&RQFHSWRVEiVLFRV 7(0$ &21&(3726%È6,&26 7e50,126<'(),1,&,21(6 2.1.1. Clasificación de las barras 2.1.2. Clasificación de los pares cinemáticos 2.1.3. Cadena cinemática y mecanismo 2.1.4. Descripción del mecanismo 0(&$1,6026(/(0(17$/(6 029,/,'$' 2.3.1. Fórmula de Grübler 2.3.2. Ejemplo 2.3.3. Excepciones a la fórmula de Grübler (/&8$'5,/È7(52$57,&8/$'2 2.4.1. El cuadrilátero articulado y la ley de Grashoff 2.4.2. Posiciones extremas y puntos muertos (/0(&$1,602'(%,(/$0$1,9(/$ 1 &RQFHSWRVEiVLFRV 7e50,126<'(),1,&,21(6 2 En este apartado se incluyen nuevas definiciones de términos de la Teoría de Máquinas y Mecanismos ya mencionados anteriormente, así como otros que aparecen por primera vez. Un mecanismo es una combinación de cuerpos rígidos o resistentes, conectados entre sí de modo que el movimiento relativo entre los elementos individuales está restringido. )LJXUD0iTXLQDPHFDQLVPR\HVTXHPDFLQHPiWLFR Los elementos resistentes individuales que componen un mecanismo reciben el nombre de barras. Tal y como se ha indicado, las barras pueden ser elementos rígidos (indeformables en todas las direcciones) o unirígidos (por ejemplo cables) que presentan al menos una dirección en la que no se pueden deformar. Las barras están unidas en puntos denominados nudos y la forma en que se realiza esa unión, y por tanto las restricciones al movimiento relativo entre las barras que impone, se denomina par cinemático. El par cinemático supone una idealización del enlace físico. &RQFHSWRVEiVLFRV 3 Se entiende por grados de libertad asociados a un par cinemático al número de coordenadas independientes necesario para describir la posición y orientación relativa de las barras que conecta. &/$6,),&$&,Ï1'(/$6%$55$6 Las barras pueden clasificarse en función del tipo de movimiento que posean y en función del número de pares que contengan. En función del número de pares que contiene, las barras se clasifican como: binarias (2 pares), ternarias (3 pares), cuaternarias (4 pares), etc. )LJXUD%DUUDVELQDULDV\WHUQDULDV Según el tipo de movimiento pueden ser: • 0DQLYHODV: Cuando están unidas a la barra fija y pueden dar vueltas completas alrededor de la misma. • %DODQFLQHV: Cuando están unidas a la barra fija y poseen un movimiento de oscilación. • $FRSODGRUHVRELHODV: Son barras no unidas directamente a la barra fija. • 'HVOL]DGHUDV: Son barras que poseen un movimiento de traslación a lo largo de una guía. &RQFHSWRVEiVLFRV 4 &/$6,),&$&,Ï1'(/263$5(6&,1(0È7,&26 Existe una gran variedad de pares cinemáticos, así como diversos procedimientos para clasificarlos. Estas clasificaciones se pueden establecer siguiendo dos criterios: • En función del tipo de contacto que se genera entre las barras que une. • En función del número de grados de libertad del par cinemático en cuestión. En función del primer criterio de clasificación se podrá hablar de pares cinemáticos inferiores y superiores. Si el par en el que dos barras se conectan tiene una superficie de contacto, el par se denomina par inferior. Si la conexión se realiza de modo que el contacto se produce en un punto o lo largo de una línea de puntos entonces se llama par superior. )LJXUDD3DUHVLQIHULRUHV )LJXUDE3DUHVVXSHULRUHV En función del segundo criterio, los pares cinemáticos se clasifican según el número de grados de libertad asociados al par. &RQFHSWRVEiVLFRV Clase Grados del par libertad I Restricciones Nombre del par • Revolución5 • 5 Representación 2 1 Prismático 3 1 2 1 3 • Rodadura sin deslizamiento 2 Rodadura sin deslizamiento 1 • Rodadura con deslizamiento 3 2 Rodadura con deslizamiento 2 II • Engranaje 1 1 • Leva. 3 2 Antes de comentar la tabla anterior cabe recordar que un sólido rígido en el plano posee tres posibilidades de movimiento independientes, traslaciones