Matematicas 1 RD Espacios Conaliteg-1

Recursos Didácticos para el Profesor
PROHIBIDA
SU VENTA
• Descripción del Modelo Educativo para la educación
obligatoria y del mapa curricular
• Propuestas de dosificación de los aprendizajes
esperados
• Evaluación diagnóstica, evaluaciones trimestrales
y solucionario
• Reproducción del libro del alumno con respuestas
de todas las actividades
Estamos seguros de que este libro será un valioso apoyo
para su labor cotidiana en el aula.
FORMACIÓN
ACADÉMICA
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es una obra especialmente diseñada para acompañarlo en
el camino de la Reforma Educativa. Este material contiene,
entre otros, los siguientes recursos didácticos:
Recursos Didácticos para el Profesor
Matemáticas 1. Recursos didácticos
para el profesor de la serie Espacios Creativos
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Recursos Didácticos para el Profesor
Luis Rodrigo Arredondo Vargas,
Tania Ángela Aguilar Balderas
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Pensamiento Matemático
santillanacontigo.com.mx
SE Forros Mate 1 profesor conaliteg digital.indd 1
Aprendizajes Clave para la Educación Integral
6/14/19 12:10 PM
Recursos Didácticos para el Profesor
FORMACIÓN
ACADÉMICA
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PROHIBIDA
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Pensamiento Matemático
Aprendizajes Clave para la Educación Integral
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fue elaborado en Editorial Santillana por el equipo
de la Dirección General de Contenidos.
• Fotografía de portada Abraham Solís Saldaña
• Ilustración Víctor García Bernal
• Fotografía Shutterstock, Photostock
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La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 1. Recursos
didácticos para el profesor de la Serie Espacios Creativos son propiedad del editor. Queda
estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o
método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.
Autor del libro del alumno: Marco Aurelio Riva Palacio y Santana
Autor del libro de recursos didácticos para el profesor: Milosh Santiago Trnka Rodríguez
D. R. © 2019 EDITORIAL SANTILLANA S.A. DE C.V.
Avenida Río Mixcoac 274, piso 4, colonia Acacias, C. P. 03240, alcaldía de Benito Juárez,
Ciudad de México.
ISBN: 978-607-01-3894-2
Primera edición: junio de 2019
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.Reg. Núm. 802
Impreso en México/Printed in Mexico
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El planteamiento curricular del Modelo Educativo 2017 tiene como propósito lograr una
formación humanista, integral y de calidad de los alumnos; ello implica formarlos para que
se adapten a entornos cambiantes y diversos, razón por la cual los programas de estudio
se enfocan en los aprendizajes clave y en fortalecer los conocimientos, las habilidades, las
actitudes y los valores que les permitan aprender a aprender.
La escuela tiene la responsabilidad de facilitar dichos aprendizajes clave para que los estudiantes se integren a las sociedades actuales y formen parte de sus transformaciones.
Ante este desafío, Editorial Santillana presenta Matemáticas 1. Recursos didácticos para el
profesor, cuyo propósito es acompañar a los docentes en el uso del libro del alumno. Para
lograrlo, ofrece diferentes recursos didácticos.
• Modelo Educativo. Se describen el planteamiento curricular, los principios pedagógicos
y los componentes curriculares.
• Mapa curricular. Aquí se presenta la organización curricular para el nivel educativo de
secundaria, los grados y los tres componentes del Modelo Educativo 2017: Formación
académica, Desarrollo personal y social y Autonomía curricular.
• La evaluación. Se explica la importancia de la evaluación formativa para coadyuvar al
desempeño de los alumnos a lo largo del curso.
• Dosificación trimestral. Se incluye propuesta de dosificación trimestral para el calendario escolar de 190 días de clase.
• Evaluación diagnóstica. Se proporciona un instrumento para identificar las áreas de
oportunidad de los escolares y para planear estrategias didácticas oportunas.
• Evaluación trimestral. Se sugieren distintos reactivos que se pueden emplear en la
evaluación del trimestre.
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• Respuestas a las evaluaciones. Es un solucionario de las evaluaciones de este libro.
• Solucionario del libro. Contiene las respuestas extensas de algunas de las actividades
del libro del alumno.
• Reproducción del libro del alumno, acompañada de las respuestas de todas las actividades.
Esperamos que este material se convierta en un referente para el trabajo que realiza en el
aula día a día.
Recursos Didácticos para el Profesor
III
Modelo Educativo
La educación básica es el pilar social de nuestro país y debe beneficiar a los mexicanos
desde muchas áreas y con un mismo fin: educación equitativa y de calidad.
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Con este objetivo, la Secretaría de Educación Pública elaboró el Modelo Educativo para la
educación obligatoria, en el que se proyecta el desarrollo potencial de los niños, las niñas
y los jóvenes con el fin de formar ciudadanos libres, responsables e informados. No es una
tarea fácil; sin embargo, se pretende alcanzar la meta gracias a una reorganización del sistema educativo en cinco ejes indispensables, que se describen a continuación.
• Planteamiento curricular. Este eje, de enfoque humanista, ensambla todos los niveles
de la educación básica, desde preescolar hasta bachillerato, para un desarrollo integral
de los aprendizajes clave. Con esto se espera que los estudiantes adquieran herramientas para construir conocimientos a lo largo de la vida; es decir, que aprendan a aprender.
Además de lo anterior, este eje pone énfasis en el desarrollo de las habilidades socioemocionales, importantes también en el crecimiento y desarrollo personal, no solo de la vida
académica, sino de la vida familiar, social y laboral.
Aunado a lo anterior, y con conocimiento de que nuestro país es rico en diversidad, también
se deja un margen de autonomía curricular. Así, cada comunidad escolar pondrá un interés
especial en las áreas de oportunidad que deben abordarse y concretar con éxito el desarrollo de los aprendizajes clave en los alumnos.
• La escuela al centro del sistema educativo. La escuela, como unidad básica de organización del sistema educativo, es primordial en este eje, pues debe enfocarse en alcanzar el máximo desarrollo de todos los estudiantes. Se plantea también una escuela
que deja de lado la organización vertical para convertirse en un centro de desarrollo
horizontal en el que cabe toda la comunidad escolar.
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Mediante el trabajo colaborativo se fomenta en
los jóvenes la capacidad de comunicar ideas,
de escuchar opiniones
diferentes y de construir
estrategias en grupo.
Esto favorece la adquisición de los aprendizajes
esperados de la asignatura y el desarrollo de
habilidades sociales que
trascienden a la vida
académica
IV
Recursos Didácticos para el Profesor
• Formación y desarrollo profesional docente. El Modelo Educativo describe al docente
como un profesional centrado en el aprendizaje de los alumnos, capaz de generar y
mantener ambientes de aprendizaje incluyentes, comprometido con la mejora constante de su práctica y preparado para adaptar el currículo a las necesidades de su contexto.
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• Inclusión y equidad. Estos principios son básicos para eliminar del sistema educativo
las barreras para el acceso, la participación, la permanencia, el egreso y el aprendizaje
de todos los estudiantes, y para que estos cuenten con oportunidades efectivas para el
aprendizaje sin importar su contexto social y cultural.
Estos principios deben verse reflejados en la adaptación del espacio físico para facilitar
la movilidad de todos los miembros de la comunidad educativa; en la adecuación curricular que los profesores deben realizar para atender las necesidades educativas de
todos sus alumnos y en la transformación del aula en un espacio de convivencia armónica que abone a la cultura de la diversidad.
• La gobernanza del sistema educativo. En este último eje se definen los mecanismos
institucionales para una gobernanza efectiva y la participación de los actores y los sectores de la sociedad que intervienen en el proceso educativo, así como la coordinación
que existe entre ellos: el gobierno federal, las autoridades educativas locales, el Instituto
Nacional para la Evaluación de la Educación (INEE), el sindicato, las escuelas, los docentes, los padres de familia, la sociedad civil y el Poder Legislativo.
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Con los ejes anteriores se busca que todos los alumnos reciban una educación flexible a
sus necesidades, de calidad, integral e inclusiva que los prepare para vivir en la sociedad
del siglo XXI.
El papel de la escuela es
relevante en el desarrollo de la cultura inclusiva. Esta se construye
mediante actividades
que fomenten el respeto,
aceptación y valoración
de las diferencias individuales y culturales.
Recursos Didácticos para el Profesor
V
Principios pedagógicos
En el Modelo Educativo 2017 se reconoce que los docentes tienen una función esencial
en el aprendizaje de los niños y los adolescentes, y que su papel en el aula es la de un
mediador que contribuye a la construcción de ambientes que favorezcan que sus alumnos
convivan de manera armónica y alcancen los aprendizajes esperados para cada asignatura, área o ámbito.
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Con el propósito de que los profesores puedan cumplir plenamente con su papel en las
aulas al implementar los nuevos programas, en el documento Aprendizajes clave para la
educación integral. Plan y programas de estudio para la educación básica se proponen
catorce principios pedagógicos que se enumeran a continuación:
1
Poner al estudiante
y su aprendizaje en
el centro del proceso
educativo.
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Conocer los intereses
de los estudiantes.
VI
Recursos Didácticos para el Profesor
2
Tener en cuenta los
saberes previos del
estudiante.
5
Estimular la motivación intrínseca del
alumno.
3
Ofrecer acompañamiento al aprendizaje.
6
Reconocer la naturaleza social del
conocimiento.
7
Entender la evaluación como un proceso relacionado con
la planeación del
aprendizaje.
9
Modelar el
aprendizaje.
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Propiciar el aprendizaje situado.
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10
Valorar el aprendizaje
informal.
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Apreciar la diversidad
como fuente de riqueza para el aprendizaje.
11
Promover la
interdisciplina.
12
Favorecer la cultura
del aprendizaje.
14
Usar la disciplina como apoyo al
aprendizaje.
Además de lo anterior, para promover el aprendizaje debe existir un espacio determinado
con un conjunto de factores que favorezcan la interacción social e influyan de manera
positiva en la construcción de conocimientos y en el desarrollo de habilidades, actitudes y
valores.
Recursos Didácticos para el Profesor
VII
Mapa curricular
Aprendizajes clave para el desarrollo integral
Los aprendizajes clave planteados en este Modelo Educativo son los pilares para el desarrollo integral de los estudiantes pues, en conjunto, serán las herramientas para un pleno
desarrollo de vida.
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En el plan de estudios se sugiere la organización de los contenidos programáticos en tres
componentes curriculares de la educación básica: campos de Formación académica,
áreas de Desarrollo personal y social, y ámbitos de la Autonomía curricular. Los tres componentes tienen la misma importancia en el plan de estudios.
1. Campos de Formación académica. Lenguaje y Comunicación, Pensamiento Matemático
y Exploración y Comprensión del Mundo Natural y Social.
2. Áreas de Desarrollo personal y social. Que incluyen específicamente Artes, Educación
Socioemocional y Educación Física.
3. Ámbitos de Autonomía curricular. Estos ámbitos buscan ampliar la formación académica, potenciar el desarrollo personal y social, desarrollar nuevos contenidos relevantes y
conocimientos regionales, y generar proyectos de impacto social.
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educación básica
“Componentes curriculares de la educación básica”, tomado del documento Modelo educativo para la educación obligatoria, Secretaría de
Educación Pública, México, 2017.
Lo anterior propiciará que los alumnos conozcan, valoren y respeten su identidad; además,
de que sean aptos para identificar sus debilidades y fortalezas, confíen en sus capacidades,
sean determinados y perseverantes, y reconozcan como iguales en dignidad y en derechos
a todos los seres humanos.
VIII
Recursos Didácticos para el Profesor
A continuación se muestra la organización curricular para la educación secundaria.
Nivel educativo
Componente curricular
Secundaria
Grado escolar
2º
3º
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1º
Lengua Materna (Español)
Campos y asignaturas
Lengua Extranjera (Inglés)
FORMACIÓN
ACADÉMICA
Matemáticas
Ciencias y Tecnología:
Biología
Física
Química
Geografía
Historia
Formación Cívica y Ética
Áreas
Artes
Tutoría y Educación Socioemocional
Educación Física
Ampliar la formación académica
*
Ámbitos
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Potenciar el desarrollo personal y social
Nuevos contenidos relevantes
Conocimientos regionales
Proyectos de impacto social
* Definición a cargo de la escuela con base en los lineamientos expedidos por la SEP
La asignatura de Matemáticas se encuentra en el campo de formación Pensamiento
Matemático y pertenece al componente Formación académica.
Recursos Didácticos para el Profesor
IX
La evaluación
La evaluación, aunque siempre se ubica como un satélite dependiente del aprendizaje,
debe verse como parte importante del proceso; es decir, debe considerarse como un factor
indispensable en la construcción de conocimientos.
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De acuerdo con lo anterior, la propuesta que se proyecta en el Modelo Educativo deja muy
marcada la idea de que la evaluación es una herramienta que ayuda en la planeación de
la enseñanza, ya que con los resultados de esta se obtiene la base para hallar la zona de
desarrollo próximo de los alumnos y, con ello, plantear opciones que permiten a cada estudiante aprender y progresar desde donde está.
La evaluación también puede ayudar a medir si las condiciones pedagógicas son óptimas
o deben adaptarse para conseguir mejores resultados. Además, por supuesto, la evaluación ayuda a identificar si se lograron los aprendizajes esperados.
En este sentido, la evaluación del aprendizaje tiene en cuenta tres variables: las situaciones
didácticas, las actividades del alumno y los contenidos. Por tanto, debe considerarse como
un paso elemental del proceso pedagógico, por lo que no tiene un carácter exclusivamente
conclusivo o sumativo. Por el contrario, busca conocer cómo los estudiantes organizan su
pensamiento y usan sus aprendizajes en contextos determinados. Además, contribuye a
la autorregulación cognitiva, pues realimenta al educando con argumentos claros y constructivos sobre su desempeño.
Para diseñar y aplicar una evaluación se sugiere considerar lo siguiente:
• Delimitar el aprendizaje que se evaluará, incluyendo las actitudes y las habilidades de
los estudiantes.
• Establecer los criterios para la evaluación (aprendizajes esperados).
• Recabar varios instrumentos durante el proceso de aprendizaje, como pruebas escritas, exposiciones orales, listas de cotejo, rúbricas, etcétera.
• Registrar lo evaluado con base en la información recopilada de los diferentes instrumentos.
• Analizar, realimentar, ajustar currículo o enfoque y mejorar el proceso de enseñanza
para mejorar los resultados obtenidos en el aprendizaje de los escolares.
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La evaluación de los aprendizajes es determinante para la buena gestión del currículo, especialmente porque permite saber en qué medida los alumnos logran el dominio de los
aprendizajes establecidos para cada grado y nivel educativo.
Para que la evaluación cumpla su papel como parte del proceso de aprendizaje, se debe
realizar en tres momentos específicos:
Evaluación diagnóstica. Se aplica en el comienzo del ciclo escolar y de cada secuencia
didáctica para hacer un balance de las habilidades, las actitudes y los saberes de los educandos. Este es el punto de partida en el proceso de aprendizaje y es recomendable aprovecharlo para identificar las necesidades de los estudiantes.
X
Recursos Didácticos para el Profesor
Evaluación formativa. Se realiza durante el desarrollo de la secuencia didáctica con el propósito de observar los avances de los aprendizajes esperados e identificar dificultades y
aspectos que cada estudiante requiere fortalecer. La evaluación formativa fortalece la responsabilidad de los educandos en sus procesos de aprendizaje, ya que la reflexión les ayuda a comprender si están aprendiendo y cómo lo están logrando.
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Esta evaluación también favorece la toma de conciencia de las estrategias de aprendizaje y
ayuda al maestro a encontrar pistas para construir modelos de acción personal y técnicas
para la resolución de problemas (argumentar de manera informada, analizar situaciones); así
como generar instrumentos para enmendar el rezago académico.
Evaluación sumativa. Se realiza en el cierre de cada secuencia didáctica y al final del trimestre con el propósito de observar el desempeño de cada alumno. Sirve para tomar decisiones
sobre la manera de apoyar a los escolares en la siguiente etapa y aporta elementos para
asignar una calificación.
Una vez planteados los tres momentos de evaluación, se debe buscar con qué instrumento
evaluar. Entre las herramientas más comunes podemos encontrar las siguientes:
• Autoevaluación: Es un proceso metacognitivo en el que el alumno evalúa su desempeño para descubrir el acierto con la finalidad de repetirlo, y el error con el fin de evitarlo y
aprender de él.
• Coevaluación. Es el proceso en el que los estudiantes se evalúan entre ellos. Se centra
en los aspectos favorables, con el objetivo de desarrollar el pensamiento crítico de los
escolares y una actitud abierta y de escucha hacia las observaciones de los demás.
• Rúbricas. Es una matriz de valoración, es decir, una lista de criterios e indicadores que
permite valorar el logro de los aprendizajes esperados y de temas particulares. Son un
apoyo para que el docente dé seguimiento y registre el progreso de cada alumno o de
todo el grupo en relación con los niveles de desempeño esperados.
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• Exámenes. Estos deben puntualizar
los aspectos que se van a evaluar. Por
ejemplo, una prueba de opción múltiple explora los aprendizajes de carácter
conceptual, así como algunas habilidades cognitivas y la toma de postura ante
dilemas morales.
En conclusión, aunque con frecuencia hemos centrado la evaluación en otorgar
una calificación al alumno, el nuevo enfoque brinda un panorama en el que todos
los participantes, instrumentos y momentos de la evaluación son igual de importantes, pues ayudan a la construcción de
aprendizajes.
La autoevaluación permite que los estudiantes tomen conciencia de
cómo y qué han aprendido; al tiempo que reconocen lo que les falta
por aprender. Lo cual
favorece la búsqueda de
estrategias para mejorar
su desempeño.
Recursos Didácticos para el Profesor
XI
Dosificación
190 días de clase
Trimestre 1
Semana
Aprendizajes
esperados
Secuencias
didácticas
Sesiones
Páginas del
libro del alumno
1
Evaluación diagnóstica
2
1. Distingue fracciones decimales, o equivalentes a
una fracción decimal, de aquellas que no lo son.
2. Expresa, con notación decimal fracciones decimales
y aquellas que no tienen denominador potencia de
10, pero que son equivalentes a una fracción decimal.
3. Convierte números decimales a fracciones
decimales o equivalentes.
26 a 31
1. Expresa fracciones no decimales mediante
aproximaciones con números decimales finitos y
mediante números decimales periódicos.
2. Expresa fracciones no decimales mediante
aproximaciones con números decimales periódicos
mixtos y puros.
3. Convierte números decimales a fracciones.
32 a 37
1. Ordena números decimales y números
fraccionarios. Anticipa y comprueba qué número
decimal o número fraciconario es mayor, menor
o igual que otros números decimales o números
fraccionarios (sin usar la recta numérica).
2. Ubica y compara diversos tipos de números
fraccionarios en la recta numérica.
3. Ubica y compara diversos números decimales y
números fraccionarios en la recta umérica.
38 a 43
4. Densidad de
los números
racionales
1. Ubica y compara números racionales en la recta
numérica.
2. Usa la propiedad de densidad de los números
fraccionarios, empleando fracciones equivalentes a
las dadas o a través del método de la suma de las
fracciones dadas y su división entre 2.
3. Aplica la propiedad de densidad de los números
decimales en la resolución de problemas.
44 a 49
5. Multiplicación
con fracciones
1. Resuelve problemas de multiplicación con factores
fraccionarios.
2. Resuelve problemas que implican la aplicación de
la multiplicación por a/b como una constante de
proporcionalidad.
3. Resuelve problemas usando el algoritmo de la
multiplicación de números fraccionarios.
50 a 55
6. Número decimal
por número
natural
1. Resuelve problemas de multiplicación con factores
de números decimales (número natural por número
decimal)
2. Resuelve problemas de multiplicación de números
decimales finitos y donde se involucren relaciones
de proporcionalidad directa (número decimal por
número decimal).
3. Resuelve problemas que requieran aplicar el
algoritmo convencional de la multiplicación de
números decimales, así como la multiplicación de
números decimales por potencias de 10.
56 a 61
4
5
2. Fracciones no
decimales
Convierte fracciones
decimales a notación
decimal y viceversa.
Aproxima algunas
fracciones no decimales
usando la notación
decimal. Ordena
3. Orden de
fracciones y números
los números
decimales.
racionales
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3
1. Fracciones
decimales
Resuelve problemas
de multiplicación con
fracciones y decimales,
y de división con
decimales.
7
XII
Recursos Didácticos para el Profesor
Aprendizajes
esperados
8
Resuelve problemas
de multiplicación con
fracciones y decimales,
y de división con
decimales.
9
10
Secuencias
didácticas
Sesiones
Páginas del
libro del alumno
1. Resuelve problemas de división cuando el dividendo
y divisor son números decimales y el cociente es
número natural.
2. Resuelve problemas de división de números
decimales entre potencias de 10.
3. Resuelve problemas que requieran usar el algoritmo
convencional de la división de números decimales.
62 a 67
8. Problemas de
proporcionalidad
1. Resuelve problemas de proporcionalidad directa
de valor faltante (números naturales) en contextos
continuos.
2. Resuelve problemas de proporcionalidad directa
de valor faltante (números naturales) en contextos
discretos.
3. Resuelve problemas de proporcionalidad directa de
valor faltante con números naturales.
68 a 73
9. La
proporcionalidad
directa
1. Resuelve problemas de proporcionalidad directa
de valor faltante (números decimales) en contextos
continuos.
2. Resuelve problemas de proporcionalidad directa de
valor faltante (números fraccionarios) en contextos
continuos.
74 a 77
7. Números
decimales
entre números
decimales
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Semana
Calcula valores
faltantes en problemas
de proporcionalidad
directa, con constante
natural, fracción o
decimal (incluyendo
tablas de variación).
Uso de la tecnología
11
Analiza la existencia
y unicidad en
la construcción
de triángulos y
cuadriláteros y
determina y usa los
criterios de congruencia
de triángulos.
78 y 79
10. Rectas paralelas
y transversales
1. Analiza, identifica y caracteriza rectas paralelas y
transversales.
2. Determina los ángulos formados por rectas
paralelas y transversales.
3. Usa las relaciones que existen entre los ángulos
formados por dos rectas paralelas cortadas por
una transversal en la resolución de problemas
geométricos.
Uso de la tecnología
Recolecta, registra y
lee datos en gráficas
circulares.
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12
Analiza la existencia
y unicidad en
la construcción
de triángulos y
cuadriláteros y
determina y usa los
criterios de congruencia
de triángulos.
13
80 a 85
86 y 87
11. Ángulos
interiores
de figuras
1. Estudia los ángulos interiores de figuras
geométricas.
2. Explora empíricamente la relación entre los ángulos
interiores de triángulos.
3. Explora empíricamente la relación entre los ángulos
interiores de cuadriláteros.
88 a 93
12. Lectura de
gráficas
circulares
1. Lee gráficas circulares.
2. Recolecta, registra e interpreta datos.
94 a 97
¿Cómo lo hicimos?
98 y 99
Evaluación del trimestre 1
Recursos Didácticos para el Profesor
XIII
Trimestre 2
Semana
Aprendizajes
esperados
102 a 107
14. Operaciones
inversas
1. Vincula la resta de números enteros con la suma.
2. Resuelve problemas de resta de números enteros.
108 a 111
15. Sumas con
números
decimales
positivos y
negativos
1. Suma números decimales positivos y negativos.
2. Suma fracciones positivas y negativas.
3. Resuelve problemas que implican sumas de
fracciones y números decimales positivos
y negativos.
112 a 117
Uso de la tecnología
16
17
Resuelve problemas de
suma y resta con números
enteros, fracciones y
decimales positivos y
negativos.
Determina y usa la
jerarquía de operaciones
y los paréntesis en
operaciones con números
naturales, enteros
y decimales (para
multiplicación y división
solo números positivos).
Resuelve problemas de
cálculo de porcentajes,
de tanto por ciento y de la
cantidad base.
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XIV
Páginas del
libro del alumno
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Resuelve problema de
suma y resta con números
enteros, fracciones y
decimales positivos
y negativos.
Sesiones
1. Analiza situaciones para construir el significado
de valor absoluto y números simétricos. Resuelve
problemas de suma de números enteros con apoyo
de la recta numérica.
2. Resuelve problemas de suma de números enteros
con más de dos sumandos.
3. Formaliza la suma y resta con números positivos y
negativos. Comprende que la suma y la resta son
operaciones inversas.
13. Sumas con
números con
igual signo
14
15
Secuencias
didácticas
Resuelve problemas
mediante la formulación
y solución algebraica de
ecuaciones lineales.
118 y 119
16. Restas de
números
decimales
positivos y
negativos
1. Resuelve problemas de resta de números decimales
positivos y negativos.
2. Resuelve problemas de resta de fracciones positivas
y negativas.
3. Resuelve problemas de resta de fracciones y
números decimales positivos y negativos.
120 a 125
17. Jerarquía de
operaciones
1. Aplica la jerarquía de operaciones con números
naturales, fraccionarios y números decimales para
resolver problemas.
2. Resuelve problemas que requieran el uso de la
jerarquía de operaciones con números positivos y
negativos.
3. Aplica la jerarquía de operaciones en expresiones
algebraicas.
126 a 131
18. Cálculo de
porcentajes
1. Resuelve problemas de cálculo del porcentaje.
2. Resuelve problemas que implican calcular el
porcentaje que representa una cantidad con respecto
a otra.
132 a 135
19. La cantidad base
de un porcentaje
1. Resuelve problemas donde sea necesario calcular la
cantidad base de un porcentaje (decremento).
2. Resuelve problemas donde sea necesario calcular la
cantidad base de un porcentaje (incremento).
136 a 139
20. Igualdad
lineal
1. Analiza y modela situaciones problemáticas como
ecuaciones lineales para su resolución algebraica.
2. Resuelve ecuaciones lineales del tipo Ax 1 B 5 C.
140 a 143
21. Transformaciones
algebraicas
1. Resuelve ecuaciones lineales del tipo Ax 1 B 5 Cx 1
D. Aplica las propiedades de la igualdad y construye
el significado de la igualdad como equivalencia entre
expresiones algebraicas o numéricas.
2. Resuelve ecuaciones lineales del tipo Ax 1 B 5
Cx 1 D, cuando A, B, C y D son números enteros,
fraccionarios o números decimales.
3. Resuelve problemas mediante ecuaciones lineales.
144 a 149
Recursos Didácticos para el Profesor
Semana
21
Aprendizajes
esperados
Analiza la existencia
y unicidad en la
construcción de
triángulos y cuadriláteros,
y determina y usa los
criterios de congruencia
de triángulos.
Secuencias
didácticas
Sesiones
1. Determina la suma de los ángulos interiores de
triángulos.
2. Determina la generalización de la suma de los
ángulos interiores de triángulos.
3. Determina la generalización de la suma de los
ángulos interiores de cuadriláteros.
22. Ángulos
interiores de
figuras II
Uso de la tecnología
156 a 157
23. El perímetro de
un polígono
1. Desarrolla fórmulas o expresiones algebraicas
equivalentes que refieren al perímetro de
polígonos (cuadrado, triángulo, rectángulo).
2. Desarrolla fórmulas o expresiones algebraicas
equivalentes que refieren al perímetro de
polígonos.
3. Desarrolla fórmulas o expresiones algebraicas
equivalentes que refieren al perímetro del círculo.
158 a 163
24. Cálculo del área
de polígonos
1. Desarrolla fórmulas o expresiones algebraicas
equivalentes que refieren al área de rectángulos y
triángulos.
2. Desarrolla la fórmula o expresiones algebraicas
equivalentes que refieren al área de rombos y
romboides.
3. Desarrolla la fórmula o expresiones algebraicas
equivalentes que refieren al área de trapecios.
164 a 169
25. Sectores
circulares de
una gráfica
1. Recolecta, registra e interpreta datos. Construye
gráficas a partir del establecimiento de porcentajes.
2. Construye gráficas a partir del establecimiento de
porcentajes.
3. Construye gráficas circulares a partir de las
frecuencias obtenidas en la recolección de datos.
170 a 175
Calcula el perímetro
de polígonos y del
círculo, y áreas de
triángulos y cuadriláteros,
desarrollando y aplicando
fórmulas.
23
Recolecta, registra y
lee datos en gráficas
circulares.
Usa e interpreta las
medidas de tendencia
central (moda, media
aritmética y mediana) y
el rango de un conjunto
de datos y decide cuál
de ellas conviene más en
el análisis de los datos
en cuestión.
P
ro
24
25
150 a 155
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
L
di A
st N
ri A
bu
ci
ón
22
Páginas del
libro del alumno
Realiza experimentos
aleatorios y registra
los resultados para
un acercamiento a la
probabilidad frecuencial.
26. La media
como reparto
27. Estudios
y poblaciones
1. Identifica el significado de la media aritmética
como reparto equitativo dado un conjunto de
datos.
2. Identifica el significado de la media aritmética
como mejor estimación dado un conjunto de
datos.
3. Reconoce el significado de la media como medida
de tendencia central.
1. Determina la población a estudiar, el tipo de datos
a obtener de acuerdo con la forma de recolectar
los datos: encuesta y plan de muestreo.
2. Determina la población a estudiar, el tipo de datos
a obtener de acuerdo con la forma de recolectar
los datos: observación y experimento. Resalta
la importancia del registro de datos (tabla de
frecuencia), como introducción a la probabilidad
frecuencial.
¿Cómo lo hicimos?
176 a 181
182 a 185
186 y 187
Evaluación del trimestre 2
Recursos Didácticos para el Profesor
XV
Trimestre 3
Semana
Aprendizajes
esperados
28. Movimientos
28
Sesiones
Páginas del
libro del alumno
1. Describe un proceso de variación con constante
aditiva, multiplicativa o de proporcionalidad.
2. Identifica, a partir de la representación tabular, gráfica
o algebraica de un fenómeno, la variación (lineal) y
la compara con la variación de otros fenómenos del
mismo tipo (solo lineal).
3. Identifica la variación (lineal o no lineal) de un
fenómeno a partir de su representación tabular,
gráfica o algebraica y la compara con la variación de
otros fenómenos (lineal o no lineal).
190 a 195
1. Construye gráficas aproximadas de situaciones
descritas en las que la variación es constante,
positiva o negativa I.
2. Construye gráficas aproximadas de situaciones
descritas en las que la variación es constante,
positiva o negativa II.
3. Calcula y analiza la razón de cambio de un proceso
o fenómeno que se modela con una función lineal.
196 a 201
1. Analiza la relación entre la inclinación de la recta y la
razón de cambio en gráficas asociadas a funciones
lineales I.
2. Analiza la relación entre la inclinación de la recta y la
razón de cambio en gráficas asociadas a funciones
lineales II.
3. Analiza la relación entre la inclinación de la recta y la
razón de cambio en gráficas asociadas a funciones
lineales III.
202 a 207
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
L
di A
st N
ri A
bu
ci
ón
26
27
Secuencias
didácticas
Analiza y compara
situaciones de variación
lineal a partir de sus
representaciones tabular,
gráfica y algebraica.
29. Gráficas
Interpreta y resuelve
problemas que se
modelan con estos tipos
de variación.
30. Gráficas
lineales
Uso de la tecnología
Analiza y compara
situaciones de variación
lineal a partir de sus
representaciones tabular, 31. Variación
gráfica y algebraica.
constante
Interpreta y resuelve
problemas que se
modelan con estos tipos
de variación.
P
ro
29
208 y 209
30
XVI
Formula expresiones
algebraicas de primer
grado a partir de
sucesiones y las
utiliza para analizar
propiedades de
la sucesión que
representan.
32. Expresiones
algebraicas
Recursos Didácticos para el Profesor
1. Determina la expresión algebraica que representa a
la razón de cambio, dada la recta o el registro tabular
o ambas representaciones equivalentes.
2. Analiza la relación entre la inclinación de la recta y la
razón de cambio en gráficas asociadas a funciones
lineales I.
3. Analiza la relación entre la inclinación de la recta y la
razón de cambio en gráficas asociadas a funciones
lineales II.
210 a 215
1. Resuelve problemas que implican encontrar la regla
general de sucesiones con progresión aritmética.
2. Resuelve problemas que impliquen el
establecimiento de expresiones algebraicas
equivalentes que representan reglas generales de
sucesiones con progresión aritmética.
3. Aplica la regla general de una sucesión con
progresión aritmética para determinar términos
faltantes. En sucesiones de figuras, determina el
número de elementos de la figura según el lugar que
ocupa en la sucesión.
216 a 221
Semana
Aprendizajes
esperados
34
222 a 227
1. Construye dos triángulos cuyos lados
correspondientes son iguales.
2. Construye dos triángulos cuyas medidas de dos
lados y un ángulo sean iguales.
3. Construye dos triángulos cuyas medidas de dos
ángulos y un lado sean iguales.
228 a 233
1. Construye triángulos congruentes.
2. Determina los criterios de congruencia de triángulos.
3. Aplica los criterios de congruencia de triángulos.
234 a 239
36. Triángulos y
otras figuras
1. Identifica los criterios de congruencia de triángulos
en problemas geométricos.
2. Aplica los criterios de congruencia de triángulos para
estudiar las propiedades de paralelogramos.
240 a 243
37. Volúmenes
de prismas
1. Obtiene la fórmula para calcular el volumen de
prismas rectos cuya base es un rectángulo.
2. Obtiene la fórmula para calcular el volumen de
prismas rectos cuya base es un triángulo.
3. Resuelve problemas que implican calcular el
volumen de prismas rectos cuya base es un
cuadrilátero o un triángulo.
244 a 249
38. Cálculo de la
medida faltante
1. Calcula el volumen o cualquiera de las dimensiones
de prismas rectos cuya base sea un cuadrilátero o
un triángulo.
2. Establece la relación entre capacidad y volumen e
identifica la diferencia.
3. Usa el decímetro cúbico y el litro como unidades
de volumen.
250 a 255
1. Identifica el significado de la media aritmética y la
mediana (como reparto equitativo, mejor estimación,
número alrededor del cual se acumulan los datos o
representante) dado un conjunto de datos.
2. Determina el rango de un conjunto de datos e
interpreta la dispersión de dicho conjunto.
3. Identifica el mejor representante de un conjunto
de datos.
256 a 261
Analiza la existencia
34. Congruencia
y unicidad en
de triángulos
la construcción
de triángulos y
cuadriláteros, y
determina y usa
criterios de congruencia 35. Criterios
de triángulos.
de congruencia
Calcula el volumen de
prismas rectos cuya
base sea un triángulo
o un cuadrilátero,
desarrollando y
aplicando fórmulas.
Usa e interpreta las
medidas de tendencia
central (moda, media
aritmética y mediana) y 39. Medidas
de tendencia
el rango de un conjunto
de datos y decide cuál
central
de ellas conviene más
en el análisis de datos
en cuestión.
P
ro
35
Uso de la tecnología
36
Páginas del
libro del alumno
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
L
di A
st N
ri A
bu
ci
ón
33
Sesiones
1. Determina la desigualdad del triángulo.
2. Establece la propiedad de unicidad en la
construcción de triángulos.
3. Construye paralelogramos: posibilidad y unicidad.
33. Triángulos y
paralelogramos
31
32
Secuencias
didácticas
Realiza experimentos
aleatorios y registra
los resultados para
un acercamiento
a la probabilidad
frecuencial.
262 a 263
40. Experimentos
aleatorios
1. Realiza experimentos aleatorios y registra los
resultados para introducirse a la probabilidad
frecuencial I.
2. Realiza experimentos aleatorios y registra los
resultados para introducirse a la probabilidad
frecuencial II.
¿Cómo lo hicimos?
264 a 267
268 y 269
Evaluación del trimestre 3
Evaluación final
Recursos Didácticos para el Profesor
XVII
Evaluación diagnóstica
Nombre:
Grupo:
Número de lista:
1. Elige la colección de números que esté ordenada de menor a mayor.
A) 2.4, 3.5, 3.4, 4.2, 4.3, 5.5
B) 2.4, 4.2, 3.4, 4.3, 4.2, 5.5
C) 2.4, 3.4, 3.5, 4.2, 4.3, 5.5
D) 2.4, 3.4, 3.5, 4.3, 4.2, 5.5
A)
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
L
di A
st N
ri A
bu
ci
ón
2. En cada inciso, subraya la fracción mayor.
3
7
o
4
8
B)
1
5
o
2
8
C)
5 2
5
,
o
6 3
9
D)
4 4
7
,
o
5 10 15
3. Selecciona la afirmación incorrecta.
A) Los números positivos se usan para medir alturas y los negativos, para profundidades.
B) Los números negativos se ocupan para medir temperaturas menores que 0, mientras que los positivos
sirven para medir temperaturas mayores que 0.
C) Los números positivos se utilizan para contar personas y los negativos, para contar objetos.
D) Los números positivos se ocupan para ganancias y los números negativos, para deudas.
4. Selecciona en cada caso el número mayor.
C) 26, 27 o 1
D) 24, 25, 220
A) 23 o 2
B) 24 o 4
5. ¿En qué opción están ordenados los números de menor a mayor?
A) 0, 2, 3, 5, 23, 24, 25
B) 23, 24, 25, 0, 2, 3, 5
C) 5, 3, 2, 0, 23, 24, 25
D) 25, 24, 23, 0, 2, 3, 5
2
1
de fresas,
de frambuesas y otros ingredientes. ¿Qué frac4
8
ción de cada frasco contiene fresas y frambuesas?
6. Un frasco de mermelada se prepara con
A)
1
2
B)
4
3
C)
5
8
D)
7. Durante una competencia de ciclismo, un participante se lesionó cuando llevaba
1
4
5
del recorrido. ¿Qué
9
P
ro
fracción del recorrido le faltó para llegar a la meta?
A)
4
9
8. Juan vendió
A)
XVIII
3
7
B)
2
3
C)
3
9
D)
3
1
2
1
de fruta antes de mediodía y , en la tarde. ¿Qué fracción del total de fruta vendió?
3
4
B)
11
12
Recursos Didácticos para el Profesor
C)
7
12
D)
4
7
9. Un terreno de 1.2 hectáreas se dividirá en cuatro partes iguales. ¿Cuántas hectáreas medirá cada parte?
A) 3
B) 0.3
C) 0.4
D) 4
10. Subraya la sucesión incorrecta.
A) 2, 4, 6, 8, 10
B) 5, 10, 15, 20, 25
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
L
di A
st N
ri A
bu
ci
ón
C) 4, 8, 10, 12, 16
D) 7, 8, 9, 10, 11, 12
11. ¿Cuál sucesión es incorrecta?
A) 2, 6, 18, 54, 162
B) 3, 6, 12, 24, 48
C) 5, 25, 125, 625, 1 250
D) 4, 8, 16, 32, 64
12. ¿Qué número continúa en la sucesión 6, 24, 96, 384…?
A) 480
B) 3 072
C) 1 536
D) 432
13. ¿Cuántos rectángulos representan 20% de la siguiente figura?
A) 1
B) 3
C) 2
D) 4
14. ¿En qué inciso se representa de manera numérica la sucesión de figuras?
A) 2, 3, 4, 5, 6
B) 3, 5, 7, 9, 11
C) 3, 4, 5, 6, 7
D) 2, 4, 6, 8, 10
15. Selecciona el triángulo que tiene trazadas sus alturas de manera correcta.
C)
P
ro
A)
B)
D)
Recursos Didácticos para el Profesor
XIX
16. ¿En cuál opción se nombran correctamente los cuadriláteros de izquierda a derecha?
Rombo, rectángulo, romboide, cuadrado, trapecio
Rombo, cuadrado, romboide, rectángulo, trapecio
Trapecio, cuadrado, romboide, rectángulo, rombo
Trapecio, rectángulo, romboide, cuadrado, rombo
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
L
di A
st N
ri A
bu
ci
ón
A)
B)
C)
D)
17. Elige los prismas que tienen el mismo volumen.
A)
B)
C)
D)
18. Observa la gráfica y subraya las afirmaciones correctas.
A) La persona que anotó más puntos fue
Marcela.
B) Ana y Gabriela anotaron la misma cantidad
de puntos.
C) Érika y Susana anotaron el mismo número
de puntos.
D) Susana anotó la menor cantidad de puntos.
Puntos del equipo femenil de volibol
8
6
4
2
0
Ana
P
ro
19. ¿Cuáles de estas situaciones dependen del azar?
A)
B)
C)
D)
Jugar a la ruleta.
Calcular qué día de la semana será el 3 de diciembre del próximo año.
Sumar dos números elegidos al azar.
Tirar dos dados y sumar los puntos obtenidos.
20. Ubica los números 1, 4, 7, 22, 24 y 27 en la recta numérica.
0
XX
Marcela Gabriela Érika
Recursos Didácticos para el Profesor
Susana
21. Resuelve. Escribe tus operaciones.
C) Jimena nadó 875 m, descansó cinco minutos y continuó 678 m más. ¿Cuántos metros
nadó en total?
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
L
di A
st N
ri A
bu
ci
ón
A) Jorge recibió dos pagos: uno de $123 y otro
de $398. ¿Cuánto recibió en total?
B) Raúl tenía $710 y compró un libro de $423.
¿Cuánto dinero le queda?
D) En una carrera de 800 m, un atleta ha recorrido 392 m. ¿Cuántos metros le faltan para
completar el trayecto?
22. El nuevo diseño de un cinturón es 1.9 cm más largo que el anterior, cuya medida era de 85.2 cm. ¿Cuánto
mide el nuevo modelo?
23. Un bonsái que medía 18.7 cm se recortó 2.4 cm para que se mantuviera su baja estatura. ¿Cuánto mide
ahora?
24. Durante las fiestas navideñas, una campana que costaba $77.60 tuvo un descuento de $18.80. ¿Cuánto
había que pagar para comprarla?
25. Para envolver un regalo se cortaron 7.5 cm de un listón que medía 25 cm. ¿Cuántos centímetros sobraron
de listón?
P
ro
1
26. Tania guardó juguetes en siete botes iguales. De cada uno ocupó
de su capacidad. ¿Cuántos botes lle2
nó en total?
1
27. Para elaborar una botella con líquido limpiador se necesita
de litro de cloro. ¿Cuántos litros de cloro se
5
requieren para preparar 27 botellas?
28. Calcula las divisiones y explica qué significa el resultado.
a) 3.6 4 1.2 5
•
b) 2.8 4 1.4 5
c) 5.5 4 1.1 5
d) 7.2 4 1.2 5
Explicación:
Recursos Didácticos para el Profesor
XXI
29. Un automóvil recorrió 50 kilómetros en dos horas. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en nueve horas a la misma velocidad?
30. En cuatro costales, con la misma cantidad de piezas, hay 200 naranjas en total. ¿Cuántas naranjas hay en
siete costales?
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
L
di A
st N
ri A
bu
ci
ón
31. Un empleado gana $1 750 por cinco días de trabajo. ¿Cuánto gana en 13 días?
32. Colorea.
a) El 25% del círculo.
b) El 40% del pentágono.
c) El 10% de la estrella.
33. Escribe los siguientes dos términos de la sucesión.
•
13, 19, 25, 31,
,
34. ¿Cuántos círculos tendrá la figura 5?
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 4
Fig. 5
35. Escribe el nombre de cada triángulo según sus lados.
a)
c)
508
558
P
ro
758
b)
d)
368
728
XXII
728
Recursos Didácticos para el Profesor
608
608
608
36. Una parte del césped artificial de una cancha de futbol
se reemplazará, como se muestra en la imagen.
•
10 m
¿Cuánto mide el área de la sección que se reemplazará?
15 m
37. En la azotea de un edificio se colocará impermeabilizante en dos momentos. En el primero se cubrirá la sección
que se muestra.
¿Cuánto mide el área de esa parte?
30 m
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
L
di A
st N
ri A
bu
ci
ón
•
10 m
38. ¿Cuántos cubos se necesitan para llenar por completo el prisma?
39. En la tabla se muestra la cantidad de vueltas que un nadador hizo durante una semana.
Día
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
Domingo
18
14
19
18
13
20
10
Cantidad de vueltas
•
Calcula la moda, la media y el rango de esos datos.
a) Moda:
b) Media:
c) Rango:
40. Usa la información para completar la tabla.
Se lanzó un dado varias veces y se obtuvieron los siguientes resultados: 2, 2, 4, 1, 4, 3, 4, 6, 2, 1.
P
ro
•
Resultado
1
2
3
4
5
6
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
41. ¿Cuántos resultados distintos hay al tirar dos dados y sumar los puntos que se obtienen?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
Recursos Didácticos para el Profesor
XXIII
Evaluación del trimestre 1
Nombre:
Grupo:
Número de lista:
1. Subraya el número decimal que corresponde a la fracción
C) 0.14
D) 0.14
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
L
di A
st N
ri A
bu
ci
ón
A) 0.14
B) 0.14
14
.
99
2. Elige la fracción que equivale a 0.38.
A)
7
18
3. Un cuadrado mide
A)
3
16
B)
19
50
C)
97
250
D)
243
625
3
de cm por lado. ¿Cuántos centímetros cuadrados mide su área?
4
9
6
9
B)
C)
D)
4
8
16
2.3 cm
4. ¿Cuánto mide el área del rectángulo verde?
A) 7.6 cm2
B) 6.1 cm2
1.5 cm
C) 3.45 cm2
D) 3.8 cm2
2.7 m
5. ¿Cuánto mide la altura del rectángulo anaranjado?
A) 10.8 m
B) 8.1 m
4.59 m2
C) 1.89 m
D) 1.7 m
6. Silvana compró cinco racimos de flores y pagó $180. ¿Cuánto pagaría por ocho racimos?
A) $288
B) $324
C) $360
D) $432
7. Karla corrió 22 km en cuatro días y cada día recorrió la misma distancia. Con ese ritmo, ¿cuántos kilómetros
correría en siete días?
P
ro
A) 31.5 km
B) 33 km
C) 38.5 km
D) 44 km
8. Considera las rectas L1 y L2, paralelas cortadas por la recta transversal L3.
Luego determina cuál afirmación es falsa.
A) El ángulo d mide lo mismo que el ángulo h, porque son opuestos
por el vértice.
B) El ángulo b y el ángulo z son suplementarios.
C) Los ángulos d y « miden lo mismo, porque son correspondientes.
D) Los ángulos a y u miden lo mismo, ya que son alternos externos.
L3
b
a
•
L1
d
g
z
L2
h
•
u
XXIV
Recursos Didácticos para el Profesor
e
9. Elige la opción con la que no sea posible construir un triángulo.
A) 60°, 60° y 60°
B) 21°, 72° y 87°
C) 178°, 1° y 1°
D) 45°, 80° y 65°
10. Convierte las fracciones a números decimales.
8
5
10
b)
16
5
100
c)
25
5
10
d)
157
5
1000
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
L
di A
st N
ri A
bu
ci
ón
a)
11. Expresa las fracciones como números decimales.
a)
1
5
2
b)
7
5
8
c)
11
5
20
d)
27
5
50
12. Convierte cada número decimal a fracción. Simplifica el resultado.
a) 0.125 5
13. Expresa
b) 0.23 5
c) 0.16 5
d) 1.48 5
4
como número decimal periódico.
7
14. Expresa 0.1 como fracción.
15. Ubica en la recta numérica los números 1.22, 1.26, 1.245 y 1.275.
1.2
16. Ubica
0
1.3
1 20 3
2
,
,
y
en la recta numérica.
2 32 4 16
1
P
ro
17. Ordena 1.02, 1.801, 1.081, 1.23 y 1.082 de acuerdo con el signo indicado.
18. Ordena las fracciones
,
,
,
,
1 2 3
9
, ,
y
de acuerdo con el signo indicado.
2 7 5 13
,
19. Anota dos fracciones entre
,
,
12
13
y
. Simplifica si es posible.
15
15
Recursos Didácticos para el Profesor
XXV
20. Escribe dos números decimales entre 1.052 y 1.053.
21. Calcula el área de un rectángulo que mide
7
4
unidades de largo y
unidades de ancho.
8
5
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
L
di A
st N
ri A
bu
ci
ón
22. Un tercio de un terreno se ocupará para cosechar verduras. De esa parte, un quinto se usará para sembrar
tomates. Si el terreno mide 2 720 m2, ¿en cuántos metros cuadrados de terreno se sembrarán los tomates?
Justifica tu respuesta.
5
1
3
de una fotografía que mide 6 cm de largo y 3 cm de ancho. ¿Cuáles son
2
2
4
las dimensiones de la copia? ¿Por qué?
23. Se hizo una copia a escala
24. Convierte a pesos mexicanos las divisas extranjeras que se indican; redondea hasta centésimos. Apóyate en
la tabla.
Un dólar
estadounidense
(1 USD)
18.195 MXN
Divisa
Pesos mexicanos (MXN)
a) 3.5 USD son
MXN
b) 28.8 JPY son
MXN
c) 17.2 CAD son
MXN
Un dólar canadiense
(1 CAD)
Un yen (1 JPY)
14.118 MXN
0.171 MXN
25. Un rectángulo tiene un área de 17.94 dm2 y mide 2.3 dm de ancho. ¿Cuánto mide de largo? ¿Por qué?
P
ro
26. Calcula cuántas divisas de cada tipo se compran con 82.50 pesos mexicanos. Usa los valores del ejercicio
24. Redondea a centésimos.
Divisa
1 USD
1 CAD
USD
82.50 MXN
1 JPY
CAD
JPY
27. Completa la tabla y explica qué información se proporciona en ella.
Balones comprados
Costo total ($)
1
Información que proporciona la tabla:
XXVI
Recursos Didácticos para el Profesor
5
425
15
850
2 550
28. Por seis horas de trabajo, Luis gana $510. ¿Cuánto ganaría por 16 h de trabajo? ¿Y por 22 h?
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
L
di A
st N
ri A
bu
ci
ón
29. Un automóvil recorrió 123.75 km en una hora y media. Si su rapidez fuera constante, ¿cuántos kilómetros
recorrería en dos horas y media? ¿Por qué?
30. En una tienda, un paquete de 12 tazas iguales cuesta $294. ¿Cuánto se pagaría por un paquete de 13 tazas
como esas?
31. Calcula la medida de los ángulos que se indican. Considera que las rectas K2 y K3 son paralelas.
ⱔa 5
ⱔb 5
ⱔh 5
ⱔ« 5
ⱔu 5
ⱔd 5
K1
K2
b
a 5 85.68
•
g
K3
h
z
•
u
d
e
32. Explica cuánto suman los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero. Explica tu respuesta.
33. Observa la gráfica y contesta.
a) ¿Qué información se muestra en la gráfica?
P
ro
Mascotas preferidas
b) ¿Cuál es el animal favorito entre las personas encuestadas?
c) ¿Y cuál es el menos preferido?
18.75%
31.25%
9.38%
Perro
Gato
Pez
Hámster
Otro
15.62%
d) ¿Cuántas personas participaron en la encuesta, si del
total 8 eligieron el hámster?
25%
Recursos Didácticos para el Profesor
XXVII
Evaluación del trimestre 2
Nombre:
Grupo:
Número de lista:
1. En una ciudad, la temperatura era de 26 °C durante la madrugada y, horas después, aumentó 8 °C. ¿Cuál
era la temperatura después del aumento?.
C) 22 °C
D) 2 °C
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
L
di A
st N
ri A
bu
ci
ón
A) 214 °C
B) 14 °C
2. Un buzo estaba a 28 m y se sumergió 13 m más. ¿Qué número representa la profundidad a la que se
localiza?
A) 8 m
B) 221 m
C) 21 m
D) 28 m
3. Subraya la o las operaciones incorrectas.
A) 25 1 3 5 2
B) 2 1 (213) 5 211
C) 34 1 (248) 5 12
D) 216 1 (27) 5 223
4. Si a −5 se le restan 219 y al resultado se le cambia el signo, ¿qué resultado se obtiene?
A) −14
B) −24
C) 24
D) 14
5. La temperatura en una ciudad era de 2 °C y descendió a 29 °C. ¿Cuántos grados Celsius disminuyó la
temperatura?
6. Resuelve la operación y explica cómo obtuviste el resultado.
1.6 2 4.8 1 (26.3) =
Explicación:
7. Subraya las restas correctas.
P
ro
A) 14 2 (29) 5 223
B) 217 2 7 5 224
C) 4 2 11 5 27
D) 28 2 5 5 3
8. Completa las igualdades con los signos de suma o resta según corresponda.
a) 25.2
4.5 5 20.7
b) 4.8
7.4 5 22.6
c) 7.2
(25.8)
2.7 5 21.3
9. Escribe el número que falta en cada operación para que el resultado sea correcto.
a) 12.5 1 (
) 5 7.6
b) 28.6 2 (
10. ¿A qué suma equivale restar un número negativo?
XXVIII
Recursos Didácticos para el Profesor
) 5 22.9
c)
2 (24.6) 5 218.5
11. ¿Cuál es el error en la siguiente operación: 212.45 1 (245.23) 2 (223.15) 5 280.83?
12. Resuelve las siguientes operaciones.
a) 2 1 3 3 6 5
b) (3 1 7) 3 8 5
c) 3(5) 1 (2 2 4) 5
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
L
di A
st N
ri A
bu
ci
ón
13. ¿Qué error se cometió al resolver la ecuación [(4 1 3) 3 1 1 2] 3 (7 2 5) 2 3 5 39?
14. Resuelve las siguientes operaciones. Considera el valor de m = 2.7.
a) 6(m 1 4) 5
b) 5(2m 1 2 1 m) 5
c) 3 1 m(2 2 3) 5
15. Una renta de $4 500 mensuales aumentó 12%. ¿Cuánto se paga ahora por cada mes de renta?
A) $4 620
B) $5 040
C) $4 950
D) $5 400
16. El precio de una camisa que costaba $145 se redujo 15%. ¿Cuál es su nuevo precio?
17. Una persona que gana mensualmente $11 500 gasta, en el mismo periodo, $2 500 en alimentos. ¿Qué porcentaje de sus ingresos representa el gasto en alimentos?
18. El precio de un servicio de telefonía aumentó 15% y ahora cuesta $322 mensualmente. ¿Cuál era su precio
anterior?
19. El costo de admisión a un parque de diversiones es de $30 y por cada juego se deben pagar $8 más. Si p
representa el precio de n cantidad de juegos realizados, ¿qué expresión representa la situación?
P
ro
A) 30 1 8p 5 n
B) 30 1 8n 5 p
C) 8 1 30n 5 p
D) 8 1 30p 5 n
20. Considera la situación anterior. ¿Cuántos juegos realizó una persona que pagó $118 en total?
21. Dos lápices más $4 cuestan lo mismo que tres lápices menos $3. ¿Cuánto cuesta un lápiz?
22. Cuatro veces un número más ocho es igual a siete veces ese mismo número más dos. ¿De qué número se trata?
Recursos Didácticos para el Profesor
XXIX
23. Elige el razonamiento correcto para explicar por qué la suma de los ángulos interiores de un triángulo es
igual a 180°.
a
A) Los ángulos a y « son iguales por ser alternos
internos, así como los ángulos g y d, entonces
a 1 b 1 g 5 180° 5 b 1 « 1 d.
g
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
L
di A
st N
ri A
bu
ci
ón
B) Los ángulos « y g son iguales por ser alternos
internos, así como los ángulos a y d, entonces
a 1 b 1 g 5 180° 5 b 1 « 1 d.
b
«
d
24. Explica por qué la suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero es igual a 360°.
25. ¿Qué mide más: el perímetro del polígono o la circunferencia del círculo? Explica por qué.
2p
2p
26. Calcula el área de las siguientes figuras.
a)
b)
P
ro
5 cm
2 cm
1 cm
3 cm
2 cm
3 cm
2 cm
7 cm
Área 5
XXX
Recursos Didácticos para el Profesor
Área 5
27. De acuerdo con la gráfica, determina si las afirmaciones son verdaderas o falsas.
a) La mayoría de los encuestados practican de 2
a 4 horas a la semana.
Horas de ejercicio semanal
16%
b) Más personas practican de 2 a 6 que de 0 a 2
horas o más a la semana.
De 0 a 2 horas
De 2 a 4 horas
De 4 a 6 horas
Más de 6 horas
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
L
di A
st N
ri A
bu
ci
ón
44%
20%
c) El dato menos frecuente es “Más de 6 horas”.
20%
28. Traza una gráfica circular con la información de la tabla.
Jugadora
Goles anotados
Jimena
4
Paola
2
Tatiana
5
Iliana
4
Rosalía
5
29. Explica por qué, en términos generales, la media aritmética es el mejor representante del conjunto de datos.
30. Tres niñas miden en promedio 80 cm y cuatro niños, en promedio, 84. ¿Cuánto miden en promedio los
siete?
31. Subraya la o las maneras correctas de obtener una muestra confiable al realizar una encuesta.
Elegir a 50 personas al azar en la calle para preguntarles cuál es su color favorito.
Preguntar a la salida de un gimnasio a 50 personas si les gusta hacer ejercicio.
Encuestar en la parada de autobuses a 50 personas acerca de sus gustos musicales.
Preguntar a 50 familiares, amigos y amigos de amigos si te conocen.
P
ro
A)
B)
C)
D)
32. Completa la tabla de frecuencias absolutas y relativas.
Número
1
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
0.11
2
3
4
5
6
8
5
0.17
0.14
6
0.22
Recursos Didácticos para el Profesor
XXXI
Evaluación del trimestre 3
Nombre:
Grupo:
Número de lista:
1. Las tablas muestran el costo de distintas cantidades de piezas. Anota debajo de cada tabla el color de la gráfica que le corresponde y responde.
Costo total
($)
56
112
168
224
Cantidad de
piezas B
3
5
7
9
Costo total
($)
90
150
210
270
Cantidad de
piezas C
4
5
6
7
Costo total
($)
108
135
162
189
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
L
di A
st N
ri A
bu
ci
ón
Cantidad de
piezas A
2
4
6
8
i. Gráfica:
ii. Gráfica:
iii. Gráfica:
500
a) ¿Cuál o cuáles son situaciones de proporcionalidad
directa? ¿Por qué?
Costo total
400
300
200
b) ¿Cuál es el costo de 20 piezas de cada tipo?
100
0
1
2
3 4 5 6
Cantidad de piezas
7
8
9
2. Analiza la situación y completa la tabla. Luego elige la expresión que la representa y traza la gráfica
correspondiente.
Un tinaco contenía 30 L de agua y se le agregaron, de manera constante, 480 L. En total, el llenado tardó
12 min.
Tiempo (min)
1
2
5
8
10
P
ro
Cantidad de agua en el tinaco
Expresión que representa la situación, donde x corresponde
al tiempo y y, a la cantidad de agua:
A) 40x 1 30 5 y
B) 40y 1 30 5 x
C) 30y 1 40 5 x
D) 30x 1 40 5 y
500
400
300
200
3. ¿Cuál es la pendiente de la recta de la actividad anterior?
100
A) 48
B) 40
XXXII
Recursos Didácticos para el Profesor
C) 30
D) 12
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
4. Lee la siguiente situación y haz lo que se indica.
Para llevar a cabo un evento durante varios días, Ulises investigó cuánto cobran de renta algunos salones y
halló las siguientes opciones:
Salón Máster: $2 000 de renta base más $500 por día
Salón Senior: $1 000 de renta base más $700 por día
8 000
Días
2
4
6
8
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
L
di A
st N
ri A
bu
ci
ón
a) Completa la tabla y traza las gráficas correspondientes
en el plano cartesiano.
6 000
Costo en salón
Máster ($)
Costo en salón
Senior ($)
4 000
2 000
b) ¿A partir de cuántos días es más barato el salón Máster?
0
2
4
6
8
10
5. Subraya la regla de formación de cada sucesión.
a) 7, 19, 31, 43, 55, 67...
b) 4.2, 5.9, 7.6, 9.3, 11...
c) 2.2, 5.2, 8.2, 11.2, 14.2...
• 7n 1 5
• 1.7n 1 2.5
• 0.8n 1 3
• 25 1 12n
• 4.2 1 1.7n
• 3n 2 0.8
• 5n 1 7
• 2.5n 1 1.7
• 3n 1 2.2
6. Escribe la regla de formación de la sucesión de figuras y, con base en la expresión que hallaste, contesta lo
que se pide.
a) Regla de la sucesión:
P
ro
b) ¿Cuántos puntos tendrá la figura que ocupa el lugar 28?
c) ¿Y cuántos tendrá la figura del lugar 149?
7. Subraya las afirmaciones verdaderas.
A)
B)
C)
D)
Es posible construir un triángulo con lados que midan 3 cm, 7 cm y 9 cm.
Un paralelogramo puede tener dos ángulos adyacentes que sumen 145°.
Algún triángulo tiene lados que miden 6 cm, 8 cm y 5 cm.
Algún paralelogramo tiene dos ángulos opuestos que suman 145°.
Recursos Didácticos para el Profesor
XXXIII
8. ¿Qué pareja o parejas de triángulos son congruentes? Explica por qué.
46.398
77.428
63.438
4.24
3.61
2.24
3.61
4.14
77.428
71.578
458
56.198
4
Triángulo 1
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
L
di A
st N
ri A
bu
ci
ón
4
Triángulo 2
A) 1 y 3, 2 y 4
Triángulo 3
B) 1 y 2, 3 y 4
Triángulo 4
C) 1 y 4, 2 y 3
D) Ninguna pareja
Explicación:
9. Selecciona la afirmación correcta y corrige la otra.
A) El criterio LLL establece que si dos parejas de triángulos tienen lados de la misma medida, entonces
son congruentes.
B) El criterio ALA indica que si dos triángulos tienen dos lados de la misma medida y el ángulo entre ellos
es igual, entonces son congruentes.
Corrección:
10. Analiza el siguiente paralelogramo y calcula lo que se pide.
h 5 15.958
Perímetro 5 15.66 cm
A) Medidas de los lados:
B) Medidas de los ángulos desconocidos:
Área 5 10 cm2
a 5 458
5 cm
11. Calcula el volumen de los siguientes prismas.
b)
P
ro
a)
c)
5 cm
2 cm
3 cm
4 cm
3.5 cm
2 cm
Volumen:
XXXIV
Recursos Didácticos para el Profesor
4 cm
3 cm
Volumen:
Volumen:
12. Un prisma rectangular tiene un volumen de 1 224 cm3. Su altura mide 12 cm y un lado de la base es de 6
cm. ¿Cuánto mide el otro lado de la base?
A) 204 cm
B) 17 cm
C) 102 cm
D) 12 cm
13. Determina las medidas que faltan en las figuras.
V 5 67.5 cm3
b)
c)
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
L
di A
st N
ri A
bu
ci
ón
a)
V 5 80 cm3
h5
8 cm
V 5 95 cm3
h5
3 cm
4 cm
2 cm
a5
5 cm
14. Lee la situación y calcula lo que se pide. Luego contesta.
A continuación se muestra la cantidad de vueltas completas que algunos patinadores dieron a una pista
durante 20 minutos.
5, 7, 8, 8, 4, 7, 8, 8, 5, 4, 5, 4, 8, 4, 4, 6, 1, 8, 7, 8
a) Media:
c) Moda:
b) Mediana:
d) Rango:
P
ro
e) ¿Por qué la media es menor que la mediana?
15. Lee la situación y completa la tabla.
En una urna había cinco papeles azules, cuatro amarillos, cuatro verdes y siete rojos. Se hicieron varias
extracciones al azar, regresando cada vez el papel a la urna. Los resultados se muestran a continuación.
Color
Frecuencia
Probabilidad teórica
Probabilidad frecuencial
Azul
22
Amarillo
15
Verde
18
Recursos Didácticos para el Profesor
Rojo
25
XXXV
Respuestas
Evaluaciones
Evaluación diagnóstica
1. C) 2.4, 3.4, 3.5, 4.2, 4.3, 5.5
3
7
o
4
8
1
5
o
B)
2
8
C)
5
,
6
4
,
5
2
5
o
3
9
4
7
o
10 15
20.
27
24
0
22
1
4
7
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
L
di A
st N
ri A
bu
ci
ón
2. A)
19. A) Un juego de ruleta
C) Sumar dos números elegidos al azar.
D) Tirar dos dados y sumar los puntos obtenidos.
D)
3. C) Los números positivos se utilizan para contar
personas y los negativos para contar objetos.
4. C) 2; B) 4; C) 1; D) ⫺4
21. a) $521; b) $287; c) 1 553 m; d) 408 m
22. 87.1 cm
23. 16.3 cm
24. $58.80
5. D) 25, 24, 23, 0, 2, 3, 5
5
8
4
7. A)
9
11
8. B)
12
6. C)
25. 17.5 cm
1
botes
2
2
27. 5 de litros de cloro
5
26. 3
10. C) 4, 8, 10, 12, 16
28. a) 3.6 4 1.2 5 3
c) 5.5 4 1.1 5 5
d) 7.2 4 1.2 5 6
b) 2.8 4 1.4 5 2
• Explicación: R. M. El resultado significa que el
divisor cabe un número entero de veces.
11. C) 5, 25, 125, 625, 1 250
29. 225 km
12. C) 1 536
30. 350 naranjas
13. C) 2
31. $4 450
9. B) 0.3
14. C) 3, 4, 5, 6, 7
P
ro
15. C)
16. C) Trapecio, cuadrado, romboide, rectángulo,
rombo
17. A), C) y D)
18. A) La persona que anotó más puntos fue Marcela.
B) Ana y Gabriela anotaron la misma cantidad de
puntos.
XXXVI
Recursos Didácticos para el Profesor
32.
33. 13, 19, 25, 31, 37, 43
34. 64
35. a) Escaleno
b) Isósceles
36. 75 m2
37. 150 m2
c) Rectángulo
d) Equilátero
2
1
3
9
,
,
,
7
2
5
13
5
17
19. R. M.
y
6
20
38. 120 cubos
18.
39. a) Moda: 18; b) Media: 16; c) Rango: 8
Resultado
1
2
3
4
5
6
Frecuencia
absoluta
2
3
1
3
0
1
Frecuencia
relativa
0.2
0.3
0.1
0.3
0
0.1
41. C) 11
20. R. M. 1.0521 y 1.0522
21.
1
22. Se sembrará tomate en 15 parte del terreno por1
1
1
que 3 3 5 5 15 . Por tanto, se sembrará en
1
2
2
15 3 2720 m 5 181.3 m
Evaluación del trimestre 1
1. B) 0.14
7
18
9
3. D)
16
2. A)
7
4
28
7
3
5
5
8
5
40
10
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
L
di A
st N
ri A
bu
ci
ón
40.
1
23. Las dimensiones de la copia son 16 4 cm de lar3
1
1
5
go y 9 8 cm de ancho porque 2 3 6 2 5 16 4
5
3
3
y 2 33 4 5 9 8 .
24. a) 3.5 USD son 63.68 MXN
b) 28.8 JPY son 4.92 MXN
c) 17.2 CAD son 242.83 MXN
4. C) 3.45 cm2
25. El rectángulo mide 7.8 dm de largo porque
17.94 4 2.3 5 7.8
5. D) 1.7 m
26.
6. $288
7. C) 38.5 km
27.
8. A) El ángulo d mide lo mismo que el ángulo h
porque son opuestos por el vértice.
Divisa
USD
CAD
JPY
82.50 MXN
453 USD
584 CAD
482.46 JPY
15
Balones comprados
1
5
Costo total ($)
85
425
10
850 1275
30
2 550
Información que proporciona la tabla: Precio a
pagar por la cantidad de balones comprados.
9. D) 45°, 80° y 65°
10. a) 0.8; b) 0.16; c) 2.5; d) 0.157
28. Por 16 h de trabajo ganaría $1 360 y por 22 h,
$1 870.
11. a) 0.5; b) 0.875; c) 0.55; d) 0.54
29. Recorrería 206.25 km
12. a)
1
23
4
37
; b)
; c)
; d)
8
100
25
25
30. $318.50
31. ⱔb 5 94.4°; ⱔu 5 85.6°; ⱔh 5 94.4°;
ⱔd 5 94.4°; ⱔ« 5 94.4°
14.
15.
P
ro
13. 0.571428
1
19
1.2
16.
0
1.22
1
16
1.245
•
1
2
1.26
20
32
1.275
•
3
4
17. 1.02 , 1.081 , 1.082 , 1.23 , 1.801
1.3
1
32. Suman 360°. R. M. Porque al trazar una diagonal
se forman dos triángulos y los ángulos interiores
de cada uno suman 180°.
33. a) Las mascotas favoritas de algún grupo de
personas.
b) El perro; c) El hámster
d) Se encuestó a 32 personas.
Recursos Didácticos para el Profesor
XXXVII
Evaluación del trimestre 2
1. D) 2 ºC
2. B) 221 m
3. A) 25 1 3 5 2; C) 34 1 (248) 5 12
4. A) 214
23. A) Los ángulos a y « son iguales por ser alternos
internos, así como los ángulos g y d, entonces
a 1 b 1 g 5 180° 5 b 1 « 1 d.
24. R. M. El cuadrilátero se divide en dos triángulos
al trazar una de las diagonales y como la suma
de los ángulos interiores de cada uno de estos es
180°, los ángulos interiores del cuadrilátero suman 360°.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
L
di A
st N
ri A
bu
ci
ón
5. Disminuyó 11 8C
22. Del número 2.
6. 29.5. R. M. Realizando las sumas y restas de números con signo.
25. La circunferencia es más larga porque mide
2p 3 2 3 3.14 5 12.57p, mientras que el perímetro del polígono mide 2p 3 6 5 12p.
7. B) 217 2 7 5 224; C) 4 2 11 5 27
26. a) 18 cm2; b) 7.5 cm2
8. a) 25.2 1 4.5 5 20.7
b) 4.8 2 7.4 5 22.6
c) 7.2 1 (−5.8) 2 2.7 5 21.3
27. a) Falsa: b) Falsa; c) Verdadera
Goles anotados
28.
9. a) 12.5 1 (24.9) 5 7.6
b) 28.6 2 (25.7) 5 22.9
c) 223.1 2 (24.6) 5 218.5
20%
25%
10. A sumar el simétrico de ese número.
Jimena
Paola
Tatiana
Iliana
Rosalía
10%
11. Se restó 23.15 en lugar de sumar 23.15.
20%
25%
12. a) 2 1 3 3 6 5 20
b) (3 1 7) 3 8 5 80
c) 3(5) 1 (2 − 4) 5 13
13. La suma 1 1 2 se hizo antes que la suma 4 1 3.
29. R. M. La media es el mejor representante de datos porque los considera a todos.
14. a) 40.2; b) 50.5; c) 0.3
30. 82.29 cm
15. B) $5 040
31. a) Elegir a 50 personas al azar en la calle para
preguntarles cuál es su color favorito.
c) Encuestar en la parada de autobuses a 50
personas acerca de sus gustos musicales.
d) Preguntar a 50 familiares, amigos y amigos
de amigos si te conocen.
P
ro
16. $123.25
17. 21.74%
18. $280
Número
1
2
3
4
5
6
19. B) 30 1 8n 5 p
Frecuencia
absoluta
4
5
6
8
5
8
20. 30 1 8 (11) 5 118. 11 juegos
Frecuencia
relativa
0.11
0.14
0.17
0.22
0.14
0.22
32.
21. $7
XXXVIII
Recursos Didácticos para el Profesor
Evaluación del trimestre 3
1.
5. a) • 25 1 12n; b) • 1.7n 1 2.5; c) • 3n 2 0.8
i. Roja; ii. Verde; iii. Azul
6. a) 4n; b) 112 puntos; c) 596 puntos
a) Las tres porque las cantidades involucradas
varían con la misma proporción y dirección.
b) A: $560; B: $ 600 y C: $540
2. A) 40x 1 30 5 y
2
5
8
10
Cantidad de agua
en el tinaco (L)
70
110
230
350
430
500
400
300
200
100
0
hi ©
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L
di A
st N
ri A
bu
ci
ón
1
Cantidad de agua en el tinaco (L)
3.
Tiempo (min)
7. A) Es posible construir un triángulo con lados que
midan 3 cm, 7 cm y 9 cm.
C) Algún triángulo tiene lados que miden 6 cm, 8
cm y 5 cm.
D) Algún paralelogramo tiene dos ángulos opuestos que suman 145°.
8. C) 1 y 4, 2 y 3
Explicación: Los triángulos 1 y 4 son congruentes por el criterio de congruencia de triángulos
LAL (el tercer ángulo del triángulo 1 mide 45°)
y los triángulos 2 y 3, son congruentes por el
criterio ALA (el tercer ángulo del triángulo 1 mide
56.19°).
9. A) El criterio LLL establece que si dos parejas de
triángulos tienen lados de la misma medida,
entonces, son congruentes.
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Corrección: El criterio ALA indica que si dos
triángulos tienen dos ángulos de la misma medida y el lado entre ellos es igual, entonces, son
congruentes.
Tiempo (min)
B) 40
4. a) Días
2
4
6
8
8 000
Costo en salón Senior
($)
3 000
2 400
4 000
3 800
5 000
5 200
6 000
6 600
4 000
2 000
0
10. a) 5 cm, 5 cm, 2.83 cm y 2.83 cm
b) 135º y 29.05º
11. a) 20 cm3; b) 24 cm3; c) 21 cm3
12. B) 17 cm
13. a) h 5 7.5 cm; b) a 5 5 cm; c) h 5 9.5 cm
14. a) Media 5 5.95; c) Moda 5 8;
b) Mediana 5 6.5 d) Rango 5 7
e) R. M. Porque hay más valores pequeños que
grandes.
P
ro
Costo en el salón
6 000
Costo en salón
Máster ($)
Salón Máster
15.
Salón Senior
2
4
Días
6
8
10
Color
Azul
Amarillo
Verde
Rojo
Frecuencia
22
15
18
25
Probabilidad
teórica
0.25
0.2
0.2
0.35
Probabilidad
frecuencial
0.275
0.1875
0.225
0.3125
b) A partir de 6 días.
Recursos Didácticos para el Profesor
XXXIX
Solucionario del libro
Trimestre 1
11
Secuencia didáctica 2
Página 37
4. a) R. M. Se escribe como numerador el número
sin el punto decimal y se le resta la parte entera y las cifras decimales anteriores al periodo.
El denominador tendrá tantos nueves como
cifras haya en el periodo, seguido de tantos
ceros como cifras tenga la parte decimal no
periódica.
¿Qué aprendimos?
2.
21
19
21
5
3
1.615
384
19 5
13
1.461
538
21 5
15
1.4
21
5
17
1.235
29411
7647
0588
21 5 1
21
21 5
23
0.9130
43478
26086
95652173
19 5
15
1.26
19
5
17
1.1176
47058
8235294
19 5
21
0.90
4761
19 5
23
0.826086
95652173
91304347
17 5
15
1.13
P
ro
17 5
13
1.307
692
17
15
13
XL
15 5
13
1.153
846
13 5 1
13
11 5
15
0.73
11 5
17
0.647
058823
5294117
11 5
21
0.52
3809
11
23
13
15
17
21
23
Uso de la tecnología
hi ©
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L
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bu
ci
ón
Página 36
3. b) R. M. El número se multiplica por la potencia
de 10 que tiene tantos ceros como cifras haya
en el periodo del número decimal. Al resultado se le resta el número inicial para eliminar la
parte decimal. El valor obtenido es el numerador de la fracción. El denominador será un
grupo de nueves, tantos como cifras tenga el
periodo.
11 5
13
0.84
6153
15 5 1
15
13 5
15
0.86
17 5 1
17
15 5
17
0.882
35294
11764705
13 5
17
0.7647
058823
529411
17 5
21
0.809
523
15 5
21
0.714
285
13 5
21
0.619
047
Recursos Didácticos para el Profesor
17 5
23
0.7391304
3478260
86956521
15 5
23
0.6521739
13043478
2608695
13
23
Página 79
3. d) R. M. Sí, porque después de calcular el valor
unitario, basta con multiplicarlo por la cantidad
de libros.
e) Los datos están relacionados de manera directamente proporcional porque a medida que una
cantidad aumenta o disminuye, la otra también
aumenta o disminuye, respectivamente, y lo
hace con la misma proporción.
Secuencia didáctica 10
Página 83
3. a) Las parejas de ángulos suplementarios son a y
b; a y e; a y g; b y c; b y d; b y f; c y e; c y g; d
y g; d y e; e y f; f y g.
Trimestre 2
Secuencia didáctica 21
Página 144
1. a) La resta y la división, que son inversas respectivamente de la suma y la multiplicación.
Ello, ya que estas últimas aparecen en la expresión que representa el problema: 3x 1 20
5 512.
Secuencia didáctica 24
Página 164
1. a) El área se obtiene al multiplicar la medida de
un lado por la de otro. Su medida es 4p 3 4p
5 16p2 unidades cuadradas.
Página 165
3. b) Ya que el área es igual a la base por la altura,
4b 5 8, basta con despejar b: b 5 8 5 2 cm.
4
Secuencia didáctica 26
Página 195
Página 179
3. e) R. M. Al considerar que cada mes tiene cuatro
semanas, se tiene que, en promedio, cada
semana se ahorran $210 4 4 5 $52.5, de
donde se calcula que durante un ciclo escolar Felipe y sus amigos podrían ahorrar
$52.5 3 40 5 $2100.
¿Qué aprendimos?
16
14
12
b)
16
14
12
10
8
10
8
6
4
6
4
2
2
21028 26 2422 0
22
24
26
21028 26 2422 0
22
24
26
2 4 6 8 10
2 4 6 8 10
hi ©
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bu
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Secuencia didáctica 27
1. a)
Página 184
2. b) Observación directa, pues la información se obtiene directamente del entorno.
d) R. M. Una ventaja es que los datos se obtienen
en ese momento; una desventaja es que se limitan a la cantidad de observadores directos.
28
210
c)
28
210
16
14
12
10
8
6
4
2
Trimestre 3
Secuencia didáctica 28
21028 26 2422 0
22
24
26
2 4 6 8 8
28
210
Página 192
2. c) Expresión y 5 30x (tabla 1):
a) Se obtiene también al dividir un valor de y entre
su correspondiente valor de x.
b) Significa que un frasco cuesta $30 y es el valor
constante con el que se puede obtener el precio
total a pagar en términos del número de frascos
que se compran.
Secuencia didáctica 29
Página 198
1. b)
12
10
8
6
4
2
Expresión y 5 3x (tabla 3):
a) Se obtiene al dividir un valor de y entre su correspondiente valor de x.
b) Significa que por cada mandarina hay 3 naranjas y es el valor constante que permite obtener el número de naranjas de acuerdo con el
número de mandarinas.
P
ro
Euro
Yen
Dólar canadiense
4
6
8 10
12
c) R. M. No, la cantidad de kilogramos de fruta utilizados debe ser una variable, y no la constante
2. Además, la expresión correcta es de la forma
y 5 0.75x.
¿Cómo vamos?
¿Cómo vamos?
Moneda
2
Página 199
Página 193
1.
0
Precio por unidad en
pesos mexicanos
n 4 22.2871 5 m
n 4 0.169 5 m
n 4 14.8588 5 m
1. a) La expresión y 5 10 000 1 86x, donde y representa el costo total y x la cantidad de horas extras, representa la relación tiempo-costo.
La expresión y 5 10 000 1 86(x 4 10),
donde y representa el costo total y x la cantidad de kilómetros extras, representa la relación distancia-costo.
Recursos Didácticos para el Profesor
XLI
Página 201
Página 243
¿Qué aprendimos?
¿Qué aprendimos?
Uso de la tecnología
Página 209
6
4.
5
4
•
3
2•
1
•
25 24 23 22 21 0
21
1
•
22
•
•
•
2
3
4
5 6
23
Secuencia didáctica 31
Página 214
1. a) Se calculó el cociente de la diferencia en y entre
la diferencia en x para dos puntos distintos so1
(6 2 5)
bre la recta, (8
2 6) 5 2 , pues de ese modo se
calcula la razón de cambio.
b) No, se obtiene siempre el mismo resultado porque la razón de cambio es la misma para toda
la recta. Por ejemplo, para el intervalo de tiempo
12 2 10 5 2 se tiene una capacidad de 8 2 7 5
1, es decir, la razón de cambio es la misma: 21 .
Secuencia didáctica 32
P
ro
Página 221
4. b) R. M. Para n 5 0: 10(0) 2 4 5 (2)(5(0)) 2 (2)(2)
5 2(5(0) 2 2) 5 24; para n 5 1: 10(1) 2 4 5
(2)(5(1)) 2 (2)(2) 2 2(5(1) 2 2) 5 6. Por tanto,
las reglas sí son equivalentes entre sí.
Secuencia didáctica 34
Página 233
1. c) R. M. Se traza otro triángulo siguiendo el procedimiento empleado. Luego se miden lados y ángulos interiores para corroborar que son iguales.
XLII
2. a) AB 5 ED 5 4.58 u y AE 5 DB 5 3.675 u. Ya que
los dos triángulos son congruentes y el área
de ABDE es 13.74 u2, cada triángulo tiene un
área de 13.74 u2 4 2 5 6.87 u2. Además, su
altura es de 3 u, entonces de la fórmula para
, se tiene
calcular el área de un triángulo, bh
2
,
es
decir,
b
5
4.58
u.
Pero
la base
6.87 5 3b
2
coincide con el lado AB, que a su vez es igual
a ED porque ABDE es un paralelogramo, entonces AB 5 ED 5 4.58 u, . De lo anterior y ya
que el perímetro de ABDE es 16.51 u, se tiene
que AB 1 BD 1 ED 1 AE 5 4.58 u 1 BD 1
4.58 u 1 AE 5 16.51 u, es decir, BD 1 AE 5
16.51 u − 4.58 u − 4.58 u 5 7.35 u, y como
BD 5 AE porque ABDE es un paralelogramo,
AE 5 DB 5 16.51 4 2 5 3.675 u.
hi ©
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1. Recta verde: La razón de cambio es 4.5 y la expresión es y 5 4.5x.
Recta azul: La razón de cambio es 3 y la expresión es y 5 3x.
Recta roja: La razón de cambio es 1.25 y la expresión es y 5 1.5x.
Recursos Didácticos para el Profesor
b) 54.75°, 74.6° y 50.65°. Como los dos triángulos
son congruentes, entonces el ángulo AEB 5 ángulo DBE 5 74.6° y, así, se tiene que el ángulo
BED 5 125.25° 2 74.6° 5 50.65°. Finalmente,
ya que los ángulos interiores suman 180°, el ángulo EDB 5 180° 2 74.6° 250.65° 5 54.75°.
Secuencia didáctica 40
Página 265
2. a) Es más probable extraer un botón amarillo y es
menos probable obtener un botón rojo.
¿Cómo vamos?
1. a) R. M. Los seis números tienen la misma probabilidad de obtenerse; sin embargo, de acuerdo
con la tabla es más probable obtener 4.
b) R. M. Los seis números tienen la misma probabilidad de obtenerse; pero, según los resultados
obtenidos, es menos probable obtener 5.
hi ©
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di LA
st N
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ón
Marco Aurelio Riva Palacio y Santana
P
ro
Pensamiento Matemático
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ón
P
ro
hi ©
bi SA
da N
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su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Te damos la bienvenida
da
a tu libro de Matemáticas
ticas
de primero de secundaria.
daria.
Esta obra fue creada para
proporcionarte un espacio de
construcción de conocimiento
de conceptos matemáticos
y desarrollo de procedimientos y
técnicas que te permitirán analizar
zar
diversos fenómenos, interpretarr
información, encontrar patroness
y resolver problemas.
P
ro
iversidad
En este libro encontrarás una diversidad
de contenidos y actividades quee te
permitirán plantear estrategias de
solución, justificar y validar resultados,
ultados,
va.
y trabajar de manera colaborativa.
Matemáticas 1
3
Número,
o,
álgebra y
variación
ón
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
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ón
Lo que estudiarás en
Matemáticas a lo largo de tu
educación básica se organiza en
tres ejes temáticos, que se
muestran a continuación.
MATEMÁTICAS
MATE
MÁ
En este libro
libro desarrollarás
habilidades
habiliidad para analizar,
Resolverás
problemas mediante
med
diante
operaciones con
n números
naturales, fraccionarios,
accio
onarios,
decimales y enteros.
enteeros.
También comprenderás
mprrenderás los conceptos
de variación lineal
lineeal y proporcional.
Aprenderás a ge
generalizar
eneralizar y expresar
simbólicamente
entee las propiedades de los
números y sus
us operaciones;
o
es decir, te
iniciarás en el estudio
esstudio del álgebra.
reflexionar, argumentar
y resolver
argu
problemas
problem
mas matemáticos, así
como distintas
diistint situaciones de
tu vida.
vidaa. Un
Uno de los objetivos
dee est
este material es que
reconozcas
reco
onoz cómo con las
matemáticas
maatem
se pueden
explicar diversos
fenómenos
físicos y
fen
sociales.
P
ro
Dee ac
acuerdo
uerdo con sus
áreas
eas de aplicación, los
botss se clasifican en
robots
industriales,
dustriales, médicos,
ilitares, educativos y
militares,
oméésticos.
domésticos.
Forma, espacio
y medida
Formularás conjeturas e hipótesis
sobre las características y
propiedades de las figuras y cuerpos
geométricos; y las validarás con los
conocimientos que has ido
construyendo.
Aplicarás tus conocimientos sobre la forma, la
aritmética y el álgebra para resolver problemas
en los que calcularás el área y el volumen de
figuras y cuerpos.
4
Matemáticas 1
Análisis de datos
Aná
A
Analizarás información
inform
representada en
tablas y gráficas
grááficas para tomar decisiones
fren
frente
nte a diversas problemáticas.
Resolverás
situaciones en las que sea
Resolverá
ás sit
neces
n
necesario recopilar, analizar y
representar datos.
Determinará cu
Determinarás
cuál medida de tendencia
dispersión describe mejor a
central y de disp
un conjunto de datos.
También te iniciarás en el estudio de la
estadística y la probabilidad.
Trimestre 1
Trimestre 3
En este trimestre resolverás
problemas con sumas y
restas de números enteros,
fraccionarios y decimales
positivos y negativos.
Calcularás porcentajes, te
iniciarás en el estudio del
álgebra y resolverás
ecuaciones lineales.
Analizarás las condiciones
necesarias para la
construcción de triángulos,
desarrollarás las fórmulas
para calcular el área y
perímetro de rombos,
romboides y trapecios.
Realizarás experimentos
aleatorios y registrarás los
resultados.
Analizarás los procesos de
variación y su representación.
Resolverás problemas de
probabilidad en los que
identificarás cuándo no es
posible saber con certeza si
ocurrirá un evento o cuándo
sí es posible hacerlo. El
estudio de la probabilidad te
permitirá responder sobre
qué tan probable es que una
situación suceda y tomar
decisiones al respecto.
hi ©
bi SA
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T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
En esta parte del curso
convertirás fracciones a su
notación decimal (y viceversa).
Ubicarás fracciones y decimales
en la recta numérica y
analizarás la propiedad
de densidad.
Resolverás problemas de
variación proporcional y
ampliarás tu conocimiento
sobre las propiedades de los
ángulos que se forman entre
rectas paralelas cortadas por
una transversal. También leerás
y construirás gráficas circulares,
seleccionarás una muestra y
diseñarás un estudio.
Trimestre 2
P
ro
Reúnete con tus
compañeros a los que
les guste la robótica y
busquen información
sobre los robots que
crean arte gráfica,
musical o plástica.
Matemáticas 1
5
3
Presentación
Estructura de tu libro
Secuencia didáctica 5
Multiplicación con fracciones
hi ©
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T r i m e s t r e
10
uno
n
Secuencia didáctica 6
Número decimal por número natural
24
50
Resuelves problemas que implican
multiplicar números fraccionarios.
56
Resuelves problemas que implican
multiplicar números decimales.
Secuencia didáctica 7
Números decimales entre números
decimales
62
Resuelves problemas que implican
dividir números decimales.
Secuencia didáctica 8
Problemas de proporcionalidad
68
Calculas valores faltantes, con k
número natural en problemas
de proporcionalidad directa.
Secuencia didáctica 1
Fracciones decimales
26
Conviertes fracciones decimales y sus
equivalentes a notación decimal y viceversa.
Secuencia didáctica 2
Fracciones no decimales
32
P
ro
38
Ordenas números fraccionarios y números
decimales a través de diversos procedimientos.
Secuencia didáctica 4
Densidad de los números racionales
Formalizas la propiedad de densidad
de los números racionales.
6
Matemáticas 1
74
Calculas valores faltantes, con k número
fraccionario o o número decimal en problemas
de proporcionalidad directa
Aproximas fracciones no decimales
usando la notación decimal y viceversa.
Secuencia didáctica 3
Orden de los números racionales
Secuencia didáctica 9
La proporcionalidad directa
44
Uso de la tecnología
78
Secuencia didáctica 10
Rectas paralelas y transversales
80
Determinas y usas las relaciones que
existen entre los ángulos formados por
dos rectas paralelas cortadas por
una transversal en la resolución
de problemas.
14
Tabla de contenidos
¿Cómo aprenderemos?
86
Secuencia didáctica 14
Operaciones inversas
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Uso de la tecnología
20
Secuencia didáctica 11
Ángulos interiores de figuras
88
Exploras empíricamente la suma de
los ángulos interiores de triángulos
y cuadriláteros.
