GUÍA DE EJERCICIOS DE ANUALIDADES ORDINARIAS, ANTICIPADAS Y DIFERIDAS ROBERTO CARLOS JEREZ. MATEMÁTICA FINANCIERA.-2-8

MATEMÁTICA FINANCIERA.
ANUALIDADES.
Operación de valor actual
Pagaré 1: 25,000 (1 + 0.06)-1
Resultado
Pagaré 1: 25,000 (1 + 0.06)-2
$22,249.91
Pagaré 1: 25,000 (1 + 0.06)-3
$20,990.48
Pagaré 1: 25,000 (1 + 0.06)-4
$19,802.34
Pagaré 1: 25,000 (1 + 0.06)-5
$18,681.45
Pagaré 1: 25,000 (1 + 0.06)-6
$17,624.01
Valorización actual
Total: 122,933.10
$23,584.91
Respuesta: El valor actual de seis pagarés, con vencimientos escalonados en forma
cuatrimestral, cada uno de $25,000 a una tasa del 6% cuatrimestral es de $122,933.10.
3- En la compra de un automóvil nuevo que cuesta $145,000 al licenciado Ugalde le reciben
su automóvil usado en $55,000. ¿Le convendría pagar el resto en 36 mensualidades
vencidas de $3 500 si lo más que se desea pagar de interés es 2% mensual?
Solución:
Valor de contado: 145,000 – 55,000 (valor del automóvil usado) = 90,000 valor a
pagar.
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
M = $90,000
𝐶=𝑅
𝑖
R = 3,500
C = 3,500 (1- (1+0.02)-36 / 0.02)
i = 2% mensual
C = 89,210.95
n = 36 mensualidades
C = $89,210.95
Respuesta: Al Licenciado Ugalde si le conviene adquirir el automóvil mediante el pago de
36 mensualidades vencidas de $3,500. Esto, dado que él se ahorraría de gastar una
cantidad de $789.05.
4-¿Cuánto debe invertir el señor Juárez al final de cada mes durante los próximos 7 años
en un fondo que paga 13.5% convertible mensualmente con el objeto de acumular $100,000
al realizar el último depósito?
M = $100,000
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Página
El Sr. Juárez busca encontrar el valor de la renta, para determinar el objetivo del
monto.
2
Solución:
MATEMÁTICA FINANCIERA.
ANUALIDADES.
𝑀=𝑅
R = $721.49
i = 13.5 / 12 = 1.125% mensual.
n = 84 meses.
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
100,000 = R (1 + 0.01125)84-1 /
(0.01125)
100,000 = R138.602198
R = 100,000 / 138.602198
R = $721.49
Respuesta: El Sr. Juárez al final de cada mes, durante los próximos 7 años en un fondo
que paga 13.5% convertible mensualmente con el objetivo de acumular $100,000 debe
depositar una cantidad de renta de $721.49.
5- ¿Cuál es el monto de 18 depósitos mensuales de $5,000 en una cuenta de inversión
que paga 0.3% mensual?
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑀=𝑅
𝑖
Solución:
M = $92,332.14
R = $5,000
M = 5,000 ((1+0.003)18-1 /
0.003)
i = 0.3% mensual.
M = 92,332.14
n = 18 depósitos mensuales.
Respuesta: El monto final de 18 depósitos mensuales de $5,000 en una cuenta de inversión
que paga 0.3% mensual es de $92,332.14
6-¿Cuántos pagos de $136,211.25 sería necesario hacer cada fin de año para liquidar una
deuda de $450,000 si el interés es de 30% anual?
Solución:
i = 30% anual
n = 18 pagos
450,000 = 136,211.25 (1-(1+0.30)-n/ 0.30)
= (450,000 (0.30) / 136,211.25) = 1 – (1.30)-n
= 0.991107562 = 1 – (1.30)-n
= 0.991107562-1 = -1.30-n
= - 0.008892438 = -1.30-n
= 1/1.30n = 0.008892438
= 1.30n = 1 / 0.008892438
= n log 1.30 = log 112.4550995
n = log 112.4550995 / log 1.30
n = 18
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3
C= 450,000.00
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
Página
R = $136,211.25
𝐶=𝑅
MATEMÁTICA FINANCIERA.
ANUALIDADES.
Respuesta: Para liquidar una deuda de $450,000 con interés del 30% anual, es necesario
hacer 18 depósitos anuales de $136,211.25.
7- ¿Cuántos pagos mensuales de $45,000 serían necesarios para liquidar una deuda de
$2, 000,000 contraída hoy por intereses de 30% anual convertible mensualmente?
