RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

TU
INGRESO
ES
DIRECTO
RAZONAMIENTO
IN
OO,
UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA
dai
o
ales
twitter.com/calapenshko
atb_a
a
9
Prohibida
su reproducción
AO
total o parcial sin autorización de esta publicación.
Copyright CEPRE-UNALM
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
CE
PRE
UNALM
TU INGRESO
ES DIRECTO
RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
Gildder Caqui Yábar
Raúl Carrasco Torres
Daniel Cartolin Camacho
Luis Masgo Lara
Alfredo Moreno Llacza
Rommel Pezo Vásquez
Narciso Vivas Ordinola
02
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Universidad Nacional Agraria La Molina
Rector
Dr. Enrique FLorES MARIAZZA
Vicerrector Académico
Dr. JorcGe ALarcÓN Novoa
Vicerrectora de Investigación
Dra. CARMEN VELEZMORO SÁNCHEZ
TU INGRESO
ES DIRECTO
Centro de Estudios Preuniversitarios
Director
Ma. Vieror Trejo CADILLO
Jefe de la Unidad Académica
Mo. TeóriLo Cmre Murio
Jefe de la Unidad Administrativa
ING. MIGUEL DELGADO GARCÍA
Edición 2019
RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
OUniversidod Nocionol Agraria La Molina
Sexta revisión: Alfredo Moreno Llacza
Improso por
Contro de Estudios Proumivarsitarios
Jr. Almirante Guissa 939
- Jesús Mario
Teléfono: 433-5131 / 330-7010 / 330-8434
e-mail: prelanmolinalamolina,
edu. pe
: GRÁFICA BRACAMONTE
Gustavo Adolfo
Cóllo Eloy Ureta
Urb, El Mercurio
Talf.: 326-5361 /
Bracamonte Heredia
N" 076
- San Luis - Lima
Lima 30 - Perú
ventestPbracamonte.com.
pe
Novena reimpresión, diciembre de 2019
Tiraje: 1000 ejemplares
Derechos reservados. Prohibida su reproducción
total o parcial sin permiso del editor.
p
]
impreso en 6l Perú
Primted ln Peru
¡SBN: 978-812-45966-3-6
- Hacho el Depósito Legal en la Bibliotoca
Nacional del Perú N*: 2019-13411
03
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
INDICE
Presentación
Introducción
UNIDAD 1
ORDEN DE INFORMACIÓN
1.1
Introducción
1.2
Orden lincal
1
12
13
1.4
Orden circular
Tabla de doble entrada
”
18
Resumen
20
Ejercicios résueltos
21
Ejercicios propuestos
33
UNIDAD
2
INTRODUCCIÓN AL RAZONAMIENTO
2.1
2.2
23
24
2.5
LÓGICO
Introducción
46
— Lógica
Simbolicación
Operadores lógicos
46
49
50
Simbolos de agrupación
50
26 — Jerarquización
51
27
51
Funciones veritativas
28 — Lógica de clases
29
Representación gráfica mediante el diagrama de Wenn
2.10. Negación de proposiciones categóricas
54
55
57
2.11
58
Acertijos lógicos (Principio de Suposición)
Resumen
Ejercicios Resueltos
Ejercicios Propuestos
59
61
09
UNIDAD 3
MÁXIMOSY MÍNIMOS
31
32
33
Introducción
Conjunto Solución
3.2.1
Vinculo entre máximos y mínimos
Valores extremos de una función
20
20
82
82
34
Certezas
sa
35
Conceptos Importantes
85
Resumen
85
Ejercicios Resucltos
Ejercicios Propuestos
56
7
UNIDAD 4
SUCESIONES - PSICOTÉCNICO
41,
Introducción
106
4.2,
Sucesiones
107
4.3,
,
200
DP
Analogías
128
Analoghas Numéricas
128
Analogias Alfabcticas
129
Analogias Gráficas
130
04
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
E!
A!
|
Tu futuro empieza
con
nosotros
44,
45,
TU INGRESO ES DIRECTO
Distribuciones
Distribuciones Numéricas
131
131
Distribuciones Gráficas
132
Sólidos
133
Resumen
134
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
135
144
UNIDAD 5
SERIES
35.1
5.2
Introducción
Series Numéricas
153
153
5.2.1
Serie Arlimética
153
522
523
Series Geométricas
Series Notables
155
158
Resumen
159
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
160
169
UNIDAD 6
SUMATORIAS
6.1
6.2
Introducción
Sumaloria
b,2,1
6,22
6.3
Simbolo de sumatoria (2 ) y elementos de una sumatoria
Propiedades de la sumatoria
180
182
Doble sumatoria
63.1
64
179
180
183
Propiedades de la doble sumatoria
184
Sumas especiales
154
6.4.1
Suma de productos compuestos por factores conseculivos
154
64,2
Suma de productos compuestos por factores cuya diferencia es constante
185
6.43
Suma de productos compuestos por factores cuya suma es constante
185
6.44
Suma de inversas
186
Resumen
186
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
187
195
UNIDAD 7
MÉTODOS RAZONATIVOS: INDUCCIÓN - DEDUCCIÓN
71
Introducción
206
712
Método inductivo
206
73
74
Método deductivo
Triángulo
de pascal
208
211
75
Conteo de figuras
21
Resumen
218
Ejercicios resueltos
219
Ejercicios propuestos
230
UNIDAD 4
ANÁLISIS COMBINATORIO
0
EA
Introducción
245
es
Eds
Factoral
246
'
82.1
822
Definición
Desarrollo parcial del factorial de un número
246
247
O5
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
E!
A!
|
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
38,3,
8.2.3,
Descomposición canónica del factorial de un número
3824.
Cantidad de vecos teminales del factorial de un número
Principios fundamentales del análisis combinatorio
8.3.1, Principio de la adición
38,32, Principio de la multiplicación
240
250
251
251
232
4.
Técnicas de conteo
253
3241.
Permutación
8.4.1.1. Permutación lincal
2.4.1.2, Permutación circular
8.4.1.3. Permutación con repetición
253
255
156
257
2,42
Combinación
258
Resumen
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
259
260
209
UNIDAD 9
OPERADORES MATEMÁTICOS
3.1
92
Introducción
Operación muiemática
279
280
9.3
Operador matemático
281
9.4
Operación binaria
9.3 — Propiedades de las operaciones binarias
Resumen
Ejercicios resueltos
283
286
293
295
Ejercicios propuestos
306
UNIDAD 10
PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES
10.1
Introducción
m7
10,2
El lenguaje simbólico
317
10.3
10,4
10,5
10.6
Planteamiento de una ecuación
Ecuaciones Lincales
Ecuaciones Simulláneas
Ecuaciones Cuadrálicas
319
321
322
323
10.7
Ecuaciones Diofánticas
Resumen
324
25
Ejercicios Resueltos
Ejercicios Propuestos
326
335
UNIDAD 11
PLANTEO DE INECUACIONES
11,1,
112.
'
0
Introducción
Definiciones
343
344
11,21, — Intervalos en la recta real
344
11.3,
11,2,2,
Clasificación de los intervalos
Desigualdad
344
5
11.3.1. — Propiedades de las desigualdades
346
11,4,
115.
Inecuaciones
Planteo de inecuacioónes
348
344
- Resumen
Ejercicios resueltos
349
350
Ejercicios propuestos
358
06
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
UNIDAD 12
CUATRO OPERACIONES
12,1
Introducción
12,2
Métodos Operativos
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
360
370
374
383
UNIDAD 13
PERÍMETROS Y ÁREAS
13,1.
132
Introducción
Conceptos básicos
32
393
133
Perimetro
93
134
Área
304
Resumen
3402
Ejercicios resueltos
403
Ejercicios propuestos
414
BIBLIOGRAFÍA
424
CLAVES DE LOS EJERCICIOS
PROPUESTOS
425
07
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
PRESENTACIÓN
El Centro de Estudios Preuniversitarios de la Universidad Nacional Agraria La Molina
(CEPRE-UNALM), con mucho entusiasmo, reestruecturó y relanzó las publicaciones propias,
con la finalidad de mantener la mejora continua de sus servicios, dirigidos fundamentalmente
para el beneficio académico de nuestros estudiantes.
Te presentamos estos nuevos ejemplares de nuestra colección de 9 libros (Álgebra,
Aritmética,
Geometría,
Trigonometría,
Biología,
Física, Química,
Razonamiento
Matemático y Razonamiento Verbal), revisada y corregida con dedicación por los
Coordinadores y Profesores de cada uno de los cursos que se imparten a nuestros estudiantes
en su preparación preuniversitaria.
Cada libro se viene desarrollando de acuerdo a los contenidos que hoy exige la Universidad
Nacional Agraria La Molina — UNALM y en diversas instituciones de preparación superior,
considerado un valioso material académico, que contribuirá a consolidar el conocimiento
y lograr un mejor aprendizaje.
Las unidades de cada libro, han sido estructuradas con contenidos teóricos y ejemplos
que facilitan su comprensión, con un conjunto de problemas resueltos con diferentes grados
de dificultad a manera de guía práctica, y un conjunto de problemas propuestos también
con diferentes grados de dificultad con sus respuestas respectivas, con cl objetivo de lograr
en los estudiantes un auto aprendizaje significativo.
A ustedes jóvenes estudiantes dejo en sus manos esta colección de libros que es el trabajo
comprometido de la institución para brindarles una formación académica de calidad, que
sca la base del desarrollo del éxito de su carrera universitaria; por eso cl CEPRE-UNALM
te prepara para tus éxitos del futuro, y que estos estarán en función de la avidez, empeño
y dedicación que determines para alcanzar tus metas y objetivos.
Finalmente quiero expresar mi sincero agradecimiento a cada uno de los Coordinadores
y su plana Docente por el gran trabajo realizado en forma permanente para la mejora de los
libros y lograr esta nueva reimpresión.
MG. Sc. VÍCTOR TREJO CADILLO
Director del CEPRE-UNA LM
08
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
INTRODUCCIÓN
El razonamiento es una facultad del ser humano que le permite resolver un problema. Para ello el ser
humano recurre a una serie de procesos mentales que le permiten llegar a una solución del problema.
Cuando realizamos este proceso decimos que usamos la razón. El razonamiento matemático es, la habilidad
cognitiva que posee el estudiante con respecto al manejo de las cantidades y las formas, Es parte integral
de su educación ya que la utilizará en su vida diaria para resolver situaciones cotidianas donde se verán
reflejados sus conocimientos, sobre esta disciplina. Por lo tanto Razonamiento Matemático es la materia
que, partiendo del conocimiento matemático, busca generar en los estudiantes aptitudes y habilidades
para resolver problemas.
Este libro se escribió pensando en hacer un libro de texto para el curso de Razonamiento Matemático
que se dicta en el Centro de Estudios Preuniversitario de la Universidad Nacional Agraria la Molina, que
está desarrollado de manera que ayude al estudiante a desurrollar aptitudes y habilidades para resolver
problemas y de esta manera contribuir en su preparación para su buen desenvolvimiento en la universidad.
El libro consta de 13 unidades y cada unidad está desarrollado con su respectiva teoria, 20 problemas
resueltos y 40 problemas propuestos con sus respectivas claves.
En la unidad 1 se presenta orden de información: orden lineal, circular, y por tablas de duble entrada.
En la unidad 2 se presenta introducción al razonamiento lógico: lógica proposicional y lógica de
clases,
En la unidad 3 se presenta máximos y minimos: certezas y máximos y minimos en situaciones no
aleatorias.
En la unidad 4 se presenta sucesiones — psicotécnico: tipos de sucesiones: numéricas, al fabéticas,
alfanuméricas, Distribuciones, analogias y visualización de sólidos.
En la unidad 5 se presenta series numéricas.
En la unidad 6 se presenta sumatorias: definición de sumatoria y sus propiedades, sumas especiales
y doble sumatoria y sus propiedades.
En la unidad 7 se presenta métodos razonalivos; inducción, deducción, habilidad operativa y conteo
por el método de Pascal,
En la unidad $ se presenta análisis combinatorio: combinación y permutación.
En la unidad 9 se presenta operadores matemáticos: operadores simples, compuestos y operación
binaria y sus propiedades.
En la unidad 10 se presenta planteamiento de ecuaciones lincales y no lincales,
En la unidad 1150 presenta planteamiento de inecuaciones lincales y no lineales.
En la unidad 12 se presenta cuatro operaciones: regla conjunta y el método inverso.
En la unidad 13 se presenta perimetros y áreas.
Esperamos que esta pequeña obra, esfuerzo de los docentes del curso de Razonamiento Matemático
del CEPRE - UNALM, sea de gran utilidad para nuestros estudiantes, docentes y público en general
interesado en el conocimiento de estos temas.
Estaremos a la espera de sus valiosas sugerencias para seguir mejorando nuestro trabajo y servirles
mejor en futuras ediciones.
Los docentes del curso de Razonamiento Matemático del CEPRE - UNALM agradecemos a Dios por
permitirnos brindar este servicio hacia nuestros estudiantes, docentes y público en general; a la dirección
del CEPRE - UNALM por su apoyo para la publicación.
09
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con nosotros
UNALM
TU INGRESO ES DIRECTO
UNIDAD 1
ORDEN DE INFORMACIÓN
<—DKE
E
ne
1
]
_
NN yd)
(
DIN
10
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
OBJETIVOS
Al finalizar la Unidad 1, el alumno será capaz de:
l,
Analizar y comprender textos, con sentido crítico.
2.
Elaborar conclusiones sólidas y concretas a partir de premisas.
3.
Tomar decisiones en situaciones de la vida diaria.
4. — Modelar esquemas, gráficos, cuadros, estructuras, estrategias, etc. de tal manera que se pueda
ordenar la información de manera precisa y coherente
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Para la presente unidad el alumno deberá conocer previamente:
Comprensión lectora.
2,
Diseñar esquemas sencillos y claros que representen de forma organizada la información dada
y que facilite la comprensión del mismo.
Los conceptos de lateralidad, arriba, abajo, adyacente, frente a, junto a, diametralmente opuesto,
ctc.
CONTENIDO
1:2
INTRODUCCIÓN
ORDEN LINEAL
1.3
ORDEN CIRCULAR
1.4
TABLA DE DOBLE ENTRADA
11
RESUMEN
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS
Unidad
1 - Orden
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
11
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
1.1
TU INGRESO ES DIRECTO
INTRODUCCIÓN
Las situaciones que se presentan en esta primera unidad nos va a permitir el fortalecimiento
y
desarrollo de nuestras habilidades, así como la integración de nuestras inteligencias múltiples,
además la habilidad de comprensión lectora.
Tenemos un conjunto de datos y afirmaciones dadas como verdaderas y como el nombre del tema a
tratar lo dice, se tiene que organizar la información de acuerdo a las opciones y restricciones del
enunciado, anotando tal vez lo más relevante, esta unidad pretende evaluar el manejo de detalles, las
habilidades de deducción formal, la comprensión de como las reglas o normas limitan y ordenan
el comportamiento, y la habilidad de manejar muchos datos simultáncamente, para solucionar
situaciones, asi como también diseñar gráficos, esquemas o cuadros que permitan determinar de
manera precisa una conclusión o conclusiones sólidas y concretas.
Se debe tener en cuenta que una situación puede tener una o más soluciones que satisfacen las
condiciones del enunciado,
Indicamos algunas recomendaciones:
A) Leer el enunciado para tener conocimiento de la situación.
B)
O
D)
E)
F)
G)
En algunos casos se tendrá que leer el enunciado dos o más veces para captar información
que pasa desapercibida,
Elaborar un esquema sencillo y claro que represente de forma organizada la información
dada y que facilito la comprensión del mismo,
El esquema elaborado debe tener un eje de referencia principal y tal vez algunos auxiliares
que se irán insertando conforme se avance la resolución.
Evaluar primero la información que más convenga.
Los enunciados son muy claros, por lo tanto * NO SUPONER NADA *
Siempre hay datos directos que fortalecen los gráficos elaborados, asi como información poco
relevante.
H) El gráfico o esquema debe representar todos los posibles ordenamientos del problema.
l)
Verilicar que la respuesta cumpla con todas las condiciones del enunciado.
Por criterios didácticos las situaciones presentadas serán organizadas en tres prupos representativos:
1,2
+
Ordenamiento Lineal
+
Ordenamiento Circular
Tabla de Doble entrada
ORDENAMIENTO LINEAL
Es el más común de los ordenamientos, consiste en ubicar posiciones de personas o tal vez ordenar
una serie de objetos, de acuerdo a una caracteristica.
Los datos se ordenaran en forma HORIZONTAL
o VERTICAL, según corresponda
Mencionamos a continuación algunos casos representativos en cada caso:
HORIZONTAL
Unidad
1 - Orden
IZQUIERDA
«——>
DERECHA
OESTE
«—>
ESTE
OCCIDENTE
“——=>
ORIENTE
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
12
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
Personas ubicadas en una fila de butacas en el teatro o cine, bancas en la parroquia o
graderías en el estadio o coliseo:
Personas que posan para una toma fotográfica.
Viviendas vecinas en cierta calle.
Autos estacionados en zona de parqueo o exhibición vehicular.
Recipientes colocados en una repisa o repostero.
Libros, revistas o documentos colocados en un mueble o estante.
Ejemplo
Cinco amigos asisten a una obra teatral y se ubican juntos en una fila de cinco butacas, tal como
se muestra, es obvio que están mirando al escenario,
ESCENARIO
IZQUIERDA
4
DERECHA,
ASA
| BETO
¡CARLA
DANIEL]
ELSA
Responder las siguientes preguntas:
Y
A la izquierda de Beto se encuentra ....oononcocanoncnenanos
W
A la derecha de Carla se encuentra ..coososoressesnornoos
Daniel está a la derecha de ....oooomocoroscoscacaciononrooss
Ana está a la izquierda de ..oocororoccconcrnroncroncnan
conos
Carla está adyacente 2 e.mmoommmssrcanarrosnroncrcorrrenonnono
AA
está más a la derecha
csnsaransacanncsr
oo CST más a la izquierda
Daniel está junto y a la diestra de ......ooococranoccnnanoss
Beto está junto y a la izquierda 00 ....cooncccncnecononannas
Unidad
1 - Orden
13
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Ejemplo:
En una repisa se colocan seis frascos con los contenidos mencionados
IZQUIERDA
DERECHA
*
CAFÉ
TE
po
WWERA
CREMA]
e
CHOCOLATE
Responder las siguientes preguntas:
Y
La avena se encuentra Junto 2 o.ccooncccccnnnncconcnonencnennnnnns
Y
Ala izquierda de la crema se encuentra. ..ocmoocccororosnconoes
Y Junto y a la izquierda de la crema se encuentra ....oommcmmmoss.
Y
El frasco que está más a la derecha eS ...oooooncornnonnesroenrnes
Y
El frasco que está más a la izquierda €S ..... PO
wW
La
avena
se
encuentra
entre
ERE
a
EIA
Ejemplos gráficos:
1) “A” se encuentra a la derecha de “B"
al
“A*” se encuentra
al oriente
—
2)
de*B”
de*B”
“A” se encuentra a la izquierda de “C” y a la derecha de “B”
“A* se encuentra
—4
B
1 - Orden
+
al
oeste
al occidente
de
“C” y al
de *C" y
este
al oriente
de*B”
de “BE”
-—$+
WA" se encuentra
Unidad
este
—$
“A*% se encuentra
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
14
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con nosotros
UNALM
TU INGRESO ES DIRECTO
VERTICAL
e
ARRIBA
MAYOR
NORTE
ABAJO
MENOR
SUR
Listado de personas de acuerdo a su estatura, edad, peso, situación económica, puntajes o
notas de cierta evaluación
s
e
e
Ubicación de personas en los distintos pisos de un edificio.
Listado de tareas o actividades por realizar.
Ubicación de objetos en diferentes niveles de un mueble o estante.
Ejemplo
Cinco estudiantes viven en un edificio de cinco pisos, tal como se muestra:
pu
ANDRÉS
BERTHA
CARLOS
DIANA
o
«LLL!
o
ter | | |
o
caos LLL!
O
lama
EDGAR
| |
|
o
Ldgar
Responder las sipuientes preguntas:
Y ¡Curl
tl
ii
Y
Adyacentes a Diana estál..ooccrononerononanoniarnanrsnronacan
rara ronca
Y
Diana se encuentra debajo de ....onorocconsacioonencncnononraneacnonaroso
Y
Diana se encuentra inmediatamente debajo de «.ooormonrommmmors +
Y
Vecinos inmediatos de CarloS..coococononoronranoncnronararorersroniararos
Y
Para que Andrés visite a Diana hay que bajaT.....ocmmo...o. pisos
NOTA:
“A no es mayor que B” equivale a “A es menoro igual que B”.
"A no es menor que B” equivale a “A es mayor o ¡eual que E".
Unidad
1 - Orden
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
15
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
UNALM
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
Ejemplos gráficos:
1)
“A” es
“A”
mayor que “B”
está
arriba
“A” estáal norte
Forma
de
“B”
de “B"
1:
Forma 2:
8
A>B
B
2) “A”
es
mayor que “C”, pero
“A” está arriba
“AY está al norte
menor
de*C”, pero debajo
de “C", peroal sur
Forma 1:
que “B"”
de “B”
de “B"
Forma 2:
B
A
B>A>C
e
3)
“A” no es menor que “B”
Forma 1:
Form 2;
A
4!
4)
A>B
“C” no es mayor que “A”
Forma 2:
Forma l:
A2C
4
Unidad
1 - Orden
1] 6
16
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
UNALM
Tu futuro empieza
con
nosotros
1.3
TU INGRESO
ES DIRECTO
ORDENAMIENTO CIRCULAR
Por lo general son personas que se disponen en un circuito cerrado, distribuidos simétricamente,
Personas ubicadas alrededor de una mesa.
Personas ubicadas alrededor de una fogata.
Niños jugando a la ronda.
Cajas dispuestas para el juego del cuy.
Los términos derecho e izquierdo será con respecto a la persona en cuestión, no del
observador y tendrá como límite a la persona que está frente a ella DIAMETRALMENTE
OPUESTO.
Los términos empleados suelen ser:
A la derecha de
A la izquierda de
Junto y a lá derccha de
Junto y a la izquierda de
Frente a
Diametralmente opuesto a
Adyacente a
Ejemplo
Seis amigos se
ubican alrededor de una mesa circular, distribuidos simétricamente, tal como se
muestra en el gráfico.
De acuerdo al práfico, se tiene:
Al frente de A se encuentran E, € y D.
Á se sienta diametralmente opuesto a D,
F
A la derecha de A se encuentran F y E,
A la izquierda de Á se encuentran B y C.
Junto y a la izquierda de A se encuentra E,
D se encuentra adyacente a E y C.
E
F esta entre A y D, también entre A y E.
De acuerdo al gráfico, responder las siguientes preguntas:
Unidad
1 - Orden
17
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
nosotros
TU INGRESO
A está
ES DIRECTO
la derecha des. mnrosirssnresnaronnns
E.
E
>
con
D está a la derecha de...ooonconnoncoreonocnoncninas
E:
B está a la izquierda...ccorancccoracancararosoranons
E
F está a la izquierda... omconoosnaresioreonosonsos p
Cestá
[rente 2. coococcrncncnnnonasnrnnonasoresononos
A está junto y ala derecha de... coononnmsmm..s.
ES
E
E está diametralmente frente A. .oocooacosomom...
E
Cestá junto y a la derecha de....ooooomooccoom<.o
A
B está junto y a la izquierda de....oooomoccono...
1,4
D está junto y a la izquierda de. ..oooomocomoom.
TABLA DE DOBLE ENTRADA
En este caso vamos a referirnos a problemas que pueden ser resueltos mediante la construcción
de tablas de cloble entrada, la ubicación de los datos se efectúan de forma vertical y horizontal, el
proceso de solución se basa en reconocer los vinculos ente dichos datos y la recomendación
central consiste en tratar de obtener el mayor número de deducciones de cada información.
Se debe construir una tabla en la cual se relacionan los datos
proporcionados marcando
las
relaciones coherentes ( SI) y eliminando las contradictorias ( X ).
En algunos casos se tendrá que leer el enunciado dos o más veces para captar información que
pasa desapercibida; cabe recordar que a veces no es necesario llenar toda la tabla para responder
ciertas preguntas.
Ejemplo:
Tres amigas: Carmen, Fátima y Milagros, comentan sobre el color de polo que llevan puesto.
"Carmen dice: “Mi polo no es rojo ni azul como los de ustedes”.
" Milagros dice: Me gustaria tener el polo verde como el tuyo”.
" Fátima dice: “Me gusta mi polo rojo”.
¿Qué color de polo tiene cada una?
Unidad
1 - Orden
18
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Resolución:
Primero construimos un cuadro colocando los nombres y colores mencionados:
Azul
Rojo
Verde
Carmen
Fátima
Milagros
Primer dato:
Como Carmen no usa polo rojo, ni azul, entonces usa polo verde; aceptamos esta opción.
Carmen
Azul
Rojo
Verde
Xx
x
51
Fátima
*
Milagros
x
Tercer dato:
Fátima tiene polo rojo y a Milagros sólo le quedaria la opción del polo azul.
Azul
Rojo
Verde
Carmen
x
x
sI
Fátima
k£
51
x
SI
x
x
Milagros
Por lo tanto :
Carmen Verde
Fátima
—Rojo
Milagros=> Azul
Unidad
1 - Orden
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
19
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
A piametralment rente (1)
As
Izquierda
F
E
( (y
Unidad
1 - Orden
mm
bm
y a
FEHAo
EA
ELE
L
ñ
1
ECO
EEES
LL
|
Em
13
aia
HORIZONTAL
LINEAL
VERTICAL
A
;
ORDENAMIENTO
Derecha
(Circuito cerrado)
CIRCULAR
ers
con
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
20
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
EJERCICIOS
l.
RESUELTOS
Se sabe que Juan es mayor que José, Julio es menor que Jesús y José no cs menor que Jesús,
¿Quién es el menor de todos?
Resolución:
DATO 1 Juan es mayor que José
DATO 2 Julio es menor que Jesús
DATO 3 José no es menor que Jesús
Integrando la información:
JUAN > JOSÉ
JESUS > JULIO
JOSÉ > JESÚS
JUAN > JOSÉ > JESÚS > JULIO
Julio es el menor de todos
2.
Si“A" es mayor que “B", pero menor que “C"
20” es mayor que “B”, pero menor que “E”
*D” es mayor que “A”. ¿Quién es el menor de todos?
Resolución:
DATO 1
“A” es mayor que “B”, pero menor que “C”
C>A>B
DATO 2
“C” es mayor que “B”, pero menor que “E”
E>C>B
DATO3
“Des mayor que “A”
D>A>B
B es el menor de todos
3
Si“A” estáa la derecha de “B"
“CE” está al oeste de “Dr”
“13” estáa la derecha de *D'"
¿Quién está ubicado a la derecha de los demás?
Resolución:
2
P
B
A
*
?
c
D
A
P
D
B
DATO 1
DATO 2
DATO 3
Integrando la información :
2
a
a
De
Cc
D
B
A
A está a la derecha de todos.
Unidad
1 - Orden
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
21
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
4. — Sobre una mesa hay 3 naipes en hilera. Si sabemos que:
- — Ala izquierda del Rey hay un As.
- — Ala derecha de una Jota hay un diamante.
- Ala izquierda del diamante hay un trébol.
- — Ala derecha del corazón hay una jota.
¿Cuál es el naipe del centro?
Resolución:
DATO!
AS
REY
Se observa en la información que sólo hay un naipe *J*
DATO?
JJ
4
que tiene derecha e izquierda al mismo tiempo, por lo tanto
DATO 3
dh
+
debe ubicarse en el centro
DATO4
Y
J
El ordenamiento seria:
IZQUIERDA
———
AS
J
REY
y
de
$
DERECHA
——
Y de trébol está en el centro.
5. — Laciudad “A” tiene más habitantes que la ciudad “*D”
La ciudad “D” tiene menos habitantes que la ciudad “B”, pero más que la ciudad “C”
La ciudad “A” tiene menos habitantes que la ciudad “*B”
¿Cuál de las ciudades tiene más habitantes?
Resolución:
DATO 1: A>D
DATO 2;
B>D>C
DATO3:B>A
B
D
C
A
>
D
Integrando toda la información tenemos:
B>A>D>C
La ciudad B tiene más habitantes.
6.
Con respecto a la altitud de cinco ciudades de nuestra querida serranía, tenemos la siguiente
información:
+ Sihuas está a menoraltura que Caraz, pero a mayor altura que Carhuaz.
* Huaraz está a mayor altura que Yungay.
* Laaltura de Yungay es tres veces la altura de Caraz.
Unidad
1 - Orden
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
22
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
¿Cuál de las ciudades está a mayor altura?
Resolución:
DATO
1:
DATO 2:
—
— EARAZ
HUARAZ
o
raz
YUNGAY
DATO 3:
YUNGAY
CARAZ
Integrando toda la información tenemos; HUARAZ > YUNGAY > CARAZ > SIHUAS
> CARHUAZ
La ciudad de HUARAZ
está a más altura.
7. — En unedilicio de cinco pisos viven cinco amigos (uno por piso). Se sube que:
e > Juan vive más arriba que Carla y Luciana.
* Luciana no vive más abajo que Mariana,
* Enel quinto piso no vive Sergio.
¿Quién vive en el quinto piso?
Resolución:
DATO 1
DATO 2
JUAN
CARLA
CONCLUSIÓN
LUCIA
LUCIANA
JUAN
MARIANA
CARLA
LUCIANA
MARIANA
DATO 3: Sergio no vive en el piso 5.
Juan vive en el piso 5,
8. — Enunedificio de tres pisos hay dos departamentos por piso, donde viven Sofia, Carla,
Daniel, Miguel, Roberto y Lucia. Se sabe que además:
+ Miguel vive más arriba que Lucia.
e Para ir del departamento de Sofía al de Roberto, hay que subir dos pisos,
e En el segundo piso viven dos chicas.
¿Quiénes viven en el primer piso?
Unidad
1 - Orden
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
23
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Resolución:
DATO 1
: ROBERTO |
: MIGUEL+ :
animar ren
E
ria
PUE
Á
É
É
j
:
E
pLucia
RANA
RIA
;
A
CARLA
;
DATO 2
¿ SOFÍA
f
Pano
|
AMAT,
a
A
ia
¿ LUCÍA
;
ñ
4
$¿
ms
DATO3
:
anna
AA
OA
O AA
Integrando la información tenemos:
A
E
ROBERTO ' MIGUEL +
;
;
:
; CARLA 3 LUCÍA :
cnn
Efa SOFÍA;e ue DANIEL
+;
HA
a
A
E
E
e
F
a
A
P
de a
ide
e
F
Sofía y Daniel viven en el primer piso
9.
José, Pablo, Mariel y Sandra se ubican simétricamente alrededor de una mesa circular
e
José está junto y a la derecha de Sandra
e
Pablo está sentado frente a una dama
Señale la relación correcta:
L Pablo está frente a Sandra
IL. Mariel y Sandra están juntas
0. Frente a cada varón hay una dama
Resolución:
Tomamos el Dato 1 como eje principal, ya que define la ubicación de éstas dos personas
PABLO
MARIEL
JOSÉ
SANDRA
Todas son correctas.
Unidad
1 - Orden
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
24
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
10.
TU INGRESO ES DIRECTO
De acuerdo al gráfico mostrado. ¿Cuántas de las afirmaciones son verdaderas?
ANA
FABIO
ELENA
pa
*
—Ána está frente a Danicl.
CARLA
e
e
.
Beto está a la derecha de Carla.
Anaestáa la izquierda de Elena,
Poy a la derecha de Ana y a la izquierda de
arla.
e
Carla está a la izquierda de Ana y Beto.
DANIEL
RESOLUCIÓN:
* Anacstá frente a Danicl
pa
cal
V>
e Beto está a la derecha de Carla...ooo...onconocicrcrrcccrl Y)
* Ana está la ieguierda de Elena...
ina
sm)
e Beto ala derecha de Ana y a la izquierda de Carla...
al F)
e Carla está a la izquierda de Ana y BetO.....ooooononcocornnonos (v)
Son cuatro verdaderas
11. Seis amigos: Aldo, Bertha, Carla, Diego, Elsa y Fabio, se ubican alrededor de una mesa circular
con sels asientos distribuidos simétricamente. Además:
e 'Lostres varones se sientan juntos,
* Bertha se sienta junto y a la derecha de Diego.
* Carla se sienta diametralmente frente a Fabio,
¿Quién de los varones se sienta junto a Elsa?
Hesolución:
DATOS2 y 1:
MUJER
VARÓN
MUJER
VARÓN
BERTHA
DIEGO
Unidad
1 - Orden
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
25
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
VARÓN
CARLA
FABIO
ERTHA
DIEGO
FINALMENTE:
ELSA
FABIO
ERTHA
DIEGO
Aldo se sienta junto a Elsa.
12,
“AP, “BC
“D”, “E” y “F” se sientan alrededor de una mesa circular en seis asientos
distribuidos simétricamente y se sabe que:
“A” no se sienta junto a “B”,
nia *F"
“E” se sienta adyacente a “F” y “C”,
*D"” se sienta diametralmente frente a:
Resolución:
DATO
1:
DATO
1:
D
BE
L
E
E se sienta diametralmente frente a D,
Unidad 1 - Orden
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
26
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
13.
TU INGRESO
ES DIRECTO
En una mesa cuadrada se sientan cuatro personas y se sabe que:
* El ingeniero se sienta junto y a la derecha de Sandro.
* Roberio se sienta frente al arquitecto,
e — Sandro y el arquitecto son amigos del profesor.
+ El contador se sienta frente a Eduardo.
e
Rubén es fanático de la salsa.
¿Quién es el arquitecto?
Resolución:
DATO
1
DATO
IU
Sandro no puede ser arquitecto, profesor e
.
.
ingeniero.
INGENIERO
Por lo tanto Sandro es contador.
SANDRO
DATO
IV
DATO
Il
EDUARDO
PROFESOR
EDUARDO
,
INGENIERO
RUBÉN
ROBERTO
ARQUITECTO
INGENIERO
SANDRO
SANDRO
CONTADOR
CONTADOR
Kubén es el arquitecto
14.
Alrededor de una mesa circular hay seis astentos distribuidos simetricamente y se ubican
cinco personas, teniendo en cuenta lo siguiente:
* Ricardo nu se sienta junto a Fernando.
=> Jorge se sienta adyacente a Alfredo y el asiento vacio.
e
Tadeo está a la derecha de Alfredo.
¿Cuántos ordenamientos diferentes son posibles?
Unidad
1 - Orden
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
27
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Resolución:
DATOS
Il
DATOS
1 y HI
TADEO
RICARDO
FERNANDO
VACIO
ALFREDO
VACIO
ALFREDO
JORGE
JORGE
Ricardo y Fernando pueden intercambiar, entonces hay dos ordenamientos,
15,
Cinco personas Amelia, Jorge, Mercedes, David y Marco entran a una tienda con el propósito de
adquirir un artículo determinado para uso personal de cada uno: pantalón, chompa, blusa, zapatos
y cartera,
Se sahe que:
e Ni Jorec ni Mercedes compraron chompa
* David se compró un par de zapatos.
Entonces Jorge y Marco compraron, respectivamente:
Resolución:
+
PORSIMPLE LECTURA:
Las prendas son para uso personal, por lo tanto sólo las damas usarán prendas
femeninas
blusa y cartera
Los varones solo pueden comprar zapatos, pantalón y chompa.
* David compró zapatos (DATO DIRECTO).
* Jorge no compró chompa, entonces liene que comprar pantalón.
e — Marco sólo le queda comprar chompa.
Jorge compró pantalón y Marco compró chompa
+
ELABORANDO TABLA DE DOBLE ENTRADA
DATOS
1 y 2: Son datos directos. aceptamos que Jorge y Mercedes no compran chompa y
David si compró zapatos.
PANTALON |
_CHOMPA
i
Xx
A
Xx
AMELIA
JORGE
MERCEDES
DAVID
MARCO
Del Enunciado:
Unidad
1 - Orden
BLUSA
ZAPATOS
X
Xx
A
sI
x
CARTERA
Las prendas son para uso personal, por lo tanto sólo las damas usarán
prendas femeninas.
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
28
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
PANTALON |
AMELIA
XA
JORGE
MERCEDES
DAVID
MARCO
_CHOMPA
BLUSA
ZAPATOS
X
]
J
Xx
Xx
CARTERA
A
Xx
X
X
SI
X
Xx
XA
Xx
A
XA
Completando el cuadro se tiene que Jorge compró pantalón y Marco la chompa.
Recuerda que no es necesario llenar todo el cuadro, con lo que tenemos $e puede responder
la pregunta formulada.
PANTALON |
Ñ
JORGE
MERCEDES
DAVID
MARCO
5]
X
Xx
Xx
CHOMPA
BLUSA
ZAPATOS
]
X
?
Xx
Xx
x
Xx
SI
Xx
CARTERA
Jorge compro pantalón y Marco compro chompa.
l6.
Raúl, Carlos, Pedro y Bruno tiene diferente profesión, y se sabe que:
Raúl y el médico están enojados con Bruno.
Carlos cs amigo del economista.
El ingeniero es muy amigo de Pedro y el economista.
Raúl es contador.
¿Cuál es la profesión de Bruno?
Resolución:
DATO
4:
Es dato directo
Raúl es contador.
Médico
Economista
Contador
Ingeniero
X
Xx
SI
Xx
Raúl
Carlos
xXx
Pedro
xX
Bruno
Xx
DATO 1: Habla de tres personas , por lo tanto Raúl y Bruno no son médicos.
DATO 2: Habla de dos personas, por lo tanto Carlos no es economista,
DATO 3: Habla de tres personas , por lo tunto Pedro no es ingenicro, ni economista.
Unidad
1 - Orden
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
29
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Médico
Economista
Contador
Ingeniero
Raúl
x
Xx
51
Xx
Carlos
Xx
XxX
X
sI
Pedro
51
x
Bruno
Xx
SI
X
xXx
XxX
Bruno es economista
17.
Felipe, Marco, Pedro, Daniel y Carlos harán una encuesta en cinco distritos de Lima: La Molina,
San Isidro, Pueblo Libre, Lince y Miraflores, cada uno en un distrito diferente, y se sabe
que:
Felipe
Pedro
Marco
Daniel
irá la Molina,
y Daniel no aceptan ira San Isidro.
vive en Lince y es el único que encuesta en su distrito,
vive en Pueblo Libre.
¿Daniel, en qué distrito realizará la encuesta?
Resolución:
DATOS
1,2 y 3: Son datos directos
e Marco le corresponde Lince.
e Felipe le corresponde la Molina,
e Pedro y Daniel no aceptan San Isidro.
La Molina
Lince
San Isidro
Miraflores
Felipe
sI
Xx
Xx
Xx
Xx
Marco
Xx
x
$l
Xx
Xx
Pedro
po
Xx
x
Daniel
XA
XA
XA
Carlos
xXx
Xx
DATO
4: Daniel no encuesta en Pueblo Libre.
La Molina
da
Libre
Lince
SI
Xx
XxX
Xx
Xx
Marco
A
XA
Sl
Xx
xX
Pedro
Xx
Xx
Xx
Xx
Daniel
A
Xx
X
Xx
sI
- | Carlos
Xx
XA
Xx
El
XxX
A
Felipe
CONCLUSIÓN;
Unidad
e
1 - Orden
|
San Isidro | Miraflores
Daniel encuesta en Miraflores,
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
30
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
18,
TU INGRESO ES DIRECTO
Tres jugadores “A”, “B” y “0” pertenecen cada uno a los equipos “X", “Y”, “2”; ellos llevan un
número diferente en su camiseta: 21, 26 7 y juegan en un puesto diferente: defensa, arquero o
delantero. Además.
2 "A" no es defensa y lleva el número 2.
= “B*" juega en “Z” y no lleva el número 7.
" El delantero lleva el número 7 y es amigo del que juega en “X".
Señale el equipo y número de “A”,
Resolución:
DATOS 1 y 2: Son datos dircctos.
Xx
Y
XxX
X
Z
Xx
SI
21
Xx
SI
XxX
Xx
7
XxX
XA
L
DEFEN | ARQUE | DELAN
Xx
5]
DATO 3: El delantero es 7, entonces C es delantero y no juega en X.
DEFEN | ARQUE | DELAN
XA
SI
Xx
5
Xx
|
X
|
2
SI
A es del equipo X y juega con el número 2,
19,
Tres estudiantes universitarios estudian en universidades diferentes: UNI, UNA y UDEP,
además viven en distritos diferentes: Callao, Lince y Miraflores. Se sabe que :
Quien vive en Miraflores estudia en la UDEP.
Rafael y el que estudia en la UNI siguen
la misma carrera.
Miguel quiere trasladarse a la UNI.
Rafael pasa por Lince para irse a la UDEP
Gabriel vivia antes en el Callao.
*
Dos de ellos se conocen.
Entonces es cierto que:
Resolución:
DATOS 4 y 1: Rafael estudia en UDEP y vive en Miraflores.
RAFAEL
GABRIEL
MIGUEL.
Unidad
1 - Orden
UNA
XA
UNI
A
UDNEP
ll
XA
xk
LINCE
A
| MIRAFLORES | CALLAO
SI
A
Xx
Xx
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
31
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
DATOS 3 y 5: Miguel no estudia en la UNI y Gabriel no vive en el Callao.
UNA
A
XA
SI
RAFAEL
GABRIEL
MIGUEL
DATOS
UNI
A
sI
Xx
UNEP
$1
XA
X
LINCE
Xx
5
A
| MIRAFLORES | CALLAO
sI
X
XxX
Xx
X
SI
1 y 6: Son distractores no era información relevante.
Miguel estudia en la UNA y reside en el Callao.
20.
Tres luchadores practicaban las artes marciales en gimnasios diferentes, uno practicaba judo,
vlro karate, y otro kung fu; uno de ellos es cinturón nuranja, otro marrón y olro negro.
Wen Li y Chin Lu practicaban antes karate, pero ya no.
El judoka es cinturón marrón,
Pio Ku y el cinturón marrón no se conocen.
Wen Li es cinturón negro y es amigo de los otros dos,
Entonces, se puede afirmar que:
Resolución:
DATOS 1 y 3: Wen Li conoce a los otros dos, entonces Pio Ku no conoce a Chin Lu que
es cinturón marrón.
JUDO
WEN LI
PIO KU
CHIN LU
| KARATE
XxX
Ss]
x
xX
|
KUNG | MARRÓN | NARANJA |] NEGRO
FU
X
x
Xx
Si
x
Xx
DATOS 2 Y 4: — Chin Lu es cinturón marrón, entonces practica judo
Wen Li es cinturón negro y practica kung fu.
JUDO |
KARATE |] KunG | MARRÓN | NARANJA | NEGRO
FU
WEN
LI
PIO KU
CHIN
LU
Xx
XxX
Sl
Xx
Xx
5
X
5]
X
Xx
sI
X
51
Xx
Xx
51
x
Xx
Wen Li practica kung fu y es cinturón negro.
Unidad
1 - Orden
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
32
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
EJERCICIOS PROPUESTOS
En una carrera participan tres parejas de esposos : los Carrasco, los Pezo y los Cartoline,
Sabiendo que:
- — Los esposos llegaron antes que sus respectivas esposas.
- — Lascñora Cartoline legó antes que el señor Pezo.
El señor Carrasco no llegó primero y fue superado por una dama.
La señora Pezo llegó quinta, justo después de su esposo.
¿En qué posición llegaron el señor y la señora Cartoline?
A)
B)
C)
D)
3-6
2-4
3-4
1-2
E)
3-5
Gisella es menor que Olga, Stella es mayor que Gloria y Olga es mayor que Stella,
Si Rocio, hermana mayor de Stella, es menor que Gisclla, entonces es cierto que:
A) Olga no es la mayor.
B)
€)
D)
E)
Rocio
Stella
Gloria
Glorta
es menor que Gloria.
es menor que Crisella,
no es la menor.
no es menor que Stella,
ENUNCIADO:
Se asume que medio tono es el menor intervalo entre notas y se sabe, además, lo siguiente:
la nota T es medio tono mayor que la nota Y.
la nota Wes medio tono menor que la nota X,
la nota X es un tono menor que la nota T.
la nota Y es un tono menor que la nota W.
3,
¿Cuál de las siguientes alternativas representa el orden relativo de las notas de menor a mayor?
AJXYWWT
4.
B)YWXVT
C)WWTYX
DJ) YWWTX
E) YXWWT
51 Z es una nota distinta a las anteriores, pero no es la menor, ni la mayor de ellas, ¿entre cuáles
se puede ubicar?
A) Entre T y Y
5.
B)Entre VyX
C)EnteTyW
D)EntreXeY
E) Entre
W y X
Teniendo en cuenta el dato anterior, entonces podemos deducir necesariamente que:
Unidad 1 - Orden de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
33
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
A) La nota T es dos tonos mayor que la nota Z.
B) La nota Y es dos tonos menor que la nota X,
C) La nota Y es un tono mayor que la nota £.
D) La nota W es medio tono menor que la nota £,
E) Más de una es correcta.
6.
En un consultorio hay 3 revistas S, P y HI, puestos de tal manera que El está al centro. Estas tres
revistas son: una Peruana, otra Chilena y otra Argentina, una se especializa en deporte, otra en moda
y la última es de Humor:
La Argentina está inmediatamente a la derecha de modas.
Ala derecha de la Chilena está la de deporte.
Ala derecha de P está la Peruana,
—Hestáa la izquierda de la Argentina.
Entonces es cierto que:
A)
La Peruana es P y es de Humor,
B) La Argentina es P y es de Humor,
0)
La Peruana es 5 y es de Deportes.
D) La Argentina es $ y es de Deportes.
E)
7.
La Chilena es H y es de Deportes,
Cinco autos numerados de 1 al 5, participan en una carrera. Si se sabe que:
- — Elauto | legó en tercer lugar.
-=
La diferencia en la numeración de los dos últimos autos en llegar fue igual a 2.
La numeración del auto no coincidió con su orden de llegada.
Podemos afirmar:
L- Noes cierto que el auto 2 legó en último lugar.
Il. Ebauto 3 ganó la carrera.
111, El auto 4 llegó después del auto 2,
A) Sólo 1
8.
B) Ly
Cinco amigas: Norma,
C) ll y 11
Jessica, Martha,
D) 1 y 111
E) Todas
Marisol y Karina viven en un edificio de seis pisos,
cada una en un piso diferente. Si se sabe que:
<= — El cuarto piso está desocupado.
- — Marisol vive en un piso udyecente ul de Norma y al de Martha,
- — Karina no vive en el último piso.
Podemos afirmar:
L Jessica no vive cn el quinto piso.
Il. Norma no vive en el tercer piso.
IM. Martha wive más arriba que Norma.
A) Sólo 1
—B)
Tyn
€) ty IU
Unidad
D)
H y MI
E)
Todas
1 - Orden
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
34
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
9.
TU INGRESO ES DIRECTO
Cecilia debe
realizar dicz actividades (identificadas del
1 al 10) desde el Lunes
hasta el
Viernes (dos por día) si:
La actividad 4 se realizará tres dias antes que la 7.
- — La 2sercalizará el mismo día que la 6 y dos dias antes que la 3.
-
LaBsercalizará dos días antes que la 6 y un día antes que la 5,
—La9se realizará después que la 7,
¿Cuáles de las siguientes propuestas son verdaderas?
Lo
IL
La3 se realicurá el mismo dia yue la 7.
La 10 se realizará antes que la 2.
1. La | se realizará después de la 4,
Aj
Bj
C)
Dy
Ej
Solo ll
Solo l
Sólo 111
1 y UH
UI y 111
10. La ciudad A se encuentra 40 Km al norte de la ciudad B, pero 30 Km. al este de C; D está 60 Km
al surde A y E está 20 Km, al oeste de A.
De acuerdo a esto podemos afinmar
A)
B está al Sur-ocste de €
Bj C está al Hor-cste de D
0)
D)
E cstáal Sureste de A
D está al Sur-oeste de E
E)
E está al Nor-oeste de D
11. Cuatro amigos van al cine y se acomodan de la siguiente manera:
- — Marisol está sentada a la izquierda de Silvia y detrás de Lucho,
-
Silvia no está a la derecha de Beto, pero si detrás de Marisol.
-
Lucho estáa la derecha de Silvia y detrás de Beto.
Podemos afinmar:
A) Lucho está a la derecha de Beto.
B) Lucho está a la tequienda de Silvia.
C) Beto está detrás de Silvia.
D) Marisol está a la izquierda de Lucho.
E)
Más de una es correcta.
ENUNCIADO:
El entrenador tiene la siguiente información acerca de un grupo de seis atletas:
- — Ángeles más alto que Beto y pesa más que Carlos.
- — Eduardo pesa más que Daniel y Ángel, y es más bajo que Beto.
=
Daniel no es más alto que Beto y pesa más que Carlos.
-
Carlos es más alto que Daniel y pesa más que Beto.
Francisco es más bajo que Daniel y pesa menos que Ángel.
12, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no puede ser verdadera?
Unidad
1 - Orden
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
35
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
A) Eduardo es más alto que Daniel,
B) Carlos es más alto que Ángel.
C) Beto es más alto que Francisco.
D) Beto pesa más que Daniel.
E) Eduardo pesa más que Francisco.
13, ¿Cuáles) de los siguientes enunciados pueden ser verdaderos?
L El más alto es también el que pesa más.
IL, El más bajo es el que pesa más.
111. El menos pesado es cl más alto.
A)
B)
Sólol
Sólo II
C) Ly
D) Ty MI
E)
Todas
. ¿Quiénes no pueden tener la misma estatura?
A) Ángel y Carlos
B) Eduardo y Daniel
D) Beto y Carlos
E) Daniel y Ángel
C) Carlos y Eduardo
15, Cinco amigos van al cine y ocupan una fila de 7 asientos; se sientan juntos siempre que no
sean del mismo sexo, en ese caso se deja un asiento vacío. Se observa que:
- — Eliana está en el extremo
- — Daniel está entre Andrés
Renzo está a la izquierda
¿Cuántos ordenamientos, que
Ay
|
B)
2
C)
3
derecho.
y Fátima,
de Andrés, quién está sentado junto a Eliana
cumplan estas condiciones, se pueden realizar?
D) 4
E)
5
16..A lo largo de una fila se colocan seis fichas numeradas del 1 al 6. Se sabe que:
*
Laficha conel número | está junto a dos fichas con un número par, de las cuales la menor
de ellas está a su derecha y la mayor a su izquierda.
e
Laficha 6 se encuentra junto y a la izquierda de la ficha 3.
*
Unidad
Las fichas 2 y 5 se encuentran a los extremos.
1 - Orden
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
36
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Contando a partir del extremo derecho. ¿Cuál es la suma de las fichas que ocupan las
posiciones 3 y 57
Aj)
B)
co
D)
E)
17,
1!
9
10
$
7
Alo largo de una fla se colocan seis fichas numeradas del 1 al 6. Se sabe que:
*
La ficha con el número | está junto a dos fichas con un número par, de las cuales la mayor
de ellas está a su derecha y la menor a su izquierda,
*«
e
Laficha 6 se encuentra junto y a la izquierda de la ficha 3.
Lasfichas 2 y 5 se encuentran a los extremos.
¿Cuántos ordenamientos se pueden realizar?
A)1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
12.
Analucia,
Betty, Carla,
Diana,
Ena
y Fátima
se sientan
alrededor de una
mesa
circular,
ubicándose simétricamente.
Se sabe que:
- — Analucia no se sienta diametralmente frente a Betty.
Diana se sienta diametralmente frente a Ena,
- — Carla está junto y a la siniestra de Analucia.
Podemos afirmar como verdadero que:
L
Carla se sienta diametralmente frente a Betty,
IL. Analucia se sienta junto a Diana.
19.
Í
ML
Fátima se sienta dismetralmente frente 4 Analucia.
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo1
1y 11
ly
1 y 111
Todas
Tres parejas van a almorzar y $e ubican en una mesa hexagonal, de acuerdo a la siguiente
disposición:
-
Junto y a la derecha de la novia de Alberto 56 sienta Hernán.
»
Milagros que se ha sentado junto y a la derecha de Doris, resulta estar diametralmente
] A
frente
-
asu propio novio,
Liz está diametralmente al frente de la novia de Hernán, el cual conversa con Manuel
¿Quién es el novio de Doris?
Unidad
1 - Orden
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
37
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
A)
Hernán
B)
Alberto
C) Manuel
Dj Manuel
o Alberto,
E) Hernáno Manuel,
. Arturo, Beto, Camilo, David, Esteban y Fabio, sc ubican en una mesa circular con seis asientos
distribuidos simétricamente.
- — Arturo sesienta diametral frente a Beto,
Camilo esta junto y a la izquierda de Arturo.
- — David no esta diametralmente frente a Camilo, nia Esteban.
¿Quién esta junto y a la derecha de Esteban?
A)
Arturo
B) Camilo
C) Fabio
D)
Beto
Ej) David
2h, Alrededor de una mesa circular hay cinco asientos, y se encuentran las siguientes personas:
un ingeniero, un abogado, una economista, una psicóloga y un contador. 51 se sabe que:
- — Lapsicóloga y el contador no se sientan juntos.
- — El ingeniero se sienta adyacente a las das mujeres.
¿Cuáles de las siguientes parejas se sentarán juntos?
L Contador— Abogado
Il. Psicóloga — Economista
IM, Economista — Abogado
A)
Sólo]
Dj
1 ye 10
8) Sólo 111
€) IyH
Ej Todas
22, Cuatro parejas de esposos: Los Álvarez, Bustamante, Carrillo y Durán se sientan alrededor de
una mesa circular ubicados simétricamente, y siempre junto cada pareja de esposos.
Diametralmente frente a un hombre hay una mujer.
- — Las Sras. Álvarez y Bustamante se sientan juntas.
-
Uno de los Carrillo esta sentado junto y a la izquierda de uno de los Durán.
- — LaSra, Carrillo no se sienta junto al señor Álvarez,
¿Quién se sienta junto y a la derecha del Sr. Bustamante?
Unidad
AJ
Sra. Álvarez
BB)
C)
Dj
E)
Sra. Durán
Sra. Bustamante
Sr. Durán
Sra. Carrillo
1 - Orden
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
38
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
de una mesa circular, ocupando asientos
23, Cinco alumnos A. B, €. D. y E, se ubican alrededor
igualmente cspaciados. Cada uno de ellos consume una bebida: café, 16, leche, chocolate y
limonada. Además:
-
—Dnoestá junto a E, nia €,
-
—Beconsume le.
-
—Conoconsume leche ni chocolate.
<
-
—Ajestá junto y a la izquierda del que consume café.
Cestájuntoa E.
—AyB están juntos al que toma limonada.
Se puede deducir que:
A)
D consume cafe
B) A está junto a E
C) E toma limonada
D) A bebe leche y D, café.
E) C esta junto a quienes beben leche y chocolate
24, A una mesa circular de 7 sillas se sientan a discutir cuatro obreros A, B, C, D y tres
empleados: X, Y, Z, sabiendo que:
Ningún empleado se sienta junto a otro empleado.
- — Bsesienta junto a D, pero Z no se sienta junto a ellos.
¿Cuáles) de las siguientes afirmaciones son correctas?
L
Entre D y Z hay 2 asientos.
IL. X se sienta Junto a B.
III. A se sienta junto a Y.
Aj
SololI
B) yn
E) Sólo ll
DD) Sólo 1
E) 1y M1
25. En una mesa circular hay scis asientos simétricamente colocados.
* Lucia no está sentada al lado de Leticia ni de Juana.
e Maria no está al lado de Cecilia ni de Juana.
«
Leticia no está al lado de Cecilia ni de Maria.
e Irencestá junto y a la derecha de Leticia.
¿Quién está junto y a la derecha de Maria?
A)
Lucia
B)
E)
Irene
Cecilia
D) Leticia
E) Juana
Unidad
1 - Orden
39
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
26, De un grupo de 3 parejas de esposos obtuvimos la siguiente información:
- — Hay 2 peruanos, 2 Chilenos y 2 Argentinos.
-
No hay una pareja de esposos de la misma nacionalidad,
No hay 2 hombres de la misma nacionalidad,
Luis es Peruano y la esposa de Renato es Argentina.
¿Qué nacionalidad tiene Renato y qué nacionalidad tiene la esposa de Mario?
A)
B)
Argentina — Peruana
Chileno — Argentina
C)
Chileno — Peruana
D) Argentino — Chilena
E) Peruano — Chilena
27. Tres amigas: María, Lucia e lrene cumplen años los dias 7, 9 y 30 durante los meses de Enero,
Setiembre y Diciembre, aunque no necesariamente en ese orden. Si:
El 9 de Setiembre ninguna de ellas cumple años,
-
Lucia celebra su cumpleaños el £ de Diciembre, con un dia de diferencia de la fecha real.
-
El 30 de Enero ninguna de ellas cumple años,
-
Irene no nació en Setiembre.
¿Cuándo es el cumpleaños de Maria?
A)
7 de Setiembre
DB)
CC)
D)
E)
30 de Setiembre
7 de Encro
9 de Enero
Faltan datos
28, Jonás, Judas, Job y Jacob son: tenista, futbolista, atleta y basquetbolista, aunque ninguno de
ellos es ese orden:
Judas jamás agarro una raqueta y jamás salió del país.
- — El basquetbolista que ha recorrido muchos paises, es primo de Job.
= Jacob es cuñado del futbolista,
Son ciertas:
Lñ
Jonás es basquetbolista,
1.
Jonás jamás salió del Pais.
IM. Jacob es tenista,
IV. No es cierto que Job sea futbolista,
A)
B)
C)
D)
E)
1, Il y IV
Ly
y IV
IyH
Uy IV
29. Cuatro amigos: Juan, Daniel, Félix y Pedro tienen edades: 21, 24, 27 y 32 años, no
necesariamente cn esc orden,
Unidad
1 - Orden
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
40
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
- — La edad de Daniel sumada con la del menor es igual al doble de la edad de Pedro.
Félix es menor que Juan.
¿Cuánto suman las edades de Pedro y Daniel?
A)
B)
Cc)
D)
E)
45
4%
51
56
53
30. Carlos, Victor y José estudian en: Piura, Trujillo y Lima, siguiendo las carreras de Arquitectura,
Biología y Comunicación.
Carlos estudia en Piura.
José no estudia en Trujillo.
- — El que estudia en Trujillo, no estudia Biología.
- — El que estudia en Piura, no estudia Arquitectura.
-
José estudia Comunicación.
¿Qué estudia Victor y dondé?
A)
Biología- Lima
B)
Arquitectura- Piura
C) Comunicación- Lima
D) Biologia- Trujillo
E) Arquitectura — Trujillo
31, Carlos. Luis y José practican atletismo, natación y fútbol y gustan de la salsa, rock y balada,
teniendo como preferencia los colores rojo, verde y amarillo; y con profesiones arquitectura,
ingenieria y biología.
-
Quien practica natación prefiere el verde.
+
Quien estudia biología no escucha salsa.
-
Carlos estudia ingenieria y prefiere el amarillo.
José prefiere el rojo, escucha salsa y practica atletismo.
¡Cuál de las afirmaciones son ciertas?
L Carlos no practica fútbol,
IL Luis practica natación y estudia biologia.
ll, José estudia arquitectura.
A) Sólo1
B) Sólo 11
6) Ly
D) Il y 1
E) 1yH
Unidad
1 - Orden
41
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
ENUNCIADO:
En la Molina
viven cinco amigos que estudian en distintas universidades: UNALM,
UDEP,
CATÓLICA, RICARDO PALMA, PACÍFICO. Cada uno de estos estudiantes posee un auto
de distinta marca, color y año. Se sabe lo siguiente:
- — Marcos vive en la calle Los Frutales y tiene un auto negro.
- — Rodrigo tiene un auto blanco.
La persona que vive en la calle Los Nogales tiene un auto del 2010,
-= — La persona que estudia en UDEP tiene un auto Honda.
- — El auto de Hernán es del año 2008.
-
Raúl tiene un auto Nissan.
-= — La persona que vive en la calle Los Algarrobos tiene un auto Toyota, año 2009.
- — Daniel vive en la calle Los Nogales.
- — El auto color azul es del año 2006.
-=
-
— El auto rojo es del alumno
La persona que estudia en
— Elauto del año 2007 es un
La persona que vive en la
— La persona que vive en la
— Uno de ellos tiene un auto
que estudia en la Católica,
la UNALM tiene un auto del año 2009.
Audi.
calle Corregidores estudia en Ricardo Palma,
calle Los Álamos tiene un auto verde.
Ford.
32. ¿Quién tiene el auto Ford?
A)
Hernán
B) Dariel
(5)
E
E)
Marcos
Rodrigo
Raúl
33, ¿De qué color es el auto Toyota?
A) Blanco
B) Azul
C) Rojo
D) Negro
E) Verde
34, Rodrigo vive en:
A)
Los Nogales
B)
Los Algarrobos
C) Los Álamos
D) Los Corregidores
E) Los Frutales
35, De
-—
- —
-
cuatro amigos se sabe lo siguiente:
Daniel es mayor que Pedro.
Enrique es mayor que Alherto.
El menor estudía Ingenieria de Minas.
<=
Alberto estudia Ingeniería Mecánica,
Quien estudia Ingenieria Industrial es solamente menor que quien estudia Educación.
Daniel mo estudia Educación.
¿Qué estudia Daniel y quién es el mayor?
Unidad
1 - Orden
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
42
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
A)
TU INGRESO ES DIRECTO
Ingenieria Industrial - Pedro
Bj) Ingenicria Industrial — Enrique
C)
Ingenieria Mecánica — Daniel
D) Ingeniería de Minas — Daniel
E)
Educación— Pedro
ENUNCIADO:
Cuatro amigos
Raúl, Daniel, Rommel y Alfredo viven en la Molina, Salamanca, Miraflores y
San Isidro, no necesariamente en esc orden, además se sabe que
e
e
Raúl estudia en la UNALM y vive en Salamanca.
El que estudia en la Católica vive en San Isidro.
e
El que vive en la Molina no estudia en la UNL
*
Alfredo quisiera estudiar en la Católica y quisiera vivir en Miraflores.
e
El que estudia en la UPC es amigo de Rommel.
36. Alfredo estudia en:
A) UNI
B) Culólica
E)
UPC
Dj)
UNALM
Ej)
UNI
37. Si Daniel
o
UPC
vive en Miraflores, entonces
A)
San Isidro
B)
La Molina
CE)
Salamanca
D)
La Molina o San Isidro
E)
La Molina o Salamanca
Rommel
vive en:
28. Si Rommel estudia en la Católica, entonces Daniel estudia en:
A) UNI
B) CATÓLICA
C) UPC
D) UNALM
E)
UPC
6
PUE
39, Si Daniel vive en San Isidro, entonces estudia en:
A) UNI
B) CATÓLICA
€) UPC
D) UNALM
E) UPC o CATÓLICA
Unidad
1 - Orden
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
43
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
40. Tras las elecciones de un club, varios representantes de AB, CD, EF, GH se reunicron en una
cena de fraternidad. El número de los comensales no era muy afortunado: 13 en total.
Además se daban las siguientes circunstancias:
1.
Los comensales de AB más los del CD sumaban 5.
2.
Los comensales de AB más los del EF sumaban 6.
3,
Elmúmero de los comensales de cada lista era diferente.
4. Los comensales de la lista ganadora, en las elecciones, eran 2.
¿Qué lista ganó las elecciones?
AJ
AB
B) EF
C) FD
Dj CD
E) GH
Unidad
1 - Orden
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
44
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con nosotros
Et
UNALM
“8
TU INGRESO ES DIRECTO
UNIDAD 2
INTRODUCCIÓN AL
RAZONAMIENTO LÓGICO
44
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
OBJETIVOS
-
Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de:
Resolver ejercicios usando las operaciones lógicas.
Man
Simbolizar correctamente las proposiciones.
Confeccionar las tablas de verdad de las operaciones lógicas,
Representar gráficamente las proposiciones categóricas mediante los diagramas de Venn.
Obtener la negación de proposiciones cuantificadas mediante los diagramas de Wenn.
JA
Efectuar razonamiento deductivo a través de los diagramas de Wenn.
Resolver acertijos lógicos mediante el principio de suposición.
CONOCIMIENTOS
PREVIOS
Para la presente unidad el alumno deberá conocer previamente:
1.
Lateoria de conjuntos.
CONTENIDO
2.1 INTRODUCCIÓN
2.2 LÓGICA
2.3 SIMBOLIZACIÓN
2.4 DPERADORES LÓGICOS
2.5
SIMBOLOS DE AGRUPACIÓN
2.6 JERARQUIZACIÓN
2.7 FUNCIONES VERITATIVAS
2.8 LÓGICA DE CLASE
2.9 REPRESENTACIÓN GRAFICA MEDIANTE EL DIAGRAMA DE VENN
2.10 NEGACIÓN DE PROPOSICIONES CATEGÓRICAS
2.11 ACERTIOS LÓGICOS (PRINCIPIO DE SUPOSICIÓN)
RESUMEN
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
45
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
2.1.
TU INGRESO ES DIRECTO
INTRODUCCIÓN
La lógica es una ciencia formal y una rama de la filosofía que estudia los principios de la demostración
e inferencia válida, La palabra deriva del griego antiguo Aoyucí (logike), que significa "dotado de razón,
intelectual, dialéctico, argumentativo", que a su vez viene de Aóyoc (logos), "palabra, pensamiento, iden,
argumento, razón o principio”, La lógica examina la validez de los argumentos en términos de su estructura,
independientemente del contenido específico de los estados reales a los que aquéllos se puedan referir. En
este sentido se habla de la lógica como ciencia «formal». La lógica es una disciplina de la filosofía, las
malemálicas y la informática.
Desde el siglo XX que la lógica ha pasado a ser principalmente la lógica simbólica. Esto se basa en un
lenguaje formal y para uso estrictamente definidas reglas de inferencia. Un ejemplo sencillo de un sistema
formal es la lógica proposicional. La lógica simbólica es también conocida como la lógica matemática o
lógica formal en el sentido estricto. La lógica no siempre este sentido de la estructura formal, pero se
centró en el mundo antiguo y en la Edad Media, principalmente con los argumentos del lenguaje natural,
La lógica aristotélica es un método de la lógica basada en los principios del filósofo griego Aristóteles
(Estagira, Macedonia 384 a.C. - Calcis Eubea, Grecia 322 a.C.), primer pensador en formalizar el sistema
lógico de tan acertada manera que sus propuestas han trascendido hasta nuestros días, Aristóteles planteó
sus ideas en varias obras, reunidas posteriormente bajo el nombre de Organon, para difundir su
conocimiento sobre las leyes del razonamiento, argumentando que estas eran vitales para adentrarse
en el mundo de la filosofía. He aquí una breve rescña
ARISTÓTELES
Aristóteles nació en el año 384 a.C. en una pequeña localidad macedonia cercana al monte Athos
llamada Estagira, de donde proviene su sobrenombre, el Estagirita. Su padre, Nicómaco, era médico de
la corte de Amintas MI, padre de Filipo y, por tanto, abuclo de Alejandro Magno. Nicómaco pertenecia
a la familia de los Asclepiades, que se reclamaba descendiente del dios fundador de la medicina y cuyo
saber se transmitía de generación en generación. Ello invita a pensar que Aristóteles fue iniciado de
niño en los secretos de la medicina y de ahi le vino su afición a la investigación experimental y a la
ciencia positiva, Huérfano de padre y madre en plena adolescencia, fue adoptado por Proxeno, al cual
pudo mostrar años después su gratitud adoptando a un hijo suyo llamado Nicanor,
En el año 367, es decir, cuando contaba diecisiete años de edad, fue enviado a Atenas para estudiar en
la Academia de Platón. No se sabe qué clase de relación personal se estableció entre ambos filósofos,
pero, a juzgar por las escasas referencias que hacen el uno del otro en sus escritos, no cabe hablar de
una amistad imperecedera. Lo cual, por otra parte, resulta lógico si se tiene en cuenta que Aristóteles
iba a iniciar su propio sistema filosófico fundándolo en una profunda crítica al platónico. Ambos
partian de Socrates y de su concepto de eidos, pero las dificultades de Platón para insertar su mundo
eidético, el de las ideas, en el mundo real obligaron a Aristóteles a ir perfilando términos como
«sustancia», «esencia» y «forma» que le alejarian definitivamente de la Academia. En cambio es
absolutamente falsa la leyenda según la cual Aristóteles se marchó de Atenas despechado porque
Platón, a su muerte, designase a su sobrino Espeusipo para hacerse cargo de la Academia. En su
condición de macedonio Aristóteles no era legalmente elegible para ese puesto.
2.2 LÓGICA
La lógica como conocimiento orgánico y sistemático, aparece por primera vez con Aristóteles (S. IV
a.C.) quien la define como un instrumento que ayuda al hombre a razonar correctamente mejurando la
investigación de la naturaleza ("órganon").
LA LÓGICA FORMAL: Es una ciencia que busca hallar los esquemas universales y válidos en todo
momento, según los cuáles suele y debe pensar el hombre para alcanzar la verdad.
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
46
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
El objeto de estudio de la lógica formal es investigar la estructura de los conceptos, juicios y razonamientos,
sus relaciones de validez, métodos y principios que la determinan,
Actualmente la lógica formal se ha tornado en Lógica
Matemática (o simbólica) cuyo objetivo es
demostrar la “validez” de los argumentos simbólicos o formalizados (“la lógica es la ciencia de la
inferencia formalmente válida”).
INFERENCIA: Es una estructura de proposiciones donde a partir de una o más de ellas llamadas
“PREMISA (5)” se obtiene otra proposición que se llama “conclusión”, serán válidas cuando las
premisas impliquen a la conclusión; cuando existe relación coherente entre sus componentes, es decir,
la conclusión se deduce lógicamente de las premisas la “implicación” supone que:
*
«
De premisas verdaderas, se deduce necesariamente una conclusión verdadera.
De premisas falsas, se deduce necesariamente una conclusión o bien verdadera o bien falsa.
LÓGICA PROPOSICIONAL
ll.
ENUNCIADO: Es toda frase u oración que señala alguna idea. Según el uso del lenguaje puede cumplirse
las siguientes funciones:
a)
Directiva; Su uso es dar órdenes o hacer pedidos. Los enunciados pueden ser interrogativas o
imperativos o exhoartivos, Ejemplos:
¡Qué hora es?
¿Cuáles tu nombre?
¿LDlegarás tarde?
Regresa de inmediato
No Corras
¡Alto!
b)
Expresiva; Busca comunicar sentimientos, deseos 6 actitudes, Los enunciados pueden ser exclamalivos
o admiralivos, desiderativos. Ejemplos:
Hace frio
¡Que linda eres!
Quisiera vivir en Iquitos
Ojala me escuche
cd
MM.
Informativa: Busca afirmar algo, Ejemplo:
El automóvil es Rojo
Rommel y Gildder son profesores de la Pre-Agraria
PROPOSICIONES: Se denominada así a las expresiones lingúisticas de las cuáles se puede afirmar
que són verdaderas o falsas.
CARACTERÍSTICAS:
Toda proposición es una oración aseverativa, pero no toda oración es una proposición.
- Toda proposición uv es verdadera (V) o falsa (F), pero no puede ser ambas a la vez.
Dentro del razonamiento la proposición puedo ser premisa o conclusión.
-= Lu proposición verdadera o falsa se puede negar.
Ejemplos:
o
Las Ublcibolistas son atletas (VW),
- Todo Alemán es americano (PF).
= Los loretanos son peruanos (W).
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
47
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
CLASES DE PROPOSICIONES: Las proposiciones se clasifican en simples y compuestas,
PROPOSICIONES SIMPLES (atómicas): Son siempre afirmativas y no se pueden descomponer pueden ser:
A.
PREDICATIVAS: Aquellas que presentan, en su estructuras, solo un sujeto y un solo predicado,
Ejemplo:
B.
-
Las peruanas son bonitas
-=
Los murciélagos son mamiferos
RELACIONALES (Comparativas): Presentan en su estructura dos o más sujetos, que se comparan
entre si con una sola caracteristica, partir de los llamados términos relacionales; más que, menos que,
parecido a, ete,
Ejemplos:
-
Universitario es más equipo que Alianza Lima.
-
La geometriaoes más compleja que la Aritmética.
PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES: Está constituida por más de una proposición
simple unida por las conectivas: y, o, entonces, si y solo si, si ....entonces, no. Son las siguientes:
A.
NEGATIVAS:
Son las que presentan la negación (no, no es cierto, es falso que, es mentira que, no
ocurre, ctc.).
Ejemplos:
-
B.
Es falso que, el gato y el ratón sean aves,
Sebastián noes flaco,
CONJUNTIVAS:
Presentan como conectiva a la “y”, la conjunción puede hallarse tácita, o puede
ser reemplazada por sus sinónimos: como, pero, a la vez, además, incluso, también, aunque, a pesar,
sin embargo, ni, etc.
Ejemplo:
C.
-
Vanessa y Carlos son es p0505,
=
Emilio es profesor también chef.
DISYUNTIVAS:
Presentan como concctivos ala “o, “ul, "Di
O ceca ”, son de dos tipos:
Inclusiva o Débil: Cuando de las alternativas que se proponen se cumplen todas ellas ya sea el mismo
tiempo o de manera alternada.
Ejemplos:
=
=
Freddy es médico o abogado
Jessica canta o baila
Exclusiva o Fuerte: Cuando de las alternativas que se proponen se cumple sólo una y se excluye la otra.
=
Andrea o es alta o baja.
-
Michael Jackson 0. está vivo 0 muerto.
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
48
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
D.
TU INGRESO ES DIRECTO
CONDICIONAL: Presentan como concetiva la palabra “Entonces” o sus equivalentes: luego, por lo tanto,
en conclusión,
en consecuencia,
de ahi, etc.
Esta proposición
indica
una relación de causa —
efecto
(antecedente — consecuente). Su esquema básico es:
A
AA
a
A
antecedente
Consechente
5e divide en:
Condicional Directo: Aqui se presenta primero cl antecedente y luego el consecuente (causa — efecto).
Ejemplo;
¿A
da
Pol
A
A
ha
1 Si / estudio entonces > podré
aprobar el curso
Ara”
amecedente
Consecuente
Condicional Indirecto: Aqui se presenta primero el consecuente luego el antecedente. Se usa las
conectivas: dado que, puesto que, ya que, porque, si, siempre que, cada vez que, etc.
Ejemplo:
E.
Maria viajará a Paris
A
tenga dinero
w
consecuente
antecedente
-BICONDICIONAL: Presentan como concetiva a * sí y sólo sí ”, o sus equivalentes: cuando y solo cuando,
entonces y sólo entonces, ete.
Ejemplo:
-
Luis estudia( si y solo si) quiere ingresara la UNALM.
- — Manuel se baña]
cuando y solo cuando | lo invitan a un matrimonio.
2.3 SIMBOLIZACIÓN
La simbolización de proposiciones, consiste. en la representación del lenguaje ordinario mediante el
lenguaje artificial,
Formalizar quiere decir reemplazar cada proposición por una variable y cada conecliva (termino de enlace) o
modificador (la negación) por un operador lógico, todo ello correctamente jerarquizado mediante signos de
agrupación.
VARIABLES: Se utilizan para representar a las proposiciones simples. Son las letras minúsculas: p, q,
A
0S.
¡Carlos es químico farmacéutico,
EEK
py [III
P
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
49
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Verónica es comerciante
AA
asi como
KA
estudiante imiversitaria,
Ny
AA
p
24
a
OPERADORES LÓGICOS: Son de dos tipos:
a)
Diádico : Se utilizan para representar a las concctivas (términos de enlace)
Conectivo
iaa
simbolo
Lo
A
isos A
A
A
sí.
eéntunces ... |... si ysoolosi..
—
4
Ejemplos:
- ¿Si
estudias en la pre Agraria “entonces! aprenderás mucho,
Ae
- — Antonio es altory ¡flaco.
A
b)
Monádico: Sirve para reemplazar al modificador “no” o sus expresiones equivalentes (no es cierto,
es falso que, no es el curso que, ete.).
Modificador
no
Operador
de
Ejemplo:
- — Huaraz mo) es un puerto.
e
-
2.5
No es cierto que, los perros ladren y no) sean cuadrúpedos,
SIGNOS DE AGRUPACIÓN:
jerarquia. Son los siguientes:
-
Paréntesis
-
Corchete
-
Llaves
od
(
Se utiliza para agrupar a las variables y operadores asi como, darles
3)
|
bo]
ia
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
50
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
1.6 JERARQUIZACIÓN: Significa agrupar las variables y los operadores dentro de los signos de colección,
llamados también de agrupación.
Para jerarquizar hay que tener en cuenta los siguientes requisitos:
-=
Sólo presentan jerarquia los concctivos lógicos (y, o, entonees, si y solo si, ete.).
-
Para realizar una correcta jerarquización hay que tener en cuenta los signos de puntuación del texto a
jerarquizar, en cuanto ellos indican la ubicación de los signos de colección,
-
En el texto, el punto seguido tiene mayor jerarquía, le sigue en segundo lugar el punto y coma, y
en tercer lugar la coma.
2.7 FUNCIONES
VERITATIVAS:
Son interpretaciones semánticas
de las posibilidades de verdad o
falsedad de la proposiciones moleculares en base a sus conectivas o al modificador.
Son las siguientes:
A.
NEGACIÓN
( =): Lógicamente se sigue por la siguiente regla: “La negación de una proposición
verdadera es falsa. La negación de una proposición falsa es verdadera”,
Tabla de verdad
P
Ejemplo:
_P
W
FE
F
V
No es cierto que Luis es profesor.
A
>
AX
-
ay
A
P
B. CONJUNCIÓN ( a ): La función veritativa de la conjunción se rige por la siguiente regla : “Una
proposición conjuntiva es verdadera cuando
verdaderas, siendo falsa en los demás casos”:
todas sus proposiciones
componentes
son
mum
$] meca
m€<.<|Ss
<|>
Tabla de verdad
Ejemplo:
- — Francisco Bolognesi es peruano
Se
p
€.
y
_—
Garcia Márquez es colombiano.
pa
A
>
_—
q
DISYUNCIÓN INCLUSIVA O DEBIL (w): En este caso las reglas: “Es falsa sólo cuando todos
son componentes son falsos, en los demás casos es verdadera”.
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
51
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Tabla de Vereid
|=.<m<|D
a-<<|a
3
D,
N.«]<=<|%
P
Ejemplo:
4
- — Lauracanta
fp
O
baila
v
q
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA O FUERTE (4): La regla es: “Una proposición disyuntiva fuerte
es falsa cuando los dos componentes tienen valores iguales, en los demás casos es verdadera”,
Tabla de Verdad
palp4g
V
Vv
Y
F
F
V
FEV
V
FF
F
Ejemplo:
-=
Olaventana está abierta
a
Pp
E. CONDICIONAL
o
e
Dal
la ventana está cerrada.
a
e
Sp
A
q
( => 5 La regla: “Una proposición
condicional es falsa sólo cuando
el
antecedente es verdadero y el consecuente es falso, siendo verdadero en los demás casos”,
Tabla de Verdad
pa
Y
V
j|p>q
oYv
F
Y
F
FO Y
E
V
F
v
Ejemplo:
-
Siestudio
entonces
p
F.
>
¡ingresaréa
la Universidad,
q
BICONDICIONAL (+): La regla es: “Una proposición bicondicional es verdadera cuando los
dos componentes tienen valores iguales, y es falsa cuando los dos componentes tienen valores
distintos”.
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
52
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
e
<|L
NA”
-.mnc<is
Tobla de Verdad
Ejemplo:
- — Iréal matrimonio
p
siysolosi
tenga ropa.
+
q
OBSERVACIÓN;
-
Un esquema molecular es Tentológico cuando los valores de su operador principal (matriz principal),
son todos verdaderos.
[pa
(p>q]>
p
Pp
q
Y
VIWV|Y
Ne
A
F
VAN
Ne
Vv|F
yv
|v|F
E
Y|F/
TF
FOF|F|F|
Y
Y
AE_AS|
Matriz Principal
-
Un esquema molecular es Contradicrorío cuando el resultado de su operador principal (matriz
principal), son todos falsos.
Pp
V
q |-(pvglaq
VIÍF|vV|F|v
V
F|F|V|F|F
FO VÍF|ÍVi|F|v
v
FlvirlF|F
A
WA:
_
A
a
a
Matriz principal
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
53
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
-
TU INGRESO ES DIRECTO
Un esquema molecular es Consístente (de contingencia) cuando en su resultado (malriz principal)
hay por lo menos una verdad y una falsedad,
p_
q
Vo
Vv
|íp>gqa
V
V|vV
V
F
F
F|
F
Y
V
Viv
FO
F|wvo|EF|F
AN
q
F
A
Metriz principal
Estas son algunas leyes que se usarán (leyes del algebra proposicional)
De De-Morgan
=(p
a q)=>pw
-4
=(p vq)*-pa -9
Del Condicional
p>9*-p vq
=(p>q)=p+ -q
p>95-9>-p
De la Bicondicional
p+q=-(pAq)
2.8 LÓGICA
DE CLASES
CLASE: Entiéndase por clase o conjunto a cualquier agrupación o colección de elementos concretos
o abstracto que tienen propiedades comunes.
PROPOSICIÓN
CATEGORICA:
Es una proposición que afirma o niega una relación de inclusión
o exclusión, total o parcial entre conjuntos o clases (sujeto y predicado).
De acuerdo a su cantidad:
UNIVERSAL
=
Todos los futbolistas son deportistas.
=
Ningún perro es ave.
PARTICULAR
-
Algunas mujeres son bonitas.
=
Algunos autos no usan gas.
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
54
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
De acuerdo a su calidad:
AFIRMATIVA
=
=
Algunas señoras son secretarias.
Todos los profesores son buenos,
NEGATIVA
-
Ningún peruano es cobarde.
Algunos felinos no son gatos,
2.9 REPRESENTACIÓN
Una
clase puede
GRÁFICA MEDIANTE EL DIAGRAMA
representarse
mediante
el diagrama
de Wenn,
DE VENN
la clase P puede
representarse por
el diagrama siguiente:
P
>
No se sabe si hay o no elemento alguno.
p
O)
o?
No tiene elemento (está vacía).
CC?
Existe por lo menos un elemento (no está vacla).
P
Las proposiciones calegóricas pueden representarse eráficamente como sigue;
A)
Todos los
peruanos
A
son
honestos.
——
P
H
H
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
55
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
5)
Cy
TU INGRESO ES DIRECTO
Ningún
Algunos
limeño
es
RÁ
norteños
KK
AAA
son
8
osados.
RÁ
N
D) Algunas peruanas
Ocioso,
0
noson
—
simpáticas,
A
P
S
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
56
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
2.10 NEGACIÓN DE PROPOSICIONES CATEGÓRICAS
PROPOSICIÓN CATEGÓRICA
Todos los peruanos son valientes
NEGACIÓN DE LA PROPOSICIÓN
Algunos peruanos no son valientes
V
P
V
Ningún an
es pesponsable,
P
Algunos jóvenes son responsables
R
J
J
R
J
L
P
R
R
.
Ningún perro ladra
Algunos perros ladran
P
V
v
P
L
L
p
Algunos aviadores no son
intrépidos
Todos los aviadores son intrépidos
A
A
A
!
l
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
E
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
57
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
OBSERVACIÓN:
Cuando el cuantificador es Universal (todo, ningún) y la negación afecta al verbo copulativo ser o estar,
entonces la negación funciona como si negara al cuantificador.
Ejemplos:
“Todos los abogados no son honestos”
Equivale a: “No todos los abogados son honestos”.
"Algunos abogados no son honestos”.
Por tanto:
“Todos los abogados no son honestos “Algunos abogados no son honestos”
Se negación sería: “Todos los abogados son honestos”,
“Ningún león no es carnivoro"
Equivale a: “No es cierto que ningún león es camivoro”
Por tanto:
“Ningún león no es camivoro «
»
“No es cierto que ningún león es carnivoro”.
“Algún lcón es carnivoro”,
Su negación sería: “Ningún león es camivoro”.,
ACERTIJOS LÓGICOS
2.11
El hecho de SUPONER implica aceptar una cosa por otra, es dar por sentado que una situación cn
particular está ocurriendo aungue no fuese asi.
Este principio es muy útil para analizar las respuestas dadas por ciertos personajes sobre una situación,
dichas afirmaciones guardan una relación entre sí y el objetivo en muchos casos es encontrar al culpable
o a los culpables, para ello
buscar CONTRADICCIONES
se evalúan si las respuestas son ciertas o falsas y para ello se recomienda
con el fin de hacer un análisis más directo.
Ejemplo:
Ronwnel, Luis, Gildder y Raúl son acusados de cometer un delito, por lo cual son sometidos a un
interrogatorio y el acta consigna la siguiente manifestación:
-
Rommel: Fue Luis
Raúl: Luis miente
- Gildder: Yo no fui, soy inocente
-
Luis: El delito la cometió Raúl
Si se sabe que solo uno de ellos miente, ¿quién cometió el delito?
Resolución:
Del
|
enunciado subemos que uno de ellos miente
-
Rommel: fue Luis
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
58
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
UNALM
Tu futuro empieza
con
nosotros
-
TU INGRESO
Haul: Luis miente
- — Gildder: Yo no fui, soy inocente
Luis: El delito lo cometió Raúl
pu
ES DIRECTO
contradicción
Las afirmaciones de Raúl y Luis se contradicen por lo tanto uno de ellos miente, Emonces las
afirmaciones de Rommel y Cildder son verdaderas,
Luego Rommel dice: “fue Luis” (verdadera) > el culpable es Luis.
RESUMEN
PROPOSICIÓN, Es todo enunciado que tiene la cualidad de ser verdadero o ser falso, pero nunca
verdadero y falso a la vez.
ENUNCIADO. Es toda frase u oración que señala una idea.
CONECTIVOS
LÓGICOS.
SIMBOLO
Se
lee:
LA CONJUNCIÓN
A
y; pero; aunque; sin embargo
LA DISYUNCIÓN
y
07 A MENOS QUE; E HO Ser que
DÉBIL
LA DISYUNCIÓN
A
DearDacas
FUERTE
LA CONDICIONAL
—
Si; Cntonces;
LA BICONDICIONAL
..
si y solo si
=-
no; no es cierto que
LA NEGACIÓN
TABLA GENERAL
P
q
=p
V
V
V
DE VERDAD
p*q
pq
páq
p=q
pq
F
WV
V
F
V
V
F
F
F
hi
V
F
F
F
V
V
F
v
V
V
F
F
F
V
E
F
F
V
V
PROPOSICIONES EQUIVALENTES NOTABLES
POp>q=-q>-p
+
Fo
-
p>9g=-pYqg
p=q=(p>4)4(q>p)
p=-q = -(pAq)
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
59
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
UNALM
TU INGRESO ES DIRECTO
nosotros
LEYES DE MORGAN
APA
pa
PY ESA 4
PREMISA, Es una proposición verdadera.
SILOGISMO. Es una estructura lógica que está formada por dos o más premisas, cuyo objetivo es
encontrar una conclusión válida llamada también inferencia,
CLASE. Es una agrupación de elementos que tienen alguna caracteristica común. Por ejemplo la clase
de los Humanos, los felinos, las maquinas, ete.
CLASE COMPLEMENTARIA. Son todos los conjuntos que no pertenecen a la clase original. Por
ejemplo la clase complementaria de los humanos son las aves, los felinos, las rocas, etc, se le denomina
como los no humanos.
CLASIFICACIÓN DE LOS CUANTIFICADORES
Cuantificador
Cuantificador | Cuantificador
Cuantificador
Universal
Universal
Particular
particular
afirmativo
negativo
afirmativo
negativo
Todos
Ningún
Algunos
Algunos no
Cada uno
Nadie
Muchos
Muchos.... n0....
ll
Por lo menos uno | Pocos...no....
NEGACIÓN
DE PROPOSICIONES CUANTIFICADAS
Todos los P son Q, su negación es: Algunos P no son Q
Ningún Pex Q, su negación es: Algunos P.xon Q
EQUIVALENCIAS DE PROPOSICIONES CUANTIFICADAS
Todo P es Q
e
Ningún FesnoQ
.
Fodo no Q es no P
Ningún P es Q
.
Ningún O es P
e
.
TodoPesno0O
Todo Q es no P
Algún P es Q
e
AlninQexP
e
digúnPnroesnoQ
e
Ningún P noes O
Algunos P no son Q
*«—
AlginPesnoQ
Algún
no Des P
*
TodoProesQ
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
60
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
EJERCICIOS
l.
RESUELTOS
Sila proposición: [ = (p = q) 45 -[r —s)] > s, es falsa, entonces hallar los valores de verdad de: “p”.
“a”
y
a pi
Resolución:
E:
[-=(p => q)a-(r
> 85)]>s
E
O APA
Y
V
_
Y
E
+
Por lo tano: p=V,q=F,r=W
Z
5i%s” es verdadera y la proposición: [ (sp)
verdad de “p", q" y “e,
=(p *eq))]vy[p
Ar], es falsa, hallar los valores de
4
par]
—
ml
ll
E *—
pa
<
<A>
Il
Resolución:
Por lo tanto: p=VW,q=F,r=F
3,
Dadas las proposiciones:
p:5<12
q : Julio y Agosto son los únicos meses consecutivos que tienen 31 dias.
Fr:
1289
<28-12
Hallar el valor de verdad de:
LL (pvgor
AM
(19)
ML.
(pánag
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
61
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
Resolución:
pp 5<12
>»
5$<12
6
+
5$=12
——
>
Y
W
F
KA
AA
V
17
<
AAA
l6
AKAKÁA
F
Tenemos entonces que: p=VW,q=W¿5r=eF
Luego:
Lipvaq)=orc0
IL -=(r=q)
Vo oYv
Y
|
FE—>V
F
-(V)
1
4.
M.(p
4 Vo
Ar)
aq
F ;
F
Si el esquema es verdadero, diga el valor de verdad de las proposiciones: p, q, T
[(-pAgq)ar]a-[(repyvs]
Resolución:
[(=pAg)ar]
Ls
A
a-[[(re+p)vs]
F
NH
Y
Ne
F
EF
V
dE
V
Y
F
a
F
MY
e”
_—
WV
Por lo tanto: p=F,q=F,r=V
5.
El equivalente
de: (-p A q)=>Ñr, es
Resolución:
=p
Aq)=>'"r
=-=r>=(=pag)
=-r>(pv=4)
..........
de la condicional
Por lo tanto el equivalente es: =r —+ (p w-q)
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
62
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
6.
TU INGRESO ES DIRECTO
Sean las proposiciones:
p: hace frio
q: congela
Hallar la proposición equivalente a: “No es cierto que, hace fro y no congele”
Resolución:
"No es cierto que, hace frioí y > ino
e
Asi tenemos:
(
p
A,
congele”
me
q)
=(pa-9)=-pvqg
que se lee: “No hace frio o congele”.
por lo tanto su equivalente es: “No hace frio o congele”.
7.
Hallar la proposición equivalente de:
*Alfredo es feliz si escribe pocmas”.
Resolución:
p : Alfredo es feliz
q : Alfredo escribe poemas
Simbolizando: q =p
Ley de la condicional: q + p==-(q A -p)
Por lo tanto su equivalente es: “No es cierto que, Alfredo escribe poemas y no sea feliz"
8.
¿Cuál es la negación de la proposición:
“Emilio está en clase o está comiendo”,
Resolución:
Sean las proposiciones:
p : Emilio está en clase
q: Emilio está comiendo,
Simbolizando: p vq
Su negación serla: [p vq)=
=p Aa =y..... De Morgan.
Por lo tanto la negación es: Emilio no está en clase ni está comiendo",
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
63
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
9,
TU INGRESO ES DIRECTO
¡Cuál de las sigulentes proposiciones son tautologlas:
l. =p —=(p v q)
IL (p vq) = (p
q)
UL (p A q) => (p vq)
Resolución:
Llevando a la tabla cada proposición:
L
p
V
V
F
F
q
V
F
V
y
=p
>
F
F
V
V
(pvya)
V
V
V
F
V
V
Y
F
No es tautología (es de contingencia).
IL
LP
q
V
V
F
F
V
F
Y
F
(p y q) > (p + q)
WV
V
V
F
Y
F
Y
1
V
F
F
V
No es tautologia (es de contingencia).
11.
Pp
V
q
V
V
F
F
V
F
F
(A
F
=>
V
(pvga)
V
WV
V
V
V
V
V
F
V
F
|
Si es una tautología.
Por lo tanto la proposición 1Il es Tautología.
10,
q
Dadas las siguientes afirmaciones:
Si el clima no mejora o baja la temperatura, entonces no 5e podrá realizar la expedición. Pero si se podrá
realizar la expedición. ¿Qué se concluye necesariamente?
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
64
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
Resolución:
Las proposiciones son:
p : el clima mejora
q: baja la temperatura
rose realiza la expedición
Simbolizando tenemos:
(-pvq)+-1=-(=1)
+-(=-pv9)........ Del condicional
=r=>(pA-q)
rose podrá realizar la expedición
Se concluye que: "El clima mejora pero no baja la temperatura *
Su
- “Todos los peruanos son valientes”,
- “Ningún valiente es osado”,
¿Qué se puede concluir?
Resolución:
valiente
Osado
Por lo tanto se concluye: “Ningún peruano es osado".
. Sabiendo que:
- Algunos abogados son honestos.
- Ningún ingeniero es honesto.
¿Qué se puede concluir?
Resolución:
Abogad
Pa
Honesto
Ingeniero
Podemos concluir: “Algunos abogados no son ingenteros”,
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
65
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
13.
TU INGRESO
ES DIRECTO
Si se sabe que:
- Todos los choferes del metropolitano trabajan sentados.
- Algunos profesores son choferes del metropolitano.
¿Qué se concluye?
Resolución: Graficando tenemos:
Choferes del
metropolitano
5
Profesores
Por lo tanto se concluye: “Algunos profesores trabajan sentados”
14.
La negación de: “Aleunas limeñas son coquetas”, es:
Resolución:
Graficando la proposición:
O)
Coquetas
Su negación seria: “Ninguna limeña es coqueta”,
Coquetas
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
66
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
15.
TU INGRESO ES DIRECTO
La negación de: “Ningún sudamericano ex no luchador”.
Resolución: Graficando la proposición:
Sudamericano
Luchador
No luchador (clase complementaria),
Su negación seria:
Sudamericano
Luchador
No luchador
“Algunos Sudamericanos no son luchadores”.
16.
Sabiendo que:
- Ningún Á es E
- Ningún C es B
- Algunos D son B
¿Qué se puede concluir?
Resolución:
Por lo tanto se puede concluir: “Algunos D no son A”.
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
67
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
17.
TU INGRESO ES DIRECTO
El gráfico muestra la negación de:
Mujers
Altas
Resolución:
Su negación es:
Mujeres
Altas
>)
Por lo tanto la negación es: “Todas las mujeres son altas”.
18,
La mamá interroga a sus cinco hijos. ¿Quién rompió el espejo? Y ellos respondieron:
-= — Alberto: lo hizo Eduardo
-=
Eduardo: Carlos lo hizo
=
Carlos: Yo no fui
- — David: Juan lo hizo
-=
Juan: lo hizo Alberto
Si uno de ellos lo hizo, si no fue Carlos y sólo uno dice la verdad, ¿quién lo hizo?
Resolución:
Se sabe que solo uno de ellos rompió el espejo, Carlos no fue y solo uno dice la verdad.
Por dato del problema la afirmación de Carlos es verdadera, por lo tanto las otras afirmaciones son falsas.
- — Alberto: lo ho Eduardo (E) + Eduardo no fue,
- — Eduardo: Carlos lo hizo (E),
=
Carlos: Yo no fiv (CV) por dato,
David: Juan lo hizo (F)
Juan no fue,
-=
Juan: lo hizo Alberto (F) + Alberto no fue.
Entonces necesariamente David rompio el espejo y es el culpable
19.
Si Doris, Roxana y Pina sostienen la siguiente conversación:
-
Roxana: No he encontrado an má principe azul.
=
Doris: Yo tampoco he encontrado mi principe azul.
=
Pina: Doris miente.
-
Roxana: Pina dice la verdad.
Si Roxana es la única que en realidad ha encontrado su principe azul, ¿quién o quienes mienten?
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
68
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Resolución:
Como Roxana es la única que ha encontrado a su principe azul (por dato), entonces su afirmación
es falsa. Roxana miente al decir que no ha encontrado su principe azul.
-
Doris dice la verdad, al decir que no ha encontrado su principe azul,
-
Pina miente al decir que Doris miente(Doris dice la verdad)
Por lo tanto las personas que mienten son Roxana y Pina
20,
En cierto pueblo de la selva se celebró un juicio a tres acusados de los cuales uno es culpuble y
siempre miente y los otros dos dicen la verdad. Uno sólo habla asháninca, todos los demás hablan
awaruna, por lo que los otros dos acusados actúan como traductores.
El Juez le pregunta al que no habla awaruna: ¿Es usted culpable? Este le responde en su lengua.
El segundo acusado le dice: “Ha dicho que no”,
El tercer acusado dice: “Ha dicho que si”,
¡Quién es el culpable?
Resolución:
El juez le pregunta al que no habla awaruna si es culpable o no y este le responde en asháninca. Aca
ocurre dos casos: si es culpable dirá: no soy culpable o soy inocente, pero si es inocente dirá: no soy
culpable o soy inocente, en ambos casos dirá lo mismo,
El segundo acusado dice:” Ha dicho que no” —= el segundo acusado dice la verdad y por lo tanto es
inocente,
El tercer acusado dice: “Ha dicho que si" —= el tercer acusado miente y por lo tanto es culpable. Y
como sólo hay un culpable, entonces el tercer acusado es culpable,
EJERCICIOS
PROPUESTOS
Dadas las siguientes premisas:
- — Todos los que estudian arquitectura saben dibujar.
-
Algunos estudiantes de arquitectura hacen deporte.
Se deduce que:
A) Ninguno que estudia arquitectura hace deporte
B) Todos los que hacen deporte saben dibujar
C) Todos los que estudian arquitectura no hacen deporte
D) Algunos que hacen deporte saben dibujar
E) Ninguno que hace deporte estudia arquitectura
Indique la proposición equivalente a: * Todos los no responsables son no católicos *
A)
B)
€)
D)
E)
Todos los responsables son católicos
Ningún católico es responsable
Algún no responsable es católico
Todo católico es responsable
E Algunos católicos son responsables
Á partir de las siguientes premisas:
-= Todos los artistas son sensibles.
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
69
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
-
TU INGRESO ES DIRECTO
Nu es cierto que todos los poetas sean sensibles,
Se infiere válidamente que:
A)
Todos los poetas son artistas
B) Ningún artista es poeta
C) Algunos poetas nu son artistas
D) Todos los artistas son poctas
E) Algunos sensibles no son poetas
4.
La negación de: “ X es verdadera ya que Z es falsa * es:
A)
B)
U)
D)
E)
5.
X
X
X
Si
X
es
es
es
Z
y
falsa y Z es verdadera
falsa o Z es falsa
verdadera y Z es verdadera
es verdadera, X es falsa
Zson falsas
Si:
Algunos W que son Z no son T
- Todos los Z son W
- — Ningún Wes T
Entonces:
l.
IL
Ningún Z es T
Todos los W son Z
MI.
Algunos T no son W
Respectos de estas afirmaciones, las correctas son:
A)
B)
C)
D)
E)
6,
La negación de todos los rectángulos son paralelogramos, es:
A)
B)
C)
D)
E)
Te
8.
Solo1
Solo 11
Solo 11
LyHI
ly HI
Todos los rectángulos son no paralelogramos
Todos los no rectángulos no son paralelogramos
Algunos rectángulos no son paralclogramos
Algunos rectángulos son paralclopramos
Todos los no rectángulos son paralelogramos
Respecto de Si gana la “U”, no voy a estudiar. Indique la alternativa que se puede concluir,
A)
Si estudié, ganó la “U”
B)
C)
D)
E)
Sino
Sino
Si fui
Nunca
ganó la “U” estudié
estudié ganó la “LU”
a estudiar, no ganó la “U”
estudio porque sempre pana la “UU”
Si ninguna persona que toma mate toma café y algunas personas que toman té toman café, entonces:
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
70
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
A)
Bj
C)
D)
TU INGRESO ES DIRECTO
Ninguna
Algunas
Algunas
Algunas
persona
personas
personas
personas
que
que
que
que
toma té
tornan
toman
toman
toma
lé no
mate
mate
mate
toman mate
toman café
no toman té
E) Todas las personas que toman café toman té
5
Se tienen las siguientes proposiciones
- Todos los docentes s0n personas cultas.
-
¡Algunos docentes no son ingenieros.
Por lo tanto, se puede concluir que:
A)
Los ingenieros son cultos
B)
Todos los ingenieros son docentes
C) Todas las personas cultas son docentes
D) Algunas personas cultás no son ingenicros
E) Los que no son ingenieros no son personas cultas
10.
Si la proposición: Todos los insectos son no vertebrados, es verdadera
Determine cuál o cuáles de las proposiciones son correctas:
l.
Es verdad que ningún insecto es no vertebrado.
IL
[TL
A)
Es cierto que algún insecto es no vertebrado.
Es falso que algunos insectos no son no vertebrados.
Solo 1
3) Solo 11
C) 1 y 1
D) Ey H
E)
ll.
M
y Ml
Sitodos los no creyentes son apostadores y ningún alpinista es creyente, entonces:
A) Todos los no creyentes son alpinistas
B)
Ningún alpinista es apostador
C) Algunos alpinistas no son apostadores
D) Todos los alpinistas son apostadores
E)
Sise asumen las siguientes premisas:
La
b la
hh
SR
—
12,
Todos los no creyentes no son apostadores
Si me pagan, trabajo.
51 no me pagan, renuncio.
Sime dan un incentivo, no renuncio,
Me dan un incentivo o denuncio a la empresa.
No trabajo.
¿Cuáles de las siguientes proposiciones son conclusiones lógicas de estas premisas?
l
221.
HL
—
Norenuncio.
No me dan incentivo.
Denuncio a la empresa.
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
71
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
A) Lyl
B) 1 yIH1
C) y MI
19)
1, dE y 11
E) Solo Il
13,
Se sabe que: (p A q) y (q —= 1) son falsas, entonces cuales de las siguientes proposiciones son
verdaderas:
Lp!)
ML —pv(q
Y
q
4 -q)
IM. [=p Y (9 A=0)] +[(p=4)
4 =(p 40]
A) lyUH
B) 1yHl
C) 1 y 111
D)
E)
Todas
Ninguna
Si la proposición compuesta: (q Ap) 4 -(q—r)
Indicar las proposiciones que son falsas:
l
ML
es verdadera.
(ras)—(svp)
(pvrjA(s—=q)
MM. (pAr) v (q—r)
A) Sólo 1
B) Sólo 111
C) Ly HI
D) 1yH
E) Sólo II
La proposición : “Vanessa no estudia o sale de casa larde”, equivale a:
A) No es cierto que, Vanessa sale de casa temprano o estudia
B) Si Vanessa estudia, entonces sale de casa temprano
C) Vanessa sale de casa temprano y estudia
D)
51 Vanessa sale de casa temprano entonces estudia
E)
51 Vanessa estudia entonces sale de casa tarde
Dadas las siguientes proposiciones:
Ningún ave de presa es herbivora.
Algunas aves de presa son carroñeras,
¿Cual de las siguientes proposiciones se concluye necesariamente de ellas?
A)
B)
Algunos herbivoros son carroñeros
Algunos carroñeros no son herbivoros
C) Algunos herbivoros no son carroñcros
D) Todos los carroñeros son aves de presa
E) Todas las aves de presa son carroñeras
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
72
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
17.
TU INGRESO ES DIRECTO
*Si Daniel estudia y trabaja, será buen profesional”. El equivalente de la proposición es:
A) No es el caso que; ni estudie y trabaje, o será buen profesional
B)
C)
D)
E)
13.
No es verdad: que estudia y trabaja, o será buen profesional
No estudia, ni trabaja y será buen profesional
Estudia y no trabaja, sin embargo será buen profesional
Si estudia será buen profesional, aunque trabaje
Al negar la proposición: Liliana dice que Emilio no tiene 30 años, se obtiene:
A) Liliana dice que Emilio tiene 30 años
BE)
Liltana no dice que Emilio tiene 30 años
C) Liliana no dice que Emilio no tiene 30 años
D) Liliana dice que Emulio tiene menos de 30 años
E) Liliana no dice que Emilio tiene más de 30 años
19.
Si
+
p: us no es un número irracional
q:5>2
r: 5 es un número primo
Determinar el valor de verdad de las sipuientes proposiciones:
(Ir
ip 4q)
(idqo
pj"
Lit=i-paq)
AJ VFV
B)
C)
VVWV
FVF
D) FFV
E) FFF
20.
Dadas las sipulentes proposiciones:
Algunas creencias religiosas tienen fundamentos racionales.
Todo lo que tiene fundamentos racionales es explicable,
¿Cuál de las siguientes proposiciones se concluye necesariamente de ellas?
A) Todo lo que es explicable tiene fundamentos racionales
B) Algunos fundamentos racionales no son creencias religiosas
C) Algunas creencias religiosa son explicables
D) Algunas creencias religiosas no son explicables
E) Algunas cosas explicables no son creencias religiosas
21.
¿Quétipo de esquema es:
lp 4 q) Y 1]=[rY (p 4 q)]
A) Contradictorio
B) Contingencia
C) Falso
DD) Verdadero
E) Tautológico
22.
No es verdad que un cuerpo celeste tenga luz propia y no sea una estrella, pero posee luz propia; en
consecuencia:
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
73
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
23,
TU INGRESO
A)
3)
Es mentira que no sea una estrella
No posee luz propia
C)
Es un cuerpo celeste
1)
No es una estrella
E)
Es imposible que posea luz propia
ES DIRECTO
Si afirmamos: “todo pez es camivoro”, ¿Qué podemos concluir?
A)
Algunos no peces no son carnivoros
B) Todo camivoro es pez
C)
D)
Ningún carnivoro es pez
Algunos peces no son canivoros
E) Todo no camivoro es no pez
24,
La proposición: “Rommel es profesor o abogado”, es equivalente a;
A)
B)
Rommel es profesor y abogado
Si Rommel es profesor es abogado
C)
Si Rommel no es profesor entonces es abogado
D) Rommel es profesor si y sólo si es abogado
E) Rommel es profesor o no es abogado
25,
La proposición equivalente de: “Ningún poeta es matemático”, es:
A) Algunos poctas son matemáticos
B) No es cierto que algunos matemáticos no sean poetas
C)
Todo matemático es no poeta
DB) Todos los matemáticos son poetas
E) Algunos matemáticos no son poctas
26.
Si la proposición tes verdadera y la proposición:
=p —=
q) Y -(rAq)l= [Cr Y 5) =t] es falsa, Halle los valores
de verdad de p, q y r.
A)
WWF
B) VVV
27.
C)
FFF
D
FFV
E)
FVF
Encontrar la proposición equivalente de: “No es cierto que, trabajemos y no ahorremos”.
A)
B)
C)
D)
E)
28.
Ahorramos y no trabajamos
No trabajamos o ahorramos
Trabajamos 0 no ahorramos
No Ahorramos o no trabajamos
Trabajamos y ahorramos
Dadas las siguientes proposiciones:
E “Si Sebastian cumple 18 años, entonces recibirá la herencia prometida”.
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
74
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
a: “Si Sebastian no recibe la herencia prometida, entonces no cumplió 18 años”.
t: "Noes el caso que, Sebastian cumple 18 años y no reciba la herencia prometida”,
Son equivalentes:
A) rys
B) syt
C)
ryt
O)
todas
E)
Ninguna
29. — Laproposición: “Raúl no maneja si está cansado”, es verdadera, se puede afirmar que:
A) No es cierto que, Raúl no maneja y está cansado
B) No es cierto que, Raúl maneja y no está cansado
C)
No es cierto que, Raúl maneja y está cansado
D)
E)
No es cierto que, Raúl no maneja y no está cansado
No es cierto que. Raúl no maneja
30. — Siclesquema: (p A q)— res falso, señale el valor de verdad de las siguientes expresiones:
L
pA-[-q Vr)
IL (-p=>39)*(-q=r)Ap
MM. -=(=p=>3)*%-(q1)4
(q =p)
A)
B)
C)
D)
E)
31.
VVF
VEF
EVE
VVV
FEF
Si s y la proposición: $ — — ( p v q ) son verdaderas, indique los valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
L
—(p*-49)
IL
(p=3)Y=s
MILs v(q—p)
A)
B)
C)
D)
E)
VVV
VEV
VVF
FEF
FFV
SA LS ir
a
*
Si todo combatiente es reconocido.
Algunos combatientes son extranjeros,
Entonces:
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
75
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
A)
6)
Todo reconocido es extranjero
Algunos reconocidos son extranjeros
C)
Todo extranjero es reconocido
10) Todo extranjero es combatiente
E) Algunos extranjeros no son reconocidos
33,
Simbolice la siguiente proposición: Maria se matricula en la UNALM,
si y solo si, consigue vacante
en Ingenieria Ambiental y no obtiene la beca a Alemania.
A) p=(q
Y -5r)
B) p=(92=r)
O
p=-(94r)
D) p=(95=r)
E)
34,
p+(q
vr)
Tres animalitos, el gusano, el gato y el murciélago, amigos de Alicia en el pais de las maravillas,
fueron acusados de haberse robado la sal y de habérsela comido. Al ser interrogados, declararon:
Gusano: El pato se comió la sal
Gato: Esono es cierto
Murciélago: Nunca comi la sal
Si se sabe que al menos una de las declaraciones es verdadera y al menos una es falsa, ¿quién se
comió la sal?
A)
Gusano
B) Gato
C) Murciélago
Dj Faltan datos
E) Hay más de una solución
Simbolice la siguiente proposición: Juan Pérez saldrá elegido y será congresista, si y solo si obtiene
apoyo en su provincia.
A) p=9%r
B)
p4q—r
C) (p4q)+r
D) (pYq)=r
E) p=(q 1)
36.
Señale la alternativa que contienc la conclusión lógica del siguiente razonamiento:
e Ningún animal cs mineral,
* Todos los paquidermos son animales.
Por lo tanto;
A) Ningún mineral es no animal
B) Todos los animales son paquidermos
C) Ningún paquidermo es mineral
D) Algunos payuidermos no son minerales
E) Algunos animales son paquidermos
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
76
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
37,
TU INGRESO
ES DIRECTO
Tres alumnos: Omar, Roxana y Xiomara, responden una evaluación con tres preguntas que tienen las
alternativas verdaderas (V) o falsa (F). Sus respuestas fueron reportadas en el cuadro adjunto.
PREGUNTA
OMAR
ROXANA
XIOMARA
|
Y
V
F
2
V
F
F
3
F
F
y
Se sabe además que uno de los alumnos contestó correctamente todas las preguntas, otro se equivocó
en todas sus respuestas y el restante falló sólo en una pregunta.
Indique el orden de mérito de dichos alumnos.
A) Roxana, Xiomara, Omar
B) Omar, Roxana, Xiomara
38.
C)
D)
Xiomara, Omar, Roxana
Xiomara, Roxana, Omar
E)
Omar, Xiomara, Roxana
Marco, Luis, Ignacio y Leonardo son acusados de cometer un delito, por lo cual son sometidos a un
interrogatorio y el acta consigna la siguiente manifestación:
e Marco; Fue Luis
e
e
Leonardo: Luis miente
Ignacio: Yo no fui, soy inocente
s
Luis: El delito lo cometió Leonardo
Si se sabe que sólo uno de ellos miente, ¿quién cometió el delito?
A) Leonardo
B) lenacio
C) Luis
Dj) Marco
E) Falta información
39,
Determinar, en esc orden, si son tautologias, contradicciones o contingencias los siguientes esquemas
moleculares.
L
IL
A)
(paq)
>(q4-p)
(p+9)>9
Contradicción, Tautología
B) Tautología, Contradicción
C) Contradicción, Contingencia
D)
Contingencia, Contradicción
E) Contingencia, Tautologia
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
24
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
40.
TU INGRESO ES DIRECTO
Simbolizar la siguiente proposición: “Es suficiente que me pagues 5, 50 para ir al cine con tu
hermana, y para enseñarte Razonamiento Matemático es necesario que me pagues los S/.50”.
A) (p=39)
Aa (r=p)
B) (p=>9) v(r—p)
O
(paq)
D
(p=>3)v(r—q)
E) (py
a(r y p)
q)=(ra
p)
Unidad 2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
78
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
|
PRE
Tu futuro empieza
con nosotros
UNALM
TU INGRESO ES DIRECTO
UNIDAD S
MÁXIMOS
Y MÍNIMOS
78
Prohibida su reprodueción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
OBJETIVOS
Al finalizar la Unidad, el alumno será capaz de:
l.
