Cuarta Ayudantía inferencia con pauta

Cuarta Ayudantía Inferencia Estadística
Ayudante: Joseph Caelen
Pregunta 1: La tabla siguiente contiene una muestra preliminar de 30 familias,
registrándose el monto del gasto en el rubro alimentación, los datos se encuentran
en miles de pesos:
X1=125
X2=180
X3=200
X4=240
X5=260
X6=290
X7=120
X8=150
X9=165
X10=185
X11=215
X12=228
X13=300
X14=250
X15=150
X16=195
X17=178
X18=220
X19=270
X20=290
X21=200
X22=170
X23=165
X24=240
X25=268
X26=290
X27=252
X28=300
X29=195
X30=170
a) Estimar con un 95% de confianza la varianza para el gasto familiar
en alimentación
b) Estimar con un 95% de confianza la desviación estándar para el
gasto familiar en alimentación.
Pregunta 2: El tiempo necesario (en minutos) que se demora un consumidor en
efectuar un reclamo en SERNAC Financiero fue observado en una muestra de 10
consumidores, obteniéndose los siguientes resultados:
15,2 15,5
14,2 15,6 14,8 15,2 15,1 14,1 14,7
14,6
Determine un intervalo de 95% de confianza para estimar la varianza del tiempo
que demora un consumidor en efectuar su reclamo.
Pregunta 3: Se tomó una muestra de 28 estudiantes en una Universidad, con el fin de
estimar con un 95% de confianza, la proporción de ellos que está a favor de determinada
ley.
12
X
i 1
i
 12 Respondieron afirmativamente.
Estime con un 95% de Confianza la proporción de estudiantes que están a favor de esta
ley.
Pregunta 4: Se desea estimar con un 95% de confianza el gasto promedio mensual en el
rubro alimentación, por familia en un sector del país.
Se tomó una muestra preliminar de 30 familias, registrándose el monto del rubro deseado,
obteniéndose los siguientes datos en miles de pesos:
X1=125
X7=120
X13=300
X19=270
X25=268
X2=180
X8=150
X14=250
X20=290
X26=290
X3=200
X9=165
X15=150
X21=200
X27=252
X4=240
X10=185
X16=195
X22=170
X28=300
X5=260
X11=215
X17=178
X23=165
X29=195
X6=290
X12=228
X18=220
X24=240
X30=170
Estimar un intervalo de 95% de confianza para el gasto promedio de las familias en
alimentación.
Comentes:
a) A raíz del cuestionamiento de la encuesta CASEN sobre el nivel de pobreza en
Chile, se le solicita a usted realizar una estimación acerca del nivel promedio de
pobreza que existe en nuestro país, de manera de validar las cifras obtenidas
recientemente. Para ello, a usted un compañero le dice que se puede obtener un
intervalo de confianza para determinar el parámetro que busca, para lo cual sólo
debe conocer el nivel de confianza con el que se quiere trabajar
b) Dos investigadores que trabajan en una consultora discuten acerca de cuál es la
mejor forma de expresar la confianza de un estimador por medio de un intervalo
de confianza. Por su parte, un investigador plantea que al tratarse del intervalo de
confianza de una media poblacional ésta debe ser construida usando una normal
estándar. Sin embargo, el otro investigador no está muy convencido ya que debido
a su experiencia laboral, plantea que la forma correcta de expresar el intervalo de
confianza de la media poblacional es con una t de Student, pues otorga un mayor
grado de seguridad a la estimación
Pauta Ayudantía
1)
a) Se desconoce la media poblacional, por lo tanto utilizamos el Intervalo de
Confianza para el caso 2
 (n - 1)σ̂ 2
(n - 1)σ̂ 2
2
P 2

σ

α
χ 2 n -1 ( α2 )
 χ n -1 (1  2 )

 1 α


De los datos: n = 30; X = 215,36 (miles de $); S = 53,36 (miles de $).
Además  = 0,05 De la tabla de la distribución Chi – Cuadrado:
χ
2
χ
2
n 1
n 1
(1  α2 )  χ (0,975) 45,722 y el otro extremo:
2
29
( α2 )  χ (0,025) 16,047
2
29
Y el estimador σ̂ 2  S2  (53,36)2  2847,3.
Reemplazando:
 29 * 2847,3 2 29 * 2847,3
P
σ 
  0,95
16,047 
 45,722
P 1805,95  σ 2  5145,62  0,95
IC: 1805,95 ; 5145,62 en (miles de $ ).


b) Estimar con un 95% de confianza la desviación estándar para el gasto
familiar en alimentación.


P 1805,95  σ 2  5145,62  0,95 => P(42,496 <  <71,73)
IC: 42,496 ; 71,73 en (miles de $ ).
2)
 (10  1) * 0,26 (10  1) * 0,26
;


19,2
2,7


3)

 α  p̂q̂
 α  p̂q̂ 
P p̂  Z1  
 p  p̂  Z1  
 1 α
2
n
2
n






donde p̂ 
12
 α
 0,4285 q̂  1  0,4285 0,5715 n=28 =0,05 Z1    Z(0,975) 1,96
28
 2
Luego, reemplazando estos valores:

0,4285* 0,5715
0,4285* 0,5715
  0,95
P 0,4285 1,96
 p  0,4285 1,96

28
28


P0,4285 0,1833 p  0,4285 0,1833  0,95
d=0,1833 es el error de estimación. Notar que se tiene un error grande, porque la muestra
es pequeña (n=28).
Finalmente el Intervalo de Confianza queda:
P(0,2452 < p < 0,6118) = 0,95 .
Es decir IC: 0,2452 ; 0,6118.
4) No se conoce la varianza de la población, solo la muestral se puede calcular desde los datos de
la tabla (S).

α S
α S 
 1 α
P X  t n 1 (1  )
 μ  X  t n 1 (1  )
2 n
2 n 

Desde la tabla de datos:
Media: X  215,36 (miles de $). Desviación Estándar: S = 53,36 (miles de $).
n=30.
Además =0,05. Desde la tabla de la distribución t-student se tiene que
tn-1(1-/2)=t29(0,975)=2,0452.
Reemplazando:

53,36
53,36
  0,95
P 215,36  2,0452
 μ  215,36  2,0452
30
30 

P(195,45 <  <235,29) =0,95
53,36
El error de estimación es d= 2,0452
30
=19,92.
Interpretación: El gasto mensual promedio de las familias de este sector está entre $195.450.- y
$235.090.- con un 95% de Confianza.
C1) Falso. Esto dado porque el intervalo de confianza no sólo va a estar determinado por el nivel
de confianza con el que se desea trabajar, sino también va a depender de factores como cuáles
son los datos que se conocen, el tamaño de la muestra con el que se está trabajando y cuál es el
margen de error que se espera obtener del estimador en base al parámetro.
C2) Incierto. Si se conoce la varianza de la población el intervalo construido debiera ser el correcto
usando normal, sin embargo, en el caso de que la varianza sea desconocida se debe usar una T
Student si además la población de origen no es normal y el tamaño de la muestra es menor a 30.