Transformación de Coordenadas de un Sistema a Otro

Transformación de Coordenadas
de un sistema a otro
Escrito Por:
Estudiante U.A.G.R.M
Santa Cruz - Bolivia
Es obvia la importancia que la elección adecuada de coordenadas tiene para
poder explicitar matemáticamente la solución de diversos problemas tanto
de la Matemática, como de la Física. Mostramos aquí los tópicos sobre
coordenadas cartesianas, esféricas y cilíndricas, con un pequeño repaso a la
expresión del gradiente, la divergencia y el rotacional.
LAS COORDENADAS RECTANGULARES O CARTESIANAS:
- Definición:
Dado un vector r del espacio tridimensional y tres planos que se
cortan en el punto origen de r, se definen las coordenadas
cartesianas como las tres proyecciones ortogonales del vector sobre
las tres aristas de intersección de los planos perpendiculares.
Cartesianas
Llamaremos a las tres proyecciones
x1, x2, x3, y los planos
correspondientes los identificaremos
por yz, zx, xy.
Es inmedianto que si se mantiene
fija una de las tres coordenadas
cartesianas, las otras dos definen un
plano, que será paralelo a uno de los
planos de referencia del triedro
sobre el cual se proyecta el vector.
El valor de la coordenada que se fija
es la distancia entre ambos planos.
- Vectores unitarios o versores:
Puesto que las proyecciones son perpendiculares, cada uno de los tres vectores
unitarios se puede definir a lo largo del eje de variación de cada una de las
coordenadas con dos de las componentes nulas:
vector
a lo largo del eje de variacion de la coordenada x.
vector
a lo largo del eje de variacion de la coordenada y.
vector
a lo largo del eje de variacion de la coordenada z.
- Superficies que definen:
Al fijar una de las tres coordenadas rectangulares y hacer variar a las otras dos, las
superficies que quedan definidas son, obviamente, los tres planos perpendiculares
de partida.
- Variación infinitesimal de las coordenadas:
En la variación de un punto del espacio, su vector de posición varía de acuerdo con
variaciones infinitesimales de las coordenadas dx1, dx2, dx3:
Variación respecto a x1: dx1
Variación respecto a x2: dx2
Variación respecto a x3: dx3
- Elemento diferencial de un vector:
- Elemento diferencial de arco:
- Elemento diferencial de superficie:
- Elemento diferencial de volumen:
Esféricas
LAS COORDENADAS ESFÉRICAS:
Dado un vector r del espacio tridimensional y tres planos que se cortan en el punto
origen de r, se definen las coordenadas esféricas como las tres números que se
obtienen desde las proyecciones ortogonales del vector sobre las tres aristas de
intersección de los planos perpendiculares, por las relaciones siguientes.
o bien:
- Vectores unitarios o versores:
Con referencia a los vectores unitarios que definen las proyecciones ortogonales del
vector sobre las aristas del triedro, podemos expresar los tres vectores unitarios en
las direcciones de variación de las coordenadas esféricas:
vector
a lo largo del eje de variacion de la
coordenada radial .
vector
a lo largo del eje de variacion de la
coordenada angular .
vector
a lo largo del eje de variacion de la coordenada angular
.
- Superficies que definen:
Si se mantiene fija la coordenada radial, las dos coordenadas angulares definen una
superficie esférica. Si, por el contrario, la coordenada que se mantiene fija es el
ángulo que el vector forma con el eje z, entonces las otras dos coordenadas definen
un semicono, y, finalmente, si la coordenada que se mantiene fija es el ángulo
contenido en el plano xy, entonces las otras dos coordenadas esféricas definen un
plano.
- Variación infinitesimal de las coordenadas:
En la variación de un punto del espacio, su vector de posición varía de acuerdo con
variaciones infinitesimales de las tres coordenadas:
Variación respecto a :
Variación respecto a :
Variación respecto a :
- Elemento diferencial de un vector:
- Elemento diferencial de arco:
- Elemento diferencial de superficie:
- Elemento diferencial de volúmen:
Cilíndricas
LAS COORDENADAS CILÍNDRICAS:
Dado un vector r del espacio tridimensional y tres planos que se cortan en el punto
origen de r, se definen las coordenadas cilíndricas como las tres números que se
obtienen desde las proyecciones ortogonales del vector sobre las tres aristas de
intersección de los planos perpendiculares, por las relaciones siguientes.
o bien:
- Vectores unitarios o versores:
Puesto que las proyecciones son perpendiculares, cada uno de los tres vectores
unitarios se puede definir a lo largo del eje de variación de cada una de las
coordenadas con dos de las componentes nulas:
vector
vector
vector
a lo largo del eje de variacion de la coordenada radial
.
a lo largo del eje de variacion de la coordenada
angular .
a lo largo del eje de variacion de la coordenada longitudinal h.
- Superficies que definen:
Si se mantiene fija la coordenada radial contenida en el plano XY, entonces las
otras dos coordenadas definen la superficie lateral de un cilindro, mietras que si se
mantiene fija la coordenada angular, contenida en el plano XY, la variación de las
otras dos coordenadas definen un plano que es perpendicular al plano XY, y,
finalmente, si se mantiene fija la coordenada h en la dirección perpendicular al
plano XY, la variación de las otras dos coordenadas definen trivialmente un plano
paralelo a XY.
- Variación infinitesimal de las coordenadas:
En la variación de un punto del espacio, su vector de posición varía de acuerdo con
variaciones infinitesimales de las tres coordenadas:
Variación respecto a :
Variación respecto a :
Variación respecto a h:
- Elemento diferencial de un vector:
- Elemento diferencial de arco:
- Elemento diferencial de superficie:
- Elemento diferencial de volumen :