Sistemas de levitación magnética utilizando técnicas combinadas de atracción y repulsión

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE INGENIERIA ELÉCTRICA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
Una formulación alternativa para sistemas de levitación magnética,
utilizando técnicas combinadas de atracción y repulsión.
Trabajo de Titulación presentado en conformidad a los requisitos para obtener
el grado de Doctor en Ciencias de la Ingeniería mención Automática
Profesor Guía:
Dr. Julio del Valle Jeldres
Comisión:
Dra. Ingeborg Mahla Alvarez
Dr. Francisco Watkins Orellana
Dr. Marcos Orchard Concha
MAURICIO ROMAN VANIN FREIRE
SANTIAGO
2012
TÍTULO:
Una formulación alternativa para sistemas de levitación
magnética, utilizando técnicas combinadas de atracción y
repulsión.
CLASIFICACIÓN
TEMÁTICA:
Suspensión
magnética;
Campos
magnéticos; Sensores.
AUTOR: Vanin Freire, Mauricio Román
GRADO ACADÉMICO: Doctorado en Ciencias de la Ingeniería
PROFESOR GUÍA: Valle Jeldres, Julio del;
AÑO: 2012
CÓDIGO UBICACIÓN BIBLIOTECA:
2012 / E / 041
RESUMEN
El sistema de Levitación Magnético (SLM) se modela analíticamente por la
segunda ley de Newton para movimientos traslacionales y rotacionales.
Para movimientos traslacionales se modela a partir de la ecuación de
fuerzas y para movimientos rotacionales con la ecuación de torque.
A partir de la segunda derivada de una función escalar en varias variables y
utilizando técnicas combinadas de atracción y repulsión se propone una
formulación alternativa para aplicarlo a movimientos rotacionales. De esta
manera, se logra descomponer la ecuación diferencial parcial en tres
ecuaciones diferenciales ordinarias linealmente independientes. Para
desarrollar el modelo, se utiliza la formulación propuesta aplicada a las
ecuaciones del torque que describen las rotaciones de un cuerpo rígido,
encontrando singularidades intrínsecas en el modelo.
Se desarrolla un prototipo del SLM utilizando la técnica de los sensores
virtuales y bobinas convencionales, obteniendo un prototipo versátil.
1
ÍNDICE GENERAL
GLOSARIO ............................................................................................................. 6
CAPÍTULO I DESCRIPCIÓN Y ALCANCE DE LA INVESTIGACION.................. 7
1.1 Introducción. ...................................................................................................... 7
1.2 Objetivos generales .......................................................................................... 7
1.3 Objetivos específicos ........................................................................................ 8
CAPÍTULO II
ESTADO DEL ARTE.................................................................. 9
2.1 Modelo en variable de estado y bobinas de amortiguamiento ........................ 10
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.2
2.3
2.4
2.5
Aproximación en el dominio del operador de Laplace “s”.................... 10
Método de la sinusoide ........................................................................ 11
Amortiguamiento pasivo y activo.......................................................... 11
Sistema de suspensión electromagnética (EMS)............................................ 12
Levitación electrodinámica (EDL) y Levitación electromagnética (EML)........ 12
Modelos geométricos tipo U y T de los prototipos Maglev ............................. 14
Sistema Cryostat para refrigeración en SLM que utilizan SC.......................... 15
2.6 Sistemas de tracción....................................................................................... 15
2.6.1 Motor Lineal Síncrono (LSM).................................................................... 16
2.6.2 Motor Lineal asíncrono (LAM) .................................................................. 16
2.6.3 Línea del Maglev ...................................................................................... 18
2.7
Clasificación de la suspensión magnética................................................... 19
2.7.1
2.7.2
2.7.3
2.8
2.9
Suspensión con imanes permanentes (Repulsión) ............................. 20
Suspensión con electroimanes (Repulsión) ........................................ 20
Suspensión con electroimanes (Atracción) ......................................... 20
Arreglos de imanes y electroimanes en la línea de un Maglev ................... 21
El Imán Hibrido............................................................................................ 22
2.10 Maglev Japonés en desarrollo EDL ............................................................ 23
2.10.1 Línea superconductora.......................................................................... 24
2.10.2 Levitación guía y propulsión .................................................................. 24
2.11 Maglev Alemán en uso comercial EML ........................................................ 25
2.12 Resumen del Estado del Arte ............................................................................ 26
2
CAPITULO III MODELO ROTACIONAL PROPUESTO ....................................... 27
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Metodología .................................................................................................... 27
Análisis del modelo atractivo en una dimensión ............................................. 27
Sistemas de control SISO y MIMO.................................................................. 29
Trasformando un sistema SISO en MIMO .................................................... 30
Algoritmo para calcular la ecuación del plano de equilibrio ΩL........................ 31
3.6 Método de los sensores virtuales ......................................................................... 32
3.6.1 Cálculo de la ecuación del plano ΩL (plano perturbado)........................... 33
3.6.2 Ubicación de los sensores virtuales ......................................................... 34
3.7 Modelo traslacional representado mediante EDOs ......................................... 35
3.8 Modelación rotacional representado mediante EDP ....................................... 37
3.9 Radio Vector ................................................................................................... 39
3.10 Modelo Rotacional Propuesto en EDOs........................................................ 42
3.11 Forma Discreta del modelo ........................................................................... 42
3.12 Filosofía de Control Rotacional .................................................................... 43
3.13 Generación de los pares correctores ............................................................ 44
CAPITULO IV PROTOTIPO DE UN LEVITADOR HÍBRIDO .............................. 46
4.1 Prototipo del fenómeno repulsivo en lazo abierto ........................................... 46
4.1.1 Análisis experimental estático .................................................................. 46
4.1.3 Función de transferencia equivalente....................................................... 48
4.2 Construcción del prototipo del levitador atractivo-repulsivo ............................ 50
4.2.1 Bobinas equivalentes y circuito reluctivo ................................................. 50
4.2.2 Diseño de las Bobinas.............................................................................. 52
4.2.3 Diseño Electro-Mecánico del Prototipo..................................................... 53
4.2.4 Construcción del prototipo........................................................................ 54
4.2.5 Construcción del núcleo Bobinas ............................................................ 55
CONCLUSIONES.................................................................................................. 56
REFERENCIAS ..................................................................................................... 58
3
En memoria de mi Padre y
Marcelo Céspedes Sepúlveda mi mejor amigo
4
Agradecimientos:
A mi primer profesor guía Sr. Fideromo Saavedra por resolverme mis dudas científicos
profesionales y personales desde el 2006
Al Sr. Wilfredo Ziehlmann por su vocación de investigador también me ayudo, con su
experiencia en una tesis de su alumno el Sr. Rodrigo Barruetos.
A los profesores Sr. Francisco Watkins y Sr. Miguel Villablanca por su labor docente en post
grado
A mi segundo profesor guía Sr. Julio del Valle, por su rigurosidad en los escritos (papers,
documentos y tesis final)
A Misael Avedaño por enseñarme y escuchar mis reflexiones científicas entenderlas,
explicarme parte de mi formulación.
A Rubén Viñuela por enseñarme microprocesadores y tener la paciencia de explicarme cosas
especificas
A todos los profesores que me fueron a ver, que gusto me dio verlos, algunos inimaginables
sus presencias: Sr. Wilfredo Ziehlmann "Conversión electromagnética" Sr. Fideromo Saavedra
"Ingeniería Electromagnética" Sr. Miguel Villablanca "Sistemas Electrónicos" Sr. Carlos
Latorre "Redes I", Sr Miguel Arias “Métodos Numéricos” Sr. Oscar Paez “Control de
Sistemas”, Sr. Claudio Urrea “Sistemas Dinámicos” Sres. Hugo Caro y Fermin Garrido
“Laboratorio de Control” Sr Aquiles Zuñiga “Laboratorio de Telecomunicaciones” y un
invitado desde Física el Sr. Ulrich Raff , obviamente profesores de la comisión Sra. Ingeborg
Mahla “Sistemas No Lineales y Seminario de Control” y el Sr Francisco Watkins “Control
Digital”
Gracias también a mis amig@s de la Universidad que también estuvieron presente
5
GLOSARIO
SLM
EDL
EML
EMS
LSM
LAM
EDS
PDS
EDP
EDO
SISO
MIMO
Cryostat
LI
LD
Maglev
SC
KAT
A.O.D
FEM
MPD
MPC
Av
SCM
1D
2D
3D
Sistema de Levitación Magnética
Levitación electrodinámica
Levitación electromagnética
Sistema de suspensión electromagnética
Motor lineal síncrono
Motor lineal asíncrono
Suspensión Electrodinámica
Densidad Espectral de la Energía
Ecuación Diferencial Parcial
Ecuación Diferencial Ordinaria
Single Input Single Output
Multiple Input Multiple Output
Cryo Stat sistema de refrigeración estable
Linealmente Independiente
Linealmente Dependiente
Magnetic levitation
Superconductor
Kilo Amperes Turns (vueltas)
Diseño Óptimo Automatizado
Método de Elementos Finitos
Modelo de Parámetros Distribuidos
Modelo de Parámetros Concentrados
Amperes vueltas
Magneto Superconductor
Una dimensión
Dos dimensiones
Tres dimensiones
6
CAPÍTULO I DESCRIPCIÓN Y ALCANCE DE LA INVESTIGACION
1.1 Introducción.
Dentro de las formas de conseguir la levitación se escogió por eficiencia diseñar un
sistema de levitación magnética (SLM), usando técnicas combinadas (imanes y
bobinas). Para ello es necesario constar con un sistema en lazo cerrado SISO, dos
sensores (posición, velocidad) y un actuador. Sin embargo, para nuestro sistema se
requiere la distribución del parámetro inductancia para efectuar control distribuido. En
este tipo de sistemas se utilizan sensores de posición que permiten extender un
sistema SISO a un sistema MIMO.
No se utilizarán el uso de bobinas SC ya que éstas necesitan un sistema cryostático
de refrigeración a temperaturas bajo los 77°K.
El sistema convencional resuelve las ecuaciones de rotación y traslación. Sin
embargo, en el Estado del Arte no se entregan explícitamente las ecuaciones del
modelo, sino que muestran los resultados de las variables de interés en forma
normalizada o porcentual. Estas investigaciones solo tratan el problema traslacional,
las ecuaciones rotacionales no se explicitan en los modelos de levitación con bobinas
pasivas, por lo que se desarrolla una matemática apropiada que resuelve el
problema inercial de las rotaciones.
En el Capítulo II A partir de los objetivos generales y específicos, se revisa el estado
del arte.
En el Capítulo III el SLM se modela analíticamente por la segunda ley de Newton
para movimientos traslacionales y rotacionales. Ambos se describen por una
ecuación diferencial parcial (EDP); para movimientos traslacionales se modela a
partir de la ecuación de fuerzas, se dividen en tres ecuaciones diferenciales
ordinarias (EDOs) linealmente independientes (LI) que modelan sus ejes
rectangulares siendo estos movimientos rectos en (x, y, z).Luego se descomponen la
EDP para movimientos rotacionales y se utiliza la ecuación de torques, de igual
forma se dividen en un conjunto LI de EDOs, que se hacen solidarias a un espacio
curvo definido, siendo la simetría más idónea para describir la rotación en cada eje
náutico.
En el Capítulo IV se describe el diseño un prototipo del SLM a escala donde se
especifican los materiales utilizados, sensores, bobinas y la versatilidad del prototipo.
1.2 Objetivos generales
Formular una alternativa de la segunda derivada con respecto al tiempo, para
resolver las ecuaciones físicas inerciales Newtonianas que tienen los cuerpos rígidos
cuando se trasladan y rotan, en una trayectoria sin singularidades.
7
1.3 Objetivos específicos
Analizar los modelos de atracción y repulsión que utilizan lazos de realimentación
SISO, para diseñar un sistema que, sensando 3 puntos en el espacio cartesiano,
permite pasar de un sistema SISO a un MIMO.
Distribuir el parámetro concentrado lineal bilateral e invariante en el tiempo en un
parámetro equivalente distribuido que realimente en un lazo de control MIMO.
Formular una expresión alternativa de la segunda derivada con respecto al tiempo,
para modelar las rotaciones de un cuerpo rígido cuando se trasladan-rotan y
proyectando bases ortogonales curvas que permita llegar a un modelo analítico no
lineal con el objetivo de obtener un sistema robusto en términos de ecuaciones
diferenciales que modelen la planta rotacional.
Diseñar e implementar un sensor que permita calcular posiciones y ángulos
linealmente independientes (ecuación del plano).
Diseñar e implementar un prototipo SLM utilizando bobinas distribuidas e imanes
permanentes, obteniendo un método versátil para analizar las plantas magnéticas de
atracción o repulsión.
8
CAPÍTULO II
ESTADO DEL ARTE
En este documento se revisan las diferentes técnicas y avances en los trenes de
levitación magnética (Maglev). Se revisaron los modelos de atracción, repulsión,
levitación a través de superconductores (SC), análisis de las diferentes geometrías
de los prototipos, técnicas de enfriamiento para las bobinas SC, técnicas mixtas para
bobinas convencionales, análisis en frecuencia, motores lineales para traslación,
bobinas amortiguadoras para el equilibrio, disposición geométrica de la líneas de los
Maglev, levitación para fundir metales, modelos reluctivos, cojinetes magnéticos,
diseño de levitadores modernos, entre otros
La levitación magnética aplicada en los sistemas de transporte, a diferencia de los
sistemas actuales que consisten en mecanismos basados en la rueda, posee la gran
ventaja de que los efectos del roce son notablemente menores que en los sistemas
tradicionales.
Se presentaran distintas aplicaciones que se han llevado a cabo a partir la segunda
mitad del siglo XX.
Los sistemas de levitación magnética se basan en principios de atracción, repulsión o
técnicas combinadas. Para implementar dichos sistemas se utilizan imanes
permanentes, bobinas convencionales, bobinas superconductoras (SC) o arreglos de
imanes superconductores (SCM).
La ecuación diferencial ordinaria (EDO) que maneja un sistema magnético atracción
o repulsión (al cual se le han restringido dos grados de libertad) es:

m x  Fg  FM N  ,
(2.1)
donde:
m  Masa[ Kg ]
x  pocision en un eje [m ]
Fg  Fuerza de gravedad [ N ]
FM  Fuerza magnetica[ N ]
Básicamente la levitación se logra al neutralizar la fuerza de gravedad con una fuerza
igual pero en sentido contrario. Se analizan los SLM de atracción y repulsión
obteniéndose la estabilidad en ambos sistemas con buenos resultados. Se resuelve
el SLM en forma traslacional, siendo la EDP dinámica que modela la levitación en R3:

m u   Fx, y ,z  FMagnetica ,
(2.2)
Donde u  u x, y , z  describe la posición de la masa en los tres ejes.
9
Al hacer variar dinámicamente la corriente en sus tres ejes (guía, levitación y
tracción) estas varían las fuerzas magnéticas, de esta manera en (2.2) se puede
llegar al equilibrio. Luego al tratarse de una masa finita con geometría conocida el
fenómeno es estudiado de forma euclidiana. Dependiendo de la configuración de los
elementos que componen al sistema, se puede estudiar cada uno de los ejes de
manera independiente o dependiente, así la solución de (2.2) en algunos casos es
independiente de sus tres ejes [1] y en otros casos son dependientes de sus dos o
tres ejes [2].
2.1 Modelo en variable de estado y bobinas de amortiguamiento
Los efectos de la constante vibración de los movimientos en los tres ejes se
amortiguan con magnetismo pasivo o activo usando bobinas SC. Un estudio hecho
por la universidad de Montreal Canadá [1] usa bobinas de pasivas para su
amortiguamiento y bobinas SC.
El modelo de la perturbación en un sistema de levitación en variable de estado está
dado por:
P [x]  A [x] ,
(2.3)
Dónde:
dx
P
dt
A : Matriz característica invariante en el tiempo
x : Pequeña perturbación
Normalmente los coeficientes de rigidez y amortiguamiento son despreciables si se
introduce una bobina auxiliar alargada. El término P[x ] puede no ser despreciable
para analizar (2.3) se presentan dos estudios:


La aproximación en el dominio del operador de Laplace “s”.
Método de la sinusoide
2.1.1 Aproximación en el dominio del operador de Laplace “s”
En dominio del operador de Laplace “s”, se considera que las constantes de tiempo
de las corrientes de Foucault son mucho más pequeñas que las corrientes de
suspensión, tracción y guía; esto reduce 2.3 a un sistema de 3er orden con lo que se
puede analizar la dinámica en cada dirección, además, se examinan los valores
propios, observando que la planta se compone en la parte mecánica por dos pares
de polos complejos conjugados ( s1   1  j ) y un polo real en la parte eléctrica
( s 2   2 ).
10
2.1.2 Método de la sinusoide
El método utiliza ingeniería inversa, cuando las constantes de tiempo de las
corrientes de Foucault no son despreciables. Consiste en asumir una perturbación
sinusoidal en uno de sus ejes coordenados traslacionales. La corriente de la bobina
y de la guía es resuelta usando una representación fasorial numérica, con ella se
comienzan a calcular los valores de los coeficientes de amortiguamiento y rigidez.
En la Figura 2.1.1 se muestran los efectos de la realimentación con ganancia Av en
los coeficientes de los activos amortiguadores. La abscisa da el máximo valor
señalado por el devanado activo de la corriente Idmax expresado en porcentaje,
basado en la corriente superconductora Iss.
% I D / I SS
Figura 2.1.1
Coeficientes de amortiguamiento activos usando ambos métodos
2.1.3 Amortiguamiento pasivo y activo
La Figura 2.1.2 representa al riel y la impedancia pasiva en sus terminales está
conectada a una resistencia Rd y una inductancia propia Ld. Existe una fuente de
voltaje cuya salida es proporcional a la velocidad, para ello se cuenta con una
ganancia de realimentación Av, las corrientes en los magnetos superconductores y
las bobinas amortiguadores son Iss e Id. Los efectos de las bobinas de
amortiguamiento son significativos.
11
B o b in a S C
B o b in a
am o rtig u a d o ra
G u ía
I SS
Rd
Ld
Figura 2.1.2
ys
yd
x
Id
Esquema de bobinas amortiguadoras.
2.2 Sistema de suspensión electromagnética (EMS)
Dado que la levitación por atracción se describe y controla con un modelo en
frecuencia [2] se analizan los parámetros que están presentes en el sistema de
suspensión electromagnética tal como se muestra en la Figura 2.2.1.
z
Riel
Bobinas
y
Figura 2.2.1
Nucleo
Sistema de suspensión electromagnética
El sistema se realizan pruebas de perturbaciones en las variables voltajes (V),
espacio entrehierro (G), densidad de corriente (J), fuerza (F) para encontrar los
puntos de equilibrios usando un modelo matemático linealizado.
2.3 Levitación electrodinámica (EDL) y Levitación electromagnética (EML)
Los estudios que se presentan han resuelto las ecuaciones dinámicas de manera
exitosa, con modelos de: circuitos reluctivos, uso de bobinas convencionales,
bobinas SC, imanes e imanes SC. En diferentes países se han desarrollado técnicas
para trasladar trenes levitante Maglev siendo las principales EDL y EML.
En Japón [3] se ha construido un tren que conecta a Tokio, Osaka y Fukosaca de
1.200km de línea. En este sistema, existen problemas de ruido y amortiguamiento de
las señales espaciales que controlan el movimiento, el sistema EDL usa fuerzas
repulsivas con un juego de dos SC que tienen un sistema refrigerante a base de helio
líquido. La figura 2.3.1 ilustra la aplicación del Maglev que utiliza EDL [5].
12
Cuerpo del
vehiculo
Figura 2.3.1
Magnetos SC
Circuito
segundario
Levitación electrodinámica EDL.
La Figura 2.3.2 muestra la relación entre el levantamiento y el empuje respecto a la
velocidad. Para estabilizar el sistema, se adicionan platos magnéticos, siendo éste
sistema insuficiente.
Eje
normalizado
100%
Levante
50%
Empuje
100
Figura 2.3.2
200
300
Km/h
Relación entre Levante y Empuje respecto a la velocidad.
El Maglev Alemán Transrapid [4] utiliza EML de fuerza atractiva y es el único sistema
que ha sido implementado comercialmente en China. Se cuenta con un motor lineal
síncrono (MLS) para su tracción y se estabiliza mediante control realimentado en sus
tres ejes.
El EML fue desarrollado en Alemania en 1971 llamado el Transrapid 02 (TR) de
Krauss-Mahei, posteriormente se desarrolló el TR 03.04 que utiliza un LIM
alcanzando velocidades de 400Km/h con un consumo de 2-4KW/ton. El EML utiliza
la fuerza atractiva para su levitación, sin embargo, deben adicionarse lazos cerrados
de posición, velocidad y aceleración.
El control puede ser expresado en forma analítica, de esta manera se conoce la
densidad espectral de la energía (PDS) para el eje z dada por:
 z ( ) 
Av
2
(2.4)
13
donde:
A  Cte ( rad  m )
v  Velocidad (m / s )
  Velocidad Angular ( rad / s )
Si se conoce la función de transferencia Tx(w) que relaciona el eje z, se puede
encontrar la PDS que describir el contacto con eje x:
(2.5)
2
 x ( )  Tx  z ( )
,
La tabla 2.1 muestra la comparación entre los sistemas EDL y EML utilizando
motores lineales síncrono (LSM) y motores lineales asíncronos (LAM).
Tabla 2.1
Generación
de fuerza
Alta velocidad
E
D
L
E Solo una
M velocidad
L
Comparación entre los sistemas EDL y EML.
Holgura
Rigidez
Arrastre
pequeña
Amortiguami
ento
Pequeño
5-30cm
1-3cm
Larga
Largo
Pequeño
Largo a baja
velocidad
Consumo de
energía
Desconocido
Propulsión
LSM
Control para
estabilización
Desconocido
LAM
Necesario
2-4KW/ton
2.4 Modelos geométricos tipo U y T de los prototipos Maglev
El proyecto japonés [6] de un Maglev de 10 toneladas y dimensiones 13.5x3.72x2.9m
(largo, ancho, alto) a base de levitación y propulsión mediante SC, se prueba en el
Miyazak Test Center alcanzando una velocidad de 347Km/h. Para su enfriamiento
posee un sistema de refrigeración por Helio de 100l/h. [1, 3, 5].
Durante los años 1945 y 1962 [6] se reemplazó el LIM a LSM para la propulsión
(ML100a). Dicho Maglev cuenta con 16 SC instalado en el vehículo de los cuales 4
polos para la levitación y 4 polos para la propulsión. En 1972, se probó el ML100 de
3.5 toneladas en JNR (Japanese National Railways) alcanzando 60km/h.
La figura 2.4.1 muestra las principales configuraciones de los rieles que son la T
invertida y la U.
T ipo T invertida
Figura 2.4.1
Tipo U
Modelos geométricos tipo U y T de los prototipos Maglev.
14
2.5 Sistema Cryostat para refrigeración en SLM que utilizan SC.
La levitación del EDL modelo tipo T invertida se consigue por la repulsión de bobinas
SC de aluminio. La principal desventaja, es la aerodinámica que se ve afectada ya
que se producen asimetrías. La Figura 2.5.1 muestra el prototipo ML500 construido
de manera aerodinámica utilizando 16 SCM, de los cuales 8 SCM para la levitación
y 8 SCM para la propulsión. Al igual que los casos anteriores de EDL, el sistema de
refrigeración es a base de helio (Cryostat) [1, 3, 5].
Figura 2.5.1
Prototipo ML500 tipo T invertida.
2.6 Sistemas de tracción.
El sistema de tracción está constituido por motores lineales de estator abierto. La
transformación topológica de un motor rotativo en un motor lineal, consiste en
seccionar por un semiplano axial las coronas magnéticas, tanto del estator como del
rotor de un motor. Una vez, que el motor está desarrollado sobre el plano, los polos
magnéticos del estator y el rotor se convierten en paralelepípedos rectangulares
separados por un entrehierro con sus ranuras enfrentadas, ver Figuras 2.6.1 y 2.6.2.
Figura 2.6.1
Desarrollo de un motor lineal de estator abierto.
15
Figura 2.6.2
Principio de funcionamiento de los motores lineales de estator abierto.
2.6.1 Motor Lineal Síncrono (LSM)
Actualmente se utilizan motores síncronos (LSM) de imanes permanente por las
ventajas que presentan respecto a otros tipos de motores (eficiencia, factor de
potencia).
Para alimentar a un LSM de 10MW [1, 3, 5] se utiliza un Cicloconvertidor que
suministra una variación de frecuencia entre 0-33Hz. Los valores nominales para la
levitación y propulsión son de IL = 200KAT y IP = 400KAT respectivamente.
Magnetos SC (Levitación)
IL
Bobinas SC (Propulsión)
IP
Figura 2.6.3
Línea de navegación magnética para Maglev con SC.
2.6.2 Motor Lineal asíncrono (LAM)
La diferencia entre un LSM y LAM es que el LSM tiene mayor eficiencia ya que
posee largas líneas de inductancia y menores pérdidas, por este motivo los sistemas
EML utilizan un LSM para la propulsión del Maglev [7].
En Alemania [7] se presentó un sistema que utiliza dos LSM para su propulsión,
ordenados en dos arreglos sobre una guía para desplazar a 100 pasajeros y 30 ton
(Figura 2.6.4). Los arreglos constan de 45 imanes SC de polaridad alternada entre la
guía y el estator. La guía al ser de una aleación de aluminio, disminuye el peso de
24kg/m a 7.2kg/m.
16
La principal ventaja del motor dual LSM es que permite un control activo en el viraje y
balanceo adicionando control sobre la altura.
Magnetos de
Levitación
N
S
N
S
N
S
Franja de
Levitación
LSM
Stator
Vehiculo
Guia
LSM
Stator
Figura 2.6.4 Línea de navegación magnética para Maglev con motor dual LSM
Ambas máquinas LSM están suficientemente distribuidas y utilizan variadores de
frecuencia (VDF) para el control del torque y velocidad.
Las fuerzas que controlan los tres ejes (guía, levitación y tracción) no son
independientes entre sí, de tal manera:
Fx  3 2  I S  i f  M fso N m Sen(  )  e
Fz 
 ( z  z0 )
k1
 3 2  I S  i f  M fso N mCos ( )  e
2k1
 y
cos
 k2



