Geometría 5°

Quinto Año de Secundaria
1
Índice
I Bimestre
Capítulo 1
Triángulos
11
Capítulo 2
Líneas notables en el triángulo
19
Capítulo 3
Congruencia de triángulos
27
Capítulo 4
Aplicaciones de congruencia
35
Capítulo 5
Repaso
41
Capítulo 6
Polígonos
45
Capítulo 7
Cuadriláteros
52
Capítulo 8
Circunferencia
59
Capítulo 9
Ángulos en la circunferencia - Cuadriláteros inscriptibles
67
II Bimestre
Capítulo 10
Proporcionalidad y semejanza
74
Capítulo 11
Relaciones métricas
80
Capítulo 12
Polígonos regulares
89
Capítulo 13
Áreas de regiones triangulares
95
Capítulo 14
Áreas de regiones poligonales
101
Capítulo 15
Relación de áreas
107
Capítulo 16
Repaso
Capítulo 17
Áreas de regiones circulares
120
Capítulo 18
La recta en el plano cartesiano
127
115
2
Quinto Año de Secundaria
III Bimestre
Capítulo 19
Circunferencia
136
Capítulo 20
Parábola
141
Capítulo 21
Geometría del espacio (Ángulo diedro – triedro)
144
Capítulo 22
Geometría del espacio (poliedros regulares)
149
Capítulo 23
Repaso
157
Capítulo 24
Geometría del espacio (prisma – cilindro)
161
Capítulo 25
Geometría del espacio (pirámide – cono – esfera)
167
Capítulo 26
Puntos notables
175
Capítulo 27
Relaciones métricas
180
Capítulo 28
Repaso
185
IV Bimestre
Capítulo 29
Áreas de regiones triangulares y poligonales
189
Capítulo 30
Áreas de regiones circulares relación de áreas
194
Capítulo 31
Repaso
199
Capítulo 32
Plano cartesiano – recta
204
Capítulo 33
Secciones cónicas circunferencia – parábola – elipse
208
Capítulo 34
Geometría del espacio
212
Capítulo 35
Repaso
217
Capítulo 36
Repaso bimestral
222
Geometría
Quinto Año de Secundaria
3
Introductorio
Introductorio
Ángulos
Es la figura geométrica determinada por la reunión de dos rayos no alineados que tienen el mismo origen.
A
a
Elementos
123
O
01. Vértice: O
02. Lados: OA y OB
B
Notación:
•
t
Ángulo AOB: +AOB, AOB
•
Medida del ángulo AOB: m+AOB = a°
Clasificación de los ángulos por su medida
Ángulo agudo
Ángulo recto
a
Ángulo obtuso
a
0º < a < 90º
a
a = 90º
90º < a < 180º
Bisectriz de un ángulo
A
b b
q
O
q
M
bisectriz
L
bisectriz
B
4
4
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Ángulos adyacentes
a
q
a
b
c
d
Observación
q
b
a
b
q
a
f
g
g
a + b + q + g + f= 360º
a + b + q + g = 180º
Ángulos complementarios
Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a
90º.
b
El complemento C(x) de un ángulo "x"
a
C(x) = 90º - x
a + b = 90º
Ángulos suplementarios
Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es igual a 180º.
q
El suplemento S(x) de un ángulo "x"
S(x) = 180º - x
a
a + q = 180º
Ángulos adyacentes suplementarios
B
B
q
a
a
A
O
C
A
Los ángulos AOB y BOC también se les denomina par
lineal.
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
5
5
O
q
C
Las bisectrices de todo par lineal son perpendiculares
San Marcos
Introductorio
Ángulos opuestos por el vértice
a
b
a
b
Observación
Alternos internos
Correspondientes
Conjugados
b
b
b
a
a=b
a=b
•
q
a
Si: L1 ' L2
•
q + b = 180º
Si: L1 ' L2
L1
a
q
L1
a
b
x
b
c
a
b
L2
a+b+q=a+b+c
•
x=a+b
Si: L1 ' L2
•
Si: L1 ' L2
L1
f
L2
a2
w
L1
a1
a3
q
b
a
an
L2
L2
a1 + a2 + ... + an = 180º (n - 1)
a + b + q + w + f = 180º
6
6
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Práctica
BLOQUE I
05. Calcule "x", L1 ' L2
01. Del gráfico, calcule el valor de "y" cuando "x" toma su
mínimo valor entero.
3x
x
w
2x - y
a) 46º
d) 68º
x+y
y-x
b) 88º
e) 64º
c) 78º
A
w
L2
b) 36º
e) 32º
c) 12º
06. Calcule el valor de "x"
02. Si: m∠AOM=m∠MOB,
m∠MON=20º, m∠BOC=?
M
a) 18º
d) 24º
L1
a
a
m∠AON=m∠NOC,
M
B
N
q
x
q
O a
100º a
O
a) 50º
d) 40º
N
C
b) 60º
e) 30º
c) 20º
a) 170º
d) 165º
03. Si: m∠BOP = m∠POC, m∠AOP = 60º,
m∠POD-m∠COD=20º, m∠AOB=?
B
A
b) 175º
e) 160º
c) 185º
07. Si: L1 ' L2 , calcule: x
P
L1
q
2w
C
x
2x
2q
O
a) 30º
d) 10º
D
b) 20º
e) 60º
a) 70º
d) 40º
c) 40º
a) 55º
d) 45º
b
b) 60º
e) 30º
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
b) 48º
e) 72º
130º
L1
150º
c) 60º
110º
B
a
A
x
b
L2
08. Si: a ' b y el DABC es acutángulo. Calcule el máximo valor entero de "x"
04. Calcule x, si: L1 ' L2
a
a
w
L2
x
b
C
c) 35º
a) 61º
d) 58º
7
7
b) 60º
e) 57º
c) 59º
San Marcos
Introductorio
09. En la figura, L1 ' L2 y a - b=40º. Calcule a y b
a
12. En la figura, L1 //L2 // L3 y w - q=40º, Calcule "x"
w
L1
b
L1
a
a
q
L2
x
b
b
80º
a) 70º y 30º
d) 60º y 20º
b) 50º y 10º
e) 75º y 35º
b
b
m
m
a) 80º
d) 90º
c) 80º y 40º
10. En la figura, L1 ' L2 . Calcule el valor de "x".
b) 70º
e) 60º
L1
5x
n
a
a
n
b) 22º
e) 25º10'
L2
a) 50º
d) 40º
c) 22º30'
b) 35º
e) 52º
n
b
a) 55º
d) 40º
c) 41º
14. Si: L1 ' L2 , calcular: "a"
160º
L1
4a
L1
a
a
3y + x
x - 2y
11. En la figura, L1 ' L2 y m + n = 250º. Calcule "x"
m
c) 75º
13. En el gráfico, calcule el máximo valor entero de "y".
3x
a) 20º5'
d) 24º20'
L3
L2
3a
L2
a
2a
x
b
b) 45º
e) 44º
a) 16º
d) 0º
L3
c) 50º
b) 20º
e) 15º
L2
c) 5º
15. Se tiene el par lineal. Calcule el máximo valor de "y"
Q
3y
x - 2y
P
a) 45º
d) 61º
8
8
O
b) 50º
e) 60º
R
c) 59º
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Tarea domiciliaria
01. Si el doble del suplemento de un ángulo, aumentado
en su mitad coincide con el ángulo. Calcule el complemento del ángulo mitad.
a) 12º
b) 14º
c) 16º
d) 18º
e) 20º
02. El complemento de la diferencia entre el suplemento
y el complemento de un ángulo es
a) 15º
b) 60º
c) 90º
d) 0º
e) 5º
03. Sean los ángulos consecutivos AOB y BOC, se trazan
las bisectrices OM del m∠AOC y ON del ∠BOC. Si
∠MON mide 20º.
Calcule: m∠AOB
a) 30º
b) 32º
c) 36º
d) 40º
e) 45º
04. El complemento de la diferencia que existe entre el
suplemento de un ángulo y su complemento es igual
a los 4 de la diferencia que existe entre el suplemen5
to y el suplemento del suplemento del mismo ángulo.
Calcule la medida del ángulo.
a) 80º
b) 85º
c) 90º
d) 70º
e) 75º
05. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y
COD, luego se trazan las bisectrices OX de AOB y
OY de COD, si m∠AOC=25º, mXOY=45º
Calcule: m∠BOD
a) 56º
b) 60º
c) 58º
d) 65º
e) 70º
06. En un plano alrededor del punto O se trazan los rayos
OA , OB, OC, OD y OE, de modo que los ángulos
AOB, BOC, COD, DOE, y EOA; son proporcionales
a 1, 2, 3, 4 y 5.
Se trazan OX y OY bisectrices de los ángulos COD
y DOE.
Calcule: m∠XOY
a) 42º
b) 66º
c) 84º
d) 90º
e) 96º
08. Se tienen ángulos consecutivos AOB, BOC y COD
cuyas medidas están en progresión aritmética de razón "r". Si: OA y OD son rayos opuestos. Calcule
la medida del ángulo formado por las bisectrices del
mayor y menor ángulo.
a) 120º
b) 130º
c) 110º
d) 125º
e) 105º
09. Si los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD se encuentran en progresión aritmética. Si: m∠AOD=102º
Calcule: m∠BOC
a) 64º
b) 36º
c) 51º
d) 27º
e) 34º
10. La media geométrica de dos ángulos es 4º y la media
armónica 32 ¿Cuánto mide el menor de ellos?
17
a) 16º
b) 32º
c) 10º
d) 1º
e) 2º
11. Dados los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que
m∠AOB=xº y m+BOC = 1 Calcule la medida del
xc
∠AOC; sabiendo que es lo mínimo posible.
a) 1º
b) 2º
c) 1,5º
d) 3º
e) 2,5º
12. En la figura, calcule "x"
35º
x
170º
aa
80º
a) 55º
d) 70º
80º
b) 60º
e) 75º
c) 65º
13. Del gráfico, calcule el mayor valor entero de "x", si el
triángulo ABC es acutángulo.
B
L1
x
07. Del gráfico, calcular el valor de la razón aritmética
entre x e y, cuando "x" toma su mínimo valor entero.
A
5x
a) 8º
d) 5º
x-y
b) 3º
e) 6º
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
L2
32º
2y+x
C
c) 4º
a) 50º
d) 57º
9
9
b) 44º
e) 58º
c) 56º
San Marcos
Introductorio
14. En el gráfico L1 ' L2 ; calcule:
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6, si: a + b + q = 120º
18. Si L1 ' L2 , q es agudo. Calcule el mínimo valor entero de a
L2
a2
L1
30º
30º+b
a a3
b a4 q a5
a6
a1
q
ba
L1
a) 270º
d) 600º
b) 300º
e) 420º
c) 360º
15. En el gráfico "y" asume su mayor valor entero. Calcule el valor de "y"
B
y-2x
A
a) 69º
d) 72º
x+2y
O
b) 70º
e) 73º
b) 44º
e) 61º
c) 46º
19. En el gráfico mostrado, calcule "b", de tal manera que
"q" sea la medida de un ángulo máximo.
q = [116 - x (x + 4)]º
C
q
b
c) 71º
a) 60º
d) 62º
16. Si: L1 ' L2 y la medida del ángulo ABC es agudo,
calcule el menor valor entero impar de "x"
E
a a
C
a) 89º
d) 31º
L2
a
b
b
b
L1
x
b) 58º
e) 56º
c) 75º
20. Según la figura: 2a - b > 38º, calcular el mínimo valor entero de x, si: L1 ' L2
a
2a
L1
D
x
A
a) 46º
d) 43º
L2
B
b) 47º
e) 44º
b
c) 45º
a) 112º
d) 132º
b q
q
L2
b) 119º
e) 138º
c) 129º
17. Calcule la razón aritmética del máximo y mínimo valor entero que puede tomar "x", si "a" es la medida
del ángulo agudo, en el gráfico L1 ' L2
a
L1
x
83º
L2
a) 90º
d) 88º
b) 85º
e) 86º
c) 87º
10
10
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
1
Triángulos
Definición
F
B
A
C
02. Lados: AB, BC y AC
03. Ángulos
123
E
1442443
Elementos
01. Vértices: A, B, C
Interiores: +A, +B, +C
Exteriores: +EAB, +FBC, +BCH
H
Notación: DABC, TABC, etc.
Observación
Se denomina región triangular a la reunión de los
puntos interiores con el conjunto de puntos de sus
lados.
Propiedades básicas
01.
02.
e%2
º
aº
e%3
e1%
wº
e1% + e%2 + e%3 = 360c
aº + qº + wº = 180º
03.
04.
x = bº + qº
yº
y = aº + qº
bº z = aº + bº
c
b
a
xº
aº
qº
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
b-c<a<b+c
zº
11
11
San Marcos
Capítulo 01
05.
06.
q
b
a
x
a
c
e
g
x=a+q+g
d
a + b + c + d + e = 180º
07.
08.
B
b
a
c
A
a
q
b
Si: )θ < α " c < a
β>θ"b>c
Si: )c < b " θ < β
b>a"β>α
b
c
a
C
d
a+b=c+d
09.
10.
b
x
x
a
b
c
y
a
x=a+b+c
11.
x+y=a+b
12.
B
B
P
D
A
AB + BC > AD + DC
A
C
C
p: semiperímetro del DABC
p < PA + PB + PC < 2p
13.
14. T. Acutángulo (a < 90º)
B
b2 = c2 + a2
c
A
b
a
c
b>a
b>c
a
a2 < c2 + b2
a
C
b
15. T. Obtusángulo (a > 90º)
a
c
a2 > c2 + b2
a
b
12
12
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Problemas resueltos
01. En la figura, AB = AC = CD. Calcular: x
C
B
2x-q
q
x
A
D
Resolución
B
2x
q
C
2x-q
x
180º-4x
q
x
x+q
A
3x-q
•
Prolongamos BA → m∠ externo en A=3x - q
•
Unimos B con C, m∠ABC = m∠BCA = 2x
•
D BCD: BC = CD
•
D ABC: equilátero
⇒ 2x = 60º
x = 30º
D
02. Del gráfico mostrado: AB = BP = PQ = QC. Calcular: q
B
4q
Q
P
A
q
C
Resolución
B
4q 2q
2q
A
3q
3q
P
q
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
Q
•
x
q
D ABP: 10q = 180º
q = 18º
C
13
13
San Marcos
Capítulo 01
03. En la figura, AB < FC; BC = FC. Calcular: x, si es un número entero.
B
x
A
4º
C
F
Resolución
B
•
Sabemos: 4 + x < 90º ⇒ x < 86º
•
Si: AB < FC; AB < BC
x 4º+x
⇒ 172º - 2x < 4º
172º - 4 < 2x
x
A
4º
F
4º+x
172º-2x
x > 84º
C•
Luego: 84º < x < 86º
x = 85º
14
14
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Práctica
01. Calcular "x" en función de a, b y c.
05. Los lados de un triángulo isósceles miden 9m y 19m
calcular su perímetro.
a) 37m
b) 48m
c) 50m
d) 47m
e) 37m y 47m
b
06. Si: AC = AB, AE = AD. Calcular "x"
x
B
c
a
D
a) c - a + b
b) a - b + c
d) c - a - b
e) c - 2(a + b)
a+b+c
3
c)
x
A
02. En la figura; AB = BC = CD
Calcular la medida de "x"
C
C
2x
a) 5
d) 20
60º
B
E
20º
x
D
b) 10
e) N.A.
c) 15
07. Calcular "x", si: RS = 5; QR = PQ = 8; PS = 13
S
60º
A
a) 80º
d) 40º
b) 50º
e) 20º
c) 60º
R
a) 100º
d) 110º
P
M
x
N
a) 45º
d) 37º
b) 40º
e) 60º
40º
3x+6
R
12
2x
a) 3; 4 y 5
d) 3 y 4
B
100º
60º
c) 75º
c) 30º
04. Calcular "x", si: AB = BC = AD
A
b) 90º
e) 120º
08. En la figura, calcular los valores enteros que puede
tomar "x"
50º
Q
x
Q
03. Calcular "x", si: PQ = PM
80º
P
b) 2; 3 y 4
c) 4; 5 y 6
e) 2; 3; 4; 5 y 6
09. ¿Cuál es el menor valor entero que puede tomar "x"?
x C
7
x+2
D
a) 50º
d) 80º
b) 60º
e) 75º
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
a) 4
d) 6
c) 70º
15
15
b) 7
e) 3
c) 5
San Marcos
Capítulo 01
10. En un triángulo ABC, se traza BP ("P" está en AC) de
tal manera que: BP = PC
Calcular la medida del ángulo ABC, sabiendo además que: m∠ABP - m∠BAC = 40º
a) 90º
b) 100º
c) 110º
d) 80º
e) 180º
11. En la figura, determinar el menor valor entero de "K"
K
9+K
b) 3
e) 1
14. En un triángulo ABC; se traza BP ("P" está en AC) de
tal manera que AB = BP = PC
Hallar la m∠ABP, si: m∠BCA = 40º.
a) 10º
b) 20º
c) 30º
d) 40º
e) 50º
15. En un triángulo ABC (AB = BC) se ubica el punto "D"
en AB, tal que: CD = AC
Hallar m∠CBA, si: m∠DCA = 25º
a) 20º
b) 50º
c) 25º
d) 15º
e) 12º30'
12
a) 2
d) 5
13. Exteriormente al triángulo isósceles ABC (AB = BC)
se traza el triángulo equilátero BCD.
Calcular: m∠CAD
a) 10º
b) 18º
c) 25º
d) 30º
e) 45º
c) 4
12. En la figura, ¿cuál es el segmento que tiene mayor
longitud?
A
80º
B
46º
47º
E
50º
65º
C
a) AB
d) AC
D
b) BE
e) BD
c) ED
16
16
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Tarea domiciliaria
01. En la figura, calcular "q"
05. Calcular el máximo valor entero de "x"
11q
x
a) 14º
d) 12º
12q
50º
a) 12º
d) 18º
b) 10º
e) 5º
c) 15º
b) 16º
e) 18º
c) 15º
06. En un triángulo ABC; donde A=60º, sobre AC y BC
se ubican los puntos D y E respectivamente, de tal
manera que: AD ≅ EB ≅ BA y m∠BED = m∠EBA.
Hallar: EDC
a) 50º
b) 20º
c) 18º
d) 30º
e) 40º
02. Calcular "b", si: AB = BE = EC
B b
07. Calcular el máximo valor entero de "x"
A
32º
E
a) 92º
d) 78º
b) 86º
e) 84º
9
x
C
c) 96º
6
a) 16
d) 13
03. Si: aº + bº = 240º, calcular m∠ACB
A a
b) 15
e) 14
c) 12
08. Si: CD = BD, hallar: m∠ABD
B
b
C
B
a) 60º
d) 50º
b) 70º
e) 40º
A
c) 80º
a) 20º
d) 30º
04. Si: AB = BE = EC, calcule m∠ABC
B
a) 65º
d) 75º
40º
D
b) 60º
e) 10º
C
c) 40º
09. Calcular la relación correcta para "x"
40º
A
80º
5
E
b) 60º
e) 55º
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
9
x
C
11
c) 80º
a)
b)
c)
d)
e)
17
17
17
7 < x < 13
4 < x < 28
6 < x < 14
4 < x < 14
6 < x < 28
San Marcos
Capítulo 01
10. Si: a > 90º, AC es un número entero. Calcular la
suma del máximo y mínimo valor entero que puede
tener "x"
14. Del gráfico, calcular "x"
B
10
C
x
x
b) 19
e) 22
B
A x
D
c) 45º
12. Si el triángulo ABC es equilátero y BD = BC. Calcular "x"
D
4x
a) 14
d) 20
E
C
b) 16
e) 24
c) 18
13. En la figura, AB = AD = DC. Calcular "x"
B
26x
D
6x
4x
A
a) 3º
d) 2º
b) 5º
e) 4º
c) 30
15. Los lados de un triángulo miden 14; x - 4 y x + 6.
Calcular el menor valor entero que puede tomar "x".
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
17. En un triángulo ABC se conoce que: AB=8 y BC=6.
Calcular el mínimo valor entero de AC si la medida
del ángulo B es mayor de 90º
a) 9
b) 10
c) 11
d) 8
e) 12
18. En un triángulo ABC; M en AB, N en AC, AB=AC,
ACB = 70º y BM ≅ MN ≅ AN. ¿Cuánto mide el ángulo MBN?
a) 20º
b) 30º
c) 10º
d) 15º
e) 18º
x
A
b) 20
e) 52
16. En un triángulo obtusángulo ABC; obtuso en "B";
AB=2; BC=8. Calcular la medida de AC si es número entero.
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
C
b) 30º
e) 40º
B
a) 40
d) 45
c) 20
11. En el siguiente gráfico calcular "x", si: AD=BD=DC
a) 60º
d) 50º
2b
D
8
a) 18
d) 21
b
2
a
A
ww
q q
2a
a
C
19. En un triángulo PQR, m∠QPR=80º, m∠PQR=40º.
Además D ∈ PQ, m∠PRD=50º y E∈QR, tal que:
PR=RE
Calcule la m∠EDQ.
a) 90º
b) 80º
c) 100º
d) 110º
e) 120º
20. Se tiene un triángulo ABC, m∠B=78º, exteriormente
y relativo al lado AC se ubica el punto D, tal que la
m∠DAB=81º y m∠ADC=141º
Calcular la m∠ACD, si: BC = CD
a) 10º
b) 9º
c) 18º
d) 20º
e) 30º
c) 8º
18
18
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
2
Líneas notables en el triángulo
Mediana
B
BM: mediana
A
M
b
b
C
Bisectriz
B
L
B q
q
aa
BI: bisectriz interior
A
L : bisectriz exterior
A
C
I
C
Altura
A
B
BH: altura
A
AF: altura
F
C
H
B
C
Mediatriz
B
L
L: mediatriz de AC
A
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
b
b
19
19
C
San Marcos
Capítulo 02
Ceviana
B
B
BF: ceviana
A
BE: es ceviana exterior
A
C
F
E
C
Relaciones angulares
01.
02.
Bº
B
a
a
x
a
q
a
q
q
x
x = 90c+ Bc
2
q
x = 90c - Bc
2
03.
04.
B
x
Bº
a
xº
q
a
q
aº
A
xc =
bº
I
H
αc - β c
2
C
BH: altura
x = Bc
2
BI: bisectriz del ángulo ABC
Puntos notables
Ortocentro
Baricentro
Punto de concurrencia de las alturas o sus prolongaciones,
en un triángulo.
Punto de concurrencia de las medianas en un triángulo.
Ejemplo:
Ejemplo:
B
B
D
E
H
A
G
A
C
F
C
G: Baricentro del DABC
H: Ortocentro del DABC
BG = 2(GF)
AG = 2(GE)
CG = 2(GD)
20
20
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Incentro
Excentro
Punto de concurrencia de bisectrices interiores de un
triángulo.
Punto de concurrencia de dos bisectrices exteriores con
una interior.
Ejemplo:
Ejemplo:
B
aa
a
a
B
E
I
q
b
A
b
q
q
A
C
b
q
b
C
E: Excentro relativo a BC del DABC
I: Incentro del DABC
Circuncentro
Punto de concurrencia de las mediatrices de los lados de un triángulo.
Ejemplo:
B
O
C O: Circuncentro del DABC
A
Propiedades
01.
02.
b
x
x = a+b
2
x
a a
a
q q
a
b
a
03.
x = a+b
2
a
q q
04.
B
m
y
w w
q q
a
b
a
x
b
O
x
A
x = 45c - m
4
C
O : circuncentro
x = 2y
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
21
21
San Marcos
Capítulo 02
Problemas resueltos
01. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC), se traza la altura AH. Calcular m∠HAC, si: m∠B=80º.
Resolución
B
80º
H
A
Si: AB = BC
⇒ mAt = mCt = 50c
•
D AHC: x + 50º = 90º
x = 40º
50º
x
•
C
02. En un triángulo ABC; la medida del ángulo A excede a la medida del ángulo C en 36º. Hallar la medida del mayor
ángulo formado por la mediatriz de AC con la bisectriz del ángulo exterior B.
Resolución
T
Q
º+a
B 188º+a x
1
P
90º-a 9
0º-
a
A
36º+a
M
•
m∠ TBX = 36 + 2a
•
m∠ BPQ = 90º - a
•
D BQP: x = 18º + a + 90º - a
x = 108º
a
C
03. En un triángulo ABC (B = 90º), se traza la altura BH, la bisectriz del ∠HBC intersecta en P a HC. Si: AB=5, hallar
el máximo valor entero de BP.
Resolución
B
qa
5
A
2a
a
H
m∠ ABH = m∠C=q
•
m∠ A = m∠HBC = 2a
•
D ABP: isósceles, AB = AP = 5
•
x
a+q
•
P
q
ABP:
5-5<x<5+5
0 < x < 10
C
xmáx = 9
22
22
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Práctica
01. En el gráfico, calcular "x"
a) 70º
d) 95º
qq
b b
a) 10º
d) 18º
b) 12º
e) 20º
a) 92º
d) 78º
c) 15º
x
a) 95º
d) 70º
3a
b
a) 10º
d) 18º
b) 85º
e) 87º
N
c) 16º
2q
q
q
R
03. Calcular : x
2a
a B
a
w
w
a) 80º
d) 120º
a) 126º
d) 124º
160º
A
C
b) 100º
e) 70º
c) 60º
aa
48º
b) 133º
e) 125º
a
B
a) 100º
d) 115º
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
b
q
x
b
a
a b
b) 105º
e) 120º
w
c) 110º
10. AM es una mediana de un triángulo ABC de baricentro "O". Si: (AO) . (OM) = 32. Calcular : AM
D
A
b
c) 110º
C
x
80º
c) 123º
09. En el gráfico adjunto: a + b + q + w = 150º
05. En el gráfico mostrado, calcular: x
w
Q
Calcular: x
b) 130º
e) 140º
w
P
M
04. En un triángulo ABC, calcular la medida del ángulo
formado por las bisectrices interiores de los ángulos A
y C, sabiendo que la suma de los ángulos exteriores
de A y C es 260º
a) 120º
d) 100º
c) 90º
a
b) 12º
e) 20º
x
c) 88º
08. En el gráfico, calcule: m∠MRP
x
3b
b) 98º
e) 64º
07. En un triángulo ABC, m∠A + m∠C = 85º; se traza la
altura BH, luego se trazan las perpendiculares HM y
HR a los lados AB y BC. Calcular la m∠MHR.
02. En el gráfico, calcular "x"
100º
c) 120º
06. El ángulo que forman las bisectrices interiores de los
ángulos A y C del triángulo ABC mide 46º. Hallar la
medida del Bt .
4x
8x
b) 85º
e) 130º
a) 6
d) 16
b
b) 8
e) 15
c) 12
E
23
23
San Marcos
Capítulo 02
11. En el gráfico, calcular "x"
13. En un triángulo rectángulo ABC cuyo ángulo interior
C mide 20º, se trazan sobre la hipotenusa AC la altura
BH y la bisectriz BD del ángulo ABC
a+x
Calcule la medida del ángulo HBD
q q
7x
a) 20º
d) 15º
a) 15º
d) 30º
a
a
b) 10º
e) 18º
b) 30º
e) 15º
c) 25º
5x
c) 12º
12. En un triángulo rectángulo ABC (m∠B=90º) se traza
la bisectriz BD. Hallar la medida del ángulo formado
por las bisectrices de los ángulos BAC y BDC al cortarse.
a) 25º
d) 22º30'
b) 20º
e) 35º
c) 45º
14. En el triángulo rectángulo ABC (recto en B) se traza la
altura BH y la bisectriz interior AQ que se cortan en P,
tal que: BP = PQ. Hallar: m∠C
a) 20º
d) 50º
b) 30º
e) 60º
c) 40º
15. En un triángulo acutángulo dos de sus lados suman
28u, calcule el mayor valor entero que puede tomar
la altura relativa al tercer lado.
a) 11u
d) 14u
24
24
b) 12u
e) 15u
c) 13u
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Tarea domiciliaria
01. En el gráfico AE es una bisectriz, calcular: x
05. Calcular: x
B
q
120º
x E
40º
b) 80º
e) 45º
c) 60º
02. En la figura, calcular: x, si: AB = BC
a) 10º
d) 30º
B
q q
x
A
a) 75º
d) 65º
28º
c) 70º
4q
E
x
a
b) 20º
e) 60º
b) 11u
e) 14u
C
c) 12u
07. En la figura, calcular: x, si BF es bisectriz exterior del
DABC y AE = EC
a
B
C
c) 40º
04. Calcular "x" si AD es bisectriz interior del ángulo BAC,
DC = CE
B
E
x
C
A
a) 64º
d) 70º
2x
D
2q
A
a) 10u
d) 13u
120º
q
q
c) 20º
B
B
a) 30º
d) 50º
b) 15º
e) 40º
C
b) 76º
e) 80º
x
06. En la figura, BE es bisectriz exterior del triángulo
ABC, si AB = 5u y BC = 8u.
Calcular: AE
03. En el gráfico, calcular: x
A
a a
3x
C
20º
A
a) 50º
d) 70º
q
32º
b) 48º
e) 60º
F
c) 32º
08. En la figura, calcular: x
x
q
q
A
a) 30º
d) 45º
C
E
b) 36º
e) 50º
c) 40º
b
b
65º
x+a
a
x
a) 10º
d) 25º
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
25
25
b) 15º
e) 30º
c) 20º
San Marcos
Capítulo 02
09. Calcule: m∠MLN, si: m∠BAC = 80º
B
aa
L
N
w
w
q
A
M
a) 10º
d) 25º
b
q
b) 15º
e) 30º
b
C
c) 20º
10. En la figura; AC = AB, calcular: BD. Si: CD = 13 y
BE = 4
D
q
q
A
a) 8
d) 6
a
C
b) 9
e) 6,5
12. En un triángulo acutángulo ABC se traza la altura BH.
Las bisectrices de los ángulos BAH y HBC se intersectan en "P"
Calcule la m∠APB, si: m∠ABC = 70º
a) 95º
b) 100º
c) 105º
d) 110º
e) 120º
13. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BI y
en su prolongación se ubica el punto "M" de modo
que: IC = MC. Si: m∠BAC - m∠BCA = 30º
Calcule la m∠ICM
a) 40º
b) 60º
c) 35º
d) 30º
e) 45º
14. En un triángulo ABC se traza la ceviana BD (D ∈ AC).
Si I y H son incentros de los triángulos ABD y BDC
respectivamente. Hallar m∠ABC, si:
m∠AID + m∠DHC = 260º
B
E
11. En un triángulo ABC la medida del ángulo formado
por la bisectriz interior del ángulo A, y la bisectriz exterior del ángulo C es siete veces la medida del ángulo B, calcule la medida del ángulo B
a) 12º
b) 18º
c) 24º
d) 36º
e) No existe
a) 160º
d) 140º
a
c) 7
b) 100º
e) 130º
c) 150º
15. El ángulo que forman las bisectrices exteriores de los
ángulos P y Q miden 64º. Calcular m∠RPQ. Si en el
triángulo PQR: PQ = PR
a) 42º
b) 62º
c) 76º
d) 78º
e) 64º
26
26
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
3
Congruencia de triángulos
Dos triángulos son congruentes, si tienen sus lados y ángulos respectivamente de medidas iguales.
B
Q
a
a
c
c
A
b
P
C
b
R
DABC ≅ DPQR
m∠A=M∠P
AB = PQ
m∠B=m∠Q
BC = QR
m∠C=m∠R
AC = PR
"No es necesario que los tres lados y los tres ángulos sean de medidas iguales para determinar que dos triángulos sean
congruentes".
"Es necesario y suficiente que tres elementos del primer triángulo sean congruentes a otros tres respectivos elementos
del otro triángulo. Por lo menos uno de estos tres elementos debe ser un lado".
Postulados para la congruencia de triángulos
Primer caso
(Postulado A - L - A) un lado y los ángulos adyacentes a él.
,
a
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
a
q
27
27
q
San Marcos
Capítulo 03
Segundo caso
(Postulado L - A - L) Un par de lados y el ángulo entre ellos.
,
a
a
Tercer caso
(Postulado L - L - L) tres lados.
,
Cuarto caso
(Postulado L - L - A) dos lados y el ángulo que se opone al mayor de dichos lados.
a
,
28
28
a
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Problemas resueltos
01. Del gráfico, calcular "x", si: AB = CD
B
x 65º
50º
A
C
D
Resolución
B
•
Trazar: DE = DB (E ∈ BC)
x 65º
•
m∠BDE = 50º
•
D ABD ≅ D EDC (LAL)
•
Propiedad: m∠C = 50º
65º E
A
50º
D
50º
x
50º
⇒ D DEC: x + 50º = 65º
C
x = 15º
02. Del gráfico, calcular: x
A
D
º
2020º
x
E
º
10
º
10
B
C
Resolución
D
x
B
80º
x
E
•
D BDC: BD = DC
•
D ABD ≅ D CDE (ALA)
•
Propiedad de congruencia: AD = ED
•
D ADE:
2x + 20º = 180º
º
10
10
º
A
º
2020º
70º
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
x = 80º
C
29
29
San Marcos
Capítulo 03
03. De la figura; AB = CD; AC=BE. Calcular: q
B
D
A
50º
35º
45º
C
q
E
Resolución
B
•
m∠AED = 50º (AD = AE)
D
A
50º
35º
45º
C
q
D ADE: isósceles
•
D ABE ≅ D ADC (LLL)
•
Propiedad: AD = ED
•
D ADE: m∠AEB=35º
⇒ 35º + q = 50º
E
q = 15º
30
30
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Práctica
01. Calcule: x
05. Si: AB = BC, calcular "AN", si: BM = 4
B
B
D
a
x
b
20º
A
20º
E
a) 15º
d) 25º
M
a
C
b
b) 10º
e) 35º
C
A
N
c) 20º
a) 4
d) 3 2
02. En el gráfico, AP=QC, calcule: x
B
P
q
06. Si: ABCD es un cuadrado, calcular "x"
B
A
c) 3
b) 4 2
e) 5
q
Q
20º
45º
a) 35º
d) 25º
b) 20º
e) 30º
x
C
c) 15º
x
A
%
%
03. En la figura: AB=BC, AE=CD, mBED = mBDE .
Calcular la medida de 2x, si m]BAC = 3x y
m]CAE = 2x
a) 70º
d) 79º
D
b) 72º
e) 80º
c) 74º
07. Calcular "PQ", si: ABCD es un cuadrado, AP=3 y
CQ=7.
B
B
A
C
D
C
A
D
Q
P
E
a) 40º
d) 45º
C
16º
b) 60º
e) 20º
a) 8
d) 6
c) 30º
04. En el gráfico mostrado, calcular "x" siendo los triángulos ABC y EFC equiláteros.
b) 10
e) 9
c) 12
08. Si: EF=FN; EP=4 y MP=3, calcular "MN"
F
B
12º
A
x
M
E
C
F
a) 12º
d) 48º
b) 24º
e) 30º
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
N
c) 36º
31
31
E
P
a) 8
d) 11
b) 6
e) 10
c) 7
San Marcos
Capítulo 03
09. Calcular "AQ", si: AB = CQ y AB + PQ = 24
B
13. En la figura, AB = BC, los triángulos ABE y BCD son
equiláteros, calcular: m∠EDC
A
P
B
a
a
A
C
a) 12
d) 24
b) 16
e) 28
a
E
Q
c) 18
a) 15º
d) 24º
10. Si: AC = AE; BF = 7u y FC = 5u, calcule: EF
B
D
C
b) 18º
e) 20º
c) 30º
14. Calcular "x", si: AD = BC
B
F
70º x
A
C
D
E
a) 12u
d) 19u
b) 15u
e) 24u
a) 20º
d) 50º
c) 17u
b) 40º
e) 18º
C
c) 30º
15. Calcular "x", si los triángulos AFB y BEC son equiláteros.
11. Si: BF = BC y AF = EC, calcular "x"
B
E
F
130º
E
50º
A x
B
C
x
C
A
F
a) 60º
d) 80º
40º
D
A
b) 50º
e) 75º
a) 60º
d) 120º
c) 70º
b) 90º
e) 150º
c) 110º
12. Calcular a
B
8a
A
6a
2a
a) 20º
d) 10º
E
b) 12º
e) 18º
C
c) 15º
32
32
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Tarea domiciliaria
01. Si: BP=4, PQ=7 y AB=BC
Calcular : AP + QC
a) 13
d) 10
A
b) 11
e) 8
c) 6
05. Si: AF=EC; EF=8u y FB=5u. Calcular: AC
E
Q
D
F
P
B
C
a) 11
d) 15
b) 8
e) 18
c) 14
a) 16u
d) 17u
02. Si: BC=CE; AC=CD y m∠BAC = 32º
Calcular "x"
C
B
A
b) 18u
e) 13u
c) 15u
06. En el gráfico, las regiones ABP y PHC son congruentes, calcule: PC
PB
B
A
P
B
E
A
x
a) 2
d) 3
2
D
C
a) 118º
d) 148º
b) 104º
e) 138º
H
c) 108º
b) 3
e) 5
2
4a
03. En el gráfico, calcule a, siendo AB=CD
B
q
68º
a
a) 34º
d) 18º
A
b) 17º
e) 19º
E
C
b) 40º
e) 25º
B
c) 37º
04. Si: AB=BC, AM=3 y CN=5, calcular : MN
N
a
M
A
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
c) 24º
08. Si: BC = CE; AB = 7 y ED = 9
Calcul: AD
a
D
B
c) 4
07. Calcular "a" en la figura:
q
a) 45º
d) 30º
C
a
A
C
a) 7
d) 18
b) 9
e) 14
a
D
c) 16
C
33
33
San Marcos
Capítulo 03
09. En el gráfico: BC - AB=6u y AP=QC. Calcule: PQ
B
b
14. En el gráfico: AB=BC, QC=1u y PQ=2u
Calcule: AQ
A
P
b
A
q
q
Q
a) 2u
d) 3u
b) 4u
e) 5u
C
Q
c) 6u
P
B
10. Si: AC=BE, BC=CD, CDE es equilátero, calcular: x
B
D
C
a)
11 u
b) 3u
d)
13 u
e) 4u
c) 2 3 u
15. Si ABC es equilátero y BQ = AR
Calcular: x
x
A
C
a) 45º
d) 30º
20º
b) 40º
e) 50º
B
E
Q
c) 20º
R
11. Los triángulos ABC y AED son equiláteros, calcular:
BD. Si: CE=12cm
B
A
a) 50º
d) 90º
D
E
A
a) 12 cm
d) 18 cm
C
b) 6 cm
e) 24 cm
c) 8 cm
12. En la figura mostrada, calcular: a, si: EC=2AB
B
a) 1
a
a) 30º
d) 22º30'
b) 60º
e) 18º30'
C
c) 26º30'
13. Calcular: CH, si: AM = MC; AH=5 cm y HM=6 cm
B
H
A
a) 11 cm
d) 14 cm
M
b) 12 cm
e) 15 cm
C
c) 13 cm
b) 60º
e) 45º
c) 40º
17. En un triángulo equilátero ABC se trazan las cevianas
AR y BQ, tal que: AQ = CR. Hallar: c AR m
BQ
d) 4
A
C
16. En un triángulo equilátero ABC se trazan las cevianas interiores AN y BD que se intersectan en "R". Si:
m∠BRN=60º, AD=3 m y BN=7 m
Calcular: AB
a) 4u
b) 8u
c) 12u
d) 14u
e) 10u
E
a
Sx
b) 2
e) 1
3
c) 3
18. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza
la altura BH, en el triángulo BHC se traza la ceviana
interior HM de tal manera que MC=AB
Hallar: m∠MHC. Si: HC=BH + 2AH
b) 37
a) 53
c) 53º
2
2
d) 37º
e) 30º
19. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, sobre AC se
construye exteriormente el triángulo rectángulo isósceles CDA. Hallar la distancia de "D" a BC. Siendo:
AB=4, BC=8
a) 8
b) 6
c) 5
d) 7
e) 10
34
34
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
4
Aplicaciones de congruencia
Teorema de la recta mediatriz de un
segmento
Teorema de la bisectriz de un ángulo
P
F
a
a
O
E
H
A
EF , EH
OF , OH
b
B
b
PA = PB
El DAPB es isóceles.
Teorema de la menor mediana en el
triángulo rectángulo
Teorema de los puntos medios
B
MN : base media
M
MN = AC
2
N
c
B
MN // AC
a
c
b
a
A
BM = AC
2
A
b
C
M
b
C
En el triángulo isósceles
B
B
Si: AB = BC
Q
H
F
A
CH = PQ - PS
G
E
Si: AB = BC
&
&
H
A
C
P
C
S
AH = EF + EG
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
35
35
San Marcos
Capítulo 04
Triángulos notables
•
De 30º y 60º
•
De 45º y 45º
60º
45º
2a
a
30º
a3
•
b2
b
De 37º y 53º
45º
b
•
De 53c
2
53º
5k
3k
n
37º
4k
•
•
De 37c
2
De 15º y 75º
h= a
4
h
L
75º
37º/2
3L
•
53º/2
2n
De 30º y 75º
15º
a
•
h= b
2
82º
h
52a
a
30º
75º
b
7a
•
8º
•
74º
n 17
25b
7b
n
14º
24b
76º
16º
36
36
4n
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Problemas resueltos
01. En un triángulo ABC se traza la mediana AM y la altura BH que triseca el ángulo B. Hallar m∠HBC.
Resolución
B
a
aa
P
a
1424314243
H
2a
a
a
•
Trazar MP ⊥ BC
•
HB = BP y HM = MP = a
•
D PMC: 30º y 60º
•
m∠C = 30º
m∠HBC = 60º
C
M
2a
02. Si: AE=22 y EC=26, calcular: BE.
B
A
4q
q
E
C
Resolución
B
q
2q
x
A
4q
2q
M 123
E
x
q
•
Trazar mediana BM relativa a AC (AM = MC)
•
AM = MC = MB ... (propiedad)
•
D ABC:
AM = MC
22 - x = 6 + x
2x = 22 - 6
x=8
C
22
6
03. En un cuadrado ABCD, "F" es punto de AB y "M" es punto medio de CF tal que: CD = DM, calcular: m∠ADM.
Resolución
B
F
a
a
N
M 60º
C
a
P
2a
2a
30º
A
x
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
D
•
D DMC: isósceles DM = DC = 2a
•
Trazar mediana MN ⊥ BC (N ∈ BC)
•
BN = NC = a
•
Trazar MP ⊥ CD (P ∈ CD)
•
MP = a y D MPD es notable de 30º y 60º
x + 30 = 90º
x = 60º
37
37
San Marcos
Capítulo 04
Práctica
06. Calcular: a, si: PC=AB; BM=MC y AN=NP
B
01. En la figura mostrada, calcular: x
Si: BM=MA y AP=PC
B
M
N
M
A
Q
80º
N
a) 18º
d) 23º
x
P
A
a) 10º
d) 25º
46º
C
b) 20º
e) 15º
a
b) 24º
e) 20º
c) 30º
E
q
b) 37º
A
M
d) 24º
e) 18º
2q
A
c) 13º
07. En el gráfico: BH=9 y HN=3. Calcular la distancia
de "E" a AC
B
02. En la figura, si: AM=MB y BC=2CM, calcular q
B
a) 32º
c) 36º
C
P
q
a) 6
d) 8
q
C
03. En la figura: AB=8; BP=BC=5 y m∠BAC=30º
Calcular: PC
B
a) 2
N
H
b) 9
e) 5
C
c) 3
08. En un triángulo ABC, la m∠ACB=30º, se traza la
ceviana BM de manera que la m∠ABM=90º y
AM=2MC. Calcule la m∠BAC
a) 45º
b) 22,5º
c) 25º
d) 30º
e) 45º
09. Si: PC = 8 3 , calcular: EB
P
b) 6
B
c) 3
d) 8
q
A
e) 9
C
P
A
04. Calcular: m∠BCD, si: AB=CD y AD=BD
C
a) 15º
a) 8u
b) 12u
d) 8 3 u
e) 16 3 u
C
c) 16u
10. Calcular el máximo valor entero que puede tomar
"x", si a es obtuso.
b) 30º
c) 45º
a) 3
D
a
b) 4
d) 60º
c) 5
e) 75º
a) 2K
12
e) 7
11. Si: MN es mediatriz de AC y NC=15, calcular: AB
B
b) 3K
c) 4K
x
d) 6
B
A
05. Si: AM=MC y HN=K, calcular: AC
N
a) 7
B
b) 11
2a
d) 15
A
H
N
c) 13
d) 5K
e) 6K
E
q
M
C
e) 17
38
38
A
53º
M
a
C
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
12. Calcular: BH, si: BM=MC, AO=OM y OH=2cm
B
15. Si: AC=24m, calcular: BE
B
M
18º
O
H
A
a) 6 cm
d) 10 cm
C
b) 8 cm
e) 9 cm
A
a) 12 m
d) 8 m
c) 5 cm
13. En un triángulo rectángulo ABC, se traza la altura
BH. Calcular: m∠HMB + m∠HNB, siendo "M" y "N"
puntos medios de AB y AC respectivamente.
a) 90º
b) 120º
c) 150º
d) 145º
e) 180º
q
q
x
a) 30º
d) 53º
b) 45º
e) 60º
q
q
c) 14 m
C
E
a) 8 cm
d) 9 cm
E
A
b) 10 m
e) 9 m
C
16. Si: AB=7 cm y AC=16 cm. Calcular: EC
B
A
14. Si: AL=7; LE=3 y AF=11
Hallar: x
L
36º
E
b) 10 cm
e) 12 cm
c) 11 cm
17. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, la
m∠BAC=70º. Luego en AC se ubica el punto medio M, exterior y relativo a BC se ubica el punto P; tal
que: AC=2(BP) y m∠PMC=80°. Calcular m∠BPC.
F
c) 37º
a) 115º
d) 100º
b) 125º
e) 120º
c) 110º
Tarea domiciliaria
01. Calcular "x", si: AH=7 y AB=15
03. Calcular: MN, si: AB=8 cm y AC=18 cm
B
B
Q
x
P
A
q
q
H
a) 4
d) 8
b) 7
e) 10
A
C
a
a
x
a) 15º
d) 20º
A
C
b) 16º
e) 14º
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
c) 9 cm
B
B
P
b) 5 cm
e) 4 cm
04. Calcular: AB, si: PQ=6, AC=14 y BQ=QC
02. Calcular: x, si: PC=2(AB) y AP=PB
A
C
E
a) 6 cm
d) 8 cm
c) 9
N
M
a) 2
d) 5
c) 36º
39
39
q
q
P
Q
C
b) 3
e) 6
c) 4
San Marcos
Capítulo 04
05. Si: BH=8u y EH=3u, calcular: ND
10. En un triángulo rectángulo la bisectriz interior del ángulo agudo mayor y la mediatriz de la hipotenusa se
intersectan en un punto sobre el cateto mayor. Calcule la medida de uno de los ángulos agudos.
B
D
a) 75º
d) 45º
E
A
H
N
a) 5,5 u
d) 3,9 u
a
a
b) 6 u
e) 6,5 u
C
b) 60º
e) 37º
11. Calcular: x
c) 5 u
L1
L
A
D
a) 100º
d) 80º
3f
A
f
a) 3
d) 10
b) 5
e) 8
C
c) 6
07. Si: PF=20, calcular: PE
P
143º
F
a) 58º
d) 54º
b) 5
e) 8
a
a
c) 10
C
10
D
a) 24
d) 16
x
M
C
b) 60º
e) 40º
c) 120º
b) 64º
e) 68º
c) 32º
a
x
b) 20
e) 12
B
b) 15º
e) 18º
c) 50º
14. En un triángulo obtusángulo ABC (obtuso en "A") se
tiene que m∠B = 2(m∠C). Si la perpendicular trazada
por "A" al lado AC corta a BC en "E" de tal manera que
EC=18 m Calcular la medida del AB.
a) 3
d) 12
08. De acuerdo con los datos de la gráfica, calcular: x
A
F
12. En un triángulo ABC, m∠B=122º. Las mediatrices
de los lados AB y BC cortan al lado AC en los puntos
M y N respectivamente. Hallar la medida del ángulo
MBN
a) 25º
d) 12º
a
L2
80º
13. En un triángulo ABC, A=25º y AB > BC; se traza la
bisectriz de B que corta a AC en D: La mediatriz de
BD encuentra a la prolongación de AC en E. Hallar:
m∠CBE
E
a) 15
d) 12
B
E
06. Si L es mediatriz de AC, BD=3 y AB=5, calcular:
BC
B
c) 53º
b) 6
e) 8
c) 9
15. En un triángulo obtusángulo PRQ, obtuso en "R", se
traza la mediana RM de tal manera que: QR=2RM.
