi&'i
6
ISen2 X cos x dx
J
I
Ahora 1 i.tjlir
..e su SAC para evaluar Ia integral M
apda
IC
-
/sen2
/ sent ,s-; dx
ión- fii'9ercicio 1 Estuaie Ia sintaxisI- -ara hacer iiiteraci:ófl4
Ir1
.iematica,
Ia
.Jera
ii
dejflt,
jflt.,
Math
Ja e indefinida en su AC En .v.
rx]- , xl, yia
f 1r-]
.ien con Tncg.L
fiiida de f(x) se oLt.
ntegral
-4
'cate
cate [f
Oil Tntec
L
efinida
'-J
-J
-
i
Seflx Os4X -F
i
trodi'ciendo
2nd
J (x2,x)
re'.pectivamente.
2
'1
I
r2
x
y / x'
r1 .
-inin-
x, 1,2)
2nd
y
2
xcos x dx =
5 sen 3x
(30 sen x
- 3sen5::
240
jsen
Thig
:Mapleo'..
rei ios comandos combine y expand en:Mapleor
A,ida'
]
.
oueden evaluar integraLies L e' 'mo
2
X + 2jSrfl
j5rfl x
mientra4UC
4ue- 1 athematica da
mientra
- II
M'ipie'o-'
'o'
x, a, b } ]. I as forma orresponientes Cn M'ipie
r
rLTJQ yTI-Q2
yTI-Q2
(x'.) x=a. .b). L.TJQ
(x',
it (fix), x)
iit(f
cos2 x sen
r
inbo, iviatiematica uti1izaidc
et cma-
do Apart) y Maple (con e1 comando convert ) son ca'.'aces
'4
r) sieA&fl
rci i & una
AC,fl en fraccione3 pa rcii
.e calcular ta cescorni.
funciOn racional.
TrigExpand en Mathematica. nr medio deliiso
puesta -er Ia
de los comandt s apropiados. transforme unares
otra.
va1or,:T
Ejer ricio 7 Un SAC puede omitir los signos i1 valor:T
luto, ca isaui.o con ello resultados incorrectos. Considere
lUto,
11
.
-4
t 1
n
r-'ianc.
a r'
Ejercico 2 EvahIe las in.egrakes siguieutes
(a)
f(3x + 10)° 'b
Ic
I-c
Sugerencia: Utilice intei ,jaciOn por
(c) J
.2
Exp1iqU I,or qué \/9x2 + x4
Expiiqu
fl'0dx
+Lr
J
10
Ia tecno) a
para evaluar f V9
-,
Utilice SU
Utilice
su SA
I
2
.1a
d U]
u na de las inUtilice un SA nara evaluar cad'
En cuáles ca'sos (si los
ios
1
[i descoir
Ejercicio r Utilice su S;A .0 para determinr I..
.
ipo sisiaiu'.e 1aintei
ia intei ai
ción c Iracciones parciales de cada función, cvaiu
1
III. RefIexi
III.
RefIexi
"dictorios
Ejercido 8 Si usted ohtiene resuitados contr0''dictorios
ceterinifle
cuátes
resultados
son
col
.rrectos
y e:
ejerciciu 7
que por que.
-1
1
Ejercicio 9
(L,2 x
706
ro
Utilice su SAC para determi nar
ic' iones ee.n££iracciones
.2
,e
dx
para
parciates de
descom
= 0,1,2,... 10.
descomp
Identifiq ie i1n patrOn y utilIcelo para predecir lai descompc.
indefinida Ade cada expresión.
E
(d)2
x'+ 3x2 ---2x+
118x + 12C
.3:x2,
273x
273x
2
9x + x dx y f V9x +
+ x4
-J
. maflt1 Cihay) Ia Tespuesta del AC difiere de los que obtuvruu.mari"
Th
lgUnc )5 Caci ejercicio 2? ,Cuá' h.
rspues;a es más simple? IF' lgunc
término, aUn
aun
sos, 1os S4 C' multiplicarán e mtegrarán términe a término,
cuando funcione un rnétodo más senci:lo.)
(c
x4 dx a mano.
JO
tegkrlJe sinclefinidas del ejericio 2.
-
I V9x
Caic ii.
x2(3x3 + 10) dx
x 4 a mano.
II. Uso d
V19x2 -I- x4 dx
Y9x2 + x4 dx
x
Descompong
xI/9
L,nlic iue nor qué
pa -te (b).
parter r'1a IaIa pa1
( d)
+ iO)° dx
Ejercicio 3
Ejeruci
x(3x
(n)
x4 dx
jV9x H-
cC
cii fra..ciines pari LIeS para
xl'
-:
--4-. Encuentre
4 ' x7
x
una cxpresiór. para Ia descomposiciOn en frac iOfl
2
'1
1'a
ales
mtaendc s parttgerencia: Debe tener una respues
de - 2
x
iina cuando n es par y otra cuando n es impa Bono: Dc
uconjetUr
mi1' trt. i.tiiiza do indu.ciOn matemática, quc siuconjetur
mi1
cor cta.
C
as
I
'Si
I
it
[S
La e':ua cio..r diferencial logIstica
I. Prep iraciónII
En el capItulo 7 usamos la ecuación diferencial y' = ky para modelar el crecimiento DobIa.ionaI. Este modelo dice
que Ia tdsa de crecimiento es proporcional al tamaño y de Ia poblaciOn. Esta
ecuación diferencial tiene soiución
v=
ci. donde Yo es ci tamao micial dc Ia oblación. Este modelo. que
conduce crecinüento exponencial, es
razonhie hasta que ci tamaflo de Ia poblacion se vu DIve tan grande que los
factores. ta'es como espacio y recursos
afect In a] recimiento de la pohiaciOn.
-i
Pierre Verhuist (1804-1849) introuujo
.n 183 ci r odeio
(1)
y' = ay
dOn se vuelve iiás grande, el término
by2 se vuelve significativo, y restringe Ia
tasa de crecimiento y fuerza un tamañc.
dc
d pcblaciOn IIrnite L.
Es un hecho notab,le qu.. podemos
iet rninar ci :amafi lirnite de hi
L
..iaciOn sin resoer Ja ecuacjOn diferen-
ca..
LL1 Si existe ui nOmero L al curi Ia
L
)oAaciOn conve ja ruando t
i (es.
si IImy(i) = L,, entoces
lIm'(i') = 0
12)
Ejercicio 2
i
vemtre
que ci modelo
en (1) puede escr" se en la forma
y'::ky( y)
.jercicio 6 Haga L i000y y = 2(10,
I /arIe ci valor de k haga Ia gráfica de hIS
is
soiuciones. Descriha ci efecto de k ei
I" solucion.
Ill. Reflexión
Una eci aciOn autónoma es una ecuaciOn diferenciai de primer arden cie Ia
form't
11
Esto demuestra que Ia tasa de crecimiento de Ia pobiaciOn es proporcionai
ai tamaflo de la pohlaci'5r y y ai "espa-
cio" que queda rara Ia pobiación por
crecer (esto es, h. Lerencia entre ci ta..iaño de ia pobl
'iite Lye! tano de Ia pobiac
it'
Rcsuetvav'
L1 y)
(rn = 10 Sit-i-(rn
con Ia condiei'
ci' ,n i ncia1
ncia1
gerencia. Sep
varia le3 e 1tegre.
I ajaL
aL =
F-I
En otras paiabras, Ia variauie t dci tiem
pc, no aparece de nanera xplIcita en la
tación diferenc al. Por L1
ecmp!o, y' =
1
L
.y y y' =
L1
ii
h
:caiJo a L, entcnces i.'ai tasa d Ic cambic
jcr: casi cero.)
4
v(3
- y) soi autOnoir a,
iientras que y' =
no Ic es. Un
J,LiIIJ,LIIIp
Je una ecjación
(1S.fl"
'
ifer
inr\1'iaesu n conctante con la
cia
pJ
qu .a
"
te
p ropiedad de qu.a
I. finciOn o1ista1
y(t) c es Ufld souciOn pa:a a cci aciOn (Jliferenciai.
ir por ( . toda ia
Ii'
EjeiUcic i Expliqie
it estacio
raices de.1'!'y) =O':n pur os
-
-
JL)'
fl)0,
k = 0.000
ción para ia ecu LC1C"i ksuca.
M'inte-M 1
niendo constantes a L ,r k varIe ci vaior
de
Hagd un gráfii Je las soluciones resuitantes. i.segOrese de inciuir algunos vaiores'I e Y m2nores V rnayores
a L; también (rate coi Yo = - y v
L.
if
If
I)escriba los efectos
'fl1
L
'flh soluciOn.
Ejercicic 5 Yak=O.Ol
fiat
:O5 Yo
00. VarIe ci ,alr'r
L y grafique las
1'1
'1
irios.
y y = 200 y haga! ai grãica de Ia solu-
jr
8 Encuentre todos ios punESCiCju
Los .stacionarios
de ia ecu.'iOn logIstic
1.
L
1
-
-
y'=
v'=
i
J
O.002y(5O()
Ii ificado
ii
- y). Explique
.. sig-
di
de 1.os pi"tos estacionariosHfl
cc
I
respecto a su relaciOn a! tamaio de la
r
obiacicn.
F"
sir. cue
tudos
"
Ic,
ii"'
E jer cicio 9
ii',r rn"'
los esttcionaro de las ecuaciors
IC
'"
esciia
il' c]f efe o de L so-
y, = 2' i(3
bre la sc'iución.
J1
,1J' a pobIació se estab'ece
(y)
1
Ejercicio 3
Fjercicio 4
y' =
y'.
tca
tc
i 2stacionario
-(jØI( gIa
II. Uso de Ic
o1uciones.
-
I
-
DC en
-
r
de modc que- cuando ci ta naño
de La
ohlaciOn y es pequeno, la tasa de crecimiento es aproximadarnente proporcional a y. Sin embargo, cdando la pobla-
= ay
r1'c11 é' de
ambos lados ( r1c11
det., e que y es una
funciOn del tiemp. t) utilicese ci resui
tado de (2). Enionces despéjese Ia puhlación iImite L.
by2
Por to comün, ci valor de b es pequeno.
to -es,
-
n1?l:
E:
cuuOn y
'1H Urnuo t
by2, tOmese ci ifimLe
Ejercicio 1
-
- y)(4
y)(4 --yy )(5y,
-
V
yy
y' = y
F
uf' + 8y.
rn i
François Antoine de
l'Hôpital es una de las
luminarias menores en el
Gulllaume
Guillaume
Guillaume F. A.
firmamento de las matemáticas,
matemáticas,
de I'Hôpital
aunque ha sido inmortalizado por el
1661-1704
descubrimiento que Ileva
Ileva su
su nombre
nombre
(Ia regla de
de I'HOpital).
l'Hôpital). Aunque ese
descubrimiento no es propio; se debe
aa su
su maestro,
maestro, Johann
Johann Bernoulli.
Bernoulli. Y
Y por
por
ahI hay una historia que vale Ia pena
volver a narrar.
L'Hôpital naciO
L'HOpital
naciO de
de padres
padres de Ia
alta nobleza de Francia. Con algo de
talento matemático y mucho dinero, él
estuvo de acuerdo en apoyar a Johann
Bernoulli a cambio de que después le
permitiera publicar los
descubrirnientos de éste. Después de Ia
descubrimientos
muerte de l'Hôpital, Bernoulli intentO
reclamar esos descubrirnientos
descubrimientos como
como
propios, pero las evidencias se habIan
hablan perdido. Fue hasta 1955 cuando
se encontraron las cartas
cartas entre
entre Bernoulli
Bernoulli yy I'HOpital
l'Hôpital donde se
especificaban aquellos
aquellos arreglos
arreglos cuando
cuando al
al fin
fin se
se justificO
justificó Ia pretensiOn
de Bernoulli.
Entre las aportaciones de l'Hôpital se encuentra el primer libro de
...yhoyendIa
Los autores potenciales de libros
de cálculo están por todas partes y
para cada disciplina hay un libro
especial de cálculo.
texto de cálculo diferencial, publicado en 1696. En este libro se usa el
tipo de lenguaje que fue
fue comün
comin entre
entre todos
todos los
los pioneros
pioneros del cálculo, el
lenguaje de los infinitesimales. LY qué es un infinitesimal? De acuerdo
con l'Hôpital, si dos cantidades difieren en un infinitesimal, pueden
considerarse iguales.
Esto parece decir que dos cantidades pueden ser iguales y
desiguales al mismo tiempo. En las manos de gente talentosa como
Newton, Leibniz, Bernoulli y Euler, nociones tan ambiguas no parecieron
constituir un obstáculo (y aun puede ser que hayan ayudado) en el
descubrimiento
Por fortuna
fortuna para
para los
los simples
simples
descubrimiento de las nuevas matemáticas. Por
mortales, los infinitésimos fueron desterrados de las matemáticas
durante
durante el
el siglo
siglo XIX
XIX yy sustituidos
sustituidos por
por Ia
Ia rigurosa
rigurosa nociOn
nociOn de
de IImite.
Ilmite. Sin
embargo, en años recientes, los matemáticos
embargo,
matemáticos han
han resucitado
resucitado una
una
aceptable versiOn de esas magnitudes tan despreciadas en una rama de
las matemáticas Ilamada análisis no estándar.
Formas
indeterminadas e
integrales impropias
9.1 Formas indeterminadas del tipo 0/0
9.2 Otras formas indeterminadas
9.3 Integrales impropias: LImites de integración infinitos
9.4 Integrales impropias: Integrandos infinitos
9.5 RevisiOn del capItulo
9.6 Problemas adicionales
Proyecto de tecnologIa 9.1 Funciones de densidad de probabilidad
Proyecto de tecnologIa 9.2 La distribución normal
9. 1
Formas indeterminadas
del tipo 0/0
He aquI tres problemas de lImites conocidos:
lim
senx
x*O
X
lim
x*3
-9
x2 - x - 6
lim
x*a
f(x) - f(a)
x-a
El primero se trató con amplitud en la sección 2.7, y el tercero en realidad define la derivada de f'(a). Los tres lImites tienen una caracterIstica en comtin. En cada caso, está
incluido un cociente, y en cada caso, tanto el numerador como el denominador tienen a
0 como su lImite. Un intento de aplicar la parte 7 del Teorema principal de lImites (Teorema 2.6A), que dice que el lImite de un cociente es igual al cociente de los lImites,lleva al resultado sin sentido 0/0. En realidad, el teorema no se aplica, ya que requiere que el
lImite del denominador sea diferente de 0. No estamos diciendo que estos lImites no
existan, solo que el Teorema principal de lImites no los determinará.
Puede recordar que un intrincado argumento geométrico nos condujo a la conclusión lIm (sen x)/x = 1 (Teorema 2.7B). Por otra parte, la técnica algebraica de factoxO
rizaciOn conduce a
Un,
x2-9
x2 -
x-6
(x-3)(x+3)
x+3
=lIm
x-3x+2
x-3(x-3)(x+2) =lim
6
5
/,No serIa bueno tener un procedimiento estándar para manejar todos los problemas
para los cuales los ilmites del numerador P denominador sean ambos 0? Esto es esperar demasiado. Sin embargo, existe una regla sencilla que funciona de maravilla en una
amplia variedad de tales problemas.
404 CAPITULO 9
Formas indeterminadas e integrales impropias
Regla de L'Hôpital
En 1696, Guillaume François Antoine de L'Hôpital publicó
el primer libro de texto sobre cálculo diferencial; incluIa la regla siguiente, que él aprendió de su maestro Johann Bernoulli.
Teorema A R rk c' e LHOpi tila para formas del pc 0'
1(
:le iiiiif(x)
= lIing(x) = 0. Si IIrrif1x)/gF(x)] existe en cualquiL.ra
Supngaqu..
I
de los sentidos f'uliltu-'
entonces
ir ' (v. ej., si este Iimitc
inLiitc
f(x)
-" g(x)
urn
f'(x)
= x-"
urng'x)
--
Aqulu 1)t1de
.c
sion
.Lf icar '!!lrI1ier de Los sfmboos a, a. -
Interpretación geométrica
de Ia regla de L'Hópital
Estudie los diagramas siguientes. Ellos
deben hacer que la regla de L'Hôpital
parezca muy razonable.
y
esunnümerofinitoo000+c)0),
Antes de tratar de probar este teorema, lo ilustramos. Obsérvese que la regla de
L'Hôpital nos permite reemplazar un lImite por otro, el cual puede ser más sencillo y,
en particular, podrIa tener la forma 0/0.
EJEMPLO 1
= px
0+00.
Utilice la regla de L'Hôpital para demostrar que
lIm
g(x) = qx
senx
x
x-*O
=1
lIm
y
1 - cosx
x
x-*O
=0
Solución Trabajamos duro para demostrar estos dos resultados en la sección 2.7.
x
Después de notar que tratar de evaluar ambos lImites por medio de sustitución conduce a la forma 0/0, ahora podemos establecer los resultados deseados en dos ilneas (pero véase el problema 25). Por la regla de L'HOpital,
lIm f(x) - urn P_P_ iIrn f(x)
x-O g(x)x-O qxqx-Og(x)
y
lim
EJEMPLO 2
Solución
-
= lim
Dsenx
x-O Dx
X
1 - cosx
x
x-*O
g
senx
lim
x-*O
Encuentre lIm
= lim
x-*O
= lim
x-*O
D(1 - cosx)
Dx
x2 - 9
y lIm
cosx
1
1
= lim
x-O
senx
1
=0
x2 + 3x - 10
x-3x x-6 x-*2x 4x+4
2
2
Ambos lImites tienen Ia forma 0/0, de modo que por la regla de L'Hôpital,
-
lim
x2-9
x-*3x2_x_6
urn f(x) - lIrn I (x)
xO g(x) xO g'(x)
x2
+ 3x - 10
2x
6
x-*32x-1 = -5
= lim
2x + 3
x-*22x-4 =oo
x-*2x2_4x+4 =lIm
lIm
El primero de estos ilmites fl4e manejado al inicio de esta sección factorizando y simplificando. Por supuesto, de cualquier forma obtenemos Ia misma respuesta.
U
EJEMPLO 3
Solución
tan2x
Encuentre lIm
x-*O ln(1 + x)
El numerador y el denominador, ambos, tienen lImite 0. De aqul que,
lim
tan2x
'° ln(1 + x)
=lim
xO
2
==2
1/(1 + x)
2sec22x
1
.
Algunas veces lIm f'(x)/g'(x) también tiene la forma indeterminada 0/0. Entonces
podemos aplicar de nuevo la regla de L'Hôpital, como lo ilustramos ahora. Cada aplicaciOn de la regla de L'Hôpital está seflalada con el sImbolo
SEccION 9.1
EJEMPLO 4
Encuentre lIm
Formas indeterminadas del tipo 0/0 405
sen x - x
xO
Por medio de la regla de L'HOpital aplicada tres veces en sucesiOn
Solución
" cosx-1
1Im5-- = nm
x-O
x-O
x3
3x2
1Im6x
x-O
COSX
lIm
x-O
6
1
.
6
Aunque tengamos una regla elegante no significa que debamos utilizarla de manera indiscriminada. En particular, siempre debemos asegurar que se puede aplicar; esto
es, debemos asegurar que el lImite tiene la forma indeterminada 0/0. De otra forma
conducirá a toda clase de errores, como lo ilustramos a continuaciOn.
EJEMPLO 5
Encuentre lIm
xO
1 - cosx
x2 + 3x
Solución
lIm sen x
x-O2x+3
lIm 1 - cos x
x-O x2+3x
lIm COS X =
x-O
ERROR
2
2
La primera aplicación de la regla de L'Hôpital fue correcta; la segunda no, ya que en ese
paso, el lImite no tenIa la forma 0/0. He aquI lo que debIa hacerse
lIm sen x = o
urn 1 - COS X
x-O x2+3x
DERECHA
x-O2x+3
Detenemos la derivación tan pronto como el numerador o el denominador tenga un iiU
mite distinto de cero.
Aun silas condiciones de la regla de L'Hôpital se cumplen podrIan no ayudarnos;
veamos el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 6
Encuentre xoo
lim
e
Solución Ya que el numerador y el denominador ambos tienden a 0, el lImite es indeterminado de la forma 0/0. AsI, las condiciones del Teorema A se satisfacen. PodrIamos aplicar la regla de L'Hôpital de manera indefinida.
4'
ex =
lim ex ='' lim
lim
x-1 X-2 x-°
-
x-°' X-1
D-X
2x-3
=
406 CAPITULO 9
Formas indeterminadas e integrales impropias
V=
Claramente, sOlo estamos complicando el problema. Un mejor enfoque es hacer primero un poco de algebra
e_x
x
lim
= lim
x - oo
x -*
x
Escrito de esta manera, el lImite es una forma indeterminada de la forma ooloo, el tema
de la sección siguiente. Sin embargo, debemos ser capaces de adivinar que el lImite es
0 considerando que ex crece mucho más rápido que x (véase la figura 1). Una demostraciOn rigurosa vendrá más adelante (ejemplo 1 de La secciOn 9.2).
x
Figura 1
Teorema del valor medio de Cauchy
La demostración de la regla de L'Hôpital depende de una extension del Teorema del valor medio debida a Augustin Louis
Cauchy (1789-1857).
Teorema B
'le Cu':n'
TE DFerna del valor med
h_ n .,(r b' y conhinuas en Ia, bI. Si g'(x)
rivaie
ntonces .xis 1. U'i imiero c en (a. b) tal que
ujciones
ean f y g fr
daxen(a,b
f( 5'
-. a)
dj
p ira to-
f'(c)
g(n) - (a) O
sveseqre
. este teorema se re uce al ordinario Teorema del valor rnedio
' riiando g(x' =
1ii 'adas 't'eore
(' ma 4 .7/ IlJ
Demostración Es tentador aplicar el Teorema del valor medio a! numerador y a! denominador del lado izquierdo de la conclusion. Silo hacemos, obtenemos
f(b) - f(a) = f'(ci)(b - a)
y
g(b) - g(a)
=
g'(c2)(b -
a)
para elecciones apropiadas de c1 y c2. Si sOlo c1 y c2 fuesen iguales, podrIamos dividir la
primera igualdad entre la segunda y estarIa hecho; pero no existe razón para esperar tal
coincidencia. Sin embargo, este intento no es un fracaso cOmpleto, ya que (2) da Ia Va-
liosa información de que g(b) - g(a) 0, un hecho que necesitaremos posteriormente
(esto se deduce de La hipótesis que g'(x)
para toda x en (a, b)).
Recuérdese que la demostraciOn del Teorema del valor medio para derivadas
(Teorema 4.7A) se sustenta en La introducción de una funciOn auxiliar s. Si tratamos
de imitar esa demostración, ilegaremos a la siguiente elección para s(x). Sea
s(x) =
f(x) - f(a)
f(b) f(a)
-
(b) -
(a)
[g(x) - g(a)]
No hay division entre cero ya que antes establecimos que g(b) - g(a) 0. Obsérvese además que s(a) = 0 = s(b). También, s es continua en [a, bI y derivable en (a, b), esto se
sigue de los correspondientes hechos para f y g. AsI, por el Teorema del valor medio para derivadas, existe un nUmero c en (a, b) tal que
s(c)=
Pero
s(b)s(a)
ba
s'(c) = f'(c)
de modo que,
0-0
ba°
f(b) f(a)
g(b) - g(a)
g'(c) =
f'(c)
f(b) - f(a)
g'(c)
g(b) - g(a)
que es lo que deseábamos demostrar.
0
Formas indeterminadas del tipo 0/0 407
SECCION 9.1
DemostraciOn de Ia regla de L'Hôpital
Demostración Regrésese al Teorema A, que en realidad establece varios teoremas en
lIm.
uno. Solo demostraremos el caso en el que L es finito y el lImite unilateral x*a
Las hipOtesis para el Teorema A implican más de lo que explIcitamente dicen. En
particular, la existencia de lIm[f'(x)/g'(x)] implica que tanto f'(x) como g'(x) exisx*a
ten en al menos un pequeflo intervalo (a, bI y que allI g'(x) 0. En a, aün no sabemos
lIm g(x) = 0. AsI, poque f y g estén definidas, pero sabemos que x*a
lIm f(x) = 0 yx*a
demos definir (o redefinir, si es necesario) a f(a) y a g(a) como cero, y por tanto
haciendo a f y a g continuas (por la derecha) en a. Todo esto es para decir que f y g
satisfacen las hipótesis del Teorema del valor medio de Cauchy en [a, bi. En consecuencia, existe un nümero c en (a, b) tal que
f(b) f(a)
g(b) - g(a)
o, como f(a) = 0 = g(a),
Cuando hacemos b
f'(c)
g'(c)
f(b)
f'(c)
g(b)
g'(c)
a, y por tanto forzando a que c
lim
b*a1
f(b)
g(b)
= lim
a, obtenemos
f'(c)
c*a g'(c)
que es equivalente a lo que querlamos demostrar.
Una demostración muy semejante funciona para el caso de los lImites por la izquierda y por tanto para lImites por los dos lados. Las demostraciones para los casos
en donde a o L es infinito son más difIciles, y los omitiremos.
Revision de conceptos
La regla de L'Hôpital es ütil para determinar lIm
[f(x)/g(x)], en donde
De ia regia de L'Hôpitai, podemos conciuir que
, pero ia regia de L'Hô=
iIm (tan x)/x = iIm
x-O
x-O
son distintos de cero.
y
pitai no nos da información acerca de 11m0 (cos x) /x porque
La regla de L'Hôpital dice que bajo condiciones apropiadas
lIm f(x)/g(x) =
lIm
La demostración de ia regia de L'Hôpitai depende dei teo-
rema
Conjunto de problemas 9.1
En los problemas deli al 24, encuentre el lImite que se indica. Asegárese de que tiene una forma indeterminada antes de aplicar la regla de
L'Hôpital.
1. tim
x-O
2x - sen x
3. lIm
x-O
5
X
x - sen 2x
iIm
x2+6x+8
x--2 x
lIm
7. x-1
9.
tan x
lIm
x-/2
2
3x - 10
- 2x + 2
-1
ln(senx)3
-X
2.
cos x
lIm
x-1T/2l.
-
tan3x
4. lim
x-O sen1x
6
lim
x-O
8. iIm
iim
13. x-O
- 2x
in x2
1
x-O 2 sen x
Vit2
mt
tncos2x
7x2
tanxx
iim
15. x-O
sen2x - 2x
12.
14.
2
lIri,j
16.
-1
-1
3 sen x
Vx
senx tanx
x2 sen x
x2
17
iIm
x-Osenx
x
x3-3x2+x
x-1 x2
10. iim
11. iim
t-
ex_in(1+x)_1
iIm
18 x-
19. iIm
x-O
tan1x - x
8x
1 - cos x - x sen x
2cosx - señ2x
21. xi52
20. iIm
x-O
coshx - 1
x2
sen x + tan x
iim
22 x-O
ex +
e_x - 2
408 CAPITULO 9
ix
Formas indeterminadas e integrales impropias
ix
Vi + sen t dt
\/icost dt
23. urn
x-*O
29. Utilizando los conceptos de la sección 6.4, puede demostrar
que el area de Ia superficie del elipsoide alargado obtenido al hacer
girar la elipse x21a2 + y21b2 = 1 (a > b), alrededor del eje x es
[
A = 2ith2 + 27rab I
En la sección 2.7, trabajamos muy duro para demostrar que
lIm (sen x)/x = 1; la regla de L'Hôpital nos permite demostrar esto
L V'a
a
- b2
arcsen
\/a2_b2
a
x-*O
en una linea. Sin embargo, aun si tuviésemos la rega de L'Hôpital, digamos al final de la sección 3.2, no nos hubiese ayudado. Explique por qué.
Encuentre lIm
x-O
A dónde se aproxima A cuando a - b? Utilice la regla de L'Hôpital para demostrar que esto sucede.
Determine constantes a, b y c de tal modo que
x2sen(1/x)
tanx
urn
Sugerencia: Comience por decidir por qué la regla de L'Hôpital
no es aplicable. Después encuentre el ilmite por otros medios.
27. Para la figura 2, calcule los limites siguientes:
(a) lIm
t-*O
(b) lIm
area del triangulo ABC
area de la region curva ABC
ax4+bx3+1
x-*1 (x 1)senirx
=c
La regla de L'Hôpital en su forma de 1696 decIa esto: Si
lImf(x)
=
limg(x) = 0, entonces lImf(x)/g(x) = f'(a)/g'(a),
con tal que f'(a) y g'(a) existan y g'(a) 0. Demuestre este resultado
sin recurrir al Teorema del valor medio de Cauchy.
area de Ia region curva BD
area de la regiOn curva ABC
[CAS
Utilice un SAC para evaluar los lImites de los problemas 32 a135.
lin
cosx - 1 + x2/2
ex - 1 - x - x2/2 - x3/6
34. lim
x-*O
1 - cos(x2)
x senx
35. lIm
tanx - x
x-+O arcsen x - x
Para los problemas del 36 al 39, grafique el numerador f(x) y el
denominador g(x) en la misma ventana de graficacion para cada uno
[Gd
Figura 2
1, 0.1
0.01.
0.1 y 0.01
Con base en Ia grafica, estime los valores de f'(x) y g'(x) y utilIcelos para aproximar el lImite dado.
de estos dominios 1 x
28. En la figura 3, CD= DE = DF = t. Encuentre cada lImite.
(a) liry
(b) lImx
36. lIm
x-O
3x - senx
38. lIm
X-Oe2x
FE X P LI
X
x
1
37. urn
x-+O
senx/2
x
ex_1
39. lim
-x
x-Oe
1
40. Utilice el concepto de aproximación lineal a una función
(véase la sección 3.10) para explicar la interpretación geomOtrica de
la regla de L'Hôpital en el recuadro al margen próximo al Teorema A.
Respuestas ala revision de conceptos: 1. iirnf(x); lImg(x)
2. f'(x)/g'(x) 3. sec2 x; 1; 119 CO5 x
Figura 3
Cauchy
4. del valor medio de
Otras formas indeterminadas 409
SECCION 9.2
9.2
Otras formas
indeterminadas
En la soiución al ejemplo 6 de La sección anterior, nos enfrentamos a! siguiente problema de LImite
urn-
x*cxj
Este es un ejemplo tIpico de Ia forma lIm f(x)/g(x), en donde ci numerador y eL dex
nominador crecen indefinidamente; Les liamamos forma indeterminada del tipo oc/oc.
Resulta que la regia de L'Hôpital también se aptica en esta situación; esto es,
lIm
carrof
f(t)
carro g
f(x)
g(x)
= lIm
f'(x)
g (x)
Una demostración rigurosa es muy difIcil, pero existe una manera intuitiva de ver
que el resuLtado es cierto. Imagine que f(t) y g(t) representan las posiciones de dos alltomóviies sobre el eje t en el instante t (véase La figura 1). Estos dos automóviles, el auto
f y el auto g, están en una viaje sin fin, con veLocidades respectivas f'(t) y g'(t). Ahora, si
lim
f'(t)
t*oo g'(t)
=L
entonces básicamente el auto f viaja a casi L veces tan rápido como el auto g. Por tanto, es razonabie decir que, a La larga, viajará casi L veces más lejos; esto es,
lIm
f(t)
=L
g(t)
A esto no le ilamamos demostración, pero hace plausible un resultado que ahora estabiecemos de manera formal.
Teorema A
r,
Regla
de L'HpitaI para forra del :.po 'o/oo.
i
= iImg(x)j = °° Si
SupOngase que
I[f'(x)/5'(x)] existe c.n ci
sentido finito o infinito, entonces
lim
f(x'
g(x)
= Iiin
-.0
(x)
g (x'
Aqul u puede significar -ualauiera ne los s1mb olo'
i.a,
, a, oo o +oo.
La forma indeterminada oo/oo Utilizamos ci Teorema A para terminar ci
ejemplo 6 de la sección anterior.
EJEMPLO 1
Encuentre tim
x
xoo
Solución Tanto x como ex tienden a oc cuando x cxi De aquI que, por la regla de
L'Hôpital,
x
Dx = tim 1 = 0
lim
= lim
x
x
ex
x
D ex
e
.
He aqul un resultado general dci mismo tipo.
EJEMPLO 2
a
Demuestre que, si a es cuaiquier nümero real positivo,
ex
= 0.
So!ución Supongase como un caso especial quc a = 2.5. Entonces tres aplicaciones
de la regia de L'HôpitaL da
lIm x25
X
lIm
X
5x'5
lIm L2.5X1.5)x°5
X
ex
lIm (2.5X1.5X0.5) = 0
X
xO5ex
41 0 CAPITULO 9
Formas indeterminadas e integrales impropias
Un argumento similar funciona para cualquier a > 0. Denótese con m al máximo entero menor que a. Entonces m + 1 aplicaciones de la regla de L'Hôpital da
Vea coma crecen
En ciencias de La computación, uno
pone cuidadosa atención a La cantidad
de tiempo necesaria para reaLizar una
tarea. Por ejemplo, para ordenar x elementos por medio del algoritmo "de
La burbuja" toma un tiempo proporcional a x2, mientras que el algoritmo
"rápido" hace La misma tarea en un
tiempo proporcional a x Ln x, una gran
mejorla. He aqul una tabla que ilustra
cómo algunas funciones comunes crecen cuando x aumenta de 10 a 100 a
iIm
a(a
urn
EJEMPLO 3
1)xa-2
ex
Xm
- aex
Demuestre que, si a es cualquier nümero real positivo, lIm
x*oo
Solución Tanto ln x como Xa tienden a 00 cuando x
una aplicación de la regla de L'Hôpital,
00.
lnx
.
=
De aquI que, por medio de
1000.
mx
VI
2.3
4.6
6.9
3.2
10
31.6
x
10
100
1000
23
461
6908
100
10000
106
xlnx
e-
2.2
X io
2.7 X 10
10
lim
ifl X =4 lim
x-
x-
Xa
iiX-1 =
axa
'
-
1
-
axa
lim
= 0
.
Los ejemplos 2 y 3 dicen algo que es valioso de recordar: para x suficientemente
grande, ex crece más rápido cuando x aumenta que cuaiquier potencia constante de x,
mientras que in x crece más ientamente que cuaiquierpotencia constante de x. Por ejemplo, cuando x es suficientemente grande e-' crece más rápido que x100 y ln x crece más
1/
lentamente que
La tabla en el margen y la figura 2 ofrecen ilustración adicional.
ln x
40
EJEMPLO 4
30
1/
1
Encuentre x-*O
lIm
Solución Cuando x
tal se puede aplicar,
cotx
0, ln x
00 y cot x
00, de modo
in x
I
que la regla de L'Hôpi-
20
Figura 2
-
iIm
lim
x0
cotx=x0
10
1/x
1
[_csc2xj
Esto aün es una indeterminaciOn como aparece, pero en lugar de aplicar otra vez la regla de L'Hôpital (lo cual solo hace que las cosas empeoren), reescribimos la expresiOn
entre corchetes como
1/x
sen2x
cscx
X
=senx senx
X
AsI,
lIm
ln x
x*O cotx
= lIm [_senx
x*O
senx]
=
01
=
.
Las formas indeterminadas 0 oo y 00 - 00 SupOngase que A(x) *0, pero
B(x) oo. çQué ocurre con el producto A(x)B(x)? Trabajan dos fuerzas en competencia, tendiendo a jalar el producto en direcciones opuestas. ,Cuál ganará esta batalla, A
o B, o ninguna? Depende de cuál es más fuerte (p. ej., cuál hace su trabajo más rápido) o
si están niveladas. La regla de L'Hôpital nos ayudará a decidir, pero solo después de trasformar el problema a la forma 0/0 o oo/oo.
Otras formas indeterminadas 411
SEccION 9.2
EJEMPLO 5
Encuentre x-*ir/2
iIm (tanx. in senx).
iIm tan x = oo, esto es una forma indeterSoluciôn Ya que x-*ir/2
iIm in sen x = 0 y x-*ir/2
minada 0 oo. Podemos reescribiria como una forma 0/0 por medio dei artificio simpie
de cambiar tan x por 1/cot x. AsI,
iIm (tan x in Sen x) =
iIm
=
urn
x*rrI2
in sen x
x*rrI2 cotx
-
cos x
senx
x*rrI2
csc x
= iIm (cosxsenx)=O
x-
EJEMPLO 6
rI2
U
Ix
Encuentre x-*l\
lIm
-1
mx
Solución Ei primer término crece sin cota; io mismo que ei segundo. Decimos que ei
iImite está en una forma indeterminada 00 - 00. La regia de L'Hôpitai determinará ei
resuitado, pero sóio después que se reescriba ei probiema en una forma donde se apiique
ia regia. En este caso, se deben combinar ambas fracciones, este es un procedimiento que
cambia ei probiema a ia forma 0/0. De ias dos apiicaciones de ia regia de L'Hôpitai se
tiene:
x
iIm
1
iIm
mx ) = x*1
(
x*1 \x-1
xinxx+1
- im
(x-1)inx
xinx
-ix-1+xinx
Las formas indeterminadas 00,
iim
x*1
x1/x+inx-1
(x-1)(1/x)+inx
=iim 1+inx =
-
i2+inx
2
.
O,
°° Ahora voivamos ia atención a tres formas indeterminadas dei tipo exponenciai. AquI, el truco es no considerar ia expresión
originai sino su iogaritmo. Por io comün, ia regia de L'HOpitai se apiicará ai iogaritmo.
Encuentrex*O+
lIm (x + 1)0tx.
EJEMPLO 7
Soluciôn
que
Esto adquiere ia forma indeterminada 1°°. Sea y = (x + i)0t x, de modo
my = cotxin(x + 1) =
in(x + 1)
tan x
Usando ia regia de L'Hôpitai para formas 0/0, obtenemos
-
Ahora y = e'
Y,
iIm
x*O
n
y=
iIm
x*O
n(x
+
tanx
1)1
=
x+1 =1
Sec2x
urn
x*O
y como ia función exponenciai f(x) = e-' es continua,
=
}+exp(1ny) = exp(imn+iny)
=
expi = e
.
412
CAPITuL09
Formas indeterminadas e integrales impropias
EJEMPLO 8
Soluciôn
Encuentre
X
urn (tan X)CO.
-* ir/2
Esta tiene ia forma indeterminada 000. Sea y = (tan X)0S x de modo que
in tan x
sec x
in y = cos x in tan x =
Entonces
urn iny= iIm
x - 7r12
x - 7r12-
r
in tan x =
sec x
secx
= lim tan
x
x - 7TI2
=
iIm
tan x
se c2x
x -rI2 secx tanx
lim
-/2-
cosx =0
sen2x
Por tanto,
urn y = e0 = 1
.
Resu men Hemos ciasificado ciertos probiemas de ilmites como formas indeterminadas, utiiizando siete sImboios 0/0,00/00,0 oo,00- 00,00,000 y
Cada uno impiica
una competencia de fuerzas opuestas, io cuai significa que ei resuitado no es obvio. Sin
embargo, con ia ayuda de ia regia de L'Hôpitai, que sóio se apiica directamente a ias formas 0/0 e oo/oo, por io comün podemos determinar ei ilmite.
Existen muchas otras posibiiidades simboiizadas por ejempio, 0/oo, oo/0, 00 + Do,
0o Do, 0° e oo°°. Por qué no iiamar a estas formas indeterminadas? Porque, en cada
uno de estos casos, ias fuerzas trabajan juntas, no en competencia.
EJEMPLO 9
Encuentre lim(sen X)COtX.
Soluciôn PodrIamos iiamar a esta una forma
pero no es indeterminada. Obsérvese que sen x se aproxima a cero y eievada ai exponente cot x, un nümero que está aumentando, sóio sirve para hacer que se aproxime más rápido a cero. AsI,
iIm (sen x)c0tx = 0
x
.
Revision de conceptos
L Si lIm
g(x) = oc, entonces La regla de L'HôpitaL
xa f(x) = lImxa
dice que LImf(x)/g(x) = LIm
xa
2. SiLImf(x) = OyLImg(x) = oc, entoncesLImf(x)g(x)
Siete formas indeterminadas se estudiaron en este texto. Se
0
simboLizan por medio de 0/0,
y
ex
crece más rápido que cuaLquier potencia de x, pero
crece más Lentamente que cuaLquier potencia de x.
es una forma indeterminada. Para apLicar La regLa de L'HôpitaL, podemos reescribir este üLtimo LImite como
SEccION 9.2
Otras formas indeterminadas 41 3
Conj unto de pro blemas 9.2
En los problemas del 1 al 40 encuentre cada lImite. Asegárese de que
tiene una forma indeterminada antes de aplicar la regla de L'Hôpital.
1. lim
3. iIm
5.
1nx1000°
2. iIm
X
X10000
4. iIm
eX
iIm
x-/2
3secx + 5
tanx
(inx)2
in(lOOx + eX)
in sen2 x
iIm
x-(1/2)
[Gd
V-in
in(4 - 8x)2
tan ii-x
12. lIm 3x2 csc2 x
13. iIm(csc2 x - cot2 x)
14.
15. iIm(3x)X2
16. 1Im(cosx)X
(5cosx)ta1
19. iim(x + ex/3)3
(d) X_OO(
+ 2X)1
lk+2k++nk
Sugerencia: Aunque esto tiene ia forma c/c ia regia de L'Hôpitai no
es de ayuda. Piense en otra técnica utiiizada con frecuencia.
46. Sean c1, c2.....c constantes positivas con
18. iIm( csc2x - - 2
(I
23. iIm x1'
24. 1Im(cosx)1/2
25. JIm (tanx)2
26.
27. lIm(senx)X
28. lIm(cosx - sen
1/t
n
'L
22. iIm
c1 = 1 y
sean x1, x2.....x nUmeros positivos. Tome iogaritmos naturaies y desdespués utiiice ia regia de L'Hôpitai para demostrar que
(cos2x)X_2
21. iIm (sen x)cosX
x -4
para x > 0. Muestre io que sucede para
(c) lIm(1X + 2X)1
iIm
iIm (tanx - secx)
iIm
43. Grafique y =
45. Para k> 0, encuentre
1
20.
X-O
44. Determine cada iImite.
(a) lIm(1X + 2X)1
(b) lIn(1X + 2X)1
2csc2x
10. lim
x-O cot2x
cot x
iIm
(d) X-O
x muy pequefla y x muy grande. Indique ei vaior máximo.
x-O 3 in tan x
11. iIm (x in x1000)
17.
(c)
(e)
3x
in(in x1000)
9. iIm
(b)
2X
6. iIm
8.
42. Encuentre cada iImite.
(a)
XX
(
n
= X X2X = Hx
i=1
AquI fJ significa producto; esto es, fJ a significa a1 'a2.....a.
i=1
1
29. iIm csc x
X
- x)
iIrn(e
30. iIm 1+
En particuiar, si a, b, x y y son positivas y a + b = 1, entonces
1X
47. Verifique ia Uitima proposición en ei probiema 46 caicuiando cada uno de ios siguientes iImites.
[Gd
X
X
1
31. iIm (1 + 2e'
32.
33. lIrn(cosx)1R
34. lim(x1/2 in x)
iIm(
X-l\X - 1
iIii(ax + by)1 =
in x
(a) ifm(2 + 15t)1/t
9t)1/t
(c) iIm (2 +
t-0
[Gd
48. Considere f(X) = n2xe'.
Haga ia grlfica de f(x) para n = 1,2,3,4,5,6 en [0, 1] en ia misma ventana de graficacion.
35. limec0X
ParaX > 0,encuentreiimf(x).
36. lIm[in(x + 1) - in(x - 1)]
EvaiUe f f(x) dX para n = 1,2,3,4,5,6.
38. lIm(inxcotx)
37. iIm
x-O in x
'IX
Haga una conjetura acerca de
Vi + et dt
39. urn
(b) tiIm
(2 + 45()1/t
-0
X
fXsen tdt
iimf f(x) dx. Después justifi-
que su respuesta de manera rigurosa.
40. iIm
49. Encuentre ios puntos máximo absoiuto y mInimo absoiuto (si
existen) para f(x) = (x25 + x3 + 2v)e_ en [0, oo).
[Gd
41. Encuentre cada iImite. Sugerencia: Transforme a probiemas
que inciuyan una variabie continua x.
(a) iIm
(c) 1Imn('/ - 1)
(b) iIm
Respuestas a Ia revision de conceptos:
(d) 1Imn(Y - 1)
2.iImf(x)/[1/g(x)] o iirng(x)/[1/f(x)] 3.00 4. in x
1. f'(x)/g'(x)
414 CAPITULO 9
Formas indeterminadas e integrales impropias
Pb
9.3
En Ia definición de J f(x) dx, se supuso que el intervalo [a, b] era finito. Sin embar-
I nteg ra I es I m prop i as:
go, en muchas aplicaciones de fIsica, economIa y probabilidad queremos permitir a a o
a b (o a ambas) sean cx o oo. Por tanto debemos encontrar la manera de dar significado a sImbolos
LImites de integración
infinitos
f 00
1
I
Jo
y
1+x2
Jx2 e_x2 dx
f'xe_x2 dx,
dx
Estas integrales se denominan integrates impropias con lImites infinitos.
La gráfica de f(x) = e_v en [0,00) se muestra en Ia figura 1. La in-
Un IImite infinito
fb
tegral / e
Jo
dx tiene sentido sin importar qué tan grande se haga b; en realidad, p0-
demos evaluar esta integral de manera expilcita.
b
x
L
Figura 1
fb
b
Ahora b*cx
lIm (1 -
e_b)
e_x(_dx)
- Jo/
e_X dx
= [e] = 1 - e
= 1, de modo que parece natural definir
fe
dx = 1
He aquI la definición general.
Definición
fhf(x)dx
=
a00fbf
dx
a
b
f00
f(x)dx
f(x)dx
=
Si los lImites de la derecha existen y tienen valores finitos, entonces decimos que las correspondientes integrales impropias convergen y tienen esos valores. De otra forma, se
dice que Ia integral diverge.
EJEMPLO 1
Encuentre, si es posible, f xex dx.
Solución
J.-Ixe-x2
dx =
a
I2af
e2(_2x dx)
[_ 1 ex1
L2
]a
12
= - -1 e1 + 2
2
AsI,
I-lxe-x2
dx
-00
lIm
r_ e1
a-ooL 2
+1
2
e1]
Decimos que la integral converge y tiene valor 1/(2e).
1
2e
SECCION 9.3
Integrales impropias: IImites de integración infinitos 41 5
p00
EJEMPLO 2
I
Encuentre si es posible,
sen x dx.
Jo
Solución
fcx
b
sen x dx = boo
urn
I
v = sen x
Jo
sen x dx
o
lIrn [cos x]
b*oo
= b*cxj
lIm[1 - cosb]
El ültimo lImite no existe;conclujrnos que la integral dada diverge. Considere el significado geornétrico de
sen x dx para apoyar este resultado (véase la figura 2).
U
EJEMPLO 3 De acuerdo con Ia ley del inverso de los cuadrados de Newton, la.fuerza
que ejerce la Tierra sobre una cápsula espacial es k/x2, en donde x es la distancia (en
millas, por ejemplo) desde la cápsula a! centro de Ia Tierra (véase la figura 3). Por tanto, Ia fuerza F(x) requerida para elevar a Ia cápsula es F(x) = k/x2. ,Cuánto trabajo se
realiza a! impulsar una cápsula de 1000 libras fuera del campo de atracciOn terrestre?
Solución Podemos evaluar k observando que en x = 3960 millas (el radio de la Tierra) F = 1000 libras. Esta da k = 1000(3960)2 1.568 x 1010. Por tanto el trabajo realizado en millas-libra es
[00
1dx
1.568 x 1010
J3960 x
= lIm 1.568 X
b00
lO'°]x
L
lo[
1.568 x 10°
--b +
1
lIm 1.568 x 10
b*oo
=
b
1
I
3960]
e3.96x1O6
3960
1
U
Ambos Ilmites infinitos Ahora podemos dar una definición para [f(x) dx.
Definición
p00
Si
J
f(x) dx y J f(x) dx convergen, entonces se dice que
00
f(x) dx converge
0
y tiene valor
J
f(x)dx
10
=J
f(x)dx
foo
+ J0
f(x)dx
00
En caso contrario, [ f(x) dx o establezca que diverge.
JcX0
foo
EJEMPLO 4
EvalUe
1
100 1 + x2
dx o establezca que diverge.
Solución
foe
Jo
1
1+x2
[b
dx
lirn
booJ0
- lIrn
b [tan
1
l+x2dx
x]0
[tan_i b - tan' 0] =
= tIm
b>oo
Ya que el integrando es una función par.
2
41 6
Formas indeterminadas e integrales impropias
CAP1TULO 9
eoo
1
2dx=
f001+0
1
1+x
J
IT
dx
2
Por tanto,
00
1
eO
1
1+x2 dx=I 001+x2
dx+
100
0
Funciones de densidad de probabilidad
1
1+
x2
dx =
IT
2
+
IT
2
= IT
Muchos fenómenos implican el
azar, o aleatoriedad. Si lanzamos una moneda, podemos obtener cara o cruz; si lanzamos tres monedas, podrIamos contar el nümero N de caras, y obtendrIamos 0, 1,2 o 3.
0 podrIamos lanzar una sola moneda hasta que aparezca una cara; entonces el flumero de lanzamientos M es un nümero en ci conjunto f 1, 2, 3,. . .}. Las variables M y N se
denominan variables aleatorias ya que sus valores cambian de un experimento al otro.
Las variables aleatorias cuyos posibles resultados pueden colocarse en una lista se denominan variables aleatorias discretas.
Otros fenómenos inciuyen un resuitado que (a! menos teóricamente) toma cualquier valor en un intervaio. Por ejemplo, podrIamos colocar un foco en un contacto de
ca y observar cuánto tiempo pasa antes de que se funda. 0 podrIamos medir cuánto
se estira un resorte cuando le colgamos en uno de sus extremos una masa de 2 kilogramos. Las variables aleatorias que pueden tomar cualquier valor en un intervalo se haman variables aleatorias continuas. Una función de densidad de probabilidad (o simplemente, función de densidad) para la variable aleatoria continua X es una función f
definida en (oc, oo) con las propiedades
p oc
1. f(x)
0.25
0,paratodax
2.
J
f(x)dx
=
1
00
La probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor entre a y b es
fb
0.2
dx
0.15
Por ejemplo, el tiempo de vida de un foco (en miles de horas) podrIa ser una variable
aleatoria continua X que tiene la función de densidad que se muestra en la figura 4. La
0.1
[6
0.05
probabilidad de que el foco se fundirá entre las 4000 y 6000 horas es / f(x) dx. (Ya
'4
4
Figura 4
6
que el foco no puede tener un tiempo de vida negativo, la probabihidad de que X caiga
en cualquier intervalo que se encuentre por completo a la izquierda del cero debe ser
0; esto significa que la funciOn de densidad debe ser 0 para todos los valores negativos
dex.)
La media de una variable aleatoria que tiene funciOn de densidad f(x) se define
como
=
En la sección 6.6, definimos el centro de masa de una distribuciOn decontinua
masa a
lo largo de una recta que tiene densidad 5(x) como
M
m
i(x
[00
J
(x)dx
En el contexto de probabilidad tenemos la densidad de probabilidad en lugar de la
densidad de masa. También nótese que si reemplazamos la densidad de masa S con
la densidad de probabilidad f ci denominador se transforma en
SECCION 9.3
Integrales impropias: Ilmites de integracion infinitos
41 7
por Ia propiedad 1 de las funciones de densidad. AsI, el centro de masa para la densidad de probabilidad es
00
f00
xf(x)dx
[xf(x)dx
f(x)dx
1
f00xf(x)dx
=
Otra caracterIstica importante de una funciOn de densidad es sU varianza, denotada por o2, que se define como
f(x - )2f(x)dx
=
La varianza es una medida de dispersion, o "dispersidad". Cuando o-2 es pequefia, la
distribución de probabilidad está, aproximadamente, muy agrupada airededor de Ia media; cuando 2 es grande, la distribución de probabilidad es más extendida.
EJEMPLO 5 La función de densidad de probabilidad más importante es la normal
estándar, que se define por
1
f(x) =
e_x 2/2
V21T
La figura 5 muestra una gráfica de y = f(x). Es sorprendentemente difIdil demostrar que
V
-2
-1
1
2
x
1
IC
Figura 5
V
ex2/2
dx = 1
27T
aunque lo haremos más adelante (véase la sección 16.4). Utilice este hecho para demostrar que esta función de densidad tiene media 0 y varianza 1; esto es, demuestre Cada una de las siguientes:
(a)
1
f
V2r
00
00
xe_x2/2 dx
=0
(b)
2r
00
f xe2/ dx = 1
00
Solución
1
\,/
(a)
I
J0
00xe_x2/2
dx
lIm
r_
1
booL V2
1
lIm r
Ibe_x2/2(_x) dx]
Jo
e_x2/21b
b00L V2
Jo
1
V21T
Como xe_x2/2 Cs una función impar,
1
V2
[
_22 dx=
xex/
1-00
1
[00
I
V21r Jo
_2/2dx=
xex
1
V2r
AsI,
I
I
I0o
/ xe" dx =
V2r Joo
1
0
00
xe_x2/2 dx +
/27T
-00
xe_x2/2 dx
418 CAPITULO 9
Formas indeterminadas e integrales impropias
(b) Como e2/2 es una función par y ya que
f
1
i[002
edx=
1
e_x2/2
- V2
dx
1,
1
2
V2IT Jo
Entonces aplicamos integración por partes y la regla de L'Hôpital.
b
1
I
V'2ir Jo
dx
(_x)(_e_x2/'2x)dx
lIm
b-*cxj V2r
lIm
0
1
1
x2/2]b
([
boo V2
+
+ f00e_x2/2 dx)
(
I ex2/ dx
JO
V2'lT
1
2
Como x2 e2hI2 es una función par, obtenemos una contribución similar a la izquierda del cero, y asI
y
too
1
V2r
= 1- + 1-
2/2
I x2ex dx
2
J-oo
La paradoja de Ia trompeta de Gabriel
2
=
1
.
