CURSO DE PROBABILIDAD,
ESCOM, IPN
Dra. Leonor V.
UNIDAD I
PROBABILIDAD
AXIOMÁTICA
1.1 Espacios de probabilidad
1.2 Variables y vectores aleatorios
1.3 Distribución de probabilidad
1.4 Esperanza matemática
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ESPACIOS DE PROBABILIDAD
1.1 Generalidades, técnicas de conteo y
espacio muestral
1.2 Medidas de probabilidad
1.3 Regla de Bayes
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La probabilidad se ha definido de diversas formas a lo largo de la historia. La formalización se logra mediante
los axiomas de probabilidad. Sea Ω un espacio muestral (para algún experimento). Suponga que existe una
función evaluada en los eventos 𝐴 ∈ Ω, 𝑝(𝐴), que satisface los siguientes tres axiomas:
1. [Axioma 1] 0 ≤ 𝑝 𝐴 ≤ 1, ∀𝐴 ∈ Ω
2. [Axioma 2] 𝑝 Ω = 1
3. [Axioma 3.] Para una sucesión de eventos mutuamente excluyentes
∞
σ
𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 , … ∈ Ω: 𝑝 ∪∞
𝐴
=
𝑖=1 𝑖
𝑖=1 𝑝(𝐴𝑖 )
[si el espacio Ω es finito, solo basta con probar los primeros dos axiomas]
Un ejemplo simple, es la definición clásica de probabilidad (válida sólo para espacios muestrales Ω finitos):
|𝐴| # 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴
Regla de Laplace
𝑃 𝐴 =
=
|Ω|
#𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠
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Grados de probabilidad:
❖ 0 es la probabilidad de que algo es imposible.
❖ 1 es la probabilidad de algo que ocurrirá con certeza.
❖ ½ es la probabilidad de algo que tanto puede suceder, como puede que no suceda.
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Ejemplos
1. El diagrama muestra un spiner ‘legal’ .
(a) ¿en qué color es más probable que caiga la flecha?
(b) ¿En la escala de al lado, donde se ubica la probabilidad de que la
flecha caiga en verde?
2. Que elemento de probabilidad de la escala describe mejor a los sig. eventos?
(a) Un recién nacido sea niña.
(b) Obtener un 2 al lanzar un dado ordinario (o ‘legal’)
(c) Obtener un 10 al lanzar un dado ordinario
(d) Obtener un # mayor que 1 al lanzar un dado ordinario
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Ejemplos
3. Se lanza un dado legal. Ubique a los siguientes eventos en la escala de probabilidades de abajo.
A: Se lanzó un número menor que 7.
B: Se lanzó un “6”.
C: Se lanzó un numero par.
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Ejemplo
La regla de Laplace se ocupa cuando se consideran espacios muestrales Ω finitos:
|𝐴| # 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴
𝑃 𝐴 =
=
|Ω|
#𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠
4. Una urna contiene trece esferas numeradas del uno al trece, de las cuales tres son rojas,
cuatro blancas y seis azules. Si se toman dos esferas al azar y sin reemplazo, calcula la
probabilidad de que una y sólo una de ellas sea roja.
Solución. El razonamiento puede no es único, pero si está planteado correctamente, se debe
llegar al mismo resultado.
Razonamiento 1. Tomar las 2 esferas al azar (primero una y luego la otra, sin reemplazo).
Experimento1: “tomar dos esferas de un total de trece”; entonces Ω = 13 × 12 = 156.
Se define el evento 𝐴:“resultados del exp.1 donde una y sólo una esfera es roja”; esto puede
ocurrir de dos maneras:
1. 1ª esfera extraída es roja y la 2ª no (3 × 10 = 30 formas).
2. 1ª no es roja y la 2ª sí lo es (10 × 3 = 30 formas ). Por tanto, |𝐴| = 30 + 30 = 60.
Entonces la probabilidad es: 𝑝 𝐴 =
60
156
=
15
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Ejemplo
La regla de Laplace se ocupa cuando se consideran espacios muestrales Ω finitos:
|𝐴| # 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴
𝑃 𝐴 =
=
|Ω|
#𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠
4. Una urna contiene trece esferas numeradas del uno al trece, de las cuales tres son rojas,
cuatro blancas y seis azules. Si se toman dos esferas al azar y sin reemplazo, calcula la
probabilidad de que una y sólo una de ellas sea roja.
Solución. El razonamiento puede no es único, pero si está planteado correctamente, se debe
llegar al mismo resultado.
Razonamiento 2. Tomando las dos esferas a la vez.
Experimento2: “tomar dos esferas a la vez de un total de trece”, entonces 𝐶213 = 78 formas.
Ahora, el evento 𝐴:“resultados del exp2. donde una y sólo una esfera es roja”, entonces: 𝐴 =
𝐶13 𝐶110 = 30.
De esta forma, la probabilidad es: 𝑝 𝐴 =
30
78
=
15
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Ejemplo
5. Dos dados balanceados se lanzan. Se debe calcular la probabilidad de cada uno de los
posibles valores que puedan aparecer de su suma.
solución. El espacio muestral Ω es:
Entonces Ω es un espacio muestral simple equiprobable, donde la probabilidad de cada salida (𝑥,𝑦) es
1/36. Definimos el evento (que nos interesa) 𝐴𝑖 = {𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛 𝑖}, entonces:
𝑝(𝐴2 ) = 𝑝(𝐴12 ) = 1/36;
𝑝(𝐴5 ) = 𝑝(𝐴9 ) = 4/36,
𝑒𝑡𝑐.
