Flujo de potencia

FLUJO DE CARGAS
EN LOS SISTEMAS
ELÉCTRICOS DE
POTENCIA
Flujo de Cargas en los Sistemas Eléctricos de Potencia.
1.1.- Introducción. Durante mucho tiempo, el problema de flujo de carga llamó la
atención de los ingenieros y los matemáticos dando como resultado una grandísima
cantidad de publicaciones técnicas sobre el tema.
Antes del año 1929, los cálculos de flujo de cargas (FC) se realizaban por métodos
manuales. En 1929 comenzaron a utilizarse los llamados Analizadores de Redes que
primero fueron de corriente directa (CD) y después de corriente alterna (CA). En 1954
se publicó el primer artículo que describía un método de cálculo que utilizaba la
computadora digital. Un método realmente exitoso fue desarrollado por Word and Hale
en 1956.
La mayoría de estos algoritmos iniciales se basaban en el método de Gauss Seydel que
requiere poco almacenamiento en la memoria de la computadora y converge en pocas
iteraciones para sistemas eléctricos de potencia (SEP) pequeños. La lenta convergencia
de este método para SEP grandes y sus frecuentes fallos de convergencia para sistemas
mal condicionados (radiales, poco mallados, muy cargados, etcétera) hizo que se
desarrollara el método de la matriz impedancia, matriz (Z). Este método tiene el
inconveniente de ocupar mucha memoria porque la matriz (Z) es “llena”, es decir,
carece de elementos desiguales de cero. Esta nueva dificultad condujo al método de
Newton Raphson que fue desarrollado primero por Van Ness y Griffin y más tarde por
otros autores. Las modificaciones realizadas al método convencional de Newton
Raphson lo han convertido en un método rápido y exacto pudiendo ser utilizado para
problemas “on line” y para el análisis de contingencias. Modificaciones posteriores han
permitido su utilización en el cálculo del llamado “Flujo de Cargas Óptimo”.
Otro desarrollo de interés en el problema del flujo de cargas (FC) es el “flujo de cargas
probabilístico” donde la entrada y la salida de la red se toman como variables aleatorias
teniendo en cuenta que los estudios de FC son de naturaleza estocástica, es decir,
algunos de sus datos de entrada están sometidos a la incertidumbre y por lo tanto, los
datos de salida se pueden expresar como un conjunto de posibles valores con su
correspondiente frecuencia de ocurrencia o una función de distribución de
probabilidades.
Las incertidumbres asociadas con los datos se deben a varios aspectos:
CURSO DE FLUJO DE CARGA
1
Las incertidumbres en el pronóstico de la carga debidas a factores económicos y
otros.
La variabilidad de la carga, debida a las condiciones atmosféricas y a la dirección o
el control de la carga.
La mayor o menor disponibilidad de la generación y/o la transmisión por la salida
forzada de generadores y/o líneas.
La demora de la puesta en marcha de nuevas instalaciones de líneas y/o generadores.
Los cambios bruscos en la disponibilidad y los precios del combustible.
La utilización de nuevas técnicas en la generación y en la transmisión de energía
eléctrica.
La tendencia actual es la de desarrollar programas de FC interactivos que permitan al
analista del sistema modificar los datos sobre el “display” de forma gráfica.
Si se establece como Régimen de Operación de un SEP a aquel que define el estado de
los llamados parámetros del régimen (frecuencia, voltaje en módulo y ángulo, potencia
activa y potencia reactiva), el más importante es el llamado Régimen Estacionario
Normal (REN) que es aquel en el cual, los parámetros del régimen no varían o lo
hacen en forma lenta y aperiódica. Así, la principal función de un SEP es suministrar
la potencia activa (P) y reactiva (Q) que demandan las cargas dentro de este REN.
La operación de los SEP en REN puede dividirse en tres áreas:
a) Los análisis de flujo de cargas.
b) La estrategia a definir para obtener una generación óptima.
c) El control de la operación del SEP.
1.2.- Ajuste de las condiciones de operación de los SEP.
La gran importancia del control de la operación de los SEP hace que se le dediquen unas
líneas a su estudio.
Ajuste de la potencia activa.
La potencia activa tiene un carácter global, es decir, su déficit en cualquier parte del
sistema puede ser suplido, al menos teóricamente, por cualquier generador sin tener en
CURSO DE FLUJO DE CARGA
2
cuenta cuan lejos esté del lugar donde se haya incrementado la carga. Esta característica
facilita su control. Los dispositivos que se utilizan para controlar o redistribuir el flujo
de potencia activa en los SEP son cuatro:
a) El ajuste de la potencia activa que entregan los generadores del SEP accionando el
gobernador de la turbina.
b) El ajuste de las derivaciones “taps” de los transformadores cuya relación de
transformación es un número complejo (k=a+jb) y cuya función, al modificar el
ángulo de fase entre el voltaje primario y secundario (ángulo δ), modifica el flujo de
potencia activa.
c) El control del bombeo del agua de las hidroacumuladoras.
d) La desconexión (o el bote) de las cargas.
Los ajustes a) y b) son a los que primero acuden los despachadores.
El ajuste c) se utiliza por razones económicas. Con él, la potencia activa se modifica de
la siguiente manera:
Por la madrugada, cuando la demanda es pequeña se bombea agua hacia un