Supóngase que la curva y = 1/x en
[1, oo) se hace girar airededor del eje x, con lo que se genera una superficie denominada trompeta de Gabriel (véase la figura 6). Afirmamos que
el volumen V de esta trompeta es finito;
el area de la superficie A de La trompeta es infinita.
Figura 6
Al poner los resultados en términos prácticos, parecen decir que la trompeta puede
ilenarse con una cantidad finita de pintura, y que aün asI no hay suficiente pintura para pintar su superficie interna. Antes de que tratemos de esciarecer esta paradoja, establecemos (1) y (2). Utilizamos los resultados para el volumen de la sección 6.2 y para el area de la superficie de la secciOn 6.4.
/1\2
p00
I
V
f
-
I
\,x)
J
dx = lIm r I x2 dx
b-400
[
= b_*00L
hmi---i
x]1
7T
oo
A =
I 2ry ds = I
Jl
J1
2iy 1 +
2I1 + (-)
1
(dy\2
dx
dx)
dx
x
Pb Vx + 1
dx
lIm
21r
I
b-*oo
x3
j1
Ahora,
\/x+1 > \/
x3
AsI,
I
Hans Memling (1425/40-1494). El Juicio Final,
detalle del panel derecho: el angel hace sonar una
trompeta y el condenado cae al Infierno. Museo Promorskie, Gdansk, Polonia. Scala/Art Resource, N.Y.
bVx4+1
x3
x
x3
Pb
1
I dx=lnb
x
y como in b oo cuando b cc, concluimos que A es infinita.
,Hay algo erróneo en nuestras matemáticas? No. Imagine que a Ia trompeta se
corta por un lado, se abre y se aplana. Dada una cantidad finita de pintura, posiblemente no podrIamos pintar esta superficie con una capa de pintura de grosor uniforme. Sin embargo, podrIamos hacerlo si permitimos que Ia capa de pintura se haga Ca-
SECCION 9.3
Integrales impropias: Ilmites de integraciOn infinitos
41 9
da vez más delgada conforme nos alejamos del extremos más ancho de la trompeta. Y
por supuesto, esto es lo que sucede cuando llenamos la trompeta sin abrir con ir unidades cübicas de pintura. (La pintura imaginaria puede extenderse a grosor arbitrario.)
Este problema implica el estudio de dos integrales de la forma
Gabriel pavimenta una calle
iy converge parap> 1.
Soluciôn En nuestra solución de la trompeta de Gabriel, demostramos que la integral diverge parap = 1. Sip 1,
,Cuánto oro necesitó?
1
be_x
/ 1/x' dx diverge parap
Demuestre que
EJEMPLO 6
h = e
e_x dx = lIm
b+ooJ0
Jo
,lIm[_e_x] = 1
dx. Pa-
ra referencia posterior, ahora analizamos esta integral para todos los valores de p.
Cuando se le pidió pavimentar una
1
<cx, 0
calle infinita 0
con oro puro, Gabriel obedeció pero
hizo que el grosor h del oro en x satisficiera
V =
fiix
dx
fb
I
dx= lIm
b-*ccJ1
[ x1
lImi
xdx= b-*oo[_p
+ lj
1b
I
[1
1
Solo una unidad cübica.
sip<1
oo
l]={1
b[l - Pl[bP_1
lIm
si p> 1
La conclusion se sigue.
Revision de conceptos
[00
fb
Ioo
La
existe.
f
no
cosx dx no converge porque
La
Conjunto deproblemas 9.3
tre que diverge.
f°°ex
dx
100
3.
fxex dx
19
[00
7.
11
[00
9.
Ji
[00
Je
13.
4.
xdx
6.
Vi+x
[00
10.
x99999
1
xlnx
dx
12.
1 lnxd
x
[1
17.
J
1
J00
I
J10
dx
14.
dx
(2x
x
Vx + 9
f
sech x dx
f
20.
[00 x
dx
1-00 e2
Sugerencia: Utilice una tabla de integrales
f
1 + x2
dx
x
1-00
Sugerencia: Utilice una tabla de integra-
fex sen x dx
dx
xe_x dx
dx
(IT - x)213
18.
e_x cos x dx
les o un SAC.
x
f"dx
[00
dx
x2 + 2x + 10
dx
csch x dx
(1 + x2)2
J
16.
3)3
1
1-00
fe4xx
8.
x100001
19.
o un SAC.
[00
dx
J2
15.
dx
2.
1.
[00
o
f (1/xP) dx converge si, y solo si
[00
En losproblemas deli al 24, evaláe cada integral impropia o muestra
5.
f(x) dx se dice que diverge si
divergen.
existe y es finito.
2. La
J
dx
(x2 + 16)2
Encuentre el area de la region bajo la curva y = 2/(4x2 - 1)
a la derecha de x = 1. Sugerencia: Utilice fracciones parciales.
Encuentre el area de la region bajo la curva y = 1/(x2 + x)
a la derecha de x = 1.
SupOngase que la ley de Newton para la fuerza debida a la
gravedad tuviese la forma -k/x en lugar de - /c/x2 (véase el ejemplo
3). Demuestre que entonces serIa imposibleenviar cualquier cosa fuera del campo de atracción terrestre.
Si una cápsula de 1000 libras solo pesa 165 libras en la luna (radiode 1080 millas), j,cuánto trabajo se hace alimpulsar esta cápsula fuera del campo de atracción gravitacional de la luna (véase el ejemplo 3)?
420 CAPITULO 9
Formas indeterminadas e integrales impropias
29. Supóngase que una compaflIa espera que su utilidad anual
dentro de t aflos sea f(t) dólares y que se considera que el interés se
compone de manera continua a una tasa anual de r. Entonces el valor
presente de todas las utilidades futuras (UF) puede demostrarse que es
FP =
u =
dx
(r2 + x2)3/2
Arf
en donde A, r y a son constantes. Evalüe u.
fetf(t)dt
35. Existe una sutileza en la definición de
Encuentre UFsi r = 0.08 y f(t) = 100,000.
30. Resuelva el problema 29 suponiendo que f(t) = 100,000 +
1000t.
31. Una variable aleatoria continua Xtiene una distribución .iniforme si tiene una función de densidad de probabilidades de la forma
do por medio de lo siguiente. Demuestre que
(a)
sen x dx diverge y
iImj
(b)
f
f(x) dx ilustra-
sen x dx = 0.
36. Considere un alambre infinito que coincide con la parte positiva del eje x y que tiene densidad de masa ö(x) = (1 + x2)1, 0
x <oo.
1
f(x)= ba
0
sia <x <
Calcule la masa total del alambre (véase el ejemplo 4).
Demuestre que este alambre no tiene centro de masa.
b
sixao xb
37. Proporcione un ejemplo de una region en el primer cuadrante que dé un sólido de volumen finito cuando se hace girar alrededor
del eje x, pero que dé un sólido de volumen infinito cuando se hace
girar alrededor del eje y.
ff(x) dx = 1.
Demuestre que
Encuentre la media p y la varianza o2 de la distribución uniforme.
Si a = 0 y b = 10, encuentre la probabilidad de que X sea menor a 2.
38. Sea f una función continua no negativa en 0 s x < oc
con
32. Una variable aleatoria X tiene una distribución Weibull si
tiene función de densidad de probabilidad
f
f(x) dx <oc. Demuestre que
Si lImf(x) existe debe ser 0;
es posible que }I1 f(x) no exista.
si x >
f(x)
=
Demuestre que
six0
{0
f
0
f(x) dx = 1. (Supongase que >
ICAsI
39. Podemos utilizar una computadora para aproximar f(x) dx
tomando b muy grande en
1.)
f
f(x) dx con tal que sepamos que la
primer integral converge. Calcule
Si 0 = 3 y f3 = 2, encuentre la media p y la varianza o2.
Si el tiempo de vida de un monitor de computadora es una variable aleatoria X que tiene distribución Weibull con 0 = 3 y f3 = 2
(en donde la edad se mide en aflos) encuentre la probabilidad de
que un monitor se descomponga antes de dos aflos.
33. En teorIa de probabilidad, tiempos de espera tienden a ser va-
f(x)
Demuestre que
f
six >
f(x) dx =
0
(1/xP)dx para p =
2,
1.1, 1.01, 1 y 0.99. Observe que esto no da idea de que la integral
I
(1/xP)dx converge para p > 1 y diverge para p
ICA5I
Calcule
ICA5I
Calcule
riables aleatorias continuas que tienen una distribución exponenciat
con función de densidad
I ae
= 0
f
100
f1
a
six0
(1 + x2)
1
f-a V21r
1.
dx para a = 10, SOy 100.
exp(_x2/2) dx para a = 1, 2,3 y 4.
1.
Encuentre la media p y la varianza o2 de la distribución exponencial.
Respuesta a Ia revision de conceptos:
Pb
34. En teorIa electromagnética, el potencial magnético u en un
punto sobre el eje de una bobina circular está dada por
9-4
Integrales impropias:
Integrandos infinitos
lIm
b3ooJ0I
1. converge 2.
0
cosxdx 3.
f f(x)dx; f f(x)dx 4.p> 1
Considerando la gran cantidad de integraciones complicadas que hemos hecho, he aqul
una que parece muy sencilla pero es incorrecta.
[11
[ i1
/dx=I---J
=-1--=---2
J_2x
L xj_2
1
2
3
ERROR
Una mirada a la figura 1 nos dice que algo está muy mal. E! va!or de !a integra! (si exis-
te uno) tiene que ser un nümero positivo. (,Por qué?)
,En dónde está nuestro error? Para responder, nos regresamos a !a sección 5.5.
Recuérdese que para que una funciOn sea integrab!e en e! sentido estándar (o propio)
Integrales impropias: Integrandos infinitos 421
SECCION 9.4
debe ser acotada. Nuestra función, f(x) = 1/x2, no está acotada, asI que no es integrable en el sentido propio.
ty
x2 dx es una integral impropia con un integrando infinito (integran-
Decimos que
1-2
do no acotado es un término más preciso pero menos interesante).
Hasta ahora, hemos evitado con cuidado integrandos infinitos en todos nuestros
ejemplos y problemas. PodrIarnos continuar haciendo esto, pero serIa evitar una clase
de integrales que tienen aplicaciones importantes. Nuestra tarea para esta sección es
definir y analizar esta nueva clase de integrales.
I
/
-2
x
-1
Figura 1
Integrandos que son infinitos en un punto frontera Damos la definición para el caso en donde f tiende a infinito en el punto frontera del lado derecho del
intervalo de integración. Existe una definición completamente análoga para el caso en
donde f tiende a infinito en el punto frontera del lado izquierdo.
Defiriición
Sea f continua en el intervalo serniabierto [a, b) y supóngase quelIni f(x
Entonces
I
00.
Pt
b
f(x)dx = lIm
t*b-jI f(x)dx
con tat que este lIrnite exista y sea finito, en cuyo caso decimos que Ia integral converge. De otra forma, decimos que la integral diverge.
Obsérvese Ia interpretaciOn geométrica en la figura 2.
Jf(x) dx
[2
EJEMPLO 1
Solución
Figura 2
EvalOe, si es posible, la integral impropia
4 - x2
lIm f
t2lIm
-
rseni (
t_2L
Del ejemplo 6 de la secciOn 9.3, aprendimos que
/
11
1
X
EJEMPLO 2
Jo xP
EvalOe,siesposible,
1
I
VX
it
= iIm
t2- [sen-i
jj
- sen (O\1
T
\2/]
2
U
dx.
So!ución
dx
I
dx = tO
tim f x114 dx = lIm
x
43/41
lim[32
EJEMPLO 3
Solución
r
to+L3
o
dx
converge si, y solo si p < 1. La primera tiene un lImite de integraciOn
infinito, la segunda tiene un integrando infinito. Si se siente como en casa
con estas dos integrales, también debe
Sentirse cómodo con cualesquiera
otras integrales impropias con la que
se encuentre.
\\2 )
JO
converge si, y solo si p > 1. Del ejemplo 4 de eSta sección, aprendimos que
[11
JV -
Observe que en 2 ci integrando tiende a infinito.
[2
dx
dx
Jo
Dos ejemplos c/ave
dx
EvalUe, si es posible,
f'i- dx
I
Jo
x
-
32
3
I - dx.
Jo X
1i dx = lIm [in x]
lIm I
t*O+J,
x
= lim [tnt] = oo
Concluimos que la integral diverge.
136
314
I
i
U
422 CAPITULO 9
Formas indeterminadas e integrales impropias
EJEMPLO 4
Soluciôn
Muestre que
f-
dx converge si p < 1, pero diverge si p
El ejemplo 3, tomó a su cargo el caso p = 1. Si p
f
1
I
Jo x
dx = lIm I x
lIm
t_*O+[_p +
I
[1
limi
-p
1
1,
1
ij
I
ip
111=
1
-p
p+l
[
dx
1.
00
sip<l
sip>i
EJEMPLO 5 Haga una gráfica de la hipocicloide de cuatro vertices, x213 + y2/3 = 1 y
determine su perImetro.
Soluciôn La gráfica se muestra en la figura 3. Para encontrar el perImetro, es suficiente con determinar la longitud L de la parte del primer cuadrante y multiplicarla
por cuatro. Estimamos que L será un poco más de
1.4. Su valor exacto (véase
\/
la sección 6.4) es
L =
/Vi
+ (y')2dx
Por medio de derivación implIcita de x213 + y2/3 = 1, obtenemos
213=j
1/3
+
=o
3
3
Figura 3
0
y1/3
x
AsI,
l+(y')2=l+
Y213
x213
=1+ 1 - x
x213
=
x213
y de esta manera
L=f
1
+
(y')dx
=
1dx
L x3
El valor de esta integral impropia puede deducirse de la soluciOn al ejemplo 4; es
L = 1/(1
Concluimos que la hipocicloide tiene perImetro 4L = 6.
=
-
.
Integrandos que son infinitos en un punto interior
La integral
/l/x2 dx
de nuestra introducción tiene un integrando que tiende a infinito en x = 0, un punto
interior del intervalo [-2, 1]. He aqul la definición apropiada para dar significado a tal
integral.
Definición
Sea f continua en [a, b] excepto en un nümero c, en donde a < c < b, y supOngase
jf(x) = 00. Entonces definimos
que
I
b
f(x)dx
=
f
c
f(x)dx
+
f
b
f(x)dx
siempre que ambas integrales converjan a la derecha. En caso contrario, decimos que
I; f(x) dx diverge.
SECCION 9.4
Integrales impropias: Integrandos infinitos 423
f1/x2 dx diverge.
EJEMPLO 6 Demuestre que
-2
So!ución
111
101
-2dx= I
J_2x
J_2x
-dx+
I
111
-dx
X
I
J
La segunda integral de la derecha diverge, por el ejemplo 4. Esto es suficiente para dar
1.y
4
la conclusiOn.
EJEMPLO 7
So!ución
f(x) = /(x- 1)
Evalüe, si es posible, la integral impropia
El integrando tiende a infinito en x = 1 (véase la figura 4). AsI,
dx
L
(x_1)2/3
[1
dx
Jo (x_1)2/3f
dx
+lIm/
s-1
x - 1)2/3
I
= lIm
[3(x - i)"] + lIm [3(x - 1)h/3]
t-+1-
x
2
dx
(x - 1)2/3
'
dx
=iIm/Pt
'Jo (x - 1)2/3
1
dx
L (x -
=3lIm[(t-1)3+1]
+3lIm[23-(s-1)3]
t-1s-1
Figura 4
= 3 + 3(2)
6.78
Revision de conceptos
1. La integral f (/ \/) dx no existe en el sentido propio, ya
que Ia función
I
f(x) = 1/
f(1/V4 - x)dx se define por
en el intervalo (0, 1].
es
2. Considerada como una integral impropia,
(l/)dx a1fX
3. La integral impropia
4. La integral impropia f1(1/xP)dx converge si, y solo si
112dx =
0
Conj unto. de pro blem as 9.4
En los problemas del 1 al 32, evalte cada integral impropia o muestre
que diverge.
dx
1.
3.
['°
13
I
4.
\/x-3
(x -
dx
6.
Jo Vix
dx
I
-dx
8.
J- x
9. f x517 dx
dx
11.
13.
10.
(2 - 3x)3
1
Jo
x
16-2x2
dx
T/Z
x
21. 101 - cosx
18.
v
/P27
Jo
cscxdx
/
Jo
IT! L
dx
23. f tan2 x sec2 x dx
[IT
dx
x
(16-x
22/3
dx
25.
dx
Jcosx-1
[1n3
27.
Jo
29.
dx
exdx
Vex
fe dx
Jj xlnx
dx
r IT/2
20.
22.
I
24.
I
Jo
14.I3 V'9_x2
x213-9
fir/4
2/3dx
LIV1x- x2
0
sen x
-2
x3
dx
- x2 - x + 1
1
j/
12.f
13
dx
16.
19. f tan 2x dx
dx
/
Jioo Vi + x2
[3 1
7.
17.
V9-x
Jo
dx
12 (x +
dx
[9
dx
[1
5.
2.
(x - 1)1/3
15.
26.
28.
30.
cos x
Ysen x
dx
sec2 x
(tanx - 1)2 dx
424 CAPITULO 9
f4c
I
J2c
f2c
I
IC
Formas indeterminadas e integrales impropias
dx
Demuestre que el area de R es finita encontrando su valor.
\/x2 - 4c2
xdx
Demuestre que el volumen del sólido generado al hacer girar R
alrededor del eje x es infinita.
c>0
\/x2+xc_2c2
Con frecuencia es posible cambiar una integral impropia por
una propia por medio del uso de la integraciOn por partes. Considere
f
dx
Utilice la integraciOn por partes en el inter0JC \/ (1 + x)
valo [c, 1] donde c > 0 para demostrar que
ci
dx
(1 + x)
JC
2V
=1
+2/IC
C+1
y asI concluir que tomando el lImite cuando c
pia puede convertirse en una integral propia.
['
Jo
I
f(x)dx
0 una integral impro-
=
f
f(x)dx
f
+
f
vergencia de
Ji
1
dx
x4(1 + x4)
f
g(x), en
[a, oc],
g(x) dx implica la con-
g(x)dx. Utilice esto para demostrar que
converge.
1/x4.
h
f(x)dx,
1-3 \/9 - x2
Utilice la prueba de comparaciOn del problema 46 para de-
dxo
mostrar que f e_x2 dx converge. Sugerencia: e_x2
ex en [1,
).
Utilice la prueba de comparaciOn del problema 46 para de[00
1
mostrar que
Vx+2-1
J2
x
dx diverge.
Utilice la prueba de comparaciOn del problema 46 para de-
terminar si
problema 35.
f4
f
Sugerencia: En [1,00), 1/[x4(1 + x4)]
en donde c es cualquier punto entre a y b, siempre que, por supuesto,
las Ultimas dos integrales converjan. En caso contrario, decimos que la
[3
x
Evalüe
f(x)
f(x) dx, y la divergencia de / f(x) dx implica
Ja
la divergencia de
[cx
0.
dx es impropia? Explique.
46. Prueba de comparación Si 0
a
dx
en una integral
Vx(1 + x)
C
x
Jo
IEXPLI
sen x
ln x dx =
puede demostrarse que la convergencia de
Si f(x) tiende a infinito en a y b, entonces definimos
b
f
,La integral
(1 + x)2
Utilice integración por partes y la técnica del problema 33 pa-
ra transformar la integral impropia
propia.
f
Encuentre b de modo que
1
jdx16
o demuestre
que diverge. Véase
- x2
I
Ji
x2ln(x + 1)
dx converge o diverge.
Formule una prueba de comparaciOn para integrales impropias con integrandos infinitos.
problema 35.
Evalüe
dx o demuestre que diverge.
f
J-i xV-lnx
1
Si lImf(x)
L
(a) Utilice el ejemplo 2 de la sección 9.2 para demostrar que
para cualquier nümero positivo n existe un nümero M tal que
f(x)dx
= CX),
0< x'ex
definimos
I f(x)dx
C_+oJ
lIm
+
lIm
I f(x)dx
h_+ooIi
con tal que ambos lImites existan. En caso contrario, decimos que
L
f(x) dx diverge. Demuestre que
f-
Suponga que f es continua en [0,
dx diverge para todap.
cxJ) excepto en x
I
CX). tCOmo definirla
/
53. Función gamma
f(x) dx?
Jo
0para0x <8.
Encuentre el area de la region entre las curvas y = 1/x y
y =
los problemas 51 y
1.
=
x
f°°xi e_x dx, n
e
dx
> 0. Por
52, esta integral converge. Demuestre cada una de
quier nümero positivo real n):
(a) F(1)
Sea R la region en el primer cuadrante debajo de la curva
Sea F(n)
f
las siguientes (observe que la funciOn gamma está definida para cual-
1/(x3+x)parao <x1.
y = x213 y a la izquierda de x =
ex dx converge.
converge para n > 0.
1, en
Encuentre el area de la region entre las curvas y = (x - 8)2/3
yy =
x'
52. Utilizando el problema 50, demuestre que
IEXPLI
donde lIm f(x)
para x
(b) Utilice la parte (a) y el problema 46 para demostrar que
'1
=
1
x2
=
(c) F(n +
1
(b) F(n +
1) = n!, sin es un entero positivo.
1)
= nF(n)
Integrales impropias: Integrandos infinitos 425
SEccION 9.4
CASI
f00xi e_x dx para n =
54. Evalüe
1,2,3,4 y 5, con lo que
EXPLI
Suponga que 0 < p < q y
56.
se confirma el problema 53(c).
tQué puede decir acerca de p y q?
55. Interprete cada una de las siguientes integrales como un area
y después calcule esta area por medio de una integración con respecto a y, evalüe:
Respuestas a Ia revision de conceptos:
11
(b)
)J
- x)dx 4.p <
L
dx converge.
x" +
1. no acotada 2. 2
1
f+xdx
0
9.5 Revision del capItulo
f
Examen de conceptos
Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta.
1. lIm
x_00
3.lrn
x1
=0
ex
1000x4 + 1000
0.001x4 +
00
x11°
2. lIm
lnx
SilImf(x) = lyiImg(x)
= 0
f(x)
Silimf(x) = OyiImg(x)
para x
Si
=
1
es continua en [0, oo) y iImf(x) = 0, entonces
f
Si
= 0.
iImff(x)dx
Si
f'
f(x)
g(x)
=
entonces iIm[f(x) - 3g(x)] =
,
para x
(SupOngase que g(x)
SiiImlnf(x)
=
0.
f(x)
e
ayiimf(x)
Oparax
lIm[1 + f(x)]1
=
en [0,00), entonces
e.
p(x)
ex
p(x)
ex
f'(x)
= L.
= 0.
= p(0).
oo.
Determine cada lImite en los pro blemas deli al 18.
tan2x
2. lim
x-0 sen 3x
3. lIm
sen x - tanx
x-O
7. lIm
f+00
9.
4. lim
cosx
x-0
x
6. lIm
x-1
lnt
x2
ln(1 - x)
cot iix
2x3
8. lim
x-o in x
10. lImxlnx
lIm (senx)'
x - 0+
11. lIm xx
12. lIm(1 + senx)2
13.x lIm\/lnx
- 0+
14. lnt1
-0±
= L,
f(x) dx converge.
Problemas de examen
5. lIm 2x cot x
Si p(x) es un polinomio, entonces lIm
f(x)
e2.
f
dx es una integral impropia.
x
1. lim
x-0 tan x
= 0,entonces
Si p(x) es un polinomio, entonces x-oo
lIm
x-0 g(x)
L
4x
a.)
2,entonceslImf(x) =
fOOf(x)dx
es continua en [0, oo) y iImf(x) = 0, entonces
4tanx
25.
f(x)
=
Si lImf(x) = 2 y lImg(x) = 0, entonces lIm
x-a g(x)
entonces lIm
existe y es finita, entonces
Lf'(x)dx converge.
Si 0
14. Sif(x)
f(x)dx converge, entonces
= OyiImg(x) = oo,entoncesiIm[f(x)g(x)] = 0.
SilImf(x)
11. Si lIm
f
converge.
a.)
SiiImf(x) = -lyiImg(x) = oo,entonces
iIm[f(x)g(x)] = _oo.
es una función par y
ff(x)dx converge.
1.
oo,entoncesiIm[f(x)]
dx diverge para toda p> 0.
ff(x)dx converge.
= 1.
x-a g(x)
oo,entonces1Im[f(x)]
SilImf(x) = 1, entonces lIm{1Im[f(x)]} =
f
Si
1
Si lIm f(x) = lImg(x) = 00, entonces lIm
(Supongase f(x)
f-
=00
4. lImxe
00
dx converge.
x1001
15.
1
lIm(
x-40senx
1\
x)
16.
tan3x
lim
x-/2
tanx
426 CAPITULO 9
Formas indeterminadas e integrales impropias
lIm (sen x)t
x-/2
33
lIm (x tan x x-/2
21.
dx
fcxJ
J
22.
Ll+4 dx
fex dx
36.
/x2e3 dx
38.
/
Jo
ne-
1
1+x2
fj_1 1dx- x
ci
dx
26.
x2 + x4
f°
J_22x+3
28.
29.
dx
x(Lnx)2
Xoo
30. f
dx
32.
(4 - x)23
fIT/2
x
dx
tan x
(Ln cos x)2
JIT/3
dx
f-
dx converge y para
f-
dx converge y para
qué valores diverge?
Para qué valores de p La integral
dx
[4
1
Para qué valores de p La integral
cuáLes diverge?
J (2 - x)2
27.
e2x +
1-3 \/9 - x2
dx
24
f21/2 x(Lnx)'5
dx
31.
n
dx
20. /
Jo
fe2x dx
x +
34.
[3
f
(x+1)2
23. I
25.
evahe hi integral irnnrnnia rlarla
38.
dx
f
x
dx
sec x)
En los problemas del 19 al
muestre que diverge.
19
x
Lx2+1
En los problemas del 41 al 44, utilice la prueba de comparación (yease el problema 46 de la sección 9.4) para decidir si cada una de las siguientes integrales convergen o divergen.
dx
Ji \/x-1
dx
41
i
[xe2 dx
43. [
J2
j3
Ln x
x
Lnx
42
Vx+x
e2
dx
Ln x
[
44
x3
J1
dx
dx
9.6 Problemas adicionales
1. Uno puede transformar una integral impropia en una integral
4. Haga un bosquejo de La gráfica de La función de densidad normal
propia cambiando La variable de integración (véase Las secciones 5.8
y 8.1). Si utiliza un cambio de variable dado por u = g(x) en La intefh
gral
f(x) dx, entonces g(x) debe ser una función derivable para
f(x)=
J
toda x tal que a <x <b.
Demuestre que utilizando La transformaciOn u = 1/x, La integral
1
Ji 1+x2
dx se transforma en
1
Jl/c1+U2
1
o\/2ii
e
5. La función de densidad de probabilidad de Pareto tiene La forma
CMk
f
(x) =
x'
0
LUe La integral.
1
1
x2
dx es igual a
L
1
2
f
x3
dx en La integral propia
L
Defina una función de densidad de probabilidad por
Ce
51 x
six<M
du y eva-
donde k y M son constantes positivas.
UtiLice un cambio de variable apropiado para convertir La integral
impropia
2
y muestre, por medio de cáLcuLo, que o- es La distancia de La media p a
La abscisa de uno de Los puntos de inflexiOn.
du.
Demuestre que bajo La transformación dada en La parte (a) La in-
tegral impropia
L
du.
f(x) =
para k positiva.
Encuentre La constante C que hace a f(x) una función de densidad de probabilidad.
Encuentre el valor de C que hace a f(x) una función de densidad de probabilidad.
Para el valor de C encontrado en La parte (a), determine el valor
de La media p. La media es finita para toda k positiva? Si no,
tcómo depende La media de k?
Para el valor de C encontrado en La parte (a), determine La varianza cr2. tCómo depende La varianza de k?
6. La función de densidad de probabilidad gamma es
Utilizando el valor de C encontrado en La parte (a), determine La
media
=
f
xf(x)dx.
f(x)
{Cxa_1e
Si x > 0
Si x
SECCION 9.4
Integrales impropias: Integrandos infinitos 427
en donde a y /3 son constantes positivas. (Tanto la distribución gamma como la Weibull se utilizan para modelar tiempos de vida de personas, animales y equipo.)
Calcule 1mn f(n) (x), para n = 0, 1,2,3 y demuestre que f()(x)
Recordando que Ia función gamma se define como F(a)
f xa 1e dx para a > 0, encuentre el valor de C, que de-
Proporcione un argumento plausible para la conclusion de que
f()(x) es una función continua para todos los valores enteros positivos de n.
es una función continua de x para estos valores de n.
=
penda de a y /3, que hace a f(x) una función de densidad de probabilidad.
1i
Para el valor de C determinado en la parte (a), enduentre el valor de Ia media t.
función f(x) está dada por L{f(t) } (s)
Para el valor de C determinado en la parte (a), encuentre la varianza u2
8. La transformada de Laplace, nombrada asI en honor del
matemático frances Pierre-Simon de Laplace (1749-1827), de una
les.
Demuestre que la transformada de Laplace de ta está dada por
F(a + i)/sa + y está definida para s > 0.
Demuestre que la transformada de Laplace de e" está dada por
1/(s - a) y está definida para s > a.
Demuestre que la transformada de Laplace de sen(at) está dada
por a/(s2 + a2) y está definida por s > 0.
Demuestre que Ia transformada de Laplace de cos(at) est dada
por s/(s2 + a2) y está definida para s > 0.
si x > 0
si x 0
=
tiene un nümero infinito de derivadas. Denote
f(t)e_sl dt. Las trans-
formadas de Laplace son Otiles para resolver ecuaciones diferencia-
7. La función
f(x)
f
=
f(x) por f()(x).
(a) Haga un bosquejo de las gráficas de f(x), f(1)(x), f(2)(x) y f(3)(x)
para 2 <x < 5.
I
PRYECTI . Ill11ECNLGGIA
9.1
I
I
I
I
L'
P
de tyobabilidad
'unciones de densid
I. Preparación
Ejrcicio 3 1-Iad
grafica cle Ia den-
a fuinión de dis ribuvión acumi'Ja-
Ejercicio
sidad normai con
() y a = 2 y Ia
densidad de Caur y en . mi3ma gráfica.
I
d.. está re1aciJnaL't
corila función de
densió11 a'cprcbu hiIivad icorn sigEue:
f
SupOngase que ,
1
una
función pa;; esto es, f(x) = f(x). ''emuestre que
xg(x), nuevamente i los mismos ejes.
f'fxdx = 2Jfx)dx
Ejercicio 2 SupOngse que g es ma
.unciOn impar; esto es g(x) = g(x).
Demuestre que
Ejercicio 4 VarIe j
yy en (1) y trace
Ia funcion de clensida'.
d I xp1ique el efecto de p y a en Ia forma y ubicación de la
funciOn de densidad de probabilidad.
El
n
Do importantes funcioues
de Iitribuiin de probabi.id la-des S( n l .. rcrmal
1
f(x' =
4; VI?!
e'
etermine h media de
Ia distrihución I .ormal. Sugerezcia: E I la
tecn'ogu
integral ha, a a sustuciór r =
(x
FaLLorice las consta.
I T.)e pués Liites y saquelas de ii integra..
II
r
ice su
ti'r oIo,' para
evaluar 1a
graL) ,Exste I ar'1iedi a Je li tjf ribuLión
)/'/o.
-
-
I
L
?120)
[X
(t)
rti,1a funciOn 1e disLlihuciOn
-- acumuir'ada
Ejercicio 5
(ISO de I
Fx) =
Describa en qué soi' similares estas gráficas y en qué son diterentes.
1g(xdx
(1)
1
Después trace tas Lnciones xf(x) y
de Caucliy? B.'oiciie.
a' :umula La probaoilidal
.('je forma ir'
C
n recida a come una- fi Li,n 'l(in de acuiflulae ió acurnuia r' ' ea d. ajo
una
Cu
v.
t
li 1shionesde
-iercicio 7 3raique
i
di stribuciói, acu ajIadai ara :a
bución norma.I(L.=
= 2)yla
d..istribución c e C,uc]iiy.
-
-
I" R
F!
.jerr
- Jc 'c 8 r3x
plique
sie mpre es c-icrttO que
por qué no
fIvo
/oo
Thuchy
g(;
=
Ejerciclo
E ncuentre Ia varianza de la
distribuci&i'nc ira1. j,Existe d va:lalLza
u'lä 'Jistribucici de Cauchy? Explique.
J
cu
tndo
,
e un aFun
r. idOl a' i'npa Ir.
PR'VECTS SE T'ECNØLSGIA 9.2
51
I
'
r rmI
b jjon
.IO.
ii
La dist'ii'
I. Pr
'
Vi
itltaj e? (AsLegi.rese de ajt'cintej,grai'rc s..
tar io ii(r'itc. s.)
La fun .i de.- densidad de r,ro..ibabjjiJda
prop )rc iciiia 1 a pr'o IbiliG i om0Un
,s;'la
area h ,o una curv"a . Por emp10
densid1;i
-.7
2' /2:
1]
'aljr .e
d
ta que .I
1
inteirv!'a (
babilidad
L) tenl a p ro
-
es un nüLi
1 - a, enLIlond ct-, 'olnünmente
r
d
mero ce..cano,
p :r diferente
de cero.
En uentre e valor aprc piado de L para
II. Uso die a tecnologIa
III. Rq.fIex ion
I
I'
ba1 d
Li
a.
n puig.aclas
es uti nod elc'F )a ra i itlira
de los estudiantes hombres d un colegio, entonces Ia prraa 'tilidad de que Ia
LudiaI'ite h'bre eleg o
altura c un "br
s
a! azar cxocderi 12 01
Cnn rcnencia es de inte-
Ejercicic 2: I SC1L-iba una integral cue
r)roporoiJne 'ai.proc )iIica de que un
el..'gidti al azar su
- 'dianit
ml
sn.4
ente
65
y 70 Pulgad ;.t E] nI
ra
s
:é
estat'ii
'ga
'
su
:i j(ili p. = (x
e;sLa integral ha ja - ,LiIJ(
(
I,.
hi
integrai
r su1t 14A
70)! -1
f(x) =
Eje.!
rcci o5
rés 'rn con. rar
-
-
L(
a = ft05 ; ara = (U(, Sug'encz:
Cor'C:éntrese en
1
jeciicio):'
C
Ctilice tecnologIa para e 'a-k.. his ir..Ite4grales de los ejerri 'irs I y
-
:rc'
E.I
i
f..
dd1sti'
'0 6 C asi cualquier lib ru'esa t'eine ta' las de la uncion "kdis-
t:'ibuciOn acumji da ?ara Ia disribución
norrrnai1 (véasc nroyc -fr, de tecnolog:IL.
'a iistril' ja Ic'nacer1paraLc'
9.1), per3s"le
a
L2V2
e__7)2/8 dx
Ejercicio 4 Para la distribución norma 1.on m na p. = 0 y varianza o.2 = 1
(ésita s -1enL-mina distribucid'n normal
jr en :utre las probe ii:daaes
F
est. uk.),
Ejercicic) 1 En sta inte gra 1 ha ,i la
IO/.Lj,C uál e;sla
s'us1ución u =
428
pa1ra
los iii
P1
valp (-1, 1), (-2,2)
j
1
-
ion rc rmalcion mec1'iap.
-=CJyu
r ii
ml pai
'.x,ique
Ip J que eso e uficieJe
(
a
1.
<
oLIflrner probai.1i4 iaaes je ua7uier distrLdción armal.
1
I
Series infinitas
Sucesiones infinitas
Series infinitas
10.3 Series positivas: el criterio de Ia integral
10.4 Series positivas: otros criterios
10.5 Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional
10.6 Series de potencias
10.7 Operaciones sobre series de potencias
10.8 Series de Taylor y Maclaurin
10.9 RevisiOn del capItulo
Proyecto de tecnologIa 10.1 Uso de series infinitas para aproximar 10.1
10.2
Proyecto de tecnologIa 10.2 DeducciOn de Euler de
12
+ 22
-+
32
+
=
6
I
1 0. 1
En un !enguaje sencillo, una sucesión
Sucesiones infinitas
a1, a2, a3, a4,
Patrones
es un arreg!o ordenado de nOmeros reales, uno para cada entero positivo. Más formalmente, una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros p0sitivos y cuyo rango es un conj unto de nOmeros reales. Podemos indicar una sucesión
por a1, a2, a3.....por {a}1, o simplemente por {aJ. En a!gunos casos, extenderemos un poco esteconcepto permitiendo que el dominio conste de todos los enteros mayores o igua!es a un entero especIfico, como en b0, b1, b2, ... y c8, c9, c10.....que deno-
Ta! vez alguien afirme que hay
muchas sucesiones diferentes que
comienzan con
Una sucesiOn puede quedar especificada dando los términos iniciales suficientes
para establecer un patron, como en
tamos como {b}0 y {c}8, respectivamente.
1,4,7,10,13
1,4,7,10,13,...
Estamos de acuerdo. Por ejemplo, la
formula
mediante una formula explIcita para el n-ésimo término, como en
3n 2 + (n - 1)(n - 2)
a=3n-2,
(n - 5)
genera estos cinco nUmeros. Quién
- podrIa pensar esta fOrmula, de no
ser un experto? Al pedirle que
busque un patron, nos referimos a
un patron sencillo y evidente.
n1
o mediante una formula de recursion
a1
= 1,
a = a_1 + 3,
n
Observe que cada una de estas ilustraciones describe !a misma sucesión. He aquI otras
cuatro formulas exp!Icitas y los primeros términos de las sucesiones que generan.
429
Series infinitas
430 CAPITULO 10
n1: 1234
(1)a=1--,
1
>
(2) b =
0
1
.
...
LI
C
'2'3'4'5'6'7'"
(3) c =
n-1 0-'2'3 23 '4'5 45 '6'7 76
(4) d =
n
0.999, 0.999, 0.999, 0.999,
1:
Convergencia Considere Las cuatro sucesiones recién definidas. Cada una tiene valores que se apiLan cerca de 1 (véanse los diagramas de la figura 1). Pero, j,convergencia 1?
La respuesta correcta es que las sucesiones {a} y {b} convergen a 1, pero {c) y d) no.
(I
I
h;h,
325476
h.
I,-
C
I...
1
0
Para que una sucesión converja a 1, primero debe ocurrir que los valores de la
sucesión se acerquen a 1. Pero deben hacer algo más que estar cerca; deben permanecer cerca, para toda n más allá de cierto valor. Esto descarta a La sucesión (c,j.
Además, cerca significa arbitrariamente cerca, es decir, dentro de cualquier distancia
no nula dada con respecto de 1, lo que descarta La sucesión {d). Aunque La sucesión
d} no converge a 1, es correcto decir que converge a 0.999. La sucesión {c} simplemente no converge y decimos que diverge.
He aquI la definición formal; debe ser vagamente familiar.
Definición
La sucesión {a} converge a L y escribimos
Figura 1
lIm a = L
=
n
si para cada nUmero positivo e hay un nümero positivo correspondiente N tal que
n > N =
a-
<
Si no hay un nümero finito L al que converja una sucesión, se dice que ésta diverge, o
que es divergente.
Para ver una relaciOn con los lImites en infinito (secciOn 2.8), consideremos la gráfica de a = 1 - 1/n y a(x) = 1 - 1/x. La (mica diferencia es que en el caso de La sucesión, el dominio se restringe a los enteros positivos. En el primer caso, escribimos
lIm a = 1; y en el segundo, lIm a(x) = 1. Observe las interpretaciones de s y N
x*oo
n*oo
en Los diagramas de La figura 2.
Ày
Ày
1+
1
. .
a
1
S
S
= 1--n
2
3
n
4
N=
a-1
<
N
x
Figura 2
EJEMPLO
1
Muestre que si p es un entero positivo, entonces
urn
noo
1
flP
= 0
SECCION 10.1
Sucesiones infinitas
431
So!ución Esto es casi obvio del trabajo anterior, pero daremos una demostración
formal. Sea > 0 arbitrario. Elegimos N como cualquier némero mayor que
1/s.
Entonces n
implica que
1
-
= np
=.<
nP - N
1
0
(i/)
=s
U
Todos los teoremas familiares para lImites son válidos para sucesiones convergentes; los establecemos sin demostraciOn.
-I
(
Teorema A Propieaades de los limites de suesiones
Sean {a,}
b,j sucesiones coilvergentes y k una constante. Entonces:
lImk=k;
n -+00
lIm ka,, =
k tim a
lIm ta,, ± 1,,,) = urn a,, ± Jim b,,;
Fl -00
fl
l-+00
00
4. ,In00(a.b) =
5.
a
hm=
h
EJEMPLO 2
,,lIma,,
-
tim b
siempre que Uni b,,
fl+C()
0.
n -I -
3n2
Calcule lIm
n*cxj 7n2 +
1
Solución Para decidir lo que le sucede a un cociente de dos polinomios en n cuando
n crece, conviene dividir el numerador y el denominador entre la mayor potencia de n
que aparezca en el denominador. Esto justifica nuestro primer paso más adelante; los
otros se justifican apelando a las afirmaciones del Teorema A como se indica mediante los némeros encerrados en un cIrculo.
lim
32
ifl2 + I = lim
1
3
7 + (1/n2)
©
11m3
fl - nlIm [7+(1/n2)]
lIm3
n-
lIm 7 + lIm 1/n2
fl_cc
n_*c/
3
3
7+ lIm 1/n2
7+0
n-
7
En este momento, los teoremas de ilmite deben ser tan familiares que por lo general
pasaremos directamente del primer paso al resultado final.
U
EJEMPLO 3
,Converge la sucesión {(ln n)/e}? En tal caso, a qué némero?
Solución AquI y en muchos problemas de sucesiones, es conveniente usar el siguiente hecho casi obvio (véase Ia figura 2).
Six*oo
lIm f(x) = L, entonces lIm f(n) = L.
n-+oo
432 CAPITULO 10
Series infinitas
Esto nos permite aplicar la regla de L'HOpital al problema de la variable continua. En
particular, por la regla de L'Hôpital,
lim
lnx
= lim
x*oo
AsI,
lim
inn
ncx e'
1/x
ex
=0
=0
Es decir, {(ln n)/er?} converge a 0.
He aquI otro teorema que ya hemos visto, de un modo ligeramente distinto (Teorema 2.6C).
Teorema r
' emparedadc
Teore iia.JeI
Su;L)ongase qiiLetaJ y {c} convergen a y que a
ent ro fije',. ntunces (b} también converge a L.
Muestre que lIm
EJEMPLO 4
So!ución
b
c, para n a K (K es
-,
1
1, 1/n
Para n
sen3 n
n
= 0.
1/n. Como nlIm
(-1/n) = 0, y
-*
(sen n)/n
lIm (1/n) = 0, el resultado es consecuencia delTeorema del emparedado.
n -* Do
Para las sucesiones con signo variable, es ütil el siguiente resultado.
Teorem' C
Si lIm
fl-*OO
-
-
Demostración Como
del emparedado.
es urn
fl-400
-a
el resultado es consecuencia del Teorema
o? Le sugeri,Qué ocurre con los nümeros de la sucesión {0.999"} cuando n
mos que calcule O.999' para n = 10, 100, 1000 y 10,000 con su calculadora para tener
una mejor idea. Luego observe ei siguiente ejemplo.
EJEMPLO 5
r = 0.
Muestre que sii <r < 1, entoncesn lIm
- Do
Solución Si r = 0, el resuitado es trivial, de modo que suponemos lo contrario. Entonces 1/lr > 1 y entonces i/r = 1 + p para algUn nümero p > 0. Por la formula del
binomio,
1
AsI,
= (1 + p)" = 1 + pn + (términos positivos)
0r
pn
1
pn
Como n*oo
lIm (1/pn) = (l/p) iIm (1/n) = 0, elTeorema del emparedado implica que
lIm r' = 0. Por el Teorema C, lIm r'2 = 0.
lIm r = 0 o, en forma equivalente,fl*cxD
noo
,Qué ocurre si r> 1; por ejemplo, si r = 1.5? Entonces r crecerá hacia oc. En este caso, escribimos
SECCION 10.1
Sucesiones infinitas 433
Sin embargo, decimos que La sucesión {r} diverge. Para converger, una sucesión debe
tender a un lImite finito. La sucesión In también diverge cuando r
1.
Sucesiones monótonas Consideremos ahora una sucesión no decreciente arbi1. Un ejemplo es la sucesión
traria {a}, con lo que queremos decir que a
n+1' n
= n2; otra es a = 1 - 1/n. Si usted piensa un poco, podrIa convencerse de que una
sucesión de este tipo soLo puede hacer una de dos cosas. 0 bien se va a infinito 0, si no
puede hacerLo por estar acotada por arriba, entonces debe tender a una orilla (véase
La figura 3). He aquI el enunciado formal de este resuLtado tan importante.
ëorema r)
TE?ore
ma rJe a sucesiOn m )nOton
Si U es una cota s urieror para na sucesión ') decreciente {a}, enonce si a su cerp
sión converge a 'inlii'mite A que es menor 0 igi
Lu ii a U. Dc maneia aná1o, Si L.
'Siur ' Con
una cota inferior para una sucesión no creciente
}, en toirices la suc.
verge a un J"mite que s mayor 0 igual a
d
La expresión sucesión monótona se usa para describir una sucesión no decreciente o no creciente; de aquI el nombre del teorema.
El Teorema D describe una propiedad importante del sistema numérico real. Es
equivalente a la propiedad de completez de los nümeros reales, que en lenguaje comün
dice que la recta real no tiene "agujeros" (véanse los problemas 47 y 48). Esta propiedad es la que distingue La recta numérica real de la recta numérica racional (que está
ilena de agujeros). Se podrIa decir más de este tema; esperamos que el Teorema D apele a su intuición y que tendrá fe en él, hasta asistir a un curso más avanzado.
Haremos otro comentario sobre el Teorema D. No es necesario que las sucesiones
a,j
y
{b} sean monótonas inicialmente; basta que sean monótonas a partir de cierto
I
punto, es decir, para n K. De hecho, Ia convergencia o divergencia de una sucesión
no depende del carácter de los términos iniciales, sino de lo que ocurra para n grande.
EJEM PLO 6
Solución
Muestre que la sucesión b = n2/2 converge usando el Teorema D.
Los primeros términos de esta sucesión son
1
25 36
9
49
128'"
Para n 3, la sucesión parece ser decreciente (ba> b1), hecho que estableceremos
a continuaciOn. Cada una de las siguientes desigualdades es equivalente a las demás.
(n+1)2
2
2n+1
(n + 1)2
2
2n2
> n2 + 2n + 1
- 2n> 1
n(n - 2) >
1
Es claro que la ültima desigualdad es cierta para n 3. Como la sucesión es decreciente (condición más fuerte que la condición de ser no creciente) y está acotada por abajo por cero, el Teorema de la sucesiOn monótona garantiza que tiene un ilmite.
Serla fácil usar La regla de L'HOpital para mostrar que el lImite es cero.
434 CAPITULO 10
Series infinitas
Repaso de conceptos
Un arreglo de nümeros a1, a2, a3.....se llama
Una sucesión creciente que además es
debe con-
4. La sucesión {r"} converge si y sOlo si
<r
verger.
Decimos que Ia sucesión {a} converge si
Conj unto de problemas 10.1
En los problemas 1-20 se da una formula expilcita para a. Escriba los
primeros cinco términos de {a}, determine si la sucesiOn converge o
diverge y, si converge, determine tim a.
n
1. a =
3. a, =
4n2 + 2
7. a,, = I 1\n
cos (nir)
9. a,, =
e2
11. a,, =
(-7r)
13.a=
e2"
1
5,...
n( 2 - -
1
32. a,, =
2
n+1
1
2!
+
1
+ ... + 1ii!
3!
35. a1 = 1,a,,+1 = 1 +
36. a1 = 2, a,,1 =
IC
4fl
(a,,
+
37. Suponga que U1 =
y u,,+1 =
\/3 + u,, , determine
una sucesión convergente y calcule lim u,, con cuatro cifras decimales.
+ 3n/2
nb0
16. a,, =
1
4'4
4n - 3
34. a = 1 +
esenn
14. a,, = (i)"
15. a,, = 2 + (0.99)"
1
1
3'3
2n - 1
2n - 1
12. a fl =
n2 + 3n - 1
31. a =
n cos(nlr)
10. a,, =
n
1
verge.
V3n2 + 2
2n + 1
8. a,, =
n+2
1
1
2'2
3n2 + 2
6. a,,
n
1
En los problemas 31-36, escriba los primeros cuatro términos de Ia sucesiOn {a,,}. Use luego el Teorema D para mostrar que Ia sucesiOn con-
n+1
4. a,, =
n2 + 3n - 1
n3+ 3n2 + 3n
(n + 1)
5. a,, =
3n + 2
2. a,, =
3n - 1
3O
Muestre que la sucesión {u,,} del problema 37 está acotada
por arriba y que es creciente. Use el Teorema D para concluir que {u,,}
converge. Sugerencia: Aplique la inducciOn matemtica.
Calcule lIm u,, del problema 37 en forma algebraica. Sugeren-
lnn
17. a,, =
18. a,, =
2 n/2
(i
19. a,, =
tn (1/n)
(2n)2
20. a,, =
+
cia: Sea u =
\/2n
Luego,como u,,1 =
\/3 + u, u = \/3 + u.
Ahora eleve a! cuadrado ambos lados y despeje u.
Use Ia técnica del probtema 39 para determinar lIm a,, en
Sugerencia: Teorema 7.5A.
el probtema 36.
En los problemas 21-30, determine una formula explIcita a,, =
ci 41. Suponga queu1 = 0 y u,,1 = 11" determinan una sucesion convergente, catcule lIm u,, con cuatro cifras decimates.
para cada sucesiOn, determine si Ia sucesiOn converge o diverge y, si
converge, determine tIm a,,.
21
1
2
3
4
2'3'4'5'
22
2311,3, 57'
2
24.1,
3
4
2
1
22
3
4
'2 '2'2
9,...
2
tim
- 22
32
k\1
isen-n) n
/
Sugerencia: Escriba una integral definida equivalente.
44. Muestre que
4
3
12
Catcule
5
1- 1- 1-
25.1 22 -
Muestre que {u,,} del problema 41 es creciente y está acotado por arriba por 2.
1
32
42
Il
-
lim[ 1 + (k/n)2] n = 4
k=1
26.
2
1
2
34
,
,
2
4
3
45. Use la definiciOn de lImite para mostrar que limn/(n + 1)
1'
45
= 1; es decir, para e > 0 dado, determine N tat que si n
27. sen 1, 2 sen , 3 sen , 4 sen
2813'9'
4
9
16
27'81'
29. 2 1
2
2
32
42
2
52
n/(n + 1) -
=
46. Comoenelproblema45,demuestreque lImn/(n2 + 1) = 0.
SECCION 10.2
ta ecuación son 4) y 1/4), dos nOmeros que aparecen en Ia fórmuIa explicita para f,,.
47. Sea S = {x : x es racional y x2 <2}. Convénzase de que S no
tiene una minima cota superior en los nUmeros racionales, pero
que tiene una cota en los nümeros reales. En otras palabras, la sucesión de nümeros racionales 1, 1.4, 1.41, 1.414,. . . no tiene lImite dentro de los nümeros racionales.
48. La propiedad de completez de los nümeros reales dice que
para cualquier conjunto de nümeros reales que esté acotado por arriha existe un nümero real que es la minima cota superior para el conjunto. Esta propiedad se considera por lo general como un axioma de
los nümeros reales. Demuestre el Teorema D usando esta propiedad.
IEXPL
Series infinitas 435
Considere un triangulo equiltero que contiene 1 + 2 + 3 +
+ n = n(n + 1)/2 cIrculos, cada uno de diámetro 1 y apilados co-
mo se indica en la figura 4 para el caso n = 4. Calcule lim A/B,
donde A es el area total de los cIrculos y B es el area del triángulo.
A
Demuestre que si urn a = 0 y {b} está acotada, entonces
urn ab = 0.
n -+
Demuestre que si {a} converge y {b} diverge, entonces
{a + b} diverge.
Si {a} y {b} divergen, Les cierto que {a + b} diverge?
EXPL
52. Una famosa sucesiOn {f,,}, liamada sucesión de Fibonacci en
honor de Leonardo Fibonacci, quien la introdujo aproximadamente
en el aflo 1200, se define mediante la formula de recursion
f1=f2=1,
Figura 4
Calcule f3 hasta f10.
+
1.618034. Los griegos ilamaron a este
Sea 4) =
nUmero la razón áurea, afirmando que un rectangulo cuyas dimensiones estaban en esta razón era "perfecto". Se puede mostrar que
1
Use el hecho de que lImf(x) = 1I%if
para calcular los
/
i'v
1+n_cxD\
lIm
urn
i\
/
fl*QO
2
2
[4)fl
/1
siguientes lImites.
