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ADRWJA GONZÁLEZ - EDITHWEINSltlN ¡Cómo enseñar matemátIca en el jardín! Número - Medida - Espacio González, Adriana ¿Cómo enseñar matemática en el Jardín? : Número - Medida Espacio / Adriana González y Edith Weinstein. - 1iI ed. 52 reimp. Buenos Aires: Colihue, 2008. 200 p. ; 19x14 cm. - (Nuevos caminos en educación inicial) ISBN 978-950-581-702-3 1, Educación Preescolar. Escuelas Maternales 1. Weinstein, Edith 11.Titulo COO 372.21 Colección dirigida por Hebe Ser: Martín de Duprat Diseño de tapa y colección: Ricardo Deambrosi Composición y armado: Ediciones del Río Marrón 1i edición / Sil reimpresión I.S.B.N. 978-950-581-702-3 © Ediciones Colihue S.R.L. Av. Díaz Vélez 5125 (C1405DCG) Buenos Aires - Argentina www.colihue.com.ar [email protected] Hecho el depósito que marca la ley 11.723 IMPRESO EN LA ARGENTINA - PRINTED IN ARGENTINA Copyr qnteo rna tal A Luis, por acompañarme en todos mis proyectos. A Nélida y Mónica por estar siempre presentes. AORIANA A Gustavo, Marina y Andrés por su apoyo y comprensión constantes hacia mí, como esposa-rnadre-educadora. EOITH A nuestros maestros y alumnos, a nuestros compañeros de reflexión. Copyr nted mate ial • Adriana Gonzá/ez: Maestra Nortnel Nacional, Profesora de Metemétice y Cosmografía, Licenciada en Sociología (UBA). Es Profesora de Didáctica de la Matemática en el Nivel Inicial y en la ECB en la Escuela de Capacitación CePA (Centro de Pedagogías de Anticipaciórl) y en Institutos de Formación Docente. Forma parte del Equipo de Especialistas de Matemá tica de la Dirección Nacional de Formación, Perfeccionamien to y Actualización Docente del Programa Nacional de Gestión de la Capacitación Docente del Ministerio de Cultura y Educa ción de la Nación. fdith Weinstein: Profesora Nacional de Jardín de Infantes, Licenciada en Ciencias de la Educación (UBA). Es Profesora de Didáctica de la Matemática en el Nivel Inicial en la Escuela de Capacitación CePA (Centro de Pedagogías de Anticipació!l) y en Institutos de Formación Docente. Es además profesora de práctica y residencia en institutos de formación docente. Copyr q'ued material Prólogo oy, enseñar matemática en el Ni\'f'1 Inicial resulta un gran desafío. Usted, docente del nivel, posiblemente no ha contado, en su formación de grado, con la asig natura "didáctica de la matemática". Sin embargo los actuales docu rnen los curricu lares le pla n tea n la necesida el de u na enseñanza intencional de la matemática desde edades tr- rn pranas. El libro que usted tiene en sus manos cen tra su mirada en el t ra 1a m i 0. n t o di d á c tic o del o s con ten ido s m a l e m á l i e o s e n el jardín. Nos pr op o ncrno s ayudarlo a encontrar respuesta él interrogantes elel tipo de: ¿cónlo reconocer los saberes ele los chicos?, ¿qLlé alcance tienen los contenidos meuiméucos en este nivel?, ¿cuáles 50/1 las actividades más pertinentes], ¿qué meterieles usar?, ¿cómo plantear las actividades?, ¿cómo secuenciar los contenidosi, ¿cómo articular los contenidos del , ? a .... rea En el primer capítulo del libro reflexionamos acerca del cetnbio de enfoque en el área, resignificando el lugar de la resolución de problemas en el aprendizaje matemático. E" el segundo, tercero y cuarto capítulos abordamos los ejes del área: número, espacio y tnedtd«. Analizamos tanto los saberes C¡U e los ni ñ os poseen, como el tra tarn ien te) (Ii- 9 l.op r hted AORIANA GONZÁLEl- Ea:-I H WEINSTEIN dáctico de los contenidos, buscando un equilibrio en las re laciones entre el docente, el alumno y el saber. En el qu into capítulo proponemos estrategias didácticas que permitan articular los contenidos del área y relacionar la matemática ton la unidad didáctica y el proyecto. Nosotras llegamos hasta acá. El sexto, séptimo, octavo capítulos esperamos que los escriba usted, cada día, en su sala, con su grupo de alumnos. Las autoras 10 Copyr qnteo rna tal Introducción La matemática y el medio "...Ia actividad matemática es una peculiar fusión de reconocimiento del orden, creatividad, espontaneidad, libertad y belleza del . uni " verso ... MIGUEL DE GUZMÁN . n el mundo contemporáneo nadie duda de la utili dad de la rnatornatica para resolver situaciones de la vida cotidiana. Sin embargo a la hora de preguntar nos ¿qué es la matemática? nos resulta difícil dar una respues ta. Escucharnos frases como las siguientes: "son los números", "es difícil", "no es para mí", "Ia matemática me hace pensar", "son 105 teoremas". Esta diversidad de expresiones se debe a que cada uno de nosotros tiene su propia representación de lo que es la matemática, representación que se basa en las experiencias personales, por lo general relacionadas con la vida escolar. Si buscamos en el diccionario, encontramos definiciones del tipo: matemática es "le ciencie que trata de la cnntided", Cop r ht 11 ADRIANA GONZÁLEZ - EOITH WEINSTEIN pero, ¿qué es la cantidad? "es todo lo que es capaz de sumen to y disminución". Estas definiciones no nos ayudan a identi ficar qué es la matemática. Porque a pesar de ser considerada una ciencia exacta, "... Ia matemática, que intenta definirlo todo con precisión, no tiene una definición precisa de ella misma (Luis Santaló). Ahora, le proponemos, a manera de ejercicio mental, que piense en las diferentes actividades que usted realizó a lo largo del día. Por ejemplo: "oreperer el café para el desayuno, peno sando en la proporción adecuada", "leer del diario los gráficos que informan sobre las variaciones de la temperatura", "reeli zar un croquis indicando, a un amigo, el recorrido para llegar a su casa". En todas estas situaciones utilizó diferentes cono cimientos matemáticos, nociones de medida, lectura de grá ficos estadísticos, nociones espaciales ... Desde la prehistoria, la rnatemática, al igual que otras ciencias, ha ayudado al Hombre a resolver problemas prácti cos. El entorno, dinámico y cambiante, fue planteando nue vos problemas, y éstos generaron nuevas respuestas, distintas formas de resolución, diferentes habilidades ... en definitiva, nuevos conocimientos resultantes de las actividades de ob servación, experimentación y comprobación. La matemática, como parte de este proceso no permane ce estática. Se caracteriza por ser una actividad humana, específica, orientada a la resolución de problemas, que le surgen al Hombre, en su accionar sobre el medio. El avance de la matemática puede concebirse, entonces, corno una permanente búsqueda de nuevas respuestas ante los distintos problemas provenientes de sí misma, de la reali dad y de su interrelación con otras ciencias. Pero, ¿cómo accede el Hombre a los conocimientos matemáticos? Las nociones matemáticas no se adquieren de una vez y para siempre sino que implican un largo proceso de construc ción, un proceso continuo y permanente que abarca toda la vida de la persona. La escuela, institución que se ocupa -entre otras funcio11 12 Copyr g'1ted mate lal ¿CÓMO ENSEÑAR ¡\1ATEMÁTICA EN EL JARDíN? nes- efe la selección, transmisión y producción cimientos, es la que debe posibilitar al niño la de saberes, entre ellos el saber matemático. Es por ello que la matemática, ~lOY en día, los planes educativos desde el nivel inicial. Algunos de los motivos que justifican esta clusión son: de los cono construcción se incluye en temprana in -Todo individuo, para integrarse activamente a una socie dad democrática y tecnológica, necesita de instrurnen tos, habilidades y conceptos matemáticos que le permi tan interactuar, comprender y modificar el mundo que lo rodea. • El Hombre, en el mundo actual se maneja con y sobre representaciones. La capacidad de interpretación y crea ción simbólica se hace necesaria. La enseñanza de los conceptos matemáticos contribuye al desarrollo de esta capacidad. •Existe una íntima relación entre la matemática y las otras disciplinas, sean estas exactas (química, física) o socia les (psicología, sociología). En síntesis, su inclusión en los planes educativos se debe a su: • Valor Instrumental: ver los problemas porque le sirve al Hombre que le presen ta su entorno. • Valor Formativo: porque contribuye samiento lógico. al desarrollo • Valor Social: porque el lenguaje matemático la comunicación entre los Hombres. • Valor Cultural: 11U ma nidad. para resol porque del pen es parte de forma parte del patrimonio de la Hoy, la utilidad de los conocimientos matemáticos es indiscutible. Sin