en dos direcciones perpendiculares entre sí y la rotación alrededor de un eje perpendicular al plano del movimiento del sólido rígido. Por lo tanto en el plano pueden existir únicamente pares de las clases I y II, ya que un par cinemático de la clase tres en el plano no supondría ninguna restricción al movimiento. En la tabla anterior también cabe observar que a medida que se aumenta la clase del par disminuye la restricción al movimiento que impone a las barras que conecta. Así un par de la clase I restringe dos posibilidades de movimiento relativo, mientras que los de la clase II impedirían solo una de las tres que posee un sólido en el plano. &RQFHSWRVEiVLFRV 6 &$'(1$&,1(0È7,&$<0(&$1,602 Se denomina cadena cinemática a un conjunto de barras interconectadas entre sí por pares cinemáticos . Cuando una de ellas es fija se tendrá un PHFDQLVPR. Una cadena cinemática cerrada es aquella en que cada barra está unida como mínimo a otras dos barras. Una cadena cinemática abierta es aquella en la que existe como mínimo una barra que tiene un solo par cinemático. En las )LJXUDVyse presentan sendos ejemplos de cadenas cinemáticas cerradas y abiertas. Los mecanismos pueden ser planos o espaciales. Un mecanismo plano es aquel en que todos los puntos de todas las barras describen trayectorias situadas en planos paralelos. Un mecanismo se clasifica como espacial cuando algunos puntos de algunas barras describen trayectorias no planas o situadas en planos no paralelos. )LJXUD0HFDQLVPRVSODQRVD\EPHFDQLVPRGHEDUUDVGH:DWWF\GPHFDQLVPRVGHEDUUDV GH6WHSKHQVRQ &RQFHSWRVEiVLFRV 7 )LJXUD0HFDQLVPRHVSDFLDO5RERWLQGXVWULDO.8.$ '(6&5,3&,Ï1'(/0(&$1,602 A continuación se indica sobre un ejemplo la terminología habitualmente empleada a la hora de designar los diversos componentes de un mecanismo )LJXUD1RPHQFODWXUDKDELWXDOHQPHFDQLVPRV En el mecanismo anterior se pueden apreciar como las barras se designan mediante números, reservando el número para la barra fija, mientras que los pares se suelen denotar mediante letras. Ejemplos de pares de revolución son los situados en %, &, ', (, etc.. En $ y en 0 se tienen pares del tipo prismático. . corresponde a un par del tipo leva que se comentará más adelante. &RQFHSWRVEiVLFRV 0(&$1,6026(/(0(17$/(6 8 Una de las herramientas de las que dispone un diseñador de mecanismos consiste en la combinación de mecanismos simples y de características bien conocidas para satisfacer las necesidades globales de movimiento del mecanismo que se desea diseñar. Estos mecanismos simples que se encuentran formando parte de la mayoría de las máquinas se denominan mecanismos elementales y se pueden clasificar en tres grandes grupos. • Mecanismos articulados: Formados por cadenas cinemáticas en las que los pares son exclusivamente inferiores. Usualmente estos pares son del tipo 5 o 3. • Mecanismos de levas: Formados por la leva propiamente dicha que es el elemento de entrada del movimiento y el seguidor que es el elemento de salida. En función del perfil de la leva se puede obtener una relación entrada/salida tan compleja como se desee. • Mecanismos de engranajes: Los engranajes son empleados principalmente para transmitir el movimiento de rotación entre ejes, manteniendo constante la relación de velocidades angulares entre la entrada y la salida. • En la figura siguiente se pueden se muestran ejemplos de los mecanismos elementales mencionados anteriormente. )LJXUD0HFDQLVPRVHOHPHQWDOHV0HFDQLVPRVDUWLFXODGRV &RQFHSWRVEiVLFRV 9 (e) )LJXUD0HFDQLVPRVHOHPHQWDOHV0HFDQLVPRVGHOHYDVDVHJXLGRUDOWHUQDWLYRGHURGLOORE VHJXLGRUDOWHUQDWLYRGHFDUDSODQDFVHJXLGRURVFLODQWHGHURGLOORGVHJXLGRURVFLODQWHGHFDUDSODQD HOHYDDOWHUQDWLYD &RQFHSWRVEiVLFRV )LJXUD0HFDQLVPRVHOHPHQWDOHV(QJUDQDMHVDHQJUDQDMHVFLOtQGULFRVGHGLHQWHVUHFWRVE