[/1+)n
V5L
=
IC
56.1im(1+-)
- (-1)4)]
/2 + n2
1 y n 2.
Verifique que esto da el resultado correcto para n
El resultado general se puede demostrar por inducción (es un
58. lim
n*oo\3 +
I
2
(n -
1
57. urn
n_oo\fl + 1
59. lIm
/2 +
n*c3 + n 2)
I
agradable reto). Más relacionado con esta sección, use esta fórmu-
la expilcita para demostrar que lnf+1/f
4).
(c) Con la ayuda del limite recién demostrado, muestre que 4) satisface la ecuación x2 - x - 1 = 0. Entonces, en otro giro interesante, use la formula cuadrática para mostrar que las dos raIces de es-
10.2
Series infinitas
Figura 1
I
1
I
4
8
16
Respuestas al repaso de conceptos:
2.
a
1. una sucesión
existe (sentido finito) 3. acotada superiormente 4. 1; 1
En una famosa paradoja conocida a! menos hace 2400 aflos, Zenón de Elea dijo que un
corredor no puede terminar una carrera, pues primero debe recorrer la mitad de la distancia, luego la mitad de la distancia restante, luego la mitad de la distancia aOn restante, y asI sucesivamente, por siempre. Como el tiempo del corredor es finito, no puede
recorrer el nOmero infinito de segmentos del recorrido. AOn asI, sabemos que los corredores realmente terminan las carreras.
Imagine un trayecto de la carrera de 1 milla de longitud. Los segmentos del argumento de ZenOn tendran entonces milla, de milla, de milla, etc. (figura 1). En lenguaje matemático, terminar la carrera equivale a evaluar la suma
lo que podrIa parecer imposible. Pero espere. Hasta ahora, la palabra suma se ha definido solo para la suma de una cantidad finita de términos. Hasta ahora, la "suma infinita" no tiene sentido para nosotros.
436 CAPITULO 10
Series infinitas
Considere las sumas parciales
Si
S2
=
2
13
244
= 1- + - = -
1117
2488
S3 = - + - + - = -
111
S =+++...+=1-1
2
4
1
2"
2
8
Es claro que estas sumas parciales se acercan de manera creciente a 1. De hecho,
i\
/
lImSn=lIm
n-nD\
j =1
2
Entonces, la suma infinita se define como ci lImite de la suma parcial Sn.
Más en general, considere la serie infinita
a1
a0
que también se indica
k=i
+ a2 + a3 + a4 +
ak. Entonces Sn, la n-ésiina suma parcial, está dada por
Sna1+a2+a3+anak
Establecemos La siguiente definición formal.
Definición
La serie infinita
a, converge y tiene suma S si la sucesión de sumas parciales
{s}
converge a S. Si {Sn} diverge, entonces La serie diverge. Una serie divergente no tiene suma.
Serie geométrica
Una serie de la forma
ark_l =
donde a
a + ar +
ar2
+ ar3 +
0, es una serie geométrica.
EJEMPLO 1
Muestre que una serie geométrica converge con suma S =
< 1,perodivergesir1.
Solución Sea S,,
lImite, de modo que
a + ar + ar2 +
lSn}
diverge. Si r
a/(1 - r) si
+ ar"1. Si r = 1, S,, = na, lo que crece sin
1, podemos escribir
Sn_rSn(a+ar++arn_i)_(ar+ar2+.+ar)a_arn
y entonceS
aar" =
1r 1r 1r
a
a
rn
Si r < 1, entonceSnlIm
r" = 0 (sección 10.1, ejemplo 5) y asI
S = jim
n -3
Si r > 1 o r
n
=
a
1r
= 1, la sucesión {r} diverge y en conseduencia también lo hace (Sn}.
.
SECCION 10.2
Series infinitas 437
EJEMPLO 2 Use ci resultado del ejemplo 1 para calcular la suma de las dos series
geométricas siguientes.
44
(a)++
3
4
27
9
+
(b) 0.515151 ... =
4
81
51
100
+
+
51
10,000
+
51
+
1,000,000
Solución
(a)S=1
4
a
r
=1
4
==2
(b)S=
100
100
'100
99
100
33
99
Por cierto, ci procedimiento de la parte (b) sugiere cómo mostrar que cualquier decimal periódico representa un némero racional.
EJEMPLO 3 El diagrama de la figura 2 representa un triángulo equilatero con una infinidad de cIrculos, tangentes al triángulo y a los cIrculos cercanos y que ilegan hasta las
esquinas. i,Qué fracción del area del triángulo es ocupada por los cIrculos?
So!ución Suponga, por conveniencia, que el cIrculo mayor tiene radio 1, lo que hace
que el triánguio tenga lados de longitud 2\/. Observe la pila vertical de cIrculos. Con
un pequefio razonamiento geométrico (el centro del cIrcuio mayor está a dos tercios del
camino desde el vértice superior hasta la base), vemos que los radios de estos cIrculos
son 1, , , ... y concluya que la pila vertical tiene area
(12 71\2 / 1 \2
r
12 + I +
+
-I
\3j + \9)
i
L
27j
r
=I1++
L
1
1
9
81
1
729
+I=ILii
1
]
r
1
1
1=
9'7T
8
El area total de todos los cIrculos es el triple de este némero, menos el doble del area
del cIrculo grande, es decir, 27r/8 - 2r, o 11i/8. Como el triángulo tiene area 3V, la
fracciOn de esta area ocupada por los cIrculos es
Figura 2
Logica
24\/
Considere estas dos afirmaciones:
Si
+
0.83
Un criterio general para Ia divergencia Considere la serie geométrica
a + ar + ar2 + + ar"' + una vez más. Su n-ésimo término a,, está dado por
a,, converge, entonces
ar'. El ejemplo 1 muestra que una serie geométrica converge si y solo si
a,, =
jim a,, = 0.
lIm a,, = 0.
p2 -* p
Si lim a,, = 0, entonces
a,,
converge.
La primera afirmación es cierta para
cualquier sucesión {a,,}; Ia segunda
rio. Esto proporciona otro ejemplo
de una afirmación verdadera, (la
primera) cuyo recIproco es falso.
Recuerde que la contrapositiva
de una afirmación es verdadera
siempre que Ia afirmación lo sea. La
contrapositiva de la primera afirmación es
Si jim a,,
diverge.
0, entonces
a,,
i,Es cierto lo anterior para todas las series? La respuesta es no, aunque la mitad
de la afirmaciOn (Ia parte "solo si") es correcta. Esto conduce a un importante criterio de
divergencia para las series.
Teor -
A
Cr1 te rio
del n-ésimo término para Ia divergencia
a c 'O
nverge, en. F-)11
LC( s lIm a,, =-U." En forma e ..ivalente, si
Si la 'e
U
n
lL. a,,
0-
si n-+
un' a,, no
cci -
?nt 'rPes la serie diverge.
Demostración Sea S,, la n-ésima suma parcial y S = lIm S,,. Observe que a,, =
-
iIm S,,_1 = iIm S = S, se sigue que
S,,_1. lIm . Como n*oo
noo
n-
a,,=n*oo
iImS,,n*ooiImS,,_15S0
00
Muestre que
EJEMPLO 4
Solución
n=1 3n3
lIm a,, = lIm
+ 2n2
diverge.
n3
3n3
+
2n2
1
= lIm
n*cx 3 + 2/n
=
1
3
AsI, por ci criterio del n-ésimo término, la serie diverge.
U
La serie armOnica Los estudiantes acostumbran dana vuelta aiTeoremaA y hacerlo decir que a
0 implica la convergencia de
La serie armónica
001
1
1
1
2
3
n
muestra que esto es falso. Es ciaro que,
jIm a = lIm (1/n) = 0. Sin embargo, la serie
fl*00
fl*cC
diverge, como mostraremos a continuación.
Muestre que la serie armónica diverge.
EJEMPLO 5
Solución
Mostraremos que S,, crece sin lImite. Imagine que n es grande y escriba
1111
S =1+++++...+2345 n
1
i
(1
1\
=1++/1\3 +4)i + fi\5+++I+I+...+I+...+8/ \9
16)
1
1
1
2
6
7
124
>1+++++...+2
4
8
8
1
16
n
1111
2222
n
1
n
Es claro que a! hacer n suficientemente grande, podemos introducir en la Ultima expresiOn tantos como queramos. AsI, S, crece sin ilmite, de modo que (Sn) diverge. Por tanto, la serie armónica diverge.
Serie colapsante
Una serie geométrica es una de las pocas series que admiten
una formula expilcita para 5n; una serie telescópica es otra (véase ci ejemplo 2 de la
sección 5.3).
EJEMPLO 6
Muestre que la siguiente serie converge y calcule su suma.
00
k=1
Solución
1
(k + 2)(k + 3)
Use una descomposición en fracciones parciales para escribir
_1
1
1
(k+2)(k+3)k+2 k+3
Entonces
n/i
1
1
3
n+3
+
k+3)
+...+ (1
n+2
1
n+3
Por tanto,
jim S, =
n
La serie converge y tiene suma
.
.
Series infinitas 439
SECCION 10.2
Una nota sobre ía terminologia
Este teorema introduce un cambio
sutil en la terminologIa. El sImbolo
a/< se usa ahora para la serie infi-
Propiedades de las series convergentes
Las series convergentes se comportan de manera similar a las sumas finitas; lo que se espera que ocurra, con frecuencia
ocurre.
Linealidad de las ser s conve gentes
Teorema B
00
00
nita a1 + a2 +
y para la suma
Si
bk convergen v e
ak y
k=1
es
una constant entonces '5
k=1
de esta serie, que es un nümero.
/
(
k=
ca1.
E
) tambiën conv'ergen y
00
OC
1cak =
K1
cak,
k=1
cc
00
+ bk) =
(ak
k=i
ak
+ 'V h.
k=1
k=1
Demostración Por hipOtesis,
b existen. AsI, usamos las propie-
ak
dades de las sumas con una cantidad finita de términos y las propiedades de ilmites de
sucesiones.
00
n
fl
= lIm
ca/c
lIm C
ca/,
fl-*00
fl-*00 k=1
k=1
00
fl
=clIm
-*00
fl
k=1
ak
k=1
ak=cak
k=1
k=1
(ak + bk) = fllIm
-*00
k=1
lIm
(ak + bk) = fl00[
ak +
k=1
0
ak + lIm
= lIm
noo k=1
00
EJEMPLO 7
Solución
Calcule
bk
k=1
,ak +
=
k=1
5(1)k]
[3(
1\k
71k
5\)
]=3(
00 71\k
00
3- 1
8
Si
bk
k=1
Por el Teorema B y el ejemplo 1,
00
TeorE"
]
00
00
fl
b,l
k=1
1-73529
2
14
.
C
'akdive rgeycO, entonces
cak ciI
lr'erge.
-
-
k=1
Dejaremos a! lector la demostración de este teorema (problema 35). Esto implica,
por ejemplo, que
0010011
k=1
k=1
diverge, pues sabemos que la serie armónica diverge.
La ley asociativa de la suma nos permite agrupar términos en una suma finita de
cua!quier forma. Por ejemplo,
2+7+3+4+5=(2+7)+(3+4)+5=2+(7+3)+(4+5)
Pero a veces perdemos el sentido de la definición de una serie infinita como ci lImite
de una sucesiOn de sumas parciales, por lo que nuestra intuición puede guiarnos a una
paradoja. Por ejemplo, Ia serie
1-1+1-1+.+(-
Series infinitas
440 CAPITULO 10
tiene sumas parciales
1
S3
1-1 =0
= 1-1+1
S4
=
S2
=
=
1
1-1+1-1
= 0
La sucesión de sumas parciales , 1, 0, 1, 0, 1.....diverge; asI, la serie 1 - 1 + 1 - 1 +
diverge. Sin embargo, podemos ver la serie como
(1 - 1) + (1 - 1) +
y afirmar que la suma es 0. En forma alternativa, podemos ver la serie como
1 - (1 - 1) - (1 - 1) y afirmar que la suma es 1. La suma de la serie no puede ser igual a 0 y a 1. La agrupación de términos en una serie es aceptable siempre que la serie sea convergente; en tal
caso podemos agrupar los términos de cualquier manera.
Teorema D AgrupadOn de términos z
.nr.s de una serie convergeL
Los térmi:
Ur; leorden de los términ IO
(siempre ye
Ia misma suhia quc la serie original.
nia seiic infinLa
se p eder agrupar de cualquier manera
Si:
e
mantenga) y Ia nueva serie convergerá a
Sea an la serie convergente original y {s} su sucesión de sumas parbm es una serie formada al agrupar los términos de
y 5 {Tm} es su sucesión de sumas parciales, entonces cada Tm es una de las S,,. Por ejemplo, T4 podrIa ser
Demostración
ciales. Si
T4=a1 + (a2+a3) + (a4+a5+a6) + (a7+a8)
en cuyo caso T4 = S8. AsI, { Tm } es una "subsucesión" de { S,, }. Un momento de reflexión le permitirá convencerse de que si S - S entonces Tm > S.
Repaso de conceptos
Una expresión de Ia forma a1 + a2 + a3 +
se llama
3. La serie geométrica a + ar + ar2 +
converge si
en este caso, la suma de la serie es
Una serie a1 + a2 +
converge si la sucesión
{s} con-
4. Si la
podemos garantizar que la serie
verge, donde S =
Conj unto deproblemas 10.2
En los problemas 1-14, indique si Ia serie dada converge o diverge. Si
converge, determine su suma. Sugerencia: Tat vez le ayude escribir los
primeros términos de Ia serie.
8.
00
(k+2)k
(1)2
2.
2
co4k+1
12.
[2(
3.
+ 3(]
k
(9)k
k=1
1
k-
1) Sugerencia: Ejemplo 6.
k+1
00
13.
3
3
1)2
k2)
3(1)k+1]
k=1
6.
k+2
7(1
=
7k-1
6
k-5
=
[(1)k
4.
k=O
on
11.
k-5
En los problemas 15-20, escriba el decimal dado como una serie infinita;
luego determine la suma de Ia serie y por áltimo use el resultado para escribir al decimal coma el cociente de dos enteros (véase el ejemplo 2).
0.22222...
16. 0.21212121...
SECCION 10.2
17. 0.013013013...
18. 0.125125125...
19. 0.49999...
20. 0.36717171...
Evaiüe
r(1 - r)k,0 < r < 2.
Evalüe
(_l)kxk,_l < x < 1.
Muestre que
in
Series infinitas 441
30. Si et patron que aparece en la figura 4 se continua indefinifl
damente, ,qué fracción del cuadrado original quedará sombreado?
diverge. Sugerencia: Obtenga
k
1
una formula para S,.
Muestre que
in
k=2
(1
1\
-
= 1n2.
Se arroja una peiota desde una altura de 100 pies. Cada vez
que goipea el suelo, ia pelota rebota hasta de su aitura anterior.
Caicule ia distancia totai que recorre hasta ilegar a! reposo.
Tres personas A, B y C dividen una manzana como sigue.
Primero la dividen en cuartos, tomando cada uno un pedazo. Luego
dividen el cuarto restante en cuartos, tomando cada uno un pedazo,
y asI sucesivamente. Muestre que cada uno recibe una tercera parte
de Ia manzana.
Figura 4
Cada triángulo en Ia cadena descendente (figura 5) tiene sus
vertices en los puntos medios de los lados del siguiente trianguio ma-
yor. Si el patron indicado de sombreado continua indefinidamente,
qué fracción del triángulo original quedará sombreada? ,Es necesario que ei triangulo sea equiiátero para que esto sea cierto?
Suponga que el gobierno inyecta mu miliones de dOiares
más a Ia economla. Suponga que cada empresa e individuo ahorra
25% de su ingreso y gasta el resto, de modo que el 75% de los mu mihones originates vuelven a gastarse. De esa cantidad, se gasta 75%, y
asI sucesivamente. ,CuáI es el incremento total en el gasto debido a
la acción gubernamental? (Esto se llama en economfa ei efecto multiplicador.)
Resueiva el problema 27, suponiendo que sOlo 10% del ingreso se ahorra en cada etapa.
[1 29. Suponga que ei cuadrado ABCD (figura 3) tiene iados de
tongitud 1 y que E, F, G y H son puntos medios de los iados. Si el patrón indicado se continua de manera indefinida, i,cuál será el area de
ha regiOn sombreada?
LA
Figura 5
Se inscriben cIrculos en los triánguios del problema 31, como
se indica en la figura 6. Si ei triángulo original es equilátero, qué fracciOn del area quedará sombreada?
Figura 6
Figura 3
En otra version de ia paradoja de Zenon,Aquiles puede correr diez veces más rápido que Ia tortuga, pero ha tortuga inicia ia Carrera 100 yardas más adeiante. Aquiies no puede alcanzar a ha tortu-
Series infinitas
442 CAP1TULO 10
ga, afirma ZenOn, porque cuando Aquiles haya recorrido 100 yardas,
la tortuga habrá avanzado otras 10 yardas; cuando Aquiles recorra otras
10 yardas, la tortuga habrá avanzado 1 yarda más, y asI sucesivamente.
Convenza a ZenOn de que Aquiles alcanzará a Ia tortuga e indique con
exactitud cuántas yardas deber recorrer Aquiles para hacerlo.
34. Tom y Joel son buenos corredores y ambos pueden correr a
una velocidad constante de 10 millas/hora. Su fabuloso perro Trot puede hacerlo mucho mejor; corre a 20 millas/hora. Partiendo de poblaciones que están a 60 millas de distancia entre sI,Tom y Joel corren uno en
dirección del otro, mientras que Trot corre de un lado al otro entre ellos.
,Qué distancia habrá recorrido Trot cuando los muchachos se encuentren? Suponga que Trot comenzó a correr con Tom hacia Joel y que
puede dar vueltas instantneas. Resuelva el problema de dos formas.
Use una serie geométrica.
C
a, diverge, también lo hace
ca
, Ia coordenada horizontal del centroide de la region.
x
0
Figura 8
42. Sea r un nOmero fijo con r < 1. Entonces se puede mostrar
que
Determine una forma más rápida de resolver el problema.
35. Demuestre: Si
y use este hecho para calcular:
kr' converge, digamos con suma S. Use las propiedades de
k=1
para
para mostrar que
(1 - r)S
0.
36. Use el problema 35 para concluir que +
+ + +
divergen.
37. Suponga que puede disponer de una cantidad ilimitada de ladrillos, cada uno de 1 unidad de largo.
Convénzase de que pueden colocarse como en Ia figura 7, sin caer.
Sugerencia: Considere los centros de masa.
,Qué tan lejos puede sobresalir el ladrillo superior a Ia derecha del
ladrillo inferior usando este método de apilamiento?
2
4
6
=
rk
y luego obtener una formula para 5, generalizando asI el problema 41a.
43. Muchos medicamentos son eliminados del cuerpo en forma
exponencial. Asi, si un medicamento se administra en dosis de tamano C en intervalos de tiempo de longitud 1, la cantidad A del medicamento en el cuerpo justo después de la dosis (n + 1) es
A
=
C + Ce
+ Ce2kt + ... + Ce'
donde k es una constante positiva que depende del tipo de medicamento.
Deduzca una formula para A, la cantidad de medicamento en el
cuerpo justo después de una dosis, si una persona ha consumido
el medicamento durante mucho tiempo (suponga un tiempo infinitamente largo).
EvalUe A si se sabe que la mitad de una dosis se elimina del cuerpo en 6 horas y se administran dosis de 2 miligramos cada 12 horas.
10
44. Determine Ia suma de la serie
Figura 7
2"
Qué tan grande debe ser N para que SN
=
(1/k) exce-
da a 4? Nota: Los cálculos con computadora muestran que para que
SN exceda a 20, N
N
1.5 x i0.
=
272,400,600 y para que SN exceda 100,
Demuestre que si 'a,, diverge y
+ b) diverge.
Muestre que es posible que
aUn asI
converge, entonces
and
Observe la region de la figura 8, primero en forma vertical y
luego en forma horizontal para concluir que
Series positivas:
el criterio de Ia integral
45. EvalOe
1
-
i)
donde {fk} es la sucesión de Fibonacci
k=1 fkfk+2
presentada en el problema 52 de la sección 10.1. Sugerencia: Muestre
primero que
1_i
diverjan y que
(a + b) converja.
10.3
i)(2k
fkfk+2 - fkfk+1
Respuestas al repaso de conceptos:
2.a1 + a2 + a3 + + a
<
1
fk+lfk+2
1. una serie infinita
4. diverge
1;a/(1 - r)
En la sección 10.2 presentamos varias ideas importantes, aunque las ilustramos principalmente con dos tipos muy particulares de series: geométricas y telescópicas. Para estas series podemos dar fOrmulas exactas para las sumas parciales S, algo que rara vez
podemos hacer para Ia mayor parte de las series. Nuestra tarea ahora es la de iniciar
un estudio de las series infinitas generales.
Siempre hay dos preguntas importantes sobre una serie.
,La serie converge?
Si converge, cuál es su suma?
,Cómo contestar a estas preguntas? Alguien podrIa sugerir el uso de una computadora. Para responder la primera pregunta, basta sumar más y más términos de la se-
SECCION 10.3
Recordatorios importan tes
a1, a2, a3,
es una sucesiOn.
a1
+ a2 + a3 +
Series positivas: el criterio de Ia integral 443
ne, observando los nUmeros obtenidos como sumas parciales. Si estos nOmeros parecen estabilizarse en un nOmero fijo S, la serie converge. Y en este caso, S es la suma de
la senie, lo que responde a Ia segunda pregunta. Esta respuesta simplemente es incorrecta para la primera pregunta y sOlo es parcialmente adecuada para La segunda. Veamos por qué.
Considere la serie armónica
es una serie.
S=
a1
+ a2 + a3 +
+ an
es la n-ésima suma parcial de la serie.
'2'
es la sucesión de sumas parciales de
la serie. La serie converge si y solo si
S
tim S
existe y es finito, en cuyo caso S es
La suma de la serie.
presentada en la sección 10.2 y analizada en el ejemplo 5 y el problema 38 de esa sección. Sabemos que esta serie diverge, pero una computadora no nos ayudarIa a descubrir este hecho. Las sumas parciales S, de esta serie crecen sin !Imite, pero crecen tan
lentamente que se necesitan más de 272 milLones de términos para que S alcance 20 y
más de iO términos para que S, LLegue a 100. Debido a la limitación inherente en el
nOmero de dIgitos que puede manejar, una computadora darIa en algOn momento vatones repetidos para Sn, lo que sugerirIa incorrectamente que S estarIa convergiendo.
Lo que es cierto para la serie armónica es cierto para cualquier serie que diverge lentamente. Enfatizamos to siguiente: Una computadora no puede sustituir los criterios
matemáticos para la convergencia y La divergencia, tema que tratamos a continuación.
En ésta y la próxima secciOn, restringimos nuestra atención a Las series con términos positivos (o at menos no negativos). Con esta restricción, podremos dar algunos
criterios de convergencia notablemente senciltos. Los criterios para series con términos de signo arbitrarios aparecen en la sección 10.5.
Sumas parciales acotadas
Nuestro primer resultado es consecuencia directa
del Teorema de la sucesiOn monótona (Teorema 10.1D).
A CritQro d a snma acotad
ri-i
na serie ak de lérminos no negativos converge ri y sólr si sus slnlas
.u. paa1es
acntdas por arrw..
e:
TeG'rema
j
T.
s
Demostración Como ya es usual, sea S, = a1 + a2 +
+ a. Como ak
0, S,,
S; es decir, {S} es una sucesiOn no decreciente. AsI, por ci Teorema 10.1D, La sucesión
S} convergerá si existe un nOmero U tat que S
U para toda n. En caso contrario,
las S, crecerIan sin lImite, en cuyo caso {S} diverge.
EJEMPLO 1
Muestre que la serie -- +
+ -- +
converge.
So!ución Queremos mostrar que Las sumas parciales Sn están acotadas por arriba.
Observe pnimero que
y entonces 1/n! < 1/21. AsI,
S =+++...+
11
+++...+
'
1
1
1
1!
2!
3!
2
4
1
1
2l_1
Estos Ottimos términos provienen de una serie geométnica con r = . Podemos obtener su suma mediante una fOrmula en el ejemplo 1 de la secciOn 10.2. Obtenemos
1
Sn
-(
[
(i11<2
=211II
2) ]
L
AsI, por el cnitenio de la suma acotada, la senie dada converge. EL argumento también
muestra que su suma S es a lo más 2: Posteniormente mostraremos que S = e 1
1.71828.
IcxD
Series e integrales impropias
El comportamiento de
f(k) y J f(x) dx
con respecto de la convergencia es similar y proporciona un cniterio muy poderoso.
444 C.piiuLo 10
Series infinitas
Teorema B
Crterio de a integral
ii .I
Sea f una fun :iOn Co.
ntinua, positiva, rIL ciecieiL Jfin.
n ei intervaio [1,00) y
_11I
= J(K') para todo ente ro p..
:"sitivr. k. ,i.to nc.s a serie infinita
s...pon
que
1
ak
k-'
converge i1y sól() si la integral impropia
dx
f°o
converge.
Observemos que el entero 1 puede reemplazarse por cualquier entero positivo M
en este teorema (véase el ejemplo 4).
Demostración Los diagramas de la figura 1 indican la forma de interpretar las sumas
parciales de la serie ak como areas y con ello relacionar la serie con una integral correspondiente. Observe que el area de cada rectángulo es igual a su altura, pues en Cada caso el ancho es 1. Con estos diagramas podemos ver fácilmente que
f(x)dx
2ak
Figura 1
Ahora suponga que
fcof(x) dx converge. Entonces, por la desigualdad izquierda an-
terior,
S = a1 +
ak
a1 +
f
f(x)dx
Por tanto, por ci criterio de la suma acotada,
a1 +
ff(x)dx
a converge.
a converge. Entonces, por la desigualdad derecha
Por otro lado, suponga que
n,
anterior, si t
ff(x)dx
Como
I f(x) dx crece con t y está acotada superiormente, lIm I f(x) dx debe exis-
ii
tir; es decir,
f
f(x) dx converge.
La conclusion del Teorema B se enuncia con frecuencia de esta manera: La serie
I-co
f(k) y la integral impropia
J
f(x) dx convergen o divergen juntas. Usted debe
ver que esto es equivalente a nuestro enunciado.
SECCION 10.3
Series positivas: el criterio de Ia integral 445
EJEMPLO 2
Criterio de la serie p. La serie
001
1
=1+
+
1
+
1
+
k
2
donde p es una constante, es una serie p. Muestre lo siguiente:
k=1
3P
4P
La serie p converge si p > 1.
La serie p diverge si p 1.
Solución Si p 0, La función f(x) = 1/xP es continua, positiva y no creciente en
[1, oo) y f(k) = 1/kP. AsI, por el criterio de Ia integral, (1/kP) converge si y sOlo Si
lIm
/
(-400 J1
x
dx existe (como un nUmero finito).
Sipi,
/xdx_ip
I1
x1
[
J1
1
1
Si p = 1,
fx dx = [lnx]
=
t" = Osip > ly lIm t'
= 00 sip < iycomo
cluimos que la Seriep converge sip > 1 y diverge si 0 < p
Como lIm
-*00
00
1-
lIm lilt =
1-4 CX)
oo,con-
1.
AOn debemos estudiar el caso p < 0. Ahora, el n-ésimo término de (i/kP), es
decir, 1/nP, ni siquiera tiende a 0. AsI, por el criterio del n-ésimo término, la serie diverge.
Observe que el caso p = 1 corresponde a la serie armónica, analizada en la sección 10.2. Nuestros resultados de entonces y los actuales son consistentes. La serie ar-
a
monica diverge.
La cola de una serie
La parte inicial de una serie no juega papel alguno en su convergencia
o divergencia. Solo la cola es importante. Por Ia cola de una serie entendemos
aN + aN+l + aN+2 +
donde N denota un nOmero arbitrariamente grande. Por tanto, al
verificar Ia convergencia o divergencia de una serie, podemos ignorar
los primeros términos o incluso modificarlos. Sin embargo, claramente,
la suma de una serie depende de
todos sus términos, incluyendo los
iniciales.
Converge o diverge la serie
EJEMPLO 3
So!ución
Por el criterio de La serie p,
k=4 k1001
(i/k1001). La inserción o eliminación de un
námerofinito de términos en una serie no afecta su convergencia o divergencia (aunque
puede afectar la suma). AsI, la serie dada converge.
U
00
Determine si
EJEMPLO 4
k=2
1
klnk
converge o diverge.
Solución Las hipOtesis del criterio de la integral se cumplen para f(x) = 1/(x mx)
en [2,00). El hecho de considerar el intervalo [2,00) en vez de [1,00) no es importante,
como observamos después del Teorema B. Ahora,
Jdx
fCX)
2
AsI,
1
xlnx
= lIm
1'
1
(1
'\
dx) = 1-400
lIm [lnlnx] =
J lnx x
00
2
1/(k ln k) diverge.
EJ EM PLO 5 Por medio de una integral impropia, determine una buena cota superior
para el error que surge al usar los primeros cinco términos de la serie convergente
00
n=1
para aproximar La suma de la serie.
So!ución
El error E es
e
446
CAPITULO 10
Series infinitas
La funciOn f(x) = x/e es continua, positiva y no creciente en [5, oc) (véase la figura 2). Entonces,
00
x-'
rcxJ
.
<
n=6 e
1
iIm
dx
15
urn
t*00\
Figura 2
7
xe
1
--2) J e2(-2xdx)
/
1 -*00 \.
2)
[e2] =
6.94 x 1012
e25
.
Repaso de conceptos
Una serie de términos no negativos converge si y sOlo Si SUS
sumas parciales son
El criterio de Ia integral relaciona la convergencia de
La inserción o eliminación de un nOmero finito de términos
en una serie no afecta su
, aunque puede afectar su suma.
a, y
La serie p
(1/k") converge si y solo si
k=1
I
yquefes
f (x) dx, suponiendo que ak =
en[i,00).
y
Conj unto de problem as 10.3
Use el criterio de Ia integral para decidir la convergencia o divergencia
de cada una de las series siguientes.
-2
+2
k=1
k=2
8.
4k + 2
3
k=1 (4 + 3k)716
ke'2
11.
10.
k=100 (k + 2)2
k2 + 1
[(flk
15.
,Convergeodivergeiaserie
1000
k(lnk)2
k=IL\2!
k=1
k-i
16.
00/i
i
20.
21.
all!
22.
1/[n inn in(lnn)]?Ex-
Use diagramas, como en la figura 1, para mostrar que
23
ln(n + 1) <1 + - + - +
f
+ - < 1 + inn
n
(i/x) dx = inn.
Use el problema 29 para mostrar que la SuceSión
ksen
1
es creciente y está acotada superiormente por 1.
k=1
19.
i/[n(in n)P]? Explique.
B=1+1+++--in(n+1)
k=1 \k2
18.
17.
k±1)
piique.
Sugerencia:
14.
2k+1
(k
i,Para qué valores de p converge
k=1 1 + k3
k=5
k=1 k2 + 5
k(k+1)
1000k2
En los problemas 13-22, use cualquiera de los criterios desarrollados
hasta ahora, incluyendo los de Ia sección 10.2, para decidir acerca de Ia
convergencia o divergencia de Ia serie. Justifique su conclusion.
13.
1
k=1 e
12.
k=1
1
k=1 1 + k2
3
k=1
7
7.
24.k
k=1 e
00
2k2 + 1
00
6.
23.
3
k2
5.
9.
2k - 3
4.
3.
(véase el ejemplo 5).
3
2.
1.
En los pro blemas 23-26, estime el error cometido al aproximar Ia suma de Ia serie dada mediante la suma de los cinco primeros términos
Use el resuitado del problema 29 para demostrar que lim B
/1
k+1)
1
1 + 4k2
existe. (El lImite, denotado y, se llama la constante de Euler y es apro-
ximadamente 0.5772. En la actualidad, no se sabe si y es racional o
irracional. Sin embargo, se sabe que si y fuese racionai, entonceS el denominador en su minima expresión serla al menos 10244663.)
SECCION 10.4
Series positivas: otros criterios
447
Use el problema 29 para obtener cotas superior e inferior
buenas para la suma de los primeros 10 miliones de términos de la
serie armónica.
Del problema 31 podemos inferir que
Use esto para estimar el némero de términos de la serie armOnica necesarios para obtener una suma mayor que 20 y compare con el resultado indicado en el problema 38 de la sección 10.2.
Ahora que hemos mostrado la existencia de la constante de
Euler siguiendo el camino difIcil (problemas 29-31), resolveremos un
problema mucho más general de manera sencilla, y veremos cómo
surge y de la nada, por asI decirlo. Sea f continua y decreciente en
[1,)y
B = f(1) + f(2) +
+ f(n) - f1f(x)dx
Muestre que A es creciente con n, que A
triángulo indicado, y asI, lim A existe.
36. Particularice la función del problema 35 a f(x) = in x.
(a) Muestre que
=
Observe que B es el area de la region sombreada de la figura 3.
(a) tPor qué es obvio que B crece con n?
(b) Muestre que B
f(1). Sugerencia: Simplemente recorra todos
los pequenos pedazos sombreados a la izquierda, dentro del rectángulo indicado.
(c) Concluya que lIm B existe.
(d) ,Cómo obtene'i y a partir de esto?
T, donde T es el area del
flnxdx [lnl+1n2 +...+ ln(n-1)+innl
2
[2
I
]
= nlnn - n + 1 - inn! + ln\/
1
+ ln
(n/e)'/i
(b) Concluya de la parte (a) y el problema 35 que
k = lim
n!
(n/e)
existe. Se puede mostrar que k = \/21T.
\/2Trn(n/e)nl, que se llama ia formula
(c) Esto significa que n!
de Stirling. Use esto para aproximar 15! y compare con el valor
que da su calculadora para 15!
Figura 3
35. Sea f continua, creciente y cóncava hacia abajo en [1, oc),
como en la figura 4. Además, sea A el area de la region sombreada.
10.4
Series positivas: otros
criterios
Respuestas al repaso de conceptos:
1. acotada superiormente 2. f(k); continua; positiva; no creciente
3. convergencia o divergencia 4. p > 1
Hemos analizado por completo la convergencia y divergencia de dos series, la geométrica y la serie p.
r
converge si 1 < r < 1, en otro caso diverge
n=1
converge si p > 1, en otro caso diverge
En el primer caso, vimos adOnde convergIa la serie, si ésta converge; en el segundo caso no. Estas series proporcionan estándares, o modelos, contra quienes podemos cornparar otraS series. Recuerde que seguimos considerando Series cuyos términos son positivos (o al menos no negativos).
Corn paraciOn de una serie con otra
Una serie con términos menores que los
términos correspondientes de una serie convergente debe converger; una serie con términos mayores que los términos correspondientes de una serie divergente debe divergir. Lo que debe ser cierto, es cierto.
Critrio de comparai
L.JI.c,..rdinjia
b para n
Suponga que 0
Teorema A
. .iv .. te, también
ore
djvci también
Si
Si
Demostración Supongamos que N = 1; el caso N > 1 solo es un poco más difIcil. Pa+ a y observe que (Sn} es una sucesión no dera demostrar (i), sea S = a1 + a2 +
creciente. Si bn converge, por ejemplo, con suma B, entonces
+
S
b2
+ b
+
bn
= B
Por ci criterio de la suma acotada (Teorema 10.3A), an converge.
converge, entonces
La propiedad (ii) es conseduencia de (i), ya que si
an
tendrIa que converger.
EJEMPLO 1
n
,Converge o diverge la serie
52 - 4 ?
Solución PodrIamos pensar que diverge, pues el n-ésimo término se comporta como
1/5n para n grande. De hecho,
n
5n2-4
Sabemos que
.
>
11
n
Sn2
5
n
diverge, pues es un quinto de la serie armónica (Teorema 10.2C).
AsI, por el criterio de comparaciOn ordinaria, la serie dada también converge.
EJEMPLO 2
,Converge o diverge la serie
2n('+
U
1)
Solución PodrIamos pensar que converge, pues el n-ésimo término se comporta como (i/2)n para n grande. Para justificar esto, observemos que
(1\n
(i\n
<I=1I
\2j
2(n + 1) \\2) n + 1
()fl
converge (es una serie geométrica con r = ), concluimos que la serie daComo
U
da converge.
Si hay problemas a! aplicar ci criterio de comparación ordinaria, éstos surgen a!
buscar la serie adecuada con la cual comparar la serie en cuestión. Suponga que queremos determinar la convergencia o divergencia de
1
n=3
I
-
')\2
Z)
fl2 - '-Ffl
A
3
Sospechamos que converge, de modo que nos inclinamos por comparar 1/(n - 2)2 con
1/n2. Por desgracia,
1
(n-2)2
>1
2
que no sirve (la desigualdad está en ci sentido contrario al deseado). Después de unos
cuantos experimentos, vemos que
1
9
(n _2)2n2
para n
3; como
9/n2 converge, también lo hace
1/(n -
2)2.
Series positivas: otros criterios 449
SECCION 10.4
j,Podemos evitar estas contorsiones con las desigualdades? Nuestra intuición nos
convergen o divergen juntas, siempre que a y b tengan aproxidice que
y
madamente el mismo tamaño para n grande (salvo una constante multiplicativa). Este es el contenido esencial de nuestro siguiente teorema.
Teorrem
B
-iod' 'omparación de. Imite
O,h, > u(\) Jue
C rite
.uponga que a,,
c
I
urnb
L
'7
J1
terli
0< L < oo,en..ces
'e:gen o diverg
b,,conv'
a,,y
-1
juntas. -Si r
Oy
a,, converge.
:onverge, entonces
C
Demostración Primero consideramos = L/2 en La definición de lImite de una sucesión
= fta/b) L < L/2; es decir,
(sección 10.1). Existe un nümero N tal que n
L < a
L
b
2
<-L2
Esta desigualdad es equivalente (sumando L) a
Por tanto, para n
L
a
3L
2
b
2
N,
a< 3L2
2
bn<Lafl
y
Estas dos desiguaLdades, junto con el criterio de comparación ordinaria, muestran que
>a y >b convergen o divergen juntas. Dejaremos La demostración de la ültima afir-
macion del teorema al lector (problema 37).
EJEM PLO 3
(a)
Determine La convergencia o divergencia de cada serie.
3n-2
n=1 n3
(b)
2n + 11
± 19n
Solución Aplicamos el criterio de comparación del lImite, pero aUn asI debemos decidir contra quién comparamos eL n-ésimo término. Vemos a quién se parece este término para n grande, observando Los términos de mayor grado en el numerador y en el
denominador. En el primer caso, el n-ésimo término es como 3/n2; en eL segundo, es como 1/n.
2n2 + ii)
(3n 2)/(n3
3n3
2n2
a
=LIm
=1
lIm
(a) lIm
n*°°
n
n
6n2
+ 33
3fl3
b
3/n2
(b)
a
LIrn
n*oo b
= lim
1/\/n2 + 19n
1/n
fl*cx
n + 19n
inn?
Converge o diverge la serie
n=1
So!ución
nemos
=1
1/n diverge, concLuimos que la serie en (a) converge y la
Como 3/n2 converge y
serie en (b) diverge.
EJEMPLO 4
=lIm
n
,Contra qué debemos comparar (ln n)/n2? Si intentamos con 1/n2, obte-
a
Lim
n
b
= urn
n
oo
inn ±
2
1
= urn in fl
00
n
EL criterio faLla, pues no se cumpien sus condiciones. Por otro Lado, si usamos 1/n, obtenemos
450 CAPITULO 10
Series infinitas
lim
fl -
00
= lim
n-
Inn
00
fl2
± 1fl
= lim
fl -
inn
00
fl
= 0
De nuevo, el criterio faila.Tai vez aigo entre 1/n2 y 1/n funcione, como 1/n3t2.
urn
b
= lim
n*cx
inn
1
2
j3/2
-
= lim
inn
n>cc
=0
(La üitima iguaidad es conseduencia de ia regia de L'Hôpitai.) Conciuimos de ia segunda parte dei criterio de comparación dei limite que (ln n)/n2 converge (pues 1/n312
converge).
Corn paraciOn de una serie con si misma La obtenciOn de resuitados ütiies
mediante ios criterios de comparaciOn requiere vision y perseverancia. Debemos elegir adecuadamente una serie conocida para hailar una que sea justamente ia correcta
para Ia comparación con ia serie que queremos verificar. ,No serIa bueno que se pudiese comparar una serie consigo misma y asI determinar la convergencia o Ia divergencia? A grandes rasgos, esto es lo que hacemos en el criterio dei cociente.
Criti,ijrr del cociente
rrii positivos y supóngase que
una serie de CILflOS
Teorema C
a1
n-oo a,,
(i)
(ii
=p
Jip < 1,1as,:ic
cre criv 'rge.
Siii.
1ci lIm
= xiaserie diverge.
,Ioo
:
eicrileri.onoe C jiiclrr'ente.
u
(111) Sip
Demostración He aquI io que está detrás del criterio dei cociente. Como
iIrn
a1/a
*00
fl
=
p, a1
pan; es decir, ia serie se comporta como una serie geomé-
trica con razón p. Una serie geométrica converge cuando su razOn es menor que 1 y diverge cuando su razón es mayor que 1. Nuestra tarea consiste en unir estos argurnentos.
(i)
Como p < 1, podernos eiegir un nUrnero r tai que p < r < 1; por ejempio,
r = (p + 1)/2. A continuación eiegimos N de modo que si n
entonces
< r. (Podemos hacer esto porque lIrn a1/a = p < r.)
Entonces,
aN+l < raJ\,
aN+2 < ra1 < raAT
aN±3 < ra,2 < ra,
Como raN + r2aN + r3aN +
es una serie geornétrica con 0 < r < 1, conver-
ge. Por ei criterio de comparación ordinaria,
00
iohace 'a,,.
(ii)
a,, converge, y por tanto tarnbién
n=N+1
Como p > 1, exiSte un nUmero N tai que a,,+1/a > 1 para toda n
N. AsI,
aN+1 > a
aN+2 > a1 > a
Por tanto, a,, > aN> 0 para toda n > N, io que significa que lIrn a,, no puede
fl *00
anularse. Por el criterio del n-ésimo término para ia convergencia, 'a,, diverge.
(iii) Sabemos que
1/n diverge, mientras que
1/n2 converge. Para ia primera Serie,
SECCION
lim
afl1
a
1
= lIm
Series positivas: otros criterios 451
10.4
1
= lIm
n°°
:
n+1
fl
n
=1
n+1
Para la segunda serie,
urn
nc
afi
= lim
1
1
lim
:
(n + 1)2
n2
n2
(n + 1)2
=1
AsI, el criterio del cociente no distingue entre la convergencia y la divergencia
cuandop = 1.
El criterio del cociente nunca será concluyente para una serie cuyo n-ésimo térmi-
no sea una expresión racional en n, pues en este caso p = 1 (los casos a = 1/n y
= 1/n2 fueron considerados arriba). Sin embargo, para una serie cuyo n-ésimo término implica n! o r'1, el criterio del cociente trabaja muy bien en general.
2"
Verifique la convergencia o divergencia de la serie:
EJEMPLO 5
n!
So!ución
p = lim
afl1
afi
2n+1
n!
= lim
n*oo (n + 1)! 2"
= lim
2
n+1
=0
El criterio del cociente nos permite concluir que la serie converge.
Verifique la convergencia o divergencia de la serie:
EJEMPLO 6
So!ución
20
(
lIm nn+1)
2"
n=1 " 20
2+1
n2o
(n + 1)20 2"
= lIm
p= lIm
n*cx
U
2=2
Concluimos que la serie dada diverge.
?,
EJEMPLO 7
Verifique la convergencia o divergencia de la serie:
n=1
Soluciôn
-.
n!
Debemos usar ci hecho de que
= lIm (1 + h)h/h = e
n*oo\(1
JIm
fl)
h*0
lo que es conseduencia del Teorema 7.5A. Suponiendo esto, podemos escribir
p=
lim
lIm
a1
a
= urn
(n + 1)!
nfl
( n
fl_cx\fl + 1
lim
n*cx (n + i)n+1 n!
1
((n + 1)/n)"
=lIm
1
(1 + 1/n)
=<1
1
e
Por tanto, la serie dada converge.
Para verificar la convergencia o divergencia de una serie
nos positivos, observe con cuidado a.
Resu men
Si lIm a
fi 3 =
con térmi-
0, concluya del criterio del n-ésimo término que la serie diverge.
Si a implica a n!, r" o if', trate de usar el criterio del cociente.
Si a implica solo potencias constantes de n, trate de usar el criterio de comparación del lImite. En particular, si a es una expresión racional en n, use este criterio con b como el cociente de los términos principales del numerador y el denominador.
452
Series infinitas
CAPITULO 10
Si los criterios anteriores no funcionan, trate con el criterio de comparación ordinaria, el criterio de la integral o el criterio de la suma acotada.
Algunas series exigen un manejo inteligente o un truco para determinar su convergencia o divergencia.
Repaso de conceptos
El criterio de comparacion ordinaria dice que Si
bk converge, entonces también ak converge.
Suponga que ak
ne
gen o divergen a la vez.
+
.
a
El criterio del cociente dice que una Se-
ak de términoS positivoS converge si
y b > 0. El criterio de comparaciOn del
<oo,entonceS .aky bkconver-
lImitenosdicequesio <
a
3. Sea p = urn
y Si
,y
, diverge si
puede hacer cualquiera de éStaS Si
(k/Ic) es un candidato obvio para el criterio
4
mientras que
rio
k/(k3 - k - 1) es un candidato obvio para el crite-
Con] unto de problemas 10.4
En los problemas 1-4, use el criterio de comparación del límite para
determinar la convergencia 0 divergencia de las series dadas.
n
2
1.
3n + 1
2.
2 + 2n + 3
22
-4
1
23.
1
1
2
+
°°"/2n+1
nyn' + 1
=
n2
n1
+
1+1
2
22 + 1
+
1
25. 1 +
3
En los problemas 5-10, use el criterio del cociente para determinar Ia
convergencia o divergencia de las series dadas.
1n2
22
+
+
1n3
32
4
+
2
+
1
3V
+
1n4
42
32 + 1
+
42 + 1
+
32
+
24. 3 +
33
+
34
+
+
+
+
4
ln5
+
52
+
6.
7.
n!
n1 '
n=1
3k+k
10.
(2n)!
n
, n+3
13.
17
2
+
Sugerencia: a =
20
22
+
32
2
21
1
3
32. ,( -
(2n)!
4"
+n
n
n=1 2 + n5"
converge. DemueStre que
DemueStre que lIm(n!/n") = 0 analizando Ia Serie
n!/n. Sugerencia: Ejemplo 7, Seguido del criterio del n-ésirno tér-
ti n5 - 4n2 + 1
1
2n
converge.
16.
4n3+3n
'
00
30.
Sea a,, > 0 y suponga que
14.
n=1 n!
19
,
2
00
15.
31.
33.
12.
n=1 n + 200
+ cosn
29.
3" + 1
k!
En los problemas 11-34, determine Ia convergencia o divergencia de
cada serie. Indique el criterio utilizado.
11.
28.
2 +sen2n
n(
8.
4
18.
2
n2; 1
mino.
23 + 3.4 + 4.5
converge.
0, b > 0 lIrn a/b = oc y
Demuestre que Si a
diverge, entonces
diverge.
1
n(n + 1)
Suponga que lIm na
+ 42- + - +
24.5
+
00
1. Dernuestre que
diverge.
Dernuestre que Si >a es una Serie convergente con térmi111(1 + a) converge.
2
+
0, b,, > 0 lIrn a/b = 0 y
Dernuetre que Si a
converge, entonces
1
1
positivoS, entonceS
3.S 6
+
4
6
7
+
41. Criterio de
Ia raIz
1Irn(a)1" = R,entonceS
Dernuestre que
Si
a>0
y
converge siR < 1 ydivergesiR> 1.
SECCION 10.5
Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional 453
Compruebe la convergencia o divergencia usando el criterio de la raIz.
(a)
44. Sean p(n) y q(n) poiinomios en n con coeficientes no negapara determinar ia convergencia o
OOp(n)
divergencia de
(b)
2(iflfl)
IEXPL
EXPL
(c)
vergencia
43. Compruebe la convergencia o divergencia. En algunos casos, el uso adecuado de las propiedades de los logaritmos simplificará el probiema.
00
ln(1
(a)
00
1
(b)
_)
+
(e)
in[(
+ 2)1
(d)
Inn)\Iflfl
11
n=3 [in (inn)
rinnl2
n=1 [ n j
(f)
n=2 (in n)4
I
10.5
Series alternantes,
convergencia absoluta
y convergencia
condicional
s
1
+
1
n
+
1
+
+
1
sen2
(a)
n=1
(c)
(b)
\nJ
n=1
/i\]
\/i [ 1coslI
n)
tan1
\n)
]Inn
00
1
001/
46. Compruebe la convergencia o divergencia.
00
1
n=2
(n+1)2
q(n)
45. Dé condiciones sobre p que determinen ia convergencia o di-
Respuestas del repaso de conceptos:
3. p < 1; p > 1; p =
2. lIrn
1
1. 0
ak
b,
4. Cociente; compara-
ción del lImite
En las dos ültimas secciones hemos considerado series de términos no negativos. Ahora eliminamos esta restricción, permitiendo que algunos términos sean negativos. En
particular, estudiaremos las series alternantes; es decir, series de la forma
a1 - a2 + a3 a4 +
-
donde an > 0 para toda n. Un ejemplo importante es La serie armónica alternante
Ya hemos visto que la serie armónica diverge; pronto veremos que ia serie armónica
alternante converge.
decreciente;
Un criterio de convergencia Supongamos que ia sucesiOn {an} es
es decir, a1 < an para toda n. Además, S, tiene su significado usual. AsI, para la serie
alternante a1 - a2 + a3 - a4 + , tenemos
S1
a1
S3
S4=a1a2+a3---a4=S3a4
S3
a4
= a1
= a1 - a2 = S1 - a2
= a1 - a2 + a3 = S2 + a3
y asI sucesivamente. La figura 1 muestra una interpretaciOn geométrica de estas sumas
parciales. Observe que los términos con nümero par S2, S4, S6,. . . son crecientes y acotados por arriba, por lo que deben converger a un lImite, digamos 5'. De manera análoson decrecientes y acotados por abajo. Tamga, los términos con nümero par l,3'
bién deben converger, digamos, a 5".
Tanto S' como S" están entre S, y n+1 para toda n (véase La figura 2), de modo que
.
IUII4
Hs"
S" -
53
AsI, ia condición a1
I,
n par
5"
+
-S=
00 garantiza que S' 5" y, en consecuencia,
0 cuando n
Ia convergencia de la serie a su valor comén, que lLamamos S. Por Ultimo, como S está
entre 5n Y S,1,
Sn+1 - Sfl =
S - Sn
Figura 1
s'
S'
S+
n impar
Es decir, el error generado al usar 5n como aproximación de la suma S de toda la serie
no es mayor que La magnitud del primer término despreciado. Hemos demostrado el siguiente teorema.
Teorema A Criterio de a serie alternante
1'
5,
Sea
Figura 2
a1 - a2 + a3
(contináa en Ia siguientepágina)
una
Jt
seei ..rnante
con a >
> 0. Si lIm a,, = 0, entonces ia sen Let)nv urge.
error cometido al isar Ia suma ,, de los prim ros n n miiiios para apro'ima S dej a seri. nc es mayor que
ALdL más, -el
xim ar
EJEMPLO
1
-
-
Muestre que La serie armónica aLternante
converge. ,Cuántos términos de esta serie se necesitan para obtener una suma parcial
S, a menos de 0.01 de la suma S de toda la serie?
Solución La serie armónica alternante satisface Las hipOtesis del Teorema A y por
tanto converge. Queremos que S - S
0.01, y esto se cumplirá si a1 0.01. Como
= 1/(n + 1),necesitamos que 1/(n + 1)
0.01,lo que se satisface sin 99.AsI,
necesitamos considerar 99 términos para garantizar que tenemos la precision deseada.
Esto le dará una idea de Lo lento que converge La serie armónica alternante. (Véase el
problema 45, donde se muestra una forma inteligente de determinar la suma exacta de
esta serie.)
a1
EJEMPLO 2
Muestre que
1
1
1
1
1!
2!
3!
4!
converge. Calcule S y estime eL error cometido al usar esto como un valor para La suma de toda La serie.
Solución El criterio para series aLternantes (Teorema A) se aplica ygarantiza La convergencia.
=1--+----+
2
24
120
1
1
1
1
6
-
=
S5
06333
.
0.0014
2
EJEMPLO 3
Solución
(_1)n-1
Muestre que
converge.
Para tener una idea de esta serie, escribimos los primeros términos:
1_i
2
25
i1+32
8
36
64+
La serie es alternante y lIm n2/2 = 0 (regLa de L'HopitaL), pero por desgracia, Los térn -f
minos no son decrecientes inicialmente. Sin embargo, parecen ser decrecientes después
de Los dos primeros términos; esto es bueno, pues lo que ocurre al inicio de una serie no
afecta La convergencia o La divergencia. Para mostrar que La sucesión (n2/2) es decreciente a partir del tercer término, consideremos La función
f(x)
=
Observe que si x 3, La derivada
f(x) 2x
2X
-
x22x1n2
22x
x(2 - 0.69x)
2X
-
x2x(2
- xln2)
22x
<0
AsI, f es decreciente en [3, oo) y entonces {n2/2'J es decreciente para n 3. Para una
demostración distinta de este ültimo hecho, véase eL ejempLo 6 de La sección 10.1.