Resolver problemas a partir de establecer un vinculo entre máximos y minimos en situaciones no
aleatorias.
2.
Resolver problemas de máximos y minimos que presenten valores extremos de funciones.
3,
Resolver problemas de Máximos y Minimos vinculados a situaciones aleatorias, conocidas como
certezas.
CONOCIMIENTOS
PREVIOS
Para la presente unidad el alumno deberá conocer previamente:
IL.
Concepto de conjunto, conjunto numérico, intervalos: abiertos, cerrados, semi-abiertos, concepto
de función, función cuadrática, parábola.
2,
Ecuaciones cuadráticas: Métodos de factorización, completando cuadrados y fórmula general.
CONTENIDO
3.1 INTRODUCCIÓN
3.2
CONJUNTO SOLUCIÓN
3.2.1 VÍNCULO
3.3
3.4
3.5
ENTRE
MÁXIMOS
Y MÍNIMOS
VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN
CERTEZAS.
CONCEPTOS IMPORTANTES
RESUMEN
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS
Unidad
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
79
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
3.1
TU INGRESO ES DIRECTO
INTRODUCCIÓN
Establecido un suceso, la ocurrencia de éste puede establecerse de un número determinado de
máneras distintas; por ejemplo el extraer tres cartas de espadas de forma alcaloria, de un mazo
de cincuenta y dos barajas, puede lograrse extrayendo tres cartas o cuatro o cinco, ,. etc;
pudiendo darse el caso extremo de extraer breinta y nueve barajas sin lograr lo requerido. Esto
implica la presencia de un número minimo de tres y un máximo de cuarenta y dos barajas; es
decir que el número de cartas que deben extraerse oscila desde tres hasta cuarenta y dos.
En este trabajo estableceremos las pautas que permitan analizar los diversos casos de sucesos
aleatorios o no, en los cuales se presenta un valor minimo y/o máximo,
3.1
CONJUNTO SOLUCIÓN
Un problema cuya resolución nos lleva a un conjunto numérico (conjunto solución) como
respuesta, presentará entre los elementos de dicho conjunto un valor mínimo y un valor máximo;
(ver ejemplos | y 2).
Ejemplo 1:
Según el gráfico una persona debe ir de A hacia B, tomando un punto del segmento MN..."
6 m
3m
M
Como
12m
N
se podrá apreciar, evaluando esta parte del enunciado, no se trata de una única respuesta,
sino más bien un conjunto de valores, que representaran a las distintas distancias que se pueden
FÉCOTMTET.
Completando el enunciado:
a
M
Ñ
“¿Cuál es la menor distancia que debe recorrer dicha persona?”
En este caso la pregunta es una alusión directa al menor valor del conjunto que en este caso 25
la distancia minima.
La respuesta es quince y se presenta en la siguiente gráfica:
á
3
Lied
3m
Donde la distancia minima
es:10+5=15m
4 m
Complementariamente diremos que la resolución se basa en dos postulados:
1) “Cualquier punto de una mediatriz equidista de sus extremos”; en este caso trazaremos
— primero un reflejo de la figura inicial sobre el eje MN (Mediatriz).
Unidad
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
80
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
B
6m
A
3Hm
M
N
12m
Luego mostremos en la siguiente gráfica, a manera de ejemplo, que siendo P y Q puntos de la
mediatriz MN , se cumple a que PC=PD
y QE =QEF, por equidistancia a los extremos.
Veamos ahora el segundo postulado:
ii) “La distancia más corta entre dos puntos es el segmento de recta que los une”
En la figura que se muestra a continuación el segmento AB representa la distancia más corta
entre el punto Á y el punto B” ; por otra parte el segmento AB'=AF + FB por ser F un punto
de la mediatriz MN, Luego nuestro problema se reduce al cálculo de la longitud AB'
>
Para calcular AB" trazaremos el triángulo rectángulo APB'
B
B"
Unidad
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
81
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Por el teorema de Pitágoras;
AB?= B"P?+ PA?
AB'"*= MN?+ (3+6)*
AB”?=1219*
AB"=205
AB' =15m
32.1
Vinculo entre Máximo y Mínimo: Mostraremos a continuación otro problema cuya resolución
también nos lleva a un conjunto numérico como respuesta, pero en este caso la resolución depende
de la relación entre el máximo valor y el mínimo valor.
Ejemplo 2:
Un vendedor observa que un kilogramo de ciruelas contiene de veinte
a cuarenta ciruelas. ¿Cuál es el
mayor peso, en promedio, que puede tener una docena de ciruelas?
Cuando el vendedor comercia un kilogramo de ciruelas, el número de ciruelas que debe entregar puede
ser 206 21 6226 23 6 2M44...... 638 639
6 40 ciruelas.
()
Si el contenido minimo cs 20 cinuclas:
:
F
En promedio cada ciruela pesará:
1000
erom
A gramos
20
(11) Si el contenido máximo es 40 ciruelas:
,
.
.
VOGOÓ gramos
En promedio cada ciruela pesará: ——————s
25 gramos
30
De esto se desprende que s1 el número de ciruelas es el minimo, en promedio el peso de cada ciruela
es el máximo; mientras que si el número de ciruclas cs cl máximo, en promedio el peso de cada
ciruela es el mínimo.
En nuestro caso, visto que se solicita el mayor peso, clegiremos el minimo contenido de ciruelas por
cada kilo.
Luego, si en promedio una cirucla pesa 50 gramos, una docena, también en promedio, pesará
600 gramos,
315
VALORES
EXTREMOS
EN UNA
12:50 =
FUNCIÓN
La referencia en este caso es a aquellos problemas que presentan un patrón relacionado a
funciones cuadráticas; de hecho toda función cuadrática presenta un valor máxime o un valor
mínimo.
Ejemplo 3:
Si dos números suman |, ¿Cuál es el máximo valor que puede tener su producto?
Primer número: x
Segundo número: 1-x
Producto de ambos números: y
Entonces: y = x(1-x); que también se puede expresar de la forma f(x)=x-x
Unidad
?
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
82
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Completando cuadrados:
ro
A?
sl
l
|] -( 2 ]
2)
ale
)
2)
]
|
|
1/4
pay
vo
ha
kh
a
|
12)
|
Ll
Y
l
ES
[
fíxy=
pr l
E
|=
LE
1
2)
A
N
:
El máximo valor del producto, representado por
f(x)
.
Y
se dará cuando
;
r- 5)
¿
asuma cl menor valor posible, puesto que siendo sustracndo
»
debe ser minimo para que la diferencia | ,)
- $= 7) sea la mayor posible, (máximo valor
2
2
3
del producto). El minimo] x- 7)
k
Por lo tanto:
riyl
1
ol 2
es ccro
2
-0
¿es decir
ml
:
El máximo valor que puede tener el producto es:
34 —
CERTEZAS
La referencia cs a aquellos enunciados sobre situaciones alcatorias cuyo desarrollo consista en
la evaluación de un proceso experimental donde el resultado depende del azar y por lo tanto
no se puede predecir con seguridad (con certeza); veamos algunos ejemplos:
*
El lanzamiento de un dado
Ejemplo 4;
¿Cuántas veces como minimo se tendrá que lanzar un dado, de modo que alguna de sus caras salga por
segunda vez?
(i)
(1)
Unidad
Partimos de la idea central de que el resultado siempre será aleatorio; es decir depende del azar; de
no ser asi la respuesta seria 2 (dos), bastaria de que en un primer lanzamiento se obtenga una cara
determinada y en el segundo lanzamiento se repita la misma cara. El minimo en estas condiciones
(favorables, no aleatorias) es dos lanzamientos.
Para señalar con certeza en cuántos lanzamientos, una de sus caras, saldrá por segunda vez, es
necesario considerar que en una situación aleatoria existe un número de posibilidades, dentro
de este conjunto de posibilidades, ubicar el caso extremo (considerando el peor de los cusos).
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
83
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
Caso Extremo: (Llamado usualmente el peor de los casos) Que en seis lanzamientos
consecutivos se obtengan las scis caras diferentes, en cualquier orden; pero que ninguna cara
se repita; veamos una posibilidad como ejemplo:
4
3
5
2
6
1
(1)
Establecido este caso extremo, si se lanza una vez más el dado, cualquiera de las scis caras
que resulte, se estará repitiendo,
(iv)
En conclusión, si se lanza un dado: 2036460506 veces se puede lograr que alguna de sus
caras se repita, pero esto depende del azar es decir no se puede garantizar el resultado
solicitado, Pero si se lanza el dado 7080%96.., con certeza algunas de sus caras se repetirá,
en este último caso el número mínimo de lanzamientos es 7 (siete).
e
Laexiracción de una baraja.
Ejemplo 5:
¿Cuántas cartas, como minimo, se tendrán que extracr al azar, para oblener con seguridad, dos cartas
de espadas, en un mazo de 52 cartas?
(1
(1)
0)
Al extraer las cartas de forma aleatoria; el resultado será incierto no se puede predecir con
certeza el resultado.
Para lograr con certeza dos cartas de espadas es necesario ubicar el caso extremo (el peor de
los casos).
Este caso extremo se dará cuando se extraiga todo, menos aquello que se solicita; es decir, que
se extraigan las trece cartas de trébol, las trece de corazón y las trece cartas de oros pero
ninguna de espadas; veamos;
Caso Extremo: (Peor de los casos) Que en 39 extracciones consecutivas se oblengan, en
cualquier orden, solamente 134 +13 +13 4=308 cartas, pero ninguna carta de4 (espadas).
(iv)
Recién cuando todos los demás palos(4 ; W; 4) hayan sido extraidos y sólo queden cartas de
é* (espadas) podremos afirmar que al extraer dos cartas más tendremos con certeza dos cartas
de espadas; siendo el minimo
de este conjunto 41.
Ejemplo 6:
¿Cuántas veces, como mínimo, se tendrán que lanzar una moneda, para obtener con certeza, dos veces
el mismo lado de la moneda?
(í)
Llamemos cara al anverso y sello al reverso, al lanzar una moneda sólo habrá dos alternativas;
Si lanzamos dos veces consecutivas la moneda, las posibilidades serán cuatro:
Unidad
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
84
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
(314)
TU INGRESO ES DIRECTO
Obiener el mismo lado de la moneda por segunda
dependerá del azar, no es seguro,
vez, en dos lanzamientos consecutivos
:
(iv)
09
El caso extremo (el peor de los casos), se dará cuando en dos lanzamientos consecutivos se
obtengan dos lados diferentes de la moneda:
Luego es obvio que producido el caso extremo (el peor de los casos); en el tercer lanzamiento
se obtendrán con certeza dos lados iguales.
35
CONCEPTOS
*
*
IMPORTANTES
Experimento Aleatorio: Proceso que consiste en la ejecución de un acto o prueba cuyo
resultado depende del azar, no pudiendo precisar con certeza.
Espacio Muestral: Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
Evento o Sueeso: Subconjunto del espacio muestral.
Caso Extremo: Momento previo al suecso solicitado, llamado comúnmente “el peor de los
casos”,
Ejemplos de experimentos aleatorios:
a)
Contar objetos defectuosos.
b)
Lanzar una moneda,
e)
Extraer una baraja.
di
Lanzar dos dados.
RESUMEN
Conjunto Solución; De un conjunto de valores optar por el valor máximo o el valor
minimo, de acuerdo a lo requerido.
Vínculo entre máximos y mínimos: La resolución depende de la relación entre el
máximo valor y el minimo valor
Notación funcional: Análisis de los valores extremos en una expresión funcional, en
una función cuadrática, los valores máximos y minimos.
Certezas;
Unidad
Enunciados sobre situaciones aleatorias, evaluando el proceso
experimental aleatorio.
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
85
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
EJERCICIOS RESUELTOS
),
Un kilogramo de duraznos contiene de seis a ocho duraznos, ¿Cuál es el mayor peso, en
kilogramos, que pueden tener tres decenas de duraznos?
Resolución:
l.
El número de duraznos que puede contener un kilogramo es 66 7 ú 8.
li,
Si el número de duraznos es minimo, en promedio el peso será máximo,
51 el contenido mínimo es 20 ciruelas
En promedio cada una de las ciruelas pesará: E
E
gramos
3
;
ssli,
Tres decenas pesarán : 30a
500
gromos
= 5000 gramos; es decir que 3
3
decenas de duraznos pesarán en promedio 5 kilogramos
2,
Siendo “n” un número par de dos cifras y “m” cs un cuadrado perfecto de dos cifras, calcule el
máximo valor de
m+n
Resolución:
l
Un número par de dos cifras: 1006126 1461660....6
966908 el
máximo número par será 98.
3,
ii
Un cuadrado perfecto de dos cifras: 166 25636049664 081; el
máximo será 8l.
iii.
El máximo valor de m +n será 98 +81 =179,
Cierto frasco de un tónico energizante contiene entre quince y veinticinco calorias. Si la dicta
de un estudiante le permite solo desayunar dicho tónico cen una cantidad de setenta y cinco
calorias. ¿Cuál será lo máximo que el gastará si cada frasco de tónico cuesta desde S/, 2,5
hasta 3 nuevos soles?
Resolución:
(1)
El mayor gasto se producirá cuando los tónicos contenga un número mínimo
de calorias, en este caso 15 calorias.
(11)
Siendo
el requerimiento
setenta
y cinco
calorias,
el número
de
frascos
necesarios será:
75
=5 frascos
15
(1h)
El mayor gasto se producirá al comprar los frascos de mayor costo; es decir:
(5 frascos)x(3 nuevos soles) = 13 nuevos soles,
4
¿Cuántos números pares, cómo máximo, se pueden obtener, sumando dos números, usando
para ello como sumandos, solamente los cuatro primeros números primos?
Resolución:
Unidad
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
86
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
L
Los cinco primeros números primos son: 2: 3; 5: 7.
li,
Conjugando convenientemente estos digitos
Tendremos:
214+2=4
3+3-=6
3+5=8
5+5=10
$+7=12
7
iii.
+
7
=
a
Según
número
14.
Como
tomados de
dos cifras en dos,
,
la conjetura de Goldbach,
todo
par mayor que 2 puede escribirse
la SUMA
de
dos
HEMOS
primos
a
Como máximo se pueden lograr seis números pares: 4; 6; 8; 10; 12; 14
Por lo tanto la máxima cantidad de números pares es seis.
5.
El día 04 de noviembre del 2010 un profesor cumplió 35 años y hasta las ocho de la noche se
encontraban presentes 346 personas en su fiesta de cumpleaños. ¿Cuántas personas más
tendrian que haber asistido, como minimo
para tener la seguridad de que en la reunión habia
por lo menos dos personas con la misma fecha de cumpleaños?
Resolución:
i,
Tratándose de un año ordinario ( no bisiesto) contendrá 365 dias, lucgo el
caso extremo (el peor de los casos) se producirá cuando estén presentes 365
personas y cada una con una fecha distinta de nacimiento; es decir que se
presente una correspondencia biunivoca entre fechas de nacimientos y los
365 dias que contiene el año,
li,
Si hubieran 366 6 367 6 368.6 369 ó .... Personas, con certeza habrian dos
personas o más con la misma fecha de cumpleaños.
iii.
De este conjunto, el minimo y con certeza será 366 personas. Estaban
presentes 346 personas, luego 366 —- 346 = 20 personas más tendrian que
haber asistido.
6.
Dos padres, tres hijos y dos nietos llegaron a la mesa a desayunar de uno en uno: el primero en
llegar se comió dos panes el segundo cuatro panes el tercero seis panes y así sucesivamente
¿Cuál es el mínimo número de panes posible que pueden haber comido?
Resolución:
Para hallar el minimo número de panes posible, es necesario identificar el menor grupo
humano que cumpla con las condiciones requeridas; este es:
PADRE
|
|
HIJO
L
NIETO
NIETO
Siendo cuatro el número de parientes, obtendremos la siguiente serie:
Parientes:
ye
Panes:
2+49d
ze
3
+6
q
4
8
Porlo tanto siendo la suma veinte. El el mínimo número de panes posible que pueden haber
comido
Unidad
es 20 (veinte).
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
87
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
7.
TU INGRESO ES DIRECTO
Se divide una cadena en cinco trozos iguales con tres estabones cada uno, Si queremos volver
a unir los eslabones en un solo trozo de quince eslabones, considerando que cortar y soldar cada
eslabón cuesta cinco soles, ¿Qué cantidad mínima tenemos que invertir para lograr el objetivo?
Resolución:
De acuerdo al enunciado:
XKXSSSOCOOCSOO
SIDO
El minimo número de cortes se consigue desoldando un solo trozo:
Lucgo cada eslabón unirá un par de trozos; como sc muestra;
KSSOSSOCSSOSAO
SS
oe
Por lo tanto (5 nuevos soles)x(3 eslabones) = 15 nuevos soles
3,
Sabiendo que
abed < 360b + 23cd,
Determine el máximo valor de: a +b
Resolución:
Evaluemos abced,
Por descomposición polinómica: abea = 1000 a + 100b + 10c +d....(D.
Evaluemos el segundo miembro de la igualdad:
J6ab
23d
Sumando a y fl:
369b
+ 23cd
De acuerdo al dato original:
= 3000 + 600 + l0 + b
— 2000 + 300 +10c + d...(B)
...
(a)
= 5900 + l0a + b+10c+d
...(1M.
abed s Jóab + 23cd.
Reemplazando (1) y (10) En el dato original:
1000 a + 100b +10c + d <5900+ 10a
+ b+
990 a +99 b< 5900
10c +d,
99(104+b)<5900,
(10a+b)<59,59596
Luego, el máximo valor que toma ab cs 59; siendo ab =59;
- Porlotanto:a+b=5+9=14
Unidad
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
88
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
En la siguiente figura se representa el disco de puntuación sobre el que se debe efectuar los
lanzamientos en un juego de dardos, cada jugador puede lanzar cinco dardos. Si los cinco
dardos de un jugador cayeron sobre las zonas de puntuación en el disco, en ninguna de las
zonas circulares cayeron tres o más dardos. ¿Hallar la suma entre el máximo y minimo puntaje
que pudo obtener?
Kesolución:
Evaluemos primero la máxima puntuación: Si en ninguna zona cayeron tres o más dardos;
pudieron cacr dos, como máximo; luego el puntaje máximo pudo ser:
Máximo: 14 + 144 12 + 12 +10=62
Evaluemos ahora el puntaje minimo:
Minimo:
2+2+3+34+5=15
Luego la suma solicitada será: 62 + 15 =77
10, — Cuatro personas juntaron sus capitales para iniciar un negocio, aportando 15% 20%, 25% y
40% respectivamente, del monto total. Si la menor de las aportaciones
soles, ¿Cuál fue la mayor de las aportaciones?
fue de 9 millones de
Resolución:
Hallemos primero el capital formado por los cuatro aportes de: 15%: 20%; 25% y 40%,
El menor aporte, es decir, el 15% del capital es 910"
Luego;
15
del
caplial
.
= 9x10
100
910
Capital
=
Capital
=
"100
15
Yoxio
15
Capital
= bx I0
?
El mayor aporte será:
40% del Capital = 40% «de 6x 10"
0
100
(
Unidad
xóbxió
-
=
40xéxd0
3
El mayor aporte es 24x10% = 24 millones
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
89
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
Il.
TU INGRESO ES DIRECTO
Dado dos números reales m y n que verifican la ecuación
el mínimo valor que puede tomar el producto mn.
2m-—n-4=0.
Determine
Resolución:
Expresemos los dos números en función de una sola variable; los números serán: m y (2m-4).
Entonces el producto de dichos números, se puede expresar como:
Ni
m(2m - 44)
Y = 24m —-2m)
Completando cuadrados tendremos:
Y =2(mM -2m+ 1-1)
Y =2((m-1 -1)
Y =2(m1! -2
Para que Y sea mínimo, 2(m - 1) = 0; puesto que toda cantidad elevada al cuadrado
diferente de cero es positiva, sí asumimos cualquiera de estos valores posilivos el valor de Y
aumentará,
Por lo tanto para obtener un Y mínimo:
Y=2m-1Y-2
Y=0-2
El minimo producto mn
EZ,
es -2
Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba hasta una altura máxima “h” metros desde el
punto de lunmamiento; transcurrido un iempo “ desde que fue lanocada su «llura puede ser
expresada por h = 30t — Sé, Halle la altura máxima “h" alcanzada por dicha piedra y el tiempo
“1” transcurrido,
Resolución:
La longitud “h” estará representada por: h=30t - 5é
Completemos cuadrados:
En primer instancia para aplicar este método, el cocficiente de Y
debe ser uno; luego factorizamos -5:
h= - s[le* - se]
h= -5((e* - 6r+ 3*)-3*]
h= - 5((e - 3) - 3*]
=-S(0-3) 45,3
=-=5(i-3) +45
h= as - (1-3)
Unidad
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
390
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Para que la altura “h" sea efectivamente máxima; en la diferencia mostrada el sustracndo debe
ser el menor
posible, esto se obtendrá cuando:(t — 3
=0:
(debido a que toda cantidad,
diferente de cero, elevada al cuadrado es positiva).
13.
h=45-0
y
(t-3P =0
h= 45
y
(1-3)=0
h= 45m
y
t=3s
Cierto depósito contiene 5 esferas blancas, 3 azules y 4 rojas ¿Cuántas esferas se tendrán que
extraer al azar para tener la certeza de haber extraido una esfera blanca?
Resolución:
El depósito contiene doce esferas: 5 blancas, 3 azules y 4 rojas.
El extracr una esfera blanca de manera directa es una situación circunstancial, ya que en una
primera extracción al azar, como se solicita, se pueden dar de tres posibilidades,
O Ot
El caso extremo o (el peor de los casos); se dará cuando se obtengan todas las esferas que no
son blancas, es decir las tres azules y las cuatro rojas.
Extraidas las 3 azules y las 4 rojas en cualquier orden, la octava esfera tendrá que ser de color
blanco.
3+4+1=8 esferas
14,
Dentro de un depósito se colocan 45 esferitas congruentes, aunque de distintos colores, a
saber: hay 14 rojas, 15 negras, 5 azules y 11 verdes. ¿Cuántas esferitas, como mínimo, se
tendrá que extraer al azar para obtener con certeza dos de color azul?
Resolución:
Tenemos las siguientes esferitas:
14 ROJAS - 158 NEGRAS
5 AÑULES-11 VERDES
Identifiquemos el caso extremo (el peor de los casos):
Extraidas: 15N + 14R + 11V =40
Si extraemos dos esferitas más, lograremos con certeza lo solicitado:
40 + 2=42
esferitas
15. | Cierto dado tiene dos de sus caras pintadas de rojo, dos caras pintadas de verde y dos caras
0
pintadas de azulo ¿Cuántas veces, como mínimo, se debe lanzar dicho dado, para obtener con
certeza, dos veces el mismo color?
Unidad
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
91
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Resolución;
El Peor de los casos o caso extremo, es decir el máximo número de resultados que se pueden
dar sin lograr lo solicitado es tres, (No interesa en que orden se obtenga este resultado, primero
azul ú primero verde o primero rojo).
DO
Si se efectúa un lanzamiento más el resultado sólo podrá ser Rajo, Azul o Verde que sumado a
los resultados ya obtenidos, formaría dos de igual color.
Es decir se debe lanzar como minimo 4 veces el dado para obtener con certeza dos caras del
mismo color,
16.
Una
ánfora contiene (2n + 3) bolos azules, (n + 4) bolos rojos, (5n+2) bolos blancos y (7n + 4)
bolos negros. ¿Cuántas bolos, como minimo, se tendrán que extraer al azar, para obtener con
seguridad “n + 1” bolos negros?
Resolución:
Se tienen los bolos:
Azules
:
1n+3
Rojos
:
n +4
Blancos:
Negros;
Total
:
5n +2
Tn+4
15n +13
El caso cxtremo o peor de los casos, es decir el máximo resultado que se puede dar sin lograr lo
solicitado es cuando se extraen todos los bolos, menos los bolos negros, es decir (2 n +3), Azules
más (n +4) Rojos más (5n + 2) Blancos, es decir 8n + 9 bolos,
A. partir de esto, todos los demás bolos tendrán que ser de color negro. Puesto que se solicitan
*“p+ 1%; será (En +9) + (n+1) bolos,
La respuesta será %n +10 bolos
7
Se han guardado en un bolso todas las piezas de un juego de ajedrez. ¿Cuántos piezas tendrán
que extraerse al azar, para obtener con certeza, tres peones?
Resolución:
En un juego de ajedrez cada contendor tiene 01 Rey,
xo
0l Reyna, 02 Alfiles, 02 Caballos, 02 Torres y 08
É
Unidad
Peones (16 piezas).
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
92
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
Hallemos el Caso extremo:
Siendo que en un juego de ajedrez se tienen 16 piezas negras y 16 piezas blancas, en total
32 piezas, de las cuales la mitad (es decir 16), son peones. El caso extremo será que se hayan
logrado extraer dieciséis piezas y no se obtenga un solo peón.
Para obtener con seguridad tres peones, setendrán que extraer 16 + 34= 19 piezas.
1%. Se requiere inscribir un rectángulo, de área máxima dentro de un triángulo, POR, en el que
PR=1m,RO=2m, y, ángulo PRO = 90", El diagrama muestra un rectángulo arbitrario,
RSTU, en la que TU = x metros y ST = y, metros.
a.
Demuestre que y = 2 -Zx,
Determine una expresión, en términos de “x” para el área del rectángulo.
Calcule el área rectangular máxima que se pueda inscribir dentro del triángulo POR y
dé como respuesta está área,
P
lms5
Resolución:
a. Demuestre que y = 2 - 2x. Aunque en este caso es posible hallar una relación entre “x" é
y” partiendo de una semejanza de triángulos; lo que se solicita es una relación entre las
variables pero considerando que las dimensiones del rectángulo dependen del triúngulo que
lo circunscribe; es decir:
y
1-y
En estas condiciones el área rectangular se puede calcular restándole al área del triángulo
las áreas de las regiones triangulares no sombreadas; es decir;
s
RQx3PR
El área rectangular = PEN,
—STxPS£
SES
E
TUxXU
DURO
>
2
El área rectangular = 2 GA.
2
a
El área rectangular =et
Unidad
2
”
=
>
2
pe)
dd
==
1
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
93
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Pero el área rectangular es simplemente base por altura; es decir:
El área rectangular=
xy ... dl
Luego de =1H
2+(2xy)-4-2x
Ay
2
2+2xy-y-2x=2xy;
Luego:
2
b.
=y+2x;
Porlotanto;
y =2-=2x
Una expresión, en términos de “x” para el área del rectángulo.
El área rectangular = xy
El árca rectangular = x(2 -2x)
ec.
Elárea rectangular máxima.
El área rectangular=35= x(2 -2x)
Smuáxma = X(2 - 2x)
Smáxima = 2x- 2x*
Smáxima =-2((x? - x)]
Suma
[e
=E4
í
Sama ==21|
A
-
y 1
]
-—|
4]
2)
1471
[2
|
A
y
Py
0 2)]
Suáxima = | A
Suáxima =
ÚL
N
Al, mo
|
ñ
19, — Cierto cable de cien metros de longitud se debe cortar en dos partes, formando con una de ellas
un circula y con la otra un cuadrado. Determine la longitud de una de las partes, de tal manera
que la suma de los áreas de las dos figuras geométricas sea minima. (considere a — 3).
Resolución:
Asumiendo que la longitud de la circunferencia es “x", el perimetro del cuadrado será "100 -x *,
Unidad
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
94
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Para hallar el radio de la circunferencia igualaremos 2nr con x.;
siendo el radio r = Z
6
El área del círculo será ar; donde:
y
E
r=(
y
>
n=3
El área del circulo = 12y
6
El área del circulo = 3(2)
Md
El área del círculo =(=)
12
100
Si el perimetro del cuadrado es 100- x ; cada lado será
El árca del cuadrado es pl
DI
L
—.
-x
:
: ] = las ==
4
Por tanto la suma de las áreas es:
Suma
Er
+
12-
Suma
Es
M3
Unidad
Suma
=
Suma
=
Suma
=
las - =
XL
4)
+ ol
16
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
95
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
20.
Como
'l
a,
_——
=
|
Para que la suma sea mínima:
0;
(>
-
300
+”
=0
300
Luego:
ego x - —4
minimo una araña emplea cinco minutos en recorrer todas las aristas de un cubo
construido
con
un alambre de sesenta
centimetros
de longitud.
El tiempo
que emplea
en
recorrer una arista es:
Resolución:
El cuba contiene 12 aristas, pero para que una araña recorra todas sus aristas, haciendo el
minimo recorrido posible, es necesario que recorra tres de las aristas dos veces.
12 Aristas
Cinco minutos equivale a 300 segundos, tiempo empleado en recorrer quince aristas.
Luego el tiempo en promedio necesario para recorrer una arista será:
300
——=
I5
Unidad
MM) sepundos
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
96
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
EJERCICIOS PROPUESTOS
l.
De un grupo de cinco estudiantes se sabe que el promedio de sus edades es veinte años, si
ninguno de los cinco llega a los 22 años. Determine Usted ¿Cuál es la menor edad, en años, que
podria tener alguno de estos cinco estudiantes?
A)
B)
Cy
D)
E)
Z
14
15
16
17
18
Dados los conjuntos: 4 =(-T7:-3:-1:0:4:9] y 8=(-8;-4,0:3,7], ¿Cuál es el máximo valor
que puede asumir “y —y”, sabiendo que re 4; ye 8.7?
AJ 15
B) 14
016
D)I7
E) 18
3
Para efectuar un pago, un trabajador utilizó monedas de S/. 5; 5/2 y S£ 1. Si tuvo que pagar
5/37, ¿Cuántas monedas como minimo, pudo haber utilizado?
Aj 11
B)10
¡3
D)7
E)8
A
En una frutería al evaluar el peso de un lote de sandios, se verifica que seis sandias pueden pesar
desde 9 ke hasta 13,8 kg. ¿Cuántas sandias, cómo máximo, podrán contener 36 kg de sandias?
Aj 20
B)27
C2c)28
D)23
E) 24
5.
En un establecimiento se expenden menús económicos; cada cliente puede solicitar entrada,
segundo y postre, El pedido lo puede hacer por uno o más de ellos, sin repetir alguno. Halle con
certeza ¿cuántos pedidos diferentes, como máximo, se pueden efectuar?
Aj 10
B)7
cs
D)9
E) 24
Unidad
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
97
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
Un comerciante puede comprar veinticuatro mangos y veinte toronjas ó quince toronjas y treinta
y sels mangos por el mismo costo. Decide comprar solamente toronjas con el mismo costo.
¿Cuál es el máximo número de loronjas que pudo adquirir?
AJA5
B)40
C)25
D)35
E)30
Halle el máximo valor de R al cambiar de posición los digitos mostrados.
K =[br(5 4 3)-x]+
7
AJ25
B)30
C)33
D) 14
E)28
Dos kilos de manzanas contienen desde 20 hasta 35 manzanas. ¿Cuál es el mínimo peso de
setenta manzanas?
A)4 kg
B)3 kg
0) 2,5 kg
D) 1 kg
E)
2 kg
Dos padres y dos hijos comieron en el desayuno un huevo cada uno. ¿Cuál es el menor
número de huevos posible que pueden haber comido?
A)7
B)3
C)6
D)5
EJ2
10.
Dos kilos de huevos contienen de 30 4 45 huevos, ¿Cuál es el máximo peso que pueden tener
210 huevos?
A) 14 kg
B) 10 kg
C)Dc94 10kg
D) 6 kg
E) 12 kg
El peso de tres lechones juntos es de ciento cincuenta y cuatro kilogramos. Si el peso de cada
lechón es un número entero menor de 70 kg., pero no es menor de 41 kg. ¿Cuántos kilogramos,
pesará como máximo, uno de los lechones?
Unidad
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
98
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
A)J68
B)69
C)70
D) 67
E) 65
12,
Se compran pares de zapatos que varian en precios desde 200 soles hasta 350 soles y se
venden a precios que varian desde 300 soles hasta 450 soles. ¿Cuál es la mayor ganancia
posible que puede obtenerse de la venta de 8 pares de zapatos?
A) S/.2 500
B)S/.
1800
C)S/. 600
DS. 2 000
E) 5/. 2 200
13.
¿Cuál es el minimo valor de: f(x) =x* +27?
AJl
B)0
)-1
D)2
Ej No tiene un mínimo
14. —
¿Qué valor debe asumirXx, para que y sea máximo, en: y =-x0+8x?
AjJ4
B)0
C)-4
D) 2
4
E) No tiene un máximo
I5,
51 A es la razón de personas enfermas de cólera en una ciudad y si Bes la razón de los que no
están enfermos, ¿Cuál es el máximo valor que puede tomar la expresión AB?
A) 1
B)0,2
270,53
DB) 0,25
E)0,75
l6.
Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba. Si “x" es el número de segundos
transcurridos desde el lanzamiento, “bh” es la altura alcanzada, siendo: h=27x - 9 x? «¿Cuál es
la máxima altura que alcanza el proyectil?
AJá8l
m
B) 12,5m
€) 18,75m
Dj) 20,25 m
E) 25m
Unidad
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
99
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
17.
TU INGRESO ES DIRECTO
Un alambre de 28 cm de longitud se corta en dos pedazos, Una pieza se dobla para formar un
cuadrado de lado x cm, y la otra pieza se dobla para formar un rectángulo con un ancho de 3
cm. ¿Cuál es la mínima suma de áreas, en cm”, que se puede obtener?
A)22
B)11
C)24
D) 27
E)42
138,
Un alambre de setenta y dos cm. Se debe cortar en dos trozos, tal que con uno de ellos se
forme un triángulo rectángulo de lados proporcionales a 3k, 4k, 5k y con el segundo trozo se
forme un circulo. ¿Cuál es la mínima suma de árcas, en cm”, que se puede lograr, si asumimos
A=37
A) 64
B) 134
C) 143
1127
E) 144
19, —
Se dispone de cuatro llaves y cuatro candados ¿cuántas veces tendrán que probarse las llaves
para determinar con certeza la correspondencia entre Muves y candados?
AJÓ
Bja
os
DN?
E)5
20,
En un depósito se colocan caramelos: veinte de limón; quince de naranja, dieciocho de fresa y
12 de piña. ¿Cuántos caramelos, como minimo, hay que extraer al azar para tener la seguridad
de obtener con certeza cuatro de un sabor?
AJ 16
B) 14
0) 13
D)57
E) 15
21.
¿Cuántas veces, como minimo, tendrá que lanzarse un dado; para obtener con certeza un mismo
número, por tercera vez?
AY 19
B)13
0116
D) Indeterminado
EJ 15
22,
Unidad
En cierto bolso hay veinte bolos numerados en el orden de los primeros enteros positivos.
¿Cuántos bolos, como minimo, se deben extraer al azar para obtener con ceneza dos bolos que
no contengan números primos?
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
100
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
A)
Bj)
c
D)
E)
23,
14
10
12
0
13
Una bolsa contiene caramelos: 20 de limón; 15 de naranja; 18 de manzana y 12 de piña.
¿Cuántos caramelos, como minimo. habrá que extraer al azar para tener la seguridad de
obtener 4 de cada sabor?
A)
B)
C)
D)
E)
24.
TU INGRESO ES DIRECTO
19
57
54
51
28
En un depósito se colocan bolos numerados del uno al diez, en el orden de los enteros
positivos, ¿Cuál es la menor cantidad de bolos que se deben extraer, al azar como minimo,
para tener la certeza de obtener dos bolos que sumen trece?
A)5
B)2
0)6
D) 7
E)8
25.
Se han guardado en un bolso todas las piezas de un juego de ajedrez. ¿Cuántas piezas, como
minimo, tendrán que extraerse al azar, para obtener con certeza cuatro peones?
A) 20
B)
C)
D)
E)
26,
17
16
18
21
En una bolsa se tiene “2n+1" bolas blancas, “n+3” bolas rojas y “3n+1” bolas azules, Se
deben extraer, como minimo, 29 bolas al azar, para obtener con seguridad una bola blanca, El
número de bolas blancas que había inicialmente en la bolsa fue:
A) 13
B) 6
C) 15
Dj 4
E) 19
27.
En un depósito se guardan cinco bolas azules, 4 bolas blancas y seis bolas rojas. ¿Cuál es el
menor número de bolas, que se deben extraer al azar, para oblener con certeza, todos los bolos
de un mismo color?
A) 12
B) 13
01
D) 14
E) 15
Unidad
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
101
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
24.
TU INGRESO ES DIRECTO
Cierto estudiante tiene en una ánfora 5 calcetines rojos, tres pares de calcetines blancos, dos
pares de calcetines negros. ¿Cuántos calcetines, como minimo, tendrán que extraer al azar,
pára obtener cón certeza un par útil del mismo color, peró no blancos”?
A) 8
B)6
04
D) 7
E)9
29.
En una uma se depositan 7 bolas blancas, 5 bolas rojas y 6 bolas negras. ¿Cuántas bolas, como
minimo, tendrán que extracrse para obtener con certeza tres de un mismo color?
A) 7
B)3
C)6
D)$
E) 2
HD,
En cierto depósito se tienen tres pares de guantes rojos y tres pares de guantes negros. ¿Cuántos
guantes, corno minimo, se deben extraerse al azar para obtener con certeza un par de guantes
útiles de color negro?
A)
B)
C)
D)
E)
8
7
9
10
12
31. — Una urna contiene trece bolas negras, doce bolas rojas y siete
bolas blancas. La menor
cantidad que debe sacarse para obtener con certeza el menor número de bolas de cada color es:
A)
B)
C)
D)
E)
32.
48
24
26
37
28
Un vaso de yogurt contiene según la marca, desde 15 y hasta 25 calorias. Si la dicta de Maria
le permite solo desayunar
yogurt, en una cantidad de 75 calorias, ¿Cuál será lo máximo que
clla gastará si cada vaso cuesta entre 2,5 y 3 solos?
Ay
B)
ac)
D)
E)
3.
Unidad
U
12
13
14
15
En cierta zapatería hay un montículo de zapatillas, formadas por saldos, si se tienen dos pares
rojos, 5 pares azules, 2 pares blancos, y un par negro. ¿Cuántas zapatillas, como minimo,
tendrian que extraerse al azar para obtener con certeza un par útil del mismo color?
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
102
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
A)11
B)5
eq2
D) 21
E) 12
34.
Dc una baraja de 52 cartas, ¿Cuántas tendrán que extracrsc, al azar y como minimo, para obtencr
con certeza dos cartas de color rajo?
A) 26
B)27
0)39
D) 28
E) 15
35.
Al adquirir cierto vehiculo, un comprador recibe $ llaves, a saber, de la puerta, el encendido, la
guantera, la maletera, el tanque de gasolina; ¿cuántas veces como minimo tendrá que probar
llaves, para saber con certeza la correspondencia entre llaves y chupas?
Aj5
B)10
Cc) 15
Dg
Ej) 12
36.
Se tiene una baraja de 52 cartas, ¿cuántas tendrán que extraerse al azar, como minimo, para
obtener con certeza tres cartas impares menores que nueve?
A) 36
B)37
039
D)35
Ej)33
37.
En una ánfora se tienen 6 fichas rojas, 2 fichas blancas y 5 fichas verdes, ¿Cuántas habrá que
extracr al azar, como minimo, para oblener con certeza dos fichas verdes y una ficha roja?
Aj9
B)11
C)10
D)3
E)6
38,
Para oblener con certeza, un número par de dos cifras se dispone de nueve bolos numerados con
los digitos; 1:2:3........
9, Si el primer bolo extraido debe representar las decenas y el segundo las
unidades ¿Cuántos bolos más, como minimo, y al azar se deben extraerse para obtener dicho
número?
AJÓ
B)2
0)3
D)5
or
Unidad
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
103
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
39.
TU INGRESO ES DIRECTO
En un gimnasio se tiene un costal que contiene tres pares de guantes marrones, dos pares de
guantes negros y un par de guantes rojos, ¿Cuántos guantes, como minimo, se tendrán que
extraer al azar para obtener cón certeza, un par út1) del mismo color?
AJ6
B)7
218
DU
EJ4
40.
Se depositan dos pares de guantes marrones y tres pares de guantes negros; se desea obtener un
par útil del mismo color. ¿Cuántos guantes, como minimo, se deberán extraer de uno en uno y
sin mirar para extraerlos con certeza?
AJ3
B)2
C)5
D)6
E)7
Unidad
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
104
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
|
PRE
Tu futuro empieza
con nosotros
UNALM
TU INGRESO ES DIRECTO
UNIDAD 4
SUCESIONES
-PSICOTECNICO
104
Prohibida su reprodueción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
OBJETIVOS
Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de:
l.
Identificar las clases de sucesiones.
xl
3,
4
Desarrollar la aptitud de intuición para completar una secuencia y el término enésimo.
Analizar e interpretar analogías y distribuciones.
Analizar fipuras en el espacio.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Para la presente unidad el alumno deberá conocer previamente:
l,
La concepción del número.
2.
3,
4,
Números y numerales.
Resolución de ecuaciones.
Operaciones básicas,
CONTENIDO
4.1. INTRODUCCIÓN
4.2. SUCESIONES
Sucesiones Numéricas
*
Sucesiones por Diferencias Sucesivas
*
Sucesiones Áriiméticas
e
*
e
Sucesiones por Cocientes Sucesivos
Sucesiones Gcométricas
Sucesiones Combinadas
*
Sucesiones Allernadas
e
Sucesiones Polinomiales
* Sucesiones Especiales
Sucesiones Alfabéticas
Sucesiones Alfanuméricas
Sucesiones de Figuras
4.3. ANALOGÍAS
Analogias Numéricas
Analogias Alfabéticas
Analogias Gráficas
4,4. DISTRIBUCIONES
Distribuciones Numéricas
Distribuciones Gráficas
4.5. SÓLIDOS
RESUMEN
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
105
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
4.1. INTRODUCCIÓN
LEONARDO
DE
PISA
Más conocido como Fibonacci (1175), es el auténtico representante del Álgebra de la Edad Media
y en su “LIBER QUADRATORUM” hace un amplio desarrollo de problemas muy importantes.
Se llama sucesión de Fibonacel a la que se inicia con dos unos: 1, 1 y cada término se forma
sumando los dos anteriores; 1, 1,2,3,5,8, 13,21,34,55, 89, 144, ...
Esta sucesión tiene diversas relaciones curiosas con la botánica. Pero además cumple que la razón
entre dos términos consecutivos mayores de 3 es aproximadamente |, 6 y cuanto más elevados
son los términos más se acerca a 1, 61% que es igual a la razón entre los lados del llamado
rectángulo áureo, la forma geométrica de más belleza y perfección, según los artistas plásticos
desde la época de los griegos, Representamos el término enésimo de la sucesión:
112358 Mio
=>
[m"%w*+t
No deja de ser irónico que Leonardo, cuyas aportaciones a la matemática fueron de tanta
importancia, sea hoy conocido sobre todo a causa de un matemático francés del siglo pasado,
Edouard
Lucas, interesado en la teoría de números, quién encadenó el nombre de Fibonacci a
una sucesión numérica que forma parte de un problema trivial del Liber Abaci.
Imaginemos una pareja de conejos, macho
y hembra, encerrados en un campo donde
pueden anidar y criar. pongamos que los
conejos emplezan a procrear a los dos
meses de vida, engendrando siempre un
único par macho-hembra, y a partir de ese
momento,
cada
siguientes
un
características.
uno
de
par
más
los
de
—Admitiendo
meses
iguales
que
no
muriese ninguno de los conejitos, ¿cuántos
pares contendria el cercado al cabo de un
año?
Mediante
una
sencilla
gráfica
podemos
observar el crecimiento en el número de
pares de conejos, asi el primer y segundo mes habria sólo un par de conejos; al finalizar este
segundo mos la hembra tendria su primer parto y por lo tanto cl tercer mes ya serian dos parcs
los existentes, El cuarto mes los padres tendrían otra pareja y los hijos todavía no, por lo tanto
serian tres los pares. El quinto mes se produciría el primer parto de los hijos y otro más de los
padres, con lo que los pares que correteaban por el campo ya serán cinco. A partir de aquí no hay
más que seguir el proceso para ir calculando los conejitos durante los siguientes meses.
La sucesión asi formada está compuesta, en sus primeros términos, por los números:
1,1,2,3,5,8, 13,21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765...
Como se puede observar el número de parejas de conejos por mes está determinado por la
sucesión de Fibonacci. Asi que la respuesta al ejercicio del Liber Abaci, acerca de cuántas parejas
de conejos habrá luego de un año, resulta ser el doceavo término de la sucesión: 144,
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
106
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
4.2, SUCESIONES
Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos (números, letras, figuras) tales que cada uno
ocupa un lugar establecido de modo que se puede distinguir el primero, el segundo, el tercero y
asi sucesivamente, acorde con una ley de formación, razón o Regla de Recurrencia, Los elementos
de una sucesión deben estar separados por comas (,) 0 por punto y coma (;).
Ejemplos:
A
AA
OO
2
ABD. O
oro
aess
uciinnonas
TÉRMINOS DE UNA SUCESIÓN
5,79, UM,.,., 2n+3
Dada la sucesión:
1
LJ
1
h
*
A cada uno de estos valores se les denomina TÉRMINO de la sucesión.
A $ se le llama PRIMER TERMINO y se le representa por: 1,= 5
A 7 selellama SEGUNDO TÉRMINO y se le representa por: 1,=7
+
+
A 9 sele llama TERCER TÉRMINO y se le representa por: 1,=9 y así sucesivamente.
Al término que ocupa una posición cualquiera se le denomina TÉRMINO ENÉSIMO y se
representa por +, y que para este cjemploes
1,
20+3
DEFINICIÓN
Una sucesión de números reales es una función que parte del conjunto de los números naturales
Ne[1:2:3:455;..) llamado Dominio de la función y tiene su aplicación en el conjunto de los
números reales R-,
llamado Rango de la función y se denota de la siguiente manera: (f:N > R).
De lo anterior podemos decir que Yne
N
existe un valor f(n)
que representa al término y
de la
sucesión, existiendo asi una correspondencia biunivoca (de uno a uno) entre los números naturales y
fin), es decir:
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
107
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
fiN=>R
Dominio (N)
f
Rango (R)
1
li=t
2
123
3
rt
4
» MAL
¿
¿
5
Asi por ejemplo la sucesión:
ES DIRECTO
Ri=te
son en realidad:
5701113;...
EE
en donde:
fin)
denominado también término general:
1, - 20 +3
=23n+13
Ejemplos:
Calcule los 5 primeros términos y el vigésimo quinto término de las siguientes sucesiones:
a)1t =2n-1
b)t
di
e)
=nín+1)
do
c)t ==" "+1
t,=(t-1Y
Dt
A
=
”
S
mel
Resolución:
Término enésimo
Primeros 5 términos
Vigésimo quinto
término
t
b)
tn
c)
t
=n
d)
t
=n(n+1)
e)
t
=
0
,
1
PR
Ai
+41
(-1)
n
+1
'
40
lti3 1053719
=2n=1
a)
23
Aiads
5
3410017
326
626
26:12:20
;30
650
=1
=lili=b:d1s= 1
132.
o
.3.45
E
25
pue
6
26
Unidad 4 - Sucesiones - Psicotécnico
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
108
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO
ALGUNAS SUCESIONES NUMÉRICAS
ES DIRECTO
NOTABLES
De los números naturales
2
4
SN
NN
6
TSG
1456585
€.
PA
rrrernerscrnss
SANGALO
NG
to
A
TT
OA
25
ir
TAO
AA
cuyo término general es:
I
=
ñ
Defibonacci
1
2
to=l
Md
Unidad
=2n
cuyo término peneral es:
Delos números cuadrados
Ei
1
AN
cuyo término general es:
Mp
IO A
A
f.
NN
Delos números impares
LEA
€
JN TASA
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
-
>
cuyo término general cs:
.,t
+=]
ñ
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
109
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
4.2.1 TIPOS DE SUCESIONES NUMÉRICAS
SUCESIONES POR DIFERENCIAS SUCESIVAS
Se les determina asi, aquellas sucesiones que siguen una regla de formación gencrada por
diferencia
Ejemplos:
2)
de los términos consecutivos (1
1
)
Halle el número que continúa en las sipuientes sucesiones:
1:3:9:20:38;66;
Resolución: encontramos la diferencia constante en la cuarta fila.
A
1539200;
38; 66;
108
IOPOPOOD NN
+2
+6
+11
+18
CINTA
+
IA
+1
de
A
/
OS
+97
dá
AR
4%
F
e
MANR
+1
+28
+1
41
F
Entonces el término que debe de continuar es: 108
bj
30:30;
-=20:
2010
ou...
Resolución: encontramos la diferencia constante en la tercera fila.
3050;
-20 ; -20 ;10/
d
30
NAXIPOUQPONAQSPAAO
PON
32
417
0
+30 +70
XRO É A
+10
+20
QM
+30
+90
Entonces el término que continúa será: 80
4
O
A
A
Resolución: encontramos la diferencia constante
d
en la cuarta fila,
A
0:56:24;
NAPO
60 1201210
OPINO
ON
FAJA RARO
+12
P
+13
a
+6
é
+24 +30
+6
E
/+6
Entonces el término que continúa es: 210
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
10
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
ss
2.L
PA
Resolución:
multiplicando
y completamos
los términos
para
tener
una
consistencia
matemática,
MN
5
el
ura
sa rs
2.5,
3x3. 7x2, 20
13
203850
NOZIO
+2
.13
NOOO
+3
+4
+5
A
+1
+1
+1]
a
.
Entonces el término que continúa es:
o
4
—=—=
[3
e)
$00:
728
¡3SLl
342
; 216
12%
3
5 co...
Resolución: encontrando la diferencia constante en la cuarta fila,
A
RANAS
FIAR
6
5.
4r a
+
OSCAR
+1
+1%
+1
Entonces el término que continúa es: 73
SUCESIONES ARITMÉTICAS
Se les denomina asi, aquellas sucesiones que obedecen
una ley de formación de diferencias
sucesivas, de manera que la diferencia de dos términos consecutivos (
cantidad
constante
*“progresiones
llamada
razón
Á estas
sucesiones
también
) siempre es una
se les denomina
aritméticas”, (P.A).
Dada la sucesión arlimélica: t 34,
Et
aritmética.
-1
=1 1
=t 1
=t
34 34 34 io
fl Susto
dE
anvass » Se debe cumplir:
-to=...=
Valor constante
=1
Unidad 4 - Sucesiones - Psicotécnico
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
111
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Por ejemplo: La sucesión: 2; 610,14
6-25
*
10 -6=
14-10
320 ; mmm
eS Una sucesión aritmética porque:
= 18 =>14 =.....
=Valor constante
=4 =1r
Fórmula para determinar el término enésimo de una sucesión aritmética (F, A.)
Dada la sucesión:
t 3h
3h
E
MESSEAE
Aioria
Tr
r
r
it
ato
Po
rop
d
DE
a»
T
s
¿t
o
:
r
p=t
1, =1
Podemos ver que:
Ur)
E RRE
'
tl=t+Hdr)
t+(n—l)jr
De lo anterior podemos decir que el término enésimo de una sucesión aritmética ( P.A.) se calcula
con la fórmula:
to =1 +(n—1)r
t
Donde:
> primer término
to: enésimo término
ro razón aritmética
n
cantidad de términos
NOTA: Para hallar la cantidad de términos en una sucesión aritmética finita despejamos del
término general el valor de n de la siguiente manera:
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
12
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
UNALM
TU INGRESO ES DIRECTO
nosotros
También lo podemos hallar como:
Ultimo término = Primer término
cantidad de términos =
+
razón
Ejemplos:
Il.
Halle el término cuarenta en: =33=131:3:550. :
Resolución:
Es una sucesión aritmética porque: r==1=(-=3)=1=(=1)=3=1=5-3=+2
3
14141033
y Sp
E
tl
+E
42
+
Y su primer término es: 1 =-3
'
Ahora calculamos el término cuarenta con la fórmula: 1 =1 + (n —1)r
tp.
da
(40 — 1)1+2)
t, =-34+(09)(2)
tl
=7
Por lo tanto el término cuarenta es; 75
2.
Halle cl término sesenta en; 961
; 946
:931
39161...
Resolución:
Es una sucesión aritmética porque: r = 946 —Y61 = 931 — 946 =916 — 431 =-15
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
13
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
EdA
A
>
A
15
+15
A
-15
Y su primer término es: 1
<= 961
1
Ahora calculamos el término cuarenta con la fórmula: t
=
+ (n—)r
1, = 91 + (60 = 1)(-15)
t
= 061
to:
— 885
76
D
Por lo tanto el término sesenta es: 76
3.
Halle la cantidad de términos en:
379
375
1371
:367;
¿15
Resolución:
Se observa que es una sucesión aritmética porque: r =375-379=371-375=367-371=-4
IAEA
o
A
ES
e e E E
- dá
-
- 4
Y su primer término es: +, = 37% y el último término: 1, =15
aia
y
Ahora calculamos el termino cuarenta con la fórmula:
z
lt —i
“1 =
1
+1
F
Por lo tanto la cantidad de términos
SUCESIONES
POR COCIENTES
es; 92
SUCESIVOS
Halle el número que continúa en las siguientes sucesiones:
aj DGdÓ ¡24 5120;
Unidad 4 - Sucesiones - Psicotécnico
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
Resolución: encontramos
la relación de los cocientes sucesivos en la primera fila.
A
,720
2,6,24,120
A
A
x3
xXx
xa
ES DIRECTO
¿xó
-12:-6:-3:-
E
b)
Es | ha
Entonces el término que continúa será: 720
Resolución: encontramos
db
la relación de los cocientes sucesivos en la primera fila.
-3
ed
ad
-3
L3
L—
o
NENA
F
3
NOSTPN OA NC
Entonces el término que continúa será: —
5
ce)
1,16.;128
; 256;
Resolución: encontramos
1,16
la relación de los cocientes sucesivos en la tercera fila.
,128
AAA
x16
,236,
64
A
AAA AAA
x8
xi
1
I
4
no]
¡
164
.
a
=
A
a
dí
1
AN
d)
pan
Entonces el término que continúa será: |
Resolución: encontramos
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
la relación de los eocientes sucesivos en la segunda fila,
15
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
1
¿
4
ATINA
1
o
|
L—
r.—
A
E
3
81
q
y
p
Entonces el término que continúa será: >
SUCESIONES GEOMÉTRICAS
Se
les denomina
asi, aquellas
sucesiones
que
se forman
con
una
ley
sucesivos, de manera que el cociente de dos términos cunseculivos
cantidad
constante
llamada
razón
geométrica,
Á
estas
sucesiones
de
formación
(:
A
ET
también
de cocientes
) siempre es una
se
les
denomina
*progresiones geométricas”, (P.G),
Dada la sucesión geométrica: 13d,
40 5 E Ata
Ps
mi
Eo
la
sk
K— 5 — 2 TS
h,
t,
,
Por ejemplo: La sucesión: 2;
6
18
34
Z
6
13
==. —=.
=
t
6:18:54
162
—=.
lo
E inióss
= valor constante
=f
Ea
—
¿162
2...
3 omo...
es una sucesión geométrica porque:
= Valorconstante=3=+4
54
Fórmula para determinar el término enésimo de una sucesión geométrica (P.G.)
Dada la sucesión:
E,
¡1,71
las diferencias sucesivas son iguales a la constante “r”, es decir:
E
A
A A
AF O OXTO
E
OXFO
ONE
:
!
A
A
A
Ar
====
n=
e
Il
Podemos ver que:
A
=
Donde
t ¿L
A
*
ción
se debe cumplir:
mo.
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
16
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
De lo anterior podemos decir que el término enésimo de una sucesión geométrica (P.G.) se
calcula con la fórmula:
|
t=txr
Il
1; primer término
Donde:
|; enésimo término
ro razón gobmétrica
p : cantidad de términos
NOTA:
Para hallar la cantidad de términos en una sucesión geométrica finita despejamos
del término general el valor de n.
Ejemplos:
l.
Talle la razón geométrica de las siguientes sucesiones;
3
3
2
4
Melli
br dio —
— uo
Resolución;
,
]
razón
=./rF$=
-6_-3
== —
ll
3
"2 =_ 4
-6
-3
=
3
=
2
1
Entonces la razón viene a ser; S
b4,-8;16
E A
6
A
4
cli
A
Resolución:
-h
Eo
A
E
x(-2) x(-2)
4
16
o
-$
=3
e
l6
x1-2)
64
a
- $4
e
A
=-2
Entonces la razón vienea ser: — 2
2.
Halle el termino vigésimo en: 6,12
324
348
0...
Resolución:
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
117
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
Y que su primer término ts: t =6
ñ
Ahora calculamos el término vigésimo con la fórmula:
lt =
Ex
r
ñ
PT
8
mk
ly =6x2"
2 = 3145728
Por lo tanto la cantidad de términos cs: 3 145 728
3.
Hallela cantidad
de términos en:
9:81:
729: 65613 0%
yr
Resolución:
,
BL
Se observa que su razón geométrica cs: += —.
$4
729
=
6561
Kx1
124
Y que su primer término es: +, =$ y su último término: 1, =3%
4
.
de términos con la fórmula: £, = 4% +
Ahora calculamos el número
.
qe
y
ga
=3
.
O)
la
¿n=
26
A
13
ari
Entonces el nómero de términos de lu sucesión es: 13
4. — Halle el quinto término de la sucesión geométrica: («-4);3xi(%+2) 200.
Resolución:
Como
la sucesión: (x-4):x:(x+2)3.0.. es geométrica se debe cumplir:
h
É
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
E
E
+
E
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
18
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
1.
Resolvemos la ecuación y tenemos:
2-3
Zr=-8
s=—ád
Entonces la sucesión €s: -E:-4:i-22..
LS
y
“1
Ahora calculamosel quinto término con la fórmula: £, = 1% +
t
= (-$)r
¿col
l
Entonces el quinto término de la sucesión es: -
mm ]-
16
SUCESIONES COMBINADAS
Se les denomina asi aquellas sucesiones que se forman con una ley de formación de cocientes y/o
diferencias sucesivas de sus Iérminos.
Il.
Halle el término que sigue
en la sucesión: 6:24:18
Resolución:
7266;
264 3...
—. .74:18:72:66:264:258
NANI
xA
6
2x4
-6
14
-6
El término que sigue en la sucosión es: 158
2.
ps
.
E
Halle el término que sigue en la sucesión:
Resolución:
GE
7,
+
,
.
2
3
d
ñ
¡2432
2
1
IATA
11
2:=:=:2
50.
¿
É
e
al
4
x4
416
ET
24
xd
y
E
xd
Ñ
El término que sigue en la sucesión es: 32
37 Halle
el término que sigue en la sucesión: 4; 23:98
4732.
Resolución:
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
19
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
4
É
3. : 73.0: 0%
O
O
É
: 473 123485
NA
+15
+75 +375/+1875
NANO
ONO
x5
x5
5x5
É
El término que sigue en la sucesión es: 2348
4.
Halle el término que continua en la sucesión:
Resolución:
1:2:;6:30
¿240
;
de
di
: 240 (2880
RA
A
IA
ARM
412
'
+31+
ETS
F
+1
pes
El término que sigue en la sucesión es: 2880
5.
Halle el término que continua en la sucesión:
Resolución:
£0
; 80
¿40
;
120;
£0 - 20: 40:120: 30;
30
¿150
A
xl
+22
xd
+24
25
El término que sigue en la sucesión es: 150
SUCESIONES ALTERNADAS
Se les denomina asi aquellas sucesiones que están compuestas por dos o más sucesiones cada una
formada con su respectiva regla de formación...
Ejemplos:
1,
:
:
3
Halle los términos que siguenen:3;-—:0:3;-3;-12:
6:48; X : Y
4
Resolución: encontrando la ley de formación en ambas sucesiones:
x(-4)]
£
DR
-3
o
00
x(-4)
ro or”
did
-3
x-d)
x-4)
>
rr”
il
8
-3
Los valores de Xe
Y son: X=-9
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
9:19
-3
¡ Y=-19
120
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
2,
Halle X+'Y
TU INGRESO
en la sucesión:
12:48:9:36:6:24:X
ES DIRECTO
3 Y
Resolución: encontrando la ley de formación en ambas sucesiones:
-3
-3
-3
Entonces la suma de términos es:
3.
3+12=15
Halle el término
que continua entl134:839:
DT...
Resolución: encontrando la ley de formación en ambas sucesiones:
ear”
RdA
RA
te
YN
nta
a
E
a
al
16
de
1|
3
=
—-
j=-
Halle el término que continua en:
tua
4,
ju
Por lo tanto el término que continúa es: 4
Resolución: completando y hallando una ley de formación en:
1x2
5
E
(an
a
á
Fed
17
O SN
E
RO
6
+2
A
E
12
12
10
+2
13
Por lo tanta el término que continúa es:
26
13
-—,
12
06
SUCESIONES POLINOMIALES
Una sucesión es polinomial si su regla de formación de los terminos de la sucesión esta dada por un
polinomio,
a) SUCESIÓN LINEAL O DE PRIMER GRADO
Se dice que una sucesión es lineal si su ley de formación esta dada por: t =an +b, para
A
Unidad
¿donde
a y b son números Reales con a « 0.
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
121
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Asi por ejemplo la sucesión:
esta dada por: to
Observación:
13, 16, 19, 22, 25, .........., es una sucesión lincal pues su ley de formación
=3In+10,parair+=1,1,3,4
<<
Toda sucesión lineal es una sucesión aritmética,
Ejemplos
l.
—Halleeltérmino+
en
6:10:14:
18 5323...
30
Resolución:
A LAA
AN
+d
+4
+d
Pará
n=1:1 =0(D1+hb
Para
12224
+
=a(23+5
A A
+
b6=4 +h....(1)
> 1l0=2la+h....(2)
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos: a =4
yh=2
Luego el término general esta dado por; 1, = 41 +2
Nos piden: 1,, = 4(30)+2=122
2.
Halle el décimo quinto término;
3, —, —, — y osnnos
Resolución:
+1 FT +
E
6 13 20
27
Sy
+.
+1
+
Encontremos tanto en el numerador como en el denominador el término de lugar 15.
Para el numerador:
Para
a=1l:f
=atlj+b
+
Para
n= 2:54, =4(2)+b
6=a+4.41)
+ 13< 24 +
M0....(2)
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos: « =7
y h=-1
Luego el término general esta dado por: 1, =71-1
Nos piden: t,, = 1(15)=1=104
yr,
Unidad
e
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
122
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Para el denominador:
Para
n=lif
=0(1)4b
+
Para
4 =2: 1, =u(2)+b
P=0
—%=
4h... (1)
lu +h.....(2)
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos: y - 2
yh-0
Luego el término general esta dado por: 1, =2n
Nos piden: t,, = 2115) = 30
.
,
o.
Por lo tanto el décimo quinto término es:
104
—
+0
3.
S(1):1
S(2):4,6
S(3):7,9,11
S(4):10,12,14,16
Hallar el término as en la sucesión S(20).
i
Resolución:
* En la primera columna se halla el termino de lugar 20.
1,4 4 Mim:
SN NS
+3
+1
+3
Pará
=1:t
=0ull)+b
+
Pará
a=2:1,=0(2)+h6
|=
8 thu. 11)
+—4=2la+h...12)
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos: a =3
y b=-2
Luego el término general esta dado por: 1, = 3n - 2
Nos piden: t,, = MM )-2=58
* Ahora en 5(20): 58, 60, 62, 64, ........ dx
AAA
NA
NS
+2
42
+2
Para
m=l:0, =0(1)+04+58 = 44 bi
(1)
Pura
4-20, =al2)+ hb + 6020 +
Bios, (2)
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos: a = 23
y h=36
Luegoel termino general esta dado por: a, = 2n +56
Nos piden: a, =2120)+50 =%6
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
123
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
4.
TU INGRESO ES DIRECTO
Halle el término to en:
=
10
2 mí
14
18
Deer.
Resolución:
+45
+5
+3
PA
To1i
13
14
O
+4
El
17
22
" IB
12
+4
ii
+4
numerador y el denominador están formados cada una de sucesiones aritméticas diferentes,
entonces se halla
para cada uno de las sucesiones el término to:
En el numerador encontremos el término de lugar 22:
09 =7+502-1)=112
En el denominador también encontremos el término de lugar 22: ba= 13 +4(22 - 1)= 97
Porlo tanto
>
ts e
97
b) SUCESIÓN CUADRÁTICA
O DE SEGUNDO GRADO
Se dice que una sucesión es cuadrática si su ley de formación esta dada por: 1. <aun + bn ve
Para n=1,2, hd
rin ¿donde a, b y e son números reales con a +0,
Observación:
1) Si en una sucesión las segundas diferencias sucesivas es una cantidad constantes, entonces la
sucesión es cuadrática
ta,
L,
h.
L,,
yo
ranmamá
ANILLAS NS
ls Ka +ky +ki
ero
«+
+
——*
TO TFO
Primeras diferencias sucesivas
Segundas diferencias sucesivas
es cantidad
constante
2) 51 la sucesión: to, €, lo, la, Las, es cuadrática, entonces, los coeficientes de pm? yn y el término
Í
la
=r
independiente de la regla formación: t, = an' + bn +c, satisfacen: | a+b=k
|l
= tp
la
ta,
ta,
ha,
,
-
cu.
donde:
.
.
MANILA
a+b=
E
Ka
Kk+Kis
AO
¡Zar
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
r
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
124
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
l.-—
TU INGRESO ES DIRECTO
TMallar el termino ti de la sucesión:6,
10,
17,
27,
40, ...,
Resolución:
* Identificación de la sucesión:
6
10, 17, 27, 4, coinniócncinn ; Lu
ANS
SI
LI
+4
+7 +10 +13
NSLNL NS
43
43
+3
La sucesión es cuadrática, pues las segundas diferencias sucesivas es la cantidad constante 3, Luego,
su ley de formación esta dada por: t, = an” + bn+e
Para
n=1:
t=a(IP
Para
Para
n=2:
n=3:
t=a(Q +b(2)+c => 4a +2b+c =10
t=a(3+b(3)+0 => 9 +3b+c=17
+b(D)tc=>
atbtc=6
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obliene:
3
um—
2
1
,
bm=-—
2
=>|r,
-
y
non
2
cmj
—+ 5
a
3
,
40
== 1800)
- —+35
2
2
E
HD)
2045
t,=3385
2.
Hallar el término tj en la sucesión: 7,13,23,37, 55,0...
Resolución:
* Identificación de la sucesión:
TUBO
Ml A
+6
+10
ALA
+d
+14
+4
La sucesión es cuadrática, pues las segundas diferencias sucesivas es una cantidad constante 4,
Luego, su ley de recurrencia esta dada por: 1, =an*+bn+e
n=l;:t= a+b+0=
5 =>a+b+0c-7
n=2: L= 4a+2b+ce =11 >44+2b+c=13
n=3:
4=
%+3b4c
=21
>%+3b+c=23
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:
(
Unidad
a=2,b=0
ye=5,
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
Luego:
1,
Za + $
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
125
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
a
= ¿(60
5
Por lo tanto,
el término de lugar
60 es: Em
260)
li = 7205
SUCESIONES
ALFABÉTICAS
Para las sucesiones alfabéticas solo se considera las letras simples, no participan entonces CH y LL. Cada
letra recibe una posición según el orden en el abecedario y con estos valores se analiza utilizando
los
Se
e
Eez
ht
)
A
E+-ce
O
7
ta
+ q
5
ti
4
e
12 13
ti
l
M NÑO
borda
a Ez
e
ar
ABCDEFGHI
ill
ds,
123456789
EP
eriterios de sucesiones numéricas.
Z
y
27
Otras sucesiones alfabéticas trabajan con las iniciales de palabras conocidas como por ejemplo: Los días
de la semana, los números consecutivos, los meses del año, cte.
Ejemplos:
ajA, E,
J, O,
Y,
10.16
23
bTCOSS
A
E
los
XINGNINS
+d
l.
+5
+6
E O
340567
Iniciales
de
+7
números
consecutivos
Hallar la letra que continua:
B,E,E,G,H,L, K,
Resolución:
* Analizando la sucesión:
BE
EOGILK
EEE
E
E
e
KE
AS
A
e
La letra que continua es; K
2.
Haila la letra que continua: Q, S, R,R,S, Q, T, ...
Resolución:
* Analizando la sucesión:
QS,
R,E,5,0Q,
18 20
19 19
20: 18
T/P
¿lp 17
La letra que continua es: P
SUCESIONES ALFANUMÉRICAS:
Son aquellas sucesiones, donde cada término esta compuesto por letras y números,
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con nosotros
l. —
UNALM
TU INGRESO ES DIRECTO
Malle el termino y la letra que continua en la sucesión:
6:FI191H:DIK:BcÑc
Resolución:
EEES
HARE
A
i
Deo
0,
AA
+3)
Bl
1d
1,24
AAA
A
44
25
QA
446
E
d
A
A
Por lo tanto el número que continúa: 24
+3
4)
4d
+5
Por lo tanto la letra que continua: S
SUCESIONES DE FIGURAS
Consiste en hallar la figura que continua a partir de los cambios que 56 van dando con los elementos de las
figuras consecutivas que se van mostrando en dicha sucesión,
Ejemplo: Halle la figura que continúa en cada caso:
L
o
e
se
a.
a]
sb de
0
Resolución:
Se observa que la bolita esta cambiando de posición mediante un giro hacia la derecha y cambia de
na posición interna a una externa y viceversa (ver gráfico).
E
-
9|
5
o
Ey J]
5
Bolit
aucra
>
E
/La
LG
Etcras
Bolit
>
Bolita
adentro
be
Rpta
"NO.1Ó . ON
de
Unidad
?
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
,
>
E
127
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Resolución:
Se observa que el rectángulo pira a la derecha con respecto al circulo y que la fecha gira con
respecto a los dos objetos (rectángulo y circulo) hacia la izquierda (ver gráfico).
al
LA
NO,10 , ON ¡(Or
£
Pas
Á
Á
Ñ.
e.
mm
:
0
Resolución:
Se observa que todos los objetos (circulo pequeño, rectángulo, triángulo y flecha giran en sentido
horario (ver gráfico).
o
A
Á
ñ
ma
o.
,
,
des
l
.
e
3
18
Rpta
A
4.3 ANALOGÍAS
ANALOGÍAS NUMÉRICAS
Se denomina asi aquellas analogias que se encuentran en arreglos de filas y columnas (cada uno con
tres elementos). El término central de cada fila resulta de operar los valores extremos por medio de
las operaciones básicas (adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación),
sólo la última fila carece del término central la cual en base a lo encontrado cn las dos filas anteriores
podrá ser calculado,
Ejemplos: ¿Cuál es el número que faltá escribir?
a) 10(10) 3
b)27(28)13
15(75)15
5(
318
14 (16)6
31()09
Resolución:
Lera fila;
2da fila:
3era fila:
10x3>+3
115x153
5:18 -3
= 10
= 75
=30
Rpta: 30
lera fila:
2da fila;
3era fila:
((27-13)x2 = 28
(14-6) x2 = 16
(31-9)x2 = 4
Rpta: 44
Unidad 4 - Sucesiones - Psicotécnico
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
128
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
€)
ES DIRECTO
8(15)6
6(9)6
4(
2
Resolución:
lera fila
Bx6=48
luego
48x2=96
y
finalmente sumamos las cifras: 9+6=
2da fila
6x6"36
— luego
36x2=72
y
finalmente sumamos las cifras: Y 129
3ra fila
4x2=8
luego
8x2=16
y
finalmente sumamos las cifras: 1 +6=7
15
Rpta:7
d) 2(15)4
4(63)3
s(
c) 81
(6
34
125 (10)3
2
O
Resolución:
lera fila:
2%-I=15
lera fila; ax
l=6
2da fila:
4-1 =63
2da fila:
12 =10
3ra fila:
5%-1=24
3era fila; YN xa m2
Rpta:; 24
Yi2s
Rpta: 2
ANALOGÍA ALFABÉTICA:
Se busca la palabra del centro con algunas letras de las palabras de los extremos, también se puede
pedir la letra que falta en el centro para ello se analiza el lagar de las letras de los extremos,
realizando algunas de las operaciones básicas.
Ejemplo: Halle la palabra que falta:
PERA
SOMA
(PENA)
|
TINA
TAPA
Resolución: Relucionamos correclunente:
PERA
(PENA
Tust
YE
1
10
SOMA
Mo
JTINA
E:
11
(SOPAJ)TAPRA
A
AH
Entonces la palabra formada es SOPA
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
129
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
UNALM
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
ANALOGÍA GRÁFICA
En estas analogías se busca una relación entre la primera y segunda figura y esta misma relación se aplica
de la tercera a la cuarta figura que falta.
Ejemplo: La figura que corresponde a 7 es:
JA):
A
O
7
4
Resolución:
La figura que falta
Se observa:
A
(1)
*
e
e
O
(2)
O
(4)
(3)
El cuadrado grande de (1) pasa a ser el cuadrado pequeño de (2).
El triangulo pequeño de (1) pasa a ser el triángulo grande de (2).
Las dos bolitas de (1) se sombrean en (2).
Ejemplo: La figura que corresponde a ? es:
DN:ó7
:
Al:
Se observa:
NS
(1)
e
Unidad
Al:
(2)
(3)
(4)
El triángulo grande de (1) pasa 9 ser el triángulo pequeño de (2).
El circulo pequeño de (1) pasa a ser la base para el sólido de (2).
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
130
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
4,4
TU INGRESO ES DIRECTO
DISTRIBUCIONES
DISTRIBUCIÓN NUMÉRICA
Se denomina asi aquellas analogías que se encuentran en arreglos de filas y columnas. Estos
problemas se trabajan en forma horizontal o vertical, calculando el valor que falta operando los otros
dos valores por medio de las operaciones básicas (adición, sustracción, multiplicación, división,
potenciación y radicación).
Ejemplo: Halle el valor que falta:
14.5
7
36
8
33
5
9
x
Resolución:
Analizando las columnas:
4
B
5
7
33
36
5
lera columna:
2da columna:
4x8+1=33
5x7 +1=36
x
3era columna:
5:9+1=46
39
El número que falta es 46
Ejemplo: Halle el valor que falta:
19
10
9
22
7
156
25
x
2
Resolución:
Analizando las columnas:
25
lera columna:
19-9=10
7
Xx
2da columna:
22-15=7
15
24
Jera columna;
25-24 =1
19
22
10
9D
El número que falta es 1
Ejemplo: Halle el valor que falta:
3.03
TT
1
Tod
x
Resolución:
Analizando las filas:
3.9
3
Mn 73
lera fila:
2da fila:
3+9+3=15
7+7+1=15
ox
Jera fila:
74+14x=15
7
1
>x=7
El número que falta es 7
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
131
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
DISTRIBUCIONES GRÁFICAS
Este tipo de ejercicios son similares a los de distribuciones numéricas pero haciendo uso de figuras
geométricas.
Ejemplo: Halle el valor de y -x , en la siguiente distribución :
pl
á |
2
12
5
81
13
49
1
y
Resolución:
En cada figura se cumple que:
Lera figura:
11-2=9
=>9"=81
2da figura:
3era figura:
12-5=7
13-=x=6
=>7'=49
= x= y
Pero el valordexes:x=7
Aválordeyes:y = Pdf
y
Entonces: y —- x =49-7 =42
Led de
Ejemplo: Halle el valor que falta en la siguiente distribución:
Resolución:
| cl
figura: (7+4)(7-4)=33
2.)
figura: (6+3)(6-3)=27
3
figura:
(5 + 1)(5-1)- 24
dd
Por lo tanto el número que falta es: 24
Ejemplo: Halle el valor de “x”.
10
5
(3
)18
(5+18+10)+11=3
3
20 (5)
3
22
(20+32+3)+11=5
10 (x)o
(10+9+3) +11 =x
x=2
Por lo tanto el número que falta es: 2
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
132
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
4,5 SÓLIDOS
Se trata de analizar a un hexaedro regular en distintas formas, desde su construcción en base a vistas,
conieo de caras y su utilización en un dado,
sólido, etc.
Ejemplo:
Resulución
Ejemplo:
Además
la construcción de sólidos,
¿Cuál de los 5 cubos representa a la figura plana?
Analizando tenemos que el sólido buscado es:
|
eE E |
. |
¿Qué números serán visibles en la sigulente rotación?
(a)
Resolución
(b)
De las figuras (a), (b) y (c) se tiene que en la siguiente rotación
Ejemplo:
las vistas de un
los números visibles serán: 6, 4, 1
Indique Ud. entre los cinco cubos cuál corresponde al dibujo en un solo plano o cual no
corresponde.
mb
Al. C
+
a)
b)
>
a)
Por lo tanto el sólido armado corresponde a la alternativa; d
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
133
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
RESUMEN
l.
Sucesiones
Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos (números, letras, figuras) tales que cada
uno ocupa un lugar establecido de modo que 56 puede distinguir el primero, el segundo, el
tercero y así sucesivamente, acorde con una ley de formación, razón o Regla de Recurrencia,
Los elementos de una sucesión deben estar separados por comas (.) o por punto y coma (:).
1.1
Sucesiones Numéricas
LED
Sucesiones por Diferencias Sucesivas
1.1.2
Sucesiones Ariiméticas
t
13
14
=1 +(n—-1)r
Sucestones por Cocientes Sucesivos
Sucestones Gcométricas
b=txr
ñ
Í
1.15
Sucesiones Combinadas
116
1.1.7.
Sucestones Alternadas
Sucesiones Polinomiales
Sucesión Lincal o de primer grado
t=a+b,
»n-1,2,3,4,...
donde a y b son números Reales con
a+.
Sucesión Cuadrática o de segundo grado
to=san +bn+c,7n=1,2,3,4,..dondea, b y e son números reales
cona +0.
2.
1.2
Sucesiones Alfabéticas
1.3
Sucesiones Alfanuméricas
1.4
Sucesiones de Figuras
Analogías
2.1
Analogías Numéricas
22
2,3
3.
4
Unidad
Analogias Alfabéticas
— Analogías Gráficas
Distribuciones
3.1
Distribuciones Numéricas
3,2
Distribuciones Gráficas
Sólidos
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
134
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
EJERCICIOS
Il.
Halle el término
que continua:
21D
RESUELTOS
2
AZ
Resolución:
A
Analizamos la sucesión:
> A
o j
,
27 ¿E
EA;
A
sl A MEN2
AN
É
¿2
dz
A
x1
2
OA
x2
zaz
SA
xn
É
F
é
+
Por lo tanto el término que continua es: 32 mA
2.
Halle el término
que sigue en: 5$;9;16;,28;48;81;138,245,...
Resolución:
Analizando
la sucesión:
5 0:16:
28;
XORAOOO
+4
ET
412.
4%:
Ri
AAINA
+20
+33
A
+3
+5
+5
: 138 ¿245 ¿459%
+13
A
457
+14
7]
A N
E
+107
+50
Sn
++314
,£ +107
AAA
AO
A
42
+4
+5
+11.
+26, +57
E A
A
+1
+42
+6
+15 ,/ +31
AO
ROA
+1
*
A
+
Por lo tanto el término que continua es: 459
3.
Halle el término que sigueen:
11
;
12
;
16
;
25
;
41;
Resolución
de
j
Analizando la sucesión:
11;
12
A
; 16
;
AAA
+]
+4
+
+5
+2
A_
+2.
; 41 ;,66
AN
+9
A
=
25
+16
E
+7
"5
¿49
+2
E
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
135
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Por lo tanto el término que continua es: 66
1
16
o]
;
S
Observa la siguiente sucesión:
Fig 1
De
4.
Fig 2
Fig 3
Fig 4
¿Cuál es el número que aparece dentro de la figura 107
Resolución:
3 lodos
Pr
l
4 lados
E
,
1
y
5 lados
2
|
1=1
3
1
Fib3
y
6 lados
Fit
+
A
4
y
16=2* | | 243=3 | | 4096"
Se observa que el número depende del número de la figura y del número de lados del poligono, es
decir:
N
<= (N*de
figura
daran
Medi
= 10
1
Entonces el número que aparece en la figura 10 es 10%.
5.
¡Cuál de las siguientes sucesiones liene una mayor cantidad de términos?
ADA
AA
pd
DEA A
ra
¿197
Resolución:
Analizamos la sucesión:
ds
5 1552535
a
aritmética de razón 10, entonces:
Analizamos
la sucesión
¡om
5-3
n=
10
¡225
y vemos que se trata de una sucesión
+]m23
RS GRO ¡17 iu
3 197
AOS
+4
+5
+7
AIM
+2 +2
Y vemos que se trata de una sucesión cuadrática, entonces hallamos su término enésimo:
Para n= 1 soticnc: 1
a(10) + h(l)p+e, entonces 2=a+b+6
... (1)
Para
nm = 2 se tiene: t, =a(2) +b(2)+e, entonces: 5=4a+2b+c
...( 11)
Unidad 4 - Sucesiones - Psicotécnico
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
136
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Para n = 3 se tiene: t = a(3) + b(3)+ e . entonces: 10 =91+3b+e
Restamos (1) - 41):
3=Ja+
Restamos (111) — (11):
58
Restamos:
2
(Pb)
(a):
bb.
.......( 111)
a)
+ db. ..0B)
la
=>
az=l
b=0
e=l
Por lo tanto el término enésimo es:
Igualamos:
n +1=107
=>
1
=n +1
n=/14
Entonces la sucesión A tiene más términos que la sucesión B
6.
Halle la diferencia entre los términos 19 y 20 de la sucesión:
1;
36:10;
Resolución:
Analizamos la sucesión:
MITO
AAA
+42
43
4d
AHH
+1
>:+1
Se forma una sucesión de 2do grado y su ténmino general es de la forma: 1
Para n = 1 setiene: pum a(1)7 + b(1)+ e, entonces; l= a+b+e
Para n = 2 setiene: t
Pará n = 3 setiene:
Restamos (11) = (1):
....(1)
=3(2) + b(2)+c, entonces: 3 = 4a+2b+c
e
a(3Y
2=
+ b(3)+ e entonces:
==an “+bn+e
6 = 91 + 3b+c
....(11)
(M1)
da + bb. (a)
Restamos (111) = (1):
i= Sas bo...)
Restamos: (P)— (a):
l=2a
=>
q.
1
1
hialó=
E
cmd
El término general de la sucesión es:
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
137
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
19: (19 +1)
———————á
190
1
Hallamos los términos 19 y 20 y tenemos:
>
a
20 (20 +1)
==
2
20
Entonces la diferencia de los términos 19 y 20 es 20
T
¿Cuántos números de 4 cifras son múltiplos de 3?
Resolución:
Los números múltiplos de 3 son de la forma:
—3k
Como deben ser números de 4 cifras se debe cumplir: 1.000
1000
Resolvemos la inccuación:
4 909
sk<
3
338
.3.5Sk:<333
Por lo tanto “k" debe ser: k:334
,335:
3346
¿DT
=d
d
Ñ
i
<3k < 9 999
Hallamos el número de términos de dicha sucesión:
¡00.031
- 314
313134
n = —————+
| += 3000
|
Entonces existen 3 000 números de 4 cifras múltiplos de 3
La suma de los cuatro primeros términos de una progresión geométrica es 65 y cada uno de los
tres últimos términos es los 2/3 del precedente. El producto de los cuatro términos seri:
Resolución:
Sea la P.G:
azar
jar”
Por dato:
a+ar+ar +ar?=05
a(l+r+
alt +
r)+
AO
Se sabe también:
par?
rie
ri (1+
y
65
r)]= 65
AS
ar =
Reemplazando en (1):
2 =) a
y
La sucesión geométrica es: 27:18 3128
¿Entonces el producto de los 4 términos es: 6"
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
138
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
9.
Si
da
TU INGRESO ES DIRECTO
PES
forman
l
ITA
a(a
una
progresión
aritmética
a
dl ia + bx
¿Cuánto
debe
valer
de
“x”
para
que:
A
este en progresión geométrica?
+c)-b(b-=<)
Resolución:
b
4
Como :a :—+2
0; e forman
una P.A. se debe cumplir:
2
b
=+2a
2
a+c
2
b+4mas+co.!ili
b=e=a=4..../( 10)
Como:
————————51
a(a+c)]-
¿(a 4
b)x
forman una P.G.
se debe cumplir:
b(b=.e)
EJ
ola +
bbc)
Se reemplaza (1) y (11):
_
dearbix
—a(b+4)=b(u-8)
ab+4da—bha+4b=(a + bx
4(a+h)=(a+b)x
4=x
Entonces el valor de *x” es 4,
10. Si 2
2%
geométrica:
,112
a"
están en progresión aritmética. ¿Cuál es el siguiente término en la progresión
¡(im-1):
m' Y
Resolución
ma
Como la sucesión:
2+l
257:
2
a *d
.
¿112
es una PA. entonces se debe cumplir.
2.4
112
————=
2
a+ d
2
2112
al
q
2
24112
Resolvemosla ccuación:
20
1.2.3"
12 =2 2-1)
l6=2'"
,
Unidad
dx
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
139
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
Reemplazamos el valor de x = 3 en la P,G y tenemos:
9 ; (3m-12);
ES DIRECTO
m?
Dicha Progresión geométrica debe cumplir con: 9m* = (13m - 1)
9m = (3m-12)
Im” =9m"-72m+144
Resolviendo la ecuación tenemos:
Tim <=
144
m=2
Por lo tanto la progresión geométrica es: 9-64
¡
= h
2
Hallamos la razón: r = —=
-—
y
3
2
Entonces el término que sigue es: 4- :) po
. Halle el primer término negativo de la sucesión: 64
4
57
50
;4F 30...
Resolución
Analizamos
la sucesión:
64,57,50,43
A
A
+)
1
s..
NA
Se trata de una sucesión aritmética de razón igual 7, de manera que su término general esta dado por
la fórmula:
to
=64
+(5 —16-7)=71=7n
Se debe cumplir: 71 —- 7n <0
T=7Tn<0
Resolviendo tenemos:
1
<7n
10,14 <n
Walores que puede tomar n: 11,12,13, 14...
Pero como quiero el primer término negativo entonces escogemos n = 11
Por lo tanto
.
=711-7(l1)=-6
La
12, Halle x+ y en —=; —;
7
zo,
17
y
—¡—
Ton
y
a
:
¿stademás x e y son primos entre si,
Resolución:
.
so
E
E
Analizando la sucesión: — : —: —;—
7
E
17
y
o
ma
6
8
De lo anterior == — ===—
-.
e
y
2
y
Entoncesx=8
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
11
e y=11,
por lo tanto x + y =19
140
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
13. Las figuras muestran una secuencia de figuras formados por cuadraditos. Siguiendo la misma
secuencia ¿Cuántos cuadraditos blancos tendria la figura N*? 50?
O
AE
FIGURA N92
FIGURA N*l
?
FIGURA N95
FIGURA N93
Resolución
Se nota que le total de cuadrados de cada figura es la siguiente:
Figura 1
Figura 2
Cuadrados pimados
I
2
Total de cuudrados
3
0
2
50
6
5050
Totalde cuadrados
1= 11
4=3*
Piar
locas
9=3*
Figura 50
50
blancos
Por lo tanto el total de cuadraditos sy * - $0 = 2450
14, Sabiendo que:
2
|=2+6=10
3
|=34+12=23]
Halle el valor de: | 45
Resolución:
Siguiendo la secuencia de los casos anteriores se tiene:
2
|= 2*4+23)=10
3
|=3Y+344)=21
12 | =124+12(13)=300
15. Las figuras muestran una secuencia de sólidos formados por cubos. Siguiendo la misma secuencia
¿Cuántos cubos tendria la plataforma del sólido de la figura N? 30?
A
FIGURA N*1
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
FIGURA N%2
|
FIGURA N*3
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
141
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Resolución:
FIGUHÍA E71
>
FIGURA
29
42
3-9
|
M5?2
a
>
FIGUBEA
sa
NA
Ls
El número de cubos que hay en la plataforma del sólido de la figura N* 30 es: 32* =1024
16. Escriba el número que falta:
Resolución:
AINENM)=24
17. Dada la siguiente sucesión:
2%:
3%:
Analizando la sucesión se tiene:
2%
Calculo el valor de:
S(2IIS)=40
3%
7%
AINANA)=42
U%
y.
7
m6
y -z
Resolución:
3%: 5%
y”.
En la base: 2,3,5,7, 11, son números primos, por lo tanto el número que sigue es y=13
En los exponentes 1,1,2,3,
número que sigue es: z = 8
son los números de la sucesión de fibonacei, por lo tanto el
Nos piden: y -z=13-8=5
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
142
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
18. Se tiene la sucesión a
= (-1 di ==)
. Halle el valor de: (a, +as)*
”
Resolución:
En este caso solo debemos hallar el segundo y quinto termino, es decir, reemplazar n= 2 y n= 5
en
la
formula
o regla de
n=2
—+
n=5
—
formación,
A
asi:
[2]
—
a
[E]
—
.
ar
Ñ
y
e
o
“l
Entonces el valor pedido será (az+ as)”
E
:)
q
19, Halle el término ajo co
=
(53)
5
=>."
10
3
5, 11,21,35,53 ...
Resolución:
Analizamos la sucesión:
MU
AR
+6
IS
NA
+10
t4
ció
A
+14
+4
La sucesión es cuadrática, pues las segundas diferencias sucesivas es una cantidad constante 4,
Luego, su ley de recurrencia esta dada por: a, =a +bn+ce
|
PS
333
¡q
>a+b+c=5
5
a+b+e=
>4a4+2b+c=11
da= da +2b+e=11
: 4
da+3b+e21 =91+3b+c0=21
Resolviendo el sisiema de ecuaciones se obtiene:
a=2,b=0yc=3.
Luego, su leys de recurrencia
es;
n= 20 + 3
Por lo tanto, el termino de lugar 60 es: 29 = 2(60) +3 = 7203
20. Hulle el número de lénminos en: 8, 32, 128, 512, ..., 27
Papaj]
Resolución:
8,
hb
bi
32, 128, 524...
qe
t
L
hb
=pP*
—
3?
Bxu40=2"
SS
(1y"-
7
+
=P
=2:-2=3M
2x=36
x=18
Entonces el número de términos de la sucesión es: 18
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
143
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
EJERCICIOS PROPUESTOS
1,
Determine
el término que continua en: 13
A)
B)
C)
D)
E)
2.
3237 ¡48 76 3...
89
98
113
102
107
En la sucesión, calcule el termino que continua:
E
A
O A
A)
Dx
B)
9x' +16 y”
CO) mx
3.
312
A
+14 y"
+14 y”
D)
2x'+
14 y?
E)
25x*
+ 12 y”
Halle el termino que continua en:
A)
AA
12
;6:6:;9:18
5...
16
B) 36
0)
D)
E)
4.
27
30
45
Halle la letra que continua completando coherentemente la siguiente sucesión:
BRETECSO
KM.
A) T
B) P
c)0
D) R
E) S
5.
AA
A
l
Determine el término que continua en: ==
A)
B)
C)
-39
-120
-37
E)
-91
1
—3=3¡=15
pu...
D) -79
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
144
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
6.
Halle el número de términos de la sucesión:
A)
B)
C)
D)
E)
7.
11:19
2% 430... ¿ 1055
18
25
28
30
35
Halle la suma de digitos del termino más próximo a 500 en: 10; 23:36 ¿49 ¿62 3...
A) 7
B) 8
C) 12
D) 9
E) 15
8.
Si se sabe que: a ¿a
y 3a g0n los tres primeros de una progresión aritmética ascendente, ¿Cuál
es el termino 20 de dicha sucesión?
Ay IS
B) 84
C)30
D) 40
E)42
9.
Si se sabe que: (2a-1) ; (49—-1) y (52+1)
forman una progresión aritmética. ¿Qué valor
constante hay que quitarle al primero y al segundo para que al agregarle al tercero 7, se obtenga
una progresión geométrica creciente de razón entera?
A) 5
B) 2
0)3
D) 1
E)4
10, La suma de los tres términos de una progresión aritmética es 33 y su producto 1232, Halle la razón
de la progresión.
A)
B)
C)
D)
E)
6
11
4
3
8
11, El producto del primer y quinto término de una progresión aritmética es igual al cuadrado del
lérmino central disminuido en 4. Halle la razón.
A) 3
B) -3
C) 2
-DJ1
102
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
145
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
12. En una progresión geométrica de cuatro términos la suma de los dos primeros es | y la suma de
los dos últimos es 16. halle le primer término.
A) 0,1
B) 0,5
C) 0.3
D)
0,4
E) 0.2
13. Sia 60,90 y 110 se le resta una misma cantidad se obtiene tres nuevas cantidades que están en
a
Hu
[ha
mi
lar
A
aa
a
ll
_—
e
>
P.G. Halle la razón de dicha progresión.
14, Sumándoles un número constante a 20, 50 y 100 resulta una progresión geométrica, Halle su
razón.
Ay
B)
O
D)
E)
1/2
2
53
52
5/4
15, Scan tres números positivos en P.G creciente para los cuales se cumple que la suma del primer y
tercer término es 52 y que el cuadrado del segundo es igual a 100, Encuentre el cociente entre el
mayor y el menor.
A) 10
Bj
100
D)
25
Os
|
E) —
25
16. Halle el número que Falta:
Aj
26
48
40
72
C) 56
36
18
18
E
73
x
65
B) 36
DJ) 46
Unidad
1
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
146
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
17. A continuación se muestran arreglos numéricos en forma de triángulo:
|
2
1012214,
ZE
(1)
1011
(2)
Halle la suma de los números en el vigésimo arreglo.
A)
Bj)
400
420
D)
Ej
C) 472
461:
490
. e
13. Que figura sigue:
se
m]
»m«Qo
oO).
D)
ajo
E)
Ojo
e
O
elja Ojo 12) ea,
A
1
A
C)
A
:
CA
,
a]
>
*
ce
d
$
19. En una urna hay cierta cantidad de esferas numeradas con los términos de la sucesión:
4,7,10,13,.........,49,
¿Cuántas esferas hay que extraer como minimo para tener certeza de
haber obtenido 2 esferas cuya numeración ses par?
A) 12
B) 10
Os
D) 1
E) 13
20. Halle el valor de x” que completa correciamente la siguiente distribución numérica.
A)4
B) 8
16
a
)
17319
25
18
71d
19
[(37/x|2
21. Indique el valor que completa la sucesión: 4,925
49 ¿121 ¿16% ¿o....
A) 361
B) 256
C) 225
Dj 196
E) 289
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
147
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
TU INGRESO ES DIRECTO
22, Halle el número que continua cn la sucesión: 2;
A)
e
nosotros
1d
| un
con
52
101
.
l9
514
23, Malle “nen: —=; —:—:—
2
A)
B)
C)
D)
E)
12
6
iu...
y
a
teo
:
51 5u lérmino cnésimo (1
16
10
) es iguala —
"
30
12
14
16
15
10
24, ¿Cuántos términos de la sucesión : 13 316-319 3.5
613
resultan tener raíz cuadrada exacta
al sumarle 2 unidades?
A)
B)
Cc)
D)
E)
53
1
10
2
7
25. Si cl segundo término de una Progresión geométrica es “a” y el tercero es "b", halle el primer
termino.
Ay
1
B)
b/a
C)
a*/b
D)
bira
E)
a/b
26. Halle el valor de “x"si log xd
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
(a+ 2) y log (x +5)
forman una progresión arilmélica
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
148
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
27, Halle la letra que continua en: A:A:B 0: Ec...
28. Halle el número que continua: |;
A)
B)
C)
D)
E)
pj
A) F
BG
C) H
D)1
E)J
h
Y dara
5/8
7/8
916
3/8
3/16
29. Á continuación se muestra una sucesión en base a cuadraditos. ¿Cuántos cuadraditos blancos se
usaran en la figura 20?
A) 230
B) 231
C)
144
]
D) 244
E) 256
Fig 1
|
Fip 2
Fig3
30. En la sucesión de figuras mostradas el número de triángulos sombreados de la figura 12, es:
A
A) 79
B) 95
a 124
11á
de dl
Fig3
31. La suma de 3 números en progresión geométrica creciente es 26. Si sumamos l al primero, 6 al
segundo y 3 al tercero obtenemos una progresión aritmética. Halle el mayor de los tres términos de
la progresión aritmética,
A)
B)
C)
D)
E)
21
72
18
36
9
32. La suma de tres números en progresión artimélica creciente es igual u 15. si se suma 1, 4 y 19
respectivamente a los tres números mencionados anteriormente se obtendrá tres números en
progresión geométrica, Halle el mayor de estos tres números
A) 21
B) 72
C) 18
DB) 36
E) 27
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
149
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
33. Encuentre el mayor número de una progresión geométrica de cuatro términos en la cual la suma de
extremos es 35 y la suma de medios es 30.
A)
B)
C)
D)
81
81/2
27
24
E)
18
34, Un padre deja su herencia a sus 10 hijos de la siguiente manera: al ler hijo (al menor) le da 512 y
al quinto hijo le da $ 972, si dicha repartición es en base a una progresión geométrica, entonces
califica con verdadero (V) o falso (F) cada una de las siguientes proposiciones:
Il
1)
El tercer hijo recibe $36,
El hijo mayor recibe el doble de lo que recibe el Sto hijo.
UN)
El dinero total del padre sobrepasa los $20 000.
A)
B)
C)
D)
E)
EVE
VVF
EFF
FFV
VFV
35. Halle (b-a3)en lasucesión: 2n* ;4n' :En
36. Halle el nómero de términos en la sucesión: 7,12. 319 32383 0.0... 1684
A)
B)
C)
DJ
E)
25
25
30
35
40
37. En la siguiente sucesión: 10,14,18, 22, 26, .......... A, B; se sabe que hasta el número A hay 22
términos. ¿Cuánto suman todos los términos?
A)
B)
C)
D)
1188
1242
1324
1088
E) 1340
Unidad
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
150
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
38. Se tiene la sucesión aritmética 3, 8,9, .....; sbal primero se le suma |, al segundo se le multiplica
por 2 y al tercero se le multiplica por “b” se obtiene una progresión geométrica, ¿Cuál es el cuarto
término de dicha progresión geométrica?
AY
Bj)
Cy
DO)
E)
108
79
125
246
84
39, Halle la diferencia entre la cantidad de términos que terminan en 5 y la cantidad de términos que
lienen tres cifras en la siguiente sucesión:
8, 17,26,35, 44, .... 809
A) 89
B) 79
078
m7
E) 80
40. Á continuación se muestra una sucesión en base a cundraditos. ¡Cuántos cuadraditos se usaran en
la figura 207
O
Fig. 1
Unidad
TT]
Fig. 2
4 - Sucesiones
Prohibida su reproducción
Fig. 3
SR
Fig. 4
- Psicotécnico
total o parcial sin autorización
151
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
|
PRE
Tu futuro empieza
con nosotros
UNALM
TU INGRESO ES DIRECTO
UNIDAD 3
SERIES
151
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
OBJETIVOS
Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de:
l.
Reconocer a una seric como la suma de los términos de una sucesión polinómica.
2.
3,
4.
5.
Conocer las series notables y sus aplicaciones.
Resolver problemas de series arilméticas.
Resolver problemas de series geométricas finitas é ilimitadas,
Utilizar adecuadamente las tecnicas vinculadas a series.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
El estudiante para desarrollar esta unidad debe tener un conocimiento sobre los siguientes conceptos:
- — Sucesiones.
CONTENIDO
5.1 INTRODUCCIÓN
5.2 SERIES NUMÉRICAS
5.2.1
SERIE ARITMÉTICA
Definición
Término Enésimo
52.2
SERIES GEOMÉTRICAS
Series Geométrica limitada
Seric Gcométrica ilimitada
52.3
SERIES NOTABLES
Seric de los primeros n números naturales
Serie de los cuadrados de los números naturales
Serie de los cubos de los números naturales
RESUMEN
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS
Unidad
5 - Series
Prohibida su reproducción
152
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
5.1
TU INGRESO ES DIRECTO
INTRODUCCIÓN
Informalmente, una
serie
cs
una
adición
de
infinitos
sumandos,
Estas
sumas
se
usan
implicitamente, por ejemplo, al considerar desarrollos decimales ilimitados de números reales. Asi
la igualdad:
—=133
3
?
==
3
14
3
—4
3
3
——+4
1
100
+,
1000
Otros dos ejemplos sencillos aparecen en la definición de e y la "Paradoja de Zenón”.
Lor
dea
o41
|
vo1
—
11)
21
01
== 4d
A
—
de ==
31
4
AE
Sin entrar en pormenores sobre la historia de la tortuga y su particular caminata, en ella aparece
una suma de los reales en la que cada sumando es la mitad de la anterior, es decir:
l
—+ —
|
|
|
+ — A A
ro
52
2
SERIE NUMÉRICA
Dada una sucesión numérica:
Dj
entonces
la serte numérica
a
AM
y
rre
a,
asociada a la sucesión dada es:
070,40,
A,
E
oi
O,
Sucesión
Serie asociada
1,5,27,64, 125
1+8+27+64+125
4,7,10,13,16, 19, 22,...
3447+104+13+16+19+22+..
Observación:
Si la serie tiene un número finito de términos diremos que la serie es finita, en caso contrario
la serie es llamada serie infinita.
5.2.1.
SERIE ARITMÉTICA
Una serie aritmética es la suma de los términos de una sucesión lineal (progresión aritmética)
Sea la sucesión lineal:
E
donde:
j
M
Unidad
a,
a =rj
constante, entonces
.
4,
la
«y=rja,
A A
ay=r;
a.
y asi sucesivamente,
siendo
-
un
valor
serie aritmética será:
Es
0 4440
AA
cs
+a,
5 - Series
Prohibida su reproducción
153
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
y su valor es igual a:
|
donde:
a
a, | =
Primer
término
¿=
Término
enésimo
| h= número de términos
Ejemplo:
Halle el valor de la suma de Gauss:
S=1+2+3IH4dA
s-|
ls
>
100
2.2.2... +97 +98 +99+ 100
100
- 5050
/
Carl Fiedrich Gauss, halló el valor de la serie anterior mediante la suma de extremos; es decir:
101
104
S=1+2+3+4+.
0.0.0...
| Pe
+87 +98 + 99 + 100
3
|
101
Idemtificando 50 parejas de términos con suma igual a 101; es decir:
S-=50010N)
—
5 = 5050
Nota
Para hallar el valor de una seric aritmética, $, se considera:
[ Epic
término
4 último
]
]
(7
e:
término
[Número
de términos
)
Ejemplos:
l.
Halle el valor de:
S=3+7+11+158+....0...+71475+79
Resolución:
Primero se halla el número de términos, », de la siguiente manera:
a,
=34
e,=3,0,
Ao -1]
a,
= 1% Y n=20
s
- 1. Ahora «,
=dn-<le<MM
==
"n=20
entonces:
(121
Lt
Unidad
= An
0.
00
2)
5 - Series
Prohibida su reproducción
154
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
2.
TU INGRESO ES DIRECTO
Para el drenaje de cierto campo de cultivo se realizo una perforación de un pozo de cierta
profundidad, el costo de 6 soles para el primer metro y 4 soles más para cada metro adicional;
sivel costo de perforación total es 720 soles. Halle la profundidad del pozo.
Resolución:
Primero se identifican las variables; en este caso, son el número de metros de profundidad (n)
y el costo de perforación (a, ), visto esto, se tiene:
Metros de profundidad:
1
2
3
4
5
Costo de perforación:
6
10
14
18
22
Entonces:
5=6+104
Por dato, se tiene;
a.
14+18+22+,+u,
720=6+10+14+18+22+,,+u,
En este caso, el termino n -ésimo de la sucesión:
« (1)
6; 10; 14: 18;227,,..e52
« =40+2
Reemplazando en (1 ), se tiene:
7120=6+10+14+184+22+..,.+
b+dn
720 =
41 4 2
sd
E
5
Simplificando, se lienc:
a+
+ de = 720
Descomponiendo convenientemente:
alo
+ 2) 18200)
=—
n=
Por lo tanto la profundidad del pozo es:
5.2.2
18 metros
SERIE GEOMÉTRICA
Una serie peométrica es la suma de los términos de una sucesión geométrica (progresión
geométrica).
Sea la sucesión geométrica:
dunde:
E
úl
==r;—=<r;
'
la
= F; y así sucesivamente, siendo r un valor constante, entonces
ra
serie geométrica
'
será:
$ =d,+d,+0,+40,+
0.
+,
y su valor es igual a:
a lr" a
f=ale" -U)
A |
r=1]
| l
"onde:
a, : Primer
Fo razón
Unidad
ténmino
geométrica
5 - Series
Prohibida su reproducción
155
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Ejemplo:
l,
Calcule:
S=1+3+9+27+*.
0.0.0.0... .+6561
Resolución:
Como «, =636l
a, =1
Para hallar el valor de n, se reemplaza en:
a, =0 1”
Luego: 6561=1(3"*)
Y
=(3")
Finalmente,
,dedonde
5 =
1(3*1)
n=9
= 084]
3-1
—
—
—=r
——
Resolución:
En la serie geométrica, 5, se tiene: a, =3,r=2
$
342”1)
de
Y n=20, entonces:
= 42% —1)=3 145 725
SERIE GEOMÉTRICA ILIMITADA
Dada la sucesión geométrica infinita: », . 4, ,
re]-1,1
[y
a, , ua, ,.
donde la razón geométrica
rs
La serie asociada a esta sucesión €s: E-=«,
+
0, +
0, +
«,
+... y su suma esta dada
por:
Ejernplo:
Calcule el valor de : pr
14
3006
3
Resolución;
Se tiene una serie geométrica ilimitada cuya razón geométrica: + = —
+
a
+
444
+
+
|
¿
Y
Unidad
|
a, ==, entonces:
4
5 - Series
Prohibida su reproducción
156
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
2.
TU INGRESO ES DIRECTO
Calcule el valor de: s = 2 -
2 +
2
4
ES
E
“o.
16
Resolución:
Se tiene una serie geométrica ilimitada cuya razón geométrica; += -—S
l
a, =—, entonces:
Y
2
Ea
3,
1
1
2
== 2
po
hr
1
3
a
=
A
,
02
La suma de un número infinito de términos de una progresión geométrica decreciente es 15 y
la suma de sus cuadrados es 45, Halle el primer término.
Resolución:
Sea la progresión geométrica ilimitada: a.
$ =0/+
A
$,
0, +0,+...
+4,
A
+0,
d
a,,
.
a
——= 15
E
+4.=——=2:46
...(2)
En (2) 50 tiene:
( =
]
Z
Ll. as
13)
Li=rill+er]
(1jJen(3)
5
da
)-s
=
Lar
sl
Jo
(4)
l+r
De(1)y(4) se tiene:
E=z
¿a
=5
3
Observaciones:
L
Si
|r| >
]
entonces
los
términos
crecen
indefinidamente
en
valor
absoluto,
y
análogamente, su suma. En este caso sólo es posible sumar un número finito de términos.
Si el número de términos es infinito, la serie no tiene suma en R, y se dice que es una serie
divergente,
Ejemplo 1:
Calcule el valor de: $=1+24+4+8+..
Resolución:
Unidad
5 - Series
Prohibida su reproducción
157
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
En este caso el número de términos es infinito y la razón es 2, entonces la seric es
divergente,
Ejemplo 2:
Calcule
el valorde: S =1+42+4+%X+..+
64
Resolución:
En este caso el número de términos es finito y la razón es 2, entonces:
5
si
(2-1)
= 17
Bel
0 <|r| < 1, los lérminos de la serie se van haciendo cada vez más pequeños en valor
absoluto, y en este caso si vamos a poder calcular la suma de los infinitos términos de la
seric. En este caso se dice que la serie es convergentel con suma en R). Por tanto, para
gue una seric geométrica infinita(ilimitada) sea convergente se debe cumplir que :
0<|r|<1
Ejemplo:
Calcule el valordo:
£=2-=1]= _- z di
Resolución:
E
z
.
y
:
|
Este caso la serio tiene infinitos términos y la razón es — 7 G
entonces: $ = —————
5,13
=
SERIES NOTABLES
Le damos este nombre a las series más usuales y expresaremos su fórmula en función al
número de términos, considerando que estas fórmulas sólo pueden ser aplicadas directamente,
cuando se trata de los primeros lérminos:
Serie de los n primeros números naturales:
nin
l+2i+ d+
al)
2
IL
Serie de los números naturales pares:
E
11.
Serle de los números naturales impares:
E
Unidad
A
A
5 - Series
Prohibida su reproducción
158
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TW,
TU INGRESO
ES DIRECTO
Serie de los cuadrados de los números naturales:
DiR
»ins+
+=
1H
+1)
ó
Y,
Serie de los cubos de los números naturales
y
4
Y
O
a e
+8
ñ
e QaD
—
Peal
ñ
|
ha
y
Ejemplo
Calcule
el valor de: E-1+2+3+,.+40
Resolución:
Aplicando la fórmula, se tiene:
£ = sm =
=
E2
RESUMEN
l,
Seric Aritmética
la,
e
Primer
termino
donde: la, = Término enésimo
la - púmero
2.
de términos
Serie geométrica
.
E A
=|
e
p=]
donde:
«,: Primer
r:razón
a,
término
genméirica
Serie geométrica ilimitada
a,
5.
, 0<lr|<1
l="
donde:
«,: Primer
rorazón
Unidad
término
geomélrica
159
5 - Series
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
EJERCICIOS RESUELTOS
l,
SER,
lridrdrasrn
Calcule: 5=R,+R,+R,++
E,
Resolución:
R =1
Ry
BR =1+2+3+4
=1424
a
Eo
1
$S=1+3+0+10 +.. + 210 , el término enésimo es: a, =—la* +.)
”
Dando forma a cada término utilizando el dérmino enéstmo, es decir:
1
$=—(
2
Pis
+1)
—l2?
2
+ 2)+
Liga
(1
bo.
+3).
=(4*
2
2
|
A
l
+ 44... + —[0*
2
+ 20)
AS
2
1f10x21x41
n=
als
2,
Si
120x211
+ —— [140
2)
14+34+53+7+.+0=1%
14404
iS
0
Halle:
o + 4
Resolución:
El valor de la serie de los números naturales impares es igual al cuadrado del número de
elementos, es decir:
=lád
==
0-27
==,
e
2)
Co
Unidad
o
Porlo tanto:
+11
20:21
A
+
h
=D
+b=40
2
a +bh= 67
5 - Series
Prohibida su reproducción
160
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
3,
TU INGRESO ES DIRECTO
Calcule el valor de: 44 =x/0,01 + 0,03 + 0,05 +.. + 19,99
Resolución:
7
M
-
1
ss
o
5
ens.
10%
1994
cs
100
lj
ea.
1000
10
l+i+
de
1
yAAAOAÁAÁX/A—ÉÁ
AAA A
1100
La serie:
1+41+54.,
000 +
a
—
+ 10%
tiene 1000 términos
= 100
107
4
Si1+2+3+.
+00
, halle el valor de m + x
Resolución:
leld+ dra
mim
emo
«+1
—
ay
a
llas
ss
mm
1)
2205
d
alma
+1)=(2H3K37)
=>»
m6,
1-6
Mu
Por lo tanto:
5,
m + x=42
Un estudiante conviene en pagar una computadora cada fin de semana de la siguiente forma:
la primera semana paga 0,25 soles, la segunda semana 1sol, la tercera 2,25 soles, la cuarta 4
soles y asi sucesivamente durante 20 semanas. Halle el precio de la computadora.
Resolución:
Sea P el precio de la computadora, entonces:
Poe
0,479
4
+
20
l
2,29 +09
+
>
sumados
y
Pas=+l+*—=+8d+e..
dá
q
a
emma
Sd
laos.
9sm1
Dando la siguiente forma: P. =—+ —+* —+ —+..
4
3d
—
4d
9
Po.
A
A
4
Unidad
”.
—
+
mmmador
0x2 141 ]
4
6
)
= 7115
5 - Series
Prohibida su reproducción
161
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
6.
TU INGRESO ES DIRECTO
En el triángulo numérico:
E:
Ex
Ul
En
+
l
4
4
1304
E
3
30.14
l
10.3
E
04
Halle la suma de las veinte primeras columnas,
Resolución:
Sumando por columnas, es decir; 5 =1x1+ 242 + 3x3 + 4x4 +... +20x20
«
$
4
12
4
43
;
2021141
47
4
00
| 5
2870)
6
7.
Dado el siguiente arreglo numérico:
A
E
O
O
E
A
E
A
E
A
+
107
Halle la suma de todos los términos.
