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[Escribir el título del documento] UNIVERSIDAD DE PANAMÁ FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA ESCUELA DE MATEMÁTICA “CONJETURA DE GOLDBACH” REALIZADO POR: JOSÉ ROSALES. MONOGRAFÍA PRESENTADA COMO UN REQUISITO PARA OPTAR POR EL TÍTULO DE LICENCIATURA EN MATEMÁTICA CIUDAD UNIVERSITARIA, OCTAVIO MENDÉZ PEREIRA PANAMÁ, 2011 1 [Escribir el título del documento] DEDICATORIA Quiero dedicarle este trabajo a Dios que me ha dado la vida y fortaleza para terminar este trabajo de Graduación. A mi esposa Luris por apoyarme y ayudarme en los momentos más difíciles. A mi hijo Joseph por ser fuente de inspiración y mi fortaleza. A mis Padres por estar ahí cuando más los necesité. 2 [Escribir el título del documento] AGRADECIMIENTOS A DIOS TODOPODEROSO: Por cuidarme y bendecirme siempre en todos mis estudios y por haberme permitido la culminación de esta carrera. A MI ESPOSA Y A MI HIJO: Luris Jaén y Joseph Rosales por ser mi fuente de inspiración. A MIS PADRES: Israel Pérez y Eulogia Rosales. Al Doctor JAIME GUTIÉRREZ por haberme guiado y ayudado durante el semestre. A MIS COMPAÑEROS DE GRUPO: Los cuales siempre aportaron su grano de arena para la realización de este trabajo. 3 [Escribir el título del documento] ÍNDICE Introducción…………………………………………………..………….………..5. I- Biografía Christian Goldbach...........................………………………….…………..…..6. II- El origen de la Conjetura de Goldbach………………………………….….…….…….7. III- Intentos de solución de la conjetura de Goldbach…………………….…..…….……10. IV- Informática Cuántica y la Conjetura de Goldbach………………………..…….……17. Conclusiones……………………………………………………………………..19. Recomendaciones……………………………………………………….……….20. Referencias Bibliográficas...…………………………………………………….21. 4 [Escribir el título del documento] INTRODUCCIÓN La teoría de Números (Aritmética) ha ocupado siempre una posición peculiar respecto de las distintas ramas de la Matemática, por su reputación de ser difícil y por estar revestida de un aura de cierto misterio. La Teoría de Números es fundamental para el entrenamiento matemático inicial. El Objetivo principal de este trabajo es de realizar un estudio sobre la conjetura de Goldbach. Teoremas, resultados y Tecnología que están cerca de resolver este gran problema. En Matemática, una conjetura es una afirmación que se supone cierta, pero que carece de demostración. Muchos matemáticos han dedicado su vida a estos problemas, sin lograr obtener ningún resultado. Antes de comenzar a estudiar las conjeturas, recordaremos brevemente lo que entendemos por número primo. El conjunto de los números primos es un subconjunto de los números naturales que engloba a todos los elementos de este conjunto que son divisibles exactamente tan solo por si mismos y por la unidad. Grandes esfuerzos han sido dedicados a la solución de este gran problema “la conjetura de Goldbach”, la cual fue mencionada por primera vez en una carta de Goldbach a Euler en 1742). En este trabajo haremos mención de aquellos matemáticos que aportaron su vida trabajando en este problema y conoceremos sus avances a una futura solución de esta conjetura. 5 [Escribir el título del documento] CHRISTIAN GOLDBACH Nació el 18 de Marzo de 1690 en Köningsberg, Prusia (en la actualidad Kaliningrado, Rusia). Falleció el 20 de Noviembre 1764 en Moscú, Rusia. En 1725, Christian Goldbach, se convirtió en historiador y profesor de matemáticas en San Petersburgo. Unos años después, en 1728, se dirigió a Moscú en calidad de tutor del Zar Peter II. Viajó a través de Europa, manteniendo diversos contactos con matemáticos en su gira. Cabe destacar, entre dichos encuentros, los que sostuvo con Leibniz, de Moivre y varios matemáticos de la familia Bernoulli, a saber, Nicolaus (I), Nicolaus (II), Daniel y Hermann. Goldbach realizó importantes trabajos en teoría de números, de los cuales gran cantidad de ellos se encuentran recogidos en la correspondencia que mantuvo con Euler. Este matemático ruso es famoso debido a una conjetura, que enunció en el año 1742, en una misiva dirigida a Euler. Dicha suposición todavía es una cuestión sin resolver y su enunciado es el siguiente: ‘todo número entero par mayor que dos puede representarse como suma de dos números primos’. Además, otra famosa conjetura de este matemático reza que todo número impar se puede expresar como suma de tres números primos. Vinogradov aportó avances en esta segunda hipótesis en el año 1937. Por otra parte, cabe señalar que Goldbach también investigó en el terreno de las sumas infinitas, teoría de curvas y teoría de ecuaciones. 