Convergencia absoluta
,Converge o diverge una serie como La siguiente?
Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional 455
SECCION 10.5
en esta serie hay un patron de dos términos positivos seguido de uno negativo. En este
caso, el criterio para series alternantes no es aplicable. Sin embargo, como la serie correspondiente de términos positivos
1+
+
+
+
+
+
converge (serie p con p = 2), parece plausible pensar que la misma serie con algunos
términos negativos deberla converger (aün mejor). Este es el contenido de nuestro siguiente teorema.
t
1
Demostración Usaremos un truco. Sea v, = u, + u,1, de modo que
Un
= Vn -
de modo que el criterio de comparación ordinaria garantiza
Ahora, 0
que vn converge. El Teorema de linealidad (Teorerna 10.2B) implica que
-
=
U,1) converge.
Una serie 'u,, converge absolutamente si urj converge. El Teorema B afirma
que la convergencia absoluta implica La convergencia. Todos nuestros criterios para la
convergencia de series con términos positivos se convierten automáticamente en criterios para Ia convergencia absoluta de una serie con algunos términos negativos. En particular, esto es cierto para el criterio del cociente, que reformulamos a continuación.
1 orema C
Sc a
Criterio del cociente absoluto
una serie ne términos no nulos y suponga que
ufl+1
tim
Iu,I
Si p < 1, Ia serie converge absolutamente (y por tanto converge).
Si p > 1, Ia serie diverge
iii) Si p = 1, el criter io no s rnc'iye1rite.
Demostración Las demostraciones de (i) y (iii) son consecuencia directa del criterio
del cociente. Para (ii) podrIamos concluir del criterio del cociente original que
diverge. Como
verge, pero aqul estamos afirmando algo más, que
Un+1
lIm
fl -*00
di-
>1
Un
N, u+1 > u
se tiene que para n suficientemente grande, digamos n
implica que u > UN > 0 para toda n
. Esto, a su vez,
N, de modo que 1Imu no puede anular-
se. Concluimos mediante el criterio del n-ésimo término que
dj,verge.
3fl
00
EJEMPLO 4
ur
(-1)' -- converge absolutamente.
Muestre que
n=1
Solución
p = lIm
fl -*00
3n+1
Un+1
lim
Un
=lIm
(n + 1)!
fl
+
1
n!
=0
El criterio del cociente absoluto implica que Ia serie converge absolutamente (y por
U
tanto converge).
EJEMPLO 5
cos(n!)
Compruebe Ia convergencia o divergencia de
n=1
"
2
So!ución Si usted escribe los primeros 100 términos de esta serie, descubrirá que los
signos de los términos varIan de una manera algo aleatoria. De hecho, es difIcil analizar directamente esta serie. Sin embargo,
cos(n!)
-
1
de modo que Ia serie converge absolutaniente por el criterio de comparación ordinana. Concluimos del criterio de convergencia absoluta (Teorema B) que la serie converge.
Convergencia cond icional Un error comün consiste en dar la vuelta alTeorema
B. Este teorema no dice que la convergencia implique la convergencia absoluta. Es ciaro que esto es falso; basta observar la serie armónica alternante. Sabemos que
converge, pero que
diverge. Una serie
es condicionalmente convergente si
converge pero ur diverge. La serie armónica alternante es el ejemplo estelar de una serie condicionalmente convergente, pero hay muchas otras.
EJEMPLO 6
(_1)n+1
Muestre que
es condicionalmente convergente.
n=1
(-1)
Solución
1[i/Vi] converge por el criterio para series alterantes. Sin em-
n=1
bargo,
.
1/\/i diverge, pues es una serie p con p =
Las series absolutamente convergentes se comportan mucho mejor que las condicionalmente convergentes. He aquI un bonito teorema acerca de series absolutaniente
convergentes. Es espectacularmente falso para series condicionalmente convergentes
(véanse los problemas 35-38). La demostración es difIcil, de modo que no la incluiremos aquI.
Teorema D Teorema de reordenamiento
Los términos de una serie absolutamente ccrnverg
afectar la convergencia o la suma de la s. i..
tc
puec'en reordenarse sin
Por ejemplo, la serie
1
1
1 J1L16481
I
49
converge absolutamente. El reordenamiento
1++++
1
1
49
64
converge y tiene la misma suma que la serie original.
36
+
Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional 457
SEccION 10.5
Repaso de conceptos
Si a
para toda n, la serie aiterante a1 - a2 + a3 convergerá siempre que el tamaño de los términos decrezca y
El ejemplo esteiar de una serie condicionalmente convergente es
Los términos de una serie absolutamente convergente
Si
converge, decimos que la serie
Uk
S
converge, pero
converge
Uk
Uk diverge, decimos que
Uk
pueden
sin afectar su convergencia o su suma.
con-
verge
Conjunto de problemas 10.5
En los pro blemas 1-6, muestre que cada serie alternante converge y luego estime el error cometido al usar la suma parcial S9 como una aproximación a la suma S de Ia serie (véanse los ejemplos 1-3).
(_1)+1
cx
1
(_1)1
27.
+ 1)
28.
n1 \/n + 1 +
(_3)fl+l
(_1)+1
1.
n=1
2.
3n+1
29.
(_1)+1
n+
ln(n + 1)
n=1
5.
(-i)"' inn
6.
n
n=1
1
n=1
En los problemas 7-12, muestre que cada serie converge absolutamente.
'
10.
n=1
n(n±
1)
Dé un ejemplo de dos series
tes, tales que
diverja.
(i)"
12.
(_1)f1
15.
iOn + 1
1
17.
(_1)1
14.
n
16.
(_1)+1
n1
(_1)+1
18.
n=1
(_1)F1
19.
(_1)1
21.
20.
n
n2 + 1
cosn
23.
22.
24.
ambas convergen-
n2
(-1)
Muestre que ia serie armónica aiternante
2
(cuya suma real es in 2
0.69) se puede reordenar para converger a
1.3, mediante los pasos siguientes.
Considere una cantidad suficiente de términos positivos
1
(-1)'
y
a
Muestre que los términos positivos de Ia serie armónica alternante forman una serie divergente. Muestre io mismo para los términos negativos.
35.
(-i)"-e"
En los problemas 13-30, clasifique cada serie como absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente.
13.
diverge, también lo hace
Muestre que los resultados del probiema 33 se cumpien para cualquier serie condicionalmente convergente.
8.
11.
(_1)t+1sen
30.
Demuestre que si
1
(-1)'
3.
2
+
+
para exceder apenas a 1.3.
Sume ahora una cantidad suficiente de términos negativos
-debajo
- de- 1.3.10n' + 1
de modo que ia suma parciai S,, quede justo
Sume de nuevo un némero suficiente de términos positivos para
exceder 1.3, y asI sucesivamente.
1
n(1 +
1
\/n2_1
(-1)'
+
n-1
sen(nlT/2)
H 36. Use su caiculadora como ayuda para encontrar los 20 primeros términos de Ia serie descrita en el problema 35. Calcule 2O
Explique por qué una serie condicionaimente convergente
puede reordenarse para converger a cuaiquier nimero dado.
Muestre que una serie condicionalmente convergente se puede reordenar, de modo que diverja.
n=1
25.
sen n
26.
nsen(_)
Muestre que lIm a
0 no basta para garantizar Ia conver-
gencia de Ia serie alternante
minos de 1/n y -i/n2.
(-1)"'a. Sugerencia: Aiterne los tér-
458
CAPITULO 10
40.
Series infinitas
Analice la convergencia o divergencia de
Vi
1
45. Observe que
+l
111 2n
1--+---+...1
1
i V+i
1
2
3
4
11 +11
/
I1+++...
=1+++...+23
Demuestre que si
y
1
1
2
a
en (0, 1] tiene longi-
1
1
+i
44. Muestre que Ia gráfica de y = x sen
tud innnita.
b convergen, entonces
=
a, bk converge absolutamente. Sugerencia: Primero muestre que
1
n+1
3
+
2n
1
n+2 +...+
\.
n
1
2n
Reconozca la ültima expresión como una suma de Riemann y üsela
para determinar la suma de la serie armónica alternante.
2akbk
Bosqueje la gráfica de y = (sen x)/x y luego muestre que
L
Respuestas al repaso de conceptos: 1. 1Ima, = 0 2. absolutamente; condicionalmente 3. la serie armónica alternante
4. reordenarse
(sen x)/x dx converge.
Muestre que
fsen x/x dx diverge.
10.6
Series de potencias
Hasta ahora hemos estudiado lo que podrIa liamarse series de constantes, es decir, sedonde cada u, es un nümero. Ahora estudiaremos las series de
ries de la forma
funciones, series de la forma u(x). Un ejemplo tIpico de esta clase de series es
sen nx
n=1
Series de Fourier
La serie de funciones seno
mencionada en la introducción es un
ejemplo de serie de Fourier, ilamadas
asI en honor de Jean Baptiste Joseph
Fourier (1768-1830). Las series
de Fourier son muy importantes en el
estudio de fenómenos de onda, pues
nos permiten representar una
onda compleja como suma de sus
componentes fundamentales
(ilamadas tonos puros en el caso de
las ondas sonoras). Es un campo muy
amplio, que dejaremos a otros autores
y libros.
-
sen x
1
+
sen 2x
sen 3x
+
4
9
+...
Por supuesto, en cuanto sustituimos un valor de x (como x = 2.1), regresamos a terntorio familiar; tenemos una serie de constantes.
Hay dos preguntas importantes en cuanto a una serie de funciones.
i,Para qué valores de x converge la serie?
A qué funciOn converge? Es decir, cuá1 es la suma S(x) de la serie?
La situación general es un tema propio de un curso de cálculo avanzado. Sin embargo, aün en el cálculo elemental podemos aprender mucho en el caso particular de
una serie de potencias. Una serie de potencias en x tiene la forma
= a0 + a1x + a2x2 +
(AquI interpretamos a0x0 como a0 aunque x = 0.) Podemos responder de inmediato
nuestras dos preguntas en el caso de una serie de potencias.
EJEMPLO 1
i,Para qué valores de x converge la siguiente serie de potencias?
cx
ax" = a + ax + ax2 + ax3 +
n=0
Cuál es su suma? Suponga que a
0.
So!ución En realidad, estudiamos esta serie en la sección 10.2 (con r en vez de x) y
la ilamamos una serie geométnica. Converge para - 1 < x < 1 y tiene suma S(x) dada
por
Series de potencias 459
SECCION 10.6
El conjunto de convergencia Liamamos al conjunto donde una serie de potencias converge su conjunto de convergencia. j,Qué tipo de conjunto puede ser el conjunto de convergencia? El ejemplo 1 sugiere que puede ser un intervalo abierto (véase
La figura 1). ,Hay otras posibilidades?
,Cuál es ci conjunto de convergencia de Ia siguiente serie?
EJEMPLO 2
x
(n + 1)2
1 + lx
--- + 1x2
- 22 + -1x3
22
=
42
3
+
Solución Observe que algunos de los términos pueden ser negativos (si x es un némero negativo). Comprobemos la convergencia absoLuta mediante el criterio del cociente absoLuto (Teorema 10.5C).
xn + I
p = lIm
-*00
fl
(n +
xn
(n + 1)2
2)2n+1
=lim
n+1
n+2
X
n-*oo2
=
2
La serie converge absolutamente (y por tanto converge) cuando p = x/2 < 1 y diverge cuando x/2 > 1. En consecuencia, converge cuando x < 2 y diverge cuando
>2.
Si x = 2 o x = -2, el criterio del cociente falia. Sin embargo, cuando x = 2, la sees La serie armónica, que diverge; y cuando x = -2, es Ia serie armónica alternante, que converge. Concluimos que el conj unto de convergencia para la serie dada es el
intervalo -2 x < 2 (figura 2).
n
fl
00
Determine ci conjunto de convergencia de
EJEMPLO 3
n=O
Solución
p=
LIm
fl -*00
xn+1
xn
(n + 1)!
n!
!Im
=0
fl + 1
Concluimos del criterio del cociente absoluto que La serie converge para cada x (figura3).
00
Determine
EJEMPLO 4
eL
conjunto de convergencia
n!f.
de
n=O
Solución
p = fllIm
-*00
(n + 1)!x"'
n! x
=
lIm (n + l)x =
fl-*00
lo
too
Six = 0
Six
Concluimos que La serie converge soLo en x = 0 (figura 4).
En cada uno de nuestros ejemplos, el conjunto de convergencia fue un intervalo
(un intervalo degenerado en el üitimo ejempLo). Esto siempre ocurre. Por ejemplo, es
imposibLe que una serie de potencias tenga un conjunto de convergencia que conste
de dos partes disconexas (como [0, 1] U [2, 3]). Nuestro siguiente teorema nos duenta
toda Ia historia.
Teorema A
n sei ic de
n
iniuito die -c.river,.
ic ce u..
v.j de 11110 de .0s
trC3 tik.
1
(i_)
Iiliicu1, unto x =
1
encia. 'ax" c
siempre un inter-
0.
L. ml,terr
valo -R,R), incLuyendo p
-yJj t:a recta real.
Tn
.
-
Aeivente a uno o ambos extremos.
I
En (i), (ii) y (iii), se dic e que La serie
vamente.
ur'aeradi'
r de convergencia 0, R e 00,1
-dpecti-
0. Entonces
Demostración Suponga que la serie converge en x = x1
lIm a x = 0, de modo que existe un nümero N tal que a xj < 1 para n N. Entonces, para cualquier x tal que xI <
a x'
x
=
n
n
x
x1
x1
x/x1j converge, pues es una serie geométrica
con razón menor que 1.AsI, por el criterio de comparación ordinaria (Teorema 10.4A),
converge. Hemos mostrado que si una serie de potencias converge en x1, en-
lo que se cumple para n> N.Ahora,
tonces converge (absolutamente) para cada x tal que x < x1.
Por otro lado, suponga que una serie de potencias diverge en x2. Entonces debe
divergir para cada x tal que x > x2, pues si convergiese en x1 tat que x1 > x2, entonces, por to que mostramos antes, convergerIa en x2, contrario a ta hipótesis.
Estos dos párrafos eliminan todos los tipos posibles de conjuntos de convergencia, excepto los tres tipos mencionados en el teorema.
En realidad, hemos demostrado un poco más de lo que afirmamos en el Teorema
A y vale la pena enunciarto como otro teorema.
Teorema B
Una serie de potencias
to de convergencia.
H r 1e su inter Vaaxh2 converge absotutamente en e: iliLeriel
1
Por supuesto, la serie podrIa converger absolutamente en los extremos del intervalo de convergencia, pero eso no podemos garantizarlo; revise el ejemplo 2.
Series de potencias en x - a
a(x - a)'1
Una serie de la forma
a0 + a1(x - a) + a2(x - a)2 +
=
es una serie de potencias en x - a. Todo to que hemos dicho acerca de las series de p0tencias en x se aplica simitarmente a las series en x - a. En particular, su conj unto de
convergencia es siempre uno de los tres tipos siguientes de intervalos:
El ünico punto x = a.
Un intervalo (a - R, a + R), más posibtemente uno o ambos extremos (figura 5).
Toda la recta real.
0
EJEMPLO 5
Determine el conjunto de convergencia de
n=o
Solución
(x -
1)'1
(n +
1) 2
Aplicamos el criterio del cociente absotuto.
(x - 1)'1'
p= tim (n + 2)2
-'°
(x - 1)
tImx-1
(n + 1)2
=
-
(n + 1)2
(n + 2)2
1
AsI,laserieconvergesi x - 1 < 1;esdecir,si0 < x < 2;divergesi x - 1 > 1.También converge (incluso absolutamente) en ambos extremos 0 y 2, como podemos ver al
sustituir estos valores. El conj unto de convergencia es et intervalo cerrado [0, 2] (figu-
ra6).
EJEMPLO 6
U
Determine el conjunto de convergencia de
(x + 2)2ln2
29
+
(x + 2)3tn3
3
27
+
(x + 2)41n4
481
+
Series de potencias 461
SEccION 10.6
Solucion
(x+2)"lnn
El n-ésimo término es u,, =
plim
--
,n
2. AsI,
n3n
(x + 2)"'ln(n + 1)
(x + 2)" inn
(n + 1)3"'
ln(n+1)
,
lIm
noo+
3
x+2
=
inn
3
Sabemos que la serie converge cuando p < 1, es decir, cuando x + 2 < 3, o en forma
equivalente, 5 < x < 1, pero debemos verificar qué ocurre con los extremos 5 y 1.
En x = 5,
Un =
(3)"lnn
inn
(_'y'
-
3fl
n
(-1)"(1n n)/n converge por el criterio para series alternantes.
En x = 1, u,, = (in n)/n y (in n)/n diverge por comparación con la serie armó-
y
nica.
Concluimos que la serie dada converge en el intervalo 5
< 1.
Repaso de conceptos
L Una serie de la forma a0 + a1 x + a2x2 +
es una
2. En vez de preguntarnos si una serie de potencias converge,
3. Una serie de potencias siempre converge en un
4. La Serie 5 + x +
debemos preguntar
que
puede o no incluir
x2
+
x3
+ .. . converge
en el intervalo
Conj unto deproblemas 10.6
En los problemas 1-20, determine el conjunto de convergencia de Ia sen depotencias dada. Sugerencia: Determine primero unafOrmulapara el n-ésimo término y luego use el criterio del cociente absoluto.
1
x2
i2 23
+
x2
x3
x4
3.4
4.5
+
56
x+
x5
3!
5!
x2
x4
+
2!
2x2
22x2
4!
+
-
-
x
+
81+x+
9
10
+
23x3
+--
7!
9!
+
6!
+
32x3
17.1+
+
42x4
i3
x2
2
x2
x
-
x3
3
+
+
x3
x4
4
+
18.
+
x5
+
x+i
2
x-
2
x+
5
21. Por el
x2
+
24
5
+
5x5
+ 6
(xi)3
+
(x+2)2
(x+2)3
(x+1)3
+
22
+
2
(x -
2)
x
11 1 - 2
+
32_i
+x222- - x3
2
+
42_i
x4
2
-
42
+
(x + 5)4
+
+
x"/n! converge
ejemplo 3, sabemos que
para cada x.
Porquépodemosconc1uirqueiImx"/n! = Oparatodax?
3.5 +
+
(x - 2)
+
32
(x + 5)3
(x + 5)2
+
3!
(x+1)2
22
+
+
+
4
2!
(x - 2)2
+
(x-1)4
+
3
22. Sea k un nUmero arbitrario y 1
x
22_1
+
+
i2
23
34
4.5
2O.(x+3)-2(x+3)2+3(x+3)3-4(x+3)4+..
19.
x4
4x4
2
+
4x4
+
x10
8!
24x4
+
4!
4
16.i+(x+2)+
- 10!
x8
+
24x4
3!
3x3
1
x9
x6
3x3
+
x7
12
1-
22x2
13.1+2x+
+
23x3
x
2x2
14.+
+
+
x-1 + (x-1)2
15.
x4
x3
x3
x--+
x+
+
22x2
x5
+ x + -- + -- + -- +
1-
+
2x
2!
x
1
12. 1 +
+
52_i
+
k(k urn
noo
i)(k
2)
n!
Sugerencia: Véase el problema 21.
<
x
<
(k - n)
1. Demuestre que
x=0
462
Series infinitas
CAPiTULO 10
Determine el conjunto de convergencia para cada serie.
(2x
3)"
(3x + 1)'
(b)
(-1)"
Determine el radio de convergencia de
123"n
(a)
13 5"(2n 1)
n2
'F
Consulte el problema 52 de la sección 10.1, donde se definió
Ia sucesion de Fibonaccif1 ,f2 ,f3,. . . Determine el radio de convergen-
Determine el radio de convergencia de
(pn)!
(n!)PX
ciade
n1
fx".
Suponga que a3 = a y sea S(x) =
donde p es un entero positivo.
x". Muestre que
la serie converge para x < 1 y dé una formula para S(x).
Determine la suma S(x) de
(x
3)n. j,Cuál es el con-
Siga las instrucciones del problema 29 para el caso en que
= a para algOn entero positivo fijo p.
junto de convergencia?
26. Suponga que
n0
a(x
3)" converge en x = 1. ,Por qué
Respuestas at repaso de conceptos:
puede concluir que converge en x = 6? PodrIa garantizar que converge en x = 7? Explique.
10.7
Operaciones sobre
series de potencias
1. serie de potencias
4. (-1, 1)
3. intervalo; extremos
2. dOnde converge
Por la sección anterior sabemos que el conj unto de convergencia de una serie de p0tencias a0x es un intervalo I. Este intervalo es el dominio de una nueva función
S(x), la suma de la serie. La pregunta más obvia acerca de S(x) es Si podemos darle una
formula sencilla. Hemos hecho esto para una serie, una serie geométrica.
a
1x
,
1<x<1
En realidad, no hay mucha razón en esperar que la suma de una serie de potencias arbitraria sea una de Las funciones elementales estudiadas anteriormente en eSte libro,
aunque avanzaremos un poco en esa dirección en esta sección y con más detalle en La
sección 10.8.
Una mejor pregunta es si podemos decir algo acerca de las propiedades de S(x).
Por ejemplo, es diferenciable? Es integrable? La respuesta a ambas preguntas es si.
DerivaciOn e integraciOn término a término Piense en una serie de potencias como un polinomio con una infinidad de términos. Se comporta como un polinomio bajo la integración y la derivación; estas operaciones se pueden realizar término a
término, como sigue.
Teorema A
Suprga que S(x) es La suma de una sen dILpotencias en un intervalo I; es decir,
00
S(x) = 'a"
a0 + 1x + a2x2 +
a3x +
Entc'nces, si x es interior a I,
D(a
S'(x) =
=
Lx
S(t'
a1
n)
=
na,
"
+ 2a2x + 3a3x2 +
= ,. L
J
at
I
.
1
1
1
1:11 +o,X3+a3X4+
El teorema encierra varios aspectos. Afirma que S es diferenciable e integrable,
muestra cómo calcutar La derivada y La integral e implica que el radio de convergencia
de la serie derivada e integrada es iguaL al radio de la serie original (aunque no habla
SECCION 10.7
Operaciones sobre series de potencias 463
acerca de los puntos extremos del intervalo de convergencia). La demostraciOn del teorema es difIcil. Dejaremos la demostración para libros más avanzados.
Una consecuencia agradable del Teorema A es que podemos aplicarlo a una serie
de potencias con una fOrmula conocida para Ia suma, con elfin de obtener formulas de
suma para otras series.
EJEMPLO 1
Aplique el Teorema A a La serie geométrica
1 -x =1+x+x2+x3+,
-1<x<1
para obtener formulas para dos nuevas series.
Solución
Al derivar término a término obtenemos
1
(1 - x)2
-1<x<1
=1+2x+3x2+4x3+,
Al integrar término a término se tiene
LX
dt =
dt +
LXt dt + f
LX1 dt +
1
Es decir,
-1n(1-x)=x+++,
Un resultado sobre
un punto extremo
La cuestiOn sobre lo que ocurre en
un punto extremo del intervalo de
convergencia de una serie de
potencias es compleja. Un resultado
se debe a! más grande matemático
noruego, Niels Henrik Abel (18021829). Suponga que
f(x)
para x < R. Si f es contirnja en un
punto extremo (R o -R) y si la serie
converge en ese punto, entonces la
fOrmula también es válida en ese punto extremo.
-1<x<1
Si reemplazamos x por -x en la Ultima expresión y multiplicamos ambos lados por -1,
obtenemos
ln(1 + x) = x -x2- +
2
x3
4+
3
-1<x<1
Por el problema 45 de la sección 10.5, sabemos que este resultado es válido en el extremo x = 1 (observe además la nota al margen).
EJEMPLO 2
So!ución
Determine la representación en serie de potencias de tan1x.
Recuerde que
1
tan'x
dt
= L 1 + t2
De la serie geométrica para 1/(1 - x) reemplazando x por
1
1+t2
=1-
t2
+t-
t2, obtenemos
-1 <t < 1
+
-
AsI,
tan1 x =
LX1 - t2
+
t4
- t° + ) dt
Es decir,
tan1 x
= x -x33- + x55-
-1<x<1
+..,
(Por la nota a! margen, esto también es válida en x = ±1.)
EJEMPLO 3
Determine una formula para La suma de la serie
x2
S(x)=1+x++
2!
x3
3!
+
Solución Ya hemos visto (ejemplo 3 de la sección 10.6) que estaconverge
serie para cada x. Al derivar término a término, obtenemos
S'(x) = 1 + x +
x2
+
x3
+
Es decir, S'(x) = S(x) para cada x. Además, S(0) = 1. Esta ecuaciOn diferencial tiene
la (mica solución S(x) = ex (véase la sección 7.5). AsI,
x2
ex = 1 + x +
EJEMPLO 4
+
x3
.
+
Obtenga La representación en serie de potencias para
e_x2.
Solución Basta sustituirx2 en lugar de x en La serie para ex.
4
e_X2
.
6
-
= 1 - x2 +
+
Operaciones algebraicas Las series de potencias convergentes pueden sumarse o restarse término a término (Teorema 1O.2B). En ese sentido se comportan como
poLinomios. Las series de potencias convergentes también se pueden multiplicar y dividir de una manera sugerida por La multipiicación y division "larga" de polinomios.
MultipLique (y divida) la serie de potencias para Ln (1 + x) por (entre)
EJEMPLO 5
lade ex.
So!ución Nos referimos a los ejemplos 1 y 3 para las series necesarias. La dave de la
multiplicación es encontrar primero el término constante, luego el término en x, luego
eL término en x2, y asI sucesivamente. Ordenamos nuestro trabajo como sigue.
O+x
x2
2
+
x3
3
x4
---+...
4
1+x+ +++
x2
x3
x4
3!
4!
/
1
1
I)x3
O+(O+1)x+(O+1_1x2 +Io+-----+
2j
\
2
2!
+
=0+x+
+
2
3
/
\
3
0+
1
3!
- 2!21 + 13- - -1'\
4/
1x4
+
+ 0 x4 +
He aquI cómo se reaLiza La division.
x4 +
1+x+x2+x3+)x_x2+x3_
x + x2 + x3 +
x4 +
x2 -
x2 - x3 -
+
+
x4+
x3+
-
+
4
4
x4 +
La pregunta real relativa al ejempLo
5
es Si las dos series obtenidas convergen a
[Ln (1 + x)Jex y [in (1 + x)]/ev, respectivamente. Nuestro siguiente teorema, estableci-
do sin demostración, responde esta cuestión.
Operaciones sobre series de potencias 465
SECCION 10.7
leoreijia B
S an i (x) =
-I-
p.ara
'
11
i.
y
gc) =
o' "ide a "ibas series convergen al menos
1
< ' Si e reaan las operaciones 'Je suma, resta y multiplicación en estas
S
a
'rics como si 'LIv.ese r polinomios, entonces kd serie resuitante convergerá para
< r y representa ' x) + g(x,, f(x) - g (c) -- f(x) g(x), respectivamente. Si
dvisiOn, pero solo odemos
- 'o :respon iente es válido para
, ci resull 10
1
g :ar anti: ar su va haez pare
I
siifi CJ.e rite'ment peque no.
i
La operación de sustitución de una serie de potencias en otra también es válida
para x suficientemente pequeflo, siempre que el término constante de la serie sustituida sea cero. He aquI un ejemplo.
EJEMPLO 6
do 4.
Determine la serie de potencias para etan'x, hasta los términos de gra-
Solución Como
etan
X
u
1+U+
eu
2!
+
u
3!
+
((tan x)3
= 1 + tan' x +
tan x)
2!
S. Ramanujan (1887-1920)
Una de las personas más notables de
principios del siglo xx fue el
matemático de la India, Srinivasa
Ramanujan. En gran medida
autodidacta, Ramanujan dejó tras su
muerte varios cuadernos donde registró
sus descubrimientos. Solo hasta ahora es
que se han estudiado con detalle estos
cuadernos. En ellos hay muchas
formulas extraflas y maravillosas,
algunas para las sumas de series
infinitas. He aqul una.
(4n)![1103 + 26,390n]
1
9801
(n!)4(396)4
FOrmulas como éstas fueron utilizadas
en 1989 para calcular el desarrollo
decimal de r con más de mu millones
de cifras. (Véase el problema 35.)
+
4!
+
3!
/
+
tan1 x)
+
4!
.
Ahora sustituimos la serie para tan1x del ejemplo 2 y agrupamos los términos semejantes.
\2
/
etanx = 1 +
7
\
x3
\
x------+"l+
3
x3
x---+...
\
3
/
)
2!
/
+
x3
x---+...
3
\
/
3!
x3
(x
/
3
4!
=1+/ x+. /+ (x2x4+.)
x3
+
2
3
\
(x +
+
(x3+)
6
+...
24
x2
x3
2
6
7x4
24
+...
.
Serie de potencias en x - a Hemos establecido los teoremas de esta sección para series de potencias en x, pero con algunas modificaciones obvias son igualmente válidas para series de potencias en x - a.
Repaso de conceptos
3. Los cuatro primeros términos en el desarrollo en serie de
1. Una serie de potencias puede derivarse o
término a término en el
de su intervalo de convergencia.
potencias de exp(x2) son
2. Los cinco primeros términos en ci desarrollo en serie de potencias para ln(1 - x) son
4. Los cinco primeros términos en el desarroilo en serie de p0tencias para exp(x2) - ln(1 - x) son
466
Series infinitas
CAPITULO 10
Conf unto de problemas 10.7
En los problemas 1-10, determine Ia representación en serie de potencias para f(x) y especifique el radio de convergencia. Cada una está relacionada en cierto sentido con una serie geométrica (véanse los ejem-
26. Siga las instrucciones del problema 25.
1 + x2 + x4 + x6 + x8 +
cosx + cos2x + cos3x + cos4x +
p/os 1y2).
x2
1. f(x)
2. f(x) =
1
3. f(x)
5. f(x) =
7. f(x) =
1
2
1-x
2 - 3x
+ t)dt
9. f(x)
"'3+2x
f(r'1
10. f(x) =
2-x
ftan1tdt
decimales.
Sea y = y(x) = x -
Jo 1+t
Sea {f} la sucesiOn de Fibonacci definida por
f0=0,
+
(c)2x+
x
3!
+
4x2
2
x2
4!
+
+
8x3
3
x3
5!
+
24f(x)
+
4
fxTz, muestre que
F(x) - xF(x) - x2F(x) = x
y luego use este hecho para obtener una fOrmula sencilla para F(x).
34.Seay = y(x) =
f,dondefescomoenelproble-
1 + ln(1 + x)
ma 33. Muestre que y satisface la ecuación diferencial y" - y' y
0.
35. ,Alguna vez ha pensado cómo las personas han calculado el
pende de Ia siguiente identidad (véase el problema 62 de la sección
dt
16x4
f+2=f+1+f
desarrollo decimal de IT con un gran nOmero de cifras? Un método de-
x - x2 + x3- x4 + x5 1
f1=1,
ex
=
x tan1 t
L
7.7).
dt
25. Determine Ia suma de cada una de las siguientes series, reconociendo su relación con algo familiar.
2!
. Muestre que y
sencilla para y.
18. f(x) = extan_Ix
20. f(x)
e
+
satisface la ecuación diferencial y" + y = 0 con las condiciones
y(0) = 0 y y'(0) = 1. A partir de esto, trate de hallar una formula
C
23. f(x)
-
ción 10.6.) Si F(x) =
tan1 x
1 + x2 + x4
[x
+
(Véanse el problema 52 de la secciOn 10.1 y el problema 28 de Ia sec-
f(x) = (tan1x)(1 + x2 + x)
f(x) =
n=O
16.f(x)=e2x_1_2x
f
tan' x
para x < R.
=
14. f(x) = xex2
En los problemas 17-24, use los métodos del ejemplo 5 para determinar la serie de potencias en x para cada funcion
19. f(x) =
n0
Muestre que a = b para toda n. Sugerencia: Sea x = 0; luego derive y haga x = 0 de nuevo. Continue.
En los problemas 13-16, use ci resultado del ejemplo 3 para determinar
Ia serie de potencias en x para las funciones dadas.
1 -x
n(n + 1)x".
Determine la representación en serie de potencias de x/(x2
- 3x + 2). Sugerencia: Use fracciones parciales.
Muestre que cualquier nümero positivo M se puede representar mediante (1 + x)/(1 - x), donde x está dentro del intervalo de
convergencia de la serie del problema 11. Por tanto, concluya que el
logaritmo natural de cualquier ni'imero positivo se puede determinar
por medio de esta serie. Determine ln 8 de esta forma, con tres cifras
17. f(x) =
nf.
(b) e1
Suponga que f(x) =
ln[(1 + x)/(1 - x)] = ln(1 + x) - !n(1 - x)
1
n1
(a) tan_1(e - 1)
x3
Obtenga la serie de potencias en x para ln[(1 + x)/(1 - x)]
f(x) =
+
las series de potencias, hasta los términos de grado 3.
y especifique su radio de convergencia. Sugerencia:
15. f(x) = ev + e_x
x8
29. Use el método de sustitución (ejemplo 6) para determinar
li
8.f(x)==
1fX
x6
+ -- +
28. Determinelasumade
x
4. f(x)
(1 -
x4
27. Determine la suma de
Sugerencia: Derive el problema 1.
(1 + x)2
+
+
= 16 tan1 @) - 4 tan1 ()
Calcule las seis primeras cifras de IT usando esta identidad y la serie
para tan1x. (Usted necesitará los términos hasta x9/9 para tan1 (i),
pero solo el primer término para tan1(1/239).) En 1706, John Machin
usO este método para calcular los cien primeros dIgitos de , mientras
que en 1973, Jean Guilloud y Martine Bouyer calculó el primer millón
de cifras usando una identidad relacionada con Ia anterior,
IT = 48 tan1 () + 32 tan1 () - 20 tan1 ()
Series de Taylor y Maclaurin 467
SECCION 10.8
En 1983, IT se calculó hasta 16 millones de cifras, mediante Un método distinto. Por supuesto, se usaron computadoras en estos cálculos recientes.
M = n!
1
2!
3!
4!
1
(n + 2)!
+
(n + 3)! +...1
1
1
+
n+1
1
1
(n+1)2
+
1
(n+1)3
+...
1
Esta serie también se puede usar para demostrar que e es irracional.
Haga esto completando el siguiente argumento. Suponga que e = p/q,
donde p y q son enteros positivos. Elija n > q y sea
M=n!(e-1-1-1-1
2!
+
1
e=1+1++++
1
1
[(n + 1)!
n+1(n+1)(n+2)(n+1)(n+2)(n+3) +
36. El nümero e se calcula fácilmente, con el nümero de cifras
que se desee, usando la serie rpidamente convergente
1
[
n
lo que produce una contradicciOn (,a qué?).
Respuestas al repaso de conceptos:
2.'.
3!
4.
M es un entero positivo. (,Por qué?) Además,
x±x+x±
1. integrarse; interior
3.
10.8
La principal pregunta pendiente es ésta: Dada una función f (por ejemplo, sen x o
Series de Taylor
in (cos2x)), ,podemos representarla mediante una serie de potencias en x o, más en general, en x - a? Más precisamente, ,podemos hallar nümeros c0, c1, c2, c3, ... tales que
y Maclaurin
f(x)=c0+c1(xa)+c2(xa)2+c3(xa)3+..
en algUn intervalo en torno de a?
Suponga que tal representación existe. Entonces, por el teorema sobre la derivación de una serie (Teorema 1O.7A),
f'(x) = c1 + 2c2(x - a) + 3c3(x - a)2 + 4c4(x - a)3 +
f"(x) = 2!c2 + 3!c3(x - a) + 4 3c4(x - a)2 +
f"(x) = 3!c3 + 4!c4(x - a) + 5 . 4 3c5(x - a)2 +
Al sustituir x = a y despejar c,, obtenemos
CO = f(a)
c = f'(a)
f" (a)
f"(a)
y, más en general,
Cn =
f(a)
(Para que esto sea válido en n = 0, definimos f(°)(a) como f(a) y 0! como 1.) AsI, los
coeficientes c, están determinados por la funciOn f. Esto muestra también que una función f no puede ser representada mediante dos series de potencias distintas en x - a,
un punto importante que hemos dejado pasar hasta ahora. Resumirnos esto en el siguiente teorema.
j:.JU ad
Teorema A Teororna d .i_ inic
Suponga que f satisrace
J(x) = c0 + c-(x
para cada x en .1gi
- a)2 + c3(x - a)3 +
)+
i
t,i no d
'.
C,: =
a. Entonces
f(a)
AsI, una función no puede ser representada por más de una serie de potencias en
x - a. La representaciOn en serie de potencias de una función en x - a es su serie de Taybr, ilamada asI en honor del matemático inglés Brook Taylor (1685-1731). Si a = 0, la
serie correspondiente es la serie de Maclaurin, liamada asI en honor del matemático
escocés Cohn Maclaurin (1698-1746).
Convergencia de series de Taylor Pero la cuestión de La existencia persiste.
Dada una función f, ,podemos representarla en una serie de potencias en x - a (que
debe ser, necesariamente, La serie de Taylor)? Los dos teoremas siguientes dan Ia respuesta.
P'rrquja de Taylot rrn residuo
Teorema B
derivada f')(x) existe nara cat
3 f una fuiiciOn c :wra (n+l )- sinia
terval[0 r qu conti it. a o . nioncIs, para cada .x en 1,
'ir in-
1
- a) +
= J 4 'I) - I
J
donde el rtsjdu -
a)2 +
2!
U,
- (x - a)" + R,,(x
0 .or
I esLa dado por Ia fOrmula
Rt'
y
f"(a)
es algün puw ntre X
f(fl+ 1) (c)
-
(n + 1)!
ü
Demostración Demostraremos el teorema para el caso particular de n = 4; la demostración para n arbitraria sigue la misma estructura y se deja como ejercicio. (Véase el
probLema 37.) Primero definimos la función R(x) en I como
f"(a)
R4(x) = f(x) - f(a) - f'(a)(x - a)
f"(a)
3!
2!
(xa)3 f(4)(a) (xa)4
4!
Ahora pensamos x y a como constantes y definimos una nueva función g en I como
g(t) = f(x) - f(t) - f'(t)(x f(4(t)(x - t)
4!
R4(x)
f"(t)(x - t)2
f"(t)(x - t)3
2!
3!
(x -
(xa)5
Es cLaro que g(x) = 0 (recuerde que x se considera fijo) y
g(a) = f(x) - f(a) - f'(a)(x - a)
f4(a)(x - a)
4!
R4(x)
f"(a)(x - a)2
2!
f"(a)(x 3!
(x - a)
(xa)5
= R4(x) - R4(x)
=0
Como a y x son puntos en I con la propiedad de que g(a) = g(x) = 0, podemos aplicar el Teorema del valor medio para derivadas. Por tanto, existe un némero real c entre a y x tal que g'(c) = 0. Para obtener La derivada de g, debemos aplicar varias veces
La regla del producto.
SECCION 10.8
g'(t) =
0 - f'(t) - [f'(t)(l) + (x - t)f"(t)] -
Series de Taylor y Maclaurin 469
[f"(t)2(x - t)(-1) + (x - t)2f"(t)]
[f"(t)3(x - t)2(-1) + (x - t)3f(4)(t)]
[f()(t)4(x
=4.
- t)3(-1) + (x - t)4f(5)(t)] - R4(x) 5(x(x--t)(-1)
a)
(x - t)4f5(t) + 5R4(x)
(x - t)4
(xa)
AsI, por el Teorema del valor medio para derivadas, existe c entre x y a tal que,
0
= g'(c) = -
1
4!
(x - c)4f(5(c) + 5R4(x)
(xc)4
(xa
Esto conduce a
1
4!
(x - c)4f(5(c)
R4(x)
= 5R4(x)
f(5)(c)
-
5!
(xc)4
(xa
)5
(x - a)5
Este teorema nos indica el error a! aproximar una función con un nümero finito de términos de su serie de Taylor. En el siguiente capItulo explorarernos con más detalle la relación dada en ci Teorema B.
Por ültimo, ahora podemos contestar cuándo una función f se puede representar
mediante una serie de potencias en x - a.
Teorema C Teorerna de Tay'or
'I con derivadas de todos los órdenes en aigün intervalo (
'1 riciOn
Sea f UTi Lii]
a + r).L a .eiie de Taylor
f"(a) (x - a1 +
(x - a)2
f(a) - f'(a)(x - a)
3!
f
representa ala función en ci intervalo (a - r, a + r) si y
lirn R,(x)
J nde
'1O si
0
11-400
'-C
r,
es ci residuo en La formula de Taylor.
R,,(x)
f(e) (x - a)''
in + 1)!
y c es algun punto en (a - r, a + r).
Advertencia
He aqul un hecho que sorprende a
muchos estudiantes. Es posible que
La serie de Taylor para f(x) converja
en un intervalo pero no represente a
f (x) ahI. Esto se muestra por
ejemplo en el problema 40. Por
supuesto que
lIm R(x)
en ese ejemplo.
Demostración SOlo necesitamos recordar la formula de Taylor con residuo (Teorema B),
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + ...
+
f(a) (x - a) + R(x)
n!
de donde se sigue el resultado.
Observe que si a = 0, obtenemos la serie de Maclaurin
f(0) + f'(0)x
EJEMPLO 1 Determine
sen x para cada x.
La
x
f"0)
+
serie de Maclaurin para sen x y pruebe que representa a
Solución
f(x)
f'(x)
= senx
= cosx
senx
f"(x) = cosx
f"(x) =
f(4)(x) = senx
f(0) =
f'(0)
0
f"(0) =
0
f"(0)
1
=
1
f(4)(0) = 0
AsI,
x-
senx =
x3
3!
+
- x77!
x5
5!
+
y esto Cs válido para cada x, siempre que podamos mostrar que
I \
lim Rix)
n*oo
perof(1)(x)
=
= tim
-'
J
x
ncx (n + 1)!
+1
=0
cosx o f(1)(x) = senx,demodoque
n+1
R (x)
(n+1)!
PeronlIm x'/n! = 0 para toda x, pUCS f/n! Cs el n-ésimo término de una serie convergente (véanse el ejempLo 3 y Cl probLema 21 de La sección 10.6). Como conseduencia,
vemosquelIm
R(x) = 0.
n -3 =
EJEMPLO 2
Determine la serie de MacLaurin para cos x y muestre que representa a
cos x para cada x.
Solución PodrIamos proceder como Cii el ejempLo 1. Sin embargo, CS más fácit obtener el resuLtado derivando la serie de ese ejempto (procedimiento váLido de acuerdo a!
Teorema 10.7A). Obtenemos
cosx =
1-
x2
2!
+
x4
4!
-
x6
6!
+
EJEMPLO 3
.
Determine La serie de MacLaurin para f(x) = cosh x de dos maneras distintas, y muestre que repreSenta a cosh x para cada x.
Solución
Método 1. Este CS CL método directo.
f(x)
f'(x)
= coshx
f(0) =
1
= SCflhX
f'(0) =
0
f"(x)
coshx
f"(0)
1
f"(x) = senhx
f"()
0
AsI,
coshx = 1 +
x2
2!
+
x4
4!
+
x6
6!
Si podemos mostrar que JIm R(x) = 0 para cada x.
+
Series de Taylor y Maclaurin 471
SECCION 10.8
Sea B un nümero arbitrario y supongamos que x
ex + e_x
coshx =
eX
-2 +
2
Por un razonamiento similar, senh x
mos que
R(x)
e_X
e1
eB
2
2
2
eB. Como
= e'
f("1)(x) es cosh x o senh x, conclui-
f '(c)x1
e'x'
(n + 1)!
(n + 1)!
como en el ejemplo 1.
La ültima expresión tiende a cero cuando n
Método 2.
cion 10.7,
B. Entonces
Usamos el hecho de que cosh x = (e-" + e_-')/2. Por el ejemplo 3 de la sec-
ex
1
e_x
+x+
=1 - x
x2
2!
+
x3
3!
x3
+ x2
2!
3!
+
+
x4
4!
x4
4!
+
-
El resultado se sigue al sumar las dos Series y dividir entre 2.
U
EJEMPLO 4 Determine la Serie de Maclaurin para senh x y muestre que representa
a senh x para cada x.
So!ución
Logramosambos objetivos al derivar la Serie para cosh x (ejemplo 3) téry usar el Teorema 10.7A.
mino a término
senh x = x +
La serie binomial
Estamos
x3
3!
x5
+
5!
+
x7
7!
+
familiarizados con la formula del binomio. Para un en-
tero positivo p,
(1+x)=1+
/\ x+ /p2 ++
\1J
\2J
x
p
()
x
donde
(p\
p(p-1)(p-2)(pk+1)
p!
kj -
k!(p - k)! -
k!
(p\
Observe que si definimos
como
kj
/p\p(p-1)(p-2)"(pk+1)
k!
entonces () tiene sentido para cualquier nOmero real p, siempre que k sea un entero positivo. Por supuesto, si p es un entero positivo, entonces nuestra nueva definiciOn
se reduce a p!/[k!(p - k)!].
Teorema D Serk binomial
Para cualqu.er nürnero real p y x < 1.
LI
(1 +
=I+
()
+(
+
-t--
Demostración parcial Sea f(x) = (1 + )P. Entonces
f(x) = (1 + )P
f'(x) p(l + )Pl
f"(x) = p(p - 1)(1 + X)P2
f"(x) = p(p - l)(p - 2)(1 +
f(0) = 1
f'(o) = p
f"(0) = p(p - 1)
p(p - l)(p 2)
f"(o)
Asi, La serie de Maclaurin para (1 + X)P es la indicada en el teorema. Para mostrar qué
representa a (1 + x)P, debemos mostrar que jim R(x) = 0. Por desgracia, esto es din-
fIcil, por lo que dejaremos esto para cursos más avanzados. (En el probLema 38 aparece una forma completamente distinta para demostrar el Teorema D.)
Si p es un entero positivo,
(p\
\kJ
= 0 para k > p, de modo que La serie binomial se
colapsa a una serie con un némero finito de términos, la formula del binomio usuaL.
EJEMPLO 5
Solución
Represente (1 - x)2 en una serie de Maclaurin para - 1 < x < 1.
Por eL Teorema D,
(1 + x)2 = 1 + (-2)x +
(-2)(-3)
2!
(-2)(-3)(-4)
2
X+
3!
X+
= 1 - 2x + 3x2 - 4x3 +
AsI,
(1x)2=1+2x+3x2+4x3+
Naturalmente, esto coincide con un resuLtado que obtuvimos mediante un método distinto en eL ejemplo 1 de la sección 10.7.
EJEMPLO 6 Represente \/1 + x en una serie de Maclaurin y Usela para aproximar
con cinco cifras decimales.
Solución
Por eL Teorema D,
1
G)(-)
(1+x)'12=1+x+
2
2!
+
2
((2)(2)
3
3!
()(-)(-)(-) x+...
4
4!
12x
1
2
8
AsI,
v 1.1=1+ 0.12 - 0.01 + 0.001
16
8
5(0.0001)
128
+...
1.04881
U
f 0.4
EJEMPLO 7
CaLcule /
\/1 + x4 dx hasta cinco cifras decimales.
JO
Solución Por eL ejempLo 6,
V1+x4=1+1x4_!x8+ 1x12_ 5
2
8
16
16
Series de Taylor y Maclaurin 473
SECCION 10.8
AsI,
r
0.4
10
+ x4 dx = I x +
L
[
9
72
10.4
13
+
208
+
0.40102
U
j0
Resu men Concluimos nuestro estudio de las series con una lista de las series de Maclaurin importantes que hemos determinado hasta el momento. Estas series serán ütiles para realizar los problemas, pero, lo que es más importante, tienen aplicaciones diversas en las matemáticas y las ciencias.
Series de Maclaurin importantes
1 -x =1+x+x2+x3+x4+"
2.ln(1+x)= X x22 + x33 - x44 + x55
-1<x<1
3.tan1x=x-+-++"
-1x1
1.
x3
x5
x7
x9
3
5
7
9
-1 <x
1
x2
x3
x4
4.ex=1+x+__+__+__+
2!
4!
3!
x3
x5
x7
x9
3!
5!
7!
9!
x8
6.cosx=1---+-----+---
x2
x4
x6
2!
4!
6!
8!
x3
x5
x7
3!
5!
7!
x2
x4
2!
4!
x9
7.senhx=x+-+--+--+--+
9!
x6
x8
8.coshx=1+-+--+--+--+
x + 7x2 +
9. (1 + x) = 1 +
1)
6!
8!
\2)
+
3)
4)
-1 <x
+
<
1
Repaso de conceptos
cias
Si una función f(x) se representa mediante la serie de potenx k entonces Ck =
La serie de Taylor para una función representa a esta funciOn para aquellos x para los que el residuo R(x) en la formula de
La serie de Maclaurin para sen x representa a sen x para
<x<
(1
Los cuatro primeros términos de la serie de Maclaurin para
+ x)1° son
Taylor satisfaga
Conj unto deproblemas 10.8
En los problemas 1-18, determine los términos hasta x5 de Ia serie de
Maclaurin para f(x). Sugerencia:
Tal vez sea más facil usar series
1
11. f(x) =
1
+x+
x2
12. f(x) -
1
1 - sen x
de Maclaurin conocidas y luego realizar multiplicaciones, divisiones,
etc. Por ejemplo, tan x
=
(sen x)/(cos
1. f(x) = tanx
13. f(x) = sen3x
).
2.
f(x) =
14. f(x) =
tanhx
4. f(x) = e_xcosx
3. f(x)
esenx
5. f(x)
(cosx)ln(1 +
f(x)
= ex + x + senx
f(x)
=
x)
(senx)\/1 +
15. f(x) = xsec(x2) +senx
\
1
1
10.f(x)= 1+x
in
\1+xJ
9. f(x)
1
1-
-ln(1 + x)
1+x
cosx
16. f(x)
=
x
17. f(x) = (1 + x)3/2
cosx - 1 + x2/2
/
6. f(x) =
x(sen2x + sen3x)
18. f(x) =
Vi
+x
(1 -
x2)2/3
En los problemas 19-24, determine Ia serie de Taylor en x - a hasta el
cosh
término (x - a)3.
19. ex, a =
'IT
1
20. senx, a = -
Series infinitas
474 CAPITULO 10
de modo que
22. tan x, a =
21. cos x, a =
a0 = 0,
23. 1 + x2 + x3, a =
1
a1
= 1,
a2 = 0,
a3
3,
y por tanto
24.2- x + 3x2 - x3,a
=
-1
tanx = 0 + x + 0 +
axh1 una función par (f(-x) = f(x)) para x
+
Sea f(x) =
en (-R,R). Demuestre que a = 0 si n es impar. Sugerencia: Use el
lo que coincide con el problema 1. Use este método para determinar
los términos hasta de cuarto grado en La serie para sec x.
Teorema de unicidad.
35. Use el método del problema 34 para determinar Los términos
hasta x5 en La serie de Maclaurin para tanh x.
Establezca y demuestre un Teorema análogo a! del problema 25 para funciones impares.
Recuerde que
sen1x=
36. Use el método del problema 34 para determinar los términos
hasta x4 en la serie de Maclaurin para sech x.
37. Demuestre el Teorema B para
di
I
Jo \/1_t2
el caso particular n = 3, y
Determine los cuatro primeros términos no nulos en la serie de Maclaurin para sen1x.
n arbitrario.
38. Demuestre el Teorema D como sigue. Sea
f(x) =1 +
Dado que
senh1 x =
n=1
di
I
Jo V1+t2
determine los cuatro primeros términos no nu!os en La serie de Maclaurin para senh1x.
ci 29. Calcule con una precision de cuatro cifras decimales,
Demuestre que La serie converge para x < 1.
Muestreque(1 + x)f'(x) = pf(x)yf(0) = 1.
Resuelva esta ecuación diferencial para obtener f(x) = (1 +
39. Sea
t<0
f(t)
=
Explique por qué f(t) no se puede representar mediante una serie de
Maclaurin. Muestre además que si g(t) representa La distancia recorrida por un auto estacionario para t < 0 y que se mueve hacia delante para t > 0, entonces g(t) no se puede representar mediante una sen
de Mac!aurin.
fcos(x2)dx
CI
30. Calcule con una precision de cuatro cifras decimales,
p0.5
J
Escriba 1/x = 1/[1 -(1 -x)] y use el desarrollo conocido de
1/(1 - x) para determinar la serie de Taylor para 1/x en potencias de
40. Sea
x-1.
f(x) = {
Sea f(x) = (1 + x)1/2 + (1 - x)1/2. Determine la serie
de Maclaurin para f y luego Osela para calcular f(4)(0) y f51)(0).
En cada caso, determine La serie de Maclaurin para f(x) usando series conocidas y luego Osela para calcular f(4)(0).
(b) f(x) = esenX
(a) f(x) = eX+X2
(c) f(x)
LX
e'
1
(d) f(x)
di
= ecosX = e ecosX -
1
(e) f(x) = lfl(c052x)
senx
cos x
x0
0
x=0
Muestre que f'(0) = 0 usando la definición de !a derivada.
