ARMÓNICOS La Sucesion de Farey y los armonicos lejanos en el violoncello - M. Devoto

La Sucesión de Farey y los armónicos lejanos del
violonchelo
Martín Devoto 1
Resumen
Las posiciones de armónicos en una cuerda se pueden expresar como fracciones de la
misma. Es posible entonces encontrar posiciones para todos ellos aplicando la Sucesión
de Farey, que permite ordenar sistemáticamente números racionales.
Luego de una introducción histórica, se encontrará un esquema de todas las posiciones
hasta el armónico 21. Conocerlas permite prever los componentes de distintos
multifónicos, de los cuales se explican las circunstancias de su producción.
El artículo finaliza con un breve párrafo dedicado a armónicos lejanos y multifónicos
artificiales. Todo el recorrido se ilustra con gráficos y fragmentos de distintas obras.
Abstract
Harmonics’ positions on a string can be expressed as fractions. Thus positions can be
found for all harmonics through Farey’s Sequence, which provides a systematic
arrangement for rational numbers.
After a historical introduction, there is a graphic of positions up to harmonic 21. If you
know these positions you can foresee components for different multiphonics, whose
means of production are explained.
A brief paragraph about artificial high harmonics and multiphonics is added at the end.
The whole article goes with graphics and musical pieces’ excerpts.
Círculos de Ford 2
I. Los armónicos naturales básicos
1
Violonchelista
Imagen publicada elect rónicament e en: Alexander Bogomolny. Ford’s touching circles de Interactive
Mathematics Miscellany and Puzzles, http://www.cut-the-knot.org/proofs/ fo rds.shtml
2
El uso de armónicos naturales y artificiales está incorporado como técnica de ejecución
en el violonchelo desde hace ya un tiempo considerable. Los podemos encontrar en
innumerables estudios de Dotzauer, Popper, Grützmacher3 y tantos otros4, pues resultan
muy útiles a la hora de ejecutar algunos pasajes en el registro sobreagudo del
instrumento. Los compositores que no son violonchelistas (por distinguirlos de alguna
manera) los incorporan un poco más tarde: aparecen en algunas obras hacia la segunda
mitad del siglo XIX 5 y su uso se generaliza a principios del siglo siguiente.
Observando algunas piezas se pueden diferenciar comportamientos bien distintos al
escribirlos: unos compositores simplemente anotan el símbolo ° sobre la cabeza de la
nota, sea ésta la nota resultante (dejando que el intérprete decida la forma de
producción) o simplemente el lugar donde se encuentra el armónico, dando por sentada
la nota que debe sonar. También se usa el conocido rombo ( ). Otros autores detallan
más las circunstancias de producción. El resultado lo indican a veces. Estas diferencias
nos introducen en las características inherentes a los armónicos y en la complejidad de
su grafía. Es un juego interesante entre las dos opciones que comenta Delalande: “…si
no se anota lo que se debe hacer, se representa lo que se debe escuchar.” 6
Ejemplo I.1 Obras con distintos tipos de escrituras de armónicos
Ejemplo I.1 a
Justus Johann Friedrich Dotzauer (1783-1860) 113 Etüden für Violoncello, Collection Litolff, Cah. 4,
N°97 Grazioso, cc 25-29
Aquí el resultado no se corresponde con las notas escritas. El autor anotó posiciones. La cuerda
correspondiente a cad a nota surge de la digitación.
Ejemplo I.1 b
Camille Saint-Saëns, Concerto pour violoncelle Op. 33 (1874) Durand & Cie. cc. 26-31ro de O
En 1.b y 1.c está escrito el resultado. El intérprete debe en contrar las posiciones o form as de
ejecu ción adecu adas. En el primer caso hay que recurrir a armónicos arti ficiales.
3
J. J. F. Dotzauer (1783-1860), D. Popper (1843-1913) y F. W. L. Grützmacher (1832-1903 ) Notables
instrumentistas, cuyas obras pedagógicas siguen vigentes. Dotzauer escribió en 1837 su Method of
playing harmonics, Op. 147. Cfr. Lev Ginsburg. History of the Violoncello, Paganiniana Publications,
1983, citado en http://www.cello.org/heaven/bios/dresden/dresden.htm
4
El presente artículo no pretende ser extensivo en la enumeración de ejemplos. Se citan sólo algunos a
modo ilustrativo.
5
Como el Concerto pour violoncelle Op. 33 de C. Saint-Saëns, o Las Variaciones Rococó de P. I.
Tchaikovsky. Cfr. Ejemplo I.1
6
Cfr. Francois Delaland e, La música es un juego de niños, Buenos Aires, Ricordi Americana, 1995, pp.
120-1
Ejemplo I.1 c
Pyotr Ilyich Tchaikovsky. Variaciones sobre un tema rococó Op. 33, (1877) versión original, Muzgiz.
Var. III Andante cc. 30-34
Ejemplo I.1 d
Claude Debussy. Sonata pour violoncelle et piano (1915), Peters. Prologue, cc. 48-51
Ejemplo I.1 e
Arnold Schoenberg, Pierrot Lunaire Op. 21 (1912), Universal Edition. 8.Nacht, c. 11
Ejemplo I.1 f
Anton Webern, Drei kleine Stücke Op. 11. (1914) Universal Edition. Pieza III
Cuando se roza una posición7 y la misma nota suena como armónico no hay mayor
inconveniente: es simplemente cuestión de saber cuáles sonidos o posiciones pueden
tocarse como armónicos. Pero cuando al accionar la posición de una nota es otra la que
resulta como armónico surge el problema de su grafía. M áxime cuando una misma nota
varía su posición en las distintas cuerdas, pudiendo producir distintos armónicos en cada
una de ellas.
Sucede que los armónicos naturales se corresponden con la división del largo de la
cuerda por su número entero homólogo. Cada valor nos da un parcial distinto de la
fundamental. Entonces, cuanto más agudo el armónico más posiciones ofrece: esto
7
Los armónicos naturales se producen “ rozando” la posición de la nota, sin bajar completamente el dedo
de la mano izquierda
significa que podemos ejecutar armónicos agudos en posiciones de notas graves, lo que
suele generar en intérpretes o compositores inexpertos cierta confusión.
Quizá convenga repasar la escala de armónicos antes de detenernos en ejemplos.8
Ejemplo I.2. Escala de armónicos (hasta el número 16) sobre la fund amental de la IV cuerd a del
violonchelo
Pensemos entonces en un armónico en particular: obtenemos el 3 dividiendo la cuerda
en tercios, lo que se consigue a través de dos nodos: el más agudo de ellos corresponde
con la ubicación de esa nota pisada; y el otro se obtiene en una posición que resulta
coincidir con la octava grave 9 de la resultante en cuestión 10, como muestra el Ejemplo
I.3.