almacenamiento alto, lo que provoca un consumo que permite mantener algunos
generadores operando como carga base con su mayor eficiencia.
Durante la demanda máxima la energía hidráulica almacenada en el embalse se utiliza
para generar potencia activa.
La opción d) es indeseable porque interrumpe el servicio a los consumidores debiendo
utilizarse sólo en última instancia.
Ajuste de la potencia reactiva.
Los dispositivos de control que se utilizan para controlar el flujo de potencia reactiva
son más numerosos que los que se utilizan para controlar la potencia activa.
La potencia reactiva es un fenómeno de carácter local. La circulación de potencia
reactiva por las líneas sólo provoca caídas de voltaje y pérdidas de potencia activa y
reactiva por lo que su compensación debe realizarse de forma local o “por zonas”.
Los aparatos más utilizados para compensar la potencia reactiva son:
CURSO DE FLUJO DE CARGA
3
a) Los generadores de potencia reactiva (generadores y condensadores sincrónicos):
Para lograr esta variación, los despachadores tienen que variar la corriente del
campo o de la excitatriz. Si se varía dicha corriente el voltaje tiende a variar en el
mismo sentido de la variación de la corriente, pero como la máquina está en paralelo
con el resto de los generadores del SEP lo que produce es una variación en la
generación de la potencia reactiva. La potencia reactiva que una máquina sincrónica
puede entregar (sobreexcitada) o consumir (bajoexcitada) depende de su curva de
cargabilidad la cual determina los valores permisibles, teniendo en cuenta la
potencia activa que está generando ya que la potencia aparente (S=P+jQ) es la que
determina el calentamiento de la máquina.
b) Los bancos de capacitores estáticos paralelos (shunt): Se utilizan para inyectar
potencia reactiva en las barras. Esta compensación puede realizarse por pasos o de
forma continua.
c) Los reactores conectados en paralelo (shunt): Se utilizan para compensar el
efecto capacitivo de las líneas muy largas a EAV o de las líneas en circuito abierto o
con poca carga (efecto Ferranti). Se instalan en los extremos de la línea y/o en
puntos intermedios.
d) Los cambios de las derivaciones “taps” de los transformadores cuya relación de
transformación es un número real (k=a+j0) y cuya función es cambiar el módulo del
voltaje y por ende el flujo de potencia reactiva en los SEP mallados.
e) Las líneas largas de alto voltaje: La potencia reactiva neta de una línea de
transmisión es:
QNeta = QGen − ∆Q =
(
)
B`' 2
Ve + VR 2 − 3I 2 R ⋅ 10−3 M var
2
(1.2.1)
Donde:
QGen= Potencia reactiva “generada por la línea.
∆Q= Potencia reactiva consumida por la línea o pérdidas de Q en la línea.
La expresión 1.2.1 muestra que, dependiendo del estado de carga de la línea (I), y de los
valores de los voltajes del envío y del recibo (Ve y VR) la línea podrá entregar (QNeta>0)
o consumir Q (QNeta<0).
CURSO DE FLUJO DE CARGA
4
f) Los capacitores en serie: Se instalan en las líneas largas compensando la reactancia
serie de la línea entre un 25 y un 70%. Su introducción modifica el flujo de potencia
reactiva porque reduce las pérdidas de Q. Sus desventajas son:
-
Aumentan los niveles de cortocircuito.
-
Provocar fenómenos transitorios severos debidos a las conmutaciones.
-
Pueden provocar sobrevoltajes peligrosos durante los cortocircuitos por lo que
deben ser sacados de servicio durante los mismos.
g) Los compensadores estáticos SVC (Estatic Voltage Control): Dependiendo del
valor del voltaje en el punto de instalación pueden entrega o consumir potencia
reactiva. Su respuesta es comparativamente rápida por lo que se instalan en las
barras donde la regulación del voltaje es crítica como son aquellas donde hay hornos
por arco eléctrico.
1.3.- Características de las redes eléctricas durante el cálculo de FC.
Durante los cálculos de flujo de cargas en la computadora digital la red se considera
lineal, balanceada, fija y con parámetros concentrados. Que sea fija quiere decir que
su topología no cambia durante los cálculos, es decir si se analiza el disparo de una
línea, el proceso transitorio comprendido entre antes y después de abrirse la línea no
entra en el análisis, es decir, se corre un flujo con la línea cerrada y otro con la línea
abierta de forma independiente.
1.4.- Variables utilizadas en los estudios de FC.
Para un Nodo “i” cualquiera se definen:
Voltajes en módulo y ángulo: Ui=Ui∠ ±δi pu. (2 variables).
Generación del Nodo “i”
: SGi=PGi+jQGi pu. (2variables).
Demanda del nodo “i”
: Sdi=Pdi+jQdi pu (2 variables).
Potencia Neta o del Nodo “i”: Si=SGi-Sdi=Pi+jQi pu (2 variables).
De las ocho (8) variables mostradas se trabaja sólo con cuatro (4):
El voltaje de la barra: Ui∠δi pu y
La potencia neta
: Si=Pi+jQi pu.
CURSO DE FLUJO DE CARGA
5
1.5.- Clasificación de las variables de los nodos.
Las variables de los nodos se clasifican en :
-
Variables de estado
: V∠δ y f (Voltaje en módulo y ángulo y la
frecuencia).
-
Variables de perturbación: Pd+jQd (la demanda o carga de los consumidores).
-
Variables de control
: PG+jQG (La generación).
Ejemplo: Un SEP está operando en régimen estacionario normal (REN) definido por