Secuencia didáctica 12
Lectura de gráficas circulares
108
Resuelves problemas que implican
restar números enteros.
Secuencia didáctica 15
Sumas de números decimales positivos
y negativos
94
112
Resuelves problemas que implican
sumar fracciones y números decimales
positivos y negativos.
Lees datos en gráficas circulares.
¿Cómo lo hicimos?
T r i m e s t r e
dos
o
Uso de la tecnología
118
Secuencia didáctica 16
Restas de números decimales positivos
y negativos
120
98
100
Resuelves problemas que implican
restar fracciones y números decimales
positivos y negativos.
Secuencia didáctica 17
Jerarquía de operaciones
Secuencia didáctica 18
Cálculo de porcentajes
132
Resuelves problemas que implican
calcular el porcentaje.
P
ro
Secuencia didáctica 13
Sumas con números con igual signo
126
Usas la jerarquía de operaciones
y los paréntesis en operaciones
con números naturales, enteros,
fracciones y números decimales.
Secuencia didáctica 19
La cantidad base de un porcentaje
136
Resuelves problemas que implican
calcular el porcentaje, el tanto por ciento
y de la cantidad base.
102
Resuelves problemas que implican
sumar números enteros.
Matemáticas 1
7
Secuencia didáctica 20
Igualdad lineal
ƒ Resuelves problemas mediante la
140
182
el tipo de datos a obtener de acuerdo
con la forma de recolectar los datos
(observación, experimento y encuesta).
Identificas la importancia de realizar
un registro adecuado de los datos.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
formulación y solución algebraica
de ecuaciones lineales del tipo Ax 1 B 5 C.
Secuencia didáctica 27
Estudios y poblaciones
ƒ Determinas la población a estudiar,
Secuencia didáctica 21
Transformaciones algebraicas
ƒ Resuelves problemas mediante la
144
¿Cómo lo hicimos?
formulación y solución algebraica
de ecuaciones lineales del tipo
Ax 1 B 5 Cx 1 D.
Secuencia didáctica 22
Ángulos interiores de figuras II
ƒ Determinas, con argumentos
150
geométricos, la suma de los ángulos
interiores de triángulos y cuadriláteros.
Uso de la tecnología
156
Secuencia didáctica 23
El perímetro de un polígono
ƒ Calculas el perímetro de polígonos
158
186
T r i m e s t r e
tres
re
188
y del círculo.
Secuencia didáctica 24
Cálculo del área de polígonos
ƒ Calculas áreas de triángulos y de
164
cuadriláteros, al desarrollar y aplicar
la fórmula correspondiente para
cada caso.
P
ro
Secuencia didáctica 25
Sectores circulares de una gráfica
ƒ Recolectas, registras e interpretas
170
datos en gráficas circulares.
Secuencia didáctica 26
La media como reparto
ƒ Usas e interpretas las medidas de
tendencia central de un conjunto
de datos.
Secuencia didáctica 28
Movimientos
ƒ Analizas y comparas situaciones
de variación lineal a partir de sus
representaciones tabular,
gráfica y algebraica.
176
Secuencia didáctica 29
Gráficas
ƒ Comparas diversos tipos de variación
lineales o no y la razón de cambio.
8
Matemáticas 1
190
196
Secuencia didáctica 30
Gráficas lineales
ƒ Representas gráficamente diversos
202
tipos de variación lineal para analizar
la pendiente e inclinación de la recta.
Secuencia didáctica 37
Volúmenes de prismas
ƒ Calculas el volumen de prismas
244
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
rectos cuya base sea un triángulo
o un cuadrilátero, desarrollando
y aplicando fórmulas.
Uso de la tecnología
Secuencia didáctica 31
Variación constante
ƒ Interpretas y resuelves problemas
208
210
Secuencia didáctica 38
Cálculo de la medida faltante
ƒ Calculas el volumen o cualquiera
250
de las dimensiones de prismas rectos
cuya base sea un triángulo.
que se modelan con diversos
tipos de variación lineal.
Secuencia didáctica 32
Expresiones algebraicas
ƒ Obtienes expresiones algebraicas
216
de primer grado de sucesiones.
Usas dichas expresiones
para analizar las propiedades de la
sucesión que representan.
Secuencia didáctica 33
Triángulos y paralelogramos
ƒ Construyes triángulos y cuadriláteros
228
suficientes para construir dos
triángulos congruentes.
P
ro
Secuencia didáctica 35
Criterios de congruencia
ƒ Formulas los criterios de
256
tendencia central y el rango como
medida de dispersión de un conjunto
de datos. Determinas qué medida
de tendencia central o el rango,
conviene más en el análisis de los
datos en cuestión.
Uso de la tecnología
262
Secuencia didáctica 40
Experimentos aleatorios
ƒ Realizas experimentos aleatorios
264
222
a partir de distintas condiciones.
Secuencia didáctica 34
Congruencia de triángulos
ƒ Exploras las condiciones mínimas
Secuencia didáctica 39
Medidas de tendencia central
ƒ Usas e interpretas las medidas de
y registras los resultados para
introducirte a la probabilidad frecuencial.
¿Cómo lo hicimos?
268
Fuentes de información
270
234
congruencia de triángulos.
Secuencia didáctica 36
Triángulos y otras figuras
ƒ Usas los criterios de congruencia
240
de triángulos para justificar algunas
propiedades de los paralelogramos.
Matemáticas 1
9
Ejes
Temas
Número
Número,
álgebra y
variación
Multiplicación
y división
Proporcionalidad
Análisis de
datos
14
Aprendizajes esperados
Convertirás fracciones decimales
a notación decimal y viceversa.
Aproximarás algunas fracciones
no decimales usando la notación
decimal. Ordenarás fracciones y
números decimales
Secuencias didácticas
Figuras
y cuerpos
geométricos
Estadística
Matemáticas 1
Resolverás problemas de
multiplicación con fracciones
y decimales, y de división con
decimales
Calcularás valores faltantes en
problemas de proporcionalidad
directa, con constante natural,
fracción o decimal
Analizarás la existencia y unicidad
en la construcción de triángulos
y cuadriláteros y determinarás y
usarás los criterios de congruencia
de triángulos
Recolectarás, registrarás y leerás
datos en gráficas circulares
Sesiones
En estas páginas se muestra
cómo se organizaron los
aprendizajes esperados de la
asignatura a lo largo del curso.
También puedes observar
que se propone trabajar los
contenidos en tres trimestres
y por secuencias didácticas.
Páginas
1. Conviertes fracciones decimales y sus
equivalentes a notación decimal y viceversa.
1 Distingues fracciones decimales, o equivalentes a una fracción decimal, de aquellas que no lo son.
2 Expresas, con notación decimal fracciones decimales y aquellas que no tienen denominador potencia de 10, pero que son
equivalentes a una fracción decimal.
3 Conviertes números decimales a fracción decimal o equivalente.
26 a 31
2. Aproximas fracciones no decimales usando la
notación decimal y viceversa.
1. Expresas fracciones no decimales mediante aproximaciones con números decimales finitos y mediante números decimales
periódicos.
2. Expresas fracciones no decimales mediante aproximaciones con números decimales periódicos mixtos y puros.
3. Conviertes un número decimal a fracción.
32 a 37
3. Ordenas números fraccionarios y números
decimales a través de diversos procedimientos.
1. Ordenas números decimales y números fraccionarios. Anticipas y compruebas qué número decimal o número fraccionario es
mayor, menor o igual que otros números decimales o o números fraccionarios (sin usar la recta numérica).
2. Ubicas y comparas diversos tipos de números fraccionarios en la recta numérica.
3. Ubicas y comparas diversos números decimales y números fraccionarios en la recta numérica.
38 a 43
4. Formalizas la propiedad de densidad de los
números racionales.
1. Ubicas y comparas números racionales en la recta numérica.
2. Usas la propiedad de densidad de los números fraccionarios empleando fracciones equivalentes a las dadas o a través del
método de la suma de las fracciones dadas y su división entre 2.
3. Aplicas la propiedad de densidad de los números decimales en la resolución de problemas.
5. Resuelves problemas que implican multiplicar
números fraccionarios.
1
Forma,
espacio y
medida
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Trimestre
1. Resuelves problemas de multiplicación con factores fraccionarios.
2. Resuelves problemas que implican la aplicación de la multiplicación por a/b como una constante de proporcionalidad.
3. Resuelves problemas usando el algoritmo de la multiplicación de números fraccionarios.
44 a 49
50 a 55
6. Resuelves problemas que implican multiplicar
números decimales.
1. Resuelves problemas de multiplicación con factores de números decimales (número natural por número decimal).
2. Resuelves problemas de multiplicación de números decimales finitos y donde se involucren relaciones de proporcionalidad
directa (número decimal por número decimal).
3. Resuelves problemas que requieran aplicar el algoritmo convencional de la multiplicación de números decimales, así como la
multiplicación de números decimales por potencias de 10.
56 a 61
7. Resuelves problemas que implican dividir
números decimales.
1. Resuelves problemas de división cuando el dividendo y divisor son números decimales y el cociente es número natural.
2. Resuelves problemas de división de números decimales entre potencias de 10.
3. Resuelves problemas que requieran usar el algoritmo convencional de la división de números decimales.
62 a 67
8. Calculas valores faltantes, con k número natural
en problemas de proporcionalidad directa.
1. Resuelves problemas de proporcionalidad directa de valor faltante (números naturales) en contextos continuos.
2. Resuelves problemas de proporcionalidad directa de valor faltante (números naturales) en contextos discretos.
3. Resuelves problemas de proporcionalidad directa de valor faltante con números naturales.
68 a 73
9. Calculas valores faltantes, con k número
fraccionario o número decimal en problemas
de proporcionalidad directa.
1. Resuelves problemas de proporcionalidad directa de valor faltante (números decimales) en contextos continuos.
2. Resuelves problemas de proporcionalidad directa de valor faltante (números fraccionarios) en contextos continuos.
74 a 77
10. Determinas y usas las relaciones que existen
entre los ángulos formados por dos rectas
paralelas cortadas por una transversal en la
resolución de problemas.
1. Analizas, identificas y caracterizas rectas paralelas y transversales.
2. Determinas los ángulos formados por rectas paralelas y transversales.
3. Usas las relaciones que existen entre los ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal en la
resolución de problemas geométricos.
80 a 85
11. Exploras empíricamente la suma de los ángulos
interiores de triángulos y cuadriláteros
1. Estudias los ángulos interiores de figuras geométricas.
2. Exploras empíricamente la relación entre los ángulos interiores de triángulos.
3. Exploras empíricamente la relación entre los ángulos interiores de cuadriláteros.
88 a 93
12. Lees datos en gráficas circulares.
1. Lees gráficas circulares.
2. Recolectas, registras e interpretas datos.
94 a 97
Matemáticas 1
15
¡Bienvenido al primer curso de Matemáticas de secundaria! Deseamos que este ciclo cumpla con todas las expectativas que te creaste al entrar a este nivel educativo. Para que te
familiarices con tus compañeros y con algunos aspectos de la asignatura, te invitamos a
realizar lo siguiente.
1. Ponte de pie, di al grupo tu nombre completo y cómo te gusta que te llamen. Nombra
un tema o un concepto que recuerdes acerca de las matemáticas. Puedes usar algún
ejemplo para apoyar tu idea.
2. Menciona una expectativa que tengas con respecto a las matemáticas ahora que estás en primero de secundaria. Anótala.
P
ro
3. Escribe un propósito que te plantees para que se cumpla tu expectativa. Coméntalo
con tus compañeros.
En esta sección encontrarás una explicación sobre cómo serán tu
aprendizaje y la convivencia en la clase de Matemáticas. También se
describen las actividades que realizarás y la forma en que trabajarás a
lo largo del curso.
4. Con ayuda del profesor, elaboren una lista de los propósitos del grupo. Si algunos se
repiten, escríbanlos una sola vez.
5. Ahora, revisa tu libro de texto. Identifica sus partes principales, observa las diversas
formas como se propone que trabajes, las ilustraciones, etcétera.
6. De manera grupal comenten qué les pareció el libro de texto, qué llamó su atención,
qué no les agradó y cómo les gustaría que se llevaran a cabo las actividades. Inviten
al profesor a comentar lo que ustedes expresen. Soliciten que les explique cómo serán evaluados.
Las matemáticas son un conjunto de conocimientos que se ha construido a lo largo de
mucho tiempo. Por eso, considera que tus aprendizajes matemáticos no serán repentinos,
sino que los irás adquiriendo poco a poco, a lo largo de periodos con diferentes tiempos.
Por tanto, no te desesperes si no logras comprender algún contenido en la primera ocasión.
Tu dedicación y perseverancia seguramente te llevarán a entender todo lo que se trabaje
en clase.
20
10
Matemáticas 1
Matemáticas 1
26
32
Secuencia
didáctica 2
38
Secuencia
didáctica 3
44
50
Secuencia
didáctica 4
56
Secuencia
didáctica 5
Secuencia
didáctica 6
62
Secuencia
didáctica 7
74
68
Secuencia
didáctica 9
Secuencia
didáctica 8
78
Uso de la tecnología
80
Secuencia
didáctica 10
86
Uso de la tecnología
88
Secuencia
didáctica 11
94
Secuencia
didáctica 12
98
¿Cómo lo hicimos?
hi ©
bi SA
da N
T
Trimestre uno
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Secuencia
didáctica 1
Fracciones, gráficas y más…
¡Bienvenido a tu curso de Matemáticas de primero de secundaria!
Tu libro se organiza en tres
trimestres, al inicio de cada uno
encontrarás una breve introducción
a los contenidos que trabajarás
y una explicación de cómo se
relacionan con los conocimientos
que adquiriste en grados o
trimestres anteriores.
En este trimestre, mediante las actividades de la secuencia 1, desarrollarás tu habilidad para convertir fracciones a su notación decimal y viceversa, y para aproximar algunas fracciones no decimales
usando la notación decimal. Además, estudiarás las expresiones
9
5 0.75.
numéricas equivalentes, como
12
También analizarás las propiedades de los números racionales y la
propiedad de densidad al ordenar fracciones y números decimales
en la recta numérica. Tu sentido numérico también se fortalecerá
cuando estudies los números que nunca tienen fin, ¡es decir, los
números infinitos!, y aprenderás a escribirlos de manera acotada.
Asimismo, en este trimestre resolverás problemas de variación utilizando fracciones, y ampliarás tu conocimiento de las propiedades
de los ángulos y las relaciones que puedes establecer entre ellos.
Para cerrar este trimestre, comenzarás a aprender sobre la
construcción de gráficas circulares, así como a seleccionar una muestra y diseñar un estudio.
Sin más, iniciamos tu curso de matemáticas.
¡Te deseamos éxito!
24
25
Secuencia
didáctica 22
Sesión 1
150
151
Ángulos interiores de figuras II
Argumentos geométricos y ángulos internos
Reúnete con un compañero, hagan lo que se pide y respondan.
Retomen las conclusiones de la actividad anterior y contesten en equipos.
1. Reproduzcan diez triángulos iguales a cada uno de los que se muestran a la izquierda, marquen los ángulos y recórtenlos. Después armen tres retículas triangulares
en una hoja blanca, una con cada tipo de triángulo.
a
i.
g
a) ¿Cuánto mide el ángulo que se forma en la retícula al unir los tres ángulos del
b
triángulo 1? Justifiquen su respuesta.
Triángulo 1
Cada trimestre se organiza en
secuencias didácticas que se dividen
en varias sesiones de dos páginas
para facilitar tu trabajo en el aula.
1. Mar, una alumna de primero de secundaria, llegó a las siguientes conclusiones sobre la suma de los ángulos interiores. Analícenlas y contesten.
b) ¿Sucede lo mismo para las retículas que se forman con los triángulos 2 y 3?
d
z
Expliquen.
«
c) ¿A qué conclusión se puede llegar sobre la suma de la medida de los tres ángu-
Triángulo 2
En un triángulo equilátero se puede decir que 3a 5 180°, donde a es la medida
de los ángulos interiores y, por ello, a 5 60°.
ii. Para un triángulo escaleno se puede decir que a 1 b 1 g 5 180°; donde a, b y
g corresponden a la medida de sus ángulos interiores.
iii. En un triángulo isósceles se puede decir que 2f 1 Ã 5 180°, donde f representa la medida de los ángulos interiores de igual medida y Ã, la medida del
tercer ángulo interior.
a) ¿Cuál es su postura con respecto a lo que concluyó Mar? Expliquen.
los interiores de un triángulo cualquiera?
2. Nombren en cada triángulo, a al ángulo interior de menor medida, g al ángulo interior de mayor medida y al restante, b. Después completen la tabla para verificar si la
suma de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo es de 180°.
h
i
u
16.71°
58.84°
156.64°
b) ¿Cuál de estas tres conclusiones se aplica para los triángulos de la página anterior? Expliquen.
c) ¿Cómo convencerían a sus compañeros de otro equipo que la afirmación a 1 b
1 g 5 180° es verdadera? Expliquen.
32.4°
13.43°
2. Analicen los triángulos. Usen el transportador para medir los ángulos internos.
Triángulo 3
9.93°
104.45°
3
24.82°
18.92°
16.96°
Triángulo
a
Medida del ángulo
b
127.38°
7°
154.08°
138.22°
4
5
2
1
6
7
20.22°
8
g
a 1 b 1 g 5 180°
9
a) ¿Qué triángulos cumplen con la igualdad a 1 b 1 g 5 180°?
Rojo
Amarillo
b) ¿Y con 3a = 180°?
Verde
¿Y con 2f + Ã = 180°?
• Comparen sus respuestas y verifiquen que sean correctas.
Morado
P
ro
Rosa
a) ¿En todos los casos se obtiene el resultado esperado al sumar los tres ángulos
Trabaja de manera individual. Argumenta tus conclusiones ante tu grupo.
interiores?
b) Escriban la regla que determina la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo.
• Compartan sus respuestas y escriban sus conclusiones sobre la validez de la regla en
los casos estudiados.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
1. Traza en GeoGebra o en una hoja dos triángulos que cumplan con cada una las
condiciones:
a) a 1 b 1 g 5 180°
b) 3a 5 180°
c) 2f + Ã = 180°
Determinas la suma de los ángulos interiores de triángulos.
En la página izquierda de cada secuencia
didáctica se indica el eje y tema al que
pertenece. En la parte derecha se anota el
contenido que se está trabajando.
Matemáticas 1
11
Mediante actividades
individuales, en parejas, en
equipo, y con la explicación
de contenidos por parte
de tu maestro, lograrás
conocimientos matemáticos
y desarrollarás habilidades
y actitudes que te permitirán
aprender permanentemente.
La fase final de la secuencia
consta de actividades que
integran los aprendizajes. Esto
permitirá valorar tus logros.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
En esta fase te introducirás en
el tema. Además identificarás
los conocimientos que ya
tienes y los que necesitas para
continuar aprendiendo.
Las actividades son variadas, con un propósito educativo
y promueven la construcción de conceptos. Algunas se acompañan
de ilustraciones, esquemas, gráficas o fotografías con un sentido didáctico.
Durante el desarrollo de las secuencias didácticas
encontrarás estos apartados:
Son recomendaciones que te permiten crear un ambiente en el que
puedas realizar, pensar, sentir y comunicarte mejor, lo cual te ayudará
en tu aprendizaje. Esta sección también te será útil para identificar tus
intereses y motivaciones.
P
ro
Este apartado te proporciona dos o tres actividades o problemas para que
evalúes tu desempeño durante el desarrollo de la secuencia didáctica.
Encontrarás recomendaciones de fuentes electrónicas e impresas que te
servirán para ampliar tus conocimientos y habilidades sobre el tema de la
secuencia didáctica.
Te proporciona la definición de términos matemáticos o de algunas
palabras con el fin de facilitarte el estudio de los temas.
12
Matemáticas 1
86
87
ix. Da clic en los segmentos BF y FG para visualizar la medida del ángulo que se
forma entre esos puntos.
Ángulos entre rectas paralelas y
transversales
En esta sección aprenderás a determinar y usar las relaciones que existen entre los ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal.
1. Realiza de manera individual lo que se pide.
i.
Visita la página www.geogebra.
org/?lang=es y selecciona “Iniciar
GeoGebra” y luego “GeoGebraGeometría”.
ii. Dando clic a la configuración
agrega una cuadrícula visible y
selecciona “Recta” dentro de las
herramientas básicas.
a) ¿Cuánto mide el ángulo BFG?
b) ¿Cuánto mide el ángulo AFG?
c) ¿Cuánto mide el ángulo AFE? ¿Por qué?
d) ¿Cuánto mide el ángulo FED? ¿Por qué?
iii. Traza dos rectas paralelas, como
se muestra, haciendo clic en la
cuadrícula.
iv. Ahora traza una recta transversal
EF, como se muestra.
Para que desarrolles tus habilidades
digitales, practicarás algunos contenidos
de la secuencia didáctica con apoyo de la
tecnología.
x. Realiza el mismo procedimiento del paso ix para visualizar la medida de los
demás ángulos y verificar tus respuestas.
a) ¿Cuántos valores diferentes obtuviste para los ángulos?
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
b) ¿Cuántos ángulos midieron lo mismo?
2. Aplica lo que aprendiste para trazar y visualizar la medida de los siguientes ángulos.
v. Selecciona “Segmento” dentro de
las herramientas básicas.
a)
vi. Traza los segmentos AF y FG.
vii. Traza los segmentos CE y EF.
b)
viii. De las opciones de “Medición”,
selecciona “Ángulo”.
• Verifiquen sus resultados con el apoyo del profesor. Sustenten en cada caso el porqué
de sus respuestas.
¿Cómo lo hicimos?
Calculo el perímetro de
polígonos y del círculo aplicando la fórmula. Aplico la fórmula correspondiente al área
de los cuadriláteros en
problemas de figuras
compuestas.
siempre
Calculo la media aritmé- Calculo la media aritmétitica de un conjunto de
ca de un conjunto de dadatos, pero se me dificulta tos y puedo determinar la
identificar la población
población a estudiar.
a estudiar.
pa
r
om
p
pr
en arte
lo
diz
qu
aje
y e e asim
l de
ila p
ara c
los
onsolid
com
ar
pañe
ros.
Calculo el perímetro de
polígonos aplicando la
fórmula. Aplico la fórmula
que corresponde al área
de los cuadriláteros.
casi
sie
mp
re
Calculo el perímetro de
polígonos y del círculo
aplicando la fórmula. Se
me dificulta identificar la
fórmula que corresponde al área de algunos
cuadriláteros.
a ve
ces
Calculo el perímetro de
polígonos y del círculo,
así como áreas de triángulos y de cuadriláteros,
al desarrollar y aplicar la
fórmula correspondiente
para cada caso.
nun
ca
Puedo plantear y resolver Resuelvo problemas
la ecuación que modela
planteando y resolvienalgunos problemas.
do la ecuación que lo
modela.
Se inte
resa
por
comp
la f
añer
orm
os p
a
rop
one com
o
nu
na nue
siem
s
so
luc
pre
Se me dificulta plantear y
resolver la ecuación que
modela una situación.
nunca
re
mp
sie
pre
iem
si s
ca
s
ece
av
nca
nu
Resuelvo problemas mediante la formulación y
solución algebraica de
ecuaciones lineales.
c
sie
mp
re
cas
i sie
mp
re
Resuelvo problemas que
implican calcular el porcentaje, el tanto por ciento
y la cantidad base.
a veces
a ve
ce
s
Resuelvo problemas en
los que debo calcular el
porcentaje o el tanto por
ciento.
Co
m
p
casi siempre
lución
reso
a la
par
os
ma.
azg
ble
all
pro
sh
un
su
de
te
al
ar
up
gr
Resuelvo problemas que Solamente puedo reimplican calcular el porsolver problemas en
centaje, el tanto por ciento los que debo calcular el
y la cantidad base.
porcentaje.
siempre
.
ión
nun
ca
Resuelvo problemas
usando la jerarquía de las
operaciones y paréntesis
con números con signo:
enteros, fraccionarios o
decimales.
todos participen y no ac
apar
ite que
a
Perm
el uso de la palabra.
s
tro
i
rtic
pa
de
.
es
nte
ant
me
eas
da
us id
na
iza s
rde
Organ
rlo o
hace
para
Aplico correctamente la
jerarquía de las operaciones, pero a veces no
coloco adecuadamente
los paréntesis.
Uso e interpreto las medi- Se me dificulta calcular
das de tendencia central la media aritmética de
de un conjunto de datos. un conjunto de datos.
187
2. Pide a un compañero que coloree la franja que representa mejor el nivel donde te ubicas.
nunca
Excelente
Resuelvo problemas en
los que debo sumar y restar números con signo, ya
sea enteros, fracciones o
decimales. Identifico a la
resta como la suma del
simétrico.
s
ece
av
nca
nu
Tengo dificultades para
identificar la jerarquía de
las operaciones, así como
para determinar la ubicación de los paréntesis en
las operaciones.
Satisfactorio
Resuelvo algunos problemas en los que debo
sumar y restar números
con signo, ya sea enteros,
fracciones o decimales.
as
Uso la jerarquía de las
operaciones y paréntesis
en operaciones con números naturales, enteros,
fracciones y decimales.
En proceso
Se me dificulta resolver
problemas en los que
debo sumar y restar números con signo.
a veces
Aprendizajes esperados
Resuelvo problemas que
implican sumar y restar números con signo,
enteros, fraccionarios y
decimales.
X
¡Vamos a reflexionar sobre las actitudes y los valores que desarrollaste en este trimestre!
casi siempre
186
1. Marca la casilla que describe mejor tu desempeño.
re
mp
sie
pre
iem
is
En esta página te proponemos
un espacio para que, junto con
un compañero, adviertas cómo
desarrollaste tus habilidades,
valores y actitudes a lo largo
del trimestre.
yc
ta
a
rci
su
Eje
Aplic
ión
a lo ap
rendido antes en la soluc
de nuevos problemas.
3. Lee y responde de manera individual.
•
¿Qué es lo que más te gustó en este trimestre?
•
¿Qué es lo que menos te gustó en este trimestre?
•
¿Qué podrías mejorar en el próximo trimestre?
• Reflexiona sobre tus resultados y, con tu profesor, busca estrategias para fortalecer tus áreas de oportunidad.
270
Fuentes de información
Para el alumno
Para la elaboración de este libro
Impresas
Impresas
P
ro
ƒ
Charles, Seife. Cero: La biografía de una idea peligrosa, Ellago Ediciones, Madrid, 2006.
ƒ
Doxiadis, Apostolos. El tío Petros y la conjetura de Goldbach, Ediciones B. Tiempos
Modernos, Barcelona, 2000.
ƒ
Enzensberger, Hans Magnus. El diablo de los números: Un libro para todos aquellos
que le temen a las matemáticas, Siruela, Madrid, 2013.
ƒ
Guedj, Denis. El teorema del Loro, Anagrama, Barcelona, 2006.
ƒ
Haddon, Mark. El curioso incidente del perro a medianoche, Salamandra, Barcelona, 2004.
ƒ
Martínez, Guillermo. Los crímenes de Oxford, Destino, Barcelona, 2003.
ƒ
Ogawa, Yoko. La fórmula preferida del profesor, Funambulista, Madrid 2014.
ƒ
Sierra i Fabra, Jordi. El asesinato del profesor de matemáticas, Anaya, Madrid, 2000.
ƒ
Alarcón, J. y otros. Libro para el maestro. Matemáticas. Secundaria, SEP, México,
2001.
ƒ
Balacheff, N. Procesos de prueba en los alumnos de matemáticas, Universidad de los
Andes, Bogotá, 2000.
ƒ
Batanero, C. y otros. Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas escolares. Casos y
perspectivas, SEP, México, 2011.
ƒ
Bernabé, R. “El sentido numérico y sus vínculos con el rendimiento escolar en aritmética”, tesis de maestría, Cinvestav-IPN, México, 2008.
ƒ
Franke, M. y otros. “Mathematics teaching and classroom practice”, en F. Lester (ed.).
Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 225-256,
NCTM, Charlotte, 2007.
ƒ
Tahan, Malba. El hombre que calculaba, Limusa, Barcelona, 2008.
ƒ
Moreno, A. y Elizondo, Rubén. “La geometría al encuentro del aprendizaje”, en revista
Educación Matemática, vol. 29, número 1, México, 2017.
Electrónicas
ƒ
Radford, L. Algebraic thinking and the generalization of patterns: A semiotic Perspective.
Proceedings of the 28th Annual Meeting of the North American Psychology Mathematics
Education, Universidad Pedagógica Nacional, Mérida, México, 2006.
ƒ
Videos que explican la densidad entre fracciones y la conversión de fracciones.
www.showme.com/sh/?h=NqtXgB6 y www.showme.com/sh/?h=iPjXeTo (consulta: 8
de noviembre de 2017, 5:55 h)
ƒ
Páginas de consulta donde reafirmarás tus conocimientos sobre la conversión de fracciones y sus equivalentes a notación decimal y viceversa.
www.bartolomecossio.com/MATEMATICAS/conversin_decimal_en_fraccin_y_
viceversa.html (consulta: 8 de noviembre de 2017, 5:59 h)
ƒ
Juego intercativo con ejercicios sobre números decimales y fracciones decimales.
www.cerebriti.com/juegos-de-matematicas/fracciones-y-numeros-decimales#.
WgMJZ4aDOjg (consulta: 8 de noviembre de 2017, 6:12 h)
ƒ
Calculadora para que conviertas fracciones a notación científica.
www.aaamatematicas.com/g6_71lx1.htm (consulta: 8 de noviembre de 2017, 6:25 h)
ƒ
SEP. Plan y programas de estudio para la educación básica. Aprendizajes clave para
la educación integral, México, 2017.
ƒ
Wenger, E. Comunidades de práctica. Aprendizaje, significado e identidad, España,
Paidós, 2001.
Electrónicas
ƒ
¿Cómo ir más allá de los modelos constructivistas? La utilización didáctica de las concepciones de los estudiantes
dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=116930 (consulta: 22 de noviembre de
2017, 11:16 h)
ƒ
En esta página multiplicarás y dividirás números decimales.
www3.gobiernodecanarias.org/medusa/eltanquematematico/todo_mate/openumdec/
mult_dec/mult_dec.html (consulta: 8 de noviembre de 2017, 6:55 h)
ƒ
El modelo alostérico y las teorías contemporáneas sobre el aprendizaje
www.andregiordan.com/espagnol/modeloall.htm (consulta: 22 de noviembre de 2017,
11:19 h)
ƒ
Páginas interactivas para que conozcas más situaciones de proporcionalidad.
recursostic.educacion.es/secundaria/edad/2esomatematicas/2quincena4/index2_4.
htm (consulta: 8 de noviembre de 2017, 7:12 h)
ƒ
Textos para la formación matemática y didáctica de maestros
www.ugr.es/~jgodino/fprofesores.htm (consulta: 22 de noviembre de 2017, 11:20 h)
ƒ
Recurso interactivo donde conocerás la aplicación de la proporcionalidad a escala.
www.educaixa.com/microsites/Matematiques_num_i_figures/proporcionalidad/
(consulta: 8 de noviembre de 2017, 7:25 h)
ƒ
El portal de Conaliteg ofrece todos los libros de Matemáticas de primero de secundaria.
libros.conaliteg.gob.mx/content/common/consulta-libros-gb/ (consulta: 8 de noviembre de 2017, 7:30 h)
ƒ
Biblioteca digital del ILCE ofrece obras y colecciones de libros en internet.
bibliotecadigital.ilce.edu.mx/ (consulta: 08 de noviembre de 2017, 8:10 h)
271
ƒ
Los principios de la educación matemática realista
www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&cad=rja&uact=
8&ved=0ahUKEwj-65Gk09DXAhUqwlQKHXhSBYUQFggvMAE&url=https%3A%2F
%2Fbibliotecavirtual.unl.edu.ar%2Fojs%2Findex.php%2FYupana%2Farticle%2Fdown
load%2F247%2F333&usg=AOvVaw2E4zh0BdN-pVgRTUGPuo0W (consulta: 22 de
noviembre de 2017, 11:23 h)
ƒ
Aprendizaje significativo en el área de matemáticas: una experiencia pedagógica
funes.uniandes.edu.co/2385/ (consulta: 22 de noviembre de 2017, 11:24 h)
Con la finalidad de que enriquezcas el
trabajo que has realizado a lo largo del
ciclo escolar, al final del libro te sugerimos
fuentes impresas y electrónicas, tanto las
que fueron consultadas en la elaboración
del libro como las que te proponemos
revisar para que profundices aún más tus
conocimientos matemáticos.
Matemáticas 1
13
Trimestre
Ejes
Temas
Aprendizajes esperados
Secuencias didácticas
1. Conviertes fracciones decimales y sus
equivalentes a notación decimal y viceversa.
2. Aproximas fracciones no decimales usando la
notación decimal y viceversa.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Convertirás fracciones decimales
a notación decimal y viceversa.
Aproximarás algunas fracciones
no decimales usando la notación
decimal. Ordenarás fracciones y
números decimales
Número
3. Ordenas números fraccionarios y números
decimales a través de diversos procedimientos.
4. Formalizas la propiedad de densidad de los
números racionales.
Número,
álgebra y
variación
5. Resuelves problemas que implican multiplicar
números fraccionarios.
Multiplicación
y división
1
Resolverás problemas de
multiplicación con fracciones
y decimales, y de división con
decimales
6. Resuelves problemas que implican multiplicar
números decimales.
7. Resuelves problemas que implican dividir
números decimales.
P
ro
Calcularás valores faltantes en
problemas de proporcionalidad
Proporcionalidad
directa, con constante natural,
fracción o decimal
Forma,
espacio y
medida
Análisis de
datos
14
Figuras
y cuerpos
geométricos
Estadística
Matemáticas 1
Analizarás la existencia y unicidad
en la construcción de triángulos
y cuadriláteros y determinarás y
usarás los criterios de congruencia
de triángulos
Recolectarás, registrarás y leerás
datos en gráficas circulares
8. Calculas valores faltantes, con k número natural
en problemas de proporcionalidad directa.
9. Calculas valores faltantes, con k número
fraccionario o número decimal en problemas
de proporcionalidad directa.
10. Determinas y usas las relaciones que existen
entre los ángulos formados por dos rectas
paralelas cortadas por una transversal en la
resolución de problemas.
11. Exploras empíricamente la suma de los ángulos
interiores de triángulos y cuadriláteros
12. Lees datos en gráficas circulares.
Sesiones
Páginas
26 a 31
1. Expresas fracciones no decimales mediante aproximaciones con números decimales finitos y mediante números decimales
periódicos.
2. Expresas fracciones no decimales mediante aproximaciones con números decimales periódicos mixtos y puros.
3. Conviertes un número decimal a fracción.
32 a 37
1. Ordenas números decimales y números fraccionarios. Anticipas y compruebas qué número decimal o número fraccionario es
mayor, menor o igual que otros números decimales o o números fraccionarios (sin usar la recta numérica).
2. Ubicas y comparas diversos tipos de números fraccionarios en la recta numérica.
3. Ubicas y comparas diversos números decimales y números fraccionarios en la recta numérica.
38 a 43
1. Ubicas y comparas números racionales en la recta numérica.
2. Usas la propiedad de densidad de los números fraccionarios empleando fracciones equivalentes a las dadas o a través del
método de la suma de las fracciones dadas y su división entre 2.
3. Aplicas la propiedad de densidad de los números decimales en la resolución de problemas.
44 a 49
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
1 Distingues fracciones decimales, o equivalentes a una fracción decimal, de aquellas que no lo son.
2 Expresas, con notación decimal fracciones decimales y aquellas que no tienen denominador potencia de 10, pero que son
equivalentes a una fracción decimal.
3 Conviertes números decimales a fracción decimal o equivalente.
1. Resuelves problemas de multiplicación con factores fraccionarios.
2. Resuelves problemas que implican la aplicación de la multiplicación por a/b como una constante de proporcionalidad.
3. Resuelves problemas usando el algoritmo de la multiplicación de números fraccionarios.
50 a 55
56 a 61
1. Resuelves problemas de división cuando el dividendo y divisor son números decimales y el cociente es número natural.
2. Resuelves problemas de división de números decimales entre potencias de 10.
3. Resuelves problemas que requieran usar el algoritmo convencional de la división de números decimales.
62 a 67
1. Resuelves problemas de proporcionalidad directa de valor faltante (números naturales) en contextos continuos.
2. Resuelves problemas de proporcionalidad directa de valor faltante (números naturales) en contextos discretos.
3. Resuelves problemas de proporcionalidad directa de valor faltante con números naturales.
68 a 73
1. Resuelves problemas de proporcionalidad directa de valor faltante (números decimales) en contextos continuos.
2. Resuelves problemas de proporcionalidad directa de valor faltante (números fraccionarios) en contextos continuos.
74 a 77
P
ro
1. Resuelves problemas de multiplicación con factores de números decimales (número natural por número decimal).
2. Resuelves problemas de multiplicación de números decimales finitos y donde se involucren relaciones de proporcionalidad
directa (número decimal por número decimal).
3. Resuelves problemas que requieran aplicar el algoritmo convencional de la multiplicación de números decimales, así como la
multiplicación de números decimales por potencias de 10.
1. Analizas, identificas y caracterizas rectas paralelas y transversales.
2. Determinas los ángulos formados por rectas paralelas y transversales.
3. Usas las relaciones que existen entre los ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal en la
resolución de problemas geométricos.
80 a 85
1. Estudias los ángulos interiores de figuras geométricas.
2. Exploras empíricamente la relación entre los ángulos interiores de triángulos.
3. Exploras empíricamente la relación entre los ángulos interiores de cuadriláteros.
88 a 93
1. Lees gráficas circulares.
2. Recolectas, registras e interpretas datos.
94 a 97
Matemáticas 1
15
Trimestre
Ejes
Temas
Aprendizajes esperados
Secuencias didácticas
13. Resuelves problemas que implican sumar números
enteros.
Resolverás problemas de suma y resta con
números enteros, fracciones y decimales
positivos y negativos.
14. Resuelves problemas que implican restar números
enteros.
15. Resuelves problemas que implican sumar
fracciones y números decimales positivos
y negativos.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Adición y
sustracción
16. Resuelves problemas que implican restar fracciones
y números decimales positivos y negativos.
Número,
álgebra
y variación
Multiplicación
y división
Proporcionalidad
2
Ecuaciones
Figuras y cuerpos
geométricos
P
ro
Forma,
espacio y
medida
Magnitudes
y medidas
Estadística
Análisis
de datos
Probabilidad
16
Matemáticas 1
Determinarás y usarás la jerarquía de
operaciones y los paréntesis en operaciones
con números naturales, enteros y decimales
(para multiplicación
y división solo números positivos)
Resolverás problemas de cálculo de
porcentajes, de tanto por ciento y de la
cantidad base
Resolverás problemas mediante la
formulación y solución algebraica de
ecuaciones lineales
Analizarás la existencia y unicidad en la
construcción de triángulos y cuadriláteros,
y determinarás y usarás los criterios de
congruencia de triángulos
Calcularás el perímetro de polígonos y del
círculo, y áreas de triángulos y cuadriláteros,
desarrollando y aplicando fórmulas
17. Usas la jerarquía de operaciones y los paréntesis
en operaciones con números naturales, números
enteros, fracciones y números decimales.
18. Resuelves problemas que implican calcular el
porcentaje.
19. Resuelves problemas que implican calcular el
porcentaje, el tanto por ciento y de la cantidad base.
20. Resuelves problemas mediante la formulación y
solución algebraica de ecuaciones lineales del tipo
Ax 1 B 5 C.
21. Resuelves problemas mediante la formulación y
solución algebraica de ecuaciones lineales del tipo
Ax 1 B 5 Cx 1 D.
22. Determinas, con argumentos geométricos, la
suma de los ángulos interiores de triángulos y
cuadriláteros.
23. Calculas el perímetro de polígonos y del círculo.
24. Calculas áreas de triángulos y de cuadriláteros, al
desarrollar y aplicar la fórmula correspondiente para
cada caso.
Recolectarás, registrarás y leerás datos en
gráficas circulares
25. Recolectas, registras e interpretas datos en gráficas
circulares.
Usas e interpretas las medidas de tendencia
central (moda, media aritmética y mediana)
y el rango de un conjunto de datos y
decidirás cuál de ellas conviene más en
el análisis de los datos en cuestión.
26. Usas e interpretas las medidas de tendencia central
de un conjunto de datos.
Realizarás experimentos aleatorios
y registrarás los resultados para un
acercamiento a la probabilidad frecuencial
27. Determinas la población a estudiar, el tipo de datos
a obtener de acuerdo con la forma de recolectar
los datos (observación, experimento y encuesta).
Identificas la importancia de realizar un registro
adecuado de los datos.
Sesiones
Páginas
Analizas situaciones para construir el significado de valor absoluto y números simétricos. Resuelves problemas de suma de números enteros
con apoyo de la recta numérica.
2. Resuelves problemas de suma de números enteros con más de dos sumandos.
3. Formalizas la suma y resta con números positivos y negativos. Comprendes que la suma y la resta son operaciones inversas.
102 a 107
1. Vinculas la resta de números enteros con la suma.
2. Resuelves problemas de resta de números enteros.
108 a 111
1. Sumas números decimales positivos y negativos.
2. Sumas fracciones positivas y negativas.
3. Resuelves problemas que implican sumas de fracciones y números decimales positivos y negativos.
112 a 117
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
1.
1. Resuelves problemas de resta de números decimales positivos y negativos.
2. Resuelves problemas de resta de fracciones positivas y negativas.
3. Resuelves problemas de resta de fracciones y números decimales positivos y negativos.
120 a 125
1. Aplicas la jerarquía de operaciones con números naturales, fraccionarios y números decimales para resolver problemas.
2. Resuelves problemas que requieran el uso de la jerarquía de operaciones con números positivos y negativos.
3. Aplicas la jerarquía de operaciones en expresiones algebraicas.
126 a 131
1. Resuelves problemas de cálculo del porcentaje.
2. Resuelves problemas que implican calcular el porcentaje que representa una cantidad con respecto a otra.
132 a 135
1. Resuelves problemas donde sea necesario calcular la cantidad base de un porcentaje (decremento).
2. Resuelves problemas donde sea necesario calcular la cantidad base de un porcentaje (incremento).
136 a 139
1. Analizas y modelas situaciones problemáticas como ecuaciones lineales para su resolución algebraica.
2. Resuelves ecuaciones lineales del tipo Ax 1 B 5 C. .
140 a 143
Resuelves ecuaciones lineales del tipo Ax 1 B 5 Cx 1 D. Aplicas las propiedades de la igualdad y construyes el significado de la igualdad
como equivalencia entre expresiones algebraicas o numéricas.
2. Resuelves ecuaciones lineales del tipo Ax 1 B 5 Cx 1 D, cuando A, B, C y D son números enteros, números fraccionarios o números decimales.
3. Resuelves problemas mediante ecuaciones lineales.
144 a 149
1. Determinas la suma de los ángulos interiores de triángulos.
2. Determinas la generalización de la suma de los ángulos interiores de triángulos.
3. Determinas la generalización de la suma de los ángulos interiores de cuadriláteros.
150 a 155
1. Desarrollas fórmulas o expresiones algebraicas equivalentes que refieren al perímetro de polígonos (cuadrado, triángulo, rectángulo).
2. Desarrollas fórmulas o expresiones algebraicas equivalentes que refieren al perímetro de polígonos.
3. Desarrollas fórmulas o expresiones algebraicas equivalentes que refieren al perímetro del círculo.
158 a 163
1. Desarrollas fórmulas o expresiones algebraicas equivalentes que refieren al área de rectángulos y triángulos.
2. Desarrollas la fórmula o expresiones algebraicas equivalentes que refieren al área de rombos y romboides.
3. Desarrollas la fórmula o expresiones algebraicas equivalentes que refieren al área de trapecios.
164 a 169
1. Recolectas, registras e interpretas datos. Construyes gráficas a partir del establecimiento de porcentajes.
2. Construyes gráficas a partir del establecimiento de porcentajes.
3. Construyes gráficas circulares a partir de las frecuencias obtenidas en la recolección de datos.
170 a 175
1. Identificas el significado de la media aritmética como reparto equitativo dado un conjunto de datos.
2. Identificas el significado de la media aritmética como mejor estimación dado un conjunto de datos.
3. Reconoces el significado de la media como medida de tendencia central.
176 a 181
1. Determinas la población a estudiar, el tipo de datos a obtener de acuerdo con la forma de recolectar los datos: encuesta y plan de muestreo.
2. Determinas la población a estudiar, el tipo de datos a obtener de acuerdo con la forma de recolectar los datos: observación y experimento.
Resaltas la importancia del registro de datos (tabla de frecuencia), como introducción a la probabilidad frecuencial.
182 a 185
P
ro
1.
Matemáticas 1
17
Trimestre
Ejes
Temas
Aprendizajes esperados
Secuencias didácticas
28. Analizas y comparas situaciones de variación
lineal a partir de sus representaciones tabular,
gráfica y algebraica.
29. Comparas diversos tipos de variación lineales o
no y la razón de cambio.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Analizarás y compararás situaciones
de variación lineal a partir de sus
representaciones tabular, gráfica y
algebraica. Interpretarás y resolverás
problemas que se modelan con estos
tipos de variación
Funciones
Número,
álgebra
y variación
30. Representas gráficamente diversos tipos de
variación lineal para analizar la pendiente e
inclinación de la recta.
31. Interpretas y resuelves problemas que se
modelan con diversos tipos de variación lineal.
Patrones,
figuras
geométricas
y expresiones
equivalentes
Formularás expresiones algebraicas
32. Obtienes expresiones algebraicas de primer
de primer grado a partir de sucesiones
grado de sucesiones. Usas dichas expresiones
y las utilizarás para analizar
para analizar las propiedades de la sucesión que
propiedades de la sucesión que
representan.
representan
33. Construyes triángulos y cuadriláteros a partir de
distintas condiciones.
3
Figuras
y cuerpos
geométricos
P
ro
Forma,
espacio y
medida
34. Exploras las condiciones mínimas suficientes
para construir dos triángulos congruentes.
35. Formulas los criterios de congruencia de
triángulos.
36. Usas los criterios de congruencia de triángulos
para justificar algunas propiedades de
los paralelogramos.
37. Calculas el volumen de prismas rectos cuya
base sea un triángulo o un cuadrilátero
desarrollando y aplicando fórmulas.
Magnitudes
y medidas
Calcularás el volumen de prismas
rectos cuya base sea un triángulo
o un cuadrilátero, desarrollando y
aplicando fórmulas
Estadística
Usarás e interpretarás las medidas
de tendencia central (moda, media
aritmética y mediana) y el rango
de un conjunto de datos y decidirás
cuál de ellas conviene más en el
análisis de datos en cuestión
39. Usas e interpretas las medidas de tendencia
central y el rango como medida de dispersión de
un conjunto de datos. Determinas qué medida
de tendencia central o el rango, conviene más
en el análisis de los datos en cuestión.
Probabilidad
Realizarás experimentos aleatorios
y registrarás los resultados para
un acercamiento a la probabilidad
frecuencial
40. Realizas experimentos aleatorios y registras los
resultados para introducirte a la probabilidad
frecuencial.
Análisis de
datos
18
Analizarás la existencia y unicidad
en la construcción de triángulos
y cuadriláteros, y determinarás y
usarás criterios de congruencia de
triángulos
Matemáticas 1
38. Calculas el volumen o cualquiera de las
dimensiones de prismas rectos cuya base sea
un triángulo.
Páginas
1. Describes un proceso de variación con constante aditiva, multiplicativa o de proporcionalidad.
2. Identificas, a partir de la representación tabular, gráfica o algebraica de un fenómeno, la variación (lineal) y la comparas con la
variación de otros fenómenos del mismo tipo (solo lineal).
3. Identificas la variación (lineal o no lineal) de un fenómeno a partir de su representación tabular, gráfica o algebraica y la
comparas con la variación de otros fenómenos (lineal o no lineal).
190 a 195
1. Construyes gráficas aproximadas de situaciones descritas en las que la variación es constante, positiva o negativa I.
2. Construyes gráficas aproximadas de situaciones descritas en las que la variación es constante, positiva o negativa II.
3. Calculas y analizas la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal.
196 a 201
1. Analizas la relación entre la inclinación de la recta y la razón de cambio en gráficas asociadas a funciones lineales I.
2. Analizas la relación entre la inclinación de la recta y la razón de cambio en gráficas asociadas a funciones lineales II.
3. Analizas la relación entre la inclinación de la recta y la razón de cambio en gráficas asociadas a funciones lineales III.
202 a 207
1. Determinas la expresión algebraica que representa a la razón de cambio, dada la recta o el registro tabular o ambas
representaciones equivalentes.
2. Analizas la relación entre la inclinación de la recta y la razón de cambio en gráficas asociadas a funciones lineales I.
3. Analizas la relación entre la inclinación de la recta y la razón de cambio en gráficas asociadas a funciones lineales II.
210 a 215
1. Resuelves problemas que implican encontrar la regla general de sucesiones con progresión aritmética.
2. Resuelves problemas que impliquen el establecimiento de expresiones algebraicas equivalentes que representan reglas
generales de sucesiones con progresión aritmética.
3. Aplicas la regla general de una sucesión con progresión aritmética para determinar términos faltantes. En sucesiones de
figuras, determinas el número de elementos de la figura según el lugar que ocupa en la sucesión.
216 a 221
1. Determinas la desigualdad del triángulo.
2. Estableces la propiedad de unicidad en la construcción de triángulos.
3. Construyes paralelogramos: posibilidad y unicidad.
222 a 227
1. Construyes dos triángulos cuyos lados correspondientes son iguales.
2. Construyes dos triángulos cuyas medidas de dos lados y un ángulo sean iguales.
3. Construyes dos triángulos cuyas medidas de dos ángulos y un lado sean iguales.
228 a 233
1. Construyes triángulos congruentes.
2. Determinas los criterios de congruencia de triángulos.
3. Aplicas los criterios de congruencia de triángulos.
234 a 239
1. Identificas los criterios de congruencia de triángulos en problemas geométricos.
2. Aplicas los criterios de congruencia de triángulos para estudiar las propiedades de paralelogramos.
240 a 243
1. Obtienes la fórmula para calcular el volumen de prismas rectos cuya base es un rectángulo.
2. Obtienes la fórmula para calcular el volumen de prismas rectos cuya base es un triángulo.
3. Resuelves problemas que implican calcular el volumen de prismas rectos cuya base es un cuadrilátero o un triángulo.
244 a 249
1. Calculas el volumen o cualquiera de las dimensiones de prismas rectos cuya base sea un cuadrilátero o un triángulo.
2. Estableces la relación entre capacidad y volumen e identificas la diferencia.
3. Usas el decímetro cúbico y el litro como unidades de volumen.
250 a 255
1. Identificas el significado de la moda, media aritmética y la mediana (como reparto equitativo, mejor estimación, número
alrededor del cual se acumulan los datos o representante) dado un conjunto de datos.
2. Determinas el rango de un conjunto de datos e interpretas la dispersión de dicho conjunto.
3. Identificas el mejor representante de un conjunto de datos.
256 a 261
1. Realizas experimentos aleatorios y registras los resultados para introducirte a la probabilidad frecuencial I.
2. Realizas experimentos aleatorios y registras los resultados para introducirte a la probabilidad frecuencial II.
264 a 267
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Sesiones
Matemáticas 1
19
¡Bienvenido al primer curso de Matemáticas de secundaria! Deseamos que este ciclo cumpla con todas las expectativas que te creaste al entrar a este nivel educativo. Para que te
familiarices con tus compañeros y con algunos aspectos de la asignatura, te invitamos a
realizar lo siguiente.
1. Ponte de pie, di al grupo tu nombre completo y cómo te gusta que te llamen. Nombra
un tema o un concepto que recuerdes acerca de las matemáticas. Puedes usar algún
ejemplo para apoyar tu idea.
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2. Menciona una expectativa que tengas con respecto a las matemáticas ahora que estás en primero de secundaria. Anótala.
3. Escribe un propósito que te plantees para que se cumpla tu expectativa. Coméntalo
con tus compañeros.
4. Con ayuda del profesor, elaboren una lista de los propósitos del grupo. Si algunos se
repiten, escríbanlos una sola vez.
5. Ahora, revisa tu libro de texto. Identifica sus partes principales, observa las diversas
formas como se propone que trabajes, las ilustraciones, etcétera.
P
ro
6. De manera grupal comenten qué les pareció el libro de texto, qué llamó su atención,
qué no les agradó y cómo les gustaría que se llevaran a cabo las actividades. Inviten
al profesor a comentar lo que ustedes expresen. Soliciten que les explique cómo serán evaluados.
Las matemáticas son un conjunto de conocimientos que se ha construido a lo largo de
mucho tiempo. Por eso, considera que tus aprendizajes matemáticos no serán repentinos,
sino que los irás adquiriendo poco a poco, a lo largo de periodos con diferentes tiempos.
Por tanto, no te desesperes si no logras comprender algún contenido en la primera ocasión.
Tu dedicación y perseverancia seguramente te llevarán a entender todo lo que se trabaje
en clase.
20
Matemáticas 1
Las matemáticas se han desarrollado siempre en sociedad, nunca como resultado del trabajo de una sola persona. Entonces, es importante que tengas en cuenta la relevancia de
tu participación en la construcción de tus propios conocimientos, pero también en el desarrollo de las ideas de tus compañeros, así como otros tienen participación importante en el
perfeccionamiento de tus habilidades y la adquisición de tus conocimientos matemáticos.
Aprendizajes
de Sonia
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Aprendizajes
de Jorge
Aprendizajes
de Guadalupe
Dada la importancia del trabajo colaborativo en la construcción de los conocimientos matemáticos, es trascendental que a lo largo del curso te organices con otros compañeros e
integren equipos para desarrollar las actividades que se proponen en el libro o que plantee
el profesor.
Puedes formar los equipos de diversas maneras, por ejemplo, por número de lista, con tus
compañeros de la misma fila o en parejas. Procura integrar equipos con diferentes compañeros para tener oportunidad de aprender de maneras diversas.
Trabajar en equipo permite intercambiar ideas
y procedimientos; escuchar y respetar distintas
opiniones, lo que enriquece tu aprendizaje.
P
ro
Debido al cambio que experimentarás al pasar de la primaria a la secundaria, te proponemos algunas estrategias para tener un desempeño exitoso.
Organízate y planea. Escribe tu horario escolar y vincúlalo con tu horario personal; incluye
el uso de una agenda para registrar tus actividades y tareas. Esto te ayudará a prever una
serie de acciones necesarias para alcanzar tus metas y concluir con éxito este y los demás
cursos de tu primer grado de secundaria.
Establece un tiempo de estudio. Sé sistemático, organiza tus apuntes, haz esquemas, diagramas o fichas de trabajo con los contenidos y procedimientos aprendidos en clase; de
manera que puedas consultarlos cuando te surja alguna duda.
Matemáticas 1
21
¿Cómo trabajaremos en Matemáticas?
En este libro, el trabajo para adquirir conocimientos y desarrollar habilidades matemáticas
se realiza mediante secuencias didácticas, cada una de ellas dividida en varias sesiones
que facilitan el trabajo dentro del aula. Las sesiones se diseñaron de manera progresiva
para que, al término de la última de ellas, alcances el propósito planteado para la secuencia correspondiente.
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Sesión
2
Sesión 3. Cumplimiento del propósito de
la secuencia
Sesión
1
Las sesiones se dividen en tres momentos: “¿Qué sabemos?”, “¿Qué estamos aprendiendo?” y “¿Qué aprendimos?”. Estos momentos propician el desarrollo progresivo del
contenido correspondiente, por eso es importante que los vayas trabajando en el orden
en que se presentan.
A continuación se describe lo que se aborda en cada momento.
• Se propone una actividad para que la resuelvas
utilizando tus conocimientos. Esta actividad permite
que tengas una aproximación al tema por estudiar.
¿Qué
sabemos?
¿Qué
estamos
aprendiendo?
• Aquí se plantean actividades que te permitirán
construir los nuevos conocimientos o desarrollar
nuevas estrategias y procedimientos.
P
ro
¿Qué
aprendimos?
• Se incluye una serie de actividades
para que apliques el conocimiento
que has adquirido o la habilidad que
has desarrollado.
En “¿Qué sabemos?” también se pretende que desarrolles tu creatividad para buscar la
solución al problema planteado.
Es importante que compartan las diversas soluciones que encontraron en el grupo, que las
analicen y lleguen a acuerdos, con mediación del profesor, sobre cuál puede ser la más
eficiente.
22
¿Cómo aprenderemos?
Por su parte, en “¿Qué estamos aprendiendo?” se proponen actividades de aprendizaje
que te permiten analizar diversas situaciones para que reflexiones, comprendas y construyas el nuevo contenido matemático.
En “¿Qué aprendimos?” se ponen en práctica los conocimientos adquiridos. En varios casos, son actividades que te solicitan un esfuerzo mayor y que, al mismo tiempo, te darán
mayor confianza y autonomía para aprender.
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Lo aprendido se ejercita considerando que, aunque el razonamiento es la principal actividad que debes desarrollar, la práctica de las técnicas es fundamental para construir conocimientos que se abordan más adelante, en este mismo curso o en los siguientes grados
de secundaria.
La mayoría de los contenidos matemáticos fueron planteados para comprender, explicar
y resolver situaciones naturales o sociales. Por lo anterior, muchos problemas del libro son
planteados en contextos o situaciones de los medios social y natural.
Para resolver estas situaciones matemáticas es necesario que apliques los conocimientos que has adquirido y las habilidades que has desarrollado en otras asignaturas, como
Geografía e Historia. Esto hace ver la estrecha relación que existe entre las diversas áreas
del conocimiento.
Medio
social
Matemáticas
P
ro
Medio
natural
Algunos contenidos se pueden enriquecer con actividades en las que se usan diversas
tecnologías, especialmente softwares de uso libre. También se te invita al uso racional de
la calculadora.
Finalmente, te invitamos a establecer relaciones entre lo que aprendes en tu clase de
Matemáticas y lo que ocurre en tu vida diaria. Las matemáticas te deben servir para comprender el mundo que te rodea.
¡Adelante en esta aventura matemática que ahora comienzas!
Matemáticas 1
23
26
Secuencia
didáctica 2
38
Secuencia
didáctica 3
44
Secuencia
didáctica 4
50
Secuencia
didáctica 5
56
Secuencia
didáctica 6
62
Secuencia
didáctica 7
68
Secuencia
didáctica 8
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Trimestre
uno
P
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Secuencia
didáctica 1
32
24
74
Secuencia
didáctica 9
78
Uso de la tecnología
80
Secuencia
didáctica 10
86
Uso de la tecnología
88
Secuencia
didáctica 11
94
Secuencia
didáctica 12
98
¿Cómo lo hicimos?
Fracciones, gráficas y más…
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¡Bienvenido a tu curso de Matemáticas de primero de secundaria!
En este trimestre, mediante las actividades de la secuencia 1, desarrollarás tu habilidad para convertir fracciones a su notación decimal y viceversa, y para aproximar algunas fracciones no decimales
usando la notación decimal. Además, estudiarás las expresiones
9
5 0.75.
numéricas equivalentes, como
12
También analizarás las propiedades de los números racionales y la
propiedad de densidad al ordenar fracciones y números decimales
en la recta numérica. Tu sentido numérico también se fortalecerá
cuando estudies los números que nunca tienen fin, ¡es decir, los
números infinitos!, y aprenderás a escribirlos de manera acotada.
Asimismo, en este trimestre resolverás problemas de variación utilizando fracciones, y ampliarás tu conocimiento de las propiedades
de los ángulos y las relaciones que puedes establecer entre ellos.
Para cerrar este trimestre, comenzarás a aprender sobre la
construcción de gráficas circulares, así como a seleccionar una muestra y diseñar un estudio.
P
ro
Sin más, iniciamos tu curso de matemáticas.
¡Te deseamos éxito!
25
26
Secuencia
didáctica 1
Sesión 1
Fracciones decimales
Analicen en parejas el planteamiento y contesten.
1. Comparen la escritura de los números de los recuadros rojos del recibo de compra.
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a) ¿Cómo son las escrituras de los números comparados? Expliquen.
Respuesta modelo (R. M.) Son distintas, pero se refieren a un mismo valor; la primera usa números y punto decimal, y la segunda, palabras y números.
b) Comparen la parte decimal del número decimal 44.45 y la fracción 45 .
100
¿Qué relación identifican? Es el mismo valor expresado como número
decimal y como fracción.
c) ¿Por qué el número 0.45 se escribe como 45 ? Justifiquen su respuesta.
100
45
El número 0.45 se escribe como 100 porque, además de que son
equivalentes, el denominador 100 se refiere a 100 centavos.
d) ¿En qué otras situaciones han usado las escrituras decimal y fraccionaria
para representar un mismo valor o número? R. M. Al escribir la cantidad en
un cheque bancario.
• Comenten en qué situaciones se usa esa representación y por qué es útil.
Dos escrituras para un mismo valor o número
Reúnete con un compañero y realicen lo que se indica.
1. Retomen sus argumentos y ejemplos de la sección anterior; seleccionen la escritura
correcta de cincuenta y cinco centésimos; argumenten su elección.
•
55
•
5.55
•
55
100
•
55
10
•
5
100
•
0.55
38
a) Representen treinta y ocho milésimos como número fraccionario. 1000
12
12
b) Escriban, como número fraccionario, doce centésimos y doce milésimos. 100 y 1000
c) Comparen los denominadores de los números fraccionaros escritos. ¿Qué relación
encuentran entre ellos? R. M. Son potencias de 10, es decir, 10,100, 1 000, etcétera.
d) Escriban otros ejemplos de fracciones con denominadores 10, 100, 1 000, 10 000.
35 , 51 y 2542
R. M. 107 , 100
1000 10000
número decimal.
Es aquel que tiene
una parte entera
y una parte decimal.
La parte decimal está
separada de la parte
entera por un punto
decimal y puede ser
finita o infinita: 0.78,
4.56 son ejemplos de
números decimales.
P
ro
2. Una pareja de alumnos escribió las fracciones que se muestran. Analícenlas y rodeen las que no cumplen con lo que se solicitó en el inciso d de la actividad 1.
16
1000
320
100
1
5
50
500
7
10
888
100000
99
100
456
10
100
4
99
10
a) ¿Las fracciones que rodearon pueden representarse como fracciones con denominador potencia de 10? Expliquen. Sí, pues es posible obtener fracciones
2 50
25
equivalentes; por ejemplo, 51 = 10
, 500 5 101 y 100
4 5 10
• Socialicen sus respuestas. Elaboren una definición de las fracciones decimales.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Número
27
Fracciones decimales equivalentes
En equipo, realicen lo siguiente.
R. M. Dos o más fracciones son equivalentes si representan el mismo número.
3. Discutan las condiciones necesarias para que dos o más fracciones sean equivalentes. Escriban una fracción equivalente a cada fracción registrada en la tabla.
14
10
3
8
98
100
3
2
Fracción
equivalente
7
5
6
16
49
50
6
4
8
1000
1
25
3
20
6
40
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ón
Fracción
a) ¿Todas las fracciones escritas en la tabla tienen denominador potencia de 10?
Expliquen. R. M. No, algunas tienen denominadores distintos; sin embargo, es
posible obtener fracciones equivalentes con denominador potencia de 10.
Fracciones decimales
Son fracciones cuyo denominador es una potencia de 10. Por ejemplo: 3 , 22 , etc.
10 100
potencia. Forma
resumida de escribir
una multiplicación
repetida del mismo
factor.
4. De las fracciones que se muestran, rodeen las que son fracciones decimales.
2
200
8
10
1
5
2
10
1
100
4
5
36
600
a) ¿La fracción 4 tiene una fracción decimal equivalente? Expliquen Sí. Al
5
8
multiplicar el numerador y el denominador por 2 se obtiene la fracción 10
, que es decimal.
b) ¿Por qué algunas fracciones que no tienen denominador potencia de 10 equiva-
len a fracciones decimales? Porque es posible obtener fracciones equivalentes a
ellas que tengan denominador potencia de 10.
• Escriban un procedimiento para encontrar una fracción decimal equivalente a una fracción dada. Luego compárenlo con el que se propone a continuación.
Fracción decimal equivalente a una fracción dada
Visita la página
www.esant.mx/
ecsema1-001
para consolidar tus
conocimientos sobre
fracciones decimales.
P
ro
Hay fracciones cuyo denominador no es una potencia de 10, pero que se pueden escribir como fracciones decimales si el numerador y el denominador se multiplican o se
dividen por el mismo número de manera que, el denominador sea potencia de 10.
Por ejemplo, para obtener la fracción decimal equivalente a 44 se divide el numera200
44 4 2
dor y el denominador entre 2:
5 22 . Esta es una fracción con denominador
200 4 2 100
potencia de 10, por lo que es una fracción decimal.
22 4 2
La fracción 22 también puede simplificarse:
5 11 . Por tanto, 44 5 22
100 4 2
50
100
200 100
5 11 son fracciones decimales y equivalentes a una fracción decimal.
50
Distingues fracciones decimales, o equivalentes a una
fracción decimal,de aquellas que no lo son.
28
Secuencia didáctica 1
Sesión 2
Conversión de fracción a decimal
Reunidos en parejas, realicen lo que se indica.
1. Xóchitl presentó un examen de colocación para estudiar Inglés. Sus resultados se
registran en la tabla. Analicen la información y complétenla.
Aciertos
Total de
reactivos
Habilidad escrita
45
90
Habilidad lectora
80
100
Comprensión oral
90
120
Conversación
60
80
Pronunciación
75
100
Puntaje
45
90
80
100
90
120
60
80
75
100
Calificación
0.5
hi ©
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bu
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ón
Tipo de prueba
0.8
0.75
0.75
0.75
a) Describan el procedimiento empleado para obtener la calificación. Se divide el
total de aciertos entre el total de reactivos.
b) Al dividir para obtener cada calificación, ¿qué sucede con el residuo? Expliquen.
Se obtiene una división exacta con residuo cero.
c) ¿Qué característica tienen los números de la columna “Calificación”? Se trata de
decimales hasta centésimos, obtenidos por una división con residuo cero.
2. En las pruebas en que Xóchitl obtuvo la misma calificación, escribe en número decimal el puntaje y la calificación obtenida.
90
60
75
5
5
5 0.75
120
80
100
a) ¿Cómo son las fracciones? Son equivalentes entre sí y, además, son fracciones
decimales o equivalentes a una fracción decimal.
P
ro
3. Expresen como número decimal las siguientes fracciones. Luego, rodeen las que
son fracciones decimales.
17
ii. 20
iii. 40
iv. 40
v. 900
vi. 60
40
80
100
50
1200
1200
5 0.425
5 0.25
5 0.4
5 0.8
5 0.75
5 0.05
a) ¿Cómo es la parte decimal de los números que escribieron? Es finita, es decir,
termina en décimos, centésimos, etcétera.
b) Escriban un procedimiento para convertir una fracción en número decimal.
Dividir el numerador entre el denominador.
i.
c) ¿Qué característica tiene el número decimal equivalente a una fracción que a su
vez es equivalente a una decimal? Es un decimal que tiene un número finito de
cifras decimales.
• Socialicen sus argumentos y respuestas. Lleguen a acuerdos y argumentos válidos en grupo.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Número
29
Conversión de fracción a decimal
Toda fracción decimal, o equivalente a una decimal, tiene un número decimal equivalente cuya parte decimal es finita.
Para convertir una fracción decimal en su equivalente en número decimal se divide el
numerador entre el denominador.
Ejemplo: para convertir la fracción 67 a número decimal equivalente:
10000
El cociente es 0.0067
que representa un
número decimal finito.
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ón
0.0067
10000 67.0000
70000
Reúnete con otros
compañeros y visiten
el sitio www.esant.
mx/ecsema1-002
Encontrarán una
calculadora virtual.
La pueden usar
para comprobar
sus conversiones
y convertir otras
fracciones al número
decimal equivalente.
67 5 0.0067
10000
Un número decimal finito es aquel número decimal que corresponde a una fracción decimal y tiene un número finito de cifras. Por ejemplo: 0.4, 0.75, 0.125, 0.00189, etcétera.
d) Retomen lo realizado en la actividad 3 y contesten. ¿La expresión en número
decimal equivalente a las fracciones decimales es finita en todos los casos?
Justifiquen su respuesta. Sí es finita en todos los casos porque al realizar la
división correspondiente el residuo es cero.
4. Escriban cada fracción como fracción con denominador potencia de 10. Después exprésenlas en número decimal. R. M.
396 5 99 5 0.99
400
100
234 5 78 5 0.78
300
100
En el siguiente
sitio encontrarán
un interactivo
relacionado con
fracciones decimales:
www.esant.mx/
ecsema1-003
Compartan sus
experiencias al
interactuar con los
recursos digitales.
216 5 36 5 0.36
600
100
a) ¿Cuántas cifras decimales tienen los números decimales obtenidos? Dos cifras decimales
b) ¿Son números decimales finitos? ¿Por qué? Sí, porque su parte decimal es finita
o, en otras palabras, el residuo de la división correspondiente es cero.
• Socialicen sus argumentos y respuestas. Lean los números decimales y anoten cómo se lee
cada uno de ellos.
¿Cómo vamos?
Haz lo siguiente.
P
ro
1. Identifica qué fracciones equivalen a fracciones decimales y escribe una fracción equivalente a cada
una de ellas, con denominador potencia de 10. R. M.
a) 8 5 2
40 10
b) 2
12
c)
18
45
5
4
100
d)
14
28
5
5
10
e)
10 125
5
8
100
2. Anota tres parejas de fracciones distintas a las anteriores, que sean equivalentes a fracciones decimales. Escribe su equivalente en número decimal. R. M.
1
2
7
28
12
24
5
5
5
10
a) 5
b) 25 100
c) 50 100
• Comparte en grupo tus propuestas y verifiquen que sean correctas. Si tienes alguna duda, aclárala con algún compañero y con el profesor.
Expresas, con notación decimal fracciones decimales y aquellas que no tienen
denominador potencia de 10, pero que son equivalentes a una fracción decimal.
30
Secuencia didáctica 1
Sesión 3
De notación decimal a número fraccionario
En equipo, analicen y hagan lo que se pide.
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ón
1. Las medidas del diámetro de los tornillos están dadas en dos representaciones
numéricas: en el Sistema Inglés (medidas en fracciones de pulgada) y el Sistema
Internacional de Unidades (medidas milimétricas). En la siguiente tabla se han registrado algunas medidas en centímetros. Escriban las medidas de los tornillos
en fracción.
Medida de los
tornillos (cm)
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Medida de los
tornillos en número
fraccionario (cm)
3
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
10
0.16
0.18
0.22
16 4 18 9 22 11
o
o
o
100 25 100 50 100 50
a) Describan el procedimiento que emplearon para escribir en fracción los números
Pregunta a un
compañero si cometió
algún error al resolver
las actividades y
pídele que te explique
en qué se equivocó.
Escuchar los errores
y las soluciones de
los demás te servirá
para mejorar tus
procedimientos.
decimales. R. M. Multiplicar el número decimal por la potencia de 10 que elimina la parte
decimal, y después anotar como numerador ese valor y denominador, la potencia usada.
b) Investiguen otros objetos cuyas medidas están dadas como fracción y como
número decimal. Escriban las medidas como número decimal y como fracción.
R. M. Clavos, tubos, etc.
• Verifiquen que sus respuestas sean correctas. Si tienen dudas, coméntenlas para
resolverlas.
2. Observen los números decimales de la tabla y respondan.
0.0000005
4578.01
33.5
22.0000001
9.0007
P
ro
a) ¿Todos los números decimales tienen equivalente en fracción? Sí, la fracción
equivalente se puede obtener con el procedimiento del inciso a anterior.
b) ¿Qué procedimiento usarían para escribir un número decimal como fracción
decimal? R. M. Multiplicar el número decimal por la potencia de 10 que elimina la parte
decimal, y después anotar como numerador ese valor y denominador, la potencia usada.
c) Socialicen con otros equipos sus procedimientos y, con base en sus acuerdos,
conviertan los números decimales a fracción:
i. 0.24 5
24
100
ii. 3.1 5
31
10
iii. 3.478 5
3478
1000
iv. 0.501 5
501
1000
d) Expliquen cómo es la representación fraccionaria de un número decimal finito,
como 0.25, 0.75 o 0.5. El numerador es el número sin el punto decimal y el
denominador es la potencia de 10 por la que se elimina la parte decimal.
• Verifiquen que sus respuestas sean correctas. Si tienen dudas, coméntenlas para
solucionarlas.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Número
31
Conversión de número decimal finito a
fracción decimal
Todo número decimal finito representa una fracción decimal. Para expresar un número
decimal finito como fracción decimal, se multiplica y se divide el número decimal por
una potencia de 10.
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ón
Ejemplo: El número decimal 1.58 tiene dos cifras decimales, entonces se multiplica y
1.58 3 100
158
158
5
Por tanto, 1.58 5
.
se divide por 100:
100
100
100
3. Utilicen el procedimiento anterior para escribir como fracción los números decimales de la tabla. R. M.
Decimal
409.56
22.001
1.081
0.154
33.3330
4.476
Fracción
40956
1000
22001
1000
1081
1000
0154
1000
33333
1000
4476
1000
• Si tienen dificultades, extérnenlas en clase y busquen la manera de solucionarlas.
Haz lo que se pide. Reúnete con otro compañero para validar tus resultados.
1. Convierte las fracciones a número decimal.
a)
108
5 0.54
200
b)
318
5 0.53
600
480
5 0.6
800
c)
d)
72
5 0.36
200
2. Convierte los números decimales a fracción decimal. Simplifica las fracciones cuando sea posible.
a)
b)
c)
359
3.59 5 100
234
1.872 5 125
81
0.81 5 100
40001
50000
d) 8.00002 5
875
e) 0.875 5 1000
473
f) 0.3784 5 1250
49
200
g) 0.245 5
1
h) 0.00008 5 12500
90001003
i) 90001.0035 1000
3. Luis es herrero y para hacer un zaguán necesita dividir dos barras de solera. Divide
una de las barras en 20 partes iguales y la otra, en 16 partes iguales. ¿Cuál es la
medida de cada una de las partes en que se dividieron las soleras?
P
ro
a) Escriban su respuesta como número decimal y como fracción decimal:
1
1
20 5 0.05
16 5 0.0625
En el siguiente sitio
encontrarás un
divertido interactivo
para convertir una
fracción decimal a su
expresión decimal y
viceversa: www.esant.
mx/ecsema1-004
Comparte tus
experiencias al
interactuar con los
recursos digitales.
4. Selecciona la fracción equivalente a 0.000012.
i.
12
100000
ii.
12
1000000
iii.
12
10000
• Verifiquen que sus respuestas sean correctas. Si tienen dudas, coméntenlas para despejarlas. Realicen un breve escrito sobre la conversión de fracciones decimales a número decimal y viceversa.
Conviertes número decimal a fracción decimal o equivalente.
Secuencia
didáctica 2
Sesión 1
32
Fracciones no decimales
Reúnete con un compañero y analicen la situación.
1. Luis diseña una reja para una puerta y dividirá tres tubos de metal. El primer tubo lo
divide en 5 partes iguales; el segundo, en 9 partes iguales, y el último, en 7 partes
iguales. Escriban como número fraccionario y como número decimal (hasta milésimos) la medida de cada pedazo de tubo.
1m
Tubo 1
Tubo 2
Tubo 3
(5 partes iguales) (9 partes iguales) (7 partes iguales)
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Medida
número fraccionario.
Es un número
que expresa una
parte (numerador)
respecto a un todo
(denominador),
por ejemplo:
4 , 4 , etcétera.
8 5
El denominador
indica el número
de partes en que
se divide el entero.
Número decimal (m)
0.2
0.111
0.142
Número fraccionario
(m)
1
5
1
9
1
7
a) De acuerdo con la medida en número decimal de cada pieza de tubo, al sumarlas, ¿en todos los casos da 1?, y al sumarse las medidas en número fraccionario,
¿cuál es la suma de cada tubo? Justifiquen sus respuestas. No, al sumar las
medidas en número decimal se obtiene 1, 0.999 y 0.994, y los dos últimos son
distintos de 1. Al sumar la medida en fracciones sí se obtiene 1 en todos los casos.
b) Al comparar ambas sumas, cada una con un tipo de número diferente, ya sea
decimal o fraccionario, ¿qué pueden identificar? Expliquen. Que los resultados
de las sumas son distintos. Eso sucede porque se redondearon los resultados
hasta milésimos.
• Socialicen sus respuestas. Valídenlas con la dirección de su maestro.
Aproximación decimal de ciertas fracciones
Resuelvan en parejas.
1. Daniela dividió la longitud de cada tubo entre el número de partes iguales para obtener la medida de cada pedazo. Realicen las divisiones y completen la tabla.
Cociente
Residuo
0.2
No hay
P
ro
División
1
5
División
1
9
Cociente
Residuo
0.111
Sí hay
División
1
7
Cociente
Residuo
0.142
Sí hay
a) Al realizar las divisiones 1 4 9 y 1 4 7, ¿qué sucede con el cociente y el residuo?
Expliquen. La división puede continuarse y, por tanto, el cociente tendrá más
cifras decimales y siempre habrá un residuo.
2. Para verificar que sus divisiones son correctas, multipliquen el cociente por el divisor para obtener el dividendo. Luego respondan.
a) ¿Cómo es el producto obtenido al compararlo con la longitud de cada tubo?
Expliquen. No se obtiene la medida completa de los tubos.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Número
33
b) En la división 1 4 9, al multiplicar el cociente hasta el orden de los millonésimos
(0.111111) por las nueve partes en que se dividió el tubo, ¿qué sucede con el producto?
0.111111 3 9 5 0.999999 no llega a 1, es decir, no se completa el metro, ya que
1
la fracción equivalente es una aproximación de la fracción 9 .
c) Expliquen de manera oral si sucede lo mismo para la división 1 4 7. Comenten
en grupo y escriban sus reflexiones. Sí, sucede algo similar para la división
entre 7: 1 4 7 5 0.142857, pero 0.142857 3 7 5 0.999999
3. Escriban una fracción decimal equivalente a la medida de cada pedazo de tubo, si
es que la hay. Justifiquen su respuesta.
1
5
132
1
2
5
5
5
10
532
1
9
No tiene fracción
decimal equivalente.
1
7
No tiene fracción
decimal equivalente.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Fracción
Fracción decimal equivalente
a) Al convertir las fracciones 1 y 1 a número decimal. ¿El cociente de las divisio7
9
nes es un decimal finito? ¿Qué sucede si siguen dividiendo? El cociente es
infinito porque se puede seguir dividiendo de manera indefinida, pues el residuo
nunca es cero.
• Comparen los resultados obtenidos. Escriban sus conclusiones sobre los tipos de fracciones trabajadas y su expresión en número decimal equivalente.
Número decimal periódico
Al convertir una fracción a número decimal hay casos en los que el residuo no siempre
es cero. El proceso de dividir se repite y, en consecuencia, la parte decimal del cociente
tiende a repetirse una y otra vez. Cuando esto sucede y se tiene un número interminable o infinito de cifras en la parte decimal del número, a este se le conoce como número
decimal periódico; es decir, son números decimales que corresponden a las fracciones
que no son equivalentes a una fracción decimal.
Cuando compartimos
el conocimiento,
aprendemos mejor.
Si algún tema se te
dificulta, pide a un
amigo, compañero o
familiar que lo estudie
contigo, que te haga
preguntas y después
trata de explicarle lo
que entendiste.
Ejemplo: El número decimal 0.1, donde la línea sobre la cifra indica que el número se
repite. En la conversión 1 5 0.1 o 1 5 0.11 o 1 5 0.11111, el símbolo 5 significa “apro9
9
9
ximadamente igual a”, pues 0.1, 0.11 o 0.11111 son aproximaciones de 1 .
9
P
ro
4. Escriban las fracciones como número decimal y determinen si se trata de un número decimal finito o periódico. Las primeras tres fracciones son infinitas y periódicas;
la última es finita.
• 5 5 0.714285…
• 2 5 0.2222…
• 14 5 1.75
• 1 5 0.076923…
7
9
8
13
4. a) R. M. No, porque
a) ¿Las fracciones cuya expresión en número decimal es periódica tienen una
fracción decimal equivalente? Justifiquen su respuesta.
b) Expliquen cuándo una fracción se puede representar como número decimal finito y cuándo como número decimal infinito periódico y viceversa. R. M. Cuando
el denominador de la fracción decimal, simplificada, es un producto del 2, del 5
o de combinaciones de estos.
los denominadores
de las fracciones
decimales,
simplificadas, deben
ser productos del 2, del
5 o de combinaciones
de estos.
Expresas fracciones no decimales mediante aproximaciones con números
decimales finitos y mediante números decimales periódicos.
34
Secuencia didáctica 2
Sesión 2
Números decimales periódicos
1. Escriban en número decimal las fracciones de la tabla, hasta millonésimos.
Analicen los números obtenidos y después respondan.
Columna A
Fracción no decimal Aproximación en
ni equivalente a una número decimal
fracción decimal
Visiten el siguiente
sitio donde
podrán encontrar
información sobre
la clasificación de
números decimales
al considerar su parte
decimal: www.esant.
mx/ecsema1-005
3.333333
40
33
9
11
6
11
2
27
Aproximación en
número decimal
1.212121
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
10
3
8
6
7
9
5
9
Columna B
Fracción no decimal
ni equivalente a una
fracción decimal
1.333333
0.777777
0.555555
0.818181
0.545454
0.074074
a) ¿Qué diferencias y semejanzas identifican entre la aproximación del número
decimal de las fracciones no decimales de la columna A y de la B? Expliquen.
El número de cifras en la parte decimal que se repite es diferente. En la
columna A es un mismo número el que se repite, mientras que en la B es más
de uno, es un grupo de cifras el que se repite.
2. Justino usó su calculadora para obtener la expresión en número decimal de 10 , y obtuvo
7
el resultado que se muestra en la imagen de la
izquierda.
a) ¿Cuántas cifras se repiten en la parte decimal? Se repiten seis cifras
b) Si la división se continúa efectuando, ¿cuál es el grupo de cifras en la parte decimal que se repite? El grupo de cifras es 428571
P
ro
c) ¿Qué pueden deducir a partir de comparar el número decimal equivalente de las
fracciones de las columnas A y B de la actividad 1? R. M. En ciertos casos, las
fracciones son equivalentes a números infinitos periódicos.
d) ¿Cuáles son las diferencias que identifican en los números decimales de las
fracciones de las columnas A y B, y las fracciones decimales o las equivalentes
a decimales? Expliquen su respuesta. R. M. Los números decimales de
las columnas A y B son infinitos y periódicos, mientras que las fracciones
decimales o equivalentes son iguales a números finitos.
• Compartan sus respuestas y escriban sus conclusiones sobre los tipos de fracciones y
su expresión en número decimal equivalente.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Número
35
En equipos, retomen la información de la tabla de la actividad 1 y hagan lo que se solicita.
3. Analicen la siguiente información para formalizar lo que han construido.
Números decimales periódicos puros y mixtos
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Números decimales periódicos puros. Son aquellos en los que el periodo empieza justo
después del punto decimal.
Ejemplo: 36 5 1.09, y una aproximación puede ser 36 5 1.0909.
33
33
Números decimales periódicos mixtos. Son aquellos en los que el periodo no comienza inmediatamente después del punto decimal.
25
Ejemplo:
5 2.083, y una aproximación puede ser 25 5 2.0833.
12
12
En ambos casos, el periodo puede ser una cifra o un grupo de cifras que se repite. Para
indicar que el número decimal es periódico, se señala mediante una línea cuál es el periodo. Si es una aproximación, solo se usa cierta cantidad de cifras decimales.
Fracción no decimal. Son aquellas fracciones cuyo denominador no es potencia de 10
y cuya expresión en número decimal es un número decimal periódico.
a) Propongan ejemplos para verificar que la información anterior es clara y entendible para todos. Si hay dudas, consulten a sus compañeros o a su maestro.
4. Escriban en número decimal las fracciones. Usen la notación de periodo.
•
21 51.615384 •
13
19 5 0.904761 • 7 5 0.318
21
22
•
4 5 0.36
11
5
5
13
46
0.384615 y
88
5 0.52272 es un
número decimal
periódico mixto.
3. a) R. M.
5. Observen los ejemplos y completen la tabla.
Número
decimal
Su representación como
fracción es…
Número
decimal
Su representación como
fracción es…
0.705
una fracción decimal.
R. L.
una fracción decimal.
1.6
una fracción no decimal.
0.81
una fracción no decimal.
una fracción decimal.
R. L
una fracción no decimal.
23.01
P
ro
• Socialicen sus respuestas. En caso de que haya diferencias, valídenlas con su maestro
y juntos redacten sus conclusiones.
¿Cómo vamos?
Realiza de manera individual lo que se pide y verifica tus resultados con tus compañeros.
1. Retoma ejemplos de las actividades de la página anterior para indicar qué fracciones no decimales son
números decimales periódicos puros y mixtos. R. M.
10 7
10
,
Número decimal periódico puro: 3 9
Número decimal periódico mixto: 7
Expresas fracciones no decimales mediante aproximaciones
con números decimales periódicos mixtos y puros.
36
Secuencia didáctica 2
Sesión 3
De número decimal a número fraccionario
En parejas, realicen lo que se pide.
1. Sofía escribió la siguiente relación: 1 5 0.3. Analícenla y contesten.
3
a) ¿Qué tipo de número decimal es 0.3? Periódico puro
b) Describan cómo piensan que se puede escribir un número decimal como 0.3 en
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
fracción si no conocen la fracción que le corresponde. Expliquen. R. L.
2. Con base en sus respuestas anteriores, escriban un procedimiento para convertir un
número periódico puro a su expresión como fracción. Por ejemplo: 1.6 o 0.14.
R. M. Se escribe como numerador el número sin el punto decimal y se le resta la parte
entera. El denominador se forma con tantos nueves como cifras decimales haya en el periodo.
3. Apliquen su procedimiento y escriban una fracción equivalente a cada número.
Número decimal
1.6
Tipo de número decimal Periódico
puro
15
Fracción equivalente
9
0.45
Periódico
puro
45
99
0.6
Periódico
puro
6
9
1.8
Periódico
puro
17
9
a) ¿Qué condiciones aplicaron para escribir la fracción equivalente a cada número
decimal? Expliquen. R. L.
b) ¿Conocen otra forma de convertir un número decimal periódico como los anteriores a su equivalente en fracción? Justifiquen su respuesta.
Ver solucionario
• Socialicen sus respuestas y verifiquen que sean correctas. Si hay dudas coméntenlas
con su profesor o con otros compañeros para aclararlas.
Número decimal periódico puro a fracción
P
ro
Para convertir un número decimal periódico puro a fracción, se escribe como numerador el número sin el punto decimal y se le resta la parte entera. El denominador se forma con tantos nueves como cifras decimales haya en el periodo.
Ejemplo: 1.081 5 1081 2 1 5 1080 5 40 .
999
999
37
Para comprobar, divide el numerador entre el denominador: 40 4 37 5 1.081.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Número
c) Discutan el procedimiento anterior para convertir un número decimal periódico
puro a fracción. Si hay dudas, exprésenlas para que sean resueltas.
d) Apliquen el procedimiento anterior para los números decimales de la actividad 2
y 3. Comenten sus respuestas con otros compañeros. 45 2 0 5 45, entonces
45
0.45 5 99
; 6 2 0 5 6, entonces 0.6 5 69 ; 18 2 1 5 17, entonces 1.8 5 179
37
4. Analicen los datos y respondan.
2.946
2.083
Periódico mixto
Periódico mixto
Periódico mixto
35134076
9900000
2652
900
1875
900
Número decimal
3.5488965
Tipo de número
decimal
Fracción equivalente
a) Discutan un procedimiento para escribir en fracción los números decimales de la
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
tabla y complétenla. Ver solucionario
b) Apliquen el procedimiento y escriban el equivalente en fracción.
Visiten los siguientes
sitios para profundizar
sobre el tema y
practicar algunos
ejercicios: www.esant.
mx/ecsema1-006
y www.esant.mx/
ecsema1-007
• Verifiquen que sus respuestas sean correctas. Después analicen la siguiente información.
Número decimal periódico mixto a fracción
Para convertir un número decimal periódico mixto a fracción, se escribe como numerador el número sin el punto decimal y se le resta la parte entera y las cifras decimales
anteriores al periodo. El denominador tendrá tantos nueves como cifras haya en el periodo, seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica.
Ejemplo: 0.23745 5 23745 2 237 5 23508 5 653
99000 2750
99000
5. Apliquen el procedimiento anterior y escriban como fracción los números decimales.
a) 12.34 5
1111
90
b) 0.27 5
25
90
c) 8.34 5
751
90
d) 0.53 5
48
90
• Socialicen sus respuestas y escriban una conclusión general acerca de la conversión de
una fracción no decimal a su expresión en número decimal y viceversa.
En parejas, analicen y realicen lo que se plantea.
P
ro
1. Escriban los números decimales como fracción. Mencionen qué tipo de fracción se
obtiene en cada caso. Solo las fracciones de los incisos f, g y h son fracciones
decimales.
