El movimiento armónico simple

1. Movimiento armónico simple
El movimiento armónico simple (se abrevia m.a.s.), también
denominado movimiento vibratorio armónico simple (abreviado
m.v.a.s.), es un movimiento periódico, oscilatorio y vibratorio en
ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza
recuperadora que es directamente proporcional al
desplazamiento pero en sentido opuesto. Y que queda descrito
en función del tiempo por una función armónica (seno o coseno).
Si la descripción de un movimiento requiriese más de una
función armónica, en general sería un movimiento armónico,
pero no un m.a.s.

En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que
realiza un m.a.s. oscila alejándose y acercándose de un punto,
situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que su
posición en función del tiempo con respecto a ese punto es una
sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la
partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho
punto y dirigida hacia éste
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE




Definición: es un movimiento vibratorio bajo la acción de
una fuerza recuperadora elástica, proporcional al desplazamiento y en
ausencia de todo rozamiento.
Solemos decir que el sonido de una determinada
nota musical se representa gráficamente por la función seno. Ésta
representa un movimiento vibratorio llamado movimiento armónico
simple, que es aquel que se obtiene cuando los desplazamientos del
cuerpo vibrante son directamente proporcionales a las fuerzas causantes
de este desplazamiento. Un ejemplo de este movimiento se puede
encontrar a partir del desplazamiento de un punto cualquiera alrededor
de toda la longitud de una circunferencia.
Cuando un punto (P) recorre una circunferencia con velocidad uniforme,
su proyección (Q) sobre cualquiera de los diámetros de esta, realiza un
tipo de movimiento armónico simple. Cada vez que el punto se
encuentre en uno de los cuatro cuadrantes de la circunferencia, se
trazará una perpendicular desde el punto a un diámetro fijo de la
circunferencia. A medida que el punto escogido se mueve a velocidad