sus variables de estado (Ui, i=1, 2, 3,... N nodos) (no se incluye la frecuencia porque su
variación no se analiza en los estudios de FC). Si la carga Sd cambia, es decir si existe
una perturbación, el estado inicial del sistema se modifica pues los voltajes cambian
tanto en módulo como en ángulo. La situación se controla modificando la generación
SG.
1.6.- Representación de los elementos del SEP en los estudios de FC.
A continuación se analizará como se representan circuitalmente en los estudios de flujo
de cargas los diferentes elementos que constituyen un sistema eléctrico de potencia.
Generación.
La generación se representa mediante la potencia activa generada (saliendo del nodo) y
la potencia reactiva consumida o entregada (entrando o saliendo del nodo). Figura 1.
(k)
PGk
QGk
Figura 1.6.1- Representación de la generación en los estudios de FC.
Líneas.
Las líneas se representan mediante su circuito Π Nominal, si tiene hasta 250 km. Π
Equivalente si tiene más de 250 km y Simple Impedancia si la potencia reactiva que
genera puede despreciarse frente al balance de Q de la zona. Ver la figura 2.
CURSO DE FLUJO DE CARGA
6
•
Ie
Zi
I
•
Zi
•
•
’
Ie
Bi/2
Ve
•
VR
Bi/2
Neutro.
•
•
Neutro.
•
Figura 1.6.2.- Representación de las líneas de transmisión en los estudios de FC.
Cargas o demanda eléctrica.
Las cargas eléctricas se representan mediante su demanda siempre saliendo del nodo si
son inductivas (factor de potencia en atraso). Ver la figura 1.6.3.
(k)
Pdk
Qdk
Figura 1.6.3.- Representación de las cargas en los estudios de FC.
Capacitores y condensadores sincrónicos.
Los capacitores y los generadores sincrónicos se representan mediante una generación o
un consumo de potencia reactiva. El capacitor es un elemento estático que sólo puede
entregar potencia reactiva, mientras que el condensador sincrónico es un generador
sincrónico que no puede entregar potencia activa, pero puede generar o consumir
potencia reactiva. Ver la figura 1.6.4.
CURSO DE FLUJO DE CARGA
7
(k)
(k)
Qck
C. Estàtico.
Qck
C. Sincrónico.
Figura 1.6.4.- Representación de los capacitores y los condensadores sincrónicos en los
estudios de FC.
Resto de un SEP o una parte de él.
En los estudios de planeamiento, expansión y operación de los SEP, partes de la red
pueden ser representadas por los equivalentes externos porque, especialmente en tiempo
real, se carece de la información necesaria para modelarlo adecuadamente lográndose
una reducción de las dimensiones del problema que puede ser de flujo de cargas,
cortocircuito, etcétera. Los análisis de contingencias en las líneas de transmisión y los
transformadores; la ubicación óptima de los bancos de capacitores y el planeamiento de
la expansión de las redes de transmisión son problemas de análisis de redes que exigen
una secuencia de solución de FC. Por ejemplo, durante los análisis de contingencias,
para cada una de las fallas consideradas posibles, es necesaria la determinación de una
solución de FC. Cuando se necesita, como en estos casos, una solución repetida de
casos semejantes, una reducción de las dimensiones de la red utilizando equivalentes
puede traer ventajas computacionales significativas.
En estos casos el procedimiento consiste en partir de una solución inicial para la red
completa (caso básico) y obtener una red reducida (red de interés más el equivalente
externo) y analizar una secuencia de casos utilizando la red reducida.
La figura 1.6.5 representa un SEP subdividido en tres partes: La red interna, (la que se
quiere analizar), la frontera y la red externa. El área de interés es la red interna junto con
la frontera. El objetivo básico de la red externa equivalente es el de simular sus
reacciones cuando ocurren alteraciones en la red de interés provocadas por una
contingencia en las líneas, los transformadores o los generadores.
CURSO DE FLUJO DE CARGA
8
Para muchas perturbaciones las reacciones de la red externa pueden ser insignificantes y
en esos casos, la red externa podría representarse por una carga o una generación.
Para otras perturbaciones, especialmente las que ocurren en las proximidades de la
frontera, las reacciones de la red externas son importantes y exigen la utilización de
equivalentes. Entre ellos están :
-
El método llamado Equivalente de Ward que puede ser lineal o no lineal
-
Obtención del equivalente por el método de eliminación de Gauss.
-
Método REI (Radial Equivalent Independent).
Frontera.
Red
interna
Red
externa
Área de Interés.
Figura 1.6.5 Descomposición de una red en red interna, frontera y red externa.
Transformadores.
Los transformadores que se instalan en los SEP son de dos tipos.
-
Los que modifican el ángulo de fase (δ) entre los voltajes del primario y el
secundario. En estos transformadores la relación de transformación es un
número complejo (k=a+jb) y como varían el llamado ángulo de potencia,
permiten variar el flujo de potencia activa como ya se explicó.
-
Los que modifican el módulo del voltaje por uno de los lados del transformador.
En este caso, la relación de transformación es un número real (k=a+j0). Estos
transformadores se representan mediante un circuito Π que se muestra a
continuación en la figura 6.
CURSO DE FLUJO DE CARGA
9
Y12
a
(1)
(2)
•
(1)
(2)
S12
•
X12
 a −1