Ejemplo I.3
Posiciones para el armónico 3
Todas las tablas de posiciones están en escala. El modo de escritura de las posiciones está establecido de acuerdo a la
coincidencia o no con el resultado.
Continuemos ubicando los nodos de los armónicos 2, 4 y 5, que se corresponden con la
división de la cuerda en dos, cuatro y cinco partes respectivamente. Conviene aclarar
que como la cuerda, al accionarla, reacciona vibrando dividida en la menor cantidad de
partes posibles, el segundo nodo del armónico 4 queda absorbido por la posición del 2.
Del armónico 5 vamos a tener todos los puntos (cuatro), ya que no se superpone
ninguna división menor.
Ejemplo I.4
Posiciones para los armónicos 2, 3, 4 y 5
8
Todos los gráficos y esquemas de la cuerda, tablas de posiciones y resultados están confeccionados en
base a la IV cuerd a del violonchelo, cuya fundament al o nota al aire es el do2.
9
Lo que ocurre siempre con la penúltima posición de todos los armónicos.
10
Para una introducción a la relación entre el largo de la cuerd a y las alturas resultantes, Cfr. John Pierce.
Los sonidos de la Música, Barcelona, Labor, 1985. Cap. 2 y 3.
Una vez ubicados estos pocos armónicos se puede apreciar la simetría de la cuerda
respecto del nodo del armónico 2. Todos los armónicos entre las dos mitades de la
cuerda son simétricos respecto de ese punto. También se puede observar que la posición
más aguda, o último nodo de cada armónico, coincide con la nota que se produce en ese
lugar.
Las posiciones que nos permiten obtener armónicos relativamente agudos en posiciones
de notas graves ya eran conocidas en la primera mitad del S. XIX. Dotzauer les dedica
un párrafo en su Violoncello-Schule (1832) y los utiliza en sus famosos Etüden. Se
puede apreciar en el ejemplo siguiente cuáles eran las posiciones de armónicos naturales
conocidas entonces.
Ejemplo I.5
Tabla de posiciones de armónicos dadas por Dotzauer en su Violoncello-Schule (1832)
J. J. F. Dotzauer. Violoncello-Schule Band 3: Die übrigen Lagen Klingenberg, Henry Litolffs Verlag,
Reimpreso Ed. Peters, pág. 46. Se ha agregado sobre la imagen original los números correspondientes a
cada armónico (en gris). Observar que los nombres de las cuerdas están en caracteres arábigos
Notemos que aparecen posiciones graves hasta el armónico 5, y sólo una de las
intermedias del mismo. Del 6 y del 8 se usaban sólo las posiciones agudas, es decir, las
que coinciden con notas pisadas. Y resulta natural que de acuerdo a la estética de la
época se evite el armónico 7, ya que da un microtono 11.
Otro punto que se desprende del ejemplo es la forma de escritura, coincidente con la
ilustrada en el Ejemplo I.1 a. Si la cuerda no está especificada se vuelve dudoso el
resultado sonoro deseado. Es entonces comprensible que se haya recurrido en épocas
posteriores al rombo ( ) para la escritura de armónicos, manteniendo la escritura normal
con el símbolo ° cuando lo que se representa es la nota que se debe escuchar.
Este ejemplo también es capaz de sintetizar bastante bien cuál fue el uso general de los
armónicos naturales hasta la primera mitad del S. XX: se recurría a las posiciones más
graves sólo hasta el armónico 5, aunque se extendió el uso de las posiciones agudas
hasta el armónico 10 12.
Siguiendo con este brevísimo recorrido histórico, muchos no tardaron en darse cuenta
de que con la mano izquierda en posición de armónico realizando un glissando se logra
un arpegio o fragmento de escala (dependiendo del ámbito) a gran velocidad y con
relativa facilidad, como lo usa por ejemplo Stravinsky en su Sacré.
Ejemplo I.6
Igor Stravinsky, Le Sacré du Pringtemps, International Music Company, Introduction cc. 1 y 2 de N° 11
Sin duda lo hasta aquí expuesto es conocido por todo compositor con un mínimo de
experiencia o podría encontrarse en cualquier libro de orquestación. Pero observando
más de cerca este tipo de glissandi, notamos que “salen limpios” sólo bajo condiciones
de ejecución bastante estrictas. Es común que aparezcan entre medio un número
considerable de armónicos agudos. A veces los compositores los desean en sus piezas,
otras veces no. ¿Cuáles son esos armónicos que suenan? ¿Cómo es que aparecen en ese
lugar? ¿Hay más posiciones donde se los encuentra? Éstos son los temas de este
artículo.
II. Una introducción a los armónicos lejanos
Los armónicos naturales tal como se vieron enunciados por Dotzauer han sido (y
todavía son) son un recurso de extraordinaria utilidad para un sinnúmero de
compositores. Podemos mencionar las piezas Cuaderno de viaje (para viola o
violonchelo, 1989) de M ario Lavista, obra escrita utilizando solamente estos armónicos.
Disponiendo de las posiciones antes descriptas, y recurriendo a posiciones agudas para
armónicos más lejanos legiones de compositores han contado con una herramienta que
les fue efectiva y suficiente para crear música de gran calidad. Sin embargo aquellos
autores más propensos a tratar el sonido como una “materia en transformación”
11
Un sexto de tono hacia abajo, para ser exacto
El terrible salto de una de las cadenzas de Pierrot Lunaire. Cfr. Arnold Schoenberg. Pierrot Lunaire
op. 21, Viena, Universal Edition, 1914. 15. Heimweh c. 31
12
encontraron en los armónicos lejanos 13 y los multifónicos, sus parientes cercanos, una
útil herramienta para enriquecer su lenguaje. 14 Los armónicos lejanos de la cuarta
cuerda ya están presentes vibrando por simpatía cuando tocamos en el registro agudo de
la primera cuerda. Se usan en nivel de igualdad con las notas pisadas en el registro
sobreagudo del instrumento.15 Y es enorme la cantidad de ellos que aparecen si tocamos
el glissando de armónicos antes mencionado sul ponticello.
Entonces el repertorio de armónicos y posiciones utilizadas fue aumentado. La grave del
6, las que no coinciden con microtonos del armónico 7, y en menor medida las del 8 se
incorporaron al uso común, además de las agudas ya mencionadas 16. Se adjuntan dos
tablas correspondientes a la IV y III cuerda.
Ejemplo II.1 a Tabla de posiciones de armónicos en la IV cuerda
Ejemplo II.1b Tabla de posiciones de armónicos en la III cuerda
Ya en las últimas décadas el uso de armónicos lejanos se hizo frecuente en obras de
numerosos compositores, aunque observándose distintas tendencias de uso. La
diferencia básica consiste en cuánto determinar la nota resultante. Es usual encontrar
indicaciones “de acción”, es decir, una posición o un gesto que el compositor sabe que
resultará en armónicos lejanos sin que importe específicamente cuáles sonarán 17. Hay
por otro lado intentos de un mayor control, como se puede ver en De la incompresión de
un silencio de Eric Oña, quien utiliza armónicos naturales lejanos (hasta el armónico 13)
tanto en sus posiciones agudas como intermedias, especificando siempre la posición y el
resultado deseado.