Muestre que f"(0) = 0.
Suponiendo que f()(0) = 0 para toda n, determine !a serie de
Mac!aurin para f(x).
,Representa a f(x) la serie de Maclaurin?
Cuando a = 0, La fOrmula del Teorema B se llama La formula de
Maclaurin. Cuá1 es el residuo en La formula de Maclaurin para
f(x)?
A veces se puede determinar una serie de Maclaurin mediante el método de igualación de coeficientes. Por ejemplo, sea
tanx =
x)P.
=
a0 + a1x + a2x2 +
Luego multiplique por cos x y reemplace sen x y cos x por sus series
para obtener
I
x-+=(ao+a1x+a2x2+)1-+
x2
(
a0\
/
a1\
Esto muestra que una serie de Maclaurin puede existir y aOn asI no representar a la funciOn dada (el residuo no tiende a 0 cuando n -+ oc).
CASI Use un sistema algebraico por computadora para determinar los
cuatro primeros términos no nulos en Ia serie de Maclaurin para cada
una de las siguientes funciones. Compruebe los pro blemas 43-48 para
ver si obtuvo las mismas respuestas usando los resultados de la sec-
cion 10.7.
41. senx
42. expx
43. 3senx - 2expx
45. sen(expx - 1)
44.
47. (senx)(expx)
exp(x2)
46. exp(senx)
48. (senx)/(expx)
AsI,
a0
a1
1
a0=0, a1=1, a2----=0, a3---=-,
Respuestas a! repaso de conceptos:
2 lim
3-00004l
1.
f(k)(0)/k!
SECCION
RevisiOn del capItulo 475
10.9
10.9 Revision del capItulo
Examen de conceptos
1. Si 0
a,, c b,, para toda n en
y lIm b,, existe, entonces urn a,,
Si b,, <a,, <0 para toda n en i y
a,, para toda n en
Si 0
n" < (2n -1)!.
3. Si tim a,, = L, entonces urn a3,,4 = L.
4. Si tim a2,,
5. Si lIm
a,, = L.
am,, =
L para cada entero positivo m
,,=1
(1)
L.
28. Si
1"
-
,
2, entonceslim
29. Si ia serie de potencias
Si lim (a,, - a,,+i) = 0, entonces JIma,, existe yes finito.
también converge en x = 7.
Si {a,,} converge, entonces {a,,/n} converge a 0.
,,=i
,,=i
Si 0 < a,,1 < a,, para toda n en Ni y Jima,, = 0, entonces
(-i)"
a,, converge y su suma S satisface 0 < S <
a,, diverge, entonces su sucesión de sumas parcia-
Si 0
a,,
< b,, para toda n en 1i y si
Co
b,, diverge, entonces
=i
diverge.
cia o divergencia de
Si a,, > 0 para toda n en
(a,,+1/a,,) < i.
+ 3n +
y
33. Si f(0), f'(0), f"(0),. . . existen, entonces la serie de Mactaurin para f(x) converge a f(x) en una vecindad de x = 0.
-
cial y' + y
n+1
n2 (n in n)2
°°
0 en toda Ia recta real.
Problemas de examen muestra
a,, converge, entonceslIm
En los problemas 1-8, determine si la sucesión dada converge o diverge; si converge, determine JIm a,,.
3. a,, =
9n
V9n2 +
2. a,,
1
(+4)n
Inn
=
4. a =
n!
3n
converge.
5. a,, =
converge.
sen2(n/2)
(-1)x/n! satisface la ecuación diferen-
1
converge.
in(n4+ i)
satisface Ia ecuación
Co
1. a,, =
(
a,,/(n + 1).
35. La función f(x) =
2n+3
,,=i 3n4 + 2n3
/ f(x) dx =
./o
a,,
=1
15. El criterio del cociente no nos ayuda a determinar la convergenCo
7. a,,
converge.
1
6. a,, =
sen2 n
8. a,, = cos
+
/ fl3T
\6J
En los problemas 9-18, determine si Ia serie dada converge o diverge;
si converge, determine su suma.
,,=1
Si 0 < a,,100 < b,, para toda n en
2.
y Ia serie converge en x = 1.5, enton-
34. La función f(x) = 1 + x + x2 + x3 +
diferencial y' =
en el intervalo (-1, 1).
les no está acotada.
Co
a,,(x - 3) converge en x = -1.1,
32. Toda serie de potencias converge para ai menos dos vaiores de la
variable.
a1.
converge y su suma S satisface 1 < S < 2.
Si una serie
ces
a,, diverge.
a,, x converge en x = -2, también converge en x =
31. Si f(x) =
a.
a,, converge, también lo hace
Si
< 0.01.
a,, diverge, entonces
30. Si
,,=1
,
Si JIma2,, = L y 1Ima2,,1 = L, entonces Jima,, = L.
Si {a,,} y {b,,} divergen, entonces (a,, + b,,} diverge.
a,,
a,, converge, entonces
y
(-1)a,, converge.
27.
L y Jim a3,, = L, entonces Jim a,,
b,, converge, entonces
converge.
existe.
2. Para cada entero positivo n, es verdadero que n!
(-1)a,, converge.
a,, converge, entonces
Si
Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmaciones. Prepárese para justificar su respuesta.
y
b,, converge, entonces
a,, converge.
9
n=1
Si para alguna c > 0, ca,, > 1/n para toda n en , entonces
diverge.
+ (1)2 + ()3 +
+ (1)1000 <.
a,,
,,=I
k(1
=
1
\\
i
Vk+1/
11.in+ln+ln+
k=l\k
coskr
12.
k=0
1
\
k+2)
Series infinitas
476 CAPITuL0 10
00(3
00
4
14.
13.
41.
2 +
k=O
91( 1
0.91919191... =
(112)k
17. 1 1
1
22
2
+ -- -
1+x = 1 - x
26
+
1
n=1 1
20.
,,=1
(_1)nl+1
21.
23.
fl 3
-1
22
n+1
1
n=1
n=1
00
I
1
00
1
2 + 3'
Determine la serie de Maclaurin para sen2x. Para qué valores
de x representa esta serie a la función?
Escriba la serie de Maclaurin para f(x) = sen x + cos x. Para
qué valores de x representa a f?
C
48. Escriba la serie de Maclaurin para f(x) = cos x2 y üsela para aproximar
24.
n+1
(-i)'
iOn + 12
n=1
<1,
y determine una serie de potencias que represente a 1/(1 + x)2. i,Cuál
es el intervalo de convergencia?
n=1 e
25.
+ x2 - x3 + x4 -
Calcule los cinco primeros términos de La serie de Taylor para ex
con base en el punto x = 2.
n+5
00
n
+ n2
3fl
Determine una serie de potencias que represente a 1/(1 + x)3 en
el intervalo (-1, 1).
En los problemas 19-32, indique si la serie dada converge o diverge y
dé una razón para su conclusion.
19.
n!(x + 1)
1
1
1-+-+1
00
42.
Derive la serie geométrica
100)
k=1
18.
\k
3)fl
(x
26.
n2
28.
27.
+ 7
(n+1)!
(1
30.
29.
fcos x2 dx
i,Cuántos términos de la serie se necesitan para calcular el valor de esta integral correctamente hasta cuatro cifras decimales?
CI
49. Calcule la siguiente integral hasta cinco cifras decimales.
[0.2 ex --1
I)"
Jo
x
dx
2
Cuántos términos debemos considerar en la serie convergente
2(2)fl
31.
32.
(-1)
En los problemas 33-36, indique si Ia serie dada es absolutamente convergente, condicionalmente convergente, o divergente.
(_1)l
33.
3fl
(-1)
35.
00
36.
2 n+8
n=l
(-1)"'7i
n2
n=0 n3
+
00
38.
1
(-1)(x
39.
n=O
n+1
4)fl
+
vv
+
+"
para garantizar que hemos aproximado su suma hasta una tolerancia
de 0.001?
00
Use el método más sencillo que se le ocurra para determinar los
tres primeros términos no nulos de la serie de Maclaurin para cada una
de las siguientes funciones:
(_2)+1 xn
ix
(c) e-' - 1
2n+3
(e) e_x sen x
En los problemas 37-42, determine el conjunto de convergencia de la
serie de potencias.
xn
1
Dé una buena cota para el error máximo cometido al aproximar
cos x mediante 1 - x2/2 para -0.1 x 0.1.
34.
1
00
1-
,,_11+lnn
3"x3"
(3n)!
1+x2
(b)
(a)
+ x
(d) x sec x
(f)
1
+ sen x
PRYECT
I
I'
f:..:4
Jso de ;es_r:
1*-?c irr ttuuLa
ir
IF
& iECNGL'S'IA
111
I
1
per a al r nximar IT
1i
nc y Ia décima suma parcial. Por t1timo. evalüe el duodécimo
t? mino y Ia duodécima suma parci'. ,CuáJ de estas cinco Se'des converge "más tápido"> Si tuviera que estimar r usandc
I. Pi epaiira.uó.j
Ejerci'Cu)
C
1
117
las relacic mes
serier infinitas para Ia funciOn tangente inversa j unto con las expresiones del ejercicio 1
serIa más eficiente?
4tafl1
-
1T
= 12
=
-1 -()
1
Lfl
+
4
tan1 (
1
16tan1() 4+1(
talL
,QJ
4
U.
jrct-io- 3- Uses sistei1a algebraico or coniputadora
pa.
ra evai 'ar 'Os cinco primeros tdrminos y las cinco primeras sus )arciales de Ia serie
maCi
,,
Sug 'ren 'ia: Aplique var ias v. ces ta fórffiuI.
11 p aia 1' suma
'ar.
Y)=
tanx + t"'v 1 _-tanxtaiy
(4n)!
=o
39,4n
Use esL os ;es"ltador I,ara evaluar la fracciOn
9801
1)
"deIat. crioqi.
2 Use series deJor
."vI para hail.:ar series infin iL.s
LIer:i
j u
1103 -- 26,390n'
4
(4n)! (1103 + 26,?90n)
.
ii. 'Jstj
_
.
o
n
ra ra P.
(n!4
(1, 1
i, 2, 3,4,5.
tSU
396'
obsr a?
p' -a
(a) t'an1
(c) In
(b")tan1
(5
'%\
99
/l
IlL Iefle xvn
(d) tan1
Ejercicio 41 Sin duda iara notado qu Ia expresiOn .n ('
1)1pare. Liverger a ir cuanuo N crcce si Iimite. Este resultado fue
1
.
(e)
F vaic
ii ni-p
.i iéricamente el quinto término de Ja rk Ia
1uirta
o ii - i
parcial. A ontinuación, evalüe eldécim Oiflu
esLabkut
f lo por
el Iiatemático de India Srinivasa Ramanujan(i881-19"O).
2
Estime ué tan grande Jebe ser N ?ara aproximar ir hastr. 5th] cifra decirnales,y explique oor "ìé Cree qi'
suv 10 rd N es suficiente.
1
1
477
PRSYECTO
I'
Deoii
icr.
E 1ICNLiA 10.2
I
1
de Euler de -
++--+...=1
1
22
32
iT2
6
.41 aoOn
I.
c]u
Fjerc.r
1
-+ ')-+
r) y P(0) = 1. Muestre que P debe ser de la
2
c ic :10 2
-
x2
Deduzca Ia serie de potencias para Sen X y
4Fai
:rr-1e
qu valores
de x ocurre que
senx
x
senx
(1
1+
-
=(
+... = 1'6
Euler consideró a La serie de p ten cias ue
polinomio. Luego
ra obtener
(1)
1
Sea P Un polinomio de grado n con La propiedad
forma
FJ
1
(2)
(1, rue
4 a1, a2,.-.,'Ll son ceros di tintos de P (es decir, P(a,) = 0
ira! =
pc.
LI
sen x
x4
x6
7!
.1 resr.tado
de Los ejercicios 1 y 2 piji'
licó eT
x8
+
9! I'i
= (1
x
--h-v
2ir)
x
.iL
:;-J
'it,
es igual a cero?
como un ran
-- 'iT
Explique cómo este resu1 do es C'oi scuencia de los &.
s: de N
Jc. tecnologIa
U.
io 3 Use su tecnologIa para obtener los primeros n
s, n = 1,2,3,4,5, de la serie de Maclaurin para la fun-
E
cion f(
.
(1
x
IUC :as
I
(1
1.
expsones
), luego multiplique (1
- 2IT \
x
-
/
Observe que cada una de estas funciones
mio. Grafique f junto con cada uno de estos poliCc, nte acerca de la cercanIa de estos polinomios
con Ia fun ion f.
e' un
cicios 1 y 2. Ahora multipi
Iii
Ejen. 1C1&d'4 En el ejemplo 6 de La sección 10.7 vimos que p01eui-s SUSLituir una serie de potencias en otra para determiua sei.e
para la función composición. Como
rv' .'1e potencias
nar "ii
y asI sucesivameni e A conin' utaciun, use su ecnologIa par
multiplicar lo más que p'ie.'d 1 dci laio derecho, to necesario
hasta que descubra un patrol or u' 'mo, iguale los coeficirntes de x2 de la izq"ie"da L derect a.. .) era conctuir con
relaciOn en (2).
I
C
ne ra r, los cáldulos pueden complicarse un poco; por
es d, esr.
fortun hora tenemos computadoras que realizan gran parte del 1 ebra para nosotros. Use su tecnologIa para determinar Ia sen de potencias para tan(sen x) hasta los términos de
grado 6.
III. Reflexión
'
LIU. 5 Aunque las series de potencias no son polinoEjercHr
mios, CO:t -frecuencia es ütil pensarlos de esta forma. Leonhard
Euler 707-1783) trató informalmente a las series de potencias
como polinomios de grado infinito y dedujo varias formulas
notaMes. (Por supuesto, un polinomio de grado infinito no es
un polinomio en realidad.) En este ejercicio vera cOmo Euler
obtuvo uno de sus resultados:
478
Ejercicio 6 Continue con el eirci.io ", a guah..ido .os ccientes de x4. Terminará con un valor para
1
i
++...
1
1
2
34
s fciu1as
rn
se oUr
Debemos destacar que, aunqu es a_
vias omo
poinomios de'
.
considerando a las series &pii teit..
- riormente a l mu
do infinito, en realidad son válidas. icPjje,
te de Euler, estos resultados fueron demost aoo, i, edia
todos más rigurosos.
Métodos numéricos,
aproxi maciones
La aproximaciOn de Taylor a una funciOn
11.2 lntegraciOn numérica
11.3 Solución numérica de ecuaciones
11.4 El algoritmo de punto fijo
11 .5 Aproximaciones para ecuaciones diferenciales
11.6 Revision del capItulo
Proyecto de tecnologIa 11.1 Polinomios de Maclaurin
11 .1
Proyecto de tecnologia 11 .2
Proyecto de tecnologIa 11.3
11.1
La aproximaciOn
de Taylor a
una funciOn
IntegraciOn numérica
Métodos de bisecciOn, de Newton y de punto fijo
Hasta ahora, en este libro hemos enfatizado lo que podrIan ilamarse métodos exactos.
Sin embargo, han surgido algunas excepciones, como cuando escribimos
0.333 o
3.1416. Lo más notable es nuestro análisis de las diferenciales en la sección 3.10,
donde usamos la diferencial dy para aproximar el cambio real zXy en y = f(x) cuando
x cambiaba en una cantidad Lix. Ese ejemplo ilustra el tipo de métodos de aproximación que queremos resaltar en este capItulo.
Dos factores contribuyen a la importancia de los métodos de aproximación. El primero es el hecho de que muchas de las entidades matemáticas que aparecen en aplicaciones no se pueden calcular mediante métodos directos. Por ejemplo, mencionemos
fb
fb
las integrales / sen (x2) dx, de uso amplio en óptica, y / e2 dx, que juega un
JO
y
Ja
papel central en estadIstica. En segundo lugar, la invención y la ahora amplia disponibilidad de las computadoras y calculadoras han vuelto prácticos los métodos numéricos
aproximados. De hecho, con frecuencia es más fácil calcular algo en forma aproxima-
y
f(x)
da mediante una calculadora (y obtener una respuesta con una precision dada) que
usar métodos exactos, incluso cuando se disponga de estos métodos.
(a. f(a))
y = P,(x) =f(a) +f'(a) (x - a)
El polinomio de Taylor de orden 1 En Ia sección 3.10 enfatizamos que una
funciOn f se puede aproximar cerca de un punto a mediante su recta tangente a través
del punto (a, f(a)) (véase la figura 1). Llamamos a esta recta la aproximación lineal a
cerca de a y vimos que
f
a
Figura 1
x
x
P1(x) = f(a) + f'(a)(x - a)
479
480 CAPITULO 11
Métodos numéricos, aproximaciones
Después de estudiar las series de Taylor en la sección 10.8, usted reconocerá que P1(x)
está compuesto por los dos primeros términos, es decir, los términos de orden 0 y 1, de
la serie de Taylor de f en torno de a. Por tanto, llamamos a P1 el polinomio de Taylor
de orden 1 con base en a. Como sugiere la figura 1, podemos esperar que P1(x) es una
buena aproximación a f(x) solo cerca de x = a.
Calcule P1(x) con base en a =1 para f(x) = ln x y üselo para aproximar
EJEMPLO 1
1n0.9ylnl.5.
Solución
Como f(x) = ln x, f'(x) = 1/x; asI, f(1) = 0 y f'(l) = 1. Por tanto,
P1(x)=0+1(x-1)=x-1
En consecuencia (véase la figura 2), para x cerca de 1,
ln x
x-1
y
lnO.9
lnl.5
Figura 2
0.9 - 1 = 0.1
1.5 1 = 0.5
Los valores de ln 0.9 y ln 1.5 con cuatro cifras correctas son 0.1054 y 0.4055. Como
era de esperar, la aproximación es mucho mejor para ln 0.9 que para ln 1.5, pues 0.9
está más cerca de 1 que 1.5.
El polinomio de Taylor de orden n La aproximación lineal P1(x) funciona
bien cuando x está cerca de a, pero no tan bien cuando x no está cerca de a. Como el
lector podrá imaginar, al agregar términos de orden superior de la serie de Taylor se
obtendrá una mejor aproximación. AsI, el polinomio cuadrático
f(a) + f'(a)(x - a)
P2(x)
+
f" (a) (x - a)2
2
compuesto por los tres primeros términos de la serie de Taylor para f, dará una mejor
aproximaciOn a f que la aproximación lineal P1(x). El polinomio de Taylor de orden
n con base en a es
P(x)=f(a)+f'(a)(xa)+ f"(a)
(xa)2+...+
2!
f(t1)(a)
n!
(xa)
EJEMPLO 2 Calcule P2(x) con base en a = 1 para f(x) = ln x y üselo para aproximar ln 0.9 y ln 1.5.
Solución
En este caso, f(x) = ln x, f'(x) = 1/x; f"(x) = 1/x2, de modo que
f(1) = 0,f'(l) = 1 yf"(l) = 1.Portanto,
P2(x)
0 + 1(x 1) (x - 1)2
en consecuencia, para x cerca de 1,
lnx
(x - 1) - 12(x - 1)2
y
Figura 3
lnO.9
(0.9 - 1) -
(0.9 - 1)2 = 0.1050
lnl.5
(1.5-1) -
(1.5 - 1)2 = 0.3750
Como era de esperar, éstas son mejores aproximaciones que las obtenidas mediante la
aproximaciOn lineal P1(x) (ejemplo 1). La figura 3 muestra la gráfica de y = ln x y
la aproximación P2(x).
La aproximación de Taylor a una función 481
SEccION 11.1
Cuando a 0, el polinomio de Taylor de orden n se
simplifica como el polinomio de Maclaurin de orden n, que da una aproximación particularmente ütil cerca de x = 0:
Polinomios de Maclaurin
f((0)
x+
f(0) + f'(0)x
f(x)
x
EJEMPLO 3 Calcule los polinomios de Maclaurin de orden n para ex y cos x. Luego
aproxime e02 y cos(0.2) usando n = 4.
Orden contra grado
Hemos elegido La terminologla polinomio de Taylor (y MacLaurin) de
orden n, pues La derivada de mayor
orden que aparece en su construcción
es de orden n. Observe que este poli-
Solución
El cálculo de las derivadas necesarias aparèce en la siguiente tabla.
En x = 0
En x = 0
n
CX
1
CX
1
nomio puede tener grado menor que
2
f(x)
f'(x)
f"(x)
CX
1
n,sif(t1)(a) = O.Sinesimparenel
3
f(3)(x)
CX
1
ejemplo 3, entonces el polinomio de
Maclaurin de orden n para cos x será
de grado n - 1. Por ejemplo, el polinomio de Maclaurin de orden 5 para
cos x es
f(fl(x)
CX
1
senx
cosx
0
4
5
f(5)(x)
Cx
i
senx
0
1
I
12
2X
14
0
1
cosx
1
sen x
cos x
1
0
1
Esto implica que
24X
1 + x + - x2 + - x3 +
ex
un polinomio de 4 grado.
3!
1-
cos x
n!
+ (-1 )n/2
x4 -
x2 +
4,X++X
n!
X
(npar)
AsI, usando n = 4 y x = 0.2, obtenemos
(0.2)2
e02
1
cos(0.2)
1
+ 0.2 +
+
(0.2)2
(0.2)
2
+
24
(0.2)
+
(0.2)
= 1.2214000
= 0.9800667
Compare estos resultados con los valores con siete cifras correctas, 1.2214028 y
0.9800666.
Para tener una idea visual de la forma en que los polinomios de Maclaurin aproximan a cos x, hemos bosquej ado las graficas de P1(x) a P5(x) y P8(x),junto con la gráfica de cos x, en la figura 4.
y
Fx)=1
P8(x)
P2(x)=P3(x)= 1 X2
Aproximaciones de Maclaurin a f(x) = cos x
Figura 4
En el ejemplo 3 usamos el polinomio de Maclaurin de orden 4 para aproximar
cos (0.2) como sigue:
482
CAPITULO 11
Métodos numéricos, aproximaciones
1-
cos (0.2)
(0.2)2 +
(0.2)4
0.980067
Este ejemplo ilustra los dos tipos de error que pueden aparecer en los procesos de aproximación. En primer lugar, existe el error del método. En este caso, aproximamos cos
x mediante un polinomio de cuarto grado en vez de evaluar la suma exacta de la serie.
En segundo lugar, hay un error de cálculo. Esto incluye los errores debidos al redondeo,
como cuando sustituimos el decimal infinito 0.9800666... por 0.9800667 en el ültimo término anterior.
Aqul aparece un hecho triste en la vida del analista numérico. Podemos reducir el
error del método usando polinomios de Maclaurin de orden superior. Pero el uso de
polinomios de mayor orden implica más cálculos, lo que incrementa potencialmente
los errores de cálculo. Ser un buen analista numérico significa saber cómo establecer
un equilibrio entre estos dos tipos de error. Por desgracia, esto es más un arte que una
ciencia. Sin embargo, podemos decir algo definido acerca del primer tipo de error, tema que estudiaremos a continuación.
El error en el método En el capItulo 10 dimos una formula para el error al
aproximar una función mediante su polinomio de Taylor. La formula de Taylor con residuo es
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a)
+
f" (a) (x - a)2 +
2!
f(a) (x - a) + R(x)
+
n!
= P(x) + R(x)
El error o residuo Rn(x) está dado por
f(flFl)(c)
R(x)
= (n + 1)!
(x - a)'
donde c es algUn nümero real entre a y x. Esta formula para el error se debe al matemático franco-italiano Joseph Louis Lagrange (1736-1813) y con frecuencia se llama la
cota del error de Lagrange para polinomios de Taylor. Cuando a = 0, la formula de
Taylor se llama formula de Maclaurin.
Un problema que tal vez pase inadvertido en este punto es que no conocemos el
valor de C; lo Unico que sabemos es que es algUn nümero real entre a y x. Para muchos
problemas, debemos establecer una cota para el residuo usando las cotas conocidas
para x. El siguiente ejemplo ilustra este punto.
EJEMPLO 4
Solución
Aproxime e08 con un error menor que 0.001.
Para f(x) = ex, la formula de Maclaurin proporciona el residuo
R
'
/
/
x'1
(n+1)!
y asI
R(0.8)
e
c
(n+1)!
x'1
= (n +1)!
donde 0 < c <0.8. Nuestro objetivo es elegir n grande de modo que R(0.8) < 0.001.
Ahora, ec < e08 < 3 y (0.8)'' < (1)'', y asI
3(1)''
3
(n + 1)! = (n + 1)!
Es fácil comprobar que 3/(n + 1)! <0.001 cuando n 6, de modo que podemos obtener la precision deseada usando el polinomio de Maclaurin de orden 6:
SECCION 11.1
La aproximación de Taylor a una función 483
(0.8)
(0.8)
(0.8)
(0.8)
I + (U.3)
(0.8)6
6!
5!
4!
+ 2! ± 3!
Nuestra calculadora da 2.2254948 para esta suma.
,Podemos asegurarnos que este valor está a menos de 0.001 del resultado real?
Ciertamente, el error del método es menor que 0.001. Pero, ,podrIa ocurrir que el
error de cálculo distorsione nuestra respuesta? Tal vez, pero son tan pocos los cálculos, que podemos confiar en dar la respuesta de 2.2255 con una precision dentro de
.
0.001.
El valor preciso de R casi nunca se alHerramientas ütiles para acotar
canza pues no conocemos c; solo sabemos que c está en cierto intervalo. Por tanto,
para c en el intervalo dado.
nuestra tarea es encontrar el máximo valor posible de
Con frecuencia, es difIcil hacer esto con exactitud, de modo que nos conformaremos
Esto implica un uso adecuado de las
con obtener una "buena" cota superior para
desigualdades. Nuestras herramientas principales son la desigualdad del triángulo
a + b y el hecho de que una fracción crece cuando aumentamos el nua±b
merador o disminuimos el denominador.
EJE M PLO 5
Si se sabe que c está en [2,4], dé una buena cota para el valor máximo de
c2 senc
C
Solución
senc
c2 senc
=
c2 + senc
42 + 1
2
C
=8.5
Obtenemos otra cota mejor, como sigue:
senc
sen c
sen C
+
C
C
s 4 + - = 4.5
C
C
.
Use un polinomio de Taylor de orden 2 para aproximar cos 62° y luego
dé una cota para el error de la aproximación.
EJEM PLO 6
Solución Como 62° está cerca de 60° (cuyos coseno y seno son conocidos), usamos
la medida en radianes y el polinomio de Taylor con base en a = ir/3.
(r
f(x) = cosx
1
f,(=\/
2
f'(x) = senx
\\3)
2
1
f"(x) = cosx
ffl(1T
\\3)
2
f"(c) = senc
f"(x) = senx
Ahora,
62° = -
+
radianes
AsI,
1
1
3)
2
(
4
de modo que
hr
1
1
90)
2
\%)
0.4694654 + R2
_)2+R2(x)
/\2 +R2--+
1r\)
484 CAPITULO 11
Métodos numéricos, aproximaciones
y
R2 =
senc ( IT
3!
1
0.0000071
k90)
De nuevo, el nümero de cálculos es pequeño, de modo que podemos sentirnos seguros a! informar que cos 62° = 0.4694654 con un error menor que 0.0000071.
El error de cálculo En todos nuestros ejemplos anteriores hemos supuesto que
el error de cálculo es lo bastante pequeno como para ser ignorado. Por lo general asumiremos esto en este libro, pues nuestros problemas implicarán siempre una pequena
cantidad de cálculos. Sin embargo, nos sentimos obligados a advertirle que al usar
computadoras para hacer centenas o miles de operaciones, estos errores de cálculo podrIan acumularse y distorsionar una respuesta.
Hay dos fuentes de errores de cálculo que pueden ser de importancia, aün al usar
una calculadora. Considere el cálculo de
a + b1 + b2 + b3 + ... + bm
donde a es mucho mayor que cualquiera de los b; por ejemplo, a = 10,000,000 y
b, = 0.4, i 1,2,..., m. Si usamos la aritmética de punto flotante de ocho dIgitos y trabajamos de izquierda a derecha, sumando primero b1 a a, luego sumando b2 al resultado, y asI sucesivamente, en cada etapa obtendremos siempre 10,000,000. Aün asI, una
suma de 25 de los b tendrIa que afectar al séptimo dIgito de la suma total. La moraleja aqul es que al sumar un gran nümero de pequefios términos a uno o más términos
grandes, es mejor encontrar primero la suma de los términos pequefios.
Una fuente más probable de un error de cálculo se debe a la pérdida de cifras significativas en una resta de nümeros casi iguales. Por ejemplo, al restar 0.823421 de
0.823445, cada uno con seis cifras significativas, se obtiene 0.000024, que solo tiene dos
cifras significativas. Esto puede causar problemas, como podemos ver si calculamos
una aproximación numérica de una derivada.
Considere el cálculo de f'(2) para f(x) = x4 usando el cociente de diferencias
f'(2)
f(2 + h) - f(2)
(2 + i0) - 2
h
10'
En teorla, cuando n crece (y h = lO' decrece en forma correspondiente) el resultado
debe parecerse cada vez más al valor correcto. Pero observe lo que ocurre con una calculadora de ocho dIgitos, cuando n es muy grande.
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(2 + iO) - 2
[(2 + iO) - 24]lOn
0.32240801
0.03202401
0.00320024
0.00032000
0.00003200
0.00000320
0.00000032
0.00000003
0.00000000
32.240801
32.024010
32.002400
32.000000
32.000000
32.000000
32.000000
30.000000
0.000000
Problemas como éste surgen incluso a! usar aritmética de punto flotante de 16 o
32 dIgitos. Sin importar el nümero de cifras significativas utilizadas en los cálculos, el
cociente de diferencias de la tabla anterior será 0 para n suficientemente grande. Los
analistas numéricos deben tomar en cuenta estos errores de cálculo.
SEccIÔN 11.1
La aproximación de Taylor a una funciOn 485
Repaso de conceptos
Si P2(x) es el polinomio de Taylor de orden 2 con base en 1
, P(1) =
,y
para f(x), entonces P2(1) =
P(1) =
El coeficiente de x6 en el polinomio de Maclaurin de orden
9paraf(x)es
Los dos tipos de errores que surgen en la teorIa de aproxiy
macion se llaman
Los errores de cálculo al usar la formula de Taylor tienden
cuando n crece, mientras que los errores del método tiena
cuando n crece.
den a
Conj unto deproblemas 11.1
H En los pro blemas 1-8, determine el polinomio de Maclaurin de or-
den 4para f(x) y áselopara aproximarf(O.12).
1. f(x) = e2x
2. f(x) = e_3x
3. f(x) = sen2x
5. f(x) = ln(1 + x)
4. f(x) = tanx
7. f(x) = tan1x
8. f(x) = senhx
Si un objeto con masa en reposo igual a m0 tiene velocidad
v, entonces (de acuerdo con la teorIa de la relatividad) su masa m es-
tá dada por m = m0/\/1 - v2/c2, donde c es la velocidad de la luz.
Explique cómo obtienen los fIsicos la aproximación
6. f(x) = Vi + x
H En los probl emas 9.14, determine elpolinomio de Taylor de orden
3 con base en a para la función dada.
9. ex;a = 1
10. sen x; a =
11. tan x; a =
12. secx;a=
13. cot1x;a = 1
14. \/;a = 2
mo (v)2
m0 +
m
2 \c
Si se invierte dinero con una tasa de interés r compuesta
mensualmente, el dinero se duplicará en n años, donde n satisface
/
(1+
r \12n
=2
12)
(a) Muestre que
Determine el polinomio de Taylor de orden 3 con base en 1
para f(x) = x3 - 2x2 + 3x + 5 y muestre que es una representación
exacta de f(x).
Determine el polinomio de Taylor de orden 4 con base en 2
de f(x) = x4 y muestre que representa a f(x) exactamente.
Determine el polinomio de Maclaurin de orden n para
f(x) = 1/(1 - x). Uselo después con n = 4 para aproximar lo si-
(b) Use el polinomio de Maclaurin de orden 2 para ln(1 + x) y una
descomposición en fracciones parciales para obtener la aproximacion
n
(b) f(0.5)
(c) f(0.9)
(a) sen(0.1)
(b) sen(0.5)
(c) sen(1)
(d) sen(10)
19. Use un polinomio de Maclaurin para obtener la aproximación A
r2t3/12 para el area de la region sombreada de la figura 5. Ex-
prese primero a A exactamente y luego aproxime.
r
(d) f(2)
El 18. Determine el polinomio de Maclaurin de orden n (n impar)
para sen x. Luego ilselo con n = 5 para aproximar lo siguiente. (Este
ejemplo deberá convencerlo de que la aproximación de Maclaurin
puede ser demasiado pobre si x está lejos de cero.) Compare sus
respuestas con las dadas por su calculadora. j,Qué conclusiones puede extraer?
U69
r
+ 0.029
El (c) Algunas personas utilizan la Regla del 72, n 72/(lOOr), para aproximar n. Complete la tabla para comparar los valores
obtenidos mediante estas tres formulas.
guiente.
(a) f(0.1)
1
1
n = 1n2[121 (1 + r/12)j
n
n
n
(Exacto)
(Aproximación)
(Regla de 72)
0.05
0.10
0.15
0.20
La autora de un texto de biologIa afirmó que la menor solues aproximadamente x = 2k, siemciOn positiva de x = 1 pre que k sea pequeño. Muestre cómo llegó ella a esta conclusion y
compruébelo para k 0.01.
Use un sistema de algebra por computadora para resolver los problemas 23y 24.
ICASI
Para cada una de las siguientes funciones, trace en el mismo
conjunto de ejes las gráficas de los polinomios de Maclaurin de órdenes 1,2,3 y 4.
(a) sen(ex)
(b) (senx)/(2 + senx)
Siga las instrucciones del problema 23.
(a) exp(_x2)
(b) sen(ln(1 + x))
En los pro blemas 25-32, calcule una buena cota para el valor máximo
de la expresión dada, suponiendo que c está en el intervalo dado. Las
respuestas pueden variar segán la técnica utilizada. (Véase el ejemplo 5.)
Figura 5
e2c + e_2c; [0, 3]
26. tanc + secc;
[o]
486 CAP1TULO 11
27.
[IT
4c
sen c
Métodos numéricos, aproximaciones
IT
'L4'2
c+4
30.
c+2
ec
29.
31.
c+5 ;[-2,4]
c2 + sen c
;[2,4]
10 in c
4c
28.
32.
;[0,1]
Sea f(x) una función con al menos n derivadas en x = a, y
sea P(x) el polinomio de Taylor de orden n con base en a. Muestre
que
cos C
-c
P(a) = f(a), P(a) = f'(a), P(a) = f"(a),
cos C
En los problemas 33-36, determine una formula para R6(x), el residuo
del polinomio de Taylor de orden 6 con base en a. Luego obtenga una
buena cota para R6(0.5). Véanse los ejemplos 4 y 6.
33.
ln(2 + x); a =
0
34.
35. sen x; a = IT/4
36.
En la formula para el residuo
R(x)
=
e; a
1
x-3
=
Desarrolle x4 - 3x3 + 2x2 + x - 2 en un polinomio de
Taylor de orden 4 con base en 1 y muestre que R4(x) = 0 para toda x.
P$,(a) =
lor de orden 3 con base en IT/4 para sen x. Luego, obtenga una buena cota para el error cometido. Véase el ejemplo 6.
1
;a =
1
Calcule cos 63° mediante el método ilustrado en el ejemplo
6. Elija n suficientemente grande, de modo que R
0.0005.
Muestre que si x está en [0,IT/2], el error al usar
f(c) (x - a)n1
(n + 1)!
existe un valor de c para el cual R(x) es el valor exacto del residuo. A
veces es átil conocer la estimación minima y la maxima para R(x).
En los problemas 37 y 38 exploramos esta situación.
senx
50. Use la formula de Maclaurin en vez de la Regla de L'Hôpital para calcular:
hm
lIm
f
usando ese polinomio. Compare los erro-
res estimados máximo y mInimo con el error real en ese punto.
Determine el orden n del polinomio de Maclaurin para e
necesario para aproximar e con cinco cifras decimales; es decir, de
modo que R(1)
0.000005 (véase el ejemplo 4).
Determine el polinomio de Maclaurin de tercer orden para
(1 + x)3/2 y acote el error R3(x) si -0.1
0.
Determine el polinomio de Maclaurin de tercer orden para
(1 + x)*2 y acote el error R3(x) si -0.05
0.05.
Determine el polinomio de Maclaurin de cuarto orden para
ln[(1 + x)/(1 - x)] y acote el error R4(x) si -0.5
0.5.
Note que el polinomio de Maclaurin de cuarto orden para
sen x es en realidad de tercer grado, pues el coeficiente de x4 es igual
a cero. AsI,
senx =
Muestre que si 0
x
x-
+ R4(x)
0.5, R4(x)
0.0002605. Use este resulta-
do para aproximar fsen x dx y dé una cota para el error.
En analogIa con el problema 43,
cosx =
Si 0
x
1 - x2-2 +
x4
24
+ R5(x)
1, dé una buena cota para R5(x) . Luego use su resulta-
do para aproximar
f
cos x dx y dé una cota para el error.
senx-x+x3/6
x5
lar e0' usando ese polinomio. Compare los errores estimados máximo y mInimo con el error real en ese punto.
Considere el polinomio de Taylor de orden 3 para sen x en
torno del punto a = -. Estime el valor mInimo y máximo del error
x - x3- + x5- - -x7 + x9
es menor que 5 X i0 y, por tanto, que esta formula es lo bastante
buena como para construir una tabla de senos con cuatro cifras.
Considere el polinomio de Maclaurin de orden 3 para ex.
Estime el valor mInimo y el valor máximo del error cometido al calcu-
cometido al calcular sen
f(a)
Calcule sen 430 = sen 431T/l8O usando el polinomio de Tay-
cosx - 1 + x2/2 - x4/24
EXPLI 51. Sea g(x) = p(x) + x'f(x), donde p(x) es un polinomio
de grado mayor o igual a n y f tiene derivadas hasta de orden n. Muestre que p(x) es el polinomio de Maclaurin de orden n para g.
EXPLI 52. Recuerde que el criterio de la segunda derivada para extremos locales (sección 4.3) no se aplica cuando f"(c) = 0. Demuestre
la siguiente generalización, que puede ayudar a determinar un máximo o un mInimo cuando f"(c) = 0. Suponga que
f'(c) = f"(c) = f"(c) = ... = f()(c) =
0
donde n es impar yf()(x) es continua cerca de c.
Sif(')(c) <0,f(c) es un valor máximo local.
Sif')(c) <0,f(c) es un valor mInimo local.
Compruebe este resultado con f(x) =
x4.
EXPLI 53. Hay otras aproximaciones polinomiales a funciones, además
de los polinomios de Taylor y Maclaurin. AquI consideraremos los polinomios de interpolaciOn de Lagrange como ejemplo especIfico.
Muestre que el polinomio
L51(x) =
(x - x2)(x - x3)(x - x4)(x - x5)
(x1 - x2)(x1 - x3)(x1 - x4)(x1 - x5)
tiene grado 4 y tiene la propiedad de que L51(x1) = 1, mientras
queL51(x1) = Oparaj = 2,3,4,5.
Use L51(x) como modelo y construya polinomios de cuarto grado
L51(x) que valgan 1 en x, y 0 en x1 para j i, donde i = 2,3,4,5.
Considere el polinomio
L5(x) = L51(x)y1 + L52(x)y2 + L53(x)y3
+ L54(x)y4 + L55(x)y5
y muestra que L5 es un polinomio de grado menor o igual a 4,
que asume el valor y en x = x, i = 1.....5 . Tal polinomio es el
polinomio de interpolación de Lagrange que pasa por (es decir, in-
SECCION 11.2
terpola) los puntos (XL, yl), i
tintos.
1. 5, donde los x, son todos dis-
(d) Construya el poiinomio de interpolaciOn de Lagrange de Segundo grado que pasa por los puntos (1,2), (2,2.5) y (0, 0).
Ubique los puntos (1,2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6). Construya ci polinomio de interpolación de Lagrange que pasa por estos puntos y muestre que, después de algo de algebra, la respuesta se reduce
a x + 1.
Se puede mostrar que el error para elpolinomio de interpolaciOn de La-
grange P(x) de grado n para la funcion f(x) está dado por
R(x)
=
-
-
-
f(fl+l)()
(n ±1)!
donde a es algán punto contenido en el intervalo, que incluye todos los
puntos x1, x2.....x,1, x. Use esta formula para el error en los problemas 55-57.
Dado que ln 1 = 0, in 3 = 1.099 y in 5 = 1.609, escriba un
polinomio de segundo grado que interpole estos valores. Use esta in-
11 .2
IntegraciOn numérica
IntegraciOn numérica 487
terpolación para calcular una aproximación para ln 2. Use Ia fOrmula del error para estimar el error máximo. Compare su estimación del
error con el error real en su aproximación a in 2.
Dado que e0 = 1, e02 = 1.221, y e03 = 1.350, escriba un
poiinomio de segundo grado que interpole estos valores. Use esta interpoiación para caicular una aproximación para e025. Use ia fórmula del error para dar una estimación para el error máximo y ci error
mInimo. Compare su estimación del error con el error reai en su aproximaciOn para e025.
Construya un polinomlo de Maclaurin de segundo grado para
e. Además, construya un polinomio de interpolaciOn de segundo grado
usando los valores e0 = 1,e°-2 = 1.221 ye°3 = 1.350. Use las expresiones
para el error en el polinomio de Maciaurin y ci error en el poiinomio de
interpolación para calcular una estimación del error máximo para 0 <
x 0.3. Compare sus respuestas con el error reai en x = 0.1.
1. f(1); f'(l); f"(l)
Respuestas al repaso de conceptos:
3. error de método; error de cáiculo 4. crece;
2. f(6)(0)/6!
decrece
Sabemos que si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces la integral definida
f
f(x) dx debe existir. La exiStencia es una cosa; la evaluación es otro asunto muy
distinto. Hay muchas integrales definidas que no se pueden evaluar mediante los metodos que hemos aprendido; es decir, usando el Segundo teorema fundamental del calcub. Por ejemplo, las integrales indefinidas de integrandos como
e_X2,
1 - x4,
sen (x2),
sen x
x
no se pueden expresar algebraicamente en términos de funciones elementales; es decir,
en términos de funciones estudiadas en un primer curso de cálculo (véanse las observaciones introductorias en la sección 8.1). Aunque algunas integrales indefinidas elementales se pueden encontrar, con frecuencia conviene usar los métodos de aproximación
de esta sección, pues estos conducen a algoritmos eficientes que se pueden programar
directamente en una calculadora o computadora. En la sección 5.5 vimos cómo usar las
sumas de Riemann para aproximar una integral definida. AquI presentamos dos métodos adicionales: la Regla del trapecio y la Regla parabólica.
La Regla del trapecio Considere la gráfica de y = f(x) en [a, b]; esta gráfica debe verse parecida a la curva de la figura 1. Parta el intervalo [a, b] en n subintervalos,
cada uno de longitud h = (b - a)/n, por medio de puntos a = x0 < x1 < x2 <
= b. Una las parejas de puntos (x_1, f(x1_1)) y (xi, f(x1)) mediante segmentos
de recta, como se muestra en la figura, para formar n trapecios.
a=x0
X2
X3
X4
x5=b
x
488 CAPiTULO 11
Métodos numéricos, aproximaciones
Si recordamos La formula para el area que aparece en La figura 2, podemos escribir el area del trapecio como
A=
h
[f(x1) + f(x1)]
A =h c±d =1-(c+d)
Más precisamente, deberIamos hablar del area con signo, pues Ai será negativa en un
fb
subintervalo donde f sea negativa. La integral definida
f(x) dx es aproximadamen-
Figura 2
te igual a A1 + A2 +
J
+ A; es decir, a
[f(xj + f(x2)] +
[f(x0) + f(x1)] +
[f(x1) + f(x)]
+
Esto se simplifica como la Regla del trapecio.
Regla del trapecio
fb
dx
[f(xo) + 2f(x1) + 2f(x2) +
+
2f(xi) + f(x)]
+ 2f(x) + f(xn)]
=
2
Ilustramos primero esta Regla para una integral definida cuyo valor exacto es conocido.
EJEM PLO 1
Use La Regla del trapecio con n = 8 para aproximar
fx4 dx
Solución Como n = 8, h = (3 - l)/8 = 0.25, y
f(x0) = (1.00) = 1.0000
f(x1) = (1.25)
2.4414
1.00
x0
x1 = 1.25
f(x2) =
f(x3) =
f(x4) =
f(x5) =
f(x6) =
f(x7) =
f(x8) =
1.50
x2
= 1.75
x4 = 2.00
x5 = 2.25
x6 = 2.50
x7 = 2.75
x8 = 3.00
(l.50) = 5.0625
(1.75)
9.3789
(2.00) = 16.0000
(2.25) = 25.6289
(2.50) = 39.0625
(2.75)
57.1914
(3.00) = 81.0000
AsI,
I
x4dx
[1.0000 + 2(2.4414) +
+ 2(57.1914) + 81.0000]
48.9414
Podemos comparar esto con el valor exacto
f3x4
dx
242
=
= 48.4000
Es de suponer que podrIamos obtener una mejor aproximación al elegir una n mayor; esto serIa fácil si usáramos una computadora. Sin embargo, aunque a! considerar n
mayor se reduce el error del método, al menos potencialmente aumenta el error de
cálculo. Por ejemplo, no serla adecuado considerar n = 1,000,000, pues los errores potencias por el redondeo compensarIan en mucho ci hecho de que el error del método
fuese minOsculo. Mas adelante hablaremos más sobre los errores.
.
SECCION 11.2
EJEMPLO 2
Use la Regla del trapecio con n = 6,12,24,48,96 y 192 para aproximar
fle_x2
EstimaciOn de f
e
6
96
192
0.74512
0.74640
0.74672
0.74680
0.74682
0.74682
f(x0) = 1.0000
x0
= 0.0000
x1
0.1667
f(x1)
0.9726
x2
0.3333
f(x2)
0.8948
x3
= 0.5000
f(x3)
0.7788
x4
0.6667
f(x4)
0.6412
x5
0.8333
f(x5)
0.4994
= 1.0000
f(x6)
0.3679
dx me-
Jo
diante Ia Regla del trapeclo
12
24
48
dx
Para n = 6, tenemos h = -. AsI,
Solución
n
lntegraciOn numérica 489
+ 2(0.4994) + 0.3679]
[i.000 + 2(0.9726) +
fle2dx
= 0.7451
La Regla del trapecio se desarrolla con facilidad en un sistema de algebra por computadora. Utilizamos Mathematica para calcular los valores de La tabla. Cuando n crece,
las estimaciones de
f
e_x2
dx parecen acercarse a 0.74682.
Como ya mencionamos, esta integral es importante en probabilidad y estadIstica.
Como no podemos evaluarla aplicando directamente el Segundo teorema fundamental del cálculo, debemos basarnos en aproximaciones como la obtenida con La Regla
del trapecio.
El error en Ia Regla del trapeclo En cualquier uso práctico de la Regla del
trapecio, debemos tener cierta idea del tamaflo del error correspondiente. Por fortuna, podemos dar una formula para el error del método para funciones que son dos ye-
ces diferenciables.
uéorema A
Error en a
egIa tiidtra )e rio
Suponga que f" existe en [a, bJ. Eron'es
dx =
[f(xo) +
2)1
x)
du-tnc le e erroi E,, está dade por
-.
j
+ ...
12
LI
es algün unto. entr- c y
+ 2f(x
f(
+
+E,
-f"(c)
.
Omitiremos La demostración de este teorema, La cual aparece en libros más avanzados. En el ejemplo 3 ilustramos su uso.
EJEMPLO 3
Dé una cota para el error posible en el ejemplo 2.
So!ución Como f(x) = e'2, f'(x) = _2xe_x2 y f"(x) = e2(4x2 - 2). En realidad, podrIamos hallar el valor máximo de f"(x) en [0, 1], pero basta acotarlo mediante propiedades del valor absoluto.
f"(x)
e_x2(4x2
- 2)
e(4x + 2)
=
e24x2 - 2
1(4 + 2) =
6
490 CAPITULO 11
Métodos numéricos, aproximaciones
AsI,
E
(ba)3
12n2
f"(c) <
(6) =
- 12(62)
1
00139
72
Por supuesto, ésta es una cota para el error del método. Sin embargo, n es tan pequefla que el error de cálculo se puede ignorar con seguridad. Podemos informar entonces
que
I
e2 dx
= 0.745 1 + 0.0139
Un aná!isis más sofisticado, con base en el hecho de que 4x2 - 2 es creciente en
2
2 en [0,1], y por tanto E <0.0047.
[0, 1], muestra que 4x2
-
EJEMPLO 4 ,Qué tan grande debe ser n para garantizar que el error del método en
el ejemplo 2 sea menor a 0.0001?
Solución
Por el ejemplo 3,
E =
(ba)3 f"(c)
12n2
Queremos que 1/2n2 < 0.0001, lo que vale si n
16
1
12n2 - 2n2
71.
.
La Regla parabOlica (Regla de Simpson) En la Regla del trapecio, aproximamos la curva y = f(x) mediante segmentos de recta. Parece posible que mejoremos esto usando segmentos parabólicos. Como antes, partimos el intervalo [a, bJ en n
subintervalos de longitud h = (b - a)/n, pero esta vez con n un némero par. Luego
ajustamos segmentos parabólicos a tercias de puntos cercanos, como se muestra en la
figura 3.
Figura 3
tI
Usamos la formula del area de la figura 4 (véase su deducción en el problema 15)
para obtener una aproximacion liamada Regla parabólica, también llamada Regla de
Simpson, en honor del matemático inglés Thomas Simpson (1710-1761).
Regla parabólica (n par)
A=4(c+4d-i-e)
Figura 4
I
b
dx
[f(xo) + 4f(xi) + 2f(x2) +
+
4f(x1) + f(x)]
El patron de los coeficientes es 1, 4, 2, 4, 2, 4, 2,. . ., 2, 4, 1.
EJEMPLO 5
Use la Regla parabólica con n = 8 para aproximar
fx4 dx
SECCION 11.2
IntegraciOn numérica 491
Solución Podemos utilizar los cálculos del ejemplo 1. Obtenemos
I
0.25
dx
[1.0000 + 4(2.4414) + 2(5.0625) + 4(9.3789) + 2(16.0000)
+ 4(25.6289) + 2(39.0625) + 4(57.1914) + 81.0000]
.
48.4010
Como era de esperar, la Regla parabólica da una respuesta más cercana al valor real
48.4000 que la Regla del trapecio, la que da 48.9414. Como requiere sOlo un poco más
de trabajo, preferimos la Regla parabólica en la mayor parte de los problemas. El hecho de que su error sea menor surge del siguiente teorema (observe el factor n4 en el
denominador).
Theorem
L
Error para a P 'Ia parabOli a
e(4).'.
u la '.uarta deri va cia j
x)
lof,.
Regla part ' ajica está dado por
t te en [a, b]. Entf)1
.nces el erii,r E en Ia
Sup
(b- a)
E=
180n4
f(4)(c)
para algün c entre a y b.
EJEMPLO 6
8 para aproximar
Use la Regla parabólica con n
I
2
(1 + x)'dx
y dé una cota para el error cometido.
Solución Como h =
en la tabla.
xi
f(x)
0
1
1
1.125
1.25
1.375
1.5
1.625
1.75
1.875
2
0.50000
0.47059
0.44444
0.42105
0.40000
0.38095
0.36364
0.34783
0.33333
2
3
4
5
6
7
8
Computadoras e integración
Un sistema de algebra por
computadora como Mathematica o
Maple puede evaluar varias integrales
definidas en forma exacta. También
puede usar métodos numéricos para
aproximar integrales definidas. Es
importante saber cuándo su sistema
esta haciendo una integraciOn exacta
y cuándo usa una aproximaciOn. Si un
paquete de software usa alguna forma
de integraciOn, puede usar una de las
Reglas de esta secciOn o algo més
sofisticado. En todo caso, al usar las
aproximaciones, usted no debe
esperar que las respuestas sean
exactas.
y f(x) = 1/(1 + x), calculamos los resultados que aparecen
c,
c.f(x,)
1
0.50000
1.88236
0.88888
1.68420
0.80000
1.52380
0.72728
1.39132
0.33333
4
2
4
2
4
2
4
1
Suma = 9.73117
AsI,
f2
dx
1+x
24
(9.73117)
0.4055
Para hallar una cota de E8, primero calculamos f(4)(x) como 24/(1 + x)5 y luego
E8
(2-1)
24
180(8)
(1 +
c)5
En conseduencia,
24
180(8)(1 +
-
0.00000102
Si los errores de cálculo fuesen despreciables, podemos confiar en afirmar que Ia respuesta 0.4055 tiene una precision de cuatro cifras decimales.
Métodos numéricos, aproximaciones
492 CAPiTULO 11
Repaso de concepros
El patron de coeficientes en la Regla del trapecio es
el denominador, de modo que es de esperar que la segunda dé una mejor aproximación a una integral definida.
