mecanica-de-materiales-ESFUERZO-DEFORMACION

3
1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable
Propiedades mecánicas
de los materiales
81
1
2
OBJETIVOS DEL CAPÍTULO
Después de haber estudiado los conceptos básicos del esfuerzo y la
deformación unitaria,1 en este capítulo se mostrará cómo puede relacionarse el esfuerzo con la deformación mediante el uso de métodos
experimentales para determinar el diagrama esfuerzo-deformación en
un material específico. Después, se analizará el comportamiento descrito por este diagrama para los materiales que se usan con mayor
frecuencia en ingeniería. Además, se estudiarán las propiedades mecánicas y otros ensayos relacionados con el desarrollo de la mecánica
de materiales.
3.1 Ensayos de tensión y compresión
La resistencia de un material depende de su capacidad para soportar una
carga excesiva sin presentar deformación o falla. Esta propiedad es inherente al propio material y debe determinarse mediante la experimentación.
Una de las pruebas más importantes a este respecto es el ensayo de tensión
o compresión. Aunque a partir de esta prueba se pueden establecer varias
propiedades mecánicas importantes de un material, se utiliza principalmente para determinar la relación entre el esfuerzo normal promedio y la
deformación normal promedio en muchos materiales de ingeniería como
metales, cerámicas, polímeros y materiales compuestos.
1
Para simplificar, en el resto del libro nos referiremos a la deformación unitaria sólo
como deformación.
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82
Capítulo 3 Propiedades mecánicas de los materiales
d0 � 0.5 pulg
1
L0 � 2 pulg
2
Figura 3-1
Figura
3-1
3
4
Probeta de acero típica con un medidor
(galga) de deformación cementado.
5
6
7
8
Para realizar un ensayo de tensión o compresión, se fabrica una probeta del material con forma y tamaño “estándar”. La probeta tiene una sección transversal circular constante con extremos más grandes, de modo
que la falla no se produzca en las empuñaduras. Antes de realizar el ensayo, con la ayuda de un punzón, se hacen dos pequeñas marcas sobre la
longitud uniforme de la probeta. Se hacen mediciones tanto del área de
la sección transversal inicial de la probeta, A0, como de la longitud calibrada L0 entre las marcas. Por ejemplo, cuando se utiliza una probeta de
metal en un ensayo de tensión, por lo general ésta tiene un diámetro inicial d0 = 0.5 pulg (13 mm) y una longitud calibrada L0 = 2 pulg (50 mm),
figura 3-1. A fin de aplicar una carga axial sin que la probeta se flexione,
los extremos suelen asentarse en las juntas de rótula. Después se utiliza
una máquina de ensayos como la que aparece en la figura 3-2 para estirar la probeta a una velocidad lenta y constante hasta que ésta falla. La
máquina está diseñada para leer la carga que se requiere para mantener
este estiramiento uniforme.
Durante la prueba se registran los datos de la carga aplicada P a intervalos frecuentes, la información se lee en la pantalla de la máquina o
se toma de un lector digital. Además, se mide el alargamiento d = L - L0
entre las marcas hechas en la probeta utilizando un calibrador o bien
un dispositivo óptico o mecánico llamado extensómetro. Este valor de
d (delta) se utiliza para calcular la deformación normal promedio en la
probeta. Sin embargo, en ocasiones esta medida no se toma porque también es posible leer la deformación de manera directa mediante un medidor de deformación de resistencia eléctrica similar al que se muestra
en la figura 3-3. La operación de este medidor se basa en el cambio en la
resistencia eléctrica de un alambre u hoja de metal muy delgada que se
encuentra bajo deformación. En esencia, el medidor se adhiere o cementa a lo largo de la probeta. Si el pegamento es muy fuerte en comparación con el medidor, entonces éste formará en efecto parte integral de la
probeta, de modo que cuando la muestra se deforma en la dirección del
medidor, el alambre y la probeta experimentarán la misma deformación.
Al medir la resistencia eléctrica del alambre, el medidor puede calibrarse
para leer los valores de deformación normal de manera directa.
cabezal
superior
móvil
carátula
de carga
9
probeta
de tensión
controles
del motor
y de la carga
10
11
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Medidor de deformación
de resistencia eléctrica
Figura
Figura 3-2
3-2
Figura 3-3
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3.2 Diagrama de esfuerzo-deformación
3.2 Diagrama de esfuerzo-deformación
1
Para la realización de los ensayos, no es posible preparar una probeta que
coincida con los tamaños A0 y L0 de cada elemento estructural. En su lugar, los resultados de los ensayos deben reportarse de manera que puedan
aplicarse a un elemento de cualquier tamaño. Para lograr este objetivo, los
datos de la carga y la deformación correspondiente se utilizan para calcular distintos valores del esfuerzo y las correspondientes deformaciones
en la probeta. La representación gráfica de los resultados produce una
curva llamada diagrama esfuerzo-deformación. Por lo general, hay dos
maneras de describir este diagrama.
Diagrama esfuerzo-deformación convencional. Se puede
determinar el esfuerzo nominal o de ingeniería al dividir la carga aplicada
P entre el área A0 de la sección transversal original de la probeta. En este
cálculo se supone que el esfuerzo es constante en la sección transversal y
en toda la longitud calibrada. Se tiene
s =
P
A0
(3-1)
Del mismo modo, la deformación nominal o de ingeniería se determina
de manera directa al leer el medidor de deformación, o al dividir el cambio
d en la longitud calibrada de la probeta entre la longitud calibrada original
L0 de la probeta. Aquí se supone que la deformación es constante a lo
largo de la región entre los puntos marcados. Por lo tanto,
P =
d
L0
(3-2)
Si los valores correspondientes de s y P se trazan de manera que el eje
vertical sea el esfuerzo y el eje horizontal sea la deformación, la curva resultante se llama diagrama de esfuerzo-deformación convencional. Sin
embargo, tenga en cuenta que dos diagramas de esfuerzo-deformación
para un material particular serán muy similares pero nunca exactamente
iguales. Esto se debe a que los resultados en realidad dependen de variables tales como la composición del material, imperfecciones microscópicas, la forma en que se fabrica, la rapidez con que se aplica la carga y la
temperatura durante la realización del ensayo.
A continuación se analizarán las características de la curva de esfuerzo-deformación convencional para el acero, un material que se usa de
manera frecuente para fabricar elementos estructurales y mecánicos.
Empleando el método descrito con anterioridad, el diagrama de esfuerzo-deformación característico para el ensayo de acero es el que se muestra en la figura 3-4. A partir de esta curva se pueden identificar cuatro
diferentes formas en que se comporta el material, en función de la deformación inducida en éste.
