Repartido N° 4. Geometría. Ángulos entre rectas y triángulos. IFD de Pando. Magisterio. Primer año. 2021 pág. 1 Comenzando con Geometría Euclidiana Plana La geometría comenzó siendo un conjunto de reglas y conocimientos obtenidos por la experiencia, usados por los constructores y medidores de terrenos. Luego se organiza en forma deductiva y es así que encontramos: - Los conceptos primitivos, son conceptos primarios que “no son posibles” de definir. - Los axiomas o postulados son proposiciones que serán admitidas como válidas, sin demostración y juntos forman un sistema axiomático que define una teoría matemática. - Los teoremas son proposiciones demostrables a partir de los axiomas u otra propiedades ya validadas. AXIOMAS DE EXISTENCIA Se reconoce la existencia un conjunto que llamaremos espacio, que contiene infinitos elementos llamados puntos. Anotaremos al espacio con la letra E, y a los puntos con letras mayúsculas. Los puntos del espacio se consideran agrupados en ciertos conjuntos parciales de puntos, llamados planos, cada uno de ellos con infinitos puntos. A los planos los anotaremos con letras griegas En cada plano se reconoce la existencia de subconjuntos estrictos llamados rectas, cada una de ellas con infinitos puntos. Anotaremos las rectas con letras minúsculas. AXIOMAS DE ENLACE E INCLUSIÓN Los puntos, rectas, y planos se enlazan por ciertas relaciones de posición que se detallan a continuación: • Para todo par de puntos distintos, existe y es única la recta a la cual pertenecen. Los puntos de una misma recta se dice que están alineados. • Dados tres puntos distintos, no alineados, existe y es único el plano al cual pertenecen. • Si dos puntos de una recta pertenecen a un plano, entonces la recta está incluida en dicho plano (Observar que todos los demás puntos de la recta también pertenecen al plano). DEFINICIÓN DE ALINEACIÓN: Dados tres o más puntos, diremos que están alineados si existe una recta a la cual pertenecen. Prof. María Caputi y Prof. Elisa Pereyra Repartido N° 4. Geometría. Ángulos entre rectas y triángulos. IFD de Pando. Magisterio. Primer año. 2021 pág. 2 POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO Las posiciones de todo par de rectas de un plano son: • Dos rectas son secantes, si tienen un solo punto en común. • Dos rectas son paralelas disjuntas, si no tienen puntos en común. • Dos rectas son paralelas coincidentes, si tienen todos sus puntos en común. En síntesis, dos rectas del plano solo pueden ser secantes o paralelas. Por eso también es posible definir rectas paralelas como dos rectas coplanares1 que no son secantes. Como caso particular de rectas secantes encontramos las rectas perpendiculares: S on aquellas rectas secantes, que forman 4 ángulos congruentes, y por tanto su amplitud es 9 0º. Cada uno de estos ángulos se llama ángulo recto. DEFINICIÓN DE SEMIRRECTA Dada una recta r y un punto A perteneciente a ella. El punto A determina en la recta r dos regiones. Una región es la formada por todos los puntos de la recta que están antes de A y la otra formada por todos los puntos que siguen a A. Llamamos semirrectas de origen A, al conjunto de los puntos formado por A y los de cada región en que quedó dividida la recta r. El punto A determina dos semirrectas en la recta r. Lo anotamos: [AC), se lee: “semirrecta de origen A al que pertenece el punto C.” [AB), se lee: “semirrecta de origen A al que pertenece el punto B” (marcada en rojo) Las semirrectas AB y AC se denominan semirrectas opuestas. DEFINICIÓN DE SEGMENTO Dados dos puntos A y B de una recta, llamamos segmento AB (anotamos [AB]) al conjunto formado por todos los puntos de dicha recta que siguen o coinciden con A y preceden o 1 rectas coplanares significa que son rectas que están incluidas en un mismo plano. Prof. María Caputi y Prof. Elisa Pereyra Repartido N° 4. Geometría. Ángulos entre rectas y triángulos. IFD de Pando. Magisterio. Primer año. 2021 pág. 3 coinciden con B (tomando el sentido en el cual A precede a B). A la recta que incluye a un segmento o a una semirrecta se le denomina recta sostén del segmento