uniforme, el punto proyectado en el diámetro, realizará un movimiento
oscilatorio rectilíneo.
Para representar gráficamente (en una función) el movimiento armónico
simple de un punto, se toman como abscisas los tiempos medidos como
fracciones del período (T/12, T/6, T/4...) que es el tiempo que este
punto tarda en dar una vuelta completa a la circunferencia; y como a
ordenadas las sucesivas prolongaciones del mismo. La resultante es una
sinusoide, ya que la variación del tiempo t, se traduce como una
variación del sin x, donde x es el ángulo que forma el radio con el semieje positivo de abscisas (x es proporcional al tiempo
1. SUS ELEMENTOS SON:
1. Oscilación o vibración: es el movimiento realizado desde cualquier
posición hasta regresar de nuevo a ella pasando por las posiciones
intermedias.
2. Elongación: es el desplazamiento de la partícula que oscila desde la
posición de equilibrio hasta cualquier posición en un instante dado.
3. Amplitud: es la máxima elongación, es decir, el desplazamiento
máximo a partir de la posición de equilibrio.
4. Periodo: es el tiempo requerido para realizar una oscilación o
vibración completa. Se designa con la letra "T".
5. Frecuencia: es el número de oscilación o vibración realizadas en la
unidad de tiempo.
6. Posición de equilibrio: es la posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta sobre la partícula
oscilante.
El movimiento armónico simple (m.a.s.), también denominado
movimiento vibratorio armónico simple (abreviado m.a.s.), es un
movimiento periódico que queda descrito en función del tiempo por una
función armónica (Seno o coseno). Si la descripción de un movimiento
requiriese más de una función armónica, en general sería un
movimiento armónico, pero no un m.a.s...
2. En la naturaleza hay muchos movimientos q se repiten a intervalos
iguales de tiempo, estos son llamados movimientos periódicos. En física
se idealizo un tipo de movimiento oscilatorio, en el q se considera q
sobre el sistema no existe la acción de las fuerzas de rozamiento, es
decir, no existe disipación de energía y el movimiento se mantiene
invariable, sin necesidad de comunicarle energía exterior a este. Este
movimiento se llama MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE (M.A.S.)
3. Para representar gráficamente (en una función) el movimiento
armónico simple de un punto, se toman como abscisas los tiempos
medidos como fracciones del período (T/12, T/6, T/4...) que es el
tiempo que este punto tarda en dar una vuelta completa a la
circunferencia; y como a ordenadas las sucesivas prolongaciones del
mismo. La resultante es una sinusoide, ya que la variación del tiempo t,
se traduce como una variación del sin x, donde x es el ángulo que forma
el radio con el semi-eje positivo de abscisas (x es proporcional al
tiempo).
(MAS) Un tipo corriente y muy importante de movimiento
oscilatorio es el movimiento armónico simple. Cuando se
desplaza un objeto de su posición de equilibrio, se pone en
marcha un movimiento armónico simple si existe una fuerza
restauradora que sea proporcional al desplazamiento.
Se dice que una partícula en movimiento a lo largo del eje x tiene un
movimiento armónico simple cuando su desplazamiento respecto al
equilibrio, x, varía con el tiempo según la relación
El movimiento armónico simple:
Es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un
lado y a otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada,
y en intervalos iguales de tiempo.
Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando
arriba y abajo (tal como puede verse en la figura. El objeto oscila
alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le
deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.
Es también, por ejemplo, el movimiento que realiza cada uno de los
puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibración;
pero, pongamos atención, no es el movimiento de la cuerda, sino el
movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir
en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es
el resultado del movimiento global y simultáneo de todos los puntos de
la cuerda.
Para deducir las ecuaciones que rigen este movimiento (unidimensional)
podemos ayudarnos de un movimiento auxiliar, bidimensional, un
movimiento circular uniforme (m.c.u.). Cuando tenemos un punto que
da vueltas uniformemente alrededor de una circunferencia, la
proyección sobre un eje (una sola dimensión) de ese punto describe un
m.a.s., lo que nos va a permitir deducirnos sus ecuaciones a partir del
movimiento circular (un movimiento auxiliar, bidimensional, que no es
armónico simple). Puede verse el ejemplo en la figura siguiente
MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE.
Una partícula que se mueve a lo largo del eje x, tiene un movimiento