13
Vamos a denominar así a los armónicos del 8 en adelante
Un buen ejemplo sobre el uso de armónicos más lejanos y su interacción por simpatía con las cuerdas al
aire es la pieza Líneas y puntos sobre aguas oscuras (2008) de Marcos Franciosi
15
Como ya observamos en la breve historia anterior. Cfr. bibliografí a
16
En menor medida las posiciones correspondientes al 7,8 y 9 cerca de la cejilla. Las incluiremos más
adelante
17
Cfr. Mathias Spahlinger. 128 erfüllte Augenblicke, Wiesbaden, Breitkopf & Härtel, 1989, módulos
312/4, 324, 414, 423, 434. Kaija Saariaho. Petals, Helsinki, Wilhelm Hansen, 1989. Jorge Sad. El alma
mula, Buenos Aires, el autor, 2000
14
Hay también obras en las que conviven ambas tendencias 18, es decir, gestos en los que
está especificada sólo la acción a través del rombo ( ), y otros en los que se recalca el
resultado, recurriendo entonces a la notación normal con el agregado de (°). Un claro
ejemplo al respecto es Sombra de la sombra de Luis Naón, en la que se evidencia un
minucioso estudio previo de los armónicos del violonchelo. Utiliza armónicos lejanos y
diferencia entre determinados e indeterminados, recurriendo a la notación antes
descripta19. El método más común para encontrar armónicos lejanos es subir en el
registro, utilizando los nodos de armónicos que coinciden con la nota pisada en esa
posición. Lo que resulta muy efectivo, ya que la mayoría de los violonchelistas puede
encontrar a través de este método (tocando una escala lenta) armónicos bastante
alejados20.
Ejemplo II.2. Distintos pasajes de Sombra de la sombra (cinco canciones de Selk’ nam) (1990/91) de Luis
Naón
Ejemplo II.2 a
Canción I, s. 10
Ejemplo II.2 b
Canción IV, s. 3
Otro buen ejemplo es De amore, de M auricio Sotelo. El autor se vale del principio de
simetría de la cuerda 21 para anotar posiciones de armónicos lejanos cercanas a la cejilla
y determina en mayor o menor medida el resultado en función del devenir musical de la
obra.22
18
La música de Salvatore Sciarrino es una referencia obligada al resp ecto. Proliferan en su música
accion es que resultan en armónicos lejanos. También determina el resultado para los que se corresponden
con posiciones agudas y agrega las posiciones en la cejilla para los armónicos 7, 8 y 9, aclarando a
menudo el resultado. Utiliza la notación del rombo Cfr. Bibliografía. Cfr. también Beat Ferrer. Aer,
Viena, Universal edition, 1993
19
Luis Naón. Sombra de la sombra, el autor, París, 1991. Cfr. hoja de referencias de la obra
20
Hasta el armónico 32 sin demasiado esfu erzo
21
Como se vio en la primera parte de este escrito. Cfr. Ejemplo I.4
22
Cfr. Mauricio Sotelo. De amore, Universal Edition, Wien, 1995. En esta pieza es de destacar además el
uso de los multifónicos, es decir, varios armónicos sonando al mismo tiempo. Se tocará el tema más
adelante. Cfr. Ejemplo V.4
Ejemplo II.3
Mauricio Sotelo, De amore (1995), Universal Edition s. 4. El pentagrama superior es aclaratorio, simplemente grafica
lo que se debe oír.
El resultado sonoro de las posiciones cercanas a la cejilla difiere de las posiciones
coincidentes con notas pisadas: acarrean un mayor nivel de ruido. Sucede que la nota
subyacente, es decir, la que se corresponde con la posición, juega un papel en la
producción: puede adquirir más presencia regulando la presión del dedo, lo que vuelve
más tónicos a los armónicos que coinciden con una misma nota subyacente. También
ocurre que cuanto más alejado el armónico a producir, mayor el nivel de ruido que
acarrea 23. Sucede lo mismo con los innumerables nodos de armónicos lejanos que
encontramos a lo largo de la tastiera. Como bien se puede deducir del principio de este
escrito, estas posiciones intermedias son más numerosas cuanto más alejado es el
armónico. Y, si el armónico en cuestión se corresponde con un número primo, se podrán
obtener a lo largo de la cuerda absolutamente todas sus posiciones correspondientes.
Nuestra pregunta ahora es cuáles son esas posiciones.
III. Ubicación de los nodos de armónicos lejanos
En la introducción observamos que los nodos se ubican en puntos que definen
divisiones de la cuerda por un número entero. Tomando a 1 como valor del largo de la
cuerda, podemos entonces expresar las posiciones de armónicos como números
racionales entre 0 (valor correspondiente a la posición de la cejilla) y 1 (valor
correspondiente al puente). A su vez, la cejilla y el puente son los nodos naturales de la
fundamental, o armónico 1 24. M ientras sea evidente la relación entre la nota que suena
pisando una posición y el armónico que se encuentra en ese lugar no hay mayores
problemas: fácilmente podremos ubicar los armónicos naturales básicos, aunque quizá
experimentemos alguna pequeña dificultad para determinar las posiciones de notas que
se corresponden con la división de la cuerda en cinco partes. Y sin duda será arduo
encontrar las dieciséis posiciones correspondientes al armónico 17… 25
23
Lo que resultó muy útil a un sinnúmero de compositores a la hora de buscar materiales que se
encuentren entre el “ sonido” y el “ ruido”
24
De hecho la cejilla y el puente son nodos de absolutamente todos los armónicos de la cuerda
25
La relación entre el largo (en rigor la masa) de la cuerda y la altura resultante es inversa a la existente
entre la frecuen cia y la nota que se escucha, visto que las notas que suenan como armónicos se
corresponden con el de una cuerd a dividida en partes iguales. Podemos usar esta relación para en contrar
posiciones. Hemos visto que el último nodo de todo armónico coincide con su posición normal de
ejecu ción. Se puede entonces encontrar las posiciones más graves aplicando la interválica de la escala de
armónicos en negativo: yendo hacia el grave de la cuerda, tendremos la penúltima posición una octava
Ejemplo III.1 Largo de la cuerda y posiciones de armónicos
Se ve claramente en el gráfico que el número de cada armónico es igual al denominador
de la fracción que expresa sus posiciones en relación al largo de la cuerda. Nótese
también lo ya mencionado en la introducción: al rozar con la mano izquierda el lugar
correspondiente al segundo nodo del armónico 4, la cuerda reacciona dividiéndose en la
menor cantidad de partes posibles, o sea, en dos, resultando el segundo armónico. Esto
implica que hay nodos de algunos armónicos que son absorbidos por nodos de
armónicos menores. El valor numérico de ambos es el mismo: son dos fracciones
equivalentes. La cuerda reacciona de acuerdo a la fracción irreductible. Se puede prestar
atención también la ubicación de los cuatro nodos correspondientes al armónico 5, y
entre los nodos de cuáles armónicos están ubicados: (1,4);(3,2);(2,3) y (4,1), es decir, la
suma de los armónicos adyacentes.