(2.6)
 ( z  z0 )
k2
(2.7)
,
donde:
IS : Valor de la fundamental por la corriente del estator
If : Corriente de los magnetos 0.5x106 AT
y : Desplazamiento lateral
z : Altura de las bobinas cerca del estator
Nm : Campo Magnético de los superconductores por el estator
K1 : Atenuación de empuje y levitación para tirar
K2 : Constante de atenuación debido al balanceo
ωs : Frecuencia del inversor
 p : Bobinado del estator polo inclinado (Pitch)
Para controlar el torque y velocidad del LSM, se utiliza un VDF que controla la
frecuencia y corriente del estator. La ecuación del ángulo de control del VDF es:
 x 
   s t     
 p 
(2.8)
17
2.6.3 Línea del Maglev
Para realizar una línea, se disponen de franjas metálicas (Figura 2.9.1) que son
empujadas a través de boninas SC. Cuando el elemento levita los coeficientes de
amortiguamiento y rigidez de las fuerzas magnéticas dependen de la polaridad del
arreglo de bobinas SC [9].
z
x
ws
y
ls
L
d
Figura 2.6.5
W
Sección de la línea de un Maglev
La forma del flujo Φ de cada segmento en la dirección del movimiento x(t), tendrán
polaridad alternada dependiendo del arreglo en su eje donde se desplaza (Figura
2.6.6).
En la (Figura 2.6.7) las corrientes tienen la misma orientación, siendo éste arreglo
monopolar y posee componente continua pero no alternada.
Para la polaridad alternada, a media y a alta velocidad, los coeficientes de
amortiguamiento y rigidez comienzan a ser negativos de esta forma el sistema tiende
a la inestabilidad. Para evitar tal inestabilidad una componente continua debes estar
contenido en la distribución de flujo en el cual se desplaza el tren, así la
monopolaridad como la polaridad parcial contienen componente continua empujando
con el sentido de la componente en cuestión.
En un arreglo parcial (Figura 2.6.8), se juntan ambos tipos de distribuciones de
campo en la línea (alternado y monopolar), es decir, la amplitud del flujo varía
dependiendo de la intensidad de los magnetos. Cuando los amperes vueltas son
desbalanceados el magnetismo aumenta y pasa a ser un arreglo monopolar. Cuando
se balancea la polaridad del arreglo comienza alternar, de esta manera se mejora la
propulsión a media y alta velocidad y la componente continua nos asegura el
desplazamiento en esa dirección del eje x
18
IS
Figura 2.6.6
IS
IS
IS
IS
Monopolaridad Alternada.
IS
2IS
Figura 2.6.7
2.7
2IS
Mopolaridad en una sola dirección.
IS
Figura 2.6.8
2IS
IS
IS
IS
IS
Mopolaridad alternada con componente continua.
Clasificación de la suspensión magnética
Los carros convencionales hechos con ruedas en el siglo XIX, presentan
inconvenientes por el contacto. Aunque él, Train à Grande Vitesse (TGV) del 2007
rompió el record mundial alcanzando una velocidad de 570Km/h con ruedas
convencionales. Los sistemas magnéticos poseen una baja abrasión gracias a la
buena transferencia de energía en los sistemas de levitación y propulsión.
19
2.7.1 Suspensión con imanes permanentes (Repulsión)
Esta técnica presenta estabilidad en una dimensión. Solo después de la segunda
guerra, cuando la ferrita entrega una característica lineal en B-H fue sugerida como
una nueva herramienta en la tecnología del transporte. La desmagnetización por
carga si bien es estable se debe considerar costosa porque existen magnetos en el
carro y en la bobina. Otra limitación de esta forma es que tiene un determinado punto
de equilibrio o bien solo uno sin poder tener acción dinámica sobre este. Las técnicas
de suspensión magnética, son sistemas atractivos (Figura. 2.7.2.a) y sistemas
repulsivos (Figura 2.7.2.b) [8].
xt 
xt 
Figura 2.7.2.a
Sistema Repulsivo.
Figura 2.7.2.b
Sistema Atractivo.
2.7.2 Suspensión con electroimanes (Repulsión)
Se consigue con dos bobinas de sentido opuesto se logra el mismo efecto que el
anterior. Una demostración en Paris en 1912 ha demostrado que se consumía más
energía que con imanes permanentes.
2.7.3 Suspensión con electroimanes (Atracción)
En 1930 se consiguió hacer la primera prueba de levitación en Alemania que usaba
tubos para este propósito. En la figura 2.7.3 se muestra el diseño de este tipo de
levitación [4].
El circuito que se maneja después del 1947 cuando se introducen los
semiconductores y las máquinas de procesamiento numérico computadoras cumple
con el mismo objetivo. Las pérdidas en este circuito son de 1-3kW/ton.
20
Sp

x (t )

x (t )
Automata
x (t )
Converter
M
Figura 2.7.3
2.8
Sistemas atractivo realimentado en velocidad y aceleración
Arreglos de imanes y electroimanes en la línea de un Maglev
Los imanes permanentes vuelven a ser utilizados [8, 9] para levantar y sostener
pesos, estos dependiendo de su composición presentan distintas curvas de
eficiencia. El sistema se constituye por dos delgadas piezas de hierro y dos
enrollados como bobinas (tal como se ilustra en la figura 2.8.1) y un riel de acero. Se
examinan diferentes tipos de materiales tales como el Álnico Ferrita y Cobalto
Cerámico, usando para las bobinas aluminio y cobre.
La corriente que pasa por cada bobina está dada por:
(2.9)
I  JKbc [A]
Riel de Acero
c
b
p
Bobinas
l
Pieza
Ferromagnética
Figura 2.8.1 Arreglos de imanes y electroimanes en la línea de un Maglev
21
La sección del área transversal es b  c y K es una constante que depende del
segmento que se considera. La densidad de cobre y aluminio ha sido ajustada para
obtener la misma densidad de poder a lo largo de la pieza.
En este estudio se demuestra que las distintas aleaciones de los elementos que
constituyen el imán permanente entregan mejores resultados al hacerlo con aluminio
que con cobre.
La fuerza de levante despreciando el franqueamiento es:
FLift 
Bg
2
p  l [ A]
(2.10)
o
Considerando que el circuito es reluctivo entre el riel y las bobinas el campo queda
dado por
 ( I  H m c)
(2.11)
Bg  o
[T ]
g
Combinando ambas se obtiene
FLift
2.9
 ( JKbc  H mc )2
 o
pl [ N ]
g2
(2.12)
El Imán Hibrido
El imán híbrido está compuesto por un electroimán con chapa de núcleo en EI y un
imán permanente [13,14] que se coloca en la pierna central del electroimán (Figura
2.9.1 A). En la Figura 2.9.1 B se muestra el circuito equivalente reluctivo para un
prototipo cuya altura del entrehierro es de 5mm.
Figura 2.9.1
Imán Hibrido y su circuito reluctivo.
En 8 mm de entrehierro y 5 kgw fuerza de sustentación, la relación peso-levante es
aproximadamente de 100 y cuando la fuerza de sustentación es 500 kgw a 10 mm
22
del entrehierro la relación peso-levante logra un 110. Esto confirma la eficiencia
superior del sistema de levitación hibrido en pequeña y gran escala.
2.10 Maglev Japonés en desarrollo EDL
La empresa JR Central tiene previsto iniciar su explotación comercial de un Maglev
entre Tokio y Nagoya (350 km) antes de 2025 [15]. La figura 2.10.1 muestra una
sección transversal del sistema (corte e isométrica).
La tracción, guía y levitación se consiguen instalando un conjunto de bobinas SC
(figura 2.10.1) y para evitar las vibraciones se utilizan bobinas SC de
amortiguamiento (figura 2.10.2 ).
(b)
Figura 2.10.1
Figura 2.10.2
23
2.10.1
Línea superconductora
Figura 2.11.3
2.10.2
Levitación guía y propulsión
Figura 2.10.4
Figura 2.10.5
24
2.11 Maglev Alemán en uso comercial EML
El sistema de levitación magnética Transrapid [16] (figura 2.11.1) utiliza un LSM,
tanto para la propulsión y frenado. Los electroimanes de levitación ubicados tanto en
el móvil como en la línea cumplen las funciones levantarlo y desplazarlo. (Figura
2.11.2).
Los Imanes Guía, situados a ambos lados y a lo largo de la línea, sirven para
mantener el vehículo lateralmente en la pista lo que garantiza una distancia
constante en cada lado (10 mm).
Figura 2.11.1
Figura 2.11.2
25
2.12 Resumen del Estado del Arte
Al analizar los sistemas que trabajan con bobinas SC y los sistemas convencionales
con bobinas pasivas, se opta por este último, ya que no requiere un sistema
cryostático para su ejecución. Además, se puede implementar un prototipo usando
técnicas combinadas de repulsión para su suspensión y atracción para su
estabilización.
El análisis matemático de los movimientos traslacionales fue definida en los trabajos
presentados en [18,19] sin embargo, los movimientos rotacionales no se exponen
con una rigurosidad explicita. Por lo que está investigación abordará los temas de un
cuerpo rígido en general y en el caso particular de un paralelepípedo.
El sensor planar hace posible que un sistema SISO se transforme en un sistema
MIMO, de esta manera, se define un actuador MIMO y la planta expresada en EDP
se divide en tres EDOs que describen analíticamente los movimientos rotacionales,
siendo está versátil para implementar cualquier técnica de control clásico o avanzado
a desarrollar en trabajos futuros.
26
CAPITULO III MODELO ROTACIONAL PROPUESTO
3.1 Metodología
La metodología del modelo rotacional propuesto consiste en:
Se plantea una modelación concentrada del SLM SISO con el propósito de extender
el modelo de las bobinas concentradas a un modelo de bobinas distribuidas.
Mediante tres sensores se calcula la ecuación del plano permitiendo pasar de un
sistema SISO a un sistema distribuido MIMO [18].
A partir de la EDPs traslacionales y rotacionales de un cuerpo rígido, éstas se
separan en un conjunto de tres EDOs traslacionales y tres EDOs rotacionales.
Se utiliza los ángulos náuticos  , , calculados a través del sensor planar para
definir un conjunto de trayectorias ortogonales que describen los cuerpos al rotar en
cualquiera de sus ejes y utilizando el radio vector se determina el modelo propuesto.
Se presenta la filosofía de control frente a una perturbación axial, para llevar el
sistema perturbado al equilibrio, se actúa de manera axial; un arreglo de bobinas
permiten de manera indirecta y distribuida inyectar pares correctores para controlar
las variaciones angulares náuticas.
3.2 Análisis del modelo atractivo en una dimensión
De acuerdo a los antecedentes bibliográficos [19] han trabajado el tema de levitación
por atracción (figura 3.2.1), logran sostener una pieza inyectado energía al sistema
de forma continua.
Electroiman
i
i
Unidad de area
X(t)
Pieza movil
Figura 3.2.1
Donde
x (t) = posición de la masa en una dimensión [m].
m = corresponde a la masa de la pieza móvil [Kg].
27
El modelo simplificado de la levitación por atracción, planteando Newton es:

(3.1)
m x   Fi ,
La ecuación que rige la levitación por atracción, se obtiene equlibrando la ecuación
3.1. Cabe destacar que los dipolos magnéticos se encuentran solidarios a la
dirección del flujo magnético que genera el electroimán.
..
m x  FE  Fg
,
(3.2)
Fe= Fuerza electromagnética
Fg= Fuerza gravitacional
De la ecuación 3.3, se aprecia que en el caso repulsivo simétrico I 1  I 2 y N 1  N 2 y
la sección transversal del área es A, así aplicamos las ecuaciones de reluctancia
debido al entrehierro en una chapa tipo E se obtiene la siguiente ecuación en función
de la posición y la corriente.
Fe ( x, i ) 
0 A  N 2  i 2
[N ]
4( x0  x ) 2
(3.3)
Dónde:
x = Desplazamiento vertical [m]
 0 =Permeabilidad magnética en el vacío [wb/A m].
A= área transversal de la pierna [m2].
N= número de vueltas [adimensional].
M= masa del móvil [Kg].
De esta ecuación, la única variable a controlar dinámicamente es la corriente, para
lograr el equilibrio se debe llevar a Fe=Fg .
Como se observa, la ecuación que relaciona y modela este tipo de levitación, es no
lineal, por lo que se procede a linealizar en derivadas parciales (Taylor), con esto se
consigue tener dos funciones independientes; una con respecto a la corriente y la
otra a la posición, despreciando los términos de orden superior, se considera el
primer término de la serie, valida en torno al punto de equilibrio.
La función de transferencia aproximada de la planta del sistema es:
G (s ) 
KB
S 2  KA
(3.4)
28
Esta función posee dos raíces reales e iguales, ubicadas en el semi plano izquierdo y
derecho respectivamente, por lo que se concluye que el sistema es inherentemente
inestable.
El sistema de repulsión presenta una actuación nula en términos de las coordenadas
que definen la fuerza y entrega una estabilidad energética como soporte.
El sistema por atracción presenta ventajas dinámicas pero no estáticas en lazo
abierto, por lo que se requiere emplear ambas plantas para definir una levitación
hibrida.
De acuerdo a lo indicado precedentemente, la repulsión se usara para mantener la
masa en su posición y la atracción para controlar la frecuencia natural de esta.
3.3 Sistemas de control SISO y MIMO
Los sistemas SISO han sido ampliamente usado en los sistemas de control de una
sola variable por ejemplo en lazos realimentados de control [20], un lazo
realimentado SISO se muestra en la Figura 3.3.1.
L(t )
Sp
e(t )
c(t )
x (t )
m(t )
z (t )
z (t )
Figura 3.3.1
Donde:
Sp  referencia
e(t )  error
c(t )  señal de control
m(t )  Señal de mando
xt )  Señal de actuacion
z (t )  Señal de Altura o posicion
L(t )  perturbacion
29
Al tratar el modelo de parámetros concentrados (MPC) de un levitador en una
dimensión 1D en un modelo de parámetros distribuidos (MPD), pensamos en los
sistemas MIMO ya que se pretende ejercer control distribuido tratando al parámetro
en forma global como MIMO y local como SISO.
Todos los sistemas estudiados de levitación tienen el problema de determinar el nivel
con algún transductor, el acelerómetro ha sido una de las soluciones más empleadas
ya que entrega información en los tres ejes del espacio, la solución propuesta es
calcular vectorialmente la ecuación del plano mediante 3 puntos, de esta manera el
sistema toma 3 entradas de información y las transforma en n salidas de actuación
ver Figura 3.4.1.
3.4 Trasformando un sistema SISO en MIMO
Para pasar de un sistema SISO a MIMO se calcula la ecuación del plano que pasa
por tres puntos, así para cada posición existirá un error de actuación, de manera que
se establecen una matriz de actuación M [i,j]. En este caso particular se diseñó el
prototipo con 5 bobinas de 300 vueltas y 3 amperes obteniéndose 5 lazos
realimentados (i=1, 2, 3, 4, 5 j=1, 2, 3, 4, 5).
L(t )
Sp
ei , j (t )
ci , j (t )
mi , j (t )
ii , j (t )
z (t )
z1 ( t )
z 2 (t )
z 3 (t )
Figura 3.4.1
Dichas bobinas amortiguan las oscilaciones producidas por el movimiento repulsivo.
Los entrehierros equivalentes de las bobinas son mostrados en los círculos indicados
en la Figura 3.6.3.
El sensor planar deberá ser instalado en uno de los dos planos (superior o inferior)
de la masa indicada en la Figura 3.6.3.
Para calcular el plano se utilizara la técnica de los 3 sensores planares, estos
permiten calcular los posición de los 5 niveles y su error eij que debe corregir cada
bobina, a través de la matriz de actuación M[i,j].
30
Las otras 4 caras de la masa (movimientos bilaterales en el eje X o movimientos
bilaterales en el eje Y) inicialmente sus grados de libertad estarán restringidos de
movimiento ya que solo nos interesa por el momento estabilizar el eje Z.
En trabajos futuros, perturbaciones rotacionales y traslacionales las estabilizarán las
bobinas laterales y centrales respectivamente.
3.5 Algoritmo para calcular la ecuación del plano de equilibrio ΩL
31
3.6 Método de los sensores virtuales
Para estabilizar el plano de perturbación ΩL y llevarlo al plano de equilibrio ΩE. Se
calcula la ecuación del plano y sus niveles virtuales.
Para controlar los planos ZY y ZX se realiza mediante las 5 bobinas distribuidas,
midiendo los niveles virtuales a través de la ecuación del plano. Es decir:
L
E
Z2
y1
x2
x1
x3
Z1
Z3
Z1
y3
P1
L
y1
y2

Z3
Z2
E
x2 x1 x3
P2
P3
y3
y2
Figura 3.6.1 Ubicación de sensores reales para calcular la ecuación del plano
32
Definición
Sean los puntos P1 , P1 , P1   L para determinar la ecuación del plano ΩL es necesario
definirse vectores que pertenezcan al plano ΩL u y v
figura 3.6.1).
de la siguiente manera (ver
u  P2  P1
v  P3  P1
Y sea
P0  x 0 , y 0 , z 0  un punto que pertenece a ΩL pudiendo ser este cualquiera de los
puntos P1 , P1 , P1   L por lo tanto un vector que pertenezca al plano ΩL puede definirse
como:
(3.5)
P  x  x0 , y  y0 , z  z0


Efectuando la operación cruz entre los vectores u y v
n uv
Se obtiene un vector normal al plano Ω.
Para determinar la ecuación del plano, usamos el producto punto es decir:
n  P  0
(3.6)
Al poner los sensores en P1 , P2 y P3 y resolviendo la ecuación 3.6 queda
determinado el plano, los sensores se ponen en el plano XY es decir sus posiciones
son fijas y determinadas, los únicos que están variando son los del eje Z, ya que
esta es la medida que entregan los sensores en cada instante.
Creado el sensor planar (Plano Ω) se pueden determinar acciones correctivas con las
bobinas distribuidas a lo largo y ancho del plano XY, es decir se pueden controlar los
ángulos de navegación ψ y Φ, pero no se ha controlado el ángulo θ.
3.6.1 Cálculo de la ecuación del plano ΩL (plano perturbado)
Demostración:
Sean los puntos   L
P1  ( x1 , y1 , ADC _ 01)
P2  ( x 2 , y 2 , ADC _ 02)
P3  ( x3 , y3 , ADC _ 03)
Y sean los vectores u  v   L dados por :
u  P2  P1
v  P3  P1
Efectuamos
n  uv
n  (n x , n y , n z )
33
Sea
P1  P2  P3 que  
P0   x 0 , y 0 , z 0 
L
y un punto cualquiera
P   x , y , z   un punto
que  al plano  L sera P  P0  P L
Donde se obtienen un punto PΩ que pertenece al plano ΩL y un punto n que es
normal al plano ΩL. Así se efectúa el producto punto según 3.6
P   x  x 0 , y  y 0 , z  z 0 
n  (n x , n y , n z )