armónico simple cuando su desplazamiento x desde la posición de
equilibrio, varía en el tiempo de acuerdo con la relación
x = Acos(ωt + δ )
donde A, ω, y δ son constantes del movimiento. Esta es una ecuación
periódica y se repite cuando ωt se incrementa en 2π radianes. Para dar
un significado físico a estas constantes, es conveniente graficar x en
función de t, como se muestra en la figura 11.1. La constante A se llama
amplitud del movimiento, es simplemente el máximo desplazamiento de
la partícula, ya sea en la dirección positiva o negativa de x. La constante
ω se llama frecuencia angular, el ángulo δ se llama ángulo o constante
de fase, y junto con la amplitud quedan determinados por el
desplazamiento y velocidad inicial de la partícula. Las constantes A y δ
nos dicen cual era el desplazamiento en el instante t = 0. La cantidad
(ωt + δ) se llama la fase del movimiento y es de utilidad en la
comparación del movimiento de dos sistemas de partículas.
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DEFINICIÓN del M.A.S. y CARACTERÍSTICAS
Conviene aclarar lo que significa periódico, oscilatorio y vibratorio para
entender porqué se aplica este término al movimiento armónico simple:
Resorte
Resorte
Movimiento periódico: Un movimiento se dice que es periódico cuando a
intervalos iguales de tiempo, todas las variables del movimiento
(velocidad, aceleración, etc.) toman el mismo valor. Ej. la Tierra
alrededor del Sol.
Movimiento oscilatorio: Es el movimiento periódico en el que la distancia
del móvil al centro de oscilación, pasa alternativamente por un valor
máximo y un mínimo. Ej. un péndulo.
Movimiento vibratorio: Es un movimiento oscilatorio que tiene su origen
en el punto medio y en cada vibración pasa por él. Las separaciones a
ambos lados a ambos lado del centro se llaman amplitud y son iguales.
Ej. una varilla que sujeta por un extremo a la que damos un impulso en
el otro. La varilla vibra.
El Movimiento vibratorio armónico simple -M.A.S- es: un movimiento
vibratorio.
La ecuación que determina la posición es una función matemática seno
o coseno y por ello se las denomina armónicas.
No se consideran las atenuaciones del medio por lo que al movimiento
así simplificado se le llama simple.
¿Cómo se origina el MAS?
Cuando separamos un resorte de su posición de equilibrio, estirándolo o
comprimiéndolo, adquiere un M.A.S al soltarlo. La fuerza recuperadora
de ese resorte, que varia según la distancia al centro, es la que genera
una aceleración, proporcional también a la elongación, la cual le confiere
ese movimiento de vaivén llamado M.A.S.
Todas las expresiones del M.A.S. de la fuerza, aceleración etc.,
contienen la función matemática senoidal o cosenoidal.
Cuando hablamos de movimiento la palabra adquiere diferentes
significados según el contexto, en física el movimiento es un fenómeno
físico que se define como todo cambio de posición en el espacio que
experimentan los cuerpos de un sistema con respecto a ellos mismos o
a otro cuerpo que se toma como referencia. De esos movimientos
existen algunos que se caracterizan por repetirse una y otra vez durante
todo el tiempo en que se produce, como por ejemplo el movimiento de
un columpio, el péndulo de un reloj, etc. Estos son llamados
movimientos periódicos cuando se repiten en iguales intervalos de
tiempo, ahora bien cuando ese movimiento periódico se realiza sin la
acción de fuerzas de rozamiento sobre el objeto se dice que es un
Movimiento Armónico Simple, en el presente trabajo de física se estarán
definiendo aspectos relacionados acerca de este tipo de movimiento
como son: definición, origen, principales maestros y ejemplos.
El movimiento armónico simple (se abrevia m.a.s.) es un movimiento
periódico de vaivén en ausencia de rozamiento, en el que un cuerpo
oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio, en intervalos
iguales de tiempo (constantes), producido por la acción de una fuerza
recuperadora directamente proporcional al desplazamiento, aplicada en
una dirección determinada pero en sentido opuesto. (Ejemplo: Péndulo,
resorte. Columpio)
Es considerado uno de los movimientos más importantes en la
Naturaleza, el movimiento armónico simple (MAS), es periódico,
oscilante, en torno a un punto, centro de oscilación. Por ejemplo: una
masa colgando de un resorte. Si estiramos el resorte y luego lo
soltamos, la masa empezará a subir y a bajar en un MAS.
El movimiento de un cuerpo es oscilatorio cuando el cuerpo efectúa
desplazamientos en uno y otro sentido alrededor de cierto punto fijo. El
movimiento armónico simple es un tipo especial de movimiento
oscilatorio. Podemos ver este tipo de movimiento en: el de un cuerpo
suspendido de un resorte, el de un péndulo oscilando con pequeña
amplitud y el del balancín de un reloj.
Un cuerpo experimenta un movimiento vibratorio u ondulatorio cuando