Vemos entonces que expresando las posiciones de armónicos como fracciones de la
cuerda contamos con una efectiva herramienta de análisis. Por un lado, la fracción nos
provee una posición exacta. Por el otro, el denominador nos refiere al armónico cuyo
nodo queremos encontrar y el numerador al ordinal de los nodos de ese armónico. Por
ejemplo, a 2/5 del largo de la cuerda encontramos el segundo nodo del armónico 5, 3/4
se corresponde con el tercer nodo del armónico 4. También podemos expresar como
fracciones las posiciones de la cejilla, 0/1, y del puente 1/1.
Entonces, volviendo a nuestro comentario sobre el armónico 17, simplemente se debe
ubicar en el gráfico fracciones con denominador 17. Para esto necesitamos un método
para ordenar los números racionales entre 0 y 1: se trata de la llamada Sucesión de
Farey 26, que permite un ordenamiento sistemático de todos los números racionales entre
más grave, la que sigue a la quinta, luego a la cuarta, tercera mayor, etc. Es como si las notas de esas
posiciones fueran “ armónicos negativos” (numéricament e hablando) del punto de partida. De hecho son
las notas que resultarían multiplicando por un número entero el largo de la cuerda correspondiente al
punto de partida (o dividiendo su frecuenci a). Si bien los primeros intervalos se pueden presentar
sencillos, hay que comprender que la escala de armónicos presenta una interválica de alguna manera
“simplificad a”. Cuando tenemos tonos sucesivos, por ejemplo, los mismos no son iguales: son cada vez
más chicos. Es entonces sencillo encontrar por este método las posiciones más agudas de cualquier
armónico alto, pero se vuelve espinoso encontrar las graves, especialment e si partimos de un armónico,
como por ejemplo el 17, que da un microtono. Confiamos en que el método presentado a continuación sea
más accesible.
26
Farey formuló su teorema en un escrito para la Philosophical Magazine en 1816, y Cauchy proveyó la
prueba. Sin embargo, C. Haros ya había formulado y probado el teorema en 1802. Cfr. A. Bogomolny,
0 y 127 a través del uso de la denominada fracción mediante. El método es simple: dadas
dos fracciones, obtengo la fracción mediante (conocida como mediante de Farey)
sumando ambos denominadores y ambos numeradores. La formulación básica es: dados
a/b < c/d, entonces a/b < (a+c)/(b+d) < c/d 28 . Por ejemplo, entre 1/3 y 2/5 se obtiene la
mediante 3/8. (1+2=3; 3+5=8; entonces 1/3 < 3/8 < 2/5) Esto quiere decir que 3/8 es un
valor intermedio, simplemente que es mayor que uno y menor que el otro. Cuidado: no
significa que sea el punto medio29 o valor equidistante en la recta numérica entre ambos.
Traducido a nodos de armónicos significa que entre el primer nodo del armónico 3 y el
segundo del 5 voy a encontrar el tercero del 8, aunque, claro está, no exactamente en el
medio 30.
Conociendo y aplicando las propiedades de la Secuencia de Farey, el Árbol de SternBroccot y sus variantes podemos obtener datos concluyentes31. A tal punto que una de
las variantes de la llamada Matriz Diatómica de Stern (a su vez, una variante de las
Series de Farey) nos da en cada una de sus filas un ordenamiento exacto de los nodos de
armónicos de una cuerda. Dicha matriz puede continuarse ad infinitum, y está publicada
en la Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros32. A medida que se
avanza en la sucesión, se obtienen armónicos más lejanos. Es más, su ordenamiento
secuencial nos permite manejarnos con distintos niveles de armónicos ordenados en
función de su tonicidad.
Uno de los hechos más relevantes es que entre dos nodos cualesquiera dados, siempre
vamos a encontrar al equivalente a la suma de ambos. Puede suceder, sin embargo que
dicho nodo aparezca absorbido por otro correspondiente a un armónico menor si esa
posición es igual a otra fracción a su vez irreductible. Sin embargo, si ambas posiciones
son próximas, es decir, si no se encuentra entre ellas ningún nodo correspondiente a un
valor menor o igual a ninguno de ellos 33, el nodo que encontramos a través de este
método es el del menor armónico posible de todos los intermedios. Obtenemos siempre
fracciones irreductibles. Se elimina la posibilidad de encontrar algún nodo que sea
absorbido por otro.
Ejemplo III.2
Fragmento de la cuerda entre 1/3 y 1/2 de su largo. Son valores próximos, ya que no se
encuentra entre ambos ningún armónico inferior o igual a alguno de ellos. Aparecen
consecutivos en la tercera serie de la Sucesión de Farey
Partimos ahora de los primeros nodos de los armónicos 3 y 2, que corresponden con 1/3 y 1/2
de la cuerda. A través de la fracción mediante (2/5) ubicamos al armónico 5
Farey Series. A story, de Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles, publicado electrónicam ente
en: http://www.cut-the-knot.org/blue/FareyHistory.shtml
27
Cfr. http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&name=FareySequen ce . El ordenamiento
completo de todos los números racionales los provee el Árbol de Stern-Broccot. Cfr. Bogomolny,
Alexander. Stern-Broccot Tree. Introduction, de Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles,
publicado electrónicamente, en: http://www.cut-the-knot.org/blue/Stern.shtml
28
Se puede ver en el epígrafe la genial interpret ación geométrica de Lester R. Ford
29
El punto medio de esas dos fracciones es 11/30
30
Se podrá apreciar esto más claramente en los ejemplos gráfi cos
31
Las referencias a las propiedad es de la Secuen cia de Farey y el Árbol de Stern-Broccot están listadas en
la bibliografía. Se tratan de distintos sitios en línea con abundante referencia bibliográfi ca.
32
Codificada bajo A049456. Cfr. N. J. A. Sloane (Ed.), The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences,
publicado electrónicamente, 2008, en el sitio www.research.att.com/~njas/sequen ces/, el vínculo directo a
la secuenci a es http://www.research.att.com/~njas/sequen ces/A049456
33
En rigor, vamos a llamar valores próximos a aquellos que son consecutivos en alguna de las series de la
Sucesión de Farey
Ejemplo III.2 Figura 1
Podemos ubicar luego posiciones para el 7 y 8
Ejemplo III.2 Figura 2
Hasta aquí no hemos avanzado respecto de la tabla ya dada en el Ejemplo II.1, pero continuando
un paso más podemos ubicar los armónicos 11, 13, 12 y 9
Ejemplo III.2 Figura 3
Nos detenemos aquí, pero está claro que podríamos seguir si lo deseáramos. No corremos
riesgos de toparnos con ninguna fracción equivalente, ya que partimos de posiciones próximas.