FUHPDOOHUDFWRUQLOORVLQILQGHQJUDQDMHVFyQLFRV 10 &RQFHSWRVEiVLFRV 029,/,'$' 11 Grado de libertad o movilidad GHXQDFDGHQDFLQHPiWLFD o de un mecanismo es el número de coordenadas independientes entre sí necesario para definir la configuración de una cadena cinemática o de un mecanismo. )Ï508/$'(*5h%/(5 Un sólido rígido en el plano posee 3 grados de libertad, por tanto un sistema de Q sólidos libres tendrá 3Q grados de libertad. Todo mecanismo está compuesto por un sistema de sólidos con movimiento restringido por los pares cinemáticos, y además posee una barra fija. La barra fija le restará 3 grados de libertad al sistema, los pares de la clase I le restará 2 grados de libertad por par y los de la clase II un grado de libertad por par. Por tanto, para mecanismos planos formados porQ barras, una de ellas fija, y unidas entre sí por - pares de la clase I y - de la clase II, los grados de libertad o movilidad, ) de dichos mecanismos vendrán dados por la siguiente expresión ) = 3(Q − 1)− 2- 1 − 1- 2 La anterior expresión es debida a Grübler y permite determinar la movilidad de mecanismos planos. A continuación se aplicará la expresión de Grübler al cálculo de los grados de libertad en diversos mecanismos simples que contienen los pares cinemáticos más habituales en mecanismos planos, que son los que fundamentalmente se van a considerar. Cabe observar como dependiendo de la existencia o no de deslizamiento en el contacto de rodadura, se tendrá un par de la clase I (1 grado de libertad) o de la clase II (2 grados de libertad). En el caso de los engranajes se considera contacto de rodadura y deslizamiento entre los dientes. Por último indicar que los muelles no tienen posibilidad de restringir el movimiento entre las barras que conectan, en consecuencia pueden ser eliminados a la hora de la determinación de los grados de libertad de un mecanismo que los incluya. Nombre del par característico Diagrama del mecanismo Grados de libertad Q = 2(1 fija) -1 = 1 Revolución -2 = 0 ) = 3 2 − 1 − 21 = 1 &RQFHSWRVEiVLFRV 12 Q = 2(1 fija) -1 = 1 Prismático (deslizadera) -2 = 0 ) = 3 2 − 1 − 21 = 1 Q = 2(1 fija) -1 = 1 Rodadura sin deslizamiento -2 = 0 ) = 3 2 − 1 − 21 = 1 Q = 2(1 fija) -1 = 0 Rodadura con deslizamiento -2 =1 ) = 3 2 − 1 − 11 = 2 Q = 3(1 fija) -1 = 2 Dientes de engranajes -2 =1 ) = 3 3 − 1 − 21 − 11 = 1 Q = 2(1 fija) -1 = 0 Muelle -2 = 0 ) = 3 2 − 1 − 0 − 0 = 3 &RQFHSWRVEiVLFRV (-(03/2 13 Todo lo dicho anteriormente se aplicará a la determinación de los grados de libertad el mecanismo de la )LJXUD. A H 1 I 8 B 3 4 2 C O2 E D 6 5 7 1 F G 1 )LJXUD&iOFXORGHORVJUDGRVGHOLEHUWDGGHOPHFDQLVPR En el mecanismo original se tiene que Q=7 - 1 = 7 ) = 3 7 − 1 − 27 − 11 = 3 - 2 = 1 donde cabe destacar la eliminación del muelle y el par de la clase II situado en $ Obsérvese también como dicho par de horquilla puede ser considerado alternativamente como una combinación de par prismático (+), par de revolución (,) y barra adicional (). En este segundo caso, la aplicación de la fórmula de Grübler dará el mismo resultado, esto es Q=8 - 1 = 9 ) = 3 8 − 1 − 29 = 3 - 2 = 0 (;&(3&,21(6$/$)Ï508/$'(*5h%/(5 A pesar de su innegable utilidad, la fórmula de Grübler presenta un considerable número de casos en los que proporciona resultados erróneos. Estos casos se producen en mecanismos con especiales características geométricas. A continuación se indican algunos ejemplos. &RQFHSWRVEiVLFRV • 14 1. Formas críticas. )RUPDVFUtWLFDVRFDGHQDVFLQHPiWLFDVVREUHUHVWULQJLGDV En el caso del mecanismo anterior, la aplicación de la fórmula de Grübler proporciona el siguiente resultado ) = 3(Q − 1)− 2- 1 = 3(5 − 1)− 26 = 0 sin embargo, el caso (a) puede moverse libremente y el (b) es una estructura dado que una misma barra, la , no puede girar respecto a dos centros instantáneos de rotación diferentes. En el caso (a), se podría eliminar cualquiera de las barras , ó sin que por ello se viera modificado el comportamiento cinemático del mecanismo. • 2. Grados de libertad pasivos. 