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Ejemplo
6. Si se sientan en línea recta siete hombres y cuatro mujeres aleatoriamente, se calcula la probabilidad de
que: (a) todas las mujeres se sienten en los primeros cuatro lugares; (b) todas las mujeres se sienten siempre
en lugares contiguos.
Solución. En este problema, importa el orden. El experimento es: “manera en que pueden sentarse once
personas en línea recta”. Así, el espacio muestral tiene Ω = 11! puntos muestrales.
(a) Se define el evento A como: “las mujeres sentadas en los primeros cuatro lugares”, lo cual pueden hacer
de 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 4! = 24 maneras diferentes; Los restantes lugares los ocuparan los 7 hombres, lo cual se
puede hacer de 7! = 5040 maneras. Por el principio del producto, el total de arreglos cuando las mujeres se
sienten en los primeros lugares es |𝐴| = 4! 7! = 24 ⋅ 5040 = 120 960, por lo tanto:
120960
𝑝 𝐴 =
= 0.00303.
11!
(B) Se define el evento B como: “las mujeres se sientan en lugares contiguos”. Aquí se tienen diferentes
arreglos: cuando (el bloque de) las mujeres estén al inicio; en el segundo lugar, en el tercer lugar, etc., hasta
el octavo lugar. Cada uno de esos ocho tipos de arreglos ocurre (como consecuencia del inciso anterior) de
4! 7! Maneras. Por lo tanto, se tiene que el total de elementos de B es 4! 7! ⋅ 8, y así:
4! 7! ⋅ 8
𝑝 𝐴 =
= 0.0242.
11!
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Ejemplo
6. Si se sientan en línea recta siete hombres y cuatro mujeres aleatoriamente, se calcula la probabilidad de
que: (a) todas las mujeres se sienten en los primeros cuatro lugares; (b) todas las mujeres se sienten siempre
en lugares contiguos.
Solución. En este problema, importa el orden. El experimento es: “manera en que pueden sentarse once
personas en línea recta”. Así, el espacio muestral tiene Ω = 11! puntos muestrales.
(a) Se define el evento A como: “las mujeres sentadas en los primeros cuatro lugares”, lo cual pueden hacer
de 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 4! = 24 maneras diferentes; Los restantes lugares los ocuparan los 7 hombres, lo cual se
puede hacer de 7! = 5040 maneras. Por el principio del producto, el total de arreglos cuando las mujeres se
sienten en los primeros lugares es |𝐴| = 4! 7! = 24 ⋅ 5040 = 120 960, por lo tanto:
120960
𝑝 𝐴 =
= 0.00303.
11!
(B) Se define el evento B como: “las mujeres se sientan en lugares contiguos”. Aquí se tienen diferentes
arreglos: cuando (el bloque de) las mujeres estén al inicio; en el segundo lugar, en el tercer lugar, etc., hasta
el octavo lugar. Cada uno de esos ocho tipos de arreglos ocurre (como consecuencia del inciso anterior) de
4! 7! Maneras. Por lo tanto, se tiene que el total de elementos de B es 4! 7! ⋅ 8, y así:
4! 7! ⋅ 8
𝑝 𝐴 =
= 0.0242.
11!
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Ejemplo
7. Nueve personas saldrán de viaje en tres carros (se ocuparán los 3), con capacidad de dos, cuatro y cinco
pasajeros, respectivamente. Si las nueve personas se reparten en todos lo carros, ¿cuál es la probabilidad de
que los dos lugares vacíos queden en el carro con capacidad para cinco personas?
Solución. En el problema: “la manera como se reparten las nueve personas en tres carros”, el orden no
importa.
Se tienen once lugares y sólo nueve personas, además se deben emplear los tres carros, por lo que siempre
dos lugares estarán vacíos, se tienen varios tipos de arreglos:
• Un lugar vacío en 1er y otro en 2º carro (1 en el 1º;3 en 2º y el 3º lleno): 𝐶19 𝐶38 𝐶55 = 5 04
• Un lugar vacío en 1er y otro en 3er carro: 𝐶19 𝐶48 𝐶44 = 630
• Un lugar vacío en 2o y otro en 3er carro: 𝐶29 𝐶27 𝐶44 = 1260
• Dos lugares vacíos en 2º carro: 𝐶29 𝐶27 𝐶55 = 756
• Dos lugares vacíos en 3er carro: 𝐶29 𝐶47 𝐶33 = 1260
Así, por el principio de la suma, |Ω| = 504 + 630 + 1260 + 756 + 1260 = 4410. Ahora se define el evento
𝐴 cómo: “los dos lugares vacíos, quedan en el carro con capacidad para cinco personas (3er carro)”, lo cual,
se puede hacer de 1260 formas (como se vio antes), en consecuencia, la probabilidad es:
1260
𝑝 𝐴 =
= 0.2857.