o de la semirrecta. Notas: Si A coincide con B, el segmento se denomina segmento nulo, y se limita a un punto. A y B se denominan extremos del segmento. [AB] es lo mismo que escribir [BA] DEFINICIÓN DE SEMIPLANO Dada una recta r de un plano. La recta r divide al plano en dos regiones, Región 1 y Región 2. El conjunto de puntos de la recta r y los de cada región en que divide al plano, se llaman semiplanos de borde r. (r,A) = Región 1 unión recta r Lo anotamos (r,A) y se lee: “semiplano de borde la recta r, al que pertenece el punto A”. Se cumple que: ● ● ● Todo punto no perteneciente a r pertenece a uno de los 2 semiplanos. El segmento que une 2 puntos (no pertenecientes a r) del mismo semiplano, no corta a r. El segmento que une 2 puntos de distintos semiplanos corta a r FIGURA GEOMÉTRICA Llamaremos figura a todo conjunto de puntos. Un punto, una recta, un segmento, etc., son figuras. Una figura se llama convexa si para todo par de puntos de dicha figura, el segmento que determinan, está incluido en la figura. Prof. María Caputi y Prof. Elisa Pereyra Repartido N° 4. Geometría. Ángulos entre rectas y triángulos. IFD de Pando. Magisterio. Primer año. 2021 Ejercicio1) pág. 4 Analiza si las siguientes figuras son o no convexas: DEFINICIÓN DE ÁNGULO CONVEXO Ejercicio 2) Actividad introductoria: Pinta uno de los semiplanos que determina la recta a. Dibuja luego otra recta b, secante con a, y pinta en otro color uno de los semiplanos que b determina. Las rectas a y b se cortan en el punto P. Prof. María Caputi y Prof. Elisa Pereyra Repartido N° 4. Geometría. Ángulos entre rectas y triángulos. IFD de Pando. Magisterio. Primer año. 2021 pág. 5 El conjunto doblemente coloreado recibe el nombre de ángulo convexo. El punto P, origen de las semirrectas, se llama vértice y a las semirrectas [PQ) y [PR), lados del ángulo. | ︿ Podemos nombrarlo: QP R Cuidado: cuando escribes , la letra del medio corresponde al vértice y las otras dos a puntos pertenecientes a cada uno de los lados. DEFINICIÓN DE ÁNGULOS CONSECUTIVOS, ADYACENTES Y OPUESTOS POR EL VÉRTICE Ángulos consecutivos: ángulos con un lado común y tal que ninguno de ellos está incluido en el otro. Ángulos adyacentes: ángulos con un lado común y los otros dos lados son semirrectas opuestas. Ángulos opuestos por el vértice: ángulos que cumplen que cada lado de uno es semirrecta opuesta a cada lado del otro. Obs.: los ángulos opuestos por el vértice son iguales. CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS ● ● ● ● ● ● Llamamos ángulo nulo a aquel cuyos lados son la misma semirrecta. Dicha semirrecta es el ángulo nulo. Un ángulo nulo es cualquier semirrecta, el origen coincide con el vértice y la semirrecta coincide con sus lados. Llamamos ángulo llano a cada uno de los semiplanos limitados por dos semirrectas opuestas. Ángulo completo es aquel cuyos lados son semirrectas coincidentes, siendo todos los puntos del plano interiores al ángulo. Es decir, el ángulo completo es un plano. Se denomina ángulo recto a aquel que es congruente (igual) con sus adyacentes. Se llama ángulo agudo a aquel cuya amplitud es menor que la amplitud del ángulo recto (90º). Llamamos ángulo obtuso a aquel que es mayor que un recto y menor que un llano. Prof. María Caputi y Prof. Elisa Pereyra Repartido N° 4. Geometría. Ángulos entre rectas y triángulos. IFD de Pando. Magisterio. Primer año. 2021 pág. 6 DEFINICIÓN DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Y COMPLEMENTARIOS Ángulos suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si la suma de las medidas de ambos mide igual que un ángulo llano. Ángulos complementarios: Dos ángulos son complementarios si la suma de las medidas de ambos mide igual que un ángulo recto. Para visualizar estos conceptos https://www.geogebra.org/m/AbpeHuyd ingresa al siguiente enlace de Geogebra: POLIGONAL Y POLÍGONO Línea Poligonal: Una línea poligonal está formada por varios segmentos consecutivos. Las líneas poligonales pueden ser abiertas o cerradas. Serán serán simples si no se intersecan a sí mismas. DEFINICIÓN DE POLÍGONO QUE TOMAREMOS EN ESTE CURSO Polígono es la figura unión de una poligonal cerrada simple y su interior. Los lados y vértices de la poligonal son los lados y vértices del polígono generado por esa poligonal. La poligonal es el contorno o frontera del polígono. Ejercicio 3) Visualiza el siguiente video para explorar diferentes polígonos y sus nombres. https://www.youtube.com/watch?v=fobhsYGab40 Ejercicio 4) ¿Cuáles de estas figuras son polígonos?