No hay entremedio ningún armónico menor o igual a ninguno de ellos.
Ejemplo III.2
Fragmento de la cuerda entre 1/9 y un 1/6 de su largo. Esta vez son valores no próximos: en la
primera serie que aparece 1/9 ya tenemos entre ambos a 1/8 y 1/7, con las consecuentes
posiciones para los armónicos 7 y 8. Veremos de todos modos qué dan las mediantes de Farey.
Ubicamos los dos primeros nodos de los armónicos 9 y 6.
Ejemplo III.2 Figura 1
La fracción mediante entre ambas es 2/15, o sea, el segundo nodo del armónico 15. Lo
marcamos en el gráfico a continuación.
Ejemplo III.2 Figura 2
T endríamos entonces a través de la fracción mediante una posición para el armónico 21, entre
el 15 y el 6. Se trata del tercer nodo (2 + 1 = 3), que se corresponde con el 3/21 del largo de la
cuerda. Accionando en ese lugar jamás obtendremos el armónico 21, ya que es absorbido por el
armónico 7, correspondiente a la posición 1/7. Sucede lo mismo con 3/24 y 1/8.
Ejemplo III.2 Figura 3
Los armónicos 15 y 6 no son próximos (pese a estar casi uno al lado del otro), ya que entre ellos
se encuentra el armónico 7. Lo mismo ocurre entre 15 y 9, y por supuesto entre 9 y 6, nuestro
punto de partida. Las mediantes se revelan útiles de todos modos, ya que encontramos las
posiciones a través de fracciones equivalentes. Podemos continuar con la sucesión reformulada
con los valores irreductibles y hallaremos al armónico 17 entre el 9 y el 8.
Se puede ver en base a estos ejemplos que partiendo de dos armónicos podemos tomar
cualquier fragmento de la cuerda y hallar con este método los armónicos intermedios en
una sucesión infinita.
¿Qué sucede entonces entre los extremos de la cuerda, los nodos del armónico 1? Son
los únicos nodos del armónico 1, y el armónico 0 no existe. Eso quiere decir que son
próximos. De hecho son los valores de la primera serie de la Sucesión de Farey.
Aplicando la misma vamos a encontrar siempre el menor armónico posible entre cada
término, sin ries go de que algún armónico menor absorba a los que vayamos
encontrando. Podemos entonces prescindir de los numeradores 34 y concentrarnos en los
denominadores, que son los que nos dan el número de los armónicos en cuestión. En
definitiva, la matriz de Stern ya mencionada, que da por filas el orden de todos los
armónicos posibles de una cuerda.
IV. Un esquema de posiciones de armónicos lejanos
Para realizar el esquema de toda la cuerda partiremos del ya utilizado para los
armónicos básicos, marcando entre ellos posiciones para los lejanos. En otras palabras,
construiremos una variante de las series de Farey desde las posiciones que ya
34
Los numeradores siguen siendo importantes a la hora de obtener un valor numérico exacto de la
posición respecto del largo de la cuerda y fueron utilizados en la con fección de los gráfi cos. A fines
musicales este dato se vuelve inapropiado, reemplazándose por la nota correspondiente a cada posición
conocemos, teniendo la precaución de que todas las posiciones sean próximas entre sí,
es decir, aparezcan consecutivamente en alguna de las series de la sucesión. De este
modo todas las posiciones corresponderán a fracciones irreductibles, por lo tanto no
obtendremos armónicos que sean absorbidos por otro menor. Es decir, no van a aparecer
posiciones del armónico 16 en las que en su lugar suenen el 8, el 4 ó el 2.
El esquema de la cuerda con las marcas de las posiciones está a escala, lo que permite
apreciar distinto tipo de cuestiones. Una de ellas refiere a las diferentes distancias
existentes entre semitonos. Viendo la Figura IV.1 puede llamar la atención que la
distancia entre el armónico 6 y 5 sea menor que la existente entre el 5 y el 4. Está claro
que las posiciones de las notas que dan esos armónicos están un poco desplazadas
respecto de la afinación temperada. Por un lado sucede que los armónicos se relacionan
más con la llamada afinación natural, obsérvese como se “agranda” la tercera menor y
se “achica” la mayor. Por otra parte, la afinación de una misma nota puede cambiar
levemente de acuerdo al contexto tonal o armónico en el que se encuentre. Por eso es
preciso remarcar que la posición del lugar donde se roza la cuerda para obtener el
armónico es orientativa: refiere siempre a la acción, a lo que el intérprete debe hacer, no
a lo que debe sonar. Es una guía en función de un resultado. Esta aclaración se vuelve
fundamental a la hora de escribir posiciones con distintos tipos de microtonos para guiar
al intérprete en la ejecución de armónicos lejanos. Si bien es necesario definir la
posición con cierta exactitud, lo elemental es informar el resultado. Sobre todo si se va a
lidiar con posiciones que con una variación mínima van a sonar bien distinto.
Vayamos entonces a nuestro punto de partida, las posiciones que ya hemos mencionado,
las que coinciden con notas, con el agregado en la cejilla de las posiciones
correspondientes a los armónicos 7, 8 y 935.
Figura IV. 1
35
Estos armónicos se agregan por simetría respecto de las posiciones agudas. Se mencionó además que
las utiliza Sciarrino. El armónico 9 es el que coincide con la posición exacta (o bastante exacta) del re. El
7 y el 8 se corresponden con posiciones microtonales, las únicas que usaremos en este primer paso.
Agregar las mismas nos permite comenzar desde posiciones todas próximas entre sí. Construir la toda la
matriz en su formulación original, partiendo de [1,1] nos hubiera llevado prácticament e al mismo
resultado, aunque por un camino mucho más largo y con demasiadas posiciones intermedias.
Localicemos entonces nuevos armónicos entre los ya dados. Obtendremos así todas las posiciones hasta el armónico 10 inclusive. Aparecerán
ubicaciones para varios armónicos más, incluyendo una del 19. Al anotarlas debemos recurrir a cuartos de tono y otro tipo de microtonos. Se
puede ver cómo se van apiñando los nodos lejos de los más graves, lo que explica claramente por qué armónicos como el 2, 3 ó 4 tienen un
margen de error mucho menor a la hora de su ejecución.
Figura IV. 2
Avancemos ahora un nivel más. Se hace necesario en función de una mayor claridad dividir el gráfico en dos partes correspondientes a cada
mitad de la cuerda. Luego haber ubicado las posiciones intermedias respecto del gráfico anterior, continuamos aplicando la fracción mediante en
dos direcciones, para completar de esta manera posiciones hasta el armónico 21: hacia los extremos de la cuerda (nodo 1) y el medio (nodo 2).