Resolución:
Sumando los elementos de cada columna, es decir:
Slade
Es
'
+23
Ja
4
«3
3
4
;
dad
+ 10010?
h
ed
pu)
=3025
”
8,
3
3
e
Halle el valor de: 4===+
s
$
3
+
e
4
53
e
3
y
Resolución:
Se observa en la seric que los numeradores se alternan, entonces se agrupa en forma conveniente,
es decir considerando el mismo numerador:
Unidad
5 - Series
Prohibida su reproducción
162
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
OTRA FORMA
da
3.4
031-0403.
—
$
e —
sa
E
9.
19
e
ss
15
+
—Ák 4
o.
mm
Hon
+
4
RÁ de
A
3
=
de AQ
1574
19
+
La suma de 40 números enteros consecutivos es M. ¿Cuál es la suma de los 40 siguientes?
Resolución:
Sea S la suma de los 40 números consecutivos, entonces:
5 =lx+1]+ (1+2)+ (13 +3)+. + (1= 40),
(a+ 1d) (a
2] (rd
por dato se tiene que:
e lar 0) <A
Nos piden:
Ta (e+
41) + (1
+ 42) [+
Trlz+1+40)+
(142
43)
+ (1 +80)
+40)+ [(£+ 3 +40)4+
+ [520440 +40)
Separando adecuadamente:
Telr+*1]+
40 + (1 + 2)440 + [1 «3400
+. + (140)9
T=lx+1)-(1+2)+(1+3 De...
+ (1+40)+ 40+40+... + 40
Hb armamos
T=M
10.
480540 = M + 1600
Claudia y Angcla lccn una novela de Pablo Coclho. Claudia lec 10 páginas diarias y Angcla
lee 1 página el primer día, 2 el segundo dia, 3 el tercer dia y así sucesivamente, Después de
cuantos días coincidirán en el número de páginas leídas, si empiezan el mismo dia.
Resolución:
Unidad 5 - Series
Prohibida su reproducción
163
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Dia
1
2
3
4
sd
n
Claudia
10
10
10
10
o
10
1
2
3
4
dá
n
Ángela
Hasta el día m, Cloudia ha Icido 10n páginas, mientras Angela ha leido
"la +1)
Para hallar el valor de n, se debe cumplir que:
10m =
nin +1)
+
pl9
E
Por lo tanto después de 19 días, Claudia y Angela leerán la misma cantidad de páginas.
HL
Halle la suma de los términos de la fila 10( F, ) en el siguiente arreglo:
FE
*
4
+
F
-"
br
11
16
21
26
-
he
F.
1
E
+
4
3
6
41
dé
Resolución:
La fila 1 tiene 1 término, la fila 2 tiene dos términos, la fila 3 tiene tres elementos, y asi
sucesivamente, entonces hasta la fila 10 se tendrán 55 términos, es decir:
E
10 511
A
¿
De igual forma hasta la fila 9 se tendrán 45 términos
Sea $ la suma de los términos
de
5=(1+6+11
416 4+..+4,)-(1+6+11 +16 +..+4,,)
Hallando a... =1+5(54)=271
pp
12.
y
0, =1+5(44)=
2321 entonces:
-
85
l+ 221
So
55
k
la fila 10, entonces:
-
4
45
¿
2
Calcule el valor de: E = —+
E]
nop
7
t—+
q
Resolución:
Unidad
z
7
37
rn
op?
y
+1
12
+6
+6
12?
1!
5 - Series
Prohibida su reproducción
164
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
E!
A!
|
Tu futuro empieza
con
nosotros
L3,
TU INGRESO ES DIRECTO
1
El
5
7
Calcule
el valor de: E ==—+ — + —+
1
a
+...
y
Resolución:
E=-—*—+=€
Setiene;
Y
3
JE
y
5
5914
E
$
PEA
|
3
AA
0d
Bu
3
y
$
3
3
A]
LL,
) e
3
SA
9
AA
3
3
3
a]
3
2
E
A
|
3
E
E=s—=+2
+4...
7
3
A
3
e
+2]
yo
y
y
)
5
|
3
[1-2]
1E==+23)
2]
Hal
501
LEs=4=
3
3
3
E=]
4.
Se liene el triángulo cquilátero ABC de lado 2a. Determine la suma de los perimetros
de los
infinitos triángulos equiláteros que se forman uniendo los puntos medios de los lados del
triángulo anterior, como se muestra en la figura. (Considerar al triángulo ABC).
B
Unidad
5 - Series
Prohibida su reproducción
165
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Resolución:
Perimetro del triángulo ABC es 6a
Perimetro del triángulo de vértices en los puntos medios de los lados de triángulo ABC es 30
Y asi sucesivamente, entonces la suma de los perimetros de los infinitos irtángulos es igual a
Ko
3
bo +3
+0
2
+4=00+..,
4
Y es una serie geométrica ilimitada de razón —, entonces;
+
$
+
qe
+
”
I
+
ha
Sa
——»=
Lb=—
Dg
I
2
Por lo tante la suma infinita es igual a a
15,
Una persona comunica un secreto a otra, que poco prudente lo comunica a otras 5 en tres
minutos,
estas
5, lo comunican
cada
una a otras 5 en los tres minutos
siguientes,
Si se
continuase al mismo ribmo,¿ cuantas personas sabrian el secreto al cabo de una hora? (Cada
persona quebranta el secreto únicamente con 5 personas, en los tres minutos siguientes a su
información).
Resolución:
La primera persona que conoce el secreto lo cuenta a 5 personas, entonces ahora lo conocen
(1+5) personas. De las últimas 5 personas cada una lo comunica a 5 personas cada una,
entonces hasta estos momentos el secreto lo conocen (1+5+25) personas, y asi sucesivamente,
enlónces:
E =
Ilr3
+25
+ 125
e
dm
a
misncro
a A
A
+.
e
Esl+i+
2414.
A
A
a A
> sumado
a
ds
de mad
>
o]
l mao
E es una serie geométrica finita de razón igual a 5, entonces:
|
Eon
5-1
m
5-1]
+
1]
Por lo tanto al cabo de una hora sabrían el secreto —
16.
personas.
Dada la progresión geométrica de términos positivos:
EA
O O
Si
A-= Li
dy
4
TEO
,
:
+
Cálcule:
me
A,
AA
£=
ura,
a,
A,
xa, xx
E
Resolución:
Unidad 5 - Series
Prohibida su reproducción
166
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Piden hallar L en función de R y S, entonces, primero se simplifica L:
1 = ax lar jxla r*)xla o? )x..x (ar?)
a
azi)
b=a,r
ia
”
=4a,F
Ahora teniendo en cuenta las condiciones, se tiene;
ei| ll ei !
ly
U,
e | rn|
Hi
Uy
E
e a
E,
e
ill
FO
MF
4F
.
a lr” - 1)
S 5
r=|
Considerando estas relaciones, se tiene que buscar L en función de R y 5, para esto se hace lo
siguiente:
a lr" -1)
TA
A
sar
ala
R
Por lo tanto
Lara
R
5
El
R]
A
= (a/r"")
:
[e-14
=4ar
*
a
O E
LA)
17.
Se ubican los números naturales formando cuadrados concéntricos del siguiente modo:
17-09
los
l
3
4
3
6
:3
1
2
4
3
Hule la suma de todos los números que formin el vetivo cuadrado
Resolución:
Cuadrado
Suma
2
1
4
3
LL
A
A
3
A
a
6 165
:
»
Entonces la suma de todos los números que forman el octavo cuadrado es 2080
2 18.
Unidad
el valor der s-1424L ¿4
Calcule
5 - Series
Prohibida su reproducción
167
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
NETA
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
Resolución:
7
—4—
li
%
+,
12
Em
7
E
mm
hr?
Ú
3-6
41
HA a
12
/
1.05
3
G
7
LEAL
0
[6
67
'
A
mm
bz
5
pla
A
+
24
5
A
41
4
1
mr
331.60.
3x2"
E
a
a
41
6x2
mn
0
[+
LA
A
al
+
br2
0
IN
6x2
41
7)-
6x2
1.
=
AAA
.(Y)
$
s
3
2.
ie
3d
=—+*
loa
=
611"
Aa
2
poll
E
J
I
303
41
E
10
'
6x1
31
Ba.
19
HO
a
q
45
==
En un circulo de radio 40m, se inscribe un cuadrado, en ese cuadrado se inscribe un circulo, en
ese otro circulo un cuadrado y así sucesivamente, halle la suma de las áreas de todos los circulos
formados y el mayor,
ha
ha
Resolución:
a,
Del gráfico se tiene que la suma que nos piden es:
5-4
«alar
22
dea
5Esr(lbrdrdr
a
Se contrata
primer fósil
encontrado.
fósil hallado
20,
a un obrero para cavar en busca de fósiles prometiéndole pagar una suma por el
que encuentre y que luego se le irá duplicando dicha suma por cada nuevo fósil
51 encuentra 12 fósiles y recibe 12 285 soles,¿ cuánto le pagaron por el octavo
que encontró?
F
Resolución:
Unidad
168
5 - Series
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Sea a, el pago por el primer fosil encontrado y s el monto total que recibe por los 12 fósiles
encontrados.
£-0
+20, +da +80
+
+18,
_ ala" -1) -123%5
4-3
3-1
Piden a, =3:2' =3%4
soles
EJERCICIOS
L
En una
PROPUESTOS
Gibrica de productos plásticos producen
78 pelotas por cada minuto, las cuales las
acondicionan en forma de triángulo de modo que en la primera fila haya una bola, en la segunda
dos, en la tercera tres y asi sucesivamente, ¿Cuántas filas se formarán?
A)28
B) 12
C)23
D) 26
E) 13
2
Calculeel valorde: y =12 +13 4144420?
A) 11 197
B) 39 744
C)36 191
D) 194 736
E)8 910
3
Halle el valor de:
E =3+6+12
+24
+.
A) 320
B)387
0381
D) 400
E) 765
4.
Halle:el valorde:
2 =1+2+23 +22
14.42%
Ay16'*
B)4%
cy:
D)
a
¡|
5.
Si nes un entero positivo, halle el valor de:
E 2 3+33
+33
+31)
+. +33,.3)
[nal cartao
sia
Unidad
5 - Series
Prohibida su reproducción
169
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ay
ES DIRECTO
0
7
B) 10-92
+10
27
qy 1495-10
17
D) 10% 9-10
ei
pr
E)
10-39. -10
Fi
6.
Se tiene un triángulo equilátero cuyo lado mide “m” se toman los puntos medios de sus lados y al
unirseles se forma otro triángulo equilátero, en este triángulo a su vez se toman los puntos medios
de sus lados y se les une, formando otro triángulo equilátero y repetimos la operación infinitas
veces. Halle la suma de las áreas de todos estos triángulos formados, incluyendo el mayor.
A)
B)
mv
b
E
5
Cc)
D)
mida
3
mv
1
E)
T
mia
3
En un circulo de radio + se inscribe un cuadrado, en este cuadrado se inseribe un circulo; en
este, otro cuadrado y asi sucesivamente (indefinidamente). Halle la suma de las áreas de todos
estos círculos formados, incluyendo cl mayor,
A)
3
E
a
1
B)
e
Cc)
Aru?
10)
dora?
E) sra*
8,
2
dp;
Unidad
Halle el valor de:
A)
8 980
B) 4440
€) 5440
D)2680
E) 4260
5 =1
dele
a
9
ll
a
mirado
170
5 - Series
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
Si:
TU INGRESO
a, =7n+1,
Halle:
E=a,
ES DIRECTO
+0,+0,+a+0,
A)J9 125
B)8 025
C)
9 025
D)9 225
E)9325
10.
En el siguiente triángulo numérico, halle la suma de las diez primeras filas:
E;
—
1
Fs
E,
E,
2
—
4
=
3
5
7
B
6
G
10
AJ5565
B)1 540
2)1 300
Dj) 1 950
E)2 005
Ll.
Calcule el valor de: 5 ==+« +
TP
a e,
ES
y
Er
q
31
at
mA
D) 2
E) 1
—
—
—
—
—
—
nn
—
A)8 158
B)4 225
C)8 150
D)Y 700
E) 10 240
13,
Sms
len 1]
ln 42)
4 (0 +3) 0 4 [3) = 10640,
halle el valor de m.
Ay 18
B)20
2) 24
D) 23
ayas
Unidad
171
5 - Series
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
14.
TU INGRESO ES DIRECTO
Jaime debe leer un libro en un número determinado de dias y se da cuenta que si lee 13
páginas cada día logrará su cometido, pero si lee una página el primer día; tres el segundo;
cinco el tercero y así sucesivamente, le faltaran aún 12 páginas por leer. ¿Cuántas páginas
tiene dicho libro?
A) 124
B) 156
C)165
D) 142
E) 144
15.
Halle el valor de:
Ari”
B) 0012"
WY
=1+2x2+3Ir2
+41
+51
+.
+ 100
02"
-1
-1
C)WMr2"" +1
D)
at r2
E)
"41
1"
+1
!
16.
3
Halle el valor de: E = —+ —+
PE
Aj 3Bj3+
5
—+...+
A
2001
z
una 1
2005
3 al]
2001
pd
C)3+
1.
Rodollo observó que su secretaria habia hecho 37 llimadas hasta el 14 de diciembre. El día 15
hizo 2 llamadas, el 16 hizo 4 llamadas, el 17 hizo 6 llamadas y asi sucesivamente hasta fin de
mes, ¿Cuántas llamadas hizo la secretaria durante el mes de diciembre?
A)361
B) 240
0) 280
Dj) 330
E) 343
18. —
Halle el valor de y:
AI
a
399 =2187
AJA
B)5
c)6
22D)7
—E)8
Unidad
5 - Series
Prohibida su reproducción
172
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
19,
TU INGRESO ES DIRECTO
Determine la suma de cifras del resultado de:
AE
TEE
A
AJ25
B)26
c)27
D) 28
E) 29
20.
El primer término de una progresión aritmética creciente de razón par menor que 4 es igual a
"a+b" y el ab -ésimo término es 55, Halle la suma de los ba primeros términos.
A)J8346
B) 4006
C0)3796
DJ) 3016
E) 5646
21.
Si una sucesión esta definida por: e, = 29! + 49 +7
Determine la suma de los 20 primeros términos de dicha sucesión.
AJ55 646
B) 70 065
0) 63 437
D) 54 840
E) 89 180
22.
Angélica camina cinco pasos hacia delante y dos hacia atrás, luego da 10 hacia adelante y cuatro
hacia atrás, y así sucesivamente en progresión aritmética, ¿Cuántos pasos habrá dado en total hasta
el momento en que por primera vez se encuentra a 1 105 pasos del punto de partida?
A)2 346
B)2 405
03 796
D) 1016
EJ
2 646
23,
Una pelota se suelta desde una altura 17 metros. Si en cada rebote alcanza una altura igual a
los dos tercios de la altura anterior, calcule la distancia total recorrida hasta que se detenga.
AJ85
B) 125
0)65
DJ) 115
EJ67
24,
Calcular:
S=1+24+448B
4...
+ 256
+ 512 +1024
A) 1455
B)2.001
€)2 047
Unidad
5 - Series
Prohibida su reproducción
173
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
D) 2225
E)3 202
25.
Determine la suma de todos los términos del siguiente arreglo, sabiendo que
25 filas:
está formado por
4
444
44444
4444444
444444444
44444444444
A) 2455
B)2010
C)
2 300
D)
2 500
E)
3 100
26.
Lahur Sessa inventor del ajedrez pidió al Rey Hindú 1 grano de Trigo por el primer casillero
del tablero, dos granos de trigo por la segunda casilla, cuatro granos de trigo por la terecra
casilla, ocho granos de trigo por la cuarta casilla y así sucesivamente, siempre duplicando
hasta la casilla 64. ¿Cuántos granos de trigo pidió?
Aa" -1
B) 1" 41
Ca" s1
D) 102
Ej
2” -1
Halle la suma:
27.
2
$
+
6
+«*
E
+
10D
+
4
+
100
Ó
8
A) 85
B) 83
C) 80
D)81
850
850
230
200
E) 54 240
7H.
Halle la razón de una progresión geométrica ilimitada cuya suma es dos veces más que la
suma de sus “k” primeros términos.
j
Unidad
aye 3
174
5 - Series
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
?
5)
3
5
C)
:
mil
3
Eyu [E
Ns
25,
Halle
el valor de: E=6+25+624+1213+2144.,.+
7998
AJ40 234
B) 41 345
043 560
D) 44061
E) 45 123
30,
En la base cuadrangular de una pirámide se han usado 400 bolas de billar. ¡Cuántas bolas se
han usado en total?
A)
3 002
B)2 100
C)2.870
D)2 225
E)2 980
31.
Calcule el valor de: s = 20010 +19027 +1823 +1738
4)
B)
0)
DJ)
E)
32.
16 170
12 100
14370
15225
12 980
Hay 210 ladrillos en un montón y Gildder tiene que llevar el primer ladrillo a 1m de distancia,
los dos siguientes ladrillos a 3m, los tres siguientes a óm, los cuatro siguientes a 10m y asi
sucesivamente, $1 sólo puede llevar un ladrillo cn cada viaje. ¿Cuántos metros recorrerá Gildder
hasta llevar el último ladrillo y regresar al punto inicial?
A) 35
B) 46
C)42
D) 52
E) 62
33.
002
970
870
225
980
A
E
EI
DD
Unidad
+. ..+1030*
10M
5
15
45
5 - Series
Prohibida su reproducción
175
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
4
A =
20
17
Bi —
20
C)
D)
E)
34.
19
20
27
20
a
M0
La suma de 81 números pares consecutivos es igual a 171 veces el primer número. Halle la suma
de cifras del termino central,
Aja
B)5
C)6
D)7
E)8
35
e a
Halle el valor de: 5 = —+
cal
8217
Ay ——=
1024
7217
1024
C
9217
1024
5217
Dn ——
1024
6268
El ——
11124
36.
Siol+3I+
5,4
AS
A
x0=40 +38 436
A
A
din
+..+y 0, halle x + y
A
A
A
e
(a - 4) remos
A) 48
B) 49
C)50
Dy51
Ej 52
37,
Dada la sucesión aritmética ercciente: ae
Halle el valor de:
5 =a+b+c+10+
A
LL
Unidad
1d)
abad, ac l
A
domina
176
5 - Series
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
AJ11S
B)211
C) 156
D) 123
E) 215
38,
Simplificar: £-2'+4'+6'"+..+(2m)
A) 23m (m1 +1)
B) 29" (m -1)
0) 2m"(m
+ 1)
D) 2m"(m + 2)
E) 2(m 1) m*
39,
Un grupo de amigos se reunen aportando cada uno: 12; 16; 22; 30; ... soles respectivamente.
Si en total logran reunir 13 420 soles, ¿Cuántos amigos forman el grupo?
A)J33
B) 34
C)35
D)36
E) 37
Determine la suma de todos los términos del arreglo numérico:
+
+
5
a
Pm
de
+
=
_—
=
a,
E
3
A
mn
”
(n +1)
+
far]
+
(n+2)
4
n-2)
+
E
*on
-
4
A
+
A
3
Jos
3
A
E
+
Po
2
+
Los
e
40,
2n-1)
D) (1 +1)
E) (1 +1)
Unidad
5 - Series
Prohibida su reproducción
177
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
|
PRE
Tu futuro empieza
con nosotros
UNALM
TU INGRESO ES DIRECTO
UNIDAD 6
SUMATORIAS
177
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
OBJETIVOS
Al finalizar la unidad, cl alumno será capaz de:
l
Expresar una seric como una sumatoria y viceversa.
z
Aplicar las propiedades de la sumatoria simple y doble.
3.
Evaluar sumas especiales utilizando las propiedades de la sumatoria.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Para la presente unidad el alumno deberá conocer previamente:
L
Sucesiones.
2.
Series.
CONTENIDO
6.1
INTRODUCCIÓN
6.2
S5UMATORIA
63
6.2.1
SÍMBOLO DE SUMATORIA(
6.2.2
PROPIEDADES DE LA SUMATORIA
)Y ELEMENTOS DE UNA SUMATORIA
DOBLE SUMATORIA
6.3,1
64
Y
PROPIEDADES DE LA DOBLE SUMATORIA
SUMAS ESPECIALES
64.1
SUMA DE PRODUCTOS COMPUESTOS POR FACTORES CONSECUTIVOS.
6.4.2
SUMA
DE PRODUCTOS COMPUESTOS
POR FACTORES CUYA DIFERENCIA ES
CONSTANTE
64.3
SUMA
DE
PRODUCTOS
COMPUESTOS
POR
FACTORES
CUYA
SUMA
ES
CONSTANTE
644
SUMA DE INVERSAS
RESUMEN
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS
Unidad
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
178
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
6.1
TU INGRESO ES DIRECTO
INTRODUCCIÓN
El llamado operador sumatoria es una convención matemática para sustituir con un solo
simbolo, Y. la operación de suma de varios valores. La letra Y es una letra griega:
En Estadistica es muy usual la suma de varios valores, en verdad, es la operación más usual
del cálculo y en definiciones estadisticas. Con el siguiente ejemplo veremos su conveniencia.
Si las edades de doce estudiantes en años son: 3,8,5,12,7,8,9,4,4,5,3,6,
Ahora si nos
referimos a la suma de todos los valores de edades de doce estudiantes. se diría:
“sumen (o, la suma de) los valores de la variable X, (edad) desde el primero hasta el doceavo
valor”,
Con el simbolo de somatoria sería tan sólo:
12
Fx
-I+8+5+12+7+8+9+4+4+5+3+6-74
La economía y la claridad son evidentes.
Si nos referimos a la suma de tan sólo un grupo de ellos, por ejemplo:
*“súmense los valores de las edades, X,, desde cl tercero hasta el octavo”
Bastaria con: Y x, =5+12+7+8+9+4=45
hm1
Otro ejemplo seria: de quince familias nos interesa su ingreso mensual; y a ese ingreso lo
llamamos Li de manera que tendríamos acceso a los valores L,, La, Lo.
La o
his entonces
la suma total mensual de lo percibido por esas familias se podria representar como:
13
$
l,, y que por supuesto
es lo mismo que: |, +1, +
+...+1+...+Ls5,
hub
sólo que el simbolo Y es más fácil de eseribir que el total de sumandos.
Como se sabe, en las matemáticas, es usual y conveniente el manejo simbólico de conceptos.
Si, por ejemplo, nos referimos, en forma abstracta, a un conjunto de n valores obtenidos o no
mediante el recurso de la medición o la observación, y esos valores son distintos entre ellos,
llamamos a esos valores como ya hemos dicho, la variable y la designamos con una letra
mayúscula, por ejemplo X;; la suma de dichos valores seria:
A
O
O
A
ta
+
Xai+
Pero mejor y de manera más conveniente:
As
Y X,
a]
Unidad
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
179
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
62
TU INGRESO ES DIRECTO
— S5UMATORIA
6.2.1
EL SIMBOLO DE SUMATORIA
Dada la sucesión de n términos:
A
tl
Ahora considere la serie, 5, asociada a la sucesión anterior :
Sur,
+4. ,+0
doi
AA
Ahora se expresa la sere, $ , mediante el simbolo de sumatoria, denotado por la letra griega, $
a
(sigma), es decir.
a,
selee: la sumatoria de los elementos e, desde k =1
hasta £ =0".
En forma general; si m y n son dos números enteros, con m < . , entonces :
2
MAA
+,
boa
Donde:
Eo:
Índice de la sumatoria
E
Término general de la sumatoria ó k-ésimo término de la suma.
m
"no
3
Limite inferior de la sumatoria,
Limite superior de la sumatoria.
jemplo:
l.
Expresarlascric:S =]1+
2
+
3
+4+«
5+6+
74
8094
10 , mediante
el simbolo
de sumatoria.
Primero se determina el término peneral de la sumatoria, como es fácil ver, el término
generales
e,
= 2, entonces:
1
1424
3
+44
5+64+
7+8+9+ 10
= PA
A]
Unidad
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
180
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
E!
A!
|
Tu futuro empieza
con
nosotros
2.
TU INGRESO ES DIRECTO
Expresar la suma:
E=slil+
21d
+
314
+45
+
536
+ 617 +
TxB+
Bx9
+ 9410
+ 10.011
mediante el simbolo de sumatoria.
Primero se determina el término general de la sumatoria;
112 + 213
+
314
+45
+
510
+ 6:74
718%
«, = (4
8x9+9:010
11)
+ 10:11
= Y
£(4 +1)
1)
l
3.
UE.
Expresarlascric:
3
5 =—+—+
E
:
12
Ey
:
:
—+...+ 7
:
¿medianteel simbolo de sumatoria.
2"
4
:
Primero se determina el término general de la sumatoria:
k
a, = —
2
1
2
E
2
4.
3
RS
12
Al,
a.
de...
EA
E ESF
1
=
Pocait
2
1.12
Expresar
la serie: 5 = 1+2+
21041) 204
Primero se determina cl término general
«27, mediante
el simbolo de sumatoria.
de la sumatoria:
u,
= 2
A
a
1
tata
create
yz
d
5.
Expandir las siguientes sumalorias
a)
su
Ys
:
o) YY
dy
2r-1)
Resolución:
cdo
a)
Ep
dnd
dd
rado
4
dei
$
=4
A]
z
bb)
rado
Ys
y EN
dim
5
ruda
A
+
Ni
¿ad
O
50
cunde
0+
det
a
05 o =15
mado
deb
cado
da TY
——
ss
dnd
reido
dd
==
di
yr,
read
a
dim
sm,
A]
PA
ruta
dd
Pa
Y 24 -1)= 2(-1)-1+ 2[0)-1 + 2(1)-1 + 2(2)-1
e
= -3+-1414+3=0
Unidad
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
181
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
62,2
TU INGRESO ES DIRECTO
PROPIEDADES DE LA SUMATORIA
l.
Y u, tiene (1 —m+1) términos
Be
¿.
Ye
=(n-m+1)€,
donde€
es una constante, en efecto:
hm
E CeC+C+*C0+.+4Tua=(n=me-.1)c
ii lt, 2,
hora
3.
M-Mm
lao,
+ ld voces
+8h,)=0
Y a, +1 Y 5, : dondea y f son constantes,
en efecto:
dee
Y
da
ha
(a 1,+P9b,)-[(032,+8b,)+(900,
+ 8b, )r(aa, + Bb, ,)+..+(%0,+8b,)
<a
Y las,
la
+.
at
+ph,)=0
0
d-
4.
tn
ta)
+A
PA
Ab
eb
md
he
th)a
E
da
ds
y la ,,-2,)=u,,-a, (Propiedad Telescópica)
En efecto:
y
la
ni"
*,
E
(a,
-4a,)+
la,
-
4,)+ (a,
2
a,)+
m0
la,
1 -4a,
¿)+(a,
A
-a,)
dl
Y la
sa)
8,
PH
den
Ejemplo :
$
(2k +3) tiene (3 - (- 1) +1) términos por lo tanto tiene $5 términos.
Ejemplo
y
5
:
=(8-1+1)5=
40
Ejemplo:
de
Slior
les
ENE
des
Unidad
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
182
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con nosotros
Ejemplo
2
TU INGRESO ES DIRECTO
:
=|
- f
q
UG
2
4 3)
aL d
1
y
E+3
l
A A
a"
1.3
|
-
]
A
,
5
,
aplicando la propiedad telescópica, se tiene:
+2)
1
039
Ejemplo :
5 R"-2)22*-2m62
Observaciones
l
Ahora se presentan algunas series notables expresadas mediante sumatorias:
LeE2
4 A
E
le
I4dEs TD
1
Mp
dm
E)
d-i
otras
e
6
z
1
O A
6.3
1
A E
n'=
a
Y k
S
£
nin
A
+1
13]
2
DOBLE SUMATORIA
A
la sumatoria
simple:
y 4, =4,+a,+40,
+.
+4, se le aplica otra vez
ro 10910.)
=m(o,90,40,1+0,)
sumatoria,
es
hb
decir:
$
fal
de
Unidad
A, -E/E
dal
fal
0,
bal
«Ela
dal
Éntónces la doble sumatoria se escribe:
Y Ya,
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
183
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
Ejemplo:
ñ
a
Halle: Y Y a
Resolución
Primero se expande con respecto al indice 4, es decir:
pa
, (="
A
> [5 >
|
Y
hab
A
na]
l
3
bs
a
yl
+ 2%
3
= Y 2
45
;
k
e]
2
y
ña
d-1
Y
e Ka
donde € cs una constante
dei
= CY
dul
Fla,
fai
+1,)=
Y a, , donde C es una constante
dul
e eE
4=l
gana
DE LA DOBLE SUMATORIA
Y Y Ca,
dal
3
3
y
$ S Cosa m0
E=k
2.
2”, el siguiente paso es expandir con respecto al indice +, es decir:
4
J
PROPIEDADES
l.
¡,ahoraseaplica la propiedad 3 y se tiene:
J
1
21)
MA
-1
¡2
di
Daria,
d —i
1]
6.4
SUMAS ESPECIALES
6.4.1
SUMA DE PRODUCTOS COMPUESTOS POR FACTORES CONSECUTIVOS
Esta suma tiene la forma: 5 = Y e, ,donde: e, =4,b,,b,-0,
=1
de
Ejemplo:
Calcule
el valorde;:
S=3Ix4+4x5+..+125x26
Resolución:
Primero se halla el término general:
aj=ks+2ly
Unidad
b =k+3
=> ec, =(£+
2) +3)
184
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
33
31
23
sa
31
hal
bel
kui
Lucgo, 5 = Y (k+2)(k+3)=Y (k +5k+6)=-Y k "+5 k+5T 6
1]
hal
23124 (47)
s
2324)
+ 23(6) = 5842
+5
ñ
En general se tiene que:
a)
223
rd
rd
S
ly
+ 1
Y kh]
he
+2
ka
?
3
b)
lx 243+2x3x4d+..+102%
(n+1)<(0+2)=
pl
Y
d(k +14
+ 2)=
poe
|
Let
64,2
SUMA DE PRODUCTOS COMPUESTOS
CONSTANTE
Es
3
3
Ln+3)
43
POR FACTORES, CUYA
Esta suma tiene la forma: $ = Y e, donde: e, =4,b,,b,—«a,
DIFERENCIA
ES
= Mo, Mes una constante.
Ejemplo:
Calcule
cl valorde:
5=2x5+4x74+6x9+8Bx11+..+20
23
Resolución
Hallando el término general
M
<3
: 4,=2%
yb,
=2k+3
><,
= (2424 +3), en este caso
[constante)
5 Y (24)(24+5)= Y (an? +61)
S-4F
ke
6Y
4
e
643
= 1570
SUMA DE PRODUCTOS
CONSTANTE
COMPUESTOS
POR
FACTORES
Esta suma tiene la forma: $ = Y e, donde: e, =0,h,,b,
+4,
= M
CUYA
SUMA
ES
, Moesuna constante.
A]
Calcule el valorde:
$ =10:x54+9164+817 + 7x8... +(-5)r20
Resolución:
Hallando
el término general: a =11=k
“M2
Unidad
15
yb,
=4+k
+
e, =(11 -£X4+4),
en este caso
(constante).
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
185
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
5-5 ln
Ya
+ 4)=S (44 +74 4%) = Y 44 4 IFA
16(17) 16(17)(33) _
2
6
o
£ =16(44)+7
160
64,4 — SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS PRODUCTOS COMPUESTOS POR FACTORES
CUYA DIFERENCIA ES CONSTANTE
Esta suma
tiene la forma:
5 = y €, , donde:
e, =
a
constante.
, b,-9,=M,
Mes
una
—
Ejemplo:
Calcule el valor de:
5 =
o
Yell
+
:
l1x13
hu. +
1315
:
19
21
Resolución:
Hallando
el término general : 0, =2 +7 y b, =2k4+9=.<c,=
a
S
».
FS»
Fon
2
2 ls
1
-
98
z
+ 7124 + 9)
|
+
1
-
1/4.
1
+
<=
I
l
2
(2% + 724
+4)
|
=
2
-
Bo1.41s
2447
|
+
2k+9
-
1
+
9.
|
19
-
!
24
m
|
9
-
1
23M
=
12
o o0(21)
=
4
6
d
63
RESUMEN
!;
% a,
selec
: la sumatoria de los elementos a,
desde
=1
hasta k =..
di
2.
CI
A
+ id,
dom
de
Propiedades de la sumatoria:
3.1
3.2
Y a, liene (n-m+1)
y
€ =[n-m+1)€
términos,
donde
C es una constante.
Lam
33
Y leo, +8b,).a
ho
¿
a
Pr
3.4
y la, ¿-0,)=0,.
Ñ
bob
Unidad
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
Y e, +1 Y 5, 5 dondea y f son constantes.
de
bom
«a,
(Propiedad Telescópica).
186
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
4
Propiedades de la doble sumatoria
4.1
Y Y € = mé
4.2
Y Y Ca, =€
wei
>
donde C es una constante
Y
dl
4.3
Eq
14
YX
Y a, ¿donde
C es una constante
ia
ó
dh.
"E
La,
[Do (Eoo.)
Sumas especiales
5.1.
5.2
5,3
54 —
Suma
Suma
Suma
Suma
de
de
de
de
productos compuestos por factores consecutivos,
productos compuestos por factores cuya diferencia es constante.
productos compuestos por factores cuya suma es constante,
inversas
EJERCICIOS RESUELTOS
h.
Calcule cl valorde:
£= Y 7"
a
Resolución:
En este caso no se puede aplicar ninguna propiedad, lo único que se tiene que hacer es expandir,
es decir:
ds
al
EsY
2.
pu
—
¡UU
qt
——
ali+ 2
Calcule el valor de:
pd
——
——
430 447
148481
+1024
= 1114
E = E sE 4
dt
pb
Actuó:
E = y y k= Y
á=b
pb
y k ] tn este caso se puede observar que el indice de la sumatoria que se
a]
encuentra entre paréntesis esj y el término depende de k por lo tanto se aplica la propiedad 2
de la sumatoria
E-
3,
Es
im
ld
En
es decir:
ii]
4(5
0
2
Expresar mediante sumatoria las siguientes sumas:
1
3
A
a
a)5=1x2+ 2 13+3 144+..+207
221
3
Port. a
.
+ 50.150
2598 + 3107 4..
+9
O) = 119
?
Unidad
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
187
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
UNALM
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
Resolución:
Para cada uno de estos casos, el primer paso es determinar el término general:
pal
3d), =0"" (a +1) entonces: $ <= Y nn" (n +1)
ba
Y3"* * entonces: S = y q
oa
» (100
Mi
r
— n), entonces: $ = Y n(100
-.)
asi
Expresar mediante sumatoria el siguiente arreglo numérico:
5
+
5
+
7
6
A
E
+
+.
7
+
$
+
+
E
de
a
se
'
o
P
pa
+
+
Do
4
+
*
1d
1d
4
Resolución:
Sumando los términos de acuerdo como se indica en el arreglo:
1x5
2x6
sn
¿A
1]
+"
E
qe
Hal
Grat
¿>
<a
-
“Da
ad
471
.?
AXE
TBC
e
OE
pr
“Y
e
IA
ACA
A
de
*
4
34
34
E =lr54
2164174
4184430034
(Suma de productos compuestos por factores cuya diferencia es constante).
En este caso la diferencia constante es 4. El primer factor está formado por números
conseculivos desde 1 hasta 30, su término general es £ y el segundo factor es cuatro unidades
más que el primero, por lo tanto su término general es +4,
entonces e, = k(L +4)
y
finalmente se tiene que:
h
Unidad
188
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
su
S=
Y A(k+ 49)
5.
Halle la suma total de los terminos del siguiente arreglo:
50
49
40
48
48
48
47
47
41
47
Resolución:
A
A
+
1x50
Aron
+
2x49
rra
+
3x48
>
4x47
po ronca
AAA
A
pq
a
¡S
El arreglo es igual a:
£
=
1x5
+21549
+ 31498
+ did7
+... +50
11
$ representa la suma de productos compuestos por factores cuya suma es constante.
s= Y Hs
S =51
50451
Z
6.
Y
bi)
50x51:101
- ==
6
Calcule el valor de:
y
=
113 100
y (2n- 1]
Resolución:
S (20-1)
A
mal
15x16x31
= 44
6
Unidad
15:16
2
+15=4 495
189
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
E
TU INGRESO ES DIRECTO
Halle el valor den, si:
Y 4 =1 640
Resolución:
Expandiendo la sumatoria, se tiene:
de
s=Y
k
=ñ+
(a+
1)4+ (+
2)+.. +30
=1
640
Se trata de una seric aritmética, entonces:
n+
5 =|
in
ln -"+1)-
160
=
2la(2n+1)=160
=>
2n(2n+1)= 40 41
|
Entonces:
8.
Jn <40
+
n-<
20
Halle el valor de: s = 2(17)+ 5(4?)+ s(7*)+ 11 (10*)+...
A
Resolución:
Primero se delermina el termino enésimo:
Los primeros factores de los productos: 2,5,8,11,...,«, =2+3(n-1)
Los segundos factores de los productos: 17,47 ,77,10%,.h, =(1+3(n 1)
De esto se liene que:
16
113
$ = Y
a,b,
>
= Y
Mi
185
(130:
_
2Y
pu
=
de
y
(71
451"
+ M4)
a
s-7n'-56yY
0 + MY 1-Y a
sl
5237
q
2
5 =655
9,
sl
sal
7
]
mi
101121
ALEA
A
6
— 40
¿0
630
Halle el valor de:
£ = 11430 + 2331 + 3:32 +... + 2049
Resolución:
y representa la suma de productos compuestos por factores cuya diferencia es constante.
m
5$=Y
bel
5=2%
=
=
0
1]
dsd
did
4(B+4)=T (9+10)=9
5 4+ Y 4”
[DE
LK
Yo
y
E)
Mil
al
A
6
5 =38 960
10.
Calculeel valorde: $ =41
11422 137 4+..
30
iman
Resolución:
Se llene la siguiente sucesión:
(
c=1,4,
11, 22, 37,...
YN WN
a+b =3
NIN
7
2a=4]4 4
Unidad 6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
190
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
UNALM
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
El término enésimo €s: 1, =a0 +bm+c
SD
lrr+ndi)e da
En
>
ES DIRECTO
t=210+0 +1
El
2.
2D x21 141
5 =2| ————
|+
20 x21
b
1H.
+ 20
<< 570
a
Calcule el valor de:
Resolución:
Simplificando el numerador:
AAA
Del
iio
mudó dol el denominador,
se liene:
EEE
pa
pl
puza y
ml
E
po 7"
ll
152*]
Al]
Lo]
sm
12.
”n
Calculeel valor de: £ - Y (2x+7)+ Y (+ -7)
1]
nal
Resolución:
1.
E
Y (23+7)4 Y (e
ari
ami
clar
Pla
10 11
Es?
1)» Y (20+7+.*
-7)
10:11 x%71
y ————
2
6
ia
13.
Si se cumple que: Al
2
7143
¿halle Y 6,
dat
Resolución:
Primero se expande la sumatoria:
y
-
IP BT
d
21
a
+ da
3
dy
Ñ
dj
A
la
a
lr
*
dl
mua
o
*
Ae
Unidad
191
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Comparando con el polinomio:
LEa
A
3
i
FAL
E AA O ELO
A
ELE
F A
4
le
ALE
F
Se tiene que: 1, =3,1,=7,4,=-2,1,=1
Í
sa
PL,
1-2
q
1
+*71+3
y los demás coeficientes son ceros.
ha
Hallando: Y £,,.,=1,+4,+1,+1,
++
14.
Halle el valor de: E = PO [
=7+041+0+,,+0=8
— z)
mu]
Resolución:
Aplicando las propiedades de sumatoria, se tiene que:
car)
y
ES
ara
y
3"
ami
Desarrollando cada una de las sumatorias:
r
A
o
de 63
4
poz
7
e
e
eS
[>
7
$ 5.45
En Ll+=.—
14.3
12
I5,
|
Halle el valor de; 5 =
1
|
+
21d
1
>
¿d6
6x8
+
ExlÚ0
!
a
48 150
Resolución:
$ representa la suma de las inversas de los productos compuestos por factores cuya
diferencia es constante.
En este caso la diferencia constante es igual a 2. Por esta razón se multiplica a 5 por 2, es
decir:
ES.
Unidad
2
2
2
2x4
dró
6x8
E,
7
Da
A
A
a
2
+
8x10
46
2
dee
48 150
La
48
a
4%
y
50
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
192
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
E!
A!
|
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
A
ES DIRECTO
A
Ml +3)
Resolución:
Primero se multiplica por 3 a $, es decir:
_
358 = Y
3
á
———
3
y teniendo en cuenta que: ——=
ala + 3)
nla+3)
1
I
1.
4+3
—-
Ahora se aplica la propiedad de sumatoria, es decir:
al) zz
”n
.»+13
1
al
n+3
Se expande cada una de las sumatorias:
101.011
[repre
2
1
4
5
DL,
5
Ti=lr++
2
3
1,
111
rezos
4
3
6
5 —
18
Halle el valor de m, si:
2
—
2
+
lx4
2
+
4x7
2
+
7x0.
Z
+.t—=
10.13
0,64
$
Resolución:
Se multiplica por3 a la ccuación:
1x3
—
¿13
+
ld
A]
+
4x7
3
2
7x10
3
+
lx4
1x3
+
10x13
3
+
dar
Ex3
dos
3
+
7Ta10
= 0.6413
m
>)
+,
+=
mu
10 513
tobo5r
lA
4
4
7
1
A
7
1
A
106
3
Sea: —=
1
;
y entonces se tiene que:
|
—-
m
a.
bh
l=— 4 —-
34
3
|
| a+
|
A
10.
|
|=0,60
13
1.
37
A A
Á
am
13
00,643
2
-0+3
TE-
3
I
—E
—=
—
7
7
10
DJ
j
-
—
10
|
A
|
+ —=—
13
1
==
25
u+F
|
Halle el valor de: $ = ——+
243
to
Be
dd
+
5
——+
419
1
1
a
qa+3
2
=
0,64 33
z
a=2>-m-23x25
= 55
19
$127
+
b3
16:81
Hu
Resolución:
y
E.
Pp
TA
¡E
1d
Hd
A A
5
+
040
A
23.444
Unidad
19
+
65
+
Ex27
A e
E
o A
OB
Hi
16.:.:8l
l
2
$
|
16
o
l
A
El
193
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
mos
19,
Calcule
el valor de:
E = Y Y
Gn
= »)
Resolución:
Se observa que el término enésimo no depende de k, entonces se aplica la propiedad de la
sumatoria de una constante, es decir:
£= Y Y
(80
2)
E J0w
—-2n)=(3n"
0)
ud did
5
3
d=1
(14?= ¿pa x11 | ss (on
ii]
EJ
20.
Demostrar : SY,
ted
bh, )s
"E
¡Es
Ed
1
Demostración:
SD le +6,
sl
-ElYo,
dsd
ad
+ $b
Litas
- Eno,
|
Elm
+20)
bal
ha]
«EE»
=1 do
=02 Y
+
4m1
Y
(0,+b,+h,+.+b,)
iwi
=9
Y 0, +mlb +b,+b,+..+b,)
161
a
- ”»
A
a+
my
b,
hist
1
Unidad
AA
"E
"En,
L.q.q.d.
ed
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
194
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
EJERCICIOS PROPUESTOS
l
Usando sumatoria representar la siguiente serie; 4+6+
12422436
A) y l2n * - 4n )
B) Y la*-0)
C) y (2n * - an + 5)
D) y In? -4n +6)
E) E
de
(2m*-n+6)
Usando sumatoria representar la siguiente suma:
3+9+27+81 +...( 10 términos )
Ay 3
B)
E
y!
Y]
a) y pun
D)
E)
3.
y
y
qe
qe
Usando sumatoria representar la siguiente suma:
| -9=+125
- 2401 +... ( 2n términos)
E]
AECI A
y”
BELy aro
1
Cc) y (a
y
D) Y (1 ti
1
AMIEFE Ia
Ñ
0"
kr
Unidad 6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
195
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
4.
TU INGRESO ES DIRECTO
Calcule el valor de: £ = Y (34 - 4)
A) 65
B) 68
2)70
D)74
E)76
$
5.
Calcule
el valor de:
£ = E Elk -2)
AJ25
B)30
C2)28
D) 40
E) 36
6.
Calcule el valor de: S= 941217
+24 +...4 177
A) 819
B) 900
C)923
D) 970
E) 1003
7.
Calcule el valor de; S= 112 +2x3 + 3x4 +4x5 +...+ 30:31
A)9920
B) 9 220
0790
D) 9725
E) 9 910
3.
Calcule el valor de: S= 3x7 + 4x8 + 519 + 6110 +...+21x25
A)
3 700
B)30915
04218
D)5 100
EJ6 120
5.
Calcule el valor de; S = 1:19 +2x18+3x17+...+
1545
A) 920
B)1
160
01325
D) 1415
Ej) 1733
:
1d
:
VIS
Unidad
l
Calcule:
1
l
1
1
1d
1
12
no
5=23—+6=+12
+4... 4110 —
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
196
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
UNALM
Tu futuro empieza
con
nosotros
11,
TU INGRESO
I
A
1
LS
|
3
2001
A)
B)
I
A
vá
|
dd
ES DIRECTO
I
5
2000
13
307
13007
15
0)
2001
D)
20H
13002
4000
O
4006
E)
2000-4000
4001
12,
Calcule: Y Y (27+4)
A) 84
B)60
0)535
Dj) 49
E)87
da
Calcule: Y (- Ye
a]
A) 2n-1
B)jn
Cn
D)n+2
E) 2n+1
14.
Si: Y a,=2n
+3n halle: Y
im
;
dl
A)21
. B)20
Unidad
197
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
C) 19
D)18
E) 17
IS.
SiFa=106
3
(23, -3) =110
del
;r,=7,=-3,x, =5,halle Ys,
11
sal
A) -10
B)-3
O)-6
Dj -12
E) -15
6.
a
1
Halle: z AN
ln
A)
dla +3)
ñ
B)
32043)
in
MHMin-3)
)
Hu
dlln +1)
mal
M2
17.
Húlle:
+1)
|
E - —+
3
|
—4+
l
—+.,
A
3(25 +1)
) 320 +1)
nu
HM20+3)
Za
124
18.
+3)
Halle: S Ence)
DATO
Unidad
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
198
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
B)
C)
D)
E)
19.
TU INGRESO
ES DIRECTO
60
-35
-49
-87
Halle:
s =1+5
47 4974..409*
A)J90 450
B) 100 345
C) 166 649
D) 177235
E) 188 328
20.
a
Halle: 5 = y
dub
Al
klk +14
+2)
Sib
——
E
m
3
o
—
Ki
as
mk
132
E
143
21,
Halle: s = Y Y (1 ;)
bald
A)
B)
C)
D)
E)
22.
109 963
112 345
105 234
104 673
102 123
¿me
750
678
156
789
458
Halle: s- Y y (23)
A]
A)
lim
B)
2am
+n
C) zan +m
D) 2a + nm
Ej
4d;
da
ales
+2n+m
Ea
hml
Unidad
199
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
A)
TU INGRESO
a*(a” +1"
ES DIRECTO
-1)
la -1)
(a +1)
E)
a la”
-1la"”"
)
la 1)
c) a lp"
>
la -1Y la
D)
-1)
———————_—-
a la"
-1)
+1)
Ala”
=- 1)
lat]
E
ala” 142" -1)
la 1
24
las 1)
Halle: 5 =
+
+
2idx6
dibay ER
:
eo.
618410
115
A)
B)
1115
3686
C)
125
F40ñ
1435
DB) ——
97
E)
165
3706
Halle la suma de todos los elementos del siguiente arreglo numérico, si en total tiene 15 filas
26.
990
640
750
680
780
!
t
t
ds
A)
B)
C)
D)
E)
'
ba
25,
Halle: Y (2 +(tr-1a]
A)
un
«(0
B) an Moa e
1)
em)
2
C)
an 2dln*
= 4)
D) an ES
í
Unidad
We:
a
J
2
200
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
27.
TU INGRESO ES DIRECTO
Halle; s = Ly
(2)
(len je9o! >
A)
mn
nat
B)
mm
28. — Halle:
[
E pues
(1)
=
A) 195 +
B) 195 +
0) 195
+
D) 195
+
E) 195 +
22
Sia, =2%'-1yb,=k+1,
halle: Y [24,.,-30,.,)
h-p
A)%45
B)
1 005
c0)1105
DY
1 200
E) 985
30. — Sinespar, halle Y
(-1'k
hs!
A)n+1
pz
3
n+6
e
20 41 DJ¡EY2n+1
Unidad
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
201
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
SJ.
31.
|
l
Halle: E 0
2115
A)
4521
3127
B)
6543
2375
—
$181
A
a
3110
D)
5521
1115
E
32.
1
e 0 21)
3521
Halle: $ [(k +1 JLo (ko
1)- kLok
]
A) nla (n)- Lo 2
B) (n +1)La (n +1)
c)0
D) nin
[n)
E)1
33. — Halle: be ! a
E
34.
3
Halle: y sl
¡
3 (2)
]
EE
A)J —
,
"
10%
h
SE
7
Unidad
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
202
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
256
py E
y
115
á
35.
Sh Y la, -3)
Es
- Y (a,+2"
b1
h=1
y
E—o=10
y
,halle: Y a,(a,-3)
z,
A) 15
B) 18
c)21
D)24
E) 27
36.
E
Halle: z
2
UVA
e
A)
B)1
c) +
D)2
E) ?
37. — Halle el valor de: s =s(3%)+e7(2*)e9(0
Jen A his*)a..
E
E
E
A E
A
XK
Ay
B)
C)
Dj)
E)
38.
105
110
106
107
109
490
940
490
940
970
Halle el valor de: $ =1330 +2129 +31528+..+3011
A)3 456
B)4 959
0134606
D)8 764
E)4 960
39.
Unidad
Calcule: s = EE)
203
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
A)J 530
B)23
07
D)25
E) 32
40.
Unidad
Halle:
1
E - —-+
20
Í
—+
1
l
AZ
204
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con nosotros
Et
UNALM
“8
TU INGRESO ES DIRECTO
UNIDAD 7
METODOS RAZONATIVOS:
INDUCCIÓN - DEDUCCIÓN
204
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
OBJETIVOS
Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de:
l,
Aplicar la técnica del método inductivo.
2.
Aplicar la técnica del método deductivo.
3,
Aplicar el método de Pascal para el conteo de rutas o palabras.
4 . — Contar figuras en forma inductiva y deductiva.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Para la presente unidad el alumno deberá conocer previamente:
IL.
Las operaciones fundamentales.
2, — Triangulo de Pascal,
3.
Lasserics notables.
4. — Fundamentos de geometria.
CONTENIDO
7.1 INTRODUCCIÓN
7.2 MÉTODO INDUCTIVO
7.3 METODO DEDUCTIVO
7.4 TRIÁNGULO DE PASCAL
7.5 CONTEO DE FIGURAS
RESUMEN
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
- Deducción
de esta publicación.
205
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
7.1
TU INGRESO
ES DIRECTO
INTRODUCCIÓN
La inducción es el razonamiento, a partir de uno o varios juicios particulares, obtiene una
conclusión de aplicación general, es decir es un modo de razonar que nos lleva:
2) De lo particular a lo general.
b) De una parte aun todo,
Inducir es ir más allá de lo evidente, La generalización de los eventos es un proceso que sirve de
estructura a todas las ciencias básicas como la matemática y ciencias experimentales, ya que
éstas como la física, la quimica y la biología se basan (en principio) en la observación de un
fenómeno (un caso particular) y posteriormente se realizan investigaciones y experimentos que
conducen a los cientificos a la gencralización
El razonamiento deductivo parte de un juicio general para obtener conclusiones en casos y hechos
concretos, particulares, es decir es un tipo de razonamiento que nos lleva:
3) De lo general a lo particular.
b) De lo complejo a lo simple,
Pese a que el razonamiento deductivo es una maravillosa herramienta del conocimiento cientifico, si
el avance de la ciencia se diera sólo en función de él, éste seria muy pequeño. Esto se debe a que
nuestra experiencia como humanos es limitada, depende de nuestros sentidos y de nuestra memoria.
7.2
MÉTODO INDUCTIVO (INDUCCIÓN)
El razonamiento
inductivo
es el
proceso
de
observar
datos,
reconocer
patrones,
y hacer
generalizaciones basándose en esos patrones. Es probable que uses el razonamiento inductivo
todo el tiempo sin darte cuenta de ello. Por ejemplo, supongamos que a tu profesor de
Razonamiento Matemático le gusta hacer exámenes “sorpresa”. Tú observas que, durante los
primeros cuatro capitulos del libro, hizo un examen al día siguiente después de cubrir la tercera
lveción. Busándote en el palrón de tus observaciones, podrias general ir que tendrás un examen
después de la tercera lección de cada capitulo, Una generalización basada en el razonamiento
inductivo se denomina conjetura.
Es una manera de razonar, en el que a partir de observaciones de casos particulares, nos conducen al
descubrimiento de leyes generales (Caso general), con la particularidad de que la validez de las
últimas se deduce de la validez de las primeras, Asi tenemos:
Cc
A
5
E
c
A
o
ln
G
Alis
]s
s
o
0
!E
3
A
A
!
o
L
A
_
Casos particulares
Mm
>
—
Razonamiento Inductivo
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
206
- Deducción
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Ejemplos:
a)
Determine la suma de las cifras del resultado de:
M=
999.....99 x 3
e —
$9 cifras
Resolución;
f
Caso 1
Suma de cifras
=
72
9
=1x 9
E
=
702
18
=
9x8
Caso 1
Casos
Particulares)
Resultado
090 x
2
x
9
Caso 1
999
x
8
=
7992
27
=3x
9
Caso4
9999
x
8
=
79992
M6
=4x
9
Ñ
4
Se nota que la suma de las cifras del resultado es igual a la cantidad de cifras 9 multiplicado por 9.
Caso general:
Suma de cifras
999.......999
x
E =
9919
= 291
———
_
b)
7
¿Cuántos palitos se emplean para formar la torre mostrada?
s
>,
el
1.2
Unidad
7 - Métodos
A
3
Razonativos:
Prohibida su reproducción
18
En
19
20
Inducción
total o parcial sin autorización
- Deducción
de esta publicación.
207
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
Resolución:
N? de palitos
Caso l:
|
2
Caso General = 20
7.3.
=400 palitos
METODO DEDUCTIVO (DEDUCCIÓN)
Mediante ella se aplican los principios descubiertos a casos particulares, a partir de un
enlace de juicios. El papel de la deducción en la investigación es doble:
a.
b.
Primero consiste en encontrar principios desconocidos, a partir de los conocidos. Una
ley o principio puede reducirse a otra más general que la incluya. Si un cuerpo cae
decimos que pesa porque es un caso particular de la gravitación
También sirve para descubrir consecuencias desconocidas, de principios conocidos. Si
sabemos que la formula de la velocidades v=e/t, podremos calcular la velocidad de un
avión.
La matemática
es la ciencia deductiva
por excelencia;
parte
de axiomas y
definiciones.
HABILIDAD
OPERATIVA
Multiplicación por 5
5e deduce el procedimiento a partir de un ejemplo,
TAR XS=248 x =-
= 1240
| Observación: Para multiplicar por 3, al número se le agrega un cero a la derecha y al
resultado se divide entre 2.
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
208
- Deducción
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Ejemplos:
670
6115=——
2
=335
8722:5= 3720 = 4360
2
Además:
Nx5 =....5, 8 N es un número impar
Nx5=....0; 46 N es un número par
Multiplicación por 25
5e deduce el procedimiento a partir de un ejemplo.
36x25=36x
e
—= 9000
Observación: Para multiplicar por 25, al número se le agrega dos ceros a la derecha y al resultado
se le divide entre 4.
Ejemplos:
3200
2d
;.
4
= 800
675
e
67525:
=
16875
División por 5
Se deduce el procedimiento a partir de un ejemplo.
165
5
_165x2_
10
330
10
Observación:
Para dividir por 5, al número se le multiplica por 2, el resultado se divide entre 10, es decir,
se cancela un cero o se corte la coma decimal
hacia la izquierda.
Ejemplos:
545
+A
— 545x
2 _
1090
382
S 38212 _
764
5
a
10
=76.4
10
Multiplicación por 11
Ejemplos:
20
a) 63x 11-693
Asi tenemos:
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
- Deducción
de esta publicación.
209
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
b) 2534x
11 =27874
o
Asi tenemos:
Fer paso
5343x11=27/874
had
A
+
|
2do paso
Jer paso
dio paso
Jo paso
der paso
c)
487
pe
NV
2x1=10
43532
h
há
|
2do paso
=15
3er paso
=12
AO paro
=13
Sto paso
Ót0 puso
Multiplicación por: 9, 99, 999, 9999, ......
Se deduce el procedimiento a partir de un ejemplo:
483 x 99 =483 (100— 1)=48 300-483 =482 517
Efectuar una sustracción es más fácil que multiplicar.
Entonces para multiplicar cualquier número natural (N) por otro número natural que está formado
sólo por cifras 9, al otro número (N) hay que agregarle a su derecha tantos ceros como cifras nueve
hay, y al número que resulta le restamos el mismo número (N).
Es decir en general:
N
Xx 999...999
—
sm.
“n* cifras
NOOO...
—
00
NM
*n” cifras
“NT es cualquier número natural,
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
- Deducción
de esta publicación.
210
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
Ejemplos:
a) 238 x 99 = 238 (100— 1)= 23800 - 238 =237762
b) 621 x 99999 =621 (100000-1) = 62100000 - 621 = 62099379
015463 x 9999 = 5463 (10000-1)= 54630000— 5463 = 54624537
74
TRIÁNGULO DE PASCAL
1
1
1
i
1
1
1
1
7
2
3
4
5
6
1
3
1
6
10
15
21
1
4
1
10
20
35
5
15
1
6
35
21
1
7
1
Fig. 1
Si hacemos un giro de 45” a la figura | entonces quedaria como la figura 2.
Triángulo usado por Pascal
lelatilalalalilela
rizl3la|s|o|7[s]|9
1361
1s | 21128136
14 [10 [20] 35 | 56 | 84
is |1s|35|
70 | 126
[6 [21156] 126
11728 [4
118.136
1|9
1
:
Fig.2
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
211
- Deducción
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
El triángulo de Pascal apareció en el Tratado sobre el triángulo aritmético del mismo autor, obra
que fue editada en 1685 después del fallecimiento de 5u creador. En dicho tratado fue publicada
la tabla de la figura 2 en la que cada número A es igual a la suma del número anterior puesto en
la fila horizontal en que se encuentra A y del número anterior puesto en fila vertical en que se
encuentra también A.
Por lo tanto, nuestro triángulo de Pascal difiere del triángulo que consideró el mismo Pascal con
un giro de 457 (ver figura | y 2).
Cien años antes del tratado de Pascal la tabla que hoy es conocida en forma triangular publicada
en la forma rectangular en el libro. Tratado general sobre el número y la medida (1556 — 1560)
que también fue publicada después de la muerte de su autor el distinguido matemático ¡italiano
Nicola Fontana (Tartaglia)(1 500-1557). Su tabla tenía la siguiente forma:
l
E
2
3
4
5
| ”]
$ |
10
15
21
l
4
10
20
35
56
|
5
IS
35
70
126
|
6
21
56
|126
252
l
7
28
$4
210
462
1
8
36
120
330
792
En la lista superior está compuesta por unidades y en cada una de las filas restantes el primer
número es siempre la unidad. El que lo sigue se forma sumando los números que le preceden y
están por encima (observa el ejemplo dado en la tabla). Ésta es la razón para que la tabla se
llame Rectángulo de Tartaglia.
7.5
CONTEO DE FIGURAS
A)
CONTAR SEGMENTOS
Ejemplo 1
¿Cuántos segmentos hay en la figura mostrada?
A
G
+
Unidad
7 - Métodos
2
R
A
8-
A
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
212
- Deducción
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Resolución:
Se nola en la figura que entre letra y letra hay un espacio (e)
>
u
+
+
e
+
+
Luego existen segmentos con:
le
6
segmentos
2e 5 — segmentos
3 e 4— segmentos
4e
3 — segmentos
5e
2 — segmentos
6e
| — segmentos
Total de segmentos
=1 +2
N* de segmentos:E
134+441+5+6=
o
2
=2]
¿omo número de espacios (e)
Ejemplo 2
¿Cuántos segmentos hay en la figura mostrada?
Resolución:
e
Á
Unidad
e
4
e
e
e
e
e
e
O)
1
a
nenos
= 6segmentos
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
- Deducción
de esta publicación.
213
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Existen : 7 (6) = 42 segmentos en los verticales
Existen: 2 (36)= 72 segmentos en las horizontales
Total de segmentos: 42 +72 =114
B)
CONTAR TRIÁNGULOS
Ejemplo 3.
¿Cuántos triángulos hay en la figura adjunta?
Resolución:
had
Enumerando las regiones de la figura dada, asi tenemos:
Triángulos formado por un número: 1,2,3,4,5=5
Triángulos formada por dos números: 12, 14,24,34=4
Triángulos formado por tres números: 245, 345 = 2
Triángulos formado por cuatro números: 0; no hay
Triángulos formado por cinco números: 12345 (todo) = 1
Total de triángulos: 5+4+2+1=12
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
- Deducción
de esta publicación.
214
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Ejemplo 4
¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?
Resolución:
Cuando los espacios (e ) están alineados.
Triángulos con le: 6
Triángulos con2e:5
Triángulos con 3 e :4
Triángulos con 4e:3
Triángulos con 5e: 2
Triángulos con | e: 1
6x7
Total de triángulos: 1 +2+3+4+5+6=
C)
—3—=21
CONTAR CUADRADOS
Ejemplo5
¡Cuántos cuadrados hay en la figura adjunta?
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
- Deducción
de esta publicación.
215
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Resolución:
1
2
3
4
id _
ps
7
Pa
*T
3
5
—
6
-
PE
Le
7
A
AE
4
Total de cuadrados: 4Xx6+3x5+2x4+1x3=50
Ejemplo 6
¿Cuántos cuadrados hay en la figura adjunta?
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
- Deducción
de esta publicación.
216
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Resolución:
1
2
A
2
A
pr
4
y
A
5 cuadrados en común
Pl
A
3
4
3
Pl
pe
y
e
Al
a
b
c
d
Total de cuadrados: 2(4x4+3x3+2x2+1x1)-5=55
D)
CONTAR CUADRILÁTEROS
Ejemplo 7
¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura mostrada?
Resolución:
e
WN" de cuadriláteros en
e
la altura (4e)
4x5
3
e
e
E
e
ele
e
e
el
+ 10
e
A
o
N* de cuadriláteros en
la base (88)
Bx59
3
Unidad
7 - Métodos
=36
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Total de cuadriláteros: 36 x 10 =360
Inducción
total o parcial sin autorización
- Deducción
de esta publicación.
217
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Ejemplo 8
¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura mostrada de tal manera que tengan por lo menos un * en
su interior?
ES
E
+
+
* |
Resolución:
Ala totalidad de cuadriláteros se le resta los cuadriláteros que no tienen ningún * en su interior,
asi se obtiene los cuadriláteros que por lo menos tienen un * en su interior.
*
+
+
a
3x4
*
*
3
= 6
*
A
7
6x7
3
=2]
Total de cuadriláteros que no tienen ningún * en su interior: 26
N” de cuadriláteros gue tienen por lo menos un * en su interior: 126 - 26 = 100
RESUMEN
Il.
Método Inductivo:
El razonamiento
2,
inductivo es cl proceso de observar datos, reconocer patrones, y hacer
generalizaciones basándose en esos patrones.
Método Deductivo:
Mediante ella se aplican los principios descubiertos a casos particulares, a partir de un enlace de
juicios.
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
- Deducción
de esta publicación.
218
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
EJERCICIOS
l.
RESUELTOS
En qué cifra termina el resultado de:
Pi
PERO.
omrn es)
36 4 b
Resolución:
Todo número par elevado a cualquier exponente mayor que cero, resultará siempre par.
Todo número impar elevado a cualquier exponente mayor que cero, resultará siempre impar.
Asi tenemos:
(456
123
O
+A
357 210 (PRES.. PEZO ) - 36 36
Mi par
l
a
Niimpar
N2 impar
terminaenS
rn
el
termina en 6
e aa
6)
A
y
[
5) -
[AA
E AED DA ARDE El
e!
La operación termina en 9
2, — Hallar la suma de las 3 últimas cifras de “E”.
a a
a
a
il,
a A
6b0sumandos
Resolución:
Pa
Colocando en forma vertical los sumandos
A
GO0sumandos
La primera columna suma: 30(2) + 305) = 30(7)-210; c=0.
La segunda columna suma: 210 —5 +21 =226, b=6.
La tercera colunma suma; 210-7+22=225,4=5.
[fs 61011
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
- Deducción
de esta publicación.
219
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
3.
TU INGRESO ES DIRECTO
Hallar el valor de:
227
—(3TITITIT
1616
16161616
Resolución:
2727 =27x
101
La cantidad de cifras | representa la cantidad de números 27, Lo mismo 1616=16x 101,
Asi tenemos:
mat
4 37 1010101
VW i6xj0T * 161018101
27
Mio
+
37
64
va”?
M=2
4.
Sabiendo que:
MOLINA x 999999 =...231567
Determine el valor de:
L+I+M+A
Resolución:
Usando el criterio de multiplicación por 9; 99; 999; ....
MOLINA x 999999 =...768432231567
768433
uno menos
ZA
5.
L+I+M+4=3+44+741=22
Si:
17x19x21x23xX....=
PEOR
y....2b
2011 factónes
Hallar el valor de: abba
Resolución:
El producto de números impares siempre es impar:
17x 19 x21x
23 x25%X...... = W......ab
Además el producto de un número impar por 5 resulta siempre un número que termina en 5,
asi tenemos:
SN
Unidad
ns ab
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
- Deducción
de esta publicación.
220
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
Elevando al cuadrado ambos miembros:
pupa 1
Luego: a=2 y b=5
abba-
5.
2552
Hallar la suma de las cifras del resultado de:
AE
AA
Lb cifras
Lo cifras
Resolución:
Diferencia de cuadrados:
LI ig AG
16
(4011.
160
(a 1 bj(a-
b)
cifras
1 Lia. 11001 1...113 + 114....113)
16 cifras
16 cifras
(222... 224M2)10
b*-
La
clirma
113+
a?-
16 cifras
10 cifras
444.448
cifras
16
cifras
¿. La suma de las cifras será: 15 (4) +8 =68
7.
Calcular el valor de:
M = y)425
«375-160625+
625-625
425
x=
Resolución:
»x
3175
160625
+
625625
|
(400+25) — (400-25)
_—_—_—_—
($00? . 25? 1160000 + 625)
(400?
2571400? + 25?)
FA
(400%.
25*)
-
625*
400%.
25
+
PS
400%
Unidad
7 - Métodos
=
400%
Razonativos:
Prohibida su reproducción
-
160000
Inducción
total o parcial sin autorización
221
- Deducción
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
8.
TU INGRESO
ES DIRECTO
Hallar la suma de las cifras del resultado de:
M= (333.337)
20
cllras
Resolución:
Por inducción:
32*
332*
3332?
3333
Casos
Resultado
£ de cifras
= 1024
3x1+4
=110224
= 11102224
3:x2+4
PRA
=1111022224
3344
2
o
particulares
a
e
Menos
Caso general
—=
O
+
0.
2
da
1
rene
3 x
19
+4
cilras
La suma de cifras cs: 3
x= 194+4=61
Hallar la suma de cifras del resultado:
E =- 888.......89' 9
15
cifras
pyo de cifras
Resolución:
Por inducción
Resultado
Cares
particulares
Caso general:
E,
089
g
9
ER
288
8553
E de cifras
=72
=>
1x0
x9
=792
>
1x9
9
=70092
>
3x0
>=9
="79992
9
O
aio
4 x= 9
15 x 9=135
45 cllras
le La suma de cifras del resultado es: 135
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
222
- Deducción
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
10. ¿Cuántos puntos de contacto hay en la figura mostrada, si la base tiene 30 circulos?
Resolución:
RA
1
1
-1
=
9=3x3=3(141+2)
Casos
Particulares
Caso general: la base tiene 30 circulos.
+ N* de puntos de contacto: 3 (142+3+...,+429)= 1305
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
- Deducción
de esta publicación.
223
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
11, ¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada"!
Resolución:
Por inducción
Casos particulares
N” de triángulos
1
2
—————
2 (142)
————
2 (14283)
3
:
Br?
Caso general: 2
(1+2+3+,...+8)=2|
— |
=72
2
2 Hay 72 triángulos,
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
- Deducción
de esta publicación.
224
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
12.
TU INGRESO ES DIRECTO
¿Por cuántos caminos diferentes se puede ir de P a Q, siempre avanzando?
Pa
Resolución:
$9
ir
A
1
—+
15
5
=35
+. 35 caminos diferentes
2
13, ¿Por cuántos caminos diferentes se puede ir de Pa Q, siempre avanzando y sin pasar por R?
Pa
Resolución:
-- Hay 37 caminos diferentes
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
- Deducción
de esta publicación.
225
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
14,
TU INGRESO
ES DIRECTO
¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra PERUANO?
Resolución:
* La palabra peruano se podrá leer de: 154 15 = 30 maneras diferentes
15.
¡De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra castillo?
€
A
c
A
5
T
T
L
Razonativos:
Prohibida su reproducción
I
L
O
7 - Métodos
A
5
I
Unidad
e
L
o
Inducción
total o parcial sin autorización
226
- Deducción
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
UNALM
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
el
Nal il
Y xi
Nnl Ni
nO
+
A cada "L” se puede
llegar de 17 maneras,
para obtener “LI”
Xul
N" de maneras de leer CASTILLO:
68
16. ¿Cuántos segmentos hay en la figura mostrada?
Resolución:
+
+
o
+
2x5
- 10 segmentos
2
o» 10
o) 10
e
D.001
3x4
2
Unidad
7 - Métodos
y
Ey 10
= 6 segmentos
Total de segmentos: 4x
10+5=<6=70
Razonativos:
Inducción
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
- Deducción
de esta publicación.
227
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
17, ¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?
Resolución:
Dz LEA,
ADS
e
A
ou
Ye
28 triángulos
= 15 triángulos
* 6 triángulos
poo»
E 1
triángulo
* Total de triángulos: 28 + 15+6+1=50
18, ¿Cuántos cuadrados hay en la figura mostrada?
Resolución:
; b
2
3
2 4
A
4
mL.
5
ud
37
Y
Ñ
b
A
En la figura sombreada hay 5
cuadrados
d 7
c
d
N? de cuadrados: 4x5 + 3x4 +2x3 + 1x2 +5=45
Además tenemos el cuadrado abed.
“Total de cuadrados: 46
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
- Deducción
de esta publicación.
228
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
19, ¿Cuántos cuadrilátcros hay en la figura mostrada?
Resolución
6x7
É
E
21 cuacriláteros en la altura
e
e
e
e
2x3
>
=3 cuadriláteros en la base
+ Total de cuadriláteros: 3x 21 =63
20). ¿Cuántos triángulos que tengan por lo menos un * en su interior hay en la figura mostrada?
LEIA
Resolución:
IN y O) 225 10triómgulos
YA,
/1
Tota] de triángulos: 3 x 10” 30
Total de triángulos que no tienen * en su interior (los que están sombreados); a, d, e, ab, ed, ef,
abc=7
+ Total del triángulos que tengan por lo menos un Y* en su interior es: 30-7 =23
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
- Deducción
de esta publicación.
229
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
En que cifra termina el resultado de:
M= 44440 y 665855577
A)J5
B)7
cy
DJ6
EJ
2.
Sabiendo que:
E
IATA
—
TIA
ia abc
64 sumandos
Hallar: a+b+e
Ay 12
B)s
Cc)
D) 10
E) 11
3.
Hallar el valor de “A”
224x
226
50626
+|
ys
AJI
B)2
C)15
D) 225
E) 22
4.
Sk
176
2
+276
1
A
+37
¿
tuo
<=... ab
9 samandos
Hallar: “a + b”,
A) 13
B) IZ
(a
D) 14
E) 10
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
- Deducción
de esta publicación.
230
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
5.
TU INGRESO ES DIRECTO
Determinar el valor de:
1
—Hl4
M.<= (1-
I
—019
1
—)...0116
10000
1
aye
101
y
0
100
2001
101
==
200
101
D)
100
2001
EA
—
100
6.
S:im=-n=2, Además:
UE
m(n+1) Xm(n+2) X m(n+3)+1 = 1891
Calcular: m'-n!
Ay 12
B)3
C)5
D)9
E) 14
7.
Halle el valor de:
—_—
sumando
a a
—
—
(lai+J1+3x74...,+
i
M4
]
1
AO
20
E
A)1
B)2
C)3
Dd
E)5
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
- Deducción
de esta publicación.
231
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
8.
Si Ss di
TU INGRESO
Ji:
ES DIRECTO
dino
Además: m= y/o e ly + (e dy
Determinar el valor mamérico de “MI”,
A) 1/2
B) 1/12
013
D) 16
E)2/3
0.
Hallar la suma de las cifras del resultado de:
2+92 +997 +9902 +...
pa
100 sumandos
Ay 101
Bj 102
E)108
D) 120
E) 98
10, Determinar la suma total de todos los números de 20 cifras cuya suma de cifras sea 179, Dar como
respuesta la suma de las cifras del resultado,
A)
B)
C)
D)
F)
169
180
170
145
165
11. Calcule la suma de todos los números del siguiente arreglo:
f
58
10
6l
13
16
5ñ
61
67
115)
67
A) 23600
B) 22800
Cy 24100
D) 23200
E) 23500
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
232
- Deducción
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
pe
12, Hallar la suma
de las cifras del resultado de:
3
M=
(1000....005)
Y
51 cifras
A)9
B) 18
0) 90
D) 27
E) 459
13, ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra “PALABRA”,
equidistantemente separadas?
P
P
p
Á
A
L
Á
si las letras están
L
A
A
L
A
B
B
R
R
Á
AJ3l
B)30
03
D) 32
E) 34
14, ¿De
cuántas
maneras
diferentes
se puede
leer la palabra
“AGRARIA”,
si las
letras están
equidistantemente separadas?
pq
B) 16
AIGÍ|IRÍ|A
ES
D) 22
E) 20
GIR|AÍ]|R
alitels
AlIRI|tLA
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
- Deducción
de esta publicación.
233
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
l5. ¿De
cuántas
TU INGRESO ES DIRECTO
maneras
diferentes
se puede
leer la palabra
AMORES;
si las letras están
equidistantemente separadas”
A
A
A
A
4
MA
M0
MA
A
MO
M
O
R
E
R
0
R
E
S
E
R
MO
RO
M
A
0
A
A) 56
B) 63
0168
Dj) 64
Ej) 60
16. ¡De cuántas maneras diferentes se puede
equidistantemente separadas?
leer la palabra "COSTILLA",
c
o
s
P
Cc
o
S
T
O
$
T
1
L
si las letras están
T
1
L
A
A) 34
B)30
C)28
D) 36
E) 32
17. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra PARRILLADA,
si las letras están
siméncamente distribuidas?
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
- Deducción
de esta publicación.
234
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
L
A) 246
B)238
C) 254
D) 242
E) 302
18, ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de P a Q, siempre avanzando?
AJEsS
B)92
CC) 98
D90
E) 96
19, ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de A a B, siempre avanzando y pasando siempre por €?
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
235
- Deducción
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
A) 68
B)72
C)78
D) 70
E) 76
20. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de Pa Q, siempre avanzando y sin pasar en ningún
momento por R?
A126
B) 27
C)25
D) 28
E) 29
21. ¿Cuántos cuadrados sombreados hay en la figura mostrada?
A)36
5
B)33
042
da
Dra
-E)34
1. ¿Cuántos cuadrados como máximo existen tal que tengan como vértice los puntas mostrados”?
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
- Deducción
de esta publicación.
236
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
18
TU INGRESO ES DIRECTO
A)
0
$------- Y
,
4,
B)20
a!
D) 14
a!
E) 19
nana haria
a!
!
C)16
5
'
+
,
aro poro
+
'
ñ
Ú
ñ
+
!
h
*
ñ
bh
$
moon hoorsnsandecrs cnn +
23, ¡Cuántos triángulos hay en la figura?
A) 596
B) 630
C)3 610
D) 612
E) 624
24,
¡Cuántos triángulos tienen por lo menos un asterisco (*) en su interior?
AJÍA
B)42
0)36
D) 38
*
E) 30
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
- Deducción
de esta publicación.
237
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
25, ¿Cuántos puntos de corte hay en la figura mostrada?
A)232
B) 228
(9218
D) 220
E) 224
26. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura adjunta?
Aj 68
B)76
C) 80
py 70
E)72
27. ¿Cuántos segmentos hay en la figura mostrada?
1
>>
2
4
—
+
KA
:
18
o
A
3
AA
—=—
>
:
19
-AJ 964
-B)972
C) 969
D) 970
E) 981
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
- Deducción
de esta publicación.
238
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
28. ¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?
A) 120
B) 124
C0)118
BD 112
E) 12%
29, ¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?
Ay 12
B)13
cy
D) 10
Ej)9
30. ¿Cuántos segmentos más que triangulos hay en la figura mostrada?
1
2
3
á
AS
18
19
20
21
A) 358
B)353
01372
D)363
E) 366
31. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura adjunta?
A)464
B) 456
C) 462
DA
- EJ 468
¡
L
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
18
LE
Xig
Inducción
total o parcial sin autorización
20
- Deducción
de esta publicación.
239
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
32. ¿Cuántos arcos de 607 existen en la figura mostrada, considerando los puntos de tangencia?
A) 1118
B) 1083
C) 1267
D) 1007
E) 1193
33, ¡Cuántos cuadrados hay
en total?
1
2
3
a
19
20
A) 190
B)167
C) 185
D) 195
E) 180
34. ¿Cuántos segmentos hay en la figura mostrada?
A) 46
>
B) 48
0)52
—
D154
Tp
Unidad
Eds
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
- Deducción
de esta publicación.
240
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
35, ¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?
A)
B)
C)
D)
E)
1540
1460
1580
1480
1560
36. ¿Cuántos triángulos bay en la figura mostrada?
AJ30
B)36
20)34
D) 40
Ey 37
37. ¿Cuántos hexágonos hay en la figura mostrada?
A) 24
B) 28
C)30
m3
E)21
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
- Deducción
de esta publicación.
241
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
38, ¿Cuántos arcos de circunferencia hay en la figura adjunta? ( AB = diámetro).
A) 560
B) 630
C) 640
D) 580
EJ 610
39. ¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?
49230
B)231
Na
0)232
4
Dy 233
i
E) 234
¡
!
20
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Ns
Inducción
total o parcial sin autorización
19
- Deducción
de esta publicación.
242
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
40. ¿Cuántos palitos se usaron para formar la siguiente figura?
AL
ALA
A)J551
B)567
0) 549
D) 562
E) 499
Unidad
7 - Métodos
Razonativos:
Prohibida su reproducción
Inducción
total o parcial sin autorización
243
- Deducción
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
|
PRE
Tu futuro empieza
con nosotros
UNALM
TU INGRESO ES DIRECTO
UNIDAD 8
ANÁLISIS COMBINATORIO
243
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
OBJETIVOS
Al finalizar la unidad £, el alumno será capaz de:
l,
Reconocer al factorial como una operación definida para números enteros y positivos.
2.
Aplicar adecuadamente los principios que rigen el análisis combinatorio.
2.
4
Discriminar correctamente los conceptos de permutación y combinación,
Desarrollar la capacidad para resolver problemas de análisis combinatorio de manera razonada.
CONOCIMIENTOS
PREVIOS
Para la presente unidad el alumno deberá conocer previamente:
Il.
Teoria de exponentes,
2.
Orden de información.
3.
Resolver una ecuación de una variable.
CONTENIDO
8.1. INTRODUCCIÓN
8.2, FACTORIAL
$.2.1. DEFINICIÓN
8.22. DESARROLLO PARCIAL DEL FACTORIAL DE UN NÚMERO
8.23. DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA DEL FACTORIAL DE UN NÚMERO
8.2.4. CANTIDAD DE CEROS TERMINALES DEL FACTORIAL DE UN NÚMERO
8.3. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL ANÁLISIS COMBINATORIO
8.3.1. PRINCIPIO DE LA ADICIÓN
$.3.2. PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN
8.4. TÉCNICAS DE CONTEO
8.4.1. PERMUTACIÓN
8.4.1.1. Permutación lineal
8.4.1.2. Permutación circular
8,4,1.3. Permutación con repetición
8.42. COMBINACIÓN
RESUMEN
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS
Unidad
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
244
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
8.1.
TU INGRESO ES DIRECTO
INTRODUCCIÓN
Á. pesar de la gran cantidad de problemas capaces de despertar la motivación de los estudiantes
interesados en el presente tema, esta parte del curso de Razonamiento Matemático es considerada como
una de las más complicadas, siendo también, a juicio de muchos profesores, un tema dilicil de enseñar por
las dificultades que esto implica: desarrollar
en el estudiante su ingenio y potenciar la comprensión plena
de las situaciones descritas en los problemas dados. Sin embargo, ello constituye uno de los retos de esta
pare del curso; pues, muchas veces, problemas fáciles de enunciar se revelan dificiles de resolver, lu cual
exigen una eran dosis de creatividad para su solución,
Una de las dificultades que tienen los alumnos, una vez conocida la teoria, es identificar la
fórmula adecuada para cada problema. Por esta razón, el aprendizaje de los conceptos básicos no
debe ser realizado en forma mecánica, es decir, sólo limitándose a seguir el patrón resolutivo de
ciertos problemas tipo, sino procurar habituarse a analizar cuidadosamente cada problema, para
úási resolverlo de la manera más udecuada y sintética posible. El unálisis combinulorio no es
únicamente un conglomerado de fórmulas complicadas y abstractas, sino que su aplicación en
nuestra realidad concreta es mucho más provechosa.
Actualmente el análisis combinatorio no sólo se trata de permutaciones, combinaciones y
problemas asociados a ellos; también estudia otras técnicas para resolver las diversas situaciones
- a nivel superior - que se presentan relacionadas con el tema, como:
— El principio de inclusión - exclusión
— Las pavetas de Dirichlet
-= Las funciones generadoras
— La teoria de Ramsey
Lo anteriormente descrito son algunos ejemplos de la praxis real del análisis combinatorio,
el cual ha tenido un desarrollo inercible cn las últimas décadas debido también en parte a las
necesidades en la Teoria de Grafos, cl Análisis de Algoritmos, la Programación Lineal,
la Estadistica, etc. Muchos problemas pueden ser modelados matemáticamente como problemas
de la Teoria de Grafos. Por ejemplo, problemas de investigación operacional y almacenamiento
de información en bancos de datos de las computadoras; también problemas de Matemática Pura
como en la Teoría de Grupos y de sus representaciones; asimismo el famoso problema de los
4 colores que guarda íntima relación con la Topología y muchas más.
Para finalizar, a continuación se muestra una pirámide de información, en la cual - como podemos
observar - el análisis combinatorio sirve de base para el desarrollo de la Inteligencia Artificial, y ésta,
asu vez, permitió la aparición de la Robótica.
Inteligencia
artificial
Teoria de
decistones
Teoria de las
probabilidades
Análisis combinatorio
Unidad
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
245
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
8.2,
TU INGRESO ES DIRECTO
FACTORIAL,
8.2.1 Definición
Sea “n” un número entero y positivo, entonces el factorial de “n” se define como el producto de
los enteros y consecutivos desde el número 1 hasta “n” inclusive. Esto se denota asi: nl ó |n.
Lo anterior se lee de la siguiente forma: “Factorial de n""; y se expresa como:
ni=lxlixdrdr. z(n-2)x
(0-1) xn: donde: ne Z'
Es decir:
Ml:
Factorialde 3
comose
=>:
les
31=-
lx2x3=6
—=
dé que sigaifica
Luego:
4l=]=<2*
3x4 = 24
5l=lx1r3ix4x50
120
Resultados notables de los factoriales de algunos números:
21=23
i=b
4!= 24
51=120
6!1=720
7!=5040
8!=40320
91=361880
10!'=3628800
15!=1307 67436
000
201= 2432902 008176640000
251=15511210043330985984
000000
Por definición: 1! =1
Por convención: 0! =1
Ejemplo1
Werificar la existencia o no existencia de cada una de las siguientes expresiones:
E
Unidad
97)
€) 51
d) (5)!
e) 61
pde
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
246
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Resolución:
a)
b)
4!
24
—-—.
a
3
ho
4!
—
A
Aicxiste
En el caso a) el simbolo ! afecta sólo al numerador, es decir a 4, siendo posible el cálculo
pedido, Sin embargo no ocurre lo mismo en el caso b), pues el simbolo ! afecta a la fracción
4
5
3
.
A
ña
= y el factorial no está definido para esta clase de número. .. No existe | 5)
3
La
c)
-51=-120
; si existe
d)
Realizando un análisis idéntico al caso b), se concluye que (-5)! no existe
e)
Jo
D
des si existe, pues
no existe, pues Je
a E”
l61=
Nix 2x 3% 405%
me
4720
Ejemplo 2
Analizar la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:
a) (a+ b)!
- a! +b!
b] (a x b)l=a!
x hb!
Resolución:
a)
Se asume los valores dea =2,b= 3; entonces reemplazando en dicha expresión:
(21+3))«
2143!
5ia2l+
12048
b)
6
=>
¡Falso!
Se analiza de manera similar al caso a), se asume otra vez: a=2 y b= 3; reemplazando en
la expresión propuesta tenemos:
(¿2143
21x31,ya
queñ!'=720
*
2x6=l2
=>
¡Falso!
8.2.2 Desarrollo parcial del factorial de un número
Recordando:
nl=1x2x3Fx.... in-2)x(n-1)
xn
Aplicando la propiedad conmutativa de la multiplicación (el orden de los factores no altera el
producto), se tiene que:
nlenx(n
-1)x(n
E
ar
- 2)x....x3x2x[=nx(n-1)1
CD ei la
vn
22
i6-0)pHfacboñial
Unidad
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
247
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
El criterio anterior se llama “desarrollo parcial del factorial de un número” y adquiere importancia
cuando se trata de simplificar expresiones que involucren el uso de factoriales. Además n! se puede
desarrollar cxplicitamente según lo requiera el ejercicio específico, Es decir:
úl=px(n-1j)x
(0
-=23)1
nl=n=x(n
lx
nm -2)x (n 3)!
Ejemplo3
451
Ga
dt
5
:
Simplificar la siguiente expresión: E = —
431
Resolución:
Aplicando el desarrollo parcial del factorial, sc obtiene lo siguiente:
451
45x44x 43!
45% 44% NÍ!
431
431
añ
Er
=45x44
=1980
|
Ejemplo 4
Simplificar la expresión “G”, donde:
G =
2961+ 297 14 298!
296!+
297!
Resolución:
Del ejemplo anterior se puede deducir que se simplifica el menor de los factoriales, entonces el
objetivo es simplificar 296!, Veamos:
á
29614197:
239614 298:
2046142397
297x
296!
x 23961
Factorizando tanto en el numerador como en el denominador el término común, que es 296), se
tiene que:
q - 29611 + 297+ 298x297)
29611 + 297)
PAÚL + 297 + 298x297)
UL 297)
298 + 298x297
298
Factorizando el número 298 en ambos términos de la fracción:
298(14+ 2397)
298
(2
A
(298)
ñ
G=298
F
Unidad
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
248
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
8.23, Descomposición canónica del factorial de un número
El Teorema
Fundamental de
la Aritmética establece que todo entero mayor a | se puede
expresar en términos de sus factores primos. Particularmente, el factorial de un número *n'” se
puede expresar como el siguiente producto:
n!i=2
*
xi
-
xi
*,
Ñ 3"
E
p”
donde los exponentes: 7,0, yc... ex, son enteros no negativos y p£n
Ejemplos:
41=2'x3
6203x5
fl=2
3 5x7
10!=2 357
Observación: Una forma práctica para determinar los exponentes de los factores primos de n! es
efectuando divivicannes sucesivas, teniendo como divisor del factor primo al cual se desca hallar su
exponente, Á continuación se muestra el procedimiento para el caso de los factores 2 y 3:
Para el exponente del factor primo 2
Para el exponente del factor primo 3
»l2
0. La
La
el
a l3
o, la
+
a
El
bla
5,
Hasta que a, <2
Hasta que by < 3
El exponente de2 es: a, +0,+40,+4,+....+4,
El exponente de F es: bh +b,+h,+h,+
En forma análoga se obtienen los exponentes de los factores primos restantes.
Ejemplo5
ISA
Unidad
Ss A
| 23
de: E =
el valorar
Hall
a-b
c-d
249
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
Resolución:
Utilizando
las
divisiones
sucesivas,
se
obtienen
los
valores
de
“a”,
“b",
yd”,
“e
respectivamente.
4012
2012
4ol3
rola
13l
sl
sols
al
2 l2
1
a=204+1045+24]=38
b=13+4+1]=18
c=84+]=9
d=5
Reemplazando los valores hallados en “E”, se obtiene:
E =
38-18
20
=—"=.
9-5
4
Nota: Cuando se aplican las divisiones sucesivas no se toman en cuenta los residuos.
8.1.4, Cantidad de ceros terminales del factorial de un número
Para determinar la condición que nos permita calcular la cantidad de ceros terminales (finales)
del factorial de “n" (n > 5), se analizan los siguientes casos:
1500 =2* 3x5"
= N'de ceros= 2 —= Exponente del factor primo 2
1400 = 2x5" x7 => N*de ceros = 2 —+ Exponente del factor primo 5
De lo anterior se deduce que la cantidad de ceros depende directamente del exponente de 2 o de
5; en forma más explicita podemos afirmar que la cantidad de ceros terminales está dado por el
menor exponente del factor 2 o del factor 5.
Entonces:
N=. 1x5...
>
Mideceros=
[5
iália
<p
(Bis: 8 <
Nota: Con respecto al factorial de un número el exponente de 2 es mayor que el exponente de 5,
por lo tanto el número de ceros terminales es igual al exponente de 5.
Ejemplo6
¿En cuántos ceros termina 671?
Resolución
Unidad
250
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Aplicando las divisiones sucesivas, lanto para el factor primo 2 como para el factor 5, se obliene
lo siguiente:
67lz
3312
el
6715
8gl2
4l2
13ls
2
2l2
|
a
3131+16+8+4+2+1=-64
Como f <a
8.3,
p=13+2=15
entonces 67! termina en 15 ceros,
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL ANÁLISIS COMBINATORIO
¿Qué es el Análisis Combinatorio?
El Análisis Combinatorio (llamado también Combinatoria) es la rama de la matemática que se
especializa en el estudio de las distintas ordenaciones que pueden formularse con los elementos
de un conjunto dado, de los distintos grupos que pueden formarse con aquellos elementos y de
las relaciones entre unos y otros grupos.
El análisis combinatorio también se define como una manera práctica y abreviada de contar; las
operaciones o actividades que $e presentan son designadas como eventos O sucesos,
En la mayoria
de los problemas
de análisis combinatorio se observa que una operación
O
actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede
realizar dicha operación. Para dichos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de
conteo que facilitarán el cálculo señalado y ello se encuentra en los dos principios que rigen el
análisis combinatorio:
+
El Principio de la Adición
El Principio de la Multiplicación
8.3.1. El Principio de la Adición
Si un evento designado como Á ocurre de “m'" maneras diferentes y otro evento B ocurre de “n”
maneras diferentes, entonces Á o B (en sentido excluyente) ocurren de “m +” formas distintas.
En el principio de adición, o bien ocurre un caso o bien ocurre el otro caso, pero nunca pueden
ocurrir simultáneamente.
Ejemplo 7
-Gildder desca viajar de Huánuco a Iquitos y tiene a su disposición 5 lineas terrestres y 2 lineas
E
arcas. ¿De cuántas mancras distintas puede realizar su viaje?
Resolución:
Unidad 8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
251
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
UNALM
TU INGRESO ES DIRECTO
nosotros
E
Ss
—
Evento A
Evento B
Va por tierra (5 lincas)
Wa por aire (2 lineas)
Gildder puede elegir viajar por herra o por aire, pero, evidentemente, no puede elegir viajar por
ambas vias simultineamente (nadie puede estar al mismo tiempo en dos sitios diferentes).
Por lo tanto, el principio de la adición establece que ambos eventos lo podrá realizar de:
(+5) =7 maneras diferentes.
Observación: labiendo entendido la idea central planteada y resuelta en el ejemplo anterior, se
puede generalizar dicho principio para más de dos eventos, todos ellos mutuamente excluyentes
entre si. Es decir dados los eventos A, B, €, Du... cuya ocurrencia es de m, n, p, q,.... Maneras
diferentes, entonces el número total de maneras es: m+n+p+q
4...
Ejemplo 4
Un repuesto de automóvil se vende en $ tiendas del distrito de La Victoria, en 7 tiendas de Los
Olivos u en 6 tiendas de Breña. ¿De cuántas formas diferentes una persona puede comprar el
repuesto?
Resolución:
Como el repuesto es el mismo, es evidente que una persona lo puede comprar dirigiéndose a las
tiendas respectivas en cualquiera de los tres distritos. Por lo tanto lo podrá adquirir de:
(8 +7 +6) = 21 maneras diferentes.
8.3.2, El Principio de la Multiplicación
Si un evento A puede ocurrir de “m'” maneras diferentes, y si para cada una de esas “m” maneras
posibles de ocurrencia de A, un segundo evento B puede ocurrir de “n” maneras diferentes,
entonces el número de maneras distintas en que puede ocurrir el evento A seguido del evento B
es “m * n”, Este principio también es válido si los acontecimientos son simultáneos.
Ejemplo 9
Rommel desea vestirse para ir a una reunión y para ello dispone de 3 pantalones y de 2 camisas,
todas sus prendas son de diferente color. ¿De cuántas maneras distintas podrá vestirse, si se pone
un pantalón y una camisa?
Resolución
Unidad
Evento A
Evento B
Escoger un pantalón de tres
Escoger una camisa de dos
252
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Rommel puede comenzar eligiendo un pantalón, por ejemplo, y para ello puede escoger
cualquiera de los 3 que tiene; una vez escogido dicha prenda deberá decidir cuál de las dos
camisas se pondrá, Por lo tanto como los eventos son sucesivos, el principio de la multiplicación
establece que Rommel se puede vestir de: 3 < 2 =6 maneras distintas,
Este principio (como el anterior) también se puede generalizar para más de dos eventos. Es decir
dados los eventos sucesivos o simultáneos A, B, €, D....... cuya ocurrencia es de m, n, p, Q.......
maneras diferentes, entonces el número total de maneras es; m* n* pg...
Ejemplo
10
Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo
de sangre (A, B, AB u 0) y en cuanto a la presión sanguinea (Normal, Alta o Baja). ¿En cuántas
clasificaciones distintas pueden estar los pacientes de este médico?
Resolución:
Como los eventos ocurren en forma sucesiva y, aplicando el principio de multiplicación, dicho
doctor puede clasificara sus pacientes em
2:
4
ipiprni
A
8.4,
x«
dl
3
= 24 formas distinias
p
PRA
TÉCNICAS DE CONTEO
La búsqueda de técnicas de conteo está directamente ligada a la historia de la matemática y a la
forma por la cual las personas tienen su primer contacto con esta disciplina. Por ejemplo, puede
observarse en el desarrollo de un niño que la primera técnica matemática aprendida por la
criatura es el contar; es decir, enumerar los elementos de un conjunto de tal forma que determine
cuantos son sus elementos. Esto ocurre cuando con uyuda de sus padres- uprende cuántos
deditos tiene en su manito, cuántos juguetes hay en su corralito, ete.
Las técnicas de conteo son:
[Permutación
* Permutaciones
lineal
Permutación circular
| Permutación
con
repetición
s Combinaciones
8.4.1. Permutaciones
Llamada también permutación general o caótica, son los diferentes arreglos u ordenaciones que
se pueden formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto dado.
En toda permutación, la caracteristica principal es el orden de sus elementos; y debido a esto una
permutación es diferente de otra cuando el orden de sus elementos es distinto. En otras palabras,
un problema será una permutación cuando al variar uno o más elementos los resultados que se
obtienen son diferentes,
Unidad
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
253
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Por ejemplo, si tenemos las cifras: 1, 2 y 3: y se desea formar números de dos cifras diferentes,
entonces los números que se obllenen son; 12, 13, 21, 23,31 y 32, Como podemos observar,
cada uno de ellos son diferentes entre sí, es decir, el número 12 es diferente que el 21; el 23
diferente que el 32, ete.
La fórmula general de una permutación es:
Pp.=
¡O=koson
(n =k)1!
donde:
n: número total de elementos
k: número de grupos que se forman o se toman
P d =>
se lee: Permutación de “n” elementos tomados de “k'” en “k”
Ejemplo 11
Con las cifras: 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8; ¿cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar?
Resolución
Empleando
el mismo
análisis especificado
lineas arriba, se deduce que este ejercicio es una
permutación de 7 elementos tomados de 3 en 3. Es decir: n= 7, pues hay un total de 7 cifras; y k
=3, ya que se van a formar números de 3 cifras diferentes.
Reemplazando dichos valores en la fórmula especificada:
Pp,”
¿+
TM
1-11
7
a —
41
7x6xs0A
a —————————
A
5 210)
Se pueden formar 210 números diferentes.
Ejemplo 12
Se tienen 9 colores diferentes para pintar los mapas de los paises de: Argentina, Brasil,
Colombia, Ecuador, Perú y Uruguay. Si se sabe que el mapa del Perú será pintado de color rojo,
¿de cuántas formas diferentes se podrán pintar sí solamente se usa un color en cada mapa?
Resolución:
Cuando se utilizan colores para pintar elementos, el orden si importa, por lo tanto este ejercicio
se resuelve empleando
una permutación.
Ahora
se analizan que valores toman
“n" y “kE”,
respectivamente, donde “n” es el nómero total de colores y “k” el número de mapas a pintar.
.n=9- 1 =8 (Se resta uno porque el color rojo ya se utilizó en pintar el mapa del Perú).
4p
Unidad
k=6- | =5 (Se resta uno porquecl mapa del Perú ya está pintado).
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
254
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Entonces:
,
8!
p,=
8!
a
(8-3)!
—2Hx7rb6:x5:
406720
3!
+ Existen 6720 formas diferentes de pintar los mapas de los paises mencionados.
2 - La permutación se puede se puede clasificar en:
8.4.1.1. Permutación lineal
Llamada también permutación simple, es aquella en donde participan todos los elementos y
éstos se arreglan u ordenan en línca recta. Por ejemplo cuando un grupo de alumnos se ubican en
una fila para tomarse una foto o cuando se coloca libros distintos alineados en un estante,
La fórmula que la representa
es:
P,
>
|p : =p, =n1[:v
n2l
$ lec: Permutación lincal de *n”* elementos,
Ejemplo 13
¿De cuántas maneras distintas 4 atletas pueden llegar a la meta en una carrera de 100 metros
planos si no hay empate en ningún puesto?
Resolución
Los 4 atletas ubicados en posiciones diferentes nos darán resultados (llegar a la meta) también
diferentes, es decir importa el orden de los elementos (por eso es una permutación).
Si a los atletas los denotamos como: A, B, C y D), veamos el orden de cómo llegan:
py
A
3
BCEOD
AB
PpDECE
AC
OBOD
A
q
CODEOB
Como se considera a todos los elementos, es decir a los 4 atletas, y éstos llegan uno a continuación
- del otro (en forma lineal) tendremos:
10
Unidad
Pp, =91=24 formas diferentes de llegara la meta.
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
255
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
8,4.1.2. Permutación circular
Llamada también permutación cíclica, es un ordenamiento de elementos diferentes alrededor de
un objeto; por ejemplo cuando un grupo de personas se ubican alrededor de una mesa redonda o
colocar piedras preciosas alrededor de un collar, En estas condiciones no huy primer ni último
elemento, por hallarse todos en una linea imaginaria cerrada.
Para determinar el número de permutaciones circulares de “n” elementos distintos denotado por
PC¡sy + basta fijar la posición de uno de ellos y los (n— 1) restantes podrán ordenarse de (n — 1)!
maneras diferentes.
LI
Ejemplo
LIE
14
¿Cuántas rondas distintas se pueden formar con 4 niños?
Resolución
Como la ronda es un juego en el cual los niños giran todos ellos tomados de la mano, implica
que su ordenamiento se realiza en forma circular y que la ubicación de dichos elementos sí
interesa. Si Alfredo y Raúl son 2 de los 4 niños, no es lo mismo que Alfredo se ubique a la
derecha de Raúl que a su izquierda.
Entonces:
PC,
=04-11=31=
6
¿Cuáles son esas 6 rondas conformadas por 4 niños?
Supongamos que los niños se llamen: Alfredo, Juan, Raúl y Gildder, entonces dichas rondas son:
LN
an
e
o
A
A
EN
O
Na 7
(
o
EN
—
2
X am
ha:
E
a
Este niño está ocupando una posición
hpoen cada uno de los ordenamientos
Unidad
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
256
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
8.4.1.3. Permutación con repetición
Se da cuando los elementos a ordenar no son todos ellos distintos, es decir, hay un clemento o
más de uno que se están repitiendo,
Si se tienen Yn* elementos donde hay:
k, elementos repetidos de un primer tipo o clase,
k> elementos repetidos de un segundo tipo
k, elementos repetidos de un tercer tipo
k, elementos repetidos de un p-ésimo tipo
Entonces el número de permutaciones de “n” elementos de los cuales se repiten algunos (los
mencionados en la parte inmediata superior) está dado por:
PR
did”
* — k,tek, dk io.0 e
donde:
k +k,'k,
a
too. +k.
E
<0
Ejemplo 15
¿Cuántos anapramas diferentes se pueden obtener con todas las letras de la palabra PAPA?
Resolución
Un anagrama es una palabra o palabras formadas por la reordenación de las letras que
constituyen otra u otras palabras, tengan o no sentido linguístico.
En la palabra PAPA tenemos un total 4 letras, donde se repiten dos letras P y dos letras A; esto
se denota como:
PR
Se y se lee: “Permutación de 4 elementos con repetición de dos letras P y dos letras A”.
Luego:
8
Re
4!
14
a
daa
[PAPA
[PAP
IPPAA
¿2
Be pueden Formaróaragramas diferentes
¡APAP
| APRA
CAS
[AAPP
84,2, Combinación
Unidad
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
257
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Llamada también combinación simple, es una selección o grupo de elementos que se pueden
formar con parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. En este arreglo no
interesa el orden de sus elementos, y debido a esto una combinación es diferente de otra si al
menos tiene un elemento distinto. En otras palabras, un problema será una combinación cuando
al variar uno o más elementos los resultados que se obtienen son iguales.
Por ejemplo, si tenemos 3 frutas: durazno, fresa y manzana; y se desca preparar jugos surtidos
durezno
con
Tresa
utilizando 2 frutas, entonces las posibles combinaciones son: 4 durazno con manzana
| fresa
No tiene sentido combinar fresa con durazno, manzana
con
con durazno
manzana
y manzana
con fresa,
porque nos va a salir el mismo jugo, es decir, va a tener el mismo sabor,
La fórmula general de una combinación es:
E,
A
(7)
n!
= ————_—_—_—_—_—
a
KN
ii Dekz
A
donde:
- n: número total de elementos
+ - k: número de grupos que se seleccionan
E ] =
56 lee: Combinación de "n” elementos tomados de “ken “k"
Propiedades:
Son las siguientes:
“O =130i=15C,=2
Er
.
E FCO
ñ
o +=
1-1
a
irás
Ejemplo 16
Si se disponen de 9 frutas diferentes. ¿Cuántos jugos surtidos de 4 frutas distintas se podrá
preparar?
| Y) Resolución:
Unidad
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
258
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Empleando el mismo
análisis especificado lineas arriba, se deduce que este ejercicio es una
combinación de 9 elementos tomados de 4 en 4. Es decir: n = 9, pues hay un total de 9 frutas; y
k= d, ya que se van a escoger 4 frutas diferentes.
Reemplazando dichos valores en la fórmula especificada:
¡
Ca
9!
91.
REX TO
41x (9-4)!
dix 51
24
= 126
Con 9 frutas diferentes se pueden preparar 126 jugos surtidos, también diferentes,
Ejemplo 17
¿Cuántos equipos de 2 varones y 3 mujeres pueden formarse con 10 varones y 6 mujeres?
Resolución:
De los 10 varones se escogen 2, como el orden en la selección no interesa, entonces:
sa
10!
0x9
2181
2
=45
De las 6 mujeres se escogen, como en el caso anterior el orden no importa, entonces:
*
E
6!
6bx5x4
31031
6
= 20
Como hay que escoger a los 2 varones y a continuación a las 3 mujeres, entonces hay que
aplicar el principio multiplicativo:
N” total de equipos = 45 x 20 =900
RESUMEN
Análisis
combinator
do
Principios del
aalisds
Prickjpoade
la Adición
Principio de la
n
Multiplicació
Perimutación
Permutación
circular
Unidad
Combinación
Permutación
con repetición
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
259
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
EJERCICIOS RESUELTOS
l.
Halle el valor de “r” en:
cirt-3)
I£
ri+4
Resolución:
Realizando un cambio de variable, Sea rl = n, entonces reemplazando en la expresión original
lenemos que:
nin-3)
=18
= Multiplicando en aspa se obtiene lo siguiente:
n+4
n -3n =18n +72
n -2In-72=0
Factorizando :(n + 3)(n —
|
n t=0=n=--3
(n=
Pero se sabe que
n =r!, luego f:
l= -3
[1l=
24
24=0
=>
n=24
(Absurd
pnl
=>
Tr=d
Por lo tanto el valor de “r”" es 4,
2,
Calcule “a +6", si se sabe que:
HATE
A
ini ab
Resolución:
Ordenando todos los factoriales de manera vertical y colocando el resultado de cada uno, tenemos:
tm
I
in
b
5ls
120]
TI =
5040 |
Dia
280 |
11! =
pr
89! Sr
0
+
| Notar
que
a partir del 101, todos
los fictoriales
terminan
por lo menos
en
dos ceros
0000 |
a]
Comparando con la expresión resultante del problema, se deduce quea=4yb=7
m3 +b=1I
3,
La expresión “E” adjunta a continuación, ¿en cuántos ceros termina?
TIP
Unidad
1831
72
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
260
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Resolución:
5e analiza en cuantos ceros termina el numerador, es decir, 183! Para ello se utiliza el método de
las divisiones sucesivas en función del cociente iterado 5:
18315
36l5
15
1
=> Ceros
terminales =36+7T+]=
44
Ahora se analiza para el denominador:
72|s
14l5
¿
= 72
terminos ca:144+2=16
ceros
Luego en la expresión “E” se verifica que:
Es
4.
Número
que
acaba
en
44
ceros
Número
que
acaba
en
ló coros
<= Número
que acaba
en (44 -16)= 28 ceros
Determine en cuantos ceros acaba la siguiente expresión:
L = (3491 + 2651)
Resolución
Se utiliza cl método de las divisiones sucesiones respecto al cociente 5 cn ambos sumandos:
349|5
265|5
69|s
=
s3(5
1315
mols
2
2
349! acaba
en:694+1)4+
2=
$4
ceros
=> 265! acaba
en :53+10+
2=
63
ceros
Analizando la expresión “L*:
alscmar electo
termina ca bd cet
+
La expresión “L” acaba en 455 ceros
Notas
l.- S51a> bh, entonces en las operaciones con ceros terminales se deduce que:
Número con “a” ceros terminales + Número con “b” ceros terminales = Número con “b” ceros terminales.
Número
con
“a”
ceros
terminales
— Múmero
con
“b”
ceros
terminales
=
Número
con
“b”
ceros
terminales.
2.- Número con “a” ceros terminales =» Número con “b" ceros terminales = Número con "a + b” coros
de.
;
Número con
“a” ceros terminales+
Múmero con “bh” ceros terminales = Número con “a —= bh” ceros
terminales.
ñ
A
.
b
”
5
4,- (Número con “a” ceros terminales)" = Número con “ab” ecros terminales.
Unidad
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
261
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
3.
TU INGRESO ES DIRECTO
Parair de la ciudad Á a la ciudad D hay que pasar por las ciudades By Ca través de las carreteras
que se indican en el siguiente diagrama vial:
A
B
c
D
El número de posibles recorridos distintos es:
Resolución;
Observando dicho diagrama nos damos cuenta que:
A — B: hay 2 carreteras
B=C: hay 5 carreteras
C —
> El viaje de ciudad a ciudad debe realizarse en forma sucesiva.
D: hay 3 carreteras
Entonces hay que aplicar el Principio de la Multiplicación: 2 x 5 x3=30
+ Existen 30 recorridos distintos para ir de la ciudad A hacia la ciudad D.
6.
Gisela
tiene
una
reunión
de
trabajo
y desea
vestirse
para
la ocasión.
Para
ello
tiene
a su
disposición 5 blusas, 6 faldas y 3 pares de zapatos taco nueve; todas las prendas son de diferente
modelo y color. ¿De cuántas formas diferentes puede vestirse Gisela si la blusa blanca siempre se
la pone con la falda negra?
Resolución;
En este problema hay una condición importante que es; la blusa blanco siempre se la pone con la
falda negra. Eso quiere decir que dicha blusa depende de la falda negra pero no al revés, en otras
palabras, ella 56 pone la blusa blanca obligatoriamente con la falda negra, pero dicha falda se puede
poner con las demás blusas. Luego en nuestro análisis hay que descontar una blusa (la blanca),
Empleando el principio multiplicativo, tenemos:
E blusas
2
4
Y faldas
—_
b
Xx
A zapatos
x
a
=
3
71
Es decir 72 formas distintas de vestirse, pero a este resultado hay que agregarle las siguientes
formas de arroparse:
blusa
blanca
e
falda
rd
1
negra
Ro
il
sx
zapatos
a
!
*
3-3
Por lo tanto, Gisela tiene: 72 +3 =75 formas de vestirse para ira su reunión.
7.
Hallar *n" en la siguiente ecuación:
P a
4
Resolución:
Recordemos la fórmula de la permutación: p A E
(n-k)!
; entonces utilizando dicha fórmula en la
ecuación, tenemos:
Ú
"”!
J
(n
Unidad
nm!
=6x
=31
(n
; donde:
n > 5
=3)1
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
262
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
Desarrollando adecuadamente el factorial del segundo denominador y simplificando:
d
=
m3
=3
box
A
tm 314) 1%
[n-3Knm-4j=6
Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación y operando:
5
-7n+6=0
Factorizando:
In=6
(n -6)6n =1)
E
=1|
+
raiz
descartada
pucs
n<5
¿de
Hallar (x7+ 1), si se cumple que:
Par
; y 2P
Pb:
Resolución:
Recordando las fórmulas del análisis combinatorio:
El
=p!
Po
;
Es
A
ki=
in
-kp1
Ulilizando dichas fórmulas en la ecuación propuesta:
s!
dde
e
Fla
1x3 lx
3]!
la
- 2)!
Desarrollando adecuadamente los factoriales indicados y simplificando:
ed
A
Á
12
== ———
Dx
2=33
1-2
rd
Se pide calcular: (x7+ 1) +
a,
5 +1-=26
Seis amigos quieren sentarse en la banca de un parque. ¿De cuántas maneras diferentes lo podrán
hacer si Narciso y Luis siempre deben de estar juntos?
Resolución:
Graficando los datos del problema:
Siempre deben de estar juntos
AAA
SK
MUeo,+
Ta
Tas
Ta
Se corola caro an solo elemento
Como el ordenamiento se realiza en una banca y participan todos los amigos, entonces es una
permutación lineal de $ elementos: p
Unidad
1 =51=120
263
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Pero no nos olvidemos que tanto Narciso como Luís pueden permutar en su respectiva posición:
P.,"
21m
2
Además como los procesos ocurren simultáneamente, se utiliza el principio multiplicativo para
hallar todos los posibles ordenamientos; 120*2 = 240
Por lo tanto existen 240 formas de sentarse.
10, Empleando el enunciado inmediato anterior, ¿de cuántas maneras diferentes podrán sentarse si
Giovanni y Lincol no pueden estar adyacentes en ningún momento?
Resolución:
Vamos a utilizar el siguiente razonamiento:
N" de ordenamientos donde
—
Ntotal de ordenamientos
Giovanni y Lincol nunca están juntos —
de los seis amigos
WN" de ordenamientos donde
Giuvanmi y Lincol están juntos
Ya se llene el resultado del sustriendo (es el mismo que el anterior que se analizó para Narciso y
Luis, es decir 240), sólo falta calcular el minuendo y para ello se utiliza una permutación lineal de
6 elementos:
Pp,
Luego
calcular
pará
=6!=720
lo
pedido,
se
realiza
la
diferencia
establecida
(llamada
también
complemento): 720— 240 = 480
Por lo tanto el número de maneras diferentes en que pueden
sentarse los 6 amigos con la
condición que Giovanni y Lincol no estén adyacentes es 480.
