Resolución del Problema 22 de la guía de Cuerpo Rígido con explicación y cuestionario: Situación inicial con w0 cte antes de que empiece a actuar la Froz Situación final donde el cuerpo comienza a rodar sin deslizar. w0 wf r0 R P Zona de transición: entre que tiene w0 y se apoya, luego comienza a rodar deslizando, hasta que finalmente rueda sin deslizar wf = cte y Vcm = w x r El cilindro tiene inicialmente w0 y luego se lo apoya en una superficie con rozamiento, cuando apoya comienza a actuar la Froz la cual le aplica un momento que hace disminuir su w y aumentar la Vcm, la cual inicialmente era cero. ¿Cuál es la dirección y sentido de la Froz en el cilindro? Hay una zona de transición entre la situación inicial de w0 y la condición de rodadura final, donde deja de deslizar. En esa zona de transición, el cilindro desliza sobre la superficie y no hay rodadura (el cilindro gira y desliza, o sea, Vcm ≠ w x r, y no hay CIR), en ese tramo, la Froz hace trabajo. La energía cinética de rotación inicial, en parte se transforma en energía cinética de traslación y, en parte, se disipa debido al trabajo de la Froz que durante ese tramo es constante e igual a µd*N. Cuando comienza a RSD la Froz da un salto y se hace 0. (Observar que, cuando Vcm se hace cte, no puede haber más torques aplicados sobre el cilindro, ya que si no, éste se aceleraría) Durante esta transición, disminuye la velocidad relativa entre los puntos de contacto entre el piso y el cilindro y, finalmente, la velocidad relativa entre los puntos de contacto es cero (CIR) y la Froz = 0, a partir de ahí el cilindro comienza a rodar sin deslizar y se cumple que Vcm = wf x R. Una vez que comienza a RSD: - ¿cómo sigue el movimiento?, - ¿Cuánto vale la Froz después que comienza a RSD? - ¿wf es constante? - ¿Se conserva la Em? Podemos plantear la conservación de L con respecto al punto P [L(p) ] entre el instante inicial, en dónde el cilindro tiene w0, y la situación final cuando ya rueda sin deslizar con wf. Esta conservación la podemos plantear porque con respecto a P no hay torques externos, ya que la Froz esta aplicada justo en P y la distancia entre la Froz y P es cero con lo cual el torque también lo es: T(P) = r x Froz = 0 L0(P) = Lf(P) La expresión más general para L con respecto a un punto, es la suma del L de rotación pura alrededor de su cm, mas el L del cm con respecto al punto considerado. (Ver el ejercicio 7 de la guía de Sistema de Partículas) Ltotal = Lspin + Lorbital Si el cuerpo sólo rota y no se traslada, el Lorbital vale cero, este es el caso del L0(P) en nuestro caso, el cilindro inicialmente, un instante antes de tocar la superficie, sólo rota con w0 y su CM está en reposo. Así que, en este caso, el L0(P) es igual al L0(CM) ya que solo sobrevive el L de spin. L0(P) = L0(CM) = I(CM) * w0 Observar que en la situación inicial, un instante antes de apoyarlo, no se puede plantear el L como una rotación pura alrededor de un punto que este en el piso debajo del CM ya que ese el punto de contacto no es un CIR, o sea, no se puede aplicar Steiner y pensar el movimiento como una rotación pura con respecto a un punto en el piso debajo del CM, ya que el cilindro gira sobre su CM. El L final, se puede escribir como una rotación pura alrededor de su CM, más el L de traslación del CM con respecto a P: Lf(P) = I(CM) * wf + R x p (Observar que también se puede plantear Lf(P) como una rotación pura alrededor de P (CIR) aplicando Steiner: Lf(P) = I(P) * wf). Hacer los cálculos con esta variante y verificar que dé lo mismo. Igualando final e inicial: I(CM) * w0 = I(CM) * wf + R x p 0,5*m*R2*w0 = 0,5*m*R2*wf + R*m*Vcm Como la situación final es una rodadura se cumple que: Vcm = wf x R 0,5*m*R2*w0 = 0,5*m*R2*wf + R*m* wf * R 0,5*m*R2*w0 = (0,5*m*R2 + R2*m)*wf wf = 0,5*m*R2*w0 / 1,5*m*R2 wf = w0 / 3 Si calculamos la diferencia entre la Ec inicial y la final: Ec0 = 0,5*I(CM) * w0 2 = (1/4)*m*R2 *w0 2 Ecf = 0,5*I(CM) * wf 2 + 0,5*m*Vcm2 = 0,5*I(CM) * (w0/3) 2 + 0,5*m*[(w0/3)*R]2 = (1/12)*m*R2 *w0 2 Observar, que la energía se redujo tres veces con respecto a la inicial como consecuencia del trabajo de la Froz durante el tramo que desliza. Sergio Rossi 24-10-14 Rev:2