60
186
23745
78
c) 20.6 5 9
e) 0.23745 5 99999
g) 0.78 5 100
a) 6.6 5 90
111
4
325
b) 13.13 5 1300
d) 1.12 5 99
f) 0.325 5 1000
h) 0.45 10
99
21
19
17
Ver solucionario
15
13
2. Reproduzcan una tabla como la que se muestra a la derecha. Escriban las fraccio11
nes que se forman y su equivalente en número decimal, e identifiquen cuáles son
13 15
fracciones decimales y cuáles no lo son. Consideren que los numeradores son los
21
17
13 21
rojos y los denominadores, los verdes. Solo las fracciones 13 , 15 , 17 y 21 son decimales.
17
21
• Intercambien sus resultados con otras parejas para que los validen. Si tienen dudas,
consulten a su maestro con la finalidad de aclararlas.
Conviertes un número decimal a fracción.
23
38
Secuencia
didáctica 3
Sesión 1
Orden de los números racionales
Reúnete con un compañero y analicen la siguiente situación.
1. Cinco alumnos midieron el ancho de una memoria USB. En la tabla se han registrado las medidas en centímetros que obtuvieron. Compárenlas y respondan.
A
B
D
E
169 de cm
100
1.685 cm
160 de cm
100
F
G
R. M. 1.70 R. M. 1.675
cm
cm
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
168 de cm 1.67 cm
100
C
a) Al comparar las medidas, ¿cuáles tienen el mayor valor?
169
100
de cm y 1.685 cm
Expliquen cómo lo determinaron. R. M. Las fracciones se convierten a
decimales y luego se compara la parte decimal de las cantidades.
b) En la columna F, escriban una medida que sea mayor que las registradas. ¿Qué
medida cumple con esa condición? Cualquier número decimal o fraccionario
mayor que 1.69.
c) En la columna G, escriban una medida mayor que 1.67 cm y menor que 168
100
de cm. ¿Pueden anotar otra medida que cumpla esas condiciones?, ¿cuál?
Sí, por ejemplo 1.671.
• Compartan sus respuestas y expliquen cómo las obtuvieron.
¿Cuál es mayor?
Trabaja con tu compañero y respondan.
1. La tabla muestra el peso de seis recién nacidos.
Recién nacido
Peso (kg)
1
3.55
2
3.54
3
3.56
4
3.551
5
3.489
6
3.557
P
ro
a) ¿Cuántos kilogramos tiene el recién nacido con mayor peso? 3.56 kg
b) ¿Cuántos kilogramos tiene el recién nacido con menor peso? 3.489 kg
c) ¿Cómo obtuvieron sus respuestas? Se comparan la parte entera y la parte
decimal de las medidas.
d) ¿Qué elementos hay que considerar para comparar dos o más números decimales?
La parte entera y la parte decimal de los números que se comparan.
• Compartan sus respuestas y expliquen cómo las obtuvieron. Si hay dudas, compártanlas para su resolución.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Número
39
2. Las siguientes fracciones representan diversas longitudes expresadas en metros.
Analícenlas y realicen lo que se pide.
• 45 de m
100
•
490 de m
1000
•
12 de m
24
•
350 de m
1000
•
501 de m
1000
a) Encierren con rojo la longitud mayor y con azul, la longitud menor. Después expliquen qué condiciones son útiles para determinar cuándo un número es menor
o mayor respecto a otros.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
L
di A
st N
ri A
bu
ci
ón
3. Para la siguiente actividad requieren un pliego de papel bond y un metro.
a) En el papel bond, tracen segmentos de recta con las medidas dadas en la actividad 2.
501
b) ¿Cuál de los segmentos trazados es el mayor? El que mide 1000 de m.
c) ¿El segmento mayor corresponde al número que encerraron con rojo? R. M. Sí
Si no es así, ¿qué pueden decir al respecto?
d) ¿El segmento menor coincide con la medida que encerraron con azul? R. M. Sí
• Comenten sus respuestas. Después analicen la siguiente información.
Comparación de números decimales
Para comparar números decimales se siguen los siguientes pasos:
1. Se compara la parte entera de los números; si es igual, se compara la parte decimal.
El número con mayor valor en los décimos será el mayor: 6.23 . 6.19.
2. Si tienen el mismo valor en los décimos, entonces se comparan los centésimos, los
milésimos y así sucesivamente hasta determinar qué número es el mayor.
3. Si todas las cifras son iguales (parte entera y decimal), entonces los números decimales son iguales.
Comparación de fracciones
P
ro
Un procedimiento para comparar fracciones es el de productos cruzados: se multiplica
el numerador de cada fracción por el denominador de la otra y se comparan los productos obtenidos.
Ejemplo: al comparar 4 y 11 , se tiene que 4 3 17 5 68 y 7 3 11 5 77.
17
7
4
, 11 .
Como 68 , 77, entonces
7
17
Para comparar números fraccionarios y números decimales se deben convertir a su expresión equivalente en número decimal o número fraccionario, respectivamente.
• Comenten la información anterior y apliquen alguno de los procedimientos descritos para verificar lo realizado en esta sesión.
Ordenas números decimales y números fraccionarios. Anticipas y compruebas qué número decimal o número fraccionario
es mayor, menor o igual que otros números decimales o o números fraccionarios (sin usar la recta numérica).
40
Secuencia didáctica 3
Sesión 2
Números fraccionarios en la recta numérica
Reúnete con un compañero y analicen la siguiente situación.
1. Ubiquen las fracciones 5 , 5 y 7 en la recta numérica.
8 20 28
Es responsabilidad
de todos propiciar
un ambiente de
confianza en el salón
de clases. Alienta a
tus compañeros a que
externen sus dudas y,
si puedes, ayúdalos a
resolverlas.
7
28
5
20
0
5
8
1
5
8
¿Cuál quedó más
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
a) ¿Qué fracción quedó más alejada del cero?
cerca?
5
20
y
7
28
b) ¿Qué significa que una fracción esté más lejos del cero que otra? Significa que
esa fracción es mayor.
c) ¿Todas las fracciones anteriores son menores que 1? Sí
2. Respondan y verifiquen sus respuestas anteriores.
a) Al ubicar la fracción 7 , ¿es necesario dividir el segmento en 28 partes? Expli28
1
quen. No, la fracción se puede simplificar a 4 y el segmento se divide en
cuatro partes.
b) ¿En cuántas partes se puede dividir el segmento para ubicar las fracciones dadas? Expliquen. Se puede dividir en ocho partes, pues hay fracciones
2
7
5
equivalentes a las dadas con denominador 8: 20
5 82 y 28 5 8 .
• Comenten cómo se representan las fracciones en la recta numérica. Analicen las respuestas que dieron a las preguntas.
8
en cada una de las rectas numéricas.
3. Ubiquen las fracciones 2 , 3 , 4 , 1 2 , 4 y
10 5 15 5 3 3
0
2 4
10 15
2 4
10 15
P
ro
0
1
3
5
3
5
1
4 12
3 5
4 12
3
5
8
3
a) ¿En ambas rectas se puede ubicar la fracción 2 1 ? Expliquen por qué.
4
En la primera recta no porque esta debería ser más larga hacia la derecha.
b) ¿Qué datos de cada recta numérica consideraron para ubicar las fracciones.
La longitud entre el 0 y el 1, así como el tamaño de la recta.
• Comparen sus respuestas y argumentos con otros compañeros. Después analicen la información de la siguiente página.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Número
41
Ubicar fracciones en la recta numérica
Para ubicar fracciones en la recta numérica se debe considerar la distancia entre dos
números consecutivos de la recta numérica, la cual se llama unidad y puede tener un
tamaño cualquiera.
7
Ejemplo:
es fracción impropia y se puede escribir como fracción mixta: 1 2 , por lo
5
5
que es mayor que 1 y menor que 2. El segmento se divide en 5 partes iguales como se
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
muestra en la imagen, y se ubica entre 1 y 2.
1 2 o bien 7
5
5
•
1
2
Las fracciones propias siempre son mayores que 0 y menores que 1. Para ubicar una
fracción propia en la recta numérica, la distancia entre 0 y 1 se divide en partes iguales,
tantas como indica el denominador. La distancia del cero a la ubicación de la fracción,
la indica el numerador.
Resuelvan las actividades.
4. Ubiquen el 1 en cada recta numérica.
a)
0
b)
0
1
4
12
6
8
5. Ubiquen las fracciones en cada recta numérica.
a)
1
5
0
2
4
1
5
b)
1
4
1
0
1
4
1
3
6. Ubiquen el origen (cero) en la recta numérica.
0
1
1
3
P
ro
a)
7. Describan el procedimiento que emplearon para ubicar los números fraccionarios en
las actividades anteriores. Consideren los datos que se conocen en cada caso.
Se obtienen fracciones equivalentes a las fracciones dadas en las rectas y a los
números por ubicar, que tengan el mismo denominador. Luego se procede como
en los casos anteriores.
a) ¿La unidad fue la misma en todos los casos? No, la unidad varía.
b) ¿Qué datos se deben considerar para ubicar el 0 en la recta? Al menos se
necesitan dos números en la recta, con los cuales se puede obtener la unidad
y ubicar el 0.
Ubicas y comparas diversos tipos de números fraccionarios
en la recta numérica.
42
Secuencia didáctica 3
Sesión 3
Números decimales en la recta numérica
Resuelvan en parejas lo que se propone.
1. Ubiquen en la recta numérica los números 12.1 y 12.9.
12
12.1
12.5
12.9
13
a) ¿Cuál es el número más cercano a 12.1 en la recta numérica? El número 12
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
b) ¿Cuál es el orden de la cifra decimal de los números decimales ubicados en la
recta numérica? De menor a mayor: 0.1, 0.5, 0.9
c) ¿Qué procedimiento emplearon para ubicar números decimales en la recta?
Dividir la unidad en 10 partes iguales, esto es en décimos, y después ubicar el
número según su parte decimal.
• Comenten con otros compañeros los procedimientos que emplearon y valídenlos con
argumentos.
2. Ubiquen los números decimales 4.07 y 4.12 en la recta numérica.
4.00
4.07
4.12
4.20
a) ¿Qué hicieron para ubicar cada número decimal en la recta numérica? Contar
cuántos segmentos corresponden a la parte decimal de 4.07 y 4.12: 7 y 12,
respectivamente, pues cada segmento representa una centésima.
b) Comparen los números decimales ubicados en las rectas de las actividades 1 y
2. Expliquen cómo ubicar números decimales en la recta numérica, del orden de
los décimos y centésimos. La división de la recta numérica depende de la parte
decimal del número: hay que dividir la recta en décimo o en centésimos y
después ubicar el número decimal.
c) Expliquen cómo se pueden ubicar números decimales en la recta numérica
como los de las actividades 1 y 2. Hay que dividir cada unidad en décimos o
centésimos, según lo requiera la parte decimal del número por ubicar.
P
ro
3. Ubiquen los números 0.006 y 0.009 en la recta numérica.
0.004
0.009
0.006
0.010
4. Ubiquen los números 0.39, 0.395 y 3.8. Expliquen cómo determinaron en cuántas
partes dividir la recta.
0.395
0.3
0.38
0.39
0.4
a) ¿Qué información se requiere para ubicar cualquier número decimal en la recta
numérica? Expliquen. Se deben considerar los números ya dados en la recta e
identificar si la parte decimal del número que se quiere ubicar es hasta décimos,
centésimos o más, para dividir la recta en la parte correspondiente.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Número
43
5. Resuelvan lo que se pide.
a) Ubiquen el número 1 en la recta numérica.
0
0.2
1
b) Ubiquen el 0.16 en la recta numérica.
0.1
0.16
0.2
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
c) Ubiquen el 0 en la recta numérica.
0.11
0
Entra en www.esant.
mx/ecsema1-008
donde encontrarás
información sobre
la ubicación de
fracciones y números
decimales en la recta
numérica. También
analiza la información
del siguiente video:
www.esant.mx/
ecsema1-009
0.16
• Comenten sus respuestas y los aspectos que consideraron para ubicar números decimales en la recta numérica. Analicen la siguiente información.
Para representar números decimales en la recta numérica se procede de esta manera:
1. Al ubicar décimos, la unidad se divide en 10 partes iguales.
2. Si se ubican centésimos, cada unidad se divide en 100 partes iguales; o bien,
cada décimo se divide en 10 partes iguales.
3. Si se ubican milésimos, cada unidad se divide en 1 000 partes iguales; o bien,
cada centésimo se divide en 10 partes iguales.
En parejas, trabajen lo que se propone.
1. Analicen la ubicación de los números en la recta numérica y escriban si es correcta
o no.
a)
0
1 1.2
2 2.52
La representación en la recta es incorrecta
escala; la unidad no tiene la misma medida.
P
ro
b)
1
4
, porque hay un error en la
12
24
6
8
La representación en la recta es correcta
, porque se ubica con exactitud
cada número fraccionario; la escala es adecuada.
c) Ubiquen en la recta numérica anterior una fracción mayor que 6 .
8
R. M. La fracción debe estar a la derecha de 6 .
8
• Compartan sus representaciones y verifiquen que sean correctas. Si hay dudas, coméntelas para que sean disipadas.
Ubicas y comparas diversos números decimales y números
fraccionarios en la recta numérica.
44
Secuencia
didáctica 4
Sesión 1
Densidad de los números racionales
En parejas lean la información y contesten.
1. La tabla muestra los kilómetros recorridos por cuatro ciclistas durante una competencia. Representen los recorridos en la recta numérica.
A
B
C
D
Kilómetros recorridos
de la competencia
0.875 km
11 de km
12
17 de km
20
15 de km
16
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Ciclistas
84 17
100 20
0.875
11
12
1
15
16
a) Encierren el número que está más alejado del cero.
b) ¿Quién de los cuatro va en primer lugar? El ciclista D
c) Un módulo de ayuda para los ciclistas se encuentra exactamente a la mitad de
la distancia entre los ciclistas A y C. ¿En qué punto se ubica el módulo?
17
A 5 0.875 y C 5 20 5 0.85; 0.875 1 0.85 5 1.725, 1.725 4 2 5 0.8625. El
módulo se ubica a 0.8625 km del recorrido.
d) Discutan cómo pueden representar el número anterior en la recta numérica.
R. M. El segundo y el tercer segmento se dividen en cuatro partes iguales, y
0.8625 se marca en el primer segmento trazado.
• Comenten el procedimiento que siguieron para representar los recorridos en la recta.
La representación más conveniente
Analicen el problema y respondan.
P
ro
1. Joaquín ubicará los siguientes números en la recta numérica: 0.3, 332 , 0.16,
1000
171 , 0.1 y 0.111. Lucía le pregunta qué hará para ubicar los números decimales
1000
periódicos.
a) Describan un procedimiento para ubicar esos números. R. M. Se trunca el número
hasta las centésimas, se redondea a la décima más próxima y se ubica en la recta.
b) Prueben el procedimiento que propusieron y ubiquen los números en la recta
numérica. Justifiquen por qué su procedimiento es correcto.
0.1
171
1000
0.1
0.16
332
1000
0.2
c) ¿Cuál número es el mayor?
0.3
332
1000
0.4
¿Cuál es el menor? 0.111
d) Expliquen cómo se sabe qué fracción o número decimal es mayor que otros
números al ubicarlos en la recta numérica. Será mayor el número que quede a
la derecha de todos los demás.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Número
45
2. Dados dos números racionales identifiquen uno que se ubique entre ellos.
Completen la tabla.
Par de números
racionales
1
0.75
2
3
0.5
5
Número racional
entre ellos
R. M. 5
8
R. M. 11
20
Par de números
racionales
0.9
0.8
1
3
2
5
Número racional
entre ellos
R. M. 17
20
R. M. 7
20
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
a) Ubiquen los números racionales en la recta numérica. Decidan qué tipo de representación conviene usar para ubicar cada
uno: ¿fracción o número decimal?
5
número racional. Es
aquel número que
puede representarse
como el cociente de
dos números enteros,
con denominador
distinto de cero.
0.5
7 1 2
20 3 5
0.2
1
2
8
11
20
3
5
0.75
0.7
0.85
0.8
0.9
1
b) Observen los números de la recta numérica, tachen el mayor y rodeen el menor.
c) ¿Cuál representación numérica es más adecuada para ubicar números racionales en la recta numérica? R. M. La representación como decimal.
d) ¿Conviene usar ambas representaciones? R. M. Sí, pero depende del número que se va a ubicar.
e) Escriban el procedimiento que usaron para ubicar dos números racionales y
determinar un número racional que esté entre esos dos. R. M. Se ubican los números como
anteriormente. Luego se suman y se dividen entre dos; el resultado es el número racional que está entre los
• Socialicen sus respuestas. En plenaria, analicen la siguiente información. dos anteriores.
Comparar números racionales
Una manera de comparar números racionales es ubicarlos en la recta numérica. Para ello,
se pueden hacer conversiones entre sus distintas representaciones, ya sea de fracción a
número decimal o de número decimal a fracción, dependiendo de cuál sea más sencillo
de ubicar. En la recta siempre será mayor el número que se encuentre más a la derecha.
• En grupo elaboren una conclusión que explique cómo ubicar números decimales y fraccionarios en la recta numérica. Usen su calculadora para verificar sus resultados.
P
ro
¿Cómo vamos?
1. Ubica las fracciones y los números decimales en la recta numérica y determina cuál es mayor: 6 , 0.5 y 4
15
9
0
6 4
15 9
1
0.5
2. Ubica en la recta numérica los números decimales 0.5, 0.65, 0.7, 0.45, 0.51 y 0.71.
0.51
0.45
0.5
0.71
0.5
0.65
0.7
0.7
• Verifiquen que sus respuestas sean correctas. Si tienen dudas, coméntenlas con el grupo para aclararlas.
Ubicas y comparas números racionales en la recta numérica.
46
Secuencia didáctica 4
Sesión 2
Los números racionales y su propiedad
de densidad
Resuelve la actividad.
1. Construye un rectángulo de papel de 30 cm de largo y 2 cm de ancho. Considéralo
como una unidad.
Cuando aprendes
cosas nuevas,
puedes equivocarte.
¡No te desanimes!
Tómalo como un reto
que te dará mucha
satisfacción superar.
a) Dobla el rectángulo por la mitad. ¿Qué número decimal representa el doblez? 0.5
1
2
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
¿Qué fracción representa?
b) Ubica ambos números en la recta numérica.
0.5
1
2
0
1
c) Selecciona una de las mitades del rectángulo y dóblala por la mitad. ¿Qué número decimal y fracción equivalen a ese doblez?
0.25 o
1
4
Ubica los números en la recta.
d) Dobla de nuevo una de las mitades obtenidas en el paso anterior. ¿Qué número
decimal o fracción coincide con este tercer doblez? 0.125 o
1
8
Ubica los números en la recta.
e) Imagina que sigues doblando el papel. ¿Hay un número decimal o fracción que
represente cada doblez? ¿Por qué?
mitad de un número.
f)
Sí, porque siempre se puede obtener la
Describe un procedimiento para determinar un número decimal o fracción que
se encuentre entre otros dos.
entre dos.
Sumar los dos números y dividir el resultado
• Comparte tus respuestas con el grupo. Comenten si siempre es posible identificar un número racional entre otros dos.
Densidad de los números racionales
P
ro
Los números racionales cumplen con una propiedad llamada densidad, la cual se refiere a que entre dos números racionales cualesquiera, siempre habrá otro número racional. Una forma de encontrar una fracción entre otras dos es sumar las fracciones y
dividir el resultado entre dos.
Ejemplo: para hallar una fracción entre 5 y 6 se hace lo siguiente:
9
9
5 1 6 5 11 , la suma obtenida se divide entre 2: 11 4 2 5 11 .
9
9
9
9
18
5 11 6
9 18 9
La fracción
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Número
11
5
6
está justamente a la mitad de la distancia entre
y .
18
9
9
47
En parejas analicen la recta numérica que se muestra y hagan lo que se indica.
2. Para ubicar una fracción que está entre otras dos, por ejemplo, entre 1 y 4 , se
6
3
amplió un segmento de la recta.
a) Ubiquen, en la ampliación del segmento, una fracción entre 1 y 4 . ¿Qué frac3
6
1
ción ubicaron? R. M. 2
4
6
3
3
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
1
3
1
3
5
12
4
6
1
2
b) Ubiquen una fracción entre 1 y la que pusieron antes. ¿Qué fracción
3
5
ubicaron? R. M. 12
c) ¿Se puede ubicar otra fracción entre las anteriores? Expliquen. Sí, porque al
sumar dos fracciones y dividir el resultado entre 2, se obtiene otra fracción
entre las anteriores.
3. Ubiquen la fracción 3 en la ampliación del segmento. Luego representen una
10
1
y 3.
fracción entre
5 10
0
11
40
0
1
5
5
5
23
80
1 1 3
5 4 10
5
5
5
1
a) ¿Qué fracción ubicaron? R. M. 20 5 4
b) Ubiquen una fracción entre 3 y la que ubicaron en el inciso anterior. R. M.
10
23
c) Ubiquen otra fracción que esté entre las que ubicaron antes. R. M. 80
11
40
• Comenten sus argumentos y respuestas. Después analicen la siguiente información.
Una fracción entre otras dos
P
ro
Otra forma de obtener una fracción que se ubica entre otras dos es determinar una fracción equivalente a estas con igual o mayor denominador.
Ejemplo: para encontrar una fracción entre 5 y 6 :
9
9
5 3 3 5 15 y 6 3 3 5 18 . Las fracciones 16 y 17 se encuentran
3
9
27
3
27
27
9
27
entre 15 y 18 . La propiedad de densidad se cumple para los números racionales,
27
27
pero no para los números naturales, ya que entre dos números naturales consecutivos
no hay otro número natural.
Usas la propiedad de densidad de los números fraccionarios empleando fracciones equivalentes a
las dadas o a través del método de la suma de las fracciones dadas y su división entre 2.
48
Secuencia didáctica 4
Sesión 3
Aplicación de la propiedad de densidad
En parejas, realicen lo que se indica.
1. Ubiquen en el segmento de recta ampliado un número decimal que esté entre 0.1 y 0.2.
R. M. 0.15
0.1 0.2 0.3 0.4
0.15
0.1
0.2
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
a) Representen en la recta anterior un número decimal que esté entre 0.11 y 0.12.
Después ubiquen otro número entre 0.111 y 0.112. R. M. 0.17; 0.167
b) Comenten la relación que hay entre 0.1 y 0.10, así como entre 0.2 y 0.20. ¿Qué
Entra a: www.esant.
mx/ecsema1-010
para complementar
la información
sobre la propiedad
de densidad de
los decimales.
números decimales están entre los números 0.1 y 0.2?
, ¿y entre 0.11 y 0.12?
2. Ubiquen los números 3.24 y 3.25 en la recta numérica y efectúen lo que se indica.
a) Ubiquen un número decimal entre 3.24 y 3.25. Después sitúen otro número decimal
entre 3.24 y el que marcaron antes. ¿Cuál es el segundo número que marcaron?
R. M. 3.245
1. b) Son los
mismos números,
pero en algunos
se consideran los
centésimos, aun
cuando su valor es
cero. 0.11, 0.12, 0.13
hasta 0.19.
3.0
3.20
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.245
3.24
3.6
3.25
3.7
3.8
3.9
4.0
3.30
b) ¿Qué hicieron para ubicar los números decimales en las rectas numéricas en las
actividades 1 y 2? Expliquen. Dividir parte de la recta en décimos y centésimos,
según el número que se debe ubicar.
3. En una carretera se colocará un promocional turístico exactamente a la mitad de la
distancia que hay entre la caseta y la gasolinera. Ubica en la recta el lugar donde se
colocará el anuncio.
Caseta
17.45 km
promocional
turístico
Gasolinera
19.825 km
P
ro
4. Marco obtuvo 6.25 en una prueba escrita y 6.4 en una prueba oral. El maestro promediará ambas calificaciones para calcular su calificación final.
a) ¿Cuál es la calificación final de Marco? 6.325 pues 6.25 1 6.4 5 12.65 y 12.65
4 2 5 6.325.
b) ¿La calificación final es el número decimal que está exactamente a la mitad de
6.25 y 6.4? Justifica. Sí, pues al sumar los números decimales y dividirlos
entre 2 se obtiene el valor medio.
• En grupo, registren sus conclusiones y el procedimiento que usaron para ubicar al menos
un número decimal dados dos números decimales.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Número
49
Números decimales y la propiedad de densidad
Los números decimales cumplen con la propiedad de densidad. Dado cualquier par
de números decimales, siempre es posible encontrar otro número decimal entre ellos.
5
5.1
5.2
5.3
5.1 5.11
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.2
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Por ejemplo, entre 5.1 y 5.2 están 5.11, 5.12, 5.13…, pues 5.1 equivale a 5.10 y 5.2 a 5.20.
Una forma de determinar el número decimal que se encuentra exactamente a la mitad
de otros dos, es sumando los dos números decimales y al resultado dividirlo entre 2.
Por ejemplo, para encontrar un número decimal entre 2.7 y 2.8.
(2.7 1 2.8) 4 2 5 5.5 4 2 5 2.75
Por tanto, 2.75 se ubica entre 2.7 y 2.8, al igual que 2.71, 2.72, 2.73, 2.74, 2.76, 2.77,
2.78, 2.79, etcétera.
Resuelvan en parejas.
1. José registró la medida de cuatro objetos en una recta numérica: 0.12, 13 , 0.122 y
100
0.1211. ¿Cuál es la menor medida? 0.12
2. Ubiquen en la recta numérica los números decimales 3.18 y 3.19. Luego ubiquen un
número decimal mayor y uno menor que 3.18, distinto de 3.19.
3.15
3.18
3.19
3.20
3. Martha mide 1.66 m y Julieta, 1.68 m. Rosario mide más que Martha y menos que
Julieta. Ubica en la recta numérica las medidas de Martha, Julieta y Rosario.
1.65
1.66
1.67
1.68
P
ro
4. Escriban dos números fraccionarios que se encuentren entre las siguientes parejas
de números:
a) 12 y 13 R. M. 5
15
15
6
b) 8 y 9 R. M. 17
11
11
22
c) 4 y 5 R. M. 3
15 15
10
5. Realicen una competencia de salto de longitud. Registren en una tabla la medida de
longitud de cada salto hasta centésimos de metro. Representen los resultados en
una recta numérica y determinen cuál fue el salto más largo. R. L.
• Compartan sus resultados con sus compañeros y validen sus argumentos. En grupo,
elaboren una conclusión con respecto a la propiedad de densidad de los números decimales y fraccionarios.
Aplicas la propiedad de densidad de los números decimales en
la resolución de problemas.
Secuencia
didáctica 5
Sesión 1
50
Multiplicación con fracciones
En parejas realicen lo que se indica.
1. Juan entrega pedidos de carne a una cocina económica. Analicen cómo calculó el
precio de los pedidos del lunes y el martes. Luego discutan cómo pueden obtener el
costo de los pedidos del resto de la semana y regístrenlos en la tabla.
Precio por
kilogramo: $104
Total
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
25
13
2 1
4 1
8
4
4
2
104 3 4 5 416
104 4 4 5 26 2 3 104 5 208 104 3 25 5
104 4 4 5 26 2600
104 4 2 5 52
104 3 5 5 520 26 3 3 5 78
104 1 78 5 182 208 1 26 5 2342600 4 8 5 325 416 1 52 5 468
$234
$325
$468
$520
$182
5
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Día
Cantidad
entregada (kg)
a) ¿Con qué operación u operaciones se puede escribir el procedimiento que se
efectúa para determinar el costo de 3 de kilogramo o de 25 de kilogramo?
4
8
Expliquen. R. M. Con una multiplicación y una división.
b) ¿Es útil convertir las fracciones mixtas a fracciones impropias para obtener el
precio de los pedidos? Expliquen. R. M. Sí, pues de ese modo después se hacen
menos operaciones.
c) Comenten qué otros productos conocen que se venden en fracciones de kilogramo y qué hacen para calcular su costo. R. M. Queso, tortillas, etc.
• Discutan qué relación hay entre el procedimiento de Juan y la multiplicación cuando un
factor es un número fraccionario.
Otro significado de la multiplicación
Trabajen en parejas. Lean la información y realicen lo que se indica.
1 de mm. El diá1000
metro de un cabello humano mide 80 micras y puede verse ampliado a través de
1. Una micra es una milésima de milímetro y se representa como
un microscopio.
P
ro
¿Fallas mucho al
hacer operaciones
con fracciones? ¡No
te preocupes! Solo
necesitas practicar un
poco más. Recuerda
que es importante
preguntar para aclarar
todas las dudas.
a) ¿Cuál es la medida en milímetros del diámetro de un cabello humano al ampliarlo 30 veces bajo la lente de un microscopio? Seleccionen la respuesta.
•
80 3 30
1000
•
80 1 30
1000
• 30 2 80
1000
b) Al aumentar la medida del diámetro del cabello 100 veces a través de la lente
de un microscopio, ¿qué operación permite calcular dicha medida? Escriban su
80
operación y su resultado. 1000 3 100 5 8 mm
• Comenten sus respuestas. Discutan cómo pueden multiplicar números fraccionarios a
partir de lo que saben sobre la multiplicación con números naturales.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Multiplicación y división
51
En equipos, realicen lo que se indica.
2. Mateo reproducirá una foto que mide 5 cm por lado a una escala de 3 .
4
3
15
355
a) ¿Cuánto medirá el lado del cuadrado de la copia? 4
4
b) ¿La medida de la copia será mayor o menor que la original? La medida de la
copia será menor que la original, pues 154 5 3.75 , 5.
3. Analicen las multiplicaciones y contesten.
B. 9 3 4 5 36
2
2
3
a) En la multiplicación A, ¿qué tipo de fracción es ? Propia
5
i. ¿El producto es mayor o menor que el factor con número fraccionario? Mayor
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
A. 3 3 4 5 12
5
5
ii. ¿Cómo es el producto comparado con el factor en número natural? Menor
b) En la multiplicación B, ¿qué tipo de fracción es 9 ? Impropia
2
i. ¿El producto es mayor o menor que el factor con número fraccionario? Mayor
ii. ¿Cómo es el producto comparado con el factor en número natural? Mayor
4. Analicen los factores y productos de las multiplicaciones y completen la tabla.
Multiplicación
4 3 7 5 28
6
6
8 3 7 5 56
6
6
¿Cómo son los factores?
Un factor es una fracción propia
y el otro es un número natural.
Un factor es una fracción impropia
y el otro es un número natural.
¿Cómo es el producto?
Es mayor que el factor fraccionario, pero menor
que el factor natural.
Es mayor que el factor fraccionario y que el
factor natural.
a) En grupo, escriban una conclusión acerca de cómo es el producto de una multiplicación con un factor con número fraccionario y un número natural.
i.
¿La multiplicación con un factor con número fraccionario es una operación
P
ro
que siempre agranda? Expliquen. Depende del factor fraccionario. Si este es
una fracción propia, entonces reduce, pero si es impropia, agranda.
ii. ¿Las multiplicaciones anteriores también pueden calcularse como sumas
repetidas? Expliquen. Sí, las fracciones se suman tantas veces como lo
indica el factor natural.
• Discutan la información en grupo. Hagan las sumas y revisen si se obtiene el mismo resultado al hacer la multiplicación. Comenten sus resultados.
4. a) Si la fracción es
propia, el producto
es mayor que la
fracción, pero menor
que el número
natural. Si la
fracción es impropia,
el producto es
mayor que ambos
factores.
Multiplicar una fracción por un número natural
Cuando se multiplica una fracción propia por un número natural, su producto es menor que el número natural, porque se establece una relación en la que a cada unidad
le corresponde una parte del número natural. Por ejemplo, 1 3 4 5 4 , significa 1
5
5
5
de 4, que en total son 4 .
5
Cuando se multiplica una fracción impropia por un número natural, su producto es mayor que el número natural. Por ejemplo, 4 3 5 5 20, 20 es mayor que 5.
3
3 3
Resuelves problemas de multiplicación
con factores con números fraccionarios.
52
Secuencia didáctica 5
Sesión 2
Multiplicación con factores fraccionarios
Analicen la actividad en equipo y respondan
3
1. Malitzin hará una copia de la foto. El largo y el ancho medirán
del ta8
maño actual.
a) Malitzin dice que, a cada centímetro del ancho y del largo, corres3
de centímetro en la copia. Discutan y expliquen si la
ponderán
8
afirmación de Malitzin es correcta. R. M. Es correcta: se multiplican
12 cm y 8 cm por 83 .
b) ¿Qué medidas de largo y ancho tendrá la copia?4.5 cm de largo y
3 cm de ancho.
2. Malitzin registró su procedimiento para obtener el ancho de la copia. Analicen su razonamiento y, con base en él, escriban cómo se puede obtener la medida del largo.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
8 cm
12 cm
Medida del ancho (cm)
“Se divide 8 entre 8, porque el denominador indica
las partes en que se debe dividir la unidad. El cociente
obtenido se multiplica por 3, que son las partes que se
toman de la unidad. El ancho de la copia mide 3 cm”.
Medida del largo (cm)
“Se divide 12 entre 8, porque el denominador indica
las partes en que se debe dividir la unidad. El cociente
obtenido se multiplica por 3, que son las partes que se
toman de la unidad. El largo de la copia mide 4.5 cm”.
a) Con la calculadora, resuelvan las multiplicaciones.
3 3 8 5 24 5 3
8
8
3 3 12 5 36 5 4.5
8
8
b) ¿Cómo son las medidas obtenidas mediante el razonamiento de Malitzin y las
obtenidas al resolver las multiplicaciones? Expliquen. Son iguales, pues se
realiza la misma operación.
a
, y c representa cualquier
b
número natural, ¿qué significado pueden dar a la multiplicación a 3 c, según
b
lo que vieron antes? Significa aplicar a c dos operadores sucesivos: por a y entre b.
c) Si una fracción cualquiera se representa como
P
ro
d) El procedimiento de Malitzin puede generalizarse como c entre b, y luego multiplicarse por a. Usen esta generalización y comparen los resultados.
R. M. Los resultados deben ser iguales.
3. Roque necesita una copia que mida 1 de las medidas original de un pentágono. Para
5
obtener la primera medida, dividió 3 entre 5 (el cociente es 3 ), y multiplicó el co2
10
ciente por 1: 3 3 1 5 3 . Completa la tabla aplicando el procedimiento.
10
10
Medidas del pentágono irregular (cm)
3
2
3
4
3
12
1
8
7
9
Medida de la copia a 1 de su medida original
5
3
10
3
20
3
1
5
60 20
1
40
7
45
1
? ¿Qué significado pueden asignar a este nú5
mero? Socialicen sus respuestas y verifiquen que sean correctas.
• Discutan: ¿Por qué un factor siempre es
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Multiplicación y división
53
4. En grupo, analicen la información. Discútanla hasta que sea clara para todos.
Una fracción por un número natural
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Una forma de leer una multiplicación de números naturales, por ejemplo, 3 3 7, es decir 3 veces 7. Cuando se multiplican dos fracciones, el sentido de la multiplicación pasa
de “veces” a “de”, es decir, 1 3 3 , se entiende como 1 de 3 .
5
2
2
5
Cuando se multiplica una fracción por un número natural, por ejemplo 7 3 14 5 98, una
8
8
manera de calcular el producto es dividir y luego multiplicar. Se divide 14 4 8 5 1.75. El
a
cociente se multiplica por 7: 1.75 3 7 5 12.25. Esto es:
3 c 5 c 4 b 3 a.
b
9
3
3 , una manera de calcular el producto
En una multiplicación de fracciones, como
2
5
es dividir y luego multiplicar. Se divide 9 4 5 5 9 y el cociente se multiplica por 3:
10
2
9 3 3 5 27 , es decir: a 3 c 5 c 4
b 3 a.
10
10
b
d
d
También puede dividirse 3 4 2 5 3 , el cociente se multiplica por 9: 3 3 9 5 27 ,
10
10
10
a 5
c
5
es decir: a 3
4 d 3 c.
b
d
b
Zarzamora
(kg)
• Validen sus resultados aplicando uno de los procedimientos anteriores.
5. Ana elabora mermelada de zarzamora; por cada kilogramo de zarzamora usa
1 de kg de azúcar. Con base en lo anterior, completen la tabla de la derecha.
4
a) ¿Qué cantidad de azúcar corresponde a cada 1 kg de zarzamora?
Le corresponde 81 de azúcar pues 21 3 41 5 81 2
1
1
1
1
b) ¿Y por 1 de kg de zarzamora? Le corresponde 20 de azúcar pues 5 3 4 520
5
1
c) ¿Por qué siempre se multiplica por 1 en el problema? Porque 4 de
kilogramo es la cantidad que se usa de4azúcar por cada kilogramo de zarzamora.
d) Comenten en grupo qué puede significar en una multiplicación que uno de
los factores siempre sea el mismo. R. M. Representa la constante por la que
siempre se multiplica.
• Verifiquen sus resultados con ayuda de su profesor.
1
Azúcar
(kg)
1
4
4 3
5
9
4
4 22
5
3 9
7
5
3
11
P
ro
¿Cómo vamos?
Trabaja de manera individual completando la tabla. Al concluir, verifica tus resultados.
1. Roque copiará un hexágono irregular cuyas medidas sean 4 de las que se indican en la tabla.
7
Medidas del hexágono
irregular (metros)
3
17
4
19
3
9
1
5
2
8
2
7
Medidas en la copia a
4
7 de la original
12
119
16
136
12
4
5
63 24
4
35
8
1
5
56
7
8
49
Resuelves problemas que implican la aplicación de la multiplicación
por a/b como una constante de proporcionalidad.
54
Secuencia didáctica 5
Sesión 3
Problemas multiplicativos con fracciones
En equipos analicen y respondan las actividades.
1. El cuadrado mide 1 cm por lado. Determinen el área sombreada.
a) ¿Qué medidas corresponden al largo y al ancho de la parte sombreada?
0.25 cm de ancho y 0.33 cm de largo
b) ¿Cuál es el área de la parte sombreada?
1
12
de cm2.
1 de cm
4
1
12
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
L
di A
st N
ri A
bu
ci
ón
c) ¿Qué parte de la unidad representa el área sombreada?
d) Comparen el área de la parte sombreada con la parte que representa del
cuadrado. ¿Qué identifican? Que el producto o el área obtenida es igual
2 de cm
6
a la fracción sombreada en la unidad.
2. Analicen el cuadrado morado que mide 1 cm por lado.
a) ¿Qué medidas corresponden al largo y al ancho de la parte sombreada?
1
1
6 de cm por 4 de cm de largo.
b) ¿Cuál es el área de la parte sombreada? Expliquen cómo lo calcularon.
Se calcula multiplicando 61 3 41 5 241
1
24
de cm2.
c) ¿El número faccionario que representa el área corresponde también a la fracción
1 cm
sombreada de la unidad? Expliquen. Sí, pues el cuadrado mide 1 cm2 de área.
3. Observen el cuadrado verde que mide 1 cm por lado. Escriban la operación con la
cual se puede obtener el área sombreada de azul.
2
2
A5
3
4
4
a) ¿Cuánto mide el área sombreada de azul?
2
4
3
2
4
4
5 16
5
1
4
de cm2
b) ¿La fracción que representa el área corresponde también a la fracción sombreada
de la unidad? Expliquen.
Sí, pues el cuadrado mide 1 cm2 de área.
P
ro
4. Planteen las multiplicaciones con las cuales obtuvieron las áreas sombreadas.
Problema 1:
1 32 52 52
4
6 24 24
Problema 2:
1 3 1 5 1
6
4 24
Problema 3:
232545 1
4
4 16 4
a) Analicen las operaciones y expliquen cómo multiplicar dos fracciones.
R. M. Se multiplica el numerador por el numerador y denominador por el
denominador.
• Socialicen sus respuestas y argumentos. Si tienen dificultades, extérnenlas para
aclararlas.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Multiplicación y división
55
Multiplicar dos fracciones
La regla para multiplicar dos fracciones dice que el producto es una fracción cuyo numerador es el resultado de multiplicar los dos numeradores, y su denominador es el
a
c
a3c
resultado de multiplicar los dos denominadores:
3
5
b
d
b3d
Ejemplo: 4 3 6 5 4 3 6 5 24
8
9
938
72
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
• Verifiquen que la información sea clara para todos. Después apliquen el procedimiento
visto en la sesión anterior para validar sus resultados.
Entra al enlace para
fortalecer lo que
aprendiste sobre la
multiplicación con
fracciones: www.esant.
mx/ecsema1-011
Te recomendamos
visitar Calculadora,
Áreas y Test.
D
•
Reunidos en parejas hagan lo que se solicita.
1. Se hará una copia de la imagen de
la derecha. La copia será a escala de
15 . Escriban las medidas que ten4
drá la copia de acuerdo con la imagen
original.
Medida de lado en el
original (cm)
Copia a escala 15
4
3
AB 5 7
4
465
16
3 7 de cm
20
C
•
4 23 de cm
25
B
A•
8
BC 5 4
100
6120 153
5
400
10
4 8 de cm
100
•
7 3 de cm
4
7
CD 5 3
20
1005 201
5
80
16
23
DA 5 4
25
1845 369
5
100
20
a) Escriban qué operación o procedimiento emplearon para completar la tabla y
segmento de recta.
Porción de una
recta delimitada
por dos puntos.
Para representar un
segmento de recta,
con extremos A y B, se
emplea el símbolo AB.
por qué. R. M. Expresar los números mixtos como fracciones impropias y
multiplicarlas por 15 .
b) ¿Podrían emplear el4 procedimiento de Malitzin? Si es así, argumenten por qué, y si
15
lo emplearon, comenten por qué lo decidieron así. R. M. Sí, pues 4 es un factor de
escala, como lo es 83 en el problema de Malitzin.
c) ¿Identifican alguna ventaja de seguir el procedimiento de Malitzin y aplicar la
regla para multiplicar dos fracciones a fin de completar la tabla? Expliquen. R. L.
P
ro
2. Para producir un limpiador de vidrios, se vierte 1 de litro de vinagre por cada litro
3
de agua. Con base en ello, completen la tabla.
Cantidad de
agua (L)
Cantidad de
vinagre (L)
1
3 3
4
15
5
5
12
4
5 1
2
11
6
18
9
9
10
75
100
9
3 75
1
5
5
30 10 300 4
18
2
5
27 3
a) ¿La cantidad de litros de agua se debe multiplicar por 1 de litro de vinagre?
31
¿Por qué? Sí, pues a cada litro de agua le corresponden 3 de litro de vinagre.
1
3
• Verifiquen que sus resultados sean correctos. Si tienen dudas sobre la resolución de
problemas de multiplicación con números fraccionarios, coméntenlas para resolverlas.
Resuelves problemas usando el algoritmo de la multiplicación
de números fraccionarios.
56
Secuencia
didáctica 6
Sesión 1
Número decimal por número natural
Reúnanse en parejas, lean el planteamiento y contesten lo que se pide.
1. En las calles de la Ciudad de México hay un promedio de 70 chicles pegados por
metro cuadrado. En una campaña de limpieza se retiraron 12 000 chicles en un día.
Retirar cada chicle cuesta $2.5, mientras que, en la Unión Europea, despegar un
chicle cuesta 0.30 euros.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
a) Completen la tabla escribiendo la operación y el resultado para cada caso.
Caso
1. Costo por retirar 70 chicles en la Ciudad de México (pesos).
2. Costo por día de la campaña de limpieza de chicles en la
Ciudad de México (pesos).
3. Costo por retirar 70 chicles en la Unión Europea (euros).
4. Costo por retirar 12 000 chicles en la Unión Europea (euros).
Operación
2.5 3 70 5 175
2.5 3 12 000 5 30 000
0.30 3 70 5 21
0.3 3 12 000 5 3 600
b) ¿Qué operaciones hicieron para completar la tabla? Multiplicaciones
c) ¿Cómo son los números de las operaciones que plantearon? Un factor es un
número decimal y el otro es un número natural.
d) ¿Cómo resolvieron las operaciones que plantearon? Multiplicando el costo de
retirar un chicle por el número de chicles retirados.
• Comenten sus respuestas con otras parejas. Establezcan un procedimiento para efectuar multiplicaciones de un factor con número natural por otro número decimal.
Comparación del producto y los factores
En parejas analicen esta situación.
P
ro
1. Roxana y Martina hicieron lo siguiente para responder el caso 1: “Si retirar un chicle
en la Ciudad de México cuesta $2.5, entonces el costo por retirar 70 chicles se obtiene al multiplicar 2.5 3 70. Para resolver, convertimos el número decimal a fracción 2.5: 25 3 70. Luego dividimos 70 4 10, y el resultado lo multiplicamos por
10
25: 7 3 25 5 175. Por tanto, retirar 70 chicles en la Ciudad de México cuesta $175”.
a) Contrasten el procedimiento empleado en la actividad anterior, con el procedi-
miento de Roxana y Martina. Expliquen. R. M. Son procedimientos equivalentes.
b) ¿Cómo son los números decimales que son factores en las multiplicaciones de
la tabla? Todos son decimales finitos, unos son mayores que 1, como 2.5; y
otros son menores que 1, como 0.3.
c) Apliquen el procedimiento de Roxana y Martina y verifiquen sus respuestas en
25
los casos 2, 3 y 4. 2.5 5 10 , 12000 4 10 5 1200 y 25 3 1200 5 30000; 0.3
30
3
5 10 , 70 4 10 5 7 y 30 3 7 5 21; 0.3 5 10
, 12000 4 10 5 1200 y 3 3 1200 5 3600.
• Comparen los productos obtenidos en cada operación y caracterícenlos según el tipo de factor con número decimal (mayor o menor que uno). Escriban sus reflexiones en su cuaderno.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Multiplicación y división
57
Números naturales por números decimales finitos
hi ©
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T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Un procedimiento para multiplicar un número natural por un número decimal finito, por
ejemplo, 3.4 3 40 es el siguiente:
1. Se obtiene la fracción equivalente al número decimal finito: 3.4 3 40 5 34 3 40
10
2. Se divide el número natural entre el denominador: 34 3 40 5 34 3 40 .
10
10
40
3. Se hacen las operaciones: 34 3
5 34 3 4 5 136.
10
2. En equipos analicen el ejemplo y completen la tabla.
Multiplicación
(factor con número decimal por
factor con número natural)
Características del factor con
número decimal
77.1 3 20 5 771 3 20, 20 4 10 El factor con número decimal es
10
mayor que 1: 77.1 . 1
5 2, luego 2 3 771 5 1 542
0.12 3 34 5 12 3 34, 34 4 100, El factor con número decimal es
100
menor a 1: 0.12 , 1.
luego 0.34,0.34 3 12 5 4.08
1.2 3 54 5 12 3 54, 54 4 10 El factor con número decimal es
100
mayor a 1: 1.2 . 1.
5 5.4, luego 5.4 3 12 5 64.8
Características del producto al
compararlo con los factores
El producto es mayor que ambos
factores: 1 542 . 20, y 1 542 .
77.1
El producto es menor que el factor
natural y mayor que el factor
decimal: 4.08 , 34 y 4.08 . 0.12.
El producto es mayor que ambos
factores: 64.8 . 1.2 y 64.8 . 54.
• Con ayuda del profesor concluyan cómo son los productos respecto de los factores.
Al multiplicar un número decimal por un número natural se tiene lo siguiente:
P
ro
1. Si el factor con número decimal es menor que 1, el producto será menor que el factor con número natural. Por ejemplo: 45 3 0.2 5 9. 9 , 45 puesto que 0.2 , 1.
2. Si el factor con número decimal es mayor que 1, el producto será mayor que el factor
con número natural. Por ejemplo: 45 3 2.2 5 99. 99 . 45 puesto que 2.2 . 1.
3. Si el factor con número decimal se multiplica por 1, el producto es igual al factor con
número decimal: 12.6 5 126 , 126 3 1 5 126 .
10 10
10
¿Cómo vamos?
1. Completa las frases y valida tus respuestas con tus compañeros.
a) a 3 45 5 9
El factor con número decimal a es
producto es
b) a 3 320 5 480
menor
mayor
que 1 ya que el
que el factor con número natural.
El factor con número decimal a es
producto es
menor
mayor
que 1 ya que el
que el factor con número natural.
Resuelves problemas de multiplicación con factores con
números decimales (número natural por número decimal).
58
Secuencia didáctica 6
Sesión 2
Número decimal por número decimal
Reúnanse en parejas y resuelvan lo que se pide.
1. De acuerdo con datos dados por una nutrióloga, la cantidad de agua que debe beber
una persona al día es de 0.035 L por cada kilogramo de su peso.
a) Max pesa 60.5 kg. ¿Cuántos litros de agua debe beber por día? Escriban el
procedimiento que siguieron. 2.1175 L, pues 0.035 3 60.5 5 2.1175.
hi ©
bi SA
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T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
b) ¿Cómo son los factores de la operación planteada? Ambos factores son
números decimales: uno menor que la unidad y el otro mayor que la unidad.
• Comenten sus respuestas con otras parejas y describan un procedimiento para efectuar
multiplicaciones como las anteriores.
En equipos realicen lo que se pide.
2. Analicen el procedimiento que Juan investigó para multiplicar factores con números
decimales. Según Juan, para multiplicar 68.7 3 4.5 se realiza lo siguiente:
1. Se separan la parte entera y la parte decimal
de uno de los factores. Se multiplica cada
parte por el otro factor con número decimal.
4.5 se separa en 4 y en 0.5
y se obtiene:
68.7 3 4 y 68.7 3 0.5
2. Se resuelve la multiplicación del número decimal por el número natural.
68.7 3 4 5 274.8
3. Se resuelve la segunda multiplicación. 68.7
3 0.5. Que es lo mismo que multiplicar por
la fracción decimal equivalente.
4. Por último se suman los productos.
68.7 3 0.5 5 68.7 3 5 5
10
343.5 4 10 5 34.35
274.80
1 34.35
309.15
3. Completen la tabla.
Cantidad de agua que debe consumir
P
ro
Alumnos Peso (kg) Por kilogramo (L)
Al día (L)
Max
60.5
0.035
60.5 3 0.035 5 2.1175
Santi
57.9
0.035
57.9 3 0.035 5 2.0265
Gemma
62.3
0.035
62.3 3 0.035 5 2.1805
a) ¿Cómo es el producto de dos factores con números decimales? Analicen la tabla
y expliquen. El producto es mayor que el decimal menor que 1, pero menor que
el decimal mayor que 1.
• Comparen sus resultados con los de sus compañeros y expongan sus procedimientos.
Corrijan si lo consideran necesario.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Multiplicación y división
59
En equipos resuelvan lo que se pide.
4. En la tabla se informa el costo, en pesos, de una llamada por minuto, de un servicio
de telefonía en dos países. Completen la tabla hasta centésimos.
Costo por tiempo ($)
0.005
0.01
0.02
0.04
0.56
0.76
1
9.2
0.025
0.05
0.10
0.20
2.83
3.83
46.46
0.07
0.15
0.30
0.61
8.47
11.50
5.05
15.14
17.5
33.6
88.37 169.68
139.28 264.95 508.7
hi ©
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T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Tiempo (min)
Países
Canadá
Israel
a) ¿Cómo es el producto cuando un factor es un número decimal menor o mayor
que 1? Si el factor decimal es menor que 1 el producto es menor que 1; si el
factor decimal es mayor que 1 el producto es mayor que 1.
Procedimiento para multiplicar números decimales
Otro procedimiento para multiplicar dos números decimales es convertir los factores
con números decimales en fracciones. Por ejemplo: 68.7 3 4.5 5 687 3 45 5 30915
100
10
10
Para expresar el resultado como número decimal se resuelve la división.
El producto de dos números decimales:
a) es menor que los dos factores cuando estos son menores que 1: 0.8 3 0.4 5 0.32,
dado que 0.8 , 1 y 0.4 , 1. Por tanto, 0.32 , 0.8 y 0.32 , 0.4.
b) es mayor que los dos factores cuando estos son mayores a 1: 7.2 3 9.1 5 65.52,
7.2 . 1 y 9.1 . 1. Por tanto, 65.52 . 7.2 y 65.52 . 9.1.
c) es menor que el factor que es mayor que 1 y es mayor que el factor que es menor
que 1: 0.3 3 2.2 5 0.66, 0.3 , 1 y 2.2 . 1. Por tanto, 0.66 , 2.2 y 0.66 . 0.3.
Pide a un compañero
que te enseñe
el método que
usó para llegar al
resultado. Al conocer
las estrategias
empleadas por los
demás, ampliamos
nuestras posibilidades
para resolver
problemas.
• Comparen los procedimientos trabajados y comenten las ventajas de cada uno.
5. Analicen el ejemplo y completen lo que se solicita.
Características de los
factores
Características del producto al compararlo con
los factores
P
ro
Factor con número
decimal por factor con
número decimal
El producto es menor que los dos factores:
Ambos son menores que 1:
0.2 , 1 y 0.5 , 1.
0.1 , 0.2 y 0.1 , 0.5.
Un factor es mayor que 1 y el otro, El producto es menor que el factor mayor que 1 (0.7
0.5 3 1.4 5 0.7
menor que 1: 0.5 , 1 y 1.4 . 1. , 1.4) y mayor que el factor menor que 1 (0.7 > 0.5).
Ambos mayores que 12.5 . 1 El producto es mayor que ambos factores
2.5 3 5.5 5 13.75
(13.75 . 2.5 y 13.75 . 5.5).
y 5.5 . 1.
El producto es menor que ambos factores
Ambos son menores que 1:
0.001 3 0.9 5 0.0009
(0.0009 , 0.001 y 0.0009 , 0.9).
0.001 , 1 y 0.9 , 1.
0.2 3 0.5 5 0.1
• Analicen cada caso y externen sus dudas o dificultades para que las aclaren entre todos.
Resuelves problemas de multiplicación de números decimales finitos y donde se
involucren relaciones de proporcionalidad directa (número decimal por número decimal).
60
Secuencia didáctica 6
Sesión 3
Algoritmo de la multiplicación
En parejas, realicen lo que se solicita.
1. Un kilogramo de clavos cuesta $28.5. Calculen el costo de las siguientes cantidades del mismo tipo de clavo.
0.500 kilogramos cuestan: 14.25
0.250 kilogramos cuestan: 7.125
0.750 kilogramos cuestan: 21.375
1.5 kilogramos cuestan: 42.75
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ón
a) ¿Qué procedimiento emplearon para obtener los costos?
Multiplicar el costo de un kilogramo de clavos por el número de kilogramos que
se compran.
• Socialicen su procedimiento y comprueben las multiplicaciones usando la calculadora.
Después analicen la siguiente información.
Algoritmo para multiplicar números decimales
Para multiplicar dos números decimales se sigue el mismo procedimiento del
3.4
algoritmo de la multiplicación de números naturales. Se multiplican los núme- 3 2. 1
ros y, una vez obtenido el producto, se coloca el punto decimal de manera que
34
el número de decimales del resultado sea igual a la suma de las cifras decima- 68
les de los factores, como se muestra en el ejemplo de la derecha.
7. 1 4
2. Apliquen el procedimiento anterior para resolver las multiplicaciones.
12.5 3 4.25 5 53.125
1.5 3 42.5 5 63.75
1.95 3 0.25 5 0.4875
5.28 3 10.11 5 53.38
4.28 3 1.121 5 4.79
8.8 3 10.11 5 88.968
4.01 3 0.405 5 1.624
1.2 3 2.45 5 2.94
7.2 3 7.5 5 54
P
ro
a) ¿Se les dificultó ubicar el punto decimal en el producto? De ser así, ¿cómo las
resolvieron? R. L.
3. Los siguientes artículos son importados y su precio está dado en dólares estadounidenses. Calculen su precio en pesos. Consideren que cada dólar estadounidense
cuesta 18.35 pesos.
Precio en dólares
Precio en pesos
Tenis
8.58
157.443
Vestido
Camisa
24.97
17.77
458.1995 326.0795
• Socialicen sus respuestas y verifiquen que sean correctas.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Multiplicación y división
Blusa
17.48
320.758
Short
16.76
307.546
61
Trabajen las actividades en parejas.
1. La tarifa 1A de la Comisión Federal de Electricidad (CFE) por consumo básico es
de $0.711 por los primeros 100 kilowatts-hora. El intermedio es de $0.839 por los
siguientes 50 kilowatts-hora (que va de 100 a 150 kilowatts-hora); el excedente:
$2.859 por cada kilowatt-hora adicional a los anteriores (después de 151 kilowattshora). Calculen la cantidad en pesos según el consumo de kilowatts-hora.
87.5
177.8
276.9
545.82
152.8
kilowatts. medida de
potencia eléctrica. Su
símbolo es kW, que es
igual a 1 000 vatios.
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Consumo
(kilowatts)
Costo ($)
62.21
136.37
475.85
1 244.69
121.05
2. La tarifa 1B para el consumo básico será de $0.711 por cada uno de los primeros
125 kilowatts-hora; el intermedio, de $0.839 por cada uno de los siguientes 100
kilowatts-hora y el excedente, de $2.859 por cada kilowatt-hora adicional a los anteriores. Calculen la cantidad en pesos según el consumo de kilowatts-hora.
Consumo
(kw/h)
125.5
345.9
302.88
901.54
45.90
Costo ($)
89.29
518.42
395.43
2 107.002
32.63
vatio o watt. es la
unidad de potencia del
Sistema Internacional
de Unidades. Su
símbolo es W.
a) Analicen su recibo de luz e identifiquen su tarifa y la cantidad de kilowatts-hora
que consumen. ¿Es correcto el cálculo de su recibo de luz? Expliquen.
R. L.
3. La mayor velocidad en el esquí sobre nieve la alcanzó Ivan Origone descendiendo a 254.958 kilómetros por hora; el segundo lugar lo ocupa su hermano Simone
Origone con 252.632 kilómetros por hora.
Fuente: www.mundodeportivo.com/deportes-invierno/20160326/40689482720/nuevo-record-delmundo-para-ivan-origone-que-ha-puesto-sus-esquis-a-254-95-km-h.html (consulta: 21 de noviembre de 2017)
a) ¿Cuántos metros descendieron Iván y Simone por hora? 254 958 y 252 632,
respectivamente.
4. Escriban una conclusión acerca de cómo es el producto de la multiplicación de…
R. M.
a) dos o más números decimales menores que 1. El producto es menor que ambos
P
ro
factores.
b) dos o más números decimales mayores que 1. El producto es mayor que ambos
factores.
c) dos números decimales cuando uno es mayor que 1; y el otro menor. El
producto es mayor que el factor menor que 1, y mayor que el factor menor
que 1.
• Verifiquen que sus cálculos sean correctos; si tienen dudas coméntenlas para que sean
disipadas. Lean sus conclusiones en grupo.
Resuelves problemas que requieran aplicar el algoritmo convencional de la multiplicación de
números decimales, así como la multiplicación de números decimales por potencias de 10.
62
Secuencia
didáctica 7
Sesión 1
Números decimales entre números
decimales
Reúnanse en parejas, lean el planteamiento y resuelvan lo que se pide.
1. Ana vende chiles y frutos secos. Ella tiene 1.800 kilogramos de ciruelas pasas con
lo cual elabora bolsas de 0.200 kg y 0.300 kg para su venta.
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a) ¿Cuántas bolsas de 0.200 kg puede llenar? 9 bolsas
b) ¿Cuántas bolsas de 0.300 kg puede completar? 6 bolsas
• Comenten cómo obtuvieron sus respuestas anteriores.
Sumas repetidas y divisiones
En parejas lean la siguiente información y respondan.
1. Martín y Nicolás siguieron dos procedimientos para saber cuántas bolsas se pueden
llenar con 1.800 kg de ciruelas pasas:
Procedimiento 1. Sumaron el peso de cada bolsa de 0.200 kg hasta llegar al total.
Bolsa 1
Bolsa 2
Bolsa 3
Bolsa 4
Bolsa 5
Bolsa 6
Bolsa 7
Bolsa 8
Bolsa 9
0.200 1 0.200 1 0.200 1 0.200 1 0.200 1 0.200 1 0.200 1 0.200 1 0.200 5 1.800
Procedimiento 2. Restaron a 1.800 kg el peso de cada bolsa de 0.300 kg, hasta
repartir la cantidad total.
Bolsa 1
Bolsa 2
Bolsa 3
Bolsa 4
Bolsa 5
Bolsa 6
1.800 2 0.300 1.500 2 0.300 1.200 2 0.300 0.900 2 0.300 0.600 2 0.300 0.300 2 0.300 5 0
a) ¿Qué piensan del procedimiento 1 para determinar el número de bolsas que se
pueden llenar con las ciruelas pasas? Expliquen. R. M. Sumar cantidades de
manera repetida es un procedimiento largo, poco práctico.
P
ro
b) ¿Y qué piensan del procedimiento 2? Expliquen. R. M. Restar cantidades de
manera repetida es un procedimiento largo, poco práctico.
2. Apliquen alguno de los procedimientos de Martín y Nicolás y completen la tabla.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Multiplicación y división
Chiles
secos
Cantidad
(kg)
Número de bolsas Número de bolsas Número de bolsas
con 0.250 kg
con 0.125 kg
con 0.375 kg
Ancho
4.5
18
36
12
Chipotle
6.75
27
54
18
Piquín
7.5
30
60
20
Mora
10.5
42
84
28
63
a) ¿Qué ventajas o desventajas identifican al aplicar los procedimientos de Martín y
de Nicolás para completar la tabla? R. M. Son útiles y fáciles de aplicar, pero
son tardados.
b) Si la cantidad total de kilogramos aumenta, ¿qué sucede con el procedimiento?
El procedimiento es más largo, por lo que no es conveniente usarlo.
c) ¿Habrá otro procedimiento más práctico para completar la tabla? R. M. Dividir la
cantidad de kilogramos entre el peso de cada tipo de bolsa.
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• Socialicen sus respuestas y argumentos.
3. Juana y Mateo usaron otro procedimiento para repartir 6.750 kilogramos de chile
chipotle en bolsas de 0.250 kg, y lo explicaron así:
“Primero multiplicamos las cifras con números decimales por alguna potencia de
10 para obtener números naturales. En este caso, como 6.750 y 0.250 tienen tres
cifras decimales, multiplicamos ambos números decimales por 1 000:
6.750 3 1 000 5 6 750 y 0.250 3 1 000 5 250
Luego calculamos la división: 6750 4 250 5 27
Y así obtuvimos que con 6.750 kg se llenan 27 bolsas de 0.250 kg cada una”.
a) ¿Cómo se sabe por cuál potencia de 10 se debe multiplicar un número decimal
para que se tengan números naturales? La potencia de 10 debe tener tantos
ceros como la cantidad de cifras decimales tenga el número con mayor cantidad
de cifras decimales.
b) ¿Qué ventajas o desventajas identifican al aplicar el procedimiento de Juana y
Mateo respecto a los de Martín y Nicolás? R. M. Es más práctico, solo se
efectúan dos operaciones.
4. Apliquen el procedimiento de Juana y Mateo para completar la tabla.
División
0.90 4 0.1 5
Multiplicación por potencias de 10
División
Cociente
0.90 3 10 5 9 y 0.1 3 10 5 1
94159
9
80 4 2 5 40
40
16 665 4 33 5 505
505
0.800 3 100 5 80 y 0.02 3 100 5 2
1.6665 3 10 000 5 16 665 y
1.6665 4 0.0033 5
0.0033 3 10 000 5 33
0.800 4 0.02 5
P
ro
• Compartan sus resultados y comenten cuál procedimiento es mejor para hacer divisiones con números decimales.
División de números decimales
Para dividir dos números decimales, el divisor y el dividiendo se multiplican por la misma potencia de 10, según el número de cifras decimales que tengan. Luego se dividen
las cantidades obtenidas. Por ejemplo, para dividir 39.6 por 6.6, se multiplica 39.6 3
10 5 396 y 6.6 3 10 5 66; luego se calcula la división 396 4 66 5 6.
Resuelves problemas de división cuando el dividendo y divisor
son números decimales y el cociente es número natural.
64
Secuencia didáctica 7
Sesión 2
Números decimales entre potencias de 10
Resuelvan en parejas.
1. La familia Martínez ahorró $22 450 durante un año y usará parte del dinero para
mantenimiento de su casa. Determinen la cantidad de dinero que corresponderá a
cada gasto.
Cantidad de dinero asignada
$ 2 245
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Gasto
Una décima parte del ahorro para arreglar el
jardín.
Una centésima parte del ahorro para reparar la
lámpara exterior.
Una milésima parte del ahorro para comprar una
brocha.
$ 224.50
$ 22.45
a) ¿Qué procedimiento emplearon para completar la tabla? Expliquen. R. M. Dividir
el ahorro total entre 10, 100 y 1 000.
2. Domingo hizo un inventario de algunos artículos promocionales. Las cantidades las
registró en una tabla como la siguiente:
Piezas vendidas
Venta ($)
Costo unitario ($)
100
Casa de
campaña
100
5 625.9
56.259
Playera
100
Gorras
bordadas
100
789 900.9
89 875.1
12 599.9
7 890.600
450.9
7 899.009
898.751
125.999
789.06
45.09
Chamarras
Mochilas
Agendas
10
10
a) Calculen el costo unitario de cada artículo vendido y anótenlo en la tabla.
b) Comparen el costo unitario con el precio de venta que le corresponde. ¿Qué
ocurre con el punto decimal del dividendo cuando el divisor es 10 o 100? El
punto decimal del dividendo se recorre uno o dos lugares hacia la izquierda.
Juega en el
interactivo: www.
esant.mx/
ecsema1-012
dos que registraron en la tabla que los obtenidos en la calculadora? Expliquen.
R. M. Sí, son iguales.
P
ro
Ahí podrás practicar
divisiones de números
decimales entre
potencias de diez.
En ese sitio se usa
el símbolo “:” como
equivalente a 4.
c) Verifiquen sus resultados empleando una calculadora. ¿Son iguales los resulta-
• Comparen sus resultados con los de sus compañeros. Expongan sus procedimientos.
División de número decimal entre potencia de diez
Para dividir un número decimal entre una potencia de diez, el punto decimal se desplaza hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga la potencia de diez:
35.7 4 10 5 3.57; 35.7 4 100 5 0.357; 35.7 4 1 000 5 0.0357
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Multiplicación y división
65
3. Hagan las divisiones y completen la tabla. Comprueben sus resultados multiplicando el cociente por el divisor. Pueden usar la calculadora
897.909
456.785
1 023.9912
Dividir entre 10
89.7909
45.6785
102.39912
Dividir entre 100
8.97909
4.56785
10.239912
Dividir entre 1 000
0.897909
0.456785
1.0239912
Dividir entre 10 000
0.0897909
0.0456785
0.10239912
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• Compartan sus resultados. Verifiquen que no tengan dudas en el dominio de la técnica.
Multiplicar y dividir por un mismo número
Trabajen en equipos.
4. Completen la tabla con base en el ejemplo.
División inicial
Multiplicar el dividendo por 10.
Multiplicar el divisor por 10.
Nueva división
División inicial
Multiplicar el dividendo por 33.
Multiplicar el divisor por 33.
Nueva división
7.2 4 0.2 5 36
7.2 3 10 5 72
0.2 3 10 5 2
72 4 2 5 36
7.2 4 0.2 5 36
7.2 3 33 5 237.6
0.2 3 33 5 6.6
237.6 4 6.6 5 36
10.5 4 0.5 5 21 12.8 4 0.4 5 32 2.4 4 0.8 5 3
10.5 3 10 5 105 12.8 3 10 5 128 2.4 3 10 5 24
0.5 3 10 5 5
0.4 3 10 5 4
0.8 3 10 5 8
128 4 4 5 32
24 4 8 5 3
105 4 5 5 21
10.5 4 0.5 5 21 12.8 4 0.4 5 32 2.4 4 0.8 5 3
10.5 3 33 5 346.512.8 3 33 5 422.4 2.4 3 33 5 79.2
0.5 3 33 5 16.5 0.4 3 33 5 13.2 0.8 3 33 5 26.4
346.5 4 16.5 5 21 422.4 4 13.2 5 32 79.2 4 26.4 5 3
a) En cada caso, comparen los cocientes de la división inicial y de la nueva división. ¿Cómo son los cocientes? R. M. El cociente es el mismo.
b) ¿Qué debe suceder con el dividendo y el divisor de una división para que el
cociente sea el mismo? R. M. Se deben multiplicar por el mismo número.
• Comparen sus respuestas con otros equipos. Analicen la siguiente propiedad.
Propiedad de la división
P
ro
Cuando el divisor y el dividiendo se multiplican por un mismo número, el cociente no
varía. Es decir, a 4 b 5 ka 4 kb, donde k es distinto de 0 y es el mismo número que
multiplica tanto al divisor como al dividendo.
1. Resuelve las divisiones y comparte tus respuestas con el grupo.
a) 55.5 4 0.5 5 111
b) 12.8 4 0.4 5 32
c) 2.4 4 0.8 5 3
Resuelves problemas de división de números decimales
entre potencias de 10.
66
Secuencia didáctica 7
Sesión 3
Divisiones con números decimales
En parejas realicen lo que se indica.
1. Se conoce el perímetro de los siguientes polígonos regulares, pero se desconoce la
medida de sus lados. Comenten cómo pueden obtener la medida del lado de cada uno.
Perímetro 5 19.2 cm
Perímetro 5 6.5 cm
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Perímetro 5 17.7 cm
a) Completen la tabla considerando los datos de las figuras.
Figura
Triángulo
Cuadrado
Pentágono
Perímetro (cm)
Número de lados
17.7
19.2
6.5
3
4
5
Operación para calcular la
medida de uno de los lados
17.7 4 3
19.2 4 4
6.5 4 5
Medida del lado (cm)
5.9
4.8
1.3
b) ¿Qué hicieron para conocer la medida de uno de los lados de cada figura?
Dividir la medida del perímetro por el número de lados de la figura.
c) ¿Cómo son los números de las operaciones planteadas? El divisor es un
número natural, el dividendo y el cociente son números decimales.
2. Realicen las divisiones y obtengan el cociente hasta milésimas. Usen su calculadora para comprobar sus resultados y respondan.
P
ro
Procura explicar a
las personas que
viven contigo lo que
estudias en la escuela
cada día. Intenta
dar un ejemplo de
los problemas que
puedes resolver.
Esto te servirá para
expresar mejor tus
ideas y repasar lo que
aprendiste.
Operación
0.23 4 54 5
54 4 0.23 5
0.5 4 12 5
12 4 0.5 5
34.62 4 5 5
14.5 4 9.8 5
9.8 4 14.5 5
Dividendo
0.23
54
0.5
12
34.62
14.5
9.8
Divisor
54
0.23
12
0.5
5
9.8
14.5
Cociente
0.004
234.78
0.041
24
6.924
1.479
0.675
a) ¿Qué identifican cuando el dividendo es un número natural y el divisor es un
número decimal? R. M. El cociente es mayor que el dividendo y que el divisor
(pues el divisor es menor que 1).
b) ¿Y cuando el dividendo es un número decimal y el divisor es un número natural?
R. M. El cociente es menor que el dividendo y que el divisor.
c) ¿Y cuando ambos son números decimales? R. M. Dependiendo del dividendo y
del divisor, el cociente puede ser menor o mayor que estos últimos.
• Comenten sus respuestas y analicen la información de la siguiente página.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Multiplicación y división
67
División entre números decimales
Dividir un número decimal entre otro equivale a calcular cuántas veces cabe ese número en el otro.
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bu
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ón
Cuando el dividendo es un número decimal, se resuelve la división como si
2.3
fuera de números naturales. El lugar del punto decimal en el cociente debe ser 2 4.6
el mismo que en el dividendo.
4
06
Cuando el dividendo y el divisor son números decimales, se multiplican am6
bos números por la potencia de 10 que garantice que el divisor se convierta en
0
un número entero. Por ejemplo, para realizar la división: 4.4 19.8, se multiplica
por 10 el dividendo y el divisor, para obtener: 44 y 198.
4.5
44 198
220
0
• Verifiquen que no tienen dudas con el procedimiento descrito y empléenlo para comprobar los resultados de sus divisiones.
Resuelvan en parejas los problemas.
1. Un cafetalero repartirá 3.75 kg de café molido en frascos de 125 gramos. ¿Cuántos
frascos de café llenará? 30 frascos
2. Un autobús recorrió 35.55 kilómetros y consumió 4.5 litros de gasolina en total.
¿Cuántos litros de gasolina gastó por cada kilómetro recorrido? 0.126 litros
3. El precio del boleto de entrada al cine es de $45.99. Después de la función, el cajero
reportó un total de $3 587.22 por la venta de boletos. ¿Cuántos boletos se vendieron?
78 boletos
P
ro
4. Determinen el cociente, hasta milésimos, de las divisiones. Comenten qué patrón identifican al efectuar los cálculos.
a) 56.78 4 0.82 5 69.243
d) 5.678 4 8.2 5 0.692
b) 567.8 4 8.2 5 69.243
e) 0.5678 4 8.2 5 0.069
c) 567.8 4 0.82 5 692.43
f) 56.78 4 0.082 5 692.439
Ingresa a: www.esant.
mx/ecsema1-013
Podrás practicar
divisiones con
números decimales.
Comparte con tus
compañeros tu
experiencia en esta
página web.
• Compartan en grupo sus resultados y verifiquen que sus cálculos sean correctos.
Comenten sus dudas con otros compañeros o con el profesor.
Resuelves problemas que requieran usar el algoritmo convencional
de la división de números decimales.
68
Secuencia
didáctica 8
Sesión 1
Problemas de proporcionalidad
Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide.
1. Juan Manuel junta productos de la canasta básica y los mete en cajas para distribuirlos en las comunidades afectadas por un huracán. Analicen los datos de la tabla
y complétenla.
Productos básicos
Botellas con
Bolsas con arroz
aceite de cocina
Paquetes con
azúcar
Atún en lata
(piezas)
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Cajas
1
3
2
2
4
2
6
4
4
8
5
15
10
10
20
10
30
20
20
40
40
120
80
80
160
a) ¿Cuántas botellas con aceite se requieren para 20 cajas? 60 botellas
b) ¿Cuántas piezas de atún se requieren para 20 cajas? 80 latas de atún
c) ¿Cómo pueden obtener el número de bolsas de arroz para cualquier cantidad de
cajas? Expliquen. R. M. Se obtiene el valor unitario y después se multiplica por
la cantidad de cajas que se quieren formar.
d) Discutan qué significa el valor unitario en una relación de proporcionalidad y
1. d) El valor
unitario es el que
corresponde a
una unidad, en
este caso a una
caja. Es útil porque
este se puede
multiplicar por otras
cantidades para
calcular valores
desconocidos.
para qué es útil.
2. Escriban como razón las siguientes relaciones y respondan.
A: “Con 6 botellas de aceite se llenan 2 cajas”.
B: “Con 15 botellas de aceite se llenan 5 cajas”.
6
2
15
5
a) ¿Qué identifican al comparar los cocientes de las razones? Ambos son iguales a 3.
P
ro
b) ¿Esta comparación de razones cómo puede interpretarse en el contexto del
problema? R. M. La razón obtenida, 3, corresponde a la cantidad de botellas de
aceite que se necesitan por cada caja.
3. Juana interpretó las razones de la siguiente manera: “La cantidad de botellas con
aceite aumenta al triple conforme aumenta el número de cajas por completar”.
a) Discutan la interpretación de Juana y comprueben si la cantidad de botellas con
aceite siempre aumenta al triple al incrementarse el número de cajas. Escriban
sus conclusiones. R. M. La interpretación de Juana es correcta, pues por cada
caja se necesitan 3 botellas de aceite, es decir, el triple.
• Socialicen sus respuestas y, si lo consideran necesario, den otros ejemplos para fortalecer sus argumentos.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Proporcionalidad
69
Reúnanse en equipos para resolver las siguientes actividades.
1. Tonatzin y sus amigos irán al cine y quieren saber el precio de cada boleto. Analicen
la información de la tabla, complétenla y respondan.
Boletos
7
8
12
Costo total ($)
532
600
888
Costo por un boleto
$76
$75
$74
hi ©
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T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Cine
Local
Galaxia
Macro
a) ¿En qué cine es más barato un boleto? En el cine Macro
b) Si para cada cine la cantidad de boletos por comprar aumenta al doble, ¿qué
sucede con el costo total? Expliquen. El costo total aumenta también al doble,
pues se trata de una relación de proporcionalidad directa.
c) ¿Por cuál número se debe multiplicar la cantidad de boletos para saber el costo
total? ¿Por qué? ¿Sería necesario recurrir al precio unitario? Expliquen. Por el costo de un solo
boleto, pues esa es la forma de conocer el costo total al comprar varios boletos. Por lo general sí
es necesario recurrir al precio unitario, pues este permite conocer el costo total de más boletos.
2. Completen las tablas y respondan.
Cine Local
Cantidad Costo ($)
76
1
2
3
4
5
152
228
304
380
Cine Galaxia
Cantidad Costo ($)
Cine Macro
Cantidad Costo ($)
1
75
1
74
2
150
2
148
3
225
3
222
4
300
375
4
296
370
5
5
a) ¿Qué estrategia o procedimiento emplearon para completar las tablas? Expliquen. R. M. Multiplicar el costo unitario por la cantidad total de boletos.
b) Para conocer el costo de cualquier cantidad de boletos en cada cine, ¿qué procedimiento se debe realizar? Multiplicar el número de boletos deseados por el
costo unitario.
c) ¿Existe una relación de proporcionalidad entre el costo total y la cantidad de
P
ro
boletos comprados? Justifiquen su respuesta. Sí, pues a medida que un valor
aumenta, el otro también lo hace y en la misma proporción. Lo mismo sucede si
un valor disminuye.
d) Observen las flechas azules en la tabla de datos del cine Local.
i.
Para completar los datos de la segunda fila, ¿por cuál número se debe multi-
plicar la cantidad y el costo para obtener el total? Por 2.
ii. ¿Y para completar los datos de la tercera fila (flechas anaranjadas)? Por 3.
iii. ¿Y para la cuarta fila (flechas verdes)? Por 4 ¿Para la última fila? Por 5
• Hagan el mismo análisis para el cine Macro, luego socialicen sus respuestas.
Resuelves problemas de proporcionalidad directa de valor faltante
(números naturales) en contextos continuos.
70
Secuencia didáctica 8
Sesión 2
El factor constante
Formen equipos y hagan lo que se pide.
1. Lucas vende memorias USB. En la tabla se han registrado los costos para diversas
cantidades del mismo tipo de memoria. Analicen el ejemplo y completen la tabla.
1
2
3
4
10
13
15
17
20
Costo ($)
116
232
348
464
1 160
1508
1740
1972
2 320
hi ©
bi SA
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T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Piezas
a) Describan el procedimiento que emplearon para completar la tabla. R. M.
1160
Obtener el precio unitario: dividir 10 5 116 y luego multiplicarlo por el número
de piezas para obtener el costo.
b) Comparen el costo de comprar 2 y 4 piezas. ¿Cómo aumentan el costo y la
cantidad de piezas? Ambos aumentan al doble.
c) ¿Cómo aumenta el costo al comprar 2 y 6 piezas? Aumenta al triple.
d) ¿Qué dato necesitan obtener para calcular el costo total de cualquier cantidad de
piezas que se compre? Expliquen. El costo unitario, que es el valor de una
pieza. Este se multiplica por el número de piezas que se desean comprar y se obtiene el costo total.
• Socialicen sus respuestas y argumentos. Analicen la siguiente información.
Proporcionalidad directa
P
ro
Para que exista una relación de proporcionalidad directa se comparan dos razones, las
cuales deben ser iguales. Por ejemplo, las razones en la venta de 2 y 10 memorias USB
son iguales: 232 5 116 y 1160 5 116.
2
10
x
y
232
1160
1
4
.
5
Una proporción es una igualdad entre dos razones:
2
10
2
8
Como generalización, dos conjuntos de valores numéricos, por ejemplo x y y, se relacionan de manera directamente proporcional si am3
12
bos conjuntos de cantidades varían en la misma proporción. Esta
4
16
relación se da por medio del factor constante de proporcionalidad, k,
5
20
el cual se obtiene al dividir y 5 k. Por ejemplo: 12 5 4 y 4 5 4,
6
24
1
3
x
por tanto, el factor constante es k 5 4.
1. Los datos de la tabla están relacionados proporcionalmente. Complétala.
x
y
5
90
12
216
17
306
21
378
400
7 200
• Plantea un problema de proporcionalidad que se resuelva con estos datos y verifica
que sea adecuado. Por ejemplo, que 21 cables de corriente cuestan $378.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Proporcionalidad
71
En equipos, resuelvan lo que se solicita.
2. En las tablas se han registrado los costos de algunas docenas de flores. Con base
en la información presentada, complétenlas.
Claveles
Docenas
Costo ($)
2
150
225
3
6
Tulipanes
Docenas
Costo ($)
460
5
6
7
450
552
644
Cuando trabajes
en equipo,
frecuentemente
se presentarán
diferencias y puntos
de vista distintos.
Sin embargo, debes
acatar los acuerdos
de la mayoría y
esforzarte para
alcanzar las metas
comunes.
hi ©
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su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Rosas
Docenas
Costo ($)
4
240
5
300
360
6
Factor de
proporcionalidad:
60
Factor de
proporcionalidad:
Factor de
proporcionalidad:
75
92
a) ¿Los datos están relacionados de manera proporcional? Justifiquen su respuesta.
Sí. A medida que una cantidad varía, la otra también lo hace y con la
misma proporción.
3. Marianela alquila brincolines para fiestas infantiles. En la tabla se han registrado los
costos de la renta del brincolín según el tiempo de uso. Analicen el ejemplo y completen la tabla.
Primera columna
Costo ($)
Tiempo (h)
960
12
1 040
1 120
1 200
1 280
1 920
13
14
15
16
24
Última columna
a) ¿Cuánto se paga por una hora de renta? Se paga $80.
b) ¿Qué relación hay entre el tiempo de renta y el costo? Expliquen. Una relación
de proporcionalidad directa: si una cantidad varía, la otra también lo hace, con
la misma proporción.
c) ¿Por cuál número se deben multiplicar los valores de la primera columna para
obtener los valores de la última columna? ¿Cómo es la variación de las cantidades? Por 2. La variación es directa y proporcional.
P
ro
• Socialicen sus respuestas y argumentos. Después discutan la siguiente información.
Factores internos
Una relación entre dos conjuntos de cantidades es directaCosto
Tiempo
mente proporcional si los factores internos que se corres960
12
ponden son iguales. Por ejemplo, las razones que relacionan el costo de la renta y el tiempo de renta de los datos de
1 920
24
24
1920
52y
5 2.
la columna 1 y 6 son iguales:
12
960
El factor interno de proporcionalidad en este caso es 2, lo que significa que 24 es el doble de 12 y 1 920 es el doble de 960.
Resuelves problemas de proporcionalidad directa de valor faltante
(números naturales) en contextos discretos.
72
Secuencia didáctica 8
Sesión 3
Trabajen en equipo los siguientes planteamientos.
1. Completen los datos que hacen falta en cada una de las tablas. En ellas se relaciona el
tiempo de renta del brincolín y su costo en semanas.
Semana 2
Costo ($) Tiempo (h)
216
2.7
648
8.1
Semana 3
Costo ($) Tiempo (h)
152
1.9
312
11.4
hi ©
bi SA
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di LA
st N
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bu
ci
ón
Semana 1
Costo ($) Tiempo (h)
3.5
280
1 400
17.5
a) ¿Cuál es el factor interno que relaciona el costo y el tiempo en la semana 1?
1400
280 5 5
b) ¿Qué significado pueden asociarle a dicho factor interno? Es la relación
numérica entre valores de una misma magnitud: 3.5 3 5 5 17.5 y 280 3 5
Visita el sitio
www.esant.mx/
ecsema1-014,
donde encontrarás
información sobre
proporcionalidad
directa. Comenta
en clase tus dudas
o aportaciones.
5 1400.
c) El factor interno puede interpretarse como “3.5 es la quinta parte de 17.5 y 280
es también la quinta parte de 1 400”. ¿Por qué? R. M. Sí, porque el factor interno
relaciona los valores de manera directamente proporcional.
2. Relacionen el factor interno con la tabla de datos correspondiente.
1. Semana 1
( 4 ) El factor interno es 10, ya que 11.4 es el décuple de 1.9 y 912 es el décuple de 152.
2. Semana 2
3. Semana 3
( 2 ) El factor interno es 3, ya que 8.1 es el triple de
2.7 y 648 es el triple de 216.
4. No corresponde
a ningún caso.
( 3 ) El factor interno es 6, ya que 11.4 es el séxtuple de 1.9 y 912 es el séxtuple de 152.
( 4 ) El factor interno es 4, ya que 8.1 es el cuádruple de 2.7 y 648 es el cuádruple de 216.
P
ro
3. Laura necesita comprar cierta cantidad de metros de manguera. Los costos por paquete del mismo tipo de manguera se muestran en la tabla.
Manguera (m)
7
8
12
Costo total ($)
490
552
816
a) ¿La cantidad de metros y el costo están relacionados proporcionalmente? Justifiquen su respuesta. No. Por ejemplo, 490 4 7 5 70, mientras que 816 4 12
5 68.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Proporcionalidad
73
Resuelvan las siguientes situaciones en equipo.
1. Seleccionen el argumento que consideran que explica la situación planteada.
a) Ana es cajera y cobra 176 pesos por 8 horas de trabajo. Ana cobra 880 pesos
por 40 horas de trabajo. Este planteamiento es de proporcionalidad directa debido a que:
Ana cobra 176 pesos por 8 horas y 880 por 40 horas, por lo que se plantean las razones 176 y 880 ; al compararlas y obtener sus cocientes,
8
40
estos son iguales. Por tanto, la situación está relacionada con la proporciona-
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
i.
lidad directa.
ii. El valor unitario es el pago por una hora de trabajo de Ana. De esta manera,
al conocerlo se puede saber el pago por cualquier cantidad de horas de trabajo: 176 = 22 y 22 3 40 5 880. Por tanto, la situación está relacionada
8
con la proporcionalidad directa.
iii. Al comparar los datos relacionados (176, 8) y (880, 40) y obtener los factores internos: 880 5 5 y 40 5 5, se sabe que 40 es el quíntuple de 8
8
176
y 880 es el quíntuple de 176. Por tanto, los valores aumentan en la misma
proporción, es decir, al quíntuple le toca el quíntuple.
2. Identifiquen qué situaciones están relacionadas con la proporcionalidad directa.
Argumenten su postura.
A.
B.
C.
D.
P
ro
E.
Situación
Dos kilogramos de frijol cuestan $36 y 18 kilogramos cuestan $324.
Don Lucho vende a $5 una bolsita de galletas.
Por doce bolsitas de galletas cobra $50.
En un autolavado cobran $75 pesos por lavar
un coche. Por 11 automóviles cobran $750.
En una fábrica de ropa se usan 24 botones
para tres prendas. Para 12 prendas se necesitan 96 botones.
Por la venta de 25 bolsas de mano se obtuvo
$5 250. Por 50 de las mismas bolsas se obtiene $10 500.
¿Existe proporcionalidad directa?
Sí, pues
36
324
5 18 y
5 18
2
18
No, ya que
5
50
55y
5 4.167
1
12
No, porque
75
750
5 75 y
5 68.18
1
11
Sí, ya que
Si, pues
24
96
58y
58
3
12
5250
10500
5 210 y
5 210
25
50
a) En las situaciones en que determinaron que no hay una relación de proporcio-
nalidad directa, replanteen para que sí la tengan. R. L. Por ejemplo, B: Una
bolsita a $5 y doce, a $60, y C: Cobrar $75 por lavar un coche y $825, por
11 automóviles.
• Socialicen sus respuestas. Discutan en grupo, con ayuda de su maestro, las características
de los problemas de proporcionalidad directa.
Resuelves problemas de proporcionalidad directa de valor faltante
con números naturales.
74
Secuencia
didáctica 9
Sesión 1
La proporcionalidad directa
En parejas analicen y realicen lo que se plantea.
1. Manuel tiene un dibujo que mide 14 cm de largo por 8 cm de ancho y necesita reducirlo de manera que su largo mida 10 cm. Manuel requiere que las medidas del
dibujo y su reducción sean proporcionales.
a) ¿Con qué procedimiento puede saber Manuel la medida del ancho del dibujo
10 3 8
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ón
reducido? R. M. Al resolver una regla de tres: 14 . Esta se obtiene al igualar las
10
?
razones que se forman con los datos de la situación: 14 5 8 .
b) ¿La situación se puede resolver mediante la comparación de razones? Justifi10
?
quen su respuesta. Sí, se igualan las razones 14 5 8 y se obtiene el valor
desconocido, pues se trata de una variación directamente proporcional.
c) Escriban lo que entienden por “relación de proporcionalidad directa”. R. M. Aquella
relación en la que al aumentar o disminuir una magnitud, la otra magnitud, asociada con
la primera, también aumenta o disminuye, respectivamente, y con la misma proporción.
• Comparen sus respuestas con sus compañeros. Juntos lleguen a una conclusión acerca
de cómo resolver problemas de este tipo.
Factor de proporcionalidad decimal
Resuelve con un compañero.