Si: m∠PRM= 2m∠MRQ, hallar: m∠MRQ
a) 30º
d) 36º
8
b) 32º
e) 42º
c) 40º
c) 18
09. En un triángulo rectángulo ABC, se traza la bisectriz
interior AF . En la prolongación de AF se toma el punto "D", se trazan las perpendiculares DG y DE hacia
BC y AC respectivamente. Hallar: FG, si: BF=8 cm y
DE=13 cm
a) 5 cm
d) 9 cm
b) 4 cm
e) 6 cm
c) 8 cm
40
40
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
5
Repaso
Problemas resueltos
01. Hallar: x
9
B
C
E
4
x
A
D
Resolución
9
B
E
b
C
F
a
a
b
4
x
A
•
D EBC ≅ D CFD (ALA)
•
Propiedad: BC = FD = 9 ⇒ EB = 5
•
Propiedad: EB = CF = 5
x = BC + CF
x=9+5
x = 14
D
02. Calcular: x, si: AE = CB
C
E
A
x
B
Resolución
C
a
2a
A
x
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
F
E
a
a
B
•
Trazar EF ⊥ BC (F ∈ BC)
•
Prolongar AB y trazar EH = AB (H ! AB )
•
CF = FB = EH = a
•
D AEH: notable 30º y 60º
x = 30º
H
41
41
San Marcos
Capítulo 05
03. Calcular: x
B
x
E
q
q
A
a
2a
C
Resolución
B
P
N
a
A
q
q
a
E
x
a
•
Trazar CP ⊥ BE (BP = PE)
•
Propiedad: EP = EM= EN = a ... (de la bisectriz)
•
D BNE: notable 30º y 60º
x = 30º
a
M
a
a
a
C
Práctica
01. Dos ángulos internos de un triángulo están en la relación de 1 a 2. Hallar el mínimo valor entero que
puede tomar el menor ángulo para que el triángulo
sea acutángulo.
a) 30º
b) 32º
c) 31º
d) 33º
e) 34º
02. En un triángulo ABC, m∠BAC=80º, m∠ABC=40º,
D pertenece a AB, m∠ACD=50º y E pertenece a BC,
tal que AC=CE. Hallar m∠EDB
a) 80º
b) 100º
c) 120º
d) 90º
e) 110º
03. Si el perímetro de un triángulo rectángulo es 30 u. Hallar
el mínimo valor entero que puede tomar la hipotenusa.
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
e) 13
04. Se tiene un triángulo ABC donde AB=6, BC=8 y
AC=10. Se construye exteriormente el triángulo rectángulo isósceles AHC. Hallar la distancia de H a BC
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 5
05. En el lado AB de un triángulo isósceles ABC de base
AC se ubican los puntos P y Q (Q ∈ AP) y en BC el
punto R tal que: AC=CQ=QR=RP=PB
Hallar: m∠ABC
a) 10º
b) 20º
c) 15º
d) 25º
e) 30º
06. En un triángulo ABC, las medianas BM y AN miden
15 y 12 respectivamente. Hallar el mayor perímetro
entero del triángulo ABC
a) 86
b) 82
c) 36
d) 71
e) 72
07. En un triángulo ABC la mediana AM y la bisectriz interior BF se intersectan perpendicularmente.
Calcular: E = AB + BC + AB
BM AB CM
a) 3
b) 3,5
c) 4
d) 4,5
e) 2
08. En un triángulo ABC, m∠A=2(m∠C). Se traza la
bisectriz interior BD. Calcular AD, siendo AB=6 u y
BC=10 u
a) 2 u
b) 4 u
c) 6 u
d) 8 u
e) 10 u
09. En un triángulo ABC, m∠A=2(m∠C); la bisectriz
interior BD prolongada intersecta en E a la bisectriz
exterior del ∠C. Si: DE = 8 u, hallar: CE
a) 4 u
b) 7 u
c) 8 u
d) 6 u
e) 10 u
42
42
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
10. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) se trazan
la altura BH y la bisectriz interior AE que se cortan en
P. Calcular: PH, siendo BH = a y BE = b
a)
a + 2b
2
b)
2a + b
2
d)
a-b
2
e) a - b
c)
a+b
2
11. En un triángulo rectángulo ABC se ubica P en AC
de modo que ABP = 18º. Además m∠ACB = 36º y
AC=14. ¿Cuánto mide BP?
a) 9
b) 8
c) 7
d) 5
e) 6
12. En un triángulo ABC, el ángulo B mide 80º. La mediatriz de la altura BH corta a BC en F. Si: m∠BFH=80º.
¿Cuánto mide el ángulo BAC?
a) 70º
b) 40º
c) 80º
d) 50º
e) 60º
13. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, el ángulo
C mide 35º. Sobre AC se ubica un punto D de modo
que m∠ABD=15º. Calcular AC, si: BD=5
a) 8
b) 9
c) 10
d) 7
e) 15
14. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se construye exteriormente al triángulo, el cuadrado ACDE.
Luego se traza DF perpendicular a la prolongación de
BC. Calcular: BF, si: AB + DF = 7
a) 6
b) 7
c) 5
d) 4
e) 8
15. En un triángulo acutángulo ABC se ubica el punto "L"
exterior relativo al lado BC, tal que:
m∠BAL=2m∠LAC, m∠BCE=3m∠LCE (E se encuentra en la prolongación de AC). Hallar el máximo
valor entero del ángulo ALC
a) 24º
b) 29º
c) 19º
d) 59º
e) 89º
Tarea domiciliaria
01. Calcular : x
06. En un triángulo ABC, se traza la ceviana CF de manera que BC = AF, m∠B=2m∠A y m∠A=20º. Hallar la m∠ACF
a) 20º
b) 30º
c) 40º
d) 15º
e) 10º
11x
a) 8º
d) 15º
07. En el gráfico, AB=DC y AH=HE
Calcule la m∠HDE
B
12x
50º
b) 10º
e) 18º
c) 12º
D
02. Dos lados de un triángulo miden 6 y 9. Hallar el menor y mayor valor entero que puede tomar el tercer
lado.
a) 3 y 15
b) 4 y 14
c) 3 y 14
d) 2 y 16
e) 4 y 15
03. En un triángulo ABC se ubica el punto interior P tal
que los triángulos APB y PBC son obtusángulos (obtusos en P). Si: AP=16, BP=12 y PC=9. Hallar el
menor perímetro del triángulo ABC sabiendo que es
un valor entero.
a) 42
b) 43
c) 44
d) 45
e) 38
04. En un triángulo ABC, m∠ABC=18º y m∠ACB=14º.
Hallar la medida del ángulo que forman entre sí, las
alturas trazadas de los vértices B y C
a) 32º
b) 42º
c) 52º
d) 62º
e) 82º
05. En un triángulo rectángulo BAC, se traza la altura AH
y la bisectriz interior BR (R en AC) que se cortan en
L. Calcular: AL, si: AC=12 y RC=9
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
43
43
A
E
H
a) 28º
d) 38º
b) 30º
e) 45º
C
c) 32º
08. Si: AB=20 u y AM=MC. Calcular: EC
B
N
A
a) 12 u
d) 14 u
60º
M
E
b) 10 u
e) 15 u
C
c) 8 u
09. En un triángulo acutángulo ABC, m∠C=35º, se trazan las mediatrices de AC y BC cortándose en P
Calcular m∠APB
a) 35º
b) 50º
c) 60º
d) 70º
e) 80º
San Marcos
Capítulo 05
10. Si: ME//AB, AL=LC, NE=4. Calcular: MN, si BN=NL
B
M
15. La mediatriz del cateto BC de un triángulo rectángulo
ABC; corta a la prolongación de la altura BH en Q.
¿Cuánto mide el ángulo ACQ, si m∠A=50º?
a) 20º
d) 25º
N
A
a) 1
d) 4
C
L
E
b) 2
e) 6
c) 3
a) 10
d) 13
B
A
F
D
C
b) 11
e) 14
a) 18º
d) 12º
b) 4,5 u
e) 9 u
c) 6 u
12. Calcular "x" en el rombo ABCD
B
c) 12
17. Si el número de lados de un polígono regular convexo aumenta en 10, cada ángulo interno del nuevo
polígono es 3º mayor que cada ángulo del original.
Determinar la medida del ángulo central del polígono
original.
E
a) 3 u
d) 8 u
c) 15º
16. El número de lados de un polígono es igual a la mitad del número de diagonales. Calcular el número de
diagonales trazadas desde 3 vértices consecutivos.
11. Si: DF=FC, AB//EF y BC=12 u. Calcular: EF
a a
b) 10º
e) 12º
b) 20º
e) 10º
c) 15º
18. Si a un polígono se le aumenta un lado, su número de
diagonales aumenta en 6. Si se le disminuye un lado,
el número de diagonales sería:
C
a) 9
d) 27
b) 14
e) 10
c) 20
12
A
53º
x
a) 24
d) 22
b) 20
e) 23
19. Calcular: AD, si ABCD es un romboide, además:
EC=3 y CD=8
D
13. Si: AB=9 cm; BC=13 cm y AC=14 cm. Calcular:
MN
A
B
M
a
a
N
q q
C
a) 18 cm
d) 20 cm
b) 16 cm
e) 15 cm
b) 5
e) 15
c) 19 cm
P
B
C
E
Q
Calcular: PC, si: AP=10.
b) 8
e) 14
c) 14
20. Hallar la medida de PQ, si ABCD es un cuadrado
cuyo lado mide 8
14. Se tienen los puntos no colineales A, B y C, se trazan
las mediatrices de AB y BC cortándose en P.
a) 6
d) 12
C
D
a) 11
d) 19
aa
A
E
B
c) 25
A
c) 10
a) 5
d) 3
44
44
37º
D
b) 6
e) 2
c) 4
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
6
Polígonos
Sean P1, P2, P3, ..., Pn una sucesión de "n" puntos
distintos de un plano con n≥3. Los segmentos P1P2 ,
P2 P3 , P3 P4 , ..., Pn - 1Pn , Pn P1 ; son tales que ningún par
de segmentos con un extremo común sean colineales
y no exista un par de segmentos que se intersecten en
puntos distintos de sus extremos. Entonces, la reunión
de los "n" segmentos se denomina polígono.
P1
a
P2
b
P4
P3
P5
Pn
P6
Elementos
•
Vértices: P1, P2, P3, ...
•
Lados: P1P2 , P2 P3 , ...
Ángulos:
•
Internos: ∠P1, ∠P2, ...
Externos: a, b, ...
*
*
•
Diagonal: P3 P5 , P4 P6 , ...
Clasificación
Los polígonos se clasifican en:
Por el número de lados
•
Triángulo
3 lados
•
Eneágono o nonágono
9 lados
•
Cuadrilátero
4 lados
•
Decágono
10 lados
•
Pentágono
5 lados
•
Endecágono
11 lados
•
Exágono (o hexágono)
6 lados
•
Dodecágono
12 lados
•
Heptágono
7 lados
•
Pentadecágono
15 lados
•
Octógono
8 lados
•
Icoságono
20 lados
Por sus lados y ángulos
•
Polígono convexo
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
•
45
45
Polígono no convexo
San Marcos
Capítulo 06
•
Polígono equilátero
•
Polígono equiángulo
a
a
a
a
a
•
Polígono regular
•
O
A
G
C
B
D
E
Polígono irregular
H
O
F
a
I
J
Propiedades
•
Máximo número de diagonales trazadas desde 1 vértice.
(n - 3) diagonales
•
Número total de diagonales.
ND =
•
n ( n - 3)
2
En los polígonos convexos, la suma de las medidas de los ángulos internos es:
Si = 180º (n - 2)
46
46
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
•
En todo polígono convexo, la suma de las medidas de los ángulos externos es de 360º
•
En el polígono equiángulo.
eº
iº eº
iº
m + exterior = 360c
n
eº
iº
m + int erior =
eº
•
iº
180c (n - 2)
n
iº
En el polígono regular.
a valor del ángulo central
iº
eº
iº
eº iº
Se = Sa = 360º
a
a = ec = 360c
n
ic = 180c
iº eº
(n - 2)
n
Diagonal media
Segmento que unen los puntos medios de dos lados cualquiera.
Número total de diagonales medias
NcDM =
n ( n - 1)
2
Número de diagonales que se pueden trazar desde "k" vértices consecutivos
Nc = nk -
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
( k + 1 ) ( k + 2)
2
47
47
San Marcos
Capítulo 06
Problemas resueltos
01. En un polígono regular, un ángulo interior y su ángulo exterior miden kq y q respectivamente, donde k es entero.
Hallar el menor número de lados del polígono.
Resolución
kq + q = 180º
•
q(k + 1) = 180º
kq q
•
q = 180c
k+1
360
c
180
c = 360c
Pero: q =
&
n
k+1
n
n = 2(k + 1)
•
kmínimo = 1
n = 2(1 + 1)
n=4
02. En un nonágono cualquiera, donde sus ángulos internos están en progresión aritmética, uno de sus ángulos siempre mide:
Resolución
•
Smi: 180º (n - 2)
•
Smi = x - 4r + x - 3r + ... + x + x + r + ... + x + 4r
Igualando:
x - 4r + x - 3r + ... + x + x + r + ... + x + 4r = 180º (n - 2)
9x = 180º (n - 2)
9x = 180º (9 - 2)
9x = 180º (7)
x = 140º
03. El número de lados de un polígono regular se duplica, su número de diagonales aumenta en 234. Hallar su número de lados.
Resolución
n (n - 3)
2
2 n ( 2 n - 3)
D + 234 =
... (variación)
2
D=
n (n - 3) 468
2n ( 2n - 3)
+
=
2
2
2
⇒ n2 - 3n + 468 = 4n2 - 6n
O = 3n2 - 3n - 468
123
O = n2 - n - 156
n
- 13
n
+ 12
n = 13
48
48
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Práctica
01. Calcular "x" en el polígono mostrado.
a) 60º
x+10º
06. Si ABCDEF es un polígono regular. Calcule: x
B
x+15º
b) 85º
c) 93º
x+5º
x+20º
F
a) 15º
d) 60º
x+25º
e) 75º
02. Si: m∠F=m∠E=90º y m∠B=m∠D=140º. Hallar la
m∠A, si es igual a la m∠C
C
a) 135º
b) 130º
D
a) cuadrado
d) octógono
E
e) 108º
03. Calcular: x
x
b) 120º
x
c) 150º
d) 130º
x
e) 160º
04. Si los polígonos ABCDE y DEF son regulares. Calcule: x
B
a) 18º
b) 36º
A
b) 11
e) 15
c) 12
b) pentágono
e) heptágono
c) hexágono
F
10. Desde cuatro vértices consecutivos de un polígono
convexo se trazan 25 diagonales, calcular el número
de lados.
a) 9
b) 7
c) 6
d) 8
e) 10
11. Al disminuir en 2 el número de lados de un polígono
convexo, se obtiene otro polígono con 15 diagonales menos. Hallar el número de lados del polígono
original.
a) 10
d) 6
C
b) 8
e) 7
c) 9
12. Calcular "x" en el hexágono regular:
d) 48º
x
e) 60º
c) 45º
09. Si a un polígono se le aumenta en 4 a su número
de lados; entonces la suma de sus ángulos internos
se duplica. Hallar el número de vértices del polígono
regular.
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
F
a) 100º
b) 30º
e) 75º
x
08. Si a un polígono regular se le aumenta un lado, su ángulo interior aumenta en 12º. ¿Cuál es el polígono?
A
d) 115º
E
07. Al disminuir en 2 el número de lados de un polígono,
su ángulo central aumenta en 6º. ¿Cuántos lados tiene el polígono inicial?
a) 10
d) 13
B
c) 45º
D
A
d) 120º
c) 120º
C
E
a) 10º
D
05. Calcular cuántas diagonales faltan trazar en la figura
mostrada.
b) 30º
c) 20º
a) 7
d) 40º
b) 8
e) 50º
c) 9
x
13. Si el ángulo central de un polígono disminuye en 5º,
el número de diagonales aumenta en 7. Calcular el
número de lados del polígono original.
d) 10
e) 11
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
80º
a) 2
d) 8
49
49
b) 4
e) 10
c) 6
San Marcos
Capítulo 06
14. ABCDEF... y PQDRS... son polígonos regulares de 50
y 30 lados respectivamente. Calcule la m∠QDE
D
C
B
R
Q
E
P
F
15. Al disminuir en 2 el número de lados de un polígono,
su ángulo central aumenta en 6º. ¿Cuántos lados tiene el polígono inicial?
a) 10
d) 13
b) 11
e) 15
c) 12
S
A
a) 150º46'
d) 106º48'
b) 160º30'
e) 150º30'
c) 160º48'
Tarea domiciliaria
01. ¿Cuántas diagonales faltan trazar al polígono?
05. En la figura, calcular: a + b + q + w
67º
q
b
w
a
a) 2
d) 8
b) 4
e) 10
a) 540º
d) 617º
c) 6
b) 607º
e) 507º
06. En el siguiente pentágono regular, calcular: x
02. Calcular: x
C
x+10º
x
x+20º
c) 720º
B
D
x
x+30º
a) 98º
d) 88º
b) 128º
e) 108º
x+40º
E
A
c) 100º
03. Calcular b en el siguiente polígono regular:
b
a) 36º
d) 15º
b) 24º
e) 32º
c) 18º
07. Calcular: a en la figura:
a
a
a) 30º
d) 150º
b) 90º
e) 80º
c) 120º
04. Desde (n - 4) vértices consecutivos de un polígono
convexo se trazan (4n + 3) diagonales. Calcular el
número de ángulos rectos a que equivale la suma de
las medidas de los ángulos interiores de dicho polígono.
a) 8
b) 10
c) 20
d) 12
e) 15
a) 108º
d) 140º
50
50
b) 120º
e) 150º
c) 135º
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
08. Calcular: x, si ABCD es un cuadrado y CDE es un
triángulo equilátero.
C
B
E
A
D
a) 15º
d) 60º
16. Calcular la medida del ángulo interior de un polígono
regular, cuyo lado mide 3. Si su número de diagonales es 5 veces su semiperímetro. (numéricamente)
a) 120º
b) 160º
c) 135º
d) 150º
e) 130º
x
b) 45º
e) 90º
15. Desde 4 vértices consecutivos de un polígono regular
se trazan 105 diagonales. Calcular la medida del ángulo externo de dicho polígono.
a) 10º
b) 15º
c) 8º
d) 12º
e) 20º
c) 30º
17. Si el pentágono es regular, calcular: x
09. Calcular la medida del ángulo formado al prolongar
los lados adyacentes de 2 ángulos consecutivos de
un decágono convexo, sabiendo que la suma de las
medidas de los 8 ángulos restantes es 1200º
a) 50º
d) 45º
b) 60º
e) 40º
G
x
c) 30º
10. Hallar: x, si ABCDE es un pentágono regular y AGFE
es un cuadrado.
C
B
48º
F
a) 10º
d) 13º
b) 11º
e) 14º
c) 12º
18. Si la figura es un polígono regular, calcular: x
x
D
x
E
A
a) 20º
d) 25º
b) 15º
e) 18º
c) 17º
a) 120º
d) 140º
11. ¿Cuántos lados tiene el polígono en el cual al aumentar su número de lados en tres; su número total de
diagonales aumenta en 15?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
12. Determinar el polígono convexo tal que al duplicar
su número de lados, la suma de sus ángulos internos
queda triplicada.
a) triángulo
b) pentágono
c) cuadrilátero
d) hexágono
e) ninguna
13. Hallar la suma de las medidas de ángulos internos del
polígono que tiene 77 diagonales.
a) 1400º
b) 1260º
c) 2160º
d) 1080º
e) 1800º
b) 108º
e) 162º
c) 135º
19. En la figura, calcular: f, si:
a: medida del ángulo interior del exágono regular.
b: medida del ángulo interior del pentágono regular.
g: medida del ángulo exterior del icoságono regular.
w: medida del ángulo interior del dodecágono regular.
b
w
a
f
a) 150º
d) 144º
b) 108º
e) 135º
g
c) 120º
14. La suma de las medidas de los ángulos internos, externos y centrales de un polígono es igual a 2700º.
Calcular el número de diagonales.
a) 78
b) 84
c) 64
d) 72
e) 65
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
51
51
San Marcos
Capítulo 07
7
Cuadriláteros
Son aquellas figuras determinadas al trazar cuatro rectas secantes y coplanares, que se intersectan dos a dos. Los
segmentos que se determinan son sus lados y los puntos de intersección son sus vértices.
B
w
q
B
b
C
D
x
a
A
b
Convexo
a
D
q
C
No convexo
A
a + q + w + b = 360º
x=a+b+q
Clasificación
Trapezoides
B
C
B
C
A
A
D
D
Trapezoide simétrico
Trapezoide asimétrico
Trapecios
B
C
B
D
A
C
D
A
BC // AD
14 243
T. Escaleno
Bases
52
52
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
B
A
C
a
B
a
D
C
D
A
T. rectángulo
T. isósceles
Paralelogramos
B
A
a
b
C
AB//CD
BC//AD
b
a
D
B
B
C
C
A
a!90º
A
D
Romboide
D
Rombo
B
C
A
D
Rectángulo
B
C
A
D
Cuadrado
Propiedades
En el trapecio
b
b
a
MN: Base media
MN//Bases
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
N
M
N
M
a
MN: Base media
MN//Bases
MN = a + b
2
53
53
MN = a - b
2
San Marcos
Capítulo 07
En el paralelogramo
B
C
m
O
A
C
B
D
A
D
b
n
a
AO = OC
BO = OD
a+b=n+m
En todo cuadrilátero
C
Q
B
P
" PQRS es un paralelogramo
R
(2p)PQRS = AC + BD
A
S
D
C
b
b
B
a
c
a
A
d
Si: 2p = a + b + c + d
a
x
n
m
D
b
x = m+n
2
& p < AC + BD < 2p
a
x
2x
3x
4x
5x
6x
7x
8x
x
a
b
b
b-a
Si: a + b = 90º x = 2
54
54
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Problemas resueltos
01. En un cuadrilátero VRFS, m∠SRF=12º, m∠RSV=39º, m∠RSF=18º, m∠VHS=90º, H ∈ RS, HS=2 y
m∠VRS=12º. Hallar: FS.
Resolución
L
F
30º
60º
18º
S
39º
39º
H
12º
12º
R
51º
V
•
Prolongar RF y RV
•
Trazar SL y ST perpendiculares a dichas
prolongaciones.
•
Propiedad: SH = ST = SL = 2
•
D FLS:
2
x = 2(LS) = 2(2) ⇒ x = 4
T
02. En un trapecio ABCD, BC//AD, "M" es punto medio de AB, trazar CN (N ∈ AD) que intersecta a DM en su punto
medio Q. Hallar: QN, si: CQ=6.
Resolución
B
C
6
M
Q
x
A E F
D
N
03. Dado el siguiente gráfico, hallar: x
•
Trazar ME//QN ⇒ QN=x y ME=2x
•
Trazar BF//ME ⇒ ME=2x y BF=24x
•
Luego BF//CN ⇒ BF = CN
4x = x + 6
3x = 6
x=2
6
B
C
M
Q
4x
A
P
10x
D
Resolución
B
6
C
N
Q
A
M
4x
•
Trazar MN//AD (N ∈ BQ)
•
Teorema: MN = 8x ... (base media D ANM)
•
Propiedad:
P
10x
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
MN = 6 + 10x = 8x
2
6 + 10x = 16x
6 = 6x
D
x=1
55
55
San Marcos
Capítulo 07
Práctica
01. Calcular "x", si: a + b + c = 440º
06. PQRS es un rombo, calcular: x, si: PH = HS
Q
x
b
a) 60º
d) 50º
R
H
b) 80º
e) 40º
S
c) 70º
02. Calcular: x, si: BO = OD = OE
B
x
P
c
a
b) 45º
e) 75º
c) 40º
07. Siendo ABCD un trapecio (BC//AD). Hallar: m∠ADC.
B 4 C
C
28º
a) 30º
d) 60º
O
8
A
D
x
A
E
a) 15º
d) 18º
b) 16º
e) 19º
B
q
N
2q
C
a) 20
b) 10
d) 10 2
e) 5 2
c) 5
04. Si: AC = 8, EO = 3, calcular: ED
A
B
E
a) 4
d) 7
C
b) 5
e) 8
a) 15
d) 18
a
D
b) 16
e) 12
c) 17
09. En un rectángulo ABCD, las bisectrices interiores de
"B" y "C" se intersectan en un punto "M" de AD. Si el
perímetro del rectángulo es 36, calcular la medida de
la mediana del trapecio BMDC
a) 18
b) 12
c) 10
d) 9
e) 8
10. Si ABCD es un trapecio cuyas bases BC y AD miden
6 dm y 14 dm respectivamente. Sean P y Q los puntos medios de AC y BD en ese orden. Hallar el valor
del segmento que une los puntos medios de PB y QC
a) 8 dm
b) 4 dm
c) 6 dm
d) 5 dm
e) 7 dm
O
D
c) 90º
12
H
D
b) 53º
e) 60º
08. En el trapecio ABCD, calcule AD
5
B
C
2a
A
L
D
14
a) 37º
d) 30º
c) 17º
03. Según el gráfico, ABCD es un rombo. Calcular: CH,
si: NL + ND = 10. B, N y L son colineales.
A
6
c) 6
05. En el rectángulo ABCD; m∠BDA=26º.
Hallar: m∠ACD
a) 54º
b) 64º
c) 74º
d) 52º
e) 44º
11. ABCD es un romboide y R es un punto que pertenece
a AD, tal que el triángulo ABR es equilátero y el ángulo BRC sea recto. Hallar: m∠BAD - m∠RCD
a) 18º
b) 60º
c) 45º
d) 37º
e) 30º
56
56
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
12. Calcular: x, si: m∠BCM=78º y 2AD = 3BC
14. Hallar el perímetro de un trapecio isósceles, sabiendo
que uno de los lados congruentes tiene la misma medida que la base menor además uno de los ángulos
interiores mide 60º y la base menor mide 5 m.
a) 30 m
b) 18 m
c) 25 m
d) 15 m
e) 20 m
C
x
B
M
A
D
a) 39º
d) 18º
b) 24º
e) 42º
c) 26º
13. Si las diagonales de un trapecio dividen a la mediana
en tres partes congruentes, ¿en qué relación están las
bases?
a)
d)
2
5
1
2
b)
e)
3
4
1
3
c)
15. En el romboide ABCD: AB=4 y BC=10 u; luego se
trazan las bisectrices interiores de B y C que cortan a
AD en E y F respectivamente. Hallar la medida del
segmento que une los puntos medios de BE y CF.
a) 5 u
b) 6 u
c) 7 u
d) 8 u
e) 4 u
2
3
Tarea domiciliaria
01. Calcular: x
04. Si: CD=10 u, hallar la longitud del segmento que une
los puntos medios de AC y BD.
C
B
120º
100º
x
a
a
q
a) 120º
d) 130º
q
b) 100º
e) 150º
02. Si: AD=14 u y DC=8 u. Hallar la medida del segmento que une los puntos medios de AP y CD
P
B
C
A
q
q
03. Calcular: x
b) 4 u
e) 10 u
a) 6
d) 4
c) 2
05. En un trapecio ABCD, (BC//AD) y BC=AB=CD= AD ,
2
calcular la m∠D
a) 30º
b) 45º
c) 60º
d) 53º
e) 37º
c) 6 u
4
10
b) 9
e) 12
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
q
A
x
a) 8
d) 11
b) 3
e) 1
D
06. Calcular la mediana de la mediana del trapecio
ABCD, si: BC=4 u
C
B
q
D
a) 2 u
d) 8 u
37º
A
c) 110º
a) 4
d) 7
53º
b) 5
e) 8
D
c) 6
c) 10
57
57
San Marcos
Capítulo 07
07. Calcular: MN, si: BC=x, AD=13 y MN=x + 5
C
B
12. En un paralelogramo ABCD, se traza BM bisectriz del
ángulo ABC (M en AD) siendo: AM=MD; BC=10 u y
BM=6 u. Calcular la distancia de C al lado AD
a) 2,4
d) 3
N
M
A
D
a) 3
d) 8
b) 5
e) 10
Calcular: m∠QCD
c) 6
a) 28º
d) 24º
4x
a) 105º
d) 115º
3x
q
a) 10º
d) 25º
b) 15º
e) 30º
q
c) 20º
09. Si ABCD es un romboide, tal que: AB=18u. Calcular
la longitud del segmento que une los puntos medios
de AE y BD
E
B
C
q
A
a) 10 u
d) 9 u
b) 12 u
e) 8 u
q
D
c) 13 u
17. Hallar: x
c) 108º
C
100º
B
q
110º
D
a a
q
C
x
a) 90º
d) 60º
a) 1 cm
d) 4 cm
b) 120º
e) 135º
16. Grafique al triángulo ABC y ubique un punto interior
tal como D de modo que:
m∠DAB + m∠ABC + m∠DCB = 140º y AD=DC.
Hallar la m∠ACD
a) 30º
b) 20º
c) 15º
d) 40º
e) 10º
A
A
c) 20º
15. En un trapezoide ABCD, las bisectrices exteriores de
B y C cortan en P; tal que: m∠BPC=104º. Calcular
la medida del menor ángulo formado por las bisectrices interiores de A y D.
a) 72º
b) 78º
c) 76º
d) 104º
e) 68º
10. Calcule: DQ, si: ABCD es un cuadrado de 8 cm de
lado, además: AP = 12 2 cm
P
B
b) 18º
e) 26º
14. Se tiene un cuadrilátero ABCD, donde A=150º y los
vértices B, C y D equidistan de A. ¿Cuánto mide el
ángulo C?
2x
w
c) 6
13. En un romboide ABCD, la mediatriz de BC intersecta
a AD en Q, tal que: m∠BCQ=54º y AB=AQ.
08. En la figura, calcular: x
w
b) 4
e) 4,8
D
b) 2 cm
e) 5 cm
Q
c) 3 cm
b) 80º
e) 50º
c) 75º
18. Si: AB=6 u, hallar la longitud del segmento que une
los puntos medios de AB y CD
C
B
45º
11. Dado el trapecio escaleno ABCD donde: (BC//AD),
calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices interiores de C y D.
a) 60º
d) 75º
b) 40º
e) 90º
c) 36º
37º
A
a) 9 u
d) 12 u
58
58
b) 8 u
e) 16 u
D
c) 10 u
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
8
Circunferencia
Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de otro punto de su plano denominado centro. La
distancia mencionada recibe el nombre de radio.
Elementos
P
E
F
Q
C
A
O
L1
B
•
Centro: O
•
Radio: OB
•
Diámetro: BC
•
•
Cuerda: EF
!
Arco: EB
•
Flecha o sagita: PQ
•
Secante: L1
•
•
Tangente: L2
Punto de tangencia: T
•
Perímetro: L = longitud de la circunferencia
L = 2pr
T
L2
r → radio
p → Phi
≠= L
2r
p = 3,1415926...
Posiciones relativas de dos circunferencias coplanares
Circunferencias exteriores
Circunferencias tangentes exteriores
R
r
14444244443 r
d
R
1442443
d
d=R+r
d>R+r
Circunferencias secantes
R
Circunferencias ortogonales
R
r
r
14243
14243
d
d
R-r<d<R+r
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
d2 = R2 + r2
59
59
San Marcos
Capítulo 08
Circunferencias tangentes interiores
Circunferencias interiores
r
1
2
3
1
2
3
d
d
r
R
R
d=R-r
d<R-r
Circunferencias concéntricas
Esta región se denomina
corona o anillo circular.
r
r
R
R
d = cero
Observación: "d" → distancia entre los centros.
Propiedades fundamentales
aa
O
A
B
r
O
P
L
•
P → punto de tangencia
•
OP ⊥ L
⇒ OP = r
C
AB = AC
E
O
A
M
C
A
B
Si: OC = AB
& AM , MB
F
B
Si: EF //AB
! !
& AE , FB
! !
AC , CB
60
60
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
A
B
C
Q
T
P
Si: mAB = mDC
! !
& AB , CD
D
A
B
S
F
E
AB , EF y ST , PQ
Teoremas
Teorema de Poncelet
B
r : radio
AB + BC = AC + 2r
r
C
A
Teorema de Pitot
B
C
AB + CD = BC + AD
r
Este teorema es válido para todo
polígono circunscrito cuyo número de
lados es un número par.
A
D
Teorema de Steiner
B
AB - CD = AD - BC
C
A
D
Observación
Q y F → puntos de tangencia
p → semi - perímetro de la región triangular ABC.
p = a+b+c
2
&
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
AQ = AF = p
61
61
San Marcos
Capítulo 08
Circunferencia circunscrita al triángulo
Es aquella que pasa por los vértices del triángulo.
Q
B
R
A
C
p
F
O: circuncentro
O
Circunferencia inscrita a un triángulo
Es aquella circunferencia que se encuentra en el interior
del triángulo y es tangente a cada uno de sus lados.
R: circunradio
Circunferencia exinscrita al triángulo
Es aquella circunferencia que se encuentra en el exterior
del triángulo y es tangente a cada uno de sus lados.
I: incentro
r: inradio
I
E: excentro
re: exradio
r
A
B
E
re
C
Problemas resueltos
01. En un triángulo rectángulo, el semiperímetro mide "m" y la hipotenusa mide "n". Calcular la longitud del inradio.
Resolución
B
•
c
•
a
O
r
A
n
C
Dato: a + c + n = m & a + c = 2m - n
2
Poncelet:
a + c = n + 2r
S
2m - n = n + 2r
2m - 2n = 2r
r = m- n
62
62
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
02. En un triángulo rectángulo ABC, "I" es el incentro tal que m∠AID=90º (D ∈ AC). Se traza DE ⊥ BC. Si: AB+BC=34
y AC=26. Hallar: BE.
Resolución
B
x
•
F
I
4
A
Poncelet: AB + BC = AC + 2r
E
4
a
a
P
34 = 26 + 2r → r = 4
•
4
q
Propiedad: IP = IQ = 4 ... (de la bisectriz)
⇒ x = FQ = 4 + 4
q G
D
x=8
C
26
03. Si: AD=6 y CD=7. Hallar: m∠CAB.
D
C
2k
A
k+1
B
Resolución
D
•
Pitot:
•
2k + 6 = k + 1 + 7
k=2
D ABC: 53º y 37º
7
C
6
5
2k
A
x
k+1
B
01. Calcular: CO, si: AB=8
A
74º
M
4
x
3
x = 53º
Práctica
O
02. En la figura: CD = AB + BC; AD=18
Calcular: r1 + r2
C
a) 9
C
D
b) 12
c) 15
B
B
r1
d) 10
a) 3 2
b) 3 3
d) 6 3
e) 2 6
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
r2
c) 6 2
e) 6
63
63
A
D
San Marcos
Capítulo 08
03. Del gráfico, calcular: R
08. El perímetro de un triángulo rectángulo es 24 m y su
hipotenusa mide 10 m. Hallar la longitud de su inradio.
a) 3
6
b) 4
c) 5
R
d) 6
37º
e) 8
5
15
04. En la figura: AB + CD = 20 m y BC + AD = 52 m.
Calcular: PQ
B
P
C
a) 1 m
b) 4 m
d) 2 m
e) 3 m
c) 5 m
09. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide
17 m. Hallar la longitud del otro cateto si la suma
de las longitudes de los radios de las circunferencias
inscritas y circunscritas es 13 m.
a) 5 m
b) 4 m
c) 9 m
d) 8 m
e) 7 m
10. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 y
12, hallar la medida de su inradio.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
11. Del gráfico, R = 5; r = 2. Calcular: BE
E
B
C
A
a) 16 m
d) 10 m
D
Q
b) 14 m
e) 8 m
r
c) 12 m
R
05. ¿Cuánto mide el inradio del triángulo ABC
si: BC=8 + a y CD=a
B
A
a) 8
d) 7
a
A
2a
D
a) 2
b) 3
d) 5
e) 1
C
c) 4
b) 4
e) 6
12. Hallar la longitud de la flecha correspondiente a una
cuerda que mide 8 3 cm en una circunferencia de
radio 8 cm
a) 3 cm
b) 4 cm
c) 5 cm
d) 4 3 cm
Si O: centro
T
Q
A
B
C
A
a) 24
b) 30
d) 20
e) 36
P
c) 18
07. En la figura, hallar: R + r, si: AB=40 y BC=30
Si O: centro
B
a) 45
b) 35
r
C
R
4a
a) 9º
d) 12º
N
d) 30
e) 2 3 cm
13. Calcular a, si T es punto de tangencia.
06. Si: AB=18; BC=10 y AC=12, calcular: AP, además:
P y Q son puntos de tangencia.
c) 40
D
c) 5
O
A
O
2a
B
b) 20º
e) 18º
P
c) 30º
14. En una circunferencia de centro O se trazan: un diámetro AB, luego las tangentes a la circunferencia en
A y B y una tangente cualquiera que corta en C y
D a las dos primeras. Calcular la medida del ángulo
t .
COD
a) 80º
d) 120º
b) 90º
e) 115º
c) 105º
15. La circunferencia ex - inscrita relativa a la hipotenusa
en un triángulo rectángulo tiene un radio de 9 cm.
Calcular la cantidad de valores enteros que puede tomar la hipotenusa.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
e) 25
64
64
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Tarea domiciliaria
01. Calcular la longitud de la flecha correspondiente a
AB, si: AB=16; r=10
B
06. En la figura mostrada, AB=8, AQ=1. Calcular la longitud de la flecha de la cuerda AB
B
A
O
r
a) 25
d) 2,5
b) 4
e) 3,5
P
c) 3
a) 1
d) 2,5
02. En la figura, calcular: MA
B
b) 2
e) 3
N
C
R
M
3
A
A
R
r
e) R + 2r
b) 26
e) 50
P
r
B
A
a) 3
d) 6
C
T A
b) 36
e) 20
a) 30
d) 21
c) 46
08. Calcular: r. Si: AB=15 y BC=20
B
03. Calcular: PC, si: AB=9, BC=15 y AC=18
R
C
20
a) 20
d) 60
c) R - r
b)
d) R + r
c) 1,5
07. Calcule el perímetro del siguiente triángulo rectángulo
ABC
B
r
a) R . r
A
Q
R
c) 18
04. Se tiene una circunferencia inscrita en un triángulo
ABC de manera que es tangente en "T" al lado BC
Calcular BT, si: AB=5, BC=6 y AC=7
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
05. En el gráfico, calcular x, si "O" es centro de la circunferencia ex inscrita.
C
H
b) 4
e) 8
c) 5
09. En una circunferencia de radio 13 m, se tiene una
cuerda AB que mide 24 m. Calcular la longitud de la
sagita de AB.
a) 5 m
b) 8 m
c) 7 m
d) 6 m
e) 4 m
10. Si: BC+AD=30 y AB+CD=18, calcular: EF
B
E
C
B
x
A
a) 45º
d) 60º
70º
O
A
a) 4
d) 6
C
b) 50º
e) 70º
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
c) 55º
65
65
F
b) 5
e) 4,5
D
c) 7
San Marcos
Capítulo 08
11. En una circunferencia de centro "O", se ubica la cuerda BC de 80 m de longitud. Si el radio de la circunferencia mide 41 m. Hallar la distancia de "O" hacia
la cuerda.
a) 7 m
b) 9 m
c) 10 m
d) 11 m
e) 12 m
16. En la figura, calcular AM, si M, N y Q son puntos de
tangencia, AB=5; BC=7 y AC=10
B
N
M
12. Desde un punto que dista 13 m del centro de una
circunferencia se puede trazar una tangente que mide
12 m. Hallar la longitud del radio de la circunferencia.
a) 4
b) 5
c) 6
d) 8
e) 9
13. Un cuadrilátero está circunscrito a una circunferencia.
Si dos lados opuestos miden 6 dm y 8 dm, hallar el
perímetro del cuadrilátero.
a) 14 dm
b) 28 dm
c) 30 dm
d) 24 dm
e) 15 dm
14. Los lados de un triángulo ABC miden AB=57,
BC=43 y AC=60. El lado AC es tangente en el punto
E a la circunferencia inscrita en el triángulo.
Calcular : AE
a) 47
b) 54
c) 40
d) 30
e) 37
A
a) 5
d) 6
Q
C
b) 7
e) 3
c) 4
17. Se tiene el cuadrante AOB y se traza el radio OC,
sean: AH⊥OC y CF⊥OB. Se sabe que: HC=a y
FC=b, hallar cuanto mide el radio del cuadrante.
2a + b
2
d) a + b
b) 2a + b
a)
c) 2a - b
e) 2b - a
18. Calcular la longitud de la flecha de la cuerda AB, si:
AB=30 y R=17
B
15. Calcular la longitud del radio de la circunferencia
exinscrita relativa a la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos miden 9 y 12 cm
a) 16 cm
b) 18 cm
c) 20 cm
d) 21 cm
e) 24 cm
O
A
R
a) 8
d) 4
66
66
b) 9
e) 5
c) 6
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Ángulos en la circunferencia Cuadriláteros inscriptibles
9
Ángulo central
Ángulo inscrito
B
A
!
a = mAB
O a
A
!
q = mBC
2
q
B
C
Ángulo seminscrito
E
Ángulo exinscrito
B
b
F
!
b = mEFH
2
H
f
A
C
!
f = mABC
2
Ángulo interior
C
A
B
!
!
q = mAB + mCD
2
q
D
Ángulo exterior
C
A
x
x
A
D
C
a
q
B
! !
x = mAB - mCD
2
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
B
! !
x = mAB - mAC
2
67
67
a + q = 180º
San Marcos
Capítulo 09
Polígono inscrito
Polígono circunscrito
R
r
Circunferencia: circunscrita
Circunferencia: inscrita
Radio: circunradio
Radio: inradio
Cuadrilátero inscrito
Llamado también cuadrilátero cíclico, es aquel que tiene sus cuatro vértices sobre una misma circunferencia.
Propiedades
Primera propiedad
B
q
C
a + q = 180º
A
a
D
Segunda propiedad
B
C
a=q
a
q
A
D
Tercera propiedad
q
a=q
a
68
68
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Cuadriláteros inscriptibles
Un cuadrilátero será inscriptible cuando cumple cualquiera de los tres casos siguientes:
Caso 1
Dos ángulos opuestos suman 180º.
b
b
Si:
a + b = 180º
&
a
a
Caso 2
Un ángulo interior es igual al opuesto exterior.
q
q
Si:
a=q
&
a
a
Caso 3
Un lado y una diagonal forman un ángulo igual al que forma el lado opuesto con la otra diagonal.
q
q
a
Si:
a=q
a
&
Problemas resueltos
01. Si: A, C, E y G son puntos de tangencia. Calcular: x
A 6x
B
8x G
E
C
F
2x
D
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
69
69
San Marcos
Capítulo 09
Resolución
A 6x
a
a
B
8x G
b
b
C a
b E
F
•
AB = BC
•
EF = FG
•
a + 6x = 180º
b + 8x = 180º
Luego:
•
α + β + 14x = 360c
S
180º - 2x + 14x = 360º
12x = 180º
x = 15º
2x
D
02. En la semicircunferencia de centro "O", calcular: x
D
x
C
A
O
50º 20º
B
Resolución
C
x
25º
20º
R
R
O
A
•
D
•
50º
50º 20º
R
•
•
B
Unimos "O" con "C": OC = OB = OD = R
!
mDB = 50c
m+C = 50c = 25c
2
D OCD: isósceles
x = 25º + 20º
x = 45º
03. Si: E, T y F son puntos de tangencia, calcular: x
B
50º
E
F
M
x
D
A
P
Resolución
D
A
Q
C
•
!
mEF = 130c ... propiedad
50º
•
m∠EDF=65º
•
Si: EP//FQ
⇒ m∠DFN = 65º
D MFN:
x + 65º = 90º
x = 25º
F
M
•
x
65º
P
T
B
130º
E
N
N
T
Q
C
70
70
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Práctica
01. En la figura mostrada, calcular: x. Si O: centro,
AH = HC
a) 3º
06. En la figura, hallar m∠ABC
a) 100º
B
b) 110º
b) 40º
A
e) 60º
80º
º
x
H
C
e) 120º
a
P
b) 130º
Q
d) 110º
d) 50º
A
e) 100º
70º
A
C
65º
08. En la figura, calcular: x
03. Calcular: x, si P y Q son puntos de tangencia.
a
a
a) 20º
d) 22,5º
x
a) 20º
d) 35º
P
b) 40º
e) 50º
c) 25º
P
Q
c) 75º
A
B
O
05. Si ABCD es un cuadrado, calcular: x
a) 30º
b) 45º
B
x
C
d) 53º
A
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
x
x
b) 30º
e) 18º
4x
c) 37º
12. Sea A un punto exterior a una circunferencia desde el
cual se trazan la secante diametral ABC y la secante
!
!
AEF de modo que: mFC = 100c y mEF = 60c . Calcular la m∠FAC
a) 25º
b) 30º
c) 40º
d) 35º
e) 45º
c) 37º
e) 60º
P
11. Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan las tangentes PA y PB, luego se ubica el punto C
en el arco mayor AB. Hallar la m∠HBC, si BH ⊥ AC
y m∠APB=70º
a) 25º
b) 30º
c) 40º
d) 35º
e) 45º
d) 90º
e) 120º
45º
10. Se traza una recta L tangente a una semicircunferencia de diámetro AB, en el punto "T", se traza luego la
%
cuerda AP paralela a L . Si la mPAB =52º, calcular
la medida del menor ángulo que forman la recta L y
la cuerda TB.
a) 52º
b) 62º
c) 72º
d) 71º
e) 70º
!
04. Calcular mQS , si: P y O son centros
!
!
Además: mAP = mPB
S
a) 60º
b) 70º
R
09. En una circunferencia se inscribe un cuadrilátero
ABCD donde las diagonales AC y BD se intersectan
!
%
en el punto F. Si: mCFD = 60c ; mAB = (x + 20)c y
!
mCD = (2x + 40)c . Calcular: 3x
a) 55º
b) 20º
c) 40º
d) 60º
e) 30º
Q
20º
Q
c) 120º
c) 35º
e) 80º
A
!
07. En la figura, P es punto de tangencia. Calcular: mAMB
M
a) 140º
B
B
b) 70º
C
d) 90º
!
!
02. Calcular: a, si: mPB = mBQ
a) 60º
B
c) 80º
20
O
c) 45º
d) 50º
P
D
71
71
San Marcos
Capítulo 09
13. En una circunferencia se tienen dos cuerdas congruentes y paralelas, tales como AB y CD, de modo
que B y D estén a un mismo lado. En el arco AB se
ubica un punto E. ¿Cuánto mide el ángulo CEB?
a) 90º
b) 105º
c) 75º
d) 120º
e) 80º
14. Calcular: x, en la figura mostrada.
a) 20º
100º
b) 30º
c) 50º
x
d) 60º
15. Calcular: x
a) 40º
b) 80º
B
x
c) 50º
H
d) 60º
80º
40º
A
e) 45º
17. La circunferencia inscrita en un triángulo ABC, es
tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos T,
H e I respectivamente. Si la m∠BAC=70º, calcular
la m∠THI.
a) 70º
b) 35º
c) 55º
d) 65º
e) 60º
18. En una circunferencia de centro O se traza una cuerda AB. Si el menor arco AB es la quinta parte de la
medida del mayor arco AB, calcular la medida del
menor ángulo AOB.
a) 58º
b) 52º
c) 48º
d) 72º
e) 60º
120º
e) 40º
16. En una semicircunferencia de diámetro AB, en la prolongación de AB se toma un punto P y se traza la
tangente PT. Si la m∠PTB=32º, calcular la m∠ABT.
a) 64º
b) 58º
c) 68º
d) 48º
e) 52º
C
Tarea domiciliaria
!
01. Calcular: a, si mAD = 100c .
B
!
03. Si: mABC = 240c , calcular: a
B
A
a
C
a
C
D
A
D
a) 30º
d) 50º
b) 40º
e) 55º
a) 20º
d) 75º
c) 45º
b) 45º
e) 60º
c) 30º
04. En el gráfico P, M y T son puntos de tangencia,
!