Por otro lado agregamos más posiciones (marcadas con flechas) en los “huecos” dejados por los armónicos más graves (3,4 y 5), siempre
manteniendo el límite del armónico 21, cuyas posiciones (y las de todos los armónicos menores) están completas en el siguiente gráfico. Y
también incluimos un par de posiciones cerca de los extremos de la cuerda, para visualizar dónde se ubicarían armónicos más alejados en esos
sectores. Las posiciones marcadas con flechas (excepto las cercanas a los extremos de la cuerda) no están representadas en el pentagrama por
razones de espacio.
En orden a visualizar la escala real del instrumento adjuntamos en la zona cercana al puente una referencia al final de la tastiera (entre las últimas
posiciones de los armónicos 6 y 8, según el violonchelo) y al ancho del arco. M arcamos también la zona de punto de contacto del arco
correspondiente al modo normal u ordinario, siempre con el objeto de poder constatar qué armónicos se hallan en cada sector.
Figura IV. 3
Figura IV. 4
En este nivel las posiciones son extremadamente próximas entre sí, lo que las vuelve un
poco entreveradas para su ejecución. Se verá luego que son sin embargo de apreciable
utilidad. Está claro que se puede continuar con la sucesión, y, como se observó en el
capítulo anterior, también se puede tomar cualquier región de la cuerda, aplicar las
mediantes de Farey y descubrir los armónicos presentes en cada sector. Hemos
encontrado de esta manera nodos de armónicos bastante alejados a lo largo de toda la
tastiera.
Llegado a este punto quizá algún lector se pregunte sobre las posibilidades reales de
estos armónicos a la hora de utilizarlos musicalmente. Ya señalamos que cuanto más
alejado el armónico mayor el nivel de ruido que acarrea. Esto se debe a una
multiplicidad de factores: al tratarse de porciones tan breves de la cuerda, el ancho de la
misma deja de ser despreciable físicamente. Es decir que la cuerda ya deja de
comportarse como tal y adquiere un comportamiento más parecido al de un tubo, lo que
se traduce en una mayor inarmonicidad, una cierta rigidez como material sonoro, y una
exigencia hacia el arco de un mayor nivel de contacto. La rigidez mencionada está
acentuada además por lo preciso del lugar de la cuerda en el que se debe apoyar el arco
al momento de producirlos: es necesario accionar sobre un punto superior al último
nodo del armónico a interpretar, ya que de otra manera dicho armónico se filtra. En
otras palabras, el arco actúa sul ponticello, sobre una región mucho más dura que la
normal, con un margen mínimo para variar el punto de contacto y obligado a mantener
una relación presión/desplazamiento mayor que la habitual.
Por otro lado la cuerda no vibra de manera plena 36, por lo que el ruido de la frotación
del arco es mucho más audible. Y también se puede observar un desplazamiento
importante en relación a la altura que uno prevería que debiera sonar. Esto se debe a la
inarmonicidad que ya se mencionó 37, pero también sucede que el nodo es un punto
físico, no matemático, y como tal tiene una dimensión. M ínima, pero dimensión al fin.
Esto produce un desplazamiento hacia arriba en las frecuencias de los armónicos. En
otras palabras, el armónico de octava no es el doble de la frecuencia de la fundamental.
Es levemente superior, ya que no es exactamente la mitad de la cuerda la que vibra, si
no una porción apenas menor. Esta diferencia es prácticamente inaudible en los
armónicos básicos, pero deja de ser despreciable al momento de tocar, por ejemplo, el
armónico 21, ya que se producen veinte nodos. Este fenómeno es conocido como
Corrección a la ley del nodo, que fue formulada por el compositor mexicano Julián
Carrillo luego de experimentos realizados en Nueva York en 1947 38.
Estas características, sumadas a su margen de error sensiblemente mayor comparando
con los armónicos básicos 39, deben ser tenidas muy en cuenta al momento de escribir
armónicos lejanos en una pieza. Pretender usarlos en plano de igualdad con los
armónicos básicos es una quimera. Sin embargo pueden ser ventajosos al momento de
estructurar otro tipo de lenguaje. En las obras citadas anteriormente se puede apreciar
36
Cuando tocamos un armónico lo que hacemos en realidad es aplicar un filtro sobre el sonido de la
cuerd a al aire. En un armónico lejano dicho filtro está aplicado con un parámetro muy alto, casi violento.
Esto hace que el resto de la cuerda “ apagado” termine “ sonando” a través del ruido de frotación del arco.
37
Además de factores perceptivos. Cfr. Juan G. Roederer. Acústica y psicoacústica de la música, Buenos
Aires, Ricordi Americana, 1997
38
Motivo por el cual fue el único músico en la historia nominado para un Premio Nobel (Física, en 1950).
En 1956 publicó Dos leyes de física musical: I. Escala de los armónicos. II. Nueva ley del nodo, México,
Ediciones Sonido 13 Cfr, http://paginas.tol.itesm.mx/campus/L00280370/biograf.html. Más sitios en línea
sobre Julián Carrillo en Bibliografía
39
Lo que justifica ampliamente la tenden cia a anotar sólo la acción, previendo un resultado variable
cómo distintos compositores han aprovechado las características propias de estos
armónicos.
Hay de todos modos diferentes técnicas instrumentales que ayudan a estabilizar
armónicos lejanos. Una de ellas, conocida como trembling harmonics 40, consiste en
variar la presión de apoyo del dedo como si se estuviera trinando en forma incompleta,
sin apoyar ni levantar del todo el dedo. Es una especie de temblor, de allí su nombre.
Otra posibilidad es trinar sobre la misma posición del armónico, aunque sin levantar lo
suficiente el dedo como para que llegue a sonar la fundamental. Garth Knox la nombra
falling star harmonics 41. Ambas suelen ser bastante efectivas.
Por último, más allá del uso musical que se les pueda dar, estos armónicos son
importantes para lograr la producción de multifónicos.
V. Multifónicos en el violonchelo
Los multifónicos en los instrumentos de cuerda surgen de la posibilidad de hacer sonar
simultáneamente distintos armónicos sobre un misma cuerda. El principio es semejante
a su producción en algunos instrumentos de viento: dar órdenes aparentemente
contradictorias. En el caso de los instrumentos de cuerda, entre el arco y la mano
izquierda. El procedimiento básico para obtenerlos es el siguiente:
1- Se elige un armónico (superior al 7) y se acciona la posición con la mano
izquierda.
2- Se apoya el arco en el punto donde se encuentra el último nodo del mismo
armónico, con la intención de apagarlo. La cuerda reacciona en forma compleja,
como intentando corregir el “error” aparente, por lo que se hace necesario
mantener un buen nivel de contacto.