P  n  x  x0 , y  y0 , z  z0   (n x , n y , n z )  0
n x  x  x0   n y  y  y 0   n z  z  z 0   0
n z  z  z0   n x  x 0  x   n y  y 0  y 
Despejamos z para obtener una funcion de la forma
z  f ( x, y )
z
n x  x0  x   n y  y 0  y   n z z 0
(3.7)
nz
3.6.2 Ubicación de los sensores virtuales
Con esto se determinan las 5 posiciones evaluando el par (xi,yj) ver Figura.3.6.2, la
ecuación del plano se determina la altura (zi,j) que es donde un chopper A inyectando
potencia inductiva de manera matizada PWM en la matriz de bobinas del sistema
actuador. Ahí se efectúa un lazo realimentado en cada una de las bobinas
correctoras con el fin de llegar al plano de equilibrio ΩE
X
Z2
Z3
4
3
Z5
2.5
2
Z1
Z4
1
1
3
2
2.5
Figura 3.6.2
4
Y
Ubicación de los sensores virtuales en el plano X Y
34
Esquema
Elevación, Planta y Perfil del prototipo
Z
Z
Y
Y
X
X
Y
Y
Figura 3.6.3 Disposición del actuador MIMO en términos de bobinas distribuidas
3.7 Modelo traslacional representado mediante EDOs
Se demostró en [18,19] que las ecuaciones de fuerza magnética en fenómenos de
atracción o repulsión y en parámetros concentrados tienen la forma:
FM   k
i2
x2
(3.8)
La ecuación de equilibrio traslacional en 1D, despreciando la fuerza de roce es:
i2
m x  k 2  mg  0
x

(3.9)
Si aplicamos segunda ley de Newton en 3D considerando que la levitación se
expresa en el eje z el desplazamiento del móvil se representa en x y el
35
desplazamiento lateral de perturbación el eje y, la ecuación diferencial que modela al
sistema [21], es:

m u   Fx , y , z  FMagnetica x , y , z [ N ],
(3.10)
En (3.10) se obtiene una ecuación diferencial parcial (EDP), descomponiendo dicha
ecuación, se obtienen las siguientes EDOs (despreciando el roce y en torno a un
punto de equilibrio estable).
Para el eje x que es el eje de desplazamiento horizontal.

m x  f (i1 , x)  0 ,
(3.11)
Para el eje y que es el eje de desplazamiento lateral.

m y  f (i2 , y )  0 ,
(3.12)
Para el eje Z eje de levitación

m z  f (i2 , z )  mg  0 ,
(3.13)
Es decir, los equilibrios en x e y dependen directamente de la inercia traslacional
mientras que en z depende además del peso (mg).
Basándose en sistemas lineales de parámetros concentrados y bilaterales, se
distribuye el parámetro inductancia. Para nuestro caso en particular, la bobina
concentrada la dividimos en 4 bobinas distribuidas equivalentes [21], ver figura 3.7.1.
Z
Bobina
Concentrada
Masa
X
Y
Bobinas
Equivalentes
distribuidas
Masa
Figura 3.7.1 Equivalencia entre bobinas concentradas y distribuidas.
36
Las bobinas distribuidas poseen un propio sub sistema de referencia, dentro de su
entorno funcionan como parámetro concentrado, es decir, cuando se distribuye el
parámetro concentrado por bobinas equivalentes, se libera el centro de masa de
atracción magnética y se crean 4 centros de atracciones magnéticas, esto genera 4
corrientes con valores iguales en condiciones de equilibrio y distintos en condiciones
de perturbación, como el sistema generalmente se encuentra en torno al punto las 4
bobinas pueden tener 4 valores distintos así la acción de las variables en su conjunto
es de parámetros distribuidos.
3.8 Modelación rotacional representado mediante EDP
Para equilibrar el sistema desde el punto de vista rotacional se visualiza el sistema
en términos de sus pares o torques, así modelar de acuerdo a la Segunda ley de
Newton para movimientos rotacionales [22] es decir:
d 2
J 2  
dt
,
(3.14)
Puesto que J está calculado y los pares del lado derecho de la ecuación pueden ser
de equilibrio, perturbación o corrección, lo interesante es la segunda derivada con
respecto al tiempo en el lado izquierdo. Con el fin de considerar las variaciones
respecto a x y y z aplicamos diferenciación en varias variables, en la primera y
segunda derivada a un potencial escalar φ definido en R, descomponemos en tres
partes la ecuación a desarrollar con el fin de buscar la diferenciación en términos
espaciales y dinámicos.
A. Hipótesis:
Si existe una función potencial escalar φ = φ(x, y, z) que pertenezca a los reales, es
decir φ=f : R3→R además, esta función escalar dependa de sus coordenadas
espaciales (x, y, z) y del tiempo, se pueden independizar variables vectoriales, tales
como la velocidad y aceleración tangencial lineal.
B. Demostración:
Tomado las primeras y segundas derivadas en varias variables tenemos:
d 2 d  d dx   d dy   d dz 
(3.15)
dt 2





dt  dx dt   dy dt   dz dt 
,
Desarrollamos (3.15)
d 2
d  d dx   d dy   d dz   dx






2
dt
dx  dx dt   dy dt   dz dt   dt
d  d dx   d dy   d dz  dy





dy  dx dt   dy dt   dz dt  dt
d  d dx   d dy   d dz  dz



,

dz  dx dt   dy dt   dz dt  dt
37
Considerando notación simplificada, es decir:
 2
  xy
x  y
d 2
2
2
  xx xt    x xtt   xy y t xt   y xtt   xz zt xt   z xtt   yy  y t    y xtt 
2
dt
2
 yx xt y t   x xtt   yz zt y t   z xtt   zz z t    x xtt   zx xt zt   y ytt 
3.16
 zy y t z t   z xtt
Para reducir los 18 términos de la ecuación (9) se utiliza el teorema de Schwarz.
C. Proposición:
Las trayectorias en un giro del cuerpo rígido en cualquiera de sus grados náuticos
respecto al orto-centro son suaves y sin singularidades.
D. Teorema:
Si la función es suave, continua y definida en un intervalo en R, la función cumple
teorema de Schwarz sobre continuidad en varias variables [23]
 2
 2

x  y y  x
Por lo que las derivadas mixtas son iguales.
Utilizando el teorema de Schwarz, en la ecuación (3.16) y reemplazando en el
potencial escalar φ, la ecuación se reduce a 9 términos.
d 2
2
2
2
  xx  x t    yy  y t    zz  z t   2  zx x t z t   yz z t y t   yx x t y t  
2
dt
3 x x tt   y y tt   z z tt 
d 2
  x ,  y , z    xt , yt , zt  2 
2
dt
3 x ,  y , z    xtt , ytt , ztt  ,
3.17
3.18
Se observa que la ecuación (3.17) se compone de un trinomio perfecto, más tres
términos que dependen de la segunda derivada respecto al tiempo, así los términos
quedan reducidos a dos productos puntos como se muestra en la ecuación (3.18)
38
De esta manera se identifican las variables diferenciales en el espacio (operador
Nabla) y variables dinámicas vectoriales (velocidad y aceleración), en la ecuación
(3.19).
2
d 2




v
 3   a ,
dt 2

 

3.19
E. Corolario:
“Para establecer una relación espacio - temporal entre el potencial escalar φ y las
variables vectoriales de velocidad y aceleración tangencial, se aplica el teorema de
Schwarz. De esta manera, el gradiente del potencial nulo es solución de las
ecuaciones (3.14) y (3.19) permitiendo conocer el torque de inercia rotacional que
será parte del modelo rotacional propuesto”.
3.9 Radio Vector
Para obtener información de las trayectorias curvas frente a una perturbación, se
utiliza el radio vector ya que presenta una alternativa simple respecto a las
ecuaciones matriciales de rotación de Euler [24].
El radio vector (r) y los ángulos náuticos (Ψ, Ɵ) entregan información de dos
trayectorias LI, para obtener la tercera trayectoria náutica LI se realiza el siguiente
análisis:
A partir de un conjunto de puntos LD se obtiene un vector; un conjunto de vectores
LD forman un plano y un conjunto de planos LD forman el espacio que ocupa el
cuerpo rígido. De esta manera se visualiza el ángulo que por si solo el radio vector
no puede describir (Φ). Ver Figura. 3.9.1.
Figura 3.9.1
Visualizando Φ a través del radio vector y un cuerpo rígido. (a) Radio vector girando en torno
a su eje; (b) Radio vector LI girando con un conjunto LD de radio vector.
La Figura 3.9.2, muestra los ángulos de navegación que giran en torno a los ejes (x,
y, z) y se denominan Yaw (ϴ), Roll (ϕ) y Pitch (Ψ) respectivamente [24].
39
z
Yaw

R o ll

x

y
P itc h
Figura 3.9.2
Ángulos de Navegación
El potencial escalar φ puede definir a los ángulos de navegación respecto a sus
senos directores:
x
(3.20)
  Sen 1  
r
z
(3.21)
  Sen 1  
r
 y
(3.22)
  Sen 1  
r
Para emplear (3.19) primero se procede a calcular los gradientes de los potenciales
(3.20), (3.21) y (3.22):


     
   
