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Equipo 141
Asesor
Horacio Colexcua García
Integrantes
Toledo Trejo Samuel
Garibay Treviño David Ulises
Gatica Islas Ana Laura
Díaz Lim Brenda Priscila
Regalado Cruz Carlos Arturo
Juego de azar interrumpido. Generalización.
En este escrito, expondremos una propuesta de un método general para resolver
problemas similares al problema original (“Juego de azar interrumpido”) que se
nos fue dado en la fase 1 del concurso, utilizamos éste y otro ejemplo dado por
nosotros para explicar gráficamente el procediemiento.
Antes de establecer un método para resolver determinado tipo de problemas, se
deben de identificar las condiciones en las que se dan.
Condiciones generales de los problemas similares al del “Juego de azar
interrumpido”:
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







Dos jugadores contienden en un juego de azar por un lote (“L”)
El juego consiste en sacar bolas de una urna que contiene n bolas negras y b
bolas blancas, donde n y b son números impares, no necesariamente
iguales.
Las bolas blancas y las bolas negras son exactamente iguales exceptuando el
color.
Las bolas son introducidas a una urna.
Los jugadores sacan bolas alternadamente.
El jugador que saque la primera bola será llamado jugador “A”, y el otro,
jugador “B”.
𝑛+1
El ganador del juego será el primer jugador que posea más bolas negras 2
y éste se llevará el lote completo L.
Una vez empezado el juego, éste se interrumpe debido a que la urna es
𝑛+1
destruida antes de que alguien gane, es decir, antes de que alguno posea 2
bolas negras.
Una vez interrumpido el juego, el lote L se quiere repartir de la manera más
justa entre A y B en relación a las probabilidades que cada uno poseyera de
ganar, en caso de haber continuado el juego. Esta repartición más justa del
lote entre los dos jugadores es la respuesta al problema.
Una vez establecidas las condiciones, podemos identificar las variables en las que
se enmarcan los problemas.
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

La cantidad de bolas negras en la urna, ¿es igual, mayor o menor que la de
blancas?
¿En qué turno se interrumpe el juego?
La cantidad de bolas negras y blancas que posee A (nA y bA), ¿es igual,
mayor o menor que las que posee B (nB y bB) al momento de la interrupción
del juego, respectivamente?
Ya establecidas las variables, podemos plantear una metodología general para
llegar a la respuesta de un problema en específico (en donde el valor de las
variables está definido).
Los pasos de la metodología propuesta son:
1.- Diseñar un diagrama de árbol teniendo en cuenta el turno en donde se
interrumpió el juego y separarlo verticalmente con base a las extracciones
alternadas realizadas por cada jugador.
2.- Identificar los eventos en donde gana A y donde gana B, respectivamente,
tomando en cuenta que el jugador que llegue a tener en un determinado momento
[(n+1)/2] bolas negras será el ganador del juego, dado que el otro jugador no
podrá tener más bolas negras que él. Una notación que se puede emplear es que a
los eventos que determinen que un jugador gane les llamaremos evento final (Ef )
y a los eventos anteriores a éste como E1, E2, E3,… Y así sucesivamente; Ei será
cualquier evento posible.
Éste es un ejemplo de cómo realizar un diagrama de árbol basándonos en la
situación del primer problema teniendo en cuenta que la situación inicial consta de
que hay 5 bolas negras y 5 bolas blancas y en el momento en el que se interrumpió
el juego, A tenía 2 bolas negras y 1 blanca y B tenía 1 bola negra y 1 blanca. Donde
el lote (L) en disputa son 100 monedas de oro (en casos generales puede ser
cualquier lote).
Éste es otro ejemplo sugerido por nosotros, donde la situación es que hay 3 negras
y 5 blancas, cuando se interrumpe el juego A tiene 1 bola negra y 1 bola blanca y B
tiene 1 bola negra. Donde el lote (L) en disputa son 100 monedas de oro (en casos
generales puede ser cualquier lote).
3.- Además del diseño del árbol y de identificar los puntos en donde un jugador
gana se deben calcular las probabilidades de sacar una bola negra o una blanca de
la urna en cada turno (a lo que llamaremos evento) teniendo en cuenta las bolas
que salieron anteriormente de acuerdo a la teoría de la probabilidad condicional
sin reemplazo, ya que la probabilidad de que un jugador saque cierto color de
bolas en un determinado turno, depende de las extracciones anteriores.
Para calcular las probabilidades de los eventos se pueden usar las siguientes
fórmulas que obtuvimos a partir de observar que conforme va aumentando el
número de extracciones, va disminuyendo el denominador de las probabilidades
expresadas como un cociente y a partir de observar que si antes se saca una bola
del mismo color, disminuye la probabilidad de que ese evento ocurra.