6 [Escribir el título del documento] EL ORIGEN DE LA CONJETURA DE GOLDBACH La verdad histórica sobre la enunciación de la conjetura de Goldbach En 1742 Euler se había trasladado a Berlín y Goldbach le escribe a su amigo sobre nuevas proposiciones que ha concebido relacionadas con los números primos: […] quisiera aventurar una conjetura: todo número que esté formado por dos números primos es una suma de tantos números primos como se desee (contando entre ellos a las unidades), hasta alcanzar solo unidades. Pero su especulación no se detiene allí. Al leer lo ya escrito reconoce que pudiera mejorar su conjetura y escribe al margen: [...] Al volver a leer esto encuentro que esta conjetura se pudiera demostrar con sumo rigor en el caso n+1, si se cumple en el caso n y n+1 se divide en dos números primos. La demostración es muy sencilla. Parece ser al menos que todo número de ese tipo que sea mayor que 1 es suma de tres números primos. En esencia, Goldbach indica cómo demostrar, mediante el método que hoy denominamos de inducción matemática, la siguiente tesis: Si un número se puede representar como suma de dos números primos, entonces también se puede representar como suma de tres números primos. Luego, el problema se reduce a determinar cuáles números se pueden representar como suma de dos números primos. Euler envía como respuesta a Goldbach la consideración siguiente: Que un número que sea resoluble en dos números primos, se puede descomponer a la vez en tantos números primos como se quiera, puede ser ilustrado y confirmado a partir de una observación que su excelencia me había comunicado anteriormente, que todo número 7 [Escribir el título del documento] par es una suma de dos números primos. Puesto que el número propuesto n es par, entonces n es una suma de dos números primos y como n-2 también es una suma de dos números primos, entonces n es una suma de tres, y también de cuatro, etc. Si n es un número impar entonces él es una suma de tres números primos, porque n-1 es una suma de dos y por tanto se puede resolver varias partes. Entonces Euler añade: Pero el que todo número par sea una suma de dos primos lo considero un teorema, a pesar de que no puedo demostrarlo… Sin dudas Euler aplicó su gran ingenio para tratar de demostrar lo que el considera un teorema: Todo número par mayor que 2 puede ser escrito al menos de una forma como suma de dos números primos. Pero ni la perspicacia de Euler ni la de todos los matemáticos que por más de 260 años han dedicado sus esfuerzos a la prueba o refutación de esta afirmación han tenido éxito. Esta conjetura se conoce en la actualidad con el nombre de Conjetura Binaria o Fuerte de Goldbach. A partir de la veracidad de la Conjetura Fuerte de Goldbach, resulta sencillo deducir la llamada Conjetura Débil o Ternaria de Goldbach que se acerca más a lo planteado por Goldbach en su carta a Euler y se expresa en la forma actual: Todo número impar mayor que 5 puede ser escrito al menos de una forma como suma de tres números primos. La demostración de esta afirmación a partir de la validez de la Conjetura Fuerte de Goldbach es muy sencilla, pues si n es un número impar mayor que 3, entonces se cumple que n=3+m, al considerar a m un número par mayor que 2, el cual, a su vez, según la Conjetura Fuerte de Goldbach, es la suma de dos números primos m=p+q. Luego, n=3+p+q. Aunque la Conjetura Débil de Goldbach se deduce directamente de la Conjetura Fuerte, también se han dedicado grandes esfuerzos a demostrarla directamente. En los años 30 del 8 [Escribir el título del documento] siglo pasado se avanzó considerablemente en el acercamiento a una demostración al probarse que existe un número entero bien determinado C de modo que todo número natural n puede ser escrito como suma de no más de C números primos, es decir, n=p1+p2+...