3- La cuerda vibra entonces de acuerdo a nodos (generalmente inferiores) ubicados
cerca del que accionamos con la mano izquierda. Los últimos nodos de estos
mismos armónicos deben encontrarse relativamente lejos del punto de contacto
del arco.
4- Si el arco apoya justo sobre el nodo del armónico que podríamos llamar
generador, éste desaparece, ya que el arco lo filtra completamente. Si el arco está
levemente desplazado de ese lugar hacia el puente, aparece más o menos dentro
del mismo plano que los otros armónicos presentes en el multifónico. Y,
obviamente, si nos alejamos más de ese nodo el multifónico desaparece,
quedando sólo este armónico que hemos llamado generador.
Es importante tener en cuenta que la cuerda reacciona vibrando en forma compleja, lo
que hace de los multifónicos un material de naturaleza inestable y que casi todos los
armónicos superiores al punto de contacto necesario son apagados 42. Esta acción de
filtrado hace que la cuerda vibre y suene en los modos correspondientes a los parciales
que quedan “liberados”, por decirlo de alguna manera. Si partimos de un armónico
40
Cfr. Garth Knox, Harmonic horizon, de Viola Spaces, París, el autor, 2006. cc 29-39 Una técnica
semejante usa Marcos Fran ciosi, Líneas y puntos sobre aguas oscuras, el autor, Buenos Aires, 2008. cc
56-67
41
Cfr. Garth Knox, Op.cit. cc. 40-49
42
Casi todos. Algunos armónicos superiores al punto de contacto se liberan si el arco acciona en uno de
sus vientres, como se menciona a continuación refiriéndos e a una de las posiciones del armónico 7
demasiado bajo, por ejemplo el 5, ninguno de ellos queda libre para vibrar, resultando
una especie de scratch 43 con un leve color de tonicidad 44. Hay sin embargo algunas
posiciones del armónico 7 que hacen sonar a los armónicos 4, y 5, con el agregado del
11. Pero los armónicos enmudecidos siguen siendo numerosos, y la fundamental de la
cuerda, deformada, continúa demasiado presente. No se debe olvidar que, como los
armónicos, los multifónicos son en definitiva el sonido de la cuerda al aire
enmascarado 45, en el caso de los últimos a través de un par de filtros distintos, casi
contradictorios, uno con cada mano. Así pues, pese a ser numerosos los multifónicos
naturales que se pueden obtener, y a que muchos puedan presentar una complejidad
tímbrica no despreciable, nunca dejan de referir a una fundamental subyacente. En
varios de ellos la misma se infiere demasiado, lo que termina empatándolos
considerablemente. Por esto es necesario recurrir a parciales más agudos en pos de una
mayor diferenciación: partiendo de armónicos altos suelen ser más los componentes que
quedan libres para vibrar, logrando de este modo un resultado más limpio. Esto último
incrementa la dificultad de ejecución, ya que, como se vio, a más alto el armónico
menor el margen de error en su interpretación. Por otro lado el arco tiene que accionar
sobre un punto de la cuerda fijo y preciso: de otro modo no puede realizar la tarea de
filtrado necesaria. Además debe mantener constantemente un buen nivel de contacto46.
En síntesis, todo lo mencionado hace que los multifónicos presenten cierta rigidez al
momento de ser utilizados en una composición musical. Pese a ello, con práctica, se
pueden obtener matices y modulaciones tímbricas.
Éstas son en cierto sentido llevadas a un extremo por Santiago Díez Fischer en su pieza
Le bruit involontaire, estructurada “…en torno a la sonoridad del multifónico, eje
principal de la obra.” 47 El compositor somete el material a variaciones que lo desdibujan
de distintas maneras: arco molto flautato, tremolo, ricochet, variación del punto de
contacto, scratch. Estas acciones hacen por momentos que los multifónicos aparezcan y
desaparezcan, queden reducidos a sólo uno de sus parciales, se deforme aún más la
afinación de sus componentes, aumenten el nivel de ruido, acentúen su inestabilidad,
pierdan tonicidad: su presencia se vuelve casi fantasmagórica. Hay por supuesto
también momentos en los que se estabilizan, pero uno podría decir que se contradice en
esta pieza todo lo expuesto anteriormente. Sin embargo escuchando la obra se percibe
que, aunque inestables, deformados o desdibujados por estas acciones, los multifónicos,
entendidos por el compositor como “complejidad sonora” 48, siguen haciendo acto de
presencia. Revelan una plasticidad que pareciera no serles propia.
Volviendo a aspectos más técnicos, para saber qué armónicos salen en determinada
posición es muy útil la tabla de armónicos lejanos en base a niveles que se elaboró en la
43
Sonido obtenido modificando la rel ación entre presión y desplazamiento del arco (más presión, menos
desplazamiento ) produciendo un ruido que oculta a la nota. Cfr. Kaija Saariaho. Petals, Tristan Murail y
Gerard Grisey en Bibliografí a
44
Este tipo de técnica está relacion ada con los denominados “ subarmónicos”
45
Nada muestra mejor esta aseveración que un par de espectrogramas
46
Ni más ni menos que el necesario para que surjan más claros los armónicos superiores. Se trata de la
misma situación mencionada en el capítulo referido a los armónicos lejanos. Se evita deliberadamente el
término “ presión adicional” pues está muy relacionado con el scratch, o quiebre del sonido. Y lo que hay
que hacer aquí es precisamente lo contrario.
47
Santiago Díez Fischer, Le bruit involontaire, para violonchelo y live electronics. Buenos Aires, el
autor, 2009. Cfr. Texto introductorio
48
Idem
parte IV. Construiremos entonces algunos ejemplos a partir de distintos armónicos sobre
distintas cuerdas del violonchelo.
Ejemplo V.1
Análisis de un multifónico sobre una posición del armónico 13 en la IV cuerda
Partimos de una de las posiciones del armónico 13 sobre la IV cuerda,
que se corresponde con una posición microtonal del fa#2
Obsérvense los nodos de armónicos que se encuentran cerca de la misma:
Ejemplo V.1 Figura 1
Se puede ver claramente todos los armónicos que rondan esa posición. Es importante record ar que el
grado de proximidad es en relación al largo de la porción de la cuerda que vibra en cad a armónico. Esto
quiere decir, aunque parezca contradictorio, que nuestra posición en cuestión es más cercana al armónico
3 que al 19.49 Los otros armónicos susceptibles de ser liberados por el arco son el 7, el 10 y en menor
medida el 16, pues para que se accione deb emos “ ayudarlo” corrigiendo lev emente haci a el agudo la
posición de la mano izquierda.
Veamos entonces lo que sucede con el arco: tomamos como referencia el lugar
correspondiente al último nodo del armónico mencionado 50,
y analizamos los distintos tipos de filtrado que se producen variando esa posición.
49
Los armónicos más graves se ven benefi ciados con una mayor porción de la cuerda apt a para que
suenen. Los “ huecos” observados en los gráficos IV.2, 3 y 4 pueden ayudar a visualizar este hecho.