 Y12
 a 
∆PT+j∆
∆QT
1− a 

 Y12
 a2 
Figura 1.6.6.- Representación de un transformador con derivaciones fijas.
En la figura 1.6.6:
X12: Reactancia del transformador en por unidad.
Y12 =
1
pu.: Donde la reactancia del transformador es imaginaria pura.
jX12
a = 1+
a=
"Tap" (%)
pu.
100
"Tap" (%)
pu.
100
Si la derivación “Tap” se expresó como (± 2, 3, etc.) %.
Si la derivación “Tap” se expresó como (98, 102 etc.) %.
∆PT y ∆QT son las pérdidas de potencia activa y reactiva en vacío del transformador
que se representan como una carga fuera del circuito equivalente del
transformador.
NOTEN que para los “Taps” del 0% o del 100%, a=1 y el circuito se convierte en un
simple impedancia como es usual para un transformador cuando se desprecia
la reactancia de magnetización.
1.7.- Clasificación de los nodos en los estudios de flujo de carga.
Para los estudios de flujo de cargas existen tres tipos de nodos:
Nodos de Carga o Nodos PQ.
Son aquellos en los que se conoce la generación (SG) y la demanda (Sd) por lo que se
conoce la potencia neta o de nodo que puede ser menor, mayor o igual a cero. Cualquier
nodo puede ser de carga.
CURSO DE FLUJO DE CARGA
10
Datos: Generación y Demanda (SG y Sd).
Incógnitas: Módulo y Ángulo de los voltajes de nodos: U∠δ
Nodos de Voltaje Controlado o PV.
Antes de definir las características de los nodos de voltaje controlado, debe explicarse
como se controla el voltaje en un nodo mediante una fuente de potencia reactiva
controlable, es decir, un generador o un condensador sincrónico.
La figura 1.7.1 muestra dos nodos de una red eléctrica. En uno de los nodos hay un
condensador sincrónico. La expresión para el voltaje V2 , despreciando la parte
imaginaria o componente transversal de la caída de voltaje porque influye poco en el
módulo de U2 por estar a 900 es:
V2 = V1 −
X12
(Q1 − Qc ) kV
V1
(1.7.1)
En la expresión (1.7.1), si Qc aumenta, U2 aumenta porque (Q1-Qc) disminuye, es decir,
resta menos. Nótese que U2 aumenta aunque Qc se haga mayor que Q1 porque el signo
cambia. Lo anterior indica que, una fuente de potencia reactiva controlable puede
utilizarse para mantener el voltaje de un nodo constante cuando la carga varía.
Datos: Demanda (Sd), potencia activa generada (PG), potencias reactivas máxima y
mínima (QGmax y QGmin) porque la fuente de Q no es de capacidad infinita y
módulo del voltaje especificado en el nodo (V) pues el analista del sistema fija
qué voltaje desea tener en el nodo.
Incógnitas: Ángulo del voltaje especificado en el nodo (δ ) y potencia reactiva que
tiene que generar la fuente de potencia reactiva del nodo (QG) para
mantener el módulo del voltaje especificado.
CURSO DE FLUJO DE CARGA
11
(2)
(1)
JX12 (R12 ≈ 0
(Q1-Qc)
V1 (Constante)
V2
QC
Fuente de Q.
Figura 1.7.1.- Enlace entre dos nodos de una red eléctrica con una fuente de potencia
reactiva controlable.
Para que un nodo pueda ser PV su potencia reactiva neta tiene que ser >0 y la
potencia reactiva generada tiene que cumplir con la restricción
QGmin ≤ QG ≤ QGmax
Nodo de Balance (Slack Bus).
En los estudios de FC de los SEP se define un nodo llamado de balance por dos razones:
1.- En cualquier sistema eléctrico se cumple la ecuación del balance de las potencias
activas y reactivas:
∑ SG = ∑ Sd + ∑ ∆S
Cuando se planifica el cubrimiento de la curva de carga diaria a partir de su pronóstico,
es decir, cuando se le asigna a cada unidad generadora su plan de generación, se
desconocen las pérdidas de potencia activa, reactiva y la potencia reactiva generada por
las líneas por lo que cualquier solución tiene que dejar un nodo suelto (“slack”), al que
no se le programa generación para que cubra las pérdidas y alguna generación (SG) que
se haya dejado de asignar al resto de las estaciones generadoras del sistema.
2.- Al nodo de balance se le especifica un valor de voltaje tanto en módulo como en
ángulo:
VNB =1∠ 0o pu.
CURSO DE FLUJO DE CARGA
12
Al fijarse el voltaje de uno de los nodos, se reduce el número de ecuaciones en uno
evitándose la posible indeterminación de la solución matemática en redes poco malladas
o radiales.
En los estudios de FC existe un solo nodo de balance al que por comodidad para la
formulación matemática se le asigna el número 1.
Para que un nodo pueda ser escogido como de balance, su potencia neta tiene que ser
mayor que cero pues si no fuera así, no tendría disponibilidad para entregar, por lo
menos, las pérdidas de potencia activa y reactiva.
Datos: La potencia demandada (Sd=Pd+jQd) y el voltaje en módulo y ángulo cero.
(V1∠δ1) y los límites de potencia activa (Pmax) y reactiva (Qmax y Qmin).
Incógnitas.
Las incógnitas del nodo de balance son la generación de potencia activa y reactiva
(PG1+jQG1).
La tabla 1 muestra un cuadro resumen con las características de los tres tipos de nodos
estudiados.
Nodo Tipo.
Datos:
Incógnitas
PQ
Sd SG
U∠δ
PV
Sd PG UEspecificado Qmax Qmin
QG δ
Sd U∠ 0
SG
Balance
Pmax Qmax Qmin
Tabla 1.7.1.- Características de los nodos de un SEP.
1.8.- Parámetros que influyen en el sentido de la potencia activa y reactiva en una
red eléctrica.
En la figura 1.6.2 si se considera que Z1=0+jX1, que Ve=Ve∠δe, que VR=VR∠δR, la
potencia del envío será:
(
)
 B ' V − VR 
 = Pe − jQe
Se = V ∗e I e = V ∗e I 'e + I = Ve∗ Ve + e
 2
X1 

CURSO DE FLUJO DE CARGA
(1.8.1)
13
Donde el signo menos de la Q es porque se conjugó el voltaje en lugar de la corriente en
1.8.1.
Efectuando y expresando los resultados en forma polar:
Se = Ve
Ve 2
V ⋅V
∠90 +
∠ − 90o − e R ∠ − δ − 90o
2
X1
X1
'
2 B1
o
(1.8.2)
Donde δ=δe-δR
La parte real, (Pe) en función de los cosenos, será:
[(
V ⋅V
pe = − e R cos − 90o + δ
X1
)]
(1.8.3)
Reconociendo el –sen δ en el término de la derecha de la ecuación (1.8.3) se obtiene la
expresión de la potencia activa en función del ángulo δ.
V ⋅V
Pe = e R sen(δ e − δ R )
X1
(1.8.4)
La parte imaginaria, (Qe) en función de los senos y suponiendo que la susceptancia B’
es cero será:
[(
Ve2 VeVR
Qe = −
−
sen − 90o + δ
X1
X1
)]
(1.8.5)
Reconociendo el –cos δ en el término de la derecha de la ecuación (1.8.5) se obtiene la
expresión de la potencia reactiva en función del ángulo δ.
Qe =
(
1
Ve2 − VeVR cos(δ e − δ R )
X1
)
(1.8.6)
Las ecuaciones 1.8.4 y 1.8.6 permiten analizar cuales son los parámetros que influyen
en el sentido de la potencia activa y de la potencia reactiva en un SEP:
El sentido de la potencia activa depende del signo de la resta (δe-δR) por lo tanto, la
potencia activa circula siempre del mayor al menor ángulo.
En la expresión 1.8.6, dado que el cosδ es siempre positivo, el sentido de la potencia
reactiva dependerá del valor de los módulos de los voltajes y puede decirse que la Q
circulará del mayor al menor módulo con dos posibilidades:
CURSO DE FLUJO DE CARGA
14
a)- Si los dos módulos son parecidos y el cosδ es <1, puede suceder cualquier cosa con
el sentido de circulación de la Q.
b)- Si la diferencia entre los módulos de los voltajes es >1 kV, la potencia reactiva
circula del mayor módulo al menor módulo.
1.9.- Formulación matemática del problema de flujo de cargas.
El método más conveniente para resolver flujos de carga (FC) en los SEP es el método
de las corrientes de nodo o método nodal porque en él es más fácil simular los
elementos que constituyen las redes eléctricas y el número de nodos no varía si lo hace
el número de líneas en operación.
Para una red de 4 nodos, la ecuación de las corrientes nodales o netas es:
(I)=(YB)(V)
(1.9.1)
Donde:
(I): Vector de las corrientes llamadas netas, nodales o inyectadas en los nodos en pu.
(YB): Matriz admitancia de barra en pu.
(V): Vector de los voltajes al neutro de cada nodo en pu.
Desarrollando la ecuación 1.9.1, teniendo en cuenta que la matriz (YB) es simétrica por
pertenecer a una red lineal, bilateral y pasiva se obtiene:
 I1 
I 
 2 =
 I3 
 