1. Ramiro dice que una manera de resolver el problema es organizar la información en
una tabla como la que se muestra.
Dibujo
Largo (cm)
Ancho (cm)
Original
14
8
Reducción
10
5.71
a) ¿Cuál es la medida del ancho en la reducción? La medida es 5.71 cm.
b) ¿Cuál es el factor de proporcionalidad? El factor es 0.7142.
P
ro
c) ¿Qué tipo de número es este factor? Decimal
2. Manuel requiere diferentes reducciones, todas ellas con medidas proporcionales al
dibujo original.
a) ¿La constante de proporcionalidad será la misma en todos los casos? Expliquen.
Sí, pues la relación de proporcionalidad sucede para todos los valores que
se corresponden.
b) ¿Por qué es necesario identificar dicha constante de proporcionalidad en este
problema? Porque la constante de proporcionalidad permite hallar las medidas
de las reducciones.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Proporcionalidad
75
3. En la tabla se registró la medida del largo de diversos rectángulos que están a escala. Complétenla y respondan.
Medida de Largo (cm)
rectángulos Ancho (cm)
2
3
5
5
7.5
12.5
5.5
6.5
7.5
10.7
13.75 16.25 18.75 26.75
a) Al completar la tabla, ¿el factor de proporcionalidad en todos los casos fue el
hi ©
bi SA
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su IL
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st N
ri A
bu
ci
ón
mismo? ¿Por qué? Sí, porque los valores correspondientes de la tabla se
relacionan directa y proporcionalmente.
b) Describan las dificultades que tuvieron para completar la tabla. Expliquen cómo
las resolvieron. R. L.
c) ¿La tabla también puede completarse calculando el valor faltante? Expliquen.
Sí, pues es posible formar igualdades entre fracciones en las que hay un
valor desconocido.
d) ¿Qué relación identifican entre el valor faltante y las relaciones de proporcionali-
dad? R. M. En las situaciones de valores faltantes se presentan relaciones de
proporcionalidad directa.
4. Los rectángulos que se muestran son proporcionales. Analícenlos, determinen las medidas faltantes y respondan.
4 cm
5 cm
8 cm
6.25 cm
10 cm
12.5 cm
a) ¿Cómo se obtiene la constante o factor de proporcionalidad y cómo se aplica al
P
ro
resolver problemas de proporcionalidad directa en figuras a escala? R. M. Se
divide una de las medidas de la figura con un valor desconocido entre el largo
o el ancho, respectivamente, de la otra figura. El resultado se multiplica, según
corresponda, por el largo o el ancho de la segunda figura.
• Compartan sus respuestas y sus argumentos. Verifiquen que no tengan dudas y, si es
así, expóngalas al grupo y digan cómo resolverlas.
Lee y resuelve.
1. Una máquina produce, en promedio, 125 bolsas de papel en 1 minuto. Con base
en ello, completen la tabla.
Cantidad de
bolsas de papel
Tiempo (s)
1
2
3
4
5
15
0.48
0.96
1.44
1.92
2.4
7.2
• Comparte tus respuestas con el grupo y valídalas con el maestro.
Resuelves problemas de proporcionalidad directa de valor faltante
(números decimales) en contextos continuos.
76
Secuencia didáctica 9
Sesión 2
Factor de proporcionalidad fraccionario
Realicen las actividades en parejas.
1. Tomás tiene una fotografía que mide 12 cm de ancho por 18 cm de largo y requiere una
copia cuya medida del ancho sea de 30 cm.
a) ¿Cuál será la medida del largo de la copia? Será de 45 cm.
b) Seleccionen la relación que representa el factor de proporcionalidad aplicado.
4
10
•
2 1
2
hi ©
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bu
ci
ón
•
i.
30
¿Por qué la relación que seleccionaron es la correcta? Porque 12 5 2
1
2
c) Usen la relación que no seleccionaron y calculen las medidas de la fotografía
original con ese factor.
i.
¿Cuáles son el ancho y largo de la nueva foto? Son 4.8 cm y 7.2 cm, respectivamente.
ii. ¿Cómo es la nueva foto comparada con la original? Se trata de una
reducción de la fotografía original.
d) Apliquen el mismo factor que no seleccionaron a las medidas de la primera copia.
i.
¿Cuáles son las medidas obtenidas? 12 cm de ancho y 18 cm de largo.
ii. ¿Cómo son las medidas obtenidas en relación con la foto original? Las
1
medidas son iguales, pues se usó el factor inverso de 2 2 .
e) ¿Qué identifican al aplicar el factor de 4 a la medida original? Que las medidas
10
de la nueva figura son menores y proporcionales; se obtiene una reducción.
f) ¿Qué identifican al aplicar el factor de 2 1 a la medida original? Que las medidas
2
de la nueva figura son mayores y proporcionales; se obtiene una ampliación.
P
ro
• Compartan sus respuestas y sus argumentos. Si tienen dudas, coméntenlas, consulten
a su profesor y resuélvanlas. Después analicen la siguiente información.
Reproducciones a escala
Una figura es una ampliación o reducción a escala de otra cuando tiene la misma forma, pero diferente tamaño. En una figura reproducida a escala, los lados de la segunda
son proporcionales a los lados de la primera. En una relación de proporcionalidad, las
medidas de una magnitud se pueden obtener multiplicando o dividiendo las medidas
originales por un mismo número. Dicho número se llama factor constante de proporcionalidad o factor de escala, cuando se trata de figuras.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Proporcionalidad
77
Trabajen en parejas las siguientes actividades.
1. Don José prepara horchata. Por cada 7 litros de agua, emplea 1.75 mL de jarabe.
Completen la tabla y respondan.
Agua (L)
7
14
21
Jarabe de horchata (L)
1.75
3.5
Visiten el sitio:
www.esant.mx/
ecsema1-015
y analicen la
información del video
“La constante de
proporcionalidad para
la variación directa”.
Comenten en clase la
información que ahí
se describe.
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bu
ci
ón
5.25
a) ¿La cantidad de agua y la de jarabe están relacionadas proporcionalmente?
Expliquen. Sí, pues a medida que se use más agua se necesita usar más jarabe,
y con la misma proporción.
2. Rodeen las parejas de rectángulos que no son proporcionales.
Pareja 1
5 cm
4 cm
8 cm
Pareja 3
Pareja 2
6 cm
6 cm
4 cm
7.2 cm
5.6 cm
4 cm
12 cm
5 cm
7 cm
a) ¿Por qué no hay una relación de proporcionalidad entre las parejas de rectángu4
los que rodearon? Justifiquen su respuesta. En la pareja 1: porque 5 5 0.8 y
8
6
5 1.3 no son iguales. En la pareja 2: porque
6
4
12
5 1.5 y 7.2 5 1.6 no son iguales.
b) Escriban las medidas que deben tener las parejas de rectángulos para que sean
proporcionales. R. M. Pareja 1: 4cm largo y 8 cm de ancho; 3 cm de largo y 6 cm de
ancho. Pareja 2: 4 cm de largo y 7.2 cm de ancho; 6 cm de largo y 10.8 cm de ancho.
3. Calculen el factor de proporcionalidad de los siguientes pares de figuras.
7 cm
P
ro
5 cm
6 cm
4 cm
8.4 cm
Factor de proporcionalidad: 1.4 o 0.714285
3.6 cm
3 cm
2.7 cm
Factor de proporcionalidad: 0.9 o 1.1
• Discutan sus resultados y expliquen cómo resolvieron las actividades. Redacten una conclusión sobre las características de la proporcionalidad directa al resolver problemas de
este tipo.
Resuelves problemas de proporcionalidad directa de valor faltante
(números fraccionarios) en contextos continuos.
78
Tablas de proporcionalidad con hoja de
cálculo electrónica
En esta sección aprenderás a calcular valores faltantes en relaciones de proporcionalidad
directa en la hoja de cálculo electrónica.
1. Realiza de manera individual lo que se pide.
Abre una hoja de cálculo electrónica y escribe la siguiente información.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
i.
ii. Responde de acuerdo con la información de la tabla.
a) ¿Cuál es la ganancia neta de la venta de 50 de esos libros? ¿Qué hiciste
para encontrar la respuesta? La ganancia neta de la venta de 50 libros es de
$75. R. M. Calculé la ganancia neta de la venta de un libro, $150 4 100 5
$1.50, y la multipliqué por el total de libros, $1.50 3 50 5 $75.
b) ¿Cuál es la ganancia neta por la venta de un libro? ¿Qué operación realizaste? La ganancia neta por la venta de un libro es $1.50. Se divide la ganancia
neta entre la cantidad de libros vendidos: $150 4 100 5 $1.50.
P
ro
2. Calcula los valores faltantes.
i. En la celda D3 escribe 5 (C3*D2)/C2 y da Enter.
ii. Para completar las celdas faltantes, ubícate en la celda D3 y selecciona “Copiar”.
79
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
iii. Ubícate en la celda E3, selecciona con el ratón hasta la celda J3 y, con el botón
derecho, elige “Pegar”.
3. Responde.
a) ¿Cuál es la ganancia neta por la venta de un libro? La ganancia neta por la venta de un libro es $1.50.
b) ¿Coincide esta respuesta con la que diste en la actividad anterior? ¿A qué crees
que se debe esto? R. L.
c) ¿Cuál es la ganancia neta por la venta de 25 libros? Es de 25 3 $1.50 5 $37.50
d) ¿El procedimiento que usaste es correcto para encontrar la ganancia neta de
cualquier cantidad de libros? ¿Por qué? Ver solucionario
e) ¿Cómo están relacionados los datos? ¿Por qué? Ver solucionario
f)
Son proporcionales las cantidades g 5 ganancia y x 5 cantidad de libros vendidos. ¿Se ajustan a la explicación que escribiste? R. L.
4. Copia la siguiente tabla en una hoja de cálculo y encuentra los valores faltantes.
Tiempo
Distancia
2
50.25
8
4
16 5 0.25
Distancia
2h
8 km
4h
16 km
32 km
8
32
5 0.25
2 km
1
2
5 0.25
P
ro
Tiempo
8h
1
h
2
2
a) Si una persona camina a una velocidad de 4 km por hora, ¿cuántos kilómetros
recorrerá en tres horas? 2 kilómetros pues 4 km/h 3 3 h 5 12 km.
• Selecciona un problema que hayas trabajado en la secuencia. Usa lo aprendido en esta
sección y valida tu resultado.
80
Secuencia
didáctica 10
Sesión 1
Rectas paralelas y transversales
Lee individualmente la información y realiza lo que se indica.
1. Analiza la siguiente construcción geométrica en la que se trazaron tres rectas: R1, R2
y R3, y se marcaron dos ángulos: a y b.
R1
a
b
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
•
R2
•
R3
a) ¿Cómo son entre sí las rectas R1 y R2? Son rectas paralelas y la distancia entre
sus puntos es siempre la misma. Este tipo de rectas nunca se juntan o se
intersecan.
b) De acuerdo con la construcción, ¿cómo definirías a la recta R3 con respecto a R1
y R2? Es una recta transversal y oblicua que corta a un par de rectas; genera la
construcción de ángulos.
c) Con respecto a los ángulos a y b, ¿cuál piensas que son sus medidas? R. M.
Son iguales porque se forman con transversal que interseca a R1 y R2.
d) Con el instrumento adecuado, mide los ángulos a y b, ¿cómo son entre sí?
¿Esta medida tiene relación con su ubicación en las rectas? Expliquen. Tienen
la misma medida. Sí, ello depende de su ubicación porque ambos ángulos
están, respectivamente, sobre rectas paralelas y del mismo lado de estas, y se
forman con una transversal a dichas paralelas.
e) Marca en la construcción los ángulos que se forman entre R3 y R2. ¿La medida
de esos ángulos está relacionada de alguna manera? Obtén las medidas nece-
P
ro
sarias para sustentar tu respuesta. Sí, los ángulos opuestos por un vértice
son iguales.
f)
Marca los ángulos que se forman entre R3 y R1 y analiza si las medidas de los
ángulos que se forman al trazar R3, sobre R1 y R2, se relacionan de alguna manera. Anota tus conclusiones y obtén las medidas de los ángulos. R. M. Sí, se
relacionan de distintos modos. Cualquiera de esos ángulos mide 65° o 115 °.
• Socializa tus respuestas y acuerda con tus compañeros cuántos ángulos se forman en
la construcción. Expresen características de las medidas de los ángulos formados.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
81
Realicen en parejas lo que se plantea. Sustenten sus respuestas.
1. Utilicen su juego de geometría y una hoja de papel que te permita calcar para realizar la siguiente construcción. Al terminar contesten lo que se solicita.
Imagen
Instrucción
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Coloquen la escuadra sobre el lado más largo del cartabón, tal como se muestra en la imagen. Tracen una recta
y nómbrenla R1.
Manteniendo fijo el cartabón, deslicen la escuadra hacia
abajo y tracen una segunda recta, llámenla R2. R1 y R2
son paralelas.
Coloquen el cartabón y la escuadra como se muestra en
la imagen y tracen una tercera recta con el lado más largo del cartabón; llámenla R3. Marquen los ángulos que
se forman en las intersecciones de las rectas. R3 es una
transversal a las paralelas.
Corten la hoja de papel como se muestra. Superpongan las
mitades de manera tal que las rectas R1 y R2 coincidan.
a) Analicen las mitades de papel cuando R1 y R2 coinciden. ¿Qué identifican entre
las rectas y los ángulos formados? Expliquen. R. M. Se forman rectas paralelas
y los ángulos que se corresponden son iguales.
b) Usen las mitades de hoja y determinen si hay relaciones entre los ángulos marcados y cuáles son. R. M. Algunos ángulos son iguales y otros son
suplementarios, es decir, suman 180°.
c) Numeren las parejas de ángulos que midan lo mismo. ¿Cuántas y cuáles parejas de ángulos identificaron? Hay seis parejas de ángulos iguales.
P
ro
d) ¿Qué parejas de ángulos suman 180°? Anota al menos 3 ejemplos. R. M. Los
ángulos adyacentes son suplementarios.
e) Reúnanse con otra pareja y comenten sus respuestas. Digan si coincidieron con
respecto al número de parejas de ángulos que miden lo mismo, así como de
aquellas parejas de ángulos cuya suma es 180°. Escriban en su cuaderno sus
acuerdos e investiguen en internet o en un medio impreso qué nombre recibe
este último tipo de ángulos. Esos ángulos se llaman suplementarios.
f) Repitan la actividad y modifiquen la inclinación de la recta R3, de manera que
aún interseque a R1 y R2. Después comenten cuáles son las parejas de ángulos
que miden lo mismo y aquellas parejas de ángulos cuya suma es 180°. Registren sus conclusiones en el cuaderno. R. L.
cartabón.
Instrumento de
medición con
forma de triángulo
rectángulo escaleno,
con ángulos de 30°,
60° y 90°.
escuadra.
Instrumento de
medición con
forma de triángulo
rectángulo isósceles,
con dos ángulos de
45° y uno de 90°.
• Comenten sus respuestas en grupo y discutan cuántos ángulos se forman entre las rectas y cuáles relaciones identificaron entre sus medidas.
Analizas, identificas y caracterizas rectas paralelas
y transversales.
82
Secuencia didáctica 10
Sesión 2
Intersecciones de rectas y ángulos
En equipos, realicen lo que se pide. Sustenten sus respuestas.
1. Analicen la siguiente construcción, obtengan las medidas de los ángulos marcados
y contesten.
ⱔa 5 40°
ⱔb 5 40°
a
b
d
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
ⱔd 5 140°
ⱔe 5 140°
L3
L1
e
L2
ángulos opuestos
por el vértice.
Son aquellos que
comparten un vértice
y los lados de uno
son la prolongación
de los lados del otro.
a) ¿Qué representan los puntos rojos en la construcción? Son los puntos donde se
intersecan las tres rectas.
b) ¿a y b son ángulos opuestos por el vértice? Sí, sí son ángulos opuestos por
el vértice.
c) ¿Hay alguna relación entre las medidas de los dos ángulos anteriores? Justifiquen su respuesta. Sí, son iguales, pues estos se forman con la intersección de
dos rectas.
medida del ángulo. Su
notación matemática
es ⱔ.
d) ¿Los ángulos d y e son opuestos por el vértice? ¿Cuál es la relación entre sus
medidas? Expliquen su respuesta. Sí son opuestos por el vértice. Tienen la
misma medida porque se forman con la intersección de dos rectas.
2. Identifiquen en sus trazos de la sesión anterior algunos ángulos opuestos por el
vértice.
a) Comenten con otro equipo la relación entre las medidas de las parejas de ángulos y escriban una conclusión. R. L.
P
ro
b) A partir de su conclusión, determinen la veracidad de la siguiente afirmación: “Si
dos ángulos, e y d, son opuestos por el vértice, entonces tienen la misma medida”. Justifiquen su respuesta. R. M. La afirmación es verdadera, pues los
ángulos opuestos por el vértice se forman con rectas que se intersecan.
c) ¿Consideran que esa igualdad se cumple para cualquier par de ángulos opuestos por el vértice? ¿Por qué? R. M. Sí, porque eso sucede para cualesquiera
ángulos opuestos por el vértice debido a la manera en que se obtienen.
• Compartan sus respuestas con el grupo y, con apoyo del profesor, verifiquen cuál es la
relación entre las medidas de dos ángulos que son opuestos por el vértice.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
83
Trabajen en parejas las siguientes actividades.
Ángulos suplementarios y adyacentes
Los ángulos suplementarios son aquellos que suman 180°; es decir, que al unirlos
geométricamente forman un ángulo llano.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Los ángulos adyacentes son ángulos que comparten un vértice y un lado, y los otros
lados no coincidentes son semirrectas que se encuentran en sentido contrario. Las características de los ángulos adyacentes hacen que puedan ser consecutivos y suplementarios, ya que los ángulos son sucesivos uno de otro y entre ellos suman 180°.
3. Contesten las preguntas a partir de la figura.
d
A
a) Identifiquen en la figura ángulos suplementarios.
Ver solucionario
b) Intercambien sus ejemplos con otras parejas,
•B
•
e
sustenten por qué son correctos y escriban sus
g
f 5 116°
a
D
acuerdos. R. L.
•C
•
b 5 63°
c
c) ¿Los ángulos a y b son adyacentes? Expliquen
su respuesta. Sí, pues comparten un vértice y un lado, y los lados no
adyacentes forman una recta.
d) ¿Y los ángulos d y f son adyacentes? ¿Por qué? No, pues no comparten lados.
e) Marquen en la figura cuatro parejas de ángulos adyacentes y analicen cuál es la
relación entre las medidas de cada pareja. Escriban sus conclusiones. Ángulos
adyacentes: c y b; b y a; d y e; d y g; g y f; e y f. Son ángulos suplementarios.
f)
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal y se conoce la medida de
un ángulo a, que es adyacente a un ángulo b, ¿se puede conocer la medida del
P
ro
ángulo b? ¿Cómo? Sí, para conocer la medida del ángulo b, a 180° se le resta
la medida del ángulo a.
• Socialicen sus respuestas y sus conclusiones con respecto a los ángulos adyacentes,
opuestos al vértice y suplementarios.
L3
Trabaja de manera individual.
L1
1. En la figura, identifica parejas de ángulos adyacentes y
suplementarios. Los ángulos adyacentes son los que
están sobre la misma intersección de rectas y tienen
colores distintos.
• Verifica tus resultados con apoyo de tu profesor.
Visita el sitio
www.esant.mx/
ecsema1-016 para
consolidar lo que
sabes acerca de
los ángulos que
se forman al trazar
dos rectas que son
cortadas por una
transversal.
L2
•
•
Determinas los ángulos formados por rectas paralelas
y transversales.
84
Secuencia didáctica 10
Sesión 3
Tipos de ángulos entre rectas paralelas
En equipos, realicen lo que se pide. Sustenten sus respuestas.
1. Retomen lo realizado en las sesiones anteriores y, de acuerdo con la siguiente información, validen su trabajo.
Tipos de ángulos
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal se forman ocho ángulos relacionados entre sí, por parejas, mediante sus medidas:
Ángulos alternos internos: son aquellos que están en el interior de las rectas paralelas,
en lados opuestos de la transversal y no son adyacentes. Tienen la misma medida.
Ángulos alternos externos: son los ángulos que se localizan en el exterior de las rectas
paralelas y en lados opuestos de la transversal. Su medida es igual.
Ángulos colaterales internos: son aquellos que están en el interior de las rectas paralelas y del mismo lado de la transversal. Se trata de ángulos suplementarios.
Ángulos colaterales externos: son las parejas de ángulos que se encuentran en
el exterior de las rectas paralelas y del mismo lado de la transversal. Son ángulos
suplementarios.
Ángulos correspondientes: son ángulos que están del mismo lado de las rectas paralelas, es decir, uno en el exterior y el otro en el interior de las paralelas, del mismo lado
de la transversal y no son adyacentes. Tienen la misma medida.
Además, los ángulos adyacentes son suplementarios y los ángulos opuestos por el
vértice miden lo mismo. Esta última igualdad se cumple para cualquier par de rectas
que se intersequen.
En parejas, realicen lo que se pide.
P
ro
2. Con base en la figura, identifiquen las parejas de ángulos solicitados y completen la tabla.
Pareja de ángulos
1
3
5
7
6
8
2
4
Ángulos en la figura
Alternos internos
3 y 6; 4 y 5
Alternos externos
1 y 8; 2 y 7
Colaterales internos
3 y 5; 4 y 6
Colaterales externos
1 y 7; 2 y 8
Correspondientes
1 y 5; 2 y 6; 3 y 7; 4 y 8
• Verifiquen sus resultados con apoyo del profesor y corrijan los errores. Sustenten en
cada caso el porqué de su respuesta. Si hay dudas, extérnenlas para disiparlas.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
85
En parejas, analicen y realicen lo que se plantea.
1. Analicen el siguiente razonamiento y determinen si es verdadero.
“Como el ángulo a y el ángulo b son suplementarios y el ángulo b y el ángulo c
también lo son, entonces, el ángulo a mide lo mismo que el ángulo c”.
b
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
a) Sustenten su postura. Sí es verdadero. La suma del ángulo a y el ángulo
b es 180°. Y la suma del ángulo b y el ángulo c suma también 180°. Por lo
tanto el ángulo a y el ángulo c son iguales.
2. Analicen la construcción geométrica y deduzcan las medidas de los ángulos según
la medida del ángulo b y su relación con los demás ángulos. Anoten los valores en la
tabla y justifiquen sus respuestas.
a
c
•
g
b 5 135°
•
d
a
h
z
•
u
e
Ángulo
ⱔa
ⱔb
ⱔg
ⱔd
ⱔe
ⱔz
ⱔh
ⱔu
Medida
135°
135°
45°
45°
45°
135°
45°
135°
a) Justificación: R. M. Los ángulos a y b son opuestos por el vértice y como b 5 135°, a 5 135°; los
ángulos g y b son suplementarios, entonces 180° 2 b 5 180° 2 135° 5 45°; además, g 5 d, por ser
opuestos por el vértice; luego, a 5 u, b 5 z, g 5 h y d 5 « por ser ángulos correspondientes.
b) Los ángulos ⱔa, ⱔb, ⱔz y ⱔu son iguales.
c) Son parejas de ángulos alternos externos: b y u; g y «.
P
ro
3. Determinen la medida de todos los ángulos de cada figura. Sustenten sus respuestas en las relaciones entre las medidas de los ángulos.
127°
53° g
127° a
53° c
e
•
•
b
d
f
53°
h
127°
48° i
53°
127°
132° k
j
•
132°
l
n
48° m
132° o
•
132°
p
48°
• Intercambien sus resultados y argumentos con otra pareja para validarlos. Si tienen dudas, trabajen otras actividades similares bajo la guía de su profesor.
Usas las relaciones que existen entre los ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas
por una transversal en la resolución de problemas geométricos.
86
Ángulos entre rectas paralelas y
transversales
En esta sección aprenderás a determinar y usar las relaciones que existen entre los ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal.
1. Realiza de manera individual lo que se pide.
Visita la página www.geogebra.
org/?lang=es y selecciona “Iniciar
GeoGebra” y luego “GeoGebraGeometría”.
ii. Dando clic a la configuración
agrega una cuadrícula visible y
selecciona “Recta” dentro de las
herramientas básicas.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
i.
iii. Traza dos segmentos de rectas
paralelas, como se muestra, haciendo clic en la cuadrícula.
P
ro
v. Selecciona “Segmento” dentro de
las herramientas básicas.
iv. Ahora traza un segmento de recta
transversal EF, como se muestra.
vi. Traza los segmentos de rectas AF y FG.
vii. Traza los segmentos de rectas CE
y EF.
viii. De las opciones de “Medición”,
selecciona “Ángulo”.
87
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
ix. Da clic en los segmentos de rectas BF y FG para visualizar la medida del ángulo
que se forma entre esos puntos.
a) ¿Cuánto mide el ángulo BFG? R. M. 74.1°
b) ¿Cuánto mide el ángulo AFG? R. M. 105.9°
c) ¿Cuánto mide el ángulo AFE? ¿Por qué? 74.1°, porque es un ángulo opuesto por
el vértice F.
d) ¿Cuánto mide el ángulo FED? ¿Por qué? 74.1°, porque es un ángulo
correspondiente al ángulo BFG.
x. Realiza el mismo procedimiento del paso ix para visualizar la medida de los
demás ángulos y verificar tus respuestas.
a) ¿Cuántos valores diferentes obtuviste para los ángulos? Solo dos: 74.1° y 105.9°
b) ¿Cuántos ángulos midieron lo mismo? Cuatro ángulos midieron 74.1° y otros
cuatro, 105.9°
2. Aplica lo que aprendiste para trazar y visualizar la medida de los siguientes ángulos.
a)
P
ro
b)
21.8° y 158.2°
14° y 166°
• Verifiquen sus resultados con el apoyo del profesor. Sustenten en cada caso el porqué
de sus respuestas.
88
Secuencia
didáctica 11
Sesión 1
Ángulos interiores de figuras
En parejas observen la figura y contesten. De ser necesario, usen sus instrumentos de
medición.
1. El DABC se construyó en un software de geometría dinámica donde se pueden mover
los vértices y se le marcaron sus ángulos interiores a, b y g. A partir de este triángulo, se
obtuvo el triángulo 2 moviendo el vértice B como se muestra en la figura.
B
ángulos interiores.
Son aquellos (giros
o amplitudes) que
se encuentran en el
interior de una figura
plana con dos lados
consecutivos y el
vértice que los une.
B
•
•
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
b
b
A
•
g
a
DABC
•
C
A
•
g
Triángulo 2
a
•
C
a) En el DABC, ¿cuál es la suma de los ángulos a, b y g? Es igual a 180°.
triángulo. Se usa el
símbolo D para referirse
a cualquier triángulo.
b) ¿La suma de los ángulos interiores del triángulo 2 es la misma que en el DABC?
¿Por qué? Sí, porque la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo
siempre es igual.
• Compartan sus respuestas con otros compañeros. Comenten cuál es la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo.
Ángulos interiores de figuras
Resuelve de manera individual la siguiente actividad.
1. Construye un triángulo ABC con las condiciones que se indican.
•
•
En una hoja, traza un segmento de recta AB de 1.5 cm de longitud.
En los extremos del segmento, marca un ángulo A de 65° y un ángulo B de 75°.
Prolonga los lados de los ángulos hasta que se intersequen en un punto que
llamarás C. Marca con color el DABC.
a) ¿Cuál es la suma de las medidas de los ángulos interiores del DABC? Es igual a
180 °; pues 65° 1 75° 1 40° 5 180°
P
ro
b) ¿Cómo es esta suma comparada con la de la actividad inicial? Es igual
c) ¿Se puede construir un DA’B’C’ con ángulos interiores de 65°, 85° y 35°? ¿Por
qué? No, porque la suma de los ángulos interiores es mayor que 180°.
d) ¿Y un DDEF con ángulos interiores de 10°, 80° y 90°? ¿Por qué? Sí, porque la
suma de los ángulos interiores es igual a 180°.
e) ¿Qué propiedad deben cumplir las medidas de los ángulos interiores de un triángulo para que se pueda construir? Se debe cumplir que la suma de las medidas
de los ángulos interiores del triángulo sea igual a 180°.
• Socializa tus respuestas. Comenten la última pregunta y escriban una conclusión.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
89
Formen equipos de cuatro integrantes y hagan lo que se pide.
2. Cada integrante del equipo construirá, en una cartulina, uno de los siguientes triángulos.
i.
ii.
iii.
iv.
DABC con medidas de sus ángulos interiores de 90°, 60° y 30°.
DDEF con medidas de sus ángulos interiores de 35°, 45° y 100°.
DGHI con medidas de sus ángulos interiores de 125°, 30° y 25°.
DJKL con medidas de sus ángulos interiores de 70°, 70° y 40°.
a) ¿Qué relación identifican entre la suma de las medidas de los ángulos interiores
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
de cada triángulo? Todas las sumas son iguales a 180°.
3. Ahora, cada integrante del equipo construirá en cartulina uno de los siguientes tipos
de triángulos: isósceles, equilátero, escaleno y rectángulo.
i. En cada triángulo marquen los ángulos interiores y nómbrelos a, b y c.
ii. Recorten los triángulos en tres partes como si fueran rompecabezas, sin dividir
los ángulos, como se muestra.
iii. Junten las partes del triángulo, de manera que coincidan los vértices.
b
c
a
c
b
a
4. Analicen la construcción y completen la tabla. R. M.
Triángulo
Medida de a
Medida de b
Medida de c
Suma de los
ángulos formados
al juntarlos
Isósceles
Equilátero
Escaleno
Rectángulo
100°
60°
125°
90°
40°
60°
20°
60°
100°
60°
25°
30°
180°
180°
180°
180°
a) ¿Qué regularidad identifican en las sumas de las medidas de los ángulos a, b y
c? Todas las sumas son iguales a 180°.
b) ¿La regularidad muestra la relación entre las medidas de los ángulos interiores
P
ro
de los triángulos? Expliquen. Sí, muestra que la suma de las medidas de los ángulos
interiores de todo triángulo es igual a 180° porque sucede para cualquier triángulo.
• Validen en grupo sus ejemplos y escriban sus conclusiones.
Resuelve lo siguiente de forma individual.
1. Busca objetos cuya forma sea triangular. Traza su contorno en una hoja de
papel, marca sus ángulos internos y obtén la suma de las medidas de estos.
Verifica tus resultados con apoyo de tu profesor. R. L.
• Socializa tus experiencias y comparen las sumas obtenidas.
Estudias los ángulos interiores de figuras geométricas.
90
Secuencia didáctica 11
Sesión 2
Ángulos interiores y exteriores
En equipo hagan lo que se pide y contesten.
1. Consideren la medida de los ángulos interiores de los triángulos: DABC, DDEF,
DGHI y DJKL de la página anterior y tracen los triángulos aumentando o disminuyendo proporcionalmente las medidas de los lados.
a) Al aumentar o reducir las medidas de los lados de los triángulos, ¿cómo es la
ángulos exteriores.
Son aquellos (giros
o amplitudes) que se
forman con un lado
y la prolongación
del lado adyacente.
El vértice que
comparten ambos
lados de la figura es el
vértice del ángulo.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
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bu
ci
ón
suma de sus ángulos interiores? Es igual que 180°.
• Compartan sus argumentos y analicen la siguiente información.
Ángulos interiores de un triángulo
La suma de la medida de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.
2. Midan los ángulos v, c, y x, que son ángulos exteriores al triángulo MNO.
N
v
•
n
x
o
•
O
m
M
•
c
a) ¿Cuál es la suma de los ángulos exteriores? 360°
b) Marquen los ángulos interiores, nómbrenlos y mídanlos.
Sumen los ángulos interiores de los vértices M y O. ¿Cuál es la
suma y qué relación tiene con v? R. M. La suma de los ángulos
interiores de los vértices M y O es 80° y es igual al ángulo exterior v.
c) Tracen una figura para verificar la validez de la siguiente
afirmación: “En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior
es igual a la suma de los dos ángulos interiores del triángulo
formado en los vértices que no son comunes al ángulo”. R. L.
d) Justifiquen por qué la figura trazada es correcta. R. L.
(depende de las medidas del triángulo)
3. Mireya trazó el DABC para verificar la afirmación anterior. Analicen el triángulo y
respondan.
P
ro
a) ¿Qué significa la expresión k 5 a 1 b? Que la medida del
ángulo exterior k es igual a la suma de los ángulos interiores
no adyacentes.
B•
b) ¿La suma de a 1 g es igual a la medida del ángulo resaltado
b 5 59°
k5a1b
k 5 59° 1 45°
k 5 104°
g 5 76°
•
A
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
en rojo? Expliquen. Sí, porque a y g son ángulos interiores no
adyacentes a ese ángulo.
a 5 45°
•
C
• Validen en grupo sus ejemplos y escriban sus conclusiones sobre la suma de los ángulos interiores de un triángulo y su relación con la medida de un ángulo exterior.
91
Ángulos exteriores de un triángulo
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bu
ci
ón
La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a 360°. La medida de un
ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a él.
Cuando los ángulos interior y exterior comparten un vértice y un lado se llaman suplementarios. Cuando dos ángulos comparten un vértice, pero no un lado, pueden ser
opuestos por el vértice.
Ángulos interiores de paralelogramos
Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide.
4. Construyan un triángulo isósceles en una hoja de color como se indica.
La medida de su base es de 6 cm, dos de sus ángulos interiores miden 55° y el
tercer ángulo, 70°.
ii. Recorten el triángulo y divídanlo por su altura al lado desigual. Con las dos partes, formen un cuadrilátero y marquen sus ángulos interiores.
i.
a) ¿A qué es igual la suma de los ángulos interiores del cuadrilátero? A 360°
b) ¿Qué relación hay entre la suma de las medidas de los ángulos interiores de un
triángulo y la del cuadrilátero construido? Expliquen. La suma en el triángulo es
180° y en el cuadrilátero es 360°, es decir, es el doble.
c) ¿La relación que han identificado solo funciona para este cuadrilátero o para
otros distintos? La relación funciona para cualquier cuadrilátero.
• Socialicen sus conjeturas y registren sus acuerdos.
5. En cartulinas de colores tracen un cuadrado, un trapecio, un rombo y un romboide.
Marquen sus ángulos interiores, nómbrenlos y tracen una diagonal. Recorten cada
cuadrilátero por la diagonal que trazaron. Conserven las piezas sin mezclarlas.
a) ¿Cuántos triángulos se obtienen en cada caso? Dos triángulos
b) ¿Qué relación hay entre la suma de las medidas de los ángulos interiores de un
P
ro
triángulo y la de un cuadrilátero? La suma de la medida de los ángulos en el
triángulo es 180° y en los cuadriláteros es 360°; esto es, el doble.
6. Tracen nuevamente los cuadriláteros anteriores. Recórtenlos en cuatro partes como si
fueran rompecabezas, sin dividir los ángulos. Hagan coincidir los vértices y respondan:
Visita el sitio
www.esant.mx/
ecsema1-017
para estudiar ángulos
adyacentes. Y el sitio:
www.esant.mx/
ecsema1-018
donde encontrarás
información de
la suma de los
ángulos exteriores de
triángulos.
a) Al juntar los vértices de un cuadrilátero, ¿qué ángulo se forma? Uno de 360°
b) Al juntar dos ángulos consecutivos, ¿qué ángulo se forma? Uno de 180°
c) ¿Cómo le explicarías a otro compañero la relación entre la suma de las medidas
de los ángulos interiores de un triángulo y la de un cuadrilátero? En un triángulo
la suma de los ángulos interiores es 180°; mientras que en un cuadrilátero es el
doble, es decir, de 360°.
Exploras empíricamente la relación entre los
ángulos interiores de triángulos.
92
Secuencia didáctica 11
Sesión 3
Ángulos interiores de cuadriláteros
Usen los cuadriláteros que elaboraron en la sesión anterior y, en equipos, hagan lo que se
pide.
1. Midan los ángulos interiores de los cuadriláteros y completen la tabla.
Cuadrilátero
Medida de cada
ángulo interior
Suma de los ángulos
interiores
90°
R. L.
R. L.
R. L.
360°
360°
360°
360°
hi ©
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ci
ón
Cuadrado
Trapecio
Rombo
Romboide
Suma de dos
ángulos interiores
consecutivos.
180°
180°
180°
180°
a) ¿La relación que hay entre la suma de las medidas de los ángulos interiores de
un triángulo y de un cuadrilátero se aplica a cualquier tipo de cuadrilátero?
Sí, en cualquier tipo de cuadrilátero la suma de sus ángulos interiores es del
doble que la suma de los ángulos interiores de un triángulo.
2. Determinen la medida de los ángulos interiores de los siguientes cuadriláteros.
Marquen los ángulos en cada cuadrilátero y mídanlos.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
a) Si se traza una diagonal en cada cuadrilátero, ¿cómo son los triángulos? ¿Cuál
es la suma de sus ángulos interiores? Son triángulos escalenos y sus ángulos
interiores suman 180°.
b) Con base en sus respuestas, ¿a qué conclusión llegan? En un cuadrilátero, la
suma de los ángulos interiores es igual a 360°
• Socialicen sus conjeturas. Para validar sus conclusiones, analicen la siguiente
información:
P
ro
Ángulos interiores de un cuadrilátero
La suma de las medidas de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero siempre
será 360°, ya que al trazar una de las diagonales se obtienen dos triángulos. Además:
1. Si el cuadrilátero es regular, los triángulos serán iguales y la media de los ángulos
interiores de cada uno será de 180°.
2. Si el cuadrilátero es irregular, los triángulos no necesariamente serán iguales,
pero la suma de los ángulos interiores de cada uno será de 180°.
• En grupo, verifiquen que sus trazos cumplan con lo anterior. Comenten sus dudas con
su profesor.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
93
Resuelvan en parejas.
1. Obtengan la medida de los ángulos interiores de las figuras.
a)
B
C
ⱔA 5 40°
A
c)
ⱔB 5 50°
ⱔA 5 60°
A
B
G
C
ⱔC 5 132°
ⱔC 5 91°
ⱔD 5 115°
ⱔE 5 63°
E
b)
ⱔD 5 120°
ⱔE 5 60°
hi ©
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D
ⱔB 5 89°
G
F
D
ⱔF 5 50°
E
F
ⱔF 5 60°
ⱔG 5 90°
ⱔG 5 60°
d)
45°
g
d
a
e
82°
ⱔg 5 135°
ⱔd 5 98°
b
c
130°
85°
ⱔe 5 82°
ⱔa 5 85°
ⱔb 5 45°
ⱔc 5 50°
2. Obtengan la medida de los ángulos marcados en la figura.
a) ⱔA 5
53°
ya que es alterno interno al
ángulo de 53°
b) ⱔB 5 100°
ya que es suplementario al
ángulo de 80°
c) ⱔC 5
76°
.
D
E
80°
C
ya que es igual a 180° 2 ⱔA 2
P
ro
e) ⱔE 5
53°
ya que es suplementario al
d) ⱔD 5
ⱔB 5 180° 2 53° 2 100° 5 27°
24°
B
.
ángulo de 104°
27°
A
.
.
ya que es igual a 180° 2 ⱔC 2
80° 5 180° 2 76° 2 80° 5 24°
104°
Entra a:
www.esant.mx/
ecsema1-019
donde encontrarás
información adicional
de la suma de los
ángulos interiores de
cuadriláteros.
.
• Verifiquen que sus respuestas sean correctas. Si tienen dudas, coméntenlas para solucionarlas. Escriban una síntesis que justifique la suma de los ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros. Consideren los casos estudiados.
Exploras empíricamente la relación entre los ángulos interiores
de cuadriláteros.
94
Secuencia
didáctica 12
Sesión 1
Lectura de gráficas circulares
En parejas, lean la información, analicen las gráficas y respondan.
1. Manuela consultó la página electrónica de la embajada de Japón en México y encontró gráficas circulares, también llamadas de 360°, con información para estudiar
en ese país. Analícenlas y contesten. Fuente: www.mx.emb-japan.go.jp/itpr_es/00_000106.
html (consulta: 21 de noviembre de 2017)
Gráfica 2. Becas otorgadas por
prefectura de 2005 a 2016.
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Gráfica 1. Becas otorgadas por Monbukagaksuho
a becarios mexicanos de 2005 a 2016 a través
de la Embajada de Japón, por programa.
Posgrado, 142, (62%)
Licenciatura, 3, (1%)
Maestros en servicio,55, (24%)
Perfeccionamiento del
idioma japonés, 24, (11%)
Perfeccionamiento del idioma
japonés jóvenes Nikkel, 4, (2%)
Otras, 77, (33.77%)
Tokio, 60, (26.32%)
Kyoto, 35, (15.35%)
Osaka, 16, (7.02%)
Osak Myagi, 14, (6.14%)
Aichi, 13, (5.70%)
Ibaraki, 13, (5.70%)
a) ¿Por qué a las gráficas 1 y 2 se les llama gráficas “circulares o de 360°”?
Porque la figura que representa los datos es un círculo completo.
Visita las páginas
electrónicas:
www.esant.mx/
ecsema1-020 y
www.esant.mx/
ecsema1-021 para
saber más acerca de
las gráficas circulares.
b) Describan los elementos de las gráficas 1 y 2. Tienen un título, un círculo
dividido en partes con distintos colores y cada parte contiene información.
c) ¿Qué gráfica le informa la cantidad de becas que se otorgan para el nivel licenciatura? Expliquen. La gráfica 1, lo cual se observa en el título y en uno de los
sectores de la gráfica.
d) ¿Cómo es el porcentaje de becarios de posgrado respecto del porcentaje de
P
ro
becarios de licenciatura? ¿Cómo pueden interpretarlo? Es mayor el porcentaje
de becarios de posgrados. R. L.
e) Comparen el porcentaje de becas otorgadas por prefectura (ciudades). ¿Cómo
f)
los interpretan? Expliquen. El porcentaje de becas dado por otras prefecturas es
el mayor; las ciudades de Aichi e Ibaraki tienen el menor porcentaje.
Manuela afirma que de 2005 a 2016, 11% de los becarios mexicanos viajaron a
Japón para perfeccionar su idioma. ¿Están de acuerdo con Manuela? ¿Por qué?
Sí, en la gráfica 1 se observa esta información.
• Compartan con otros compañeros sus respuestas y argumentos. Comenten dónde han
visto gráficas circulares, qué temas comunican, cómo los comunican y cuáles son sus
características.
Eje: Análisis de datos
Tema: Estadística
95
En equipo, analicen las gráficas y respondan.
1. En las gráficas se muestra el destino de perros y gatos en situación de abandono,
después de su permanencia en un refugio.
Gráfica 3. Destino de los perros que llegan
a un refugio o protectora de animales.
Gráfica 4. Destino de los gatos que llegan
46.9% Adoptados
19.9% Devueltos
11.8% Otros destinos
15.1% Permanecen en el refugio
6.3% Eutanasiados
36.9% Adoptados
4.2% Otros destinos
23.3% Otros destinos
13.2% Permanecen en el refugio
22.4% Eutanasiados
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ón
a un refugio o protectora de animales.
Fuente: blogs.20minutos.es/animalesenadopcion/2015/07/14/de-los-140-000-animales-recogidos-por-protectoras-en-2014solo-el-44-fueron-adoptados/ (consulta: 23 de febrero de 2018)
a) De acuerdo con los porcentajes presentados en las gráficas, completen la tabla.
Justifiquen su elección.
Afirmación
La adopción es el destino con mayor porcentaje de perros y gatos que llegan a un refugio.
Permanece menor porcentaje de perros que
de gatos en un refugio.
22.4% de los gatos que llegan al refugio son
destinados a la eutanasia porque son hembras.
El destino de 6.3% de los perros que llegan a
un refugio es la eutanasia.
Verdadera o falsa
Argumentos
Verdadera
En las gráficas es el sector con
mayor área.
Falsa
El porcentaje de perros es
mayor.
Falsa
No se sabe si son hembras.
En la gráfica 1 se observa el dato.
Verdadera
b) ¿Por qué piensan que en la gráfica 4 se repite el rubro “Otros destinos”? R. L.
c) ¿Qué elementos debe tener una gráfica de 360° para comunicar de manera
clara la información que representa? El título de la gráfica, los sectores de
colores que representan el porcentaje de cada dato y la leyenda de la gráfica.
• Comparen sus respuestas y la veracidad de sus afirmaciones.
Becas otorgadas por área
P
ro
de estudios por el gobierno
mexicano de 2005 a 2016
en Japón.
3%
1. En la gráfica se muestra el porcentaje de becas otorgadas por
área de estudios por el gobierno mexicano de 2005 a 2016
en Japón. Analízala y contesta. Fuente: www.mx.emb-japan.go.jp/
files/000216522.pdf (consulta: 23 de febrero de 2018)
a) ¿En qué área de estudios hay más apoyo con becas?
¿En cuál hay menos? En Ingeniería está la mayor
demanda y en Salud, la menor.
7%
8%
34%
9%
14%
25%
Ingeniería
Educación
Humanidades
C. Sociales
Ciencias
Arte
Salud
Lees gráficas circulares.
96
Secuencia didáctica 12
Sesión 2
Lo que nos dicen las gráficas
Formen equipos y hagan lo que se pide.
1. Lean la información, analicen las gráficas y contesten.
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En las gráficas se muestran los porcentajes con respecto al tipo de afiliación a sistemas de protección social de salud en los que se distribuyó la población mexicana
entre 2006 y 2012, de acuerdo con los resultados de la Encuesta Nacional de Salud
y Nutrición 2012 (Ensanut). Fuente: ensanut.insp.mx/ (consulta: 21 de noviembre de 2017)
Tipo de afiliación a sistemas de
protección social, 2012
4%
2% 1%
36%
30%
NS
0%
Sedena/
Semar
0%
1%
1%
25%
Seguro popular
Privado
Otro
Sin afiliación
IMSS
ISSSTE
ISSSTE Estatal
Pémex
Tipo de afiliación a sistemas de
protección social, 2006
1%
48%
Sedena/Semar
0%
Privado 0%
5%
14%
3%
Sin
afiliación
0%
1%
28%
Seguro popular
Otro
NS
IMSS
ISSSTE
ISSSTE Estatal
Pémex
a) ¿En que año hubo mayor porcentaje de afiliados al Seguro Popular? En el año
2012.
b) ¿En qué año hubo más personas afiliadas a sistemas de protección social estatales? ¿Por qué? En el año 2006, la información se muestra en las gráficas.
c) De acuerdo con las gráficas, ¿qué tipo de afiliación fue la menos usada por las
personas? Sedena/Semar y privado
d) ¿Qué significado pueden darle al rubro “Sin afiliación”? Expliquen. R. M.
Porcentaje de personas que no cuentan con un sistema de protección social
de salud.
e) ¿Se puede afirmar que en 2012 hubo una mayor afiliación a sistemas de protec-
P
ro
ción social de salud que en 2006? Expliquen. R. M. Depende de la cantidad de
personas totales con la que se realizó el estudio.
f)
Analicen las gráficas anteriores y describan las características de las gráficas
360°: Las gráficas 360º, son gráficas circulares que representan los datos que
se estudian o analizan en sectores de colores distintos.
g) ¿Para quiénes puede ser de utilidad esta información? ¿Por qué? R. L.
• Socialicen sus respuestas y argumentos. En grupo comenten las características que
deben tener las gráficas de 360° para comunicar adecuadamente la información que
representan.
Eje: Análisis de datos
Tema: Estadística
97
2. En grupo, analicen la siguiente información.
Gráficas de 360° o circulares
Las gráficas de 360° o circulares se usan para representar datos cualitativos que, al
clasificarse, se conocen como categorías. Cada región sombreada, llamada también
sector circular, se usa para mostrar la proporción que corresponde a cada categoría.
hi ©
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En una gráfica circular, las categorías no se ordenan, pues lo relevante es mostrar el
porcentaje o proporción que representan para compararlo e interpretarlo.
Reúnete con un compañero para trabajar las actividades.
1. Analicen las gráficas y contesten lo que se solicita.
Gráfica A. ¿Piensas que el consumo
La grafica A muestra los resultados de una encuesta
realizada por una asociación a 550 alumnos de primero
de secundaria sobre el consumo de comida chatarra y sus
efectos en su salud.
continuo de comida chatarra puede
tener serios efectos en tu salud?
4%
7%
a) ¿Cuál es la tendencia en cuanto a los efectos en la
salud por el consumo de comida chatarra? Que tiene
efectos muy serios.
52%
13%
37%
Efectos muy serios
Efectos serios
Efectos medianos
Casi ningún efecto
b) ¿Se puede afirmar que la minoría (es decir, 7% de los
encuestados) percibe que el consumo de la comida
chatarra no tiene “casi ningún efecto” en la salud? Expliquen. El dato es
correcto, pero no corresponde a la minoría, la cual es de 4% que menciona
efectos medianos.
2. En la gráfica B se muestran los resultados de un estudio
realizado en la escuela de Isabel, sobre algunas de las razones por las cuales los estudiantes se sienten discriminadas.
Gráfica B. Razones por las que se
sienten discriminados
3%
7%
a) ¿Cuál es la razón más frecuente por la que los en-
P
ro
cuestados se sienten discriminados? Por rasgos
24%
44%
indígenas
Por rasgos indígenas
Por vestimenta
Por ser mujer
No sabe
Por tener tatuajes
¿Y la menos frecuente? No sabe
22%
b) ¿Qué porcentaje de mujeres se siente discriminada
por el simple hecho de ser mujer? 24% de las mujeres
• Socialicen sus respuestas y argumentos. Comenten en grupo acerca de la diversidad de
temas que se pueden comunicar en las gráficas 360°.
Recolectas, registras e interpretas datos.
¿Cómo lo hicimos?
98
1. Marca la casilla que describe mejor tu desempeño. R. L.
Excelente
Convierto cualquier tipo
de fracción en notación
decimal y viceversa.
Además, ordeno y comparo números fraccionarios y decimales.
Resuelvo problemas que
requieran multiplicar números fraccionarios y decimales y dividir números
decimales.
Solamente puedo resolver Resuelvo problemas donproblemas en los que se de debo multiplicar y divideben resolver multiplica- dir números decimales.
ciones de decimales.
Resuelvo problemas
en los que debo
multiplicar fracciones
y decimales, así como
problemas de división
de números decimales.
Calculo valores faltantes,
con k natural, fraccionario
o decimal en problemas de proporcionalidad
directa.
Solamente resuelvo problemas de proporcionalidad directa cuando la
constante es un número
natural.
Resuelvo problemas de
proporcionalidad directa
cuando la constante es un
número natural o decimal.
Resuelvo problemas de
proporcionalidad directa
cuando la constante es un
número natural, fraccionario o decimal.
Determino y uso las relaciones que existen entre los ángulos formados
por dos rectas paralelas
cortadas por una transversal en la resolución de
problemas.
Exploro empíricamente
la suma de los ángulos
interiores de triángulos y
cuadriláteros.
Se me dificulta resolver
problemas en los que se
debe conocer la suma de
los ángulos interiores de
triángulos y cuadriláteros;
así como en los que se
usan las relaciones que
hay entre los ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una
transversal.
Resuelvo algunos problemas en los que se debe
conocer la suma de los
ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros; así
como en los que se usan
las relaciones que hay
entre los ángulos formados por un par de rectas
paralelas cortadas por una
transversal.
Resuelvo problemas en
los que se debe conocer la
suma de los ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros; así como en
los que se usan las relaciones que hay entre los
ángulos formados por dos
rectas paralelas cortadas
por una transversal.
Tengo dificultades para
entender la información
contenida en gráficas
circulares.
Identifico la información
contenida en gráficas
circulares.
Identifico la información
contenida en gráficas circulares. Además, construyo ese tipo de gráficas.
P
ro
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Aprendizajes Esperados
En proceso
Satisfactorio
Convierto fracciones deci- Solamente puedo conver- Convierto cualquier tipo
males y sus equivalentes tir algunas fracciones a su de fracción a su notación
a notación decimal y vice- notación decimal.
decimal y viceversa.
versa. Aproximo fracciones no decimales usando
la notación decimal y viceversa. Ordeno números
fraccionarios y decimales.
Leo datos en gráficas
circulares.
• Reflexiona sobre tus resultados y, con tu profesor, busca estrategias para fortalecer tus áreas de oportunidad.
99
¡Vamos a reflexionar sobre las actitudes y los valores que desarrollaste en este trimestre!
2. Pide a un compañero que coloree la franja que representa mejor el nivel donde te ubicas. R. L.
iones de todos los com
las opin
pañe
peta
ros.
s
e
R
Ac
ep
ta
casi siempre
c
nun
ca
re
mp
e
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nunca
a veces
casi siempre
o
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siempre
P
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Ide
r
ntifi
ca lo
iona
s dato
oluc
s relevantes que permiten s
un p
d.
roble
iculta
ma y a
poya a quienes tienen dif
3. Lee y responde de manera individual. R. L.
•
¿Qué es lo que más te gustó de este trimestre?
•
¿Qué es lo que menos te gustó de este trimestre?
•
¿Qué podrías mejorar en el próximo trimestre?
sie
mp
re
cas
i sie
m
pr
e
nun
ca
a
v
e
ce
s
n
ru
ve
sol
e re
o.
ra d
ad
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Planific
cut
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o
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sc
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Bu
u
s
102
Secuencia
didáctica 14
112
Secuencia
didáctica 15
118
Uso de la tecnología
120
Secuencia
didáctica 16
126
Secuencia
didáctica 17
132
Secuencia
didáctica 18
136
Secuencia
didáctica 19
140
Secuencia
didáctica 20
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Trimestre
dos
P
ro
Secuencia
didáctica 13
108
100
144
Secuencia
didáctica 21
150
Secuencia
didáctica 22
156
Uso de la tecnología
158
Secuencia
didáctica 23
164
Secuencia
didáctica 24
170
Secuencia
didáctica 25
176
Secuencia
didáctica 26
182
Secuencia
didáctica 27
186
¿Cómo lo hicimos?
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Números positivos y
negativos, jerarquía de
operaciones, ecuaciones
lineales…
En este trimestre profundizarás en el estudio de los números con signo al resolver problemas con sumas y restas de números enteros
con fraccionarios y decimales positivos y negativos. También aplicarás la jerarquía de las operaciones y usarás paréntesis para efectuar
cálculos con números naturales, fraccionarios y decimales.
Por otro lado, aprenderás a resolver problemas que implican calcular el porcentaje de una cantidad con respecto a otra y estudiarás
tus primeras lecciones sobre álgebra. También empezarás a trabajar
con ecuaciones lineales al analizar y representar situaciones problemáticas para su resolución algebraica. Más adelante, aplicarás las
propiedades de la igualdad y, al final de este periodo, serás experto
en resolver ecuaciones lineales con números enteros, fraccionarios
o decimales.
Gracias al álgebra, avanzarás en el estudio de la geometría al desarrollar las fórmulas o expresiones algebraicas equivalentes
para el área de rombos, romboides, trapecios y para
el perímetro.
Por último, estudiarás la probabilidad al realizar experimentos aleatorios y registrar los
resultados en tablas de frecuencias.
P
ro
Te deseamos éxito en este segundo
periodo.
101
Secuencia
didáctica 13
Sesión 1
102
Sumas con números con igual signo
Trabajen en parejas los siguientes planteamientos.
1. Una fábrica realiza una prueba de control para congeladores industriales. En la
tabla se ha registrado la temperatura de un congelador en diferentes minutos. La
temperatura inicial del congelador es de 225 °C. Analicen los datos de la tabla y
contesten.
1
Variación de la
temperatura (°C)
15
2
3
4
5
6
7
8
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Tiempo (min)
210
125
15
115
25
210
215
a) ¿Cuál es la temperatura del congelador en el minuto 4? Justifiquen su respuesta.
La temperatura es 0 °C porque 225 1 5 210 1 25 1 5 5 0.
2. Clara empleó la recta numérica para representar la variación de la temperatura y obtener la respuesta. Usó flechas para mostrar la variación en cada minuto.
Analicen lo realizado por Clara en el minuto 2, concluyan el procedimiento en el minuto 4 y respondan.
15
•
235
230
225
220
215
210
0
25
5
10
15
20
25
30
35
210
a) ¿Cuál es la temperatura en el minuto 4? 0 °C.
b) Con apoyo de la recta numérica, determinen la temperatura del congelador en el
minuto 8. Escriban el resultado. 215 °C.
3. En la recta numérica se representó la temperatura del congelador en dos momentos. Consideren como unidad la distancia entre un número y otro.
•
•
P
ro
216215214213212211 2102928 2726 25 24 2322 21 0
Momento 1
1
2 3
4
5 6
7
8 9 10 11 12 13 14 15 16
Momento 2
a) ¿Cuántas unidades hay del –15 al 0? ¿Y del 0 al 15? Hay 15 unidades en ambos
casos.
b) ¿Qué número positivo está a la misma distancia que de 0 a –10? El número 110
c) ¿Qué número positivo está a la misma distancia que de 0 a –5? El número 15
d) ¿Cómo resolverían las situaciones anteriores planteando operaciones y sin apo-
yo de la recta numérica? R. M. Con sumas y restas de números con signo,
como 225 1 5 210 1 25 1 5 5 0 para conocer la temperatura del
congelador en el minuto 4.
• Socialicen sus respuestas. Comenten las dificultades que tuvieron para resolver las
actividades.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Adición y sustracción
103
Operaciones con números enteros
En parejas lean el siguiente texto y luego respondan.
Valor absoluto y números simétricos
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
La distancia de un número al cero es la longitud del segmento que va del cero al número. A esta longitud o distancia, es decir, las unidades del cero a cualquier punto, se le
llama valor absoluto y se representa con dos barras paralelas: | |.
Dos números con signo opuesto y con el mismo valor absoluto son simétricos ya que
su suma es cero: a 1 (2a) 5 0.
1. Marquen el número entero con mayor valor absoluto.
13
2405
2123
2607
15
21
iii. (67) 1 (267) 5
0
2. Realicen las sumas. Consideren su valor absoluto.
i. (7) 1 (27) 5
0
ii. (9) 1 (29) 5
0
Cero
a) ¿Cuál es el resultado en cada caso?
La suma de un número y su simétrico es cero.
• Socialicen sus conclusiones.
¿Qué pueden concluir?
Trabajen en equipo las siguientes actividades y contesten.
3. Un buzo realizó los siguientes descensos desde la superficie:
Descenso 1: –25 msnm
Descenso 2: –15 msnm
Descenso 3: –25 msnm
a) ¿A qué distancia se encuentra el buzo en el momento 3? Escriban la operación
con números enteros y resuélvanla. Se encuentra a 265 msnm,
pues 225 2 15 2 25 5 265
4. Martín y Lucas plantearon la operación 0 1 (225) 1 (215) 1 (225) para resolver
la actividad 3 y se apoyaron en la recta numérica para obtener el resultado.
•
•
•
P
ro
270 265 260 255 250 245 240 235 230 225 220 215 210
265 5
225
1
Visita el sitio:
www.esant.mx/
ecsema1-022
donde trabajarás el
concepto de valor
absoluto de un
número entero y su
uso en la suma y
resta.
215
1
25
0
5
225
“Representamos cada sumando y, como los tres tienen signo negativo, los ubicamos a la izquierda del cero. El resultado es 265”.
msnm. metros sobre
el nivel del mar
a) ¿Cuál es el signo de los sumandos? ¿Qué signo tiene el resultado? Tanto los
sumandos como el resultado tienen signo negativo.
b) Si en otra suma los sumandos tuvieran signo positivo, ¿qué signo correspondería al resultado? Expliquen. El resultado tendría signo positivo porque los
sumandos son positivos.
c) ¿Qué generalización pueden obtener al sumar números con el mismo signo?
R. M. El resultado tendrá el mismo signo que los sumandos.
Analizas situaciones para construir el significado de valor absoluto y de números simétricos.
Resuelves problemas de suma de números enteros con apoyo de la recta numérica.
104
Secuencia didáctica 13
Sesión 2
Otro tipo de sumas
En grupo discutan la siguiente información y compárenla con sus conclusiones de la sesión anterior. Si es necesario hagan ajustes.
Suma de números positivos y negativos
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Si todos los sumandos de una suma tienen signo positivo, el resultado será un número
con signo positivo. Cuando los sumandos tienen signo negativo, el resultado será un
número con signo negativo. Cuando se realizan operaciones con números con signo,
no es necesario usar el signo 1 para los números positivos. En el caso de los números
negativos, es necesario usar un paréntesis (2) para no confundir el signo menos con el
signo de la operación de sustracción.
a) Escriban la operación para calcular la temperatura del congelador en el minuto
8 de la actividad inicial. (225) 1 (15) 1 (210) 1 (125) 1 (15) 1 (115) 1 (25)
1 (210) 1 (215) 5 215
• Socialicen sus respuestas y, si tienen dificultades, extérnenlas al resto de la clase.
Reúnanse en parejas y realicen lo que se pide.
1. En la recta numérica que se muestra, se resolvió la suma (210) 1 (14) 5 26. Se ubicó el primer sumando (210) y desde ese punto, se ubicó el segundo sumando hacia la
derecha, ya que tiene signo positivo y, así obtener el resultado de la operación.
(210) 1 (14) 5 26
•
211
•
210
29
28
27
26
25
24
23
22
21
0
1
2
a) Apliquen el procedimiento anterior en cada recta para resolver las sumas.
i.
(7) 1 (214) 5 27
0
27
7
ii. (28) 1 (3) 1 (213) 5 218
218
28
25
P
ro
iii. (25) 1 (8) 1 (234) 1 (281) 1 (267) 5 2179
2179
2112
231
25
3
b) ¿Qué relación identifican entre el signo de los sumandos y el del resultado?
Expliquen. Los sumandos tienen signos positivos y negativos, mientras que el
resultado es negativo en todos los casos.
c) ¿La recta numérica es un recurso eficiente para realizar sumas con más de 5
sumandos y números de mayor orden de magnitud? ¿Por qué? R. M. No, la
recta no es un recurso eficiente porque no es práctico representar demasiados
sumandos, sobre todo si son de mayor orden de magnitud.
• Comparen sus resultados con otras parejas para verificar que sean correctos.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Adición y sustracción
105
Procedimiento para sumar números enteros
Para sumar números enteros cuando los sumandos tienen signos contrarios, se aplica
el siguiente procedimiento. Por ejemplo, para sumar (2900) 1 (399) 5
hi ©
bi SA
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T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
1. Se obtienen los valores absolutos de los sumandos.
|2900|5 900 y |1399|5399
2. Se restan los valores absolutos de los sumandos: 900 2 399 5 501
3. Se escribe el resultado con el signo del sumando con mayor valor absoluto: 2501
Al sumar números enteros se puede emplear la propiedad conmutativa, donde el resultado de una suma es el mismo, independientemente del orden de los sumandos: si a, b
y c son números enteros, entonces a 1 b 1 c 5 c 1 b 1 a.
• Verifiquen que no haya dudas en el dominio de la técnica empleada.
2. Resuelvan las siguientes sumas.
a) (277) 1 (21) 1 (212) 1 (234) 5 2102
e) (2234) 1 (201) 1 (280) 5 2113
b) (2107) 1 (789) 1 (2182) 1 (2477) 5 23
c) (217) 1 (49) 1 (212) 1 (24) 1 (265) 5 249
f)
d) (240) 1 (290) 1 (210) 1 (200) 5 60
h) (233) 1 (231) 1 (223) 5 287
(280) 1 (201) 1 (2234) 5 2113
g) (299) 1 (234) 1 (2100) 5 2233
3. Completen los cuadrados numéricos empleando números enteros. R. M.
a) La suma horizontal y vertical es 100.
b) La suma horizontal y vertical es 150.
35 235 100
90
100 35 235
70
235 2100 35
210 60 100
0
60
90 210
P
ro
• Verifiquen que sus cálculos sean correctos. Si hay dudas o dificultades coméntenlas
para que las aclaren entre todos.
Trabaja de manera individual.
1. Resuelve las siguientes operaciones.
a) (245) 1 (212) 1 (217) 5 274
b) (240) 1 (262) 1 (214) 5 2116
c) (223) 1 (256) 5 279
d) (2200) 1 (2120) 1 (210) 5 2330
• Socializa tus respuestas y verifica que sean correctas.
Resuelves problemas de suma de números enteros con más de
dos sumandos.
106
Secuencia didáctica 13
Sesión 3
Problemas aditivos
Realiza con un compañero las siguientes actividades.
1. Rubén y Dalia juegan a sumar números enteros escritos en tarjetas. Estas son sus
operaciones:
Rubén: 210 5 (228) 1 (18)
Dalia: 32 5
(24) 1 36
a) ¿Cuál sumando falta en la operación de Rubén, es decir, qué número sumado a
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
18 da como resultado 210? 228
b) ¿Cuál es el sumando que falta en la operación de Dalia? 24
c) En operaciones como la de Rubén y Dalia, ¿cualquier sumando desconocido se
puede calcular mediante la sustracción? Expliquen. Sí, pues la suma y la resta
son operaciones inversas, entonces basta con hacer una resta para conocer el
sumando desconocido.
d) En caso afirmativo, planteen la sustracción con la que se calcula el sumando
desconocido para la operación de Rubén y Dalia. Rubén: (210) 2 (18) 5 228
Dalia: (32) 2 (36) 5 24
• Compartan sus respuestas y razonamientos con otras parejas. Si son distintos lleguen a
una conclusión y soliciten a su profesor que las valide.
Operaciones con números enteros
Cuando se conocen uno de los sumandos y la suma, el otro sumando puede calcularse
mediante una sustracción. Por ejemplo: (245) 1
5 600, el sumando desconocido se calcula con la sustracción: 600 2 (245) 5 645.
2. Completen la tabla calculando el sumando desconocido en cada caso.
Operación
Sustracción
Sumando desconocido
(232) 2 (254) 5 22
22
(232) 2 (236) 5 4
4
5 2450
(2450) 2 (210) 5 2660
2660
1 54 5 2900
(2900) 2 (54) 5 2954
2954
(280) 2 (299) 5 379
379
1 (254) 5 232
(236) 1
P
ro
210 1
(299) 1
5 232
5 280
a) Escriban las dificultades que tuvieron al completar la tabla. R. L.
b) Para completar la tabla, transformaron sumas en sustracciones. Discutan cómo
se puede transformar una sustracción en una suma. Registren sus acuerdos.
R. M. El signo del sustraendo se cambia; por ejemplo, 3 2 5 5 3 1 (25) o
2 2 (23) 5 2 1 (13).
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Adición y sustracción
107
3. Relacionen cada situación con la operación que la modela.
Operación
Situación
a) La temperatura descendió 5 grados.
Actualmente es de 15 grados. ¿Cuál
era la temperatura inicial?
b) Un robot explorador descendió 8
metros. La profundidad a la que debe
de llegar el robot es de 22 metros.
¿Cuánto le falta al robot para llegar?
c) Un pez nadó hacia la superficie 12
metros. Ahora está a una profundidad
de 22 metros. ¿A qué profundidad
estaba inicialmente?
(
) 1 (12) 5 222
)55
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
(25) 1 (
(28) 1 (
) 5 222
4. Escriban como sustracción cada suma y obtengan el sumando desconocido.
Situación
Sustracción
1
2
3
(222) 2 (12) 5 234
5 2 (25) 5 10
222 2 (28) 5 214
234
10
214
Sumando desconocido
• Compartan sus respuestas y razonamientos con otros compañeros.
En parejas, resuelvan las actividades.
Equipo
Goles a favor
Goles en contra
Diferencia de goles
A
27
16
111
B
11
19
28
C
21
16
15
D
8
14
26
E
20
18
12
F
20
21
21
P
ro
1. En la tabla se han registrado los goles a favor (números positivos) y en contra (números negativos) de varios equipos de futbol. Completen la tabla y respondan.
23
16
17
G
Visita el sitio:
www.esant.mx/
ecsema1-023
donde podrás
reafirmar lo estudiado
en la secuencia.
a) ¿Cuál es la diferencia de goles del equipo B? La diferencia es 28
b) ¿Cuál es el equipo con mayor diferencia de goles? El equipo A
c) ¿Cuál es el equipo con menor diferencia de goles? El equipo F
d) ¿Qué significa que la diferencia de goles de un equipo es negativa? Expliquen.
Significa que recibieron más goles que los que anotaron.
• Verifiquen que no haya dudas en la suma y resta de números con signo.
Formalizas la suma y resta con números positivos y negativos.
Comprendes que la suma y la resta son operaciones inversas.
108
Secuencia
didáctica 14
Sesión 1
Operaciones inversas
Realicen en parejas la siguiente actividad.
1. Escriban un número entero, el signo de operación o el número entero con el signo
de operación para completar la tabla. Analicen el ejemplo.
Ejemplo
Signo
Sumando
Signo
Resultado
(27)
(22)
(210)
(28)
1
1
(23)
(21)
5
5
5
5
5
5
5
(210)
(23)
25
(216)
(25)
0
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
A
B
C
D
E
Sumando
1
1
1
1
(220)
(212)
(28)
15
12
a) Describan el procedimiento mediante el que completaron las operaciones. R. L.
b) ¿En todos los casos plantearon la misma operación? ¿Es posible plantear res-
tas? Expliquen. R. M. También es posible plantear restas y cambiar el signo
del sumando.
• Socialicen sus operaciones con la finalidad de validarlas. Si es necesario, corrijan.
Realicen en equipos lo que se pide. Luego respondan.
1. Sara y Ulises plantearon las siguientes operaciones para el ejemplo A.
Sara: (22) 1 (21) 5 23
Ulises: (22) 2 (11) 5 23
a) Usen su calculadora para verificar el resultado. Después analicen las tablas.
Sumando
22
Sumando
1
21
5
Suma
Minuendo
23
22
Sustraendo
2
11
Diferencia
5
23
b) ¿Qué relación identifican entre los elementos de las operaciones de Sara y Uli-
P
ro
ses? Expliquen. Son los mismos números, pero las operaciones y los signos
son distintos. El resultado es el mismo.
• Socialicen sus argumentos y después analicen la siguiente información:
Relación entre suma y resta
Las operaciones de Sara y Ulises son equivalentes porque representan el mismo valor.
Por ejemplo, en la operación de Ulises, el minuendo menos el sustraendo da la diferencia,
y en la operación de Sara se obtiene el mismo resultado al sumar números enteros negativos. Por tanto, “la resta de números enteros se obtiene sumando al minuendo el simétrico del sustraendo: a 2 b 5 a 1 (2b)”. Por ejemplo, (22) 2 (11) 5 (22) 1 (21) 5 23.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Adición y sustracción
109
2. Usen la información de la página anterior para resolver las restas. Observen los
ejemplos.
(214) 2 (19) 5 (214) 1 (29) 5 –23
a) (211) 2 (11) 5 (211) 1 (21) 5 212
b) (218) 2 (27) 5 (218) 1 (7) 5 211
c) (215) 2 (14) 5 (215) 1 (24) 5 219
y
(23) 1 (26) 5 (23) 2 (16) 5 29
d) (27) 2 (111) 5 (27) 1 (211) 5 218
e) (213) 2 (19) 5 (213) 1 (29) 5 222
f) (223) 2 (25) 5 (223) 1 (15) 5 218
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
• Socialicen sus operaciones para validarlas. Si es necesario, realicen correcciones.
Resta con números enteros
Al restar con números enteros, la operación de resta se cambia por la suma del opuesto,
es decir, si a y b son números enteros, entonces, a 2 b 5 a 1 (2b).
El número que está siendo restado se llama sustraendo y está después del signo de
resta. El signo de resta se reemplaza por el signo de suma y el sustraendo se sustituye
por su simétrico.
Luego de transformar la resta en suma, se usa la regla de suma de números enteros.
Ejemplos: 6 – (211) 5 6 1 11 5 17, 25 2 (220) 5 25 1 20 5 15 y
235 2 15 5 235 1 (215) 5 250
3. Propongan otros ejemplos con la finalidad de que a todos les quede claro el procedimiento para restar números enteros. Luego resuelvan las restas.
(234) 1 4 5 230
(232) 1 8 5 224
(281) 1 6 5 275
a) (234) 2 (24) 5
c) (232) 2 (28) 5
e) (281) 2 (26) 5
b) (245) 2 (27) 5
d) (24) 2 (234) 5
f) (28) 2 (232) 5
(245) 1 7 5 238
(24) 1 34 5 30
(28) 1 32 5 24
g) ¿Cómo son los resultados de las restas de los incisos a y d? ¿Y de c y f? En
ambos casos, respectivamente, los resultados son el mismo número, pero con
signo diferente.
4. En grupo, discutan la siguiente regla:
En la resta de números enteros no se cumple la propiedad conmutativa: a 2 b ° b 2 a.
P
ro
• Socialicen sus respuestas y verifiquen que sean correctas; si tienen dudas, coméntenlas con otros compañeros para resolverlas.
El simbolo ° significa
que es distinto.
Trabaja de manera individual.
1. Resuelve las restas. Con un compañero, verifiquen que sean correctas.
a) (289) 2 (212) 5 277 c) (2312) 2 (280) 52232e) (2101) 2 (216) 5 285
b) (267) 2 (217) 5 250 d) (247) 2 (234) 5 213 f) (2467) 2 (2201) 5 2266
Vinculas la resta de números enteros con la suma.
110
Secuencia didáctica 14
Sesión 2
Resolución de problemas aditivos
Resuelvan en equipos.
1. En un juego de mesa, Lucas perdió en tres rondas seguidas. En la primera ronda
perdió 348 puntos; en la segunda 456, y en la tercera 219. Modelen las pérdidas
con números negativos y contesten.
Escucha
respetuosamente
a tus compañeros
cuando expongan
sus razonamientos.
Si son diferentes
de los tuyos, no
los descalifiques,
recuerda que no hay
un camino único para
resolver problemas.
La diversidad de
opiniones enriquece
tu aprendizaje.
a) ¿Cuántos puntos perdió Lucas en las tres rondas? Perdió 21 023 puntos.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
b) En la cuarta y la quinta rondas, Lucas ganó 1 200 puntos y perdió 309 respectivamente. ¿Cuántos puntos tiene en total? Tiene 2132 puntos.
c) Al finalizar el juego, Lucas se quedó con 1 000 puntos. ¿Cuántos puntos ganó o
perdió en la sexta ronda? Ganó 1 132 puntos.
2. Analicen la siguiente información:
“La suma de dos números: a 1 b es 3 456 donde a 5 21 506”.
a) ¿Cuánto vale b? Seleccionen la opción con la que se calcula el valor de b.
•
•
•
literal (b). Al dato no
conocido se conoce
como incógnita
y se representa
con un símbolo,
generalmente una
letra al que se le
conoce como literal.
a 1 b 5 3 456, b 5 3 456 – (1 506), b 5 1 950
a 1 b 5 3 456, b 5 23 456 1 (1 506), b 5 21 950
a 1 b 5 3 456, b 5 3 456 2 (21 506), b 5 4 962
b) La suma de dos números, a 1 b, es 9 450 y a 5 22 250. ¿Cuál es el valor de
b? Escriban la operación con la que se calcula el valor. El valor de b es 11 700
porque 9450 2 (22250) 5 11700
c) La suma de dos números, a 1 b, es 1 700 y a 5 22 890. ¿Cuál es el valor de
b? Escriban la operación con la que se calcula el valor. El valor de b es 4 590
porque 1700 2 (22890) 5 4590
• Compartan sus respuestas y razonamientos con otros compañeros y su maestro. Si tienen diferentes respuestas, lleguen a una conclusión y valídenlas con su profesor.
Trabajen en equipos las siguientes actividades.
P
ro
1. Julián dice que en la siguiente suma (222) 1 (2304) 1 (36), el resultado es 2362.
a) ¿Su resultado es correcto? Expliquen. No, el resultado es incorrecto. El
resultado correcto es 2290.
b) ¿Qué razonamiento piensan que siguió Julián para llegar a ese resultado? Expliquen. R. M. Julio confundió (36) con (236): (222) 1 (2304) 1 (236) 5
2362.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Adición y sustracción
111
2. Completen los cuadrados numéricos. La única condición es que la resta horizontal
sea la indicada en cada caso.
a) La resta horizontal es 2300. R. M.
2140
2150
2140
50
2400
250
20
b) La resta horizontal es 2250. R. M.
0
2200
420
100
170
250
250
2100
250
2100
700
hi ©
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bu
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ón
3. Resuelvan los desafíos numéricos. Escriban la operación.
Visita:
www.esant.mx/
ecsema1-024
para practicar restas
con números enteros.
a) La suma de tres números a 1 b 1 c es 23 200 y a 5 2200. ¿Cuáles son los
otros números? R. M. (2200) 1 (2400) 1 (22600) 5 (23200)
b) La resta de tres números a 2 b 2 c es 21 400 y b 5 100. ¿Cuáles son los otros
números? R. M. (2300) 2 (1100) 2 (11000) 5 (21400)
c) La suma de tres números a 1 b 1 c es 29 000 y a 5 22 500. ¿Cuáles son
los otros números? R. M. (22500) 1 (22500) 1 (24000) 5 (29000)
d) La resta de tres números a 2 b 2 c es 22 200 y b 5 200. ¿Cuáles son los
otros números? R. M. (21000) 2 (1200) 2 (11000) 5 (22200)
4. Escriban los números negativos que cumplan con la condición planteada en la tabla.
Analicen el ejemplo.
Suma o resta
Ejemplo
(1a) 1 (2b) 1 (2c) 5 210
(1250) 1 (220) 1 (220) 5 210
(2a) – (1b) 2 (1b) 5 2500
(2300) 2 (1100) 2 (1100) 5 2500
(2a) 1 (2b) 1 (2c) 5 2100
(250) 1 (210) 1 (240) 5 2100
(2a) 2 (1b) 2 (2c) 5 2400
(2400) 2 (150) 2 (250) 5 2400
a) ¿Qué hicieron para obtener los tres sumandos o números con signo para obtener el total dado? Expliquen. R. M. Proponer valores para a y b, y calcular el
valor de c.
P
ro
b) ¿En qué casos fue más fácil obtener los números con signo para obtener el
total? R. L.
c) ¿En qué operación se puede considerar la suma o resta del cero? Expliquen su
postura. En todas las operaciones se puede considerar la suma o resta del cero
porque no afecta el resultado final.
d) Ana propuso: (11 267) 1 (21 267) 1 (2500) 5 2500. ¿Qué piensan de su
operación? Expliquen. Es correcta, pues 1 267 y 21 267 suman cero.
• Verifiquen que sus cálculos sean correctos. Si tienen dudas o dificultades, coméntenlas
para que sean aclaradas entre todos.
Resuelves problemas de resta de números enteros.
112
Secuencia
didáctica 15
Sesión 1
Sumas de números decimales positivos
y negativos
Reúnanse en equipos, analicen las reglas del juego y repondan.
1. Para jugar “Conejos de números positivos y negativos” necesitarán un dado, una
ficha que los represente en el tablero y su cuaderno para anotar los puntos totales
que tienen después de cada lanzamiento.
Cuando participes
en juegos, es muy
importante que
comprendas las
reglas. Conocer
la intención del
juego te permitirá
diseñar estrategias
para obtener el
resultado deseado.
Luego de jugar, sin
importar si ganaste o
perdiste, analiza tus
estrategias y las de
tus compañeros. Esto
te permitirá ampliar tu
repertorio de acción.
hi ©
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T
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st N
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bu
ci
ón
Reglas del juego:
• Participan mínimo dos jugadores. Cada jugador lanza el dado y avanza el número de casillas que indica la cara.
• Cada jugador inicia con 2 puntos. Si el número que cae es par, el jugador obtiene
10.40 puntos y si es impar, el jugador obtiene 20.60 puntos.
• El juego termina cuando un jugador llega a la meta. Gana quien tenga el mayor
puntaje en ese momento.
Salida
a) ¿Quién fue el ganador y cuál es su puntaje? R. L.
b) ¿Cuál fue el menor puntaje obtenido? R. L.
c) Describan el procedimiento empleado para obtener el puntaje de cada jugador.
R. M. Cada jugador comienza con 2 puntos. Luego se suman o restan uno a uno
los puntajes obtenidos.
• Escriban las dificultades que tuvieron para realizar el juego y coméntelas en clase.
Resuelvan en parejas.
1. Analicen la tabla que muestra los puntos obtenidos de tres jugadores.
Puntos por tirada
Jugador
1
2
3
4
5
6
7
8
10.40
20.60
20.60
20.60
20.60
20.60
20.60
10.40
20.60
10.40
20.60
20.60
20.60
10.40
20.60
10.40
20.60
10.40
20.60
10.40
10.40
10.40
20.60
20.60
P
ro
A
B
C
Puntos
Iniciales
2
2
2
a) Al terminar la segunda tirada, ¿cuál era el puntaje total de cada jugador? ¿Quién
iba ganado? A 5 1.2; B 5 0.2; C 5 20.8. El jugador A iba ganando.
b) ¿Quién iba ganando al finalizar la quinta tirada? Los jugadores A y B, pues
tenían la misma cantidad de puntos.
c) ¿Quién ganó? Expliquen. El jugador A porque obtuvo la mayor puntación al final
del juego.
d) ¿Cómo determinaron al ganador? Se determina al sumar los puntos obtenidos
por cada tiro.
• Escriban las operaciones de las respuestas anteriores y comparen sus resultados.
Eje: Número, ágebra y variación
Tema: Adición y sustracción
113
2. Analicen las tiradas del jugador C y contesten.
a) Completen la operación que permite conocer el puntaje total del jugador C.
(12) 1 (–0.60) 1 (20.60) 1 (20.60) 1 (20.60) 1 (20.60) 1 5 20.80
(10.40) 1 (10.40) 1 (20.60)
b) ¿Es necesario ordenar los números decimales según su signo para sumarlos?
No, no es necesario, pues se pueden sumar o restar uno por uno.
c) ¿Qué signo tiene el resultado obtenido? Tiene signo negativo.
d) ¿Qué regla pueden establecer para sumar números decimales con el mismo
hi ©
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su IL
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signo? Expliquen. R. M. Se suman los números sin considerar su signo. Luego,
al resultado se le agrega el signo de los sumandos.
e) ¿Y cuál para sumar números decimales con signos opuestos? Expliquen. R. M. Los números
negativos se convierten en positivos y las sumas que les corresponden se expresan como restas.
• Compartan sus respuestas y escriban sus conclusiones. Investiguen cómo sumar números decimales positivos y negativos. Después complementen con la siguiente información:
Sumas de números decimales positivos y negativos
Al sumar dos números decimales positivos y negativos se tienen los siguientes casos:
1. Cuando los dos números decimales tienen signo positivo, el resultado es otro número decimal con signo positivo, por ejemplo: (14.5) 1 (17.8) 5 112.3.
2. Cuando los dos números decimales tienen signo negativo, el resultado es la
suma de los valores absolutos, y es un número negativo. Por ejemplo, (23.4)
1 (212.07) se tienen los valores absolutos |23.4| y |212.07|, entonces
|212.07| 1 |23.4| 5 12.07 1 3.4 5 15.47 y el resultado es 215.47.
3. Cuando un número es positivo y el otro es negativo, al mayor valor absoluto se le
resta el otro valor absoluto. El resultado tendrá el signo del mayor valor absoluto.
Por ejemplo, (27.2) 1 (4.3), se tienen los valores absolutos |27.2| y |4.3|, entonces |27.2| 2 |4.3| 5 7.2 2 4.3 5 2.9 y, como |27.2| . |4.3|, el resultado tendrá
signo negativo: 22.9.
P
ro
La suma de números decimales cumple con la propiedad conmutativa, es decir,
el orden de los sumandos no altera el resultado, por ejemplo:
(25.2) 1 (27.8) 1 (26.9) 5 (26.9) 1 (27.8) 1 (25.2).
Por tanto, los sumandos pueden ordenarse según su signo para facilitar la suma, por
ejemplo: (15.7) 1 (21.70) 1 (14.70) 1 (28.20) 1 (19.80) 1 (20.50) 5 (15.7) 1
(14.70) 1 (+9.80) 1 (–1.70) 1 (28.20) 1 (20.50) 5 (120.2) 1 (210.40) 5 9.8
1. Realiza las sumas, aplica la propiedad conmutativa.
a) (234.05) 1 (221.07) 1 (12.08) 1 (4.12) 1 (24.75) 1 (21.13) 5 244.8
b) (222.5) 1 (220.75) 1 (12.25) 1 (28.125) 1 (231.55) 1 (22.125) 5 272.8
• Comprueba tus resultados al compararlos con los obtenidos por otros compañeros.
Sumas números decimales positivos y negativos.
114
Secuencia didáctica 15
Sesión 2
Sumas de fracciones positivas y negativas
Reunidos en parejas realicen lo que se indica.
1. Analicen la recta numérica y ubiquen 2
A
•
•
2 34
21
3
, nómbrenlo A.
4
•
0
1
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
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ri A
bu
ci
ón
a) ¿Qué procedimiento usaron para ubicar el punto A? R. M. Dividir el segmento
entre 21 y 0 en cuatro partes iguales y colocar en el primero, de derecha a
1
3
1
izquierda, el punto A.
b) Del punto A, ¿cuánto falta para llegar a 21? Expliquen. 2 4 porque (2 4 ) 1 (2 4 )
5 21
3
1
3
1
c) ¿Se puede afirmar que (2 ) 1 (2 ) 5 21? ¿Por qué? Sí, pues (2 4 ) 1 (2 4 )
4
4
4
5 (2 4 ) 5 2 1. Asimismo, la suma decimal equivalente es igual a 21: (20.75) 1
(20.25) 5 21.
2. Con el apoyo de la recta numérica, hagan las siguientes operaciones.
a) (2
4
1
3
) 1 (2 ) 5 2 5
5
5
21
b) (1
2 54
3
1
2
5
) 1 (2 ) 5 2 6 5 2 2
6
6
21
c) (1
0
2 51
0
3
26
8
3
) 1 (2 ) 5
10
10
5
10
1
2
6
5 21
21
0
5
10
8
10
1
3. Analicen las rectas numéricas, resuelvan las operaciones y ubiquen el resultado en
la recta.
P
ro
11
a) A 1 B 5 2 5
A
B
•
•
•
0
6
5
2
2
5
5
2 115
4
b) C 1 D 5 2 4
C
D
•
6
2
4
•
2 44
0
•
2
4
• En grupo, escriban el procedimiento para sumar números fraccionarios positivos y negativos. Consulten materiales impresos o electrónicos para complementar su trabajo.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Adición y sustracción
115
En equipos, hagan lo que se pide y respondan.
4. Resuelvan las sumas.
1
4
1
1
2
1
8
) 1 (1 ) + (2 ) 1 (2 ) 1 (2 ) 1 (1 ) 5
51
4
2
4
2
8
4
8
2
1
4
1
4
4
1
8
b) (1 ) 1 (1 ) 1 (2 ) 1 (2 ) 1 (2 ) 1 (2 ) 5 2 5 2
3
3
6
3
12
6
3
12
a) (2
hi ©
bi SA
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T
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bu
ci
ón
c) Describan el procedimiento que emplearon para resolver las sumas. R. M.
Obtener fracciones equivalentes a las dadas que tengan todas el mismo
denominador. Luego se resuelven las sumas.
d) ¿Es necesario ordenar las fracciones según su signo para sumarlas? ¿Por qué?
R. M. No, no es necesario, pero es más sencillo sumar las fracciones si se
ordenan según su signo.
e) ¿Qué signo tienen las sumas? La primera tiene signo positivo y la segunda,
negativo.
f) ¿Qué regla pueden establecer para sumar fracciones con signos opuestos?
4. f) R. M. Se
obtienen fracciones
equivalentes
que tengan
denominador
común. Luego, las
fracciones negativas
se convierten en
positivas y las
sumas que les
corresponden se
expresan como
restas.
Expliquen.
g) ¿Y cuál para sumar fracciones con el mismo signo? R. M. Se obtienen fracciones
equivalentes que tengan denominador común. Luego se suman las fracciones
sin considerar su signo. Al resultado se le agrega el signo de las fracciones.
• Compartan sus respuestas y escriban sus conclusiones.
Sumas de fracciones positivas y negativas
P
ro
Al sumar dos números fraccionarios positivos y negativos, se tienen los siguientes casos:
1. Si las dos fracciones tienen el mismo signo, el resultado tendrá el signo de los sumandos. Si las fracciones son negativas, el resultado se obtiene al sumar los valo6
1
7
7
4
11
res absolutos, por ejemplo: (1 ) 1 ( ) 5 1 , o (2 ) 1 (2 ) 5 2 .
8
8
8
5
5
5
2. Si una fracción tiene signo positivo y la otra fracción, signo negativo, al mayor valor absoluto se le resta el otro valor absoluto. El resultado tendrá el signo del mayor
4
3
valor absoluto. Por ejemplo, para (2 ) 1 (1 ), se tienen los valores absolutos
5
10
4
3
4
3
4
3
5
1
2
5
5 , y el resultado
|2 | y |1 |, entonces 5| |2 |1 | 5
5
10
5
10
5
10
10
2
1
es – .