4410
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Ejemplo
7. Nueve personas saldrán de viaje en tres carros (se ocuparán los 3), con capacidad de dos, cuatro y cinco
pasajeros, respectivamente. Si las nueve personas se reparten en todos lo carros, ¿cuál es la probabilidad de
que los dos lugares vacíos queden en el carro con capacidad para cinco personas?
Solución. En el problema: “la manera como se reparten las nueve personas en tres carros”, el orden no
importa.
Se tienen once lugares y sólo nueve personas, además se deben emplear los tres carros, por lo que siempre
dos lugares estarán vacíos, se tienen varios tipos de arreglos:
• Un lugar vacío en 1er y otro en 2º carro (1 en el 1º;3 en 2º y el 3º lleno): 𝐶19 𝐶38 𝐶55 = 5 04
• Un lugar vacío en 1er y otro en 3er carro: 𝐶19 𝐶48 𝐶44 = 630
• Un lugar vacío en 2o y otro en 3er carro: 𝐶29 𝐶27 𝐶44 = 1260
• Dos lugares vacíos en 2º carro: 𝐶29 𝐶27 𝐶55 = 756
• Dos lugares vacíos en 3er carro: 𝐶29 𝐶47 𝐶33 = 1260
Así, por el principio de la suma, |Ω| = 504 + 630 + 1260 + 756 + 1260 = 4410. Ahora se define el evento
𝐴 cómo: “los dos lugares vacíos, quedan en el carro con capacidad para cinco personas (3er carro)”, lo cual,
se puede hacer de 1260 formas (como se vio antes), en consecuencia, la probabilidad es:
1260
𝑝 𝐴 =
= 0.2857.
4410
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Ejemplo
8. La probabilidad puede calcularse también para otro tipo de circunstancias, por ejemplo,
cuando se desea calcular la probabilidad de que un punto al azar en la imagen de abajo, se
ubique en el círculo blanco. ¿Y cuánto valdrá para que caiga en el área negra?
Verifique que está
Solución.
bien definida esta
𝑝 𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴 = 𝐴𝑟𝑒𝑎(𝐴)/𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙)
función
de
(a) 𝑝 𝐵𝑙𝑎𝑛𝑐𝑜 =
(b) 𝑝 𝑁𝑒𝑔𝑟𝑜 =
𝑝(𝐴𝑟𝑒𝑎−𝐵𝑙𝑎𝑛𝑐𝑎)
𝑝(𝐴𝑟𝑒𝑎−𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙)
=
63.6
176.6
probabilidad
= 0.36
𝑝 𝐴𝑟𝑒𝑎−𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 −𝑝(𝐴𝑟𝑒𝑎−𝐵𝑙𝑎𝑛𝑐𝑎)
𝑝(𝐴𝑟𝑒𝑎−𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙)
=
113
176.6
= 0.64
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1. En una tienda se tienen cien artículos de los cuales 90 son buenos y diez defectuosos. Calcula la probabilidad
de que en los siguientes diez artículos que se vendan se encuentre: (a) uno y sólo uno defectuoso; (b) ninguno
defectuoso.
2. Una urna contiene 20 canicas iguales en forma y tamaño, numeradas del uno al 20, de las cuales ocho son
verdes, seis azules, cuatro rojas y dos blancas. Si se toman tres canicas de la urna sin reemplazo (al azar),
calcula: (a) la probabilidad de que las tres canicas sean verdes; (b) la probabilidad de que al menos una sea
verde
3. Calcula la probabilidad de que el día de cumpleaños de doce personas se presente en diferentes meses del
año.
4. Se escriben en forma aleatoria tres números entre0 y 9. Calcula la probabilidad de que: (a) los tres sean
iguales; (b) entre los tres se encuentren dos iguales
5. Para la solución de cierto problema se empleará un algoritmo, en el cual habrá ocho multiplicaciones y cuatro
sumas, calcula la probabilidad de que las ocho multiplicaciones se efectúen siempre una tras otra sin que exista
una suma en medio
de dos multiplicaciones.
6. En un centro comercial quedan diez carros de control remoto para la venta, entre los cuales existen cuatro
defectuosos. Si un cliente entra a la tienda para comprar dos de esos carros, calcula la probabilidad de que uno
delos carros elegidos sea defectuoso.
7. Considera todas las letras de la palabra probabilidad, calcula la probabilidad de que las vocales iguales
siempre vayan juntas
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Los siguientes resultados son consecuencia de las leyes del algebra de eventos (conjuntos):
i.
[Regla complemento] 𝑝 𝐴𝑐 = 1 − 𝑝(𝐴)
ii.
𝑝 ∅ =0
iii. [Regla inclusión-exclusión] 𝑝 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑝 𝐴 + 𝑝 𝐵 − 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵)
iv. [Regla diferencia] Si 𝐴 ⊂ 𝐵 entonces p 𝐴 ≤ 𝑝(𝐵)
v.
Si 𝐵1 , 𝐵2 , … , 𝐵𝑛 es una partición de B ⊂ Ω entonces
𝑝 𝐵 = 𝑝 𝐵1 + ⋯ + 𝑝(𝐵𝑛 )
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Diferencia de eventos:
A − B = A ∖ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵𝑐 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵}
Diferencia Simétrica de eventos:
𝐴 △ 𝐵 = 𝐴 − 𝐵 ∪ (𝐵 − 𝐴)
De esta forma, se tiene el siguiente resultado:
vi. P A − B = 𝑝 𝐴 − 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵).