!
!
mNP = mMN y mAT = 40c . Calcule la m∠TPM.
02. Según la figura, calcular: x
x
T
A
P
45º
M
N
80º
a) 40º
d) 30º
a) 45º
d) 50º
b) 55º
e) 60º
b) 35º
e) 53º
c) 45º
c) 65º
72
72
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
!
05. Hallar: mEB
09. En un triángulo ABC se trazan las bisectrices interiores AQ y CP formando un ángulo cuya medida es
120º. Hallar: m∠PQA
A
E
a) 30º
d) 60º
28º
O
b) 56º
e) 51º
a) 30º
d) 60º
c) 34º
06. Calcular: x, si: T es punto de tangencia y B es punto
medio del arco AC.
T
P
20º
x
A
b) 70º
e) 100º
07. "A" es punto de tangencia, calcular "x", además:
a+b=82º
A
11. En el cuadrilátero ABCD: m∠DAB=m∠BCD=90º y
BC=CD. Calcular AC, sabiendo que la distancia de
C a AD es 4 u
a) 4u
b) 3u
d) 2 2 u
e) 4 2 u
a) 12º
d) 20º
a) 108º
d) 96º
b
b) 82º
e) 102º
c) 2u
b) 15º
e) 10º
c) 18º
13. En un triángulo ABC, m∠A=30º y m∠C=20º. Se
ubica F en AC tal que AF=BC. Halle: m∠FBC
a) 10º
d) 25º
x
c) 50º
Calcular: m∠FGC, si: m∠FDG=4m∠CGF, además:
m∠RDG=90º
c) 80º
a
b) 45º
e) 80º
12. En un trapezoide RDGC, RG es bisectriz del ángulo
DRC y se traza CF perpendicular a RG.
C
B
a) 60º
d) 90º
c) 45º
10. El ángulo C de un triángulo ABC mide 50º. Si: E y
H son los pies de las alturas AH y BE y M es punto
medio de AB. Calcular la medida del ángulo EMH
B
a) 28º
d) 17º
b) 40º
e) 15º
b) 15º
e) 30º
c) 20º
14. Sea P un punto exterior a una circunferencia, desde el
!
cual se trazan las secantes PAB y PCD. Si: mBD = 80c
y m∠P=25º, calcular el menor ángulo que forman las
cuerdas AD y BC al intersectarse.
c) 98º
a) 38º
d) 45º
08. Calcule: AD, si: BD=4 u y AC=12 u.
b) 35º
e) 55º
c) 50º
B
D
15. Desde un punto P exterior a una circunferencia se traza la tangente PT y la secante PAB. Si el arco ATB
mide 200º, calcular la m∠TBP, si: m∠TPB=40º
E
a) 32º
d) 30º
q
A
a) 6 u
d) 10 u
q
b) 50º
e) 40º
c) 60º
C
b) 7 u
e) 5 u
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
c) 8 u
73
73
San Marcos
Capítulo 10
10
Proporcionalidad y semejanza
Teorema de Thales
Teorema de Thales entre paralelas
Tres o más rectas paralelas, determinan sobre dos o más rectas secantes, segmentos cuyas longitudes son proporcionales.
P
A
B
L1
Q
C
R
L2
Si: L1// L2 // L3
AB = PQ
BC QR
&
L3
Teorema de Thales en el triángulo
B
P
Q
Si: PQ // AC
A
BP = BQ
PA
QC
&
C
Teorema de la bisectriz
La relación de lados que forman el vértice desde donde parte una bisectriz interior o exterior es igual a la relación de
segmentos que se forman en el lado opuesto o en su prolongación.
Bisectriz interior
Bisectriz exterior
q
q
aa
a
b
a
b
n
m
m
a =m
b n
n
a =m
b n
74
74
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres ángulos congruentes y las longitudes de sus lados homólogos
respectivamente proporcionales.
Lados homólogos: se denominan así a los lados que se oponen a ángulos congruentes, en triángulos semejantes.
C
T
b
A a
~
a
H
b
c
n
M
B
a
b
t
∅ ABC + ∅MNT
a = b = c = H =K
m n t
h
m
h
N
K " Razón de semejanza
Criterios de semejanza
Primer caso
Tercer caso
Si tienen dos ángulos de igual medida.
Si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.
~
b
a
a
~
b
b
a
c
a.k
c.k
b.k
Segundo caso
Si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre dichos lados de igual medida.
a
x
a.k
~
a
b
a
b.k
h
x
b
x
a
x
x
b
x = bh
b+h
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
x = ab
a+b
75
75
San Marcos
Capítulo 10
Cuadrado de lado "L" inscrito en un
rombo de diagonales "d" y "D".
L=
dD
d+ D
a
a
x
a
x
a
b
b
x2 = ab
x2 = ab
Problemas resueltos
01. En la figura, calcular: x, si: MN//AC
B
a
8
M
18
10
N
x
a
A
C
D
Resolución
•
Thales:
•
Thales:
a =8
18 a
a2 = 18 x 8 = 144
a = 12
B
a
8
M
18
A
10
N
8 = 10
a
x
10 (12)
10
a
x=
=
8
8
x = 15
x
a
C
D
02. En la figura, calcular: x
B
2a
6
A
a
8
x
H
76
76
C
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Resolución
•
•
•
B
aa
10
6
F a
8
H
A
x
Trazar bisectriz BF del ∠ABH
Teorema bisectriz:
D FBH
10 (12)
x = 10a =
8
8
10 = 6 & a = 3
8-a a
a =6
a
6
x
C
x = 12
Práctica
a) 9
d) 21
01. Calcular: x, si: L1// L2 // L3
L1
3b
a
b) 15
e) 19
05. En la figura mostrada, L1// L2 // L3 // L 4 , calcular:
y-x
2
L2
b
x
6a
6x - 4
L3
a) 3 cm
b) 4 cm
d) 3 2 cm
e) 2 3 cm
c) 2 2 cm
a) 2
3y+9
a) 3
d) 6
b) 4
e) 7
q
D
E
c) 4
d) 6
e) 5
E
A
R
a) 6
P
6
c) 8
a) 6
d) 9
Q
9
d) 9
07. Calcular AB de la figura, si: AP=9 y AH=OP=4
B
C
P
e) 10
O
A
a) 5,6
d) 7,8
E
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
C
c) 8
b) 7
e) 10
04. En el siguiente gráfico, BE es bisectriz del ángulo
ABC; AB=10, BC=18, EC – AE=6. Hallar: AC
B
A
c) 5
06. Si: m∠BAC=m∠BDE y AC=24, AB=16 y BD=6.
Calcular: ED
B
D
b) 3
x
b) 7
y
L4
03. Si: BP//RQ y AB//PR. Calcular: x
B
A
3
L3
C
q
a
L1
L2
F
B
x+1
3x
02. En el gráfico, ABCD es un trapecio (BC//AD). Si:
AE=16 u, AC=8 u y CF=4 u. Calcule: BC
A
c) 12
a
a
H
b) 6,8
e) 8,2
C
c) 7,2
C
77
77
San Marcos
Capítulo 10
08. En el gráfico, ABCD y DEFG son cuadrados
Si: EL=2 u y LD=4 u. Calcule: CE
B
C
13. En la figura: AB=8 m; AI=5 m y AC=10 m. Calcular: IE
B
aa
E
L
A
b) 5 u
e) 8,5 u
09. ABCD es un cuadrado de lado igual a 6. Si: CM=18,
calcular: DN
M
A
B
C
b) 5
a) 4
D
c) 3
N
d) 7
a) 45º
d) 18º30'
C
R
b) 12º30'
e) 15º
a) 13 m
d) 12 m
b b
C
b) 15 m
e) 10 m
c) 11 m
14. En la figura PM=3 m y PN=5 m
Calcular: AM
B
N
P
e) 8
a a 3a
Q
I
q
aa
A
10. En la figura calcular a, si las medidas de AQ, QR y
RC están en proporción de 2, 1 y 3
B
A
q
A
G
c) 5,5 u
D
a) 4 u
d) 6 u
E
F
a) 8 m
d) 14 m
M
C
b) 10 m
e) 16 m
c) 12 m
15. En la figura se muestra un paralelogramo ABCD donde: AD=18 m, CD = 24 m y PQ = 12 m
Calcular: PR
A
B
Q
P
c) 22º30'
D
a) 3 m
d) 4 m
11. En el gráfico, QC=4(BQ) y AH=2 u. Calcule: BH
B
R
b) 2,5 m
e) 9 m
C
c) 3,5 m
Q
A
a) 4u
H
b) 3u
c) 2u
C
d) 5u
e) 6u
12. En la figura: JM=8 cm y AJ=12 cm. Calcule la medida del radio "R"
J
M
R
A
a) 7 cm
d) 10 cm
O
b) 8 cm
e) 12 cm
L
c) 9 cm
78
78
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Tarea domiciliaria
01. En un triángulo ABC, AB=5, BC=7 y AC=6. Por el
incentro se traza una paralela a AC que corta a AB en
P y a BC en Q. Calcular: QP
a) 4
b) 3,2
c) 3,6
d) 4,2
e) 4,8
02. En un triángulo ABC, se inscribe un romboide PQBR
(P en AC, Q en AB y R en BC). La prolongación de
QR corta a la prolongación de AC en E. Calcular:
EC, si: AP=7 y CP=5
a) 11
b) 12
c) 12,5
d) 6
e) 7
03. Los lados AB y AC de un triángulo isósceles miden
6m cada uno y la base BC mide 3m. Se traza MN
paralela a BC y MP paralela a AC de manera que
MN=NP. Calcular la longitud de BM
a) 1,2 m
b) 2 m
c) 3 m
d)
2m
e)
3m
04. En un triángulo ABC se tiene que AB=12; BC=9 y
AC=14. Se ubica un punto D en AC, de modo que
AD y DC son proporcionales a AB y BC respectivamente. Hallar: DC
a) 5
b) 8
c) 6
d) 7
e) 9
05. Un cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia, las diagonales se intersectan en F, tal que:
FB=2m y FD=7m. Calcular AB, sabiendo que
AB=BC
a) 3 m
b) 3,5 m
c) 4,5 m
d) 2 2 m
e) 3 2 m
06. En un trapecio, las bases miden 5 y 14. La distancia
del punto de intersección de los lados no paralelos a
la base mayor mide 28 u. Calcular la longitud de la
altura del trapecio.
a) 10 u
b) 14 u
c) 16 u
d) 18 u
e) 20 u
07. Se tienen dos triángulos cuyos lados son proporcionales entre sí. El perímetro del primer triángulo es
84 cm y los lados del segundo miden 3; 4 y 5 cm respectivamente. Hallar la longitud del lado intermedio
del primer triángulo.
a) 26
b) 28
c) 32
d) 34
e) 36
09. En un triángulo ABC, m∠B=120º; AB=a y BC=b;
se traza la bisectriz interior BD, calcular la longitud de
dicha bisectriz.
a)
d)
a+b
2
ab
a-b
b)
ab
2
e)
ab
a2 + b2
c)
ab
a+b
10. En un triángulo ABC, inscrito en una circunferencia,
la bisectriz del ángulo A corta al lado BC en F y a la
circunferencia en M. Calcular: MC, si: AF=8 y FM=1.
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
11. En un triángulo ABC, AB=30, BC=25 y AC=25. Se
trazan las alturas AN y CM. Calcular el perímetro del
triángulo MBN
a) 80
d) 48
b) 60
e) 55
c) 40
12. La recta tangente en B a la circunferencia circunscrita
al triángulo ABC es paralela a la bisectriz interior CD
(D está en AB). Calcular AC si AD=5 dm y DB=4 dm
a) 9 dm
d) 10 dm
b) 4,5 dm
e) 3 dm
c) 7,5 dm
13. En un triángulo ABC, se traza la ceviana CQ, luego
QP//BC (P en AC), luego PR//CQ (R en AB). Calcular: BQ, si: AR=2 y RB=6
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
14. En un triángulo ABC, AB=6 u, BC = 8u y AC = 7 u.
Calcular la razón que divide el incentro a la bisectriz
interior BP.
a) 1 : 1
d) 4 : 3
b) 2 : 1
e) 5 : 2
c) 3 : 2
15. En un triángulo ABC, se traza la ceviana AP, que biseca a la bisectriz interior BQ.
Calcular: AB, si: BP=3 u y PC = 5u
a) 6 u
d) 11 u
b) 7 u
e) 12 u
c) 8 u
08. Los lados AB, BC y CA de un triángulo ABC miden
respectivamente 16 m, 12 m y 8 m. La bisectriz del
ángulo exterior en B corta a la prolongación de AC
en P. Calcular: PA
a) 20 m
b) 12 m
c) 18 m
d) 24 m
e) 32 m
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
79
79
San Marcos
Capítulo 11
11
Relaciones métricas
En la circunferencia
Teorema de las cuerdas
n
a
m
a.b=m.n
b
Teorema de las secantes
x
y
x.y=a.b
b
a
Teorema de la tangente y secante
x
x2 = a . b
b
a
Teorema de Ptolomeo (cuadrilátero inscrito o inscriptible)
B
b
a
A
C
AC . BD = a . c + b . d
c
d
D
80
80
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
En el triángulo rectángulo
Proyecciones
P
B
A
N
Línea
proyectante
P
M
A'
Q
N'
B'
Q'
P'
L
Q
Q
:
Proyección del punto "P" sobre la recta L.
A'B' :
Proyección del segmento AB sobre la recta L.
MN' :
Proyección del segmento MN sobre la recta L.
P'Q' :
Proyección del segmento PQ sobre la recta L.
Relaciones métricas en el triángulo rectángulo
a
b
h
m: Proyección de "a" sobre "c"
n : Proyección de "b" sobre "c"
m
n
c
h2 = m . n
a2 = c . m
a.b=c.h
a2 + b2 = c2
b2 = c . n
Propiedades
01.
02.
B
B
x
x
C
O
A
A
n
m
n
C
b
x2=m.n
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
O
x2=bn
81
81
San Marcos
Capítulo 11
03.
04.
P
P
x
Q
x
T
R
T
r
r
R
1 = 1 + 1
x
r
R
x = 2 Rr
En los triángulos oblicuángulos
Naturaleza de un triángulo
Aprenderemos a reconocer si un triángulo es acutángulo, obtusángulo o rectángulo conociendo las medidas de sus
lados.
01.
02.
03.
c
a
c
a
b
Si:
&
c
b
b
Si:
a2 < b2 + c2
El D es acutángulo
&
a2 > b2 + c2
El D es obtusángulo
a
Si:
&
a2 = b2 + c2
El D es rectángulo
Teorema en los triángulos oblicuángulos
a. Primer teorema de Euclides
b
En un D acutángulo
a
a2 = b2 + c2 - 2cm
a
m
c
82
82
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
b. Segundo teorema de Euclides
En un D obtusángulo
a
b
a2 = b2 + c2 + 2cm
a
c
m
c. Teorema de Heron
b
h = 2 p (p - a) (p - b) (p - c)
c
a
h
Donde:
p = a+b+c
2
c
d. Teorema de la Mediana
b
a
2
a 2 + b 2 = 2x 2 + c
2
x
c
e. Teorema de Stewart
b
a
x2c = a2m + b2n - cmn
x
m
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
c
n
83
83
San Marcos
Capítulo 11
f. Teorema de la bisectriz
— Bisectriz interior
a
a
a
b
x
m
x2 = ab - mn
n
— Bisectriz exterior
q
q
a
x
b
x2 = mn - ab
n
m
Propiedades
01.
C
mc
m2a + m2b = 5m2c
ma
mb
A
B
02.
a
b2 = a2 +c2 - 2cx
b
c
x
84
84
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Problemas resueltos
01. ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia inscrita a un trapecio rectángulo, si sus bases miden 30 y 70?
Resolución
30
R
30-R C
30-R
a
a H
3
4
R
4
R
A
70-R
4
2
O
D COD: (OH)2 = (CH) (HD)
R2 = (30 - R) (70 - R)
R = 21
R
70-R
b
b
1
R
•
4
R
3
12
123
B
D
70
02. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º) se traza la bisectriz AP que interseca a la altura BH en el punto "Q" tal
que: AQ=7 y PQ=2. Calcular: BQ
Resolución
B
x
x
A
a
a
7
q E
1
qQ
q P
1
•
D BQP: BQ = BP = x
•
D ABP: (BP)2 = (PE) (PA)
x2 = (1) (9)
x=3
C
H
03. En un triángulo ABC (B = 90º), se trazan la altura BH y las perpendiculares HM y HN a los catetos AB y BC respectivamente, tal que: AM=1 y CN=8. Calcular: AC.
Resolución
B
N
c
a
D AHB: m2 = (1) (c)
•
D BHC: n2 = (8) (a)
•
D ABC: c2 = x . m
.
8
M
1
A
•
•
m
H
x
n
C
2
(m2) = x . m " m3 = x " m = 3 x
2
D ABC: a = x . n
.
2
•
2
c n m = x . n " n3 = 64x " n = 3 64x
8
Luego:
x=m+n
x= 3 x +43 x
&x=5 5
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
85
85
San Marcos
Capítulo 11
Práctica
!
01. Si: AB=4, AD=7, m+EAD = 1 (mDP) . Hallar: ED
2
A
06. Calcular: PQ, si: AB=8 u, BP=4 u y PC=9 u
P
B
C
Q
B
P
E
A
a) 0,5 u
d) 2 u
D
a) 5
d)
b) 6
e)
31
c) 7
33
02. En el gráfico, AB=2 u, OA=3 u y BC//AD. Calcule:
DC. Si B: punto de tangencia.
a) 5 u
b) 10 u
3
5
c)
u
3
d) 3 u
e) 6 u
D
O
b) 1 u
e) 2,5 u
07. Si ABCD es un cuadrado, calcular su lado. Además se
sabe que: FA=4 y BP=3
B
C
a) 6
P
b) 7
B
c) 8
A
d) 9
e) 10
O
D
C
03. Hallar: BC, si: AB=3 y CD=4
A
F
08. El gráfico mostrado ABCD es un rectángulo, calcular:
AB. Si: AD=4; DT=16; r=6,5 ("T" es punto de tangencia)
F
b) 2
O
B
c) 2,5
C
d) 3
e) 4
D
D
C
P
r
B
A
E
04. Del gráfico "T" es punto de tangencia; PA=4; AB=2;
PC=3. Calcular: CD
T
C
a) 10
d) 12
b) 8
e) 15
c) 5
09. Calcular: AB
D
B
a) 24
b) 3
b) 16
A
c) 4
d) 5
c) 18
B
e) 15
05. Hallar: AP, si: BP=3 y PC=7, además el triángulo
ABC es equilátero.
B
a) 8
P
b) 10
95
d) 20
T
e) 6
A
a) 18
C
H
B
P
b) 12
C
c) 10
d) 15
d) 2 3
A
12
10. En la figura ABCD es un rectángulo, AB=HP=6. Calcular: AC
c) 12
e) 4 3
D
A
a) 1,5
a) 2
c) 1,5 u
e) 20
C
86
86
H
A
D
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
11. Calcular: x, si: P y Q puntos de tangencia R=12 y
r=3; QS=24
S
a) 53º
x
14. En la figura, calcular: x
6
5
b) 45º
x
P
c) 37º
1
b) 1
2
e) 2,5
d) 1
3
15. En la figura, calcular: a
d) 60º
r
e) 30º
a) 30
12. En la figura, calcular: h
b) 37
a) 2 6
b)
c) 2
a)
Q
R
3
c) 45
6
7
5
c) 2 3
5
17
d) 53
h
d) 4
a
e) 60
e) 3
2
6
13. En la figura, calcular: x
a) 2
b) 3
5
c) 4
d)
6
e)
5
7
x
6
Tarea domiciliaria
01. En el gráfico, si: FC=3u, AF=6 u y DF//BC. Calcule: EF
a) 1 u
B
D
b) 2 u
b) 2,5 u
q
d) 4,5 u
d) 2,5 u
e) 3,5 u
E
A
F
e) 6 u
C
a) 1
4
b) 2
x
12
b) 3
F
q
G
D
q
C
P
c) 4
9
d) 4
d) 2
e) 6
e) 5
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
A
04. En la figura: MN//BC; MB//AC; PN=2(MP); AB=9 y
AN=6. Hallar: NC
M
B
a) 1
02. Hallar: x
c) 3
E
c) 4 u
q
c) 3 u
03. En el gráfico, AD=4(DC). Si: AF=16 u. Calcule: FG
B
a) 2 u
87
87
A
N
C
San Marcos
Capítulo 11
11. En la figura, calcular: x
05. Calcular: h
a) 13
a) 1
b) 12
b) 1/2
c) 10
4
c) 2
h
6
d) 1/3
d) 2 3
x
e) 3
8
18
e) 3 2
5
12. Si ABCD es un cuadrado, FA=2 y PA=4.
Calcular: BP
B
a) 2
06. Calcular: a
a) 6
b) 7
c) 8
P
b) 3
a
C
c) 4
d) 9
d) 5
12
4
e) 10
07. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 9
y 16. Calcular el perímetro del triángulo ABC.
a) 40
c) 40 3
b) 20 3
d) 60
e) 50
e) 6
F
D
A
13. Calcular: x
a) 16
b) 15
x-2
c) 13
08. Calcular: CD, si: AB=6; BT=12 y TD=9. (T punto
de tangencia)
x-9
d) 12
a) 2
x
e) 17
b) 3
14. En el gráfico, AE=2 u, FE=4 u y EFGH es un cuadrado. Calcule: LG.
c) 4
a) (2 6 - 4) u
d) 5
A
e) 6
B
09. Calcular: h
T
C
b) (2 3 - 4) u
D
c) ( 6 - 4) u
L
G
F
A
E
O
H
d) ( 6 - 4) u
B
e) 3 6 u
15
15. En el gráfico mostrado, calcular: AP, si: DR=40 y
RT=10. Además: DQ=5AQ
T
20
h
C
A
a) 6
d) 10
b) 9
e) 12
R
c) 8
P
10. Calcular: PQ, si: R=16 y r=9. Si P y Q son puntos
de tangencia.
a) 12
P
b) 18
c) 36
d) 24
e) 30
D
a) 18
d) 15
Q
R
r
O
b) 20
e) 12
A
Q
c) 16
16. La suma de los cuadrados de los lados de un triángulo rectángulo es 200m2. Calcular la longitud de la
hipotenusa.
a) 5m
b) 10m
c) 10 2 m
d) 10 3 m
88
88
e) 5 2 m
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
12
Polígonos regulares
Es el polígono que tiene todos sus lados congruentes y todos sus ángulos congruentes entre sí.
•
•
Todo polígono regular, se puede circunscribir una
circunferencia.
Todo polígono regular, se puede inscribir una
circunferencia.
B
B
A
C
A
C
O
O
E
D
E
D
Ángulo central
Es un ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia circunscrita a un polígono regular, sus lados lo
determinan los radios de la circunferencia que pasan por dos vértices consecutivos del polígono.
A
E
a = 360c
n
B
O
n = Nº de lados
C
D
Apotema del polígono regular
Es el segmento perpendicular a un lado de un polígono regular, trazado desde el centro de la circunferencia circunscrita
del polígono.
Ejemplo:
Apotema
O
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
89
89
San Marcos
Capítulo 12
Polígonos regulares importantes
Triángulo equilátero
B
120º
L3
L3
O
R
C
A
Ángulo central
a3 = 120c
Lado (L3)
L3 = R 3
Apotema (ap3)
ap3 = R
2
Cuadrado
90º
Ángulo central
L4
Lado (L4)
O
R
ap4
a4 = 90c
L4 = R 2
Apotema (ap4)
ap 4 = R 2
2
Ángulo central
a6 = 60c
Hexágono regular
60º
L6
O
Lado (L6)
R
60º
ap6 R
Apotema (ap6)
L6 = R
ap6 = R 3
2
Polígono regular
an
La
apn
Triángulo
120º
L3 = R 3
ap3 = R
2
Cuadrado
90º
L4 = R 2
ap 4 = R 2
2
Hexágono
60º
L6 = R
ap6 = R 3
2
Octógono
45º
L8 = R 2 - 2
ap8 = R
2
2+ 2
Dodecágono
30º
L12 = R 2 - 3
ap12 = R
2
2+ 3
Decágono
36º
L10 = R ^ 5 - 1h
2
ap10 = R 10 + 20
4
Pentágono
72º
L5 = R 10 - 20
2
ap5 = R ( 5 + 1)
4
R: circunradio
90
90
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Problemas resueltos
01. En un triángulo ABC se traza la ceviana BQ tal que BC mide ( 5 + 1) ; los ángulos BAC; ABQ y CBQ miden 49º,
23º y 72º respectivamente. Calcular: BQ.
Resolución
B
•
72º
3º
BC = R =
5 +1
2
x
A
49º
•
72º
Q
D BQC:
BQ = L10 = x
C
5 +1
5 +1
L10 = R ( 5 - 1) ... (fórmula)
2
( 5 + 1)
x=
( 5 - 1)
2
x=2
!
02. En el siguiente gráfico: "O" es centro, OB = 2, AC=CB y mAF = 60c . Hallar: FC
C
F
O
A
B
Resolución
30º C
x
F
•
2
60º
L12 = R 2 - 3
2 30º
A
x = 2 2- 3
O
2
D OFC:
B
2
03. ABCDEFGH es un octógono regular, M ∈ AE y DM = AG. Calcular: m∠DME
Resolución
C
D
B
•
!
!
mAHG = mDEF = 90c
a
M
A
⇒ AG = DF
x
x
E
a
a
•
ME es mediatriz de DF
•
D MDF es equilátero
2x = 60º
F
H
x = 30º
G
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
91
91
San Marcos
Capítulo 12
Práctica
01. Calcular: x, si L3 es el lado del triángulo equilátero y
L6 es el lado del hexágono regular.
a) 45º
b) 53º
c) 60º
L3
L6
x
d) 75º
02. Calcular: x, si L4 es el lado del cuadrado y L3 es el
lado del triángulo equilátero.
a) 90º
L3
c) 120º
L4
3
b)
d)
3+ 6
e) 2 + 3
!
03. Si: mAB = 270c , calcular: AB, R = 2
B
a) 2
e) 8 3
e) 6 2
04. En un hexágono regular ABCDEF, el segmento que
une los puntos medios de AB y BC mide 1 m. Hallar
el perímetro del hexágono.
b) 6
c) 2 3
a) 6 3
d) 4 3
e) 4 2 cm
d) 2 2 cm
R
d) 4 2
e) 6 3 cm
11. Calcular el semiperímetro de un cuadrado si su apotema mide 2 cm
a) 1 cm
b) 2 cm
c) 4 cm
O
A
c) 6 3
09. Un triángulo equilátero está inscrito en una circunferencia de radio 2 m. Calcular la suma de las medidas
de las alturas del triángulo.
c) 9
a) 6
b) 6 3
d) 2 3 cm
b) 2 2
3 2
6+ 2
10. Si el apotema de un hexágono regular mide 3 cm ,
calcular su perímetro
a) 4 cm
b) 6 cm
c) 12 cm
x
e) 150º
c)
3+ 2
b) 4 3
e) 4
a) 2 3
d) 6
d) 9 3
d) 135º
c)
a)
08. En un hexágono regular de lado 12 se trazan 6 diagonales congruentes, determinándose otro hexágono
regular cuyo lado mide:
e) 90º
b) 105º
07. En un triángulo ABC inscrito en una circunferencia se
tiene que: AB=L3 y BC=L4. Calcular la medida del
lado AC; si la medida del radio de la circunferencia
es 2
12. En la figura, calcular "MN", si: ABC es un triángulo
!
equilátero, R=10 (AM=MC) y mBN = 60c
B
N
R
O
e) 3 3
A
C
M
05. Calcular: x, si O es centro.
a) 10º
B
b) 12º
L6
c) 15º
d) 18º
L4
A
C
x
D
O
a) 5 7
b) 6 7
c) 7 7
d) 9 7
e) 10 7
13. En la figura, AB es el lado de un triángulo equilátero
inscrito, si: q = 30º, entonces CD es el lado del:
A
e) 20º
C
06. Calcular: x
a) 15º
b) 30º
c) 45º
d) 24º
q
R 3
R 2
D
a) cuadrado inscrito.
c) hexágono regular.
e) decágono regular.
x
e) 18º
92
92
B
b) octógono regular.
d) dodecágono regular.
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
14. Dado un cuadrado de lado L, a partir de cada vértice
y sobre cada lado se toma un segmento que mide
x de tal manera que al retirarlos y unir los extremos
libres se forma un octógono regular. Calcular: x
a)
L (2 - 2 )
2
b)
L (2
+ 2)
2
d)
L ( 2 - 1)
2
e)
L ( 2 - 2)
2
15. Calcular: EF, si: AC = 8 2 u
E
F
c) L ( 2 - 1)
A
a) 8 u
d) 4 u
27º
18º
b) 4 2 u
e) 16 u
C
c)
8 2u
Tarea domiciliaria
05. Hallar el apotema de un hexágono regular de perímetro 24 cm
01. Calcular: x, si: AB = R 2
C
a)
R
x
3u
d) 3 2 u
O
A
B
b) 53º
e) 30º
02. Calcular: q, si: AB = R 3
D
O
B
a) 15º
d) 30º
b) 12º
e) 20º
07. Hallar: x
R
C
b) 72º
e) 45º
B
L3
c) 30º
03. Calcular: x
c) 10º
C
x
P
O
L4
A
L8
L5
a) 110º
d) 105º
a) 60º
d) 58,5º
D
b) 115º
e) 90º
c) 95º
08. Si: AB=L5 y CD=L4. Calcular: x
C
B
x
b) 73º
e) 67,5º
x
c) 75º
D
O
04. Calcular: AB. (A y B: puntos de tangencia).
A
A
a) 3 3
b) 6
c) 6 3
C
x
q
a) 36º
d) 60º
L6
L3
c) 45º
O
A
c) 2 3 u
e) 2 2 u
06. Si: BC//AD. Calcular: x
B
A
a) 37º
d) 60º
b) 3 3 u
27
O
60º
a) 100º
d) 89º
P
b) 99º
e) 75º
c) 110º
d) 9
e) 9 3
B
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
93
93
San Marcos
Capítulo 12
09. Calcular el perímetro de un triángulo equilátero si su
apotema es igual a 3 cm
a) 18 3
b) 12 3
d) 15 3
e) 9 3
10. Calcular: BC
C
60º
c) 6 3
a) 12
d) 24
D
b) 4 3
e) 6
d) 2 2
c)
C
D
O
a) 20º
d) 22,5º
b) 18º
e) 30º
x
a) 10
d) 6,5
P
c) 15º
2
d) 2 2
b)
3
c)
d) 4 3
b) 12
e) 6
x
L3
c) 13
L6
5
e) 2 3
13. Se tiene un triángulo ABC inscrito en una circunferencia tal que m∠A=45º y BC=8. Hallar la longitud del
radio de la circunferencia.
a) 8 2
c) 24
17. Calcular: x
12. Un triángulo equilátero está inscrito en una circunferencia de radio 6 cm. Calcular la longitud del lado del
hexágono regular inscrito en el triángulo.
a)
b) 18
e) 36
16. En un hexágono regular ABCDEF de lado 13 , las
prolongaciones de la diagonal CA y EF se cortan en
P. Hallar la distancia desde P al vértice D.
B
R
a) 12
d) 30
4 2
11. Calcular: x. Si: AB=R y BC = R 2
A
c) 20
A
O
a) 14
b) 18
e) 48
15. Dado un dodecágono regular inscrito en una circunferencia de radio 4 cm. Calcular el perímetro del polígono que se obtiene al unir los puntos medios de
sus lados.
4
B
14. Se tiene un octógono regular inscrito en una circunferencia de radio igual a 3 2 . Calcular el perímetro
de aquel polígono que se obtiene al unir consecutivamente los puntos medios de sus lados.
b) 4 2
e) 4
c)
a) 90º
d) 60º
b) 45º
e) 75º
c) 30º
8 3
94
94
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
13
Áreas de regiones triangulares
Área del triángulo
A = bh
2
A = bh
2
h
h
b
b
Fórmula de Herón
A=
a
c
p (p - a) (p - b) (p - c)
p : semiperímetro
p = a+b+c
2
b
Forma trigonométrica
a
A = ab Sena
2
a
b
Triángulo equilátero
L
L
2
A= L 3
4
L
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
95
95
San Marcos
Capítulo 13
En función del inradio (r)
En función del circunradio (R)
c
O
a
En función de un ex radio
B
R
b
A=p .r
C
A
A = abc
4R
p: semiperímetro
ra
a
r
A = ra (p - a)
Triángulo rectángulo
a
b
h
c
A = ab
2
A = ch
2
m
n
A=m.n
Problemas resueltos
01. En un triángulo ABC, se traza la altura BH. Si: AH=8; HC=3 y m∠ABH = 2(m∠HBC). Calcular el área de ABH.
Resolución
•
Trazar la bisectriz BE del ∠ABH.
aa a
•
Trazar EP ⊥ AB
•
D EBC: EB = BC y EH = HC
6
•
m∠A = 37º ⇒ BH = 6
•
SABH = 8 # 6
2
B
P
4
A
3
5
E
3
H
3
C
96
96
SABH = 24
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
02. Se tiene un cuadrado ABCD de lado 2 5 . Tomando como diámetro AD se traza una semicircunferencia y se traza
la tangente BQ a dicha semicircunferencia. Calcular el área del triángulo BQC.
Resolución
B
2 5
37º
3c
53c 5 2
2 5 2
C
2 5
•
Propiedad: AB = BQ = 2 5
•
SBQC= 2 5 # 2 5 $ Sen37c
2
SBQC = 10 # 3
5
SBQC = 6
Q
A
O
5
5
D
03. Si: BD = DC. Calcular el área del triángulo ADC.
B
45º
30º
A
C
D
8
Resolución
B
45º
30º
•
D ABD: BD = 16
C
•
8
•
D DCH: DC = 16
Luego: HC = DC = 16 = 8
2
2
8
8
#
SADC =
2
SADC = 32
60º
A
8
60º
D
30º
H
Práctica
01. En la figura, calcular el área de la región sombreada.
6
a
02. Según la figura, AC=12, BH=9, además BE=2EH.
Calcular el área de la región ABCE
B
E
5
a) 9
d) 10
2a
b) 15
e) 30
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
A
c) 12
a) 20
d) 36
97
97
H
b) 48
e) 21
C
c) 18
San Marcos
Capítulo 13
03. Hallar el área de la región triangular ABD; si: BF=3u
y AC=10u
B
a) 30u2
b) 18u2
d)
09. Hallar el área de una región triangular cuyos lados
miden 5; 6 y 7
D
F
c) 25u2
08. La base de un triángulo isósceles mide 8 y su perímetro mide 18. Calcular el área de su región.
a) 16
b) 14
c) 12
d) 10
e) 18
20u2
e) 15u2
A
b) 2 6
d) 6 6
e) 6 3
04. En el gráfico P, Q y S son puntos de tangencia, si: AB=6u
y BC=8u. Calcule el área de la región sombreada.
Q
a) 36 u2
B
C
2
b) 18 u
O
P
c) 24 u2
d) 16 u2
e)
45º
6 2
8
S
12 3 u2
D
A
05. En el gráfico, AM=MB y CD=5u. Calcule el área de
la región triangular AMC.
D
a) 16
b) 12
d) 8 2
e) 4 2
B
75º
M
A
S1
30º
C
O
a) 4 3 u2
b) 3 3 u2
d) 3 2 u2
e) 6 2 u2
A
4 2 u2
c)
06. En el gráfico AE=25 u. Calcule el área de la región
sombreada. (T: punto de tangencia)
B
a) 24 u2
d) 64 u2
30º
C
E
b) 18
e) 6
c) 12
12. En la figura, calcular el área de la región sombreada.
a) 55
a 2a
b) 36
c) 48
r
O
S2
a) 9
d) 15
T
37º
c) 8
11. En la figura, calcular (S2 - S1), si BE=6
B
53º
A
c) 2 2
10. En el semicírculo mostrado, calcular el área de la región sombreada.
C
E
a) 6 2
d) 33
E
b) 48 u2
e) 84 u2
16º
e) 44
D
c) 96 u2
07. En el gráfico P y Q son puntos de tangencia, si:
AB=13u, BC=15u y AC=14u. Calcule: R.
B
a) 3 u
3
8
13. Calcular el área de la región sombreada. Si O es centro.
A
b) 4 u
c) 5 u
P
d) 6 u
e) 7 u
A
R
O
O
Q
C
98
98
7
a) 2 3
b)
d) 3 3
e) 6 3
3
B
c)
4 3
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
!
14. En el gráfico, R = 10 u y mAB = 37c . Calcule el área
de la región sombreada.
A
B
15. En la figura se muestran dos semicírculos y el área de
la región triangular ABC es 36. Calcular el área de la
región sombreada.
B
R
C
O
a) 1 u2
d) 2,5 u2
C
A
b) 1,5 u2
e) 3 u2
a) 9
d) 18
c) 2 u2
b) 8
e) 15
c) 12
Tarea domiciliaria
01. Según el gráfico A, B y T son puntos de tangencia.
Calcule el área de la región sombreada.
Si: (AC + BD)R = 20u2
04. En la figura, calcular el área de la región sombreada.
a) 4
b) 3
c) 2
A
R
B
O
7
9
d) 6
e) 1
C
a) 12 u2
d) 5 u2
05. En la figura, calcular el área de la región sombreada.
D
T
b) 15 u2
e) 20 u2
8
53º 37º
c) 10 u2
5
10
02. En la figura, calcular el área de la región sombreada.
aa
3
a) 5
d) 20
a) 20
d) 15
b) 7,5
e) 10
c) 25
06. En el gráfico, T es punto de tangencia y PT=4u. Calcule el área de la región sombreada.
2
b) 10
e) 12
a) 7 u2
c) 15
!
03. En el gráfico, mAD = 60c , R = 3 u . Calcule el área
de la región sombreada.
B
b) 8 u2
c) 9 u2
d) 10 u2
P
e) 11 u2
37º
T
07. En el gráfico, T es punto de tangencia; AB=BC, AT=3 u
y AM=1 u. Calcule el área de la región triangular ABC.
D
a) 10
b) 11
R
A
u2
a) 5
d) 8 u2
C
u2
b) 6
e) 9 u2
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
B
c) 12
d) 15
c) 7,5 u2
e) 18
99
99
M
A
T
C
San Marcos
Capítulo 13
08. En la figura, calcular el área de la región sombreada.
a) 100
14. En la figura, calcular el área de la región sombreada.
2a
10
b) 50
c) 75
d) 30
8
e) 40
09. En el semicírculo mostrado, calcular el área de la región sombreada.
5
a) 18
d) 15
b) 16
e) 30
a) 8
b) 15
a
b) 6
c) 10
e) 30
5
c) 4
2a
d) 20
d) 3
10
e) 2
10. En la figura, calcular el área de la región sombreada.
1
7
16. Si: AB=6u; BC=9u y AC=AD, calcular el área total
de la región triangular ABD.
B
a) 12 u2
6
b) 16 u2
10
b) 16
e) 20
c) 18
c) 18 u2
11. En la figura, calcular el área de la región sombreada.
a) 8
e) 14 u2
c) 12
5
d) 15
e) 18
6
A
C
d) 24 u2
3
b) 9
D
17. En el gráfico mostrado O es centro. Calcule el área de
la región del triángulo ABC, si: PB=3 u y BM=4 u
P
12. En la figura, calcular el área de la región sombreada.
Si O es centro.
a) 8
2
A
B
C
b) 6
A
c) 12
a) 2
d) 5 u2
10
O
B
13. Calcular el área de la región sombreada.
b) 3
e) 6 u2
M
c) 4 u2
18. Calcular el área de un triángulo isósceles ABC
(B=90º) si la hipotenusa mide 12
a) 144
b) 108
c) 72
d) 64
e) 36
a) 9 15
d) 30
2n
7
b) 14
e) 17,5
u2
19. Calcular el área de una región triangular de lados
2 5 ; 3 20 y 10 2
n
a) 7
d) 15
C
O
u2
d) 9
e) 10
c) 20
15. En la figura, calcular el área de la región sombreada.
a) 5
a) 24
d) 15
a
6
c) 21
b) 8 6
e) 24
c) 20 3
20. Calcular el área de un triángulo equilátero cuyo lado
mide 4
100
100
a) 4 3
b) 8 3
d) 16 3
e) 6 3
c) 12 3
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
14
Áreas de regiones poligonales
Áreas
Es la medida de una región o superficie, se expresa en unidades cuadradas de longitud: m2, cm2, pies2, etc.
Regiones poligonales
Región triangular
Región cuadrangular
Región hexagonal
Nota
Para abreviar se dirá: área del triángulo; área del cuadrilátero; entendiéndose desde luego que nos referimos al área
de la región correspondiente.
Áreas de los cuadriláteros
•
Del cuadrado
•
Del rectángulo
L
L
L
b
A = L2
A=a.b
a
L
•
Del trapecio
•
Del paralelogramo
a
h
h
b
b
A = 8 a + b Bh
2
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
A=b.h
101
101
San Marcos
Capítulo 14
•
Del rombo
•
En todo cuadrilátero
B
C
A
A=
C
(AC) (BD)
2
B
A=
a
(AC) (BD)
Sena
2
D
A
D
Polígonos
Polígono circunscrito
A=p.r
r
p: semiperímetro
Polígono regular
A
B
A = p . ap
A = n . ADAOB
O
p: semiperímetro
ap
ap: apotema
n: # lados
Problemas resueltos
01. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 6, E ∈ BC, el área de AECD es el doble del área de ABE. Calcular: EC
Resolución
B
6
6-x
E
x
C
•
k
6
2k
A
•
6
D
6 ( 6 - x)
2
6
2k = ` + x j 6
2
.
6 (6 - x)
2#
= ` 6 + x j6
2
2
6(6 - x) = 3(6 + x)
k=
x=2
102
102
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
02. ABCD es un trapecio (BC//AD), m∠BAD=2m∠CDA=60º. Si 2(BC)=AD=8. Calcular el área de la región ABCD.
Resolución
4
B
A
E
•
Trazar: CE//AB
m∠CED=60º; AE=4 y
ED=4.
h
•
D ECH: h = 3
•
SABCD = ` 4 + 8 j 3 = 6 3
2
30º
2
60º 4
C
60º
30º
H
8
D
SABCD = 6 3
03. Se tiene un cuadrado ABCD y el cuadrante CBD con centro en "C" y radio CB; calcule el área de la región del
cuadrado inscrito en el triángulo mixtilíneo BAD, si BC = 2 + 1
Resolución
•
r
B
AC = x 2 + r = r 2
C
x 2 = r 2 - r = r ( 2 - 1)
x 2 = ( 2 + 1) ( 2 - 1) = 2 - 1 = 1
r
•
x E
A
x= 1
2
r = 2 +1
P x Q
x x 2 x
D
2
SAPQE = x2 = c 1 m = 1
2
2
SAPQE = 1
2
Práctica
01. En el gráfico, BC//AE y R = 4u. Calcule el área de la
región sombreada.
B
C
a) 20 3 u2
b) 14 3 u2
c) 24 3 u2
R
e)
D
q
d) 12 3 u2
18 3 u2
03. ABCD es un trapecio rectángulo. Si el triángulo ABD
es isósceles de área S. Hallar el área del trapecio.
B
A
A
q
q
E
02. Si AOBC es un cuadrado, calcular su área, si:
AM = 3 3 y AN = 3
N
A
C
a) 2S
b) 3S
d) S 2
e)
a) 8 m2
d) 25 m2
O
b) 16 m2
e) 18 m2
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
B
c) 108
P
d) 122
c) 9 m2
e) 72
103
103
c)
3S
2
5S
2
04. Calcular el área de la región sombreada.
B
C
a) 64
b) 88
M
C
D
8
4
A
Q
6
6
D
San Marcos
Capítulo 14
05. Del gráfico, AB=8u. Calcule el área de la región sombreada.
Q
a) 48
10. Calcular el área de la región sombreada.
B
2n
b) 30
c) 24
n
d) 32
A
45º
e) 18
P
A
3
S
B
a) 18
d) 16
06. Calcular el área del cuadrado sombreado.
a) 240
25
d) 225
e) 30
u2
c) 10 u2
A
B
O
C D
d) 12 u2
e) 15 u2
12
C
S
b) 24
e) 12
c) 20
b) 16 u2
25
c) 20 u2
07. En el gráfico, AE=2u y CD=1u. Calcule el área de la
región sombreada.
E
a) 6 u2
b) 8
P
11. En el gráfico A y C son puntos de tangencia, si:
PQ=2u y QM=6u. Calcule el área de la región sombreada.
C
B
a) 12 u2
b) 400
c) 125
R
Q
R
45º
D
A
d) 20 2 u2
P
e) 25 u2
Q
M
12. En el gráfico, AD=BE y (AB)(EF) = 8u2. Calcule el
área de la región del rombo ABCD.
B
A
E
F
08. En el gráfico AD=DF; BE=3u y EF=5u. Calcule el
área de la región limitada por el trapecio ABCD.
B
C
C
D
a) 8 u2
d) 7 u2
E
b) 9 u2
e) 10
c) 6 u2
13. Calcular el área de la región sombreada (O: centro)
D
A
1
B
F
84 u2
b) 64 u2
c) 32 u2
5
5
5
d) 37 u2
e) 45 u2
3
4
09. En el gráfico PQSC es un cuadrado de centro O. Si:
AO = 2 10 u . Calcule el área de la región sombreada.
B
C
a)
A
a) 3
d) 5
O
b) 4
e)
c) 6
3
14. Calcular el área del trapecio ABCD, si BO=2 y OD=8
B
C
qq
Q
S
O
O
A
a) 4 u2
d) 16 u2
P
b) 8 u2
e) 20 u2
C
A
c) 12 u2
a) 15
d) 24
104
104
D
b) 18
e) 25
c) 20
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
15. Calcular el área del rectángulo PBQH, si: AP=4 y QC=6
B
Q
P
A
C
H
a) 30
d) 24
b) 16
e) 18
c) 36
Tarea domiciliaria
01. Calcular el área de la región del rombo ABCD. Si:
AB=10, AC=12.
B
2
C
A
E
A
D
a) 96
d) 48
04. Calcular el área de la región sombreada. Si: CDE es
un triángulo equilátero.
B
C
b) 94
e) 120
c) 90
02. Calcular el área de la región del hexágono regular
ABCDEF, si: AD=8
B
C
D
2
a) 1 + 3
b) 2 + 3
d) 4 + 3
e) 8 + 3
c)
3+ 3
05. Si: BC//AD, calcular la longitud de la altura, si:
S=30cm2
B
3cm
C
D
A
S
E
F
a) 12 3
b) 18 3
d) 36 3
e) 48 3
A
c) 24 3
a) 10 cm
d) 5 cm
03. Calcular el área de la región cuadrilátero ABCD. Si:
AB=15; BC=20; CD=24 y AD=7
B
9cm
b) 8 cm
e) 7 cm
D
c) 6 cm
06. Calcular el área del trapecio isósceles.
10
15
A
C
16
D
a) 280
d) 240
b) 300
e) 234
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
c) 135
105
105
a) 52 15
b) 29 10
d) 27 15
e) 26 14
c) 80
San Marcos
Capítulo 14
07. Calcular el área del trapecio ABCD, si: BC=4 y AD=9
B
C
a) 12
d) 42
b) 26
e) 52
c) 39
08. Calcule el área de la región del paralelogramo ABCD,
si: BR=6u y RD=4u.
B
60º
D
R
a) 10 3 u2
b) 20 3 u2
d) 40 3 u2
e) 25 3 u2
c)
30 3 u2
10. Calcule el área de la región del rombo si O es centro
de la circunferencia.
O
R=2u
3 u2
2
3 u2
b)
c) 2 3 u2
e) 1 u2
d) 4 3 u2
11. Calcular la suma de las áreas de las regiones de los
cuadrados sombreados. Si: AB=10
C
A
O
D
13. Las diagonales de un cuadrilátero miden 10 y 60,
el ángulo que forman dichas diagonales miden 30º.