¿Cuáles no? Ejercicio 5) Escribe los elementos de los polígonos, indicados por las flechas. Prof. María Caputi y Prof. Elisa Pereyra Repartido N° 4. Geometría. Ángulos entre rectas y triángulos. IFD de Pando. Magisterio. Primer año. 2021 pág. 7 Ejercicio 6) Nombra estos polígonos según su número de lados. Ejercicio 7) A) Busca los conceptos de ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante. B) Con el siguiente applets podrás visualizar igualdades entre ángulos como los de la parte A) .https://www.geogebra.org/m/K8hfEike C) Anota pares de ángulos iguales si las que están representadas son dos rectas paralelas (a) y (b) y una recta secante a ambas (t) D) Consolida lo aprendido. https://www.geogebra.org/m/TUY7xkKH PROPIEDAD ● Si las rectas a y b son paralelas entonces los ángulos alternos internos, los alternos externos y los correspondientes son iguales. ● Si los ángulos alternos internos, los alternos externos o los correspondientes son iguales entonces las rectas a y b son paralelas. Prof. María Caputi y Prof. Elisa Pereyra Repartido N° 4. Geometría. Ángulos entre rectas y triángulos. IFD de Pando. Magisterio. Primer año. 2021 pág. 8 Ejercicio 8) Hallar x en cada caso sabiendo que r y s son paralelas. Justifica tus cálculos y explica tus razonamientos. DEFINICIÓN DE TRIÁNGULO QUE TOMAREMOS EN ESTE CURSO Dados tres puntos no alineados A, B y C, llamaremos triángulo ABC y anotaremos Δ(ABC ) a la figura geométrica que resulta de la intersección de estos tres semiplanos: (AB, C); (AC,B) y (BC,A). Visualiza esta definición en el siguiente video sobre el triángulo: http://encuentro.gob.ar/programas/serie/8036/470 Algunas observaciones sobre esta definición: ● ● ● El triángulo se puede definir como un polígono de tres vértices, pero eso implica previamente haber aclarado qué es un polígono. La definición dada anteriormente es independiente de ella. Un triángulo no tiene diagonales, esto lo diferencia de los otros polígonos. Elementos del triángulo:los puntos A, B y C se llaman vértices del triángulo y los segmentos [AB], [BC] y [CA], son sus lados ︿ ︿ ︿ ︿ ︿ ︿ como: A , B y C si se nombra el triángulo. ● Los ángulos ABC , BCA y BAC se llaman ángulos interiores. También pueden indicarse ● Se llama ángulo exterior de un triángulo a cualquier ángulo adyacente a uno interior. PROPIEDAD DE DESIGUALDAD TRIANGULAR Ejercicio 9) Construir si es posible, usando regla y compás, los triángulos ABC según las medidas de sus lados: a. AB=5 cm, AC=2,5 cm, BC=2 cm b. AB=5cm, AC=3 cm, BC=2 cm c. AB=5cm, AC=6cm, BC=7cm A partir del ejercicio anterior completa el siguiente enunciado: “la medida de todo lado de un triángulo es menor que la suma de____________________________”. Esta condición recibe el nombre de_________________________ Prof. María Caputi y Prof. Elisa Pereyra Repartido N° 4. Geometría. Ángulos entre rectas y triángulos. IFD de Pando. Magisterio. Primer año. 2021 pág. 9 ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS 1. Suma de ángulos interiores: En todo triángulo se cumple que la suma de sus ángulos interiores es igual a un ángulo llano. Ejercicio 10) Escribir la justificación de la propiedad anterior. Utiliza este applet de GeoGebra que te puede guiar. https://www.geogebra.org/m/BkrrhJSz 2. Propiedad del ángulo exterior: La amplitud de ángulo exterior2 de un triángulo es igual a la suma las amplitudes de los dos ángulos interiores adyacentes a él. Un ángulo interior y exterior de triángulo son suplementarios, es decir, suman 180º. un de no un Ejercicio 11) Escribir la justificación de la propiedad. Utiliza el applet de GeoGebra que te puede ayudar. https://www.geogebra.org/m/bv7ahvrz Ejercicio 12) Visualiza