4 ESO
Matemàtiques
5
Fitxes d’avaluació
• amb solucions
RECURSOS
del professorat
A1
Unitat 1
Nombres reals
Exercicis
d’avaluació
Nom:
Data:
Grup:
Nota
Solucionari
1. Completa la taula següent amb les diferents aproximacions del nombre 3,8752:
Posició
Aproximació
Error absolut
Error relatiu
3,8
0,0752
0,01941
3,875
0,0002
0,00005
4
0,1248
0,03220
3,88
0,0048
0,00123
Per truncament a les dècimes
Per truncament a les mil·lèsimes
Per arrodoniment a les unitats
Per arrodoniment a les centèsimes
2. Representa els nombres següents de forma exacta a la recta real:
8
17
a) 5
8
b) - 3
c)
a)
d)
21
c)
2
0
1
2
0
3
4
17
2
=35
5
1
2
3
8
b)
d)
20
-3
-2
8
2
- 3 = -2 3
-1
0
0
2
3
4
1
5
21
1
Material fotocopiable © Editorial Teide
1
2
3. Completa la taula següent:
Interval o semirecta
Inequació
(-1, 3]
-1 1 x # 3
(-2, +3)
x 2 -2
(-2, 1)
-2 1 x 1 1
(-3, 10]
x # 10
Representació
-1 0
1
2
3
-2 -1 0
1
2
-2 -1 0
7
8
9
1
10
4. Escriu els nombres següents en notació científica o amb totes les seves xifres, segons correspongui:
a) -23570 000 000 000
b)
0,00000000000542
c) 1,5405 $ 10 20
d)
-4,52 $ 10 -11
a) -2,357 $ 10 13
b)
5,42 $ 10 -12
c) 154 050 000 000 000 000 000 $ 10 20
d)
-0,0000000000452
5. Efectua les operacions següents, expressant el resultat en notació científica:
-3,2 $ 10 -15 + 7,3 $ 10 -16
a) (1,2 $ 10 43 - 8,2 $ 10 42) (3,6 $ 10 -11 + 2,5 $ 10 -10) b)
(2 $ 10 23) 3
a) 1,0868 $ 10 33
b)
-3,0875 $ 10 -85
6. Ordena del més petit al més gran els nombres següents:
5,
6
150 ,
4
30 ,
5 , 6 150 , 4 30 , 3 10 " 12 5 6 , 12 150 2 , 12 30 3 , 12 10 4 " 12 15625 ,
12
27 000 , 12 10 000 " 3 10 1 5 1 6 150 1 4 30
3
12
10
22 500 ,
7. Opera i expressa de la forma més simple que sigui possible:
a)
23 3 22
3
_ 4 25 i
b)
3 175 - 2 28 + 2 252 - 7 7 + 4 63
a)
24
128
b)
28 7
2
Material fotocopiable © Editorial Teide
8. Calcula el resultat dels logaritmes següents:
1
1
a) log 3 5
b) log 12 3
27
16
3
a) - 5
b)
4
3
c)
log
c)
5
6
2
3
32
d)
log
d)
- 2
3
3
1
243
15
9. Desenvolupa els logaritmes següents al màxim possible:
5
a) log e
x2 y
o
z 3 t2
b)
log y
2log t
a) 5 c 2log x + 2 - logz - 3 m
log 2
34
73 5
log 2 7 +
log 2 5
3
b)
4log 2 3 -
b)
log x 1
4 log t
- 2 + 4 (3 log y - log z) + 5
3
2
10. Agrupa en un sol logaritme:
ln B
ln D
a) 5 ln A - 2 - 2 a 3 ln C + 3 k
3
A
a) ln
B (C 3 3 D) 2
5
b)
3
Material fotocopiable © Editorial Teide
log
4
y3
z
5
x
t4
A2
Unitat 2
Llenguatge algebraic
Exercicis
d’avaluació
Nom:
Data:
Grup:
Nota
Solucionari
1. Donats els polinomis P (x) = x 3 + 2x 2 - 5x + 1 i Q (x) = x 2 - 3x + 4 , calcula:
a) P (x) + Q (x)
c)
-3P (x) + 6Q (x)
b) P (x) - Q (x)
d)
P (x) $ Q (x)
a) x 3 + 3x 2 - 8x + 5
c)
-3x 3 - 3x + 21
b) x 3 + x 2 - 2x - 3
d)
x 5 - x 4 - 7x 3 + 24x 2 - 23x + 4
2. Desenvolupa les identitats notables següents al màxim:
a) (2x 2 - 3 y ) 2
b) b
2
2
3 + 3xy l
x
5c
5c
c) a a 3 b - 2 ka a 3 b + 2 k
2
d)
2
c x - 2y 3 m
y
e)
b
f)
a a + b + a - b ka a + b - a - b k
2
3
2
3
2
x+y
l
+
z
2
a) 4x 4 - 12x 2 y + 9y
b)
12y
4
+ 2 + 9x 2 y 2
x
x6
c) a 3 b d)
25c 2
4
x4
- 4x 2 y 2 + 4y 6
y2
e) b
2
x+y 2
xy
y2
2
l + (x + y) z + z 2 = x +
2
2 + 4 + xz + yz + z
4
f) a
a + b 2 a a - b k2 a 2 + 2ab + b 2
a 2 - 2ab + b 2
5a 2
13ab
5b 2
k =
=
+
+
3
2
9
36
36
4
18
1
Material fotocopiable © Editorial Teide
3. Efectua l’operació combinada amb polinomis següent:
(x 2 + 3x - 2) (2x 2 + 4x - 1) - (2x 2 - 3) 2 - 2x (5 - 4x) (5 + 4x)
-2x 4 + 42x 3 + 19x 2 - 61x - 7
4. Busca el quocient i el residu de la divisió: (4x 4 + 9x 3 - x - 5) : (x 2 + 2x - 3)
Quocient = 4x 2 + x + 10
Residu = -18x + 25
5. Divideix utilitzant la regla de Ruffini:
a) (3x 3 + 2x 2 - 5x - 7) : (x - 3)
b) (-x 5 + 3x 3 + 4x - 3) : (x + 2)
1
c) (x 3 + x 2 - 4x + 1) : a x - 2 k
a) Quocient = 3x 2 + 11x + 28
Residu = 77
b) Quocient = -x 4 + 2x 3 - x 2 + 2x
Residu = -3
3x
13
c) Quocient = x 2 + 2 4
5
Residu = - 8
6. Calcula el valor del paràmetre k perquè:
a) La divisió (x 5 - 3x 2 + kx - 2) : (x + 1) sigui exacta.
