limites

LÍMITES DE FUNCIONES
2º Bachillerato
Col La Presentación
Este documento es una guía para la resolución de límites sin aplicar la regla de L’Hôpital, en
adelante L’H. Veremos a continuación todos los posibles casos que nos podemos encontrar
para cada una de las indeterminaciones. Al final del documento hay ejemplos iguales para
resolver tú, de todo mezclado.
RESUMEN PRÁCTICO PARA LA RESOLUCIÓN DE
LÍMITES (NO L’HÔPITAL)
1. CASOS INMEDIATOS QUE NO DAN LUGAR A INDETERMINACIONES
log x  No Existe 
a) lim

  No Existe
x  1  7 x
  
2x  3
 0 
b) lim

0
x   x 6  1090
  
4
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
lim
x 
x
 No Existe.
log x3
lim  2 x3  x  1  
x 
lim  2x  0
x
lim 2 x  0
x
lim  2 x  
x 
lim 2 x  
x 
lim  2x  
x
lim 2 x  0
x 
x2  5x  4
2
1


x 3 x  2 x 2  x  2
8
4
lim
3
2. INDETERMINACIÓN INFINITO DIVIDIDO ENTRE INFINITO
5 x3  4 x  2   
5
a) lim

I  
3
x 
7
1 7x
  
b)
c)
d)
 x3  3x 2   

I  0
x  1  7 x 4
  
5 x5  4 x 4  2   
lim

I   
x 
13x3  x
  
log x   
lim

I   0 por la escala de infinitos.
x  1  7 x
  
lim
e)
2x  3
  

   por la escala de infinitos.
x   x 6  1090
  
f)
lim
lim
x
 

3
log x
 
4
x 

I    por la escala de infinitos

3. INDETERMINACIÓN CERO DIVIDIDO CERO
 x  1 x  4
x2  5x  4
0

a) lim 3
  I Factorizamos y simplificamos   lim

2
x 1 x  2 x  x  2
0
 x 1  x  1 x  1 x  2 
 x  4
3 3


x 1  x  1 x  2 
2 2
 lim
1
LÍMITES DE FUNCIONES
b)
lim
x 2
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 x  x2  4
 x  x  2  x  2 
 x  x  2
 x3  4 x
0 

I

lim
 lim
 lim

2
x 
x   x  2 
x 2  4 x  4  0  x   x  2 2
 x  2
 x  x  2  8

   
 xlim

0
 x  x  2   8  Cuando salga esto, hemos de diferenciar    2  x  2 
lim
 

x 2  x  2 
 x  x  2  8
 0 el limite por la izquierda y por la derecha  
   

 xlim
0
 2  x  2 
c)
0 
lim
  I   lim
2
x 2
x  x  6  0  x 2
3
6
 x  2 x
 x  2 x2
 lim
 x  2  x  3 x 2 6  x  2 3  x  33
2
3
 lim
x 2
 x  2 x2
3
3
 x  2   x  3
2
 lim 6
x 2

 lim
x 2




 xlim
 2


 x  2  x  3
3
x2
6



 Ahora como los dos radicales tienen 
 el mismo índice, los podemos meter 
dentro de un mismo radical de índice 6 
 Ahora sí podemos simplificar 
x2
4
4

 lim 6
6
6

3
x 2
dentro
de
la
raíz
0

125
0


 x  2  x  3
x2
6
Como no podemos simplificar por que
 x  2 x

  hay raices de distinto indice, entonces
 x  2  x  3 hay que pasar los dos radicales a índice común 
x2  2x
3
 x  2  x  3
3

6
4
 6   No Existe
0 125

6
4
 6   
0 125


3 x x  3

 x  3 Aún no podemos simplificar,

 x3  9 x  0 

I

lim
 0  x 3   x  2  x  3   pasemos radicales a índice común  
x 3  x 2  x  6
 


3
d)
lim
3
 lim
x 3 3
 1 x  x  3 x  3
 1  x  2   x  3
3
3
3
 lim
x 3
3
 1 x  x  3 x  3
3
3
3
 1  x  2   x  3

 De nuevo la
  lim
 misma situación   x 3
18
18

3
3


0 de antes, luego a  
 125  0

  lim
x 3
izq y a der



e)
1  3x  2
1  3x  2
0 
  I   lim

x 1
x 1
0
3  10  x  
3  10  x
lim
 lim
x 1
f)


 lim
x 3
x  x  3
3
 x  2   x  3
x  x  3
3
 x  2   x  3
3
 x  2   x  3
3
  3 
1  3x  2   3 
2

2

3
18
 3   


125

0


2

3
18
 3   


125

0


x  x  3
3
3
  lim 1  3x  4  3  10  x 
9  10  x  1  3x  2
10  x 
3· 3  10  x  18 9
10  x
 lim