Calcular el área del cuadrilátero.
a) 400
b) 500
c) 2400
d) 150
e) 125
15. Calcular el área de la región de un octógono regular
inscrito en una circunferencia de radio 4u
c) 24u2
b) 16 2 u2
a) 32 2 u2
d) 24 2 u2
09. ¿Cuál es el perímetro de un rombo, cuya área es igual
a 18 3 y su diagonal menor mide igual que su lado?
a) 20
b) 24
c) 36
d) 44
e) 30
a)
B
c) 50
14. Un patio de forma cuadrada está rodeada de una vereda que tiene un ancho de medida 3, siendo el área
de esta igual a 192. ¿Cuál es el área del patio?
a) 169
b) 186
c) 144
d) 189
e) 121
C
60º
b) 25
e) 120
12. El área de un trapecio es igual a 700; los lados paralelos miden 30 y 40. ¿Cuánto mide la altura del
trapecio?
a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
e) 17
D
A
A
a) 10
d) 100
e) 18u2
16. Las áreas de dos cuadrados suman 8621, el producto
de las longitudes de sus diagonales es igual a 8540.
Calcular la suma de longitudes de ambos lados.
a) 130
b) 70
c) 131
d) 61
e) 71
17. Calcular el área de un rombo, cuyo lado mide 30 y
uno de sus ángulos agudos mide 30º
a) 225
b) 425
c) 400
d) 450
e) 405
18. El área de un hexágono regular es igual a 1024. Se
construye otro hexágono uniendo los puntos medios
de los lados de aquel. Calcular el área del segundo
hexágono.
a) 256
b) 512
c) 512 3
d) 768
e) 786
19. La diagonal de un rectángulo mide 10 y su base mide
8. Si su área es igual al de un rombo, cuya diagonal menor mide igual que la altura del rectángulo.
¿Cuánto mide la diagonal mayor del rombo?
a) 48
b) 2
c) 18
d) 16
e) 20
20. Sean M y N puntos medios de los lados AB y BC de
un triángulo ABC de 60m2 de área. Por el vértice C
se traza una paralela, a AB que corta a la prolongación de MN en P. ¿Cuál es el área del paralelogramo
AMPC?
b) 60 m2
c) 30 m2
a) 50 m2
2
2
d) 15 m
e) 20 m
106
106
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
15
Relación de áreas
A1
A=
A2
m
A
n
A
AT
2
AT = área total
A1 m
=
A2 n
A
A
A
A
A
A
A
A=
Si:
a=q
A
A
AT
6
A
A=
AT
4
o a + q = 180º
a
A1
q
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
A1
= ab
A2
mn
m
A2
a
b
107
107
n
San Marcos
Capítulo 15
Si el DABC es semejante al DMNT
B
q
N
q
c
h1
~
a
t
A1
A
b
a
b
C
M
m
h2
A2
a
b
n
T
2
2
2
(h ) 2
A1
= a 2 = b2 = c2 = 1 2 = ... = k2
A2
(h2)
m
n
t
k " Constante de proporcionalidad
Relaciones de áreas en regiones cuadrangulares
En paralelogramos
Sx
B
Sx = b . h
h
Sx = B . H
b
H
Punto cualquiera
S
S
S
S
S2
S1
S
S
x= T
5
x
x
y
S
S
S
S x = S1 + S2 = T
2
Sx
S
x
S
z
w
x+z=y+w
108
108
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
En todo trapecio
x
S
S2 = x . y
S
y
S1
S1 = S2
S2
S1
S1
Sx
Sx
S2
S2
S +S
S
Sx = 1 2 = T
2
3
S1 + S2 = S x =
ST
2
Cualquier cuadrilátero
R
Q
B
A
C
A
D
P
A.C=B.D
x
y
x
S
A
A = PQRS
2
z
z
w
y
x+z=y+w
z=x+y
x = Área total
3
x
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
109
109
San Marcos
Capítulo 15
Problemas resueltos
01. En un paralelogramo ABCD, AD =18 y su altura BH mide 12. Se ubican M y N puntos medios de BC y CD respectivamente. Calcular el área de la región cuadrangular AMCN.
Resolución
B
M
K1
C
K1
K2
12
N
•
SABCD = 18
•
Unimos "A" con "C"
•
2K1 + 2K2 = 216
K2
A
H
2(K1 + K2) = 216
D
18
12 = 216
#
K1 + K2 = 108
S
SAMCN = 108
02. En un trapecio cuyas bases miden 3 y 1 se traza una paralela a las bases para dividirlo en dos figuras equivalentes.
Hallar la longitud de dicha paralela.
Resolución
S
1
B
•
•
C
K
8S = 2K " 4S = K
x
P
S = 12
S + K x2
S = 12 = 1
Por semejanza:
S + 2K 3 2 9
9S = S + 2K
Por semejanza:
Q
•
Luego:
K
A
S = 1 =1
S + 4S x 2 5
x2 = 5
D
3
x= 5
03. En un triángulo ABC, se ubica E en AB y "F" en BC tal que: BE = 3(AE) y FC=3(BF). Si el área de la región ABC
es 16. Calcular el área de la región AEFC.
Resolución
B
b
3a
E
a 4K
A
•
Unimos "E" con "C"
•
Por propiedad
SAEC = 4K
F
3K
9K
SFEC = 9K
3b
SEBF = 3K
C
•
16K = 16 " K = 1
•
SAEFC = 13K = 13(1)
SAEFC = 13
110
110
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Práctica
01. En la figura ABCD es un paralelogramo. Calcular: Sx
B
05. Hallar el área de la región sombreada, si BC//AD
B
C
S2
S1 P
Sx
S1 + S2
2
b)
d) S2 + S1
C
9u2
D
A
a)
4u2
A
S1 - S2
2
c) S2 - S1
b
a) 20 u2
d) 30 u2
e) 2(S2 - S1)
M
b) 21 u2
e) 36 u2
B
B
y
Q
A
C
b) 3 y
e) 6 y
a) 600 cm2
d) 500 cm2
c) 4 y
03. Calcular el área de la región sombreada, si el área
de la región triangular ABC es 120 u2, BM=MC y
AN=2(NC)
C
N
b) 300 cm2
e) 700 cm2
B
M
A
N
C
b) 22 u2
e) 66 u2
a) 75 cm2
d) 80 cm2
c) 33 u2
04. En un trapecio cuyas bases miden 3m y 1m, se traza
una paralela a las bases para dividirlo en dos figuras
equivalentes. ¿Cuál es la longitud del segmento paralelo?
a) 1m
d)
5m
b) 2m
e)
6m
c)
N
D
b) 90 cm2
e) 60 cm2
c) 70 cm2
08. Calcular el área de la región sombreada, si el área de
la región del cuadrado ABCD es 36 u2. (AM = MB)
B
C
M
3m
m
A
a) 3 u2
d) 12 u2
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
c) 400 cm2
C
M
a) 11 u2
d) 44 u2
D
07. Calcule el área de la región sombreada, si ABCD es
una región cuadrada de área 120 cm2, M y N son
puntos medios.
B
A
c) 24 u2
M
A
a) 2 y
d) 5 y
D
06. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 30 cm, M
y N son puntos medios. Calcular el área de la región
sombreada.
02. Calcular el área de la región del trapecio APQC
P
b
111
111
D
b) 6 u2
e) 18 u2
c) 9 u2
San Marcos
Capítulo 15
09. Calcular el área de la región del triángulo ABP, si la
suma de las áreas de las regiones sombreadas es 18 u2
y ABCD es un paralelogramo.
B
12. Si: MC//ED, calcular el área de la región sombreada,
si las áreas de las regiones triangulares MNP y EPF
son 4 m2 y 9 m2 respectivamente.
C
b
M
N
b
C
P
P
M
D
A
u2
a) 9
d) 18 u2
a
E
u2
b) 12
e) 24 u2
c) 12 2
u2
10. En la figura, ABCD es un romboide, área del triángulo BOC = 9u2; área del triángulo POD = 4u2. Calcular el área de la región ABCD.
B
a) 26 m2
d) 31 m2
a
F
b) 18 m2
e) 32 m2
C
40
S
84
35
O
a) 30 u2
d) 24 u2
a) 36
d) 87
D
P
b) 36 u2
e) 38 u2
c) 27 u2
W
b) 72
e) 62
c) 56
14. En el gráfico, si: EC = 2EB; AF=2FC. Calcular:
11. En la figura ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 6 u.
Calcular el área de la región sombreada. (AM = MD)
B
c) 30 m2
13. Calcular el área de la región sombreada.
30
A
D
B
C
S1
S1
S2
E
O
S2
F
A
A
a) 2 u2
d) 6 u2
M
b) 3 u2
e) 9 u2
D
a) 2
b)
1
2
d) 3
e)
3
2
c) 4 u2
112
112
C
c) 1
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Tarea domiciliaria
01. Calcular el área de la región triangular ABC, si el área
de la región sombreada es 9 cm2
05. Calcular el área de la región del trapecio.
A
B
B
4u2
16u2
A
a) 24 cm2
d) 26 cm2
b) 18 cm2
e) 27 cm2
a) 24 u2
d) 32 u2
c) 28 cm2
02. Calcular el área de la región sombreada, si el área de
la región triangular AEC es 40 m2
B
n
D
C
C
b) 40 u2
e) 28 u2
c) 36 u2
06. Calcular el área de la región del trapecio ABCD.
B
E
2u2
8u2
C
O
4n
A
a) 6 m2
d) 12 m2
b) 10 m2
e) 16 m2
c) 8 m2
a) 50 u2
d) 42 u2
03. Calcular el área de la región del trapezoide ABCD
b) 48 u2
e) 54 u2
c) 36 u2
07. Calcular el área de la región sombreada, si el área del
triángulo ABC es 48 u2
C
B
D
A
C
B
4u2
6u2
12u2
A
D
a) 8 u2
d) 30 u2
b) 22 u2
e) 36 u2
A
c) 28 u2
a) 34 u2
d) 24 u2
04. Si: MN//PQ//AC y AC = 3 2 . Calcular: PQ
B
M
P
S
N
b) 30 u2
e) 36 u2
S
B
S1
c) 32 u2
E
S2
C
b) 4 6 m
e) N.A.
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
C
S
Q
S
d) 4 5 m
C
3k
08. Siendo ABCD un romboide: S1 = 4 u2 y S = 18 u2.
Calcular: S2
A
a) 3 2 m
D
k
D
A
c) 2 3 m
a) 24 u2
d) 26 u2
113
113
b) 22 u2
e) 30 u2
c) 14 u2
San Marcos
Capítulo 15
09. En un triángulo ABC, sobre AB y BC se toman los
puntos P y Q respectivamente, tal que: AP=2PB y
BQ=QC
A ∅PBQ
Calcular:
A ∅ABC
1
a)
b) 1
c) 1
6
2
3
d) 1
e) 1
4
5
10. Dado un paralelogramo ABCD de dimensiones
AB=20 y BC=10 y la altura 6m, se toma en el interior del paralelogramo un punto cualquiera E. Se
pide calcular la suma de las áreas de los triángulos
ABE y DEC.
a) 120
b) 200
c) 60
d) 90
e) 80
15. En un trapecio ABCD la base menor es AB, las diagonales se cortan en O y las áreas de los triángulos AOB
y DOC son 18 y 50 m2. Calcular el área del trapecio.
b) 138 m2
c) 128 m2
a) 108 m2
2
2
d) 118 m
e) 68 m
16. Calcular el área de la región triangular ABC (AM=MB)
B
A
a) 6 S
d) 8 S
A
a) 32 u2
d) 36 u2
2n
C
c) 48 u2
F
b) 46 u2
e) 52 u2
12. El lado de un triángulo equilátero mide 6 6 m . El
triángulo es cortado por dos paralelas a dicho lado,
que lo dividen en 3 áreas iguales. Calcular la longitud
de la paralela más próxima al lado.
b) 3 2
e) 12
a) 3 3
d) 4 3
c)
D
b) 3 u2
e) 8 u2
c) 4 u2
14. En el paralelogramo ABCD las áreas de las regiones
triangulares AOD y BOE son 18 y 8u2. Hallar el área
de la región paralelográmica ABCD
B
E
C
O
A
a) 42 u2
d) 62 u2
a)
6u
d)
2u
a)
d)
c) 9 S
b)
3u
e) 2 u
c) 2 2 u
7
2
9
4
b)
e)
8
3
3
2
c)
9
2
19. Grafique al triángulo PQR y trace la mediana PM, en
PM marque B de modo que: BM=2(PB). Calcular la
relación de áreas de los triángulos PBQ y PQR
M
a) 2 u2
d) 6 u2
b) 7 S
e) 10 S
18. Las bases AB y CD de un trapecio miden 12 y 8m.
Si O es punto de intersección de las diagonales, en
qué relación se encuentran las áreas de los triángulos
AOB y COD
4 2
13. En el gráfico ABCD es un cuadrado cuyo lado mide
6u. Calcule el área de la región sombreada (CM=MD)
B
C
A
C
17. La base de un triángulo mide 4u. ¿Cuál es la longitud
del segmento paralelo a la base que divide a dicho
triángulo en dos partes equivalentes?
E
16u2
E
N
11. Calcular el área de la región triangular ABC
B
n
S
M
a)
1
3
b)
1
6
d)
1
10
e)
2
5
c)
1
8
20. En un DABC se tiene AB=13, BC=15, AC=14 y BP
es bisectriz interior. Calcular el área del D ABP
a) 39
b) 38
c) 37
d) 36
e) 35
21. En un DAPD se trazan las cevianas AC y DB en las
cuales se ubican los puntos R y Q de modo que:
CR=2(AR) y DQ=2(BQ). Calcular el área del DRPQ,
si el área del cuadrilátero ABCD es igual a 18 cm2
a) 6 cm2
b) 9 cm2
c) 8 cm2
d) 4 cm2
e) 5 cm2
D
b) 52 u2
e) 60 u2
c) 56 u2
114
114
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
16
Repaso
01. En un triángulo ABC; la ceviana AR, corta a la bisectriz interior BD en el punto M. Si: BR=2u, RC=12u y
BM=MD. Calcule: AB
a) 2,8 u
b) 2,4 u
c) 2,6 u
d) 2,5 u
e) 2,9 u
02. En un triángulo ABC de lados AB=2u, BC=5u y
AC=3,5u. Se traza la bisectriz BS. Calcule: (SC - AS)
a) 1,5 u
b) 1,4 u
c) 2,5 u
d) 3,1 u
e) 0,8 u
03. En un triángulo ABC, por el vértice B y el baricentro
se trazan 2 rectas L1 y L2 paralelas a la base AC,
una tercera recta secante a las paralelas pasa por C y
corta a L1 en M y a L2 en N
Calcule: MN (M en L1)
NC
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 1
2
04. En un triángulo ABC, AB=8u, BC=10u y AC=12u
y por un punto P de AB se traza PQ//BC (Q en AC).
Calcule: AP, para que el perímetro de la región triángular APQ sea igual al perímetro de la región del trapecio BPQC
a) 3 u
b) 4 u
c) 6 u
d) 8 u
e) 9 u
05. En un circunferencia de radio R se trazan las cuerdas
AB y BC (AB < AC), por B se traza la tangente MBN.
Si: m∠BAC=60º y m∠ABM=15º
Calcular: AC - AB
a) R
c) R 2
b) R 3
d)
R 2
2
e)
R 3
2
06. ¿Cuál es el mínimo recorrido que se debe hacer para
ir de A a B, tocando la recta L?
Si: AP=5, BQ=10 y PQ=8
B
A
P
a) 16
d) 20
Q
b) 17
e) 23
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
07. En la figura hallar EC, si: AB=3, DE=2 y AE=4
B
a
a D
A
C
E
a) 6
d) 12
b) 8
e) 9
c) 5
08. En el trapecio ABCD mostrado, hallar BD, si: BC=2
y AD=8 (BC//AD)
B
C
a
A
a) 16
d) 5
a
D
b) 9
e)
c) 4
5
09. En la figura mostrada "T" es punto de tangencia. Calcule R, si: AB=BC y ET = 2 2
T
E
R
A
a) 1
d) 3
B
b)
2
e) 4
C
O
c)
3
10. En un triángulo rectángulo ABC, se traza MN
(M ∈ AB) y (N ∈ BC). Si: AM=6 y CN=8
Calcular la longitud del segmento que une los puntos
medios MN y AC.
a) 7
b) 6
c) 4
d) 3
e) 5
11. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B; se traza
la altura BH y los segmentos HP y HQ perpendiculares a los catetos. Calcular: BH
Si: (AC) (HP) (HQ) = 2744
a) 14
b) 13
c) 12
d) 11
e) 9
L
c) 18
115
115
San Marcos
Capítulo 16
12. Desde un punto A exterior a una circunferencia de
centro O, se trazan las tangentes AB y AC; luego se
traza BH perpendicular a la tangente AC (H ∈ AC).
Calcular: BH. Si: AB=b y OB=a
a)
2ab2
a2 + b2
b)
2ab2
a+b
d)
2a 2 b
a2 + b2
e)
2ab
a+b
c)
a2 b
+ b2
a2
13. En un triángulo isósceles la base mide 15u y la altura relativa a uno de los lados congruentes mide 12u.
Calcule el área de la región del triángulo.
b) 75 u2
c) 90 u2
a) 50 u2
d) 100 u2
e) 150 u2
14. Dos medianas de un triángulo miden 9u y 12u y se
cortan formando un ángulo recto. Calcular el área de
la región triangular.
b) 84 u2
c) 54 u2
a) 36 u2
2
2
d) 72 u
e) 108 u
15. Se tienen 3 circunferencias tangentes exteriormente
dos a dos. Calcule el área de la región del triángulo
que se forma al unir sus centros, si se sabe que el
producto de sus radios es 8u3 y la suma de sus radios
es 6u.
b) 4 u2
c) 6 u2
a) 8 u2
d) 24 u2
e) 4 3 u2
20. En un trapecio isósceles, circunscrito a una circunferencia de radio 6, se sabe que el perímetro del trapecio es 56. Hallar el área del trapecio.
a) 126
b) 152
c) 162
d) 168
e) 256
21. Las proyecciones de las diagonales de un rombo sobre uno de sus lados miden 1 y 9. Hallar el área del
rombo.
a) 30
c) 4 10
b) 5 10
d) 18
e) 15
22. Se tiene un cuadrado de lado L inscrito en una circunferencia. Determinar el área del octógono regular
inscrito en la misma circunferencia.
c) 2L2
b) L2 3
a) L2 2
2
2
d) 3L
e) 4L
23. Los lados de un triángulo miden 26 u , 18 u y
20 u . Calcule el área de la región triangular.
b) 9 u2
c) 12 u2
a) 6 u2
2
2
d) 15 u
e) 18 u
24. ¿Qué porcentaje del área del cuadrado representa el
área de la región sombreada?
16. Si: AB= L3, CD=L10. Calcule: x
A
19. En un cuadrado de lado 6 se inscribe un rectángulo,
de tal forma que sus lados son paralelos con las diagonales del cuadrado. Hallar el área del rectángulo si
se sabe que su diagonal mide 8
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 5
C
x
P
D
B
a) 21º
d) 26º
b) 36º
e) 30º
c) 42º
a) 2%
d) 2,5%
17. En un triángulo ABC inscrito en una circunferencia
se tiene que: AB=L3, AC=L4. Calcule la medida del
lado BC si la medida del radio de la circunferencia
es 2 u.
a) ( 3 + 2 ) u
b) ( 6 + 2 ) u
d) (2 + 3 ) u
e) 2 3 u
b) 5%
e) 4,2%
c) 3,5%
25. ¿Qué parte del cuadrado representa el área de la región sombreada?
c) ( 6 + 3 ) u
18. En cierto triángulo rectángulo la altura menor mide
12u y la hipotenusa es los 5 de uno de los catetos.
4
¿Cuál es el área de la región triangular?
b) 130 u2
c) 150 u2
a) 120 u2
2
2
d) 100 u
e) 90 u
a)
d)
116
116
1
8
5
24
b)
e)
5
12
5
48
c)
3
8
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Problemas resueltos
01. En un triángulo ABC se traza una recta paralela al lado AC que corta a AB en "P", a la mediana AM en "Q" y a BC
en "R". Si: PQ=2 y QR=5. Hallar: AC
Resolución
B
x/2
N
n
5
•
MN es base media: MN = x
2
m
m
D APQ ~ D ANM:
= +n
2
x
2
D QMR ~ D AMC: n = m + n
5
x
Luego:
m = 4_
m+n
xb 1 = 4 + 5
`
x x
n =5b
m+n x a
x=9
•
R
m
A
Trazar MN//PR:
BM=MC
•
M
2 Q
P
•
C
x
AN=NB
y
Resolución
•
•
•
•
B
N
c
a
h
M
y
m
mh
nh
a.c
h2
m.n.a.c.h4
x
A
D ABH:
D BHC:
D ABC:
D ABH:
=
=
=
=
x.c
y.a
b.h
m.n
1442443
02. En un triángulo rectángulo ACB (B=90º) se traza la altura BH. Si el producto de la hipotenusa con las distancias
del punto "H" a los catetos del triángulo ABC es 27 000. Hallar: BH
Multiplicando
= mnacxyb.h
h3 = xyb
H
n
b
C
h3 = 27 000
h = 30
03. En un triángulo ABC, se traza la mediana AM y se ubica el punto "F" en AC, tal que AC=3(AF) y BF ∩ AM=Q. Si
el área total mide 72. Hallar el área de la región AQF
Resolución
B
a
3n
M
3K
A
K
b
Q
n
F
2n
b
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
P
2b
a
b
•
Trazar MP//BF: MP es base media
(D BFC)
•
Si: SABF = 4K ⇒ SBFC = 8K
•
Stotal = 12K = 72
K=6
C
117
117
San Marcos
Capítulo 16
Tarea domiciliaria
01. Según el gráfico, L1//L2//L3, AB=2(BC) y T es punto
!
de tangencia. Calcule la mTPQ
T
A
B
C
a) 100º
d) 130º
07. Calcular: AB
B
L1
P
Q
L3
b) 110º
e) 140º
1
A
L2
a) 3
d) 8
a) 8 u
d) 10 u
15
A
c) 5u
b) 12 u
e) 9 u
c) 16 u
b) 7,5
e) 4
72
13
b) 9
e) 10
M
d)
c)
13
2
O
a) 2 3 u2
3 3 u2
4
b)
3 3 u2
2
c)
3 u2
e) 3 3 u2
a) 36
d) 18
b) 30
e) 24
c) 15
11. Calcular: x
06. Hallar: PQ, si: AB=9 y CD=4
x
(P: punto de tangencia)
P
P
N
10. El perímetro de un triángulo es el doble del desarrollo de la circunferencia inscrita en él, sabiendo que el
área del círculo es de 12, se pide calcular el área del
triángulo.
e) 8
D
c) 12
!
!
09. La medida del arco AM es el doble del arco AN . Hallar el área del triángulo AMP, siendo "A" punto de
tangencia, además: R = 2 u
A
c) 6
b) 5
d) 6
C
R
05. Dos circunferencias de radios 4 y 9, son tangentes
exteriormente en el punto P. Calcular la distancia de
P a la tangente común exterior.
a)
20
H
a) 6
d) 13
04. En un rectángulo ABCD se traza DH perpendicular
a AC (H ∈ AC), se traza HQ perpendicular a AD.
Hallar: DH, si: HQ = 3 y AB=12
a) 9
d) 4,5
c) 5
B
Si: AB=8u, BC=6u y AC=7u
03. En un triángulo acutángulo ABC, la bisectriz interior
AF es perpendicular a la mediana BM. Calcule: FC,
si: BF=8u
C
08. Calcular: BH
c) 120º
b) 4u
e) 2u
15
b) 4
e) 10
02. En un triángulo ABC se traza la bisectriz BD (D ∈ AC).
Calcule: AD
a) 3u
d) 1u
H
B
R
O
C
Q
240º
A
a) R
a) 6,5
d) 8
b) 5
e) 12
d)
c) 6
118
118
R 2
2
b)
R
2
e)
R 3
2
c)
R
3
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
12. Calcular: x
16. Hallar la relación del área del cuadrado inscrito en
un semicírculo y el área del cuadrado inscrito en el
círculo entero.
B
D
R 3
a)
R 2
A
a) 8º
d) 15º
C
b) 10º
e) 18º
x
d)
E
b) 1 m
d)
e)
2m
e)
b) 20 3
d) 15 3
e) 30 2
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
2
5
d) 500 3
e) 1000 3
c)
500 2
18. Calcule el área de la región sombreada. Si: PR = 14 u
c) 1,5 m
B
a
13
Q
R
A
a) 9 u2
d) 8 u2
a
15
a
P
c) 60 3
15. Hallar el área de un trapecio cuyas bases miden 8 y
12, sus lados no paralelos miden 3 y 5.
b) 20
e) 25
c)
b) 2500 2
5m
a) 30 3
4
7
1
3
a) 2500 3
14. Dado un triángulo ABC, obtuso en B, el ángulo A
mide 60º, AB=8 y AC=15. Hallar el área del triángulo ABC
a) 40
d) 50
b)
17. El lado de un exágono regular mide 50; hallar el área
de la región rectangular ABDE, si el exágono es ABCDEF
c) 12º
13. El radio de una circunferencia mide ( 5 + 1) m . Calcular la distancia del centro a una cuerda que subtiende un arco de 144º
a) 0,5 m
3
5
1
2
14
b) 7 u2
e) 14 u2
C
c) 6 u2
c) 30
119
119
San Marcos
Capítulo 17
17
•
Áreas de regiones circulares
Círculo
•
Sector circular
R
R
A=
Asec tor = αc $ πR2
360c
O a
pR2
R
•
Corona circular
•
Segmento circular
O
r
A = p(R2 -r2)
A = POQ - POQ
O
R
R
•
Q
A
P
A
En triángulo rectángulo
•
Lúnulas de Hipócrates
C
A2
A1
B
A
A 3 = A1 + A2
A3
A=B+C
•
Trapecio circular
R
A
•
Zona circular (AB//CD)
C
B
A
B
r Oa
D
D
C
A T.C. = πα (R2 - r2)
360c
A Z.C. = ASeg. - ASeg.
CD
AB
120
120
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Propiedades
R
S1
S2
R
S2
S1
R
R
S1 = S2 = ` ≠ - 2 j R2
8
S
S1 = S2 = T
2
S
L
S
L
L
L
S = ` ≠ - 2 j L2
2
S = c ≠ + 3 - 3 3 m L2
3
R
R
O
60º
R
R
2
S = ≠R
6
2
S = ≠R
4
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
121
121
San Marcos
Capítulo 17
Problemas resueltos
01. En la figura AB es diámetro y AM=NC si el radio mide 10. Calcular el área de la región sombreada.
C
M
18º
A
O
B
Resolución
C
M
18º
A
P
r
O
18º
r
36º
r
•
Propiedad de trapecio: SMPC = SOPB
•
Sector circular OCB:
2
2
S = πr α = π10 # 36
360
360
S = 10p
B
02. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 6. Calcular el área de la región limitada por las circunferencias inscrita y
circunscrita al cuadrado.
Resolución
6
6
R
6
•
R: circunradio; r: inradio; r = 3 y R = 3 2
•
Lo que se forma es una corona circular
•
Scorona = pR2 - pr2
r
3
= (3 2 ) 2 - ≠ (3) 2
3
Scorona = 9p
03. ABC es un triángulo inscrito en una semicircunferencia, se trazan las flechas relativas a los catetos. Si estos miden
1 y 2, determine el área del semicírculo.
Resolución
B
R-1
1
R-1
A
R
Del gráfico:
•
R2 = (R - 2)2 + (R - 1)2
R=5
Ssemicírculo:
2
R-2
O
•
R-1
R
≠ R 2 = ≠5 2
2
2
S = 25≠
2
C
122
122
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Práctica
01. En el gráfico, AP = 8u y PC = 1u. Calcule el área de
la región sombreada.
A
05. Si el área de un círculo se duplican al aumentar su radio en ( 2 - 1) . Calcular la longitud del radio original.
1
2
d) 2
3
5
e) 3
b)
a)
P
a) 5 pu2
d) 9 pu2
b) 6 pu2
e) 12 pu2
C
06. Calcular el área de la región sombreada, si ABC es un
triángulo equilátero de lado igual a 4, además: "M",
"N" y "P" son puntos medios.
c) 8 pu2
B
02. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 4u. Calcular el
área de la región sombreada.
B
M
N
C
A
O
a)
A
a) p + 1
d) 3 - p
c) 1
d) 4 3 - 2≠
D
b) 2 + p
e) 6 - p
c) 8 - p
03. Calcular el área sombreada, si el lado del cuadrado
es "a"
B
3 -≠
C
P
b) 2 3 - ≠
e) N.A.
4 3 -≠
c)
07. Según la figura, ABCD es un cuadrado cuyo lado
!
mide 2cm. Calcular el área sombreada, si AC tiene
su centro en "D" y "E" es punto de tangencia.
B
C
C
E
A
A
D
a)
≠a 2
4
≠a 2
2
b)
d)
a2
4
e) pa2
c)
a2
2
a) (8 2 - 4 - ≠) cm2
b) (4 2 - ≠) cm2
c) (8 2 - ≠) cm2
d) (8 2 - 8 - ≠) cm2
e) (4 2 - 2) cm2
04. Calcular el área sombreada si el lado del cuadrado
ABCD mide 2u
B
D
C
08. Calcular el área de la región sombreada, si el área de
la región de ACD es 200u2. (T: es punto de tangencia).
B
A
a) p - 2
d) 2(p + 2)
A
D
b) p + 2
e) 2(p - 1)
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
c) 2(p - 2)
a) 35pu2
d) (37p - 50)
123
123
C
O
b) 45p
e) 50(p - 1)
D
c) 100 (p - 1)
San Marcos
Capítulo 17
09. En el gráfico, P es punto de tangencia. Si: AB = 2u
y CD = 4u. Calcule el área de la región sombreada.
12. ¿Cuál es el área de un círculo inscrito en un cuadrado,
que a su vez está inscrito en un círculo de área 80?
C
a) 40
d) 20
P
B
a) 2 pu2
d) 3 pu2
b) 4 pu2
e) 5 pu2
c) 6 pu2
10. En el gráfico las rectas L1 y L2 son tangentes y paralelas. Calcule el área de la región sombreada.
P
c) 32
13. En un sector circular, cuyo radio mide 9, se puede
inscribir un círculo cuyo radio mide la tercera parte
del anterior. ¿Cuál es el área del sector?
D
A
b) 36
e) 40p
a) 18 p
b) 9 p
d) 27 ≠
2
e) 27 p
c) 12 p
14. Calcular el área de una corona circular formada por
las circunferencias inscrita y circunscrita a un triángulo equilátero cuyo lado mide 6 m.
L1
a) 6 pm2
d) 9 pm2
b) 8 pm2
e) 12 pm2
c) 9 m2
O
15. Calcular el área del círculo inscrito en un triángulo
cuyos lados miden 13u, 14u y 15u
3u
L2
Q
a)
d)
9 ≠u 2
4
1 ≠u 2
9
b)
e)
3 ≠u 2
2
1 ≠u 2
4
c)
a) 12pu2
d) 25pu2
b) 16pu2
e) 36pu2
c) 20pu2
5 ≠u 2
4
11. Calcule el área de la región sombreada, si el lado del
cuadrado ABCD mide 4u
B
C
A
D
a) 2(p - 2)u2
d) pu2
b) 4 (p - 2)u2
e) (4 - p)u2
c) (p - 2)u2
124
124
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Tarea domiciliaria
01. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 4. Calcular
el área de la región sombreada.
A
B
05. Un círculo y un cuadrado tienen igual perímetro, entonces
a) sus áreas son iguales.
b) el área del cuadrado es mayor.
O
c) el área del círculo es mayor.
D
a) 4 - p
d) 8 - p
d) depende del radio.
C
b) 6 - p
e) 2(4 - p)
e) el lado del cuadrado es el doble del radio.
c) 4
02. El lado del cuadrado ABCD mide 8 dm, calcular el
área de la región sombreada.
B
06. Se tiene dos circunferencias concéntricas de modo
que la suma de sus radios es 8u y la diferencia es 4u.
Calcular el área de la región del anillo circular que
generan las dos circunferencias.
a) 16 pu2
d) 36 pu2
C
b) 4 pu2
e) 18 pu2
c) 32 pu2
07. Calcular el área de la corona circular, con los datos
indicados. ("O" es centro)
A
D
a) 6 p dm2
d) 8 p dm2
b) 10 p dm2
e) 6 2 p
O
c) 12 p dm2
2
3
dm2
03. Calcular el área de la región sombreada.
a) 25 p
d) 20 p
4
b) 16 p
e) 18 p
c) 21 p
08. Si: AB=12u, calcular el área de la región circular
sombreada, (A y B: puntos de tangencia).
A
B
4
a) 2(2 - p)
d) 2(4 - p)
b) 4(4 - p)
e) 4 + p
c) 4(2 - p)
a) pu2
d) 16pu2
04. Calcule el área de la corona circular mostrada.
Si: AB = 8u
A
B
b) 32 pu2
e) 8 pu2
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
b) 4pu2
e) 20pu2
c) 9pu2
09. Calcular el área de una corona circular, sabiendo que
una cuerda de la circunferencia mayor es tangente a
la menor y mide 10
O
a) 16 u2
d) 8 u2
x
9
a) 100 p
d) 10 p
b) 50 p
e) 30 p
c) 25 p
10. Un sector circular de radio 6 cm y ángulo central de
30º tiene un área de:
c) 16 pu2
a) p cm2
d) 4 p cm2
125
125
b) 2 p cm2
e) 6 p cm2
c) 3 p cm2
San Marcos
Capítulo 17
11. Calcular el área de un círculo inscrito en un triángulo
equilátero que tiene un área de 60 3
a) 10 p
d) 25 p
b) 15 p
e) 30 p
16. La figura muestra un cuarto de círculo donde:
AM=MO=2 3 u. Calcular el área de la región sombreada.
c) 20 p
B
12. Calcular el área de un círculo máximo inscrito en un
segmento circular de 120º y de radio 4
a)
≠
2
c)
b) p
d) 2 p
2≠
3
A
e) 3 p
13. El perímetro de un triángulo es el doble del desarrollo de la circunferencia inscrita en él. Sabiendo que
el área del círculo es de 12m2, calcular el área del
triángulo.
a) 12 pm2
d) 24 pm2
b) 24 m2
e) 18 m2
c) 36 m2
14. Se tienen dos circunferencias inscrita y circunscrita a
un mismo cuadrado de lado "L". Hallar el área de la
corona circular formada por dichas circunferencias.
a)
≠L2
2
b)
≠L2
3
d)
≠L2
5
e)
≠L2
4
a) 3pu2
d) 6pu2
O
M
b) 4pu2
e) 8pu2
c) 5pu2
17. ¿Cuál es el área del círculo inscrito en un sector circular de 60º y 15m de radio?
a) 25 m2
d) 50p m2
b) 25p m2
e) 15p m2
c) 50 m2
18. Calcular el área de un círculo inscrito en un triángulo
rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8
a) 9p
d) 4p
c) pL2
b) 5p
e) 6p
c) 3p
19. Encontrar el área de un segmento circular correspondiente a un ángulo central de 60º cuyo radio mide 6.
15. Calcular el área de la corona circular, si: AB = 2
A
B
b) 2 p
e) 6 p
b) 3≠ - 3 3
c) 2 (3≠ - 3 3 )
d) 3 (2≠ - 3 3 )
e) 3^≠ - 3 h
O
a) p
d) 4 p
a) 2 (2≠ - 3 3 )
c) 3 p
126
126
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
18 La recta en el plano cartesiano
Ángulo de inclinación de una recta
Se llama ángulo de inclinación de una recta al ángulo que forma la recta con el eje x.
Nota: Se mide a partir del eje x hasta la ubicación de la recta tomado en sentido antihorario.
y
L3
L4
L1
L2
a
w
•
Ángulo de inclinación de L1 mide w
•
Ángulo de inclinación de L2 mide 90º
•
Ángulo de inclinación de L3 mide 0º ó 180º
Ángulo de inclinación de L 4 mide a
•
x
Pendiente de una recta
La pendiente de una recta es la tangente de la medida de su ángulo de inclinación.
La pendiente de una recta se designa comúnmente por la letra "m"
L
a
O
•
Si: a < 90º entonces m > 0
•
Si: a > 90º entonces m < 0
•
Si: a = 0º ó 180º entonces m = 0
•
Si: a = 90º no tiene pendiente
Cálculo de la pendiente de una recta por coordenadas
B2(x2;y2)
A1(x1;y1)
q
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
q
L
(y2 - y1)
(x2 - x1)
y -y
m = Tgq = 2 1
x2 - x1
O
127
127
San Marcos
Capítulo 18
Ángulo determinado por dos rectas
Sean:
y
L1
L2
m1: pendiente de L1
a
m2: pendiente de L2
a: medida del ángulo formado por L1 y L2
Entonces:
x
O
Tga =
m2 - m1
1 + m1m2
Rectas paralelas
y
L1
L2
Si: L1 ' L2
Entonces:
m1 = m2 = Tga
a
a
O
Donde:
x
m1: pendiente de la recta L1
m2: pendiente de la recta L2
Rectas perpendiculares
y
L1
Si: L1 = L2
L2
Entonces:
(m1) . (m2) = - 1
Donde:
x
O
m1: pendiente de la recta L1
m2: pendiente de la recta L2
Ecuación de la recta
Ecuación general
y
La ecuación general de la recta L es:
L
L: Ax + By + C = 0
Donde:
A, B y C es constante, siendo "m" su pendiente.
O
x
m =- A
B
128
128
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Ecuación punto pendiente
y
L
La ecuación de la recta L.
P(x0;y0)
L: y - y0 = m(x - x0)
Donde:
x
O
P(x0;y0): punto de paso de la recta
m: pendiente de la recta L
Ecuación pendiente intersección
L
y
La ecuación de la recta L.
(0,b)
L: y = mx + b
Donde:
x
O
m: pendiente de la recta L
b: ordenada en el origen
Nota:
y
y
L
L
(0;a)
x
0
0
(b;0)
x
L: y = a
L: x = b
m=0
Distancia de un punto a una recta
y
P(x1;y1)
L
Sea la ecuación de la recta L.
d
L: Ax + By + C = 0
d=
0
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
x
129
129
A (x1) + B (y1) + C
A2 + B2
San Marcos
Capítulo 18
Distancia entre dos rectas paralelas
L1
y
Sea: L1 ' L2
L2
L1: Ax + By + C1 = 0
d
L2: Ax + By + C2 = 2
x
0
d=
C2 - C1
A2 + B2
Observaciones
Distancia entre dos puntos
Q(x2;y2)
d
d=
(x2 - x1) 2 + (y2 - y1) 2
P(x1;y1)
Punto medio de un segmento
b
P(x1;y1)
b
M(x;y)
x +x
x= 1 2
2
Q(x2;y2)
y + y2
y= 1
2
División de un segmento en una razón dada
y
n
m
M(x;y)
Q(x2;y2)
x=
P(x1;y1)
0
nx1 + mx2
m+n
y=
ny1 + my2
m+ n
x
130
130
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Problemas resueltos
01. La ecuación de la recta: (k + 1)x + (k - 1)y - k = 0 pasa por el punto (4; -1). Calcular: k
Resolución
•
Si: (4 ; -1) ! recta:
x=4
y=-1
⇒ (k + 1) (4) + (k - 1) (-1) - k = 0
4k + 4 - k + 1 - k = 0
2k = - 5
k = - 2,5
02. Si: L1: 4x - 3y + 10 = 0, L2: kx + 4y - 5 = 0, son paralelos. Calcular: k
Resolución
•
Si: L1 ' L2
•
Pendientes iguales:
•
m1 = - 4 ; m2 = - K
-3
4
Igualando:
4 =- K
3
4
16
K =3
03. Calcular la pendiente de la recta mediatriz del segmento AB, si: A(1;3) y B(3;7)
Resolución
L
B
(3;7)
•
Pendiente de la recta que pasa por AB.
•
m = 7-3 = 4 = 2
3-1 2
Propiedad:
mL × mAB = 1
(2;5)
mL × 2 = - 1
A
(1;3)
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
mL = − 1
2
131
131
San Marcos
Capítulo 18
Práctica
01. Calcular las coordenadas de B. Si: OB=BC=13 y
OC=10
y
a) 5y - 2x + 21 = 0
b) 5y - 3x + 9 = 0
c) 5y - 3x - 9 = 0
d) 3x + 5y - = 0
e) 3y + 5x - 53 = 0
C
O
x
05. Determine la ecuación de la recta L que pasa por el
punto H(4 , -3) y es paralela a la recta: L1 : y = 3x + 5
B
a) (-5 ; 12)
d) (5 ; -12)
b) (12 ; 5)
e) (-5 ; -12)
c) (5 ; 12)
a) 5x - y - 13 = 0
b) 3x + y - 15 = 0
c) 3x - y + 15 = 0
d) 3x + y + 15 = 0
e) 3x - y - 15 = 0
02. Calcular la pendiente de la recta que pasa por H y M
(BM=MC). Si: OB=15, BC=20 y OC=25
y
06. En la figura OABC es un cuadrado. Calcule la pendiente de la recta que pasa por P y B
y
B
A
M
O
C x
H
4
3
d) - 3
4
a)
b)
3
4
P
O
-4
3
c)
x
4
5
d) 1
O
b)
e)
L
9
3
0
c)
3
8
C
x
D
1
3
1
7
04. Determine la ecuación de
mediatriz de AB.
y
b)
y
R
1
2
1
5
5
4
e) - 1
a)
07. Calcule la diferencia de las ordenadas de los puntos
DyC
B
A
d)
C
e) 1
!
03. En la figura, AB = R 2 y mBD = 53c . Calcular la
pendiente de AB.
y
a)
B
52
D
1
4
c)
0
L , siendo
A
2
B
x
8
L la recta
5
2
d) 2
a)
B
b) 3
c) 1
e) 4
A
2
12
x
132
132
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
08. En la figura, calcular: AP. Si: OB = BC = 6
12. En la figura AO=2(BO) y el área de la región sombreada es 16 m2. Calcular la ecuación de la recta L2
y
y
L2
A
53º
O
B
a) 4 5
b) 3 15
d)
e)
85
53º
C
x
c)
65
A
95
b) 5
e) 9
x
O
a) x + 2y - 8 = 0
c) 3x + y - 4 = 0
e) 2x + 3y + 12 = 0
09. La tangente del ángulo de inclinación de una recta
es 12 . Si dicha recta pasa por los puntos: P(1;-5) y
5
Q(2n;7). Calcular: n
a) 6
d) 3
L1
B
P
b) 2x + y - 4 = 0
d) 2x + 3y - 12 = 0
13. Dado el siguiente gráfico, calcular la pendiente de la
recta L1
y
c) - 7
L2
L1
(-1,k)
10. En la figura OABC es un cuadrado y AB=8. Calcular
la abscisa del punto medio de PO.
y
-2
O
x
8
B
A
75º
P
a) 3
d) - 3
O
C
a) 2
d) 5
b) 3
e) 6
x
b) - 3
2
1
e)
3
c)
-1
3
14. Si la recta: L: 3x + 4y = 2
Calcular la ecuación de la recta L1 perpendicular a L
y que pase por el punto (4 , 2)
c) 4
11. En la figura: OBCD y PQRS son cuadrados. Calcular
la pendiente de la recta que pasa por los puntos C y R
a) 5x - 3y + 10 = 0
c) 4x + 3y + 10 = 0
e) 4x - 3y + 10 = 0
b) 4x - 3y - 10 = 0
d) 4x + 3y - 10 = 0
15. Calcular la tangente del mayor ángulo que forman
las rectas:
y
B
C
Q
L1: 6x - 11y + 23 = 0
R
O P
S D
a) 1
b) 2
d) 3
e)
L2: 17x - 5y - 6 = 0
a) - 1
2
x
c)
d) 1
b) - 1
3
1
e)
2
c) - 1
1
2
1
3
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
133
133
San Marcos
Capítulo 18
Tarea domiciliaria
01. Calcular el perímetro de la región triangular ABC
y
0
a) 2
d) 5
B
6
2
05. El ángulo de inclinación de una recta mide 135º si
pasa por los puntos (-3 , k) y (-5 , 4). Calcular: k
A
2
a) 12 u
d) 13 u
C
L1
x
8
b) 10 u
e) 16 u
T
O
y
L
x
a) 3x - 4y + 8 = 0
c) 3y + 4x - 24 = 0
e) 3x + 4y - 24 = 0
y
0
B(2;5)
C
2
x
1
A
b) 5
e) 6 u2
c) 4,5
u2
a) (5 ; -2)
d) (4 ; -3)
y
x
D
03. Calcular la ecuación de la recta L
b) (5 ; -1)
e) (5 ; -4)
c) (4 ; -2)
08. Se tiene un rombo ABCD, donde A(2;2) y C(4;6).
Determinar la ecuación de la recta que contiene a la
diagonal BD.
L
a) x + y - 11 = 0
c) x - y + 11 = 0
e) x + 3y - 11 = 0
135º
O
6
1
0
u2
b) 4x - 3y - 24 = 0
d) 3y - 4x + 24 = 0
07. Siendo ABCD un paralelogramo. Calcular las coordenadas del vértice D.
3
a) 4
d) 5,5 u2
L
c) 11 u
02. Del gráfico mostrado, calcular el área de la región
sombreada, siendo: L: y = x + b
u2
c) 4
06. En la figura: L1 : 4y + 3x - 24 = 0 y T es punto de
tangencia. Calcular la ecuación de L
y
a
a
b) 3
e) 6
(4;0)
x
b) x - 2y + 11 = 0
d) x + 2y - 11 = 0
09. En el triángulo ABC mostrado; calcular la longitud de
la mediana relativa al lado AC
a) x + y + 4 = 0
c) x - y - 4 = 0
e) x - y - 8 = 0
b) x - y + 4 = 0
d) x + y + 8 = 0
y
4
04. Determinar la ecuación de la recta que es paralela a la
recta L:y - 2x = 0 y que limita con los ejes coordenados, una región cuya área es 9u2, además dicha recta
interseca al semieje positivo de ordenadas.
a) y - 2x + 6 = 0
c) y - 3x + 6 = 0
e) y - 2x - 6 = 0
a) 11 u
A
0
b) 12 u
C
2
1
3
5
x
c) 15 u
d) 17 u
b) y + 2x = 0
d) y + x + 6 = 0
-9
134
134
B
e) 24 u
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
10. En la figura, calcular: m . Si ABCD es un cuadrado
k
de centro O
y
a) 8 u2
d) 12 u2
C
(m,k)
B
14. En un trapecio isósceles ABCD (BC//AD) donde
A(0;0) y C(6;2). Calcular el área de la región limitada
por el trapecio, siendo BC paralelo al eje de abscisas.
b) 16 u2
e) 24 u2
c) 10 u2
15. Calcular la distancia del punto: A=(-4 ; 3) a la recta:
L:y = 2x + 5
O
D
A
a)
x
d)
a) 1
d)
b) 2
3
2
e)
c)
4
3
5
5
6 5
5
b)
e)
2 5
5
8 5
5
c)
4 5
5
16. Determinar la ecuación de la recta, que contiene al
baricentro de una región triangular, de vértices (6;0),
(a;b), (-a;-b) y además al punto (0;0)
2
3
11. Calcular la pendiente de la recta que pasa por O y C
y
A
a) y = x
c) y = x + 1
e) y = x - 1
b) y = 0
d) y = x + 2
17. Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto
A=(4;2) y por el punto de intersección de las rectas:
C
L1: 2x - 3y - 12 = 0, L2: x + 3y - 6 = 0
O
a)
d)
B
1
2
x
e) 3 2
12. En una semicircunferencia de diámetro AB; A(-3;0),
en dicha semicircunferencia se ubica el punto C de
coordenadas (3;3), si la ordenada de B es el cero. Calcular las coordenadas de B
b) ` 5 ; 0j
2
9
e) ` ; 0j
2
a) (2;0)
d) ` 7 ; 0j
2
O
a)
6
d) - 6
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
b) 2 2
e) 6
c) 4
20. Calcular la ecuación de una recta L que pasa por el
punto R(4;-3) y es paralela a una recta: L1: y=3x+5
a) y - 3x - 15 = 0
c) y + 3x - 15 = 0
e) 3y - x - 15 = 0
b) y - 3x + 15 = 0
d) y + 3x - 19 = 0
B
C
b) - 2 6
e) - 1
b) 3x - y - 3 = 0
d) 4x - y - 2 = 0
19. Dados los puntos A(-2;-3), B(2;1) y C(4;-9) y M punto
medio de BC. La distancia de M al segmento AC es:
d) 4 2
y
M
a) 2x + y - 2 = 0
c) 2x - y - 2 = 0
e) 4x + y + 2 = 0
a) 2
c) ` 3 ; 0j
2
13. En la figura OABC es un cuadrado. Calcular la pendiente de la recta que pasa por C y M
A
b) 2x + y - 6 = 0
d) x + y - 3 = 0
18. Los vértices de un triángulo son: A=(-2;3), B=(5;5)
y C=(3;-3). Calcular la ecuación de la recta que pasa
por la base media relativa a BC
c) 1
b) 2 2
2
a) x + y - 6 = 0
c) x - y - 6 = 0
e) x + y - 12 = 0
x
c) 2 6
135
135
San Marcos
Capítulo
19
19
Circunferencia
Problemas resueltos
01. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (2 ; 3) y que pasa por el punto (5; –1). Dar como respuesta su
radio.
