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Probabilidad y Estadı́stica
Taller Preparación Parcial
1. Un director técnico de tenis tiene una canasta con 25 pelotas; 15 de estas son pelotas marca Penn y las otras 10
son Wilson. Cada uno de cuatro jugadores selecciona al azar tres pelotas para un juego.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente ocho de las pelotas seccionadas sean Penn? R/. 0.2598
b) ¿Cuál es el valor medio y desviación estándar del número de pelotas Penn que quedan en la canasta?
R/. E(Y) = 7.8, Var (Y) = 1.56
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de pelotas Penn selecionadas se encuentren a más de 1 desviación estándar de distancia de su valor esperado? R/. 0.2261
2. Los salarios de los empleados de un banco local siguen una distribución normal con una media de 22,87 dólares
por hora y desviación estándar de 1,87 dólares por hora.
a) ¿Cuál debe ser el salario por hora si desea ganar menos que el 8 % de todos los salarios de los empleados?
R/. 25.49
b) ¿Cuál debe ser el salario por hora si desea ganar más que el 96 % de todos los salarios de los empleados?
R/. 26.1438
c) ¿88 % de los salarios de los empleados se encuentran entre cuales dos valores de los salarios (simétricos
alrededor de la media)?
R/. a = 19.96, b = 25.774
3. Un estudiante de la universidad cada dı́a debe tomar dos rutas de transporte para ir a estudiar: el metro y ruta
de exposiciones de la U. Los tiempos de espera de las respectivas rutas, expresadas en minutos, son variables
aleatorias independientes T1 y T2 , cuyas funciones de densidad están dadas por
f (t1 ) =
t


1
1 − 20
,
20 e
t1 > 0

0,
e.o.c.
g(t2 ) =
t


2
1 − 20
,
20 e
t2 > 0

0,
e.o.c.
a) Determinar la probabilidad de que el tiempo de espera del metro y exposiciones de la U sean menores
que 10 y 15 minutos respectivamente. R/. 0.2076
b) ¿ Cuál es la probabilidad de que el empleado deba esperar mayor cantidad de minutos el metro que la
ruta de expociones de la U? R/. 0.50
4. Se especifica que los cables manufacturados para usarse en un sitema de computadora deben tener resistencia entre 0.12 y 0.14 ohms. Las resistencias medidas de los cables producidos por la compañı́a Ω tienen una
distribución normal con media de 0.13 ohms y desviación estándar de 0.005 ohms.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cable seleccionado al azar de la producción de la compañı́a Ω satisfaga
las especificaciones? R/. 0.0.9545
b) Si cuatro de estos cables se usan en el sistema de cada computadora y todos son selecionados de la compañı́a Ω, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos de los cuatro selecionados al azar satisfaga las
especificaciones? R/. 0.9996
c) Con las condiciones del inciso anterior, si al menos dos cables cumplen las especificaciones, ¿cual es la
probabilidad de que a lo sumo tres cables las cumplan también? R/. 0.1695
5. La probabilidad de que llegue un cliente al mostrador de servicio de una tienda en un segundo cualquiera
es igual a 0,10. Suponga que llegan clientes en forma aleatoria y por tanto que una llegada en un segundo
cualquiera es independiente de las otras. Encuentre la probabilidad de que la primera llegada
a) Ocurra durante el tercer intervalo de un segundo. R/. 0.081
b) No ocurra hasta al menos el tercer intervalo de un segundo. R/. 0.81
6. Un analista financiero señala que la tasa de mercado Rf de los tı́tulos de tesorerı́a TES con vencimiento el 24 de
julio de 2024 y cupón de 10 % emitido por el Ministerio de Hacienda, tendrá al cabo de un año una distribución
normal con una tasa de mercado promedio esperada de 8.79 % EA y desviación estándar de 0.6 %.