4 3 6DOLGD Y 2 1 (QWUDGD X )LJXUD*UDGRVGHOLEHUWDGSDVLYRV En el mecanismo de leva anterior pueden darse dos circunstancias. La primera de ellas corresponderá al caso en que en el punto de contacto $ se den las condiciones de rodadura con deslizamiento, en ese caso correspondería a una par cinemático de la clase II, por lo que fórmula de Grübler daría &RQFHSWRVEiVLFRV 15 ) = 3(Q − 1)− 2- 1 − 1- 2 = 3(4 − 1)− 23 − 11 = 2 sin embargo es evidente que desde el punto de vista de la relación entrada-salida este mecanismo tiene un solo grado de libertad. El segundo grado de libertad (grado de libertad pasivo) corresponde a la rotación de la barra , no siendo posible establecer una relación cinemática entre el movimiento de la barra de entrada y el que adquirirá dicha barra . La segunda circunstancia de la que se hablaba correspondería a la rodadura sin deslizamiento en el punto $, en este caso el par sería de la clase I y la aplicación de Grübler daría un solo grado de libertad para el mecanismo ) = 3(Q − 1) − 2- 1 − 1- 2 = 3(4 − 1) − 24 − 10 = 1 en este caso no existiría indefinición cinemática para ninguna de las barras que formar el mecanismo. • 3. Lazos prismáticos. )LJXUD/D]RVSULVPiWLFRV En este caso Grübler da lugar a ) = 3(Q − 1)− 2- 1 − 1- 2 = 3(3 − 1)− 23 − 10 = 0 mientras que tal y como se indica en la figura el mecanismo puede moverse. En este último caso se podría reescribir la formula de Grübler del siguiente modo ) = 2(Q − 1) − 1- S = 2(3 − 1) − 13 = 1 donde se ha considerado que en una lazo cerrado formado exclusivamente por pares prismático no existe ninguna posibilidad de giro, por lo tanto cada sólido libre poseerá solo dos posibilidades &RQFHSWRVEiVLFRV 16 (traslaciones) de movimiento independientes y cada par prismático, cuyo número se denotará por - 3 , eliminará una de esas posibilidades. (/&8$'5,/È7(52$57,&8/$'2 Uno de los mecanismo articulados (unidos exclusivamente por pares 5 o 3) más ampliamente utilizados es el mecanismo de denominado de cuatro barras o cuadrilátero articulado ()LJXUD). Este mecanismo está constituido por cuatro barras, tres de ellas móviles, unidas entre sí por pares de revolución y posee una configuración en cadena cinemática cerrada. )LJXUD&XDGULOiWHURDUWLFXODGR En la figura anterior se muestra el posible esquema cinemático de un cuadrilátero articulado, así como la nomenclatura habitual. El cuadrilátero articulado se puede encontrar formando parte de una gran variedad de máquinas, desde los más pequeños instrumentos hasta el equipamiento más pesado. La función que realiza es muy amplia, pudiéndose clasificar de un modo general en: • (a) • (b) Convertir o transformar movimientos Guiado A continuación se indican algunas de sus aplicaciones 6XVSHQVLRQHVGHYHKtFXORV En la figura se puede ver una suspensión independiente tipo trapecio, que en el plano corresponde a un cuadrilátero articulado. En este tipo de suspensiones se pueden modificar los parámetros de guiado de la rueda actuando sobre las longitudes de las barras del mecanismo. &RQFHSWRVEiVLFRV 17 'LUHFFLyQGHYHKtFXORV El principio de Rudolph Ackermann para corregir geométricamente la dirección de las ruedas fue patentado en 1818 y se basa en la teoría de que las ruedas delanteras (a) de un vehículo deben de rodar a lo largo de dos círcunferencias de diferente tamaño que, sin embargo, tienen un centro común (b). Este centro debe de estar alineado con el eje trasero (c). En la figura se puede apreciar la posición de las ruedas cuando un vehículo