Resolución
•
y
Por distancia entre dos puntos:
r2 = (2 – 5)2 + (3 – (–1))2 ⇒ r = 5
•
(2;3)
r
Ecuación:
(x – 2)2 + (y – 3)2 = 25
x
(5; –1)
•
Radio:
r=5
02. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (3; 5) y que es tangente a la recta: y – 1 = 0
Resolución
y
•
Ecuación:
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
5
1
O
(3;5)
r=4
•
Vemos:
h = 3; k = 5; r = 4
L:y=1
x
⇒
(x – 3)2 + (y – 5)2 = 16
136
136
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Práctica
01. Calcule el área de la región formada por el semieje positivo de abcisas, la circunferencia: x2 + y2 = 144m2 y
la recta: y - 3 x = 0
a) 12pm2
b) 16pm2
d) 36pm2
e) 42pm2
c) 24pm2
06. Determine la ecuación de la circunferencia con centro
(3;1) y tangente a la recta,
L :x + y + 3 = 0
a) 2x2 + 3y2 + 12x + 4y – 29 = 0
b) 2x2 + 2y2 – 12x – 4y – 29 = 0
c) x2 + 2y2 – 12x – 4y – 29 = 0
02. Calcule la longitud del radio de la circunferencia.
d) x2 + 2y2 – 6x – 2y – 36 = 0
y
e) 2x2 + y2 – 14x – y – 49 = 0
(5;12)
07. Calcule el radio de la circunferencia que tiene por
centro el punto (5;2) y es tangente a la recta:
O
x
L : 3y + 4x - 11 = 0
a) 1
d) 4
a)
b)
13
d) 29
17
c) 17
C: x2 + y2 = 8x + 6y
Calcule la distancia del origen de coordenadas al centro de la circunferencia.
x2 + y2 – 8x – 6y – 11 = 0
Hallar el radio y las coordenadas del centro.
a) 36; (4;3)
d) 6; (3;4)
b) 36; (3;4)
e)
a)
+
a) 4
b) 5
d) 7
e) 8
c) 6
c) 6; (4;3)
09. Calcule el área de la región del triángulo equilátero
inscrito en la circunferencia.
6 ; (3;4)
04. La ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia, C1 : x2 + y2 – 8x + 4y + 5 = 0 y que
pasa por el punto P(2;1) es:
y2
c) 3
08. La ecuación de una circunferencia es:
e) 13
03. La ecuación general de una circunferencia es:
x2
b) 2,4
e) 5
+ 8x + 4y + 15 = 0
b) x2 + y2 – 8x + 4y + 7 = 0
C : x2 – 4x + y2 + 6y + 9 = 0
a) 12 3 ∝2
b) 6 3 ∝2
d) 3 3 ∝2
e) 2 3 ∝2
c)
4 3 ∝2
c) x2 + y2 – 2x + 4y – 47 = 0
d) x2 + y2 + 8x + 4y – 5 = 0
e)
x2
+
y2
10. Determine la ecuación de la circunferencia inscrita en
la región triangular determinada por los ejes del sistema y la recta:
+ 8x + 4y + 5 = 0
05. Determine la ecuación general de la circunferencia
cuyo centro es el punto A(1;4) y pasa por el foco de
la parábola, y2 + 8x = 0.
L : 4y + 3x + 12 = 0
a) x2 + y2 = 1
a) x2 + y2 + 2x + 8y – 8 = 0
b) (x+1)2 + (y+1) = 1
b) x2 + y2 + 8x – 2y – 8 = 0
c) (x–1)2 + (y+1)2 = 1
c) x2 + y2 – 2x – 2y + 8 = 0
d) (x+1)2 + (y–1)2 = 1
d) x2 + y2 – 2x – 8y – 8 = 0
e) (x–1)2 + (y+1)2 = 1
e)
x2
–
y2
– 2x – 8y – 8 = 0
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
137
137
San Marcos
Capítulo
19
11. Determine la ecuación de la circunferencia si el área
de la región cuadrada es 8u2
14. Determine la ecuación de la circunferencia menor
inscrita en el triángulo OAB, F(–1; 2 6 ), B(4;0)
y
B
A
y
F
C
O
A
x
O
a) x2+y2=4
b) x2+y2=16
c) x2+y2=4 2
d) x2+y2=8 2
B
x
a) (x–3)2+(y–1)2=32
b) x2+y2=6
c) (x+3)2+(y–1)2=2
e) x2+y2=16 2
d) (x–3)2+(y+1)2=1
(x–4)2+(y–3)2=9,
12. Sea C:
calcule la medida del ángulo formado por las tangentes trazados desde el origen de coordenadas.
a) 30º
c) 53º
e) 37º
b) 60º
d) 74º
e) (x–3)2+(y–1)2=1
15. Sea C=x2+y2=16, C1:(x–5)2+y2=9. Calcule la
cuerda común entre ambas circunferencias.
13. Determine la ecuación de la circunferencia menor si
esta es tangente a los radios y al arco correspondientes
a)
12
5
b)
24
5
c)
36
5
d)
24
7
e) 12
y
60º
x
6
a) (x–2)2+(y+2 3 )2=4
b) (x+2)2+(y–2 3 )2=4
c) (x+2 3 )2+(y–2)2=4
d) (x-2 3 )2+(y+2)2=16
e) (x+2 3 )2+(y–1)2=4
138
138
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Tarea domiciliaria
01. A(3;1) es un punto de, C: x2 + y2 – 4x + 6y – 4 = 0.
Determine la ecuación de la tangente a C en el punto A.
a) x + 4y – 1 = 0
b) x = 4y
c) y = 4x
d) x + y – 7 = 0
e) x + 4y – 7 = 0
02. Hallar la ecuación de la circunferencia centrada en el
origen de coordenadas y tangente exteriormente a la
circunferencia.
C1: x2 + y2 – 8x – 6y + 9 = 0
a) x2 + y2 = 4
b) x2 + y2 – 1 = 0
c) x2 + y2 – 2 = 0
d) x2 + y2 + 4 = 0
07. Determine la ecuación de la circunferencia, cuyo centro es el origen de coordenadas y es tangente a la
recta L.
L: 3x+2y–6=0
a) x2+y2=6
b) x2+y2= 2
3
d) x2+y2=9
c) x2+y2= 36
13
e) x2+y2=10
08. Determine la ecuación de la circunferencia si:
L: 4x–3y+12=0 (M,T,Q: puntos de tangencia).
y
L
Q
e) x2 + y2 + 2 = 0
T
03. Los extremos de un diámetro de una circunferencia
son los puntos A(–3;–4) y B(5;8). Determine la ecuación de la circunferencia.
M
x
a) x2 + y2 + 2x – 4y – 47 = 0
b) x2 + y2 – 4x – 4y – 47 = 0
c) x2 + y2 – 2x + 4y – 47 = 0
d) x2 + y2 – 2x – 4y – 47 = 0
a) (x–3)2+(y–3)2=3 3
e) x2 + y2 – 2x – 4y – 57 = 0
b) (x+3)2+(y+3)2= 3
c) (x–3)2+(y+3)2=9
04. Determine la ecuación de la circunferencia. A(2,3)
y
d) (x+3)2+(y–3)2=3
e) (x–3)2+(y–3)2=9
A
09. Determine la ecuación de la circunferencia inscrita al
cuadrado OABC , B(4;a)
x
y
a) x2+y2=5
b) x2+y2=9
c) x2+y2=6
d) x2+y2=13
A
B
e) x2+y2= 13
05. Calcule las coordenadas del centro de la circunferencia C.
C:x2+y2–4x–2y–4=0
a) (2;1)
b) (3;2)
c) (2;3)
x
a) (x–2)2+(y–2)2=4
b) (x+2)2+(y–2)2=4
06. Calcule el radio de la circunferencia C, si
C:x2+y2+4y–5=0
a) 2
b) 3
c) (x+2)2+(y+2)2=4
d) (x–1)2+(y–2)2=16
d) 5
e) (x–2)2+(y–2)2=16
e) 1
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
C
d) (4;3)
e) (3;1)
c) 6
O
139
139
San Marcos
Capítulo
19
10. Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita en el
triángulo formado por los ejes de coordenadas y la
recta L.
14. Si: O y N son puntos de tangencia OM=6. Halle la
ecuación de la circunferencia.
y
L: 5x+12y–60=0
a)
N
x2+y2=4
b) (x–2)2+(y–2)2=16
O
c) x2+y2–4x–4y+4=0
M
x
d) (x+2)2+(y–2)2=16
e) x2+y2+4x+4y–4=0
a) (x–6)2+(y–3)2=9
11. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (2;1)
y radio igual a la distancia de centro hacia el eje "y"
a)
b) (x+6)2+(y+3)2=3
(x–2)2+(y–1)2=4
c) (x–6)2+(y–3)2=27
b) (x–2)2+(y–1)2=2
d) (x–3)2+(y–6)2=9
c) (x+2)2+(y+1)2=4
e) (x+3)2+(y–3)2=27
15. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 8 y
centro en el origen de coordenadas.
d) (x–2)2+(y)2=4
e) (x–2)2+(y–1)2=2 2
a) x2+y2=8
12. Hallar el radio de la circunferencia
C:
b) x2+y2=4
x2+y2–2x–8y+5=0
a) 4 3
c) 6
c) x2+y2=64
b) 4
d) x2+y2=8 2
d) 2 3
e) x2+y2=4
e) 4 2
13. Hallar la ecuación de la circunferencia de diámetro
AB
A(2;1); B(8;9)
a) (x–5)2+(y–5)2=25
b) (x–2)2+(y–2)2=2 5
c) (x–2)2+(y–1)2=5
d) (x–5)2+(y–5)2=16
e) (x–5)2+(y+5)2=16
140
140
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
20
Parábola
Problemas resueltos
01. En la figura "V" es el vértice de la parábola, NO = 2 y VO = 4. Hallar la ecuación de la parábola.
y
Eje focal
N
O
V
x
Resolución
y
•
Ecuación de la parábola:
(x – 4)2 = 4p (y – 0)
N (0;2)
2
F
O
V
4
•
x
•
El punto (0 ; 2) ∈ parábola:
(0 – 4)2 = 4p(2)
p=2
Luego:
⇒
(x – 4)2 = 8y
Práctica
01. Calcule el foco de la parábola: y2 – 4y – 4x = 0
a) (0 ; 2)
d) (–2 ; 0)
b) (0 , 1)
e) (0 ; 3)
c) y2 + 24x – 6y – 87 = 0
d) y2 – 24x – 6y – 87 = 0
e) y2 – 24x – 6y + 87 = 0
c) (2 ; 0)
04. Determine la ecuación general de la parábola P cuyo
foco es F(4;6) y su directriz es, D: y + 2 = 0
a) x2 + 8x + 16y + 48 = 0
b) x2 – 8x – 16y + 48 = 0
c) x2 – 8x – 16y – 48 = 0
d) x2 + 8x – 16y + 48 = 0
e) x2 – 8x + 16y – 48 = 0
02. Determine la ecuación de la parábola:
y
(8;4)
O
a) x2 = 2y
c) (y – 4)2 = 4(x – 8)
e) y2 = x
x
05. Dada la parábola, P : x2 – 6x + 8y + 1 = 0, cuyo
foco es F(a;b). Calcule: b – a
a) – 4
b) 0
c) – 1
d) 2
e) 3
b) y2 = – 2x
d) y2 = 2x
03. Determine la ecuación de la parábola cuyo vértice es
V(4;–3) y cuyo foco es: F(–2;–3)
a) y2 + 24x + 6y – 87 = 0
b) y2 – 24x + 6y – 87 = 0
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
141
141
06. La parábola P pasa por los puntos A(0;0), B(2;4) y
C(2;–4). Determine la ecuación general de P.
b) y2 – 8x = 0
a) x2 – 8x = 0
2
d) y2 – 4x = 0
c) x – 8y = 0
2
e) y – x = 0
San Marcos
Capítulo
20
07. P es una parábola, que se abre hacia la derecha, cuyo
lado recto es el segmento que une los puntos A(3;5) y
B(3;–3). Determine la ecuación general de P.
a)
b)
c)
d)
e)
e) 16
13. Calcule la ecuación de la parábola si OF es lado recto F(0,8)
y2 – 8x – 2y + 4 = 0
y2 – 8x – 2y + 9 = 0
x2 – 8x – 2y + 9 = 0
x2 – 8y + 2x + 4 = 0
y2 – 4x – 2y + 9 = 0
b) (y+4)2=8(x+2)
09. Sea la parábola, P : y2 = 8(x – 3). Determine la ecuación de la recta tangente a la parábola de pendiente
positiva que pase por uno de los extremos del lado
recto.
a) x + y – 1 = 0
b) x – 2y – 1 = 0
c) x – y – 1 = 0
d) 2x – y – 1 = 0
e) x – y + 2 = 0
d) (y–4)2=8(x+2)
b) 1
d)
3
4
e) 2
11. Los puntos A(8;4) y B(–4;m) pertenecen a la parábola mostrada. Calcule: m
y
a) 0,5
b) 1
c) 2
d) 2,5
B
O
C
a) 3 3
b) 8 3
c) 64 3
d) 16 3
e) 24 3
15. Sea la parábola P:(y+2)2=8(x–1). Calcule las coordenadas del punto de intersección de P con el eje x
b) ( 3 ; 0)
a) ( 3 ; 0)
2
4
c) ( 1 ; 0)
2
d) ( 1 ; 0)
3
e) ( 2 ; 0)
3
12. Se tiene la parábola cuyo vértice es (2;0), corta el eje
"y" en el punto (0,1) calcule el la longitud del lado recto.
a) 4
b) 2
c) 8
x
A
x
e) 3/2
x
14. Calcule el área de la región triangular equilátera si AC
es el lado recto y OB=8 3 –4
y
1
4
c)
O
e) (y–4)2=16(x–2)
10. Calcule el área de la región del triángulo formado por
el vértice, el foco de la parábola. P: x2+y–4x+6=0 y
la intersección de ésta con el eje y.
1
2
F
c) (y–4)2=4(x+2)
08. La entrada de una iglesia tiene forma parabólica de
9 m de alto y 12 m de base. Toda la parte superior es
una ventana de vidrio cuya base es paralela al piso y
mide 8m. ¿Cuál es la altura de la ventana?
a) 2,5 m
b) 3 m
c) 4 m
d) 4,5 m
e) 5 m
a)
y
a) (y+4)2=4(x–2)
d) 5
Tarea domiciliaria
01. Halle la ecuación de la parábola:
y
a) x2 = – 8y
c) y2= x
e) x2 = 8 y
02. Si: (–4;2) es el vértice de la parábola.
P: x2 + 8x – 8y + m = 0. Calcule: "m"
(4;2)
O
b) y2 = 8x
d) (x – 4)2 = 4(y – 2)
x
142
142
a) 36
b) 34
d) 40
e) 30
c) 32
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
03. Los extremos del lado recto de una parábola son los
puntos (–3;2) y (7;2). Si la parábola se abre hacia abajo. Halle las coordenadas del vértice de dicha parábola.
a) (2;4)
b) `2; 5 j
2
d) (2;2)
e) (2;3)
c) `2; 9 j
2
04. Sea C y P una circunferencia y una parábola respectivamente, de ecuaciones:
C: x2 + y2 – 4 = 0 ; P: y2 – 8x – 8y + 32 = 0
Encontrar el punto de C más alejado del foco de P.
a) ^ - 2 ; 2h
b) ^ 2 ; 2 h
d) (2;2)
e) (1;1)
c) ^ - 2 ; - 2 h
d)
9
4
b) 3
e)
a) 5 2 + 1
b) 5 3 + 2
d) 6
e) 5 2 + 2
12. Una parábola tiene su foco en el punto F(–1 ; 2) y su
directriz es la recta L : y - 6 = 0 . Determine su ecuación.
a) x2 + 2x + 8y – 31 = 0
b) x2 – 2x + 8y – 31 = 0
c) x2 + 2x + 8y + 31 = 0
d) x2 + 2x + 8y – 32 = 0
c) 1
7
5
13. En la figura AVC es un arco parabólico de 12 m de
luz. Si la parábola tiene vértice V(0;9), determine un
punto P de la parábola en el primer cuadrante de manera que el área de la región triangular APC sea 6m2.
y
V
P
06. Calcule la ecuación de la parábola cuyo foco es
F `0; 3 j y cuya directriz es la recta L : 2y + 3 = 0 .
2
b) x2 = 9y
c) x2 = y
a) x2 = 6y
d) x2 = 4y
e) x2 =
y
3
07. Determine la ecuación de la parábola cuyo vértice es
el origen, sabiendo que es simétrica respecto al eje y
y que pasa por el punto Q(4;–8)
y
=0
2
d) x2 + 2y = 0
a) 2x2 + y = 0
b) 2x2 +
c) x2 + y = 0
e) 4x2 + y = 0
08. Calcule las coordenadas del foco de la parábola.
P: x2 + 2x + 4y – 7 = 0
a) (–1;1)
b) (–1;–1)
c) (–1;2)
d) (–1;–2)
e) (–1;0)
09. Determine la ecuación de la parábola que tenga por
foco F ` - 5 ; 0j y directriz la recta L : 3x - 5 = 0 .
3
2
b) 3y2 + 60x = 0
a) 3x + 20y = 0
c) 3y2 + 10y = 0
10 +2
c)
e) x2 + 2x – 8y + 32 = 0
05. Sea la parábola, P : y = ax2 + bx + c, sabiendo que
su vértice es el punto V(2;3) y que la curva pasa por el
origen de coordenadas. Calcular: a + b + c.
a) - 3
9
11. Calcule la distancia máxima del vértice de la parábola, P : x2 – 4x – 4y – 4 = 0 a la circunferencia.
C: x2 + y2 – 6x + 10y + 30 = 0
A
C
a) (2 2 ; 1)
b) (4;1)
d) (3 2 ; 1)
e) ( 2 ; 3)
x
c) (4 2 ; 1)
14. P es una parábola de vértice V, foco F y ecuación,
x2 – 8x – 16y + 80 = 0. Graficar en un mismo plano coordenado, la parábola P y la circunferencia que
tiene a VF como uno de sus diámetros. Dar como
respuesta el centro de dicha circunferencia.
a) (4;6)
b) (2;3)
d) (–4;6)
e) (6;4)
c) (4;5)
15. P es una parábola que no corta al eje x y cuyo lado
recto es el diámetro horizontal de la circunferencia,
C: x2 + y2 – 4x – 8y + 16 = 0. Graficar P y C en un
plano coordenado. Dar como respuesta al vértice de
la parábola.
a) (2;2)
b) (3;2)
d) (1;2)
e) (3;3)
c) (2;3)
d) 3y2 + 20x = 0
e) 3y2 + 40x = 0
10. Si la recta, L : 3x + 4ky + 4 = 0 pasa por el vértice de
la parábola, P : y2 – 3x + 4y – 8 = 0. Calcule: k.
a) – 1
b) 2
c) 1
d) – 2
e) 3
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
143
143
San Marcos
Capítulo
21
Geometría del espacio
(Ángulo diedro – triedro)
21
Problemas resueltos
01. Dos caras de un triedro miden 120` y 130` la tercera cara puede medir:
Resolución
130º – 120º < x < 130º + 120º
10º < x < 250º
0º x + 120º + 130º < 360º
0º < x + 250º < 360º
x < 110º
x
º130º
0
2
1
Luego:
10º < x < 110º
x = 20º
02. Un segmento AB forma con un plano P un ángulo de 45º, un segmento AC contenido en el plano forma con la
proyección de AB sobre dicho plano un ángulo de 45º. Calcular la medida del ángulo BAC.
B
n 2
2n
45º
45º
A
T
n 2
n
n
R
C
Resolución
B
2n
n 3
A x
•
D ABT: notable 45º; AB = 2n
•
D ART: notable 45º; AR = n
•
BR ⊥ AC: teorema de las 3 perpendiculares.
•
D ABR: notable 30º y 60º.
x = 60º
n
R
03. Se tiene dos rectas alabeadas que determinan un ángulo de 60º siendo la AB la distancia entre ellas; en una de
ellas se ubica un punto "P" que dista de la otra recta que contiene a "B" en PS = 2(AB). Hallar: m∠APB
Resolución
2a
A
a
B
x
2a
60º
a
2a
P
a
H
a 3
S
•
Trazar PH perpendicular a la proyección de
AP sobre el plano.
•
Unimos "H" con "S": PH = AB = a
•
D PHS: 30º y 60º, HS = a 3
•
D BSH: 30º y 60º, BS = a y BH = 2a.
•
D APB: x = 53
2
144
144
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Práctica
01. La distancia entre A y B es 13u y la distancia del punto A al plano P es 12u. Calcule la longitud de la proyección del segmento AB sobre el plano P.
•
La intersección de dos planos puede ser un
punto ......................................................... ( )
a) FVFF
d) FVVV
(B ∈ P)
A
b) FVVF
e) VVVV
c) VVFF
05. Si: 6A // 6B // 6C, FH = 2(EF) y MN = 3 2 u .
Calcular el valor de LN.
B
P
a) 5 u
d) 12,5 u
b) 12 u
e) 7 u
c) 13 u
02. A∈Q, B∈P y los planos P y Q son paralelos cuya distancia es 20 u. Calcule la longitud de la proyección
del segmento AB sobre el plano Q.
M
E
A
N
F
B
Además: AB = 25 u.
B
C
P
A
Q
a) 17 u
d) 25 u
b) 20 u
e) 30 u
c) 15 u
L
H
a) 3 2 u
b) 1, 5 2
d) 6 2 u
e)
c) 6 u
2u
06. Calcular el máximo número de planos que se obtiene
con 20 puntos no coplanares.
03. En el gráfico, las distancias de A y B al plano H son de
6 u y 2 u respectivamente. Si la longitud de la proyección de AB sobre dicho plano es 12 u. Calcule: AB.
a) 1120
d) 1130
b) 1140
e) 1100
c) 1230
07. Hallar el máximo número de planos que se pueden
determinar con 10 rectas paralelas.
A
B
a) 38
d) 45
b) 46
e) 48
c) 44
H
a) 4 10 u
d) 10 3 u
b) 5 3 u
e) 9 u
08. Calcular el máximo número de planos que se pueden
obtener con 6 puntos, 8 rectas paralelas y 10 rectas
secantes, siendo todos ellos no coplanares.
c) 10 2 u
04. Determinar si es falso o verdadero cada una de las
proposiciones siguientes:
•
Si tres puntos son coplanares, entonces están
siempre alineados ...................................... ( )
•
Dos rectas que se intersectan determinan un
plano ......................................................... ( )
•
Dos rectas que no se intersectan siempre son
rectas paralelas........................................... ( )
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
145
145
a) 201
d) 281
b) 260
e) 300
c) 266
09. OB es perpendicular al plano Q y AB es diámetro del
círculo contenido en Q. Si AC y OC miden 4 u y 6 u.
Calcular el área de la región triangular AOC.
a) 8 u2
d) 18 u2
b) 10 u2
e) 24 u2
c) 12 u2
San Marcos
Capítulo
21
10. Se tiene un plano P y un segmento AB = 12u que no
pertenece a dicho plano. Calcule la medida del ángulo formado por AB con el plano si las proyectantes de
A y B miden 13 u y 7 u respectivamente.
a) 45º
d) 37º
b) 30º
e) 53º
c) 60º
11. Se dibujan los rayos Ax y By no coplanares, siendo
AB la perpendicular común a dichos rayos. Se ubican
los puntos P y Q en los rayos Ax y By respectivamente tales que: AP≅BQ≅AB.
14. Dado un triángulo rectángulo isósceles AOB, siendo
AO = OB = 6 u ; en el vértice O se levanta una perpendicular al plano AOB y se toma un punto M sobre
ésta perpendicular, uniendo M con los vértices A y B.
Calcule el valor de OM para que el diedro AB mida
60º.
a) 3 u
d) 4 u
15. ¿Cuál es el diedro que se debe hacer girar la puerta
de modo que el cable AB sea 2 m, si: BC = 1m?
Si los rayos Ax y By forman un ángulo agudo cuya
medida es 60º, entonces la medida del ángulo formado por las rectas AB y PQ es:
a) 30º
d) 90º
b) 60º
e) 37º
1m
b) 17 u
e) 30 u
A
c) 45º
2m
B
12. Ser traza PQ perpendicular a un plano H, el punto Q
está en el plano H. Haciendo centro en el punto Q se
traza una circunferencia de radio 9u, por un punto B
de ésta se traza la tangente BC de 8 u. Calcule: PC,
si: PQ = 12 u.
a) 15 u
d) 25 u
c) 2 3 u
b)
3u
e) 5 u
C
a) 30º
d) 120º
c) 20 u
b) 45º
e) 15º
c) 90º
13. Se tienen dos segmentos alabeados AB y CD los cuales miden 8 u y 14 u respectivamente. Calcular la medida de EF sabiendo que "E" es punto medio de AC
y "F" punto medio de BD. Además estos segmentos
son ortogonales.
35 u
a)
d) 25 u
b)
29 u
e)
65 u
c)
56 u
146
146
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Tarea domiciliaria
01. Se tiene AB, la diferencia de las distancias de A y B a
un plano exterior es 9 u. Si la proyección de AB sobre
el plano es igual a 40 u. Calcular: AB
a) 49 u
b) 48 u
c) 45 u
d) 44 u
e) 41 u
02. Calcule el máximo número de planos que determinan cinco puntos en el espacio.
a) 12
b) 10
c) 8
d) 6
e) 7
03. La distancia EA del punto E del espacio a una recta
contenida en un plano H es 17 u y la distancia del
mismo punto E al plano H es 15 u. Calcule la longitud de la proyección de EA sobre el plano H.
a) 10 u
b) 8 u
c) 12 u
d) 6 u
e) 5 u
04. En el gráfico BD es perpendicular al plano que contiene al triángulo ABC; AH = 8 u, HC = 12 u y
BD=4 2 u . Calcular la medida del diedro AC.
07. Un cuadrado ABCD y un triángulo equilátero ABF se
encuentran en planos perpendiculares. Sea "a" la longitud del lado del cuadrado, calcule la distancia del
punto medio de AD al circuncentro del triángulo ABF.
a)
a 6
3
b)
2a
3
d)
a 21
6
e)
a 26
8
c) a
08. Un rectángulo ABCD y un triángulo equilátero ABF
están contenidos en planos perpendiculares. Si:
AB = 2a 3 y AD = 4a. Calcule la menor distancia
entre AB y FD.
a) a
b) 2,4 a
c) 2 a
d) 3 a
e) 5 a
09. En la figura AE es perpendicular al plano de la
circunferencia de centro "O", AE = 4 3 , AB = 4,
BC
m∠BAC = 30º. Calcule la medida del diedro BC.
E
D
P
A
a) 45º
d) 60º
A
C
B
H
H
b) 53º
e) 30º
a) 37º
d) 53º
c) 37º
05. En el gráfico el triángulo ABC es equilátero cuyo lado
mide 4 3 u. Si: BD = 3u, calcule la medida del diedro D – AC – B.
O
B
C
b) 60º
e) 26º30'
c) 63º30'
10. En el gráfico los planos "P", "Q" y "R" son paralelos.
Calcule: AB. Si: MB=12 u, ND=9 u y AB–CD=7 u.
D
B
C
B
M
C
A
A
N
M
A
a) 53º
d) 37º
37c
2
e) 60º
b)
c)
53c
2
C
06. En un triángulo isósceles ABC, AB=BC=5u, AC=6u
se traza la altura BH, teniendo a BH como lado se
construye un cuadrado BHPQ perpendicular al plano
del triángulo. Calcule el área de la región triangular
CPQ.
a) 5 u2
b) 12 u2
c) 13 u2
2
2
d) 10 u
e) 7 u
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
147
147
a) 16 u
d) 24 u
D
B
b) 12 u
e) 28 u
c) 21 u
11. En un triedro O – ABC las caras miden aº=60º,
bº=cº=45º. Calcule la medida del diedro OA.
a) 90º
b) 60º
c) 120º
d) 135º
e) 53º
San Marcos
Capítulo
21
12. En el gráfico AB es perpendicular al plano P MC pertenece al plano "P", calcule: AC.
Si: AB=12u, BM=9 u y MC = 8 u.
16. El cuadrado ABCD y el triángulo equilátero PAB están en planos perpendiculares. Calcule el área de la
región triangular PCD. Si: AD = 8u.
A
C
B
M
P
a) 15 u
d) 20 u
b) 16 u
e) 25 u
c) 17 u
13. Un segmento AB forma con un plano P un ángulo
cuya medida es 45º, un segmento AC contenido en
el plano P forma con la proyección de AB sobre dicho plano un ángulo cuya medida es 45º. Calcule la
m∠BAC.
a) 15º
b) 30º
c) 45º
d) 50º
e) 60º
a) 18 5 u
b) 24 3 u
d) 20 5 u
e) 27 3 u
17. El segmento PA es perpendicular al plano del rectángulo ABCD. Si: AB = AD = AP y la distancia de A a
3
4
5
DB es 4,8 u. Calcule: PC.
a) 12 u
b) 16 u
c) 10 2 u
d) 8 3 u
e) 7 5 u
18. En el gráfico ABCD – EFGH es un cubo. Calcule la
medida del ángulo que determinan las rectas L1 y L2.
L1
B
A
D
15. En el gráfico los tres planos son paralelos y G es baricentro del triángulo isósceles ABC. Si: AC = 12 u,
calcule: GE.
B
D
G
L2
a) 30º
d) 75º
C
F
E
14. Los planos paralelos P, Q y R intersecan a las rectas
L1 en A; B y C a L2 en D, E y F respectivamente. Si:
AB = x – 1, BC = 2x + 2, DE = 6u y EF = 20 u.
Calcule: AB
a) 1 u
b) 2 u
c) 3 u
d) 4 u
e) 5 u
c) 16 7 u
H
b) 60º
e) 37º
G
c) 53º
19. Un círculo de 16 m de radio se halla contenido en un
plano que forma 60º con el plano horizontal. Hallar
la longitud de la proyección sobre el plano horizontal del diámetro que sigue la dirección de la recta de
máxima pendiente.
a) 13 m
b) 14 m
c) 15 m
d) 17 m
e) 16 m
20. Demostrar que en todo triedro, la suma de diedros
exteriores es mayor que 0º y menor que 360º.
E
Rpta: ................
C
A
a) 4,2 u
d) 4 u
b) 3,5 u
e) 3 u
c) 4,5 u
148
148
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Geometría del espacio
(poliedros regulares)
22
Poliedros
vértice
arista
vértice
cara
convexo
no convexo
Teorema de Euler
C=5
V=5
C=7
&
C+V=A+2
V = 10
%
A=8
A = 15
5+5=8+2
7 + 10 = 15 + 2
Teorema
Sic = suma de los ángulos internos de todas las caras.
Sic = 360º (A – C) = 360º (V – 2)
A: número de aristas
V: número de vértices
C: número de caras
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
149
149
San Marcos
Capítulo
22
Poliedros regulares
Sólo existen cinco poliedros regulares.
Tetraedro regular
Hexaedro regular o cubo
Octaedro regular
Poliedro regular
Dodecaedro regular
Icosaedro regular
Forma cara
C
V
A
Tetaedro
4
4
6
Hexaedro
6
8
12
Octaedro
8
6
12
Dodecaedro
12
20
30
Icosaedro
20
12
30
150
150
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Tetraedro regular
a
h " altura
a
h
h= a 6
3
a
A = a2 3
3
V= a 2
12
a
Octaedro regular
a
d=a 2
d
d " diagonal del sólido
a
3
V= a 2
3
a
a
a
A = 2a 2 3
Hexaedro regular (cubo)
a
d= a 3
d
a
d " diagonal del cubo
a
A = 6a2
V = a3
a
a
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
151
151
San Marcos
Capítulo
22
Problemas resueltos
01. En un tetraedro regular ABCD, se ubican los puntos medios P, Q; R y S de: AB, AD, CD y CB respectivamente. Si
la superficie PQRS mide 4. Hallar el área de la superficie del tetraedro.
Resolución
A
P
B
x
Q
x
x
D
x
S
•
SPQRS = x2 = 4 ⇒ x = 2
•
ABCD: SR es base media, BD = 2x = 4
•
R
2
S = 4 # 4 3 = 16 3
4
S = 16 3
C
02. Dado el siguiente cubo, hallar la medida del ángulo formado por CO y LA.
C
L
O
A
Resolución
C
L
O
P
x
•
Proyectar CO sobre la base del cubo.
•
Como CO//PA y PA es proyección: el ángulo
pedido es x.
•
Unimos "P" y "L": PL = PA = AL
•
D APL es equilátero.
x = 60º
A
03. Hallar el número de vértices de un poliedro si está formado por 8 octógonos, 12 cuadriláteros y 20 triángulos.
Resolución
Si el poliedro está formado por 8 octógonos, 12 cuadriláteros y 20 triángulos
⇒ C = 8 + 12 + 20 = 40
A=
8 (8) + 12 (4) + 20 (3)
= 86
2
V+C=A+2
V + 40 = 86 + 2
V = 48
152
152
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Práctica
01. En el cubo, calcule la m∠ABC.
06. Calcular la distancia entre los baricentros de dos caras consecutivas de un octaedro regular de arista 3 u.
B
a) 2 2 u
b)
2u
3 2u
2
e)
2u
2
d)
C
b) 37º
e) 60º
c) 45º
a) 2 m
02. Si la diagonal de un octaedro regular mide 3 2 , calcular su volumen.
a) 3 2 u
b) 2 3
d) 36 2
e) 9 2
3 2u
07. Si la longitud de la arista de su tetraedro regular es 2
m. Hallar la mínima distancia entre dos de sus aristas
opuestas.
A
a) 30º
d) 53º
c)
d)
b) 1 m
3
2
e)
c) 2 2 m
2
08. En el cubo mostrado "O" es el centro de la cara
EFGH. Calcular el área de la región triangular AOC.
c) 18 2
G
C
03. En la figura, calcular "x" si "O" es el baricentro de la
cara ABD en el tetraedro regular cuya arista mide "a"
metros.
B
F
10
D
O
H
C
x
A
a) 50 2
d) 25 2
B
a)
a 6m
8
b)
a 7m
8
d)
a 3m
4
e)
a 7m
7
c)
a 6m
9
•
El dodecaedro regular tiene 20 vértices.
•
El icosaedro regular tiene 30 aristas.
•
El octaedro regular tiene dos diagonales.
•
EL cubo tiene dos diagonales.
b) 3
e) 4
b) 25 3
e) 50
c)
50 3
09. El área total de un tetraedro regular es 36 3 u2 . Calcule la longitud de la altura de una de sus caras.
04. De los siguientes enunciados, ¿cuántos son verdaderos?
a) 2
d) 1
E
A
O
a) 2 3 u
b) 6 3
d) 3 3 u
e) 4 3 u
c)
3 2u
10. En la figura se pide la arista del cubo sabiendo que el
área de la región sombreada es 3 3 m2 .
c) 0
05. La suma de las longitudes de las aristas de un octaedro regular es igual a 36 m. Calcule el área de la
superficie total de dicho sólido.
a) 18 3 m2
d) 9 m2
b) 9 3 m2
a)
2m
d) 2 m
c) 18 m2
e) 6 3 m2
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
153
153
b)
3m
e) 3 m
c) 1 m
San Marcos
Capítulo
22
11. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I.
Las caras de un poliedro convexo son polígonos
convexos.
16. En un tetraedro regular de arista "a", calcular la distancia del baricentro de una cara lateral a la altura
del sólido.
a)
II. El menor número de aristas concurrentes en un
vértice de un poliedro convexo es tres.
III. En un poliedro convexo el número de vértices es
mayor que el número de caras.
a) VFV
d) FVF
b) FFF
e) VVF
c) FVV
d) a 3
b) 3 u3
e) 12 u3
c) 6 u3
13. La arista de un hexaedro regular mide L, entonces el
área total de su poliedro conjugado inscrito al hexaedro es:
a)
L2 3
2
d)
3L2 3
5
b) L2 3
e)
c)
4L2 3
5
4L2 3
9
b) 2 m3
e) 6 m3
c) 3 m3
15. El área total de un cubo es 24 m2. Calcule el volumen
del tetraedro regular inscrito en dicho cubo.
a) 8/3
d)
16 2
3
b) 4/3
e)
c)
e)
c)
a2 2
4
a 3
9
a)
a 3
4
b) a2 2
d)
a2 2
3
e)
c)
a2 2
4
a2 2
5
18. En un cubo cuya arista mide "a", se encuentra una
hormiga ubicada en un vértice y se traslada al vértice
opuesto por la superficie del sólido haciendo el menor recorrido. ¿Cuánto recorrió la hormiga?
a) a (1 + 2 )
b) a (1 +
d) a 5
e) a 3
3)
c) 3a
19. Se tiene un cubo ABCD – EFGH cuya arista mide "a",
calcule la mínima distancia entre BD y CH.
14. Calcular el volumen del octaedro regular obtenido al
unir los centros de las caras de un cubo de 6 m3 de
volumen.
a) 1 m3
d) 4 m3
b) a 2
17. Hallar el área de la sección originada por un plano de
simetría que pasa por una de las aristas de un tetraedro de arista "a".
12. Calcular el volumen del tetraedro regular A – BCD,
de altura AH, siendo "O" el punto medio de esta, tal
que: OD = 3u
a) 1 u3
d) 9 u3
a 3
5
a) a 3
b)
a 3
2
a 6
3
e)
a 6
2
d)
c)
a 3
3
20. En un octaedro regular su arista mide L unidades.
Entonces, la distancia de un vértice al centro de la
cara opuesta es:
a) L
8 2
3
d)
4L
3
b)
e)
L
2
5L
6
c)
2L
3
2 2
3
154
154
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Tarea domiciliaria
01. El volumen del cubo es 64 m3, calcule el área de la
región triangular ABC.
B
C
A
a) 4 m2
d) 16 m2
c) 12 m2
d) 24 3
e)
c) 12 2
2
03. Calcular el volumen de un tetraedro regular en el cual
la altura de una de sus caras es igual a 2 3 m .
2 m3
3
a) 16 2 m3
b)
d) 16 2
3
e) 3 2
c) 6 2
04. Calcular la relación entre los volúmenes de un cubo y de
un octaedro regular cuyas diagonales son congruentes.
a)
3
2
b)
3
3
d)
2 2
3
e)
2 3
3
c)
2
2
05. Se tiene el cubo mostrado cuya arista mide 2 5 u
"P", es punto medio de la arista y "Q" centro de la
base superior. Calcule la mínima distancia entre las
rectas MN y PQ .
N
M
a 6
2
b)
a 6
3
d)
a 2
2
e)
a 6
5
a) 2 u
b) 3 u
d) 3 2 u
e) 2 2 u
a) 36 u3
d) 16 u3
b) 54 u3
e) 64 u3
c) 27 u3
a)
3u
b)
d)
7u
e) 2 2 u
2u
c)
6u
10. La distancia del centro de una cara del cubo a un
vértice de la cara opuesta es 2 6 m . Calcule el volumen del cubo.
a) 16 m3
b)
d) 32 m3
e) 18 m3
6 m3
c) 64 m3
11. Calcular la distancia de la cúspide de un tetraedro
regular al centro de la circunferencia inscrita en su
base, siendo "2a" la longitud de su arista.
a 6
3
b) a 6
e)
c)
a 2
3
2a 6
3
12. ¿Cuántos poliedros regulares cuyas caras son triángulos equiláteros existen?
P
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
c) 2 3 u
09. En un cubo la distancia de un vértice al centro de
una cara opuesta es de 3u. Calcular la longitud de
su arista.
a) a 3
Q
b) 1 m
e) 4 m
a 3
2
08. Calcular el volumen de un hexaedro regular, si la distancia de un vértice a la diagonal del hexaedro es
6 u.
d)
a) 0,5 m
d) 2 m
c)
Calcule la longitud de su diagonal.
02. La suma de las longitudes de todas las aristas de un
cubo es 144 m. Calcular la longitud de la diagonal de
dicho sólido.
b) 12 3
a)
07. El área total de un octaedro regular es 18 3 u2 .
b) 8 m2
e) 32 m2
a) 6 3
06. ABCDEF es un octaedro regular cuya arista mide a.
Calcular la longitud del segmento que une los centros
de dos caras opuestas.
a) 3
d) 4
c) 1,5 m
155
155
b) 2
e) 5
c) 0
San Marcos
Capítulo
22
13. Se tiene un cubo ABCD – A'B'C'D' cuya arista mide
2dm. Calcule la distancia entre las rectas que pasan
por A'C' y D'B.
a)
6
d) 3 2
b)
2
2
e)
6
3
c)
3
2
14. El área total de un tetraedro regular es 9 3 u2 . Calcular el volumen de dicho tetraedro.
a)
9 2 u3
2
b)
7 2
2
d)
9 2
4
e)
9 2
5
c)
b) 10 m3
e) 4 m3
a)
2 m3
d) 4 2 m3
b) 2 2 m3
c)
360c ; 1080c
b)
360c ; 1440c
c)
180c ; 1080c
d)
360c ; 1260c
e)
180c ; 1440c
a) 36 cm2
b) 6 3 cm2
d) 36 3 cm2
e) 24 3 cm2
c) 24 cm2
19. En un tetraedro A – BCD los círculos inscritos en los
triángulos ABC y ADC son tangentes a AC en M.
Siendo AB=6u, BC=4u y CD=8u. Calcule: AD.
a) 6 u
d) 12 u
c) 2,5 m3
16. Calcular el volumen del cubo en el cual la distancia
de su centro al punto medio de una arista es 1 m.
a)
18. Calcule el área total de un tetraedro regular, siendo la
suma de las longitudes de sus aristas 36 cm.
8 2
3
15. Calcular el volumen del octaedro regular obtenido al
unir consecutivamente los puntos medios de las aristas de un tetraedro regular de 10 m3 de volumen.
a) 5 m3
d) 1,25 m3
17. En un tetraedro escaleno, la suma de las medidas de
sus ángulos diedros está comprendido entre:
b) 8 u
e) 9 u
c) 10 u
20. Calcular el volumen del dodecaedro regular de 2 m
de arista.
3 2 m3
a) 2 (7 5 + 10)
b) 2 (15 - 7 5 )
c) 2 (7 15 - 15)
e) N.A.
d) 2 (15 + 7 5 )
e) 5 2 m2
156
156
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
23
Repaso
Problemas resueltos
01. Determine la ecuación general de la parábola con
foco F(4;3) y directriz x = 0.
a)
b)
c)
d)
e)
y2 – 8x – 6y + 25 = 0
y2 + 8x – 6y + 25 = 0
y2 – 8x – 6y – 25 = 0
y2 = 2x
y2 = 2x + 3
02. Calcule la distancia máxima del foco de la parábola
P: y2 – 8x – 4y + 12 = 0, a la circunferencia
C: x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0
a)
26
b) 2 13 + 4
d)
13
e)
c)
26 + 4
26 + 2
03. P es una parábola que no corta al eje x y es tangente
a la recta y = 2, siendo su vértice el punto de tangencia y su eje la recta x = 5. Determine la ecuación
general de P si se sabe que la distancia de su vértice
al foco es de 5 u.
a)
b)
c)
d)
e)
x2 – 10x – 20y + 65 = 0
x2 + 10x – 20y + 65 = 0
x2 + 10x + 20y + 65 = 0
x2 + 5x – 5y – 13 = 0
x2 – 10x + y + 65 = 0
b) 3 5
e) 10
a)
4 7u
9
b)
3u
2
d)
9 7u
4
e)
9u
4
a) 115º
d) 119º
c) 118º
b) 30º
e) 60º
c) 37º
10. En la figura, el plano que contiene al triángulo equilátero ABC es perpendicular al plano que contiene
al triángulo rectángulo isósceles ADC. Si: AC=10cm,
calcule: BD.
D
C
A
b) x – 4y + 7 = 0
d) x + 4y + 7 = 0
b) 11 cm
e) 10 cm
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
b) 116º
e) 120º
c) 2 5
B
06. Los planos P, Q y R son paralelos, Q entre P y R e
intersectan a las rectas L1 y L2. En L1 determina segmentos de 10 cm y 15 cm y el segmento determinado en L2 por los planos P y R miden 20 cm. Calcule
la longitud del segmento mayor determinado por los
tres planos en L2.
a) 14 cm
d) 12 cm
3 7u
2
09. Sea BP perpendicular a un plano que contiene al
triángulo ABC. Si: AB=15cm, AC=14cm, BC=13cm
y BP=12cm. Calcule la medida del ángulo diedro
que determinan los planos APC y ABC.
05. A(3,1) es un punto de, C:x2+y2–4x+6y–4=0. Determine la ecuación de la recta tangente a C en el punto
A.
a) x + 4y – 7 = 0
c) x = 4y + 3
e) x – 2y + 7 = 0
c)
08. Si dos caras de un triedro miden 116º y 124º. Calcule
el máximo valor entero de la medida de la tercera
cara.
a) 15º
d) 45º
04. Calcule la longitud de la cuerda determinada en la
parábola, P: x2–2y+5=0, por la recta, L: 2x–y+1=0
a)
5
d) 5
07. Sea A un punto exterior al plano Q. La distancia
del punto A al plano Q es AH = 9u. (H ! 6Q) ,
HB = 63 u . Si B ! L , L 1 6Q y HB = L . Calcule:
HP, si: HP = AB (P ! AB) .
c) 13 cm
157
157
a) 10 m
d) 6 m
b) 8 m
e) 5 m
c) 12 m
11. En un tetraedro regular A – BCD, en una de sus aristas se ubica un punto que dista 4 y 6 de dos caras.
Calcule la medida de la altura de dicho tetraedro.
a) 10
d) 12
b) 8
e) 14
c) 6
San Marcos
Capítulo
23
%
12. Si: ABCD – FGHE es un cubo. Calcule mEAC .
a) 60º
d) 53º
b) 75º
e) 58º
c) 45º
16. ¿Cuál es el área de la proyección de una cara de un
tetraedro regular sobre otra cara cualquiera, si la arista del tetaredro mide 2 3 m ?
a)
13. En la figura L1 y L2 son rectas que se cruzan y distan AB=4cm, BD=DF=AC=CE=10cm y CD=5cm.
Calcule: EF.
F
D
L2
B
d)
4 m2
3
2 m2
C
d) 2 10 cm
E
b) 4 3 cm
e) 6 cm
d) 100 2
b) 50 2
e) 140
a) 15 m2
d) 6 m2
c) 2 11 cm
14. Calcule el área de la sección que determina un plano
de simetría que pasa por una arista de un tetraedro
regular de arista 20.
a) 50 3
c)
3 m2
2
e) 2 3 m2
b) 210º
e) 324º
c) 270º
18. Si la arista de un icosaedro regular mide 4 3 m . Calcular el área de su superficie.
L1
a) 2 13 cm
3 m2
17. La suma de las caras del ángulo poliedro que se forma en cada vértice en un icosaedro regular es igual a:
a) 300º
d) 288º
A
b)
b) 9 m2
c) 13 m2
e) 6 3 m2
19. En un triedro trirectángulo O – ABC se sabe que:
OA=1cm, OB=2cm y OC=3cm. Calcule la distancia
de "O" a la sección plana ABC.
a)
c) 200 2
d)
5 cm
7
4 cm
7
b)
e)
6 cm
7
5 cm
8
c) 1 cm
15. La suma de los ángulos internos de todas las caras de
un poliedro convexo de "V" vértices "C" caras y "A"
aristas es igual a:
a) 360º (A – C)
c) 360º (A – V)
e) 360º (C – A)
b) 360º (V – C)
d) 360º (A – 2)
158
158
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Tarea domiciliaria
01. En el gráfico, ¿entre qué valores se encuentra el ángulo "x"?
O
x
0º
12 80º
B
A
C
a) 40º y 200º
d) 60º y 160º
a) FVFF
d) FVFV
b) 40º y 360º
e) 40º y 160º
c) 60º y 200º
02. ¿Entre qué valores se encuentra el ángulo "x"?