+pm, tales que pi es primo (i=1,...,m) y m ≤ C. Más adelante se logró probar que C ≤ 300000. La cota para esta constante C se ha logrado disminuir de forma sucesiva, así en los años 70 se logra probar que C ≤ 169 y, en esa misma década, se reduce sucesivamente hasta obtener que C ≤ 26. La mejor cota superior encontrada hasta el momento es 6. Sin dudas, con esto nos vamos acercando a la conjetura de Goldbach. Con el avance vertiginoso de la computación es de esperar que la brecha entre los valores comprobados de la conjetura y los aún dudosos se continúe reduciendo. La gran dificultad no consiste en el desarrollo de algoritmos eficientes para la determinación de las descomposiciones de un número dado en suma de dos números primos, sino, precisamente, en la poca eficiencia que tienen las pruebas para determinar cuando un número es primo Como el propio Christian Goldbach reconociera, “aquellas proposiciones que son muy probables aunque falte una verdadera demostración” son sumamente útiles, “pues aún cuando se descubra que son incorrectas, pueden conducir al descubrimiento de una nueva verdad”. 9 [Escribir el título del documento] INTENTOS DE SOLUCION DE LA CONJETURA DE GOLDBACH Avances sobre la Conjetura de Goldbach A principios de siglo se demostró, utilizando los métodos de criba que comentaremos en la siguiente sección, que los números representables como suma de dos primos tienen densidad positiva en los números enteros; es decir, una proporción positiva de ellos son representables como suma de dos primos. Lev Schnirelmann Nacido 02 de enero de 1905 en Gomel, murió el 24 de septiembre de 1938, en Moscú. Matemático soviético. Miembro correspondiente de la Academia de Ciencias de la URSS (1933). En la teoría de números, propuso métodos generales de métricas e introdujo el concepto de densidad de la secuencia de los números naturales. Schnirelmann fue consecuentemente capaz de demostrar que cualquier número se puede representar como la suma de un número limitado de números primos. Schnirelman había demostrado que si una sucesión de densidad positiva contiene al 0 y al 1, al sumarla con ella misma un número suficiente de veces, obtenemos todos los enteros positivos. De esta manera Schnirelman logró demostrar que todo número entero suficientemente grande puede escribir como suma de, a lo más, 800.000 números primos. Afinando el método se pudo ir reduciendo el número de sumandos. Pero aún así se vio que este método tenía sus limitaciones y que había pocas esperanzas de reducir el número de sumandos a 3, (problema ternario de Goldbach) y mucho menos a 2 (la conjetura de Goldbach). Se necesitaban nuevas ideas y estas vinieron de la mano de dos grandes matemáticos, G.H. Hardy y J.E. Littlewood. 10 [Escribir el título del documento] Godfrey Harold Hardy (7 de febrero de 1877 hasta 1 de diciembre de 1947) fue un matemático británico. Fue conocido por sus logros en la Teoría de números y el Análisis Matemático. Desde 1911 colaboró con J.E. Littlewood en análisis matemático y teoría de números. Alcanzaron avances en el problema de Waring como parte del método del círculo Hardy-Littlewood. En la teoría de los números primos, el trabajo de ambos (como sus primera y segunda conjeturas) sirvió para el desarrollo de la teoría de números como un sistema de conjeturas a ser probadas. John Edensor Littlewood (9 de junio de 1885 – 6 de septiembre de 1977) fue un matemático británico, conocido principalmente por su larga colaboración con G. H. Hardy. La mayor parte de su obra fue en análisis matemático y números. Durante cerca de 35 años colaboró con G. H. Hardy, con quien realizó contribuciones en teoría de series, la función zeta de Riemann, desigualdades y teoría de funciones. El método del círculo, como así se denomina a su original método, es una de las maravillas de la matemáticas. Teorema (Hardy-Littlewood) Si la Hipótesis de Riemann Generalizada es cierta, entonces 𝑛2 r3(n) ~ σ3(n)𝑙𝑜𝑔3 𝑛 La función σ3(n) tiene una expresión explicita que depende de n, pero comprendida entre dos constantes. 