con el sistema de dirección de Ackermann toma una curva (c1) y cuando avanza en linea recta (c2). Como la barra de acoplamiento de dirección (a) es más corta que el eje delantero (b), la rueda externa se inclina menos al tomar la curva externa. Evidentemente, el conjunto de la dirección es cuadrilátero articulado. &RQFHSWRVEiVLFRV 18 5RERWVLQGXVWULDOHV En numerosos robots industriales se pueden identificar subestructuras compuestas por cuadriláteros articulados. Esta disposición permite trasladar alguno de los accionamientos a la base del robot con lo que se disminuyen tanto las cargas estáticas como sobre todo las dinámicas que soporta el robot $VSHUVRUHV Uno de los usos más comunes del cuadrilátero articulado consiste en la conversión de un movimiento de rotación completa en uno oscilatorio. En el aspersor mostrado en la figura adjunta, el mecanismo de cuatro barras hace que el tubo por el que sale el agua oscile alrededor de un eje horizontal. El ángulo sobre el que dicho tubo oscila puede modificarse alterando la longitud O4B de la barra de salida del mecanismo. $SHUWXUDGHODVFDSRWDVGHORV &RQFHSWRVEiVLFRV YHKtFXORV 19 En numerosos vehículos la capota no pivota simplemente sobre una bisagra, sino que es guiada por un mecanismo articulado de modo que cuando se levanta la capota, el eje posterior de la misma se mueve hacia delante una pequeña distancia. Muchos de esos mecanismos son del tipo del cuadrilátero articulado, del cual el mostrado en la figura es un ejemplo típico. (OHYDGRUHV En esta aplicación, el cuadrilátero articulado sirve para guiar la horquilla del elevador arriba y abajo según una línea casi recta. El diseño cinemático del mecanismo consistirá en determinar las dimensiones de las barras del mecanismo de tal manera que la trayectoria seguida por el punto & sea aproximadamente una recta sobre el rango de movimiento previsto. &RUWDGRUDGHOiPLQDV Este ejemplo constituye una interesante solución al problema de cortar una lámina delgada (papel, tejido, metal, plástico, etc...) que se está moviendo continuamente. Una de las cuchillas está unida a una extensión del acoplador (barra ) y la otra a la balancín de salida (barra ). Cuando la manivela de entrada gira, el movimiento angular relativo entre las barras y da lugar a la acción de corte. &RQFHSWRVEiVLFRV -XJXHWHV 20 En la figura se muestra un mecanismo simple pero efectivo, diseñado para proporcionar un movimiento realista a diversos juguetes. La manivela es accionada por un motor eléctrico convencional, la pata posterior del juguete (barra ) pivota sobre el cuerpo del mismo (barra fija) y posee un movimiento de oscilación. La manivela , la barra fija , el acoplador y la barra constituyen un cuadrilátero articulado. Las patas anteriores (barra ) poseen un movimiento ligeramente más complicado. (/&8$'5,/È7(52$57,&8/$'2</$/(<'(*5$6+2)) La ley de Grashoff es de exclusiva aplicación al cuadrilátero articulado. La ley de Grashoff dice que es condición necesaria y suficiente para que al menos la barra más corta de vueltas completas respecto al resto de las barras, que se verifique la siguiente condición V+O ≤ S+T Dado un cuadrilátero articulado, en el que las longitudes de los lados son V, S, T y O ordenadas de menor a mayor, existen tres configuraciones posibles dependiendo de la situación relativa de las barras. Demostraremos la ley de Grashoff para una de las configuraciones, siendo relativamente sencillo el hacerlo para el resto. Para la primera configuración (ver figura 18), la barra más corta V dará vueltas alrededor de la barra O, si logra ocupar las posiciones mostradas en la figura. La condición de existencia de los dos triángulos (cada lado ha de ser menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia) dará