𝐶=𝑅
Solución:
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
R = $45,000
2, 000,000 = 45,000 (1-(1+0.025)-n/ 0.025)
C= 2, 000,000
= (2, 000,000 (0.025) / 45,000) = 1 – (1.025)-n
i = 30% / 12 = 2.5%
= 1.11 = 1 – (1.025)-n
n = 89.38
= 1.11 - 1 = -1.025-n
= 0.11= -1.025-n
= 0.11 = 1/1.025n
= 1.025n = 1 / 0.11
= n log 1.025 = log 9.09
n = log 9.09 / log 1.025
n = 89.38
Respuesta: En este ejercicio, es importante reconocer que los intereses de la deuda son
mayores a los pagos que se estarían realizando, entonces no es posible lograr la
cancelación de la deuda con $45,000 mensuales, debido a que los intereses generados
mes a mes, son de $50,000, una cantidad relativamente mayor.
8-Calcular el valor futuro y el valor presente de la siguiente anualidad ordinaria. $2.000
semestrales durante 8 ½ años al 8%, capitalizable semestralmente.
Solución:
𝑀=𝑅
M = $47,395.02
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
𝐶=𝑅
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
C = $24,331.34
M = 2,000 ((1+0.04)17-1 / 0.04)
C = 2,000 (1- (1+0.04)-17 / 0.04)
R = $2,000
M = 47,395.02
C = 24,331.34.
i = 8% / 2 = 4%
Página
Respuesta: El valor actual de una anualidad ordinaria (vencida) de $2,000 semestrales
durante 8.5 años al 8% capitalizable semestralmente es de $24,331.34 y su monto final es
de $47,395.02.
4
n = 8.5 años = 17 semestres
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MATEMÁTICA FINANCIERA.
ANUALIDADES.
CAPÍTULO II: ANUALIDADES ANTICIPADAS
1-En las mismas condiciones, ¿qué tipo de anualidades produce un monto mayor: una
vencida o una anticipada? ¿Por qué?
Solución elijamos un ejercicio para comprobarlo:
Ejercicio: El señor López deposita $150,000 cada año en una cuenta de ahorros que abona
4% de interés. ¿Cuánto habrá ahorrado al hacer el cuarto depósito?
Solución:
MV = $636,969.60
MA = $662,448.38
R = $150,000
𝑀=𝑅
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
𝑀=𝑅
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
(1 + 𝑖)
𝑖
M = 150,000 ((1+0.04)4-1 /
0.04)
M = 150,000 ((1+0.04)4-1 /
0.04) (1 + 0.04)
M = 636,969.60
M = 662,448.38
i = 4% anual.
n = 4 años
Respuesta: El Sr. López que deposita cada año en una cuenta de ahorros que abona 4%
de interés habrá ahorrado al hacer el cuarto depósito una cantidad de $636,969.60 si realiza
los pagos de forma vencida, pero si los pagos son anticipados él habrá obtenido una
cantidad de $662,448.38.
Por lo tanto, la anualidad que produce un monto mayor, es la anualidad anticipada porque
los intereses se empiezan a generar de una manera mucho más rápido, dado que los
depósitos se realizan al principio de los períodos de pago y capitalización.
2- En las mismas condiciones, ¿qué tipo de anualidades genera un valor actual mayor: una
vencida o una anticipada? ¿Por qué?
Solución elijamos un ejercicio para comprobarlo:
Ejercicio: Calcule el valor actual de la siguiente anualidad de forma vencida y anticipada,
de un total de $20,000 semestrales durante 4 años y medio a 10% capitalizable
semestralmente.
Solución:
CV = $142,156.43
CA = $149,264.26
R = $20,000
𝐶=𝑅
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
𝐶 = 𝑅 [1 +
1 − (1 + 𝑖)−𝑛+1
]
𝑖
C = 20,000 (1- (1+0.05)-9) /
0.05
C = 20,000 [1 + (1- (1+0.05)-9+1)
/ 0.05]
C = 142,156.43
C = 149,264.26
i = 10% / 2 = 5%
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Página
Procedemos: 149,264.26 – 142,156.43 = 7,107.83
5
n = 4.5 años = 9 semest.
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ANUALIDADES.
Por lo tanto, la anualidad que produce un valor actual mayor, es la anualidad anticipada,
puesto que, el valor actual de los pagos anticipados es mayor en una cantidad de $7,107.83,
dado que los pagos se hacen antes y comienzan a generar intereses más pronto. Se puede
ver que $7,107.83 son los intereses generados por $142,156.43 en un semestre.
3-¿Cuál es la renta semestral adelantada equivalente a una renta mensual adelantada de
$660, si el interés es de 22.52% anual convertible mensualmente?
Solución:
CA o renta adelantada= $3,782.05
𝐶 = 𝑅 [1 +
1 − (1 + 𝑖)−𝑛+1
]
𝑖
C = 660 [1 + (1- (1+0.018767)6+1
) / 0.018767]
R = $660.00
i = 22.52% / 12 = 1.8767
C = 3,782.05
n = 6 meses
Respuesta: La renta semestral adelantada equivalente a una renta mensual adelantada de
$660, considerando un interés de 22.52% anual convertible mensualmente es de $3,782.05.
4- Cada 2 meses, el día 25, se depositan $1,000 en un fondo de inversión que paga 4%
convertible bimestralmente. ¿Cuánto se habrá acumulado en el fondo un instante antes de
realizar el vigesimocuarto depósito?