b) La divisió (2x 3 + kx 2 - 5x + 6) : (x - 2) tingui de residu -4.
a) k = -6
b) k = -4
7. Factoritza els polinomis següents:
b)
a) x 5 + x 4 - x - 1
a) (x + 1) 2 (x - 1) (x 2 + 1)
3
b) 2x (x - 3) (x + 1) a x + 2 k
2
Material fotocopiable © Editorial Teide
2x 4 - x 3 - 12x 2 - 9x
8. Simplifica la fracció algebraica següent:
x 4 - 3x 3 + 4x
-2x 4 + 6x 3 - 4x 2
x (x + 1) (x - 2) 2
(x + 1) (x - 2)
= -2x (x - 1)
-2x 2 (x - 2) (x - 1)
9. Calcula i simplifica:
x2 + x
3x 2 - 7x + 2
a)
$
-x 2 + x + 2
x2 - x
a)
b)
x4 - x2
x 3 - 3x + 2
:
-x 3 + 2x 2 + 3x
x 3 - 4x
1
1
1
3 (x - 2) a x - 3 k
3x (x + 1) (x - 2) a x - 3 k
3a x - 3 k
x (x + 1)
= -x (x + 1) (x - 2) (x - 1) = - x - 1
- (x + 1) (x - 2) $
x (x - 1)
x 2 (x - 1) (x + 1) (x - 1) 2 (x + 2)
x 3 (x - 1) (x + 1) (x - 2) (x + 2)
x 2 (x - 2)
b)
-x (x + 1) (x - 3) : x (x - 2) (x + 2) = -x (x + 1) (x - 3) (x - 1) 2 (x + 2) = - (x - 3) (x - 1)
10. Busca el resultat de:
x-1
2x - 1
x+1
+
x 2 + 2x x 2 + x - 2 x 2 - x
(x - 1) 2 - x (2x - 1) (x + 1) (x + 2)
x-1
2x - 1
x+1
2x + 3
+
=
= x (x - 1) (x + 2)
x (x + 2)
(x - 1) (x + 2)
x (x - 1)
x (x - 1) (x + 2)
3
Material fotocopiable © Editorial Teide
A3
Unitat 3
Equacions i inequacions
Exercicis
d’avaluació
Nom:
Data:
Grup:
Nota
Solucionari
1. Resol les equacions de primer i segon grau següents:
x + 2 3 (x + 1)
x - 9 4 (x - 2)
+
=
3
10
6 - 15 - 1
b) 3x 2 - 4x - 15 = 0
c)
-8x 2 + 50 = 0
d)
-4x 2 - 35x = 0
a) x = -4
c)
5
x=!2
5
b) x = 3 , x = - 3
d)
x = 0, x = -
a)
35
4
2. Resol les equacions de grau més gran que 2 següents:
a) 4x 4 - 37x 2 + 9 = 0
b)
3x 5 - 2x 4 - 7x 3 - 2x 2 = 0
1
a) x = !3 , x = ! 2
b)
1
x = 0 , x = -1 , x = 2 , x = - 3
x+1 x-1
x2 + x + 2
3. Resol l’equació racional següent: x - 1 + x + 1 =
x2 - 1
x = 0 . La solució x = 1 no és vàlida.
4. Resol les equacions amb radicals següents:
a) x - x - 5 = 5
b)
a) x = 5 , x = 6
b)
x = 1, x = 2
a) 3 x + 2 + 3 x + 1 - 3 x - 3 x - 1 = 96
b)
2 2x + 1 - 17 $ 2 x + 8 = 0
a) x = 2
b)
x = 3 , x = -1
3x - 2 - x - 1 = 1
5. Resol les equacions exponencials següents:
1
Material fotocopiable © Editorial Teide
6. Resol les equacions logarítmiques següents:
b)
a) log x + log (x - 3) = log (x + 5)
log (x + 1) - 1 = log (x - 2) - log x
a) x = -1 (no vàlida); x = 5 (vàlida)
b) x = 5 , x = 4 (vàlides totes dues)
7. Resol la inequació
3 (x - 2) x + 3
x + 6 5 (x - 1)
2
- 6
3 4
2
(-3, 3)
8. Resol les inequacions:
a) -2x 2 - 3x + 2 2 0
b)
x2 + x - 2
#0
x2 + x
1
a) a -2, 2 k
b)
[-2, -1) , (0, 1]
9. Dibuixa el semiplà solució de la inequació x + 2y $ 0 .
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
4
-2
-3
-4
10. Un rectangle mesura 2 cm més de base que el doble de l’altura. Si es redueix 1 cm la base i s’augmenta 1 cm l’altura, es transforma en un nou rectangle d’àrea 6 cm2 més que el rectangle inicial.
Busca les dimensions d’aquest rectangle inicial.
Altura = x , base = 2x + 2 " (x + 1) (2x + 1) = x (2x + 2) + 6 " x = 5 " 2x + 2 = 12
La base mesura 12 cm, i l’altura, 5 cm.