2
Los números fraccionarios también cumplen con la propiedad conmutativa de la suma:
3
1
1
4
2
1
1
3
(2 ) 1 (1 ) 1 (1 ) 1 (2 ) 1 (2 ); (1 ) 1 (1 ) 5 1 ,
6
6
3
6
3
6
3
6
3
4
2
11
3
11
8
y (2 ) 1 (2 ) 1 (2 ) 5 (2 ). Por tanto, (1 ) 1 (2 ) 5 2 .
6
6
3
6
6
6
6
Visita:
www.esant.mx/
ecsema1-025
donde hay un video
informativo de cómo
sumar fracciones con
signos diferentes.
5. Realicen las siguientes sumas.
a) (2
13
5
4
) 1 (1 ) 5 2
60
12
20
b) (2
5
3
4
) 1 (2 ) 5 2
7
7
14
c) (2
11
9
1
) 1 (2 ) 5 2
12
12
6
• Comparen sus resultados. Si hay diferencias, analicen las sumas realizadas e identifiquen dónde está el error.
Sumas fracciones positivas y negativas.
116
Secuencia didáctica 15
Sesión 3
Problemas de suma
En parejas realicen lo que se pide.
1. Analicen el ejemplo y completen la tabla.
Suma: 20.2
3.3
3.3 1 (20.2)
2.5
2.5 1 (20.2)
1.7
1.7 1 (20.2)
0.5
0.5 1 (20.2)
0.25
0.25 1 (20.2)
1
) Resultado
2
1
3.1 1 (20.5)
2.6 1 (2 )
2.1
2
1
1.8 1 (2 )
2.3 1 (20.5)
1.3
2
1
1 1 (2 )
1.5 1 (20.5)
0.5
2
1
0.3 1 (20.5) 20.2 1 (2 )
20.7
2
1
0.05 1 (20.5) 20.45 1 (2 ) 20.95
2
Suma: 20.5
Suma: (2
hi ©
bi SA
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T
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ri A
bu
ci
ón
Sumando inicial
2. Descompongan los números en sumandos. Utilicen tanto números decimales como
fracciones, positivos y negativos. Observen el ejemplo. R. M.
5
3
) 5 (2 ) 1 (20.25)
8
8
1
7
3
a) 24.2 5 (20.7) 1 (2 )
c) 21 5(20.75) 1 (2 )
2
2
4
9
5
1
b) 25.5 5 (21) 1 (2 )
d) 22 5 (21) 1 (2 )
2
4
4
(2
3. Analicen la operación y seleccionen la respuesta correcta.
a1b1c5d
donde: a , 1.5, b y c, son números decimales negativos.
a) ¿Qué condición cumple a en la operación?
P
ro
•
•
•
Es un sumando mayor a 1.5.
Es un sumando menor a 1.5.
Es un sumando igual a 1.5.
b) ¿Qué condición cumple b y c en la operación?
•
•
•
Es un sumando mayor a 1.5.
Es un sumando con signo negativo.
Puede ser cualquier número decimal con signo negativo.
c) ¿La suma 1.4 1 (21.1) 1 (21.2) 5 20.9 cumple con la condición dada? ¿Por qué?
Sí, pues a es menor que 1.5, y b y c son decimales negativos.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Adición y sustracción
117
4. Escriban sumas que cumplan con las condiciones dadas y resuélvanlas.
a1b1c5d
Condición
Ejemplo
a , 1.5, b, y c son números decimales
negativos.
hi ©
bi SA
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st N
ri A
bu
ci
ón
a 5 1, b 5 (20.5), c 5 (21.3); 1 1 (20.5)
1 (21.3) 5 (20.8)
3
a es fracción propia negativa, b y c son
a 5 (2 ), b 5 (20.8), c 5 (20.7);
3 4
números decimales negativos.
(2 ) 1 (20.8) 1 (–0.7) 5 (22.25)
4
8
a es fracción impropia negativa, b y c
a 5 (2 ), b 5 (20.1), c 5 (20.6);
8 5
son números decimales negativos.
(2 ) 1 (20.1) 1 (–0.6) 5 (22.3)
5
a y b son números decimales positivos, a 5 2.2, b = 1.7 c 5 (28.9); 2.3 1 1.7 1
(28.9) 5 (24.9)
c y d son números decimales negativos.
3
3
3
3
a y b son fracciones positivas, c es un
b = , c 5 (25.2);
1
1
a5
8
4
8
4
número decimal negativo.
(25.2) 5 24.075
1
4
5 1
4
a, b son fracciones positivas, c y d son a 5 2 , b 5 6 , c 5 (2 2 ); 2 1 6 1
5
4
fracciones negativas.
(2 ) 5 (2 )
2
3
a 5 (26), b 5 (27), c 5 (20.2); (26) 1
a y b son menores a 25.1, c es un
número decimal negativo.
(27) 1 (20.2) 5 (213.2)
• En grupo comparen sus operaciones y con la guía del profesor verifiquen que sean
correctas.
Resuelvan en equipos las actividades.
1. Sustituyan cada letra por un número decimal o fracción (negativo o positivo) que
cumplan con las condiciones dadas. Luego resuelvan las sumas. R. M.
P
ro
a) (a 1 b) 1 c 5 a 1 (b 1 c), donde b es un número decimal menor a 20.2, a y c
1
3
son fracciones negativas.
(2 ) 1 (20.4) 1 (2 ) 5 (21.65)
2
4
1
b) (a 1 b) 1 c 5 a 1 (b 1 c), donde b es una fracción que se encuentra entre 2
2
3
1
y 2 , a y c son números decimales negativos menores a 1. (21.5) 1 (2 10 ) 1
4
(22.3) 5 (24.1)
c) (a 1 b) 1 c 5 a 1 (b 1 c), donde b es cualquier fracción, pero a y c son números decimales negativos mayores a –2.2. (21.2) 1 ( 5 ) 1 (20.7) 5 0.6
2
2. Resuelvan las sumas.
307
1
3
5 1.462
)1
=
210
6
7
17
1
3
b) (22.5) 1 0.5 1 (2 ) 1 (2 ) = (2 ) 5 22.833
6
12
4
a) (24.4) 1 5.6 1 (2
Visita los sitios
www.esant.mx/
ecsema1-026 y
www.esant.mx/
ecsema1-027
donde encontrarás
información sobre
números decimales
y fraccionarios con
signo.
• Comparen sus operaciones y con la guía del profesor verifiquen que sean correctas. Después
escriban sus conclusiones sobre la suma de fracciones y números decimales con signo.
Resuelves problemas que implican sumas de fracciones y
números decimales positivos y negativos.
118
Suma de fracciones y números decimales
En esta sección aprenderás a sumar, en una hoja de cálculo electrónica, fracciones y números decimales y a obtener el resultado de forma fraccionaria y decimal.
1. Haz de manera individual lo que se pide.
Abre una hoja electrónica de
cálculo y, en la primera fila de las
cuatro primeras columnas escribe
los títulos: “Fracción”, “Decimal”,
"Numerador” y “Denominador”.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
i.
ii. Antes de escribir en la primera celda, selecciona la celda A2; ve a “Formato de
celda”, y en la pestaña de “Número”, elige la opción “Fracción” y el tipo “Hasta
tres dígitos”.
iii. Escribe en la celda A2, la fracción 3 y cópiala en la columna siguiente usando
8
el signo (1).
iv. Selecciona la celda, debajo del título “Decimal”. Ve a “Formato de celda” y en la
pestaña “Número” elige la opción “Número con posición decimal de tres cifras
decimales”.
v. Analiza los números que obtuviste.
a) ¿Qué relación identificas entre el número decimal y la fracción? El número
decimal y la fracción son equivalentes, se representa el mismo número de
distintas maneras.
b) ¿Qué tipo de número decimal se obtuvo? Un número decimal finito.
P
ro
2. Sigue las instrucciones para realizar sumas y restas de fracciones.
i. En la “Celda E2”, escribe el signo (1) y en la “Celda G2”, el signo (5).
ii. Escribe en la fila de títulos: “Resultado como decimal” y “Resultado como
fracción”. Ve a ”Formato de celda” y en la pestaña de “Alineación”, elige “Ajustar
texto” para ver el texto en una sola columna.
119
iii. Escribe en las celdas H2 e I2: 5 C2/D21F2. Aparecerá lo siguiente:
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
a) ¿Por qué consideras que aparece el resultado que se muestra en la celda?
Porque aún no se escriben los sumandos.
3. Utiliza la información anterior para realizar la siguiente actividad.
i.
Escribe en las celdas correspondientes el númerador y el denominador de la
fracción escrita y sumale 0.08.
a) ¿Cuáles son los resultados que se muestran en las celdas H2 e I2 respectiva91
mente? Se muestran respectivamente 0.455 y 200
b) ¿La fracción que se obtuvo es una fracción decimal? La fracción que se obtiene
no es decimal, pero sí es una fracción equivalente a una decimal.
ii. Escribe el decimal en la operación como número con signo.
P
ro
c) ¿Cómo son los resultados obtenidos comparados con los del punto i? Los
valores son menores y la fracción sigue siendo equivalente a una fracción
decimal.
4. Modifica los sumandos de las celdas para calcular las siguientes operaciones.
13
7
2
8
21 5 21.65
= 0.7
1 (21.9) 5 20
c) 2 1 2.7 5 10
a)
8
4
1
1
2
4
1
0.067 y 2
211.1
211.1
d) 2 2 (2 ) 5
b) 2 2 (211.9) 5
15
10
15
5
5
• Compara tu respuesta con la de un compañero. Aplica la relación entre la suma y la resta, considerando el opuesto del sustraendo en los incisos b y d. Comprueba si se obtiene
el mismo resultado.
120
Secuencia
didáctica 16
Sesión 1
Restas de números decimales positivos
y negativos
Reúnanse en equipos y analicen lo que se describe.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
1. Ana juega en línea a responder preguntas sobre cultura general. El juego consiste
en responder 10 preguntas por ronda. Por cada respuesta correcta se obtiene 10.5
puntos y por cada respuesta incorrecta se obtiene 20.5 puntos. El juego ofrece cinco
puntos al comenzar y consta de cuatro rondas. Analicen la información de la tabla que
muestra el puntaje total de Ana al finalizar el juego, complétenla y respondan.
Preguntas
1.ª ronda
2.ª ronda
3.ª ronda
4.ª ronda
Puntos al iniciar
5
3
0
21
Aciertos
3
2
4
1
Fallas
7
8
6
9
Total de puntos
3
0
21
25
a) ¿El total de puntos se puede representar con una operación aritmética? Escriban
la operación de la primera ronda. Sí. 5 1 0.5 1 0.5 1 0.5 2 0.5 2 0.5 2 0.5
2 0.5 2 0.5 2 0.5 2 0.5 5 3
b) Discutan sobre la relación que existe entre la suma y la resta de números enteros. ¿Esta relación también se aplica en la suma y resta de números decimales
positivos y negativos? ¿Por qué? R. M. Sí, la suma y la resta de números
decimales con signo son operaciones inversas.
c) Escriban una operación que permita saber cuál es la diferencia de puntos entre
los aciertos y fallas de Ana: R. M. (3 1 2 1 4 1 1)(0.5) 2 (7 1 8 1 6 1 9)(0.5)
5 (10)(0.5) 2 (30)(0.5) 5 5 2 15 5 210
• Escriban las dificultades que tuvieron para responder las preguntas y coméntelas en
clase y expliquen cómo las resolvieron.
Reúnete con un compañero para resolver las actividades.
P
ro
1. Analicen la información y completen la tabla.
“La suma y la resta de números decimales positivos y negativos son operaciones
inversas. Si en una suma se conoce el resultado y uno de los sumandos, el otro
sumando se encuentra mediante la sustracción. Sea a, el sumando desconocido,
a 1 (24) 5 (20.5), 20.5 2 (24) 5 3.5, a 5 3.5”.
Operación
a 1 (21.2) 5 (21.5)
(22.6) 1 (2a) 5 (20.5)
a 1 (23.9) 5 (25.5)
(23.1) 1 a 5 (24.7)
Sustracción
(21.5) 2 (21.2) 5 20.3
Valor de a
20.3
(20.5) 2 (22.6) 5 2.1
(25.5) 2 (23.9) 5 –1.6
(24.7) 2 (23.1) 5 21.6
2.1
21.6
21.6
• Compartan sus respuestas y verifiquen que sean correctas.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Adición y sustracción
121
Trabajen en equipos.
2. Completen la tabla escribiendo como sumas las restas. Resuelvan las operaciones.
Restas
Sumas
(29.6) 2 (8.3) 5 217.9
(29.6) 1 (28.3) 5 217.9
(212.4) 2 (23.3) 5 29.1
(212.4) + (13.3) 5 29.1
(245.6) 1 (118.4) 5 227.2
(252.2) 2 (4.3) 5 256.5
(252.2) 1 (24.3) 5 256.5
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
(245.6) 2 (218.4) 5227.2
a) Comparen los resultados obtenidos al resolver las sumas y restas. ¿Qué pueden
concluir acerca de esta comparación? Expliquen. Son iguales, pues al escribir
las restas como sumas hay que cambiar el signo de los sustraendos.
• Socialicen sus argumentos y después analicen la siguiente información:
Relación entre la suma y la resta
Restar es lo mismo que sumar el opuesto del sustraendo: a 2 b 5 a 1 (2b). Por ejemplo, 29.8 2 (166.8) 5 –9.8 1 (266.8) 5 276.6
• Verifiquen que la información anterior sea clara para todos. Si tienen dudas, coméntenlas con su profesor para que las disipen.
3. Analicen el ejemplo y completen la tabla.
Cantidad inicial
4.4
2.3
1.7
20.8
20.2
Resta 20.4
Resta 20.55
Resta 21.85
4.8 2 (20.55) 5 5.35 5.35 2 (21.85) 5 7.2
4.4 2 (20.4) 5 4.8
2.3 2 20.4) 5 2.7
2.7 2 (20.55) 5 3.25
3.25 2 (21.85) 5 5.1
1.7 2 (20.4) 5 2.1
2.1 2 (20.55) 5 2.65
2.65 2 (21.85) 5 4.5
(20.8) 2 (20.4) 5 (20.4) (20.4) 2 (20.55) 5 0.15 0.15 2 (21.85) 5 2
(20.2) 2 (20.4) 5 0.2 0.2 2 (20.55) 5 0.75 0.75 2 (21.85) 5 2.6
Resultado
7.2
5.1
4.5
2
2.6
a) ¿Qué recomendaciones pueden hacer cuando se realizan varias restas a la vez?
P
ro
R. M. Hacer una resta a la vez, de izquierda a derecha.
• En grupo escriban sus conclusiones sobre sumar y restar números decimales positivos
y negativos.
1. Realiza las restas y compara tus resultados.
232.98
221.75
20.375
a) (234.05) 2 (21.07) 5 b) (232.5) 2 (210.75) 5 c) (12.25) 2 (28.125) 5
Resuelves problemas de resta de números decimales
positivos y negativos.
122
Secuencia didáctica 16
Sesión 2
Restas de fracciones positivas y negativas
En parejas, analicen las situaciones y hagan lo que se pide.
1. R. M. Se marca
el 4 en la recta,
luego se divide el
segmento de 4 a 5
en 10 partes iguales
y, desde el 4, se
cuentan cuatro
1. ¿Cómo restarían 4 2 (2
4
) con apoyo de la recta numérica?
10
2. Maya representó la suma 4 1 (
4
) en la recta numérica como se muestra.
10
1
10
2
10
3
10
4
10
•
•
•
•
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
•
segmentos para
4
sumar .
10
4
5
41( 4 )54 4
10
10
a) ¿Qué relación identifican entre la resta planteada y la suma representada en la
recta numérica? La resta y la suma son equivalentes.
3. Julián afirma que “la suma representada por Maya equivale a la resta planteada,
4
porque al restar (2 ) a 4, se pueden sumar los valores absolutos, y el resultado
10
tendrá el signo del sumando con mayor valor absoluto”.
4 2 (2
4
4
44
4
) 5 |4|1|2 | 5
dado que: 4 .
10
10
10
10
a) ¿Están de acuerdo con lo que afirma Julián? ¿Por qué? Sí, pues porque son
procedimientos equivalentes.
4
4
b) Expliquen por qué se puede afirmar que (4) 2 (2 ) 5 4 1 . Se puede
10
10
afirmar porque una resta se puede expresar como suma si se cambia el signo
del sustraendo.
4. Con apoyo de la recta numérica resuelvan las restas.
a) (21) 2 (2
4
1
)5 2
5
5
2 51
21
P
ro
b) (2) 2 (2
8
)5
6
2
20 10
5
6
3
2
c) (2
0
220
6
4
3
4
1
) 2 (2 ) 5
10
10
10
21
3
210
1
10
1
• Compartan sus respuestas y escriban sus conclusiones sobre cómo restar fracciones
positivas y negativas. Si tienen a su alcance, revisen materiales impresos o electrónicos.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Adición y sustracción
123
5. En grupo discutan cómo restar números fraccionarios positivos y negativos.
Después analicen la siguiente información:
Resta de números fraccionarios positivos y negativos
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
La resta de números fraccionarios positivos y negativos se obtiene sumando al minuen2
6
2
do el opuesto del sustraendo: a 2 b 5 a 1 (2b). Por ejemplo, (2 ) 2 ( ) 5 (2 ) 1
5
5
5
6
3
(2 ) 5 21 .
5
5
6. Trabajen en equipos, analicen los ejemplos y con base en ello seleccionen uno o
ambos procedimientos para resolver las restas.
Regla: a 2 b 5 a 1 (2b)
Algoritmo de la resta de fracciones
4
1
4
1
(24) 1 (1)
3
) 2 (2 ) 5 (2 ) 1 ( ) 5
52
7
7
7
7
7
7
5
3
1
4
2
1
iii. ( ) 2 (2 ) 5 8
i. (2 ) 2 ( ) 5 2 4
4
4
8
8
1
1
4
1
1
ii. (2 ) 2 ( ) 5 21
iv. (2 ) 2 (2 ) 5 4
3
6
4
2
(2
(2
4
1
(24) 2 (21)
3
) 2 (2 ) 5
52
7
7
7
7
1
4
1
v. (2 ) 2 (2 ) 5 2 2
6
6
1
4
vi. (2 ) 2 (2 ) 5 0
3
12
a) ¿Qué diferencias identifican con respecto a las operaciones de la primera fila
con la segunda? Expliquen. En la primera fila el denominador de las fracciones
es el mismo, mientras que en la segunda fila son denominadores equivalentes.
b) Discutan y registren una conclusión de cómo restar números fraccionarios
cuando los denominadores no son iguales. R. M. Se obtienen fracciones
equivalentes a las dadas que tengan el mismo denominador; por ejemplo, 2
1
3
52
2
6
.
• Verifiquen que sus resultados sean correctos. Si tienen dudas, propongan ejemplos para
aclararlas con la guía de su profesor.
La equivalencia de fracciones en la resta
P
ro
Para restar números fraccionarios positivos y negativos, con distinto denominador, se
recurre a la equivalencia de fracciones y se aplica el algoritmo de la resta de fracciones
o se puede sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.
Visita:
www.esant.mx/
ecsema1-028
donde podrás
practicar la resta de
números fraccionarios
positivos y negativos.
1. Realiza las restas.
a) (2
7
8
3
3
10
1
) 2 (2 ) 5 2 b) (2 ) 2 (2
)5
9
10
5
9
9
5
c) (2
45
4
43
86
) 2 (2 ) 5 2
52
3
6
3
6
• Compara tus resultados con los de otros compañeros y corrige si es necesario.
Resuelves problemas de resta de fracciones positivas
y negativas.
124
Secuencia didáctica 16
Sesión 3
Restas con números negativos y positivos
En parejas realicen lo que se pide.
1. Relacionen las operaciones con su resultado.
Operaciones
a) (
Resultados
4
1
1
) 2 (2 ) 2 (2 ) 5
6
8
9
( )1
( ) 11.25
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
b) (2.75) 2 (20.75) 2 (27.75) 5
2
9
c) (
15
5
1
) 2 (2 ) 2 (2 ) 5
18
18
9
( )1
d) (0.4) 2 (20.2) 2 (20.2) 2 (20.2) 5
( )
65
72
• Comparen lo realizado y, con la guía del profesor, verifiquen que estén en lo correcto.
Después escriban sus conclusiones sobre la suma y resta de fracciones y números decimales, positivos y negativos.
Realicen en equipo lo que se pide.
1. Reproduzcan las fichas de números y jueguen memorama de operaciones.
Relacionen la operación con su resultado.
1
1
2 (2 ) 1 3.4 5
6
12
(28.9) 1 (8.9) 1
P
ro
1
) + (20.27) 2
6
(24.55) 5
(2
4
5
)1
2 (22.7) 5
15
9
4
5
17
1.73
4
17
3
)5
10
3.65
24.5
4.11
8
18
3
2 (2
)1
5
10
100
4
0.3 1 (24.5) 1 (2
2.98
(2
a) Quien gane la primera ronda deberá agregar un par de tarjetas más donde se realicen operaciones de suma y resta con números decimales y fraccionarios positivos y negativos, y podrá eliminar un par de tarjetas; pueden ser las que para todos
haya sido muy fácil. Se trata de que tengan su propio memorama, adecuado a sus
habilidades, y adquieran nuevos conocimientos sobre este tema. R. L.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Adición y sustracción
125
2. Completen la tabla y analicen el ejemplo.
1
)
2
Sumando inicial
Suma –0.2
Resta –0.5
Resta (2
21.8
21.8 + (20.2)
22 2 (20.5)
21.5 2 (2
9
12
9
1 (20.2)
12
11
2 (20.5)
20
25.5
25.5 1 (20.2)
25.7 2 (20.5)
1
)
2
21
1
2 (2 )
20
2
21
31
20
1
)
2
24.7
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
25.2 2 (2
Resultado
1.3
1.3 1 (20.2)
1.1 2 (20.5)
1.6 2 (2
1
)
2
2.1
2
12
24
2
12
1 (20.2)
24
2
7
2 (20.5)
10
2
1
1
2 (2 )
5
2
3
10
2
2
5
2
2
1 (20.2)
5
2
3
2 (20.5)
5
2
1
1
2 (2 )
10
2
2
5
10.10
10.10 1 (20.2)
9.9 2 (20.5)
10.40 2 (2
1
)
2
10.90
21
21 1 (20.2)
21.2 2 (20.5)
20.7 2 (2
1
)
2
20.2
20.1
20.1 1 (20.2)
20.3 2 (20.5)
20.2 2 (2
1
)
2
0.7
2.01
2.01 1 (20.2)
20.21 2 (20.5)
0.29 2 (2
1
)
2
0.79
3. Escriban sumas y restas para obtener el resultado que se muestra. Los sumandos
deben ser números decimales y fraccionarios positivos y negativos. R. M.
3
9
5 1.2 2
5
5
44
b) 26.5 5 2.3 2
5
a) 2
c) 28.9 5 25.4 2
Visita el siguiente sitio:
www.esant.mx/
ecsema1-029,
ahí encontrarás
ejercicios de
sumas y restas con
números decimales y
fraccionarios positivos
y negativos. Registra
tus experiencias.
7
2
4
38
5 2.2 2
12
15
1
37
e) 2 5 1.6 2
4
20
P
ro
d) 2
4. Redacten una explicación dirigida a sus compañeros sobre cómo sumar y restar
números positivos y negativos. Describan propiedades, relaciones y el método que
consideren más adecuado de acuerdo con su experiencia.
R. L.
• Compartan su explicación y verifiquen en grupo que sea clara.
Resuelves problemas de resta de fracciones y números
decimales positivos y negativos.
126
Secuencia
didáctica 17
Sesión 1
Jerarquía de operaciones
En equipos resuelvan y contesten.
1. Calculen el resultado de las operaciones.
12 3 7 3 5 5 420
iv. 7 3 12 3 5 5 420
vii. 3.8 1 4.8 58.6
ii. 4.8 1 3.8 5 8.6
v. 90 2 35 5 55
viii. 35 2 90 5255
iii. 12 1 4 3 5 5 32
vi. 12 1 5 3 4 5 32
ix. 5 3 4 1 12 532
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
i.
a) ¿Qué operaciones tienen el mismo resultado? Las operaciones i y iv; ii y vii; iii, vi y ix
b) ¿En qué operaciones el resultado es diferente? En las operaciones v y viii
c) ¿Cómo es el resultado donde hay dos operaciones, por ejemplo: en iii, vi y ix?
Los resultados son iguales, las operaciones siguen un mismo orden.
d) ¿Qué efecto tiene el orden en que se realizan las operaciones? Expliquen.
El orden en que se realizan las operaciones afecta el resultado.
e) Discutan en qué orden deben efectuarse las operaciones en iii, vi y ix para que el
resultado sea correcto. Primero se realiza la multiplicación y luego la suma.
f)
¿Cuál es el resultado correcto?, ¿cómo lo saben? Expliquen.El resultado
correcto es 32, porque primero se multiplican 5 y 4, y luego se suma 12.
• Comparen sus respuestas con las de sus compañeros e investiguen acerca del orden en
que se resuelven operaciones como en iii, vi y ix.
El orden de las operaciones
Resuelvan las actividades en grupo. Retomen la información del orden de las operaciones
que investigaron.
1. Juan y Raúl resolvieron las siguientes operaciones y obtuvieron resultados distintos. Analícenlos y determinen cuál es el resultado correcto.
91538
2
5 3 15 1 25
5
10 1 5 3 5
4
Juan
14 3 8 5 56
2
125 1 15 5 28
5
15 3 5 5 18.75
4
Raúl
9 1 40 5 24.5
2
75 1 25 5 20
5
10 1 25 5 8.75
4
P
ro
Operación
a) ¿Por qué Juan y Raúl obtuvieron diferentes resultados de una misma operación? Porque hicieron las operaciones con un orden distinto.
• Socialicen sus resultados con otros equipos, realicen las operaciones con la calculadora
y lleguen a acuerdos.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Multiplicación y división
127
2. Analicen las operaciones y seleccionen el resultado correcto. Después contesten.
Operaciones
Opciones de respuestas
1
1 18 3 4 2 2.25 3 2 5
2
ii. 23 3 7.2 2 89.4 4 2 1 55 2 8 5
2
1
2
2
2
5
iii.
3
6
6
i.
a) 68
b) 21.95
c) 143.5
a) 61.6
1
a) 2
3
b) 163.7
5
b) 2
6
c) 167.9
1
c)
6
iv. ¿Qué orden se debe seguir para resolver las operaciones y obtener el resultado
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
correcto? Expliquen. Primero se efectúan las multiplicaciones y divisiones,
después las sumas y restas, siempre de izquierda a derecha.
• Socialicen sus respuestas y argumentos. Después discutan en grupo la siguiente información:
Jerarquía de operaciones
La jerarquía de operaciones determina el orden en que las operaciones deben efectuarse. Primero se resuelven las multiplicaciones o divisiones en el orden en que aparecen; es decir, de izquierda a derecha. Después se resuelven las sumas o restas, también de izquierda a derecha.
Tanto la multiplicación como la suma cuentan con la propiedad asociativa, esto es, el
orden en que se resuelve no altera el resultado.
3. Apliquen la jerarquía de operaciones y resuelvan.
1
1
1
1
1
3
1
1 1.5 2
1
2 2 50
2
4
2
4
8
4
1
1
4
1 4.4 1 3.6 2 1 58.6 d) 1.32 3
1 9.9 4 3 53.52
5
2
6
a) 45 4 9 3 2.5 1
b)
4
5 12.9
10
c)
• Socialicen sus respuestas. Si hay dudas, coméntenlas en el grupo para que sean
aclaradas.
P
ro
Trabaja de manera individual y valida en grupo tus argumentos.
1. Relaciona la operación con el resultado correcto. Argumenta la selección.
5
2
1
3 4.8 5
10
8
140
2
2
1 1.5 3 2 4 0.5 5
ii.
10
5
1
2 0.4 5
iii. 3.3 3 4.4 4 1.1 1 7.8 3
2
i.
a) 1.7
b) 3.6
a) 7.6
b) 19.6
a) 16.7
b) 56.1
Visita el sitio web:
www.esant.mx/
ecsema1-030
donde estudiarás
sobre la jerarquía de
operaciones.
Aplicas la jerarquía de operaciones con números naturales,
fraccionarios y números decimales para resolver problemas.
128
Secuencia didáctica 17
Sesión 2
Operaciones con paréntesis
En equipos, lean la información y realicen lo que se indica.
1. Max compró una camisa en $519.90, un pantalón en $339.90 y una chaqueta en
$1 299.90. Vendió un saco en $890.75 y una bufanda en $330.50. Max escribió la
siguiente operación para saber cuánto gastó y cuánto recuperará con la venta:
(519.90 1 339.90 1 1 299.90) 2 (890.75 1 330.50) 5
hi ©
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ón
a) Resuelvan las operaciones dentro de cada paréntesis y obtengan el resultado.
2 159.70 2 1 221.25 5 938.45 pesos
1. c) La primera
operación, pues
esa representa la
suma del precio
de los productos
comprados menos
el precio de los
productos que
vendió.
b) Ahora, eliminen los paréntesis de toda la operación y resuelvan. ¿Qué resultado
obtuvieron? 1 599.45 pesos
c) Para responder cuánto gastó Max y cuánto recuperó con la venta, ¿qué operación ofrece el resultado correcto? Expliquen.
d) ¿Con qué signo asocias la compra realizada? ¿Y con cuál la venta? R. M. La
compra realizada se asocia con el signo 1 la venta, con el signo 2.
2. Resuelvan las operaciones. Redondeen a décimas.
1
2 45.9) 4 4 5 18.65
2
1
2 (45.9 4 4) 5 109.025
ii. 120 1
2
i.
(120 1
4
5 75.76
12
4
iv. (45.5 1 6.8) 3 4.5 2
5 235.01
12
iii. 45.5 1 (6.8 3 4.5) 2
a) ¿Para qué se usan los paréntesis en las operaciones? Expliquen. Indican el
orden en que deben realizarse las operaciones.
b) ¿Cómo se resuelve una operación con paréntesis? Primero se calcula la
operación que está dentro de los paréntesis y después el resto.
• Registren una conclusión grupal acerca del uso de los paréntesis.
Signos de agrupación
P
ro
Cuando se tienen operaciones con signos de agrupación como paréntesis ( ), corchetes
[ ], o llaves { }, primero se resuelven las operaciones que están dentro de los paréntesis,
siguiendo la jerarquía de las operaciones, luego las que están dentro de los corchetes y
al final las que están dentro de las llaves. Los paréntesis, corchetes y llaves, además de
agrupar, indican multiplicación cuando no hay otro signo de por medio.
Por ejemplo, 18 2 {8 1 [(4 3 2.2) 2 6] 9 4 1.2}
1. Se resuelven las operaciones que están entre paréntesis: (4 3 2.2) 5 8.8, y se
tiene la operación equivalente a la inicial: 18 2 {8 1 [(8.8) 2 6] 9 4 1.2}.
2. Se resuelven las operaciones que están entre corchetes: 18 2 {8 1 [2.8] 9 4 1.2}.
Luego se resuelve la multiplicación, para obtener 18 2 {8 1 25.2 4 1.2}.
3. Se resuelven las operaciones que están entre llaves: 25.2 4 1.2 5 21,
21 1 8 5 29, y al final, se resta 18 2 29 5 211. Por tanto, el resultado es 211.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Multiplicación y división
129
En parejas, hagan lo que se pide.
3. Analicen la operación y respondan.
72 {(8.8 2 3.4) 1 [22 1 ((45 4 5) 2 2 12)] 1 4.5}
a) ¿Qué operaciones están dentro de los paréntesis? Escríbanlas. (8.8 2 3.4),
(45 4 5) y ((45 4 5) 2 2 12)
b) ¿Qué operaciones están dentro de los corchetes? Escríbanlas. [22 1 ((45 4 5)2 2 12)]
Resuelvan las operaciones: [22 1 (9)2 2 12)] 5 [22 1 18 2 12] 5 [28]
hi ©
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i.
c) ¿Qué operaciones están dentro de las llaves? {(8.8 2 3.4) 1 [28] 1 4.5}
i.
Resuelvan las operaciones: {(5.5) 1 [28] 1 4.5} 5 {37.9}
d) ¿En qué orden deben realizarse las operaciones? Primero las que están entre
paréntesis, luego las de los corchetes y por último la de las llaves; además, se
aplica el orden de la jerarquía de operaciones.
e) ¿Cuál es el resultado final de la operación? 72 {37.9} 5 2728.8
4. Resuelvan las operaciones.
a) [(20.2) 1 (20.5) 1 10] 1 [(20.5) 1 (0.2) 2 0.10 1 (
9
) 2] 5 10.7
10
(4) 1 (8) 1 (12)
3
) 1 (2 ) 1 15 5 26.25
2
4
1
c) [((212.5) 1 (27)) 1 9 ] {( ) 1 12 4 2 } 1 4.25 5 264
2
1
d) [(24.5) 1 (12.3) 2 2] 1 [(24.4) 1 ( 2 (221)) ] 5 22.73
3
b) (
e) 420 2 {(24 2 3) 1 [(63 4 3)12 2 (22 2 5)] 1 (20.5) 1 (25)} 5 148.5
f)
[
((6) 1 34) 3
] 1 ((212) 2 (22) 1 2) 5 32
(2) 6 4 4
P
ro
• Comenten sus dudas y dificultades para que, con ayuda de su profesor y de sus compañeros, logren resolverlas.
Visita el sitio:
www.esant.mx/
ecsema1-031
donde encontrarás un
video sobre el orden
de las operaciones.
De manera individual realiza lo que se pide.
1. Escribe un ejemplo donde el uso de paréntesis ( ) en operaciones indique… R. M.
a) Multiplicación. (5)(4) 5 20
b) El resultado sea negativo. (220) 5 2(20)
• Verifica que la información anterior sea clara y comprensible para todos.
Resuelves problemas que requieren el uso de la jerarquía de las
operaciones con números positivos y negativos.
130
Secuencia didáctica 17
Sesión 3
Resolución de problemas
En equipos resuelvan lo que se indica.
1. Juan dice que en la expresión 12 (x 1 4), x puede valer cualquier número, ya sea
número natural, número decimal, fraccionario o número negativo.
a) ¿Están de acuerdo con lo que afirma Juan? ¿Por qué? Sí, porque la expresión
no es una igualdad y la literal x representa un número cualquiera.
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b) Propongan un valor para x, y calcúlenlo. Después expliquen cómo realizaron la
operación. R. M. x 5 2; 12(2 1 4) 5 72; se hace la suma entre los paréntesis y
después el resultado se multiplica por 12.
c) Si la expresión 12 (x + 4) se modifica por (12) (x) 1 4, ¿cuál es el resultado? El
resultado es (12)(x) 1 4 5 (12)(2) 1 4 5 28
2. Juan propuso el valor de x 5 5. Apliquen la jerarquía de operaciones y encuentren
el valor de cada expresión.
a) 12 (x 1 4) 5 108
b) 12 1 x (2 1 x 1 4) 5 67
c) 12x (x 1 4x) 5 1500
3. Resuelvan las operaciones. Consideren el valor de a = 3.5.
a) 2 (0.8 1 2a) = 15.6
b) 2 (0.8 1 a 1 2a) = 22.6
c) 2a (0.8 1 2 1 4a) = 117.6
d) En todos los casos, ¿al aplicar la jerarquía de operaciones se tiene el mismo
resultado? Expliquen. No, pues en cada inciso hay operaciones distintas.
P
ro
4. José dice que en la expresión 4n 1 5n cuando n 5 4, primero se multiplica 4 (4),
5 (5) y luego los productos se suman.
a) ¿Están de acuerdo con José? Expliquen. R. M. No, el orden es correcto, pero se
debe multiplicar 5(4) ya que n 5 4.
b) Expliquen cómo resolver la siguiente operación empleando jerarquía de operaciones. Asignen un valor numérico para a y b: 5a 1 (8b 1 b) R. M. Para a 5 2 y
b 5 3, 5a 1 (8b 1 b) 5 5(2) 1 (8(3) 1 3) 5 37
• Socialicen sus respuestas y argumentos. Escriban una conclusión acerca de cómo la jerarquía de operaciones ayuda a resolver operaciones como las estudiadas.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Multiplicación y división
131
Resuelvan los problemas en parejas. Apliquen la jerarquía de operaciones.
5. Analicen los resultados y escriban los signos de agrupación.
a) ( 6.6 3 2)1(8 4 4)5 15.2
e) 219 2 (24.4)1(9)(2)5 3.4
89
)4.5]4 1.2 5 3.34
100
2
f) (99 1 1.07)( )(20) 5 500.35
8
b) [(
g) (150 4 12)(180 2 38.9 1 57.9)5 2 487.5
d) [(37)(3.5) 1 2.8] 4 5 529.2
h) (7.4)(4.5 1 8.5 1 6.7)2(7.8 3 5) 5 106.78
hi ©
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c) (180 4 10)4[3 1(21.2)]5 10
• Verifiquen en equipo que hayan colocado los signos de agrupación de manera correcta.
Si hay dudas, coméntenlas en clase para su disipación.
Resuelvan en parejas.
1. Resuelvan las operaciones.
940 2 68 2 (248)
) + (5.5 3 25 4 0.25) 5 734
5
(850) (7.5) 2 (58 2 40)
6357
b) (
)5 2
13
2 (4) 1 5
a) (
c) 560 1 [(102) 4] 2 (7 4 (6) 4) 5 963.34
d) [234 1 (0.07) 10] 2 (210 4 5) 5 192.7
e) (218) 1 [(5.55) 2.08] 2 5 5 211.456
f)
120 4 1.2 4 0.2 (5 3 12) 5 30000
g) Discutan cómo explicarían a otros compañeros la forma en que se resuelven
operaciones combinadas como las anteriores. Justifiquen su respuesta. R. L.
P
ro
2. En los siguientes casos, identifiquen las operaciones en las que se aplicó erróneamente la jerarquía de operaciones.
a) ((242) 1 (244) 2 22) 1 4 3 5 1 9 3 10 5 2
b)
(7.5) (4.5)
1 9 3 4.5 2 3 5 54.3
2 (4.5)
Visita los sitios:
www.esant.mx/
ecsema1-032 y
www.esant.mx/
ecsema1-033
donde encontrarás
interactivos de
aplicación de
la jerarquía de
operaciones, con
diversos niveles
de operaciones
combinadas.
c) 22 4 4 1 5.2 3 4.2 1 9 2 12 3 5 5 223.66
d) 22 1 30 4 1.2 4 5 4 5 5 23
• Compartan sus respuestas y verifiquen que no tengan dudas. Si las tienen, coméntenlas
para que sean aclaradas.
Aplicas la jerarquía de las operaciones en expresiones
algebraicas.
132
Secuencia
didáctica 18
Sesión 1
Cálculo de porcentajes
En equipos analicen el planteamiento y contesten lo que se pide.
1. En la tabla se muestran los porcentajes de IVA (impuesto al valor agregado) que se
pagan en algunos países.
País
Tasa general
de IVA (%)
Grecia
Paraguay
Puerto Rico
Uruguay
23
10
11.5
22
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Fuente: www.bbc.com/mundo/video_fotos/2015/07/150722_economia_america_latina_iva_
consumidores_lista_ms
De acuerdo con datos de la Procuraduría Federal del Consumidor (Profeco), el precio
promedio de un refrigerador sin IVA, en la Ciudad de México, es de $5 031.60.
a) ¿Cuál será el precio con IVA del refrigerador si en México se aplicara el mismo
porcentaje que en los cuatro países de la tabla? Los costos son $6 188.87,
$5 534.76, $5 610.23 y $6 138.55, respectivamente.
b) En México, el IVA de un producto representa 16% de su valor neto. ¿Cuál es el
costo del refrigerador con IVA incluido? El costo es $5 836.66.
c) En Saltillo se vende el mismo tipo de refrigerador con 50% de descuento sobre
el precio con IVA. ¿Cuánto se paga con el descuento? Se pagan $2 918.33.
d) ¿Cómo les explican a otros compañeros la relación que hay entre una cantidad
y un porcentaje asociado con esta? Por ejemplo, la relación entre 5 031.6 y 1%,
10%, y 50%. R. M. El porcentaje indica cuántas partes de cada 100 de la
cantidad dada se consideran. Por ejemplo, para 10% se consideran 10 de cada
100 unidades de 5 031.6.
• Socialicen sus procedimientos, resultados y argumentos. Discutan en grupo cómo se
puede calcular el porcentaje de una cantidad.
Porcentajes de una cantidad
Resuelvan las actividades en parejas.
1. En la tabla se muestran algunos artículos que ofrece una tienda.
P
ro
a) Obtengan el precio de cada artículo con el IVA de Paraguay.
Artículo
Camisa
Pantalón
Playera
Vestido
Pantalla
Precio sin IVA ($)
450
890
250
1 690
34 200
45
89
25
169
3 420
495
979
275
1 859
37 620
IVA de 10%
Precio con IVA ($)
b) A los empleados de la tienda se les venden artículos sin IVA. Si el vestido y la
pantalla tienen un descuento de 15% cada uno sobre su costo sin IVA, ¿cuánto
se paga por ambos artículos? Se pagan $1 436.5 y $29 070, respectivamente.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Proporcionalidad
133
2. Dante vende juguetes en temporada decembrina. Después del día de reyes otorga
un descuento. Apliquen el descuento y obtengan el precio final de los juguetes.
Juguete
Rompecabezas
Bicicleta
Muñeca
Casita
Patines
Precio ($)
Rebaja de 12%
Precio final
190
1 250
145
320
380
22.8
150
17.4
38.4
45.6
167.2
1 100
127.6
281.6
334.4
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3. Al final de la temporada, Dante aplica un descuento adicional de 5%.
a) ¿Cuánto se pagaría por unos patines y una bicicleta? Se pagarían $317.68 y
$1 045.
b) ¿Y por la muñeca y la casita? Se pagarían $121.22 y $267.52.
c) Describan cómo obtuvieron los precios finales de cada juguete. R. M. Primero se
calculó el descuento de 12% y al total obtenido se le aplicó el 5% adicional.
• Compartan sus respuestas y argumentos. En grupo registren una conclusión sobre
cómo calcular porcentajes a una cantidad con números decimales.
Porcentaje de una cantidad.
Para mejorar tu
desempeño en la
clase de Matemáticas,
debes atreverte a
experimentar distintas
estrategias para
resolver problemas.
Si no te funcionan, no
te desesperes, debes
ser perseverante
en la búsqueda de
soluciones.
Para calcular la cantidad final (Cf) que se obtiene al aplicar un porcentaje a una cantidad
base o cantidad inicial (Cb), se puede proceder como sigue:
P
ro
1. Se obtiene la cantidad que corresponde al porcentaje por aplicar. El porcentaje
dado (x) se divide entre 100 y el cociente obtenido se multiplica por la cantidad
x
base (y). Es decir, se aplica una regla de tres:
3 Cb 5 y.
100
2. Para obtener la cantidad final (Cf), se suma o se resta a la cantidad base el valor de la cantidad a la que corresponde el porcentaje. Por ejemplo, al aumentar
19.2
19.2% a 120, la cantidad base es 120 y el porcentaje 19.2%. Entonces,
3
100
120 5 23.04 y, por tanto, la cantidad final es 120 1 23.04 5 143.04.
3. Otro procedimiento consiste en sumar 100% al porcentaje dado (100 1 19.2) y
119.2
así calcular el 119.2% de la cantidad base:
3 120 5 143.04, que repre100
senta la cantidad final.
1. Identifica el cálculo erróneo y sustenta por qué lo es.
i.
22% de 75 es 16.5.
a) Cálculo erróneo:
i.
ii
ii. 22% de 345 es 70.
porque: 22% de 345 es 75.9
31.08 de 37 es el 84%
b) Cálculo erróneo:
ii
ii. 10 de 12 es el 92%
porque: 10 de 12 es 83.34%
Resuelves problemas de cálculo del porcentaje.
134
Secuencia didáctica 18
Sesión 2
Más cálculos de porcentajes
En equipos resuelvan las actividades.
1. En la tabla se muestran los rangos de edad y sexo de las niñas y los niños que no
asisten a la escuela, reportados por un estudio de la Unicef en el ciclo escolar 20142015. Analícenlos y completen la tabla.
Hombres
Porcentaje de
hombres (%)
Mujeres
Porcentaje de
mujeres (%)
Total
Preescolar (3-5 años)
684 257
54.03%
582 138
45.97%
1 266 395
Primaria (6-11 años)
139 723
53.12%
123 318
46.88%
263 041
Secundaria (12-14 años)
156 471
60.73%
101 163
39.27%
257 634
51.17%
1 152 333
48.83%
2 359 703
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Rango en edad escolar
Media superior (15-17 años) 1 207 370
Fuente: www.unicef.org/mexico/spanish/UNICEF_NFE_MEX.pdf (consulta: 27 de junio de 2017)
a) Describan el procedimiento que usaron para completar la tabla. R. M. La
cantidad de hombres o mujeres se multiplica por 100 y luego se divide entre el
total de personas.
b) ¿Pueden afirmar que hay una relación de proporcionalidad entre el total por
¿A cuántos niños representa esa cantidad? Representa a 211 065 niños
• Socialicen en el grupo sus respuestas y expliquen cómo determinaron la cantidad de niños que representa cada fracción.
P
ro
En la siguiente
dirección puedes
encontrar más
información sobre
los porcentajes:
www.esant.mx/
ecsema1-034
revísala en grupo
con la finalidad
de enriquecer sus
conclusiones.
rango en edad escolar y los porcentajes calculados? Expliquen. R. M. Sí, pues
a medida que uno de los datos varía, el otro también lo hace, y con la misma
dirección y proporción.
2. Una tercera parte del total de la población preescolar que no asiste a la escuela no
1
va por razones económicas. Esto se puede expresar como
de 1 266 395.
3
1
de una cantidad? 33.33%
a) ¿Qué porcentaje, aproximadamente, representa
3
b) ¿Cuál es la cantidad de niños en edad preescolar que no asisten a la escuela por
razones económicas? 422 132 niños
1
c) Si
de la población total de preescolar que no asiste a la escuela es de zonas
6
rurales, ¿qué porcentaje, aproximadamente, representa esa cantidad? 16.67%
Porcentaje de una cantidad a otra
Para calcular el porcentaje que representa una cantidad con respecto a otra, que corresponde al total, la primera se multiplica por 100 y se divide entre la segunda. De
manera equivalente, se puede dividir la primera cantidad entre el total y multiplicar el
cociente por 100. Por ejemplo, para saber qué porcentaje representa 200 de 520, se
100
5 38.4. Entonces 200 representa aproxirealiza la siguiente operación, 200 3
520
madamente el 38.4% de 520.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Proporcionalidad
135
En parejas trabajen el siguiente planteamiento.
3. El Gobierno de la Ciudad de México ofreció descuentos de 8% y 5% por pago anualizado del impuesto predial en 2017. Obtengan los descuentos de los siguientes valores catastrales.
Valor catastral ($)
690
720
800
950
1 200
1 580
1 975
8%
55.2
57.6
64
76
96
126.4
158
5%
34.5
36
40
47.5
60
79
98.75
valor catastral. Es el
valor que se asigna a
los bienes inmuebles
en un padrón
municipal de bienes
denominado catastro.
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Fuente: www.finanzas.cdmx.gob.mx/comunicacion/nota/
ofrece-gobierno-cdmx-descuentos-por-pago-anualizado-del-predial-2017
a) ¿Qué relación hay entre el valor catastral y el descuento aplicado? Hay una
relación de proporcionalidad directa.
b) ¿Qué significado tiene el porcentaje aplicado de cada cantidad? Expliquen.
Significa cuántas partes de cada 100 se consideran en la cantidad sobre la que
se calcula el porcentaje.
• Socialicen sus respuestas. Discutan si en una relación de proporcionalidad la constante
puede ser expresada como un porcentaje. Den ejemplos.
Analicen y respondan en parejas.
1. Las plantas carnívoras representan aproximadamente 0.2% de las plantas que hay
en México, las cuales se estiman en 30 000 especies como máximo.
Fuente: imagenagropecuaria.com/2008/plantas-carnivoras/ y www.biodiversidad.gob.mx/especies/
gran_familia/planta.html (consulta: 27 de febrero de 2018)
a) ¿Qué cantidad de plantas, aproximadamente, son carnívoras? Aproximadamente 60
17
b) Si
de las plantas carnívoras se encuentran en el sureste de México, ¿cuán100
tas plantas carnívoras hay en esa región? Hay aproximadamente 10.
c) ¿Qué porcentaje representan 180 especies de plantas carnívoras de las 30 000
plantas que hay en México?
0.6%
¿Y 1 620 especies? 5.4%
Factores que influyen en que
reprueben Matemáticas
2. Se entrevistó a 124 alumnos sobre los posibles factores
que influyen en que reprueben Matemáticas. En la gráfica
se presentan los resultados. Escriban F (falso) o V (verdadero) según corresponda. Argumenten su postura.
6% 2%
13%
P
ro
a) Al menos 19 alumnos la asocian con la falta de expli-
cación del maestro: Verdadero, ya que 16% de 124 es
19.84, que es mayor que 19.
b) Al menos 27 alumnos la asocian con la falta de disposición de tiempo: Verdadero porque 22% de 124 es
27.28, valor mayor que 27.
c) Al menos 37 alumnos afirman que tienen falta de
interés en la materia: Verdadero, ya que 30% de 124
es 37.2, que es mayor que 37.
• Registren sus conclusiones y comenten cómo las matemáticas permiten interpretar distintas problemáticas sociales.
2%
9%
16%
22%
30%
Falta de hábitos
de estudio
Factores económicos
Dificultad en el
razonamiento
Bajo rendimiento
Falta de habilidad en
las Matemáticas
Falta de explicación
por parte del maestro
Falta de interés por
parte del alumno
Falta de disposición
de tiempo
Resuelves problemas que implican calcular el porcentaje que
representa una cantidad con respecto a otra.
136
Secuencia
didáctica 19
Sesión 1
La cantidad base de un porcentaje
En parejas lean la información y contesten.
1. Julieta adquirió 4 metros de fieltro para elaborar las marionetas de una obra de teatro infantil. El fieltro tenía 15% de descuento y en total pagó $68.
a) ¿Qué procedimientos se pueden seguir para conocer el precio de los 4 metros
hi ©
bi SA
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T
su IL
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st N
ri A
bu
ci
ón
de fieltro sin el descuento de 15%? R. M. Se multiplica 68 por 100 y el resultado
se divide entre 85.
b) ¿Se puede aplicar la relación n por cada 100? ¿Por qué? Sí, pero hay que
considerar que 100 2 15 5 85, es decir, $68 representa 85% (85 de cada
100) del costo total de la tela.
c) Reflexionen acerca del porcentaje y el costo. ¿Con ellos se puede plantear una
68
x
proporción? Anoten sus conclusiones. R. M. Sí, la proporción 85 5 100 .
2. Compartan su conjetura con otra pareja de compañeros y respondan.
a) ¿Cuánto cuesta un metro de fieltro sin el descuento aplicado? Cuesta $20
porque 4 m cuestan $80 y 80 4 4 5 20.
• Comenten en grupo su respuesta y su procedimiento. Aclaren sus dudas.
Cálculo de la cantidad inicial
Trabajen en equipos y resuelvan lo que se pide.
1. Retomen la actividad inicial y contesten.
a) ¿Puede $68 representar 85% del costo total? Expliquen. Sí, pues 15% corresponde
al descuento aplicado, entonces 100% 2 15% 5 85% representa el costo total.
P
ro
b) ¿El dato desconocido es el 15%? ¿Por qué? No, el dato desconocido es el precio
sin descuento.
c) ¿Es cierto que “68 es a 85% como el costo total es a 100%”? ¿Cómo pueden
conocer el costo sin descuento? Expliquen.Sí, porque con las cantidades se
x
puede formar la proporción 68
85 5 100 .
d) Al plantear la igualdad 68 5 x , ¿se puede conocer el dato faltante? Expli85
100
68 3 100
quen. Si se puede despejar x y conocer su valor : x 5 85 5 80.
e) ¿Cuál es el dato faltante? El valor de x, que corresponde al precio sin descuento.
f)
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Proporcionalidad
¿Qué interpretación pueden dar a ese resultado en el contexto del problema?
El valor de x es el costo de la tela sin descuento.
137
2. El descuento de 15% se aplica en todos los productos de la tienda. Julieta compró 6
metros de manta de cielo y pagó $102.
a) ¿Cuál es el precio sin el descuento? Expliquen. El precio es $120 porque
5 120.
102 x 100
85
• Compartan sus respuestas con sus compañeros y determinen las causas de los errores
que se presenten. Después analicen la siguiente información:
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Cálculo de la cantidad base 1
Para calcular la cantidad base, que representa 100%, cuando se conoce el porcentaje
que se aplicó y la cantidad final, se puede proceder de la siguiente manera:
Por ejemplo, si un artículo tiene 25% de descuento y costó $375, el porcentaje indica
un decremento. Este costo representa 75% del costo total ya que 100% 2 25% 5 75%.
Esta cantidad (375) se multiplica por 100 y el producto obtenido se divide entre el valor
del porcentaje que representa esa cantidad (75). El resultado que se obtiene es la can100
tidad base: (375) (
) 5 500.
75
Por tanto, la cantidad base o el precio original del artículo es $500.
Resuelvan las actividades en parejas.
3. Al precio de un juguete se le descontó 25%. Si un cliente pagó $340, ¿cuál era el
precio original del juguete? El precio era $453.34.
4. El rinoceronte es una de las especies más afectadas por el tráfico de animales. Su
población se ha reducido 85% en los últimos 20 años. En la actualidad quedan
Fuente: www.ambientum.com/enciclopedia_
aproximadamente 10 000 ejemplares.
medioambiental/natura/animales-y-plantas-en-peligro-de-extincion.asp (consulta: 27 de febrero de 2018)
a) ¿Cuántos rinocerontes, aproximadamente, había hace 20 años? Había
aproximadamente 66 667 rinocerontes.
• Compartan sus respuestas. Si tienen dudas, coméntenlas para aclararlas.
P
ro
Trabaja de manera individual.
1. Completa la tabla.
Cantidad
inicial
230.95
3 600
Porcentaje
aplicado
12.4%
75%
Cantidad
final
202.32
900
Cantidad
inicial
4 733.33
18 000
Porcentaje
aplicado
77.5%
92%
Cantidad
final
1 065
1 440
• Compara tus respuestas y verifica que sean correctas.
Resuelves problemas donde sea necesario calcular la cantidad
base de un porcentaje (decremento).
138
Secuencia didáctica 19
Sesión 2
Porcentajes mayores a 100%
En equipo resuelvan las actividades. Redondeen a una cifra decimal.
1. En enero de 2017, el precio de la gasolina Magna subió 14.2%; la Premium 20.1%, y
el diésel 16.5% con respecto al precio máximo observado en diciembre de 2016.
Fuente: www.animalpolitico.com/2017/01/aumentos-productos-servicios-gasolina/
hi ©
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bu
ci
ón
a) En enero de 2017, una familia gastó mensualmente, en promedio, $2 350 en
consumo de gasolina Magna. ¿Cómo pueden saber cuánto se pagaba por esa
misma cantidad de gasolina en diciembre de 2016?
Se multiplica 2 350 por 100 y el resultado se divide entre 114.2
b) ¿Puede $2 350 representar en este caso el 114.2%? ¿Por qué? Sí. El precio de la
gasolina en 2016 corresponde a 100% y con el incremento de 14.2% se obtiene
el precio de ahora, 114.2%.
2. Calculen el precio mensual de cada tipo de combustible antes del incremento, es
decir, si se hubiera pagado en diciembre de 2016.
Tipo de
combustible
Premium
Diésel
Gasto en diciembre
de 2016 ($)
Porcentaje
de incremento
2 830.97
2 274.67
20.1%
16.5%
Gasto en enero
de 2017 ($)
3 400
2 650
a) Describan el procedimiento empleado. R. M. Se multiplica el gasto en enero por
100 y el resultado se divide entre 120.1% o 116.5%, según el tipo de gasolina.
• Compartan sus respuestas y determinen las causas de los errores que se presenten.
Cálculo de la cantidad base 2
Para calcular la cantidad base cuando el porcentaje indica un aumento, se puede proceder de la siguiente manera:
Por ejemplo, si 7 840 se obtuvo al aumentar 40% a una cantidad, esta cantidad representa 140% ya que 100% + 40% 5 140%. La cantidad base es el resultado de multiplicar la cantidad final (7 840) por 100 y dividir el valor del porcentaje que representa esa
100
5 5600. Por tanto, 5 600 es la cantidad base.
cantidad (140). 7840 3
140
P
ro
Trabajen en parejas para resolver las siguientes actividades.
3. De diciembre de 2016 a enero de 2017 varios productos subieron de precio. El kilogramo de papa aumentó 37.5% y el de pollo, 7.95%.
Fuente: www.animalpolitico.com/2017/01/aumentos-productos-servicios-gasolina/
a) Un kilogramo de papa costaba $11 en enero. ¿Cuánto costaba en diciembre
de 2016? R. M. Se considera que $11 representa 137.5% y se calcula el 100%,
es decir, el costo sin el incremento: $11 3 100 4 137.5 5 $8
b) Si por un kilogramo de pollo se pagaba en enero $95, ¿cuánto costaba un kilogramo en diciembre de 2016? R. M. $95 3 100 4 107.95 5 $88
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Proporcionalidad
139
4. La carga de un barco pesquero aumentó 60% y ahora transporta 15 toneladas de
atún. Otro barco pesquero también aumentó su carga 78.8% y ahora lleva
11 999.268 kg de atún.
a) ¿Cuántos kilogramos había, aproximadamente, en cada barco antes del aumento? Había 9 375 kg y 6 711 kg, respectivamente.
hi ©
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• Socialicen sus respuestas y registren sus conclusiones. Verifiquen que no haya dudas
en la aplicación del procedimiento estudiado.
Realicen en parejas lo que se pide y resuelvan los problemas.
1. La población del gorila occidental que habita en zonas de África Central ha disminuido 60% en 25 años. En la actualidad se tienen aproximadamente 250 ejemplares en libertad. Fuente: especiesanimalesenpeligro.blogspot.mx/2015/ (consulta: 26 de febrero de 2018)
a) Con base en los datos anteriores, expliquen qué procedimiento se puede seguir
para determinar la cantidad de gorilas que había hace 25 años, y den su res-
puesta. R. M. Se multiplica 250 por 100 y el resultado se divide entre 40, de
donde se obtiene 625 gorilas.
2. El Instituto Cervantes reportó que en 2015 casi 470 millones de personas tenían el
español como lengua materna, cifra que representaba 6.7% de la población mundial
en ese año. Se estima que, en 2030, los hispanohablantes sean 7.5% de la población mundial. Si entre 2045 y 2055 la cifra aumenta el 10%, considerando que la
cantidad de hispanohablantes en 2015 no varía: Fuente: www.multimedios.com/telediario/
tendencias/personas-hablan-espanol-mundo.html (consulta: 26 de febrero de 2018)
P
ro
a) ¿Cuántas personas se estima que serán hispanohablantes en 2030?
Aproximadamente 526 120 000 de personas
b) ¿Cuántas lo serán, de acuerdo con la estimación, entre 2045 y 2055? Se
estima que 578 730 000 de personas
3. En una tienda comercial todos los artículos aumentaron su precio 35%. Calcula el
precio original de cada uno de ellos.
$749.25
Precio original: $555
$819.45
Precio original:
$344.25
$607
Precio original:
$255
Si tu maestro lo
considera pertinente,
ingresen a la siguiente
página y resuelvan
los ejercicios:
www.esant.mx/
ecsema1-035
Escriban sus
experiencias.
$2 498.85
Precio original: $1 851
4. Debido a un defecto, una vaporera se vende a los empleados con 35% de descuento. El empleado que la compró pagó $480.
a) ¿Cuál es el precio de la vaporera sin descuento? Su precio es $738.46.
• Compartan sus respuestas y registren sus conclusiones. Después elaboren una síntesis
de los procedimientos estudiados para calcular el porcentaje de una cantidad.
Resuelves problemas donde sea necesario calcular la cantidad
base de un porcentaje (incremento).
140
Secuencia
didáctica 20
Sesión 1
Igualdad lineal
Analicen en parejas el planteamiento y contesten.
1. En un libro, Humberto leyó dos problemas que le parecieron interesantes, pues afirma que se resuelven con el mismo dato.
Problema 1. La medida del perímetro de un rectángulo es de 36 cm y se sabe que su
altura mide la mitad de su base. ¿Cuánto mide la altura del rectángulo?
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Problema 2. El área de un rectángulo es de 72 cm2 y la relación de la medida de su
altura con respecto a su base es el doble. ¿Cuál es la medida de la altura?
a) ¿Coinciden con la afirmación de Humberto? ¿Por qué? Sí, pues en el problema 1
se quiere saber cuántos caracteres faltan y en el segundo, cuántos se han utilizado.
b) ¿Cuál es la respuesta a cada problema? Escriban su procedimiento. En ambos
casos es 127 porque 250 2 123 5 127.
c) Si plantean una expresión inicial para modelar cada problema, ¿es la misma?
Escriban su argumento. Sí, es 250 2 123 5 x, solo que las cantidades
involucradas tienen distinto significado.
d) ¿La expresión final para obtener el resultado en cada problema es la misma?
Escriban su argumento. Sí, la expresión es 250 2 123 5 x.
• Socialicen sus respuestas y argumentos para validarlos en grupo.
¡Mismas expresiones!
Reúnete con un compañero y analicen la situación. Luego respondan.
1. En el inicio de mes, una sucursal automotriz tenía 39 automóviles compactos y
ahora le falta vender 17. ¿Cuántos automóviles compactos ha vendido la sucursal
hasta el momento?
1. a) Un sumando
sería la cantidad
que falta vender; el
otro sumando, un
valor desconocido,
que corresponde
al número de
automóviles
vendidos, y el total,
los 39 coches que
había al inicio de
mes: 17 1 x 5 39.
a) Si resolvieran el problema estableciendo una suma de inicio, ¿qué datos serían
P
ro
los sumandos y qué dato sería el total?
b) Si resolvieran el problema estableciendo una resta de inicio, ¿qué datos serían el
minuendo, el sustraendo y el total? R. M. El minuendo sería el número total de
automóviles a inicio de mes; el sustraendo, los coches vendidos y el total, la
cantidad de automóviles vendidos: 39 2 17 5 x
c) Obtengan el resultado en cada caso y validen su respuesta. En el primero caso:
17 1 x 5 39, entonces x 5 22; en el segundo caso: 39 2 17 5 22
• Socialicen sus respuestas. Comenten sus dudas y resuélvanlas con ayuda del profesor.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Ecuaciones
141
Relación entre las operaciones
En equipos, realicen lo siguiente.
2. Escriban en su cuaderno un problema para cada expresión. Consideren la expresión
como la operación inicial. R. M.
i.
5 18
63
ii. 15 1
5 18
iii.
18
56
iv. 18 2 15 5
a) Analicen las expresiones i y iii así como las ii y iv. Además de los números, ¿qué
hi ©
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bu
ci
ón
relación encuentran entre las operaciones? Son operaciones inversas: la suma y
la resta; la multiplicación y la división.
b) Resuelvan cada problema. ¿Qué valor tiene el término desconocido en cada problema? En cada problema el valor desconocido es 3.
i. Se compran 6
lápices y en total se
pagan $18.
ii. Había 15 alegrías
y se compraron
algunas. Ahora
hay 18.
iii. Algunos amigos
se repartieron 18
tamarindos en
partes iguales y
ahora cada uno
tiene 6 piezas.
iv. Se tenían $18 y
se gastaron $15.
c) ¿Son equivalentes entre sí las expresiones i, ii, iii y iv? Si es así, escriban las
expresiones de equivalencia. De lo contrario, redacten su argumento. No son
todas equivalentes, pero sí lo son entre sí las operaciones i y iii, y ii y iv.
d) Si concluyen que es el mismo valor, ¿cómo se puede representar el valor de una
incógnita si es el mismo aunque las expresiones sean diferentes? Se puede
representar con una letra, como x o y.
Ecuación
Las expresiones algebraicas como las que usaste para representar los problemas anteriores, son igualdades en las que hay un valor desconocido. Este valor se representa
con una literal, por lo general se usa x, pero puede emplearse cualquier letra, a la cual
se le conoce como incógnita de la igualdad. en matemáticas a este tipo de expresiones
se les denomina ecuaciones.
e) Expliquen por qué al representar el dato desconocido de los problemas anterio-
igualdad. En
matemáticas, es la
equivalencia entre
dos cantidades
o expresiones
algebraicas. Se
representan con el
signo 5.
res con una literal, se cumple la condición de ser una ecuación lineal. R. M. Sí
porque se puede resolver como las demás ecuaciones lineales.
P
ro
• Compartan sus reflexiones y validen su respuesta con ayuda del profesor.
Analiza el problema, elige la ecuación lineal, resuélvela y responde.
1. Se tienen en total 56 ruedas para armar bicicletas. Hasta el momento se han armado 16 bicicletas. ¿Cuántas ruedas falta por utilizar? Falta utilizar 24 ruedas
porque 16 3 2 1 x 5 32 + x 5 56; x 5 56 2 32 5 24.
a) 56 2 16 5 x
b) 16 3 2 1 x 5 56
c) 16 1 x 5 56
• Comparte tus respuestas con tus compañeros.
Analizas y modelas situaciones problemáticas como ecuaciones
lineales para su resolución algebraica.
142
Secuencia didáctica 20
Sesión 2
Ecuaciones de diferentes formas
Reunidos en parejas, realicen lo que se indica.
1. Relacionen cada problema con la ecuación que lo representa. Analicen el ejemplo.
Problema
Ecuación
Relación
El triple de un número menos ese
número da como resultado 80.
II. La suma de dos números naturales
consecutivos es 110.
III. El doble de un número es 10.
IV. El doble de un número, más el
triple del mismo número más ese
número da como resultado 42.
( iv )
i. 2a 1 3a 1 a 5 42
ii. 2w 5 10
iii. g 1 (g 1 1) 5 110
iv. 3x 2 x 5 80
v. 6a 5 42
vi. 2g 1 1 5 110
vii. 3x 5 80
viii. w 1 w 5 10
( iii )
hi ©
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bu
ci
ón
I.
1. a) Sí, las
ecuaciones
equivalentes son
i y v, ii y viii, iii y
vi, pues solo se
operan términos
semejantes.
b) II. Para ninguno,
pues 54.5 no es un
número natural
( ii )
( i )
a) ¿Hay ecuaciones equivalentes entre sí? ¿Cuáles y por qué?
b) ¿Para qué valores las ecuaciones son válidas? Escríbanla.
I.
40
II.
III.
5
IV.
7
c) Sustituyan el valor en cada ecuación. ¿De qué manera pueden validar que su
respuesta es correcta? Al verificar que ambos lados de la igualdad tienen el
mismo valor.
• Socialicen sus respuestas. Comenten sus dudas y resuélvanlas con ayuda del profesor.
2. Analicen la información y respondan.
Ecuación lineal y algunos procedimientos
P
ro
Encontrar la solución de una ecuación, es despejar la incógnita, es decir, hallar su valor para que la igualdad sea cierta. Para resolver una ecuación lineal, pueden utilizarse
procedimientos propios basados en el ensayo y error, la regla de la suma y del producto
o bien, operaciones inversas. La operación inversa consiste en identificar los números,
literales y operaciones que se tienen, y utilizar los mismos números para aplicar la operación contraria sobre la operación que se relaciona con la literal.
Regla de la suma: Si de un lado de la igualdad se suma o se resta una cantidad, del otro
lado se hace lo mismo y se obtiene una ecuación equivalente.
Por ejemplo: x 1 5 5 11 x 1 5 2 5 5 11 2 5 x 5 6
Regla del producto: Si de un lado de la igualdad se multiplica o divide, del otro lado se
hace la misma operación, con lo cual se obtiene una ecuación equivalente.
5y
25
5
y55
Por ejemplo: 5y 5 25
5
5
a) Con base en la información, ¿qué tipo de procedimiento utilizaron para resolver
los problemas del punto anterior? R. L.
• Utilicen operaciones inversas y la regla de la suma o producto y validen lo realizado en
el punto 1. Socialicen sus argumentos y respuestas.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Ecuaciones
143
3. Analicen el procedimiento realizado para resolver una ecuación lineal. Escriban el
proceso que se realiza en cada paso y después respondan.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Procedimiento realizado
6
1
3x 1 x 2 x 1 x 1 2 5 20
8
4
3
1
2x 1 x 1 x 1 2 2 2 5 20 2 2
4
4
2x 1 x 5 18
3x 5 18
3
18
x5
3
3
x56
6
1
3(6) 1 (6) 2 6 1 (6) 1 2 5 20
8
4
36
6
261
1 2 5 20
18 1
8
4
18
6
1
5 20
14 1
4
4
24
5 20
14 1
4
14 1 6 5 20
20 5 20
Descripción del procedimiento
Ecuación inicial
Se resta 3x 2 x, se simplifica 68 y se resta 2 de ambos
lados de la ecuación.
Se suma 34 x y 41 x, se resta 2 − 2 y se resta 20 2 2.
Se suma 2x 1 x
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Paso
Se dividen ambos lados entre 3
Se simplifican
3
3
y 18
, y se obtiene el resultado de la ecuación.
3
Se sustituye el valor de x en la ecuación, a modo de
verificación.
Se realizan las multiplicaciones: 3(6),
6
8
(6) y
1
4
(6).
Se resta 18 2 6 1 2 y se simplifica 36
8
Se suman 18
1
4
Se simplifica
6
4
24
4
Se suma 14 1 6 y se verifica que el valor de x es correcto.
a) ¿En qué pasos se utilizaron operaciones inversas y qué se hizo en cada lado de
la igualdad? Expliquen por qué. En los pasos 1 y 4: se realiza la misma operación
de ambos lados de la igualdad, para simplificar la ecuación.
b) ¿Qué procedimiento se realiza del paso 1 al 5 y cuál, del paso 6 al 11? Del paso 1
al 5 se busca el valor de x, mientras que del paso 6 al 11 se verifica el resultado.
• Socialicen sus respuestas. Comenten sus dudas y resuélvanlas con ayuda del profesor.
Analicen el problema, elijan la ecuación que la modela y respondan.
P
ro
1. Se tienen 100 llantas iguales para armar triciclos y bicicletas. Si se han armado hasta el momento 9 triciclos y 18 bicicletas, ¿cuántas llantas faltan por utilizar?
Faltan 37 llantas por utilizar.
i. 100 5 3(9) 1 2(18) 1 x
ii. 100 5 9x 1 18x 1 x
iii. 100 5 9 1 18 2 x
a) ¿Qué operación inversa utilizaron y cómo pueden validar su resultado? Expli-
quen. R. M. Una resta, pues 3(9) 1 2(18) 5 27 1 36 5 63, entonces de cada lado de
la ecuación se sustraen 63. Para validar la respuesta, se sustituye 63 en la ecuación y
se debe obtener 100 de ambos lados: 100 5 3(9) 1 2(18) 1 x 5 27 1 36 1 37 5 100.
• Verifiquen que sus respuestas sean correctas. Realicen un breve escrito sobre cómo resolver ecuaciones lineales.
Resuelves ecuaciones lineales del tipo Ax 1 B 5 C.
144
Secuencia
didáctica 21
Sesión 1
Transformaciones algebraicas
Analiza el problema, resuélvelo y responde.
1. Se sabe que el triple de un número más 20 da como resultado 512. ¿De qué número
se trata?
hi ©
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bu
ci
ón
Del número 164.
a) ¿Qué operaciones inversas están involucradas? Justifica tu respuesta.
Ver solucionario
b) ¿Cómo puedes validar que el resultado obtenido es el correcto? Sustituyen el
valor encontrado y verificando que el triple de ese número más 20 sea igual a 512.
• Socialicen sus respuestas y argumentos para validarlos en grupo.
¡Entre términos y otros componentes!
Reúnete con un compañero, analicen los problemas y respondan.
1. Relacionen cada situación con la expresión que la modela y resuélvanlas.
i.
La suma de dos números naturales
consecutivos es 2019.
ii. La suma de tres números naturales
consecutivos es 2019.
Cuando tengas
dudas sobre el tema
trabajado en clase,
no temas preguntar.
Es posible que
varios compañeros
compartan la misma
inquietud. Recuerda
que el salón de clases
es el espacio propicio
para plantear dudas y
resolverlas de manera
colaborativa.
m 1 (m 11) 5 2019
n 1 n 5 2019
3q 1 1 5 2019
p 1 (p 1 1) + (p 1 1 11) 5 2019
a) En el problema i.
•
Con una
¿Cómo se identifica un número cualquiera? literal, como x ¿Y cómo identifican al
P
ro
número consecutivo de ese número? Como (x 1 1), pues el consecutivo es una
unidad mayor.
•
Si suman los dos números anteriores, ¿qué expresión se obtiene? x 1 (x 1 1) 5 x
1 x 1 1 5 2x 1 1
•
¿A cuál expresión de las opciones dadas equivale? Equivale a m 1 (m 1 1)
•
Si la expresión m 1 (m 1 1) 5 2019 se transforma en 2m 1 1 5 2019, ¿qué
operación se realiza primero? Una suma
•
¿Cuál es el valor de m? El valor de m es 1009.
b) En el problema ii, ¿cuál es el valor del número? El valor del número es 672.
• Socialicen sus respuestas y validen sus resultados. Comenten sus dudas y resuélvanlas
con ayuda del profesor.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Ecuaciones
145
Reduciendo términos
En equipos, analicen la situación, relaciónenla con la ecuación y la solución que la modela. Después escriban los pasos que se realizan en la descripción del procedimiento.
Paso
1
2
3
4
5
6
7
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T
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bu
ci
ón
2. En una fábrica de bolsas se produce cierta cantidad de kilogramos (kg) al día, lo cual
depende de las máquinas que estén funcionando. La máquina A produce cierta cantidad de kg de bolsas, mientras que la máquina B produce lo mismo que A y 50 kg
más; y la máquina C produce el doble de A y B juntas. Si las tres máquinas juntas
producen 300 kg, ¿cuántos kg produce cada máquina?
Ecuación y solución I
a 1 (a 1 50) 1 (2a 1
100) 5 300
2a 1 50 1 2a 1 100
5 300
4a 1 150 5 300
4a 1 150 2 150 5
300 2 150
4a 5 150
4a
150
5
4
4
a 5 37.5
Descripción del
procedimiento
Ecuación inicial
Se suman términos
semejantes.
Se suman de nuevo
términos semejantes.
Se restan 150 de cada
lado de la ecuación.
Se simplifica la
ecuación.
Ambos términos se
dividen entre 4.
Cantidad de kilogramos de bolsas que
produce la máquina A.
Ecuación y solución II
a 1 (a 1 50) 1 2(a 1 a
1 50) 5 300
2a 1 50 1 2(2a 1 50)
5 300
2a 1 50 1 4a 1 100 5
300
Descripción del
procedimiento
Ecuación inicial
Se suman términos
semejantes.
Se hace la
multiplicación.
6a 5 150
Se simplifican términos semejantes.
Se restan 150 de cada
lado de la ecuación.
Se simplifica la
ecuación.
6a
150
5
entonces
6
6
a 5 25
Cantidad de kilogramos de bolsas que
produce la máquina A.
6a 1 150 5 300
6a 1 150 2 150 5
300 2 150
a) ¿Qué ecuación y solución eligieron? ¿Por qué? La ecuación y solución II porque
es la forma correcta de representar el problema.
b) ¿Para ambos casos se obtiene el resultado si se valida? ¿En ambos casos se
P
ro
cumple la igualdad? Expliquen. Sí, en ambos casos se cumple. El error está en el
planteamiento de la ecuación I, aun cuando esta se resuelva de manera correcta.
c) ¿En qué término de la ecuación radica la diferencia entre las ecuaciones y sus
soluciones? En el planteamiento del problema, es decir, en el paso 1, pues faltó
sumar 2a del lado izquierdo de la expresión.
Ecuación lineal y sus componentes
Una ecuación lineal se compone de varios elementos: coeficientes, términos, miembros
e igualdad. En la ecuación 3x 1 5 5 20 es posible identificar sus componentes: el signo ‘5’ indica que al encontrar el valor de la literal y realizar la sustitución y operaciones
correspondientes, el valor final en ambos lados debe ser el mismo. El miembro del lado
derecho al signo ‘5’ solo tiene un término, el ‘20’; mientras que el miembro del lado izquierdo del signo ‘5’ se compone de dos terminos ‘3x 1 5’. De estos términos, ‘3x’ tiene
la literal y al número ‘3’, que multiplica a la literal, se le conoce como coeficiente.
Resuelves ecuaciones lineales del tipo Ax 1 B 5 Cx 1 D. Aplicas las propiedades de la igualdad y construyes el
significado de la igualdad como equivalencia entre expresiones algebraicas o numéricas.
146
Secuencia didáctica 21
Sesión 2
Mismos desconocidos en ambos lados
Reunidos en equipos analicen el problema y resuélvanlo.
1. Una sucursal automotriz tenía, a inicio de mes, 45 automóviles. Hasta el momento
ha vendido 15 y, de los que falta por vender, debe devolver la cuarta parte. ¿Cuántos
automóviles deben devolver? Seleccionen la ecuación que modela el problema.
i. 45 2 x 5 x 1 15
ii. 45 2
x
5 x 2 15
4
iii. 45 2
x
5 x 1 15
4
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bu
ci
ón
a) ¿Cuál es la diferencia entre las ecuaciones que se muestran y las ecuaciones
estudiadas anteriormente? La incógnita esta en ambos lados de la ecuación.
b) De los miembros de cada ecuación:
•
¿Qué significa la expresión del miembro izquierdo y del miembro derecho en
cada ecuación? La igualdad entre el número de autos vendidos y los que faltan
por vender.
c) ¿Cuál ecuación modela el problema? R. L.
d) ¿Cuántos automóviles deben devolver? Siete
• Socialicen sus respuestas. Comenten sus dudas y resuélvanlas con ayuda del profesor.
2. Planteen las ecuaciones de los siguientes problemas y resuélvanlas.
Ismael tenía 10 libros y le han regalado más, mientras que Jimena tenía 16
libros y regaló la misma cantidad de libros que le regalaron a Ismael. Si ahora
Ismael y Jimena tienen la misma cantidad de libros, ¿cuántos libros les han
regalado o han regalado? 10 1 x 5 16 − x; x 5 3
ii. Cuatro veces la altura de un edificio al que se le aumentan 30 metros es igual a
tres veces la altura de otro al que se le aumentan 50 metros. ¿Cuál es la altura
de los edificios si ambos son del mismo tamaño? 4x 1 30 5 3x 1 50; x 5 20
i.
a) ¿Cuál ecuación responde a los problemas? Expliquen su argumento. La ecuación ii,
pues en esta, como en los problemas, la incógnita esta en ambos lados de la ecuación.
i. ax 1 b 5 c
ii. ax 1 b 5 cx 1 d
donde x es la literal y a, b, c son datos conocidos.
iii. ax 5 b
P
ro
b) Si la ecuación que modela ambos problemas fuera ii, ¿cómo agruparían en un
miembro de la igualdad aquellos términos que tienen a la literal? R. M. Se resta
cx de ambos lados de la igualdad y se obtiene ax 2 cx 5 d 2 b.
c) ¿Cuáles operaciones inversas y propiedades de la igualdad están presentes?
La resta y la división.
d) ¿Cuántos libros le han regalado a Ismael y cuántos regaló Jimena? A Ismael le
han regalado 3 libros y Jimena regaló también 3.
e) ¿Cuál es la altura de cada edificio? Cada edificio tiene 20 metros de altura.
• Intercambien su resultado con otro equipo de su grupo para que lo validen. Comenten el
procedimiento empleado y el resultado. Si tienen dudas, consulten con el maestro.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Ecuaciones
147
3. Analicen la información.
Ecuaciones lineales y sus formas
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Las ecuaciones con que trabajaron en la actividad pueden ser del tipo: x 1 a 5 b, ax 5 b,
ax 1 b 5 c, ax 1 b 5 cx 1 d o bien, otras que incluyen paréntesis, como ax 1 ab 5 c.
También se puede escribir como a(x 1 b) 5 c; otro ejemplo es ax 1 ab 5 cx 1 cd que se
puede escribir como a(x 1 b) 5 c(x 1 d). A estas ecuaciones se les conoce como ecuaciones de primer grado.
En cualquier ecuación es necesario:
a) ubicar la literal en un miembro de la igualdad. Para ello se recurre a operaciones
inversas, o bien, al inverso aditivo o inverso multiplicativo;
b) después se reducen términos semejantes,
c) si en la reducción el término que contiene la literal tiene coeficiente diferente a
uno, se vuelve a utilizar el inverso multiplicativo para determinar el valor de la literal.
4. Asocien cada problema con la ecuación que lo modela.
Por cada kilogramo de tortillas se pagan $13. Si se
han pagado $143, ¿cuántos kilogramos de
tortillas se han comprado?
ii. El cuádruple de un número menos 5 es igual al
doble de ese número más 10. ¿De qué número se trata?
iii. A una escalera se le agrega una extensión de 2.8 m,
por lo que ahora tendrá una altura de 6.9 m. ¿Cuántos
metros medía la escalera?
i.
x1a5b
ax 5 b
ax 1 b 5 cx 1 d
a) Sustituyan los valores en la ecuación seleccionada y resuélvanla. i. 13x 5 143; x 5 11 kilogramos
ii. 4x 2 5 5 2x 1 10; x 5 7.5
iii. x 1 2.8 5 6.9; x 5 4.1 m
• Socialicen y validen sus resultados con ayuda del profesor.
Analiza el problema, resuelve la ecuación y responde. Comparte tus respuestas.
P
ro
1. Un líquido tiene 16 litros de alcohol y agua. El 25% es alcohol. ¿Cuántos litros de alcohol deben agregarse para que el líquido tenga 50% de alcohol? La ecuación que modela el problema es la siguiente:
41x
41x
1
representa que 25% es alcohol y cuántos
5
16 1 x
2
16 1 x
1
litros se deben agregar;
representa que el líquido
2
a) ¿Qué significa cada miembro de la igualdad? tenga 50% de alcohol.
b) ¿Cuál opción se aplica como operación inversa al miembro izquierdo?
(4 1 x) (x)
(4 1 x) (16 1 x) 5 1(16 1 x)
iii.
5 1(x)
ii. (4 1 x) (16) 5 1(16)
2
2
16
16 1 x
16 1 x
2
c) ¿Qué operación inversa aplicarían ahora al miembro derecho? Multiplicar todo por 2
d) ¿Cuántos litros de alcohol se deben agregar para que el líquido sea 50% de alcohol?
8 1 2x 5 16 1 x, x 5 8, entonces se deben agregar 8 litros.
i.
Resuelves ecuaciones lineales del tipo Ax 1 B 5 Cx 1 D, cuando A, B, C y D son
números enteros, números fraccionarios o números decimales.
148
Secuencia didáctica 21
Sesión 3
Buscando lo desconocido
Analicen en parejas cada situación y respondan.
1. Un número es el quíntuple de otro y la suma de los dos es 192.
a) ¿Cuáles son esos dos números? Son los números 160 y 32
b) ¿Cuántos números diferentes se deben determinar? ¿Por qué? Un número, pues
el otro es su quíntuple o su quinta parte.
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c) ¿Es posible determinar un número a partir del otro? Expliquen. Sí, basta con
multiplicarlo por 5 o dividirlo entre 5.
2. Un número es 40 unidades menor que otro.
a) Si la suma de los dos números es 410, ¿cuáles son esos números? Son los
números 225 y 185
b) ¿Qué tipo de ecuación lineal modela el problema? Expliquen. Una ecuación de
la forma x 1 x 1 40 5 410.
c) ¿Qué diferencia encuentran entre las expresiones de los problemas 1 y 2? La
primera expresión se forma con una suma y una multiplicación, mientras que
en la segunda hay dos sumas.
3. En una tienda se venden artículos de limpieza al menudeo o mayoreo. Al menudeo,
cada franela cuesta $2. Y al mayoreo se debe pagar una cuota base de $10 y el precio de cada franela es de $1.50.
a) Por una compra al menudeo se pagó $40. ¿Cuántas franelas compraron? 20
b) Por una compra al mayoreo se pagó $40. ¿Cuántas franelas compraron? 20
c) Si cada compra se modela con una ecuación, ¿qué expresión las representa?
Las expresiones 2x y 10 1 x1.5, donde x corresponde a la cantidad de franelas
compradas.
d) Por el pago que se realiza, ¿qué opción conviene: comprar al mayoreo o al me-
P
ro
nudeo? Las dos opciones convienen por igual ya que se compra la misma
cantidad de franelas por $40.
e) ¿A partir de qué cantidad de franelas conviene comprar por mayoreo? A partir
de 21 franelas.
4. Analicen cada pregunta y argumenten sus respuestas.
a) ¿Una ecuación lineal ayuda a modelar un problema en particular? Sí, incluso
permite modelar varios problemas.
b) ¿Qué tipo de operaciones se utilizan para resolver una ecuación lineal? Se
utilizan sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
c) ¿Qué tipo de números puede utilizarse en una ecuación lineal? Cualquier tipo de
número, como naturales, decimales, fraccionarios y enteros.
• Socialicen sus respuestas. Comenten sus dudas y resuélvanlas con ayuda del profesor.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Ecuaciones
149
En equipos, analicen lo que se pide. Argumenten sus respuestas.
1. Analicen y solucionen las ecuaciones. Escriban un contexto que se resuelva con
cada una y validen el resultado de cada ecuación.
Ecuación
1
4
5 2x 2
3
3
Solución
Contexto que se resuelve con la ecuación
5
12
Seis veces un número más un tercio es igual a
dos veces ese número menos cuatro tercios.
18x 1 5 5 995
x 5 55
Dieciocho veces un número más cinco es igual
a 995.
3
x 5 105
4
x 5 140
Tres cuartas partes de un número son iguales
a 105.
x 1 2.3 5 1.8
x 5 20.5
6x 2 2x 5 424
x 5 106
2x 1 4 5 8
x52
x52
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bu
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6x 1
Un número más 2.3 es igual a 1.8.
Seis veces un número menos dos veces ese
número es igual a 424.
Dos veces un número más cuatro es igual
a ocho.
• Socialicen sus resultados con el grupo, comenten sus dudas y despéjenlas con ayuda
del profesor.
2. Una cisterna tarda 9 horas en llenarse a través de una toma de agua normal y tarda
3 horas si se llena con pipas de agua. ¿Cuánto tarda en llenarse la cisterna si se utilizan al mismo tiempo la toma y las pipas?
a) ¿Qué expresión algebraica modela el que la toma de agua llena la cisterna? Con la
expresión y 5 9x, donde y representa el tiempo necesario para llenar x cisternas.
b) ¿Y con qué expresión algebraica se modela el llenado de la cisterna a través de
P
ro
las pipas? Con la expresión y 5 3x, donde y representa el tiempo necesario
para llenar x cisternas
c) ¿Cuántas cisternas se están llenando? ¿Qué significa este dato? Se llena una
sola cisterna. Ese dato significa que al sumar los resultados anteriores se conocerá
qué parte de la cisterna se llena en una hora con las pipas y la toma de agua.
d) ¿Qué modelo de ecuación de la tabla anterior funciona para resolver el proble3
ma? El tercer modelo es el más parecido: 4 x 5 105.
e) ¿Cuánto tarda en llenarse la cisterna si se utiliza la toma de agua y las pipas al
mismo tiempo? Expliquen. La cisterna tardará en llenarse 2.25 h si se usan la
toma de agua y las pipas a la vez.
• Compartan sus respuestas. Comenten sus dudas y resuélvanlas con ayuda del profesor.
Resuelves problemas mediante ecuaciones lineales.
Secuencia
didáctica 22
Sesión 1
150
Ángulos interiores de figuras II
Reúnete con un compañero, hagan lo que se pide y respondan.
1. Reproduzcan diez triángulos iguales a cada uno de los que se muestran a la izquierda, marquen los ángulos y recórtenlos. Después armen tres retículas triangulares
en una hoja blanca, una con cada tipo de triángulo.
a
g
a) ¿Cuánto mide el ángulo que se forma en la retícula al unir los tres ángulos del
b
triángulo 1? Justifiquen su respuesta. Mide 180° porque la suma de los ángulos
interiores de cualquier triángulo es 180°.
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Triángulo 1
b) ¿Sucede lo mismo para las retículas que se forman con los triángulos 2 y 3?
d
z
Expliquen. Sí sucede lo mismo, pues la suma de los ángulos interiores siempre es 180°.
«
c) ¿A qué conclusión se puede llegar sobre la suma de la medida de los tres ángu-
Triángulo 2
los interiores de un triángulo cualquiera? La suma de los ángulos interiores de
cualquier triangulo es 180°.