O
x
0º
13 80º
b) FVVF
e) N.A.
07. En el interior de un ángulo diedro se encuentra un
punto "O" que dista 6 y 5 de las caras y 10 de la arista.
Calcular la medida de dicho diedro.
a) 67º
b) 53º
c) 60º
d) 75º
e) 72º
09. En la figura se muestra un cubo cuya arista mide 1u.
Calcule el área de la región del triángulo ABC.
B
a) 50º y 210º
c) 50º y 150º
e) 50º y 360º
B
b) 50º y 200º
d) 0º y 360º
C
03. Averiguar el máximo número de planos que determinan cinco puntos en el espacio.
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
04. Calcular la razón que existe entre las áreas de dos tetraedros regulares, siendo la altura de uno de ellos la
mitad de la arista del otro.
a)
d)
5
3
6
5
c) FVVV
08. ¿Cuántos planos determinan 10 puntos y 6 paralelas?
a) 130
b) 190
c) 195
d) 170
e) 135
C
A
06. Determinar si es falso o verdadero cada uno de los
enunciados siguientes:
• Si tres puntos son coplanares, entonces están
siempre alineados ...................................... ( )
• Dos rectas que se intersectan determinan un
plano ......................................................... ( )
• Dos rectas que no se intersectan siempre son
rectas paralelas........................................... ( )
• La intersección de dos planos puede ser un
punto ......................................................... ( )
b)
e)
4
3
9
4
c)
8
3
05. En el cubo, calcule m∠ABC
A
3
2
a)
3
b)
d)
2
e) 2 2
c)
2
2
10. Se tiene un segmento AB, las diferencias de distancias
de "A" y "B" a un plano exterior es 7u. Si la proyección
de AB sobre el plano es igual a 24u. Calcule: AB
a) 26 u
b) 30 u
c) 28 u
d) 25 u
e) N.A.
11. En la figura se muestra un cubo cuyo volumen es 8.
Calcular: OP (O: centro de la cara)
B
P
C
O
A
a) 30º
d) 53º
b) 37º
e) 60º
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
c) 45º
a)
2
d) 2 3
159
159
b)
3
e) 2
c)
6
San Marcos
Capítulo
23
12. En el gráfico "A" y "B" pertenecen al plano "R", si:
AP y PB forman con el plano, ángulos de 30º y 53º.
Calcule: AP, si además: PB=20cm.
16. En el siguiente cubo de arista que mide 10. Calcule el
área de la región sombreada.
P
5
5
B
A
R
a) 30 cm
d) 40 cm
b) 32 cm
e) N.A.
c) 35 cm
13. Si: AB=9u y la distancia entre los planos paralelos
"P" y "Q" es 5u. Calcule la proyección de AB sobre
"Q".
a) 10 5
b) 20 5
d) 25 6
e) 10 6
17. Si la figura es un cubo, calcule la medida del ángulo
formado por CO y LA.
C
L
O
A
P
A
b) 75º
e) 60º
a) 30º
d) 45º
B
Q
c) 90º
18. En la figura, calcular "x" si el sólido geométrico es un cubo.
B
a) 2 14
b) 3 14
d) 4 7
e) 2 5
c) 2 7
H
x
14. ABCD es un tetraedro regular de arista 8, calcule el
área de la región sombreada.
A
a) 15º
d) 53º
b
b
b
b
B
b
b
b
C
b) 12 3
d) 36 3
e) 20 3
a
a
A
M
a
c) 37º
19. El volumen del cubo es 64m3. Calcule el área de la
región del triángulo ABC.
B
C
A
a) 4
d) 16
b) 8
e) 32
c) 12
20. En la figura, calcule la medida del ángulo que forman
AB y CD. Si el sólido geométrico es un cubo.
C
A
a
B
I
b) 60º
e) 53º
b) 30º
e) 60º
c) 18 3
15. Si la figura es un cubo, calcule la medida del ángulo
formado por LI y MA.
L
C
b
D
a) 24 3
a) 30º
d) 15º
c) 15 2
D
c) 45º
a) 75º
d) 30º
160
160
b) 90º
e) 60º
c) 45º
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Geometría del espacio
(prisma – cilindro)
24
Prisma
Arista lateral
El nombre del prisma
depende del polígono
de la base. Los gráficos
muestran a un prisma
triangular y a otro
hexagonal.
Cara lateral
Altura
Base
Vértice
Clasificación
a. Prisma recto
desarrollo de la
superficie lateral
AL = (2PBASE) . (Arista lateral)
AT = AL + 2ABASE
&
Altura o
arista lateral
V = (ABASE) . altura
b. Prisma oblicuo
AL = 2(PS.R) . (Arista lateral)
V = (AS.R) . (Arista lateral)
V = (ABASE) . (Altura)
Sección recta
(S.R)
c. Paralelepípedo
Las caras opuestas son paralelogramos congruentes y de planos paralelos.
Paralelepípedo rectangular
(rectoedro y ortoedro)
h
D
c
V=(ABASE) . Altura
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
Área = 2(ab + bc + ac)
Volumen = abc
D2 = a2 + b2 + c2
a
161
161
b
San Marcos
Capítulo
24
Cilindro
Su desarrollo lateral
Base
R
Generatriz o
altura (g)
R
g
AL = (2pR)g
2pR
AT = 2p R (g + R)
S = (pR2)g
Cilindro oblicuo obtenido al cortar a
un cilindro recto mediante dos planos
paralelos entre sí; pero inclinados
respecto de la base.
R
Sección recta
h
Base elíptica
AL = (2PS.R) (generatriz)
Generatriz (g)
AT = AL + 2ABASE
V = (AS.R) . (generatriz)
Sección recta
V = (ABASE) (Altura)
Troncos de prisma y cilindro
Tronco de prisma triangular recto
a
c
a
c
a
b
s
b=0
V = S (a + b + c)
3
c=0
s
s
V = S (a + c)
3
162
162
b=0
V = a. S
3
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Problemas resueltos
01. La sección axial de un cilindro de revolución es un rectángulo en el cual el largo es el doble del ancho y su perímetro es 240. Hallar el área lateral de dicho cilindro.
Resolución
R
12R = 240
R
R = 20
•
4R
Área lateral
4R
AL = (2p)BASE × h
AL = 2pR . 4R
R
AL = 2p (20) (80)
R
AL = 3200p
02. En un rectoedro las diagonales miden 10 y una de ellas forma ángulos de 45º con una cara y de 30º con otra
adyacente. Hallar el volumen del sólido limitado por el rectoedro.
Resolución
5 2
•
5
10
5
Volumen:
5 2
30º 45º
5 3
V=a×b×c= 5 2 ×5×5
V = 125 2
5
5 2
03. Una cinta de papel de 40 cm de largo, 5 cm de ancho y 0,1 cm de espesor, se enrolla como un cilindro circular
recto. Halle la longitud del radio de la base del cilindro.
Resolución
0,1
5
V2
V1
5
R
40
V 1 = V2
(5) (40) (0,1) = pR2 . 5
4 = pR2
4 = R2 & R 2
≠
≠
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
163
163
San Marcos
Capítulo
24
Práctica
01. La distancia de uno de los vértices de un cubo a su
diagonal es 3 2 cm . Hallar el área del círculo inscrito
en una de sus caras.
b) 6,5pcm2
c) 13,5pcm2
a) 6,25pcm2
2
2
d) 6,75pcm
e) 7,05pcm
06. Hallar el volumen del prisma regular, siendo "T" punto de tangencia.
T
2u
02. Los catetos en el prisma recto mostrado miden 6u y
8u. Calcular el volumen y área lateral del sólido si su
altura mide 12u.
a) 288u3; 200u2
c) 288u3; 288u2
e) 360u3; 240u2
b) 144u3; 136u2
d) 144u3; 144u2
a) 4 3 u3
b) 2 5 u3
d) 8 2 u3
e) 8 5 u3
8 3 u3
07. La figura es un cilindro circular recto, una mosca está
en B. ¿Cuál es la distancia mínima que debe volar
para llegar al punto A tocando una vez la pared del
cilindro?, si la altura mide 8m y el radio de la base
mide 3m.
A
03. Un cilindro contiene los 3/4 de su volumen con agua,
si se inclina como se muestra, ¿cuánto debe medir q
para que el agua no se derrame?
R
c)
B
3R
a) 12m
d) 9m
b) 10m
e) 15m
c) 14m
08. Se tiene un tubo de longitud "L" y diámetro "d". Si se
triplica d y L, hallar la relación entre el área lateral del
primer y segundo tubo respectivamente.
q
a) 37º
d) 53º
b) 45º
e) 15º
c) 30º
04. En la figura, el trapecio rectángulo PQRS, es la sección
recta del prisma PS=15m, QR=20m y PQ=12m.
Hallar el área total del prisma si la arista lateral mide
30m y la altura mide 21m.
a) 2400 m2
b) 2800 m2
c) 2500
Q
m2
R
P
d) 2100 m2
S
e) 1800 m2
05. A partir del rectángulo mostrado hallar el volumen
del cilindro que se forma al unir los vértices del moyor lado.
B
C
4u
A
a)
100 u3
≠
d) 50pu3
10u
b) 100pu3
e)
25 ≠u3
3
D
c)
50 u3
≠
1
b) 1
c) 1
3
6
9
d) 2
e) 3
9
7
09. El volumen y el área lateral de un prisma triangular
oblicuo son 300m3 y 100m2 respectivamente. Hallar
la longitud del radio de la circunferencia inscrita en
una sección recta.
a) 4m
b) 6m
c) 5m
d) 7m
e) 3m
a)
10. Se tiene un rectángulo de perímetro "P" que rota por
su lado "L". Hallar el área lateral del sólido que se
genera.
a) pL (P – 2L)
b) p(L – P)
c) pL2P
d) p(L – 2P)
e) pLP
11. El área de la base de un paralelepípedo rectangular
es 24m2, el de una cara lateral 36m2 y del plano diagonal 60m2, éste plano perpendicular a la base. Hallar el área lateral del paralelepípedo.
b) 142m2
c) 176m2
a) 168m2
d) 156m2
e) 172m2
12. Si la diagonal de un prisma cuadrangular regular
mide 2 6 m y la altura es dos veces la medida del
lado de base, hallar su volumen.
b) 16m3
c) 12m3
a) 4m3
3
3
d) 19m
e) 20m
164
164
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
13. Hallar el volumen de un cilindro recto circular donde
la medida armónica de las longitudes de su radio y
altura es 40 y su área total es 72pm2.
9
b) 60pm3
c) 70pm3
a) 50pm3
3
3
d) 80pm
e) 90pm
17. En la figura, hallar el volumen del prisma oblicuo de
base regular cuyo apotema mide 3 3 m y la arista
lateral mide 4m.
14. En el cubo ABCD – EFGH, "M" es punto medio de
CG. Si la distancia entre BD y AM es 2 m . Hallar
6
el área total.
b) 9m2
c) 4m2
a) 6m2
2
2
d) 6,5m
e) 7m
15. El lado de un triángulo equilátero ABC mide 8m,
del vértice "A" se traza una perpendicular al plano
del triángulo hasta "E", tal que AE = 5 3 m y otra
perpendicular CF, CF = 7 3 . Hallar el volumen del
sólido ABC – EBF.
b) 194m2
c) 182m2
a) 191m2
2
2
d) 192m
e) 190m
16. Calcular el área lateral de un cilindro oblicuo de 3,9m de
altura, siendo la sección recta un círculo de 0,4m de radio
y 60º el ángulo que forma la generatriz con la base.
a)
d)
51 ≠ 2 m2
25
52 ≠ 3 m2
25
b)
52 ≠ 6 m2
25
60º
a) 162 3 m3
b) 366m3
d) 324 2 m3
e) 324m3
c) 240m3
18. La sección recta de un prisma oblicuo es un trapecio
rectángulo cuyas bases miden 3m y 6m y su altura
mide 4m. Hallar el área lateral del prisma si su arista
mide 8m.
b) 140m2
c) 142m2
a) 136m2
d) 144m2
e) 150m2
c) 11m2
e) 180pm2
Tarea domiciliaria
01. Un cilindro recto cuya generatriz es igual al diámetro de la
base, tiene un área total de 12pu2. Calcular su volumen.
a) 4≠ 2 u3
d) 32pu3
b) 16pu3
e) 36pu3
c)
8≠ 2 u 3
02. Se tiene un paralelepípedo rectangular ABCD –
EFGH. Si AB=3u, AC=5u y AE=2u. Hallar su volumen.
a) 36u3
d) 36u3
b) 30u3
e) 45u3
c) 24u3
03. Hallar el volumen de un cilindro de revolución si su
altura mide 20m y el desarrollo de la superficie lateral
del cilindro tiene por área 200m2.
a) 250pm3
b)
200 m3
≠
e)
d)
500 m3
≠
250 m3
≠
c)
150 m3
≠
3
3≠
b)
2 3
3≠
d)
3 3
3≠
e)
3 3
≠
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
06. La base de un cilindro recto esté inscrito en un trapecio rectángulo ABCD. Hallar el área lateral del cilindro si su altura mide 5cm, BC=10cm, CD=13cm y
AD=15cm (BC//AD).
b) 64pcm2
c) 60pcm2
a) 50pcm2
d) 58pcm2
e) 62pcm2
07. Hallar el volumen de un cilindro recto cuyo radio
mide 5cm, sabiendo que si el cilindro se secciona por
un plano paralelo al eje del cilindro a una distancia
de 3cm del eje, resulta un rectángulo cuya área es
igual al área de la base.
625 ≠3 cm3
b) 625 ≠2 cm3
c) 125 ≠2 cm3
4
8
6
625
125
2
3
2
3
d)
e)
≠ cm
≠ cm
8
4
08. En un paralelepípedo rectangular, las áreas de sus caras diferentes están en la proporción de 1, 4 y 9. Si su
volumen es 384cm3, hallar el área de la cara menor.
a)
04. En un prisma triangular regular se inscribe un cilindro. ¿Qué relación existe entre las áreas laterales de
estos dos cuerpos?
a)
05. Hallar el área total de un paralelepípedo rectangular
cuya diagonal mide 26m y los lados de las bases miden 6m y 8m respectivamente.
b) 764m2
c) 766m2
a) 760m2
d) 768m2
e) 770m2
c)
2 3
≠
a) 36cm2
d) 16cm2
165
165
b) 18cm2
e) 64cm2
c) 32cm2
San Marcos
Capítulo
24
09. Las tres dimensiones de las aristas de un paralelepípedo
rectangular están en progresión aritmética cuya suma es
24 cm y su área total es 312cm2. Calcular su volumen.
a) 230cm3
d) 248cm3
b) 236cm3
e) 200cm3
c) 224cm3
15. En la figura se muestra un cilindro oblicuo,
AC=2AB=8cm. Calcular el volumen.
O2
C
D
10. La sección recta de un prisma oblicuo es un trapecio
rectángulo cuyas bases miden 3m y 6m y su altura
mide 4m. Hallar el área lateral del prisma si su arista
mide 8m.
b) 140m2
c) 142m2
a) 136m2
2
2
d) 144m
e) 150m
11. Calcular la longitud de la diagonal del paralelepípedo
mostrado si sus dimensiones están en proporción de
1, 2 y 3 y suman 18 m.
a) 3 14 m
d) 36m
b)
14
e) 24m
c) 2 14 m
12. Un prisma regular triangular es tal que su arista de la
base es un tercio de la arista lateral. Además el área
lateral es de 81cm2. Calcular el volumen del sólido.
81 3 cm3
c) 91 3 cm3
2
4
81
91
3
3
d)
e)
3 cm
3 cm
4
2
13. En un tronco de cilindro circular recto el volumen es
numéricamente igual al área lateral. Si la diferencia
de generatrices máxima y mínima es 3m, hallar el
área de la base elíptica.
a) 81 3 cm3
a) 4pm2
d) 5,5pm2
b)
b) 3pm2
e)
a
A
a) 24pcm3
d) 30pcm3
O1
2a
B
b) 26pcm3
e) 32pcm3
c) 28pcm3
16. Un prisma recto tiene por base un cuadrilátero inscrito que se descompone por una de sus diagonales en
un triángulo equilátero de lado igual a 12cm y otro
isósceles. Si la altura es 10cm; hallar el volumen.
a) 480 3 cm3
b) 420 3 cm3
d) 240 3 cm3
e) 250 3 cm3
c)
360 3 cm3
17. En una piscina de 40m de largo, 12m de ancho y
3,5m de alto, se introducen 720 000 litros de H2O, ¿a
qué distancia del borde llega el H2O?
a) 1m
d) 2,5m
b) 1,5m
e) 3m
c) 2m
18. Una chimenea de 3m de altura tiene forma prismática hexagonal regular. Hallar su espesor, si el volumen
de fábrica es igual al volumen inferior. El lado del
hexágono inferior es 2 m .
c) 5pm2
a)
3 (2 - 2 ) m
2
b)
3 (3 - 2 ) m
2
c)
2 (2 - 2 ) m
2
d)
3 (1 - 2 ) m
2
e)
3 (3 - 3 ) m
2
3 ≠m 2
14. El prisma y el cilindro, rectos, son equivalentes. Calcule el valor de "r".
6
4
3
r
4
a)
≠
d) 3 ≠
b) 2 ≠
e)
c) 3p
3
≠
166
166
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Geometría del espacio
(pirámide – cono – esfera)
25
Pirámide
Elementos
•
•
•
•
Vértice: O
Base: ABCD
Altura: H
Aristas laterales: OA, OB, ...
Notación
Pirámide: O – ABCD
Pirámide regular
O
O
H
Ap
h
B
D
A
B
H
C
A
Área lateral: (AL)
ap
M
•
D
Apotema de la pirámide: Ap
•
Apotema de la base: ap
•
Semiperímetro de la base: PBASE
Área total: (AT)
AL = PBASE . AP
C
Volumen: (V)
V = 1 $ SBASE $ h en cualquier pirámide
3
AT = PBASE (AP + ap)
Cono de revolución
O
g
h
A
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
r
•
Generatriz: g
•
Radio de la base: r
H
167
167
San Marcos
Capítulo
25
O
a
g
Área lateral: (AL)
g
A
AL = prg
A
Área total: (AT)
AT = pr (g + r)
Volumen: (V)
V = 1 ≠r 2 h
3
2pr
Tronco de pirámide y cono
Sección paralela a la base de una pirámide y de un cono recto:
O
R
P
g'
h
h
g
H
r
H
Q
C
r
A
B
Propiedades
•
AL O - PQR A T O - PQR h2 OP2 PQ2
=
=
=
=
A TO - ABC H2 OA2 AB2
AL O - ABC
A' L A T ' g ' 2 r' 2 h 2
=
= 2 = 2 = 2
AL
AT
g
r
H
•
VO - PQR h3 OQ3 QR3
=
=
=
VO - ABC H3 OB3 BC3
V' = g'3 = r'3 = h3
V
g3 r3 H3
*
*
V' = volumen del cono deficiente.
V = volumen del cono mayor.
Tronco de pirámide
S1
•
Volumen (V)
h
V = h (S1 +
3
S1 $ S2 + S2)
S2
168
168
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Tronco de pirámide regular
•
•
•
Apotemas de las bases: a'p, y ap.
Apotema del tronco: Ap
Semiperímetro de las bases: p' y p.
S1
a'p
O'
Área lateral: (AL)
N
AL = (p' + p) . Ap
Área total: (AT)
Ap
h
AT = AL + S1 + S2
Volumen: (V)
S2
O
ap
V = h (S1 +
3
M
S1 $ S2 + S2)
Tronco de cono o de revolución
•
•
Radios de las bases: R y r
Generatriz del tronco: g
r
B
Área lateral: (AL)
O'
AL = (pr + pR)g = pg (r + R)
Área total: (AT)
g
A
AT = AL + pr2 + pR2
h
Volumen: (V)
V = h (≠r2 + ≠r2 ≠R2 + ≠R2)
3
V = ≠h (r2 + Rr + R2)
3
O
R
Esfera
Superficie esférica
Es la superficie que genera la rotación de una semicircunferencia alrededor de su diámetro.
Diámetro = 2R
R
O
Área = 4pR2
Circunferencia
máxima
Huso esférico
Es la porción de superficie esférica limitada por dos circunferencias que tienen el mismo diámetro.
B
AB = diámetro
R
M
R O
aR
N
A
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
O
M
a
= Sector circular
R
N
2
Área = απR
90c
169
169
San Marcos
Capítulo
25
Zona esférica
Es la porción de una superficie esférica comprendida entre dos planos paralelos a la esfera.
O
R
h = altura entre los planos secantes
H
Área = 2pRH
Casquete esférico
Es la porción de superficie esférica que se encuentra a un lado de un plano secante a la esfera.
H
O
R
Área = 2pRH
Observaciones
En la figura, existen dos casquetes esféricos.
Esfera
Es el sólido engendrado por la revolución de un semicírculo sobre su diámetro de la misma.
R
R
R
Volumen de la esfera (V)
V = 4 ≠R 3
3
Toda sección plana de una esfera es un círculo.
Círculo menor
Círculo máximo
R
170
170
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Problemas resueltos
01. En una pirámide O – ABC, el triedro de vértice O es trirectángulo, AB = 7, BC=6 y AC=5. Hallar el volumen de
la pirámide.
Resolución
#h
∅
V = BASE
= 1 $ bc $ a = abc
3
3 2
6
_ 2
2
2
2
a + b = 7 b a = 19
b2 + c2 = 62` b2 = 30
a2 + c2 = 52b c2 = 6
a
a2 . b2 . c2 = (19) (30) (6)
abc = 6 95
5
a
7
c
b
6
V = 6 95
6
V = 95
02. Hallar el volumen de cono que se forma al rotar alrededor de su lado 4, de un triángulo rectángulo 3; 4 y 5.
Resolución
5
4
3
V=
ABASE # h ≠32 # 4
=
3
3
V = 12p
03. Se tiene una esfera de radio R, se traza un plano que divide a la esfera en dos, casquetes cuyas áreas están en la
relación de 3 a 2. Hallar la longitud de la distancia del centro de la esfera al plano.
Resolución
R
R
A1
x
A2
R–x
A1 3
2≠R (R + x) 3
= &
= &x= R
A2 2
5
2 ≠ R (R - x ) 2
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
171
171
San Marcos
Capítulo
25
Práctica
01. El apotema de la pirámide regular mostrada es 6 dm.
Calcular el área total de la pirámide.
a) 140 dm2
b) 120 dm2
c) 240 dm2
d) 220 dm2
e) 360 dm2
10dm
02. Calcule el volumen de una esfera inscrita en un cono
equilátero de 9m de altura.
b) 32pm3
c) 42pm3
a) 18pm3
3
3
d) 48pm
e) 36pm
03. Calcule el volumen que se genera al rotar 360º la
región sombreada, sobre la recta L.
a)
b)
c)
d)
132 pu3
216 pu3
144 pu3
168 pu3
e) 120 pu3
B
10u
A
45º
37º
C
04. Calcule el volumen del sólido entre las superficies esféricas inscrita y circunscrita al cubo cuya área total es 24m2.
a) 8 3 ≠m3
b) c 2 3 - 1 m ≠
3
c) (3 3 - 1) ≠
d) 4 (3 3 - 1) ≠ e) 4 3 ≠
3
05. Una pirámide de base cuadrangular es cortada por dos
planos paralelos a la base tal que su altura queda dividida en tres partes iguales. Calcule la relación entre el volumen mayor y menor determinados por dichos planos.
a) 9
b) 19
c) 29
d) 39
e) 16
06. Calcule el volumen de la pirámide regular mostrada.
O
a) 12 3 u3
b) 16 3 u3
c)
6u
21 6 u3
B
d) 15 6 u3
e) 18 3 u3
08. En un cono circular recto de altura 9 y radio 15 se
inscribe un cilindro circular recto de radio 5, de modo
que una de sus bases coincide con la base del cono.
Calcule el volumen del cilindro.
a) 75p
b) 50p
c) 150p
d) 200p
e) 400p
09. El área lateral de una pirámide pentagonal regular es
315m2 y su arista básica mide 6m. Calcule la medida
del apotema de la pirámide.
a) 15m
b) 18m
c) 20m
d) 21m
e) 31m
10. Calcule el volumen de la pirámide P–ABC, donde
las caras laterales forman diedros de 45º con la base
triangular ABC. Si: AB=6m, BC=8m y AC=10m.
b) 14m3
c) 16m3
a) 12m3
3
3
d) 18m
e) 20m
11. Calcular el volumen de un tronco de cono de revolución, sabiendo que la generatriz es 17 veces la altura
y que la diferencia de los cubos de sus radios es 144.
a) 6p
b) 9p
c) 12p
d) 36p
e) 72p
12. En la figura BC = 5 m . Calcule el volumen del sólido
4
que se obtiene al girar la región triangular ABC 360º
alrededor de AC.
B
82º
5 ≠m 3
b) 5 ≠m3
c) 7 ≠m3
3
12
12
d) 6 ≠m3
e) 7 ≠m3
5
6
13. La base de un cono está circunscrita a la cara de un
cubo y en la cara opuesta está el vértice del cono.
Calcule el volumen del cono si el área total del cubo
es 54m2.
O
D
07. En la figura se muestra el desarrollo de la superficie
lateral de un cono recto. Calcular el volumen de dicho sólido.
a) 4≠ 5
≠ 2
8u
d) 8≠ 3
e)
8≠ 15
3
a) 5pm3
b) 4pm3
d) 11≠ m3
2
e)
c)
9≠ m 3
2
9≠
3
4 pm
14. El desarrollo de la superficie lateral de un cono recto
es un sector circular cuyo ángulo es 300º. Si la generatriz mide 6cm, calcular el volumen de dicho cono.
b) 8≠ 15
c)
C
a)
60º C
A
53º
A
8u
172
172
a)
25 11 ≠cm3
3
b)
c)
16 11 ≠cm3
3
d) 10 11 ≠cm3
3
e)
35 11 ≠cm3
3
20 11 ≠cm3
3
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
15. Hallar el volumen de un tronco de pirámide regular,
de base hexagonal, circunscrito a una esfera, sabiendo que las aristas básicas miden 4 y 9.
a) 197
b) 1917
c) 1197
d) 9117
e) N.A.
16. Determinar el volumen de un tronco de cono de
revolución cuyas bases tienen como áreas 16pdm2
y 81pdm2. Además el área total del tronco es de
266pdm2.
b) 432pdm2
c) 502pdm2
a) 352pdm2
2
2
d) 532pdm
e) 842pdm
17. Calcular el volumen del sólido generado al rotar la región sombreada alrededor de AC, 360º. Si: AO=3cm
y BOC es cuadrante.
a) ≠ (3 + 2 3 ) cm3
b)
≠ (2 + 3 3 ) cm3
c)
≠ (3 + 3 3 ) cm3
d)
≠ (2 + 2 3 ) cm3
≠ 3 cm3
e)
B
18. El rectángulo ABCD y el triángulo ABE están en planos perpendiculares, AB=6m, BC=3m y AE=BE.
Hallar el área total de la pirámide E – ABCD si su
altura es 4m.
b) 42m2
c) 78m2
a) 60m2
2
2
d) 54m
e) 64m
19. Una pirámide de base cuadrada tiene sus cuatro aristas laterales congruentes y forman un ángulo de 60º
con la base. Hallar la medida de una de estas aristas
si el área de la base es 32cm2.
a) 4cm
b) 5cm
c) 6cm
d) 8cm
e) 10cm
20. Hallar el volumen del cono inscrito en un tetraedro
regular de 6 m de arista.
a)
d)
A
30º
O
≠ m3
3
6 ≠m 3
6
b)
e)
2 ≠m 3
2
≠ m3
2
c)
3 ≠m 3
3
C
Tarea domiciliaria
01. Hallar el volumen del cono recto mostrado, si: r=4u.
05. Con un cuadrante circular de área 4pm2, se construye un cono recto. Hallar la medida del radio de la
base del cono.
a) 1 m
b) 2 m
c) 1,5 m
d) 2,5 m
e) 0,5 m
60º
r
a) 32≠ 3 u3
b) 24pu3
c) 36pu3
64 ≠ 3 u3
3
02. Un cubo de arista que mide "a" metros se encuentra
inscrito en una esfera. Hallar el volumen de la esfera.
d) 48≠ 3 u3
e)
≠a m 3
3
b)
a)
3 ≠a 3 m 3
4
c)
3 ≠a 3 m 3
2
3
3 ≠a 3 m 3
e) ≠a m3
3
2
03. Hallar el volumen de un cono equilátero inscrito en
una esfera de radio R.
d)
a)
3≠R 3
8
b)
4≠ R 3
3
d)
5≠ R 3
3
e) N.A.
c)
04. Si la sección formada al interceptar un plano con una
esfera tiene una área de 25 p y si el plano dista 12 del
centro de la esfera. Calcular el área total de la esfera.
a) 169 p
b) 338 p
c) 676 p
d) 854 p
e) N.A.
2≠ R 3
3
06. Hallar el volumen de un cono circular recto, si las medidas de su altura y generatriz están en una relación
de 4 a 5 y el área total de dicho cono es 216 pm3.
b) 320 pm3
c) 322 pm3
a) 318 pm3
3
3
d) 324 pm
e) 328 pm
07. Se tiene dos conos de revolución semejantes de modo
que el área total de uno de ellos es la cuarta parte del
área total del otro. Si la generatriz del cono menor
mide 39 cm, hallar la medida de generatriz del mayor.
a) 30 cm
b) 78 cm
c) 156 cm
d) 30cm
e) 70cm
08. En un tetraedro V–ABC, el triedro V es trirectángulo y las aristas laterales miden VA = 3 3 cm ,
VB = 4 3 cm y VC = 5 2 cm . Hallar el volumen del
tetraedro.
a) 30 2 cm3
b) 60 2 cm3
60cm3
48cm3
d)
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
173
173
e)
c)
45 2 cm3
San Marcos
Capítulo
25
09. El área del huso de 30º es 12pcm2. Calcule el volumen de la cuña esférica correspondiente.
a) 18pcm3
d) 24pcm3
b) 20pcm3
e) 28pcm3
c) 22pcm3
10. En una esfera de 14m de radio, calcule la longitud de
la altura de la zona esférica cuya área es equivalente
a la del círculo máximo.
a) 6m
d) 7 m
2
b) 7m
c) 8m
e) 4m
11. Calcule el volumen de una pirámide triangular regular, si el lado de la base es 2 veces la arista lateral
y el número que representa su volumen es igual al
número que expresa su área lateral.
a) 110u3
d) 121,5u3
b) 119u3
e) 130u3
c) 120u3
14. Se tiene un cono de 80cm3 de volumen. Si a dicho
cono se le intercepta con un plano paralelo a la base
y que pasa por la mitad de su altura, calcular el volumen del tronco de cono que se forma.
a) 60m3
d) 75m3
E
a) 54pcm3
d) 81pcm3
M
d)
A
N
D
a) 14m3
d) 16m3
c)
e)
Q
b) 15 3 m3
e) 15m3
c) 16 3 m3
c) 63pcm3
1
4
3
7
b)
e)
3
4
3
8
c)
3
5
17. Calcule el volumen de una esfera inscrita en un tronco de pirámide regular cuyas bases tienen 625m2 y
256m2 de área.
C
P
b) 72pcm3
e) 108pcm3
16. ¿En qué relación se encuentran los volúmenes de un
cilindro recto y del cono circunscrito cuyo diámetro
es el doble del diámetro del cilindro. Las bases del
cilindro y del cono son concéntricos?
a)
B
c) 70m3
15. Un cilindro tiene la altura igual al doble de la altura
de un cono y el radio del cono es igual al triple del
radio del cilindro. Calcule el volumen del cono, si el
volumen del cilindro es 54pcm3.
a)
12. En la figura, el área del paralelogramo ABCD es
24m2, M y N son puntos medios y EC=12cm. Calcule el volumen de la pirámide E – APQ.
b) 80m3
e) 50m3
3800 ≠m3
3
4000 ≠m3
3
3700 ≠m3
3
b)
d)
4700 ≠m3
3
4250 ≠m3
3
18. Una esfera de centro "O" es tangente a las caras de
un diedro de 37º en los puntos P y Q. Si la distancia
de "O" a la arista del diedro es 5 10 cm , hallar el
volumen de la esfera.
500≠ cm3
3
d) 175pcm3
a)
13. Calcular el volumen de la pirámide Q – ABC sabiendo que QC=15m, QA=13m y AC = 106 m , además QB es perpendicular el plano P.
b) 200pcm3
c) 150pcm3
e) 170pcm3
Q
B
a) 80m3
d) 100m3
C
A
b) 60m3
e) 90m3
c) 50m3
174
174
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
26
Puntos notables
Problemas resueltos
01. Si "O" es circuncentro del triángulo ABC, hallar: x
Resolución
B
22º
B
22º
O 2a
33º
A
x
a
33º
x
a
C
T
Unimos "C" y "O": OB=OC y m∠BOC=2a
2a + 66 = 180º ∧ 57º = a
DABT: x = a + 22º = 57º + 22º
x = 79º
O
A
33º
C
02. Hallar "x" siendo I incentro del triángulo ABC.
Resolución
B
aa
B
72º P
I
72º
b
I
84º
A
x
•
C
•
•
84º
b
x
C
x
m∠AIB=m∠PIQ = 90 +
...............propiedad
2
En IPCQ: 90 + x + x = 84 + 72 .......propiedad
2
Luego: x = 44º
A
Q
03. Del gráfico, hallar: a
Resolución
a
B
a
F
H
A
2a
Q
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
B
2a
a
A
C
•
•
•
•
2a
H
E
3a
2a
a
C
Q
Prolongar AH hasta E y CH hasta F.
DQHC y DBFH son triángulo rectángulos.
"H" es ortocentro.
DHEC: 5a = 90º
a = 18º
175
175
San Marcos
Capítulo
26
Práctica
01. Del gráfico calcular "x", siendo ABCD un cuadrado.
B
05. Del gráfico, calcular: x
C
x
x
45º
A
D
a) 30º
b) 45º
d) 22º30'
e) 60º
4k
E
a) 30º
d) 37º
c) 15º
3k
b) 37º30'
e) 22º30'
c) 53º
06. Calcular "x", si "I" es incentro del DABC.
02. Del gráfico: BH=AC, calcular "q", siendo H: ortocentro y K: circuncentro.
B
x
B
q
2q
I
x
H
K
A
A
C
a) 9º
b) 8º
d) 15º
e) 18º
a) 40º
d) 15º
C
b) 60º
e) 30º
c) 26º
c) 12º
07. Se tiene un triángulo ABC isósceles m∠B=100º. Calcule la m∠AOI siendo "O" ortocentro, "I" incentro del
triángulo ABC.
03. El ortocentro de un triángulo que punto notable es
del triángulo formado al unir los pies de las tres alturas.
a) incentro
b) ortocentro
c) baricentro
d) circuncentro
a) 10º
d) 30º
b) 15º
e) 40º
c) 20º
08. En un triángulo isósceles que puntos notables son colineales.
e) ex–centro
a) El ortocentro, incentro y baricentro.
b) El ortocentro, incentro y circuncentro.
04. Las prolongaciones de las alturas en un triángulo
acutángulo ABC intersectan a la circunferencia circunscrita en los puntos "M", "N" y "P". ¿Qué punto
notable es el ortocentro del triángulo ABC respecto al
triángulo MNP?
a) circuncentro
b) baricentro
c) ortocentro
d) incentro
c) El ortocentro, incentro y excentro.
d) El ortocentro, circuncentro, incentro y baricentro.
e) El ortocentro, baricentro, incentro, circuncentro y
excentro.
09. En un triángulo equilátero la distancia del incentro a
un lado es 4u. Calcule el perímetro del triángulo.
e) excentro
176
176
a) 12 3 u
b) 16 3 u
d) 24 3 u
e) 30 3 u
c) 20 3 u
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
10. En un triángulo acutángulo ABC; la distancia del circuncentro al lado AC es 3u, si el circunradio mide 5u.
Calcule MN siendo "M" y "N" puntos medios de AB y
BC respectivamente.
a) 2u
d) 8u
b) 4u
e) 12u
c) 6u
11. Calcule la distancia entre el centro de la circunferencia circunscrita a un triángulo rectángulo y el punto
de intersección de sus tres alturas, si la hipotenusa
mide 12u.
a) 2u
d) 8u
b) 4u
e) 10u
b) 12º
e) 32º
c) 18º
b) 12u
e) 24u
c) 15u
14. Por el incentro de un triángulo ABC se traza una paralela que AC que corta a AB en "M" y a BC en "N".
Calcule MN, si: AM=6u y CN=8u.
a) 10u
d) 13u
b) 11u
e) 14u
c) 12u
15. En el gráfico, calcular "x", si "E" es el excentro del
triángulo ABC.
B
x
A
a) 85º
d) 95º
b) ortocentro
d) circuncentro
17. Se tiene un triángulo ABC donde la circunferencia
ex–inscrita relativa a AB es tangente a dicho lado en
!
"P" y ala prolongación de CA en "N". Si: mPN = 80c.
Calcule la m∠BEC, siendo "E" excentro relativo a AB.
b) 20º
e) 80º
c) 50º
18. Se tiene que los ángulos interiores de un triángulo
ABC miden 50º, 60º y 70º. Calcule el mayor de los
ángulos interiores del triángulo que se forma al unir
los 3 ex–centros del triángulo ABC.
a) 65º
d) 80º
13. En un triángulo rectángulo la distancia del baricentro
al ortocentro es 6u. Calcule el valor de la hipotenusa.
a) 6u
d) 18u
a) incentro
c) baricentro
e) excentro
a) 40º
d) 70º
c) 6u
12. En un triángulo ABC acutángulo la m∠BAC=72º.
Calcule la m∠OBC, siendo "O" su circuncentro.
a) 9º
d) 30º
16. El circuncentro de un triángulo coincide con el ..........
de su triángulo mediano.
b) 70º
e) 85º
c) 75º
19. En una circunferencia se trazan las cuerdas perpendiculares AC y BD. Si: AB=8, calcule "BH", siendo H:
ortocentro del triángulo BCD.
a) 8
b) 4
d) 2 2
e) 4 3
c)
4 2
20. En un triángulo ABC, P es un punto de la mediatriz
de AC (P es exterior al triángulo) tal que PA=PB.
Si la m∠ABP=20º y el ángulo exterior en C mide el
doble que el ángulo BAC. Calcule la m∠ABC.
a) 35º
d) 80º
b) 37º
e) 53º
c) 40º
E
25º
C
b) 50º
e) 90º
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
c) 60º
177
177
San Marcos
Capítulo
26
Tarea domiciliaria
01. Calcule BN, si: BK=8u.
05. Calcule la m∠AIC. Si: m∠ABC=40º.
I: incentro del triángulo ABC.
B
B
a
M
K
A
b
a) 12u
d) 28u
I
a
b
N
b) 16u
e) 30u
C
A
c) 24u
a) 80º
d) 110º
02. Calcule la m∠AHC, si: m∠ABC=80º.
H: ortocentro del triángulo ABC.
C
b) 150º
e) 120º
c) 140º
06. Calcule la m∠ABC. Si: m∠AOC=130º.
O: circuncentro del triángulo ABC.
B
B
H
O
A
a) 80º
d) 130º
C
b) 100º
e) 160º
A
c) 120º
03. En el gráfico, I y O son incentro y circuncentro de los
triángulos ABC y AIC. Calcule la m∠OCA.
a) 50º
d) 70º
C
b) 130º
e) 80º
c) 65º
07. Siendo "P" circuncentro del triángulo ABC. Calcular
S , si: mBPC
S = 110º.
mBAC
B
B
I
A
C
P
A
O
a) 60º
d) 37º
b) 75º
e) 53º
c) 45º
04. Siendo "O" ortocentro del triángulo ABC. Calcular:
S , si: mAOB
S =130º.
mACB
B
a) 40º
d) 70º
C
b) 50º
e) 80º
b) 45º
e) 75º
c) 55º
08. En un triángulo ABC: m∠A=74º y m∠C=36º, siendo I: incentro y K: circuncentro. Calcular m∠KAI.
a) 17º
b) 27º
c) 18º
d) 19º
e) N.A.
09. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 18.
Calcule la distancia del baricentro al circuncentro.
a) 4
b) 8
c) 9
d) 3
e) 6
O
A
a) 35º
d) 65º
C
c) 60º
10. En un triángulo acutángulo ABC el ∠B mide 72 y su
ortocentro es "O". Si la m∠AOC=3q, hallar el complemento de "q".
a) 36º
b) 72º
c) 54º
d) 45º
e) 56º
178
178
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
11. En un romboide ABCD, m∠CAD=30º. Si la distancia de B a AD es 6u. Calcule la distancia del baricentro de la región triangular ABD a C.
a) 6u
b) 10u
c) 12u
d) 8u
e) 9u
15. Calcule la longitud de la distancia del circuncentro al
baricentro. Si: AB=6u y BC=8u.
B
12. Si "E" es el excentro del triángulo ABC y AB=18,
BC=13 y AC=10. Calcule: QC.
B
E
a) 20,5
d) 10,5
b) 16,5
e) 18,5
C
5u
3
d) 11 u
6
c) 18,3
13. En un triángulo ABC, el circunradio mide 10u. Calcular: AC. Si: m∠ABC=37º
a) 14u
b) 12u
c) 15u
d) 24u
e) 6u
17. Si: AB=BC, AM=MC, calcular la m∠MRC.
B
R
H
B
A
a) 20º
d) 90º – q
a) 8u
d) 4 3 u
c) 4u
a)
d)
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
q
K
M
C
b) 45º – q
e) 22º30' + q
c) q
18. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se traza la
altura BF que mide "h" y se ubican los puntos notables.
O: circuncentro
G: baricentro
H: ortocentro
Si: HF = a, calcule: OG.
C
b) 6u
e) 5u
5u
6
c)
16. Se tiene un triángulo ABC isósceles m∠B=100º. Calcule la m∠AOI siendo "O" ortocentro, "I" incentro del
triángulo ABC.
a) 10º
b) 15º
c) 20º
d) 30º
e) 40º
14. En el triángulo equilátero ABC, calcule la longitud de
su inradio. Si: AB = 8 3 u .
A
b) 10 u
3
e) 5 u
2
a)
Q
C
A
A
179
179
h
6
h
4
-a
4
-a
3
b)
e)
h
6
h
4
-a
3
-a
2
c)
h-a
6 2
San Marcos
Capítulo
27
27
Relaciones métricas
Problemas resueltos
01. Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan la tangente PA y la secante PBC. Calcular PA, si: AB=12,
BC=14 y AC=16.
Resolución
A
16
C
•
12
q
x
B
14
a
n
P
Teorema: x2 = n(n + 14)
D PAB ~ DPAC: n = 12 & n = 3 x
x 16
4
x2 = ` 3 xj` 3 x + 14j
4
4
x = 24
02. Las bases de un trapecio se diferencian en 40 y los lados laterales miden 14 y 30. Hallar la longitud de la altura
del trapecio.
Resolución
B
14
A
•
a
a
C
14
x
E
30
H
b
D
Trazar CE//AB : AE = a y ED = b – a = 40
D ECD : Teorema de Herón
p = 14 + 30 + 40 = 42
2
x = 2 42 (12) (2) (28)
40
x = 8,4
180
180
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Práctica
01. En la figura, calcular "x". Si: "O" es centro.
4
B
C
06. En la figura: AB=5, BC=6, AC=7. Calcular: AP
B
1
D
x
P
A
E
O
b) 3
a)
6
d) 5
e)
c) 4
5
A
02. Si: AB=9, AC=15, CE=10. Hallar: BD
B
D
H
C
a) 12
b) 14
d)
e)
15
c)
17
19
07. En la figura, calcular: x
A
C
E
b) 18
a) 6 3
d) 15
c) 12 3
7
x
e) 6 5
03. En la figura, calcular "x"
B
6
a) 3
d) 5
Q
6
x–1
3
A
a) 5
d) 8
b) 4
e) 1
c) 2
08. En la figura, calcular "h"
B
P
x
x
C
b) 6
e) 9
c) 7
7 -1
7 +1
h
04. En la figura, calcular "x"
d)
2
b) 2
e)
7
H
a) 2
2
a) 1
A
7
x
d)
c) 3
3
C
b) 1
3
2
e)
c)
2
3
3
4
09. En un triángulo PQR de mediana PM, QN=6; MN=4.
Calcular: RN
05. En la figura, calcular "x"
Q
x
x
a) 37º
d) 60º
M
3
1
b) 53º
e) 30º
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
N
c) 45º
R
P
a) 8
d) 11
181
181
b) 9
e) 12
c) 10
San Marcos
Capítulo
27
10. En la figura, calcular "x"
14. Los lados de un triángulo miden 7; 8 y 9. Calcular
la medida de la mediana que no es mayor ni menor.
a) 8
b) 9
c) 6
d) 5
e) 7
B
F
E
8
x
1
A
C
P
a) 1
d) 4
b) 2
e) 6
c) 3
11. En un triángulo rectángulo ABC, se traza MN ("M"
en AB y N en BC). Si: AM=6u y CN=8u, calcular la
longitud del segmento que une los puntos medios de
MN y AC.
a) 7u
b) 6u
c) 4u
d) 3u
e) 5u
12. Calcular "x", si: R=12u y r=3u. (P, L y Q: puntos de
tangencia).
15. Los lados de un triángulo miden 26; 25 y 3. Calcular
la medida de la altura relativa al menor lado.
a) 24
b) 18
c) 17
d) 8
e) 15
16. En un triángulo ABC, AB=7, BC=8 y AC=5. Calcular la m∠ACB.
a) 30
b) 45
c) 60
d) 75
e) 37
17. Las bases de un trapecio suman 21 y las diagonales
miden 10 y 17. Calcular la altura del trapecio.
a) 9
b) 8
c) 6
d) 12
e) 7
18. En la figura, calcular "x"
a
8
x
a
R
r
P x L
a)
d)
3u
4
4u
3
b)
e)
a)
5 –1
b) 2
5
e) 4(
d) 4
Q
2u
3
3u
2
c) 1
5 –1
c) 3
5 –1
5 –1)
19. En la figura, calcular "x"
13
8
13. En la figura, calcular "m"
x
17
a) 45
d) 37
10
9
a) 5
d) 4
b) 6
e) 8
m
c) 3
15
b) 60
e) 53
c) 30
20. En un cuadrado ABCD se ubica los puntos medios E
de AB y F de EC. Calcular: DF, si: AB = 4 13
a) 13
b) 26
c) 37
d)
182
182
13
e) 2 13
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Tarea domiciliaria
01. Calcular: "x"
a) 4
d) 1
x
b) 3
e) 6
c) 2
06. En la figura, calcular "x"
9
a
a
16
a) 12
d) 15
b) 13
e) 16
c) 14
x
02. Calcular: "h"
2
a) 2
d) 5
h
12
b) 18
e) 13
b) 3
e) 6
c) 4
07. En un triángulo ABC, AB=13, BC=8 y AC=7. Calcular la m∠ACB.
a) 30
b) 45
c) 60
d) 120
e) 150
27
a) 20
d) 19
3
c) 16
08. En la figura calcular "x".
03. Calcular: "x"
9
9
4x
x
x
7
a) 12
d) 9
a) 2
d) 1,5
b) 11
e) 8
b) 2,5
e) 1
b)
41
e) 7
a)
37
d) 8
04. Calcular: "x"
c)
59
10. En la figura, calcular "x"
x–1
9
x
a) 20
d) 13
c) 3
09. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior AD y
la mediana BM, las cuales se cortan en E. Si: BE=3,
EM=2 y AB=9. Calcular: BC
c) 10
x–8
13
b) 10
e) 15
c) 12
3
05. En la figura, calcular "x"
x
7
13
x
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
a) 5
d) 6
b) 4
e) 8
c) 3
10
183
183
San Marcos
Capítulo
27
11. Los lados de un romboide miden 12 y 20 . Si la
diagonal menor mide 28 , calcular la medida de la
diagonal mayor.
a) 3
b) 4
c) 8
d) 6
e) 9
12. En la figura, calcular "x". Si "O" es centro.
3
a
x
d)
b) 5
e)
10
c) 3
13
13. Se tienen dos circunferencias secantes de radios 5 y
7. Si la distancia entre sus centros es 8, calcular la
longitud de la cuerda común.
a) 4
b) 3
c) 5 3
d) 10 3
e)
17. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior
BF y la mediana BM de tal manera que: MF=BF y
(AB)(BC)=16cm2. Calcular: AC.
a) 5 cm
b) 6 cm
c) 8 cm
d) 10 cm
e) 12 cm
18. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior
CL, luego se traza BH⊥CL (H∈CL). Si: AB=15u,
BC=13u y AC=14u. Calcular: AH.