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83
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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84
Capítulo 3 Propiedades mecánicas de los materiales
s
1
esfuerzo de fractura verdadero
s¿f
esfuerzo
último
su
2
3
sf
sY
spl
límite de proporcionalidad
límite elástico
esfuerzo de cedencia
región cedencia
elástica
comportamiento elástico
4
endurecimiento
por deformación
estricción
esfuerzo
de fractura
P
comportamiento plástico
Diagramas de esfuerzo-deformación convencional y verdadero
para un material dúctil (acero) (no se presenta a escala)
Figura
Figura 3-4
3-4
5
6
7
8
9
10
11
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Comportamiento elástico. El comportamiento elástico del material
se produce cuando las deformaciones en la probeta están dentro de la región triangular (en gris claro) que se muestra en la figura 3-4. Aquí la curva
es en realidad una línea recta en la mayor parte de la región, de modo que
el esfuerzo es proporcional a la deformación. Se dice que el material contenido en esta región es elástico lineal. El límite superior del esfuerzo para
esta relación lineal se denomina límite de proporcionalidad, spl. Si el esfuerzo excede ligeramente el límite de proporcionalidad, la curva tiende a
doblarse y aplanarse como se muestra en la figura. Esto continúa hasta que
el esfuerzo alcanza el límite elástico. En este punto, si se retira la carga,
la probeta recuperará de nuevo su forma original. Sin embargo, el límite
elástico para el acero se determina en muy pocas ocasiones, debido que se
encuentra muy próximo al límite de proporcionalidad y, por lo tanto, es
muy difícil de detectar.
Cedencia. Un ligero aumento en el esfuerzo por encima del límite
elástico generará un rompimiento del material y ocasionará que éste se
deforme de manera permanente. Este comportamiento se denomina cedencia, y está indicado por la región rectangular (adyacente a la región
triangular) de la curva. El esfuerzo que causa la cedencia se llama esfuerzo
de cedencia o punto de cedencia, sY, y la deformación que se produce se
denomina deformación plástica. Aunque no se muestra en la figura 3-4,
para los aceros al bajo carbono o aceros laminados en caliente, el punto de
cedencia suele caracterizarse mediante dos valores. El punto de cedencia
superior ocurre primero, seguido de una disminución súbita de la capacidad de carga hasta el punto de cedencia inferior. Observe que después
de haber alcanzado el punto de cedencia, la probeta seguirá alargándose
(deformándose) sin ningún incremento en la carga, como se muestra en la
figura 3-4. Con frecuencia, cuando el material se encuentra en este estado
se dice que es perfectamente plástico.
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3.2 Diagrama de esfuerzo-deformación
85
Endurecimiento por deformación. Cuando termina la cedencia, la
1
probeta puede soportar un aumento de la carga, lo que resulta en una curva que asciende continuamente pero que se vuelve más plana hasta llegar
a un esfuerzo máximo conocido como esfuerzo último, su. Este incremento en la curva se llama endurecimiento por deformación y se identifica en
la figura 3-4 como la región curva más clara.
2
Estricción. Mientras la probeta se alarga hasta llegar al esfuerzo último, el área de su sección transversal se reduce. Esta reducción es bastante
uniforme en toda la longitud calibrada de la probeta; sin embargo, justo
después del esfuerzo último, el área de la sección transversal comenzará a
disminuir en una región localizada de la probeta. En consecuencia, suele
formarse una constricción o “cuello” en dicha región a medida que la probeta se alarga aún más, figura 3-5a. En la figura 3-4, esta región, debido a
la estricción, se indica en un tono más oscuro al final de la curva. Aquí el
diagrama esfuerzo-deformación tiende a curvarse hacia abajo hasta que la
probeta se rompe en el esfuerzo de fractura, sf , figura 3-5b.
Diagrama esfuerzo-deformación verdadero. En lugar de
emplear siempre el área de la sección transversal y la longitud originales
de la probeta para calcular el esfuerzo y la deformación (de ingeniería),
se podría utilizar el área de la sección transversal y la longitud reales de la
probeta en el instante en que se mide la carga. Los valores de esfuerzo y
deformación encontrados en estas mediciones se denominan esfuerzo
verdadero y deformación verdadera, y una gráfica de sus valores se llama
diagrama de esfuerzo-deformación verdadero. Este diagrama tiene la forma mostrada por una línea discontinua en la figura 3-4. Observe que los
diagramas s-P convencional y verdadero son prácticamente coincidentes
cuando la deformación es pequeña. Las diferencias entre los diagramas
comienzan a aparecer en el rango de endurecimiento por deformación,
donde la magnitud de la deformación se vuelve más significativa. En par­
ticular, existe una amplia divergencia dentro de la región de estricción.
Aquí puede verse en el diagrama s-P convencional que la probeta realmente soporta una carga decreciente, ya que A0 es constante en el cálculo
del esfuerzo de ingeniería, s = P>A0. Sin embargo, en el diagrama s-P
verdadero, el área real A dentro de la región de estricción siempre es decreciente hasta la fractura, s¿f , por lo que el material soporta en realidad un
esfuerzo creciente, ya que s = P>A.
3
4
Patrón
típico
queque
ocurre
en una
Patróndedeestricción
estricción
típico
ocurre
en
probeta
de acero
justo antes
la fractura.
una probeta
de acero
justode
antes
de la frac-
tura.
5
6
7
En
dede
acero
se observa
con con
claEnesta
estaprobeta
probeta
acero
se observa
ridad
la estricción
que ocurre
justo antes
su
claridad
la estricción
que ocurre
justodeanfalla.
Losu
anterior
ocasiona
una ocasiona
fractura típica
tes de
falla. Lo
anterior
una
de
“copa ytípica
cono”,
cual yescono”,
característica
de
fractura
de la
“copa
la cual es
los
materiales dúctiles.
característica
de los materiales dúctiles.
8
9
10
Falla de un
material dúctil
Estricción
(a)
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Figura 3-5
Figura 3-5
(b)
11
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86
Capítulo 3 Propiedades mecánicas de los materiales
1
2
3
4
5
6
Aunque los diagramas de esfuerzo-deformación verdadero y convencional son diferentes, la mayor parte del diseño de ingeniería se hace
para que el material soporte un esfuerzo dentro del rango elástico. Lo
anterior es para que la deformación del material no sea muy severa y
éste recupere su forma al retirarse la carga. La deformación verdadera hasta el límite elástico permanecerá lo suficientemente pequeña para
que el error al usar valores de ingeniería de s y P sea pequeño (aproximadamente 0.1 por ciento) en comparación con sus valores verdaderos.
Ésta es una de las principales razones por las que se usan diagramas de
esfuerzo-deformación convencionales.
Los conceptos anteriores se pueden resumir haciendo referencia a la
figura 3-6, donde se muestra un diagrama de esfuerzo-deformación convencional real para una probeta de acero de bajo carbono. Con el fin de
destacar los detalles, la región elástica de la curva se muestra en un tono
gris usando una escala de deformación exagerada, que se muestra en el
mismo tono gris. Al evaluar el comportamiento, se observa que el límite
de proporcionalidad se alcanza en spl = 35 ksi (241 MPa), donde Ppl =
0.0012 pulg>pulg, seguido de un punto de cedencia superior de (sY)u = 38
ksi (262 MPa), después se presenta el punto de cedencia inferior (sY)l =
36 ksi (248 MPa). El fin de la cedencia se produce con una deformación
PY = 0.030 pulg>pulg, ¡que es 25 veces mayor a la deformación en el límite
de proporcionalidad! A continuación, la probeta experimenta endurecimiento por deformación hasta llegar al esfuerzo último su = 63 ksi (434
MPa), después comienza a presentarse la estricción hasta que se produce
una fractura, sf = 47 ksi (324 MPa). Por comparación, la deformación a
la falla, Pf = 0.380 pulg>pulg, es ¡317 veces mayor que Ppl!