a) Encuentre la probabilidad de que la tasa de mercado de dicho tı́tulo sea al menos 8.15 %. R/. 0.8569
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la tasa de mercado Rf sea menor que el 7,6 % de todas las tasas de
mercado del tı́tulo TES?. R/. 0.0236
c) ¿92 % de las tasas de mercado del tı́tulo TES se encuentran entre cuales dos valores de Rf (simétricos
alrededor de la media)? R/. (7.7339, 9.8404)
7. Un establecimiento para dar servicio a automóviles de renta tiene 15 automóviles extranjeros y 10 de fabricación nacional, en espera de ser atendidos en la mañana de un sábado en particular. Debido a que hay pocos
mecánicos trabajando el sábado, sólo pueden ser atendidos 8 automóviles. Si los 8 se escogen al azar,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de los automóviles seleccionados sean de fabricación nacional? R/. 0.3331
b) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo se seleccionen 2 automóviles extranjeros? R/. 0.02209
8. Un consultor sabe que le costará 10000 dólares cumplir un contrato. El contrato se va a sacar a subasta y cree
que la oferta más baja de todas las demás (en miles de dólares), excluida la suya, puede representarse por la
varable aleatoria X que tiene una distribución uniforme continua en el intervalo [8,20].
a) Si el consultor presenta una oferta de 12000 dólares, ¿cuál es la probabilidad de que consiga el contrato?
R/. 0.666
b) Calcule e interprete el percentil 94. R/. 19.28
c) Si se presentan 18 contratos en forma independiente, ¿Cuál es la probabilidad de que en menos de dos de
los contratos la oferta más baja de todas las demás sea menor que la estimación del costo de 10000 dólares
del consultor? R/. 0.1729
9. Los sacos de un producto quı́mico de una empresa tiene impurezas, cuyo peso puede representarse por medio
de una ditribución normal que tiene una media de 12,2 gramos y una desviación estándar de 2,8 gramos.
a) ¿Cual es la probabilidad de que uno de estos sacos seleccionado al azar contenga menos de 10 gramos de
impurezas? R/. 0.2160
b) Se toma una muestra aleatoria de 400 de estos sacos ¿Cual es la probabilidad de que al menos 100 sacos
contenga menos de 10 gramos de impurezas? R/. 0.0576
c) Si se examinan los sacos uno a la vez ¿cual es la probabilidad de que se necesite examinar a lo sumo 12
sacos para encontrar el primero con menos de 10 gramos de impurezas? R/. 0.946
10. El número de solicitudes de asistencia recibidas por un servicio de remolque de vehı́culos con fallas, es un
proceso de Poisson con promedio de 4 solicitudes por hora.
a) Calcule la probabilidad de que exactamente 10 solicitudes se reciban durante un periodo particular de 2
horas. R/. 0.0992
b) Si los operadores de las grúas de remolque descansan durante 30 minutos para tomar alimentos, ¿cuál es
la probabilidad de que no se pierda ninguna llamada de asistencia? R/. 0.1353
c) ¿Cuántas llamadas se esperan durante el descanso? R/. 2
11. Un supermercado tiene dos clientes esperando para pagar sus compras en la caja I y un cliente esperando
pagar en la caja II. Denota por X y Y los números de clientes que gastan más de $ 50 en abarrotes en la cajas
rrespectivas. Suponga que X y Y son variables aleatorias binomiales independientes. La probabilidad de que
un cliente en la caja I gaste más de $50 es 0.20 y la probabilidad de que un cliente en la caja II gaste más de $50
es igual a 0.3. Encuentre:
a) La distribución de probabilidad conjunta para X y Y .
R/. x2 y1 0,2x 0,82−x 0,3y 0,71−y x = 0, 1, 2. y = 0, 1.
b) La probabilidad de que no más de uno de los tres clientes gasta más de $50. R/. 0.864
12. Un peaje cobra $ 1 por cada autobús de pasajeros y $ 2 por otros vehı́culos. Suponga que, el 60 % de todos los
vehı́culos son autobuses. Si 25 vehı́culos pasan el peaje en un periodo particular diurno, ¿cuál es el ingreso
resultante esperado? R/. 35
13. Una persona pasa todas las mañanas a la misma hora por un cruce donde el semáforo esta en verde el 20 % de
la veces. Suponga que cada mañana representa un ensayo independiente.
