Teoría de la corriente alterna
Ondas Sinusoidales
Una sinusoide o senoide es una señal que tiene la forma de la
función seno o coseno.
La forma de onda sinusoidal u onda seno es el tipo fundamental de
corriente alterna (ca) y voltaje alterno. También se conoce como
onda sinusoidal o, simplemente, sinusoide.
Dos tipos de fuentes producen voltajes sinusoidales: las
máquinas eléctricas rotatorias (generadores de ca) y los
circuitos osciladores electrónicos, los cuales se utilizan
en instrumentos comúnmente conocidos como
generadores de señales electrónicas.
El servicio eléctrico provisto por la compañía de
electricidad es en la forma de voltaje y corriente
sinusoidales. La corriente senoidal se invierte a
intervalos regulares y tiene valores alternadamente
positivo y negativo. Los circuitos excitados por fuentes
de corriente o tensión senoidal se llaman circuitos de
ca.
Dos tipos de fuentes producen voltajes sinusoidales: las
máquinas eléctricas rotatorias (generadores de ca) y los
circuitos osciladores electrónicos, los cuales se utilizan
en instrumentos comúnmente conocidos como
generadores de señales electrónicas.
La gráfica muestra la forma general de una onda seno, la cual
puede ser o una corriente alterna o un voltaje alterno. El voltaje
(o la corriente) se muestra en el eje vertical y el tiempo (t) en el
eje horizontal. Se observa cómo varía el voltaje (o la corriente)
con el tiempo. Comenzando en cero, el voltaje (o la corriente)
se incrementa hasta un máximo positivo (pico), regresa a cero,
y luego se incrementa hasta un máximo negativo (pico) antes
de regresar otra vez a cero, y así completa un ciclo.
Periodo de una onda seno
Una onda seno varía con el tiempo (t) de una manera que es
definible.
El tiempo requerido para que una onda seno complete todo un ciclo
se llama periodo (T)
Frecuencia de una onda seno
La frecuencia (f) es el número de ciclos que una onda seno
completa en un segundo.
Mientras más ciclos se completan en un segundo, más alta es la
frecuencia. La frecuencia (f) se mide en unidades de Hertz (Hz) .
Un Hz equivale a un ciclo por segundo; 60 Hz son 60 ciclos por
Segundo.
Baja Frecuencia
Alta Frecuencia
Amplitud de onda
La distancia entre un valor máximo de la función y el eje x es
la amplitud de la onda senoidal. Mientras que la longitud de
onda es la distancia existente entre dos valores máximos
consecutivos en la gráfica de la función. Así, amplitud y longitud
de onda son siempre valores positivos.
La unidad de medición para el eje horizontal es el grado. Una
segunda unidad de medición utilizada con frecuencia es el radián
(rad). Este se define mediante un cuadrante de un circulo, donde
la distancia sobre la circunferencia es igual al radio del circulo.
Onda senoidal con el eje horizontal
en grados.
Definición de radian
Si definimos a x como el número de intervalos de r (el
radio) alrededor de la circunferencia del círculo,
entonces:
𝑪 = 𝟐𝝅𝒓 = 𝒙 ∙ 𝒓 = 𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅 = 𝟑𝟔𝟎°
Por tanto, existen 2π radianes alrededor de un círculo de
360º
Con lo mencionado anteriormente, tenemos que:
𝟏 𝒓𝒂𝒅 = 𝟓𝟕. 𝟐𝟗𝟔° = 𝟓𝟕, 𝟑°
Muchas fórmulas eléctricas contienen un múltiplo de π. Por tal
motivo, es preferible medir los ángulos en radianes en lugar de
hacerlo en grados.
Grados a radianes y radianes a grados.
𝝅
𝑹𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒆𝒔 =
× 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔
𝟏𝟖𝟎°
𝟏𝟖𝟎°
𝑮𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 =
× (𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒆𝒔)
𝝅
Ejercicios:
Convierta de radianes a grados o viceversa, según sea
el caso.