7
s(ksi)
su � 63
60
8
sf � 47
9
50
(sY)u � 38 40
(sY)l � 36
spl � 35 30
20
10
10
0.050 0.10
0.20
0.002
PY � 0.030 0.001
Ppl � 0.0012
11
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0.30
0.40
0.003
0.004
Pf � 0.380
P (pulg/pulg)
Diagrama de esfuerzo-deformación para el acero de bajo carbono
Figura
3-6 3-6
Figura
13/1/11 19:36:36
3.3 Comportamiento esfuerzo-deformación en materiales dúctiles y frágiles
87
3.3 Comportamiento esfuerzo-deformación
1
Los materiales pueden clasificarse como dúctiles o frágiles en función de
sus características esfuerzo-deformación.
2
en materiales dúctiles y frágiles
Materiales dúctiles. Cualquier material que pueda someterse a
grandes deformaciones antes de fracturarse se denomina material dúctil.
El acero de bajo carbono, como se ha dicho anteriormente, es un ejemplo
típico. Los ingenieros suelen elegir materiales dúctiles para el diseño porque son capaces de absorber los impactos o la energía, y si se sobrecargan,
por lo general presentan grandes deformaciones antes de fallar.
Una manera de especificar la ductilidad de un material es registrar su
porcentaje de elongación o porcentaje de reducción en área al momento
de la fractura. El porcentaje de elongación es la deformación a la fractura expresada en porcentaje. Por lo tanto, si la longitud calibrada original
de la probeta es L0 y su longitud a la fractura es Lf, entonces
Porcentaje de elongación =
Lf - L0
L0
1100%2
3
4
(3-3)
5
Como se observa en la figura 3-6, dado que Pf = 0.380, este valor sería de
38 por ciento para una probeta de acero de bajo carbono.
Otra manera de especificar la ductilidad es el porcentaje de reducción
de área. Está definida dentro de la región de estricción de la siguiente
manera:
A0 - Af
Porcentaje de reducción de área =
1100%2
(3-4)
A0
Aquí A0 es el área original de la sección transversal de la probeta y Af es
el área del cuello en el momento de la ruptura. El acero de bajo carbono
tiene un valor típico de 60 por ciento.
Además del acero, otros metales como el bronce, el molibdeno y el zinc
pueden presentar características dúctiles similares, puesto que también
experimentan un comportamiento elástico esfuerzo-deformación, ceden a
un esfuerzo constante, presentan endurecimiento por deformación y, finalmente, se produce en ellos una estricción hasta la fractura. Sin embargo,
en la mayoría de los metales la cedencia constante no se producirá más allá
del rango elástico. Un metal en el que se presenta esta situación es el aluminio. En realidad, el aluminio no suele tener un punto de cedencia bien
definido, por lo que la práctica aceptable consiste en definir una resistencia
a la cedencia mediante un procedimiento gráfico llamado método de corrimiento. Por lo general, se elige una deformación de 0.2 por ciento (0.002
pulg>pulg) y desde este punto sobre el eje P se dibuja una línea paralela a la
porción inicial recta del diagrama esfuerzo-deformación. El punto donde
esta línea interseca a la curva define la resistencia a la cedencia. En la figura 3-7 se muestra un ejemplo de la construcción de una gráfica para determinar la resistencia a la cedencia de una aleación de aluminio. Aquí puede
observarse que la resistencia a la cedencia es sYS = 51 ksi (352 MPa).
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6
7
8
s (ksi)
60
50
sYS � 51
40
9
30
20
10
10
P (pulg/
0.005
0.010 pulg)
0.002
(corrimiento Resistencia a la cedencia
para una aleación
0.2%)
de aluminio
11
Figura 3-7
13/1/11 19:36:37
88
Capítulo 3 Propiedades mecánicas de los materiales
s (ksi)
1
2.0
1.5
s (ksi)
2
sf � 22
20
1.0
B
�0.06 �0.05 �0.04 �0.03 �0.02 �0.01 A
0.5
0.01
3
P (pulg/pulg)
�20
2
4
6
8
10
Diagrama s-P para el caucho natural
P (pulg/pulg)
�40
�60
Figura 3-8
4
�80
�100
�120
C
5
Diagrama s-P para el hierro fundido gris
Figura 3-9
6
7
8
9
10
11
El concreto utilizado para fines estructurales debe probarse de forma rutinaria a
compresión para asegurar que proporciona la resistencia de diseño necesaria para
esta base de puente. Después de curarlos
durante 30 días, los cilindros de concreto
mostrados se prueban a compresión hasta
el esfuerzo último.
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Debe tenerse en cuenta que la resistencia a la cedencia no es una propiedad física del material, ya que se trata de un esfuerzo que causa una
deformación permanente específica en dicho material. Sin embargo, en
este libro se asumirá que la resistencia a la cedencia, el punto de cedencia,
el límite elástico y el límite de proporcionalidad coinciden a menos que
se indique lo contrario. Una excepción podría ser la del caucho natural,
que incluso no tiene un límite de proporcionalidad porque el esfuerzo y la
deformación no están linealmente relacionados. En vez de eso, como se
muestra en la figura 3-8, este material, conocido como un polímero, presenta un comportamiento elástico no lineal.
La madera suele ser un material moderadamente dúctil, por ello se
encuentra en diseños que responden sólo a cargas elásticas. Las características de resistencia de la madera varían mucho de una especie a otra, y
en cada una de ellas la resistencia depende del contenido de humedad, de
la edad y del tamaño, y de la disposición de los nudos en la madera. Como
éste es un material fibroso, sus características de tensión o compresión
son muy diferentes cuando está cargado en forma paralela o perpen­
dicular al grano. De manera específica, la madera se parte con mayor
faci­lidad cuando está cargada en tensión perpendicular a su grano y, por
consiguiente, las cargas de tensión están casi siempre destinadas a aplicarse paralelas al grano de los elementos de madera.
13/1/11 19:36:38
3.3
89
comportamiEnto EsfuErzo-dEformación En matErialEs dúctilEs y frágilEs
s (ksi)
(st)máx � 0.4
�0.0030 �0.0025�0.0020�0.0015�0.0010�0.0005
Falla por tensión
de un material frágil
(a)
P (pulg/pulg)
0 0.0005
2
�2
La compresión ocasiona
que el material se expanda
�4
(sc)máx � 5
(b)
Figura 3-10
Figura 3-10
Materiales frágiles. Los materiales que no presentan cedencia, o
que exhiben una muy pequeña, antes de la falla se conocen como materiales frágiles. El hierro fundido gris es un ejemplo, tiene un diagrama de
esfuerzo-deformación en tensión como el mostrado en la porción AB de la
curva de la figura 3-9. Aquí, la fractura en sf = 22 ksi (152 MPa) tuvo lugar
inicialmente en una imperfección o grieta microscópica y luego se propagó
con rapidez a través de la probeta, lo que causó una fractura completa.
Como la aparición de grietas iniciales en una probeta es bastante aleatoria,
los materiales frágiles no tienen un esfuerzo de fractura a la tensión bien
definido. En cambio, generalmente se reporta el esfuerzo de fractura a
la tensión promedio en un conjunto de ensayos observados. En la figura
3-10a se muestra la imagen típica de una probeta que falló.