11 [Escribir el título del documento] En 1923 los matemáticos ingleses G. Hardy y J. Littlewood lograron relacionar la conjetura de Goldbach con la teoría de las funciones analíticas. Iván Matvéyevich Vinográdov(14 de septiembre de 1891 – 20 de marzo de 1983) fue un matemático ruso, uno de los creadores de la teoría analítica de números moderna y una figura dominante de la matemática soviética. En teoría analítica de números, el método de Vinográdov se refiere a su principal técnica para resolver problemas que empleó en problemas sobre la estimación de sumas exponenciales. Gracias a este método, Vinográdov se empleó en problemas tales como la conjetura débil de Goldbach en 1937 (en la que usó el teorema de Vinográdov), y la región libre de ceros de la función zeta de Riemann. En el año 1937, el matemático Iván Matvéyevich Vinogradov probó que si N era un Numero Natural Impar suficientemente grande, entonces N era suma de tres Números Primos. Se deducía de esto que cualquier Numero Natural Par suficientemente grande era suma de cuatro Números Primos por lo menos. Teorema. (Vinogradov) Todo número impar suficientemente grande se puede escribir como suma de tres primos. En 1989 Chen and Wang consiguieron sustituir la imprecisa expresión “suficientemente grande” por “todo impar mayor que 1043000 ”. Sin embargo este número es todavía demasiado grande como para comprobar si los impares anteriores son representables como suma de tres primos. J.M.Deshouillers, G.Effinger, H.te Riele y D.Zinoviv, asumiendo la Hipótesis de Riemann generalizada, han conseguido rebajar este número hasta 2 ×1012 , accesible a las técnicas de computación actuales. Teorema. (Deshouillers et al.) Si la Hipótesis de Riemann Generalizada es cierta, entonces todo número impar mayor que 5 se puede escribir como suma de tres primos. 12 [Escribir el título del documento] Chen Jing-run, en 1966, demostró que todo Numero Natural Par lo bastante grande puede escribirse como suma de un Numero Primo más el producto de dos factores Primos. El Teorema de Chen. Otra manera de acercarse al problema es relajar la condición de primos por la de casiprimos (primos o producto de dos primos). En 1966, Chen Jing-Run, utilizando un método de criba muy sofisticado, obtuvo el siguiente resultado. Teorema. (Chen) Todo número par suficientemente grande puede escribirse como suma de un primo y un casiprimo. Comentemos brevemente qué son los métodos de criba. De todos es conocido la criba de Eratóstenes para la obtención de números primos. Si un número menor que x es compuesto, debe ser divisible por algún primo menor que √𝑥. Si vamos eliminando los múltiplos de 2, los de 3, los de 5, así hasta √𝑥, lo números menores que x que sobrevivan a esta criba deberían ser primos. Supongamos que queremos obtener el número de representaciones de un entero n par como suma de dos primos. Podemos proceder de una manera similar escribiendo todos los números m(n − m), m < n. Si m ó n − m no es primo, el número m(n − m) deber tener un divisor primo menor que 𝑛1/3 . Entonces podemos ir tachando aquellos números que sean múltiplos de primos menores que 𝑛1/3 . Los números que sobrevivan a la criba serán de la forma m = p, n −m = q. Es, decir, n = p + q. El problema es que cuando queremos contar el número de los que vamos tachando tenemos que aplicar el principio de inclusionexclusion. Por ejemplo, después de restar los múltiplos de 3 y los múltiplos de 5, debemos sumar los múltiplos de 15 porque los hemos restado dos veces anteriormente. En todo este proceso se va acumulando un error que no somos capaces de controlar porque 𝑛1/3 es demasiado grande. Chen consiguió controlar dicho error “cribando” con los primos menores que 𝑛1/4 ; pero los números que sobreviven en este caso son de la forma m(n −m) = pq o de la forma m(n − n) = pqr. Es decir, n = p + q ´o n = p + qr. 13 [Escribir el título del documento] En el año 1995, Ramaré, probó que cualquier Numero Natural Par es resultado de la suma de seis Números Primos. El mejor resultado incondicional (sin suponer la Hipótesis de Riemann), válido para todos los números pares se debe a O. Ramaré (1995). Teorema. (Ramaré) Todo número par se puede escribir como la suma de, a lo más, 6 primos. Por ejemplo, todavía no se sabe si todo número impar mayor que 1 se puede escribir como suma de, a lo más, 5 primos. La Hipótesis de Riemann Generalizada, que ha aparecido frecuentemente en el texto, está íntimamente relacionada con el error que se comete al estimar el número de primos en progresiones aritméticas. Si fuera cierta, el error que se cometería en dichas estimaciones sería pequeño y