1. 90°=
rad
2. 30°=
rad
3.
π
𝑟𝑎𝑑
3
4.
3π
𝑟𝑎𝑑
2
=
=
°
°
FORMATO GENERAL PARA EL VOLTAJE Y LA CORRIENTE
SENOIDALES
El formato matemático general básico de la forma de onda senoidal es
𝑨𝒎 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕
donde
Am - la amplitud de la senoide
𝝎 - la frecuencia angular en radianes/s
t - es el tiempo en segundos
𝜽 = 𝝎t - el argumento de la senoide o el ángulo a través del cual
pasara el vector rotatorio.
Para cantidades eléctricas, como corriente y voltaje, el formato general
es
𝒊 = 𝑰𝒎 sin 𝝎𝒕 = 𝑰𝒎 𝐬𝐢𝐧 𝜽
𝒆 = 𝑬𝒎 sin 𝝎𝒕 = 𝑬𝒎 𝐬𝐢𝐧 𝜽
Donde las letras mayúsculas con el subíndice m representan la
amplitud, y las letras minúsculas i y e representan el valor instantáneo
de la corriente y el voltaje, respectivamente, en cualquier instante t.
Para la siguiente forma de onda senoidal determine:
a.
b.
c.
d.
e.
¿Cuál es el valor pico?
¿Cuál es el valor instantáneo a 15 ms y 20 ms?
¿Cuál es el valor pico a pico de la forma de onda?
¿Cuál es el periodo de la forma de onda?
¿Cuántos ciclos se muestran?
Para la siguiente forma de onda senoidal determine:
a. ¿Cuál es el valor pico?
b. ¿Cuál es el valor instantáneo a 1 µs y 7 µs?
c. ¿Cuál es el valor pico a pico de la forma de onda?
d. ¿Cuál es el periodo de la forma de onda?
e. ¿Cuántos ciclos se muestran?
𝒗 𝒕 = 𝑽𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 ± 𝜽
𝑽𝟎 = 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑
𝝎 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑜 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
𝝎𝒕 = 𝑎𝑟𝑔𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑜𝑖𝑑𝑒
𝜽 = 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒
𝝎=
𝟐𝝅
𝑻
= 𝟐𝝅𝒇
𝟏
𝒇
𝑻= =
𝟐𝝅
𝝎
𝒇=
𝟏
𝑻
=
𝝎
𝟐𝝅
Si una forma de onda senoidal recorre un ángulo de 30°
en 5 seg, determine ω.
Determine la Amplitud y frecuencia de las siguientes
ondas:
a) 20 𝑠𝑖𝑛 377𝑡
b) 12 𝑠𝑖𝑛 2𝜋120𝑡
c) 106 𝑠𝑖𝑛 10000𝑡
d) −8 𝑠𝑖𝑛 10.058𝑡
Determine la ω
a) 1.8s
e) 100Hz
b) 0.3ms
f) 0.25kHz
c) 8µs
g) 2kHz
d) 4µs
h) 0.004Hz
Determine la frecuencia y el periodo cuando ω
es:
a) 750 rad/s
b) 12 rad/s
c) 600 rad/s
Ejercicio:
Trace 𝟔 𝐬𝐢𝐧 𝟕𝟓𝟒𝒕 con la abscisa
a) Angulo en grados.
b) Angulo en radianes.
c) Tiempo en segundos.
Considerando
𝒗 𝒕 = 𝑽𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 + 𝜽
𝑦 𝒗 𝒕 = 𝑽𝒎 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕
Ejemplo:
Dibuje 𝒗 𝒕 = 𝟓 𝒄𝒐𝒔
𝝅𝒕Τ
𝟔
+ 𝟑𝟎°
La ecuación se puede reescribir de la siguiente manera:
𝒗 𝒕 = 𝟓 𝒄𝒐𝒔 𝝅𝒕ൗ𝟔 + 𝝅ൗ𝟔 = 𝟓 𝐜𝐨𝐬 𝝅 𝒕 + 𝟏 ൗ𝟔
Ejemplos:
Dibuje las siguientes ondas senoidales:
a) 𝒗 𝒕 = 𝟐 𝒄𝒐𝒔
𝝅𝒕Τ
𝟒
− 𝟒𝟓°
RELACIONES DE FASE.