I 4 
Y11 Y12 Y13

Y22 Y23


Y33


Y14  V1 
Y24  V2 
pu.
Y34  V3 
 
Y44  V4 
(1.9.2)
Donde:
Yii= Admitancia propia del nodo del nodo “i”= Suma de las admitancias conectadas al
nodo “i”
Yik= Admitancia mutua entre los nodos “i” y “k”=-yik= admitancia mutua física con
signo cambiado
yik =
1
: Inverso de la impedancia serie de la línea en pu.
Zik
CURSO DE FLUJO DE CARGA
15
Se supone que el nodo “1” es el de balance y que su voltaje es conocido en módulo y
ángulo por lo que, como ya se explicó, no entra en la solución matemática y por ende
para él no se escriben ecuaciones.
Comenzando por el nodo 2, su corriente neta será, multiplicando la fila 2 por la columna
2 elemento a elemento:
I 2 = Y21V1 + Y22V2 + Y23V3 + Y24V4 pu.
(1.9.3)
Donde en este caso particular, todas las admitancias mutuas son desiguales de cero.
La corriente neta se puede calcular también mediante la expresión:
I2 =
S ∗2
V ∗2
pu.
(1.9.4)
es decir, la conjugada de la potencia neta del nodo 2 entre la conjugada del voltaje del
nodo.
Sustituyendo 1.9.4 en 1.9.3 y despejando el voltaje del nodo 2 (V2):
V2 =
1 S ∗2
(
− Y21V1 − Y23V3 − Y24V4 )
Y22 V ∗2
(1.9.5)
La ecuación 1.9.5 tiene que ser resuelta por métodos numéricos e iterativos porque:
a) No es lineal dado que S=f(V2).
b) Tiene dos funciones distintas del mismo voltaje, U2 y U*2.
c) Hay que calcular cada voltaje en función de otros desconocidos.
1.10.- Método de Gauss Seydel (GS).
El método de Gauss Seydel es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones
no lineales y por ende se puede aplicar al cálculo de flujos de carga en SEP también
llamadas Redes Complejas.
Como para cada tipo de nodo (PQ, PV y Balance) las incógnitas y los datos son
diferentes, su tratamiento matemático es diferente en cualquier método de solución. A
continuación se verá como se tratan los tres tipos de nodos en este método.
Nodo de Balance: La tabla 1.7.1 muestra que el módulo y el ángulo (δ=0) del voltaje
son datos, por lo que no es necesario escribir su ecuación.
CURSO DE FLUJO DE CARGA
16
Nodo de Carga (PQ).
La tabla 1.7.1 muestra que las incógnitas de este tipo de nodos son el módulo y el
ángulo del voltaje del nodo. Dado que un voltaje cualquiera es función del resto de los
voltajes,
Vk= f(V1, V3, Vk-1,-----VN)
(N=No. de nodos)
(1.10.1)
Y sólo se conoce el voltaje del nodo de balance, para iniciar la solución, hay que
suponer un juego de voltajes iniciales llamado voltajes de arranque de la solución que
en este método es usual suponerlos todos iguales a 1∠0 pu.
V0i= 1∠0 pu
i=2, 3,
N≠1 pu. Donde N es el número de nodos del SEP y el
superíndice (0 ) es el número de la iteración.
Reescribiendo la ecuación 1.9.5 para la primera iteración, (superíndice 1):


1  S ∗2
0
0 
1
V 2=
− Y21V1 − Y23V 3 − Y24V 4 pu.

Y22  V 0 ∗
2
(1.10.2)


1  S ∗3
− Y31V1 − Y32V 12 − Y34V 04  pu.

Y33  V 0 ∗
 3

(1.10.3)
)
(
V 13 =

( )
En este caso particular, Y31=0, pero se expresó para darle generalidad a la expresión.
V 14 =


1  S ∗4
− Y41V1 − Y42V 12 − Y43V 13  pu.

Y44  V 0 ∗
 4

( )
(1.10.4)
Debe notarse que en cada iteración los voltajes se han ido refrescando (“updatting”), es
decir se sustituyen por los nuevos voltajes acabados de calcular. Esto da la diferencia
entre el Gauss y el Gauss Seydel.
Las expresiones anteriores son evaluables porque se conocen las admitancias de la
matriz (YB), se conoce la potencia neta del nodo porque para los nodos PQ se conocen
la generación y la demanda y se conocen los voltajes de los nodos porque el del nodo de
balance es conocido (especificado) y los otros son los voltajes de arranque o los recién
calculados. La expresión general es:
CURSO DE FLUJO DE CARGA
17
V ik =


k −1
N
I  S ∗k
− ∑ YkpV i p − ∑ YkpV i −1 p 

Ykk  i −1 ∗ p =1
p = k +1
V k

(
)
Para la segunda iteración, el voltaje del nodo “2”” es:
V 22 =


1  S ∗2
− Y21V1 − Y23V 13 − Y24V 14  pu.

Y22  1 ∗
V 2

( )
(1.10.5)
Se deja al lector escribir las expresiones de los demás voltajes para la iteración 2 y de
todos los voltajes para la iteración 9.
¿Cuándo se llega a la solución?
Para llegar a la solución en cada iteración “i” se comprueba la expresión (1.10.6):
V i k − V i −1k ≤ Tolerancia dada. =10 − (3, 4, o 5)
(1.10.6)
k=1, 2, 3,---N nodos.
Es decir, se evalúa el módulo de la diferencia entre el voltaje acabado de calcular y el de
la iteración anterior para cada uno de los “N” nodos del SEP y se itera mientras uno
cualquiera de ellos no cumpla con la tolerancia dada.
Nodos de Voltaje Controlado (PV).
La tabla 1.7.1 muestra que las incógnitas de estos nodos son el ángulo del voltaje
especificado en el nodo y la potencia reactiva que tiene generar dicho nodo para
mantener el módulo del voltaje del nodo en su valor especificado.
Si se supone que el nodo 4 de la figura 1.9.1 puede ser PV, los pasos para resolver ese
tipo de nodo en el método de Gauss Seydel son:
Calcular la potencia reactiva neta del nodo:
Para el nodo 4 en la primera iteración
( )
∗

Q14 = Parte imaginaria de V Esp 4∠δ 0 4 I 14  pu.