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18
9.Dados tres eventos 𝐴, 𝐵 y 𝐶, halle la expresión y represente en diagrama de Venn
(sombree) las siguientes situaciones: (a) suceden 𝐴 y 𝐵 pero no 𝐶. (b) sucede 𝐴 solamente.
B
A
B
Ejemplo
A
C
C
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9.Dados tres eventos 𝐴, 𝐵 y 𝐶, halle la expresión y represente en diagrama de Venn
(sombree) las siguientes situaciones: (a) suceden 𝐴 y 𝐵 pero no 𝐶. (b) sucede 𝐴 solamente.
B
A
B
Ejemplo
A
C
C
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10.Supongamos un espacio muestral Ω = {𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 }. Cual de las siguientes funciones
define un probabilidad sobre Ω:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
a) 𝑝 𝑎1 = 2 , 𝑝 𝑎2 = 3 , 𝑝 𝑎3 = 4 , 𝑝 𝑎4 = 5
1
1
Ejemplo
b) 𝑝 𝑎1 = 2 , 𝑝 𝑎2 = 4 , 𝑝 𝑎3 = − 4 , 𝑝 𝑎4 = 2
1
c) 𝑝 𝑎1 = 2 , 𝑝 𝑎2 = 4 , 𝑝 𝑎3 = 8 , 𝑝 𝑎4 = 8
d) 𝑝 𝑎1 = 2 , 𝑝 𝑎2 = 4 , 𝑝 𝑎3 = 4 , 𝑝 𝑎4 = 0
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10.Supongamos un espacio muestral Ω = {𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 }. Cual de las siguientes funciones
define un probabilidad sobre Ω:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
X la suma pasa de 1
a) 𝑝 𝑎1 = 2 , 𝑝 𝑎2 = 3 , 𝑝 𝑎3 = 4 , 𝑝 𝑎4 = 5
1
1
Ejemplo
b) 𝑝 𝑎1 = 2 , 𝑝 𝑎2 = 4 , 𝑝 𝑎3 = − 4 , 𝑝 𝑎4 = 2 X las prob. deben ser ≥ 0
1
Si es
d) 𝑝 𝑎1 = 2 , 𝑝 𝑎2 = 4 , 𝑝 𝑎3 = 4 , 𝑝 𝑎4 = 0
Si es
c) 𝑝 𝑎1 = 2 , 𝑝 𝑎2 = 4 , 𝑝 𝑎3 = 8 , 𝑝 𝑎4 = 8
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11.Dados dos eventos A y B tales que 𝑝 𝐴 ∩ 𝐵 = 0.6 y 𝑝 𝐴 ∩ 𝐵𝑐 = 0.2, calcular 𝑝 𝐴 .
Solución. Una forma de resolver este problema es notando primero que:
Ejemplo
𝑝 𝐴 ∩ 𝐵𝑐 = 𝑃 𝐴 − 𝐵 = 𝑝 𝐴 − 𝑝 𝐴 ∩ 𝐵 .
Así 𝑝 𝐴 = 𝑝 𝐴 ∩ 𝐵𝑐 + 𝑝 𝐴 ∩ 𝐵 = 0.2 + 0.6 = 0.8
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12.Dados dos eventos A y B tales que 𝑝 𝐴 = 0.7, 𝑝 𝐵 = 0.6 y 𝑝 𝐴 ∪ 𝐵 = 0.85. Calcular:
a)𝑝(𝐴 ∩ 𝐵).
Ejemplo
b) 𝑝( 𝐴 ∩ 𝐵 𝑐 )
c)La probabilidad de que se cumpla solo uno de los eventos.
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Ejemplo
12.Dados dos eventos A y B tales que 𝑝 𝐴 = 0.7, 𝑝 𝐵 = 0.6 y 𝑝 𝐴 ∪ 𝐵 = 0.85. Calcular:
a)𝑝(𝐴 ∩ 𝐵).
Por el principio de inclusión exclusión (𝑝 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑝 𝐴 + 𝑝 𝐵 − 𝑝 𝐴 ∩ 𝐵 ), se tiene que
𝑝 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑝 𝐴 + 𝑝 𝐵 − 𝑝 𝐴 ∪ 𝐵 = 0.45
b) 𝑝( 𝐴 ∩ 𝐵 𝑐 )
Por ejemplo, usando la regla del complemento:
𝑝 𝐴 ∩ 𝐵 𝑐 = 1 − 𝑝 𝐴 ∩ 𝐵 = 0.55.
Son mutuamente
excluyentes
c)La probabilidad de que se cumpla solo uno de los eventos.