Si la forma de onda se desplaza a la derecha o a la izquierda de
0°, la expresión deriva en:
𝑨𝒎 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 ± 𝜽
donde θ es el ángulo en grados o radianes que la forma de onda ha
sido desplazada. Si la forma de onda pasa a través del eje
horizontal con una pendiente de tendencia positiva
(incrementándose con el tiempo) antes de 0°, como se muestra en
la figura, la expresión es:
𝑨𝒎 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 + 𝜽
Con ωt = α = 0°, la magnitud esta determinada por 𝑨𝒎 𝐬𝐢𝐧 𝜽. Si la
forma de onda pasa a través del eje horizontal con una pendiente
de tendencia positiva después de 0°, como se muestra en la figura,
la expresión es:
𝑨𝒎 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 − 𝜽
Y en ωt = α = 0°, la magnitud es 𝑨𝒎 𝐬𝐢𝐧 −𝜽 , lo cual, mediante
una identidad trigonométrica, es −𝑨𝒎 𝐬𝐢𝐧 𝜽.
Si la forma de onda cruza el eje horizontal con una pendiente de
tendencia positiva de 90° (π/2) antes, como se muestra en la
figura, se denomina onda cosenoidal; es decir,
𝝅
𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 + 𝟗𝟎° = 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 +
= 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕
𝟐
O bien
𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 = 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 − 𝟗𝟎° = 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 −
𝝅
𝟐
Los términos adelantar y retrasar se utilizan para indicar la
relación entre dos formas de onda senoidales de la misma
frecuencia graficadas sobre el mismo conjunto de ejes. En la
curva del coseno se dice que adelanta a la curva del seno por
90°, y la curva del seno se dice que se retrasa con respecto a la
curva del coseno por 90°. Los 90° son referidos como el ángulo
de fase entre las dos formas de onda.
Además, se debe tener presente que:
sin −𝛼 = − sin 𝛼
cos −𝛼 = cos 𝛼
Si una expresión senoidal se presenta como:
𝑒 = −𝐸𝑚 sin 𝜔𝑡
el signo negativo estará asociado con la parte senoidal de la
expresión, no con el valor pico 𝐸𝑚 . En otras palabras, la
expresión, por conveniencia, deberá escribirse como:
𝑒 = 𝐸𝑚 (−sin 𝜔𝑡)
Corriente instantánea en elementos eléctricos,
resistivos, inductivos y capacitivos.
Resistor o resistencia.
Para frecuencias de líneas de alimentación y
frecuencias de hasta unos cientos de kilohertz, la
resistencia, para todo propósito practico, no es
afectada por la frecuencia del voltaje o la corriente
senoidales aplicados. Para esta región de frecuencia, el
resistor R de la figura puede manejarse como una
constante, y se podrá aplicar la ley de Ohm de la
siguiente forma. 𝑣 = 𝑉𝑚 sin 𝜔𝑡
𝒗 𝑽𝒎 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 𝑽𝒎
𝒊= =
=
𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 = 𝑰𝒎 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕
𝑹
𝑹
𝑹
Por lo mencionado en la diapositiva anterior, tenemos:
𝑽𝒎
𝑰𝒎 =
→ 𝑽𝒎 = 𝑰𝒎 𝑹
𝑹
para un elemento puramente resistivo, el voltaje y la corriente
a través del elemento se encuentran en fase, con sus valores
pico relacionados mediante la ley de Ohm.