con el siguiente applet la suma de los ángulos de exteriores del triángulo. https://www.geogebra.org/m/JSdN2Jnk Escribe una justificación de por qué la suma de los ángulos exteriores es 360°. Ejercicio 13) Calcule el valor de x en cada caso. Justifica tus cálculos y explica tus razonamientos. Ejercicio 14) Sabiendo que ABCD es un cuadrado y que CDE es un triángulo equilátero, calcule la medida x del ángulo AED. Explica tu razonamiento. Ejercicio 15) A)Explora la suma de los ángulos interiores a todo cuadrilátero. Puedes ayudarte con GeoGebra. B) ¿Qué propiedad puedes conjeturar? Recordemos que llamamos ángulo exterior de un triángulo al ángulo adyacente a uno de sus ángulos interiores. 2 Prof. María Caputi y Prof. Elisa Pereyra Repartido N° 4. Geometría. Ángulos entre rectas y triángulos. IFD de Pando. Magisterio. Primer año. 2021 pág. 10 C) Completa la frase: Toda diagonal de un cuadrilátero lo divide en dos _________________. D) Justifica la propiedad conjeturada en B) E) ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un pentágono? F) Completa la tabla Nombre del polígono Cantidad lados Triángulo 3 de Cantidad de triángulos Suma de las medidas que lo conforman los ángulos interiores del polígono. 1 180° 4 Pentágono 6 7 10 Eneágono n Otras propiedades válidas en todo triángulo: ● ● ● En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y recíprocamente, a mayor ángulo se opone mayor lado. La paralela a un lado de un triángulo trazada por el punto medio de otro de sus lados, corta al tercer lado en su punto medio. El segmento determinado por los puntos medios de los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y su medida es la mitad del mismo. CLASIFICACIONES DE TRIÁNGULOS Tradicionalmente los triángulos se clasifican atendiendo a dos criterios: 1. Según la medida de sus lados. Con este criterio se clasifican en: Equilátero- Triángulo con tres lados de igual medida. Isósceles- Triángulo con al menos dos de sus lados de igual medida. Escaleno- Triángulo con ningún par de lados de igual medida (tres lados desiguales). Observar que según esta clasificación los triángulos equiláteros son a la vez isósceles, lo que lleva a ver que esta clasificación no es una partición, se dice que no es particional o que es una clasificación jerárquica. 2. Según la amplitud de sus ángulos, particularmente comparándolos con el ángulo recto. Con este criterio se clasifican en: Prof. María Caputi y Prof. Elisa Pereyra Repartido N° 4. Geometría. Ángulos entre rectas y triángulos. IFD de Pando. Magisterio. Primer año. 2021 pág. 11 Acutángulo- Triángulo con ningún ángulo mayor o igual que un recto. Sus tres ángulos interiores son agudos. Triángulo Rectángulo- Triángulo con un ángulo interior recto. Obtusángulo- Triángulo con uno de sus ángulos interiores mayor que un recto, es decir, obtuso. Ejercicio 16) A)En un triángulo rectángulo, ¿cuánto mide la suma de los ángulos agudos? Justifica. B) Todo triángulo obtusángulo tiene dos ángulos agudos, ¿por qué? Ejercicios 17) Marcar con una cruz las celdas en las cuáles es posible que existan triángulos que cumplan ambas condiciones. Explicar. Triángulos Acutángulo Rectángulo Obtusángulo. Equilátero Isósceles Escaleno Ejercicio 18) En este momento sería importante que revises tus conocimientos sobre manejo de útiles geométricos (especialmente el uso del semicírculo). Para eso te sugerimos realizar algunas actividades por tu cuenta sobre este asunto, en la plataforma de Thatquiz o mirando videos en internet. Ejercicio 19) Trazar de ser posible triángulos que cumplan las siguientes especificaciones y escribir los pasos realizados para su construcción utilizado en cada caso. Clasificarlos según lados y ángulos. En caso de imposibilidad argumentar porque no se puede realizar el trazado. a) con un lado de 6 cm de longitud y los ángulos adyacentes de 120° y 30° respectivamente, b) un lado de 8 cm y los ángulos adyacentes de 45°, c) un ángulo de 60° y los lados adyacentes de 5 cm, un lado de 10 cm y los ángulos adyacentes de 15° y 25° respectivamente. Prof. María Caputi y Prof. Elisa Pereyra