embargo, resulta paradójico el "analfabetis mo funciona/JI, es decir la imposibilidad, de gran parte de los individuos, de usar los saberes matemáticos para resolver los 13 Copyr 91100 mate ral AORIANA GONZÁLEZ - EOITH WEINSTEIN problemas que les plantea el mundo actual. Al respecto Carmen Gómez Granel!' sostiene que: "... /as uno de /05 más valo conocimientos rad matemáticas, y tieceserio en las sociedades modernas altamente otecnificadas, es, a la vez, uno de los más inaccesible para la mayoría de la población ... " s Entonces, como educadores, se nos plantea una inquie tante contradicción entre la utilidad de los conocimientos matemáticos en la vida cotidiana y las dificultades que los individuos sienten frente a su aprendizaje. A fin de superar esta contradicción es necesario que la institución escuela resignifique las relaciones entre el docen te, el alumno y el saber. El docente deberá: ·Conocer el mundo exterior y las exigencias que plantea la sociedad actual, a fin de proponer, intencionalmente, situaciones significativas, contextualizadas, con sentido. •Seleccionar aquellos saberes matemáticos que garanti cen tanto la inserción sociocultural del alumno así como también una educación matemática enraizada en la cul tura. Para permitir que el alumno logre: • Desarrollar habilidades matemáticas que posibiliten, en forma autónoma, la resolución de problemas . •Confrontar las soluciones encontradas, buscar distintos caminos de resolución, formular nuevos problemas, equi vocarse, dar respuestas simples, ingenuas, parciales, es decir, seguir un proceso similar al del investigador ma, . temático. •Construir saberes matemáticos para luego poder hacer un uso inteligente, adecuado y suficiente de los mismos. G()n1~7. Cranell, c., "L;1Smaternriticas en primera persona", en Cuedernos e/r Pede gogía N° 221, Barcelona, 1994. I 14 ¿CÓMO ENSEÑAR MATEMÁTICA EN El JARDíN? A lo largo de este libro lo invitamos a que nos acompañe en el desafío de encontrar diferentes respuestas que permitan superar la contradicción planteada y así pasar de lila marerná tica es difícil", "no es para mí", a frases como "/a matemática es divertida", "/a matemática me sirve", , Copyr g'1ted mate lal 15 Copyr g'1ted mate lal Capítulo I Enfoque del área matemática cuento 111ás ayudemos a los niños tener sus ideas brillantes y a sentir setisteccioo por ello, U••• él rnás posible será que algún día tengan ellos algunas qéJe él nadie se les ocurrió jamás. u ELE/\NOR DucKwoRTH El rol del problema en el aprendizaje matemático I Hombre, a lo largo de la historia, utilizó los cono cimientos matemáticos para resolver diferentes problemas planteados por su entorno. Es así que los "problemes" son tanto el corazón de la "metemétice" como el motor de SLI enseñanza. Es indudable que las palabras "mete /11 á tica y "problema" siempre estuvieron íntimamente ligadas. Seguramente, usted recordará algunas de las clases de ma temática que vivió como alumno de la escuela primaria y/o secundaria. Pasarán por su mente imágenes que se relacionan 1/ 17 Copyr 9 teo mate tal AORIANA GONZÁlEZ 18 - EOITH WEINSTEIN con números, fórmulas, signos, y los "famosos" problemas. la educación matemática no implica acumular conoci mientos (fórmulas, símbolos, gráficos, etc.), sino poder utili zarlos en la resolución de situaciones problemáticas, transfi riendo y resignificando lo aprendido. Cabe preguntarnos, los problemas ¿sienlpre ocuparon el mismo lugar en la enseñanza de la metemétice? Es evidente que si bien los problemas siempre fueron importantes, el lugar que ocuparon en el proceso de ense ñanza y aprendizaje fue variando a lo largo de la historia. Para caracterizar estos cambios, a fines didácticos, vamos a analizar tres grandes modelos referidos a las relaciones entre docente, alumno y saber. la complejidacl del acto pedagógico hace que ningún docente se centre exclusivamente en un modelo, sino que utilice elementos de distintos modelos. En el modelo más clásico, típico de la escuela centrada en la transmisión de contenidos al alumno, el problema se ubica al final de la secuencia de aprendizaje. El docente ini cialmente introduce las nociones y presenta los ejercicios. El alumno escucha, imita y se ejercita, para posteriormente apli car los conocimientos adquiridos en la resolución de los pro blernas presentados. El contenido, es decir el saber, es el centro de la activi ciad pedagógica. Se pone el acento en la organiz ación lógica de las disciplinas. El problema cumple, para el alumno, la función de utili zación y ejercitación de lo aprendido, mientras que al docen te le sirve como control del aprendizaje. Por ejemplo: "Si tres ángulos de un trapecio miden ... ¿cLlán· to mide el cuarto éngulo?" El docente les planteará a sus alurn nos problemas de este tipo después de haberles enseñado que: "La suma de 105 ángulos interiores de todo cuadrilátero es igue! a 360°." la Escuela Nueva, como superadora del modelo clásico, propone una enseñanza centrada en la actividad del alumno, de ahí los llamados "métodos activos", en los cuales cobran Copyr q'1tcd mate lal ¿CÓMO ENSEÑAR MATE,VlÁTICA EN EL JARDíN? importancia los intereses, las motivaciones, las necesidades del alumno. En este modelo el docente escucha al alumno, responde a sus demandas y lo ayuda a utilizar diferentes fuentes de información. El alumno busca y organiza información que le permite resolver situaciones ligadas a su entorno. El centro de la situación educativa se desplaza del saber al alumno. Pasan a un segundo plano las estructuras propias de las disciplinas. El docente acompaña y facilita el aprendizaje. El problema responde a las necesidades e intereses de los alumnos. Por ejemplo: se plantean problemas relacionados con la "salida a la granja", por ser una situación vinculada con los intereses de los alumnos, sin tener en cuenta si ellos poseen los conocimientos necesarios para resolver "todos" los pro blernas que se pueden derivar de una situación tan compleja. Hoy nos encontrarnos frente a un "modelo apropiativo", es decir, un modelo centrado en que el alumno construya los saberes socialmente válidos. El centro del proceso de enseñanza y aprendizaje ya no es ni el saber ni el alumno. Se trata de lograr un equilibrio en el cual interactúen dinámicamente docente, alumno y saber. El docente es quien propone a sus alumnos problemas que les sean significativos. En la elección de los mismos tiene que tener en cuenta tanto los saberes de los alumnos como los contenidos que él, intencionalmente, se propone enseñar. El alumno resuelve los problemas en interacción con sus pares. La actividad de resolución de problemas cobra un lugar privilegiado en la situación didáctica. Ya no será un mornento de aplicación de lo aprendido anteriormente, sino que inter viene desde el comienzo del aprendizaje, constituyéndose en la "iueate, lugar y criterio de la elaboración del saber". Pero ¿qué entendemos, desde esta perspectiva, por "pro blema"? de los "Contenidos Bésicos la Educación General Básica" sostiene: El documento íI ... Comunes para se entiende por probleme toda situación con un ob¡e:~..,I 19 1.3\1 Ina ral AORIANA GONZÁLEZ - EOITH WEINSTEIN tivo él lograr, que requiera del sujeto une serie de acciones u operaciones para obtener su solución, de la que no dispone en iortne inmediete, obiigériooío a engendrar nuevos conoci mientos, modificando (enriqueciendo o recbezendo) los que hasta el momento poseía ... " El problema es una situación cente, alumno y saber: en la que intervienen do- • El docente plantea el problema teniendo en cuenta los saberes de los alumnos y los contenidos a enseñar. • El alumno debe realizar acciones que le permitan re solver el obstáculo cognitivo planteado, a fin de poder construir, relacionar y/o rnodificar sus conoctrníentos. • El saber, es decir, el contenido a enseñar, es construi do por el alumno a partir de las situacionesproblema que el docen te pla n tea. El problema debe ser una situación que plantee al alumno un óptimo desequilibrio. Cesar Col12 sostiene: "... si el objeto de conocimiento está demesiedo alejado de las posibilidades de comprension del elutnno, no se producirá desequilibrio alguno en los esquernas de esimiíecion o bien el desequilibrio provocado será ele una magnitud tal que el cam bio oueder« bloqueado. Si, por el contrario, el objeto de CO/l0cimiento se (leja asimilar totalmente por los esquernas