Accionando en es as zonas “ vacías” tiende siempre a salir el armónico grave cercano. Se sugiere también
referirse a los gráficos mencionados para veri fi car est e tipo de diferen cias en los otros armónicos
50
Muchos compositores han ideado distintos tipos de notaciones para indicar, con mayor o menor grado
de exactitud, el lugar de la cuerda en donde debe accionar el arco. Hemos adoptado aquí la notación
utilizada por Helmut Lachenmann en algunas de sus obras, ya que resulta extremadamente precisa: se
señala la nota correspondi ente a ese lugar. En algunas técnicas (col legno batuto apagando
simultáneamente la cuerd a con la mano izquierda, por ejemplo) es efectivamente la nota que suena. Cfr.
Helmut Lachenmann, Allegro sostenuto, Wiesbaden, Breitfopf & Härtel, 2003
Ejemplo V.1 Figura 2
Es importante comprender que el arco ap aga los armónicos sobre cuyos nodos apoya: actúa casi en forma
inversa a la mano izquierda. Filtra además todos los superiores, con la excepción de aquellos accionados
justo en el vientre. Es por eso que variando el punto (y el nivel) de contacto obtendremos resultados
diferent es para una misma posición de la mano izquierda, ya que se apagan o liberan distintos armónicos.
En nuestra posición en cuestión, pasando el arco más hacia la tastiera hacemos sonar sólo el armónico 3,
aunque con un grado menor que el habitual de tonicidad, ya que la mano izquierda está un cuarto de tono
desplazad a. Yendo hacia la región de arco ordinario (o normal), sobre el nodo del armónico 13,
apagamos este último y forzamos a que suenen los armónicos inferiores al mismo, con bastante presencia
de la fundam ental. Yendo un poco más hacia el puente podemos “liberar” al armónico 13 y disminuir la
presen cia de los parciales más graves. Ya sobre el vientre del mismo armónico lo obtenemos aislado. Y si
nos trasladamos todavía más hacia el puente liberamos armónicos más agudos, aunque los tenemos que
“ ayudar” desplazando la posición de la mano izquierda a la correspondiente al armónico 16 o 19.51
Ejemplo V.2
Otros ejemplos de multifónicos naturales en el violonchelo
51
Es fundamental para interpretar esta figura comprender que el esquema de la cuerda se co rrespond e con
los lugares en donde acciona el arco, no con la posición de la mano izquierda. Se sugiere volver a
examinar la Figura 1 al respecto.
El pentagrama donde se indica el punto de contacto del arco está agreg ado con fin es meramente
explicativos, para poder visualizar qué tan lejos o cerca del puente se encu entra el mismo. No es el tipo de
indicación para ag reg ar en una partitura. Se sugiere anotar poco sul pont., molto sul pont., poco sul tasto,
etc.
Una obra ejemplar para el estudio de los multifónicos en el violonchelo es la ya citada
De amore, de M auricio Sotelo. El compositor resuelve el problema del nivel de contacto
necesario de una manera simple y efectiva: notas repetidas con la misma dirección del
arco. Al reatacar las notas manteniendo la dirección, el propio frenado y puesta en
movimiento del arco realiza todo lo necesario para producir multifónicos con una
limpieza y claridad sorprendentes, incluso para algunos bastante agudos sul ponticello 52,
lo que permite aumentar la lejanía y la cantidad de armónicos resultantes. Los
multifónicos adquieren de esta manera una considerable riqueza de componentes, y en
algunos casos se desdibuja casi completamente la omnipresencia ya mencionada de la
fundamental, ganando un mayor colorido y diferenciación entre sí.
Ejemplo V.3
Obsérves e además el uso y escritura de armónicos lejanos y las combinaciones que el compositor realiza
Mauricio Sotelo, De amore (1995), Universal edition ss. 5 y 6
52
Es más: este golpe de arco es ideal para encontrar multifónicos
VI. Armónicos lejanos y multifónicos artificiales
También es posible producir armónicos lejanos y multifónicos artificiales, aunque
raramente se ven escritos en alguna pieza. En Petals, de Kaija Saariaho, se utiliza un
glissando de un armónico artificial moviendo hacia arriba y abajo irregularmente el
dedo superior, a veces agregándole trinos. El objetivo es producir un “…sonido rico,
con alturas vívidamente cambiantes…” 53 Está claro que esta acción resulta en
armónicos lejanos. Nótese en el ejemplo el trabajo de filtrado, resaltándolos y
ocultándolos, que debe realizar el arco a través del punto de contacto.
Ejemplo VI.1
Kaija Saariaho, P etals (1988), Wilhelm Hansen ss. 29 y 30
En ,hubo pues un antes Juan Ortiz de Zárate usa armónicos artificiales de segunda
menor. La idea es obviamente producir un armónico lejano artificial, sin que esté
especificado cuál exactamente debe sonar. En el ejemplo se puede también apreciar el
mismo comportamiento para un armónico lejano natural. No está de más aclarar que el
arco debe accionar en un punto casi pegado al puente.
Ejemplo VI.2
Juan Ortiz de Zárate. ,hubo pues un antes (2009), el autor, c. 73
53
Kaija Saariaho, op. cit. Cfr. indicaciones de ejecu ción de la obra
Al pisarse una nota ésta actúa como una nueva fundamental, lo que permite que
obtengamos nuevos armónicos. Las relaciones interválicas entre las posiciones y la
fundamental se mantienen del mismo modo que en una cuerda al aire,
independientemente de la nota que se pise. Es por eso que muchas veces se usa
directamente la relación interválica entre la nota pisada y la posición del dedo que roza
la cuerda para definir un armónico artificial (“de cuarta justa”, “de tercera mayor”)
Aplicar las relaciones interválicas de las posiciones de una cuerda al aire a una nota
pisada nos permite obtener armónicos lejanos y multifónicos con suficiente precisión y
escribirlos especificando el resultado deseado. Presentan una todavía mayor rigidez y
nivel de ruido que sus homólogos naturales. Y existe el límite del alcance de la mano: se
hace necesaria entonces una posición que permita un buen control, que sea cómoda para
el instrumentista. Estos inconvenientes son compensados por las posibilidades que
aparecen, ya que se amplía muchísimo el repertorio de fundamentales sobre las cuales
construir multifónicos. Se pueden producir glissandi o microtonos, y también son
posibles multifónicos cuyos componentes microtonales se pueden ajustar a los
armónicos de una cuerda al aire que vibre por simpatía.
Ejemplo VI.3
Algunas posiciones de armónicos y multifónicos arti ficiales sobre el Re2
Ejemplo VI.4
Algunas posiciones de armónicos y multifónicos arti ficiales sobre el Sib2
M uestras sonoras y algunos espectrogramas en:
http://www.reverbnation.com/martindevoto
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