a) Si en cinco mañanas consecutivas el semáforo esta en verde al menos un dı́a, ¿cuál es la probabilidad de
que el semáforo este en verde más de un dı́a? R/. 0.39076
b) En 20 mañanas consecutivas, ¿cuál es la probabilidad de que el semáforo no esté en verde como mı́nimo
en 19 dı́as? R/. 0.0691
14. Unas figuras de porcelana se venden a 10 dólares si no tienen imperfecciones y a 3 dólares si las presentan.
Entre las figuras de cierta compañı́a, 90 % no tiene imperfecciones. En una muestra de 100 figuras ya vendidas,
sea Y la utilidad ganada por su venta y X el número de éstas que no presentan imperfecciones.
a) Expresar Y como una función de X. R/. Y = 300 + 7X
b) Determinar la media y la desviación estándar de la utilidad. R/. 930 y 21
15. Un director de producción sabe que el 5 % de los componentes producidos en un determinado proceso de
producción tiene algún defecto. Se examina 6 de estos componentes, cuyas caracterı́sticas se puede suponer
que son independientes entre sı́.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de estos componentes tenga un defecto? R/. 0.7350
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de estos componentes tenga un defecto? R/. 0.0327
16. Una parte importante de las responsabilidades del servicio al cliente de una compañı́a de teléfonos se relaciona
con la rapidez con que puede reparar las fallas en el servicio. Suponga que los datos históricos indican que la
probabilidad de reparar las fallas el mismo dı́a es 0.70. Para las primeras cinco fallas reportadas en un dı́a dado
cuál es la probabilidad de que se reparen:
a) Las cinco el mismo dı́a. R/. 0.1680
b) Por lo menos tres el mismo dı́a. R/. 0.8369
c) Menos de dos reparadas el mismo dı́a. R/. 0.0308
17. Supóngase que para personas de determinada edad, la probabilidad de que mueran por una enfermedad
transmisible es 0,001. ¿Si se exponen 356 personas de esta edad a la enfermedad, cuál es la probabilidad de que
no más de tres personas mueran? R/. 0.9995
18. Un fabricante en Bogotá le suministra un diseño de un prototipo de una pieza que requiere su negocio. Este
nuevo producto, que es enviado en lotes de 12, sufre de una tasa de defectos de 40 %
a) Si usted no desea un riesgo mayor del 10 % en la probabilidad de que 5 de los 12 sean defectuosos, ¿deberı́a
comprarle a este distribuidor? R/. No le deberı́a comprar, la probabilidad es 0.2270
b) Si usted no desea enfrentar un riesgo mayor del 20 % de probabilidad de que más de 5 salgan defectuosos,
¿deberı́a comprarle al proveedor? R/. No comprarle, la probabilidad es 0.3347
19. Suponga que sólo 25 % de los automovilistas se detienen por completo en un cruce con luces rojas intermitentes
en todas direcciones cuando no está visible ningún otro automóvil. ¿Cuál es la probabilidad de que, de 20
automovilistas seleccionados al azar que llegan a la intersección en estas condiciones,
a) ¿A lo sumo seis se detengan por completo? R/. 0.7857
b) ¿Exactamente seis se detengan por completo? R/. 0.1686
c) ¿Al menos seis se detengan por completo? R/. 0.3828
d) ¿Cuántos de los siguientes 20 automovilistas espera el lector que se detengan por completo? R/. 5
20. En la producción de lı́neas de ensamble del robots industriales se pueden instalar conjuntos de cajas de engranajes en un minuto cada una si los agujeros han sido taladrados correctamente en las cajas, y en diez minutos
si deben taladrarse agujeros. Hay veinte cajas de engranajes en existencia, 2 con agujeros taladrados de manera incorrecta. Cinco cajas de engranes deben seleccionarse de entre las 20 disponibles para instalarse en los
siguientes cinco robots.
a) Encuentre la probabilidad de que las 5 cajas de engranes ajusten correctamente. R/. 0.5526
b) Encuentre la media, la varianza y desviación estándar de tiempo que toma instalar estas 5 cajas de engranes. R/. 9.5, 28.7763, 5.3643
21. Estoy considerando dos inversiones alternativas. En ambos casos, tengo dudas sobre el interés que podrı́a
obtener, pero creo que mi incertidumbre puede representarse mediante dos distribuciones normales con media
y desviaciónes estándar representadas en la siguiente tabla. Me gustarı́a invertir en la opción que tenga más
probabilidades de producir un interés mayor que el 10 %.