ya dispo nibles, no /labrá razón alguna para modificarlos y el aprendizaje la intervención será igueltnerite imposible. En consecuencia pedagógica debe concebirse en términos de diseño de situacio nes que permitan un grado óptimo de desequilibrio, es decir, que superen él nivel de comprensión del alumno pero que no lo superen tanto que no pueden ser esimitedos o que resulte imposible restablecer el eouiliorio ... " Copyr g'1ted mate tal 20 1 Coll, C .. PSicología gcnc'tira y <t¡>rpnrli7aic~ escoleres, Madrid. Siglo XXI, 1990. Copyr g'1ted mate tal ¿CÓMO ENSEÑAR t\I\ATEN\ÁTICA EN El JAKOíN? El sujeto debe realizar acciones con una finalidad, es decir, acciones que le permitan encontrar soluciones a los pro blemas planleados. Es a través de estas acciones que el cono cimiento matemático va adquiriendo sentido para el niño. El conocimiento matemático adquiere sentido, para el su jeto, en función de los problemas que le permite resolver. Por lo tanto, sólo en la medida en que el niño resuelva problemas que involucren los conocimientos matemáticos podrá recono cer el sentido y la utilidad de los mismos. Para poder enten der 111ás claramente qué características tienen los problcrnas desde esta perspectiva, recordemos la comparación realizada por Arthur Baroody-: PROBI E¡\IAS RUTINARIOS DE ENUNCIADO CASOS VER13/\LQUE SUEI EN ENCONTR/\RSE EN LOS COMUNES TEXTOS sscot ARES •La incógnita está especificada () es muy evidente. •561() se ofrece IJ inforrnación específica necesaria para calcular la respuesta. •Es evidente un procedimiento correcto para hallar la solución. •l l ay una solución correcta. • L., solución enseguida. o o co ot rnr s c debe EN L,\ ICA DE RESOIUCIÓ\l EN LA VIDA DE CADA DíA y MATEMi\T ¿cuál es el enfoque? lugar • •La incó gnitn pu "de no estar es p ecificada ni ser evidente. • Se dispone de demasiada (o demasiado poca) información. •Se pueden aplicar muchos pro cedimientos para la solución, que pueden ser evidentes o no . • Puede haber varias soluciones y hasta puede que no haya ninguna. •Los p ro hlo mns significativos len resolverse Pero, DE PROBLE,\,IAS de la resolución tro de este Como ya dijimos, la resolución o;uc· len tamente. de problemas den de problemas ocupa un lugar central en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Al reflexionar sobre el título del artículo de Rolanci CODvr I 21 Baroody, t\.. [1 pensamiento meteméuco de los niños, Madrid, Visor, 1988. CODvr AORIANA GONZÁlEZ - EOITH WEINSTEIN Charnav', "Aprender (por medio de) la resolución mas", podemos observar que: de proble a) Si leemos el título completo, vemos que el autor quiere expresar que aprendemos a través de la actividad de re solución de problemas. b) Si leemos el título sin el paréntesis, vemos que el autor nos quiere decir que también se aprende la resolución de problemas, y la función de la escuela es enseñar esto. Por consiguiente, la resolución de problemas matemáticos no sólo sirve para enseñar contenidos del área, sino que además deben ser enseñadas las estrategias que permitan resolverlos. Desde la trilogía docente-alumno-saber, podemos decir que los problemas sirven para: • Enseñar A TRAVÉS de la resolución de problemas. Los conocimientos matemáticos deberán enseñarse par tiendo del planteo de situaciones problemáticas que le permitan al niño construir estos saberes. • Enseñar PARA resolver problemas. El docente debe plantear problemas en diferentes con textos, que permitan al alumno. resignificar en situacio nes nuevas, construcciones anteriores. • Enseñar SOBRE la resolucton - de problemas. El docente debe enseñar estrategias, procedimientos heurísticos, modelos, en tanto contenidos procedimen tales que le permitan al alumno conceptualizarlos, gene ralizarlos, es decir, utilizarlos en otras situaciones. Desde el punto de vista docente la resolución mas debe ser utilizada, además, para: de proble- los saberes de Jos alumnos. • EVALUAR los aprendizajes de Jos niivos. • DIAGNOSTICAR Es decir, se deben utilizar situaciones 22 problemáticas no ~ Charnay, c., "Aprender (por medio de) la resolución de problemas", en Parra, C. y Saiz, í., Didáctica de matemáticas, Buenos Aires, Paidós, 1994. - Copyr q'1tcd mate lal ¿CÓMO ENSEÑAR MATEMÁTICA EN EL JARDíN? sólo en la enseñanza de contenidos conceptuales y procedí mentales sino también en el momento de detectar los saberes previos así como al evaluar los aprendizajes. Pero, el alumno, además de responder preguntas debe poder formularlas, debe poder preguntarse. Es decir, preten demos un alumno que resuelva y formule problemas. En este sentido, acordamos con lo expresado por Luis Santaló": . "... pensando en la creatividad que conviene desarrollar, no solamente hay que resolver problemes, sino que es tnuv importante proponer problemas [... ] El hecho de proponer pro blemas que tengan sentido es tan importante en tnatemática como el resolver problemas planteados por otros. Es a través de está acción alternada entre proponer y resolver que la ma temática avanza y crece ... " La enseñanza y el aprendizaje de la matemática en el Nivel Inicial El cambio de enfoque Retomando lo expresado sobre las diversas relaciones que la trilogía d o ce n te-a lurrmo-s a b cr, a d quir i ó a lo lar go del tiem po, r10S abocaremos, ahora, a analizar la incidencia de los modelos descriptos en el Nivel Inicial, en relación con la matemática. El modelo clásico tuvo escasa ingerencia en el nivel, dado que la enseñanza intencional de contenidos disciplinares no era el cen tro de la tarea docente. Tarea que consistía, fu nda mentalmente, en la socialización del niño. En cambio, el ideario de la Escuela Nueva tuvo amplia Copyr 9 teo mate tal • ~ Santaló. L., "Matemática para no matemáticos" en Parra, C. y Saiz, Didáctica de matenlJlica, Buenos Aires, Paidós, 1994. 23 Copyr 9 teo mate tal ADRIANA GONZÁLEZ - EOITH WEINSTEIN • 24 repercusión en el nivel. Los principios de actividad, libertad, vitalidad, colectividad e individualidad dieron base teórica a nuevas propuestas que permitieron cambiar la labor docente. Conjuntamente con este movimiento pedagógico, se conocen las investigaciones piagetianas sobre la adquisición, por parte del niño, de distintas nociones matemáticas relacio nadas, entre otras, COIl el número, el espacio, la conservación de la cantidad, del volumen, de la longitud, del peso, etc. La difusión de estas investigaciones hizo que el docente se preocupara por conocer el desarrollo evolutivo del niño, diagnosticando en qué estadio se encontraba. Por ejemplo, al considerarse la noción de número como la síntesis de las operaciones de clasificación y seriación, el docen te se preocupaba por conocer en qué estadio del desarrollo de estas nociones se encontraba cada niño, para acompañarlo en el pasaje de un estadio a otro, con la idea de que el desarrollo de estas operaciones lógicas le permitiría, posteriormente, en I~ etapa operatoria, la adquisición de la noción de número. Usted recordará, por ejemplo que, ante una caja con ele mentos de cotillón, la maestra planteaba la típica consigna "Pené junto lo que va junto" esperando que los niños formaran grupos con diferentes elementos: cochecitos, cucharitas, objetos rojos. Este agrupamiento en base a distintos criterios como color, for ma, tamaño, permitía trabajar la noción de clasificación. También se trabajaba con objetos de diferentes tamaños -jirafas, cohetes, casitas- pidiéndole al niño que los ordenara de "mayor a menor" o de "menor a mayor". De esta forma se apuntaba a trabajar la Ilación de seriación. Las situaciones planteadas evidenciaban un enfoque eminentemente psicológico. Enfoque que partía de conside rar que las nociones primero se debían construir para luego ser usadas. El niño sólo podía hacer uso del número, por ejemplo, contar, operar, una vez que construyera la noción de número. Para esto se consideraba necesario que atrave sara los diferentes estadios de la clasificación y seriación. El docente se preocupaba por diagnosticar en qué esta dio de las operaciones lógicas se encontraban sus alumnos. Copyr gnte<:1mate ral ¡CÓMO ENSEÑAR MATEMÁTICt'\ EN EL JAROíN? Esta preocupación lo llevaba a confundir su rol de enseñante con el del investigador, transformando en actividades áulicas las pruebas de laboratorio. En ese momento se consideraba que trabajar las opera ciones lógicas era sinónimo de enseñar matemática. Hoy, podemos afirmar, que ese