1  3x  2
3  x  1 3 
3x  3 3  10  x

 lim

x 1 11  x 
1  x
1  3x  2
1  3x  2
10  x
x 1
1  3x  2
x 1

4

2


2  x  1 3  8  x
 2x  2 3  8  x
2x  2 3  8  x
0 
  I   lim

 lim
 lim

x 1
x 1
9  8  x 
1 x
3  8  x  0  x 1 3  8  x 3  8  x x 1
lim
lim
x 1
2x  2

2  x  1 3  8  x
 1 x  1
  lim 2 3 
x 1
8 x
 1
  lim 2 3 

x 1
2

8  x  12
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4. INDETERMINACIÓN INFINITO MENOS INFINITO
Sólo podemos hacer 
x2  4 x  4
x3
 2
    I   
a) lim 3

x 1 x  2 x 2  x  2
x 1
la cuenta y simplificar 
x2  4x  4   x2  x  6
 x  3 x  2 
x2  4x  4

 lim

x 1  x  1 x  1 x  2 
 x  1 x  1 x  2  x1  x  1 x  1 x  2 
 lim
3x  10
13

 
 
 xlim
1  x  1 x  1 x  2 
0
·2·(
1)
3x  10
13 
 lim
 
x 1  x  1 x  1 x  2 
3x  10
13
0 
lim
 
 
x 1  x  1 x  1 x  2 

0 ·2·(1)

b)
lim
x 0
lim
Sólo podemos hacer 
x 2  3x  2 x 2  2 x  1

    I   

2
2
x  2x
x x
la cuenta y simplificar 
x
2
 3x  2   x  1   x 2  2 x  1  x  2 
x  x  2  x  1
x 0
lim
x 0
c)
6 x  6 x 2
x  x  2  x  1
3
x 
 3x  2   x  1   x 2  2 x  1  x  2 
x  x  2  x  1
x 0

x6  x  1 x3  x 6  x  1
6
6
6
x 
x  x  x 1
3
6
lim

escala de 
 0

infinitos 
x  x  x 1
1 x
3
6
Cuando hay radicales sólo
lim 3x  x  1  3x  4 x  5     I    podemos multiplicar y dividir
x 
 por el conjugado
x 
2




  lim x   x  x 1  lim
x 
x  x  x 1
3
2
3x 2  x  1  3x 2  4 x  5
x 

3x 2  x  1  3x 2  4 x  5
3x  4
3x  x  1  3x  4 x  5
2
2
 lim
x 
  lim
x 
3x 2  x  1  3x 2  4 x  5
3x  4
3x  3x

3
2 3





3x 2  x  1   3x 2  4 x  5 
3x 2  x  1  3x 2  4 x  5
3
2
lim 3x2  x  1  3x 2  4 x  5   lim f ( x)  lim f ( x)   lim 3x 2  x  1  3x 2  4 x  5 
x 
 x 
 x 
x 

   I   lim
3x 2  x  1  3x 2  4 x  5
x 
lim
x 
f)
2
 0 Simplificamos 
6  6 x
6
 I

 3.
  lim
2
x 0
 x  2  x  1 2
 0  y calculamos 
2

lim
e)
x
Cuando hay radicales sólo
lim x3  x 6  x  1     I    podemos multiplicar y dividir
x 
 por el conjugado
x 
lim
d)
2
2
 lim
3x 2  x  1  3x 2  4 x  5
3x  x  1  3x  4 x  5
2
3x  4
3x  x  1  3x  4 x  5
2

2
 lim
x 
2
3x  4
3x  3x

3
2 3


 3
2
lim 4 x 2  x  2 x  1   lim f ( x)  lim f ( x)   lim 4 x 2  x  2 x  1     I  
x 
 x 
 x 
x 
3

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 Para aplicar (a  b)(a  b)  a 2  b 2 ,si a  4 x 2  x 


lim 4 x  x  2 x  1   para sacar b hemos de razonar  2 x  1  (2 x  1),  
x 
 ya que no sería correcto tomar como b  2 x  1



 4 x 2  x   2 x  1  4 x 2  x   2 x  1


2
 lim 4 x  x   2 x  1  lim 
x 
x 
4 x 2  x   2 x  1
2
 lim
4 x 2  x  (4 x 2  4 x  1)
x 
4 x  x   2 x  1
2
 lim
x 
5x  1
4 x  x   2 x  1
2
 lim
x 
5x  1
5

2 x   2 x  1 4
5. INDETERMINACIONES CERO POR INFINITO
Podríamos hacer algún ejemplo pero es rápidamente reducible a una de las otras y
tampoco tiene mucho interés este caso con las técnicas aprendidas.
Ejercicios propuestos para repaso
x2  4 x  x  3
lim
x 
lim 5x 2  x  5x 2  1
x 
lim x  x 2  x
x 
lim x  x 2  x
x 
2 x  3 x 2  3x  2
 2
x 0 x 2  3 x
x  2x
3  3x
lim
x 1
x  2x 1
lim
8 x 2
lim
2x  4  x
x 4
3
lim
x 3 6
x  9x
3
 x2  6 x  9
x2  x  2
x 2 x 3  3 x 2  4
 x2  x  2
lim 3
x 2 x  3 x 2  4
lim
x  x3
log x3
45
lim
x 
2x  x
x  x 2  e x
2 x  e x
lim
x 
x
x
2  ex
lim
x 
x
Ln( x)
lim
x  log x 3
lim
lim
x 
lim
Ln( x)
log x3
2x  x
x 1
2x  x
x  3
lim
x 1
2x  x
lim 2
x  x  e x
x  3
x2  4x
x3
 2
x  2 x3  2 x 2  x  2
x 4
lim 2x  x  x 2  e x
lim
x 
lim 2x  x  x 2  e x
x 
4