se desplaza varias veces a uno y otro lado de la posición fija que tenia
inicialmente.
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Galileo Galilei (1564-1642) estudio con detenimiento este fenómeno.
Para ello se ayudo de un péndulo, aparato que consta de un hilo y de
una esfera u otro cuerpo que está suspendido de él y oscila libremente.
Con sus experimentos Galileo descubrió los principios básicos del MAS.
El movimiento que describe el cuerpo recorre la misma trayectoria cada
determinado tiempo. Cuando un cuerpo con este movimiento se
desplaza, origina un movimiento ondulatorio.
Una onda es una perturbación que avanza o que se propaga en un
medio material o incluso en el vacío.
A pesar de la naturaleza diversa de las perturbaciones que pueden
originarlas, todas las ondas tienen un comportamiento semejante. El
sonido es un tipo de onda que se propaga únicamente en presencia de
un medio que haga de soporte de la perturbación. Los conceptos
generales sobre ondas sirven para describir el sonido, pero,
inversamente, los fenómenos sonoros permiten comprender mejor
algunas de las características del comportamiento ondulatorio.
Algunas clases de ondas precisan para propagarse de la existencia de un
medio material que, al igual que las fichas de dominó, haga el papel de
soporte de la perturbación; se denominan genéricamente ondas
mecánicas.
El sonido, las ondas que se forman en la superficie del agua, las ondas
en muelles o en cuerdas, son algunos ejemplos de ondas mecánicas y
corresponden a compresiones, deformaciones y, en general, a
perturbaciones del medio que se propagan a través suyo. Sin embargo,
existen ondas que pueden propasarse aun en ausencia de medio
material, es decir, en el vacío. Son las ondas electromagnéticas o
campos electromagnéticos viajeros; a esta segunda categoría
pertenecen las ondas luminosas.
MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
Por definición, decimos que una que partícula realiza un
movimiento armónico simple cuando su desplazamiento x
respecto de un origen de coordenadas está dado, en función del
tiempo, por la relación
x=A sen(wt+a)
La cantidad wt+a se denomina la fase, y por ello a es la fase
inicial; es decir, su valor para t=0. Aunque hemos definido el
movimiento armónico simple en función de una exprexión
senoidal, puede igualmente expresarse en función de una
expresión cosenoidal, el único cambio sería una diferencia de
fase de p/2. Como la función seno ( o coseno) varía entre -1 y 1,
el desplazamiento de la partícula varía entre x=-A y x=A. El
desplazamiento máximo se denomina amplitud del movimiento.
La función seno se repite cada vez que el ángulo aumenta en
2p. Por consiguiente el desplazamiento se repite despues de un
intervalo de tiempo 2p/w luego el movimiento armónico simple
es periódico, y su periodo es
T=2p/w
La frecuencia g, que es el número de oscilaciones por inidad de
tiempo, es
g=1/T
La velocidad de la partícula se obtiene sin más que derivar la
ecuación de la posición
v=dx/dt =w A cos(wt+a)
Y la aceleración
a=dv/dt=-w2A sen(wt+a)=-w2 x
Esta última ecuación indica que en el movimiento armónico
simple la aceleración es siempre proporcional y opuesta al
desplazamiento. El desplazamiento de una partícula que se
mueve con MAS puede también considerarse como la
componente x de un vector OP de módulo A, que rota alrededor
de O con velocidad angular w. La velocidad y la aceleración
pueden análogamente representarse por vectores rotantes OV y
OA de módulos wA y -w2A cuyas componentes sobre el eje x dan
la velocidad y aceleración de la partícula.
Dinámica Del Movimiento Armonico Simple
En el movimiento armónico simple la fuerza que actúa sobre el móvil es
directamente proporcional al desplazamiento respecto a su posición de
equilibrio, donde la fuerza es nula. Esta fuerza va siempre dirigida hacia
la posición de equilibrio y el móvil realiza un movimiento de vaivén
alrededor de esa posición.
F=-k, x
Un ejemplo de MAS sería el que realiza un objeto unido al extremo un
muelle, en ese caso k sería la constante de elasticidad del muelle.
Aplicando la segunda ley de newton tendríamos:
F=-k, x=m, aqquadRightarrowqquad a=frac{k}{m}x
Comparando esta ecuación y la que teníamos para la aceleración se
deduce:
omega^{2}=frac{k}{m}
Esta ecuación nos permite expresar el periodo (T) del movimiento
armónico simple en función de la masa de la partícula y de la constante
elástica de la fuerza que actúa sobre ella:
> T = 2 pi
sqrt{frac{m}{k}}>
La velocidad y aceleración de
la
partícula
obtenerse derivando respecto del tiempo la expresión
pueden
x(t) = A cos(omega t
+ phi),
.
Velocidad
La velocidad instantánea de un punto material que ejecuta un
movimiento armónico simple se obtiene por lo tanto derivando la
posición
respecto
al
tiempo:

(5)
v = frac{dx}{dt} = -omega
A sin(omega t + phi)

Aceleración
La aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al
tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad
respecto al tiempo:

(6)
> a(t) = frac{dv(t)}{dt} = -omega^2 A ,
cos(omega t + phi) = -omega^2 x(t), >
Amplitud y fase inicial
La amplitud
A
y la fase inicial
phi,
se pueden calcular a partir de las condiciones iniciales del movimento,
esto es de los valores de la elongación
x_{0}
y de la velocidad
v_{0}
iniciales.

(7)
> x_{0} = > A cosphi
qquadRightarrowqquad> x_{0}^2 =
A^{2} cos^{2} phi>

(8)
> v_{0} = > omega A sinphi qquadRightarrowqquad> v_{0}^{2} =
omega^{2} A^{2} sin^{2}phi qquadRightarrowqquad
frac{v_{0}^{2}}{omega^{2}} = > A^{2}sin^{2} phi>
Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos

(9)
> x_{0}^{2} + frac{v_{0}^{2}}{omega^{2}} = > A^{2}
(cos^{2} phi + sin^{2} phi) = A^{2}> qquadRightarrowqquad
> A = sqrt{x_{0}^{2} + frac{v_{0}^{2}}{omega^{2}}}>
Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos

(10)
> frac{v_0}{x_0}= > frac{omega
Asinphi}{Acosphi}=omegatanphi > qquad Rightarrow
qquadphi =arctanleft(frac{v_0}{omega x_0}right)>
Dinámica del movimiento armónico simple
En el movimiento armónico simple la fuerza que actúa sobre el móvil es
directamente proporcional al desplazamiento respecto a su posición de
equilibrio, donde la fuerza es nula. Esta fuerza va siempre dirigida hacia
la posición de equilibrio y el móvil realiza un movimiento de vaivén
alrededor de esa posición.

(11)
F=-k, x
Un ejemplo de MAS sería el que realiza un objeto unido al extremo un
muelle, en ese caso k sería la constante de elasticidad del muelle.
Aplicando la segunda ley de newton tendríamos:

(12)
F=-k, x=m, aqquadRightarrowqquad a=frac{k}{m}x
Comparando esta ecuación y la que teníamos para la aceleración (6) se
deduce:

(13)
omega^{2}=frac{k}{m}
Esta ecuación nos permite expresar el periodo (T) del movimiento
armónico simple en función de la masa de la partícula y de la constante
elástica de la fuerza que actúa sobre ella:

(14)
> T = 2 pi
sqrt{frac{m}{k}}>
Energía del movimiento armónico simple
Energía del movimiento armónico simple frente a la elongación.
Las fuerzas involucradas en un movimiento armónico simple
son centrales y, por tanto, conservativas. En consecuencia, se puede
definir un campo escalar llamado energía potencial (Ep) asociado a la
fuerza. Para hallar la expresión de la energía potencial, basta con
integrar la expresión de la fuerza (esto es extensible a todas las fuerzas
conservativas) y cambiarla de signo, obteniéndose:

(15)
E_p =
frac{1}{2}
kx^2
La energía potencial alcanza su máximo en los extremos de la
trayectoria y tiene valor nulo (cero) en el punto x = 0, es decir el punto
de equilibrio.
La energía cinética cambiará a lo largo de las oscilaciones pues lo hace
la velocidad:

(16)
E_{c}=frac{1}{2}m,
v^{2}
La energía cinética es nula en -A o +A (v=0) y el valor máximo se
alcanza en el punto de equilibrio (máxima velocidad Aω).

(17)
E_{c}^{max}=frac{1}{2}m,omega^{2}A^{2}
Como sólo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica (suma de
la energía cinética y potencial) permanece constante.