H. Un estudiante debe contestar 5 de las 10 preguntas que consta un examen de razonamiento
matemático. ¡De cuántas maneras diferentes puede escoger las 5 preguntas si debe contestar 3 de
las 6 primeras?
Resolución:
Como el estudiante debe responder 3 preguntas él las escore de la siguiente manera: 3 de las 6
primeras (condición del problema) y las 2 que le faltan las elige de las 4 últimas. Como no importa
el orden como responda las preguntas de su examen, entonces el problema es una combinación:
mua
b!
4!
x
=
EL
MIL
Xx
21 21
= ¿be
A= 120
«mu hplican
porque ls veto
ana
etica
Existen 120 maneras que el estudiante responda su examen de razonamiento matemático.
12, Cuatro parejas de enamorados, ¿de cuántas maneras diferentes pueden ubicarse alrededor de una
fogata con la condición que cada pareja no se separe?
Resolución:
Scan las parejas de enamorados: AB, CD, EF y GH. Graficando los datos tenemos:
Unidad
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
264
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Unidad $ — Análisis Combinatorio
MA...
Por condición del problema esta
un
pareja no debe de separarse, es
decir deben de estar juntos,
En
/
Ñ
AN
es |
Ea
EN
7
E
Como cada una de las parejas mencionadas no debe de separarse entonces se les considera como
un solo elemento, Luego alrededor de la fogata habria cuatro elementos, entonces el número de
ordenamientos será:
PC
ja
3J3=6
Pero a la vez cada pareja permuta su lugar, por lo que el número total de ordenamientos es:
6x2x2x2x2=9%9
13.
Se tienen las siguientes figuras geométricas:
VUAOOOVOÓ
Si las figuras de la misma forma son congruentes, ¿de cuántas maneras diferentes se las puede
ordenar a todas linealmente si cada ordenamiento debe empezar con el circulo y acabar con el
triángulo?
Resolución:
Empleundo la condición del problema, tenemos:
O
90000A
ha
Como cada figura de la misma forma es congruente, entonces el ordenamiento
se encuentra en función de una permulación con repetición
A
>
PR oo.
o!
E
9x8x7x
kx
dlxdix 2!
=
Mire bic 7
2520
=
2
=1260
Por lo tanto existen 1260 maneras de ordenar a dichas figuras en forma lineal,
14, En la siguiente figura, ¿de cuántas maneras diferentes se podrán ubicar las cifras del 1 al 7?
Unidad
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
265
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
HESDIUCION:
Este problema se resuelve como la conjunción de dos eventos;
* Primero se ubica una cifra en el centro, eso implica que hay 7 posibilidades.
e Una vez ubicada la cifra central entonces las olras 6 se ordenan
PC.
mediante
una
= 5i=120
Luego por el principio multiplicativo:
H total de maneras= 7 x 120 = 840
15. ¿Cuántos números de 4 cifras existen con la condición que el producto de sus cifras es igual a 8?
Resolución:
Seca abed el numeral de 4 cifras, entonces utilizando la condición del problema los números
serian:
abed
abeod
abed
+dLd
bd dd
del
1118
1124
2221
ato
als
ú chi
Como se puede observar tanto para (1), (1) y (II) el producto de las cifras de cada uno de ellos es
8, pero a la vez cada número puede permutar su posición y en los tres casos existen digilos que se
repiten.
Lucgo:
Para (1): '¡PRi=ti
y =
Para araQU (1
pl
Para (UI:
¿- f to al
PR,
pr
tE
|
===|)
s
41
¿===-=4
3
de números
=4 + 124+4=20
16. David ha comprado dos enciclopedias de 3 volúmenes cada una y otras dos de 2 volúmenes cada
una; todas las enciclopedias son de diferentes autores. ¿De cuántas maneras puede colocar las 10
enciclopedias uno a continuación de la otra en un estante, si deben quedar de tal manera que no se
separen los volúmenes del mismo autor?
Resolución:
Seal
AAA,
|
B,,B,,B,]
c,,0,]
,
A
+ 2 enciclopedias de 3 volúmenes céu
+ 2 enciclopedias de 2 volúmenes có
D nt D h |
Por condición del problema los volúmenes
del mismo autor no deben separarse, entonces al
ubicarlos en un estante las 10 enciclopedias deben ser ordenadas de la siguiente manera:
Unidad 8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
266
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
AA
A clomentne quese
A AA
EA
paucdeos
E
AJA,A,[|[B,B,B,|
=
[c,c,|
==
prormudar
pormaiar
A
A
-*
P
pl
AA,
;
[o D,
>
ión
permalarida
prrmatación
—(permuiación
interna de A
b
iotcrna de A
l
imersa de 2
E
imterna del
u
Ps
Pour
Piu
Pu
Aplicando cl principio multiplicativo:
N" de maneras diferentes 41 x 3131
x2)1x21
+ N%de maneras diferentes = 3456
17. La tripulación de un bote es de 10 hombres, cuatro solamente pueden remar a babor y tres a
estribor. ¿De cuántas formas se pueden distribuir para rernar, sabiendo que cinco hombres deben
ubicarse a cada lado para mantener el equilibrio del bote"?
Resolución:
Para este problema hay que saber donde se ubican el babor y el estribor de un bote:
0 0000
000060
Pron
Babor
Estribor
Popa
Scan: A, B,C, D, E,F, G, 11, 1 y los tripulantes del bote de los cuales: A, B, C y D pueden remar
sólo a babor y H, 1, y J] pueden remar sólo a estribor. Además cinco hombres están ubicados a cada
ludo del bote; luego:
*
A,B,CyD pueden ubicarse a babor de p . formas distintas ocupando 4 lugares (observar que
en este problema el orden es importante). Los lugares que sobran a babor pueden ser ocupados
por D, E o F, es decir de 3 formas distintas. Luego los cinco lugares a babor pueden ser
ocupados de: p
e
* 3 =360 formas distintas,
A estibor IL, ly J pueden
acomodarse de
Pp.
formas diferentes ocupando 3 lugares; y
sobrando 2 lugares. Uno de los lugares que sobra puede ser ocupado de 2 formas diferentes,
pues uno de los tripulantes E, F o G ya está ubicado a babor, quedando (3 — 1)=2 de ellos
para ocupar aquel cuarto lugar. El quinto lugar a estribor
puede ser ocupado de (3 - 2) = 1
sola forma, por el que queda de los dos anteriores. Entonces los
pueden ser ocupados de: Pp. =2x1=<
Unidad
cinco lugares a estribor
120 maneras diferentes.
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
267
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Como se trata de un suceso simultaneo, se aplica el principio de multiplicación para los dos
resultados anteriores, por lo tanto:
$ de formas diferentes = 360*120 = 43200
18. Los 7 profesores que integran una plana de razonamiento matemático se sientan a dialogar en las
sillas de una mesa circular acerca de las preguntas que van a proponer en un examen. ¿De cuántas
formas se pueden sentar si se sabe que 3 de cllos siempre deben de estar juntos?
Resolución:
Sean: P, Q, R, S, T, U y Y, los 7 profesores de razonamiento matemático y que P, Q y R los
profesores que deben de estar juntos. Graficando los datos:
Como
P, Q
entonces
se
y Aodeben de estar juntos
consideran
como
un
/
Mu
a
solo
elemento, por lo que en el ordenamiento
sólo se unaliza 5 elementos, Pero no
a]
olvidar que imernamente los 3 profesores
mencionados — pueden
permutar
sus
[pues III.
a
SS
A
a
Entonces cl número de formas distintas de sentarse €s:
PC.”
Pis
4!x1'=234=x06=
144
19, Lady tiene 5 aretes de diferentes modelos y para usarlos todos se hace 2 perforaciones en forma
vertical en la oreja izquierda y 3 perforaciones en forma horizontal en la oreja derecha. ¿De
cuántas maneras distintas puede lucir todos sus aretes, si los coloca empezando por la oreja
derecha?
Resolución:
Los datos propuestos se esquemalizan de la siguiente forma:
A
a
A
Ubicará 3 de
h
= |
! A
xx
Ubicará los
2 restantes
los 5 aretes
Como Lady tiene que usar sus aretes el orden como los coloque en sus orejas si importa, por lo
tanto el análisis estará en función de una permutación. Luego:
N* de maneras distintas = p * P,-
—x* 2!= 120
dl
20. Á una asamblea asisten 5 varones y 6 mujeres, de los cuales se van a elegir a 4 personas para
conformar un comité que los represente. ¿De cuántas maneras distintas se puede elegir dicho
comité si entre ellos debe de haber por lo menos 2 varones?
Unidad
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
268
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Unidad $ — Análisis Combinatorio
Resolución:
Como en el comité debe de haber 2 varones como minimo, la elección de sus integrantes debe de
llevarse a cabo de la siguiente manera:
De los 5 varones elegir 2 y de
las 6 mujeres también elegir 2
ó | Des5 los varones elegir 3 y
de las 6 mujeres elegir 1
|ó | Delos 5 varones
elegir 4 de ellos
Entonces:
N" de maneras = Ca:
+ cc
ñ
+,"
10x15+10%6
+ 5=150+60+5=215
¿ Existen 215 maneras distintas
de elegir al comité.
EJERCICIOS PROPUESTOS
l.
Calcular el resultado de la cxpresión que se propone a continuación:
431
111
A
131
A)
B)
0
D)
E)
43!
175
165
155
160
150
Hallar “n”, si se sabe que:
í s-10)! +| 6-8]
1 + (0-9)!
in
Pa
16
(mu. 107!
A) 86
B)85
C)84
D) 83
E) 82
Hallur en cuantos ceros termina la siguiente expresión:
Lo (741-361
A) 15
B)20
C)40
D)35
E) 13
Pedro debe vestirse para ira una festa, y para ello tiene en su closet 3 pantalones, Y camisas y 3
paros de zapatos. Se sabe además que toda su ropa es de diferente color y marca. ¿De cuántas
maneras diferentes podrá vestirse, si la camisa gris siempre se la debe de poner con el pantalón
plomo, y viceversa?
Unidad
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
269
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
AJO
B)75
Or
D) 56
E) 84
5,
Se tienen las islas P, Q y R que están conectadas por puentes como muestra la figura:
755
P
a
R
¿De cuántas maneras distintas se puede ir de la isla P a la isla R y regresar a P, si la ruta de regreso
debe ser diferente que el de la ida?
A) 25
B) 132
C)58
D) 144
E) 70
6.
¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 5 personas en una fila de $ sillas?
AJ 6720
B)56
2)2340
D)35%0
E) 780
7.
Enun centro de trabajo se tienen que elegir a 4 de sus 9 empleados para representar a la empresa
en una reunión del sector. ¿Cuántas elecciones diferentes pueden darse?
A)
B)
C)
D)
Ej
8.
548
432
126
90
87
Doce amigos se encuentran después de muchos años en el patio de la casa de uno de ellos y se
saludan dándose cada uno un abrazo con los demás, Desde la ventana de un segundo piso un joven
que observa la esceña se pregunta: ¿cuántos abrazos se habrán dado? Toma entonces un papel y
después de hacer algunos cálculos anota el resultado correcto. ¿Cuál es el número que anotó el
joven?
AJ 12
B)6
C)24
Unidad
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
270
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
9.
TU INGRESO ES DIRECTO
¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar en fila todas las letras de ingreso”?
A)
B)
C)
D)
E)
3600
1250
9000
5040
8710
10. En una mesa hexagonal con sus respectivas sillas, se quieren sentar 6 señoritas. ¿De cuántas maneras
diferentes podrán sentarse?
A) 720
B)
0)
D)
E)
120
360
240
480
11. Empleando todas las letras de la palabra MISSISIPFL, ¿cuántos anagramas se pueden obtener?
A) 18130
B) 15420
0) 9650
D) 24900
E) 12600
12. En un estante se desea colocar linealmente 3 libros idénticos de Análisis Matemático, 2 libros
exactamente iguales de Estadistica y 4 libros idénticos de Fisica Cuántica. ¿De cuántas formas
diferentes se pueden ordenar los 9 libros en dicho estante?
A)
B)
O)
E)
E)
1260
1360
1400
1190
1000
13. En el tablero adjunto, ¿De cuántas maneras diferentes se puede escoger una casilla blanca y una
casilla negra de tal manera que no estén en la misma linea horizontal ni vertical?
ALO
B) 56
C)32
D) 48
E) 24
Unidad
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
271
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
14. De un grupo de 21 personas que estudian sólo dos idiomas cada uno, se sabe que 6 de ellos
estudian inglés y alemán, 7 francés e inglés y los restantes, alemán y francés. Si se quiere escoger
a dos personas que hagan juntos la traducción de una lectura a cualquiera de los tres idiomas
mencionados. ¿De cuántas formas se podrán elegir?
A)
4)
Ey
D)
E)
98
170
122
164
146
15. Claudia tiene para vestirse: 10 blusas, 5 faldas, $ pantalones, 9 polos y 4 pares de zapatos; todas
sus prendas son de diferente color. 51 Claudia desea ir a una reunión. ¿De cuántas maneras
diferentes podrá vestirse convencionalmente?
A)988
B)876
C11078
D)652
E) 780
Hó. Ricardo dehe vestirse elegantemente para ir a la graduación de su enamorada, para ello tiene a su
disposición prendas de una marca que sólo confecciona modelos únicos. Dichas prendas son las
siguientes: 16 ternos (11 de igual color), 12 camisas (8 de igual color), 20 corbatas (14 de igual
color, 13 pares de medias (10 pares de igual color) y 7 pares de zapatos (5 del mismo color). ¿De
cuántas maneras diferentes podrá vestirse Ricardo?
A)2520
B) 4480
C) 6900
D) 5390
Ej 1760
17. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden
colocar 3 fichas iguales en un recuadro como
se
muestra en la figura, para que en cada fila y en cada columna haya a lo más una ficha”?
Unidad
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
272
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
18. La cerradura de la bóveda de un banco consta de tres discos con la numeración del Lal 10; y se
abrirá cuando los tres discos se combinen de manera correcta, Si un ladrón desea abrir dicha
bóveda. ¿Cuántos intentos infructuosos como máximo tendrá que realizar?
A) 504
B) 1000
C) 900
D) 720
E) 999
- En un extraño país, los múmeros de los placas de los nutos están formados por 7 cifras. Erdmann
ha visto un atropello en el cual se dioa la fuga el irresponsable chofer, Dando sus declaraciones a
la policía, Erdmann sólo recuerda que las tres primeras cifras eran 584 pero no recuerda las demás,
pero comenta que las que faltan son diferentes entre si y a las que ya recordó. ¿Cuántos números
de placas tendrá que investigar la policia?
A)
B)
C)
D)
1680
840
180
720
E) 360
20, En una reunión hay 7 alumnos y 4 profesores. ¿Cuántas comisiones de 5 personas cada una
pueden formarse, sien cada una de ellas participan a lo más dos profesores?
A) 352
B)371
C) 348
D) 390
E) 364
21. Para una ceremonia se nombra una delegación de 5 cadetes militares y 3 civiles. Se forman todos
en una fila debiendo quedar los cadetes siempre juntos. ¿De cuántas maneras pueden formarse los
ocho?
A)
B)
2)
DB)
2880
2640
2450
2130
E)2790
. ¿Cuántos números capicúas de 5 cifras significativas existen, tales que el producto de éstas sea un
cuadrado perfecto?
A) 303
mm
Unidad
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
273
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
23, ¿De cuántas maneras distintas se pueden ubicar 5 parejas de enamorados alrededor de una fogata,
de tal modo que cada pareja permanezca siempre junta?
A) 482
B)036
C) 650
D) 854
E) 768
24, Alrededor de una mesa hexagunal de 6 asientos se sientan 2 matemáticos y 3 lingúistas. ¿De
cuántas formas podrán hacerlo, sel asiento vacio debe quedar adyacente a los matemáticos?
A)24
B)6
0136
D)12
EJ 13
25, En un examen de razonamiento matemático, un estudiante debe responder siete preguntas de las
diez propuestas. ¿De cuántas formas diferentes debe seleccionar, si el debe responder por lo
menos tres de las cinco primeras preguntas?
Aj 6d
B)55
C)50
D)110
E) 120
26. De seis números positivos y 5 números negativos, se escogen 4 números al azar y se multiplican.
Calcular el número de formas que se pueden multiplicar, de tal mancra que el producto sea
positivo.
A) 60
B) 96
C) 128
D) 140
E) 170
27. Cuatro chicas y dos varones van al cine y encuentran 6 butacas adyacentes en una misma fila,
donde desean sentarse. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse si todas las chicas quieren
estar juntas?
A) 160
B) 144
0164
D)72
Unidad
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
274
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
AyJ30
B) 36
0123
D) 40
E)31
29. En una reunión se encuentran 5 mujeres y $ hombres. Si se desca formar grupos mixtos de 5
personas. ¿De cuántas maneras pueden formarse tales grupos de modo que en cada uno de ellos
estén siempre dos mujeres?
A)
B)
2)
D)
E)
360
390
120
140
230
30, Jorge tiene 15 amigos. Entre sus 15 amigos hay dos malrimonios y cada pureja marital asisten
juntos a cualquier reunión, ¿De cuántas maneras diferentes Jorge puede invitar a 6 de sus amigos a
tina cena?
A)
B)
C)
D)
E)
640
560
726
847
1177
31. Con los digitos: 0; 1; 2 y 8 se forman números de 4 cifras, repetidas o no, que son divisibles por 4.
¿Cuántos números diferentes se pueden formar?
A)
B)
C)
D)
E)
72
84
96
108
120
12. Un vendedor de frutas compra 5 sandias y para ofrecerlas al público las va a ubicar en 3 cajas
diferentes, Determine de cuantas maneras puede realizar la ubicación de las 5 sandias,
A) 336
B) 125
C)720
D) 512
E) 243
33. Con todas las letras de la palabra BARRERAS, ¿cuántas palabras diferentes se pueden formar,
tengan sentido semántico o no, si en ningún caso las letras B y E deben de estar juntas?
A) 5040
-B)2790
Unidad
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
275
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
CARO
— ART
ETRE
C) 3960
D) 4580
E) 2520
34 Una fabrica textil tiene a su disposición para la venta de sus telas a 10 personas. ¿De cuántas
formas los 10 vendedores pueden ser asignados a 4 oficinas, con 4 vendedores en la primera
oficina, 3 vendedores en la segunda, 2 en la tercera y | en la cuarta oficina?
A) 98500
B) 24000
C) 12600
D) 3870
E) 2390
35, En las sillas de una mesa octogonal regular se van a sentar 8 amigas. ¿De cuántas maneras
diferentes pueden ubicarse en dicha mesa si Lady se vaa sentar a la derecha de Patricia?
A) 1260
B) 1206
12160
D) 2610
E) 6102
36. ¿Cuántos números de 5 cifras existen de tal forma que el producto de sus cifras es 167
A)55
B)75
C)45
D) 65
E) 85
37. Una mesa circular tiene 6 sillas distribuidas simétricamente, ¿De cuántas formas podrán sentarse
3 niños y 2 niñas, si el asiento vacío debe de quedar entre las niñas?
A)36
B) 24
C) 18
D)40
E) 50
38. En una caja se tiene 2 fichas rojas, 4 azules, 3 negras, 1 blanca y | gris; todas las fichas son
congruentes y homogéneas entre si, ¿De cuántas maneras diferentes se las puede ordenar, si se
coloca una a continuación de otra formando una circunferencia?
A) 360360
B)375690
C) 348870
D)319750
PiSAcinon
Unidad
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
276
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
34. De una baraja de 52 cartas se extrac ál azar 5 de ellas. ¿De cuantos formas diferentes se puede
obtener un Full (3 cartas del mismo puntaje y las restantes también)?
A) 2379
B)
C)
D)
E)
4532
3896
2714
3744
40. El número de soluciones en números enteros positivos de la ecuación: x + y +z=
10, es:
A)78
B)36
2130
Dj 54
E) 25
Unidad
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
277
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
|
PRE
Tu futuro empieza
con nosotros
UNALM
TU INGRESO ES DIRECTO
UNIDAD 9
OPERADORES
MATEMÁTICOS
277
Prohibida su reprodueción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
OBJETIVOS
Al finalizar la Unidad 9, el alumno será capaz de:
Ll.
Identificar las distintas definiciones de una operación malemúálica y hucer un uso correcto de
clla.
2.
Resolver operaciones matemáticas
3
4.
estrategias.
Identificar y aplicar las diferentes propiedades de las operaciones binarias.
Relacionar las operaciones matemáticas con diversos conceptos matemáticos,
con distintas definiciones
haciendo uso de diversas
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Li
LB
La
Jj
—
Para la presente unidad el alumno deberá conocer previamente:
Operaciones básicas
Conjunto numéricos
Teoria de cxponcates
Productos notables
Factorización
Tener un conocimiento de los principales métodos de factorización como:
e
Aspasimple
a
Factorcomún
6.
Resolución de ecuaciones
7.
Cuadros de doble entrada
Tener un conocimiento de la lectura de cuadros de doble entrada (uso de filas y columnas)
CONTENIDO
9.1 INTRODUCCIÓN
9.2 OPERACIÓN MATEMÁTICA
9.3 OPERADOR MATEMÁTICO
9.4 OPERACIÓN BINARIA
9.5 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS
RESUMEN
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
278
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
9.1 INTRODUCCIÓN
LA ARITMÉTICA DEL RELOJ
¿Cuánto es 8 + 87, por supuesto es 16.
Y si te digo que 8 +8 es 4, estarias de tú acuerdo, seguramente que no. Observemos que ocurre en
un reloj cuando transcurren del día 8 horas y luego 8 horas más,
e
Colocamos el minutero y horario
apuntandoa las 12,
*
Hacemos correr el minutero y el
horario para que marque las $,
«
Hagamos correr el minutero y el horario
para que transcurran 8 horas más.
Como se podrá observar de los gráficos
anteriores tenemos que si en el día
avanza 8 horas el reloj marca A y si
pasan 8 horas mas el reloj marca d, con
lo que podemos concluir que en
aritmética del reloj se cumple que:
la
8+8=4
Nosotros sabemos que $ +8 cs 16 pero en un reloj cada vez que pasamos de las 12 volvemos a
empezar, para indicar esta situación escribiremos:
K£+£ <= 4 (mód 12) y selee: 4 es congruente con 16 módulo 12”,
Al sumar estos números de esta manera se dice que estamos aplicando la aritmética del reloj o
aritmética modular,
De hecho, en un reloj hay sólo 12 horas, asi que basta usar los números 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,
10, 11 para designar las horas. El 12 pasa asercl0,c113c11, 14c12,15c13,16c14........ Todo
lo anterior lo escribiremos asi
l3=0
.
l3=1
4
l4=
2
4
153
De modo más peneral, diremos que dos números enteros a y b son congruentes módulo 12, y lo
escribiremos a = b (mód
12), si la diferencia a — bes un múltiplo de 12. En un reloj, dos números
a y b, gue scan congruentes módulo 12, representan la misma hora.
Unidad
9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
279
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
En base a da aritmética del reloj descrita en el ejemplo anterior podemos definir el operador en el
conjunto 4 <(0,1,2,3,4,5,0.7,8,9,10,11.12 4 de la siguiente manera:
a Y
a+ b
b= residuo
)
12
V1I0
010
12345567
$
90101)
1234567589010
1
1112345567
22
8
9
010.11
3456789010110
334
56
41456
8
910110
910
515
6
7
8
6/6
7
8
910110
8|8
910110
9/9
10110
1010
110
1178
11/1100
11
a
12
Dal
1.23
E
0
1
2
3
4
1
2
3
4
5
91001101234556
12
12
1
2
34
34
34
0
1
7380910110
7
Se observa entonces en módulo 12:
55667
56
5
230
6
7
12345678
7
8
8
9
9510
9.2 OPERACIÓN MATEMÁTICA
Es un proceso que consiste en la transformación de una o más cantidades en otra cantidad llamada
resultado, considerando para ella una determinada regla de operación, haciendo uso de un simbolo
que la representa (operador). Las operaciones matemáticas pueden ser:
*
Operaciones universales: Son aquellas que ya han sido definidas y la usamos constantemente
como: la adición, la sustracción, la multiplicación, la división, la potenciación, la radicación,
ele.
*
Operaciones arbitrarias: Son aquellas que se determinan en base a las operaciones universales,
Ejemplo:
La operación ADICIÓN en los números
nalurales trasforma a dos números naturales
llamados sumandos, en olro número natural
denominado suma,
5+7=12
+4
N+N
La operación MULTIPLICACIÓN en los
números enteros trasforma a dos números
enteros llamados factores, en olro número
entero denominado producto.
04
=NM
= 35
+
L£+Z
£
5x7
toa
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
280
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
9.3 OPERADOR MATEMÁTICO
Es un simbolo que representa a una determinada operación matemática, asi tenemos:
OPERACIÓN
ADICIÓN
Ejemplo:
5+7=12
OPERADOR
+
SUSTRACCIÓN
S
MULTIPLICACIÓN
Xx
DIVISIÓN
t
Operador
+
POTENCIACIÓN
(y
RADICACIÓN
F
$:7=35
ca de
Como se ha mencionado anteriormente existen operaciones abiertas las cuales están definidas cn
hase a las operaciones universales (regla o definición) y necesitan de un simbolo que la represente.
Estos nuevos operadores pueden ser representados por: 4,4.V1.0.8.0,*,>,ete.
Ejemplo:
+»
Eloperador O se define por:
() =x-3
a
Regla o definición basada en la potenciación y sustracción.
*
Eloperador+ se define por:
a+b=2a1b
ad:
*
Regla o definición basada cn la multiplicación y adición.
Como se observa un operador permite reconocer la operación matemática a emplear con su
respectiva regla de definición.
Ejemplo 1: Se define en R — (0 ) una operación matemática representada por $ de la siguiente
manera: € n = Va . En base a la definición dada calcule: 6 2,03 y 05
Resolución:
Para hallar 6 2,63
y 6 5 debemos tener en cuenta la definición, en él se debe identificar que
elemento hace el “papel” de n. Asi por ejemplo:
Sabemos que la operación matemática se define como:
(n=
Yan
¿entonces:
|
2 hace el “papel” de n
Procedernos de la misma forma para: 0 3 y O 5.
di
e3-
n=
Y
Ya
es- Ys
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
281
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Ejemplo 2: Se define en
Kuna
operación matemática representada por
(2
de la siguiente
manera: a£lb =b*- a. En basea la definición dada calcule: 213
y 2045
Resolución:
Para hallar 2013 y (-2)0 Ys
debemos tener en cuenta la definición, en él se debe identificar que
elemento hace el “papel” de a y b. Ási por ejemplo:
Sabemos que la operación matemática se define como: «0h =b? -2a
pH,
entonces:
203=3-2(2)=5
Procedemos de la misma forma para:
(-2)0 ds
a0b=b'-%a
yl
(2305
= ($5) -2-2)=5+4=9
Ejemplo 3: Se define en Z*
¿N
la siguiente operación:
0
Resolución:
4D
Para hallar
9
debemos tener en cuenta la definición, en él se debe identificar que elemento
hace el “papel” de a,b yc. Así por ejemplo:
a
Sabemos que la operación matemática se define
SS
Sl
]
a+
, Entonces:
A
Ejemplo 4: Se define en R” la siguiente operación: a%A do = 2b+ Ja. En base a la definición
dada calcule: 1643
Resolución:
Para hallar 16443
debemos tener en cuenta la definición, en él se debe identificar que elemento
hace el “papel” de a y b. Asi por ejemplo:
a
a
z
Sabemos que la operación matemática se define como: a "A Vb = 2b + 3n, entonces:
16A3 =2(27) + 3(4) = 66
a=16>+a=4
Vb = 3 >b=27
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
282
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
9.4 OPERACIÓN BINARIA
El término binarias surge porque intervienen dos números que al ser operadas dan lugar a otro
número. Es asi que todos sabemos que + es el operador que representa a la operación de suma cn
el conjunto de los números enteros, entonces si tenemos dos números enteros 3 y 5 y le aplicamos
el operador + se obtiene: 3 +5 =8, el cual se puede denotar de la siguiente manera: +: (3,5)
8
Esto no es una manera sencilla de representar la suma pero hace ver que la operación binaria de
suma en Z define una función de dominio ZxZ y un codominio de Z.
Si los números enteros som E = lo
AS AR A 0
21
4
16
70 Br)
Entonces: ZxZ es:
A
A
A TSE
A O DA
EE
Ss
A
——
345 =8 «—
Una operación binaria, * en un conjunto Á es una regla que asigna a cada par ordenado
ls. ¿Je Axa
un elemento h univocamente definido. Esto equivale a decir que una operación
binaria en el conjunto Á es una función de dominio AxA
, y codominio un cierto conjunto B. Por
lo tanto si tenemos la operación binaria denotada por * en un conjunto A = la, UAB precios
cuando calculamos a *a
y obtenemos b, a “a
=b, podemos decir que:
Si encontramos que he A decimos que la operación binaria es cerrada,
Si encontramos que b € A decimos la operación binaria no es cerrada (abierta).
Ejemplo 5: Determine si en el conjunto de los números naturales N, la operación de adición
denolada por + es una operación binaria cerrada,
Resolución:
51 sumamos dos naturales cualesquiera obtenemos otro número natural, por ejemplo:
e
SileNy5enN entonces 3+5=8 en donde Be N
Por lo tanto en el conjunto de los números naturales N, la operación de adición es cerrada.
+2M0N
Ejemplo 6:
Considérese
la
RN
(a,b)
operación
binaria
2+b
de
suma
denotada
por
+
en
el conjunto
A =(1,2.,3,4,5). Determine si es una operación cerrada o abierta.
Resolución:
Si sumamos dos elementos cualesquiera del conjunto A =(1,2,3,4,5)
obtenemos:
e 1+2=3
SI pertenece al conjunto Á
e 2+1=3
Sl pertenece al conjunto A
e. 1+3=4
SI pertenece al conjunto A
2+3=5
Sl pertenece al conjunto A
e
SI pertenece al conjunto A
e 2+4=6
NO
pertenece al conjunto A
NO pertenece al conjunto A
e 2+5=7
NO
pertenece al conjunto A
1+4=5
. 1] +5=6
Como se observa tenemos resultados que ya no pertenecen al conjunto Á por lo tanto la operación
es abierta.
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
283
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
Como
TU INGRESO ES DIRECTO
ya sabemos, podemos realizar una operación en base a las conocidas como la adición,
sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicación, ete. en base una regla de correspondencia
que las defina y un operador que la represente. Por ejemplo:
Sia,be
NN, entonces se define la operación binaria:
an
b=2*-8b
operador
Es asi que si queremos operar:
7-5
correspondencia dada y obtenemos:
hacemos
Regla de correspondencia
a = 7 y b= 5; reemplazamos en la regla de
7+ 5 =7* —8(5)=9
A este tipo de operaciones se les denomina operaciones matemáticas con regla de definición explicita,
OPERACIONES BINARIAS CON REGLA DE DEFINICIÓN EXPLÍCITA
Se refiere a aquellas operaciones matemáticas cuya regla de definición se conoce directamente.
Ejemplo 7: Se define en Z la operación: m 0 n=m' = a”, calcule:
E =180(1e(.. 19800 (0(+e s))))
Ma
A
o
2000 operadores
Hesolución:
En base a la definición m 0 n=m'*-.2n*,caleulamos: 108=4*-8*=0
Enseguida se halla: 190=1? —0* =1
Luego: 101=1*-17=0
Y luego:
10: 0= 14
p?=!, con lo cual podemos observar que los resultados 0 y 1 se alternan de
manera que si hay un número impar de operadores obtenemos como resultado 0 pero si hay un
número par de operadores tenemos ],
Para nuestro ejemplo como hay 2000 operadores la respuesta debe ser 1.
OPERACIONES BINARIAS CON REGLA DE DEFINICIÓN IMPLÍCITA
Se-refiere a aquellas operaciones matemáticas cuya regla de definición no se conoce directamente.
Ejemplo 8: Se define en R la operación: m *n = um — 2(n*m),
calcule: — 4 *-3
Resolución:
En base a la definición: m*n= mm
—-2(n*m)....(D
hallamos
—2(m*n)
n*m=m
Reemplazamos
(TI) en (I) y tenemos:
.....(11)
m*n= "um — 2(ua
m*n=
mn
- ¿mn
— 2(m *n)) y despejamos m *n
+ 4(m
*n)
ma =3(m*n)
—=m*n
3
En base'a esta definición, calculamos — 4*-3=
==
=4
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
284
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
OPERACIÓN
BINARIA
DEFINIDA POR TABLA
Las operaciones binarias pueden expresarse no solo por medio de una fórmula (regla) sino también por
medio de una tabla. Por ejemplo dado el conjunto A = (1,2,3,4,..
..) se define la operación:
* como: a * b=a+tb de manera que considerando que el primer valor “a” corresponde a la fila y
el segundo valor “b” corresponde a la columna podemos armar la siguiente tabla:
Elementos del conjunto A
zo
Elementos del conjunto A
243=3+3= 5
(valores que toma a)
ue
Tod
2*2=2+2=4
[A
24]1=)+]=3
3
506
as
dl
Operador
[2]
=5
5
l
=>
2*
|
yo
que tora L)
(valores
1*l=1+1=2
1*2=1+2=3
*i=i41=
1*3=1+3=4
dc
07
:
|
me tabla (resultados
de las operaciones)
3*|=3+1=4
342=3+2=5
39=3+3=6
Observa que para obtener el resultado de 2 * 3 se ha buscado 2 en la fila y el 3 en la columna, de
manera que al intersectar fila y columna encontramos el resultado 2 +3= 5.
Ejemplo 9: Se definecn A =([ 2.3.4)
la operación * de la siguiente manera:
Determine:
1)2*21+3*3+34*4
b) El valor de “n* en: (2*3)*[(3*10)*(4*4)]=(2*2)
4l
2 3 4
c) El valor de “n* en: (n*3)*2=a*(a+2)
Resolución:
a)
Com
b)
Como2*3=4,
c)
2*2=3,3*3=2
y 4*4=4 tenemos que 2*34+3*344*4=3+2+49=9
4*4=4
y 2*2=3 reemplazamos en la ecuación:
tenemos: 4*((3*n)*4)=3
(Q3):06*0)*(4*4))=y(2*2)
Como
4*3=3
entonces:
B*m*4=3
Como
Como
31*4=3
3*4=3
entonces:
entonces:
(3*nm)=3
n=4
Comoel conjunto A =(2;3:4
), entonces a sólo puede ser 2 para que a +2
Entonces (n*3)*2=1a*(a+2)
seconvierte en:
Como
2*4=2
entonces:
(n*3)*2=2
- Como
4*2=2
entonces:
(n*3)=4
¿Como
2*3=3
entonces:
—n=2
pueda ser 4.
(n*3)*2=2*4
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
285
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
9,5 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES
BINARIAS
Dada la operación matemática denotada por * y definida en el conjunto A (A = 6) tenemos:
a)
PROPIEDAD DE CLAUSURA
Si dados dos elementos cualesquiera de Á se realiza la operación * y encontramos que el resultado
de dicha operación es un elemento del conjunto A, se dice entonces que la operación cumple con
la propiedad de clausura o de cerradura y por consiguiente se dice que la operación es cerrada en
el conjunto A. Es decir:
Ya
heA
=>atbeEA
Podriamos decir que una operación es cerrada cuando los elementos del conjunto de llegada
(resultado) pertenecen al conjunto de partida (conjunto definido en la operación); en caso contrario se
le denominará abierta.
Ejemplo 10:
Si se define en los naturales:
cerrada en los naturales.
m*n
=mp
+5, analice si dicha operación cs
Resolución:
Si m*n
mn +3, y tomamos 2 naturales cualesquiera: nm también es un número natural y
como 5 es un número natural podemos concluir que m *n también es natural,
Es decir:
m*an<=<mn
=>
+5
eN
EN
Ejemplo 11:
Si se define en los enteros: m (2n
”
<= m —- =
, analice si dicha operación es cerrada
m
en los enteros.
Hesolución:
Si
2
m(0n=m-=,
:
y tomamos 2 enteros cualesquiera:
a
2
:
,
— no necesariamente es un número
ñ
entero y como m es un número entero podemos concluir que m (Gn
y por lo tantom £n noes cerrado .
no necesariamente es entero
Es decir;
mín=m=-—
2
—
MB
cn
e
—
,
No necesariamente e Z
No necesariamente e z
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
286
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
PROPIEDAD DE CLAUSURA
EN TABLAS
Para determinar si una operación definida en un conjunto y expresada en una tabla es cerrada o
no, $e hace lo siguiente:
Il,
Todos los elementos del conjunto A deben estar presentes tanto en la fila como en la columna
de entrada.
2.
Verificar que todos los resultados (elementos del cuerpo de la tabla) pertenecen al conjunto A.
Ejemplo 12:
Si se define para el conjunto A =(1,2,3)
la operación “asterisco” de acuerdo a
la tabla adjunta, determine si es cerrada o no.
Resolución:
e
Se observa que todos los elementos de entrada (fla y columna) pertenecen al conjunto A.
+
Se observa que todos los elementos del conjunto de salida (resultados) pertenecen al conjunto A.
3*1=]
3*2=2
343=3
1*1=2
1*2=3
1*3=1
2*]1=3
29 =]
222
Por lo tanto la tabla corresponde a una operación cerrada.
b)
PROPIEDAD CONMUTATIVA
Si dados dos elernentos del conjunto Á cambiamos el orden entre ellos al realizar la operación * y
observamos que el resultado es el mismo, entonces diremos que la operación * es conmutativa
en A. es decir:
Ya
be
Ejemplo
A
>a*b=b*a
13: Si se define en los enteros:
m*n=m+n-—4,
analice si dicha operación es
conmutativa en Z.
Resolución:
Sabemos que:
m*n=m+n-4,
ahora hallamos:
n*m=n"+m-4
comparamos los resultados y observamos que m *n=n*m
Por lo tanto la operación * es conmutativa.
Ejemplo 14:
Si se define en los Reales positivos:
m *n = —
'
, analice si dicha operación es
n
conmutativa en Z.
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
287
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Resolución:
Sabemos que;
m*n=
=
:
n
ahora hallamos:
n*tm=
E
m
comparamos los resultados y observamos que m *n
n*m
Por lo tanto la operación * no es conmutativa.
PROPIEDAD CONMUTATIVA
EN TABLAS
Cuando se tiene una tabla para determinar la conmutatividad de la operación * se debe hacer lo
siguiente:
e
e
Los clementos de entrada (filas y columnas) deben tener cl mismo orden. En caso de no
tenerlo moverlos hasta lograr dicho orden,
Setraza la diagonal a partir del vértice donde se encuentra el operador (diagonal principal) y
se debe verificar que cada uno de los elementos
simétricos e iguales.
en torno a dicha diagonal
deben
ser
Si se cumplen las condiciones anteriores se dice entonces que la operación * es conmutativa.
Ejemplo
15: Observa las siguientes tablas y diga en cuál de ellas la operación * es conmutativa si
esta definida en A =[2,3,4)
a)
b)
Resolución:
e
Trazamos la diagonal principal y observamos si dicha linea es simétrica.
a)
b)
Si huy simetria, por lo tanto la operación *
es conmulativa.
No hay simetria, por lo tanto la operación *
no es conmulativa.
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
288
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
e) PROPIEDAD ASOCIATIVA
5i dados tres elementos a, b y ce del conjunto Á agrupamos a dos de ellos (a y b) y realizamos la
operación * y luego el resultado lo operamos con el tercer elemento (c) y obtenemos el mismo
número que si hubiéramos agrupado primero
otros dos elementos (b y e) y realizamos la
operación * y luego el resultado lo operamos con el otro elemento (a), entonces diremos que la
operación * es asociativa en A.
Es decir
Ya,b,ece
A
=(a*b)to=a*(b*e)
Ejemplo 16: Se define en los Reales: a * bo = a+ b-2. Diga si la operación * es asociativa.
Resolución:
=
Aplicamos
la definición:
Va,beceAa
=> (arb)"e=a*(b*e)
la+b-2)"c0=a”(b+ce-2)
a+b-=2+c-=2=a+b+c=
2-2
a+b+ro-4=0+b4+c0-4
Se observa que cumple con la propiedad por lo tanto decimos que la operación * es asociativa.
d) ELEMENTO NEUTRO O ELEMENTO IDENTIDAD
Sea e un elemento del conjunto A, tal que al operarlo con cualquier elemento a
conjunto o viceversa debe dar como resultado el mismo elemento a . Si este elemento
Hamará elemento neutro.
Esdecir:
Tee
del mismo
e existe se
A(VacA=>ate=tta=a
Se debe tener en cuenta que si una operación tiene elemento neutro este debe ser único.
En la adición de los números Reales el elemento neutro es 0, ya que para cualquier número real
úl
a”
34
se cumple:
a+0=0+a=14
En la multiplicación de los números Reales el elemento neutro es 1, ya que pura cualquier número
real a” se cumple:
a.l=1.a=0
Ejemplo 17: Se define en Z la operación * como: a*h=a+h-=2.
¿Cuál es su elemento neutro, si tiene?
Resolución:
*.
Calculamos el elemento neutro e por definición:
c*a=a
n*te=a4A
c+a=2=u
an+e=3=a
e=?
ta2
Por lo tanto el elemento neutro es 2.
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
289
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
Ejemplo 18:
TU INGRESO ES DIRECTO
Sc define en R la operación A como: «Ab=24a=b+2.
¿Cuál es su elemento neutro, si tiene?
Resolución:
e
Calculamos el elemento neutro e por definición:
cha
=4
ce
=a
ie=4+2l=a4a
la-r+2i=d
2ec=
la”
1
d+
daa
e=su-=l
Se observan dos elementos neutros y sabemos por definición que el elemento neutro (e) es único,
por lo tanto la operación A no tiene elemento neutro,
Ejemplo 19:
Se define en R la operación y como: a y b=eb42b.
¿Cuál es su elemento neutro, si tiene?
Resolución:
e
Calculamos el elemento neutro e por definición:
epa
=
ay
ea+2a=a
uc+le-a
va=4a—-la
E=
e=d
a-2a
ela+2)<=0
=-l:iax0
p=
a
E
a+2
Sia=2 y reemplazamos obtenemos:
ga-]
co
=
Se observan dos elementos neutros para cada valor de a.
Como sabemos por definición que el elemento neutro (e) es único, por lo tanto la operación y
no
tiene elemento neutro.
ELEMENTO NEUTRO EN TABLAS
Para hallar el elemento neutro en tablas seguir el siguiente procedimiento:
L.
Ubicar en el cuerpo de la tabla (resultados) una fila y columna igual a la fila y columna de
entrada.
2
La intersección de la fila con la columna nos dará el elemento neutro e.
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
290
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
Ejemplo 20:
TU INGRESO ES DIRECTO
Sedefineen A=(2.b.c)
la operación * de acuerdo u la siguiente tabla. Halle
su elemento neutro de * en A.
Resolución:
e
*
Ubicar enel cuerpo de la tabla (resultados) una fila y columna igual a la fila y columna de entrada.
La intersección de la fila con la columna nos dará el elemento neutro e.
A
AAA
E
mile
a
ea
e) ELEMENTO
A
De la tabla se observa que el elemento
pl
neutro de la operación * es e
INVERSO
En una operación con elemento neutro, tenernos un elemento a
€ A
de modo que para él existe un
elemento a7' e A tal que al ser operado con a (o viceversa a operado con «7 *) da como resultado el
elemento neutro de la operación. Dicho elemento a 7! es denominado elemento inverso de a .
Es decir: SiccA, a A, Ja a A/ata'=1a *a=0
En la adición de los números Reales para
cualquier número real “a” su elemento
neutro es 0 y su elemento inverso aditivo
es (-a):
En la multiplicación de los números Reales
para cualquier número real “a” su elemento
neutro es 1, y su elemento inverso mulliplicativo
esslía:
14+(-1)=0
2+(-2)=0
lx 1=1
1
3+(3)=0
s
'
A:
pod
*
21=1
2
1
Ñ
'
3x==1
.
3
En general: — a+(-a)=e
poa
"
Número Real
Elemento ncutro
.
1 :
1ax—=e
a
>
Inverso aditivo
ñ
Número Real
|
o
Elemento neutro
Inverso multiplicativo
(IMPORTANTE:
No todos los elementos tienen elemento inverso. Por ejemplo el 0 no tiene
inverso multiplicativo
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
291
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
Ejemplo 21:
TU INGRESO ES DIRECTO
Se define en Zla operación
* como: a*b == a+b-3.
Halle: K =
a”' es el clemento inverso de a.
Resolución:
e
Primeros calculamos el elemento neutro e por definición: ate=e*a=a
cta=a
ateo=a
cra-=J=a
ate=J<a
t=3
b=]3
Por lo tanto el elemento neutro es e =3.
*
Luego calculamos el elemento inverso a “! pordefinición: ata!
sta
arta
=e
=3
d-1=3
nn =6=4a
*
Ahora calculamos: 27'.37*
ys
2"=b5b-=2=4
reemplazan
de
4+3
7
Vi =ht=ie3j
a
ELEMENTO
-=|
=b-=4d
INVERSO
iS
7
2
tenemos
:
Ea
2
EN TABLAS
Para hallar el elemento inverso en tablas seguir el siguiente procedimiento:
1.
Ubicar en el cuerpo de la tabla (resultados) una fila y columna igual a la fila y columna de
2.
entrada, para luego interscctar la fila con la columna y hallamos el elemento neutro e .
Marcamos co el cuerpo de la tabla el elemento neutro encontrado y luego calculamos el
elemento inverso a7' pordefinición: a ta”! me
Ejemplo 22:
Se defineen A =(1,2.,3)
ij
E
=1
K == ———
2
la operación * de acuerdo a la siguiente tabla. Halle
za
,
sin ' es el elemento inverso de a.
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
292
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Resolución:
e
Primero hallamos cl elemento neutro
De la tabla
se observa
que el elemento
neutro de la operación * es 3
a
Ahora calculamos el elemento inverso en base a su definición: aa!
e
]*2=3 entonces: 1!=2
e
2*]=3, entonces: 2
e.
*
Recmplazamos cn K y tenemos:
Dgo.
K
=e
= ————
3*3=3
a
——
ar
=1
entonces: 3|=3
1 5
I
RESUMEN
OPERACIÓN MATEMÁTICA: Es un proceso que consiste en la transformación de una o más
cantidades en otra cantidad llamada resultado, considerando para ella una determinada regla de
operación, haciendo uso de un simbolo que la representa (operador). Las operaciones matemáticas
pueden ser:
*
Operaciones universales: Son aquellas que ya han sido definidas y la usamos constantemente
*
Operaciones arbitrarias: Son aquellas que se determinan en base a las operaciones universales.
como: la adición, la sustracción, la multiplicación, la división, la potenciación, la radicación, ete,
OPERADOR MATEMÁTICO: Es un simbolo que representa a una determinada operación
matemática, asi tenemos:
a*+b=2a+b
4
Operador Regla o definición
OPERACIÓN BINARIA: Una operación binaria, * en un conjunto Á es una regla que asigna a
cada par ordenado la. Je AsA un elemento b univocamente definido. Esto equivale a decir
que una operación binaria en el conjunto A es una función de dominio
AxA
, y codominio un
cierto conjunto B. Por lo tanto si tenemos la operación binaria denotada por * en un conjunto
A = la 2,0 Ps =.), cuando calculamos a *a, y obtenemos b,a *a, =b, podemos
decir que:
Si encontramos que b e A decimos que la operación binaria es cerrada.
Si encontramos que be A decimos la operación binaria no es cerrada (abierta).
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
293
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS
Dada la operación matemática denotada por * y definida en el conjunto A(A +4),
tal que ae A y be
A tenemos:
A) PROPIEDAD DE CLAUSURA
VabaoA
D) ELEMENTO NEUTRO:
=3i"bogA
ec
A
/VacA
=>
atescta=a
Se debe tener en cuenta que sí una
B) PROPIEDAD COXNMUTATIVA
operación tiene elemento neutro este
debe ser único.
YabeÁA
=>a*b=b*a
C) PROPIEDAD ASOCIATIVA:
Vabeoca
PROPIEDADES
=> (a*b)*c=a*(p*c)
E) ELEMENTO
SiecA,ac
A. Ja
INVERSO:
ase
=a a
ce A/nt
EN LAS TABLAS
PROPTEDAD DE CLAUSURA
Para determinar si una operación definida en un conjunto y expresada en una tabla es cerrada o no,
se hace lo siguiente:
e
*
Todos los elementos del conjunto Á deben estar presentes tanto en la fila como en la columna
de entrada.
Verificar que todos los resultados (elementos del cuerpo de la tabla) pertenecen al conjunto A.
PROPIEDAD CONMUTATIVA
Cuando $e tiene una tabla para determinar la conmutatividad de la operación * se debe hacer lo
siguiente:
e
Los elementos de entrada (ñlas y columnas) deben tener el mismo orden. En caso de no
lenerlo moverlos hasta lograr dicho orden.
e
Setraza la diagonal a partir del vértice donde se encuentra el operador (diagonal principal) y
se debe verificar que cada uno de los elementos en torno a dicha diagonal deben ser
simétricos e iguales.
5i se cumplen las condiciones anteriores se dice entonces que la operación * es conmutativa,
ELEMENTO
NEUTRO
Para hallar el elemento neutro en tablas seguir el siguiente procedimiento:
e
Ubicar en el cuerpo de la tabla (resultados) una fila y columna igual a la fila y columna de
*
entrada.
Laintersceción dela fila con la columna nos dará el elemento neutro e.
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
294
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
ELEMENTO INVERSO
Para hallar el elemento inverso en tablas seguir el siguiente procedimiento:
*
Ubicar en el cuerpo de la tabla (resultados) una fila y columna igual a la fila y columna de
entrada, para luego intersectar la fila con la columna y hallamos el elemento neutro e.
*
Marcamos en el cuerpo de la tabla el elemento neutro encontrado y luego calculamos el
elemento inverso a7' por definición: a *a7'=e
EJERCICIOS RESUELTOS
l
Si]
lx
|.1-2
2
calcule el valor
de “a” en: :
E
A
Je
Resolución:
Transformamos la definición del operador:
bx
xo —2x
2
l-x
a
2x4
11
2
l=x
(1 = 1)
>
Hacemos: l= 1 =p, entonces:
m
=1
2
m*-ij
,
2
iF
Calculamos el valor de:
[1]
A
Saa
|[=
2
de <|
2
LS
Reemplazamos en la ecuación:
0=
=0
a
=1
2
a—-|
.
l=a
2.
si
1(5)= 103)—- 1
Se defineen los reales: f(x) = x* —1, halle; k - ÓN
(2)
Resolución:
Hallamos:
1(5)=5'-1=21
n»-=3-1=8
1(2)=2-1=3
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
295
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Reemplazamos
en K:
(5) -1(3)-=1
1
RI
r2)
24 -E-1
3
15
K=.—u5
3
nn
e
3 SedefinecnR luoperación: a*b*e= Vb” Halleel valorde “nen:
=5*1*(n-1)
2*5%n
Resolución:
==
En base a la definición: a*b*e= Vb"
AE
, calculamos:
PO
lm
208ra
Vet Ya 2
A]
59750
ij Yo
as
4
Reemplazamos en la ecuación:
2
=5*2*(n-1)
2*38*n
y lenemos:
a
4
a-1
la
2
joe
=2*
1
PraLa
11
mel
m—!
?*2.2*?
e
Como las bases son iguales:
in
n-—]l
a
E
E -= 3n
Ñ n=1
2.
Ss
40 -15n
= 2n -2
42=17n
42
— ER
17
4.
Si:
sd
10.0
ha
+b
Halle
el valor de “nen:
bd
a
-1
—
|
A
ñ
!
Jl
_
n
Al
]
0 Resolución:
'
j
o.
Transformamos la definición del operador: agb =
10.0 +b
TE
Me
—
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
296
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
10
b
a
abb
10 + ab
+
a
=
10 + ub
=
10
a
b
10 — ab
10 — ab
Calculamos:
| a] a 10 + (a*)0)
4
Recemplazamos:
9)
10 -(a*)0)
10 +m?
da
;
10
=.”
40 —-4n* -10+n*
30
= 5n”
b=n'
tdó6=m
5.
Sise define el operador (%) en los números Reales de la siguiente manera: ab!
Calcule:
(UCC9 % 8)% 8)% 8...
A
=a+3b.
)% 8)
A
A
20 paréntesis
Resolución:
Calculamos:
9%8=3%W2'=3+3(2)=09
20 paréntesis
Se
Pp
Por lo tanto: ((((0 vs $ )25 8 )% Br...
5%
J%8)=9
—
B
al
3
IAÁX<XAÁáA KK
ta
9
a
B
6.
Si se define en el conjunto de los números enteros: 40m
calcule:E = 40 (90
(a
db),
42)
Resolución:
Calculamos primero: (9 6 yz ) aplicando la definición:
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
297
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
we V2)= Jer o Y = (V2" [V91)=
(26) = 6
Ahora hallamos: (4 6 6) aplicando la definición:
(49 6)=
416 9 6= (6x1 )= (6 )1(2)= 7
Por
lo tanto;
7,
Si
se
E=
define
calcule: E =
48
la
/2)-72
operación
a.2)
J5
(98
en
los
Reales
como:
Va *b*=2(v4b*a
)-ab,
de.)
kesolución:
Haciendo
uso de la definición: Ya *b* = 2(4b *a?y=ab
calculamos; db ra?
db ra? = 202 *b5)- ba
Reemplazamos lo obtenido cn la definición:
Ya + bo" =2 (2(Va =v*)- va )- ab
Ja +? = a(Ua +n?)262 — ab
3ab = 3 (Ya *»*)
abs da o"
Calculamos: 43 ra = Va
Yan
Recmplazamos cn:
+ Ya
= 3.42 = 6
Als de
Asi
de (f5.fa)
E ==>
1
Ex=6
B.
Sedefine: (e-x-)
Calcule:
ea
Ey
Resolución:
- Transformamos la expresión: X? — X — 1 completando cuadrados.
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
298
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
,
o
]
pto
pex)
4
4
También transformamos: (6X —3)' = pls
Ahora realizamos un cambio de variable:
=(6X-3P
.-
2
- >)
= 10
x- .
XxX - 5)
= m Y definimos nuevamente el operador:
se convierle en:
-36| XxX - 5)
Es decir:
= 3ón
Nos piden:
= 363) 108
Por lo tanto: (2)
9.
+ 36
108
a
Sedefine en E, las siguientes operaciones:
a
(E)
A
Y b'=a+b
y
(2a6
3b)=a=b.
Resolución:
Greta
—
los resultados en E:
E = pe)
dE
MES
>)
E = [16 Jv [- 1]
E- (a) v(-1)
|
E = (4)+ (-1)
E x= 3
299
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
(a+ by
14 Sbaf ]0:m
:
= (1 -hy?
, determine ((.......
ES DIRECTO
uned [ 120")
Hi
Resolución:
z
b
E
A
=
a[ Jo =
es
¡
1
camos la expresión:
lifi
Simp
ab
3
a
al
q
4ab
Jb=
al Jo =5
En base a la definición se observa que la operación solo depende del segundo término, por lo
tanto en la expresión: Mleaosa «4113115114
.
Deo...) [ ]20*)
= 20*=400
y
“número cualquiera”
11. En el conjunto de los números reales R, se define
(
mediante
a
b=a+b+l
De las afirmaciones:
L
ls a 415 =10
ll.
J-4
014-0=$i4+1
mI
LsoVozn=s
IV.
El operador + es conmutativo
W.
El elernento neutro es -1
¿Cuántas son verdaderas"
Resolución:
a) Yl6 A Yas =405=445+1=10
(verdadero)
b)
-4
(falso)
a
Área Mae
d)
a 0b=b0Da
4
Ly
=5$i+1
“Sólo esta definido
en los reales”
20-32-24 (-3)41=-4
(verdadero)
a+b+l=b+a+l
e)
(falso)
a Mc=a
n+c+l=a
(verdadero)
c==]
. Si se cumple que:
4535=40
40 + 20=30
22m 18=20
Determine el valor de:
E =
[Ca)+ (9)
(2031
sabi
Resolución:
Hallamos la definición de la operación H en base a la información que tenemos:
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
300
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
45%35=40
se observa que:
40+20=30
se observa que:
12RH18=20
se observa que:
45 +35
40 + 20
E
=
2
= 20
2
a
a+b
Por lo tanto para dos números a y b tenemos: ab =
b
Calculamos: (a)+ (b) = =
;
-
y (n)+(- b)= : ; z
a+b1_fa-b]
Reemplazomos en E y tenemos: E = l
2
)
2
(aro
]
a
(a-bJ'
a
ab
1
ab
sab
La]
ab
de
13, Se define en los reales
la operación f(x) como: f(x)=4
4
,-2%x32,calcule:
lx-2.x>2
2. [rayo].
[r(ri-39+ 003))]
r(r(0)-4)
Resolución:
Calculamos:
Fí4)= 4-2 =)
f(2)=4
f(-3)=2-(-3)=5
Mi5)=5=2=3
((3)=3=2=1
r(0)=4
Ti=2)=4
Recmplazamos en K y tenemos:
.” [ay].
[r(ri-3)+ 131)
r(r(0)- 4)
E
p*]+ [r(s)+1]
aa)
1*4%41
A
|
4
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
301
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
14. Sabiendo que: f(n)= fín+1) + 3, Determine
(1), si: 11) = 13
Resolución:
En base a la definición, tenemos:
E(10)=1(11)+3 =T(11)+1(3)
(9) =F(10)+ 3 =f(11)+2(3)
1(%)=1(9)+3=71(11)+3(3)
Mi=f021+3+1f(011+10(3)
E(1)= £(11)+10(3)
Por lo tanto: £(1)=13
+30
(1) = 43
15. Si se define la operación “asterisco” de acuerdo a la tabla adjunta, siendo nm”!
el elemento
inverso de mn.
314
23
1|23
3 01
El
3
Ud
,
=4
Determine:
3
Es1l
Si
+2
2d
+3
Resolución:
e
Primero hallamos el elemento neutro
A
De la tabla se observa que el elemento
neutro de la operación * es3
tots
0
EE
2] s 1 ia
e
Ahora calculamos el elemento inverso en base a su definición:
ata
=e
e
3*3=3
entonces: 3)=3
+
1*%2=3, entonces: 11 =2
s
2*|=3 entonces: 2*=]
a
Nos piden:
6
Esti”
E
=
2+
1
+
Jj=ó6
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
302
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
16. Se define en Z una operación representada por *, mediante la tabla;
0
*
bdSÁ
O
3
6
9
Calcular: 27 * 62
Resolución:
Para hallar 27 * 62 debemos hallar 27 en la fila 28 y 62 en la columna 63
Columna 63
F106
0]
1
0-1
113
Fila29
—Y
2
3
Ñ
-=2=%
2
1
cu
u
+
81 ———abd:
La primera columna correspondiente al número 0 existe en los resultados una sucesión aritmética
cuya razón
es 3:
Entonces: ..
En
esta
fila
A
y del cuál nos interesa el término 28 (a ds 1
= 0+27(3)=8l
28
los
números
A
Entonces:
pa
forman
una
sucesión
aritmética
descendente
de
razón
-1:
del cuál nos interesa cl término 63 (pb, )
A
EE
Por lo tanto: 27 * 62-09
17. En el siguiente conjunto M= 41, 2, 3,4, 5) se define la operación (€ de acuerdo a la tabla adjunta,
m1.
2.3
4 5
EPT
As
Dl
3
OS
1
3.4.5
12
4
|(4
5
1
2
3
s
(15
1
2
3
4
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
303
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Determine cuantas de las siguientes proposiciones son falsas,
Dl
IM)
El clemento neutro es 1
El elemento inverso de 3 es 5
II)
No es ley de composición interna
IV)
Cumple con la propiedad conmutativa
VW)
23 +3
257
siendo a”' el elemento inverso.
Resolución:
l) VERDADERO
11) FALSO
Los elementos que se encuentran en
ali
2
110
2.3
212.
3-4
313.4
3
45
4
o .5
5
$
123
5151
1
2
5
M=(1,2,3,4,5)
2
IV) VERDADERO
3
3
4
L
II) FALSO
e|1
1
2
1
3
4
2.3
212
3
mostrada
|
1
4ja
el cuerpo de la tabla
pertenecen al conjunto:
5
l
2
2
3
304
á
4
2?
3
4
4
E
5
A
ss
1
5
1
1
2
3
5
l
Z
3
5
4
|
IAS
Existe simetría con respecto a la diagonal principal
2
4|4
515.
5
1
2
3
1.203.-4
3"=4
V) FALSO
Como 27 =5 7 3 =4
y 522,
entonces la igualdad 2 '+37*=5' nocs
correcta,
18. En el conjunto A=[1, 2, 3, 4, 5) se define la operación “*" de acuerdo a la tabla adjunta.
Indicar la verdad (V) o falsedad (F) en:
E
.
"1142345
11)
operación es conmulallya,
El elemento neutro es 4.
,
ID.
2 es el elemento inverso
de 1.
3194234
. ; .
S A
4112345
5124453
Resolución:
I)
VERDADERO
"112345
1113212
2134124
3191234
e
á
;
Existe simetría con respectoa la diagonal
4112345
panepel
5124453
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
304
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
I)
TU INGRESO ES DIRECTO
FALSO
"112345
1113212
2134124
3421234
Siusamos 1*e” l,entoncese=1
6 ecr4
4112345
Como
e noes único, entonces no existe elemento neutro,
5124453
111) FALSO
Si no hay elemento neutro no hay elemento inverso.
19. En el conjunto A = /1,2,3,4,5] se define la operación (0, además se sabe que es conmululiva
y tiene como elemento neutro al número 4. Calcular: M4
3
<= lia a 3)Ha4 27 qe mn)” tas”
5
2
4
1
Resolución:
Completamos el cuadro en base a la información
Ahora calculamos los elementos
que la tabla es conmutaliva.
INVersos:
1
314
|5
3
511/|2
4
112/13
4
alj1[2[3]4]5
Talalstilz
a
1=3
360 3=2
241511213
lam 3=5
3|5/1/2/3|4
4
[1[2/|3|4/5
512|3|4/5]1
Recmplazamos estos resultados cn M y tenemos: — Mo= [ts dá: 39627 m nj" (ms
Mo =[sáca o] ias
Mos [360 3)"60 3
Moa [2] 65 3
Mo= 1603
M=5
20. En el conjunto de los números reales se define el operador *;:
a*b=ab-(a*b).
Indicar
2
cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas, siendo 1”! = =.
”
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
305
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Ll La operación * es conmutativa.
M. La operación * es asociativa.
M1. Tiene elemento neutro y es igual a cero.
IV. (35) * (6) '=a*b
Resolución:
Como:
afb=2ab-(2*b)
2(a* b)=a.b
(15) E
I)
VERDADERO, porque a*b=b*a
Il) VERDADERO,
II) FALSO, porque:
porque (4*b)*c=a*(b*c)
a*e=e*a=a,entoncese=1
IV) FALSO, porque: ((a7')+(p”))” = E 5)
7
sta
se debe tener en cuenta que:
=2
y
]
-
Y
.
a
EJERCICIOS PROPUESTOS
l.
Si se cumple que:
A)
B)
C)
D)
E)
2.
mln
[| =2"=m*
; halle:E =
=]
-=1
[ -2 | «1
8
64
-125
205
-206
Sedefine el operador * en los Reales como:
Calcule:
a*b=
E=((-31(3)*4+ (2*3*(-1))
a+b
:a=b
><a
¡a=b
bi+a;a>b
aya
BS
LN
D) 9
FE)
21
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
306
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
3.
TU INGRESO ES DIRECTO
Se defino la siguiente operación: (a 6
/b ) =b-a
Determine [(9 e 9)+ (18 2)]e [1 e 4]
4d
A)
B)
C)
D)
E)
-2
3
4
187
121
Si
1 Ab=
¿determine
b-1]
A)
B)
C)
D)
E)
5.
((.... (((1004 99) a 98) A 97)......)A 2)
1000
0
1
4
31
Se define en el conjunto de los números enteros:
Calcule:
A)
B)
C)
D)
E)
6.
32 1
ES
db 12=2./b
3)
24
3
14
5
2
Sedefine
la operación:
daros
db tar.
Calcule: ((....... (1 + 2)+3)* 4)... )- 100)
el operador: On =
Se define
7.
Halle:
la “
l
1
n
n+1
)
01402+03+.....+030
AY 3900
B) 1440
¿a
09920
-—
D) 5000
E)
1420
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
307
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
8.
TU INGRESO ES DIRECTO
Se define en los enteros las siguientes operaciones, (E=)-
Halle el valor de “a en: | x-1
A)
B)
C)
D)
E)
9.
e +92. (6 )-
*
-1
- (15)
4
2
4
2
AyB
Sedefine; f(x1=x',
determine: E =
Fix+
b)-
f(x)
h
AJ
2x
B)
O)
D)
E)
2x+h
2x-h
2x+1
2x-1
10. Se define en los reales:]
,
[e<mt+b
. Además: | 1
[=4:|
4
|=19, Calcule:
A) 4
B)
e)
D)
31
22
24
E)
-8
11. Se define en los Reales:
Mx)=x3+1
y
g(x)=
1x7. Halle el minimo valor que toma E, si:
E =Típl1D
+ gi)
A)
B)
C)
D)
E)
1/2
1/3
3/2
7/8
5/7
EZ. Si:[x]=((2x0)(2x+n))! 3x6 Z' yn>0.
Además: | ]
|=
1
Calcular:
20
(14
19
H18
bo...
1
3
Ay 1/2
cs
B)20/41
0) 11/41
DY
EJ)
12/31
20/31
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
308
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
13. Se define en los reules el operador
operador (e)
A) b(a(e) a)
B) T=)
(e)
como:
ate)
b=b%
de
a., represente con el
, el número 2.
b
1
S
C) 200 (=>) 4
D) 100 (10 (e) 10 Ko» )2
E) 25) 10
14. Se sabe que: [r*]_ = Y3+m
A
Halle Z =
A) 4
B5
6.1
D) -1
E) 5
15. Se define en los reales el operador:
nilx
n"
p"
o
_—r
hi
La
E
LA
DyOBz
—
Halle el valor de “n' en:
= pe
16. Se define:
Calcule:
A)
B)
C)
D)
E)
=(x-3f
OO
+ (o)
300
600
240
640
390
17. Si:[ n-2]=n*2n. Calcular el valor de “a" en:
A)
Bj
Ra
=90009x1111
99
999
C) 9999
1D) 49994
EY
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
309
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
18. Se sabe que: Lil
Halle *x" de:
49
B)
Cy
BD)
E)
Lies
Además:
INIA
NN
Na
uns
+ [Na
13
48
10
31
50
19, En el conjunto de los números reales R, se define
De las afirmaciones:
Lo
+»
IL
m*m=m'*!
ML
IV.
qqtneriDibDt+b-1
CA
2992.) 2) 1
+
mediante
a+ b=a.b-1
1=5
La(s) verdaderastos) es (son):
Ay
B)
E)
D)
1
lly IV
IE y 111
IV
E)
Todas
t
20. Se define el operador * en los Z” como:
a*b=
_ , determine:
al
r
E
1
1
=
(der)
ars
haa í 19 =20)|
Aj 20!
Bj 19!
e) 12!
D) 21!
E) 10!
21. Califica con verdadero (V) o falso (F) a cada una de las siguientes proposiciones:
([
) La operación
* definida en el conjunto
de los números enteros positivos por:
a*b=a'
es cerrada.
[
(——)
) La operación
conmutaliva,
* definida en el conjunto de los números
reales por:
a*b=ub
cs
La operación * definida en el conjunto de los números racionales por: a*b=a+b
es
asociativa.
( -)
La operación * definida en el conjunto de los números enteros por:
admite elemento neutro,
a*h=a-—b
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
310
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
A)
B)
C)
D)
E)
TU INGRESO ES DIRECTO
FVVV
VFFV
FVFV
FFFV
VVVE
22. Se define en el conjunto de los números reales, la operación Y como: a 4b=4+b-ab
eN
Hallar: £- =
E
a 7
Ea
á
———7, si a ' es el elemento inverso de a.
5 4
A) 611
B) 2
O
-192
DIA
Ej 1
23. En el conjunto a =([
1,2,3.4 | se define la operación binaria A ”, de acuerdo tabla adjunta.
,
lar: Buscar
Calcular
Ñ 11A2
)
an33
T]
Nota: a elemento inverso de a,
Ay
B)2
C10
D) 3
Ej 4
24, Se define en E la operación “A” mediante la siguiente relución:
diferentes de cero, Determine el valor de cada proposición.
L [> a) a (290)
á
b
4Ab=ab+2
Va beR
=12
J
ll. La operación Á es conmutaliva.
[IL La operación A tiene elemento neutro.
A)
B)
C)
D)
E)
VEV
VVF
FVW
FVF
VVV
25. Se define en los enteros no negativos una operación representada por *, mediante la tabla:
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
3n
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Califica con verdadero (W) o falso (F) a cada una de las siguientes proposiciones:
1)
11)
111)
D* 1414242384
cc
+ 100? 11= 1320
ODA
14 ec
O 10 = 110
DD TAO 42 PDA iD 0 = 110
A) VVV
B) VVF
C) FEF
D) FFWV
E) VEV
+
. En el conjunto de los números reales, se define: p 9 q =
E
l+ pq
inverso de a. Calcular: E =
I
=
, en donde a? es el elemento
2
3
A)
B)
c)
D)
E)
1
3
2
-1
4
. Dado el operador:
a'Y b = (aaa
LE
.... aa)”
, determina en que cifra termina 2% 21 +34: 23
CS
b cifras
Aj 2
B)3
04
Dj 5
EJÓ
28. Se define la siguiente operación en el conjunto de los números reales: (a*b) - 2(b*a)-1, se
pide; E=(1,1)*(1,2)+(1,3)*(1,9)+
(1,5) * (LO) ocnoinreeross +(8,5)* (8,6)
A)
B)
C)
D)
E)
19
24
40
38
22
. En el conjunto B = (1,2, 3,4) se define la operación H£ mediante la tabla adjunta,
er
.
Calcule: L = ————, donde n” es el elemento inverso de n,
394
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
312
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
O:
30. Se define el operador O) de modo que:
Ax
x
O+0+0+
Calcule
l
1 _
.
——
+
$50 términos
A)
B)
€)
D)
E)
20/21
19/20
50/51
18/19
36/11
5$H2=25
31
Si se cumple que:
4%3=64
348]
A
22
Determine el valor de: £ = L(2)+(9))- [6)+(2)]
(100001)
4 (99999)
A) 80
Bj
0
Cs
DB)
1
E) No se puede calcular
. Definimos el operador “e” en el conjunto A=(0,2,4, 6,8) y además se tiene la siguiente
tabla:
A) 2
B) 4
cy 0
0
E)
3
6
Calcular “x" en: [ [xa
33, Si
Ma-2)=g(x)+2
a+ M0)
A)
27 Ja (446)")"-2
y
glix-2)=f(1)-2
, halle
el valor
de
“n”
de
la igualdad:
12) =T(4)+1(0)4+3
Ó
B) 4
Cc)
15
D
3
E]
3
34, Se define
en los Reales:
aqh=
Ma
Da
-
"+b
ñ
—b
+ Halle el valor de “n” en: (+) fn=n*41
n
A) 41
By2
a
Da
¿Ey 7
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
313
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
la d+
35. Se define
el operador Y
en losmbmeros reiles:como is
bos dad
l8-
Halle 0r+p de la sucesión:
(0% 7),(0%9 6),(1V
lioai
sb
b':si
a<b
ab
e>b
5),3,.0,p
Aj 11
B)
O
10
13
Dj
E)
18
12
36. Se define el operador en los reales:
El (m) =
n+l
- Halle el valor de:
El (a) , si se cumple
n-|
que
(6 (a))=3
A) OD
Ba
C) la
D2
E)
1
37. Sise define el operador (%) de la siguiente manera:
xo a 8)
E) E
aub'
=
(a —(b+1 y
Calcule:
Jo £)
20 paréntesis
38. Si se define en el conjunto de los números enteros positivos: Je Sa=10'k 4/0).
valor de*a*en:4 9 (a 9
Halle el
42) 2 Tm
A) 72
B) 9
C)
6
D) 12
E) 15
39. Si se define la operación * en los Reales como:
% de “a”
J
en:
la +1? = 2(/b +17) ab ; Halle el valor
MD
a
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
314
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
A) ys
B)5
06
Doy 46
E) 2
40. Se define en Z una operación representada por *, mediante la tabla:
Calcular: 15* 30
A)
21
Bj 18
Cc) 15
Dj 34
E) 25
Unidad 9 - Operadores Matemáticos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
315
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con nosotros
UNALM
TU INGRESO ES DIRECTO
UNIDAD 10
PLANTEAMIENTO
DE ECUACIONES
Eau
Es
NN 1D)
ne
1 ] Ú IDEN
315
Prohibida su reprodueción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
OBJETIVOS
Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de:
Ll. Interpretar enunciados y expresarlos con lenguaje simbólico.
2.
Procesar el lenguaje algebraico de una ecuación.
3,
Resolver un problema planteando una ecuación lineal inmediata.
4.
Resolver un problema usando sistema de ecuaciones lineales y no lineales.
5.
Resolver un problema planteando una ecuación cuadrática.
CONOCIMIENTOS
PREVIOS
Para la presente unidad el alumno deberá conocer previamente:
l.
Significado de términos:
variable, constante, incógnita, diferencia entre incógnita y variable,
artificio, algoritmos. Uso de signos de colección, jerarquía de operaciones; simplificación, reglas
algébricas, lenguaje simbólico.
2.
Métodos de resolución: operaciones Ecuaciones simultáneas: Igualación, reducción, sustitución.
Ecuaciones cuadráticas: por factorización, completando cuadrados, fórmula general. Operaciones
fundamentales.
CONTENIDO
10.1 INTRODUCCIÓN
10.2 EL LENGUAJE SIMBÓLICO
10.3 PLANTEAMIENTO DE UNA ECUACIÓN
10.4 ECUACIONES LINEALES.
10.5 ECUACIONES SIMULTÁNEAS.
10.6 ECUACIONES CUADRÁTICAS.
10.7 ECUACIONES DIOFÁNTICAS.
RESUMEN
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS
Unidad
10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
de ecuaciones
total o parcial sin autorización
316
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
10.1
TU INGRESO ES DIRECTO
INTRODUCCIÓN
Una de las mayores dificultades para la resolución de problemas a través de los tiempos fue
siempre el de los textos extensos en los procesos. El desarrollo simbólico con el uso de
signos para denotar cantidades es iniciado por el matemático francés Viéte en el siglo XVL
Con esto se llegó al concepto del álgebra como una generalización de la aritmética.
Las propiedades y las reglas operacionales de lus ecuaciones serán ubsueltas con suficiencia
en el curso de álgebra; en el presente texto el objetivo central es propiamente el planteamiento y
la resolución de un problema usando ecuaciones
10.2.
EL LENGUAJE SIMBÓLICO:
En un problema determinado hablaremos de enunciado cuando nos refiramos a un lenguaje
literal cuyo contenido puede ser expresado en forma simbólica. Veamos los siguientes ejemplos:
ENUNCIADO
LENGUAJE
SIMBÓLICO
|.
La suma de dos números consecutivos.
x + (x+1)
2.
La suma de dos números pares consecutivos,
2x + (1x +2)
3.
La suma entre dos números, que difieren en tres unidades.
x + (x+3)
4.
La suma de dos números impares consecutivos.
(2-1) +(Qx+1)
3.
El producto de dos pares consecutivos.
2x(2x+2)
6.
La diferencia de dos impares consecutivos.
(2x-3H(2x —-1)
7.
La suma de las inversas de dos números.
=. -
8.
La inversa de la suma de dos números.
x*+y
9.
Ladiferencia de cubos,
a.
10. El cuadrado de la suma de dos números.
(x + yy
11. Producto de 2 números que suman treinta.
(x)(30-x)
12. La mitad del cubo de un número.
-
13. El cuadrado del doble de un número.
(21)
14, El cubo de la suma de un número con dos.
(x +2y
15. El cuadrado del quintuplo de un número.
(5x)
16. El quintuplo del cuadrado de un número.
5xl
17 El
x
ple del cubo de un número.
Unidad 10 - Planteamiento de ecuaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
317
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
18. El cubo del triple de un número.
(3)
19. La quinta parte de un número disminuido en dos.
E > z
20. El cuadrado de la diferencia de dos números,
(a -yY
21. El producto de dos números que suman 15,
(15.1)
22, El triple de la suma de dos números,
HKx+y)
23, El triple del cubo de un número,
Mx)
24. La cuarta parte de un número disminuido en tres.
a
ál
25. El doble de un número aumentado en cinco.
Mx+
26. El doble de un número, aumentado en cinco.
21x+ 5
27. La cuarta parte de un número, disminuido en tres.
5)
Má
4
28. La sexta parte de un número aumentado en siete.
E
b
20. El triple del número, aumentado én su cuadrado.
Hita
30. El doble del número disminuido en su mitad,
Mx -x/2)
31. El doble del número, disminuido en su mitad.
2x—x/02
32. El doble de una diferencia de cubos.
Uv - y)
33. El doble del cubo de la diferencia.
Ux —yY
S
34. El cubo de la quinta parte de un número.
>
s
1
35. La mitad del cubo de la suma de dos números,
36. Un quinto del cuadrado de un número impar.
3
; ]
z a. y?
(Ex
-1) .
5
37. El exceso de un número sobre un quinto de éste.
CE
5
38. El exceso de un número sobre el doble de otro.
a
39, Un número aumentado en la quinta parte de su cubo
x —- (2y)
x+
-.b
Xx 3
5
Unidad 10 - Planteamiento de ecuaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
318
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
10.3
TU INGRESO
ES DIRECTO
PLANTEAMIENTO DE UNA ECUACIÓN
El planteamiento es el proceso que implica transformar el lenguaje literal de un enunciado en
un lenguaje formal simbólico, en tal forma que la presentación nos permita enfocar la solución
de un problema, lléguese o no a obtenerla. La solución de las estructuras algebraicas con
independencia de sus realizaciones concretas se efectúa a partir de haber realizado dicho
planteamiento. Á continuación, vamos a plantear algunos enunciados simples:
(La referencia es a problemas de igualdades, en los cuales el planteamiento implica la utilización
de una sola variable),
l.
Dos es el exceso de un número sobre siete.
Interpretación:
Sea x: El número referido
x-7=1
2.
Dentro de 5 años la edud de Raúl será el triple de la edad de Gustavo,
Interpretación:
R: Edad de Raúl
G: Edad de Gustavo
(R+5)=3(G+5)
3.
Un número es tanto como los tres quintos de 5u cuadrado.
Interpretación:
Sea x: El número referido
3
Lu
ty
5
4.
El exceso de un número sobre su sexto, es tanto como el exceso de la mitad de dicho
número respecto a doce.
Interpretación:
Sea x: El número referido
A
x
6
1
1-—=
5,
-—-11
Ricardo tiene tantas semanas como Tania días, La edad de ésta es excedida en
veinticuatro años por la edad de aquel.
Interpretación:
Edad de Tania: x
Tx —x=24
6.
Edad de Ricardo: Tx
(Considere que | semana = 7 días )
Un número disminuido en trece equivale a Veinte
Interpretación:
Sea x: El número referido
x- 1l3= 20
Unidad
10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
319
de ecuaciones
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
7.
El triple de un número, aumentado en treinta es igual a sesenta
Interpretación:
Sea x: El número referido
H
8.
+
30
=
60
La cuarta parte de un número, incrementado en veinte es igual a su mitad
Interpretación:
Sea ax El número referido
X
+20
1
=
4
9,
ES DIRECTO
1
Tiene veinticinco peces, cinco lenguados más que sardinas
Interpretación:
N? de Sardinas: x
N? de Lenguados: 25-x
(215-x)-1x=5
10. Dos piezas de madera juntas miden 200 m, una excede en 20 ma
Interpretación:
x ; Una pieza de madera
(200-x)-x
=
20
la otra.
200-x ; Una pieza de madera
ú
x-(200-x)=
20
11. Dos números suman 24; uno de ellos es El triple del otro.
Interpretación:
x: Un número
FM
x=3(24=x)
Ú
: Un número
(24 -13)=3x
12. Gasté los tres cuartos de lo que no gasté, tenía 168 soles.
Interpretación:
No gasté:
x
Gasté:
Luego:
Gasté
+
mn
4
=
Unidad
a
Tenía: 168 soles
4
Nogasté
+
Xx
=
Tenia
=
168
También podría interpretarse;
GASTÉ
+
3K
+
10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
NO GASTÉ
4K
TENÍA
=
168
320
de ecuaciones
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
10.4
TU INGRESO ES DIRECTO
ECUACIONES LINEALES
Una ecuación lineal o de primer grado con una incógnita es de la forma ax + b = c; donde a, b,
e son constantes reales cona $ 0
Ejemplo 1:
Hallar dos números impares consecutivos cuya suma es 68
Resolución:
impar
consecutivo
(2x- 1)
Luego: (2x - 1)=33
y
+
(2x+1)
suma
=
68
dx =
x=
68
17
(2x+1)=35
Ejemplo 2:
Setenta excede a un número, tanto como el número excede a su tercera parte.
Halle el triple
de dicho número.
Resolución:
Sea x el número,
TWDex=
Y
1-
3
W=ix-2
3
20=
bx—
x
3
10-=
>
H0=5
=>
x-4
Es importante leer la pregunta antes de responder:
El triple del número es: 126
Unidad
10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
de ecuaciones
total o parcial sin autorización
321
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
10.5
TU INGRESO ES DIRECTO
ECUACIONES SIMULTÁNEAS
Nos referimos a un conjunto de dos o más ecuaciones que contienen dos o más cantidades
desconocidas, En conjunto, estas ecuaciones especifican condiciones que estas cantidades
desconocidas deben satisfacer al mismo tiempo.
Ejemplo 1;
Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea un sistema de ecuaciones en los
siguientes términos:
1/4 anchura + longitud =7 manos
longitud + anchura = 10 manos
Resuelva el sistema.
Resolución:
Para resolverlo comenzaban asignando el valor 5 auna mano y observaban que la solución
podia ser: anchura = 20, longitud = 30, Para comprobarlo utilizaban un método parecido al de
eliminación, En nuestra notación, sería:
y+dx= Bl
IT)
y+x =00...( 1)
Aplicando el método de reducción, De 1 y ll:
y+4x= 28
-Y=-x==-10
hi =
Reemplazando en (1): y +6=10,
18
Entonces: x=
6
é y=4
Ejemplo 2:
Si sumamos las cifras de un número menor que cien, se obtiene un múltiplo de tres; si al
número original se le resta nueve sus cifras quedan invertidas. El mayor número que cumple
con estas condiciones es:
Resolución:
Si es menor que cien y lienes cifras en plural, se trata de un número de dos cifras
mn
>
nm
10m +n -9= 10n
+ m
0m-%1=09
9 m-=-n)=9
m-n=1
Es decir el número puede ser: 49; 78; 67; 56; 45; 34; 23;12.
Pero es múltiplo de tres: 78; 45; 12
El mayor número
Unidad
es: 78
10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
de ecuaciones
total o parcial sin autorización
322
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
10.6
TU INGRESO ES DIRECTO
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado, es una ecuación polinómica de la
forma: ex * + he + e = 0 donde a, b, e son constantes reales con a 4 0
Ejemplo 1:
¿Cuál es aquel número entero positivo, cuyo cuadrado lo excede en treinta?
Resolución:
Sea X: El número buscado:
Luego:
Entonces:
Xx - X =30
Además:
X=6
X-1=5
X(X-1) = 30
Porlo tanto:
y un = 45)
X=6
El número es seis
Ejemplo 2:
El cuadrado de la suma de las 2 cifras que componen un número es igual a 121. Si a este
cuadrado le restamos el cuadrado de la cifra de las decenas y el doble del producto de las
2 cifras, se obliene 81, ¿Cuál es el número?
Resolución:
Sca el número:
(a+bY-a
ab
Pero:
- 2ab=81
(a+by=121
(a+b)=1L....11
121— 8l =a? -2 (aX(b)
Luego, reemplazando Il en 1:
40 =a (a+2b)
40=a(11+b)
40 =ala+b+b)...... 1
a=2;b=9
ab =29
Unidad
10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
de ecuaciones
total o parcial sin autorización
323
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
10.7
TU INGRESO ES DIRECTO
ECUACIONES DIOFÁNTICAS
Nos referimos ecuaciones de la forma ax + by = e; donde a, b, e son constantes, con soluciones
enteras,
Ejemplo 1;
Un estudiante compra “x" articulos de trece nuevos sóles cada uno e “y” articulos de dicciscis
nuevos soles cada uno; si en total gastó ciento cuarenta y ocho nuevos soles, Halle * x + y”,
Resolución:
De acuerdo al enunciado: 13 x + 16 y = 148
Nótese que tanto 16 y como 148 son múltiplos de cuatro. Luego:
13 x + múltiplo de 4 = múltiplo de 4
13 x = múltiplo de cuatro. Además 13 x= múltiplo de 13
Entonces: 13 x = múltiplo de (4x13)
Siendo: 13 x = múltiplo de 52
Los valores que puede asumir 13x = (52:104] ; puesto que 156>148
Por lo tanto: 52 +16
y = 148
ó
16 y = 96
ú
104 +16y = 148
Pero y es un número entero, entonces y = 6;
16 y =44
52=13x
x=4
Por lo tanto x +y= 10
Ejemplo 2:
¿Cuál es el minimo número de monedas dos soles y de cinco soles, que se pueden emplear
para cancelar una cuenta de ochenta y nueve soles?
Resolución:
Para utilizar el minimo número de monedas, se debe usar el mayor número de monedas de
cinco nuevos soles:
3x
+ 1y = 89
Luego:
S5S(17)+2y=89
ly=4
Por lo tanto x + y =
Unidad
x=17
y=12
19 monedas
10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
de ecuaciones
total o parcial sin autorización
324
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
RESUMEN
Ecuaciones
Lineales:
De la forma: ax +b = €;
a, b,ce constantes reales cona 0
Ecuaciones
Simultáneas:
Dos ecuaciones de la forma: ax +by=e;
ax" + bx +c=0
a,b,e
constantes reales
Ecuación cuadrática:
De la forrma:
2, b, € constantes reales con a + 0.
Ecuación Diofántica
Una ecuación de la forma ax + by = €; donde a, b, e son constantes;
con suluciones enteras,
EJERCICIOS
l,
RESUELTOS
Un estudiante gasta 1/3 del dinero que tiene. Posteriormente gasta los 2/5 del dinero que le
quedaba y le quedan entonces S/. 120, ¿Cuánto tenia?
Resolución:
Sea a tenia inicialmente
Gasta
l
x=
1
x—-—x
3
queda
3
Luego: pasta 2/5 E
0207)
—=—
queda
2
—
3
]
120 = 2 ¿EE
3
15
x =300
2.
Luego tenía S/. 300 (Trescientos nuevos soles)
Sabiendo que el número 23 excede a otro número, tanto como éste excede al número
diecinueve. Halle el número desconocido.
Resolución:
Sea X el número desconocido, efectuemos el planteamiento:
*23 excede al número X”:
23-X
“éste excede al número 19”
X-19
La frase * Tanto como” implica igualdad, es decir:
23-X=X-19
234
0
Unidad
42=2X >
10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
10=X4X
X=21
de ecuaciones
total o parcial sin autorización
325
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
3
TU INGRESO ES DIRECTO
Sabemos que tres veces una cantidad, disminuida en cuatro es igual a once, entonces, tres
veces éste número aumentado en dos será:
Resolución:
3Xx—-d=|1
3x
Luego:
d.
=.15
-
X=5
3(00+2) + 3(5+2)
> XM=21
Tres amigos forman una sociedad, cuyo capital asciende a 24 000 dólares de capital.
primero aporta los 3/8; el segundo los 8/15 del resto, Entonces el tercero aportó:
El
Resolución:
Primer amigo:
3
"24 000 = 9000
3
.
3
Segundo amigo: — .(24 000
15
- 9000)
= 8000
Tercer amigo +9 000 +8 000 =24 000 —+
si
Alfredo tiene S/. 1200 y Daniel S/.500
Tercer amigo =7 000
después de que cada uno de ellos gastó la misma
cantidad de dinero; al primero le queda el triple de lo que le queda al segundo. ¿Cuánto suma
el dinero que les queda a ambas personas?
Resolución:
Sea X: Lo que gasta cada uno
Luego: (1200 -—X)=3(500-X)
1200 -X =1500-3X
2X =300
Xx =150
Entonces les queda:
Alfredo: 1200— 150= 1050
Daniel: 500-150 =350
6.
=> Les queda: 1050 +350
=1400
Dados tres números pares conseculivos cuya suma equivale a 546. Determine el mayor de estos
tres números,
Resolución:
(2x) + (2042) + (24+4) = 546
Ox +6=546
61 = 540
x= 90
dal
Los números
son: 180; 182; 184
Unidad 10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
El mayor es
184
de ecuaciones
total o parcial sin autorización
326
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
Ye
TU INGRESO ES DIRECTO
Dos amigos se disponen a participar en cierto juego, se sabe que lo que tiene Eduardo antes de
empezar era los 2/5 de lo que tenia Gustavo en ese momento. Después de la primera
participación Eduardo perdió 200 nuevos soles y Gustavo ganó 400 nuevos soles; resultando
entonces que Gustavo tenia nueve veces más que Eduardo. ¿Cuánto tenía Gustavo inicialmente?
Resolución:
Ántes de empezar tenian:
¡Gustavo = x;
Eduardo=
*
5
Después de la 19% participación:
Gustavo = x +400
Eduardo = >
-200
5
[x +400 ) = 10( a, 200)
am
veces más =10 voces
5
ro
2000 +400=4x
-x
5
(x0+ 400 ) = 2(2x — 1000 )
2400 =3Ix
(x +400 )= (4x — 2000 )
Tenia S/, 800 nuevos soles
Cuando a cierto abuelo le preguntan la edad
semanas como mi nieto días”. Le preguntan
como yo años”; y al preguntársele su edad
exactamente una centena de años. Calcule la
=>
x = 800
de su único hijo, responde: “Mi hijo tiene tantas
por la edad de su nieto, dice “tiene tantos meses,
responde: “Nuestras tres edades juntas, suman
diferencia entre las edades del hijo y del nieto.
Resolución:
Mi hijo tiene tantas semanas como mi nieto dias
Nicto=x
Hijo=7x
Tiene tantos mescs, como yo años
Niclo=x
Abuclo=12 x
Suman exactamente una centeno
x+7x + 12x- 100
20x = 100
1=5
Nicto=x
Nicto= 5
Hijo=7x
Hijo=35
Diferencia entre hijo y nicto 35-5=
Abueclo=12x
Abuclo=60
30 años
Teniendo como información que la suma de dos números enteros positivos es “N", ¿Cual es el
máximo valor que puede alcanzar la diferencia de dichos números?
-
Unidad
Resolución:
10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
de ecuaciones
total o parcial sin autorización
327
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Sean los números: "x" y “N-x"
Siendo enteros positivos para alcanzar la máxima diferencia, el menor será 1
Los números son: “1” y “N-1”
Máximo valor de la diferencia= (N-1)-1
Máximo valor de la diferencia=
10.
N-2
Si a un número de dos cifras le restamos veintisiete, resulta el mismo número pero con las
cifras invertidas. Determine el producto de las cifras de dicho número sabiendo que la suma es
nueve.
Resolución:
Sea el número de dos cifras: xy , el planteamiento será:
y -27=n
Luego:
— * +Y
<=
>)
dl
2x=12
(10x
+ y) —(10y
+x
) =27
x=6
En!:
by
9x-9y=27
=0
yA
1-y=3
El número será: 63;
El producto será 6x3 =18
ll.
Cynthia le dice a Gellmy “Si me das una moneda tendré el doble de las tuyas, si te doy una
moneda ambos tendremos la misma cantidad de monedas. ¿Cuánto dinero tiene cada una, si
todas las monedas de Gellmy son de cinco soles y las de Cynthia son de dos soles?
Resolución:
Sean.
x= Números de monedas de Cynthia
y = Números de monedas de Giellmy
+ 1==2Ay- 1)
x-l=y+1
De(1)=(0)
12, —
—
x=2y-3...(1)
—
x=y+2... (11)
2y -3=y+2
Gellmy= 5(5)
Gellmy= 25
-y 5x7
Cynthia= 7(2)
Cynthia = 14
Cierto espectáculo público cubre sus gastos con las entradas de treinta adultos más 70 niños o
42 adultos más 18 niños. Si entraron solamente niños. ¿Cuántas entradas cubrirá sus pastos?
Resolución:
da
- = costo de entrada de un adulto
Unidad 10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
é
y = costo de entrada de un niño
de ecuaciones
total o parcial sin autorización
328
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Luego: — 30x+70y= Gastos
DR
Gastos. os
- TOy
42.Gastos — 2940y + 540y = 30.Gastos
12 h Am
2D
42x + 18y = Gastos
.....( 11)
Sas
E 540y
—e
Gastos = 200y
Remplazando | en Il:
Los gastos se cubrirán con
42 (Gastos
70)
e
13,
Si
=
0
0
E
Gustos
e
200 entradas de niños
compro un peine y dos espejos gastaria doce dólares, en cambio si compro tres espejos y
cualro peines pagaria 38 dólares. ¿Cuánto dólares costarian un peine más un espejo?
Resolución:
2E+1P =12
3E+4P=38...(1)
P=12-2E
.... (11)
Reemplazando (1) en (1):
3E + 4(12 -2E)=38
3E + 48 -8E = 38
48-38 =RE-3E
SE=10
E=2
En (11): P=12-—(2E)
P-12-4
P=8
Luego un peine más un espejo: 2 +
14.
=1
En un triángulo rectángulo las medidas de la hipotenusa y los catetos toman valores enteros.
Si un cateto tiene 8 m de longitud. ¿Cuántos melros de longitud tiene el otro catelo?
AJ
15
B6
012
Dj 20
E66 15
Resolución:
Aplicando el teorema de Pitágoras:
d-
Bm
(x+y)(-
y) = 64
y) =
64.......(1)
y
] Descomponiendo a 64 en dos factores, tendremos:
1(64) —
Unidad
(x+y]=
10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
64
y
(x- yl
No se obtienen valores enteros
de ecuaciones
total o parcial sin autorización
329
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
2132) =
(x+y)=32
y
—(x-y)=2
—x=17;
y=15
4(16)
(x+y)=
16
y
(x-y)=8
—x= 10;
y=6
[x+y)=
y
dx - y)= 8
E)
—
8
tendría que ser y = 0
Luego: Hay dos soluciones:
15.
x= 15mó6x=óm
Ricardo tiene cierta suma de dinero; compró una pelota y una gorra, entonces le quedan tantos
soles como costó la pelota. Si quisiera comprar una gorra más le faltaria 10 soles. ¿Cuánto
costó la pelota sabiendo que si hubiera obtenido una rebaja de 10 soles en cada objeto, sólo
hubiera gastado 48 soles?
Resolución:
Costo de una pelota
=x
Costo de una gorra
=y
Gasto + queda= Tenía
(x+y)]+
(x+2y)
x
(x - y) =10... (a)
=Tenia...l
(x— 10) + (y = 10) = 48
= Tenía + 10... 11
(a+
Del y Il:
y)=068...(059
De (1)
y (8):
2x+y=x+2y+10
*=30€
y-= 29
2x-x=2y-—y+10
16,
En una granja se cuenta con treinta y dos animales entre gallinas y cameros,
se puede contar 90 patas, ¿Cuántas gallinas más que cameros hay?
entre los cuales
Resolución:
Sean x: El número de carneros
y: El número de gallinas;
Siendo el número de animales 32:
luego:
x+ y = 32
Si multiplicamos la ecuación x(-2), tendremos:
(0
-2x - 2y = -64
(n* de animales )x(- 2) ....... (1)
dx +2y=
(n* de palas)
(1:
90
2x+0=26
Como son 32 animales:
Finalmente:
405
—
ss
CL)
l3 cameros
—= 32 -13=19 gallinas
19-13 >6
|
Hay 6 gallinas más que carneros
También podemos resolverlo, usando una sola variable:
Unidad
10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
de ecuaciones
total o parcial sin autorización
330
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
Sea
TU INGRESO ES DIRECTO
x: El número de gallinas, entonces; 32-x: El número de cameros;
Luego:
x gallinas
32 -x cameros
—
—
xo
(? de patas de gallinas)
4(32-x) ......... (n? de patas de carneros)
Si sumamos todas las patas tendremos en total 90 patas,
2x+432-x)=%90
2x + 128-4x
—
HE =2x
=90
x= 19 gallinas
128 —90 = 4x —2x
32-x = 13 carmeros
Luego:
17.
19-13 = Hay 6 gallinas más que carneros.
Andrés con un grupo de amigos alquilan un ómnibus en S/, 320, En el momento de partir
faltan 2 personas, y por eso los demás tienen que pagar cada uno S/. 8 más. ¿Cuántos amigos
viajaron en el ómnibus con Andrés?
Resolución:
5can
X=n" personas, Y = cuota de cada persona
E E
E e+ A
(AB
Y 48) =
Y
80 icon (11)
De (1) en (1) y simplificando, obtenemos
Xx -2X-80=
0
(X-10)(X+8) = 0
X-10=
0
—>X=10
La respuesta es:
Viajó con 7 amigos
También podemos efectuar el planteamiento con una sola variable:
Sean
—X=n” personas,
Cuota de cada persona:
;
Al partir faltan 2 personas ;
XA —2= py" personas; Cuota de cada persona x
320
cfu pagó S/.
8 más:
En
-
X-2
320
=8
320
80 =X(X-2)
Xx
X(X-2) = 80
¡cdo
A
-
XE
X(X2)=
pr
E
Unidad
X= 10
10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
10.(8
de ecuaciones
total o parcial sin autorización
331
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
El denominador común: X(X-2)
13.
4O0CX)-40(X-2)=X(Xx-2)
Por
lo tanto:
JOX
Andrés viajó con 7 amigos
—
4OX
+80
=X(X-2)
El profesor Daniel debe repartir $ 1 800 entre un grupo de profesores, pero, cuatro
renunciaron a su parte, con lo cual a cada uno de los restantes le tocó $ 15 más. ¿Cuántos
profesores eran inicialmente?
Resolución:
mM"
X-4
.-Y
a
120X — 120X + 480 =X(X-4)
XxX
X (X-4) = 480
120
120
X-4
Xx
a]
lO
*
ARO
X= 24
120(X)-120(X-4)=X(X-4)
Por
lo tanto:
Con
19,
Danicl, eran 25 Profesores
En un terreno de forma rectangular, el largo excede al ancho en 12 m. sí cada dimensión
aumenta en 3 m. el área de su superficie es igual a 133 mi, ¿Cuál es el área inicial del terreno?
Resolución:
INICIO:
FINALE:
x
+12
133 m*
)
(+3)
(x +15)
(x+3Xx+15)=133
Cálculo del área inicial:
+
1Bx +45
=133
(x+12)(x)=
16 m(4m)
x7+ 181 = 88
(x+ 1210 x)=64 m
x(x+18)-=4(22)
x=4m
Unidad
10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
Área inicial: 64 m *
de ecuaciones
total o parcial sin autorización
332
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
20.
TU INGRESO
ES DIRECTO
Pedro le dice a su primo si me das un sol tendré el doble de tu dinero, en cambio si te doy
un sol ambos tendremos la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero tienen entre los dos?
Resolución:
Pedro: X
Pedro: X
Primo: Y
Primo: Y
+
+= Ay
-1)
Del=11
Luego entre los
2y-3=y+2
dos tendrán:
Go. 1) =(y+1)
2y-y=2+3
x+y=7+5
(x + 1) = 2y -2
(x-1)=y+1
y =5
x+y=12
== 2y-3...1
x=y +2... II
En lk.x=7
EJERCICIOS PROPUESTOS
Una alcancia contiene doscientos sesenta nuevos soles en monedas de dos soles y cinco
nuevos soles, se sabe que tiene el cuádruple número de las primeras que de las sepundas.
¿Cuántas moncdas en total contiene?
A) 100
B)20
0)80
D) 60
E) 120
En una tienda se tiene al inicio del día ocho chocolates de S/, 1 cada uno y cuatro chocolates
de S/2 cada uno; se sabe que vendieron chocolates de ambas calidades y al final del día se
tiene 5/,12 en la venta de éstos. ¿Cuántos chocolates sobrarán, si quedan chocolates de ambas
calidades?
aAy2
B)5
E)4
D)3
Ej8
Perdi la quinta parte del dinero que tenia y regalé dieciocho
soles, por lo cual sólo me
quedaron 2/5 de lo que tenia inicialmente, ¿Cuánto tenía al inicio?
A) 40
B)45
C) 50
D) 55
E) 60
Se tienen dos números x e y; determine entre las cinco alternativas la expresión que simboliza
el enunciado. “El cuadrado de la suma de dos números es el triple de su diferencia”
ADIOS -y)=x+ y
BI tyY =x - y
O) + y" =3(x - y)
DIx+ y =3
E) (x + yY =3(x - y)
Unidad
10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
333
de ecuaciones
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
5.
TU INGRESO ES DIRECTO
En un depósito se guardan veintiocho vehiculos, entre
bicicletas y triciclos,
entre los cuales
se puede contar sesenta y nueve llantas, ¿Cuántas bicicletas más que triciclos se guardaron?
A)7
B)5
Cc)!
D)3
E)2
6.
Se convoca a una Asamblea, de tal manera que se encuentran presentes, en cierto momento,
setenta personas entre damas y varones. Se sabe que por cada tres damas
había cuatro
varones; Si se retiraron cinco parejas. ¿Cuál fue la nueva relación entre damas y varones?
AJTS
B) 517
0)3/4
M7
EJ37
ml
Compré cuatro veces el número de camisas que de polos. Si hubiera comprado cinco polos
más y cinco camisas más tendría triple número de camisas que de polos, ¿Cuántas prendas en
total compre?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
En una práctica de matemática que liene 40 preguntas, por cada respuesta acertada se asigna
tres puntos y por cada equivocación se asigna un punto en contra. Si uno de los concursantes
obtuvo cien puntos habiendo respondido todas las preguntas, ¿Cuántas preguntas respondió
equivocadamente?
A)
B)
C)
D)
E)
9.
35
60
40
50
45
15
12
10
8
5
Un grupo de niños está formado de modo que hay tantos niños por columnas como niños por
filas. Para formar con un niño más por fila harian falta 13 niños. ¿Cuántos son los niños?
A)
B)
C)
DJ)
E)
Unidad
13
169
196
324
139
10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
de ecuaciones
total o parcial sin autorización
334
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
10,
TU INGRESO
ES DIRECTO
Un estudiante tiene cierta cántidad de dinero, esta cantidad excede a su cuadrado más próximo
en treinta y nueve soles y es excedida por el siguiente cuadrado en diccistis soles. Dar como
respuesta la suma de las cifras de dicha cantidad.
A)21
B)15
oz
D) 18
Ej) 24
L,
Se tiene un montón de ochenta y nueve monedas con un peso de 10 gramos cada una y otro
de treinta y ocho monedas con un peso de 25 gramos cada una. ¿Cuántas monedas deben
intercambiarse entre ambos montones para que los 2 montones sean de igual peso, sin variar el
número de monedas de cada montón?
A)2
B)3
C)4
D)5
E) 1
12.
El corre caminos perseguido por el coyote, lleva ya adelantados noventa saltos; da cinco
saltos mientras que el coyote da cuatro saltos, Además sicte saltos del corre caminos equivalen
a cinco saltos del coyote, ¿Cuántos saltos tendrá que dar este para alcanzarlo?
A) 300
B) 600
C) 150
D) 280
E) 540
13,
Cierto estudiante le dice a un compañero de aula si me das un sol tendré el doble de tu dinero,
en cambio si te doy un sol ambos tendremos la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero
tienen entre los dos?
42
B) 153
cols
Dj) 14
E) 10
Un prototipo debió cubrir una distancia en cierto tiempo; pero como el conductor era novato
recorrió todo el trayecto con una velocidad menor en 1/5 que lo esperado, llegando retrasado
cuatro horas respecto de lo propuesto. ¿Determine usted en cuántas horas se debió cubrir la
distancia?
A)
B)
C)
DJ
E)
Unidad
18
10
14
16
15
10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
335
de ecuaciones
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
15,
TU INGRESO ES DIRECTO
Una bandada de palomas se acerca a una arboleda. Si en cada uno de los árboles se posaran
tres palomas faltarian tres árboles; pero si en cada árbol se posaran cuatro palomas sobrarian
tres árboles. Halle la suma del número de árboles más el número de palomas.
A)
B)
C)
D)
E)
90
36
93
95
72
Una persona puede comprar veinticuatro manzanas y veinte naranjas ó treinta y scis manzanas
y quince naranjas. Si comprara solo naranjas. ¿Cuál es el máximo número que podria
comprar?
A)
B)
C)
D)
E)
30
35
36
b4
T2
Treinta chanchos pesan un equivalente a 6 pavos y 6 carneros. Si se eligen “x" animales de
cada clase se obtiene un peso equivalente al caso anterior. El valor de “x” es:
A)4
B)6
C) 3
D) 5
E) 2
18.
El triple de
un número
entero aumentado
aumentado en cinco. Hallar la
condición,
en tres equivale al quintuplo
de otro entero
suma de los menores números positivos que cumplen esta
A 6
B) 8
e) 12
D) 11
E)
13
Se debe pagar 8/175 con monedas de 2 y 5 nuevos soles. ¡Cuántas monedas como máximo se
deben emplear?
AJ
B)
85
36
D)
83
C) 84
E) 82
Unidad
10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
de ecuaciones
total o parcial sin autorización
336
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
20.
Se dispone de S/.100 para comprar 40 corbatas de S/.1; 5/4; 5/.12 respectivamente, comprindose
por lo menos una de cada precio. ¿Cuántas corbatas de cada precio se compraron?
A)
B)
C)
D)
E)
21.
28;9,3
12;15: 13
18,9; 13
18; 19:3
8:29;3
— Un comerciante gastó 5/100 en comprar objetos de 3; 13; 23 soles, Si compró por lo menos
uno de cada precio, ¿Cuántos objetos compró sabiendo que llevo cl mayor número posible?
A)
B)
C)
D)
E)
22.
TU INGRESO ES DIRECTO
17
21
27
20
19
La diferencia de dos números es 120 y la diferencia de sus raices cuadradas es 6. ¿Cuál
será
la suma de las cifras de la suma de dichos números?
A)
B)
C)
D)
E)
23.
12
17
10
11
2
Se distribuye $ | 800 entre un grupo de personas, pero, cuatro renunciaron a su parte, con
lo cual a cada uno de los restantes le tocó $ 15 más. ¿Cuántas personas recibieron una parte?
Aj
B)
oO
D)
E)
24.
24
20
18
12
16
Un comerciante compró cierto número de articulos por dos mil
nuevos soles.
Si perdió dos
articulos y vendió cada uno de los restantes a sesenta soles más de lo que le costó cada uno,
ganando en total 80 soles, ¿Cuántos articulos compró?
A)
B)
C)
D)
E)
Unidad
10
50
200
12
150
10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
de ecuaciones
total o parcial sin autorización
337
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
25,
TU INGRESO ES DIRECTO
Regocijense los monos, divididos en dos bandos su octava parte al cuadrado en el bosque se
solazan; mientras que doce con alegres gritos, atronando en el compo
están.
¿Cuántos como máximo hay en total?
A)
B)
C)
D)
E)
26.
16
38
48
40
46
Con ciento ochenta soles se compraron duraznos. El vendedor hace la observación que si
compraran 6 duraznos más con el mismo
¡Cuántos duraznos se han adquirido en total?
A)
Bj
10
50
E)
30
dinero,
resultaría S/1
menos
cada
duraznos.
C) 200
D) 12
27.
Porcien dólares se ha comprado una cantidad de libros, Si el precio por libro hubiese sido un
dólar menos, se tendría cinco libros más por el mismo dinero. ¿Cuántos libros se compró?
A)
15
B) 30
Cc) 20
23.
D)
18
E)
25
Un grupo de comerciantes se asocia a fin de comprar una Fotocopiadora cuyo costo asciende a
5 1 200. El dinero que paga cada comerciante excede en 194 al número de comerciantes.
¿Cuántas personas participaron en dicha compra?
A) 5
B) 8
Cc) 6
D) 10
E) 4
29.
Un Ebanista vendió tres bancos más que sillas; pero tanto en bancos como en las sillas obtuvo
lo mismo. ¿Cuánto muebles vendió, si las sillas cuestan 360 soles más que los bancos y recaudó
S/.9 600 soles en total?
A)
B)
C)
D)
E)
Unidad
5
8
12
13
15
10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
de ecuaciones
total o parcial sin autorización
338
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
UNALM
Tu futuro empieza
con
nosotros
30,
TU INGRESO
ES DIRECTO
Una ama de casa compró cierto número de objetos por la suma de S/,120. Si por cada objeto
hubiera pagado S/,2 menos; habria comprado tres objetos más por la misma suma, ¿Cuántos
objetos compró?
AJ 8
B) 10
o 1
D) 14
Ej 15
31,
Dos técnicos “A”
y “B" han cobrado
512 soles y 200 soles respectivamente,
habiendo
reparado “B” 3 maquinas menos que “A”. Después se les contrató de nuevo, de modo que “A”
reparó las reparadas por “B” en la vez anterior y “B" reparó las de “A”. Cobrando esta vez
ambos la misma suma. ¿Cuánto cobraron estos técnicos por la reparación de una máquina?
A) 64 y 50
B) 64 y 40
C) 60
y 50
D) 66
y 40
E) 64
y 56
32,
Un comerciante compra cierta cantidad de polos por S/, 240 (doscientos cuarenta nuevos
soles). Si hubiera comprado tres polos más con el mismo dinero, cada polo le habria costado
5/4 menos. Si al número de soles que costó cada polo le sumamos el número de polos, se
obtendrá:
A) 20
B) 15
C) 27
Dj)
32
E) 35
33,
Un ciclista debe viajar 40 km., encuentra que si aumenta la velocidad en 1 km. por hora haría
el viaje en 2 horas menos. ¿Á cuántos kms por hora hizo efectivamente el viaje el ciclista?
A)
B)
10
12
O
D) 8
E) 4
34
Se ha recorrido una distancia
de 400
km, primero en automóvil
con
una
velocidad
de
45 km'h, luego a caballo a una velocidad de 8 km/h, habiendo empleado un total de trece
horas. ¿Qué distancia se recorrió en automovil?
A) 360 km
B) 320 km
C) 340 km
D) 260 km
] E) 350 km
Unidad
10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
339
de ecuaciones
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
35.
TU INGRESO
ES DIRECTO
Una Profesor nació en 1982. ¿En qué año su edad fue igual a la suma de las cifras del año de
su nacimiento?
AY
B)
2000
2002
C) 2004
Dj
E)
36.
2008
2010
Un padre dice que la edad de su hijo es igual a cuatro veces la suma de sus cifras; en cambio
la madre afirma que es igual al triple producto de estas cifras. Si ambos tienen razón. ¿Que
edad tiene el hijo?
A) 12
B) 8
06
D) 18
E) 24
37.
De la casa de Raúl que vive en Lima a la casa de Meche que vive en Ica hay 300 km de
distancia, Sia las 8 a.m. parten uno al encuentro del otro, cada uno en su propio automóvil; el
primero con una velocidad constante de 90 km/hora, mientras que Meche con una velocidad
constante de 60 km/h. ¿A qué hora, aproximadamente, se encontrarán?
Aj
B)
C)
lam.
l0um,
9 am.
Dj) 12m
E) 9:30 a.m.
38.
Un automóvil parte de Lima, del km 25 de la panamericana norte, con una velocidad constante
de 90 km/h, rumbo al norte. Tres horas más tarde sale desde el mismo punto otro automóvil en
persecución del primero con una velocidad constante de 120 km/h. Determine: ¿A qué distancia,
en km, del punto de partida se produce el encuentro?
Aj
B)
C)
D)
E)
35.
1080
900
1440
800
1200
Un granjero compró cierto número de gallinas por $ 2 000. Se le murieron dos gallinas y
vendiendo cada una de las gallinas restantes a $ 60 más de lo que le costó cada una, ganó un
total de 5 80. ¿Cuántas gallinas compró y a cuánto cada una?