En comparación con su comportamiento en tensión, los materiales
frágiles como el hierro fundido gris presentan una resistencia mucho mayor a la compresión axial, así lo evidencia la porción AC de la curva de la
figura 3-9. Para este caso, cualquier grieta o imperfección en la probeta
tiende a cerrarse y, a medida que la carga aumenta, el material suele expandirse o tomar forma de barril mientras las deformaciones se vuelven
mayores, figura 3-10b.
Al igual que el hierro fundido gris, el concreto se clasifica como un
material frágil y también tiene una capacidad baja de resistencia a la tensión. Las características de su diagrama de esfuerzo-deformación dependen en gran medida de la mezcla de concreto (agua, arena, grava y cemento) y el tiempo y temperatura de curado. En la figura 3-11 se muestra
un ejemplo típico de un diagrama de esfuerzo-deformación “completo”
para el concreto. Por inspección, su resistencia máxima a la compresión
es casi 12.5 veces superior a su resistencia a la tensión, 1sc2máx = 5 ksi
134.5 MPa2 frente a 1st2máx = 0.40 ksi 12.76 MPa2. Por esta razón, el concreto casi siempre se refuerza con barras o varillas de acero cuando está
diseñado para soportar cargas de tensión.
Puede establecerse de manera general que la mayoría de los materiales presentan comportamiento dúctil y frágil. Por ejemplo, el acero tiene
un comportamiento frágil cuando tiene un alto contenido de carbono y
dúctil cuando el contenido de carbono es reducido. Asimismo, a bajas
temperaturas los materiales se vuelven más duros y frágiles, mientras
que cuando la temperatura se eleva se vuelven más blandos y dúctiles.
Este efecto se muestra en la figura 3-12 para el plástico metacrilato.
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1
2
�6
3
Diagrama s-P para una mezcla
típica de concreto
Figura 3-11
Figura 3-11
4
5
6
El acero pierde rápidamente su resistencia
cuando se calienta. Por esa razón los ingenieros suelen exigir que los principales
elementos estructurales se aíslen en caso
de incendio.
7
s (ksi)
9
8
40� F
8
7
6
110� F
9
5
4
3
160� F
10
2
1
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
P (pulg/
pulg)
Diagramas s-P para un plástico metacrilato
11
Figura 3-12
13/1/11 19:36:40
90
Capítulo 3 Propiedades mecánicas de los materiales
1
2
3.4 Ley de Hooke
Como se señaló en la sección anterior, los diagramas de esfuerzo-deformación para la mayoría de los materiales de ingeniería presentan una relación
lineal entre el esfuerzo y la deformación dentro de la región elástica. En
consecuencia, un incremento en el esfuerzo ocasiona un aumento proporcional en la deformación. Este hecho fue descubierto por Robert Hooke
en 1676 mediante el uso de resortes y se conoce como la ley de Hooke.
Puede expresarse en forma matemática como
3
4
5
6
7
s = EP
(3-5)
Aquí E representa la constante de proporcionalidad, que se denomina módulo de elasticidad o módulo de Young, llamado así por Thomas Young
quien publicó un estudio sobre él en 1807.
La ecuación 3-5 en realidad representa la ecuación de la porción recta
inicial del diagrama de esfuerzo-deformación hasta el límite de proporcionalidad. Por otra parte, el módulo de elasticidad representa la pendiente de esta recta. Como la deformación es adimensional, a partir de
la ecuación 3-5, E tendrá las mismas unidades que el esfuerzo: psi, ksi o
pascales. Como ejemplo de su cálculo, considere el diagrama de esfuerzo-deformación para el acero que se muestra en la figura 3-6. Aquí, spl =
35 ksi y Ppl = 0.0012 pulg>pulg, de modo que
spl
35 ksi
E =
=
= 2911032 ksi
Ppl
0.0012 pulg>pulg
Como se muestra en la figura 3-13, el límite de proporcionalidad para
un tipo particular de aleación de acero depende de su contenido de carbono; sin embargo, la mayor parte de los grados de acero, desde el acero
s (ksi)
180
8
acero de resorte
(1% de carbono)
160
140
120
9
100
80
60
10
40
20
11
acero duro
(0.6% de carbono)
tratado térmicamente
acero de máquina
(0.6% de carbono)
acero estructural
(0.2% de carbono)
acero suave
(0.1% de carbono)
0.002 0.004 0.006 0.008 0.01
P (pulg/pulg)
Figura 3-13
Capitulo 03_Hibeeler.indd 90
13/1/11 19:36:41
91
3.4 Ley de Hooke
laminado más blando hasta el acero más duro para herramientas, tienen
casi el mismo módulo de elasticidad, en general aceptado como Eac =
29(103) ksi o bien 200 GPa. Los valores de E para otros materiales de
ingeniería comúnmente usados se tabulan con frecuencia en los códigos
de ingeniería y libros de referencia. Los valores representativos también
se presentan en la página final de este libro (al reverso de la contraportada). Vale la pena destacar que el módulo de elasticidad es una propiedad
mecánica que indica la rigidez de un material. Los materiales que son
muy rígidos, como el acero, tienen grandes valores de E [Eac = 29(103)
ksi o 200 GPa], mientras que los materiales esponjosos, como el caucho
vulcanizado, pueden tener valores bajos [Ec = 0.10 ksi o 0.70 MPa].
El módulo de elasticidad es una de las propiedades mecánicas más
importantes que se utilizan en el desarrollo de las ecuaciones que se presentan en este libro. Sin embargo, siempre se debe recordar que E puede
utilizarse sólo si el material tiene un comportamiento elástico lineal. Además, si la tensión en el material es mayor que el límite de proporcionalidad, el diagrama de esfuerzo-deformación deja de ser una línea recta y la
ecuación 3-5 ya no es válida.
1
2
s
3
B
A¿
A
carga
4
E
E
descarga
O
Endurecimiento por deformación. Si una probeta de material
dúctil como el acero se carga en la región plástica y después se descarga,
la deformación elástica se recupera a medida que el material regresa a su
estado de equilibrio. Sin embargo, la deformación plástica permanece y
en consecuencia el material presenta una deformación permanente. Por
ejemplo, cuando un alambre se dobla (plásticamente) rebotará un poco
(elásticamente) cuando se retire la carga; sin embargo, no regresará en su
totalidad a su posición original. Este comportamiento se puede ilustrar en
el diagrama de esfuerzo-deformación de la figura 3-14a. Aquí la probeta
primero se carga más allá de su punto de cedencia A hasta el punto A¿.
Como las fuerzas interatómicas deben superarse para alargar elásticamente la probeta, entonces estas mismas fuerzas jalan de nuevo los átomos
hacia su posición original cuando se retira la carga, figura 3-14a. En consecuencia, el módulo de elasticidad E es el mismo y, por ende, la pendiente
de la línea O¿A¿ es igual a la de la línea OA.