,
,
  
 x y z  


1
x
1  
 r
2



1
 ,0 ,0 
r







     
1
1
   
,
,
 
   0 , 0 ,
2
r
 x y z  
z
1  


r






     
1
1 
   
,
,
 ,0 
   0 ,
2
r 
 x y z  
 y
1  


 r 


Luego, se deben obtener la velocidad y aceleración tangencial,
curvas de la posición (u), velocidad (v) y aceleración (a) son:
u  r  , ,  
m 
(3.23)
(3.24)
(3.25)
las trayectorias
(3.26)

  
v  u  r   , ,   m  s 1




     
a  u  r   , ,   m  s  2




(3.27)

(3.28)
40
Análogamente, al análisis traslacional, las coordenadas en un sistema rotacional de
trayectorias curvas serán:
x  r   m 
z  r   m 
(3.29)
(3.30)
(3.31)
y  r   m 
Si las perturbaciones angulares son suaves y sin singularidades, se puede describir
su trayectoria en un espacio curvo, ver figura. 3.9.3
r
r
u  r  , ,  
r
r
r
r
Figura 3.9.3 Trayectorias Curvas
Calculados los gradientes (3.23), (3.24) y (3.25) y las variables dinámicas (3.27) y
(3.28), la ecuación (3.19) para cada giro náutico son las siguientes:
2
  

 
d 2

   2  3
2
dt
1
1 2
(3.32)
2
  

 
d 2

   2  3
2
dt
1
12
(3.33)
2
 

 
d 2

   2  3
2
dt
1 
1 
(3.34)
2
41
3.10 Modelo Rotacional Propuesto en EDOs
Sustituyendo las ecuaciones dinámicas (3.32), (3.33) y (3.34) en la segunda ley de
Newton para movimientos rotacionales se obtiene:
   2

  
d 2

 
J  2  J  
 3
dt
1 2
1 2





   


   2

  
d 

 
J  2  J 
 3
dt
12
12





   


2
   2

  
d 2




J  2  J  
 3
dt
1  2
1  2


(3.35)
(3.36)


 
  


(3.37)
Para resumir las ecuaciones (3.35), (3.36) y (3.37), para cualquier un ángulo, se
obtiene:
   2

  
d 2




J 
 J 
 3
dt 2
1 2
1 2









(3.38)
Desarrollando (3.38), la ecuación de los torque se expresan por:
W
N  m 

 f ( , i )N  m 
 ME 
(3.39)
 MD
(3.40)
Así el modelo propuesto en términos diferenciales es:
   2

  
d 2

 
J  2  J  
 3
dt
12
12





   MD   ME


(3.41)
3.11 Forma Discreta del modelo
En (3.40) se observa que la variable dinámicamente controlable es la corriente (i),
mediante un microprocesador y en intervalo tiempo T, se toman muestras discretas
de las variables angulares, de tal manera que las derivadas para la velocidad y
aceleración son [25]:
42
dy
f t  t   f ( t ) 1
 Lim t 0
  y N 1  y N 
dt
t
T
2
d y d  dy  d  y N 1  y N 
   

dt  dt  dt 
T
dt 2


1  y N  2  y N 1 y N 1  y N

T 
T
T
(3.42)



Desarrollando (3.42), se obtiene la expresión para la segunda derivada:
d2y
1
 2  y N  2  2 y N 1  y N 
2
dt
T
(3.43)
Utilizando (3.42) y (3.43), el modelo que estaba en forma diferencial (3.41) se lleva a
la forma discreta obteniendo la ecuación final del modelo propuesto:
    2
d 2
  2 N 1   n    W  
J   2  J    N 1 2 N  3  N 2
MD
2
 1
 
dt
1




(3.44)
Considerando que T es el muestreo de la señal puede ser T=1 unidad de tiempo y la
derivada es una función que depende de un instante futuro así el modelo general
que estaba en forma diferencial se lleva a la forma discreta:
    2
  2 N 1   n    W  
d 2
J   2  J    N 1 2 N  3  N 2
MD
2
 1
 
dt
1




(3.45)
Donde el momento de inercia Jφ se calcula:
J 
 r
2

dm m 2  Kg

(3.46)
3.12 Filosofía de Control Rotacional
El problema de efectuar el control sobre un cuerpo rígido es poder actuar en forma
independiente sobre las fuerzas traslacionales Fx,y,z y los pares rotacionales TӨ,ϕ,Ψ.
Proposición:
Si se define un ortocentro móvil a través de un vector deslizante siempre tendremos
unas bobinas que se encontraran en el origen del radio vector ellas serán las
encargadas de emitir señales de actuación para los ejes traslacionales (x, y, z), las
que se encuentran en los extremos del radio vector son las encargadas de generar
43
los pares. Los pares se generan con el extremo del radio vector y con el extremo
inverso ver Figura 3.12.1. El origen O es ubicado en el medio de la línea de
navegación solidario al eje de traslación (eje X).
Movimiento en torno a Z
Dinamica de actuacion
F
a
1A
1B
2A
x t
o
b
y t
2B
R
3A
3B
4A
4B
5A
5B
6A
6B
   RF  Sen
Figura 3.12.1
3.13 Generación de los pares correctores
Usando el modelo del radio vector
Bobinas
extremas
F1
1A
2A
Bobinas
centrales
r
2B
3A
3B
4A
4B
5A
Bobinas
extremas

1B
6A
r

5B
6B
F2
  Total  r F1   r F2 Sen
Figura 3.13.1
Se ve en la figura 3.13.1 que el torque o par generado por un brazo de longitud R es
igual al par generado por dos brazos representados por un radio vector de longitud r
además como el cuerpo es rígido ambas fuerzas son iguales es decir:
44
En este ejemplo las bobinas centrales en esta vista del plano XY son 3A, 4A, 3B y 4B
ellas son las encargadas de efectuar control traslacional en el eje Y en cambio las
bobinas extremas al radio vector 1B y 2B son las encargadas de generar la primera
parte del par F1 y se completa la acción del par con las bobinas 5A y 6A para
generar la segunda parte del par F2
Para generar los pares se deben tener dos juegos de bobinas extremas uno en la
dirección del extremo del radio vector y otro en el extremo solidario a la construcción
del par ambos de igual magnitud en fuerza.
45
CAPITULO IV PROTOTIPO DE UN LEVITADOR HÍBRIDO
4.1 Prototipo del fenómeno repulsivo en lazo abierto
Se realizó un prototipo considerando el sistema en reposo y se obtuvo a través de la
curva de reacción una respuesta de segundo orden, esto es producto de que sólo se
consideran dos magnetos.
Se efectúan cargas de 75 gms, se calcula la fuerza de repulsión, en analogía a un
sistema de segundo orden existen constantes magnetoestáticas KME (coeficiente de
rigidez) y constantes magnetodinámicas KMD (coeficiente de amortiguamiento).
Para KME es cómodo obtener el valor de cada una de las cargas, ya que, se
encuentra de manera estática, así sólo medimos la fuerza y el desplazamiento en
milímetros que se registra, en cambio, cuando el sistema se encuentra oscilando con
una cámara y sensores se estima la frecuencia de resonancia.
4.1.1 Análisis experimental estático
Se considera nulo el amortiguamiento es decir la ecuación a resolver es:
M (t ) g  K ME  x(t )
(4.1)
Así en torno al punto de equilibrio se hace la regresión los datos empíricos son:
Tabla 4.1.1 Datos experimentales
46
m4
m3
m2
m1
Figura 4.1.1 Prototipo de Imanes repulsando restringiendo dos grados de libertad
Para obtener la curva magneto-estática de fuerza repulsiva representada por la
inductancia mutua del sistema, se realizó el siguiente experimento: La figura 4.1.1
muestra el desarrollo para obtener la fuerza de repulsión respecto a las cargas que
se aplicaron. Los magnetos de m=790gr se le aplicaron cargas hasta 1.2Kg en
escalones de 15gr, el comportamiento fue lineal fue hasta 240gr (Ver figura 4.1.2). El
comportamiento fue no lineal para cargas mayores.
Graficando la fuerza de repulsión en función de la posición de la referencia Ze
obtenemos:
Curva Magnetoestatica
F repusión Newton
12,0000
10,0000
8,0000
Serie1
6,0000
Serie2
4,0000
2,0000
15
13
11
9
7
5
3
1
0,0000
distancia en mm
Figura 4.1.2
Curva Magneto estática (datos experimentales).
Puesto que el aire es el único amortiguador natural del sistema repulsivo la curva se
amortigua después de 5 minutos.
De los datos empíricos Tabla 4.1.1 se observa una gran linealidad dentro del rango
estudiado, a partir de esos datos se obtiene en forma aproximada una ecuación de
2do orden [20]:
47


2
2
x (t )  2n x(t )  n x(t )  K Pn U (t )
x:
KP :
ωn :
ξ:
(4.2)
Distancia en una dimensión.
Ganancia de posición.
Frecuencia natural.
Coeficiente de amortiguamiento.
La pendiente de la curva ver Figura 4.1.2, representa la constante estática de rigidez
y mediante 4.4, se obtiene la frecuencia natural del sistema. Utilizando un sensor
óptico [18] y la ecuación 4.5 se obtiene la frecuencia de desplazamiento del sistema
siendo esta de 3 Hz.
Esto es:
wd 
2·
 rad 
 18 .84 