2
Material fotocopiable © Editorial Teide
A4
Unitat 4
Sistemes d’equacions i inequacions
Exercicis
d’avaluació
Nom:
Data:
Grup:
1. Donat el sistema d’equacions lineals: )
Solucionari
2x - y = 5
x + 3y = 6
a) Resol-lo gràficament.
b) Resol-lo per substitució, i comprova que s’obtenen les mateixes solucions.
a)
b)
4
x = 3, y = 1
3
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
4
-2
-3
-4
2. Donat el sistema d’equacions lineals: )
a) Resol-lo per igualació.
2x - 3y = 2
-x + 4y = -5
b) Resol-lo per reducció, i comprova que s’obtenen les mateixes solucions.
7
8
x = - 5 , y = - 5 en tots dos casos
3. Redueix el sistema següent i resol-lo pel mètode que et sembli més apropiat:
Z 2 (x + 1) 5 ( y - 1)
23
]]
= 3
3
2
[
] 4 (x - 2) + 2 (2y - 1) = - 6
5
5
3
\
x = 3 , y = -1
4. Resol el sistema d’equacions no lineals següent: )
x = 3, y = 1
1
Material fotocopiable © Editorial Teide
x - 2y = 1
x+1- y = 1
Nota
5. Resol el sistema d’equacions exponencials següent: )
2 x + 1 - 3 y = -7
2 x + 3 y + 1 = 28
x = 0, y = 2
6. Resol el sistema d’equacions següent: )
-x + y = 1
log (x - 1) + log ( y + 1) = 1
x = -4 , y = -3 (no vàlida); x = 3 , y = 4 (vàlida)
x + 1 2x + 3
3x + 2
6 - 3 2 1- 2
7. Busca la solució del sistema d’inequacions següent: *
3x + 1 x - 2
x+1
x
4 - 5 $ 2 + 10
a 5 , 3C
6
x2 + x - 6 1 0
8. Resol el sistema d’inequacions: * x - 1
x+1 $ 0
(-3, -1) , [1, 2)
9. Representa el recinte solució del sistema d’inequacions: )
-x + 2y # 4
3x + y 2 0
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
4
-2
-3
-4
10. Busca raonadament les dimensions d’un rectangle d’àrea 60 cm2 sabent que la seva diagonal mesura 13 cm.
x = base, y = altura " )
xy = 60
x 2 + y 2 = 13 2
" x = 12 cm, y = 5 cm; x = 5 cm, y = 12 cm
2
Material fotocopiable © Editorial Teide
A5
Unitat 5
Semblança i trigonometria
Exercicis
d’avaluació
Nom:
Data:
Grup:
Nota
Solucionari
1. Calcula el valor de x a la construcció següent:
x -2
2x
2x + 5
2x
x-2
2x + 5 = x " x = 10
x
2. Calcula l’escala a la qual està construïda la maqueta d’una escultura si pesa 400 g i està construïda amb el mateix material que l’original, que pesa 1 350 kg.
r=
3
1350
0,4 = 15 " L’escala és 1:15.
3. Indica en cada cas si els triangles ABC i DEF són semblants o no. En cas afirmatiu, calcula la raó de
semblança.
a) a = 15 cm, b = 10 cm, c = 20 cm
B = 40° , W
C = 60°
b) b = 7 cm, V
d = 6 cm, e = 9 cm, f = 12 cm
D = 100° , U
F = 40°
e = 14 cm, W
D = 55° , U
F = 45°
d = 12 cm, f = 15 cm, W
A = 80°
c) b = 10 cm, c = 8 cm, W
a) Sí, ho són. r =
12
= 0,6
20
b) No ho són.
c) Sí, ho són. r =
15
= 1,5
10
4. Completa la taula següent:
Graus
195
337,5
315
115
Radians
13r
12
15r
8
7r
4
23r
36
1
Material fotocopiable © Editorial Teide
5. Resol els triangles següents:
a) W
A = 90° , a = 15 cm, b = 12 cm
b)
W
A = 90° , V
B = 57° , c = 10 cm
B = 53°7'48" , V
C = 36°52'12"
a) c = 9 cm, W
C = 33° , a = 18,36 cm, b = 15,4 cm
b) V
r
6. Busca les cinc raons trigonomètriques restants de a si sin a = 0,6 i 2 1 a 1 r .
cos a = -0,8 ; tg a = -0,75 ; sec a = -1,25 ; cosec a = 1,67 ; cotg a = -1,33
7. Indica el valor exacte de:
a) sin2010°
b)
cos 3 015°
c)
tg (-2280°)
41r
d) sin 2
e)
58r
cos 3
f)
tg a
1
a) - 2
b)
- 2
c)
3
d) 1
e)
-2
f)
- 3
2
1
-23r k
6
3
8. Resol el triangle següent utilitzant els teoremes del sinus i el cosinus, almenys una vegada cada un:
W
A = 67° , b = 15 cm, c = 33 cm
a=
15 2 + 33 2 - 2 $ 15 $ 33cos67° = 30, 45 cm
15sin67°
W
l = 26°57'55"
B = arcsin b
30, 45
V
C = 86°2'5"
2
Material fotocopiable © Editorial Teide
9. Demostra la igualtat trigonomètrica següent:
2 cos 2 x - 2
1
1
= 2 - 1 - sin x + 1 + sin x
cos 2 x
Agafant la part dreta de la igualtat:
2 (1 - sin x) (1 + sin x) - (1 + sin x) - (1 - sin x)
2 (1 - sin 2 x) - 2
2cos 2 x
1
1
=
+
=
=
2
1 - sin x
1 + sin x
(1 - sin x) (1 + sin x)
1 - sin x
cos 2 x
x) - (1 - sin x)
2 (1 - sin 2 x) - 2
2cos 2 x - 2
=
=
2
x)
1 - sin x
cos 2 x
2-
1
10. Resol l’equació trigonomètrica: cos x - 2 cos x = tg x
1
1
sin x
2
2
2
cos x - 2cos x = tg x " cos x - 2cos x = cos x " 1 - 2cos x = sin x " 1 - 2 (1 - sin x) = sin x " 2sin x
- 2cos 2 x = sin x " 1 - 2 (1 - sin 2 x) = sin x " 2sin 2 x - sin x - 1 = 0 " sin x =
3
Material fotocopiable © Editorial Teide
r
1 " x = 2 + 2rk
7r
x=
+ 2r k
6
1
-2 "
11r
x=
+ 2r k
6
A6
Unitat 6
Geometria analítica en el pla
Exercicis
d’avaluació
Nom:
Data:
Grup:
Nota
Solucionari
1. Donats els vectors u i v de la imatge, calcula u + v , u - v i 3 u - 2 v .
v
u
-2 v
3u - 2 v
-v
u
v
u-v
3u
u
u+v
2. Donats els vectors u = (3, -5) i v = (-1, -4) , busca les coordenades de u + v , u - v i 3 u - 2 v .
u + v = (2, -9) , u - v = (4, -1) , 3u - 2 v = (11, -7)
3. Completa la taula següent:
Punt origen
Punt extrem
Coordenades del vector
(-3, 4)
(5, 0)
(8, -4)
(1, 3)
(3, -2)
(2, -5)
(4, -2)
(-1, 5)
(-5, 7)
1
Material fotocopiable © Editorial Teide
4. Calcula l’angle que formen els vectors u = (-8, 6) i v = (-5, -12) .
arccos
(-8, 6) $ (-5, -12)
40 - 72
= arccos 10 $ 13 = 104°15'0,1"
2
2
2
2
(-8) + 6 (-5) + (-12)
5. Busca l’equació vectorial, les paramètriques, la contínua, la implícita, l’explícita i la punt-pendent
de la recta que passa per P (-2, 1) i el vector director de la qual és v = (3, 5) .
Vectorial: (x, y) = (-2, 1) + m (3, 5) m ! R
Contínua:
Paramètriques: )
y-1
x+2
3 = 5
Explícita: y =
x = -2 + 3m
y = 1 + 5m
Implícita: 5x - 3y + 13 = 0
5x + 13
3
5
Punt-pendent: y - 1 = 3 (x + 2)
2x
6. Escriu en forma contínua la recta y = 5 - 1.
y+1
2
x
y+1 = 5x " 5 = 2
7. Escriu en equacions paramètriques la recta 2x + 3y - 5 = 0 .
5
3
x= 2 - 2m
5 - 3m
y=m"x=
"*
m!R
2
y=m
8. Indica la posició relativa dels parells de rectes següents:
-3
s / y - 1 = 2 (x + 2 )
a) r / (x, y) = (5, -4) + m (4, -6) m ! R
b) r / )
x = 8+m
m!R
y = -3 - 3m
a) Pendent de r =
b) Pendent de r =
-6
4
-3
1
s / 3x + y - 21 = 0
3
= - 2 = pendent de s. Com que (5, -4) ! s & paral·leles
= -3 = pendent de s. Com que (8, -3) ! s & coincidents
2
Material fotocopiable © Editorial Teide
m!R
2
9. Busca l’equació general de la recta paral·lela a y - 5 = 5 (x + 1) que passa pel punt P (3, -3) .
y+3 =
2
(x - 3) " 5y + 15 = 2x - 6 & 2x - 5y - 21 = 0
5
10. Busca les equacions paramètriques de la recta que passa per P (-1,5) i és perpendicular a
3x + y - 6 = 0 .
v = (3, 1) & )
x = -1 + 3m
y = 5+m
m!R
3
Material fotocopiable © Editorial Teide
A7
Unitat 7
Funcions i gràfiques
Exercicis
d’avaluació
Nom:
Data:
Grup:
1. Donades les funcions f (x) =
a) ( f % g) (x)
Nota
Solucionari
2x
x+1
x i g (x) = x - 1 , busca:
b) (g % f ) (x)
a)
2x
2x + x - 1
+1
3x - 1
x-1
x-1
=
= 2x
2x
2x
x-1
x-1
b)
x+1
2x + 2
2 x
= x + x1 - x = 2x + 2
x+1
x
x -1
3x - 1
2. Busca la funció inversa de f (x) = 2x + 1 i comprova que, efectivament, és la inversa.
x=
3y - 1
-1 - x
" 2xy + x = 3y - 1 " (2x - 3) y = -1 - x " f -1 (x) = 2x - 3
2y + 1
-3 - 3x - 2x + 3
-5x
-3
(f % f ) (x) =
= -2 - 2x
2x + 2x - 3 = -5 = x
-1 - x
2 2x - 3 + 1
2x - 3
-1
-1 - x
3 2x - 3 - 1
3. Busca el domini de:
a) f (x) = -x 2 + 4x + 5
b)
x
g (x) = x - 2
a) [-1, 5]
b) [0, 2) , (2, +3)
c) (-3, 3)
1
Material fotocopiable © Editorial Teide
c)
h (x) =
x 2 - 16
6 - 2x
4. Busca els punts de tall amb els eixos i el signe de les funcions següents:
x+1
a) f (x) = x - 1
b)
g (x) =
x2 + 1
x
a) Tall OX: (-1, 0) ; tall OY: (0, -1) ; positiva: (-3, -1) , (1, +3) ; negativa: (-1, 1)
b) Tall OX: no n’hi ha; tall OY: no n’hi ha; positiva: (0, +3) ; negativa: (-3, 0)
5. Estudia les simetries de les funcions:
a) f (x) =
x 3 + 3x
x2 - 1
b)
g (x) =
5x
x - 2x 3
c)
a) f (-x) =
(-x) 3 + 3 (-x)
-x 3 - 3x
=
= -f (x) " senar
(-x) 2 - 1
x2 - 1
b) g (-x) =
5 (-x)
5x
-5x
=
=
= g (x) " parell
-x + 2x 3
(-x) - 2 (-x) 3
x - 2x 3
c) h (-x) =
(-x) 2 + 4 (-x)
x 2 - 4x
=
" ni parell ni senar
(-x) 2 - 1
x2 - 1
h (x) =
x 2 + 4x
x2 - 1
6. a) Dibuixa una funció periòdica de període T = 3 .
