1.4 DESARROLLA LOS ELEMENTOS NECESARIOS PARA EL CÁLCULO DEL INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO Interés Simple VS Interés Compuesto El manejo de los tipos de interés tanto simples como compuestos generalmente son manejados con el fin de obtener o entregar una cierta cantidad a partir de una cantidad original, que se presta o se deposita, por lo regular en una institución bancaria, el interés es el que recibirá una persona que deposita en un banco sus ahorros y esta esperará recibir una cantidad más, como beneficio por parte del banco por depositar su dinero en él, ahora que si esta misma persona solicita un préstamo en lugar de guardar su dinero, el banco le cobrara una cantidad demás, por otorgarle dicho préstamo. Recordemos que el interés no es el precio del dinero, sino es el costo por el uso de éste durante un tiempo determinado. Interés simple A este tipo de interés se le llama así porque la tasa que se determine simplemente se le aplicara a la cantidad original, es decir que se calcula y se paga sobre un capital inicial que permanece invariable en un determinado periodo. Interés compuesto El interés compuesto representa el beneficio o utilidad de un capital inicial o principal muy parecido al interés simple, pero con la diferencia de que los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten, es decir que se suman al capital inicial, en este tipo de interés es donde surge la capitalización, produciendo un capital final, capital original o inicial más los intereses obtenidos durante el periodo determinado. Para calcular tanto el interés simple como el compuesto se utilizan algunos elementos como (para el interés compuesto existen algunos cambios): C.- es el capital o la cantidad de dinero inicial. i.- es el porcentaje o tasa de interés que se aplica a C, está expresado en “tanto por uno”, que quiere decir la tasa de % entre cien (tasa%/100). t.- es el tiempo durante el cual el dinero se encuentra prestado o depositado y genera intereses, y está expresado en años, meses o días. I.- representa el interés cobrado o pagado por el uso del capital durante el tiempo determinado. Ahora veamos cómo se obtiene el interés simple y compuesto de algunas cantidades: Para obtener el interés simple De acuerdo a lo antes redactado la formula seria la siguiente I=C·i·t I = C ·i (tasa%/100) · t (años) si la tasa anual se aplica por años I = C ·i (tasa%/100) · t (meses/12) si la tasa anual se aplica por meses I = C ·i (tasa%/100) · t (días/365) si la tasa anual se aplica por días Ejemplo de interés simple Si se invierte un capital de 20,000 pesos por 3 años ¿cuál sería el interés producido si la tasa anual es de 5%? C= $ 20,000 i= 5% 5/100= 0.05 t= 3 años Aplicamos esta fórmula ya que se calculara el interés en base a los años I = C ·i (tasa%/100) · t (años) I = 20,000 ·0.05·3 =3,000 el interés obtenido durante este tiempo serian 3,000 pesos Cuál sería el interés simple producido por 15,000 pesos durante 60 días a una tasa de interés anual del 10 %. I = C * i (tasa%/100) * t (días/365) I = 15,000 * 0.1 * 0.1644 =246.6 aquí el interés simple en 60 días es de 246.6 pesos Ahora que si deseamos conocer la cantidad inicial y solo conocemos el interés que en este caso es de 550 pesos, y la tasa de interés es del 3%, el procedimiento seria: I=C*i*t C= ? C= I / i X t C = 550 / .03 X 1 C = 550 / .03 = 18,333.3 la cantidad inicial o el capital original es de 18,333.33 pesos Y si solo conocemos la cantidad inicial y final, es decir que ya incluye los intereses, ¿Cómo podemos conocer la tasa de interés? Si invertimos 10,000 pesos y al finalizar un año nuestro capital es de 11,200 I = C ·i· t (años) Los intereses los podemos conocer mediante una resta 11,200-10-000= 1,200, entonces 1,200 = 10,000·i·1 i = 1,200 /10,000 X 1 i= 1,200 /10,000 i= .12 X 100 12% Para obtener el interés compuesto Para el cálculo del interés compuesto el procedimiento cambia solo un poco porque se utilizan algunos otros elementos, ya que se debe ir calculando la capitalización de los intereses, que como se menciona al inicio estos se suman al capital inicial, para esto podría utilizarse algo así como una formula base, digamos que es la esencia de lo que es el interés compuesto: Capital final (Cf) = capital inicial (C) más los intereses Y las siguientes variables S.- monto obtenido P.- capital o cantidad principal i.- tasa de interés n.- plazo de la inversión ya sea años, meses, días, En la siguiente tabla se maneja un ejemplo de la capitalización de los intereses, que para este ejemplo se maneja un 10% anual, capitalizable también anualmente: Año Depósito inicial Interés Saldo final 0 (inicio) $1.000.000 ($1.000.000 x 10% = ) $100.000 $1.100.000 1 $1.100.000 ($1.100.000 × 10% = ) $110.000 $1.210.000 2 $1.210.000 ($1.210.000× 10% = ) $121.000 $1.331.000 3 $1.331.000 ($1.331.000 × 10% = ) $133.100 $1.464.100 Como vemos los intereses se van calculando sobre la cantidad original más los intereses obtenidos en un año, parece algo fácil, pero ¿qué pasa cuando el interés anual es capitalizable por meses? En este caso utilizaremos la siguiente formula, que es la más recomendable para obtener el interés compuesto, sobre cualquier periodo de capitalización: S = P (1+ i) ⁿ Ejemplo de interés compuesto: En una cantidad de 100,000 pesos donde el interés anual es del 15% capitalizable de manera bimestral, (dos meses) de cuánto será el interés compuesto y el monto final: S= 100,000.00 (1+0.0125)² El número 2 exponencial representa los dos meses, es decir el periodo de capitalización Recordemos que para calcular los intereses, las tasas se pasan a decimales “un tanto por uno”: 15/100 = 0.15, hecho esto, se dividen entre 12 meses = 0.15 / 12 = 0.0125 El resultado sería, en dos meses el monto inicial aumento 2,515.63 pesos S= 100,000.00 (1.02515625) = $102,515.63 Para comprobar: Tasa 15% anual = 15/100 =0.15 /12= 0.0125 por cada mes 100,000 x 0,0125=1,250 +100,000= 101,250 x 0.0125= 1,265.63 +101,250 =102,515.63 ACTIVIDAD INTERES SIMPLE- INTERES COMPUESTO 1.