𝑃(𝐸𝑖 ) =
𝑛𝑟 − 𝑛𝑒
𝑏𝑟 + 𝑛𝑟 − 𝐸𝑡
ó
𝑃(𝐸𝑖 ) =
Donde
ne= número de bolas extraídas
Et = número de la extracción – 1
𝑏𝑟 − 𝑛𝑒
𝑏𝑟 + 𝑛𝑟 − 𝐸𝑡
nr= la cantidad de bolas negras restantes en la urna en el momento en el que el
juego se interrumpe
br= la cantidad de bolas blancas restantes en la urna en el momento en el que el
juego se interrumpe.
Segundo ejemplo (problema sugerido)
4.- Calcular la probabilidad que tiene cada evento de presentarse en el que gane
cualquier jugador (recomendamos que se calcule la del jugador que tenga menos
bolas negras), utilizando el principio multiplicativo, es decir, multiplicando todos
los eventos anteriores a Ef con éste y posteriormente sumar todos los eventos
finales donde el jugador que se eligió tiene la posibilidad de ganar.
Fórmula para calcular la probabilidad de cualquier evento final condicionado por
los eventos anteriores.
𝑃(𝐸𝑓𝑖 /𝐸1 𝐸2 … 𝐸𝑓𝑖−1 ) = 𝑃(𝐸1 ) ∗ 𝑃(𝐸2 ) ∗ 𝑃(𝐸3 ) ∗ … ∗ 𝑃(𝐸𝑓 )
Ésta fórmula, la pudimos obtener a partir de observar de los ejemplos que para
determina la probabilidad de que un jugador hubiera ganado en un evento final, se
necesita usar el principio multiplicativo para los eventos ocurridos con
anterioridad, es decir, el evento final está condicionado.
(cálculos de problemas)
5.- Calcular la probabilidad total de que gane el jugador elegido. Se puede usar esta
fórmula para calcular las probabilidades de cada jugador para ganar después de
haber calculado la probabilidad de cada uno de los eventos finales. En la siguiente
fórmula se eligió calcular las del jugador A.
𝑃(𝐴) = ∑𝑛𝑖=1 (𝑃(𝐸𝑓𝑖 )) = 𝑃(𝐸𝑓1 ) + 𝑃(𝐸𝑓2 ) + 𝑃 (𝐸𝑓3 ) + ⋯ + 𝑃(𝐸𝑓𝑛 )
Problema original
𝑛=2
3 2 2 1 1
2 3 2 1 1
2 3 1
𝑃(𝐵) = ∑ 𝑃(𝐸𝑓𝑖 ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( )
5 4 3 2 1
5 4 3 2 1
5 4 3
𝑖=1
12
12
6
1
1
1
3
=
+
+
=
+
+
=
120 120 60 10 10 10 10
Problema sugerido
𝑛=2
1 4
4 3 2 1
4
24
2
2
4
𝑃(𝐴) = ∑ 𝑃(𝐸𝑓𝑖 ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) =
+
=
+
=
4 5
5 4 3 2
20 120 10 10 10
𝑖=1
6.- Una vez obtenida la probabilidad total de que el jugador elegido gane, la
probabilidad total de que gane el otro jugador, se puede calcular simplemente
restándole a 1 la probabilidad total de que gane el jugador elegido, gracias a que en
probabilidad, la suma de las probabilidades de todos los eventos del espacio
muestral es igual a 1.
P(A)+P(B)=1
P(A)=1-P(B)
P(B)=1-P(A)
Problema original
𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐵) = 1 −
3
7
=
10 10
𝑃(𝐵) = 1 − 𝑃(𝐴) = 1 −
4
6
=
10 10
Problema sugerido
7.- Calcular la repartición más justa a partir de la probabilidad obtenida de que
cada jugador ganara o no.
La fórmula de repartición es multiplicar el lote (L) por la probabilidad de ganar de
cada jugador respectivamente. P(A) o P(B)
Problema original
Monto de A= L*P(A)= 100*(7/10)=70 monedas de oro
Monto de B= L*P(B)= 100*(3/10)=30 monedas de oro
Problema sugerido
Monto de A= L*P(A)= 100*(4/10)=40 monedas de oro
Monto de B= L*P(B)= 100*(6/10)=60 monedas de oro
Cuando en la urna hay igual cantidad de bolas negras que blancas, las
probabilidades de sacar una negra o una blanca respectivamente son iguales.
Conclusiones.
En base a las observaciones que realizamos de los ejemplos aquí expuestos y otros
muchos que realizamos, pudimos llegar a algunas generalizaciones en cuanto a las
variables señaladas al principio del texto.
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
Siempre que A posea más bolas negras que B al momento de la interrupción
del juego, A poseerá más probabilidades de ganar en caso de que éste
hubiera continuado.
En caso de que A posea la misma cantidad de bolas negras que B, A no
poseerá más probabilidades de ganar el juego.
La condición de que las bolas negras y blancas sean impares permite que
nunca haya un empate en el juego.
Al igual que el hecho de que un jugador gana cuando éste tiene más bolas
negras que el otro, un jugador pierde cuando tiene mas bolas blancas que el
otro. Esto se puede corroborar continuando las ramas de los diagramas de
árbol en los que un jugador gana sin que se hayan acabado las bolas y
contando las bolas blancas que tienen los dos jugadores.