(1.10.7)
Donde:
CURSO DE FLUJO DE CARGA
18
VEsp4 :Módulo del voltaje especificado por el analista del sistema en el nodo PV.
δ04=Ángulo del voltaje especificado que como se desconoce, se toma el de la iteración
anterior (i-1) 0 en este caso por ser la primera.
(I14 )∗ = [Y41V1 + Y42V 12 + Y43V 13 + Y44V Esp 4∠δ 04 ]∗ pu.
(1.10.8)
es la corriente neta del nodo 4 en la primera iteración.
Se calcula el ángulo de potencia del voltaje del nodo 4 (δ4).
La expresión para el voltaje del nodo 4 en la iteración 1 es:
V
Esp
1
4∠δ 4


1  P4 − jQ14
1
1 
=
− Y41V1 − Y42V 2 − Y43V 3 = E + jF (1.10.9)

Y44  Esp
0 ∗
4 ∠δ 4
V

[
]
Donde E y F son las partes real e imaginaria del voltaje calculado en la iteración “1”
para simplificar la notación. Así:
E
 Es el ángulo buscado.
F
δ 14 = tg −1
(1.10.10)
Comprobar si la Q generada es permisible.
Después de obtenida la convergencia, para que el nodo pueda ser PV, la Q generada
tiene que cumplir con las restricciones:
(
)
Qmin4 ≤ Qif 4 − Qd 4 ≤ Qmax4 Donde if = iteración final.
(1.10.11)
Si se sobrepasa alguno de los límites dados, el nodo no podrá ser PV porque el voltaje
especificado es muy alto o muy bajo. Por ejemplo,
Si la potencia reactiva generada es mayor que la máxima, es porque el voltaje
especificado es muy alto para la potencia reactiva que puede entregar la fuente de Q del
nodo.
Si la potencia reactiva generada es menor que la mínima, es porque el voltaje
especificado es muy bajo para la potencia reactiva que puede consumir la fuente de Q
del nodo.
Nodo de balance (slack bus).
CURSO DE FLUJO DE CARGA
19
La tabla 1.7.1 muestra que el resultado (incógnita) del nodo de balance es la generación.
Después de alcanzarse la convergencia para la iteración fina (if) la potencia neta del
nodo de balance, el 1 en este caso es:
[
]
∗
S1 = V1I ∗1 = V1 Y11V1 + Y12V if 2 + Y13V if 3 + Y14V4 pu.
(1.10.12)
La generación es: SG1=S1+Sd1=PG1+jQG1 pu.
(1.10.13)
Para que el nodo escogido pueda ser de balance debe cumplir con las restricciones:
PG1≤Pmax
Qmin≤QG1≤Qmax
Completándose los resultados del flujo de cargas.
1.11.- Otros resultados importantes en los estudios de FC.
La solución primaria del algoritmo mostrado son los voltajes de los nodos en módulo y
ángulo. A partir de ellos se calculan otros resultados de interés. Por ejemplo, para un
enlace (i-k) entre dos nodos cualesquiera de un SEP que tiene una impedancia de enlace
Zik, y unos voltajes de nodo Vi ∠δi y Vk∠δk
V − Vk
La potencia del nodo “i” es: Si=Vi*Iik= Vi i
= Pi − jQi pu.
Zik
(1.11.1)
V − Vi
La potencia del nodo “k” es: Sk=Vk*Iki= Vk k
= Pk − jQk pu.
Z ik
(1.11.2)
Las pérdidas de potencia activa y reactiva se calculan sumando las expresiones
anteriores:
∆Sik = Si + S k = ∆Pik + ∆Qik pu.
(1.11.3)
La figura 1.11.1 muestra la ubicación de los elementos calculados en el enlace.
CURSO DE FLUJO DE CARGA
20
(i)
(k)
Pik
Zik
∆Sik
(i)
Pki
Qik
Qki
Vi
Vik
Figura 1.11.1.- Enlace entre dos nodos de un SEP con los principales resultados de un
algoritmo de flujo de cargas.
1.12.- Convergencia y aceleración del método de Gauss Seydel.
Vk
Solución
V 0k
No. Iteraciones
Figura 1.12.1.- Oscilaciones del método de Gauss Seydel hacia la convergencia.
El método de Gauss Seydel tiene una convergencia lenta. La figura 1.12.1 muestra que
la solución se alcanza después de algunas oscilaciones en el módulo del voltaje. Un
proceso convergente de este tipo puede ser acelerado. El método más común es el que
se basa en una extrapolación lineal de los resultados alcanzados en cada iteración.
Así, se aplica la expresión:
(
V i k Acelerado = V i −1k + α V i k − V i −1k
CURSO DE FLUJO DE CARGA
)
(1.12.1)
21
α es el llamado factor de aceleración. Pueden aplicarse factores de aceleración
diferentes a la parte real y a la parte imaginaria del voltaje, pero en la práctica se utiliza
un valor único.
El paréntesis de la expresión 1.12.1 representa la tendencia de la oscilación en la
iteración “i”. La misma se incrementa según α y se suma a la solución. Así el factor de
aceleración puede perjudicar si no se escoge adecuadamente como se muestra en la
figura 1.12.2.
No. de Iteraciones.
No Converge.
α óptimo.
α
Figura 1.12.2.- Efecto del valor del coeficiente de aceleración sobre la convergencia.
La experiencia indica que 2 > α > 1.
Factores que influyen en la convergencia del método de Gauss Seydel.
1- Las características del sistema eléctrico analizado con respecto al número de nodos
“N” (si N aumenta el número de iteraciones aumenta). La topología del SEP (radial,
mallado, etcétera).
2- El valor de los voltajes de arranque.
3- El factor de aceleración
4- El valor de la tolerancia supuesta para los voltajes (si la tolerancia disminuye, el
número de iteraciones aumenta.
5- La posición geográfica del nodo de balance (conviene que esté hacia el centro del