la estimación de los S (α) sería más precisa. Cuando se aplica el método del círculo a la conjetura de Goldbach, incluso asumiendo la Hipótesis de Riemann, la acumulación de errores que se obtiene cuando se estima la integral es mucho mayor que lo que se supone debe ser el término principal proveniente de los arcos mayores. Si se pudiera demostrar que este error es menor que el término 𝑛 principal, se obtendría, como conjeturaron Hardy y Littlewood, r2(n) ~ σ2(n)𝑙𝑜𝑔2 𝑛 , donde aquí de nuevo, σ2(n) es mayor que una constante positiva para todo n. Aunque ya hemos comentado que la estimación de los errores en el método del círculo es muy mala, se pueden obtener buenos resultados en media. De esta manera Estermann (1938) demostró que “casi todos” los números pares satisfacen la conjetura de Goldbach. Es decir, si llamamos N2(x) al número de pares menores que x no representables como suma de dos primos, entonces 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ N(x)/x=0 14 [Escribir el título del documento] Algunas verificaciones: - En 1855, A. Desboves verificó la conjetura de Goldbach para todos los números menores ó iguales que 10.000. - En 1940, N. Pipping verificó la conjetura hasta 100.000. - En 1998 trabajando con computadoras se demostró que era cierto que cada número hasta los 400 mil millones cumplía con la conjetura. Pero no hay computadora que pueda seguir calculando hasta el infinito. Esta conjetura ha sido verificada hasta 100000000000000, pero aun no se ha encontrado La Estadística apunta a que la Conjetura de Goldbach es cierta. De momento, se ha comprobado empíricamente, con métodos de computación distributiva, que todos los pares menores que 1018 cumplen la conjetura. Estadísticamente, sería toda una sorpresa que algún número mayor no cumpliera la conjetura, ya que (como se aprecia intuitivamente) cuanto mayor es el número más posibilidades existen de descomponerlo en sumandos primos. La imagen que ilustra la entrada precisamente muestra la cantidad de posibilidades que tenemos para escribir un número par (entre 4 y 1000) como suma de dos primos. Bajo estas líneas, tenemos la misma imagen pero llegando hasta un millón. Se aprecia la tendencia de que cuanto más grande es el número más posibilidades existen de escribirlo como suma de dos números primos. De hecho, del Teorema de los Números 15 [Escribir el título del documento] Primos se puede llegar a la conclusión de que el número de posibles combinaciones de dos sumandos primos para un número par n sería del orden de n / (2·ln2n). Con estos datos en la mano, sería una rareza estadística de gran magnitud pensar que podemos encontrar un número par mayor que 1018 que no cumpla la conjetura de Goldbach (comparable a la de los infinitos monos que aporrean aleatoriamente máquinas de escribir, y que consiguen escribir, por completo azar, una obra de Shakespeare). Y sin embargo, aunque la probabilidad sea minúscula, técnicamente es posible hasta que alguien demuestre fehacientemente lo contrario. 16 [Escribir el título del documento] LA INFORMÁTICA CUÁNTICA Y LA CONJETURA DE GOLDBACH. La idea de computación cuántica surge en 1981, cuando Paul Benioff expuso su teoría para aprovechar las leyes cuánticas en el entorno de la computación. En vez de trabajar a nivel de voltajes eléctricos, se trabaja a nivel de cuanto. En la computación digital, un bit sólo puede tomar dos valores: 0 ó 1. En cambio, en la computación cuántica, intervienen las leyes de la mecánica cuántica, y la partícula puede estar en superposición coherente: puede ser 0, 1 y puede ser 0 y 1 a la vez (dos estados ortogonales de una partícula subatómica). Eso permite que se puedan realizar varias operaciones a la vez, según el número de qubits. Se ha sugerido el uso de la computación cuántica como alternativa superior a la computación clásica para varios problemas, entre ellos: Factorización de números enteros Logaritmo discreto Simulación de sistemas cuánticos: Richard Feynman conjeturó en 1982 que los ordenadores cuánticos serían eficaces como simuladores universales de sistemas cuánticos, y en 1996 se demostró que la conjetura era correcta.2 Mediante la computación cuántica se podrían realizar en cuestión de segundos tareas que actualmente, con la computación digital, requerirían