Ejemplos:
1. Se indica el voltaje en un resistor. Encuentre la
expresión senoidal para la corriente si el resistor es
de 10Ω. Trace las curvas para v e i.
a) v =100 sen 377t
b) v =25 sen (377t+60)
2. Se proporciona la corriente a través de un resistor
de 5Ω. Encuentre la expresión senoidal para el
voltaje en el resistor para i = 40 sen (377t + 30°).
Inductor e Inductancia.
El voltaje en un inductor se relaciona directamente con
la razón de cambio de la corriente a través de la bobina.
Por consiguiente, a mayor frecuencia, mayor será la
razón de cambio de la corriente a través de la bobina, y
mas grande la magnitud del voltaje. Además, que la
inductancia de una bobina determinara la razón de
cambio del flujo de enlace de una bobina para un cambio
particular en la corriente a través de la misma. Mientras
mas alta sea la inductancia, mayor será la razón de
cambio de los enlaces del flujo y mayor el voltaje
resultante en la bobina.
Por lo que, el voltaje inductivo estará directamente
relacionado con la frecuencia (o, con mayor precisión,
con la velocidad angular de la corriente senoidal de ca
a través de la bobina) y con la inductancia de la bobina.
Para valores crecientes de f en la figura, la magnitud de
𝑣𝐿 se incrementará por lo mencionado anteriormente.
Dado que 𝑣𝐿 se incrementará tanto con 𝜔 = 2𝜋𝑓 y L,
como con L, la oposición de un elemento inductivo es
como se define en la figura.
Para el inductor
𝒅𝒊𝑳
𝒗𝑳 = 𝑳
𝒅𝒕
y, al aplicar diferenciación,
𝒅𝒊𝑳
𝒅
=
𝑰𝒎 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 = 𝝎𝑰𝒎 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕
𝒅𝒕
𝒅𝒕
Por lo tanto, 𝒗𝑳 =
O bien:
Donde:
𝒅𝒊𝑳
𝑳
𝒅𝒕
= 𝑳 𝝎𝑰𝒎 𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 = 𝝎𝑳𝑰𝒎 𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕
𝒗𝑳 = 𝑽𝒎 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 + 𝟗𝟎°
𝑽𝒎 = 𝝎𝑳𝑰𝒎
La grafica de v e i en la figura muestra que:
L
L
para un inductor, vL adelanta a iL por 90°, o está retrasada con
respecto a vL por 90°.
Si un ángulo de fase esta incluido en la expresión
senoidal de iL, tal que como:
𝒊𝑳 = 𝑰𝒎 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 ± 𝜽
Entonces 𝒗𝑳 = 𝝎𝑳𝑰𝒎 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 ± 𝜽 + 𝟗𝟎
La oposición establecida por un inductor en una red de ca senoidal
podrá encontrarse ahora aplicando la ecuación:
𝒄𝒂𝒖𝒔𝒂
𝒄𝒂𝒖𝒔𝒂
𝑬𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐 =
→ 𝑶𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊ó𝒏 =
𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊ó𝒏
𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐
Sustituyendo variables se tiene
𝑽𝒎 𝝎𝑳𝑰𝒎
𝑶𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊ó𝒏 =
=
= 𝝎𝑳
𝑰𝒎
𝑰𝒎
Por lo cual, se puede concluir que la oposición establecida por un
inductor en la red senoidal de ca se relaciona directamente con el
producto de la velocidad angular (𝝎 = 𝟐𝝎𝒇) y la inductancia.
Al producto 𝝎𝑳 se le denomina reactancia (reacción) de un
inductor, la cual se simboliza 𝑋𝐿 y sus unidades son los ohms.
Y en su forma de ley de Ohm, se puede determinar con
𝑽𝒎
𝑿𝑳 =
(𝐨𝐡𝐦𝐬, 𝜴)
𝑰𝒎
Ejemplos:
1. Se proporciona la corriente que fluye a través de una
bobina de 0.1H. Determine la expresión senoidal
para el voltaje de la bobina. Trace las curvas v e i.
a) i =10 sen 377t
b) i =7 sen (377t-70°)
2. Se proporciona el voltaje que pasa a través de una
bobina de 0.5 H ¿Cuál es la expresión senoidal para
la corriente?
