LISTA DE EJERCICIOS DE CÁLCULO I SOBRE LÍMITE Y CONTINUIDAD
Segundo Semestre del 2020
I. En los ejercicios siguientes, completar la tabla y usar el resultado para estimar el límite.
𝑥→2
3. lim
𝑥→0
1
−
1.99
1.999
2.000
2.001
2.01
2.1
𝑥→2
- 0.1
𝑥
𝑓(𝑥)
1
4
2.9
𝑥
- 0.01
2.99
- 0.001
2.999
0
0.001
3.000
3.001
0.01
0.1
3.01
1.99
1.999
𝑥
𝑓(𝑥)
-3.1
-3.01
-3.001
√1−𝑥
𝑥→−3 𝑥+3
𝑥
3.1
6. lim 𝑥+1
−
𝑥
3.9
3.99
3.999
2.000
2.001
2.01
2.1
- 2.99
- 2.9
4.01
4.1
𝑓(𝑥)
4. lim
𝑓(𝑥)
𝑥→3 𝑥−3
1.9
𝑥
𝑥−2
2. lim 𝑥 2 −4
𝑓(𝑥)
√𝑥+3−√3
𝑥
5. lim 𝑥+1
1.9
𝑥
𝑥−2
1. lim 𝑥 2 −𝑥−2
4
5
-3
- 2.999
4.000
4.001
𝑓(𝑥)
𝑥→4 𝑥−4
II. Determine si el límite existe y mencione los teoremas de límite que aplicó.
01. 𝐥𝐢𝐦(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏)
𝒙→𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
13. 𝐥𝐢𝐦 √
𝒉+𝟑 𝟑
06. 𝐥𝐢𝐦 (𝒉𝟐 −𝟗)
𝒉→−𝟑
14. 𝐥𝐢𝐦 √𝟐𝒙𝟐−𝒙−𝟏
𝒙→𝟏
𝟐
02. 𝐥𝐢𝐦(𝟐𝒙 − 𝟒𝒙 + 𝟓)
𝒙→𝟑
𝒙→𝟐
𝟐𝒙+𝟏
04. 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟏 𝒙𝟐 −𝟑𝒙+𝟒
𝒙→𝟐
√𝒙−√𝒂
10. 𝐥𝐢𝐦 𝒙−𝒂
𝒙→𝒂
𝟐
𝒙
𝒙𝟐 −𝟏𝟔
07. 𝐥𝐢𝐦 √𝒙+𝟓 ( 𝒙−𝟒 )
𝒙→𝟒
𝟏
08. 𝐥𝐢𝐦 (𝒙 − 𝒙−𝟏)
𝒙→𝟎
𝟑𝒙+𝟒
03. 𝐥𝐢𝐦 𝟖𝒙−𝟏
𝒙𝟐 +𝟑𝒙+𝟒
𝒙𝟑 +𝟏
05. 𝐥𝐢𝐦 (𝒙√𝒙 + 𝟒)(√𝒙 − 𝟔) 09. 𝐥𝐢𝐦 ( 𝟐𝒙 +𝟏 )
𝒙→−𝟐
𝒙𝟐 +𝟐𝒙−𝟖
𝟑
𝒙𝟐 −𝟑𝒙+𝟒
𝒙→𝟒
15. 𝐥𝐢𝐦 𝟐𝒙 − √𝟒𝒙𝟐 + 𝒙
𝟒+𝒙
𝟏
+ )
𝟐
𝒙→−𝟒 𝒙𝟐 −𝟏𝟔
𝟏
𝟔
12. 𝐥𝐢𝐦 (𝒙−𝟐 − 𝒙𝟐+𝟐𝒙−𝟖)
𝒙→𝟐
11. 𝐥𝐢𝐦 (
𝒙→−𝟐
III. Haciendo uso de razonamiento lógico determine si el límite existe aplicando los teoremas estudiados.
01. lim [
(𝑎+ℎ)4 −𝑎4
ℎ
ℎ→0
02. lim [
𝑥→1
𝑡 3 −1
1 1
−
] 04. lim ( 𝑡−1 )
𝑡→1
(𝑥−1)3
𝑥→5
8𝑥 3 −27
05. lim3 √ 2
4𝑥 −9
𝑥→
]
𝑥 2 −1
𝑥2
3
√ℎ+2−√2
)
ℎ
ℎ→0
4−√16+𝑥
lim ( 𝑥 )
𝑥→0
√𝑥 −1
)
𝑥−1
√9+𝑥−3
14. lim ( 𝑥 2 +2𝑥 )
𝑥→0
10. lim (
𝑥 5
07. lim (𝑥−5
)
1
08. lim (𝑥−1 − 𝑥−1)
𝑥→1
11.
