Práctico 3

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
Práctico 3
Curso 2022
1) En cada uno de los siguientes casos escribir el conjunto G de pares ordenados que
define la función f. Clasificar dicha función.
i) A = 1, 2,3 , B = 0,1, 2,3,8 y f : A → B definida por f ( x ) = x2 −1 .
ii) A = 1, 2,3, 4 , B = 7,11,15,19 y f : A → B definida por f ( x ) = 4x + 3 .
iii) A = 0, 4,5,7 y f : A →
tal que f ( x ) es el resto de la división entera de x entre
3.
iv) A = 1, 2,3 , B = 2,3 y f : A  B →
definida por f ( x ) = 3x − y .
2) Representar gráficamente y clasificar las siguientes funciones.
definida por f ( x ) = x −1.
i) f :
→
ii) f :
→ 3, +) definida por f ( x ) = x2 + 3 .
iii) f :
→
iv) f :
→
2x −1
.
3
definida por f ( x ) =  x , donde  x es el mayor entero menor o igual
definida por f ( x ) =
que x, al que denominamos parte entera de x.
3) Definir funciones no constantes con el dominio y codominio indicado en cada caso.
i) f :
→ .
ii) f :
→ 0,1 .
iii) f :
→
que sea biyectiva.
4) En cada uno de los siguientes casos representar gráficamente y clasificar las
siguientes funciones.
i) f :
→
 x 2 − 1,si x  3

definida por f ( x ) =  x + 1
.
,si
x

3

 2
ii) f :
→
 x 2 + 1,si x  0
definida por f ( x ) = 
.
−2 x + 1,si x  0
iii) f :
→
 x + 7,si x  −2
definida por f ( x ) =  2
.
x
−
2
x
,si
x

−
2

x2 + 1
5) Se consideran las funciones f : → definida por f ( x ) =
y g: → ,
2
definida por g ( x ) = 1 − x . Investigar sim existen las funciones compuestas g f y
f g y en caso afirmativo hallarlas.
6) Se consideran las funciones f : ( −1, +) →
definida por f ( x ) = x2 − 4x + 3 y
 x + 1,si − 2  x  0
, definida por g ( x ) = 
. Investigar si existen
3,si
x

0

las funciones compuestas g f y f g y en caso afirmativo hallarlas.
g : −2, +) →
→ ( −1,1) definida por f ( x ) =
7) Sea f :
x
. Probar que f es biyectiva y hallar
1+ x
f −1 : ( −1,1) → .
8) En cada uno de los siguientes casos, discutir según m , el número de raíces de las
siguientes funciones cuadráticas.
i) f m :
→
definida por fm ( x ) = 3x2 + 2 ( m + 1) x + ( m + 1)( m − 3) .
ii) f m :
→
definida por fm ( x ) = x2 − ( m − 3) x + 2m −1 .
iii) f m :
→
definida por fm ( x ) = mx2 + ( 2m + 1) x + 1 − m con m  0 .
9) Sea f m :
→
definida por fm ( x ) = (5 − 2m) x2 + ( 2m − 2) x + 1 − m , con m real .
i) Discutir según m la cantidad de raíces reales de f m .
ii) Hallar los valores de m para los cuales f m tiene dos raíces reales positivas distintas.
10) Sea f m :
definida por fm ( x ) = (1 − 2m) x2 + ( 2m + 2) x + m +1 , con m real .
→
i) Discutir según m la cantidad de raíces reales de f m .
ii) Hallar los valores de m para los cuales f m tiene dos raíces reales negativas
distintas.
iii) Dado n 

, hallar el signo de f 1 .
−
n
11) i) Mostrar que la composición de dos funciones inyectivas es una función inyectiva.
ii) Mostrar que la composición de dos funciones sobreyectivas es una función
sobreyectiva.
iii) Concluir que la composición de dos funciones biyectivas es una función biyectiva.
iv) Se consideran dos funciones f : A → B y g : B → C . Probar que si g f es
inyectiva, entonces f es inyectiva.
v) Se consideran dos funciones f : A → B y g : B → C . Probar que si g f es
sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva.
12) i) Se consideran tres funciones f : A → B , g : B → C y h : C → D .
Probar que si g f y h g son biyectivas, entonces f, g y h son biyectivas.
ii) Se consideran tres funciones f : A → B , g : B → C y h : C → A .
Probar que si h g f y f h g son sobreyectivas y g f h es inyectiva,
entonces f, g y h son biyectivas.