Aj
10y 5200
D)
15y 5135
B) 5 y $150
C) 20 y $100
E) 40 y $50
Unidad
10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
340
de ecuaciones
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
40.
TU INGRESO ES DIRECTO
Á un Profesor de Razonamiento Matemático le pregunta. ¿Cuántos hermanos en total tiene
incluyendo hombres y mujeres? Por lo que responde bueno: “Mi única hermana dice que la
Unidad
ud 00
E
A)
B)
C)
D)
E)
Ln
mitad de sus hermanos usan anteojos”, en cambio yo sólo veo que los 2/3 de mis hermanos
varones usan anteojos, ¿Cuántos hermanos en total son, incluyendo al Profesor?
10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
de ecuaciones
total o parcial sin autorización
341
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
|
PRE
Tu futuro empieza
con nosotros
UNALM
TU INGRESO ES DIRECTO
UNIDAD 11
PLANTEO DE
INECUACIONES
341
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
OBJETIVOS
Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de:
l. Traducir diversos problemas al lenguaje matemático.
2. Resolver problemas utilizando inecuaciones y sistemas de inecuaciones, asi como analizar la
validez de las soluciones en el contexto del problema.
3, Valorar la utilidad del lenguaje algebraico para plantear problemas de diversa indole, y reconocer
su precisión y simplicidad,
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Los alumnos para desarrollar esta unidad deben tener un conocimiento sobre los siguientes conceptos:
L.
2.
Planteamiento de ecuaciones.
Resolver ecuaciones.
CONTENIDO
11.1. INTRODUCCIÓN
11.2, DEFINICIONES
11.2.1. INTERVALOS EN LA RECTA REAL
11.22. CLASIFICACIÓN DE LOS INTERVALOS
11,3, DESIGUALDAD
11.3.1. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
11,4, INECUACIONES
11.5. PLANTEO DE INECUACIONES
RESUMEN
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS
Unidad
11 - Planteo
de inecuaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
342
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
11.1. INTRODUCCIÓN
Tres de los signos que más se emplean en matemáticas son el de igualdad y los signos de
“menor que" y “mayor que”. Á continuación describiremos cómo se esertbieron estos signos en
la obra de álgebra de Thomas Harriot,
La paternidad de nuestro signo igual se atribuye al inglés Robert Recorde que nació a inicios del
año 1510. Estudió medicina en Oxford y Cambridge y fue médico de los reyes de Eduardo VI y de
Maria Estuardo. Como otros médicos de aquellos siglos se interesó por las matemáticas y publicó
varios libros en lengua vemácula: Grounde of Artes, un tratado de aritmética, The Castle of
Knundedee, una obra de astronomia, y The W;hetstone
of Witte, una obra de álgebra publicada en 1557.
El autor explica la elección de esta notación diciendo que “no hay dos cosas que puedan ser más
iguales”. En el grafico se reproduce cl signo igual que empleaba Recorde. El signo igual de
Recorde tardó en generalizarse muchos años y otros matemáticos emplearon otros simbolos. E.F.
Robertson, en un articulo publicado en internet, explica que Harriot empleaba en algunos escritos
para el signo igual el simbolo = , es decir dos rayas paralelas verticales y dos rayas horizontales.
Reunió en un simbolo las dos paralelas, las dos lineas horizontales y las dos verticales.
El primer dato que se posee sobre la biografía de Thomas Harriot (1560-1621) es su ingreso en la
Universidad de Oxford en el año 1577, cuando tenía 17 años de edad. Se graduó en 1580 y se
marchó u Londres entrando al servicio de Walter Ralcigh, que se encargaba de organizar
expediciones al nuevo mundo. Harriot se ocupaba de seleccionar a los marineros que iban a ira la
expedición y de formarles en las técnicas de navegación, Escribió un libro que se ha perdido en el
que se reunian las instrucciones que daba a los navegantes para mejorar el conocimiento de su
posición en alta mar. Fue un excelente astrónomo y el primer inglés que tuvo un telescopio, fue
uno de los primeros que observó las manchas solares rompiendo definitivamente la concepción
antigua de la perfección solar.
También participaba en el diseño de las naves y en la elaboración de los presupuestos de las
expediciones. Participó personalmente en una de ellas que tuvo por destino Virginia, convirtiéndose
en el primer matemático importante que estuvo en América del Norte. En este viaje tomó muchas
notas sobre la lengua y las costumbres de los habitantes de la zona. A su vuelta a Inglaterra se
trasladó a Irlanda y continuó con su trabajo.
A lo largo de su vida escribió miles
campos tan diversos como la óptica,
pero diversas circunstancias políticas
resultados en vida. Diez años después
de páginas detallando sus estudios y observaciones en
la química, la balistica, la astronomía y las matemáticas
y personales hicicron que no publicase ninguno de sus
de su muerte editaron su tratado sobre ecuaciones Ariis
Analvticae praxis ad Aequationes Algebraicas resolvendas en el que se pone de manifiesto su
destreza en la resolución de algunas ecuaciones de tercer y cuarlo
álgebra se dan algunas novedades en la notación. Una de ellas es el
menor que y para mayor que empleados en la actualidad. Muchos
han atribuido la paternidad de los signos * <” y “* >" a Harriot. Otros
póstuma fue el editor el responsable de introducir estos signos,
notaciones diferentes en unos casos y en otros.
grado, En este tratado de
empleo de los signos para
matemáticos, por lo tanto,
opinan que al ser una obra
ya que Harriot empleaba
- Qtro de los simbolos que empleó fue el punto para indicar la operación de multiplicar. Sin
embargo, este signo no fue ampliamente utilizado hasta que Leibniz aseguró que le gustaba más
que la cruz ( x ) ya que existía el riesgo de que se pudiese confundir con la letra de la incógnita.
Unidad
11 - Planteo
de inecuaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
343
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
11.2, DEFINICIONES
11.2,1.
INTERVALOS EN LA RECTA REAL
Dados dos números cualesquiera a y b, tales que a < b de la recta real, se define intervalo de
Y
A
extremos a y 6 al conjunto de los números reales comprendidos entre a y bh.
a
11.2.2. CLASIFICACIÓN
L
b
DE LOS INTERVALOS
Abierto en ambos extremos:
En forma
de conjunto:
(a,b)=
lxe
IR da <<
bh]
MM.
,
AFA
A
x_
AS
a
b
Y
Representación Gráfica:
Cerrado en ambos extremos:
En forma
de conjunto: [u,b]= [re IK /a<xrs<h)
Representación Gráfica:
*
PEREZ
a
11.
b
Semiabierto por la derecha:
En forma
de conjunto:
[a,b)=
[re
IRlasx<h)
Representación Gráfica:
IZZZZZZ ZA
E
Mt
- 00
+4
A
MW.
b
Semiabierto por la izquierda:
En forma
de conjunto: (u,5]= lxe IR /as<x
<b)
Representación Gráfica:
ZZZRZZZ]
a
Unidad
11 - Planteo
A]
de
xn
b
de inecuaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
344
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
V. — Abierto por la derecha que se extiende hacía la izquierda:
En forma de conjunto: -o,4)=
lxe IR iz <a)
Representación Gráfica;
'
HALL ELL
,
- 00
VI,
y
+ 00m
Cerrado por la derecha que se extiende hacia la izquierda:
En forma de conjunto: (=x.a] =lce
lí losul
Representación Gráfica:
LERRZLZ
TS
- e
VI,
+
Abierto por la izquierda que se extiende hacia la derecha;
En forma de conjunto: (u, +0 )-
jue di ¿Ex > a]
Representación Gráfica:
AAA
e
<
- 55
»
EE EZ
>
+ 0
a
VUHL Cerrado por la izquierda que se extiende hacia la derecha:
En forma de conjunto: [.,+w)= (re IR /x2 a)
Representación Gráfica:
- 5
a
$ 00
11.3, DESIGUALDAD
Es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra, y sus signos son * >"
que se lee mayor que, y * <*” que se lee menor que. 5 > 3 se lee $ mayor que 3; -4<- 2 se lee
- 4 menor que - 2.
Una cantidad “a” es mayor que otra cantidad “b" cuando la diferencia a - b es positiva. Ási, 4
es mayor que - 2 porque la diferencia 4 - (- 2) = 4 +2 = 6 es positiva; - 1 es mayor que - 3
porque- 1 -(-3)=-1+3=2 es una cantidad positiva.
Una cantidad “e” es menor que otra cantidad “b" cuando la diferencia a - b es negativa: asi, l es menor que | porque la diferencia - 1 - 1 =-2 es negativa: - 4 es menor que - 3 porque la
diferencia - 4 - (-3)=-44+3=-| negativa.
Unidad
11 - Planteo
de inecuaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
345
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Según lo anterior, cero es mayor que cualquier cantidad negativa, por lo tanto O es mayor
que- 1 porque 0 - (- 1)=0+1=1, cantidad positiva,
El primer miembro de una desigualdad es la expresión que está a la izquierda y el segundo
miembro está a la derecha del signo de desigualdad, En: a + h>c-—d, el primer miembro es
“a+b" oy el segundo “cd.
Los términos de una desigualdad son las cantidades separadas de otras por el signo *+" 6%", o por
la cantidad que está sola en un miembro. En la desigualdad anterior los términos son a, bh, € y - dl.
Dos desigualdades son del mismo signo o subsisten en el mismo sentido cuando sus primeros
miembros son mayores o menores que los segundos. De este modo, a > b y c > d son
desigualdades del mismo sentido.
Dos desigualdades son de signo contrario o no subsisten en el mismo sentido cuando sus
primeros
miembros
no son
mayores
0 menores
que
los segundos.
Asi,
53 >3
y
| < 2 son
desigualdades de sentido contrario,
11.3.1. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
16
Sia los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta una misma cantidad, el signo
de la desigualdad no varia. Dada la desigualdad a > b, se puede escribir:
a+te=zb+e
y
u-e>b-e
En una desigualdad un término cualquiera puede pasar de un miembro al otro cambiándole
el signo.
En la desigualdad
a > hb + € se puede
pasar e al primer miembro con signo negativo
quedando a - e >b, porque equivale a restar ca los dos miembros.
En la desigualdad e - b>e, se puede pasar b con signo positivo al segundo miembro y
quedando e > b+e, porque equivale a sumar ba los dos miembros.
2)
Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad
positiva, el signo de la desigualdad no varía, Dada la desigualdad a > 5 y siendo c una
cantidad positiva, puede escribirse:
acz=he
y
ab
—>=e
Cc
Es posible suprimir denominadores
en una desigualdad
sin que varíe el signo de la
desigualdad, porque ello equivale a multiplicar todos los términos de la desigualdud, o sea
sus dos miembros, por el m. e. m. de los denominadores.
3)
Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad
negativa, el signo de la desigualdad varia. Si en la desigualdad a > bh se multiplica ambos
miembros por e < 0, se tiene:
ac=
.
ia
he
pe
|
¡
O]
Si se divide por e. osea multiplicando por — ,se tiene: —< —
E
Unidad
11 - Planteo
Cc
E
de inecuaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
346
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Al cambiar el signo a todos los términos, es decir, a los dos miembros de una desigualdad,
el signo de ésta varia porque equivale a multiplicar los dos miembros de la desigualdad por
- |. Sien la desigualdad a - 6 >-e cambiamos el signo a todos los términos, setiene: b-a<e
4)
Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo, Si a > h es evidente que
b<=
5)
o
Si se invierten los dos miembros, o sólo positivos o sólo negativos, la desigualdad cambia de
signo.
l
:
G
1
Siendoa > b se tiene que —=<—
e
6)
bh
Cuando los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia
positiva, el signo de la desigualdad no cambia. 5>3 y elevando al cuadrado: 2>3 osea
215>9
TV)
Si los dos miembros o sólo uno es negalivo y se eleva a una polencia impar positiva,
el signo de la desigualdad no cambia.
Siendo - 3 >- 5 y elevando ul cubo (- 3 > (- 57 v sea- 27 >- 125
Siendo 2 > -2 y elevando al cubo 2* >(-2)o sea 8 >-8
8)
Silos dos miembros son negativos y se elevan a una misma potencia par positiva, el signo
de la desigualdad cambia.
Siendo - 3 >-5 y elevando al cuadrado (- 3
=9 y 5
=25
y queda 9 < 25,
9)
Cuando un miembro es positivo y otro negativo, y ambos se elevan a una misma potencia
par positiva, el signo de la desigualdad puede cambiar,
Siendo 3 >- 5 y elevando al cuadrado 37 =9 y (- 5 =25 y queda 9 < 25 (cambia el signo).
Siendo $ >-2y elevando
al cuadrado 8? =64 y (- 2)" =4 y queda 64 >4 (no cambia el signo).
10) Cuando los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae una misma
raiz positiva, el signo de la desigualdad no cambia.
a=bynes positivo, se tiene; s/a > «Lo
11) Si dos o más desigualdades del mismo signo se suman miembro por miembro, resulta una
desigualdad del mismo signo. Sia >b y e€>d,se tiene:
a
>
bh
ed
ate>=b+d
Unidad
11 - Planteo
de inecuaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
347
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
11,4, INECUACIONES
Una
inecuación
es
una
desigualdad
en
la que
hay
una
o más
cantidades
desconocidas
(incógnitas) y que sólo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incógnitas.
Las inecuaciones también se conocen como desigualdades de condición,
La desigualdad 2x -3>x+5es una incecuación porque tiene la incógnita “x" y sólo
se verifica para cualquier valor de “x" mayor que 8. Para x=8 se convertiría en una
igualdad y para x<8 en una desigualdad de signo contrario.
Para resolver una inecuación deben encontrarse los valores de las incógnitas que satisfagan la
inccuación.
La resolución de inecuaciones se fundamenta en las propiedades de las desigualdades antes
expuestas y en las consecuencias que de las mismas se derivan.
Ejemplol:
Resolver: 2x-3>x +5
Solución:
Pasando x al primer miembro y 3 al segundo tenemos:
2-1 >5+3
Reduciendo: 4 > 8
La desigualdad sólo se verifica para los valores de x mayores que $,
Ejemplo 2:
Hallar “x” en:
x
==
»
2
5
]
An
5x
==
3
4
Suprimiendo denominadores (ver propiedad 7) se tiene:
Traspomiendo terminos:
42 -3x > 10% - 36
— -3r- lOr>-36-42
-131r>-78
Cambiando el signo a los dos miembros,
origina: 13r< 78
Dividiendo por 13:
xr <
78
E
0 5ca4,
lo cual hace cambiar el signo de la desigualdad,
:<0., es decir que la desigualdad sólo
se verifica para
los valores de x menores que 6.
) Bimiolo 2:
Resolver: (x+ 30-11)
Unidad
11 - Planteo
<(r- 1
+3x
de inecuaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
348
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Solución:
Efectuando las operaciones indicadas:
423
<x 24
14 3x
Suprimiendo x * en ambos miembros y transponiendo:
A
x<d
11.5, PLANTEO DE INECUACIONES
Se sabe que plantear una inecuación es transformar formas verbales (frases, enunciados o
párrafos) al lenguaje matemático o simbólico (uso de variables, constantes y signos aritméticos).
Para ello hay que reconocer lo siguiente:
Las palabras: a lo más; como máximo; no mayor, implican el significado de menor o igual que (<)
Las palabras: por lo menos; como mínimo; no menor, implican el significado de mayor o igual que
(>)
La palabra “entre” implica que un valor se encuentra en un intervalo abierto tanto para la
derecha como para la izquierda. Por ejernplo, si “x" está entre 9 y 18, entonces se plantea como:
9<1x=<18
Si en el contexto del problema aparecen las palabras “desde... hasta...”, implica que un valor se
encuentra en un intervalo cerrado tanto por la derecha como por la izquierda. Por ejemplo, six"
se encuentra desde 9 hasta 18, entonces se plantea como: 9<x<18
RESUMEN
Ecuaciones
Inecuaciones
Y
Igualdades( =)
ño)
Desigualdades (<,£,>,>)
Deprimer grado
Hx-23=|]
xl
2
= 4
(_—_—_
3Ix-2<]
lo
LA
r+y=24
x+y>24
E
2r+lsx-3
| Resolver una inecuación significa hallar los valores que deben tomar las incógnitas para
que se cumpla la desigualdad.
Unidad
11 - Planteo
de inecuaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
349
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
EJERCICIOS RESUELTOS
Hallar el (los) número(s) entero(s) tal que disminuido en $ se encuentra en el intervalo < 2; 4]
Resolución:
5ca “x" el número entero.
Del enunciado,
(x - 5) € <
Luego: 2+5<x <4+5;
2,4]; es decir 2<x-5<4,
de donde: 7<x<Y
De lo anterior se deduce que los números enteros son: 8 y 9,
2.
La utilidad mensual (en dólares) por la venta de polos exclusivos se puede expresar como
131 — 4 500, donde “a” representa la cantidad de polos producidos y vendidos. ¿Cuántos polos
deben producirse y venderse (como minimo y como máximo) para obtener una utilidad no menor
a $2 000 y no mayor a $5 9007 Dé como respuesta la suma de ambas cantidades.
Resolución:
Por dato del problema:
2 000<
13x — 4 500
< 5 900
6 500< 13x < 10 400
500 <x <800
Entonces como minimo y como máximo, deben
respectivamente.
Por lo tanto la suma de dichas cantidades es | 300.
3,
producirse
y venderse
500
y 800
polos
¿Cuántos números enteros mayores que cuatro cumplen con la condición que su tercera parte, más
dicz sca mayor que su mitad, menos uno?
Resolución:
Sea “x” uno de los números que verifica la condición,
Por dato del problema:
O
A
1]
Además:
ca
10 > E
3
1
d
11>
E ==
2
13
Lolo 1x<66...()
6
Luego de (1) y (IU) se obtiene que: 4 <x < 66
Entonces los valores enteros que “x” puede tomar son: (3,6. Tu.... , 64, 65)
Por lo tanto la cantidad de números que cumplen dicha condición son 61.
4.
Latercera parte de cierto número par, disminuido en 3 es mayor que 25; pero la cuarta parte del
mismo número, disminuido en 2 es menor que 20, ¿De qué número se trata?
Resolución:
Unidad 11 - Planteo de inecuaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
350
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Sea “x" el número par a hallar.
Utilizando el primer dato, se plantea la siguiente inecuación:
=-3513
3
A
—> 28
3
ndo.
(1)
Empleando el segundo dato, se obtiene lo siguiente:
x
—-1<20
4
x
—<
ql
a
<BR...
0)
De (1) y (11) se deduce que: 84 <x < 88
Por ser “x” un número par, entonces: x= $6
3.
Gildder le dice a Rommel: “¿Cuántas fichas numeradas contiene una caja, si se sabe que cl triple
de las fichas, aumentada en ocho es mayor que $0; y el doble de las fichas, disminuida en doce es
menor que cuarenta?”
Resolución:
Sea “x” el número de fichas que hay en la caja.
Por dato del enunciado:
Hh+8>80
Hhx>72
x> 24.
(1)
Ademas:
2x - 12<40
2x < 52
SÓ cc UT)
Entonces de (1) y (11) se liene que: 24 <x < 26
Por lo tanto el número que verifica dicha desigualdad es: x =25
6.
Una aseguradora
Oira aseguradora
¿Cuántos seguros
que el primero, si
paga a sus brókeres
de la competencia
como minimo debe
se sabe además que
510 por cada seguro vendido más una cantidad fija de $500.
paga $15 por seguro vendido y $300 como sueldo fijo.
vender el bróker de la competencia para ganar más dinero
cada uno vendió una misma cantidad?
Resolución:
Seca “x” el número de seguros que vende cada bróker,
Entonces lo que reciben por la venta es:
Bróker 41 = 10x + 500
Bróker $2 = 15x +300
Parla condición del problema:
-15x+ 300> 10x + 500
Da
5x > 200
x>40
Por lo tanto el bróker de la aseguradora de la competencia debe vender cómo minimo 41 seguros.
Unidad
11 - Planteo
de inecuaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
351
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
7.
TU INGRESO ES DIRECTO
En un establo habia cierto número de vacas. Se triplicó este número y luego se vendieron 95,
quedando menos de 87, Después se duplicó el número de vacas que habia al inicio y se vendieron
40, quedando más de 79, ¿Cuántas vacas había inicialmente en cl establo?
Resolución:
Sea *x" la cantidad inicial de vacas,
Del enunciado se plantean las siguientes inecuaciones:
dx - 95 <87
y
3x<l182
2x -40>79
2x>119
x= 60.6
x>50,5
De lo anterior se deduce que: 59,5 <x < 60,6
Siendo las vacas una cantidad entera, entonces: x= 60
Por lo tanto en el establo al inicio habia 60 vacas.
8.
Lady ha obtenido en cuatro exámenes de razonamiento matemático las notas de: 16,8; 17,5;
19,4
y 18,7 respectivamente. El profesor va a evaluar un quinto y último examen, para luego calcular el
promedio de todos ellos, ¿Qué nota minima debe sacar Lady para estar entre los alumnos
sobresalientes, sí dichos alumnos tienen notas de al menos 18? Se sabe además que en este último
examen el profesor sólo va a calificar con notas enteras.
Resolución:
Sea “x" la nota que obtiene Lady en su último examen,
Por condición del problema, el promedio de sus notas debe ser de al menos 18, es decir:
16.3+17.54+19,4+18,7+=x
3
7T2,4+x
5
z
2090
17,6
¡Como el profesor sólo va a calificar con notas enteras, entonces Lady como minimo debe obtener 18,
9.
Un matrimonio dispone de 30 soles para comprar helados para ellos y sus hijos. Si compra helados
de 5 soles cada uno le faltaria dinero, pero si compra helados de 4 soles cada uno le sobraria
dinero. ¿Cuántos hijos hay en dicha farnilia?
Resolución:
Sea “x” el número de integrantes de la familia, entonces “x” es el número de helados que
consumen.
Utilizando cl primer dato del problema, se plantea la siguiente inecuación:
53x > 30
A or
(1)
Empleando el segundo dato, se plantea:
dx < 30
a e A (11)
De (1) y (11) se obtiene que: 6<x < 7,5
Esto implica que: x =7; pues el número de helados representa una cantidad entera,
Por lo tanto el número de hijos que tiene dicha familia es: 7 — 2 = 5 (pues no se consideran a los
padres).
Unidad
11 - Planteo
de inecuaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
352
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
10.
TU INGRESO ES DIRECTO
El costo de producir “x” articulos a la semana está dado por la función €, donde: C = 2000 + 6x;
(C está en dólares). Si cada artículo puede venderse a $10, ¿cuántos artículos se deben producir
como mínimo para obtener una ganancia de por lo menos 550 0007
Resolución:
Se sube que:
Puerta = Poosto = Ganancia
donde: Puerta
TOx
Por condición del problema la ganancia debe ser de por lo menos $ 50000, cs decir: Ganancia >
30000
Entonces:
Puenta = Penso > 30000 ...... (1)
Reemplazando en (1):
10x — (2000 + 6x) => 50000
dx = 32000
x > 13000
Por lo tanto, como minimo deben producirse 13000 articulos.
LL.
Acuna discoteca sólo se puede ingresar en pareja (un varón y una mujer). Si una mujer se fuera a
su casa, la tercera parte de las personas que quedan disminuida en una docena sería mayor que 12;
pero si se contabiliza al disc-jockey, la cuarta parte de las personas presentes aumentada en una
decena sería menor que 29. ¿Cuántos varones asisten a la discoteca?
Resolución:
Sea"x" el número de personas que asisten a la discoteca.
Del primer dato, se plantea que:
<li>12
3
x=
3
> 24
a
m
Además, utilizando el otro dato se tiene que:
+1
+10<
29
4
x +]
4
<19
ae
q)
De (1) y (11) se obtiene: 73 <x <75
Entonces el número de personas que hay en el discoteca es: x = 74
y
ñ
.
Como asisten en parejas, se deduce que el número de varones es:
12.
Unidad
74
5 37
Cierta día Alfredo meditaba sobre su negocio y comenta lo siguiente: “Si vendiera a S/. 100 el kg
de lana de alpaca y vendiera 2,5 kg más de lo que tengo, recaudaria entre 900 y 960 soles. Si
ofertara u Sí. 50 el kg de lana de alpaca o el de vicuña, obtendria por la venta de ambas entre 900 y
11 - Planteo
de inecuaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
353
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
1000 soles. ¿Cuántos kilogramos de lana de alpaca y de vicuña tiene Alfredo, si éstos son números
enteros?
Resolución:
Sean:
N* de kg de alpaca > x
N” de kg de vicuña = y
Empleando el primer dato se plantea que:
900 < 100(x + 2,5) < 960
I<x +25 06
65 <x<7 1
De donde se deduce que: x=7
Utilizando el segundo dato:
900
< SO(x + y)< 1000
18 <x+y+<?20
Rcemplazando x = 7 en esta última expresión, se tiene:
18<7+y<20
li<y<13
Se deduce que: y = 12
Por lo tanto, Alfredo tiene 7 kg de lana de alpaca y 12 kg de lana de vicuña.
13.
Entre Pedro y Luis tienen menos de 8 hijos. Luis tiene más hijos que Raúl y aunque Pedro tuviera
tres hijos menos, seguiria teniendo más hijos que Raúl. ¿Cuántos hijos tiene Luis?
Resolución:
Scan:
N* de hijos de Pedro = x
N? de hijos de Luis = y
N* de hijos de Raúl = z
Por dato del problema:
EY 8 ans (1)
Y
ss UU)
A
Sumando (11)y (1), resulta:
xd
E
(1)
Restando (1) con (IV), resulta:
38-12
15
22,5
Entonces: z=1ó6z=2
Se deduce que z= |, pues reemplazando en (HI) y en (1), respectivamente, se obtiene:
x=3>1—x>4;
luego: x=5
y>1—y=2:
a (1), ya que: 5+2<8
debido
Por lo tanto Luis tiene 2 hijos.
Unidad
11 - Planteo
354
de inecuaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
14.
TU INGRESO ES DIRECTO
Se tiene la siguiente figura compuesta por un rectángulo, un triángulo equilátero y un cuadrado.
Determinar el valor máximo del perimetro del rectángulo, si es una cantidad entera y además
dicho perimetro es mayor que la del triángulo pero menor al del cuadrado.
Resolución:
Sea *x" el lado del rectángulo, entonces por geometria se deduce que los lados de las figuras
mostradas son iguales. Es decir:
Perimetro del
Perimetro del
Perimetro del
Por condición
+=
Entonces:
rectángulo = 2x +6
triangulo < 3x
cuadrado =4x
del problema:
3x<2x+6<4x
Resolviendo las inecuaciones tanto de la izquierda como de la derecha:
IXSIXFÓ
y
2x+6<dx
x<6
y
23
=>
3EX<6
Como “x" es un número entero y debe ser el máximo posible, entunces: a = 3
Por lo tanto el perimetro máximo del rectángulo es: 2(5)+6=16
15, Al acabar un partido de fútbol entre Universitario de Deportes y Alianza Lima, se escuchó la
siguiente conversación entre los jugadores de Universitario:
- *Anotamos más de tres goles”, dijo Gildder.
- “El doble de sus tantos, aumentados en los nuestros no llegó a once”, acotó Rommel.
Además Daniel comentó: “Cinco veces sus goles menos el triple de los nuestros fue mayor de dos”.
¿Cuál fue el resultado entre ambos equipos?
Resolución:
N* de goles de Universitario de Deportes = x
N' de goles de Alianza Lima = y
Según Gildder; x>3 ...... (1)
Según Rommel: 2y+x<11 ...... (ID
Unidad
11 - Planteo
de inecuaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
355
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Según Daniel: 5y -3x>2...... (II)
(10- (1:
2y<R
yd.
3
UV)
+ 01D:
e ed E
5y>11
YA
o
[v)
De (UV) y (V) se deduce que: y = 3
Reemplazando “y” en (1h
6+x<11l Ex
ES si (WI)
De (1D) y (VD se deduce que: x = 4
Por lo tanto el resultado entre ambos equipos fue:
U| AL
413
l6.
Un ganadero compró 20 terneros más que vacas y tantos toros como vacas y terneros juntos,
además por 3 vacas pagó tanto como por X terneros (en soles). ¿Cuántos animales compró como
minimo dicho ganadero, sí se sabe que pagó por el total de vacas por lo menos el doble que por los
terneros?
Resolución:
Scan:
NY de vacas = x
N” de terneros = x +20
N” de toros = 2x + 20
N? total de animales = 4x +40
Por dato del problema:
Precio de 3 vacas = Precio de 8 terncros. Entonces un ternero cuesta “3k" soles y una yaca “Ek”
soles.
Además por el otro dato:
(8l)00) > 2[(3k](x + 20)]
Eliminando la constante de proporcionalidad “k” y simplificando se obtiene que:
dx > 3x + 60
x >60
Como el valor de “x” tiene que ser el minimo posible, entonces: x = 60
Por lo tanto el N" total de animales es: 4(60) + 40 = 280
17.
Un empleado estatal gana un sueldo de $ soles al mes y gasta ( soles mensualmente. Si en M
meses desea ahorrar por lo menos Á soles. ¿Cuál es el intervalo en qué se encuentra su gasto
mensual?
Resolución:
Sabemos que: G>0...... (1)
Unidad 11 - Planteo de inecuaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
356
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Planteando la inecuanción:
(S5-G MZA
5M- GM =A
SM-—A> GM
G<
5M
-A
M
Además por (1):
OcGz
M
,
Ll 3M-A
Por lo tanto el intervalo en que se encuentra 5u gasto mensual es: Pp :
. Durante todo el mes de septiembre podria ahorrar S/. 13 diarios, pero cada mañana soleada pasto
S/. Ten helados y cada mañana fria gasto S/, 4 en café. Si tengo ahorrado una cantidad no menor a
S/, 240, ¿Cuántos dias como máximo fueron de mañanas solcadas?
Resolución:
Como el mes de septiembre tiene 30 días, entonces:
Mañanas soleadas — x
Mañanas frias = 30 —x
Luego:
Gasto en helados = 7(x)
Gasto en cafés = 4(30 —x)
Por dato del problema:
Supuesto ahorro lotal — Gastos > Ahorro real ; entonces:
1330 - Vx) - 430 —x) > 240
390 — 7x — 120 +4x
> 240
Ix < 30
xs
10
Por lo tanto el número máximo de mañanas soleadas fue 10.
19.
Eduardo tiene dinero sólo en dos bolsillos de 5u pantalón y ambos suman una cantidad entera de
nuevos soles. Si en uno de sus bolsillos tiene S/, 2 más que en el otro, y el producto de los
números de nuevos soles que tiene cn ambos bolsillos no excede a 143. ¿Cuánto es la mayor
cantidad de dinero que puede tener Eduardo?
Resolución:
Scan:
N* de nuevos soles en el primer bolsillo = x
N" de nuevos soles en el segundo bolsillo = x +2
Por la condición:
x(x +2) < 143
x+2x-143<0
Factorizando se obtiene:
(+
Unidad
11 - Planteo
1H
11<0
de inecuaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
357
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Analizando los puntos criticos, x € [-13; 11]. Adernás como x > 0, se considera el intervalo; 40; 11],
Luego el valor máximo de “x” es 11. En consecuencia, la mayor cantidad de dinero que puede
tener Eduardo es: 11 + 13 = 24 soles
20, Un fabricante de sillas puede
vender “x” unidades cada semana al precio de “P" dólares por
unidad, en donde: P = 200 — x. ¿Qué cantidad minima de sillas deberá vender a la semana dicho
fabricante para obtener ingresos de por lo menos $ 9 9007
Resolución:
Sea *I” el ingreso, entonces:
l=x(200-x)
Por la condición:
x(200 — x) => 9 900
200x — x>9 900
xi — 200x+9 900<0
Factorizando:
(x — 90Mx — 110) <0
Analizando los puntos críticos:
De lo anterior se deduce que el intervalo de solución es: [90 ; 110]
Por lo tanto la cantidad minima de sillas que debe vender el fabricante es 91.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Un número de monedas que hay en una bolsa es tal que su cuádruple, aumentado en 11 no excede
a 52 y su quintuplo, disminuido en 4 es mayor que 41. Hallar cl número de monedas.
Ay 38
B) Y
cr 10
Dy 11
Ej 12
En un centro psicológico se sabe que por paciente se cobra 69 soles en cada consulta. ¿Cuántos
pacientes como minimo se deben atender al mes para obtener un ingreso mensual mayor que
34 500 soles?
A)B) $01
500
C) 490
Unidad
D)
498
EY
502
11 - Planteo
de inecuaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
358
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
3.
TU INGRESO ES DIRECTO
La tercera parte de cierto número primo, disminuido en $ es mayor que 21; pero la cuarta parte del
mismo número, disminuido en Y es menor que 14. ¿De qué número se trata?
A)
B)
C)
D)
FE)
4.
A un estudiante le dieron a vender una cierta cantidad de polos, de los que vendió 35 y le
quedaron más de la mitad. Luego le devuelven 3 polos por estar mal estampados, y vende después
18 con lo que le restan menos de 22 polos, ¿Cuántos polos le dieron para vender al estudiante?
Aj
Bj)
cy
D)
Ej)
5.
89
83
97
91
93
74
73
72
71
70
Se sabe que el cuádruplo del número de monedas que hay dentro una bolsa es tal que disminuido
en 3, no puede exceder de 31 y que el quintuplo del mismo número de monedas, sumentado en $,
no es menor que 52. ¿Cuál es el valor del número mencionado”
A)
B)
C)
D)
E)
6.
10
11
8
7
9
Hallar un número de dos cifras, sabiendo que la suma de ellas es mayor que 9 y que su diferencia
entre la cifra de las decenas y el duplo de la que ocupa el lugar de las unidades es mayor que 6.
Dar como respuesta la suma de las cifras de dicho número.
A) 10
B) 11
ac)
12
D) 13
E) 14
7.
Se desea saber el número de estudiantes que rinden un examen de razonamiento matemático
conociendo que su doble, disminuido en 23 no llega a 93 y que al retirarse los 14 primeros en
acabar, quedaron más de las tres cuartas partes del número inicial.
A) 60
B) 59
058
-0D)57
—
ES
Unidad
11 - Planteo
de inecuaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
359
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
3.
TU INGRESO ES DIRECTO
La suma de tres números enteros consecutivos es menor que | 918 pero mayor que 1 914, ¿Cuál es
el valor del número intermedio?
A)
B)
C)
D)
E)
638
639
640
641
642
Lady tiene 31 años y su hija Helen 5 años. ¿Dentro de cuántos años como minimo, la edad de
Lady será menor que el triple de la edad de Ilelen?
A) 8
Bj
10
0) 9
D) 11
E) 7
10, Un restaurante que se encuentra frente al Estadio Monumental vende platos con bistce frito a S/, 23
cada uno y de lomo saltado a $/, 15 cada uno. El domingo pasado recaudó menos de $, 2 000
vendiendo 104 platos en total. ¿Cuántos platos con bistec frito pudo vender como máximo?
A) 56
B) 61
C) 39
D) 47
Ej 54
ll, Un vendedor de seguros tiene dos opciones de sueldo, debe elegir entre un sueldo fijo de $ 800
más $ 80 por póliza o cobrar 5 150 de comisión pura (sin fijo) por póliza. ¿A partir de qué
cantidad de pólizas es más rentable la opción de comisión pura?
A) 15
B) 15
C) 20
D) 9
Ej 12
12, Determinar el minimo valor de *n” para que la suma: 5 = 1 +3+5+7+..,0.,
+ (2n +9) seca no
menor que 1023,
Unidad
Aj
23
B)
E)
D)
El
29
31
27
25
11 - Planteo
de inecuaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
360
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
13, En algón lugar de Europa, la tarifa de telefonía de la empresa “A” es 20 euros fijos mensuales más
7 céntimos de euro por minuto de conversación, y la de la empresa “B” es 11 euros fijos más
12 céntimos por minuto de conversación. ¿A partir de cuantos minutos empieza a ser menos
rentable la tarifa de la empresa *B?
A)
B)
C)
D)
E)
181
174
193
202
165
14, Julio es mayor que Pablo por dos años y Pablo es mayor que Enrique por dos años. ¿Cuál es la
edad minima de Pablo, si la suma de las edades Julio y Enrique es de al menos 34 años?
Aj
Bj)
Cc)
D)
E)
14
17
18
21
23
. En tina reunión campestre hay cierta cantidad de bancas. Si los invitados se sientan de tres en tres,
por lo menos $ de ellos se quedarian de pie; pero si se sientan de cuatro en cuatro, a lo más una
banca quedaría vacía. ¡Cuántos invitados como máximo hay en dicha reunión?
AJ 36
B)
C)
D)
E)
48
52
44
60
16. En un salón de educación inicial hay como máximo 20 alumnos entre niños y niñas. La profesora
se percata que la mitad de los niños y la séptima parte de las niñas usan anteojos. ¿Cuántas niñas
como máximo no usaban anteojos?
A)
B)
Cc)
D)
14
12
10
9
E) 7
. Cuarenta y nueve lápices cuestan por la menos tantos soles como lápices dan por ochenta y un
soles, ¿Cuánto cuestan como mínimo catorce lápices?
A)
lE soles
B) 27 soles
C) Jósoles
D) 25 soles
E)
Unidad
12 soles
11 - Planteo
de inecuaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
361
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
15, Un número de tres cifras es múltiplo de 11, Si a dicho número se le resta 396 se obiiene otro
mayor que el mismo número pero con cifras invertidas. Hallar el valor de las cifras de las decenas
del número inicial, si además se sabe que la suma de sus cifras extremas cs mayor que 12.
Ay1
B)2
03
D)4
Ej5
19, Una pareja de casados y sus hijos disponen de 320 soles para ir a ver jugar a Universitario de
Deportes en el Estadio Monumental. Las entradas cuestan S/. 50 en occidente y S/, 40 en oriente.
Si compran entradas en occidente les faltaria dinero, en cambio si compran entradas en oriente les
sobraría dinero. ¿Cuántos hijos hay en total?
A) 7
B) 6
0) 5
D)$
E)4
20, Un fabricante de cierto articulo puede vender todo lo que produce a $ 43 cada articulo. En la
fabricación de cada unidad gasta $ 3£ y tiene costos fijos adicionales de $ 4900 mensuales cn la
operación de la planta, El número “x”* de unidades minimas que debe producir y vender para
obtener utilidades de al menos 5 2660 es;
Ay
B)
C)
Dj)
Ej)
1240
1370
995
1080
1190
21, Ricardo y Noemi han medido la pizarra a palmos. Ricardo ha contado entre 16 y 17 palmos.
Noemi cuenta más de 17, pero no llega a 18. Si el palmo de Ricardo mide 19,5 cm y el de Noemi
13 cm. ¿Cuánto mide la pizarra, si es el mayor número primo posible?
A)
B)
C)
D)
E)
323
321
319
317
323
22, Entre naranjas, peras y manzanas hay más de 14 unidades. Si se consumicra un número de frutas
igual al doble del número de peras que se dispone, quedaría menos de 6 unidades. Si las peras son
menos que las manzanas y éstas no llegan a 7. ¿Cuántas peras hay?
Unidad
11 - Planteo
de inecuaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
362
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
A) 2
B) 3
C) 4
D) $
E) 6
23, Una furgoneta vacia pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la furgoneta vacia y el peso de la
carga que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales. ¿Cuánto
puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en esa furgoneta?
Aj
115
B) 114
C) 117
D) 120
E) 116
24, En el tercer día de su viaje, una nave espacial del planeta “X" Hega al planeta “Y”. Al bajar a la
superficie uno de sus tripulantes le dice a su compañero: "Los habitantes de este planeta tienen
a lo más 20 dedos en total como hosotros, aunque tienen tina extremidad menos y in dedo mas
en cada extremidad”. ¿Cuántas extremidades como máximo lienca los habitantes del plancta
sd dat
A) 5
B) 4
C)3
D)6
E)7
25, Si la tercera parte del tiempo transcurrido desde las 8 a.m, es por lo menos la cuarta del tiempo
que falta transcurrir para ser las 10 p.m. ¿Qué hora es como minimo?
A)
2 p.m. con 30 min.
B)
2 p.m.
C)
D)
lpm.
1 p.m. con 20 min.
Ej)
3 p.m.
26, Una persona dispone de cierta cantidad de dinero para premiar a sus sobrinos, debido a que
obtuvicron excelentes notas al finalizar su año escolar. Pensó darles 500 soles a cada uno, pero le
faltaban más de 200 soles. Después pensó darles 450 soles a cada uno y le sobraban más de 300
soles. Por último decide darle 400 soles a cada uno y le sobraban menos de 875 soles. Hallar la
suma de las cifras del dinero que tenia dicha persona, sabiendo que es múltiplo de 20.
A) 17
B) 20.
C) 25
D) 21
EJ
Unidad
13
11 - Planteo
de inecuaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
363
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
27. Si a un número de dos cifras se le resta el que resulta de invertir sus cifras se obtiene otro mayor
que 71, Si la suma de cifras es mayor de 9, ¿Cuántos divisores positivos admite dicho número?
A)
B)
C)
D)
E)
42
16
4
30
9
2%, Una playa de estacionamiento tiene capacidad para 70 autos; pero sólo hay cierto número de gutos
estacionados en ella, Si la sexta parte del número de autos estacionados es no mayor que 7; pero si
se tratara de duplicar el número de autos; más de ocho autos no podrán ser estacionados por falta
de espacio. ¿Cuántos autos hay en el estacionamiento?
A)
B)
C)
D)
E)
42
48
24
41
40
25, Una persona almuerza después de las 12 del mediodia y se acuesta antes de las 12 de la noche;
almucrza, cena y acuesta al dar el reloj las horas exactas cuya suma es 22, El tiempo transcurrido
entre la hora de almorzar y cenar es de 7/2 de lo transcurrido entre cenar y acostarse. Si se sabe
que cena despues de las 6:30 de la tarde, entonces almuerza, cena y se acuesta respectivamente
a las:
AJ
3:00, 9:00, 10:00 pm
B) 3:00, 8:00, 11:00 pm
Cy 2:00, 9:00, 11:00 pm
D) 1:30, 7:00, 10:30 pm
E) 2:30, 8:30, 11:00 pm
30. En el mes de Noviembre, camplió años Cecilia; si el triple del dia en que nació ella es menor que
el dia en que nació Alfredo, y además el día en que nació Cecilia supera al mes en que nació
Alfredo. Si Alfredo nació después del mes de Mayo y un día que liene la particularidad de tener
sus cifras iguales. ¿En qué fechas cumplieron años Cecilia y Alfredo?
A) 8 de noviembre y 11 dejulio
B) 9 de noviembre y 22 de agosto
C) 7 de noviembre y 22 de julio
D) 6 de noviembre y 11 de octubre
E) 5 de noviembre y 22 de setiembre
31, Entre tres cazadores: P, Q y R reúnen más de ocho perros. Q piensa adquirir cuatro perros más,
con lo cual tendrá más perros que entre P y R juntos. Se sabe que Q tiene menos perros que R y
los que éste tiene no llegan a cinco. ¿Cuántos perros tiene el cazador P?
E
B) 4
Unidad 11 - Planteo de inecuaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
364
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
03
D)2
E
32, En la sociedad hindú existe el siguiente aforismo: “Para que una relación sentimental sea
satisfactoria, la edad de clla no debe sobrepasar la mitad más sicte años de la edad de él”. Una
pareja deseaba saber cuál es el periodo de tiempo más favorable para formalizar definitivamente
sus relaciones sentimentales según este aforismo. Si el caballero hindú tiene ocho años más que la
dama. ¿Cuánto es la suma de las edades máximas que deben tener ambos?
A)
B)
C)
D)
E)
52
55
49
61
47
33. En un examen de 30 preguntas te dan 2 puntos por cada acierto y te restan 0,5 puntos por cada
fallo, ¿Cuántas preguntas como mínimo hay que contestar bien para obtener más de dí puntos, si
es obligatorio responder todas ellas?
Aj 19
Bj 23
a 17
D) 21
Ej) 14
34, Cuatro amigas: Danicla, Inma, Maria y Patricia
Lógico Matemática, y después de confrontar sus
ustedes tres resolvieron correctamente más de
resuelto 3 problemas más, habria tenido mayor
han terminado de dar una práctica calificada de
resultados, Patricia comenta lo siguiente: “Entre
13 problemas en total. Pero si Daniela hubiera
número de aciertos que Irma y Maria juntas; sin
embargo Daniela resolvió menor cantidad de problemas que Maria, y los que ésta resolvió no
llegaron a 8”, ¿Cuántos problemas resolvió Irma?
AS
B) 3
Cc)2
D) 4
E) 1
35. En las elecciones que se realizaron para nombrar al presidente de una junta directiva, participaron
cuatro candidatos: Alberto, Braulio, Carlos y David. Al finalizar la elección se determinó que:
- Alberto obtuvo más votos que Braulio.
<= Los votos que obtuvieron Carlos y David juntes sumaban tanto como los votos de Alberto y
Braulio también juntos.
+ Además, Alberto y David juntos obtuvieron menos votos que los otros dos candidatos juntos,
¿Quién salió elegido presidente de la junta directiva?
Unidad
11 - Planteo
de inecuaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
365
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
Aj)
TU INGRESO ES DIRECTO
B
B) D
OA
D) €
E) No se puede saber
36. En medio de un juego de “damas” un jugador le dice al otro: “He ganado más de la tercera parte
de las fichas que se juegan”. Por lo que el otro jugador replica lo siguiente: “Tengo varias fichas
más ganadas que tú”. Si todavía no terminan de jugar. ¿Cuántas fichas quedan en juego?
AJÓ
B)5
C)4
D)3
E)2
37 Un jugador de ajedrez al finalizar varias partidas comentó lo siguiente: "Gané y perdi menos de
sels veces, perdi más veces de las que hice tablas, y gané más de una vez que de lo que hice
tablas”. ¿Cuántas veces ganó, perdió e hizo tablas, en ese orden, dicho jugador?
Aj 3:2;1
B) 2313
C) 1,23
DJ 2,3;1
E)
13,2
38, Gildder tiene más libros de álgebra que de geometria. Si el triple del cuadrado del número de
libros de álgebra es menor que 34 veces la cantidad de libros de geometria, aumentado en 24;
entonces la máxima cantidad de libros de geometría que Gildder puede tener es:
Bj)
Cy
D)
Ej)
E
12
11
10
4
39. Un fabricante de bebidas gaseosas proyecta su ganancia “G” (en dólares) para el año 2011, la cual
está representada por la expresión: G(x) = 10[5(3x — 1) — 3%), donde “x" es el número de
unidades de millar producidas. ¿Qué nivel de producción le permitirá obtener una ganancia de por
lo menos 70000 dólares? Dé como respuesta la suma de las cantidades minimas y máximas.
AY 7000
B)
4000
C) 8000
D) 5000
E) 12000
Unidad
11 - Planteo
de inecuaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
366
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
40. Un ganadero tiene un terreno en forma de un triángulo isósceles, y lo quiere cercar para que sus
vacas puedan pastar apaciblemente. Si para cercarlo él dispone de un alambre de 80 m de longitud,
¡Cuántos valores enteros puede tomar el lodo desigual de dicho terreno triangular, sí su área no ha
de ser menor que 2004/2 m*?
A)
B)
Cc)
D)
E)
Unidad
13
10
7
5
4
11 - Planteo
de inecuaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
367
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
|
PRE
Tu futuro empieza
con nosotros
UNALM
TU INGRESO ES DIRECTO
UNIDAD 12
CUATRO
OPERACIONES
367
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
OBJETIVOS
Al finalizar la Unidad, el alumno será capaz de:
Analizar y comprender textos, con sentido crítico.
2.
Identificar o reconocer datos y elementos desconocidos.
3.
Discriminar y seleccionar entre dos o más elementos como también procesos, con la finalidad de
elegir o separar un algo del todo, con criterios establecidos y propósitos definidos.
4.
Elaborar y formular conclusiones sólidas y concretas a partir de premisas.
Tomar
6.
decisiones en situaciones de la vida diaria.
— Modelar, generar, integrar y combinar ideas en un producto, plan, propuesta, etc. de tal manera
que se pueda ordenar la información de manera precisa y coherente, teniendo en cuenta la ruta o
Hujo de operaciones que se deben realizar.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Los alumnos para desarrollar esta unidad deben tener un conocimiento de:
Las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potencia, radicación.
2.
Los algoritmos y propiedades de las operaciones antes mencionadas,
3.
Tener en cuenta la ruta o flujo de operaciones que se deben realizar.
CONTENIDO
12.1. INTRODUCCIÓN.
12.2. MÉTODOS OPERATIVOS.
s OPERACIONES
INVERSAS,
s REGLA DE LA CONJUNTA
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS
Unidad 12 - Cuatro Operaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
368
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
12.1. INTRODUCCIÓN
Los conocimientos malernáticos se van construyendo en cada nivel educalivo y son necesarios para
continuar desarrollando ideas matemáticas, que permitan conectarlas y articularlas con otras áreas
curriculares,
Imaginemos la primera vez que el hombre logró entender que liene diez dedos en sus manos
distribuidos simétricamente o dividir una fruta en dos partes aproximadamente iguales, teniendo
el sentido de la simetria y cquidad.
La reflexión sobre estas situaciones nos hace pensar en algunos matemáticos excesivamente
rigurosos en 5u materia que se impacientan con toda terminología que no sea netamente matemática;
a veces es muy dificil entender donde se inicia y donde termina lo empírico.
Ser competente supone tener
con propiedad lo aprendido en
capacidades, conocimientos y
el uso del razonamiento lógico
habilidad para usar los conocimientos con Mexibilidad y aplicar
diferentes contextos. Es necesario que los estudiantes desarrollen
actitudes lógica matemática, pues cada vez más sc hace necesario
en el día a día de todo individuo.
En este sentido, adquieren relevancia las competencias de identificar, definir, comparar, analizar,
seleccionar, interpretar, inferir, argumentar, resolver, evaluar, organizar, representar,
Cuando una persona dice "Jamás he resuelto un problema en mi vida” no es fácil entender a que
se refiere, pues somos individuos que todos los dias estamos resolviendo y replanteando situaciones
de toda indole,
Encontraremos situaciones diversas, muchas de ellas tomadas de la vida diaria, como acertijos
matemáticos, paradojas, ondenamienios, reparlos, siluaciones temporo espaciales, figuras peoméiricas
y todo aquello que sorprenda, maraville o deje perplejo a la inteligencia.
Es buen ejercicio cultivar el hábito de ser muy
cautos en la lectura de una situación 0
entretenimiento y produce una gran satisfacción resolver un rompecabezas por si mismo y una
vez resuelto animar a los amigos a que también lo intenten. Recuerda un trabajo serio no tiene
porque ser triste o aburrido, ánimo.
Muchas personas de todas las edades disfrutan resolviendo o tratando de resolver situaciones o
desafios matemáticos, utilizando el raciocinio, ingenio, imaginación, sentido común y otros
instrumentos de ayuda al razonamiento.
La historia del tema se relaciona estrechamente con el inicio y desarrollo de la forma de pensar
de todo ser humano.
Afrontamos una transformación global de los sistemas de producción y comunicación donde
la ciencia, la tecnologia, el desarrollo socio-económico
y la educación están intimamente
relacionados.
Recuerde estimado lector que la “COMPRENSIÓN LECTORA" es muy importante, depende
mucho de cello que comprenda o no la situación planteada, para luego procesar y modelar una
estrategia de resolución; asi que a leer con mucha acuciosidad, respetando en forma clara las
ideas propuestas.
Unidad 12 - Cuatro Operaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
369
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
12.2. MÉTODOS
TU INGRESO ES DIRECTO
OPERATIVOS
MÉTODO DE LAS OPERACIONES
INVERSAS
Caracteristicas;
e
ro
Estas siluaciones se reconocen por la secuencia continua de operaciones o también
llamado “Flujo de Operaciones”, además indica como información cl resultado final o los
resultados finales.
EJEMPLO;
Un alumno duplicó un número, luego el resultado lo clevó al cuadrado, dividió entre diez,
resta dos, extrajo raíz cúbica, suma siete, extrajo raíz cuadrada y multiplicó por cuatro,
obteniendo doce como resultado. ¿Qué número tenía al inicio?
+
Se anota el flujo de operaciones de acuerdo al enunciado haciendo mucho énfasis en el
orden y secuencia como se presentan las operaciones.
+
Puede darse una situación simple o múltiple, para este segundo caso se sugiere resolver en
in cuadro, en el cual se coloca toda la información y condiciones del enunciado.
EJEMPLO:
Situación simple:
Un alumno duplicó un número, luego el resultado lo elevó al cuadrado, dividió entre diez, resta
dos, extrajo raiz cúbica, suma sicte, extrajo raíz cuadrada y multiplicó por cuatro, obteniendo
doce como resultado, ¿Qué número tenía al inicia?
Planteo sugerido:
A
E
(y
=10=
—?=
Yo
FINAL
: R
Situación múltiple:
Ricardo, Coca, Polo y Toño, se pusieron a jugar teniendo en cuenta las siguientes reglas para el
perdedor de cada partida:
REGLAS:
* El primero en perder deberá cuadruplicar el dinero de c/u de los demás.
+ El segundo aumentará $30 a c/u de los dernás.
e El tercero aumentará 550 a c/u de los otros tres,
* El cuarto aumentará 540 a cóu de los demás,
Unidad 12 - Cuatro Operaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
370
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Se sabe que perdieron en cl orden antes mencionado y al finalizar la cuarta partida cu quedó
con $ 150; $120, 580 y $40 respectivamente,
¿Cuánto tenia cada uno al inicio?
Planteo sugerido:
RICARDO | coco
p
PARTIDA
INICIOS
14 —>
3
PARTIDA
+53 >
y
PARTIDA
+550 >
qe
PARTIDA
+540 —>
TOTAL
$ 390
FINAL
+=
A partir del resultado final se realiza la reconstrucción operando en forma inversa
cada
operación indicada, es decir en vez de:
SE
DEBE
————+>
SUMAR
RESTAR
MULTIPLICAR
DIVIDIR
POTENCIAR
RADICAR
+
RESTAR
SUMAR
DIVIDIR
MULTIPLICAR
RADICAR
POTENCIAR
Nótese claramente que la secuencia de operaciones obedece estrictamente al enunciado
propuesto ( comprensión lectora )
EJEMPLO:
Un alumno duplicó un número, luego el resultado lo elevó al cuadrado, dividió entre diez, resta
dos, extrajo raiz cúbica, suma siete, extrajo raiz cuadrada y multiplicó por cuatro, obteniendo
doce como resultado. ¿Qué número tenía al inicio?
Resolución:
Unidad 12 - Cuatro Operaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
3/1
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
OPERACIÓN
REGISTRADA
OPERACIÓN
INVERSA
x2
(y
A
=10
—+>
>
=1
—1
—
+1
—+
LA
E
E
10
—+
ye
y
2
——=
+4
9
EE
FINAL
+
11
—+
(
—
5
—
7
——ol
x4
'
10
ul
+7
RESULTADO
:
En algunos casos no se da la operación en forma
3
12
explicita, sino información que
debemos procesar para identificar y determinar la operación indicada.
EJEMPLO:
Un
comerciante tenía cierta cantidad
de televisores, el primer día sc venden
10 unidades, el
segundo día se amplia cl stock cn tantos como los que quedaban y el tercer día sc venden
tantos como no se venden, quedándose finalmente con sólo 20 televisores, ¿Cuántos artefactos
tenia inicialmente?
Planteo
1? día
Se venden 10 unidades
—
2? dia
Aumenta tantos como los que quedaban
———+*
3? día
Se venden tantos como no se venden
——
-10= [_]
+
Inicio
12=
+12
FINAL : 20
REGLA DE LA CONJUNTA
Caracteristicas:
+
Estas situaciones se reconocen por la secuencia continua de EQUIVALENCIAS, relacionando
diferentes elementos de una misma especie, teniendo en cuenta dos principales y algunos
intermediarios,
EJEMPLO:
El valor de cuatro dólares equivale al de 80 bolivares; el de 15 bolivares a 4 reales; $ reales
equivalen a 25 balboas; el de 5 balboas equivale al de 8 guaranics y el de 40 guaraniesa 3 soles,
¿Cuántos soles recibiré por 5 dólares?
* Podemos reconocer los principales:
Intermediarios:
— Soles y Dólares
— Bolivares, Reales, Balboas, Guaranics
Unidad 12 - Cuatro Operaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
372
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
+
TU INGRESO ES DIRECTO
Mencionamos las equivalencias más representativas:
e' El valor de cambio en monedas de diferentes paises como dólares, pesos, reales, bolivares, cto.
* Los sueldos de los colaboradores de una empresa como directorio, gerentes, ejecutivos,
empleados, servicios, etc.
+ El precio de prendas como camisas, polos, pantalones, chompas, ete.
+ El esfuerzo entre personas como hombres, mujeres, niños, niñas, ete.
+ El precio de productos de comercio o consumo como papas, camotes, yucas, ollucos, ete.
* El precio de productos de comercio o consumo como pollos, gallinas, patos, pavos, etc.
+“
Se ordena y anota la información relevante, de acuerdo al enunciado, teniendo en cuenta que
todos los conceptos del lado derecho aparezcan también en el lado izquierdo.
Es posible que redunde algún dato o datos y conviene que no se consideren.
EJEMPLO:
El valor de cuatro dólares equivale al de 50 bolívares; el de 15 bolivares a 4 reales; 8 reales
equivalen a 25 balboas; el de $ balboas equivale al de 8 guaranies y el de 40 guaranies a 3 soles.
¿Cuántos soles recibiré por $ dólares?
Resolución:
*
Observemos que los conceptos dólares, bolivares, reales, etc. están tanto en la columna
derecha como en la izquierda, asi mismo los demás conceptos participantes.
*
De no ocurrir lo manifestado en el párrafo anterior, deberá reordenarse la información
hasta lograr que todos los conceptos del lado derecho aparezcan también en el lado
izquierdo.
+
Finalmente multiplicamos miembro a miembro, cancelando todos los conceptos y
operando los valores numéricos
4 dólares
<>
15 bolívares
€>
4 reales
8 reales
<>
25 balboas
5 balboas
<>
8 guaraníes
40 guaraníes
<>
3 soles
X soles
€>
5 dólares
411518151401
X<>
80
bolívares
Multiplicando
8014125181315
Xx = 10
Unidad 12 - Cuatro Operaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
373
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
EJERCICIOS RESUELTOS
l.
Luis quintuplicá un número, luego el resultado lo elevó al cuadrado, dividió entre diez, resta dos,
extrajo raiz cúbica, suma sicte, extrajo raiz cuadrada y multiplicó por seis, obteniendo dieciocho
como resultado, ¿Qué número tenia al inicio?
Resolución:
OPERACIÓN
REGISTRADA
15
(y
lo
—
+10
OPERACIÓN
INVERSA
+5
—
—2
—-
(
+7
—r
y
—
——
ya
=>
10
INICIO
100
——+
10
——+
a
=7
—
2
+ 6
——>
IN
e
2
—
+3
y
—
—
x 10
——
Xx 6
NS
RESULTADO
—
53
3
FINAL
:
18
Al inicio tenia el número 2.
2.
Raúl duplicó un número lucgo de sumarle dos: a este resultado le resta cinco, luego extrajo raiz
cuadrada y finalmente multiplicó por cuatro, obteniendo como resultado el número doce. ¿Qué
número tenia inicialmente?
Resolución;
Según el enunciado, primero se suma dos y luego se duplica
OPERACIÓN
REGISTRADA
+2
x2
5
y
x4
A
—,
pe
—»
—t
OPERACIÓN
INVERSA
2
RESULTADO
Sen
5
+13
—+
+5
e
14
+
9
FINAL:
12
(y
+4
—
mul» INICIO
7
3
Alinicio tenía el número 5.
Unidad 12 - Cuatro Operaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
374
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
3.
TU INGRESO ES DIRECTO
Cada vez que sale de compras, Mariel gasta la mitad de su dinero y dos soles más, Luego de tres
salidas se quedó con seis soles. ¿Cuánto tenia al inicio?
Resolución;
OPERACIÓN
REGISTRADA
OPERACIÓN
INVERSA
+12
>
x2
e
RESULTADO
—+?
76
+1
—3
—>
12
+2
>»
—+
18
+2
—>r
12
—+
16
—2
e
+2
me
$
FINAL:
6
=P
INICIO
36
Al inicio tenia 76 soles,
4.
Diariamente Alfredo gasta la mitud de su dinero y dos soles menos, Al final de cuatro dias le
queda cinco soles. ¿Cuánto tenia al inicio?
Resolución:
OPERACIÓN
REGISTRADA
+2
12
—
180
+2
—P
12
—
Y
+2
——E
2
—
46
+2
e
x2
—
48
—2
—E
x2
=2
—
—*
%
34
FINAL:
15
+2
+2
5,
— RESULTADO
ra
+2
Al inicio tenía
OPERACIÓN
INVERSA
——»B
o
=>»
ip INICIO
180 soles,
Daniel se puso a jugar con el dinero que llevaba, logra duplicarlo e inmediatamente gasta $20; con
lo que le queda juega por segunda vez, triplica su dinero y luego gasta $30; juega por tercera vez,
cuadruplica su dinero, gasta $40 y se queda con $800, ¿Cuánto tenía al inicio?
Resolucion:
Unidad 12 - Cuatro Operaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
375
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
UNALM
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
OPERACIÓN
OPERACIÓN
REGISTRADA
RESULTADO
INVERSA
12
——
22
—
- 20
——+
+20
——»
x3
ES DIRECTO
y
—
5
"Y
INICIO
100
——.
23
-30
——
+30.
——+
bp
1240
E
x4
——.
+4
———=>
210
FINAL
: 800
Al inicio tenía 50 dólares,
6.
Un comerciante tenía cierta cantidad de naranjas; a 5u primer cliente le vendió la mitad del total
más 10 naranjas; al segundo le vendió la mitad del resto, más 10 naranjas y lo mismo hizo con el
tercer y cuarto cliente, quedándose finalmente con solo 15 naranjas. ¡Cuántas naranjas vendió?
Resolución:
OPERACIÓN
REGISTRADA
+2
OPERACIÓN
RESULTADO
INVERSA
12
—>
540 - NICIO
+2
—»
x2
—
260
+1
- 10
—
12
—+
120
—
+10
—
+1
——
60
—
50
- 10
—
12
+ 10
—
2»
FINAL
:15
Vendió 540 —- 15=525 naranjas.
7.
Un mago tiene una presentación que consiste en duplicar el dinero que uno poses, pero después de
cada acto hay que pagarle inmediatamente $10; $ 20 y $ 30 respectivamente. Daniela solicita tres
actos de magia; si después del tercer acto, ella se quedó con $290. ¿Cuánto tenía al inicio?
Resolución:
OPERACIÓN
REGISTRADA
x2
- 10
le
—
x2
- 20
12
- 30
de
sp
—
—>
OPERACIÓN — RESULTADO
INVERSA
+2
—
50 => INICIO
+ 10
—+
100
+2
+20
—>
—
%
180
+1
——+
16)
—
320
FINAL
:290
+ 30
Al inicio tenía 50 dólares.
Unidad 12 - Cuatro Operaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
376
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
3.
TU INGRESO ES DIRECTO
Un depósito tenia cierta cantidad de bolsas de cemento, el primer dia se vendió la mitad del total,
al día siguiente se vendió 90 bolsas, el tercer día se vendió tanto como no se vendió y el cuarto día
se aumentó la mercadería en el doble de lo que quedada, contabilizando un total de 150 bolsas,
¿Cuántas bolsas tenia al inicio?
Resolución:
OPERACIÓN
REGISTRADA
OPERACIÓN
INVERSA
RESULTADO
+2
———
112
———
380 ==
- 90
+1
3
——
+0
o o:2
+3
———
——+
——t+
190
10
5)
FINAL
:150
>”
INICIO
Alinicio tenía 380 bolsas.
9,
Maria Isabel sale de compras, el motivo es el cumpleaños de su querido esposo, gasta los 2/5 de su
dinero más $ 20 en una deliciosa torta, luego compra velas gastando los 3/7 del resto menos $11
y finalmente gasta 1/3 del nuevo resto más $ 12 en refrescos, quedándose con sólo seis dólares,
¿Cuánto costó la torta?
Resolución:
OPERACIÓN — OPERACIÓN
GASTA+ QUEDA+ REGISTRADA + INVERSA + RESULTADO
TORTA:
VELAS:
REFRESCOS:
2/5
3/5
+ 553
Xx 53
=
80 —+ INICIO
+ 20
- 20
- 20
+ 20
=
48
3/7
417
+ 7/4
x 7/4
= 28
-11
+11
+11
-= 11
1/3
2/3
+ 3/2
x 3/2
= 27
+12
- 12
- 12
+12
= 18
FINAL :
=
16
6
Al inicio tenla $ 80,
CONCLUSIÓN: Costo de la torta 80 — 28 =$ 52
Unidad 12 - Cuatro Operaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
371
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
10. Cada dia un estudiante siempre eseribe la tercera parte de las hojas en blanco que liene su cuaderno en
ese momento, más dos hojas. Si después de tres dias consecutivos le quedan aún dos hojas en
blanco. ¿Cuántas hojas en blanco tenía al inicio?
Resolución:
OPERACIÓN
OPERACIÓN
ESCRIBE +QUEDA +REGISTRADA+ INVERSA + RESULTADO
ler
día:
2do
1/3
13
+31
xXx
3112
+ 2
-1
-1
+2
1/3
1/3
+31
Xx 3/2
+2
- 2
-2
+2
1/3
13
+30
x 342
+2
-1
-2
+2
=
21 hojas
=> INICIO
=
14
= 12
día:
3er
=$
=
6
día:
FINAL :
=á
2 hojas
Al inicio tenía 21 hojas en blanco.
11. Ana, Bertha, Carla y Diana, se pusieron a jugar teniendo en cuenta las siguientes reglas para la
perdedora:
e
La primera en perder deberá aumentar $10 a c/u de las demás.
*
La segunda duplicará el dinero de c/u de las demás.
*
La tercera aumentará $20 a c/u de las otras
*
La cuarta triplicará el dinero de c/u de las demás.
Se sabe que perdieron en orden alfabético y al finalizar la cuarta partida c/u quedó con $ 240
respectivamente. ¿Cuánto tenía cada una al inicio?
Resolución:
- — Debemos tener en cuenta que desde el inicio del juego hasta el final, el dinero de las
cuatro participantes suman siempre $ 390, debido a que el dinero solo está rotando entre
ellas.
= — El cuadro sombreado señala a la persona que perdió en esa partida y ésta persona debe
=
¿0
=
completar los 5 390
Iniciamos la reconstrucción con la cuarta partida dividiendo entre tres a cada una, excepto
a Diana, ella debe completar los $ 390,
En la tercera partida restamos $ 20 a cada una, excepto a Carla, ella debe completar los
$ 390.
Unidad 12 - Cuatro Operaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
3/8
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
-=
TU INGRESO ES DIRECTO
En la segunda partida dividimos
completar los 5 390,
entre dos a cada una,
excepto a Bertha, ella debe
- — Enla primera partida restamos $ 10 a cada una, excepto a Ana, ella debe completar los $ 390,
BERTHA | CARLA | DIANA
po
PARTIDA
60
340
INICIOS
+$10
*500+60+340+7 = 960
X2
=>» 30+70+350+? =960
+520
_p 60+60+700+? =960
%= 6
qe
PARTIDA
350
yo
PARTIDA |
yo
rarTIDA |
FINAL
%
X3
241)
240)
240
?=510
?=140
80+80+80+? =060
— —>
TOTAL
E
$ 960
Allinicio cada una tenía 60; 500; 60 y 340 dólares respectivamente.
12, Ricardo, Coco, Polo y Toño, se pusieron a jugar teniendo en cuenta las siguientes reglas para el
perdedor:
IA A
El primero en perder deberá cuadruplicar el dinero de c/u de los demás.
El segundo aumentara $30 a c/u de los demás.
El tercero aumentará 550 a clu de los otros tres.
El cuarto aumentará 540 a eu de los demás.
Se sabe que perdieron en el orden antes mencionado y al finalizar la cuarta partida c/u quedó
con $ 150; $120; $50 y 540 respectivamente.
¿Cuánto tenia cada uno al inicio?
RICARDO | Coco
[9
PARTIDA
INICIOS
xa
"=*
+$30
—»
30+401204?=300
?= 60
qe
PARTIDA
qe
PARTIDA
4
PARTIDA
FINAL
+$50
+$40
mm
di
30+160+80+? =390
2=120
.. 60+30+110+? =390
?=19
—» 110+80+40+? =390
TOTAL
+=160
"==
$ 390
Al inicio cada uno tenía 300; 30; 40 y 20 dólares respectivamente.
Unidad 12 - Cuatro Operaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
379
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
13, ¿Cuántos boligrafos puedo comprar con el mismo costo de Y lápices”, si el precio de 4 lápices
equivale al de 3 borradores, el de una regla al de 2 borradores y el de 3 reglas al de un boligrafo.
Resolución:
Ordenando el segundo dato
Se puede comprar sólo un bolígrafo.
4 lápices
<>
3 horradores
l regla
¿>
1 borradores
4 lápices
<>
3 horradores
2 borradores
<>
3 reglas
<>
1 regla
1 boligrafos
3 reglas
<>
X bolígrafos
<>
1 boligrafos
8 lápices
X boligrafos
<>
—_
dáxixdaX
8 lúpices
<>
X
3x1x11x8
=
1
14, En cierto pueblo de la sierra se realiza un trueque:
e
=
*
5 sacos de papa se cambian por 4 de camote.
lO sacos de yuca se cambian por 6 de ollucos.
Bsucos de camote se cambian por 3 de olluco.
e 2 sacos de yuca se cambian por x de papa.
Calcular “x”"
Resolución:
5
10
B
1
papa
yuca
camole
yuca
Ordenando el segundo dato
<> d camole
<>
6 olluco
<>
3 olluco
<> X papa
5
6
$
1
papa
olluco
camote
yuca
<>
<>
<>
<>
5x6x8x2
X
<>
=
—
Y
10
3
X
camote
yuca
olluco
papa
4x10x3xX
y
Se puede cambiar por 4 de papa.
15. Tenemos que ocho soles equivalen a seis guaranies, diez guaranies equivalen a seis pesos chilenos
y scis pesos chilenos tienen cl mismo valor que cuatro dólares. Si Alfredo tiene diez soles y Daniel
cuatro dólares, ¿Quién tiene más dinero?
Resolución:
3 soles
(Alfredo)
<>
6 guaraníes
10 guaranies
<>
6 pesos chile
6 pesos chile
<>
4 dólares
X
dólares
<>
10 solos
B8x10x6xX<>6x6x4x10
X=-=3
Alfredo tiene 10 soles que equivalen a 3 dólares y Daniel tiene 4 dólares,
Unidad 12 - Cuatro Operaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
380
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
16. Luego de una degustación de quesos Dambo, Edam, Gouda, Paria, Suizo y Gourmet, observamos
que el costo de cuatro moldes Dambo equivale al de 14 Edam; el de 15 Edam a 4 Gouda; € Gouda
equivalen a 25 Paria; el de 5 Paria equivale al de 8 Gourmet y el de 7 Gourmet a 3 Suizos. ¿Cuántos
moldes Suizos recibiré por el equivalente de $ moldes Dambo?
Resolución
4 Dambo
<>
14
15 Edam
8 Gouda
5 Paria
<>
<>
<>
4 Gouda
25 Paria
$ Gourmet
7 Gourmet
X Suizos
<>
<>
3 Suizos
5 Dambo
4x15x8x5x7xX<>
Xx
Edam
Il4x4x251813x5
=10
Se recibirá 10 moldes Dambo,
17. Dos depósitos tienen juntos 230 litros de vino; del primero se venden 85 litros y del segundo 65
litros, resultando de esta manera los dos depósitos con igual contenido de vino. ¿Cuánto tenía cada
uno al inicio?
Resolución:
En total
se extraen:
85 +65
=
:
230-150
=
Tienen lo mismo:
Inicialmente tenian :
0-2
lerdepósito
=
En total queda
2do depósito
150 litros
80 litros
40 litros c/u
40 +85 = 125 litros
40 + 65 = 105 litros
CONCLUSIÓN: Cada uno tenia 125 y 105 litros respectivamente.
18. En un conjunto habitacional correspondía a cada habitante 60 litros de agua por día, pero se han
incorporado 400 habitantes, por lo que ahora corresponde a cada uno 40 litros diarios. ¿Cuántos
hahitantes tiene actualmente?
Resolución:
Cada habitante disminuye su ración en: 60 - 40 = 20 litros para poder cubrir el consumo de los
400 nuevos habitantes
Los 400 nuevos habitantes consumen: 400 x 40 = 16.000 litros
Habitantes iniciales : 16000 +20 = 200
llabitantes actuales : 800 + 400 = 1200 personas,
€ Aerínliienie hay 1200 habitantes.
Unidad 12 - Cuatro Operaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
381
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
19. Un terreno cuadrado de 15 625 metros cuadrados se debe cercar con tres hileras de alambre, cuyo
costo. es de cinco soles el metro; si la mano de obra es de
2 500 solos, ¿Cuál será el gasto total en
dicho alambrado?
Resolución:
Área terreno
Lado
:
15625m'
125 m
;
Perimetro
;
Alambre
123 max 4 lados = 500 m
:
500 max
3 hileras =
Costo del alambre: 1 500 mx 5 solcs
Mano de obra
:
COSTO TOTAL
CONCLUSIÓN:
: 75000
+ 2500
El costo total fue de
1 500 m
= 75 000 soles
2 500 soles
= 77 500
77 500
soles.
20. Un comerciante compró 40 copas de cristal a $ 70 cada una; después de vender 12 unidades con una
ganancia de $ 20 por copa, se le rompieron cinco, ¿Qué precio debe fijar al resto de las copas, para
tener una ganancia de $ 810 ?
Resolución:
Inversión:
40 copas x 570
= 52800
Ganancia
Recaudación
1" Venta
$
total:
2800+810
l2 copas x590
10
=53610
= 51080
Falta recaudar $3 610-51080 =52530
Stock de copas 40-12-5
= 23 copas
Precio de cada copa
52530 += 23 = $ 110c/u
CONCLUSIÓN: El precio fijado es de $ 110 c/u.
21, Los buses de la ruta Lima — Ancón tienen como tarifa única 5 soles por cada pasajero; en cierta
oportunidad un bus que partió de Lima recaudó 225 soles, llegando al terminal de Ancón con 38
pasajeros. ¿Cuántos pasajeros particron de Lima, si por cada uno que bajaba subian tres.
Resolución:
Recaudación: $225 = $ 5 c/u =45 pasajeros
Paradero final
: 38 pasajeros
Bajaron
45-38
=
7 pasajeros
Subieron:
3x7
=
2l pasajeros
Inicio:
45 - 21 = 24 pasajeros
Unidad 12 - Cuatro Operaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
382
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
EJERCICIOS
l,
PROPUESTOS
Un alumno duplicó un número, luego el resultado lo elevó al cuadrado, dividió entre 10, resta 2,
extrajo raíz cúbica, suma 7, extrajo raíz cuadrada y multiplicó por 4, obteniendo 12 como resultado,
¿Qué número tenia al inicio?
A)S
B) 7
012
D) 10
E) 2,5
2.
Un alumno duplicó un número luego de sumarle dos; a este resultado le resta 5, luego extrajo raiz
cuadrada y multiplicó por 4, obteniendo
como resultado el número
12. ¿Qué
número
tenía
inicialmente?
ay5
B)7
O 12
D) 10
E) 2,5
3.
Chachi se puso a jugar con el dinero que llevaba, logra duplicarlo e inmediatamente gasta $10; con
lo que le queda juega por segunda vez, triplica su dinero y luego gasta $50; juega por tercera vez,
cuadruplica su dincro, gasta $100 y se queda con $300, ¿Cuánto ganó en total?
A)530
B) 52370
C) 5330
D) 5 430
E) 5 300
4.
Un comerciante tenía cierta cantidad de litros de vino. A su primer cliente le vendió la mitad del total y le
regaló 10 litros; al segundo cliente le vendió la mitad del resto, más 10 litros y lo mismo hizo con el
tercer y cuarto cliente, quedándose con solo 3 litros de vino. ¿Cuántos litros de vino vendió?
A) 348
B) 345
0)335
D) 308
E) 305
5.
El profesor de R.M. tiene un acto de magia que consiste en duplicar el dinero que uno posee, pero
después de cada acto hay que pagarle inmediatamente 5600, Diana desea que el profesor le haga tres
actos de magia; si después del tercer acto, Diana se quedó sin dinero, podemos afirmar:
Lo Diana en un momento dado tuvo $ 900,
IL Alinicia Diana tenia £ 525,
111.Diana tendria $300, si sólo pedia dos actos.
A) Sólo |
- ¿Bj Sólo ll
C) Sólo 11
DB) ly
E) Todas
Unidad 12 - Cuatro Operaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
383
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
En un depósito habia cierta cantidad de bolsas de cemento; el primer dia se vendió la mitad del
total, al día siguiente se vendió 90 bolsas y el tercer día se vendió tanto como no se vendió,
quedando en el depósito 530 bolsas, marcar lo correcto:
A) Al inicio habian 350 bolsas de cemento.
B) El primer día se vendió
190 bolsas de cemento.
€) En total se vendió 330 bolsas.
D) Si cada bolsa se vende cn $. 20, se recauda Sí, 6600,
E) Todas son correctas
La cantidad de agua que contiene un estanque, se consume en 3 horas. Si en cada hora se emplea la
mitad del contenido, más un metro cúbico, son ciertas:
Il. Inicialmente habían 14m.
ML. En la primera hora se consumió $m'.
HI. En la primera hora se consumió 8m? más que en la segunda hora.
A) Sólo1
B) Sólo 11
C) Solo 1
D)I y!
E) Todas
Un granjero llevó al mercado una cesta de huevos, a su primer cliente le vendió la mitad del total de
huevos, más medio huevo; al segundo cliente le vendió la mitad del resto, más medio huevo y lo
mismo hizo con el tercer y cuarto cliente, quedándose finalmente con sólo un huevo.
¿Cuántos huevos vendió?
A)31
B) 19
0) 30
D) 13
E) 32
Cada día un estudiante siempre escribe la tercera parte de las hojas en blanco que tiene su cuaderno
en ese momento, más dos hojas. Si después de tres dias consecutivos le quedan aún dos hojas en
blanco, ¿Cuántas páginas escribió?
A)
B)
0)
D)
E)
10,
21
19
38
130
132
Cada vez que Rosa sale de compras, gasta los 4 de su dinero y 2 soles más. Luego de 3 salidas se
quedó con 6 soles. ¿Cuánto más gastó en la primera compra con respecto a la sepunda?
A) 808
B) 792.
El 84
E)
312
Unidad 12 - Cuatro Operaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
384
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
Ml.
TU INGRESO ES DIRECTO
Cada hora una pollería vende los 4 del total de pollos a la brasa más 14 de pollo; si después de tres
horas sólo queda un pollo. ¿Cuántos pollos se vendieron en cada hora?
A)
B)
C)
D)
64-164
85-21-5
80-40-20
80-20-35
E) 160-40-10
12.
Una jovencita
sale de compras, gasta los 2/5 de su dinero más $ 20 en un perfume, luego compra
velas gastando los 3/7 del resto menos $ 11 y finalmente gasta 1/3 del nuevo resto más $ 12 en un
arreglo floral, quedándose con sólo seis dólares. ¿Cuánto más costó el perfume con respecto a las
Mores?
A)
B)
0)
D)
Ej
80
74
31
52
21
13. Se tienen 48 palitos de fósforo distribuidos en 3 grupos. Del primer grupo se pasan al segundo tantos
palitos como éste tiene, luego del segundo grupo se pasan al tercero tantos palitos como tiene éste y
lo mismo se hizo del tercero al primero resultando finalmente los 3 grupos con igual cantidad de
pilitos.
Son correctas:
Ll. Al final c/u quedó con 16 palitos,
11, Al inicio, el prinver grupo tenia 22 palitos,
[1. Antes de pasarle al primero, el tercero tenía 24 palitos.
A) Sólo l
B) Solo 11
C) Sálo U
D)1 y HI
E) Todas
14.
Se tienen 28 manzanas distribuidos en 3 cestas. De la primera se pasan a la segunda tantas manzanas
como ésta tiene, luego de la primera se vuelve a posar a la segunda tantas manzanas tiene ahora ésta
y exactamente se hizo lo mismo de la segunda a la tercera, resultando finalmente que la tercera cesta
tiene doble número de manzanas que la segunda y ésta el doble de la primera.
¿Cuántas manzanas tenia la segunda cesta al inicio?
A)S
B) 16
Cy 19
D)4
E) B
Ricardo, Coco, Polo y Toño, se pusieron a jugar teniendo en cuenta las siguientes reglas para el perdedor:
o
e
e
El primero en perder deberá cuadruplicar el dinero de c/u de los demás.
El segundo aumentará $30 a c/u de los demás.
El tercero aumentará $50 a e/u de los otros tres.
Unidad 12 - Cuatro Operaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
385
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
s
TU INGRESO ES DIRECTO
El cuarto aumentará $40 a celu de los demás.
Se sabe que perdieron en el orden antes mencionado y al finalizar la cuarta partida c/u quedó con
5150; $120, $80 y 540 respectivamente.
15. ¿Quién perdió más dinero y cuánto?
A) Ricardo -$150
B) Coco-590
C) Polo-5200
D) Toño-580
E) Polo-5160
16.
¿Quién ganó más dinero y cuánto?
A)
B)
C)
D)
Ricardo — $150
Coco - 590
Polo - 540
Toño-$20
E) Coco-5120
17.
La relación correcta es:
A)
B)
C)
Ricardo tenia 5300 al inicio.
En todo momento las4 personas tienen un total de $390.
Antes de perder Polo tenia 5190,
D) Después de perder Coco tiene $30.
E)
Todas son correctas
18, En un primer juego, Danicl pierde 2/5 de su dincro, cn el segundo juego pierde 30 dólares y cn un
tercer juego gana 3/10 de lo que le quedaba, contabilizando al finalmente 195 dólares.
¿Cuánto tenía al inicio?
A)
BE
0)
DD)
10
200
300
360
E) 108
19.
De un reservorio de agua, en dos oportunidades consecutivas, Juan extrae los 5/8 del contenido y 60
litros más, seguidamente extrac tanto como no extrae, quedando 15 litros en el depósito. ¿Cuánto
extrajo la segunda vez?
A)
800 litros
B)
300 litros
€) 240 litros
D)
560 litros
E)
210 litros
24, Dos kilos de frijoles tiene el mismo precio que tres kilos de azúcar, cuatro kilos de arroz cuestan lo
il
mismo que cinco kilos de azúcar, tres kilos de fideos cuestan
30 soles y ocho kilos de arroz tienen
el mismo valor que cuatro kilos de fideos. ¿Cuánto costará seis kilos de frijoles?
Unidad 12 - Cuatro Operaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
386
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
A) 36
B) 72
0332
D) 64
E) 21
21.
En una feria agropecuaria se observa que el precio de 3 patos equivale al de 2 pollo; 4 pollos al de 3
gallinas; 12 gallinas a 8 pavos y 5 pavos tienen un costo de S/. 150, ¿Cuál será el costo de 5 patos?
A)
B)
C)
D)
E)
22,
S£/.
S/.
S/.
S/.
S/,
50
80
60
65
55
En un bazar se observa que el precio de 4 pantalones equivalen al precio de 10 camisas; 5 camisas
cuestan tanto como 7 chompas. ¿Cuántas chompas pueden comprarse con el precio de 2 pantalones?
A)S
B) 8
C) 10
D)9
E) 7
23.
Hace algunos años, el cambio monetario cra cl siguiente:
É soles
:5
10 cruzados
23
6 pesos
¿4
¿Cuántos soles daban por
Ay
B)
Cc)
D)
E)
24,
cruzados
pesos
dólares
2 dólares?
16
18
10,5
14
13
El trabajo de cuántos hombres equivaldrán al trabajo de $ niñas, si el trabajo de 4 niñas equivale al
de 3 niños, el de una mujer al de 2 niños y el de 3 mujeres al de un hombre,
Ay1
B,2
03
D4
EJ6
25.
¡Qué suma necesitará un gobierno para pagar a 4 generales?, si el sueldo de 6 coroneles equivale al
de 10 comandantes, el de 5 comandantes al de 12 tenientes, el de 2 generales al de 4 coroneles, el de
fitenientes al de 9 sargentos y si 4 sargentos ganan S/, 2 400 al mes?
Ay S/. 14 000
B) 5/24 400
€) S/ 36 000
DD)8 48 000
E) S/. 28 800
Unidad 12 - Cuatro Operaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
387
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
26.
TU INGRESO ES DIRECTO
10 m' de madera de abeto pesan lo mismo que 7m? de madera de acacia, 10 m' de madera de cerezo
lo que 9 m* de madera de acacia; 5 m' de madera de cerezo lo que 3,6m* de madera de eucalipto,
y esta última pesa lo mismo que el agua. Calcular el peso de 1m? de madera de abeto.
A) 480 kg
B)
C)
D)
E)
27.
ke
kg
kg
kg
Con S/, 16 464, se han comprado latas de sardinas en cierto número de cajones, cada uno de los
cuales contiene un número de latas triple del número de cajones y cada lata de sardinas, cuesta una
cantidad de soles igual al doble del número de cajones. ¿Cuántas son las latas de sardinas?
A)
B)
C)
D)
E)
28.
520
560
450
260
14
438
588
42
196
Se compraron cajones de naranjas a 100 soles cada uno; cada cajón contiene 20 kilos, primero se
vende la mitad a 20 soles el kg, después la cuarta parte a 15 soles el kg, y por último el resto se
remata a 10 soles el kg, ganando 11 250 soles en total. ¿Cuántos cajones de naranjas se habian
comprado?
A) 65
Bj 70
055
D) $0
E) 60
29.
Se quiere cercar un terreno de forma cuadrada cuyas superficie es de 15 625 m* con una cerca de
tros hileras de alambre, se desca saber cuánto costará toda la obra si el metro de alambre cuesta
S/. 15.50 y la mano de obra total S/. 4225.
A)
B)
0)
D)
11975
23250
26 925
27675
E) 27 475
30.
Un galgo persigue a una liebre que le lleva 90 saltos de ventaja y da 4 saltos, mientras que el galgo
da 3 saltos, pero 5 saltos del galgo equivalen a 7 saltos de la liebre. Determinar la cantidad de saltos
que debe dar el can para alcanzar a la liebre,
A)1350
B) 950
C)2520
D) 1 260
E) 675
31.
:
En un almacén habian 6 sacos de arroz, con las sgtes cantidades en kilogramos: 15; 16, 18; 19; 20 y 30.
Llegan dos clientes, uno compra tres sacos y el otro dos sacos, pero con la particularidad de que uno de
ellos compró doble cantidad de arroz que el otro, quedando un saco en el almacén. ¿Cuál de ellos fue?
Unidad 12 - Cuatro Operaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
388
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
A)
B)
C)
D)
E)
32.
TU INGRESO ES DIRECTO
19 kg
16 kg
15 ke
156 19 kg
16619 Kg
En bus se observa que cuando parte el cobrador posec 32 monedas de S/, 1 y 20 billetes de S/, 10 y
cuando llegan al paradero final el cobrador posee Únicamente 80 billetes de S/. 10 y algunas monedas
de S/, 5, Se sabe que el pasaje es único y de S/. 6, y hay quienes pagaron con billete de S/, 10 6
pasaje exacto con monedas de S/. 5 y S/, l. ¿Cuántos pasajeros viajaron?
A)
Bj
0)
D)
E)
33,
260
270
255
281
249
Un jugador ingresa a un casino con cierta cantidad de dinero, en su primer juego pierde 2/5, en el
segundo juego pierde 30 soles, en su tercer juego gana 3/10 de lo que le quedaba y en el cuarto
juego gana 25 soles; retirándose finalmente con 220 soles, ¿Cuánto tenia inicialmente?
A) 300
B) 200
2) 120
D) 180
E)210
3A.
Luis, Raúl y Daniel juegan teniendo en cuenta las siguientes condiciones para el perdedor:
« El primero en perder pagará a cada uno de los otros 1/3 del dinero que tenga cada uno de ellos,
e El segundo en perder pagará 1/4 del dinero que tenga cada uno de ellos.
« El tercero en perder pagará 1/5 del dinero que tenga cada unos de ellos,
Se sabe que perdieron en el orden antes mencionado, y al final cada uno quedo con 60: 66 y 54
dolares respectivamente.
¿Cuánto tenia Raúl antes de perder?
A)
B)
C)
D)
E)
33,
75
60
80
55
85
Un apostador pierde 120 soles el primer día, el segundo día gana el doble de lo que perdió el día
anterior; al dia siguiente gana una cantidad igual a lo que tenia el segundo dia y el cuarto dia pierde
los 4/5 de lo que tenía, retirándose con 236 soles. ¿En qué día le hubiera convenido retirarse, para
quedarse con la mayor suma de dinero?
A) Primer dia
B) Segundo dia
C) Tercer día
D) Cuarto día
E)
Primer o tercer día
Unidad 12 - Cuatro Operaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
389
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
36.
TU INGRESO ES DIRECTO
Dos depósitos A y B contienen cierta cantidad de vino cada uno. Se extrae a mitad de Á y se
trasvasa a B, luego de B se extrae diez litros y se pasa a A, y por último se extrac la mitad de A y se
agrega en B, resultando los depósitos con 17 Y 91 litros respectivamente. ¿En cuánto aumentó el
contenido de B?
A)
B)
C)
D)
E)
37.
31
42
48
60
21
Tres amigos A, B y € se pusieron a jugar con la condición de que el ganador de cada partido recibira
de cada uno de los otros dos la mitad del dinero que tengan en ese instante. Ganan en orden
alfabético y terminan con 40; 72 y 128 dólares respectivamente. ¿Cuánto tenían juntos A y B luego
de la segunda partida?
A)
B)
C)
D)
E)
3%.
39.
224
208
220
160
80
El tiempo promedio que un alumno tarda para resolver 3 problemas de razonamiento matemático
equivale al tiempo que emplea para resolver 5 de aritmética; ocho de aritmética le demanda tanto
iempo como 4 de álgebra; 5 de álgebra tanto como 24 de geometria y 4 de peometria tanto liempo
como “x" de razonamiento matemático, Caleular *x”,
Aj 1
Bj) 2
03
D) 4
E) 5
Una compañía está formada por $ departamentos; cada departamento tiene 3 sucursales, en cada dos
sucursales hay 5 oficinas y en cada oficina trabajan 12 empleados. ¿Cuántos empleados trabajan en
diez compañias?
Aj
B)
E)
D)
E)
40.
6000
7200
7000
8200
8000
Cada vez que compro 10 manzanas, me regalan dos y cada vez que vendo 15, regalo una; s1 compro
y vendo las manzanas al mismo precio. ¿Cuántas debo comprar para quedarme con 100 manzanas?
A)
B)
C)
D)
620
550
750
500
E)
600
Unidad 12 - Cuatro Operaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
390
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
CE
|
PRE
Tu futuro empieza
con nosotros
UNALM
TU INGRESO ES DIRECTO
UNIDAD 15
PERÍMETROS Y ÁREAS
390
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empleza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
OBJETIVOS
Al finalizar la Unidad, el alumno será capaz de:
Identificar y calcular el perimetro y el área de una figura geométrica.
2,
Relacionar los perimetros y áreas de las diferentes figuras geométricas.
3.
Utilizar diversos procedimientos para determinar el perimetro y área de una figura geométrica,
4. — Aplicarel concepto de área y perimetros para solucionar problemas relacionados a la vida cotidiana.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Los alumnos para desarrollar esta unidad deben tener un conocimiento de:
Propiedades básicas de las figuras planas triangulares,
Propiedades básicas de las figuras planas cuadrangulares.
o
E
Propiedades básicas de las figuras planas poligonales.
Propiedades básicas de las figuras planas circulares.
Relación de las partes con un todo.
Planteo y resolución de ecuaciones,
CONTENIDO
13.1 INTRODUCCIÓN
13.2. CONCEPTOS BÁSICOS
133 PERÍMETRO
134 ÁREA
RESUMEN
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
391
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
13.1
TU INGRESO ES DIRECTO
INTRODUCCIÓN
HIPÓCRATES
DE QUIOS
Matemático gricgo, precursor de Euclides se marcho muy pronto de su isla natal, Quios y se instaló en
Atenas consiguiendo ser un gran malemático, Su fama en geometría se debe a las siguientes razones:
|. Al parecer fue el primero en recopilar un libro de Jos Elementos.
2.
Intentando establecer la cuadratura del circulo, demostró la cuadratura de ciertas clases de lúnulas.
Una lúnula es una figura limitada por dos arcos circulares de radios distintos,
E
Ss
E
Q = Area Triángulo AOB = _
5
DEMOSTRACION
5 = Sector ADB- Q
Sn LL
Q
IPS
A
4
O
g
IÓN
2
P=Semicírculo -S
la
SS
Por lo tanto se demuestra que: P=Q
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
392
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
3.
TU INGRESO ES DIRECTO
Fueel primero que observó que el problema de la duplicación del cubo se reduce al problema de
encontrar dos medias proporcionales en proporción continua entre dos rectas dadas, lo que mas
tarde llevó a la resolución de la duplicación en términos de medias proporcionales.
132. CONCEPTOS
BÁSICOS
FIGURA GEOMÉTRICA PLANA: Se denomina asi aquella que resulta de unir a un conjunto
de puntos en el plano. Por ejemplo: un triángulo, un rectángulo, una circunferencia,
REGIÓN: Es la figura geométrica E
Figura geométrica
unido con la porción del plano limitado por ella.
Porción del plano
limitado par la figura
geométrica
*
*
e
Región
Triangular
Podemos medir la longitud de los segmentos y curvas que conforman una figura geométrica
plana empleando el concepto de perimetro.
Podemos medir la extensión de una región empleando el concepto de área.
13.3. PERÍMETROS
Se denomina perímetro a la medida que resulta de sumar las longitudes de los segmentos y
curvas que conforman una figura geométrica o dicho de otra manera la longitud del cantomo
que rodea a una determinada región.
Cuando se halla el perimetro de una figura plana esta debe expresarse con un número acompañado
de una unidad de longitud, asi por ejemplo:
4km
S5km
Perimetro = 4km+5km+6km=15km
6km
lim
q
:6m
sm
oa
Perímetro = 6m+12m+6m+12m=36m
y
12m
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
393
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Perímetro = 6cm+6em+2 + em=(12+2 - Jem
6cm
13,4 ÁREA
POSTULADO
DEL ÁREA
A toda región le corresponde un número positivo único, el cual se denomina Área.
POSTULADO
DE LA UNIDAD
El área de una región cuadrada es el cuadrado de la longitud de su lado.
UNIDAD
A
E
a
E
DE MEDIDA:
Cada vez que se calcula el área de
una región, se halla el número de
L
cuadraditos (unidades) que existe
en la figura.
L
2d
1u*]
Aida
1u*|
1
lu
lc A E
1u*|
D
lu” f lu 1
ap
Árca = 8u*
luól 2
e
lu 3 in
E
Árca = 4u”
o)
a
DEFINICIÓN:
Se denomina área a la medida de la extensión de una determinada repión. Esta medida se expresa con
un número entero positivo acompañado de una unidad de área (m*, cm”, pulg”, cte.),
Ejemplo 1: Halle el área de las siguientes regiones sombreadas.
l2km
5
E
6km
-
7
E
il—
6m
¿Área
. on am)
Área = (12 km )(6km)
Área
=12m'
Área
—
m
6cm
6km
O
12km
m
6cm
= 72 km"
Área
x (60m
Área
=6x5 cm
NA”
y
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
394
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
POSTULADO DE LA CONGRUENCIA
Si dos figuras planas son congruentes, entonces las regiones determinadas por ellos tienen la misma
área.
Si¡=8;
S¡=5,=51=8,
Ejemplo 2: Halle el área de la siguiente región sombreada, si ABCD es un cuadrado de área ¡igual
49 mí,
»
E
C
7m
Resolución
Trazamos EF // AB.
e
Los triángulos ABE y AFE son congruentes:
8 us
Los triángulos ECD y EFD son congruentes:
5 o
El árca del triángulo AED =P +40, por lo tanto
5
.
A Atun
S
49
EE
—
a
« Hom
l
3
A
F
7m
D
Ejemplo 3: En un triángulo equilátero ABC de área igual a 40m? , se toman sus puntos medios E, F y
Gde AB
,BC
y AC
respectivamente. Halle el área de la región triangular EFG.
Resolución:
*
Al unirlos puntos medios de AB, BCOoy AC se Forma el triángulo
cquilátero EFG, el cual es congruente con los triángulos: EBF, FOG
y GAF, es decir: 5
*
Porlo tanto:
=5
AEBF
45 = 40m"
A HG
=5
AGA
=5
A E
=5
;
5 =lóÓm-
REGIONES POLIGONALES
Una región triangular cs la reunión de un triángulo y su interior.
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
395
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Triángulo
ne
iS
Ñ
Mio
Interior
Interior
Interior
Una región poligonal es una figura plana que se forma al reunir un número finito de regiones
triangulares, tales que si dos cualesquiera de ellas se intersecan, su intersección es o bien un punto o
un segmento.
En adelante cuando se refiera al área de la región triangular se refiere al área del triángulo y viceversa.
En general, cuando se refiera al área de una región poligonal cualquiera como un rectángulo, cuadrado,
rombo, ete., simplemente se refiere al área del rectángulo, del cuadrado, del rombo, respectivamente.
ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES
Lobby
b.h
0—
Yk— LANN
>
03
L
E,
LA
t—»——
E
b.c5en
0
2
Ejemplo 4: Halle el área de la siguiente región sombreada, sí ABCD es un cuadrado de lado igual a 7 m.
B
G3ám
J
c
o
3m
F
a
A
am
E
D
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
396
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Resolución
Im
es
Los triángulos FBG.,
41h
*
=5
¿un
GCH, HDE y EAF son congruentes, entonces:
añ
Ama
M4)
=5
== ——=
Ar
7
bm
F
dm
Porlo tanto el área de la región sombreada es:
SEA
o
= 4(6m*)= 24m"
DA,
A
3mE
m
D
Ejemplo 5: Halle el área de un triángulo equilátero cuya altura es de 4 J3m
Resolución
e
Usando el triángulo notable BHC, a partirde BH=4 43, obtenemos:
BC =8
.
(lado del triángulo equilátero)
MORO
5
ADE
5
a
¿ala
=l6v3m'
ÁREA
DE
REGIONES
U_/
"
S=b.h
CUADRANGULARES
J
E
11
Mn
S=b.h
J
L
S=1?
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
397
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
UNALM
TU INGRESO ES DIRECTO
nosotros
Ejemplo 6: Calcule el área de la región sombreada mostrada,
Resolución:
*
+
*
+
Trazamos por C, cu
y formamos el triángulo notable 37 * y 53"
Enel triángulo notable CHD a partir de CD=10m, hallamos:
HD= 6m y CH = 8m
Enelrectángulo ABCH:
—BC=- AH -4m
CH=AB
:
e
Hallamos el área del trapecio ABCD:
= Km
+4
5 =(+
Ho
5 =56m'
Ejemplo 7:
4m
HH óm
D
Calcule el área del cuadrilátero que resulta de unir los puntos medios de un rombo de 40 m'
de área,
Resolución:
*«
Enel triángulo ABC,
FG es base media, Si FG
=m
+
Enel triángulo ABD, FE es base media. Si FE =n
=> AC
=2m
=> BD =2n
(]m)j(2n)
5 HOMBO
=
Calculamos el árca del rombo:
”
E
A
Á
40 = 2mn
20
= mw
* — Calculamos el área de la región sombreada: $
al
= mn
= 20m
RECTAXNGULO
OTRA FORMA:
s
Sean
E,
FE
G
y
H
puntos
medios
de
AD, AB
BC
y ca
respectivamente y los unimos formando el rectángulo EFGH.
s
Trazamos las diagonales Fu y EG
del rectángulo EFGH y
observamos que de la figura están sombreados E triángulos
rectángulos de árca 5 de un total de 16 triángulos de árca 5.
A
+. — Porlo tanto el área del cuadrilátero EFGH es: 20m*
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
398
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
PROPIEDADES A TOMAR
EN CUENTA PARA EL CÁLCULO DE ÁREAS:
En el triángulo:
A
mb n
5
m
s=S,
5.5
«5.
=B
=5
=S
En el paralclogramo:
(mm
B
Cc
A
a
D
E
Cc
A
D
3)
A
5¡+S71+51+54= 5
8,/+8=5
5-5
S= Sl
(5)
(4)
Cc
B
B
(6)
B
C
c
F
h
D
E
A
Sm
asin
A
>
6
D
E
A
:
Sum
ECO
2
E
A
Tam
E]
12
399
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con nosotros
UNALM
TU INGRESO ES DIRECTO
Ejemplo$: Demuestre la propiedad (1) del triángulo anteriormente mencionado.
Demostración:
*
e
B
Hallando
el área de 5, y 5S::
5
entonces —
5
h
$
= ña
5
x
3, = E
má
5
—=
es iguala:
1
>
5
o
a
É
>
ah
5 mi
:
2
l
1]
A
c
Don
pp
Ejemplo 9: Demuestre las propiedades (2), (4) y (6) del cuadrilátero anteriormente mencionados.
Propiedad (2)
e
SetrazaporE, EF
BA.
(Fen AD
)
*
Como ABEF es un paralelogramoy AF
*
Como FECD es un paralelogramo y ED su A
s
su diagonal:
5
AM
=$
AARE
A
Del gráfico
50 observa: S = 558
»
Propiedad (4)
e
Se iraza la diagonal BD el cual intersecta en O a AC, de manera que BO
*
Enel
*
que: CG = 260
Como CG =2G0
triangulo
BCD:
co
y BF
son medianas
,entonces: $
=28
= 0D
y se intersectan en G (| baricentro), de manera
=$
AO
*
En cl triangulo
intersectan en
AH
+
.
*
BAD: AO y BE son medianas
H (
baricentro), de manera
y se
que;
=2HO
:
Como
AH
a. =2H0 ,entonces: $,
$
Comose Se
=>?
= 23 ,.,
=28
=3=5
A
Comoel área de la parte sombreada es $ y el área del paralelogramo es 65, entonces se concluye
que:
$
ara HA
DA
5.
Era
Propicdad (6)
e
*
Selrazan:
CH
Porcongruencia;
4 FA
y
Bl
DG
—/ EB
= IL =JK
=KD
e
Encltriángulo AKD, por base media: 1.F. =
«
ComoIL=2LE
entonces: $ ma
525
2
= 38
ABE
*-
*
Como IA es mediana del triángulo BAL., entonces: Sua
"Ss
225
Comoel área de la parte sombreada es S y el área del paralelogramo es 205, entonces 5€ concluye
e
q
sd
E $ AMIARLADA
pr
A
EL
3)
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
400
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
REGIONES CIRCULARES
Una región circular es la reunión de un circulo o parte de ella con su interior,
ÁREA DE REGIONES CIRCULARES
S=rt.r”
r
(= .r Ko)
360
A
r
”
Á
Ejemplo 10: Calcule el área de la región sombreada, si O es el centro del arco AB
6m
Resolución
*
El área de la región sombreada la hallamos restando el área del triángulo
B
equilátero DAB del árca del sector circular AOB,
.
5
=
Amd
e
Y
E
.
Loy
ora
a
A
MSCTOR
—(A0ñ
+
Ó
Porlo tanto el área de la región sombreada cs:
A
Ejemplo 11: Calcule el área de la región sombreada, si O es el centro de ambas circunferencias.
Resolución
*
El área de la región sombreada se halla restando el área
del circulo de radio r del área del circulo de radio K,
+
Lasárcas
de los circulo son:
S,=w*
R'
y
S,=87
re
5=xR'-2ar
es
Porlotanto el área de la región sombrcada es:
,
5=nxm(R*-r"r")
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
401
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
UNALM
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
RESUMEN
FIGURA GEOMEÉTRICA PLANA
Es la que resulta de unir a un conjunto de puntos en el plano. Por
ejemplo: un triángulo, un reclángulo, una circunferencia.
J
|
|
PERÍMETRO
ÁREA
Es La medida que resulla de sumar los longitudes de los
Es la medida de la extensión de una determinado
segmentos
y curviás que conforman una figura geométrica,
región. Esta medida se expresa con un número
Esta
positivo acompañado de una unidad de área (mí,
medida
se
expresa
con
un
número
positivo
acompañado de una unidad de longitud (m, cm, etc.)
ent, pulg”, ete).
REGIONES POLIGONALES: Una región triangular es la reunión de un triángulo y su interior, Una
región poligonal es una figura plana que se forma al reunir un número finito de regiones triangulares.
REGIONES CIRCULARES: Una región circular es la reunión de un circulo 0 parte de ella con su interior.
ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES
IN
¡DN
RA
E
b.h
5
|
y
au
C,-C,
+
f
AN
h—».——
Lt
7
bueSen 0
4
3
ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES
al
Ar
/
:
1
b
S=b.h
L
Ll
L
E
b
Ú
5]
S =b.h
-
G
s=1?
br
5=
D.d
E
h
s=(
B+*b
2
)
il pm —
ÁREA DE REGIONES CIRCULARES
S=x.r
r
Eo)
360
NS
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
402
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
EJERCICIOS RESUELTOS
1.
Halle el perímetro de la región sombreada sí ABCD es
un rectángulo de 6m x 1Um.
y
Resolución:
A
se
El perimetro de la región sombreada esta dado por;
B
E
L
ñ
B
E
E.
Lenano)
z
l
E
E
cc
. 200
A
>
Dn
A
Segmentos verticales
e
Perimetro=
AB + EF
s
Perimetro= AB + EF +
+
+GH
la
LD
Segmentos horizontales
+1)
+ KL
EF
+ 0D
+ CD
+BE
+ FG
+MH
+
+JK
+ LC
AD
+ AD
+ AD
Perimetro — 6m+4m+4m+6m+10m=+10m
Perímetro = 40m
2,
Calcule el perimetro de la región sombreada si el lado del cuadrado
C
ABCD es“2a" m y AM=MD,
Resolución:
*
A
M
El perimetro de la región sombreada esta dado por:
B
2a
Za
A
a
Ma
D
A
2 diagonales ( AC y BD)
+
.
Delgráfico:
Pefimetro
=
a
2(als)+
A
2 segmentos ( BM
AC=BD=2aWV2
2(224/2)+
Moa
y CM)
a
un lado (ADJ
BM=CM= avs
la
=
zal20/2
+
iS
Moa
AD=2a
+ 1)
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
403
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
3.
TU INGRESO ES DIRECTO
Halle el perimetro del cuadrilátero que resulta de unir los puntos medios de los lados de un trapecio
isósceles cuya diagonal mide £m.
Resolución:
«
*
»
SeanE,F, G y H puntos medios de AD, AB BC
y co
respectivamente,
Por base media:
En el triángulo ABC:
FG= dm
En el triángulo ADC:
EH =4m
Como cl trapecio es isósceles se oblicnc:
GH=4m y FE=4m
s
4,
Porlo tanto el perimetro de FGHE es: 4m + 4m + 4m + 4m = lóm
Halle el perimetro de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado
de lado igual a 6m y los puntos medios de BC—y
de los arcos BC
y AD
AD
son los centros
respectivamente,
Resolución:
+
B
A
D
El perimetro de la región sombreada esta dado por,
e
Mii
c
a
3
CAI
e
sniaz
carr
óm 1
3
3m
2
Bi
Una circunferencia
+
+mAD
un cuadrado
+
+
6m
D
dos diagonales
.
mBC
AB+*BC4+CD4+DA
+
.
Perimetro = ri3)+1r(3)+6+06+64+6+642
+ 6/2
AC
+ BD
Perimetro= 65 + 24 +12 42
Perimetro= 6tr + 4+ 342)m
5.
Mallar el perimetro de la región sombreada, si AOB es un
cuadrante de radio igual a Óm
DA
y OB
son
los
centros
A
y los puntos medios de
de
los
arcos
AO
y OB
respectivamente.
6m
O
ó6m
B
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
404
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
UNALM
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
Resolución:
*
El perimetro de la región sombreada esta dado por:
A
6m
o
óm
B
Un cuarto de circunferencia
+
2 semicircunferencias
de radio igual a Óm
>
de radio igual a 3m
má
+
216)
.
Perimetro = ——
4
m AO
2x(3)
de
+ m0B
271(3)
+
2
¿
Perimetro= dr + 37437
Perimetro = 8 m
6.
En la figura, “D” es el centro del arco AEC y “O” centro de la
circunferencia cuyo radio mide “R”., Calcule el perímetro de la
región sombreada en función de R.
Resolución:
e
El perimetro de la región sombreada esta dado por:
B
A
+
D
La semicircunferencia de centro O +
y de radio igual
aR
*
».
un cuario de circunferencia de centro D
y de radio iguala rn
m ABC
Perimetro =
+
2HR)
Perimetro=
2 RW2)
rs
A
2
Perimetro= TK
m ÁAEC
4
+
7R (14
242R
4
——)
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
405
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO
B
7.
ES DIRECTO
ócm
SiABCD es un cuadrado cuyo lado mide 6m y EF AD.
Calcula el área de la región sombreada.
Resolución:
e
El área de la región sombreada es:
Área
=$
;
,
Kennca
6
ed:
+ 5
nc
DAE
b16—-
20 ¿DE
2
a
Za
2
E
Área =3a+ J16-a)
6
Área
= Ja + 18 - 3a
Árca
£.
=
licm
*
Si ABCOD es un cuadrado cuyo lado mide £m cireunserito a una circunferencia. Calcule el área del
cuadrado EFGH.
B
Resolución:
e
Observando el cuedrado ABCD y el circulo, se liene;
ir=1b
r=4
*
Observando el circulo y el cuadrado inscrito, se tiene
31
_ ar]
Or) IO
ERA
3
a
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
406
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
9.
TU INGRESO ES DIRECTO
Calcule el área de la región sombreada.
Resolución:
+
Como el triángulo GOH es congruente con el triángulo
4——
EOF, entonces tienen la misma área. En consecuencia
podemos trasladar la región del triángulo GOH a EOF.
e
ÚcM
py
Al trazar los diagonales de un rectángulo se sabe que se
determinan 4 regiones iguales, par lo tanto;
AP
FAA
dá
10. Calcule el área de la región sombreada, si los puntos medios de DA
ri
arcos AO
y OB
son los centros de los
ra
y OB
respectivamente,
A
ó6m
o
Resolución:
e
Seltraza AB, el cual pasa por E
e
PorO,setraza
e
Como se obliene figuras congruentes (tienen la misma área)
Se traslada tal como muestra la figura.
e
Elárea de la región sombreada se halla restando el área
del triángulo rectángulo AGB del área del sector circular
OE
1
6m
B
AB
AOB
E*
a
5
=
46h
e
—=
5
.
58m
7
nd6)
5
=
SECTOR
(AGA
A
,
=
ram
ñ
3
Porlo tanto el área de la región sombreada es:
$ =Yr-18m'
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
407
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
ll. Calcule
cl árca
de
la región
sombreada,
si
los
puntos
medios de los lados AB, BCO, CD
y DA
de los arcos AO),
respectivamente.
BO,CO
y DO
ócm
son los centros
B
a
y
6em
Se
6cm
A
Resolución:
+
traza
por
el punto
de
diagonales un segmento
horizontal
PO,
para
intersección
vertical MN
determinar
de
e
6cm
D
las
y uno
cuadrantes
congruentes
*
Se trasladan los cuadrantes congruentes como
muestra la figura.
*
El cuadrado ABCD tiene 4 cuadraditos iguales.
e
Se observa que la región sombreada consta de 2
cuadraditos, por lo tanto el área de la región
sombreada es:
(6106)
APA
A
2
= lem
ACA
A A A
12. 51 ABCD es un cuadrado de lado igual a 20m, halla el área de la región sombreada.
B
E
M
Resolución:
A
».
¡
. Sum
Por propiedad:
+
Como.
+
Como AMBC
*
Comos
EC
=34EM
"SY
, entonces:
5 50
So
= 208, Cmionces: $
ABC
e
5.
+
Piden:s
D
%
=208
95
=48
, entonces: 5
=ANAB
N
=115
CO
=20085=()
>
S=-20m*
= 115 =11(20)=
220 m*
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
408
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
14, Si ABCD es un rectángulo, que relación existe entre las áreas de las regiones sombreadas 1 y IL
Cc
Resolución:
*
Porpropiedad sabemos que:
5
5
$
*
and
=
(ver gráfico)
6
=
(ver gráfico)
AO
Nos piden:
5, .,_£,4
5
'
AE
.