13. lim (
𝑥→1
2
𝑥 3 +8
𝑥+3
03. lim (𝑥 4 −16)
06. lim ( 1 1 )
𝑥→−2
𝑥→−3
+
𝑥 3
√𝑥−√2
)
𝑥−2
09. lim (
𝑥→2
√𝑥+5−2
)
𝑥+1
√𝑥+1−2
)
𝑥→3 √𝑥+6−3
12. lim (
𝑥→−1
15. lim (
IV. Evalúe los limites siguientes.
𝑡+2
1
3
3𝑥
√4−𝑥 2
]
𝑥−2
01. lim− [𝑡 2 −4]
06. lim− [𝑡−2 − 𝑡 2 −4]
10. lim− [
1
02. lim+ [𝑥−2]
𝑥→2
1
1
07. lim+ [ 𝑡 − 𝑡 2 ]
𝑡→0
11. lim + [(𝑥+3)(𝑥−2)]
4
08. lim− [(𝑡−2)2 ]
𝑡→2
12. lim − [(𝑥+3)(𝑥−2)]
√𝑥 2 −9
09. lim+ [ 𝑥−3 ]
𝑥→3
13. lim+ [(𝑥+3)(𝑥−2)]
𝑡→2
03. lim− [
𝑥→0
𝑡→2
√3+𝑥 2
𝑥
]
−𝑡+2
04. lim− [(𝑡+2)2 ]
𝑡→−2
2
05. lim− [𝑡 2 +3𝑡−4
𝑡→−4
−
𝑥→2
𝑥→−2
𝑥−1
𝑥→−3
𝑥−1
𝑥→−3
𝑥−1
𝑥→2
3
]
𝑡+4
14.
𝑥−1
15. lim − [(𝑥+2) − 2𝑥+6]
1
16. lim− [1 + 𝑡 ]
𝑡→0
√𝑡−4
17. lim+ [(𝑡−5)2 ]
𝑡→5
18. lim+ [
𝑡→2
𝑡−3
]
√𝑡+2
𝑥−1
lim− [(𝑥+3)(𝑥−2)]
𝑥→2
V. Determine si el límite existe. (Límites al infinito).
1.
2.
3.
4.
5.
4𝑥−3
lim [
]
2𝑥+5
6.
𝑥→+∞
lim [
3𝑥+4
𝑥→+∞ √2𝑥 2 −5
lim [
3𝑥+4
𝑥→−∞ √2𝑥 2 −5
𝑥2
lim [𝑥+1]
𝑥→+∞
]
]
𝑥→+∞
𝑥→+∞
11.
7.
4−7𝑥
lim [
]
𝑥→−∞ 2+3𝑥
12.
8.
√4𝑥+1
lim [
]
𝑥→+∞ 10−3𝑥
13.
9.
√9𝑥 2 +2
lim [
]
𝑥→+∞ 3−4𝑥
2𝑥−𝑥 2
lim [ 3𝑥+5 ]
5𝑥 2 −3𝑥+1
lim [ 2
]
2𝑥 +4𝑥−7
10.
lim [
𝑥→−∞
4𝑥−3
]
√𝑥 2 +1
3
8+𝑥 2
lim [ √𝑥(𝑥+1)]
16.
2𝑥 2 −5
lim [3𝑥 2 +𝑥+2]
𝑥→−∞
17.
𝑥→−∞
2𝑥+1
lim [5𝑥−2]
18.
𝑥→+∞
14.
√𝑥 2 +4
lim [ 𝑥+4 ]
𝑥→+∞
15.
√𝑥 2 −2𝑥+3
lim [ 𝑥+5 ]
𝑥→−∞
19.
20.
√𝑥 4 +1
lim [2𝑥 2 −3]
𝑥→−∞
2
lim [𝑥 2 − 4𝑥]
𝑥→+∞
lim [√𝑥 2 + 1 − 𝑥]
𝑥→+∞
2
lim [𝑥 2 − 4𝑥]
𝑥→−∞
lim [√3𝑥 2 + 3 − 2𝑥]
𝑥→+∞
1
LISTA DE EJERCICIOS DE CÁLCULO I SOBRE LÍMITE Y CONTINUIDAD
Segundo Semestre del 2020
VI. Determinar si las funciones dadas son continuas o discontinuas, si son discontinuas diga si son eliminables o esenciales.