El patron de coeficientes en la Regla parabólica es
Si f es positiva y cóncava hacia arriba, entonces la Regla del
El error en la Regla del trapecio tiene n2 en el denominaen
dor, mientras que el error en la Regla parabOlica tiene
trapecio dará siempre un valor de f f(x) dx demasiado
Conjunto deproblemas 11.2
En los problemas 1-4, calcule la suma de Riemann
tienen ambas el valor (h/3)[a(6m2 + 2h2) + b(6m) + 6c]. Esto
f()
justifica la formula del area en Ia que se basa la Regla parabólica.
(véase Ia sección 5.5) para una partición equidistante con n = 8 subintervalos; elija el punto muestra , como el punto extremo izquierdo de
cada subintervalo. Luego use Ia Regla del trapecio y la Regla parabólica, ambas con n = 8, para aproximar cada integral definida. A
continuación, use el Segundo teorema fundamental del cálculo para
determinar el valor exacto de cada integral.
1.
I
Ii
[2
3.
/
Jo
-dx
x2
3i
2.
\/ dx
4.
Muestre que la Regla parabólica es exacta para cualquier
polinomio cObico, de dos maneras distintas.
(a) Mediante un cálculo directo. (b) Mostrando que E = 0.
Sabemos que 1n2
13i
tan grande debe ser n?
[3
bOlica.
-dx
x
I
f (1/x)dx. Si quisidramos estimar
=
ln 2 mediante la Regla del trapecio con un error menor a lU_b, ,qué
Responda la pregunta del problema 17 para la Regla para-
/ x\/x2 + 1 dx
Muestre que la Regla parabólica da el valor exacto de
J1
5. Use la Regla del trapecio con n = 2, 6, 12 para aproximar
fxk dx si k es
L sen x dx. Observe la forma en que estas aproximaciones se acer-
Es interesante que una version modificada de la Regla del
trapecio sea más precisa, en general, que Ia Regla parabOlica. Esta
can al valor real, que es 2.
versiOn dice que
ci
6. Siga las instrucciones del problema 5 usando la Regla para-
I
bOlica.
CI
7. Aproxime r calculando
11
f(x)dx
T
[f'(b) - f'(a)]h2
12
donde T es la estimaciOn trapezoidal usual.
4
dx
Use esta formula con n = 8 para estimar f x4 dx y observe su
mediante la Regla parabólica con n = 10.
notable precisiOn (en el ejemplo 1, véase T y el valor exacto de es-
I
Jo
CI
1 + x2
8. Use la Regla del trapecio con n = 10 para aproximar
ta integral).
L cos(sen x) dx.
Use esta formula con n = 12 para estimar f sen x dx (el ver-
CI En los problemas 9-12, determine n de modo que Ia Regla del trapecio aproxime Ia integral con un error E tal que E
0.01 (véase
el ejemplo 4). Luego, usando esa n, aproxime Ia integral.
9.
fex
ii.
CI
10. f°6ex2 dx
f15vcosx dx
12.
f2cos
dadero valor es 2 y T se calculó en el problema 5).
21. Use la Regla del trapecio para aproximar el area del terreno contiguo a un lago que aparece en la figura 5. Las dimensiones se
miden en pies.
dx
Lago
71
En los problemas 13 y 14, determine n de modo que Ia Regla pa-
rabólica aproxime Ia integral con un error E tal que E
0.005.
75
[6 1 + x
13.
I
12
ci
1-x
57
60
Luego, usando esa n, aproxime Ia integral.
60
52
45
dx
14.
f3lnxdx
45
15. Sea f(x) =' ax2 + bx + c. Muestre que
H
Pm+h
Jf(x)dx y
rn - h
[f(m - h) + 4f(m) + f(m + h)]
Figura 5
10
59
Integración numérica 493
SECCION 11.2
22. Use la Regla parabOlica para aproximar la cantidad de agua
necesaria para lienar una alberca cuya forma aparece en la figura 6,
hasta una profundidad de 6 pies. Todas las dimensiones se miden en
pies.
Presentamos distintas situaciones y desarrollamos técnicas numéricas
para aproximar las integrales en estas situaciones.
31. Podemos aproximar una integral con un limite de integración infinito aproximando la integral sobre un intervalo finito y obteniendo una cota sobre la porción de la integral que se desprecia. Como
x
IEXPI
f e2 dx + f e2 dx
L e_x2 dx
=
podemos elegir X de modo que la segunda integral sea pequefia.
(a) Muestre que
23
21
12 dx <
a
J
1
e'x dx
J
e_X
2
(c) Use la Regla parabOlica con n = 10 para calcular
IC'
-
23. La figura 7 muestra Ia profundidad en pies del agua en un rio,
medida a intervalos de 20 pies a lo ancho del rio. Si el rio fluye a 4 millas/hora, ,cuánta agua (en pies cübicos) fluye a través del lugar donde se tomaron las medidas en un dIa? Use la Regla parabólica.
IC
- 20
1
(b) Para X= 5 muestre que fe_x2 dx< 10h1.
CI
Figura 6
e
'
dx, ay use este resultado para aproximar
1
2
Je
dx con una estimación para el error de su re-
sultado.
32. Una integral sobre un intervalo infinito o semi-infinito se
puede transformar en otra sobre un intervalo finito, mediante la técnica de sustitución. Con frecuencia, esta técnica conduce a problemas
donde el integrando es infinito en algün punto del intervalo de inteIEXPLI
graciOn.
Muestre que la sustitución t = ex transforma el intervalo [O,cxD)
en (0, 1] y t
Figura 7
x
transforma el intervalo [0, oo) en [0,1).
Muestre que la sustitución
En el ejemplo 9 de la sección 5.8 se dio la velocidad de un auto cada 10 minutos. Use la tabla dada,junto con la Regla del trapecio,
para estimar la distancia recorrida por el auto.
(oo,00) en (-1,1).
Resuelva de nuevo el problema 70 de la sección 5.8 usando
(a) La Regla del trapecio y
(b) la Regla parabOlica.
Resuelva de nuevo el problema 34 de Ia sección 6.6 usando
(b) la Regla parabólica.
(a) La Regla del trapecio y
Resuelva de nuevo el problema 35 de la sección 6.6 usando
(a) La Regla del trapecio y
(b) La Regla parabOlica.
Jo
[2
Jo
dx
4x + xL
dx.
se puede transformar en una propia.
Integre por partes para mostrar que la integral impropia
I
°°senx
x
dx existe.
Integre por partes para mostrar que f
f(x5) +
f 1+x
.ii
Integre por partes para mostrar que la integral impropia
+
dx se puede
transformar en una integral propia. Sugerencia: Derive el factor
Trace una figura para interpretar esta regla.
Use esta Regla con n = 16 para aproximar f x dx (véase el
ejemplo 1).
(d) Use La sustituciOn t = 1/x y la Regla parabólica con
33. En algunos casos, las integrales que son infinitas en un punto extremo se pueden transformar en integrales propias mediante integraciOn por partes.
M, donde
f(x3) +
dx en otra integral sobre
n = 10 para evaluar la integral impropia
30. Otra regla de integración numérica de uso comün es la
Regla del punto medio. Si n y h tienen su significado usual y n es par,
2h[f(x1) +
+ e2x
un resultado aproximado, con una estimación para el error.
IC
LI EXPLI
M=
Vi
transforma el intervalo
+
un intervalo finito, usando la sustitución t = e-. Use la Regla
parabOlica con n = 10 sobre Ia integral resultante para obtener
Resuelva de nuevo el problema 36 de la sección 6.6 usando
la Regla del trapecio.
fbf(x) dx
=
e
(c) Convierta Ia integral
Resuelva de nuevo el problema 69 de la secciOn 5.8 usando
(a) La Regla del trapecio y
(b) la Regla parabólica.
entonces
=1
1
En los problemas 31-36, consideramos integrales impropias que
tienen lImites de integración infinitos, integrandos infinitos, o ambos.
IEXPLI
1/(4 + x).
34. La integración por partes se puede usar para transformar
una integral en una forma que permita obtener resultados más preciSOS mediante rutinas de integración numérica. Como ejemplo especi-
fico,consideremosf x x(4 - x2)4 dx.
0
494 CAPITULO 11
Métodos numéricos, aproximaciones
fir/2
Integre por partes derivando x, para mostrar que la integral es
1
equivalente a j
EXPLI
(2/5)(4 - x2/4
) dx.
Jo
Grafiquelasfuncionesx2
/
4 - x 2\1/4
) y (2/5)4
- x 2\5/4
) sobreel
dominio [0,2] y preste particular atención a la pendiente de cada
curva. Observe que es dificil realizar una adecuada integración
numérica cuando una función tiene una pendiente grande y que vana muy rápido. Esto se refleja en la estimación del error, que depende de las derivadas de orden superior del integrando.
Ic
Separe la integral original en dos partes,
P2
IC (2/5)(4 - x)2 5/4 dx + (2/5) / (1/x) .x(4 - x)2 5/4 dx
J1
e integre la segunda integral de nuevo por partes. Use la
Regla del trapecio (con n 4) con una estimación del error,
para aproximar ambas integrales. Explique por qué la estimacion del error no dana un resultado razonable para la integral original.
11.3
Solución numérica
de ecuaciones
Ic 35. Aproxime la integral
ln (sen x) dx mediante la Re-
J
gla parabólica con n = 4. Sugerencia: Use ln (sen x) = ln x +
.
(senx
(senx'\
.
ln
.
Ic
x
) y luego use la Regla parabolica para integrar ln
.
x
36. Use el Método de truncamiento del intervalo de integración
coo
para determinar X tal que
I
cosx
Ix 1+x4
dx < i0
eligiendo
X = (2n + l)IT/2 y use el hecho de que la función coseno alterna su
signo. Explique cómo usar este resultado para aproximar la integral
[00
cosx
1 + x4
sultado.
dx. AsegiIrese de indicar cómo estimó el error en su re-
Jo
Respuestas at repaso de conceptos:
2. 1, 4, 2, 4, 2.....4, 1
3.n4
1. 1, 2, 2.....2,
1
4.Grande
En las matemáticas y las ciencias, con frecuencia debemos hallar las raIces (soluciones)
de una ecuaciOn f(x) = 0. Si f(x) es un polinomio lineal o cuadrático, existen fOrmulas bien conocidas para escribir las soluciones exactas. Pero para otras ecuaciones al-
gebraicas y ciertamente para ecuaciones trascendentes, es raro contar con formulas
para las soluciones exactas. ,Qué puede hacerse en tales casos?
Existe un método general para resolver problemas muy conocido por las personas
hábiles. Dada una taza de té, agregamos azücar, un poco cada vez, hasta que sabe bien.
Dado un tapón muy grande para un agujero, lo rebajamos hasta ajustarlo. Cambiamos
la solución un poco cada vez, mejorando la precision, hasta estar satisfechos. Los matemáticos llaman a esto el Método de aproximaciones sucesivas o Método de iteraciones.
En esta secciOn presentamos dos de tales métodos para resolver ecuaciones: el
Método de bisecciOn y el Método de Newton. Ambos están diseflados para hallar las
raIces reales de f(x) = 0. Ambos requieren muchos cálculos, por lo que será bueno
contar con una calculadora.
Primer paso
Figura 1
El Método de bisección En el ejemplo 7 de la secciOn 2.9 vimos cOmo usar el
Teorema del valor intermedio para aproximar una soluciOn de f(x) = 0 bisecando de
manera sucesiva un intervalo que sabemos contiene una soluciOn. Este Método de bisecciOn tiene dos grandes virtudes: sencillez y confiabilidad. También tiene un vicio
principal: el gran nümero de pasos necesarios para lograr la precisiOn deseada (también conocido como lentitud de convergencia).
Comience el proceso bosquejando la grafica de f, que suponemos es una funciOn
continua (véase la figura 1). Una raIz real r de f(x) = 0 es un punto (técnicamente,
la coordenada x de un punto) donde la gráfica cruza el eje x. Como primer paso para
localizar este punto, ubicamos dos puntos, a1 <b1, en donde sepamos que f tiene signos opuestos; si f tiene signos opuestos en a1 y b1, entonces el producto f(a1) . f(b1)
será negativo. (Trate de elegir a1 y b1 a lados opuestos de su mejor estimaciOn en r.) El
Teorema del valor intermedio garantiza la existencia de una raIz entre a1 y b1. Ahora
evalüe f en el punto medio m1 = (a1 + b1)/2 de [a1, b1J. El nümero m1 es nuestra primera aproximaciOn a r.
Entonces f(in1) = 0, en cuyo caso hemos terminado, o f(m1) difiere en signo de
f (a1) o de f(b1). Denote uno de los subintervalos [a1, m1j o [m1, b1j donde ocurra el
cambio de signo mediante el sImbolo [a2, b2j y evalUe f en su punto medio
Segundo paso
Figura 2
= (a2 + b2)/2 (figura 2). El nUmero m2 es nuestra segunda aproximaciOn a r.
Repita el proceso, determinando asI una sucesión de aproximaciones m1, m2,
m3,... y subintervalos [a1, b1J, [a2, b2j, [a3, b31.....de modo que cada subintervalo contiene a la raIz r y cada uno mide la mitad de la longitud de su predecesor. Pare cuando r quede determinada con la precisiOn deseada; es decir, cuando (b - a)/2 sea menor que el error permisible, que denotaremos por E.
SoluciOn numérica de ecuaciones 495
SECCION 11.3
Afri
t1rn
v -
D
odc)dE 'JISLcciOn
Sea f(x) una funciOn continua y sean a1 y b1 nuners tles ue a <L' y f'c ,'
ii b1) < 0. Sea E la cota .leseaLa para el error epita los pasos a 5 pa.
'
I
.
ra n = 1, 2,... ha5 'a que i's,, < E:
-
= (a, + LJ)/2.
Calcule
alcule f(ia,),; si f( ri,1) = 0, PARE
LI
4.
Calcule h = (bn - a,1)/'.
Sif(an) frni) Q ag a,21 = a..yh'n+] = "tn.
4
<
i,,' jm,3>0h
10
5
myt
= 0'II.
Determine la raIz real de f(x) = x3 - 3x - 5 con un rango de precision
EJEMPLO 1
-- 3x
=
de 0.0000001.
Solución Primero bosquejamos la gráfica de y = x3 - 3x -5 (figura 3) y, como vemos
que cruza el eje x entre 2 y 3, comenzamos con a1
2 y b1 = 3.
m1 = (a1 + b1)/2 = (2 + 3)12 = 2.5
Paso 2: f(m1) = f(2.5) = 2.5 - 3 2.5 - 5 = 3.125
Paso 1:
Figura 3
Paso 3:
h1 = (b1 - a1)/2 = (3-2)/2 = 0.5
Paso 4:
Como
f(a1) f(m1) = f(2)f(2.5) = (-3)(3.125) = -9.375 <0
= 2.5.
hacemos a2 = a1 = 2 y b2 =
Paso 5:
La condición f(a) f(m) > 0 es falsa.
A continuación incrementamos n de modo que asuma el valor 2 y repetimos estos pasos. Podemos continuar este proceso para obtener los datos de la siguiente tabla:
m
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
0.5
0.25
0.125
0.0625
0.03125
0.015625
0.0078125
0.0039063
0.0019532
0.0009766
0.0004883
0.0002442
0.0001221
0.0000611
0.0000306
0.0000153
0.0000077
0.0000039
0.0000020
0.0000010
0.0000005
0.0000003
0.0000002
0.0000001
2.5
2.25
2.375
2.3125
2.28125
2.265625
2.2734375
2.2773438
2.2792969
2.2783203
2.2788086
2.2790528
2.2789307
2.2789918
2.2790224
2.2790071
2.2790148
2.2790187
2.2790207
2.2790197
2.2790192
2.2790189
2.2790187
2.2790188
f(m)
3.125
-0.359
1.271
0.429
0.02811
-0.16729
-0.07001
-0.02106
0.00350
-0.00878
-0.00264
0.00043
-0.00111
-0.00034
0.00005
-0.00015
-0.00005
-0.000001
0.000024
0.000011
0.000005
0.0000014
-0.0000011
0.0000001
Concluimos que r = 2.2790188 con un error de a lo más 0.0000001.
El ejemplo 1 ilustra Ia desventaja del Método de bisección. Las aproximaciones
m1, m2, m3,... converge muy lentamente a la raIz r. Pero en realidad converge; es decir,
lIm m = r. El método funciona, y en el paso n tenemos una buena cota para el error
n -*
E = r - m, a saber,
h,.
496
CAPiTULO 11
Métodos numéricos, aproximaciones
Método de Newton Sigamos considerando el problema de resolver la ecuación
f (x) = 0 en términos de una raIz r. Supongamos que f es diferenciable, de modo que
la gráfica de y = f(x) tenga una recta tangente en cada punto. Si podemos hallar una
primera aproximacion x1 de r mediante la graficacion o algUn otro medio (véase la figura 4), entonces una mejor aproximación x2 tendrIa que estar en la intersección de la
tangente en (x1, f(x1)) con el eje x. Al usar x2 como aproximación, podemos entonces
hallar una aproximación x3 aün mejor, y asI sucesivamente.
El proceso se puede mecanizar, de modo que sea fácil hacerlo en una calculadora. La ecuación de la recta tangente en (x1, f(x1)) es
y - f(x1) = f'(x1)(x - xi)
Figura 4
y su intersección con el eje x, x2, se encuentra haciendo y = 0 y despejando x. El resultado es
f(x1)
x2 = x1
f'(x1)
Más en general, tenemos el siguiente algoritmo, también ilamado formula de recursion
o esquema de iteraciOn.
Algoritmos
Los algoritmos han formado parte
de las matemáticas desde que las
personas aprendieron a hacer las
divisiones, pero son las ciencias de la
computación quienes han dado a!
pensamiento algorItmico su
popularidad actual. Qué es un
algoritmo? Donald Knuth, decano
de los cientIficos de la computación,
responde:
"Un algoritmo es una secuencia de
reglas definida con precision, que
indican la forma de producir una
información de salida especIfica a
partir de una información de
entrada dada en un nOmero finito
de pasos".
qué son las ciencias de la
Algoritmo
Métou de Newton
'
Sea f(x) ii, . fini ción dif..èreii ib1e y sa x1 'ma proxaa..i
iciL a Ia aIz r de
f(x) = 0. Sea E una cota para elieror r- iv,
Repita el si uie nte paso para n = 1,2, hasta que xn+l - xn I
1
1. x+1
x
L
f (x,3
Use el Método de Newton para determinar la raIz real r de f(x) = x3 3x - 5 = 0 hasta siete cifras decimales.
Solución Esta es la misma eduación del ejemplo 1. Usemos x1 = 2.5 como primera
aproximación a r, como lo hicimos entonces. Como f(x) = x3 - 3x 5 y f'(x) = 3x2 3, el algoritmo es
EJEMPLO 2
xn+l = xn
x-3x-5 2x+5
3x-3
3x-3
Obtenemos la siguiente tabla.
computaciOn?
De acuerdo con Knuth,
"Son el estudio de los algoritmos".
n
xn
1
2.5
2.30
2.2793
2.2790188
2.2790188
2
3
4
5
Después de solo duatro pasos, se repiten los primeros ocho dIgitos. Podemos concluir
que r 2.2790188, con una cierta duda acerca del Oltimo dIgito.
EJEMPLO 3
Use el Método de Newton para determinar la raIz real de f(x) = x -
e_v = 0 hasta siete cifras decimales.
Solución La gráfica de y = x - e_v aparece en la figura 5. Usamos x1 = 0.5 y
e_xhI)/(1 + e_x) = (x + 1)/(e + 1) para obtener la siguiente
tabla:
x1 = x - (x -
n
1
2
3
4
Figura 5
5
xn
0.5
0.566
0.56714
0.5671433
0.5671433
Solución numérica de ecuaciones 497
SECCION 11.3
Después de solo duatro pasos, obtenemos una repetición de los siete dIgitos posterio0.5671433.
res al punto decimal. Concluimos que r
Convergencia del Método de Newton No siempre es cierto que el Método
de Newton produzca aproximaciones que convergen a la raIz r, como muestra el diagrama de la figura 6 (véase también el problema 21). En este caso, la dificultad es que
x1 no está lo bastante cerca de r como para iniciar un proceso de convergencia. Hay
otra dificultad obvia cuando f'(x) se anula en o cerca de r, pues f'(x) aparece en el
denominador del algoritmo. Sin embargo, tenemos el siguiente Teorema:
Teorema A
Figura 6
Sea f una función dos veces diferenciable ei un intervalo I tal que en su punto medio .lay una raz r de f(x) = 0. Suponga que existen nümeros positivos m y M Larn; I f"(x) I M en 1. Si x1 está en i y está suficientemente certes que f'(x)
a de (I x1 - r < 2rn/M bastará), entonces
I
k. x
i1)
2m
'' - r)
2
r
Demostración Por Ia formula de Taylor con residuo (Teorema 10.8B), existe un nUmero C entre x y r tal que
f(r)
=
f(x) + f (x)(r - x)
f(c) (r - x)
2
+ 2
Después de dividir ambos lados entre f'(x) y usar el hecho de que f(r) = 0, obtenemos
0 =
f(x)
f"(c)
(r - x)
+ r - x, +
2f'(x)
f'(x)
y luego, sucesivamente,
f"(c)
- 2f'(x)
f"(c)
2f'(x)
=
x1 - r
M
,
(r - x)2
(x - r)
(xr)
\fl
2
2
lo que es (i).
De (i) podemos mostrar por inducción (problema 18) que
x-r
2m
M
M (2 m
Como (M/2m) x1 - r < 1, el lado derecho de La Oltima desigualdad tiende a 0 cuando n - 00. Esto implica que
I
x-r
también tiende a 0 cuando n - oo, lo que equi-
vale a (ii).
La rapidez de convergencia del Método de Newton es verdaderamente notable;
de hecho, tiende a duplicar el nümero de cifras decimales de precision en cada paso. Para ver por qué ocurre esto, supongamos que M/2m 2. Entonces, si el error x, - r
en el n-ésimo paso es menor que 0.005, el error x,1 - r en el siguiente paso satisface (por (i))
M
Ix - r12 2(0.005)2 0.00005
2m
AsI, La precision de x con dos cifras decimales se duplica a una precision de x,1 con
cuatro cifras decimales. Por supuesto, no debemos esperar resuLtados tan espectaculares si M/2m es sustancialmente mayor que 2.
- rI
498 CAPITULO 11
Métodos numéricos, aproximaciones
Repaso de conceptos
Las virtudes del Método de bisección son su sencillez y confiabilidad; su vicio es su
f
Si es continua en [a, b] y f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces existe una
de f(x) = 0 entre a y b. Esto es
consecuencia del Teorema del
Tanto el Método de bisección como el Método de Newton
son ejemplos de
; es decir, proporcionan una secuencia finita de pasos que, al seguirla, produce una raIz de una ecuación con
la precisiOn deseada.
El Método de Newton puede no producir una raIz de
f(x) = 0. Esto puede ocurrir si
está demasiado lejos de la
raIz r 0
51
Conjunto deproblemas 11.3
ii En los problemas 1-4, use el Método de Bisección para aproximar la raIz real de la ecuación dada en el intervalo correspondiente. Cada respuesta debe tener una precision de dos cifras decimales.
1. x3 + 2x -6 = 0;[1,2]
3. 2cosx - e_x = 0;[1,2]
2. x4 + 5x3 + 1 = 0;[-1,0]
4. x -2 + 2lnx = 0;[1,2]
H En los probl emas 5-14, use el Método de Newton para aproximar
la raIz indicada de la ecuación dada, con una precision de cinco cifras
decimales. Trace primero una grafica.
La mayor raIz de x3 + 6x2 + 9x +
LaraIzrealde7x3 +
Laraizdex-2
+
x-5 =
1
= 0
Aplique este algoritmo con x1 = 1.2. A continuación, trate con
x1 =
0.5. Por Ultimo, grafique y = (1 + ln x)/x para entender sus resultados.
22. Bosqueje la gráfica de y = x1/3. Por supuesto, su ünica intersección con el eje x es cero. Convénzase de que el Método de Newton no converge. Explique esta falla.
23. En la compra de instalaciones, uno quisiera tener una idea de
la tasa de interés real (tasa efectiva), pero por desgracia esto implica
resolver una ecuación complicada. Si uno compra un articulo con valor $P el dIa de hoy y acuerda realizar pagos de $R al final de cada mes
durante k meses, entonces
0
2lnx = 0(véaseelproblema4)
1
iL
La menor raIz positiva de 2 cos x - e_x = 1 (véase el proble-
ma3)
La raIz de cos x = 2x
La raIz de x ln x = 2
Todas las raIces reales de x4 - 8x3 + 22x2 - 24x + 8 = 0
Todas las raIces reales de x4 + 6x3 + 2x2 + 24x - 8 = 0
La raIz positiva de 2x2 - senx = 0
La raIz positiva de 2 tanx = x
Use el Método de Newton para calcular
L
con una precisión de cinco cifras decimales. Sugerencia: Resuelva x3 - 6 = 0.
Use el Método de Newton para calcular
con una precisión de cinco cifras decimales.
qué punto de (IT, 21T) alcanza (sen x)/x un mInimo y
cuál es su valor mInimo?
18. Muestre por inducciOn que si
xn+lr
M
2m
(xn-r),
2
entonces
xr
2m7M
2md)
2
n
Ic
= 1,2,...
19. Suponga que usamos el Método de Newton para hallar la
raIz positiva de x2 - 2 = 0; es decir, para aproximar
Suponga
además que sabemos que esta raIz está en el intervalo [1, 2]. Calcule
m y M del Teorema A. Use la segunda desigualdad del problema 18
para estimar x6 - \/, dado que x1 = 1.5.
\/.
menzando con i = 0.012, y luego dé la tasa anual r como un
porcentaje (r = 1200i).
24. Al aplicar el Método de Newton para resolver f(x) = 0, por
lo general se puede decir si la sucesiOn converge, simplemente obser
vando los nUmeros x1, x2, x3,... Pero incluso cuando converge, digamos, a , ,podemos estar seguros de que sea una solución? Muestre que la respuesta es afirmativa siempre que y f' sean continuas
f
0.
25. Experimente con el algoritmo
xn+1 = 2xn - ax
usando distintos valores de a.
Haga una conjetura acerca de lo que calcula este algoritmo.
Pruebe su conjetura.
CASI Algunos paquetes de computadora implantan el Método de Newton. Experimente con su software y algunos de los primeros pro blemas
de este conjunto de problemas. Luego determine todas las raIces reales de la siguiente ecuaciOn.
ci 20. ,Qué tan grande debe ser n en el problema 19 para estar
5 x lO'?
seguros de que x,, -
26.x6-4=0
H
30. \/x - i
21. Considere la bUsqueda de la raIz real de (1 + In x)/x = 0 mediante el Método de Newton. Muestre que esto conduce al algoritmo
x+1 = 2x +
xn
ln x,,
500n4
Ic (c) Determine i con una precisiOn de cinco cifras decimales, co-
enyf'()
n = 1,2,
(1+i)'
donde i es la tasa de interés mensual. Tom comprO un auto usado por
2,000 dólares y acordó realizar pagos de 100 dólares al final de cada
uno de los siguientes 24 meses.
Muestre que i satisface la ecuación
20i(1 + i)24 - (1 + i)24 + 1 = 0
Muestre que el Método de Newton para esta ecuación se reduce a
[20i + 19n - 1 + (1 +
n+l = in
28.
27.x3-3x+1=0
x2 - 2x = cos 3x
=
29. x3
- 3x
+
1
= 2 sen 4x
0
Respuestas at repaso de conceptos:
1. lentitud de convergencia 2. raIz; del valor intermedio 3. algoritmos 4. x1; f'(r) = 0
SECCION 11.4
El algoritmo de punto fijo 499
A continuaciOn ofrecemos un método para resolver ecuaciones, tan sencillo que no
tiene derecho de funcionar. Sin embargo, funciona en un gran némero de casos. Además, este método tiene numerosas aplicaciones en matemáticas avanzadas.
Suponga que una ecuación de nuestro interés se puede escribir en la forma
x = g(x). Resolver esta ecuación implica encontrar un némero r que no es alterado
por la función g. Liamamos a tal némero un punto fijo de g. Para determinar este némero, proponemos el siguiente algoritmo. Haga una primera estimación x1. Entonces,
haga x2 = g(x1), x3 = g(x2), y asI sucesivamente. Si tenemos suerte, x, convergerá a
La raIz r cuando n - cc.
Algi ritmo Algoritmo de punto fijo
Sea g( ) 'rc funciOn continua, y sea x1 una aproximaciOn inicial de Ia raIz r de
E una cota para el error I r - rn, I.
Renita . I siguiente paso para n = 1, 2, hasta que
1. x,1 g(x)
x = g(x)
IlustraciOn del método
I
x,, +
<
x
E:
Comenzaremos con un ejemplo analizado en La sección
anterior (ejemplo 3).
EJEMPLO 1
= 0 mediante eL algoritmo de punto fijo.
ResueLva x -
=
Solución Escribimos La ecuación como x = e_x y aplicamos al algoritmo x,,+1
con x1 = 0.5. Los resultados aparecen en la siguiente tabla.
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
n
x
10
0.5
0.6065307
0.5452392
0.5797031
0.5600646
0.5711722
0.5648630
0.5684381
0.5664095
11
12
13
14
15
16
17
18
n
0.5675596
0.5669072
0.5672772
0.5670674
0.5671864
0.5671189
0.5671572
0.5671354
0.5671478
19
20
21
22
23
24
25
26
27
e_X
x
0.5671408
0.5671447
0.5671425
0.5671438
0.5671430
0.5671435
0.5671432
0.5671433
0.5671433
Aunque necesitamos 27 pasos para obtener una repetición de Los primeros siete dIgitos, el proceso produjo una sucesión que converge, y que lo hace al valor correcto. Además, eL proceso fue muy fácil de realizar.
EJEMPLO 2
Resuelva x = 2 cos x.
Solución Observe primero que resolver esta ecuaciOn es equivalente a resolver la pareja de ecuaciones y = x y y = 2 cos x. AsI, para obtener nuestro valor inicial, graficamos estas dos ecuaciones (figura 1) y observamos que las dos curvas se cruzan aproximadamente en x = 1. Al hacer x1 = 1 y aplicar el aLgoritmo x,,1 = 2 cos x , obtenemos
los resultados de La siguiente tabLa.
x
n
1
1
2
1.0806046
0.9415902
1.1770062
0.7673820
3
4
5
n
x
6
7
8
1.4394614
0.2619155
1.9317916
9
-0.7064109
10
1.5213931
Es cLaro que el proceso es inestable, aunque nuestra estimaciOn inicial esté muy cerca
de la raIz real.
Intentemos con otro enfoque. Escribimos Ia ecuación x = 2 cos x como
x = (x + 2 cos x)/2 y usamos el algoritmo
x, + 2cosx,,
2
500
CAP1TULO 11
Métodos numéricos, aproximaciones
Este proceso produce una sucesión convergente, que se muestra en la siguiente tabla.
(La oscilaciOn en el ültimo dIgito se debe probablemente a errores de redondeo.)
x
n
n
x
n
x
1
1
7
2
3
4
1.0403023
1.0261107
1.0312046
1.0293881
1.0300374
8
1.0298054
1.0298883
1.0298588
1.0298693
1.0298655
1.0298668
13
14
15
16
1.0298665
1.0298666
1.0298665
1.0298666
5
6
9
10
11
12
Surge ahora una pregunta obvia. ,Por qué el segundo algoritmo produjo una sucesión convergente y el primero no? Además, en el segundo caso, ,podemos estar Seguros de haber obtenido un resultado correcto? Podemos dar una respuesta afirmativa a esta segunda pregunta. La naturaleza del cálculo sugiere que cuando obtenemos
una repetición de los primeros siete dIgitos tenemos una precision de a! menos seis digitos. Responderemos la primera pregunta después de considerar otro ejemplo.
EJEMPLO 3
Resuelva x3 + 6x - 3 mediante el algoritmo de punto fijo.
Solución La ecuación dada es equivalente a x = (-x3 + 3)/6, de modo que usamos
el algoritmo
-x + 3
6
Figura 2
La gráfica de la figura 2 sugiere un valor inicial de x1 = 0.5, pero consideremos también
lo que ocurre con
= 1.5, x1 = 2.2 y x1 = 2.7. Los resultados aparecen en la tabla.
x
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
n
0.5
0.4791667
1
0.4816638
0.4813757
0.4814091
0.4814052
0.4814057
0.4814056
0.4814056
3
2
4
5
6
7
8
9
10
11
x
1.5
-0.0625
0.5000407
0.4791616
0.4816644
0.4813756
0.4814091
0.4814052
0.4814057
0.4814056
0.4814056
x
n
2
-1.2744667
3
0.8451745
0.3993792
0.4893829
0.4804658
0.4815143
0.4813930
0.4814071
0.4814054
0.4814056
0.4814056
2
3
4
5
6
n
1
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2.2
1
x
2.7
-2.7805
4.0827578
-10.842521
212.9416
-16909274.5
Parece que si nuestra estimación inicial x1 está lo bastante cerca del punto fijo r, la sucesión converge, pero Si empezamos demasiado lejos de r, la sucesión diverge.
Convergencia del método A veces, el método funciona y a veces no. Podemos
darnos una buena idea de lo que ocurre realizando un némero adecuado de pasos del
algoritmo. ,Pero no serIa bueno saber de antemano Si será conveniente su uso? Y en
caso de que sea conveniente, ,cómo estar seguros de nuestra conclusion?
Para hacernos una idea del problema, analicémoslo geométricamente. Observe
que podemos pasar de x2 a x1 localizando g(x1), pasando horizontalmente a la recta
y = x y proyectando en el eje x (véase la figura 3). Al usar este proceso varias veces,
nos enfrentamos a una de las situaciones de la figura 4.
jQué determina el éxito o ci fracaso, la convergencia o Ia divergencia? Esto parece depender de la pendiente de La curva y = g(x), es decir, de g'(x), cerca de la raIz r.
Si g'(x) es demasiado grande, el método falla; Si I g'(x) es suficientemente pequeña, el método funciona. He aquIun resultado general.
Tueo.u1iø *
Se g I ma
Figura 3
aliLacea
Tporpm
u.....adepuntoiijo
fu1.ri ci ui C untini'a
A)
que 1:eva [a, b] en sí friismo. es decir, una fur'ción que
b siehipre que a x b. Entonces g tiene at rnenos un punto
El algoritmo de punto fijo
SECCION 11.4
y=x
y=x
xx4r
x3
501
x
x2
rx
x3
El método funciona
El método falla
El método funciona
El método falla
Figura 4
Figura 5
fijo
xen
--
' C'iiferenciabie,
I
f
]t'i < I para toi 1a
..s
satisac
Si adei
I g(x) I
'11
. ttonce el 1.'11n
.. to fij. es ünico y el algoritmo
I(
[a, hi, co1i P const1nte.
n
-
I(_J
,
Haciendo que funcione
,Podemos hacer que el algoritmo de
punto fijo funcione con cada
ecuación? No. En primer lugar,
podrIa ser imposible escribir la
ecuaciOn en la forma x = g(x). En
segundo lugar, aunque la ecuación
se pudiese escribir de la forma
correcta, el algoritmo de punto fijo
podrIa producir una sucesiOn
divergente. Sin embargo, las
ecuaciones se pueden escribir de
muchas formas equivalentes, como
muestra el ejemplo 4. Nuestro
objetivo es entonces hallar una para
la cual g'(x) <1. Además, serIa
preferible que la derivada fuese tan
pequena como sea posible, pues
mientras menor sea, más rápida serEi
la convergencia. En resumen, hacer
que funcione el algoritmo de punto
fijo requiere más ingenio que lo que
parece a primera vista.
x en 1a b]
=
xn
-
- ido n
si'ace.sióii ue con"Verge a r "uar
pro uce in.
i
Demostración Una gráfica tIpica de una función continua de [a, b] en [a, b] aparece
a o g(b) = b, tenemos nuestro punto fijo, de modo que podeen la figura 5. Si g(a)
mos suponer que ninguna de estas igualdades es válida. Sea h(x) = g(x) x; observe
que h(a) > 0 y h(b) < 0. Por elTeorema del valor intermedio, existe un punto r (tat vez
varios puntos) tales que h(r) = 0; es decir, r = g(r). Esto demuestra la primera afirmaciOn de nuestro Teorema.
< 1 para toda x en [a, b] y sea r un
A continuación, supongamos que g'(x)
punto fijo de g. Por el Teorema del valor medio para las derivadas, podemos escribir
g(x)
g(r) = g'(c)(x
r)
donde c es algUn punto entre x y r. AsI,
g(x)
g(r)
g'(c) x
r
Mx
r
Al aplicar esta desigualdad en forma sucesiva a x1, x2,... obtenemos
L2
x3
x4 -
r = g(x1)
r
g(x2)
= g(x3)
g(r)
g(r)
g(r)
r
M x2
r
M x3 - r
x1
g(r)
r = g(x1)
Como Mn1 - 0 cuando n oc, concluimos que x,
x
M2 x1
r
x1
r
M"' x1
r
r cuando n
r
oc.
502
CAPITULO 11
Métodos numéricos, aproximaciones
Por Ultimo, si r y s son dos puntos fijos de g, hemos mostrado que x,, - r y x,, cuando n - oc. Esto es imposible, a menos que r = s. AsI, solo existe un punto fijo.
s
Ahora podemos comprender el comportamiento del ejemplo 2. Si g(x)
2 CO5 x,
entonces g'(x) = -2 Sen x I, que es mayor que 1 en una vecindad del punto fijo
x 1.03.Porotrolado,sig(x) = (x + 2cosx)/2,entonces g'(x) =
senx < 1
cerca de x = 1.03. En el primer caso no debemos esperar la convergencia; en el Segundo podemos garantizarla.
En el ejemplo 3, g(x) = (-x3 + 3)/6 y g'(x) = -x2/2. Es claro que g'(x)
1
cerca del punto fijo x
0.48. Podemos confiar en la convergencia si elegimos x1 en
el intervalo donde g'(x)
1. En realidad, nuestros experimentos del ejemplo 3
muestran que podemos comenzar tan lejos como x1 = 2.2 (que es más de lo que podrIamos esperar), pero x1 = 2.7 está demasiado lejos.
Una ültima observación: Mientras más se acerque a cero g'(x) cerca de la raIz,
más rápida será la convergencia del algoritmo de punto fijo.
I
-
I
EJEMPLO 4 La ecuación x3 - 3x + 1
0 tiene tres raIces reales (véase la figura 6).
Use el algoritmo de punto fijo para determinar la raIz entre 1 y 2.
Solución Procedemos como en el ejemplo 3; escribimos
x=
pero por desgracia, g'(x) = x2
x3 +
1
3
= g(x)
en [1, 2]. Otra forma de escribir la ecuación es
x=
= g(x)
En este caso, g'(x) = 2x/(x2 3)2. Esto también puede ser mayor que 1 en el intervalo
[1,2] (por ejemplo, g'(l.S)
5.33). Pero hay otras posibilidades. Considere
Figura 6
3
x=----=g(x)
1
x
n
1
1.5
2
3
1.5555556
1.5153061
21
22
1.5320411
1.5321234
33
34
1.5320871
1.5320902
43
44
45
1.5320888
1.5320889
1.5320889
para la que g'(x) = (-3x + 2)/x3. Después de un poco de trabajo (estudiamos g"), yemos que g' es creciente en [1,2], variando desde g'(l) = -1 hasta g'(2) = -. AsI,
g'(x) es estrictamente menor que 1, siempre que permanezcamos estrictamente lejos del punto extremo izquierdo x = 1.
Con el algoritmo
xn+1 =
3
xn
- -xn1
obtenemos los datos en la tabla al margen.
Repaso de conceptos
Un punto x que satisface g(x) = x es un
El algoritmo de punto fijo para gn es
deg.
= g(x).
3. La condición crItica sobre g necesaria para la convergencia
del algoritmo de punto fijo es que
tiene al punto fijo.
en un intervalo que con-
4. La ecuación x = g(x) = x2 -2 tiene a 2 como raIz. AUn asI,
el algoritmo x,,+1 = x - 2 puede no converger a esta raIz, pues
SECCION 11.4
503
El algoritmo de punto fijo
Conj unto deproblemas 11.4
H
En los problemas 1-4, use el algoritmo de punto fijo con la x1 indicada para resolver las ecuaciones hasta cinco cifras decimales.
x=
e_2x;xi
Despeje x en forma algebraica en x =
1
+
EvaLüe La siguiente expresión. (Una expresión como ésta es una
1
fracción continua.)
x = 2 tan
x; x1 = 2
4. x
=
\/3.2
1+
+ x;x1 = 47
5. < entra sImboLo > S. Considere La ecuación x =
Calcule g'(x) y evaLüeLa en La raIz.
Siga Las instrucciones del probLema 5 para x = 5(x -
x2) = g(x). Explique sus resultados.
7. Considere La ecuación x = (3/2) sen irx = g(x).
Bosqueje Las gráficas de y = x y y = g(x).
Trate de resolver La ecuación mediante el algoritmo de punto fijo.
Determine g'(x) y Usela para explicar sus resultados.
8. Siga Las instrucciones del problema x =
senix
ci
tronomIa. Use el algoritmo de punto fijo para resolver esta ecuación,
cuando m = 0.8 y E = 0.2.
Li 17. Si un artIculo que se vende hoy a P dóLares es adquirida en
un plan de crédito con pagos mensuales de R dóLares al final de cada
uno de Los k meses siguientes con una tasa de interés mensual i, entonces
p
Considere de nuevo x = 5(x - x2) = g(x) del probLema 6.
Escriba esta ecuación de modo que el algoritmo de punto fijo
converja (véase el probLema 9).
Use este algoritmo para resolver la ecuación.
H 11. CaLcule La raIz positiva de x3 - x2 - x - 1 = 0. Sugerencia:
Véase el ejemplo 4.
H 12. Considere x = Vs + x.
Aplique el algoritmo de punto fijo comenzando con x1 = 0 para
determinar x2, x3, x4 y x5.
Despeje x en forma algebraica en x = V'S + x.
H
5 +
s + Vs +
13. Considere x = \/1 + x.
Aplique el algoritmo de punto fijo comenzando con x1 = 0 para
determinar x2, x3, x4 y x5.
Despeje x en forma algebraica en x =
EvaLüe
ci
1
+ -.
x
(a) Aplique el algoritmo de punto fijo comenzando con x1 = 0 para
determinar x2, x3, x4 y x5.
[1 - (1 + j)-k]
Los 48 meses siguientes y con un interés de 18% (Lo que significa
que i = 0.18/12 = 0.015). Use algebra para determinar R.
Suponga que el pago mensual de La parte es (a) 300 dóLares. ,CuáL
es el valor de i? Sugerencia: Use el algoritmo de punto fijo con
i1
= 0.015.
Li 18. Un televisor que cuesta 500 dóLares es adquirido en un plan
de crédito, con pagos de 30 dOlares al final de cada mes. ,Cuál es el valor de i, La tasa de interés mensual? Véase el problema 17.
EXPLI
f'(x)
19. Considere Ia ecuaciOn x = x - f(x)/f'(x) y suponga que
en un intervalo [a, b].
Muestre que si r está en [a, b], entonces r es una raIz si y solo si
f(r) = 0.
Muestre que el Método de Newton es un caso particular del algoritmo de punto fijo, donde g'(r) = 0.
20. Bosqueje gráficas para convencerse de que cada una de Las
siguientes ecuaciones tiene una Unica soLución. Decida si el algoritmo de punto fijo funcionará o no; en caso afirmativo, Uselo. En caso
contrario, resuelva mediante el Método de Newton.
(a) sen -1 x=
+ x.
+
+
14. Considere x =
\/1
=
Un auto nuevo con valor de 10,000 dóLares es adquirido en un
plan de crédito con pagos de R dOLares al final de cada uno de
Considere de nuevo x = (3/2) sen rx del probLema 7.
+ sen1Tx = g(x).
Muestrequesepuedeescribircomox =
Ahora resuelva esta üLtima ecuación mediante el algoritmo de
punto fijo.
,Por qué es tan rápida La convergencia? Sugerencia: EvalUe g'(x)
10.
+
H 16. La ecuación de Kepler x = m + E sen x es importante en as-
= g(x)
en La raIz.
= g(x).
a/x)
\/. Calcule
g'(a) para
15. Observeque\/esunasolucióndex =
Use el algoritmo de punto fijo para calcular
ver por qué La convergencia es tan rápida.
9.
Evalüe
1
2(x -
x2) = g(x).
Bosqueje La gráfica de y = x y y = g(x) usando eL mismo sistema de coordenadas, y con eLLo ubique en forma aproximada La
raIz positiva de x = g(x).
Trate de resolver La ecuación mediante eL aLgoritmo de punto fijo,
partiendo de x1 = 0.7.
Resuelva La ecuación en forma algebraica.
6.
1
1+
3.x=V2.7+x;x1=1
(c) tanH x =
1
senx
(b)cos x
cosx
1
tan x
1. punto fijo 2.
Respuestas at repaso de conceptos:
< 1 4. 2x > 1 cerca de x = 2
3. g'(x)
x,+1
504
CAPITULO 11
Métodos numéricos, aproximaciones
11.5
Aproximaciones para
ecuaciones diferenciales
Una función de dos variables
La función f depende de dos variables. Como y'(x) = f(x, y), la pendiente de una solución depende de
las dos coordenadas x y y. En la sección 2.1 presentamos las funciones
de dos o mäs variables, las que estudiaremos con mäs detalle en el capf15.
tub
En el capItulo 7 estudiamos varias ecuaciones diferenciables que surgen de aplicaciones fIsicas. Para cada ecuación, pudimos encontrar una solución analItica; es decir,
encontramos una función explIcita que satisface la ecuación. Muchas ecuaciones diferenciales no tienen tales soluciones analIticas, de modo que para estas ecuaciones debemos buscar aproximaciones. En esta sección estudiaremos dos formas de aproximar
una solución de una ecuación diferencial: un método es gráfico y el otro numérico.
Campos de pendientes Considere una ecuación diferencial de primer orden de
la forma
y' = f(r, y)
Esta ecuación dice que, en el punto (x, y), la pendiente de una solución está dada por
f (x, y). Por ejemplo, la ecuación diferencial y' = y dice que la pendiente de la curva que
pasa por el punto (x, y) es igual a y.
Para la ecuación diferencial y' = xy, la pendiente de la solución en el punto
(5,3) es y' =
3 = 3; en el punto (1,4), la pendiente es y' =
1 4=
Po.
demos indicar gráficamente este ültimo resultado trazando un pequeno segmento de
recta por el punto (1, 4) que tenga pendiente (véase figura 1).
Si repetimos este proceso para varias parejas ordenadas (x, y), obtenemos un
campo de pendientes. Como la graficacion de un campo de pendientes es una tarea tediosa si se realiza a mano, esta tarea es más adecuada para las computadoras: Mathematica y Maple pueden graficar campos de pendientes. La figura 2 muestra un campo
de pendientes para la ecuación diferencial y' = xy. Dada una condición inicial, podemos seguir las pendientes para obtener una aproximación gruesa a la solución particular. Con frecuencia, el campo de pendientes nos permite ver el comportamiento de
todas las soluciones de la ecuación diferencial.
Pendiente
4//
5-iy
Pendieiite = 3
32-
3-7/ / / // // / / /
0
1
Figura
////
4Z////////////////
Z////////////////
/////
y
1
2
I
I
I
3
4
5
x
2-/////
NN\\\ \ \\ \
-2-N\\
I
I
I
/ / I / I / I / / /
/ / / / / I I / I I
/ / / / / / /
/ / / /
/////
/ / / V/ V/ V/
I
I
\
I
N
I
N
I
\ \ \ \ \\ \\ \\ \\
\ \ \ \ \
\
X
Figura 2
EJEMPLO 1 Suponga que el tamaño y de una población satisface la ecuación diferencial y' = O.2y(l6 - y). El campo de pendientes para esta ecuación diferencial apare-
ce en la figura 3.
Bosqueje la solución que satisface la condición inicial y(0) = 3. Describa el comportamiento de las soluciones cuando
y(0) > l6,y
30
25
(c) 0 < y(0) < 16.
\\\\\\\\\\\\\\\\
\\\\\\\\\\\\\\\\
20 NNNNNNNNNNNNNNNN
15
10
0.5
1
1.5
Figura 3
SECCION 11 .5
Aproximaciones para ecuaciones diferenciales 505
Solución
La solución que satisface La condición inicial y(0) = 3 contiene a! punto (0, 3). A
partir de ese punto y hacia la derecha, la solución sigue las ilneas de pendientes. La
curva de la figura 3 muestra una gráfica de la soLuciOn.
Si y(0) > 16, entonces Ia soLución decrece hacia La asIntota horizontal y = 16.
Si 0 < y(0) < 16, entonces la solución crece hacia la asIntota horizontal y = 16.
Las partes (b) y (c) indican que el tamaflo de la población convergerá hacia el valor 16 para cualquier tamaflo de población inicial.
Método de Euler
y
Recta tangente a
Ia solucion en (x0. v)
Pendiente =f(x, Yu)
Ecuación:
Yo
V
=
De nuevo, consideremos ecuaciones diferenciales de La forma
= f(x, y) con condición inicial y(x0) = y. Recuerde que y es una función de x, sin
importar que escribamos esto en forma explIcita o no. La condición inicial y(x0) = Yo
nos dice que la pareja ordenada (x0, Yo) es un punto de la grafica de La solución. También sabemos un poco más acerca de la solución incognita: Ia pendiente de la recta tangente a la solución, en x0, es f(x0, ye). Esta informaciOn se resume en La figura 4.
Si h es positivo, pero pequeflo, es de esperar que la recta tangente (o, en forma
equivalente, el polinomio de Taylor de orden 1 con base en x0), cuya ecuación es
+ V (x0)(x - x0)
- x0)
P1(x) = Yo +
Yo +
f(x0, y0)(x - x0)
x
xo
esté "cerca" de la solución y(x) en el intervalo [x0, x0 + h]. Sea x1 = x0 + h. Entonces,
en x1 tenemos
Figura 4
P1(x1) = Yo + hy'(x0) = Yo + hf(x0, Yo)
Ày
Al hacer Yi = Yo + hf(x0, yo), tenemos una aproximación para La soluciOn en x1 . Véase la figura 5.
Como y' = f(x, y), sabemos que la pendiente de La solución cuando x =
y(x)
yl
Yo
en el punto x2 = x1 + h. Este proceso, que continua de esta forma, se llama Método
de Euler, en honor del matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783). (Euler se pronuncia "oiler".) El parámetro h se conoce con frecuencia como el tamaño de paso.
.v, v0)
xi
xo
h
Figura 5
es
f (xi, y(x1)). En este punto, no conocemos y(x1), pero tenemos su aproximación Yi AsI,
repetimos el proceso para obtener Ia estimación Y2 = Yi + hf(x1, Yi) para la solución
x
Agoritmo
vlétodo de Euler
L
Para aproximar !r snlución de Ia ecuaciOn rliferencial y' = f(x, .') con condicVn
inicial y(x0) = Yo' elija un tamaño de paso h y repita los siguientes pasos para
n
1.
1
HagL
i = x,
2. -Iaga y
+
y_ + I
Yn- i)
Recuerde que la solución de una ecuación diferencial es una funcion. El Método
de Euler no proporciona una función, sino que da un conj unto de parejas ordenadas que
aproximan la solución y. Con frecuencia, este conj unto de parejas ordenadas basta para describir la soLución de la ecuación diferencial.
Observe la diferencia entre y(x) and y,; y(x) general desconocido) es el valor
de la solución exacta en x, y y, es nuestra aproximación a Ia solución exacta en x,,. En
otras palabras, y, es nuestra aproximación de y(x).
EJEMPLO 2
Use el Método de Euler con h = 0.2 para aproximar la solución de
y'=y,
en el intervalo [0, 1].
y(0)=l
Métodos numéricos, aproximaciones
506 CAP1TULO 11
Soludón Para este problema, f(x, y) = y. Comenzamos con x0 = Oy Yo = I para ohtener
Yi = Yo + hf(xo,yo) = 1 + 0.21 = 1.2
Y2 = 1.2 + 0.21.2 = 1.44
= 1.44 + 0.21.44 = 1.728
= 1.728 + 0.2 1.728' = 2.0736
= 2.0736 + 0.2 2.0736 = 2.48832
n
x,,
0
0.0
0.2
1
5
1.0
1.2
1.00000
1.22140
1728
3
4
e
y,
0:8
1.0
2:0736
2.48832
2:22554
2.71828
U
La ecuación diferencial y' = y dice que y es su propia derivada. AsI, sabemos que
una solución es y(x) = ex, y de hecho y(x) = ex es la solución, pues sabemos que y(0)
debe ser 1. En este caso, podemos comparar los cinco valores de y estimados mediante el Método de Euler con los valores exactos de y, como se muestra en la tabla al margen. La figura 6a muestra las cinco aproximaciones (xe, ye), i = 1,2,3,4,5, de la solución
y; la figura 6 también muestra la solución exacta y(x) = ex. Al elegir un valor menor
de h obtenemos por lo general una aproximación más precisa. Por supuesto, si elegimos
una h menor, necesitaremos más pasos para llegar hasta x = 1.
Figura 6
EJEMPLO 3
Use el Método de Euler con h = 0.05 y h = 0.01 para aproximar la so-
lución de
y'=y,
y(0)=l
en el intervalo {0, 1].