O
(a+2)
a) 4
16. En una semicircunferencia de diámetro AB y centro "O",
se traza la cuerda CD paralela al diámetro AB. Además
"D" pertenece al arco AC y E∈OB. Si: AE=12u,
EC=8u y ED= 2 29 u . Calcular: EB.
a) 4u
b) 5u
c) 6u
d) 7u
e) 8u
21
13 u
b)
d)
8u
e) 7 2 u
a) 1u
B
d)
a a
A
14
a) 4 5 u
Q
b) 3 15 u
e) 5u
15 u
c)
61 u
5u
2
b) 2u
e)
c)
3u
2
2u
3
20. En un triángulo acutángulo ABC se sabe que:
AC=8u, la mediana BM mide 6u y el circunradio miden 5u. Calcular la longitud del segmento que une el
baricentro con el circuncentro.
12
9
59 u
19. En una semicircunferencia de diámetro AB, con A y B
como centros se trazan los arcos de radios AH y BH
(H∈AB) que determinan un triángulo curvilíneo con
la semicircunferencia. Si: AH=4u y BH=2u. Calcular
la longitud del radio de la circunferencia inscrita en el
triángulo curvilíneo.
14. Calcular: BQ
d)
a)
a)
C
d)
c) 2 15 u
19 u
3u
2
b) 2 19 u
e)
c)
19 u
3
4u
3
15. Calcular: BT, si: AB=5u, BC=7u y AC=6u. (T: punto
de tangencia)
B
A
T
C
a) 6u
b)
19 u
d) 4,5u
e)
29 u
c) 5u
184
184
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
28
Repaso
Problemas resueltos
01. Los lados de un triángulo miden 12; 15 y 18. Calcular la longitud de la menor bisectriz interior.
Resolución
•
B
Teorema:
12 = m y m + n = 18
15 n
aa
12
A
x
m
⇒ m = 8 y n = 10
15
•
18
n
Teorema:
x2 = (12)(15) – (m) (n)
x2 = (12) (15) – (8) (10)
x = 10
C
02. Si "E" es excentro del triángulo ABC, hallar: x
C
25º 40º
B
x
A
D
Resolución
C
50º
B 50º
80º x
25º 40º
F
A
•
D
Si "E" es excentro: m∠ABC = 2(40) = 80º
BE es bisectriz exterior
D BFE: x = 50º + 25º
x = 75º
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
185
185
San Marcos
Capítulo
28
Práctica
01. En un triángulo rectángulo ABC, se traza la altura BR.
Calcule la medida del ángulo EBI, siendo "I" el incentro del triángulo BRC y "E" el excentro del triángulo
ARB relativo a AB.
a) 90º
b) 100º
c) 120º
d) 135º
e) 150º
09. En la figura se tiene dos depósitos que tienen la forma de un cilindro recto de revolución.
El depósito I está completamente lleno de agua y el
depósito II está vacío, si se vierte todo el agua del
depósito I al depósito II ¿hasta qué altura subirá el
nivel del agua?
02. El volumen del cilindro mostrado es 30m3. El volumen de la esfera inscrita es:
a) 20m3
30
I
c) 30m3
10
R
d) 10m3
03. El área total de una pirámide cuadrangular regular
es 261 cm2, el apotema de la pirámide mide 10 cm.
Calcular el perímetro de la base.
a) 72 cm
b) 24 cm
c) 18 cm
d) 36 cm
e) F.D.
10. Calcular: x
05. La base de un prisma recto de 10u de altura es un triángulo equilátero. Calcular el lado del triángulo equilátero,
sabiendo que el área lateral del prisma es 120u2.
a) 2u
b) 3u
c) 4u
d) 5u
e) 6u
1
3
e) 2
c)
B
17º
30º
C
A
34º
D
a) 43º
d) 77º
b) 53º
e) 80º
11. Calcular: x
c) 67º
B
x
A
a)
b)
c) 10
x
06. Un triángulo isósceles ABC, se encuentra inscrito
en una circunferencia de radio "R", calcular "R", si:
AB=BC=5 y AC=6.
25
b) 25
c) 15
d) 25
e) 35
4
8
8
8
3
07. A dos circunferencias tangentes exteriores, se traza la
recta tangente común exterior PQ (P y Q puntos de tangencia), si PQ es igual a la longitud de radio de una de
las circunferencias. Calcular la relación entre los radios.
b) 7,5
e) 20
60º
04. La generatriz de un cono mide 13 y el radio de la
base mide 5. El volumen y el área total del cono son
respectivamente:
a) 80p y 70p
b) 60p y 80p
c) 100p y 120p
d) 100p y 90p
e) 80p y 100p
1
4
d) 3
20
a) 5
d) 12,5
e) 25m3
a)
II
25
b) 15m3
a) 9º
d) 36º
2x
2x
x
H
b) 12º
e) 54º
C
c) 18º
12. Calcular: x
3x 4x
1
2
x
x
2x
08. Calcular "R", si: PQ=10 y AB=25.
a) 11
b) 12
B
c) 13
P
Q
R
d) 14
e) 15
A
a) 15º
d) 30º
C
D
b) 18º
e) 10º
c) 20º
13. En un triángulo acutángulo ABC; m∠ABC=38º.
Calcule: m∠OAC.
(O: es el circuncentro)
a) 25º
b) 32º
c) 42º
d) 52º
e) 76º
186
186
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
14. El radio de la base de un cono mide 6cm. Calcular el
área lateral del cono, si la generatriz forma 30º con
la altura.
a) 60p
b) 72p
c) 80p
d) 90p
e) 96p
18. En un triángulo ABC los lados son 8, 15 y 16, ¿qué
longitud se le debe restar a cada lado para que resulte
un triángulo rectángulo?
a) 1
b) 4
c) 5
d) 3
e) 2
15. Calcular la distancia del circuncentro de un triángulo
acutángulo ABC hacia la altura BF, sabiendo que su
circunradio mide 12u y m∠A – m∠C=30º.
a) 4u
b) 6u
c) 8u
d) 9u
e) 10u
19. El área lateral de un cilindro recto es "A" y su volumen
es "V". Calcular el radio de su base.
16. En un triángulo ABC, se tiene que AC es a la distancia del incentro al excentro relativo a BC como 5 es a
12 y m∠ABC=30º. Hallar: m∠BAC.
a) 30º
b) 37º
c) 53º
d) 60º
e) 74º
17. En un triángulo rectángulo ABC se traza la altura BH
relativa a la hipotenusa. Si las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9. Hallar el valor
de dicha altura.
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 9
2
A
b) 2A
c) V
V
V
A
2
V
V
d)
e)
2A
A
20. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), se traza
la altura BH, si las proyecciones de los catetos sobre
la hipotenusa se encuentren en la relación de 2 a 3.
Calcular la relación entre el cateto menor y mayor.
a)
2
3
a)
d)
3
2
b)
e)
1
3
4
3
c)
2
3
Tarea domiciliaria
01. La generatriz de un cilindro mide 6m y el radio de la
base mide 5m. El área total del cilindro es:
b) 60pcm2
c) 50pcm2
a) 110pcm2
d) 100pcm2
e) N.A.
06. Hallar el área de la superficie del sólido mostrado.
R
02. Todas las aristas de un cubo suman 48m. Calcular la
diagonal, el área total y el volumen de dicho cubo.
b) 5; 45 y 125
a) 2 3 ; 48 y 72
c)
4 3 ; 96 y 64
R 3
d) 6 2 ; 56 y 96
e) 6 3 ; 64 y 96
03. El largo de un paralelepípedo rectangular es el triple de
la altura y el ancho es el doble d e la altura. Si la diagonal mide 2 14 m , el volumen del paralelepípedo es:
b) 24m3
c) 36m3
a) 50m3
3
3
d) 64m
e) 48m
04. Calcular el volumen de un prisma cuadrangular regular si el desarrollo de su superficie lateral es una
región cuadrada cuyo lado es de longitud "K".
a)
K3
16
b)
K3
12
c)
K3
13
3
K3
e) K
15
17
05. Dado un prisma triangular regular ABC – DEF. Si:
CF=3(BC), BD = 10 cm calcular el volumen del
prisma.
d)
a) 2 3 cm3
d)
3 cm2
4
b) 2 2 cm3
e)
c)
3 3 cm3
4
3 2 cm3
4
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
187
187
a) 2pR2
d) 2,5pR2
b) 3pR2
e) 3,5pR2
c) 4pR2
07. La superficie total de un cubo es K, entonces la diagonal mide:
2K
2K
c)
2
2
3K
3K
d)
e)
2
3
08. El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro es
un rectángulo cuya diagonal mide 26cm; si la generatriz mide 10. Hallar el área lateral de dicho cilindro.
b) 120cm2
c) 260cm2
a) 240cm2
2
2
d) 130cm
e) 100cm
a)
2K
b)
09. Se tiene una circunferencia tangente a dos lados adyacentes de un cuadrado y determina en los otros
dos lados segmentos cuyas longitudes son 3 y 24.
Calcular la longitud del radio de la circunferencia.
a) 15
b) 16
c) 17
d) 18
e) 20
San Marcos
Capítulo
28
10. Calcular el volumen de un prisma de 4m de altura,
si su base es la región triangular formada al unir los
puntos medios de los lados de un triángulo cuya área
de su región es 36m2.
b) 36m3
c) 18m3
a) 24m3
3
3
d) 72m
e) 144m
16. Calcular "q", si "K" es circuncentro del D ABC.
B
K
36≠
5
e) 6p
a) 48p
b)
d) 12p
48≠
5
c)
12. Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide
12m, calcule la distancia del baricentro al ortocentro.
a) 2m
b) 3m
c) 4m
d) 5m
e) 6m
13. En un triángulo la distancia del baricentro al circuncentro es 8m. Calcular la distancia del ortocentro al
circuncentro.
a) 14m
b) 18m
c) 24m
d) 28m
e) 34m
14. Si en un triángulo rectángulo la distancia del incentro
a la hipotenusa es 2m, calcule la distancia del incentro al ortocentro.
a) 0,5m
b) 1m
c) 1,5m
e) 3 2 m
d) 2 2 m
15. Si "Q" es circuncentro, BAC=70º, calcule la medida
del ángulo QBC.
q
A
11. Calcular el volumen generado por un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 al girar alrededor de la hipotenusa.
a) 90º
d) 60º
b) 45º
e) 15º
C
c) 22º30'
17. Calcule la medida del menor ángulo agudo de un
triángulo rectángulo. Si la altura relativa a la hipotenusa divide a esta en dos segmentos cuyas longitudes
están en la relación de 1 es a 3.
a) 15º
b) 45º
c) 30º
d) 37º
e) 16º
18. En un rombo, cada lado mide 10u y una diagonal
mide 12. Calcular la longitud del radio de la circunferencia inscrita al rombo.
a) 2,4
b) 4,8
c) 5
d) 2
e) 1
19. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 25 y la
suma de las longitudes de las alturas es 47. Calcular
la longitud de la altura relativa a la hipotenusa.
a) 8
b) 10
c) 12
d) 13
e) 16
20. En un triángulo ABC, m∠BAC=2(m∠ACB), AB=5 y
AC=11. Calcular: BC
a) 2 5
B
d) 5 5
b) 3 5
e) 8
c)
4 5
Q
A
a) 35º
d) 20º
C
b) 30º
e) 10º
c) 25º
188
188
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Áreas de regiones triangulares y
29
poligonales
Problemas resueltos
01. En un triángulo ABC, AB=6 y BC=8, para qué valor de AC el área del triángulo es máxima.
Resolución
B
a
•
a = 90º
8
6
A
Para que el área sea máxima
D ABC: x2 = 62 + 82
•
x = 10
C
x
02. Calcule el área de una región en forma de trapecio inscrito en una circunferencia de radio 5 y bases 6 y 8. El centro
de la circunferencia es interior al trapecio.
Resolución
3 P 3
B
4
C
5
5
Q 4
4
A
•
El trapecio tiene que ser isósceles.
•
Altura del trapecio mide 7
•
Área del trapecio
A = ` 6 + 8 j7
2
A = 49
D
03. Calcule el área de un exágono equiángulo ABCDEF, sabiendo que AB=5, BC=3, CD=4, FE=5 y AF=2.
Resolución
4
60º
•
4
S2
C 60º 4 60º D
12
3
5
60º
60º
S1
5
2
S + S1 + S2 + S3 = 12 3
4
3
S
B
60º
5
A
2
12
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
12
2
2
2
S + 5 3 + 4 3 + 5 3 = 36 3
4
4
4
E
5
F
Del gráfico:
60º
60º
S3
5
S + 33 3 = 36 3
2
5
S = 39 3
2
60º
189
189
San Marcos
Capítulo
29
Práctica
01. Se tiene un triángulo isósceles cuyos lados de igual
longitud miden bcm. Para obtener un triángulo con
la mayor área posible, el tercer lado debe tener una
longitud de:
a) bcm
d)
b) b 2 cm
≠ bcm
e)
06. Calcular el área de la región triangular BNM si:
BM=8u ("P", "M" y "N" son puntos de tangencia).
B
2 bcm
2
c)
3 bcm
02. Los radios de las circunferencias exinscritas relativas
a los catetos de un triángulo rectángulo miden 4 y 8.
Calcule el área de la región del triángulo.
a) 100
d) 80
b) 12
e) 16
a) 4u2
d) 16u2
a) 6
d) 15
E
a) a2 2
b)
d) a2
e)
4
2
c)
a2
8
2
04. Según el gráfico mostrado calcula el área de la región
sombreada. Si: (OP)2 – (OQ)2 = 72m2.
B
P
O
b) 24
e) 72
c) 36
05. En un semicírculo se encuentra inscrito un cuadrado
"S" de 120cm2 de área. Calcule el área de la región
del cuadrado inscrito en todo el círculo.
S
b) 9
e) 18
a) 300 2 m2
b) 250 2 m2
d) 300 3 m2
e) 250 3 m2
20 .
c) 12
c) 280 2 m2
09. En un triángulo ABC, se sabe que AB=8, BC=9.
¿Para qué valor de AC el área de la región triangular
ABC será máxima?
a) 16
b) 17
d)
e)
135
c)
145
115
10. Se tienen 3 circunferencias tangentes exteriormente
dos a dos. Calcule el área de la región del triángulo
que se forma al unir sus centros, si se sabe que el
producto de sus radios es 8m3 y la suma de sus radios
es 6m.
a) 8 3 m2
d) 24m2
b) 300cm2
e) 150cm2
b) 4 3 m2
e) 48m2
c) 6m2
11. En un triángulo isósceles, la base mide 15 y la altura
relativa a uno de los lados iguales mide 12. Calcular
el área de la región triangular.
a) 50
d) 100
a) 240cm2
d) 220cm2
c) 12u2
Q
A
a) 18
d) 48
b) 8u2
e) 32u2
C
08. La base de un triángulo isósceles mide 32 3 m y su
altura 80m. Calcule el área del triángulo equilátero
inscrito, que tiene un vértice en el punto medio de
dicha base.
C
a
a2
N
07. Los lados de un triángulo miden 26 , 18 y
Calcular el área de esta región triangular.
45º
D
Q
A
c) 32
03. Calcule el área del triángulo CDE.
B
A
M
P
b) 75
e) 150
c) 90
c) 600cm2
190
190
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
12. La figura muestra un cuadrado de lado 2u. Si "M" y
"N" son puntos medios, calcule el área de la región
triangular ATD siendo "T" punto de tangencia.
N
B
C
a) 2u2
T
d)
M
A
a) 1u2
d)
c) 2u2
3 u2
2
5 u2
4
e)
a) 30º
d) 45º
13. Calcule el área de la región del triángulo formado por
la diagonal, la altura y la base mayor de un trapecio
isósceles cuya área de su región es 64u2.
a) 56u2
d) 48u2
b) 36u2
e) 64u2
c) 32u2
b) 100
d) 100 3 m2
e) 25 3 m2
c)
50 3 m2
15. En el gráfico, calcule el área de la región sombreada, si: ABCF es un paralelogramo, EG=3(BG) y
CD = 6 3 u
B
A
F
F
C
G
c)
2 u2
e) 2 2 u2
60º
c) 53º
b) 32
e) 40
c) 35
19. Un triángulo rectángulo está inscrito en un círculo de
diámetro 37cm y circunscrito a un círculo de radio
5cm. Calcular el área de su región.
a) 210cm2
d) 150cm2
b) 200cm2
e) 120cm2
c) 180cm2
20. En un triángulo ABC se traza la circunferencia exinscrita relativo al lado BC, tangente en M y P las prolongaciones de los lados AB y AC respectivamente, siendo "O" centro de dicha circunferencia. Si: AB=10,
BC=17 y AC=21. Calcule el área de la región triangular OMP.
a) 47,6
d) 77,6
D
b) 37º
e) 60º
18. Se tiene un triángulo ABC donde AB=10, BC=24
y B=90º. Se traza la mediatriz del lado BC la cual
determina otro triángulo en el interior, Calcule el área
de su región.
a) 30
d) 38
14. La medida del ángulo "A" de un triángulo ABC es
60º y AB=20m. La mediatriz de AC intersecta a la
ceviana BD en su punto medio ("D" en AC). Calcular
el área de la región triangular BDC.
a) 50m2
2 u2
2
b) 4u2
17. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es 4 veces el área del triángulo. Calcule la medida de uno de los ángulos agudos de ese triángulo.
D
b)
7 u2
4
16. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", la
bisectriz interior CM y la altura BH se intersectan en
"R", MR=2u y CM=9u. Calcular el área de la región
triangular MBR.
b) 57,6
e) 71,2
c) 67,6
E
a) 72u2
d) 50u2
b) 72 3 u2
e) 76u2
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
c)
56 2 u2
191
191
San Marcos
Capítulo
29
Tarea domiciliaria
01. Observa el gráfico y calcula SABCD, si BD=10 y
AH+CF=12u.
B
05. En la figura "O" es centro de la semicircunferencia de
radio "R" y OP = 1 (MN) = 4 (NP) . Calcula el área de
3
2
la región sombreada.
H
M
C
F
A
30u2
a)
d) 80u2
R
D
45u2
b)
e) 90u2
c)
60u2
B
C
T
A
D
3
2
e) 1
d)
4
3
2
3
c)
b)
P
O
16 R2
9
d) 9 R2
25
a)
02. En el gráfico ABCD es un cuadrado. Si: AB=4, calcular el área de la región sombreada. T es punto de
tangencia.
a) 3
N
9 R2
16
5 R2
9
b)
e)
c)
18 R2
25
06. La circunferencia inscrita a un cuadrado ABCD, es
tangente a los lados CD y AD en los puntos M y N respectivamente, además BM y CN intersectan a dicha
circunferencia en P y Q. Calcular el área de la región
cuadrada ABCD, si: PQ = 3 2 cm
a) 36cm2
b) 18cm2
c) 24cm2
d) 54cm2
e) 26cm2
07. En el grafico calcular el área de la región sombreada
si el D ABQ es equilátero, PB = 2 2 m (P, T y Q) son
puntos de tangencia). BP//AQ
P
B
T
03. En el gráfico ABCD es un cuadrado, calcular el área
de la región sombreada, si BP=6u y PC=8u.
P
B
C
A
D
A
a) 81u2
d) 64u2
b) 74u2
e) 28u2
c) 72u2
C
a) 4 2 m2
b) 3 2 m2
d) 3 3 m2
e) 2 3 m2
T
B
E
A
a) 10m2
d) 20m2
S2
B
D
F
A
S1
H
b) 12m2
e) 18m2
c) 2 2 m2
08. En el gráfico, (PD)R=8u y a+q=90º, Q y T son puntos de tangencia, calcular el área de la región paralelográmica ABCD.
04. En el gráfico calcular: S1 – S2. Si: AC=10m y PF=3m.
P
Q
a
a) 8u2
d) 20u2
C
c) 15m2
192
192
P
C
2q
Q
D
b) 16u2
e) 32u2
c) 24u2
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
09. El área de una región rectangular ABCD es 50m2,
por el incentro I del triángulo ABC se trazan IF//BC
e IE//AB tal que F∈CD y E∈AD, calcular el área de
la región rectangular EIFD.
b) 15m2
c) 35m2
a) 10m2
2
2
d) 25m
e) 20m
10. Sobre el lado BC de un triángulo ABC se ubican los puntos M y N (M∈NC) tal que se cumple:
m∠BAN=m∠MAC y AM=AN. Hallar el área de dicha región triangular ABC, si además: AB=BC=6u.
3 u2
2 2 u2
b)
e) 36u2
a)
d) 18u2
c)
9 3 u2
12. Calcular el área de la región cuadrangular GHIF, si
GI = 13 2 u , AD=17u y además ABCD es un cuadrado.
H
B
N
H
A
C
P
a) 18cm2
d) 36cm2
11. Se tiene un cuadrante AOB y un punto P que pertenece al arco AB, las prolongaciones de los segmentos
AP y OB se intersecan en el punto C de modo que:
AP×PC=60u2. Calcular el área de la región triangular
OPB.
b) 15m2
c) 20m2
a) 10m2
2
2
d) 30m
e) 60m
B
15. En el gráfico, si AH=3cm y NC=8cm. Calcular el
área de la región sombreada.
b) 42cm2
e) 32cm2
c) 24cm2
16. En un triángulo, sus exradios valen 2u, 3u y 6u.
Calcule el área de la región triangular.
b) 2u2
c) 6u2
a) 12u2
2
2
d) 16u
e) 8u
17. En el gráfico el área de la región triangular ABC es
80m2, calcular el área de la región sombreada.
P
B
C
O1
I
O
A
G
A
a) 80
d) 140
F
45º
a) 30m2
d) 40m2
D
b) 100
e) 240
c) 120
13. Tres lados de un cuadrilátero convexo valen 3u, 4u y
3u. ¿Cuál de los siguientes valores puede ser el área
de la región cuadrangular?
b) 14u2
c) 15u2
a) 13u2
2
2
d) 18u
e) 26u
C
b) 50m2
e) 7m2
Q
c) 60m2
18. Calcule el área de la región de un exágono regular
circunscrito a una circunferencia de radio que mide
3 u.
a) 2 3 u2
b) 4 3 u2
d) 8 3 u2
e) 10 3 u2
c) 6 3 u2
14. En el rectángulo ABCD: AD=3 y AF=1. El área de la
región sombreada es igual a:
F
A
D
a)
d)
57
2
27
2
B
C
b)
e)
47
2
17
2
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
c)
37
2
193
193
San Marcos
Capítulo
30
Áreas de regiones circulares
relación de áreas
30
Problemas resueltos
01. Tomando como diámetro la altura de un triángulo equilátero de altura 12 se traza una circunferencia. Hallar el área
común que encierran ambas figuras.
Resolución
B
•
x = 6 # 6 $ Sen120c = 18 $ 3 = 9 3
2
2
30º30º
x
0º
12
12
R
0º
R
x
60º60º
y
Si: R = 6
y
R
•
2
y = ≠6 # 60c = 6≠
360c
Área común:
A = 18 3 + 12≠
A = 6 (3 3 + 2≠)
C
A
02. Hallar el área de una corona circular formada por dos circunferencias inscrita y circunscrita a un triángulo equilátero de lado 12.
Resolución
B
•
12
A
R2 = r2 + 62 ⇒ R2 – r2 = 36
12
R
•
r
6
6
R: circunradio y r: inradio
Área de la corona:
A = pR2 – pr2 = p(R2 – r2)
C
A = 36p
03. En un triángulo ABC: AB=6, BC=8 y AC=10 se prolonga AB y CA hasta D y E respectivamente tal que: BD=6
y AE=10. Hallar el área del triángulo EAD.
Resolución
D
6
x
6
x
E
10
A
B
24
10
•
Área de DABC: A = 6 # 8 = 24
2
Unimos "E" y "B"
•
BA es mediana ⇒ x = 24
•
EB es mediana: ÁreaEAB = ÁreaEBD = x
•
ÁreaEAD = 2x = 48
A = 48
•
8
C
194
194
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Práctica
01. Si: BN=NC; AM=4; MN=5; m∠NAT=30º y TB//
AC, calcular el área de la región sombreada.
05. E la figura, calcular el área de la región sombreada, si:
"G" es baricentro del triángulo equilátero ABC.
B
B
N
T
G
M
C
A
a) 30 3
d) 60
4 3
c) 40
b) 27 3
e) 27
A
02. Si P, M, Q y N son puntos medios de AB, BC, CD y
AD respectivamente; el área de la región paralelográmica ABCD es 20; calcular la suma de las áreas de las
regiones sombreadas.
B
M
C
a) 12p
d) 6p
b) 9p
e) 8p
c) 4p
06. Calcular el área de la región sombreada si T es punto
de tangencia TB=5 y AB=13.
C
T
P
Q
A
D
N
a) 4
d) 1
b) 6
e) 2
A
c) 8
a) 60
d) 20
03. Si ABCD es un paralelogramo; S1=2m2, S2=4m2 y
S3=7m2. Calcular: S4 (S1, S2, S3 y S4 son áreas de
las regiones sombreadas)
S4
C
11m2
S3
16m2
a)
d) 12m2
b)
e) 13m2
T
c)
a) 2p
d) 4p
15m2
04. Hallar el área de la superficie sombreada, sabiendo
que ABCD es un cuadrado y "E" es punto medio.
B
B
H
D
A
c) 15
O
S2
S1
b) 30
e) 33
07. Calcular el área de la región sombreada si HT = 3 .
T y B son puntos de tangencia.
P
B
B
b) 3p
e) 8p
c) 6p
!
!
08. En el gráfico, mAM = mMO , calcule el área de la región sombreada.
A
C
M
6
A
a) 12
d) 18
2
E
B
O
D
b) 13,5
e) 16
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
c) 15
a) 2p
d) 5p
195
195
b) 3p
e) 6p
c) 4p
San Marcos
Capítulo
30
09. En el gráfico, calcule el área de la región sombreada.
(≠a2)
8
b)
b) 6p
e) 9p
(≠a2)
7
c)
B
(≠a2)
6
(≠a2)
(≠a2)
e)
5
4
10. En la figura AB=BC, MC=2 y CN=3. Calcule el área
de la región sombreada.
A
d)
B
a) 9p
d) 3 6 ≠
M C
b) 12p
e) 15p
c) 7p
14. En la figura, calcule el área de la región sombreada, si
B y T son puntos de tangencia, además AB=BC=2.
A
a
a)
a) 5p
d) 8p
N
T
b) p
e) 5p
a) 3p
d) 4p
C
c) 2p
15. Calcular el área de la región sombreada, si R=6 y
!
mAB = 90c (A, B y C son puntos de tangencia)
A
B
C
c) 18p
R
11. En el gráfico R=8. Calcule el área de la región sombreada.
60º
a) 10p
d) 32p
b) 23p
e) 31p
c) 28p
16. En la figura, calcular el área del círculo.
R
O
60
16 (2≠ - 2 3 ) b) 16 (≠ - 2 )
3
d) 8 (2≠ - 2 5 ) e) 6p/3
r
c) 16(p – 1)
a)
61
b) 16p
e) 49p
a) 9p
d) 36p
12. Calcule la relación entre las áreas de las regiones
sombreadas.
c) 25p
17. En la figura, calcular el área del semicírculo.
8
2
O1
O
a) 1
b) 2
3
2
4
3
!
!
13. En el gráfico, mPA = mQB = 10c . Calcule el área de
la región sombreada.
A
P
d)
2
3
c)
e)
6
a) 8p
d) 16p
b) 6p
e) 18p
c) 12p
18. En la figura, calcular el área de la región sombreada.
40º
40º
Q
12
a) 48p
d) 40p
B
196
196
b) 36p
e) 72p
c) 30p
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Tarea domiciliaria
01. Si ABCD es un paralelogramo y área (ABE)+ área
(ECD)=20u2. Calcular el área (AOD).
E
B
05. Calcular el área de la corona circular.
C
O
O
2
3
D
A
a) 20u2
d) 14u2
b) 10u2
e) 16u2
a) 8p
d) 9p
c) 12u2
02. ¿Qué relación existe entre las superficies A y B del
cuadrado?. Si "O" es el punto central del cuadrado.
A
06. El área del paralelogramo mostrado en la figura es
igual a 24m2. Calcule el área de la parte sombreada.
B
C
P
B
2
a) 1m2
d) 4m2
03. En el siguiente gráfico, ABCD es un trapecio, M y N
son puntos medios de AB y CD, si el A(BOC)=4u2 y
el A(MONQ)=12u2, calcular el área de la región sombreada.
B
b) 2m2
e) 5m2
B
M
O
S3
S1
N
D
A
Q
a) 10
d) 7,5
D
b) 8u2
e) 6u2
C
S2
N
A
c) 3m2
07. Calcular S3, si: S1=2 y S2=6 siendo S1, S2 y S3 áreas
de las regiones sombreadas; AM=MB; CN=ND y
BC//AD.
C
M
D
M
A
2
c) A = 3B
b) A = ` 5 j
B
2
e) No hay relación
a) 4u2
d) 10u2
c) 10p
5
O
a) A = 5 B
2
d) A+B = 20
b) 6p
e) 11p
c) 5u2
b) 8
e) 8,5
c) 12
08. En la figura, OA = OB = 4 + 2 2 , calcular el área del
segmento circular. Si P y Q son puntos de tangencia.
B
04. Calcular el área de la región sombreada, si "O" es
centro del sector circular.
2
A
O
a) ≠ - 2
d)
≠- 2
2 2
45º
2
b)
≠- 2
2
e)
≠- 2
2 4
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
c)
O
a) 4 + 2 2
b) 6≠ - 2
d) 4 2 - 3≠
e) 2≠ - 3 2
c)
3≠ - 2 2
≠- 2
2
197
197
San Marcos
Capítulo
30
09. En la figura, calcular el área del segmento circular.
14. En la figura, calcular el área de la región sombreada,
si (R – r) = 24.
2
R
a) 4(p–2)
d) 4(p–1)
b) 3(p–2)
e) 8(p–2)
r
c) 2(p–2)
10. En la figura, calcular el área de la región sombreada.
Si O: centro
a
a) p
a) 24p
d) 28p
b) 36p
e) 18p
c) 12p
15. En la figura, calcular el área de la región sombreada.
b) p – 2
c) 2p
a
d) p + 2
e) ≠ + 2
O
2 2
2
11. Si ABCD es un paralelogramo, calcular el área de la
región sombreada Sx.
B
C
4
a) p
b) ≠ + 2
d) ≠ - 2
e) ≠ + 2 2
c) 2p
16. En la figura, calcular el área de la región sombreada,
si: "O" es centro. T: punto de tangencia.
Sx
A
9
D
A
a) 10u2
d) 9u2
b) 11u2
e) 13u2
c) 12u2
12
12. En la figura se muestran 3 semicírculos, calcular "x"
O
xp
a) 36p
d) 24p
18p
b) 18p
e) 28p
B
4u2
b) 6
e) 10
9u2
A
a) 20u2
d) 30u2
a
a)
≠a 2
3
b)
≠a 2
4
d)
≠a 2
2
e) pa2
C
c) 8
13. En la figura, calcular el área de la región sombreada.
a
c) 32p
17. Calcule el área de la región sombreada. Si: BC//AD.
2p
a) 9
d) 12
B
12 D
c)
≠a 2
8
b
M
b) 21u2
e) 36u2
b
D
c) 24u2
18. Se da un cuadrado ABCD de lado igual a 2m. Se traza
la diagonal AC y luego se une el vértice D con el punto
medio E de AB. La diagonal AC y la recta DE se cortan en el punto O. Calcular el área del triángulo COD.
a) 1,2
d)
198
198
4
3
b) 1,3
e)
c) 1,4
5
3
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
31
Repaso
Problemas resueltos
01. Del gráfico "O" es centro, ED=2 y DC=7. Hallar el área del triángulo EOC.
E
D
A
C
B
O
Resolución
E
1
H
R h
A
1
D
7
D EOC: R2 = EC×EH = 9×1 = 9
•
D EOH: h2 + 12 = R2 ⇒ h = 2 2
•
Área del D EOC: A = 9 # 2 2
2
A=9 2
C
B
O
•
02. ABCD es un cuadrado de área 48. Hallar el área de OPMNQ.
M
B
N
P
C
Q
O
A
D
Resolución
B
A
a M a N a C
k
k
b
n
S
P
Q
b
3k
3k
3n
3k
O
3k
6k 2b
3a
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
•
D BPM D APD: PM=n y AP=3n
•
6k = 48 = 12 " k = 2
4
S = 48 – 20k = 48 – 40
•
S=8
D
199
199
San Marcos
Capítulo
31
Práctica
01. En la figura, el área de la región triangular ABC es
60m2, 2(AB)=5(RB) y BP=PC. Hallar el área de la
región triangular APQ.
B
06. En la figura, calcular el área de la región sombreada.
R
P
1
C
A
a) 84m2
d) 80m2
Q
b) 86m2
e) 90m2
a) 6≠ - 5 3
c) 81m2
b) 9≠ - 4 3
c)
8≠ - 3 3
11≠ - 3
12
2
07. Calcular el área del círculo.
3
d) 12≠ - 5 3
02. En la figura, calcular el área de la región sombreada.
3
e)
6
R
40º
a) p
d) 4p
b) 2p
e) 5p
c) 3p
6
03. En un triángulo ABC, AB=27cm, AC=29cm y la mediana relativa a BC mide 26cm. Hallar el área de la
región triangular ABC.
b) 270cm2
c) 235cm2
a) 240cm2
2
2
d) 280cm
e) 290cm
04. En la figura, el perímetro del rombo ABCD es
t = 45c . Hallar el área de la región
24 10 cm y mBEM
triangular BEM. (M : punto medio de BC)
B
a) 20cm2
b) 16cm2
S
D
A
b) A
c) A
8
16
32
A
A
d)
e)
24
48
09. En la figura, B es punto de tangencia FE = 3cm y
ED=9cm. Hallar el área de la corona circular.
B
C
A
C
D
D
F
05. En la figura, ABCD es un paralelogramo. Si:
AC=4PC, BC=12cm y PD=5cm, hallar el área de
la región ABCD.
B
b) 60cm2
N
M
P
A
d) 12cm2
a) 40cm2
c) 4p
a)
A
e) 15cm2
b) 3p
e) 6p
08. Calcular el área del triángulo MQN siendo "P", "Q"
y "S" puntos medios de los lados, del romboide de
área "A".
Q
B
C
M
E
c) 18cm2
a) 9p
d) 25p
C
a) 18pcm2
d) 32pcm2
P
E
b) 36pcm2
e) 40pcm2
c) 27pcm2
c) 80cm2
d) 70cm2
e) 84cm2
A
D
200
200
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
10. En la figura, B y P son puntos de tangencia. Si:
AB=2AC=4cm, hallar el área de la corona circular.
(O es centro).
D
14. En la figura, calcular el área de la región sombreada.
B
P
C
O
A
a) 16pcm2
d) 12pcm2
a) 40
d) 48
A
B
b) 9pcm2
e) 10pcm2
c) 8pcm2
t . Si
t = mACB
11. En la figura, MN=6m, BC=8 y mANM
el área de la región cuadrangular NBCM es 49m2.
Hallar el área de la región triangular ANM.
B
N
C
8
b) 24
e) 64
c) 32
!
t = 53c , PC=12cm, mPAQ = 270c
15. En la figura, mPCA
y AC=4BC=20cm. Hallar el área de la región sombreada.
P
C
B
O
A
A
M
a) 56m2
d) 68m2
b) 60m2
e) 70m2
C
75 ≠cm2
b) 72 ≠cm2
c) 25 ≠cm2
4
5
2
70
85
2
2
d)
e)
≠cm
≠cm
4
4
16. En el semicírculo mostrado, calcular el área de la región sombreada.
a)
c) 63m2
12. En la figura B y C son puntos de tangencia. Si
!
!
mAB = mBC , hallar la razón de las áreas del círculo
sombreado y del círculo de centro O.
C
B
A
Q
8
O
10
a) 12
d) 24
b) 8
e) 32
c) 16
1
b) 2
c) 1
2
5
4
1
3
d)
e)
3
7
13. En la figura, O es centro de la circunferencia y
!
!
mAC = mBD = 37c . Si el radio de la circunferencia
mide 10cm, hallar el área de la región sombreada.
B
D
C
a)
A
O
a)
d)
70 ≠cm2
9
85 ≠cm2
9
b)
e)
76 ≠cm2
9
82 ≠cm2
9
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
c)
80 ≠cm2
9
201
201
San Marcos
Capítulo
31
Tarea domiciliaria
01. En el triángulo ABC, de cevianas BM∧CN, que se
cortan en "H", hallar el área del triángulo ABC, si las
áreas BHN, BHC y HMC son de 6u2, 12u2 y 8u2
respectivamente.
b) 45u2
c) 54u2
a) 36u2
2
2
d) 64u
e) 60u
02. Hallar el área del triángulo ABC, siendo: BC=4BD,
AD=4ED y el área AEC es 9u2.
B
D
E
A
C
a) 12u2
d) 24u2
b) 16u2
e) 26u2
c) 18u2
03. Calcular el área del triángulo POC. Si AM es mediana, las áreas de AOB y AOP son de 17 y 7u2.
B
M
O
A
C
P
a) 8u2
d) 15u2
b) 10u2
c) 12u2
e) 10 2 u2
04. Exteriormente a un triángulo ABC se construyen los
cuadrados ABMN, BFHC y APQC, de modo que:
PN=26u, FM=28u, QH=30u. Calcular el área del
triángulo ABC.
b) 118u2
c) 124u2
a) 112u2
2
2
d) 132u
e) 142u
05. En la figura, ABCD es un romboide. Si las áreas de
las regiones triangulares BPE y APD son 16cm2 y
25cm2 respectivamente. Hallar el área de la región
limitada por ABCD.
E
B
C
P
A
a) 76cm2
d) 92cm2
D
b) 82cm2
e) 96cm2
c) 90cm2
06. Calcular el área del cuadrado EFCD inscrito en un
cuadrante AOB de radio "R" si "C" y "D" pertenecen
al arco AB.
a)
d)
R2
5
4 R2
5
b)
e)
2 R2
5
c)
3 R2
5
2 R2
5
07. La suma de las áreas de 2 cuadrados es 8621m2, el
producto de 2 de sus diagonales es 8540. Hallar el
lado del cuadrado mayor.
a) 70m
b) 61m
c) 60m
d) 51m
e) 65m
08. El perímetro y las diagonales de un rombo suman
34m. Además el lado es a la diagonal, como 5 es a 6.
Hallar el área del rombo.
b) 26u2
c) 29u2
a) 18u2
2
2
d) 8u
e) 25u
09. Calcular el área del rombo, en el cual la suma de sus
diagonales es 168m, el inradio mide 28,8m.
b) 3456m2
c) 3656m2
a) 3256m2
d) 3856m2
e) 4000m2
10. En el triángulo acutángulo ABC de altura BH, se traza HN∧HM perpendiculares a AB∧BC. Calcular MN
si el área del triángulo ABC es 80m2, su circunradio
mide 4m.
a) 10m
b) 15m
c) 20m
d) 25m
e) 30m
11. En el triángulo acutángulo de 18m2 de área, el área
de su triángulo pedal MNQ es 6m2. Calcular el área
del D pedal STU, formado al unir los puntos de tangencia, del incírculo del D MNQ con los lados de éste.
b) 4m2
c) 6m2
a) 2m2
d) 8m2
e)
6 m2
12. Calcular el área del rectángulo ABCD, en el cual la
distancia de "D" a la diagonal AC es 4m. La distancia
de "B" a la prolongación de la perpendicular trazada
desde "D" a AC es de 6dm.
a) 15
b) 30
c) 40
d) 45
e) 50
13. Se tiene el triángulo rectángulo ABC de inradio "r" y
m∠C=37º, siendo P, Q y T los puntos de tangencia
de la circunferencia inscrita en los lados AB, BC y AC,
respectivamente. Además EC es el exradio relativo a
AB. Hallar el área de la región del cuadrilátero no
convexo TECQP.
202
202
a)
18r2
7
2
b) 19r
10
d)
7r 2
3
e)
c)
9r 2
5
21r2
10
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
14. En la figura, D y F son puntos de tangencia. Si:
AB=BC, AO = 17 m y O es centro de las circunferencias, hallar el área de la corona circular.
D
C
18. En el gráfico P y T son puntos de tangencia. Si:
AP=8dm y PB=12dm. Hallar: x
y
P
E
O
B
F
b) 7pm2
e) 12pm2
c) 10pm2
1
c) 4
3
5
3
d)
e)
4
19. En la figura, AR=RP=PB, AM=MN=NC,
BQ=QS=SC y el área de la región triangular NSC es
9m2. Hallar el área de la región sombreada.
B
a)
15. Hallar el área de la región encerrada por un trapecio
isósceles ABCD (AD//BC) circunscrito a una circunferencia de centro O si el área de la región triangular
AOB es 4u2.
b) 16u2
c) 20u2
a) 12u2
2
d) 24u
e) N.A.
2
3
2
7
b)
16. Dado el trapecio ABCD (BC//AD) sobre CD se toma
el punto Q tal que 5(CQ)=4(QD) y 5(AD)=9(BC).
Si además BD∩AQ={P}. Hallar la relación entre las
áreas de las regiones BPQC y APD.
1
2
d) 1
a)
b)
2
3
e)
c)
R
2
E
Q
P
3
4
17. En la figura P, Q y T son puntos de tangencia y
AO=OB=R( 2 +1). Hallar el área de la región sombreada.
A
P
T
S
A
a) 23m2
d) 24m2
F
a) R2
d)
3 R2
2
Q
b) R2 ( 2 + 1)
b) 22m2
e) 25m2
B
A
a) 9pm2
d) 10pm2
e) N.A.
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
203
203
c) 26m2
20. En la figura, AB=4m, 3DE=EC, T es punto de tangencia y O es centro de las circunferencias. Hallar el
área de la corona circular.
B
O
c) R2 2
C
N
M
M
O
B
y
x
A
a) 6pm2
d) 8pm2
T
A
D
T
E
b) 16pm2
e) 18pm2
C
c) 25pm2
San Marcos
Capítulo
32
32
Plano cartesiano – recta
Problemas resueltos
01. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2; –3) y que es paralela a la recta que une los puntos (4;1) y
(–2;2).
Resolución
•
(–2;2)
•
(4;1)
L2
(2;–3)
•
m2 = 2 - 1 = - 1
-2 - 4 6
m1 = m2 = - 1
6
Ecuación:
y – y1 = m(x – x1)
y - ( - 3) = - 1 ( x - 2)
6
x + 6y + 16 = 0
L1
02. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (–2 ; 3) y que es perpendicular a la recta: 2x – 3y + 6 = 0
Resolución
L1
•
(–2;3)
L2:2x – 3y+6=0
•
•
m2 = - A = - 2 = 2
-3 3
B
m1 = - 3 ... (propiedad)
2
Ecuación de L1:
y – y1 = m(x – x1)
y - (- 3) = - 3 (x - (- 2))
2
3x + 2y = 0
03. Hallar la distancia de la recta: 3x + 4y + 4 = 0, al punto (1;2)
Resolución
(1;2)
d
L:3x+4y+4=0
•
Fórmula:
d=
204
204
3 ( 1) + 4 ( 2) + 4
32 + 42
d=3
= 15
5
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Práctica
01. La recta L : 3nx + 5y + n = 2 pasa por el punto (–1;4).
Calcule "n".
a) 13
b) 12
c) 11
d) 10
e) 9
02. En el plano cartesiano se tiene una recta de ecuación: L: 4x+3y+c=0. Calcule la ecuación de la recta
perpendicular a L y que pasa por el origen de coordenadas.
a) 3x – 4y = 0
b) 4x – 3y = 0
c) 4x + 3y = 0
d) 3x – 4y = 0
y
e) x + = 1
3 4
08. Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto
A(2;3) y forma con la recta L:2x+y–1=0 un ángulo
que mide 45º.
a) x + 3y – 11 = 0
b) 2x + 3y + 11 = 0
c) x + 3y + 11 = 0
d) x + 3y – 9 = 0
e) x + 3y + 9 = 0
09. En el gráfico, el área de la región sombreada es 4u2.
Determine la ecuación de L .
y
(8;2)
O
03. Calcule la distancia del punto P(–2;–3) a la recta:
L : 4x - 3y + 4 = 0 .
a) 5u
b) 4u
c) 2u
d) 3u
e) 1u
04. Calcule la pendiente de la recta mediatriz del segmento AB. Si A(2;3) y B(4;11).
a) 4
b) – 4
d) - 1
4
e) 2
c)
1
4
L
x
a) x + y – 12 = 0
c) x + 2y – 8 = 0
e) 2x + y – 12 = 0
b) 2x – y + 4 = 0
d) 2y – x + 4 = 0
10. En el gráfico, determine la ecuación de L .
y
05. Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto
Q(2;3) y su pendiente vale 5.
a) 5x + y – 4 = 0
b) 5x + y +11 = 0
c) 5x + y + 10 = 0
d) 5x – y + 7 = 0
e) 5x – y – 7 = 0
06. Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos
P(2;3) y R(5;9).
a) 2x + y – 1 = 0
b) 2x – y – 1 = 0
c) 2x + 3y – 2 = 0
d) 2x – y – 4 = 0
e) 2x + y – 5 = 0
07. Calcule la pendiente de la recta que pasa por T y B.
Si: OB=15u y BC=20u. (T es punto de tangencia).
L
2
x
a) 3x + 4y + 16 = 0
c) 3x – 4y – 16 = 0
e) x – y + 4 = 0
b) 3x + 4y – 16 = 0
d) 3x – 4y + 16 = 0
11. Según el gráfico M y N son puntos medios del cuadrante y la semicircunferencia respectivamente; calcule la pendiente de MN.
y
B
y
M
O
T
x
C
N
2
x
O
a) 3
b) – 3
d) - 1
2
e) 13
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
c)
1
3
205
205
a) – 3
b) – 4
d) 2 2 - 3
e) - (3 + 2 2 )
c)
- ( 2 + 2)
San Marcos
Capítulo
32
12. Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente en – 4
y pasa por la intersección de las rectas:
17. Calcule la distancia de punto A(–4;3) a la recta
L:y=2x+5.
L1: 2x + y + 8 = 0
a)
L2: 3x – 2y + 9 = 0
a) 4x – y + 10 = 0
c) 4x – y – 10 = 0
e) 28x + 7y + 106 = 0
d)
b) 4x + y + 10 = 0
d) 2x – y – 10 = 0
5u
5
6 5u
5
b)
e)
2 5u
5
8 5u
5
c)
4 5u
5
18. Calcule el área de la región del triángulo ABC.
A(3;4), B(9;2), C(–3;–3)
13. Calcule la ecuación de una recta L que pasa por el
punto R(4;–3) y es paralela a una recta L1: y = 3x+5.
a) y – 3x – 15 = 0
c) y + 3x – 15 = 0
e) 3y – x – 15 = 0
b) y – 3x + 15 = 0
d) y + 3x – 19 = 0
a) 9u2
d) 24u2
b) –1
e) –3
c) –2
a) 5x + 9y – 38 = 0
c) 5x + 9y + 2 = 0
e) 5x – 9y + 38 = 0
b) y = – x
e) y = x – 1
b) 5x + 9y + 38 = 0
d) 5x + 9y – 2 = 0
20. Calcule el área de la región del triángulo rectángulo
por los ejes coordenados y la recta de la ecuación:
L:3x+2y–12=0
15. Determinar la ecuación de la recta que contiene al
baricentro de una región triangular de vértices (6;0),
(a;b), (–a;6–b) y además al punto (0;0).
a) y = x
d) y = x + 2
c) 15u2
19. Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos. A(4;2) y B(–5;7).