3
pi
$
A
D
15. Si ABCD es un rectángulo de área igual a 72 em?, halle el área de la región sombreada.
B
a
O
l
Resolución:
me
Setrazan
HIBA
*
Como
AB
= Bl, entonces ABHI es un cuadrado,
+
Como
BH
=-= HC
5
=8
e
amd
NBA
y El
;
=
3
A
4
A
O]
C
dG
E
=1L
Fr
D
NDA
, entonces: los cuadrados ABHI y IHCD son congruentes, es decir:
= dem *
Del cuadrado ABHI se observa:
o
e
Mco
KE
a
ES
A
e
H
=
M4
em
;
?
= Ucm
B
z
Del cuadrado HCDI se vbserva:
K
H
1
l
I
C
'
Jp--+
G
y.
1
A
E
]
C
1
D
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
UNALM
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
lem *
15
+
a
ze
e
EE
=
ES DIRECTO
Porlo tanto: $
= dem
SA
+ Lem?
27em”
IA A
16. Halle el área de la región sombreada si el circulo esta inscrito
en el sector circular de radio igual a 6cm,
Resolución:
e
Se une 0 con Q, de manera que el segmento va
, pasa
por el centro O” del circulo,
.
Por O” se traza 0'S L OB
. de manera que se forma el
triángulo notable: OSO * 30* y 60*
*
5105S8=r
*
Como 00
*
entonces 00
<35r
=>
'= 1r
y
OQ
="r
ir=6=>r=2lcm
Hallamos el área de la región sombreada;
SD LOMBREADA
>
SS eviikeapa
=
5
30M
PREADA
Sereron:
7
uetcuLo
-m(2)
6
= 2
10m)
cm
3
17. En la figura ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 4m, Halle el área de la región sombreada.
B
E
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
410
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
UNALM
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
Resolución:
a
SOMBRA
Y
Moo
=
= (4114) STAR
$
=
¿DE
Y
scbr
(41(4)5en 45% — (4)(4)5en 30*
-
3
FA NA
2
Ss 10057-1()3)
Sommers
=
12
1244/12
4/2
m
m*
PREGUNTAS RECREATIVAS
18. En las siguientes figuras se muestra un rectángulo
conformado por cuadraditos congruentes de lu por lado
¿Cuántos cuadraditos (de lu” ) están detrás de cada región
sombreuda?
Resolución:
e
Sabemos que;
SOMILERADA
:
_
= 5
AnCO
-5
ts)
AU
SO
AABE
(2u
=5
3 SAVIA A
7
=8Yu'
—- 2u*
Cc
EL. 200)
A,
A,
B
ARED
M2u)
(2uM2u)
7
2u
2u
- 2u*
a
Á
du
D
e Por lo tanto detrás de la región sombreada hay 4 cuadraditos.
19, Un tangram está conformado por 3 triángulos (2 pequeños, | mediano y 2 grandes), un cuadrado
y un paralelogramo tal como muestra la figura. Califica con verdadero (V) o falso (F) cada una de
las siguientes proposiciones:
1)
La figura4 tiene igual área que la figura 5
ID)
El área de la figura 1 es igual a la suma de las áreas de
las figuras3 y 4
Il)
El área de la figura 7 es igual a la suma de las áreas de
las figuras 3 y 6
IV)
El área de la figura 1 es igual a la suma de las áreas de
Las figuras 3 y 4
W) El árca de la figura 7 es igual a la suma de las áreas de
las figuras 3 y 4
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
411
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Resolución:
e
Del
lu
gráfico
se observa
1
cuadrado
grande
¡
conformado por cuadraditos ( de 4 por 4), en
donde hay :
lu
-
lu
2 triángulo grandes (1 y 2)
*
'
lu
:
;
ds
'
pa
a
q
'
| paralelogramo (4)
0
z
:
'
al
2 triángulos pequeños (3 y 6)
| cuadrado (5)
*
lu
9
pia:
ds ad
l triángulo mediano (7)
-
lu
a
'
6
?
Del gráfico podemos hallar el área de cada una de los figuras descritas anteriormente en base
a cuadraditos de lu por lado.
-
| triángulo grande ( 1 y 2) =4 cuadraditos
-
| triángulo mediano (7) = 2 cuadraditos
-=
| triángulo pequeño (3 y 6) =
-
| paralelogramo (4 )=2 cuadraditos
-
| cuadrado (5) =2 cuadraditos
1 cuadradito
En base a los resultados se tiene que las proposiciones son:
IVY
20. Se quiere
o, ME
cercar
¿109Y
una
superficie
¿113 F.,
VyF
con
de alambre con
240m
una
de
las siguientes
figuras
geométricas: un triángulo equilátero, un cuadrado, un hexágono regular y una circunferencia,
califica con verdadero (V) o falso (F) cada una de las siguientes proposiciones:
I)
La circunferencia encierra la mayor superficie posible,
111) Entre los poligonos regulares mostrados el hexágono regular es quien encierra la menor
superficie.
IV)
V)
VI)
Entre los poligonos regulares mostrados el cuadrado es quien encierra la mayor superficie,
Entre los poligonos regulares mostrados el triángulo es quien encierra la menor superficie.
El área de la superficie encerrada por el hexágono regular es el doble del área de la superficie
encerrada por el iriángulo equilátero.
VII) Todas las figuras geométricas encierran la misma área.
Resolución:
*
Sechalla el árca de las superficies encerradas en cada una de las figuras geométricas:
60m
50m
-S$Om
E.
TALA SCA
=
so * A
60%n
Gm
4
SuCUAD
o
= (60)
:
3
,
= 1600
l3m
]
uan
000.0
HALA
80m
60m
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
412
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
40m
40m
40m
40m
40m
40m
5
e Jos KA
a
4
8
E
(40 y
CL
HA E
e
En basea
VO,
= 2400 /3m*
8
Ci
= 1600 sm *
los resultados se tiene que las proposiciones son:
MV
IMF
LIV
WO,
W3FO,
VIFEF
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
413
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Si ABCD representa a un cuadrado de área igual a 4m, halle el perimetro de la región sombreada.
B__
2.
A)
2445 + 1)m
B)
C)
D)
6(v5 + 1)m
24m
12m
E)
4v3 +
a
C
mm
A
D
es un hexágono regular de área igual a 600 Y m', halle el perimetro de la región
Si ABCDEF
sombreada.
a) 10 (5+ /3)m
B) 20 (5 + /3)m
Cc) 0 (5.4 2/3) m
D) 1o (ro
+
3) m
E) 15 (5 + 43)m
32.
Halle el perimetro del poligono que resulta de unir los puntos medios de un cuadrilátero convexo
cuyas diagonales son 12m y 10m.
A) 18m
B) 22m
C) 16m
D) 24m
E) 20m
4.
Si-con un alambre de longitud L no alcanza para construir un octógono regular de 4m de lado,
pero si alcanza y sobra para construir un hexágono regular de 5m de lado, entonces cuáles de las
siguientes proposiciones son ciertas:
l)
No alcanza para construir un triángulo equilátero de 10m de lado.
11)
Sialcanza para construir un cuadrado de £m de lado.
111)
No alcanza para construir un pentágono regular de 6m de lado.
Aj
By)
1
1
1d
D) 1yH
E)
5.
ninguna
En la figura ABCD
es un cuadrado cuyo lado mide 6m y O, A y C son
centros los cuadrantes mostrados, Halle el perimetro
de la región sombreada.
B
e
AP3(4 += )m
B) 3(4+ 25)m
O
C) 6(2 + =)m
D) of4+ n=) m
E) 9(3+=x)m
Unidad
13 - Perímetros
Prohibida su reproducción
y Áreas
total o parcial sin autorización
414
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
rn
arco AD. Halle el perimetro de la región sombreada.
B
E
A) 2445 +1) m
B) 045 +1) m
0) 24 m
D) 12m
E) (442 +12 +32 Jm
D
7.
En
la figura
ABCD
respectivamente.
Si
y MNPQ
son
cuadrados
cireunscrito
laudo del cuadrado ABCD
e inscrito
a una
circunferencia
mide 6m, halle el perimetro de la región
sombreada,
A)
sacar
B)5
42 +2 +62
Cutie
+.
Dn 42 +2 +5
E) 1042+ 2104 6x
8.
Enla figura ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 6m. 51 O es el centro de la circunferencia y los
puntos
medios
de AB BC CD
y ADO
son
los
centros
de
los
arcos
AB ,BC.CD
y AD
respectivamente, halle el perimetro de la región sombreada.
AJ 12 (1 + nm)m
B) 24 (1 + jm
CH lo (14 jm
D)
24 (2 + jm
E) 16(2 + 2 )m
9.
En la figura se muestra el hexágono regular ABCDEF
—
—
—
—
BC, CE, EF y FB son los centros de los arcos
perimetro de la región sombreada.
de 6m de lado. Si los puntos medios de
mn
rr
re
15)
BC ,CE ,EF ,FB respectivamente, halle el
A) óln + L3x + 343)m
B)
(1 + 43 + 343)m
Cc) 3lx + ld + 343) m
D) s(n + d3n + 3/3) m
E) 1(r + Lan + 343)m
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
415
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
10, En lu figura ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 6m. Si E y G son los centros de los arcos
FA
FA
a
FC y 4D,€ y D
Cas
o
los centros de los cuadrantes y los puntos medios de FC y HD
los centros de
a)
los arcos FC y MD
respectivamente, halle el perimetro de la región no sombreada,
A) 6(5+ 2:)m
B)
:(1+2:)m
C) 6 (14 2:)m
D) 3(7+27)m
E)
6(34+)]m
11. En la figura PORS es un cuadrado de ¿m de lado. Halle la relación entre las regiones A, B y C.
Aj)
B)
A=B+C
A+B=C
D)
FJ
24A=B+C
A-C=2R
C) A=sR=C
12. En la figura halle el área de li región sombreada sí BMEN es un cuadrado, AM = 1m y NC=9m
A) 12m
B)
14m
C)
D)
E)
12m
18m'
15m*
A
P
M
B
13.
¿En
que
relación
N
se encuentran
las áreas
de
los cuadriláteros
como2esad?,
MCDO
y NABO
BM
es
a ND
M
BA
A) De7esa6
B)
si
AS
E
De5esad
C) Dejeza?
Dj) De4esazd
E) De2lesal6
A
UL
a
WN
14. En la figura, si el área del paralelogramo ABCD es 240m*, halle el área de la región sombreada.
B
A) 3Um'
c
B) So 1
Cc) 5
D) 60m*
E) 130m*
N
A
M
D
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
416
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
A)
0,250 m
B)
0,5a' m
TU INGRESO ES DIRECTO
B
Cc
Om
ñ
aa0
E)
AND
0,1254m
Á
D
M
16. Si ABCD representa a un cuadrado de área igual a 60m, halle el área de la región sombreadas.
B
Ye
A
D
A) 30m
B) 40m?
C) 55m?
D)
48m'
E) 33m!
17, Si ABCD representa a un cuadrado de área igual a 96m', halle el área de la región sombreada,
18.
Si ABCD representa a un rectángulo de área igual a 60m, halle el área de la región sombreada.
») 300
B
5
]
B) 40m"
C) 25m
D) 48m"
E) 33m*
pa
c
E
D
A
19. Si ABCD representa a un rectángulo de área igual a 60m?, halle el área de la región sombreada.
A) 20m
B)
C)
D)
E)
40m
25m'
48m'
330
B
C
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
417
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
20. Si ABCDEF es un hexágono regular de árca igual a 60m', halle el árca de la región sombreada,
A)
20m'
C)
2d
D)
25m"
Ej]
30m
B)
16m
A
D
F
E
21. En la figura, “0” es centro de la semicircunferencia y AC = 8m, Calcule el área de la región sombreada.
A)
Bj)
C)
D)
E)
HME-=
3(3+x
4(6-7
4(3+x
6(2+s
]m'
)m'
)m'
)jm'
]m'
B
Á
O
E
22. $1: MC = 10m y O es el centro del cuadrante; calcule el área de la región cuadrada ABCD.
A) 12nY
B) Em'
C) 10m'
D) 4m'
E) 9m'
£m
B
C
E
O
23, La figura es un cuarto de circunferencia de radio 6m. Si AD.
semicircunferencias, halle la suma de las áreas S, y S,;
A)
B)
C)
D)
E)
.
6(n-3) m'
%r-4) m*
1-6)m!
9-2) m*
3Mn-9) m
y
UB
A
D
son los diámetros de las
A
Ñ
o
B
24. La circunferencia mayor esta inscrita y circunscrita a los cuadrados ABCD y MNPO
respectivamente y la circunferencia menor esta inscrita en el cuadrado MNPQ. Si AB = l2m,
halle el área de la región sombreada.
A)
1Brnm?
B)
lóxm*
C)
dMxm*
D)
Mrm*
E)
Bxm*
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
418
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
25, En la figura ABCD es un cuadrado cuyo lado mide óm. Halle el área de la región sombreada, si A
al
ñ
ma
A
B.,C y D son los centros de los arcos OE
. OH
,0G
y OF
Y
as
A)(36— 11m) pi
B) (36-75)91
C)(36-— 131) o
D) 18(4—n) m0
E) (39
— 91) mé
E
26. En la figura ABCD
—
—
es un cuadrado cuyo lado mide 6m y los puntos los puntos medios de
—
ABO.BCO.CDO
respectivamente.
A
y AD
son los centros de los arcos AOB
a)
A
la)
.BOC
.COD
y AOD
respectivamente.
Halle el área de la región sombreada.
A) (30-E)
B) [5
mi
271?
2
pue
O 04-217)m*
D) (24-277) m*
E) (54-271 ] m*
27. Se tiene un circulo inscrito en el hexágono regular ABCDEF de 6m de lado y una circunferencia
inscrita al triángulo BDF.
Si M, N y Q son puntos de langencia, halle el área de la región
sombreada.
Aj 18 nm
B)
16 um”
Cc)
%6nam'
D) A xm'
E)
Bxm*
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
419
de esta publicación.
Copyriaht
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
AB ,BC
ñ
mí
CD
DE
ñ
Ly)
AB ,BC .CD DE
A)
, EF
y FA
Fe
,EF
son los centros de los arcos
mn
y FA
respeclivamente, halle el área de la región sombreuda.
alo y/3 - 2)m*
8) a(643- x)m*
Cy soda— x)m”
D) ol6v3
- x)m*
E) s(645 - x)m*
29. En la figura ABCD es un cuadrado y los puntos medios de AB
A
1)
añ
BC
CD y DA
son los
Pr
centros de los arcos AMB ,BNC ,CPD y DGA
respectivamente. Halle la razón entre
las áreas de las regiones sombreadas con la no sombreada.
a]
30. En la figura, ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 4m;
área de la región sombreada,
Aj
41m
,
y Á es el centro de ambos arcos, Halle el
B
Cc
B) 3xm'
C) 2nm'
D) 6x1
E) Srm'
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
420
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
31. Respecto a la figura, calcule el área de la región sombreada si BCODO es un rombo y “0” es el
centro de la semicircunferencia.
Cc
A)
87-45)
im
Bj
6(x
mi
C)
1043
D)
155
E)
1243
- 15)
B
D
m'
m?
A
ra
:
añ
F
m'
32, El área de la región cubierta por los 2 circulos es
27% e?. ¿Cuál es el área de la región
sombreada?
A)
10xr'
B)
24ur*
UL)
20ar
D)
25 ur?
Ej
3la57
33. En la figura, M y Roson puntos medios de AB y 0D, respectivamente, Halle la razón entre las
áreas de las regiones sombreadas con la no sombreada.
Aj)
Dela2
Bj)
De2al
D)
Delaz3
E)
De2a3
B
C) Delal
C
M
R
A
D
Si.el albañil debe usar el mismo perimetro y
la menor área posible pero losetas distintas
A
(A, B y €) de acuerdo al diseño y se sabe que
el costo de una loseta A es de $30, el de D es
de $ 16 y el de C es de $10. ¿Cuál de los | A]
B
els
A
B|
B|B
diseños escogería el albañil para que el costo
afafaja]
ajaja
ñ
34. Un albañil debe hacer en el patio de su casa uno de los siguientes diseños:
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
421
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
sea el menor posible, si por su mano de obra cobra 510
loseta B y $2 por una loseta [7
por colocar una loscta A, $54 por una
A) diseño con losetas €
B)
diseño con losetas A
C)
diseño con losetas B
D)
diseño con losetas A ó B
E)
Escogeria cualquiera,
35, A continuación se muestra una sucesión gráfica, en donde cada gráfico esta conformados por
cuadraditos congruentes. ¿Qué relación existe entre la región no sombreada de la figura 6 con la
región sombreada de la figura 267
A) 1/2
B) 2/3
03/á
D) 4/5
FE) 2/5
Figura 1
Figura 2
Figura 3
36. El cuadrado que ves en la imagen ha sido divido en 4 cuadrantes de igual tamaño, a los que
llamamos, A, B, € y D de acuerdo con lo ilustrado en la figura, En base a esta, ¿Cuántas de las
siguientes proposiciones son ciertas”
ly
11)
III)
IV)
La parte sombreada del cuadrante Á representa a la cuarta parte
de dicho cuadrante.
La parte sombreada de los cuadrantes A y B representa a la
cuarta parte de la unión de dichos cuadrantes.
La parte sombreada de los cuadrantes A, B y C representa a la
cuarta parte de la unión de dichos cuadrantes.
La parte sombreada de los cuadrantes A, B y C representa a las
34 partes del cuadrante D.
37. Si el lado de un cuadrado se reduce a la mitad entonces es cierto que:
A) Su perímetro se reduce a la cuarta parte
B) Su perímetro se duplica
E) Suaárca se reduce a la mitad
D) Su área se reduce a la cuarta parte
E). Su árca se duplica
38. El patio de una casa tiene el discño mostrado en el dibujo. Dicho diseño esta conformado por
losctas en forma de cuadraditos y sectores circulares. Califique con verdadero (V) o falso(F) cada
una de las siguientes proposiciones:
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
422
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
1)
TU INGRESO ES DIRECTO
El área de la región sombreada es igual al área de la región
no sóombreada,
11) Si 4 losctas blancas
se
pintaran
el área
de
la
región
sombreada seria igual al árca de la región no sombreada.
111) Si 4 losetas sombreadas se pintaran de blanco el área de la
región sombreada
sombreada,
sería
igual al área de
la región
no
A) VWF
B) WWW
C) FFV
D) FVF
Ej) FFF
39. En las siguientes figuras se muestra un rectángulo conformado por cuadraditos congruentes de lu
por lado ¿Cuántos cuadraditos (de lu? ) están detrás de cada región sombreada?.
E
Cc
A)
Bj)
6
C) 8
D) 9
Ej 5
3
K
6
A
1
G
D
40. En la fígura se muestra un tangram el cual está conformado por 5 triángulos (2 pequeños,
| mediano *y 2 grandes) , un cuadrado y un paralelogramo. Si el área de cada figura esta
representada por un número, diga ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son correctas”
l
147=2+6
1) 2=3+4
10) 3+4=5+
M)5+6=7
AJO
B) 1
cy 2
D) 3
|
pá
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
423
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
BIBLIOGRAFÍA
ORDOÑEZ
BARRUETA NICOLAS, Razonamiento
lógicos,
Matemático, Aptitud Matemática
y juegos
Editorial San Marcos Perú 2010
SS
”.2ypp
VALENTIN / BERGNA, Geometria Per la Scuola Media Editrici la Scuola. Milan 2000
YAKOV PERELMAN, Matemática recreativa. Editorial MIR, MOscú 1985
BENETI
LUIS, Juegos Lógicos. Bueños Aires 1988
VILENKIN
5LOANE
N., ¿ De cuantas formas? Combinatoria. Editorial MIR. Segunda edición. 1984
PAUL
- MACHALE
DES,
Desafios de Pensamiento Lateral. Ediciones De Mente,
2009
GUZMÁN,
M. DE, Aventuras Matemáticas. Labor Barcelona,
VOLDOSINA
MICHAEL,
1986
Acertijos de Pensamiento Lateral. Ediciones De Mente 2008.
CASAS ESPERANZA, Juegos matematicas. lera edición. Colombia. Editorial Magisterio. 1998
10.
CONAMAT, Matemáticas simplificadas. 2da edición. México. Pearson 2008
11,
CASTENUOVO
EMMA,
lera edición.
12.
México. editorial Trillas 2001
MILLER CHARLES D., Matemáticas: Razonamiento y Aplicaciones.
Editorial Pearson
13,
De viaje con la matemática: Imaginación y razonamiento matemático.
Bawa edición. México,
1999
CAILLAUX TOMAS, 1000 pasatiempos de
lógica y juegos de
inteligencia.
lera edición
España. Servilibro Ediciones 2005
14.
COPL, IRVIN, Introducción a la lógica. Editorial Limusa S.A. México 2005
15,
CARRELL
RON - WEES
DAVID,
Mathematical
Studies.
Heinemann International Text
Pearson Education Limited 2008
16.
SÁNCHEZ
SANTOS. JOSÉ MANUEL:
ARDANUY
ALBAJAR, RAMÓN, Introducción al
Análisis Combinatorio. Editorial Hespérides. Primera edición 1995
424
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
CLAVE
DE
LOS EJERCICOS
ES DIRECTO
PROPUESTOS
UNIDADES
Pregunta
10
11
12
13
10
11
12
13
14
15
16
17
13
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
35
36
37
38
39
Unidad 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
425
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
GUÍA DE
EJERCICIOS
MATEMÁTI co
3
1
dl
p.
ha
Ta a
y ) " |¡p! Bl
dl
Y Pa a
Wi,
e
lea
1
J
twitter.com/calapenshko
A
Sr
Elo LA MOLINA
UNIVERSIDAD
|
TU
INGRESO
ES DIRECTO
NACIONAL
AGRARIA
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
SEMANA 71
ORDEN DE
INFORMACION
UNIDAD 1
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
1.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Jéssica es más alta que Alexandra y más gorda que Ximena. Ximena es más alta que Katiuska y
más flaca que Alexandra. Si Kaliuska es más baja que Jéssica y más gorda que Alexandra, ¿Quién
es más alta y flaca que Katiuska?
A) Jéssica
B) Ximena
C) Alexandra
Dj Jéssica y Ximena
E) Jéssica y Alexandra
£.
Se necesita formar un equipo de 5 personas entre diestros y siniestros; en donde se incluyen por
lo menos dos siniestros y dos diestros. Además, se sabe que:
- Rommel, Juan, Alex, son diestros.
- Javier, Gustavo, Daniel, Alfredo son siniestros.
- Javier no puede estar con Juan.
- Álex no puede estar con Daniel.
- Daniel no puede estar con Javier.
¿Cuántas combinaciones incluyen a Juan?
A)2
B) 3
C)4
D)5
E)6
3.
Hay siete participantes en un concurso de tiro. Cuatro de ellos: Andrés, Betto, Carlos, Daniel, son
expertos y los otros 3: Emilio, Francisco y Gerardo, son novatos. Además, se sabe que:
- Para que un novato dispare debe ser antecedido y seguido inmediatamente por un experto.
- Francisco dispara en segundo lugar, mientras que Carlos es el último experto en disparar.
- Balto dispara antes que Daniel pero después de Andrés.
- El último en disparar es un experto,
¿Cuál de las siguientes alternativas no es necesariamente correcta?
A) Gerardo dispara después de Francisco.
B) Carlos dispara después de todos los novatos.
C) Francisco es el primer novato en disparar.
D) Emilio dispara antes que Daniel.
E) Daniel dispara entre Emilio y Gerardo.
á.
Tras las elecciones de un club, varios representantes de AB, CD, EF, GH se reunieron en una
cena de fraternidad. El número de los comensales no era muy afortunado: 13 en total. Además,
se daban las siguientes circunstancias:
«Los comensales
«Los comensales
* El número de los
* Los comensales
de AB más los del CD sumaban 5.
de AB más los del EF sumaban 6.
comensales de cada lista era diferente.
de la lista ganadora, en las elecciones, eran 2.
¿Qué lista ganó las elecciones?
AJ AB
B) CD
C) EF
D) GH
E) FD:
UNIDAD
1 - Orden
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
01
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
5.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Se tiene un juego de 5 jugadas como máximo. Si se pierde se paga S/. 10 y si se gana se recibe
S/. 10. La máquina se detiene cuando se ha obtenido S/. 40 6 el jugador se ha quedado sin dinero.
Sabiendo que el jugador inicia el juego con S/. 10 ¿De cuántas maneras se puede obtener S/. 40?
A)2
B)3
0)4
D)5
E)6
6,
Cecilia debe realizar diez actividades (identificadas del 1 al 10) desde el lunes hasta el viernes
(dos par día) si:
- La 4 se realizará tres días antes que la 7.
- La 2 se realizará el mismo día que la 6 y dos días antes que la 3.
- La 8 se realizará dos días antes que la 6 y un día antes que la 5.
- La 9 se realizará después que la 7.
¿Cuáles de las siguientes son verdaderas?
) La 3 se realizará el mismo día que la 7,
IM La 10 se realizará antes que la 2.
II La 1 se realizará después de la 4.
A) Solo Il
B) Solo | y Il
C) Solo Il y 111
D) Solo |
E) Solo ll
7.
Cuatro amigas van al cine y se acomodan de la siguiente manera:
- Marisol está sentada a la izquierda de Silvia y detrás de Lucho.
- Silvia no está a la derecha de Beto, pero si detrás de Marisol.
- Lucho está a la derecha de Silvia y detrás de Beto.
Podemos afirmar:
A) Lucho está a la derecha de Beto.
B) Lucho está a la izquierda de Silvia.
C) Beto está detrás de Silvia.
D) Marisol está a la izquierda de Lucho.
E) Más de una es correcta.
B.
Tres parejas van a almorzar y se ubican en una mesa hexagonal, de acuerdo con la siguiente
disposición:
- Junto y a la derecha de la novia de Alberto se sienta Hernán,
- Milagros que se ha sentado junto y a la derecha de Doris, resulta estar diametralmente frente a
su propio novio.
- Liz está diametralmente al frente de la novia de Hernán, el cual conversa con Manuel
¿Quién es el novio de Doris?
A) Hernán
-B) Alberto
C) Manuel
Dj) Manuel o Alberto
E) Hernán o Manuel
UNIDAD1 - Orden
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
02
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Analucia, Betty, Carla, Diana, Ena y Fátima se sientan alrededor de una mesa circular, ubicándose
simétricamente.
Se sabe que:
- Analucia no se sienta diametralmente frente a Betty.
- Diana se sienta diametralmente frente a Ena.
- Carla está junto y a la siniestra de Analucia.
Podemos afirmar como verdadero que:
1) Carla se sienta diametralmente frente a Betty,
11) Analucía se sienta junto a Diana.
111) Fátima se sienta diametralmente frente a Analucía.
A) Solo|
B) 1 y 1
2)! y 11
D) 11 y 11
E) Todas
10.
Cuatro
parejas de esposos:
Los Álvarez,
Bustamante,
Carrillo y Durán se sientan alrededor de
una mesa circular ubicados simétricamente, y siempre junto cada pareja de esposos.
- Diametralmente frente a un hombre hay una mujer,
- Las Sra. Álvarez y Bustamante se sientan juntas.
- Uno de los Carrillo está sentado junto y a la izquierda de uno de los Durán.
- La Sra. Carrillo no se sienta junto al señor Álvarez.
¿Quién se sienta junto y a la derecha del Sr. Bustamante?
A) Sra. Álvarez
B) Sr. Carrillo
C) Sra, Carrillo
D) Sra. Durán
E) Sr. Durán
11.
Cuatro amigos: Juan, Daniel, Félix y Pedro tienen edades: 21; 24; 27 y 32
necesariamente en ese orden.
- La edad de Daniel sumada con la del menor es igual al doble de la edad de Pedro.
años,
no
- Félix es menor que Juan.
¿Cuánto suman las edades de Pedro y Daniel?
A) 45
B) 48
C)59
D) 56
E) 51
12.
Árturo, Beto, Camilo, David, Esteban y Fabio, se ubican en una mesa circular con seis asientos
distribuidos simétricamente.
- Arturo se sienta diametralmente frente a Beto.
- Camilo esta junto y a la izquierda de Arturo.
- David no está diametralmente frente a Camilo, ni a Esteban.
¿Quién está junto y a la derecha de Esteban?
A) Arturo
B) Beto.
C) Camilo
Dj) David
E) Fabio
UNIDAD1 - Orden
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
03
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
13,
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Cinco alumnos del Centro Pre: A, B, C. D. y E, se ubican alrededor de una mesa circular, ocupando
asientos igualmente espaciados. Cada uno de ellos consume una bebida: café, té, leche,
chocolate y limonada. Además:
- D no está junto a E, niaC.
- B consume té.
- E no consume leche ni chocolate.
- A está junto y a la izquierda del que consume café.
- Cestá junto a E.
- Ay B están juntos al que toma limonada.
Se puede deducir que:
A) D consume café
B) A
C) E
D) A
E) C
14,
está junto a E
toma limonada
bebe leche y D, café
esta junto a quienes bebe leche y chocolate
Alrededor de una mesa circular hay cinco asientos, y se encuentran las siguientes personas: un
ingeniero, un abogado, una economista, una psicóloga y un contador. Si se sabe que:
- La psicóloga y el contador no se sientan juntos.
- El ingeniero se sienta adyacente a las dos mujeres.
¿Cuáles de las siguientes parejas se sentarán juntos?
1) Contador — Abogado
11) Psicóloga = Economista
111) Economista — Abogado
A)
B)
C)
D)
E)
15.
Solo|
Solo | y II
Solo 11 y ll
Solo 111
Todas
Jonás, Judas, Job y Jacob son: tenista, futbolista, atleta y basquetbolista, aunque ninguno de ellos
es ese orden:
- Judas jamás agarró una raqueta y jamás salió del país.
- El basquetbolista que ha recorrido muchos países es primo de Job.
- Jacob es cuñado del futbolista,
Son ciertas:
Il) Jonás es basquetbolista
1) Jonás jamás salio del Pais
ll Jacob es tenista
IW)No es cierto que Job sea futbolista.
A)l, lyIV
B)!
y li
CG)!
y in
-D) llly IV
E) ll y IV
UNIDAD
1 - Orden
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
04
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
16.
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
A una mesa circular de 7 sillas se sientan a discutir cuatro obreros A, B, C, D y tres empleados: X,
Y, Z, sabiendo que:
- Ningún empleado se sienta junto a otro empleado.
- B se sienta junto a D, pero Z no se sienta junto a ellos.
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s)?
1) Entre D y Z hay 2 asientos
I) X se sienta junto a B
111) A se sienta junto a Y
A) Solo|
B)l y ll
C) Solo 11
Dj) Solo ll
E)l y II
17.
Carlos, Victor y José estudian en: Piura, Trujillo y Lima, siguiendo las carreras de Arquitectura,
Biología y Comunicación.
- Carlos no estudia en Piura.
- José no estudia en Trujillo.
- El que estudia en Trujillo, estudia Biología.
- El que estudia en Piura, no estudia Arquitectura.
- José no estudia Comunicación.
¿Qué estudia Victor y dónde?
A) Biología- Lima
B) Arquitectura- Piura
C) Comunicación- Piura
D) Biología- Trujillo
E) Arquitectura - Trujillo
18.
Carlos, Luís y José practican atletismo, natación y fútbol y gustan de la salsa, rock y balada,
teniendo como preferencia los colores rojo, verde y amarillo; y con profesiones arquitectura,
ingeniería y biología.
- Quien practica natación prefiere el verde.
- Quien estudia biología no escucha salsa.
- Carlos estudia ingeniería y prefiere el amarillo.
- José prefiere el rojo, escucha salsa y practica atletismo.
¿Cuál de las afirmaciones son ciertas?
Il)
Carlos praclica fútbol,
II Luís practica natación y estudia biología.
111) José estudia arquitectura.
A) Solo|
B)! y!
O)! yt
D) Solo 111
E) Todas
UNIDAD
1 - Orden
O5
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
19.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
De cuatro amigos se sabe lo siguiente:
-
Pascual es mayor que Pedro.
Enrique es mayor que Alberto,
El menor estudia Ingenieria de Minas.
Alberto estudia Ingenieria Mecánica.
- Quien estudia Ingeniería Industrial es solamente menor que quien estudia Educación.
- Pascual no estudia Educación.
¿Qué estudia Pascual y quién es el mayor?
A) Ingeniería Industrial —= Pedro
B) Ingeniería Industrial — Enrique
C) Ingenieria Mecánica — Pascual
D) Ingenieria de Minas — Pascual
E) Educación — Pedro
20.
Cuatro amigos: Juan, Daniel, Rommel y Alexander viven en la Molina, Salamanca,
San Isidro, no necesariamente en ese orden, además se sabe que:
Miraflores y
* Juan estudia en la UNALM y vive en Salamanca
* El que estudia en la Católica vive en San Isidro
+ El que vive en la Molina no estudia en la UNI
e Alexander quisiera estudiar en la Católica y quisiera vivir en Miraflores
* El que estudia en la UPC es amigo de Rommel
En cada proposición marcar con Verdadero o Falso, según corresponda
(
) Alexander estudia en la UPC
(_
(_
) Si Daniel vive en Miraflores, entonces Rommel vive en San Isidro
) Si Rommel estudia en la Católica, entonces Daniel estudia en la UNI
(
) Si Daniel vive en San Isidro,
entonces estudia en la Católica
A) VVVV
B) VVVF
C)VFFV
D)VFVV
E) VVVF
21,
Arequipa tiene más habitantes que Cuzco, Cuzco tiene menos habitantes que Huancayo pero más
que Apurimac. ¿Cuál de las siguientes conclusiones será necesariamente cierta?
A) Arequipa tiene más habitantes que Huancayo
B) Huancayo tiene menos habitantes que Apurimac
C) Arequipa tiene menos habitantes que Huancayo
D) Arequipa más habitantes que Apurimac
E) Arequipa tiene igual número de habitantes que Huancayo
22,
Seis candidatos políticos: 4, B, C, D, E y F se sientan alrededor de una mesa circular en seis sillas
distribuidas simétricamente. Sí el candidato Á no se sienta junto a C ni a D, el candidato B se
sienta junto a F, y F se sienta diametralmente opuesto a D; entonces podemos afirmar que:
A) Ese sienta diametralmente opuesto a B
.B) € se sienta a un sitio de A
C) B está a la izquierda de F
D) D está a la derecha de €
E) Más de una es correcta
UNIDAD
1 - Orden
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
06
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
23,
nosotros
Ocho amigos se
simétricamente.
Se sabe que:
TU INGRESO
sientan
alrededor
de
una
mesa
circular
con
ocho
asientos
ES DIRECTO
distribuidos
s Felipe y Gladys se sientan juntos.
* Daniel no se sienta junto a Berenice ni a su izquierda.
« Ána se sienta a la derecha de Berenice y a la izquierda de Eva.
* Carlos no se sienta junto a Eva ni a Gladys
+ Héctor llegó un poco tarde a la reunión.
«Amigos del mismo sexo no se sientan juntos.
Si Héctor no se sienta junto a Eva, entonces es siempre cierto que:
A) Berenice está junto a Felipe.
B) Carlos está a la derecha de Felipe.
C) Carlos está diametralmente opuesto a Héctor,
D) Eva está diametralmente opuesto a Gladys.
E) Daniel está diametralmente opuesto a Héctor.
24,
Cinco ciclistas A, B, C, D y E al término de una prueba de velocidad, llegan de la siguiente manera:
+A llega 2 puestos antes que €
«B llega a 2 puestos después que OD
*E llega 3 puestos antes que €
* No hubo empates
¿Quién ocupó el tercer lugar en la competencia?
AJA
B)C
C)D
DJE
E)B
25.
El Sr. Gamarra tiene tres nietos que estudian en diferentes universidades (UNALM, UNT, UPACH)
diferentes profesiones (Medicina Humana, Odontología y Biología). Además:
José no estudia en la UNALM.
«Vicente no estudia en la UNT.
* El que estudia en la UNALM no estudia medicina humana.
* Uno de ellos se llama Alfredo, como su papá.
+ El que estudia en la UNT estudia odontología.
«Vicente no estudia Biología,
¿Qué profesión estudia uno de sus nietos y en qué universidad?
A) Vicente — Biología (UNALM)
B) José — Odontologia (UNT)
C) Alfredo — Odontología (UNT)
D) José — Biología (UNALM)
E) Vicente — Medicina Humana (UNT)
UNIDAD
1 - Orden
07
de Información
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
SEMANAS
1, 2 Y S
INTRODUCCIÓN AL
RAZONAMIENTO
LÓGICO
UNIDAD 2
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
CEPRE-UMNALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
¿Cuántos de los siguientes enunciados son proposiciones?
«526.
.«X+3=9,
* Lima es capital del Perú.
* Todos los peruanos son cristianos.
eX+Y= 10.
A) 3
B) 1
Cc) 2
D)4
Ej5
Dada las proposiciones: p: 3>2; q: 4841 <30-1,/6
Halle el valor de verdad:
(
)pag
(
(
)-pra-q
)ÁL-qup)
A) FFV
B) VFV
C)Fvv
D) VVF
E) FFF
Si la proposición: q — res falsa, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
l.
ra(p vr)
IL -(qar)
IL. (ra
- q) —p
IV, pa
(q — r)
A)
B)
C)
D)
E)
FVFV
VVFV
VFVF
FFFV
FVVF
Si la proposición: (p A — q) — (p — r) es falsa, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones (es) son
verdadera(s)?
|.
pvg
ll
r—q
.-q =p
A)|
B) Il
3)! y 11
Dj y 11
E) 1, ly Mi
El equivalente de: (=p a q) —5, es:
AY (pv -q)vr
B) (pv-=q)v=r
C)M=p
y q) vr
D) (=p
v q) —r
Ep v=q)=-r
UNIDAD
2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
08
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
6.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Dada las proposiciones:
p: "David esta con fiebre”, q: "David esta delgado" y r: "David come".
Simbolizar la proposición: “Si David no come, entonces,
no es el caso que, esta con fiebre o
delgado”
A) - (p v q) —==r
B) =r — (- p vq)
C)-r—-(pAq)
D)r
= (-p Ag)
E) — r —= - (p v q)
Y.
El equivalente de la proposición "si estudia y trabaja, se formará bien", resulta:
A) No es verdad que estudia y trabaja, o se forme bien
8) No estudia ni trabaja y se forma bien
C) Estudia y no trabaja sin embargo se forma bien
D) Si estudia se formará bien, aunque trabaje
E) No es el caso que ni estudie, y trabaje, o se forme bien
De acuerdo a la tabla adjunta, simplificar y dar de valor de verdad:
m.<'m
n
mm
<<
n
C) F; no es
D) V; sies
a
<a
o
F sies
B) V; noes
<]|
mua
Además, indicar si el p*'q es equivalente a p «=q
n
(p*oq)*-q)” ((p* q)” -p).
A)
ua
+
8.
E) =p; no es
3,
El equivalente de "Owens no come porque come o ve televisión" es:
A)
B)
C)
D)
E)
10.
Owens come porque na come y no ve televisión.
No es cierto que Owens come y no ve televisión, o come.
Owens come y no ve televisión puesto que no come.
Owens no come y no ve televisión dado que come.
Si Owens come entonces no come o no ve televisión.
— ¿Cuántos de los siguientes elementos son parte de la clase complementaria de "los hombres”
«Vaca.
s José.
.2
+ Maria.
*Lapicero.
* Juan.
«Piedra.
«Tiza.
AB.
UNIDAD
BJ5
C)4
D)7
2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
E)3
Lógico
de esta publicación.
09
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
11.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
¿Cuál de las siguientes proposiciones corresponde al siguiente esquema:
A) Todos los *S” son *P”.
S
P
B) Algunos *S” son *P".
C) Ningún *S” es "P”.
D) Todos los no *S" son "P”
E) Algunos *S” no son de *P”.
12.
Si: "toda persona culta es humilde y toda persona humilde es creativa", en consecuencia:
A)
B)
C)
D)
E)
13,
Toda persona humilde es no creativa.
Muchas personas cultas son no creativas,
ninguna persona culta es no creativa.
Algunas personas son cultas.
Ninguna persona culta es creativa.
Hallar la conclusión de: "Si ningún vietnamita es americano y muchos valientes son vietnamitas”.
A) Todo valiente es no americano.
B) Ningún americano es valiente.
C) Muchos valientes mueren.
Dj) Todo americano no es valiente.
E) muchos valientes no son americanos.
14,
La negación de: "Algunas mujeres no son no habladoras” es:
A) Ninguna mujer es habladora.
B) Ninguna habladora es mujer.
€) Toda mujer es no habladora.
D) Toda habladora es no mujer.
E) Todas las anteriores.
15.
Indique la proposición equivalente de “Todos los jóvenes son no alienados”
A) Ningún joven es alienado.
B) No es el caso que todo joven sea alienado.
C) No es el caso que ningún joven sea alienado.
D) Todo alienado es joven.
Ej) Algunos jóvenes son alienados,
16.
Cuatro hermanas fueron interrogadas por su madre, pues una de ellas se comió un Juane, sin
permiso.
Gina: Verónica fue.
Verónica: Karen fue.
Karen: Verónica miente,
Patricia: Yo no fui,
Si tres de ellas mienten, ¿quién dice la verdad?
A)
B)
C)
D)
E)
UNIDAD
Gina.
Verónica.
Karen.
Patricia.
No se puede determinar.
2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
10
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
17.
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
Un explorador encontró a 3 indigenas y les preguntó a qué raza pertenecian:
«El 1? contestó con voz baja, de manera que el explorador no oyó.
* El 2* dijo señalando al 1*, ha dicho que es un Taca.
* El 3” interpeló al 2”, tú eres un mentiroso.
Si se sabe que los Tacas siempre mienten y los Tiquis siempre dicen la verdad, ¿de qué raza era
el 9” indigena?
A) Taca.
B) Tiqui.
C) Taca o Tiqui.
D) falta información.
18.
Si
Ningún político es honesto.
Algún crítico es honesto.
Entonces:
A) Ningún crítico es honesto,
8) Todo crítico es honesto,
C) Algún critico no es político.
D) Ningún político es crítico.
E) Es falso que algún político es crítico.
19.
De las premisas:
Los cangrejos son apetitosos.
Todo lo que es apetitoso levanta el ánimo.
Se infiere:
A) Los apetitosos son los cangrejos.
B) Tengo buen ánimo, entonces comi cangrejos
C) Los cangrejos no levantan el ánimo.
D) Los que tienen buena salud son apetitosos.
E) Los cangrejos levantan el ánimo.
20.
Luego de negar las siguientes proposiciones:
* Algún vietnamita es americano.
« Ningún valiente es vietnamita.
Se concluye:
A)
B)
C)
D)
Todo valiente es no americano.
Ningún americano es valiente.
Muchos valientes mueren.
Todo americano no es valiente.
E) Muchos valientes no son americanos.
21.
Si
se Algunos peruanos son alienados.
* Todo alienado es no maduro.
Entonces:
A) Todos los peruanos son no maduros.
-B) Todos los peruanos son alienados.
C) Es falso que algunos peruanos son no alienados.
D) Algún peruano no es maduro.
E) No todo peruano es no maduro.
UNIDAD
2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
11
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
22,
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
Si: “Ningún investigador es no crítico y ciertos investigadores son racionalistas”, en consecuencia:
A) Algunos racionalistas son no críticos,
B) algunos racionalistas son críticos.
C) Algunos críticos son no racionalistas.
Dj) Algunos críticos no son filósofos.
E) algunos críticos son filósofos,
23,
Dada las proposiciones: p, r y q: “¿7 es un número racional".
Si la proposición — [(r w q) — (r — p)] es verdadera, hallar el valor de verdad de:
()r=(pv-q)
() lr (paq)(94 =p)
()(rv-pla(qvp)
A)
B)
C)
D)
E)
24,
VVV
FFF
VFV
FVV
VVF
Dada las proposiciones: p: "Jimmy trabaja cuando gana más de 20 dólares diarios”,
a: “Pedro trabaja, pero no se preocupa por su salario”. Simbolizar la proposición:
"Pedro no trabaja o se preocupa por su salario a menos que Jimmy trabaje cuando gane más de
20 dólares diarios”.
A) (p—4)vp
B)-p=>-q
C)-qap
D) q=-p
E)-pa-=q
25.
Indique las proposiciones son equivalentes:
|.
ll,
El café es agradable, a menos que se le añada azúcar.
El café es agradable si no añadimos azúcar.
III. Si añadimos azúcar, el café es agradable.
MW, Si añadimos azúcar, el café no es agradable.
A) l, ly
B) 1, ly IV
C) Il y IV
D) II y 11
E)ly!l
26.
Si estudias serás triunfador. Si no eres médico, entonces no eres un triunfador. Se deduce:
A) Si estudias no eres un triunfador.
B)
C)
D)
E)
UNIDAD
si
Si
Si
Si
estudias serás médico.
eres médico, entonces estudiaste.
no estudias, serás médico.
no eres un triunfador, eres médico.
2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
12
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
27.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Si "algunos jueces son justos”, entonces:
A) Todos los jueces son justos.
B) Todos los jueces son no justos.
C) No es el caso que todo juez sea no justo.
D) Todo juez es no justo.
E) Todos los justos son jueces.
28.
En un caserio del Manu, los habitantes mienten siempre los martes, jueves y los sábados; los
demás días dicen la verdad. ¿Cuántas veces a la semana, un nativo podrá decir: "Mañana
mentiré?
A)3
B)4
C)5
D)6
E)7
29.
José se encuentra después de tiempo con 2 hermanos gemelos (Pepe y Pipo) y les pregunta sus
nombres, a lo cual respondieron:
«Yo soy Pepe.
» Yo soy Pipo, si lo que él dice es verdad.
Si se sabe que uno de ellos miente, ¿quién dijo la verdad?
A) Pipo
B)
C)
D)
E)
30.
Pepe
Ninguno.
Falta información.
Pepe o Pipo.
Dado: [(p — q) « (q == r)]] — (p — r) es falsa. Encontrar el valor de verdad de:
()lb=(q="r]=p
( ) (pagar) « (p vr)
(1)
lp= (par)
— (pa q)
A) FFV
B) FVF
C)VFV
D) FVV
E) VFF
31.
De la siguiente proposición: "no todos los filósofos son idealistas”. Podemos concluir que:
A) Ningún idealista es filósofo.
B) Ningún filósofo es idealista.
C) No ocurre que ningún filósofo sea idealista.
D) Todo idealista es filósofo.
E) Algunos filósofos son no idealistas.
UNIDAD
2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
13
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
32,
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Al llegar a casa de cenicienta el principe se dio cuenta de que había olvidado el zapatito de cristal,
por lo que decidió interrogar a las tres hermanas, sabiendo que solo la verdadera cenicienta diria
la verdad, ¿quién es cenicienta? Preguntó el principe.
Camucha: Yo soy cenicienta.
Camillita: Camucha miente.
Cirila: Es ciento, Camucha miente.
¿Cuál de ellas es la cenicienta?
A) Camucha.
B) Camillita.
C) Cirila.
D) Cirila o Camillita.
E) Ninguna es la cenicienta.
33,
En la figura, representar gráficamente: Todo hombre es no cobarde, Luego, indicar en que zona
se ubica: “Bob” es cobarde,
A) |
B) Il
Cc)
D) IV
E) 1611
34,
Hombre
Cobarde
!
Del gráfico anterior, ¿De qué estamos seguros?
A) Que en la zona | no existe elementos.
B) Que en la zona ll no existe elementos.
C) Que en la zona ll! no existe elementos.
D) Que en la zona | hay por lo menos un elemento.
E) Que en la zona |1| hay por lo menos un elemento.
35.
— Señale la(s) equivalencia(s) lógica(s) de: “Todas las madres son amorosas”
Il. Algunas madres no son amorosas
Il. Ninguna madre es no amorosa
III. Algunas amorosas son madres
IW, Ninguna amorosa es madre
V. Todas las no amorosas son no madres
A) ly IV
B) Il y V
C)1, Il y M1
D) 11! y V
E) Il, 11l y Iv
36. — Eduardo, Juan, Rommel y Victor son cuatro hermanos que participaron en una carrera donde uno
de ellos fue el ganador. Cuando su padre preguntó quién fue el que ganó, respondieron:
Eduardo: ganó Juan
Juan: ganó Victor
Rommel: yo no gané
Victor: Juan mintió cuando dijo que yo gané
Si sólo una de las respuestas es verdadera, ¿quién ganó?
A) Eduardo
B) Rommel
C)D) Victor
Juan
E) Juan o Rommel
UNIDAD
2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
14
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
37.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Si denotamos que: p: “hay revolución”, q: "hay conciencia”, r: "hay transformación social"
Simbolice: Nunca habrá revolución, sín conciencia ni transformación social.
A) =p =(=q A =r)
B) (-rV -q) — -p
0)(q Ar) => =p
DJ (=p A =q) = -r
E) -r — (=p A -q)
38.
Werónica, una de las actrices de una obra de teatro, ha muerto asesinada en su camerino. Se
sospecha de cuatro actores cuyos camerinos estaban contiguos y son: Ernesto, Fabiola, Gildder y
Helena.
De los camerinos (incluido el de Verónica) tres son rectángulos iguales y dos son cuadrados también
iguales; y están dispuestos de la forma siguiente:
Además, se sabe que:
e
+
*
e
El
El
El
El
camerino de Verónica y el del asesino son vecinos al mismo número de habitaciones.
de Verónica se encuentra junto al de Ernesto y al de Fabiola.
camerino de Gildder y el de Helena tienen el mismo tamaño,
de Fabiola no es vecino al de Gildder.
¿Quién asesinó a Verónica?
A) Helena
39.
B)
C)
D)
E)
Fabiola
Gildder
Ernesto
Fabiola o Gildder
Un
hotel dispone
de
10
habitaciones
y de
10 camareros.
Los
camareros
tienen
la siguiente
costumbre: el primer camarero cierra las puertas de todas las habitaciones; el segundo abre todas
las puertas de las habitaciones pares; el tercero cambia de posición todas las puertas que son
múltiplos de 3; el cuarto cambia de posición todas las puertas múltiplos de 4; asi sucesivamente
hasta que ha pasado el último camarero. ¿Qué puertas quedarán cerradas? Dé como respuesta la
suma de los números de dichas puertas.
A) 14
B) 15
C)16
D) 17
E) 18
40.
En el tablero mostrado se ubican las letras: A, B, C, D y E; con la condición de que en cualquier fila,
columna y diagonal siempre estén todas las letras (A, B, C, D, E). Al llenar el tablero, ¿qué anagrama
se puede formar con las letras ubicadas en las regiones sombreadas?
A) AACCD
B)
C)
D)
E)
UNIDAD
CECCD
DCCCA
CECAD
ABCDA
A|B|C
E
2 - Introducción al Razonamiento
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
Lógico
de esta publicación.
15
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
SEMANAS
3 Y 4
MÁXIMOS
Y MÍNIMOS
UNIDAD 3
UNIDAD
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
15
CEPRE-UNALM,
Tu futuro empieza
con
1.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
En cierta moneda se han diseñado las dos caras de tal manera que el anverso presenta la imagen
de un héroe, mientras que el reverso el escudo nacional. ¿Cuántas veces, como mínimo, tendrá
que lanzarse una moneda, para obtener con certeza, la misma cara tres veces?
A) 3
B) 4
Cc)y5
D) Indeterminado
E) Infinito
Z
En un Gimnasio se disponen de 18 guantes de boxeo, todos de iguales medidas, cinco son negros
é izquierdos, cuatro son marrones izquierdos, cuatro son negros derechos y cinco son marrones
derechos. ¿Cuántos guantes se tendrán que extraer de forma aleatoria, para obtener con certeza,
un par de guantes útiles de igual color?
A)9
B) 10
0) 11
D)3
E)8
3
Un depósito contiene doce fichas azules, quince fichas blancas, diez fichas rojas, congruentes
todas y homogéneas entre si ¿Cuál es la minima cantidad de fichas se tendrán que extraer en
forma aleatoria, para obtener con certeza, ocho fichas de sólo uno de los colores?
A) 21
B) 22
C)23
D) 24
E) 34
4.
Una muestra presenta fichas del mismo diseño y dimensiones, pero en colores diversos; por cada
color se presentan ocho fichas. El menor número de fichas que se podrian tomar en forma
aleatoria, para obtener con certeza, cuatro fichas del mismo color es 25. Si se retiran estas fichas
de la muestra ¿Cuántas quedan?
A) 39
B) 49
C)64
D) 59
E) 25
B.
Una Empresa desarrolla una nueva frutilla dulce. Una muestra contiene doce frutillas de menta,
veinte frutillas de fresa, quince frutillas de limón y diez frutillas de guanábana, ¿Cuántas frutillas
se tendrán que extraer de esta muestra, como mínimo, en forma aleatoria, para obtener con
certeza seis frutillas de cada sabor?
A) 21
B) 47
C)48
D)53
E) 51.
UNIDAD
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
16
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Un pequeño insecto debe desplazarse desde el vértice A, hasta el vértice B, el cual se encuentra
untado con miel, ¿Cuál es la distancia más corta que podría recorrer este insecto?
A) 200 ram
A
B) 300 mm
300 mm
C) 400 mm
D) 500 mm
E) 600 mm
200| mm
200 mm
B
Sobre la orilla de un rio se encuentran dos niños y cuatro adultos, los cuales disponen, para el
cruce de un bote, en el cual se pueden trasladar a lo más dos niños o sólo un adulto, pero no un
niño y un adulto a la vez. ¿Cuántas veces como mínimo, deberá cruzar el bote al rio, para que se
puedan trasladar con certeza las seis personas?
A) 21
B)22
C)16
D)18
E) 17
En el siguiente año a
cuando el aniversario
están celebrando un
¿Cuántos años, como
uno bisiesto Meche y Raúl se conocieron, era un domingo 23 y se casaron
de la fecha en que se conocieron era por primera vez un día sábado. Si hoy
aniversario del dia de su boda y es la segunda vez que cae un domingo,
mínimo han transcurrido desde que se conocieron?
A) 17
B) 15
C)13
D) 11
E) 12
Se tiene un bolso con un grupo de bolos numerados con: 9, 8; 7; 6; ......; -8; -9; -10,
Si no hay bolos con igual numeración. ¿Cuántos bolos como minimo, se deberán extraer
de forma aleatoria, para obtener con certeza, dos bolos que sumen doce?
A) 16
B) 17
C)18
D) 12
E) 15
10.
Para una libreria se adquieren boligrafos a un costo por docena, que varia de trece a veintiún
nuevos soles la docena; si luego se ofrecen en venta a un precio por docena que varía desde
dieciocho hasta veinticinco nuevos soles ¿Cuál es la máxima ganancia que se puede obtener al
comerciar tres boligrafos?
A) Si. 4
B) S/. 3
C) SI. 12
D) S/. 1
E) S/. 6
UNIDAD
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
17
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
11.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Las dos últimas personas (varones), en llegar a una fiesta saludan a todos los presentes con una
estrechada de manos, sí cada uno saluda a treinta y siete. Todos son eximios bailarines y les
encanta bailar, En cierto instante en que todos debieran estar bailando, uno de los últimos en
llegar observa que cinco personas no pueden hacerlo. Si luego se retiran seis varones. ¿Cuál es
el máximo número de damas que tendrían que retirarse para que todos puedan bailar en parejas?
A) 17
B) 15
C)13
D)11
E) 12
12.
El número
"Y se
encuentra
comprendido
entre tres y seis, mientras que
el número
"y” se
encuentra
comprendido entre 15 y 60, Determine entre que números se encuentra comprendido
yo
A)
B)
C)
D)
E)
13,
5 y20
25 y20
5y10
25 1 y 10
3y60
¿Es posible encontrar el minimo valor positivo de “y”, si y =
27
B+2x-x
A ?
En caso afirmativa,
determine dicho valor.
Aj 1
B)9
C)27/7
D)3
E) No es posible
14.
Un alambre de setenta y dos cm. de longitud, se debe cortar en dos trozos, tal que con uno de
ellos se forme un triángulo rectángulo de lados proporcionales a 3k, 4k, 5k y con el segundo trozo
se forme un circulo. ¿Cuál es la minima suma de áreas, que se puede lograr, si asumimos m =37
A) 72 cm?
B) 144 cm?
C) 36 cm?
D) 288 cm?
E) 11 520 em?
15.
Cierto proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba. Sabiendo que *x" es el número de segundos
transcurridos desde el lanzamiento, *h" es la altura alcanzada, siendo: h = 27x - 9 x?. ¿Cuál es la
máxima altura que alcanza el proyectil?
A)26,5 u
B) 17,85 u
C)18,25 u
D)20,25 u
E) 22,5 u
UNIDAD
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
18
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
16.
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
Un agricultor dispone de 40 m para el cercado de un terreno de esquinas rectangulares, pero él
decide aprovechar el ángulo
recto de una
esquina
en la construcción,
como
se muestra
en el
diagrama. Si desea que el terreno muestre simetría. ¿Cuál es la máxima área que podrá formar?
z
A) 205 m?
B) 133 m
Xx
1
—
EJ33Gm
pi?
CONSTRUCCIÓN
2
1
D) 1337 m?
E) 50 m?
17.
Un ánfora contiene quince bolos numerados en el orden de los primeros enteros positivos. ¿Cual
es la menor cantidad de bolos que se deben extraer de forma aleatoria, como mínimo, para obtener
con certeza una suma par con los bolos extraidos?
A) 10
B) 11
C)8
D) 9
E)6
18.
Se apila un grupo de naranjas y luego se divide en otros dos grupos de tal manera que el número
de naranjas de uno de los nuevos grupos multiplicado por el número de naranjas del segundo
grupo obtenido nos dé el máximo producto. ¿En qué relación se encuentran estos números?
A) 1:2
B) 1:4
C) 1:3
D) 3:4
E) 2:2
19.
¿Es posible encontrar el máximo valor de:
08
o
+2x+xX
En caso afirmativo, determine dicho
valor.
A)2
B)3
C)4
D)13/5
E) No es posible.
20.
Si el peso que puede llevar una canoa no excede los 100 kg, ¿cuántos viajes, por lo menos debe
hacerse para que esta canoa logre llevar de una orilla a otra de un rio, a tres mujeres que pesan
50 kg cada una y un hombre que pesa 70 kg?
AJA
B)5
C)6
D)7
E)8
UNIDAD
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
19
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
21,
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Una anciana tiene 6 cofres con 6 monedas
de oro cada uno, todas las monedas
pesaban
10
gramos excepto las 6 monedas de uno de los cofres, las cuales pesaban 11 gramos cada uno. La
anciana prometió regalarle los 6 cofres a su nieto, si este era capaz de averiguar con el menor
número de pesadas cual era el cofre con las monedas de mayor peso. ¿Cómo tuvo obrar el nieto?
Dar por respuesta el número de pesadas.
A)1
B)2
C)3
D)4
E)5
22.
Un juego consiste en lanzar una pelota desde el lugar indicado y hacer que esta golpee la pared
A y luego la pared B hasta llegar a tumbar la lata. ¿Qué tiempo empleará como minimo para
logarlo, si la pelota debe salir con rapidez constante de 4 m/s?
A) 20 s
SE
B)25s
C)40s
DI31
E)22s
|
5
[
“
16m
ñ
18m
|
y
|
Lata
23,
Un kilogramo de naranjas tiene desde 50 a 100 unidades de vitamina €. Si cada kilogramo cuesta
desde 1,8 a 4 soles, ¿cuánto es lo mínimo a gastar en un día si tengo que consumir 300 unidades
diarias?
A)
B)
C)
D)
E)
24,
4,8
5,4
10,8
12
2,4
¿Es posible encontrar un valor para x de modo que
—x* —4x—1
, sea minimo?, En caso afirmativo,
determine el valor de x,
Aj 1
B)-18
C)-2
D) 2
E) No es posible
25...
Sedispone de pesas de 1, 2, 4, 8, 16, 32,..., kg cada una. ¿Cuál será el minimo número de pesas
necesarias para equilibrar un peso de 393 kg?
A) 12
8)5
C)13
D)8
E) 4
UNIDAD
3 - Máximos y Mínimos
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
20
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
SEMANAS
4, 5 y 6
SUCESIONES Y
PSICOTECNICO
UNIDAD 4
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
CEPRE-UMNALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
1. — Calcule la suma de las cifras del número que sigue:
1,1,1,1,2,24, ..........
A) 15
B) 16
0) 17
D) 18
E) 19
2. — Determine el valor de: a+b-c, en la sucesión:
1,5,11,20, 34,55, a,b,c
A) 13
B) 25
C) 32
D) 20
E) 18
3. — Halle "x+y" en la siguiente sucesión: 6, 8, 14, 18, 30, 40, x, y
A)
B)
C)
D)
E)
4.
176
186
190
178
168
Halle la suma de los dos términos que siguen en la sucesión:
2,3,2,5,4,8,6, 15, 10,31, .....
A) 48
B) 63
C) 92
D) 79
E) 80
5.
Halle el producto de las cifras del número que continua en la sucesión mostrada: 6, 7, 11, 36
A)
B)
0)
D)
E)
6.
18
20
12
9
36
Halle el término 20 en la sucesión: 5, 8, 11, 14, ....
A) 62
B) 63
C) 78
D) 59
E) 66
UNIDAD
4 - Sucesiones y Psicotécnico
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
21
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Halle el vigésimo término de la sucesión: 3, 6, 11, 18, 27, .........
A)
B)
C)
D)
E)
364
398
400
402
408
Determine el número de términos de la sucesión: 3, 4, 9, 18, 31, ...... , 381
A)
B)
C)
D)
E)
20
12
15
122
18
Halle el termino 200 en la sucesión: 4, -1, -6, -11
A)
B)
C)
D)
E)
10.
-1 009
-1 999
-2 000
-2 001
-991
En el siguiente arreglo triangular, halle la suma del primer y último términos de la fila 20.
A) 900
1 —=>F,
C) 801
D) 702
7
13
E) 800
9
15
11 ——oFya
19 ——=eFga
17
£
-
PF
11.
A
pl .
Calcule la diferencia entre el número de lados de la figura (2k+4) y el valor numérico comprendido
en el interior de ésta, si la diferencia en la figura anterior es 300.
A) 325
B) 305
6
D) 295
E) 340
Fig. 1
C) 324
12.
¿Cuántos términos de la sucesión:
sumarles dos unidades?
,
10
:
Fig. 2
:
Fig. 3
Fig. 4
13, 16, 19, ......, 613 resultan tener raíz cuadrada exacta al
A) 6
B)5
C)7
D)8
E) 9
UNIDAD
4 - Sucesiones y Psicotécnico
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
22
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
19.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Halle: x + y.
3(16)5
9 (x)7
A) 99
6)B)
D)
E)
20.
68127
112
120
3 (27)24
5 (45)40
6(25)4
7 (y) z
¿A qué cubo corresponde el siguiente desarrollo?
+
*
L
IA
21.
¿A qué cubo corresponde el siguiente hexómino?
Jl
.
OO
OD
¿te
L
1]
/)
mb
A)
22.
B)
[1]
PELEA
pe
os
0)
o
o.0
PZA
0
D)
o
o
0
0
E)
¿Cuántas caras tiene el siguiente sólido?
A) 10
B) 9
c)8
D) 11
E) 6
UNIDAD
4 - Sucesiones y Psicotécnico
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
23
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
19.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Halle: x + y.
A)B) 99
68
0) 127
3(16)5
07
3 (27)24
5 (45) 40
6(25)4
7
(y)
z
D) 112
E) 120
20.
¿A qué cubo corresponde el siguiente desarrollo?
+
8
-L
EL,
21.
¿A qué cubo corresponde el siguiente hexómino?
.
OO
OD
eto”
E
[Ll]
MU]
A)
22.
PEA]
SEA
ps?
o
0
oO
o?
o
0
o Oo
C)
D)
E)
¿Cuántas caras liene el siguiente sólido?
A) 10
B) 9
c)8
D) 11
EJ6
UNIDAD
4 - Sucesiones y Psicotécnico
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
24
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
23.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
¿Cuántas caras liene el siguiente sólido?
A) 11
B) 12
C)13
D)14
E) 15
24,
Se tiene un cubo de madera de 4 cm de arista al cual se le pinta de color rojo, luego se divide en
cubos de 1 cm de arista. ¿Cuántos cubos tienen solo dos de sus caras pintadas?
A) 12
B) 24
C) 18
D) 20
E)6
25.
Se tiene un cubo de madera de "x" cm de arista, luego se le pinta totalmente de color negro. Si en
total se obtiene 156 cubos con solo 2 de sus caras pintadas después de dividirlo en cubitos de 2 cm
de arista. Hallar *x”.
A) 30
B) 28
C) 32
D) 36
E) 24
26,
Calcule el término central de la sucesión que ocupa la fila 20
A) 761
B) 930
C) 721
D) 710
E) 730
27.
Fila 1:
Fila 2:
Fila 3:
Fila 4: 19
1
3.5
9 11
21
23
13
25
7
15
17
27
29
31
Si el primer término y quinto de una progresión geométrica son 12 y 972, respectivamente, calcule
la suma de las cifras del tercer término.
A) 9
B) 10
C) 15
D) 13
E) 11
28.
Se tiene un sucesión cuya regla de recurrencia es: ak+1entre los lérminos de los lugares 32 y 10,
ax =7,
k=1,2,3,...... Calcule la diferencia
A) 154
B) 191
C) 221
D) 210
E) 110
UNIDAD
4 - Sucesiones y Psicotécnico
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
25
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
29.
nosotros
Si a1=1, a2=3, an= 3 an-1 -2an-2, para n>2, determine as+ as
A)
B)
C)
D)
E)
30.
TU INGRESO ES DIRECTO
78
48
49
50
43
¿Cuántos triángulos hay en la figura 207
A) 84
B)78
C)81
D)87
E)79
fy
31,
t)
f3
A
-
Se define la sucesión cuyo término enésimo, an, cumple:
Ay = Apo Ap
1 M22
Además: a, =a9 =8. Halle: az +84 +45
A)
B)
C)
D)
E)
32.
24
32
36
38
26
¿Cuántos términos tiene la siguiente sucesión: 1; 5; 11; 19; ..., 379?
A) 19
B) 20
C)21
Dj 22
E) 18
33.
A. una cuerda de 700m. de longitud se le dan dos cortes, de modo que uno de los trozos extremos
tiene una longitud de 100m. Sabiendo que las longitudes de los trozos están en progresión
geométrica, determina la máxima longitud de un trozo.
A) 400m
B) 300m
C) 500m
D) 425m
E) 225m
¿Con cuál de las figuras dadas no se puede armar un cubo?
A
JA
A)
UNIDAD
A
B)
LT
!
C)
[|
D)
E)
4 - Sucesiones y Psicotécnico
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
26
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO
SEMANAS
ES DIRECTO
6 Y 7
SERIES
UNIDAD 5
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
1.
nosotros
Halle el valor de (3a-4)en:
0,1+0,24+0,3 + cnncciconnmm. +a=505
A) 11
B) 20
C)17
D) 32
E) 26
2.
Halle el valor de
L=
GIRA A
21 términos
A) 73/29
B) 146/29
C)73/58
D) 73/59
E) 1/58
3.
A ccocircccaiino 4109
Halle el valor de F(25)
A) 4 300
F(1):2
C)2 150
D) 2 050
F(3):6+9 +12
F(4):8 +11 +14 +17
E)
2 100
á.
Calcule las 4 últimas cifras de:
6+64+ 646 + 6464 + cnnaiicinoss
40 sumandos
A)
8 160
B) 1760
C)7 660
D)1 160
E)7 160
5. — Boris observa en el museo unas monedas colocadas formando un triángulo de 90 filas
horizontales como se muestra en la figura. ¿Cuántas monedas se utilizaron?
0
0.0
eee
60900
di
B) 4 095
RT
C) 4 990
D) 4.005
E) 4.995
=
UNIDAD 5 - Series
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
6. — Halle la suma de todos los números de los pasajes.
A)
B)
C)
D)
E)
110 700
101700
110 070
111 700
117 000
—
5|s|s|5
22—
39 —
4—
5 10|10|10
510 15/15
510 1520
4—
7. — Calcule el valor de;
T=6*+9%+
12% + 15%... +63?
A) 29 770
B) 22 790
C) 29790
D) 27 790
E) 27 990
8, — Determinar la suma de las áreas de los infinitos cuadrados con borde lineal formados como se
muestra en la figura.
9
Á
A) 192?
B) 148.?
|
C) 156y?
D) 1364
E) 108.1?
9.
—Secumple que:
D
/
AMOR
Halle el valor de:
se
Y
To
tHe
=1,24+ 1,4 + 184 conoceis.
M+(M+3)
+ (M+6)+o.0........o .
(A+R+0) términos
Nota: O = cero
A) 205
B) 155
C)175
D) 285
E) 165
10.
En una serie aritmética el octavo término es (2 + 7/2); la razón es 42 y el número de términos es
8. Halle la suma de todos los términos,
A) 4(4+ 742)
B)4 + 742
C)8 + 144/2
D) 3(4 + 7/2)
E) 16 + 7/2
UNIDAD
5 - Series
Prohibida su reproducción
28
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
11.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
¿Cuántas pesas de una colección de 1Kg; 3%Kg; 3% Kg; ........ : 3
kg se necesitarán como máximo
para pesar (27*-1)/ 8 Kg?
A)8
B)6
C)10
D)9
E) 11
12.
¿Qué afirmaciones son verdaderas?
E
409A
ll, 1424 IA
Mr
der
cc
+ 120
cnccccaiónos +80
=
AA)
=
=
7260
1640
A) yl
8)!
Cc)!
D) Todas
E) I y 11
13,
Un caminante recorrió 100m el primero de Julio, al dia siguiente avanzó 200m, el tercer dia 300m,
luego de algunos días debe llegar a un pueblo que dista 37 B00m del punto de partida. ¿En qué
fecha ocurrirá tal acontecimiento?
A) 20 de julio
B) 2 de agosto
C)8 de agosto
D) 27 de julio
E) 28 de Julio
14.
Halle el valor de *n” para que se cumpla la expresión:
PE
A TO
SA
ADA DA
Ts .= 3225
Zn términos
A) 50
B)60
C)40
D) 36
E) 30
15.
Calcule: L = 23) «$
> +85)
ra
A) 2/3
B) 4/3
c)1/2
D)1
E) 3/2
UNIDAD
5 - Series
Prohibida su reproducción
29
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
16.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Halle la suma de *S”, si tiene 20 términos
S=5+B8+413+ 204 28+ 00...
Dar como respuesta la cifra de mayor orden de *S”.
A) 0
B)4
C)9
D)8
E) 2
17.
Una pelota de jebe es dejada caer desde una altura de 6m cada vez que rebota se eleva las 2/3
partes de la altura anterior, hasta detenerse. Halle la suma de las longitudes recorridas por la pelota
hasta detenerse.
A) 60
B) 48
C) 24
D)30
E) 12
18.
¿Cuántos palitos hay en total en la siguiente figura?
1
AE A
AR DO 00
HONE 0 00 A O
A) 1 024
o) e
D) 256
E) 2 048
LEDO
MI
==
ll
19.
Halle el valor de: 25+ 28 +24 2% + cc
AE
30 31
+22
A) 64(2'* - 13
B) 3221? - 13
C) 162% - 1)/3
D)64(2* - 1/3
E) 64(2'? - 1/3
20.
¿Cuál es la suma de todos los términos de la forma (3R — 0,5), donde "R” es un número entero que
toma valores entre 1 y*n"?
A) (3n + 2]n - 2/2
B)n(3n - 2/2
C) 3n7/2
D)n*(n- 1y3
E) 3nY(n- 1y/2
UNIDAD
5 - Series
Prohibida su reproducción
30
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
21.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Una persona compra 15 panetones, con el curioso método de pagar el doble de lo que pagó por lo
que compró anteriormente. Si el primer panetón le costó 3 soles, ¿Cuántos soles pago en total por
todos los panetones?
A) 3(215 - 1/10
B)3(21 - 1)
c)(2%
- 1y2
D)3(2*- 1y2
Eya21é- 1)
22.
Halle el valor de "S”,si
S=1+3/24+7/6+13/12 +00...
30 lérminos
A) 929/30
B) 30
C) 900/31
D) 910/81
E) 15/16
23,
Un obrero ha ahorrado este mes
178 soles y tiene con esto 1410 soles en la caja de ahorros,
habiendo economizado cada mes 12 soles más que el mes anterior. ¿Cuánto ahorró el primer mes?
A) 12
B) 10
C)15
D) 20
E) 25
24,
Calcule
alcule
9
el el valor
valor de;de
3
1
Es —+—+=+
20+410*5
2
4
—+—+
15
a+ uno
A) 20/27
B) 27/10
C) 27/20
D) 9/20
E) 21/20
25.
Calcule:
S=13+16
+21 +28
+37 +.......+ 637
A) 5 825
B) 5525
C)5 222
D)5 225
E) 2 255
26.
Halle la suma total de todos los elementos del siguiente arreglo, si en total hay 20 filas.
A) 82 780
B)82 570
€) 82 870
D)82760
E) 80 200
UNIDAD
2
3
4
56.789
10 11 12 13 14 15 16
.
E
.
»,
5 - Series
Prohibida su reproducción
31
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
SEMANAS
7 Y
8
SUMATORIAS
UNIDAD 6
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
CEPRE-UMNALM,
Tu futuro empieza
con
1.
nosotros
Laexpresión:
TU INGRESO ES DIRECTO
8? e 345? y / ( 345 y 4 ( 345* y +..., se puede representar como:
20 sumandos
A) Fla-sx]
X=1
B) Y (3 psa y
x=0
C) 2 (0-5)
D)
(a+ 5)
E) Y (a+ (-1) 5)
Lal
2.
— Expresamos la siguiente serie, usando notación sigma:
S = 8x15 + 9x16 + 10x17 + ........+ 39x40
¿Cuál de las siguientes alternativas, no la representa?
33
A) Y k(k+7)
1-8
24
B) Y (3+9Xj+16)
ja-1
2
C) Y (i+ 6)1+13)
l=2
25
D) > (a+151a+8)
a=0
25
E) Y (k +7)(k +15)
ka1
3. — Halle el valor de:
A) 132
B) 162
C) 165
10
Y” (3a)
a=-1
D) 171
E) 175
10
4. — Halle el valor de: 2 (n +11]
k=1
A)O
B)2
C)n+1
a
E)3
UNIDAD
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
32
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
20
5. — Halle el valor de: Y (1)(1% +1)
11
A) -200
B)
C)
D)
E)
6.
-210
-220
-230
-240
20
)'(3!-31”)
528
Halle el valor de:
Ay39-3
By 3% -3'
3-3
D)
319_37
E) 39-30
7.
Halle el valor de: S (2nj +j-3j?)
1
A)0
B)1
C)2
D) n+1
E) 2n
12
8. — Halle el valor de: Y (k+ 1(2k -3)
5
70+80+90+...+n=
e
—Hallen:
sl
39,
M2
Le
cn
A) 1038
B) 1148
C) 1208
D) 1256
E) 1 288
A) 280
B) 610
C)330
D) 420
E) 270
UNIDAD
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
33
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
10.
nosotros
TU INGRESO
Calcule: g_1_,_2
3414
7x22
1
1
+
ES DIRECTO
11x30
+
15x38
Es
20 sumandos
a) 27
124
9
A a
10
a
81
D) 24
EY
11.
10
——
249
Halle a+b, sí:
1
1
3 3x5
1
5x7
+ A
1
axb
us
11
23
A) 32
B) 42
C)52
D) 44
E) 48
0
12.
Halle el valor de:
A)
B)
C)
D)
E)
13,
4
$
E (2-1)
20/21
20/31
20/41
20/51
20/61
El arreglo numérico mostrado tiene 20 filas, determine la suma de sus elementos
UNIDAD
A
6»
:
E
6
o
dd
+ 4
3
+
mA
+
dd
0
A) 2 050
B) 2700
C) 3080
D) 3.680
E) 4 100
3
HR
2
34
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
14.
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
En cada una de las siguientes expresiones, indique con (VW) la veracidad o con (F) la falsedad de
cada una de las siguientes afirmaciones:
a
%
me
O) 2pe-0-0']
()
41_
Y (a,-3,1)=(8,-a,)
har
caraisS
A)
B)
C)
D)
E)
15.
Xx
FVV
FFV
VFV
VW
VWF
Determine el valor de: Yph
|
x22 | ko1
A) 51
B) 41
Cc) 42
Dj) 43
E) 39
16.
Calcule la suma de los n términos de la sucesión: 2; 6; 12; 20; ...
A)
B)
n(n+1)(2n + 4)
6
a
E
0) n(n+1)(2n +7)
6
D)
E)
17.
n(n+1)(2n +8)
6
n(n+1)(2n 49)
6
Dados:
Ss =1011+1100124+1213+..,+20x21
Sy =1x24 2x3 43x4+...420x21
S
Halle: S,4
A) 28/33
B) 25/24
C) 25/27
D) 28/25
E) 28/27
UNIDAD
35
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
18.
nosotros
Halle la suma de:
A)
B)
C)
D)
E)
19.
TU INGRESO
ES DIRECTO
S=7x31+9x29+11x27 +13x25+...+31x7
3 955
3 965
3945
3975
3 985
Halle la suma de: 2% +49 46? +...+(2m)
A) 2m2 (m +1)
B) 2m* (m-1)
C) 2m* (m+1)
D) 2m* (m-1)
Calcule: Pa
x-1
A) a
y PA
=r
Mo
20.
—i
E) 2m(m +11
B) a/n
Cc) n/a
D) 2a
E) an
21.
Calcule la suma total de:
S=4%*+72+ 107 + 13% .......+ 612
A) 27 000
B) 27 200
C)27 320
D)27 210
E) 27 110
en
22.
Halle el valor de: se
no
A) 25/3
B) 25/2
C) 25/6
D) 23/6
E) 6/25
a
2d
Calcule: KK
AJSI8
B) 1/2
Cc) 1/8
D) 3/4
E) 1/9
UNIDAD
n
n
5
ES )
y] ss
ja1 9
36
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
24.
nosotros
El valor de:
TU INGRESO ES DIRECTO
99
1
ES RN
A) 9/10
B) 8/9
C) 1-99
D) 0,85
E) 4/5
25.
El valor de: y da
(Jay, es:
k=0
A) 65(4/3 -4/2 )
B)55(4/2 +43)
C)65(42++/3)
D) 13(4/10++415)
E) 13(4/15-/10)
UNIDAD
6 - Sumatorias
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
37
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
SEMANAS
8 Y 9
INDUCCION
- DEDUCCIÓN
UNIDAD 7
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
CEPRE-UMNALM,
Tu futuro empieza
con
1.
nosotros
a”
TU INGRESO ES DIRECTO
de: E= (n+a) (n-b) (n+c) (n-d)......(n-y)(n+z), es:
B)2
Cy0
D) a?
E) an
2,
Calcule el valor de:
P=
/75x76x77x78 +1
A) 5 850
B) 5852
C)5 851
D) 5 853
E) 5 854
3.
Halle el valor de:
M=
1000001 - 999aga*
8(10*
13
+1)
Ay 4x108
B) 2x108
cy 108
D)11111
E) 1111
4.
Calcule: (Y/2) elroo-+ 961100? +96? x100* +90), 2
A)
B)
C)
D)
E)
B
100
200
300
400
120
5. — Calcule el valor de: A=0,27* +0,81x0,73* +0,73% +2,19x0,27?
AJO
B)/
c)1
DIS
E)4
6.
Calcule el valor de: A
605 x 595 + 25
A
A)2
B)4
C)8
D)6
E)7
UNIDAD
7 - Inducción
Prohibida su reproducción
- Deducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
37
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
7.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Halle la suma de las cifras del resultado de la siguiente expresión:
E =545454....54 x 9995.....99
100 cifras
150 cifras
A) 1 250
B) 1350
C) 1050
D) 950
E) 1 500
8.
Calcule el valor de la suma de cifras de: ((a +1)(a + 1)---(a +1) -aa---a)*
—
A) 44
de
B) 45
C) 46
D) 49
E) 50
9.
—Sesabeque:
44+474+ 474 + 4747 + 47474.....=....DIOS
47 sumandos
Calcule:
A)8
B)4
C)16
DJ6
E) 12
10.
Ox]
=—
D-5
Sesabe que;
4+444+4444+4444 +... Sal
Za sumandos
Calcule la última cifra de la siguiente expresión: (1a)% + (Za +18 , (324 20002)
A)6
B)7
C)5
D)O
E)8
11.
Sesabe que: 7""" =....m además: 9m=....m
Calcule: m+n
A)9
B) 16
Cc) 10
D) 18
E) 12
12.
—
SiN = 7125, calcule: x+y+z, en: N'+N?+N?4+Nó +...
+
= yz
A)15
B)13
C)14
D)
7
E) 10
UNIDAD
7 - Inducción
Prohibida su reproducción
- Deducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
38
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
13.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Calcule: “a+b+c+d+e”, si (222...225)? =...abede
00 Giras
4)18
B) 19
C)20
D21
E) 23
2
14.
Halle la surna de las cifras del resultado de:
A)
B)
C)
D)
E)
15.
E= [868.58 »x 5)
AAA
AKÉKÁ
900
800
600
400
607
Halle n/100 +3 en:
3/999x1000x1 001+103'99c100x101+100 =n
A) 12
B) 13
0)15
D) 16
E) 18
16.
Halle la suma de las cifras del resultado de:
100ciIras
A) 300
B) 320
C)400
D) 328
E) 240
17.
222...2111...1-111..
.1222.. 2
or y
A
i0Ocifras
100cifras 100 clas
Dela figura encontrar el total de segmentos:
A) 79
B) 80
C)78
D)76
E) 77
18.
¿Cuántos cuadrados se pueden contar en la siguiente figura?
A) 28
B) 32
C)34
D) 25
E) 26
UNIDAD
7 - Inducción
Prohibida su reproducción
- Deducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
39
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
19,
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
¿Cuántos triángulos hay en la figura?
A) 78
B)76
C)77
D)72
E) 79
20.
1
234
0506?
¿Cuántos cuadriláteros se pueden contar en la siguiente figura, si hay 20 lineas horizontales?
A) 530
B) 534
C)550
D) 532
E) 548
21,
¿Cuántos triángulos hay en total en la siguiente figura?
A) 86
B) 96
C)89
D) 95
E) 97
22.
¿Cuántos segmentos de recta hay en la siguiente figura?
A) 340
y
e
ATAN
B)
B) 346
5350
Y 7ZZ
FOR
A
==
srmeemer
LA
E) 354
23,
¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?
A) 600
B) 762
C)672
D) 882
E) 874
— ¿Cuántos puntos de contacto se puede contar en la siguiente figura?
A) 50
8) 56
C) 58
D)60
E) 62
UNIDAD
te,
24.
7 - Inducción
Prohibida su reproducción
40
- Deducción
total o parcial
sin autorización de esta publicación. Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
25.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
En el gráfico, ¿de cuántas maneras diferentes se podrá ir de Á hacia C sin pasar por B (siempre
avanzando)?
A) 71
B) 75
C)80
D) 90
E) 86
Cc
26.
En el gráfico, ¿de cuántas maneras diferentes se podrá ir de AaC, pasando por B siempre?
A) 86
B) 40
C)64
D) 90
E) 80
27.
¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de A a B siempre avanzando?
A)
B)
C)
D)
E)
28.
A
150
162
144
140
160
A
¿De cuántas formas diferentes se puede formar la palabra “¿ROMA”,
uniendo las letras en forma
consecutiva?
29.
A) 28
B) 38
ROMAMOR
C) 34
OMAMAMO
D) 31
E) 30
MAMOMA M
AMOROMA
Determine la suma de las cifras del resultado: (111---112+222---224)*
50 cifras
A)
B)
C)
D)
E)
30.
50 cilras
900
270
180
450
300
¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra CARRO, uniendo letras vecinas?
A) 28
B) 56
c
C)64
D) 60
e
E) 32
UNIDAD
A
S
7 - Inducción
Prohibida su reproducción
- Deducción
total o parcial
sin autorización de esta publicación. Copyright
41
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
31.
nosotros
¿Cuántos triángulos hay en total?
1
2
3
4
19
20
A) 80
B)78
C)76
D)77
E) 75
32.
¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra CARROSA?
A) 64
B) 24
C)48
E) a36
33.
c00
6
A AA
CR
RC
cr Pam
roo
c eSJCce
¿Cuántos triángulos se podrán contar en la siguiente figura?
A) 210
B) 240
C) 250
Dj 220
E) 225
34.
Halle el total de cuadraditos.
A)
B)
C)
D)
46
48
50
52
E) 56
35.
Halle el total de segmentos.
A)114
B) 90
C) 108
D)118
E) 106
UNIDAD
7 - Inducción
Prohibida su reproducción
- Deducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
42
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
SEMANAS
10, 1 Y 12
ANALISIS
COMBINATORIO
UNIDAD 8
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
1.
nosotros
Halle el valor de
TU INGRESO ES DIRECTO
11x(251)x(91)
Y”
o
0
A)1
B)2
C)6
D) 24
E) 6l
o
o.
(8177) +(91x4)+(81x5)
2. — Simplificar la siguiente expresión: (71x6%) -(81x8)+ (71105)
ay7
B)8
cj9!
Dy10
E)1
3.
— Encuentreel valor de: ERES
Al
41
EAS,
si
Joel
(A)
4) 0,20
B) 0,05
C)0.25
D)0,50
E) 0,02
4.
¿En qué cifra distinta de cero termina 1017
A)1
B)2
C)3
D)4
Eja
4014411
5. — Simplificar: el
421 811+82!
A)1
B)2
0)4
D)6
E) 81
6.
¿En cuántos ceros termina: 1024 x 51? x 351?
A) 23
B) 20
C)34
D)42
E)45
UNIDAD
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
43
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Determine el valor de S = 51 +52 + 53+.....+ 520,
donde: Sx = Kl+Kl+Kt+....
Hsumandos
A) 20!
8) 21!
C) 20! +1
D) 20! - 1
E) 21!-1
Calcule la última cifra diferente de cero de 20!
A)8
B)2
C)3
D)4
E)6
¿De cuántas maneras diferentes se puede seleccionar una consonante y una vocal de la palabra
NUMEROS?
A)10
B)11
0)12
D) 6!
E) 7!
10.
Luis, Rommel y Raúl, llegan a una ciudad con 3 hoteles. En el primer hotel hay 3 habitaciones libres,
en el segundo hotel hay 4 y en el último hay 2. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ocupar
cada uno una habitación, si además desean estar en hoteles diferentes?
A)12
B)24
C)60
D)120
E) 144
11.
Liliana tiene 4 pantalones, 6 polos y 3 pares de zapatos, todos de diferentes colores y modelos ¿De
cuántas maneras diferentes podrá vestirse utilizando dichas prendas, si el pantalón azul se lo
pondrá siempre con el polo blanco?
A)54
B)36
C)57
D)48
E)52
12.
Depositamos en una uma 6 bolas numeradas del 1 al 6 y en otra urna 3 bolas numeradas del 7 al
9. Se extrae una bola de cada urna y con los números obtenidos se forma un numeral. ¿Cuántos
son lodos los valores posibles de este numeral?
A)18
B)24
C)36
D)20
E)16
UNIDAD
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
44
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
13.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
¿Cuántos números de 5 cifras existen, tales que el producto de sus cifras sea un valor impar?
A)25
B)625
C)5>
D)5!
E)5*
14.
¿Cuántos números pares de 4 cifras se podrán formar con los digitos del 3 al 9, no repitiéndose
ningún digito?
A)240
8)360
C)720
D)120
E)420
15.
¿Cuántos números de tres cifras existen en los cuales una cifra se repile 2 veces solamente?
A)243
B)240
C)270
D)297
E)720
16.
Seis amigas van al cine y encuentran una butaca de seis asientos vacios. ¿De cuántas maneras
diferentes se podrán ubicar, si;
|. Andrea que es una de las amigas se sentará en un extremo
Il, Andrea y Ána Paula estarán siempre juntas
111.Si Andrea, Laura y Sofía estarán siempre juntas
W.Si una de ellas estará siempre en el extremo derecho
V. Si Andrea y Carla no estarán juntas
Dar como respuesta la suma de los resultados.
A)1 680
B)1824
C)1 920
D)1 880
E)1 860
17.
Se tiene 7 banderolas de diferentes colores. ¿De cuántas maneras se los podrá izar en un mástil
uno a continuación del otro, si la banderola blanca ira primero, la azul en el medio y la roja al último?
A) 12
B) 24
C) 6
D)120
E) 48
UNIDAD
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
45
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
18.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Cuatro hombres y 3 mujeres deben ubicarse en una fila de Y asientos de modo que ningún hombre
ocupe sitio par. ¿De cuántas maneras diferentes podrá sentarse?
A)144
B)
24
C) 36
D) 48
E) 72
19.
Alrededor de una mesa de 5 asientos se quiere ubicar 2 niños y 2 niñas de modo que el asiento
vacio esté adyacente a las niñas. ¿De cuantas maneras diferentes se podrá hacer?
A)1
B)2
C)4
D)7
E)8
20.
¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 9 personas alrededor de una mesa circular con
5 asientos, si quedan 4 personas de pie?
A)3
8)3
C)3
D)1
E)1
21.
000
200
024
024
200
Laempresa Datsun tiene para este año 3 modelos de autos y 6 clases de colores. ¿Cuántos debe
exhibir un distribuidor para mostrar las posibilidades?
A) 18
B) 9
C)120
D) 80
E) 27
22.
Un partido de fútbol ha terminado con el resultado de 2 a 4 a favor de los visitantes, ¿De cuántas
maneras posibles se pudo haber llegado a este resultado?
A)16
B)14
c)18
D)15
E)12
23.
En cada lado de un triángulo se escogen 2 puntos diferentes (no se toman los vértices). ¿Cuántos
triángulos se pueden formar con los puntos tomados en cada lado?
A)10
B) 6
cy12
D)15
E)20
UNIDAD
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
46
CEPRE-UMNALM,
Tu futuro empieza
con
24,
nosotros
¿De cuántas maneras diferentes se puede contestar una encuesta
pregunta solo se puede contestar con un “si” o con un “no”?
AJ1
B)2
C)1
D)
E)1
25.
TU INGRESO ES DIRECTO
de
10 preguntas,
si cada
024
048
200
512
560
Tres urnas contiguas contienen 5 fichas numeradas del 1 al 5 cada una, se extrae una ficha de cada
urna y se forma un número de tres cifras. ¿Cuántos números diferentes cuya suma de cifras sea 6
se puede generar?
A)12
B)11
C) 9
D)14
E)10
26.
¿De cuántas maneras diferentes se pueden permular 2 bolas rojas, 3 bolas verdes y 4 bolas azules,
de modo que las bolas rojas se ubican en los extremos?
A)1
B)
C)
D)
E)
27,
260
260
140
70
35
¿De cuántas maneras diferentes se pueden comprar 3 refrescos en una tienda donde lo ofrecen en
4 sabores diferentes, sin mezclarlos?
A)12
B)14
C) 8
D)16
E)20
28,
—Enuna sesión de conferencias van a hablar 6 oradores A, B, C, D, E y F. ¿De cuántas formas se
pueden ordenar los oradores si A no debe preceder a A?
A)300
8)600
C)360
D)720
E)400
29,
Enun estante hay 15 libros: 9 de álgebra y 6 de aritmética, no distinguibles. Se desea escoger 7
libros al azar de tal manera que 4 sean de álgebra y 3 de aritmética. ¿De cuántas maneras se puede
escoger los / libros?
A)2 220
8)2.400
012520
D)2 680
E)2 800
UNIDAD
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
47
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
30.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Ana, Belo, Carla, Darío, Erica y Fernando van al cine y encuentran una banca vacía de 9 asientos.
¿De cuántas maneras se podrán sentar si las mujeres deben ocupar los lugares impares y los
hombres los lugares pares; además Ana y Belo deben estar juntos?
A) 676
B) 576
C) 675
D) 346
E) 1264
31.
Deun grupo de 15 personas que estudian solo 2 idiomas cada uno, se sabe que 4 de ellos estudian
ingles y aleman; 5 ingles y frances y los otros solo alernan y frances. Si se quiere escoger 2 personas
que hagan juntos la traduccion de una lectura a culaquiera de los tres idiomas mencionados, ¿De
cuántas maneras diferentes se puede elegir?
A) 28
B)
C)
D)
E)
32,
74
92
48
120
Con todas las letras de la palabra CARRERAS,
¿cuántas anagramas diferentes se pueden formar,
de modo que en ningún caso las letras C y S deben de estar juntas?
A) 5 040
B)2790
C) 3 960
D) 4 580
E) 2 520
33,
Cada semana Gisela liene dos clases de inglés, una de dibujo y una de música, Debe elegir sus
horarios de lunes a viernes donde las clases de inglés no deben ser en días consecutivos y no debe
tener más de una clase por día. ¿De cuántas formas diferentes puede Gisela armar sus horarios?
A) 27
B) 36
C)48
D) 50
E) 30
34.
Un coro está formado
por 6 participantes.
¿De cuántas maneras
se pueden
escoger 4 participantes
durante 3 días, de forma que cada día el coro tenga distinta composición?
A) 24
B)2730
C) 200
D) 150
E) 100
UNIDAD
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
48
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
35.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Con los digitos: D; 1; 2 y 8 se forman números de 4 cifras, repelidas o no, que son divisibles por 4.
¿Cuántos números diferentes se pueden formar?
A)
B)
C)
D)
E)
36.
72
84
96
108
120
Cuatro chicas y dos varones van al cine y encuentran 6 butacas adyacentes en una misma fila,
donde desean sentarse. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse si todas las chicas
quieren estar juntas?
A)
B)
C)
D)
E)
37.
160
144
64
72
128
Juan tiene 15 amigos. Entre sus 15 amigos hay dos malrimonios y cada pareja marital asisten juntos
a cualquier reunión. ¿De cuántas maneras diferentes puede invitar a 6 de sus amigos a una cena?
A)
B)
C)
D)
E)
38.
640
560
726
847
1177
¿De cuántas formas se puede seleccionar a un hombre y a una mujer de un grupo de 2n parejas
casadas si se quiere que las parejas escogidas no sean marido y mujer?
A) 2n(2n-1)
B) 4n?
C) (4n)42
D) 2n?
E) 4(n7+1)
39.
Una fábrica textil tiene a su disposición para la venta de sus telas a 10 personas. ¿De cuántas
formas los 10 vendedores pueden ser asignados a 4 oficinas, con 4 vendedores en la primera
oficina, 3 vendedores en la segunda, 2 en la tercera y 1 en la cuarta oficina?
A)
B)
C)
D)
E)
40.
9800
24 000
12 600
5870
2390
Se dispone de 5 colores diferentes para pintar la siguiente figura de modo que cuadrados vecinos
tengan colores diferentes.
¿De cuántas maneras puede cumplirse dicho objetivo, si el número de
colores utilizados en cada caso es minimo?
A) 60
B)80
C)90
D) 100
E) 120
UNIDAD
8 - Análisis Combinatorio
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
49
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
SEMANAS
12 Y 15
OPERADORES
MATEMATICOS
UNIDAD 9
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
CEPRE-UNALM,
Tu futuro empieza
con
1.
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
Se define la operación: 3a 8 5b = 3b + a —-5a
(892101)
Halle: E= (193/3925
A)
B)
C)
D)
-1
1/2
2/3
1
E)
1/5
Si se cumple
ple
q que:
m + n=(mi+n?y;
(
P
halle:
E =
43 +45
3
A) 8/5
B) 64/25
0)3/5
D) 3/25
E) 1/5
2
Si: a%%b= A
, determine
((... (((19%2) %%3) %%4)%%...)9%100)
A) 990
B)0
C)1
D) 100
E) 101
Se define la siguiente operación: (2a O 3b) = 3a- 2b.
(el E)>()
A)6
B)5
c)0
D)1
E)4
Si se cumple que: + (x.y) = x(4 y)+y(4 x)
Calcule: (+20), sabiendo que: (42) =3
y (45)=4
A) 63
B) 84
C)72
D)76
E) 69
UNIDAD
9 - Operadores
Prohibida su reproducción
Matemáticos
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
50
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
6.
nosotros
TU INGRESO
— Dadas las siguientes operaciones,
Calcule:
A)
(E)>
+2;
(e)
ES DIRECTO
2
Xx
xx?
B) x2+1
C) 21
7.
—Sedefine: a(x)= AZ
, calcule: g (60)+g (20)-g (40)g (10)
A) 20
B) 30
0)25
D) 26
E) 25/3
8.
Si: J/m+Jn =/n + Jm; además: Jm + Jn >0
As (1*2+2*3+3*4+...+99*100) 191102)
A) 98
B)1
C)99
D) 100
EJ O
28
Si;
Xx
Además: |
1
Calcule: |
5
A) 10
10.
x+tZ
|=4:|4
|-3
|=3
B) 11
0) 12
D) 13
E) 14
Si[x+1]=x(x-1);xeN
Además:
|[x?-—5||=20
Calcular: [2x-—
1]
A) 9
B) 10
cm
D)12
E) 13
UNIDAD
9 - Operadores
Prohibida su reproducción
Matemáticos
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
31
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
11.
nosotros
TU INGRESO
Se define:
a
0%
"
-x=0.
Calcular:
cta
ES DIRECTO
15 79
——__—
Oir 7%
A) 10/7
B)11/3
031/3
D) 7/8
E) 15/7
12.
Se define:
ai-bia<b
a*b=Ya+bja=b
b*-aja>b
Calcule: E = ((-5)"(-3))'4+ ((5*7)"(-6))
A)
8)
C)
D)
E)
13,
-12
10
6
-4
6
Se define en el conjunto de los números enteros: Jb da= (a?) Yb)
Calcule: 49(9 8 42)
A) 70
B) 72
C)60
D)62
E) 65
14,
Se define la operación: /a *b? =2(/b * a?) —ab.Calcule: EA
*8)
A3
B) 5
C)6
D) 46
ee
UNIDAD
9 - Operadores
Prohibida su reproducción
Matemáticos
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
52
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
15.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Si(+2)
Calcule:
=x
(x), x>0. Además: (2)=2
EO)
Ay 210,91
B) 2%x9!
c)21%101
D) 2,81
E) 29:81
16.
Enel conjunto de los números reales diferente de cero, se define:
Calcule:
A)5
B) 1
C)10
D)25
E) 1/25
17. a
R=
Es).
SE
———+
¿siendo
=
=
Sesabe que: : P"(x)=
+ n;. Q(x)=
0(x)
24
a”? elemento inverso de
x?-4x+3, % Halle Z
x* y =0.2 xy
a
P*(2)+P*(1)
_—
PIUD+PR)
A3
4
8) 5
c) 1
D) -1
E) 6
18,
Sedefine en R:
m | =m(m+24)
Además:
Calcular:
LN [=oxao
, P
A)-2
B) 2
0.3
D)-28
E) 26
UNIDAD
9 - Operadores
Prohibida su reproducción
Matemáticos
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
93
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
19.
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
Si:
Calcule el valor de “a” en:
[24 + 3] | |=90009x1111
A)6
B)4
c)3
D)2
E)8
20,
Si se cumple que:
Además:
Calcule:
A) 63
B) 80
C)72
D)76
E) 69
21.
Os 3
=x(y) +y(x)
(5) =4
9)
Se sabe que:
LOAN
Además:
AAN
A) 13
UNIDAD
B)8
C) 10
9 - Operadores
Prohibida su reproducción
D) 11
E)5
Matemáticos
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
54
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
22.
nosotros
TU INGRESO
En el conjunto A = (1, 2,3,4) se define la operación binaria * A”, de acuerdo tabla adjunta.
4
Calcule; (stas) az!
-1
, siendo a? elemento inverso de a.
A)1
BJ2
ATTT2]3T3
MEJETEDE
24111213
C)0
3
DJ3
E)4
23.
ES DIRECTO
En
a
cada
uno
de
los
siguientes
enunciados,
[l1[2[3l4
12131411
indique
el valor
de
verdad
de
las
siguientes
proposiciones:
[
)
La
operación
*
definida
en
el
conjunto
de
los
números
enteros
positivos
por,
a*b= pl es cerrada.
al
(y)
(
) La operación * definida en el conjunto de los números
asociativa.
(_
) La operación * definida en el conjunto de los números enteros por: ab
elemento neutro.
A)
B)
C)
D)
E)
24,
Laoperación * definida en el conjunto de los números reales por: a*b = 2a +b es conmutaliva.
racionales por: a“b = ab + 1 es
= a+b-1 admite
FVVWV
VFFV
FVFV
FFFV
FFFF
En el conjunto Á = (1,2,3,4,5) se define la operación (0, además se sabe que es conmutativa y tiene
como elemento neutro al número 4. Calcular: M =[(4 ese?z*tae y] (a5*,
siendo a? elemento
inverso de a.
A)4
B)1
c)2
D)3
E)5
UNIDAD
9 - Operadores
Prohibida su reproducción
Matemáticos
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
55
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
25.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Se define en el conjunto de los números reales, la operación * como:
afb=a+b-ab
Halle: (31421)
Nota: a"! elemento inverso de a.
A) -1
B) 2
C)-1/2
D) 1/2
E) 1
26.
Enel conjunto Á =(0, 1, 2, 3,4......... ), se define: aVb = a! + bl; indique el valor de verdad de cada
uno de las siguientes proposiciones:
() La operación no es conmutativa.
[_ ) El elemento neutro es 0,
[
9) La operación es cerrada.
A) FVV
B) VVV
C)FFV
D) FFF
E) FVF
27.
Enel conjunto de los números reales, se define: a*b=3a+3b-2(b*a); determine el elemento neutro
de la operación.
A) 0
B)
1
C)-1
D) 3
E)
28,
5
Se define en Z una operación representada por *, mediante la tabla:
00
113
26
39
10.1
1
2
5
8
2
2
+
4
7
3
-3
0
3
O6
Calcule: 27 * 62
A) 21
B) 18
C)19
D) 34
E) 25
29,
p+q
Enel conjunto de los números reales, se define: p 9 q =p
además a"! es el elemento inverso
de a, Calcular: 3? - 5*
Ay
1
B) 3
E) 2
D)-1
E) -3
UNIDAD
9 - Operadores
Prohibida su reproducción
Matemáticos
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
56
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
TU INGRESO
ES DIRECTO
8
bb
6
0
2
4
OOO
Mo
0 0
RO
ho
o
2
D
0
bb
de
0n$
Definimos el operador "a" en el conjunto A= fo, 2,4,6,8) y además se tiene la siguiente tabla:
oO
30.
nosotros
ah.»Oo
con
6
8
|
Calcular “x" en: [taz Ja(6as) Ay" =2
A)2
B)4
c)o
D)8
E)6
31.
Sedefine la siguiente operación en el conjunto de los números reales: (a"b) = b (b*a) + a.
Halle el elemento neutro
A)1
B)2
Cy)0
D) 1
E) No tiene elemento neutro
UNIDAD
9 - Operadores
Prohibida su reproducción
Matemáticos
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
>]
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
SEMANAS
14
PLANTEAMIENTO
DE ECUACIONES
UNIDAD 10
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
CEPRE-UNALM,
Tu futuro empieza
con
1.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
La sexta parte de un número
es equivalente a los dos tercios del mismo, disminuido en 25.
Halle los tres quintos del número, disminuido en seis.
A)
B)
C)
D)
E)
60
30
24
20
50
2. — Dado un número par, a este se le suman los dos primeros pares que le preceden y los dos siguientes
impares que le suceden, obteniéndose 378. determine usted la suma de las cifras del número par
referido.
A) 12
B) 16
0) 15
D) 14
E) 13
3
Se deben distribuir doscientos boligrafos entre cierto número de adolescentes que deben asistir a
cierta actividad, pero en el momento de la distribución cinco adolescentes están ausentes, por lo
que el resto recibe veinte boligrafos cada uno. ¿Cuántos adolescentes fueron convocados a dicha
actividad?
A) 15
B) 120
C)130
D) 150
E) 90
4. — Cierto cargador le dice a su compañero de labores si me das uno de tus bultos cargaré el doble de
los bultos que llevarias; en cambio si yo te doy uno de mis bultos nuestra carga sería equitativa. Si
tados los bultos son iguales. Determine el número de bultos que tienen que llevar entre los dos.
A) 10
B) 12
C)13
D) 14
E) 15
5.
Respecto al dinero que llevan dos hermanos; el hermano mayor tiene cinco veces más de lo que
tiene el hermano menor, si perdiera cincuenta soles y el menor ganara treinta soles entonces el
menor tendría tres veces más de lo que le queda al mayor, ¿Cuántos soles tiene el menor?
A) 10
B) 550
C)130
D)230
E) 70
UNIDAD
10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
de Ecuaciones
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
58
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
6.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
— En cierta reunión en la que participan veinte personas, se dispusieron de tal forma que la señorita
agasajada bailó con siete varones, una segunda dama bailó con ocho varones, una tercera dama
bailó con nueve varones y se mantuvo esta sucesión hasta que finalmente la anfitriona bailó con
todos los varones presentes. ¿Cuántos varones se encontraban presentes en esta reunión?
A) 17
B) 16
C)15
D) 14
E) 13
7. — Un padre tiene tres veces la edad de su hijo. ¿Cuántas veces la edad del hijo debe transcurrir para
que la edad del padre sea sólo el doble de la edad de su hija?
A)1
B)3
Cc) 2
D)4
E) 5
B.
— Enuna granja se sabe que los únicos animales que conviven son los bueyes, los carneros y los
gansos. Si el número total de animales que conviven es 38 y en total el número de patas que tienen
es 114 ¿Cuál es el número de gansos?
A)
B)
C)
D)
E)
13
38
19
21
23
2. — Un monedero contiene veintisiete monedas unas de cinco nuevos soles y el resto de dos nuevos
soles; si en total suman noventa soles. Determine el producto de dichas cantidades.
A) 90
B) 150
C)144
D) 180
E) 280
10.
Cincuenta y siete excede a un número "a", en tanto como este número excede a diecinueve. Si "b”
es mayor que “a” en tanto como "a" es mayor que once. Determine la suma entre “a” y “b"
A)
B)
C)
D)
E)
UNIDAD
93
103
95
68
98
10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
de Ecuaciones
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
59
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
11.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Hace *n” años las edades de dos amigos sumaban (a + b) años dentro de *n” años su diferencia
será (a —b) años. Delerminar el producto de ambas edades.
A) (a+n) (b+n)
B) (a
= bj)
C)ab+n
D)n
E) 2n
12.
Lo único que hago es comer, dormir y trabajar, mi trabajo es excesivo pues trabajo seis horas más
del tiempo que me dedico a comer, además descanso muy poco, puesto que el número de horas
que duermo es sólo la mitad del número de horas en las cuales me dedico a trabajar. ¿Cuántas
horas duermo?
A)3
B)6
Cc)8
D) 10
E) 12
13.
Los
focos que se usan
entre dos aulas de ubicación
consecutiva
suman
noventa, algunos se
encuentran encendidos; luego se encienden tantos focos como el exceso del número de focos
encendidos sobre los apagados. Si luego se efectúa un nuevo conteo resultando que el número de
focos encendidos duplica al número de focos apagados. ¿Cuántos focos estaban apagados
inicialmente?
A) 40
B) 50
C)60
D)55
E) 35
14.
Un aula está iluminada con cuarenta y ocho bombillas, mientras que otra aula tiene todas sus
bombillas apagadas. Si en la primera aula se apagan cuatro bombillas cuando en la segunda aula
se encienden dos bombillas; esta operación se repite hasta que ambas aulas presenten el mismo
número de bombillas encendidas: En dicho instante el número de bombillas encendidas será:
A) 28
B) 30
C)32
D) 34
E) 36
15,
Quince
personas entre varones
y mujeres almuerzan en un restaurante, los varones gastan
S/. 360 (trescientos sesenta nuevos soles) y las mujeres lo mismo.
Determine usted el número de
varones y el gasto individual de cada varón, sabiendo que cada dama gastó veinte nuevos soles,
menos que cada varón. De cómo respuesta la suma de ambas cantidades.
A) 42
B) 49
C)53
D)E) 9466
UNIDAD
10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
de Ecuaciones
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
60
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
16.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Le preguntan a un padre por la edad de su hijo y responde: "Es igual a 4 veces la suma de sus
cifras”. Le preguntan a la madre y ella responde: "Es igual al triple del producto de las cifras”.
¿Cuál no puede ser la edad de los padres?
A)
B)
C)
D)
E)
17.
48
30
44
50
60
La edad de un abuelo es un número de 2 dígitos y la de su hijo tiene los mismos digitos, pero en
orden inverso. Sus dos nietos tienen edades que coinciden con cada uno de los digitos de la edad
del abuelo, respectivamente. Se sabe que la edad del hijo es 5 veces la edad del mayor de los
nietos. ¿En qué relación está la edad del abuelo y la del nieto menor?
A)
B)
C)
D)
E)
18.
26/1
13/2
28
27/2
27
En una tienda se venden en forma exclusiva un solo tipo de artículo, un cliente puede adquirir un
número determinado de estos artículos por dos mil cuatrocientos euros; se sabe que si cada articulo
hubiera costado treinta euros menos el cliente hubiera podido adquirir cuatro artículos más.
Determine el precio de venta, en euros, de un solo artículo.
A)
B)
C)
D)
E)
19,
100
120
130
150
90
—Conlos alumnos de un salón se formaron dos cuadrados compactos colocando en cada lado de los
cuadrados alumnos en la relación de 1 a 2. Si en el salón hubiera 20 alumnos más se formaría un
solo cuadrado compacto. Hallar la cantidad de alumnos del aula si es la menos posible.
A)
B)
C)
D)
E)
20.
70
80
91
120
81
Acerca de dos trabajadores se sabe que después de una labor han recibido noventa nuevos soles
y ciento sesenta nuevos soles respectivamente; el primero ha trabajado cinco horas menos que el
segundo. Si cada uno de estos trabajadores hubiera laborado el número de horas que ha trabajado
el otro, hubieran recibido la misma cantidad de nuevos soles. ¿Cuánto gana por hora uno de los
trabajadores, en nuevos soles?
A)J4
B)5
c)7
D)8
E)9
UNIDAD
10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
de Ecuaciones
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
61
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
21.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Yotengo el doble de la edad que usted tenía cuando yo tenía la que usted tiene. Si la suma de la
edad que usted tiene con la que yo tendré cuando usted tenga la edad que yo tengo es 120, ¿Qué
edad tengo?
A) 60
B) 80
C)45
D) 50
E) 75
22.
Un carpintero vendió 3 sillas más que mesas; pero tanto en las sillas como en las mesas, obtuvo lo
mismo. ¿Cuántos artículos vendió, si las mesas las vende a S/.360 más que las sillas y recaudó
5/.9 600 en total?
A) 13
B) 16
C)19
D) 23
E) 26
23.
Los ahorros de un niño constan de (p+1), (3p-5) y (p+3) monedas de 5, 10 y 20 soles
respectivamente. ¿A cuánto asciende sus ahorros?, si al cambiarlo en monedas de 25 soles, el
número de monedas obtenidas es el doble del número de monedas de 5 soles.
A) 400
B) 180
C)160
D) 390
E) 410
24,
Sia cada niño de los que tengo le entrego tantos caramelos como niños hay, me faltaria 12
caramelos, pero si le entrego a cada uno 2 caramelos menos, entonces me sobraría lo mismo que
me faltaba. ¿Cuántos niños lengo?
A)
B)
0)
Dj
E)
25.
24
36
12
10
8
Una señora quiso comprar cierto número de limones con cierta suma de dinero, pero al ver que el
precio de cada limón había bajado en S/,2, compró 4 limones más por la misma suma. Si el número
de soles que pagó por cada limón y el número de limones que compró suman 16, ¿Cuántos soles
gastó en la compra de limones?
A) 10
B).60
C)64
D)48
E) 72
UNIDAD
10 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
de Ecuaciones
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
62
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
SEMANAS
14 Y 15
PLANTEAMIENTO
DE INECUACIONES
UNIDAD 11
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
1.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Se sabe que el cuádruplo del número de objetos que hay dentro de un depósito, es tal que,
disminuido en 5 no puede exceder de 35 y que el quintuplo del mismo número de objetos,
aumentado en 2 no es menor que 50. Halle este número.
A) 20
B) 18
C)16
D) 10
E) 15
2.
Un agricultor ha proyectado que venderá este mes, entre
cinco toneladas métricas y su ingreso para este mes debe
venderá sus productos a S/ 0,2 por kilo de maiz y S/ 0,1
entre las cantidades minimas de cada producto que debe
sus productos maíz y papa, un total de
ser igual o mayor a 600 nuevos soles. Si
por kilo de papa. ¿Cuál es la diferencia
ser vendida?