Solución:
𝑀=𝑅
M = $24,933.29
R = $1,000
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
(1 + 𝑖)
𝑖
i = 4% / 6 = 0.6667
M = 1,000 ((1+0.006667)23-1 /
0.006667) (1 + 0.006667)
n = 24 depósitos – 1 = 23 bimest.
M = 24,933.29
Respuesta: El monto acumulado del depósito de $1,000 en un fondo de inversión que paga
4% convertible bimestralmente al vigesimocuarto pago es de $24,933.29.
5- Un arquitecto desea ahorrar $4,000 mensuales durante 5 años. Si sus ahorros ganan
5.4% convertible mensualmente, ¿cuánto habrá acumulado al mes siguiente del último
depósito?
Solución:
M = $276,055.59
R = $4,000
i = 5.4% / 12 = 0.45%
𝑀=𝑅
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
(1 + 𝑖)
𝑖
M = 4,000 ((1+0.0045)60-1 /
0.0045) (1 + 0.0045)
M = 276,055.59
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Página
Respuesta: El arquitecto que ahorra $4,000 mensuales durante 5 años, considerando una
tasa de interés de 5.4% convertible mensualmente, habrá acumulado al mes siguiente del
último depósito una cantidad de $276,055.59.
6
n = 5 años = 60 meses.
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ANUALIDADES.
6- Una persona que cumple hoy 33 años desea depositar en una inversión, que rinde 6%
anual capitalizable mensualmente, una cantidad que le permita recibir $10,000 mensuales
durante 20 años, a partir del día en que cumpla 40 años. ¿Cuánto debe depositar?
Solución:
CA = $918,071.29
R = $10,000
i = 6% / 12 = 0.5%
𝐶=𝑅
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
(1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
C = 10,000 (1- (1+0.005)-240) /
0.005) (1+ 0.005)-84
C = 918,071.29
n = 20 años = 240 meses
Respuesta: La persona que cumple hoy 33 años que desea depositar en una inversión, que
rinde 6% anual capitalizable mensualmente, y que le permita recibir $10,000 mensuales
durante 20 años, a partir del día en que cumpla 40 años, debe depositar a día de hoy una
cantidad de $918,071.29.
7- El 2 de mayo del año 1 se depositan $15,000 y a partir del 2 de noviembre del año 3 y
hasta el 2 de mayo del año 5 se depositan cada 6 meses $8,000 en una cuenta que abona
8% semestral. ¿Cuánto se habrá acumulado al 2 de noviembre del año 10?
Solución: Para valor futuro de $8,000
R = $15,000
𝑀=𝑅
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑖
Calculamos Monto:
M = 8,000 ((1+0.08)4-1 / 0.08)
M = 15,000 (1+0.08) ^8
i = 8% semestral.
M = 27,763.95
M = 36,048.89
Por lo tanto, se obtiene un nuevo valor futuro de $36,048.89 + $27,763.95.
VF = 63,812.85 (1+0.08)11 = $148,788.52
n = 18 meses del 2 de noviembre del Año 3 hasta el 2 de mayo del Año 5 = 3
semestres + 5 semestres anteriores = 8
Respuesta: Si el 2 de mayo del año 1 se depositan $15,000 y a partir del 2 de noviembre
del año 3 y hasta el 2 de mayo del año 5 se depositan cada 6 meses $8,000 en una cuenta
que abona 8% semestral, entonces se habrá acumulado al 2 de noviembre del año 10, una
cantidad de $148,788.52
8- Un comerciante va a invertir $100,000 en un lote de suéteres. La compra la va a hacer
el 21 de abril y tiene un contrato para vender la mercancía el 21 de diciembre del mismo
año, y cobrar mediante 3 pagos bimestrales iguales, el primero el día de la venta. Si desea
ganar 2.5% bimestral sobre su inversión, ¿de qué cantidad deben ser los pagos?
100,000 (1 + 0.025)3 = 𝑋
C = $100,000
i = 2.5% bimestral
107,689.06 = X 2.856023563
X = 107,689.06 / 2.856023563
X = 37,705.94
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7
R = $37,705.94
1 − (1 + 0.025)−3
0.025
Página
Solución:
MATEMÁTICA FINANCIERA.
ANUALIDADES.
n = 3 bimestres y 3 bimestres diferidos.
Respuesta: La cantidad de cada pago debe ser de $37,705.94.
9- En el caso del problema anterior, encuentre el valor de la utilidad del comerciante en el
momento de hacer la venta.
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑
Solución:
𝑀=𝑅
𝑖
El comerciante registró 3 pagos bimestrales de
C = $100,000
M = 37,705.94 ((1+0.025)3-1 /
$37,705.94
0.025)
R = $38,648.59
Por lo tanto, se aplica sumatoria de:
M = 115,969.33
i = 2.5% bimestral
113,117.83
Generando un margen de
n = 3 bimestres.
utilidad de:
Respuesta: La utilidad generada para el comerciante es de $2,851.5.
= 115,969.33 – 113,117.83 =
Página
8
2,851.5.
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