2. Nombren en cada triángulo, a al ángulo interior de menor medida, g al ángulo interior de mayor medida y al restante, b. Después completen la tabla para verificar si la
suma de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo es de 180°.
h
i
u
16.71°
58.84°
156.64°
32.4°
13.43°
Triángulo 3
9.93°
104.45°
24.82°
18.92°
16.96°
154.08°
138.22°
20.22°
a
Medida del ángulo
b
Rojo
16.71°
58.84°
104.45°
180°
Amarillo
9.93°
13.43°
156.64°
180°
7°
18.92°
154.08°
180°
Morado
16.96°
24.82°
138.22°
180°
Rosa
20.22°
32.4°
127.38°
180°
Triángulo
Verde
P
ro
127.38°
7°
g
a 1 b 1 g 5 180°
a) ¿En todos los casos se obtiene el resultado esperado al sumar los tres ángulos
interiores? Sí, el resultado es 180°.
b) Escriban la regla que determina la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo. La suma de los ángulos interiores de cualquier triangulo es 180°.
• Compartan sus respuestas y escriban sus conclusiones sobre la validez de la regla en
los casos estudiados.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
151
Argumentos geométricos y ángulos internos
Retomen las conclusiones de la actividad anterior y contesten en equipos.
1. Mar, una alumna de primero de secundaria, llegó a las siguientes conclusiones sobre la suma de los ángulos interiores. Analícenlas y contesten.
En un triángulo equilátero se puede decir que 3a 5 180°, donde a es la medida
de los ángulos interiores y, por ello, a 5 60°.
ii. Para un triángulo escaleno se puede decir que a 1 b 1 g 5 180°; donde a, b y
g corresponden a la medida de sus ángulos interiores.
iii. En un triángulo isósceles se puede decir que 2f 1 Ã 5 180°, donde f representa la medida de los ángulos interiores de igual medida y Ã, la medida del
tercer ángulo interior.
hi ©
bi SA
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st N
ri A
bu
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ón
i.
a) ¿Cuál es su postura con respecto a lo que concluyó Mar? Expliquen. R. M. Las
tres conclusiones son correctas.
b) ¿Cuál de estas tres conclusiones se aplica para los triángulos de la página ante-
rior? Expliquen. Las tres conclusiones porque en la página anterior hay un
triángulo equilátero, uno isósceles y varios escalenos.
c) ¿Cómo convencerían a sus compañeros de otro equipo que la afirmación a 1 b
1 g 5 180° es verdadera? Expliquen. R. L.
2. Analicen los triángulos. Usen el transportador para medir los ángulos internos.
3
1
4
5
2
8
7
6
9
a) ¿Qué triángulos cumplen con la igualdad a 1 b 1 g 5 180°? Todos los triángulos
cumplen con la igualdad; en particular, los triángulos 3, 5, 8 y 9 porque son escalenos.
b) ¿Y con 3a = 180°? Los triángulos 2, ¿Y con 2f + Ã = 180°? Los triángulos 1, 6
4y7
• Comparen sus respuestas y verifiquen que sean correctas.
P
ro
a
Trabaja de manera individual. Argumenta tus conclusiones ante tu grupo.
g
b
a
a a
1. Traza en GeoGebra o en una hoja dos triángulos que cumplan con cada una las
condiciones:
a) a 1 b 1 g 5 180°
b) 3a 5 180°
c) 2f + Ã = 180°
v
f f
Determinas la suma de los ángulos interiores de triángulos.
152
Secuencia didáctica 22
Sesión 2
Cierto o falso
Reúnete con un compañero y analicen el planteamiento.
1. Seleccionen la opción que consideren verdadera. Argumenten su elección.
3
4
2
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1
8
ángulos congruentes.
Son aquellos cuya
medida en grados es
igual.
•
•
v 5 45°
g 5 45°
•
Los ángulos v y g
son congruentes.
5
6
7
9
a) Para los triángulos 1 y 6, ¿qué relaciones hay entre sus ángulos interiores?
i.
Dado que uno de sus ángulos mide 90°, los otros dos son complementarios,
es decir, su suma siempre será de 90°.
ii. Dado que uno de sus ángulos mide 90°, los otros dos son obtusos, es decir,
su suma siempre será de 90°.
iii. Dado que uno de sus ángulos mide 90°, los otros dos suman 90°.
b) ¿Cómo son las medidas de los ángulos interiores de un triángulo rectángulo
isósceles?
i.
La suma de la medida de sus ángulos interiores es de 90°, uno de ellos es
recto y los dos restantes son ángulos congruentes.
ii. La suma de la medida de sus ángulos interiores es de 180°, uno de ellos es
recto y los dos restantes son ángulos congruentes, cada uno de 45°.
iii. La suma de la medida de sus ángulos interiores es de 180°, uno de ellos es
recto y los dos restantes tienen medidas diferentes que suman 90°.
P
ro
c) Para los triángulos 2 y 7, ¿qué relaciones hay entre sus ángulos interiores?
i. La medida de dos de sus ángulos interiores es congruente.
ii. Uno de sus ángulos es obtuso y dos son agudos.
iii. Sus tres ángulos interiores son agudos y congruentes.
d) Para los triángulos 5, 8 y 9, ¿cómo se definen las relaciones entre las medidas
de sus ángulos interiores?
i.
Ninguno de sus ángulos son congruentes, pero la suma de la medida de los
tres es 180°.
ii. Los tres ángulos son agudos y complementarios. La suma de las tres medidas es igual a 180°.
iii. Ninguno de sus ángulos son congruentes, pero sí complementarios; dos son
agudos y uno es obtuso, los tres suman 180°.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
153
2. Redacten, basándose en argumentos geométricos, la relación entre los ángulos interiores de los triángulos 3 y 4.
Triángulo 3: R. L.
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Triángulo 4: R. L.
3. Analicen cada situación, respondan y justifiquen con fundamentos geométricos sus
respuestas.
a) Sea DABC equilátero, ¿puede uno de sus ángulos interiores medir 70°? No porque la suma
de los ángulos interiores debe ser 180°. Por tanto, cada ángulo debe medir 180° 4 3 5 60°.
b) Sea DABC isósceles, ¿dos de sus ángulos interiores pueden medir 95° cada
uno? No porque la suma de esos dos ángulos debe ser menor que 180°, pero
95° 1 95° 5 190°.
c) Sea DABC rectángulo isósceles, si uno de sus ángulos interiores es de 40°, ¿los
otros dos ángulos interiores pueden medir 70°? No porque uno de sus ángulos
interiores debe medir 90°.
• Comenten sus respuestas y escriban sus reflexiones.
En grupo revisen la siguiente información para formalizar lo que han construido:
Ángulos interiores de triángulos
De acuerdo con el tipo de triángulo, se tienen las siguientes generalizaciones.
Equilátero: sus ángulos interiores son congruentes, por tanto 3a 5 180°. Esto quiere
decir que los tres son agudos, y a = 60°.
P
ro
Isósceles: dos de sus ángulos interiores son congruentes y si se suman, el resultado
mayor que se puede obtener es 90°, ya que 2a 1 b 5 180°.
Escaleno: las medidas de sus tres ángulos interiores son desiguales, por tanto
a 1 b 1 g 5 180°.
Obtusángulo: un ángulo interior es mayor de 90° y a 1 b 1 g 5 180°.
• Si hay dudas expónganlas para disiparlas con la colaboración de todo el grupo. Propongan
ejemplos para verificar que la información anterior es clara y comprensible para todos.
Determinas la generalización de la suma de los ángulos
interiores de triángulos.
154
Secuencia didáctica 22
Sesión 3
Cuadriláteros y ángulos interiores
Realicen en parejas lo que se pide.
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1. Marquen los ángulos que sean congruentes en cada figura. Usen un color para marcar los ángulos suplementarios y otro color para los complementarios.
a) ¿Dos o más ángulos congruentes también pueden ser complementarios y ad-
yacentes? Expliquen. No porque los ángulos adyacentes son suplementarios,
es decir, suman 180°, y los ángulos complementarios suman 90.
b) ¿Cuál de los paralelogramos anteriores tiene los ángulos diagonalmente opues-
ángulos adyacentes.
Son los que tienen
el vértice y un lado
en común, y sus
otros dos lados son
semirrectas opuestas.
tos congruentes y sus ángulos consecutivos son suplementarios? Argumenten.
El cuadrado, el rectángulo y el romboide. Eso se debe a que en las primeras dos
figuras cada ángulo mide 90°, mientras que en el romboide y hay dos pares de
ángulos de la misma medida.
• Escriban una conclusión acerca de lo realizado. En grupo, discutan la siguiente
información:
Ángulos interiores de cuadriláteros
Se sabe que la suma de los ángulos interiores de un paralelogramo es de 360°. Sus
ángulos diagonalmente opuestos son congruentes. Sus ángulos consecutivos son suplementarios, es decir, suman 180°. Tanto el cuadrado como el rectángulo tienen ángulos interiores rectos, todos ellos congruentes. El rombo tiene ángulos diagonalmente
opuestos congruentes.
c) Verifiquen que la información sea clara y comprensible para todos.
P
ro
2. Determinen el valor de los ángulos b y d y respondan.
a) ¿Cuál es el ángulo adyacente al ángulo a? El ángulo b
b) ¿Cómo es el ángulo d, con respecto al ángulo adyacente a a? Son suplementarios,
suman 180°.
b
d
•
•
a 5 135°
•
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
•
•
155
c) ¿Cómo pueden conocer el valor del ángulo d? Expliquen. Ya que a y d son
suplementarios y a 5 135°, d = 180° 2 a 5 180° 2 135° 5 45°.
d) ¿Cuál es la medida del ángulo b? Justifiquen su respuesta. Como b y d son
suplementarios y d 5 45°, se tiene que b 5 180° 2 d 5 180° 2 45° 5 135°.
• Comparen sus respuestas y escriban una conclusión general acerca de la explicación
geométrica de la suma de los ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Trabajen en parejas.
1. Analicen el siguiente paralelogramo, después contesten.
C
•
g
v
B
•
« 5 75.96°
D
•
•A
a) Con la información que se proporciona, ¿de cuál de los ángulos no marcados se
puede calcular la medida? Expliquen. Del ángulo B porque su medida es igual a
la del ángulo opuesto diagonalmente.
b) ¿Qué tipo de triángulo es ACD? Es un triángulo escaleno.
c) ¿Cuánto mide el ángulo g?
65.75°
¿Y el ángulo v?
38.29°
d) Expliquen con razonamientos geométricos cómo se pueden calcular las medi-
das de los ángulos del inciso anterior. No es posible calcular las medidas de los
ángulos con argumentos geométricos.
2. En el cuadrilátero se ha trazado una de sus diagonales y se obtienen dos triángulos.
Analicen la figura y contesten.
C
•
P
ro
ángulos interiores de un cuadrilátero? Utilicen argumen-
tos geométricos. R. M. Cualquier cuadrilátero se puede
dividir en dos triángulos, entonces la suma de sus ángulos
g
d
a) ¿Cómo explicarían a otro compañero cuánto suman los
D• «
b
z
B
•
a
•
A
interiores es igual a la suma de los ángulos interiores de los
dos triángulos, es decir, 360°.
• Comparen sus argumentos con los de otros compañeros para validarlos. Con ayuda del
profesor, verifiquen que sean correctos. Si tienen dudas, aclárenlas en grupo.
Determinas la generalización de la suma de los ángulos
interiores de cuadriláteros.
156
Ángulos interiores de cuadriláteros
En esta sección aprenderás a determinar el valor de los ángulos interiores de un cuadrilátero con GeoGebra.
1. Realiza de manera individual lo que se pide.
i.
Visita la página www.geogebra.org/?lang=es y selecciona “Iniciar GeoGebra” y
luego “GeoGebraGeométrica”.
iii. Selecciona la opción “Polígono”
en las herramientas básicas.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
ii. Da clic en la configuración y
en “Vista Gráfica” selecciona la
opción “Cuadrículas mayor y menor” para agregar una cuadrícula.
P
ro
2. Sigue los pasos para trazar un cuadrilátero como el que se muestra. Para cerrar
el cuadrilátero, después de dar clic en el vértice D, debes dar clic en el vértice A
nuevamente.
i.
ii.
iii.
iv.
a) ¿Qué tipo de cuadrilátero formaste? R. M. Un romboide
b) ¿Qué característica tiene el cuadrilátero? R. M. Tiene dos pares de lados
opuestos, iguales y paralelos entre sí, sus diagonales no son perpendiculares.
c) ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores del cuadrilátero? 360°
d) ¿Uno de los ángulos puede medir 90°? ¿Por qué? No, por la forma en que se
construyó el cuadrilátero, tiene dos ángulos agudos (menores que 90°) y dos
obtusos (mayores que 90°).
157
3. Sigue los pasos para validar tus respuestas.
Vuelve a la configuración y agrega la etiqueta de los lados del cuadrilátero (a, b,
c y d).
ii. Selecciona la opción “Ángulos” de las opciones de “Medición” y, dando clic en
los lados a y d, aparecerá la medida del ángulo que se forma entre ellos.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
i.
iii. Repite el proceso anterior para visualizar el resto de los ángulos: Para el vértice
D da clic en c y luego en d; para el vértice C da clic en b y luego en c; y para el
vértice B da clic en a y luego en b.
a) ¿Qué tipo de cuadrilátero formaste? R. M. Un romboide
b) ¿Cómo son sus ángulos? R. M. Tiene dos pares de ángulos opuestos iguales.
c) ¿Cuánto mide el ángulo adyacente al ángulo que se forma en el vértice A? 45°
d) Escribe, algebraicamente, la suma de los ángulos interiores. A 1 B 1 C 1 D
5 360°
4. Utiliza lo que aprendiste para realizar la siguiente actividad en GeoGebra.
i.
Traza un cuadrado.
a) ¿Cuántos ángulos tienen la misma medida y cuál es su valor? Tiene cuatro
ángulos y cada uno mide 90°.
ii. Traza un rombo.
P
ro
a) ¿Cuántos ángulos tienen la misma medida y cuál es su valor? Los ángulos
opuestos miden lo mismo. Su medida depende del trazo que el alumno realice.
iii. Traza un rectángulo.
a) ¿Cuántos ángulos tienen la misma medida y cuál es su valor? Tiene cuatro
ángulos y cada uno mide 90°.
iv. De acuerdo a tus resultados anteriores, ¿cuál es la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero? 360°
• Compara tus construcciones con las de tus compañeros y comenten sus respuestas.
Corrige si lo consideras necesario.
158
Secuencia
didáctica 23
Sesión 1
El perímetro de un polígono
Realicen en parejas lo que se pide y respondan.
1. Dado el triángulo ABC, seleccionen la manera de obtener la medida de su perímetro.
B
•
C
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
•
•
A
A.
B.
C.
D.
El perímetro del triángulo ABC es igual a la suma de la base y la altura.
El perímetro del triángulo ABC es igual a la suma de la base y la altura por 2.
El perímetro del triángulo ABC es igual a la suma de todos sus lados.
El perímetro del triángulo ABC es igual a la suma de la base por dos.
2. ¿Con la afirmación que seleccionaron se calcula el perímetro de los siguientes triángulos? Argumenten cada caso y obtengan las medidas necesarias.
F
A
G
b
D
I
a
a
B
E
C
H
a) Obtengan las medidas necesarias y calculen el perímetro del triángulo ABC y
P
ro
del triángulo DEF. Triángulo azul: Perímetro 5 11.46 cm Triángulo morado:
Perímetro 5 9 cm
b) ¿Cuál es el perímetro del triángulo amarillo? Justifiquen su respuesta. El triángulo
amarillo tiene un perímetro de a 1 a 1 b 5 2a + b 5 8.6 cm.
c) ¿Se puede generalizar el procedimiento usado para calcular el perímetro de
cualquier triángulo? Si sí, representen algebraicamente el procedimiento.
Sí se puede generalizar: P 5 a 1 b 1 c, donde P representa el perímetro, y a, b
y c son los lados del triángulo.
3. Seleccionen la expresión o expresiones con la que se puede calcular el perímetro
del triángulo amarillo. Argumenten su elección.
•
•
a1a1b
a1b
•
•
2a 1 b
a1a
• Discutan en parejas si para determinar el perímetro de cualquier polígono es necesario
conocer las medidas de sus lados o no. Registren sus acuerdos.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Magnitudes y medidas
159
Procedimientos con literales
Realicen en parejas las siguientes actividades.
1. Determinen el perímetro del rectángulo y del cuadrado.
Perímetro del rectángulo: 14u
Perímetro del cuadrado: 4u
•
• •
•
•
• •
•
u
u
6u
hi ©
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bu
ci
ón
2. Joselín y Paolo escribieron el perímetro del cuadrado y del rectángulo como se
muestra en la tabla. Analícenlos y contesten.
Estudiante
Joselín
Paolo
Perímetro del cuadrado
u 1 u 1 u 1 u 5 4u
u 3 4 5 4u
Perímetro del rectángulo
6u 1 6u 1 u 1 u 5 12u 1 2u
(6u 3 2) 1 (u 3 2) 5 14u
a) ¿Qué piensan del procedimiento empleado por Joselín y Paolo? Argumenten.
Ambos procedimientos son correctos porque las expresiones son equivalentes.
b) ¿Son correctas las expresiones 12u 1 2u y 14u dadas en el cálculo del perímetro
del rectángulo? ¿Por qué? Sí son correctas porque u es la misma medida y
entonces 12u 1 2u 5 14u.
c) Comparen sus resultados con los de Joselín y Paolo. ¿Cómo son? Expliquen.
R. L.
d) Discutan qué características tienen las expresiones 12u 1 2u y 14u. Registren
sus reflexiones: R. L.
• Escriban una conclusión acerca de lo realizado. En grupo, discutan la siguiente
información:
Perímetro
El perímetro de una figura es la longitud de su contorno. Se obtiene al sumar las longitudes de sus lados.
P
ro
e) De acuerdo con la información, ¿qué significa que el perímetro es la longitud del
f)
contorno de la figura? R. M. Significa que para conocer el valor del perímetro
basta con sumar la medida de los lados de la figura.
¿Y qué significa que el perímetro es la suma de las longitudes de los lados de la
figura? R. M. Significa que su valor es la medida del contorno de la figura.
g) ¿Ambas afirmaciones son equivalentes? ¿Sus representaciones con literales,
números y operaciones también son equivalentes? Expliquen. Sí son equivalentes
porque expresan la misma medida de distintas formas.
• Socialicen sus argumentos con otros compañeros y lleguen a acuerdos con la ayuda de
su profesor.
Desarrollas fórmulas o expresiones algebraicas equivalentes que refieren al
perímetro de polígonos (cuadrado, triángulo, rectángulo).
160
Secuencia didáctica 23
Sesión 2
Expresiones generales y el perímetro
Trabaja con un compañero las siguientes actividades.
1. Analicen las figuras y contesten.
k
2x
x
o
4.5a
hi ©
bi SA
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T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
14b
6x
8b
a) ¿Cuánto mide un lado del decágono? Mide o unidades
b) ¿Cuál es la suma de las longitudes de los lados del decágono? La suma es 10o
unidades.
c) ¿Cuánto mide el perímetro del hexágono? Mide 27a unidades
d) ¿Cuánto mide el perímetro del rombo? Mide 4k unidades
e) ¿La medida del perímetro del romboide es 16b 1 28b? ¿Por qué? Sí, porque
8b 1 8b 1 14b 1 14b 5 16b 1 28b.
2. Escriban de dos formas distintas la medida del perímetro de cada figura.
Representen con P el perímetro. R. M.
Rombo
Trapecio
Romboide
P 5 10x
P 5 44b
P 5 4k
P
5
x
1
x
1
2x
P 5 16b 1 28b
P 5 2k 1 2k
1 6x
Hexágono
P 5 27a
Decágono
P 5 10o
P 5 (4.5a)(6)
P 5 (10a)(o)
3. Para calcular el perímetro del triángulo morado, Rosa realizó el siguiente
planteamiento.
La longitud del contorno del triángulo está representada por l + m + n
l
n
P
ro
m
l es la medida del lado 1.
m es la medida del lado 2.
n es la medida del lado 3.
Entonces el perímetro (P) del triángulo es P 5 l 1 m 1 n
a) ¿Con la expresión de Rosa se puede calcular el perímetro de cualquier triángulo?
Expliquen. Sí, porque el perímetro de un triángulo es la suma de la medida de
sus tres lados.
b) Escriban una expresión general que permita calcular el perímetro de cualquier
rombo, trapecio, romboide o polígono regular. R. M. P 5 l 1 m 1 n 1 o 1 ...,
donde P representa el perímetro y l, m, n, o, etc., las medidas de los lados del
polígono.
• Socialicen su trabajo y entre todos verifiquen que las expresiones dadas sean
correctas.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Magnitudes y medidas
161
Trabajen en equipo.
4. Retomen las expresiones generales de la actividad anterior y resuelvan. R. M.
Longitud del contorno
a)
P5l1m1n1o
l1m1n1o
l es la medida del lado 1.
l
o
Perímetro (P)
m
m es la medida del lado 2.
n es la medida del lado 3.
hi ©
bi SA
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T
su IL
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ri A
bu
ci
ón
n
o es la medida del lado 4.
b)
P 5 4a
a1a1a1a
a
2a 1 2a es la medida de cuatro lados.
a
4 3 a es la medida de cuatro lados.
a, es la medida de un lado.
c)
2b 1 2h
h
b
b
b es la medida de los lados 1 y 3. P 5 2h 1 2b
h es la medida de los lados 2 y 4.
h
d) ¿Cómo son las expresiones generales en relación con las que plantearon en
la actividad anterior? ¿Con ambas se puede calcular el perímetro de cualquier
figura, según sea el caso? Expliquen. R. M. Sí, pues son expresiones
equivalentes, y en cada caso se suman todos los lados de una figura para
conocer su perímetro.
• Socialicen sus respuestas y argumentos.
Contesta de manera individual. Socializa tus respuestas.
P
ro
1. Expresa de dos formas distintas el perímetro de las figuras y justifica
tu respuesta. R. M. Triángulo azul: 2b 1 6b 1 8b 5 16b
Triángulo morado: 3a 1 3a 1 4a 5 10a
•
2b
•
6b
•
8b
3a
•
•
4a
•
2. Un hexágono tiene de perímetro 72j. ¿Cuánto mide uno de sus lados? Mide 12j
unidades porque 72j 4 6 5 12j
Desarrollas fórmulas o expresiones algebraicas equivalentes
que refieren al perímetro de polígonos.
162
Secuencia didáctica 23
Sesión 3
Pi, un número necesario
Realicen en parejas lo que se pide.
1. Juan fabrica llaveros y necesita calcular el total de material que necesita para hacer
el cerco que ciñe o rodea una moneda como la que se muestra.
a) ¿Qué necesita hacer para saber cuánto material necesitará? Expliquen. Juan
necesita conocer la medida del perímetro de la moneda.
hi ©
bi SA
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T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
2. Usen una moneda, listón y regla. Coloquen el listón sobre la circunferencia de la
moneda y hagan una marca después de rodearla completamente. Midan con la regla graduada la longitud del listón hasta la marca.
a) ¿Qué midieron y cuánto mide? El perímetro de la moneda y mide 79.76 mm.
b) Discutan cómo se puede calcular el perímetro de una moneda sin usar un listón
o cuerda. Expliquen. R. L.
3. Coloquen la moneda como se muestra en la imagen y obtengan la medida de su
diámetro.
a) ¿Qué relación existe entre la medida del perímetro y la medida del diámetro de
la moneda? R. M. El perímetro y el diámetro se relacionan mediante una constante,
conocida como p (pi).
b) ¿Este procedimiento ayuda a conocer el perímetro de la moneda sin usar listón?
Expliquen. R. M. Sí, porque con ella se puede conocer el perímetro de
cualquier círculo.
4. Busquen un objeto cilíndrico, marquen en un papel su circunferencia y tracen su
diámetro. Dividan la medida del perímetro entre la medida del diámetro.
25.4 mm
a) ¿Cuál es el cociente? R. L.
b) ¿Qué relación hay entre la medida del perímetro y su diámetro? El perímetro es
pi veces mayor que el diámetro, es decir, aproximadamente 3.14 veces mayor.
P
ro
• En grupo y con ayuda de su profesor, analicen si el cociente en todos los casos es el
mismo. Realicen la actividad empleando otros objetos cilíndricos. Después lleguen a un
consenso sobre el cociente y sus características y lean la siguiente información:
Pi (π)
El cociente de dividir la longitud de la circunferencia (medida del perímetro del círculo)
entre la medida del diámetro se conoce como pi (π) , que es una letra del alfabeto griego:
medida del perímetro 5 π.
medida del diámetro
Las aproximaciones más empledas para el valor de pi son: π ≈ 3.14 y π ≈ 3.1416
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Magnitudes y medidas
163
5. Consideren el círculo de la derecha y contesten.
a) ¿Cómo calcularían la medida de su perímetro? Expliquen. R. M. Se multiplica su
diámetro por π: 3.14 3 16 5 50.24 cm
b) ¿Cómo pueden relacionar pi con el cálculo del perímetro de cualquier círculo
•
•
16 cm
cuando se conoce la medida de su diámetro? Planteen una operación o procedimiento. Se multiplica pi por el diámetro: p 3 diámetro 5 perímetro
c) ¿Y cuando la medida del diámetro vale d? Planteen una operación o procedi-
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
miento y expliquen los elementos usados. p 3 d 5 P, donde p es una constante,
de aproximadamente 3.14, d es la medida del diámetro y P, el perímetro.
6. Joel escribió: pi 3 d 5 P, donde pi es igual a 3.14 y d es la medida de cualquier diámetro.
En el sitio
www.esant.mx/
ecsema1-036
encontrarás
información para
calcular el perímetro
de polígonos y el
círculo. Comenta
tus experiencias
con tus compañeros,
revisa solo la parte del
perímetro de figuras.
a) ¿Están de acuerdo con el planteamiento de Joel? Expliquen su postura. R. M.
Sí, pues así se obtiene la medida del perímetro de cualquier círculo.
b) ¿Con esta expresión o fórmula se puede calcular el perímetro de cualquier círculo? Expliquen. Sí, ya que la fórmula es para cualquier diámetro.
7. Joel investigó que la fórmula del perímetro de un círculo es P 5 2 3 r 3 π y también P 5 d 3 π.
a) ¿Qué identifican al comparar ambas fórmulas? Son equivalentes porque el
diámetro es dos veces mayor que el radio.
b) Analicen los círculos. ¿Qué relación identifican entre d, que es el diámetro, y r,
que es el radio del círculo? Expliquen.
El diámetro es el doble de grande que el radio.
• Socialicen sus respuestas y argumentos. Después escriban una conclusión general sobre la expresión general o fórmula para calcular el
perímetro de polígonos y el círculo.
•
Radio del círculo
• •
•
Diámetro
Perímetro de un círculo
P
ro
El perímetro de un círculo es la longitud de la circunferencia.
Perímetro del círculo 5 π 3 d 5 π 3 2 3 r donde d representa el diámetro y r, el radio
del círculo.
Trabajen en parejas.
1. Calculen el perímetro de las figuras y validen sus respuestas.
a)
b)
•
4b
•
Perímetro = 12.56b
a
4a
c)
31a
2x
x
5a
Perímetro = 10a
d)
6x
Perímetro = 12 1 4a
Perímetro = 10x
Desarrollas fórmulas o expresiones algebraicas equivalentes
que refieren al perímetro del círculo.
Secuencia
didáctica 24
Sesión 1
164
Cálculo del área de polígonos
Reúnete con un compañero y realicen lo que se pide.
1. La medida del lado de un cuadrado es 4p, como se muestra en la imagen.
a) ¿Cómo se obtiene el área del cuadrado? ¿Cuál es su medida? Ver solucionario
4p
b) ¿Qué representa p? Expliquen. La literal p representa un valor desconocido;
además, corresponde a un cuarto de la medida de un lado del cuadrado.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
c) Si en lugar de medir 4p, el lado midiera l o z, o cualquier otra literal, ¿el procedi-
miento para calcular el área sería el mismo? ¿Por qué? R. M. Sí, porque el
procedimiento es el mismo para cualquier cuadrado, es decir, no depende de las
literales elegidas.
2. En la tabla se muestran las medidas de la base y altura de varios rectángulos.
Completen la tabla y respondan.
Medida de la base (cm)
6
l
6
p
b
Medida de la altura (cm)
9
54
5
5l
m
6m
q
pq
h
bh
2
Área (cm )
a) ¿Qué relación identifican entre la medida de los lados y la del área? Expliquen.
El área es igual al producto de la medida de los lados.
b) ¿Qué características tienen las expresiones de las dos últimas columnas al
calcular el área? En las expresiones solo hay literales.
c) ¿Con la expresión A 5 b 3 h se calcula el área de cualquier rectángulo? Expliquen. Sí, porque el área es igual a la medida de la base por la altura.
• Comparen sus respuestas con el resto del grupo.
De los números al uso de letras
Trabajen en equipo.
h
P
ro
1. El rectángulo de la izquierda se ha cortado por una de sus diagonales.
4
4
a) ¿Qué figuras se forman a partir de la diagonal? Se forman dos
triángulos rectángulos.
b) ¿Cuál es el área del rectángulo? A 5 4h
h
c) ¿Qué relación identifican entre el área del rectángulo y el área de uno
de los triángulos? Representen esa relación. El área del rectángulo es
el doble del área del rectángulo Atriángulo 5 4 3 h 5 2h
2
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Magnitudes y medidas
d) ¿Cómo es la expresión anterior en relación con la expresión A 5 4 3 h ? ¿Am2
bas representan el área de uno de los triángulos obtenidos? Argumenten. Son
iguales. Sí, las dos representan el área de un triángulo porque el área se obtiene
multiplicando la base por la altura y dividiendo entre dos.
165
e) Si la medida de la base del rectángulo cambia por b, ¿qué expresión permite
b3h
calcular el área del triángulo? Expliquen. A 5 2 . Es la misma expresión pero cambia la literal.
f) ¿Qué significado pueden dar a esa expresión y a las anteriores? Consideren la
transformación del rectángulo en dos triángulos iguales. Son expresiones
equivalentes con las que se puede calcular el área.
2. El triángulo isósceles se cortó para transformarlo en un rectángulo.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
a) ¿Cómo son los triángulos que se obtienen al hacer el corte? Son triángulos
rectángulos escalenos
b) ¿Cómo son el área del rectángulo formado y la del triángulo isósceles? Son
iguales porque solo se transformó la figura.
b
h
c) Si el triángulo que se corta por una de sus alturas y se transforma en un rectángulo es un triángulo equilátero, ¿se conserva la relación entre las áreas? ¿Esto
se aplica a cualquier triángulo equilátero? ¿Por qué? Sí, y sucede para cualquier
triángulo equilátero porque solo se transforma en otra figura, sin alterar la
medida de su superficie.
d) ¿Cuál es el área del rectángulo que se obtiene a través del triángulo isósceles?
El área del rectángulo es b 3 h, pues es igual a la base por la altura.
e) ¿Con qué expresión se puede calcular el área del triángulo isósceles? Expliquen.
b3h
, pues b representa la medida de media base y h, la altura.
2
f) A partir de la transformación, ¿qué interpretación pueden dar a la expresión
A 5 b 3 h ? Expliquen. La expresión representa la mitad del área del rectángulo.
2
Área 5 8 cm2
3. Analicen las figuras y contesten.
a) ¿Qué datos se conocen del rectángulo y cuáles no? ¿Cómo pueden calcular-
4 cm
lo? Se conoce su área y la medida de uno de sus lados. Se puede calcular
con la fórmula correspondiente.
b) Si b es la medida desconocida, escriban el procedimiento para determinarla y
calcúlenla. Ver solucionario
c) Realicen lo mismo para el triángulo y escriban el procedimiento para calcular el
Área 5 16 cm2
dato desconocido involucrado en el cálculo de su área. Nómbrenlo h y calculen
P
ro
su valor. Con la fórmula para calcular el área de un triángulo se tiene que
16 3 2
16 5 8h
2 , de donde h 5 8 5 4 cm.
• Socialicen sus respuestas y argumentos.
8 cm
Área de un triángulo
El área de cualquier triángulo es la mitad del área del rectángulo que tiene la misma
base y la misma altura que el triángulo. Su fórmula es A 5 b 3 h .
2
Desarrollas fórmulas o expresiones algebraicas equivalentes
que refieren al área de rectángulos y triángulos.
166
Secuencia didáctica 24
Sesión 2
El área del romboide y rombo
Resuelve de manera individual.
1. Calcula el dato desconocido en cada figura.
Área 5 50 cm2
Área 5 64 cm2
Área 5 54 cm2
2
Área 5 45 cm
h 5 10 cm
h
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
h 5 12 cm
b
b
b 5 8 cm
b 5 5 cm
b 5 9 cm
b
h 5 10 cm
b 5 9 cm
• Compara tus respuestas con las de sus compañeros. Discutan con ayuda de su maestro sus dudas y dificultades.
En parejas analicen cada caso y respondan.
2. En el romboide azul se ha trazado la altura (h) para transformarlo en un rectángulo.
h
h
b
b
a) ¿Qué relación identifican entre las medidas de sus bases y alturas? Tienen las
mismas medidas.
b) Escriban el procedimiento para obtener el área del romboide a partir de la transformación. Se multiplica la medida de la base por la altura: A 5 b 3 h
c) ¿Cómo son entre sí las áreas del romboide y del rectángulo? Son iguales
d) ¿Con este procedimiento es posible calcular el área de cualquier romboide? Jus-
P
ro
tifiquen su respuesta. Sí, pues la transformación se puede aplicar para
cualquier romboide.
• Socialicen sus respuestas en grupo. Comenten la relación que hay entre el área del
romboide y el rectángulo.
Área del romboide
El área de un romboide se calcula de la misma forma que el área de un rectángulo, multiplicando la medida de su base por la de su altura: A 5 b 3 h.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Magnitudes y medidas
167
3. En la imagen se muestra la transformación de un rombo en un rectángulo. El rombo se cortó por su diagonal
menor y mayor para obtener cuatro
triángulos rectángulos iguales, que
luego se acomodaron en el rectángulo como se muestra.
d
D
d
1
2
3
4
D
D
3
4
1
2
d
a) ¿Qué relación hay entre la medida de la base y la altura del rectángulo con las
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
diagonales del rombo? Son iguales
b) ¿Qué parte del rectángulo se usó al colocar los triángulos? Se usó la mitad
3. c) Se multiplica
la medida de la
diagonal mayor por
rombo.
la de la diagonal
d) ¿Lo anterior se aplica para cualquier rombo? ¿Por qué? Sí, pues la transformación menor y se divide
hecha no depende del romboide inicial.
entre dos: D 3 d .
e) De acuerdo con la transformación del rombo, ¿qué sentido tiene la expresión
2
D
3
d
A5
? Expliquen. Representa el área del rombo porque las figuras solo se
2
transformaron, sin modificar la medida de su superficie.
4. En la figura de la derecha, el rombo se cortó por su diagonal menor para obd
D
tener dos triángulos isósceles iguales.
c) Escriban el procedimiento con el cual es posible calcular la medida del área del
a) ¿Qué relación identifican entre el rombo y la figura formada? ¿En qué
figura se transformó? Tienen la misma área, se transformó en un
romboide.
b) ¿Qué relación identifican entre la base y la altura de la figura con las
d
D
2
diagonales del rombo? Expliquen. La altura mide la mitad que la diagonal mayor
del rombo, mientras que la base es igual a la diagonal menor.
c) ¿Con qué procedimiento es posible calcular la medida del área del rombo apo-
yándose en la transformación en romboide? Expliquen.
d
, que corresponde al área del rombo.
Con la expresión D 3
2
• Para cada caso, socialicen la expresión y el procedimiento utilizados para calcular el
área de cualquier rombo y romboide. Discutan si sus expresiones son iguales.
Área de un rombo
P
ro
El área de un rombo se obtiene multiplicando la medida de su diagonal mayor por la de
su diagonal menor y dividiendo el producto entre dos: A 5 D 3 d .
2
Trabaja de manera individual y valida tu respuesta con tus compañeros.
1. Un rombo tiene un área de 40 cm2 y la medida de su diagonal mayor mide
8 cm. ¿Cuánto mide su diagonal menor? Mide 10 cm
Desarrollas la fórmula o expresiones algebraicas equivalentes
que refieren al área de rombos y romboides.
168
Secuencia didáctica 24
Sesión 3
El área del trapecio
Trabajen en equipos las siguientes actividades.
1. En la imagen se muestra la transformación de un trapecio rectangular en un rectángulo. Se cortó al trapecio exactamente por la mitad de su altura y se acomodaron
las piezas como se muestra. Analicen la transformación y contesten.
b
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
h
B
B
b
a) ¿Cuánto mide la base del rectángulo? Mide B 1 b unidades
h
b) ¿A qué es igual la altura del rectángulo? Es igual a 2
c) De acuerdo con las respuestas anteriores, ¿cuál es el área del rectángulo? El área
del rectángulo es (B 3 2b) 3 h
d) ¿Qué interpretación pueden dar a la expresión anterior considerando la transformación del trapecio? Expliquen. La expresión permite calcular el área del
trapecio, pues tiene la misma área que el rectángulo.
e) ¿Con esa expresión se puede calcular el área de cualquier trapecio? Expliquen.
Sí, pues la transformación se puede realizar para cualquier trapecio.
h
•
•
•
b
B
•
•
B
b
•
•
•
2. Al romboide de la izquierda se le hicieron marcas para
transformarlo en dos trapecios iguales.
a) ¿Cuánto mide la base del romboide? Mide B 1 b unidades
b) ¿Cuál es el área del romboide? A 5 (B 1 b)(h)
(B 3 b) 3 h
, pues es la mitad
2
c) ¿Cuánto mide el área de un solo trapecio? Mide A 5
del área del romboide.
P
ro
• Socialicen la expresión o procedimiento con el cual se calcula el área de cualquier
trapecio y su relación con las figuras en que se transformaron. Discutan si sus expresiones son iguales o equivalentes. Registren sus conclusiones con ayuda de su
maestro. Después lean la siguiente información:
Área de un trapecio
El área de un trapecio se calcula multiplicando la medida de la altura por la suma de la
medida de la base mayor más la base menor, y dividiendo el resultado entre dos:
(B 1 b) 3 h
A5
.
2
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Magnitudes y medidas
169
3. Relacionen cada imagen con la expresión que permite calcular el dato faltante.
A 5 24 cm2
b
D 5 8 cm
b 5 10 cm
h 5 9 cm
d
100 cm2
h
B 5 15 cm
hi ©
bi SA
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T
su IL
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st N
ri A
bu
ci
ón
A 5 153 cm2
a) d 5 24 3 4
b) d 5
24
4
c) b 5
153
9
e) h 5
d) b 5 153 3 9
100
12.5
f) h 5 100 3 12.5
• Socialicen sus respuestas y argumenten por qué son correctas. Comenten con su
maestro dudas y dificultades. Registren sus conclusiones sobre el desarrollo de fórmulas geométricas a partir de transformaciones de figuras.
Trabajen en equipos.
1. ¿Cuáles de las siguientes expresiones no permiten obtener el área de un rombo?
i.
A5
ii. A 5
D
d
3
2
2
iii. A 5
1
1
D3
d
2
2
1
D3d
2
iv. A 5 D 3 d 3
1
2
a) ¿Por qué las expresiones seleccionadas no permiten calcular el área de un rombo? Porque en esos casos se divide entre 4, pero hay que dividir entre 2.
2. Analicen cada pregunta y obtengan el dato que se pide.
P
ro
a) ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado que tiene de área 81 cm2? Mide 9 cm
porque 9 3 9 5 81
b) ¿Cuánto mide la base de un rectángulo que tiene 180 cm2 de área y cuya altura
es de 40 cm? La base mide 4.5 cm, pues 180 4 40 5 4.5.
c) ¿Cuál es la medida de la altura de un romboide cuya área es de 400 cm2 y la
medida de su base es de 50 cm? Mide 8 cm porque 400 4 50 5 8
En la siguiente
página encontrarás
un interactivo sobre
perímetro y área de
figuras.
www.esant.mx/
ecsema1-037
También puedes
visitar el siguiente
portal educativo,
donde encontrarás las
fórmulas deducidas
en esta secuencia.
www.esant.mx/
ecsema1-038
Comenta en clase tus
experiencias al visitar
los sitios sugeridos.
• Socialicen sus respuestas y argumentos. Escriban una conclusión relacionada con
cómo determinar la expresión general para determinar el área para cualquier rombo,
romboide y trapecio, y cómo esta expresión es útil para calcular un valor desconocido cuando se conoce el área.
Desarrollas la fórmula o expresiones algebraicas equivalentes
que refieren al área de trapecios.
170
Secuencia
didáctica 25
Sesión 1
Sectores circulares de una gráfica
Reunidos en equipos, lean la información y contesten.
1. Martha y Julieta realizaron una encuesta a sus compañeros de clase para conocer
el tipo de programa de televisión que prefieren. Presentaron los resultados con la
gráfica que se muestra. Noé les preguntó cómo elaboraron la gráfica.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Programa televisivo favorito
4%
¿Sabías que
interpretar y construir
gráficas es una forma
de comunicación? En
estas puedes registrar
los resultados de
investigaciones sobre
temas relevantes para
tu comunidad y, con
base en estos, tomar
decisiones.
34%
40%
Series
Noticiarios
Musicales
Caricaturas
22%
a) Si ustedes hubieran elaborado la gráfica, ¿qué le responderían a Noé? R. M.
Primero se calcula el porcentaje que representa cada programa con respecto al
total y luego se divide el círculo de acuerdo con el porcentaje obtenido.
2. Analicen la gráfica y contesten con la guía de su profesor.
a) ¿En cuántas partes se dividió la gráfica 360°? En cuatro partes
b) ¿Cómo son entre sí las divisiones? Expliquen. Son desiguales porque
representan distintos porcentajes.
c) Al considerar la gráfica como un círculo, para hacer la división de las partes,
¿qué punto tienen en común o cuál es su origen? El centro del círculo.
d) ¿Cuál es la suma de los porcentajes? Es 100%.
P
ro
e) ¿Qué relación identifican entre las partes en que se dividió la gráfica y el porcentaje que representan? Hay una relación de proporcionalidad entre las partes de
la gráfica y el porcentaje que representan.
f)
Con base en el análisis de la gráfica, discutan cómo pueden elaborar una gráfica
360°. De ser necesario, consulten fuentes de información impresas o electrónicas. R. L.
• Comenten con sus compañeros sus respuestas y argumentos. Expliquen cómo
piensan que se elabora una gráfica 360°. Luego indaguen cómo se llaman las partes en que se divide la gráfica 360° o consulten a su profesor.
Eje: Análisis de datos
Tema: Estadística
171
En parejas, lean la información y hagan lo que se pide.
1. La maestra de Martha solicitó al grupo realizar la siguiente actividad con papel doblado para analizar la relación entre las partes de un círculo y el porcentaje que representan del total. Lleven a cabo la actividad y respondan.
Marquen en un papel la circunferencia de una moneda o de un
objeto cilíndrico.
ii. Recorten el círculo para obtener la imagen como se muestra en
el paso 1.
iii. Doblen el círculo, exactamente por la mitad, como se muestra
en los pasos 2 a 4.
iv. Marquen con lápiz la línea del doblez. Esa línea se llama diámetro del círculo.
2
1
3
hi ©
bi SA
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T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
i.
4
6
radio
5
a) ¿Por qué una mitad del círculo representa su 50%? Expliquen.
Porque el área es la misma en cada una de las dos mitades:
1
representa 50%
2
2. Doblen una segunda vez el círculo por la mitad (paso 5). Marquen el doblez, como
se muestra en el paso 6. Esa línea se llama radio del círculo.
a) ¿Por qué un cuarto del círculo representa su 25%? Porque cada parte
representa un cuarto del círculo y 41 corresponde a 25%.
b) ¿Qué parte del círculo representa 10%? ¿Y 20%? Una décima y una veinteava
parte del círculo, respectivamente.
c) Midan el diámetro y el radio del círculo. ¿Qué relación identifican entre ellos?
Expliquen. La media del diámetro es el doble de la medida del radio del círculo.
•
3. Martha investigó que cada parte de la gráfica se llama sector circular e hizo el dibujo
de la derecha.
a) Al analizar el círculo, ¿qué características identifican del sector circular? R. M.
Los lados del sector circular son también radios del círculo.
b) ¿Cómo piensan que se miden los sectores circulares? Expliquen. R. M. Con la
medida del ángulo central con que se forman.
Sector circular
Sector circular
Arco
c) ¿Por qué es necesario saber cómo se miden los sectores circulares para cons-
P
ro
truir una gráfica 360°? Porque de ese modo es posible saber cómo construir
una gráfica circular.
• Socialicen sus argumentos y respuestas. Después compárenlos con la siguiente
definición:
radio
radio
Sector circular
Un sector circular es una porción del círculo determinada por dos radios y un lado curvo llamado arco.
Recolectas, registras e interpretas datos. Construyes gráficas a
partir del establecimiento de porcentajes.
172
Secuencia didáctica 25
Sesión 2
Tabla de frecuencias y gráfica 360⁰
Hagan lo que se pide en equipos.
1. Tino realizó una encuesta a sus vecinos para saber qué fruta prefieren. Los resultados los organizó en una tabla, donde registró la frecuencia de respuestas y el
porcentaje que representan, ya que hará una gráfica 360°. Completen la tabla.
Consideren que como los porcentajes son aproximaciones, para facilitar su aplicación, la suma total también es una aproximación.
Porcentaje (%)
(aproximación)
20
18.18
25
22.7
Mandarina
49
44.5
Lima
10
9
6
5.5
110
100
Naranja
Limón
Otra
Total
a) ¿Qué fruta tiene mayor preferencia?
hi ©
bi SA
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T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Frecuencia (f)
Fruta
La mandarina ¿Cuál tiene la menor preferen-
cia? La lima
b) ¿Qué fruta prefiere 44.5% de los encuestados?
La mandarina
c) ¿Es posible construir una gráfica 360° con los
datos de la tabla? Expliquen. Sí, pues a partir
de los porcentajes se pueden construir los
sectores circulares de la gráfica.
• Discutan sus respuestas y argumentos. Luego analicen la información:
Sector circular y tabla de frecuencias
Una tabla de frecuencias es un registro que muestra la distribución de los datos mediante sus frecuencias o repeticiones. Para construir una gráfica 360° se necesita conocer el total de los datos y la frecuencia. Con esta información se puede calcular la
medida del sector circular que los represente.
360°
3 f, donde a es la medida del ángulo del sector circular,
Total
360° es la medida total en grados de un círculo y f es la frecuencia de datos, se puede
calcular la medida en grados del sector circular de acuerdo con la frecuencia de datos,
y con ello construir una gráfica 360° o circular.
Al aplicar la fórmula: a 5
P
ro
2. Analicen el ejemplo y completen la tabla. Consideren que como los valores del ángulo son aproximados, la suma total también sera una aproximación.
Fruta
Naranja
Limón
Mandarina
Lima
Otros
Total
Eje: Análisis de datos
Tema: Estadística
Cálculo del ángulo
360°
3 20
110
a 5 360
110 3 25
a5
a 5 360
110 3 49
360
a 5 110 3 10
a 5 360
110 3 6
360
a 5 110 3 110
Medida del ángulo
(aproximación)
65.45°
81.8°
160.4°
32.7°
19.6°
360°
173
3. Elaboren en el círculo la gráfica 360° que representa los resultados del estudio de Tino y Tomás. Escriban el título y los datos
asociados con las respuestas. Usen su transportador.
Fruta preferida en invierno
19.6°
32.7°
65.4°
a) Describan cómo se puede elaborar una gráfica 360° o
circular. R. M. Primero se localiza el centro del círculo.
Luego se divide 360 entre el total de datos y el resultado se
81.8°
Naranja
Limón
Mandarina
Lima
Otros
160.4°
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
multiplica por la frecuencia de cada dato, con lo que se obtiene
la medida del ángulo central del sector circular correspondiente.
• Socialicen sus procedimientos. Verifiquen que sean claros para todos.
4. Lleven a cabo una encuesta para saber qué fruta con vitamina C prefieren los compañeros de su escuela. Consideren lo siguiente:
•
•
•
Planteen una pregunta y cuestionen a 25 o 30 alumnos.
Realicen una tabla de frecuencias para organizar los resultados.
Elaboren la gráfica circular que representa los datos obtenidos para presentar
sus resultados a la clase. Después respondan.
a) Dada una tabla de frecuencias y una gráfica circular, ¿cuál de ellos permite analizar mejor la información de un estudio como el realizado? R. M. Una gráfica
circular porque con esta se visualiza de manera más sencilla los resultados
del estudio.
• Discutan sus respuestas y argumentos. Analicen la siguiente información.
Gráficas circulares
En la siguiente
página encontrarás
información que
te ayudará a
recordar cómo usar
el transportador.
www.esant.mx/
ecsema1-039
P
ro
Son una herramienta útil para hacer un análisis visual acerca de los datos que se
representan, los cuales son del mismo tipo. De acuerdo con la finalidad del análisis,
la información representada se puede comparar y, con ella, establecer conclusiones. En una gráfica 360° se representa una serie de cantidades y consiste en un
círculo dividido en varios sectores, cuyo tamaño se corresponde con las proporciones de las cantidades.
1. Busca gráficas 360° en internet o en materiales impresos. Analiza el tipo de información que representan y completa la tabla.
R. L.
Gráfica 360°
Temas o tipos de datos
a) Comenta en clase el tipo de datos que se representan en las gráficas 360°.
Construyes gráficas a partir del establecimiento de porcentajes.
174
Secuencia didáctica 25
Sesión 3
Estudios cualitativos y gráfica 360⁰
Trabajen en equipos.
1. Raúl y Guadalupe mostraron al salón los resultados de su investigación.
Resultados de la investigación
Número de
hijos
Lugares para
vacacionar
Géneros
musicales
Contaminantes
ambientales
hi ©
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T
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ri A
bu
ci
ón
Temas o tipos
de datos
a) ¿Qué características tienen estos temas o datos que se representan en las gráficas 360°? Representan una preferencia o un gusto y se pueden medir.
• Discutan sus respuestas y argumentos. Analicen la siguiente información:
Datos que se representan en una gráfica 3600
Los datos que se representan en una gráfica 360° pueden ser cualitativos o cuantitativos.
Una variable cualitativa da cuenta de cualidades que no pueden ser medidas con números. Hay dos tipos de variables cualitativas:
1. Variable cualitativa nominal: representa cualidades no numéricas y que no se
pueden ordenar. Por ejemplo, la preferencia de sabores de un dulce, con las siguientes modalidades: fresa, tamarindo, menta, etcétera.
2. Variable cualitativa ordinal: representa modalidades no númericas, en las que
existe un orden. Por ejemplo, el servicio en el banco: excelente, bueno, regular o
deficiente.
Las variables cuantitativas son las que se expresan mediante números, por tanto, se
pueden realizar operaciones aritméticas con ellas.
b) En la gráfica 360° de Martha y Julieta al inicio de la secuencia, ¿qué tipo de
variables se representaron? Variables cualitativas nominales
c) ¿Y en la de Tino y Tomás? Variables cualitativas nominales
P
ro
d) Escriban el tipo de variable de los temas de las gráficas de Raúl y Guadalupe.
Solo el número de hijos corresponde a variables cuantitativas, las demás son
variables cualitativas nominales.
• Socialicen sus respuestas y argumentos. Con ayuda del maestro escriban sus coincidencias y acuerdos.
2. Ahora realizarán un estudio para después representar sus resultados en una gráfica
360° o circular. Para ello, consideren las siguientes acciones:
i.
Seleccionen un tema de interés: cuidado del medioambiente, aspiraciones de
los alumnos de secundaria, preferencias musicales o artísticas, entre otros. Una
vez que hayan acordado escriban:
• Título del estudio, preguntas para recolectar la información y objetivo del estudio.
Eje: Análisis de datos
Tema: Estadística
175
ii. Determinen la población a la que aplicarán su estudio (compañeros, maestros,
padres de familia) y la cantidad de personas que van a encuestar. Una vez que
hayan acordado, escriban lo que se solicita:
•
Total de personas por encuestar y características específicas.
iii. Realicen una tabla de frecuencias para registrar las respuestas y elaboren la
gráfica 360° en su cuaderno. Después contesten:
a) ¿La pregunta que plantearon les ayudó a obtener los datos que necesitaban, es
hi ©
bi SA
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T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
decir, se cumplió el propósito de su estudio? ¿Por qué? R. L.
b) ¿Qué dificultades tuvieron en la recolección de la información? R. L.
c) ¿La gráfica elaborada comunica claramente los resultados de su estudio? R. L.
• Socialicen en clase sus experiencias y entre todos aclaren dudas.
Trabajen en parejas y contesten.
1. Seleccionen los aspectos que no caracterizan una gráfica 360°.
i. Representan variables cualitativas, las cuales se deben ordenar correctamente.
ii. Se utiliza para representar la proporción que corresponde a cada categoría o
dato representado de un estudio.
iii. Cada dato representado debe pertenecer a diferentes tipos de información.
iv. La suma de los porcentajes no debe exceder a 100%.
v. Una grafica 360° se usa para hacer comparaciones visuales entre datos del
mismo tipo.
Uso de acero en el sector industrial
2. En la gráfica de la derecha se muestra el uso del
acero en el sector industrial.
3%
a) ¿Cuál es el uso más común del acero? Expli-
P
ro
quen. La construcción y obra pública, pues
representa el mayor porcentaje.
b) ¿Qué tipo de variables son los datos presentados en la gráfica? Son variables cualitativas
nominales
11%
1%
10%
40%
3%
13%
10%
9%
• Socialicen sus respuestas y argumentos. Comenten entre sus pares y con su maestro
las características que deben tener las gráficas 360° para comunicar adecuadamente la
información que representan. Revisen su trabajo y, si es necesario, hagan ajustes.
Transformados
metálicos
Tubos
Astilleros
Electrodomésticos
Automoción
Calderería
Estructuras metálicas
Construcción y obra
pública
Otros
Tomado de: crashoil.
blogspot.mx/2012/12/
analisis-de-espanadesde-el-punto-de.html
(consulta: 22 de octubre
de 2017, 15:25 h)
Construyes gráficas circulares a partir de las frecuencias obtenidas
en la recolección de datos.
Secuencia
didáctica 26
Sesión 1
176
La media como reparto
Trabajen en parejas, analicen la información y respondan.
1. El encargado de una tienda registra la venta de un producto cada seis días. Con
base en sus registros históricos, se propuso como meta, cada día vender un número
determinado de unidades de ese producto. En la tabla se muestra el registro semanal de venta.
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
24
23
20
39
46
58
hi ©
bi SA
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T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Lunes
a) ¿Cuál es la cantidad promedio de producto vendido? 35
b) Si consideramos esta cantidad promedio como una meta de venta, ¿qué días
logró la meta de venta? El jueves, el viernes y el sábado
c) ¿Cómo fue la venta cada día comparada con la meta propuesta? Expliquen.
De lunes a miércoles la venta fue menor a la meta propuesta, mientras que de
jueves a sábado fue mayor.
d) ¿Están de acuerdo en considerar como meta de venta esa cantidad de unidades
de producto? ¿Por qué? R. M. Sí, porque es un promedio de las ventas de ese
producto durante otras semanas.
2. En la gráfica se representan las ventas del producto. Analícenla y contesten.
a) ¿Cuánto producto vendió por debajo de la meta
Venta en unidades de un producto
b) ¿Cuánto producto vendió por arriba de la meta el
70
58
60
Cantidad
46
40
39
Meta de venta
24
20
23
Lunes
lunes y viernes? La media es 35 artículos.
d) ¿Conocer la media permite compensar, equilibrar
o balancear las ventas por día con respecto a la
20
P
ro
10
0
viernes? Vendió 11 productos por arriba de la meta.
c) ¿Cuál es la media o promedio de venta solo del
50
30
el lunes? Vendió 11 productos por debajo de la meta.
venta total? Expliquen. Sí, pues de ese modo se
puede conocer la meta de ventas diarias.
Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado
Día
e) ¿La media del total de productos vendidos puede
interpretarse como la venta del producto se hizo
en partes iguales durante los seis días? Expliquen. Sí, pues que el promedio sea
35 significa que todos los días se vendieron 35 productos.
• Comparen sus respuestas y argumentos con el resto de sus compañeros, y compartan sus experiencias sobre el significado de la media en este problema.
Eje: Análisis de datos
Tema: Estadística
177
Reunidos en parejas, analicen la información y respondan.
1. Datos del Inegi indican que la esperanza de vida en México en el año 2016 era de
75.2 años. La esperanza de vida se refiere al número de años que en promedio se
espera que viva una persona después de nacer. Observen la gráfica.
Esperanza de vida en México en el año 2016
76.7
76.2
76.2
76.1
76
76
76
76
75.9
75.8
75.8
75.7
75.6
75.6
75.5
75.5
75.5
75.4
75.4
75.4
75.4
75.2
75
74.9
74.9
74.9
74.6
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Nuevo León
Baja California Sur
Ciudad de México
Colima
Aguascalientes
Coahuila de Zaragoza
Durango
Tamaulipas
Morelos
Quintana Roo
Sinaloa
Jalisco
Guanajuato
Yucatán
Querétaro
Sonora
Zacatecas
Campeche
Estado de México
Nayarit
Tlaxcala
Nacional
Puebla
Michoacán de Ocampo
San Luis Potosí
Tabasco
Hidalgo
Baja California
Veracruz de Ignacio de la Llave
Chihuahua
Oaxaca
Guerrero
Chiapas
74.2
74.2
73.5
73.2
73.1
73
Tomado de: cuentame.inegi.org.mx/poblacion/esperanza.aspx?tema=P (consulta: 29 de octubre de 2017)
a) Al considerar la media nacional:
¿Qué entidades están debajo de ella? De Puebla a Chiapas
ii. ¿Qué entidades están arriba de ella? De Tlaxcala a Nuevo León
i.
b) ¿Una persona de Chiapas puede alcanzar el promedio de vida de una persona
de Nuevo León? Expliquen.
c) El promedio de esperanza de vida de un mexicano es de 75.2 años. ¿Qué signi-
1. b) Sí, pues el
promedio considera
tanto a personas
que están por debajo
como a personas
que están por
encima de ese valor.
P
ro
fica que esa persona puede llegar a vivir esa edad? Expliquen. Significa que esa
persona alcanzó el promedio de esperanza de vida.
• Socialicen sus respuestas. Discutan sus interpretaciones y lleguen a un consenso.
La media como reparto
La media aritmética o promedio de un conjunto de datos puede interpretarse como
reparto equitativo. Este significado permite comprender que cada dato del mismo conjunto que está por encima de la media, se iguala o equilibra (también se compensa) con
otros datos del mismo conjunto que están por debajo de ella (de la media). En la actividad que has estudiado: “La media se interpreta como la esperanza de que todo mexicano alcanzará a vivir 75.2 años”.
Identificas el significado de la media aritmética como reparto
equitativo dado un conjunto de datos.
178
Secuencia didáctica 26
Sesión 2
La media como estimación
En parejas hagan lo que se pide. Justifiquen sus respuestas.
1. Unos estudiantes de geología recolectaron una muestra de pirita, mineral que se
encuentra en sedimentos rocosos, la cual pesaron con un mismo instrumento, y obtuvieron los datos que se muestran. R. L.
Peso (g)
9.2
9.19
9
9.21
9.23
9.19
9.22
9.09
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ón
a) Cada alumno indica que la medida que obtuvo es correcta. ¿Cuál piensan que
puede ser la mejor estimación del peso real de la pirita? Expliquen. Se calcula la
media de todos los resultados: 9.17 g.
La pirita es uno de los
minerales más usados
para la obtención del ácido sulfúrico. Tiene forma
cúbica, aunque algunas
veces puede presentarse
en forma de octaedros y
piritoedros (doce caras
pentagonales).
b) ¿Por qué piensan que para un mismo objeto, en este caso, la misma muestra de
pirita, tiene diversas medidas? Porque hay errores de lectura de datos o fallas
con el instrumento utilizado.
c) ¿Cuál de las medidas en gramos de la muestra de pirita es la correcta? Argu-
menten. No se puede saber cuál es la medida correcta con la información
disponible.
2. Roxana es velocista y en una prueba les pidió a cuatro amigas que midieran el tiempo que tarda en dar seis vueltas a la pista. Cada una empleó su reloj personal y todas registraron el tiempo en una tabla como la que se muestra.
Tiempo (min)
12.09
12.1
12.08
12.11
fuente: byrunners.com/prueba-de-cooper-12-minutos-que-revelan-el-estado-fisico/
a) ¿Cuál es la mejor estimación de la medida real del tiempo que tardó Roxana en
correr en la pista? Expliquen. R. M. Obtener la media de todos los resultados:
12.095 min
b) ¿Cuál medida de tiempo es la más lejana con respecto a la respuesta anterior?
¿Por qué? Las medidas 12.08 min y 12.11 min, pues estas equidistan de la media calculada.
c) Calculen la media aritmética de los registros obtenidos. ¿Cómo interpretan dicha
12.09 1 12.1 1 12.08 1 12.11
5 12.095.
media o promedio en el contexto del problema?
4
R. M. Es el tiempo promedio que Roxana tardó en dar una vuelta.
P
ro
• Socialicen sus respuestas y argumentos. Discutan sus interpretaciones y lleguen a
un consenso. Después analicen la información.
La media aritmética como estimación
La media aritmética de un conjunto de datos puede ser interpretada como la mejor estimación de dicho conjunto de datos, ya que es el resultado razonable de ese conjunto
de medidas. Se dice que el resultado es razonable porque puede tener un margen de
error debido a las imprecisiones de los instrumentos de medida. Por ejemplo, en el caso
de Roxana, la media aritmética es 12.095 min, y es la mejor estimación del tiempo que
ella tarda en dar la vuelta a la pista local.
Eje: Análisis de datos
Tema: Estadística
179
d) En términos de la estimación en medida, ¿cuál es la mejor estimación del peso
de la muestra de pirita? Expliquen. R. M. La media de los resultados obtenidos: 9.17 g.
3. Felipe y sus compañeros ahorran para hacer mejoras a la biblioteca escolar y cada
semana registran la cantidad que han juntado. En la tabla se muestra lo que llevan
ahorrado en cinco meses. Complétenla.
Mes
1
2
Agosto
200
200
4
Promedio ahorrado por mes ($)
100
500
300
200
0
150
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Septiembre
3
Diciembre
100
200
300
Marzo
100
100
300
300
100
Julio
200
300
200
200
Promedio del promedio ahorrado por mes
210
a) ¿En qué mes el promedio ahorrado fue el más alto y en qué mes, el más bajo?
El más alto fue en agosto, el más bajo fue en septiembre.
b) ¿Cómo se debe interpretar el promedio del mes de septiembre? Expliquen. R. M.
Se debe interpretar como la cantidad que se juntó en promedio cada semana:
$150.
c) ¿Y el de marzo? R. M. Como la cantidad de dinero que se juntó cada semana de
marzo: $200.
d) ¿Qué significado pueden dar al promedio de la columna “Promedio ahorrado por
mes”? Expliquen su respuesta. R. M. Significa el promedio de dinero ahorrado
cada semana.
e) Si se considera que el ciclo escolar tiene 40 semanas, en las que Felipe y sus
compañeros ahorran, y con base en el promedio obtenido en la tabla, ¿cuánto es
lo que podrían ahorrar en el periodo? Ver solucionario
• Comparen sus respuestas y argumentos con sus compañeros. Discutan los significados de la media aritmética estudiados y escriban sus reflexiones.
P
ro
Trabaja de manera individual.
1. Pídeles a cinco adultos o compañeros que midan tu altura con una cinta métrica.
Indica que te den la medida más precisa que puedan. Registra las medidas en
una tabla. R. L.
a) ¿Cuál de ellas es la mejor estimación de la medida de tu altura? Explica.
• Socializa tus experiencias con tus compañeros.
Identificas el significado dela media aritmética como mejor
estimación dado un conjunto de datos.
180
Secuencia didáctica 26
Sesión 3
Media: medida de tendencia central
Resuelvan en parejas los siguientes planteamientos.
1. En la tabla se muestran las temperaturas registradas en Cuernavaca, Morelos, el 20
de enero de 2017 entre las 10 y 17 horas.
10
11
12
13
14
15
16
17
Temperatura (°C)
22
23
24
25
25
26
26
25
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Hora
a) ¿Cuál de ellas es la más adecuada para informar sobre la temperatura de ese
día? R. M. La media de las temperaturas: 24.5 °C
b) ¿Se puede decir que la temperatura el 20 de enero era de alrededor de 24.5 °C?
¿Por qué? Sí, pues ese es el promedio de las temperaturas.
2. En la campaña para el cuidado de la salud se registró el peso, en kilogramos, de algunos estudiantes de primero de secundaria.
49, 35, 50, 44, 46, 45, 47, 49, 46, 47, 44, 49, 48, 46, 47
a) En el reporte se debe indicar cuál es el peso, en la mayoría de los casos, de un
estudiante de primero de secundaria. ¿Qué peso deben escribir? Expliquen.
El promedio de los pesos, cuyo valor es 46.13 kilogramos.
b) ¿Se puede decir que el peso promedio de los alumnos de primero de secundaria
es de 46.13 kilogramos? ¿Por qué? Sí, pues ese valor es la media del peso de
los estudiantes.
c) ¿Cómo pueden interpretar la media o promedio en el contexto de los problemas
anteriores? Expliquen. R. M. Se puede interpretar como un solo valor que mejor
representa los datos de los problemas.
• Validen en grupo sus argumentos y escriban sus conclusiones.
La media como medida de tendencia central
P
ro
La media aritmética cobra sentido como medida central de un conjunto de datos. Es
decir, se toma como el dato sobre el cual se distribuyen los datos.
3. Jorge, como recomendación médica, mide su nivel de azúcar en la sangre (glucosa). El nivel de glucosa en la sangre se mide en milimoles por litro (mmol/L) o en
miligramos por decilitro (mg/dL). En la tabla se muestran los registros.
Eje: Análisis de datos
Tema: Estadística
Semana
1
2
3
4
5
6
7
8
Promedio de la medida
de glucosa (mmol)
77
98
96
107
102
125
90
75
181
a) ¿Cuál es el promedio de glucosa presentado? El promedio es 96.25 mmol.
b) Si el rango normal de azúcar en la sangre es de 90 a 105 mmol, ¿el promedio
obtenido ayuda al médico a determinar el estado de salud de Jorge con respecto a la cantidad de azúcar en la sangre? Expliquen. Sí, pues es mejor evaluar
los datos obtenidos con apoyo del promedio para evitar posibles errores de
medición.
4. La altura promedio de los alumnos de una telesecundaria es de 1.45 m.
a) Si se selecciona una muestra aleatoria de cinco estudiantes y las alturas de cuaEn la siguiente
dirección electrónica
encontrarás
interactivos que
aluden al significado
de la media.
Visítalos y comenta
con tus compañeros
tus experiencias
al conocerlos.
www.esant.mx/
ecsema1-040
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tro de ellos son 1.38, 1.42, 1.60 y 1.40, ¿cuál es la altura del quinto estudiante?
Expliquen. La altura es de 1.45 m, pues con ese valor la altura promedio es de
1.45 m.
• Validen en grupo sus argumentos y escriban sus conclusiones. Después analicen la
siguiente información:
La media como representante de un conjunto de datos
Cuando se conocen los datos de un conjunto es posible utilizar la media (promedio)
para conocer un dato que identifique o muestre el comportamiento de manera general
a ese conjunto de datos, o bien que se pueda utilizar si es necesario operar.
En parejas, realicen lo que se pide y argumenten sus respuestas.
1. Un veterinario necesita empaquetar bolsas de croquetas para perros de raza pequeña, con alimento suficiente para una semana. Él sabe que cada perro de raza pequeña consume a la semana la siguiente cantidad de croquetas en kilogramos: 3.3,
4.8, 3.2, 3.6, 4.1, 4.4, 3.9, 4.2, 3.3, 4.8, 3.2, 3.6, 4.1, 4.4, 3.9 y 4.4.
a) El veterinario decide empaquetar bolsas con 4 kg de croquetas cada una, ya
que considera que es la cantidad adecuada que consume cada perro en una
semana. ¿Están de acuerdo con su afirmación? Expliquen. R. M. Sí, pues en
promedio cada perro consume 3.95 kilogramos a la semana, valor cercano a 4 kg.
P
ro
2. Ocho estudiantes de una clase pesan un objeto pequeño con un mismo instrumento y
obtienen los siguientes valores en gramos: 1.22, 1.2, 1.999, 1.98, 2, 2.01, 2.21, 2.24.
a) ¿Cuál es la mejor estimación del peso real del objeto? R. M. El promedio de los
resultados: 1.86 gramos.
3. En un ascensor hay 4 mujeres y 6 hombres. El peso medio de las mujeres es de
58 kg y el de los hombres, de 72 kg.
a) ¿Cuál es el peso medio de las 10 personas del ascensor? El peso medio es de
66.4 kg.
• Validen en grupo sus argumentos y escriban sus conclusiones.
Reconoces el significado de la media como medida de
tendencia central.
182
Secuencia
didáctica 27
Sesión 1
Estudios y poblaciones
Realicen la siguiente actividad en parejas.
1. Un canal de televisión nacional pidió a la audiencia que llamara por teléfono para
contestar preguntas sobre equidad de género: Teclea 1 si tu respuesta es Sí y 2 si
es No.
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i. ¿Hay equidad de género entre los mexicanos?
ii. ¿Las mujeres son igual de inteligentes que los hombres?
iii. ¿Las mujeres deben ganar lo mismo que los hombres cuando ejercen el mismo
puesto?
iv. ¿Las mujeres deben desempeñarse en oficios como minería, construcción, uso
de máquinas y herramientas?
a) ¿Quiénes pueden llamar al canal y contestar las preguntas? Expliquen.
Cualquier persona, en particular aquellas que vieron el programa donde se hizo
la petición.
b) Si al canal le interesa la opinión de la población de entre 19 y 30 años de edad,
R. M. Preguntar la
¿qué debe considerar para lograr su objetivo? Expliquen.
edad de quien contesta las preguntas y considerar únicamente las respuestas
de la población que tiene entre 19 o 30 años.
c) Si los contrataran como telefonistas en el canal, ¿cómo organizarían los resultados de las llamadas? R. L.
2. El canal informó que, de acuerdo con los resultados de la encuesta, la probabilidad
de que entre los mexicanos haya equidad de género es de 40%.
a) Discutan qué relación hay entre los resultados del estudio y la probabilidad que
se menciona. R. M. Los resultados de un estudio se pueden interpretar como la
probabilidad de que un evento suceda.
• Socialicen sus respuestas. Escriban las características de una población dado un
objetivo específico y la necesidad de organizar los datos.
Resuelvan en parejas.
P
ro
1. De acuerdo con los resultados de la encuesta, de las 49 530 753 personas que llamaron, 48 349 566 presionaron 1 para la pregunta ii.
Fuente: cuentame.inegi.
org.mx/poblacion/
habitantes.aspx?tema=P
(consulta: 26 de febrero
de 2018)
a) ¿Qué porcentaje contestó No a la pregunta ii? Aproximadamente 2.38%
b) De acuerdo con el último censo, en México hay 119 530 753 habitantes. ¿Qué
porcentaje de la población contestó la encuesta? Aproximadamente 41.43%
c) ¿Puede ser representativa la muestra que contestó la encuesta? ¿Por qué? R. M.
Sí, pues más de 40% de la población la contestó.
• Socialicen sus respuestas y argumentos. Después analicen la información de la siguiente página.
Eje: Análisis de datos
Tema: Probabilidad
183
Encuesta, Población y muestra
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Encuesta. Es una técnica que consiste en realizar una investigación a una muestra de
individuos que representa a un grupo o población. Se realiza formulando preguntas
para conseguir mediciones cuantitativas sobre una cantidad de características de la población. Las respuestas se anotan y se organizan para su análisis posterior.
Población. Se trata de un conjunto de elementos (personas, objetos o eventos), sobre
los cuales se realiza la encuesta (estudios, mediciones u observaciones).
Muestra. Es una parte representativa de la población cuya opinión se desea conocer.
Se considera que la muestra debe ser al menos 10% de la población.
Plan de muestreo. Es una estrategia para elegir la muestra de una población. El plan
se diseña de acuerdo con las características de la información que se quiere obtener
de la población.
d) Retomen su respuesta a la pregunta 1c de la actividad anterior. ¿La muestra es
representativa de la población? Sí, ya que la muestra consta de más de 40%
de la población.
2. Un negocio quiere saber qué regalos prefieren las personas recibir en Navidad y
escogió a cuatro de sus empleados para que cada uno diseñe un plan de muestreo
para conseguir la información.
Empleado 1: encuestará a las personas que van en su ruta de transporte.
Empleado 2: encuestará, en la fila del cajero, a cada tercera persona.
Empleado 3: buscará y encuestará voluntarios durante la hora de comida.
Empleado 4: escribirá en papelitos individuales los nombres de sus compañeros de
trabajo, los revolverá en una caja y extraerá diez. A esos encuestará.
a) ¿Qué plan proporcionará la mejor muestra representativa? Expliquen. R. M. Los
planes de los empleados 3 y 4 porque consideran a empleados del negocio.
• Socialicen sus respuestas con el grupo y registren sus acuerdos.
Estrategias para elegir la muestra
P
ro
La estrategia del empleado 1 es un ejemplo de muestreo de conveniencia; la del empleado 2 es un ejemplo de muestreo sistemático; la del empleado 3 es una estrategia
de muestreo de respuestas voluntarias, y la del empleado 4 es un muestreo aleatorio.
Cuando un método de muestreo no logra representar adecuadamente una población,
se dice que hay un sesgo de selección.
1. Discutan en grupo, antes de diseñar un estudio, qué es lo que se quiere saber, de
qué tipo de población se necesita obtener información y qué se quiere conocer,
y cuál es la mejor forma de obtenerla. En la secuencia 25 hicieron un estudio.
Retomen sus notas si es necesario. R. L.
Determinas la población a estudiar, tipo de datos a obtener de acuerdo con la
forma de recolectar los datos: encuesta y plan de muestreo.
184
Secuencia didáctica 27
Sesión 2
Tipos de estudio y registros
Trabajen en parejas y hagan lo que se pide. Retomen lo estudiado en la secuencia 25.
1. Una manera de organizar los datos recolectados en un estudio es emplear una tabla
de frecuencias. En la tabla se muestran las frecuencias sobre el consumo de frutas
con vitamina C. Al obtener el cociente de la frecuencia entre el total de datos se pueden establecer mediciones y anticipaciones. Completen la tabla y contesten.
Frecuencia (f)
Frecuencia/total
20
5 0.18
110
25
5 0.23
110
49
5 0.45
110
10
5 0.09
110
6
5 0.05
110
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Fruta
Naranja
20
Limón
25
Mandarina
49
Lima
10
Otra
6
Total
110
1
a) Si se encuesta a 1 000 personas, ¿cuál fruta tiene más probabilidad de ser pre-
ferida? Expliquen. La mandarina porque la probabilidad de ocurrencia es mayor.
b) ¿Cuál tiene menos probabilidad de ser preferida? ¿Por qué? R. M. La lima, pues
su probabilidad de ocurrencia es menor que las demás frutas. Sin embargo, la
categoría “otra” tiene aún menor probabilidad de suceder.
c) Reflexionen sobre la utilidad de realizar un estudio, organizar los datos en una
tabla de frecuencias y hacer anticipaciones o calcular su probabilidad. R. L.
2. Juan y Luciano observan los automóviles que transitan por una avenida durante 30
minutos. Juan cuenta los automóviles rojos y los blancos, y Luciano, los negros y
los grises.
P
ro
a) ¿Qué tipo de datos obtendrán Juan y Luciano? El total de automóviles rojos,
blancos, negros y grises.
b) ¿Cuál es la forma de recolectar la información? Expliquen. Ver solucionario
c) ¿Qué tipo de mediciones y anticipaciones pueden hacer Juan y Luciano con los
datos obtenidos? Determinar de qué color hay más autos circulando y anticipar
el color de los próximos automóviles que transiten la avenida.
d) ¿Cuáles son las ventajas o desventajas de este tipo de recolección de datos?
Expliquen. Ver solucionario
e) ¿Qué recomendaciones les darían a Juan y Luciano para organizar los datos?
R. M. Organizar los datos en una tabla donde se muestre el total de vehículos
observados.
Eje: Análisis de datos
Tema: Probabilidad
185
3. Seis amigos organizarán una fiesta y, para asignar las comisiones, cada uno selecciona un número del 1 al 6. Lanzan un dado y, dependiendo de la cara que caiga,
uno de los amigos elige la comisión que desea. Javier dice que algunos números
salen más veces que otros y eso les da ventaja a algunos.
a) Al lanzar un dado, ¿algunos números tienen mayor probabilidad de caer? Expliquen. No, todos tienen la misma probabilidad porque son los que aparecen en el dado.
b) ¿Cómo pueden saberlo? Al tirar varias veces un dado y registrar los resultados.
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4. Clara solicita que se lance 20 veces el dado y, de acuerdo con los resultados, se le
permita seleccionar un número. Realicen el experimento y lancen un dado 20 veces.
a) De acuerdo con sus resultados, ¿qué número escogerían? ¿Por qué? R. M.
Cualquier número del 1 al 6, pues todos tienen la misma probabilidad de obtenerse.
b) Si lanzan el dado 200 veces, ¿es posible que ese número salga más veces?
Expliquen. R. M. Sí, porque es un experimento aleatorio.
c) ¿Qué tipo de mediciones y anticipaciones pueden hacer con el experimento
Visiten:
www.esant.mx/
ecsema1-041
donde encontrarán
información sobre
las técnicas de
recolección de datos.
planteado? Expliquen. Determinar qué número se obtuvo en más ocasiones.
d) ¿Qué ventajas o desventajas consideran que tiene esta forma de recolección de
datos? R. L.
• Socialicen sus respuestas y argumentos.
Observación y experimento
Cuando se recolecta información sobre objetos, personas o eventos mediante la observación, se toma nota de lo observado en función de lo que se desea saber. Si la información se obtiene a través de un experimento, los datos pueden organizarse en una
tabla de frecuencias. Esta tabla permite comparar los datos y hacer mediciones y anticipaciones. Las anticipaciones se basan en medidas de probabilidad que dan un acercamiento a lo que es probable que ocurra o no.
P
ro
e) Comenten sus respuestas y argumentos. Identifiquen las dificultades que tuvieron y comuniquen cómo las resolvieron. R. L.
Trabajen en equipos y hagan lo que se pide.
1. Diseñen un estudio sobre algún tema de su interés.
Especifiquen el tipo de población que van a estudiar, el tipo de datos por obtener
y la forma de recolectar la información. R. L.
ii. Después hagan mediciones y anticipaciones en función de los resultados. R. L.
i.
• Socialicen su trabajo en clase para validarlo en grupo.
Determinas la población a estudiar, el tipo de datos a obtener de acuerdo con la forma de recolectar los datos: observación y
experimento. Resaltas la importancia del registro de datos (tabla de frecuencia), como introducción a la probabilidad frecuencial.
186
¿Cómo lo hicimos?
1. Marca la casilla que describe mejor tu desempeño. R. L.
En proceso
Se me dificulta resolver
problemas en los que
debo sumar y restar números con signo.
Satisfactorio
Resuelvo algunos problemas en los que debo
sumar y restar números
con signo, ya sea enteros,
fracciones o decimales.
Excelente
Resuelvo problemas en
los que debo sumar y restar números con signo, ya
sea enteros, fracciones o
decimales. Identifico a la
resta como la suma del
simétrico.
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Aprendizajes esperados
Resuelvo problemas que
implican sumar y restar números con signo,
enteros, fraccionarios y
decimales.
Tengo dificultades para
identificar la jerarquía de
las operaciones, así como
para determinar la ubicación de los paréntesis en
las operaciones.
Aplico correctamente la
jerarquía de las operaciones, pero a veces no
coloco adecuadamente
los paréntesis.
Resuelvo problemas
usando la jerarquía de las
operaciones y paréntesis
con números con signo:
enteros, fraccionarios o
decimales.
Resuelvo problemas que
implican calcular el porcentaje, el tanto por ciento
y la cantidad base.
Solamente puedo resolver problemas en
los que debo calcular el
porcentaje.
Resuelvo problemas en
los que debo calcular el
porcentaje o el tanto por
ciento.
Resuelvo problemas que
implican calcular el porcentaje, el tanto por ciento
y la cantidad base.
Resuelvo problemas mediante la formulación y
solución algebraica de
ecuaciones lineales.
Se me dificulta plantear y
resolver la ecuación que
modela una situación.
Puedo plantear y resolver Resuelvo problemas
planteando y resolvienla ecuación que modela
do la ecuación que lo
algunos problemas.
modela.
Calculo el perímetro de
polígonos y del círculo,
así como áreas de triángulos y de cuadriláteros,
al desarrollar y aplicar la
fórmula correspondiente
para cada caso.
Calculo el perímetro de
polígonos y del círculo
aplicando la fórmula. Se
me dificulta identificar la
fórmula que corresponde al área de algunos
cuadriláteros.
Calculo el perímetro de
polígonos aplicando la
fórmula. Aplico la fórmula
que corresponde al área
de los cuadriláteros.
Calculo el perímetro de
polígonos y del círculo aplicando la fórmula. Aplico la fórmula correspondiente al área
de los cuadriláteros en
problemas de figuras
compuestas.
Calculo la media aritmética de un conjunto de
datos, pero se me dificulta
identificar la población
a estudiar.
Calculo la media aritmética de un conjunto de datos y puedo determinar la
población a estudiar.
P
ro
Uso la jerarquía de las
operaciones y paréntesis
en operaciones con números naturales, enteros,
fracciones y decimales.
Uso e interpreto las medi- Se me dificulta calcular
das de tendencia central la media aritmética de
de un conjunto de datos. un conjunto de datos.
• Reflexiona sobre tus resultados y, con tu profesor, busca estrategias para fortalecer tus áreas de oportunidad.
187
¡Vamos a reflexionar sobre las actitudes y los valores que desarrollaste en este trimestre!
2. Pide a un compañero que coloree la franja que representa mejor el nivel donde te ubicas. R. L.
todos participen y no ac
apar
ite que
a
Perm
el uso de la palabra.
siempre
hi ©
bi SA
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bu
ci
ón
Co
m
p
a veces
c
nunca
nun
ca
re
mp
e
i
re
s
mp
e
i
si s
ca
s
ece
av
nca
nu
nunca
a veces
casi siempre
siempre
P
ro
de nuevos problemas.
3. Lee y responde de manera individual. R. L.
•
¿Qué es lo que más te gustó en este trimestre?
•
¿Qué es lo que menos te gustó en este trimestre?
•
¿Qué podrías mejorar en el próximo trimestre?
sie
mp
re
cas
i sie
m
pr
e
Aplic
ión
a lo ap
rendido antes en la soluc
a
v
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ce
s
nun
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ar
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gr
s
tro
c
ay
t
i
a
rc
su
Eje
190
Secuencia
didáctica 29
202
Secuencia
didáctica 30
208
Uso de la tecnología
210
Secuencia
didáctica 31
216
Secuencia
didáctica 32
222
Secuencia
didáctica 33
228
Secuencia
didáctica 34
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st N
ri A
bu
ci
ón
Trimestre
tres
P
ro
Secuencia
didáctica 28
196
188
234
Secuencia
didáctica 35
240
Secuencia
didáctica 36
244
Secuencia
didáctica 37
250
Secuencia
didáctica 38
256
Secuencia
didáctica 39
262
Uso de la tecnología
264
Secuencia
didáctica 40
268
¿Cómo lo hicimos?
hi ©
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T
su IL
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ón
Variación lineal,
probabilidad y más…
¡Bienvenido al último trimestre!
En este periodo continuarás estudiando los números fraccionarios
y decimales, sus operaciones y sus propiedades, y las expresiones
algebraicas de diversas formas geométricas.
Analizarás los procesos de variación y su representación, y cómo
las relaciones que se establecen entre las variables involucradas
permiten identificar el comportamiento de dichas variaciones.
Podrás poner en práctica lo que aprendiste previamente y relacionarlo con temas más complejos, incluso para resolver situaciones
de otras asignaturas o contextos que tú puedas plantear y consideres importantes.
En la conclusión del curso resolverás problemas de probabilidad en
los que identificarás cuándo es posible saber con certeza
si ocurrirá un evento y cuándo no es posible hacerlo. Por ejemplo, no puedes saber con precisión si
en el lugar donde vives va a llover dentro de
una semana. El estudio de la probabilidad
te permitirá responder qué tan probable es
que una situación suceda y tomar decisiones al respecto.
P
ro
Sin más, deseamos que sea provechoso este tercer trimestre de tu curso de
Matemáticas.
189
Secuencia
didáctica 28
Sesión 1
190
Movimientos
Resuelve lo que se pide.
1. Las siguientes gráficas representan la relación entre cantidades en diversos contextos. Analiza cada una de ellas y contesta.
Relación del perímetro de un cuadrado y la
medida de su lado
1 año
30
25
hi ©
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di LA
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22
Perímetro de un cuadrado
Tipo de cambio
21
20
19
18
17
Dic
Feb
Abr
Jun
Ago
Oct
2016
2017
2017
2017
2017
2017
Fuente: www.banxico.org.mx/politica-monetaria-e-inflacion/estadisticas/
graficas-de-coyuntura/mercado-cambiario/tipos-cambio.html
Área de un cuadrado
Costo por cada brinco
0
•
•
1
2
3
4
Brinco del taxímetro (250 m por brinco)
•5.20
• 3.12
10
5
•1.4
0•
1
• 2.8
2
3
4
5
6
Medida del lado de un cuadrado
7
Relación del área de un cuadrado
y la medida de su lado
•
•
• 4.16
15
Costo por distancia recorrida de un taxi
18
16
14
12
10
8•
6
4
2
• 6.24
20
5
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
•
•
•
•
•
1
•
•
•
•
2
3
4
5
6
7
Medida del lado de un cuadrado
8
9
a) Escribe tres características que tienen en común las cuatro gráficas. R. M.
i.
Cada una representa la relación entre dos conjuntos de cantidades.
ii. Las cuatro gráficas tienen un título y rótulos en los ejes.
P
ro
Intenta resolver
problemas que te
resulten desafiantes.
Es posible que
descubras que aún te
hace falta aprender
algunas herramientas
para solucionarlos.
Reconocer que
hay cosas que no
sabes también es
aprendizaje.
iii. Cada gráfica tiene dos ejes perpendiculares entre sí.
b) Escribe una característica de cada gráfica que la haga diferente de las otras.
R. M.
Los valores aumentan y disminuyen varias veces, describiendo una
Gráfica 1: relación irregular.
Gráfica 2: Los puntos están sobre una recta que pasa por el origen.
Gráfica 3: Los valores están sobre una recta que no pasa por el origen.
Gráfica 4: Los puntos se localizan sobre una curva.
• Comparte tus respuestas y tus argumentos para validarlos en grupo.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
191
¿Cómo varía?
Resuelvan en parejas la siguiente actividad. Después contesten.
1. Grafiquen los valores de cada tabla en el plano cartesiano y unan los puntos.
Tabla 1
x
y
x
y
0
0
0
5
0
5
5
10
5
15
5
10
20
y
hi ©
bi SA
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y
15
20
10
25
10
15
30
15
35
15
20
40
20
45
20
25
y
45
y
45
40
35
25
25
20
•
15
•
30
25
•
20
15
40
35
•
30
•
45
•
40
35
•
30
5
Tabla 3
x
10
10
Tabla 2
0• 5 10 15 20 25 30 35 40 45
•
Gráfica de la tabla 1
10
5•
0
•
15
10
x
•
20
x
5 10 15 20 25 30 35 40 45
•
•
5•
0
x
5 10 15 20 25 30 35 40 45
Gráfica de la tabla 2
Gráfica de la tabla 3
a) ¿Qué hace diferente a la gráfica 1 de las otras dos? La recta que se trazó pasa
por el origen del plano.
b) ¿Qué tienen en común las gráficas 2 y 3? Ambas empiezan en el punto (0, 5),
sin pasar por el origen del plano.
c) De acuerdo con las tablas 1 y 3, y sus respectivas gráficas, ¿cómo varían los
datos del eje y con respecto al eje x? Los datos del eje y aumentan conforme
los valores del eje x también lo hacen.
d) De acuerdo con la tabla 2 y su gráfica, ¿podrían afirmar que los datos del eje y
varían en función de los valores del eje x? Sí, cada valor de y depende de cada
valor de x.
P
ro
Plano cartesiano, coordenada y relación funcional
El plano cartesiano consta de dos ejes perpendiculares y se utiliza para ubicar o determinar puntos. Para indicar un punto en el plano se requieren dos coordenadas, representadas por P (x, y). La primera coordenada (x) se conoce como abscisa y se ubica sobre el
eje horizontal del plano. La segunda coordenada (y) se conoce como ordenada y se ubica
sobre el eje vertical.
Una relación funcional es aquella que se establece entre dos cantidades que dependen una de la otra. Por ejemplo, si un lápiz cuesta 5 pesos, la cantidad por pagar (y)
depende de la cantidad de lápices que se compren (x).
Describes un proceso de variación con constante aditiva,
multiplicativa o de proporcionalidad.