A) 3 000
B) 2 500
C)2 000
D)1 500
E) 1 000
3.
Los catetos de un triángulo miden x y (x-— 2) unidades. Halle los valores de x para que la medida
de la hipotenusa sea no mayor a 4/20 unidades.
A) x e [-2,4]
B) xe[0,4]
C) xe[1,4]
D) xe[3,4]
E) x el2, 4]
4. — Una empresa produce dos tipos de productos A y B mensualmente, para los cuáles las ganancias
por unidad son 4 y 6 nuevos soles respectivamente y si se quiere que el total de producción de A y
B sean iguales. Halle la suma de las cifras de la suma de las cantidades mínimas de cada producto
que deben ser vendidos para tener una ganancia no menor a 8 000 nuevos soles mensuales.
A)5
B)6
C)7
D)8
E)9
UNIDAD
11 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
de Inecuaciones
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
63
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
5.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Cinco veces el dinero de A más el dinero de B es una cantidad mayor que 51 y tres veces el dinero
de Á menos el dinero de B es igual a 21. Sabiendo que ambas cantidades toman los menores
valores enteros posibles, halle la suma de dichas cantidades.
A) 15
B) 16
C)17
D) 18
E) 19
6. — Unaempresa que construye y vende escritorios tiene gastos semanales (incluyendo salarios y costo
de la planta) de S/, 3 400. El costo de los materiales para cada escritorio es de S/, 40 y se vende
en S/, 200. ¿Cuántos escritorios como minimo se deben construiry vender cada semana de manera
que se garantice que la empresa gane?
A)
B)
C)
D)
E)
18
19
20
21
22
7. — Halle la suma de los números de dos cifras que multiplicados por 7 dan como resultado números
mayores o iguales que 658.
A) 480
B)510
C) 539
D) 579
E) 627
B. — Juan, Pablo y Pedro son hermanos. Pablo tiene 20 años, Juan tiene 5 años más que Pedro, la suma
de las edades de Juan y Pedro no alcanzan a los de Pablo, y las de Pedro y Pablo es mayor que
25. ¿Cuántos años tiene Pedro si su edad es un número par?
A)4
B)6
C)8
D)10
E) 12
UNIDAD
11 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
de Inecuaciones
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
64
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
9.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Si Francisco alquilase una máquina
por S/, 25 la primera hora y S/, 6 por cada hora adicional
entonces gastaria a lo más S/. 110 y si la hora adicional costaria S/. 4 entonces gastaria más de
S/. 78. Indique el valor entero del número de horas que Francisco alquilaria la máquina.
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
10.
Un ganadero compró 30 caballos más que vacas y tantos cerdos como vacas y caballos juntos,
además por 2 vacas pagó tanto como por 7 caballos, ¿Cuántos animales como mínimo compró
sabiendo que pagó por el total de vacas por lo menos el doble que por los caballos?
A) 180
B) 200
Cc) 220
D) 260
E) 280
11.
Un grupo de estudiantes dispone de S/. 32 para ir al teatro. Si compran las entradas de S/. 5 le
faltaría dinero y si compra las de S/. 4 le sobraria dinero. ¿Cuántos integrantes tiene el grupo?
A)5
B)6
C)7
D)4
E)8
12.
Dos números enteros consecutivos son tales que la tercera parte del mayor excede en más de 15
a la quinta parte del menor y el doble de este excede al mayor en menos de 118. Halle la suma
máxima de estos números.
A) 221
B) 228
C) 237
D) 241
E) 253
13.
Halle la suma de las cifras del mayor número de cuatro cifras, tal que dividido entre 41 de 14 de
residuo.
A) 28
B) 30
C)32
D)34
E) 36
UNIDAD
11 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
de Inecuaciones
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
65
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
14.
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Un alambre se divide en cinco partes iguales; con las cuatro partes se forma un cuadrado y con la
última un triángulo equilátero, resultando el área del cuadrado no mayor a la longitud de un lado del
triángulo, halle la longitud del alambre, si es un número entero,
AJ1
B)2
C)3
D) 4
EJS
15,
Un empleado gana S/, b al mes y gasta 5/. x mensualmente; si en N meses desea ahorrar por lo
menos S/. M. Indique el intervalo en qué se encuentra su gasto mensual.
A) paz
B) [al
C) [meo]
5 [SEL ps N
E) [Ma
16.
¿Cuántos números de 3 cifras existen tales que al dividirlos por el divisor se obtenga por cociente
24 y además deja residuo máximo?
A)
B)
C)
D)
E)
17.
34
36
38
40
42
En un criadero de alpacas había cierto número de alpacas. Se triplicó este número y se perdieron
95, quedando menos de 87. Después de duplicó el número de alpacas que habia al principio y se
perdieron 40, quedando más de 49 ¿Cuántas alpacas habia?
A) 58
B) 60
C)62
D) 64
E) 66
UNIDAD
11 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
de Inecuaciones
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
66
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
18.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Daniel tiene por lo menos M libros, él y Benilo juntos tienen a lo más 7M libros. Halle la cantidad
máxima de libros que tiene Benito,
A) 2M
B) 3M
C)5M
D) 6M
E) 4M
19.
Elárea de un rectángulo es igual a 15 m? y su perimetro es menor que 16 m?. Sabiendo que la
longitud de uno de los lados del rectángulo es un número entero. Halle el perimetro del rectángulo.
2l
A) >
29
B) >
31
C) 77
D) 7
E)8
20.
Tres hermanos nacieron cada tres años. Se sabe que el doble de la edad del hermano intermedio,
disminuido en la edad del menor, es menor que 20 y además el triple de la edad del intermedio,
disminuido en el mayor,
resulta mayor que 27. ¿Cuál es la suma
de las edades de los tres
hermanos?
A) 48
B) 56
C)34
D) 28
E) 52
UNIDAD
11 - Planteamiento
Prohibida su reproducción
de Inecuaciones
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
67
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
SEMANAS
15
CUATRO
OPERACIONES
UNIDAD 12
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
CEPRE-UNALM,
Tu futuro empieza
con
1.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
El profesor de R.M. tiene un acto de magia que consiste en duplicar el dinero que uno posee, pero
después de cada acto hay que pagarle inmediatamente $600. Diana desea que el profesor le haga
tres actos de magia; si después del tercer acto, Diana se quedó sin dinero, podemos afirmar:
|. Diana en un momento dado tuvo $ 900,
IL. Al inicio Diana tenía $ 525.
111. Diana tendría $300, si sólo pedia dos actos.
A) Solo |
B) Solo Il
E) Solo III
D)! y!
E) Todas
2.
Un alumno duplicó un número, luego el resultado lo elevó al cuadrado, dividió entre 10, resta 2,
extrajo raíz cúbica, suma 7, exdrajo raíz cuadrada y multiplicó por 4, obteniendo 12 como resultado,
¿Qué número tenía al inicio?
A)5
B)7
C)12
D) 10
E) 2,5
3.
— Chachi se puso a jugar con el dinero que llevaba, logra duplicarlo e inmediatamente gasta $10; con
lo que le queda juega por segunda vez, triplica su dinero y luego gasta $50; juega por tercera vez,
cuadruplica su dinero, gasta $100 y se queda con $300, ¿Cuánto ganó en total?
A) $
B) $
C)$
D) $
E) $
30
270
330
430
300
ENUNCIADO
Ricardo, Coco, Polo y Toño, se pusieron a jugar teniendo en cuenta las siguientes reglas para el
perdedor.
e El primero en perder deberá cuadruplicar el dinero de c/u de los demás.
« El segundo aumentará $30 a c/u de los demás.
« El tercero aumentará $50 a c/u de los otros lres.
* El cuarto aumentará $40 a c/u de los demás.
Se sabe que perdieron en el orden antes mencionado y al finalizar la cuarta partida c/u quedó con
$150; $120, $80 y $40 respectivamente.
UNIDAD
12 - Cuatro Operaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
68
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
4. — ¿Quién perdió más dinero y cuánto?
A) Ricardo -$150
B) Coco - $90
C) Polo — $200
D) Toño - $80
E) Palo - $160
5.
— ¿Quién ganó más dinero y cuánto?
A) Ricardo - $150
B) Coco - $90
C) Polo - $40
D) Toño - $20
E) Coco - $120
6.
—Larelación correcta es;
A) Ricardo tenía $300 al inicio.
B) En todo momento las 4 personas tienen un total de $390.
C) Antes de perder Polo tenía $190.
D) Después de perder Coco tiene $30.
E) Todas son correctas.
7. — Enuna feria agropecuaria se observa que el precio de 3 patos equivale al de 2 pollo; 4 pollos al de
3 gallinas; 12 gallinas a 8 pavos y 5 pavos tienen un costo de S/, 150. ¿Cuál será el costo de
5 patos?
A)
B)
C)
D)
E)
S/.
S/.
SI.
5),
S/.
50
80
60
65
55
8. — Enun bazar se observa que el precio de 4 pantalones equivale al precio de 10 camisas; 5 camisas
cuestan
tanto
como
7 chompas.
¿Cuántas
chompas
pueden
comprarse
con
el precio
de
2 pantalones?
A) 5
B) 8
C)10
D) 9
E) 7
9.
Hace algunos años, el cambio monetario era el siguiente:
8 soles
: 5 cruzados
10 cruzados
:3 pesos
6 pesos
: 4 dólares
¿Cuántos soles daban por 2 dólares?
A) 16
8) 18
C) 10,5
D) 14
E) 13
UNIDAD
12 - Cuatro Operaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
69
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
10.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
El trabajo de cuántos hombres equivaldria al trabajo de 8 niñas, si el trabajo de 4 niñas equivale al
de 3 niños, el de una mujer al de 2 niños y el de 3 mujeres al de un hombre.
A)1
B)2
C)3
D)4
E)6
11.
¿Cuántos soles necesitará un gobierno para pagar a 4 generales, sí el sueldo de 6 coroneles
equivale al de 10 comandantes, el de 5 comandantes al de 12 tenientes, el de 2 generales al de 4
coroneles, el de 6 tenientes al de 9 sargentos y si 4 sargentos ganan S/, 2400 al mes?
A) 14 000
B) 24 400
C) 36 000
D) 48 000
E) 28 800
12.
En.cierto pueblo de la sierra se realiza un trueque:
* 5 sacos de papa se cambian por 4 de camote.
«10 sacos de yuca se cambian por 6 de ollucos.
« 8 sacos de camote se cambian por 3 de olluco.
«2 sacos de yuca se cambian por x de papa.
Calcular “x"
A)6
B)8
C)4
D)9
Ej)3
13.
10m? de madera de abeto pesan lo mismo que 7m? de madera de acacia, 10m? de madera de
cerezo lo que 9m* de madera de acacia; 5m* de madera de cerezo lo que 3,6m* de madera de
eucalipto, y esta última pesa lo mismo que el agua. Calcular el peso de 1m* de madera de abeto.
A)
B)
C)
D)
E)
14.
480
520
560
450
260
kg
kg
kg
kg
kg
Con Sf. 16 464, se han comprado latas de sardinas en cierto número de cajones, cada uno de los
cuales contiene un número de latas triple del número de cajones. Cada lata de sardinas cuesta una
cantidad igual al doble del número de cajones. ¿Cuántas son las latas de sardinas?
A)
B)
C)
D)
E)
14
438
588
42
196
UNIDAD
12 - Cuatro Operaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
70
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
15,
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Se compraron cajones de naranjas a 100 soles cada uno; cada cajón contiene 20 kilos, primero se
vende la mitad a 20 soles el kg, después la cuarta parte a 15 soles el kg, y por último el resto se
remala a 10 soles el kg, ganando 11 250 soles en total. ¿Cuántos cajones de naranjas se habían
comprado?
A) 65
B) 70
C)55
D) 50
E) 60
16.
Enun almacén había 6 sacos de arroz, con las siguientes cantidades en kilogramos: 15; 16; 18; 19;
20 y 30. Llegan dos clientes, uno compra tres sacos y el otro dos sacos, pero con la particularidad
de que uno de ellos compró doble cantidad de arroz que el otro, quedando un saco en el almacén.
¿Cuál de ellos fue?
A) 19 kg
B) 16 kg
C) 15 kg
D) 15
6 19 kg
E) 16
6 19 kg
17.
Un galgo persigue a una liebre que le lleva 90 saltos de ventaja y da 4 saltos, mientras que el galgo
da 3 saltos, pero 5 saltos del galgo equivalen a 7 saltos de la liebre. Determinar la cantidad de saltos
que debe dar el can para alcanzar a la liebre.
A) 1350
B) 950
C)2 520
D)
1 260
E) 675
18.
En bus se observa que cuando parte el cobrador posee 32 monedas de S/. 1 y 20 billetes de S/. 10
y cuando llegan al paradero final el cobrador posee únicamente 80 billetes de S/. 10 y algunas
monedas de S/. 5. Se sabe que el pasaje es único y de S/. 6, y hay quienes pagaron con billete de
S/. 10 o con monedas de 5S/. 5 y S/. 1. ¿Cuántos pasajeros viajaron?
A)
B)
C)
D)
E)
UNIDAD
268
270
255
281
249
12 - Cuatro Operaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
71
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
19.
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Se lienen 48 palitos de fósforo distribuidos en 3 grupos. Del primer grupo se pasan al segundo
lantos palitos como éste tiene, luego del segundo grupo se pasan al tercero tantos palitos como
tiene éste y lo mismo se hizo del tercero al primero resultando finalmente los 3 grupos con igual
cantidad de palitos.
Son correctas:
|. Al final clu quedó con 16 palitos,
Il. Al inicio, el primer grupo tenía 22 palitos.
111. Ántes de pasarle al primero, el tercero lenía 24 palitos.
A) Sólo |
B) Sólo Il
C) Sólo 1
D) ! y 111
E) Todas
UNIDAD
12 - Cuatro Operaciones
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
72
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con nosotros
UNALM
TU INGRESO ES DIRECTO
SEMANAS
16
PERÍMETROS
Y ÁREAS
UNIDAD 15
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización de esta publicación. Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
1.
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Halle el área de la región sombreada. (ABCD es un cuadrado):
A)
B)
C)
D)
E)
10,2 u?
12,6 u*
4,8 u?
6,5 u?
78u?
2. — Enla siguiente figura, calcular el área de la región sombreada, ABCD es un cuadrado, Además, el
área del semicirculo es igual a “p" mi,
3.
B
C
A
'D
Halle el área de la región sombreada en el rectángulo ABCD.
A
A) 5,5 u?
B) 9 u?
C) 6 u?
D) 7,5 u?
+
ca
y A
du
E) 4,5 u?
A
AA,
Gu
4. — Siellado del cuadrado ABCD es *a". Determine el área de la región sombreada,
B
A) a?/2
B) a?/3
C) a*/4
D) 2a?/3
E) 3a/4
_c
En
a
-D
UNIDAD 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
72
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
5. — Halle el área de la región sombreada.
A) (y+4)(y+12)/4
B)
C)
D)
E)
es
T
(y? + 2yy4
y(y + 4)/4
[(y + 4) — 2y/4
9yly!4 +1/2
e
—
ES DIRECTO
3
1]
6. — Halle el área de la región sombreada en el cuadrado ABCD de lado 10 cm,
c
A) 90 cm?
B) 65 cm?
C) 95 cm?
D) 80 cm?
E) 60 cm?
A
7. — Halle el área de la región sombreada.
A) x? (8 - 1/8
B)x%(3/4)
C)x*(8 - m)14
D) x?(x - 2)
EJx?(n- 1)
Nx
8.
— SI¡ABCOD es un paralelogramo cuya área es 100 m?. ¿Cuánto mide el área de la región sombreada?
c
A) 80 m?
B) 65 m?
C)75 m?
D) 90 m?
E) 55 m*
UNIDAD 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
73
de esta publicación. Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
Tu futuro empieza
con
9,
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Sielárea del cuadrado ABCD es 27 m?, determine el área de la región sombreada. (en m?)
A)
B)
C)
D)
E)
10.
UNALM
13,5
15
12
18
10
B
P
Calcule el perimetro de la figura sombreada.
A)
B)
C)
D)E)
56
63
66
26
45
| y
10|
t
11.
c
23
Halle el área de la región sombreada.
A) 543/2
B) 43/4
C) 2543/4
D) 5/3
E) 2543/2
12,
Calcule el perímetro de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de lado 12 cm, Si O, O"
y O” son centros.
B
c
A) (371 + 5/2 cm
B) (431 + 10/2 cm
C) (31m + 5/2 cm
D) (331 + 5/2 cm
E) 3(71 + 2) cm
UNIDAD 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
74
de esta publicación. Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
13,
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Halle el área de la región sombreada en el gráfico (en u%).
B
A) 167
B) 16(8 - 1)
C) 8(4-=x)
gu
D) 16(4 - 1)
E) 24(8 - 1)
A
14,
Bu
D
Halle el área de la región sombreada, si el área del cuadrado ABCD es igual a 20 m?,
Cc
A)
4m?
B) 8m?
C) 5m*
D) 10 m?
E) 7m?
A
15.
D
Halle el área de la parte sombreada, sabiendo que la figura exterior es un cuadrado de B cm de
lado,
B
e
A) 16 cm?
B) 24 cm?
C) 18 cm?
D) 32 cm?
E) 30 cm?
2 cm
16.
2 em
Si A4BCD es un cuadrado cuyo lado mide 24 m, M y N son puntos medios. Calcule el área de la
región sombreada.
B
M
C
A) 96 m*
B) 48 m?
C) 144 m?
D) 192 m*
E) 240 m?
UNIDAD 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
75
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
CE
PRE
Tu futuro empieza
con
17.
UNALM
nosotros
TU INGRESO ES DIRECTO
Halle el perimetro de la región sombreada en el hexaedro regular mostrado:
A) 62 -1+ 43)
B)6(42
+ 1-43)
C)6(42 +1+ 43)
D)6(2/2 +1+ 43)
E)6(/2 +2+ /3)
18.
Halle el área de la región sombreada en el triángulo equilátero ABC.
A) 18(2n+ 43)
B) 18(n
+ 243)
C) 12(2x
+ 243)
D) 15(n+ 43)
E) 20(1+ 4/3)
19.
Halle el área de la región sombreada sí ABCD es un cuadrado de lado 12 cm,
B
c
A) 24 cm?
B) 36 cm?
C) 40 em?
D) 42 cm?
E) 28 cm?
UNIDAD 13 - Perímetros y Áreas
Prohibida su reproducción
total o parcial sin autorización
76
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Tu futuro empieza
con
nosotros
TU INGRESO
ES DIRECTO
CLAVES DE LA GUÍA DE APRENDIZAJE DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
CICLO REGULAR 2020-1
mn
Ll
E
E
Lu
1]
7
B,9y
10/10, 11 y1
12y13
14
14y15
15
<pojoi<O
Ojafu
(Oloja
oO jaa jua jajaa
ido
AO
a
od
2319
jala
Sisa
< pu ufo
majajalX
aju
<a
ao
00
Sjuja
aaa
CLAVES
Prohibida su reproducción
41
total o parcial
sin autorización
de esta publicación.
Copyright
CEPRE-UMALM,
Ciclo Regular 2020-11
twitter.com/calapenshko
CE
PRE
UNALM
TU INGRESO
e
a
3
10] Melee]
por
Mo a
ES DIRECTO
A
Ma
o
a
A
Tu futuro empieza con
nosotros
VIDAD |
MO
Semana
1
CICLO REGULAR 2020 Il
TU
INGRESO
ES DIRECTO
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
TU INGRESO
1.
En cierto examen Janet obtuvo dos puntos menos que Mariene, Emilio tres puntos menos que
Janet; mientras que Naomi obtuvo tres puntos más que Victorio. Si Marlene obtuvo cuatro puntos
menos que Viclorio ¿Cuántos punlos más que Emilio obtuvo Naomi?
A)
B)
C)
D)
E)
2,
ES DIRECTE
13
12
11
10
14
Cinco amigos conversan sobre sus estaturas, se sabe:
“ Todos tienen diferentes estaturas,
«Ana es más alla que Rita y Coco no es más allo que Jorge.
= Rita no es más alta que Lalo y Jorge es más bajo que Ana,
Si Rita es más alta que Coco, señale las(s) afirmación(es) correcta(s):
l. Coco es más bajo que Ana.
Il, Ana es más baja que Lalo.
lll. Jorge es más alto que Rita.
ASA
B)ly l
C) Sólo 111
D) Sólo|
E) y lil
3.
Arequipa tiene más habitantes que Cuzco. Cuzco liene menos habitantes que Huancayo pero más
que Apurimac ¿Cuál de las siguientes conclusiones será necesariamente cierta?
A)
B)
C)
D)
E)
4
Arequipa tiene más habitantes que Huancayo.
Huancayo tiene menos habitantes que Apurimac.
Arequipa liene menos habitantes que Huancayo.
Arequipa liene más habilantes que Apurimac.
Arequipa tiene igual número de habitantes que Huancayo.
Cinco ciclistas A, B, C, D y E al término de una prueba de velocidad, llegan de la siguiente manera:
“ — Állega 2 puestos antes que C.
*
Bllega a 2 puestos
*
Ellega 3 puestos antes que C.
después
que D.
¿Quién ocupó el lercer lugar en la competencia?
A) A
B) €
C)D
D)E
E) B
PROHIBIDA
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
Sels amigos:
dos
*
=
=
=
s
ES DIRECTC
Francisco, Gildder, Hugo, Iván, Juan y Karl, viven en un edificio de tres pisos con
departamentos por piso. Cada uno vive en un departamento diferente, y se sabe lo siguiente:
Francisco no vive en el mismo piso que Karl.
Gildder no vive en el mismo piso que Juan,
Hugo no vive en el mismo piso que Juan,
Iván no vive en el mismo piso que Karl.
Iván vive dos pisos mas arriba que Hugo.
Se deduce necesariamente que:
lñ.
Juan no vive en el primer piso.
Il, Hugo no vive en el mismo piso que Gildder.
ll. Karl y Juan viven en el mismo piso.
A)
Sólo|
B) Sólo 1!
C) Sólo 111
D) 1 y
E) Iy il
Tres amigos: Antonio, Luis y Ricardo practican distintos deportes: fútbol, tenis y natación; y gustan
de colores diferentes: azul, rojo y blanco. Si se sabe que:
=
Luis no practica tenis.
Al tenista no le gusta el color rojo.
Antonio no practica tenis.
A quien practica natación le gusta el color blanco.
A Luis no le gusta el color rojo.
¿Qué afición tiene Antonio y cuál es el color favorito de Ricardo?
A)
Natación - azul
B) Fútbol- blanco
C) Fútbol — roja
D)
E)
Natación — blanco
Fútbol — azul
Cuatro parejas de esposos se sientan alrededor de una mesa circular con ocho sillas distribuidas
simétricamente. Además, se sabe que:
«Las personas del mismo sexo no se sientan juntas.
=« Las parejas de esposos se sientan juntas.
= Natalia se sienta al lado del esposo de Eliana,
= Eliana se sienta junto y a la derecha del esposo de Silvia.
= Laura está sentada junto a Miguel y a Renzo.
*
Las ocho personas
tienen nombres
diferentes.
Para determinar quién es el esposo de Natalia, basla saber que:
|. Miguel se sienta diametralmente frente al esposo de Eliana.
ll. Renzo no se sienta junto a Eliana,
A) El dato | es suficiente y el dato Il no lo es.
B) El dato Il es suficiente y el dato | no lo es.
C)Es necesario utilizar | y ll conjuntamente.
D) Cada uno de los datos, por separado, es suficiente,
E) Se necesilan más dalos.
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
El directorio de una empresa eslá conformado por 4 varones y 2 mujeres.
ES DIBECTE
En cierta reunión a la
que sólo asistieron cinco; los asistentes se sientan alrededor de una mesa circular con 6 asientos
distribuidos simétricamente. Si se sabe que:
Á se sienta junto a E y D,
Frente a E se sienta B,
Junto a un varón no se encuentra el asiento vacio.
B y C son mujeres.
¿Entre quienes se sienta E?
A)
AyCc
B)ByD
c)Eyc
D) AyD
E) AyB
Sais hermanos: Andrés,
Braulio, Carlos, Diego, Edgar y Franco,
se sientan alrededor de una mesa
hexagonal con seis asientos distribuidos simétricamente. Se sabe que:
=
El mayor de los hermanos se sienta diametralmente opuesto a Diego.
= El único par de mellizos se sienta uno adyacente al otro.
"Andrés se sienta diamelralmente frente a Braulio.
« Braulio se sienta a la izquierda inmediata de Carlos.
"
El menor se sienta diametralmente
opuesto
a Carlos.
= Edgar no es el mayor y Diego no es el menor.
¿Cuál de las siguientes proposiciones es necesariamente cierta?
A)
Franco es el menor.
B)
Carlos es el mayor.
CG) Braulio y Franco se sientan juntos,
D) Braulio se sienta a la derecha de Diego.
E) Edgar es el menor.
10.
Ocho
amigos
se
sientan
alrededor
de
una
mesa
circular
con
ochoa
asientos
distribuidos
simétricamente.
5e sabe que:
Felipe y Gladys se sientan juntos,
Daniel no se sienta junto a
Ana se sienta a la derecha
Carlos no se sienta junto a
Héctor llegó un poco tarde
Amigos del mismo sexo no
Berenice ni a su izquierda,
de Berenice y a la izquierda de Eva.
Eva ni a Gladys
a la reunión.
se sientan juntos.
Si Héctor no se sienta junto a Eva, entonces es siempre cierto que:
A) Berenice está junto a Felipe.
B) Canos está a la derecha de Felipe.
C)
Carlos está diametralmente opuesto a Héctor.
D) Eva está diametralmente opuesto a Gladys.
E) Daniel está diametralmente opuesto a Héctor.
PROHIBIDA
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
11.
ES DIRECTE
| Seis personas juegan a las cartas alrededor de una mesa circular, sentados simétricamente.
=
Benito está a dos posiciones de Carlos
= Tito está sentado diametralmente opuesto a Daniel
=
Rita nunca hace trampa
s= Lucho se sienta junto a Benito
=
Carlos se sienta a dos posiciones de Tito
Podemos afirmar:
|. Rita se sienta diametralmente a Benito
Il. Carlos se sienta a la derecha de Daniel
lll. Rita y Carlos se sientan a la derecha de Tilo
A)
B)
C)
D)
E)
12,
Ly
1
ly Il
1
y
Cinco amigas, Mónica, Diana, Eliana, Katia y Susana se sientan alrededor de una mesa circular
con cinco sillas distribuidas simélricamente. Sablendo que:
=
Kalia se sienta junto a Susana y frente a Mónica,
= Diana no se sienta junto a Eliana.
De las siguientes proposiciones:
Il.
ll,
Eliana se sienla junto a Susana.
Mónica se sienta al frente de Susana.
11l. Diana se sienta junto a Mónica.
Señale la(s) proposición(es) verdadera(s):
A) Ly!
B) 11 y 11
C) Sólo1
D) 1 y 11
E) Sólo III
13,
Aldo, Beto, Carlos y Dany son ingeniero, médico, docente y juez, pero ninguno en ese orden,
Además:
= Carlos, el juez y el médico juegan tenis.
«Aldo, el médico y el juez juegan ajedrez.
Señale qué profesión llene Dany y quién es el médico.
A)
Ingeniero = Carlos
8) Médico — Dany
GC) Docente - Beto
D) Juez - Carlos
E) Ingeniero — Aldo
PROHIBIDA
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
14.
ES DIRECTE
Renato, Javier, Antonio y Santiago son escritor, historiador, periodista y filósofo, aunque no
necesanamente en ese orden. Sólo lres de ellos fuman, y cada uno prefiere sólo una de las
siguientes marcas:
Hamilton, Winston y Premier.
»
El que prefiere Hamilton es vecino del filósofo y no es periodista.
=
Antonio estudió con el historiador en el colegio y siempre ha preferido fumar Winston,
» Alescrtor no le gusta el Hamilton porque prefiere cigarrillos más fuertes como Premier.
*
Javieres más joven que el periodista y nunca ha fumado.
=
Elescritor es Renalo y es más joven que el que fuma Hamilton.
De acuerdo a lo anterior, señale la proposición verdadera:
15.
A)
8)
C)
O)
E)
Javieres filósofo y fuma Premier.
Renalo es historiador y fuma Premier.
Santiago es periodista y no fuma,
Antonio es periodista y fuma Winston.
Renato es escritor y fuma Hamilton.
Un
alumno de
informática
sólo recuerda
el nombre
de sus profesores
(Maria, Jesús
y Félix), las
asignaluras que se imparten (Lógica, Programación y Matemática) y el día de la semana de las
distintas clases (lunes, miércoles y jueves), además recuerda que:
"La clase de programación, impartida por María, es poslerior a la de la Lógica.
“ A Félixmo le gusta dictar los lunes y felizmente no lo hace, día en el que no se imparte Lógica.
= Cada profesor imparte una única asignatura, y cada clase se dicta en días
diferantes (los ya mencionados).
¿Quién enseña
Matemática
y qué día se imparte?
A) Jesús — miércoles
B)
C)
DO)
E)
16.
Maria = jueves
Félix — lunes
Jesús — lunes
Félix — miércoles
El gerente de una empresa
desea
entrevistar personalmente
a ocho
candidatos:
J, K,L,
M, N, O,
P y Q, para el puesto de analista de sistemas. Cada candidato será entrevistado sólo una vez,
empezando el lunes y concluyendo el vienes de la misma semana. Las entrevistas se realizarán
de acuerdo a las siguientes condiciones:
=
El gerente
entrevistará al menos
un candidato cada dia.
s
Habrá exactamente dos dlas en los que el gerente realizará más de una entrevista.
«
Elúnico candidato que deberá ser entrevistado el día miércoles es O.
“Los candidalos M y N deberán ser enlrevistados el mismo día,
* Elcandidato Q deberá ser entrevistado exactamente tres días antes que M.
«
Laentrevista
de P deberá
ser exactamente dos días después
de la entrevista de K.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es imposible?
A)
La entrevista de O será al menos un día después de la entrevista de K.
B) La entrevista de L será al menos un día después de la entrevista de ..
C) La entrevista de K será al menos un día después de la entrevista de N,
D)
LyN
E)
J y K serán entrevistados el mismo día.
PROHIBIDA
serán entrevistados el mismo día.
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
17.
ES DIRECTE
Ángela; Brenda; Carla; Delia y Elisa ingresan al teatro y ocupan un palco de 5 asientos. Ángela se
sienta lo más lejos de Elisa; Brenda y Delia siempre se sientan juntas y se encuentran entre Ángela
y Elisa. Es cierto que:
L Carla siempre está al centro.
IL Necesariamente Delia siempre está al centro.
ll. Carla puede estar entre Ángela y Delia.
A) ty
B) sólo II
C) sólo lll
D) sólo |
E) 1y IM
18,
Andrea,
Cinthia,
Elena, Sandra y Virginia tenen
distintas ocupaciones: actriz, bailarina, cantante,
escullora y pintora, aunque no necesariamente en ese orden. Todas ellas viven en un mismo
edificio, pero en pisos diferentes: 1: 4: 7; 10 y 12. Se sabe que:
- La que vive en el piso 4 conoce a la aclriz y no es pintora.
- Andrea es amiga de la bailarina y viven en el piso que es múltiplo de 5.
- Cinthia es más alta que Elena y que la pintora, y vive en el piso 12.
- Elena es la escultora y es más alta que la que vive en el piso 4.
- La cantante vive en el piso que no es un número primo mi compuesto, y es más alta que Sandra,
¿Cuál de las siguientes es una asociación correcta?
A)
B)
C)
D)
E)
19.
Andrea
Cinthia
Elena Sandra
Virginia
— pintora — piso 7
— actriz — piso 4
escultora — piso 7
- cantante — piso 4
— bailarina — piso 1
Cuatro amigos se slentan alrededor de una mesa redonda en la que hay cuatro sillas distribuidas
siméticamente, Sabemos que Juan se sienta junto y a la derecha de Luis; Pedro no se sienta junto
a Luis, José está entretenido viendo como los tres discuten. De lo dicho podemos afirmar:
A) José y Juan se sientan juntos
B) Luis y José no se sientan juntos
C) No es cierto que José y Juan no se sientan juntos.
D) Pedro se sienta junto y a la derecha de José
E) Pedro se sienta junto y a ala derecha de Juan.
20.
Si Marla
es más
alla que
Irene y tlene
más
dinero que
Lucía quién
no es más
alta que
Marla
ni
tiene menos dinero que Irene. Lelicia no es más alla que Lucía y no liene menos dinero que Irene,
Podemos afirmar:
L Leticia no es más alta qua Marla
ll. Irene es la más baja
ll. Maria es la que tiene más dinero.
A) Sólo|
B) Solo 11
C) Sólo 111
D)
1 y1
E) 1y!
PROHIBIDA
SU REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
21.
ES DIRECTE
Un profesor está armando un equipo de investigación que deberá contar con 4 miembros a escoger
entre los hombres:
F, G y H
y las mujeres: X, Y, Z y W con las siguientes condiciones:
Il. Deberá haber por lo menos dos hombres en el grupo.
MM. Fino quiere trabajar con Y.
ll, G no quiere Irabajar con W.
W.Y no quiere trabajar con Z.
Si Y es elegida ¿Quiénes conformarán el equipo?
A) Y, W, G, X
B) Y, G,H, X
C)W, G,H, X
D) W, G, H, X
E) Y, G, H, W
22.
Sois personas se sientan alrededor de una mesa circular, Lito no está sentado al lado de Elena ni
de Juana. Félix no está al lado de Gino ni de Juana, Pablo está junto a Elena, a su derecha. Félix
no está junto a Pablo
¿Quién
está junto y a la derecha de Pablo?
A) Lito
B) Felix
C) Juana
D) Elena
E) Gino
23.
En un edificio Verónica vive más arriba que Augusto; Juan más arriba que Sandro y éste más
arriba que Augusto. Si Verónica y Juan viven en el mismo piso, diga cuáles són necesariamente
verdaderas:
L Juan vive más arriba que Augusto.
Il, Juan vive más abajo que Augusto.
III. Verónica vive más arriba que Sandro.
NW, Verónica adora a Juan.
A)
B)
C)
D)
E)
24.
Sólo IV
I y IV
Sólo Il
Sólo 111
I y 11
El Sr. Gamarra tiene tres nietos que estudian en diferentes universidades (UNALM, UNT,
UPACH) diferentes profesiones (Medicina Humana, Odontología y Biología). Además:
=
José no estudia en la UNALM,
Vicente no estudia en la UNT,
El que estudia en la UNALM no estudia medicina humana.
Uno de ellos se llama Alfredo, como su papá.
El que estudia en la UNT estudia odontología.
Vicente no estudia Biología.
¿Qué profesión estudia uno de sus nietos y en qué universidad?
A) Vicente — Biología (UNALM),
B)
José - Odontología (INT).
-C) Alfredo — Odontología (UNT).
D) José - Biología (UNALM).
E) Vicente - Medicina Humana (UNT).
PROHIBIDA
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
25,
Manuel, Juan, Roberto y Enrique son 4 amigos que a su vez son:
ingeniero, aunque no necesañamente en ese orden.
=
=
=
ES DIRECTE
alleta, fulbolista, obrero e
Elalleta, que es primo de Manuel, es el más joven de todos y siempre va al cine con Juan.
Roberto es el mayor de lodos y es vecino del futbolista.
Manuel es menor que el ingeniero y no es futbolista.
¿Quién es ingeniero? y ¿quién es el futbolista?
A)
Manuel y Robarto
B)
Juan y Manual
C)
D)
Enrique y Manuel
Roberto y Juan
E) Enrique y Juan
26.
Respeclo a tres personas con diferente nacionalidad y cada uno con sólo una profesión, se conoce
lo siguiente:
= Elfrancés, trabaja como profesor en un colegio.
«Manuel no es inglés.
= Pape es más joven que Manuel
=
Eldoctor no es danés.
= El ingeniero se llama Luis.
Indique quién es el danés y que profesión tiene Pepe, respectivamente :
A) Manuel
= Doctor
B)
Pepe — Ingeniero
C) Luis — Doctor
D)
Luis = Profesor
he
E) Manuel — Ingeniero
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
Tu futuro empieza con
nosotros
VNIDAD 1
IA
IO
MANNCI
AN
ES
CICLO REGULAR 2020 Il
TU
INGRESO
ES DIRECTO
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
TU INGRESO
1.
ES DIRECTE
¿Cuántos de los siguientes enunciados son proposiciones?
-= 526
x+3=9
En el Perú no me quedo.
Todos los romanos son cristianos.
A) 2
B)3
e)1
D)4
E) Ninguna es proposición
2.
Sean las proposiciones:
p: “81 noes un número par”.
q: “-10>-9”,
r :*4esun número entero”.
Determine la verdad (V)o falsedad (F)en:
l
(
)pag
)qar
(
)pvq
A) VWF
B) FFV
C) Fvv
D) VVV
E) VFF
3,
¿Cuántos de los siguientes pares de proposiciones son equivalentes?
.
-pv(-q)
; -p-"g
il
;
A)
B)
C)
DO)
E)
á.
(paq);
ll. p+q
<qap
-pwq
Sóloi
Sólo li
li y il
Todas
Ninguna
Si se sabe que : (paq)
verdaderas?
Yy
(q -—16) son falsas ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son
Cpvivs
.
Ulpa(tl
qv
ll 1 pv(qa
Up)
JU
tp >0q) 11(qa0)
aj 1
B) Il
GC) Todas
DO) ly
E) lyin
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
pr
ie
a
iidgela
laa
arde
ds
cla leo
TU INGRESO
5:
ES DIRECTE
Señale la expresión equivalente a la siguiente afirmación:
"No es cierto, que viajes en laxi y no llegues temprano”
A) No viajas en taxi y llegas temprano.
B) Viajas en laxi y llegas temprano.
C) No viajas en taxi y llegas tarde.
D)
Sino viajas en taxi, no llegas temprano.
E) No viajas en taxi o llegas temprano.
6.
Sabiendo que la proposición r es falsa ¿En cuáles de los siguientes casos es suficiente dicha
información, para determinar el valor de verdad de las proposiciones:
l
lñ
MM
(rplA
(qvsjar
—(pa-=p)wr5r
<
ip *q)*-q)*
tp * q)" =p).
8.
m
mn
F,sies
V;noes
F: noes
V; sies
=p, no es
m
A)
B)
C)
D)
E)
<
Además, indicar si el p'g es equivalente a p a —q
<
De acuerdo a la tabla adjunta, simplificar y dar de valor de verdad:
ml
7.
|
A) Sólo|
6) Sólo Il
3) 1 y ll
D) 1 yl
E) Todas
"Ningún montal vive eternamente”, es la negación de:
A)
B)
C)
Algunos mortales no viven eltemamente.
Todo mortal wwe eternamente.
Algunos mortales vivan eternamente.
Dj Todo mortal no vive eternamente.
E) Ningún mortal no vive eternamente.
9.
Indique la negación de la proposición: "Algunos limeños son no peruanos”
A)
Todo no limeño es peruano.
B) Algún limeño no es peruano.
C) Todo limeño es peruana
D) Ningún peruano es limeño
E) Ningún no limeño es peruano
PROHIBIDA
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
A
al
iidgela
laa
arde
ds
clallao
TU INGRESO
10.
ES DIRECTE
Da la negación de las siguientes proposiciones:
= Algunos enfermos no toman medicinas.
= Algunos deponlistas toman medicinas,
Se puede concluir:
A) Algunos enfermos toman medicinas.
B) Algunos deportistas son enfermos.
14.
12,
C)
D)
Todos los deportistas son médicos,
Ningún enfermo es deportista,
E)
Ningún enfermo es médico.
5
= Algunos estudiosos van a fiestas.
= Todos los que van a fiestas pierden el tiempo.
Entonces:
A)
B)
Los que van a fiestas no son estudiosos.
Los que van a fieslas son estudiosos.
C)
Algunos estudiosos plerdan tiempo.
D)
E)
Todos los estudios pierden el tiempo.
No todos los que van a fiestas aprovechan el tiempo.
si:
=*
Los infantes son preescolares.
«
Cada bebe es un infante.
Entonces:
A)
Ningún bebe es preescolar.
B)
No existe preescolar que sea bebe.
C)
Los bebes son preescolares.
D)
Algún escolar es bebe.
E) Algún bebe es escolar.
13.
El equivalente de "Owens no come porque come o ve lelevisión” es:
A) Owens come porque no come y no va televisión.
B) No es cierto que Owens come y no ve televisión, o coma.
C) Owens come y no ve televisión puesto que no come.
D) Owens no come y no ve televisión dado que come.
E) Si Owens come entonces no come o no ve lelevisión.
14,
Cualro estudiantes de 11, 12, 13 y 14 años de edad tienen la siguiente conversación:
Marcos: "Soy el menor de todos”,
Nicolás: “Yo lengo 13 años”.
Sebastián: “Marcos tiene 12 años”.
Malías: “Yo tango 12 años”,
Si Solamente es falsa una de las afirmaciones, ¿cuánto suman las edades en años de Marcos
y Mallas?
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
Que]
Amia
iy
>=)
as
do
Alas
pd.
ojala
TU INGRESO
A)
B)
C)
D)
E)
ES DIRECTE
26
27
24
23
25
15. — Mamá dejo un pastel en la cocina y luego de un rato el pastel había desaparecido. En la casa hay
5 hijos: Juan, Ana, Pedro, María y José. Mamá
sabe que alguno o varios son los autores de la
travesura y les interroga obteniendo las siguientes respuestas:
=
Juan: Esto es obra de uno sólo de nosotros.
Ana: No, de dos de nosotros.
Pedro: No, de tres de nosotros.
Maria: No, de cuatro de nosotros.
José: Entre todos nos lo comimos.
Mamá sabe que los inocentes dicen
o quienes se comieron el paslel?
16.
A)
Ana
B)
C)
D)
E)
María
Ana y José
Todos menos Juan.
Todos menos Maria.
A ldJossica, Vanesa,
la verdad
mientras
que los culpables
mienten
Pilar, Roclo y Claudia, se les preguntó por sus Ingresos mensuales
¿Quién
y ellas
respondieron:
Jessica: “Vanesa no gana S/. 1000”.
Vanesa: "Pilar gana S/, 1000”,
Pilar: "Vanesa miente”.
Rocio: "Yo no gano S/, 1000",
Claudia: “Pilar gana S/. 1000”.
Se sabe que solamente una dice la verdad y las demás mienten. Si la persona que dice la verdad
gana S/. 1200 ¿Quién gana S/,12007
A) Jessica
A) Vanesa
C) Pilar
D) Rocio
E) Claudia
17.
Los
postulantes
se
dividen
en
dos
grupos
para
jugar:
Los
serños
que
siempre
responden
correctamente (con la verdad) a cualquier pregunta; y los bromistas que responden siempre en
forma incorrecta (con mentiras) a cualquier pregunta. El profesor de Matemáticas (quien conoce
la siluación), preguntó al alumno Á sí era serio o bromista; al no escuchar la respuesta dada por
A, pregunto a los alumnos B y € que se encueniran cerca de A; sobre la respuesta dada por el
alumno A.
“ Becontestá: A dijo ser serio.
=
Ceonlestó: Á dijo ser bromista.
¿Cómo son B y C? Dar la respuesta en ese orden,
A) Serio — bromista,
B) Bromista — serio.
(C) Serio — serio.
DO) Bromista = bromista.
E) Faltan dalos.
PROHIBIDA
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
pr
ie
a
iidgela
laa
arde
ds
cla leo
TU INGRESO
18.
ES DIRECTE
Se encuentran 5 señores. Dos lienen ojos negros y siempre dicen la verdad; res tienen ojos azules
y siempre mienten. Estos son: Yuri, Eulogio, Miguel, Javiery Raúl. Á tres de ellos se les hizo una
pregunta a cada uno,
=
A Yuri se le pregunta ¿De qué color son tus ojos?, y este conlesto en francés, idiorna que solo
conocían dichos señores,
=
A Eulogio se le preguntó: ¿Cuál es la respuesta que dio Yuri? Y este contestó, el dijo que sus
ojos son de color azul.
= A Miguel se le preguntó: ¿De qué color son los ojos de Yuri y Eulogio?., y este respondió al
primero tiene ojos negros y el segundo ojos azules.
Determinar quiénes lienen ojos negros.
A) Yuri— Raúl
B) Miguel — Raúl.
C) Eulogio — Miguel
D) Yuri — Miguel
E) Javier — Miguel.
13,
La figura mostrada, representa la negación de;
Compositor
cantante
A) Algunos cantantes no son compositores.
B) Algunos cantantes son composilores.
C)
Algunos compositores son no cantantes.
D) Todos los compositores son cantantas.
E)
20,
Todos los cantantes son compositores.
¿Cuál de las siguientes proposiciones corresponde al sigulente esquema:
A) Todos los “S” son “P”.
Ss
P
B) Algunos *S” son "P”.
C) Ningún *5” es “P”.
D) Todos los no “S” son *P”.
E) Algunos *S" no son de "P”.,
21.
— Sidefinimos un nuevo conectivo “£*, de tal manera que: p 2 q =-(p ÁA-q); entonces, q Dr,
es equivalente a:
A)
qvr
B) q—r
C)aqv-r
D) =gAr
E) q—r
PROHIBIDA
SU REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
ES DIRECTE
22. — Indique la negación de la proposición: "Algunos B es no 4”
23.
A)
Todo noB es A.
8)
GC)
D)
E)
Ningún B es A.
Algún Á no es B.
Todo noA es B.
Ningún no A es B.
La proposición:
“Todos
los románticos son
soñadores”,
es verdadero,
¿cuál de las siguientes
proposiciones es verdadera?
24.
A)
B)
C)
D)
E)
Todos los soñadores son románticos.
SIA es romántico, es soñador,
Si A es soñador, es romántico.
SIA es romántico, no es soñador.
SIA no es soñador, es romántico.
$
“
Ningún profesor es rico.
“Algunos poetas son ricos.
Se concluye que:
A)
B)
€)
D)
E)
25.
Algunos ricos son profesores.
Todo rico es poeta.
Todo poeta no es profesor.
Ningún profesor es poeta.
Todo rico no es profesor.
Dada las proposiciones r, s, w y la proposición compuesta: (pwq) a = (buq) es verdadera. Indique
la(s) proposición(es) verdadera(s).
Lo [als y w)] —(qw)
IL [pv(bas ) [q4( wvs)]
IN. bug) ar] «> (p-+q)
A) Sólo|
B)
Sólo I y 1
C) Sólo | y 1
DO) Sólo Il y 11
E) Todas
26.
—Seanp ya proposiciones.
Delermnine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
()
=paqes equivalente a, =p = q
()
q=p es equivalente
a, - q vp
()
p=q es equivalente
a, -=q >-p
A) VVF
B) FVV
C) FFV
D) FVF
E) FFF
¡e
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
A
al
iidgela
laa
arde
ds
clallao
TU INGRESO
ES DIRECTE
27, — Tres amigas sostienen la siguiente conversación:
«
Angela: "Aprobé física”,
=
=
Brenda: "Yo no aprobé física”.
Camila: “Angela dice la verdad".
Si se sabe que sólo una de ellas no aprobó física y que sólo una de ellas miente ¿Quién miente y
quién no aprobó física respectivamente?
A) Brenda - Angela
B) Angela — Camila
C) Brenda = Camila
D) Angela — Brenda
E) Camila - Angela
28.
Indique la negación de: “Ningún no polílico es justo”,
A) Todos los justos son polílicos.
B) Ningún político es justo.
C) Todos los políticos son justos,
D) Algunos justos son no políticos.
E) Algunos justos son políticos.
29.
De las premisas:
=
Algunos MURCES
=
Ningún NUDOS es LEDS.
son LEDS,
Se puede inferir que :
A)
Todos los NUDS no son MURCES
B)
C)
Ningún NUDS es MURCES
No todos los LEDS son NUDS
D) Todos los NUDS son LEDS
E) Algunos MURCES no son NUDS
30. —
Indique la negación de: "Todos los S son no P”,
A) Todos los no S son P
B) Algún S es no P
C) Ningún S es P
D) Algún P es 5
E) Algunos no $ son P
31.
La proposición cuya negación está representada en el diagrama mostrado es:
leales —
crilicos
A) Los leales son crilicos
B) Ningún leal es crítico
E) Algunos críticos no son leales
-D) Algunos criticos son leales
E) Todos los criticos son leales
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
A
al
iidgela
laa
arde
ds
clallao
TU INGRESO
32.
ES DIRECTE
De las premisas:
"Ningún rico es vagabundo.
“Todos los abogados son ricos.
Se puede concluir que:
A) Todos los ricos son abogados
B) Todos los vagabundos son ricos
C) Ningún abogado es un vagabundo
D)
Algunos
abogados
son vagabundos
E) Algunos ricos son vagabundos
33. — La negación de la proposición: “Todo p no es q”, es:
Aj Ningún p esno q
B) No lodo p es q
C) Ningún q esno p
D) Todo q es p
E) Todo p esno
34,
q
De las siguientes premisas:
«Algunos A son B
“
NingúnCesB
Se puede concluir que:
A)
Algunos B no son A
B)
Todos
los G no son B
C) AlgunosÁ no son €
Dj Algún Ces A
E)
35.
Ningún A es C
De tres candidalos: Luis, Toño y Juan, se elige un delegado, si;
Luis dice:
Juan es el elegido,
Toño dice: No soy el elegido.
Juan dice: Luis está diciendo la verdad.
Sabiendo que por lo menos una miente y por lo menos
uno dice la verdad; determine quien es el
elegido.
36. —
A)
B)
C)
O)
Luis
Toño
Juan
Luis y Toflo
E)
Ninguno fue elegido
Laproposición: "Cada quién tlene lo que busca”,
equivale a:
A) El que la sigue la consigue
B)
Algunos buscan lo que consiguen
(G) Todos tienen lo que buscan
Dj) Algunos no tienen lo que buscan
E) Ninguno busca lo que obtiene
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
A
al
iidgela
laa
arde
ds
clallao
TU INGRESO
37.
ES DIRECTE
Después de negar cada una de las siguientes proposiciones:
=
=
Algunos cómicos son insolentes
Ningún aclor es cómico.
Se puede concluir:
A) Algunos cómicos son insolentes
B) No todos los actores son insolentes
C) Ningún insolente es actor
D) Algunos insolentes no son cómicos
E)
38,
Pocos
insolentes son cómicos
Si se sabe que:
Pocos naturales son modestos y todos los modestos
afirmaciones se concluyen necesariamente?
A)
Pocos naturales son generosos
B)
Pocos generosos
EC)
Pocos naturales no son generosos
D)
E)
Pocos generosos no son naturales
Ay8B
son correctas.
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
son generosos
¿Cuál de las siguientes
son naturales
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
Tu futuro empieza con
nosotros
VIDAD 3
AT
SEMANAS
3 y 4
CICLO REGULAR 2020 Il
TU
INGRESO
ES DIRECTO
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
TU INGRESO
1
ES DIRECTE
En una urna se tiene 5 bolas negras, 12 azules, 4 rojas y 13 verdes ¿Cuántas bolas, como minimo,
se deben exlraer al azar para obtener 2 bolas de igual color?
A)
B)
C)
D)
E)
2.
5
4
6
2
8
Se tienen 5 candados y 3 llaves, si cada llave abre a un sólo candado, ¿cuántos intentos cómo
minimo se deben hacer para tener la seguridad de saber qué llave corresponde a qué candado?
A) 14
8) 11
Cc) 8
D) 10
E) 9
3.
Depositamos en una uma 6 bolas blancas, 12 negras, 10 verdes y 20 rojas. ¿Cuántas bolas hay
que sacar al azar y como mínimo, para tener la certeza de haber extraido 4 bolas del mismo color?
A)
B)
C)
D)
E)
4,
24
4
22
13
12
Un empleado trabajará en una empresa hasta que reciba una remuneración máxima. Si la
empresa paga, en soles, según: P(x) = 192 x - 3x* + 960, donde: P(x) representa el pago, x
representa el número de años de trabajo.
Si dicho empleado ya trabajó durante 12 años. ¿Cuántos años le falta para retirarse?
A)
B)
C)
D)
E)
5,
20
18
22
16
24
97
Calcule el máximo valor de: F(x) =
2
O
4
A) 97/6
B) 78/11
Cc) 12
Da
E) 89/6
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
ES DIRECTE
En una fiesta a la cual concurrieron menos de 2 000 personas, se observó en cierto momento
qua
el número de mujeres que bailaban era Z? y el número que no lo hacian era Z el número de
hombres que bailaban era X* y el número de los que no bailaban era K ¿Cuál fue el número
exacto de asistentes, si fue el máximo posible?
A)
B)
C)
D)
E)
1500
1494
1458
1485
1230
En
la figura,
el menor
número
de colores
que
se puede
usar,
para
colorear
las regiones
determinadas en ella, de modo que no haya 2 zonas contiguas con el mismo color, es:
a
ys
a
Es
E) 7
[L,
e]
Se tiene 18 metros de material para cercar un terreno Irregular con esquinas rectas ¿Cuál es la
máxima área encerrada en m3?
A)
B)
C)
D)
18
14,25
28,5
16,3
á4m
E) 20
Sm
En un corral hay 10 gallos negros, 9 gallos blancos, 10 gallinas blancas y 3 gallinas negras.
¿Cuántas aves hay que extraer al azar y como mínimo para tener la seguridad de haber obtenido
un gallo y una gallina del mismo color?
Ay
19
B)
20
C)
21
D
3
Ej
24
PROHIBIDA
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
10.
ES DIRECTE
En una urna se tiene [2p - q] fichas verdes y [3p + 2q] fichas rojas ¿Cuántas fichas se deben
extraer al azar para tener la cerleza de haber extraído “3p” fichas de uno de los colores?
A)
3p+g
8) 5p-q
Cc)
5p-2q
O) 3p-9
E)
yl.
2p+3q
A una posada de la serranía llega un fatigado caminante y expone su situación al posadero; no
tiene dinero en efectivo, pero si una vallosa cadena de plala de siete eslabones, que le dejará en
pago de una semana de alojamiento, tempo mínimo que necesita para reponerse.
acepta, pero exige el pago por adelantado.
El posadero
Ofendido, el viajero acepta a su vez, pero explica que
irá pagando día a dia (o si prefiere, estabón por eslabón).
Puestos de acuerdo ambos hombres,
asi se cumple en la practica el trato ¿Cuál será el nómero minimo de eslabones que tendrá que
abrir el caminante para pagar al posadero?
A) 1
B)2
C) 6
D) 7
E) 3
12.
Un pastelero recibe lres paquetes con cien caramelos cada uno, Los paquetes contienen,
respectivamente, caramelos de naranja, limón y surtidos (de naranja y de limón), junto con el envlo
de la mercaderia, el pastelero recibe una nota del fabricante en la que le explica que, a causa de
un error en el proceso de envasado, lodas las eliquetas están equivocadas y no reflejan el
contenido real de los paquetes. ¿Cuántos caramelos tendrá que sacar 6l pastelero como minimo,
para verificar el contenido de los paquetes?
AY
B)
C)
D)
E)
13
1
2
50
10
3
Seis personas (tres
siguientes puntos:
exploradores
y tres
canibales),
deben
cnizar
el
río,
observando
los
En la canoa de que disponen sólo pueden viajar una O dos personas.
Por lo menos uno debe saber remar,
Saben remar los lres exploradores y un canibal.
En ninguna orilla los canibales pueden superar en número a los exploradores, pues se los
comerían.
¿Cuánto viajes como minimo tendrán que hacer para que pasen todos ¡lesos?
A) a12
Cc) 13
D) 10
E) 16
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
14.
Se liene dos cajas, en una hay 9 esferas blancas, 8 esferas negras y 8 esferas rojas. Enla otra
caja hay 8 cubos blancos, 8 cubos negros y 8 cubos rojos ¿Cuál es el menor número de objetos
que se deben extraer al azar para lener la certeza de haber obtenido un par de esferas y un par
de cubos todos del mismo color?
A)
B)
C)
D)
E)
13.
ES DIRECTE
20
22
24
16
18
Un kilogramo de naranjas tiene desde 50 hasta 100 unidades de vitamina C. Si cada kilogramo
cuesta desde 1,8 hasta 4 soles, ¿cuánto es lo mínimo a gastar, en soles, en un día si tengo que
consumir 300 unidades diarias?
A)
B)
C)
D)
E)
16.
4,8
5,4
10,8
12
2,4
Un rectángulo tiene como dimensiones valores enteros:
11 cm < ancho £ 19 om
18 cm ¿largo < 25cm
Hallar la diferencia entre la máxima y mínima área del reclángulo.
A) 260 cm?
B) 240 cm?
C) 220 em?
D) 277 cm?
E) 200 em?
17.
¿Es posible encontrar un valor para x de modo que - 2 x? +3x, sea máximo?
determine el valor de x.
A)
En caso afirmativo,
2
B) 0,75
Cc) 1.5
D) -1.5
E) No es posible.
18.
¿Es posible encontrar un valor para x de modo que
> , sea mínimo? En caso afirmativo,
xr
determine el valor de x.
Aa)
1
B) 9
C) -2
D) 2
E)
PROHIBIDA
No es posible.
SU REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
19,
ES DIRECTC
Si el peso que puede llevar una canoa no excede los 100kg., ¿cuántos viajes, por lo menos debe
hacerse para que ésta canoa logre levar de una orilla a olra de un río, a tres mujeres que pesan
50 kg cada una y un hombre que pesa 7Okg?
AJ
B
Cc)
D)
E)
20.
4
5
6
7
8
Lucia reparte equitativamente entre sus 3 hijos desde 15 hasta 24 soles semanales. Si Irene
reparte equitativamente entre sus 4 hijos desde 20 hasta 28 soles cada semana. ¿Cuál es la
máxima diferencia que puede haber enlre lo que recibe un hijo de Lucia y uno de Irene?
A) 2
a)3
C)4
D) 5
E) 0
21,
¿Cuál es el máximo valor de:
A)
8)
C)
D)
E)
22.
E
1100192(x + 3
q
1
2
23
1/2
4
Seanlos conjuntos: A=(1,2,4,9,12]
de x-y+4,sixcB, ycA.
y B=[6,7,8,9,10,....., 18) . Determine el máximo valor
A) 17
B)
21
Cc) 6
D) 10
E) 12
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
Tu futuro empieza con
nosotros
UNIDAD 4
MEA
MAA
ESA
CICLO REGULAR 2020 Il
TU
INGRESO
ES DIRECTO
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
TU INGRESO
1.
En la siguiente sucesión, delermine el número que continúa:
ES DIRECTC
2, 0, -1, 0, 4, ?
A 6
B) 8
Cc) 10
Dj 12
E) 16
2
Halle la letra que continúa:
A, A,B,E,L,...
A) T
B)Xx
az
D)U
E) Y
3.
Determine el término que continua en: 64, 48, 40, 36, 34...
A) 31
B) 36
C) 33
D) 38
E).35
4.
En ta sucesión: — [3x12+13); (2x9 +11); (2x7 +9); (ax1+7); fax” +b); ..., el vator de
a+b-n
es:
A) 0
B) 8
C) 6
D) 10
E) 4
5.
Halle la letra que continúa:
A, B, €, F, K....
A)R
B)S
C)T
D)P
EJQ
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
Determine el término siguiente:
ES DIRECTE
A, B, |, FD,......
A) BE
B) FBE
C) FEC
D) FBC
E) CBE
Halle el número de términos de la sucesión: 6, 15, 28, 45, ...... , 1991
A) 24
B)26
C) 28
D) 30
E) 32
Halle el valor de
( a+b) en la sucesión aritmética: aa, a.
[lajb, 54, ba, bu
A)5
ajá
Cc) 11
D) 13
E) 15
Si
los
tres
primeros
términos
l
4
Hda-b) ati
de
una
progresión
geométrica
de
razón
igual
a
12
son:
438.
arh
Entonces el cuarto término será:
A) 96
B) 12
C) 576
D)652
E) 144
1D.
Juan la dice a Robert” si ordeno los números 3; 7 y 1 en forma ascendente, y a cada uno le sumo
una misma cantidad, obtengo una progresión geométrica”. Halle la suma de las cifras del cuarto
término de dicha progresión.
A)9
B)7
C)5
D)6
E)4
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
11.
ES DIRECTE
Hallar el número de lérminos que liene una progresión aritmélica, si se sabe que el primer término
y la razón son la semisuma y la semidiferencia de los números “a” y “b” (a + b), respectivamente.
Además el último término de dicha progresión es (4a — 3b).
A)6
B)9
c)7
D) 10
E)8
12,
En una progresión geomélrica creciente de tres lérminos se multiplica el primer término por 4, el
segundo por 7 y el tercero por 6, obteniéndose una progresión aritmética. Si el segundo término
de la P.A. es 42, Halle el tercer término de la P.G.
A)6
B)8
C) 10
D) 12
E) 14
13,
Se define la sucesión cuyo término enésimo, ,, cumple:
==.
Además: «a, =4, =8,
A)
B)
C)
D)
E)
14.
«, +4d,+4a,
24
32
36
38
26
para n>1. Determine tsg, sily =3.
2450
2453
2553
2352
2355
Halle el número que falla:
A) 123
B)129
20) 131
D) 133
E) 135
16.
Halle:
Una sucesión es tal que : t,,¡—tp =2n
A)
B)
C)
D)
E)
13.
122
B
27
64
En la sucesión:1; 22:33
(23)3
(11) 2
(
35
5: 5; 7; 8: 11;
x y; ... el valor
de “x+y” es:
A) 24
B) 25
C) 26
D) 27
E) 28
el
a
PROHIBIDA
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
17.
Con la sucesión cuya fórmula recursiva es :
allanumérica:
A)
B)
C)
D)
E)
18.
B-ay,
E-as;
J-a3;
Ap,¡=4 +2N-1,
ES DIRECTE
ay =1, se forma la sucesión
P-ay;..... - Delermine el quinto término.
Y -14
U-18
V-16
Y-17
Z-17
5.4
xi
y,
79
124;
..., esuna
sucesión cuadrática; entonces,
el valor de
x+ yes:
A) 34
B) 39
C) 48
D)
E)
19.
56
63
Halle el valor de
x:
ely
A) 4
Cc) 2
D) 5
lo
E) 10
2D.
Determine el valor de x en la distribución:
pe
B)
Cc)
Y
9
D)
11
o.
21.
9
Gio.
6
A
X
,
5
4
o
3
Gb
«la
20
23
Glho..
«ln
¿Qué término debe continuar en la siguiente sucesión: 4;
A)
B)
C)
D)
E)
22.
TT
el
o ' Si
ti... 7
8
16
32
4
18
En la siguiente sucesión:
55.01
AS
la diferencia entre el denominador y el numerador del enásimo término es:
A) n—=1
B) n-2
Cc)n
Dj) 2n - 1
En+1
PROHIBIDA
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
23.
ES DIRECTE
En las siguientes sucesiones:
MO AO
41,81,
121 1
cis
lu...
el término 20 de la primera es igual al último de la segunda.
Hallar el término central de la segunda sucesión.
A)
401
8) 541
C) 391
D) 521
E) 411
24.
Dada la siguiente sucesión:
1:47;10;13;...
Determine usted el máximo término de la sucesión, que tenga 3 cifras.
A) 999
B) 9968
C) 997
D) 996
E) 995
25.
La suma de los 8 términos centrales de una progresión aritmética creciente de 16 términos es 188
y el producto de sus términos extremos es 46 ¿Cuál es el tercar término de dicha progresión?
A)
B)
C)
D)
E)
26.
27.
7
9
13
2
18
En una progresión geométrica, el cuarto término es 16 veces el segundo término y éste es el doble
de la suma del primero con 4. Hallar el quinto término.
A)
8)
C)
D)
E)
2048
512
1096
370
1024
Si
a,6,b,c, 162, ...; es una sucesión geométrica; entonces, el décimo término es:
A) 2x312
a) 2x370
Cc) 2-30
D) 2x3*!
E) 2x3"
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
28.
Halle el vigésimo término en:
A)
B)
C)
D)
E)
29.
ES DIRECTE
39; 56; 73; 50; ....
362
103
345
372
365
En la sucesión cuadrática mostrada, delermine el término que ocupa el lugar 20,
a bic d: 41: ...
AAA
35m
A
a
A) 611
B) 525
Cc) 429
Dj
E)
30.
400
893
¿Cuál es la letra que sigue: A,B,D,H,...?
A) O
B) N
c)P
DR
E) S
31.
Determine el lérmino que continúa en la sucesión:
(B, 1); (C, 9); (E, 29); (G, 67); (K, 123);
A)
B)
C)
D)
E)
32.
(P,
(R,
(P,
(Ñ,
(T,
(M, 221); ....
349)
349)
329)
311)
309)
Dada la sucesión:
4 916,25 36,
a, , halle la suma del numerador con el denominador dal
25 10 1726"
vigésimo lérmino.
A) 842
B) 926
C)
762
D) 381
E) 928
33,
¿Con cuál de las figuras dadas no se puede armar un cubo?
—
CU
|]
no—Á
a
A)
PROHIBIDA
5U REPRODUCCIÓN
B)
C)
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
D)
DEL CENTRO
E)
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
34.
ES DIRECTE
Gloria se encuentra en una huerta de fresas donde comienza a comer de ella de la siguiente
manera: el primer día come 4 fresas; el segundo 7; el lercero, 11; el cuarlo, 16; y asi
sucesivamente, hasla que cierto día se da cuenta que el número de fresas que comió ese día era
10 menos que el Iriple que comió el décimo día ¿Cuántos días han lranscurrido hasta ese cierto
dia?
A) 18
8) 19
C) 20
D) 24
E) 16
35.
— Delas siguientes distribuciones, halle “x + y"
A) 7
3
2
7
3
2
13
B)
4
9
2
2
5
23
18
C) 10
D) 14
E) 21
36.
y
4
Ñ
0
1
El término enésimo de una sucesión está representado por An = 2m-1 +3n, determine el tercer
término de dicha sucesión, sabiendo que el quinto
AJ
B)
C)
D)
E)
término es treinta y cinco.
8
12
10
15
18
¿Cuál de los siguientes hexóminos corresponden al cubo?
1
A)
B)
C)
D)
14
1
le
s
n
EN
40)
37.
y
111
Ly
1 y Mm
1 y 11
Todos
E) Ninguno
PROHIBIDA
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
38.
—Sidesplegamos el sólido mostrado, ¿en cuál de las cinco alternativas se encuentra representado?
A)
39.
ES DIRECTE
B)
0)
— Indique el cubo cuyo desarrollo se muestra en la figura:
NA
PROHIBIDA
5U REPRODUCCIÓN
A
L|M
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
Tu futuro empieza con
nosotros
VIDAD >
SERIES
SEMANAS
6 y 7
CICLO REGULAR 2020 ll
MAS — ru manrso es oimecro
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
TU INGRESO
1.
El valor de : 3+8+13+......+98, es:
A)
B)
C)
D)
E)
Z:
ES DIRECTE
1010
1030
1060
1000
1120
Si: ay =1+3+5+.....,, calcule ag +97 +4g
ñi sumand
os
1 2 sum
+......
andos
A) 1785
8)
1730
C) 595
D) 1295
E) 650
3.
Halle “n”: (3n + 2) + (3n+4+(3N+6)+..... + (5n) = B1n
A) 15
B) 20
ac)
21
D) 30
E) 22
5.
5]
420
400
480
500
240
-HN
A)
B)
C)
D)
E)
SS]
Si el arreglo numérico mostrado tiene 20 filas, delermine la suma de sus elementos,
-HNNN
4.
Halle la suma de los infinitos términos de una sucesión geométrica ilimitada cuyo primer término y
el tercer término son 4/9 y 1/4, respectivamente.
A)
B)
16/9
5
D
6
C) 1713
E) 17/4
5.
Durante varias tardes de un mes de otoño, solía sentarme a la sombra de un árbol. La primera
tarde, del árbol cayeron 9 hojas de las que recogí 1: la segunda tarde cayeron 17 hojas de las que
recog! 3, la lercera tarde cayeron 25 de las que recogí 7; la cuarla tarde cayeron 33 de las que
recogí 13 y así sucesivamente hasta que una tarde recogí todas las que cayeron ¿Cuántas hojas
cayeron hasta dicha larde?
A) 320
8) 369
C)D) 470
355
E) 480
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
T.
ES DIRECTE
Calcule la suma de los infinitos cocientes que hay entre el lado menor y el lado mayor,
respectivamente, de cada una de las infinitas figuras que se muestran a continuación:
Aj) 0,3
1
B) 0,4
C)
12
E
e
108
m
405
m
D) 0,5
o)
E) 0,8
a.
2m
3m
á mm
5 m
En el gráfico, calcule la suma entre el número de
arcos que se puede contar, con
a
el número total
a
de palitos, si se sabe que hay 420 bolitas.
Y,
Ss
A) 630
PA
8) 620
€) 610
D) 650
Halle: M=
A)
4/5
s
NOA.
Aa
DO
SAT
E) 680
B:
E
pá
8
13 + —=
18 + —23
maripo
— 4—=
+=--
B) 17/22
€) 17/20
D) 16/21
E)17/1121
LÚ
10.
4
2
A
3
8d
AGA
A
Aj3/5
B) 6/5
c)3
Dj 7/10
E) 13/27
41.
Calcule;
3+3343334+ IT
d+ m0ncccos
*Meumardos
A)
B)
C)
D)
10(10* —-D)-$»
27
10(10* —1)+%n
e]
10(10" -1) -9n
g
10(10" —1)—9n
27
E) -10(10" +1)—9n
y
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
12.
Determinar el término 40 de la sucesión: 5: 6:14: 41:105;.....
A)
8)
C)
D)
E)
13.
ES DIRECTE
608
672
608
672
600
400
405
405
400
000
Delermine x+y+n,si
l+3+5+7T+...... +Xx= 41430474...
+Y
A irmiros.
_
_ __
_—z
Himnos
A) 60
B) 61
C) 62
D) 63
E) 64
14.
Hallar
el valorde “en:
1+3+5+7+............+(3x+
2)= 900
A) 10
B) 12
C) 18
D) 15
E) 19
15.
Sk
a; a+ va ¡ 28)...
es una sucesión lineal, determine la suma de los 20 primeros términos,
A) 460
B) 425
C) 320
D) 300
E) 284
16.
¿Cuántos palitos de fósforo se emplearon en la construcción del “castillo” mostrado, si este liene
20 pisos?
A)
B)
C)
D)
440
421
424
441
E) 400
17.
Piso ——
|
'
A A —Á
Piso ——» |
|
|
2
DS TUE EEN
Piso—> |
|
|
|
Una persona debe regar con un balde con agua cada uno de los 26 árboles que tiene en en su
huerta, equidistantes cada 10 metros y en fila. Si la persona en cada viaje solo puede llevar un
balde con agua y empieza estando junto a un pozo a 6 melros del primer árbol, ¿cuántos metros
deberá recorrer en tolal para regar todos los árboles y regresar al final al pozo?
A) 6824
B) 6740
C) 6812
D) 6480
E) 6784
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
18.
En una progresión geométrica de cuatro términos, el producto de ellos es 4096 y al tercer término
es 16. Calcule la suma de los términos de dicha progresión creciente.
A)
B)
C)
D)
E)
19.
45
65
75
85
105
El primer término de P.A, creciente de razón
término es 55. Hallar la suma de los ha
A)
B)
C)
D)
E)
20.
B)
C)
D)
E)
términos.
8.026
3046
3106
3026
3016
644?
í
16u?
32u*
Bu?
12u?
Y
T
Tr
du
A
L
E
:
Determine el valor de:
E)
|
er á der 5 der der ier héroe AE
A rd
A)
B)
C)
D)
|
$
5
22.
par menor que 4 es igual a "a+b" y el ah - ésimo
primeros
Determinar la suma de las áreas de los infinitos cuadrados que se observan como se muestra en
la figura, uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado.
A)
21.
ES DIRECTE
Calcule el valor de la
A) 2,44
PP
o.
a
.
le sere:
Es
3
717.9.
+4+--+
212
71M
,
43
43
B) 2,3
C) 2,8
D) 2,5
E) 2,3
PROHIBIDA
SU REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
ES DIRECTE
23, — ¿Cuántos puntos de contaclo hay en la figura 207
A)
B)
C)
D)
590
610
630
600
Ei
24,
h
fo
fa
Determine el valor de: 25+65+125+205+305+..,+2105
A) 982
B) 560
C) 567
D) 1127
E) 1120
25.
En el siguiente arreglo numérico, determine la suma de lodos los elementos del arreglo numérico:
A)
2870
114
4a de9
B) 20 300
26.
C) 44 100
16
D)
210
E
E) 42 100
a00
—Setiene una sucesión cuyo término generales:
9:16" 400
16
e a
o
e
t, =!l,
y +n2,n>1
con t¿ = 4. Determine:
la +30.
A)
B)
C)
D)
E)
2873
2878
2520
2870
2881
27. — Enuna sala de cine hay 25 filas con 23 butacas en cada fila, todas numeradas secuencialmente
de izquierda a derecha, comenzando
por la primera fila y hacia atrás. Indique verdadero (W) O
falso (F)en las siguientes proposiciones:
(
) Lafila 12 se inicia con la butaca 254 y termina con la 276,
(
) Las butacas 185 y 206 se encuentran en la misma fila.
(
) Las butacas numeradas con 299 y 346 se encueniran en las filas 13 y 15 respectivamente.
A)
B)
C)
D)
E)
VVF
VFV
VEF
Vwvv
FVF
PROHIBIDA
SU REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
28.
ES DIRECTE
Halle la suma de todos los elementos del arreglo numérico, sabiendo que el número de filas es
igual al número de columnas.
Aj 4 300
B) 4600
€) 4500
12340.
11.4 710...
1 614146...
D) 4 100
po
44d
10
28
46
¡
5
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
Tu futuro empieza con
nosotros
VIDAD 6
SUMATORIAS
AMAIA
ES
CICLO REGULAR 2020 Il
MAS — ru manrso es oimecro
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
1.
Usando sumatoria, representar: (+
2
a
15 sumandos
14
A) Y
1
gn
16
B) Y rt
Kk=1
15
C) Y (x+k)r?0*
h=1
15
D) Y (x+ kn?
k=1
16
E) Y (x+k)n2HR
k-1
E
La suma: 23,328,303,
5
9
22 sumandos
A)
21
yn
mc ss, SO puede representar por:
105
di +1
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
3.
Exprese en función de 2, la siguiente serie: S=7+10413+1B4.........
20 lérminos
20
A) 4+ 3
k.1
a.
B) 39 k+)'4
k -1
k-=1
2
Cc) 6 k+
k=1
D)
2
2
k-1
19
) (3k+2)
k-0
20
E) Y (6k-4)
k-1
4.
La expresión:
|x2-2x11+3x20-4x
4
bonos ., Se puede representar
como:
20
A)
B)
rr
Sar = hy
Y (k+1134) (1)
i-0
c) Sar +k)x(=1)'
D) sor +k) xn
E)
BR
dl =1
B.
El arreglo numérico mostrado tiene 20 filas, determine la suma de sus eleméntos
A) 5 B60
B)6 080
C)8 008
8
10
12
14
D) 8 500
E) 7 000
16
:
Calcule:
1/2
de 012)
h=0Lk-1
A) 8
+
4
10
12
14
186
+
5.
+
+
+4
12
14
16
4
+
14
16
+
16
B) 14
Cc) 12
D) 10
E) 15
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
E
14
,
e 19
Determinar
el valor de x, si: x H(2(-11*)=
3 (52)
¿=D 1-0
AJ
B)
C)
D)
E)
8.
ES DIRECTE
iO
¿=1
17
18
19
20
21
Si desarrollamos la siguiente sumatoria, se obtendrá: S
2)
níin+1)
4
8) nm+ 1X2n +1)
4
A)
Cc)
D)
nía+ 120
1)
2
nr (n+1)
4
n(n+1)
)
—
3.
!
l
1
1
TABA
El valor de:
Mir mo
A) 4/135
B) 2/135
C)
41105
D) 1/35
E) 3/136
10.
Calcule:
>
Aj
Bj)
C)
D)
E)
11.
O
k-1
iiie
E
k )
100/102
101/102
0.99
100/101
100
Calcule;
N=1x2x2+2:x4x5+3x6xB+...,+10x20x259(de
cómo
respuesta
la suma
de
las
cifras del valor de N).
A)
B)
0)
D)
E)
19
20
21
18
17
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
ES DIRECTE
10,
Ss
12.
Calcule;
Sk"
vr
E=
5 +% $
7k
5 e=
4
106
Y ak?
k-1
A)
B)
36
25
C) 32
D) 64
E)
13.
16
En cada una de las siguientes igualdades, indique con *V” si la igualdad se cumple y con *F” en
caso contrario:
n
(0)
mi
22]
i=1
f=1
(
)
Y, (kan +bn
k=1
(
)
E Y a=nma
la TisD
mn
()
A)
B)
C)
D)
E)
14.
2
)=k > an + S ba
k -1
k=1
mi
Y Eso
Ej=1 [En]
j=1k=1
FFFF
FFFV
VFFV
FVVV
FVFV
Calcular el valor de “x” en:
e
= $10
i=l
A) 6
B) 7
Cc) 8
D)
9
E) 5
15.
Calcular:
y?
£=l
a
>
A) 3/8
B)%
2c)1/8
DY
E) 1/9
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
16.
Calcular:
M=I+4ta Ta O e
ES DIRECTE
y
11 primos.
A)
8)
C)
D)
E)
HE:
3 686
3 606
3 686
3806
3800
Hallar la suma total de: M = 20x21+21x22+22x23+.....+39:40
A)
780
B)
190
C) 2470
D) 20 540
E) 18 660
18.
Determinar:
A)
B)
C)
D)
E)
19.
A.
3
AO
pa Hk+1)
7/51
14/117
14/39
14/13
7/117
Determine el valor de la siguiente sumatoria:
z
]
y
k(k+ 5)
A)5
B)1/5
5)2
D) vá
E) 1/6
20
20.
21.
calcula: Za
A)
6/253
B)
E)
209/240
107/204
D)
E)
115/462
225/256
E
Si: PS
=1"
l
ers mn)
+21"
2
—1, determine
20
¿0
ta)
3
)
A) 30
B) 26
Cc) 28
D) 29
E) 27
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
IIS
7y8
UNIDAD 6 - Sumatorias
TU INGRESO ES DIRECT
e
En O A A O
A)
B
G
D
E
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
Tu futuro empieza con
nosotros
UNIDAD
MANO
SEMANAS
8 y 9
CICLO REGULAR 2020 Il
TU
INGRESO
ES DIRECTO
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
TU INGRESO
ES DIRECTE
2
1.
Calcule la suma de cifras del resultado de:
A = [999.000]
101 cifras
A) 900
B)925
C)625
D) 90
E) 907
2.
Se sabe que:
33*=
1 089
33%=
110889
3333 = 11 108 889
Halle la suma de las cifras del resullado de la siguiente expresión:
S-=9x(111...11
A) 1800
B) 300
CG) 1400
D) 1600
E) 980
EN
Calcule el valor de "Soy"
A)8 800
8)60
e)120
D)180
EJ63
4.
200 cifras
S¡=2x2+1
S:=4-6x4
S1=6+12-9
S4=
8 x 20 + 16
Ss= 10-30x 25
Halle la última cifra de E, sl
E= 3671? + (825 + 1) (26 — 1)
A)1
B)2
c)13
D)4
E)5
s.
st
PRESA. 4+AGRARIA7
=.....ZEN
(INGRESO3+DIRECTO6)"" = .....RM, calcule: (M+ 1%
A) 100
B)
C)
D)
E)
4
64
36
16
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
6.
¿Cuántos segmentos hay en la figura adjunta?
A)
B)
C)
D)
E)
Ti
ES DIRECTC
15
18
19
12
24
Calcular el número de palitos que hay en el castillo que se propone a continuación:
IM
INN
¿NS
1
vr
nl
Ny ss
234s..
47 48 49 50
A)
2 500
B) 5
C)2
D) 5
E) 7
B.
000
525
050
500
En la figura adjunta,
simples.
hallar el número
lotal de paralelogramos compuestos
por dos triángulos
$39- 88
A)
B)
C)
D)
E)
1 400
1830
1869
1640
1582
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
3.
ES DIRECTE
Calcular
el valor de G, sil
= (104 - 1)'(100 + 2399 - 3798 + 4)”.......(40 +62)
Dar como respuesta: (G — 1)É
A) 1
B)-1
0)0
D) 2
E) -2
10.
605 x 595 4 25
el valor de; A = . | ————___—
Calcular
Y 316 x 284 + 256
A) 2
B)4
C)8
D)6
E)7
md) do) e)
SE
13
TÍ.
A) 435
B) 496
C)465
D) 30
E) 900
12.
Si
B=1x11+2x21+3x3! +... + 100 x 100!, halle el valor de B
A) 1001! - 1
B) 122! -3
€) 991 +2
D) 1011 -1
E) 102! 13.
¿Cuántos puntos de contacto hay en la figura mostrada?
A) 570
B) 630
CG) 540
A
DB) 600
E)
720
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
x
AS
e
00D
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
a
DOI
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
14.
¿Cuántos triángulos hay en la figura?
Aj
B)
C)
D)
E)
15.
ES DIRECTE
78
76
77
72
73
1.234.556
7
— Enla figura ¿cuántos triángulos existe?
1
2
A
arman
n
A) 3n(n+1)
B) 3(N+1)
C) n(n+2)
D)
nin+1)
»
3ntn+1)
E) an
16.
Halle el número tolal de triángulos que hay en la figura mostrada.
A)
B)
C)
D)
E)
68
72
76
79
64
17. — Dela figura encontrar el total de segmentos:
A)
B)
C)
D)
E)
79
80
78
76
77
18. — Determine la úllima cifra de producto: R=(2% +12 +12% +1)..(2) +1)
A) 1
B)3
C) 5
D) 7
E) 9
PROHIBIDA
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
19.
SE MAMA
A)
B)
5
7
Cc)
8
A Dai l
)=
ES DIRECTE
Miccianons ma, halle men
D) 10
E) 12
20.
Determinar
la suma de las cifras del resultado de :
.
E= —
[99.55]
(ss
Aina
A
Perera ss
AAA
Bfrbe
A) 64
B) 49
C) 69
D) 81
E) 100
21.
En el diagrama literal propuesto. ¿de cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra
MATEMATICO?
MJA[|T|E
A|TIJE|IM
M|A|T
AUT
MIA
A)
B)
C)
D)
E)
En el arreglo mostrado, indique de cuántas
maneras diferentes se puede leer la palabra
PROHIBIDA
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
-T7OG>
2
rr
Z
Zz-potl
oz
M
=-pPpolf
92
79
47
51
63
oO Xx
A)
B)
C)
D)
E)
oz
“MOLINAS,
>
22.
81
82
83
84
85
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
23.
ES DIRECTE
En el diagrama, el número total de formas diferentes
en las que se puede leer la palabra "MOLINEROS” es:
A)
30
a) 50
C) 40
D) 38
E)
24,
44
¿Por cuántos caminos diferentes se pueda ir de
P a 0 sin pasar por R y sin retroceder en ningún
momento?
Aj)
110
A) 106
Cc)
100
D) 112
E)
23.
a
96
En la red de caminos propuesta, ¿de cuántas maneras diferentes se puede ir desde el punto “4”
hacia *B”, si es que no está permitido retroceder?
A
A
SS
A)73
B)74
c)75
D) 76
E)77
26.
En la figura, el número total de lrayeclonñas más cortas que pasan por ( y que unen los puntos 4
yvBes:
A) 105
8) 90
G)
A
T
6
100
D) 95
E)
PROHIBIDA
+B
50
SU REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
27.
¿Cuántos triángulos como máximo hay en la figura?
1
A)
B)
C)
D)
E)
28.
ES DIRECTE
2
3
4
70
714
T2
73
290
292
304
294
300
Calcule el total de intersecciones entre circunferencias y recta que presentará la figura 20
Fig. 2
A) 760
Fig .3
B) 800
C) 840
D) 420
E) 400
23,
En la figura calcular la suma del número de cuadriláleros
A)
8)
C)
D)
E)
30.
y segmentos que encuentras?
30
60
50
68
72
En el gráfico ¿Cuántos triángulos tienen por lo menos un asterisco?
A)
6
B) 8
C) 11
D) 13
E) 22
.
1
2
31.
Se tiene 53 esferas colocadas como se muestra en la figura,
entonces, se encuentran cuántos puntos de contacto.
3
A)
A)
C)
D)
E)
PROHIBIDA
66
:
72
94
88
88
5U REPRODUCCIÓN
n
>
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
n
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
32.
ES DIRECTE
—Enlafigura mostrada, determine el número de cuadriláteros que tienen por lo menos un asterisco,
A)
B)
C)
D)
33,
26
32
35
44
w
$
E) 50
+
He
Calcule:
Q=
4241142241114 2224+...41111..14+2222..2
5-14+55-11+ 555-111... +5555..5-1111..1
ys se sabe que tanto el numerador
como el denominador tiene 100 términos,
A)
B)
C)
D)
E)
34.
1/3
1/4
2/5
3/5
3/4
— Considere
la sucesión:
S1, Sa, Sa, ........ donde:
EA
=33
S>= SB
221.3 3x5
n=
Ll
+
ix3
Calcule:
A)
B)
C)
D)
E)
35. —
3x5
5x7
Sa4+5S40
44
48
42
50
52
Enla figura, el número lotal de cuadriláteros es:
A) 186
6)
178
C) 164
D) 154
e
Pl
UNAS
10)
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
Tu futuro empieza con
nosotros
VIDAD €
OA
SEMANAS
10, 11 y 12
CICLO REGULAR 2020 Il
TU
INGRESO
ES DIRECTO
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
TU INGRESO
%
El valor de :
A)
B)
C)
D)
E)
2.
231
214201
;
ES DIRECTE
BS,
508
483
481
484
523
Eo
. e
Simplifique: E
Aj
2a
B)
a+1
C)
a-1
la+ Mia
+1
-1)'
EE
D) 3a-1
E) 2a+1
3.
Determine el valor de:
a
(n—-1)
Aj n
4.
B)
Cc)
/n-2
n+1
D)
E)
4n+1
n-1
Determine el exponente de 7 en la descomposición canónica de 2401.
A) 32
B) 36
Cc) 358
D) 34
E) 33
5. —
Determine en cuántos ceros termina el valor de: [(401)(801)P".
A)
8)
cy)
D)
E)
6.
56
44
72
40
38
En cuántos ceros termina cada expresión:
A=(1201)*
BA = 51x52x53x.
C=32%:125'
1549
D= (1011-1001
E = (1201+60!)
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
ES DIRECTE
100
7.
En qué cifra termina : 5 =
Y]
x=3
A)0
B)1
Cc) 2
D)3
E)6
8.
El siguiente esquema
representa las rutas entre A; B y C.
IS
¿De cuántas maneras diferenles se podrá ir de (a)
hacia (c). sin retroceder?
A) 6
B) 7
C)5
DJ6
E) 4
5,
Un matrimonio decide comprar una radio y una cocina. Sien el lugar donde harian la compra hay
4 tipos de radio y 3 clases de cocina, ¿de cuántas maneras diferentes pueden realizar la compra
de ambos objetos a la vez?
A)
B)
C)
D)
E)
10.
7
12
41x31
71
121
Se tienen dos cajas, en la primera hay 3 bolas numeradas del 1 al 3, y en la otra hay 6 bolas
numeradas del 4 al 9, Se extrae de cada caja una bola y con los números correspondientes a
esas bolas se forma un numeral de 2 cifras.
A)
B)
C)
D)
E)
11,
Determine el total de números que se pueden formar.
18
36
42
24
9
Un alumno para prepararse liene que escoger entre 4 academias, y cada una de estas tiene lurnos
de mañana, larde y noche ¿De cuántas maneras podrá malncularse?
A)
Y
B)
Ec)
12
8
Dj
E)
81
9
PROHIBIDA
SU REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
12.
13,
— ¿Cuántos numerales de la forma:
AY)
B)
CE)
Dj)
270
300
150
300
E)
450
¿Cuántos números pares de la forma
A)
1080
E)
4 500
B)
C)
D)
14.
E)
se lo pondrá siempre con el polo celeste?
144
185
120
105
15
— Unexperimento consiste en extraer 3 monedas, de manera secuencial, de una urna que contiene
A monedas de 1 sol y 5 monedas da 5 soles. Determine el número de resultados posibles para tal
experimento.
A)
B)
Cc)
D)
E)
6
8
10
12
14
¿De cuántas formas diferentes se pueden ubicar en una fila de siete asientos 3 varones y 4
mujeres, si éstas deben ocupar los lugares impares?
A)
B)
C)
D)
E)
17.
a(b? > 1Wd(3c) existen?
— Pedro tiene 6 pantalones, 4 polos y 3 pares de zapatos, 2 pares de zapatillas, todos de diferentes
colores y modelos ¿De cuántas maneras diferentes podrá vestirse utilizando dichas prendas, si el
A)
B)
Cc)
D)
16.
—8), existen en el sistema decimal?
810
720
800
pantalón blanco,
15.
(b +2)Vaio
ES DIRECTE
160
135
144
156
170
En un examen de razonamiento matemálico, un estudiante debe responder siete preguntas de las
diez propuestas ¿De cuántas formas diferentes debe seleccionar, si el debe responder por lo
menos tres de las cinco primeras preguntas?
A) 64
B)
2) 55
50
D) 110
E) 120
sn un |
PROHIBIDA
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
18.
ES DIRECTE
El servicio de inteligencia de cierto país, desea enviar mensajes a sus agentes secrelos. Solo
quiere ulilizar las siguientes letras: E, S, T, U, D, |, A. ¿Cuántas palabras claves de cinco letras
pueden formarse, si ninguna letra puede repetirse?
A)
B)
C)
D)
E)
19,
2.520
1550
1850
1100
1200
Indique de cuántas maneras se puede pintar la figura mostrada, sise tienen 10 colores diferentes,
se debe usar un solo color por zona y ninguno debe repetirse.
A) 120
B) 5040
C) 210
D) 3250
E)
101
20.
Se tiene 10 bolas de igual tamaño, 3 son de color blanco, 2 de color azul y 5 de color rojo
¿De cuántas maneras diferentes 58 puede ordenar en fila esas 10 bolas?
A) 3628800
B)
5 040
C)
40320
D)
840
E)
2520
21
Kalty liene 5 amigos y siempre va al CEP UNALM acompañado
¿Cuántas alternativas de compañía llene Katty para Ir al CEP?
A)
B)
C)
D)
E)
22,
de por lo menos uno de ellos
48
35
25
31
27
Una clase consta de 7 niños y 3 niñas ¿De cuántas maneras diferentes la profesora puede escoger
el comité de limpieza del salón conformado por 4 alumnos?
A)
8)
C)
D)
E)
PROHIBIDA
160
210
128
144
105
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
23.
ES DIRECTE
Determine la cantidad de triángulos que se pueden trazar tomando como vérlices, los vértices del
poligono dado en la figura:
A)
28
B)
35
Cc) 31
D) 30
E) 33
24.
Cuatro chicas y dos varones van al cine y encuentran
6 bulacas adyacentes en una misma fila,
donde desean sentarse ¿De cuántas maneras diferentes pueden
quieren estar juntas?
senlarse si todas las chicas
A) 160
B) 144
C) 64
D) 72
E) 128
23.
Tienes 5 libros, ¿de cuántas maneras diferentes puedes escoger uno o más de dichos libros?
A)
B)
C)
D)
E)
26.
Se quiera seleccionar un comité de 4 miembros en la pre, entre 10 profesores y 5 alumnos.
¿Cuántos comités puede formarse inluyendo por lo menos un alumno?
A)
B)
C)
D)
E)
27.
30
36
28
40
31
600
1200
1155
1150
1365
¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 8 personas de una familia en una mesa
redonda, si el padre se encuentra diametralmente opuesto a su hija mayory junto a su esposa?
A) 5040
B)
120
Cc)
720
D)
240
E) 1440
28.
Alrededor de una mesa circular de 6 asientos se ubican 2 niñas y 3 niños ¿De cuántas formas
podrán hacerlo, si el asiento vacio deba quedar entre las niñas?
A) 30
C) 36
D) 12
Ej 24
PROHIBIDA
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
23.
ES DIRECTE
Seis personas: A, B, C, D, E y F se lienen que sentar alrededor de una mesa circular con seis
asientos distribuidos uniformemente ¿De cuántas maneras diferentes podrían senlarse, si B se
sienta junto y a la derecha de A pero al frente de C?
A)
B)
12
18
C) 120
D) 48
E) 36
30.
En un restaurante sólo sirven 6 lipos de jugos. Si cada cliente puede pedir uno o más de ellas,
pero sin repetir ninguno, ¿cuántos pedidos distintos puede hacer el cliente?
A)
8)
C)
D)
E)
31.
Un grupo de 3 mujeres y 5 hombres se forman en 2 filas iguales
ubicar, sí 6n cada fila debe haber por lo menos una mujer?
A)
B)
C)
D)
E)
32.
¿De cuántas formas se pondrán
69 120
34 560
20 800
25 560
13870
Hallar el resultado de sumar todas las sumas
pueden formar con la cifras 1,1,1,1,2,2,5
A)
B)
C)
D)
E)
33.
52
49
60
63
64
de las cifras de los números de 7 cifras que se
1395
1365
2805
1260
1460
¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 7 libros (4 Matemálica, 2 Fisica y 1 Biología)
en un estante, sí los ejemplares del mismo curso son iguales?
A)
B)
C)
D)
E)
210
120
720
105
350
¿Cuántos números de 5 cifras tienen la propiedad de que el producto de sus cifras es 87
AJ 35
8)20
C)40'
D) 10
EJ 15
PROHIBIDA
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
35.
— Andy
invila a su novia y a los lres hermanos
de ella a un almuerzo,
ES DIRECTE
que se realiza en un
restaurante, cuyas mesas lenian la forma de un pentágono regular ¿De cuántas maneras distintas
se podrá ubicar si Andy y su novia siempre están juntos?
A) 10
B) 12
C) 14
D) 16
E) 18
36.
—Deuntotalde 15 piratas, ¿de cuántas maneras distinlas el capitán puede escoger una tripulación
de 10 en la cual él está incluido, y, también el vigía y el timonel son siempre lo mismo?
A)
a)
CG)
D)
E)
37,
792
782
710
720
840
Indique de cuántas maneras diferentes pueden ubicarse tres monedas de diferente denominación
en tres de los casilleros de la figura mostrada (una por casilla).
A) 5940
8)
1113!
Dj)
E)
810
990
C)
38,
450
Determine
cuántas
secuencias
signos de la secuencia: +
+
diferentes
—-
—
-+
se pueden
Ade,
formar intercamblando
la posición
de los
si uno de los asteriscos debe ocupar la primera
posición.
A)
B)
C)
D)
E)
PROHIBIDA
140
280
560
420
8l
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
Tu futuro empieza con
nosotros
VIDAD Y
AO
SEMANAS
12 y 13
CICLO REGULAR 2020 Il
TU
INGRESO
ES DIRECTO
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
TU INGRESO
dl
Si: 60)
ES DIRECTE
= 5x +1, determine(6).
A) 11
B) 12
C)14
D) 31
E) 16
2.
Se define el operador (*) en el conjunto de los enteros posilivos.
¡A
E
A
T
Halle el valor de:
A
4
.
k
¡o
uns
1
A) 28
B) 29
C)
36
Ej)
8
D) 44
3,
SiaAb=b*+2b+3a
aYb=a*- ab+b*
Halle “x"en:2R%x=4Ax
A)
B)
c)
D)
E)
4.
-2
-1
O
1
2
Si se define la siguiente operación matemática:
”n
_-n+1
ando
2ac
Calcule:
M,
An
+4,
n+41
B) +
+ JM,
Cc)
+
n=1
y
0H,
D)
2”
4
E)
M
>
EA
se
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
5.
Se
define:
ES DIRECTE
E
dia
(+2)= 3x +7
(E: xl 1)= d4x+9
Calcular: | 20
A)18
B)13
c)15
D)16
E) 12
6.
En el conjunto de los múmeros reales, se define la operación “q” de la siguiente forma: a yw b =
a+b+1
De las afirmaciones:
L Ji yi=5
ll.
El elemento neutro es cero,
III. La operación "y" no es asociativa.
IV. La operación "y” es conmutaliva.
Son
A)
8)
E)
D)
E)
7.
clentas:
Sólo |
ly IV
y 11
Sólo IV
Todas
Tenemos:
Además:
(x)
E
() =>:
O»
A)-0,5
B)-1
Cc) 1
D) O
E) 2
Dados los números reales "a” y "b” se define:
Jab
:a>0yb>0
Tis
8.
¿a<00b<0
afpb=
S:0<x<1;
halle: [(1 -xP e y] o (x-1)
AJA)
B)E)x—-16
D) xy
E) - y?
MZA
==]
PROHIBIDA
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
9.
ES DIRECTE
La operación
"+" definida en IR; como:
a H b = a* + D”. Según esto podemos afirmar;
Dl vasIiR;¡vbelR¡afb=bRa
ID vaclRivbelR:vesIR:(arfbRic=ar(bR%c)
IM vaclRato=a
W) vaclIR;¡3bclWarb=0
Son verdaderas?
ayy ll
B)lyIW
C) llly IV
Dl, 0 yd
E)!
10.
Definimos:
a Lb=a+b-=-3
Va:belR
Además: a? es el elemento inverso de “a”.
Calcule: E= (2 143)" 45
-|0O
Hi
C)ja-—b+ab
Dja+b-1
E) a+b
A
“10
B)a+b-ab
2
D
A
A)a+b-1
2
1
2
ii]
La ley de formación para la operación * dada por la tabla adjunta es:
1
0
Af
11.
1-0
—a
A) -
a-b
12.
— Definida en A = (a, b, c) la operación.
Aja
B)b
C)a;¡b
Halle "x”, si: (b*x)*(b"c)=(c*a)*b
D)b;¡e
E)a;c
Luego (a ; b) será:
A
b=0'1]2*
)
sl
(11121
Ol =|—-
Sia=01
esta definida en A = (0:1:2 ) mediante la tabla.
Ú
La operación 1
mi=|0| >
13.
A) (0,0)
B)(0:1)
C) (0:2)
D) (2:0)
E) (2;1)
PROHIBIDA
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
14.
ES DIRECTE
Sedefine[n]=2+4+6+8+...+n
Calcular
“7 en:
3x-11/||= 42
A)
B)
0)
D)
E)
15.
4
1/3
5
/M
Si se define:
A)
B)
C)
D)
E)
16,
2
3
9
10
13
15
12
=
1041
y
AN
=
x-1.
Determine el valor de:
O: 0
Sobre el conjunto de los números reales se define el operador T, de modo que si x
1 six es
«IR:
racional
TO)=
D, six es irraciona!
Determine el valor de:
340
US 2),
n--4
A)
B)
C)
D)
E)
17.
16
18
21
23
24
En el conjunto
tabla:
A=11,
2, 3, 4) se define la operación binaria
* *”,
de acuerdo a la siguiente
Determine : [la tea") e nn
PROHIBIDA
SU REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
AA
Dial
letal
iria
ao
TU INGRESO
18.
ES DIRECTE
En cada uno de los siguientes enunciados, indique con "W” si el enunciado es verdadero y con "F
en caso contrario:
.
(
) Laoperación * definida en el conjunto de los números enteros positivos por:
(
) La operación +
conmulaliva.
(
) La operación
(
asociativa.
) La operación *
«a * b= .
1+b
el:
:
es cerrada.
definida en el conjunto de los números reales por:
+ definida en el conjunto de los números racionales por:
definida en el conjunto de los números
nalurales por:
wa
b=30b+b
es
a * b=axb+1
es
« *b=a+b+1
admite elemento neutro.
A) FVVV
B) VFFV
C) FVFV
D) FFFV
E) FFFF
10
19.
Se sabe que : 'O
A)
B)
C)
D)
E)
20.
(aa)
+
= 16, donde:
xes un número
par.
Calcule
yx).
k =|
32
30
29
28
64
— Enel conjunto de los números enteros positivos se define el operador:
valor de (a+1) en:
H(x)= x* -2x+2, halle el
Hb(hHa)))= 257.
A )5
8 )3
)6
)4
)7
21.
Si5/m'2/n=1+2+3+4+...+
m-e+n
- Calcular:
30 * 6
3
253
120
231
242
189
ay
A)
B)
C)
D)
E)
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
22.
Si
ES DIRECTE
Q|= ax+7
Hallar el valor de: L3)+
A)
B)
Cc)
D)
E)
23.
2
18
15
21
20
17
Sean:
= a+
y (n)= n?-1,
24,
A)
la
B) Cc)
D)
E)
GA
aN
ad
(Ea)
En el conjunto Q=/1
Determine un valor de "x” que verifique la igualdad:
-
GO | =14
2, 3, 4] se define la operación
sw
*f ”, de acuerdo a la siguiente tabla:
l1ilala3la
1121412
211|2|/3|4
3[4/|3|1/2
4|2|4/2/3
Determine la verdad (W') o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones:
(—)
()
4 a=2 tiene solución única.
Laoperación “e * es conmutaliva.
(—)
be 4=1
tiene 2 soluciones.
(0) S:u(3? 400) 41=2: entonces,
Nota: n”! es el Inverso de "n”.
A)
B)
C)
D)
E)
x= 2.
FFVV
FVvV
FVFF
FVFV
VvFV
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
25.
ES DIRECTC
Considere en el conjunto de los números enteros la operación definida por:
ax b = 3a +3b-2(bx+
a)
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
( ) La operación * no cumple la propiedad conmutativa
( ) La operación + cumple la propiedad de clausura
()0*3=5
A)
B)
C)
D)
E)
26.
WWF
VVv
FVW
FFF
FVF
— Considere en el conjunto los números reales la operación * definida por:
x Ry=x+y-12,
Determine el valor de: (2 +3) 4 1
Nota: a ' es el inverso de "a”.
A) 12
B) 22
CS) 21
D) 13
E) 20
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
Tu futuro empieza con
nosotros
VIDAD 10
PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES
SEMANA
14
CICLO REGULAR 2020 Il
TU
INGRESO
ES DIRECTO
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
TU INGRESO
Las edades de Ána y Jorge son x e y, respectivamente.
de la edad de ella, entonces, se cumple:
ES DIRECTE
Hace 4 años, la edad de él fue el triple
A) y=3x+8
B)
y=3x-8
C)
x=3y+8
D)
x=3y
E)
x=3y-8
Plantear el siguiente enunciado: “A un número (x) se le suma $5, al resultado se le extrae la raíz
cuadrada, a la ralz se lo aumenta 12, a la suma se le multiplica por 4”.
A)
8)
AA+ 5)412
¿dx +5412)
C)
ax +5)+12
D)
AAÁx+5412)
Ey 44x+5+12)
Sia slete veces el cuadrado de un número lo dividimos entre nueve, obtendremos al cuadrado de
dicho número, disminuido en dos unidades, El triple de dicho número será:
A)3
y -3
B)7 y 9
c-1
y 3
DF?
y -1
E)9
y -3
Se ha comprado cierto número de libros por 150 soles. Si cada libro hublera costado 1 sol más,
se habrian comprado 5 libros menos con los 150 soles ¿Cuántos libros se compraron?
A)
B)
c)
D)
E)
8
5
30
25
23
Un jardinero se propuso sembrar 720 semillas en ocho días, pero tardó cuatro dlas más por
trabajar tres horas menos cada día, ¿cuántas horas lrabajó diariamente?
A) B
B)6
Cc)5
D)9
E)3
E
PROHIBIDA
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
6.
ES DIRECTE
En una fiesta se dispuso repartir cinco globos a cada niño, pero como muchos de ellos quedarian
sin globos, se repartió solamente tres a cada uno, resultando así beneficiados 80 niños más,
¿cuántos niños recibieron globos?
A)
120
B)
C)
D)
E)
T
160
80
280
200
Caperucita Roja va por el bosque llevando una cesta con manzanas para su abuelita, En el camino
la detiene el Lobo Feroz y le pregunta: "¿Cuántas manzanas llevas en tu cesta?”, a lo que
Caperucita responde:
"Llevo tantas decenas
como el número
de docenas,
más
uno”
¿Cuántas
manzanas llevaba Caperucita en su cesta?
A)
B)
C)
Dj
E)
8.
30
90
50
24
48
Un padre y su hijo trabajan en una obra. El primero trabaja 19 días y el segundo 15, dando la suma
de sus salarios s/,1250. En otra oportunidad el padre trabaja 12 días y el hijo 20, siendo la suma
de sus salarios sf. 1000. Hallar la diferencia de los salarios diarios de cada uno de ellos.
A)
B)
C)
D)
E)
9.
30
20
25
35
40
Se tiene un trozo de papel de forma rectangular. El largo del rectángulo es “5x”; su perímetro es
"14x + d” y su área es 60 m?. Hallar *x”.
Ay
B)
c)
D)
E)
10.
1
2,55
2
3
1,5
Alfredo tiene en el bolsillo cierta suma de dinero. Compra una licuadora y una cafetera, entonces
le quedan tantos dólares como costó la licuadora; pero si quisiera comprar una cafetera más le
faltaría 10 dólares ¿Cuántos dólares costó la licuadora, sabiendo que si hubiera obtenido una
rebaja de 10 dólares en cada artefacto sólo hublera gastado 48 dólares?
A) 32
B) 29
Cc) 18
D) 24
E) 15
56
PROHIBIDA
SU REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
11.
— Un grupo de hermanos se reparte la herencia de su padre, de la siguiente manera: el primero recibe
S/.100 y la quinta parte del resto; el segundo Sf. 200 y la quinta parte del nuevo resto; el lercero
recibe s/,300 y la quinta parte del nuevo resto y así sucesivamente. Todos recibieron la misma
cantidad de dinero ¿Cuántos son los hermanos?
A)
B)
C)
D)
E)
Te.
ES DIRECTC
2
3
4
5
6
Si tres docenas de limones cuestan tantos soles como limones dan por 1 600 soles; entonces, el
precio, en soles, de una docena de limones es:
A)
B)
C)
D)
E)
80
240
160
180
100
13. — Luis tenía pensado comprar cierto número de libros con determinada cantidad de dinero, pero
cuando fue a la libreria, el precio de cada
libro habla bajado en dos soles, por lo que pudo comprar
cuatro libros más por el mismo monto. Si el número de soles que pagó por cada libro y la cantidad
de libros que compró suman 16; entonces, el número de libros que compró es:
14.
A)
8
B)
Cc)
D)
E)
12
10
9
6
— Túlenfas dos veces más de lo que lienes y lendrás el doble de lo que tenfas, más lo que lienes,
si tuvieras lo que lienes, tenias y tendrás, entonces excedería en S/. 35, a lo que yo tengo que es
S/. 5 más de lo que tenías. ¿Cuánto tenemos entre los dos?
A)
B)
C)
D)
E)
15.
S/.
S/,
S/,
S/,
S/,
10
15
20
25
30
Silos alumnos de un salón se sientan de tres en tres, 8 alumnos se quedarían de pie; pero si se
sientan de cuatro en cuatro, una banca quedarla vacía ¿Cuántos alumnos son?
A) 42
43
44
45
48
as
B)
C)
D)
E)
PROHIBIDA
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
16.
Se arrojan 3 dados. El número que salió en el primero
este resultado se le multiplica por 5, luego se le suma
multiplica por 10, después se le suma lo que salió en
Determine la suma de los números oblenidos que salió
ES DIRECTE
se le multiplica por2 y se le suma 5, y a
lo que salió en el segundo y a lodo se le
el lercer dado, y se obtiene al final 763.
en cada dado
A) 9
B) 12
C) 11
D) 10
E) 8
17.
Hace dos años tenía el cuádruplo de tu edad; y dentro de 8 años tendré 30 veces la edad que lú
tuviste, cuando yo tuve la edad que tú tendrás dentro de 9 años. ¿Qué edad tengo yo?
A) 21 años
8)
C)
D)
E)
18.
22
23
24
26
años
años
años
años
A un obrero se le ofrece pagar $ 8 000, un televisor y un equipo de sonido por un año de trabajo,
pero al cabo de 10 meses se le despide y se le paga $ 6 000, el televisory el equipo de sonido;
pero si se le hubiera retirado al cabo de 8 meses se le hubiera pagado $ 5 800 y el equipo de
sonido ¿Cuánto cuesta el equipo de sonido?
A)
B)
C)
D)
E)
19.
El ganado vendido por un ganadero está compuesto por 60 cabezas entre vacas y temeros,
recibiendo por dicha venta S/. 2 160 pero como necesilaba S/. 2 500 debe efectuar una venta
suplementaria a los mismos precios. Calculando que si vende 8 vacas le sobrarla S/. 20 y sivende
20 lerneros le faltarian S/, 40 ¿Cuántos lemeros vendió en la primera venta?
A)
B)
Cc)
D)
E)
2D.
1800
2 200
1900
1900
2100
16
18
15
17
19
Con S/.
cajones,
cajones.
cajones,
69 984 se ha comprado un cierto número de latas de conserva en un cierto número de
cada uno de los cuales contiene un número de latas que es el cuádruplo del número de
Si cada lata de conserva cuesta un número de soles que es el triple del número de
¿cuántas latas compró?
A) 2 092
B) 4 042
C) 1296
D) 900
E) 1000
els]
PROHIBIDA
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
21.
22.
Me falta "x” soles para comprar un pantalón, en cambio, para comprar una camisa me faltan "y"
soles. Si4 camisas cuestan tanto como 3 pantalones, ¿cuánto dinero, en soles, tengo?
A)
4x+3y
B)
C)
DJ)
E)
4y+3x
4x-3y
3x-4y
4y-3x
La suma de las edades de dos personas es 37 años. Si el cuadrado de la edad del menor excede
en 229 al triple de la edad del mayor; entonces la diferencia de las edades es:
A)
B)
as
D)
E)
23.
ES DIRECTE
3
5
y
9
11
Hay 163 soles distribuidos en 4 bolsas; si se añaden 7 soles en la primera, se sacan 5 soles de la
segunda, se duplica lo que hay en la tercera, se sacan de la cuarta los % de la cantidad que
contiene, obteniéndose que las cualro bolsas tienen la misma cantidad de dinero ¿Cuántos soles
tenía inicialmente una de las bolsas?
A) 28
B) 90
Cc)
18
D) 36
E) 88
24. — Miedad es el cuádruplo de la edad que tú tenlas cuando yo tenía los 2/3 de la edad que tú tienes;
y cuando yo lenga el doble de tu edad actual; la suma de nuestras edades será 77,
diferencia de edades.
A)
B)
Cc)
D)
E)
Calcule la
7
14
21
28
35
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
Tu futuro empieza con
nosotros
NIDAD (1
AA
SEMANAS
AOS
14 y 15
CICLO REGULAR 2020 Il
TU
INGRESO
ES DIRECTO
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
TU INGRESO
L:
ES DIRECTE
Sea un número entero tal que su duplo, más 5 es mayor o igual que su mitad, disminuido en 7; y
que su lercio menos Y es mayor o igual que su cuádruplo, más 15. Delermine la suma de lodos
los números que cumplen con la condición mencionada.
A)
B)
Cc)
D)
E)
2.
-24
-18
0
-21
- 7
El triple del dinero que tiene Norma, disminuido en 15, es menor que 114. Pero si el doble del
dinero que tiene, más 20, no es menor que 104 ¿Cuánto dinero le falta a Norma para tener 100
soles?
A)
52
Ej
36
B) 48
Cc) 42
D) 58
d
El triple de un número aumentado en 1 es mayor que
10. En cambio, la suma
de cuadrados del
número con 9 es a lo más 400, Determinar la suma de lodos los números enteros que cumplen
las condiciones mencionadas.
A)
B)
C)
D)
E)
4,
150
160
152
151
153
Representar en forma simbólica: “la suma de las inversas de dos números no es mayor que al
triple del exceso de 215 sobre 3"
A) LL <9215-5)
y
e 1+1:<33-215)
/,
Y
co) —_
233-215)
x+y
D) ——<X%215-3)
x+y
17
E) —+-<3(215-3)
A
Y
40
PROHIBIDA
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
ES DIRECTE
Cuando nací, mi padre tenía más de 20 años y hace 10 años el doble de mi edad era mayor que
la de él. Si tengo menos de 33 años, ¿qué edad tiene mi padre?
A) 60
B) 53
C) 52
D)
E)
54
45
La suma de dos números enteros y positivos es mayor que 76; su diferencia es menor que 10, y
si al mayor se le suma el duplo del menor, el resultado no llega a 112. Hallar el número mayor.