Td
 s 
(4.3)
K ME
 rad 
 18 .8401015 

m
 s 
n 
(4.5)
wd  wn 1   2
De la ecuación 28 obtenemos
(4.4)
  0.0032581
Se identifican los coeficientes de la ecuación 25
K MD
m
(4.6)
 Kg 
K MD  0 . 96986 

 s 
(4.7)
2  n 
Kp 

1
K ME
 s2 
 0 . 003566715 

 Kg 
(4.8)

x (t )  0.122765 x (t )  (18.8401015) 2 x ( t )  1.266·U ( t )
(4.9)
4.1.3 Función de transferencia equivalente
Aplicando la transformada de Laplace, se obtiene la función de transferencia
equivalente:
(4.10)
1 . 266 ·U ( s )
X (s)  2
S  0 . 122765  S  (18 . 8401015 ) 2
Al aplicar un escalón de monto F0 se obtiene en función del tiempo
48


e   n  t

x (t )  K P F 1 
Sen (  d t   ) 


1 2


0
(4.11)
Ejemplo si m = 150g
m
 1 . 47 ( N )
s2
La solución del modelo lineal para esta configuración de levitación a través de
repulsión será:
F 0  0 . 150 Kg  9 . 8

e 0 .063  t Sen (18 .84 t  0 .49   ) 
x ( t )  3 .5667  10  3  F 0  1 

0
.
9999469


(4.12)
W   F  dz  7.7 mJ
El valor de la energía es de “7,7mJ”, lo que es coherente ya que no se observa esta
disipación de energía, para analizar lo indicado anteriormente, se empleó el
programa computacional MAXWELL 2D que simula lo planteado (figura 4.1.3).
Figura 4.1.3
Simulación de campos repulsivos usando Maxwell 2D
Con los datos empíricos del sensor óptico, se observó la curva de reacción (ver
figura 4.1.4).
49
Figura 4.1.4
Curva de reacción.
4.2 Construcción del prototipo del levitador atractivo-repulsivo
4.2.1 Bobinas equivalentes y circuito reluctivo
La levitación se logra neutralizando la fuerza de gravedad con una fuerza igual pero
en sentido contrario, para este efecto se disponen en la parte inferior de un arreglo
de magnetos repulsando, en la parte superior se separa el parámetro inductancia
Figura 4.2.1 A, en inductancias o bobinas equivalentes [22] ver Figura 4.2.1 B
Figura 4.2.1 A Boninas concentradas
Figura 4.2.1 B Bobinas distribuidas
50
Para focalizar los puntos de magnetismo en la figura 4.2.1 B se diseña un
electroimán que permita justificar un circuito magnético reluctivo, que focaliza el flujo
ϕ en 5 puntos, es decir:


2

2

Figura 4.2.2
Por lo tanto el circuito magnético [19] en corte ver Fig. 4.2.3 A, considerando que
existe solo un flujo magnético ϕ este circuito se puede reemplazar por Fig. 4.2.3 B.

2

2


L
E
C
L
Figura 4.2.3
Donde las variables son:
Φ:
F=NI:
RC:
RL:
M:
A:
i:
Flujo magnético
Fuerza Magnetomotriz
Reluctancia del núcleo Central
Reluctancia del núcleo Lateral
Masa móvil
Área transversal al plano
Corriente
[Wb]
[Av]
[A/Wb]
[A/Wb]
[Kg]
[m2]
[A]
51
4.2.2 Diseño de las Bobinas
Figura 4.2.4
Esquema Bobina doble impacto
La bobina utilizada es de doble impacto (N=300/1000), es decir, posee un bobinado
con hilo grueso para mayor corriente y con hilo fino para mantener un campo
magnético de operación.
Figura 4.2.5
52
Cada reluctancia lateral depende del espesor de la carcasa y del núcleo central,
entonces se calcula el área total de la carcasa y del núcleo siendo estas:
2
2
Área central Ac    6  113.1mm
2
2
2
Área Lateral AL    38  40   490mm


z z
 0
A / Wb 
 0 AE  0 AE
(4.13)

N i
Wb 

(4.14)
Por lo tanto se obtiene que el flujo enlazado sea
 i, z   N 
0 AE N 2  i
[Wb]
z0  z
Finalmente desarrollamos en términos de la cohenergía [19] se tiene:
i
 A N 2 i2
Wm ' (i, z )    i ' , z   0 E
[J ]


2

z

z
0
0
(4.15)
(4.16)
Luego la fuerza electromagnética se calcula con el gradiente del potencial escalar
Wm:
FE  Wm 
Wm  0 AE N 2  i 2

[N ]
2
z
2 z 0  z 
(4.17)
4.2.3 Diseño Electro-Mecánico del Prototipo
Para desarrollar el sistema hibrido se disponen de dos arreglos de imanes
permanentes repulsando (abajo naranjo) y un juego de bobinas distribuidas que
permiten llegar al plano de equilibrio utilizando atracción ver figura 4.2.6
53
Figura 4.2.6 Diseño del prototipo con y sin cuerpo levitante.
4.2.4
Construcción del prototipo
Figura 4.2.7
Estructura física del prototipo
54
4.2.5
Construcción del núcleo Bobinas
Figura 4.2.8 Bobina insertada en núcleo externo.
Figura 4.2.9 Despiece de la bobina.
55
CONCLUSIONES
Mediante la segunda derivada respecto al tiempo en su forma espacio-dinámica
(3.14) se obtienen las condiciones de estática de Newton en términos de torques
(3.19) ya que el gradiente φ es nulo.
Al simplificar el análisis matricial de las rotaciones del cuerpo rígido de Euler, se
describe cada trayectoria curva como un conjunto LI, esto permite el análisis de la
EDP (3.14) descomponiéndola en tres EDO (3.35), (3.36) y (3.37) que corresponden
al desplazamiento de las trayectorias curvas (r(Ɵ,Φ,Ψ)).
La ecuaciones (3.35), (3.36), (3.37) permiten proponer un nuevo modelo (3.41). Este
modelo, al ser analítico presenta la ventaja ser versátil en las estrategias de control
(control clásico, avanzado, discreto y no lineal), ya que su formulación es general
respecto a las rotaciones de cualquier cuerpo paralelepípedo.
Al generar una base LI en torno al punto, la ecuación dinámica (3.41), limita el
dominio de φ acotándolo entre [-1,1] rad.
La ecuación (3.41), logra describir la inercia rotacional en forma escalar, lo que
permite realizar una menor cantidad de cálculos matemáticos respecto a la mecánica
matricial de Euler.
El modelo rotacional propuesto al ser desarrollado en las ecuaciones (3.19) y (3.41),
se simplifican los radios vectores al efectuar el producto punto en cada giro náutico,
es decir, la formulación angular no depende del radio vector.
En la planta repulsiva ecuación (4.12) se aproximó a un sistema lineal e invariante en
el tiempo (LTI); sin embargo, el ejemplo demuestra que por cada escalón de carga
(150mg.) existe una pérdida de 7,7mJ en los imanes permanentes. Por lo que el
sistema es no conservativo.
El sistema de sensado del plano ΩL extiende el lazo de realimentación de un sistema
SISO a un sistema MIMO a través de las bobinas distribuidas, de esta manera se
pueden generar algoritmos de control clásicos utilizando parámetros concentrados y
distribuidos.
El sistema para medir el plano de perturbación ΩL no depende de la naturaleza del
sensor.
El imán hibrido [21] posee dos fuerzas magnetomotrices (FMM) una debida a los
imanes permanentes y la otra debida a las bobinas (NI), el circuito reluctivo muestra
que la FMM se aporta en el mismo sentido del flujo magnético, sin embargo el
prototipo resulta ser una variante del imán hibrido, ya que las FMMs aportan en el
mismo sentido, pero con flujos magnéticos diferentes ya que no se acoplan ambos
flujos.
56
El prototipo permite realizar sistemas MIMO que operen en las otras caras laterales
de la masa a levitar, se pueden probar las plantas de levitación por atracción
repulsión y la planta rotacional del modelo propuesto.
57
REFERENCIAS
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Magnetic Levitation System” IEEE Transaction on Magnetics Vol. MAG-13,No.5,
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Magnet” IEEE Transaction on Magnetics Vol. MAG-13,No.5, September 1977.
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1976.
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Thyssen Industrie AG Henschel Advanced Transportation Technologies P.O. Box
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Type Magnetically Levitated Vehicles” IEEE Transaction on Magnetics Vol. MAG17,No.2, November 1981.
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Electromagnetic Confinement and Levitation Systems” IEEE Transaction on
Magnetics, VOL. 29, NO. 2, MARCH 1993
[11] Masato Enokizono, Takashi Todaka Isao Matsumoto and Yoshiaki Wada,
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Magnetics. VOL. 29, NO. 6, NOVEMBER 1993
[12] Yeou-hang Tzeng and Tsih C. Wang, “Optimal Design of the Electromagnetic
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VOL. 30. NO. 6. NOVEMBER 1994.
58
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[14] Shunsuke Ohashi, “Effect of the Active Damper Coils of the Superconducting
Magnetically Levitated Bogie in Case of Acceleration” IEEE Transaction on
Magnetics, VOL. 44, NO. 11, NOVEMBER 2008.
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