Nos solicitan
𝑝 𝐴∆𝐵 = 𝑝 𝐴 − 𝐵 ∪ (𝐵 − 𝐴) = 𝑝 𝐴 − 𝐵 + 𝑝 𝐵 − 𝐴 =
= 𝑝 𝐴 − 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑝 𝐵 − 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.4
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La notación 𝐴𝐵
significa 𝐴 ∩ 𝐵
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27
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28
Sean 𝐴 y 𝐵 dos eventos tales que 𝑃(𝐵) > 0. Ahora se desea determinar como afecta la probabilidad
de 𝐴, el hecho de que sabe que ha ocurrido el evento 𝐵. Se define la probabilidad condicional del
evento 𝐴 dada la ocurrencia del evento 𝐵 como:
La barra “|” se
lee: “dado que”
𝑃 𝐴∩𝐵
𝑃 𝐴𝐵 =
𝑝(𝐵)
𝐵 representa lo que
se sabe que ocurrió
Algunas propiedades que se tienen son:
• Despejando: 𝑝 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑝 𝐴 𝐵 𝑝 𝐵 (intersección de eventos)
• Si 𝐴∩𝐵=∅ entonces 𝑃(𝐴|𝐵)=0
• Si 𝐵⊂𝐴 entonces 𝑃(𝐴|𝐵)=1
La fórmula previa se puede generalizar, dando lugar a la regla de la multiplicación:
• 𝑝 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ ⋯ ∩ 𝐴𝑛 = 𝑝 𝐴1 𝑝 𝐴2 𝐴1 𝑝 𝐴3 𝐴1 ∩ 𝐴2 ⋯ 𝑝(𝐴𝑛 |𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ ⋯ ∩ 𝐴𝑛−1 )22
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13.Suponga que lanzamos dos dados y que las 36 salidas son igualmente probable de
ocurrir, ¿cuál es la probabilidad que de la suma de los dados sea igual a 8 si en el primer
dado cae un 3?
¿Qué evento ocurrió? En
este caso, se sabe que
cayó 3 en el 1er dado
Ejemplo
Solución. Sabemos que: Ω = 36.
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30
13.Suponga que lanzamos dos dados y que las 36 salidas son igualmente probable de
ocurrir, ¿cuál es la probabilidad que de la suma de los dados sea igual a 8 si en el primer
dado cae un 3?
Solución. Sabemos que: Ω = 36. Formamos dos eventos:
𝐴 = 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛 8 → 𝑝 𝐴 = 5/36
Ejemplo
𝐵 = 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛 1𝑒𝑟 𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 3 → 𝑝 𝐵 =
¿Qué evento ocurrió? En
este caso que caiga 3 en
el 1er dado
6
36
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛 1𝑒𝑟 𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 3 𝑦 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛 8 → 𝑝 𝐴 ∩ 𝐵 =
Así, 𝑝 𝐴 𝐵 =
𝑝 𝐴∩𝐵
𝑝 𝐵
=
1/36
6/36
1
36
1
6
= .
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31
14.Una empresa esta organizando una comida para aquellos empleados que tiene al menos un hijo
varón. La señora García tiene dos hijos. ¿Cuál es la probabilidad de que los ambos sean hombres,
dado que la Sra. García fue invitada a la comida?
Ejemplo
Solución. El espacio muestral es Ω = {
¿Qué evento ocurrió? La
Sra. G. tiene al menos 1
hijo, pues fue invitada
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32
14.Una empresa esta organizando una comida para aquellos empleados que tiene al menos un hijo
varón. La señora García tiene dos hijos. ¿Cuál es la probabilidad de que los ambos sean hombres,
dado que la Sra. García fue invitada a la comida?
¿Qué evento ocurrió? La
Sra. G. tiene al menos 1
hijo, pues fue invitada
Solución. El espacio muestral es Ω = {(𝑚, 𝑚), (𝑚, ℎ), (ℎ, 𝑚), (ℎ, ℎ)}.
Ejemplo
Se definen los siguientes eventos:
𝐴 = 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 ℎ𝑖𝑗𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠
3
4
𝐵 = 𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 1 ℎ𝑖𝑗𝑜 𝑒𝑠 ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 → 𝑝 𝐵 = ; entonces 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 1/4
Entonces:
𝑃 𝐴∩𝐵
1/4 3
𝑝 𝐴𝐵 =
=
=
𝑝 𝐵
3/4 4
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33
Sean 𝐴, 𝐵 dos eventos donde 𝑝(𝐵) > 0. Si se cumple que 𝑝(𝐴|𝐵) = 𝑝(𝐴) se dice que 𝐴 es
independiente de 𝐵. De otra forma, se dice que 𝐴 depende de 𝐵.
Una forma equivalente y más común de la definición de independencia, es que 𝐴 y 𝐵 son
independientes sí y sólo si:
𝑝 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑝 𝐴 ⋅ 𝑝(𝐵)
Es importante verificar del contexto del problema, si se especifica que los
eventos son de entrada independientes (de otra forma, NO se puede asumir)
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34
Propiedades:
Ω y ∅ son independientes.
Si A y B son independientes, también lo son:
𝐴 y 𝐵𝑐
𝐴𝑐 y 𝐵𝑐
Generalización: Dados los eventos 𝐴1 , … , 𝐴𝑛 , se dice que son mutuamente independientes o
independientes a pares si:
𝑛
𝑝 ሩ
𝑛
𝐴𝑖 = ෑ
𝑖=1
𝑝(𝐴𝑖 )
𝑖=1
Muy útil recordar que
𝑝 𝑋 − 𝑌 = 𝑝 𝑋 − 𝑝(𝑋 ∩ 𝑌)
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35
15.Suponga que se lanza un dado legal. Sea 𝐴 el evento de que se obtenga un numero impar; 𝐵
el evento de que se obtenga un primo; y el evento 𝐶 = {3,6}. ¿Son independientes a pares o no?