enfoque dejaba fuera del jardín la enseñanza de los contenidos propios de la matemá tica. El clasificar y el seriar no son acciones excluyentes del área de rnaternática. Por ejemplo: si vamos de visita a la plaza y recogemos las hojas caídas, podernos llegar a la sala y pedirles a los niños que las agrupen de diferentes maneras. Ese agrupamiento puede servir tanto para trabajar contenidos matemáticos refe ridos al número como: qué grupo tiene mayor, menor, igual, cantidad de hojas, así como con tenidos relacionados con cien cias naturales: tipo de borde, de nervadura, relacionar el color con la estación del año, etc. En el momento actual, podernos ubicar a la didáctica de la matemática en el Nivel Inicial dentro del tercer modelo. Tanto el alumno como el docente tienen un rol activo, el primero en rela ción con la construcción de los saberes y el segundo en la gene ración de estrategias que garanticen la apropiación de los mismos, El saber ya no consiste en adquisiciones evolutivas que impliquen arribar al siguiente estadio, sino que está formado por los conocimientos matemáticos que la sociedad conside ra válidos y necesarios para una adecuada inserción sociocultural del alumno, como ser el contar, el ubicarse en el espacio, el poder realizar comparaciones por longitud, etc. En este momento, el desafío que se nos plantea es recu perar el rol enseñante del docente sin dejar de considerar que el niño construye su propio saber participando activamente en las propuestas didácticas. Al respecto, Isabel Solé i Gallart" se pregunta: "¿Se pue de enseñar lo que se ha de construir?" y arriba a la siguiente Solé i. Gallart, t.. "[Se puede enseñar lo que se ha de construir?", en Cuedcmo« de Pedegogis, N° 188, Barcelona. t, 25 Copyr qnteo rna tal AORIANA GONZÁLEZ - EDITH WEINSTEIN N ••• debe enseñar a construir. y si Se puede, y nadie puede suplirseal alumno en , su proceso d construcción persona" nada puede sustituir la ayuda que esupone la inter vención pedagógica para que esa construccion se realice ..." Por lo tanto se produce el "pasaje -de lo psicológico a lo pedagógico". Es así como se diferencian los roles de enseñante conclusión: y de investigador, cambiando el objeto y los métodos de estu dio. El docente debe enseñar intencionalmente contenidos ma temáticos teniendo en cuenta los aportes de la psicología del desarrollo y del aprendizaje. El aula ya no es un laboratorio sino un espacio para la enseñanza y el aprendizaje. Para que este pasaje se haga realidad en el aula será necesario que el docente conozca, indague, los saberes ma temáticos que el niño trae al jardín, seleccione los contenidos a enseñar y proponga situaciones-problema que planteen un obstáculo cognitivo cuya resolución permita al niño modifi car, construir, relativizar, ampliar sus saberes. Por lo tanto, en el Nivel Inicial, el niño construye conte nidos matemáticos resolviendo los problemas que el docente con intencionalidad, le plantea. De esta forma comprende el sentido y la utilidad de los saberes matemáticos. Regine Douadv' sostiene que los conocimientos matemá ticos deben ser construidos por los alumnos en un proceso dialéctico. Proceso en el cual los conocimientos son primero instrumentos, herramientas, recursos para resolver problemas, para luego ser consiclerados como objetos de estudio en sí mismos. Esta relación se conoce con el nombre de dialéctica i ns tru m en to-ob¡e too Por ejemplo: un niño puede reconocer ante dos dados el valor total, ante 4 y 3 puede responder 7. Esto no significa que pueda conceptualizar que la acción de juntar, reunir, agregar, son significados de la operación suma. Se considera que el niño, primero hace uso de los cono cimientos para luego analizarlos como objeto de estudio. 26 7 Douady, R., "Los números: un recurso parn el niño", en Un, deu« ... beeucoup, passionnément, 1. N. R. P.: "Rencontres Pédagogiques". Francia, 1988. Copyr g'1ted mate tal ¿CÓMO ENSEÑAR MATEMÁTICA EN EL JARDíN? La sala y el nuevo enfoque Hemos realizado una breve reseña del abordaje de la matemática en el Nivel Inicial, relacionando el área con las di ferentes concepciones pedagógicas de cada momento histórico. A continuación reflexionaremos acerca de cómo vehiculizar este nuevo enfoque que implica el "pasaje de lo psicológico a Jo oedegogico", en la realidad cotidiana de la sala. ¿Qué aspectos se deberán tener en cuenta al organizar situaciones didácticas que se encuadren dentro de este enfoque? Los aspectos a tener en cuenta en todo acto pedagógico son múltiples; nosotras, a fines didácticos, vamos a reflexio nar sobre algunos que consideramos relevantes: • Problema y juego. •Variable didáctica. • Organización grupal. PROBLEMA y JUEGO Históricamente, dentro del nivel, el juego ocupó un lugar central por ser considerado la actividad natural del niño y por posibilitarle dominar el mundo que lo rodea, articulando la realidad y la fantasía, el conocimiento y la emoción, el yo y el otro. Es una actividad espontánea que permite el conocimien to, la búsqueda de estrategias, la au tonomía, la vivencia de valores, la creatividad, el cumplimiento de normas, etc. Se trata de una actividad que involucra al niño en su totalidad, en los planos corporal, afectivo, cognitivo, cultural, social. El interés que a todo ni ño le despierta el juego hace que este sea utilizado por el docente con fines didácticos. Noso tras nos referiremos a este tipo de actividad lúdica en relación con el aprendizaje matemático, sin desconocer el valor que dentro del nivel tiene el juego espontáneo. Pero, ¿cómo logramos aunar lo lúdico con la enseñanza de contenidos matemáticos? 27 Copyr g'1ted mate tal • AORIANA GONZÁLEZ - EOITH WEINSTEIN Anteriormente hicimos referencia a la íntima relación • entre el problema y el aprendizaje matemático. Los contenidos matemáticos se construyen y adquieren sentido en la medida en que 110S permiten resolver problemas. El docente, en este nivel, es quien debe proponer a los niños situaciones con carácter lúdico que impliquen un obstáculo cognitivo a superar, garantizando de esta forma tanto el interés y la motivación del niño como la construcción de saberes. El docente debe tener una clara intencionalidad pedagó gica que le permita, partiendo de los saberes y de los intere ses de los niños, plantear situaciones pr oblemáticas que involucren los contenidos seleccionados si n perder de vista lo lúdico. Las propuestas didácticas deben aunar el placer )1 la diversión del juego con el desafío y el compromiso de la si tuación de aprendizaje. Por ejemplo: el niño puede jugar a la rayuela tanto en la vereda de su casa como en la escuela. Si lo hace en el patio de la escuela con sus compañeros y sin intervención de la docente, estamos en presencia de un juego espontáneo sirni lar al que puede realizar en la vereda de su casa. En cambio. si la rayuela es propuesta IJar el docente con la intencionalidad de trabajar la serie numérica, pasa de ser un juego espontá neo a transformarse en una actividad lúdica que plantea si tuaciones problemáticas. Proponemos rescatar juegos tradicionales, populares, "de la vereda", didácticos, reglados, para abordar intencionalmente contenidos maternáticos. Estas situaciones que relacionan lo lúdico con el obstáculo cognitivo permiten, en el transcurso del juego, incluir nuevos problemas y reflexionar sobre lo realizado. Dentro de nuestra área cobran especial interés los jue gos reglados. Recordemos la carac ter iz ació n que realizan Constance Kamii y Rheta Devries": 28 " Karnii, C. y Devries, R .. luego:; colectivos en la primer» enseñanza, 1\11adrid, Visor, Copyr q'ued material 1985. Copyr q'ued material ¿CÓMO ENSEÑAR MATEMÁTICA EN El JARDíN? "Para que sea educstivemente útil, Ul1 juego colectivo debe: 1) Proponer algo interesante y estimulente para que 105 (li;10S piensen en cómo hacerlo. 2) Posibilitar que los propios niños evalúen su éxito. 