Si la carga se vuelve a aplicar, los átomos en el material serán desplazados de nuevo hasta que se produzca la cedencia en el esfuerzo A¿,
o cerca de él, y el diagrama de esfuerzo-deformación continuará en la
misma trayectoria que antes, figura 3-14b. Sin embargo, debe señalarse
que este nuevo diagrama de esfuerzo-deformación, definido por O¿A¿B,
ahora tiene un punto de cedencia mayor (A¿), a consecuencia
del endurecimiento por deformación. En otras palabras, el
material tiene ahora una región
elástica más grande aunque tiene menos ductilidad, una región
plástica más pequeña, que cuando estaba en su estado original.
región
plástica
región
elástica
P
O¿
5
(a)
deformación
permanente
recuperación
elástica
6
s
región
elástica
región
plástica
A¿
7
B
8
O
P
O¿
(b)
9
Figura 3-14
10
Este pasador fue hecho con una aleación
de acero endurecido; es decir, tiene un alto
contenido de carbono. Falló debido a la
fractura por fragilidad.
11
Este pasador fue hecho con una aleación de
acero endurecido, es decir, que tiene un alto
contenido de carbono. Falló debido a la
fractura por fragilidad.
Capitulo 03_Hibeeler.indd 91
13/1/11 19:36:42
92
Capítulo 3 Propiedades mecánicas de los materiales
3.5 Energía de deformación
1
A medida que un material se deforma debido a una carga externa, tiende
a almacenar energía internamente en todo su volumen. Como esta energía se relaciona con las deformaciones del material, se denomina energía
de deformación. Para obtener esta energía de deformación considere un
elemento de volumen de material tomado de una probeta para ensayos
a tensión. Se somete a un esfuerzo uniaxial como el mostrado en la figura 3-15. Este esfuerzo desarrolla una fuerza ¢F = s ¢A = s(¢x ¢y) en
las caras superior e inferior del elemento después de que el elemento de
longitud ¢z experimenta un desplazamiento vertical P ¢z. Por definición,
el trabajo se determina mediante el producto de la fuerza por el desplazamiento en la dirección de dicha fuerza. Como la fuerza se incrementa
de manera uniforme desde cero hasta su magnitud final ¢F cuando se ha
s
alcanzado el desplazamiento P ¢z, el trabajo realizado por la fuerza sobre el elemento es igual a la magnitud promedio de fuerza (¢F>2) por
el desplazamiento P ¢z. Este “trabajo externo” sobre el elemento es
equivalente al “trabajo interno” o energía de deformación almacenada
�z
en el elemento, suponiendo que no se pierde energía en forma de calor.
¢z =P ¢z.
En consecuencia, la energía de
deformación
¢U
is ¢U = 112 ¢U
¢F2esP ¢U
¢z == (112 ¢F)
s ¢xP ¢y2
1
1
s ¢x
¢x ¢y2
¢y) PP ¢z.
¢z. Como el volumen del elemento es ¢V = ¢x ¢y ¢z,
¢U is ¢U = 12�¢F2
P ¢z = (12 s
x
�y
¢U==112 s
sP¢x
¢V.
¢U is ¢U = 112entonces
¢F2 P ¢z
¢y2 P ¢z.
En
ciertas
aplicaciones,
resulta conveniente especificar la energía de
s
deformación por unidad de volumen del material. Esto se llama densiFigura 3-15
dad de la energía de deformación y puede expresarse como
2
3
4
5
6
u =
7
1 s2
(3-7)
2 E
Módulo de resiliencia. En particular, cuando el esfuerzo s alcanza
el límite de proporcionalidad, la densidad de la energía de deformación
calculada mediante la ecuación 3-6 o 3-7 se conoce como el módulo de
resiliencia, es decir,
u =
s
spl
ur
ur =
10
P
Ppl
11
(3-6)
Si el comportamiento del material es elástico lineal, entonces se aplica
la ley de Hooke, s = EP, y es posible expresar la densidad de la energía
de deformación elástica en términos del esfuerzo uniaxial como
8
9
¢U
1
= sP
¢V
2
Módulo de resiliencia ur
(a)
Figura 3-16
Capitulo 03_Hibeeler.indd 92
2
1
1 spl
splPpl =
2
2 E
(3-8)
A partir de la región elástica del diagrama de esfuerzo-deformación, figura
3-16a, observe que ur es equivalente al área triangular sombreada bajo el
diagrama. Físicamente, la resiliencia de un material representa su capacidad de absorber la energía sin experimentar ningún tipo de daño permanente.
13/1/11 19:36:44
93
3.5 Energía de deformación
Módulo de tenacidad. Otra propiedad importante de un material
s
1
es el módulo de tenacidad, ut. Esta cantidad representa toda el área bajo
el diagrama de esfuerzo-deformación, figura 3-16b y, por lo tanto, indica la
densidad de la energía de deformación del material justo antes de fracturarse. Esta propiedad se vuelve importante en el diseño de elementos que
se pueden sobrecargar de manera accidental. La aleación de metales también puede cambiar su resiliencia y tenacidad. Por ejemplo, al modificar el
porcentaje de carbono en el acero, los diagramas de esfuerzo-deformación
resultantes de la figura 3-17 muestran cómo pueden cambiarse los grados
de resiliencia y tenacidad.
ut
Capitulo 03_Hibeeler.indd 93
P
Módulo de tenacidad ut
3
(b)
Puntos importantes
• Un diagrama de esfuerzo-deformación convencional es importante en ingeniería porque proporciona un medio para obtener datos
acerca de la resistencia a la tensión o a la compresión de un material
independientemente de su tamaño físico o forma.
• El esfuerzo y la deformación de ingeniería se calculan usando el área de
la sección transversal y la longitud calibrada originales de la probeta.
• Un material dúctil, como el acero de bajo carbono, tiene cuatro distintos comportamientos cuando se somete a una carga. Éstos son el
comportamiento elástico, la cedencia, el endurecimiento por deformación y la estricción.
• Un material es elástico lineal si el esfuerzo es proporcional a la deformación dentro de la región elástica. Este comportamiento está descrito por la ley de Hooke, s = EP, donde el módulo de elasticidad E es
la pendiente de la línea.
• Los puntos más importantes en el diagrama de esfuerzo-deformación
son el límite de proporcionalidad, el límite elástico, el esfuerzo de cedencia, el esfuerzo último y esfuerzo de fractura.
• La ductilidad de un material puede especificarse mediante el porcentaje de elongación o el porcentaje de reducción de área de la probeta.
• Si un material no tiene un punto de cedencia definido, se puede especificar una resistencia a la cedencia mediante un procedimiento gráfico como el método de corrimiento.
• Los materiales frágiles, como el hierro fundido gris, no tienen una cedencia o es muy pequeña por lo que pueden fracturarse de manera súbita.
• El endurecimiento por deformación se utiliza para establecer un el
punto de cedencia más alto de un material. Esto se hace deformando
el material más allá de su límite elástico para después liberarlo de
la carga. El módulo de elasticidad permanece igual; sin embargo, la
ductilidad del material disminuye.
• La energía de deformación es la energía almacenada en un material
debido a su deformación. Esta energía por unidad de volumen se denomina densidad de la energía de deformación. Si se mide hasta el
límite de proporcionalidad, se conoce como el módulo de resiliencia,
y si se mide hasta el punto de fractura, se llama módulo de tenacidad.
Puede determinarse a partir del área bajo el diagrama s-P.
2
Figura 3-16 (cont.)