b) Dibuixa una funció que tendeixi a +3 quan x tendeix a -3 i que tendeixi a 1 quan x tendeix
a +3 .
a)
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
4
1
2
3
4
-2
-3
-4
b)
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
2
Material fotocopiable © Editorial Teide
7. Indica els intervals de creixement i decreixement, així com els màxims i mínims, relatius i absoluts
de la funció:
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
4
-2
-3
-4
Creixent a (-3, -4) , (-3, -1) , (1, +3) ; decreixent a (-4, -3) , (-1, 1)
Màxim relatiu: (-4, 3) , (-1, 1) ; mínim relatiu: (-3, -1)
Màxim absolut: (-4, 3) ; mínim absolut: no n’hi ha
8. Indica el domini, recorregut, punts de discontinuïtat i tendències de:
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
4
-2
-3
-4
Domini: R - {2} ; recorregut: [-3, +3) ; discontínua a x = -2 , x = 2
Tendeix a 0 quan x tendeix a -3 ; tendeix a +3 quan x tendeix a +3 .
3
Material fotocopiable © Editorial Teide
9. Traça la gràfica d’una funció que tingui les característiques següents:
Domini: R
Recorregut: (-3, +3)
Màxim relatiu a (-1, 1) i (0, 0)
Mínim relatiu a (-2,5; -1)
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
4
-2
-3
-4
-x
si x 1 -1
si - 1 # x 1 2
10. Representa la gràfica de la funció f (x) = * x 2
2x - 2 si x $ 2
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
4
-2
-3
-4
4
Material fotocopiable © Editorial Teide
Discontínua a x = -1
A8
Unitat 8
Funcions elementals
Exercicis
d’avaluació
Nom:
Data:
Grup:
Nota
Solucionari
1. Donada la gràfica de f (x) , dibuixa les gràfiques de les funcions de cada apartat:
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
a) f (x + 1)
d)
3f (x)
b) f (x + 1) - 2
x
c) f ` 2 j
e)
-f (x)
f)
f (-x)
4
-2
-3
-4
a)
3
2
2
1
1
1
2
3
-4 -3 -2 -1
-1
4
-2
-2
-3
-3
-4
-4
e)
4
3
2
2
1
1
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
f)
4
3
2
2
1
1
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
Material fotocopiable © Editorial Teide
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
4
3
-4 -3 -2 -1
-1
1
4
3
-4 -3 -2 -1
-1
c)
4
3
-4 -3 -2 -1
-1
b)
d)
4
-4
2. Dibuixa, sense fer una taula de valors, la gràfica de les funcions següents:
x
a) y = 3x - 4
b) y = -x + 2
c) y = 2 - 1
a)
c)
4
b)
4
3
3
2
2
1
1
-4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
d)
4
3
2
2
1
1
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
4
3
-4 -3 -2 -1
-1
2
y = -3x+1
d)
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
3. Busca l’equació de:
a)
c)
4
4
3
3
2
2
1
1
-4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1
-1
-2
b)
-2
-3
-3
-4
-4
d)
4
4
3
3
2
2
1
1
-4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
a) y = 2x - 2
b)
x
y = 3 -1
c)
2
Material fotocopiable © Editorial Teide
y=
x+1
2
d)
y=
-x + 2
3
4. Representa, estudiant prèviament les seves característiques principals, la gràfica de la funció
y = -x 2 - 2x + 3 .
a10"+
4
3
OX: -x 2 - 2x + 3 = 0 " x =
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
-3
1
OY: y = 3
1
2
3
4
V (-1, 4)
-2
-3
-4
5. Estudia els punts de talls amb els eixos i la tendència de la funció y = x 3 - x 2 - 2x i fes servir
aquestes dades per obtenir-ne la gràfica.
OX: x = -1 , x = 0 , x = 2
4
3
OY: y = 0
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
Tendeix a -3 quan x tendeix a -3 .
1
2
3
4
Tendeix a +3 quan x tendeix a +3 .
-2
-3
-4
6. Representa, sense donar valors, la gràfica de:
-1
a) y = x
a)
b)
b)
4
2
y= x
4
3
3
2
2
1
1
-4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
3
Material fotocopiable © Editorial Teide
1
2
3
4
2x - 1
7. Opera per reduir la funció f (x) = x - 1 a una de proporcionalitat inversa, i traça’n la gràfica.
f (x) = 2 +
1
x-1
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
4
-2
-3
-4
8. Dibuixa la gràfica de:
a) y = 1 - x + 2
a)
y = 2sen x + 1
b)
4
c)
3
2
2
1
1
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
4
-2
-3
-4
4
Material fotocopiable © Editorial Teide
x
y = tg r
2
4
3
-4 -3 -2 -1
-1
c)
b)
1
2
3
4
9. Traça les gràfiques de les funcions següents:
a) y = 2 x - 1
b)
a)
1 x
y =a2k -1
c)
c)
4
d)
y = log 2 (2x)
4
3
3
2
2
1
1
-4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
b)
d)
4
3
2
2
1
1
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
4
3
-4 -3 -2 -1
-1
y = log 12 (-x)
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
10. Dibuixa la gràfica de:
a) y = -x + 2
a)
b)
b)
4
y = x 2 + 4x + 3
4
3
3
2
2
1
1
-4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
5
Material fotocopiable © Editorial Teide
= xlim
" +3
A9
Unitat 9
Límits i derivades
Exercicis
d’avaluació
Nom:
Data:
Grup:
Nota
Solucionari
1. Calcula els límits següents:
a) xlim
" -1
2x
1 - x2
b)
lim
x"2
x2 - x - 2
3x 2 - 12
Z
_
]] lim 2x 2 = -2
- = +3 b
b
0
x " -1 1 - x
2x
2x
-2
[
` " lim
"
a) lim
=
2
2 = 3
0
x " -1 1 - x
x " -1 1 - x
2x
2
] lim
b
= -3
2 =
0+
\ x " -1 1 - x
a
-
+
(x - 2) (x + 1)