Inversión A
Inversión B
Media( %)
10.4
11.0
Desviación estándar( %)
1.2
4.0
a) ¿Cuál deberı́a elegir? R/. Inversión A
b) En la opción elegida en el inciso anterior, ¿cuál es la probabilidad de que la incertidumbre esté a menos
de media desviación estándar de la incertidumbre esperada? R/. 0.383
22. Se ha observado que el tiempo que tarda la gente en llenar el formato de una declaración de impuestos es
una variable aleatoria X que tiene una distribución normal con una media de 100 minutos y una desviación
estándar de 30 minutos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida aleatoriamente tarde más de una hora en llenar este
formato? R/. 0.9082
b) Se eligen aleatoriamente dos personas. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas tarde más
de una hora en llenar este formato? R/. 0.9915
23. La falla de una tarjeta de circuito que utiliza un sistema de cómputo interrumpe el trabajo hasta que se instala
una nueva. El tiempo de entrega, X, está uniformemente distribuido en el intervalo de uno a cinco dı́as. El
costo de la falla de una tarjeta y la interrupción incluye el costo fijo C0 de una nueva tarjeta y un costo que
aumenta proporcionalmente con X 2 . Si el costo en que se incurre es, C = C0 + C1 X 2 :
a) Encuentre el costo esperado asociado con una sola tarjeta de circuito que falle. R/. C0 + C1 [ 34 + 9]
b) Encuentre la probabilidad de que el tiempo de entrega exceda de 2 dı́as. R/.
3
4
24. Un equipo de reparaciones es responsable de un tramo de un oleoducto de 2 kilómetros de largo. La distancia (en kilómetros) a la que surge cualquier grieta puede representarse por medio de una variable aleatoria
distribuida uniformemente, con una función de densidad de probabilidad
a) Halle la distribución de probabilidad acumulada. R/. F (x) = 0,5x con 0 < x < 2
b) Encuentre la probabilidad de que surja cualquier grieta dada entre 0.5 kilómetros y 1.5 en este tramo del
oleoducto. R/. 0.5
25. Se sabe que 5 de cada 100 carros que circulan en una ciudad, presentan fallas que ocasionan contaminación
del aire. Si se seleccionan carros aleatoriamente uno tras otro, ¿cuál es la probabilidad de que el décimo carro
revisado sea el que presente este tipo de falla? R/. 0.0315
26. Una empresa recibe un envı́o de 20 artı́culos. Como es caro inspeccionarlos todos, tiene la polı́tica de comprobar una muestra aleatoria de 6 artı́culos de ese envı́o y, si no hay más de un artı́culo defectuoso en la muestra,
no comprueba el resto. ¿Cuál es la probabilidad de que un envı́o que contiene 5 artı́culos defectuosos no se
someta a una comprobación adicional? R/. 0.516
27. El director de un centro informático, informa de que su sistema informático ha experimentado en promedio
tres fallas de componentes en los 100 últimos dı́as.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ninguna falla en un dı́a dado? R/. 0.9704
b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya uno o más fallas de componentes en un dı́a dado? R/. 0.0295
c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos dos fallas en un perı́odo de tres dı́as? R/. 0.003815
28. En un examen en el que se van haciendo preguntas sucesivas, para aprobar hay que contestar correctamente
a 10 preguntas. Suponiendo que el alumno sepa el 80 % de las respuestas, ¿cuál es la probabilidad de que
apruebe en las 12 primeras preguntas? R/. 0.2362
29. El número de solicitudes de auxilio que recibe un servicio de remolque de vehı́culos es un proceso de Poisson
con tasa λ = 4 por hora.
a) Calcule la probabilidad de que se reciban exactamente diez solicitudes durante un perı́odo de dos horas.