Solución Procedemos como en el ejemplo 1, pero reducimos el tamaño de paso h a
0.05 y obtenemos la siguiente tabla:
n
0
1
2
3
4
n
x
y
0
0.00
1
0.01
2
3
0.02
0.03
1.000000
1.010000
1.020100
1.030301
99
100
0.99
1.00
2.678033
2.704814
5
6
7
8
9
10
x
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
y
1.000000
1.050000
1.102500
1.157625
1.215506
1.276282
1.340096
1.407100
1.477455
1.551328
1.628895
n
x
y
11
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
1.00
1.710339
1.795856
1.885649
1.979932
2.078928
2.182875
2.292018
2.406619
2.526950
2.653298
12
13
14
15
16
17
18
19
20
La figura 6b muestra la aproximación de la solución al usar el Método de Euler con
h
0.05.
Los cálculos son similares para el caso h = 0.01. Los resultados se resumen en la
tabla al margen y en la figura 6c.
En el ejemplo 1, observe que al disminuir el tamaño de paso h, la aproximación a
y(I) (que en este caso es e1 2.718282) mejora. Cuando h = 0.2, el error es aproxima-
SECCION 11.5
Aproximaciones para ecuaciones diferenciales 507
damente e - y5 = 2.718282 - 2.488320 = 0.229962. Las aproximaciones del error para
otros tamaños de paso aparecen en La siguiente tabLa:
h
Aproximaciones de Euler para y(l)
Error = Exacto - Estimado
0.2
2.488320
2.593742
2.653298
2.704814
2.711517
0.229962
0.124540
0.064984
0.013468
0.006765
0.1
0.05
0.01
0.005
Observe en La tabla que aL dividir a la mitad el tamaflo de paso h, eL error también
se divide a la mitad (aproximadamente). Por tanto, el error en un punto dado es aproximadamente proporcional al tamaflo de paso h. En La sección 11.2 encontramos un
resuLtado similar con La integración numérica. AhI vimos que el error de La Regla del
trapecio es proporcional a h2 = 1/n2, donde n es ci némero de subintervalos. La RegLa
parabóiica es aün mjor, con un error proporcionaL a h4 = 1/n4. Esto hace surgir La
pregunta de si hay un mejor método para aproximar La solución de y' = f(x, y), con
condición inicial y(x0) = Yo De hecho, varios métodos son mejores que eL Método de
Euler, en el sentido de que el error es proporcional a una potencia mayor de h. AquI
solo presentaremos uno, un método que por lo general se llama ci Método de Euler
mejorado, o también Método de Heun.
Método de Euler mejorado El resuitado del primer paso en el Método de Euler se puede escribir como
Yi - Yo
h
Pencliente
v0) +f(x1,
)]
Ày
Solución exacta v(x)
(v1. v)
Pendientef(x, y)
I Pendicnteflx,, v)
xo
Figura 7
=f(xo,y0)
El lado izquierdo de esta ecuación nos recuerda el desplazamiento vertical sobre el desplazamiento horizontal, mientras que el Lado derecho es f(x0, yo), que es igual a y'(x0),
La pendiente de La soluciOn en La condición inicial. Pero esto sOlo usa La informaciOn en
el punto extremo izquierdo del intervalo [x0, x1]. EL Método de Euler mejorado usa la
información de ambos extremos.
En el punto extremo derecho del intervaLo [x0, xii, Ia pendiente de La solución es
y'(x1) = f(x1, y(x1)). EL problema aquI es que no conocemos y(x1). Sin embargo, si
aplicamos el paso de Euler, tendremos una aproximación de y(x1). Al suStituir 5
para y(x1) en f(xi, y(x1)) obtenemos una segunda aproximación, f(x1, 3) a La pendiente de y en x1. Véase La figura 7. EL Método de Euler mejorado usa el promedio aritmético de estas dos estimaciones de La pendiente de la soluciOn en ci intervalo [x0, x1].
Esto da como resultado
YiYo = 1 [f(xo,yo) + f(x1,yi)]
h
xl
Al despejar Yi obtenemos la aproximación para Ia soiución en ci punto x1; es decir,
Yi = Yo +
[f(x0,y0) + f(x1J1)]
Se repite un proceso similar para obtener una aproximación Y2 de La soluciOn en x2, una
aproximaciOn y3 de la solución en x3, y asI sucesivamente.
Algc ritmo NA.éto ae uIer mejoraa'0
Ia solución äe Ia ecuaciOn dLferencial v' = f(x, y) con condiciOn in
Paira aroxiinar
LUIIL. maño de paso h y repita los siguientes pasos para n =
cial
= Yo
i
2,
]T
-laga
x, = x,1
]higa , = y n +
3.
laga yn
-
yn_
h.
hf(x1, y:).
[f(x_1 Yn_) + f(x,1.
)].
508 CAPITULO 11
Métodos numéricos, aproximaciones
EJEMPLO 4
Aproxime la solución de y' = y, y(0) = 1 en el intervalo [0, 1j usando
el Método de Euler mejorado con h = 0.2,0.05 y 0.01. Compare los errores de la estimacion de y(l) con los obtenidos mediante el Método de Euler.
Solución
Con h = 0.2, tenemos
Yi = Yo + hf(xo,yo) = 1 + °2Yo = 1.2
y
h
Yi =, Yo +2 -[f(xo,y0) + f(x1,1)]
=1+
0.2
[o + Yi]
= 1 + 0.1[1 + 1.2] = 1.22
Este proceso continUa hasta que x alcanza 1. Los cálculos para h = 0.05 y 0.01 son similares. La siguiente tabla resume los cálculos para h = 0.2, h = 0.05 y h = 0.01.
n
h = 0.2
x
yn
0
0.00
1.000000
h = 0.05
0
h = 0.01
xn
yn
0.00
1.000000
xn
yn
0
0.00
1
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.10
0.11
0.12
0.13
1.000000
1.010050
1.020201
1.030454
1.040810
1.051270
1.061835
1.072507
1.083285
1.094177
1.105169
1.116276
1.127495
1.138826
1.150271
1.161831
1.173508
1.185302
1.197214
1.209246
1.221399
2.718237
2
3
4
1
0.05
1.051250
5
6
7
8
9
2
0.10
1.105127
10
11
12
13
14
3
0.15
1.161764
15
0.14
0.15
0.16
0.17
0.18
0.19
0.20
1.00
1
0.20
1.220000
4
0.20
1.221305
16
17
18
19
20
5
1.00
2.702708
20
1.00
2.717191
100
La figura 8(a-c) muestra la solución exacta y = ex y las soluciones estimadas mediante el Método de Euler mejorado para h = 0.2, 0.05 y 0.01. La figura 8 indica que
estas aproximaciones están muy cerca de la soluciOn exacta. La siguiente tabla muestra que el error del Método de Euler mejorado es considerablemente menor que el
error del Método de Euler.
Figura 8
h
Error del Método de Euler
Error del Método de Euler mejorado
0.2
0.05
0.01
0.229962
0.064984
0.013468
0.015574
0.001091
0.000045
En los ejemplos dados hasta ahora, conoclamos la solución exacta y = ex. En situaciones como ésta, por lo general usamos la solución exacta y no nos ocupamos de
sus aproximaciones. Sin embargo, muchas ecuaciones diferenciales no tienen una solución anailtica. Para estos problemas, debemos recurrir a aproximaciones numéricas
usando un método, como cualquiera de los anteriores.
SECCION 11.5
EJEMPLO 5
Aproximaciones para ecuaciones diferenciales 509
Aproxime la solución de y' = -y2 + \/4x2 + y + 2y2, en el interva-
lo [0,41 usando ambos métodos, con h = 0.25.
Solución
Los resultados del Método de Euler y el Método de Euler mejorado aparecen en la siguiente tabla. La figura 9 muestra los resultados de ambos métodos.
Método de Euler
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Método de Euler mejorado
x
y
yn
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
2.50
2.75
3.00
3.25
3.50
3.75
4.00
2.0000
1.7906
1.7159
1.7131
1.7634
1.8514
1.9613
2.0794
2.1968
2.3096
2.4171
2.5198
2.6182
2.7129
2.8043
2.8927
2.9785
2.0000
1.8525
1.7731
1.7487
1.7706
1.8287
1.9115
2.0085
2.1119
2.2163
2.3189
2.4185
2.5144
2.6067
2.6955
2.7809
2.8633
3-
-
1.5-
1
2
3
Método de Euler
1
2
3
4
Método de Euler mejorado
Figura 9
Los cursos de análisis numérico analizan estos y otros métodos numéricos para
ecuaciones diferenciales con valores iniciales, con mucho más detalle que lo aqul expuesto. Un método, llamado el Método de Runge-Kutta de cuarto orden, tiene un error
proporcional a h4. En la práctica, estos avanzados métodos se utilizan con más frecuencia que el Método de Euler, o incluso que el Método de Euler mejorado, pues sus errores son mucho menores. Los métodos avanzados son más complejos, aunque conservan
el sabor iterativo de los dos métodos de Euler.
Repaso de conceptos
1. Para la ecuación diferencial y' = f(x, y), una gráfica de seg-
3. La formula recursiva para la aproximación de la solución de
mentos de recta cuyas pendientes son iguales a f(x, y) se llama
una ecuación diferencial mediante el Método de Euler es
yn =
2. La base para el Método de Euler es que la
a la solución en x0 será una buena aproximación a la solución en el interva-
lo[x0,x0 + h].
4. El Método de Euler mejorado utiliza el
timaciones de la pendiente en x,1 y x,.
de dos es-
510 CAPITULO 11
Métodos numéricos, aproximaciones
Conj unto deproblemas 11.5
En los pro blemas 1-4 se da un campo dependientespara una ecuación
diferencial de la forma y = f(x, y). Use el campo de pendientes para
bosquejar la solución que satisfaga la condición inicial dada. En cada
caso, determine lIm y(x) y aproxime y(2).
y(1) = 3
y
20
18
16
y(0) = 5
14
12
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
y
20
18
10
6
16
/ / /// // // //
7///
///////
-77/
77 // // /// // // /
/
/
/
/
I
/
/
/ /
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
I /
/
/ /
/
/
7// 7//////////
/ / / / / / II /
-77 / / / / / / / / / /
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/ /
/ /
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/ I
/ /
/
/
/
/
-------------------- ------------------- ---------------------------- ------------- ----
////////////////////////
//77//////777//////7777//
/ / / / / / / / / / / / / / / / / / /7/ / /
y
\\\
\\ \\ \\ \\\ \\\ \\\ \\\\\\\\\\N
\ \ \ \ \
\ \
\ \ \
12
10
\NN
77777777777777777777/7/
/
777777777777777777777777
777777777777777777777777
777777777777777777777777
77777777777777777777777
7/
/'/
V
/
/
7/7// // // // //
\\\N
N
-7//
7//
7/ 7/
/ // /// /// /// /// /// /// //
/
/ / / / / / / / /
,,
/ / / / / / / /
/ / / / / / / / I
//
/////// /
/ / /
/ /
/
/
A
/
/ III /
/// / / / / III /
///////II /
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\\\\\\\\\\\
\\\\\\\\\\\\
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\ \ \\\\ \\\\ \ \\\\
\\\\\\\
\ \ \ \ \ \ \\
16
14
/
/
I
I
/
/
I
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
I
/
I
/
/
/
/
/
I
y
y
18
/
/
I
y(0) = 8
y(0) = 16
20
/
/
/ I
/ /
/ / /
y(0) = 6
\\\\\\\\\\\N
\\\\\\\\\N
\\\\\\\\
\\ \\ \\ \\ \\ N
\N
14
/
/
En los problemas 5y 6 se da un campo de pendientes para una ecuación diferencial de laforma y' = f(x, y). En ambos caos, cada solución
tiene la misma asIntota oblicua (véase la sección 4.6). Bosqueje la solución que satisface la condición inicial dada y determine la ecuación
de la asIntota oblicua.
y
16
/
/ /
/ /
/ /
/
----------------------------------- --------------------- ---------------- ---------------
y(0) = 6
18
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
- - - - ---
-----------------
20
/
-77///////////////
-_77//////// /// // /// // /// // //////
12
6
/
/
/
77//////
/ / / / // ///////// /// // / / II /
777//////
-77/////// / / / / / / I
14
10
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
12
10
x
x
SEccIóN 11.6
En los problemas 7-10, grafique un campo de pendientes para
cada ecuación diferencial. Use el Método de separación de variables
(sección 5.2) o un factor integrante (sección 7.6) para determinar una
solución particular de la ecuación diferencial que satisfaga la condición inicial dada, y grafique la solución particular.
ICASI
y' =
y' = -ytanx,
y(0) = 1
Haga una tabla para comparar sus aproximaciones en el intervalo
Deduzca la relación y,, = yo(l + h)"
;y(0) = 3
Explique por qué YN es una aproximación de e.
aproximar la solución en el intervalo indicado.
y' = 2y, y(0) = 3, [0, 1]
y' = -y, y(0) = 2, [0, 1]
y' = x, y(0) = 0, [0, 1]
y' = x2, y(0) = 0, [0, 1]
26. Suponga que la función f(x, y) depende solo de x. La ecuación
diferencial se puede escribir entonces como
y' = f(x),
y(x0) = 0
Explique la forma de aplicar el Método de Euler a esta ecuación diferencial.
27. Considere la ecuación diferencial y' = f(x, y), y(x0) = 0 del
ejercicio 26. Para este problema, sean f(x) = sen x2, x0 = 0 y h = 0.1.
y' = xy, y(l) = 1, [1,2]
y' = -2xy, y(l) = 2, [1,2]
Integre ambos lados de la ecuación diferencial de x0 a
Ic Para los problemas 17-22, use el Método de Euler mejorado con
h-0.2 en las ecuaciones de los problemas 11-16. Compare sus respuestas con las obtenidas mediante el Método de Euler.
23. En el ejemplo 4 se aplicó el Método de Euler mejorado a la
ecuación y' = y, y(0) = 1, con h = 0.2,0.05 y 0.01. Aplique el Método de Euler mejorado con h = 0.1 y h = 0.005 a este problema. Calcule el error al aproximar y(l) = e y complete la siguiente tabla. LEs
el error del Método de Euler mejorado proporcional a h, h2 o a alguna otra potencia de h?
ICASI
0.005
con h = 0.2,0.1 y 0.05 a la ecuación
sitivo.
Ic En los problemas 11-16, use el Método de Euler con h=0.2 para
0.2
0.1
0.05
0.01
Ic 24. Aplique el Método de Euler y el Método de Euler mejorado,
25. Aplique el Método de Euler a la ecuación y' = y, y(0) = 1
con un tamaño de paso arbitrario h = 1/N, donde N es un entero po-
y' = -y; y(0) = 4
y' = x - y + 2;y(0) = 4
h
511
[0, 1.57] con la solución exacta y = cos x.
y;y(0) =
y' = 2x - y +
RevisiOn del capItulo
Error del
Método de Euler
Error del Método
de Euler mejorado
0.229962
0.124540
0.064984
0.013468
0.006765
0.015574
0.001091
0.000045
x1 = x0 + h. Para aproximar la integral, use una suma de Riemann con un solo intervalo, evaluando el integrando en el punto
extremo izquierdo.
Integre ambos lados de x0 a x2 x0 + 2h. De nuevo, para aproximar la integral, use una suma de Riemann con base en los extrernos izquierdos, pero con dos intervalos.
Continue el proceso descrito en las partes (a) y (b) hasta que
= 1. Use una suma de Riemann con base en los extremos izquierdos de diez intervalos para aproximar la integral.
Describa la forma en que se relaciona este método con el Método de Euler.
28. Repita los pasos a a c del problema 27 para la ecuación di-
ferencial y' = Vx + 1, y(0) = 0.
Respuestas at repaso de conceptos:
1. campo de pendientes
recta tangente (o el polinomio de Taylor de orden 1 con base en x0)
Yn-i + hf(x_1, Yn-i) 4. promedio
11.6 RevisiOn del capItulo
Examen de conceptos
Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmaciones. Prepárese para justificar su respuesta.
Si P(x) es el polinomio de Maclaurin de orden 2 para f(x), enton-
ces P(0) = f(0), P'(0) = f'(0), y P"(0) = f"(0).
El polinomio de Taylor de orden n con base en a para f(x) es ünico; es decir, f(x) solo tiene un polinomio de este tipo.
La formula de Taylor con residuo contiene al Teorema del valor
medio para derivadas como un caso particular.
Con una calculadora y la formula [f(a + h) - f(a)]/h, uno puede aproximar f'(a) con cualquier grado de precision deseado, haciendo h suficientemente pequeno.
Siempre podemos expresar la integral indefinida de una función
elemental en términos de funciones elementales.
f(x) = x5/2 tiene polinomio de Maclaurin de segundo orden.
El polinomio de Maclaurin de orden 3 para f(x) = 2x3 - x2 +
7x - 11 es una representación exacta de f(x).
El polinomio de Maclaurin de orden 16 para cos x solo contiene
potencias pares de x.
Si f'(0) existe para una función par, entonces f'(0) = 0.
La Regla del trapecio con n = 10 dará una estimación para
IC x3 dx menor que el valor real.
La Regla parabólica con n = 10 dará el valor exacto de
fx3 dx.
Métodos numéricos, aproximaciones
512 CAPITULO 11
Con una computadora y la Regla parabólica, siempre se puede
f(x)
aproximar
haciendo
h
mx = (x - 1) -
1
(x - 1)2 +
1
suficientemente pequeflo.
La función f(x) = e_x2 +
6 en [-1,2].
Si f(x) =
(x - i) +
dx con cualquier grado de precisiOn deseado,
ax2 +
bx
+
c,
+
+ sen(x + 1) satisface
x2
n
(x - 1)" + R(x)
f(x)
LQué tan grande debe ser n para estar seguros de que
0.00005 si 0.8
entonces
Lfx dx = [f(-2) + 4f(0) + f(2)].
15. Si f es continua en [a, y
< 0, entonces
ne una raIz entre a y
b]
(_1)_1
f(a)f(b)
Rn(x)
1.2?
El 9. Consulte el problema 8. Use el polinomio de Taylor de orden 5 con base en 1 para aproximar
f(x)
= 0 tie-
f 1.2
/
b.
16. Una de las virtudes del Método de bisección es su rápida conver-
lnxdx
10.8
gencia.
y dé una buena cota para el error cometido.
17. El Método de Newton producirá una sucesión convergente para
la función f(x) =
El 10. Use la Regla del trapecio con n = 8 para aproximar
[1.2
convergente a r (a menos que la primera estimación sea exactamen-
lnxdx
/
18. Si f'(x) > 1 en un intervalo abierto que contiene una raIz r de
x = f(x), entonces el Método de punto fijo no producirá una sucesión
JO.8
y dé una cota para el error.
te r).
19. El Método de punto fijo permite hallar la maxima raIz de
x = 5(x-x2)
LI
11. Use la Regla parabólica con n = 8 para aproximar
[1.2
+ 0.01.
lnxdx
/
JO.8
20. El Método de punto fijo producirá una sucesión convergente pa-
ra x =
11 x +
Va/3.
a\.si a > 0 y la primera estimacion es mayor que
-)
y dé una cota para el error.
El 12. Calcule
[1.2
21. La solución de la ecuación diferencial y' = 2y que pasa por el
punto (2, 1) tiene pendiente 2 en ese punto.
22. El Método de Euler siempre sobrestima la solución de la ecuación
diferencial y' = 2y con condición inicial y(0) = 1.
1.
Determine el polinomio de Maclaurin de orden 1 para
lnxdx
JO.8
mediante el Teorema fundamental del cálculo.
Sugerencia:D[x1nx - x] =
Problemas de examen muestra
Ic
/
mx.
El 13. Use el Método de Newton para resolver 3x - cos 2x
= 0 con
f(x) = x cos x2 y üselo para aproximar f(0.2).
una precision de seis cifras decimales. Use x1 = 0.5.
El 2. Determine el polinomio de Maclaurin de orden 4 para f(x),
14. Use el Método de punto fijo para resolver 3x - cos 2x =
menzando con x1 = 0.5.
y üselo para aproximar f(0.1).
(a) f(x)
xex
(b) f(x)
= coshx
Determine el polinomio de Taylor de orden 3 con base en 2 para
g(x) = x3 - 2x2 + 5x - 7 y muestre que es una representación exacta de g(x).
Use el resultado del problema 3 para calcular g(2.1).
LI
0, co-
Use el Método de Newton para determinar la solución de x tan x = 0 en el intervalo (ir, 2ir) con una precision de cuatro cifras decimales. Sugerencia: Bosqueje las gráficas de y = x y y = tan x usando los mismos ejes para obtener una buena estimación inicial de x1.
Trate de usar el Método de punto fijo para la ecuación del
problema 15. LPor qué no funciona?
Determine el polinomio de Taylor de orden 4 con base en 1 para
f(x)=1/(x+1).
Obtenga una expresión para el término del error R4(x) en el problema 5, y halle una cota para tal término si x = 1.2.
Determine el polinomio de Maclaurin de orden 4 para f(x
(1 - cos 2x), y halle una cota para el error R4(x) si x
sen2 x =
0.2. Nota: Se obtiene una cota mejor si observa que R4(x) = R5(x)
y luego acota R5(x).
El
8.
Si f(x) = ln x, entonces f(')(x)
= (-1)'(n - 1)!/x'.
AsI, el polinomio de Taylor de orden n con base en 1 para ln x es
Use el Método de Newton para determinar la maxima solución de ex - sen x = 0. Sugerencia: Comience bosquejando y = ex y
y = sen x para obtener una estimación inicial x1.
Use el Método de Euler con h = 0.2 para aproximar la solución de la ecuación diferencial y' = xy con condición inicial y(l) = 2
en el intervalo [1,2].
Use el Método de Euler con h = 0.2 para aproximar la solución de la ecuación diferencial y' =
con condición inicial y(0)= 2
en el intervalo [0,2].
I
I
k
I
Polinornios de Maclaurin
I. Preparación
Determine el polinomio
Ejerciclo 1
de Maclaurin de orden 4 para cada
uno de los siguientes:
x5
- 3x2 + x
+ 2x3 - 3x2 + x
- x4 + 2x3 - 3x2 + x
x6
+
2x3
x4
x5
- x4 + 2x3 - 3x2 + x
1
hasta tener un error de a lo más 0.002.
Muestre sus gráficas y explique su razonarniento. A continuación, utilice la
fOrmula para el error, sección 11.1, para determinar qué tan grande debe ser
n para garantizar que el error máximo
sea a lo más 0.002.
Ejercicio 5
1x
Obtenga aproximaciones en serie
(1) tan' x
de estas funciones en tomb de
x = 0 y determine Ia primera p0tencia de x para la que difieran es-
1
1x
tan1 x +
Ejerciclo 2
Considere las dos funcio-
nes sen(tan x) y tan(sen x).
tas series.
1
1x
Como estas dos series se parecen
mucho, usted podrIa pensar que
Con base en sus respues-
representan esencialmente a la
tas al ejercicio 1 (y tal vez de otros
ejemplos), qué puede decir acerca
del polinomio Maclaurin de orden 4
misma función. Grafique ambas
funciones en los intervalos [0, in,
[0, IT/2] y [0, ir/4]. Explique el
comportamiento cerca de ir/2.
cuando f es en sí un polinomio? j,Qué
puede decir acerca del polinomio de
Maclaurin de orden 4 para la función
f+g?
II. Uso de Ia tecnologIa
Suponga que queremos
aproximar f(x) sen x para x en el
Ejercicio 3
intervalo [0, 2ir]. Use su tecnologIa pa-
III
Reflexión
Ejercicio 6 Para aproximar la función seno, al igual que otras funciones
trigonométricas, logarItmicas y exponenciales, las computadoras y calculadoras utilizan por lo general algün
lo cerca del punto x0.). Por ejemplo,
no es de esperar que podamos usar el
mismo polinomio para aproximar
sen(0.02) y sen(14.02). En este ejerci-
cio, usted utilizará la simetrIa de la
función seno para hallar Reglas y
aproximar sen x para cualquier x.
Como la función seno es periódica con periodo 2ir, podemos usar
una aproximación de sen x en
[0, 2in] para aproximar sen x (al
menos teóricamente) para cualquier x. Dé un Método de aproximaciOn de sen x para cualquier
valor x usando solo la serie de
Maclaurin en [0, 2ir]. j,Qué tan
grande debe ser n para garantizar
que el error máximo sea menor que
0.000001?
En realidad, podemos hacer algo
mejor. Use la simetrIa de la funciOn seno en torno del punto (11,0)
para dar un Método de aproximación de sen x para cualquier valor
de x usando solo la serie de Maclaurin en [0, 7n1. j,Qué tan grande
debe ser n para garantizar que el
error máximo sea menor que
0.000001?
Podemos hacer algo todavIa mejor! Use otra propiedad acerca de
Ia simetrIa de la función seno pa-
ra graficar las series de Maclaurin de
orden n = 3,5,7,9 en la misma gráfiCa, junto con una gráfica de y = sen
x. Además, grafique los errores sen x -
tipo de aproximaciOn polinomial. Para
funciones periódicas como el seno o
el coseno, no es razonable suponer
que podrIamos hallar una función po-
ra dar un Método de aproxima-
P,L(x) en el intervalo [0, 2ir].
linomial que aproxime a la función pa-.
claurin en [0, in/2]. LQué tan gran-
ra todos los nümeros reales x. (Re-
Ejercicio 4 Continuando con el ejercicio 3, incremente gradualmente n
cuerde que por lo general, Ia serie de
Taylor es una buena aproximación so-
de debe ser n para garantizar que
el error máximo sea menor que
cion de sen x para cualquier valor
de x, usando solo la serie de Ma-
0.000001?
513
IE TECIILA 111.2
PRYECT
p
'
mtLegrlcv'.n numérica
r1
'Iepala :uon
1
Errores en aproximaciones de
Ejer.rj J i I Aproxime Ia integral
.
f2sen X
x
n
dx
4 ;ubintervalos con los siguientes métodos:
I Riemann por la izquierda
(a) .Juma c.e
(b ) Sima
- - de L.
Piemann por la derecha
(c) u.xla
- de 'emann con los puntos medios
S
IRer,h
". d&I trapecio
fr'
32
64
128
Rc g1a p trabOlica
256
El valoexc
i ''to de esta integral es Si(2) - Si(1),donde Si es
i", Ii"
iflC161J srnci-integral, descrita en el proyecto tecnológico
- Si(1) aproximadamente 0.6593299064355120.
-
T=
[
+R
1024
Considere ahora la integral detLda
:lnl
A =
(2)
f2exdx
El valor exacto de A es e2 - e, que es aproxim
lente
4.670774270471605. En cada una de las parter iguier
'
des,
complete los espacios V justifique sus respuet as.
Al aproximar A, obtenemos aproximadan.nente Ia mis..ma
precision usando la suma de Riemann p,or la i zquiPr
- da
con n =
que la obtenida usa.ridio la Reghi del
trapecio con = 20.
-
i[1, + 2Mg]
'2n
512
Ejercicio 3
Pa t ecLnoIogIa
Ejer cici'c 2 Sean L, R y M, las sumas de Riemann por
la i zquierd;,, por la derecha y con los puntos medios, resp .,ctiva .mentc,, sando n subintervalos, En el ejercicio 4 le
pedi flos que muestre que Ia Regla ud trapecio y la Regla
pan'1hólica se Pu ed en-- obtener a partir de estas tres sumas de
Pi.eri
-auLiji. COLfl'l)sigue:
.ic
ahra,s uponga que esto es v'rc1adero.
L_
Use estoc resul'
LaC os
T
16
L
Poi
-('-Jx
x
8
I
II. Usc ide
M
R
-
4
us'r
iidcn =
1
i2. Si2)
L,,
2se nx
-rara aproximar
I
iSantlo los cinco métodos con n = 4,8,- 16,32,64, 128,256,
"12's 1024. J:se la aproximac ion 0.6S299064355120 como
si I uese exact p'ti"i " alculir los errt.
res en los cinco métoor
dc-s. C-nstruya
." y (oiiip1ete las si,,uientes
tablas.
-
Al aproximar A, obteneis aproximada me nt e la misr11a
precision usando la Rela del inLpecio con = __quea
obtenida usando la R. 'a parabuI "i wii :tr = 2i.
Al aproximar A, obtenemos aproximad meinLLe La mism
precision usando suma de WI emariiIn con puntos medios
yn=
que la obtenida usando hi Regla del trapecio
conn = 1000.
Al aproximar A, obtenemo p1 :in'adamente Ia mis-
ma precision usando a sum"a de .iemann por Ia iz
quierda con n =
qjue'Ia obeniáa usando la Reg1
parabOlica con n = 40.
Err.ores en aproximaciones de
n
R
4
8
M
f2senx
J
dx
III. Reflexión
Pn
Ejerciclo 4 Muestre que la Reglr del uajecio
'
y Ia Regla parabólica se pueden obtener de ia5 tir sumas
..
de Riemann
como sigue:
T=
a
J12
[L + R
=
[T + 2'
Ejercicio 5 El rror en i ii' ac' iarJee los
d métodos Je
integraciOn numérica e'.s
on. ''nal a aiglina potencia
.'e h.24 jalieela se° nau"la an,.,;1 r; determine si cada
método tiene un error p"inorcion' I a h,h,2 , 3,oalgunaotra
potencia de h. Explique Ia c'acioL "on. os errores establecidos en los Teor
i( niu'
LLS A..2A
. y 11 .2 B.
rp
1
c14
I
I
V
LI'
Me todos
i
1
'IL
I
LI
I
C
.tin y '-le punto fijo
'sción, deT1i
iw,.c
de h;e::
I. Prerar.ac'n
.ui
.'e bisi
ec;ióij,n,eJ Ill
HALpliqlu LC1M
el _/Letod(J
E ieir 'iciu 1
de
'QL
r2 Ii sta seis cifras decimales. Sea f(x) = 3.lx(1 - x). Sobreponga la gráfica de
y g(x) = f(f(x,)
i
N.- wton y ci Méto-d de
pare proxiJ m,ar l'i su 1u' 'unto Lit
cion d
- cos
'
= 0 con uTh ; ciii a rJecimai
S.
1
iso de Ia tecnol jia
II.
I
s.
alge'oraic por
fr rt-iclo 2 Iise " i sitt.na
,ata proximarla S01iui(
co
U" 5fl de
cofl'.tpLllta4J ora
-
r - I a! al oritmo
Ii
Ijercicio
3 Lnplane
de nuno
LA. fiio en U S iS[
i
1
1
Ii
.ma algebraico. Use su programa par' apro.wii,n
,,.Jua; La oii
ci ón de x = cos x.
V
V
V
V
1
V
El algotitmo 1e punto lii' ) con(i'cCc Ufl rea
Ic investigaciOn actual y sirve como niodelo posibh pai a
Ejercicio 4
.
V
turbulencia, uno de los ienómenos menos oi pr'.id 1(los
'
r in- i J.
ciencia. Los problemas de este e ierc :icio si ver
2
9.61x - 39.401
V
+ 59.582x3 - 29.791x4
sobre su grafca anterior y observe que r1 y r2 parecen
ser las dos raices de x g'x donde g'(1 < 1.
(c) A = 3.1, con.,inuación. Observe que f(r1) = r2 y que
f(r2) = r1. Use esto para mostrar que g'(r1) = g'(r2).
(d) A =
En este caso, use la iteración para h.allar cuatro
atractores:s 1' s,,s3
y s4.Trate de verde qué ecuación
L
son solución estos valores.
(e) A = 3.56. Use la iteración para hallar ocho atractores.
(f) A = '3 5', Si c o1_itirnia
increm'ntando A mediante cantidades cada v.z1rnenores, duplicará el nümero de atractores en cada etapa, hasta que cerca de 3.57 obtendrá el
caos. Ms allá de A = 3.57 ocurren otras cosas extrañas.
I
Lroduccion a esta excitante áia. Cada rob1( ia ILr tta de Ia
V
V
tCUdCiOfl
C
Ejercicio 5
Ax"
(1)
Co nforme
(a)
A
III. Reflexión
Realice experirnentos similares al ejerCiCio
4 con
x)
x = Asenirx
A crece de 2 d 5.
2.5.Bosqueje1asgrcasc1ey
= xy fJ
.ei
")
(I
-
r
"eu
'la ec"tción
V
n los mismos ejt-,
) I)orV_V'FF'
cuaciór' 'P C1 n
-
-
V
i: LA continuación, resueiv
La
-'
'1 V rest
get ri s kicilla, confir1aa1dc s1
3 uesta.
1(1
fi)
--- 3.x)usai
11
=
i(b)A- 3..Bosquejey
V
1
.
do'.ios mismos ejes y rate oe esoi\ - r (1) mec.J'ant .a e> I en la
II ción Ic purto fio. (Obs rve que I f'(
ai.) '/cr'auey v i 'ie un ado a otro, pero se a c rc& a
V
V
1
V
1
V
C
V
V
V
V
V
V
d -s valores r1 y r2,II'liainados 4tractres. Deterniiue rV 1y
Resuma JU. Jescubrimientos en un informe.
Para una descripción amena de los extraflos fenómenos
descritos en Iics & 1 ios '1- v 5, véase:
r,
VV
uev.L
Chac Ivia king
ew L,cience.
Jamr G1leick,
York: P. guun iooks.
F
1QJ7.
Douglas R. I-'Jofstadter."Strange attra( to:- rs: ina th rn,'aIi-i
cal patterns deii 'ate1' oisc ' bev.e.n ()rd er and c'hao s".
it ican, vol. 245 novie1
"
ScientificAr"i
n1br
de 19i 2T 1
jec.
aN.
V
V1
1
-
V
-
V
V
515
IL
1
Kepler naciO en Well,
Alemania, de un padre alcohOlico.
Cuando niño contrajo viruela, que
Johannes
le dejaron las manos lisiadas y pobreza
Johannes Kepler
1571-1 630
visual. Las desgracias persiguieron a
Kepler a lo largo de su vida. Su esposa
y varios de sus hijos murieron. Su
madre fue acusada de hechicerIa y él
mismo sufriO persecuciOn durante las
revueltas religiosas del tiempo. Al lado
de todo esto, a menudo padeciO de
una alimentaciOn inadecuada. AUn asI,
perseverO en su trabajo cientIfico con
...yhoyendia
Los satélites viajan a lo largo de
órbitas elIpticas; el sistema de
navegación LORAN utiliza
hipérbolas; los espejos de los
telescopios y las antenas
parabOlicas de televisiOn tiene
secciones transversales parabOlicas.
Las cOnicas aparecen incluso en los
negocios.
devociOn e imaginaciOn.
EstudiO matemáticas y astronomIa
en Ia Universidad de Tubingen.
Nombrado como asistente de Tycho
Brahe en el observatorlo de Praga,
adquiriO datos exactos sobre las
Orbitas de los planetas. Estaba
convencido de que Dios habIa diseñado el mundo con una
complacencia estética y en una forma matemática simple.
Esta perspectiva lo atrajo hacia Ia belleza y armonla del
sistema heliocéntrico de Copérnico, que puso al Sol, en lugar
de Ia Tierra, en el centro del Universo.
Las máximas contribuciones de Kepler fueron sus tres
eyes del movimiento planetarlo: (1) los planetas se mueven
en elipses, con el Sol en uno de sus focos; (2) Ia recta que
une al Sol con un planeta barre areas iguales en tiempos
iguales; (3) el cuadrado del periodo de revoluciOn es
proporcional al cubo del semieje mayor. Estas eyes, que
Kepler hipotetizO sobre bases de observaciOn y necesidades
estéticas, más tarde Isaac Newton demostrO que eran
consecuencias de su ley de cuadrados inversos sobre
atracciOn de dos masas.
C
AP
P íI T
TU
U LLO
CA
0
12
.
,
Cónicas
COnicas
y
y coordenadas polares
12.1 La
La parábola
parabola
Elipsesee hipérbolas
hipérbolas
12.2 Elipses
12.3 Más
12.3
Más sobre ehpses
elipses e hipérbolas
12.4 TraslaciOn
12.4
Traslación de ejes
12.5
Rotación de ejes
ejes
12.5 Rotación
12.6 El
Elsistema
sistemade
decoordenadas
coordenadas polares
12.7 Gráficas
Grá±icasde
de ecuaciones
ecuaciones polares
polares
12.8
Cálculo en
12.8 Cáicuio
en coordenadas polares
12.9
Revisión del
12.9 RevisiOn
del capítulo
capitulo
12.1 Rotaciones
Proyecto de tecnologIa
tecnología 12.1
Rotaciones en
en el
el plano
piano
Proyecto de tecnología
tecnologia 12.2
Proyecto
12.2 Otro tipo de
de rosa
rosa
12.1
12.1
La parábola
parabola
La
dos hojas
hojas yy haga
haga pasar
pasar pianos
planos por
por él,
él, aa distintos
distintos
Considere un cono circular recto con dos
ángulos, como
la figura
como secciones
secciones se
ángulos,
como se
se muestra
muestra en Ia
figura 1.
1. Las
Las curvas
curvas que
que obtendrá como
llaman, respectivamente,
ilaman.
respectivarnente. elipse,
elipse.parábola
parabola ee hipérbola.
hipérbola. (También
(También puede
puede obtener
obtener varias
recta.) Estas
Estas curvas
curvas se
se
formas lIrnite:
límite: un
un círculo,
cfrculo,un
unpunto,
punto, rectas
rectas que
que se
se cortan, y una recta.)
llaman
ilaman secciones
secciones cónicas,
cónicas, oo simplemente cónicas. Esta definiciOn,
definición, que debemos aa los
los
griegos, es
es incómoda
incOrnodayypronto
prontoadoptaremos
adoptaremos una
una distinta.
distinta. Se
Sc puede
puede mostrar que las
griegos,
las dos
definiciones son consistentes.
Elipse
Parábola
ParboIa
Hipérbola
Figura 11
517
518
COnicas y coordenadas polares
CAPiTULO 12
En el piano, sea tuna ilnea fija (La directriz) y Fun punto fijo (el foco) que no esté sobre la LInea, como en La figura 2. El conjunto de puntos P para los que el cociente
de La distancia PF del foco entre La distancia PL a La recta es una constante positiva e (La excentricidad), es decir, los puntos que satisfacen
L
PF = ePL
S
F
esunacónica.SiO < e < 1,lacónicaesunaelipse;sie = 1,esunaparábola;sie > 1,es
una hipérbola.
Al trazar Las curvas correspondientes a e = , e = 1, y e = 2, obtenenios las tres
curvas que aparecen en La figura 3.
/2'
Figura 2
/2
/2'
Elipse (e =
Parábola(e= 1)
Hipérbola (e = 2)
Figura 3
En cada caso, las curvas son simétricas con respecto de la recta que pasa por el foco y es perpendicular a La directriz. Llamamos a esta recta el eje mayor (o simplemente el eje) de Ia cónica. Un punto donde Ia cOnica cruza a! eje es un venice. La paráboIa tiene un vértice, mientras que La elipse y La hipérbola tienen dos vertices.
La parabola (e = 1) Una parabola es eL conjunto de puntos P que son equidistancias de la directriz
y el foco F; es decir, los puntos que satisfacen
PF = PL
Esta definición nos permite deducir la ecuación en xy, y queremos que ésta sea lo más
sencilLa posible. La posición de Los ejes de coordenadas no tiene efectos sobre la curva,
pero influye sobre La senciLLez de la ecuaciOn de La curva. Como una parabola es simétrica con respecto de su eje, es natural colocar uno de los ejes de coordenadas, como el
eje x, a Lo largo del eje de La paraboLa. Ubicamos F, el foco, a La derecha del origen, digamos, en (p, 0); y La directriz a la izquierda, con ecuación x = p. Entonces el vértice
está en el origen. La figura 4 muestra todo esto.
La condición PF = PL y La formula de la distancia impiican
x=p
Figura 4
-
Y
ÀY
F(O,p)
2= -
p)2 + (y - 0)2 =
(x + p)2 + (y
-
y)2
Después de elevar al cuadrado ambos Lados y simplificar, obtenemos
= 4px
Y=
= 4px
x'=4py
Y
Y
EJEMPLO 1
x =p
.
F(p,O)
YP
y = 4px
Determine el foco y Ia directriz de la parabola con ecuación y2 = 12x.
Solución Como y2 = 4(3)x, vemos que p = 3. El foco está en (3, 0); la directriz es la
recta x = 3.
F(O,p)
Figura 5
Esto se llama la ecuación canónica de una parabola horizontal (con eje horizontal), que
abre hacia La derecha. Observe que p > 0 y que p es La distancia del foco a! vértice.
x= 4jv
Hay tres variantes de La ecuación canónica. Si intercambiamos Los papeles de x y
y, obtenemos La ecuación x2 = 4py. Esta es la ecuación de una parabola vertical con
foco en (0, p) y directriz y p. Por Ultimo, si introducimos un signo menos en un Lado de Ia ecuación, esto hace que la parabola se abra en la dirección opuesta. Los cuatro casos se muestran en la figura 5.
SECCION 12.1
La parabola 519
Determine el foco y La directriz de la parabola x2 = y y bosqueje La
EJEMPLO 2
gráfica.
. La forma de La
Solución Escribimos x2 = 4()y, de donde concluimos que p
ecuación nos dice que la paraboLa es vertical y que abre hacia abajo. El foco está en
La gráfica aparece en La figura 6.
(0, - ); La directriz es La recta y =
.
x
Determine La ecuación de La parabola con vértice en el origen y foco en
EJEMPLO 3
(0,5).
Figura 6
So!ución
La parabola abre hacia arriba y p = 5. La ecuación es x2 = 4(5)y, es decir,
I
x2=20y.
Determine La ecuación de La parabola con vértice en el origen, que pasa
por (-2, 4) y abre hacia La izquierda. Bosqueje La grafica.
EJEMPLO 4
La ecuación tiene la forma y2 = 4px. Como (-2,4) esta sobre Ia grafica,
4p(-2), de donde p = 2. La ecuación deseada es y2 = 8x y su gráfica apare-
So!ución
(4)2
=
ce en la figura 7.
La propiedad óptica Una propiedad geométrica sencilLa de una paraboLa es La
base de muchas apLicaciones importantes. Si F es el foco y P es cualquier punto sobre
La paraboLa, La recta tangente en P forma ángulos iguaLes con FP y La recta GP, que es
paraLela al eje de La paraboLa (véase La figura 8). Un principio de la fIsica dice que
cuando un rayo de luz toca una superficie reflej ante, el angulo de incidencia es igual
al anguLo de reflexión. Esto impLica que, si una parabola se gira en torno de su eje para formar una capa reflej ante hueca, todos Los rayos de Luz que saLen del foco y tocan
La capa se reflejan hacia fuera, paralelos aL eje. Esta propiedad de La parabola se usa
en el diseflo de faros, con La fuente luminosa coLocada en el foco. RecIprocamente, se
usa en ciertos teLescopios donde los rayos paralelos que Llegan desde una estreLLa distante se enfocan en un solo punto.
= -8x
Figura 7
Figura 8
P(x0, y0)
4
Q(?, 0)
Figura 9
F(p, 0)
EJEMPLO 5
Demuestre La propiedad óptica de La paraboLa.
So!ución En La figura 9, sea QP Ia recta tangente en P y sea GP La recta paralela aL
eje x. Debemos mostrar que a = f3. Después de observar que L FQP = J3, reducimos
eL probLema a mostrar que eL triángulo FQP es isósceLes.
Primero obtenemos La coordenada x de Q. Al derivar y2 = 4px en forma impLIcita obtenemos 2y'y = 4p, de donde podemos concluir que La pendiente de La recta tangente en P(x0, y0) es 2p/y0. La ecuación de esta recta es
/
y - y0 =
Yo
- x0
520
CAPITUL0 12
COn icas y coordenadas polares
Al hacer y 0 y despejar a x tenemos y0 = (2p/y0)(x - x0), o
y/2p. Ahora, y = 4px0, lo que implica, x = x0; Q es decir, x = x0;
x - x0
Q tiene coordenadas (x0, 0).
Para mostrar que los segmentos FP y FQ tienen la misma longitud, usamos Ia
formula de la distancia
FP =
- 2x0p + p2 + 4px0
- p)2 + y =
=\/x+2x0p+p2=x0+p=FQ
(x0
El sonido obedece las mismas leyes de reflexión que Ia luz; se usan micrófonos parabólicos para elegir y concentrar sonidos de, por ejemplo, una parte distante de un estadio. Los radares y radio-telescopios también se basan en este principio.
Hay muchas otras aplicaciones de las parábolas. Por ejemplo, la trayectoria de un
proyectil es una parabola si se desprecia la resistencia del aire y otros factores menores. El cable de un puente colgante con carga uniforme toma la forma de una paráboIa. Con frecuencia, los arcos son parabOlicos. Las trayectorias de algunos cometas son
parabOlicas.
Repaso de conceptos
El conjunto de puntos P que satisfacen PF = e PL (es de-
3. La parabola y = x2 tiene foco
cir, Ia distancia al foco es igual a e por Ia distancia a la directniz) es una
elipse si
, una parabola si
y directriz
y una hipérbola si
La ecuación canónica de una parabola, con vértice en el ongen y que abre a Ia derecha, es
4. Los rayos de una fuente de luz en el foco de un espejo parabólico se reflejarán en una direcciOn
Conj unto de problemas 12.1
En los problemas 1-8, determine las coordenadas delfoco y la ecuacion de Ia directriz para cada parabola. Haga un bosquejo que muestre
laparábola, su foco y su directriz.
1. y2
4x
2. y2 = 12x
Determine Ia ecuaciOn de la parabola que pasa por el punto
5) si su vértice está en el origen y su eje está a lo largo del eje y.
Haga un bosquejo.
(6,
l6y
3. x2 = l2y
4. x2 =
5. y2 = x
6. y2 + 3x
7. 6y - 2x2 = 0
8. 3x2 -
0
=0
En los problemas 9-14, determine Ia ecuación canónica de cada parábola a partir de Ia informacion dada. Suponga que el vértice está en el
origen.
9. El foco está en (2, 0)
16. Determine la ecuación de la parabola que pasa por el punto
(-2, 4) si SU vértice está en el origen y su eje está a lo largo del eje x.
Haga un bosquejo.
10. La directriz es x = 3
11. La directriz es y - 2 = 0
12. El foco esta en (0, -
13. El foco está en (-4, 0)
14. La directriz es y =
15. Determine la ecuaciOn de Ia parabola con vértice en el ongen y eje a lo largo del eje x si la parabola pasa por el punto (3, 1).
Haga un bosquejo.
Determine Ia ecuación de la parabola cuyo vértice es el ongen y su eje es el eje y si la parabola pasa por el punto (-3, 5). Haga
un bosquejo.
En los problemas 19-26, determine las ecuaciones de Ia tangente y la
normal a Ia parabola dada en el punto dado. Bosqueje Ia parabola,
Ia tangente y Ia normal.
19. y2 = 16x, (1, 4)
20. x2 = 10y, (2V', 2)
21. x2 = 2y, (4, 8)
22. y2 = 9x, (-1, 3)
23. y2 = 15x, (-3, 3V)
24. x2 = 4y, (4, 4)
25. x2 = 6y, (3v', 3)
26. y2 = 20x, (2, 2'\/iiô)
SECCION 12.1
La pendiente de la tangente a la parabola
y2
5x en un cier-
to punto sobre Ia parabola es \//4. Determine las coordenadas de
ese punto. Haga un bosquejo.
La pendiente de Ia tangente a la parabola x2 = l4y en un
cierto punto sobre Ia parabola es 2\//7. Determine las coordena-
Determine la ecuación de la tangente a la parabola
= 18x que es paralela a la recta 3x - 2y + 4 = 0.
Cualquier segmento de recta que pase por e! foco de Ia parábola, cuyos extremos estén en la parabola, es una cuerda focal. Demuestre que las tangentes a una parabola en los puntos extremos de
cualquier cuerda focal se cortan en la directriz.
Demuestre que las tangentes a una parabola en los extremos de cualquier cuerda focal son perpendiculares entre si (véase el
problema 30).
Una cuerda de una parabola, perpendicular al eje y a 1 unidad del vértice tiene longitud de 1 unidad. ,Qué distancia hay del vér-
521
intersección del lado recto con Ia recta que pasa por R y que es paralela al eje. Determine FR + RG y observe que esta suma es constante.
Muestre que el conj unto de puntos equidistantes de un cIrcub y una recta fuera del cIrculo es una parabola.
Muestre que la cuerda focal de la parabola
das de ese punto.
y2
La parabola
puntos extremos (x1, y1) y (x2, y2) tiene longitud x1 +
y2
= 4px con
+ 2p. Use es-
to para el caso particular del cálculo de la longitud L del lado recto.
Para Ia parabola y2 = 4px de la figura 12, P es cualquiera
de sus puntos, excepto el vértice, PB es Ia recta normal, en P, PA es
perpendicular al eje de la parabola, y A y B están sobre el eje. Determine AB y observe que esto es constante.
tice a! foco?
Demuestre que el vértice es el punto de una parabola más
cercano al foco.
Un asteroide del espacio exterior es observado desde laTierra, y sigue una trayectoria parabólica con la Tierra en el foco. Cuando la ilnea de !a Tierra a! asteroide hace primero un angulo de 90°
con el eje de !a parabola, se calcula que el asteroide está a 40 millones de millas. L,Qué tanto se acercará ef'asteroide a la Tierra (véase e!
problema 33)? Considere a la Tierra como un punto.
CI 35. Resue!va el problema 34 suponiendo que el angulo mide 75°
en vez de 90°.
Los cables de la parte central de un puente colgante tienen
Ia forma de una parabola (véase el problema 41). Si las torres están
separadas por una distancia de 800 metros y los cables están unidos a
éstas en puntos que están a 400 metros arriba del suelo del puente,
cuál es la longitud del poste vertical que está a 100 metros de la torre? Suponga que el cable toca la parte inferior del puente en el punto medio del mismo (figura 10).
Figura 12
Considere Ia plataforma de un puente, con un peso de ö libras por pie lineal, sostenido por un cable, que suponemos de peso
despreciable en comparación con la plataforma. La sección de cable
OP desde el punto más bajo (el origen) y un punto general P(x, y)
aparecen en la figura 13.
Las fuerzas que actUan en esta sección del cable son
IEXP1
H = tension horizontal que jala en 0
T = tensiOn tangente en P
W=
= peso de x pies de la plataforma
Para lograr el equilibrio, los componentes horizontal y vertical de T
deben equilibrarse con H y W, respectivamente. AsI,
Tsen
= tan
Tcos4
=
H
Es decir,
dy
Figura 10
La cuerda focal perpendicular a! eje de una parabola es ellado recto. Para Ia parabola y2 = 4px en la figura 11, sea F el foco, R
cualquier punto sobre la parabola a la izquierda del lado recto, y G la
Figura 11
dx - H'
y(0) = 0
Resuelva esta ecuaciOn diferencial para mostrar que el cable cuelga
con la forma de una parabola. (Compare este resultado con el de un
cable suspendido, sin carga, del problema 53 de la sección 7.8.)
Figura 13
522
CAPITULO 12
COnicas y coordenadas polares
42. Considere la parabola y = x2 en el intervalo [a, b] y sean
c = (a + b)/2 el punto medio de [a, b], d el punto medio de [a, c] y
Muestre que A(T1) = (b - a)3/8.
Muestre que A(T2) = A(T1)/4.
Sea S el segmento parabólico determinado por la cuerda PQ.
Muestre que el area de S satisface
IEXPLI
e el punto medio de [c, b]. Sea T1 el triángulo con vertices sobre la parábola en a, c y b y sea T2 la union de los dos triángulos con vertices
en la parabola en a, d, c y c, e, b, respectivamente (figura 14). ContinUe construyendo triángulos de esta manera, obteniendo T3, T4,...
A(S) = A(T1) + A(T2) + A(T3) +
=
A(T1)
Este es un famoso resultado de ArquImedes, quien lo obtuvo sin
coordenadas.
Use estos resultados para mostrar que el area bajo y = x2 entre
aybesb3/3-a3/3.
43. ILustre los problemas 30 y 31 para la paraboLa y = x2 + 2
graficando (en la misma ventana de graficacion) la parabola, su directriz, su cuerda focal paralela al eje x y las rectas tangentes en los
extremos de la cuerda focal.
ICASI
a
d
e
b
x
Respuestas al repaso de conceptos:
1. e < 1; e = 1; e > 1
2. y2 = 4px 3. (0, 1); y = -1 4. paralela al eje
Figura 14
12.2
Elipses e hipérbolas
Recuerde que la cónica determinada mediante la condición PF = ePL ès una elipse si 0 < e < 1 y una hipérbola si e > 1 (véase La introducción a la sección 12.1). En
estos casoS, la cónica tiene dos vertices, que llamamos A'y A. El punto del eje mayor
a la mitad de La distancia entre A'y A es el centro de La cOnica. Las elipses y las hipérbolas son simétricas con respecto de sus centros (como demostraremos en breve) y por
tanto, se LLaman cónicas centrales.
Para deducir Ia ecuación de una cónica central, coLocamos el eje x a lo Largo del
eje mayor, con el origen en eL centro. Podemos suponer que el foco es F(c, 0), que la
directriz es x = k y los vertices son A'(-a, 0) y A(a, 0), con c, k y a positivos. Las dos
disposiciones posibles aparecen en las figuras 1 y 2.