un tiempo mayor que la edad del universo. Entre ellas la descomposición de un número arbitrario de, por ejemplo, 500 cifras. La posibilidad de realizar esta tarea tan fácilmente haría necesario cambiar todos los sistemas actuales de comunicación confidencial, basados en el sistema de encriptación RSA y semejantes. Esta nueva capacidad se convierte así en un fuerte estímulo para tratar de poner los medios necesarios a fin de hacer de la computación cuántica una realidad en un futuro cercano. También por medio de la Computación Cuántica se pueden utilizar Algoritmos, debido a que la seguridad de este algoritmo radica en que no hay maneras rápidas de factorizar un número grande en sus factores primos utilizando computadoras tradicionales. La computación cuántica podría ofrecer una solución a este problema de factorización. 17 [Escribir el título del documento] En mayo de 2000 el Clay Mathematics Institute anunció en París, para conmemorar solemnemente el aniversario de la conferencia de Hilbert en la misma ciudad, el establecimiento un premio de un millón de dólares para quien resolviera uno cualquiera de los siete problemas que han venido a llamarse los problemas del milenio. El Clay Mathematics Institute fue fundado en 1998 por Landon T. Clay, un hombre de negocios de Boston gran admirador de la matemática. El Instituto está dirigido por Arthur Jaffe, profesor en Harvard University y su equipo asesor está constituído por unos cuantos de los más eminentes matemáticos del momento. Los problemas del milenio han sido elegidos por ellos y son los siguientes, enunciados brevemente: El problema P=NP. La conjetura de Poincaré. La conjetura de Hodge. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer. Las ecuaciones de Navier-Stokes La teoría de Yang-Mills. La conjetura de Riemann. Todo cero no trivial de la función z de Riemann tiene parte real igual a 1/2. 18 [Escribir el título del documento] CONCLUSIÓN Como hemos observado, el afán de un matemático nunca termina y eso es lo que se ha demostrado en este trabajo. Un verdadero matemático nunca se da por vencido, muestra de ello es la demostración del “Último Teorema de Fermat”. Todavía no se ha podido demostrar si es cierta la conjetura de Goldbach, pero tampoco se ha determinado que no sea cierta. Hemos aprendido que la conjetura “fuerte de Goldbach”, implica la conjetura “débil de Golbach” y no lo contrario. También observamos que si se logra probar la Hipótesis generalizada de Rieman, entonces la conjetura “débil de Goldbach”, sería cierta y eso es debido a que Deshouillers demostró que si la hipótesis de Riemann es cierta entonces también la conjetura débil de Goldbach es cierta. También cabe destacar que la Computación Cuántica, está cerca de demostrar la conjetura de Goldbach, ya que por medio de esta nueva tecnología se está tratando de hacer algoritmos capaces de factorizar números primos gigantescos y determinar si son primos. Con la computación cuántica podremos resolver problemas en diferentes ámbitos que antes eran imposibles de resolver. 19 [Escribir el título del documento] RECOMENDACIONES Nunca rendirse ante un problema o ante una situación que creamos que está fuera del alcance de nosotros, muestra de eso lo tenemos con la demostración del Último Teorema de Fermat, el cual al igual que la conjetura de Goldbach, parecía inaccesible. Empaparse de los grandes problemas matemáticos, no solo el de la Conjetura de Goldbach, sino todos los relacionados a números primos y tratar de realizar investigaciones y aportes a las mismas. Investigar sobre las herramientas tecnológicas que no solo apuntan a resolver la Conjetura de Goldbach, sino también varios problemas abiertos sobre números primos. Establecerse metas en la vida y valorar el legado que nos han brindado estos grandes Matemáticos. 20 [Escribir el título del documento] REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS www.es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Goldbach. www.portalplanetasedna.com.ar/golbach.htm. www.blogs.publico.es/.../899/la-conjetura-de-Goldbach. www.fceia.unr.edu.ar/~diazcaro/.../Computacion%20Cuantica.pdf - Similares http://es.scribd.com/doc/55446923/71/La-caracterizaci´on-de-los-primosregulares. 21 [Escribir el título del documento] 22