R/. 0.099261
b) Si los operadores de las grúas toman un receso de 30 minutos para almorzar, ¿Cuál es la probabilidad de
que no pierdan ninguna llamada de auxilio? R/. 0.13533528
c) ¿Cuántas llamadas se esperarı́an durante el descanso? R/. 2
30. Considérese un fabricante de automóviles que compra los motores a una compañı́a donde se fabrican bajo
estrictas especificaciones. El fabricante recibe un lote de 40 motores. Su plan para aceptar el lote consiste en
seleccionar ocho, de manera aleatoria, y someterlos a prueba. Si encuentra que ninguno de los motores presenta
serios defectos, el fabricante acepta el lote; de otra forma lo rechaza. Si el lote contiene dos motores con serios
defectos, ¿cuál es la probabilidad de que sea aceptado? R/. 0.6359
31. Una compañı́a perforadora de pozos petroleros se arriesga en varios sitios, y su éxito o fracaso es independiente
de un sitio a otro. Suponga que la probabilidad de éxito en cualquier sitio especı́fico es 0.25.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un perforador taladre 10 sitios y tenga un éxito? R/. 0.1877
b) El perforador cree que irá a la quiebra si perfora 10 veces antes de que ocurra el primer éxito. ¿Cuáles son
las perspectivas del perforador para la quiebra? R/. 0.0141
32. En un departamento de control de calidad se inspeccionan las unidades terminadas que provienen de una
lı́nea de ensamble. Se piensa que la proporción de unidades defectuosas es de 0.05.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la vigésima unidad inspeccionada sea la segunda que se encuentre defectuosa? R/. 0.0189
b) Supóngase que la décimo quinta unidad inspeccionada es la segunda que se encuentra defectuosa. ¿Cuál
es la probabilidad de este hecho bajo condiciones determinadas? R/. 0.0180
33. Si un punto se localiza al azar en un intervalo [a, b] y si X denota la ubicación del punto, entonces se supone
que X tiene una distribución uniforme en [a, b]. Una experta en efciencia de la planta selecciona al azar un
lugar, a lo largo de una lı́nea de ensanble de 500 pies, desde el cual observa hábitos de los trabajadores de la
lı́nea. ¿Cuál es la probabilidad de que el punto que ella selecciones se encuentre :
a) a no más de 25 pies del final de la lı́nea? R/. 0.05
b) a no más de 25 pies del princiio de la lı́nea? R/. 0.05
c) más cerca del principio de la lı́nea que al final de la lı́nea? R/. 0.5
34. Las radiaciones solares en un determinado lugar se pueden asociar a una variable aleatoria continua normalmente distribuida. Se ha determinado que el 75.8 % de las veces, la radiación es mayor que 43 unidades y el
57.93 % de las veces, la radiación es menor que 52 unidades.
a) Determinar los parámetros de la distribución. R/. µ = 50, σ = 10
b) Determinar la probabilidad de que en el mes de noviembre, al menos 6 y a lo más en 10 dı́as, la radiación
supere las 50 unidades. R/. 0.049
35. Un servicio de reparto de pizzas a domicilio distribuye en una residencia de estudiantes. Los tiempos de
entrega siguen una distribución normal con media 20 minutos y desviación estándar 4 minutos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se tarde entre 15 y 25 minutos en entregar una pizza? R/. 0.789
b) La pizza no tiene costo si no es entregada en menos de 30 minutos, ¿cuál es la probabilidad de comerse
una pizza gratis si se hace un único pedido? R/. 0.0062
c) Durante la semana de exámenes finales, un estudiante planea pedir una pizza 5 noches consecutivas.
Suponga que los tiempos de entrega de pizzas son independientes entre sı́. ¿Cuál es la probabilidad de
que este estudiante consiga al menos una pizza gratis? R/.0.032
36. Una empresa recibe un gran envı́o de componentes. Se comprobara una muestra aleatoria de 16 de estos componentes y se aceptará el envı́o si son defectuosos menos de dos componentes de esta muestra. Cuál es la
probabilidad de que se acepte un envı́o que contenga:
a) Un 5 por ciento de componentes defectuosos. R/. 0,81076
b) Un 15 por ciento de componentes defectuosos. R/. 0,283901
37. Los sobrecostos por actualización de computadores en una empresa tienen una distribución normal con un
promedio de US$ 23500 con una desviación estándar de US$ 9400. Como director ejecutivo de la división de
investigación usted no desea arriesgarse a más de 34 % de probabilidad que el sobrecosto en una actualización
propuesta recientemente exceda de US$ 25000. ¿Deberı́a ejecutar la actualización?
R/. No ejecutar la actualización, la probabilidad es 0.4366