DESARROLLO DECIMAL DE LOS NÚMEROS RACIONALES El valor decimal de un número racional, es simplemente el resultado de dividir el numerador entre el denominador. Los números racionales se caracterizan por tener una escritura decimal que sólo puede ser de tres tipos: Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Ejemplo: 8 = 1.6 5 Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo: 1 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0.142857142857142857 … = 0. 142857 7 Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo: 1 = 0.0166666 … = 0.016̅ 60 Observación: las partes de un número decimal periódico mixto reciben el nombre de: 𝟎. 016̅ Parte entera 0. 𝟎𝟏6̅ Parte no periódica o antiperíodo ̅ 0.01𝟔 Periodo REPRESENTACIÓN RACIONAL DE LOS NÚMEROS DECIMALES. Todo número decimal finito o infinito periódico puede expresarse como número racional de la siguiente manera: Decimales exactos (o finitos): se escribe en el numerador la expresión decimal sin el punto (como un número entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales hallan. Ejemplo: 34.65 = 3465 100 Decimales periódicos puros: la fracción correspondiente tiene como numerador la diferencia entre el número escrito sin el punto con un periodo, y el número entero; y como denominador, tantos "9" como cifras tenga el periodo. Ejemplo: 15.343434 … = 1534 − 15 1519 = 99 99 Decimales periódicos mixtos: tendrá como numerador la diferencia entre 𝑎 y 𝑏, donde 𝑎 es el número entero escrito sin el punto con el antiperíodo y un periodo, y 𝑏 es el número entero sin el punto con el antiperíodo. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras tenga el antiperíodo. Ejemplo: Sea el número 12.345676767 … entonces 𝑎 = 1234567 y 𝑏 = 12345 , por lo que la fracción correspondiente será: 12.345676767 … = 𝑎−𝑏 1234567 − 12345 1222222 = = 99000 99000 99000 NÚMERO DECIMAL NO PERIÓDICO Los números decimales no periódicos son los que contienen una parte decimal infinita y que no se repite. Estos números corresponden al conjunto de los números irracionales, y no pueden ser representados por medio de una fracción. Puesto que los irracionales contienen infinitas cifras decimales y ningún período, es usual expresarlos en forma simbólica. Irracionales Famosos. Pi (𝝅): Desde antigüedades muy remotas se sabe que en todas las circunferencias la relación entre su longitud y su diámetro da siempre el mismo resultado; ese resultado se ha venido designando con la letra griega 𝜋, que es la inicial de la palabra griega periferia (periferia). El valor de 𝜋 ha sido una preocupación constante entre los matemáticos desde el siglo III antes de Cristo; durante muchos siglos se creyó que 𝜋 era igual a alguna fracción de dos enteros y hubo muchos intentos por encontrarla, pero sólo se obtuvieron aproximaciones notables, tales como: 𝜋 = 22/7 = 3,1428. . . (𝐴𝑟𝑞𝑢í𝑚𝑒𝑑𝑒𝑠, 𝑠𝑖𝑔𝑙𝑜 𝐼𝐼𝐼 𝑎. 𝐶. ) 377 𝜋 = 120 = 3,14166 … , (𝑃𝑡𝑜𝑙𝑜𝑚𝑒𝑜, 𝑠𝑖𝑔𝑙𝑜 𝐼𝐼 𝑑. 𝐶. ) Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos: 3.1415926535897932384626433832795 (y sigue...) El número neperiano (𝒆): es la base de los logaritmos neperianos, se cono ce también como la constante de Euler. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son: 2.7182818284590452353602874713527 (y sigue...) El número áureo o de oro (𝜱): El número aparece en campos tan variados como los reinos vegetal y animal, la poesía, la música, la arquitectura, el arte, etc. y se designa con la letra griega "fi" en honor de Fidias, considerado el escultor de las obras más perfectas de la antigua Grecia. ɸ= √5−1 2 El número áureo está muy relacionado con la estética, de hecho el rectángulo considerado el más bello, es aquel en el cual la relación entre la altura y la anchura da resultado igual aɸ. 𝑏 =ɸ 𝑎 Otros números irracionales son algunas raíces cuadradas como: √2, √3 ó √7, y así muchas más.