14. Calcule "k", de modo que la recta: L:12kx–9y+129=0
intersecta al segmento de extremos A(2;3) y B(11;6)
en la razón 2 es a 7.
a) 0
d) 3
b) 12u2
e) 27u2
a) 8u2
d) 12u2
b) 10u2
e) 24u2
c) 16u2
c) y = x + 1
16. Los vértices de un paralelogramo ABCD son:
A(–1;4), B(1;–1) y C(6;1). Si la ordenada del
vértice D es 6. ¿Cuál es la abscisa?
a) 3
d) 6
b) 4
e) 2
c) 5
206
206
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Tarea domiciliaria
01. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el
punto (1;2) y tiene pendiente - 2 .
3
a) 2x + 3y – 8 = 0
b) x + 2y + 18 = 0
c) 3x + 2y – 8 = 0
d) 2x + y – 9 = 0
e) x + y + 9 = 0
11. Una recta tiene un ángulo de inclinación de 135º y
pasa por el punto (1;1), si el punto B(3;k) pertenece a
dicha recta, el valor de k es:
a) – 3
b) 1
c) 3
d) – 1
e) 2
02. Señale la ecuación de la recta que pasa por P(3;2) y
cuyo ángulo de inclinación sea 37º.
a) 4x – 4y – 1 = 0
b) 3x + 4y – 1 = 0
c) 4x – 3y – 6 = 0
d) 4x + 3y – 18 = 0
e) 4y – 3x + 1 = 0
12. Los vértices de un triángulo son los puntos A(–7;–2),
B(1;4) y C(5;–1). Hallar la ecuación de la recta que
contiene a la mediana relativa al lado AB.
a) 4y + 5x – 2 = 0
b) 4y – 3x + 1 = 0
c) 4x + y – 1 = 0
d) 4x – y + 1 = 0
e) 4y + x – 1 = 0
03. Señale la ecuación de la recta que pase por los puntos P(1;5) y Q(–3;2).
a) 3x – 2y + 7 = 0
b) 2x + 3y – 17 = 0
c) 2x – 3y + 13 = 0
d) 3x – 4y + 17 = 0
e) 3x + 4y – 23 = 0
04. El área de la región triangular determinada por la recta L : y–2x+10=0 y los ejes coordenados es:
b) 28u2
c) 30u2
a) 25u2
d) 31u2
e) 20u2
05. Calcular "a" y "b" si las rectas L1 y L2 pasan por el
punto (2;–3):
L1: ax + (2 – b)y – 23 = 0
L2: (a – 1)x + by + 15 = 0
a) 7 y 2
b) 3 y 5
c) 5 y 4
d) 4 y 7
e) 2 y 6
06. La ecuación de la recta L es x+2y+3=0 y las coordenadas de un punto es (5;6). Hallar la ecuación de
la recta que pasa por "P" y es paralela a L.
a) 2y – x + 17 = 0
b) 2y + x – 17 = 0
c) 2y + x + 17 = 0
d) 2y – x – 17 = 0
e) y + x – 17 = 0
07. Dada la recta L:x+2y–6=0, ¿cuál es la longitud del
segmento que determina dicha recta entre los ejes
cartesianos?
c) 8
a) 6
b) 3 5
d) 10
e)
5
08. Calcular la ecuación de la recta que pasa por (2;5) y
es perpendicular a la recta 2x – 5y + 1 = 0
a) 4x – 6y – 7 = 0
b) 5x – 8y – 15 = 0
c) 3x – 6y – 9 = 0
d) 5x + 2y – 15 = 0
e) 5x + 2y – 20 = 0
09. Se da la recta: 2x + 3y + 4 = 0. Hallar la ecuación
de la recta que pasa por el punto M(2;1) y es perpendicular a la recta dada.
a) 4x + y – 9 = 0
b) 3x – 2y – 4 = 0
c) 3x – 2y + 5 = 0
d) 2x – 3y + 6 = 0
e) x + y – 3 = 0
10. Calcular el área del triángulo que se determina con
los ejes cartesianos y la recta L:3x–y+6=0.
b) 18u2
c) 6u2
a) 12u2
2
2
d) 24u
e) 9u
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
207
207
13. Calcular la ecuación de la recta perpendicular al segmento AB, que divide a dicho segmento en la relación de 1;3 siendo A=(-2;3), B(7;6).
a) 6y + 2x – 9 = 0
b) 9y – 6x + 2 = 0
c) 6y + 3x – 2 = 0
d) 6y + 9x – 2 = 0
e) 2y + 6x – 9 = 0
14. Determinar cuáles de los puntos M1(2;1), M2(2;3),
M3(8;3), M4(–3;3), M5(3;–1) están situados en la recta: 2x + 3y – 3 = 0.
b) M4
c) M2
a) M1
d) M5
e) M3
15. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto (4;–3) y es paralela a una recta cuya ecuación es:
y=3x+5
a) y = 3x+5
b) y = 2x+34
c) y = 3x–15
d) y = 2x+4
e) y = 4x–2
16. La pendiente de la recta L1 que pasa por los puntos
A(a;a+1) y B(1;–2) es 3. Calcular la ecuación de la
recta L2 que es perpendicular a L1 y pasa por el punto A.
a) x + 3y + 15 = 0
b) x + 3y + 16 = 0
c) x + 3y – 1 = 0
d) x + 3y – 16 = 0
e) x + 3y – 15 = 0
17. Calcular el área del triángulo formado por L1:x=4;
L2:x+y=10 y el eje x.
b) 48u2
c) 36u2
a) 18u2
2
2
d) 32u
e) 24u
18. Calcular el valor de "a" de modo que la recta L:ax+(a–1)y+18=0 sea paralela a la recta:
L1:4x+3y+7=0
a) 6
b) 2
c) 4
d) 5
e) 8
19. Señale la ecuación de la recta mediatriz del segmento
AB, si A(–3;1) y B(5;5).
a) x – 2y + 5 = 0
b) 3x + y – 6 = 0
c) 3x + y + 5 = 0
d) y + 2x – 5 = 0
e) 3x + y – 7 = 0
San Marcos
Capítulo
33
33
Secciones cónicas circunferencia
– parábola – elipse
Problemas resueltos
01. Hallar la distancia del centro de una circunferencia al origen de coordenadas, sabiendo que su ecuación es:
x2 + y2 – 8x – 6y = 0
Resolución
y
•
(h,k)=(4,3)
d
Completando cuadrados:
2 - 8x 16 - 16 y2 - 6y 9 - 9 0
=
+
+
1x44
2+44 3
1 44 2 44 3
(x–4)2 +
(y–3)2 = 25 = 52
h=4
k=3
r=5
d=5
3
x
4
02. En la figura la ecuación de la circunferencia es: x2 + y2 – 25 = 0, "F" es el foco de la parábola. Hallar la ecuación
de dicha parábola.
y
x
F
Resolución
y
•
x2 + y2 = 25 = 52
r=5
•
Ecuación de la parábola:
x2 = – 4py
x2 = – 4(5)y
x2 = – 20y
5
x
p=5
F
208
208
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Práctica
01. Hallar la ecuación de la circunferencia:
05. Hallar la ecuación de la circunferencia si: OB=15,
BC=20 y OC=25.
y
A
y
(0,3)
B
143º
C
O
a)
b)
c)
d)
e)
O
x
(x–2)2 + (y–4)2 = 25
(x–4)2 + (y–3)2 = 25
(x–1)2 + (y–1)2 = 1
(x+1)2 + (y+1)2 = 1
(x+4)2 + (y+3)2 = 16
02. La ecuación de la circunferencia es concéntrica a la
circunferencia: C1: x2 + y2 – 8x + 4y + 5 = 0 y que
pasa por el punto P=(2;–1) es:
a) x2 + y2 + 8x + 4y + 15 = 0
b) x2 + y2 – 8x + 4y + 15 = 0
c) x2 + y2 – 2x + 4y – 47 = 0
d) x2 + y2 + 8x + 4y – 5 = 0
e) x2 + y2 + 8x + 4y + 5 = 0
03. Calcular la ecuación de la circunferencia si: OB=13,
BC=15 y OC=14.
a)
b)
c)
d)
e)
C
H
x
(x – 7)2 + (y – 16)2 = 36
(x + 4)2 + (y + 4)2 = 25
(x – 4) + (y – 5) = 49
(x – 13)2 + (y – 4)2 = 16
(x + 13)2 + (y + 4)2 = 16
06. Calcular el radio de la circunferencia cuyo centro es el origen del sistema y es tangente a la recta
L:4y+3x=24
a) 1,2
b) 2,4
c) 3,6
d) 4,8
e) 6
07. En la figura T es punto de tangencia OL=LC y el
área de la región triangular OTC es 12, 5 3 . Hallar la
ecuación de la circunferencia.
y
y
T
B
O
O
a)
b)
c)
d)
e)
C
C
L
37º
x
x
a)
b)
c)
d)
e)
(x – 6)2 + (y – 4)2 = 36
(x – 4)2 + (y – 6)2 = 9
(x – 6)2 + (y – 4)2 = 25
(x – 6)2 + (y – 4)2 = 16
(x + 6) + (y + 4) = 16
04. Hallar la suma de las coordenadas del vértice de la
parábola cuyo foco es el punto (–1;3) y su directriz la
recta de ecuación, L: y – 1 = 0
a) 4
b) 1
c) 2
d) 0
e) 3
(x – 8)2 + (y – 6)2 = 36
(x – 6)2 + (y – 8)2 = 25
(x – 8)2 + (y – 6)2 = 25
(x – 4)2 + (y – 3)2 = 25
(x – 6) + (y – 8)2 = 36
08. Por el foco de la parábola y2 = – 4x se ha trazado una
recta que forma un ángulo de 135º con el sentido positivo del eje x. Escribir la ecuación de la recta y hallar
la longitud de la cuerda formado.
a) x + y – 1 = 0; 7
b) x + y + 1 = 0 ; 8
c) x – y – 1 = 0 ; 6
d) x + y = 1 ; 7
2
e) x + y = 2 ; 6
09. Calcular el radio de la circunferencia que tiene por
centro el punto (5,2) y es tangente a la recta.
L: 3y + 4x – 11 = 0
a) 1
b) 2,4
c) 3
d) 4
e) 5
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
209
209
San Marcos
Capítulo
33
10. Si la recta L:3x+4ky+4=0 pasa por el vértice de la
parábola, P:y2 – 3x + 4y – 8 = 0. Calcular: k
a) – 1
b) 2
c) 1
d) – 2
e) 3
11. Si la distancia entre los puntos R(0,k) y Q(8,5) es 10u.
Hallar la menor distancia del punto R al vértice de la
parábola de ecuación:
P: y2 – 12x + 24 = 0
a)
3
d) 15
b)
5
e)
2
c) 13
12. Si: y2 + kx – n = 0 es la ecuación de una parábola
con vértice V(6;0). Calcular: ` n j
k
a) 2
b) 4
c) 8
d) 6
e) 3
13. Si el punto (2;1) pertenece a la parábola P: x2 = 4py.
Hallar la ecuación de su directriz.
a) y – 1 = 0
b) y – 2 = 0
c) y + 1 = 0
d) y + 4 = 0
e) y – 4 = 0
16. Hallar la longitud del lado recto en la elipse.
16x2 + 25y2 = 400
a)
d)
L
O
b) y2 = 12(x + 3)
c) y2 = – 12(x + 3)
d) x2 = 12(y + 3)
e)
y2
= 12 (x – 3)
e)
8
5
32
10
c)
16
5
a)
x2 + y2 = 1
16 7
b)
x2 + y2 = 1
7 16
c)
x2 + y2 = 1
3
4
d)
x2 + y2 = 1
9
4
e)
x2 + y2 = 1
16 25
18. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los
puntos (±2;0) y su excentricidad es igual a 2 .
3
2 y2
2 y2
x
x
a)
b)
=1
=1
+
+
5
9
9
5
c)
x2 y2 = 1
+
25 9
e)
x2 + y2 = 1
25 36
d)
x2 y2 = 1
+
16 9
19. Los focos de una elipse son los puntos (±3;0) y la
longitud de una cualquiera de sus lados rectos es
igual a 9. Hallar la ecuación de la elipse.
x
a) x2 = – 12(y – 3)
b)
17. Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los
puntos (4;0) y (–4;0) y cuyos focos son los puntos
(3;0) y (–3;0).
14. Hallar la ecuación de la parábola P, si "O" es su foco,
la recta L su directriz y el área de la región rectangular
es 72u2.
y
4
5
32
5
a)
x2 + y2 = 1
9 16
b)
x2 y2 = 1
+
16 25
c)
x2 y2 = 1
+
36 49
d)
x2 y2 = 1
+
36 27
e)
y2 x2
=1
+
36 27
20. Hallar la longitud del lado recto de la elipse, cuyos
vértices son V1=(3;5) y V2=(3;–1) y donde c = 1 .
a 3
14
3
17
d)
3
15. Hallar las coordenadas de los vértices y focos de la
elipse, 9x2 + 4y2 = 36
a)
a) V1(0;3), V2(0;–3), F1(0;5), F2(0;–5)
b) 15
3
8
e)
3
c)
16
3
b) V1(3;0), V2(–3;0), F1(5;0), F2(–5;0)
c) V1(0;3), V2(0;–3), F1(0; 5 ), F2(0;– 5 )
d) V1(0;0), V2(1;1), F1(5;5), F2(–5;–5)
e) V1(1;1), V2(2;2), F1(3;4), F2(4;3)
210
210
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Tarea domiciliaria
01. Calcular "k" para que la circunferencia:
C:2x2 + 2y2 + 8x – 16y = k sea tangente al eje x.
a) – 2
b) – 6
c) 6
d) – 8
e) 8
02. La ecuación de la circunferencia que tiene el segmento AB como diámetro con A=(1;2) y B(5;12) es:
a) (x – 3)2 + (y – 6) = 36
b) (x + 3)2 + (y – 7)2 = 18
c) (x – 3)2 + (y – 7) 2 = 29
d) (x – 1)2 + (y – 3)2 = 20
e) (x + 1)2 + (y + 43)2 = 49
03. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en
el punto (3;–1) y que intersecta en la recta:
L: 2x – 5y + 18 = 0, una cuerda de longitud 6.
a) (x – 3)2 + (y + 1)2 = 38
b) (x + 1)2 + (y + 1)2 = 41
c) (x – 7)2 + (y – 4)2 = 16
d) (x + 3)2 + (y – 1) = 36
e) (x – 1)2 + (y – 9)2 = 49
04. Calcular la longitud del radio de la circunferencia.
y
(20;21)
r
O
a) 40
d) 30
b) 42
e) 37
c) 29
05. Hallar la longitud de la circunferencia:
x2 + y2 – 8x + 4y = 0, así como el área del círculo
que ella determina.
b) 4 5 ≠ y 20p
4 5 ≠ y 60p
d) 2 5 ≠ y 60p
c)
e) 8 5 ≠ y 20p
06. Hallar la ecuación de una circunferencia cuyo centro
coincide con el foco de la parábola y2 = 20x, y su radio es igual a la longitud del lado recto de la parábola.
a) (x – 5)2 + (y – 3)2 = 100
b) (x – 2)2 + (y – 6)2 = 200
c) (x – 6)2 + (y – 7)2 = 300
d) (x – 5)2 + y2 = 400
e) (x – 5)2 + y2 = 500
07. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro
(3;1) y tangente a la recta L : x+y+3=0.
a) 2x2 + 3y2 + 12x + 4y – 29 = 0
b) 2x2 + 2y2 – 12x – 4y – 29 = 0
c) x2 + 2y2 – 12x – 4y – 29 = 0
d) x2 + 2y2 –6x – 2y – 36 = 0
e) 2x2 + y2 – 14x – y – 49 = 0
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
09. Hallar el punto de intersección de las parábolas
y2=8x y x2=8y.
a) (1;1)
b) (4;4)
c) (8;8)
d) (6;6)
e) (8;–8)
10. Dos circunferencias pasan por el punto M=(2;–1) y
son tangentes a los dos ejes coordenadas. Hallar los
centros de estas circunferencias.
a) (1;1) y (5;5)
b) (1;–1) y (–5;5)
c) (–1;1) y (–5;5)
d) (–1;1) y (–5;–5)
e) (1;–1) y (5;–5)
11. La excentricidad de una elipse es e = 1 , su centro
3
coincide con el origen de coordenadas y uno de los
focos es F = (–2 ; 0). Calcular la distancia del punto
Q de la elipse, cuya abscisa es igual a 2, a la directriz
unilateral al foco dado.
a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
e) 30
12. Determinar los puntos de intersección de las dos parábolas: y = x2 – 2x + 1; x = y2 – 6y + 7
a) (2;1) , (–1;4)
b) (2;–1) y (1;4)
c) (3;4) , (–1;6)
d) (3;4) , (–3;4)
e) (1;1) , (–1;3)
x
a) 2 5 ≠ y 20p
08. La excentricidad de una elipse es e = 2 , el radio focal
3
de un punto M de la elipse es igual a 10. Calcular la
distancia del punto M a la directriz unilateral a este
foco.
a) 11
b) 12
c) 13
d) 14
e) 15
211
211
13. La suma de los coeficientes de la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (0;0), (2;1) y (4;0) es:
a) – 4
b) 4
c) 0
d) 1
e) – 1
14. Para qué valores de k, la parábola, x2 – 4x – y + k2 = 0,
tiene su vértice en el eje x.
a) 0 ó 2
b) 2 ó 4
c) –2 ó 0
d) 4 ó – 2
e) 2 ó – 2
2 y2
15. Se da el punto M = `2; - 5 j en la elipse x +
= 1.
9
5
3
Hallar las ecuaciones de las rectas en las que están los
radios focales del punto M.
a) 5x + 12y + 10 = 0; x – 2 = 0
b) 3x + 6y + 7 = 0; x – 3 = 0
c) 4x – 7y + 3 = 0; x – 1 = 0
d) 8x – 21y + 9 = 0; 2x – 1 = 0
e) 21x – 14y – 10 = 0; 3x – 2 = 0
16. El vértice y el foco de la parábola cuyo eje es paralelo
al eje x, y pasa por los puntos ` 3 ; - 1j , (0;5), (–6;–7)
2
son respectivamente.
a) (2;–1) y (1;0)
b) (–2;1) y (1;0)
c) (3;–1) y (–1;0)
d) (–3;–1) y (1;1)
e) (2;1) y (0;1)
San Marcos
Capítulo
34
34
Geometría del espacio
Problemas resueltos
01. Dados los rectángulos ABCD y ACEF ubicados en planos perpendiculares con BC=3, BE=4 y EF = 5 3 . ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo formado por los puntos D, E y F.
Resolución
E
5 3
F
4
r
5
4
3
B
A
3
C
D
D FAD: FD = 5, D EFD: ED = 10
D EFD: Poncelet
5 + 5 3 = 10 + 2r
r = 5 ( 3 - 1)
2
02. Un tronco de cono de altura 6, tiene como base mayor una región circular de radio 5, si el volumen del tronco de
cono es 78p, entonces el volumen del cono deficiente es:
Resolución
h=4
V
r
6
O
5
D FAD: FD = 5, D EFD: ED = 10
D EFD: Poncelet
5 + 5 3 = 10 + 2r
r = 5 ( 3 - 1)
2
212
212
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Práctica
01. Un tetraedro regular V – ABC, se traza la altura VH; tal
que el área de la región AHV, es 6 2 calcule el área
de la superficie del tetraedro.
a) 18 2
b) 36 2
d) 18 3
e) 54 3
c)
36 3
02. En un tetraedro regular A–BCD, cuya arista mide 3,
calcule la distancia del baricentro de la cara ACD hacia la cara BCD.
a)
6
2
b)
6
3
d)
6
4
e)
5
6
c)
08. En el plano Q se traza el triángulo rectángulo ABC
recto en B. Luego por A se traza AP perpendicular
al plano Q de modo que: AP=AB=BC. Calcule la
medida del ángulo entre BP y AC .
a) 30º
b) 40º
c) 50º
d) 60º
e) 10º
09. En el gráfico AM=MD; BN=NC y AB=CD=2(MN).
Calcule la medida del ángulo entre AB y CD.
D
5
3
M
03. Los rectángulos ABCD y ABEF están ubicados en
planos perpendiculares, AD=24 y BE=10. Calcule la
distancia entre los centros de dichos rectángulos.
a) 9
b) 13
c) 15
d) 16
e) 12
04. Desde el vértice de un rectángulo de lados 3 y 4. Se
levanta una perpendicular que mide 12. Calcule la
distancia del vértice opuesto a la perpendicular a la
parte superior de dicha perpendicular.
a) 15
b) 16
c) 17,5
d) 13
e) 18
05. La proyección de un segmento AB, sobre un plano Q
es el segmento AF. Si: AF=12 y AB forma con Q un
ángulo de 37º, calcule: AB
a) 11
b) 15
c) 13
d) 16
e) 20
N B
C
A
a) 50º
d) 30º
b) 40º
e) 37º
c) 60º
10. Hallar el área de la sección que se determina al intersecarse una esfera y un cono, ambos inscritos en un
cilindro recto cuyo radio de la base es 5 m .
a) 2pm2
b) 4pm2
d) 12pm2
e)
c) 8pm2
16≠ m2
5
11. Si el volumen del cilindro es 27u3, entonces el volumen del cono inscrito es:
06. Según el gráfico, ABCD–EFGH es un hexaedro regular. Si: NH = 2 3 ; calcule el volumen del hexaedro.
B
C
D
A
F
a) 9
d) 8
G
a) 290
d) 128 2
H
b) 216
e) 256
c) 254
19≠ m3
3
6
≠ m3
d)
3
a)
07. En el plano Q se traza un cuadrante AOB, luego por
O se traza OP perpendicular a dicho plano de modo
que la m∠APB=53º. Calcule la medida del diedro
determinado por la región APB y el plano Q.
a) 30º
b) 60º
c) 45º
d) 75º
e) 15º
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
c) 18
12. Se tiene una esfera cuyo radio mide 1m, un cilindro y
un cono equilátero circunscrito a esta esfera, hallar la
suma de los volúmenes de los tres sólidos.
N
E
b) 12
e) 6
213
213
b)
e)
26≠ m3
3
14≠ m3
3
c)
13≠ m3
3
13. Calcular el volumen de una esfera circunscrita a un
octaedro regular de 1 m3 de volumen.
≠
a) 1m3
d) pm3
b) 0,5m3
e) 2pm3
c) 1,5m3
San Marcos
Capítulo
34
14. En una esfera de radio R se halla inscrito un cono
circular recto de altura "h", hallar la superficie lateral
del cono.
a) ≠h (2R - h) R
b) ≠h (2R - h) R
2
c) ≠h 2R (2R - h)
d) ≠h Rh
19. En el gráfico se muestra un cono circular recto y un
cilindro de revolución, tal que AC=2(CO) y el área
de la superficie lateral del cono es cuatro veces el área
de la superficie lateral del cilindro. Calcula la razón de
sus volúmenes.
e) ≠h (3R - h) R
15. Hallar el volumen de un cono de revolución de área
lateral igual a "m", la distancia del centro de la base a
una de sus generatrices es "n".
A
a)
d)
a) 2m $ n
3
b)
d) 2m + n
e) n $ m
3
m$n
c) 2n + n
5 13
3
2 13
3
b)
e)
C
D
O
B
7 13
3
4 13
3
c)
13
3
20. En la figura, calcular la distancia "P" a la base superior, si el cilindro recto mostrado es equivalente a
18 conos de revolución como el que se indica en su
interior, la altura de dicho cono mide 8cm.
16. Un poliedro cuyas caras son regiones triangulares tiene 9 aristas; calcule el número de vértices.
a) 5
b) 6
c) 4
d) 12
e) 8
P
17. Calcular el volumen de un cono circular recto si la
longitud de su altura es 8 y la medida del ángulo de
desarrollo es 120º.
32≠
3
17≠
d)
3
a)
b)
e)
64≠
3
20≠
3
c)
19≠
3
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
18. Según el gráfico el volumen de la pirámide regular es
"V". Calcule el volumen del tronco de cilindro circular
recto (O: centro)
O
a)
d)
2 V
3≠ 3
≠ V
3≠ 3
b)
e)
4 V
3≠ 3
3 V
4≠ 3
c)
8 V
3≠ 3
214
214
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
Tarea domiciliaria
01. En un poliedro la suma del número de caras, vértices
y aristas es 32. Calcule el número de aristas de dicho
poliedro.
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
08. Calcule el área de la región sombreada, si el sólido es
un cubo de arista "a".
02. En un tetraedro regular A–BCD, M es puntos medio
de su respectiva altura AH, H es el pie de dicha altura. Calcule la m∠DMB.
a) 45º
b) 30º
c) 90º
d) 60º
e) 53º
03. En un tetraedro regular A–BCD cuya arista mide 2m,
calcule el área de la región cuadrangular cuyas vértices son puntos medios de AB, AD, DC y CB respectivamente.
b) 2m2
a) 1m2
c)
2 m2
2
2
d) 3m
e) 1,5m
04. En un hexaedro regular ABCD–EFGH cuya arista
mide 4, en HG. Se ubica el punto P tal que HP=1, en
FP se ubica el punto M tal que MP=2. Calcular BM.
a) 4
b) 5
c) 8
d) 9
e) 10
05. En un hexaedro regular ABCD–EFGH cuya arista
mide 2 m , calcule el volumen del poliedro ACFH.
a) 5 2 m3
b) 10 2 m3
c)
2 2 m3
3
4 2 m3
e) 12m3
3
06. Se tiene un cono recto de la altura 9 y de radio 4. Al
interior del mencionado cono se inscribe un cilindro.
Hallar el radio del cilindro si sabemos que su radio es
mayor que uno y que el volumen del cono es 8 del
3
volumen del cilindro.
a) 2
b) 3
c) 4
d)
e) 2 2
d) 2 3
07. En el gráfico, ABCD–PQRS es un cubo, O es centro
de la cara ABCD, OF//CR y OF=FR=3. Calcule la
diagonal del cubo.
B
C
O
A
D
P
R
S
a) 4 3
b) 2 5
d) 2 6
e) 7 2
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
a2 2
2
b)
a2 5
4
c)
a2 3
8
2
a2 2
e) a
4
2
09. Hallar el área total de un cono de revolución de 13cm
de generatriz y 12m de altura.
b) 70pcm2
c) 60pcm2
a) 80pcm2
2
2
d) 90pcm
e) 100pcm
d)
10. Hallar el área lateral de un cono recto de revolución
cuya altura es igual a 10u y la mediatriz de su generatriz limitada por la altura mide 4u.
b) 100pu2
c) 60pu2
a) 80pu2
2
2
d) 40pu
e) 120pu
11. Calcular el volumen del cono recto de 5m de generatriz, si el desarrollo de la superficie lateral es un sector
circular de 216º.
b) 9pm3
c) 12pm3
a) 8pm3
3
3
d) 15pm
e) 18pm
12. En un tetraedro regular A–BCD, M es punto medio
de la arista AB. Si AM=2 calcule el área de la región
triangular DMC.
a) 2 2
b) 3 2
d) 5 2
e) 6 2
c)
4 2
13. Calcula la altura de un tronco de pirámide cuadrangular regular, si la arista lateral y la cara lateral forman
con la base ángulos complementarios además la proyección de la arista lateral sobre la base es 4 2 u .
a) 4 4 2 u
b) 2 4 2 u
d) 5 4 2 u
e) 4 2 u
c)
34 2u
14. Se tiene un paralelepípedo rectangular ABCD–EFGH que
es equivalente a la pirámide R–ADHE, si RA, RD, RH y
RE interceptan a la cara BCGF en los puntos M, N, P
y Q respectivamente. Si AB=a, BC=b, AE=c. Calcule el volumen en la pirámide R–MNPQ.
F
Q
a)
c)
a)
3 3
d)
215
215
4 abc
27
10 abc
27
b)
e)
2 abc
27
16 abc
27
c)
8 abc
27
San Marcos
Capítulo
34
15. Calcular el volumen de la pirámide regular inscrita en
la semiesfera si el volumen de este es 18pu3.
18. En el gráfico, calcular el volumen del cilindro circular
!
recto. Si AP=5cm, AB=4cm y mBP = 60c .
A
a) 9 pu3
d) 1 pu3
b) 18 pu3
e) 2 pu3
c) 27 pu3
P
16. En el gráfico la razón de áreas de las regiones sombreadas, si ABCD es tetraedro regular. (M y N son
puntos medios).
B
M
A
B
a) 18pcm3
d) 40pcm3
b) 24pcm3
e) 48pcm3
c) 36pcm3
19. Hallar el área lateral de un cilindro de revolución
conociendo que la sustracción de los cuadrados de
la generatriz y el diámetro de la base es 64, además
MN=4.
C
N
M
N
D
a)
21
2
d)
21
3
b)
28
4
e)
17
2
c)
33
6
17. Hallar el volumen de un tronco de pirámide triangular regular si una cara lateral y su base mayor forman
un ángulo diedro de 60º, la apotema de la pirámide
mide 2m y el área en la base mayor es 12 3 m3 .
b) 18m3
c) 20m3
a) 27m3
d) 21m3
e) 24m3
a) 32≠ 15
b) 8 15 ≠
d) 34≠ 15
e) 64≠ 15
c)
43≠ 15
20. Hallar el volumen de un prisma recto de base triangular, sabiendo que una arista básica mide 4 y el área
de la proyección del sólido sobre un plano perpendicular a dicha arista es 10.
a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
e) 25
216
216
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
35
Repaso
Problemas resueltos
01. Hallar la longitud del lado recto de una parábola con vértice (2;1) y foco (2;4)
Resolución
•
Como el eje y de la parábola es vertical, consideramos la ecuación
(x–h)2 = 4p (y–k)
•
Donde: h=2, k=1 y p=3
•
Luego la ecuación: (x–1)2 = 12(y–1)
•
Lado recto:
|4p|=12
02. En la figura L : 5x – 3y + 15 = 0 y "F" es el foco de la parábola. Calcular la ecuación de la parábola.
y
O
F
x
L
Resolución
y
L:5x – 3y + 15 = 0
F
14243
•
123
3
•
La ecuación de la recta en su forma simétrica.
x y =1
+
-3 5
Parábola: y2 = – 4px
•
Pero: p = 3
5
O
x
⇒ y2 = – 12x
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
217
217
San Marcos
Capítulo
35
03. El área total de un paralelepípedo rectangular es 142. La diagonal de la base mide
pípedo.
58 y volumen del paralele-
Resolución
c
b
a
•
Dato: 2ab + 2ac + 2bc = 142
ab +ac + bc = 71 .................(1)
•
Dato: a + b + c = 15 ⇒ a + b = 15 – c .................(2)
•
Reemplazando (2) en (1)
ab + c(15 – c) = 71 .................(3)
•
También: (a+b)2 = (15 – c)2
a2 + b2 + 2ab = (15 - c) 2
S
58 + 2[71 – c(15 – c)] = (15 – c)2
c=5
•
Luego: a2 + (10 – a)2 = 58 ⇒ a = 3; b = 7
•
Volumen V = (3) (7) (5)
V = 105
Práctica
01. En el siguiente gráfico hallar la ecuación de la recta
"L".
a) - 21
3
d) - 11
4
y
L
b) - 17
3
e) 12
5
c)
- 16
3
03. En el gráfico hallar la ecuación de la recta que contiene a la altura relativa al lado AB.
B(7;7)
(0;3)
(–4;0)
x
A(1;1)
a) 14x – 3y – 10 = 0
c) x – 8y + 2 = 0
e) 2x – 7y + 8 = 0
b) 7x – y + 28 = 0
d) 3x – 2y + 12 = 0
C(9;–1)
02. Si:
L1: 4x – 3y + 10 = 0
L2: ax + 4y – 5 = 0
Son paralelas, hallar "a"
a) x – y = 10
c) 2x + y = 11
e) 2x – y = 19
218
218
b) x + y = 8
d) 2x – y = 20
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
10. La distancia entre las directrices perpendiculares al
eje x de una elipse es 9 y la longitud del eje focal es 6.
Hallar la ecuación de la elipse.
a) x2 + 6y2 = 42
b) x2 + y2 = 30
2
2
d) x2 + y2 = 1
c) 6x + 7y = 10
e) 2x2 + 6y2 = 27
04. Hallar la ecuación de la parábola.
y
(4;2)
O
11. Si: C: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, tiene como centro
(–2 ; 3) y radio igual a 4. Hallar: F
x
a) x2 = – 8y
b) y2 = 8x
2
d) (x – 4) = (4y – 2)
c) x2 = 8y
e) y2 = – 8x
05. Del gráfico, hallar la ecuación de la recta L2 .
y
L2
P(6;5)
a) 1
d) 2
b) – 2
e) – 1
c) – 3
12. Hallar la ecuación de la parábola.
y
(8;4)
L1
O
a
a
0
3
x
x
–2
a) 2x + 3y + 3 = 0
c) x – 3y + 3 = 0
e) 2x + y + 3 = 0
a) x2 = 2y
c) (y – 4)2 = 4(x – 8)
e) y2 = x
b) x + 3y + 3 = 0
d) 2x – 3y + 3 = 0
06. Hallar el radio y las coordenadas del centro de la circunferencia cuya ecuación es:
x2 + y2 – 4x + 12y – 20 = 0
a) r = 2 ; (3 ;–2)
c)
r=
15 ; (3 ;–2)
b) r =
13. Hallar la ecuación de la parábola mostrada, si el área
de la región del cuadrado OBCD es 4.
y
15 ; (4 ;–3)
B
d) r = 2 15 ; (2 ;–6)
e) r = 3 15 ; (4 ; –3)
O
07. Hallar la ecuación de la circunferencia de menor radio que pasa por el punto (8 ; 9) y es tangente a los
ejes coordenados.
a) x2 + y2 – 10x – 10y – 5 = 0
b) x2 + y2 – 10x – 10y + 25 = 0
c) x2 + y2 – 5x + 5y + 25 = 0
d) x2 + y2 + 5x + 5y + 5 = 0
e) x2 + y2 – 10x – 10y + 50 = 0
08. Halle la ecuación de la circunferencia tanto al eje x
y cuyo centro es el punto de intersección de la recta:
x – 2y + 8 = 0 con el eje y.
b) x2 + y2 – 4y = 0
a) x2 + y2 – 8y = 0
2
2
d) x2 + y2 – 8x = 0
c) x + y – 14y = 0
e) x2 + y2 – 16y = 0
09. Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen,
focos en el eje x, la longitud del eje mayor igual a
tres veces la longitud del eje menor y que pasa por el
punto P=(3;3).
b) x2 + y2 = 1
a) x2 + 8y2 = 80
d) x2 + y2 = 10
c) 9x2 + 7y2 = 36
2
2
e) x + 9y = 90
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
219
219
b) y2 = – 2x
d) y2 = 2x
a) x2 = 2y
d) y2 = 4x
C
D
b) y2 = 2x
e) x2 = 4y
x
c) x2 = 8x
14. Hallar las coordenadas del foco de la parábola.
P : x2 + 2x + 4y – 7 = 0
a) (–1 ; 0)
b) (–1 ; –2)
c) (–1 ; –1)
d) (–1 ; 2)
e) (–1 ; 1)
15. Hallar la ecuación de la elipse de la forma:
b2x2 + a2y2 = a2b2, sabiendo que la distancia entre
sus directrices es 50 y su excentricidad es 21 .
5
21
a) 4x2 + 25y2 = 100
c) 6x2 + 7y2 = 30
e) x2 + y2 = 25
b) x2 + 6y2 = 50
d) 4x2 + 5y2 = 91
16. Hallar la ecuación de la elipse de excentricidad e = 2 ,
3
centro el origen y cuyas directrices son y = ±9.
a) x2 + 3y2 = 60
c) 9x2 + 5y2 = 45
e) 7x2 + y2 = 25
b) 3x2 + y2 = 80
d) 10x2 + 15y2 = 97
San Marcos
Capítulo
35
17. La base de un prisma recto de 6cm de altura es un
triángulo equilátero. ¿Cuánto mide el lado de este
triángulo si el área lateral del prisma es 54m2?
a) 1m
d) 4m
b) 2m
e) 5m
c) 3m
18. Un cilindro de revolución se encuentra parado en el
interior de un cuarto. Si su proyección sobre el techo
tiene un área de 4pm2 y sobre una de las paredes
laterales 36m2. ¿Cuál es su volumen?
a) 15pm3
d) 32pm3
19. En una pirámide cuadrangular regular V–ABCD,
VA=AB y el área región triangular VAC es 1u2. Calcule el volumen de la pirámide.
b) 18pm3
e) 36pm3
c) 24pm3
a)
d)
2 u3
3
1 u3
4
b)
e)
1 u3
2
5 u3
4
c)
3 u3
4
20. La altura de una pirámide es 3 16 . ¿A qué distancia
del vértice pasará un plano paralelo a la base de la
pirámide de tal manera que los volúmenes obtenidos
por este corte sean iguales?
a)
3
16
2
d) 2
b)
1
2
e)
3
c) 3
3
Tarea domiciliaria
01. Calcule "k", de modo que la recta:
L: 12kx – 9y + 129 = 0 intersecta al segmento de
extremos A(2;3) y B(11;6) en la razón 2 es a 7.
a) 0
b) – 1
c) – 2
d) 3
e) – 4
02. Determine la ecuación de la recta "L" que pasa por el
punto de intersección de:
L1: 2x – 5y + 3 = 0
L2: x – 3y – 7 = 0
La recta L es perpendicular a:
L3: 4x + y – 1 = 0
a) x – 4y – 24 = 0
b) x – 4y + 24 = 0
c) 4x – y – 24 = 0
d) 4x – 4y – 15 = 0
e) x – 4y + 18 = 0
03. En el plano cartesiano se tiene una recta de ecuación:
L: 4x + 3y + c = 0. Calcular la ecuación de la L y
que pasa por el origen de coordenadas.
a) 3x – 4y = 0
b) 4x – 3y = 0
c) 4x + 3y = 0
d) 3x – 4y = 0
y
e) x + = 1
3 4
04. En la siguiente parábola, calcule las coordenadas del
foco y la ecuación de la recta directriz.
y
(–4;8)
O
a) F(–2 ; 0), Ld: x = 8
c) F(4 ; 0), Ld: y = 4
e) F(0; –4), Ld: x = –4
x
05. Calcule la pendiente de la recta que pasa por T y B.
Si: OB=15 y BC=20. (T es punto de tangencia).
y
B
O
a) 3
T
b) – 3
C x
c)
1
3
e) 13
d) - 1
3
06. Calcule el valor de "m" para que la ecuación:
C = x2 + y2 – 8x + 10y + m = 0
De la circunferencia tenga como radio 4.
a) 5
b) 15
c) 25
d) 41
e) 9
07. Calcule el área de la región formada por el semieje
positivo de abscisas, la circunferencia: x2+y2=144 y
la recta: y - 3 x = 0 .
b) 18pu2
c) 24pu2
a) 12pu2
d) 30pu2
e) 36pu2
08. La ecuación de una circunferencia es:
x2 + y2 + 4x – 6y + 8 = 0
Calcule la abscisa del punto A, sabiendo que pertenece a la circunferencia y que su ordenada es 1.
a) (–3 ; 1)
b) (–2 ; 1)
c) (–1 ; 1)
d) (–5 ; 1)
e) a y c
b) F(–4 ; 0), Ld: x = 4
d) F(0; 4), Ld: x = 4
220
220
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
09. Determine la ecuación de una recta tangente a la circunferencia cuya ecuación es: C = x2 + y2 – 8x – 9 = 0.
Siendo dicha recta paralela a la recta x = y.
a) x - y + 5 2 - 4 = 0
b) y - x - 3 + 4 = 0
c)
d) y - 5 2 - 2 = 0
y-x- 2 +4 = 0
10. En una piscina de 40m de largo, 12m de ancho y
3,5m de alto, se introducen 720 000 litros de H2O. ¿A
qué distancia del borde llega el H2O?
a) 1m
b) 1,5m
c) 2m
d) 2,5m
e) 3m
11. En la siguiente parábola, determine las coordenadas
del foco y la ecuación de la recta directriz.
y
b) y = ±(x – 3)
c)
d) y = ! 6 (x + 1)
y = ! 3 ( 3x - 1)
17. El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro recto es un cuadrado de área "S". Calcule el volumen
del cilindro.
a)
S S
2≠
b)
S S
5≠
d)
S S
4≠
e)
S S
3≠
c)
S S
6≠
18. En un prisma triangular regular se inscribe un cilindro
recto. ¿Qué relación existe entre las áreas laterales de
estos sólidos?
x
(2;–1)
a) F(0;–1), Ld: x = 1
c) F(0; –1), Ld: y = 1
e) F(–1; 0), Ld: y = –2
a) y = ±(x – 1)
e) y = ! 3 (x - 2)
2
e) y - x - 5 2 + 8 = 0
O
16. Determine la ecuación de la cuerda focal de la elipse 3x2 + 4y2 = 48 cuya longitud es de 7 unidades.
b) F(1; 0), Ld: x = – 1
d) F(1; 0), Ld: y = –1
12. La directriz de una parábola es la recta L: y – 1 = 0 y
su foco (4 ; –3). Determine su ecuación.
a) x2 + 8x – 4y + 8 = 0
b) x2 + x – 4y – 4 = 0
c) x2 + 8x + 8y – 4 = 0
d) x2 – 8x + 8y + 24 = 0
e) x2 – 8x – 8y + 8 = 0
13. Calcule la pendiente de la recta que pasa por los focos de las parábolas:
a)
3
≠
b)
2 3
≠
d)
4 3
≠
e)
3 3
2≠
c)
3 3
≠
19. Se tiene un recipiente cilíndrico conteniendo agua
hasta sus 2 patos. ¿Qué ángulo debe inclinarse el
3
recipiente para que el agua empiece a caer; sabiendo
que la altura del recipiente es el triple del diámetro
de la base?
a) 30º
b) 45º
37c
2
e) 60º
d)
c)
53c
2
20. En un cesto se han colocado dos pelotas de igual radio y el volumen de una de ellas es 32 ≠. Calcule el
3
volumen del cesto.
P1: x2 + 4y – 12 = 0
P2: y2 – 4x + 4 = 0
a) 1
d)
b) – 1
1
2
c)
-1
2
e) 2
14. Calcule el valor de la constante "k", de modo
que la distancia entre las directrices de la elipse:
y2
x2
= 1, sea de 8 unidades.
+
14 - k 5 - k
a) 1
b) 2
c) 3
d) 5
e) 6
a) 8pu3
d) 24pu3
b) 32pu3
e) N.A.
c) 18pu3
15. Un elipse cuyos focos son puntos de trisección del eje
mayor, tiene su centro en el origen y como directriz
la recta x – 9 = 0. Calcule la longitud del eje menor.
a)
2
d) 4 2
b) 2 2
c)
3 2
e) 5 2
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
221
221
San Marcos
Capítulo
36
36
Repaso bimestral
01. Calcular "x":
Si: AB=6, AH=2
04. Según la figura: BQ//MN. Si: BQ=AN, MN=a y
QN=b. Calcule "AC"
B
B
a°
D
q°
q°
M
a) 2
d) 8
a°
C
H
b) 4
e) 3
c) 6
02. En el gráfico L 1 / L 2 son mediatrices de BD y AC,
respectivamente.
Si: m∠BOA=m∠COD, calcular: AB
CD
Q
A
a) a+b
b) 2a+b
d) 2b–a
e) 2a–b
C
N
c) 2b+a
05. En la figura AC=CD=DE y BM=MC. Además si:
BE=20 y MQ=6. Calcule "x"
B
C
B
L1
Q
L2
M
x°
A
A
O
a) 37°
D
a) 1/3
d) 1
b) 1/2
e) 2
d)
c) 3
03. En el gráfico, HBMN es un cuadrado y AB=a, calcule
HP.
B
M
H
N
a 10
2
b)
a 30
10
d) a 13
e)
a 10
5
a)
37°/2
c)
C
b)
D
45°
2
E
c)
53°
2
e) 15°
06. En la región exterior y relativa a BC , de un triángulo
ABC, se construye un triángulo equilátero BCP. Si:
m∠BAC=60º, AB=30 y AC=10. Calcule la suma de
las distancias de "P" a AB u AC.
P
A
37°
2
C
a) 40 3
b) 20 3
d) 18 3
e) 10 3
c) 15 3
07. Calcula el área de la región sombreada.
a 10
3
4
2
6
a) 4/3
d) 6
222
222
b) 2
e) 12
c) 4
Quinto Añowww.trilce.edu.pe
de Secundaria
Geometría
08. Calcule el área del triángulo formado por la diagonal
y la altura de un trapecio isósceles cuya área es 64u2.
a) 64u2
d) 28u2
b) 56u2
e) 32u2
c) 36u2
09. El producto de las longitudes de los lados de un triángulo es cuatro veces la longitud del radio de la circunferencia circunscrita. Calcule el área de dicho triángulo.
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
15. ABCD–EFGH es un cubo donde M y N son centros
de las caras EFGH y ABCD entonces la medida del
ángulo diedro MABN es:
a) 53°
b) 60°
c) 62°
d) 63,5°
e) 65°
16. Del gráfico la semicircunferencia y el rombo ABCD
se encuentran en planos perpendiculares: BM=CM,
AN=3.(CN), AD=10cm y m<BAD=74°. Calcule el
área de la región triangular PMN. Además "P" es el
punto medio del arco AB.
P
10. Calcule el área del triángulo ABC, si: AB=BC=4
A
a) 4
d) 2
O
R
R 3
R
B
11. Calcular el inradio de un triángulo cuyos lados miden
5, 7 y 8
a)
2
b)
3
d)
4 3
3
e)
3
2
c)
2 3
3
12. En el problema anterior indique el valor del área.
a) 10 3
b) 5 3
d) 6 3
e) 12 3
c)
2 pa3
6 pa3
b)
d)
10 pa3
e) 2 3 pa3
c)
5 pa3
14. En el gráfico, calcule el área de la región triangular
PHM, si: PQ es perpendicular al plano del cuadrado
ABCD cuya longitud es 3 cm. Además: MH=2cm,
NH=3cm y QH=4cm; PQ = 3cm y AH=1cm.
P
B
Q
C
M
H
A
a) 3cm2
d) 6cm2
b) 4cm2
e) 8cm2
Central 6198
- 100
Quinto
Año de
Secundaria
b)
3 89
2
3 89
4
e)
4 89
3
c) 2 89
17. En un tetraedro regular O-ABC se inscribe un cono
de revolución de vértice O y base inscrita en la cara
opuesta a dicho vértice, si el área de la superficie lateral del cono es pm2. Calcule el área de la superficie
esférica circunscrita al tetraedro.
a) 10pm2
b) 9pm2
d) 7pm2
e) 6pm2
c) 8pm2
18. En un hexaedro regular ABCD-EFGH, se ubica N
punto medio de CG. Si: AB= 3 . Calcule la distancia entre los segmentos NB y FH
8 3
13. Un hexaedro regular de arista "a" se encuentra inscrito
en una semiesfera. Calcule el volumen de la semiesfera.
a)
D
a) 3 89 cm2
d)
c) 16
C
N
A
C
b) 8
e) N.A.
M
B
a)
3
2
b)
d)
2
2
e) 1
2
c)
3
3
19. Una región triangular de área 60u2 gira alrededor de
un eje coplanar siendo la distancia de sus vértices al
eje de giro 10u, 11u y 42u. Calcule el volumen generado (en u3).
a) 1250p
b) 2520p
c) 2780≠
d) 3250p
e) 4270p
20. Calcule la relación de volúmenes del tronco de cono
de revolución mayor, menor y la esfera inscrita. Si el
primer tronco de cono tiene bases de áreas 16A y 4A,
el segundo tronco de cono 4A y A.
4
r
N
D
c) 5cm2
a) 27: 8: 4
d) 30: 7: 3
223
223
b) 26: 7: 4
e) 28: 8: 3
c) 28: 7: 4
San Marcos