192
Secuencia didáctica 28
Sesión 2
¿Todas por el origen?
Resuelvan en parejas lo que se pide.
1. Analicen cada enunciado y relaciónenlo con la tabla que corresponda. Después
contesten las preguntas.
hi ©
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Enunciado 1. Para un partido de futbol se llevó una caja con naranjas y mandarinas.
Si por cada mandarina hay 3 naranjas, ¿cuál tabla establece la relación entre mandarinas y naranjas?
Enunciado 2. Una compañía de café sacó al mercado una edición limitada de un frasco
con 48 gramos de café por un costo de 30 pesos. ¿Cuál tabla relaciona los frascos de
café vendidos y el costo?
Enunciado 3. Un aeropuerto tiene capacidad para que aterricen 4 aviones cada
10 minutos. ¿Cuál tabla relaciona el número de aviones que aterrizan y el tiempo en
minutos?
Tabla 1
Enunciado:
2
Tabla 2
Enunciado:
3
Tabla 3
Enunciado:
x
y
x
y
x
y
10
300
10
25
10
30
20
600
20
50
20
60
30
900
30
75
40
120
40
1200
40
100
60
180
1
a) Si construyeran la gráfica de cada tabla, ¿alguna de ellas no tendría la coorde-
nada (0, 0)? No, las tres gráficas pasan por el origen de coordenadas, es decir,
el punto (0, 0).
b) ¿Cuál expresión modela cada tabla y su respectivo enunciado?
y 5 3x
Tabla: 3
y 5 30x
1
Tabla:
y 5 2.5x
Tabla: 2
2. Analicen la expresión y 5 2.5x y contesten.
a) Con base en la información de la tabla o del enunciado, ¿cómo se obtiene el
P
ro
factor 2.5? Se obtiene al dividir un valor de y entre su correspondiente valor de x.
b) ¿Qué significado tiene el coeficiente 2.5 y qué utilidad tiene en la expresión?
Significa que un avión aterriza cada 2.5 minutos y es el valor constante que
permite obtener el tiempo en función del número de aviones que aterrizan.
c) Respondan las dos preguntas anteriores para las otras dos expresiones.
Ver solucionario
d) ¿Qué tienen en común las tres expresiones? Argumenten. R. M. Las tres
expresiones tienen un coeficiente constante y su gráfica pasa por el origen de
coordenadas.
• Socialicen sus respuestas. Con ayuda del profesor lleguen a acuerdos.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
193
3. Resuelvan los problemas y contesten.
a) Una vaca produce 12 litros de leche en tres días y cada día produce la misma
cantidad.
i.
Completen la tabla para conocer cuántos litros de leche produce la vaca en
18, 54, 91 y 120 días.
ii. Escriban una expresión para conocer la cantidad de leche y que produce la
vaca en x cantidad de días. y 5 4x
Días
Litros
de leche
18
72
54
216
91
364
120
480
b) Escriban un problema que se modele con la expresión y 5 3.5x y completen la
tabla con los valores indicados para x.
y
9
31.5
27
94.5
41
143.5
60
210
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x
R. M. Una empresa paga a sus empleados $3.50 por la venta de un artículo
de promoción. ¿Cuál es la expresión que permite calcular el pago del
empleado (y) en función del número de artículos vendidos (x)?
c) Si se grafican los datos de los problemas a y b desde el origen, ¿se mantiene la
línea recta con respecto a las coordenadas ubicadas en ambos casos? Expliquen. Sí, debido a que los valores se relacionan de manera directamente
proporcional.
Relación de proporcionalidad directa
Las situaciones anteriores son relaciones de proporcionalidad directa y pueden representarse con expresiones algebraicas de la forma y 5 ax. En esta expresión, x y y son las variables porque el valor que adquiere y depende del valor de x; esto significa que si x varía,
y también lo hace. En la expresión, a es una constante denominada constante de proporcionalidad, lo que significa que su valor no varía. La expresión y 5 ax es una función lineal, debido a que su gráfica son puntos que están sobre una recta, que pasa por el origen.
d) De los problemas resueltos en la sesión, ¿cuál no corresponde a una situación
P
ro
de proporcionalidad directa? Ninguno, pues todos los problemas son de
proporcionalidad directa.
• Socialicen sus respuestas. Comenten sus dudas y resuélvanlas con ayuda del profesor.
Moneda
Precio por
unidad
en pesos
mexicanos
Euro
22.2871
Yen
0.1690
Dólar
canadiense
14.8588
Resuelve con otro compañero y respondan.
1. Un investigador viajará a un congreso a Canadá, después asistirá a un curso
en España y, finalmente, se trasladará a Japón para trabajar con otros investigadores. Determinen la expresión algebraica para cambiar n pesos mexicanos
a m monedas de cada país que visitará. Ver solucionario
• Comparen sus respuestas. Escriban sus conclusiones acerca de lo que caracteriza a una relación de proporcionalidad como una función lineal.
Identificas, a partir de la representación tabular, gráfica o algebraica de un fenómeno, la variación
(lineal) y la comparas con la variación de otros fenómenos del mismo tipo (solo lineal).
194
Secuencia didáctica 28
Sesión 3
Lineales, ¿también de proporcionalidad?
Resuelvan en parejas lo que se pide.
1. De acuerdo con datos del Gobierno de la Ciudad de México, a partir de 2015 la tarifa de
servicio de taxi libre se fijó en $8.74 como cantidad base (“banderazo”) y de $1.07 por
cada 250 metros recorridos; o bien, por cada 45 segundos transcurridos (“brinco”).
a) Completen la tabla a partir de la información anterior.
Costo por la
cantidad
de brincos ($)
0
1.07
2.14
3.21
1.07x
Costo del
banderazo ($)
Costo total
del servicio ($)
8.74
8.74
8.74
1.07 1 8.74 5 9.81
8.74
8.74
8.74
2.14 1 8.74 5 10.88
3.21 1 8.74 5 11.95
1.07x 1 8.74
hi ©
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Cantidad
de brincos
0
1
2
3
x
2. Consideren que una persona aborda un taxi y se le cobrará únicamente por la distancia recorrida.
a) ¿Cuánto deberá pagar por un recorrido de 1 250 m? Deberá pagar $5.35.
b) Si el recorrido es de 10 a 20 kilómetros, ¿es útil usar la tabla para determinar el
costo del trayecto? No, es más útil usar la expresión.
c) ¿Qué expresión algebraica representa la relación entre la cantidad de "brincos" y
el costo total del servicio de taxi? y 5 1.07, donde x representa la cantidad de
brincos.
d) ¿Qué datos no cambian en la expresión? El coeficiente 1.07
P
ro
e) ¿Y qué dato es variable? Expliquen su respuesta. La cantidad de “brincos”, x, y
el costo total del servicio de taxi, y.
3. Usen la expresión algebraica de la actividad anterior y completen la tabla.
Cantidad de brincos
17
22
34
39
42
48
Costo total del servicio ($)
26.93
32.28
45.12
50.47
53.68
60.10
a) ¿Con esa expresión se puede calcular el costo total de cualquier recorrido? Sí, en
intervalos de 250 metros.
b) ¿Qué representa cada una de las literales utilizadas? La literal y representa el
costo del recorrido en pesos y x, el número de “brincos”.
c) Comparen la expresión algebraicas que solo considera la distancia recorrida
y aquella que contempla además el banderazo. ¿Cómo son entre sí y qué las
hace diferentes? Las dos expresiones dependen del número de “brincos”, pero
en la anterior no se considera el “banderazo”, es decir, una cantidad que sí se
suma en la expresión de la actividad 1.
• Validen en grupo sus respuestas. Escriban sus conclusiones con respecto al uso de tablas de datos o expresiones algebraicas en la resolución de problemas de variación.
Eje:Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
195
4. Se tiene una columna de vasos como la que se muestra en la imagen. Para construirla, se colocó un vaso de 13.3 cm de altura y, al agregar un vaso encima, se obtuvo una altura de 15.8 cm.
a) Completen la tabla con los datos que faltan.
Cantidad de vasos
agregados
x
0
1
2
4
5
10
17
23
50
Altura de la columna (cm)
y
13.3
15.8
18.3
23.3
25.8
38.3
55.8
70.8
138.3
y
hi ©
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ón
b) Obtengan una expresión algebraica que permita determinar la
altura de la columna al agregar cantidades de vasos.
y 5 2.5x 1 13.3, donde y es la altura de la columna y x, la
cantidad de vasos que se agregan.
c) Elaboren la gráfica con los datos de la tabla.
d) ¿Qué tipo de función modela la gráfica? Una función lineal
e) ¿Cuáles son las coordenadas de su origen? Su origen se
encuentra en (0,13.3)
f) Describan las características de la gráfica que trazaron. Es una
línea recta que no pasa por el origen del plano cartesiano.
x
20 40 60 80 100 120 140 160
• Comparen sus respuestas y argumentos y valídenlos en grupo. Después analicen la siguiente información para confirmar sus respuestas.
Gráficas de funciones de la forma y 5 ax 1 b
y
7
6
y5 1 x12
2
5
4
3
2•
A(0,2)
1
x
0
1
2 3
4
5 6
7
P
ro
Las situaciones anteriores se pueden representar mediante gráficas asociadas a funciones de la forma y 5 ax 1 b.
Su representación gráfica es una recta que interseca al eje
de las ordenadas, pero nunca pasa por el origen.
La constante b indica el punto de dicha intersección, y se
conoce como ordenada al origen, porque siempre corresponde a las coordenadas (0, b). Por ejemplo, en la
1
gráfica se representa la expresión y 5
x 1 2, donde
2
b 5 2, por lo que las coordenadas del punto A son (0, 2),
que es el punto de intersección entre la recta y el eje de las
ordenadas.
Haz lo que se pide.
1. Elabora en tu cuaderno la gráfica de las siguientes funciones.
b) y 5 2x 1 3
c) y 5 34x 1 4
a) y 5 3x 1 5
Ver solucionario
• Verifica que tus construcciones sean correctas. Comenta y resuelve tus dudas con tus
compañeros de clase.
Identificas la variación (lineal o no lineal) de un fenómeno a partir de su representación tabular, gráfica,
o algebraica y la comparas con la variación de otros fenómenos (lineal o no lineal).
196
Secuencia
didáctica 29
Sesión 1
Gráficas
Realicen en parejas lo que se plantea.
1. En la tabla se muestra la cantidad diaria de glucosa en la sangre de una persona
que padece diabetes. La cantidad de glucosa se mide en miligramos por decilitro
(mg/dl).
Día
1
3
4
5
6
7
8
9
10
128
132
127
119
115
110
107
111
110
hi ©
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Glucosa (mg/dl) 123
2
a) ¿Cómo representan la relación de la tabla en un plano cartesiano? ¿Qué datos
se pueden ubicar en el eje de las abscisas y cuáles en el eje de las ordenadas?
R. M. Mediante puntos en el plano cartesiano: los días en el eje de las abscisas
y la glucosa en el eje de las ordenadas.
b) ¿Qué representa el punto (1, 123)? La cantidad de glucosa (mg/dL) en el día 1.
c) ¿De qué manera es posible interpretar la información: la glucosa en términos del
día o viceversa? Expliquen su respuesta. Se debe interpretar la glucosa en
términos del día, pues lo que importa del estudio es la medición de la cantidad
de glucosa en la sangre según los días transcurridos, y no al revés.
d) Construyan la gráfica que represente los datos de la tabla. Asignen un título
adecuado y nombren a los ejes.
P
ro
Cantidad de glucosa en la sangre (mg/dL)
Cantidad diaria de glucosa en la sangre
y
140
120
100
80
60
40
20
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
11
Días
i.
¿Cómo es la variación de los puntos que se presentan?, ¿es constante?
Expliquen su respuesta. La variación no es constante, pues los niveles de
glucosa en la sangre no siguen un patrón o tendencia.
• Socialicen sus respuestas y argumentos para validarlos en grupo.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
10
197
Iluminación proporcional
Realiza con un compañero la siguiente actividad y respondan.
Seguramente conocen las lámparas ahorradoras de energía, las cuales son más eficientes
que los focos incandescentes, pues desperdician menos calor e iluminan hasta 4.5 veces
más por cada vatio que consumen.
hi ©
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ón
lumen. Es la
unidad del Sistema
Internacional de
Unidades que mide
el flujo luminoso. Su
símbolo es lm.
Distintas fuentes de iluminación
1. Busquen focos incandescentes en su casa o escuela. Tomen en cuenta que la luminosidad se mide en lúmenes (lm), y consideren en este caso que las lámparas iluminan
exactamente 4.5 veces más por cada vatio que consumen.
a) ¿Cuántos vatios tienen los focos incandescentes que encontraron? R. L.
vatio o watt. es la
unidad de potencia
del Sistema
Internacional de
Unidades. Su símbolo
es w.
b) Al sustituirlos por lámparas ahorradoras, ¿cuántos lúmenes por vatio se ten-
drán? Expliquen su respuesta. Se tendrá 4.5 veces más lúmenes por vatio, pues
la relación de proporcionalidad siempre se mantiene.
c) ¿Cómo está relacionada la cantidad de vatios de un foco incandescente y la de
lúmenes de una lámpara ahorradora? ¿Por qué?
d) Escriban una expresión algebraica que represente la relación anterior. y = 4.5x,
donde y representa la cantidad de lúmenes de una lámpara ahorradora y x, el
número de vatios de un foco incandescente.
e) ¿Hay una constante de proporcionalidad? ¿Cuánto vale? ¿Por qué? Sí, la
constante es 4.5, pues por cada vatio se obtienen 4.5 lúmenes.
Validen en grupo la expresión algebraica que determinaron y utilícenla para
completar la tabla. Elaboren la gráfica correspondiente.
P
ro
f)
1. c) Se relacionan
con un factor de 4.5,
pues la proporción
entre la cantidad de
vatios de un foco
incandescente y la
de lúmenes de una
lámpara ahorradora
siempre es la misma
en este problema.
Vatios (W)
9
13
15
20
24
28
Lúmenes (lm)
40.5
58.5
67.5
90
108
126
i.
55
65
274.5 292.5
¿Cómo es la variación de los puntos que se presentan?, ¿es constante?
Expliquen su respuesta. La variación es directamente proporcional. Sí es
constante porque la proporción se mantiene para todos los valores.
• Comparen sus respuestas. Si hay diferencias, discutan por qué se presentaron y resuélvanlas con ayuda del profesor.
Construyes gráficas aproximadas de situaciones descritas en
las que la variación es constante, positiva o negativa I.
198
Secuencia didáctica 29
Sesión 2
¿Todas las gráficas son del mismo tipo?
Reúnete con un compañero para realizar las siguientes actividades.
1. Jimena elabora mermelada sin azúcar y obtiene 1.5 kg de ese producto por cada
2 kg de fruta.
a) ¿Qué expresión algebraica representa la relación entre la cantidad de fruta que
hi ©
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ci
ón
usa y la de mermelada que obtiene? Expliquen su respuesta. y 5 0.75; donde y
es la cantidad de mermelada obtenida y x, la cantidad de fruta empleada.
b) Elaboren un registro tabular utilizando la expresión que obtuvieron y grafiquen
los datos. Ver solucionario
c) Un alumno afirma: La relación anterior se puede representar con la expresión
y 5 x 1 2, donde x corresponde a la cantidad de kilogramos de mermelada que
se obtiene y 2 a los kilogramos de fruta que se utilizan. ¿Están de acuerdo con
la afirmación? Expliquen. Ver solucionario
• Compartan sus expresiones algebraicas y sus argumentos para validar cuál es correcta.
Concluyan por qué las expresiones algebraicas que utilizaron son funciones lineales.
2. Un grupo de alumnos quiere rentar un auditorio por un año, para llevar a cabo espectáculos de danza regional. Por ser una renta anual, el equipo de audio solo se
pagará una vez y se ofrecen tres cotizaciones.
Cotización A: $750 por hora más $900 por la renta del equipo de audio
Cotización B: $900 por hora más $650 por la renta del equipo de audio
Cotización C: $800 por hora más $700 por la renta del equipo de audio
a) ¿Qué cotización es la más económica si se estima que habrá 720 horas de
900 000
800 000
700 000
600 000
500 000
400 000
300 000
200 000
100 000
P
ro
Pago total ($)
ensayos y 60 horas de presentaciones? La cotización A: 750 3 720 1 750 3
60 1 900 5 $585 900
b) En la gráfica de la izquierda se trazaron
Pago por la renta del auditorio
las rectas que representan las cotizaciones A, B y C.
1000 000
A
B
C
i.
Al interpretarlas, ¿su respuesta
anterior se modifica o se reafirma?
Expliquen. R. M. Se reafirma, pues
la gráfica de la cotización A está
debajo de las otras dos.
ii. Escriban la expresión algebraica
que representa a cada recta. Sustenten su trabajo.
y
5
900
y
5
650
Recta azul:
Recta gris:
Recta roja: y 5 700
1 750x
1 900x
1 800x
• Comenten sus respuestas y sus argumentos. Si tienen dudas, consulten con el profesor
y sus compañeros para aclararlas. En cada caso, el primer valor es constante y
corresponde al precio de renta del equipo de audio, mientras que el segundo valor
Eje: Número, álgebra y variación representa el precio por hora.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000
Hora de renta del auditorio
Tema: Funciones
199
3. Analicen la gráfica e identifiquen cuál de las tres expresiones algebraicas la modela
12
y respondan.
y
11
i.
y 5 210x 1 2
ii. y 5 2x 2 10
iii. y 5 22x 1 10
9
8
7
6
5
4
3
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
a) ¿Qué diferencia encuentran en la gráfica y la expresión algebraica seleccionada
con respecto a las gráficas y expresiones que han estudiado en las sesiones?
La gráfica es descendiente y el coeficiente de la expresión algebraica tiene
signo negativo.
b) Escriban dos contextos que puedan modelarse con la gráfica. R. M.
Un automóvil tiene 10 litros de gasolina y consume 2 litros por cada
i. kilómetro que recorre.
ii. Un garrafón tiene 10 litros de agua y cada minuto se vacían 2 litros.
10
2
1
c) Analicen la siguiente información y respondan.
0
1
2
3 4
5 6
Expresiones de variación lineal
La expresión de una funcion lineal es y 5 ax 1 b. Cuando b 5 0, se tiene una expresión
del tipo y 5 ax que se conoce como función proporcional, pues su gráfica siempre pasa
por el origen del plano cartesiano y conforme x varía, y varía en la misma proporción.
Cuando b es diferente de cero, la expresión se conoce como función afín, y una característica es que su representación gráfica no pasa por el origen. En ambos casos:
1. a es un factor constante, siempre diferente de cero y puede ser un número positivo o negativo.
2. Conforme se aplica el factor constante a a la variación de x, que es la variable independiente de la expresión, es necesario agregar la condición inicial para cada
caso (que es b).
i.
Analicen los problemas resueltos a lo largo de la secuencia e identifiquen cuáles
corresponden a una función proporcional y cuáles a una función afín. Con funciones
proporcionales: 1 p. 196, 1 p. 197 y 1 p. 198 y con funciones afines: 2 p. 198 y 3 p.199
• Socialicen sus respuestas. Comenten sus dudas y resuélvanlas con ayuda del profesor.
P
ro
Resuelve con otro compañero y respondan.
1. Fernando es chofer y cobra al mes $10 000 por recorrer 1 000 km y manejar 6 horas diarias. Por cada 10 kilómetros adicionales u hora extra que realice, cobra $86.
a) Planteen las expresiones algebraicas que modelan las relaciones tiempocosto y distancia-costo, si Fernando cobra por 15, 25, 34, 45 y 55 horas
extras, y para lo que cobra por 50, 75, 480 y 720 kilómetros extras.
Ver solucionario
• Comparen sus respuestas. Escriban sus conclusiones acerca de lo que caracteriza
a una relación de proporcionalidad como una función lineal.
Construyes gráficas aproximadas de situaciones descritas en
las que la variación es constante, positiva o negativa II.
x
200
Secuencia didáctica 29
Sesión 3
Razón de cambio
En parejas, hagan lo que se pide y expliquen sus respuestas.
y
1. La gráfica representa una función lineal. Analízala y responde.
38
•
36
a) ¿Qué tipo de función representa la gráfica: proporcional o afín? Expliquen. Es
una función proporcional porque su gráfica pasa por el origen del plano.
F 5 (6, 36)
34
32
b) ¿Qué tipo de expresión algebraica modela la gráfica: y 5 ax o y 5 ax 1 b?
30
Expliquen. La gráfica se modela con una expresión del tipo y 5 ax porque se
trata de una función proporcional, es decir, b 5 0.
hi ©
bi SA
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T
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ri A
bu
ci
ón
28
26
E 5 (4, 24)
24
c) Para determinar qué valor tiene la constante a:
22
20
i.
18
Por cada unidad que se incrementa x, ¿en cuántas unidades se incrementa y?
Por cada unidad que incrementa x, y incrementa 6 unidades.
16
14
12
•
10
ii. Obtengan la diferencia de las coordenadas entre los puntos E y D tanto para
los valores de x como para los valores de y. ¿Cuáles son las diferencias respectivas? Los puntos E y D tienen coordenadas (4, 24) y (2, 12),
D 5 (2, 12)
respectivamente. Entonces, la diferencia en x es x 5 4 2 2 5 2 y la
8
6
diferencia en y, y 5 24 2 12 5 12.
4
2
iii. Obtengan el cociente de la diferencia en y entre la diferencia en x. ¿Qué valor
12
se obtiene y qué significa? El cociente es 2 5 6, corresponde al coeficiente
x
0
2 4
6 8 10 12
de la expresión y significa cuánto varía y por cada unidad que varía x.
2. La gráfica que se muestra representa el costo de un producto por año. Supongan
que el incremento por año es constante.
a) ¿Qué tipo de expresión algebraica modela la
Incremento del precio de un producto
140
120
Precio
100
80
60
•
(3, 125)
pasa por el origen del plano.
•
(1, 95)
b) ¿En cuánto se incrementó el precio del artículo
P
ro
40
gráfica? Expliquen. Una función afín, de la
forma y 5 ax 1 b, pues es una recta que no
por año? El precio del artículo incrementó $15 por año.
20
0
1
c) ¿Qué significa el incremento en la expresión
2
3
Año
4
5
algebraica? Corresponde al valor del coeficiente
a de la expresión y 5 ax 1 b.
d) ¿Qué valor tendrá el artículo en el quinto año? El artículo en el quinto año valdrá:
$80 1 $15 3 5 5 $155
• Socialicen sus respuestas. Comenten sus dudas y resuélvanlas con ayuda del profesor.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
201
n
Razones y variación
10.5
10
(4, 9.5)
•
•(4, 9)
9.5
Resuelvan en equipos. Expliquen sus respuestas.
9
8.5
3. En la gráfica hay dos funciones.
8
•(3, 7.5)
7.5
a) ¿Cuál corresponde a una función de la forma n 5 1.5m 1 3?
La recta azul.
6.5
b) De la expresión anterior, ¿cuál es el incremento que tiene n conforme
5.5
7
6
5
4.5
hi ©
bi SA
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T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
varía m en una unidad? Por cada unidad que varía x, y incrementa
1.5 unidades.
4
3.5
c) En el otro caso, ¿cuál es el incremento que tiene n conforme varía m
3
en una unidad? La variable y incrementa 2 unidades por cada
unidad que varía x.
i. ¿Qué expresión algebraica modela a esta función? y 5 2x 1 1.5
2.5
2
1.5
1
0.5
d) Analicen la siguiente información y respondan.
0
m
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Razón de cambio
Cuando dos conjuntos de cantidades están relacionados entre sí, se puede estudiar el
cambio o incremento de una cantidad respecto al cambio o incremento de la otra.
Al cociente que se obtiene al dividir el incremento de una cantidad entre el incremento
correspondiente a la otra se le llama razón de cambio.
i.
De los problemas que han resuelto hasta el momento, ¿en cuáles han determinado la razón de cambio? En todos, pues la razón de cambio es el valor
de a en las expresiones y 5 ax y y 5 ax 1 b.
ii. ¿La razón de cambio solo se puede obtener en las expresiones de la forma
y 5 ax? No, también se puede obtener para las funciones afines, de la forma
y 5 ax 1 b.
P
ro
• Comparen sus respuestas y sus argumentos y valídenlos en grupo.
Analicen en equipos lo siguiente.
1. Interpreten la gráfica, la razón de cambio de cada
función y determinen las expresiones algebraicas
correspondientes.
Ver solucionario
• Verifiquen que sus construcciones sean correctas.
Comenten y resuelvan sus dudas con sus compañeros
de clase.
y
14
12
10
8
6
4
2
0•
x
2 4
6 8 10 12 14
Calculas y analizas la razón de cambio de un proceso o fenómeno
que se modela con una función lineal.
202
Secuencia
didáctica 30
Sesión 1
Gráficas lineales
Analicen en equipos el siguiente problema y respondan.
1. En el plano cartesiano, tracen la recta que representa a la expresión y 5 2x 1 1. Si
lo consideran, elaboren un registro tabular.
y
a) Escriban las características que conoz-
13
can de esta clase de rectas. R. M. Es una
línea recta que no pasa por el origen, por
12
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ón
11
lo que es una función afín.
10
9
8
7
6
5
b) Determinen el valor de la razón de cam12
bio de la recta. Como 2 5 2, la razón
4
Elabora fichas de
estudio sobre las
estrategias, los
procedimientos y los
conceptos que has
aprendido a lo largo
de las secuencias
didácticas. Escríbelos
como si fueras a
explicárselos a un
compañero; no
retomes los textos
literales del libro. Esto
te ayudará a estudiar
y ordenar tus ideas y
conceptos.
3
de cambio es de 2.
2
1
x
0
1
2
3 4
5 6
7
• Socialicen sus respuestas y argumentos con
otros equipos para validar sus conclusiones.
8
2. En el siguiente plano cartesiano se han trazado dos rectas asociadas con las ecuaciones y 5 x 1 3; y 5 3x 1 1. Identifiquen cuál corresponde a cada una de ellas.
Justifiquen su respuesta.
y
a) ¿En qué recta la inclinación es mayor
13
con respecto al eje x? En la recta azul.
12
b) ¿Cuál es el valor de la razón de cambio
11
de la recta asociada con la expresión
9
y 5 x 1 3? La razón de cambio es 1,
pues x 5 1x.
8
7
c) Tracen en el plano una recta asociada
con una expresión del tipo y 5 ax 1 b,
cuya inclinación sea mayor que las dos
que se muestran. R.M.
6
5
P
ro
2. La recta azul
corresponde a la
ecuación
y 5 3x 1 1 y la
recta morada, a
y 5 x 1 3.
R. M. Al sustituir
x 5 0 se obtiene
el valor de y en el
eje vertical, el cual
corresponde a
y 5 0 1 1 5 1 para
la recta azul y a
y501353
para la morada.
10
4
3
i.
2
1
x
0
1
2
3 4
5 6
7
¿Cuál expresión utilizaron?
y 5 5x 1 2
8
ii. ¿Solo una expresión cumple la condición solicitada? ? ¿Por qué? No, hay
una infinidad de expresiones que cumplen con la condición solicitada, pues
cada vez se puede trazar una recta con mayor inclinación.
• Socialicen sus respuestas y argumentos para validarlos en grupo.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
203
Inclinación de la recta
Reúnete con un compañero, realicen la siguiente actividad y respondan.
1. La recta verde que se muestra corresponde a la función y 5 0.5x 1 1. En el mismo
plano se trazaron dos rectas: una paralela al eje x que pasa por la coordenada (0, 1)
y otra paralela al eje y que pasa por la coordenada (10, 0).
y
a) ¿Qué polígono se forma al unir los
8
hi ©
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bu
ci
ón
puntos B, C y D? Un triángulo
rectángulo
b) ¿Qué características tiene el polígono? Tiene tres lados y tres
ángulos, uno de 90°.
c) ¿Cuánto mide el segmento BC?
El segmento BC mide 10 unidades.
d) ¿Cuánto mide el segmento CD?
El segmento CD mide 5 unidades.
7
D
6
triángulo rectángulo.
es aquel dónde uno
de sus ángulos mide
90°. Sus lados se
identifican como se
indica en el triángulo.
•
5
4
3
2
1•
0
B
C
1
2
3 4
5 6
7
•
x
Hipotenusa g
b
8 9 10 11 12
e) Identifiquen el ángulo CBD y nómbrenlo a. También identifiquen el cateto
opuesto (CO), cateto adyacente (CA) e hipotenusa (H) del triángulo CBD, con
respecto al ángulo a.
CO 5 5 0.5
? 10
i. ¿Cuál es el valor del cociente
CA
ii. ¿Cómo es el cociente obtenido, al compararlo con el valor de la razón de
cambio, de la recta asociada con la función y 5 0.5x 1 1? Son iguales
2. Tracen una recta paralela al segmento DC que pase por el punto (6, 0). Llámenla
R1. A los puntos que intersecan a R1 con el segmento BC y la recta de la expresión,
nómbrenlos C’ y D’, respectivamente.
Cateto
a
Cateto
Cuando en un
triángulo rectángulo
se identifica un
ángulo diferente al
de 90°, por ejemplo,
el ángulo a. Los
lados del triángulo
se pueden identificar
como se muestra:
Hipotenusa
P
ro
a) ¿Cómo es el polígono formado con respecto al triángulo rectángulo BCD? Es un
triángulo rectángulo semejante al triángulo rectángulo BCD.
C' D' El cociente es 3 5 0.5
?
b) ¿Cuál es el valor del cociente
6
C' B
CO
y la razón de
c) ¿Cómo es el cociente anterior al compararlo con el cociente
CA
cambio de la recta y 5 0.5x 1 1? El cociente es igual a la razón de cambio de la recta.
a
Cateto
adyacente
(CA)
Cateto
opuesto
(CO)
d) Si se trazan segmentos paralelos a DC cada vez más cerca al eje y, ¿se construyen triángulos semejantes a BCD? ¿Por qué? Sí, se construyen triángulos
semejantes a BCD porque los ángulos interiores tienen la misma medida.
e) ¿Cómo son los cocientes del cateto opuesto entre el cateto adyacente de los
triángulos al compararlos? ¿Por qué? Son todos iguales a 0.5, pues ese valor es
la razón de cambio de la recta.
• Comparen sus respuestas. Si hay diferencias, discutan por qué se presentaron y resuélvanlas con ayuda del profesor.
semejanza de
triángulos. Es cuando
dos o más triángulos
se encuentran a
escala entre sí.
Analizas la relación entre la inclinación de la recta y la razón
de cambio en gráficas asociadas a funciones lineales I.
204
Secuencia didáctica 30
Sesión 2
Pendiente y razón de cambio
Reunidos en parejas, realicen lo que se pide.
1. En el siguiente plano se muestra la gráfica de la expresión y 5 0.5x. Se denominó a al
ángulo formado por la recta y el eje de las abscisas, y se trazaron algunos triángulos.
y
C
•
13
O
12
M
11
hi ©
bi SA
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T
su IL
di LA
st N
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bu
ci
ón
K
•
•
10
I
•
•
H
«
•
•
9
8
G
7
J
6
•
d
•
F
5
L
4
•
g
•
E
3
N
2
1
A
0•
b
•
•
D
a 5 26.57°
1
2
3 4
5 6
7
x
B
•
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
a) ¿Cuántos triángulos se trazaron? Identifiquen cada triángulo a través de sus
vértices. Se trazaron cinco triángulos: ABC, NDO, LEM, JFK y HGI.
b) ¿Cómo son entre sí los triángulos trazados? Los triángulos son semejantes entre sí.
c) Identifiquen el cateto opuesto y adyacente con respecto al ángulo marcado en
cada triángulo trazado.
d) Completen la siguiente tabla.
P
ro
Triángulo
Medida del
Medida del cateto Medida del cateto
ángulo marcado
opuesto (CO)
adyacente (CA)
Cociente
CO
CA
ABC
26.57°
13
26
0.5
NDO
26.57°
10
20
0.5
LEM
26.57°
7
14
0.5
JFK
26.57°
1
2
0.5
HGI
26.57°
4
8
0.5
e) Analicen la medida del ángulo y el resultado del cociente. ¿A qué conclusión
pueden llegar con lo realizado? R. M. Para una misma medida de ángulo se
tiene un único cociente.
• Comparen sus respuestas y valídenlas con ayuda del maestro.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
205
2. En el plano cartesiano se han trazado varias rectas. Analícenlas e identifiquen a qué
recta corresponde cada expresión.
y
i.
y 5 0.8x
Recta: c
ii. y 5 80x
Recta: A ninguna
iii. y 5 1.5x
v. y 5 10x
Recta: b
Recta: a
iv. y 5 15x
vi. y 5 0.1x
Recta: A ninguna
Recta: d
Recta a
Recta b
hi ©
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bu
ci
ón
a) ¿Cuál recta tiene la mayor inclinación con respecto al eje x?
La recta a
42
40
38
36
34
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
b) ¿Cuál recta tiene la menor inclinación con respecto al eje x? Expli-
quen. La recta d, pues el ángulo que se forma entre esa recta y el
eje x es menor que los ángulos que se forman con las otras rectas.
c) Con respecto a las expresiones, ¿qué parámetro determina la incli-
nación de la recta en relación con el eje x? Argumenten. La razón
de cambio, es decir, el valor de a en la expresión y 5 ax, pues entre
mayor es ese valor, mayor es la inclinación de la recta, y viceversa.
Recta c
Recta d
x
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
d) Comparen sus respuestas con la siguiente información.
Pendiente y razón de cambio
La pendiente de una recta indica cuánto cambian las ordenadas al cambiar una unidad
en las abscisas. Por ello, también se le llama razón de cambio de las ordenadas respecto
a las abscisas.
• Socialicen sus respuestas. Comenten sus dudas y resuélvanlas con ayuda del profesor.
Resuelve con un compañero y respondan.
P
ro
1. Escriban cuál es la relación entre el valor de la pendiente de una recta del tipo
y 5 ax, la inclinación de esa recta y el eje de las abscisas. Hagan lo mismo para
una recta del tipo y 5 ax 1 b.
R. M. En ambos tipos de recta, entre mayor es la pendiente de la recta, mayor
es su inclinación y se “aleja” más del eje de las abscisas. Por el contrario, entre
eje de las abscisas y
eje de las ordenadas.
En un plano
cartesiano, al eje de
las x se le conoce
como eje de las
abscisas, mientras
que al eje y como eje
de las ordenadas.
menor es la pendiente de la recta, menor es su inclinación y se “acerca” más al
eje de las abscisas.
• Comparen sus respuestas. Después escriban sus conclusiones acerca de lo que caracteriza a la inclinación de las rectas que se describen en cada tipo de expresión.
Analizas la relación entre la inclinación de la recta y la razón de
cambio en gráficas asociadas a funciones lineales II.
206
Secuencia didáctica 30
Sesión 3
Gráficas del tipo y 5 b
Reunidos en parejas, hagan lo que se pide. Expliquen sus respuestas.
1. En el siguiente plano cartesiano, gráfiquen la función y 5 3.5.
y
5
4.5
4
hi ©
bi SA
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su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
x
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8
a) Escriban las características que conocen de este tipo de rectas. R.L.
b) ¿Cuál es la inclinación de la recta y su pendiente con respecto al eje de las abs-
2. La recta de color
cisas? La recta es horizontal, no tiene inclinación, y su pendiente es 0 con
rosa corresponde a
respecto al eje de las abscisas.
y 5 b; la recta azul,
a y 5 ax, y la recta • Socialicen sus respuestas. Comenten sus dudas y resuélvanlas con ayuda del profesor.
verde, a y 5 ax 1 b.
2. Observen las rectas de la gráfica que se muestra. Identifiquen cuál corresponde a
cada una de las siguientes expresiones: y 5 ax 1 b, y 5 ax y y 5 b.
y
7
6.5
6
5.5
5
4.5
de la pendiente y el ángulo de inclinación de cada recta. R. M.
Cuanto mayor es la pendiente, mayor es el ángulo de inclinación,
y viceversa, entre menor es la pendiente, menor es el ángulo de
inclinación.
c) Escriban con sus palabras cuál es la relación entre la pendiente de
P
ro
4
a) Determinen el valor de sus pendientes. La recta de color rosa tiene
pendiente 0; la recta azul tiene pendiente 1.5 y la recta verde tiene
pendiente 2
b) Registren las semejanzas y diferencias identificadas en la medida
3.5
3
una recta del tipo y 5 ax 1 b, y 5 ax y y 5 b y el ángulo de incli-
2.5
nación con respecto al eje de las abscisas. R. L.
2
1.5
1
0.5
x
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
• Socialicen sus respuestas. Comenten sus dudas y resuélvanlas con ayuda
del profesor.
207
3. Resuelvan el siguiente problema y argumenten sus respuestas.
a) ¿Con qué expresión está asociada la familia de rectas de la gráfica? Con la
expresión y 5 ax 1 b, pues son rectas que no pasan por el origen, es decir, son
funciones afines.
b) ¿Cuántos y cuáles triángulos se forman al trazarse una recta paralela al eje de
las abscisas y otra al eje de las ordenadas como se muestra en la imagen?
Se forman cuatro triángulos: AOE, AOD, AOC y AOB.
c) ¿Cómo son los triángulos entre sí? Son triángulos semejantes entre sí.
d) Determinen la medida de la pendiente para cada recta. Marquen el ángulo de
f)
2.4
2.2
2
1.8
1.6
•B
•C
•D
•E
1.4
1.2
A 1•
0.8
o
hi ©
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st N
ri A
bu
ci
ón
inclinación. Aproximadamente, las pendientes son las siguientes: recta verde, 3;
recta azul, 2.15; recta de color rosa, 1.8; recta morada, 1.4.
e) Para cada recta, ¿la inclinación de la pendiente es la misma con respecto al eje
y
2.6
de las abscisas? ¿Por qué? No, la inclinación no es la misma, porque el ángulo
que se forma entre cada recta y el eje horizontal es distinto.
Analicen la siguiente información.
0.6
0.4
0.2
0
x
0.2 0.4 0.6 0.8
Ángulo de inclinación
Una recta que está asociada con una expresión algebraica modela una función lineal,
donde se identifica un ángulo de inclinación formado por la recta y el eje de las abscisas
en los siguientes casos:
1. y 5 ax; la recta pasa por el origen y a es su pendiente.
2. y 5 ax 1 b, b Þ 0; la recta no pasa por el origen y a es su pendiente.
3. y 5 b, b Þ 0; la recta no pasa por el origen y su pendiente es cero.
g) ¿A cuál de los casos dados corresponde la gráfica de la actividad?
Las rectas de la gráfica corresponden al caso 2: y 5 ax 1 b, b Þ 0
• Socialicen sus respuestas. Comenten sus dudas y resuélvanlas con ayuda del profesor.
Analicen en equipos lo siguiente.
1. Determinen la medida de la pendiente del ángulo de inclinación de las rectas asociadas con las siguientes expresiones. Después comparen sus respuestas.
y 5 3.25x 1 4
ii. y 5 2
iii. y 5 4.5x
iv. y 5 1.7
Pendiente: 3.25
Pendiente: 0
Pendiente: 4.5
Pendiente: 0
a) ¿Para qué recta la inclinación es menor con respecto al eje de las abscisas?
Para las rectas ii y iv, pues su pendiente es cero.
P
ro
i.
b) ¿Cuál tiene la menor pendiente? Las rectas ii y iv, su pendiente es cero.
2. Redacten cómo le explicarían a otro alumno cuál es la relación entre el valor de la
pendiente de una recta y la inclinación con respecto al eje de las abscisas. R. L.
• Verifiquen que sus construcciones sean correctas. Comenten y resuelvan sus dudas con
sus compañeros de clase.
Analizas la relación entre la inclinación de la recta y la razón de
cambio en gráficas asociadas a funciones lineales III.
208
Inclinación y razón de cambio
En esta sección aprenderás a trazar gráficas de funciones lineales y a relacionar su inclinación con la razón de cambio de las variables.
1. De manera individual, realiza lo que se pide y lee la información.
Visita la página www.geogebra.org/?lang=es, selecciona “Iniciar GeoGebra” y
luego “GeoGebraCalculadoraGráfica”.
ii. Haz clic en la opción “Herramientas” para ver las opciones de “Herramientas
básicas” y “Rectas”.
iii. Dentro de las opciones de “Rectas”, da clic en “Recta”.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
i.
P
ro
iv. Traza cuatro rectas como las que se muestran en la imagen. Mueve los puntos de
cada recta para que sean visibles y dale formato de color, distinto en cada recta.
a) ¿En qué punto se intersecan las rectas? En el origen del plano cartesiano
b) Escribe el procedimiento que te permite encontrar la razón de cambio en cada
una de las rectas. R. M. Para cada recta, se localizan dos puntos distintos sobre
ella y se obtiene el cociente de la diferencia entre y2 2 y1 y x2 2 x1.
c) Escribe la expresión algebraica que modela cada una de las rectas. Recta verde:
y 5 4x; recta azul: y 5 2x; recta roja: y 5 0.5x; recta anaranjada: y 5 0.5x.
209
2. Identifica la expresión algebraica y la razón de cambio en cada recta y compara tus
resultados. R. L.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
i. Haz clic en la opción “Álgebra” y analiza la información que se presenta.
ii. Da clic sobre cada recta y con el botón derecho, elige “Configuración”, luego
“Álgebra” y “Ecuación” de la forma: y 5 ax 1 b.
a) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa a la recta AB? ¿Cuál es la razón
de cambio? La expresión es y 5 4x y la razón de cambio es 4.
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa a la recta AC? ¿Cuál es la razón
de cambio? La expresión es y 5 2x, y la razón de cambio es 2.
c) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa a la recta AD? ¿Cuál es la razón
de cambio? La expresión es y 5 0.5x, y la razón de cambio es 0.5.
d) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa a la recta AE? ¿Cuál es la razón
de cambio? La expresión es y 5 0.25x, y la razón de cambio es 0.25.
3. Analiza la gráfica y tus resultados. Luego contesta.
a) ¿Cómo se relaciona la razón de cambio con la expresión algebraica? Es el
coeficiente de x, es decir, el valor de a en la expresión y 5 ax 1 b.
b) ¿Qué significa que una gráfica tenga mayor inclinación que otra? R. M. Que su
razón de cambio o que su pendiente es mayor.
c) ¿Cuál es la gráfica que tiene mayor inclinación y cuál es su razón de cambio?
La recta verde y su razón de cambio es 4.
P
ro
d) ¿Cuál es la gráfica que tiene menor inclinación y cuál es su razón de cambio?
La recta anaranjada y su razón de cambio es 0.25.
4. Utiliza lo que aprendiste y obtén las gráficas y las razones de cambio de las siguientes rectas. Ver solucionario
a) Pasa por los puntos (1, 1) y (2, 3). La razón de cambio es 2
b) Pasa por los puntos (21, 1) y (0, 2). La razón de cambio es 1
c) Pasa por los puntos (1,21) y (3, 1). La razón de cambio es 1
d) Pasa por los puntos (1, 22) y (22, 0). La razón de cambio es 20.67
• Comparte tu conclusión con el grupo y, con ayuda del profesor, validen sus resultados.
210
Secuencia
didáctica 31
Sesión 1
Variación constante
En parejas, resuelvan las actividades.
1. Vicente maneja un camión pesado que traslada madera. La gráfica que se muestra
describe el desplazamiento del camión. Analícenla y respondan.
Desplazamiento del camión
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
200
Distancia (km)
•
150
•
•
100
•
•
•
50
0•
•
1
2
3
4
5
Tiempo (horas)
6
7
a) ¿Cuántos kilómetros recorrió el camión en seis horas? Recorrió 150 km
b) ¿Cuánto recorrió en dos horas? 50 km
¿Y en una hora? 25 km
c) Con base en los datos de la gráfica, ¿a qué velocidad se desplazó el camión de
Vicente? Expliquen. El camión se desplazó a 25 km/h, pues por cada hora
avanza 25 km.
d) Describan cómo determinaron la velocidad del camión. R. M. Se calcula la
razón de cambio, cuyo valor es 25 km/h.
• Socialicen sus respuestas y argumentos. Discutan qué relación identifican entre los datos de una gráfica y las expresiones algebraicas.
Representación algebraica
Reúnanse en equipos y hagan lo que se pide.
P
ro
1. Usen los datos que relacionan la distancia que recorre el camión de carga con el tiempo que emplea para ello. Determinen la expresión algebraica con la cual se puede
calcular la distancia recorrida.
d 5 12.5 km, t 5 0.5 h
12.5 5 25(0.5)
ii. d 5 112.5 km, t 5 4.5 h
112.5 5 25(4.5)
iii. d 5 62.5 km, t 5 2.5 h
62.5 5 25(2.5)
iv. d 5 250 km, t 5 10 h
250 5 25(10)
i.
a) Expresión algebraica o fórmula: d 5 25t, donde t representa el tiempo
transcurrido y d, la distancia recorrida.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
211
2. Con base en la expresión algebraica que obtuvieron, contesten.
a) ¿Cuántos kilómetros recorre Vicente en una hora? Recorre 25 km
b) ¿Qué distancia recorrió Vicente en tres horas? 75 km
¿Cómo obtuvieron
el resultado? R. M. Se sustituye t 5 3 en la expresión d 5 25t.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
c) ¿Cuáles son las dos variables con que se relaciona la velocidad? Expliquen.
La velocidad se relaciona con la distancia que se recorre y el tiempo que se
emplea para ello.
• Comenten con otros equipos qué relación hay entre los resultados obtenidos. Argumenten
y registren sus acuerdos.
3. La velocidad es la razón entre dos variables relacionadas entre sí, donde una
depende de la otra. Según lo mencionado, señala la o las opciones correctas:
R. L. (Las tres opciones son correctas).
i. La velocidad es la magnitud del cambio de una variable por el cambio de la otra.
ii. Es la magnitud del cambio de una variable por unidad de cambio de la otra.
iii. Es la magnitud por unidad de cambio de una variable por unidad de cambio de
la otra.
a) ¿Cuáles son las dos variables que relacionan la velocidad? La distancia y el tiempo
a) ¿Qué significado tiene el término indepen-
diente en el contexto del problema? Significa
que el tambo contiene 2 litros de agua antes
de llenarlo.
b) ¿Cómo se refleja este valor en la gráfica?
Tiempo de llenado del tambo con agua
Capacidad (litros)
4. En una planta potabilizadora, un tambo de 10
litros se llena con agua de acuerdo con la expre1
sión algebraica y 5 t 1 2, donde y es la capa2
cidad en litros y t el tiempo en minutos. Analicen
la tabla que representa el tiempo de llenado.
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2•
1
0
•
• •
2
• •
4
• •
•
• •
•
• •
6
8 10 12
Tiempo (minutos)
1
t en el
2
llenado del tanque? Expliquen. Significa que por cada minuto, el tambo se llena
con medio litro de agua, pues ese valor es la razón de cambio.
P
ro
c) ¿Qué significado tiene la expresión
d) De acuerdo con los datos, ¿en cuánto tiempo se llena el tambo? En 16 minutos
e) ¿Cuál es el cambio en litros en el llenado del tambo por minuto? El cambio es
medio litro por minuto.
f) Si solo tuvieran la gráfica, ¿cómo se identificaría este cambio en ella? Se
identificaría al desplazarse un minuto hacia la derecha y notar que el tambo
ahora tiene medio litro más.
• Socialicen sus respuestas y argumentos. Discutan qué relación identifican entre los datos de una gráfica y las expresiones algebraicas.
•
• •
14
16
18
4. b) La ordenada al
origen es 2, es decir,
la recta interseca
al eje vertical en el
punto (0, 2).
Determinas la expresión algebraica que representa a la razón de cambio,
dada la recta o el registro tabular o ambas representaciones equivalentes.
212
Secuencia didáctica 31
Sesión 2
Gráficas de funciones lineales
Resuelvan en parejas.
1. En la tabla se ha registrado el costo de diferentes cantidades de azúcar.
a) ¿De qué otra manera se puede representar la relación entre la
Costo (en pesos)
cantidad de azúcar y su costo? Expliquen. Mediante una
expresión algebraica y una gráfica, pues los valores
corresponden a una función proporcional.
b) ¿La expresión y 5 20x puede representar la relación entre la
40
80
120
160
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Cantidad de
azúcar (kg)
2
4
6
8
cantidad de azúcar y su costo? ¿Por qué? Sí, porque al
evaluar la expresión con las cantidades de azúcar (x), se
obtiene el costo (y).
2. Seleccionen la gráfica que representa la relación entre la cantidad de azúcar y su costo, de acuerdo con los datos de la tabla.
Relación entre la cantidad de azúcar y
su costo
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
Costo ($)
Costo ($)
Relación entre la cantidad de azúcar y
su costo
1
2
3
4
5
Cantidad de azúcar (kg)
6
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
7
1
Costo ($)
P
ro
Costo ($)
0
2
3
4
5
Cantidad de azúcar (kg)
6
1
1.5
2
2.5
Cantidad de azúcar (kg)
3
3.5
Relación entre la cantidad de azúcar y
su costo
Relación entre la cantidad de azúcar y
su costo
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0.5
7
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1
2
3
4
5
Cantidad de azúcar (kg)
6
7
a) ¿Cómo pueden convencer a sus compañeros de que su selección es correcta?
R.M. La gráfica asociada con la expresión y 5 20x pasa por el origen y al valor
unitario, x 5 1, le corresponde y 5 20, es decir, 1 kg de azúcar cuesta $20.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
213
3. En una empresa metalúrgica, la temperatura de un horno industrial está regulada para
subir 65 °C cada hora, hasta alcanzar 985 °C. Al inicio, el horno tiene una temperatura de 400 °C.
y
a) ¿Cuál es la temperatura del horno después de una hora?
465 °C
b) ¿Y cuál es su temperatura después de dos horas?530 °C
c) Grafiquen en el plano cartesiano la situación planteada.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
d) Obtengan la ecuación que relaciona la temperatura del
horno y el tiempo. y 5 65x 1 400, donde y es la
temperatura del horno en grados Celsius y x es el
tiempo en horas.
e) ¿Cuál es la razón de cambio de la temperatura con res-
pecto al tiempo? La razón de cambio es de 65°C por hora.
f)
¿Cuánto tardará en alcanzar los 985 °C? 9 horas
0
2
4
6
8
10
12
14
16
x
17
4. Seleccionen la tabla que corresponde a la situación planteada. Argumenten su
elección. R. M. Porque se sabe que al inicio, es decir para 0 h, el horno tenía
una temperatura de 400 °C.
Tiempo (h)
Temperatura (°C)
Tiempo (h)
Temperatura (°C)
0
65
1
65
1
130
2
130
2
195
3
195
3
260
4
260
Tabla 1
Tiempo (h)
0
1
2
3
Temperatura (°C)
400
465
530
595
Tabla 2
Tiempo (h)
0
1
2
3
Tabla 4
P
ro
Tabla 3
Temperatura (°C)
465
530
595
660
Tabla 1: y 5 65x
Tabla
2: y 5 65x 1 65
En parejas contesten lo que se pide.
Tabla 4: y 5 65x 1 465
1. Escriban la expresión algebraica que representa los datos de las tablas que no
seleccionaron y argumenten por qué es correcto lo que hicieron.
• Validen en grupo sus argumentos y escriban sus conclusiones.
Analizas la relación entre la inclinación de la recta y la razón de
cambio en gráficas asociadas a funciones lineales I.
214
Secuencia didáctica 31
Sesión 3
La pendiente de la recta
Reunidos en parejas hagan lo que se pide.
1. En el problema 4 de la sesión 1 estudiaron una forma de encontrar la razón de cambio
del contenido de agua de un tambo (en litros) en un tiempo específico. A partir del
análisis de la gráfica, respondan.
Tiempo de llenado del tambo con agua
Capacidad (litros)
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
En la siguiente
página electrónica
encontrarás
información de
gráficas, tablas
y expresiones
algebraicas asociadas
con problemas de
proporcionalidad
directa:
www.esant.mx/
ecsema1-042
0
62551L
8 2 6 5 2 min
2
4
6
8 10 12
Tiempo (minutos)
En 1 minuto aumenta 1 L.
2
1
La razón del cambio es
.
2
14
16
18
a) ¿Cómo se calculó la razón de cambio que se indica en la gráfica? Expliquen.
Ver solucionario
b) ¿Se obtiene un resultado diferente si se usan otros intervalos? Argumenten.
Ver solucionario
c) ¿Cuál es la razón de cambio si el intervalo considerado es de dos horas, por
(625)
1
ejemplo, de 6 a 8? La razón es (826) 5 2 .
Comenta en clase
tus experiencias al
visitar el sitio sugerido.
d) ¿Cuánto se llena en ese intervalo? Se llena 1 litro
e) ¿Y si fuera de tres horas, por ejemplo, de 1 a 4? Se llenaría 1.5 litros
f)
Al considerar diferentes intervalos, ¿varía la razón de cambio? No, la razón de
cambio es la misma.
g) Calculen la pendiente de la recta considerando la razón de cambio. La
pendiente de la recta es 1 .
P
ro
2
• Compartan sus respuestas y argumentos. Después lean y comenten la siguiente
información.
Pendiente de una recta
La pendiente m de una recta es la razón de cambio de la variación vertical (y) entre la
variación horizontal (x), al considerar dos puntos de una recta: (x1, y1) y (x2, y2). La peny – y1
diente está dada por la razón m 5 2
.
x2 – x1
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Funciones
215
2. Una máquina industrial sin encender tiene una temperatura ambiente de 19 °C. Una
vez encendida, su temperatura sube 2 °C cada minuto hasta alcanzar su temperatura
óptima de trabajo de 120 °C.
y
24
a) Observen las gráficas y seleccionen la expresión algebraica que repre-
22
senta el planteamiento anterior. Argumenten su elección. La expresión
es y 5 2x 1 19, ya que inicialmente se tiene una temperatura de 19 °C y
20
aumenta 2 °C cada minuto.
16
y 5 2x 1 19
18
y 5 19x 1 2
14
b) ¿Cuál es la razón de cambio de la temperatura con respecto al tiempo?
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
12
Expliquen. Es 2 debido a que la temperatura aumenta 2 °C cada minuto.
10
8
6
c) ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar 120 °C? Expliquen. Tardará 50.5
minutos, pues y 5 2(50.5) 1 19 5 120.
y 5 2x
4
2
0
2 4 6
x
8 10 12
• Socialicen sus respuestas y argumentos. Verifiquen que sus resultados sean correctos.
Trabajen en parejas el siguiente planteamiento.
1. La gráfica representa la distancia recorrida por dos automóviles que se desplazan a
velocidad constante.
a) Determinen la razón de cambio en cada
Distancia recorrida por dos automóviles
caso. Para el automóvil A la razón de
razón de cambio es de 100 km/h .
b) ¿Cuál es la relación entre las razones de
cambio y la pendiente o inclinación de las
rectas? La razón de cambio es igual a la
pendiente de la recta.
Distancia (km)
cambio es 120 km/h y para el automóvil B la
4 500
4 000
3 500
3 000
2 500
2 000
1 500
1 000
500
0
Automóvil A
Automóvil B
5
10
15
20
25
30
35
P
ro
c) A partir de las gráficas, ¿cómo se puede
Tiempo (horas)
determinar qué automóvil va más rápido?
El automóvil que tenga asociada una gráfica con mayor valor de pendiente es
el que va más rápido, es decir, el automóvil A.
d) ¿A qué velocidad van los dos autos? El automóvil A viaja a 120 km/h y el
automóvil B, a 100 km/h.
• Socialicen sus respuestas y argumentos. Escriban una conclusión relacionada con
cómo determinar la razón de cambio dada una gráfica. Incluyan una reflexión sobre las representaciones asociadas con una misma situación: algebraica, tabular y
gráfica.
Analizas la relación entre la inclinación de la recta y la razón de
cambio en gráficas asociadas a funciones lineales II.
216
Secuencia
didáctica 32
Sesión 1
Expresiones algebraicas
Realicen en parejas lo que se pide.
1. Juana trabaja en una distribuidora de agua y se encarga del control de la cantidad
de garrafones que salen al día de la empresa. Para ello, registra en una tabla el costo de acuerdo con la cantidad de garrafones. Ayuden a Juana completando los
datos que hacen falta.
1
Costo ($)
36
2
3
4
5
12
18
25
45
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Cantidad de
garrafones
72
108
144
180
432
648
900 1 620
2. En primaria estudiaron, entre otras cosas, que una sucesión es una serie de números o figuras que siguen una regla específica y que sus elementos se llaman términos. De acuerdo con lo que saben de sucesiones con números, contesten.
a) ¿Pueden los costos por pieza de garrafón representar una sucesión? Argumenten su respuesta. Sí, pues la diferencia entre dos costos consecutivos es
siempre la misma.
b) Si la respuesta fue afirmativa, ¿de qué tipo de sucesión se trata: geométrica o
aritmética? Expliquen. Es una sucesión aritmética porque la diferencia entre dos
términos consecutivos es constante.
c) Con base en sus argumentos, describan la regla que permite obtener el término
que sigue en la sucesión. R. M. El primer término es 36 y los siguientes se
obtienen sumando 36 al término anterior. Además, cada término es igual al
lugar que ocupa multiplicado por 36.
d) Utilicen su regla para encontrar otros términos de la sucesión.
Lugar que ocupa en la sucesión
P
ro
Término
8
15
20
23
28
30
32
288 540 720 828 1 008 1 080 1 152
e) ¿Con la regla que obtuvieron se puede conocer el valor del término 2 000, del
50 000 o del 900 000? Expliquen su respuesta. R. M. Sí, se puede obtener el
valor de cualquier término pues es una regla general. Por ejemplo, el valor del
término 2 000 es 7 2000 porque 2 000 3 36 5 7 2000.
• Expongan sus resultados y argumentos y debatan en grupo si sus respuestas son
correctas o no. Redacten una conclusión sobre cómo pueden determinar una regla
no verbal para conocer cualquier término de una sucesión.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes
217
Regla general de una sucesión
En equipos, realicen las siguientes actividades.
1. Retomen la sucesión numérica anterior, que se forma con el costo por pieza de los garrafones de agua, y contesten.
a) ¿Qué datos se modifican o cambian dentro de la sucesión? En número de
garrafones de agua y el costo total.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
b) ¿Y qué dato se mantiene constante o fijo? El precio de cada garrafón.
2. Ricardo, un alumno de secundaria, considera que lo que no cambia en la sucesión
anterior es el costo por garrafón; lo que cambia es la cantidad de garrafones, que se
puede representar como x. De acuerdo con el razonamiento de Ricardo, seleccionen
la expresión o regla que permite obtener cualquier término de la sucesión.
i.
36 1 x
ii. 36 2 x
iii. 36x
a) Con la regla que seleccionaron, verifiquen los cálculos de la tabla de la actividad
2 y obtengan los términos que ocupan los lugares 33, 56 y 99 de la sucesión.
Lugar 33: 1 118; lugar 56: 2 016; lugar 99: 3 564
b) Expliquen si su regla funcionó para esos casos y escriban sus conclusiones sobre cómo una expresión o regla ayuda a determinar los términos desconocidos
de una sucesión como la anterior. R. M. La regla sí funcionó para esos casos,
pues se sustituye x por el lugar que ocupa el término que se quiere conocer.
3. En la siguiente tabla se muestran los primeros cinco términos de una sucesión.
Analícenla y completen los valores que faltan.
Lugar que ocupa en la sucesión
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Término
46
92
138
184
230
276
322
368
414
460
a) ¿Con qué dato variable se obtienen los términos de la sucesión? Expliquen su
P
ro
respuesta. Con el lugar que cada término ocupa en la sucesión.
b) Representen ese dato variable con una literal y determinen la regla con que se
puede conocer un término cualquiera de la sucesión. El lugar que ocupa cada
término en la sucesión se puede representar con la literal x, de modo que la
regla de la sucesión sería 46x.
c) Utilicen su regla para obtener los términos que se localizan en los lugares 15,
25, 35 y 60 de la sucesión. Lugar 15: 690; lugar 25: 1 150; lugar 35: 1 610;
lugar 60: 2 760.
• Comparen sus respuestas. Si hay diferencias, discutan por qué se presentaron y resuélvanlas con ayuda del profesor.
Resuelves problemas que implican encontrar la regla general
de sucesiones con progresión aritmética.
218
Secuencia didáctica 32
Sesión 2
Otras sucesiones
Reunidos en parejas, realicen lo que se indica.
1. Analicen las siguientes sucesiones de figuras y contesten en su cuaderno.
Sucesión 1
Sucesión 2
...
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
...
1
2
3
n
1
2
3
4
n
a) ¿Cuántos círculos tendrá la figura 9 de la sucesión 1? 63 círculos
b) ¿Y cuántos círculos tendrá la que ocupe el lugar 20? ¿Y la del lugar 50? 140 y
350 círculos, respectivamente.
c) Si la figura estuviera en el lugar n (enésimo), ¿cuántos círculos tendría en total?
Expliquen su respuesta.
1. c) En total
tendría 7n círculos
porque la sucesión
aumenta de 7 en 7,
lo que significa que
entre un término
y el siguiente hay
siete círculos más.
d) Escriban una regla que permita obtener la cantidad de círculos para cualquier
figura de la sucesión 1. 7n círculos, donde n es el lugar que ocupa el término en
la sucesión.
e) En la sucesión 2, ¿cuántos círculos tendrá la figura que ocupe el lugar 10, 25 o
n? Lugar 10: 40 círculos; lugar 25: 100 círculos; lugar n: 4n círculos
f)
Escriban una regla que permita obtener la cantidad de círculos para cualquier
figura de la sucesión 2. 4n círculos, donde n es el lugar que ocupa el término en
la sucesión.
• Comparen sus respuestas y argumentos con los de sus compañeros y, con la orientación del profesor, discutan las diferencias y aclárenlas.
2. Analicen las sucesiones A y B. Determinen en cada caso cuál dato varía y escriban la
expresión o regla que permite encontrar cualquier término.
I.
Sucesión A: 7, 12, 17, 22, 27…
II. Sucesión B: 8, 13, 18, 23…
i.
Dato que varía: Posición del término
i. Dato que varía: Posición del término
ii. Literal que representa el dato que
varía: R. M. n
P
ro
iii. Regla de la sucesión: 5n 1 2
ii. Literal que representa el dato que
varía: R. M. n
iii. Regla de la sucesión: 5n 1 3
a) Determinen con la regla establecida, para cada sucesión, los términos que están
en los lugares 15, 20 y 45. A: 77, 102 y 227, B: 78, 103 y 228, respectivamente
b) ¿Cómo convencerían a sus compañeros de que sus reglas permiten conocer
todos los términos de las sucesiones A y B? Expliquen su respuesta. R. M.
Verificando que sirven para cualquier término de la sucesión.
• Comparen sus respuestas y argumentos con los de sus compañeros y, con la orientación del profesor, discutan las diferencias y aclárenlas.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes
219
En equipos resuelvan lo que se solicita y respondan.
3. Determinen los siguientes términos de las sucesiones de figuras 1 y 2 de la actividad 1
de esta sesión y confirmen la regla general que establecieron.
a32
Término
a37
a40
a43
a51
a66
a71
Regla general
Sucesión 1
224 259 280 301 357 462 497
7n círculos
Sucesión 2
128
4n círculos
148
160
172 204 264 284
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
4. Analicen la siguiente información y validen lo que han realizado hasta el momento.
Regla general de una sucesión
Los elementos de una sucesión se llaman términos y a la expresión mediante la cual se
puede encontrar el término número n, se le suele llamar término general.
La regla general de una sucesión permite obtener cualquiera de sus términos. Por
ejemplo, la regla general de la sucesión I de la actividad 2 es 5n 1 2. En este caso, los
números 5 y 2 son constantes y n representa un valor que cambia: el lugar que ocupan los términos en la sucesión. Por ello, n siempre corresponde a un número natural.
Cada término de una sucesión se puede representar con una literal y un subíndice que
indica su posición o lugar dentro de dicha sucesión. Usualmente se utiliza la literal a; an
representa el término que ocupa el lugar n.
Por ejemplo, en la actividad 1 de la sesión 1, la de los garrafones de agua, la sucesión
36, 72, 108, 144, 180, 216, 252… se puede expresar del siguiente modo:
Término de la sucesión
36
72
108
144
180
216
252
Representación del término
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
P
ro
• Verifiquen que la información anterior sea clara y compartan sus reflexiones. Si hay
dificultades o errores, coméntenlos para resolverlos entre todos.
Trabaja de manera individual lo que se pide. Valida con el grupo tus argumentos.
1. Obtén la regla general de las siguientes sucesiones.
i. 9, 14, 19, 24, 29… 5x 1 4
ii. 2, 5, 8, 11, 14, 17… 3x 2 1
iii.
...
1
2
2x 2 1
3
a) ¿Las expresiones algebraicas que obtuviste son únicas o habrá alguna equivalente? Hay expresiones equivalentes, pero en cada caso se genera la
sucesión correspondiente.
Resuelves problemas que impliquen el establecimiento de expresiones algebraicas equivalentes
que representan reglas generales de sucesiones con progresión aritmética.
220
Secuencia didáctica 32
Sesión 3
Reglas generales equivalentes
Reúnanse en parejas y resuelvan las siguientes actividades.
1. Escriban los siguientes términos de cada sucesión y obtengan la regla general.
i.
1, 3, 5, 7, 9, 11 ,
13 ,
15 ,
17 ,
19 ,
21 , 23 …
Regla general: 2x 2 1
ii. 6, 16, 26, 36, 46, 56 , 66 , 76 , 86 , 96 , 106 , 116 …
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Regla general: 10x 2 4
2. Expongan ante el grupo, según lo solicite el profesor, la regla general que modela las
sucesiones anteriores. Luego analicen la sucesión i y respondan.
a) ¿Las reglas generales que propusieron ustedes y sus compañeros son iguales o
diferentes? ¿En qué son iguales o en qué son diferentes? Expliquen su respuesta. R. L.
b) ¿Puede una sucesión tener reglas generales equivalentes o solo puede tener
Sí, una sucesión puede tener reglas
una regla? Argumenten su respuesta.
generales equivalentes porque se puede representar con expresiones distintas,
pero equivalentes entre sí.
3. Analicen la tabla, complétenla y respondan.
n
5
8
12
2n
10
16
n 1 (n 2 1)
9
15
(n 2 1) 1 (n 2 1) 1 1
9
15
2(n 2 1) 1 1
9
15
2n 2 1
9
15
24
23
23
23
23
a) ¿Qué relación identifican entre los términos de las sucesiones que se forman
con las reglas 2n 2 1 y n 1 (n 2 1)? Argumenten su respuesta. Son iguales,
pues al sustituir el valor de n se obtiene el mismo resultado.
b) ¿Qué relación observan entre los términos de las sucesiones que se obtienen
con las reglas (n 2 1) 1 (n 2 1) 1 1 y 2(n 2 1) 1 1 o n 1 (n 2 1)? En ambos
casos son iguales.
P
ro
3. c) Los términos
de la sucesión 2n
son mayores, cada
término mayor en
una unidad.
c) ¿Cómo son los términos de la sucesión 2n al compararlos con los demás? Expliquen su respuesta.
i.
De la sucesión 2n, escriban los términos correspondientes a n 5 30, n 5 31,
n 5 32, n 5 33, n 5 34 y n 5 35. Luego obtengan la diferencia entre dos
términos consecutivos cualesquiera. ¿Cuál es el resultado en cada caso?
60, 62, 64, 66, 68 y 70, respectivamente. En cada caso, la diferencia es 2.
ii. ¿Lo anterior sucede para cualquier par de términos consecutivos? Sí, pues
es una sucesión aritmética.
• Comparen sus respuestas y argumentos con los de sus compañeros.
Eje: Número, álgebra y variación
Tema: Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes
221
4. José, un alumno de secundaria, afirma que la regla general de la sucesión del punto
ii de la actividad 1, es 10n 2 4. Comenta, además, que en su equipo, para obtener
una regla equivalente a ella, hicieron lo siguiente: Descompusimos algunos elementos de 10n 2 4 en factores: 10 5 5 3 2 y 4 5 2 3 2, y obtuvimos la expresión
(2)(5n) 2 (2)(2). Como ambos términos tienen 2 como factor, utilizamos la propiedad
distributiva y llegamos a 2(5n 2 2). Así, 10n 2 4 5 (2)(5n) 2 (2)(2) 5 2(5n 2 2).
a) ¿Qué piensan de lo que afirman José y su equipo? Argumenten. R. M. Su
afirmación es correcta porque las ecuaciones son equivalentes entre sí.
hi ©
bi SA
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T
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st N
ri A
bu
ci
ón
b) Verifiquen que las reglas generales anteriores sean equivalentes. Expliquen sus
conclusiones. Ver solucionario
c) ¿Se puede pensar que lo que realizaron José y su equipo funcionará para obtener
expresiones equivalentes a partir de cualquier regla general? Expliquen.
Sí, pues ese procedimiento funciona para cualquier regla general.
• Comparen sus respuestas. Discutan las diferencias y aclárenlas en grupo.
Sucesiones aritméticas y reglas generales
Una sucesión aritmética es aquella en que la diferencia entre dos términos consecutivos es constante. Cuando se conoce la regla general de la sucesión, es posible
obtener cualquiera de sus términos a partir de la igualdad an 5 a1 1 (n 2 1)d, donde an
es el término que se quiere conocer; a1 es el valor del primer término; n es el lugar que
el término ocupa en la sucesión —o el número del término—, y d es la diferencia entre
términos consecutivos.
Para obtener expresiones equivalentes a cierta regla general, se pueden descomponer
los coeficientes de esta última en factores. Después, con la propiedad distributiva, la
expresión obtenida se simplifica.
• Comenten la información anterior, si hay dudas, resuélvanlas. Sustenten por qué la
sucesión con la regla 2n de la actividad 3 no es equivalente a las demás.
Resuelvan en parejas.
P
ro
1. Completen la tabla según correponda. R. M.
Sucesión de números
6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34…
5.5, 7, 8.5, 10, 11.5, 13, 14.5, 16, 17.5…
10/3, 19/3, 28/3, 37/3, 46/3, 55/3,
64/3, 73/3, 82/3, 91/3…
2.5, 6.5, 10.5, 14.5, 18.5, 22.5, 26.5,
30.5, 34.5, 38.5…
Regla general Regla general equivalente
4n 1 2
2(2n 1 1)
4
1.5(n 1 1.5
)
1.5n 1 4
1
3n 1
3(n 1 91 )
3
4(n 2 1.5
4n 2 1.5
4 )
• Compartan sus respuestas y argumentos. Escriban una conclusión acerca de cómo
determinar la regla general de sucesiones de números y de figuras.
Aplicas la regla general de una sucesión con progresión aritmética para determinar términos faltantes. En sucesiones de figuras, determinas el número de elementos de la figura según el lugar que ocupa en la sucesión.
222
Secuencia
didáctica 33
Sesión 1
Triángulos y paralelogramos
Lean en parejas la información, contesten y hagan lo que se pide.
1. Roberto trabaja en el departamento de diseño de una empresa y para una nueva
campaña de publicidad piensa utilizar un diseño en forma de triángulo. Para ello,
realizará pruebas con triángulos de distintos tamaños e iniciará las construcciones
con las medidas que se muestran en la tabla.
A
B
C
hi ©
bi SA
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T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Triángulo
Medidas de los lados (cm)
Saber escuchar
es una cualidad
que te apoyará
en el aprendizaje.
Presta atención a
lo que tu maestro o
compañeros dicen del
tema, así interpretarás
o le darás el
significado correcto a
lo que escuchas.
18, 14, 11
15, 18, 35
20, 17, 16
a) Roberto analizó las medidas y afirma que con algunas de ellas no se puede
construir un triángulo. ¿Qué piensan acerca de lo que dice Roberto? Expliquen
su respuesta. R. M. Roberto está en lo cierto, pues con las medidas establecidas
para el triángulo B no es posible construirlo.
2. En hojas de papel, de preferencia reciclado, tracen los triángulos con las medidas de
la tabla. Analicen sus construcciones y respondan.
a) ¿Coinciden o difieren con la afirmación de Roberto? Justifiquen su respuesta.
R. M. La afirmación de Roberto es correcta porque no es posible construir el
triángulo B.
• Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y escriban una conclusión de lo
realizado.
Desigualdad del triángulo
Analicen y resuelvan en equipos las situaciones.
1. El jefe de Roberto le sugirió utilizar otras medidas para construir los triángulos.
Estas se presentan en la tabla de la página siguiente. Construyan en hojas los
triángulos con las medidas de la tabla. Después complétenla y contesten.
Justifiquen sus respuestas.
P
ro
a) ¿En todos los casos fue posible construir un triángulo? Expliquen su respuesta.
No, para la tercera terna no fue posible porque dos lados “no se alcanzan”.
b) En los casos en que fue posible, al comparar la suma de la medida de dos lados
La longitud de
con la medida del tercero, ¿qué patrón identifican?
cualquier lado es siempre menor que la suma de las longitudes de los otros dos
lados.
c) ¿Ese patrón se presentó cuando no fue posible realizar las construcciones? No,
en ese caso 30 . 18 5 10 1 8
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
223
Medidas de los
lados (cm)
b
30
40
10
25
25
20
c
20
40
8
15
24
20
Comparación de la suma con la
medida del lado que no se suma
a 1 b, b 1 c y c 1 a
43, 50, 33
55, 80, 55
40, 18, 38
50, 40, 40
Mayor (.), menor (,) o igual (5)
., ., .
., ., .
., ,, .
., ., .
Sí
Sí
No
Sí
46, 49, 45
., ., .
Sí
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
a
13
15
30
25
21
20
¿Fue posible
construir el
triángulo?
Suma de la medida de
dos lados
40, 40, 40
., ., .
Sí
2. Respondan lo siguiente para generalizar el patrón que identificaron. Expliquen.
a) ¿En qué casos se puede construir un triángulo a partir de tres medidas dadas?
Cuando la longitud de cualquier lado es menor que la suma de las longitudes
de los otros dos lados.
b) ¿Y en qué casos no es posible? Cuando la longitud de alguno de los lados es
mayor que la suma de las longitudes de los otros dos lados
3. De acuerdo con sus respuestas, propongan tres medidas con las que es posible
construir un triángulo. R. M.
a)
4 , 4 y 6
b)
5 , 5 y 5
c)
12 , 10 y 20
• Intercambien su libro con otro compañero y verifiquen que los tres triángulos puedan
construirse. Si identifican errores, sustenten por qué y corríjanlos.
Desigualdad del triángulo
P
ro
Para construir un triángulo, es necesario que la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera del triángulo sea mayor que la medida del tercer lado. Es decir, si los lados de
un triángulo son a, b y c, se tiene: a , (b 1 c), b , (a 1 c) y c , (a 1 b). Esta propiedad
se conoce como la desigualdad del triángulo.
Por ejemplo, dados tres segmentos, a 5 17 cm, b 5 24 cm y c 5 26 cm, se tiene que
17 , (24 1 26), 24 , (17 1 26) y 26 , (17 1 24). Por tanto, es posible construir un triángulo con esas medidas; si alguna de esas desigualdades no se cumpliera, no sería posible.
Trabaja de manera individual. Valida en grupo tus argumentos. R. M.
1. Escribe en cada caso tres medidas con las cuales no es posible construir triángulos.
a) 1, 1 y 3
b) 1, 6 y 7
c) 10, 5 y 2
Determinas la desigualdad del triángulo.
224
Secuencia didáctica 33
Sesión 2
Unicidad triangular
Trabajen en equipos lo que se solicita.
1. Construyan en hojas, de preferencia recicladas, los triángulos que cumplan con las
siguientes características. De ser necesario, recórtenlos y compárenlos.
a) Un triángulo con un lado de 12.8 cm y, a partir de ese lado, un ángulo interior de
49° y otro de 73°.
Al compararlos, ¿cuántos triángulos distintos se pueden trazar con esas
medidas? Justifiquen su respuesta. Solo uno, pues solo existe un triángulo
que cumple con esas características.
b) Un triángulo con un lado de 9.5 cm y dos ángulos localizados en los extremos
de dicho lado que midan 60° y 110°.
hi ©
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T
su IL
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ri A
bu
ci
ón
i.
i.
¿Cuánto mide el ángulo que falta? Justifiquen su respuesta. 10°, pues la suma
de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180° y 60° 1 110° 5 170°.
ii. ¿Es el único triángulo que se puede formar con esas características? Expli-
quen por qué. Sí, porque al establecerse dos ángulos y una longitud, existe
un solo triángulo con esas características.
c) Un triángulo con dos lados de 11 cm, que formen un ángulo de 70°.
i. Escriban la medida de sus otros ángulos. Cada ángulo mide 55°, el triángulo
que se forma es isósceles y tiene dos ángulos iguales.
ii. En este caso, ¿es posible construir distintos triángulos o solo uno? Justifiquen su respuesta. Solo uno, porque las longitudes de dos lados y un
ángulo están determinadas.
d) Un triángulo con ángulos de 35°, 50° y 95°.
i.
¿Cuánto miden los lados del triángulo que trazaron? R. L.
ii. ¿Cuántos triángulos distintos se pueden trazar con estos datos? Una
infinidad porque no se determinó ninguna longitud.
e) Un triángulo cuyos lados midan 13 cm cada uno.
P
ro
i.
¿Se podrían trazar triángulos distintos con las mismas medidas? Justifiquen
su respuesta. No, porque las longitudes de los tres lados ya están determinadas
y por tanto también lo están las medidas de sus ángulos interiores.
ii. ¿Es posible afirmar que el triángulo trazado es único? ¿Por qué? Sí, porque
las condiciones dadas para su construcción ya fueron establecidas.
• Comenten sus respuestas y argumentos. Escriban sus conclusiones y den ejemplos con
apoyo del profesor.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
225
Reunidos en grupo, con la guía de su maestro, analicen la siguiente información.
Unicidad en la construcción de triángulos
En algunos casos, únicamente se podrá trazar un triángulo que cumpla ciertas características. Puede ser que su ubicación en el espacio sea distinta, pero seguirá siendo el mismo
triángulo. Esta propiedad recibe el nombre de unicidad en la construcción de triángulos
y se presenta cuando se tienen:
hi ©
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T
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bu
ci
ón
1. Las medidas de los tres lados.
2. La medida de un lado y la de los ángulos ubicados en los extremos de ese lado.
3. La medida de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Cuando solo se conoce la medida de uno o dos lados, es posible construir muchos
triángulos distintos.
• Si tienen dudas coméntenlas para aclararlas y propongan ejemplos.
Construcción de paralelogramos
En parejas, realicen lo que se solicita.
2. Consideren un paralelogramo con un lado de 6 cm y otro de 4 cm.
a) ¿Habrá un solo paralelogramo que cumpla esas condiciones? No, varios
paralelogramos cumplen esas condiciones.
b) Trácenlo y compárenlo con el de su compañero. ¿Qué pueden concluir después
de la construcción? Expliquen su respuesta. Hay una infinidad de
paralelogramos que cumplen con estas características.
c) Si se modifica la posición de uno de los lados del paralelogramo que trazaron,
¿se obtiene otro que cumple las mismas condiciones? Sí, se obtiene otro que las
cumple.
d) ¿De qué manera será posible indicar que se pueden construir muchos paralelo-
P
ro
gramos con esas medidas? R. M. Por ejemplo, asignar una variable al ángulo
que se forma entre dos lados consecutivos del paralelogramo, siempre que
estos midan 6 cm y 4 cm respectivamente.
e) ¿Será posible construirlos todos? ¿Cuántos son? Expliquen su respuesta. No
es posible construirlos todos porque hay una infinidad de paralelogramos que
cumplen con las medidas dadas.
f) Si se modifica la medida de uno de los ángulos interiores del paralelogramo que
trazaron, ¿qué otros elementos se alteran? ¿Cuáles se mantienen? ¿El paralelogramo es único? Expliquen su respuesta Se modifican los otros ángulos
interiores, pero las longitudes de los lados se mantiene. Por tanto, el
paralelogramo no es único.
• Socialicen sus respuestas y argumentos con la finalidad de llegar a acuerdos en grupo.
Estableces la propiedad de unicidad en la construcción
de triángulos.
226
Secuencia didáctica 33
Sesión 3
Paralelogramos
Trabajen en equipos lo que se solicita.
1. Construyan los paralelogramos que cumplan con las siguientes características.
Contesten y expliquen sus respuestas.
a) Un paralelogramo con un lado de 10 cm, otro de 14 cm y cuya diagonal mida
25 cm.
¿Lograron construirlo? No
hi ©
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ci
ón
i.
b) Un paralelogramo con un lado de 4 cm y cuyos ángulos interiores, ubicados en
los extremos de dicho lado, midan 40° y 140°.
i.
¿Lograron construirlo? Sí
ii. ¿Se trata de un paralelogramo único? No
c) Un paralelogramo con un lado de 5 cm y ángulos adyacentes de 50° y 110°.
i.
¿Lograron construirlo? No
• Compartan lo realizado con la finalidad de llegar a acuerdos, discutan sobre la unicidad de las construcciones y empleen argumentos geométricos. Después analicen la siguiente información.
Posibilidad y unicidad en la construcción de
paralelogramos
Para determinar si la construcción de un paralelogramo es posible cuando se conocen
tres de sus medidas (por ejemplo, la medida de dos de sus lados y la de su diagonal), se
puede recurrir a la desigualdad del triángulo; es decir, que la suma de la medida de dos
lados debe ser mayor que la del tercero. Una vez que se determina que la construcción
es posible, se puede trazar primero el triángulo que forman la diagonal y dos lados, y
después terminar de trazar el paralelogramo, como se muestra en la imagen.
P
ro
•
•
•
•
Por ejemplo, el paralelogramo del inciso a de la
actividad 1 no puede construirse porque la diagonal y dos de sus lados no cumplen la desigualdad del triángulo: 10 1 14 5 24 es menor
que 25.
Otra condición que debe cumplir cualquier paralelogramo es que la suma de los ángulos adyacentes (los que no son opuestos) debe ser igual a 180°. Si es mayor o menor, el
paralelogramo no se puede construir porque los lados no serían paralelos. Respecto a
la unicidad, únicamente es posible construir un solo paralelogramo cuando la información proporcionada es la medida de dos lados consecutivos y la del ángulo que forman
entre ellos.
• Escriban, con apoyo del profesor, una conclusión acerca de lo trabajado.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
227
Trabajen en parejas.
1. Determinen cuáles afirmaciones son verdaderas y cuáles no. Sustenten sus
respuestas.
Afirmaciones
Entra en
www.esant.mx/
ecsema1-043, donde
podrás jugar con una
aplicación interactiva
relacionada con
la posibilidad de
construir triángulos.
hi ©
bi SA
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ri A
bu
ci
ón
Verdadero o falso
V, es uno
Es posible construir un único triángulo si se tienen las medidas de los criterios de
congruencia
de sus tres lados.
de triángulos.
F, la suma debe
Es posible construir un triángulo si la suma de las medidas de
ser mayor que el
dos de sus lados es menor o igual que la del tercero.
tercer lado.
F, existen infinitos
Un triángulo es único si la medida de sus tres lados y sus tres triángulos
ángulos interiores son iguales, respectivamente.
equiláteros con
esas medidas.
V, es uno de
Si se conocen las medidas de dos lados de un triángulo y
los criterios de
el ángulo que forman entre sí, es posible construir un único
congruencia
triángulo.
de triángulos.
V, es posible construirlo,
Si se conocen las medidas de los ángulos adyacentes de un
aunque existen una
paralelogramo y la medida de cualquiera de sus lados, es poinfinidad de paralelogramos
sible construirlo.
con esas medidas.
2. Construyan un paralelogramo con un lado de 8 cm, otro de 4 cm y cuya altura, correspondiente al lado de 8 cm, mida 3 cm.
a) ¿La construcción que hicieron es la única posible? Argumenten su respuesta.
Sí, porque las dimensiones del paralelogramo quedan establecidas.
P
ro
3. La siguiente construcción ha quedado inconclusa. En ella se muestra la medida de
la diagonal de un paralelogramo y la del ángulo que se forma entre la diagonal y un
lado. Concluyan los trazos para obtener el paralelogramo y mencionen de cuál se
trata o, si es el caso, justifiquen por qué no es posible construirlo.
30.99°
5.83 cm
a) Justificación: R. M. Con las medidas proporcionadas se forma un único
triángulo y este es, a su vez, congruente con el segundo triángulo que forma el
paralelogramo. Por tanto, el paralelogramo es único.
• Compartan sus trazos y, con ayuda del profesor, discutan si la medida de la altura de un
paralelogramo debe ser menor o igual que la del lado no correspondiente a esa altura.
Comenten también qué pasa si la medida de la altura es igual que la del lado.
Construyes paralelogramos: posibilidad y unicidad.
228
Secuencia
didáctica 34
Sesión 1
Congruencia de triángulos
Realicen en parejas lo que se pide. Usen su juego de geometría.
1. Tracen los triángulos con las siguientes medidas.
i.
ii. DDEF: uno de sus lados mide 7.2 cm
y los ángulos que se forman en los
extremos de ese lado son de 40°.
DABC: dos de sus lados miden
4.7 cm y el ángulo entre ellos es
de 100°.
B
E
4.7 cm
F
hi ©
bi SA
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T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
C
100°
40°
100°
4.7 cm
7.2 cm
40°
A
D
a) ¿Cómo son entre sí las medidas de los lados del DABC y del DDEF? Expliquen
su respuesta. Iguales, ya que miden lo mismo.
b) Al analizar sus construcciones, ¿se puede conocer la medida de los ángulos
interiores de los dos triángulos? Sí
c) Si su respuesta anterior es afirmativa, determinen cuáles son esas medidas.
Ángulos interiores: 40°, 40° y 100°; longitud de los lados: 4.7 cm, 4.7 cm y 7.2 cm
d) Comparen las medidas de los ángulos interiores de los triángulos trazados,
¿cómo son entre sí? Son iguales entre sí
e) De acuerdo con las comparaciones anteriores, ¿qué pueden deducir de las medidas de los triángulos? Expliquen sus conjeturas. Los dos triángulos tienen las
mismas medidas.
P
ro
2. Hugo, un alumno de secundaria, dice que los triángulos trazados son iguales.
a) Si compartieran la idea de Hugo, ¿cómo convencerían a otros alumnos de su
grupo de que esa afirmación es verdadera? Expliquen su respuesta. R. M.
Recortan los triángulos y sobreponiendo uno encima del otro.
b) ¿Qué instrucciones le darían a algún compañero para que trace dos triángulos
iguales? ¿Sobre qué aspectos se centrarían? Justifiquen su respuesta. R. L.
• Comparen sus respuestas y argumentos con los del resto de sus compañeros y discutan
las condiciones mínimas necesarias para afirmar que dos triángulos son iguales.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
229
Tres lados iguales
Trabajen en equipos. Usen sus juegos de geometría y contesten.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
1. Construyan sobre la siguiente cuadrícula el DA1B1C1. Para ello, sigan las
instrucciones.
E1
A
• 1
B
• B1
C
C1
••
P
A
E2
R1
i. Tracen una semirrecta que empiece en A1 y pase por P; nómbrenla R1.
ii. Con centro en A1 tracen una circunferencia cuyo radio mida lo mismo que la
distancia del vértice A al C. Nombren C1 al punto donde se intersecan esa circunferencia y R1.
iii. Tracen otra circunferencia con centro en A1, pero cuyo radio sea igual a la distancia de A a B; designen E1 a la circunferencia.
iv. Con centro en C1 tracen una tercera circunferencia cuyo radio mida lo mismo
que la distancia del vértice B al C y llámenla E2. Designen B1 a uno de los puntos
donde se intersecan las circunferencias E1 y E2.
v. Tracen los segmentos de recta para construir el DA1B1C1.
a) ¿Cómo son entre sí el triángulo que construyeron y el inicial? Son congruentes,
tienen las mismas medidas.
2. Obtengan las medidas para completar la tabla.
Medidas de los lados
5
5
4
4
Medidas de los ángulos interiores
3
3
78
78
37
37
65
65
P
ro
Triángulo
ABC
A1B1C1
a) ¿Cómo son entre sí las medidas de los lados del DABC y las del DA1B1C1? ¿Qué
identifican? Las medidas de los lados y ángulos interiores son iguales. Los
triángulos son congruentes.
b) Digan en qué casos es posible construir dos triángulos cualesquiera, distintos
de los triángulos ABC y A1B1C1, cuyos lados correspondientes tengan las mismas
medidas. Expliquen su respuesta.
c) ¿Habrá otras maneras de construir dos triángulos que sean iguales, es decir, con
instrucciones diferentes de las dadas anteriormente? Anoten sus suposiciones.
Sí hay otras maneras. R. L.
• Compartan y discutan sus hipótesis con sus compañeros.
2. b) Siempre es
posible construir
dos triángulos
cualesquiera,
distintos de los
triángulos ABC y
A1B1C1, cuyos lados
correspondientes
tengan las mismas
medidas.
Construyes dos triángulos cuyos lados correspondientes
son iguales.
230
Secuencia didáctica 34
Sesión 2
Dos lados y un ángulo iguales
Realicen en parejas lo que se pide y respondan.