sistema eléctrico.
CURSO DE FLUJO DE CARGA
22
1.13.- Método de Newton Raphson.
El método de Newton Raphson (NR) para la solución de problemas de flujo de cargas
en SEP posee varias características que lo han convertido en el más utilizado por su
gran facilidad para converger independientemente de las características del SEP
modelado.
La base matemática del método de Newton Raphson para resolver sistemas de
ecuaciones no lineales reales es el desarrollo en serie de Taylor de funciones de varias
variables donde se desprecian las derivadas de orden superior.
Voltajes de arranque o de inicio de la solución.
Como se recordará, un método iterativo de solución parte de suponer valores iniciales
para ciertas variables, en este caso dichas variables son los voltajes nodales. Stott
plantea que las características de la convergencia del método de NR hacen que haya que
ser muy cuidadosos a la hora de escoger los voltajes iniciales. La figura 1.13.1, (Stott)
da una idea del porque. Para el voltaje de arranque V0I , se alcanza la convergencia con
un valor de voltaje demasiado bajo; sin embargo, con el voltaje de arranque V0II , se
alcanza un resultado correcto.
0
•VI
•
•
Soluciones
V0II
•
V Malo.
V Bueno.
V
Figura 1.13.1.- Representación gráfica de la convergencia del método de NR a dos
soluciones, una buena y otra mala según el valor de arranque escogido.
CURSO DE FLUJO DE CARGA
23
Esta característica ha hecho que se utilicen otros métodos para escoger los voltajes
iniciales de la solución. Uno de ellos es utilizar una o do iteraciones del método de
Gauss Seydel y el otro correr u flujo de cargas de corriente directa (CD).
A pesar de lo anteriormente expuesto, hay experiencias como la del Dr. M. Barroso que
ha obtenido buenos resultados arrancando la solución con 1∠0 para todos los nodos.
Este resultado no debe ser generalizado pues está en función del mayor o menor
condicionamiento del SEP analizado.
1.14.- Flujo de cargas de CD.
Los resultados del flujo de cargas de CD son el módulo y el ángulo de los voltajes y las
transferencias de potencia activa. Se utiliza para:
-
Realizar los análisis de contingencias es decir, valorar la seguridad de la
operación de los SEP en régimen estacionario normal y postavería detectando si
alguna línea viola el régimen de transferencia establecido.
-
Calcular los voltajes de arranque del método de NR porque es más rápido que el
Gauss Seydel.
-
En el despacho económico de cargas pues éste sólo tiene que ver con la potencia
activa.
-
En los estudios de desarrollo perspectivo, pues en ellos se desconocen las
potencias reactivas y sólo se necesitan las transferencias de potencia activa por
las líneas.
Representación de los elementos del SEP en los flujos de CD.
Líneas de transmisión: Se representan mediante la parte predominante de la
impedancia serie, es decir, la reactancia.
Cargas: Se representan por la potencia activa.
Ventajas y desventajas del flujo de CD.
La ventaja del flujo de cargas de CD es su rapidez debida a lo sencillo que es su método
de solución.
Su desventaja es que su exactitud es mala debido al método de representación de los
elementos del SEP.
CURSO DE FLUJO DE CARGA
24
1.15.- Formulación matemática del método de NR.
La potencia neta de un nodo “k” en una red de “N” nodos es:
S k = V ∗k I k = V ∗k
N
∑YkLVL = Pk − jQk
pu.
(1.15.1)
L =1
Donde “N” es el número de nodos. Se conjugó el voltaje en lugar de la corriente para
facilitar la formulación matemática y el signo menos de la Q es por la convención
utilizada cuando se conjuga el voltaje en lugar de la corriente.
El método de NR se basa en el desarrollo enserie de Taylor de números reales por lo
que hay que separar la expresión 1.15.1 en sus partes real e imaginaria. Así:
N
S k = (Ek − jFk ) ∑ (GkL − jBkL )(E L + jFL ) pu.
(1.15.2)
L =1
Separando las partes real e imaginaria, Pk y Qk:
Pk =
N
∑ [Ek (Gkl EL + Bkl FL ) + (GkL FL − BkL EL )]
(1.15.3)
L =1
Para simplificar, se llamarán A y D a los dos paréntesis de la expresión anterior.
Entonces:
Qk =
N
∑ [Ek D + Fk A]
(1.15.4)
L =1
Por las mismas razones expuestas en el método de Gauss Seydel, los tres tipos de nodos
tienen un tratamiento diferente. Sólo se estudiarán los nodos PQ.
Como en los nodos de carga (PQ) se conocen la generación y la demanda, se conocen
las potencias netas Pk y Qk en 1.15.3 y 1.15.4 quedando como incógnitas los voltajes.
Como el voltaje del nodo de balance es conocido, en el Newton Raphson hay que
escribir 2(N-1) ecuaciones, el doble del de Gauss Seydel.
Desarrollo en serie de Taylor.
CURSO DE FLUJO DE CARGA
25
El desarrollo en serie de Taylor de las ecuaciones 1.15.3 y 1.15.4, expresadas en forma
polar es:
 ∂ (P )
 (∆P )  ∂ (δ )
(∆Q ) =  ∂ (Q )

 
 ∂ (δ )

∂(P ) 
∂ ( V )  (∆δ )   J1

=
∂ (Q )  (∆ V )  J 3
∂ ( V )
J 2   (∆δ ) 