3) Permitir que todos los jugadores participen acrivamen te durante todo el juego." Las autoras nos plantean tener en cuenta múltiples varia bles. Cuando sostienen que el juego (Jebe incluir "algo inte resante y estimulante" hacen referencia a lo lúdico unido al obstáculo a resolver. El obstáculo cognitivo debe ser plantea do intencionalmente por el docente él fin de lograr que el niño se apropie de contenidos matemáticos. Es irnpor tante tener presente que al hablar de "juego reglado" no estamos planteando que todas las reglas del jue go deban ser propuestas por el docente. Debemos diferen ciar, las reglas que permiten construir los contenidos matemá ticos a enseñar en la actividad seleccionada, de aquellas que sólo tienen que ver con la dinámica del juego. Estas últimas pueden ser establecidas por los niños a fin de trabajar, tam bién, contenidos actitudinales, como ser la autonomía, el res peto por los acuerdos plan teados, la toma de decisiones, etc. Por ejemplo: Marcela, doce n te de sala de 4, se propone trabajar con los 'liños relaciones de igualdad para lo cual selec ciona juegos de recorrido. Propone jugar con un dado avan zando los casilleros que el mismo indica. Para que el juego sea más divertido, el recorrido incluye obstáculos simbolizados con casilleros pintados de dos colores. Todas estas decisiones didácticas deben ser tomadas por Marcela antes de presentar el juego. Los niños pueden decidir qué hacen al llegar a cada color. Estasdecisiones que pueden ser: avanzar, retroceder, cantar una canción, no modifican los contenidos que Marcela se pro pone trabajar intencionalmente, pero sí cambian la dinámica. Si bien toda propuesta matemática debe tener un carác ter lúdico, no siempre adquiere la forma de juego reglado. Por ejemplo: Patricia para trabajar la longitud les propone a los chicos que comparen sus estaturas. Esta actividad, 29 Copyr g'1ted rnat rtal ¿CÓMO ENSEÑAR MATEMÁTICA EN ElIAROíN? VARIABLE DIDÁCTICA Hasta aquí hemos reflexionado sobre la estrecha relación entre problema, juego, aprendizaje, enseñanza, intencionalidad docente, teniendo en cuenta que todos estos elementos inter vienen en la situación didáctica. Sin embargo es la consigna que formula el docente, la que plantea el problema al niño. Pero, ¿toda consigna plantea al niño una situación-pro blema? Comenzaremos a responder este interrogante por medio de un ejemplo. Dos docentes de sala de 4 les proponen a sus niños realizar un juego de emboque: formar cuatro grupos, embo car pelotas en una caja y registrar lo realizado a fin de saber . qUien gano. . Para que los alumnos realicen el registro cada docente formula la siguiente consigna: ~ ~ Susen«: "Cada grupo debe dibujar un redondelito por cada pelota que emboca". Mercedes: "Cada grupo anote las pelotas que emboca". La consigna formulada por Susana no plantea un proble ma, pues les dice a los ni ños cómo realizar el registro, los niños sólo cumplen la orden dada por la docente. En cambio, la consigna formulada por Mercedes sí plan tea un problema, les indica a los ninos que registren, sin decirles cómo realizarlo. Ellos tendrán que decidir de qué manera hacerlo, mediante redondeles, palitos, números, etc. A partir de los ejemplos presentados vemos que no toda consigna plantea un problema. Para que u na consigna se transforme en un problema a resolver, es necesario que indi que a los niños lo que deben realizar sin sugerir la forma de hacerlo. Es decir, el docente sólo debe indicar la actividad a realizar y es el niño quien debe buscar un camino de resolu ción. Por lo tanto el docente plantea el "oué" y el niño debe encon trar el "como", Pero, el docente, además de la consigna, toma decisio- 31 Copyr g'1ted rnat rtal AORIANA GONZÁLEZ - EOITH WEINSTEIN que incluye un problema a resolver} motiva a los niños, des pierta su interés, los divierte, les permite aprender, pero no tiene el mismo potencial lúdico que el juego anterior. Los ejemplos dados hacen referencia a actividades espe cialmente diseñadas para trabajar contenidos matemáticos. Hay otras situaciones que se realizan diariamente en el jardín, como por ejemplo el registro de" asistencia y el meteo rológico, el reparto y guardado de materiales, que si bien no son juegos, resultan interesantes a los niños. Se trata de activi dades cotidianas o funcionales que son necesarias para el fun cionamiento de la tarea en la sala y que resultan fértiles para el planteo de situaciones problemáticas por parte del docente. Por ejemplo: frente a la actividad de la "biblioteca ambu lante", antes de la distribución de los libros, la maestra, puecle plantear a los niños si los mismos alcanzan para que cada uno se lleve uno. De esta forma, sin plantear una actividad lúdica, la docente formula problemas de comparación de cantidades. Si esta actividad se repite de la misma manera todas las semanas, pasa de ser una situación cotidiana o funcional a ser "rutinaria"} es decir, .pier de su valor de situación proble mática y ya no genera aprendizaje. Otro contexto rico para la inclusión de la enseñanza de la matemática lo constituyen la unidad didáctica y el proyec to. Aquí la matemática se utiliza como una herramienta para resolver problemas provenientes} tanto de la indagación de un contexto (unidad didáctica) como de la elaboración de un producto (proyecto). En síntesis, una situación problemática puede o no desarrollarse dentro de un contexto lúdico, pero siempre debe ser: •Natural: por corresponderse con la realidad. «lrvteresente: para el destinatario. •Susceptible de enriouecimiento: para permitir la evolu ción de los conocimientos. 30 En una buena situación deben confluir tanto el conocí miento que el docente tiene de sus alumnos como su intencionalidad pedagógica. Copyr qnted mate ial AORIANA GONZÁLEZ - EOITH WEINSTEIN nes sobre otros aspectos de la situación didáctica, como ser: reglas del juego, materiales a utilizar. Retornando el ejemplo del juego de emboque y centran do nuestro análisis en las reglas del juego, podemos suponer que: a) En un primer momento se les propuso, a los niños, rea lizar la actividad arrojando cada uno una pelota. b) En un segundo momento, se les da la misma consigna, pero se les propone realizar la actividad arrojando cada uno tres pelotas. La propuesta "b", aunque se plantee con la misma consig na, implica una variación en las reglas que la docente propone, con la intención de ampliar el campo numérico involucrado. Imaginando que cada grupo tiene 5 integrantes, en la si tuación "a" el máximo de emboques a registrar y comparar so n 5 (ci nco). Co n la mod i fi cació n pla n teada en b" este número se eleva a 15 (quince). Si bien los niños, en ambos casos, deben realizar comparaciones a fin de determinar el grupo ganador, no es lo mismo comparar en un campo numé rico hasta 5, que hasta 15. Otra de las decisiones que un docente debe tomar son los materiales a utilizar. Siguiendo con nuestro ejemplo, Mercedes les propone a los niños utilizar pelotas de diferentes colores, teniendo en cuen ta que: 11 La pelota roja vale 3 puntos verde vale 2 puntos La pelota azul vale 1 punto La pelota y les plantea: "Cada nene debe arrojar una pelota de cada color los puntos obtenidos. 32 y anotar Gana el grupo que obtiene más puntos." La variación propuesta por Mercedes, en los materiales a utilizar, cornpleiiza la situación, dado que no gana el equi po que emboca mayor cantidad de pelotas, sino aquel que obtiene mayor puntaje Copyr qnteo rna tal ¿CÓMO ENSEÑAR MATEMÁTICA EN EL JAROfN? Por ejemplo: Equipo A: emboca 4 pelotas azules, obtiene 4 (cuatro) puntos. Equipo B: emboca 3 pelotas, una azul, una verde y otra roja, obtiene 6 (seis) puntos. Por lo tanto, gana el Equipo B, que si bien embocó menor cantidad de pelotas, obtuvo mayor puntaje. Los ejemplos analizados nos permi ten reflexionar acerca de cómo el docente a partir de la consigna, las reglas y los materiales puede modificar la situación problemática inicial e ir complejizándola O simplificándola a fin de plantear nuevos desafíos cognitivos cuya superación implique una nueva cons trucción, es decir, un avance en los conocimientos. Estas variaciones que implicaron nuevos desequilibrios y que se produjeron en diferentes elementos de la situación didáctica, es lo que se conoce con el nombre de variable didáctica. El ERMEL (Equipo de Didáctica tiene que: "Variable sobre la cual relaciones de provocando de la Matemática)9 didáctica es una variable sos de la situación el docente puede actuar y que modifica las 105 alumnos con las nociones en juego, la uti lización de distiritss estrategias de sotucion." ORGANIZACiÓN GRUPAL El conocimiento matemático, en tanto saber cultural y so cial, se construye en interacción con otros. Nadie construye sus saberes en forma aislada, sin interactuar con un otro, ya sean personas, libros, objetos, etc. La escuela, ámbito privilegiado para la construcción de los ~ ERMEL (Equipo Aprendizajes numéricos y resolu ción de problemas, Instituto Nacional de Investigación Pedagógica. París, Hatier, 1990. de Didáctica de la Matenlática), 33 Copyr 9 teo mats ral AORIANA GONZÁLEZ - EOITH WEINSTEIN conocimientos, debe enfatizar las relaciones alumno-alumno, docente-alumno, a fin de permitir la construcción social del saber. Son las situaciones de aula, el espacio en el cual el niño, interactuando con otros en la superación de obstáculos cognitivos, construye su conocimiento. Las formas de interactuar en el aula pueden adquirir dis tintas modalidades organizativas. Podemos imaginarnos a la maestra jardinera sentada en una silla interactuando con sus alumnos ubicados en ronda o a los niños distribuidos en di ferentes sectores de la sala, interactuando entre ellos y con la docente recorriendo los distintos grupos. Desde el enfoque propuesto, se enfatiza la segunda or ganización grupal, es decir el trabajo en pequeños grupos, y se considera el trabajo con todo el grupo sólo como una ins tancia necesaria para algunos momentos de la situación de enseñanza y aprendizaje. La organización en pequeños grupos, a diferencia del tra bajo con el grupo en su totalidad, favorece la comunicación fluida entre todos los integrantes del grupo. Cada niño se re laciona con un otro con saberes, ideas, procedimientos, coin cidentes o diferentes, que generan confrontación, colabora ción, búsqueda de acuerdos, para la elaboración de solucio nes. Las soluciones alea nzadas ponen en evidencia el cono cimiento logrado por los niños. El docente debe enseñar esta dinámica de trabajo en forma secuencial a lo largo de las distintas salas. Este apren dizaje incluye la apropiación de contenidos actitudinales y procedimentales, de gran importancia, entre los saberes que el Nivel Inicial debe garantizar. En este tipo de organización grupal es necesario tener en cuenta: 34 • El tamaño de los grupos. Es conveniente que la canti dad de niños por grupo oscile entre 4 (cuatro) y 6 (seis). Cuanto más pequeños son los niños, menor cantidad de integrantes deben tener los grupos. También esta variable depende de la tarea a realizar. Copyr q-iteo mate ial ¿CÓMO ENSEÑAR MATEMÁTICA EN El JARDíN? , • Conformación de 105 grupos. Los integrantes de los grupOS no deberán ser fijos, ya que la variedad de interacciones permite un mayor enriquecimiento. Serán útiles tanto los agrupamientos de los niños a partir de niveles cercanos de conceptualización, como de otros más alejados, e incluso, en muchos momentos, los agrupamientos espontáneos. La heterogeneidad u homo geneidad de los grupos depende del objetivo a lograr. Además de las dinámicas analizadas no se descarta el trabajo individual en los momentos y situaciones en que el docente lo crea conveniente. En síntesis, al organizar una situación didáctica se debe rá tener en cuenta una secuencia de trabajo que abarque dis tintos momentos. Estos momentos se articulan entre sí en forma dinámica y flexible, sin rigidez. La secuencia de trabajo está conformada por: • PRIMER MOMENTO: Presentación e- de la situación prob! . metice , El maestro, teniendo en cuenta los contenidos a ense ñar, presenta la situación a los distintos grupos. Debe garantizar la comprensión del problema, por parte de todos los niños. • SECUNDO MOIWENTO:Resolución de la situación Los niños, desde sus saberes y en interacción con los cornp añero s de su grllpo, proponen, discuten, confron tan, preguntan, buscando una solución al problema plan teado. El maestro interactúa con los distintos grupos, responde a preguntas, facilita la búsqueda de soluciones sin dar la respuesta. Guía el trabajo de los niños. • TERCERMOMENTO:Presentación de Jos resultados El maestro organiza y coordina la puesta en común. Cada grupo presenta sus soluciones, explica sus ideas a los demás. Todos analizan, comparan, valoran, las solucio nes presentadas. 35 Copyr g'1ted mate lal AORIANA GONZÁlEZ • CUARTO MOMENTO: - EOITH WEINSTEIN Síntesis Se reflexiona sobre lo realizado. El docente sintetiza lo elaborado por los grupos teniendo presente el conteni do a enseñar. Evaluación El docente reflexiona sobre el nivel de conocimiento al canzado por los niños. Se propone nuevos contenidos a enseñar, nuevos problemas a plantear. • QUINTO MOMENTO: , • 36 Copyrq'ued mate lal Capítulo 11 El número y la serie numérica Usos del número n nuestra sociedad, los números son utilizados con múltiples propósitos, los usamos a diario, pero, ante la pregunta ¿qué es el número?, nos cuesta respon der, nos quedamos sin palabras. Sabemos de qué se trata, podemos dar miles de ejemplos, decir todo lo que el número no es, sin embargo no podemos definirlo. Esta dificultad para definir qué es el número, reafirma lo expresado anteriormente en relación con lo dificil que resulta definir algunos conceptos matemáticos. Pero, el no poder definirlo no nos impide usarlo. Por ejemplo: Mariana, rnirando .su reloj dice: ¡uy! ya son las doce y cuarto me tengo que apurar para llegar a la oficina en el horario de atención al público. Camina rápido las tres cuadras que separan a la escuela del cajero automático del banco. Llega y se ubica en el cuarto lugar de la fila. El tiempo pasa muv rápido, cuando logra en- 37 Copyr qnteo rna tal AORIANA GONZÁLEZ - EDITH WEINSTEIN trar al cajero son las 72:45 hs. Entra, pasa su tarjeta, digita su código de identificación y el importe del dinero a extraer. Lee el comprobante para verificar la operación. Ya más tranquila camina cinco mir las vidrieras cuadras, a buscando un regalo. Sorprendida ve que un pulóver, como el que estaba buscando, cuesta $32. Entra y al ver el conjunto de pulóver y bufanda decide que por $12 más se lleva un regalo más completo. Piensa que si le dieron $40 para gastar, la di ferencia es mínima. Pide que le muestren el talle 44 y 46 Y se decide por el más grande. Sale del negocio y se dirige a la parada del colectivo 23, saca un boleto de $ 0,70 Y se sienta en el tercer asiento. al 7500 de la avenida se baja, retrocede una y encuentra Al/legar la dirección que buscaba, cuadra toma el ascensor y marca piso quince. el Seguramente el relato leído le resultará familiar, pues a diario ustecl realiza acciones similares a las de Mariana. En estas acciones hacernos uso del número en diferentes contextos. Cuando contamos las cuadras que caminamos. estamos usando el número en su aspecto cardinal, al ubicar nos en el tercer asiento del colectivo hacemos uso del núme ro en su aspecto ordinal. Cuando digitamos la clave de iden tificación en el cajero automático, estamos usando el número como un código. Al elegir el talle del pulóver hacernos refe rencia al número como medida. También usamos los números para operar, por ejemplo al calcular el valor de la compra. En síntesis, podemos decir que algunos de los usos del nu"mero son: • Para conocer la cantidad de elementos de un conjunto Por ejemplo: ante una bolsa de caramelos, después de contarlos decimos que hay 25 (veinticinco). Este uso del número hace referencia al aspecto cardinal. • Para diferenciar el lugar que ocupa un objeto, dentro de una serie Por ejemplo: ante una pila de libros, podemos pedir el quinto libro. Este uso hace referencia al aspecto ordinal. Copyr q'ued material 38 •Para diferenciar un objeto de otro Copyr q'ued material ¿CÓMO ENSEÑAR MATEMÁTICA EN El JARDíN? Por ejemplo: el número de documento de identidad, el número de teléfono. En este caso se usan los núrneros para identificar perso nas, objetos, etc., son códigos que pueden reemplazar se por otros . •Para medir Por ejemplo: al pedir 250 g de queso. En este caso los números expresan la medida de una magnitud, es decir el peso, la capacidad, el tiempo, la longitud, etc. • Para operar Por ejemplo: al calcular si el sueldo nos alcanza para pagar los gastos del mes. En este caso los números se combinan entre sí dando lugar a nuevos números. Cabe preguntarnos, los niños, ¿también usan los números? Usted coincidirá con nosotros en que sí los usan. Las situaciones en que los niños hacen uso de los núme ros son múltiples, por ejemplo, cuando dicen: "cumplo 4 años", "tengo tres monedes, dame dos, así me compro un alfajor", "yo soy el primero del trencito", "cinco y cinco son diez", "seña, peso veinticinco", "diez, diez y uno, diez y dos" ... Estas frases reflejan que los niños en situaciones de su vida cotidiana utilizan constantemente números por formar parte de una sociedad en la cual los números están presentes en la mavorra de las acciones que realiza el hombre. Recordando lo expresado por Regine Douady (capítulo 1, página 24) podemos decir que el uso que los niños, en este nivel, hacen de los números es como instrumento y no como objeto, mientras que el adulto usa los números en ambos sen tidos. Esta doble implica ncia instrumento-objeto marca la di ferencia entre el adulto y el niño en el uso del número. Anne y Hermine Sinclair '? realizaron una investigación Sinclair, A. y Sinclair, H., "Las interpretaciones de los niños preescolares sobre los números escritos", en Human Leaming, Universidad de Ginebra, Suiza. 