1. Construyan el DP1Q1R1 a partir del DPQR para compararlos y determinar la relación entre sus medidas. Para ello, hagan los trazos en la cuadrícula y sigan las
instrucciones.
B
hi ©
bi SA
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T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Q2
T1
Q
T2
P
C1
W1 R
•
P1
W2
R2
Semirrecta A
C2
i.
ii.
iii.
iv.
P
ro
v.
vi.
vii.
Tracen una circunferencia con centro en P1 y cuyo radio sea igual que la
distancia entre el vértice P y el R. Nombren R1 al punto de intersección de la
circunferencia y la semirrecta A.
Con centro en P tracen una circunferencia de 2 cm de radio y marquen los
puntos donde interseca a los lados PQ y PR del DPQR; llámenlos T1 y W1,
respectivamente.
Tracen otra circunferencia de 2 cm de radio, pero con centro en P1, llámenla C1,
y marquen el punto donde se interseca con la semirrecta A; designen W2 a ese
punto.
Ahora con centro en W2 tracen una circunferencia cuyo radio mida lo mismo
que la distancia entre T1 y W1 y nómbrenla C2. Nombren T2 al punto sobre la
cuadrícula donde se intersecan las circunferencias C1 y C2.
Tracen una semirrecta B que empiece en P1 y pase por T2.
Con centro en P1 tracen una circunferencia de radio igual que la medida entre los
vértices P y Q. Nombren Q1 al punto de intersección entre la circunferencia y la
semirrecta B.
Unan Q1 y R1 con un segmento de recta para formar el DP1Q1R1 y marquen los
ángulos RPQ y R1P1Q1, respectivamente.
a) ¿Qué relación identifican entre los ángulos RPQ y R1P1Q1? Son iguales
b) Obtengan la medida de los ángulos RPQ y R1P1Q1. ¿Qué identifican?, ¿se corrobora su conjetura? Expliquen su respuesta. Son iguales. R. M. Sí se corrobora la
conjetura.
c) ¿Cómo son entre sí las medidas de los dos lados que forman los ángulos trazados, respectivamente, en cada triángulo? Son iguales entre sí.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
231
2. Tracen un triángulo cualquiera en su cuaderno. Úsenlo de referencia y apliquen el
procedimiento anterior. Después comparen las parejas de triángulos trazados con
las de otros alumnos y contesten.
a) Al emplear este procedimiento, ¿siempre se obtienen triángulos con medidas
iguales en un ángulo y en dos de sus lados? Sí
b) ¿Cómo convencerían a los compañeros de otros equipos de que el triángulo tra-
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
zado y el inicial son iguales? Si lo consideran pertinente, usen valores numéricos
para sustentar su respuesta. R. M. Se miden los lados y ángulos interiores de
cada triángulo y se comparan las mediciones.
3. Tracen dos triángulos tales que la suma de las medidas de dos de sus lados sea
igual que el doble de la medida del tercero.
R. M.
(a 1 b) 5 2c
a 5 3, b 5 5, c 5 4
(d 1 e) 5 2f
d 5 6, e 5 4, f 5 5
b
c
e
f
a
d
a) ¿Los triángulos construidos son únicos? ¿Cuántos triángulos se pueden cons-
truir con esta característica? Existen una infinidad de triángulos, con lados a , b
y c, que cumplen con la condición (a 1 b) 5 2c
4. Construyan el paralelogramo a partir de la información que se proporciona: su diagonal mide 3.6 cm y los ángulos en los extremos de la diagonal sean de 96° y 24°.
96°
3.6 cm
24°
a) ¿Cuántos paralelogramos es posible construir con las condiciones dadas? Uno
P
ro
• Compartan sus argumentos y registren en su cuaderno sus conclusiones.
Trabaja de manera individual . Comparte tu experiencia en clase.
1. Traza un triángulo cualquiera y redacta tres mensajes distintos para que otro
alumno pueda construir un triángulo igual al que trazaste. R. L.
2. Intercambia tu mensaje con otros compañeros y verifica que su construcción sea
correcta. R. L.
Construyes dos triángulos cuyas medidas de dos lados y un
ángulo sean iguales.
232
Secuencia didáctica 34
Sesión 3
Dos ángulos y un lado iguales
Trabajen en equipos lo que se pide.
1. Construyan sobre la siguiente cuadrícula el DM1N1L1 para comparar las medidas de
dos de sus ángulos con las del DMNL. Para ello, sigan las instrucciones, las cuales
empiezan con un procedimiento similar al de la sesión anterior.
N
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
W1
•
P1
M
L
• • Q1
Q1
P2
C1
•
M1
Q1
N
C41
• •
C3
Z2
•
W2
C2
L1
Semirrecta R1
P
ro
i.
Tracen una circunferencia con centro en M1 y radio igual que la medida entre los
vértices M y L; nombren L1 al punto donde interseca a la semirrecta R1.
ii. Con centro en M tracen una circunferencia de 2 cm de radio y marquen los
puntos donde interseca a los lados MN y ML del DMNL; llámenlos P1 y Q1,
respectivamente.
iii. Tracen otra circunferencia de 2 cm de radio, pero con centro en M1, llámenla C1,
y marquen el punto donde se interseca con la semirrecta R1; designen Q2 a ese
punto.
iv. Ahora con centro en Q2 tracen una circunferencia cuyo radio mida lo mismo que
la distancia entre P1 y Q1 y llámenla C2; nombren P2 al punto sobre la cuadrícula
donde se interseca con la circunferencia C1.
v. Tracen una semirrecta S1 que empiece en M1 y pase por P2.
vi. Ahora tracen una circunferencia de 2 cm de radio con centro en L y marquen los
puntos donde se interseca con los lados LN y LM; llámenlos, respectivamente,
W1 y Z1.
vii. Ahora con centro en L1 tracen otra circunferencia de 2 cm de radio, llámenla
C3, y nombren Z2 al punto donde se intersecan esa circunferencia y la semirrecta R1.
viii. Tracen ahora una circunferencia con centro en Z2 y cuyo radio sea igual que la
distancia entre W1 y Z1 y nómbrenla C4. Designen W2 al punto sobre la cuadrícula donde se intersecan las circunferencias C3 y C4.
ix. Tracen una semirrecta S2 que comience en L1 y pase por W2 y nombren N1 al
punto donde interseca a S1.
x. Marquen los ángulos NML, MLN, N1M1L1 y M1L1N1.
a) Midan los cuatro ángulos anteriores y los respectivos lados entre ellos. ¿Qué
identifican? Los ángulos correspondientes son iguales.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
233
b) Con el procedimiento empleado, ¿siempre se pueden obtener dos triángulos
con medidas iguales en dos ángulos y en el lado entre ellos? Argumenten su
respuesta. Sí, pues el procedimiento empleado se usó en un triángulo cualquiera.
En la siguiente
página podrás
aplicar lo estudiado:
www.esant.mx/
ecsema1-044
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
c) ¿Cómo convencerían a los compañeros de otros equipos de que el triángulo
trazado y el inicial son iguales? Si lo consideran necesario, tracen distintos
triángulos empleando el procedimiento anterior para aclarar sus dudas y fortalecer sus argumentos. Después escriban en su cuaderno sus respuestas.
Ver solucionario
• Compartan sus argumentos y registren sus conclusiones acerca de las condiciones necesarias para construir dos triángulos iguales.
Congruencia
Congruencia es la relación de igualdad entre dos objetos geométricos; dicha relación se
& Por ejemplo:
representa con el símbolo “%”.
Comenta en clase tus
experiencias al visitar
el sitio sugerido.
1. Dos segmentos de recta son congruentes si miden lo mismo.
2. Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida.
3. Dos figuras planas son congruentes si las medidas de sus ángulos interiores y
lados son correspondientemente iguales.
z 5 32.63°
•L
A « 5 99.83° C D
E
K
•
J
•
H
•
LK 5 4
IJ 5 4
GH 5 4
u 5 99.83°
a 5 38°
I
•
G
•
& LK
% IJ %
GH &
b 5 38°
& ²b
ⱔa %
d 5 32.63°
h 5 47.55°
g
5
47.55°
B
F
& DDEF
DABC %
& ⱔu ⱔd &
% ⱔh ⱔ« %
% ⱔz
ⱔg &
&
&
AC % DE AB % EF BC &
% DF
objetos geométricos.
Son figuras, cuerpos,
ángulos, rectas,
etcétera.
• Discutan la información anterior y escriban una conclusión sobre lo trabajado en la secuencia.
Trabajen en parejas.
1. Determinen cuáles afirmaciones son verdaderas y cuáles no. Sustenten sus respuestas.
P
ro
Afirmaciones
Es posible construir un único triángulo si se tienen las medidas
de sus tres lados.
Un triángulo es único si la medida de sus tres lados y sus tres
ángulos interiores son iguales, respectivamente.
Es posible construir un único triángulo si se conocen la medida de dos de sus lados y el ángulo que forman entre sí.
Es posible construir un único triángulo si se conoce la medida
de sus tres ángulos interiores.
Verdadero o falso
V, solo existe un triángulo para un
conjunto de medidas de tres lados.
V, no puede existir un triángulo
diferente con esas medidas.
V, no puede existir un triángulo
diferente con esas medidas.
F, se puede construir triángulos
diferentes si solo se conoce la medida de
sus tres ángulos interiores.
• Validen en grupo sus argumentos y escriban sus conclusiones.
Construyes dos triángulos cuyas medidas de dos ángulos y un
lado sean iguales.
234
Secuencia
didáctica 35
Sesión 1
Criterios de congruencia
Realicen lo siguiente en parejas. Usen su juego de geometría y después contesten de manera individual.
1. Cada uno trace individualmente un triángulo cualquiera en el recuadro “Mi construcción”. Cuando terminen, por turnos, uno de ustedes dicte los datos de su triángulo
para que su compañero lo trace en el recuadro “Triángulo descrito”. Consideren lo
siguiente:
Las instrucciones deben permitir que su compañero trace un triángulo congruente al suyo, es decir, al que construyeron primero.
Registren paso a paso las instrucciones que su compañero les dicte para construir el triángulo.
Máximo pueden coincidir dos datos proporcionados. Por ejemplo, si alguno
recurre a dar la medida de los tres ángulos, el otro no puede decir también la
medida de los tres ángulos, sino solo la medida de dos ángulos y otro dato.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
•
•
•
Mi construcción
Triángulo descrito
P
ro
a) Valida que el triángulo de tu compañero sea congruente con el tuyo. Describe
los aspectos que consideraste para la validación. Los lados y sus ángulos
internos deben ser iguales respectivamente.
b) ¿Las indicaciones que recibiste fueron claras para construir un triángulo congruente al de tu compañero? Explica por qué. R. L.
• Comparen sus respuestas y argumentos con las de sus compañeros, y discutan las condiciones mínimas para afirmar que dos triángulos cualesquiera son congruentes.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
235
Trazo de triángulos
Realiza de manera individual lo que se solicita.
1. En una tarjeta se trazó un triángulo y se les pidió a cuatro alumnos que escribieran
las instrucciones mínimas para que otro alumno trazara un triángulo congruente
con el primero. Traza los triángulos para cada caso.
1
Instrucciones
Espacio para trazar
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Alumno
Dos lados que miden
3 cm y el ángulo entre
ellos mide más de 90°.
3 cm
3 cm
.908
2
El ángulo formado
entre dos lados, que
miden 3 cm, es de 128°.
3 cm
1288
3
4
Un lado mide 5.4 cm
y los ángulos que se
encuentran entre sus
extremos miden 26°.
Dos lados miden 3 cm
y el tercero, 5.4 cm.
3 cm
268
268
5.4 cm
3 cm
3 cm
5.4 cm
P
ro
a) ¿Qué dificultades tuviste al seguir las instrucciones? Explica. R. L.
b) ¿Cómo puedes asegurar que tus construcciones son correctas? R. M. Se
miden los lados y ángulos de los triángulos, y se verifica que cumplan las
especificaciones dadas.
• Socializa tus respuestas y argumentos con otros compañeros para identificar dificultades o errores. Si encuentras alguno, corrígelo.
Construyes triángulos congruentes.
236
Secuencia didáctica 35
Sesión 2
Construcciones inconclusas
Realicen lo siguiente en parejas.
1. Retomen los triángulos trazados en la página anterior y contesten.
a) ¿Qué tipo de triángulo se construyó en cada caso? Argumenta tu respuesta.
Todos son triángulos isósceles porque la medida de dos de sus lados es igual.
b) Ya que cada persona dio instrucciones para el mismo triángulo, ubica los lados
lados homólogos.
Son aquellos que,
dadas dos figuras
geométricas, a
los lados que se
corresponden,
ocupan la misma
posición relativa
y cuya medida es
la misma.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
homólogos. ¿Cómo son entre sí? Son iguales
c) ¿Y cómo son entre sí los ángulos homólogos de los triángulos? Explica tu res-
puesta. Son iguales, pues al formar los triángulos con las mismas medidas se
obtienen los ángulos iguales.
d) Con base en lo anterior, ¿se puede decir que los cuatro triángulos que construyeron son congruentes entre sí? ¿Por qué? No, porque no tienen las mismas
medidas.
ángulos homólogos.
Son aquellos que
ocupan la misma
posición relativa
en dos figuras
geométricas y cuya
medida es la misma.
e) Si en algún caso se obtuvo un triángulo diferente de los otros, y con base en
la construcción, ¿qué información consideras necesario agregar para que se
obtenga un triángulo congruente a los otros tres? R. M. Indicar cuál es la medida
del ángulo que se forma entre los lados iguales.
f)
Registra las medidas de los triángulos construidos, compáralas y escribe tus
conclusiones al respecto. R. M. Los triángulos de los alumnos 2, 3 y 4 son
congruentes (si se redondea a unidades).
• Comenten sus justificaciones y valídenlas con el resto del grupo.
Realicen en parejas lo que se pide y argumenten sus respuestas.
P
ro
2. En la siguiente tabla se muestran las indicaciones mínimas para construir un triángulo
y construcciones inconclusas.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
a) Completen la tabla según sea el caso, es decir, a partir de la construcción, den
las indicaciones mínimas para trazar el triángulo, además de concluir el trazo, y
dadas las indicaciones mínimas, tracen el triángulo.
Caso
Indicaciones mínimas
para construir el triángulo
1
Un lado mide 3 cm y los
ángulos que se encuentran a sus extremos miden
60° y 30°.
Construcción
60°
3 cm
30°
237
Caso
2
Indicaciones mínimas
para construir el triángulo
Construcción
El lado a mide 2 cm.
El lado c mide el doble
que el lado a.
3
El lado b mide
del
4
lado c.
2 cm
3 cm
4 cm
•
2.5 cm
105°
•
3.5 cm
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
3
Un lado mide 2.5 cm y
otro lado mide 3.5 cm, el
ángulo entre ellos mide
105°.
•
4
El lado a mide 1.5 cm.
En un extremo del lado
a hay un ángulo de 60°.
En el otro extremo se
encuentra un ángulo
de 90°.
90°
60°
1.5 cm
b•
2 cm
•m
5
Las medidas de los
lados de un triángulo
son 2 cm, 3 cm y 4 cm.
3 cm
4 cm
•g
6
El lado m mide 4.8 cm.
El lado p mide 3.5 cm.
El ángulo que se forma
entre los lados m y p
mide 30.2°.
3.5 cm
30.2°
4.8 cm
P
ro
• Compartan sus construcciones y sus indicaciones. Verifiquen que todos comprendan la
redacción.
Trabaja de manera individual.
1. Escribe de manera general cuáles son las condiciones mínimas para trazar
triángulos isósceles iguales.
• Socializa tus condiciones con otros compañeros para validarlas.
1. R. M. La medida
de dos lados y el
ángulo entre ellos,
la medida de un
lado y los dos
ángulos adyacentes
a él, o la medida de
los tres lados del
triángulo.
Determinas los criterios de congruencia de triángulos.
238
Secuencia didáctica 35
Sesión 3
Criterios de congruencia
Retomen los triángulos trazados en la página anterior y contesten.
1. ¿En qué casos se obtienen triángulos congruentes entre sí? Para responder, apóyense en la siguiente tabla.
Caso
Los lados homólogos tienen la misma longitud.
hi ©
bi SA
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T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
2 y 5
Justificación
1 y 4
Dos ángulos homólogos miden lo mismo y la longitud de los
lados homólogos también.
3 y 6
Dos lados homólogos tienen igual longitud y el ángulo que
forman es el mismo.
a) De acuerdo con la información que se proporciona en cada caso, ¿es posible
construir triángulos que no sean congruentes con los que obtuvieron? Expli-
quen. No, con las instrucciones dadas solo es posible construir triángulos
congruentes.
b) Registren las condiciones mínimas para trazar un triángulo congruente con otro.
Si hay varios casos, considérenlos. Medida de un ángulo y la longitud de los
dos lados que lo forman; medida de dos ángulos y longitud del lado adyacente
a ellos; medida de los tres lados.
• Expongan sus respuestas y argumentos. Con ayuda de su maestro, escriban sus conclusiones y den ejemplos. Después lean la siguiente información:
Criterios de congruencia de triángulos
Los criterios de congruencia de triángulos son condiciones mínimas que permiten determinar si dos triángulos son congruentes entre sí.
P
ro
Para que puedas
establecer relaciones
entre los conceptos
que estás estudiando,
escribe resúmenes
y haz cuadros
sinópticos para
sintetizar, organizar
y comprender el
tema estudiado
en sus aspectos
fundamentales.
LLL
LAL
ALA
1. Lado-lado-lado (LLL). Dos triángulos son congruentes entre sí cuando los tres
lados del primero son congruentes con los tres lados homólogos del segundo.
2. Lado-ángulo-lado (LAL). Dos triángulos son congruentes cuando dos lados de
uno y el ángulo comprendido entre estos son congruentes, respectivamente, con
los dos lados y el ángulo entre ellos de un segundo triángulo.
3. Ángulo-lado-ángulo (ALA). Dos triángulos son congruentes cuando la medida
de dos ángulos de uno y el lado comprendido entre estos son congruentes, respectivamente, con dos ángulos y el lado comprendido entre estos de un segundo
triángulo.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
239
a) Discutan la información de la página anterior. De los triángulos que han determinado como congruentes, ¿qué criterio se utiliza para cada caso? Expliquen. R. L.
• Valida con el grupo tus argumentos y escribe tus conclusiones.
Resuelvan en parejas las actividades.
hi ©
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T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
1. Analicen los triángulos y con base en la información, determinen si son congruentes.
•
3 cm
•
•
104.48°
1
•
2 cm
3 cm
2
28.96°
•
46.56°
4 cm
•
2 cm
3
•
•
4 cm
•
a) Anoten sus argumentos. Los tres triángulos son congruentes entre sí porque
sus medidas y ángulos son respectivamente iguales.
2. Analicen la siguiente la información que corresponde al trazo de dos triángulos que
han quedado inconclusos. Justifiquen sus respuestas.
•
g
cg 5 3.39
c
•
h
120°
•
hi 5 2.5
120°
40°
i
•
En esta página,
encontrarás un
interactivo sobre
los criterios de
congruencia
de triángulos.
www.esant.mx/
ecsema1-045
Registra tus
experiencias y
compártelas con
tus compañeros.
cf 5 2.5
•f
P
ro
a) Con la información disponible, ¿es posible concluir que al completar los trazos
se obtendrán triángulos congruentes? Sí
b) Si la respuesta anterior fue afirmativa, ¿qué criterio de congruencia se puede
utilizar para corroborarlo? Los criterios que permiten corroborar la congruencia
son LAL y ALA.
• Validen sus respuestas completando el trazo de ambos triángulos. Compartan sus
respuestas y argumentos y escriban una conclusión acerca del uso de los criterios de
congruencia de triángulos.
Aplicas los criterios de congruencia de triángulos.
240
Secuencia
didáctica 36
Sesión 1
Triángulos y otras figuras
Realiza de manera individual lo que se pide. Justifica tus respuestas.
1. Completa la construcción del DABC, de la cual solo se disponen los datos mostrados. Después traza un DA’B’C’ que sea congruente con el primero, de modo que
ambos triángulos compartan el lado AC, pero que el vértice A’ quede en el lugar del
vértice C.
C
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
•
a 5 5.6 cm
a 5 45°
•
A
•
B
c5 4
a) ¿Qué criterio de congruencia utilizaste? El criterio LAL
b) ¿Cómo son entre sí el lado AB y su lado opuesto? Son iguales
i.
¿Cómo son entre sí sus medidas? Son iguales
c) ¿Cómo es el lado CB con respecto a su lado opuesto? Es igual
i.
Si se considera su medida, ¿cómo son entre sí? Son congruentes
d) ¿Y cómo son entre sí el lado BC y su opuesto? Son congruentes
i.
¿Cómo son sus medidas entre sí? Son iguales
e) ¿Qué figura se formó al juntar los dos triángulos congruentes? Un paralelogramo
f)
De acuerdo con los datos que se muestran al principio, ¿con qué criterio de
P
ro
congruencia de triángulos se puede probar que el DABC y el DA’B’C’ son con-
gruentes? Sustenta tu respuesta. Con el criterio LAL, pues esos datos son
iguales para los triángulos ABC y A’B’C’.
2. En una hoja, de preferencia reciclada, traza dos triángulos congruentes con el DABC
e identifica los lados y ángulos homólogos. Luego recorta los triángulos y acomódalos de manera que forme una figura cuyos pares de lados opuestos sean paralelos.
En tu cuaderno responde para esa figura las preguntas anteriores.
a) ¿Qué criterio de congruencia utilizaste? El criterio LAL
• Comenta y valida tus respuestas y argumentos con tus compañeros.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
241
Tres y cuatro ángulos
Realicen en parejas lo que se pide. Justifiquen cada respuesta.
1. Tracen un triángulo congruente con el DDEF, de modo que ambos compartan el
lado DE, pero que el vértice D’ se localice en el lugar del vértice E. Luego identifiquen los vértices homólogos de los triángulos.
F
•
d 5 6 cm
•E
hi ©
bi SA
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T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
D'
e 5 5.66 cm
f 5 4.47 cm
•D
E'
F'
•
a) ¿Qué criterio de congruencia utilizaron? Expliquen su respuesta.
b) ¿Qué figura se formó al unir los dos triángulos congruentes? Un paralelogramo
1. a) LLL, pues se
conoce la medida
de los tres lados del
triángulo.
c) ¿Cómo son entre sí los ángulos del DDFE y su opuesto, es decir, su homólogo
en el DD’E’F’? Son iguales
¿Cuánto miden? 71.5°, 63.5° y 45°
d) Prolonguen un poco los segmentos DE, DF’ y FE en ambos sentidos.
i.
¿Cómo son entre sí la medida de los ángulos FDE y DEF’?
Son iguales
¿Cuál es su medida? 71.5°
ii. ¿Cómo es la medida del ángulo FED con respecto a la del ángulo F’DE?
Son iguales
¿Cuánto miden? 63.5°
e) Consideren la figura DFEF’.
i.
¿Cómo son entre sí las medidas de los ángulos F’DF y FEF’?
Son iguales
¿Cuál es su medida? 135°
ii. Consideren dos ángulos adyacentes, por ejemplo F’DF y DFE. ¿Cuánto
deben sumar sus medidas? Deben sumar 180°.
iii. ¿Lo anterior sucede para cada par de ángulos contiguos? Sí, porque la suma
de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°.
P
ro
• Comparen y validen sus respuestas y argumentos con el resto del grupo.
A
Trabaja de manera individual.
B'
•
1. Completa la construcción del DABC. Después traza un
5.87 cm
DA’B’C’ que sea congruente con el primero, de modo que
79.99°
ambos triángulos compartan el lado AC.
•
B
•C
• Socializa tus condiciones con otros compañeros para validarlas.
Identificas los criterios de congruencia de triángulos en
problemas geométricos.
242
Secuencia didáctica 36
Sesión 2
Triángulos dentro de un paralelogramo
Realicen en parejas lo que se pide.
1. Hagan las siguientes construcciones en su cuaderno.
Cada uno trace en una hoja, de preferencia reciclada, tres triángulos distintos.
Tracen otros tres triángulos, congruentes con los anteriores.
Recórtenlos y péguenlos para obtener tres paralelogramos distintos.
Pueden obtener un paralelogramo como el que se muestra a continuación; nombren los vértices de uno de los suyos del mismo modo.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
•
•
•
•
L
M'
•
•
Z
•
M
•
N
i. Tracen la diagonal LN de su paralelogramo.
ii. Ahora tracen la diagonal MM’.
iii. Ubiquen el punto donde se intersecan ambas diagonales y llámenlo Z.
a) ¿Qué posición ocupa el punto Z con respecto a la diagonal LN? Argumenten su
respuesta. Es el punto medio porque está a la misma distancia de L que de N.
b) ¿Y qué posición ocupa con respecto a la diagonal MM’? Justifiquen su respuesta. Es el punto medio porque está a la misma distancia de M que de M’.
c) ¿La posición relativa que ocupa el punto Z con respecto a las diagonales es la
misma para todos los paralelogramos? Sí
Prueben con los paralelogra-
P
ro
mos que tienen en sus hojas. ¿Qué sucede? R. L.
bh
,
2
donde b es la medida de la base y h la de la altura, y en un paralelogramo hay
d) Si el área de cualquier triángulo se puede calcular con la fórmula A 5
dos triángulos, ¿qué fórmula es posible utilizar para calcular el área de cualquier
paralelogramo? R. M. Como un paralelogramo está formado por dos triángulos
iguales, entonces A 5 2 bh
2 . Por tanto, A 5 bh, donde b es la medida de la base
y h, la altura.
• Compartan sus respuestas y argumentos. Con ayuda del profesor, escriban sus conclusiones y den ejemplos.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Figuras y cuerpos geométricos
243
En grupo, discutan la siguiente información.
Propiedades de los paralelogramos
Algunas propiedades de los paralelogramos son las siguientes:
Los lados opuestos (no adyacentes) miden lo mismo y son paralelos.
Todos los ángulos opuestos son iguales.
Los ángulos adyacentes son suplementarios.
Las diagonales siempre se intersecan en su punto medio.
Dado que el paralelogramo se puede construir a partir de dos triángulos congruentes, es posible calcular su área al multiplicar la medida de la base por la de
la altura, como se calcula el área de un rectángulo.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
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ri A
bu
ci
ón
1.
2.
3.
4.
5.
Visita las páginas:
www.esant.mx/
ecsema1-046 y
www.esant.mx/
ecsema1-047
donde encontrarás
información acerca
de la relación que
hay entre triángulos y
cuadriláteros.
• Comparen sus respuestas y argumentos con los de sus compañeros. Discutan si las propiedades enunciadas se analizaron a lo largo de la secuencia y validen sus respuestas.
Resuelvan en parejas. Justifiquen sus respuestas.
E
D
•
1. Determinen las medidas que se solicitan del paralelogramo.
•
a) Lado AE: 3.16, pues AE 5 BD
BD 5 3.16
b) Lado ED: 3.98, pues ED 5 AB
•
c) ⱔAED 1 ⱔEDB 5 180°
A
AB 5 3.98
•
B
2. El paralelogramo, cuya altura mide 3 u, se construyó a partir de dos triángulos
congruentes.
E
•
Área de ABDE 5 13.74 u2
Perímetro de ABDE 5 16.51 u
D
•
125.25°
P
ro
74.6°
•
A
•
B
a) Obtengan la medida de cada lado. Ver solucionario
b) Determinen la medida de los tres ángulos de los triángulos que lo componen.
Ver solucionario
• Compartan sus resultados con el grupo y validen sus justificaciones.
Aplicas los criterios de congruencia de triángulos para estudiar
las propiedades de paralelogramos.
244
Secuencia
didáctica 37
Sesión 1
Volúmenes de prismas
En equipos realicen las actividades.
hi ©
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T
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di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
1. Sugey trabaja en una empacadora donde tienen cajas de cartón de diversos tamaños y de dos formas: cajas cúbicas y cajas con base rectangular. Debe empacar
1 000 velas cúbicas que miden 10 cm de largo, 10 cm de ancho y 10 cm de profundidad, en cajas como la que se muestra en la imagen.
a) ¿Cuántas velas caben en la caja? Caben 30 velas
2. En la caja marquen su largo, ancho y altura. Después contesten.
a) ¿Cuál es la medida de la caja con respecto a su largo, alto y ancho? 50 cm,
30 cm y 20 cm, respectivamente.
b) Describan los procedimientos que realizaron para responder las preguntas ante-
P
ro
riores. R. M. Contar cuántas velas caben a lo largo, ancho y alto, y multiplicar
esos tres resultados. El número de velas que cabe en cada dimensión se
multiplica por 10 cm.
3. Carmina, compañera de Sugey, afirma que la manera como acomodó las velas en la
caja de abajo le permite empacar las 1 000 piezas. Observa la caja donde empaca
Carmina y contesta.
a) ¿Están de acuerdo con lo que dice y hace Carmina? Justifiquen su respuesta.
R. M. Sí, pues caben 10 velas en cada dimensión y 10 3 10 3 10 5 1000.
b) ¿Cómo pueden verificar que en la caja de Carmina efectivamente caben 1 000
velas? Expliquen. R. L.
c) ¿Qué medidas debe tener la caja para que puedan ser empacadas las 1 000
velas? Expliquen su respuesta. 100 cm de largo, 100 cm de alto y 100 cm de
ancho, pues de ese modo caben 10 velas en cada dimensión.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Magnitudes y medidas
245
d) Discutan el procedimiento que emplearon para responder. Si hay una expresión
algebraica con la que puedan representarlo, escríbanla. R. M. abc 5 1000,
donde a es el largo de la caja, b es el alto y c, el ancho .
• Socialicen sus experiencias con sus compañeros y su profesor.
En equipos realicen las actividades.
hi ©
bi SA
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T
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di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
1. Carmina empaca velas en cajas de tres tamaños distintos. Determinen la cantidad
de velas que caben en cada caja y registren la información en la tabla.
Caja 1
Velas
Largo
Ancho
Alto
Total
Caja 2
Caja 3
Caja 1
Caja 2
Caja 3
6
4
10
9
4
10
12
4
10
240
360
480
a) ¿Qué relación hay entre los datos anteriores y el total de velas que caben en
cada caja? R. M. El total de velas que caben es igual al producto de las
cantidades que caben a lo largo, ancho y alto.
b) Retomen la expresión algebraica que plantearon. ¿Al usarla, pueden calcular el
volumen de estas y de otras cajas? Expliquen. Sí, se puede calcular el volumen
de cualquier caja porque la expresión no depende de las medidas que esta tenga.
P
ro
• Comparen los resultados obtenidos y discutan cómo son entre sí. Después registren sus
conclusiones con respecto a los procedimientos estudiados.
Trabaja de manera individual.
R. M. 50 cm de largo, 50 cm de alto y 50 cm de ancho.
1. ¿Cuál debe ser la medida de una caja cúbica donde se empaquen 125 velas del
mismo tamaño que las utilizadas en la sesión?
2. Si la caja donde empaca Carmina es rectangular, ¿cuáles son sus medidas?
R. M. 250 cm de largo, 10 cm de algo y 50 cm de ancho.
• Socializa tus respuestas y verifica que sean correctas.
Obtienes la fórmula para calcular el volumen de
prismas rectos cuya base es un rectángulo.
246
Secuencia didáctica 37
Sesión 2
Expresión algebraica y prismas
En equipos realicen las siguientes actividades.
1. Apliquen su expresión algebraica de la sesión anterior y calculen la cantidad de velas que caben en las siguientes cajas.
Caja 2
Caja 3
hi ©
bi SA
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su IL
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st N
ri A
bu
ci
ón
Caja 1
60 cm
90 cm
120 cm
a) Cantidad de velas de la caja 1: 1 728
b) Cantidad de velas de la caja 2: 216
c) Cantidad de velas de la caja 3: 729
d) ¿Fue útil su expresión algebraica o fórmula? Expliquen. R. M. Sí, con ella se
puede calcular la cantidad de velas que caben en cada caja.
e) Carmina dice que ella calcula la cantidad de velas al multiplicar la medida del
lado por lado por lado de las cajas cubicas. ¿Qué piensan de su procedimiento?
Expliquen. R. M. Es correcto, así se puede obtener la cantidad de velas que
caben en una caja.
• Registren sus conclusiones acerca de lo discutido antes.
P
ro
2. Analicen las imágenes y respondan.
a) En el prisma 1 se hizo un corte, como muestra el prisma 2, generando dos prismas como el 3.
Prisma 1
Prisma 2
Prisma 3
c
c
b
a
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Magnitudes y medidas
b
a
247
b) Relacionen el tipo de prisma de las imágenes.
i.
Tipo de prisma 1
Prisma de base cuadrangular
Prisma de base rectangular
ii. Tipo de prisma 3
Prisma de base triangular
Prisma de base poligonal
hi ©
bi SA
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su IL
di LA
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ri A
bu
ci
ón
c) ¿Qué tipo de prismas se obtienen al hacer el corte en el prisma 2? Se obtienen
dos prismas de base triangular.
d) ¿Cuál es el volumen del prisma 1? Su volumen es abc unidades cúbicas.
e) Analiza el prisma 3. ¿Qué se obtiene al mutiplicar a 3 b y dividir el resultado
entre 2? Se obtiene el área de la base del prisma, que es un triángulo.
f)
¿Qué obtienes si multiplicas el resultado anterior por c? Se obtiene el área del
prisma 3.
g) ¿Cuál es el volumen del prisma 3? El volumen es
abc
,
2
¿Por qué? Porque su área es la mitad del prisma 1.
h) A partir de lo que hicieron, escriban una fórmula o expresión algebraica para
calcular el volumen de prismas cuya base es un triángulo y si se puede aplicar
abc
en otro tipo de prismas. Expliquen. La fórmula es 2 , y se puede aplicar a
cualquier prisma triangular.
i)
Comparen la fórmula o expresión algebraica que establecieron en la sesión
anterior con la que acaban de establecer. ¿Con ambas se puede calcular el
volumen de prismas cuya base es un cuadrilátero o un triángulo? Expliquen su
P
ro
respuesta y lleguen a un acuerdo. R. M. Sí, ab representan el área de la
base del prisma y c, la altura. De esa forma se puede calcular el volumen de
cualquier prisma.
• Socialicen sus respuestas y argumentos en grupo. Validen la fórmula consensuada.
Trabaja de manera individual.
1. ¿Cuál es el volumen de la caja que se muestra?
2 295 cm3
• Socialicen sus respuestas con sus compañeros.
Verifiquen que sean correctas.
17 cm
9 cm
15 cm
Obtienes la fórmula para calcular el volumen de prismas rectos cuya base es un triángulo.
248
Secuencia didáctica 37
Sesión 3
Prismas de base triangulares
En equipos realicen las actividades.
1. Usen la fórmula que acordaron en la sesión anterior y calculen el volumen de los
prismas.
i.
Prisma cuya base es
un triángulo equilátero.
ii. Prisma cuya base es
un triángulo isósceles.
iii. Prisma cuya base es
un triángulo rectángulo.
•
hi ©
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T
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di LA
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ri A
bu
ci
ón
•
•
•
•
12 cm
•
•
12 cm
15 cm
C
•
•
•
5.72 cm
A•
•B
7 cm
6.06 cm
•• A
8 cm
C•
•C
6 cm
Volumen: 254.52 cm2
A
•
7 cm
•B
7.5 cm
•B
Volumen: 337.5 cm2
Volumen: 240.24 cm2
a) ¿La fórmula o expresión algebraica funcionó en todos los casos? Expliquen. R. M.
Sí, pues la fórmula funciona para cualquier prisma recto.
b) En cada caso, ¿qué datos son necesarios para calcular el volumen de cada prisma? ¿En todos los casos son los mismos? Expliquen. Se necesitan la altura del
prisma y el área de su base; para conocer esta última se deben conocer la base
y la altura del triángulo que es la base del prisma.
c) Para obtener el volumen del prisma de base triangular, ¿qué sentido tiene calcu-
P
ro
lar la medida del área de la base? Después de calcular la medida del área de la
base basta con multiplicarla por la altura del prisma para obtener el volumen
de este último.
• Socialicen en grupo sus respuestas y argumentos. Después discutan la siguiente
información:
Volumen de un prisma
La fórmula para calcular el volumen de un prisma cuya base es un triángulo o un cuadrilátero es V 5 Ab x h, que es igual al área de la base (Ab) por la altura (h).
• Comenten sus respuestas y argumentos en grupo para disipar dudas o dificultades.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Magnitudes y medidas
249
2. Calculen el volumen de los prismas.
a)
Área de la base: 1 920 cm2
45 cm
Altura: 45 cm
32 cm
Volumen del prisma: 86 400 cm3
60 cm
•
•
•
hi ©
bi SA
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ri A
bu
ci
ón
b)
Área de la base: 3 cm2
Altura: 7 cm
2 cm
Volumen del prisma: 21 cm3
A
•
7 cm
•
C
3 cm
•B
• Comenten y comparen sus argumentos y respuestas con la finalidad de que sean correctos. Después registren sus acuerdos.
Trabajen en equipos.
1. Se han trazado dos prismas cuya base es un cuadrilátero. Analicen sus características y obtengan la medida de su volumen.
a)
6 cm
5 cm
4 cm
5 cm
10 cm
12 cm
Área de la base: 45 cm2
b)
Volumen: 450 cm3
Altura: 10 cm
10 cm
Visita
www.esant.mx/
ecsema1-048
donde profundizarás
tus conocimientos
sobre los prismas.
2 cm
P
ro
7 cm
3.6 cm
3.6 cm
4 cm
Área de la base: 14 cm2
Altura: 7 cm
Volumen: 98 cm3
• Comenten y comparen sus argumentos y respuestas con la finalidad de que sean correctos. Después registren sus acuerdos
Resuelves problemas que implican calcular el volumen de
prismas rectos cuya base es un cuadrilátero o un triángulo.
250
Secuencia
didáctica 38
Sesión 1
Cálculo de la medida faltante
En equipos realicen las siguientes actividades.
1. La caja que se muestra mide 7 cm de largo, tiene un volumen de 28 cm3 y el área
de su base es de 14 cm2.
a) De acuerdo con los datos, ¿es posible conocer la medida fal-
hi ©
bi SA
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T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
tante? Expliquen. Sí, pues solo se desconoce una medida en la
fórmula correspondiente.
b) ¿Cuánto mide la altura de la caja? Mide 2 cm
c) Describan el procedimiento que emplearon para calcular la
altura de la caja. R. M. El volumen del prisma es de 28 cm3 y
este es igual al área de la base por la altura, así que basta con
dividir el volumen entre el área de la base: 28 cm3 4 14 cm 5
2 cm. Por tanto, la altura mide 2 centímetros.
2. Lucero y su compañera dicen que la medida faltante es la altura, por lo que emplearon una expresión algebraica para calcularla.
a) ¿Qué expresión algebraica emplearían para conocer la medida faltante?
R. M. V 5 Ab 3 h
b) Apliquen la expresión algebraica anterior y calculen la medida faltante. Compárenla con su respuesta inicial. ¿Qué identifican? R. M. 28 5 14 3 h, h 5 2. El
resultado es el mismo.
• Comenten con sus compañeros cómo la expresión algebraica planteada ayuda a
calcular la medida faltante cuando se conocen otras.
Reúnanse en equipos y respondan.
P
ro
1. La caja que se muestra a la izquierda tiene como
medida de área de la base 18 cm2 y un volumen
de 72 cm3.
a) ¿Qué medida es la que no se conoce, es
decir, cuál es la incógnita? La altura de la caja
b) Escriban la expresión algebraica con la que
18 cm2
se puede calcular la medida faltante y
calcúlenla: R. M. V 5 Ab 3 h, 72 5 18 3 h,
h 5 4 cm
• Socialicen sus expresiones, respuestas y argumentos con sus compañeros. Verifiquen
que sus respuestas sean correctas.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Magnitudes y medidas
251
En grupo, analicen la siguiente información.
Término desconocido
El volumen de un prisma recto cuya base es un cuadrilátero o un triángulo se calcula
con la expresión algebraica V 5 Ab 3 h. Si se conocen algunas de sus medidas, como
su volumen, el área de su base o su altura, el valor faltante se puede expresar de la siguiente manera:
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
1. Si se conoce el volumen 2. Si se conoce el volumen 3. Si se conoce la altura,
y el área de la base:
y la altura.
el largo y el ancho.
V 5 (10 3 4) 3 4
160 5 40 3 h
160 5 Ab 3 4
V 5 160
h54
Ab 5 40
Es decir, se resuelve la ecuación para conocer el valor de la incógnita.
• Consideren la información anterior. Verifiquen que su expresión algebraica y sus
cálculos sean correctos.
2. Identifiquen el valor faltante implicado en el cálculo del volumen y calcúlenlo.
•
i.
•
•
Área de la base 5 7 cm2
Volumen 5 135 cm3
ii.
• Volumen 5 63 cm3
h 5 5 cm
•
•
•
Altura 5 9 cm
•
•
•
•
•
Área de la base 5 27 cm2
a) ¿Cuál es la medida desconocida en cada prisma? La altura y el área de la base,
respectivamente
b) ¿Cómo pueden convencer a sus compañeros de que sus cálculos son correctos? Expliquen. R. M. Con la fórmula correspondiente y revisando que los
cálculos sean correctos.
P
ro
• Compartan sus respuestas y argumentos. Registren sus conclusiones acerca de lo discutido antes.
Trabaja de manera individual.
1. ¿Cuál es el valor faltante en un prisma de base triangular cuyo volumen es de
1 125 cm3 y tiene una altura de 5 cm? Calculen su valor. El área de la base, cuyo
valor es 225 cm.
2. ¿Cuál es el valor faltante en un prisma cuyo volumen es de 360 cm3 y que tiene
60 cm2 de área de la base? Calculen su valor. La altura del prisma, que mide 6 cm.
• Socialicen sus respuestas con sus compañeros. Verifiquen que sean correctas.
Calculas el volumen o cualquiera de las dimensiones de prismas rectos cuya base sea
un cuadrilátero o un triángulo.
252
Secuencia didáctica 38
Sesión 2
Capacidad y volumen
En equipos realicen las actividades.
1. Tatiana necesita un bote para almacenar agua en su casa. En internet encontró uno
en oferta. Sin embargo, está confundida con la información, pues piensa que capacidad es lo mismo que volumen.
a) ¿Están de acuerdo con lo que piensa Tatiana? ¿Coinciden con ella?
hi ©
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bu
ci
ón
¿Por qué? R. M. No, la capacidad y el volumen son conceptos
distintos porque todos los objetos tienen volumen, pero no todos
tienen capacidad.
b) Analicen la información del anuncio. ¿Qué identifican al comparar la
medida del volumen y su capacidad? Expliquen. R. M. El volumen
es mil veces mayor que la capacidad. Una magnitud se expresa en
centímetros cúbicos y la otra, en litros.
c) Discutan en equipos si capacidad y volumen son dimensiones distintas. Después registren sus conclusiones. R. L.
2. Tania midió un garrafón con blanqueador que tiene forma de prisma de base rectangular y obtuvo las siguientes medidas: 20 cm de largo, 25 cm de ancho y 40 cm de
alto, pero no consideró la medida de la tapa. Revisó e identificó que en la etiqueta del
garrafón dice que su contenido es de 20 litros.
g
a) ¿Con los datos que obtuvo Tania ess posible obtener el volumen del garrafón?
P
ro
Argumenta. R. M. Sí, pues con esas medidas se puede calcular la capacidad
del recipiente.
b) ¿Cuántos litros de blanqueador contiene el garrafón? 20 litros
c) ¿Volumen y capacidad se miden con las mismas unidades? Expliquen. No, en
general el volumen se mide en unidades cúbicas y la capacidad, en litros.
d) ¿Qué relación piensan que hay entre litros y centímetros cúbicos?
1 litro 5 1 000 cm3
e) ¿Qué pueden argumentar de la relación entre el contenido de un cuerpo y su
volumen? Expliquen. R. M. Si el cuerpo está completamente lleno, entonces su
capacidad y volumen son iguales.
• Socialicen sus respuestas y argumentos en grupo para disipar dudas o dificultades.
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Magnitudes y medidas
253
En grupo, discutan la siguiente información:
Volumen y capacidad
La capacidad indica cuánto contiene un recipiente y generalmente se mide en litros (L).
En el caso anterior, el garrafón tiene capacidad de 20 litros.
hi ©
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bu
ci
ón
El volumen de un cuerpo indica cuánto espacio ocupa. Generalmente se expresa en
unidades cúbicas, por ejemplo: metros cúbicos (m3) y centímetros cúbicos (cm3). Por
ello, al calcular el volumen del garrafón se obtiene una medida de 20 000 cm3.
Todos los objetos tienen volumen, ya que todos ocupan un lugar en el espacio, pero no
todos son recipientes.
• Verifiquen que la información sea clara para todos. Si tienen dudas, coméntenlas con
su maestro para que las disipen. Después revisen sus argumentos de las respuestas
anteriores y, de ser necesario, ajústenlas.
3. Observen y analicen cada imagen.
a) Escriban cuáles objetos son recipientes.
Impermeabilizantes
Recipiente
Oso de peluche
Alcohol
Recipiente
Entonador universal
b) ¿En qué casos se mide la capacidad? En el caso de los impermeabilizantes y el
alcohol
c) ¿En cuáles se mide el volumen? En todos los casos se puede medir el volumen.
P
ro
d) En la etiqueta de los impermeabilizantes, dice: 1 litro llena 1 000 cm3 equiva-
lentes en grietas y fisuras. ¿Qué pueden interpretar de la relación entre 1 litro y
1 000 cm3? Expliquen. Son equivalentes, es decir, un litro equivale a mil
centímetros cúbicos.
• Socialicen y comparen sus argumentos y respuestas con la finalidad de que sean correctos. Después registren sus acuerdos.
Estableces la relación entre capacidad y volumen e identificas
la diferencia.
254
Secuencia didáctica 38
Sesión 3
Litros y metros cúbicos
En equipos realicen las siguientes actividades.
1. Tatiana estableció una relación entre las unidades de medida de capacidad y de volumen y las registró en la tabla.
Unidades de volumen
Litro (L)
Centímetro cúbico (cm3)
hi ©
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bu
ci
ón
Unidades de capacidad
2. Retomen la información de la publicidad del impermeabilizante donde se usa el término equivalente y seleccionen la relación que modela dicho término:
& 1 000 cm3
1L%
1 L Þ 1 000 cm3
1 L 5 1 000 cm3
a) ¿Pueden decir que el litro y el centímetro cúbico expresan medidas equivalentes? Expliquen. R. M. Sí, solo que una expresa una capacidad y la otra, un
volumen.
3. Completen la tabla. Analicen el ejemplo.
Unidades de capacidad
Litro (L)
Unidades de volumen
Centímetros cúbicos (cm3)
1
1 000
5
5 000
3.5
3 500
a) ¿Qué procedimiento emplearon para completar la tabla? Regístrenlo. R. M.
Dividir el volumen entre 1 000.
• Socialicen sus cálculos y argumentos. Si tienen dudas coméntenlas en clase para que
las despejen. Después lean la siguiente información:
P
ro
Litro y centímetro cúbico
Dado que un litro equivale a mil centímetros cúbicos y mil centímetros cúbicos equivalen a un decímetro cúbico, entonces, se puede afirmar que:
1 L 5 1 000 cm3 5 1 dm3
El litro es una unidad de capacidad en el Sistema Internacional de Unidades y el decímetro cúbico es una unidad de volumen derivada del metro cúbico, y equivale a la milésima parte de un metro cúbico.
1 000 L 5 1 m3
Eje: Forma, espacio y medida
Tema: Magnitudes y medidas
255
Conversión de cantidades
Para convertir una cantidad dada en metros cúbicos (m3) a litros (L), se multiplica la
cantidad por 1 000. Para convertir una cantidad dada en litros a metros cúbicos, se divide la cantidad entre 1 000.
Ejemplo: 100 m3 5 100 3 1 000 L 5 100 000 L
hi ©
bi SA
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T
su IL
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st N
ri A
bu
ci
ón
Para convertir una cantidad dada en centímetros cúbicos a litros, se divide la cantidad
entre 1 000, y para convertir una cantidad dada en litros a centímetros cúbicos se mul100
L 5 0.1 L
tiplica la cantidad por 1 000. Ejemplo: 100 cm3 5
1 000
• Socialicen y comparen sus argumentos y respuestas con la finalidad de que sean correctos. Después registren sus acuerdos.
4. Resuelvan.
a) ¿A cuántos litros equivalen 4 m3? A 4 000 litros
b) ¿A cuántos metros cúbicos equivalen 15 L? A 0.015 m3
c) ¿Cuánto es un centímetro cúbico en litros? Es 0.001 litros
d) ¿A cuántos decilitros equivalen 62 L? A 620 decilitros
e) ¿A cuántos litros equivalen 45 889 m3? A 45 889 000 litros
Visita
www.esant.mx/
ecsema1-049
donde encontrarás
una calculadora para
convertir centímetros
cúbicos a litros y
viceversa. Úsala
para comprobar tus
cálculos.
• Validen en grupo sus conversiones. Si hay errores, dudas o dificultades, exprésenlas
para que sean aclaradas.
Trabajen en equipos y respondan.
1. Una cisterna tiene 4 510 000 cm3 de volumen y se encuentra completamente llena
de agua potable.
a)
¿Cuántos litros de agua le caben? Le caben 4 510 litros
b) Si la cisterna provee de agua a varias familias que tienen tambos de 250 litros,
P
ro
¿cuántos tambos de agua se pueden llenar? Se pueden llenar 18 tambos y
sobran 10 litros.
2. Una pipa con capacidad de 43 000 L traslada sustancias químicas. Determinen su
volumen en centímetros cúbicos. Su volumen es 43 000 000 cm3.
3. Una alberca tiene de medida: 9 m de largo, 7 m de ancho y 2 m de profundidad.
a) ¿Cuál es su volumen? Su volumen es 126 m3
b) A la alberca se le vierte agua exactamente a la mitad de su altura. ¿Qué cantidad
de agua se vertió? Se vertieron 63 m3
• Socialicen y comparen respuestas con la finalidad de que sean correctos.
Usas el decímetro cúbico y el litro como unidades de volumen.
256
Secuencia
didáctica 39
Sesión 1
Medidas de tendencia central
Resuelvan en equipos.
1. En una secundaria se llevó a cabo una campaña para el cuidado de la salud. Para
ello se hizo esta pregunta a varios estudiantes: “¿Cuántos minutos a la semana dedicas al ejercicio físico?”. Los datos recabados son estos:
180, 840, 420, 30, 180, 60, 420, 60, 180, 60, 30, 840, 840, 180, 60, 30, 840, 180,
60, 30, 840, 30.
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a) Ordenen de menor a mayor los datos anteriores. 30, 30, 30, 30, 30, 60, 60,
60, 60, 60, 180, 180, 180, 180, 180, 420, 420, 840, 840, 840, 840, 840
Para aprender,
además de los
recursos que te
ofrece la escuela,
puedes consultar
medios impresos
como periódicos,
revistas e historietas;
audiovisuales como
la radio, los discos
compactos y el cine;
así como acudir a
teatros, museos y
galerías, congresos
y cursos intensivos.
b) Observen las listas de números ordenados y no ordenados y contesten:
i.
¿Qué dato se localiza a la mitad de la lista en cada caso? Sin ordenar, el 30
y el 840; ordenados, el 180 dos veces.
ii. ¿Qué valor medio utilizarían para indicar los minutos que un alumno dedica
al ejercicio físico: el de la lista ordenada o sin ordenar? Expliquen. R. M. El de
la lista ordenada, pues de ese modo sí se considera un valor medio.
iii. ¿Qué significado tiene el dato medio o mediana: mejor estimación o repre-
sentante de los datos? Expliquen. Es un valor central que puede representar
a los demás datos como un promedio.
c) ¿Cuál es el dato que más se repite? Los datos que más se repiten son 30, 60,
180 y 840.
2. En la campaña para el cuidado de la salud se registró el peso, en kilogramos, de 15
alumnas de primero de secundaria: 48, 47, 46, 45, 45, 49, 50, 49, 45, 44, 46, 48,
49, 48, 46.
a) Calculen la media y el dato medio, o mediana, del conjunto de datos:
i.
Media: 47
ii. Mediana: 47
b) Si se agrega a los datos el peso de la tutora del grupo, que es de 95 kg, ¿cuál es
la media y la mediana de los datos?
P
ro
i.
Media: 50
ii. Mediana: 47.5
c) Comparen los resultados obtenidos para la media y la mediana de los datos con
la medida de la tutora y sin ella. ¿Cuál medida sufrió más variación? Expliquen.
La media varió más, debido a que se sumó una cantidad mayor que las
medidas del conjunto de datos.
d) ¿Cuál es la moda de los datos? La moda de los datos son 45, 46, 48 y 49.
e) De la media, moda y mediana, ¿cuál medida es la más conveniente para referirse al peso en kilogramos de las 15 alumnas y la tutora? Expliquen. R. M. La
mediana, debido a que es un valor central del conjunto de datos.
• Comenten sus respuestas y argumentos. Discutan acerca del significado de la moda,
del valor medio o mediana de un conjunto de datos en situaciones como las anteriores.
Eje: Análisis de datos
Tema: Estadística
257
Trabajen en equipo.
Moda, media y mediana
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La media aritmética o promedio es una medida que describe un conjunto de datos.
Algunas de sus carácterísticas son:
1. Se consideran todos los datos del conjunto, aunque algunos sean cero.
2. Es mayor que el valor mínimo del conjunto y menor que el valor máximo.
3. No se ve afectada por el orden de los datos del conjunto.
4. Los valores muy grandes hacen que la media aumente, y los valores muy pequeños hacen que disminuya. Por ello, la media puede dejar de ser una medida
representativa de un conjunto de datos.
La mediana también tiene el significado de mejor estimación de una medida y representante de datos. Algunas de sus características son:
1. Divide al conjunto de datos en dos partes iguales. La mitad de los datos son menores o iguales a ella y la otra mitad, mayores o iguales a ella.
2. Si los datos del conjunto son iguales, la mediana es igual que ellos.
3. Si un dato extremo del conjunto se sustituye por un valor muy grande o muy pequeño, no se afecta. Puede ser un valor distinto de los datos del conjunto.
La moda es el dato que más se repite en un conjunto de datos.
La media, moda y mediana se conocen como medidas de tendencia central.
1. Respondan.
a) ¿Qué medida de tendencia central representa mejor al conjunto de datos en las
actividades anteriores? R. M. La media, pues considera todos los datos del
conjunto.
b) ¿Cuándo una medida de tendencia central es más susceptible de variar en un
conjunto de datos? Cuando hay pocos datos, o bien si se agregan valores
extremos, es decir, muy grandes o muy pequeños.
• Comparen sus argumentos y respuestas con sus compañeros. Discutan cuándo una
medida de tendencia central conviene más para representar a un conjunto de datos.
P
ro
1. En un banco se repartieron 11 turnos entre los clientes y se registró el tiempo que
tardaron en realizar sus tramites. Los resultados, en minutos, fueron 5, 5, 9, 9,
12, 12, 13, 14, 14 y 48.
a) Para mejorar el servicio, ¿qué unidad es la representativa de los datos, la
moda, la media o la mediana, y como puede ayudar esta al gerente a mejorar el servicio? R. M. La media, pues considera todos los datos del conjunto.
• Validen en grupo sus argumentos y escriban sus conclusiones.
Identificas el significado de la moda, media aritmética y la mediana (como reparto equitativo, mejor estimación, número alrededor del cual se acumulan los datos o representante) dado un conjunto de datos.
258
Secuencia didáctica 39
Sesión 2
El rango de un conjunto de datos
Reunidos en equipos, lean la información y respondan.
1. Don José enseña a sus hijos Alfredo y Mariana la importancia de ahorrar. Para sus
gastos escolares, don José les proporciona $25 a la semana y ellos ahorran cierta
cantidad. En la tabla se muestra lo que cada uno ahorró.
Semana
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
15
3
5
4
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4
3
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4
5
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10
4
5
3
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6
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7
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8
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Dinero ahorrado
por Alfredo ($)
Dinero ahorrado
por Mariana ($)
1
a) ¿Cuál medida de tendencia central es la adecuada para indicar lo ahorrado por
Alfredo en quince semanas? Expliquen. La media representa mejor al conjunto
de los datos, pues no hay valores extremos.
b) ¿Y cuál para lo ahorrado por Mariana? Expliquen. La media y la mediana son
iguales, es indiferente usar cualquiera.
c) Siguiendo los hábitos de ahorro de los hermanos, ¿cuánto ahorrarán Alfredo y
Mariana durante las siguientes 15 semanas? ¿Qué medida de tendencia usarían
para calcular y responder? Expliquen. R. M. La media, pues considera todos los
datos del conjunto.
d) ¿Cuál es la cantidad máxima y mínima ahorrada por cada uno? Alfredo, máximo
$20 y mínimo $3; Mariana, máximo $9 y mínimo $6.
e) Para cada uno, calcula la diferencia entre la cantidad máxima ahorrada y la
cantidad mínima. Alfredo, $17 y Mariana $3
f)
¿Qué significado pueden darle a esa diferencia? R. M. Son los valores extremos
de los datos.
g) Discutan qué entienden por dispersión y cómo pueden relacionar ese término
P
ro
con la diferencia obtenida en el inciso f. R. L.
• Socialicen sus respuestas y argumentos. Valídenlos con el resto del grupo.
Una medida para indicar dispersión
Reúnanse en grupo, hagan lo que se pide y respondan.
2. Retomen sus argumentos del inciso g y discutan la información de la siguiente
página.
Eje: Análisis de datos
Tema: Estadística
259
Rango de datos
El rango es una medida de dispersión que se define como la diferencia entre el valor
máximo y el valor mínimo de un conjunto de datos. Cuanto mayor es el rango, más dispersos son los datos de un conjunto.
4. e) Rango de
tiros realizados:
35; rango de tiros
encestados: 19. En
el primer conjunto
los datos están más
dispersos porque su
rango es mayor.
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3. Con base en la definición, calculen el rango de las actividades 1 y 2 de la sesión 1.
El rango de la actividad 1 es 810; el de la actividad 2 es 6.
a) ¿Qué tan dispersos están los datos? Expliquen. En la actividad 1 son muy
dispersos. En la actividad 2, no son tan dispersos.
• Socialicen sus argumentos y valídenlos con el grupo.
4. En diversos deportes, los jugadores se evalúan de acuerdo con su productividad en
cada juego. Por ejemplo, se cuenta la cantidad de tiros que un basquetbolista realizó y la cantidad de encestes que logró durante un partido. En la tabla se muestran
los resultados de un basquetbolista en 22 partidos jugados.
a) De acuerdo con la información, ¿cuál medida de
Juego
tendencia central representa mejor la cantidad
de tiros que realiza por partido: la media o la mediana? ¿Cuál es su valor? Expliquen. R. M. Ambas
medidas son un buen representante, la media es
26.7 y la mediana, 26.
b) ¿Cuál medida de tendencia central representa
mejor la cantidad de tiros encestados por partido: la
media o mediana? ¿Cuánto vale? Expliquen.
Ambas medidas son un buen representante, la
media es 14 y la mediana, 14.5.
c) ¿La respuesta fue la misma medida de tendencia
central en los incisos a y b? R. L.
d) Si la respuesta anterior fue afirmativa, ¿por qué
alguna otra medida de tendencia central no es la
P
ro
mejor representante de los conjuntos de datos?
R. M. Porque en algunos conjuntos de datos los
valores están muy dispersos.
e) Obtengan el rango del total de tiros realizados y
encestados. ¿En qué conjunto de datos están más
dispersos los datos? Expliquen.
• Discutan la información anterior y validen si para los problemas resueltos la medida que utilizaron es la más adecuada
como representante y para ello consideren las propiedades
de la media y mediana.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Total de tiros
Total de tiros
realizados (TTR) encestados (TTE)
23
15
22
10
18
11
35
19
45
16
10
8
32
14
28
16
26
13
41
18
39
25
32
22
18
11
26
15
33
18
17
8
20
9
15
6
24
15
28
13
43
19
12
7
Determinas el rango de un conjunto de datos e interpretas la
dispersión de dicho conjunto.
260
Secuencia didáctica 39
Sesión 3
Cuál representa
Realicen en parejas lo que se pide. Argumenten sus respuestas.
1. Una compañía que evalúa los servicios de las empresas aplicó una encuesta para
conocer la satisfacción de los clientes de un proveedor de telefonía. Para cada pregunta había seis posibles respuestas:
MB: Muy bueno
M: Malo
B: Bueno
MM: Muy malo
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E: Excelente
R: Regular
Se plantearon dos preguntas y sus respuestas se presentan a continuación.
•
¿Cómo es la disponibilidad de la red telefónica cuando usted quiere realizar una
llamada? MB, R, R, R, R, R, MB, R, R, B, R, B, R, R, B, B, MB, M, MM, B, M, M, M,
R, R, M, R, R, B, MM, M, M, MM, MM, M, MM, E, MM, MM, R, MM, M, M, M, MM,
B, MM, MM, MM, R, MM
•
¿Cómo califica la atención que recibe cuando requiere asistencia técnica? MM,
MM, MM, R, R, MM, M, MM, R, R, M, M, M, B, R, R, R, M, MM, MM, R, R, M, M, R,
B, M, MM, R, E, E, MM, M, R, R, M, M, M, MB, B, R, R, R, M, E, M, M, R, R, R, M
a) ¿Cuál es la diferencia de esta actividad y las que han trabajado anteriormente?
Expliquen. R. M. En esta actividad los datos no son numéricos.
b) ¿Qué medida de tendencia central representa mejor la satisfacción de los clientes en relación con la disponibilidad de red telefónica: la mediana o la media?
Expliquen. R. M. La mediana, pues esta se puede obtener sin considerar valores
numéricos.
c) ¿Cuánto vale esa medida? Su valor es R, pues es el dato que está a la mitad del
conjunto ordenado.
d) Si fuera necesario cuantificar (expresar una magnitud de manera numérica) las
respuestas, ¿qué valor asignarían a cada una? Expliquen. R. M. MM 5 0, M 5 1,
R 5 2, B 5 3, MB 5 4 y E 5 5
e) Con base en la escala numérica que asignaron, ¿cuál es el valor de la medida
que determinaron? R. M. La media es 1.6 y la mediana, 2.
P
ro
• Externen sus respuestas y argumentos. Con ayuda de su maestro, escriban sus conclusiones y den otros ejemplos donde los datos de un conjunto no sean valores numéricos.
Representante del conjunto
El representante de un conjunto de datos es un valor que describe a todo el conjunto.
Debido a que es una cantidad referencial, es posible utilizar varios representantes: el
valor mínimo, el valor máximo, la moda, la media y la mediana, entre otros; pero los
mejores representantes de un conjunto de datos son la media y la mediana, por ejemplo, cuando se quiere saber el comportamiento medio de un conjunto de datos.
Eje: Análisis de datos
Tema: Estadística
261
Trabajen en equipos. Justifiquen sus respuestas.
1. La entidad de Protección Civil de un municipio tiene a su disposición varias cuadrillas de trabajadores que reparte en dos zonas para realizar mantenimiento de
pintura en banquetas y señalamientos viales. En la tabla se muestra la cantidad de
metros cuadrados que ha pintado cada cuadrilla.
Cuadrilla
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Zona 1
2 502
870
350
344
275
3 642
840
845
356
284
Zona 2
851
3 736
881
901
426
3 878
462
890
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Superficie
pintada (m2)
1
a) ¿Cuál es la media de la superficie pintada de cada zona? Zona 1: 1 030.8; zona
2: 1 503.12
b) ¿Cuál es la mediana? Zona 1: 598; zona 2: 885.5
c) ¿Qué medida de tendencia central representa mejor la cantidad de metros cuadrados que las cuadrillas han pintado en cada zona? R. M. La mediana, pues
esa medida omite los valores extremos de los conjuntos de datos.
d) ¿El hecho de que haya más cuadrillas en la zona 1 significa que pintan mayor
cantidad de metros lineales? Expliquen. No, de acuerdo con la media y la
mediana se pinta una mayor superficie en la zona 2.
Visita la página
electrónica:
www.esant.mx/
ecsema1-050
donde encontrarás
actividades
relacionadas con los
temas estudiados en
la secuencia.
e) ¿Cuál es la dispersión de los datos, al considerar el rango, para las zonas 1 y 2?
Expliquen. En la zona 1 el rango es 3 367 y en la zona 2, 3 452.
2. En una colecta que realizó la asociación de padres de familia para la compra de
equipo deportivo, se registraron las aportaciones de los padres de familia: $200,
$200, $300, $300, $200, $200, $200, $400, $300, $150, $200, $500, $300,
$300, $400, $200, $200, $300, $100, $100
a) ¿Cuál es la media de los datos? $252.5
¿Cuál es la mediana? $200
b) ¿Qué medida de tendencia central representa mejor las aportaciones de los
padres de familia? Expliquen. La mediana
P
ro
c) Dos padres de familia más hacen su aportación: $30 y $1 200. ¿Cuál es la media y mediana de los datos? $285.5; $200
d) Obtengan el rango del conjunto de datos antes y después de la aportación de
los dos padres de familia. ¿Cómo es la dispersión del conjunto de datos? Expli-
quen. Rango antes de la aportación: $350
Rango después de la aportación: $1 170
La dispersión es mayor al realizarse la aportación.
• Socialicen sus respuestas y argumentos. Escriban una conclusión general sobre cómo
determinar qué medida de tendencia central representa mejor un conjunto de datos.
Identificas el mejor representante de un conjunto de datos.
262
Media, mediana y rango
En esta sección aprenderás a determinar las medidas de tendencia central (media y mediana) y el rango como medidas de dispersión de un conjunto de datos con la hoja de
cálculo electrónica.
1. Lee la siguiente información y responde.
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El gasto corriente promedio trimestral de los hogares en México, en el 2016, y de
algunas identidades son los que se muestran en la tabla.
Entidad
Nacional
Baja California
Chiapas
Ciudad de México
Durango
Guanajuato
Hidalgo
Jalisco
Nuevo León
Veracruz
Gasto promedio trimestral
28 143
34 964
16 171
43 843
26 656
29 666
20 744
33 023
35 847
21 990
www.beta.inegi.org.mx/contenidos/proyectos/enchogares/regulares/enigh/nc/2016/doc/
presentacion_resultados_enigh2016.pdf (consulta: 18 de octubre de 2017, 9:15 h)
a) ¿Se puede afirmar que el gasto promedio trimestral de un hogar es de al menos
$28 000? ¿Por qué? Sí, porque el promedio nacional, $28 143, es mayor que
$28 000.
2. Haz lo siguiente en una hoja de cálculo y calcula la media de los datos.
P
ro
i. Abre una hoja de cálculo y copia la información de la tabla.
ii. Ubica tu cursor en una celda en blanco, donde quieras que aparezca el
resultado.
iii. Ve a “Fórmulas” dentro del menú y, busca el icono de “Insertar Función”.
iv. Selecciona, del “Generador de fórmulas” la opción “Promedio” y los datos a los
que se les aplicará la fórmula.
a) ¿Cuál es la media de los datos? La media es $29 104.7.
b) ¿Cuáles entidades tienen un gasto promedio superior a la media nacional?
Baja California, Ciudad de México, Guanajuato, Jalisco y Nuevo León
263
3. Sigue el procedimiento para calcular la mediana de los datos.
i.
Ubica tu cursor en una celda en blanco, donde quieras que aparezca el
resultado.
ii. Ve a “Fórmulas” dentro del menú y busca el icono de “Insertar Función”.
iii. Selecciona, del “Generador de fórmulas”, la opción “Mediana” y los datos a los
que se les aplicará la fórmula.
a) ¿Cuál es la mediana de los datos? La mediana es $28 904.50.
i.
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4. Sigue el procedimiento para calcular el rango de los datos.
Selecciona los datos que se encuentran en la hoja.
Ve a “Datos” y elige la opción “Ordenar”. De acuerdo con
la información seleccionada, se puede ordenar de varias
formas: por columna o por valor, de mayor a menor o de
menor a mayor.
ii. Ahora elige la opción “Filtro” y
ordena los datos de “mayor a menor valor”.
Selecciona “Descendente” en la columna de Gasto promedio trimestral.
iii. Aparecerá la tabla ordenada de acuerdo con la opción de filtro seleccionada.
a) ¿Cuál es la entidad con el mayor gasto promedio? Ciudad de México
P
ro
b) ¿Cuál es la entidad con el menor gasto promedio? Chiapas
c) ¿Cuál es el rango de los datos? El rango es $27 672.
5. Responde de acuerdo con los resultados obtenidos.
a) ¿Qué medida representa mejor al conjunto de datos? Argumenta por qué. R. M.
La media aritmética representa mejor al conjunto de datos porque considera
todos los valores.
• Discute con tus compañeros a qué piensan que se deben las diferencias observadas y
comenten sus conclusiones.
264
Secuencia
didáctica 40
Sesión 1
Experimentos aleatorios
Resuelvan las actividades en parejas.
1. Para llevar a cabo el siguiente experimento, necesitan:
•
•
Seis botones rojos, ocho azules y dieciséis amarillos, del mismo tamaño.
Una bolsa opaca cuyo interior no se pueda ver.
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Coloquen los botones en la bolsa.
a) Al extraer un botón de la bolsa, ¿de qué color es más probable que salga? ¿Por
qué? Es más probable que salga un botón amarillo porque hay más de esos
que rojos y azules juntos.
b) ¿Es igualmente probable extraer cualquiera de los botones de la bolsa? Expliquen. R. M. Sí, pues todos los botones son iguales y se extraen al azar.
2. Hagan el siguiente experimento treinta veces: Extraigan de la bolsa un botón, miren
su color, registren el resultado en la tabla y regresen el botón a la bolsa.
Color del botón
Número de veces que fue extraído
Rojo
Azul
Amarillo
a) ¿Qué color de botón se extrajo con mayor frecuencia? R. L.
b) Al comparar sus respuestas antes y después de hacer el experimento, ¿qué
identifican? Expliquen. R. L.
3. Compartan sus resultados con otras parejas de alumnos y sumen sus resultados de
manera que ahora tengan 60 registros.
a) ¿Qué color de botón se extrajo con mayor frecuencia? Expliquen. R. L.
4. Con ayuda de su profesor, sumen los resultados de todas las parejas de alumnos de
sus 30 extracciones.
P
ro
4. b) Se deben
quitar dos botones
amarillos porque
de ese modo habría
catorce piezas de
ese color y catorce
de otro (rojo o azul),
14
5 21
es decir, 28
de los botones
de la bolsa serían
amarillos.
Eje: Análisis de datos
Tema: Probabilidad
a) ¿Qué color de botón se extrajo con mayor frecuencia? Expliquen. R. L.
b) ¿Cuántos botones amarillos se deben agregar o quitar a la bolsa para que la
1
probabilidad de extraer un botón de ese color sea ? Expliquen.
2
• Socialicen sus respuestas y escriban sus conclusiones sobre las características de un
experimento y la medida de probabilidad de ocurrencia.
265
Reunidos en parejas, hagan lo que se pide.
1. Completen los datos de la tabla considerando la frecuencia absoluta, es decir, el número de botones de cada color.
Color
Azul
Amarillo
Total
6
6
30
0.2
8
8
30
0.27
16
16
30
0.53
30
30
30
1
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ón
Frecuencia
Frecuencia
Total de resultados
Cociente
Rojo
2. Completen la tabla considerando los datos del grupo sobre el experimento realizado
en la actividad 2.
Color
Frecuencia
Frecuencia
Total de resultados
Cociente
Rojo
Azul
Amarillo
Total
R. L.
R. L.
30
R. L.
R. L.
R. L.
30
R. L.
R. L.
R. L.
30
R. L.
30
R. L.
30
1
a) De acuerdo con la frecuencia absoluta de la actividad 1, ¿qué color de botón
tiene mayor y cuál menor probabilidad de ser extraído? Ver solucionario
b) Ahora considera los datos de la tabla de la actividad 2. ¿Qué color de botón tiene
mayor y cuál menor probabilidad de ser extraído? R. L.
c) ¿Qué identifican al comparar los cocientes de ambas tablas? Expliquen. R. M.
Los cocientes son similares porque la probabilidad teórica y la probabilidad
frecuencia son similares después de cierto número de extracciones.
d) Identifiquen el color del botón que tiene mayor probabilidad de salir. ¿Los resultados obtenidos indican que esto sucederá siempre así? Expliquen. R. L.
P
ro
• Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y comenten por qué piensan que
es distinta la información de ambas tablas si se refieren al mismo experimento aleatorio.
1. Lalo y Manuela lanzaron un dado 25 veces y obtuvieron
los resultados que se muestran en la tabla. Complétala y
socializa tu respuesta.
a) ¿Qué número tiene mayor probabilidad de caer al
lanzar el dado? Ver solucionario
b) ¿Qué número tiene menor probabilidad de caer al
lanzar el dado? Ver solucionario
Número Frecuencia
1
2
3
4
5
6
Frecuencia
Total de resultados
4
4
5
7
2
3
Realizas experimentos aleatorios y registras los resultados para
introducirte a la probabilidad frecuencial I.
266
Secuencia didáctica 40
Sesión 2
Probabilidad frecuencial
1. En grupo discutan la siguiente información:
Probabilidad frecuencial y teórica
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
En el sitio
www.esant.mx/
ecsema1-051
encontrarás un
interactivo sobre
la probabilidad
frecuencial.
Probabilidad frecuencial. También se conoce como probabilidad empírica de un evento aleatorio. Se obtiene al realizar un experimento aleatorio repetidas veces. Se calcula
con el cociente del número de veces que ocurre el evento aleatorio entre el número de
veces que se realiza el experimento.
Probabilidad teórica. También se conoce como probabilidad clásica de un evento aleatorio. Se obtiene con el cociente del número de resultados favorables entre el número
de resultados posibles.
Frecuencia absoluta. Es el número de veces que aparece un valor en un conjunto de
datos.
Frecuencia relativa. Es el resultado de dividir la frecuencia absoluta de un determinado
valor entre el número total de datos. Cuando se trata de un experimento aleatorio, se
conoce como probabilidad frecuencial.
• Discutan sus respuestas anteriores y escriban una conclusión sobre la diferencia entre
probabilidad frecuencial y probabilidad teórica.
Trabajen en parejas.
2. La ruleta de la izquierda está dividida en tres partes. Dos de ellas son iguales y una
es distinta. Se realiza el experimento aleatorio de girarla y ver en qué color caerá la
flecha.
a) Calculen la probabilidad clásica o teórica de que, al girar la ruleta, la flecha se
ubique en la parte amarilla, roja o azul. Registren sus resultados.
Probabilidad clásica
1
4
1
4
5 0.25
1
2
5 0.25
5 0.25
P
ro
b) La ruleta se giró 60 veces y en la tabla se muestran los resultados obtenidos.
Tabla de frecuencias
Color
Resultados
Probabilidad frecuencial
15
60
15
5 0.25
16
60
16
5 0.27
29
60
29
5 0.48
c) Obtengan la probabilidad frecuencial de los resultados de los 60 giros a la ruleta
Eje: Análisis de datos
Tema: Probabilidad
y compárenlos con la probabilidad clásica. ¿Qué identifican? Expliquen. La
probabilidad frecuencial y la clásica son similares, pero no iguales. Esto sucede
porque se trata de un experimento aleatorio, entonces los resultados varían
al azar.
267
3. Realicen el experimento de lanzar 40 veces una moneda y calculen la probabilidad
frecuencial. Luego sumen los resultados de todas las parejas de la clase y obtengan, con esos resultados, la probabilidad frecuencial.
Resultado del experimento de lanzar una moneda
Sol
Águila
Probabilidad frecuencial
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
Resultados de toda la clase
Probabilidad frecuencial
R. L.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
R. L.
Estudiar va más
allá de obtener
una calificación
aprobatoria. Tener un
tiempo de estudio te
ayuda a comprender
todo lo que te
han enseñando,
a desarrollarte
individualmente y
a adquirir hábitos
y disciplina
para mejorar tu
responsabilidad
personal e
independencia.
a) De acuerdo con la probabilidad frecuencial, ¿qué resultado tiene más probabilidades de salir: sol o águila? Expliquen. R. L.
b)
¿Siempre se obtendrá el mismo resultado? Expliquen. R. M. No siempre se
obtendrá el mismo resultado porque se trata de un experimento aleatorio, es
decir, depende del azar.
4. Seis amigos usan un dado de seis caras, numeradas del 1 al 6, para determinar la
cantidad de casillas que deben avanzar al jugar Oca. Hagan el experimento de lanzar el dado 80 veces. Registren los resultados de cada lanzamiento.
Resultado del experimento de lanzar una moneda
Número en la cara del dado
1
2
3
4
5
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
Frecuencia absoluta
6
R. L.
Probabilidad frecuencial
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
R. L.
a) De acuerdo con la probabilidad frecuencial, ¿cuál es la probabilidad de que al
lanzar un dado se obtenga como resultado 1?
R. L.
b) ¿Qué número tiene mayor probabilidad frecuencial?
¿Y 5?
R. L.
R. L.
¿Cuál tiene
menor probabilidad? R. L.
• Con la ayuda de su profesor, registren los resultados de todo el grupo y obtengan la probabilidad frecuencial. Comenten sus dudas y disípenlas en grupo.
P
ro
Trabajen en parejas.
1. Elaboren una ruleta similar a la que se muestra y gírenla 60
veces.
35
a) Registren en su cuaderno los resultados y organícenlos
en una tabla. R. L.
b) Calculen la probabilidad frecuencial de obtener un número
que se pueda dividir entre 5 y de obtener número impar.
R. L.
• Comenten sus respuestas y argumentos. Identifiquen las dificultades que tuvieron y comuniquen cómo las resolvieron.
5
20
12
Realizas experimentos aleatorios y registras los resultados para
introducirte a la probabilidad frecuencial II.
¿Cómo lo hicimos?
268
1. Marca la casilla que describe mejor tu desempeño. R. L.
En proceso
Satisfactorio
Excelente
Analizo y comparo situaciones de variación lineal
a partir de sus representaciones tabular, gráfica y
algebraica.
Se me dificulta obtener
conclusiones sobre situaciones representadas en
tablas, gráficas y expresiones algebraicas.
Obtengo algunas conclusiones sobre situaciones
representadas en tablas,
gráficas y expresiones
algebraicas.
Obtengo conclusiones
correctas acerca de situaciones representadas en
tablas, gráficas y expresiones algebraicas.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
Aprendizajes esperados
Comparo diversos tipos
de variación lineal o no y
la razón de cambio.
Tengo algunas dificultades para distinguir
situaciones de variación
lineal de las que no lo son.
No identifico la razón de
cambio.
Obtengo expresiones al- Se me dificulta obtener
gebraicas de primer grado expresiones algebraicas
de sucesiones.
de sucesiones dadas con
figuras o con números.
Distingo situaciones de
variación lineal de las que
no lo son e identifico la razón de cambio.
Distingo situaciones de variación lineal de las que no
lo son y escribo la expresión algebraica de situaciones de variación lineal a
partir de conocer la razón
de cambio y la ordenada
al origen.
Puedo obtener algunas
expresiones algebraicas
de sucesiones dadas con
figuras o con números.
Obtengo expresiones
algebraicas de sucesiones de figuras o números
y las uso para encontrar
términos faltantes.
Se me dificulta construir
Puedo construir triántriángulos y cuadriláteros. gulos y cuadriláteros a
partir de conocer varias
condiciones.
Puedo construir triángulos
y cuadriláteros a partir de
conocer varias condiciones.
Distingo cuándo se puede
construir solo una figura.
Calculo el volumen o
cualquiera de las dimensiones de prismas rectos.
Tengo dificultades para
calcular el volumen de
prismas.
Calculo el volumen de
prismas, pero se me dificulta calcular alguna de sus
dimensiones cuando se
conoce el volumen.
Resuelvo problemas en
los que se debe calcular el volumen de prismas o de alguna de sus
dimensiones.
Calculo la media aritmética y la mediana de un
conjunto de datos, pero se
me dificulta determinar el
rango.
Puedo calcular la media
aritmética y la mediana
de un conjunto de datos,
así como el rango.
Resuelvo problemas en los
que se debe determinar
qué medida de tendencia
central o rango conviene
más en el análisis de los
datos en cuestión.
P
ro
Construyo triángulos y
cuadriláteros a partir de
distintas condiciones.
Uso e interpreto las medidas de tendencia central y
el rango como medida de
dispersión de un conjunto
de datos.
• Reflexiona sobre tus resultados y, con tu profesor, busca estrategias para fortalecer tus áreas de oportunidad.
269
¡Vamos a reflexionar sobre las actitudes y los valores que desarrollaste en este trimestre!
2. Pide a un compañero que coloree la franja que representa mejor el nivel donde te ubicas. R. L.
dicaciones de los re
as las in
spon
e tod
sabl
d
n
e
es
v
ti
c
i
d
a
a
s
d
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e
l
s
e
.
Ati
d
Va
lor
al
a
siempre
Opina re
spetu
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me
nte
sob
a la
r
sp
rop e ide
as
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.
co
siem
n
casi siempre
c
re
mp
e
i
re
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mp
e
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si s
ca
s
ece
av
nca
nu
nunca
a veces
casi siempre
siempre
Com
parte
ición
med
sus instr
umentos de trazo y
P
ro
con quien
es lo requieren.
3. Lee y responde de manera individual. R. L.
•
¿Qué es lo que más te gustó de este trimestre?
•
¿Qué es lo que menos te gustó de este trimestre?
•
¿Qué podrías mejorar en el próximo ciclo escolar?
sie
mp
re
cas
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m
pr
e
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e
ce
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Elabora c
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st N
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bu
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ón
s
ria
tra
aa
ud
y
A
l
p
270
Para el alumno
Impresas
ƒ Charles, Seife. Cero: La biografía de una idea peligrosa, Ellago Ediciones, Madrid, 2006.
ƒ Doxiadis, Apostolos. El tío Petros y la conjetura de Goldbach, Ediciones B. Tiempos
Modernos, Barcelona, 2000.
ƒ Enzensberger, Hans Magnus. El diablo de los números: Un libro para todos aquellos
que le temen a las matemáticas, Siruela, Madrid, 2013.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
ƒ Guedj, Denis. El teorema del Loro, Anagrama, Barcelona, 2006.
ƒ Haddon, Mark. El curioso incidente del perro a medianoche, Salamandra, Barcelona, 2004.
ƒ Martínez, Guillermo. Los crímenes de Oxford, Destino, Barcelona, 2003.
ƒ Ogawa, Yoko. La fórmula preferida del profesor, Funambulista, Madrid 2014.
ƒ Sierra i Fabra, Jordi. El asesinato del profesor de matemáticas, Anaya, Madrid, 2000.
ƒ Tahan, Malba. El hombre que calculaba, Limusa, Barcelona, 2008.
Electrónicas
ƒ Videos que explican la densidad entre fracciones y la conversión de fracciones.
www.showme.com/sh/?h=NqtXgB6 y www.showme.com/sh/?h=iPjXeTo (consulta: 8
de noviembre de 2017, 5:55 h)
ƒ Páginas de consulta donde reafirmarás tus conocimientos sobre la conversión de fracciones y sus equivalentes a notación decimal y viceversa.
www.bartolomecossio.com/MATEMATICAS/conversin_decimal_en_fraccin_y_
viceversa.html (consulta: 8 de noviembre de 2017, 5:59 h)
ƒ Juego intercativo con ejercicios sobre números decimales y fracciones decimales.
www.cerebriti.com/juegos-de-matematicas/fracciones-y-numeros-decimales#.
WgMJZ4aDOjg (consulta: 8 de noviembre de 2017, 6:12 h)
ƒ Calculadora para que conviertas fracciones a notación científica.
www.aaamatematicas.com/g6_71lx1.htm (consulta: 8 de noviembre de 2017, 6:25 h)
ƒ En esta página multiplicarás y dividirás números decimales.
www3.gobiernodecanarias.org/medusa/eltanquematematico/todo_mate/openumdec/
mult_dec/mult_dec.html (consulta: 8 de noviembre de 2017, 6:55 h)
P
ro
ƒ Páginas interactivas para que conozcas más situaciones de proporcionalidad.
recursostic.educacion.es/secundaria/edad/2esomatematicas/2quincena4/index2_4.
htm (consulta: 8 de noviembre de 2017, 7:12 h)
ƒ Recurso interactivo donde conocerás la aplicación de la proporcionalidad a escala.
www.educaixa.com/microsites/Matematiques_num_i_figures/proporcionalidad/
(consulta: 8 de noviembre de 2017, 7:25 h)
ƒ El portal de Conaliteg ofrece todos los libros de Matemáticas de primero de secundaria.
libros.conaliteg.gob.mx/content/common/consulta-libros-gb/ (consulta: 8 de noviembre de 2017, 7:30 h)
ƒ Biblioteca digital del ILCE ofrece obras y colecciones de libros en internet.
bibliotecadigital.ilce.edu.mx/ (consulta: 08 de noviembre de 2017, 8:10 h)
Fuentes de información
271
Para la elaboración de este libro
Impresas
ƒ Alarcón, J. y otros. Libro para el maestro. Matemáticas. Secundaria, SEP, México,
2001.
ƒ Balacheff, N. Procesos de prueba en los alumnos de matemáticas, Universidad de los
Andes, Bogotá, 2000.
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
ón
ƒ Batanero, C. y otros. Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas escolares. Casos y
perspectivas, SEP, México, 2011.
ƒ Bernabé, R. “El sentido numérico y sus vínculos con el rendimiento escolar en aritmética”, tesis de maestría, Cinvestav-IPN, México, 2008.
ƒ Franke, M. y otros. “Mathematics teaching and classroom practice”, en F. Lester (ed.).
Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 225-256,
NCTM, Charlotte, 2007.
ƒ Moreno, A. y Elizondo, Rubén. “La geometría al encuentro del aprendizaje”, en revista
Educación Matemática, vol. 29, número 1, México, 2017.
ƒ Radford, L. Algebraic thinking and the generalization of patterns: A semiotic Perspective.
Proceedings of the 28th Annual Meeting of the North American Psychology Mathematics
Education, Universidad Pedagógica Nacional, Mérida, México, 2006.
ƒ SEP. Plan y programas de estudio para la educación básica. Aprendizajes clave para
la educación integral, México, 2017.
ƒ Wenger, E. Comunidades de práctica. Aprendizaje, significado e identidad, España,
Paidós, 2001.
Electrónicas
ƒ ¿Cómo ir más allá de los modelos constructivistas? La utilización didáctica de las concepciones de los estudiantes
dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=116930 (consulta: 22 de noviembre de
2017, 11:16 h)
ƒ El modelo alostérico y las teorías contemporáneas sobre el aprendizaje
www.andregiordan.com/espagnol/modeloall.htm (consulta: 22 de noviembre de 2017,
11:19 h)
P
ro
ƒ Textos para la formación matemática y didáctica de maestros
www.ugr.es/~jgodino/fprofesores.htm (consulta: 22 de noviembre de 2017, 11:20 h)
ƒ Los principios de la educación matemática realista
www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&cad=rja&uact=
8&ved=0ahUKEwj-65Gk09DXAhUqwlQKHXhSBYUQFggvMAE&url=https%3A%2F
%2Fbibliotecavirtual.unl.edu.ar%2Fojs%2Findex.php%2FYupana%2Farticle%2Fdown
load%2F247%2F333&usg=AOvVaw2E4zh0BdN-pVgRTUGPuo0W (consulta: 22 de
noviembre de 2017, 11:23 h)
ƒ Aprendizaje significativo en el área de matemáticas: una experiencia pedagógica
funes.uniandes.edu.co/2385/ (consulta: 22 de noviembre de 2017, 11:24 h)
hi ©
bi SA
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T
su IL
L
di A
st N
ri A
bu
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ón
P
ro
Matemáticas 1 llegó a su fin, pero
recuerda que el aprendizaje, como
los números, es infinito. ¡Hasta luego
y nos vemos en el próximo libro!
272
Recursos Didácticos para el Profesor
PROHIBIDA
SU VENTA
Matemáticas 1. Recursos didácticos
para el profesor de la serie Espacios Creativos
hi ©
bi SA
da N
T
su IL
di LA
st N
ri A
bu
ci
es una obra especialmente diseñada para acompañarlo en
el camino de la Reforma Educativa. Este material contiene,
entre otros, los siguientes recursos didácticos:
• Descripción del Modelo Educativo para la educación
obligatoria y del mapa curricular
• Propuestas de dosificación de los aprendizajes
esperados
• Evaluación diagnóstica, evaluaciones trimestrales
y solucionario
• Reproducción del libro del alumno con respuestas
de todas las actividades
Recursos Didácticos para el Profesor
ón
Recursos Didácticos para el Profesor
Estamos seguros de que este libro será un valioso apoyo
para su labor cotidiana en el aula.
FORMACIÓN
ACADÉMICA
Luis Rodrigo Arredondo Vargas,
Tania Ángela Aguilar Balderas
P
ro
Pensamiento Matemático
santillanacontigo.com.mx
SE Forros Mate 1 profesor conaliteg digital.indd 1
Aprendizajes Clave para la Educación Integral
6/14/19 12:10 PM