1.2 TEMA 2 Realizar Métodos De Conteo Por Medio De La Obtención De Permutaciones Y Combinaciones De Un Conjunto De Elementos En Arreglos. 1.2.1 Conteo Introducción El conteo y la recursión son dos temas importantes en las matemáticas discretas. el conteo permite determinar el número de soluciones para una situación. una buena parte de las matemáticas discretas desarrollan herramientas para contar sistemáticamente el número de elementos de un conjunto finito. en este tema se verá la importancia de contar arreglos o patrones, y se verá la necesidad de utilizar herramientas para hacerlo. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO También conocido como regla del producto, se deriva del uso de árboles para contar posibilidades. la regla del produce dice que el numero de maneras en que un proceso se puede completar es el resultado de multiplicar el número de maneras de hacer el primer paso por el número de maneras de hacer el segundo paso. Regla Del Producto En Dos Pasos Considere que un proceso consiste de dos pasos. Si hay n1 maneras de hacer el primer paso y n2 maneras de hacer el segundo paso, entonces hay n1 x n2 maneras de hacer el proceso completo. REGLA DEL PRODUCTO EN (K PASOS) Considere que un proceso consiste de k pasos. Si hay n1 maneras de hacer el primer paso y n2 maneras de hacer el segundo paso, …, y nk maneras de hacer el último paso, entonces hay n1 x n2 x … x nk maneras de hacer el proceso completo. EJEMPLO 1. El menú de un restaurante de comidas corridas ofrece la posibilidad de elegir como plato de entrada sopa o arroz; como plato principal se puede elegir carne, pollo O pescado Y de postre pastel O helado. Arroz, Carne, Pastel Helado Arroz, Carne, Helado Arroz, Pollo, Pastel Pollo Helado Arroz, Pollo, Helado Arroz, Pescado, Pastel Helado Arroz, Pescado, Helado Sopa, Carne, Pastel Helado Sopa, Carne, Helado Sopa, Pollo, Pastel Pollo Helado Sopa, Pollo, Helado Sopa, Pescado, Pastel Helado Sopa, Pescado, Helado Ejemplo 2. Hileras de Bits Un Bit o digito binario es un cero o un uno. Una hilera de bits es una sucesión de bits. Las hileras de bits constituyen un elemento fundamental en las computadoras modernas. Un código binario para un grupo de símbolos asignada a cada uno de los símbolos una hilera de bits distinta. Segundo bit Primer bit 0 00 1 01 0 10 1 11 0 1 ¿Hasta cuántos símbolos diferentes se pueden representar si se cuentan con 2 bits? Ejemplo 3. Placas En la ciudad de México las placas consisten de tres dígitos, seguidos de tres letras. Se utilizan los dígitos del 0 al 9, y las 26 letras del alfabeto. ¿Cuántas placas se pueden formar? Digito, Digito, Digito, Letra, Letra, Letra 10 x 10 x 10 x 26 x 26 x 26 → 17, 576,000 Anteriormente eran dos letras y tres dígitos, 10 x 10 x 10 x 26 x 26 → 676,000 Ejemplo 4. Combinaciones de ropa. Brithny es una joven que está revisando de cuántas formas se puede vestir. Si tiene 3 pares de zapatos, 4 faldas, 6 blusas y 2 sacos. El vestuario completo consiste en un par de zapatos, una falda, una blusa y un saco. Zapatos (3) x falda (4) x blusa (6) x sacos (2) → 144 formas diferentes Permutaciones En varios problemas de conteo se requiere contar arreglos ordenados o selecciones ordenadas de Objetos. En esta parte se consideraran este tipo de problemas. A un arreglo de objetos en un orden definido se le llama permutación (el orden es importante) • Cuando se eligen n elementos el total las permutaciones que se obtienen son n! ( n factorial) PERMUTACIONES (EL ORDEN SI IMPORTA) • Para lo cual debemos utilizar la siguiente formula: n P k n! (n-k)! Donde P nos indica que se trabajara con permutaciones Los n objetos considerados son todos distintos. El orden de los objetos es importante No se permiten repeticiones K= El numero de posible de elementos a seleccionar EJEMPLO 1: Carlos, Pedro y Sandra correrán los 100 metros planos. ¿de cuantas formas pueden quedar el podio de primer y segundo lugar? Solo competirán ellos tres. Desarrollo: solo dos de las personas quedar el primer y segundo lugar, y las posibles posiciones quedarían de la siguiente forma. En este ejemplo por el numero de elementos se puede realizar a mano sin ningún problema, pero si se llegaran a incrementar el numero de elementos 2o 1o el vector seria mas complicado realizarlo, por lo que podemos utilizar la Carlos Pedro siguiente formula: Pedro Carlos n Carlos Sandra Sandra Carlos 6 formas Pedro Sandra k Sandra Pedro P P 3 2 n! (n-k)! 3! (3-2)! n=3; k=2 3x2x1 1! 6 1 6 Ejercicio 1. Un catador profesional fue contratado para un trabajo. El cual tiene que calificar un primer, segundo y tercer lugar de un grupo de 7 vinos, o bien de calificar en primer, segundo y tercer lugar a las tres mejores cervezas de un grupo de seis. ¿cuántas grupos se podrían formar considerando los vinos y cervezas? Ejercicio 2. El profesor califica a cincuenta estudiante del 1 al 50 y envía al director las calificaciones de los 10 estudiantes que quedaron hasta arriba. ¿cuántos reportes son posibles? ¿En cuántos de los reportes estás tú incluido? Ejercicio 3. ¿De cuántas maneras las letras de la palabra ZOOLOGO pueden ser acomodadas en orden?