4
s
acero duro (0.6%
de carbono)
el más resistente
acero estructural
(0.2% de carbono)
el más tenaz
acero suave
(0.1% de
carbono)
el más dúctil
5
6
P
Figura 3-17
7
8
9
10
Esta
de de
nylon
presenta
un alto
Estaprobeta
probeta
nylon
presenta
ungrado
alto
de
tenacidad,
como puede
por la
grado
de tenacidad,
comoobservarse
puede observargran
estricción
ha ocurrido
antes de
se por
la granque
estricción
quejusto
ha ocurrido
lajusto
fractura.
antes de la fractura.
11
13/1/11 19:36:45
94
1
Capítulo 3 Propiedades mecánicas de los materiales
EJEMPLO
2
3.1
Un ensayo de tensión para una aleación de acero da como resultado el
diagrama de esfuerzo-deformación mostrado en la figura 3-18. Calcule
el módulo de elasticidad y la resistencia a la cedencia con base en un corrimiento del 0.2 por ciento. Identifique en la gráfica el esfuerzo último
y el esfuerzo de fractura.
s (ksi)
3
4
5
120
110
su � 108
100
sf � 90
80
70
sYS � 68
60
50
40
30
20
10
O
6
7
B
C
A¿
A
E
E
Pf � 0.23
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24
0.0008 0.0016 0.0024
0.0004 0.0012 0.0020
0.2%
SOLUCIÓN
P (pulg/pulg)
Figura 3-18
Módulo de elasticidad. Debemos calcular la pendiente de la porción inicial en línea recta de la gráfica. Usando la curva magnificada y
la escala mostrada en gris, esta línea se extiende desde el punto O hasta un punto estimado A, que tiene coordenadas aproximadas (0.0016
pulg>pulg, 50 ksi). Por lo tanto,
E =
8
A¿
50 ksi
= 31.211032 ksi
0.0016 pulg>pulg
Resp.
Observe que la ecuación de la línea OA es, entonces, s = 31.2(103)P.
Resistencia a la cedencia. Para un corrimiento de 0.2 por ciento,
9
10
se inicia con una deformación de 0.2 por ciento o 0.0020 pulg>pulg y se
extiende gráficamente una línea (discontinua) paralela a OA hasta que
interseca a la curva s-P en A¿. La resistencia a la cedencia es aproximadamente
sYS = 68 ksi
Resp.
Esfuerzo último. Se define mediante el pico de la gráfica s-P, que
es el punto B en la figura 3-18.
su = 108 ksi
Resp.
Esfuerzo de fractura. Cuando la probeta se deforma hasta un
máximo de Pf = 0.23 pulg>pulg, se fractura en el punto C. Por lo tanto,
11
Capitulo 03_Hibeeler.indd 94
sf = 90 ksi
Resp.
13/1/11 19:36:46
95
3.5 Energía de deformación
EJEMPLO
3.2
1
En la figura 3-19 se muestra el diagrama de esfuerzo-deformación para
una aleación de aluminio utilizada en la fabricación de partes de aeronaves. Si una probeta de este material se esfuerza hasta 600 MPa, determine la deformación permanente que queda en la probeta cuando ésta
se libera de la carga. Además, encuentre el módulo de resiliencia antes
y después de la aplicación de la carga.
2
SOLUCIÓN
3
Deformación permanente. Cuando la probeta se somete a la carga, se endurece por deformación hasta que se alcanza el punto B en el
diagrama s-P. La deformación aproximada en este punto es 0.023 mm/
mm. Cuando se retira la carga, el material se comporta siguiendo la
línea recta BC, que es paralela a la línea OA. Como ambas líneas tienen
la misma pendiente, la deformación en el punto C se puede determinar
en forma analítica. La pendiente de la línea OA es el módulo de elastis (MPa)
cidad, es decir,
450 MPa
E =
= 75.0 GPa
750
0.006 mm>mm
Del triángulo CBD requerimos
600
60011062 Pa
BD
9
;
75.0110 2 Pa =
E =
CD
CD
A
sY � 450
paralelas
CD = 0.008 mm>mm
300
Esta deformación representa la cantidad de deformación elástica
recuperada. Así que la deformación permanente, POC, es
POC = 0.023 mm>mm - 0.008 mm>mm
= 0.0150 mm>mm
Resp.
Módulo de resiliencia. Al aplicar la ecuación 3-8, se tiene*
B
F
6
O
C
D
0.01 0.02 0.03
PY � 0.006
0.023
POC
0.04
P (mm/mm)
7
Figura 3-19
8
Resp.
9
Resp.
NOTA: Por comparación, el efecto del endurecimiento por deformación del material ha ocasionado un aumento en el módulo de resiliencia; sin embargo, observe que el módulo de tenacidad para el material
ha disminuido porque el área bajo la curva original, OABF, es mayor
que el área bajo la curva CBF.
*En el Sistema Internacional de Unidades el trabajo se mide en joules, donde 1
J = 1 N # m.
Capitulo 03_Hibeeler.indd 95
5
150
Nota: Si las marcas de medición en la probeta estaban en un principio
separadas por 50 mm, después de que la carga se retira, estas marcas
estarán a una distancia de 50 mm + (0.0150)(50 mm) = 50.75 mm.
1
1
1ur2inicial = splPpl = 1450 MPa210.006 mm>mm2
2
2
= 1.35 MJ>m3
1
1
1ur2final = splPpl = 1600 MPa210.008 mm>mm2
2
2
= 2.40 MJ>m3
4
10
11
13/1/11 19:36:48
96
1
Capítulo 3 Propiedades mecánicas de los materiales
3.3
EJEMPLO
La barra de aluminio que se muestra en la figura 3-20a tiene una sección
transversal circular y está sometida a una carga axial de 10 kN. Según
la porción del diagrama de esfuerzo-deformación que se muestra en la
figura 3-20b, determine la elongación aproximada de la barra cuando se
aplica la carga. Considere que Eal = 70 GPa.
s (MPa)
2
56.6 60
50
sY 40
3
F
20 mm
30
20
10
O
PBC
0.02
0.04
0.0450
A
15 mm
B
C
10 kN
10 kN
600 mm
0.06
400 mm
(a)
(b)
4
Figura 3-20
SOLUCIÓN
5
6
7
Para el análisis no se tomarán en cuenta las deformaciones localizadas
en el punto de aplicación de la carga y donde la sección transversal de la
barra cambia de manera repentina. (Estos efectos se analizarán en las
secciones 4.1 y 4.7.) El esfuerzo normal y la deformación son uniformes
a través de la sección media de cada segmento.
Para encontrar la elongación de la barra, primero se debe obtener
la deformación. Esto se realiza mediante el cálculo del esfuerzo, para
después usar el diagrama de esfuerzo-deformación. El esfuerzo normal dentro de cada segmento es
sAB =
1011032 N
P
= 31.83 MPa
=
A
p10.01 m22
sBC =
1011032 N
P
=
= 56.59 MPa
A
p10.0075 m22
8
Con base en el diagrama de esfuerzo-deformación, el material en
el segmento AB se deforma elásticamente puesto que sAB 6 sY = 40
MPa. Mediante la ley de Hooke,
9
10
11
Capitulo 03_Hibeeler.indd 96
PAB =
31.8311062 Pa
sAB
=
= 0.0004547 mm>mm
Eal
7011092 Pa
El material dentro del segmento BC se deforma plásticamente,
puesto que sBC 7 sY = 40 MPa. A partir de la gráfica, para sBC = 56.59
MPa, PBC L 0.045 mm>mm. Por lo tanto, la elongación aproximada de
la barra es
d = ©PL = 0.00045471600 mm2 + 0.04501400 mm2
= 18.3 mm
Resp.