J 4  (∆ V )
(1.15.5)
Donde:
J1 , J 2 , J3 , y J 4 =
∂(
∂(
)
)
son las matrices Jacobianas del sistema de ecuaciones anterior que
muestran como varían la potencia activa y reactiva cuando varían el módulo y el ángulo
del voltaje.
(∆P ) y (∆Q ): Vectores
columna que representan las diferencias entre la Potencia neta
que existe realmente en cada nodo (y que como se vio es dato para los nodos PQ) y la
que se calcula con el voltaje de cada iteración “Power Mistmatch”.
(∆P ) + j (∆Q ) = (SG ) − (Sd ) − (V ∗ ) ∑ (Y )(V )i
i
(1.15.6)
Donde:
(SG ) − (S d ): Potencia neta real pues se conoce para los nodos PQ.
(V ∗ )i ∑ (Y )(V )i : Potencia neta calculada en cada iteración a partir de los voltajes.
¿Cómo se obtiene la convergencia?
En el método de Newton Raphson la convergencia se obtiene a partir de las “power
mistmatch” en lugar de los voltajes como en el método de Gauss Seydel. Ejemplo.
(∆P) ≤ Tolerancia dada.
(∆Q) ≤ Tolerancia dada.
Este método hace que la convergencia se alcance en muchas menos iteraciones que en el
Gauss Seydel permitiendo, además, valores de tolerancia menores porque la referencia
es una potencia neta real calculada a partir de los datos.
Si se expresa 1.15.5 en notación simbólica se obtiene:
CURSO DE FLUJO DE CARGA
26
(∆S)=(J)(∆V)
(1.15.6)
Como para los nodos PQ las incógnitas son los voltajes,
(∆V)=(J)-1(∆V)
(1.15.7)
es decir, en cada iteración hay que invertir la matriz jacobiana por lo que consume un
tiempo de ejecución relativamente alto. Esta característica llevó a los ingenieros a
desarrollar dos Newton Raphson más rápidos y con menor consumo de memoria:
Newton Raphson desacoplado.
Como ya se explicó en el epígrafe 1.8, la potencia activa varía fundamentalmente con el
valor del ángulo de potencia δ, mientras que la potencia reactiva lo hace con el módulo
de los voltajes de nodo.
Por estas razone, es posible despreciar los elementos mutuos de la ecuación 1.15.5 (J2) y
(J3) porque influyen poco en los valores de (∆P) y (∆Q). Así, la ecuación 1.15.5 puede
reescribirse como:
 (∆P ) ( J1 )
(∆Q ) =  (0)

 
(0)   (∆δ ) 
( J 4 ) (∆ V )
(1.15.8)
Donde (J1) y (J4) son las matrices jacobianas que dan la variación de P con el ángulo δ y
de Q con el módulo de los voltajes de nodo.
Esta nueva formulación se conoce con el nombre de Newton Raphson (NR)
desacoplado porque faltan los elementos mutuos de la matriz jacobiana siendo más
rápido y menos consumidor de memoria que el NR acoplado, pues calcula e invierte
sólo dos matrices jacobianas.
Limitaciones del NR desacoplado.
La solución de este nuevo sistema de ecuaciones converge siempre que en las líneas se
cumpla que X>>R lo que es cierto en los SEP de 110 kV o más. Por ejemplo, tiene
problemas de convergencia en las redes a 33 kV donde X≅R.
Newton Raphson desacoplado rápido.
CURSO DE FLUJO DE CARGA
27
Se basa en invertir la jacobiana una sola vez y suponerla constante durante el resto del
análisis. Esto lo hace mucho más rápido porque la inversión es un procedimiento de
cálculo altamente consumidor de tiempo.
Newton Raphson acoplado rápido.
Ante la necesidad de calcular flujos de carga en las redes donde no se cumple la relación
X>>R, se desarrolló el NR acoplado rápido. En él no se desprecian los elementos
mutuos de la matriz jacobiana, pero sólo se invierte una vez al igual que en el NR
desacoplado rápido.
1.16.- Comparación entre los métodos de NR y de GS.
Se analizarán seis aspectos:
1- Confiabilidad de los resultados. El método de NR es el más confiable. Si se utiliza
una buena técnica para escoger los voltajes de arranque, la incertidumbre con
respecto a la solución se elimina casi totalmente (ver el epígrafe 1.13 y la figura
1.13.1) El GS es adecuado para analizar la operación de SEP desarrollados, bien
interconectados, sin embargo, no es adecuado para ser utilizado por proyectistas y
consultantes que analizan continuamente sistemas con situaciones nuevas donde se
comprueban múltiples variantes de REN y RPA que pueden conducir a una falta de
convergencia o peor aún, a la convergencia hacia resultados erróneos.
2- Velocidad de la solución. La figura 1.16.1 se explica sola. Note que si el sistema es
pequeño, la diferencia no es muy grande.
Tiempo de Solución.
GS
NR
Sistemas
Pequeños.
No de Nodos.
Figura 1.16.1.- Comparación entre las velocidades de solución del GS y el NR según
Stott.
CURSO DE FLUJO DE CARGA
28
3.- Almacenamiento necesario. La figura 1.16.2 muestra que el almacenamiento es
mayor para el NR que para el GS lo cual es lógico si se recuerda que en el GS el número
de ecuaciones es (N-1) mientras que en el NR es 2(N-1). El crecimiento se supone lineal
a partir de la utilización de la técnica de las matrices esparcidas (“sparcity”) en la que
sólo se almacenan los elementos desiguales de cero de la matriz (YB).
Almacenamiento.
NR
GS
No de Nodos.
Figura 1.16.2.- Comparaciones entre el GS y el NR con relación al almacenamiento
necesario.
4.- Facilidad de programación. El método de NR es considerablemente más difícil de
programar que el GS.
5.- Número de iteraciones.
Número de Número de Iteraciones.
Nodos.
GS
NR
14
24
30
33
4
57
59
92
80
113
92
Tabla 1.16.1.- Comparación entre el número de iteraciones del GS y el NR.
CURSO DE FLUJO DE CARGA
29
6.- Versatilidad de la solución. Este aspecto está relacionado con la incorporación de
la solución de FC a un problema de otro tipo como por ejemplo, el control en tiempo
real (“on line control”), los problemas de optimización, la estabilidad transitoria, el
despacho económico de cargas, etcétera.
En estos aspectos el NR es más versátil porque su solución matemática es formal y a
que la matrices jacobianas dan una información útil sobre la variación incremental de
las variables del sistema.
Resumiendo, puede decirse que para la mayoría de los propósitos, el método de NR
tiene grandes ventajas sobre el de GS principalmente en la confiabilidad de la solución,
la velocidad de la convergencia y la versatilidad.
BIBLIOGRAFÍA.
1- Stott. B.: “Introductory notes in power systems load flow.” 1973.
2- Graiger J. J. Stevenson W.D.: “Power Systems Analysis” 1996.
3- Elgerd O. I.: “Electric energy system theory” 1971.
4- Monticelli A. J.: “Fluxo de cargas em redes de energía eléctrica” 1983.
CURSO DE FLUJO DE CARGA
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