Ejemplo
Solución.
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36
15.Suponga que se lanza un dado legal. Sea 𝐴 el evento de que se obtenga un numero impar; 𝐵
el evento de que se obtenga un primo; y el evento 𝐶 = {3,6}. ¿Son independientes a pares o no?
1
2
1
2
Solución. Primero calculamos 𝑝 𝐴 = ; 𝑝 𝐵 = ; 𝑝 𝐶 =
1
3
1
4
Ejemplo
• [A y B] 𝑝 𝐴 ∩ 𝐵 = 1/3 y 𝑝 𝐴 ⋅ 𝑝 𝐵 = , entonces son dependientes
• [A y C] 𝑝 𝐴 ∩ 𝐶 = 1/6 y 𝑝 𝐴 ⋅ 𝑝 𝐶 =
1
,
6
entonces son independientes
1
6
• [B y C] 𝑝 𝐵 ∩ 𝐶 = 1/6 y 𝑝 𝐵 ⋅ 𝑝 𝐶 = , entonces son independientes .
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37
Ejemplo
16.Suponga que dos maquinas (#1 y #2) de una fabrica, son operadas independientemente una
de otra. Sea 𝐴 el evento de que la maquina 1 se vuelva inoperable durante un periodo dado de 8
hrs. Sea 𝐵 el evento de la maquina 2 se vuelva inoperable durante el mismo periodo. Suponga
que 𝑝(𝐴) = 1/3 y 𝑝(𝐵) = 1/4. Queremos determinar la probabilidad de que al menos una de
las 2 maquinas se vuelvan inoperables durante el periodo dado.
Solución.
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16.Suponga que dos maquinas (#1 y #2) de una fabrica, son operadas independientemente una
de otra. Sea 𝐴 el evento de que la maquina 1 se vuelva inoperable durante un periodo dado de 8
hrs. Sea 𝐵 el evento de la maquina 2 se vuelva inoperable durante el mismo periodo. Suponga
que 𝑝(𝐴) = 1/3 y 𝑝(𝐵) = 1/4. Queremos determinar la probabilidad de que al menos una de
las 2 maquinas se vuelvan inoperables durante el periodo dado.
Solución. Nos solicitan la probabilidad 𝑝(𝐴 ∪ 𝐵).
1 1
3 4
Ejemplo
Sabemos que 𝑝 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑝 𝐴 𝑝 𝐵 = ⋅ =
1
,
12
pues los eventos son independientes.
Usando inclusión-exclusión, tenemos que
𝑝 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑝 𝐴 + 𝑝 𝐵 − 𝑝 𝐴 ∩ 𝐵 = 1/2.
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Ejercicios para clase:
1.
Muestre que 𝑝 𝐴𝑐 𝐵 = 1 − 𝑝 𝐴 𝐵
2.
Muestre que 𝑝 𝐴 − 𝐶 𝐵 = 𝑝 𝐴 𝐵 − 𝑝 𝐶|𝐵
3.
Si 𝐴, 𝐶 son mutuamente excluyentes, entonces: 𝑝 𝐴 ∪ 𝐶 𝐵 = 𝑝 𝐴 𝐵 + 𝑝(𝐶|𝐵).
4.
Muestre que si 𝐴 y 𝐵 son independientes, entonces 𝐴𝑐 y 𝐵𝑐 son independientes.
5.
Suponga que una maquina produce productos defectuosos con probabilidad 𝑝 (∈ (0,1)) y produce productos no
defectuosos con probabilidad 𝑞 = 1 − 𝑝. Suponga además que se seleccionan seis productos de la maquina, al azar,
y que las salidas de esos productos son independientes. Se dedea determinar la probabilidad de que exactamente
6 2 4
dos de los seis productos sean defectuosos (R.
𝑝 𝑞 ). Si ahora se desea sabe cual es la probabilidad de que al
2
menos 1 producto sea defectuoso (R. 1 − 𝑞 6 ).
6.
Una caja contiene 10 canicas blancas, 5 amarillas y 10 negras. Se elige una canica al azar de la caja y se observa
que no es una de las negras. ¿Cuál es la probabilidad de que sea amarilla? (R. 1/3).
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7. En un juego de bridge, (todas) las 52 cartas se distribuyen al azar entre 4 personas (1,2,3,4). Si 1 y 2 tienen un total de
8 espadas entre los dos, ¿Cuál es la probabilidad de que C tenga 3 de las 5 espadas restantes? (R. ~0.339).
8. Tita aun no se decide por el curso de ingles o el de francés. Ella estima que la probabilidad de sacar un 10 será de
½ en ingles y de 2/3 en francés. Si Tita basa su decisión en el lanzamiento de una moneda, ¿Cuál es la probabilidad
de que obtenga 10 en francés? [𝐴 = {𝑇𝑖𝑡𝑎 𝑠𝑎𝑐𝑎 10 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜}; 𝐵 = {𝑇𝑖𝑡𝑎 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑒 𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑛𝑐é𝑠}, R.