13/1/11 19:36:50
97
3.5 Energía de deformación
problemas fundamentales
F3-1. Defina material homogéneo.
F3-2. Indique los puntos en el diagrama de esfuerzo-deformación que representan el límite de proporcionalidad y el
esfuerzo último.
s
A
1
F3-10. El material para la probeta de 50 mm de largo tiene
el diagrama de esfuerzo-deformación mostrado en la figura.
Si P = 100 kN, determine la elongación de la probeta.
F3-11. El material para la probeta de 50 mm de largo tiene
el diagrama de esfuerzo-deformación mostrado en la figura.
Si se aplica la carga P = 150 kN y después se retira, determine la elongación permanente de la probeta.
3
D
B C
2
E
P
20 mm
s (MPa)
P
F3-2
4
P
500
450
5
F3-3. Defina el módulo de elasticidad E.
F3-4. A temperatura ambiente, el acero de bajo carbono
es un material dúctil. ¿Verdadero o falso?
0.00225
6
P (mm/mm)
0.03
F3-10/11
F3-5. El esfuerzo y la deformación de ingeniería se calculan utilizando el área de la sección transversal y la longitud
reales de la probeta. ¿Verdadero o falso?
7
F3-6. A medida que la temperatura aumenta, el módulo de
elasticidad se incrementa. ¿Verdadero o falso?
F3-7. Una barra de 100 mm de longitud tiene un diámetro
de 15 mm. Si se aplica una carga axial a tensión de 100 kN,
determine el cambio en su longitud. E = 200 GPa.
F3-8. Una barra tiene una longitud de 8 pulg y un área
de sección transversal de 12 pulg2. Determine el módulo de
elasticidad de su material si está sometido a una carga axial
a tensión de 10 kip y se estira 0.003 pulg. El material tiene un
comportamiento elástico lineal.
F3-9. Una barra de latón de 10 mm de diámetro tiene un
módulo de elasticidad de E = 100 GPa. Si tiene una longitud
de 4 m y está sometida a una carga axial a tensión de 6 kN,
determine su elongación.
F3-12. Si la elongación del alambre BC es de 0.2 mm después de aplicar la fuerza P, determine la magnitud de P. El
alambre es de acero A-36 y tiene un diámetro de 3 mm.
8
C
P
300 mm
9
200 mm
A
B
400 mm
10
F3-12
11
Capitulo 03_Hibeeler.indd 97
13/1/11 19:37:13
98
1
2
Capítulo 3 Propiedades mecánicas de los materiales
P ROBLEMAS
•3-1. Un cilindro de concreto que tiene un diámetro de
6.00 pulg y una longitud calibrada de 12 pulg se prueba a
compresión. Los resultados del ensayo se reportan en la tabla de carga y contracción. Dibuje el diagrama de esfuerzodeformación mediante escalas de 1 pulg = 0.5 ksi y 1 pulg =
0.2 (10 - 3 ) pulg>pulg. A partir del diagrama, determine el
módulo de elasticidad aproximado.
3
Carga (kip)
Contracción (pulg)
0
5.0
9.5
16.5
20.5
25.5
30.0
34.5
38.5
46.5
50.0
53.0
0
0.0006
0.0012
0.0020
0.0026
0.0034
0.0040
0.0045
0.0050
0.0062
0.0070
0.0075
4
5
6
7
8
Prob. 3-1
3-2. En la tabla se presentan datos tomados de un ensayo
de esfuerzo-deformación para cierta cerámica. La curva es
lineal entre el origen y el primer punto. Grafique el diagrama y determine el módulo de elasticidad y el módulo de resiliencia.
3-3. En la tabla se presentan datos tomados de un ensayo
de esfuerzo-deformación para cierta cerámica. La curva es
lineal entre el origen y el primer punto. Grafique el diagrama y determine el módulo de tenacidad aproximado. El esfuerzo de ruptura es sr = 53.4 ksi.
9
10
S (ksi)
P (pulg/pulg)
0
33.2
45.5
49.4
51.5
53.4
0
0.0006
0.0010
0.0014
0.0018
0.0022
11
Probs. 3-2/3
Capitulo 03_Hibeeler.indd 98
*3-4. Un ensayo de tensión se realizó con una probeta que
tenía un diámetro original de 12.5 mm y una longitud calibrada de 50 mm. Los datos se presentan en la tabla. Grafique el
diagrama de esfuerzo-deformación y determine aproximadamente el módulo de elasticidad, el esfuerzo último y el
esfuerzo de fractura. Utilice una escala de 20 mm = 50 MPa
y 20 mm = 0.05 mm>mm. Trace de nuevo la región elástica
lineal, usando la misma escala de esfuerzo pero con una escala de deformación de 20 mm = 0.001 mm>mm.
3-5. Un ensayo de tensión se realizó con una probeta de
acero que tenía un diámetro original de 12.5 mm y una
longitud calibrada de 50 mm. Usando los datos que se presentan en la tabla, grafique el diagrama de esfuerzo-deformación y determine aproximadamente el módulo de tenacidad. Utilice una escala de 20 mm = 50 MPa y 20 mm =
0.05 mm>mm.
Carga (kN)
Elongación (mm)
0
11.1
31.9
37.8
40.9
43.6
53.4
62.3
64.5
62.3
58.8
0
0.0175
0.0600
0.1020
0.1650
0.2490
1.0160
3.0480
6.3500
8.8900
11.9380
Probs. 3-4/5
3-6. Una probeta tiene en un principio una longitud de
1 pie, un diámetro de 0.5 pulg y está sometida a una fuerza
de 500 lb. Cuando la fuerza se incrementa de 500 a 1800 lb,
la probeta se alarga 0.009 pulg. Determine el módulo de elasticidad para el material si éste se mantiene elástico lineal.
3-7. Un elemento estructural de un reactor nuclear está fabricado de cierta aleación de circonio. Si el elemento debe
soportar una carga axial de 4 kips, determine el área reque­
rida para su sección transversal. Use un factor de seguridad
de 3 respecto a la cedencia. ¿Cuál es la carga sobre el elemento si tiene 3 pies de largo y su elongación es de 0.02 pulg?
Ecr = 14(103) ksi, sY = 57.5 ksi. El material tiene un comportamiento elástico.
13/1/11 19:37:14
99
3.5 Energía de deformación
*3-8. El puntal está soportado por un pasador en C y un
alambre AB de retenida de acero A-36. Si el alambre tiene
un diámetro de 0.2 pulg, determine cuánto se estira cuando
la carga distribuida actúa sobre el puntal.
3-10. En la figura se muestra el diagrama de esfuerzo-deformación para una aleación metálica que tiene un diámetro
original de 0.5 pulg y una longitud calibrada de 2 pulg. Determine aproximadamente el módulo de elasticidad para el
material, la carga sobre la probeta que causa la cedencia y la
carga última que soportará la probeta.