111 39 Copyr nted mate ial AORIANA GONZÁLEZ - EOITH WEINSTEIN acerca de la interpretación que niños entre 4 y 6 años reali zan de los numerales escritos. Les presentaron diez láminas en las cuales aparecían objetos y numerales relacionados, en diferentes contextos. Ante cada lámina se les pedía que explicaran qué vejan y qué significaba, para ellos, el número que aparecía en la misma. Algunas de las láminas presentadas fueron: • Un colectivo con el número 22. •Una torta con una velita con el numeral 5. • Una hilera de tres casas, identificadas con diferentes , numeras. • un ticket de almacén con el precio de varios artículos y el total. Las respuestas dadas por los niños se pueden agrupar en tres grandes categorías: a) Descripción del numeral En esta categoría se ubican las respuestas en las cuales los niños identifican el numeral o reconocen que hay un , . numero escnto. Por ejemplo: "dos del mismo", "es un cinco", Nel núme ro en la casa ". "para mirar los números". b) Función global Esta categoría corresponde a las respuestas en las cua les los niños relacionan el numeral con el objeto o el hecho. Por ejemplo: "para la gente que va en el colectivo", "es para decir que es un cumpleaños", "para la gente que vive allí", "te lo dan cuando pagás". e) Función específica En esta categoría se incluyen las respuestas en las cua les los niños identifican con claridad la información que el número transmite según el contexto. Por ejemplo: "cuál es el colectivo, si es el tuyo ", "elguien cumple cinco años", "dónde está tu cese", "cuánto pa Copyr g'1ted mate tal 40 gaste ". Copyr g'1ted mate tal ¿CÓMO ENSEÑAR MATEMÁTICA EN EL JAROíN? Los resultados de la investigación nos muestran que si bien los niños usan los números desde muy pequeños lo hacen de diferentes formas. A medida que crecen, las respuestas van pasando de la mera descripción del numeral a la identifica ción de la función específica. Los niños se van dando cuenta de que los números trans miten diferente información de acuerdo al contexto en que se encuentran. Es así como reconocen que el cinco en la torta tiene un significado diferente al cinco en el colectivo, en el cine, en el ascensor, en la puerta de una casa. Por lo tanto van logrando, en forma progresiva, descifrar la información . , que un numero transrrute. Funciones del número Los niños desde temprana edad usan los números sin nece sitar preguntarse qué es el número, llegan al jardín con variados conocimientos numéricos. Es función de la escuela organizar, complejizar, sistematizar los saberes que traen los niños a fin de garantizar la construcción de nuevos aprendizajes. Al respecto es importante tener en cuenta lo expresado por el I.N.R.P.": "... es necesario tener en cuenta una doble exigencie: •Partir de lo que saben los niiios: ¿qué conocimientos tie nen sobre los números? ¿cómo los utilizan? ¿con qué eficien cia? ¿qué dificultades prácticas encuentran? El proyecto es apoyarse sobre las 'competencias inicieles' de los niños y tomar en cuenta los obstáculos potenciales que nos revelen sus prácticas. • Favorecer las situaciones que 'dan significado' a los 11Ú meros, aquellas en las cuales el alumno puede moviíizsrtos 1. N. R. P.(Instituto Nacional de Investigación Pedagógica), "Un, deux ... beaucoup, passionnérnenr", en Rencontres Pédagogiques, N° 21, Francia, 198ft JI 41 Copyr nted mate ial AORIANA GONZÁLEZ - EOITH WEINSTEIN como recursos eficaces para resolver problemas; que los cono cimientos numéricos sean, primero elaborados por el eiurtmo como r curso ntualmente entre otros recursos, pero a menudo más(eve efica que para a antes z otro)ellos mismos responder preguntas de ser estudiados por ... " El equipo de investigación mencionado propone articu lar la experiencia cotidiana y extraescolar del niño con las si tuaciones áulicas, por lo tanto el docente debe proponer pro blemas que le permitan, al niño, vivenciar esta articulación, y, al resolverlos construir, modificar, ampliar sus conocimientos. También plantea que los problemas deben posibilitar al niño usar los conocimientos numéricos como recurso, como instrumento para luego, posteriormente, ser tomados como objeto de estudio. Los conocimientos numéricos son construidos e integra dos por los niños en un proceso dialéctico donde intervienen como "recursos", "instrumetuos" útiles para resolver determi nados problemas y como "objetos" que pueden ser estudia dos en sí mismos. Por ejemplo: de 12 bolitas se le pregunta al niño "¿cuántas bolitas tenés?" Si responde" 12", luego de con tarlas, está haciendo uso del número como recurso, instrumento Es decir, está usando el número para resol .ver el problema planteado. -Ante una colección si además de responder 11 12 bolitas" es capaz de decir, "12 está formado por 7 decena y 2 unidades", está diferenciando en él unidades de di ferente orden. Es decir, e to de estudio. está considerando el número como obj + Pero, De estos dos damentalmente el como instrumento. que el niño integre usos del número al jardín le compete fun relacionado con el número como recurso, Será tarea de los niveles posteriores lograr estos saberes en el proceso dialéctico de instrumento-objeto. 42 Para que los niños del jardín puedan hacer uso del núme ro CO{710 recurso, como instrumento, es necesario que el docopyr q'uee material ¿CÓMO ENSEÑAR MATEMÁTICA EN ElIAROíN? cente plantee situaciones-problema, en contextos variados, que permitan construir las distintas funciones del numero. ~ Las funciones del número son: • El número como memorie de la cantidad. • El número como memoria de la posición. • El número para anticipar resultados, para calcular. El NÚ¡'v1EROCOMO MEMORIA DE LA CANTIDAD El número como memoria de la cantidad hace referencia a la posibilidad que dan los números de evocar una cantidad . SIn que esta este presente. Por ejemplo: la maestra le pide a un niño que traiga de la bandeja, en un solo viaje, los vasos necesarios para los in tegrantes de su mesa. El niño cleberá contar a sus compañeros, recordar la cantidad, dirigirse a la bandeja, evocar la cantidad y tomar sólo los vasos necesarios. Es así como el niño cuenta a sus compañeros, guarda en su memoria la cantidad y la evoca, posteriormente, para traer los vasos necesarios. Usted se preguntará por qué en la cansí gna la maestra plantea realizar la actividad "en un solo viaje". Analicemos las siguientes posibilidades: ~ ~ a) Supongamos que sacamos de la consigna la indica ción "en un solo vieje". El niño puede resolver la situa ción yendo y viniendo de la mesa a la bandeja tantas veces como compañeros hay en su mesa. En este caso el niño no hace uso del número, realiza una correspondencia uno a uno (niño-vaso) que le per mite resolver la situación planteada. b) Supongamos que incluirnos en la consigna la indicación "en un solo viaje". El niño para poder resolver la situación no puede hacer correspondencia, debe hacer 43 Copyr 9 teo mats ral AORIANA GONZÁLEZ uso del número vasos. - EOITH WEINSTEIN para contar a sus compañeros En este caso sólo se puede resolver la situación do al uso del número. y a los apelan La función del número como memoria de la cantidad se relaciona con el aspecto cardinal del número que permite conocer el cardinal de un conjunto. Siguiendo con el ejem plo, el niño deberá recordar el cardinal del conjunto "compa ñeros" para traer los vasos necesarios. Dentro de esta función encontramos, también, situacio nes de comparación entre el cardinal de dos o más conjuntos. Al comparar podemos obtener relaciones de igualdad o de desigualdad Por ejemplo: la maestra les presenta a los niños dos con juntos, uno de 5 lápices verdes y otro de 7 azules. Les pregun ta I/¿hay igual cantidad de lápices verdes que azules?". Los niños pueden responder de las siguientes formas: a) "Me sobran lápices azules" o les", después de haber l/hay realizado más lápices aZLJ una correspondencia uno a uno (verde-azul). En este caso el niño no hizo uso del número para resol ver la situación, si bien las respuestas dadas son correc tas. b) "Hay 2 azules més", "hay rnás azules porque 7 es más que 5", "no, los azules son más", "los verdes son me nos", después de haber contado los elementos de cada conjunto. En este caso el niño hizo uso del número para resolver la situación. En todos los casos comparó las cantidades de ambos conjuntos obteniendo una relación de desigualdad. La función del número como memoria de la cantidad es la primera función de la cual el niño se apropia, por lo tanto el jardín deberá contribuir, intencionalmente, a esta construcción. 