1/3]
9. En un juego de bridge, (todas) las 52 cartas se distribuyen al azar entre 4 personas (1,2,3,4). Si 1 y 2 tienen un total de
8 espadas entre los dos, ¿Cuál es la probabilidad de que C tenga 3 de las 5 espadas restantes? (R. ~0.339).
10. Tita aun no se decide por el curso de ingles o el de francés. Ella estima que la probabilidad de sacar un 10 será de
½ en ingles y de 2/3 en francés. Si Tita basa su decisión en el lanzamiento de una moneda, ¿Cuál es la probabilidad
de que obtenga 10 en francés? [𝐴 = {𝑇𝑖𝑡𝑎 𝑠𝑎𝑐𝑎 10 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜}; 𝐵 = {𝑇𝑖𝑡𝑎 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑒 𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑛𝑐é𝑠}, R.
1/3]
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Suponga que 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 es una partición del espacio muestral Ω, de modo que 𝑝 𝐴𝑖 > 0.
Entonces, para todo evento 𝐵, se verifica lo siguiente:
𝑝 𝐵 = 𝑝 𝐵|𝐴1 𝑝 𝐴1 + ⋯ + 𝑝(𝐵|𝐴𝑛 )𝑝 𝐴𝑛
Ω
Prob. condicional
𝑝 𝑋 ∩ 𝑌 = 𝑝(𝑋|𝑌) ⋅ 𝑝 𝑌
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En particular, dada una partición simple del espacio muestral Ω es {𝑋, 𝑋 𝑐 }, donde 𝑋 es un evento con
𝑝 𝑋 > 0, la regla de Bayes dice que ∀ 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐵:
𝑝 𝐵 = 𝑝 𝐵|𝑋 𝑝 𝑋 + 𝑝(𝐵|𝑋 𝑐 )𝑝 𝑋 𝑐
Ω
𝑋
𝑋𝑐
Ω
𝑋
𝑋𝑐
𝐵
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Ejemplo
17.Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 3 negras, y una segunda bolsa contiene 3 blancas y 5
negras. Se saca una bola de la primera bolsa y se coloca en la segunda sin verla en la segunda
bolsa. ¿Cuál es la probabilidad de que ahora se saque una bola negra de la segunda bolsa?
Solución. Formamos los eventos: 𝐵𝑖 : 𝑠𝑎𝑐𝑎𝑟 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑏𝑙𝑎𝑛𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑠𝑎 𝑖 sacar bola blanca de la bolsa 𝑖
y 𝑁𝑗 : 𝑠𝑎𝑐𝑎𝑟 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑛𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑠𝑎 𝑗; 𝑖, 𝑗 ∈ {0,1}. Note que se solicita la probabilidad de que
ocurra el evento 𝑁2 , el cual se descompone como: 𝐵1 ∩ 𝑁2 ∪ 𝑁1 ∩ 𝑁2 . Así, se debe determinar:
𝑝 𝑁2 = 𝑝 𝑁2 |𝐵1 𝑝 𝐵1 + 𝑝 𝑁2 𝑁1 𝑝 𝑁1 = 𝑝 𝐵1 ∩ 𝑁2 + 𝑝 𝑁1 ∩ 𝑁2
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Ejemplo
17.Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 3 negras, y una segunda bolsa contiene 3 blancas y 5
negras. Se saca una bola de la primera bolsa y se coloca en la segunda sin verla en la segunda
bolsa. ¿Cuál es la probabilidad de que ahora se saque una bola negra de la segunda bolsa?
Solución. Formamos los eventos: 𝐵𝑖 : 𝑠𝑎𝑐𝑎𝑟 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑏𝑙𝑎𝑛𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑠𝑎 𝑖 sacar bola blanca de la bolsa 𝑖
y 𝑁𝑗 : 𝑠𝑎𝑐𝑎𝑟 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑛𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑠𝑎 𝑗; 𝑖, 𝑗 ∈ {0,1}. Note que se solicita la probabilidad de que
ocurra el evento 𝑁2 . Así, se debe determinar:
𝑝 𝑁2 = 𝑝 𝑁2 |𝐵1 𝑝 𝐵1 + 𝑝 𝑁2 𝑁1 𝑝 𝑁1 = 𝑝 𝐵1 ∩ 𝑁2 + 𝑝 𝑁1 ∩ 𝑁2 = 38/63.
𝐵2
𝐵1
𝑁2
𝑝 𝑁2 |𝐵1 𝑝 𝐵1 = 𝑝 𝐵1 ∩ 𝑁2 = 20/63
𝐵2
𝑁1
𝑁2
𝑝 𝑁2 |𝑁1 𝑝 𝑁1 = 𝑝 𝑁1 ∩ 𝑁2 = 18/63
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18.Se asume que la probabilidad de que un hombre fume es 0.6 y la de que una mujer sea fumadora,
0.3. En una fábrica, el 75% son varones y el 25% mujeres. Si se toma una persona al azar, ¿cuál es
la probabilidad de que ésta persona fume?
Ejemplo
R.