- ELABORA UN CUADRO COMPARATIVO DE LOS CONCEPTOS INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO 2.- ENLISTA LOSELEMENTOS DEL INTERES SIMPLE Y SIGNIFICADO DE CADA UNO 3.- ¿CUÁL ES LA FÓRMULA PARA CALCULAR EL INTERES SIMPLE? 4.- ¿CÓMO NOS PUEDEN DAR EL ELEMENTO TIEMPO EN EL CALCULO DEL INTERES SIMPLE Y QUÉ OPERACIÓN SE REALIZA EN CADA CASO? 5.- ELABORA UNA CONCLUSIÓN PERSONAL DEL TEMA (10 RENGLONES) ACTIVIDAD LABORATORIO DE INTERES SIMPLE 1.-SI SE INVIERTE UN CAPITAL DE $ 55,000 POR 2 AÑOS ¿CUÁL SERÁ EL INTERES SIMPLE PRODUCIDO, SI LA TASA ANUAL DE INTERES ES DEL 7%? C= $ 55,000 I= 55,000 X .07 X 2 = 7,700 i= 7% = 7/ 100 = .07 t= 2 años I= c X i X t 2.- ¿ CUÁL SERÍA EL INTERES SIMPLE PRODUCIDO POR $ 138,000 DURANTE 90 DÍAS CON UNA TASA DE INTERES ANUAL DEL 18%? I= c . i . t c= 138,000 I= 138,000 X .18 X .2465 = 6,123.06 i= 18% 18 / 100 = .18 t= 90 dias 90/365= .2465 3.- ¿ CUÁL SERÍA EL INTERES SIMPLE PRODUCIDO DE $ 90,000 DURANTE 4 MESES A UNA TASA DE INTERES ANUAL DEL 10%? I= c . i . t c= 90,000 i = 10% 10/100= 0.10 t= 4 meses 4/12=.3333 I= 90,000 X .10 X .3333 = 2,999.7 4.- ¿CUÁL SERÍA LA CANTIDAD INICIAL , SI SOLO CONOCEMOS EL INTERES SIMPLE PRODUCIDO , QUE SON $ 790 Y LA TASA DE INTERES ES DEL 5%? c= I/i X t c= 790/ .05 X 1 c= 790/.05 c= 15,800 I= c . i .t 5.- SI TENEMOS LA CANTIDAD INICIAL DE $ 15,000 Y LA CANTIDAD FINAL DE $ 18,300 ¿CUÁL SERÍA LA TASA DE INTERES? c= 15,000 18,300 -15,000= 3,300 t= 1 I= 3,300 I= c . i . t i= I / c X t i= 3,300 / 15,000 X 1 i= 3,300 / 15,000 = .22 .22 X 100= 22% i= ¿? 6.- SI SE INVIERTE EN UN CAPITAL DE $ 150,000 POR 5 AÑOS ¿ CUÁL SERÍA EL INTERES PRODUCIDO , SI LA TASA ANUAL ES DEL 8%? 7.- ¿CUÁL SERÁ EL INTERES SIMPLE PRODUCIDO POR $ 215,000 DURANTE 60 DÍAS A UNA TASA DE INTERES ANUAL DEL 18%? 8.- ¿CUÁL SERÁ EL INTERES SIMPLE DE $ 73,000 DURANTE 5 MESES A UNA TASA DE INTERES ANUAL DEL 13%? 9.- ¿CUÁL SERÍA LA CANTIDAD INICIAL , SI DE INTERES SIMPLE ES $ 1,250 Y LA TASADE INTERES ES DEL 4%? 10.- SI TENEMOS COMO CANTIDAD INICIAL $ 40,000 Y COMO CANTIDAD FINAL $ 70,000 ¿CUÁL SERÁ LA TASA DE INTERES? EJERCICIOS DEL INTERES COMPUESTO 1.- UNA PERSONA ESTA OBLIGADA A SALDAR UNA DEUDA DE $ 50,000 DENTRO DE 3 AÑOS ¿CUANTO TENDRIA QUE INVERTIR HOY, CON UNA TASA DE INTERESCOMPUESTO DEL 6% ANUAL, PARA LLEGAR A DISPONER DE ESA CANTIDAD DENTRO DE 3 AÑOS Y CUMPLIR CON EL PAGO DE LA DEUDA? S= c(1 + i) n c= ¿? C= s / ( 1 + i )n S= 50,000 c= 50,000 / ( 1 + .06 ) 3 C= ? c= 50,000 / ( 1.06 ) 3 i= 6% 6 / 100 = .06 c= 50,000 / 1.191016 n= 3 años c= 41,981 2.- ¿CUÁL ES EL INTERES COMPUESTO DE $ 15,000 CON UNA TASA ANUAL DEL 4% DURANTE 5 AÑOS ? S= c(1 + i) n 18,250-15000= 3,250 S= 15,000 ( 1 + .04)5 S= 15,000 ( 1.04 ) 5 S= 15,000 ( 1.216652) S= 18,250 ACTTIVIDAD LABORATORIO DE INTERES COMPUESTO 1.- UNA PERSONA ESTA OBLIGADA A SALDAR UNA DEUDA DE $ 33,000, DENTRO DE 5 AÑOS ¿CUÁNTO TENDRÍA QUE INVERTIR HOY CON UN INTERES COMPUESTO DEL 7% ANUA, PARA LLEGAR A DISPONER DEESA CANTIDAD DENTRO DE 5 AÑOS Y CUMPLIR CON EL ADEUDO 2.- ¿CUÁL ES EL INTERES COMPUESTO DE $ 64,000 CON UNA TASA DEL 3% , DURANTE 4 AÑOS?