44 Copyr qnted mate ial ¿CÓMO ENSEÑAR MATEMÁTICA EN El JAROfN? EL NÚMERO COMO MEMORIA DE LA POSICiÓN El número como memoria de la posición es la función que permite recordar el lugar ocupado por un objeto en una lista ordenada, sin tener que memorizar la lista. Por ejemplo: la maestra coloca sobre la mesa una pila de libros forrados de diferentes colores y les propone a los niños que elijan uno. Melina dice: "ouiero el azul" Damián dice: "yo me llevo el tercer libro" Julieta dice: "quiero el cuarto que es amarillo" Analizando las respuestas dadas por los niños observa mos que todos ellos logran resolver la situación, pero: - Darnián y Julieta hacen uso del número como memoria de la posición dado que indican el libro elegido median, te un numero. • Melina, en cambio, no utiliza esta función del número pues para designar el libro elegido recurre al color. La función del número como memoria de la posición se relaciona con el aspecto ordinal del número que indica el lugar que ocupa un número en la serie. Damián y Julieta hacen referencia al 3° y 4° lugar respectivamente. EL NÚMERO PARA ANTICIPAR RESULTADOS, PARA CALCULAR La función del número para anticipar resultados, también llamada para calcular es la posibilidad que dan los números de anticipar resultados en situaciones no visibles, no presen tes, aún no realizadas, pero sobre las cuales se posee cierta información. Esta función implica comprender que una cantidad pue de resultar de la composición de varias cantidades y que se puede operar sobre números para prever el resultado de una transformación de la cardinalidad. 45 Cop r ht AORIANA GONZÁlEZ - EOITH WEINSTEIN Por ejemplo: Silvia, maestra de sala de 5, les cuenta a los niños que tiene en el armario 4 cajas de lápices de colores y que hoy la mamá de Gustavo trajo 2 cajas más. Les plantea: "Ahora, ¿cuántas cajas de lápices tenemos?" La docente esta planteando una situación que implica el trabajo intencional de esta función del número, pues hay un conjunto inicial de cajas de lápices que tiene el número 4 como cardinal, al cual se le agrega otro conjunto cuyo cardinal es 2. Se produce una transformación de la cardinalidad pro ducto de reunir los cardinales de ambos conjuntos; 4 y 2 se transforman en 6, el cardinal 6 resulta de la composición de los cardinales 4 y 2. Al juntar mentalmente 4 con 2 estamos anticipando el resultado 6, es decir, estarnos operando, estamos calculando. Por lo tanto, la transformación del cardinal de un conjunto se produce al operar sobre el mismo. Es decir, al juntar, al reunir, al agregar, al quitar, al sacar, cardinales de distintos conjuntos, Hasta ahora hemos analizado las funciones del número, que el docente debe trabajar intencionalmente en el jardín por medio de situaciones problemáticas. Los niños resuelven las situaciones que el docente plan tea de diferentes formas. Cabe preguntarnos ¿cuáles son las distintas formas de resolución que emplean los niños? Frente a los distintos problemas que el docente plantea, los niños ponen en juego distintos tipos de procedimientos. Podemos decir que: «Ante problemas que impliquen determinar la cantidad de una colección los niños pueden utilizar dos tipos de pro cedimientos: percepción global y conteo. Percepción global: implica determinar el cardinal de una colección sin recurrir al conteo. Por lo general se utiliza con colecciones de poca cantidad de elementos. 46 Por ejemplo: al mirar las frutas que hay sobre la mesa un niño dice: "hay 3 bananas". Resuelve la situación por medio del a v i st a, sin con ta r. Conteo: implica asignar a cada objeto una palabra-númeCopyr g'1ted mate tal ¿CÓMO ENSEÑAR MATEMÁTICA EN EL JAROfN? ro siguiendo la serie numérica. Es decir, realizar una co rrespondencia término a término entre cada objeto y cada palabra-número. Por ejemplo: la maestra presenta a los niños una colec ción de 7 bolitas y les pregunta ¿cuántas bolitas hay?" Los niños responden de las siguientes formas: /1 • Karina: señalando cada bolita con el dedo dice "hay 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7". •Andrés: señalando cada bolita con el dedo dice, des pués de contar, "hay 7". Tanto Karina como Andrés han utilizado el conteo para resolver la situación planteada, pero sus saberes son diferen tes. Karina no puede aún cardina/izar, es decir, reconocer que la última palabra-número pronunciada engloba a las restantes e indica el cardinal del conjunto. En cambio, Andrés al decir "hay 7", después de contar, esta indicando el cardinal del con junto de bolitas. Además, no se debe confundir el conteo con el recitado de números. Los niños recitan números mucho antes de poder contar, lo hacen en forma oral y sin tener delante ninguna colección. Por ejemplo cuando van por la calle caminando y diicri en uno, d os, tres, cuatro ...." do 11 •Ante problemas que impliquen comparar colecciones los niños pueden utilizar dos tipos de procedimientos: correspon dencia y conteo. Correspondencia: implica establecer una relación uno a uno entre los elementos de dos o más colecciones indi cando cuál tiene más o menos elementos. La correspondencia es un procedimiento que no utiliza el numero. r Por ejemplo: la maestra presenta a los niños una colec ción de 6 coches y otra de 8 aviones y les pregunta ¡'¿qLJé hay más, aviones o coches?" . Pablo enfrenta a cada coche con un avión y dice, al ver que sobran aviones, "hay más aviones". Resuelve correctamen Copyr g'1ted mate lal te la situación mediante la correspondencia. 47 Copyr g'1ted mate lal índice Prólogo I 9 INTRODUCCiÓN La matemática y el medio I 11 CAPíTlJLO I I 17 Enfoque del área matemática El rol del problema en el aprendizaje matemático La enseñanza y el aprendizaje de la matemática en el Nivel Inicial I 23 El cambio de enfoque I 23 la sala y el nuevo enfoqlle / 27 CAP(TULO El número 1I y la serie numérica / / 17 37 Usos del número I 37 Funciones del número I 41 Sistemas de numeración I 49 Registro de cantidades / 56 Propuestas para trabajar en la sala / 60 CAPíTULO 11I El espacio / 89 Espacio y geometría I 89 Construcción de nociones espaciales y geométricas en el niño I 92 Estudio de las relaciones espaciales fundamentales Estudio de la cognición ambiental I 101 / 94 Copynghted matenal ~os .. .. n a'la lentos currku~res .otor- U y~reñitizaje éIe la matemáfi- c.,sidera.¿~~caih I ni" . u.... impor~cia bIe. a exige.as queiJlaotea el l1Mdio,. ~te IIlr(J briJida Jélllent08 p~ra qpe 101decentes pu.an peasar .. enseñar V cq,no .¡aceito. os cantentd<l&lige,fos a IQftrel-ejes def:área -ftÚme Frent. é .l_O, med¡aci ~ espat:i{r- SQfl expli~dos con clari sin sosJaYélI-las cu .... iones leoricas principa les. E enhlQue propue$to te c~tr en la resole ció,\,de probJemas quj r~ieren del njño una se ri~e OiPeractones para o.6teoer una S9lución. Esta Qérs~ti". ~rmite la interacción dinámica del 3o<!pte,,;e1 afumno y.'fl saf)e~ tnistno ~ue resulta así re.ifltado: el~nol¡n@ento:.m emático ad.. qcñere setttido y se. conecta cOIl~a vtda diaria. En te cootexto repovacto, IOf juegos:--rnás de sesen- ~ ta de ellos IOn eXplicadOScon detalle de. materia18, oSjettwos , var.ianas ijOsi~- ecupan un lu gar télevantf'-entre las estrat~ias de aprendizaje. Adrialfa Gondez., Edifh Weinstein, profe stonates de la educaEÍón con amplia trayectoria en el nivel inicial, conjugan en su obra rigor teóri co, creatividad y profundo conocimiento de las competencias del niño de jardín de infantes. Un aporte valioso y un instrumento eficaz que propo ne una mirada nueva para abordar, desde los co mienzos, la enseñanza y aprendizaje de la mate, . manca. ~~ I 7 o2