(18)
E_p + E_c =
E_m ,
Finalmente, al ser la energía mecánica constante, puede calcularse
fácilmente considerando los casos en los que la velocidad de la partícula
es nula y por lo tanto la energía potencial es máxima, es decir, en los
puntos
x = -A
y
x=A
. Se obtiene entonces que,

(19)
E_{m} = E_p^{max} +
0 = frac{1}{2} k A^{2}
O también cuando la velocidad de la partícula es máxima y la energía
potencial nula, en el punto de equilibrio
x=0

(20)
E_{m} = 0 + E_c^{max} =
frac{1}{2}
m,omega^{2}A^{2}
Ejemplos
Medición de masa en ingravidez
En condiciones de ingravidez no es posible medir la masa de un cuerpo
a partir de su peso. Sin embargo, se puede recurrir al principio del
movimiento armónico simple para realizar tal medición.
Para ello se instaló en la estación espacial Skylab un dispositivo
(experimento
M172[1[[http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_arm%C3%B3nico_si
mple#cite_note-0|]]] ) destinado a medir la masa de los tripulantes
consistente en una silla oscilante capaz de medir su periodo de
oscilación
T
electrónicamente. A partir de este dato, y conociendo la constante de
fuerza del resorte unido a la silla, es posible entonces calcular la masa
del individuo:

(21)
> T = 2 pi sqrt{frac{m}{k}} quad
Rightarrow quad m = left (
frac{T}{2 pi} right )^{2} k>
como le llamamos a un sistema real para que oscile durante un
largo tiempo aplicandole una fuerza externa?
ES LLAMADA OSCILACION FORZOSA PORQUE PARA QUE
RECUPERE LA ENERGIA PERDIDA EN EL ROZAMIENTO
APLICANDOLE UNA FUERZA EXTERNA.
Es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un
lado y a otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada,
y en intervalos iguales de tiempo.
Por ejemplo, es el caso de un cuerpo colgado de un muelle oscilando
arriba y abajo (tal como puede verse en la figura. El objeto oscila
alrededor de la posición de equilibrio cuando se le separa de ella y se le
deja en libertad. En este caso el cuerpo sube y baja.
Es también, por ejemplo, el movimiento que realiza cada uno de los
puntos de la cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibración;
pero, pongamos atención, no es el movimiento de la cuerda, sino el
movimiento individual de cada uno de los puntos que podemos definir
en la cuerda. El movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es
el resultado del movimiento global y simultáneo de todos los puntos de
la cuerda.
Para deducir las ecuaciones que rigen este movimiento (unidimensional)
podemos ayudarnos de un movimiento auxiliar, bidimensional, un
movimiento circular uniforme (m.c.u.). Cuando tenemos un punto que
da vueltas uniformemente alrededor de una circunferencia, la
proyección sobre un eje (una sola dimensión) de ese punto describe un
m.a.s., lo que nos va a permitir deducirnos sus ecuaciones a partir del
movimiento circular (un movimiento auxiliar, bidimensional, que no es
armónico simple). Puede verse el ejemplo en la figura siguiente
MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE.
Una partícula que se mueve a lo largo del eje x, tiene un movimiento
armónico simple cuando su desplazamiento x desde la posición de
equilibrio, varía en el
tiempo de acuerdo con la relación
x = Acos(ωt + δ )
donde A, ω, y δ son constantes del movimiento. Esta es una ecuación
periódica y se repite cuando ωt se incrementa en 2π radianes. Para dar
un significado físico a estas constantes, es conveniente graficar x en
función de t, como se muestra en la figura 11.1. La constante A se llama
amplitud del movimiento, es simplemente el máximo desplazamiento de
la partícula, ya sea en la dirección positiva o negativa de x. La constante
ω se llama frecuencia angular, el ángulo δ se llama ángulo o constante
de fase, y junto con la amplitud quedan determinados por el
desplazamiento y velocidad inicial de la partícula. Las constantes A y δ
nos dicen cual era el desplazamiento en el instante t = 0. La cantidad
(ωt + δ) se llama la fase del movimiento y es de utilidad en la
comparación del movimiento de dos sistemas de partículas.