lugar a las siguientes condiciones: V+O < S+T V+O > T− S O−V < S+T O−V > T− S La primera ecuación corresponde a la ley de Grashoff enunciada, la segunda se cumple siempre ya que VOS>T, la tercera, se cumple siempre por la condición de cuadrilátero, y la cuarta se cumple siempre SRUTXH OS>TV. Luego la única condición a comprobar para que la barra V de vueltas completas alrededor de la O es la correspondiente a la ley de Grashoff. Por un procedimiento semejante, podría establecerse la condición de rotación respecto a las barra S y T, comprobando al final que el único criterio es el expresado a través de la ley de Grashoff. &RQFHSWRVEiVLFRV 21 Si el cuadrilátero articulado cumple estrictamente la ley de Grashoff (V + O < S + T ), la localización relativa de la barra más corta puede dar lugar a los siguientes cuatro subcasos: )LJXUD/H\GH*UDVKRII En el caso de que cuadrilátero articulado verifique la ley de Grashoff en el límite, esto es, V + O = S + T , se reproducirán los casos indicados anteriormente. )LJXUD&RQILJXUDFLyQFLQHPiWLFDPHQWHLQGHWHUPLQDGD &RQFHSWRVEiVLFRV 22 La diferencia radicará en que en esta segunda situación existirá una posición en la que las cuatro barras se encontrarán alineadas, llegándose a una situación cinemáticamente indeterminada ()LJXUD ) que deberá resolverse mediante elementos de guía auxiliares ()LJXUD ) o mediante consideraciones dinámicas. )LJXUD6ROXFLyQFRQVWUXFWLYDSDUDFRQILJXUDFLRQHVFLQHPiWLFDPHQWHLQGHWHUPLQDGDV 326,&,21(6(;75(0$6<38172608(5726 Mediante la aplicación de la ley de Grashoff se puede predecir cuando el mecanismo es manivela - balancín. El movimiento de oscilación del balancín estará acotado por dos posiciones extremas, )LJXUD. Tal y como se aprecia en dicha figura, las posiciones extremas del balancín de un cuadrilátero articulado se producen cuando la otra barra lateral y el acoplador están alineados. Oscilación Zona prohibida Zona prohibida )LJXUD3RVLFLRQHVH[WUHPDVGHXQFXDGULOiWHURDUWLFXODGR Si bien las posiciones extremas poseen un significado estrictamente geométrico, los puntos muertos están asociados al comportamiento dinámico del mecanismo. Cuando un mecanismo adopta una configuración de punto muerto, la respuesta efectiva obtenida a la salida del mecanismo es nula, cualquiera que sea la acción aplicada a la entrada. Así, en la )LJXUD se & aprecia que cualquiera que sea el par 72 suministrado por el accionamiento exterior el par & obtenido en la salida 74 sería nulo. Los puntos muertos ocurren cuando la línea de acción de la fuerza conductora está dirigida a lo largo de la barra de salida. &RQFHSWRVEiVLFRV )3 23 72 74 Accionamiento exterior )LJXUD&RQILJXUDFLyQGHSXQWRPXHUWR (/0(&$1,602'(%,(/$0$1,9(/$ El mecanismo de biela - manivela está constituido también por cuatro barras, pero a diferencia del anterior uno de los pares que las unen es del tipo 3. Este mecanismo forma parte fundamental de dos de las familias de mecanismos más ampliamente difundidos: los motores de combustión interna alternativos y los compresores. Biela Cigueñal Pistón Entrada Entrada Salida Salida Motor de combustión interna )LJXUD0HFDQLVPRGHELHODPDQLYHOD Compresor Tal y como se aprecia en la figura anterior, desde el punto de vista cinemático la única diferencia existente entre los dos mecanismo radica en la barra que se elige como entrada y en la que se obtiene la salida. Al igual que en el caso del cuadrilátero articulado, el mecanismo de biela-manivela posee posiciones extremas que se corresponden con los puntos muertos del mecanismo, ver )LJXUD . &RQFHSWRVEiVLFRV 24 MOTOR DE COMBUSTIÓN INTERNA Salida Entrada Punto muerto superior Salida Entrada Punto muerto inferior COMPRESOR Entrada )LJXUD3RVLFLRQHVH[WUHPDV\SXQWRVPXHUWRVHQXQPHFDQLVPRGHELHODPDQLYHODGHVOL]DGHUD