x2 - x - 2
0
x+1
3
1
= 0 = lim 3 (x - 2) (x + 2) = lim 3 (x + 2) = 12 = 4
2
x " 2 3x - 12
x"2
x"2
b) lim
2. Calcula els límits.
x 2 - 3x + 5
a) xlim
" +3 -x 3 + 3x 2 - 1
a)
x 2 - 3x + 5
3
= 3 =0
3
2
x " +3 -x + 3x - 1
lim
3. Busca el resultat de:
2
2
b x +1 - x l
a) xlim
x
x-1
" +3
a)
b)
lim b
x " +3
lim
x " -3
2x 3 - 3 x + 4
x 2 - 2x + 1
b)
lim
x " -3
2x 3 - 3x + 4
3
= 3 = -3
x 2 - 2x + 1
b)
lim ( x 2 - x - x)
x " +3
x2 + 1
x2 l
x3 - x2 + x - 1 - x3
=
3
3
=
lim
= -1
x
x-1
x (x - 1)
x " +3
( x 2 - x - x) ( x 2 - x + x)
-x
x2 - x - x2
lim
=
= xlim
x " +3
" +3 x 2 - x +
x " +3
x2 - x + x
x2 - x + x
lim ( x 2 - x - x) = 3 - 3 = lim
x " +3
x -x-x
-x
-1
1
= xlim
= 1+1 = -2
2
2
"
+
3
x -x+x
x -x+x
2
b)
2
1
Material fotocopiable © Editorial Teide
2
x -1
a 2x - 1 k
4. Calcula xlim
" +3 2x + 1
-2 kx - 1
2x - 1 x - 1
1
k
=
= xlim
lim a
1 3 = lim a 1 +
1+
2x + 1
2x + 1 p
" +3f
x " +3 2x + 1
x " +3
-2
2
2
2
2x + 1 -2(x - 1)
-2 $ 2x + 1
= e -3 = 0
x-1
si x 1 2
x
5. Estudia la continuïtat de f (x) = * x 2 - 9
x - 3 si x $ 2
x = 0 " lim f (x) = lim
x"0
x"0
x-1
-1
x = 0 = 3 " Discontinuïtat de salt infinit a x = 0
Z
_
]] lim f (x) = lim x - 1 = 1
bb
x
2
x"2
x"2
9
` " Disc. salt finit igual a 2 a x = 2
x=2"[
2
x
9
5
] lim f (x) = lim
= -1 = 5 b
x"2 x - 3
\x"2
a
-
-
+
+
(x - 3) (x + 3)
x2 - 9
0
= lim
= 6 " Disc. evitable a x = 3
x = 3 " lim f (x) = lim x - 3 =
x-3
0
x"3
x"3
x"3
6. Estudia les asímptotes de:
x2 + 1
a) y = 2
x -1
a) xlim
"3
b)
2x 2
y = x-2
x2 + 1
= 1 " A. horitzontal y = 1
x2 - 1
x2 + 1
2
x2 + 1
2
= 0 = 3 " A. vertical x = -1 ; lim 2
= 0 = 3 " A. vertical x = 1
2
x " -1 x - 1
x"1 x - 1
lim
No hi ha asímptotes obliqües perquè n’hi ha d’horitzontals.
2x 2
b) xlim
= 3 " No hi ha asímptota horitzontal
"3 x - 2
2x 2
8
= 3 " A. vertical x = 2
lim x - 2 =
0
x"2
2x 2
2
x-2
b 2x - 2x l = lim 4x = 4 " Asímptota obliqua y = 2x - 4
m = xlim
=
2
;
n
=
lim
x
"3
x"2 x - 2
x"2 x - 2
2
Material fotocopiable © Editorial Teide
7. Donada la funció f (x) = x 2 - 2x , busca, a partir de la definició:
a) La taxa de variació mitjana de f (x) a l’interval [-1, 2] .
b) La derivada de f (x) a x = -2 .
a) TVM [-1, 2] f (x) =
f (2) - f (-1)
0-3
= 3 = -1
2 - (-1)
f (-2 + h) - f (-2)
(-2 + h) 2 - 2 (-2 + h) - 8
4 - 4h + h 2 + 4 - 2h - 8
b) f' (-2) = lim
=
=
lim
=
lim
h
h
h
h"0
h"0
h"0
) 2 - 2 (-2 + h) - 8
h (h - 6)
4 - 4h + h 2 + 4 - 2h - 8
h 2 - 6h
=
lim
=
=
= -6
lim
lim
h
h
h
h
h"0
h"0
h"0
8. Deriva les funcions següents i redueix al màxim possible:
a) f (x) = sin x (1 - cos x)
b)
f (x) =
x 2 - 2x
x2 + 1
c)
x
f (x) = x - 1
a) f' (x) = cos x (1 - cos x) + sin x sin x = cos x - cos 2 x + sin 2 x
b) f' (x) =
(2x - 2) (x 2 + 1) - (x 2 - 2x) $ 2x
2x 3 + 2x - 2x 2 - 2 - 2x 3 + 4x 2
2x 2 + 2x - 2
=
=
(x 2 + 1) 2
(x 2 + 1) 2
(x 2 + 1) 2
1
x - 1 - 2x
(x - 1) - x $ 1
2 x
2 x
-x - 1
=
c) f' (x) =
=
2
(x - 1) 2
(x - 1)