A) 34
B)
38
C) 42
D) 43
E) 83
Pedro liene una cadena de oro cuyo peso es más de 1 gramo pero no más de 3gramos, entonces,
el triple del cuadrado de peso de la cadena disminuido en un gramo es:
A) Más de tres gramos, pero menos de 26 gramos.
B) Más de cuatro gramos, pero menos de 24 gramos.
CG) Más de un gramo, no más de 24 gramos,
Dj)
E)
Mas de dos gramos, pero no mas de 26 gramos.
Más de cualro gramos, pero menos de 24 gramos.
Un vehiculo desplazándose a 25 km/h recorre un camino
que mide un número entero de
kilómetros. Cuando llevaba recorrido la milad del camino, le fallaba menos de 3h 31min; y cuando
llevaba recorrido 60 km le faltaban más de 4h 35min de marcha. ¿Cuántos kilómetros mide la
longitud de dicho camino?
A)
B)
C)
D)
E)
150
225
175
200
170
La suma de cuadrados de las edades de Liz y Emilia es al menos B00 años. En cambio, la
diferencia de sus edades no es mayor que 25 años. Enlonces, el producto de su edades podria
ser:
A)
B)
C)
Dj
E)
87 años
116 años
60 años
B4 años
B2 años
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
10.
ES DIRECTE
— Un estudiante va con un grupo de amigas a un Teatro, disponiendo de 96 nuevos soles para
comprar las entradas. Si compra entradas de quince soles, el dinero que lleva le es insuficiente,
en cambio si compra
entradas de doce nuevos soles le sobra dinero. ¿Cuántas
amigas lo
acompañaban?
A)7
B)6
C)8
D)9
E)5
11.
El exceso de sesenta sobre un número es menor que, la lercera parte de dicho número ¿Cuántos
números satisfacen dicha condición, si se sabe que cada número tiene a lo más tres dígitos?
A)
B)
C)
D)
E)
12.
956
955
960
954
950
— Uncarpintero tiene que construir mesas rectangulares cuyas dimensiones no sobrepasen 2 metros
y tales que la suma de su dimensión mayor y el doble de la menor no sobrepase 4 metros ¿Cuál
es el máximo valor del perímetro de cada mesa?
A)
2 metros
B)
4
metros
C) 5 metros
Dj 5.5 metros
E)
13.
14.
6
metros
Alex, hijo de José, nació cuando éste lenia 20 años. Hace cinco años la edad del hijo era menor
á la cuarta parte de la edad del padrá. ¿Cuál es la edad actual dal hijo sí dentro de 10 años la
edad del hijo será mayor que la mitad de la edad del padre?
A)
B)
E)
12 años
10 años
13 años
Dj)
E)
11 años
14años
— Si vendiera a 100 soles el Kg de lana de alpaca y vendería 2,5 Kg. más de lo establecido,
recaudaría entre 900 y 960 soles. Si ofertara a S/. 50 el Kg. de la lana de alpaca o el de vicuña,
obtendría por la venta de ambas entre 900 a 1000 soles ¿Cuántos Kg. de lana de alpaca y de
vicuña se comercializa si estos son números enteros?
A) 7y12
B) 9y 12
Cc1T7y9
D)9y10
E) 10
y 14
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
15.
ES DIRECTE
Un campesino tenla menos de 5 caballos y más de $ vacas. Una vez que compra tantos caballos
como los que tiene, entre lodos sus animales no llegan a 12. Determine la cantidad de animales
que lenía inicialmente el campesino.
A)
B)
C)
D)
E)
16.
9
12
14
11
10
Tres hermanos nacieron cada tres años. Se sabe que el doble de la edad del hernano intermedio,
disminuido en la edad del menor, es menor que 20 y además el triple de la edad del intermedio,
disminuido en el mayor, resulta mayor que 27. ¿Cuál es la suma de las edades de los tres
hermanos?
A)
B)
C)
D)
E)
17.
48
56
34
28
52
Robert disponía de una cantidad para comprar un cierto número de relojes. Pensaba comprarlos
al precio de 50 soles cada uno, y le fallaba más de 48 soles. Después pensó comprarlos al precio
de 40 soles, y le sobraban más de 152 soles; y por último, los compró a 30 soles, y le sobraron
menos de 372 soles ¿Cuál fue el número de relojes comprados por Robert?
A)
B)
C)
D)
E)
18.
19
23
22
21
20
Se tiene un número de dos cifras, el doble de las cifras de las decenas restado de las cifras de las
unidades es mayor que cinco y la diferencia entre catorce veces la cifra de las unidades y la cifra de
las decenas es menor que 112. ¿Cuál es el número?
Ay19
8) 81
C) 28
Dj) 71
E) 17
19.
El quíntuplo de un número excede, al menos, en tres unidades al triple de un segundo número; sin
embargo, si al doble del primero se le suma el segundo, a lo más se obliene diez. Determine la
suma de dichos números, sabiendo que son enteros y que el segundo número es mayor que lres,
A) 3
B) 8
O 7?
D) 5
E) 6
PROHIBIDA
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
20.
ES DIRECTE
Un alambre de catorce metros es doblado en forma de rectángulo, de modo que la distancia entre
dos de sus vértices opuestos es menor de cinco melros. El intervalo que contiene solamente los
posibles valores para la longitud del lado más corto, en metros es:
A)
B)
C)
D)
E)
21.
<1: 3/2>
<7/2; 4>
[0; 7/2>
<3, 7/2>
<3: 4>
En una compelencia deportiva, el número de medallas esta comprendido entre 197 y 205. Dichas
medallas se reparten entre 3 palses: A, B y €.
B recibe 15 medallas más que € y A recibe el
doble de lo que recibe B ¿Cuántas medallas recibe CE?
A)
B)
C)
D)
E)
22.
39
29
38
54
108
Un adolescente recibe *n” soles de propina mensual, si primero gasta s/.61 quedándole mas de la
mitad y luego gasta s/.37 quedándose con menos de 5/26. Determine el valor de “n”, si es un valor
entero.
A)
B)
C)
D)
E)
120
122
125
124
123
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
Tu futuro empieza con
nosotros
VIDAD 11
CUATRO OPERACIONES
Semana
15
CICLO REGULAR 2020 Il
TU
INGRESO
ES DIRECTO
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
TU INGRESO
L
ES DIRECTC
Á la cantidad de dinero que tiene Juan se le agregan 20 soles, el monto obtenido es multiplicado
por sels, enseguida
a este producto se le restan 24 soles y al resultado obtenido se le extrae la
raíz cuadrada. Finalmente, al dividir éste último resultado por tres, resultan 3 soles. ¿Cuánto tenía
Juan, en soles, al principio?
A) 94
B) 100
Cc) 80
D) 120
E) 24
2.
Una vez usada una máquina que cuadruplica el dinero, se paga S/. 64. Si Catalina utilizó esta
máquina cualro veces y se quedó sin dinero, ¿cuántos soles lenfa inicialmente?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
Ana
81,55
60,55
40,55
21.25
18,25
Paula escribe cada día la tercera parte de las hojas en blanco de su cuaderno, más 2 hojas.
Si estuvo escribiendo durante 3 días, ¿Cuántas hojas escribió en total, sí al final le quedaron 10
hojas en blanco?
A) 48
B)
38
C) 36
D) 46
E) 30
4.
Dos personas tienen 4170 y 930 soles respectivamente. Se ponen a jugar a las carlas a B soles
la partida y al final la primera que ha ganado todas las partidas, bene el quintuplo de lo que tiene
la segunda. ¿Cuántas partidas se jugaron?.
A)
B)
C)
D)
E)
5.
11
10
9
13
12
Tres Jugadores de naipes A, B y C acordaron que el perdedor de cada partida duplicará el dinero
de los olros dos. Pierde una partida cada uno de ellos en orden alfabéllco, quedando al final de
las tres partidas cada uno con 240 soles ¿Cuánto tenía inicialmente el que ganó más?
A)
B)
C)
D)
E)
210
120
180
160
390
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
ES DIRECTE
Cada vez que sale al recreo un alumno, gasta la mitad de su dinero y 3 soles más. Si luego del
tercer recreo se quedó sin dinero, ¿cuánto tenía inicialmente?
A)
B)
C)
D)
E)
S/.
S/.
S/.
S/.
S/.
60
52
42
36
144
En un simulacro que tiene 200 preguntas, por cada respuesta correcta vale un punto y por
incorrecta un puntaje en contra de un cuarto de punto. Un alumno ha obtenido en dicha prueba
100 puntos. Hablendo respondido la totalidad de preguntas planteadas ¿En cuántas preguntas se
equivocó?
A) 70
B) 60
Cc) 50
D) 50
E) 21
En cierta bodega,
dos kllogramos de pollo tienen el mismo costo que tres kilogramos de arroz;
cinco kilogramos de arroz cuestan lo mismo que cualro boligrafos, y ocho boligrafos cuestan igual
que cuatro docenas de choros. Determine el costo de dos kilogramos de pollo, en soles, sabiendo
que tres docenas de choros cuestan 40 soles.
Aj) 32
B) 10
G) 16
Dj 24
E) 20
En un ascensor pueden entrar 20 adultos ó 24 niños 6 15 niñas. Sien determinado momento en
dicho ascensor han entrado 6 adultos y 12 niños, ¿cuántas niñas pueden entrar, como máximo,
justo en ese momento?
A)2
B) 4
C)3
D) 5
E) 6
10.
Sebastián gasta
su dinero del modo
siguiente:
las 2/5 partes de su dinero más
2 soles en
chocolales, las 3/4 partes del dinero que le queda más 1 sol en galletas; la tercera parte del dinero
que le queda más 3 soles en caramelos. Si al final la quedá 1 sol. Son ciertas:
Il.
Ill...
Il.
Tanía al inicio 50 soles
Gastó 12 soles en chocolates
Gastó 5 soles en caramelos
A)
B)
Sólo|
Sólo Ill
C)
Todas
E)
lyil
Iym
+
D)
PROHIBIDA
SU REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
11.
— Por 3 plátanos dan 5 manzanas,
¿Cuánto cuesta 2 plátanos?
A)
B)
C)
D)
E)
12.
S/.
S/.
S/.
S/.
S/.
por 4 manzanas dan 3 naranjas,
ES DIRECTE
10 naranjas cuestan S/. 60.
12
15
18
20
7,5
—Unbus liene el recorrido Lima-Ancón, siendo el pasaje Único de S/ 6, en cierta oportunidad recaudó
S/, 228 y llegó al paradero final con 27 pasajeros ¿Cuánlos pasajeros (sin considerar el chofer)
subieron en el paradero inicial, si cada vez que baja un pasajero suben tres?
Ay
T
B)
6
CO
5
DO) 8
Ej) 10
13,
— Enunómnibus hay 14 personas sentadas, 6 paradas y además sobran asientos. En una parada
bajaron 8 y subieron 13, quedando aún asientos vacios.
10.
En la siguiente parada bajan 8 y suben
El conductor pidió entonces que se sentaran, y quedó
uno parado
¿Cuántos
asientos tiene el
ómnibus?
A)
B)
C)
D)
E)
14.
27
26
19
22
25
Si 4 camoles pesan tanto como 7 cebollas; 5 cebollas tanto como 12 tomales; 2 tomates lanto
como 7 caiguas y 18 caiguas pesan lanto como 3 papas. Se sabe además que 3 camoles pesan
1 kg.
¿Cuántas papas pesarán igual que 20 kg de camote?
A) 96
B) 125
GC) 86
D) 150
E) 147
15.
—AyB acuerdan jugar 2 partidas de ajedrez, con la condición de que el perdedor de cada juego,
cuadruplique el dinero del ganador, “A” perdió primero y "B” después, lerminando ambos con 480
soles ¿Cuántos soles tenia “A” al comienzo del juego?
A)
B)
C)
D)
480
960
240
210
E) 750
PROHIBIDA
SU REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
16.
En una feria venden
nisperos.
Una
docena
ES DIRECTE
8 plálanos al mismo precio que 6 duraznos, 4 duraznos lo mismo que 10
de nisperos al mismo
precio que 2 piñas. Si 10 piñas cuestan
S/, 320,
¿cuánto pagaré por 2 plátanos, 3 duraznos y una piña?
A)
B)
C)
D)
E)
17,
S/. 90
S/. 91
S/. 92
S/. 93
S/. 94
sobre una mesa se forman
tres grupos de fichas.
Del primer grupo se pasan al segundo tantas
fichas como hay en éste último; luego, del segundo se pasan al tercero tantas fichas como hay en
éste último; y, finalmente, del tercero se pasan al primero tantas fichas como hay en éste último.
5| al final los 3 grupos tienen 16 fichas cada uno; entonces, determine cuántas fichas habla en el
primer grupo inicialmente.
A)
B)
C)
D)
E)
18.
28
14
12
22
16
En 6l mercado de "Chacra rlos”, por2 plálanos dan 3 manzanas; por 5 manzanas dan 8 naranjas
y por 12 naranjas dan 10 mangos. Además 4 mangos cuestan 6 soles. ¿Cuántos soles cuestan
3 plátanos?
A)
B)
C)
D)
E)
6
8
9
12
7,5
19 — Unacompañía está formada por 8 departamentos; cada departamento tiene 3 sucursales, en cada
2 sucursales hay 5 oficinas y en cada oficina trabajan 12 empleados ¿Cuántos empleados trabajan
en 10 compañías del mismo tipo?
A)
B)
C)
D)
E)
6.000
7200
7600
8.200
8.000
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
Tu futuro empieza con
nosotros
VIDAD $5
PERÍMETROS Y ÁREAS
Semana
16
CICLO REGULAR 2020 Il
TU
INGRESO
ES DIRECTO
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
TU INGRESO
ES DIRECTE
En la figura mostrada. determine la longitud del
diámetro MAN sabiendo que la longitud del perimetro
de la región sombreada es 251 cm.
A)
25 cm
M
,
N
8) 20 cm
C)
15 cm
D)
125 un
E) 27,5 cm
Calcule el perímetro de la región sombreada.
AJrnR
e
yx R
)
dá
oy 4R
RÍO
2
D)3IxR
E)2xR
B
o
Ec
R
El área de la cruz (figura formada por 5 cuadrados congruentes), es 320 m* entonces el perimetro
de la cruz es:
A) 48 m
B) 24m
C) 36 m
D) 96m
E) 72m
Calcule el perímetro de la región sombreada del gráfico, si AB = 3 m, ABC y DAB son sectores
circulares con centro en B y Á respectivamente.
A)
5x
(5+6)m
B)
(S-2)m
A
C) (51 +6)m
D
D) (E +6]m
4
E) ($%+6)m
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
B
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
c
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
Al
are
pr
lala
NE
TU INGRESO
5.
ES DIRECTE
Calcular el perimetro de la región sombreada que se va formando (ver figura), sabiendo que son
infinitos circulos, además el radio del circulo mayor mide G4cm. Y el radio de los demás circulos
es la mitad dal radio del círculo anterior,
py 510%
B)
3
5127
D) 509.7
3
E)
6.
50.7
7
Si el área de la región triangular ABC es 96 pe , hallar el área de la región sombreada.
A) 242
B) 32?
2K
C) 28 é
D) 30?
A
c
E) 3611?
Me
Si el lado del cuadrado mide 4m, entonces el área del circulo sombreado, en m+:
A) 251/9
B
Ll
El
Y
"
c
B) 21:/3
C)
T16r/9
D) 251/16
E) 92/16
8.
A
—H
“——D
Si ABCD es un cuadrado de “a” u* de área, entonces el área de la región sombreada es:
A) a/12 u?
8
8) a/30 u?
c
—
i
q
qe
a) al24 u?
D) a/10 u?
E) a/36 u?
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
A
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
D
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
Si el lado del cuadrado ABCD mide “a” m,
A) 1142/40 m?
B) 13 12/40 m*?
C) 3 a? /20 m?
D) gt
m?
ga?
E) ——
m
20
0
10.
A
$
y
D
A
de la región sombreada, si Sanco - 48u*
A) 10u?
B) 124?
C) 14u?
D)
Calcular el área de la región sombreada.
5
Hallar el área
ES DIRECTC
7
5
16u?
E) 18u?
11.
12.
Si AB =
es 4 m.
BC
A)
8 7
B)
27
Cc)
(2+1)
D)
(4+)
E)
Ax
=
CD =
DA;
a
D
hallar el área de la región sombreada en
mi si el radio del circulo
,
c
En la figura se muestra un cuadrado inscrito en un cuadrante, cuya longitud de radio es 2-.10cm,
Determine la longitud del parimetro de la región sombreada
A)
B)
6)
D)
(16+4- 10+31,4)Jcm
16+4/10
+ r10]cm
(16+ 10 +3/10)cm
4(4+.10)+ 74/10 cm.
E) 16 cm.
PROHIBIDA
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
13.
ES DIRECTE
Calcular el área sombreada si: ABCGD es un cuadrado de lado 5m, donde P,Q,R y S son puntos
medios de sus lados.
B
A) Bm?
Q
Cc
B) 5m?
C)
10m
2
P
A
D) 12m?
E) 15m?
A
14.
5
D
Delerminar el perímetro de la región sombreada, si ABCO es un rectángulo:
A)
198m
.
B) 11m
T
C) 20m
8
A-|
B
D) 21m
E) 22m
L
D
15.
E
En la figura, ABC es un triángulo de 42m? de área. El área de la región sombreada, en mí, es:
A)
36
B)
40
C) 30
D) 32
E) 28
16.
Halle el área de la región sombreada, si el radio de
cada circulo es igual a 2 cm y ABCOD es un cuadrado.
A)
B
D
18 cm?
Ó
B) 36 cm?
a
C) 20 cm?
D) 24 cm?
E) 30 cm?
e
A
PROHIBIDA
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
O
D
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
TU INGRESO
A
En la figura, el área cuadrado ABCD es 64 m?,
Determine el área de la región sombreada.
B
C
AE
D
ES DIRECTE
A) 32 m?*
B) 16m?
C)
24 m*
D) 20m?
E) 25m?
Halle el área de la región sombreada ;
A)
A
B
N—
18.
6 m?
C)
3
3
B) 8 m?
m?
h
3
D) 4 m?
E) 3,5 m?
D“2m+2m19.
En la figura, el radio de los círculos mide 0,25 cm.
Delermine, en em, el perímetro de la región sombreada.
A)
21
8) da
C)
167
D) Bn
E) 327
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
tan
Intensivo
yA
twitter.com/calapenshko
EoPRE ELs
UNALM
TÚ
INGRESO
ES
DIRECTO
ORDEN DE INFORMACIÓN
INTRODUCCION
AL
RAZONAMIENTO LOGICO
Semana 71
CICLO
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
INTENSIVO
2021
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANA 1
Orden de Información - Introducción
al Razonamiento
Lógico
de Siete niños: Andy, Camilo, Benito, Dante, Francisco, Germán, y Rommel, participaron en una carrera
de bicicletas. El orden en que llegaron cumple las siguientes condiciones;
e
Dante llegó antes que Andy
Camilo llegó antes que Benito
Francisco llegó primero y Rommel llegó último
Germán llega en alguna posición entre Camilo y Dante.
No hubo empates
Si Andy llega en tercer lugar. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) Camilo llega en cuarto lugar
B) Camilo llega en quinto lugar
C) Benito llega en quinto lugar
Dj Dante llega en quinto lugar
E) Germán llega en quinto lugar.
. En un lomeo de futbol participan: Aurich, Cristal, Universitario, Alianza, y León de Huánuco; el torneo
dura 5 días, de lunes a viemes y cada día se juegan dos partidos. Si se sabe que:
* Durante el campeonato cada equipo juega con los otros equipos sólo una vez.
Ningún equipo juega más de un partido por día
Cristal juega el martes con León de Huánuco
El partido León de Huánuco — Aurich se juega el jueves
El martes descansa Alianza
León de Huánuco juega primero contra Universitario y luego con Alianza
En su debut, Cristal juega contra Aurich
¿Qué día de la semana se juega el partido Alianza — Cristal?
A)
8)
C)
DO)
E)
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
En la misma calle viven 6 amigos: Tatiana, Miguel, Fernando, Julio, Sebastián y Carla. Si se sabe que
Tatiana vive a la izquierda de Miguel, que Fernando vive a la izquierda de Sebastián, que Carla vive a
la derecha de Femando, que Julio vive adyacente a Carla y Miguel, que Miguel vive junto y a la derecha
de Sebastián. ¿Cuál de las personas que aparecen en las alternativas, vive más cerca de la casa de
Carla?
4)
Taliana
B)
CG)
Dj
E)
Fernando
Sebastián
Miguel
Nose puede determinar
PROHIBIDA
SU
REPRODUCCIÓN
TOTAL
O PARCIAL
SIN
PERMISO
DEL
CENTRÓ
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANA 1
Orden de Información - Introducción
al Razonamiento
Lógico
4. En una mesa circular hay B asientos colocados simétricamente en la cual se sientan siete amigos:
Amalia, Betania, Carolina, Daniel, Ernesto, Felipe y Gerónimo. Se sabe que:
* Amalia se sienta diametralmente opuesto a Betania y junto a Carolina.
»s Daniel se sienta diametralmente opuesto a Carolina y a la izquierda de Betania.
+ Emesto no se sienta junto a Daniel ni a Amalia.
e Felipe y Gerónimo se sientan juntos.
Podemos afirmar con certeza que:
|. Emesto se sienta junto a Amalia.
Il. Carolina se sienta junto a Ernesto.
111. Daniel se sienta junto a un lugar vacío.
AJl y
B)! y 11
Cc)! y 1
D) Todas
E) Ninguna
5. Matemática, Literatura, Historia y Biología son materias dictadas por Daniela, Beatriz, Johana y Maria,
no necesariamente en ese orden.
- Johana es amiga de la que enseña Historia.
- La profesora de Literatura no conoce a Beatriz ni a la que dicta Biología,
- María y la profesora de Biología son amigas en común con la profesora de Historia.
- La única amiga de Daniela es María.
¿Cuál es la relación correcta?
A)
B)
C)
D)
Ej
María enseña Historia
Johana enseña Literatura
Daniela enseña Biología
Beatriz enseña Historia
Beatriz enseña Matemática.
6. En un hipódromo cinco caballos de carrera, Apache, Bableca, Comanche, Datilera y Eclipse, son
comparados de acuerdo a su costo y a su velocidad, Se sabe lo siguiente:
- Apache cuesta menos que Comanche y es más veloz que Babieca
- Bableca es más caro que Apache y más veloz que Eclipse
- Comanche es más caro que Eclipse y más veloz que Datilero
- Datilero cuesta menos que Apache y es más veloz que Babieca.
Todas las siguientes afirmaciones pueden ser verdaderas, excepto:
A)
B)
C)
D)
E)
Babieca es más caro y más veloz que Eclipse
Eclipse es el más barato y el menos veloz
Apache es el más caro y el más veloz
Comanche no es el más caro ni el más veloz
Datilero no es el más barato ni el más veloz
2
PROHIBIDA
5U
REPRODUCCIÓN
TOTAL
O
PARCIAL
SiN
PERMISO
DEL
CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANA 1
Orden de Información - Introducción
al Razonamiento
Lógico
T. José, Julio, Juan y Jorge fueron a un restaurante con sus esposas. Se sientan todos
redonda de tal torma que:
* Ninguna mujer estaba al lado de su marido.
e Julio estaba diamelralmente opuesto a Jorge
s Juan estaba al lado derecho de la esposa de Julio.
* No había dos mujeres juntas.
¿Quién estaba entre José y Julio?
A)
Jorge
B)
La esposa de Jorge
C)
La esposa de Juan
E)
Jorge
D)
en una mesa
La esposa de Jullo
. En un edificio de 7 pisos viven 6 amigos (uno de ellos se llama Emilio), cada uno en un piso diferentes.
De ellos se conoce lo siguiente:
* Carla vive dos pisos arriba que Mariela
e Jacinto vive en un piso adyacente al piso de Alfonso y al piso vacio.
* Todos menos 3 pasan por el piso vacio al dirigirse a sus respectivos plsos.
* Hugo no vive adyacente a alguna mujer, aunque siempre pasa por sus pisos para llegar al suyo.
¿Quién vive en el primer piso?
A) Mariela
B) Hugo
C) Alfonso
D) Carla
E) Jacinto
Seis amigos: Augusto, Benito, Ciro, Danny, Elio y Fernando, se sientan alrededor de una mesa circular
con asientos distribuidos simétricamente. Además, se sabe lo siguiente:
* Los amigos tienen edades distintas.
e El mayor se sienta diametralmente opuesto a Danny.
* Augusto se sienta diametralmente opuesto a Benito.
* Benito se sienta junto y a la izquierda de Ciro,
s El menor se sienta diametralmente opuesto a Ciro.
« Elio no es el mayor,
¿Quién es el mayor?
A) Augusto
B) Benito
C) Ciro
D) Fernando o Giro
E) Danny
10.
Paolo 6s4 cm más alto que Julio; Mónica es 3 cm más baja que Julio. Ricardo es 7 cm más bajo que
Paolo; Roció es 4 cm más baja que Julio. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?
|, Ricardo y Mónica son de la misma talla
ll Jullo es el más alto
MI. Roció es la más baja
A) Todas
By!
Sy! y
D) Il y 11
E) Solo una es cierta
3
PROHIBIDA
SU
REPRODUCCION
TOTAL
O PARCIAL
SIN
PERMISO
DEL
CENTRÓ
PREUNIVERSITARIO
- UNAL
M
SEMANA 1
Orden de Información - Introducción
11.
al Razonamiento
Lógico
Tres profesores de Razonamiento matemático del CEPREUNALM: Raúl, Luis y Rommel. Se sabe
que Raúl gana menos que Luis pero más que Rommel; sin embargo Raúl gasta más que Luis pero
menos que Rommel. Si la diferencia entre lo que ganan y gastan lo deposita en su propia cuenta de
ahorros. ¿Cuál de las afirmaciones siguientes se cumple necesariamente?
Ll
Il.
Si Luis no ahorra, enlonces podemos decir que Rommel llene un déficit,
Si Rommel y Raúl ahorran, luego Rornmel tendrá más ahorros que Raul,
5i Raúl ahorra, entonces Rommel ahorra.
ay
dy
B)
E)
Solo ll
MyM
D)
Ej)
Solo Ill
Solo!
12. Abel, Beto, Camilo y Dante se sientan en cuatro sillas ordenadas en una misma fila y conversan:
e Belo le dice al que está a su izquierda, que es el único que no tiene a nadie sentado a su
Izquierda.
«Dante afirma: “hay más de uno a mi izquierda”
s El que eslá entre Beto y Dante afirma que: “Abel es el único que está mas alejado de mi”
* Si numeramos las sillas de izquierda a derecha con los números 1, 2, 3 y 4.
¿Cuánto suman los números de las sillas donde están sentados Dante y
Abel?
A)5
B) 7
C)3
D) 6
E)
13.
4
En cierto paradero de bus, hay 8 asientos en fila y seis personas ubicadas en el
Il, Armando está a la izquierda de Rita,
siguiente orden:
ll. Carlos está a la derecha de lodos los demás y al lado de Pepe.
Ill. Teresa está a la derecha de Rita y junto a un asiento vacio.
Además, entre Roberto y Pepe, solo hay un asiento. Entonces la alternativa correcta es:
14,
A)
Entre Teresa y Rita hay 2 asientos vacios
B)
C)
Armando no está a la izquierda de todos los demás,
Entre Roberto y Rita está Armando.
Dj)
Hay asiento vacio a la derecha de Pepe.
E)
Pepe está a la derecha de Teresa.
Alrededor de una mesa circular están sentados: Rommel, Raúl, Guillermo, Eduardo, Carlos y Manuel.
Sus profesiones, no necesariamente en el mismo orden, son; medico, psicólogo, ingeniero, sociólogo,
profesor y abogado. Se sabe que:
*El profesor que tenía discrepancias con Carlos, evitó sentarse junto a él y se sentó
diametralmente frente a Rommel
* El médico se sentó diametralmente frente a Raúl.
s Raúl que es amigo de todos, se sentó entre el sociólogo y el profesor.
+ Manuel se sentó a la derecha del ingeniero y diametralmente opuesto al abogado
+ El ingeniero se sentó diametralmente opuesto a Eduardo, junto al médico y a la izquierda del
profesor.
a
PROHIBIDA
SU
REPRODUCCIÓN
TOTAL
O PARCIAL
SIN
PERMISO
DEL
CENTRÓ
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANA 1
Orden de Información - Introducción
al Razonamiento
Lógico
El que tenía discrepancias con Carlos y el ingeniero son respectivamente:
15.
A)
Raúl
- Carlos
B)
Manuel- Rommel
C)j)
Dj)
Carlos- Guillermo
Manuel
= Guillermo
E)
Rommel —-Eduardo
Sila proposición:
Ll (-sviv-p
Lore p
p->
(rws) es falsa, ¿cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?
Ml. —r
IV. (r= p) v(s >!)
VW I=-r
A)4
B)5
c3
D)2
E)1
16.
Sise sabe que:
s(pba=r)
= F
.(1>q)j=
Y
e(qvi) = F
Decidir que alternativa es cierta:
Il. La negación de p y q es falsa
Il. Los valores respectivos de r y t son V y F
lll. (=p = q) es verdadera
W.i= vw) es verdadera
VW, (t
A)
B)
C)
D)
E)
5) es falsa
Ly
Il yiv
Iv
yv
Il yv
17. Si la proposición: [(-pvq)
>» (q «» 1) ] v(qas) es falsa, siendo “p" una proposición
— verdadera,
Determine los valores de verdad de: q, r, s, en ese orden,
A) VVV
B) VFV
C)VFF
D) FFV
-E)FFF
5
PROHIBIDA
SU
REPRODUCCIÓN
TOTAL
O
PARCIAL
SÍN
PERMISO
DEL
CENTRÓ
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANA 1
Orden de Información - Introducción
al Razonamiento
Lógico
18. Si la proposición:
(=p = q) y (r =-s ) es falsa
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
Il. (pa q) v q
Il. (ra q) [(=qu 1) a£]
lll.(p => 0) —[(pwq) a-q]
A)
B)
C)
D)
E)
VVV
VVF
VFF
Fvv
FFF
19. Simbolizar. “estudia aritmética y álgebra, pues tendrá un examen
de matemáticas”.
(p: estudia
aritmética, q: estudia álgebra, r: rendirá un examen de matemáticas).
A)
B)
(pagar
r=IipAq)
D)
rv(praa)
E)
(pag)vr
C)
(pvaq)har
. La proposición "Francisco Pizarro no fue descubridor de América así como no fue evangelizador de
las Indias”, equivale a:
1. Es mentira que Francisco Pizarro fuese descubridor de América o también evangelizador de las
Indias
2, Es falso que Pizarro fuese descubridor de América siempre que fuese evangelizador de las
Indias
3. No es verdad que Pizarro haya sido descubridor de América o evangelizador de las Indias
4. No ocurre que sl Plzarro no descubrió América, haya evangellzado las Indias
5. Pizarro no fue evangelizador de las Indias -o ni fue descubridor de América
De las anteriores, son cierlas:
A)1y2
B)2,3y4
C)3,4y5
D)1,3y4
Ejty3
21. La
A)
B)
C)
D)
E)
proposición: "Flavia
Flavia no va al cine
Si Flavia va al cine
No es cierto que sl
Flavia ni va al cine,
Es falso que Flavia
va al cine pero no ve la película” equivale a:
porque no le gusta la película
entonces no ve la pelicula
Flavia va al cine en consecuencia ve la película
ni ve la pelicula
vaya al cine a ver la pelicula
6
PROHIBIDA
SU
REPRODUCCIÓN
TOTAL
O
PARCIAL
SIN
PERMISO
DEL
CENTRÓ
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANA 1
Orden de Información - Introducción
al Razonamiento
Lógico
22. Halle el equivalente de la siguiente proposición: “La foquita Farfán juega y no esta lesionado, a menos
que no juegue por estar lesionado”
A) Si la foquita Farfán no juega es porque está lesionado
B) La foquita Fartán no juega pero está lesionado
C) Es absurdo que la foguila Farfán no juegue si y solo si está lesionado
D) Es falso que la foquita Farfán juega o no está lesionado
E) No es mentira que sea falso que la foquita Farfán juegue así este lesionado
23
st: (p > 3)v [(r =p) vw (q +>5)], es falsa, halle el valor de verdad de:
(p» => yv (r > s)
A) V
B)F
C)VoF
D) VW y F
E) no se puede determinar.
24,
Halle el equivalente de la siguiente proposición: “Si vas al hipódromo, pierdes tu dinero”.
A) No fuiste al hipódromo.
B) No vas al hipódromo o no pierdes tu dinero.
C) No vas al hipódromo o pierdes tu dinero.
Dj Fuiste al hipódromo y ganaste dinero.
E) No pierdes tu dinera, vas al hipódromo.
25. Tres amigas después del almuerzo, sostienen la siguiente conversación :
»
=
=
Si
Ángela : "Me comi todo el almuerzo”
Teresa: “Yo no comi todo el almuerzo”
Karen :"Ángela dice la verdad"
se sabe que sólo una de ellas no cornió todo el almuerzo y que sólo una de ellas miente.
¿Quién
miente y quién no comió todo el almuerzo, respectivamente?
A) Teresa — Karen
B) Ángela — Teresa
C) Teresa - Ángela
D) Ángela - Karen
E) Karen — Teresa
7
PROHIBIDA
SU
REPRODUCCIÓN
TOTAL
O PARCIAL
SIN
PERMISO
DEL
CENTRÓ
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
Es
UNALM
TÚ
INGRESO
Cp
ES
DIRECTO
INTRODUCCIÓN
AL RAZONAMIENTO
LÓGICO
Semana
CICLO
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
INTENSIVO
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
2
2021
DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANA 2
Introducción al Razonamiento
1.
Cuatro billetes de
cada uno de ellos
* Caja 1: "aqui hay
s Caja 2: "aquí hay
Lógico
s/.
hay
s/,
s/.
50, s/.200, s/. 100 y sí. 20 están depositados en cuatro cajas cerradas. En
una inscripción.
50"
100"
* Caja 3: “en la caja 1 hay s/. 200”
e Caja 4: “aqui hay s/, 20"
Sien cada caja hay solo un billete y de las inscripciones solamente una es falsa, ¿cuánto suman
las cantidades de las cajas 1 y 3 en soles?
A) 100
B)70
C) 300
D) 150
E) 250
Cualro amigos conversan acerca de sus edades, ellos comentaron:
Carrasco: “Yo tengo 56 años”
Pezo
:"Carrasco tiene 60"
Carltolin; “Yo tengo 62 años"
Moreno: “Yo lengo 60 años”
Si todos tienen diferentes edades y solo uno de ellos miente, halle la suma de las edades de Pezo
y Moreno, sabiendo que las edades son 28; 60; 56 y 62.
A) 90
B) 89
Cc) 119
D)
116
E]
122
En un pueblo se notaba claramente dos grupos bien diferenciados, los de
cuya caracteristica de los primeros eran que siempre decian la verdad y
mentian; se sabe además que A, B y C son habitantes de ese pueblo,
siguiente conversación:
« B es de abajo dice C.
+ A y C son del mismo grupo (ambos de abajo o ambos de arriba), comenta
¿A qué grupo pertenece A?
A) A los de arriba
arriba y los de abajo,
los segundos slempre
Un día se escucha la
B.
B) A los de abajo
C) A los del centro
D) A ninguno
E) No se puede precisar
En una reunión se encuentran presentes varias personas. En una conversación entre 4 de ellas
se escucha la siguiente conversación:
Andrea: Daniela es una mentirosa.
Beatriz: veo a mi alrededor a 50 personas en total,
Camila: fuera de esta conversación hay 14 personas que mienten.
Danlela: nos encontramos reunidos en total 50 personas.
Si solo un enunciado es falso. ¿Cuántas personas de dicha reunión no mienten?
A) 34
B) 35
C) 36
D) 37
E) 38
8
PROHIBIDA
SU
REPRODUCCIÓN
TOTAL
O PARCIAL
SIN
PERMISO
DEL
CENTRÓ
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANA 2
Introducción al Razonamiento
Lógico
La liebre de marzo (personaje de Alicia en el País de las Maravillas) siempre miente de lunes a
miércoles y dice la verdad los demás dias de la semana. Un día se encuentra con Alicia y le dice:
**Ayer menti"
**Pasado mañana mentiré durante dos días seguidos”
Después de una cierta meditación lógica, Alicia deduce que encontró a la liebre de marzo un día:
A)
B)
C)
D)
E)
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Un padre interroga a sus cinco hijos sobre quien rompió el jarron de la mesa. Y cada uno dijo lo
siguiente:
Antonio; fue Bruno o Carlos
Bruno : ni Fernando ni yo lo hicimos
Carlos: ustedes dos están mintiendo
Darfo
: no, Uno de ellos está mintiendo, el otro está diciendo la verdad,
Femando: No Darlo, no es cierto.
Se sabe que tres de ellos siempre dicen la verdad y que dos de ellos siempre mienten,
¿Quién rompió el jarrón?
A) Bruno
E) Darío
C) Carlos
D) Antonio
E) Femando
A partir de "Todo magistrado es justo" indique su equivalente:
A) Todo justo es magistrado.
B) Todo no magistrado es justo.
C) Algún magistrado es justo.
D) Todo magistrado es no justo.
E) Ningún magistrado es no justo,
Señale
la inferencia valida;
A) Todo gato es felino y algún animal es felino, por lo tanto algún felino es animal.
B) Si algún ave es canario y lodo canario liene plumas, enlonces todo canario es ave.
C) Si ningún felino es reptil y todo reptil es vertebrado, entonces ningún reptil es felino.
D) Ningún pez es felino y todo gato es felino, por lo tanto ningún gato es un pez.
E) Todo niño es travieso y todo travieso es hiperactivo, por lo tanto algún hiperactivo es travieso.
La proposición equivalente a “es falso que todo argentino sea sudamericano”, es:
l.
Todo argentino no es sudamericano
Il. Ningún argentino es sudamericano
IM. Algunos argentinos no son sudamericanos
W. Algunos argentinos pueden ser sudamericanos
A) Solo|
B) Solo I1l
C) Solo ll
D)Il y Iv
E) Solo IV
9
PROHIBIDA
SU
REPRODUCCIÓN
TOTAL
O PARCIAL
SIN
PERMISO
DEL
CENTRÓ
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANA 2
Introducción al Razonamiento
10.
Lógico
Indique el equivalente a : “Todos los estudiantes del CEPRE-UNALM son inteligentes”
Il. No es cierto que al menos un estudiante del CEPRE-UNALM no sea inteligente
IL. Al menos un estudiante del CEPRE-UNALM es inteligente
Il. Algunos estudiantes del CEPRE-UNALM no son inteligentes.
A) Solo |
B) Solo Il
C)!y ll
D)! y 111
Ej
y 10
11. La proposición "Todo no leal es no fiel" es equivalente a:
A) Todo no flel es no leal
B) Ningún no leal es Flel
C) Algún no fiel es Leal
D) Todo Leal es Fiel
E) Ningún Leal es no fiel
12. Consideremos que “Si las serpientes son reptiles y ciertos animales venenosos son serpientes”;
entonces;
A) Toda serpiente es un animal,
B) Algunos seres venenosos no son serpientes.
C) Ningún ser venenoso es necesanamente una serpiente.
D) Ciertos animales venenosos son reptiles.
E) Algunas serpientes son animales no venenosos,
13. De las siguientes premisas:
l.
IL
“Todos los vegetales poseen células”.
“Todos los árboles son vegetales”,
DApy
Se infiere:
"Todos los arboles poseen células”.
"Cada célula es un vegetal”.
*No es verdad que algún árbol tenga células”.
"Ninguna célula es un vegetal”.
“Cualquier árbol posee células”,
No son ciertas:
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo 2
1y5
1,2y3
2.3y4
3.4y5
10
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
SEMANA 2
Introducción al Razonamiento
Lógico
14. Si todo universitario es investigador; sin embargo es innegable que algunos estudiantes
universitarios, entonces:
1, Muchos investigadores son estudianles.
2. Algunos estudiantes son investigadores.
3. Es absolutamente absurdo que ningún estudiante sea investigador,
4. Es erróneo que ningún investigador sea estudiante.
son
Son correctas:
A) Sólo 1
B)4y3
C011,3y4
D)1,2y3
E) Todas
15. Sk
* Ningún A es B.
* Algunos € son de B.
Luego:
A)
B)
C)
D)
Ningún
Algunos
Algunos
Algunos
A es €.
A no son C.
B son A,
C no son A.
E) Algunos € no son A ni B.
16. Sabiendo que : F y M representan a la clase de los fuertes y a la clase de los miopes,
respectivamente,
Del gráfico se deduce :
l. Los miopes son fuertes,
Il. Ningún miope es fuerte.
E
M
lll. Todos los fuertes son miopes.
A)
Sólo1
B) Sólo Il
CG) Sólo II
D) Sólo
| y II
E)
Todas
17.Si:
*
«
Todos los profesores son personas amables.
Algunos profesores son estudiosos.
Se concluye que:
A)
B)
C)
O)
E)
Ciertos estudiantes són personas amables
Ninguna persona amable es estudiosa
Algunos profesores son personas amables
Muchas personas amables son estudiosas
Los profesores no son personas amables
Y
PROHIBIDA
SU
REPRODUCCIÓN
TOTAL
O PARCIAL
SIN
PERMISO
DEL
CENTRÓ
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANA 2
Introducción al Razonamiento
Lógico
18. Si:
e Algunos limeños son fanáticos.
* Todo limeño es peruano.
A)
B)
C)
D)
E)
Algunos penianos son fanáticos
Muchos limeños no son peruanos
Pocos peruanos no son fanáticos
Los fanáticos son peruanos
Algunos limeños no son fanáticos
19. En una caja se tiene
que no es azul, luego
informes, ¿Cuánlas
obtenido entre estas,
10 bolitas azules, 15 blancas y 12 Rojas. Alfredo extrae una bolita e informa
Luis extrae una bolita e informa que no es blanca, Si Daniel escucho los dos
bolilas como mínimo debe extraer ahora, para tener la cereza de haber
al menos una bolita roja?
A) 23
B) 24
C)25
D) 26
E) 27
20. Depositamos en una caja un juego de nalpes (52 cartas, 13 de cada palo). ¿Cuántas cartas hay
que extraer al azar y como minimo para tener la seguridad de haber obtenido:
l. Dos cartas que sumen 11.
IL Una carta de color rojo y con número menor que 6.
IL Dos corazones con número primo.
Dar como respuesta la suma de los resultados
A) 114
B) 124
Cc) 123
D)120
E) 116
21, Se tiene una bolsa de caramelos, donde *n” tienen sabor a limón, 5n sabor a fresa y 3n sabor a
piña. ¿Cuál es la mínima cantidad de caramelos que se debe extraer de la bolsa para tener la
certeza de haber extraido, al menos, 12 caramelos de cada sabor?
Aj 17n 12
B) 1in/2
C)7n/2
D) 15n /2
E) 13n /2
22, Deposilamos en una bolsa negra 1600 bolas numeradas en forma conseculiva desde el 1 hasta
el 1600, ¿Cuántas bolas hay que extraer al azar y como minimo para tener la certeza de haber
oblenido 9 bolas numeradas en forma consecutiva?
A) 1468
B) 1456
C) 1424
D) 1504
E) 1432
12
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
SEMANA 2
Introducción al Razonamiento
Lógico
23. Una caja contiene 45 fichas las cuales están numeradas, 15 con la cifra 1, 15 con la cifra 2 y 15
con la cifra 3. Hallar el número de fichas que se debe extraer al azar y como mínimo para tener la
cerleza de haber obtenido entre ellas dos fichas que sumen exactamente 5.
A) 28
B) 31
C) 34
D) 32
E) 29
24, Se tiene dos corrales, en el primero hay (n+2) conejas negras y (n+2) conejas blancas; en el
segundo corral hay (n+4) conejos blancos y (n+4) conejos negros. ¿Cuántos animales hay que
sacar de estos corrales al azar y como mínimo para tener la seguridad de haber obtenido entre
ellas dos parejas mixtas lodas del mismo color?
A)n+4
B)2n+4
Cin+5
D)jn+7
E)2n +5
25. Una urna contiene 20 bolos numerados del 1 al 20. ¿Cuántos bolos se debe extraer al azar y
como minimo para tener la certeza que la suma de los números de los bolas extraldos sea mayor
o igual a 707
A)4
B)6
C)11
D) 12
E)16
13
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SÍN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNAL
MA
E
PRE
HSA
UNALM
TÚ
INGRESO
aja
ES
DIRECTO
MÁXIMOS Y MÍNIMOS SUCESIONES
Semana
CICLO
PROHIBIDA SU REPRODUCCION
INTENSIVO
TOTAL 'O PARCIAL SIN PERMISO
$
2021
DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO
+ UNALM
SEMANA 3
Máximos y Mínimos - Sucesiones
+.
Se llene dos cajas ablertas, A y B; ambas cajas contienen esferas Idénticas, excepto una esfera
que es ligeramente menos pesada y está en una de las cajas. Si se sabe que la caja A contiene
81 esferas y la caja B contiene 82 esferas, empleando una balanza de dos platillos, ¿Cuántas
pesadas como minimo se debe hacer para determinar cuál es la esfera más liviana?
A) 5
B) 4
C) 6
D) 7
El 8
En la siguiente cuadricula distribuir los números del 1 al 12, sin repetir, de modo que la suma en
las filas sea constante y lo mismo en las columnas. Si el valor que va en la casilla ubicada en la
esquina inferior derecha es máximo, ¿Cuál es el mínimo valor de la suma de los números que van
en las casillas sombreadas?
A)
B)
C)
D)
E)
16
20
17
19
18
Se tiene cinco cartas iguales, donde cada carta tiene una cara blanca y la otra negra. Ellas se
encuentran en fila y con la cara blanca hacia arriba. Un movimiento consiste en escoger un único
par de cartas contiguas y vollearlas, ¿Cuántos movimientos como mínimo son necesarios para
que las cartas queden como en la figura adjunta?
Aj) 2
B) 3
o:
A
DI5
A
Ej) 6
En la figura se muestra un ladrillo en forma de un paralelepipedo rectangular. Si una hormiga que
se encuentra en el punto P, centro de la cara frontal, se desplazara hasta O, ¿Cuál es la distancia
minima que deberá recorrer?
Aj) 30 cm
Bj) 35 cm
CG) 25 cm
D)
104/10 cm
E)
5/29 cm
30 cm
P
10 cm
20 cm
HIBIDA
:5U REPRODUCCIÓN
TOTAL
O PARCIAL
SIN
PERMISO
DEÚU CENTRO
PREUNIVERSITARIO
=- UNALUI!
SEMANA 3
Máximos y Mínimos - Sucesiones
5.
Indique el valor de x, si el valor de 4 es mínimo.
A=x
A) 0
+ 5y? — 4xy - 4y +7
B) 1
c)2
D) 4
E) -1
6.
Calcule la diferencia positiva entre al máximo y mínimo valor de:
12x?
=16x* +16
A)
B)
C)
D)
E)
7.
1/2
3/8
3/2
1/8
3/7
Se tiene un cartón rectangular de 60 cm de perímetro, cortando en cada esquina cuadrados de 4
cm de lado y doblando convenientemente se forma una caja abierta. Calcular el área máxima de
la base de dicha caja en cm?
A)
B)
C)
D)
E)
53
49
63
51
48
8, Se tiene un recipiente lleno con 7 litros
Los tres recipientes no tienen marcas
recipiente y las dos jarras, ¿cuántos
recipiente y la jarra de 3 litros contenga
de agua y dos jarras vacias de 5 y 3 litros de capacidad.
que permita hacer mediciones. Empleando solamente el
traslados se deben realizar como mínimo para que el
cada uno 1 lltro de agua?
A)2
B)4
C)3
D)6
E)9
3.
Un carpintero puede construir estantes para libros a un costo de 60 soles cada uno, si los vende
ax soles la unidad, se estima que puede vender 480— 2x estantes al año. ¿Cuál sería la mayor
ganancia anual, en soles, del carpintero?
A) 16200
B) 28 800
C) 14 400
D) 20 000
E)
24 300
15
PROHIBIDA
SU
REPRODUCCIÓN
TOTAL
O PARCIAL
SIN
PERMISO
DEL
CENTRÓ
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANA 3
Máximos y Mínimos - Sucesiones
10.
En la siguiente sucesión, hallar la suma de las cifras del número que sigue.
-4; 0; 9; 34, 83...
A) 10
B) 5
C)a
D)6
E)4
11. Hallar el número que continua en la siguiente sucesión:
- 2; 0;2;0;2; 4; 6; 125...
A) 17
B) 16
Cc) 22
D) 20
E) 18
12. Hallar el número que sigue en la sucesión adjunta:
71,8: 9: 13; 22:47: 111;....
A) 280
B) 272
C)320
D)312
E) 286
13. En la sucesión mostrada, hallar: a +b+c
2: 3; 12: 93; abc
A)
9
B) 12
C) 11
D) 14
E) 8
14, ¿Cuál es el número que sigue en la sucesión mostrada?
2; 2; 2;4; 12; 60;....
A)
B)
C)
D)
540
460
420
480
E)
520
15. ¿Cuántos términos tiene la sucesión mostrada?
2:14: 11,22...
Aj
B)
14
15
cy
16
D)
E)
18
20
407
16. Hallar el número que sigue en la sucesión:
j B3;
A) 1917
121; 247; 484; 968.....
B) 1869
) 1902
D) 1837
16
PROHIA
IDA
SU REPRODUCCIÓN
TOTAL
O PARCIAL
SIN
PERMISO
DEL
CENTRÓ
PREU! JIWERSITARIO
- UNALM
SEMANA 3
Máximos y Mínimos - Sucesiones
E) 1828
17. En la siguiente sucesión hallar x + y
3,4,71,9
A)
B)
C)
D)
E)
19, 25, 55; 49, Xx, y
278
248
284
280
292
18. Hallar el par de letras que sigue en la sucesión mostrada.
AA; DA; HB; MC; RE......
A)
B)
C)
D)
E)
WI
WH
YH
xG
YG
19. ¿Qué altemativa corresponde al par de letras que sigue en la sucesión mostrada?
BA; CB; ED; GG: KK:...
A) MO
B)
MP
DO)
NO
C) NP
Ej) OR
20. Hay tres números que forman una progresión arilmélica y la suma de ellos es 36.
Si se les suma, 1; 6; 35 respectivamente, los nuevos números forman una progresión geométrica.
Halle el producto de los tres números Iniciales.
Aj 1200
B) 1140
E)
1210
D) 1250
E) 1150
21. ¿Qué numero continua?
106; 107; 1414; SO...
A) 10010
B) 11100
2)11110
D) 10101
E) 12345
22. Calcular el valor de (a + b) en la sucesión mostrada.
3,11. 29 ..8.
GTi
A)
B)
C)
D)
E)
121
122
123
124
125
17
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SÍN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
SEMANA 3
Máximos y Mínimos - Sucesiones
23. En la siguiente sucesión:
1 3h; 2 ab; 3x3b; ........
ab términos
La diferencia entre el último y primer término 2256.
Hallar *b - a”:
A) 1
B) 2
Cc) 3
D)
4
E) 5
1.2.0 ps
24. En la sucesión geométrica hallar su razón:
25.
3/2
2/3
á13
112
113
Calcular el término 20 de la fila 30 del siguiente arreglo numérico.
Fhoiinan
18
PROHIBIDA
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL
O PARCIAL
SIN
PERMISO
DEL
CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
+ HOMINEM
pl
eS
TÚ
INGRESO
ES
z
DIRECTO
PSICOTÉCNICO SERIES
Semana
CICLO
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN
INTENSIVO
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO
4
2021
DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANA
4
Psicotécnico
1.
- Series
Determine el valor de " x + y + Z” a partir de siguientes analogías numéricas:
3/(58)79
1(19)37
43(x 319
36(6)
49(21)
tlíy)
1
27
8
35(10) 7
54(18)6
65(z)5
A) 57
B) 69
0) 59
D) 67
E) 49
2.
En la siguiente analogía literal, se obtendrá la palabra:
TROPA (TORO ) METRO
ANSAR (AROS ) COLOR
GLOBO (
) MALTA
Aj)
B)
C)
D)
E)
3.
TORA
CORO
GATA
MATO
GATO
Señale la figura que falta en la analogía gráfica mostrada:
A
O)
$
A).
“
2?
O
[a]
E
sE
Ol
0
Ú
A
0
a
A)
B)
Cc)
al
D)
E)
19
PROHIBIDA
SU REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO
SEMANA
4
Psicotécnico
4.
- Series
Enlas siguientes distribuciones numéricas, determine el valor de * x + y”
23
31
9
A) -1
3
13
11
Y
13
Y
g
XxX
8
17
30
12
21
3
y
B) 11
C) 13
D) 15
E) 19
5.
Determine las letras que continúan:
BOJA
A
|c
A)
B)
C)
D)
E)
6.
TE
JB
IK
JE
IH
[IM
P-=R
MR
P-M
L-F
F-N
Enla siguiente distribución gráfica, el valor de "x” es:
13
14
33
12
4
o
A)
B)
C)
D)
E)
21
00
17
7.
Tc
[G
Determine cuál de los cinco cubos mostrados corresponde al desarrollo indicado:
*T
N
a
P
PP
[(P
E
op
[PP
2
[o
SEMANA 4
Psicotécnico - Series
B.
Determine la suma de los términos de la siguiente serie:
7-14
+ 28-56 +....... + 7168
A) 4981
B) 4781
C) 14 343
D) - 3584
E) 4010
. Calcule la suma de los cuarenta primeros términos, en :
7+11+15+19+...
A) 3012
B) 3400
Cc)
2012
D) 3015
E) 4010
10. Determine el valor de "x” en la siguiente expresión:
19) + (x+21)+...+(x
+53) = 798
Bon
a
O
0
(x+ 17) + (+
A)
B)
C)
D)
E)
+
Bb
+
th
Es
Un
++
la
E
Fila 04
+
Fila 02
Fila 03
mn
Fila 01
Ur
th. Calcule la suma de las 15 primeras filas del siguiente arreglo numérico:
180700
2720
1260
1360
1380
12. Dadas las siguientes series:
R=2¿+4+6+8+10*+...+608+70
S=1+3+5+7+9+...+69+71
T=e1+2+3+4+5+..,.+*569+70
De la respuesta
de (R+S5)-T
AJ 70
B)
Cc)
D)
Ej
79
78
7i
75
21
PROHIBAl DA
SU
REPRODUCCIÓN
TOTAL
O PARCIAL
SIN
PERMISO
DEL
CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANA 4
Psicotécnico - Series
13, Dos hermanitos gemelos Luís y Beto reciben la misma cantidad de monedas de un sol cómo
propina. Luís gasta 1 sol el primer día, 2 soles el segundo día, 3 soles el tercer día y asi
sucesivamente, mientras que Beto gasla 1 sol el primer día, 3 soles el segundo día, 5 soles el
tercer día y así sucesivamente.
Si Beto gastó todo su dinero el día dieciséis. ¿Cuánto dinero le
sobraba a Luis, al finalizar ese día?
A) 126
B) 256
C) 120
D) 90
E) 110
14. Determine el valor de la siguiente suma:
S5:3+6+12+
A)
B)
C)
Dj)
E)
24 +.... (12 términos)
12185
10285
12285
10085
12005
15. Al sumar la siguiente serie geométrica ilimitada, se obtendrá:
S = 1,00 + 0,50 + 0,25+0,125
A)5
D)2,5
E)3
+ 0,0625 + ....
F) 1,9375...
G)2
16. Determine el valor de:
A)
22
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SÍN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
SEMANA 4
Psicotécnico - Series
17. En el siguiente arreglo numérico, determine la suma de los términos de la fila 20:
Fil04 —
PUAUZA
O
occonrnccccnornonnros
2
rro
Y
10
A
18
A
30
34
22
38
A) 18000
B) 15600
C)
12800
D) 17000
E) 16000
18. Determine el valor de S:
1
2
3
A
E
Dl
m ll
Y
ple
2
ja
2
IE
ul]
Sia"
19. Calcule la suma de las 12 primeras filas del siguiente arreglo numérico:
A
Fada.
A
murcia
A
Fila04 — ........... 64
1
E
128
16
4
256
32
512
F) 2-1
6)2* 4 1
H) 2?- 1
Y 29%-=1
J) 2224 1
23
PROHIBIDA
SU
REPRODUCCIÓN
TOTAL
O PARCIAL
SÍN
PERMISO
DEL
CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANA
4
Psicotécnico - Series
20. Una bola de goma es dejada caer desde una altura de 160 m y cada vez que rebota pierde ¡de
la altura inmediata anterior. ¿Cuántos metros recorrió la bola hasta quedar literalmente quieta?
A) 1060
B)780
Cc) 840
D) 1120
E) 560
21. Cierto comerciante ahorro un día $1, en el segundo día ahorro $3, el tercer día ahorro $6, el cuarto
ahorro $10; en el quinto día ahorro $15, el sexto día 521 y así sucesivamente. ¿Cuánto puede
ahorrar si continúa con el proceso hasta el día 20?
A) 53080
B) 51540
C)51580
D) 51380
E) $770
22. Una pareja de esposos ahorran en el primer mes de casados $/ 3200; en el segundo mes 8/
1600; en el tercer mes S/ 800. Si continuasen ahorrando, de esa forma; cada vez la mitad del mes
anterior. ¿Cuántos meses tendrían que transcurrir para ahorrar exactamente S/ 6393,757?
A) 17
B)19
C) 11
D) 13
E) 10
23, La construcción de un acueducto requiere de la perforación oblicua de un conducto; el costo de
mano de obra por cada obrero que parlicipa es de 14 soles por el primer metro y en cada melro
adicional se debe ir sumando 5 soles más que por el metro anterior. Se sabe que para el pago de
tres obreros se gastaron 1095 soles. Determine la longitud del conducto.
A) 12
B) 20
2)11
D) 10
E) 13
24, En un círculo de 60 cm de radio se inscribe un
inscribe un círculo, en este círculo se inscribe
un círculo y asi sucesivamente, se repite esto
los infinitos círculos que se pueden lograr con
triángulo equilátero; en éste triángulo equilátero se
un triángulo equilátero, en este triángulo se inscribe
en forma ilimitada, Calcule la suma de las áreas de
este proceso,
A) 48007 cm?
B)
1600 7 cm?
C) 6400 1 cm?
D) 3600 7 cm?
E) 1200 x cm*
24
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
SEMANA 4
Psicotécnico - Series
25. Al contar todas las circunferencias de la siguiente sucesión, se obtiene 286
.02
FIGURA
1
FIGURA
2
A.
FIGURA
3
FIGURA
4
¿ Cuántas figuras hay en la sucesión?
A) 12
B) 20
C)13
D) 10
E) 11
25
PROHIBIDA
5U REPRODUCCIÓN
TOTAL
O PARCIAL
SIN
PERMISO
DEL
CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
E
PETRA
PRE
Es
o
UNALM
TÚ
INGRESO
Ra
C
ES
DIRECTO
SERIES - SUMATORIAS HABILIDAD OPERATIVA
Semana
CICLO
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN
INTENSIVO
TOTAL 'O PARCIAL SIN PERMISO
5
2021
DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANA
5
Series - Sumatorias
1.
= Habilidad
Operativa
Halle el valor de:
S=5+
A)
B)
C)
D)
E)
10%+ 15%+20%+ 252+ 30%+,.,
+80%+ 85?
44 625
36200
39 400
35 200
34 700
Determine el número total de cuadrados que se podrán contar en la siguiente figura:
A)
B)
C)
D)
E)
104
210
150
284
204
Halle la suma de todos los términos del siguiente arreglo numérico:
124 224 374 4%+5%+ 6 + ..,+37+
38?
A)
559 081
B)
549 281
Cc)
549
181
D)
549
081
E)
539
381
Meade
ie
c+
344045464...
445464...
54
3a71+ 38?
+ 37% 38?
43724382
Br...
+37+
G+...,
«-372+38*
38
37? 38?
38*
Halle el valor de:
S5= 100% 114 12+13%8...
A)
B)
C)
D)
E)
+247+ 257
103 660
103630
106 300
103 600
106 360
26
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
SEMANA 5
Series - Sumatorias
5.
= Habilidad
Operativa
Exprese la siguiente serie utilizando sumatoria:
S=sxiirateadrderade
6.
e
Exprese la siguiente serie utilizando sumatoria:
SSP
1
+147*
27
A)
Y (ak -1)*
ki=2
37
B) q
=41k
1)
37
C) 200
ei
37
D) Y (ak +13
k=1
38
E) AS
+3)"
27
PROHIBIDA
SU REPRODUCCIÓN
TOTAL
O PARCIAL
SIN
PERMISO
DEL
CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANA 5
Series - Sumatorias
7.
= Habilidad
Operativa
Exprese la siguiente serie utilizando sumatoria:
_
16
A)
3
5
7
x+11
x+13
x+15
Madera
x+17
3
37
+43
+45
2i+1
A
a
fm]
di+l
yy
f=1
c y
—
)
0
x+2i-
y
21+1
Xx +21+9
18
[=1
8.
2t=1
x+2i4+9
Determine cuál de las siguientes sumatorias representa a la serle mostrada:
5S:=10+13+16+19+
,,,+49
D) Y (2k +6)
16
Cc) > 6 +1)
k=3
12
D) Y (4k +2)
41
E) ) (:+8)
k=2
28
PROHIBIDA
SU
REPRODUCCIÓN
TOTAL
O PARCIAL
SÍN
PERMISO
DEL
CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANA 5
Series - Sumatorias
9.
= Habilidad
Operativa
Halle el valor de:
21
y 3(k — 2y
k=12
A)9 933
B)6 555
C)8415
D) 6 933
E)
8 555
10. Determine el resultado de;
Y les» 1Yx=2)]
A)
B)
C)
D)
1090
2190
2480
2090
E) 2080
11.
Halle el valor de:
ED!
A) 14
B)0
C) 28
D) 1
E) 121
12.
Halle el valor de:
28
O
13. Halle el valor de:
A) 1018-1
-—B) 1011-3401
-C)1011-100
1
Kat
$ [ (51 )-1]
z
D) 1011 + 100
E) 101! + 101
29
PROHIBIDA
SU
REPRODUCCIÓN
TOTAL
O PARCIAL
SÍN
PERMISO
DEL
CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANA 5
Series - Sumatorias
= Habilidad
Operativa
14. Representar
en sumatoria la cantidad total de palillos que se requieren para formar las treinta
primeras figuras.
30
A) y K(k +1)
k=l
30
B)2)
Kk(k+1)
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 4
k=1
20
C)
Y 4(k+1D)
k=1
$0
D)
y 2k(k +1)
km1
15.
Determine el valor de:
4
4
lx213
2x3x4
A
A
O
4
4
A
3x4x5
4x5x6
++--
(n términos)
"
(n+ljím+2)
n(n+3)
(+1)
C)
Dj)
E)
2)
án
n+1jin+2)
|
in+ljin+2)
2n
injín+2)
«Soy
13
16. Halle el valor de la siguiente sumatoria:
A) 619
B)119
C)819
D) 519
E) 919
k=1
[i=1
30
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SÍN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNAL
MA
SEMANA 5
Series - Sumatorias
v.
= Habilidad
Operativa
Halle el valor de la siguiente sumatoria:
$=
A) n(n+1)(n+2)
B)
nin+11(2n+1)
2
Cc)
nín+1)(2n41)
E
D)
Ao
Yon
n(ín+1)(2n41)
3
E)n(n + 1)(2n+ 1)
0 0
18. Halle el valor de la siguiente sumatoria:
ele)
A)2
19.
E
Determine el valor de: E - R; a partir de:
E=1x17 + 2x16+ 3x15+4x14+.. .+15x3 + 16x2 + 17x1
R= 1x4 + 2x5 + 3x6 +4x7 +...
+15x18
A) 930
B) -631
C) -339
D) 929
E) -939
20. Calcule el valor de:
1
5
1
É
1
1
50 913 1317 1721"
1
PF ogx93 * 9397
A) 23/485
B) 11485
Cc) 1121.
Dj 1/23
E) 23/97
31
PROHIBIDA
SU
REPRODUCCIÓN
TOTALO
PARCIAL
SIN
PERMISO
DEL
CENTRÓ
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANA 5
Series - Sumatorias
= Habilidad
Operativa
21. Determine la suma de las cifras de “R” en la siguiente expresión:
R = [9999 9991)
100 cifras
A) 930
B) 910
C) 901
D) 929
E) 801
22,
Determine la suma de las cifras de "R” en la siguiente expresión;
K= 9999 ...99u*+ 6666 ...666*
20 cifras
30 cifras
A) 730
B)710
C)711
D)720
E)729
23. Determine la cifra en que termina el resultado de:
R=[(8072% + 127%)x(8765) 44] - UNALM6*”
A)3
B)6
c)1
D)2
E)9
24.
Reducir la siguiente expresión:
554
A)
B)
C)
D)
E)
121711183 4 289
813x787 + 169
3/5
1/3
9/25
3/2
2/9
32
PROHIBIDA
SU
REPRODUCCIÓN
TOTAL
O PARCIAL
SIN
PERMISO
DEL
CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANAS
|
|
Series - Sumatorias - Habilidad Operativa
ne el valor de:
[292 + 112/12 41199128 4119)+ 1210]
OSEA TE
TEA 70) +497]
E
PRE
HSA
UNALM
TÚ
INGRESO
aja
ES
DIRECTO
INDUCCIÓN - DEDUCCIÓN ANÁLISIS COMBINATORIO
Semana
CICLO
PROHIBIDA SU REPRODUCCION
INTENSIVO
TOTAL 'O PARCIAL SIN PERMISO
6
2021
DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO
+ UNALM
SEMANA 6
Inducción = Deducción
-= Análisis Combinatorio
1, Calcule el número total de triángulos que se pueden contar en la siguiente figura:
Ay 12
B) 9
2e)11
D) 10
Ej8
2, En la siguiente figura. ¿Guánlos rectángulos lienen, al menos, un asterisco?
AJ19
B)16
*
c)15
D) 17
E)10
*
3, En la siguiente figura, halle el número de triángulos.
A) 35
B)32
C)31
D)30
E) 34
4, Determine el número total de triángulos que se pueden contar en la siguiente figura:
A) 24
B)25
CG) 18
D)30
E) 27
5. ¿Cuántos arcos, como máximo se podrán contar en la figura quince?
A) 260
B) 240
C) 360
Dj 142
E) 372
FIGURA01
— FIGURA 02
FIGURA 03...
FIGURA 15
34
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
SEMANA 6
Inducción = Deducción
-= Análisis Combinatorio
6, Calcule el número total de rombos que se podrán contar desde la figura 01
hasta la figura 25.
A) 97
B) 1250
C) 1225
D) 1300
E) 1125
Fig. 01
Flg. 02
Flg. 03
Fig.
04...
Fig. 25
pasos
7, ¿Cuántos cuadrados en total, se podrán contar en las tres siguientes figuras?
26
40
36
42
37
8. Determine el máximo número de segmentos que se pueden contar en la siguiente figura:
A) 31
B) 32
C) 34
D)35
E) 36
9. Delermine el número total de semicirculos que se pueden contar en la siguiente figura:
A)
B)
C)
D)
E)
10.
48
50
44
46
58
Dela figura mostrada, halle la diferencia entre el número de segmentos y el número de
rectángulos:
A)
B)
C)
D)
E)
29
31
25
36
27
35
PROHIBIDA
SU
REPRODUCCIÓN
TOTAL
O PARCIAL
SIN
PERMISO
DEL
CENTRÓ
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
6
= Deducción
TT.
-= Análisis Combinatorio
Determine el máximo número de cuadriláteros que se pueden contar en la siguiente figura:
2670
3240
2870
2370
1870
e
A
A)
B)
C)
D)
E)
12.
o
Calcule el máximo número de cuadriláteros que se pueden contar en la siguiente figura:
A)
B)
C)
D)
E)
231
211
230
220
420
o
13.
L—
A
Inducción
HA
SEMANA
E
.
19 20
En la figura mostrada, el bloque extraido es un cubo. ¿Cuántos cubos quedan?
A) 47
B) 45
C)69
D)66
E)67
14.
Se apila el siguiente hexaedro, formado por bloques iguales, ¿cuántos hexaedros, en total se
podrán contar?
A) 18
B) 14
C)22
D) 108
E) 216
15.
¿De cuántas maneras diferentes se podrá formar, usando cuatro letras, la palabra "ABRA"?
Á
A)8
B)6
C)4
D) 10
E) 9
B
R
B
A
36
BIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
SEMANA 6
Inducción = Deducción
16.
-= Análisis Combinatorio
— ¿De cuántas formas diferentes se podrá leer la palabra “CORA” y de cuántas maneras
distintas la palabra "CORRA”?
A)
26-27
B) 21-25
C) 17-27
D) 24
- 25
E)
17.
O
Cc
O
R
R
A
A
O
R
A
R
— ¿De cuántas formas diferentes se podrá leer la palabra “PERUANO”?
B) 70
C) 90
D) 60
E) 80
PJEJRJUI[R]E|P
ERÍuJA[u|R]|E
TRIUTAJN[AJUT[R
UTAIN[O[NÍ|AJu
RJUJA[N[AJU|R
EJRJUJAJTU|R]|E
PIEIR|[U|R|E|P
¿De cuántas maneras se puede ir desde "A” hasta "B” sin retroceder?
A)
B)
C)
D)
E)
19.
C
24-30
A) 32
18.
6
A
14
16
18
20
10
— ¿De cuántas maneras se puede ir desde A” hasta "B” sin retroceder, pasando siempre por
M?
A)21
B)12
C)10
D)15
E)16
t
57
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SÍN PERMISO DEÚ CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
SEMANA 6
Inducción = Deducción
-= Análisis Combinatorio
20. — ¿De cuántas formas se puede ir desde “A” hasta *B" sin retroceder y sin pasar por M?
A
A) 31
B) 37
C) 43
D) 35
E) 39
y
pl
21.
Halle el valor de:R =
A)
B)
C)
D)
E)
22.
21
3l
+
D01+1!
+
142!
4
Zi+3
+
5!
3H
+
6!
AS
+. +
26!
241425!
425
275
225
375
325
oo
Simplifique: E =
fla
2 da
ia
O
A) al-—21
B) (a- 1)
Cc) al -2
D) (a - 2)!
E) (a-2)1
23.
— Sabiendo que:
A)
B)
C)
D)
E)
24
200! =2", 3%, 5Y,7Z,..
Determine el valor
de R =w-x+*y-Z
117
96
245
126
214
En cuántos ceros termina:
A)
B)
Cc)
D)
E)
R
=
B1!-80!
u—-701
3!
|
15
3
9
18
12
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SÍN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNA
AA e
%
Inducción - Deducción - Análisis Combinatorio
25.
e
ea
po
Encuántoccorosiomia ==
Ay 11
B7
c)9
0) 8
E) 10
FOU[314900(29)]
as «sexso
TÚ
INGRESO
ES
DIRECTO
ANÁLISIS
COMBINATORIO
Semana
CICLO
PROHIBIDA SU REPRODUCCION
INTENSIVO
TOTAL 'O PARCIAL SIN PERMISO
/
2021
DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO
+ UNALM
SEMANA 7
Análisis Combinatorio
1.
¿Cuál
es
el mínimo
valor
entero
que
debe
tomar
*n",
para
que
el resullado
de
la expresión:
E=(625" 1301) lenga 26 ceros?
A) 12
B)7
C)4
DJ5
E) 10
2.
Califica con verdadero (V) o falso (F) cada una de las siguientes proposiciones:
Il)
IN
La expresión:
La expresión:
P=1149:4745%43141! termina en 3 ceros,
R=111-947-51431-11! termina en 5
111) La expresión: E=111(114+214+314+H41+51.......+ 1001) termina en 2 ceros
A) VVV
B) VVF
C) FFW
D) FFF
E) FWV
3,
Dadas las siguientes expresiones:
U= E3d de, sta! t;
N =(3x6:9x12x15x....x 45)
Entonces es cierto que:
A)
B)
C)
D)
E)
4.
Utermina
N termina
U termina
U termina
Ntermina
en 20 ceros
en 20 ceros
con menos ceros que N
en 3 ceros
en 18 ceros menos que U
En un centro comercial de la Molina se encuentran tres mercados de frutas A, B y € contiguos que
poseen "2n", "4n" y "Gn" puestos respectivamente. Todos los puestos venden las mismas frutas. Si
María puede comprar frutas en dicho centro comercial de (22+n) formas diferentes. ¿De cuántas
formas diferentes ella puede comprar frutas en el mercado con la mayor cantidad de puestos?
A)
B)
C)
D)
E)
4
8
12
10
14
40
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SÍN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
SEMANA 7
Análisis Combinatorio
5.
Un examen consta de 15 preguntas para contestar con verdadero o falso ¿De cuántas maneras
diferentes se puede responder el examen si las respuestas se eligen al azar?
Ay)
Bj)
C)
30
1024
215
D) 512
E)
6.
15
Califica con verdadero (W') o falso (F) cada una de las siguientes proposiciones:
1): El total de números pares de tres digitos distintos que se pueden formar con los dígitos 1, 4,7, 8 y
3es 24
10 Si una urna contiene *n” objetos numeradas del 1 an y se escogen k de ellas una a una siendo
la extracción con reposición, entonces el número de formas de extracción es n'*.
111) Si una urna contiene *n” objetos numeradas del | a nm y se escogen k de ellas una a una siendo
la extracción
sin reposición,
entonces
el número
de formas
de extracción
es
n(n—= 1) (n=2) ...cco(1=Kk-+
A)
B)
C)
D)
E)
Y.
1).
VVV
VVF
FFF
FFV
FVV
Javier y dos amigos desean comprar cada uno un departamento en un edificio de 10 pisos conformado
por 10 departamentos (uno por piso). Si Javier y sus dos amigos luego de ver el departamento del
primer piso entran al ascensor del edificio para dirigirse a ver los demás departamentos,
Il)
¿De cuántas maneras distintas estas personas pueden bajar en pisos diferentes?
II)
¿De cuántas formas distintas eslas personas pueden bajar en pisos diferentes si por cabala no
pueden viviren un piso de numeración par?
111) ¿Da cuántas formas distintas estas personas puedan bajar en pisos diferentes si por temor a la
altura no pueden vivir por encima del Sto piso?
A)
BE)
C)
D)
E)
8.
504,
504,
504,
720,
720,
24,
60,
60,
24,
60,
24
24
60
60
24
Un club tiene 13 miembros de los cuales 6 son hombres. ¿Cuántas juntas directivas de 3 miembros:
presidente, vicepresidente y tesorero, pueden formarse, si el presidente debe ser mujer y el
vicepresidente debe ser un hombre?
A)
252
B) 294
C) 410
D) 462
E) 546
41
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
SEMANA 7
Análisis Combinatorio
9.
¿De cuántas maneras se pueden escoger una casilla blanca y una negra que no estén en una misma
línea horizontal ni vertical en un tablero como el del ajedrez (de casillas negras y blancas) y de 6
casilleros por lado?
A) 128
B) 220
C)216
D)256
E) 144
10. Un gasfitero analiza la siguiente instalación y concluye que en “X” casos el agua llega al recipiente M
yen “Y” casosno.
Determine
A) 16
a.
Agua
258
B)125
tan
ne .
2
C)243
|
5
E) 81
11.
o
Seis alumnos de la PRE desean sentarse en una carpeta de 6 asientos ¿De cuántas maneras
diferentes podrían hacerlo si Juan y Pedro siempre se sientan en los dos asientos centrales?
A) 120
B) 24
C)720
D)12
E) 48
12. Un grupo de 7 ponentes deben participar en una serie de charlas a llevarse a cabo en dos días
sucesivos. En el primer día deben participar 3
entonces:
l) ¿De cuántas maneras diferentes se puede
IM ¿De cuántas maneras diferentes se puede
1I0¿De cuántas maneras diferentes se puede
A)
B)
C)
D)
E)
ponentes y en el segundo día las 4 ponentes restantes,
organizar las charlas el primer dia?
organizar las charlas el segundo dla?
organizar las charlas los dos dias?
210,840, 1050
210, 5040, 5040
210,24, 5040
840, 240, 5040
210,210, 210
13, ¿De cuántas formas en línea puede instalar Luis 7 focos blancos (todos de diferentes tamaños) y 8
focos rojos (lodos de diferentes lamaños) si deben colocarse;
l)alternadamante?
A)
B)
C)
D)
E)
II) los blancos juntos?
111) los rojos juntos?
8!xT1, 91x71, 81x8!
151, BIX7!, 71x6!
8Ix8l, 81x71, 71x61
8!x8!, 15!, 81x8!
891x101, 151x7!, 71x6!
42
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
SEMANA 7
Análisis Combinatorio
14, Cinco alumnos de la Pre forman cola
exámenes pasados,
Il)
II)
en la ventanilla de la secretaría
para
comprar
sus libros de
¿De cuántas maneras diferentes pueden hacer la cola si el más alto debe estar al comienzo?
¿Da cuántas maneras diferentes pueden hacer la cola si el más allo y el más bajo deben estar
en extremos opuestos?
Il)
¿De cuántas maneras diferentes pueden hacer la cola si el más alto y el más bajo no deben estar
Juntos?
IV) ¿De cuantas maneras diferentes pueden hacer la cola si el más alto y el más bajo deben estar
en posiciones equidistantes con respectoa la ubicación central?
A) 24,24,72, 12
B) 24, 12,72, 24
C) 24, 12, 48, 24
D) 12, 12, 12,72
Ej
72,24, 24, 12
15. ¿Cuántas maneras diferentes se pueden ordenar todas las letras de la palabra RECORRIDO?
Aj
8)
C)
D)
E)
60
30
60
30
24
16. Dos
480
000
000
240
440
hombres
y tres mujeres se van a ubicar en una
banca de 7 asientos.
¿De cuántas formas
diferentes se podrán ubicar, si las mujeres siempre deben estar juntas y los hombres
no deben estar
juntos?
A) 120
B) 216
C) 144
D) 332
E) 240
17, ¿Cuántos números diferentes de 7 cifras se pueden formar con los digitos: 1,2,3,4,3,2,1, de modo tal
que los dígitos impares ocupen los lugares impares?
A) 48
B) 36
Cc) 12
D) 24
E) 18
18, ¿Cuántos números mayores de un millón se pueden formar con los digitos: 2,3,0,4,2,4,2 ?
A)
B)
C)
D)
E)
120
240
360
420
60
43
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
SEMANA 7
Análisis Combinatorio
19, María tiene 8 vasos descartables de un mismo tipo, 5 de los cuales están llenos con Inka Kola y el
resto con Coca Cola. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar linealmente los vasos, si dos
vasos, uno con Inka Kola y el otro con Coca Cola tienen que estar siempre juntos?
Aj 120
Bj 240
C) 300
D) 180
E) 210
2D. ¿Cuántas rondas distintas pueden formarse con:
$1
IM
A)
B)
C)
D)
E)
5 niños a la vez?
6 niños si dos de ellos son hermanos y deben estar siempre juntos?
24, 48
24, 24
24, 36
36, 48
48, 48
21, ¿De cuántas maneras diferentes se puede ubicar siete personas alrededor de una mesa circular, si
Luis y Rommel no se sientan juntas?
A)
B)
C)
D)
E)
620
120
600
240
480
22. Un equipo de vóley consta de 10 integrantes
l)
¿De cuántas formas diferentes pueden sentarse las jugadoras titulares alrededor de una mesa
circular, si Luisa y Rosa siempre deben estar sentadas una diametralmente frente a la otra?
IN ¿De cuántas formas diferentes pueden sentarse las jugadoras suplentes y dos titulares alrededor
de una mesa circular, si estas dos úllimas nunca deben estar juntas?
A)
B)
C)
D)
E)
24,72
48, 48
72,72
64, 64
60,104
23, ¿De cuántas maneras diferentes 4 parejas de esposos se pueden ubicar en una mesa circular para
jugar UNO, si:
Dl
11)
varones y mujeres deben sentarse allternadamente?
las parejas de esposos siempre deben estar juntos?
A) 288, 96
B) 144,96
C) 112,96
D) 96,96
E) 96,144
44
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
SEMANA 7
Análisis Combinatorio
24.
En una pequeña clínica trabajan 8 médicos y 10 enfermeras, entonces:
Il)
¿Cuántas guardias diferentes de 3 personas se pueden realizar, sí siempre hay un médico y una
enfermera?
IN
¿Cuántas guardias diferentes de 4 personas se pueden realizar, si por lo menos hay un médico?
A)
B)
C)
D)
E)
640,
2 850
640,
3 060
144,
2 400
144, 1256
248, 1600
25, Para el partido contra Argentina por las eliminatorias al mundial, el técnico de la selección peruana a
convocado a 3 arqueros, 6 defensas, 6 mediocampistas y 7 delanteros ¿De cuántas formas distintas
puede armar el equipo si decide jugar el partido con larquero, 3 defensas, 3 mediocampistas y 4
delanteros?
A)
B)
Cc)
D)
E)
12000
2.400
1
3
42 000
26, ¿De cuántas maneras diferentes se puede colocar a 12 personas en tres ambientes de trabajo, si en
el primer ambiente pueden trabajar dos personas, en el segundo 6 personas y en el tercero 4
personas?
A) 11.200
B) 2400
C) 1200
D)
48
E) 13660
27. En un concurso para puestos de trabajo se han presentado 5 hombres y 6 mujeres
Il)
¿Da cuántas maneras diferentes se puede elegir un trabajador, si solamente hay una vacante?
Il)
¿De
cuántas
maneras
diferentes
se
puede
elegir un
hombre
y una
mujer
para
cubrir
dos
vacantes?
A) 12,30
B)
24,30
C) 11,30
D) 11, 12
E) 11,11
26, Un estudiante de la PRE debe contestar 10 de las 15 preguntas de RM en su examen final. ¿De
cuántas maneras diferentes puede escoger las 10 preguntas
1) sin ninguna restricción?
1) si las cinco primeras son obligatorias?
Il) si debe contestar 7 de las 10 primeras?
MOS
O: OC
ME.
O. aa
B) Cp: Cs- Cs-CS
C) CS Cs. CC,
DO
Oca
45
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
SEMANA 7
Análisis Combinatorio
29. Un vendedor de automóviles acaba de recibir un embarque de 15, de los cuales 10 son del modelo A
y 5 del modelo B ¿De cuántas maneras puede vender 4 de los automóviles,
Il) silos 4 son del mismo modelo”?
1H si dos son del modelo 4?
A) c+ có. cr cc
ect cra
C) ci, cy c;
D) cf, cr cz
E) cl +Cj, c+0
30. Seis hombres y seis mujeres compiten realizando cierta tarea. Si los seis primeros puestos son
ocupados por 4 hombres y dos mujeres. Sino hay empates, ¿de cuántas maneras diferentes llegarán
a ocupar los primeros seis puestos?
A)
B)
2)
D)
E)
162 000
225
12 400
33240
164 000
46
PROHIBIDA
SU
REPRODUCCIÓN
TOTALO
PARCIAL
SIN
PERMISO
DEL
CENTRÓ
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
E
PRE
HSA
UNALM
TÚ
INGRESO
aja
ES
DIRECTO
OPERADORES
MATEMÁTICOS PLANTEO DE ECUACIONES
Semana
CICLO
PROHIBIDA SU REPRODUCCION
INTENSIVO
TOTAL 'O PARCIAL SIN PERMISO
8
2021
DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO
+ UNALM
SEMANA 8
Operadores Matemáticos - Planteo de Ecuaciones
1.
Si! Py =14243+......+x,
2.
Si se define en los reales
hallar el valor de: E=
los operadores:
(Pa—-D-P00)Y
az
ta =D
b
(x)=0"" <a?
ba
y
y
A
a
verdadero(W) o falso(F) cada una de las siguientes proposiciones:
A)
B)
C)
D)
E)
+1
, califica con
o
FFF
VVV
FVF
VFV
FFV
a+l
3.
pre _gr+l
Sise define en los Reales: la] =
¡si "a" es par
E 3
, calcule;
¿si "a" esimpar
Ss
TJ 11/21
+[31+841+
e
TE
50d
2
A) 1444
B) 1260
C) 1300
D)
1 600
E) 1768
47
PROHIBIDA
SU
REPRODUCCIÓN
TOTALO
PARCIAL
SIN
PERMISO
DEL
CENTRÓ
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANA 8
Operadores Matemáticos - Planteo de Ecuaciones
4.
Se define en los números reales el operador: Tp = 1 +3+5+
R= (Tio—To)+HTe Tr) +TT)
HT TT
........ + (2n— 1), halle el valor de:
74)
A) 57
B)53
C) 51
D) 55
E) 59
5. Sien los números reales se define al operador: [x] = (x + 12, halle *n” der [n]||=100
A) Y2
B) 42+1
C) Y2 -1
D)2
E)4
MS
definen en los números reales los operadores
=x (x +2), calcule; O , si este es negativo,
A
Y
O,
S| se sabe que:
e
4-1
y
AJO
B) 4
C)-3
D) -5
E) -2
7.
Se
definen
en
aTb=a'+b"
A)
B)
C)
D)
E)
8.
los
Reales
las
:aNb=ad b, calcule:
siguientes
operaciones:
a0b=2(0X(2b);
alb=(2a)Tb,
405
2
12
9
16
20
Sienlos números reales se define el operador * y se cumples
E= (13
<2)+
La +b2 = -ab+2(4b + al) Calcule:
YE
AJO
B)1
c)2
D)3
Ej4
48
PROHIBIDA
SU
REPRODUCCIÓN
TOTAL
O
PARCIAL
SÍN
PERMISO
DEL
CENTRÓ
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANA 8
Operadores Matemáticos - Planteo de Ecuaciones
9: Sedelineen ksnúmerce resiós:
arpa
E?
y se dan las siguientes proposiciones:
A
L (a*b)+(b*a)=0
IL. SEx*y=3
>
x=24
IL a*b=(a+1)* (b-1)
Son verdaderas:
A)
B)
C)
DJ!
E)
Sólo |
Sólo 111
Sólo II
y Il
Il y 11
10. Dada la tabla:
calcule: B= (37 057)"
sia”
0271
0 47
representa a la inversa de a
Ay 1
B)2
C)3
D) 4
E)5
11.
Dado el conjunto A = (0; 1, 2; 3) y la operación S definida por la tabla:
¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son correctas?
S|0
Il. El elemento neutro es el 0
upo
1]
existe su inverso.
ll 'Yxe A,
l
1
3
1
2
3
2
3
0
0
1I,S es cerrado,
212
3
Iv. (0 s 0)+(051)+(0 S 2)+ (05 3)=37 427417,
313
0
siendo a?
a
01
1
4
¡inversa de a
A)1
B)2
C)3
D)4
EJ0
paje
¡a
Ej o
|||
a |
rs
[Ej
irje
clara
ajoljoeja oO
12, Dada la tabla:
Calcule: (x e y) 0 z, sise sabe que: (a 9 b)0 x=c , ((b0y)0c)0a=a
y (a0b)0 (202 )=e
mas
BJb
Cje
D)d
E) ab
49
PROHIBIDA
SU
REPRODUCCIÓN
TOTAL
O PARCIAL
SIN
PERMISO
DEL
CENTRÓ
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANA 8
Operadores Matemáticos - Planteo de Ecuaciones
13. Sea
* la operación definida en el conjunto A = (a, f, y) mediante la siguiente tabla:
De las siguientes afirmaciones:
l. La operación
$ cumple:
xR
*
x=x,WxeA
a
ll, La operación
$ es conmutaliva
111. El elemento neutro de $ es f
MW, (Cert att y)e
O
ly
pla
a
p
fp
y
a
p
A
a
q
y
Son ciertas:
Aly!
B) Il y 11
2)!
y1
D) Todos
E) Sólo IV
14, De acuerdo a la tabla:
Calcule:
(1704 (27D4 (373) + ccccnnnion +(50750)+(12 10) + (1224 (12 Dunn
"
(CD+(C7DA+AATDA (ADA
recrccirm
FS
+ (1250)
D
A) 251/49
B)6
Cc) 129/26
D)5
E) 249/51
15. Si:
La),
=
Ay
Aya
pr
day
dy
yy
[9 WAN
.
mn
Ami
Calcule:
Ay Fa
Ami
Md
Ay
wo
o...
.
.
ree... Ba
;
An | y se define ol operador: | A)
413
-
a
sra
As
np
a
aj
=[—
=1
y
dia]
.
, 58
:
=
i<j
y
Fa
Pa
A)5
B)7
cy10
-D)4
EJ6
50
PRO HIBIDA
SU
REPRODUCCIÓN
TOTAL
O PARCIAL
SIN
PERMISO
DEL
CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANA 8
Operadores Matemáticos - Planteo de Ecuaciones
16. Un alumno tiene que multiplicar un número por 30; pero se olvida de poner un cero a la derecha del
producto; por lo que obtiene un resultado que difiere del verdadero en 5/51. Hallar dicho número.
A)639
B)1917
C0)213
D)219
E) 426
17, En un congreso, si los integrantes se sientan de 3 en 3 sobrarían 4 bancas y si se sientan de 2 en 2,
se quedarian de pie 18 integrantes. ¿Cuántas bancas hay en el congreso?
A)
B)
C)
D)
E)
20
30
50
25
30
18, Dos trenes marchan
sobre
vlas
paralelas
en
sentido
contrario, con velocidad
de
18
y 24
kmih.,
respectivamente. ¿Cuál es la longitud del segundo tren, si un observador colocado en el primer tren
observa que demora 12 seg. en pasar?
A)
B)
C)
Dj
E)
140 m.
110 m.
130 m.
120 m.
240m
19. Halle la suma del menor ángulo que forman las manecillas de un reloj a las 3h 40' con el menor ángulo
que forman las manecillas de otro reloj a las 6h 20".
A) 110?
B)
C)
D)
E)
130>
200*
240*
300*
20. Juan tiene (2x—4), (x + 2) y (x— 2) billetes de S/. 10 S/, 20 y Sf. 50 respectivamente. ¿Cuánto tendrá
ahorrado, si al cambiarlos a billetes de S/, 100 obtiene el mismo número de billetes de S/, 50 que tenía
inicialmente?
A)
8)
C)
D)
E)
800
250
1250
980
620
51
PROHIBIDA
SU
REPRODUCCIÓN
TOTAL
O PARCIAL
SIN
PERMISO
DEL
CENTRÓ
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANA 8
Operadores Matemáticos - Planteo de Ecuaciones
21. Se compran dos piezas de tela: una a "x” soles el metro y otra, que tiene "x” metros más, a "y" soles
el metro; si por cada pieza se pagó lo mismo, ¿Cuántos metros se compraron en total?
A)
x(x + y)
B)
U-x)
x+ y
y
C)
D)
y(x + y)
(x - y)
x(x
+ y)
(y)
x(xy +1)
E)
(1y)
22. Las edades de dos personas son a y b (a>b). Si el doble de la edad de dos personas es "x"; si dentro
de "y" años la edad de uno es el doble de la edad del otro hace "y" años.
Entonces ¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son ciertas?
) La edad del mayor es 22
11) La edad del menor es —=
111) El mayor excede al menor en X años
y
WW) La edad del mayor excede al del menor en x años.
E
V) El producto de sus edades es S
3
2 y
Ay1
B)2
c)3
D)J5
EJ4
23. Para ganar "y” soles en la rifa de un cuadro se han mandado a imprimir “x” boletos, pero solamente
se han vendido “a” de ellos, perdiéndose *p" soles. ¿Cuánto cuesta cada boleto?
A)
p=y
x-áa
B)
px-y
a
q) PY
A=x
52
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SÍN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
SEMANA 8
Operadores Matemáticos - Planteo de Ecuaciones
24, Una persona pidió al vendedor
de una tienda 4 pañuelos de seda y “n” pañuelos corrientes, El precio
de los pañuelos de seda es el doble de los pañuelos corrientes. El vendedor confundió el pedido y
despachó *n” pañuelos de seda y 4 pañuelos corrientes. Esta confusión dio lugar a que el valor de la
compra aumentara en 50%. El número de pañuelos corrientes del pedido original fue :
A) 12
B) 18
C) 14
D) 16
E) 15
25, Existe cierta cantidad de postes con travesaños horizontales y cierta cantidad de palomas. Cuando
se para una paloma en cada poste hay "n" palomas volando, pero cuando en cada poste se posan "n”
palomas hay *n” postes vacios. ¿Cuánto postes hay?
ER
ni+1
53
PROHIBIDA
SU
REPRODUCCIÓN
TOTAL
O
PARCIAL
SÍN
PERMISO
DEL
CENTRÓ
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
E
PRE
HSA
UNALM
TÚ
INGRESO
aja
ES
DIRECTO
PLANTEO DE ECUACIONES PLANTEO DE INECUACIONES
Semana
CICLO
PROHIBIDA SU REPRODUCCION
INTENSIVO
TOTAL 'O PARCIAL SIN PERMISO
9
2021
DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO
+ UNALM
SEMANA 9
Planteo de Ecuaciones
1,
= Planteo de Inecuaciones
En una fiesta habian tantas chicas por cada chico, como chicos habian. Si en total hay 420 personas
entre chicas y chicos. ¿Cuántas chicas quedaron luego que cada uno de la mitad de los chicos se
retiren acompañados de 7 chicas?,
A)
B)
C)
D)
E)
240
260
330
160
200
Un hotel tiene 4 pisos: el número de habitaciones de cada piso son números consecutivos crecientes,
desde el primer piso y cada habitación del hotel tiene tantas ventanas como habilaciones hay en el
respeclivo piso. Si el número de ventanas del último piso y el número de habitaciones del primer piso
suman 69. ¿Cuántas habitaciones hay en el hotel?
A)
B)
C)
D)
E)
26
25
30
28
29
3. Reynaldo quiere sembrar un terreno de forma cuadrada, plantando rosas a ¡igual distancia unas de
otras, tanto en el sentido de la longitud como en el del ancho. La primera vez le falla 17 y la segunda,
en que posee una menos por fila y por columna, le sobran 56 rosas. ¿Cuántas rosas tiene?
A) 1 360
B)2 704
C)4720
D) 1240
E) 1 352
Un terreno cuadrado se vende en dos lotes, el primero en un rectángulo uno de cuyos lados mide 30m
y el otro z del lado del cuadrado, el segundo lote se vende en S/. 12400 a razón de S/. 2,50 el metro
cuadrado.
Hallar el lado del terreno cuadrado,
A) 80m
B) 40m
C) 60m
D) 100m
E) 30m
54
PROHIBIDA
SU
REPRODUCCIÓN
TOTAL
O PARCIAL
SIN
PERMISO
DEL
CENTRÓ
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANA 9
Planteo de Ecuaciones
5.
= Planteo de Inecuaciones
Desde uno de los vértices de un parque rectangular, Luis en lugar de caminar a lo largo de los lados
de un rectángulo para llegar al otro extremo, decide hacerlo por la diagonal, ahorrándose asi caminar
la mitad del lado mayor. Hallar la razón entre el lado menory el lado mayor del rectángulo.
A)
B)
C)
D)
E)
3/4
1/2
5/7
8/9
2/5
En los gráficos se muestran dos motociclistas ubicados en A y B. Silos motociclistas parten al mismo
tiempo con velocidades constantes en sentidos contrarios de los puntos “A” y “B”, se produce el 1er
encuentro a una distancia de “p” kilómetros de “B”. Si luego ambos motacielistas a la misma velocidad
anterior continúan su camino hasta llegar al otro extremo y regresar se produce un 2do encuentro a
"q" kilómetros "A”. Halle la distancia d en función de p y q.
A) 3 -p
C)2p + 3q
AN
1er encuentro
E
A
D) 2p - pg
E) 5p- 3q
O
d
—
Z
—3
2do encuentro
- ANS
——%—3
A
A
—y
8
Jorge le dice a Rosario: "Yo tengo el triple de la edad que tú tenias, cuando yo tenía la edad que tú
tienes. Pero, cuando tú tengas, la edad que yo tengo, nuestras edades sumarán 105 años”. Hallar la
edad de Jorge y Rosario y dar como respuesta la suma de sus edades actuales.
A) 62
B)75
C) 80
D) 45
E) 50
años
años
años
años
años
En la prueba de un alumno, los problemas resueltos y no resueltos están en la relación de 2 a 3,
Dentro de los problemas contestados, el número de problemas resueltos correctamente y los que no,
están en la relación de 1 y 2, Siel total de problemas no resueltos excede a los problemas resueltos
incorrectamente en 25 ¿Cuántos problemas tenla la prueba?
A) 60
8) 90
C) 100
D) 75
E) 50
La suma de 3 números es x,, la diferencia del mayor con la mitad del menor es x, y la diferencia del
otro con la mitad del menor es x,. Hallar el número que no es el mayor ni el menor,
A) le] x3 +3x
)r4
8) (x, -x,+3x,)/4
CG) (x, =x, +31x,)/4
D)
13 +3x,)/4
E) (x, —x, +3x,)/4
55
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
SEMANA 9
Planteo de Ecuaciones
= Planteo de Inecuaciones
10. Un número entero consta de tres digitos. El dígito de las centenas es la suma de los otros dos, y el
guintuplo del de las unidades es igual a la suma de las decenas y del de las centenas. ¿Hállese este
número sabiendo que si se invierten los digitos resulta disminuido en 5947
A)
B)
C)
D)
E)
369
639
936
963
666
11, Un jat voló de Lima al Cuzco una distancia de 4 200 kilómetros. La rapidez del viaje de regreso fue de
100 kilómetros por hora mayor que la de ida, Si el total del viaje tomó 13 horas ¿Cuál fue la velocidad
de Lima al Cuzco en km/h?
A) 200
8) 300
C) 600
D) 240
E) 320
12. Los ornitólogos han determinado que algunas especies de pájaros tienden a evitar volar sobre grandes
extensiones de agua durante
tierra y cae sobre el agua, lo
se libera un pájaro desde el
cercano de una costa. El ave
el día porque durante esas horas el aire se eleva generalmente sobre
que hace que volar sobre el agua requiera de más energía. En una isla
punto 4 que se encuentra a 5 millas (en linea recta) del punto B más
vuela al punto € de la costa y luego a lo largo de la misma hasta su área
de anidación en D, como se muestra en la figura. Suponga que el pájaro tiene una reserva de energía
de 170 kilocalorias, y que utiliza 10 kllocalorías por milla al volar sobre la tierra y 14 kilocalorias por
milla al hacerlo sobre el agua,
¿Dónde deberá estar localizado el punto € con respecto a B, de manera que utilice exactamente 170
kilocalorias durante su vuelo si esta distancia es mayor de 6 millas?
A) 6 2/3
B) 3 3/4
c)6
DJ3
o
Ñ
s mitos
MAR
xo
EJAyB
Área de
c
La
anidación
12 millas
TIERRA
,
13. La representación simbólica de la expresión: “El doble de un número real n no es menor que el cubo
de otro número real m, disminuido en 10; pero no es mayor que el triple del número real m "
A) In2(m-10)
¿4 2nS3m
B) 2n>(m-10)
v 2n<3m
C) Tn2m*-10
a 2nS3m
D) m'-10<20<3m
E) Más de una altemaliva es correcta,
56
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
SEMANA 9
Planteo de Ecuaciones
= Planteo de Inecuaciones
14. La representación simbólica de la expresión: “El cuadrado de la mitad de mi edad, no es mayor que
el triple de mi edad más dos años, pero es mayor que 3 años menos que mi edad"; es:
A) e-3<(5)
2
< 3(e+2)
2
a) e-3<(5)
<+2
eV
C) e-3<($)
2
D) (5) <Je+6
<He+ 2)
v (5)».-3
E) Mas de una alternativa es correcta,
15.SlaeRy4<a <
10; cuál de los siguientes números puede ser el promedio de: 2,5,6,8,9, a:
Aj 4,3
B)6,2
07.8
D) 39,1
E) 10
16. En un determinado instante de una fiesta, el número de varones es al de mujeres como 7 es a 8.
Además el triple del número de personas, menos 20 es menor que 430, pero el doble del número de
varones mas 1 es mayor que el número de mujeres aumentado en 50. Si el número de mujeres debe
ser menor que 73, ¿Cuál es el número de varones que hay en la fiesta?
A)
B)
C)
D)
E)
96
112
115
100
63
17. Un arquitecto desea delimitar un terreno rectangular de por lo menos 3150 m? y para ello tiene 450
metros de cerca disponibles. Encuentra la menor longitud del ancho del terreno, si esta es un número
entero.
A) 12m
B) 15m
C) 20m
D) 18m
E) 24m
18, Si se sabe que a un noveno de la diferencia del triple de la edad de Mayra y 27años resulta mayor
que 8 años; y la quinta parte de la suma del doble de la edad de Mayra y 3 años es menor que 16
años, ¿Cuál es la edad de Mayra, si es múltiplo de 37
A) 48 años
B) 36 años
C) 24 años
D) 40 años
E) 44 años
57
PROHIBIDA
SU
REPRODUCCIÓN
TOTAL
O PARCIAL
SIN
PERMISO
DEL
CENTRÓ
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANA 9
Planteo de Ecuaciones
= Planteo de Inecuaciones
19. Se desea determinar la diferencia entre los costos de comprar y rentar un carro. Si se puede rentar
un carro por $350 mensuales (con una base anual), bajo este plan el costo por kilómetro (gasolina y
aceite) es de $0,20. Si comprase el carro, el gasto fijo anual sería de $2500 más $0,28 por kilómetro
¿Cuál es el número máximo de kilómetros que deberá recorrer al año para que la compra sea más
barata que la renta?
A)
B)
G)
D)
E)
21
21
42
42
24
250 km
249 km
500 km
449 km
999km
20, Una compañía debe ensamblar 1000 televisores en una semana gastando no mas de 6000 dólares
por concepto de mano de obra. Si el costo de mano de obra por ensamblar una unidad durante las
horas diurnas es de $5 y 57 el de las nocturnas ¿Cuál es el minimo número de televisores que deben
ser ensamblados en las horas diumas?
A)
B)
C)
D)
250
300
500
400
E) 450
21, El costo de mantener una cuenta corriente en el banco CREMA-NORTE es de 12 soles por mes más
0,1 soles por cheque girado. En el banco BLANQUI-AZUL cobra 10 soles por mes mas 0,14 por
cheque girado. ¿A qué tipo de clientes les conviene el banco CREMA —-NORTE en lérminos del costo
total mensual?
A)
B)
C)
D)
Aquellos
Aquellos
Aquellos
Aquellos
que
que
que
que
giran
giran
giran
giran
menos
menos
mas de
sólo 30
de 50 cheques al mes
de 40 cheques al mes
40 cheques al mes
cheques al mes
E) Aquellos que giran mas de 50 cheques al mes
22. La Pre de la Universidad Agraria debe decidir rentar o comprar un equipo completo de actividades
(Toldos, mesas, sillas, equipo de sonido, luces, etc.). Si el pago de la renta mensual sería de $ 600
(considere que la utilizará un año),y el costo diario ( transporte y personal) seria de $60 por cada dia
que sea utilizada. Si la compra, su costo fijo anual será de $4000, y los costos de personal y
mantenimiento serian de $ 80 por cada día que el equipo sea ulilizada ¿Cuál es el número minimo de
días al año que tendría que usarse el equipo para justificar la renta en lugar de la compra?
A)
30 días
B) 25 días
C)
40 días
D)
E)
41 días
50 días
58
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
SEMANA 9
Planteo de Ecuaciones
23. Mediante el
una rapidez
entonces su
intervalo de
= Planteo de Inecuaciones
cálculo se puede demostrar que si una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con
inicial de 16 pies/'segundo desde la parte superior de un edificio de 128 pies de alto,
altura h sobre el piso después de t segundos será de: h=128 +161—161”, ¿Durante qué
tiempo estará la pelota por lo menos 32 pies por arriba del nivel del suelo?
a) E2;3]
B) (-2;3)
c) [0;3]
D) (0,3)
E) [0;5]
24, Cerca a una fogata, la temperatura Ten
determinada por ''=
*C a una distancia de x metros del centro del fuego está
A: . ¿En qué intervalo se encontrará la distancia desde el centro del fuego
x? + 300
para que la temperatura sea mayor que 500*C?
A) (-30; 30)
8) [0 30)
C) (-30; 0]
D) [15; 30)
E) [10; 30)
59
PROHIBIDA 5U REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
Es
UNALM
TÚ
INGRESO
Cp
ES
DIRECTO
CUATRO OPERACIONES PERÍMETROS Y ÁREAS
Semana
CICLO
PROHIBIDA SU REPRODUCCION
INTENSIVO
TOTAL 'O PARCIAL SIN PERMISO
10
2021
DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO
+ UNALM
SEMANA
Cuatro
10
Operaciones
- Perimetros
y Áreas
1. Unos alumnos hacen una colecta para adquirir una pelota para su equipo de Básquel. Si c/u colaborase
con 3 soles fallarian 20 soles, entonces deciden aumentar la colaboración a 3,5 soles y ahora les
alcanza y sobra 5 soles. ¿Cuánto cuesta la pelola?
A) 150
B) 170
C) 180
D) 120
E) 125
2. Una persona ingreso a un restaurante, gasió la milad de lo que lenía y dejo 3 soles de propina: Luego
ingreso a una heladería, gastó la mitad de los que aún le quedaba y dejó 2 soles de propina,
quedándose sin dinero. Entonces es cierto que:
A) Ingresó a la panaderia con 12 soles
8) Ingresó a la heladería con 5 soles
C) Lo que gastó en la heladería es mayor a lo que dio de propina
D) Inicialmente tenia 14 soles
E) Lo que gastó es menor que la mitad del dinero que tenía inicialmente
3. En un pozo lleno de agua se sabe que su nivel desciende diariamente 4 metros por debajo de su
mitad, quedando vació al cabo del cuarto día, ¿Qué altura tendría el pozo de agua si hubiera quedado
vacio sólo en tres dias?
A) 120 m.
8) 96 m.
C) 64 m.
O) 40 m.
E) 56 m.
4. Tres jugadores: Á, B y € acuerdan que después de cada partido el perdedor duplicará el dinero de los
otros dos. Habiendo perdido cada jugador una partida en el orden ABC, resulta que el 1* liene 24
soles, el 2? 28 y el 3* 14, Entonces no es cierto que:
AJA
B) B
E) €
D) El
E) El
pierde 12 soles
gana 3 soles
gana 4 soles
dinero de A se reduce a sus 2/3
dinero de B se incrementa en un 40%
5. Sicolocamos a lo largo de una línea 12 monedas de 3 soles tienen el mismo ancho que 10 monedas
de 1 sol, sí colocamos 24 monedas de 50 céntimos de sol equivalen 10 monedas de 5 soles, si
colocamos 30 monedas de 1 sol equivalen a 8 posavasos de Inka Kola. Sia lo largo de la linea se
colocan 5 posavasos de Inka kola, entonces equivale a:
4) 20 monedas de 5 soles
8) 16 monedas de 1 sol
C) 36 monedas de 0,5 soles
D) 50 monedas de 5 soles
E) 54 monedas de 0,5 soles
60
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL SIN PERMISO DEL CENTRO PREUNIVERSITARIO - UNALM
SEMANA
Cuatro
10
Operaciones
- Perimetros
y Áreas
5. Un pueblito de la sierra que produce papa, tiene por costumbre hacer “trueques”
vecinos que les permite conseguir productos que ellos no producen, es asi que por
lo pueden cambiar por 15 kilos de choclo, por 5 kilos de papa lo pueden cambiar por
por 2 kilos de papa lo pueden cambiar por 3 kilos de queso fresco. Por lo tanto,
siguientes proposiciones son ciertas:
1)
con los pueblos
10 kilos de papa
6 kilos de oca y
cuantas de las
1 kilo de choclo equivale a 2 kilos de oca
IM 1 kilo de choclo equivale a 2 kilos de queso fresco
1) 1 kilo de queso fresco equivale a 4 kilos de oca
MW) 1 kilo de oca equivale a 3 kilos de choclo
VW) 1 kilo de papa equivale a 5 kilos de choclo
A) 1
B)5
c)3
DJ4
E) Ninguno
7. En una librería
nuevos, por un
puede camblar
canjearlo en la
NOTA:
se tiene la siguiente oferta: por 1 lapicero usado se puede cambiar por 2 borradores
borrador usado se puede cambiar por dos tajadores nuevos y por un tajador usado se
por 5 hojas bond A4 nuevos. ¿Cuántos lapiceros usados debería tener para que al
librería pueda obtener 1 ciento de hojas bond 44 nuevas?
tener en cuenta
que al comprar un articulo este se usa y en consecuencia
puede
luego ser
canjeado.
A)6
B)5
C)4
D)7
EJAa
8. En un mercado por 3 kilos de arroz, dan 5 kilos de azúcar, de la misma manera por 8 kilos de azúcar
dan 4 kilos de frijoles, por 10 kilos de frijoles dan 2 kilos de carne de res. Es cierto que:
A) Por 2kg de arroz nos darán Bkg de frijoles
BE)
C)
D)
E)
53.
Por
Por
Por
Por
1kg de frijoles nos darán 1 kg
5kg de came nos darán 30 kg
1kg de arroz nos darán 3kg de
10kg de frijoles nos darán 5kg
de camo
de arroz
came
de arroz
Calcule el perímetro de la región sombreada.
AJTR
BZ R
)
4
c 3R
) z
D)3xR
R
EJ2xR
61
PROHIBIDA
SU REPRODUCCIÓN
TOTAL O PARCIAL SÍN PERMISO DEL CENTRO
PREUNIVERSITARIO - UNALM
SEMANA
Cuatro
10
Operaciones
- Perimetros
y Áreas
10, Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide “a" cm.
¿Cuánto mide el área de la región sombreada?
da?
B
da?
A
Ay ÉL
dE
11. En la figura se muestran los cuadrados “A”, "B” y*C",
llas Perimetrode
A + Perimetrode
B,
Calcule el valor da:
Perimetrode (A +B +C) +semiperimetro
de A
Perimetrode €
perimetrode (A+B)
A) 1/2
B) 1/4
G
C) 3
D) 1/8
”
E) 1
A
12. Si el lado del cuadrado mide 4m, entonces el área del círculo sombreado, en m? :
B
A) 2571/9
c
H
/
+
B) 211/3
C)16x/9
E
D) 2571/16
AS
H—3D
A—H
391/16
13. Enla figura, ABC es un triángulo cuya área es 240 mf,
Determine el área, en m?, de la región sombreada.
A) 110
B) 120
-C) 96
-D) 80
E) 100
62
PROHIBIDA
SU REPRODUCCIÓN
TOTAL
O PARCIAL
SÍN
PERMISO
DEL
CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANA
Cuatro
10
Operaciones
- Perimetros
y Áreas
14, Halle el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de lado 6 cm.
B
A
A) F(6n-6 43 ) cm?
E) q Or-243 ) cm?
C) 181-343 cm?
|
D) 41123 cm?
G
D
E) 151-1943 cm?
15. El triángulo ABC tiene un área que mide 15 m?, ¿cuánto mide el área de la región sombreada?
A)
B)
6m?
3m?
C) 8 m?
D) 5m?
E) 10 m?
16. Calcule el perímetro de la región sombreada, sl r=2 u.
A) (3n+4+443)u
B) (3+ 2x2 u
C)(2+31
2 u
D) (21. + 443
+ 2)u
E) V2(4,/3+4+3x)u
17. En la siguiente figura. ¿Cuál es el área del triángulo sombreado, si el área del hexágono regular es
Ku?
Aj)
2
B)
K/3
C) K4
D) KY6
E)
KB
63
PROHIBIDA
SU
REPRODUCCIÓN
TOTAL
O
PARCIAL
SIN
PERMISO
DEL
CENTRÓ
PREUNIVERSITARIO
- UNALM
SEMANA 10
Cuatro Operaciones - Perimetros y Áreas
18,
Sabiendo que ABCD es un cuadrado de 6 m de lado,
enlonces el perímetro de la parle sombreada es:
A) 21(3)
B) An +3)
C) 2(21 +3)
D) Ax +2)
E) Ar +1)
19.
Enla figura, ABCD es un cuadrado; P, QA, RyS
son puntos medios. Halle el área de la región
sombreada.
Q
B
A) 8 u*
B) 4 u?
C)6 u*
D)2 u?
E) 3,75 4?
Z0.
Enla siguiente figura, halle el área de la región
sombreada, si: DA=2 y BC=42, además "O"
centro del cuadrante AOB.
B
e
A)
B) 55H
C)rx
D)
1
Ej 4n
64
PROHIBIDA
SU REPRODUCCIÓN
TOTAL
O PARCIAL
SIN
PERMISO
DEL
CENTRO
PREUNIVERSITARIO
- UNALM