Elipse (0 <e< 1)
Figura 1
x=k
Hiperbola (e>1)
Figura 2
Elipses e hipérbolas 523
SECCION 12.2
La condiciOn que define a La cOnica, PF = ePL, aplicada prirnero a P = A y
luego a P = A implica
a - c = e(k - a) = ek - ea
a + c = e(k + a) = ek + ea
Al despejar c y k en estas dos ecuaciones, obtenemos
a
c=ea
k=-e
y
Sea P(x, y) cualquier punto en la elipse (o hipérbola). Entonces, L(a/e, y) es su
proyección sobre la directriz (véase la figura 3 para el caso de La elipse). La condición
PF = ePL se convierte en
- ae)2 + y2 =
a2
e7(x
ej
Al elevar a! cuadrado ambos lados y agrupar términos, obtenemos la ecuaciOn equiva-
lente (por qué es equivalente?)
2a
x2-2aex+a2e2+y2e2x2
x+a2\
e
e2J
1
0
(1 - e2)x2 + y2 = a2(1 - e2)
0
2 + a2(1 - e2)
=1
Como esta ültima ecuación solo contiene potencias pares de x y y, corresponde a
una curva simétrica con respecto de los dos ejes y del origen. Además, debido a esta si-
metrIa, debe haber un segundo foco en (ae, 0) y una segunda directriz en x = a/e. El
eje que contiene a los dos vertices (y los dos focos) es el eje mayor, y el eje perpendicular a él (que pasa por el centro) es el eje menor.
EcuaciOn canOnica de Ia elipse
Parala elipse,0 <e < 1,de modo que (1 e2)
es positivo. Para simplificar la notación, sea b =
cién deducida asume la forma
a\/1
- e2. Entonces, la ecuación re-
2
x2
y
a2
b2
que se llama La ecuación canónica de una elipse. Como c = ae, los nOmeros a, b y c
satisfacen la relación pitagórica a2 = b2 + c2. En Ia figura 4, el triangulo rectángulo
sombreado exhibe La condición a2 = b2 + c2. AsI, el nOmero 2a es el diámetro mayor,
mientras que 2b es el diámetro menor.
Laelipse(O<e< 1)
Figura 4
524 CAPiTULO 12
COnicas y coordenadas polares
Considere el efecto de cambiar el valor de e. Si e está cerca de 1, entonces
b = aV'l - e2 es pequeño con respecto de a; Ia elipse es delgada y muy excéntrica.
Por otro lado, si e está cerca de 0 (cerca de la excentricidad nula), b es casi tan grande
como a; la elipse es gorda y bien redondeada (figura 5). En ci caso iImite cuando
b = a, la ecuación asume la forma
e cerca de I
x2
a
y
2
a
que es equivalente a x2 + y2 = a2. Esta es la ecuación de un cIrculo de radio a con centro en el origen.
e cerca de 0
Figura 5
Bosqueje la gráfica de
EJEMPLO 1
x2
36
+1
2
4
y determine sus focos y excentricidad.
Solución
Como a
6 y b = 2, calculamos
c=\/a2_b2=\/36_4=4\/5.66
Los focos están en (±c, 0) = (±4, 0), y e = c/a
4
36
0.94. La grafica se bosqueja
en la figura 6.
Las elipses bosquejadas hasta ahora se liaman elipses horizontales porque ci eje
mayor es ci eje x. Si intercambiamos los papeles de x y y, tenemos ia ecuación de una
elipse vertical:
Figura 6
y2
a2
EJEMPLO 2
+=1
x2
x2
0
b2
b2
+
y2
a2
=1
Bosqueje la gráfica de
x2
16
2
+
25
=1
y determine sus focos y excentricidad.
Solución El cuadrado mayor está ahora bajo y2, lo que nos dice que el eje mayor es
vertical. Observando que a = 5 y b = 4, concluimos que c = \/25 - 16 = 3. AsI, los
focos son (0, ±3), y e = c/a = = 0.6 (figura 7).
EcuaciOn canOnica de Ia hipérbola Para la hipérbola, e> 1 y en cosecuencia e2 - 1 es positivo. Si b a\./e2 - 1, entonces ia ecuación x2/a2 + y2/(l - e2)
a2
6
1, que dedujimos antes, asume la forma
25
Figura 7
x2
),2
a2
b2
Esto se iiama la ecuación canónica de una hipérbola. Como c ae, ahora obtenemos
c2 = a2 + b2. (Observe que esto difiere de la relación correspondiente para una eiipse.)
Para interpretar b, observe que si despejamos y en términos de x, obtenemos
y = ± - Vx - a2
Para x grande, x, Vx2 - a2 se comporta como x (es decir, (Vx2 - a2 - x)
cuando x
,0
oc; véase ci problema 38) y por tanto y se comporta como
y=x 0 yx
b
b
Más precisamente, la gráfica de Ia hipérboia dada tiene estas dos rectas como asIntotas.
SECCION 12.2
Elipses e hipérbolas 525
Los hechos importantes para Ia hipérbola se resumen en Ia figura 8. Como en ci
caso de la elipse, existe un triánguio rectánguio importante (sornbreado en el diagrama) con catetos a y b. Este triángulo fundamental determina el rectángulo con centro
en el origen que tiene lados de longitud 2a y 2b. Las diagonales extendidas de este rectángulo son las asIntotas arriba mencionadas.
Lahipérbola(e> 1)
ÀY
a2
Y=
X
b2
C2 = a2 +
b2
. F(c,0)
F'(c, 0)
e= a
x
(1,
Figura 8
EJEMPLO 3
Bosqueje la gráfica de
x2
1
16
9
mostrando las asIntotas. ,Cuáles son las ecuaciones de las asIntotas? ,Cuáles son los focos?
Solución Primero determinamos ci triangulo fundamental; tiene como cateto horizontal 3 y como cateto vertical 4. Después de dibujarlo, podemos indicar las asIntotas y
bosquejar la gráfica (figura 9). Las asintotas son y
\/a2 + b2
\/9 + 16
xyy
- x. Como c
5, los focos están en (+5, 0).
Dc nuevo, debemos analizar ci efecto de intercambiar los papeles de x y y. La ecuaciOn asume la forma
Figura 9
y2
x2
a2
b2
ÀY
F
Esta es la ecuación de una hipdrbola vertical (eje mayor vertical). Sus vertices están en
(0, ±a); sus focos están en (0, ±c).
Para la elipse y la hipérbola, a siempre es la distancia dcl centro a un vértice. Para
la elipse, a > b; para Ia hipérbola, no hay tal rcquisito.
EJEMPLO 4
Determine los focos de
x2
-- + y
4
2
9
1
y bosqueje su gráfica.
Solución Notamos de inmediato que ésta es una hipérbola vertical, determinada
// -2--
por el hecho de que el signo más se asocia al término a 3, b = 2, y
c
\/9 + 4 \/13 3.61. Los focos están en (0, +\/13) (figura 10).
Aplicaciones
. F,
/
/
4+4 = 1 '
// /
Figura 10
Dc acuerdo con Johannes Kepler (1571-1630), los planetas giran alrededor dcl Sol en Orbitas elIpticas, con el Sol en uno de sus focos. Otros ejemplos de
órbitas elIpticas son los satélites que orbitan la Tierra y los electrones que orbitan al
nCcleo de un átomo.
La maxima distancia de la Tierra al Sol es 94.56 millones de millas y su
minima distancia es 91.45 milloncs dc millas. ,Cuál es la excentricidad de la órbita?
,Cuáles son los diámetros mayor y menor?
EJEMPLO 5
526 CAPiTuL0 12
Cónicas y coordenadas polares
Solución Usamos la notación en la figura 11 y vemos que
a - c = 91.45
a + c = 94.56
Al despejar a y c en estas eduaciones, obtenemos a = 93.01 y c = 1.56. AsI,
e= £
a
1.56
93.01
0.017
y los diámetros mayor y menor (en millones de millas) son, respectivamente,
2a
Figura 11
186.02
2b = 2\/a2 - c2
185.99
U
Existen otras aplicaciones de las elipses y las hipérbolas que surgen de las propiedades Opticas de estas durvas; analizaremos esto en la siguiente sección.
Repaso de conceptos
La ecuación canónica de la elipse horizontal con centro en (0,
0) es
La ecuación canónica de la hipérbola horizontal con centro
en (0,0) es
La ecuación en xy de la elipse vertical con centro en (0,0) que
tiene diámetro mayor 8 y diámetro menor 6 es
La hipérbola x2/9 - y2/4 = 1 tiene asintotas
Conj unto deproblemas 12.2
En los problemas 1-8, dé el nombre de Ia cónica (elipse horizontal, hi-
Hipérbola con asIntotas 2x ± 4y = 0 y un vértice en (8,0)
pérbola vertical y asI sucesivamente) correspondiente a la ecuación
dada.
Hipérbola vertical con excentricidad \//2 que pasa por (2,4)
2.=1
3.+-=1
4.+-=1
Elipse con focos (±2, 0) y directrices x = ±8
Hipérbola con focos (±4, 0) y directrices x = ±1
Hipérbola cuyas asIntotas son x ± 2y = 0 y que pasa por el
punto (4, 3)
5.+=0
7. 9x2 +
=9
Elipse horizontal que pasa por (-5, 1) y (-4, 2)
8. x2 - 4y2 =
4
En los problemas 9-16, bosqueje Ia grafica de Ia ecuación dada, mdicando sus vertices, sus focos y, si es una hipérbola, sus asIntotas.
Una entrada tiene Ia forma de un arco elIptico (una semielipse) tiene 10 pies de ancho y 4 pies de altura en el centro. Una caja de 2 pies de alto debe pasar por la entrada. i,Qué tan ancha puede
ser la caja?
10.-=1
LQué tan alto es el arco del problema 31 a una distancia de
2 pies a la derecha del centro?
12.-+-=1
,Qué tan largo es el lado recto (cuerda que pasa por un foco, perpendicular al eje mayor) para la elipse x 2/a 2 + y2/b2 = 1?
13. 16x2 + 4y2 = 32
14. 4x2 + 25y2 = 100
de la hipérbola x2/a2 -
15. lOx2 -
16. x2 -
9.g+-=1
= 100
=8
En los problemas 17-30, determine la ecuación de Ia cónica central
dada.
Elipse con un foco en (-3, 0) y un vértice en (6,0)
Elipse con un foco en (6, 0) y excentricidad
Elipse con un foco en (0, 5) y excentricidad
Elipse con un foco en (0, 3) y diámetro menor 8
Elipse con un vértice en (5, 0) y que pase por (2, 3)
Hipérbola con un foco en (5, 0) y un vértice en (4, 0)
Hipérbola con un vértice en (0, 4) y un foco en (0, 5)
Hipérbola con un vértice en (0, 3) y excentricidad
Determine la longitud del lado recto (véase el problema 33)
= 1.
IC' 35. El cometa Halley tiene una Orbita elIptica con diámetros mayor y menor de 36.18 UA y 9.12 UA, respectivamente (1 UA es una
unidad astronómica, la distancia media de la Tierra al Sol). i,Cuál es
su distancia minima al So! (suponiendo que el Sol esth en un foco)?
C
36. La Orbita del cometa Kohoutek es una e!ipse con excentrici-
dad e = 0.999925 con el Sol en un foco. Si su distancia minima
al Sol es 0.13 UA, cuál es su distancia maxima al So!? Véase el problema 35.
C' 37. En 1957, Rusia lanzó el Sputnik I. Su órbita elIptica en torno de la Tierra alcanzó sus distancias maxima y minima a la Tierra de
583 y 132 millas, respectivamente. Suponiendo que e! centro de la Tierra es un foco y que la Tierra es una esfera con 4000 mi!las de radio,
determine la excentricidad de la órbita.
Más sobre elipses e hipérbolas 527
SECCION 12.3
-
Muestre que (\/x2 a2 - x) -> 0 cuando x
gerencia: Racionalice el numerador.
oo. Su-
Para una elipse, sean p y q las distancias de un foco a los dos
vertices. Muestre que b = Vpq, donde 2b es el diámetro menor.
La rueda de Ia figura 12 gira a t radianes/segundo, de modo
que Q tiene coordenadas (a cos t, a sen t). Determine las coordenadas
(x, y) de R en el instante t y muestre que recorre una trayectoria elIptica. Nota: PQR es un triángulo rectángulo cuando P
y R Q.
Sea P un punto en una escalera de longitud a + b, donde P
está a a unidades del extremo superior. Conforme Ia escalera se desliza con su extremo superior en el eje y y su extremo inferior en el eje
x, P describe una curva. Determine Ia ecuaciOn de esta curva.
Muestre que una recta que pasa por un foco de una hipérbola y perpendicular a una asIntota interseca esa asIntota en la directriz
más cercana al foco.
Si una hipérbola horizontal y una hipérbola vertical tienen las
mismas asIntotas, muestre que sus excentricidades e y E satisfacen
e2 + E2
ty
= 1.
Sea C la curva de intersección de un cilindro circular recto y
un plano que forma un ángulo 4) (0 < 4) < ir/2) con el eje del cilindro. Muestre que C es una elipse.
EXPLI 45. En el mismo conjunto de ejes, trace las cOnicas
±(ax2 + 1)1/2 para 2 x 2 y 2 < y <2 usando a = 2,i,
0.5, 0.1, 0, 0.1, 0.6, 1. Haga una conjetura acerca del modo en que
I GC
y =
x
Ia forma de la figura depende de a.
Respuestas al repaso de conceptos:
2. x2/9
+ y2/16 =
3. x2/a2 - y2/b2 =
1
1. x2/a2 + y2/b2
1
4.
Figura 12
12.3
Más sobre elipses e
hipérbolas
I)
f
)
Elipse:
PF'
+ PP =
2a
Figura 1
En Ia sección 12.1 dimos la definición de excentricidad de la elipse y la hipdrbola. La
condición PF
ePL determina una elipse si 0 < e < 1 y una hipérbola si e > 1.
Esta definiciOn nos permitiO considerar a eStaS dos curvas de manera unificada. Muchos autoreS prefieren preSentar eStaS curvas por medio de las SiguienteS definiciones
alternativas.
Una elipse es el conjunto de todos los puntos P en el piano tales que la suma de
sus distancias a dos puntos fijos (los focos) es una constante positiva dada 2a.
Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos P en el plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (los focos) es una constante positiva dada 2a.
En este caso, la palabra diferencia se considera como la distancia mayor menos la distancia menor.
Para interpretar estas definiciones geométricamente, estudie las figuras 1 y 2. Para la
elipse, imagine una cuerda de longitud 2a clavada en sus dos extremos. Si un lápiz estira
la cuerda, con su punta en P, éste se puede usar para trazar la elipse (véase también el
problema 29). Nos referimos a las propiedades descritas en las nuevas definiciones como
las propiedades cordales de la elipse y la hipérbola. Para nosotroS, estas propiedades deberlan ser consecuencia de Ia definición con excentricidad. Ahora las deduciremos.
DeducciOn de las propiedades cordales
Hipérbola:
Figura 2
IPF'IIPFII =2a
En la secciOn 12.2 señalamos que la
elipse y la hipdrbola tienen dos focos y dos directrices. Cuando tal curva se coloca en
el sistema de coordenadas con el eje mayor a lo largo del eje x y el centro en el origen,
los focos tienen coordenadas (+ae, 0) y las directrices tienen ecuaciones x = +a/e. Estos hechos se indican en la figura 3.
AY
P(x, v)
F(ae, 0)
a
x
O<e<1
a
x=--a
a
e>1
528
CAPITULO 12
Cónicas y coordenadas polares
Si consideramos un punto arbitrario P(x, y) sobre la elipse, entonces, de la condi-
ción PF = e PL aplicada primero a! foco y a Ia directriz de la izquierda y luego a
los correspondientes de la derecha, obtenemos
PF'
\\
(a
PF=et--x
=aex
e
/
a
e(x + - = ex + a
ej
y asI
PF' + PF = 2a
Ahora, consideremos la hipérbola con P(x, y) en su rama derecha, como se milestra en la parte derecha de Ia figura 3. Entonces
7
=ex+
a
e)
(
a'\
PF=etx-ej =exa
ex + a
\
y entonces PF' - PF
2a. Si P(x, y) hubiese estado en la rama izquierda, tendrIamos 2a en vez de 2a. En cualquier caso,
- PF = 2a
EJEMPLO 1 Determine la ecuaciOn del conjunto de puntos tales que la suma de sus
distancias a (±3, 0) es igual a 10.
So!ución Esta es una elipse horizontal con a = 5 y c = 3. AsI, b = \/a2
y la eduación es
x2
25
-
= 4,
,2
+
16
.
=1
EJEMPLO 2
Determine la ecuación del conjunto de puntos tales que la diferencia de
sus distancias a (0, ±6) es igual a 4.
Esta es una hipérbola vertical
- a2 = 32 = 4, y la ecuación es
So!ución
c2
x2
32
Lentes
Las propiedades ópticas de las cónicas
han sido utilizadas en la elaboración
de lentes durante cientos de aflos. Una
innovación reciente es la introducción
de lentes variables para reemplazar
los lentes bifocales en los anteojos.
Comenzando por la parte superior,
estos lentes se pulen de modo que la
excentricidad varle continuamente
de e < 1 a e 1 a e > 1, produciendo entonces secciones transversales
horizontales que van de elipses a
parábolas e hipérbolas, de modo que
se permita una vision perfecta de los
objetos a cualquier distancia,
moviendo en forma adecuada la
cabeza.
con a
2
y
c = 6. AsI, b
+=1
.
y2
4
Propiedades Opticas Considere dos espejos, uno con la forma de una elipse y ci
otro con la forma de una hipérbola. Si un rayo de luz que emana de un foco toca al espejo, se reflejaré hacia el otro foco en el caso de la elipse y alejándose del otro foco en
ci caso de Ia hipérbola. Estos hechos aparecen en Ia figura 4.
Recta
tangente
Recta
tangente
F'(-c, 0)
c =j9
=8
Figura 4
Para demostrar estas propiedades Opticas (es decir, para mostrar que a = /3 en
ambas partes de la figura 4), suponemos que las curvas están en posición canónica, de
Más sobre elipses e hipérbolas 529
SECCION 12.3
modo que sus ecuaciones son x2/a2 + y2/b2 = 1 y x2/a2 - y2/b2 = 1, respectivamente. Para la elipse, derivamos de manera impilcita y luego sustituimos (x0, y0), obteniendo asI La pendiente m de la recta tangente.
2x
+
=0
a2
b2
b2 x
=-;
m=----a2yo
La eduación de la recta tangente se puede escribir como
b2 x0
YYo=
Xoi
Yo
- xo) +
a2
xox
+
+
a2
b2
(x0)
- Yo) = 0
yoy
a2
2
a Yo
b2
=1
Una deducción similar para Ia hipérbola conduce a resultados similares, que resumimos en Ia siguiente tabla.
Hipérbola
Elipse
x2
Ecuación
-
Pendiente de la tangente en (x0,
m
0)
xox
EcuaciOn de Ia tangente en (x0, y0)
a2
+=1
x2
y2
b2x0
yoy
b2
=1
b2x0
m
= a2y0
+
y2
---
b2
XoX
=1
a2
= a2y0
YoY_1
b2 -
Para calcular tan a para la elipse, recordamos (problema 40 de la sección 2.3) una
formula para la tangente del ángulo medido en el sentido contrario al de las manecillas del reloj desde una recta a otra recta en términos de sus pendientes respectivas m1 y m:
tana =
Yo - 0
Xo - c
a2y0
tan a
1+
1 + mm1
La recta FP y la recta tangente en P. Entonces
Ahora nos referimos a La figura 4 y sea
b2x0
rnrn1
(b2xo(Yo
\.
0
a Yo / \X0 - C/
b2cx0 - (b2x + a2y)
- (a2
b2xo(xo - c) - a2y
a2yo(xo - c) - b2x0y0
b2cx0 - a2b2
- b2)xo Yo - a2 cy0 - C2 X0 )'
b2(cxo - a2)
b2
cy0(cx0 - a2)
cyo
- a2 c'0
El mismo cálculo con c en vez de c da
b2
tan(f3) = cyo
de modo que tan /3 = b2/cy0. Concluimos que tan a = tan /3, y en consecuencia, a = /3.
Una deducciOn similar establece el resultado correspondiente para la hipérbola.
530 CAPITULO 12
COnicas y coordenadas polares
Foco comün
de Ia parabola
y la hipérbola
F
Espejo
I
,' \ hiper\bólico
F'
Espejo
Otro foco
parabólico
de Ia hipérbola
Telescopio de reflexión
Aplicaciones
La propiedad de reflexión de la elipse es la base del efecto de Ia galerIa de murmullos que se puede observar, por ejemplo, en el Capitolio de Estados Unidos, el Tabernáculo de los Mormones y muchos museos de ciencia. Un orador parado
en un foco se puede escuchar como un murmullo por otra persona en el otro foco, aunque su voz no sea audible en otras partes del cuarto.
Las propiedades ópticas de la parabola y la hipérbola se combinan en el diseflo de
un telescopio de reflexión (figura 5). Los rayos paralelos de una estrella se concentran
finalmente en el ocular en F
La propiedad cordal de la hipérbola se usa en navegaciOn. Un barco en el mar puede determinar la diferencia 2a en su distancia a dos transmisores fijos midiendo la diferencia en los tiempos de recepciOn de seflales de radio sincronizadas. Esto coloca su
trayectoria en una hipérbola, con los dos transmisores F y F'como focos. Si se usa otra
pareja de transmisores G y G el barco debe estar en Ia intersección de las dos hipérbolas correspondientes (véase la figura 6). LORAN, un sistema de navegaciOn de largo alcance, se basa en este principio.
Figura 5
Barco
Figura 6
Repaso de conceptos
Una elipse es el conjunto de puntos P que satisfacen
PF + PF' = 2a, donde F y F'son puntos fijos Ilamados
Un rayo que emana de una fuente de Iuz en el foco de Ufl
pejo elIptico se reflejará
es-
de Ia elipse.
De manera analoga, una hipérbola es el conjunto de puntos
P que satisfacen
Un rayo que emana de una fuente de luz en el foco de Ufl Cspejo hiperbOlico se reflejará
Conjunto de problemas 12.3
En los problemas 1-4, determine Ia ecuaciOn del conjunto de puntos
P que satisfacen las condiciones dadas:
La suma de las distancias de P a (0, ±9) es 26.
2
x2
27
9
2
x2
La suma de las distancias de P a (±4, 0) es 14.
La diferencia de las distancias de P a (+7, 0) es 12.
La diferencia de las distancias de P a (0, +6) es 10.
En los pro blemas 5-12, determine Ia ecuación de la recta tangente a Ia
curva dada en elpunto indicado.
+=1en(3,V)
5
x
6.
y
+-
= len(3 2,-2)
x2
x2
ien(,V)
+ y2 = 169
=
-
Cfl
(5, 12)
en (,
)
La curva del problema 1 en (0, 13)
La curva del problema 2 en (7, 0)
Si dos rectas tangentes a la elipse 9x2 + 4y2 = 36 intersecan
al eje y en (0, 6), determine los puntos de tangencia.
Si las rectas tangentes a la hipérbola 9x2 - y2 = 36 intersecan at eje y en (0, 6), determine los puntos de tangencia.
SECCION 12.4
-
- 35 = 0
en dos puntos de La hipérbola es - . LCuáles son las coordenadas de
Los puntos de tangencia?
Determine las ecuaciones de las tangentes a La elipse
-2
x2 + 2y2
0 que son paralelas a la recta
3x - 3V2y - 7
= 0
Determine el area de La elipse b2x2 + a2y2
a2b2.
Determine el volumen del sOLido obtenido aL girar la elipse
= a2b2 en torno del eje y.
b2x2 + a2y2
La region acotada por la hipérbola
una parabola y una elipse, en vez de una parabola y una hipérbola, como en el texto.
Una bola colocada en un foco de una mesa de billar eLIptica
se golpea con una fuerza tremenda, de modo que continua rebotando en las orillas de manera indefinida. Describa su trayectoria. Sugerencia: Haga un dibujo.
Si La bola del problema 26 está inicialmente en el eje mayor
entre un foco y el vértice más cercano a éste, ,qué puede decir acerca de su trayectoria?
Muestre que una elipse y una hipérbola con Los mismos focos se intersecan en angulos rectos. Sugerencia: Trace una figura y use
las propiedades ópticas.
Describa un aparato cordal para construir una hipérbola.
b2x2 - a2y2 = a2b2
y una recta vertical que pasa por un foco se gira en torno del eje x. Determine el volumen del sólido resultante.
Si La elipse del problema 18 se gira en tomb del eje x, determine el volumen del sólido resultante.
Determine Las dimensiones del rectángulo con La mayor area
posible que puede inscribirse en la elipse b2x2 + a2y2 = a2b2. Suponga que Los Lados del rectánguLo son paralelos a los ejes de la elipse.
Muestre que el punto de contacto de cualquier tangente a
una hipérbola está a La mitad de la distancia entre Los puntos donde
la tangente interseca a las asIntotas.
Determine el punto del primer cuadrante donde las hipérbo= 225 y 25x2 + l8y2 450 se intersecan.
las 25x2 Determine los puntos de intersección de x2 + 4y2 = 20 y
x + 2y =
531
Bosqueje un diseflo de un telescopio de reflexión que use
La pendiente de la tangente a la hipérbola
2x2
TraslaciOn de ejes
(Hay varias posibilidades.)
El sonido viaja a u pies/segundo y una bala de un rifle a v
pies/segundo. El sonido del disparo de un rifle y el impacto de Ia baIa en el blanco se escucharon simultáneamente. Si el rifle estaba en
A(c, 0), el blanco en B(c, 0) y la persona que escucha estaba en P(x,
y), determine la ecuación de La curva donde está P (en términos de u,
vyc).
Tres personas situadas en A(-8, 0), B(8, 0) y C(8, 10) registraron los instantes exactos en que escucharon una explosiOn. Si B y
C escucharon La explosion al mismo tiempo y A la escuchó 12 segundos despuds, ,dOnde fue La explosion? Suponga que las distancias estan dadas en kilómetros y que el sonido viaja a kilometro/segundo.
Respuestas del repaso de conceptos: 1. focos.
3. hacia el otro foco
= 2a
2.
PF-
4. alejándose del otro foco
6.
1 2.4
Traslación de ejes
Hasta ahora hemos colocado las cónicas en un sistema de coordenadas de un modo
muy especial, con el eje mayor a lo largo de uno de Los ejes de coordenadas y con el
vértice (en el caso de una parabola) o el centro (en el caso de una elipse o una hipérbola) en el origen. Ahora colocaremos nuestra cOnica en una posición más general,
aunque seguiremos pidiendo que el eje mayor sea paralelo a uno de Los ejes de coordenadas. En la sección 12.5 eLiminaremos esta restricciOn.
El caso de un cIrculo es instructivo. El cIrculo de radio 5 con centro en (2, 3) tiene
la ecuación
(x-2)2+ (y-3)2=25
o bien, en la forma desarrollada equivalente,
x2 + y2 - 4x -
= 12
El mismo cIrculo con su centro en el origen del sistema de coordenadas uv (figura 1) tiene la sencilla eduación
(x-2)2+(y-3)2=25
0
+
Figura 1
= 25
U2
+ v2 = 25
La introducción de los nuevos ejes no cambia la forma o el tamaflo de una curva, pero
puede simplificar en gran medida su ecuación. Queremos estudiar esta traslación de
ejes y el cambio de variable correspondiente en una ecuación.
532
COn icas
CAPITULO 12
y
P(x. v)
---- P(u.
4
(h, k)
U
x
;)
y coordenadas polares
Traslaciones
Si se eligen nuevos ejes en el piano, cada punto tendrá dos conjuntos
de coordenadas: las coordenadas (x, y) con respecto de los ejes anteriores y las coordenadas (u, v) con respecto de Los nuevos ejes. Se dice que ias coordenadas originaies
sufren una transformación. Si los nuevos ejes son paralelos, respectivamente, a los ejes
originales, y tienen las mismas direcciones, ia transformación es una traslación de ejes.
La figura 2 muestra La reLación entre las nuevas coordenadas (u, v) y las anteriores (x, y). Si (h, k) son las coordenadas anteriores del nuevo origen, entonces
Figura 2
u =
x - h,
v =
y-k
o, en forma equivaiente,
x=u+h,
EJ EM PLO
y=v+k
Determine las nuevas coordenadas de P(-6, 5) después de una traslación
de ejes a un nuevo origen en (2, 4).
1
Solución Como h = 2 y k
= 4, tenemos que
u=xh=-6-2=-8 vyk=5(-4)=9
Las nuevas coordenadas son (-8, 9).
EJEMPLO 2 Dada laecuación4x2 + y2 + 40x-2y + 97 = O,determinelaecuación
de su gráfica después de una traslación con el nuevo origen (-5, 1).
Solución En la ecuación, reemplazamos x por u =+ hu - Sy y por v + k = v + 1.
Obtenemos
4(u-5)2+(v+1)2+40(u-5)-2(v+1)+97=o
0
4u2-40u+100+v2+2v+1+40u-200-2v_2+97=o
Esto se simplifica como
4u2 + V2 = 4
0
u2 + 4
=
1
lo que reconocemos como La ecuaciOn de una elipse.
Completar el cuadrado
Dada una ecuación compleja de segundo grado, ,cómo
sabemos cuái traslaciOn la simplificará y llevará a una forma reconocible? Podemos
completar el cuadrado para eliminar los términos de primer grado de cualquier expresión de la forma
Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=O,
EJEMPLO 3
AO, CO
Haga una traslación que eLimine los términos de primer grado de
4x2+9y2+8x-90y+193=O
y use esta información para bosquejar la gráfica de la ecuación dada.
Solución Recuerde que para completar el cuadrado de x2 + ax debemos agregar
a2/4 (el cuadrado de La mitad del coeficiente de x). Usamos esto para reescribir La ecuación dada, sumando Los mismos nOmeros a ambos Lados.
SECCION 12.4
) + 9(y2 - lOy
4(x2 + 2x
Traslación de ejes 533
193
)
4(x2 + 2x + 1) + 9(y2 - lOy + 25) = 193 + 4 + 225
4(x+1)2+9(y5)236
(x+1)2
9
+
(y-5)2
4
=1
La traslaciOn u = x + 1 y v = y - 5 transforma esto en
u2
v2
9
4
que es la forma canónica de una elipse horizontal. La gráfica aparece en la figura 3.
EJEMPLO 4
U
Use una traslación para simplificar
y2 - 4x - l2y + 28 = 0
Luego, determine la cOnica que representa, enumere las caracterIsticas importantes de
esta cónica y bosqueje su grafica.
Solución
Completamos el cuadrado.
y2 - l2y = 4x - 28
y2-12y+36=4x28+36
(y - 6)2 = 4(x + 2)
La traslación u = x + 2, v = y 6 transforma esto en v2 = 4u, que reconocemos como
una parabola horizontal que abre hacia la derecha, con p = 1 (figura 4).
Ahora plantearemos una pregunta importante. ,Será cierto que Ia gráfica de una ecuación de Ia forma
Ecuaciones genera les de segundo grado
Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0
es siempre una cónica? La respuesta es no, a menos que admitamos ciertas formas iimite. La siguiente tabla indica las posibilidades, con una ecuación muestra para cada una.
Cónica
Formas Ilmite
1. (AC = 0) Parabola: y2 = 4x
Rectas paralelas: y2= 4
Una recta: y2= 0
Conjunto vacIo: y2= 1
CIrculo: x2+y2= 4
2. (AC>0)Elipse:
9
4
0
Punto: 2x2+y2= 0
Conjunto vacIo: 2x2 + y2 = 1
=
Rectas que se intersecan: X
x2
3. (AC < 0) Hipérbola: --
x2
-
=0
AsI, las gráficas de la ecuación cuadrática general anterior caen en tres categorlas
genéricas, aunque dan nueve posibilidades distintas, incluyendo formas ilmite.
EJEMPLO 5
Use una traslación para simplificar
4x2
y bosqueje su gráfica.
-
- 8x -
-5=0
534 CAPITULO 12
Cónicas y coordenadas polares
Solución
y
Reescribimos la ecuación como sigue:
4(x2
-2
)=s
)(y2+6y
- 2x
4(x2_2x+1)_(y2+6y+9)=5+4_9
-
2u-=O
4(x-1)2(y+3)2=O
Sean u = x - 1 y v = y + 3, lo que produce
2it+ p=O
4u2 -
=0
0
(2u - v)(2u + v) = 0
Figura 5
Esta es Ia ecuación de dos rectas que se cortan (figura 5).
EJEMPLO 6 Escriba la ecuación de una hipérbola con focos en (1, 1) y (1,11) y vértices en (1,3) y (1,9).
Solución
El centro es (1, 6), a la mitad entre los vertices de un eje mayor vertical. AsI,
a = 3yc = 5,demodoqueb = \/c2 - a2 = 4. Laecuaciónes
Resu men
(y-6)2
(x-1)2
9
16
=1
.
Considere la ecuación general
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Si A y C se anulan, tenemos la ecuación de una recta (siempre que, por supuesto, D y
E no se anulen simultáneamente). Si al menos uno de los valores A y C es distinto de
cero, podemos aplicar el proceso de completar el cuadrado. Obtenemos una de varias
formas, siendo las más tIpicas
(y - k)2 = ±4p(x - h)
(xh)2 (yk)2
a2
+
b2
(xh)2
(yk)2
a2
b2
=1
-
Estas se pueden reconocer ya en esta forma como las ecuaciones de una parabola horizontal con vértice en (h, k), una elipse horizontal (si a2 > b2) con centro en (h, k) y
una hipérbola horizontal con centro en (h, k). Pero para eliminar cualquier duda, podemos trasladar los ejes mediante las sustituciones u = x - h, v = y - k para obtener
= +4pu
u2
v2
a2
b2
u2
v2
a2
b2'
Nuestro trabajo también puede producir esta ecuaciones con u y v intercambiados, o
bien obtener una de las seis formas lImite ilustradas en la tabla anterior al ejemplo 5.
No hay más posibilidades.
SECCION 12.4
Traslación de ejes 535
Repaso de conceptos
La forma cuadrática x2 + ax se convierte en un cuadrado al
sumar
3. Además del cIrculo, la elipse, la parabola y la hipérbola, otras
gráficas posibles para una ecuación de segundo grado en x y y son
x2 + 6x + 2(y2 - 2y) = 3 es equivalente (después de corn, que es la
pietar el cuadrado) a (x + 3)2 + 2(y - 1)2 =
4.
ecuación de una
La grafica de 4x2 -
= 0 consta de
Conjunto de problemas 12.4
Determine Ia distancia entre los vertices de
En los problemas 1-16, dé elnombre de Ia cónica oforma lImite representada por la ecuaciOn dada. Por lo general, deberá usar el proceso para completar el cuadrado (véanse los ejemplos 3-5).
9x2 + 18x + 4y2 + 24y =
Determine los focos de Ia elipse
1.x2+y2-2x+2y+iO
2. x2 + y2 + 6x - 2y + 6 =
16(x - 1)2 + 2S(y + 2)2 = 400
0
Determine el foco y directriz de Ia parabola
3.9x2+4y2+72xl6y+l24O
4.
x2 - 6x + 4y + 3
16x2 - 9y2 + 192x + 90y - 495 =
En los problemas 35-44, determine la ecuaciOn de la cónica dada.
16x2 + 9y2 + 192x + 90y + 1000
-6
Elipse horizontal con centro (5, 1), diámetro mayor 10, diámetro menor 8
0
Hipérbola con centro (2, 1), vértice en (4, 1) y foco en
= 0
(5,i)
8.4x2+4y2+8x-28yll=O
3x2 + 3y2 - 6x + l2y + 60 =
4x2 -
- 2x + 2y + 1
Parabola con vértice (2, 3) y foco (2, 5)
0
Elipse con centro (2,3) que pasa por (6, 3) y (2, 5)
= 0
Hipérbola con vertices en (0,0) y (0, 6) y un foco en (0, 8)
11.4x2-4y2+8x+12yS=O
4x2 - 4y2 + 8x + l2y - 6 =
4x2 - 24x + 36 =
0
4x2 - 24x + 35 =
0
Elipse con focos en (2, 0) y (2, 12) y un vértice en (2, 14)
Parabola con foco (2, 5) y directriz x = 10
0
Parabola con foco (2, 5) y vértice (2, 6)
Elipse con focos (+2, 2) que pasa por el origen
25x2 + 4y2 + 150x - 8y + 129 =
0
4x2 - 25y2 - 8x + iSOy + 129 =
0
Hipérbola con focos (0, 0) y (0,4) que pasa por (12, 9).
Una curva C que pasa por los tres puntos (-1, 2), (0, 0) y
(3, 6). Determine una ecuación para C si C es
En los problemas 17-30, bosqueje la grafica de Ia ecuaciOn dada.
(x+3)2
4
+
(y+2)2
16
(y + 2)2
(x + 3)2
16
24
4
+
una parabola horizontal;
=1
un cIrcuio.
=1
21. (x + 2)2 =
23. (y - 1)2 =
4(x + 3) = (y + 2)2
22. (x + 2)2 4
(x+3)2
una parabola vertical;
4)2 = 25
(x + 3)2 + (y
(y-2)2
8
= 0
0
5.9x2+4y2+72xl6y+l6OO
y2 - 5x -
9
=0
25.x2+4y2-2x+i6y+lO
16
1)
es constante).
Dé el nombre de la cOnica y2 = Lx + Kx2 de acuerdo con
el valor de K y luego muestre que en cada caso L es la longitud del
lado recto de Ia cónica. Suponga que L 0.
Muestre que las ecuaciones de la parabola y la hipérbola con
vértice (a, 0) y foco (c, 0), c > a > 0, se pueden escribir como
26.25x2+9y2+lSOxi8y+9O
27. 9x2 - l6y2 + 54x + 64y - 127 =
-
46. Los extremos de una cuerda elástica con un nudo en K(x,
y) se unen a un punto fijo A(a, b) y un punto P en la orilla de una
rueda de radio r con centro en (0, 0). Al girar la rueda, K describe
una curva C. Determine la ecuación para C. Suponga que Ia cuerda
KP/AP
permanecetensayseestirauniformernente(esdecir,a
0
28.x2-4y2-14x32yll0
= 4(c - a)(x - a) y y2 = (b2/a2)(x2 - a2), respectivamente. Entonces use estas expresiones para y2 y muestre que la parabola siempre
esta "dentro" de Ia rama derecha de Ia hipérbola.
29.4x2+16x-16y+320
x2 - 4x + 8y =
0
Determine el foco y directriz de la parabola
-
- lOx
= 0
1. a2/4 2. 14; elipse
Respuestas al repaso de conceptos:
3. una recta, rectas paralelas, rectas que se cortan, un punto, el
conjunto vaclo
4. rectas que se cortan
536 CAP1TULO 12
COn icas y coordenadas polares
12.5
RotaciOn de ejes
Considere Ia ecuaciOn más general de segundo grado en x y y:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
La nueva caracterIstica es la aparición del término del producto cruzado Bxy. ,Sigue
siendo cierto que Ia gráfica es una cOnica o una de las formas lImite? La respuesta es afirmativa, pero el eje (o ejes) de la cónica se giran con respecto de Los ejes de coordenadas.
Rotaciones Introducimos una nueva pareja de ejes de coordenadas, los ejes u y v,
con el mismo origen que los ejes x y y, pero girados un ángulo 0, como se muestra en
la figura 1. Un punto P tiene entonces dos conjuntos de coordenadas: (x, y) y (u, v).
Cuál es la relación entre ellos?
Si r denota La longitud de OP, y 4 es ci ángulo desde el eje positivo de u hasta OP.
Entonces x, y, u y v tienen la interpretación geométrica que muestra el diagrama.
Si observamos ci triángulo rectángulo OPM, vemos que
cos(
Figura 1
de modo que
+ 0) =
= rcos(4 + 0) = r(cos4coso - sen4senO)
= (rcos4)cosO - (rsen4)senO
A! considerar el triángulo OPN se muestra que u = r cos
y v = r = sen
. AsI,
x = ucosO - vsenO
Un razonamiento similar conduce a
y = usenO + vcosO
Estas formulas determinan una transformación liamada rotación de ejes.
EJEMPLO 1 Determine La nueva ecuación que resulta de xy = 1 después de una rotación de ejes de 0 = ir/4. Bosqueje la gráfica.
Solución Las sustituciones pedidas son
y
x=ucos--vsen=
'IT
V
y = usenIT+ vcos-'1.
2
2
= 2
(uv)
(u + v)
La ecuación xy = I asume la forma
2
(uv) v2 (u+v)=1
que se simplifica como
u2
v2
xy =
0
u2
2
Figura 2
2
Reconocemos esto como la ecuación de una hipérbola, con a = b = V. Observe
que ci término de producto cruzado ha desaparecido como resultado de La rotaciOn.
La elección del ángulo 0 = ir/4 fue justo la correcta para lograr esto. La gráfica aparece en La figura 2.
DeterminaciOn del ángulo 0 ,COmo sabemos qué rotación hacer para eliminar el término de producto cruzado? Considere la ecuación
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=O
Si hacemos las sustituciones
x = ucosO - vsenO
y = u sen 0 + v cos 0
Traslación de ejes
SECCION 12.5
537
esta ecuación asume La forma
du + ev +
au2 + buy + cv2 +
f=
0
donde a, b, c, d, e y f son nUmeros que dependen de 0. PodrIamos hallar Las expresiones de
todos ellos, pero en realidad solo nos interesa b. Al hacer el algebra necesaria, vemos que
B(cos20 - sen20) - 2(A - C)senOcos0
= Bcos2O - (A - C)sen20
b =
Para que b = 0, necesitamos que
Bcos2O = (A - C)sen2O
0
cot20
AC
=
B
Esta fOrmula responde nuestra pregunta. Para eliminar el término del producto
cruzado, elegimos 0 de modo que satisfaga esta formula. En la ecuación xy = 1 del
ejemplo 1, A = 0, B = 1 y C = 0, de modo que elegimos 0 tal que cot 20 = 0. Un angulo que funciona es 0 = ir/4. También podrIamos usar 0 = 3'n-/4 o 0 = 51T/4, pero
se acostumbra elegir un ángulo en el primer cuadrante, es decir, elegimos 20 tal que 0
20 < 'n-, de modo que 0 < 0 <ii-/2.
EJEMPLO 2
Haga una rotación de ejes para eliminar el término de producto cruza-
do en
4x2 +
2xy + 2y2 + 10V'x + lOy
5
Luego bosqueje la gráfica.
Solución
cot 20 =
lo que significa que 20
AC 4-2
1
2\/
B
\/E
-/3 y 0 = ir/6. Las sustituciones adecuadas son
uv
1
2
2
u+v
2
=
2
Nuestra ecuación se transforma primero en
(Vu - v)2
4
+2V'
(u - v)(u
+
v)
4
+2
(u +
+10
4
2
- v +10 u +
2
=5
y, después de simplificar, en
5u2 +
V2
+ 20u
5
Para escribir esta eduación en una forma reconocible, completamos el cuadrado.
5(u2+4u+4)+v2=5+20
(u + 2)2
5
4x2 + 2
\/xy +
+
(u±2)v'
Figura 3
1 O\/x + I Oy = 5
+
v2
25
=
1
Identificamos la ültima ecuación como la de una elipse vertical con centro en u =
2
y v = 0 y con a = 5 y b = \/. Esto nos permite trazar la gráfica que se muestra en
la figura 3. Si quisiéramos simplificar aUn más, harIamos la traslaciOn r = u + 2, s = v,
lo cual produce la ecuación canónica r2/5 + s2/25 = 1.
538 CAPITULO 12
Cónicas y coordenadas polares
RotaciOn con un ángulo no especial
Nuestros dos ejemplos utilizaron rotaciones con los ángulos especiales i-/4 y /6, respectivamente. Los ángulos no especiales se controlan con las formulas para la mitad de un ángulo.
sen 0 =
EJEMPLO 3
cos0 = +
Ii + cos20
I
2
Use una rotación para eliminar el término de producto cruzado en
x2 + 24xy + 8y2 = 136
Luego, bosqueje Ia gráfica.
So!ución
Elegimos 0 tal que
AC 1-8
cot20
(7, 24
B
7
24
24
Elegimos 20 como un ángulo en el segundo cuadrante, con (-7, 24) en su lado final;
\/(_7)2 + (24)2 = 25 al origen (figura 4). Esto
este punto tiene una distancia r
implica que cos 20 = - . Al aplicar las formulas para la mitad de un ángulo tenemos
y
25
sen0=qI1+2
29
7
1
4
25
cos0=
5
2
5
AsI, 0 = sen1()
0.927 radianes 53.1°.
A continuación usamos las fórniulas de rotación
x=uv y=u+v
4
3
Figura 4
4
3
Al sustituir estas expresiones en nuestra ecuaciOn, obtenemos
/3u-4v\2 +24 (3u-4v\(4u+3v\
74u+3v2
+8
5
5
5
5
\
/
/\
\
1
/
=136
Esto se simplifica como
425u2 - 200v2
(136)(25)
0
u2
v2
8
17
La gráfica de la Ultima ecuación es una hipérbola horizontal en el plano uv, con centro en el origen (figura 5). Los ejes uv se giran con respecto de los ejes xy con el an-
gulo053.1°.
+ 24xy +
Figura 5
= 136 o
U
-
=1
El sistema de coordenadas polares
SECCION 12.6
539
Repaso de conceptos
La ecuación más general de segundo grado en x y y
tiene Ia forma
El término de producto cruzado (el término xy) se
puede eliminar mediante una rotación de ejes con un ángulo
0 que satisfaga cot 20 =
1 es una
La gráfica de la eduación xy
Para escribir una ecuación general de segundo grado
de ejes y
en forma canónica, primero hacemos una
luego una
de ejes.
Conjunto de problemas 12.5
En los problemas 1-12, elimine el término de producto cruzado
18. Recuerde que Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 se
mediante una rotaciOn adecuada de ejes y luego, en caso necesario,
traslade los ejes (complete los cuadrados) para escribir la ecuación en
forma canónica. Por áltimo, grafique la ecuación mostrando los ejes
transforma en au2 + buy + cv2 + du + ev + f = 0 bajo una rotaciOn
de ejes. Determine las fOrmulas para a y c y muestre que a + c + A
girados.
19. Muestre que b2 - 4ac = B2 - 4AC (véase el problema 18).
20. Use el resultado del probLema 19 para convencerse de que
Ia gráfica de una ecuación general de segundo grado será
una parabola si B2 - 4AC = 0,
una elipse si B2 - 4AC < 0,
una hipérbola si B2 - 4AC > 0,
o formas lImite de las cönicas anteriores.
21. Suponga que Ax2 + Bxy + Cy2 = 1 se transforma en au2 +
cv2 = 1 mediante una rotación de ejes, y que A = 4AC - B2 0. Use
los problemas 18 y 19 para mostrar que
1/ac = 4/A,
1/a + 1/c = 4(A + C)/A,
1/a y 1/c son los dos valores de
x2 + xy + y2 = 6
3x2 + lOxy + 3y2 + 10 =
4x + xy + 4y2 =
4xy -
= 64
4x - 3xy
= 18
0
56
11x + 96xy + 39y2 + 240x + 570y + 875 =
0
7._x2+7xy_y2_6Vx_6Vy=0
8..x2+xy+y2+Vx+Vy=13
5x2 - 3xy + y2 + 65x - 2Sy + 203 =
0
6x2 - Sxy - 6y2 + 78x + S2y + 26 =
0
C.
(2/A)(A + C + V( - C)2 + B2)
34x2 + 24xy + 4ly2 + 2SOy = -325
16x2 + 24xy + 9y2 - 20x - lSy - 150 =
+
0
22. Muestre que si A + C y A = 4AC - B2 son ambos positivos,
entonces La grafica de Ax2 + Bxy + Cy2 = 1 es una elipse (o cIrculo) con area 2/V'. (Recuerde del probLema 17 de Ia sección 12.3,
que el area de Ia elipse x2/p2 + y2/q2 = 1 es irpq.)
23. Para qué valores de B ocurre que la gráfica de x2 + Bxy +
y2
La gráfica de x cos a + y sen a = d es una recta. Muestre
que la distancia perpendicular del origen a esta recta es d, haciendo una rotación de ejes mediante el ángulo a.
Transforme la ecuación x'2 + y"2 = a'12 mediante una
rotaciOn de ejes de 450 y luego eleve a! cuadrado dos veces para eliminar los radicales sobre las variables. Identifique Ia curva correspondiente.
Despeje u y v en las formulas de rotaciOn, en términos de x
y y.
Use los resultados del problema 15 para determinar las
coordenadas uv correspondientes a (x, y) = (5, -3) después de una
rotación de ejes de 600.
Determine los puntos de x2 + l4xy + 49y2 = 100 más cercanos al origen.
= 1 es
una eLipse?
un cIrculo?
una hipérboLa?
dos rectas paralelas?
24. Use los resultados de los problemas 21 y 22 para determinar La distancia entre los focos y el area de La elipse
25x2 + 8xy + y2 =
1
25. Consulte la figura 1 y muestre que y = u sen 0 + v cos 0.
Respuestas al repaso de conceptos:
Dx + Ey + F =
0
2. (A -
C)/B
3.
1. Ax2 + Bxy + Cy2 +
hipérbola 4. rotación,
trasLación
Dos franceses, Pierre de Fermat
(1601-1665)
y René Descartes (1596-1650), introduje-
12.6 ron lo que ahora se llama el sistema de coordenadas cartesianas, o rectangulares. Su
El sistema de
coordenadas
polares
idea fue especificar cada punto P en el plano, dando dos nUmeros (x, y), sus distancias
dirigidas a una pareja de ejes perpendiculares (figura 1). Este concepto es ahora tan familiar que lo usamos casi sin pensar. AOn asI, es la idea fundamental en geometrIa analItica y permite el desarrollo del cálculo segOn lo dado hasta ahora.
Dar las distancias dirigidas a una pareja de ejes perpendiculares no es Ia Onica forma de especificar un punto. Otra forma de hacer esto es dar sus coordenadas polares.
540 CAPiTULO 12
COn icas y coordenadas polares
Coordenadas polares Comenzamos con una semi-recta fija, ilamada el eje polar, que emana de un punto fijo 0, ilamado polo u origen (véase la figura 2). Por costumbre, el eje polar se elige como horizontal y apuntando hacia la derecha, por lo que
podemos identificarlo con el eje x positivo en el sistema de coordenadas rectangulares.
Cualquier punto P (distinto del polo) es la intersección de un Unico cIrculo con centro
en 0 y un ünico rayo que emana de 0. Si r es el radio del cIrculo y 6 es uno de los angulos que el rayo forma con el eje polar, entonces (r, 0) es una pareja de coordenadas
polares para P (figura 2). La figura 3 muestra varios puntos ubicados en una retIcula
polar.
y
-, P(x,v)
0
x
Coordenadas cartesianas
(4.0
Figura 1
(
Coordenadas polares
Figura 3
Figura 2
Observe un nuevo fenOmeno que no ocurrIa con las coordenadas cartesianas. Ca-
da punto tiene una infinidad de coordenadas polares, debido a que los ángulos
o + 2ii-n, n = 0, ±1, ±2,... tienen el mismo lado final. Por ejemplo, el punto con coordenadas polares (4, r/2) también tiene coordenadas (4, 5ir/2), (4, 9-/2), (4, -3ii-/2), y
asI sucesivamente. Hay otras representaciones rnás, porque permitimos que r sea negativo. En este caso, (r, 0) está sobre el rayo opuesto directamente al lado final de 0 y a
r unidades del origen. AsI, el punto con coordenadas polares (-3, ii-/6) es como se
muestra en la figura 4, y (-4, 3/2) es otro conj unto de coordenadas para (4, ii-/2). El
origen tiene coordenadas (0, 0), donde 0 es cualquier ángulo.
(-3.
Ecuaciones polares
Algunos ejemplos de ecuaciones polares son
Figura 4
r=8senO y r=
2
1 - cosO
Las eduaciones polares, como las rectangulares, se visualizan mejor mediante sus gráficas. La grfica de una ecuación polar es el conj unto de puntos tales que cada uno tiene
al menos un par de coordenadas polares que satisfacen la eduación. La forma más básica de bosquejar una grafica es construir una tabla de valores, ubicar los puntos correspondientes y luego unir estos puntos. Esto es precisamente lo que hace una calculadora gráfica 0 Ufl sistema algebraico por computadora para graficar una ecuación polar.
EJEMPLO 1
Grafique la ecuación polar r = 8 sen 0.
Solución Sustituimos mültiplos de ir/6 para Oy calculamos los valores correspondientes de r. Véase la tabla de la figura 5. Observe que cuando 0 crece de 0 a 2ir, Ia gráfica de
Ia figura 5 se recorre dos veces.
EJEMPLO 2
Solución
Grafique r =
Véase la figura 6.
1 - cos0
.
Observe un fenómeno que no ocurrIa con las coordenadas rectangulares. Las
coordenadas (-2, 31?-/2) no satisfacen la ecuación. Pero el punto P(-2, 3ir/2) esta sobre la grafica, debido a que (2, ir/2) especifica al mismo punto y satisface la ecuaciOn.
El sistema de coordenadas polares
SECCION 12.6
(
9
r
0
0
it/6
4
6.93
8
2t/3
6.93
5it/6
4
It
(