3-11. En la figura se muestra el diagrama de esfuerzo-deformación para una aleación metálica que tiene un diámetro
original de 0.5 pulg y una longitud calibrada de 2 pulg. Si la
probeta se carga hasta un esfuerzo de 90 ksi, determine el
tamaño aproximado de la recuperación elástica y el incremento en la longitud calibrada después de retirar la carga.
A
*3-12. En la figura se muestra el diagrama de esfuerzodeformación para una aleación metálica que tiene un diámetro original de 0.5 pulg y una longitud calibrada de 2 pulg.
Determine aproximadamente el módulo de resiliencia y el
módulo de tenacidad para el material.
60�
200 lb/pie
1
2
3
4
B
C
9 pies
5
s (ksi)
Prob. 3-8
105
90
75
6
60
45
•3-9. En la figura se muestra el diagrama s-P para un conjunto de fibras de colágeno de las que está compuesto un
tendón humano. Si un segmento del tendón de Aquiles en
A tiene una longitud de 6.5 pulg y un área aproximada en su
sección transversal de 0.229 pulg2, determine su elongación
si el pie soporta una carga de 125 lb, lo que provoca una
tensión en el tendón de 343.75 lb.
30
15
0
7
0
0
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007
P (pulg/pulg)
Probs. 3-10/11/12
8
s (ksi)
4.50
A
3.75
•3-13. Una barra con una longitud de 5 pulg y un área de
sección transversal de 0.7 pulg2 se somete a una fuerza axial
de 8000 lb. Si la barra se extiende 0.002 pulg, determine el
módulo de elasticidad del material. Éste tiene un comportamiento elástico lineal.
3.00
9
10
2.25
1.50
125 lb
0.75
0.05
0.10
Prob. 3-9
Capitulo 03_Hibeeler.indd 99
P (pulg/pulg)
8000 lb
5 pulg
Prob. 3-13
8000 lb
11
13/1/11 19:37:17
100
1
2
Capítulo 3 Propiedades mecánicas de los materiales
3-14. El tubo rígido se sostiene mediante un pasador en A
y un alambre BD que es de acero A-36. Si el alambre tiene
un diámetro de 0.25 pulg, determine cuánto se estira al aplicar una carga de P = 600 lb sobre el tubo.
3-15. El tubo rígido se sostiene mediante un pasador en A
y un alambre BD que es de acero A-36. Si el alambre tiene
un diámetro de 0.25 pulg, determine la carga P si el extremo
C se desplaza 0.075 pulg hacia abajo.
3-17. Un ensayo de tensión se realizó sobre una probeta
hecha con una aleación de aluminio 2014-T6. En la figura
se muestra el diagrama de esfuerzo-deformación resultante.
Estime (a) el límite de proporcionalidad, (b) el módulo de
elasticidad y (c) la resistencia a la cedencia con base en una
deformación de 0.2 por ciento con el método de corrimiento.
3-18. Un ensayo de tensión se realizó sobre una probeta
hecha con una aleación de aluminio 2014-T6. En la figura
se muestra el diagrama de esfuerzo-deformación resultante. Estime (a) el módulo de resiliencia y (b) el módulo de
tenacidad.
3
s (ksi)
B
70
4
60
50
4 pies
P
A
5
40
30
D
C
3 pies
20
10
3 pies
0
Probs. 3-14/15
0.02
0.002
0.04
0.004
6
7
8
0.06
0.006
0.08
0.008
P (pulg/pulg)
0.10
0.010
Probs. 3-17/18
*3-16. Determine la elongación de la barra hueca cuadrada cuando se somete a la fuerza axial P = 100 kN. Si esta
fuerza axial se incrementa hasta P = 360 kN y después se
retira, determine la elongación permanente de la barra. Ésta
hecha de una aleación metálica que tiene un diagrama de
esfuerzo-deformación similar al mostrado en la figura.
3-19. En la figura se muestra el diagrama de esfuerzo-deformación para un hueso, el cual puede describirse mediante
la ecuación P = 0.45(10-6 ) s + 0.36(10-12) s3, donde s está
dada en kPa. Determine la resistencia a la cedencia suponiendo un corrimiento de 0.3 por ciento.
*3-20. En la figura se muestra el diagrama de esfuerzo-deformación para un hueso, el cual puede describirse mediante
la ecuación P = 0.45(10-6) s + 0.36(10-12) s3, donde s está
dada en kPa. Determine el módulo de tenacidad y el tamaño
de la elongación de una región de 200 mm de largo justo antes de la fractura, si la falla ocurre en P = 0.12 mm>mm.
9
s
(MPa)
P
500
s
600 mm
10
P
250
50 mm
5 mm
0.00125
0.05
P (mm/mm)
11
Prob. 3-16
Capitulo 03_Hibeeler.indd 100
50 mm
5 mm
P
0.45(10 6)s + 0.36(10
P
12
)s 3
P
P
Probs. 3-19/20
13/1/11 19:37:19
101
3.5 Energía de deformación
•3-21. En la figura se muestra el diagrama de esfuerzo-deformación para una resina de poliestireno. Si la viga rígida
se sostiene por medio del puntal AB y el poste CD, ambos
hechos de este material, y se somete a una carga de P = 80
kN, determine el ángulo de inclinación de la viga cuando se
aplica la carga. El diámetro del puntal es de 40 mm y el del
poste es de 80 mm.
3-22. En la figura se muestra el diagrama de esfuerzo-deformación para una resina de poliestireno. Si la viga rígida se
sostiene por medio del puntal AB y el poste CD, ambos hechos de este material, determine la mayor carga P que puede
aplicarse a la viga antes de que se rompa. El diámetro del
puntal es de 12 mm y el del poste es de 40 mm.
3-23. Es posible reducir la rigidez del cloruro de polivinilo
mediante la adición de plastificantes. En la siguiente figura
se muestran los diagramas de esfuerzo-deformación para
tres tipos de material que presentan este efecto. Especifique
el tipo que debe usarse en la fabricación de una barra con
una longitud de 5 pulg y diámetro de 2 pulg, la cual debe
soportar al menos una carga axial de 20 kip y debe ser capaz
de estirarse hasta 14 de pulg.
1
2
3
s (ksi)
15
P
sin plastificar
10
4
copolímero
flexible
5
5
(plastificante)
B
P
0
0.10
0
0.20
0.30
2m
Prob. 3-23
P
A
P (pulg/
pulg)
6
C
0.75 m 0.75 m
D
0.5 m
*3-24. El diagrama de esfuerzo-deformación para muchas
aleaciones metálicas puede describirse de manera analítica mediante la ecuación de tres parámetros de RambergOsgood P = s>E + ksn, donde E, k y n se determinan a partir de
mediciones tomadas del diagrama. Con la ayuda del diagrama de esfuerzo-deformación mostrado en la figura, considere
E = 30(103) ksi y determine los otros dos parámetros k y n,
con esto obtenga una expresión analítica para la curva.
7
8
s (MPa)
100
95
compresión
80
70
60
80
50
60
tensión
40
32.2
20
0
0.01 0.02 0.03 0.04
Probs. 3-21/22
Capitulo 03_Hibeeler.indd 101
10
40
20
0
9
s (ksi)
P (mm/mm)
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
P (10–6)
11
Prob. 3-24
13/1/11 19:37:23