𝑥
1) ℎ(𝑥) = 𝑥−3
11) 𝑓(𝑥) = {
𝑥 2 − 9 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 3
2) 𝑓(𝑥) = {
(3 − 𝑥)2 𝑠𝑖 𝑥 > 3
3) ℎ(𝑥) =
𝑥 2 −49
𝑥−7
𝑥
𝑠𝑖 𝑥 < 0
2
4) 𝑓(𝑥) = {𝑥
𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
2 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 1
5) ℎ(𝑥) =
6) ℎ(𝑥) =
|𝑥−3|
1
𝑥 2 −16
𝑥−4
15) 𝑔(𝑥) = {
𝑥−3
2
𝑠𝑖 𝑥 = 4
3𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 < 2
16) 𝑓(𝑥) = { 0 𝑠𝑖 𝑥 = 2
𝑥 2 + 1 𝑠𝑖 𝑥 > 2
2𝑥 2 −18
3−𝑥
𝑥2
𝑠𝑖 𝑥 < 0
9) 𝑓(𝑥) = {−𝑥 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
𝑥
𝑠𝑖 𝑥 > 1
|𝑥|
10) 𝑓(𝑥) = { 𝑥
2
𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0
𝑠𝑖 𝑥 = 0
𝑥 2 −9
21) 𝑓(𝑥) = {
23) ℎ(𝑥) =
𝑥 2 −3𝑥−4
𝑥−4
5
𝑠𝑖 𝑥 ≠ 3
1
√4−𝑥 2
𝑥 2 −1
24) ℎ(𝑥) = 𝑥 4 −1
25) 𝑓(𝑥) = {
𝑥 2 −4
𝑥−2
3
𝑥 2 𝑠𝑖 𝑥 < 2
17) 𝑓(𝑥) = { 5 𝑠𝑖 𝑥 = 2
−𝑥 + 6 𝑠𝑖 𝑥 > 2
18) 𝑔(𝑥) = {
𝑥 2 −2𝑥−3
3
𝑠𝑖 𝑥 = 3
2𝑥 − 4 𝑠𝑖 𝑥 < 2
22) 𝑓(𝑥) = {
5 − 𝑥 2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
𝑠𝑖 𝑥 ≠ 4
𝑥 2 −9
𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 3
3 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 3
𝑥 2 − 4 𝑠𝑖 𝑥 < 2
19) 𝑓(𝑥) = { 4 𝑠𝑖 𝑥 = 2
4 − 𝑥 2 𝑠𝑖 𝑥 > 2
4 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2
20) 𝑓(𝑥) = { 2
𝑥 − 6 𝑠𝑖 𝑥 > 2
𝑠𝑖 𝑥 ≠ −1
𝑠𝑖 𝑥 = −1
𝑥 2 + 3 𝑠𝑖 𝑥 < 0
12) 𝑓(𝑥) = { 5 𝑠𝑖 𝑥 = 0
3 − 𝑥 2 𝑠𝑖 𝑥 > 0
𝑥 + 5 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 3
13) 𝑓(𝑥) = { 2
𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 > 3
2𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2
14) 𝑓(𝑥) = { 3
𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 > 2
𝑥−3
7) 𝑓(𝑥) = {
8) ℎ(𝑥) =
𝑥 2 −1
𝑥+1
26) ℎ(𝑥) =
𝑠𝑖 𝑥 ≠ 2
𝑠𝑖 𝑥 = 2
𝑥
𝑥 2 +4
𝑠𝑖 𝑥 ≠ 4
𝑠𝑖 𝑥 = 4
VII. Determine si la función dada es continua o discontinua en cada uno de los siguientes intervalos.
3
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥−4; (3,7), [−8, −2], [−6, 4)
8) 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 − 4; [2, +∞), [3, 9], (−∞, −1]
2) 𝑓(𝑥) = √6 − 𝑥 2 ; (−3,3), (−∞, 2], [4, +∞)
9) 𝑓(𝑥) =
3) 𝑓(𝑥) =
1
;
𝑥 2 −4
4) 𝑓(𝑥) =
3−√𝑥+9
;
𝑥
5) 𝑓(𝑥) =
1
;
√𝑥−3
6) 𝑓(𝑥) =
7) 𝑓(𝑥) =
(−2, 2), (0, 6], (−∞, 1]
(−∞, 1], [2, 8], [1, +∞)
(−∞, 2], [4, 5], [3, +∞)
𝑥 2 +𝑥−6
; [−3, +∞), (−∞, 2], [3, 7]
𝑥−3
𝑥
; (−∞, −5], [1, 8], (−6, +∞)
𝑥+6
𝑥
;
𝑥 2 −9
[4, 8], (−∞, −4], [8, +∞), (3, 6)
1
10) 𝑓(𝑥) = |𝑥|−2; (−∞, −3], [1, 6], [2, +∞)
11) 𝑓(𝑥) =
12) 𝑓(𝑥) =
𝑥−4
2
; ( , 6], (−∞, 0], [2, 8], [−1, +∞)
3𝑥−2 3
𝑥
; (3, 6), (−∞, −4), [4, 8]
𝑥 2 −9
13) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 3; [0, 5), (3, +∞), (2, 4)
𝑥
14) 𝑓(𝑥) = 𝑥+5; (−∞, −5], (−5, +∞), [2, 10], (−6, 8)
2