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18.Se asume que la probabilidad de que un hombre fume es 0.6 y la de que una mujer sea fumadora,
0.3. En una fábrica, el 75% son varones y el 25% mujeres. Si se toma una persona al azar, ¿cuál es
la probabilidad de que ésta persona fume?
R. Formamos los eventos:
𝑀 = 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑔𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟 → 𝑝 𝑀 = 0.25
𝐻 = 𝑀𝑐 = 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑔𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑠 ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 → 𝑝 𝐻 = 0.75
Ejemplo
𝐹 = 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑔𝑖𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑚𝑎
Se solicita 𝑝(𝐹). Aquí {𝑀, 𝐻} es una partición de Ω. Usando la regla de Bayes:
𝑝 𝐹 = 𝑝 𝐹 𝑀 𝑝 𝑀 + 𝑝 𝐹 𝐻 𝑝 𝐻 = 𝑝 𝐹 ∩ 𝑀 + 𝑝(𝐹 ∩ 𝐻) = 0.525
0.075
0.45
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Ejemplo
19.Una prueba de sangre de laboratorio es 95% efectiva en la detección de ciertas enfermedades cuando,
de hecho, se encuentran presentes. Sin embargo, la prueba también arroja resultados de “falsos positivos”
en un 1% de las personas analizadas (es decir, que en una persona sana, la prueba arroja que la persona
tiene la enfermedad con probabilidad de 0.01). Si 0.5% de la población está de hecho enferma, cual es la
probabilidad de que una persona que tiene la enfermedad, dado que dio un resultado positivo en la
prueba?
Solución. Formamos dos eventos: 𝐸 ={persona tiene enfermedad}; 𝑃 ={persona da positivo}. Observe
que solicitan: 𝑝 𝐸 𝑃 .
𝑃
𝐸
𝑃𝑐
𝑃
𝐸𝑐
𝑃𝑐
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Ejemplo
19.Una prueba de sangre de laboratorio es 95% efectiva en la detección de ciertas enfermedades cuando,
de hecho, se encuentran presentes. Sin embargo, la prueba también arroja resultados de “falsos positivos”
en un 1% de las personas analizadas (es decir, que en una persona sana, la prueba arroja que la persona
tiene la enfermedad con probabilidad de 0.01). Si 0.5% de la población está de hecho enferma, cual es la
probabilidad de que una persona que tiene la enfermedad, dado que dio un resultado positivo en la
prueba?
Solución. Formamos dos eventos: 𝐸 ={persona tiene enfermedad}; 𝑃 ={persona da positivo}. Observe
que solicitan: 𝑝 𝐸 𝑃 .
𝑃
𝑝 𝐸 ∩ 𝑃 = 0.00475
𝑝 𝐸𝑃 =
=
𝐸
𝑃𝑐
𝑃
𝑝 𝐸 ∩ 𝑃𝑐 = 0.00025
=
𝑝 𝐸∩𝑃
𝑝 𝑃
𝑝 𝐸∩𝑃
𝑝 𝑃|𝐸 𝑝(𝐸)+𝑝 𝑃|𝐸 𝑐 𝑝(𝐸 𝑐 )
0.00475
≈ 0.3231
0.00475+0.00995
𝑝 𝐸 𝑐 ∩ 𝑃 = 0.00995
𝐸𝑐
𝑃𝑐
𝑝 𝐸 𝑐 ∩ 𝑃𝑐 = 0.98505
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Ejercicios para clase
1. Una compañía de seguros considera que las personas se pueden dividir en dos clases: las que son propensas a
accidentes y las que no. Las estadísticas muestran que las personas propensas a accidentes tendrán uno dentro de
un periodo de un año, con probabilidad de 0.4, mientras que esta probabilidad cae a 0.2 en personas no propensas.
Si asumimos que 30% de la población es propensa a accidentes, cual es la probabilidad de que un nuevo asegurado
tenga un accidente dentro del año de la compra de la póliza? (R. 0.26)
2. Suponga que un nuevo asegurado tuvo un accidente dentro del año de la compra de la póliza, ¿Cuál es la
probabilidad de que sea del tipo de persona propensa a accidentes?
3.
4.
1
En una prueba de múltiples opciones, el estudiante o bien, conoce las respuestas, o bien, las adivina. Sea 𝑝 = la
2
probabilidad de que el estudiante sepa la respuesta y 1 − 𝑝 la probabilidad de que el estudiante la adivine. Asuma
que para un estudiante que adivina sus respuestas, estas serán correctas con probabilidad de 1/5, donde 5 es el
numero de opciones de cada pregunta. ¿Cuál es la probabilidad condicional de que un estudiante conozca la
respuesta a una pregunta, dado que la respondió correctamente? [Hint. Use la regla de Bayes en el denominador. R.
5/6].
4. En un En un día de lluvia, la probabilidad que Bertha llegue tarde a clase es de 0.8; mientras que en un día de sol
es solo de 0.1. Un 70% de los días son lluviosos y el resto son de sol. (a) ¿Cuál es la probabilidad que Bertha llegue
tarde a clase? [R. 0.59] (b) Un día miércoles de este año, Bertha llegó tarde a clase, cuál es la probabilidad que ese
día haya sido lluvioso? [Hint. Regla de Bayes en el denominador. R. 0.95].
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