2 x (x - 1) 2
9. Deriva i opera.
a) f (x) =
a) f' (x) =
x+1
x-2
2
b)
f (x) = sin e x
2
c)
f (x) = tg 2 (ln x)
1 $ (x - 2) - (x + 1) $ 1
1
x-2-x-1
-3
=
$
=
2
(x - 2)
x+1
x+1
2
2 (x + 1) (x - 2) 3
$
2
(x
2)
x-2
x-2
2
2
2
b) f' (x) = cose x $ e x $ 2x = 2x e x $ cose x
c) f' (x) = 2tg (ln x) $
2
2sin (ln x)
1
1
$x =
xcos 3 (ln x)
cos (ln x)
2
3
Material fotocopiable © Editorial Teide
10. Busca l’equació de la recta tangent a la gràfica de y = 2x 2 - 3x - 1 a:
a) x = 1
b)
x = -2
a) f (1) = -2 ; f' (x) = 4x - 3 ; f' (1) = 1 " y + 2 = 1 $ (x - 1) " y = x - 3
b) f (-2) = 13 ; f' (x) = 4x - 3 ; f' (-2) = -11 " y - 13 = -11 $ (x + 2) " y = -11x - 9
4
Material fotocopiable © Editorial Teide
A10
Unitat 10
Estadística unidimensional
i bidimensional
Exercicis
d’avaluació
Nom:
Data:
Grup:
Nota
Solucionari
1. Indica, en cada cas, quina és la població i la mostra, i indica i classifica la variable estadística.
a) Es vol saber quins instruments toquen els alumnes dels conservatoris de la comunitat autònoma, i per fer-ho es pregunta als alumnes de 10 dels conservatoris.
b) Es vol saber els metres cúbics d’aigua que es consumeixen als habitatges d’un municipi, i es
consulta aquesta dada als veïns de 150 habitatges.
a) Població = alumnes dels conservatoris de la comunitat autònoma
Mostra = alumnes dels 10 conservatoris seleccionats
Variable = instrument que toquen
Tipus de variable = qualitativa
b) Població = habitatges del municipi
Mostra = els 150 habitatges seleccionats
Variable = metres cúbics d’aigua consumits
Tipus de variable = quantitativa contínua
2. Per obtenir les mostres de l’exercici anterior, cal procedir de la manera següent:
a) Es trien els 10 conservatoris amb un nombre més baix d’alumnes de la comunitat autònoma.
b) Es trien els 150 habitatges que estan inscrits a l’associació de veïns del municipi.
Aquestes mostres, són representatives?
En tots dos casos, no, ja que no són mostrejos aleatoris.
1
Material fotocopiable © Editorial Teide
3. Fes una taula de freqüències amb les dades següents, i fes el diagrama de sectors corresponent:
2, 0, 4, 2, 1, 0, 2, 1, 3, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 0, 3, 2
xi
fi
Fi
hi
Hi
%
º
0
0
3
3
0,15
0,15
15
54
1
1
5
8
0,25
0,4
25
90
2
2
6
14
0,3
0,7
30
108
3
3
4
18
0,2
0,9
20
72
4
4
2
20
0,1
1
10
36
20
1
100 360
4. Donades les dades de l’exercici anterior, busca Q1, Me, Q3, p17 i p40. Indica també el recorregut interquartílic i fes el diagrama de caixa i bigotis.
Q1 "
x5 + x6
1+1
20
=
5 " Q1 =
= 2 =1
2
4
Me "
x +x
2+2
20
= 10 " Me = 10 2 11 = 2 = 2
4
Q3 "
x 15 + x 16
3 $ 20
3+3
=
15 " Q 3 =
= 2 =3
2
4
p 17 " 0,17 $ 20 = 3, 4 " p 17 = x 4 = 1
p 40 " 0,4 $ 20 = 8 " p 40 =
x8 + x9
1+2
= 2 = 1,5
2
Recorregut interquartílic = Q 3 - Q 1 = 3 - 1 = 2
0
1
2
3
4
5
2
Material fotocopiable © Editorial Teide
5. Donades les dades següents, representa-les en un histograma i busca la mitjana, l’interval modal i
l’interval mitjà.
Interval
[0, 20)
[20, 40)
[40, 60)
[60, 80)
[80, 100]
fi
13
22
25
23
17
Mo = [40, 60) ; Me = [40, 60) ; x =
Interval
xi
fi
Fi
x i · fi
[0, 20)
10
13
13
130
30
[20, 40)
30
22
35
660
25
[40, 60)
50
25
60
1 250
[60, 80)
70
23
83
1 610
[80, 100]
90
17
100
1 530
100
5 180
= 51,8
100
20
15
10
5
5 180
0
0
20
40
60
80
100
6. Busca el rang, la variància i la desviació típica de les dades de l’exercici anterior.
Interval
xi
fi
xi2 · fi
[0, 20)
10
13
1 300
[20, 40)
30
22
19 800
[40, 60)
50
25
62 500
[60, 80)
70
23
112 700
[80, 100]
90
17
137 700
R = 100 - 0 = 100
S2 =
334 000
- 51,8 2 = 656,76
100
S=
656,76 = 25,63
100 334 000
7. Una família que té dos cotxes vol saber quin dels dos té un consum més variable, i per fer-ho parteix de les dades següents:
Cotxe A
Cotxe B
Dia
1.º
2.º
Consum (L/100 km)
6,7 7,1 5,9 6,9 6,8
Dia
1.º
Consum (L/100 km)
7,5 6,8 7,3 7,0 6,9 7,1 7,6
2.º
3.º 4.º
3.º 4.º
5.º
5.º
6.º
Quin cotxe presenta més variació en el consum?
x A = 6,68
S A = 0,41
3 " CV A = 0,061 x B = 7,17
S B = 0,28
3 " CV B = 0,039
El cotxe A presenta més variació en el consum.