𝑣 = 100 sin 20𝑡
Capacitor o Capacitancia.
En redes capacitivas, el voltaje en el capacitor está
limitado por la razón a la que puede depositarse la carga
en, o liberarse por, las placas del capacitor durante las
fases de carga y descarga, respectivamente. Es decir, un
cambio instantáneo en el voltaje en un capacitor es
opuesto por el hecho de que existe un elemento de
tiempo requerido para depositar carga sobre (o liberar
carga desde) las placas de un capacitor, y 𝑽 = 𝑸/𝑪.
Dado que la capacitancia es una medida de la razón a la
que el capacitor almacena carga sobre sus placas,
“para un cambio particular en el voltaje en el
capacitor, a mayor valor de capacitancia, mayor será la
corriente capacitiva resultante”.
“para una capacitancia en particular, mientras mayor
sea la razón de cambio de voltaje en el capacitor, mayor
será la corriente capacitiva”.
La corriente de un capacitor, por tanto, esta relacionada
directamente con la frecuencia o, específicamente, con la
velocidad angular y con la capacitancia del capacitor. Un
incremento en cualquier cantidad dará por resultado un
incremento en la corriente del capacitor.
Como un incremento en la corriente corresponde a una
disminución en la oposición, e 𝒊𝑪 es proporcional a ω y
C, la oposición de un capacitor estará inversamente
relacionada con 𝝎 = 𝟐𝝅𝒇 y C.
Para el capacitor de la figura se tiene que:
𝑑𝑣𝐶
𝑖𝐶 = 𝐶
𝑑𝑡
Y aplicando diferenciación, se tiene que
𝑑𝑣𝐶
𝑑
=
𝑉𝑚 sin 𝜔𝑡 = 𝜔𝑉𝑚 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Por lo tanto
𝑑𝑣𝐶
𝑖𝐶 = 𝐶
= 𝐶 𝜔𝑉𝑚 cos 𝜔𝑡 = 𝜔𝐶𝑉𝑚 cos 𝜔𝑡
𝑑𝑡
o
𝑖𝐶 = 𝐼𝑚 sin 𝜔𝑡 + 90°
Donde
𝐼𝑚 = 𝜔𝐶𝑉𝑚
La grafica de v e i en la figura muestra que:
C
C
en un capacitor iC va 90° delante de vC, o vC va 90° detrás de iC.
Si el ángulo de fase esta incluido en la expresión senoidal para vC,
tal como:
𝑣𝐶 = 𝑉𝑚 sin 𝜔𝑡 ± 𝜃
entonces 𝑖𝐶 = 𝜔𝐶𝑉𝑚 sin 𝜔𝑡 ± 𝜃 + 90°
Aplicando
𝒄𝒂𝒖𝒔𝒂 𝑽𝒎
𝑽𝒎
𝟏
𝑶𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊ó𝒏 =
=
=
=
𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐 𝑰𝒎 𝝎𝑪𝑽𝒎 𝝎𝑪
A 𝟏Τ𝝎𝑳 se le denomina reactancia de un capacitor, la cual
se simboliza 𝑿𝑪 y se mide en ohms.
Y en su forma de ley de Ohm, se puede determinar con
𝟏
𝑽𝒎
𝑿𝑪 =
=
(𝐨𝐡𝐦𝐬, 𝜴)
𝝎𝑪 𝑰𝒎
Ejemplos.
1. A continuación, se proporciona el voltaje en un
capacitor de 1µF. ¿Cual es la expresión senoidal
para la corriente? Trace las curvas de i y v.
𝑣 = 30 sin 400𝑡
2. Se proporciona la corriente a través de un capacitor
de 100 µF. Encuentre la expresión senoidal para el
voltaje en el capacitor.
𝑖 = 40 sin 500𝑡 + 60°
0