3
Material fotocopiable © Editorial Teide
7.º
8. Un ramader anota el pes mitjà de les seves vaques cada 10 dies:
Dia
0
Pes mitjà (kg)
10
20
30
40
50
60
437 441 447 449 456 459 470
Per comprovar si la forma de guanyar pes del seu bestiar és uniforme, calcula el coeficient de correlació entre els dies que passen i el pes mitjà de les vaques.
S XY
x = 30 ; S X = 20 ; y = 451,29 ; S Y = 10,46 ; S XY = 205,71 " r = S S = 0,98
X
Y
9. El ramader de l’exercici anterior vol esbrinar quin serà el pes aproximat de les vaques quan passin
100 dies si segueixen la mateixa tendència d’augment de pes. Busca la recta de regressió lineal del
pes respecte dels dies per calcular-ho.
y - 451,29 =
205,71
(x - 30) " y = 0,514x + 435,862
400
x = 100 " y = 0,514 $ 100 + 435,862 = 487,262 kg
10. Dibuixa el núvol de punts de l’exercici 8 i la recta de regressió de l’exercici 9 sobre uns mateixos
eixos coordenats, i tria l’escala convenientment.
475
470
465
460
455
450
445
440
435
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
4
Material fotocopiable © Editorial Teide
A11
Unitat 11
Combinatòria i probabilitat
Exercicis
d’avaluació
Nom:
Data:
Grup:
Nota
Solucionari
1. Deu actors aspiren a obtenir els tres papers principals d’una obra de teatre. Quants repartiments
diferents d’aquests papers es poden formar?
V 10,3 = 10 $ 9 $ 8 = 720 repartiments diferents
2. Uns pares diuen al seu fill que cada dia li assignaran per sorteig una d’aquestes tasques: fregar els
plats, escombrar o fer la bugada. Quantes distribucions diferents de tasques pot tenir en una setmana?
VR 3,7 = 3 7 = 2 187 distribucions diferents de tasques
3. En un restaurant ofereixen plats combinats amb els ingredients següents: llom, lluç, pollastre, ou,
patates i amanida. Quants plats combinats diferents es poden formar si a cada plat hi ha tres ingredients?
6
C 6,3 = a 3 k =
6!
= 20 plats diferents
3! $ 3!
4. En una competició esportiva participen 5 categories diferents segons l’edat: A, B, C, D i E. De quantes maneres diferents es poden ordenar aquestes categories per al dia de la competició?
P5 = 5! = 120 maneres diferents d’ordenar-les
5. Considerant l’experiment «triar una xifra del 0 al 9 a l’atzar», escriu:
a) L’espai mostral
b) Un succés elemental
d) Un succés impossible
e) El succés contrari de «sortir més petit que 5»
a) E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
b) {1}
c) «Sortir parell»
d) «Sortir un 10»
e) «Sortir més gran o igual que 5»
1
Material fotocopiable © Editorial Teide
c) Un succés compost
6. Siguin A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 5}, C = {3, 6} successos de l’experiment «tirar un dau». Busca:
a) A , B
b)
A+C
c)
e) A - B
f)
A,C
g) (A + B ) , C
a) {1, 2, 3, 4, 5}
b) {3}
c) {1, 2, 3, 4, 5, 6}
e) {1, 3}
f) {3, 4, 5, 6}
g) {1, 3, 6}
d)
A,B,C
A+B+C
d) Q
7. Calcula la probabilitat que, si traiem a l’atzar una carta d’un joc de cartes espanyoles, sigui:
a) Un as
b) Una figura
c) Bastos
d) Un cavall o oros
e) No sigui espases
f ) Un rei que no sigui de copes
a)
1
10
3
10
b)
c)
1
4
d)
13
40
e)
3
4
f)
3
40
8. L’Unai sospita que una moneda s’ha carregat per un costat amb la intenció que surti més vegades
cara que creu. La llança 100 vegades i obté 57 cares; la hi deixa a una amiga seva, la Bàrbara, perquè
la llanci unes altres 100 vegades, i ella obté 61 cares. Quina és la probabilitat experimental de treure cara? Està fonamentada la sospita de l’Unai?
57 + 61
118
= 200 = 0,59 . Sí, és una sospita fonamentada, perquè la probabilitat expe100 + 100
rimental s’allunya de la teòrica, que és 0,5.
p=
9. Fes el diagrama d’arbre de l’experiment «treure dues boles d’una urna que conté 6 boles blanques
i 4 de negres» i calcula la probabilitat que surtin dues boles de color diferent.
6
10
4
10
p=
B
N
5
9
B
4
9
N
6
9
B
3
9
N
8
6 4
4 6
48
$ + 10 $ 9 = 90 = 15 = 0,5333
10 9
2
Material fotocopiable © Editorial Teide
10. D’un grup de 100 persones sabem que 52 són majors d’edat, i d’aquestes, la meitat són nois, i l’altra meitat, noies. També sabem que en total hi ha 49 noies.
Completa una taula de contingència amb la distribució de persones per sexe i per majoria o no
d’edat, i calcula la probabilitat que:
a) Si triem una persona a l’atzar, sigui menor d’edat.
b) Si triem un noi a l’atzar, sigui major d’edat.
c) Si triem una persona a l’atzar, sigui noia si sabem que és menor d’edat.
Noies
Nois
Total
Menors d’edat
23
25
48
Majors d’edat
26
26
52
Total
49
51
100
a) p (menor d'edat) =
48
= 0,48
100
b) p (major d'edat noi) =
26
= 0,51
51
c) p (noia menor d'edat) =
23
= 0,48
48
3
Material fotocopiable © Editorial Teide